ads:
LA
´
IS B
´
ASSAME RODRIGUES
Reticulados Hiperb´olicos em Espa¸cos
Quocientes Mergulhados Isometricamente em
Espa¸cos Euclidianos
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERL
ˆ
ANDIA
FACULDADE DE MATEM
´
ATICA
2010
i
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
ii
LA
´
IS B
´
ASSAME RODRIGUES
Reticulados Hiperb´olicos em Espa¸cos
Quocientes Mergulhados Isometricamente em
Espa¸cos Euclidianos
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-
Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal de
Uberlˆandia, como parte dos requisitos para obten¸c˜ao do
t´ıtulo de MESTRE EM MATEM
´
ATICA.
´
Area de Concentra¸c˜ao: Matem´atica.
Linha de Pesquisa: Geometria Diferencial.
Orientador: Prof. Dr. Edson Agustini.
UBERL
ˆ
ANDIA - MG
2010
ads:
iii
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Sistema de Bibliotecas da UFU – MG, Brasil
R696h
Rodrigues, Laís Bássame, 1984-
Reticulados hiperbólicos em espaços quocientes mergulhados
isometricamente em espaços euclidianos [manuscrito] / Laís Bássame
Rodrigues. - 2010.
74 f. il.
Orientador: Edson Agustini.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de Uberlândia, Progra-
ma de Pós-Graduação em Matemática.
Inclui bibliografia.
1. Geometria diferencial - Teses. 2. Teoria dos reticulados - Teses. I.
Agustini, Edson. II. Universidade Federal de Uberlândia. Programa de
Pós-Graduação em Matemática. III. Título.
. Título.
CDU: 514.7
v
Dedicat´oria
Dedico esta disserta¸c˜ao `a minha fam´ılia. Aos meus pais e irm˜aos por me apoiarem desde os
primeiros passos. Por estarem comigo em todas as batalhas e me incentivarem a enfrentar
novos desafios. Dedico tamb´em ao Professor Doutor Edson Agustini, pelo apoio e confian¸ca,
t˜ao decisivos na minha vida acadˆemica, durante os 3 anos e meio de orienta¸c˜ao incluindo a
gradua¸c˜ao e o mestrado.
Aqueles que passam por n´os, n˜ao v˜ao s´os, n˜ao nos deixam s´os. Deixam um pouco de si,
levam um pouco de n´os. (O Pequeno Pr´ıncipe)
vi
Agradecimentos
Agrade¸co primeiramente a Deus. Agrade¸co `a CAPES pela bolsa e pelo projeto REUNI que
me possibilitou aprender um pouco sobre como educar. Agrade¸co `a Universidade Federal de
Uberlˆandia e `a Faculdade de Matem´atica pelo Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica
inaugurado em 2007. Agrade¸co ainda aos professores deste instituto pelo esfor¸co e dedica¸c˜ao
para que o Mestrado fosse poss´ıvel.
vii
RODRIGUES, L. B. Reticulados Hiperb´olicos em Espa¸cos Quocientes Mergulhados Isometrica-
mente em Espa¸cos Euclidianos. 2010. 73 p. Disserta¸c˜ao de Mestrado, Universidade Federal de
Uberlˆandia, Uberlˆandia-MG.
Resumo
Nesta disserta¸c˜ao apresentamos um estudo de transforma¸c˜oes de M¨obius e grupos fuchsianos
que servir´a de base para o desenvolvimento da teoria de determinados espa¸cos quocientes.
Nesses espa¸cos quociente tomaremos reticulados hiperb´olicos geometricamente uniformes que
ser˜ao mergulhados isometricamente na esfera S
8
⊂ R
9
.
Palavras-chave: Reticulado, Espa¸co Quociente, C´odigo Geometricamente Uniforme, Grupo
Fuchsiano, Transforma¸c˜ao de M¨obius, Mergulho Isom´etrico.
viii
RODRIGUES, L. B. Hyperbolic Lattices in Quotient Spaces isometrically Embed in Euclidean
Spaces. 2010. 73 p. M. Sc. Dissertation, Federal University of Uberlˆandia, Uberlˆandia-MG.
Abstract
In this work we present a study of M¨obius transformations and fuchsian groups as the basis
for the development of the theory of some specific quotient spaces. In these quotient spaces we
consider geometrically uniform hyperbolic lattices that will be isometrically embedded in the
sphere S
8
⊂ R
9
.
Key-words: Lattice, Quotient Space, Geometrically Uniform Code, Fuchsian Group, M¨obius
Transformation, Isometric Embeding.
Sum´ario
Resumo vii
Abstract viii
Introdu¸c˜ao 1
1 Alguns T´opicos de Geometria Hiperb´olica 2
1.1 A M´etrica Hiperb´olica no Modelo H do Semi-plano . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Grupos Fuchsianos no Modelo do Semi-plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Geod´esicas no Modelo do Semi-plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Express˜oes para a Distˆancia Hiperb´olica em H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 A M´etrica Hiperb´olica no Modelo do Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Geod´esicas no Modelo do Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Express˜oes para a Distˆancia Hiperb´olica em U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 Grupos Fuchsianos no Modelo do Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Isometrias Hiperb´olicas em H 28
2.1 Alguns Teoremas Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Classifica¸c˜ao de Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Reticulados em Espa¸cos Quociente 41
3.1 Buscando Reticulados Geometricamente Uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 C´ırculos Isom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Encontrando Geradores do Grupo Fuchsiano F
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Encontrando Geradores do Grupo Fuchsiano F
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Mergulhos Isom´etricos 54
5 Conclus˜oes e Perspectivas Futuras 59
Referˆencias Bibliogr´aficas 60
Apˆendice 62
ix
Introdu¸c˜ao
Nosso objetivo neste trabalho foi estudar a teoria b´asica de transforma¸c˜oes de M¨obius e grupos
fuchsianos (Cap´ıtulos 1 e 2) necess´aria para a gera¸c˜ao de reticulados hiperb´olicos geometrica-
mente uniformes em espa¸cos quociente (Cap´ıtulo 3). Os reticulados que estamos interessados
podem ser obtidos como ´orbitas de um conjunto finito de pontos por grupos fuchsianos. Al´em
disso, consideramos mergulhos isom´etricos de alguns reticulados interessantes, sob o ponto de
vista da Teoria da Informa¸c˜ao e Codifica¸c˜ao, na esfera S
8
(Cap´ıtulo 4). A distˆancia euclidiana
m´ınima entre pontos de um reticulado mergulhado foi calculada nos exemplos que abordamos.
Tais c´alculos tem por finalidade a compara¸c˜ao e a eficiˆencia em uma poss´ıvel utiliza¸c˜ao pr´atica
dos reticulados, uma vez que, em Teoria da Codifica¸c˜ao, esse ´e um dos parˆametros de desem-
penho de c´odigos.
Nos dois primeiros cap´ıtulos, onde ab ordamos a teoria b´asica de transforma¸c˜oes de M¨obius e
grupos fuchsianos, algumas das demonstra¸c˜oes que apresentamos s˜ao de nossa autoria, como por
exemplo os trˆes teoremas de caracteriza¸c˜ao das isometrias el´ıpticas, hiperb´olicas e parab´olicas
que constam do Cap´ıtulo 2. Esses cap´ıtulos foram inspirados principalmente nas referˆencias [2]
e [10].
O cap´ıtulo sobre espa¸cos quocientes n˜ao foi baseado em algum artigo ou livro. Basicamente
o que fizemos foi a formaliza¸c˜ao de espa¸cos quocientes espec´ıficos com o objetivo de tornar
geometricamente uniforme alguns reticulados interessantes do ponto de vista de modula¸c˜ao
de sinais. Dois exemplos importantes se destacam: (1) o reticulado 16 − QAM (que n˜ao ´e
geometricamente uniforme) foi “quocientado” para torn´a-lo geometricamente uniforme e (2) um
reticulado de 16 pontos genuinamente hiperb´olico (sem an´alogos euclidianos), que chamamos de
16−HQAM que tamb´em foi “quocientado” por grupo fuchsiano para tornar-se geometricamente
uniforme.
O cap´ıtulo sobre os mergulhos isom´etricos foi um dos mais trabalhosos em nossa disserta¸c˜ao.
Embora tenhamos utilizado na ´ıntegra os resultados te´oricos sobre mergulhos isom´etricos da
disserta¸c˜ao [16], a parte computacional dos mergulhos ´e muito ´ardua. Em especial, desenvolve-
mos uma interpola¸c˜ao polinomial interessante para c´alculo de algumas integrais utilizando o
software Maple. Com isso foi poss´ıvel fazer v´arias compara¸c˜oes, inclusive de distˆancia m´ınima.
Os reticulados que foram utilizados no dom´ınio dos mergulhos foram os do cap´ıtulo anterior.
Por fim, colocamos em um apˆendice os comandos utilizados no software supracitado no que
diz respeito aos mergulhos isom´etricos do plano hiperb´olico no S
8
.
La´ıs B´assame Rodrigues
Uberlˆandia-MG, 26 de fevereiro de 2010.
1
Cap´ıtulo 1
Alguns T´opicos de Geometria
Hiperb´olica
Neste cap´ıtulo apresentamos as principais defini¸c˜oes e resultados concernentes aos modelos
euclidianos de Poincar´e para a Geometria Hiperb´olica que ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos pos-
teriores. Procuramos utilizar a referˆencia [10] com altera¸c˜oes em algumas demonstra¸c˜oes de
proposi¸c˜oes nas quais procuramos imprimir maiores detalhamentos que cremos facilitar uma
primeira leitura do assunto. Nossa contribui¸c˜ao est´a destacada no texto.
1.1 A M´etrica Hiperb´olica no Modelo H do Semi-plano
Seja C o plano complexo. Usamos as nota¸c˜oes usuais para as partes reais e imagin´arias de
z = x + iy ∈ C, Re (z) = x e Im (z) = y. Al´em disso, se z = x
1
+ iy
1
e w = x
2
+ iy
2
ent˜ao
d
(
z, w
) = |
z − w
|
=
(
x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
.Enfatizamos que como existe uma bije¸c˜ao entre
C e R
2
ent˜ao poderemos escrever z = (x, y) para significar que z = x + iy.
O principal objeto desse estudo ´e a parte superior do plano do plano complexo, H =
{z ∈ C : Im (z) > 0} . Munido da m´etrica riemanniana
ds =
dx
2
+ dy
2
y
, (1.1)
tamb´em chamada de m´etrica hiperb´olica do semi-plano. Temos, assim, o modelo do semi-
plano de Poincar´e ou modelo de Lobachewsky para a Geometria Hiperb´olica. Veremos na
Se¸c˜ao 1.3 que os formatos das geod´esicas (isto ´e, curvas de menor comprimento ligando dois
pontos com respeito a esta m´etrica) s˜ao dados por semi-retas ou semi-c´ırculos ortogonais ao
eixo real R = {z ∈ C : Im (z) = 0} . Com isso, quaisquer dois pontos em H podem ser ligados por
uma ´unica geod´esica e a distˆancia entre estes dois pontos ´e medida ao longo desta geod´esica.
Contudo, como podemos observar na Figura 1, dada a geod´esica l e um ponto z, h´a mais de
uma geod´esica passando por z e paralela a l, isto ´e, sem intersec¸c˜ao com l. Isto significa que
a geometria em H ´e n˜ao-euclidiana, pois o quinto postulado dos Elementos de Euclides n˜ao se
aplica aqui.
z
l
H
Figura 1: O Quinto Postulado de Euclides n˜ao vale na Geometria Hiperb´olica.
2
3
Seja I = [0, 1
]
e γ : I −→H um caminho diferenci´avel por partes, γ
(
t
) =
z
(
t
) =
x
(
t
) +
iy (t) ∈ H com t ∈ I. Ent˜ao, o comprimento hiperb´olico h (γ) ´e dado por
h (γ) =
1
0
dx
dt
2
+
dy
dt
2
y (t)
dt =
1
0
dz
dt
y (t)
dt.
A distˆancia hiperb´olica ρ
(
z, w
)
entre dois pontos z, w ∈ H ´e definida pela f´ormula ρ
(
z, w
) =
inf {h (γ)} , onde o ´ınfimo ´e tomado sobre todo γ ligando os pontos z, w ∈ H.
Observa¸c˜ao: ρ ´e, de fato, uma m´etrica em H.
(1) Como
(
dx
dt
)
2
+
(
dy
dt
)
2
y
(
t
)
≥ 0, ent˜ao ρ ´e n˜ao negativa.
(2) ρ ´e sim´etrica.
De fato: seja γ uma curva qualquer ligando z a w com γ (0) = z e γ (1) = w. Logo,
h (γ) =
1
0
(
dx
dt
)
2
+
(
dy
dt
)
2
y(t)
dt e ρ (z, w) = inf {h (γ)} .
Consideremos agora γ (λ) = x (λ) + iy (λ) tal que
γ : [0, 1] −→ H
λ −→ γ (1 − λ) = x (1 − λ) + iy (1 − λ)
.
Temos que γ liga w a z com γ (0) = γ (1) = w e γ (1) = γ (0) = z. O comprimento de γ ´e dado
por h (γ) =
1
0
dx
dλ
2
+
dy
dλ
2
y(λ)
dλ e ρ (w, z) = inf {h(γ)} . Mostremos que ρ (z, w) = ρ (w, z) .
Fazendo λ = 1 − t temos
dλ
dt
= −1 =⇒dλ = −dt. Logo,
1
0
dx
dλ
(λ)
2
+
dy
dλ
(λ)
2
y (λ)
dλ =
1
0
dx
dλ
(1 − λ)
2
+
dy
dλ
(1 − λ)
2
y (1 − λ)
dλ
=
1
0
dx
dλ
(
1 − λ
) (−
1
)
2
+
dy
dλ
(
1 − λ
) (−
1
)
2
y (1 − λ)
dλ
=
0
1
dx
dt
(
t
)
2
+
dy
dt
(
t
)
2
y (t)
(−dt)
=
1
0
dx
dt
(t)
2
+
dy
dt
(t)
2
y (t)
dt.
Portanto,
h
(
γ
) =
h
(
γ
)
=⇒inf
{
h
(
γ
)
} = inf
{
h
(
γ
)
} =⇒ρ
(
w, z
) =
ρ
(
z, w
)
.
(
3
)
Al´em disso, ρ satisfaz a desigualdade triangular ρ
(
z, w
)
≤ ρ
(
z, ε
) +
ρ
(
ε, w
)
.
De fato: sejam
A = {h (γ) | γ : [0, 1] −→H ´e caminho diferenci´avel por partes ligando z a w}
B = {h (γ) | γ : [0, 1] −→H ´e caminho diferenci´avel por partes ligando z a w passando por ε}
Naturalmente, B ⊂ A, significando que inf A ≤ inf B, ou seja, ρ (z, w) ≤ inf B.
Consideremos agora
γ
1
: [0, 1] −→ H
λ −→ γ
1
(λ)
e γ
2
: [0, 1] −→ H
λ −→ γ
2
(λ)
4
tais que γ
1
(
0
) =
z, γ
1
(
1
) =
ε, γ
2
(
0
) =
ε e γ
2
(
1
) =
w. Fazendo
γ : [0, 1] −→ H
λ −→
γ
1
(t) = γ
1
(2t) , se 0 ≤ t ≤
1
2
γ
2
(t) = γ
2
(2t − 1) , se
1
2
< t ≤ 1
Agora, h (γ) = h (γ
1
) + h (γ
2
) pois
h (γ) =
1
0
d
dt
Re (γ (t))
2
+
d
dt
Im (γ (t))
2
Im(γ(t))
dt
=
1
2
0
d
dt
Re
(
γ
1
(
t
))
2
+
d
dt
Im
(
γ
1
(
t
))
2
Im(γ
1
(t))
dt +
1
1
2
d
dt
Re
(
γ
2
(
t
))
2
+
d
dt
Im
(
γ
2
(
t
))
2
Im(γ
2
(t))
dt
=
1
2
0
d
dt
Re
(
γ
1
(
2t
))
2
+
d
dt
Im
(
γ
1
(
2t
))
2
Im(γ
1
(2t))
dt +
1
1
2
d
dt
Re
(
γ
2
(
2t − 1
))
2
+
d
dt
Im
(
γ
2
(
2t − 1
))
2
Im(γ
2
(2t − 1))
dt
=
1
0
2
d
dλ
Re (γ
1
(λ))
2
+
2
d
dλ
Im (γ
1
(λ))
2
2 Im(γ
1
(λ))
dλ +
1
0
2
d
dα
Re (γ
2
(α))
2
+
2
d
dα
Im (γ
2
(α))
2
2 Im(γ
2
(α))
dα
= h
(
γ
1
) +
h
(
γ
2
)
.
Assim,
ρ (z, w) ≤ inf B
= inf {h (γ)}
= inf {h (γ
1
) + h (γ
2
)} = inf {h (γ
1
)} + inf {h (γ
2
)} ; ([12], Cap.3)
= ρ (z, ε) + ρ (ε, w) .
1.2 Grupos Fuchsianos no Modelo do Semi-plano
Consideremos o grupo linear especial, denotado por SL ( 2, R) , composto pelas matrizes reais
M =
a b
c d
com det (M) = ad − bc = 1, no qual a opera¸c˜ao considerada ´e a multiplica¸c˜ao
usual de matrizes.
O conjunto de transforma¸c˜oes fracionais lineares (ou transforma¸c˜oes de M¨obius)
f : H −→ C
z −→
az+b
cz+d
tal que a, b, c, d ∈ R e ad − bc = 1
, (1.2)
munido da opera¸c˜ao de composi¸c˜ao usual forma um grupo de tal modo que a composi¸c˜ao
de duas transforma¸c˜oes corresponde ao produto de duas matrizes de SL (2, R) e a inversa
corresponde `a matriz inversa. De fato: se f
1
(z) =
a
1
z+b
1
c
1
z+d
1
e f
2
(z) =
a
2
z+b
2
c
2
z+d
2
, ent˜ao f
1
◦ f
2
(z) =
(
a
1
a
2
+b
1
c
2
)
z+a
1
b
2
+b
1
d
2
(c
1
a
2
+d
1
c
2
)z+c
1
b
2
+d
1
d
2
, que corresponde ao produto
a
1
b
1
c
1
d
1
.
a
2
b
2
c
2
d
2
. Tamb´em f
−1
(z) =
dz−b
−cz+a
, que corresponde `a matriz
a b
c d
−1
. Al´em disso, a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao ´e fechada
no conjunto 1.2, pois det (AB) = det (A) det (B) .
Quanto `as propriedades de grupo:
(1) A composi¸c˜ao ´e associativa: sejam f
1
(z) =
a
1
z+b
1
c
1
z+d
1
, f
2
(z) =
a
2
z+b
2
c
2
z+d
2
, f
3
(z) =
a
3
z+b
3
c
3
z+d
3
. Mostrar
que f
1
◦ (f
2
◦ f
3
) = (f
1
◦ f
2
) ◦ f
3
equivale a mostrar que
a
1
b
1
c
1
d
1
a
2
b
2
c
2
d
2
.
a
3
b
3
c
3
d
3
=
a
1
b
1
c
1
d
1
.
a
2
b
2
c
2
d
2
a
3
b
3
c
3
d
3
,
5
o que sabemos ser verdade por propriedade de matrizes.
(2) f (z) = z ´e o elemento neutro da composi¸c˜ao, pois dada f
1
(z) =
a
1
z+b
1
c
1
z+d
1
temos
a
1
b
1
c
1
d
1
.
1 0
0 1
=
a
1
b
1
c
1
d
1
e
1 0
0 1
.
a
1
b
1
c
1
d
1
=
a
1
b
1
c
1
d
1
.
(3) Todo elemento do conjunto de M¨obius ´e simetriz´avel: seja f (z) =
az+b
cz+d
com ad − bc = 1.
A matriz,
a b
c d
possui inversa
d −b
−c a
e portanto, f
−1
(
z
) =
dz−b
−cz+a
.
Cada transforma¸c˜ao f da forma 1.2 pode ser representada por um par de matrizes ±M ∈
SL (2, R) pois se a matriz
a b
c d
com ad − bc = 1 representa a transforma¸c˜ao f (z) =
az+b
cz+d
,
ent˜ao a matriz
−a −b
−c −d
tamb´em representa f, pois f (z) =
−az−b
−cz−d
=
az+b
cz+d
e (−a) (−d) −
(−b) (−c) = 1. Ent˜ao, o grupo de todas as transforma¸c˜oes 1.2, chamado PSL (2, R) , ´e isomorfo
ao grupo quociente SL (2, R) / {±Id
2
} onde Id
2
´e a matriz identidade de ordem 2 e escreveremos
PSL
(
2, R
)
≈ SL
(
2, R
)
/
{
±Id
2
}
.
Para estabelecer o isomorfismo citado acima, vamos trabalhar um pouco mais com o grupo
quociente SL
(
2, R
)
/
{
±Id
2
}
. A rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼ considerada em SL
(
2, R
)
´e tal que
M ∼ N ⇐⇒M = N ou M = −N.
Temos que ∼ ´e, de fato, uma rela¸c˜ao de equivalˆencia:
• ´e reflexiva pois M = M, ∀M ∈ SL (2, R) ;
• ´e sim´etrica pois se M ∼ N, ent˜ao M = N ou M = −N =⇒N = M ou N = −M =⇒N ∼
M.
• ´e transitiva pois se M ∼ N e N ∼ P, ent˜ao
M = N ou M = −N
e
N = P ou N = −P
=⇒
M = P ou M = −P
e
M = −P ou M = P
=⇒
M = P
ou
M = −P
=⇒M ∼ P.
Dessa forma, SL (2, R) / {±Id
2
} =
M : M ∈ SL (2, R)
= {{M, −M} : M ∈ SL (2, R)} , sendo
M = {M, −M} as classes de equivalˆencia que ∼ determina em SL (2, R) . A opera¸c˜ao que torna
SL (2, R) / {±Id
2
} um grupo ´e tal que M.N = MN. (observemos que esta opera¸c˜ao est´a bem
definida pois MN = (−M
) (−
N
)
e
(−
M
)
N = M
(−
N
) = −
MN).
Considerando em PSL(2, R) a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes, mostremos que
φ : PSL
(
2, R
)
−→ SL
(
2, R
)
/
{
±Id
2
}
f (z) =
az+b
cz+d
−→ φ (f) =
a b
c d
, −
a b
c d
=
a b
c d
´e isomorfismo: se f (z) =
a
1
z+b
1
c
1
z+d
1
e g (z) =
a
2
z+b
2
c
2
z+d
2
, ent˜ao
φ (f ◦ g) =
a
1
b
1
c
1
d
1
.
a
2
b
2
c
2
d
2
=
a
1
b
1
c
1
d
1
.
a
2
b
2
c
2
d
2
= φ (f) .φ (g) .
6
Al´em disso, φ ´e injetora, pois se
φ
(
f
) =
φ
(
g
)
=⇒
a
1
b
1
c
1
d
1
=
a
2
b
2
c
2
d
2
=⇒
a
1
b
1
c
1
d
1
, −
a
1
b
1
c
1
d
1
=
a
2
b
2
c
2
d
2
, −
a
2
b
2
c
2
d
2
=⇒
a
1
b
1
c
1
d
1
=
a
2
b
2
c
2
d
2
ou
a
1
b
1
c
1
d
1
=
−a
2
−b
2
−c
2
−d
2
=⇒
f
(
z
) =
a
1
z + b
1
c
1
z + d
1
=
a
2
z + b
2
c
2
z + d
2
= g
(
z
)
ou
f (z) =
a
1
z + b
1
c
1
z + d
1
=
−a
2
z − b
2
−c
2
z − d
2
=
a
2
z + b
2
c
2
z + d
2
= g (z) , ∀z =⇒
f = g.
E, φ ´e sobrejetora, pois dada
a b
c d
∈ SL (2, R) / {±Id
2
} , ent˜ao
f (z) =
az + b
cz + d
=
−az − b
−cz − d
∈ PSL (2, R)
com φ (f) =
a b
c d
. Portanto, φ ´e um isomorfismo.
Notemos que PSL (2, R) cont´em todas as transforma¸c˜oes fracionais lineares da forma f (z) =
az+b
cz+d
com a, b, c, d ∈ R e = ad − cb > 0.
De fato, f (z) =
az+b
cz+d
=
a
√
∆
z+
b
√
∆
c
√
∆
z+
d
√
∆
e det
a
√
b
√
c
√
d
√
= 1. Em particular, PSL (2, R) cont´em
todas as transforma¸c˜oes da forma f (z) = az + b com a, b ∈ R e a > 0, pois f est´a associada
`a matriz
a
√
a
b
√
a
0
1
√
a
∈ SL (2, R) . O mesmo ocorre com f (z) = −
1
z
que est´a associada `a matriz
0 −1
1 0
∈ SL (2, R) .
Seja M =
a b
c d
∈ SL (2, R) matriz associada a f (z) =
az+b
cz+d
∈ PSL (2, R) .
Definimos sua norma por
||f|| = ||M|| =
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
.
Seja N ∈ SL (2, R) associada a g ∈ PSL (2, R) . Com a distˆancia induzida d (f, g) =
||M − N|| , PSL (2, R) ´e um grupo topol´ogico e a topologia ´e a induzida pela norma definida
acima (´e a topologia do R
4
). Um subgrupo G de PSL (2, R) ´e discreto quando a topologia
induzida de PSL (2, R) sobre G ´e discreta. Portanto, um subgrupo discreto de isometrias de H
corresponde a um conjunto discreto de pontos em R
4
. Um subgrupo discreto de PSL (2, R) ´e
chamado de fuchsiano.
Os grupos fuchsianos desempenham papel importante nos cap´ıtulos seguintes, pois ser˜ao
eles que ir˜ao gerar os reticulados de pontos hiperb´olicos que iremos considerar.
7
Teorema 1.1 PSL
(
2, R
)
age em H por homeomorfismos, ou seja, para cada T ∈ PSL
(
2, R
)
,
T : H −→ H
z →
az+b
cz+d
com ad − bc = 1 ´e um homeomorfismo.
Demonstra¸c˜ao:
Mostremos, primeiramente, que as transforma¸c˜oes 1.2 com dom´ınio em H tem imagem em H.
Seja T ∈ PSL (2, R) e w = T (z) =
az+b
cz+d
. Ent˜ao,
w =
(az + b) (cz + d)
|
cz + d
|
2
=
ac |z|
2
+ adz + bcz + bd
|
cz + d
|
2
.
Logo, fazendo z = x + iy, temos
Im (w) =
w − w
2i
=
ac
x
2
+ y
2
+ adx + adyi + bcx − bcyi + bd −
ac
x
2
+ y
2
+ adx − adyi + bcx + bcyi − bd
2i |cz + d|
2
=
2adyi − 2bcyi
2i |cz + d|
2
=
Im
(
z
)
|cz + d|
2
.
Logo,
Im (w) =
Im (z)
|cz + d|
2
. (1.3)
Da´ı, se Im (z) > 0, ent˜ao Im (w) > 0, o que significa T (H) = {T (z) : z ∈ H} ⊂ H.
Mostremos agora que T ´e injetora: seja z
1
, z
2
∈ H, com T
(
z
1
) =
T
(
z
2
)
. Temos,
az
1
+ b
cz
1
+ d
=
az
2
+ b
cz
2
+ d
=⇒
acz
1
z
2
+ adz
1
+ bcz
2
+ bd = acz
1
z
2
+ adz
2
+ bcz
1
+ bd =⇒
(ad − bc) z
1
= (ad − bc) z
2
=⇒
z
1
= z
2
.
Mostremos que T ´e sobrejetora: para todo elemento z ∈ H temos que existe
dz−b
−cz+a
∈ H tal que
T
dz − b
−cz + a
=
a
dz−b
−cz+a
+ b
c
dz−b
−cz+a
+ d
=
adz − ab − bcz + ba
cdz − cb − cdz + ad
= z,
ou seja, H ⊂ T (H) . Como T (H) ⊂ H, temos H = T (H) .
Mostremos que T ´e cont´ınua: se w = T (z) , ent˜ao Im (w) =
Im(z)
|cz+d|
2
e Re (w) =
Re(z)
|cz+d|
2
e,
como cz + d = 0, ∀z ∈ H (pois ou c = 0 ou d = 0), ent˜ao Im (w) e Re (w) s˜ao fun¸c˜oes reais
cont´ınuas. Da´ı, T ´e cont´ınua. De forma an´aloga
T
−1
: H −→ H
z →
dz−b
−cz+a
´e cont´ınua. Portanto, T ´e um homeomorfismo.
Uma transforma¸c˜ao de H em H ´e chamada uma isometria quando preserva a distˆancia
hiperb´olica ρ em H. O conjunto de todas as isometrias de H ser´a denotado por Isom
(
H
)
.
8
Teorema 1.2 Se f ∈ Isom
(
H
)
, ent˜ao f ´e uma bije¸c˜ao e f
−1
∈ Isom
(
H
)
.
Demonstra¸c˜ao:
Quanto `a inje¸c˜ao: se f ∈ Isom (H) e f (z
1
) = f (z
2
) , ent˜ao ρ (f (z
1
) , f (z
2
)) = ρ (z
1
, z
2
) = 0,
o que implica em z
1
= z
2
, ou seja, f ´e injetora.
Quanto `a sobreje¸c˜ao:
(
1
)
f ∈ Isom
(
H
)
leva geod´esica em geod´esica sobrejetivamente.
De fato, seja γ uma geod´esica em H e z
1
, z
2
∈ γ distintos. Sejam z
1
= f (z
1
) e z
2
= f (z
2
) .
Como z
1
= z
2
temos z
1
= z
2
e, portanto, existe uma ´unica geod´esica γ
passando por z
1
e z
2
. Seja
z ∈ γ distinto de z
1
e z
2
. Logo, dentre os trˆes pontos: z, z
1
ou z
2
, um est´a entre os outros dois.
Digamos que seja z (os outros dois casos s˜ao tratados de modo an´alogo). Tomemos z
= f (z) .
Assim, ρ
(
z
1
, z
) +
ρ
(
z, z
2
) =
ρ
(
z
1
, z
2
)
e, como f ´e isometria, ρ
(
z
1
, z
) +
ρ
(
z
, z
2
) =
ρ
(
z
1
, z
2
)
, o
que significa que z
est´a em γ
, ou seja, a restri¸c˜ao de f a γ est´a em γ
.
Chamemos f restrita a γ de f
γ
: γ →γ
e mostremos que f
γ
´e uma sobreje¸c˜ao. De fato,
seja w
∈ γ
e consideremos d = ρ (w
, z
) . Se d = 0, ent˜ao w
= z
e temos a existˆencia de
z ∈ γ tal que f (z) = w
. Se d = 0, ent˜ao temos dois pontos distintos em γ `a distˆancia d de
z. Chamemos esses pontos de w
1
e w
2
e suas imagens w
1
= f
(
w
1
)
e w
2
= f
(
w
2
)
. Assim,
d = ρ
(
w
1
, z
) =
ρ
(
w
2
, z
) =
ρ
(
w
1
, z
) =
ρ
(
w
2
, z
)
, ou seja, w
1
e w
2
s˜ao distintos em γ
(pois f
´e injetora) e est˜ao `a distˆancia d de z
. Como w
tamb´em est´a `a distˆancia d de z
e s˜ao apenas
dois os pontos com essa propriedade em γ
, conclu´ımos que w
= w
1
ou w
= w
2
, ou seja, que
f (w
1
) = w
ou f (w
2
) = w
, como quer´ıamos.
(2) f ∈ Isom (H) transforma geod´esicas perpendiculares em geod´esicas perpendiculares.
De fato, sejam γ ⊥ σ geod´esicas perpendiculares sendo {a} = γ ∩ σ. Tomemos b
1
∈ γ e
c ∈ σ distintos de a e b
2
∈ γ distinto de b
1
de tal modo que ρ (b
1
, a) = ρ (a, b
2
) . Desta forma,
o triˆangulo de v´ertices c, b
1
e b
2
´e is´osceles e σ ´e a geod´esica mediatriz do segmento de extremos
b
1
e b
2
. Tomemos as imagens a
= f
(
a
)
, b
1
= f
(
b
1
)
, b
2
= f
(
b
2
)
, γ
= f
(
γ
)
e σ
= f
(
σ
)
.
Como f ´e isometria e leva geod´esicas em geod´esicas, temos que o triˆangulo de v´ertices c
, b
1
e
b
2
´e is´osceles e σ
´e a geod´esica mediatriz do segmento de extremos b
1
e b
2
. Como γ
´e a ´unica
geod´esica que passa por b
1
e b
2
temos γ
⊥ σ
, como quer´ıamos.
(
3
)
Seja d
∈ H. Mostremos que existe d ∈ H tal que f
(
d
) =
d
. Para tanto, tomemos
γ ⊂ H uma geod´esica e γ
= f (γ) . Se d
∈ γ
temos a existˆencia de d ∈ γ tal que f (d) = d
pois f leva geod´esica em geod´esica. Se d
∈ γ
, seja σ
⊂ H geod´esica perpendicular a γ
passando por d
e chamemos de e
a intersec¸c˜ao de γ
com σ
. Como e
∈ γ
temos a existˆencia
de e ∈ γ tal que f (e) = e
. Tomemos a geod´esica σ perpendicular a γ passando por e. Como f
transforma geod´esicas perpendiculares em geod´esicas perpendiculares temos, necessariamente
que f (σ) = σ
. Logo, existe d ∈ σ tal que f (d) = d
, como quer´ıamos.
Logo, f ´e uma bije¸c˜ao e, portanto, tem inversa f
−1
em H que ´e isometria. De fato: se
z, w ∈ H, temos ρ
f
−1
(z) , f
−1
(w)
= ρ
f
f
−1
(z)
, f
f
−1
(w)
= ρ (z, w) .
Com a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao, Isom
(
H
)
forma um grupo. De fato, a opera¸c˜ao de com-
posi¸c˜ao ´e fechada em Isom (H) pois se f e g s˜ao isometrias, ent˜ao f ◦g ´e uma isometria: sejam
z, w ∈ H, ent˜ao ρ (f (g (z)) , f (g (w))) = ρ (g (z) , g (w)) = ρ (z, w) . Quanto `as propriedades de
grupo, seguem trivialmente, bastando lembrar que o elemento neutro ´e a identidade f (z) = z.
Abaixo segue o principal motivo de nosso interesse por transforma¸c˜oes de M¨obius.
9
Teorema 1.3 PSL
(
2, R
)
⊂ Isom
(
H
)
.
Demonstra¸c˜ao:
Pelo Teorema 1.1 toda transforma¸c˜ao em PSL
(
2, R
)
´e um homeomorfismo de H em H. Temos
que mostrar que, se γ : I −→ H ´e um caminho diferenci´avel por partes em H, ent˜ao para
qualquer T ∈ PSL (2, R) temos h (T (γ)) = h (γ) . Suponha que, γ : I −→ H ´e dado por
z (t) = (x (t) , y (t)) e w (t) = T (z (t)) =
az
(
t
)+
b
cz(t)+d
= u (t) + iv (t) . Temos
dw
dz
=
a (cz + d) − (az + b) c
(cz + d)
2
=
1
(cz + d)
2
(1.4)
Por 1.3 Im (w) = v =
Im
(
z
)
|cz+d|
2
=
y
|cz+d|
2
, e da´ı,
dw
dz
=
1
|cz+d|
2
=
v
y
. Ent˜ao,
h
(
T
(
γ
)) =
1
0
dw
dt
v
(
t
)
dt =
1
0
dw
dz
dz
dt
v
(
t
)
dt =
1
0
v(t)
y(t)
dz
dt
v
(
t
)
dt =
1
0
dz
dt
y
(
t
)
dt = h
(
γ
)
,
como quer´ıamos.
1.3 Geod´esicas no Modelo do Semi-plano
Nosso objetivo nesta se¸c˜ao ´e fazer um estudo acerca do formato euclidiano das geod´esicas no
modelo do Semi-plano. Para tanto, come¸camos com um lema bastante interessante do ponto
de vista geom´etrico: ´e sempre poss´ıvel mapear uma geod´esica em uma semi-reta euclidiana por
meio de uma transforma¸c˜ao de M¨obius.
Lema 1.1 Sejam l ⊂ H um semi-c´ırculo ou semi-reta ortogonal ao eixo real R e α ∈ R um
ponto que seria de intersec¸c˜ao de l com R. Ent˜ao, existe β ∈ R tal que a transforma¸c˜ao
T (z) = −
1
z−α
+ β ∈ PSL (2, R) mapeia l no semi-eixo imagin´ario de H.
Demonstra¸c˜ao:
Primeiramente, T
(
z
) = −
1
z−α
+ β =
−1+βz−αβ
z−α
=
βz+(−1−αβ)
z−α
e det
β −1 − αβ
1 −α
= −βα −
(−
1 − αβ
) =
1. Logo, T ∈ PSL
(
2, R
)
.
(1) Se l ´e uma semi-reta ortogonal ao eixo real R, em α ∈ R, ent˜ao tomemos β = 0 na
express˜ao acima. Assim, uma parametriza¸c˜ao para l ser´a dada por z = z (y) = α + iy, y > 0,
e da´ı,
T (z) = −
1
z − α
= −
1
iy
=
i
y
; (a parte real da imagem ´e nula)
lim
z→α
T (z) = lim
y→0
+
i
y
= +∞
lim
z→+∞
T (z) = lim
y→+∞
i
y
= 0
Logo, T leva l no semi-eixo imagin´ario de H.
(2) Seja, agora, l um semi-c´ırculo ortogonal ao eixo real R, conforme Figura 2.
a-2r a-r a
H
Figura 2: Semi-c´ırculo em H.
10
Consideremos T
(
z
) = −
1
z−α
−
1
2r
. Da´ı,
Re
(
T
(
z
)) =
Re
−
1
(x − α) + iy
−
1
2r
= Re
− (x − α) + iy
(
x − α
)
2
+ y
2
−
1
2r
=
α − x
(x − α)
2
+ y
2
−
1
2r
=
α − x
2r (α − x)
−
1
2r
; (∗
)
= 0,
sendo que a justificativa em (∗) ´e dada por
|z − (α − r)| = r =⇒
(
x + r − α
)
2
+ y
2
= r
2
=⇒
x
2
+ 2rx − 2αx − 2αr + α
2
+ y
2
= 0 =⇒
(x − α)
2
+ y
2
= 2r (α − x) .
Agora, lim
z→α
T (z) = lim
x→α
y→0
yi
2r(α−x)
= ∞e lim
z→α−2r
T (z) = lim
x→α−2r
y→0
yi
2r(α−x)
= 0. Portanto, T leva l no
eixo imagin´ario.
Teorema 1.4 As geod´esicas em H s˜ao os semi-c´ırculos e as semi-retas ortogonais ao eixo real
R, bordo de H.
Demonstra¸c˜ao:
Seja z
1
e z
2
dois pontos em H. Suponha primeiro que z
1
= ia e z
2
= ib (b > a) . Se γ : I −→H
´e um caminho diferenci´avel por partes unindo ia e ib, com γ
(
t
) = (
x
(
t
)
, y
(
t
))
, ent˜ao
h (γ) =
1
0
dx
dt
2
+
dy
dt
2
y (t)
dt ≥
1
0
dy
dt
y (t)
dt ≥
1
0
dy
dt
y (t)
dt
(∗)
=
b
a
dy
y
= ln (b) − ln (a) = ln
b
a
sendo que a justificativa em (∗) ´e dada por
y (t) = y =⇒
dy (t)
dt
.dt = dy e y (0) = a, y (1) = b.
Mas ln
b
a
´e o comprimento hiperb´olico do segmento do eixo imagin´ario unindo ia e ib. De
fato, parametrizando esse segmento, temos y
(
t
) = (
1 − t
)
a + tb, t ∈
[
0, 1
]
, e
x
(
t
) =
0 =⇒h
(
γ
) =
1
0
dy
dt
2
y (t)
dt =
1
0
b − a
(1 − t) a + tb
dt =
b
a
ds
s
= ln
b
a
,
da´ı, o segmento geod´esico unindo ia e ib ´e o segmento euclidiano do eixo imagin´ario que os une.
Para z
1
e z
2
arbitr´arios em H seja l o ´unico semi-c´ırcunferˆencia ou semi-reta ortogonal ao eixo
real R passando por esses pontos. Pelo Lema 1.1, existe uma transforma¸c˜ao T em PSL
(
2, R
)
11
que leva l no eixo imagin´ario. Como, pelo Teorema 1.3, T ´e isometria, ent˜ao h
(
l
) =
h
(
T
(
l
))
e
da´ı, o segmento geod´esico unindo z
1
a z
2
´e o segmento de l que os une.
Observa¸c˜oes:
(1) Da geometria euclidiana, dados dois pontos em H, existe um ´unico semi-c´ırculo ou semi-reta
em H, ortogonal ao bordo R de H, passando pelos pontos dados. Como era de se esperar, esse
fato e o teorema acima est˜ao de acordo com um axioma da Geometria Hiperb´olica: por dois
pontos quaisquer em H passa uma ´unica geod´esica.
(2) A demonstra¸c˜ao do teorema acima indica, como era de se esperar, que a distˆancia entre
dois pontos z e w em H ´e o comprimento hiperb´olico do ´unico segmento geod´esico que os liga.
1.4 Express˜oes para a Distˆancia Hiperb´olica em H
´
E ´util em muitos casos estender o plano complexo C com a introdu¸c˜ao do s´ımbolo ∞para
representar o infinito; C = C ∪ {∞} . A raz˜ao-cruzada de pontos distintos z
1
, z
2
, z
3
, z
4
∈ C ´e
definida pela f´ormula
(z
1
, z
2
; z
3
, z
4
) =
(z
1
− z
2
) (z
3
− z
4
)
(z
2
− z
3
) (z
4
− z
1
)
.
Al´em disso, tamb´em ´e ´util considerar a compactifica¸c˜ao de H, ou seja, H = H ∪ R ∪ {∞} .
Os pontos de R ∪
{
∞
}
s˜ao chamados de pontos ideiais de H, enquanto que os pontos de H
s˜ao chamados de pontos ordin´arios. Tamb´em ´e ´util estender as transforma¸c˜oes de M¨obius
T (z) =
az+b
cz+d
a H definindo:
T (∞) = ∞, no caso c = 0;
T
(
∞
) =
a
c
, no caso c = 0;
T
−
d
c
= ∞, no caso c = 0;
T (z) =
az+b
cz+d
nos demais pontos de R.
Teorema 1.5 Sejam z, w ∈ H (z = w) e seja a geod´esica unindo z e w que tem pontos finais
z
∗
, w
∗
em R ∪ {∞} escolhidos de forma que z fique entre z
∗
e w (Figura 4). Ent˜ao, ρ (z, w) =
ln (w, z
∗
; z, w
∗
) .
z
w
z*
w*=¥
w*
wz
z*
H
H
Figura 4: Raz˜ao Cruzada.
Demonstra¸c˜ao:
Pelo Lema 1.1, existe T ∈ PSL (2, R) que leva a geod´esica que passa por z e w no eixo imagin´ario.
Aplicando as transforma¸c˜oes
T
1
: H −→ H
ξ −→ kξ
e T
2
: H −→ H
ξ −→ −
1
ξ
com k > 0, se necess´ario, podemos assumir que existe T ∈ PSL (2, R) tal que T (z
∗
) = 0,
T (w
∗
) = ∞e T (z) = i, pois como T (ξ) =
y
i
2r
(
α−x
)
com ξ = x
+ iy
, se T (z
∗
) = 0 , T (w
∗
) = ∞
12
e z = x + iy. Ent˜ao, tomando k =
2r(α−x)
y
ter´ıamos
T (z) = T
1
(T (z)) = kT (z) =
2r (α − x)
y
yi
2r (α − x)
= i.
Caso T (z
∗
) = +∞e T (w
∗
) = 0, fazendo w
∗
= x
∗
+ iy
∗
ent˜ao
T
2
(
T
(
w
∗
)) =
lim
T
(
w
∗
)
→0
−
1
T
(
w
∗
)
= lim
y
∗
2r(α−x
∗
)
→0
−2r (α − x
∗
)
iy
∗
i
i
= lim
y
∗
2r(α−x
∗
)
→0
2r (α − x
∗
) i
y
∗
= +∞, pois α ≥ x
∗
.
Agora, T
2
(T (z
∗
)) = lim
T
(
z
∗
)
→+∞
−
1
T (z
∗
)
= 0. Da´ı, se T
1
(ξ) = k.ξ, basta tomarmos k =
y
2r(α−x)
onde
z = x + iy e, portanto,
T (z) = T
1
(T
2
(T (z))) = T
1
T
2
yi
2r (α − x)
= T
1
2r (α − x) i
y
=
y
2r (α − x)
2r (α − x) i
y
= i.
A partir da´ı, como assumimos que z est´a entre z
∗
e w ent˜ao existe um s > 1 tal que T (w) = si
e, pelo resultado na demonstra¸c˜ao do Teorema 1.4, ρ
(
z, w
) =
ρ
T(z), T(w)
ln
si
i
= ln s.
Mas,
(
si, 0; i, ∞
) =
(si−0)(i−∞)
(0−i)(∞−si)
= s.
Mostremos que (z
1
, z
2
; z
3
, z
4
) = (T (z
1
) , T (z
2
) ; T (z
3
) , T (z
4
)) . Seja T ∈ PSL (2, R) , T (z) =
az+b
cz+d
com ad − bc = 1. Observemos primeiro que
T (z) − T (w) =
(az + b) (cw + d) − (aw + b) (cz + d)
c
2
zw + cdz + cdw + d
2
=
aczw + adz + bcw + bd − acwz − adw − bcz − bd
c
2
zw + cdz + cdw + d
2
=
ad (z − w) − bc (z − w)
c
2
zw + cdz + cdw + d
2
=
z − w
c
2
zw + cdz + cdw + d
2
Logo,
(T (z
1
) , T (z
2
) ; T (z
3
) , T (z
4
)) =
(T (z
1
) − T (z
2
)) (T (z
3
) − T (z
4
))
(T (z
2
) − T (z
3
)) (T (z
4
) − T (z
1
))
=
z
1
−z
2
c
2
z
1
z
2
+cd(z
1
+z
2
)+d
2
z
3
−z
4
c
2
z
3
z
4
+cd(z
3
+z
4
)+d
2
z
2
−z
3
c
2
z
2
z
3
+cd(z
2
+z
3
)+d
2
z
4
−z
1
c
2
z
4
z
1
+cd(z
4
+z
1
)+d
2
=
(z
1
− z
2
) (z
3
− z
4
)
(z
2
− z
3
) (z
4
− z
1
)
.
c
2
z
2
z
3
+ cd
(
z
2
+ z
3
) +
d
2
c
2
z
4
z
1
+ cd
(
z
4
+ z
1
) +
d
2
(c
2
z
1
z
2
+ cd (z
1
+ z
2
) + d
2
) (c
2
z
3
z
4
+ cd (z
3
+ z
4
) + d
2
)
=
(z
1
− z
2
) (z
3
− z
4
)
(z
2
− z
3
) (z
4
− z
1
)
= (z
1
, z
2
; z
3
, z
4
) .
Ent˜ao, s = ( si, 0; i, ∞) =
T (w) , T (z
∗
) ; T (z) , T (w
∗
)
= (w, z
∗
; z, w
∗
) . Portanto, ρ (z, w) =
ln
(
w, z
∗
; z, w
∗
)
como quer´ıamos demonstrar.
Abaixo seguem f´ormulas expl´ıcitas para a distˆancia hiperb´olica em H.
13
Teorema 1.6 Para z, w ∈ H:
(i) ρ (z, w) = ln
|
z−w
|
+
|
z−w
|
|z−w|−|z−w|
;
(ii) cosh (ρ (z, w)) = 1 +
|z−w|
2
2 Im(z) Im(w)
;
(iii) senh
1
2
ρ (z, w)
=
|z−w|
2
√
Im
(
z
)
Im
(
w
)
;
(iv) cosh
1
2
ρ (z, w)
=
|
z−w
|
2
√
Im(z) Im(w)
;
(v) tanh
1
2
ρ (z, w)
=
z−w
z−w
.
Demonstra¸c˜ao:
Observemos primeiro que
|z − w|
2
− |z − w|
2
= (Re (z) − Re (w))
2
+ (Im (z) + Im (w))
2
− (Re
(
z
) −
Re
(
w
))
2
− (Im (z) − Im (w))
2
= 4 Im (z) Im (w) (1.5)
Mostremos agora que as 5 afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(i) =⇒(ii) . Temos que:
cosh
(
ρ
(
z, w
)) =
1
2
e
ρ
(
z,w
)
+
1
e
ρ
(
z,w
)
=
1
2
|z − w| + |z − w|
|z − w| − |z − w|
+
|z − w| − |z − w|
|z − w| + |z − w|
=
1
2
(|z − w| + |z − w|)
2
+ (|z − w| − |z − w|)
2
|
z − w
|
2
−
|
z − w
|
2
=
1
2
2 |z − w|
2
+ 2 |z − w|
2
|
z − w
|
2
−
|
z − w
|
2
=
|z − w|
2
+ 4 Im (z) Im (w) + |z − w|
2
4 Im (z) Im (w)
(devido a 1.5)
= 1 +
|
z − w
|
2
2 Im (z) Im (w)
(ii) =⇒(i) . Temos que:
1 +
|
z − w
|
2
2 Im (z) Im (w)
= cosh (ρ (z, w)) =
1
2
e
ρ(z,w)
+
1
e
ρ(z,w)
=
e
2ρ(z,w)
+ 1
2e
ρ(z,w)
=⇒
e
2ρ
(
z,w
)
+ 1 = e
ρ
(
z,w
)
2 +
|z − w|
2
Im (z) Im (w)
=⇒
e
2ρ
(
z,w
)
−
2 +
|z − w|
2
Im (z) Im (w)
e
ρ
(
z,w
)
+ 1 = 0.
14
Fazendo e
ρ
(
z,w
)
= x temos a equa¸c˜ao do segundo grau x
2
−
2 +
|
z−w
|
2
Im(z) Im(w)
x + 1 = 0, cujo
discriminante ´e dado por
∆ =
4
|
z − w
|
2
Im (z) Im (w)
+
|
z − w
|
4
(
Im
(
z
)
Im
(
w
))
2
=
|z − w|
2
. |z − w|
2
− |z − w|
4
+ |z − w|
4
(
Im
(
z
)
Im
(
w
))
2
(devido a 1.5)
=
|z − w|
2
. |z − w|
2
(Im (z) Im (w))
2
.
Assim,
x =
2 +
|
z−w
|
2
Im(z) Im(w)
±
|
z−w
|
.
|
z−w
|
Im(z) Im(w)
2
= 1 +
|z − w|
2
2 Im
(
z
)
Im
(
w
)
±
|z − w| . |z − w|
2 Im
(
z
)
Im
(
w
)
=
|z−w|
2
−|z−w|
2
2
+ |z − w|
2
± |z − w| |z − w|
2 Im
(
z
)
Im
(
w
)
(devido a 1.5)
=
|z − w|
2
− |z − w|
2
+ 2 |z − w|
2
± 2 |z − w| |z − w|
|z − w|
2
− |z − w|
2
(devido a 1.5)
=
(|z − w| ± |z − w|)
2
(|
z − w
|
+
|
z − w
|) (|
z − w
|
−
|
z − w
|)
.
Como ρ ≥ 0 ent˜ao escolheremos o sinal positivo pois, caso contr´ario, ter´ıamos
− |z − w| ≤ |z − w| =⇒
|z − w| − |z − w| ≤ |z − w| + |z − w| =⇒
|
z − w
|
−
|
z − w
|
|z − w| + |z − w|
≤ 1 =⇒
ρ (z, w) = ln
|z − w| − |z − w|
|z − w| + |z − w|
≤ ln 1 = 0.
Conclus˜ao:
x = e
ρ
(
z,w
)
=
|z − w| + |z − w|
|
z − w
|
−
|
z − w
|
=⇒ρ (z, w) = ln
|z − w| + |z − w|
|
z − w
|
−
|
z − w
|
.
15
(
i
)
=⇒
(
iii
)
. Temos que:
sen
1
2
ρ (z, w)
=
1
2
e
1
2
ρ
(
z,w
)
− e
−
1
2
ρ
(
z,w
)
=
1
2
|z − w| + |z − w|
|z − w| − |z − w|
−
|z − w| − |z − w|
|z − w| + |z − w|
=
1
2
|z − w| + |z − w| − |z − w| + |z − w|
|
z − w
|
2
−
|
z − w
|
2
=
|z − w|
4 Im (z) Im (w)
(devido a 1.5)
=
|z − w|
2
Im
(
z
)
Im
(
w
)
.
(iii) =⇒(iv) . Temos que
cosh
2
1
2
ρ (z, w)
= senh
2
1
2
ρ (z, w)
+ 1
=
|z − w|
2
+ 4 Im (z) Im (w)
4 Im
(
z
)
Im
(
w
)
=
|z − w|
2
+ |z − w|
2
− |z − w|
2
4 Im (z) Im (w)
(devido a 1.5)
=
|
z − w
|
2
4 Im (z) Im (w)
=⇒
cosh
1
2
ρ (z, w)
=
|z − w|
2
Im (z) Im (w)
.
(iv) =⇒(v): tanh
1
2
ρ (z, w)
=
senh
1
2
ρ
(
z, w
)
cosh
1
2
ρ
(
z, w
)
=
|
z−w
|
2
√
Im(z) Im(w)
|z−w|
2
√
Im
(
z
)
Im
(
w
)
=
|z − w|
|z − w|
.
(v) =⇒(i) . Temos que:
|z − w|
|z − w|
= tanh
1
2
ρ (z, w)
=
senh
1
2
ρ (z, w)
cosh
1
2
ρ (z, w)
=
e
1
2
ρ(z,w)
− e
−
1
2
ρ(z,w)
e
1
2
ρ(z,w)
+ e
−
1
2
ρ(z,w)
=
e
1
2
ρ
(
z,w
)
−
1
e
1
2
ρ(z,w)
e
1
2
ρ(z,w)
+
1
e
1
2
ρ(z,w)
=
e
ρ
(
z,w
)
− 1
e
ρ(z,w)
+ 1
.
16
Da´ı,
e
ρ(z,w)
. |z − w| − |z − w| = e
ρ(z,w)
. |z − w| + |z − w | =⇒
e
ρ
(
z,w
)
. (|z − w| − |z − w|) = |z − w| + |z − w| =⇒
e
ρ
(
z,w
)
=
|z − w| + |z − w|
|z − w| − |z − w|
=⇒
ρ
(
z, w
) =
ln
|z − w| + |z − w|
|z − w| − |z − w|
.
Agora que provamos a equivalˆencia dos cinco itens mostremos que o item (v) se verifica.
De fato, pelo Teorema 1.3, tanh
1
2
ρ (z, w)
= tanh
1
2
ρ (T (z) , T (w))
, ∀T ∈ PSL (2, R) . Ob-
servemos que
|z−w|
|z−w|
tamb´em ´e invariante para qualquer T ∈ PSL (2, R) p ois, se T (z) =
az+b
cz+d
com
ad − bc = 1,
|T (z) − T (w)|
T (z) − T (w)
=
az+b
cz+d
−
aw+b
cw+d
az+b
cz+d
−
aw+b
cw+d
=
(az+b)(cw+d)−(aw+b)(cz+d)
(cz+d)(cw+d)
(az+b)(cw+d)−(aw+b)(cz+d)
(cz+d)(cw+d)
=
aczw+adz+bcw+bd−aczw−awd−bcz−bd
(
cz+d
)(
cw+d
)
aczw+adz+bcw+bd−aczw−awd−bcz−bd
(
cz+d
)(
cw+d
)
=
ad
(
z−w
)−
bc
(
z−w
)
(
cz+d
)(
cw+d
)
ad
(
z−w
)−
bc
(
z−w
)
(
cz+d
)(
cw+d
)
=
|z − w|
|
z − w
|
|cz + d| . |cw + d|
|
cz + d
|
.
|
cw + d
|
=
|z − w|
|z − w|
,
j´a que, se w = x + iy,
|cw + d| = |c (x − iy) + d|
= |(cx + d) − cyi|
= (cx + d)
2
+ (cy)
2
= |cx + d + cyi|
= |c (x + iy) + d|
= |cw + d| .
Seja l a ´unica geod´esica passando por z e w e seja T
0
a transforma¸c˜ao que leva l no eixo
imagin´ario como no Lema 1.1. Falta apenas verificar ent˜ao que
(
v
)
se verifica quando z = ia,
17
w = ib
(
a < b
)
. N´os vimos que ρ
(
ia, ib
) =
ln
b
a
, logo
tanh
1
2
ρ (ia, ib)
=
e
1
2
ln
b
a
− e
−
1
2
ln
b
a
e
1
2
ln
b
a
+ e
−
1
2
ln
b
a
=
b
a
−
a
b
b
a
+
a
b
=
b − a
b + a
e
|ia − ib|
|ia + ib|
=
(a − b)
2
(
a + b
)
2
=
b − a
b + a
.
1.5 A M´etrica Hiperb´olica no Modelo do Disco
Iremos agora descrever um modelo de geometria hiperb´olica no disco unit´ario:
U = {z ∈ C : |z| < 1}
A aplica¸c˜ao
f
(
z
) =
zi + 1
z + i
(1.6)
´e uma aplica¸c˜ao bijetora de H em U.
De fato: Primeiramente mostremos que f (H) ⊂ U. Seja z = x + iy ∈ H, como
y > 0 =⇒−y < y =⇒−2y < 2y =⇒
1 − 2y + y
2
+ x
2
< 1 + 2y + y
2
+ x
2
=⇒
(1 − y)
2
+ x
2
(1 + y)
2
+ x
2
< 1 =⇒|f (z)| < 1.
Agora, U ⊂ f
(
H
)
, pois dado z = x + iy ∈ U
(|
z
|
< 1
)
, ent˜ao existe w =
iz−1
−z+i
∈ H tal que
f (w) = f
iz − 1
−z + i
=
iz−1
−z+i
i + 1
iz−1
−z+i
+ i
=
−z−i−z+i
−z+i
iz−1−iz−1
−z+i
=
−2z
−2
= z.
Quanto `a existˆencia do w acima temos
w =
i (x + iy) − 1
− (x + iy
) +
i
=
ix − y − 1
−x + i
(
1 − y
)
.
−x − i (1 − y)
−x − i
(
1 − y
)
=
−ix
2
+ x
(
1 − y
) +
xy + iy
(
1 − y
) +
x + i
(
1 − y
)
x
2
+ (1 − y)
2
=
−ix
2
+ x − xy + xy + iy − iy
2
+ x + i − yi
x
2
+ (1 − y)
2
=
−ix
2
+ x − iy
2
+ x + i
x
2
+ (1 − y)
2
=
−i
x
2
+ y
2
+ 2x + i
x
2
+ (1 − y
)
2
=
i
1 − x
2
− y
2
+ 2x
x
2
+ (1 − y)
2
,
18
ou seja, Im
(
z
) =
1−x
2
−y
2
x
2
+(1−y)
> 0 j´a que
|
z
|
< 1 implica em 1 − x
2
− y
2
> 0.
Al´em disso, f ´e injetora pois dados z, w ∈ H, se
f (z) = f (w) =⇒
zi + 1
z + i
=
wi + 1
w + i
=⇒zwi − z + w + i = zwi + z − w + i =⇒z = w.
Ou seja, f ´e uma bije¸c˜ao de H em U.
Dessa forma, ρ
∗
dado por ρ
∗
(
z, w
) =
ρ
f
−1
(
z
)
, f
−1
(
w
)
, onde z, w ∈ U, ´e uma m´etrica
em U .
A rela¸c˜ao a seguir ser´a ´util para o desenvolvimento que faremos adiante.
Mostremos que ∀z ∈ H e f (z) =
zi+1
z+i
temos
2 |f
(z)|
1 − |f (z)|
2
=
1
Im z
. (1.7)
De fato: fazendo z = x + iy temos
2 |f
(z)|
1 − |f (z)|
2
=
2
i
(
z+i
)−(
zi+1
)
(
z+i
)
2
1 −
zi+1
z+i
2
=
2. |−2|
|z + i|
2
− |zi + 1|
2
=
4
x
2
+ (y + 1)
2
− (1 − y)
2
− x
2
=
4
4y
=
1
Im z
.
Consideremos uma geod´esica parametrizada em H por γ (t) = z (t) = (x (t) , y (t)) , t ∈ R.
Logo, Im z (t) = y (t) e
z
(t) = (x
(t) , y
(t)) =⇒|z
(t)| =
(x
(t))
2
+ (y
(t))
2
=⇒|γ
(t)| =
(x
(t))
2
+ (y
(t))
2
(1.8)
Seja δ (t) = f (γ (t)) = f (z (t)) , onde f (z) =
zi+1
z+i
(Figura 5).
g
t
U
N = f E L
fÝzÞ = Y
fÝz
0
Þ
fÝw
0
Þ
w
0
z
0
z
f
H
R
Figura 5: Correla¸c˜ao entre modelos.
Logo,
δ
(t) = f
(γ (t)) γ
(t) =⇒δ
(t) = f
(z (t)) γ
(t) . (1.9)
Ou seja, δ
(t) =
dδ
dt
=
df
(
z
)
dz
dz
dt
, o que significa
|δ
(t)| =
|df (z)|
|dz|
|dz|
|dt|
. (1.10)
19
Assim, supondo γ
(
0
) =
z
0
e γ
(
1
) =
w
0
temos
ρ
∗
(f (z
0
) , f (w
0
)) = ρ (z
0
, w
0
)
=
1
0
(x
(t))
2
+ (y
(t))
2
y
(
t
)
dt
=
1
0
|γ
(t)|
Im z (t)
dt; (devido `a 1.8)
=
1
0
|γ
(t)|
2 |f
(z (t))|
1 − |f (z (t))|
2
dt; (devido `a 1.7)
=
1
0
|γ
(t)| .2 |f
(γ (t))|
1 −
|
f
(
z
(
t
))|
2
dt
=
1
0
2
|
δ
(
t
)|
1 − |f (z (t))|
2
dt; (devido `a 1.9)
=
1
0
2
|df(z)|
|dz|
|dz|
|dt|
1 − |f (z)|
2
|dt| ; (devido `a 1.10)
=
1
0
2 |df (z)|
1 −
|
f
(
z
)|
2
.
Fazendo f (z) = ξ temos: ρ
∗
(f (z
0
) , f (w
0
)) =
1
0
2|dξ|
1−|ξ|
2
, ou seja,
2|dξ|
1−|ξ|
2
´e o elemento de
comprimento em U (ds em U) . Portanto, ds =
2
|
dξ
|
1 − |ξ|
2
(m´etrica Riemanniana).
Com isso, f ´e uma isometria de
(
H, ρ
)
em
(
U, ρ
∗
)
.
O c´ırculo Σ = {z ∈ C : |z| = 1} ´e chamado de c´ırculo principal de U, e ´e a fronteira euclidiana
de U. Os pontos de Σ s˜ao chamados de pontos ideais de U (os pontos de U s˜ao chamados de
pontos ordin´arios).
1.6 Geod´esicas no Modelo do Disco
Nesta se¸c˜ao faremos uso da isometria 1.6 entre modelos para deduzir o formato euclidiano das
geod´esicas em U.
Teorema 1.7 No modelo hiperb´olico U as geod´esicas s˜ao segmentos de c´ırculos ortogonais ao
c´ırculo principal Σ ou seus diˆametros.
Demonstra¸c˜ao:
Mostraremos que as geod´esicas do modelo H, parametrizadas por ϕ (y) = a + iy, com y > 0,
ou γ (θ) = r cos (θ) − a + ir sen (θ) , com θ ∈ (0, π) , s˜ao levadas pela isometria f (z) =
zi+1
z+i
em c´ırculos ortogonais ao c´ırculo principal Σ ou seus diˆametros (lembremos que isometria leva
geod´esica em geod´esica).
(
1
)
Consideremos, primeiramente a geod´esica em H parametrizada por ϕ
(
y
) = (
a, y
) =
a+iy,
com y > 0. Observemos que
f (ϕ (y)) =
(a + iy) i + 1
a + iy + i
=
2a + i
y
2
+ a
2
− 1
a
2
+ (y + 1)
2
.
20
(
1-i
)
Se a = 0, ent˜ao Re
(
f
(
ϕ
(
y
))) =
0 e
Im (f (ϕ (y))) =
y
2
− 1
(y + 1)
2
=⇒−1 < Im (f (ϕ (y))) < 1,
pois
y > 0 =⇒
−2y < 2y
2
< 2y
2
+ 2y + 2 =⇒
−y
2
− 2y − 1 < y
2
− 1 < y
2
+ 2y + 1 =⇒
− (y + 1)
2
< y
2
− 1 < (y + 1)
2
=⇒
−1 <
y
2
− 1
(y + 1)
2
< 1.
Logo, f (ϕ (y)) ´e o diˆametro de Σ que est´a sob o eixo imagin´ario.
(1-ii) Mostremos que se a = 0, f (ϕ (y)) ´e a parte do c´ırculo de centro
1
a
, 1
e raio
1
a
2
que est´a
em U. Para isso basta observar que
d
f (ϕ (y)) ,
1
a
+ i
2
=
2a
a
2
+ (y + 1
)
2
−
1
a
2
+
y
2
+ a
2
− 1
a
2
+ (y + 1
)
2
− 1
2
=
a
4
+ 2a
2
(y + 1)
2
+ (y + 1)
4
a
2
a
2
+ (y + 1)
2
2
=
a
2
+ (y + 1)
2
2
a
2
a
2
+ (y + 1)
2
2
=
1
a
2
.
Observemos tamb´em que lim
y→+∞
f
(
ϕ
(
y
)) =
i e lim
y→0
+
f
(
ϕ
(
y
)) =
2a
a
2
+1
+
a
2
−1
a
2
+1
i, sendo que
2a
a
2
+ 1
+
a
2
− 1
a
2
+ 1
i
2
=
4a
2
+ a
4
− 2a
2
+ 1
(a
2
+ 1)
2
=
a
4
+ 2a
2
+ 1
(a
2
+ 1)
2
=
a
2
+ 1
2
(a
2
+ 1)
2
= 1,
ou seja, i e
2a
a
2
+1
+ i
a
2
−1
a
2
+1
s˜ao os pontos de ”intersec¸c˜ao”entre f (ϕ (y)) e Σ.Falta mostrar apenas
que f (ϕ (y)) ´e perpendicular `a Σ. Para isso, mostraremos que os vetores com origem em
1
a
+ i
e extremidade nas intersec¸c˜oes dos dois c´ırculos s˜ao ortogonais ao raio de Σ. De fato: o vetor
r
1
=
1
a
, 1
− (0, 1) =
1
a
, 0
´e ortogonal ao vetor
v
1
= (0, 1) e, analogamente, o vetor
r
2
=
1
a
, 1
−
2a
a
2
+1
,
a
2
−1
a
2
+1
=
1−a
2
a(a
2
+1)
,
2
a
2
+1
´e ortogonal ao vetor
v
2
=
2a
a
2
+1
,
a
2
−1
a
2
+1
. Quanto a este
´ultimo:
1 − a
2
a (a
2
+ 1)
,
2
a
2
+ 1
,
2a
a
2
+ 1
,
a
2
− 1
a
2
+ 1
R
2
=
2a − 2a
3
+ 2a
3
− 2a
a
(
a
2
+ 1
)
2
= 0.
Logo, f
(
ϕ
(
y
))
´e um c´ırculo ortogonal `a Σ.
21
(
2
)
Consideremos a geod´esica γ
(
θ
) = (
r cos
(
θ
) −
a, r sen
(
θ
)) =
r cos
(
θ
) −
a + ir sen
(
θ
)
, com
θ ∈ (0, π) . Mostremos que f (γ (θ)) , onde f (z) =
zi+1
z+i
, ´e parte de um c´ırculo ortogonal ao
c´ırculo principal Σ em U, ou ´e um diˆametro de Σ. Vejamos, primeiramente, que
f (γ (θ)) =
(r cos (θ) − a + ir sen (θ)) i + 1
r cos (θ) − a + ir sen (θ) + i
=
2
(
r cos
(
θ
) −
a
) +
i
r
2
+ a
2
− 2ar cos
(
θ
) −
1
(
r cos
(
θ
) −
a
)
2
+ (r sen
(
θ
) +
1
)
2
=
2 (r cos (θ) − a)
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
,
r
2
+ a
2
− 2ar cos (θ) − 1
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
.
(2-i) Suponhamos que r
2
− a
2
− 1 = 0, ou seja, r
2
− 1 = a
2
, da´ı
f (γ (θ)) =
2 (r cos (θ) − a)
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
,
r
2
+ a
2
− 2ar cos (θ) − 1
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
=
2 (r cos (θ) − a)
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
, −a
2 (r cos (θ) − a)
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
Logo, nesse caso, f (γ (θ)) ´e da forma f (γ (θ)) = (α (θ) , −aα (θ)) , ou seja, ´e um diˆametro de
Σ. Observemos que
lim
θ→0
+
f
(
γ
(
θ
)) =
2 (r − a)
(r − a)
2
+ 1
, −a
2 (r − a)
(r − a)
2
+ 1
e
lim
θ→π
−
f (γ (θ)) =
−
2
(
r + a
)
(r + a)
2
+ 1
, a
2
(
r + a
)
(r + a)
2
+ 1
,
ou seja,
lim
θ→0
+
f (γ (θ))
=
lim
θ→π
−
f (γ (θ))
= 1.
(2-ii) Suponhamos que r
2
− a
2
− 1 = 0 e mostremos que f (γ (θ)) ´e a parte do c´ırculo de centro
2a
r
2
−a
2
−1
,
r
2
−a
2
+1
r
2
−a
2
−1
e raio
2r
|r
2
−a
2
−1|
que est´a em U. Para tanto, basta observar que
22
d
f (γ (θ)) ,
2a
r
2
− a
2
− 1
,
r
2
− a
2
+ 1
r
2
− a
2
− 1
2
=
=
2 (r cos (θ) − a)
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
−
2a
r
2
− a
2
− 1
2
+
r
2
+ a
2
− 2ar cos (θ) − 1
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
−
r
2
− a
2
+ 1
r
2
− a
2
− 1
2
=
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
2
r
2
− a
2
− 1
2
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
2
(r
2
− a
2
− 1)
2
− 2
r
2
− a
2
− 1
2
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
2
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
2
(r
2
− a
2
− 1)
2
+
4a
2
+
r
2
−
a
2
+
1
2
(
r
cos (
θ
) −
a
)
2
+ (
r
sen
(
θ
) +
1
)
2
2
(r cos (θ) − a)
2
+ (r sen (θ) + 1)
2
2
(r
2
− a
2
− 1)
2
=
r
2
− a
2
− 1
2
− 2
r
2
− a
2
− 1
2
+ 4a
2
+
r
2
− a
2
+ 1
2
(r
2
− a
2
− 1)
2
=
4a
2
+
r
2
− a
2
+ 1
2
−
r
2
− a
2
− 1
2
(r
2
− a
2
− 1)
2
=
4r
2
(r
2
− a
2
− 1)
2
.
Por fim, lim
θ→0
+
f (γ (θ)) =
2
(
r−a
)
(
r−a
)
2
+1
+ i
(
r−a
)
2
−1
(
r−a
)
2
+1
e lim
θ→π
−
f (γ (θ)) =
−2
(
r+a
)
(
r+a
)
2
+1
+ i
(
r+a
)
2
−1
(
r+a
)
2
+1
s˜ao tais que
lim
θ→0
+
f (γ (θ))
2
=
4 (r − a)
2
+
(r − a)
2
− 1
2
(r − a)
2
+ 1
2
= 1;
lim
θ→π
−
f (γ (θ))
2
=
4
(
r + a
)
2
+ (r + a
)
4
− 2
(
r + a
)
2
+ 1
(r + a)
2
+ 1
2
= 1;
ou seja, tendem a Σ. Falta mostrar que o arco de c´ırculo f (γ (θ)) ´e ortogonal `a Σ, mas, para
isso basta observar que
2
(
r − a
)
(r − a)
2
+ 1
,
(
r − a
)
2
− 1
(r − a)
2
+ 1
,
2
(
r − a
)
(r − a)
2
+ 1
−
2a
r
2
− a
2
− 1
,
(
r − a
)
2
− 1
(r − a)
2
+ 1
−
r
2
− a
2
+ 1
r
2
− a
2
− 1
R
2
= 0
e
−2
(
r + a
)
(
r + a
)
2
+ 1
,
(
r + a
)
2
− 1
(
r + a
)
2
+ 1
,
−2
(
r + a
)
(
r + a
)
2
+ 1
−
2a
r
2
− a
2
− 1
,
(
r + a
)
2
− 1
(
r + a
)
2
+ 1
−
r
2
− a
2
+ 1
r
2
− a
2
− 1
R
2
= 0,
ou seja, o vetor com origem em
2a
r
2
−a
2
−1
+
r
2
−a
2
+1
r
2
−a
2
−1
i e extremo em lim
θ→0
+
f (γ (θ)) ´e ortogonal ao
vetor com origem em 0 e extremo em lim
θ→0
+
f (γ (θ)) . Analogamente o vetor com origem em
2a
r
2
−a
2
−1
+
r
2
−a
2
+1
r
2
−a
2
−1
i e extremo em lim
θ→π
−
f (γ (θ)) ´e ortogonal ao vetor com origem em 0 e extremo
em lim
θ→π
−
f (γ (θ)) . Portanto, f (γ (θ)) ´e parte de um c´ırculo ortogonal `a Σ em U.
23
1.7 Express˜oes para a Distˆancia Hiperb´olica em U.
Vejamos as f´ormulas para distˆancia hiperb´olica em U an´alogas `as do Teorema 1.6.
Teorema 1.8 Para z, w ∈ U
(i) ρ
∗
(z, w) = ln
|
1−zw
|
+
|
z−w
|
|1−zw|−|z−w|
;
(ii) cosh
2
1
2
ρ
∗
(z, w)
=
|1−zw|
2
(
1−|z|
2
)(
1−|w|
2
)
;
(iii) senh
2
1
2
ρ
∗
(z, w)
=
|z−w|
2
(
1−|z|
2
)(
1−|w|
2
)
;
(iv) tanh
1
2
ρ
∗
(z, w)
=
z−w
1−zw
.
Demonstra¸c˜ao:
Consideremos a isometria f (z) =
zi+1
z+i
com z ∈ H. Ent˜ao, f
−1
(w) =
−iw+1
w−i
, w ∈ U. Observemos
que
f
−1
(
z
) −
f
−1
(
w
)
=
1 − iz
z − i
−
1 − iw
w − i
=
(1 − iz) (w − i) − (1 − iw) (z − i)
(z − i) (w − i)
=
w − i − izw − z − z + i + iwz + w
(z − i) (w − i)
=
2
(
w − z
)
(z − i) (w − i)
=
2 |w − z|
|z − i| . |w − i|
e
f
−1
(z) − f
−1
(w)
=
1 − iz
z − i
−
1 + iw
w + i
=
(1 − iz) (w + i) − (1 + iw) (z − i)
(z − i) (w + i)
=
w + i − izw + z − z + i − iwz − w
(z − i) (w + i)
=
2i
(
1 − wz
)
(z − i) (w + i)
=
2 |1 − wz|
|z − i| . |w − i|
.
24
Al´em disso, se z = x + iy, ent˜ao
Im
f
−1
(z)
= Im
−zi + 1
z − i
= Im
−i (x + iy) + 1
(x + iy) − i
= Im
(−
ix + y + 1
) (
x − i
(
y − 1
))
x
2
+ (y − 1
)
2
= Im
−ix
2
− x
(
y − 1
) +
yx − iy
(
y − 1
) +
x − i
(
y − 1
)
x
2
+ (y − 1
)
2
=
−
x
2
+ y
2
+ 1
x
2
+ (y − 1
)
2
=
1 − |z|
2
|
z − i
|
2
.
Logo, mostremos que, se vale
(
i
)
, ent˜ao
ρ
f
−1
(z) , f
−1
(w)
= ρ
∗
(z, w)
= ln
|1 − zw| + |z − w|
|
1 − zw
|
−
|
z − w
|
= ln
|z−i|.|w−i|.
|
f
−1
(z)−f
−1
(w)
|
2
+
|z−i|.|w−i|.
|
f
−1
(z)−f
−1
(w)
|
2
|z−i|.|w−i|.
|
f
−1
(z)−f
−1
(w)
|
2
−
|z−i|.|w−i|.
|
f
−1
(z)−f
−1
(w)
|
2
= ln
f
−1
(z) − f
−1
(w)
+
f
−1
(z) − f
−1
(w)
f
−1
(z) − f
−1
(w)
− |f
−1
(z) − f
−1
(w)|
,
ou seja, vale o item (i) do Teorema 1.6 para f
−1
(z) e f
−1
(w) . Logo, por esse mesmo teorema,
cosh
2
1
2
ρ
∗
(z, w)
= cosh
2
1
2
ρ
f
−1
(z) , f
−1
(w)
=
f
−1
(
z
) −
f
−1
(
w
)
2
4 Im
(
f
−1
(
z
))
Im
(
f
−1
(
w
))
=
2
|
1−wz
|
|z−i|.|w−i|
2
4
(
1−|z|
2
)
|z−i|
2
(
1−|w|
2
)
|w−i|
2
=
|1 − wz|
2
1 − |z|
2
1 − |w|
2
,
25
ou seja,
(
i
)
=⇒
(
ii
)
. Agora, se cosh
2
1
2
ρ
∗
(
z, w
)
=
|1−wz|
2
(
1−|z|
2
)
.
(
1−|w|
2
)
, ent˜ao
cosh
2
1
2
ρ
f
−1
(z) , f
−1
(w)
= cosh
2
1
2
ρ
∗
(z, w)
=
|1 − wz|
2
1 − |z|
2
1 − |w|
2
=
f
−1
(z) − f
−1
(w)
2
. |z − i|
2
. |w − i|
2
4 Im (f
−1
(z)) . |z − i|
2
Im (f
−1
(w)) . |w − i|
2
=
f
−1
(z) − f
−1
(w)
2
4 Im (f
−1
(z)) Im (f
−1
(w))
,
logo, vale o item (iv) do Teorema 1.6 para f
−1
(z) e f
−1
(w), e da´ı, vale o item (iii) do mesmo
teorema, portanto,
senh
2
1
2
ρ
∗
(
z, w
)
= senh
2
1
2
ρ
f
−1
(
z
)
, f
−1
(
w
)
=
f
−1
(z) − f
−1
(w)
2
4 Im
(
f
−1
(
z
))
Im
(
f
−1
(
w
))
=
2
|
z−w
|
|
z−i
|
.
|
w−i
|
2
4.
(
1−|z|
2
)
|z−i|
2
.
(
1−|w|
2
)
|w−i|
2
=
|z − w|
2
1 − |z|
2
.
1 − |w|
2
,
ou seja, (ii) =⇒(iii) . Al´em disso, se senh
2
1
2
ρ
∗
(z, w)
=
|z−w|
2
(
1−
|
z
|
2
)(
1−
|
w
|
2
)
, ent˜ao
senh
2
1
2
ρ
f
−1
(
z
)
, f
−1
(
w
)
= senh
2
1
2
ρ
∗
(
z, w
)
=
|z − w|
2
1 − |z|
2
1 − |w|
2
=
f
−1
(z) − f
−1
(w)
2
. |z − i|
2
. |w − i|
2
4 Im (f
−1
(z)) . |z − i|
2
Im (f
−1
(w)) . |w − i|
2
=
f
−1
(z) − f
−1
(w)
2
4 Im (f
−1
(z)) Im (f
−1
(w))
,
26
ou seja, vale o item
(
iii
)
do Teorema 1.6 para f
−1
(
z
)
e f
−1
(
w
)
, e da´ı, vale o item
(
v
)
do mesmo
teorema, portanto,
tanh
1
2
ρ
∗
(z, w)
= tanh
1
2
ρ
f
−1
(z) , f
−1
(w)
=
f
−1
(z) − f
−1
(w)
f
−1
(z) − f
−1
(w)
=
2|w−z|
|
z−i
|
.
|
w−i
|
2
|
1−wz
|
|z−i|.|w−i|
=
|w − z|
|1 − wz|
,
ou seja, (iii) =⇒(iv) . Mais ainda, se tanh
1
2
ρ
∗
(z, w)
=
|w−z|
|
1−wz
|
, ent˜ao
tanh
1
2
ρ
f
−1
(z) , f
−1
(w)
= tanh
1
2
ρ
∗
(z, w)
=
|w − z|
|1 − wz|
=
2|w−z|
|
z−i
|
.
|
w−i
|
2
|
1−wz
|
|z−i|.|w−i|
=
f
−1
(
z
) −
f
−1
(
w
)
f
−1
(z) − f
−1
(w)
,
ou seja, o item (v) do Teorema 1.6 ´e v´alido para f
−1
(z) e f
−1
(w) , logo, vale o item (i) do
mesmo teorema, portanto,
ρ
∗
(z, w) = ρ
f
−1
(z) , f
−1
(w)
= ln
|z−i|.|w−i|
2
f
−1
(z) − f
−1
(w)
+
f
−1
(z) − f
−1
(w)
|z−i|.|w−i|
2
f
−1
(z) − f
−1
(w)
− |f
−1
(z) − f
−1
(w)|
= ln
|
1−zw
|
+
|
z−w
|
|1−zw|−|z−w|
,
ou seja, (iv) =⇒(i) . Portanto, as quatro afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes.
Mostremos agora que (i) ´e verdadeira: sabendo que o item (i) do Teorema 1.6 ´e verdadeiro
para f
−1
(z) e f
−1
(w) ent˜ao
ρ
∗
(z, w) = ρ
f
−1
(z) , f
−1
(w)
= ln
|
z−i
|
.
|
w−i
|
2
f
−1
(z) − f
−1
(w)
+
f
−1
(z) − f
−1
(w)
|
z−i
|
.
|
w−i
|
2
f
−1
(z) − f
−1
(w)
− |f
−1
(z) − f
−1
(w)|
= ln
|
1 − zw
|
+
|
z − w
|
|1 − zw| − |z − w|
,
ou seja,
(
i
)
´e v´alido.
1.8 Grupos Fuchsianos no Modelo do Disco
O estudo de grupos fuchsianos no modelo do disco ´e an´alogo ao do modelo do semi-plano.
Consideremos grupo linear especial sobre C, denotado por SL
(
2, C
)
, composto pelas matrizes
27
reais M =
a b
c d
com det (M) = ad−bc = 1, no qual a opera¸c˜ao considerada ´e a multiplica¸c˜ao
usual de matrizes. Para que uma transforma¸c˜ao de M¨obius f : U −→ C
z −→
az+b
cz+d
tenha imagem
em U, ´e necess´ario que b = c e d = a e, assim, teremos
f : U −→ U
z −→
az+c
cz+a
(1.11)
com aa − cc = 1.
O conjunto
A =
a c
c a
∈ SL (2, C)
⊂ SL (2, C)
´e, na verdade, um subgrupo de SL
(
2, C
)
quando consideramos a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao her-
dada de SL (2, C) .
Como no caso do semi-plano, o conjunto de transforma¸c˜oes de M¨obius acima munido da
opera¸c˜ao de composi¸c˜ao usual forma um grupo de tal modo que a composi¸c˜ao de duas trans-
forma¸c˜oes corresponde ao produto de duas matrizes de A e a inversa corresponde `a matriz
inversa. Al´em disso, cada transforma¸c˜ao f da forma acima pode ser representada por um par
de matrizes ±M ∈ A. Ent˜ao, o grupo de todas as transforma¸c˜oes 1.11, chamado PSL (2, C) , ´e
isomorfo ao grupo quociente A/ {±Id
2
} onde Id
2
´e a matriz identidade de ordem 2 e escrevere-
mos PSL (2, C) ≈ A/ {±Id
2
} .
Seja M =
a c
c a
∈ A matriz associada a f (z) =
az+c
cz+a
∈ PSL (2, C) .Definimos
||
f
||
=
||
M
||
=
|
a
|
2
+
|
c
|
2
+
|
c
|
2
+
|
a
|
2
=
2
|
a
|
2
+ 2
|
c
|
2
.
Seja N ∈ A associada a g ∈ PSL (2, C) . Com a distˆancia induzida d (f, g) = ||M − N|| ,
PSL (2, C) ´e um grupo topol´ogico e a topologia ´e a induzida pela norma definida acima (´e,
tamb´em, a topologia do R
4
). Um subgrupo G de PSL (2, C) ´e discreto quando a topologia
induzida de PSL
(
2, C
)
sobre G ´e discreta. Um subgrupo discreto de PSL
(
2, C
)
´e chamado de
fuchsiano.
Uma transforma¸c˜ao de U em U ´e chamada uma isometria quando preserva a distˆancia
hiperb´olica ρ
∗
em U. O conjunto de todas as isometrias de U ser´a denotado por Isom (U) .
`
A semelhan¸ca do semi-plano temos os trˆes seguintes teoremas, cujas demonstra¸c˜oes s˜ao
an´alogas:
Teorema 1.9 PSL
(
2, C
)
age em U por homeomorfismos.
Teorema 1.10 Se f ∈ Isom (U) , ent˜ao f ´e uma bije¸c˜ao e f
−1
∈ Isom (U) .
Teorema 1.11 PSL (2, C) ⊂ Isom (U) .
´
E importante tamb´em ressaltar que a isometria 1.6 entre os modelos faz correla¸c˜ao entre
elementos de PSL
(
2, R
)
e PSL
(
2, C
)
.
Cap´ıtulo 2
Isometrias Hiperb´olicas em H
2.1 Alguns Teoremas Importantes
Vimos no Teorema 1.3 que as transforma¸c˜oes de PSL (2, R) s˜ao isometrias em H. Seja PS
∗
L (2, R) =
S
∗
L (2, R) / {±1
2
} onde S
∗
L (2, R) ´e um grupo de matrizes reais g =
a b
c d
com det g = ±1.
Assim, PS
∗
L (2, R) cont´em o grupo PSL (2, R) como subgrupo de ordem 2.
O pr´oximo teorema identifica todas as isometrias no modelo hiperb´olico H.
Teorema 2.1 O grupo Isom (H) ´e gerado pelas transforma¸c˜oes lineares fracionais de PSL (2, R)
juntamente com a transforma¸c˜ao T : H →H tal que T
(
z
) = −
z, e ´e isomorfo a PS
∗
L
(
2, R
)
.
Demonstra¸c˜ao:
Seja φ uma isometria de H. Pela demonstra¸c˜ao do Teorema 1.2 podemos afirmar que φ leva
geod´esica em geod´esica. Chamemos I a parte positiva do eixo imagin´ario. Ent˜ao φ (I) ´e uma
geod´esica. Pelo Lema 1.1 existe uma isometria g ∈ PSL (2, R) que leva φ (I) em I. De modo
an´alogo `a demonstra¸c˜ao do Teorema 1.5, podemos assumir que gφ fixa i e leva as semi-retas
(i, ∞) e (0, i) nelas mesmas, e da´ı, gφ fixa cada ponto de I.
Agora, seja z = x + iy ∈ H e gφ (z) = u + iv. Para todo t positivo,
ρ (z, it) = ρ (gφ (z) , gφ (it)) = ρ (u + iv, it)
e pelo Teorema 1.6 (iii) ,
senh
1
2
ρ
(
z, it
)
= senh
1
2
ρ
(
u + iv, it
)
=⇒
|z − it|
2
√
yt
=
|u + iv − it|
2
√
vt
=⇒
|z − it|
√
v = |u + iv − it|
√
y =⇒
x
2
+ (y − t)
2
v =
u
2
+ (v − t)
2
y.
Como isso vale para todo t positivo, dividindo ambos os lados da equa¸c˜ao acima por t
2
e
fazendo t →∞,
x
2
t
2
+
y
t
− 1
2
v =
u
2
t
2
+
v
t
− 1
2
y
t→∞
=⇒v = y.
28
29
E, da´ı, x
2
= u
2
. Ent˜ao,
gφ (z) = u + iv =⇒
gφ (z) = x + iy = z
ou
gφ (z) = −x + iy = − (x − iy) = −z
(2.1)
Como as isometrias s˜ao cont´ınuas (pois se g : C −→C ´e uma isometria, ent˜ao seja a ∈ C,
logo, ∀ε > 0, ∃δ = ε tal que x − a < δ =⇒ g (x) − g (a) = x − a < ε) s´o uma
das Equa¸c˜oes 2.1 pode ser verdadeira para todo z ∈ H. Se gφ (z) = z, ent˜ao φ (z) ´e uma
transforma¸c˜ao linear fracional da forma 1.2 pois se g (z) =
az+b
cz+d
com ad − bc = 1 ent˜ao
φ (z) =
dz−b
−cz+a
e gφ (z) = z. Se gφ (z) = −z e g (z) =
dz+b
−cz−a
com −ad + bc = 1, ent˜ao
φ (z) =
az + b
cz + d
com ad − bc = −1. (2.2)
Ent˜ao, identificamos todas as isometrias de H. Agora, o conjunto das Transforma¸c˜oes 1.2 e
2.2 forma um grupo que ´e isomorfo ao grupo PS
∗
L (2, R) .
J´a vimos acima que a composi¸c˜ao de transforma¸c˜oes do tipo 1.2 s˜ao associativas, possuem
elemento neutro e s˜ao simetriz´aveis. Al´em disso, de forma an´aloga, se φ (z) =
az+b
cz+d
com
ad − bc = −1 ent˜ao φ
−1
(z) =
dz−b
−cz+a
, ou seja, todo elemento dessa forma ´e simetriz´avel e se
tomarmos h (z) = z ent˜ao φ (h (z)) = h (φ (z)) = φ (z) , ou seja, PS
∗
L (2, R) tem elemento
neutro. De forma an´aloga ao que foi visto para as Transforma¸c˜oes 1.2, as transforma¸c˜oes da
forma 2.2 s˜ao associativas. Falta mostrar apenas que compostas envolvendo transforma¸c˜oes da
forma 1.2 e 2.2 s˜ao associativas. Consideremos f
1
(z) =
a
1
z+b
1
c
1
z+d
1
, f
2
(z) =
a
2
z+b
2
c
2
z+d
2
e f
3
(z) =
a
3
z+b
3
c
3
z+d
3
.
Logo,
((f
1
◦ f
2
) ◦ f
3
) (z) = (f
1
◦ f
2
) (f
3
(z)) =
a
1
a
2
f
3
(
z
)+
b
2
c
2
f
3
(
z
)+
d
2
+ b
1
c
1
a
2
f
3
(
z
)+
b
2
c
2
f
3
(
z
)+
d
2
+ d
1
= (f
1
◦ (f
2
◦ f
3
)) (z) .
O mesmo se verifica se f
1
e f
2
forem da forma 2.2 e f
3
da forma 1.2. Portanto, o conjunto das
transforma¸c˜oes 1.2 e 2.2 forma um grupo que ´e isomorfo ao grupo PS
∗
L (2, R) .
O sinal do determinante da matriz correspondente
a b
c d
determina a orienta¸c˜ao para uma
isometria; portanto, as transforma¸c˜oes em PSL (2, R) preservam a orienta¸c˜ao enquanto as trans-
forma¸c˜oes da forma 2.2, em particular, z →−z, revertem orienta¸c˜ao.
Vamos considerar agora o espa¸co tangente a H no ponto z, T
z
H ≈ C. A m´etrica Riemanniana
1.1 em H ´e induzida pelo produto interno em T
z
H: para ζ
1
= ξ
1
+ iη
1
e ζ
2
= ξ
2
+ iη
2
em T
z
H
ζ
1
, ζ
2
=
1
(Im z)
2
(
ξ
1
ξ
2
+ η
1
η
2
)
. (2.3)
Denotaremos a norma em T
z
H correspondente a este produto interno por .. Como as
isometrias em H (que s˜ao as transforma¸c˜oes da forma 1.2 ou 2.2) s˜ao aplica¸c˜oes diferenci´aveis,
elas agem no fibrado tangente TH por diferenciais preservando norma, como veremos no pr´oximo
teorema.
Teorema 2.2 Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel de H em H ´e uma isometria se, e somente se, sua
diferencial preserva norma no fibrado tangente de H.
30
Demonstra¸c˜ao:
Observemos que
f : TH −→ TH
z −→ −z
preserva norma em TH pois se z = x + iy ∈ TH ent˜ao f (z) = −z = − (x − iy) =
x
2
+ y
2
= z. Da´ı, ´e suficiente considerar o caso em que g
(
z
) =
az+b
cz+d
∈ PSL
(
2, R
)
. Seja
ζ ∈ T
z
H. Mostremos que (Dg) (ζ) = g
(z) .ζ. De fato: fazendo z = x + iy temos que
g (z) =
a (x + iy) + b
c (x + iy) + d
=
ac
x
2
+ y
2
+ x (ad + bc) + bd + iy
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
.
Chamemos
g
1
(x, y) =
ac
x
2
+ y
2
+ x (ad + bc) + bd
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
e g
2
(x, y) =
y
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
.
Da´ı,
∂g
1
∂x
(x, y) =
(
cx + d
)
2
− c
2
y
2
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
2
,
∂g
1
∂y
(x, y) =
2cy
(
cx + d
)
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
2
,
∂g
2
∂x
(x, y) =
−2cy (cx + d)
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
2
,
∂g
2
∂y
(x, y) =
(cx + d)
2
− c
2
y
2
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
2
.
Logo, se ζ = x + iy,
(Dg) (ζ) =
∂g
1
∂x
(x, y)
∂g
1
∂y
(x, y)
∂g
2
∂x
(
x, y
)
∂g
2
∂y
(
x, y
)
.
x
y
=
(
cx+d
)
2
−c
2
y
2
(
(
cx+d
)
2
+c
2
y
2
)
2
2cy
(
cx+d
)
(
(
cx+d
)
2
+c
2
y
2
)
2
−2cy(cx+d)
(
(cx+d)
2
+c
2
y
2
)
2
(cx+d)
2
−c
2
y
2
(
(cx+d)
2
+c
2
y
2
)
2
.
x
y
=
(cx+d)
2
−c
2
y
2
(
(cx+d)
2
+c
2
y
2
)
2
x +
2cy(cx+d)
(
(cx+d)
2
+c
2
y
2
)
2
y
−2cy
(
cx+d
)
(
(
cx+d
)
2
+c
2
y
2
)
2
x +
(
cx+d
)
2
−c
2
y
2
(
(
cx+d
)
2
+c
2
y
2
)
2
y
=
(cx+d)
2
−c
2
y
2
(
(cx+d)
2
+c
2
y
2
)
2
x +
2cy(cx+d)
(
(cx+d)
2
+c
2
y
2
)
2
y
+ i
−2cy(cx+d)
(
(cx+d)
2
+c
2
y
2
)
2
x +
(cx+d)
2
−c
2
y
2
(
(cx+d)
2
+c
2
y
2
)
2
y
.
31
Por outro lado,
g
(z) =
a (cz + d) − (az + b) c
(
cz + d
)
2
=
1
(c (x + iy) + d)
2
=
1
(cx + d)
2
+ 2cy (cx + d) i − c
2
y
2
=
(cx + d)
2
− c
2
y
2
− 2cy (cx + d) i
(cx + d)
2
− c
2
y
2
2
+ 4c
2
y
2
(cx + d)
2
=
(cx + d)
2
− c
2
y
2
− 2cy (cx + d) i
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
2
.
Logo,
g
(z) .ζ =
(cx + d)
2
− c
2
y
2
− 2cy (cx + d) i
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
2
(x + iy)
=
(cx + d)
2
− c
2
y
2
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
2
x +
2cy (cx + d)
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
2
y
+ i
−2cy (cx + d)
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
2
x +
(cx + d)
2
− c
2
y
2
(cx + d)
2
+ c
2
y
2
2
y
.
Portanto, (Dg) (ζ) = g
(z) .ζ. Logo,
(
Dg
) (
ζ
)
=
|(Dg) (ζ)|
Im (g (z))
(devido a 2.3)
=
|g
(z)| . |ζ|
Im
(
g
(
z
))
=
|ζ|
|cz + d|
2
Im (g (z))
(devido a 1.4)
=
|ζ|
Im
(
z
)
(devido a 1.3)
= ζ
Reciprocamente, suponha que (Dg) (ζ) = ζ, e seja γ : I −→H um caminho diferen-
ci´avel por partes em H dado por z
(
t
) = (
x
(
t
)
, y
(
t
))
. Ent˜ao,
h (g (γ)) =
1
0
|
g
(
z
(
t
))|
.
|
z
(
t
)|
Im (g (z (t)))
dt =
1
0
|
z
(
t
)|
Im (z (t))
dt = h (γ)
e, consequentemente, g ´e uma isometria de (H, ds ) .
Pela identidade de polariza¸c˜ao, para qualquer ξ, η ∈ T
z
H temos
ξ, η =
1
2
ξ
2
+ η
2
− ξ − η
2
.
32
Portanto, o produto interno e da´ı, o valor absoluto do ˆangulo entre os vetores tangentes s˜ao
tamb´em preservados. Definiremos o ˆangulo entre duas geod´esicas em H no ponto de intersec¸c˜ao
z como ˆangulo entre os seus vetores tangentes em T
z
H. Note que essa no¸c˜ao de ˆangulo coincide
com a no¸c˜ao de medida de ˆangulo Euclidiano. De fato: chamemos de cos (θ) a no¸c˜ao de ˆangulo
euclidiana e de cos
θ
a no¸c˜ao de ˆangulo hiperb´olica com a m´etrica 1.1. Denotemos ainda
R
2
e
R
2
o produto interno e a norma euclidiana, respectivamente. Sejam ζ
1
= (ξ
1
, η
1
) =
ξ
1
+ iη
1
e ζ
2
= (ξ
2
, η
2
) = ξ
2
+ iη
2
em H. Observemos que
ζ
1
, ζ
2
=
1
(Im z)
2
(ξ
1
ξ
2
+ η
1
η
2
) =
1
(Im z)
2
(ξ
1
, η
1
) , (ξ
2
, η
2
)
R
2
=
1
(Im z)
2
ζ
1
, ζ
2
R
2
.
Logo,
cos
θ
=
ζ
1
, ζ
2
ζ
1
. ζ
2
=
1
(Im z)
2
ζ
1
, ζ
2
R
2
1
(Im z)
2
ζ
1
, ζ
1
R
2
1
(Im z)
2
ζ
2
, ζ
2
R
2
=
ζ
1
, ζ
2
R
2
ζ
1
R
2
. ζ
2
R
2
= cos (θ) .
Portanto, a no¸c˜ao de ˆangulo nos dois casos coincidem.
Uma transforma¸c˜ao de H ´e chamada conforme quando preserva ˆangulo, e anti-conforme quando
preserva o valor absoluto do ˆangulo mas muda o sinal.
Teorema 2.3 Qualquer transforma¸c˜ao em PSL
(
2, R
)
´e conforme; qualquer transforma¸c˜ao da
forma 2.2 ´e anti-conforme.
Demonstra¸c˜ao:
Consideremos a Figura 6 abaixo.
T
Z
S
S
z
q
u
v
?
?
T
T(Z)
S
S
q
dT
z
(v)
?
dT
z
(u)
?
T(z)
T
dT
Z
Figura 6: Diferencial de isometria.
De forma geral consideremos duas superf´ıcies abstratas S e S e seus respectivos planos tan-
gentes nos pontos z e T (z) , T
z
S e T
T
(
z
)
S. Nesse caso, temos que cos (θ) =
−→
u ,
−→
v
|
−→
u
|
.
|
−→
v
|
e cos
θ
=
dT
z
(
−→
u
)
,dT
z
(
−→
v
)
|
dT
z(
−→
u
)|
.
|
dT
z(
−→
v
)|
com dT
z
−→
u
= T
(z) .
−→
u e dT
z
−→
v
= T
(z) .
−→
v .
33
Nesse teorema
−→
u e
−→
v s˜ao n´umeros complexos e, se T
(
z
) =
az+b
cz+d
com ad − bc = 1, ent˜ao
T
(z) =
1
(
cz+d
)
2
. Logo,
cos
θ
=
1
(
cz+d
)
2
−→
u ,
1
(
cz+d
)
2
−→
v
1
(
cz+d
)
2
−→
u ,
1
(
cz+d
)
2
−→
u
.
1
(
cz+d
)
2
−→
v ,
1
(
cz+d
)
2
−→
v
=
1
(
cz+d
)
4
−→
u ,
−→
v
1
(cz+d)
4
−→
u ,
−→
u
.
1
(cz+d)
4
−→
v ,
−→
v
=
−→
u ,
−→
v
−→
u ,
−→
u
.
−→
v ,
−→
v
= cos (θ) .
Agora, se T (z) =
az+b
cz+d
com ad − bc = −1 ent˜ao T
(z) =
−1
(
cz+d
)
2
. Logo,
cos
θ
=
−
1
(cz+d)
2
−→
u , −
1
(cz+d)
2
−→
v
1
(
cz+d
)
2
−→
u ,
1
(
cz+d
)
2
−→
u
1
(
cz+d
)
2
−→
v ,
1
(
cz+d
)
2
−→
v
=
1
(
cz+d
)
4
−→
u ,
−→
v
1
(
cz+d
)
4
−→
u ,
−→
u
1
(
cz+d
)
4
−→
v ,
−→
v
=
−→
u ,
−→
v
−→
u ,
−→
u
.
−→
v ,
−→
v
= cos (θ) .
Portanto, as transforma¸c˜oes em PSL (2, R) s˜ao conformes.
Mostremos agora que as transforma¸c˜oes da forma 2.2 s˜ao anti-conformes. Sejam z = x + iy
e
T : C −→ C
z → −z
.
Assim, T
(
z
) =
T
(
x + iy
) = − (
x − iy
) = −
x + iy. Considerando que C ≡ R
2
temos que
z = x + iy ≡ (x, y) . Assim,
T ≡ F : R
2
−→ R
2
(x, y) → F (x, y) = (−x, y)
.
Temos que F ´e isometria pois, dados dois pontos (x
1
, y
1
) e (x
2
, y
2
) em R
2
ent˜ao
d
(
F
(
x
1
, y
1
)
, F
(
x
2
, y
2
)) =
d
((−
x
1
, y
1
)
,
(−
x
2
, y
2
))
=
(−x
1
− (−x
2
))
2
+ (y
1
− y
2
)
2
=
(x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
= d ((x
1
, y
1
) , (x
2
, y
2
)) .
34
Temos ainda que F ´e linear, pois se λ ∈ R, ent˜ao
F ((x
1
, y
1
) + λ (x
2
, y
2
)) = F (x
1
+ λx
2
, y
1
+ λy
2
)
= (−x
1
− λx
2
, y
1
+ λy
2
)
= (−x
1
, y
1
) + λ (−x
2
, y
2
)
= F (x
1
, y
1
) + λF (x
2
, y
2
) .
Al´em disso,se chamarmos F
1
(x, y) = −x e F
2
(x, y) = y as fun¸c˜oes coordenadas de F, ent˜ao
det
∂
∂x
F
1
(x, y)
∂
∂y
F
1
(x, y)
∂
∂x
F
2
(x, y)
∂
∂y
F
2
(x, y)
= det
−1 0
0 1
= −1 < 0.
Portanto F reverte orienta¸c˜ao, ou seja, ´e anti-conforme. Como as transforma¸c˜oes em PSL (2, R) ,
composta com F resultam em transforma¸c˜oes da forma 2.2, ent˜ao essas s˜ao, necessariamente,
anti-conformes.
2.2 Classifica¸c˜ao de Isometrias
H´a trˆes tipos distintos de isometrias T ( z) =
az+b
cz+d
em PSL (2, R) , sendo ad − bc = 1, diferenci-
ados pelo valor absoluto do tra¸co da matriz associada
a b
c d
, que chamaremos de tra¸co de
T, indicado por tr
(
T
) = |
a + d
|
.
Se tr (T ) < 2, T ´e chamada el´ıptica;
Se tr (T ) = 2, T ´e chamada parab´olica;
Se tr (T ) > 2, T ´e chamada hiperb´olica.
Diremos ainda que duas matrizes A, B ∈ SL (2, R) s˜ao conjugadas quando existir M ∈ SL (2, R)
tal que A = MBM
−1
. De modo an´alogo, duas isometrias T
A
, T
B
∈ PSL
(
2, R
)
ser˜ao ditas
conjugadas quando suas matrizes correspondentes A e B assim o forem. Nesse caso, existe
T
M
∈ PSL (2, R) tal que T
A
= T
M
◦ T
B
◦ T
−1
M
.
Antes de demonstrar o pr´oximo teorema, observemos que se A, B, M s˜ao matrizes reais de ordem
dois e A = MBM
−1
ent˜ao tr (A) = tr (B) . De fato: sejam A =
a
1
a
2
a
3
a
4
e B =
b
1
b
2
b
3
b
4
.
Ent˜ao, AB =
a
1
b
1
+ a
2
b
3
a
1
b
2
+ a
2
b
4
a
3
b
1
+ a
4
b
3
a
3
b
2
+ a
4
b
4
. Logo, tr (AB) = a
1
b
1
+ a
2
b
3
+ a
3
b
2
+ a
4
b
4
. Por
outro lado, BA =
b
1
a
1
+ b
2
a
3
b
1
a
2
+ b
2
a
4
b
3
a
1
+ b
4
a
3
b
3
a
2
+ b
4
a
4
. Logo, tr (BA) = b
1
a
1
+ b
2
a
3
+ b
3
a
2
+ b
4
a
4
.
Portanto, tr (AB) = tr (BA) . Da´ı, tr (A) = tr
MBM
−1
= tr
M
−1
MB
= tr (B) .
Observemos ainda que, se T (z) =
az+b
cz+d
=
az+b
cz+d
(−1)
(−
1
)
=
−az−b
−cz−d
, com ad − bc = 1, ent˜ao podemos
escrever T de modo que tr (T ) = a + d > 0 (sem o m´odulo). Al´em disso, tamb´em podemos
escrever T de forma que b ≥ 0.
As demonstra¸c˜oes dos trˆes teoremas e corol´arios abaixo s˜ao diferentes daquelas que constam
nas principais referˆencias sobre o assunto. Procuramos fazˆe-las com o m´aximo de detalhamento
poss´ıvel.
Teorema 2.4 Uma isometria T
A
∈ PSL (2, R) ´e hiperb´olica se, e somente se, ´e conjugada em
PSL (2, R) a uma isometria T
B
associada `a matriz B =
λ 0
0
1
λ
com λ > 1.
35
Demonstra¸c˜ao:
Se existe M ∈ SL (2, R) tal que A = MBM
−1
, ent˜ao, como vimos, tr (T
A
) = tr (T
B
) . Mas,
tr (T
B
) =
λ +
1
λ
e (λ − 1)
2
> 0 implica em λ
2
+ 1 > 2λ. Como λ > 1 > 0, temos λ +
1
λ
> 2.
Portanto, tr (T
B
) =
λ +
1
λ
> 2, o que implica em tr (T
A
) > 2, ou seja, T
A
´e hiperb´olica.
Suponhamos T
A
∈ PSL (2, R) hiperb´olica de modo que A =
a b
c d
seja tal que tr (T
A
) = a+d >
2. Da´ı, o polinˆomio caracter´ıstico de A ´e dado por
p (α) = det
a b
c d
− α
1 0
0 1
= det
a − α b
c d − α
,
de forma que as ra´ızes desse polinˆomio s˜ao as ra´ızes da equa¸c˜ao (a − α) (d − α) −cb = 0, o que
implica em α
2
− (a + d) α + 1 = 0, ou seja, ra´ızes α
1
=
a+d+
√
(
a+d
)
2
−4
2
e α
2
=
a+d−
√
(
a+d
)
2
−4
2
.
Como
(
a + d
)
2
− 4 > 0, ent˜ao α
1
e α
2
s˜ao autovalores reais, ou seja, A ´e diagonaliz´avel. (ref.
[13], p´ag. 154 e 155). Al´em disso,
α
2
=
a + d −
(a + d)
2
− 4
2
=
2
a + d +
(a + d)
2
− 4
=
1
a+d+
√
(a+d)
2
−4
2
=
1
α
1
.
Portanto, um dos autovalores, α
1
ou
1
α
1
, ´e maior do que 1. A esse autovetor maior do que 1
chamaremos de λ. Da´ı, a diagonaliza¸c˜ao de A conduz `a matriz B =
λ 0
0
1
λ
e, portanto, existe
uma matriz invers´ıvel (matriz de mudan¸ca de bases) M tal que A = MBM
−1
(ref. [13], p´ag.
92 e 93).
Fazendo M =
e f
g h
, ent˜ao
a b
c d
=
e f
g h
λ 0
0
1
λ
h
eh−gf
−
f
eh−gf
−
g
eh−gf
e
eh−gf
=⇒
a b
c d
=
ehλ
2
−fg
λ(eh−gf)
−efλ
2
+ef
λ(eh−fg)
ghλ
2
−gh
λ
(
eh−fg
)
−gfλ
2
+eh
λ
(
eh−fg
)
.
Se det M = 1, temos T
M
∈ PSL (2, R) .
Caso det M = 1 e det M > 0, ent˜ao tomaremos M =
e
√
eh−fg
f
√
eh−fg
g
√
eh−fg
h
√
eh−fg
. Da´ı, det M = 1 e
M
λ 0
0
1
λ
M
−1
=
e
√
eh−fg
f
√
eh−fg
g
√
eh−fg
h
√
eh−fg
λ 0
0
1
λ
h
√
eh−fg
−f
√
eh−fg
−g
√
eh−fg
e
√
eh−fg
=
eλ
√
eh−fg
f
λ
√
eh−fg
gλ
√
eh−fg
h
λ
√
eh−fg
h
√
eh−fg
−f
√
eh−fg
−g
√
eh−fg
e
√
eh−fg
=
ehλ
2
−fg
λ
(
eh−gf
)
−efλ
2
+ef
λ
(
eh−fg
)
ghλ
2
−gh
λ(eh−fg)
−gfλ
2
+eh
λ(eh−fg)
=
a b
c d
.
36
Caso det M = 1 e det M < 0, ent˜ao tomaremos M =
f
√
−(eh−fg)
e
√
−(eh−fg)
h
√
−(eh−fg)
g
√
−(eh−fg)
. Da´ı, det M = 1
e
M
λ 0
0
1
λ
M
−1
=
f
√
−(eh−fg)
e
√
−(eh−fg)
h
√
−(eh−fg)
g
√
−(eh−fg)
1
λ
0
0 λ
g
√
−(eh−fg)
−e
√
−(eh−fg)
−h
√
−(eh−fg)
f
√
−(eh−fg)
=
f
λ
√
−(eh−fg
)
eλ
√
−(eh−fg
)
h
λ
√
−(eh−fg
)
gλ
√
−(eh−fg
)
g
√
−(eh−fg)
−e
√
−(eh−fg)
−h
√
−(eh−fg)
f
√
−(eh−fg)
=
ehλ
2
−fg
λ(eh−gf)
−efλ
2
+ef
λ(eh−fg)
ghλ
2
−gh
λ
(
eh−fg
)
−gfλ
2
+eh
λ
(
eh−fg
)
=
a b
c d
.
Corol´ario 2.1 Uma transforma¸c˜ao T
A
∈ PSL (2, R) hiperb´olica estendida a H = H ∪ R ∪ {∞}
fixa exatamente dois pontos de R ∪ {∞}.
Demonstra¸c˜ao:
Como A ´e conjugada com uma matriz da forma B =
λ 0
0
1
λ
com λ > 1, analisemos o que ocorre
com T
B
(
z
) =
λz
1
λ
= λ
2
z. Suponhamos, por absurdo, que existe z
0
∈ H tal que T
B
(
z
0
) =
z
0
. Da´ı,
λ
2
z
0
= z
0
implica em
λ
2
− 1
z
0
= 0. Como z
0
∈ H, ent˜ao z
0
= 0. Logo, λ = ±1. Absurdo.
Logo, T
B
hiperb´olica n˜ao fixa ponto ordin´ario (ponto de H).
Seja T
M
isometria em H tal que T
A
= T
M
◦ T
B
◦ T
−1
M
(teorema acima). A geod´esica α (t) = it,
t > 0 ´e fixada pela T
B
pois T
B
(
it
) =
λ
2
ti = α
λ
2
t
. Os pontos ideais de α (pontos no fecho de
H, ou seja, pontos em R ∪ {∞} tais que z = lim
t→0
+
α (t) ou z = lim
t→+∞
α (t)) s˜ao z = 0 e z = ∞,
que s˜ao fixos pela isometria T
B
. A geod´esica α ´e chamada de eixo da isometria T
B
e a geod´esica
β
(
t
) =
T
M
(
α
(
t
))
´e eixo da isometria T
A
, pois T
M
◦ T
B
◦ T
−1
M
(
T
M
(
α
(
t
))) =
T
M
◦ T
B
(
α
(
t
)) =
T
M
(α (t)) = β (t) , ou seja, T
A
(β (t)) = β (t) . Os pontos ideais de β s˜ao fixos por T
A
, pois s˜ao
imagens dos pontos ideais de α. (Figura 7)
b
( )¥
T
M
-1
a
¥
H
T
M
(0)
T
M
T
M
Figura 7: A¸c˜ao da isometria T
M
.
Teorema 2.5 Uma isometria T
A
∈ PSL (2, R) ´e el´ıptica se, e somente se, ´e conjugada em
PSL (2, R) a uma isometria T
B
associada `a matriz B =
cos (θ) sen (θ)
− sen (θ) cos (θ)
, 0 < θ < π.
37
Demonstra¸c˜ao:
Analogamente `a demonstra¸c˜ao do teorema anterior, se T
A
´e conjugada `a T
B
, ent˜ao elas possuem
o mesmo tra¸co. Como tr (T
B
) = |2 cos (θ)| < 2, ent˜ao T
A
´e el´ıptica. Mostremos agora que se T
A
´e el´ıptica, ent˜ao existe M =
e f
g h
∈ SL (2, R) tal que T
A
= T
M
T
B
T
−1
M
. De fato, escolhamos
uma representa¸c˜ao de T
A
(z) =
az+b
cz+d
de forma que b ≥ 0. Queremos encontrar M que satisfa¸ca
a b
c d
e f
g h
=
e f
g h
cos (θ) sen (θ)
− sen (θ) cos (θ)
,
ou seja, que satisfa¸ca o sistema de equa¸c˜oes
(a − cos (θ))e + bg = −f sen (θ)
ce + (d − cos (θ)) g = −h sen (θ)
(
a − cos
(
θ
))
f + bh = e sen
(
θ
)
cf + (d − cos (θ)) h = g sen (θ)
.
Como sen (θ) = 0, podemos escrever e =
a−cos(θ)
sen
(
θ
)
f+
b
sen
(
θ
)
h e g =
c
sen
(
θ
)
f+
d−cos(θ)
sen
(
θ
)
h. Substituindo
essas equa¸c˜oes nas duas primeira equa¸c˜oes do sistema anterior teremos:
a
2
− 2a cos (θ) + bc + 1
f + (ba + bd − 2b cos (θ)) h = 0
(ca + cd − 2c cos (θ)) f +
cb + d
2
− 2d cos (θ) + 1
h = 0
Como esse sistema ´e homogˆeneo, ent˜ao para que ele possua solu¸c˜ao devemos ter
a
2
− 2a cos
(
θ
) +
bc + 1
cb + d
2
− 2d cos
(
θ
) +
1
− (ca + cd − 2c cos
(
θ
)) (
ba + bd − 2b cos
(
θ
)) =
0 =⇒
(2 cos (θ) − (a + d))
2
= 0 =⇒
cos (θ) =
a + d
2
=⇒
θ = arccos
a + d
2
.
Dessa forma, se tomarmos a, b, c e d de forma que b > 0, ent˜ao podemos escolher f = 0 e,
como eh − gf = 1, ent˜ao
b
sen (θ)
h
h = 1 =⇒h =
sen (θ)
b
;
e =
b
sen (θ)
h =⇒e =
b
sen (θ)
;
g =
d − cos θ
sen θ
h =⇒g =
d − a
2
b sen (θ)
.
Al´em disso, se b = 0, ent˜ao ad = 1, o que implica em d =
1
a
. Mas, |a + d| < 2 significa
a +
1
a
< 2 e n˜ao existe a ∈ R que satisfa¸ca essa desigualdade. Logo, basta tomarmos
M =
b
sen (θ)
0
d − a
2
b sen (θ)
sen (θ)
b
,
sendo sen
(
θ
) =
√
4−(a+d
)
2
2
.
38
Corol´ario 2.2 Uma isometria T ∈ PSL
(
2, R
)
el´ıptica fixa apenas um ponto de H.
Demonstra¸c˜ao:
De modo an´alogo ao Corol´ario anterior, podemos analisar T
(
z
) =
cos
(
θ
)
z+sen
(
θ
)
− sen(θ)z+cos(θ)
. Da´ı,
cos
(
θ
)
z+sen
(
θ
)
− sen(θ)z+cos(θ)
= z =⇒− sen ( θ) z
2
+ cos (θ) z = cos (θ) z + sen (θ) =⇒z
2
= −1 =⇒z = i
´e o ´unico ponto fixo de T em H.
Teorema 2.6 Uma isometria T
A
∈ PSL (2, R) , T
A
= Id, ´e parab´olica se, e somente se, ´e
conjugada em PSL (2, R) a uma isometria T
B
associada `a matriz B =
1 k
0 1
, k = 0.
Demonstra¸c˜ao:
Analogamente `a demonstra¸c˜ao do teorema anterior se T
A
´e conjugada `a T
B
, ent˜ao elas possuem
o mesmo tra¸co. Como tr (T
B
) = 2, ent˜ao T
A
´e parab´olica. Como na demonstra¸c˜ao do teorema
anterior, consideraremos aqui o tra¸co de T
A
sem o m´odulo. Reciprocamente, queremos encontrar
M que satisfa¸ca
a b
c d
e f
g h
=
e f
g h
1 k
0 1
, ou seja, que satisfa¸ca o sistema de equa¸c˜oes
(a − 1)e + bg = 0
ce + (d − 1) g = 0
(a−1)
k
f +
b
k
h = e
c
k
f +
(
d−1
)
k
h = g
.
Substituindo as duas ´ultimas equa¸c˜oes nas duas primeiras, temos o sistema
(a − 1)
(a−1)
k
f +
b
k
h
+ b
c
k
f +
(d−1)
k
h
= 0
c
(a−1)
k
f +
b
k
h
+ (d − 1)
c
k
f +
(d−1)
k
h
= 0
=⇒
(a−1)
2
k
+
bc
k
f +
(a−1)b
k
+
b(d−1)
k
h = 0
c(a−1)
k
+
c(d−1)
k
f +
bc
k
+
(d−1)
2
k
h = 0
.
Como
(
a−1
)
2
k
+
bc
k
bc
k
+
(
d−1
)
2
k
−
c
(
a−1
)
k
+
c
(
d−1
)
k
(
a−1
)
b
k
+
b
(
d−1
)
k
=
(
ad−a−d+1−bc
)
2
k
2
=
(−a−d+2)
2
k
2
= 0,
o sistema acima ´e poss´ıvel e indeterminado.
O caso b = 0 e c = 0, n˜ao ocorre, pois, se ocorresse, ent˜ao ad = 1, que implica em d =
1
a
e,
al´em disso,
a +
1
a
= 2 =⇒a
2
− 2a + 1 = 0 =⇒(a − 1)
2
= 0 =⇒a = 1
e da´ı, d = 1. Logo, T
A
seria a identidade.
Se b = 0, podemos tomar h = 1, f = 0, e = 1 e g =
1−a
b
e, nesse caso temos, k = b. Assim,
M =
1 0
1−a
b
1
.
Se c = 0 e a = 1 ent˜ao d = 1 (o que implica que b = 0) e da´ı, M =
0 −1
1 c
2
com k = −c.
Se c = 0 e a = 1 ent˜ao M =
1−a
c
1
−1 0
, e, nesse caso, k = −c.
39
Corol´ario 2.3 Uma isometria parab´olica T
A
∈ PSL
(
2, R
)
, T = Id, estendida a H = H∪R∪
{
∞
}
fixa um ´unico ponto de R ∪ {∞} .
Demonstra¸c˜ao:
A exemplo da demonstra¸c˜ao dos corol´arios acima, analisemos o que ocorre com a isometria
T
(
z
) =
z + k, com k = 0. Entretanto, para poder entender melhor o fato de ∞ser o ponto
fixo de T, iremos analisar o que ocorre geometricamente com T no modelo do disco U. Seja
F : H −→ U
z −→
iz+1
z+i
. Da´ı, F
−1
: U −→ H
w −→
wi−1
i−w
. Tomemos um ponto z ∈ H e fa¸camos w =
F (z) . Logo, z = F
−1
(w) . Queremos encontrar T tal que T : U −→ U
w −→ F (T (z))
. (Figura 8)
T
T
F
-1
F
z
H
H
T z( )
U
U
F z =w( )
F
F
-1
T w =F T z( ) ( ( ))
Figura 8: Transferindo a an´alise para o modelo do disco.
Logo,
T
(
w
) =
F
T
F
−1
(
w
)
= F
T
wi − 1
i − w
= F
wi − 1
i − w
+ k
=
i
wi−1
i−w
+ k
+ 1
wi−1
i−w
+ k + i
=
−w − i − k − kwi + i − w
wi − 1 + ki − kw − 1 − iw
=
−2w − k − kwi
−2 + ki − kw
,
com w = i −
2
k
. Mostremos agora que dado P pertencente ao fecho de U, ent˜ao
lim
w→P
T (w) = P ⇐⇒P = i.
De fato: Se lim
w→P
T (w) = P, ent˜ao
−2P − k − kPi
−2 + ki − kP
= P =⇒−2P − k − kPi = −2P + kPi − kP
2
=⇒P
2
− 2Pi − 1 = 0 =⇒P = i.
Reciprocamente, quando P = i, ent˜ao lim
w→i
T (w) = lim
w→i
−2w−k−kwi
−2+ki−kw
= i. Agora, se P = i,
40
P = x + iy, ent˜ao
lim
w→P
F
−1
(w) =
Pi − 1
i − P
=
xi − y − 1
i − x − iy
=
2x +
1 − x
2
− y
2
i
x
2
+ (1 − y)
2
pertence a R, se |x + iy| = 1, e pertence C − R, caso contr´ario. Al´em disso, lim
w→P=i
F
−1
(w) = w.
Logo, o ´unico ponto (ordin´ario ou ideal) de H que n˜ao ´e limite com w →P = i ´e o ponto
Ω = ∞que corresponde a lim
w→i
F
−1
(
w
)
= lim
w→i
wi−1
i−w
= lim
w→i
|
wi−1
|
|i−w|
= ∞que ´e ponto ideal de H
e, portanto, o ´unico.
Cap´ıtulo 3
Reticulados em Espa¸cos Quociente
3.1 Buscando Reticulados Geometricamente Uniformes
Sejam E um espa¸co n-dimensional com curvatura gaussiana constante, P ⊂ E um conjunto
finito de pontos e J um grupo discreto de isometrias de E.
`
A ´orbita
R = JP = {h (P) : h ∈ J e P ∈ P}
de P por J em E chamaremos de reticulado em E.
Um reticulado R em E ´e dito geometricamente uniforme quando o grupo de simetrias G
de R ´e transitivo, ou seja, dados dois pontos P e Q de R, existe uma simetria g ∈ G tal que
g (P) = Q.
Observemos que se P for um conjunto unit´ario, ent˜ao R ser´a, necessariamente, geometricamente
uniforme, pois nesse caso, J coincide com o grupo de simetrias G.
Os reticulados no espa¸co R
n
obtidos a partir da origem pela a¸c˜ao de um grupo de transla¸c˜oes por
n vetores linearmente independentes s˜ao os chamados reticulados cl´assicos do R
n
. Conforme j´a
observado, esses reticulados (que tˆem uma quantidade infinita de pontos) s˜ao geometricamente
uniformes. Entretanto, subconjuntos finitos de tais reticulados podem n˜ao ser geometricamente
uniformes. Por exemplo, se P = {(1, 0) , (2, 0)} ⊂ R
2
e J =
ρ
π
4
, sendo ρ
π
4
rota¸c˜ao de
π
4
em
torno da origem, o grupo G de simetrias de P n˜ao ´e transitivo. Outro exemplo importante de
reticulado que n˜ao ´e geometricamente uniforme ´e dado no Exemplo 1.
Existem reticulados de pontos no plano euclidiano bastante utilizados em modula¸c˜ao de sinais
e c´odigos corretores de erros em canais de transmiss˜ao ruidosos que n˜ao s˜ao geometricamente
uniforme, mas possui estrutura interessante do ponto de vista de codifica¸c˜ao. Para “torn´a-los”
geometricamente uniforme, iremos fazer uso de espa¸cos quociente.
Sejam E um espa¸co n-dimensional com curvatura gaussiana constante, J um grupo discreto de
isometrias de E e a rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼ em E definida por
P
1
∼ P
2
⇐⇒P
2
= h (P
1
) , h ∈ J.
Denotaremos a classe de equivalˆencia de um ponto P por P. Ao conjunto
E = E / ∼ = E/J =
P : P ∈ E
chamaremos de espa¸co quociente de E por J.
Abaixo, consideremos um reticulado sobre um espa¸co quociente.
41
42
Exemplo 1. Consideremos um reticulado R de 16 pontos em forma de quadrado 4 × 4 no
plano euclidiano R
2
. Em Teoria da Informa¸c˜ao e Codifica¸c˜ao, tal reticulado ´e conhecido como
16 − QAM (quadrature amplitude modulation) e ´e gerado pela ´orbita de P = {P
1
, P
2
, P
6
}
(Figura 9) pelo grupo de simetrias J = R
1
, R
2
, gerado pelas reflex˜oes R
1
pela reta que passa
por P
1
e P
16
e R
2
pela reta mediatriz do segmento P
5
P
9
.
Este reticulado n˜ao ´e geometricamente uniforme. De fato, o grupo de simetrias J ´e composto
pelos elementos Id, R
1
, R
2
, R
3
, R
4
, ρ
π
2
, ρ
π
, ρ
3π
2
, sendo R
i
reflex˜oes e ρ
θ
rota¸c˜oes de giro θ e centro
O (Figura 9). Observemos que transla¸c˜oes n˜ao podem fazer parte de J pois elas n˜ao fixam o
reticulado, bem como qualquer outra isometria que n˜ao as listadas no grupo J. Assim, fixados
os pontos P
12
e P
16
, n˜ao temos uma simetria σ de J tal que σ (P
12
) = P
16
, o que permite concluir
a afirma¸c˜ao.
y
P
1
2
x
R
1
R
2
R
3
R
4
O
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
P
7
P
8
P
9
P
10
P
11
P
12
P
16
P
15
P
14
P
13
Figura 9: O reticulado 16 − QAM.
Consideremos:
(i) o grupo discreto de isometrias G
1
= T
e
1
, T
e
2
, gerado pelas transla¸c˜oes T
e
1
e T
e
2
, sendo
{
e
1
,
e
2
} base canˆonica do espa¸co vetorial usual R
2
.
(ii) o ponto P =
1
2
,
1
2
em P = {P} e sua ´orbita G
1
P =
ϕ (P) ∈ R
2
: ϕ ∈ G
1
.
(iii) o grupo discreto de isometrias G
2
= T
4
e
1
, T
4
e
2
gerado pelas transla¸c˜oes T
4
e
1
e T
4
e
2
.
(iv) o espa¸co quociente E = R
2
/G
2
(Figura 10).
e
1
1
2
y
P
Q
x
1
2
Reticulado
GP
1
G
1
=
T
e
1
,T
e
2
Q = T
e
2
E T
e
2
ÝPÞ
e
2
2
Þ
1
2
y
P
1
2
Reticulado
16-QAM
4e
2
E =
2
/G
2
G
2
= T
4e
1
,T
4e
2
x
4e
1
Figura 10: O reticulado 16 − QAM obtido por quociente.
Logo, sobre E temos o conjunto das classes de equivalˆencia de 16 pontos da ´orbita de P, que
definiremos como sendo o reticulado 16 − QAM obtido por quociente. O grupo de simetrias
S desse reticulado quociente possui transla¸c˜oes pelos vetores
e
1
= P
1
P
2
e
e
2
= P
1
P
5
. Assim,
dados quaisquer pontos P
i
e P
j
, existe uma simetria σ ∈ S composta de transla¸c˜oes tal que
σ
P
i
= P
j
, ou seja, sobre E, o reticulado obtido ´e geometricamente uniforme.
43
Observemos que quando “quocientamos” o reticulado G
1
P pelo grupo G
2
, estamos identificando
os lados opostos do quadrado azul da Figura 10 de tal modo que, do ponto de vista topol´ogico,
os pontos do 16 − QAM podem ser vistos sobre um toro. Este toro, chamado de toro planar,
pode ser mergulhado isometricamente em uma esfera de raio
√
2
2π
no R
4
, por meio do mergulho
Φ
(
x, y
) =
1
2π
cos
(
2πx
)
,
1
2π
sen
(
2πx
)
,
1
2π
cos
(
2πy
)
,
1
2π
sen
(
2πy
)
. (ref. [8]).
Exemplo 2. Um reticulado genuinamente hiperb´olico (ou seja, obtido exclusivamente por
isometrias hiperb´olicas): consideremos um novo reticulado de 16 pontos que n˜ao existe no
ambiente euclidiano. Para model´a-lo consideremos:
(
a
)
o grupo discreto de isometrias F
1
= δ
0
, δ
1
, δ
2
, no disco U, gerado pelas reflex˜oes hiperb´olicas
do tipo 2.2 nos lados de um triˆangulo hiperb´olico equil´atero OBE de ˆangulos internos
π
4
, com
o lado OB no eixo das abscissas e o v´ertice O na origem (Figura 11).
j
0
j
2
j
1
j
3
d
0
d
1
d
2
O
E
B
U
g
1
g
2
g
3
g
4
g
5
g
6
g
7
g
8
Figura 11: Reflex˜oes nos lados de um triˆangulo hiperb´olico equil´atero.
(b) o ponto Q centro do triˆangulo OBE acima, e o reticulado R gerado pela sua ´orbita F
1
Q =
{
δ
(
Q
)
∈ U : δ ∈ F
1
}
, onde Q =
a cos
π
8
, a sen
π
8
com a = 0, 8607063036.
Para o c´alculo do valor a acima, consideremos a Figura 12. Se fizermos y = OA, ent˜ao,
aplicando a Lei dos Cossenos I I Hiperb´olica ao triˆangulo OAB, temos cosh (y) =
cos
(
π
8
)
2
+cos
(
π
2
)
sen
(
π
8
)
2
.
Logo, y = 2, 448452447. Agora, observando que o triˆangulo OBA ´e is´osceles, fazendo OB =
AB = x e aplicando o Teorema de Pit´agoras Hiperb´olico a esse triˆangulo temos cosh
4
(x) =
cosh
2
(y) , ou seja, x = 1, 528570919. Da´ı, fazendo OC = z e usando a Lei dos Senos Hiperb´olica
no triˆangulo OCB, temos
senh(z)
sen
(
π
4
)
=
senh(x)
sen
(
π
2
)
. Logo, z = 1, 224226223. Fazendo QC = w,
temos, no triˆangulo OQD, pela Lei dos Senos Hiperb´olica,
senh(z−w)
sen
(
π
2
)
=
senh(w)
sen
(
π
8
)
, ou seja, w =
0, 3635199194. Portanto, a = z − w = 0, 8607063036.
44
Q
A
B
C
D
O
^
4
^
4
^
8
^
8
Figura 12: Encontrando o centro do triˆangulo equil´atero hiperb´olico.
(c) o grupo discreto de isometrias fuchsiano F
2
= ϕ
0
, ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
gerado pelas isometrias
hiperb´olicas ϕ
0
, ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
do tipo 1.2 que identificam os lados do oct´ogono hiperb´olico regular
com centro na origem composto por 16 triˆangulos equil´ateros congruentes ao triˆangulo descrito
no Item (a) (Figura 11).
(d) a rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼ em U definida por Q
1
∼ Q
2
⇐⇒Q
2
= ϕ (Q
1
) , sendo ϕ ∈ F
2
.
Denotamos a classe de equivalˆencia de um ponto Q por Q.
(e) o espa¸co quociente F = U / ∼ =
Q : Q ∈ U
. (que tamb´em ´e indicado por U/F
2
)
Logo, sobre F temos o conjunto das classes de equivalˆencia de 16 pontos da ´orbita de Q, que
definimos como sendo o reticulado 16 − HQAM (Figura 13). O grupo de simetrias desse
reticulado quociente cont´em todas isometrias do grupo F
1
. Esse reticulado quociente ´e geome-
tricamente uniforme, pois dados Q
i
e Q
j
, que s˜ao centros de triˆangulos hiperb´olicos, sempre
haver´a uma composi¸c˜ao δ de reflex˜oes em lados desses triˆangulos tais que δ
Q
i
= Q
j
.
Q
Figura 13: O reticulado hiperb´olico 16 − HQAM.
Adiante, nosso objetivo ´e encontrar as express˜oes para as isometrias dos grupos F
1
e F
2
acima.
Para tanto, precisamos do conceito de c´ırculos isom´etricos.
45
3.2 C´ırculos Isom´etricos
Seja T (z) =
az+b
cz+d
∈ PSL (2, R) , com c = 0, estendida a C. O c´ırculo
I
(
T
) = {
z ∈ C | |cz + d
|
= 1
}
,
que ´e o lugar geom´etrico completo de pontos onde a transforma¸c˜ao T age como uma isometria
euclidiana, ´e chamado c´ırculo isom´etrico da transforma¸c˜ao T. De forma an´aloga, quando T (z) =
az+c
cz+a
∈ PSL (2, C) ,com c = 0, estendida a C, o c´ırculo isom´etrico com rela¸c˜ao a T ´e
I
(
T
) = {
z ∈ C | |cz + a
|
= 1
}
.
Observa¸c˜ao: A afirma¸c˜ao de que T da forma T (z) =
az+b
cz+d
com ad − bc = 1 e |cz + d| = 1
age como uma isometria euclidiana deve-se ao fato de que, se tomarmos dois pontos z
1
e z
2
em
I (T ) , ent˜ao
|T (z
1
) − T (z
2
)| =
az
1
+ b
cz
1
+ d
−
az
2
+ b
cz
2
+ d
=
(az
1
+ b) (cz
2
+ d) − (az
2
+ b) (cz
1
+ d)
(cz
1
+ d) (cz
2
+ d)
=
|acz
1
z
2
+ adz
1
+ bcz
2
+ bd − acz
1
z
2
− adz
2
− bcz
1
− bd|
|cz
1
+ d| . |cz
2
+ d|
=
|(
ad − bc
)
z
1
− (ad − bc
)
z
2
|
=
|
z
1
− z
2
|
.
Para a demonstra¸c˜ao do pr´oximo teorema recordemos que se temos uma curva parametrizada
em R
2
, γ
(
t
) = (
x
(
t
)
, y
(
t
))
com t ∈
[
a, b
]
ent˜ao o comprimento l
γ
´e dado por l
γ
=
b
a
|
γ
(
t
)|
dt.
No nosso caso, T (z) =
az+b
cz+d
com ad − bc = 1 e T
(z) = (cz + d)
−2
. Logo, os comprimentos
euclidianos s˜ao multiplicados por |T
(z)| = |cz + d|
−2
, pois
l
T (γ)
=
T (b)
T
(
a
)
|T
(γ (t))| . |γ
(t)| dt =
T (b)
T
(
a
)
|γ
(t)| . |c (γ (t)) + d|
−2
dt.
Uma regi˜ao infinitesimal ´e levada em uma regi˜ao similar com comprimentos multiplicados por
|cz + d|
−2
. A ´area euclidiana, portanto, ´e multiplicada por |cz + d|
−4
. Os comprimento e ´areas
euclidianos s˜ao inalterados em magnitude se, e somente se, |cz + d| = 1.
Teorema 3.1 Seja T ∈ PSL (2, R) , com c = 0, estendida a C. A transforma¸c˜ao T aumenta
os comprimentos e ´areas euclidianas dentro do c´ırculo isom´etrico I (T ) , e os diminui fora do
c´ırculo isom´etrico I (T) .
Demonstra¸c˜ao:
Seja z pertencente ao interior de I (T ) . Da´ı,
z +
d
c
<
1
|c|
, isto ´e, |cz + d| < 1, o que implica que
|
T
(
z
)|
> 1, ou seja, a transforma¸c˜ao T aumenta os comprimentos euclidianos de curvas dentro
de I (T ) . De forma an´aloga, se z pertence ao exterior de I (T ) ent˜ao |T
(z)| < 1. Como
|T
(z)| > 1 =⇒|T
(z)|
2
> 1
e
|
T
(
z
)|
< 1 =⇒
|
T
(
z
)|
2
< 1,
a informa¸c˜ao segue com rela¸c˜ao `as ´areas euclidianas.
46
Teorema 3.2 Seja T ∈ PSL
(
2, R
)
, com c = 0, estendida a C. Os c´ırculos isom´etricos I
(
T
)
e
I
T
−1
tem o mesmo raio, e I (T) ´e levado em I
T
−1
pela transforma¸c˜ao T.
Demonstra¸c˜ao:
Seja T (z) =
az+b
cz+d
com ad − bc = 1. Da´ı, T
−1
(z) =
−dz+b
cz−a
, I (T ) = {z ∈ C | |cz + d| = 1} e
I
T
−1
= {z ∈ C | |cz − a| = 1} . Fazendo z = x + iy ∈ I (T) , ent˜ao
|cz + d| = 1 =⇒|c (x + iy) + d| = 1 =⇒
x +
d
c
+ iy
=
1
|c|
=⇒
x +
d
c
2
+ y
2
=
1
|c|
2
,
ou seja, I
(
T
)
´e um c´ırculo euclidiano de centro
−
d
c
, 0
e raio
1
|c|
. Agora, se z = x+iy ∈ I
T
−1
,
ent˜ao
|cz − a| = 1 =⇒
x −
a
c
+ iy
=
1
|c|
=⇒
x −
a
c
2
+ y
2
=
1
|c|
2
,
ou seja, I
T
−1
´e um c´ırculo euclidiano de centro
a
c
, 0
e raio
1
|
c
|
. Portanto, I (T ) e I
T
−1
tem
o mesmo raio. Suponha agora que z ∈ I (T ) , ent˜ao z = −
d
c
+
1
|c|
e
iθ
, com θ ∈ [0, 2π[ , e
T
(
z
) =
a
−
d
c
+
1
|c|
e
iθ
+ b
c
−
d
c
+
1
|c|
e
iθ
+ d
=
−ad+bc
c
+
a
|
c
|
e
iθ
−d +
c
|
c
|
e
iθ
+ d
=
−
1
c
+
a
|c|
e
iθ
c
|
c
|
e
iθ
=
−
1
c
+
a
|c|
e
iθ
|c|
ce
iθ
= −
|c|
c
2
e
i
(−
θ
)
+
a
c
= −
1
|c|
(cos (θ) − i sen (θ)) +
a
c
.
Vejamos que T (z) ∈ I
T
−1
. De fato:
|c (T (z)) − a| =
−
c
|c|
(cos (θ) − i sen (θ)) + a − a
= cos
2
(θ) + sen
2
(θ) = 1.
Logo, T (I (T)) ⊂ I
T
−1
, ou seja, I (T) ´e levado em I
T
−1
por T.
Teorema 3.3 Seja T ∈ PSL (2, R) , com c = 0. A restri¸c˜ao do c´ırculo isom´etrico I (T) a H ´e
geod´esica em H.
Demonstra¸c˜ao:
Como vimos no teorema anterior, se T
(
z
) =
az+b
cz+d
com ad − bc = 1 ent˜ao I
(
T
)
´e um c´ırculo
euclidiano de centro
−
d
c
, 0
e raio
1
|c|
. Logo, o eixo x cont´em um dos diˆametros de I (T ) . Logo,
I
(
T
)
´e um c´ırculo ortogonal ao eixo x, portanto, geod´esica em H.
47
3.3 Encontrando Geradores do Grupo Fuchsiano F
2
Para encontrar as isometrias ϕ
0
, ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
que geram F
2
no Exemplo 2 da Se¸c˜ao 3.1, primeira-
mente observemos que a rota¸c˜ao T (z) = e
iα
z pode ser escrita na forma T (z) =
az+c
cz+a
com
aa − cc = 1, ou seja, como elemento de PSL (2, C) . De fato, tomemos a = cos
α
2
+ i sen
α
2
e c = 0. Logo,
cos
α
2
+ i sen
α
2
z + 0
0z +
cos
α
2
− i sen
α
2
=
cos
α
2
+ i sen
α
2
z
cos
α
2
− i sen
α
2
.
cos
α
2
+ i sen
α
2
cos
α
2
+ i sen
α
2
=
cos
2
α
2
+ i
2 cos
α
2
sen
α
2
− sen
2
α
2
z
cos
2
α
2
+ sen
2
a
2
= (cos (α) + i sen (α)) z
= e
iα
z.
Al´em disso,
aa − cc =
cos
α
2
+ i sen
α
2
cos
α
2
− i sen
α
2
+ 0.0 = cos
2
α
2
− i
2
sen
2
α
2
= 1.
Consideremos a Figura 14 abaixo.
r
r
O’
O
A
C
B
^
4
^
8
^
8
d(O,B)=x
d(B,O’)=y
1
C’
Figura 14: Encontrando express˜oes para isometrias.
O c´ırculo de centro O
cont´em a curva γ
1
(um dos lados do oct´ogono hiperb´olico regular de
ˆangulos internos
π
4
) representada na Figura 11.
Observemos que OAO
´e reto em A e BCO
´e reto em C. Al´em disso,
B =
π
8
+
π
8
=
π
4
. No
triˆangulo BCO
temos
sen
π
4
=
r
y
=⇒y =
2r
√
2
= r
√
2
e
cos
π
4
=
x
y
=⇒x =
√
2
2
r
√
2 = r.
48
No triˆangulo OO
A temos
(
x + y
)
2
= r
2
+ 1 =⇒
r + r
√
2
2
= r
2
+ 1 =⇒
r
2
1 +
√
2
2
= r
2
+ 1 =⇒
r
2
1 +
√
2
2
− 1
= 1 =⇒
r
2
=
1
2 + 2
√
2
=⇒
r =
1
2 + 2
√
2
.
Al´em disso,
|x + y| =
r
2
1 +
√
2
2
=
1
2 + 2
√
2
1 + 2
√
2 + 2
=
1 +
1
2 + 2
√
2
=
3 + 2
√
2
2 + 2
√
2
2 + 2
√
2
=
14 + 10
√
2
2 + 2
√
2
.
Queremos que o c´ırculo de centro O
na Figura 14 seja o c´ırculo isom´etrico da transforma¸c˜ao
ϕ
0
e, mais ainda, que I
ϕ
−1
0
seja o c´ırculo que cont´em a curva γ
3
da Figura 11. Para isso,
precisamos descobrir os valores de a e c complexos tais que
−
a
c
=
1 +
1
2 + 2
√
2
a
c
=
1 +
1
2 + 2
√
2
i
.
Fa¸camos a = x + iy e c = z + iw. Sabemos que z
2
+ w
2
= 2 + 2
√
2. Logo,
−
a
c
= −
a
c
.
c
c
=
− (x − iy) (z − iw)
z
2
+ w
2
=
(−xz + yw) + i (xw + yz)
z
2
+ w
2
=
1 +
1
2 + 2
√
2
=⇒
−xz + yw =
14 + 10
√
2
xw + yz = 0
(I)
49
Por outro lado,
a
c
=
α
c
.
c
c
=
(xz + yw) + i (yz − xw)
z
2
+ w
2
=
14 + 10
√
2
2 + 2
√
2
i =⇒
xz + yw = 0
yz − xw =
14 + 10
√
2
. (II)
Os Sistemas I e II nos fornecem as equa¸c˜oes
2yw =
14 + 10
√
2
2yz =
14 + 10
√
2
2xz = −
14 + 10
√
2
2xw = −
14 + 10
√
2.
Logo,
4y
2
w
2
+ 4y
2
z
2
= 2
14 + 10
√
2
=⇒
y
2
=
2
3 + 2
√
2
2 + 2
√
2
4
2 + 2
√
2
=⇒
y = ±
√
2
2
3 + 2
√
2.
Al´em disso,
4x
2
z
2
+ 4x
2
w
2
= 2
14 + 10
√
2
=⇒
x
2
=
2
3 + 2
√
2
2 + 2
√
2
4
2 + 2
√
2
=⇒
x = ±
√
2
2
3 + 2
√
2.
Da´ı,
z =
3 + 2
√
2
2 + 2
√
2
±
√
2
3 + 2
√
2
= ±
√
2
2
2 + 2
√
2
e
w =
3 + 2
√
2
2 + 2
√
2
±
√
2
3 + 2
√
2
= ±
√
2
2
2 + 2
√
2.
Se escolhermos x < 0, y > 0, z > 0 e w > 0 as equa¸c˜oes que os Sistemas I e II fornecem ficam
50
satisfeitas. Dessa forma, temos a transforma¸c˜ao
T (z) =
az + c
cz + a
=
−
√
2
2
3 + 2
√
2 + i
√
2
2
3 + 2
√
2
z +
√
2
2
2 + 2
√
2 − i
√
2
2
2 + 2
√
2
√
2
2
2 + 2
√
2 + i
√
2
2
2 + 2
√
2
z +
−
√
2
2
3 + 2
√
2 − i
√
2
2
3 + 2
√
2
=
−
3 + 2
√
2 + i
3 + 2
√
2
z +
2 + 2
√
2 − i
2 + 2
√
2
2 + 2
√
2 + i
2 + 2
√
2
z +
−
3 + 2
√
2 − i
3 + 2
√
2
com
aa − cc =
−
√
2
2
3 + 2
√
2 + i
√
2
2
3 + 2
√
2
−
√
2
2
3 + 2
√
2 − i
√
2
2
3 + 2
√
2
−
√
2
2
2 + 2
√
2 + i
√
2
2
2 + 2
√
2
√
2
2
2 + 2
√
2 − i
√
2
2
2 + 2
√
2
=
2
4
3 + 2
√
2 + 3 + 2
√
2
−
2
4
2 + 2
√
2 + 2 + 2
√
2
=
2
4
6 + 4
√
2 − 4 − 4
√
2
= 1.
Mostremos se T (z) ´e a transforma¸c˜ao encontrada acima, ent˜ao |cz + a| = 1 para z =
√
14+10
√
2
2+2
√
2
+
1
√
2+2
√
2
e
iθ
com θ ∈ [0, 2π[ . De fato:
|cz + a|
2
=
√
2
2 + 2
√
2
2
(1 + i)
14 + 10
√
2
2 + 2
√
2
+
e
iθ
2 + 2
√
2
−
√
2
3 + 2
√
2
2
(1 + i)
2
=
√
2
2
2 + 2
√
2 (1 + i)
3 + 2
√
2
2 + 2
√
2
+
cos (θ) + i sen (θ)
2 + 2
√
2
−
3 + 2
√
2 (1 + i)
2
=
√
2
2
3 + 2
√
2 + cos
(
θ
) +
i sen
(
θ
) +
i
3 + 2
√
2 + i cos
(
θ
) −
sen
(
θ
) −
3 + 2
√
2 − i
3 + 2
√
2
2
=
√
2
2
(cos (θ) + i sen (θ) + i cos (θ) − sen (θ))
2
=
1
2
cos
2
(θ) − 2 cos (θ) sen (θ) + sen
2
(θ) + cos
2
(θ) + 2 sen (θ) cos (θ) + sen
2
(θ)
= 1.
Logo, para essa T o conjunto I
(
T
)
´e um c´ırculo isom´etrico. Temos
T
−1
(z) =
−
3 + 2
√
2 − i
3 + 2
√
2
z −
2 + 2
√
2 − i
2 + 2
√
2
−
2 + 2
√
2 + i
2 + 2
√
2
z +
−
3 + 2
√
2 + i
3 + 2
√
2
.
Tomando
51
ϕ
0
(z) = T (z)
=
−
3 + 2
√
2 + i
3 + 2
√
2
z +
2 + 2
√
2 − i
2 + 2
√
2
2 + 2
√
2 + i
2 + 2
√
2
z +
−
3 + 2
√
2 − i
3 + 2
√
2
,
ϕ
1
(z) = e
iπ
T
e
−iπ
(z)
=
3 + 2
√
2 − i
3 + 2
√
2
z +
2 + 2
√
2 − i
2 + 2
√
2
2 + 2
√
2 + i
2 + 2
√
2
z +
3 + 2
√
2 + i
3 + 2
√
2
,
ϕ
2
(z) = e
−i
π
4
T
−1
e
i
π
4
(z)
=
√
2
2
− i
√
2
2
−
3 + 2
√
2 − i
3 + 2
√
2
√
2
2
z (1 + i)
−
2 + 2
√
2 − i
2 + 2
√
2
−
2 + 2
√
2 + i
2 + 2
√
2
√
2
2
z (1 + i)
+
−
3 + 2
√
2 + i
3 + 2
√
2
,
ϕ
3
(z) = e
iπ
ϕ
2
e
iπ
(z)
=
√
2
2
− i
√
2
2
3 + 2
√
2 + i
3 + 2
√
2
−
√
2
2
z
(
1 + i
)
+
2 + 2
√
2 − i
2 + 2
√
2
−
2 + 2
√
2 + i
2 + 2
√
2
−
√
2
2
z (1 + i)
+
−
3 + 2
√
2 + i
3 + 2
√
2
.
temos o grupo discreto de isometrias F
2
= ϕ
0
, ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
gerado pelas isometrias hiperb´olicas
ϕ
0
, ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
que identificam os lados do oct´ogono hiperb´olico regular com centro na origem
composto por 16 triˆangulos equil´ateros gerados por F
1
.
Temos que ϕ
0
(
γ
1
) =
γ
3
, ϕ
1
(
γ
5
) =
γ
7
, ϕ
2
(
γ
2
) =
γ
8
e ϕ
3
(
γ
6
) =
γ
4
. (Figura 15 abaixo)
g
1
g
2
g
3
g
4
g
5
g
6
g
7
g
8
j
0
j
2
j
1
j
3
U
Figura 15: Identifica¸c˜ao de geod´esicas por isometrias.
3.4 Encontrando Geradores do Grupo Fuchsiano F
1
Para encontrar as isometrias δ
0
, δ
1
, δ
2
que geram F
1
no Exemplo 2 da Se¸c˜ao 3.1, devemos
desenvolver um pouco as invers˜oes em c´ırculos.
Seja Q um c´ırculo em R
2
com centro K e raio r. Dado um ponto qualquer P = K em R
2
, um
ponto P
1
´e chamado inverso de P quando
52
(
i
)
P
1
encontra-se no raio que vai de K a P,
(ii) KP
1
.KP = r
2
.
A rela¸c˜ao ´e rec´ıproca: se P
1
´e o inverso de P, P ´e o inverso de P
1
. Dizemos que P e P
1
s˜ao
inversos com rela¸c˜ao a Q.
Fa¸camos P, P
1
e K serem os pontos z, z
1
e k em C. As condi¸c˜oes da defini¸c˜ao acima podem ser
reescritas como
|(z
1
− k) (z − k)| = r
2
, arg (z
1
− k) = arg (z − k) .
Como arg
(
z − k
) = −
arg
z − k
(Figura 16), as duas equa¸c˜oes s˜ao satisfeitas se, e somente
se,
(
z
1
− k
)
z − k
= r
2
.
r
z
z
1
k
z-k
z -k
1
z -k
1
a
-a
k
z-k
Figura 16: Invers˜oes em c´ırculos.
De fato:
=⇒) Lembremos que z.z = |z|
2
e ainda que, se temos z
1
= |z
1
| e
iθ
1
e z
2
= |z
2
| e
iθ
2
, ent˜ao
z
1
.z
2
= |z
1
| . |z
2
| e
i
(
θ
1
+θ
2
)
. Chamemos arg
z
1
− k
= −α e, portanto, arg (z − k) = α. Logo,
z
1
− k
(z − k) =
z
1
− k
. |z − k| .e
i(α−α)
=
z
1
− k
.
|
z − k
|
=
|
z
1
− k
|
.
|
z − k
|
=
|(
z
1
− k
) (
z − k
)|
= r
2
. (III)
Temos ainda que
(z
1
− k)
z
1
− k
(z − k)
z − k
= |z
1
− k|
2
.
z − k
2
=
(z
1
− k)
z − k
2
= r
4
.
Substituindo (III) na equa¸c˜ao anterior temos
(z
1
− k)
z
1
− k
(z − k)
z − k
= (z
1
− k) .r
2
.
z − k
= r
4
=⇒
(z
1
− k)
z − k
= r
2
.
⇐=) Como
(
z
1
− k
)
,
z − k
∈ C e, por outro lado,
(
z
1
− k
)
.
z − k
∈ R, ent˜ao
arg
(
z
1
− k
) +
arg
z − k
= 0 =⇒arg
(
z
1
− k
) = −
arg
z − k
= arg
(
z − k
)
.
53
Agora,
r
2
= (z
1
− k)
z − k
=
|
z
1
− k
|
.
z − k
.e
i
(
arg(z
1
−k)+arg
(
z−k
))
= |z
1
− k| .
z − k
= |z
1
− k| . |z − k|
= |(z
1
− k) (z − k)| .
Ent˜ao, temos uma f´ormula para a invers˜ao em c´ırculo pois,
(z
1
− k)
z − k
= r
2
=⇒
z
1
=
r
2
z − k
+ k =⇒
z
1
=
kz + r
2
− |k|
2
z − k
.
No nosso Exemplo 2 da Se¸c˜ao 3.1 temos 3 isometrias (Figura 11):
δ
0
(z) = z
δ
1
(
z
) = |
z
|
√
2
2
+ i
√
2
2
δ
2
(z) =
z.
1 +
1
2 + 2
√
2
cos
π
8
+ i sen
π
8
− 1
z −
1 +
1
2 + 2
√
2
cos
π
8
− i sen
π
8
Ent˜ao, o grupo discreto de isometrias procurado ´e F
1
= δ
0
, δ
1
, δ
2
sendo o ponto Q =
a cos
π
8
, a sen
π
8
com a = 0, 8607063036.
Cap´ıtulo 4
Mergulhos Isom´etricos
Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e considerar reticulados an´alogos ao dos exemplos do Cap´ıtulo 3
e mergulh´a-los isometricamente em S
8
⊂ R
9
, ou seja, transform´a-los em “reticulados esf´ericos”.
A raz˜ao disso ´e que, mesmo sendo crescente o estudo de c´odigos corretores de erros em espa¸cos
hiperb´olicos, n˜ao h´a, aparentemente, uma situa¸c˜ao pr´atica em Teoria da Informa¸c˜ao e Codi-
fica¸c˜ao que possa ser modelada convenientemente por modelos puramente hiperb´olicos.
De um modo geral, a pesquisa sobre mergulhos isom´etricos de variedades riemannianas em
espa¸cos euclidianos e esf´ericos n˜ao ´e simples. Entretanto, trabalharemos com o mergulho
isom´etrico estudado em [16] aplicado aos nossos reticulados. Para tanto, consideremos um outro
modelo para a geometria hiperb´olica plana denotado por (P, ds) , sendo P = {(u, v) : u, v ∈ R} =
R
2
munido da m´etrica riemanniana ds tal que:
ds =
du
2
+ cosh
2
(u) dv
2
.
Uma isometria entre as variedades riemannianas (P, ds) e (H, ds
) , sendo H o modelo do semi-
plano e
ds
=
√
dx
2
+dy
2
y
,
´e dada por α : P →H tal que:
α (u, v) = e
v
tanh (u) ,
1
cosh(u)
,
cuja inversa ´e dada por α
−1
= β : H →P tal que:
β (x, y) =
senh
−1
x
y
, ln
x
2
+ y
2
.
Consideremos as seguintes fun¸c˜oes (ref. [3] e [4]):
ψ
1
: R −→ R
u −→ 3
2
|
u
|
+
1
2
+5
e ψ
2
: R −→ R
u −→ 3
2
|
u
|
2
+6
.
sendo z o maior n´umero inteiro menor do que ou igual a z. As fun¸c˜oes acima s˜ao do “tipo
escada”.
Definamos a constante
A =
1
0
sen (πξ) exp
−1
sen
2
(πξ)
dξ
∼
=
0, 14133...
Consideremos tamb´em as seguintes fun¸c˜oes:
ϕ
1
: R −→ R
u −→
1
A
u+1
0
sen
(
πξ
)
exp
−1
sen
2
(πξ)
dξ
54
55
ϕ
2
: R −→ R
u −→
1
A
u
0
sen (πξ) exp
−1
sen
2
(
πξ
)
dξ
f
1
: R −→ R
u −→
ϕ
1
(u) senh(u)
ψ
1
(u)
e f
2
: R −→ R
u −→ f
2
(u) =
ϕ
2
(u) senh(u)
ψ
2
(u)
F
1
: R −→ R
u −→ tanh (exp (u))
e F
2
: R −→ R
u −→
1
cosh
(
exp
(
u
))
g : R −→ R
u −→
R
2
− ε
2
F
2
1
(u) +
1
2
F
2
2
(u) + f
2
1
(u) + f
2
2
(u)
,
sendo R o raio do espa¸co esf´erico, que nosso caso ´e 1.
ρ
1
: R −→ R
u −→
u
0
F
2
(
ξ
)
F
1
(ξ)
1 − Kg
(ξ)
2
− Kε
2
F
1
(ξ)
2
+
1
2
F
2
(ξ)
2
+ f
1
(ξ)
2
+ f
2
(ξ)
2
dξ
ρ
2
: R −→ R
u −→ −
u
0
F
1
(ξ)
F
2
(ξ)
1 − Kg
(ξ)
2
− Kε
2
F
1
(ξ)
2
+
1
2
F
2
(ξ)
2
+ f
1
(ξ)
2
+ f
2
(ξ)
2
dξ
,
sendo − K a curvatura gaussiana constante do modelo P que, no nosso caso, ´e −1 (ref. [16]).
A aplica¸c˜ao M : P →S
8
⊂ R
9
tal que:
M (u, v) = (x
1
(u, v) , ..., x
9
(u, v))
com fun¸c˜oes coordenadas x
j
: P →R dadas por:
x
1
(
u, v
) =
εF
1
(
u
)
cos
v+ρ
1
(u)
ε
√
K
x
2
(u, v) = εF
1
(u) sen
v+ρ
1
(u)
ε
√
K
x
3
(u, v) =
ε
√
2
F
2
(u) cos
√
2(v+ρ
2
(u))
ε
√
K
x
4
(u, v) =
ε
√
2
F
2
(u) sen
√
2
(
v+ρ
2
(
u
))
ε
√
K
x
5
(
u, v
) =
εf
1
(
u
)
cos
vψ
1
(u)
ε
√
K
x
6
(u, v) = εf
1
(u) sen
vψ
1
(u)
ε
√
K
x
7
(u, v) = εf
2
(u) cos
vψ
2
(u)
ε
√
K
x
8
(u, v) = εf
2
(u) sen
vψ
2
(
u
)
ε
√
K
x
9
(u, v) = g (u)
´e um mergulho isom´etrico de P em S
8
(ref. [16]).
Adotaremos, para os exemplos a seguir, ε = 0, 5 em g, ρ
1
e ρ
2
, que est´a pr´oximo do valor
limite para que as ra´ızes em g, ρ
1
e ρ
2
n˜ao sejam n´umeros complexos. Al´em disso, devido
56
`a complexidade dos integrandos que definem as fun¸c˜oes ρ
1
(
u
)
e ρ
2
(
u
)
, motivo pelo qual o
software matem´atico Maple 12 n˜ao conseguiu avaliar as fun¸c˜oes ρ
1
e ρ
2
para v´arios valores de
u, optamos por interpolar os integrandos
F
2
(ξ)
F
1
(ξ)
1 − Kg
(ξ)
2
− Kε
2
F
1
(ξ)
2
+
1
2
F
2
(ξ)
2
+ f
1
(ξ)
2
+ f
2
(ξ)
2
e
F
1
(ξ)
F
2
(ξ)
1 − Kg
(ξ)
2
− Kε
2
F
1
(ξ)
2
+
1
2
F
2
(ξ)
2
+ f
1
(ξ)
2
+ f
2
(ξ)
2
por polinˆomios de grau 8 (n˜ao encontramos melhoras de aproxima¸c˜ao para polinˆomios de graus
maiores). As interpola¸c˜oes foram feitas utilizando o sofware Maple 12 de forma que primeiro
obtivemos os p ontos (imagens de 9 pontos em cada intervalo igualmente espa¸cados) necess´arios
para cada interpola¸c˜ao e depois utilizamos o comando PolynomialInterpolation para interpolar.
Devido `as caracter´ısticas dos exemplos que estamos propondo n´os obtivemos dois polinˆomios,
um para cada integrando, para cada intervalo, sendo eles [−3, −2] , [−2, −1] , [−1, 0] , [0, 1] ,
[
1, 2
]
e
[
2, 3
]
(observe que os integrandos n˜ao est˜ao definidos nos n´umeros inteiros), ou seja,
12 polinˆomios. Com esses polinˆomios avaliamos o mergulho M em cada um dos pontos dos
exemplos seguintes.
Chamaremos de M o mergulho M com as substitui¸c˜oes dos integrandos de ρ
1
e ρ
2
pelas
interpola¸c˜oes conforme explicado anteriormente.
Tamb´em cabe chamar a aten¸c˜ao para o conceito de distˆancia m´ınima entre pontos de um
reticulado. Para que um reticulado tenha utilidade do ponto de vista de Teoria da Informa¸c˜ao e
Codifica¸c˜ao, a menor distˆancia (euclidiana) entre pontos do reticulado n˜ao deve ser t˜ao pequena.
Por outro lado, mergulhar o reticulado em espa¸cos esf´ericos de raio maior significa aumentar
a quantidade de energia gasta, o que n˜ao ´e bom para um sistema eficiente de comunica¸c˜oes.
Por fim, ressaltamos que a utiliza¸c˜ao de espa¸cos esf´ericos ´e interessante do ponto de vista de
codifica¸c˜ao porque a quantidade de energia gasta no envio de palavras-c´odigo ´e a mesma para
qualquer ponto do reticulado, ou seja, a energia gasta ´e proporcional ao raio do espa¸co esf´erico.
Exemplo 1: Consideremos os p ontos do 16 − QAM, dispostos no modelo P de modo que
Q
1
= (0, 0) , Q
2
= (1, 0) , Q
3
= (2, 0) , Q
4
= (3, 0) , Q
5
= (0, 1) , Q
6
= (1, 1) , Q
7
= (2, 1) ,
Q
8
= (3, 1) , Q
9
= (0, 2) , Q
10
= (1, 2) , Q
11
= (2, 2) , Q
12
= (3, 2) , Q
13
= (0, 3) , Q
14
= (1, 3) ,
Q
15
= (2, 3) e Q
16
= (3, 3) (Figura 17). Aplicando o mergulho M a esses pontos teremos as suas
imagens, que chamaremos de p
i
= M (Q
i
) ⊂ S
8
⊂ R
9
com i = 1, ..., 16. Calculando a distˆancia
euclidiana entre todos os pontos conclu´ımos que a menor distˆancia euclidiana se d´a entre os
pontos p
3
e p
4
que s˜ao imagens dos pontos Q
3
e Q
4
em R
2
,com d (p
3
, p
4
) = 0, 001218021438,
ou seja, do ponto de vista de distˆancia m´ınima, esse mergulho n˜ao foi bom, pois os pontos est˜ao
muito agrupados no S
8
.
Observemos que a distˆancia entre Q
3
e Q
4
´e 1, pois na m´etrica do modelo P, a abscissa tem
m´etrica euclidiana.
1
y
x
1 2 3
2
3
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
Q
5
Q
6
Q
7
Q
8
Q
9
Q
10
Q
11
Q
12
Q
13
Q
14
Q
15
Q
16
P
Figura 17: Uma poss´ıvel posi¸c˜ao para o reticulado 16 − QAM no modelo P.
57
Exemplo 2: Consideremos agora os pontos do 16 − QAM deslocados, Q
1
=
−
3
2
,
3
2
,
Q
2
=
−
1
2
,
3
2
, Q
3
=
1
2
,
3
2
, Q
4
=
3
2
,
3
2
, Q
5
=
−
3
2
,
1
2
, Q
6
=
−
1
2
,
1
2
, Q
7
=
1
2
,
1
2
, Q
8
=
3
2
,
1
2
, Q
9
=
−
3
2
, −
1
2
, Q
10
=
−
1
2
, −
1
2
, Q
11
=
1
2
, −
1
2
, Q
12
=
3
2
, −
1
2
, Q
13
=
−
3
2
, −
3
2
,
Q
14
=
−
1
2
, −
3
2
, Q
15
=
1
2
, −
3
2
e Q
16
=
3
2
, −
3
2
(Figura 18). Aplicando o mergulho M
a esses pontos teremos as suas imagens, que chamaremos de p
i
= M
(
Q
i
)
⊂ S
8
⊂ R
9
com
i = 1, ..., 16. Calculando a distˆancia euclidiana entre todos os pontos conclu´ımos que a menor
distˆancia se d´a entre os pontos p
4
e p
15
que s˜ao imagens dos pontos Q
4
e Q
15
em R
2
,com
d (p
4
, p
15
) = 0, 141807756, ou seja, uma melhora bastante significativa em rela¸c˜ao ao exemplo
anterior.
Calculando a distˆancia entre Q
4
e Q
15
na m´etrica de P, denotada por ρ (α (Q
4
) , α (Q
15
)) ,
encontramos o valor 3, 935213459, ou seja,
d
(
p
4
,p
15
)
ρ(α(Q
4
),α(Q
15
))
= 0, 036035594, que demonstra uma
rela¸c˜ao entre distˆancias bem mellhor que no exemplo anterior, que ´e 0, 001218021438.
0.5
y
x
1.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
-1.5 -0.5
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
Q
5
Q
6
Q
7
Q
8
Q
9
Q
10
Q
11
Q
12
Q
13
Q
14
Q
15
Q
16
P
Figura 18: Uma posi¸c˜ao do 16 − QAM em P que resulta em distˆancia m´ınima maior em S
8
.
Dos dois exemplos anteriores, percebemos que a posi¸c˜ao do reticulado em P interfere na distˆancia
m´ınima em S
8
. O que observamos numericamente, ap´os tomarmos v´arias posi¸c˜oes para o 16 −
QAM, ´e que a posi¸c˜ao central fornece a melhor distˆancia m´ınima.
Exemplo 3: Neste exemplo tomaremos o 16 − HQAM definido no Cap´ıtulo 3. Fazendo
a = 0, 8607063036 (calculamos esse valor no referido cap´ıtulo) e
b = 1, 587746142 temos as
coordenadas dos 16 pontos no modelo P dadas por (Figura 19):
Q
1
=
a cos
π
8
,
a sen
π
8
,
Q
2
=
b cos
π
8
,
b sen
π
8
,
Q
3
=
a cos
π
8
+
π
4
,
a sen
π
8
+
π
4
,
Q
4
=
b cos
π
8
+
π
4
,
b sen
π
8
+
π
4
,
Q
5
=
a cos
π
8
+ 2
π
4
,
a sen
π
8
+ 2
π
4
,
Q
6
=
b cos
π
8
+ 2
π
4
,
b sen
π
8
+ 2
π
4
,
Q
7
=
a cos
π
8
+ 3
π
4
,
a sen
π
8
+ 3
π
4
,
Q
8
=
b cos
π
8
+ 3
π
4
,
b sen
π
8
+ 3
π
4
,
Q
9
=
a cos
π
8
+ 4
π
4
,
a sen
π
8
+ 4
π
4
,
Q
10
=
b cos
π
8
+ 4
π
4
,
b sen
π
8
+ 4
π
4
,
Q
11
=
a cos
π
8
+ 5
π
4
,
a sen
π
8
+ 5
π
4
,
58
Q
12
=
b cos
π
8
+ 5
π
4
,
b sen
π
8
+ 5
π
4
,
Q
13
=
a cos
π
8
+ 6
π
4
,
a sen
π
8
+ 6
π
4
,
Q
14
=
b cos
π
8
+ 6
π
4
,
b sen
π
8
+ 6
π
4
,
Q
15
=
a cos
π
8
+ 7
π
4
,
a sen
π
8
+ 7
π
4
,
Q
16
=
b cos
π
8
+ 7
π
4
,
b sen
π
8
+ 7
π
4
.
Aplicando o mergulho M `a esses pontos teremos as suas imagens, que chamaremos de p
i
=
M (Q
i
) ⊂ S
8
⊂ R
9
com i = 1, ..., 16. Calculando a distˆancia euclidiana entre todos os pontos
conclu´ımos que a menor distˆancia se d´a entre os pontos p
15
e p
16
que s˜ao imagens dos pontos
Q
15
e Q
16
em R
2
,com d (p
15
, p
16
) = 0, 2235478903.
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
Q
5
Q
6
Q
7
Q
8
Q
9
Q
10
Q
11
Q
12
Q
13
Q
14
Q
15
Q
16
P
y
x
Figura 19: Reticulado 16 − HQAM no modelo P.
Observemos que a distˆancia m´ınima desses 16 pontos mergulhados em S
8
´e bem melhor que as
distˆancias m´ınimas que encontramos nos exemplos anteriores.
Calculando a distˆancia entre Q
15
e Q
16
na m´etrica de P encontramos o valor 0, 817051786, ou
seja,
d
(
p
15
,p
16
)
ρ(α(Q
15
),α(Q
16
))
= 0, 273603086, que demonstra uma rela¸c˜ao entre distˆancias bem mellhor
que nos exemplos anteriores, levando-nos a crer que, reticulados em ambientes hiperb´olicos
temos, de fato, uma melhora consider´avel na rela¸c˜ao entre as distˆancias.
Cap´ıtulo 5
Conclus˜oes e Perspectivas Futuras
Conforme constatado no cap´ıtulo anterior, a posi¸c˜ao na qual se encontra o reticulado que ser´a
mergulhado isometricamente em S
8
interfere na distˆancia m´ınima do reticulado mergulhado.
Tamb´em parece, embora n˜ao tenhamos provado, que o reticulado posicionado de modo sim´etrico
em rela¸c˜ao `a origem fornece melhor distˆancia m´ınima em S
8
. Este ´e um resultado a ser estu-
dado em trabalhos futuros. Tamb´em h´a de se considerar algo mais dif´ıcil: dentre os poss´ıveis
reticulados geometricamente uniformes com (por exemplo) 16 pontos, qual ´e aquele que fornece
a melhor distˆancia m´ınima em S
8
? N˜ao respondemos essa pergunta em nosso trabalho, mas
certamente ´e um problema que merece aten¸c˜ao, pois trata-se de uma quest˜ao b´asica em Teoria
da Informa¸c˜ao e Codifica¸c˜ao o estudo dos c´odigos que possuem o melhor desempenho poss´ıvel
dentro de uma determinada classe de c´odigos.
Outro problema que ficar´a para futuros estudos est´a relacionado `a n˜ao unicidade dos mergul-
hos isom´etricos do plano hiperb´olico em S
8
, ou seja, qual ´e e a rela¸c˜ao entre o ε das express˜oes
do mergulho isom´etrico e a distˆancia m´ınima do reticulado mergulhado? Algumas contas que
fizemos com alguns valores de ε levam a crer que quanto maior for o ε, melhor ser´a a distˆancia
m´ınima.
Tamb´em podem ser considerados casos de mergulhos isom´etricos de reticulados em ambi-
entes euclidianos e hiperb´olicos simultaneamente. Por exemplo, conforme mencionado neste
trabalho, o reticulado 16 − QAM pode ser mergulhado isometricamente em uma esfera tridi-
mensional em R
4
e, tamb´em, em uma esfera de dimens˜ao 8 em R
9
. Fazer a compara¸c˜ao en-
tre distˆancias m´ınimas nesses dois ambientes ´e interessante, pois pode levar-nos a considerar
a relevˆancia de trabalharmos com reticulados euclidianos ou com reticulados genuinamente
hiperb´olicos. Nesse sentido, e baseados nos exemplos que trabalhamos, somos levados a crer
que reticulados genuinamente hiperbolicos geram imagens mergulhadas com propriedades mel-
hores, do ponto de vista da codifica¸c˜ao, do que reticulados euclidianos.
Por fim, ´e natural a extens˜ao desse trabalho para dimens˜oes maiores, seja no dom´ınio dos
mergulhos, seja na imagem. Nesse sentido, temos duas linhas de pesquisa bastante ´arduas:
(1) a passagem do plano hiperb´olico para espa¸cos hiperb´olicos de dimens˜oes maiores do que
2 envolve o estudo de grupos de transforma¸c˜oes bastante complicados. Em dimens˜ao trˆes,
temos os chamados grupos kleinianos (an´alogos dos grupos fuchsianos) nos quais n˜ao h´a muita
pesquisa a respeito. Ali´as, do ponto de vista de pesquisa matem´atica, o estudo de geometrias
n˜ao-euclidianas ´e um campo pouco explorado; (2) a passagem do S
8
para outros espa¸cos esf´ericos
envolve o desenvolvimento de express˜oes de mergulhos isom´etricos, o que certamente ´e bastante
dif´ıcil devido `a escassez de artigos sobre o assunto.
59
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] Agustini, E. “Constela¸c˜oes de Sinais em Planos Hiperb´olicos: mergulhos isom´etricos em
R
6
e em S
8
”. Anais do XXX Congresso Nacional de Matem´atica Aplicada e Computacional
- CNMAC 2007. Florian´opolis. vol. ´unico, pp. 1-6.
[2] Beardon, A. F. The Geometry of Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. 1982.
[3] Blanusa, D. “
¨
Uber die Einbettung hyperbolischer Ra¨ume in euklidische Ra¨ume”. Monat-
shefte f¨ur Mathematik, 59 Band, 3 Heft, 1955, pp. 217-229.
[4] Blanusa, D. “C
∞
-isometric imbeddings of the hyperbolic plane and of cylinders with
hyperbolic metric in spherical spaces”. Annali di Matematica Pure et Applicata (Springer-
Verlag), vol 4, n. 57, 1962, pp.321-337.
[5] Carmo, M. P. Geometria Riemanniana. 4
a
. ed. Rio de Janeiro: IMPA - Associa¸c˜ao
Instituto Nacional de Matem´atica Pura e Aplicada. (cole¸c˜ao Projeto Euclides). 2005.
[6] Carmo, M. P. Geometria Diferencial de Curvas e Superf´ıcies. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matem´atica. (Cole¸c˜ao Textos Universit´arios). 2005.
[7] Cavalcante, R. G., Lazari, H. Lima, J. D. & Palazzo Jr., R. “A New Approach to
the Design of Digital Communication Systems”. DIMACS Series in Discrete Mathematics
and Theoretical Computer Science- AMS. Vol. 68, 2005. (33 p.)
[8] Costa, S. I. R., Muniz, M. A., Agustini. E, Palazzo Jr. R. Graphs, Tessellations,
and Perfect Codes on Flat Tori. IEEE - Transactions on Information Theory. Vol 50, n.
10, oct. 2004, pp. 2363 - 2377.
[9] Gromov, M. L. & Rokhlin, V. A. “Embeddings and Immersions in Riemannian Ge-
ometry”. Russian Mathematical Surveys, 25, 1970, pp. 1-57.
[10] Katok, S. Fuchsian Groups. Chicago: The University of Chicago Press. 1992.
[11] Lazari, H. & Palazzo Jr. R. “Geometrically uniform hyperbolic codes”. Computational
and Applied Mathematics. Vol. 24, No. 2, 2005, pp. 173-192.
[12] Lima, E. L. Curso de An´alise; vol 1. 12
a
. ed. Rio de Janeiro: IMPA - Associa¸c˜ao Instituto
Nacional de Matem´atica Pura e Aplicada. (Cole¸c˜ao Projeto Euclides). 2009.
[13] Lima, E. L.
´
Algebra Linear. 7
a
. ed. Rio de Janeiro: IMPA - Associa¸c˜ao Instituto Nacional
de Matem´atica Pura e Aplicada. (Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria). 2004.
[14] Rodrigues, L. B. & Agustini, E. “Reticulados Geometricamente Uniformes Mergul-
hados Isometricamente em Espa¸cos Euclidianos”. Anais do XXXII Congresso Nacional de
Matem´atica Aplicada e Computacional - CNMAC 2009. Cuiab´a. vol. ´unico, pp. 1-2.
60
61
[15] Silva, E. B., Firer, M., Costa, S. R. & Palazzo Jr., R. “Signal constellations in
the hyperbolic plane: A proposal for new communication systems”. Journal of the Franklin
Institute, No. 343, 2006, pp. 69-82.
[16] Vieira, W. E. Mergulhos Isom´etricos do Plano Hiperb´olico em Espa¸cos Euclidianos.
Disserta¸c˜ao de Mestrado. Universidade Federal de Uberlˆandia, 2009.
Apˆendice
O software de c´alculo num´erico e simb´olico utilizado para a execu¸c˜ao dos c´alculos apresentados
no Cap´ıtulo 4 foi o Maple 12.0.
Primeiramente carregamos os seguintes pacotes:
with(Student[Calculus1]);
with(Student:-Precalculus);
with(geometry);
with(Student[Precalculus]);
with(plots);
with(CurveFitting);
Para evitar confus˜ao nos c´alculos dividimos as rotinas em arquivos diferentes onde em cada
arquivo foi executado um passo da resolu¸c˜ao. Entretanto, em praticamente todos os arquivos
foram definidas as seguintes fun¸c˜oes:
ψ(u):= 3
2trunc
abs(u)+1
2
+5
B(u):= 3
2trunc
abs(u)
2
+6
A:=
1
0
sin(πξ)exp
-
1
(sin(πξ))
2
dξ
ϕ(u):=
1
A
u+1
0
sin(πξ)exp
-
1
(sin(πξ))
2
dξ
1
2
C(u):=
1
A
u
0
sin(πξ)exp
-
1
(sin(πξ))
2
dξ
1
2
f(u):=
ϕ(u)
ψ(u)
.sinh(u)
h(u):=
C(u)
B(u)
.sinh(u)
F(u):= tanh(exp(u))
G(u):=
1
cosh(exp(u))
E ainda:
62
63
ε(x):= 0.5
g(u):=(1-(ε(x))
2
).
F(u)
2
+
1
2
.G(u)
2
+f(u)
2
+h(u)
2
1
2
K(u):= f(u).
((ϕ’)(u)).
1
ψ(u)
sinh(u)+
ϕ(u)
ψ(u)
cosh(u)
+h(u)
((C’)(u)).
1
B(u)
sinh(u)+
C(u)
B(u)
.cosh(u)
J(u):=(ε(x)
4
).(F(u).((F’)(u))+
1
2
.(G(u).((G’)(u))+K(u))
/(1-(ε(x)
2
).(F(u)
2
+
1
2
.G(u)
2
+f(u)
2
+h(u)
2
L(u):=((F’)(u))
2
+
1
2
.((G’)(u))
2
+
(ϕ’)(u)
ψ(u)
.sinh(u)+
ϕ(u)
ψ(u)
.cosh(u)
2
+
(C’)(u)
B(u)
.sinh(u)+
C(u)
B(u)
.cosh(u)
2
ρ(u):=
u
0
G(ξ)
F(ξ)
.1-(J(ξ)-(ε(x)
2
).(L(ξ))))
1
2
dξ
σ(u):= -
u
0
F(ξ)
G(ξ)
.1-(J(ξ)-(ε(x)
2
).(L(ξ))))
1
2
dξ
Al´em dessas fun¸c˜oes, para interpolar o integrando de ρ incluimos, em um dos arquivos, a fun¸c˜ao
M(ξ):=
G(ξ)
F(ξ)
.(1-(J(ξ)-(ε(x)
2
).(L(ξ))))
1
2
e utilizamos o comando
evalf(M(0.05))
para avaliar M em 0.05, por exemplo. Calculamos M (0.1) , M (0.2) , ..., M (0.9) para o intervalo
de 0 a 1. E fizemos de forma an´aloga para os intervalos
(
1, 2
)
,
(
2, 3
)
,
(
0, −1
)
,
(−
1, −2
)
,
(−2, −3) . Ap´os esse passo utilizamos o comando
PolynomialInterpolation([[0.1,0.7111044617],[0.2,0.6183718241],[0.3,0.5339091294],
[0.4,0.4569271249],[0.5,0.3868327086],[0.6,0.3232378012],[0.7,0.2659377173],
[0.8,0.2148619305],[0.9,0.1700034059]],x)
para interpolar um polinˆomo de grau 8 para M. Observe que dentro de cada colchete ´e inserido
o par ordenado [ξ, M (ξ)] , ressaltando que esses pares ordenados foram inseridos manualmente.
De forma an´aloga, em outro arquivo, al´em as fun¸c˜oes anteriores definimos M agora para
interpolar o integrando de σ como
M(ξ):=
F(ξ)
G(ξ)
.(1-(J(ξ)-(ε(x)
2
).(L(ξ))))
1
2
e interpolamos, usando os mesmos comandos, um polinˆomio de grau 8 para M.
Esse procedimento foi feito para todos os intervalos acima citados.
Com os polinˆomios interpolados foram criados agora 6 arquivos contendo os mergulhos:
para os intervalos
(
0, 1
)
,
(
0, 2
)
,
(
0, 3
)
,
(−
1, 0
)
,
(−
2, 0
)
e
(−
3, 0
)
. Cada um desses arquivos
64
possui as fun¸c˜oes acima citadas com apenas duas modifica¸c˜oes: agora no lugar dos integrandos
de ρ e σ aparecem os polinˆomios obtidos no passo acima. Por exemplo, no mergulho (0, 2) , ρ
est´a definido da seguinte forma
ρ(u):=
1
0
(0.008131944444x
8
-0.02353154761x
7
-0.01404347222x
6
+0.07796141668x
5
+0.003503804857x
4
-0.1774347629x
3
+0.5126909482x
2
-1.068995836x+0.8130534569)dx
+
u
1
(0.006154489087x
8
-0.09581197619x
7
+0.6122268938x
6
-2.093144036x
5
+4.169221506x
4
-5.012648120x
3
+3.917031830x
2
-2.415097409x+1.043413994)dx.
Nesses arquivos dos mergulhos est˜ao o restante das fun¸c˜oes que definem o mergulho M, s˜ao
elas:
l(u,v):= ε(x).F(u).cos
(v+ρ(u))
ε(x)
m(u,v):= ε(x).F(u).sin
(v+ρ(u))
ε(x)
n(u,v):=
ε(x)
sqrt(2)
.G(u).cos
sqrt(2).(v+σ(u))
ε(x)
o(u,v):=
ε(x)
sqrt(2)
.G(u).sin
sqrt(2).(v+σ(u))
ε(x)
p(u,v):= ε(x).f(u).cos
v.ψ(u)
ε(x)
q(u,v):= ε(x).f(u).sin
v.ψ(u)
ε(x)
r(u,v):= ε(x).h(u).cos
v.B(u)
ε(x)
s(u,v):= ε(x).h(u).sin
v.B(u)
ε(x)
t(u,v):= g(u)
H(u,v):=(l(u,v),m(u,v),n(u,v),o(u,v),p(u,v),q(u,v),r(u,v),s(u,v),t(u,v))
Para avaliar H nos pontos dos exemplos na disserta¸c˜ao utilizamos o comando evalf(H(u,v))
dentro do arquivo do mergulho ao qual
u
pertence. Por exemplo, para calcular o valor de
H
3
2
,
3
2
digitamos o comando
evalf
H
3
2
,
3
2
dentro do arquivo do mergulho do intervalo (0, 2) , e assim por diante, obtendo o valor dos 48
pontos dos 3 exemplos da disserta¸c˜ao.
Para calcular a distˆancia m´ınima definimos, em arquivos separados, os 16 pontos de cada
exemplo como p1, ..., p16. Por exemplo, no exemplo 1 p1 ´e H (0, 0) , logo foi definido como
p1:=(-0.9907385618,0.04721623728,0.3346564052,0.08356188965,-0.00007386159764,
-0.0003362043923,-0.0009291809611,-0.0004505808513,0.9321889905)
ressaltando novamente que esses valores foram copiados e colados manualmente.
Da´ı, com o comando
Distance([pi],[pj])
65
calculamos as distˆancias entre os pontos da seguinte forma,
Distance([p1],[p2]),...,Distance([p1],[p16]),
Distance([p2],[p3]),...,Distance([p2],[p16]),
.
.
.
Distance([p15],[p16]).
E visualmente foi verificada a menor distˆancia.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
