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Magda Carvalho Pires
An
´
alise Bayesiana Emp
´
ırica de Dados Dicot
ˆ
omicos
com Erros e Classificac¸
˜
oes Repetidas
Disserta¸c˜ao apresentada ao Departamento de
Estat´ıstica do Instituto de Ciˆencias Exatas
da Universidade Fede ral de Minas Gerais
como requisito parcial `a obten¸c˜ao do t´ıtulo
de Mestre em Estat´ıstica.
Orientador: Prof. Roberto da Costa Quinino
Belo Horizonte, 01 de marc¸o 2006
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Agradecimentos
• Agradecimento maior ao meu orientador Roberto Quinino pelo projeto proposto, a
confian¸c a depositada, a aten¸c˜ao dispensada, o acompanhamento cont´ınuo, as noites
sem dormir analisando cada detalhe desse trabalho.
• Agradecimentos ao Anderson La´ecio pela disponibilidade e presteza, pelo aux´ılio
inestim´avel no programa desenvolvido e na editora¸c˜ao do texto. Aos Profs. Em´ılio
Suyama, Cibele Queiroz e Marta Afonso Freitas pelas ´otimas sugest˜oes e corre¸c˜oes
apresentadas durante o estudo, e pela aten¸c˜ao dispensada na avalia¸c˜ao dessa dis-
serta¸c˜ao.
• Aos meus pais, pelo amor e apoio incondicionais durante esses anos de estudo.
`
A
minha irm˜a Erika, amiga e iniciadora nas artes da Estat´ıstica. Ao grande irm˜ao
Magno pela amizade e descontra¸c˜ao nas horas de stress. Ao pequeno irm˜ao Douglas
pelo carinho e do¸cura inspiradores.
• Ao Vitor, pelo amor e companheirismo em todas as horas, compreens˜ao nos mo-
mentos de ausˆencia e incentivo renovador.
• Agradecimentos a todos os amigos e familiares que acreditaram nes sa conquista, e
principalmente a Deus, por proporcionar-me vencer mais esta jornada, crescendo
espiritual e intelectualmente com sa´ude e na presen¸ca de tantas pessoas especiais
em minha vida.
i
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An´alise bayesiana emp´ırica de dados dicotˆomicos com
erros e classifica¸c˜oes repetidas
Magda Carvalho Pires Roberto da Costa Quinino
Orientador
Departamento de Estat´ıstica - ICEx - UFMG
31270-901 - Belo Horizonte - MG - Brazil
Mar¸co - 2006
Resumo
Considera-se o problema da es tima¸c˜ao bayesiana de uma propor¸c˜ao p de interesse
onde a classifica¸c˜ao das unidades est´a sujeita a erros de diagn´ostico. Na abordagem
Bayesiana, a utiliza¸c˜ao de distribui¸c˜oes a priori Uniforme com parˆametros zero e
um para os erros de classifica¸c˜ao e para propor¸c˜ao de interesse geram uma m´edia
a posteriori para propor¸c˜ao igual 0,50 independentemente do resultado amostral,
al´em de grande variabilidade.
´
E necess´ario, portanto, que a distribui¸c˜ao a priori seja
informativa, o que nem sempre ´e poss´ıvel. Neste trabalho, utiliza-se classifica¸c˜oes
repetidas e distribui¸c˜ao a priori emp´ırica para apresentar uma solu¸c˜ao ao problema.
Resultados de simula¸c˜ao indicam que a metodologia desenvolvida apresenta uma boa
estimativa da propor¸c˜ao de interesse quando o n´umero de classifica¸c˜oes repetidas ´e
igual ou superior a trˆes.
Palavras-Chave: An´alise Bayesiana, Erros de Classifica¸c˜ao, Classifica¸c˜oes Repetidas,
M´etodo Bayes Emp´ırico, Distribui¸c˜ao Binomial
1
1 Introdu¸c˜ao
Na implementa¸c˜ao do controle de qualidade de atributos, a eficiˆencia do sistema que
classifica os itens manufaturados como conforme ou n˜ao-conforme precisa ser considerada.
Dois tipos de erros podem ocorrer durante a inspe¸c˜ao: o primeiro, conhecido como tipo I,
ocorre quando um item conforme ´e classificado como n˜ao-conforme; e o segundo, denotado
por tipo II, quando um item ´e dito conforme quando ´e, na verdade, n˜ao-conforme.
Pioneiramente, Bross (1954) mostrou que, na presen¸ca de erros de classifica¸c ˜ao, os
estimadores obtidos por uma abordagem estat´ıstica cl´assica s˜ao extremamente viciados.
Outros autores, como Johnson e Kotz (1988), Johnson et al. (1991), Evans et al. (1996),
Viana (1994), Gustafson (2003) enfatizaram que os erros de classifica¸c˜ao, quando ignorados,
podem comprometer todo o processo de inferˆencia e, conseq¨uentemente, o controle de
qualidade.
Suponha que, numa amostra aleat´oria de n unidades, um n´umero X de itens conformes
´e observado. Essa vari´avel aleat´oria X tem distribui¸c˜ao binomial com parˆametros (n, p),
ou seja, X ∼ Bin(n, p). Contudo, a presen¸ca de erros de classifica¸c˜ao no sistema implica
numa modifica¸c˜ao dessa fun¸c˜ao de probabilidade. Seja e
1
a probabilidade de que um item
conforme seja erroneamente classificado como n˜ao-conforme, e seja e
2
a probabilidade de
que um item n˜ao-conforme seja classificado como conforme. Ent˜ao, a probabilidade de
que um item seja classificado como conforme ´e q = p(1 − e
1
) + (1 − p)e
2
, definindo uma
vari´avel aleat´oria X que tem distribui¸c˜ao binomial com parˆametro q ao inv´es de p.
A dificuldade de an´alise pode ser melhor compreendida atrav´es da determina¸c˜ao do
estimador de m´axima verossimilhan¸ca. A fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca para o caso com erros
de classifica¸c˜ao pode ser expressa como L(x|n, q) = q
x
(1− q)
n−x
. Esta ´e maximizada para
todos os pontos (p, e
1
, e
2
) tais que p(1 − e
1
) + (1 − p)e
2
= x/n (GAB A; WINKLER, 1992).
Portanto, o estimador de m´axima verossimilhan¸ca n˜ao ´e ´unico.
Para resolver essa quest˜ao, muitos m´etodos cl´assicos foram sugeridos e uma revis˜ao
pode se r encontrada em Johnson et al. (1991). Em geral, os m´etodos propostos utilizam-
2
se de planos amostrais alternativos para estima¸c˜ao preliminar dos erros de classifica¸c˜ao.
Numa ´otica bayesiana, Gaba e Winkler (1992) consideraram uma abordagem que requer a
utiliza¸c˜ao de uma distribui¸c˜ao a priori informativa. Isto pode ser uma restri¸c˜ao consider´avel,
pois em muitos casos essa informa¸c˜ao n˜ao e st´a dispon´ıvel. Constataram que a utiliza¸c˜ao
de distribui¸c˜oes a priori n˜ao informativas independentes e uniformes entre zero e um para
os parˆametros (p, e
1
, e
2
) gera uma m´edia a posteriori de p igual a
1
2
, independentemente do
resultado amostral e, al´em dis so, todos os pontos (p, e
1
, e
2
) tais que p(1 −e
1
)+(1−p)e
2
=
x/n eram modas a posteriori.
Em trabalhos sobre tamanho amostral bayesiano para dados dicotˆomicos na presen¸ca
de erros de classifica¸c˜ao, Dendukuri et al. (2004) e Rahme et al. (2000) tamb´em observaram
a necessidade primordial de uma distribui¸c˜ao a priori informativa.
Neste artigo, prop˜oe-se um modelo em que o processo de inferˆencia Bayesiana para
propor¸c˜ao na presen¸ca de erros de classifica¸c˜ao incorpora a realiza¸c˜ao de classifica¸c˜oes
repetidas tanto para elicitar uma distribui¸c˜ao a priori emp´ırica como para minimizar o
impacto desses erros. A classifica¸c˜ao final de um item ser´a aquela que apresentar maioria
nas classifica¸c˜oes repetidas. Em termos pr´aticos, considera-se que realizar classifica¸c˜oes
repetidas pode ser mais f´acil e operacional do que obter distribui¸c˜oes a priori informativas.
A se¸c˜ao 2 apresenta um esquema para incorporar classifica¸c˜oes repetidas com respectiva
determina¸c ˜ao da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca. Na se¸c˜ao 3 uma an´alise Bayesiana emp´ırica
para a propor¸c˜ao de interesse ´e apresentada, com exemplos num´ericos descritos na se¸c˜ao
4. Conclus˜oes s˜ao apresentadas na se¸c˜ao 5.
2 Fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca
Suponha que cada item de uma amostra aleat´oria de tamanho n seja classificado m vezes,
m ´ımpar, independentemente como conforme ou n˜ao-conforme. Seja C
ij
(i = 1, 2, . . . , n;
j = 1, 2, . . . , m) uma vari´avel aleat´oria Bernoulli correspondente `a j-´esima classifica¸c˜ao
do i-´esimo item. Assim, C
2,3
= 1 significa que o segundo item foi classificado como
3
conforme na terceira classifica¸c˜ao. Seja F
i
uma vari´avel aleat´oria Bernoulli que denota a
classifica¸c˜ao final do i-´esimo item ap´os as m classifica¸c˜oes. Considere que F
i
= 1 se, e
somente se,
m
j=1
C
ij
> 0, 5m. A Tabela 1 apresenta a descri¸c˜ao desse procedimento de
classifica¸c˜ao.
Seja ainda E
i
outra vari´avel aleat´oria Bernoulli, que denota o estado real da i-´esima
pe¸ca, de tal forma que o interesse seja estimar P (E
i
= 1) = p. Desta forma, temos que
e
1
= P (C
ij
= 0 | E
i
= 1) e e
2
= P (C
ij
= 1 | E
i
= 0). Ent˜ao, a probabilidade de que uma
pe¸ca seja classificada como conforme ´e dada por
P (F
i
= 1) = pBin (m; e
1
; 0, 5m) + (1 − p) [1 − Bin (m; e
2
; 0, 5m)] (1)
em que Bin (m; e
k
; 0, 5m) denota a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada Binominal definida
no ponto 0, 5m. Observe que se m → ∞ e as probabilidades associadas aos erros de
classifica¸c˜ao forem menores do que 0,5 ent˜ao (1) converge para p, corroborando o benef´ıcio
da utiliza¸c˜ao de classifica¸c˜oes repetidas.
Supondo agora uma amostra aleat´oria de n itens com r deles considerados c onformes,
a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca pode ser expressa por
Tabela 1: Classifica¸c˜oes repetidas de n itens m vezes cada
Classifica¸c˜oes (C
ij
) Classifica¸c˜ao
Item 1 3 5 · · · m Final
1 C
11
C
13
C
15
· · · C
1m
F
1
2 C
21
C
23
C
25
· · · C
2m
F
2
3 C
31
C
33
C
35
· · · C
3m
F
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n C
n1
C
n2
C
n3
· · · C
nm
F
n
4
L(r|n, m, p, e
1
, e
2
) = {pBin (m; e
1
; 0, 5m) + (1 − p) [1 − Bin (m; e
2
; 0, 5m)]}
r
×
{1 − [pBin (m; e
1
; 0, 5m) + (1 − p) [1 − Bin (m; e
2
; 0, 5m)]]}
n−r
(2)
que pode ser reescrita como
L(r|n, m, p, e
1
, e
2
) =
r
j=0
n−r
t=0
r
j
n − r
t
p
n−j−t
(1 − p)
j+t
×
[Bin(m; e
1
; 0, 5m)]
r−j
[1 − Bin(m; e
1
; 0, 5m)]
n−r−t
×
[Bin(m; e
2
; 0, 5m)]
t
[1 − Bin(m; e
2
; 0, 5m)]
j
(3)
Note que se m = 1, ent˜ao (2) ´e igual a
L [r|n, p, e
1
, e
2
] = [p(1 − e
1
) + (1 − p)e
2
]
r
[pe
1
+ (1 − p)(1 − e
2
)]
n−r
(4)
A express˜ao (4) ´e exatamente a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca utilizada por Gaba e
Winkler (1992) e Viana et al. (1993), indicando que a express˜ao (3) ´e uma generaliza¸c˜ao
destes modelos obtida atrav´es da introdu¸c˜ao de classifica¸c˜oes repetidas.
3 An´alise Bayesiana Emp´ırica
Considere uma distribui¸c˜ao a priori conjunta de (p, e
1
, e
2
) dada por:
f(p, e
1
, e
2
) = f
β
(p|α, β)f
β
(e
1
|α
1
, β
1
)f
β
(e
2
|α
2
, β
2
) (5)
em que f
β
(a | b, c) ´e fun¸c˜ao densidade de uma distribui¸c˜ao Beta para vari´avel aleat´oria
a com parˆametros b e c. Distribui¸c˜oes Beta s˜ao amplamente utilizadas em modelos
Bayesianos para descrever informa¸c˜oes sobre propor¸c˜oes (GUPTA; NADARAJAH, 2004).
5
Neste artigo, considera-se que as vari´aveis aleat´orias (p, e
1
, e
2
) s˜ao mutuamente independentes
a priori.
A dens idade conjunta a posteriori de (p, e
1
, e
2
) ´e obtida multiplicando-se a distribui¸c˜ao
a priori (5) pela verossimilhan¸ca (3) e normalizando como requerido pelo teorema de Bayes
(WINKLER, 2003). Integrando-se em rela¸c˜ao a e
1
e e
2
, obt´em-se a fun¸c˜ao densidade
marginal a posteriori de p, que pode ser expressa como:
f(p|r, n, m) =
r
j=0
n−r
t=0
w
∗
jt
f
β
(p|α
∗
, β
∗
) (6)
em que w
∗
jt
=
a
∗
jt
P
r
j=0
P
n−r
t=0
a
∗
jt
, com a
∗
jt
=
r
j
n−r
t
B (α
∗
, β
∗
) k
1
(j, t) k
2
(j, t) e
k
1
(j, t) =
1
0
e
α
1
−1
1
(1 − e
1
)
β
1
−1
[Bin (m; e
1
; 0, 5m)]
r−j
[1 − Bin (m; e
1
; 0, 5m)]
n−r−t
de
1
;
k
2
(j, t) =
1
0
e
α
2
−1
2
(1 − e
2
)
β
2
−1
[Bin (m; e
2
; 0, 5m)]
t
[1 − Bin (m; e
2
; 0, 5m)]
j
de
2
;
e B (α
∗
, β
∗
) o valor da fun¸c˜ao Beta calculada no ponto (α
∗
, β
∗
) com α
∗
= α + n − j − t e
β
∗
= β + j + t.
A ausˆencia de informa¸c˜oes suficientes para definir distribui¸c˜oes a priori informativas
para os erros de classifica¸c˜ao implica, por exemplo, na utiliza¸c˜ao de distribui¸c˜oes U(0, 1),
caso particular da distribui¸c˜ao Beta, para os parˆametros (p, e
1
, e
2
). Conseq¨uentemente,
a distribui¸c˜ao marginal a posteriori para p pode ser multi-modal e/ou apresentar grande
variabilidade. A realiza¸c˜ao de classifica¸c˜oes repetidas n˜ao ´e garantia de minimiza¸c˜ao deste
problema, e a situa¸c˜ao ´e ainda mais grave quando apenas uma classifica¸c˜ao ´e realizada,
gerando uma m´edia a posteriori de p igual a 0,5 independentemente do resultado amostral
(GABA; WINKLER, 1992).
6
Assim, a distribui¸c˜ao a posteriori obtida pode ser de pouca utilidade para gerar
informa¸c˜oes necess´arias sobre a propor¸c˜ao de interesse, ficando evidente a necessidade
de obten¸c˜ao de uma informa¸c˜ao adicional sobre os erros de classifica¸c˜ao.
Uma alternativa para minimizar esse problema ´e utilizar os resultados das classifica¸c˜oes
repetidas (m > 1) para estimar os hiperparˆametros (α
1
, β
1
) e (α
2
, β
2
) da distribui¸c˜ao a
priori Beta dos erros de classifica¸c˜ao e continuar utilizando a distribui¸c˜ao U(0, 1) para
p. E ste procedimento pode ser descrito como um processo de estima¸c˜ao Bayes emp´ırico
param´etrico como apresentado por Carlin e Louis (1996), Gupta e Nadarajah (2004),
Morris (1983) e Gelman (2004).
A estima¸c˜ao dos hiperparˆametros (α
1
, β
1
) e (α
2
, β
2
) foi realizada pelo m´etodo dos
momentos. Primeiramente, a amostra aleat´oria de tamanho n foi dividida em duas sub-
amostras: uma constitu´ıda pelos itens com classifica¸c ˜ao final conforme (F
i
= 1) e a
outra com itens com classifica¸c˜ao final n˜ao-conforme (F
i
= 0). Para cada unidade da
primeira sub-amostra foi calculada a propor¸c˜ao de classifica¸c˜oes repetidas n˜ao-conformes,
sendo que a m´edia e a variˆancia destas propor¸c˜oes estimam, respectivamente, a m´edia e
a variˆancia da distribui¸c˜ao a priori Beta de e
1
. Na segunda sub-amostra, calculou-se a
propor¸c˜ao de classifica¸c˜oes conforme para cada unidade. A m´edia e a variˆancia destas
propor¸c˜oes estimam, respectivamente, a m´e dia e a variˆancia da distribui¸c˜ao a priori Beta
de e
2
. Finalmente, atrav´es das formas fechadas da m´edia e da variˆancia da distribui¸c˜ao
Beta, foi poss´ıvel estimar (α
1
, β
1
) e (α
2
, β
2
) resolvendo sistemas de duas equa¸c˜oes e duas
inc´ognitas. As estimativas para (α
1
, β
1
) e (α
2
, β
2
) podem ser expressas, respectivamente,
por:
ˆα
1
= k
3
(k
2
4
+ k
2
3
− k
3
)/k
2
4
(7)
ˆ
β
1
= (k
2
4
+ k
2
3
− k
3
)(k
3
− 1)/k
2
4
(8)
7
ˆα
2
= k
5
(k
2
6
+ k
2
5
− k
5
)/k
2
6
(9)
ˆ
β
1
= (k
2
6
+ k
2
5
− k
5
)(k
5
− 1)/k
2
6
(10)
em que
k
3
=
n
i=1
m
j=1
(1 − C
ij
) I
{F
i
=1}
m
n
s=1
I
{F
s
=1}
; k
4
= k
3
(1 − k
3
)
n
i=1
I
{F
i
=1}
;
k
5
=
n
i=1
m
j=1
(1 − C
ij
) I
{F
i
=0}
m
n
s=1
I
{F
s
=0}
; k
6
= k
5
(1 − k
5
)
n
i=1
I
{F
i
=0}
.
A utiliza¸c˜ao da distribui¸c˜ao a priori emp´ırica para m = 1 n˜ao ´e vi´avel atrav´es do
m´etodo proposto, haja visto a impossibilidade de estimar (α
1
, β
1
) e (α
2
, β
2
) atrav´es
das propor¸c˜oes de classifica¸c˜oes equivocadas. Quando em uma sub-amostra todas as
classifica¸c˜oes repetidas gerarem resultados idˆenticos, ser´a necess´ario aumentar n ou m de
tal forma a captar o efeito dos erros de classifica¸c˜ao e tornar poss´ıvel estimar (α
1
, β
1
) e
(α
2
, β
2
) pelo m´etodo dos momentos.
4 Exemplo num´erico e discuss˜oes
A avalia¸c˜ao do desempenho num´erico da metodologia proposta neste artigo foi realizada
atrav´es de uma simula¸c˜ao considerando todas as combina¸c˜oes decorrentes dos seguintes
valores de parˆametros: p =0,55; 0,75 ou 0,9; e
1
=0,05 ou 0,15; e
2
=0,05 ou 0,15; n=250 ou
500. Al´em disso, foram utilizadas distribui¸c˜oes a priori emp´ırica e U(0, 1) para os erros,
considerando tamb´em a possibilidade de at´e sete classifica¸c˜oes repetidas. A distribui¸c˜ao
a priori de p foi U(0, 1) em todos os casos simulados. Foi desenvolvido um programa no
software Matlab de tal forma a calcular (6) e gerar graficamente a distribui¸c˜ao a posteriori
8
de p com respectiva m´edia, moda, mediana e intervalo de credibilidade. O programa e os
resultados de todas as simula¸c˜oes podem ser obtidos em www.est.ufmg.br/∼roberto.
As Figuras de 1 a 7 foram simuladas com os parˆametros p = 0, 55; e
1
= 0, 15; e
2
=
0, 15; n = 500, correspondendo `as sete classifica¸c˜oes repetidas e s˜ao representativas dos
resultados obtidos em todo o pro cess o de simula¸c˜ao.
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
média = 0,5000
2
s = 0,0698
mediana = 0,5000
moda = 0,4225
f(p|r,n,m)
p
n = 500; r = 275; m = 1
a priori U(0,1): e e e
1 2
Figura 1: Distribui¸c˜ao a posteriori de p
com n=500, m=1 e distribui¸c˜ao a priori
U(0, 1) para e
1
e e
2
.
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,4
0,6
0,8
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
média = 0,5000
2
s = 0,0680
mediana = 0,5000
moda = 0,5587
f(p|r,n,m)
p
n = 500; r = 279; m = 3
0,2
0,0
a priori U(0,1): e e e
1 2
Figura 2: Distribui¸c˜ao a posteriori de p
com n=500, m=3 e distribui¸c˜ao a priori
U(0, 1) para e
1
e e
2
.
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
média = 0,5161
2
s = 0,0241
mediana = 0,5545
moda = 0,5589
f(p|r,n,m)
p
n = 500; r = 279; m = 3
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
0
a priori empírica: e e e
1 2
Figura 3: Distribui¸c˜ao a posteriori de p
com n=500, m=3 e distribui¸c˜ao a priori
emp´ırica para e
1
e e
2
.
De maneira geral, o aumento das classifica¸c˜oes repetidas reduziu o n´umero de pontos
extremos na fun¸c˜ao densidade a posteriori de p quando utiliza-se tanto a distribui¸c˜ao a
priori U (0, 1) (Figuras 1, 2, 4, 6) quanto a distribui¸c˜ao a priori emp´ırica (Figuras 3, 5,
7). Observa-se tamb´em que, considerando o mesmo n´umero de classifica¸c˜oes repe tidas, as
distribui¸c˜oes a posteriori de p obtidas atrav´es de priori emp´ırica para os erros apresentam
menor variabilidade e um n´umero de pontos extremos menor ou igual ao das distribui¸c˜oes
9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,4
0,6
0,8
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
média = 0,5000
2
s = 0,0680
mediana = 0,5000
moda = 0,5587
f(p|r,n,m)
p
n = 500; r = 277; m = 5
0,2
0,0
a priori U(0,1): e e e
1 2
Figura 4: Distribui¸c˜ao a posteriori de p
com n=500, m=5 e distribui¸c˜ao a priori
U(0, 1) para e
1
e e
2
.
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
2
3
4
5
6
7
8
9
média = 0,4994
2
s = 0,0255
mediana = 0,5468
moda = 0,5549
f(p|r,n,m)
p
n = 500; r = 277; m = 5
1
0
a priori empírica: e e e
1 2
Figura 5: Distribui¸c˜ao a posteriori de p
com n=500, m=5 e distribui¸c˜ao a priori
emp´ırica para e
1
e e
2
.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
média = 0,5000
2
s = 0,0944
mediana = 0,5000
moda = 0,8994
f(p|r,n,m)
p
n = 500; r = 272; m = 7
a priori U(0,1): e e e
1 2
Figura 6: Distribui¸c˜ao a posteriori de p
com n=500, m=7 e distribui¸c˜ao a priori
U(0, 1) para e
1
e e
2
.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
média = 0,4883
2
s = 0,0247
mediana = 0,5342
moda = 0,5431
f(p|r,n,m)
p
n = 500; r = 272; m = 7
a priori empírica: e e e
1 2
Figura 7: Distribui¸c˜ao a posteriori de p
com n=500, m=7 e distribui¸c˜ao a priori
emp´ırica para e
1
e e
2
.
10
obtidas com distribui¸c˜ao a priori U(0, 1).
As Tabelas 2 e 3 apresentam o v´ıcio m´edio (em percentual relativo ao valor real do
parˆametro) para as combina¸c˜oes de erros simuladas e amostras de 500 e 250 elementos
respectivamente. A utiliza¸c˜ao da distribui¸c˜ao a priori emp´ırica demonstra um melhor
desempenho, pois gera v´ıcios, em m´odulo, menores do que a utiliza¸c˜ao da distribui¸c˜ao a
priori uniforme. A m´edia a posteriori apresenta os maiores v´ıcios m´edios, n˜ao sendo esta,
portanto, uma boa escolha para estimar p. J´a a mediana e a moda, quando n=500 e 250,
apresentam valores de v´ıcios m´edios absolutos inferiores a 5% para 3, 5 ou 7 classifica¸c˜oes
repetidas, tendo a moda um desempenho ligeiramente melhor.
As Tabelas 4 e 5 apresentam os v´ıcios m´aximos obtidos para as combina¸c˜oes de erros
simulados nas amostras de 500 e 250 elementos. Considerando 3, 5 ou 7 classifica¸c˜oes
repetidas, observa-se que a mediana apresenta um melhor desempenho, com valores
de v´ıcios m´aximos (em m´odulo) inferiores a 7,2%, enquanto a moda apresenta valores
inferiores a 9,0%.
Quando a distribui¸c˜ao a priori emp´ırica ou U(0, 1) ´e utilizada para os erros, perce be-
se freq¨uentemente a ocorrˆencia de v´ıcios negativos, ou seja, a propor¸c˜ao p de interesse
est´a sendo subestimada. Isso pode ocorrer devido ao crit´erio de decis˜ao para classifica¸c˜ao
final em conforme (F
i
= 1) ou n˜ao-conforme (F
i
= 0). Como nos exemplos simulados
p > 0, 5 ent˜ao em m´edia a quantidade de itens realmente conformes ´e maior implicando
que o n´umero de ocorrˆencias em que classifica-se um item como n˜ao-conforme quando ´e
conforme ´e maior do que os casos onde classifica-se um item como conforme quando ´e na
verdade n˜ao-conforme. Conseq¨uentemente a propor¸c˜ao tende a ficar sub-estimada. Caso
p < 0, 5 existir´a uma tendˆencia de super-estima¸c˜ao da propor¸c˜ao.
11
Tabela 2: V´ıcio m´edio de estimativas a posteriori de p com n=500
Distribui¸c˜ao a priori Emp´ırica Distribui¸c˜ao a priori Uniforme
m p M´edia Mediana Moda M´edia Mediana Moda
0,55 - - - -9,10% -9,10% 12,70%
1 0,75 - - - -33,30% -33,30% 19,20%
0,90 - - - -44,40% -44,40% -71,00%
0,55 -5,20% 0,00% 0,80% -9,10% -9,10% 18,20%
3 0,75 -2,80% -1,80% -1,20% -33,30% -33,30% -61,10%
0,90 -9,80% -3,70% -2,50% -44,40% -44,50% -60,60%
0,55 -6,80% -1,00% 3,90% -9,10% -9,10% -62,00%
5 0,75 -1,80% -1,10% -0,80% -33,30% -33,30% -65,90%
0,90 -7,40% -1,40% -0,70% -44,40% -44,50% -72,50%
0,55 -5,70% -1,00% -0,30% -9,10% -9,10% -79,90%
7 0,75 -2,00% -0,80% -1,20% -33,30% -33,30% -42,10%
0,90 -2,30% -0,40% -0,40% -44,50% -44,40% -44,40%
Tabela 3: V´ıcio m´edio de estimativas a posteriori de p com n=250
Distribui¸c˜ao a priori Emp´ırica Distribui¸c˜ao a priori Uniforme
m p M´edia Mediana Moda M´edia Mediana Moda
0,55 - - - -9,10% -9,10% 14,30%
1 0,75 - - - -33,30% -33,30% 8,10%
0,90 - - - -44,40% -44,50% 1,00%
0,55 -4,50% -0,30% 0,70% -9,10% -9,10% 25,60%
3 0,75 -3,50% -2,50% -2,00% -33,30% -33,30% -36,80%
0,90 -10,10% -4,70% -3,60% -44,40% -44,50% -94,20%
0,55 -7,20% -2,20% - 1,00% -9,10% -9,10% 8,20%
5 0,75 -2,10% -1,20% -1,40% -33,30% -33,30% -19,30%
0,90 -7,60% -2,80% - 2,20% -44,40% -44,50% -69,50%
0,55 -5,10% -0,90% - 0,40% -9,10% -9,10% -5,60%
7 0,75 -2,80% -1,30% -1,70% -33,30% -33,30% -33,30%
0,90 -2,60% -1,30% - 1,40% -44,50% -44,40% 9,10%
12
Tabela 4: V´ıcio m´aximo de estimativas a posteriori de p com n=500
Distribui¸c˜ao a priori Emp´ırica Distribui¸c˜ao a priori Uniforme
m p M´edia Mediana Moda M´edia Mediana Moda
0,55 - - - -9,10% -9,10% 81,80%
1 0,75 - - - -33,30% -33,30% 33,30%
0,90 - - - -44,40% -44,50% -93,00%
0,55 -6,50% 4,20% 6,00% -9,10% -9,10% 81,80%
3 0,75 -6,40% -4,30% -4,30% -33,30% -33,30% -91,00%
0,90 -15,40% -7,20% -5,70% -44,40% -44,50% -82,30%
0,55 -12,90% -2,10% 8,60% -9,10% -9,10% -79,30%
5 0,75 -5,10% -3,10% -2,50% -33,30% -33,30% -77,00%
0,90 -15,10% -3,60% -2,20% -44,40% -44,50% -100,00%
0,55 -11,20% -2,90% -1,50% -9,10% -9,10% -82,30%
7 0,75 -2,90% -1,60% -2,70% -33,30% -33,30% -76,00%
0,90 -3,50% -1,20% - 1,40% -44,50% -44,50% -100,00%
Tabela 5: V´ıcio m´aximo de estimativas a posteriori de p com n=250
Distribui¸c˜ao a priori Emp´ırica Distribui¸c˜ao a priori Uniforme
m p M´edia Mediana Moda M´edia Mediana Moda
0,55 - - - -9,10% -9,10% 81,80%
1 0,75 - - - -33,30% -33,30% 54,20%
0,90 - - - -44,40% -44,50% 11,50%
0,55 -9,70% -6,50% 8,90% -9,10% -9,10% 81,80%
3 0,75 -7,20% -6,10% -6,20% -33,30% -33,30% -91,60%
0,90 -14,90% -8,10% -6,60% -44,40% -44,50% -100,00%
0,55 -14,70% -4,20% -2,70% -9,10% -9,10% 54,70%
5 0,75 -5,10% -3,00% -3,50% -33,30% -33,30% -65,80%
0,90 -10,40% -5,20% -4,70% -44,40% -44,50% -100,00%
0,55 -9,40% -3,40% - 2,40% -9,10% -9,10% -9,10%
7 0,75 -4,50% -3,00% -3,90% -33,30% -33,30% -33,30%
0,90 -3,30% -2,20% - 2,80% -44,50% -44,40% 10,20%
13
Observa-se tamb´em que o v´ıcio ´e assintoticamente nulo com o crescimento das classifica¸c˜oes
repetidas. A Figura 9 ilustra esta situa¸c˜ao atrav´es da determina¸c˜ao da distribui¸c˜ao a
posteriori de p com as respectivas m´edia, mediana e moda obtidas de uma simula¸c˜ao
em que n = 500, p = 0, 75, m = 99 e distribui¸c˜ao a priori emp´ırica para os erros.
Neste cen´ario, o v´ıcio m´aximo est´a em torno de -0,1% decorrente da m´edia a posteriori.
O gr´afico tamb´em indica que quando m cresce a moda a posteriori tende a apresentar
menores v´ıcios.
0
5
10
15
20
25
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
média = 0,7490
2
s = 0,0004
mediana = 0,7493
moda = 0,7500
f(p|r,n,m)
p
n = 500; r = 375; m = 99
a priori empírica: e e e
1 2
Figura 8: Distribui¸c˜ao a posteriori de
p com n =500, m=99 e distribui¸c˜ao a
priori emp´ırica para e
1
e e
2
.
0
5
10
15
20
25
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
média = 0,7490
2
s = 0,0004
mediana = 0,7493
moda = 0,7500
f(p|r,n,m)
p
n = 500; r = 375; m = 99
a priori empírica: e e e
1 2
Figura 9: Distribui¸c˜ao a posteriori de
p com n =500, m=99 e distribui¸c˜ao a
priori emp´ırica para e
1
e e
2
.
5 Conclus˜ao
Este trabalho apresenta uma metodologia bayesiana emp´ırica para estimar uma propor¸c˜ao
quando as avalia¸c˜oes est˜ao sujeitas a erros de classifica¸c˜ao e informa¸c˜oes a priori sobre
tais erros n˜ao est˜ao dispon´ıveis. A proposta ´e realizar classifica¸c˜oes repetidas e, atrav´es
destas, elicitar distribui¸c˜oes a priori emp´ıricas para os erros de classifica¸c˜ao.
Um estudo de simula¸c˜ao demonstrou que a metodologia apresenta desempenho satisfat´orio,
pois a utiliza¸c˜ao da distribui¸c˜ao a priori emp´ırica, quando comparada com a distribui¸c˜ao
a priori U(0, 1), gera estimativas a posteriori com v´ıcios absolutos menores e distribui¸c˜oes
a posteriori com menor variabilidade.
Como estimativa a posteriori da propor¸c˜ao de interesse, considerando-se uma postura
conservadora do pior caso, recomenda-se a mediana como melhor alternativa. Decidindo-
14
se por uma abordagem de v´ıcio m´edio, a melhor estimativa ´e fornecida pela moda. Em
ambos os casos, recomenda-se pelo menos trˆes classifica¸c˜oes repetidas de tal forma a
garantir um n´umero menor de p ontos extremos e um v´ıcio que n˜ao comprometa o processo
de decis˜ao.
Referˆencias
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WINKLER, R. L. Bayesian Inference and Decisions. 2. ed. London: Probabilistic
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16
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