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PROPOSTA DE UMA DISTRIBUIÇÃO
BIMODAL SEM MISTURA: UMA
APLICAÇÃO EM DADOS DE TEOR DE
SÓLIDOS SOLÚVEIS DE CANA-DE-AÇÚCAR
MARCELO LEMOS DE MEDEIROS
2009
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MARCELO LEMOS DE MEDEIROS
PROPOSTA DE UMA DISTRIBUIÇÃO BIMODAL SEM MISTURA:
UMA APLICAÇÃO EM DADOS DE TEOR DE SÓLIDOS SOLÚVEIS DE
CANA-DE-AÇÚCAR
Tese apresentada à Universidade Federal de Lavras,
como parte das exigências do Programa de Pós-
Graduação em Estatística e Experimentação
Agropecuária, para a obtenção do título de “Doutor”.
Orientador
Prof. Dr. Mário Javier Ferrua Vivanco
LAVRAS
MINAS GERAIS - BRASIL
2009
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Ficha Catalográfica Preparada pela Divisão de Processos Técnicos da
Biblioteca Central da UFLA
Medeiros, Marcelo Lemos de.
Proposta de uma distribuição bimodal sem mistura: uma
aplicação em dados de teor de sólidos solúveis de cana-de-açúcar /
Marcelo Lemos de Medeiros. – Lavras : UFLA, 2009.
54 p. : il.
Tese (doutorado) – Universidade Federal de Lavras, 2009.
Orientador: Mário Javier Ferrua Vivanco.
Bibliografia.
1. Mistura de distribuições. 2. Família exponencial de
probabilidades. 3. Distribuição bimodal de probabilidades. I.
Universidade Federal de Lavras. II. Título.
CDD – 519.24
MARCELO LEMOS DE MEDEIROS
PROPOSTA DE UMA DISTRIBUIÇÃO BIMODAL SEM MISTURA:
UMA APLICAÇÃO EM DADOS DE TEOR DE SÓLIDOS SOLÚVEIS DE
CANA-DE-AÇÚCAR
Tese apresentada à Universidade Federal de Lavras,
como parte das exigências do Programa de Pós-
Graduação em Estatística e Experimentação
Agropecuária, para a obtenção do título de “Doutor”.
APROVADA em 31 de julho de 2009
Prof. Dr. Eric Batista Ferreira UNIFAL-MG
Prof. Dr. Joel Augusto Muniz UFLA
Prof. Dr. Telde Natel Custódio UFSJ
Prof.
a
Dr.
a
Thelma Sáfadi UFLA
Prof. Dr. Mário Javier Ferrua Vivanco
UFLA
(Orientador)
LAVRAS
MINAS GERAIS - BRASIL
A Deus,
Por nunca me abandonar nos momentos mais difíceis de minha humilde
caminhada e dar-me forças para prosseguir e jamais desistir.
Ofereço
A minha mãe, Nadir Lemos, por seu exemplo de perseverança e apoio irrestrito.
Ao meu pai, Marcos Antônio Medeiros, pela vida.
Ao meu irmão Marcos, por seu exemplo de lutas e conquistas.
Aos meus filhos, Larissa, Heitor e Thayssa, estímulos para a minha vida.
Dedico
AGRADECIMENTOS
À Universidade Federal de Lavras e ao Departamento de Ciências
Exatas, pela oportunidade de realizar este curso.
Ao professor Mário, pela orientação e paciência nos momentos
oportunos.
Ao professor Eric, pelas sugestões.
Ao professor Joel, pelo incentivo ao meu trabalho desde o início de
minha caminhada nesta instituição.
Aos professores participantes da banca de qualificação e defesa, pelas
valorosas contribuições dadas ao trabalho.
Aos professores do Departamento de Ciências Exatas da UFLA, pelos
ensinamentos transmitidos.
Aos funcionários do Departamento de Ciências Exatas da UFLA, pela
presteza.
Aos professores do Departamento de Estatística da Universidade Federal
de Viçosa, pelo estímulo inicial à minha paixão pela estatística.
Ao amigo Fernando Ewald, pelo apoio e fornecimento dos dados.
Ao amigo e colega de curso Aladir, pelo companheirismo e apoio nos
momentos difíceis dessa jornada.
Ao colega Anderson, pela indispensável ajuda no R.
Aos demais colegas de curso, que por muito tempo ou por apenas alguns
momentos, permitiram a troca de experiências pessoais e profissionais.
A toda minha família, pelo apoio e confiança no sucesso dos meus
desafios.
Enfim, a todos aqueles que contribuíram, de forma direta ou indireta,
para a realização de mais essa etapa de minha vida.
“Da mesma forma que você não precisa saber ler uma
partitura musical para apreciar uma música ou uma
sinfonia de Beethoven, você também não precisa saber
escrever equações matemáticas para apreciar a beleza da
ciência.”
Marcelo Gleiser
Físico e Astrônomo brasileiro (Dartmouth College-USA)
BIOGRAFIA
Marcelo Lemos de Medeiros, filho de Marcos Antônio Medeiros
(sempre presente) e Nadir Lemos de Medeiros, nascido em Paranavaí, estado do
Paraná, em 15 de setembro de 1972.
Em 1990, ingressou no Curso de Agronomia da Universidade Federal de
Viçosa (UFV), em Viçosa, MG, tendo atuado como Monitor I de Estatística, de
1991 a 1993 e como bolsista de iniciação científica no Departamento de Solos
de 1993 a 1994, graduando-se em fevereiro de 1995
Em março de 1995, iniciou o Curso de Mestrado em Solos e Nutrição de
Plantas na UFV, onde atuou como Monitor II de Estatística em 1996,
submetendo-se à defesa de dissertação em fevereiro de 1999.
Foi professor da Sociedade Educacional III Milênio em Curitiba, PR, no
ano de 1998.
Foi professor de matemática do pré-vestibular Pitágoras em Belo
Horizonte, MG, no período de fevereiro de 2001 a julho de 2003.
Contratado pela Fundação Educacional de Divinópolis, unidade
agregada à Universidade do Estado de Minas Gerais (UEMG), em abril de 1999,
onde trabalha com atividades de docência superior e pesquisa até os dias atuais.
Em março de 2004, ingressou no Doutorado em Estatística e
Experimentação Agropecuária na Universidade Federal de Lavras (UFLA), em
Lavras, MG, submetendo-se à defesa de tese em julho de 2009.
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................... i
RESUMO ............................................................................................................ iii
ABSTRACT ....................................................................................................... iv
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................. 1
2 REFERENCIAL TEÓRICO ........................................................................... 4
2.1 Modelos de distribuições de probabilidade .................................................... 4
2.2 Estimação de parâmetros ............................................................................... 5
2.2.1 Método da máxima verossimilhança ......................................................... 6
2.2.2 Método dos momentos............................................................................... 8
2.3 Família exponencial de probabilidades .......................................................... 9
2.4 Misturas de distribuições de probabilidade.................................................. 10
2.5 Aplicações de misturas de distribuições ...................................................... 11
2.6 Teor de sólidos solúveis da cana-de-açúcar ................................................. 16
3 A DISTRIBUIÇÃO BIMODAL SEM MISTURA ...................................... 19
3.1 Construção do modelo ................................................................................. 19
3.2 Classificação dos parâmetros ....................................................................... 23
3.3 Família de probabilidades do modelo proposto ........................................... 27
4 APLICAÇÃO EM CANA-DE-AÇÚCAR.................................................... 29
4.1 Definição do modelo bimodal ...................................................................... 30
4.2 Estimação dos parâmetros ........................................................................... 31
4.3 Pontos críticos .............................................................................................. 40
4.4 Desempenho do modelo............................................................................... 42
5 CONCLUSÕES ............................................................................................ 45
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................... 46
ANEXOS ........................................................................................................... 50
i
LISTA DE FIGURAS
Página
FIGURA 1
Densidades não paramétricas para os dados da velocidade máxima
do vento no mês de abril (linha pontilhada) e distribuição ajustada
pela mistura de distribuições Gumbel (linha contínua).......................... 12
FIGURA 2
Imagem de uma amostra de juntas coladas em madeira utilizando
técnicas de visão artificial. ..................................................................... 14
FIGURA 3
Perfis das médias do número de fibras mielínicas do nervo
hipoglosso direito nos grupos <60 anos e >= 60 anos, de acordo com
o diâmetro das fibras. ............................................................................. 15
FIGURA 4
Histograma dos valores de impedância acústica, mostrando a
distribuição bimodal. ............................................................................. 16
FIGURA 5 Ilustração gráfica da equação (1). .......................................................... 20
FIGURA 6 Ilustração gráfica da equação (2). .......................................................... 21
FIGURA 7 Ilustração gráfica da equação (3). ......................................................... 22
FIGURA 8
Gráficos da densidade de probabilidade obtida para valores variados
do parâmetro a e valores fixos para os parâmetros b, c e d. .................. 24
FIGURA 9
Gráficos da densidade de probabilidade obtida para valores variados
do parâmetro b e valores fixos para os parâmetros a, c e d. .................. 25
FIGURA 10
Gráficos da densidade de probabilidade obtida para valores variados
do parâmetro c e valores fixos para os parâmetros a, b e d. .................. 26
FIGURA 11
Gráficos da densidade de probabilidade obtida para valores variados
do parâmetro d e valores fixos para os parâmetros a, b e c. .................. 27
ii
FIGURA 12
Distribuição dos valores obtidos para o teor de sólidos solúveis
(TSS), em
o
Brix, para 620 observações dos cortes de cana-de-açúcar
da safra de 2007, de uma usina da região de Araraquara, SP. ............... 30
FIGURA 13
Distribuição dos valores obtidos para k e
em função
das 12 combinações utilizadas para valores atribuídos aos
parâmetros a, b, c e d. ............................................................................ 33
FIGURA 14
Gráfico das funções de densidades de probabilidade e função de
distribuição acumulada para o modelo bimodal proposto ajustado
para as 620 observações do teor de sólidos solúveis. ............................ 43
iii
RESUMO
MEDEIROS, Marcelo Lemos de. Proposta de uma distribuição bimodal sem
mistura: uma aplicação em dados de teor de sólidos solúveis de cana-de-açúcar.
2009. 54p. Tese (Doutorado em Estatística e Experimentação Agropecuária) –
Universidade Federal de Lavras, Lavras.
1
Nos trabalhos científicos, em várias áreas do conhecimento, diante de
problemas de modelagem com características bimodais em variáveis aleatórias
contínuas, geralmente se opta por utilizar distribuições mistas ou mistura de
distribuições. Esses procedimentos consistem, de maneira geral, no ajuste de
dois modelos unimodais distintos ou não, com fatores de ponderação p e 1-p (0
< p < 1). Isso é feito para cada modelo, no respectivo intervalo de domínio da
variável aleatória estudada, de modo que fiquem combinados em todo o domínio
real. Em geral, as misturas de distribuições usuais apresentam muitos parâmetros
e, portanto, a solução do sistema de equações que compõem esses parâmetros
não é analítica e requer o uso de algoritmos iterativos pouco comuns para os
profissionais. O presente trabalho foi realizado com o objetivo construir um
modelo de densidade de probabilidade bimodal com lei matemática única e
estimadores explícitos para os seus parâmetros. Foi obtido um modelo que
pertence à família exponencial com quatro parâmetros: dois de locação, um de
forma e um de escala. Os estimadores de máxima verossimilhança dos
parâmetros de posição foram obtidos por iteração simples e os demais
apresentaram formas explícitas. O método dos momentos não permitiu a
estimação dos parâmetros de posição. Uma amostra de 620 observações do teor
de sólidos solúveis (em graus Brix) da cana-de-açúcar colhida na safra de 2007,
numa usina de açúcar e álcool da cidade de Araraquara, SP, que apresentou
características de bimodalidade, foi utilizada para aplicação do modelo proposto.
Os resultados obtidos permitiram explicar satisfatoriamente o fenômeno em
estudo. Sugere-se o uso do modelo de densidade bimodal proposto como
alternativa aos modelos de misturas de distribuições para se tratar as variáveis
aleatórias com comportamento bimodal e contribuir para popularizar a
modelagem em áreas científicas com menor afinidade para a estatística
computacional avançada.
Palavras-chave: Distribuição bimodal. Mistura de distribuições. Família
exponencial. Teor de sólidos solúveis da cana-de-açúcar.
1
Comitê Orientador: Prof. Dr. Mário Javier Ferrua Vivanco – UFLA (orientador), Prof.
Dr. Eric Batista Ferreira – UNIFAL-MG (coorientador).
iv
ABSTRACT
MEDEIROS, Marcelo Lemos de. Propose of a bimodal distribution without
mixture: an application on soluble solids content of sugar cane. 2009. 54p.
Thesis (Doctorate in Statistics and Agricultural Experimentation) - Universidade
Federal de Lavras, Lavras.
2
In the scientifics papers in various areas of knowledge, when they face
modeling problems with bimodal characteristics in random variables continuous,
usually opt to use mixed distributions or mixture of distributions. These
procedures are generally in the adjustment of two distinct or not models with
weighting factors p and 1-p (0 < p < 1). This is done for each model, in its range
of random variable domain studied so that the transceivers are combined into the
real domain. In General, the usual distribution mixtures presents many
parameters, and therefore the solution of the equations system that make up
these parameters is not analytical and requires use of unusual iterative
algorithms for professionals. This paper aimed to build a model of bimodal
probability density with single mathematical law and explicit estimators for their
parameters. It was obtained a model which belongs to the exponential family
with four parameters: two of the location, one of shape and one of scale. The
maximum likelihood estimators of positional parameters were obtained by
simple iteration and others presented explicit forms. The method of moments did
not allow the estimation of position parameters. A sample of 620 observations of
soluble solids content (in degrees Brix) sugar cane harvested in 2007 a crop in a
sugar factor and distillery in Araraquara city (São Paulo State - Brazil) which
has presented bimodal characteristics, was used to the application of the model
proposed. The results obtained have enabled explain satisfactorily the
phenomenon in study. It’s suggested the use of bimodal density model proposed
as an alternative to the models proposed of mixed distributions to work the
random variables with bimodal behavior and to contribute to popularize science
areas modeling with less affinity for advanced computing statistics.
Key-words: Bimodal distribution. Mixture of distributions. Exponential family,
Soluble solids content of sugar cane.
2
Guidance Committe: Prof. DSc. Mário Javier Ferrua Vivanco – UFLA (Adviser) e
Prof. Dr. Eric Batista Ferreira – UNIFAL-MG (Co-Adviser)
1
1 INTRODUÇÃO
A cana-de-açúcar é uma planta de grande importância na produção de
açúcar (sacarose) para o consumo humano e a produção de álcool combustível,
fonte de energia renovável, pouco poluente e de baixo custo.
Na década de 1970, após as crises do petróleo mundial em que o preço
do barril de petróleo chegou a patamares de preços insustentáveis para a época,
foi criado o Programa Nacional do Álcool, ou Proálcool. Esse programa
incentivou o desenvolvimento de novas tecnologias na produção e uso do álcool,
derivado da fermentação do caldo da cana-de-açúcar, nos veículos nacionais.
Sendo assim, o Proálcool alavancou a expansão das áreas produtivas no país e
construção de novas usinas principalmente no interior do estado de São Paulo.
Após o declínio dessa cultura, ocorrido nas décadas de 1980 e 1990,
com a extinção do programa por pressão de outros interesses econômicos, essa
cultura voltou a se destacar. As usinas de cana-de-açúcar atualmente não só
produzem o açúcar e o álcool a partir de açúcares extraídos do colmo da planta,
como também geram energia elétrica suficiente para sustentar suas atividades a
partir da queima do bagaço resultante da moagem e, adicionalmente, vendem a
energia excedente para concessionárias estaduais de energia elétrica, que a
repassam para suas redes de distribuição.
Tendo em vista que a sacarose (principal açúcar existente na planta da
cana-de-açúcar) é a principal matéria prima para a produção de açúcar e álcool,
há grande interesse das usinas no controle de sua concentração por ocasião da
colheita. Sendo assim, na chegada de um carregamento de cana à usina, colhe-se
uma amostra de material e, dentre outras medidas de interesse, mede-se, em
graus Brix, o teor de sólidos solúveis, cujo componente mais abundante é a
sacarose.
2
Os graus Brix representam o teor de sólidos solúveis (TSS) obtido por
meio de um equipamento denominado refratômetro. Esse valor, obtido a partir
de várias amostras dos carregamentos de colmos que chegam à usina, é uma das
variáveis mais importantes para o cálculo do açúcar total recuperável (ATR),
base para o pagamento de cana ao produtor.
Como existe uma grande variabilidade na cana entregue para suprir as
necessidades de uma usina de grande porte, há relevante variação dos TSS
obtidos e que refletem diretamente no rendimento industrial.
O TSS durante a safra varia, dentre outros fatores, com a fertilidade do
solo, o regime pluviométrico, variedade de cana plantada e a sua maturação no
momento de cada corte. A distribuição de freqüências dos valores do TSS
obtidos ao longo da safra apresenta características bimodais em alguns casos.
Isso sugere que, para determinadas condições numa dada safra, há um grupo de
cortes de cana em que a combinação desses fatores gera rendimento superior (do
ponto de vista do colmo da cana), com distribuição dos resultados em torno de
um TSS médio maior e outro grupo de cortes com rendimento inferior, em torno
de um TSS menor. Portanto, torna-se importante um modelo de previsibilidade
do TSS para uma safra vindoura, que esteja sob as mesmas condições, para
planejamento do rendimento industrial na produção de açúcar e álcool
combustível e, consequentemente, no resultado financeiro para o produtor e a
usina numa dada safra.
A presença de distribuições de probabilidades que apresentam duas ou
mais populações independentes dentro de uma mesma variável aleatória X é
pouco comum. Na maior parte dos casos, são definidas (de forma empírica ou
não) essas populações presentes e são tratadas isoladamente com distribuições
de probabilidade que melhor se ajustam em cada caso. No entanto, seja para
simplificação do estudo de algum fenômeno ou por julgar desnecessária sua
estratificação na obtenção de seus objetivos, existem situações em que há
3
interesse do pesquisador em modelar os dados em uma distribuição de
probabilidade única e os modelos unimodais não descrevem de forma
satisfatória esses fenômenos.
Considerando-se o caso específico da bimodalidade, vários trabalhos
científicos, em várias áreas do conhecimento, mostram que diante de problemas
de modelagem com características bimodais em variáveis aleatórias contínuas,
geralmente opta-se por utilizar distribuições mistas ou mistura de distribuições.
Esses procedimentos consistem, de maneira geral, no ajuste de dois modelos
unimodais distintos ou não (uniforme, exponencial, normal, gama, Beta,
Weibull, Gumbel, etc.) com fatores de ponderação p e 1-p. Isso é feito para cada
modelo, no respectivo intervalo de domínio da variável aleatória X estudada,
para que assim fiquem combinados em todo o domínio real de X. A carência, na
literatura, de modelos que expressem a bimodalidade com uma lei matemática
única também corroboram para o uso de mistura de distribuições nesses casos.
O uso da mistura de distribuições é bastante vantajoso, à medida que se
trabalha com modelos unimodais de características bastante exploradas e que se
ajustam aos dados com facilidade. A desvantagem é que, em geral, as misturas
de distribuições usuais apresentam muitos parâmetros e, portanto, a solução do
sistema de equações que compõem esses parâmetros não é analítica e requer a
aplicação de algoritmos iterativos complexos que limitam seu uso pelos
profissionais responsáveis por essas análises.
Em razão do exposto, objetivou-se com este trabalho, propor e estudar
um modelo de distribuição de probabilidade de variável aleatória contínua, com
características de bimodalidade, que apresente lei matemática única para todo o
domínio real da variável aleatória X, tenha maior praticidade para manuseio
computacional e aplicá-lo num banco de dados do TSS de cana-de-açúcar,
colhida no ano de 2007, numa usina localizada no município de Araraquara, SP.
4
2 REFERENCIAL TEÓRICO
Para atender aos propósitos do presente trabalho, se faz necessário
definir alguns conceitos de forma mais detalhada, bem como abordar trabalhos
que ilustram a problemática envolvida em modelagem bimodal. A seguir, serão
relatados tópicos pertinentes ao entendimento das propostas a serem
apresentadas posteriormente na construção do modelo e sua aplicação em dados
de cana-de-açúcar.
2.1 Modelos de distribuições de probabilidade
Muitas variáveis aleatórias se adaptam a uma série de problemas
práticos e aparecem, com bastante freqüência, no cotidiano científico. Um
estudo pormenorizado dessas variáveis permite a determinação de seus
principais parâmetros. Essas construções recebem o nome de modelos de
probabilidades. Esses modelos tornaram-se úteis para a descrição de várias
situações, quando se atendem às suas condições, e assim, facilitam o trabalho de
construção da distribuição de probabilidades.
De acordo com Mood et al. (1974), os modelos mais conhecidos são
divididos de acordo com o tipo de variável aleatória que descrevem. Para as
variáveis aleatórias discretas, os modelos mais conhecidos são o de Bernoulli, o
binomial, o hipergeométrico e o de Poisson, dentre outros. Já para as variáveis
aleatórias contínuas, destacam-se os modelos exponencial, normal, gamma, beta,
Gumbel e Weibull. O modelo de distribuição uniforme tem formato adaptado
para as variáveis aleatórias discreta e contínua.
O detalhamento dos modelos citados não é objetivo do presente trabalho
e, portanto não será feito nesta seção. No entanto, convém ressaltar que os
mesmos são amplamente explorados pela literatura especializada em vários
5
livros didáticos, utilizados nos cursos de graduação e de forma mais aprofundada
por outros autores, como Mood et al. (1974) e Lindsey (1996).
Em situações em que os modelos citados não atendem as expectativas do
pesquisador quanto à forma ou flexibilidade, por exemplo, é possível que se
possa gerar um novo modelo adequado aos interesses do problema. No entanto,
esse tipo de objetivo requer uma familiaridade do pesquisador com modelagem
matemática, criatividade e um bom editor gráfico para visualização das
eventuais propostas de funções que atendam aos propósitos desejados.
Mesmo depois de escolhido o modelo que apresente as características
desejáveis de ajustamento, é importante a inferência estatística para definir
estimadores de seus parâmetros, bem como as propriedades ótimas desses
estimadores.
2.2 Estimação de parâmetros
Segundo Mood et al. (1974), os processos de estimação permitem obter
aproximações numéricas para os parâmetros. Existem, basicamente, dois
processos de estimação: a pontual e a intervalar. A estimação pontual ou por
ponto é aquela em que se obtém um único valor amostral para estimar o
parâmetro populacional por meio de um estimador. Porém, esse processo de
estimação não fornece uma ideia da margem de erro que é cometida ao se
estimar um determinado parâmetro. A estimação intervalar consiste em se
construir um intervalo com probabilidade pré-fixada, em geral de 95% ou 99%,
de conter o verdadeiro valor do parâmetro conhecido.
Algumas propriedades dos estimadores pontuais são desejáveis na teoria
da inferência e a escolha de um estimador de um parâmetro θ qualquer em
relação a outro depende de avaliação dessas propriedades (Mood et al., 1974).
As principais propriedades são citadas a seguir:
6
a) não tendenciosidade: um estimador
é dito um estimador não
tendencioso do parâmetro θ se a esperança matemática de
for igual a θ,
ou seja, E(
) = θ. Vale lembrar que os termos não tendencioso, não
viciado, não viesado e imparcial são sinônimos;
b) consistência: um estimador é consistente se, além de não viesado, com o
aumento do tamanho da amostra n, seu valor converge para o parâmetro
e sua variância tende a zero;
c) eficiência: o estimador de maior eficiência, dentre todos os estimadores
não viesados de θ, é aquele que possui a menor variância;
d) suficiência: um estimador tem uma estatística suficiente quando essa
estatística consegue resumir toda informação sobre o parâmetro θ
presente na amostra sem necessariamente possuir a amostra completa.
Dentre os métodos de estimação existentes, destacam-se o método da
máxima verossimilhança e o método dos momentos.
2.2.1 Método da máxima verossimilhança
O método da máxima verossimilhança é um método de estimação
pontual amplamente utilizado na inferência estatística. Esse método foi
introduzido pela primeira vez por Fisher (1912) e é mostrado a seguir, de forma
resumida.
Seja uma variável aleatória X, cuja distribuição é dada pela função de
densidade (ou de probabilidade) f(x, θ
1,
θ
2,
... ,θ
k
) em que θ
1,
θ
2,
... ,θ
k
são k
7
parâmetros dessa função. Seja {x
1,
x
2,
...,x
n
} uma amostra aleatória de n
elementos dessa população. A função de verossimilhança
(L)
é dada por:
Em geral, por facilidade algébrica, usa-se o logaritmo de L, chamado de
função suporte, que é expressa por:
ln
Os estimadores de máxima verossimilhança (EMV) de
são
obtidos pelos valores máximos de L ou de lnL. Utilizando a função suporte e
considerando que o valor máximo está no ponto de derivada nula, pode-se dizer
que
formam a solução de um sistema de k equações, tal que
Segundo Bolfarine & Sandoval (2001), os EMV são funções de
estatísticas suficientes e são invariantes. O princípio da invariância define que se
é um EMV do parâmetro θ e
é uma função real inversível, então,
é
um EMV de . Os mesmos autores definem também que, para grandes
amostras, esses estimadores são assintoticamente não viciados com distribuição
aproximadamente normal e suas variâncias coincidem com os correspondentes
limites inferiores de Cramer-Rao das variâncias desses estimadores, e por
consequência, são eficientes.
8
Com base na distribuição assintótica dos EMV, podem-se construir
intervalos de confiança aproximados, no caso de grandes amostras, para os
parâmetros e que são expressos por
em que
é a matriz de informação de Fisher de
, dada por:
2.2.2 Método dos momentos
De acordo com Mood et al. (1974), definem-se como momentos
populacionais simples e centrados de ordem k (caso existam), respectivamente,
por:
e
para k = 1, 2, 3, ...
Dada uma amostra aleatória X = {x
1,
x
2,
...,x
n
}, definem-se como
momentos amostrais simples e centrados de ordem k, respectivamente, por:
e
para k = 1, 2, 3, ...
9
Uma alternativa para obtenção de momentos populacionais é o uso da
função geradora de momentos. Seja uma variável aleatória X, cuja distribuição é
dada pela função de densidade (ou de probabilidade) f(x). O valor m(t) esperado
para e
tx
, ou seja,
,
é definido como sendo a função geradora de
momentos de X, se o valor esperado existir para todo valor de t. Essas
expressões são dadas por:
para o caso de variável aleatória contínua e
para o caso de variável aleatória discreta.
O método dos momentos é um dos métodos de estimação mais simples e
tem sido utilizado desde o século XVIII (Bolfarine & Sandoval, 2001). Consiste
na obtenção de estimadores para θ = (θ
1,
θ
2,
... ,θ
k
) igualando-se os momentos
amostrais ordinários aos momentos populacionais ordinários, ou seja,
resolvendo-se as equações
2.3 Família exponencial de probabilidades
De acordo com Mood et al. (1974) e Lindsey (1996), uma função
densidade de probabilidade (fdp) é definida como uma função de família
exponencial de probabilidades, se puder ser expressa na forma
(8)
em que
10
f (x; θ
1
, θ
2
, ..., θ
k
) é uma fdp que pertence à família exponencial de
probabilidades;
é uma função dos parâmetros
;
b(x) é uma estatística;
= 2,71828... é a constante de Nepper e ;
é um somatório de funções dos
parâmetros
como coeficientes associados a T
j
(x).
T
j
(x) é um vetor de estatísticas suficientes para f (x; θ
1
, θ
2
, ..., θ
k
).
A família exponencial inclui muitas das distribuições de probabilidade
mais comumente utilizadas em estatística, tanto contínuas quanto discretas. Uma
característica essencial desta família é que existe uma estatística suficiente com
dimensão fixa.
2.4 Misturas de distribuições de probabilidade
De acordo com Silva (2008), citando McLachlan & Peel (2000), os
modelos de misturas finitas de distribuições são utilizados em casos em que se
suspeita que a amostra observada seja proveniente de duas ou mais populações
independentes e não seja possível identificar a qual das populações pertence
cada elemento dessa amostra.
No entanto, esses modelos também são úteis em situações em que o
ajuste de um componente simples dessa mistura não é capaz de descrever o
fenômeno estudado de forma adequada. As misturas de modelos permitem
melhor flexibilidade nos ajustes de populações heterogêneas.
Para modelar os casos em que os dados sugerem uma distribuição
bimodal em variáveis aleatórias contínuas, é comum uma mistura de duas
distribuições dada por
11
g(x) = p f
1
(x) + (1-p) f
2
(x)
em que
p e 1-p (com 0 < p < 1) são fatores de ponderação e
f
1
(x) e f
2
(x) são funções densidades de probabilidade.
Essas distribuições podem ser, por exemplo, duas distribuições normais
com parâmetros N
1
(µ
1
, σ
1
2
) e N
2
(µ
2
, σ
2
2
), respectivamente ou, ainda, duas
distribuições distintas com respectiva parametrização.
Todavia, sabe-se que a obtenção das estimativas dos parâmetros é
trabalhosa e requer a implementação de algoritmos iterativos, como, por
exemplo, o algoritmo expectation maximization, ou EM, proposto por Dempster
et al. (1977) e uma variante sua, o algoritmo expectation-conditional
maximization, ou ECM, proposto por Meng & Rubin (1993).
2.5 Aplicações de misturas de distribuições
Vários trabalhos em ecléticas áreas do conhecimento utilizam da mistura
de distribuições. Silva (2008) utilizou uma mistura de distribuições Gumbel para
modelar dados com bimodalidade sugeridos por Silva & Zocchi (2005) na
distribuição da velocidade máxima do vento em Piracicaba, SP, como mostrado
na Figura 1. Os parâmetros foram obtidos pelo uso do método ECM, com a
técnica de reamostragem “bootstrap”.
Silva (2003) utilizou estimadores de máxima verossimilhança em
misturas de densidades normais, aplicando-os na genética do fenômeno de
partenocarpia em abobrinha. Em seus estudos, concluiu, dentre outras coisas,
que os estimadores de máxima verossimilhança dos componentes de média e de
variância obtidos foram expressões recursivas que requereram o uso de métodos
numéricos iterativos.
12
Morais et al. (2001) para estimar precipitação em Lavras, MG e Silva et
al. (1998), em estudos da disponibilidade hídrica climática no estado de Goiás,
utilizaram uma mistura de distribuições para descrever esses fenômenos. Esses
autores utilizaram uma distribuição uniforme para a probabilidade de
precipitação nula com fator de ponderação p para a função f
1
(x) e a distribuição
gama para a probabilidade de precipitação não-nula como função f
2
(x) da
mistura com fator de ponderação 1 – p.
FIGURA 1 Densidades não paramétricas para os dados da velocidade
máxima do vento no mês de abril (linha pontilhada) e distribuição
ajustada pela mistura de distribuições Gumbel (linha contínua).
Fonte: Adaptado de Silva (2008, p. 65).
Observam-se outros trabalhos na literatura com enfoque na mistura de
distribuições. Os artigos tratam de assuntos como: estimação de parâmetros de
escala sob função de perda e uso de método dos momentos (Dey, 1990);
13
caracterização paramétrica da função de taxa de falhas em misturas de
distribuições Weibull (Jiang & Murthy, 1998); testes para tendências em
proporções de misturas de distribuições beta (Tiwari & Zalkikar, 1999);
aplicações de misturas finitas de distribuições em mercados futuros aplicados à
economia (Ané & Labidi, 2001); cálculo de tamanho de amostra para médias
(Chu et al., 2004) e também aplicações de inferência bayesiana para misturas de
distribuições (Choy & Chan, 2008).
Esse levantamento da literatura mostra que há uma maior preocupação
natural dos pesquisadores em aprofundar e aperfeiçoar o estudo das misturas de
distribuições em detrimento de pesquisas que possam, eventualmente, romper
esse paradigma e propor modelos de lei matemática única com tratamento
analítico menos complexo para casos mais simples de modelagem bimodal.
Em contrapartida, em escala não desprezível, há trabalhos que relatam
distribuições com características bimodais dos dados avaliados e não são
submetidos à modelagem estatística.
Abrahão et. al. (2003) quantificaram falhas na madeira em juntas
coladas utilizando técnicas de visão artificial com digitalizadores. Neste
trabalho, foi elaborada uma distribuição de freqüências do número de pixels em
função do valor do brilho. Esse histograma, apresentado na Figura 2, é uma
distribuição bimodal que é considerada como soma de normais. O limiar ótimo
de interesse dos pesquisadores é um ponto situado no vale entre os picos (ponto
de mínimo). Para detectá-lo, utilizaram o método iterativo de Yang et al. (2001).
Os autores relatam que esse método tem a vantagem de apresentar o tempo de
processamento bem menor que o método bayesiano, porém, não é ótimo porque
não minimiza o erro de classificação.
A conclusão dos autores supracitados sugere que, se houvesse
possibilidade de um ajuste de um modelo de distribuição de probabilidade com
lei matemática única, poder-se-ia obter esse limiar ótimo apenas com o uso de
14
uma raiz da derivada de primeira ordem do modelo que possuísse segunda
derivada negativa.
FIGURA 2 Imagem de uma amostra de juntas coladas em madeira utilizando
técnicas de visão artificial.
Fonte: Adaptado de Abrahão et al. (2003, p. 74).
Tiago et al. (2005) relatam, nas conclusões de seu trabalho, a presença
de uma distribuição de freqüências bimodal, mostrada na Figura 3, em fibras
mielínicas do nervo hipoglosso do olho, independente dos grupos etários
estudados, mas não utilizaram nenhuma técnica estatística mais complexa do
que a análise de variância para comparar as médias dos grupos etários. Talvez, a
complexidade do conhecimento específico em estatística para modelagem,
mistura de distribuições e estatística computacional, nesse caso, não estimule a
busca e aplicação em modelagem de probabilidade.
Vidal et al. (2007) verificaram distribuição bimodal da impedância
acústica 3D para a caracterização do Campo de Namorado, na bacia de Campos,
15
RJ, a 80 km do litoral. Apesar de os autores estabelecerem cenários
probabilísticos com base nas distribuições de impedância acústica, mostrado na
Figura 4, também não existiu uma preocupação com a modelagem estatística
além do histograma descritivo, como no estudo anterior.
FIGURA 3 Perfis das médias do número de fibras mielínicas do nervo
hipoglosso direito nos grupos <60 anos e >= 60 anos, de acordo
com o diâmetro das fibras.
Fonte: Adaptado de Tiago et al. ( 2005, p. 557).
Enfim, em vista da literatura recém-citada, pode-se verificar que as
pesquisas com distribuições de probabilidade bimodais estão polarizadas entre
as que envolvem desenvolvimento de técnicas computacionais avançadas em
modelagem matemática complexa e as que, de alguma maneira, não tratam os
dados muito além da estatística descritiva.
A preocupação deste trabalho em desenvolver alternativas mais simples
para tratar as variáveis bimodais deve contribuir sobremaneira para popularizar a
modelagem em áreas científicas com menor afinidade para a estatística
computacional avançada.
16
FIGURA 4 Histograma dos valores de impedância acústica, mostrando a
distribuição bimodal.
Fonte: Adaptado de Vidal et al. (2007, p. 301).
2.6 Teor de sólidos solúveis da cana-de-açúcar
A cana-de-açúcar é uma planta reconhecida mundialmente pela grande
importância na produção de açúcar (sacarose) para o consumo humano e na
produção de álcool combustível, fonte de energia renovável, pouco poluente e de
baixo custo. Segundo Taupier & Rodrigues (1999), tratando-se da alimentação, a
cana-de-açúcar tem o maior rendimento em matéria verde e oferece o maior
número de megacalorias metabolizáveis que qualquer outra cultura,
constituindo, ainda, o alimento energético mais completo para o ser humano e de
consumo mais geral.
De acordo com Caliari et al. (2004), uma maior recuperação do açúcar
contido na cana-de-açúcar é um assunto bastante pesquisado pelos técnicos
ligados ao setor de produção de álcool e açúcar. O seu aumento se deve à
evolução tecnológica dos equipamentos fabricados e às melhorias feitas nos
17
processos clássicos de preparo da cana, de extração e clarificação de caldo, e de
fabricação de álcool e açúcar. No entanto, aumentos globais na eficiência são
muito pequenos, uma vez que as eficiências industriais alcançadas nas diversas
etapas já são bastante expressivas.
Tendo em vista que a sacarose (principal açúcar existente na planta da
cana-de-açúcar) é a principal matéria prima para a produção de açúcar e álcool,
há grande interesse das usinas no controle de sua concentração por ocasião da
colheita. Sendo assim, na chegada de um carregamento de cana à usina, colhe-se
uma amostra de material e, dentre outras medidas de interesse, mede-se, em
graus Brix, o teor de sólidos solúveis e o Pol do caldo em %. Ambas as medidas
são as mais importantes para a previsão do rendimento final de açúcar e álcool
da cana colhida que chega à usina com o nome de açúcar total recuperável
(ATR). Para esse trabalho, a medida de maior interesse é o teor de sólidos
solúveis totais (TSS).
Segundo Assis et al. (2004), o teor de sólidos solúveis totais, que é
medido em graus Brix (°Brix em %), é a porcentagem, em gramas, de sólidos
dissolvidos na água presente em um produto (cana-de-açúcar). A determinação
do Brix é feita a partir do caldo extraído da cana-de-açúcar efetuada em
refratômetro digital, provido de correção automática de temperatura e ajuste de
campo, com saída para impressora e/ou registro magnético, devendo o valor
final ser expresso a 20°C. O índice de refração
, que é proporcional ao índice
de sólidos solúveis, ou Brix, é obtido pela expressão
âê
âçã
Segundo Caliari et al. (2004), a colheita de cana-de-açúcar é uma
“administração de sacrifícios”. Não se pode colher todo contingente de matéria-
18
prima no ponto de máxima maturação de cada variedade e, ainda, fatores
edafoclimáticos, como tipo de solo, regime de chuvas, temperatura e variedades
plantadas também influenciam no processo de maturação da cana. A safra pode
se estender por até oito meses e os picos de riqueza da cana se concentram em
apenas dois ou três meses, mas podem variar conforme a interação dos fatores
anteriores. De acordo com Silveira Neto (1992), essa característica da planta
determinou o procedimento usual, à maior parte das empresas do setor, de
administrar o processo de colheita sacrificando determinadas variedades em
benefício de outras.
Em vista dos aspectos citados, pode-se concluir que fatores
edafoclimáticos e de logística interferem na composição final do TSS da cana
colhida que chega à usina e, assim, uma forma alternativa de modelagem
probabilística para essa variável, que em alguns casos pode recair na
bimodalidade, deve contribuir para alimentar os modelos utilizados para
planejamento dos cortes e maximização do açúcar total recuperável.
19
3 A DISTRIBUIÇÃO BIMODAL SEM MISTURA
Nesta seção, pretende-se mostrar a lógica empregada para a construção
do modelo de densidade bimodal sem mistura a ser proposto.
3.1 Construção do modelo
Inicialmente, o modelo a ser proposto deve atender a algumas
características desejáveis para sua empregabilidade em ajustes de dados que, a
priori, atendam a condições de bimodalidade.
Seja f(x; θ
1
, θ
2,
..., θ
k
) uma função de densidade de probabilidade bimodal
com o vetor de parâmetros θ = (θ
1
, θ
2,
..., θ
k
). As condições a serem satisfeitas
são:
(i) f(x; θ
1
, θ
2,
..., θ
k
) não seja uma mistura de distribuições;
(ii) f(x; θ
1
, θ
2,
..., θ
k
) ≥ 0 para todo x pertencente ao domínio real;
(iii)
∞
θ
θ
θ
∞
θ
θ
θ
;
(iv)
θ
θ
θ
∞
;
(v) f(x; θ
1
, θ
2,
..., θ
n
) deve possuir três pontos críticos: duas modas,
representadas por dois máximos locais e uma antimoda representada por um
mínimo local entre os máximos locais.
Pode-se observar que a condição (i) é o principal objetivo do trabalho.
As condições (ii) e (iv), definidas por Mood et al. (1974), são necessárias para
que f seja uma função densidade de probabilidade (fdp) legítima. Em (iii),
garante-se a convergência da área sob a curva de f para todo o domínio real e (v)
estabelece a bimodalidade.
O ponto de partida para atender às condições propostas é a expressão
20
k
(1)
em que:
θ
1
= parâmetro real e
= constante normalizadora positiva (Lindsey, 1996).
A equação (1) atende às condições (i), (ii) e (iii). Na Figura 5 pode-se
observar que a função se maximiza à medida que se tende o valor de X ao
parâmetro θ
1
. Verifica-se também que f é unimodal e tende a zero quando X
tende ao infinito negativo ou positivo.
FIGURA 5 Ilustração gráfica da equação (1).
Observa-se que, para se maximizar f , a expressão (x - θ
1
) deve ser nula.
Sendo assim, para tornar f bimodal, é necessário que esta seja maximizada em
dois valores distintos de X. Isso pode ser conseguido com expressão modificada
k
(2)
É importante ressaltar que esta etapa do processo garante a condição (v)
para o modelo proposto. Para a equação (2), esboçada na Figura 6, f é
θ
1
21
maximizada em x = θ
1
e x = θ
2
. Todavia, nesta condição, ambas as regiões em
torno dos máximos locais apresentam a mesma densidade.
FIGURA 6 Ilustração gráfica da equação (2).
Para se ponderar as densidades atribuídas a cada moda de f , optou-se
por acrescentar um novo parâmetro que permita ponderar as modas e, assim
tem-se a equação
k
(3)
A equação (3) é ilustrada na Figura 7 e mostra a influência do parâmetro
θ
3
. Este parâmetro permite a ponderação das densidades atribuídas às regiões das
modas de f . Nota-se que, quando θ
3
está localizada no ponto médio de θ
1
e
θ
2
, as
respectivas regiões modais apresentam a mesma densidade (FIGURA 6b).
Quando ocorre o contrário, a região modal mais próxima do parâmetro θ
3
recebe
maior densidade (FIGURAS 7a e 7c). A inclusão do parâmetro θ
3
no modelo
proposto altera a posição dos pontos críticos de f anteriormente localizados em
x = θ
1 ,
x =
θ
2
e x = (θ
1
+θ
2
)/2, obrigando ao uso de métodos de diferenciação para
a sua obtenção.
θ
1
θ
2
22
FIGURA 7 Ilustração gráfica da equação (3).
Tendo em vista que o modelo deve permitir o ajustamento a um
conjunto de dados amostrais X = (x
1
, x
2
,...,x
n
), é necessário que o modelo
apresente alguma flexibilidade. Para isso, deve-se acrescentar um parâmetro de
escala e, assim, obter a expressão
k
θ
θ
(4)
que é definida como a expressão bimodal desejada para esse estudo.
Para que a expressão (4) seja uma fdp legítima, a condição (iv) proposta
no início dessa seção deve ser atendida. Utilizando-se a condição (iv), tem-se a
equação
θ
1
θ
2
θ
1
θ
2
θ
1
θ
2
θ
3
θ
3
θ
3
a) b)
c)
23
θ
θ
θ
θ
θ
∞
∞
θ
θ
θ
θ
∞
∞
= 1
(5)
Sendo uma constante, seu valor é dado pela expressão definida por
θ
θ
∞
∞
(6)
ou, ainda,
θ
θ
∞
∞
(7)
cuja forma explícita ainda é desconhecida. No caso em que os
parâmetros são conhecidos, pode ser obtida por métodos numéricos.
3.2 Classificação dos parâmetros
Considerando-se o modelo proposto expresso em (4) e substituindo-se
os parâmetros
por a, b, c e d, respectivamente, pode-se observar,
na Figura 8, o comportamento gráfico para o parâmetro a. Considerando-se que
os parâmetros b, c e d foram mantidos constantes e que as variações do
parâmetro a foram sob a condição de a < b, verifica-se que o parâmetro a se
comporta como um parâmetro de posição para o primeiro máximo local da
distribuição bimodal obtida.
No gráfico da Figura 9, pode-se observar o comportamento gráfico para
o parâmetro b. Considerando-se que os parâmetros a, c e d foram mantidos
constantes e que as variações do parâmetro b foram sob a condição de b > a,
24
verifica-se que o parâmetro b se comporta como um parâmetro de posição para o
segundo máximo local da distribuição bimodal obtida.
Do exposto, conclui-se que os parâmetros a e b são de posição e
identificam os máximos locais da distribuição bimodal.
FIGURA 8 Gráficos da densidade de probabilidade obtida para valores
variados do parâmetro a e valores fixos para os parâmetros b, c e
d.
25
FIGURA 9 Gráficos da densidade de probabilidade obtida para valores
variados do parâmetro b e valores fixos para os parâmetros a, c e
d.
No gráfico da Figura 10, pode-se observar o comportamento gráfico
para o parâmetro c. Considerando-se que os parâmetros a, b e d foram mantidos
constantes e que as variações do parâmetro c foram sob a condição de a < c < b,
verifica-se que o parâmetro c se comporta como um parâmetro de forma que
pondera a densidade da distribuição obtida para os máximos locais. Quanto mais
próximo de um dos parâmetros a ou b, maior a densidade atribuída a ele em
relação ao outro parâmetro. Quando localizado no ponto médio entre a e b,
atribui densidades equivalentes aos máximos da distribuição bimodal obtida.
Esse resultado sugere que o parâmetro c substitua o fator de ponderação p
utilizado nas misturas de distribuições.
26
FIGURA 10 Gráficos da densidade de probabilidade obtida para valores
variados do parâmetro c e valores fixos para os parâmetros a, b e
d.
No gráfico da Figura 11, observa-se o comportamento gráfico para o
parâmetro d. Considerando-se que os parâmetros a, b e c foram mantidos
constantes, verifica-se que o parâmetro d se comporta como um parâmetro de
escala. Quanto maior o valor do parâmetro d, mais achatada encontra-se a
distribuição bimodal obtida e vice-versa. Além disso, o valor da antimoda
cresce, ou seja, a concentração de dados se reduz nas modas locais e aumenta na
antimoda.
27
FIGURA 11 Gráficos da densidade de probabilidade obtida para valores
variados do parâmetro d e valores fixos para os parâmetros a, b e
c.
3.3 Família de probabilidades do modelo proposto
Para se verificar se o modelo bimodal proposto expresso em (4) pertence
a uma família exponencial de probabilidades, foram também substituídos os
parâmetros
por a, b, c e d, respectivamente, e, assim, a equação
k
(8)
tem o desenvolvimento do expoente resultando na expressão
28
k
(9)
E, assim,
(10)
; T
1
(x) = x
4
(11)
; T
2
(x) = x
3
(12)
; T
3
(x) = x
2
(13)
; T
4
(x) = x (14)
Portanto, como as equações de (10) a (14) atendem aos pressupostos da
equação (8), demonstra-se que a função de densidade bimodal proposta pertence
à família exponencial de probabilidades. Esse fato permite concluir que, pelo
critério da fatorização (Bolfarine & Sandoval, 2001), o vetor de estatísticas para
uma amostra aleatória de X extraídos das expressões (11), (12), (13) e (14) que é
dado por
(15)
é conjuntamente suficiente para o vetor de parâmetros
.
29
4 APLICAÇÃO EM CANA-DE-AÇÚCAR
Para verificar a performance do modelo com dados reais, foram obtidos
dados de 620 observações, correspondentes ao teor de sólidos solúveis (TSS),
medido em graus Brix, da safra de cana de 2007, cujo histograma está
representado na Figura 12, de uma usina de açúcar e álcool de grande porte da
região do município de Araraquara, SP. A partir das informações existentes na
literatura sobre os fatores edafoclimáticos influentes no valor final do TSS e
análise do histograma dos dados, foi admitido que esse fenômeno tem
bimodalidade na sua distribuição e, assim, o modelo proposto está apto a se
candidatar a esse ajuste. Nesta seção verifica-se apenas a capacidade do modelo
proposto em explicar um fenômeno considerado, a priori, bimodal. Portanto,
não se pretende aqui compará-lo com outras distribuições.
30
FIGURA 12 Distribuição dos valores obtidos para o teor de sólidos solúveis
(TSS), em
o
Brix, para 620 observações dos cortes de cana-de-
açúcar da safra de 2007, de uma usina da região de Araraquara,
SP.
4.1 Definição do modelo bimodal
Seja X a variável aleatória que expressa o teor de sólidos solúveis (graus
Brix) da cana-de-açúcar colhida e entregue na usina. Define-se a função
densidade de probabilidade bimodal expressa por:
k
(16)
TSS
31
em que a, b, c e d são, respectivamente, os parâmetros de posição,
posição, forma e escala, sendo (a,b,c) com a < b < c, d
2
> 0, -∞ < x < +∞ e
k, a priori constante, dada por:
∞
∞
. (17)
4.2 Estimação dos parâmetros
Para o modelo proposto na equação (16), foram obtidos os estimadores
pelo método da máxima verossimilhança, explicitado a seguir.
Seja a função de densidade bimodal dada por:
k
A função de verossimilhança é expressa por:
(18)
(19)
32
Aplicando-se o logarítmo em (19), tem-se
(20)
Para obter os estimadores de máxima verossimilhança, deve-se
encontrar a solução que anula o sistema das derivadas parciais de primeira
ordem, também conhecida como vetor de escores dos parâmetros, expresso por:
(21)
Observa-se que o sistema de equações (21) não é explícito. Estas
equações são dependentes da expressão
que, como visto na equação (17),
também não tem solução explícita e é dependente dos parâmetros a, b, c e d.
Sendo assim, foram simulados valores para os parâmetros a, b, c e d com base
na análise visual do histograma da Figura 12, para verificar o comportamento de
k. Foram utilizadas 12 combinações de valores para os parâmetros para obtenção
de valores de k e da expressão
com x
i
= 20,5 e são mostradas na
Figura 13. Foram utilizados valores de 18,5; 19,0; 19,5 e 20,0 para o parâmetro
a; 21,0; 21,5 e 22,0 para o parâmetro b; 19,0; 19,5; 20,0; 20,5; 21,0 e 21,5 para o
parâmetro c e 2,0; 2,5; 3,0; 3,5 e 4,0 para o parâmetro d. As combinações foram
elaboradas atendendo à condição de que a < c < b e estão disponíveis no Anexo
A.
33
FIGURA 13 Distribuição dos valores obtidos para k e
em
função das 12 combinações utilizadas para valores atribuídos aos
parâmetros a, b, c e d.
Os valores obtidos mostram que k não é constante e depende dos
parâmetros do modelo. No entanto, observa-se que os valores simulados,
estabelecidos a partir da análise visual dos dados, apresentam uma relação
monotônica estritamente crescente. Isso mostra que, quando se maximiza a
expressão
para um dado valor x
i
, maximiza-se também o valor
de k e, assim, por consequência, maximizam-se o produto k.
e a
função de verossimilhança da equação (18). Sendo assim, a sistema de equações
(21) pode ser maximizado apenas com o sistema dado por:
0,2
0,22
0,24
0,26
0,28
0,3
0,32
0,34
0,36
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
Valores para k
Valores para G(x
i
; a, b, c, d)
34
(22)
cuja solução, agora explícita, é dada por:
(23)
(24)
(25)
(26)
que são os estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetros do
modelo proposto.
35
É importante ressaltar que a derivada segunda dada por:
(27)
garante a maximização da solução do sistema de equações (22).
Para as expressões (23) e (24), pode-se observar que é possível, mas não
trivial, explicitar os estimadores de a e b apenas em função dos dados. Sendo
assim, devem ser obtidos por iteração simples. O estimador para o parâmetro c é
a média amostral e o estimador para d
2
é uma expressão obtida com o vetor de
estatística suficiente.
O método dos momentos também foi utilizado para obter estimadores
dos parâmetros do modelo bimodal e compará-los com os estimadores de
máxima verossimilhança.
A função geradora de momentos é dada pela expressão
(28)
Aplicando-se esta expressão à função densidade bimodal proposta, tem-
se
36
k
k
k
k
k
k
k
f(a, b, c –
, d)
ou seja,
(29)
As derivadas de primeira, segunda, terceira e quarta ordem são dadas
pelas expressões:
(30)
(31)
37
(32)
(33)
Por meio das equações (29) a (32) obtêm-se os momentos populacionais,
em t = 0, que resultam em
(34)
(35)
(36)
(37)
De acordo com Mood et al. (1974), o primeiro momento populacional
dado por µ
1
= E(X) é a média populacional e os demais momentos centrais são
dados pela expressão
para r > 1 sendo µ
2
= variância.
O primeiro momento populacional simples e o segundo, o terceiro e o
quarto momentos populacionais centrais, respectivamente, são
38
µ
µ
µ
De acordo com os resultados, pode-se observar que o método dos
momentos não permite determinar os estimadores para os parâmetros a e b. O
estimador do parâmetro c foi o mesmo para os dois métodos e o estimador do
parâmetro d
2
apresentou diferenças pelos dois métodos. Pelo método dos
momentos, o parâmetro d
2
foi equivalente ao segundo momento amostral,
definido como a variância populacional, diferindo da expressão encontrada pelo
método da máxima verossimilhança.
Com base nos EMV, as estimativas para os parâmetros a e b foram
obtidas com as equações (23) e (24). Como essas expressões para e
não são
explícitas, seus valores foram obtidos por um processo iterativo simples com
valor inicial (semente) b
o
= 0 na equação (23) seguida da equação (24).
39
Na Tabela 1 são apresentados os resultados das etapas desse cálculo e se
observa que a convergência com erro menor que 10
-10
ocorreu rapidamente após
cinco iterações resultando nas estimativas de e
3.
Foram colocados outros valores para a semente b
o
que variaram entre -10
6
e 10
6
,
bem como valores da ordem de 10
-5
, e a convergência foi imediata e idêntica aos
valores anteriores. Isso mostra que, nesta estimação, mesmo com a necessidade
da iteração, o valor da semente inicial para a obtenção destas estimativas pode
ser aleatório.
TABELA 1 Valores obtidos no algoritmo de convergência para as estimativas
de e
.
b
o
0 20,172413665906000 20,450996909645000
19,910275105443800 20,984553786911000
19,214636730885700 21,865064190015500
18,911907056386800 21,934242265344800
18,911024945430000 21,934242749250400
18,911024945429200 21,934242749250400
18,911024945429300 21,934242749250700
As estimativas para e
foram obtidas diretamente com o uso das
equações (25) e (26). O valor de corresponde à média dos dados
amostrais. Para
foi obtido o valor de que corresponde à aplicação na
equação (26). O valor de k = 0,780345 corresponde à aplicação de métodos
numéricos na equação (17). Sendo assim, a função de densidade de
probabilidade bimodal proposta para os dados amostrais é dada por
0,780345
e resulta em:
0,266669
40
4.3 Pontos críticos
Os pontos críticos de máximos e mínimos locais da função bimodal
proposta são obtidos pelos valores que anulam a primeira derivada de f e o sinal
de sua derivada de segunda ordem para os pontos críticos determina a
classificação em máximo ou mínimo local. A seguir, é mostrado o
desenvolvimento da expressão que permite obtê-los.
Seja a função de densidade bimodal dada por:
k
(38)
Para facilitar o cálculo da primeira derivada (f’(x)), faz-se
(39)
(40)
E, assim,
′
(41)
′
(42)
Da equação (34) tem-se
k
k
(43)
cuja derivada é
′
k
′
′
(44)
41
Substituindo-se (35) e (36) em (40) resulta em
′
k
′
′
k
′
′
k
′
′
(45)
Fazendo
′
= 0 para encontrar os pontos críticos e sabendo-se que as
expressões k
são sempre positivas, tem-se que a solução da
equação
′
′
(46)
fornece os pontos críticos para a função de densidade bimodal proposta.
Portanto, substituindo-se (41) e (42) em (46), tem-se
que, simplificada, resulta na equação polinomial
(47)
cujas raízes reais são os pontos críticos de função bimodal
proposta.
Na equação (47) observa-se que os pontos críticos não dependem do
parâmetro de escala e utilizam-se os estimadores
para a determinação
dos pontos críticos .
42
Em vista dos resultados supracitados, os valores dos pontos críticos para
os dados utilizados foram obtidos substituindo-se os parâmetros a, b e c pelas
suas estimativas obtidas em ,
e no polinômio da equação (47) e, assim,
obteve-se
cujas raízes são .
Adicionalmente, com a segunda derivada de f expressa por
′′
′′ ′′
′
′
(48)
é possível verificar que, para e , tem-se
′′
e, assim, são pontos de máximos locais. Por conseguinte, para
tem-se
′′
que o torna um ponto de mínimo local. Os
valores de e são as modas enquanto é a antimoda da distribuição bimodal
proposta.
4.4 Desempenho do modelo
Com a amostra utilizada e as estimativas obtidas foram construídos o
histograma, a função de densidade de probabilidade e a função acumulada de
probabilidade apresentadas na Figura 14. Foi utilizado, para a construção do
histograma, o software livre R e a rotina elaborada para os cálculos está
disponível no Anexo B.
43
FIGURA 14 Gráfico das funções de densidades de probabilidade e função de
distribuição acumulada para o modelo bimodal proposto ajustado
para as 620 observações do teor de sólidos solúveis.
Os resultados mostram que o modelo proposto atendeu ao objetivo de
explicar a bimodalidade do TSS na cana-de-açúcar colhida na safra de 2007 na
usina. Visualmente, é possível verificar que houve um bom ajustamento da
curva ao histograma.
Outro ponto relevante associado ao modelo estimado é seu domínio da
variável aleatória que apresenta probabilidade não nula. O ajuste ocorreu numa
amplitude de domínio menor do que os dados porque o modelo apresenta uma
dupla forma quadrática, que o faz convergir rapidamente nas extremidades. No
caso particular, pode-se observar que o modelo se ajusta no domínio do TSS
entre 18 e 23
o
Brix e não sofre muita influência dos valores extremos dos dados.
Adicionalmente, o modelo se ajusta bem à prática das usinas considerando que
os administradores têm interesse que a colheita ocorra sempre a partir de uma
Teor de Sólidos Solúveis
Teor de Sólidos Solúveis (graus Brix)
Densidade
17 18 19 20 21 22 23 24
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
18 19 20 21 22 23
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Teor de Sólidos Solúveis
Teor de Sólidos Solúveis (graus Brix)
Distribuição Acumulada
44
medida de TSS de 18
o
Brix e, consequentemente, a produção de açúcar e álcool
na usina tenha viabilidade econômica.
Utilizando-se o valor obtido para a antimoda dado por
,
pode-se dividir o TSS em duas populações mais homogêneas. Uma população
com TSS médio mais baixo concentrada em torno do valor
e
outra com TSS médio mais alto concentrada em torno do valor
.
Foi obtido P(X < ) = 0,609 e, portanto, pode-se inferir que, para
essa usina, 60,9% da cana colhida na safra de 2007 chegou à usina com um valor
médio inferior de TSS da ordem de
, enquanto os demais 39,1%
tiveram um valor médio superior de TSS da ordem de
. Com essas
informações e de posse dos dados das covariáveis associadas ao TSS, por
exemplo, é possível avaliar e comparar características que distinguem essas duas
populações e intervir para a melhoria do TSS que chega à usina para
processamento em safras vindouras.
Enfim, sugere-se o uso do modelo de densidade bimodal proposto,
quando possível, como alternativa aos modelos de misturas de distribuições por
se tratar de uma forma mais simples para se tratar as variáveis bimodais e, assim,
contribuir para popularizar a modelagem em áreas científicas com menor
afinidade para a estatística computacional avançada.
45
5 CONCLUSÕES
Foi possível ajustar o modelo proposto a dados reais com
comportamento bimodal, sem a necessidade de mistura de distribuições e com
estimadores explícitos e, em poucas ocasiões, com uso de métodos numéricos
simples.
Com o uso do modelo bimodal proposto e a disponibilidade de dados de
covariáveis edafoclimáticas associadas ao teor de sólidos solúveis da cana-de-
açúcar que chega para processamento, podem-se promover estudos
comparativos para se avaliar a influência desses fatores e, assim, planejar
intervenções que melhorem a qualidade da cana-de-açúcar colhida que chega à
usina nas safras futuras.
46
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50
ANEXOS
Página
ANEXO A TABELA 1A Valores das combinações utilizadas
para simular valores de k e G(x
i
, a, b, c,
d)................................ ........................................................... 51
ANEXO B Rotina para gerar a função de densidade bimodal
proposta................................ ................................................. 52
51
ANEXO A
TABELA 1A Valores das combinações utilizadas para simular valores de k e
G(x
i
, a, b, c, d).
Combinação
Parâmetros
x
i
k G(x
i
, a, b, c, d)
a b c d
1 18,5 21,0 19,5 2,0 20,5 0,3320
0,1947
2 18,5 21,5 20,0 3,0 20,5 0,2543
0,0877
3 18,5 22,0 20,5 4,0 20,5 0,2145
0,0472
4 19,0 21,0 19,5 2,0 20,5 0,3343
0,2056
5 19,0 21,5 20,0 3,0 20,5 0,2548
0,0967
6 19,0 22,0 20,5 3,5 20,5 0,2309
0,0664
7 19,5 21,0 20,0 2,0 20,5 0,3381
0,2349
8 19,5 21,5 20,5 3,0 20,5 0,2604
0,1051
9 19,5 22,0 21,0 4,0 20,5 0,2186
0,0578
10 20,0 21,0 20,5 2,0 20,5 0,3502
0,2481
11 20,0 21,5 21,0 2,0 20,5 0,3381
0,2349
12 20,0 22,0 21,5 2,5 20,5 0,2917
0,1412
52
ANEXO B
Rotina para gerar a função de densidade bimodal proposta
##Rotina para gerar a função densidade Bimodal##
##Arquivo de dados##
setwd("/Documents and Settings/Usuario/Desktop/R-Rotinas Tese/")
dados<-read.table("dadosbrixtese.txt", h=T)
#O arquivo dados brixtese.txt é um arquivo de 620 linhas e 1
coluna com os dados do vetor
c(17.35,17.42,17.45,17.55,17.57,17.68,17.78,17.78,17.78,17.84,17.9
2,17.95,17.97,18.00,18.01,18.02,18.02,18.04,18.04,18.05,18.05,18.0
7,18.12,18.12,18.13,18.14,18.15,18.16,18.16,18.16,18.17,18.19,18.1
9,18.19,18.20,18.21,18.22,18.24,18.25,18.26,18.27,18.28,18.29,18.3
0,18.33,18.35,18.35,18.35,18.36,18.36,18.36,18.36,18.36,18.37,18.3
7,18.39,18.40,18.40,18.40,18.41,18.42,18.44,18.44,18.44,18.45,18.4
5,18.46,18.47,18.48,18.48,18.48,18.48,18.50,18.50,18.51,18.52,18.5
3,18.54,18.54,18.55,18.55,18.55,18.56,18.56,18.56,18.56,18.56,18.5
7,18.58,18.58,18.59,18.59,18.59,18.59,18.60,18.60,18.60,18.61,18.6
1,18.62,18.62,18.62,18.62,18.63,18.63,18.63,18.63,18.63,18.64,18.6
4,18.64,18.64,18.65,18.65,18.65,18.66,18.66,18.66,18.67,18.67,18.6
9,18.69,18.70,18.70,18.71,18.72,18.72,18.72,18.73,18.73,18.73,18.7
3,18.73,18.74,18.74,18.75,18.75,18.75,18.75,18.76,18.77,18.77,18.7
7,18.78,18.78,18.78,18.79,18.79,18.79,18.80,18.80,18.82,18.82,18.8
4,18.84,18.84,18.85,18.85,18.87,18.88,18.89,18.89,18.89,18.89,18.8
9,18.89,18.89,18.90,18.91,18.91,18.91,18.91,18.93,18.93,18.93,18.9
3,18.93,18.94,18.94,18.94,18.94,18.94,18.94,18.94,18.94,18.95,18.9
5,18.95,18.96,18.96,18.96,18.97,18.98,18.99,18.99,19.00,19.00,19.0
0,19.00,19.00,19.00,19.01,19.02,19.02,19.03,19.03,19.04,19.04,19.0
4,19.04,19.04,19.05,19.06,19.06,19.07,19.07,19.08,19.09,19.09,19.1
0,19.10,19.10,19.11,19.11,19.11,19.11,19.11,19.12,19.12,19.13,19.1
3,19.13,19.13,19.15,19.15,19.16,19.16,19.17,19.17,19.17,19.18,19.1
8,19.19,19.20,19.21,19.22,19.23,19.23,19.23,19.23,19.24,19.25,19.2
5,19.26,19.26,19.27,19.27,19.27,19.27,19.27,19.28,19.28,19.28,19.2
9,19.29,19.30,19.30,19.31,19.32,19.32,19.32,19.33,19.34,19.35,19.3
5,19.35,19.35,19.36,19.36,19.36,19.36,19.37,19.37,19.37,19.38,19.3
8,19.38,19.38,19.38,19.38,19.39,19.40,19.40,19.41,19.41,19.41,19.4
1,19.42,19.42,19.42,19.44,19.45,19.46,19.46,19.47,19.48,19.50,19.5
0,19.50,19.51,19.51,19.52,19.52,19.53,19.53,19.53,19.53,19.55,19.5
5,19.56,19.57,19.57,19.58,19.59,19.60,19.60,19.60,19.61,19.62,19.6
3,19.63,19.64,19.64,19.67,19.68,19.69,19.70,19.70,19.71,19.71,19.7
1,19.72,19.73,19.74,19.74,19.75,19.76,19.78,19.82,19.83,19.85,19.8
6,19.86,19.88,19.89,19.90,19.90,19.90,19.91,19.91,19.92,19.92,19.9
3,19.94,19.96,19.96,19.96,19.96,19.96,19.97,19.97,19.97,19.99,19.9
9,20.00,20.00,20.00,20.01,20.01,20.01,20.03,20.03,20.03,20.03,20.0
5,20.05,20.06,20.06,20.06,20.08,20.08,20.09,20.10,20.12,20.13,20.1
3,20.14,20.14,20.15,20.16,20.16,20.17,20.18,20.19,20.19,20.20,20.2
0,20.22,20.23,20.24,20.24,20.25,20.26,20.28,20.29,20.30,20.31,20.3
1,20.33,20.34,20.35,20.35,20.36,20.36,20.37,20.37,20.40,20.41,20.4
3,20.43,20.46,20.47,20.49,20.53,20.55,20.56,20.59,20.61,20.63,20.6
3,20.63,20.68,20.70,20.73,20.74,20.76,20.76,20.77,20.78,20.81,20.8
53
3,20.83,20.87,20.88,20.90,20.90,20.91,20.99,21.02,21.12,21.12,21.1
3,21.13,21.15,21.18,21.18,21.19,21.20,21.22,21.22,21.23,21.24,21.2
4,21.27,,21.29,21.29,21.33,21.34,21.34,21.37,21.41,21.41,21.43,21.
43,21.43,21.44,21.45,21.46,21.46,21.48,21.50,21.50,21.51,21.52,21.
55,21.56,21.57,21.58,21.58,21.59,21.59,21.60,21.62,21.63,21.63,21.
64,21.64,21.74,21.74,21.76,21.77,21.77,21.79,21.79,21.80,21.80,21.
81,21.81,21.83,21.84,21.84,21.84,21.85,21.85,21.85,21.86,21.86,21.
88,21.89,21.92,21.93,21.93,21.94,21.94,21.96,21.96,21.97,21.97,21.
97,21.98,22.00,22.00,22.04,22.08,22.08,22.09,22.11,22.11,22.11,22.
12,22.12,22.12,22.12,22.13,22.16,22.16,22.18,22.19,22.22,22.23,22.
25,22.25,22.26,22.26,22.27,22.27,22.29,22.29,22.32,22.35,22.37,22.
37,22.38,22.41,22.46,22.47,22.49,22.50,22.50,22.50,22.52,22.53,22.
55,22.60,22.62,22.62,22.65,22.65,22.66,22.67,22.67,22.68,22.69,22.
71,22.74,22.80,22.80,22.81,22.83,22.84,22.85,22.90,22.92,22.93,22.
96,22.99,23.00,23.01,23.01,23.01,23.03,23.06,23.06,23.11,23.12,23.
25,23.40,23.45,23.47,23.71)#
attach(dados)
##Estimativas dos Parâmetros##
estimacao=function(x,fator)
{
x=as.vector(x)
x2=x^2
x3=x^3
x4=x^4
s1=sum(x)
s2=sum(x2)
s3=sum(x3)
s4=sum(x4)
c=as.numeric(mean(x))
d2=sum((x-a)^2*(x-b)^2+(x-c)^2)/(2*n)
b=0
erro=10000
n=nrow(x)
i=1
A=0
B=0
while(erro>fator)
{
if(i>1)
{
A=a
B=b
}
a=(s3-2*b*s2+(b^2)*s1)/(s2-2*b*s1+n*(b^2))
b=(s3-2*a*s2+(a^2)*s1)/(s2-2*a*s1+n*(a^2))
Erroa=abs(A-a)
Errob=abs(B-b)
erro=max(Erroa,Errob)
i=i+1
}
a1=min(a,b)
54
b1=max(a,b)
a=a1
b=b1
##Cálculo do valor k##
d2=sum((x-a)^2*(x-b)^2+(x-c)^2)/(2*n)
d1=1/d2
fd=function(y){
(1/d2)*exp((-1/(2*d2))*((y-a)^2*(y-b)^2+(y-c)^2))}
k=integrate(fd,min(x)-100,max(x)+100,subdivisions=100000)
k1=k$value
fdp=(1/k1)*(1/d2)*exp((-1/(2*d2))*((x-a)^2*(x-b)^2+(x-c)^2))
x1=seq(min(x),max(x),0.025)
n1=length(x1)
##Função Acumulada##
acumulada=matrix(0,n1,2)
md=0
for(i in 1:n1)
{
kk=integrate(fd,min(x)-100,x1[i],subdivisions=100000)
acumulada[i,2]=kk$value
acumulada[i,1]=x1[i]
#if(acumulada[i,2]>=0.5 && md==0) md=x1[i]
}
acumulada[,2]=acumulada[,2]/k1
return(a,b,c,d2,erro,k,fdp,acumulada,md)
}
Es=estimacao(dados,10^-10)
##Plotagem dos Gráficos##
x=dados
par(mfrow=c(1,2))
hist(Brix,freq=FALSE,xlab="Teor de Sólidos Solúveis (graus
Brix)",ylab="Densidade",ylim=c(0,0.5),nclass=sqrt(Brix),main="Teor
de Sólidos Solúveis")
lines(Brix,Es$fdp,lwd=3,col="blue")
x1=seq(min(Brix),max(Brix),0.025)
plot(Es$acumulada,xlab="Teor de Sólidos Solúveis (graus
Brix)",ylab="Distribuição Acumulada",type="l",lwd=3,main="Teor de
Sólidos Solúveis",col="blue")
##Cálculo dos Pontos Críticos##
polyroot(c(-
(Es$a^2*Es$b+Es$a*Es$b^2+Es$c),(Es$a+Es$b)^2+2*Es$a*Es$b+1,-
3*(Es$a+Es$b),2))
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