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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
DESENVOLVIMENTO DE ANTENAS DE MICROFITA COM
ABERTURAS NOS PATCHES CONDUTORES ATRAVÉS
DO MÉTODO DA SEGMENTAÇÃO
PAULO FARIAS BRAGA
NATAL – RN
AGOSTO DE 2005
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ii
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
DESENVOLVIMENTO DE ANTENAS DE MICROFITA COM
ABERTURAS NOS PATCHES CONDUTORES ATRAVÉS
DO MÉTODO DA SEGMENTAÇÃO
Paulo Farias Braga
Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção
Dissertação de Mestrado apresentada
ao Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Elétrica na Universidade
Federal do Rio Grande do Norte,
como parte dos requisitos necessários
para obtenção do título de Mestre em
Engenharia Elétrica.
NATAL – RN
Agosto de 2005
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iii
DESENVOLVIMENTO DE ANTENAS DE MICROFITA COM
ABERTURAS NOS PATCHES CONDUTORES ATRAVÉS
DO MÉTODO DA SEGMENTAÇÃO
Paulo Farias Braga
Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção
NATAL – RN
Agosto de 2005
iv
DESENVOLVIMENTO DE ANTENAS DE MICROFITA COM
ABERTURAS NOS PATCHES CONDUTORES ATRAVÉS
DO MÉTODO DA SEGMENTAÇÃO
Paulo Farias Braga
Dissertação de Mestrado aprovada em 25 de agosto de
2005 pela Banca Examinadora composta pelos seguintes
membros:
Natal – RN
v
A meu avô, Pedro Alves Braga (in memoriam),
por toda a sua luta, garra e vontade de viver.
vi
Agradecimentos
A Deus, por manter viva minha fé.
A meu orientador, Professor Adaildo Gomes D’Assunção, cuja compreensão, paciência e
sabedoria me conduziram à elaboração deste estudo.
À Universidade Federal do Rio Grande do Norte, pela competência e incentivo à pesquisa.
A todos aqueles que foram meus professores: Adaildo Gomes D’Assunção, Maria Rosa Medeiros
Lins de Albuquerque, Sandro Gonçalves da Silva, Wilson da Mata e Laércio Martins de
Medonça, tanto pelos ensinamentos em Telecomunicações quanto pelos ensinamentos a respeito
da vida.
A minha família, em especial a meus pais, Paulo Mendes Braga e Maria Farias da Mata Braga, a
minha irmã, Nícia Farias Braga e a minha namorada, Karine Ramalho Nóbrega, pelo apoio à vida
acadêmica.
Aos amigos com os quais eu dividi residência, Adriano Gouveia e Eduardo Jorge Brito, por todos
os momentos inesquecíveis.
Aos colegas de curso e àqueles que me ajudaram de forma direta e indireta na elaboração deste
estudo.
À CAPES, pelo incentivo e apoio financeiro.
vii
Resumo
As antenas de microfita são estruturas muito utilizadas nos sistemas de telecomunicações
atuais. Isto decorre, principalmente, da diversidade de configurações e da facilidade de
construção e integração dessas antenas com outros dispositivos e circuitos de altas freqüências.
Neste trabalho, o método de análise empregado é o Modelo de Circuito de Múlti-Porta
(Multiport Network Model – MNM), que combinado com o Método da Segmentação e a técnica
da Função de Green, mostra-se adequado ao estudo da antena de microfita com abertura no patch
condutor.
A partir do equacionamento do problema do valor de contorno, é então realizada uma
análise numérica que consiste em avaliar a estrutura da antena considerada a partir da integração
dos elementos em que ela foi dividida. Nessa análise, os elementos são representados por
matrizes de impedância e a integração é implementada através de portas de circuitos
adequadamente escolhidas em número e posicionamento.
Na análise numérica, foram consideradas as seguintes estruturas: a cavidade ressonante, a
microfita com patch retangular convencional (sem abertura) e a microfita com patch retangular
com abertura. A análise foi efetuada para substratos isotrópicos e estendida para o caso de
antenas com substratos anisotrópicos uniaxiais através do Método do Mapeamento. São
apresentados resultados para a freqüência de ressonância e para a impedância de entrada de
antenas de microfita.
A parte experimental do trabalho consistiu no projeto, construção e medição de vários
protótipos de antenas de microfita com patches retangulares com e sem abertura. Observou-se
que os resultados obtidos, através da simulação numérica, apresentaram uma boa concordância
com os das medições efetuadas. Os resultados deste trabalho, também, concordaram com os
resultados de outros autores, disponíveis na literatura.
viii
Abstract
Microstrip antennas are widely used in modern telecommunication systems. This is
particularly due to the great variety of geometries and because they are easily built and integrated
to other high frequency devices and circuits.
This work presents a study of the properties of the microstrip antenna with an aperture
impressed in the conducting patch. Besides, the analysis is performed for isotropic and
anisotropic dielectric substrates.
The Multiport Network Model – MNM is used in combination with the Segmentation
Method and the Green’s function technique in the analysis of the considered microstrip antenna
geometries.
The numerical analysis is performed by using the boundary value problem solution, by
considering separately the impedance matrix of the structure segments. The analysis for the
complete structure is implemented by choosing properly the number and location of the
neighboor element ports.
The numerial analysis is performed for the following antenna geometries: resonant cavity,
microstrip rectangular patch antenna, and microstrip rectangular patch antenna with aperture. The
analysis is firstly developed for microstrip antennas on isotropic substrates, and then extended to
the case of microstrip antennas on anisotropic substrates by using a Mapping Method.
The experimental work is described and related to the development of several prototypes
of rectangular microstrip patch antennas wtih and without rectangular apertures. A good
agreement was observed between the simulated and measured results. Thereafter, a good
agreement was also observed between the results of this work and those shown in literature for
microstrip antennas on isotropic substrates.
Furthermore, results are proposed for rectangular microstrip patch antennas wtih
rectangular apertures in the conducting patch.
ix
Sumário
Capítulo 1
Introdução
1
Capítulo 2
Modelo de Circuito de Multi-Porta
3
2.1 – Introdução...............................................................................................
3
2.2 – Análise....................................................................................................
3
2.3 – Modelamento dos Campos Internos.......................................................
4
2.4 – Modelamento dos Campos nas Bordas...................................................
6
2.4.1 – Condutância de Borda..............................................................
7
2.4.2 – Capacitância de Borda.............................................................
8
2.4.3 – Indutância de Borda.................................................................
8
2.5 – Conclusão................................................................................................
9
Capítulo 3
Função de Green para Estruturas Planares
10
3.1 – Introdução...............................................................................................
10
3.2 – Equação de Onda e Condições de Contorno...........................................
10
3.3 – Características dos Circuitos em termos da Tensão e Corrente de
RF.......................................................................................................... 15
3.4 – Aproximação da Função de Green..........................................................
16
3.4.1 – Expansão da Função de Green em Funções de Auto-Funções
20
3.5 – Obtenção da Matriz Impedância.............................................................
21
3.5.1 – Segmento Retangular...............................................................
21
3.5.2 – Segmento Triangular................................................................
25
3.5.2.1 – Triângulo Escaleno...............................................................
25
3.5.2.2 – Triângulo Eqüilátero.............................................................
29
3.5.2.3 – Triângulo Isósceles...............................................................
31
3.5.3 – Segmento Circular....................................................................
40
3.6 – Conclusão................................................................................................
42
Capítulo 4
Método da Segmentação e Dessegmentação
43
4.1 – Introdução...............................................................................................
43
4.2 – Método da Segmentação.........................................................................
44
x
4.3 – Método da Dessegmentação...................................................................
48
4.4 – Conclusão................................................................................................
52
Capítulo 5
Resultados
53
5.1 – Introdução..............................................................................................
53
5.2 – Análise Numérica...................................................................................
54
5.3 – Conclusão...............................................................................................
65
Capítulo 6 Conclusões......................................................................................................
66
Referências Bibliográficas......................................................................................................
68
xi
Lista de Símbolos e Abreviaturas
a Largura do patch
b Comprimento do patch
C Capacitância
δ
c
Tangente de perdas no condutor
δ
d
Tangente de perdas no dielétrico
E
r
Campo elétrico
EAN Circuito de admitância de borda (Egde admittance networks)
ε
0
Permissividade elétrica do vácuo
ε
r
Permissividade elétrica relativa
φ
n
Auto-função
G Condutância
γ
l
Constante de propagação
H
r
Campo magnético
h Espessura do substrato
J
r
Densidade de corrente elétrica
j
Imaginário igual a
1−
k
Número de onda complexo
k
n,m
Modos de propagação
L Indutância
MNM Modelo de Circuito de Multi-Porta (Multiport-Network Model)
µ Permeabilidade magnética
P
c
Perdas no condutor
P
d
Perdas no dielétrico
π
3,141592654
RF Rádio freqüência
σ Condutividade elétrica
W
Largura da porta
ω
Freqüência angular
xii
Z
α
Matriz impedância para o segmento α
Z
β
Matriz impedância para o segmento β
Z
γ
Matriz impedância para o segmento γ
Z
AB
Matriz impedância resultante do Método da Segmentação
2
T
∇ Laplaciano transversal
xiii
Lista de Figuras
Capítulo 2
2.1 Representação das múltiplas portas em um patch retangular.........................................
3
2.2 Seção transversal de antena de microfita com patch condutor.......................................
4
2.3 Posição das portas i e j em patch circular.......................................................................
5
2.4 Admitância de borda conectada a um patch de microfita retangular, com indicação
de radiante (R-EAN), ou não-radiante (NR-EAN).........................................................
6
2.5 Elementos de um circuito de admitância de borda, ou EAN.......................................... 7
Capítulo 3
3.1 Diferentes configurações de circuitos planares cujas funções de Green são
conhecidas: a) retangular, b) triângulo eqüilátero, c) triângulo isósceles, d) triângulo
escaleno, e) circular, f) anelar, g) setor circular, h) setor anelar.....................................
11
3.2 Linha de fenda com a localização da fonte de corrente de excitação............................. 12
3.3 Disposição das portas ao longo dos patches...................................................................
14
3.4 Modos de alimentação para uma antena de microfita: a) cabo coaxial, b) linha de
microfita..........................................................................................................................
17
3.5 Exemplo de portas sobrepostas sobre as regiões: (a) ao longo do eixo x, (b) ao longo
do eixo y......................................................................................................................... 28
3.6 Nomenclatura dada a cada vértice do triângulo isósceles.............................................. 31
3.7 Parâmetros para as portas ao longo do contorno da circunferência................................
40
Capítulo 4
4.1 Configuração de um possível patch de uma antena de microfita................................... 43
4.2 Nomenclaturas das portas usadas no Método da Segmentação......................................
44
4.3 Divisão ao meio de um patch retangular........................................................................ 47
xiv
4.4 Estruturas possíveis de caracterização através do Método da Dessegmentação............ 48
4.5 Representação dos segmentos no Método da Dessegmentação..................................... 49
Capítulo 5
5.1 Várias disposições das portas ao longo da borda do patch.............................................
53
5.2 Dispositivo de placas paralelas: a) geometria e b) aplicação do Método da
Segmentação...................................................................................................................
54
5.3 Módulo da impedância versus freqüência de ressonância para um dispositivo de
placas paralelas...............................................................................................................
55
5.4 Antena de microfita alimentada por cabo coaxial: a) seção transversal e b) aplicação
do Método da Segmentação............................................................................................
56
5.5 Impedância de entrada (parte real e imaginária) versus freqüência para uma antena
de microfita alimentada por cabo coaxial.......................................................................
56
5.6 Antena de microfita alimentada por cabo coaxial: a) seção transversal e b) aplicação
do Método da Segmentação............................................................................................
57
5.7 Impedância de entrada (parte real e imaginária) versus freqüência para uma antena
de microfita alimentada por cabo coaxial.......................................................................
58
5.8 Reflexão na porta de alimentação versus freqüência de ressonância (experimental)
para uma antena de microfita alimentada por cabo coaxial (50 Ω) ...............................
59
5.9 Antena de microfita com abertura alimentada por cabo coaxial: a) seção transversal e
b) aplicação do Método da Segmentação.......................................................................
60
5.10
Impedância de entrada (parte real e imaginária) versus freqüência para uma antena
de microfita com abertura...............................................................................................
61
5.11
Reflexão na porta de alimentação versus freqüência de ressonância (experimental)
para uma antena de microfita alimentada por cabo coaxial (50 Ω) ...............................
62
5.12
Freqüência de ressonância versus s ou d........................................................................ 63
5.13
Antena de microfita com substrato anisotrópico: a) seção transversal e b) aplicação
do Método da Segmentação............................................................................................ 64
Capítulo 1
Introdução
Tanto as comunicações móveis quanto a indústria aeroespacial passaram por grandes
transformações nas últimas décadas. Isto ocorreu devido ao aumento do fluxo de dados
transmitidos, sejam através de short messenger, de download de imagens, do sensoriamento
remoto em aviões e do acesso multimídia através do celular, ou da telemetria utilizada em
mísseis. A NASA (National Aerounautics and Space Administration), por exemplo, criou um
avião chamado de Centurion, movido à energia solar, que é utilizado em vôos de longa duração e
em elevadas altitudes, sem a necessidade de piloto a bordo, pois é controlado da terra.
Um dos principais elementos para que haja uma boa comunicação entre o comando na
terra e o Centurion, por exemplo, é a antena. Existem antenas de diversas formas como as de fio,
de espira (loop), as cornetas, as independentes de freqüência e as antenas de microfita, estudadas
neste trabalho. A investigação das características principais destas antenas tem sido contínua e
intensa, particularmente nas duas últimas décadas, e decorre da sua grande utilização nos atuais
sistemas de telecomunicações.
As antenas de microfita foram propostas no início da década de 50 por Greig, Englemann
e Deschamps [1]-[8], mas as pesquisas se intensificaram, a partir da década de 70, com os
trabalhos de Howell [1] e Muson [2]. Basicamente, a configuração mais simples de uma antena
de microfita consiste de um patch condutor situado acima de um plano de terra, separado por uma
camada de material dielétrico. As principais vantagens destas antenas são: facilidade de
fabricação, versatilidade, custo e peso reduzidos, pequeno volume e facilidade de montagem na
estrutura de um veículo ou aeronave. Dentre suas desvantagens, podem ser destacadas: a baixa
eficiência, as perdas elevadas por radiação, a possibilidade de excitação de ondas de superfície e
a estreita largura de banda.
É neste contexto, de melhoria de algumas das características principais da antena de
microfita, visando o atendimento às necessidades específicas da sua aplicação em sistemas de
telecomunicações modernos, que este trabalho faz um estudo sobre a antena de microfita com
abertura no patch condutor.
2
O conteúdo deste trabalho está distribuído em cinco capítulos que têm como objetivos
principais: destacar a importância e a atualidade do tema considerado; descrever a análise teórica
realizada através do Modelo de Circuito de Multi-Porta (Multiport Network Model – MNM);
apresentar detalhes da análise numérica desenvolvida através do Método da Segmentação;
projetar, construir e medir as características principais (freqüência de ressonância e impedância
de entrada) de alguns protótipos; mostrar os resultados teóricos e experimentais obtidos,
comentá-los e compará-los (inclusive com resultados disponíveis na literatura da área) e,
finalizando, apresentar as principais conclusões e algumas sugestões para a realização de
trabalhos futuros.
O Capítulo 2 apresenta o Modelo de Circuito de Multi-Porta (MNM), que é utilizado na
análise das antenas de microfita consideradas. No caso da antena com abertura no patch
condutor, são consideradas as seguintes características principais: polarização circular e maior
largura de banda. A polarização circular é utilizada em veículos aeroespaciais devido à
necessidade de recepção ou transmissão do sinal mesmo quando, por exemplo, o avião (ou
míssil) executa manobras que mudem a orientação de algum dos seus eixos principais. Uma
largura de banda maior é obtida através das fendas ou aberturas nas antenas de microfita.
No Capítulo 3, é determinada a Função de Green para estruturas planares, possibilitando a
caracterização de patches com diversos formatos (retangular, triangular, circular, setor de círculo
e de anel).
O Capítulo 4 é dedicado ao estudo do Método da Segmentação, que é empregado na
caracterização de estruturas de antenas de microfita com formas não-regulares, como as que
possuem patches retangulares com aberturas.
O Capítulo 5 mostra os resultados teóricos e experimentais obtidos para as antenas de
microfita consideradas, através dos modelos utilizados. Assim, são apresentados resultados para a
cavidade ressonante, a antena de microfita com patch retangular e a antena de microfita com
patch retangular com abertura. São também efetuadas comparações entre os resultados teóricos e
experimentais obtidos neste trabalho e os disponíveis na literatura especializada.
No Capítulo 6, são apresentadas as principais conclusões do trabalho e sugeridos alguns
tópicos para a continuidade da pesquisa.
3
Capítulo 2
Modelo de Circuito de Multi-Porta
2.1 – Introdução
A análise de antenas de microfita, através do Modelo de Circuito de Multi-Porta
(Multiport Network Model – MNM), pode ser considerada como uma extensão do Método da
Cavidade [6]. Nesta análise, o patch é visto como um ressoador circundado por paredes
magnéticas com alta impedância ao longo das bordas. Nesse patch são adicionadas múltiplas
portas localizadas na periferia do condutor, como mostra a Figura 2.1.
Figura 2.1: Representação das múltiplas portas em um patch retangular.
2.2 – Análise
Para análise através do MNM, considera-se que a antena de microfita tem a geometria
apresentada na Figura 2.2. O patch condutor está depositado sobre um substrato dielétrico, que se
encontra montado sobre um plano de terra. A região 1 é o ar (µ
0
,
ε
0
). A região 2 é a do substrato
dielétrico (µ
0
,
ε). Na análise, os campos eletromagnéticos na região 1 (campos radiados, ondas de
superfície e campos de borda) e na região 2 (campos confinados no substrato) são modelados
separadamente. Para o caso em que a alimentação é feita através de uma linha de microfita, os
campos produzidos também são modelados separadamente e o casamento entre a linha e o patch
é realizado através da condição da Lei de Kirchhoff para as portas interconectadas. Igualar as
4
tensões nas interconexões é o mesmo que casar o campo elétrico tangencial, e garantir a
continuidade entre as correntes, assegura a continuidade do campo magnético tangencial. Cada
circuito com suas múltiplas portas é caracterizado, em termos de sua matriz impedância, e é
combinado através do Método da Segmentação, que será apresentado no Capítulo 4, para obter as
características principais da antena, como: freqüência de ressonância, parâmetros de
espalhamento, largura de banda e diagrama de radiação.
Figura 2.2: Seção transversal de antena de microfita com patch condutor.
2.3 – Modelamento dos Campos Internos
Em muitas aplicações, a espessura h do substrato em antenas de microfita é muito menor
que o comprimento de onda, tal que
1
0
<<hk
. Os campos próximos das bordas da antena devem
variar na direção perpendicular ao patch, mas esta variação em z (Figura 2.2) decai rapidamente,
para deslocamentos em relação às bordas do patch. Então, uma solução para os campos
eletromagnéticos na região entre o patch e o plano de terra pode ser obtida considerando o patch
como uma cavidade ressonante em duas dimensões com paredes magnéticas.
Para análise de patches com geometrias regulares (retângulos, círculos, anéis, triângulos,
setores circulares e de anéis), o Modelo de Circuito de Multi-Porta é aplicado e, usando a Função
de Green, obtém-se a matriz impedância, sendo esta representada por [7]:
∫ ∫
=
i j
W W
jijjii
ji
ij
ds)dsy,x|,yG(x
WW
1
z
(2.1)
onde (
x
i
,y
i
) e (
x
j
,y
j
) representam as posições das duas portas cujas larguras são
W
i
e
W
j
,
respectivamente, como mostra a Figura 2.3. A integração dupla na equação anterior deve ser
efetuada em relação às larguras das portas
i
e
j
, que são localizadas em qualquer ponto dentro do
patch
ou em sua borda.
5
Figura 2.3: Posição das portas i e j em
patch
circular.
No Capítulo 3, será apresentada a expressão da Função de Green, que é usualmente
representada por um duplo somatório infinito em termos dos modos de propagação, para um
ressoador planar com paredes magnéticas laterais. O efeito das perdas no dielétrico é inserido
considerando
r
ε
uma grandeza complexa
(
)
'''
rrr
j
εεε
−= . As perdas no condutor também são
incluídas de maneira aproximada pela definição da tangente de perdas, através de [7]:
d
d
c
c
δ
P
P
δ =
(2.2)
onde P
c
é a potência dissipada devido às perdas no patch condutor, P
d
é a potência dissipada no
substrato dielétrico e δ
d
é a tangente de perdas no dielétrico. Na parede magnética, a tangente de
perdas δ
c
é independente da geometria do ressoador e igual a [7]:
(
)
h
c
ωµσ
δ
/2
=
(2.3)
onde σ é a condutividade elétrica do material do patch condutor.
A representação do Modelo de Circuito de Multi-Portas para os campos internos em um
patch retangular é mostrada na Figura 2.1, onde as portas estão localizadas ao redor da borda.
6
Cada porta representa uma pequena seção de largura Wi que é escolhida de forma que os campos,
dentro desta largura, sejam considerados uniformes. Tipicamente, para um patch retangular, o
número de portas, ao longo da borda em que há radiação, é 4, e ao longo da que não há radiação,
é 8 [7]. Então, uma matriz 24 x 24 é a de tamanho, tipicamente, adequado para a caracterização
dos campos internos em antenas de microfita com patches retangulares.
2.4 – Modelamento dos Campos de Borda
Na análise, através do MNM, os campos fora do patch (campos radiados, ondas de
superfícies e campos de borda) são modelados pela introdução de circuitos de admitância de
borda equivalentes (edge admittance network – EAN) conectados na periferia do patch, como
mostra a Figura 2.4.
Figura 2.4: Admitância de borda conectada a um patch de microfita retangular, com indicação de
radiante (R-EAN), ou não-radiante (NR-EAN).
Quando o patch de microfita tem a forma de um retângulo ou triângulo, cada lado da
estrutura deverá ter uma distribuição de tensão diferente, o que não ocorrerá, por exemplo, com o
círculo, pois é considerado tendo apenas uma borda. O EAN, para cada lado da estrutura, é um
circuito de multi-porta consistindo da combinação de uma capacitância, C, e uma indutância, L,
7
que representam, respectivamente, a energia armazenada nos campos elétrico e magnético na
borda do patch e uma condutância, G, que representa a potência radiada e a radiação, através das
ondas de superfície. A configuração de uma EAN típica é mostrada na Figura 2.5.
Figura 2.5: Elementos de um circuito de admitância de borda, ou EAN.
2.4.1 – Condutância de Borda
A condutância na borda do patch, G, consiste de duas partes: a condutância de radiação,
G
r
,
e a condutância de ondas de superfície, G
s
. Estas condutâncias, G
r
e G
s
, quando conectadas na
borda do patch, irão dissipar uma potência igual para a potência radiada (P
r
) e para a potência
associada às ondas de superfície (P
s
), respectivamente. Quando a distribuição de tensão, ao longo
da borda, é dada por f(l), as condutâncias G
r
e G
s
são dadas por [8]:
∫
=
0
2
,
,
)()/1(
2
dllfW
P
G
sr
sr
(2.4)
onde l representa a distância ao longo da borda do patch. Se forem selecionadas n portas
uniformemente espaçadas, cada uma representando uma seção de comprimento W/n, ao longo da
borda, a condutância G
p
conectada para cada porta é dada por
(
)
nGG
sr
/+ .
O conceito de condutância de borda pode ser empregado quando f(l) é conhecido. Em
muitos casos, a antena de microfita opera na freqüência de ressonância para o patch e f(l) é
conhecida, pelo menos, de forma aproximada. Para resultados mais precisos, processos iterativos
computacionais são necessários. Iniciando-se com um valor aproximado de f(l), uma análise
8
baseada em MNM é realizada pelo cálculo das tensões nas n portas da borda. Esta nova
distribuição de tensão f(l) é então utilizada e os cálculos de G
r
e G
s
são repetidos.
2.4.2 – Capacitância de Borda
A capacitância de borda, C, armazena a energia associada ao campo elétrico de borda na
periferia do patch. A capacitância de borda é definida como o excesso da capacitância total sobre
aquela que existiria se o patch fosse considerado como um capacitor com paredes magnéticas nas
bordas abertas. Como no caso da condutância de borda, a capacitância de borda também é
distribuída uniformemente sobre as n portas (C
p
=C/n). Equações para a capacitância na periferia
são disponíveis para estruturas simples, como a retangular e a circular [8].
2.4.3 – Indutância de Borda
A indutância de borda, L, armazena a energia produzida pelo campo magnético de borda
na periferia do patch. Similarmente aos casos discutidos para G e C, a indutância de borda, L, é
também distribuída, uniformemente, sobre as n portas (L
p
=L/n). Para as bordas em que não há
radiação, em um patch retangular, operando no modo dominante, a indutância de borda por
unidade de comprimento, L
e
, e a capacitância de borda por unidade de comprimento, C
e
,
(para
ε
r
=1) são relacionadas através de
ee
CL /
00
εµ
= , para ε
r
= 1.
Quando a distribuição de tensão, ao longo da borda é uniforme, a tensão para duas portas
adjacentes são iguais, e portanto, não há correntes através da indutância na borda. Neste caso, não
se faz necessária à inclusão da indutância, e o circuito EAN é simplificado, unicamente, para os
pares paralelos de capacitância e condutância. Esta situação ocorre para as bordas em que há
radiação em um patch retangular operando no modo dominante.
9
2.5 – Conclusão
Neste capítulo foi estudado o modelamento dos campos internos e nas bordas de uma
antena de microfita através do Modelo de Circuito de Multi-Porta (MNM). Efeitos como o da
condutância, capacitância e indutância nas bordas dos patches também foram discutidos. No
Capítulo 3 será introduzida a Função de Green, necessária à obtenção da matriz impedância para
o estudo de antenas de microfita.
10
Capítulo 3
Função de Green para Estruturas Planares
3.1 – Introdução
A Função de Green é uma técnica que fornece uma solução fechada na caracterização de
estruturas planares regulares, como as mostradas na Figura 3.1, através da obtenção de suas
matrizes impedâncias. Sua determinação se baseia na solução da equação de onda que rege o
eletromagnetismo, juntamente com as condições de contorno, associadas à estrutura do circuito
considerado, que neste trabalho, é uma antena de microfita.
3.2– Equação de Onda e Condições de Contorno
A Figura 3.2 descreve uma linha de fenda com um patch, de forma arbitrária munido de
múltiplas portas, entre dois condutores espaçados 2h. O circuito é excitado, simetricamente, com
respeito aos planos de terra superior e inferior. O eixo de coordenadas é escolhido de tal forma
que o patch fique tangencial ao plano x-y e perpendicular ao eixo z. Por conseguinte, as
dimensões, ao longo do eixo x e y, são comparáveis ao comprimento de onda, enquanto a
espessura da estrutura é muito menor a este.
Os campos dentro do circuito podem ser considerados uniformes ao longo do eixo z,
portanto 0/(.) =∂∂
z
e
0===
yxz
EEH . Considerando ainda que o dielétrico é linear,
homogêneo e isotrópico, as equações de Maxwell para os campos variáveis no tempo podem ser
escritas como [13]:
z
x
y
Ej
ω
y
H
x
H
ε
=
∂
∂
−
∂
∂
(3.1)
x
z
Hj
ω
y
E
µ
−=
∂
∂
(3.2)
y
z
Hjω
x
E
µ
=
∂
∂
(3.3)
11
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
Figura 3.1: Diferentes configurações de circuitos planares cujas funções de Green são
conhecidas: a) retangular, b) triângulo eqüilátero, c) triângulo isósceles, d) triângulo escaleno, e)
circular, f) anelar, g) setor circular, h) setor anelar.
12
Figura 3.2 – Linha de fenda com a localização da fonte de corrente de excitação.
Usando as equações (3.1) – (3.3), determina-se a equação de onda (equação de
Helmholtz) para o campo elétrico na região dielétrica da Figura 3.2, considerada livre de fontes.
Para dependência harmônica no tempo, obtém-se:
(
)
0
22
=+∇
zT
Ek
(3.4)
onde:
2
2
2
2
2
y
)(
x
)(
T
∂
⋅∂
+
∂
⋅∂
=∇
(3.5)
µεωk =
(3.6)
µ e ε indicam, respectivamente, a permeabilidade magnética e permissividade elétrica do
material, ω a freqüência angular e k o número de onda.
No patch condutor, estabelece-se uma corrente elétrica de superfície expressa dada por:
13
(
)
21
ˆ
HHnJ
s
r
r
r
−×= (3.7)
onde
n
ˆ
é o vetor unitário normal à superfície do patch e
1
H
r
e
2
H
r
são campos magnéticos de
direções opostas em relação ao material condutor, Portanto,
21
HH
r
r
−= , reduzindo a equação
(3.7) a:
2
ˆ
2 HnJ
s
r
r
×−= (3.8)
O campo magnético
2
H
r
, ou simplesmente
H
r
, na equação (3.8) pode ser expresso, através
das equações de Maxwell, equações (3.2) e (3.3), em termos do campo elétrico tangencial
z
E , da
seguinte maneira:
∂
∂
+
∂
∂
−=
y
z
x
z
a
x
E
a
y
E
jω
H
ˆˆ
1
µ
r
(3.9)
onde
x
a
ˆ
e
y
a
ˆ
são os vetores unitários ao longo dos eixos x e y, respectivamente. Substituindo
(3.9) em (3.8), obtém-se:
∂
∂
+
∂
∂
−=
y
z
x
z
s
a
x
E
a
y
E
j
ω
J
ˆˆ
2
µ
r
(3.10)
A expressão de
s
J
r
em (3.10) é válida para todos os pontos no patch da linha de fenda.
Porém, neste trabalho, há apenas a utilização das linhas de microfita, onde o plano de terra
superior não existe, não havendo, dessa forma, a componente magnética acima do patch. Isto
resulta na supressão do fator 2 da equação (3.10). Para pontos na borda do condutor,
s
J
r
pode ser
escrito em termos das componentes tangencial e normal, como sendo [13]:
∂
∂
+
∂
∂
−= n
n
E
s
s
E
j
ω
J
zz
s
ˆˆ
1
µ
r
(3.11)
14
Onde
s
ˆ
e
n
ˆ
são, respectivamente, os vetores unitários tangencial e normal à borda, como mostra
a Figura 3.2.
Existem casos em que os patches, ou são parcialmente preenchidos por portas em suas
bordas, como mostra a Figura 3.3 (a), ou são totalmente circundados por elas, como ilustra a
Figura 3.3 (b). No primeiro caso, a borda sem portas pode ser considerada como um circuito
aberto (impedância infinita), fechada (impedância zero), ou terminada por uma impedância de
valor finito.
(a) (b)
Figura 3.3 – Disposição das portas ao longo dos patches.
Nos circuitos planares, um circuito em aberto, implica em uma componente normal à
corrente de superfície na borda igual a zero, ou seja:
0=
∂
∂
n
E
z
(3.12)
Esta condição é dita como condição de contorno para parede magnética. No circuito
fechado, a componente tangencial ao campo elétrico na borda deve ser igual a zero, tal que:
0=
z
E
(3.13)
que corresponde a uma situação conhecida como
condição de contorno para parede elétrica. Por
último, o circuito terminado por uma impedância arbitrária, deve satisfazer a condição de
contorno definida como:
15
y
x
z
H
E
Z
=
(3.14)
Quando existem portas nas bordas, a condição de contorno é relacionada com as correntes
de excitação nas portas acopladas, com o intuito de diferenciar a componente
z
E do campo
elétrico.
Os campos eletromagnéticos, dentro da estrutura planar, são normalmente excitados por
uma alimentação, através de uma linha de microfita de alta impedância ou por um cabo coaxial,
conectado ao plano de terra.
Para a primeira alimentação, a corrente de excitação nas portas acopladas é normal ao
plano
x-y
. Desta forma a equação (3.11) transforma-se em:
n
n
E
j
ω
J
z
s
ˆ
1
∂
∂
=
µ
r
(3.15)
A corrente de RF que passa, através das portas acopladas, pode ser obtida pela integração,
através da largura
W
da porta, de acordo com:
∫
∂
∂
−=
W
z
ds
n
E
j
ω
i
µ
1
(3.16)
onde
ds
é a distância incremental ao longo da borda da geometria do
patch
considerado.
3.3 Características dos Circuitos em termos da Tensão e Corrente de RF
Na prática, é desejável caracterizar os circuitos planares em termos de tensão e densidade
de corrente em RF do que em campos elétrico e magnético. Isto facilita a introdução de fontes,
cargas e das condições de contorno das estruturas.
16
O campo elétrico
z
E
em termos da tensão de RF é dado por [6]:
hEv
z
−=
(3.17)
onde
h
é o espaçamento entre o plano de terra e o circuito planar. A caracterização dos circuitos
planares para o circuito aberto em termos da tensão de RF torna-se:
(
)
0
22
=+∇
vk
T
(3.18)
com:
0=
∂
∂
n
v
(3.19)
para pontos na borda onde não há acoplamento entre as portas. Quando ocorre o acoplamento,
tem-se que:
∫
∂
∂
=
W
ds
n
v
µhj
i
ω
1
(3.20)
Através de (3.11) a (3.20), consegue-se caracterizar um circuito planar com multi-portas
para a condição de contorno com circuito aberto. As outras condições podem ser obtidas, através
de procedimentos similares.
3.4 Aproximação da Função de Green
Com a técnica da Função de Green, obtém-se a tensão em qualquer ponto do circuito
planar, como resposta à excitação de uma fonte de corrente unitária, localizada no circuito.
Juntamente com o conhecimento adequado dos locais das portas, a Função de Green pode ser
usada para obter a caracterização da matriz impedância em um circuito planar [8].
17
Se a excitação for feita, através de cabo coaxial (Figura 3.4 (a)) será gerada uma
densidade de corrente interna
z
J
. Então, sua localização será em um ponto qualquer do plano x-y
e dirigida na direção de z. Dessa forma, a equação de onda pode ser escrita como [13]:
(
)
zT
hJjvk
ωµ
−=+∇
22
(3.21)
onde
T
∇
e
k
foram definidos em (3.5) e (3.6). Caso a excitação seja por linha de microfita (Figura
3.4 (b)), será gerada uma densidade de corrente
s
J
r
, que não estará diretamente ao longo do eixo
z
, mas pode ser equivalentemente considerada, por exemplo, na direção do eixo
z
(Figura 3.2)
pela imposição da condição de parede magnética 0/
=
∂
∂
nv ao longo da borda. Essa densidade
de corrente de superfície equivalente é dada por [13]:
zs
a
n
v
hj
J
ˆ
1
∂
∂
=
µω
r
(3.22)
Portanto, independentemente do modo de excitação, a alimentação dos circuitos planares
é sempre considerada ao longo do eixo z, desde que, é claro, seja considerada a imposição da
condição de parede magnética ao longo de toda a borda.
(a) (b)
Figura 3.4: Modos de alimentação para uma antena de microfita: a) cabo coaxial, b) linha de
microfita.
Uma solução para (3.21) pode ser obtida em termos da Função de Green G(r/r
0
), que é
obtida pela aplicação de uma linha de fonte de corrente unitária )(
0
rr −
δ
na direção z localizada
em
0
rr = . A determinação da Função de Green é efetuada através da solução de [13]:
18
(
)
(
)
)µδ(r-rjr/rGk
T 00
22
-
ω
=+∇
(3.23)
que deve satisfazer às condições de contorno na borda:
0=
∂
∂
n
G
(3.24)
A tensão, em qualquer ponto do plano xy, pode ser escrita como:
(
)
∫∫
=
D
z
dy)dx,y(xJ,yx,y|xGv(x,y)
000000
(3.25)
onde ),y(xJ
z 00
é a corrente de excitação introduzida na direção normal no circuito, e D é a região
relativa ao plano x-y fechada por paredes magnéticas.
Quando a fonte de corrente é introduzida, unicamente, na borda, a tensão é dada por:
(
)
∫
=
C
s
)ds(sJs|sGv(s)
000
(3.26)
onde )(
0
sJ
s
é a fonte de linha de corrente, orientada na direção z e é dada por (3.22), s e s
0
são as
distâncias medidas, ao longo da borda C. Devido ao fato da linha de corrente )(
0
sJ
s
ser
introduzida, unicamente, em posições determinadas, através das portas, ao longo da borda, (3.26)
transforma-se em:
(
)
∑
∫
=
j
W
s
j
)ds(sJs|sGv(s)
000
(3.27)
onde o somatório representa o número de portas acopladas ao longo da borda e W
j
representa a
largura da porta j acoplada. A corrente de entrada i
j
, equação (3.20), através da porta j pode ser
expressa em termos da linha de corrente de superfície, dada em (3.22), como segue:
19
(
)
∫
=
j
W
sj
dssJi
00
(3.28)
Se a largura das portas acopladas for pequena, então a densidade de corrente J
s
é
constante, ou seja, não há variação transversal. A integração em (3.28) pode, então, ser realizada
por:
j
j
portajparas
W
i
|J =
−
(3.29)
Substituindo-se (3.29) em (3.27), a tensão de RF, para qualquer ponto na borda do circuito
planar, torna-se:
( )
∑
∫
=
j
W
j
j
j
dss|sG
W
i
v(s)
00
(3.30)
A tensão média
v
i
sobre a largura da porta
i
acoplada pode ser expressa em termos de
v(s)
,
como se segue:
∫
=
i
W
i
i
v(s)ds
W
v
1
(3.31)
Combinando (3.30) e (3.31), obtém-se:
∑
∫ ∫
=
i
W W
ji
j
i
i j
ds)dsG(s|s
WW
i
v
00
(3.32)
A relação entre tensão e corrente em termos da impedância produz:
∫ ∫
=
i j
W W
ji
ij
ds)dsG(s|s
WW
z
00
1
(3.33)
20
A matriz impedância
Z
é construída a partir de vários
i’s
e
j’s
que representam as portas
consideradas em (3.33).
3.4.1 Expansão da Função de Green em Auto-Funções
A Função de Green é expandida em termos de um conjunto de auto-funções ortonormais,
que deve satisfazer a seguinte condição [15]:
=
=
∫ ∫
situaçõesoutras,
mnse,
dxdy
D
n
*
n
0
1
φφ
(3.34)
onde * representa o complexo conjugado e D é a região em volta da borda. Estas auto-funções
n
φ
, bem como seu correspondente auto-valor
2
n
k , devem satisfazer a equação:
0
22
=+∇
nnnT
k
φφ
(3.35)
onde n representa o índice necessário para definir um certo
n
φ
.
Expandindo-se a Função de Green G(r/r
0
) em uma série de auto-funções
n
φ
, tem-se:
(
)
∑
=
m
m
(r)Ar/rG
m0
φ
(3.36)
onde A
m
é um termo que representa os coeficientes desconhecidos. Substituindo-se (3.36) em
(3.23), obtém-se:
(
)
)r(rj(r)
0
m
22
m
−−=−
∑
δωφ
hµkkA
mm
(3.37)
21
Os coeficientes desconhecidos A
m
são determinados, primeiramente, multiplicando-se
ambos os lados de (3.37) por
(r)
*
n
φ
. Em seguida, fazendo-se a integração na região D, e por
último, aplicando-se a condição de ortonormalidade (3.34) nas auto-funções, obtém-se:
)(r
0
*
n
22
φω
hµj)k(kA
nn
−=−
(3.38)
A determinação de A
n
em (3.38) permite obter de (3.36) que:
( )
∑
−
=
n
22
*
n
0
(r)(r)
kk
hµjr/rG
n
n
φφ
ω
(3.39)
onde nos circuitos com baixas perdas, (r)
n
φ
é real. Portanto, não se faz necessária a utilização do
complexo conjugado na equação anterior.
3.5 Obtenção da Matriz Impedância
3.5.1 Segmento Retangular
O termo genérico da matriz impedância para um segmento retangular de uma antena de
microfita é dado por [13]:
∑∑
∞
=
∞
=
−+
⋅=
0m 0n
222
qqmnppmn
pq
)y,(x)y,(x
Z
kkk
σσ
ab
hµj
yx
nm
φ
φ
ω
(3.40)
Para as portas orientadas ao longo do eixo y,
mn
φ
é dado por:
( )
( )
=
2
sincoscos),(
Wk
cykxkyx
y
yxmn
φ
(3.41)
E ao longo do eixo x, por:
( )
( )
=
2
sincoscos),(
Wk
cykxkyx
x
yxmn
φ
(3.42)
22
A função
)(sin
zc em (3.41) e (3.42) é definida por zzsen
/)(
, com:
a
mπ
k
x
=
(3.43)
b
nπ
k
y
=
(3.44)
=
=
=
nl,
ml,
σ
l
2
1
(3.45)
(
)
j
δεµε
k
r
−=
1
0
22
ω
(3.46)
sendo
δ
sendo a tangente de perdas do dielétrico,
h
a espessura do substrato,
a
o comprimento do
retângulo e
b
sua largura. Os pontos
),(
pp
yx
,
),(
qq
yx
denotam as posições das portas
p
e
q
,
respectivamente.
A) Caso I. Portas p e q orientadas na mesma direção.
A equação (3.40) apresenta somente um somatório, pois com as portas
p
e
q
, ao longo do
eixo
x,
há a necessidade do somatório apenas em
m
e, ao longo do eixo
y,
em
n
. Dessa forma,
[15]:
⋅−=
∑
=
L
l
qupupq
)u(k)u(kFσ
ab
hµj
Z
0
1
coscos
ω
(
)
(
)
F)(γγ
/Wkc/Wkc
)z(γ)z(γ
ll
qupu
ll
sin
2sin2sin
coscos
⋅
<>
(3.47)
Porém, para valores elevados de
l
, a parte imaginária dos argumentos das funções
trigonométricas F)sen(
γ
l
, )zcos(
γ
e )zcos(
γ
ll <>
podem assumir valores elevados, causando
23
problemas numéricos. A solução é substituir as funções trigonométricas por uma aproximação de
seus argumentos, de acordo com:
>
−
>
=
zjγ
l
e)z(γ
1
2
1
cos
(3.48)
<
−
<
=
zjγ
l
e)z(γ
1
2
1
cos
(3.49)
Fjγ
l
e
j
F)sen(γ
1
2
1
−
=
(3.50)
Dessa forma,
Z
pq
,
pode ser escrita em (3.47), como :
⋅−=
∑
=
<>
L
l
llqupupq
)z(γ)z(γ)u(k)u(kFσ
ab
hµj
Z
0
1
coscoscoscos
ω
(
)
(
)
⋅⋅
F)sen(γγ
/Wkc/Wkc
ll
qupu
2sin2sin
(
)
[
]
l
l
qu
Ll
pu
puqu
γ
vvjγ
Wk
c
Wk
c)u(k)u(kF
ab
hµ
<>
∞
+=
−−
+
∑
exp
2
sin
2
sincoscos
1
ω
(3.51)
onde:
( )
(
)
( )
=
=
=
<>
<>
<>
nl,,xx
ml,,yy
,vv
(3.52)
=
=
=
nlb,
mla,
F
(3.53)
24
( )
(
)
( )
=
=
=
nl,,yy
ml,,xx
,uu
qp
qp
qp
(3.54)
22
ul
kkγ −±=
(3.55)
=
=
=
nl,
b
nπ
ml,
a
mπ
k
u
(3.56)
( )
(
)
( )
=−
=−
=
<>
<>
<>
nl,a,xx
ml,b,yy
,zz
(3.57)
),y(yy
qp
max
=
>
(3.58)
),y(yy
qp
min
=
<
(3.59)
O sinal de
γ
1
é escolhido de forma que sua parte imaginária seja positiva.
W
p
e
W
q
representam a largura das portas
p
e
q
. Notação similar às equações (3.58) e (3.59) são aplicadas
a
x
>
e
x
<
quando
l
=
n
.
B) Caso II. Portas p e q orientadas em direções diferentes.
Quando as duas portas,
p
e
q
, estão orientadas ao longo de direções diferentes (
x
e
y
), o
elemento genérico da matriz impedância é escrito como [15]:
25
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
F)sen(γγ
/Wkc/Wkc
zγzγukukFσ
ab
hµj
Z
ll
juiu
L
l
llqupulpq
2sin2sin
coscoscoscos
0
∑
=
><
−=
ω
( ) ( )
(
)
[
]
∑
∞
+=
<>
−
−
−
−
1
2
2exp
2
sincoscos
Ll
jl
jl
iu
qupu
Wγ
/Wvvjγ
Wk
cukukF
ab
hµj
ω
(3.60)
A escolha de
l
é determinada pela convergência do somatório em (3.60) e é realizada
quando:
0
2
>−−
<>
j
W
vv
(3.61)
A decisão se
l
estará em função de
m
ou
n
é determinada de acordo com as condições
abaixo:
,ml
=
se
( )
0
2
minmax >
−−
j
qpqp
W
,yy),y(y
(3.62)
,
nl
=
se
( )
0
2
minmax >
−−
j
qpqp
W
,xx),x(x
(3.63)
Se l = n, W
i
corresponde às portas orientadas ao longo do eixo y, e W
j
ao longo do eixo x.
De forma contrária, se l = m, condiz-se que W
i
representa as portas na direção do eixo x, e W
j
na
direção do eixo y.
3.5.2 – Segmento Triangular
3.5.2.1 – Triângulo Escaleno
Até recentemente, a Função de Green para o triângulo escaleno era obtida, através de um
somatório duplo para 24 fontes de linha. Pela derivação em um somatório simples para as
26
mesmas 24 fontes de linha, Lee, Benalla e Gupta obtiveram uma nova e eficiente expressão para
G [16]. A solução encontrada foi fazer a aproximação, através de um segmento retangular com
paredes magnéticas e com as portas orientadas, arbitrariamente, dentro do retângulo.
A matriz impedância para um segmento com formato de triângulo escaleno tem o seu
elemento genérico dado por [16]:
∑
=
=
24
),,;,,(
li
iiippp
R
pq
T
pq
yxyxZZ
m
θθ
(3.64)
onde
),,;,,(
iiippp
R
pq
yxyxZ
m
θθ
é a matriz impedância para um segmento retangular com paredes
magnéticas, com a porta p localizada em (x
p
,y
p
) sobre um ângulo
θ
p
, e uma imagem
i localizada
em (x
i
,y
i
) sobre um ângulo
θ
i
. Para uma dada fonte de linha em um triângulo, a localização da
imagem e seu ângulo de orientação é obtido através de considerações geométricas [16]. O valor
de
m
R
pq
Z é dado por:
(
)
(
)
( )
∑
∞
=
Ψ
Φ
−=
0l
ll
l
pq
Fsen
tt
F
ab
hj
Z
γγ
σ
µω
(3.65)
onde:
( ) ( )
[ ]
( )
+
−⋅−+−=Φ
2
sincos
2
1
)(
θ
W
CAcDBtCAt
( )
[ ]
( )
+⋅+++
2
sincos
θ
W
CAcDBtCA
(3.66)
onde F é dado em (3.53),
zzsenzc
/)()(sin
=
e W
θ
é o comprimento projetado para uma porta no
eixo x ou y. A expressão para
Ψ
(t) é obtida de (3.66) pela mudança de D para D’. As constantes
A, B, C, D e D’ dependem do valor do índice l, da orientação de
θ
e da localização das portas.
Quando l = m, estas constantes são dadas por:
27
(
)
ppm
a
m
kA
θ
π
α
cot==
(3.67)
(
)
a
m
yxB
ppopo
π
α
´
−=
(3.68)
2
2
−==
a
m
kC
m
π
γ
(3.69)
bD
m
γ
−=
(3.70)
Quando l = n, então:
(
)
ppn
b
n
kA
θ
π
α
tan==
(3.71)
(
)
b
n
xyB
ppopo
π
α
´
−=
(3.72)
2
2
−==
b
n
kC
n
π
γ
(3.73)
aD
n
γ
−=
(3.74)
O termo
σ
m
é definido em (3.45), (x
po
, y
po
) é a coordenada para o ponto médio da porta p e
α
p
= cot(
θ
p
) é a inclinação da porta. A orientação do ângulo
θ
p
é dada em relação ao eixo x. A
escolha entre l = m e l = n depende da situação. Se as duas portas estiverem sobrepostas na
região ao longo do eixo x, então escolhe-se l = m, caso contrário, l = n, como indica a Figura 3.5.
28
(a) (b)
Figura 3.5: Exemplo de portas sobrepostas: a) ao longo do eixo x , b) ao longo do eixo y.
Quando p = q a expressão para a matriz impedância é obtida com l = m e a integração
com respeito a variável y.
∑
∞
=
−=
0
0
)(
)(
m
mm
pqm
pq
bsen
yI
a
hj
Z
γγ
σ
µω
(3.75)
onde:
[ ] [ ]
{ }
++⋅+⋅⋅
−
−
⋅= 122cos)(
2
4
1
)(
0
22
0
θ
θ
γ
AWsenBAybsen
CA
C
W
yI
mpq
( ) ( ){ }
−++Λ+−−Λ⋅
Γ
''
,,
2
,,,,
4
1
DBCADBCA
W
DCBA
W
θ
θ
( ) ( ){ }
DBCADBCA
W
DCBA
W
++Λ+−−Λ⋅
−Γ ,,
2
,,,,
4
1
'
θ
θ
(3.76)
com:
29
(
)
(
)
[
]
( )
+
−
−++−
=
Γ
CA
DBWyCAsenW
DCBA
2/
2
,,,,
0
θθ
(3.77)
(
)
(
)
[
]
( )
CA
DBWyCAsen
+
−
+
+
+
2/
0
θ
(3.78)
e:
( )
( )
[ ]
( )
±⋅±+±=±±Λ
2
sincos,
'
0
'
θ
W
CAcDByCADBCA
(3.79)
3.5.2.2 –Triângulo Eqüilátero
O elemento genérico da matriz impedância para um segmento com formato de um
triângulo eqüilátero é dado por [16]:
(
)
Tm
pq
Te
pqpq
ZZZ +=
2
1
(3.80)
onde
Te
pq
Z
e
Tm
pq
Z
representam, respectivamente, os elementos da matriz impedância para um
segmento com formato de um triângulo escaleno com paredes elétricas e magnéticas. A
expressão de
Tm
pq
Z é dada nas equações de (3.65) a (3.79). O valor de
Te
pq
Z é expresso por:
( )
∑
=
=
24
Re
,,;,,
li
iiippppi
Te
pq
yxyxZZ
θθ
(3.81)
onde
(
)
iiippppi
yxyxZ
θθ
,,;,,
Re
representa a matriz impedância para um segmento retangular com
duas paredes elétricas, a porta p localizada em (x
p
,y
p
) sobre um ângulo
θ
p
, e uma imagem
i
localizada em (x
i
,y
i
) sobre um ângulo
θ
i
. Nota-se que alguns valores da imagem possuem valores
negativos, havendo um cancelamento do somatório em (3.81).
30
A matriz impedância para um segmento retangular com duas paredes elétricas próximas, é
dada por:
(
)
(
)
( )
∑
∞
=
Ψ
Φ
−=
0l
ll
l
pq
Fsen
tt
F
ab
hj
Z
γγ
σ
µω
(3.82)
onde F é dado em (3.53),
σ
m
em (2.48) e
Φ
(t) é expresso por:
( ) ( )
[ ]
( )
+
−⋅−+−=Φ
2
sin
2
1
)(
θ
W
CAcDBtCAsent
( )
[ ]
( )
+⋅+++
2
sin
θ
W
CAcDBtCAsen
(3.83)
onde
zzsenzc
/)()(sin
=
e
Ψ
(t) é dada pela equação (3.83), mas D é substituído por D’.
Quando p = q, a impedância é dada por:
(3.84)
onde:
[ ] [ ]
{ }
−⋅+−⋅−⋅
−
⋅=
θ
θ
AWcBAxDDsen
CA
C
W
yI
pq
sin22cos1)(
21
)(
0
'
22
0
( ) ( ){ }
+++Ω+−−Ω⋅
Π
''
,,
2
,,,,
4
1
DBCADBCA
W
DCBA
W
θ
θ
( ) ( ){ }
DBCADBCA
W
DCBA
W
++Ω+−−Ω⋅
−Π ,,
2
,,,,
4
1
'
θ
θ
(3.85)
∑
∞
=
−=
0
0
)(
)(
n
nn
pqn
pq
asen
xI
b
hj
Z
γγ
σ
µω
31
com:
(
)
(
)
[
]
( )
CA
DBWxCAW
DCBA
−
−++−
=
Π
2/cos
2
,,,,
0
θθ
(
)
(
)
[
]
( )
CA
DBWxCAsen
+
+
+
+
+
+
2/
0
θ
(3.86)
e:
( )
( )
[ ]
( )
±⋅±+±=±±Ω
2
sin,
'
0
'
θ
W
CAcDBxCAsenDBCA
(3.87)
3.5.2.3 – Triângulo Isósceles
Figura 3.6: Nomenclatura dada a cada vértice do triângulo isósceles.
Para o triângulo isósceles, os elementos da matriz Z
pq
são dados em termos de um único
somatório e os valores da matriz dependem da localização das portas ao longo das laterais do
triângulo, Figura 3.1 (c).
A) Ambas as portas localizadas ao longo de OA ou OB
Quando ambas as portas estão localizadas ao longo de OA ou OB, a matriz impedância é
dada por [16]:
32
( )
21
0
2
ZZ
a
hj
Z
pq
+−=
µω
(3.88)
onde:
( )
( ) ( )
∑
∞
=
+
=
0
1
2
sincos
2
sincoscos2
m
jx
qx
ix
pxmm
Wk
cuk
Wk
cukaDZ
γ
(3.89)
Se
qp
uu
≥ , então
( )
( ) ( )
∑
∞
=
+
−=
0
2
2
sincos
2
sincos12
m
qx
qm
px
px
m
m
Wk
cu
Wk
cukDZ
γ
(3.90)
caso contrário:
( )
( ) ( )
∑
∞
=
+
−=
0
2
2
sincos
2
sincos12
m
ix
pm
qx
qx
m
m
Wk
cu
Wk
cukDZ
γ
(3.91)
Considera-se que zzsenxc /)()(sin
=
e os parâmetros
2
,,, kDk
mmx
γ
são definidos
respectivamente por:
a
m
k
x
π
=
(3.92)
22
xm
kk −±=
γ
(3.93)
)(
asen
D
mm
m
m
γγ
σ
=
(3.94)
(
)
er
jk
δεµεω
−=
1
0
22
(3.95)
33
( )
(
)
( )
=
OBdelongoaojiparayy
OAdelongoaojiparaxx
uu
qp
qp
qp
,,
,,
,
(3.96)
Quando
m
se torna muito grande, a parte imaginária dos argumentos das funções
trigonométricas complexas
(
)
*
m
sen
γ
e
(
)
*cos
m
γ
em (3.89) – (3.91) também se tornam grandes e
trazem complicações numéricas. Para evitar este problema, as funções trigonométricas são
substituídas por uma aproximação de seus argumentos, que são dados por:
( )
*)exp(
2
1
*
mm
j
j
sen
γγ
=
(3.97)
( )
*)exp(
2
1
*cos
mm
j
γγ
=
(3.98)
Então usando (3.97) e (3.98), as expressões para Z
1
e Z
2
são reescritas por:
( )
( ) ( )
+
+
=
∑
=
L
m
qx
qx
px
pxmm
Wk
cuk
Wk
cukaDZ
0
1
2
sincos
2
sincoscos2
γ
( ) ( ) ( )
∑
∞
+=
2
sincossincos
2
1
qx
qxpxqx
Lm
m
m
Wk
cukWkcuk
j
γ
σ
(3.99)
A expressão para Z
2
, se
qp
uu ≥ é:
( )
( ) ( )
∑
∞
=
+
⋅
−=
0
2
2
sincos
2
sincos12
m
qx
qm
px
px
m
m
Wk
cu
Wk
cukDZ
γ
( )
⋅
−−−⋅
−
∑
∞
+=
2
sincos
2
exp
)1(2
1
2
px
px
q
qm
Lm
qm
m
m
Wk
cuk
W
xaj
W
γ
γ
σ
(3.100)
34
E se,
pq
uu >
, então:
( )
( ) ( )
∑
∞
=
+
⋅
−=
0
2
2
sincos
2
sincos12
m
qx
pm
qx
qx
m
m
Wk
cu
Wk
cukDZ
γ
( )
⋅
−−−⋅
−
∑
∞
+=
2
sincos
2
exp
)1(2
1
2
qx
qx
p
pm
Lm
pm
m
m
Wk
cuk
W
xaj
W
γ
γ
σ
(3.101)
onde os parâmetros já foram definidos anteriormente em (3.45) e em (3.92) a (3.96). A integral L
nas equações (3.99) a (3.101) são escolhidas de forma que 50≤a
m
γ
[16].
B)
Uma porta ao longo de AO e outra ao longo OB
Substituindo as funções trigonométricas pela aproximação de seus argumentos, equações
(3.97) e (3.98), a expressão para a matriz impedância pode ser escrita como [16]:
( )
[ ]
+
−⋅
−=
∑
=
2
sincos
2
sin)cos(2
2
0
qx
qm
px
L
m
pxmpq
Wk
cau
Wk
cukD
a
hj
Z
γ
µω
( )
∑
∞
+=
+
⋅
−−⋅
1
2
2
sincos
2
exp
2
Lm
px
px
q
qm
qm
m
Wk
cuk
W
uj
W
γ
γ
σ
( )
⋅
−
+
⋅
−
∑∑
∞
+== 10
)1(4
2
sincos
2
sin)cos()1(2
Lm
m
m
m
qx
qx
px
L
m
px
m
m
j
Wk
cuk
Wk
cukD
γ
σ
( )
( ) ( )
⋅
−
2
sincos
2
sincosexp
qx
qx
px
pxm
Wk
cuk
Wk
cukaj
γ
(3.102)
35
onde W
p
é o comprimento da porta localizada ao longo de AO, e W
q
é o comprimento da porta,
localizada ao longo de OB. Os outros parâmetros são definidos nas equações (3.92) a (3.96).
C)
Quando ambas as portas estão localizadas ao longo AB
Se a localização das portas p e q não é a mesma,
q
p
≠
, então a matriz impedância é dada
por [16]:
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
{
⋅−⋅
+⋅−+
<
>
>
yk
W
kcayyk
xmxmmxm
γγγ
cos
22
sincos
( ) ( )
[ ]
( )
⋅
−
+
+⋅++
−
∑
∞
+=
<
<
<
1
22
sincos
22
sin
Lm
m
m
xmxmxm
j
W
kcyk
W
kc
γ
σ
γγγ
(
)
(
)
[
]
( )
+
−
−
⋅
−−−−
>
>>
<
<
>
>
xm
x
m
kW
Wyjk
W
y
W
yj
γ
γ
22/exp
2222
exp
(
)
(
)
[
]
( )
(
)
(
)
[
]
( )
(
)
(
)
[
]
( )
+
−−
+
−
−
⋅
+
−−
<
><
<
><
>
>>
xm
x
xm
x
xm
x
kW
Wyjk
kW
Wyjk
kW
Wyjk
γγγ
22/exp22/exp22/exp
(3.103)
onde o termo W
>
corresponde ao comprimento da porta y
>
e W
<
corresponde ao comprimento da
porta y
>
, considerando que:
),max(
qp
xxy =
>
(3.104)
),min(
qp
xxy =
<
(3.105)
Se p e q tiveram a mesma localização, então a expressão para Z
pq
torna-se:
( )
[ ]
( )
+
−⋅−−−=
∑
=
>
>
L
m
xmmaxmmpq
W
kcykD
a
hj
Z
0
22
sincos
2
γγγ
µω
36
( )
21
0
2
ZZ
a
hj
Z
pq
+−=
µω
(3.106)
onde:
( ) ( )
[ ]
∑
=
+−−⋅
−=
L
m
mxmxmmpq
axk
W
ksenDZ
0
2
2cos
22
4
1
2
γγγ
( ) ( ) ( )
[ ]
ax
W
kc
W
kc
mxmxm
−⋅
−⋅
− 2cos
22
sin
22
sin
2
1
γγγ
( ) ( )
[ ]
+−+⋅
++ axk
W
kc
mxmxm
γγγ
2cos
22
sin
4
1
2
( )
( ) ( )
( )
⋅
−
+
−⋅
−−
−
xm
xmmxm
xm
kW
W
kca
W
ksen
kW
γ
γγγ
γ
2
2
22
sin
22
2
2
( ) ( ) ( )
+⋅
+⋅
−− xk
W
kca
W
ksen
xxmmxm
2cos
22
sin
22
γγγ
( )
( ) ( )
⋅
−⋅
−+
−
22
sin
22
2
2 W
kca
W
ksen
kW
xmmxm
xm
γγγ
γ
( )
( )
( )
⋅
−+⋅
−
+ a
W
ksen
kW
xk
mxm
xm
x
γγ
γ
22
2
2
2cos
( )
( )
( ) ( )
+⋅
−
+
+
2
sin2cos1
2
22
sin
22
Wk
ckasen
kW
W
kc
x
xm
xm
m
xm
γ
γ
γ
γ
(3.107)
37
E, se
(
)
02 ≥− ax , então:
(
)
[
]
( )
+
−
−−
⋅
−−⋅
−
=
∑
∞
+=
2
1
2
2
2/2exp
2
2exp
xm
x
m
Lm
m
m
k
Wxjk
W
xj
W
j
Z
γ
γ
γ
σ
(
)
[
]
( ) ( )
+
−−⋅
−
−
+
+
−−
2
2exp
22/2exp
2222
W
xj
kW
j
k
Wxjk
m
xmm
m
xm
x
γ
γγ
σ
γ
( ) ( )
(
)
[
]
( )
+
+
−
+
+
−
−
222222
2/2exp
11
2
xm
x
m
m
xmxm
m
m
k
Wxjk
W
j
kk
W
j
γγ
σ
γγ
γ
σ
(
)
[
]
( ) ( )
( )
+⋅
−
+
−
−
+
2
2cos1
222/2exp
2222
Wk
senxk
kWk
Wxjk
x
x
xm
m
xm
x
γ
σ
γ
(3.108)
Mas se
(
)
02 <− ax , então:
(
)
[
]
( )
+
−
−−
⋅
−−⋅
−
=
∑
∞
+=
2
1
2
2
2/2exp
2
2exp
xm
x
m
Lm
m
m
k
Wxjk
W
xj
W
j
Z
γ
γ
γ
σ
(
)
[
]
( ) ( )
+
−−⋅
−
−
+
+
−−
2
2exp
22/2exp
2222
W
xj
kW
j
k
Wxjk
m
xmm
m
xm
x
γ
γγ
σ
γ
( ) ( )
(
)
[
]
( )
+
+
−
+
+
−
−
222222
2/2exp
11
2
xm
x
m
m
xmxm
m
m
k
Wxjk
W
j
kk
W
j
γγ
σ
γγ
γ
σ
(
)
[
]
( ) ( )
( )
+⋅
−
+
−
−
+
2
2cos1
222/2exp
2222
xk
senxk
kWk
Wxjk
x
x
xm
m
xm
x
γ
σ
γ
(3.109)
A localização das portas é
qp
xxx == e o comprimento é
qp
WWW == .
38
D)
Quando uma porta está localizada ao longo de AO e a outra ao longo de AB
A matriz impedância para este caso é dada por [16]:
( )
( )
[ ]
{
⋅−⋅
−=
∑
=
L
m
qxm
px
pxmpq
uk
Wk
cukD
a
hj
Z
0
cos
2
sincos2
2
γ
µω
( ) ( )
[ ]
( )
+
+++
−
22
cos
22
sin
q
xmqxm
q
xm
W
ksenuk
W
kc
γγγ
( )
⋅⋅
−−−
∑
∞
+= 1
cos
22
exp
22
Lm
px
q
qm
qm
m
uk
W
uaj
W
γ
γ
σ
(
)
(
)
[
]
( )
(
)
(
)
[
]
( )
xm
qqx
xm
qqxpx
k
Wujk
k
WujkWk
c
+
−−
+
−
−
γγ
22/exp22/exp
2
sin
(3.110)
onde:
( )
(
)
( )
=
OAdelongoaoqeABdelongoaoestiverpsexx
ABdelongoaoqeOAdelongoaoestiverpsexx
uu
pq
qp
qp
,,
,,
,
(3.111)
W
p
é comprimento da porta ao longo de OA e W
q
ao longo de AB, os outros parâmetros já
foram definidos anteriormente.
E) Quando uma porta está localizada ao longo de OB e a outra ao longo de AB
A matriz impedância para este caso é dada por [16]:
39
( )
( ) ( )
+
⋅
−−=
∑
=
L
m
qx
qm
px
px
m
mpq
Wk
cu
Wk
cukD
a
hj
Z
0
2
sincos
2
sincos12
2
γ
µω
(
)
[
]
{
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
aukWkcauk
mqxmqxmmqxm
γγγγγ
−−+−⋅−−
cos22/sincos
( )
( )
(
)
⋅
−−⋅
−
+
+⋅
∑
∞
+=
22
exp
122
22
sin
1
q
qm
Lm
qm
m
m
q
xm
W
uj
W
W
kc
γ
γ
σ
γ
( )
(
)
(
)
[
]
( )
(
)
(
)
[
]
( )
−
−−
+
−
−
⋅
⋅
xm
qqx
xm
qqxpx
px
k
Wujk
k
WujkWk
senuk
γγ
22/exp22/exp
2
cos
2
(3.112)
onde:
( )
(
)
( )
=
OBdelongoaoqeABdelongoaoestiverpseyy
ABdelongoaoqeOBdelongoaoestiverpsexy
uu
pq
qp
qp
,,
,,
,
(3.113)
W
p
é comprimento da porta ao longo de OB e W
q
ao longo de AB, os outros parâmetros já
foram definidos, anteriormente.
40
3.5.3 – Segmento Circular
Figura 3.7: Parâmetros para as portas ao longo do contorno da circunferência.
A Figura 3.7 mostra a disposição das portas em um segmento circular. Aqui, similarmente
ao caso do retângulo e triângulo, a expressão da matriz impedância para um círculo apresenta
apenas um somatório, sendo dada por:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )
( )
[ ]
∑
∞
=
∆
∆
=
0
'
2/2/
cos,
16
n
jjiin
jiijjninn
ij
dnWdnWkaJ
nsennsennkakdfkdJ
hj
Z
φ
σ
µω
(3.114)
onde:
=∆
−
i
i
i
d
W
sen
2
1
(3.115)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xYyJxJyYyxf
nnnnn
''
, −=
(3.116)
41
jiij
φφφ
−=
(3.117)
≠
=
=
0,2
0,1
n
n
n
σ
(3.118)
0,0 ≠≤≤≤
jji
dadd
(3.119)
µεω
22
=k
(3.120)
A matriz impedância expressa em (3.114) é válida, tanto para as portas dispostas ao longo
da borda, quanto em qualquer outro ponto do círculo. Quando as portas estão localizadas apenas
na periferia, acompanhando o contorno do círculo, a equação (3.114) é simplificada e torna-se:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )
( )
[ ]
∑
∞
=
∆
∆
=
0
'
2/2/
cos
8
n
jjiin
jiijnn
ij
dnWdnWkaJ
nsennsennkaJ
ka
hj
Z
φ
σ
π
µω
(3.121)
onde h é a espessura do substrato, a é o raio do círculo e
∆
i
e
∆
j
correspondem a metade dos
ângulos correspondentes para as portas i e j (Figura 3.7).
42
3.6 – Conclusão
Foram apresentadas, neste capítulo, expressões para a Função de Green para várias
estruturas planares com formatos regulares. Foi introduzida a equação de onda que governa os
circuitos planares, e uma breve discussão sobre as várias técnicas analíticas que devem ser
empregadas para obtenção de sua solução, de forma associada com as condições de contorno.
Partindo das relações fundamentais entre tensão e corrente, encontrou-se a matriz impedância
generalizada para caracterização dos circuitos planares. Por último, foram mostradas expressões
que caracterizam estruturas regulares como: retângulo, triângulo e círculo. As expressões para
outras estruturas podem ser encontradas em [13]. O próximo capítulo descreve o Método da
Segmentação e Dessegmentação, com a possibilidade da caracterização de estruturas com formas
não regulares.
43
Capítulo 4
Método da Segmentação e Dessegmentação
4.1 – Introdução
A matriz impedância para antenas de microfita cujo patch condutor possui forma regular é
obtida, através da Função de Green, estudada no Capítulo 3. Porém, existem patches condutores
que são formados pela junção de geometrias regulares (Figura 4.1 (a)), não podendo ser
caracterizados diretamente através da Função de Green. Para estes casos, é utilizado o Método da
Segmentação, onde haverá uma divisão da estrutura em segmentos regulares, como mostra a
Figura 4.1 (b). Aliado ao Método da Segmentação, existe o Método da Dessegmentação, cuja
função é a caracterização de estruturas que não podem ser divididas em formas regulares.
(a) (b)
Figura 4.1: Configuração de um possível patch de uma antena de micofita.
44
4.2 – Método da Segmentação
O Método da Segmentação surgiu, quando Takanori Okoshi utilizou o método da análise
de circuito em estruturas planares (duas dimensões) para aplicações em circuitos integrados de
microondas [18], na década de 70. A idéia básica é dividir um circuito planar em segmentos
simples, onde cada segmento deve ter uma forma geométrica regular (retângulo, círculo,
triângulo, anel, setor circular e de anel).
Na borda destes segmentos, deve existir um certo número de portas. Esta quantidade
depende da variação do campo ao longo das interconexões e é determinada por processo de
iteração numérica.
Originalmente, o Método da Segmentação foi formulado em termos da matriz
espalhamento, sendo depois utilizada a matriz de impedância, devido a sua maior eficiência
computacional em antenas de microfita.
O caso mais simples consiste na divisão ao meio de um patch de uma antena de microfita,
como apresentado na Figura 4.1. Através da técnica da Função de Green, é obtida a matriz
impedância para cada seção, possibilitando ao método a total caracterização da estrutura
considerada.
Figura 4.2: Nomenclaturas das portas usadas no Método da Segmentação.
Como resultado das interconexões entre as portas q e r, pode-se escrever que:
r
VV
q
=
(4.1)
rq
ii −=
(4.2)
As matrizes impedâncias para os segmentos A e B são dadas por [18]:
45
=
qqqp
qpp
A
ZZ
ZZ
Z
a
aa
(4.3)
=
rrrp
rpp
B
ZZ
ZZ
Z
b
bb
(4.4)
onde
rrrprppqqqpqpp
Ze,Z,Z,Z,Z,Z,ZZ
bbbaaa
são sub-matrizes de dimensões apropriadas.
Quando os segmentos A e B, na Figura 4.2, são recíprocos:
t
qpqp
)(ZZ
aa
=
(4.5)
t
rprp
bb
ZZ )(=
(4.6)
O sobrescrito nas equações (4.5) e (4.6) indica a matriz transposta. A junção dos
segmentos A e B (Figura 4.2) em termos da matriz impedância permite obter:
=
r
q
p
rrrp
qqqp
prpqpp
r
q
p
i
i
i
ZZ
ZZ
ZZZ
V
V
V
0
0
(4.7)
onde:
=
b
a
p
p
p
V
V
V
(4.8)
=
b
a
p
p
p
i
i
i
(4.9)
=
b
a
p
p
p
Z
Z
Z
0
0
(4.10)
=
0
qp
pq
a
Z
Z
(4.11)
46
=
rp
pr
b
Z
Z
0
(4.12)
Resolvendo o sistema em (4.7), através da condição de interconexão entre as portas,
equações (4.5) e (4.6), consegue-se anular os termos
rqqp
i,i,V,V . A expressão resultante é:
[
]
pABp
iZV =
(4.13)
onde:
[ ]
[ ]
[ ]
ba
b
a
bb
aa
rpqprrqq
rp
qp
pp
pp
AB
ZZZZ
Z
Z
Z
Z
Z −⋅+⋅
−
+
=
−1
0
0
(4.14)
A dimensão de Z
AB
é
)()(
baba
ppxpp ++
. O termo do lado esquerdo em (4.14)
corresponde a um produto de três matrizes de dimensões:
)()(,)(
baba
ppxqeqxqqxpp ++ , respectivamente.
Quando o Método da Segmentação é aplicado com o Modelo de Circuito de Multi-Porta
em antenas de microfita, há o interesse da matriz impedância com respeito às portas externas e
também às voltagens para as portas conectadas pelo Circuito de Admitância de Borda (EAN). A
distribuição de tensão nas bordas irradiantes é expressa em termos da fonte de linha equivalente
para a corrente magnética. O campo irradiado (associado com características como largura de
banda, nível do lóbulo lateral e etc) é obtido da distribuição de corrente magnética.
Na a Figura 4.2, a tensão para as portas conectadas (portas q) é dada por:
[
]
pqprprrqqqqqpq
i)Z(Z)Z(ZZZV −++=
−1
(4.15)
Para ilustrar a combinação de dois segmentos através de suas matrizes impedâncias,
supõe-se que [18]:
47
Figura 4.3: Divisão ao meio de um patch retangular.
=
=
=
qqqp
qp
a
p
A
ZZ
ZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z
a
a
755
565
558
444341
343331
141311
(4.16)
=
=
=
rrrp
rp
b
p
B
ZZ
ZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z
b
b
855
595
553
666562
565552
262522
(4.17)
Em termos de notação em relação à equação (4.7), tem-se que:
=
=
30
08
0
0
22
11
Z
Z
Z
pp
(4.18)
=
=
=
00
55
000
1413
ZZZ
Z
qp
pq
a
(4.19)
=
=
75
56
4443
3433
ZZ
ZZ
Z
qq
(4.20)
=
=
85
59
6665
5655
ZZ
ZZ
Z
rr
(4.21)
[ ]
=
==
05
05
0
0
0
41
31
Z
Z
ZZ
a
qpqp
(4.22)
48
[ ]
=
==
50
50
0
0
0
62
52
Z
Z
ZZ
b
rprp
(4.23)
Substituindo todas as sub-matrizes anteriores na equação (4.14), obtém-se:
−
−
++
++
−−
+
=
−
55
55
8755
5596
55
55
30
08
1
AB
Z
=
−
+
=
12
26
22
22
30
08 -
Z
AB
(4.24)
4.3 – Método da Dessegmentação
Algumas estruturas não podem ser analisadas pelo Método da Segmentação, pois sua
partição não resulta em segmentos regulares, não podendo, dessa forma, serem analisadas através
da Função de Green, como mostra a Figura 4.4. Para estes casos, utiliza-se o Método da
Dessegmentação [21].
(a) (b) (c)
Figura 4.4: Estruturas possíveis de caracterização através do Método da Dessegmentação.
A grande contribuição do método é a possibilidade de inserção de uma estrutura regular,
segmento
α
, em uma estrutura não-regular, segmento
β
, como mostrado na Figura 4.5 (b). É feita
então, a caracterização dos segmentos
β
e
γ
, através da Função de Green.
49
(a) (b)
Figura 4.5: Representação dos segmentos no Método da Dessegmentação.
Para obter a matriz impedância do segmento
α
, faz-se a seguinte análise:
=
d
r
β
dddr
rdrr
d
r
i
i
ZZ
ZZ
V
V
(4.25)
=
d
p
γ
dddp
pd
γ
pp
d
p
i
i
ZZ
ZZ
V
V
(4.26)
onde
pdrpdr
ieiiVVV ,,,,
são variáveis que representam voltagens e correntes
respectivamente,
γ
Z
representa a matriz impedância de
γ
e
β
Z
pode ser obtido, diretamente, da
matriz impedância do segmento
β
. Para análise do circuito, tem-se:
=
q
p
qqqp
pq
α
pp
q
p
i
i
ZZ
ZZ
V
V
(4.27)
onde
α
Z
é determinado a partir de
β
Z
e
γ
Z
. Como no Método da Segmentação, faz-se necessária
a existência das condições de interconexão entre as portas, equações (4.1) e (4.2). Usando o
procedimento da segmentação,
γ
Z
pode ser expresso em termos de
α
Z
e
β
Z
como:
50
[
]
[
]
[ ] [ ]
+−+
++−
=
−−
−−
rdrrqqdr
β
ddqprrqqdr
rdrrqqpqqprrqqpq
α
pp
γ
ZZZZZZZZZ
ZZZZZZZZZ
Z
11
11
(4.28)
Igualando a posição (2,2) das matrizes em (4.26) e (4.28), tem-se:
[
]
rdrrqqdr
β
dd
γ
dd
ZZZZ)Z(Z
1−
+−=−
(4.29)
Devido à necessidade da determinação de
α
Z
, na equação (4.29), pode-se escrever que:
1
ZZZ
rrqq
−−=
(4.30)
sendo:
[
]
[
]
dr
t
dr
t
rd
β
dd
γ
dd
t
dr
t
rdrd
ZZZZZZZZZ
1
1
−
−=
(4.31)
De forma similar, obtém-se:
[
]
1
1
Z
−
−=
t
rdrd
t
rdpdpq
ZZZZZ
(4.32)
[
]
dp
t
drdr
t
drqp
ZZZZZZ
1
1
−
−=
(4.33)
qppq
γ
pp
α
pp
ZZZZZ
1
1
−
−=
(4.34)
Para o caso em que
d = q
, as expressões de
α
Z
se reduzem a:
[
]
dr
β
dd
γ
ddrd
ZZZZZ
1
1
−
−=
(4.35)
[
]
dr
β
dd
γ
ddpdpq
ZZZZZ
1−
−−=
(4.36)
[
]
dp
β
dd
γ
dddrqp
ZZZZZ
1−
−−=
(4.37)
51
[
]
dp
β
dd
γ
ddpd
γ
pp
α
pp
ZZZZZZ
1−
−−=
(4.38)
Finalmente, obtém-se:
[
]
[
]
[ ]
−−−−
−−−−
=
−
−−
q
p
rrdp
β
dd
γ
dddr
dr
β
dd
γ
ddpddp
β
dd
γ
ddpd
γ
pp
q
p
i
i
ZZZZZZ
ZZZZZZZZZ
V
V
1
1
11
(4.39)
Como exemplo, suponha que as matrizes de impedância para os segmentos
γ
e
β
na
Figura 4.5 sejam dados por:
=
61
13
γ
Z
(4.40)
=
73
34
β
Z
(4.41)
A matriz Z
α
pode ser obtida substituindo as equações (4.40) e (4.41) em (4.35) através da
(4.38), obtendo-se:
(
)
93763
1
1
−=−=
−
Z
(4.42)
(
)
594
=−−−=
qq
Z
(4.43)
(
)
33761
1
=−−=
−
pq
Z
(4.44)
(
)
31763
1
=−−=
−
qp
Z
(4.45)
(
)
417613
1
=−−=
−
pp
Z
(4.46)
Então a matriz Z
α
que representa o trapézio inicial é escrita como:
=
53
34
α
Z
(4.47)
52
4.4 – Conclusão
Os Métodos da Segmentação e da Dessegmentação apresentados neste capítulo são
ferramentas eficientes na análise e no projeto de circuitos planares, como as antenas de microfita.
Foi detalhado todo o tratamento matricial e discutidas as condições necessárias para que haja a
junção dos segmentos. Foram apresentados exemplos, tanto através de figuras como de análise
matricial. Nas simulações efetuadas neste trabalho, foi utilizado apenas o Método da
Segmentação. O capítulo seguinte apresenta os resultados da aplicação do método em estudo.
53
Capítulo 5
Resultados
5.1 – Introdução
Após o estudo da análise teórica, o passo seguinte é a realização da análise numérica, com
o desenvolvimento de rotinas computacionais. Entre as dificuldades encontradas, as mais
complicadas foram saber quais os espaçamentos ideais entre as portas e suas localizações na
borda dos
patches
. Inicialmente, as portas eram dispostas de cima para baixo, como na Figura 5.1
(a). Em seguida, passou-se a colocar a primeira no meio da estrutura, a segunda no topo e a
terceira embaixo, como na Figura 5.1 (b). Outras tentativas foram testadas e a que se adequou
melhor foi a mostrada na Figura 5.1 (c), onde a primeira porta é posta no meio da estrutura, a
segunda é somada por um espaçamento
λ
g
/30, para
patches
retangulares, e a terceira é subtraída
desse mesmo espaçamento.
(a) (b) (c)
Figura 5.1: Várias disposições das portas ao longo da borda do
patch
.
Após esse conhecimento, foram efetuadas simulações com vista na comparação com
resultados disponíveis na literatura e experimentais.
54
5.2 – Análise Numérica
A Figura 5.2 (a) ilustra duas placas condutoras paralelas, constituindo uma cavidade
ressonante, separadas por um espaçamento dielétrico de 1142
µ
m, com dimensões 6
cm
x 2
cm
e
permissividade elétrica relativa igual a 4,5. Para aplicação do Método da Segmentação, as placas
foram divididas ao meio, como mostrado na Figura 5.2 (b). A convergência da freqüência de
ressonância ocorre em função do número de modos de propagação, da quantidade de portas
utilizadas e do espaçamento entre as portas, com a finalidade de garantir que não haja variação do
campo dentro de cada porta. A Figura 5.3 apresenta resultados para diferentes números de portas
(np). Observa-se que há boa concordância entre os resultados deste trabalho e os apresentados em
[23]. À medida que aumenta o número de portas, há um deslocamento em freqüência até que haja
a convergência desejada. Na legenda, G refere-se ao resultado para a estrutura com as dimensões
iniciais, sem a divisão, através da Função de Green. Foram ainda utilizados 20 modos de
propagação (
m
= 20 e
n
= 20) e um espaçamento de
λ
g
/30 entre as portas. Para este caso, foi
utilizada uma Função de Green específica para a cavidade, ou seja, diferente da exposta neste
trabalho e disponível em [23].
(a) (b)
Figura 5.2: Dispositivo de placas paralelas: a) geometria e b) aplicação do Método da
Segmentação.
55
Figura 5.3: Módulo da impedância versus freqüência de ressonância para um dispositivo de
placas paralelas (Figura 5.1).
A Figura 5.4 ilustra uma antena de microfita com um
patch
retangular com dimensões 42
mm
x 32
mm
, substrato isotrópico com permissividade elétrica relativa igual a 2,2 e com a
espessura de 1,59
mm
, sendo alimentada na posição 16
mm
tanto em relação ao eixo
x
quanto ao
eixo
y
. Novamente há a divisão ao meio do
patch,
formando dois segmentos (A e B), ver Figura
5.4 (b). Foram utilizadas 6 portas por segmento, 5 modos de propagação e um espaçamento de
λ
g
/30 entre as portas para convergência do resultado. A Figura 5.5 mostra uma boa concordância
entre os dois resultados (Segmentação e
Patch
Inteiro). Na freqüência de ressonância, 2,4068
GHz, a parte real da impedância (resistiva) é máxima e a parte imaginária (reativa) é nula, não
havendo dessa forma armazenamento de energia. Na legenda,
Patch Inteiro
refere-se à simulação
sem a partição da estrutura. A Tabela 5.1 apresenta a comparação dos resultados entre este
trabalho e o da referência do Stewart [24], havendo um erro de 3,7414 %.
56
(a) (b)
Figura 5.4: Antena de microfita alimentada por cabo coaxial: a) seção transversal e b) aplicação
do Método da Segmentação.
Figura 5.5: Impedância de entrada (parte real e imaginária) versus freqüência para uma antena de
microfita alimentada por cabo coaxial (Figura 5.3).
57
Tabela 5.1: Taxa percentual do erro em relação a freqüência de ressonânc0ia para uma antena de
microfita alimentada por cabo coaxial.
Freqüência (GHz)
Stewart [24]
Este Trabalho –
Segmentação
Este Trabalho –
Patch
Inteiro
Erro (%)
2,32 2,4068 2,4068 3,7414
A estrutura seguinte, mostrada na Figura 5.6, representa uma antena de microfita
projetada neste trabalho com as dimensões de 60
cm
x 50
cm
, substrato isotrópico com
permissividade elétrica relativa igual a 4,4 e com espessura de 1,58
mm
, sendo alimentada na
posição 24
mm
tanto em relação ao eixo
x
quanto ao eixo
y
. Após a partição, ao meio da
estrutura, foram inseridas 5 portas por segmento, utilizaram-se 5 modos de propagação e um
espaçamento de
λ
g
/30 entre as portas para convergência do resultado. A Figura 5.7 apresenta o
resultado da simulação com a ressonância em 1,1913 GHz para ambos os casos (
Segmentação e
Patch Inteiro
). A Figura 5.8 mostra o resultado da medição realizada no Laboratório de
Telecomunicações da UFRN com o equipamento
RF Network Analyzer
, modelo 8714C. Na
Tabela 5.2 são apresentadas as comparações entre os valores medidos (1,206 GHz) e simulados
(1,1913 GHz) para as freqüências de ressonância, encontrando-se um erro de 1,2189 %.
As divisões, ao meio, feitas nas três estruturas anteriores, são dispensáveis na prática,
devido à capacidade das mesmas serem caracterizadas, diretamente através da Função de Green
(G, para o primeiro caso e
Patch Inteiro
, para o restante, nas legendas). Entretanto, a investigação
foi efetuada com o intuito de validar a utilização do método adotado.
(a) (b)
Figura 5.6: Antena de microfita alimentada por cabo coaxial: a) seção transversal e b) aplicação
do Método da Segmentação.
58
Figura 5.7: Impedância de entrada (parte real e imaginária) versus freqüência para uma antena de
microfita alimentada por cabo coaxial (Figura 5.5).
59
Figura 5.8: Reflexão na porta de alimentação versus freqüência de ressonância (experimental)
para uma antena de microfita alimentada por cabo coaxial (50
Ω
).
Tabela 5.2: Taxa percentual do erro em relação a freqüência de ressonância para uma antena de
microfita alimentada por cabo coaxial (50
Ω
).
Freqüência (GHz)
Medido
Simulado –
Segmentação
Simulado –
Patch
Inteiro
Erro (%)
1,206 1,1913 1,1913 1,2189
60
A estrutura da Figura 5.9 representa uma antena de microfita com abertura retangular
sobre um substrato isotrópico com permissividade elétrica relativa igual a 4,4 e com espessura de
1,58
mm.
Para a aplicação do Método da Segmentação, faz-se necessária a divisão em quatro
segmentos (A, B, C e D). Dessa forma, o
patch
que possuía dimensões externas 60
mm
x 50
mm
e uma abertura de 20
mm
x 15
mm
, passou a ter dimensões 20
mm
x 50
mm
para os segmentos A
e B, e 20
mm
x 17,5
mm
para os segmentos C e D. Foram dispostas 8 portas por segmento, 20
modos de propagação e um espaçamento de
λ
g
/25 entre as portas. É importante ressaltar que a
junção deve ser feita, através de dois segmentos por vez, ou seja, aplica-se a segmentação em A e
C e em B e D, obtendo-se duas estruturas em forma de L. Esses dois segmentos anteriores, AC e
BD, são então unidos através da segmentação, obtendo-se, dessa forma, a total caracterização da
estrutura. As Figura 5.10 e 5.11 apresentam resultados da simulação e medição, respectivamente.
A Tabela 5.3 apresenta um erro de 0,4119 % entre os resultados medido (1,092 GHz) e simulado
(1,088 GHz).
A Figura 5.12 mostra uma comparação entre os valores medidos e os simulados para
diferentes dimensões de
patches
. Foram construídas cinco antenas com dimensões externas de 60
mm
x 50
mm
, cada uma tendo uma abertura
s x d
de: 20
mm
x 15
mm
, 20 x 17
mm
, 20
mm
x 20
mm
, 15
mm
x 20
mm
e 15
mm
x 17
mm
. Analisando as Tabelas 5.4 e 5.5, percebe-se que os erros
foram menores ao se variar a dimensão d, com erros de, no máximo, 0,4119 %. Já com a
variação em s, obteve-se erros de 2,7273 %.
(a) (b)
Figura 5.9: Antena de microfita com abertura alimentada por cabo coaxial: a) seção transversal e
b) aplicação do Método da Segmentação.
61
Figura 5.10: Impedância de entrada (parte real e imaginária) versus freqüência para uma antena
de microfita com abertura.
62
Figura 5.11: Reflexão na porta de Alimentação versus freqüência de ressonância (experimental)
para uma antena de microfita alimentada por cabo coaxial (50
Ω
).
Tabela 5.3: Taxa percentual do erro em relação à freqüência de ressonância para uma antena de
microfita com abertura alimentada por cabo coaxial (50
Ω
).
Freqüência (GHz)
Medido Simulado
Erro (%)
1,0925 1,088 0,4119
63
Figura 5.12: Freqüência de ressonância versus s ou d.
Tabela 5.4: Taxa percentual do erro em relação à freqüência de ressonância para d = 15 mm.
Freqüência (GHz)
Variável
Medido Simulado
Erro (%)
s = 15 1,1 1,13 2,7273
s = 16 1,095 1,0915 0,3196
s = 17 1,106 1,148 3,79
s = 18 1,108 1,1192 1,01
Tabela 5.5: Taxa percentual do erro em relação à freqüência de ressonância para s = 20 mm.
Freqüência (GHz)
Variável
Medido Simulado
Erro (%)
d = 15 1,092 1,088 0,3663
d = 17 1,075 1,078 0,279
d = 18 1,06 1,061 0,094
d = 20 1,0335 1,035 0,1452
64
O último caso em estudo é o de
patches
de microfita sobre substratos anisotrópicos
uniaxiais. Utilizou-se um mapeamento [27] que permitiu estabelecer uma equivalência para um
substrato isotrópico idealizado. As equações de transformação são dadas por [27]:
yyxxr
εεε
⋅=
'
(5.1)
yy
xx
hh
ε
ε
⋅=
'
(5.2)
A Tabela 5.6 apresenta a comparação entre os resultados deste trabalho e os de Pozar
[28]. Foram obtidos erros na faixa dos 2,8 %, que mostram uma boa concordância, pois em [28] é
usado um método de onda completa para caracterização da estrutura com substrato anisotrópico.
(a) (b)
Figura 5.13: Antena de microfita com substrato anisotrópico: a) seção transversal e b)
aplicação do Método da Segmentação.
65
Tabela 5.6: Taxa percentual do erro em relação à freqüência de ressonância para várias estruturas
com substrato anisotrópico.
d L W x
p
y
p
Freqüência
Erro
Referência
(cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (GHz) (%)
Pozar [28] 2,268 ***
Este Trabalho -
Segmentação
0,127 2 3 0,35 0
2,21 2,6244
Pozar [28] 4,52 ***
Este Trabalho -
Segmentação
0,127 0,95 1,5 0,155 0
4,65 2,8761
Pozar [28] 2,26 ***
Este Trabalho -
Segmentação
0,254 1,9 0,3 0,3 0
2,325 2,8761
5.3 – Conclusão
Observando-se os gráficos e as tabelas apresentados neste capítulo, conclui-se que houve
uma boa concordância entre os resultados deste trabalho e os de outros autores, assim como em
relação aos resultados medidos neste trabalho. Os resultados experimentais da Figura 5.11
apresentam três ressonâncias e a simulação da Figura 5.10 apresenta apenas uma. Embora se
tenha encontrado também três ressonâncias na simulação, as outras duas vieram associadas a
valores altos de impedância, sendo omitidas. Destacou-se assim a ressonância do modo TE
10
. A
segunda e a terceira freqüência de ressonância para os resultados medidos foram,
respectivamente, 1,242 GHz e 1,886 GHz e, para a simulação, 1,4 GHz e 1,9 GHz, havendo um
erro, dessa forma, de 12,72% e 0,74%, respectivamente. O próximo capítulo apresentará as
principais conclusões deste trabalho.
66
Capítulo 6
Conclusões
O Modelo de Circuito de Multi-Portas
(Multiport Network Model –
MNM)
foi usado na
análise de antenas planares do tipo
patch
retangular de microfita. Foram consideradas antenas de
microfita com
patches
condutores com abertura e sem abertura, localizados sobre camadas
isotrópicas e anisotrópicas.
A utilização do método
MNM
se deu através do Método da Segmentação, sendo a
estrutura do
patch
condutor considerado, com ou sem abertura, dividida em um número adequado
de elementos (que vai depender do formato do
patch
considerado) com formatos clássicos, dos
quais se conheça a Função de Green no domínio do espaço.
Na continuidade, a análise foi efetuada procedendo-se a interligação dos elementos,
através de portas que são escolhidas em número e posição, de modo a garantir convergência e
eficiência para os resultados simulados. Nesta fase, de “reconstrução da estrutura”, para fins de
obtenção de seus parâmetros principais, os elementos foram representados por matrizes de
impedância e foram usadas as equações matriciais derivadas no texto e inerentes ao Método da
Segmentação.
Neste trabalho foi dada ênfase à determinação da freqüência de ressonância e da
impedância de entrada das antenas investigadas. A análise foi efetuada através do
MNM
, para as
seguintes estruturas: cavidade ressonante,
patch
de microfita (convencional, sem abertura) e um
patch
de microfita com abertura retangular.
Inicialmente, foram investigadas estruturas com substratos isotrópicos. Em seguida, a
análise foi estendida para incluir antenas com
patches
condutores sobre substratos anisotrópicos
uniaxiais, através do Método do Mapeamento.
Após a análise numérica, procedeu-se neste trabalho à realização de uma fase
experimental, com a construção de várias antenas sobre substratos isotrópicos, com as
configurações mencionadas, para fins de validação dos resultados simulados.
67
A comparação entre os resultados obtidos, teóricos e experimentais, mostrou uma boa
concordância, indicando a aplicabilidade, a eficiência e a precisão do método adotado.
Os resultados deste trabalho foram também comparados com os resultados de outros
autores, disponíveis na literatura especializada, tendo sido observada uma boa concordância entre
os resultados correspondentes.
Neste trabalho, também foram apresentados resultados para antenas de microfita sobre
substratos anisotrópicos uniaxiais.
O método
MNM
se mostrou adequado à análise de estruturas de antenas de microfita com
patches
condutores com aberturas. Sua potencialidade é grande, podendo a análise ser estendida
para outras estruturas planares mais complexas de antenas e circuitos de microfita.
Na continuidade deste trabalho, sugere-se: a investigação das propriedades de antenas de
microfita com
patches
condutores com outras geometrias (incluindo outros formatos de
patches
e
de aberturas); a determinação das propriedades de antenas de microfita com substratos de
multicamadas iso/anisotrópicos e a aplicação do Método da Dessegmentação na análise das
antenas investigadas, para fins de comparação de resultados e também como forma de extensão
da aplicação do método
MNM
.
68
Referências Bibliográficas
[1]
J. Q. Howell, “Microstrip Antennas,” IEEE
Transactions on Antennas and Propagation
,
Janeiro 1975.
[2]
R. E. Munson, “Conformal Microstrip Antennas and Microstrip Phased Arrays,”
IEEE
Transactions on Antennas and Propagation
, Vol. AP-22, No. 1 , pp. 74-77 , Janeiro 1974.
[3]
K. R. Carver e J. W. Mink, “Microstrip Antenna Technology,”
IEEE Transactions on
Antennas and Propagation
, Vol. AP-29, No.1 , pp. 2-24 , Janeiro 1981.
[4]
Y. T. Lo,
D. Solomon e
F. Richards, “Theory and Experiment on Microstrip Antennas,”
IEEE
Transactions on Antennas and Propagation
, Vol. AP-27, No.2 , pp. 137-145, Março 1979.
[5]
P. Mythile, “Simple Approach to Determine Resonant Frequencies of Microstrip Antennas,”
IEEE Proceedings-Microwave Antennas and Propagation
, Vol. 145, No. 2, pp. 159-162,
Abril 1998.
[6]
K. C. Gupta e Peter S. Hall, “Analysis and Design of Integrated Circuit – Antenna Modules,”
New York, USA: John Wiley & Sons, 2000.
[7]
K. C. Gupta e M. D. Abouzahra, “Microstrip Patch Antennas,” In K. C. Gupta and M. D.
Abouzahra,
Analysis and Design of Planar Microwave Components,
Chapter 11, pp. 473-493.
New York, USA: IEEE Press, 1994.
[8]
R. James e P. Hall, “Handbook of Microstrip Antennas,” London, U.K.: Peter Peregrinus,
1981.
[9]
T. Okoshi e T. Miyoshi, “The Planar Circuit – An Approach to Microwave Integrated
Circuitry,”
IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques
, Vol. MTT-20, No. 4,
pp. 246-252, Abril 1972.
[10]
A. Benalla e K. C. Gupta, “Multiport Network Model and Transmission Characteristics of
Two-Port Rectangular Microstrip Patch Antennas,”
IEEE Transactions on Antennas and
Propagation
, Vol. 36, No. 10, pp. 1337-1342, Outubro 1988.
[11]
A. Benalla e K. C. Gupta, “Multiport Network Model for Rectangular Microstrip Patches
Covered with a Dielectric Layer,”
IEEE Proceedings
, Vol. 137, No. 6, pp. 377-383,
Dezembro 1990.
[12]
I. Bahl e P. Bhartia, “Microstrip Antennas,” Dedham, MA: Artech House, 1980.
69
[13]
M. D. Abouzahra e K. C. Gupta, “Green’s Function Approach for Planar Components with
Regular Shapes,” In M. D. Abouzahra and K. C. Gupta,
Analysis and Design of Planar
Microwave Components,
Chapter 2, pp. 49-73. New York: IEEE Press, 1994.
[14]
K. C. Gupta, R. Garg e R. Chada, “Computer-Aided Design of Microwave Circuits,”
Massachusetts, USA: Artech House, 1981.
[15]
A. Benalla e K. C. Gupta, “Faster Computation of Z-Matrices of Rectangular Segments in
Microstrip Circuits,”
IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques
, Vol. MTT-
34, No. 36, pp. 733-736, Junho 1986.
[16]
R. Chada e K. C. Gupta, “Green Function’s for Triangular Segments in Planar Microwave
Circuits,”
IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques
, Vol. MTT-28, No. 10,
pp. 1139-1143, Outubro 1980.
[17]
P. M. Morse e H. Feshbach, “Method of Theoretical Physics,” Pt. II. New York, USA:
McGraw-Hill, 1953.
[18]
K. C. Gupta e M. D. Abouzahra, “Segmentation and Desegmentation Techniques,” In K. C.
Gupta and M. D. Abouzahra,
Analysis and Design of Planar Microwave Components,
Chapter 3, pp. 75-86. New York, USA: IEEE Press, 1994.
[19]
R. Chadha e K. C. Gupta, “Segmentation Method Using Impedance Matrices for Analysis of
Planar Microwave Circuits,”
IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques
, Vol.
MTT-29, No. 1, pp. 71-74, Janeiro 1981.
[20]
P. C. Sharma e K. C. Gupta, “Analysis and Optimized Design of Single Feed Circularly
Polarised Microstrip Antennas,”
IEEE Transactions on Antennas and Propagation
, Vol. AP-
31, No. 6, pp. 949-955, Novembro 1983.
[21]
P. C. Sharma e K. C. Gupta, “Desegmentation Method for Analysis of Two-Dimensional
Microwave Circuits,”
IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques
, Vol. MTT-
29, No, 10, pp. 1084-1097, Outubro 1981.
[22]
R. Sorrentino, “Planar Circuits, Waveguides Models and Segmentation Model,”
IEEE
Transactions on Microwave Theory and Techniques
, Vol. MTT-33, No. 10, pp. 1057-1066,
Outubro 1985.
[23]
Nanju Na, “Modeling and Simulation of Planes in Electronic Packages,” Thesis Submitted
in Georgia Institute of Technology, Janeiro 2001.
[24]
D. R. Jahagirdar e R. D. Stewart, “Faster Computations for Segmentation Method Based on
Cavity Model,”
IEEE 2
nd
HF Postgraduate Student Colloquium
, pp. 58-63, 1996.
[25]
V. Palanisamy e R. Garg, “Analysis of Arbitrarily Shaped Microstrip Patch Antennas Using
Segmentation Technique and Cavity Model,”
IEEE Transactions on Antennas and
Propagation
, Vol. AP-34, No. 10, pp. 1208-1213, Outubro 1986.
70
[26]
V. Palanisamy e R. Garg, “Analysis of Circularly Polarised Square Ring and Crossed- Strip
Microstrip Antennas,”
IEEE Transactions on Antennas and Propagation
, Vol. AP-34, No. 11,
pp. 1340-1346, Novembro 1986.
[27]
M. Horno, “Calculation of Quasi-static Characteristics of Microstrip on an Anisotropic
Substrate Using Mapping Model,”
Proc. IEEE/MTT-S Int. Microwave Symposium Digest
,
Washington, D.C., EUA, pp. 450-452, Maio 1980.
[28]
D. M. Pozar, “Radiation and Scattering from a Microstrip Patch on a Uniaxial Substrate,”
IEEE Transactions on Antennas and Propagation
, Vol. AP-35, No. 6, pp. 613-621, Junho
1987.
Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede
Braga, Paulo Farias.
Desenvolvimento de Antenas de microfita com aberturas nos patches
condutores através do método da segmentação / Paulo Farias Braga. –
Natal, ,RN, 2005.
68 f.
Orientador : Adaildo Gomes D’ Assunção.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do
Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Elétrica.
1. Antena - Dissertação. 2. Antena de microfita - Dissertação. 3.
Método da segmentação – Dissertação. 4. Modelo de circuito de multi-
porta – Dissertação. 5. Função de Green - Dissertação. I. D’ Assunção,
Adaildo Gomes. II. Título.
RN/UF/BCZM CDU 621.396.67(043.3)
Livros Grátis
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