ads:
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Análise de antenas de microfita com patches circulares
sobre substratos anisotrópicos usando o método dos
potenciais de Hertz
Giordano Miranda Feitoza
Natal/RN
Março - 2005
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
ANÁLISE DE ANTENAS DE MICROFITA COM
PATCHES CIRCULARES SOBRE SUBSTRATOS
ANISOTRÓPICOS USANDO O MÉTODO DOS
POTENCIAIS DE HERTZ
Giordano Miranda Feitoza
Orientador: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva – UFRN – CT – DEE
Co-Orientador: Prof. Dr. José de Ribamar Silva Oliveira – CEFET – RN
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Elétrica da Universidade
Federal do Rio Grande do Norte, como
parte dos requisitos necessários para
obtenção do grau de Mestre em
Engenharia Elétrica.
NATAL – RN
Março de 2005
ads:
ANÁLISE DE ANTENAS DE MICROFITA COM
PATCHES CIRCULARES SOBRE SUBSTRATOS
ANISOTRÓPICOS USANDO O MÉTODO DOS
POTENCIAIS DE HERTZ
Giordano Miranda Feitoza
Orientador: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva – UFRN – CT – DEE
Co-Orientador: Prof. Dr. José de Ribamar Silva Oliveira – CEFET – RN
NATAL – RN
Março - 2005
iv
Agradecimentos
Aos meus pais João Feitoza Neto e Marileide Miranda Feitoza, por todo o apoio que
recebi durante a vida.
Aos professores José de Ribamar Silva Oliveira e Sandro Gonçalves da Silva, pela
atenção, pelos conhecimentos passados e pela constante calma e bom humor durante todo
esse período.
Aos companheiros paraibanos de mestrado, pela amizade.
Aos colegas e professores do CEFET-PB.
Aos professores Adaildo Gomes d´Assunção, Maria Rosa Medeiros Lins de
Albuquerque e Gervásio Protásio dos Santos Cavalcante, pelas sugestões apresentadas.
Ao Professor Ronaldo de Andrade Martins, pelo apoio durante a realização das
medições em laboratório.
Aos demais professores, colegas e funcionários da UFRN.
A CAPES, pelo auxílio financeiro.
A todos que, de uma forma ou de outra, contribuíram para a realização deste
trabalho.
v
Resumo
Este trabalho consiste na análise teórica e numérica das características de uma
antena de microfita com patch circular, cujo substrato é composto por materiais dielétricos
isotrópicos e anisotrópicos uniaxiais. Para isto, uma análise de onda completa é realizada,
utilizando-se o Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz no domínio da transformada de
Hankel. Na análise numérica da estrutura, é utilizado também o Método de Galerkin, como
um caso particular do Método dos Momentos, visando a determinação de suas
características, tais como a freqüência de ressonância e o diagrama de radiação.
A definição dos potenciais vetoriais de Hertz, em conjunto com as equações de
Maxwell e as condições de contorno da estrutura, permite a obtenção das funções diádicas
de Green, relacionando as componentes da densidade de corrente no patch com as
componentes tangenciais do campo elétrico. O Método de Galerkin é então usado para
gerar a equação matricial, cuja solução não trivial permite a obtenção da freqüência de
ressonância complexa da estrutura.
Na análise, são consideradas, inicialmente, antenas de microfita com uma camada
dielétrica isotrópica separando o patch e o plano de terra, sendo analisado ainda para esta
estrutura, o caso no qual o patch é composto por um material supercondutor.
Em seguida, é considerado também o caso no qual o substrato dielétrico é composto
por um material anisotrópico uniaxial, orientando os potenciais vetoriais na direção do eixo
óptico, que é tomado na direção perpendicular ao plano de terra.
É feita ainda a análise da antena de microfita com patch circular situado sobre duas
camadas dielétricas anisotrópicas uniaxiais, considerando o caso particular do patch
suspenso, no qual a camada inferior é composta pelo ar.
São apresentados resultados da freqüência de ressonância e do diagrama de radiação
para patches circulares isotrópicos e anisotrópicos, fazendo-se comparações com outros
resultados obtidos na literatura.
vi
Abstract
This work consists on the theoretical and numerical analysis of some properties of
circular microstrip patch antennas on isotropic and uniaxial anisotropic substrates. For this
purpose, a full wave analysis is performed, using Hertz Vector Potentials method in the
Hankel Transform domain. In the numerical analysis, the moment method is also used in
order to determine some characteristics of the antenna, such as: resonant frequency and
radiation pattern.
The definition of Hertz potentials in the Hankel domain is used in association with
Maxwell´s equations and the boundary conditions of the structures to obtain the Green´s
functions, relating the components of the current density on the patch and the tangential
electric field components. Then, the Galerkin method is used to generate a matrix equation
whose nontrivial solution is the complex resonant frequency of the structure.
In the analysis, a microstrip antenna with only one isotropic dielectric layer is
initially considered. For this structure, the effect of using superconductor patches is also
analyzed.
An analysis of a circular microstrip antenna on an uniaxial anisotropic dielectric
layer is performed, using the Hertz vector potentials oriented along the optical axis of the
material, that is perpendicular to the microstrip ground plane.
Afterwards, the circular microstrip antenna using two uniaxial anisotropic dielectric
layers is investigated, considering the particular case in which the inferior layer is filled by
air.
In this study, numerical results for resonant frequency and radiation pattern for
circular microstrip antennas on isotropic and uniaxial anisotropic substrates are presented
and compared with measured and calculated results found in the literature.
vii
Sumário
Capítulo 1
Introdução
16
Capítulo 2
Antenas de Microfita
19
Capítulo 3
Métodos de Análise
26
3.1 Modelos aproximados
26
3.2 Modelos de onda completa
27
3.3 Potenciais vetoriais de Hertz
28
Capítulo 4
Patch Circular
31
4.1 Modelamento de uma antena de microfita com patch
circular utilizando o modelo da cavidade
31
4.2
Modelamento de uma antena de microfita com patch
circular sobre substrato isotrópico utilizando o método
dos potenciais vetoriais de Hertz
32
4.2.1 Antena de microfita com patch circular de filme
supercondutor
41
4.3
Modelamento de uma antena de microfita com patch
circular sobre substrato anisotrópico uniaxial utilizando
o método dos potenciais vetoriais de Hertz
42
4.4
Modelamento de uma antena de microfita com patch
circular sobre duas camadas dielétricas anisotrópicas
uniaxiais utilizando o método dos potenciais vetoriais de
Hertz
50
viii
Capítulo 5
Resultados Numéricos
57
5.1 Antena de microfita com patch circular sobre substrato
isotrópico
59
5.2 Antena de microfita com patch circular sobre substrato
anisotrópico uniaxial
70
5.3 Antena de microfita com patch circular sobre duas
camadas dielétricas anisotrópicas uniaxiais
78
Capítulo 6
Conclusões
84
Referências Bibliográficas 86
Apêndice 93
ix
Lista de Símbolos e Abreviaturas
E
r
Vetor intensidade de campo elétrico
H
r
Vetor intensidade de campo magnético
D
r
Densidade de campo elétrico
B
r
Densidade de campo magnético
e
π
r
Potencial vetorial elétrico de Hertz
h
π
r
Potencial vetorial magnético de Hertz
r
a
ˆ
Vetor unitário na direção r
φ
a
ˆ
Vetor unitário na direção
φ
z
a
ˆ
Vetor unitário na direção z
ε
0
Permissividade elétrica no vácuo
ε
r
Permissividade elétrica relativa
µ
0
Permeabilidade magnética no vácuo
k
i
Número de onda na região i
k
0
Número de onda no espaço livre
θ
Ângulo de elevação
φ
Ângulo de azimute
∇
Operador nabla
θ
Ε
Componente
θ
do campo elétrico distante
ε
Tensor permissividade elétrica
rr
ε
Componente do tensor permissividade relativa na direção r
φφ
ε
Componente do tensor permissividade relativa na direção
φ
zz
ε
Componente do tensor permissividade relativa na direção z
nr/nz Razão de anisotropia na direção z
Ω
~
Transformada de Hankel da função
Ω
ω
Freqüência angular
j
Imaginário igual a
1−
x
Α
r
Função vetorial qualquer
∂
Derivada parcial
γ
e
Constante de propagação na direção z para o modo TM
γ
h
Constante de propagação na direção z para o modo TE
γ
0
Constante de propagação no espaço livre
γ
2
Constante de propagação no meio 2
γ
1
Constante de propagação no meio 1
r
Ε
Componente de campo elétrico na direção r
φ
Ε
Componente de campo elétrico na direção
φ
z
Ε
Componente de campo elétrico na direção z
r
Η
Componente de campo magnético na direção r
φ
Η
Componente de campo magnético na direção
φ
z
Η
Componente de campo magnético na direção z
r
Ι
Componente da densidade de corrente superficial na direção r
φ
Ι
Componente da densidade de corrente superficial na direção
φ
+
Ι
Componente positiva da densidade de corrente superficial
−
Ι
Componente negativa da densidade de corrente superficial
+
Ε
Componente positiva do campo elétrico
−
Ε
Componente negativa do campo elétrico
+
Η
Componente positiva do campo magnético
−
Η
Componente negativa do campo magnético
π
Número pi
a Raio do
patch
d Espessura do substrato dielétrico
d
1
Espessura do substrato dielétrico na região 1
d
2
Espessura do substrato dielétrico na região 2
[]
Z
~
Matriz impedância
xi
22211211
Z
~
,Z
~
,Z
~
,Z
~
Transformada de Hankel das componentes da função diádica de Green
J
n
Função de Bessel de primeiro tipo e ordem n
e
φ
Função escalar qualquer
F
r
Freqüência de ressonância
F
real
Parte real da freqüência de ressonância
F
imag
Parte imaginária da freqüência de ressonância
L
λ
Profundidade de penetração
T Temperatura absoluta de um material
T
c
Temperatura crítica do material supercondutor
σ
Condutividade elétrica
n
σ
Parte real da condutividade complexa
sc
σ
Parte imaginária da condutividade complexa
Z
s
Impedância superficial do material no estado de supercondutância
t
sc
Espessura do filme supercondutor
a
e
Raio efetivo do
patch
c Velocidade da luz no espaço livre
X
nm
Raiz da derivada da função de Bessel de ordem n, sendo m o número
da raiz
xii
Lista de Figuras
Capítulo 2
2.1 Antenas de microfita. 19
Capítulo 3
3.1 Antena de microfita com
patch
circular. 28
Capítulo 4
4.1 Sistema de coordenadas cilíndricas. 32
4.2 Antena de microfita com
patch
circular sobre substrato anisotrópico
uniaxial.
44
4.3 Antena de microfita com
patch
circular sobre duas camadas
dielétricas anisotrópicas uniaxiais.
50
Capítulo 5
5.1 Derivadas das funções de Bessel correspondentes aos quatro
primeiros modos de propagação.
58
5.2 Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do
patch
; d =
1,5875mm;
ε
r
= 2,65.
62
5.3 Freqüência de ressonância (parte real) versus permissividade
elétrica do substrato; a = 5mm; d = 1mm.
63
5.4 Freqüência de ressonância (parte real) versus altura do substrato; a
= 10mm;
ε
r
= 2,65.
64
5.5 Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do
patch
; d =
1,53mm;
ε
r
= 4,4.
65
5.6 Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do
patch
; d =
2,35mm;
ε
r
= 4,55.
66
5.7 Freqüência de ressonância (parte real) versus temperatura de
operação para uma antena de microfita com
patch
circular
supercondutor. Filme supercondutor: T
c
= 84,5K;
λ
(0) =140nm e t
sc
= 330nm. Antena: a = 0,61mm d = 0,254 mm;
r
ε
= 23,81.
67
xiii
5.8
Diagrama de radiação (campo
φ
Ε
);
ε
r
= 2,65; d = 1,5875mm ; a =
67,26mm; Fr = 0,8066GHz.
68
5.9
Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
);
ε
r
= 2,65; d = 1,5875mm ; a =
67,26mm; Fr = 0,8066GHz.
68
5.10
Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
) para diferentes valores de raio
do
patch
;
ε
r
= 2,65; d = 1,5875mm.
69
5.11
Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
) para diferentes valores de
permissividade elétrica; a = 5mm; d = 1mm.
69
5.12 Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do
patch
; d =
1,27mm.
70
5.13 Freqüência de ressonância (parte real) versus razão de anisotropia; a
= 7,9375mm; d = 1,5875mm;
ε
zz
= 2,65.
71
5.14 Freqüência de ressonância (parte real) versus razão de anisotropia; d
= 1,58mm; a = 5mm.
72
5.15 Freqüência de ressonância (parte real) em função da altura do
substrato;
ε
rr
= 6,8;
ε
zz
= 2,22; a = 6mm.
73
5.16
Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do
patch
;
ε
rr
=
ε
zz
= 9,4; d = 1mm.
74
5.17
Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do
patch
;
ε
rr
=
9,4; d = 1mm.
75
5.18
Diagrama de radiação (campo
φ
Ε
) para diferentes materiais; a =
5mm; d = 1,27mm.
76
5.19
Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
) para diferentes materiais; a =
5mm; d = 1,27mm.
76
5.20
Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
) para diferentes valores de raio
do
patch
; d = 1,27mm;
ε
rr
= 5,12;
ε
zz
= 3,4.
77
5.21
Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
) para diferentes razões de
anisotropia;
ε
rr
= 9,4; d = 1,58mm ; a = 5mm.
77
xiv
5.22
Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do
patch
;
ε
rr2
=
9,4;
ε
zz2
= 11,6; d
1
= 0,254mm; d
2
= 0,635mm.
78
5.23
Diagrama de radiação (campo
φ
Ε
);
ε
rr2
= 9,4;
ε
zz2
= 11,6; d
2
=
0,635mm ; d
1
= 0,254mm;
a = 5mm.
79
5.24
Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
);
ε
rr2
= 9,4;
ε
zz2
= 11,6; d
2
=
0,635mm ; d
1
= 0,254mm;
a = 5mm.
79
5.25 Freqüência de ressonância (parte real) versus altura da camada 1;
ε
rr1
=
ε
zz1
= 1;
ε
rr2
=
ε
zz2
= 2,32; a = 50mm; d
2
= 1,59mm.
80
5.26 Freqüência de ressonância (parte real) versus altura da camada 1
para diferentes materiais anisotrópicos;
ε
rr1
=
ε
zz1
= 1; a = 15mm; d
2
= 1,27mm.
81
5.27 Freqüência de ressonância (parte real) versus razão de anisotropia;
ε
rr1
=
ε
zz1
= 1; a = 8mm; d
1
= 0,254mm; d
2
= 1,016mm.
82
5.28
Diagrama de radiação (campo
φ
Ε
);
ε
rr1
= 1;
ε
zz1
= 1;
ε
rr2
= 5,12;
ε
zz2
= 3,4; d
2
= 1,27mm; a = 15mm.
83
5.29
Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
);
ε
rr1
= 1;
ε
zz1
= 1;
ε
rr2
=
5,12;
ε
zz2
= 3,4; d
2
= 1,27mm; a = 15mm.
83
Apêndice
A.1 Antenas utilizadas no experimento. 93
A.2 Analisador de rede 8714C. 94
A.3 Alimentação através de cabo coaxial. 94
A.4 Resposta em freqüência; a = 37mm; Fr = 1,141GHz. 95
A.5 Resposta em freqüência; a = 27mm; Fr = 1,564GHz. 96
A.6 Resposta em freqüência; a = 20mm; Fr = 2,098GHz. 97
A.7 Resposta em freqüência; a = 16mm; Fr = 2,663GHz. 98
xv
Lista de Tabelas
Capítulo 4
4.1
Raízes de J’n(X). 32
Capítulo 5
5.1
Valores experimentais e calculados para a freqüência de ressonância. 60
5.2
Comparações para a freqüência de ressonância. 61
16
C
apítulo 1
Introdução
O atual estágio das telecomunicações exige a implementação de dispositivos leves,
de pequenas dimensões e com baixo custo no processo de construção. Dispositivos com
estas características favorecem a sua utilização em diversas aplicações em sistemas de
comunicações móveis e via satélite. Neste contexto, estão inseridas as antenas de microfita.
Nas comunicações móveis, as antenas de microfita estão presentes em diversas
aplicações práticas em equipamentos portáteis, tais como o pager, o GPS e dispositivos de
comunicação móvel, que, naturalmente, necessitam ser leves, pequenos e compactos.
Antenas pequenas e simples são adequadas também para a utilização em estações radio
base de sistemas móveis celulares, visto que, com estruturas planares, a torre da estação
suportará um menor peso, diminuindo suas dimensões, tornando a sua construção mais
simples e com menor custo. Além disso, em sistemas celulares, as estações necessitam de
antenas com diagramas de radiação setoriais, visando o aumento da utilização dos canais.
Estas características podem ser obtidas a partir da construção de arranjos de antenas de
microfita.
Navios e aeronaves também necessitam de antenas pequenas e leves e, em alguns
casos, de estruturas conformes que permitam a montagem da antena diretamente no corpo
do veículo sem que este tenha sua aerodinâmica afetada.
Nas comunicações via satélite, uma estrutura plana pode ser concebida a partir de
um arranjo de antenas de microfita para a recepção de sinais provenientes de um satélite de
comunicação. As antenas parabólicas são muito utilizadas para a recepção de sinais via
satélite, mas a sua substituição por antenas pequenas e planas é vantajosa, principalmente
para o uso doméstico. Uma antena parabólica comum necessita de uma grande área para ser
instalada, enquanto que uma antena plana e pequena pode ser instalada diretamente em um
dos muros da casa ou edifício, ou até mesmo dentro da edificação, dependendo da
intensidade do campo no ambiente de recepção. Outra vantagem na utilização de uma
17
estrutura plana é que seu desempenho é menos afetado pela neve e pelo vento do que o das
antenas parabólicas.
Para o estudo das antenas de microfita, várias formas de modelamento podem ser
utilizadas. A escolha do tipo de abordagem que será usada no modelamento se baseia nas
características da estrutura, tais como o tipo do substrato, dimensões ou forma do patch
utilizado.
Neste trabalho, pretende-se analisar as antenas de microfita com patch circular, que
utilizam substratos dielétricos isotrópicos e anisotrópicos uniaxiais. A análise será feita
usando o método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio espectral, em combinação
com o método dos momentos.
Será considerada, inicialmente, para efeito de determinação dos parâmetros da
antena, uma única camada dielétrica constituída de um material isotrópico. Uma vez
caracterizada este tipo de estrutura, esta será modificada pela inserção de materiais
anisotrópicos na constituição do dielétrico, visando determinar o efeito de tais materiais no
comportamento da antena. Além disto, será levado em consideração uma segunda camada
que poderá ser preenchida com um material anisotrópico ou isotrópico. Particularmente,
uma destas camadas poderá ser substituída pelo ar, caracterizando assim um patch
suspenso.
O trabalho está distribuído em 6 capítulos, buscando-se desenvolver inicialmente
todo o referencial teórico e bibliográfico para o estudo da estrutura para, em seguida,
apresentar uma análise dos resultados obtidos na caracterização da antena.
No capítulo 2 é apresentada a teoria das antenas de microfita, situando-a no
contexto histórico de evolução das pesquisas para os diversos tipos de patches, de materiais
usados em sua construção e dos métodos gerais de análise.
Alguns métodos de análise são detalhados no capítulo 3, destacando-se o Método
dos Potenciais Vetoriais de Hertz, que é usado neste trabalho para caracterizar as estruturas.
São determinadas as expressões para as equações de onda e do campo eletromagnético nas
regiões que formam o patch.
Em seguida, no capítulo 4, é realizada a análise do patch circular, considerando-se o
método da cavidade e o método de onda completa dos potenciais vetoriais de Hertz. Para
isso, é calculada a matriz impedância a partir da qual será determinada a freqüência de
18
ressonância do patch. Neste capítulo também será tratado o efeito do uso de um material
supercondutor na construção do patch.
Os resultados numéricos obtidos a partir da análise computacional são apresentados
no capítulo 5, fazendo-se comparações com outros autores e com resultados experimentais
obtidos em laboratório.
No capítulo 6 são apresentadas as conclusões e são feitas algumas sugestões para a
continuidade do trabalho.
19
C
apítulo 2
Antenas de Microfita
As antenas de microfita são dispositivos planares que, em sua forma mais simples,
são compostos por um patch metálico situado acima de um plano de terra, separado por um
material dielétrico, conforme mostrado na Figura. 2.1.
Figura 2.1: Antenas de microfita.
Nas últimas décadas, tem-se observado um grande interesse na utilização de
estruturas planares nas comunicações sem fio, destacando-se as antenas de microfita. Este
fato é devido, em parte, ao grande avanço nas técnicas de análise e de construção dessas
estruturas.
Diversos trabalhos abordando as propriedades desses dispositivos têm sido
publicados nos últimos anos.
20
Parte desses trabalhos estabelece algumas simplificações com relação ao
comportamento elétrico do campo, visando a obtenção de resultados aproximados para
alguns parâmetros, como por exemplo, a freqüência de ressonância.
No início da década de 50, as antenas de microfita foram propostas por Greig e
Englemann [1] e Deschamps [2]. A partir da década de 70, com trabalhos de Howell [3] e
Munson [4], ocorreu uma intensificação das pesquisas a respeito dessas antenas.
Dois livros sobre o assunto haviam sido publicados no início dos anos 80 [5], [6],
nos quais a utilização de técnicas de análise de onda completa já podia ser observada.
As antenas de microfita apresentam algumas propriedades que, quando comparadas
com as das antenas convencionais, traduzem-se em algumas vantagens e outras
desvantagens em sua utilização. Dentre as vantagens, pode-se citar: pequenas dimensões,
peso reduzido, facilidade e baixo custo de fabricação, facilidade de montagem no corpo de
um veículo sem afetar a aerodinâmica dos dispositivos onde são montadas e facilidade de
integração com outros circuitos. As principais desvantagens apresentadas são: baixa
eficiência, pequena largura de banda, perdas significativas, excitação de ondas de superfície
e radiação em apenas meio plano, que apesar de ser considerada como uma desvantagem
por vários autores, para algumas aplicações contribui para o desempenho da antena como,
por exemplo, na fabricação de circuitos ativos abaixo do plano de terra.
Com relação às aplicações nas quais as antenas de microfita podem ser utilizadas,
podem ser citadas, dentre outras, as comunicações por satélite, radares, comunicações de
aeronaves, comunicação pessoal, radiador biomédico e telemetria em mísseis.
O patch que constitui a antena pode assumir várias formas, dentre as quais podem
ser destacadas: a retangular, a circular, a triangular, a pentagonal, a anelar, a elíptica e a de
setor circular.
Com respeito às formas de alimentação do patch, podem ser utilizadas linhas de
microfita, cabo coaxial, linhas de fenda, acoplamento através de íris ou aberturas e outras
variações.
Um fator importante no estudo das antenas de microfita é o material que compõe o
substrato, podendo este ser dielétrico isotrópico, dielétrico anisotrópico, ferrimagnético,
entre outros.
21
Diversos trabalhos têm sido publicados considerando a anisotropia do material, em
relação à sua permissividade elétrica [7],[8],[9] e/ou em relação à sua permeabilidade
magnética [9],[10],[11].
Vários métodos de análise têm sido desenvolvidos a fim de caracterizar as antenas
de microfita, sendo parte deles através de modelos aproximados e outros de análise de onda
completa, que aumentam a precisão dos resultados.
Munson [12], realizou em 1974, um estudo com o objetivo de desenvolver um
dispositivo que não afetasse a aerodinâmica de foguetes, mísseis e aeronaves de alta
velocidade. Nessa análise foram desenvolvidas expressões para a impedância de entrada,
largura de banda e ganho de uma antena de microfita.
Em meados da década de 70, Howell [3] estabeleceu valores para a freqüência de
ressonância e para o diagrama de radiação de antenas retangulares de microfita, através de
uma análise experimental.
Shen et al [13] publicaram, em 1977, um estudo do cálculo da freqüência de
ressonância de uma antena de microfita do tipo patch circular, com base na capacitância e
na indutância de um disco circular situado sobre um plano de terra. Os resultados
apresentados pelo modelo foram comparados com resultados experimentais, apresentando
erros menores que 2,5%.
Em 1979, Lo et al [14] analisaram patches de várias formas, utilizando uma teoria
baseada no modelo da cavidade ressonante. Foram considerados neste estudo, a impedância
de entrada e o diagrama de radiação. Também foi proposta uma expressão para o cálculo da
freqüência de ressonância de um patch retangular.
Derneryd [15] utilizou o modelo da cavidade na determinação de diversos
parâmetros de um patch circular sobre substrato dielétrico isotrópico.
No início da década de 80, Newman e Tulyathan [16] pesquisaram antenas de
microfita de forma retangular utilizando o método dos momentos. Nesse método, a
freqüência de ressonância é obtida da solução de uma equação matricial, gerada a partir da
expansão das correntes superficiais no patch em termos de funções de base conhecidas.
Araki e Itoh [17] apresentaram, em 1981, resultados para a freqüência de
ressonância e diagrama de radiação de antenas de microfita tipo patch circular sobre
22
substrato isotrópico utilizando o método de Galerkin no domínio da transformada de
Hankel.
Em 1985, Alexópoulos [18] abordou a questão da utilização de substratos que
apresentavam anisotropia em dispositivos planares, ressaltando a importância de se
considerar seus efeitos na análise.
Nelson et al [7] realizaram, em 1990, estudos de patches retangulares usando o
método dos potenciais vetoriais de Hertz no domínio espectral, obtendo valores para a
freqüência de ressonância. Na análise foram considerados patches cujo substrato era
composto por duas camadas e sobrecamada usando materiais dielétricos anisotrópicos
uniaxiais.
Em 1991, Fan e Huang [19] publicaram uma pesquisa que apresentava resultados
para a freqüência de ressonância de uma antena de microfita com patch do tipo anel
circular, sobre uma estrutura contendo uma camada de ar e uma camada composta por um
material isotrópico. A formulação do problema foi feita através de uma análise de onda
completa, baseada no método de Galerkin aplicado no domínio da transformada de Hankel.
Fan e Lee [20] obtiveram resultados para antenas de microfita contendo duas
camadas dielétricas, onde em cada uma das camadas existe um patch condutor. Foram
considerados patches nos formatos circular e anelar e foram obtidos valores para a
freqüência de ressonância e diagrama de radiação.
Ainda em 1991, Verma e Rostamy [21] realizaram uma análise teórica para a
determinação da freqüência de ressonância de patches circulares com e sem sobrecamada
dielétrica. A técnica utilizada foi denominada de Modelo de Wolff Modificado.
Em 1992, Fan e Lee [22] apresentaram uma técnica no domínio espectral para a
determinação da impedância de entrada e da freqüência de ressonância de uma antena de
microfita com patch na forma de um anel circular.
Wong et al [8] publicaram em 1993 uma análise de patches de microfita sobre
substratos anisotrópicos uniaxiais utilizando o método dos momentos. Nessa análise foram
determinados o fator de qualidade e a freqüência de ressonância.
Richard et al [23] efetuaram uma comparação entre dois métodos de alimentação de
antenas de microfita com patches circulares e retangulares compostos por um material
supercondutor. Foram publicados resultados para vários parâmetros, tais como a freqüência
23
de ressonância em função da temperatura de operação, diagrama de radiação, VSWR,
largura de banda, ganho e eficiência.
Em 1994, Mellah et al [24] realizaram um estudo que visava melhorar o casamento
de impedância entre uma antena de microfita circular e uma linha de microfita usada para
alimentação. A análise é feita com base na resolução das equações integrais do campo
elétrico.
Turner e Christodoulou [25] descreveram em 1996 a aplicação do método das
Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD) na análise da impedância de uma antena
de microfita circular alimentada por uma linha de microfita.
Zhang e Jiang [26] apresentaram um método de onda completa no qual as funções
de Green no domínio espectral são determinadas usando o modelo da linha de transmissão
equivalente. Foram obtidos resultados para a freqüência de ressonância e para o diagrama
de radiação, sendo feitas comparações com outros métodos.
Em 1997, Batchelor et al [27] publicaram um trabalho abordando a questão da
sintonia de freqüência de antenas de microfita circulares sobre substratos ferrimagnéticos,
apresentando também uma forma simples e efetiva para controlar o ângulo do feixe de
arranjos de antenas de microfita circulares sobre substratos compostos por ferrita.
Mythili e Das [28] apresentaram em 1998 um método para a determinação da
freqüência de ressonância de antenas de microfita elípticas, circulares, retangulares e
triangulares. Nesse método, uma fórmula empírica é usada para a determinação da
permissividade efetiva, levando em consideração o efeito de borda no patch.
Em 1999, Losada et al [29] analisaram a antena de microfita com patch circular
sobre substratos dielétricos isotrópicos, utilizando o método de Galerkin no domínio da
transformada de Hankel, apresentando resultados para a freqüência de ressonância, fator de
qualidade e diagrama de radiação.
Silva et al [30] pesquisaram antenas de microfita retangulares contendo patches de
filme supercondutor, utilizando os potenciais de Hertz e o modelo da resistência de
superfície complexa. Foram obtidos valores para a freqüência de ressonância e fator de
qualidade.
Em 2000 Losada et al [31] publicaram um trabalho considerando estruturas
contendo um patch circular sobre substratos compostos por materiais dielétricos
24
anisotrópicos uniaxiais, ferrimagnéticos e do tipo chiral. O método de Galerkin no domínio
da transformada de Hankel é aplicado na determinação da freqüência de ressonância, do
fator de qualidade e do diagrama de radiação.
Losada e Boix [32], ainda em 2000, realizaram a análise de estruturas contendo uma
abertura no plano de terra, localizada sob o patch. Foi utilizada a mesma técnica do trabalho
anterior [31] e foram obtidos os mesmos parâmetros.
Em 2001, Guha [33] obteve resultados para a freqüência de ressonância de patches
circulares sobre substrato isotrópico, com e sem camada de ar. A análise foi feita utilizando
um modelo analítico.
Verma e Nasimuddin [34] apresentaram um modelo da cavidade modificado, que
considera a anisotropia uniaxial através da utilização de um modelo equivalente, que
substitui a permissividade e a altura do substrato por uma permissividade e uma altura do
substrato equivalentes. Esse modelo foi utilizado para determinar a freqüência de
ressonância de um patch retangular sobre substratos espessos.
Em 2002, Verma e Nasimuddin [35] publicaram um trabalho muito semelhante ao
publicado em 2001 [34], diferenciando-se daquele pela apresentação de valores para o fator
de qualidade e para a largura de banda.
Verma e Nasimudin [36] propuseram no mesmo ano uma versão melhorada do
modelo da cavidade, apresentando expressões para o cálculo da freqüência de ressonância,
impedância de entrada e largura de banda de antenas circulares de microfita. Nesse trabalho
são feitas comparações dos parâmetros com diversos resultados presentes na literatura e
com resultados experimentais.
Em 2003, Guha e Siddiqui [37] apresentaram um modelo aproximado para o cálculo
da freqüência de ressonância de uma antena do microfita circular com uma sobrecamada
dielétrica, apresentando resultados mais próximos dos valores medidos quando comparados
com os resultados obtidos através de outros métodos.
Verma e Nasimudin [38] realizaram uma análise da antena de microfita circular
como uma antena de microfita retangular equivalente. O estudo é feito com base no Modelo
de Wolff Modificado e apresenta expressões para diversos parâmetros das antenas.
Gurel e Yazgan [39] publicaram em 2004, um trabalho que usa o método de
Galerkin no domínio da transformada de Hankel em conjunto com os potenciais de Hertz
25
na determinação da freqüência de ressonância e largura de banda de patches circulares
sobre um substrato dielétrico anisotrópico uniaxial. Cabe ressaltar que este trabalho não
considera estruturas contendo mais de uma camada dielétrica, nem apresenta resultados
para o diagrama de radiação.
Em seguida serão apresentados alguns métodos utilizados na análise das antenas de
microfita, destacando-se o método dos Potenciais Vetoriais de Hertz.
26
C
apítulo 3
Métodos de Análise
3.1 – Modelos aproximados
Os modelos aproximados utilizados na caracterização das antenas de microfita
introduzem algumas simplificações no mecanismo de radiação da antena. Fenômenos como
a propagação de ondas de superfície e a dispersão são, geralmente, desconsiderados nesses
modelos.
A maioria dos modelos aproximados reportados na literatura são satisfatoriamente
precisos até determinados valores de freqüência. À medida que a freqüência aumenta, a
precisão desses modelos na predição do desempenho da antena reduz, e se torna quase que
completamente inaceitável para a faixa de freqüências correspondente às ondas
milimétricas. Entretanto, os modelos aproximados são importantes, pois fornecem uma
idéia qualitativa a respeito do comportamento da antena, e pelo menos uma solução inicial
para um problema de projeto.
Dentre os diversos modelos aproximados reportados na literatura, destacam-se dois:
o Modelo da Linha de Transmissão e o Modelo da Cavidade.
O modelo da linha de transmissão possibilita a determinação de diversos parâmetros
da antena, tais como a freqüência de ressonância, o diagrama de radiação e impedância de
entrada.
Neste modelo, cada uma das bordas radiantes da antena é simulada por uma fenda,
representada por uma admitância complexa.
Em geral, este modelo é aplicado a patches retangulares. Estruturas como dipolos
impressos e patches não retangulares tornam-se inviáveis de serem analisados através deste
modelo.
O modelo da cavidade, a princípio, lida com patches de qualquer forma arbitrária.
27
Entretanto, o modelamento matemático para patches retangulares é bastante simplificado
em relação à análise de patches com outros formatos.
O modelo basicamente trata a antena como uma cavidade composta por paredes
elétricas e magnéticas. As paredes, superior e inferior, ou seja, o elemento de microfita e o
plano de terra, respectivamente, são considerados como paredes elétricas. As paredes
laterais são consideradas como magnéticas, com base no fato de que a corrente no elemento
de microfita não possui componentes normais à borda do patch em qualquer ponto ao longo
da borda, implicando numa componente de campo magnético negligenciável ao longo da
borda do patch.
Dessa forma, a antena é reduzida a uma cavidade fechada capaz de suportar um
infinito número de modos ressonantes. Considera-se que a radiação ocorre a partir da fenda
formada pela borda do radiador e pelo plano de terra.
A partir dessas considerações, são calculadas as características de radiação da
antena.
3.2 – Modelos de onda completa
Nesta categoria, as formulações matemáticas são rigorosas. Em geral, estes modelos
exigem um maior esforço computacional e analítico. No entanto, fornecem resultados mais
precisos e são válidos para freqüências mais elevadas. Uma das formas de aplicação dos
modelos de onda completa é a análise no domínio espectral. Nesta modalidade, os
parâmetros da antena são obtidos resolvendo inicialmente a equação de onda com as
condições de contorno apropriadas. Dessa forma são obtidas as componentes de campo em
função das componentes da densidade de corrente no patch. A solução para as componentes
desconhecidas da densidade de corrente é então obtida utilizando o método dos momentos,
chegando-se a uma equação matricial cuja solução não trivial é a freqüência de ressonância
complexa.
Dentre os modelos de onda completa podem ser citados o método FDTD, o método
da imitância, o método dos elementos finitos, o modelo da linha de transmissão equivalente
e o método dos potenciais vetoriais de Hertz, que será descrito com maiores detalhes na
próxima seção.
28
3.3 – Potenciais vetoriais de Hertz
A descrição da utilização dos potenciais de Hertz será feita considerando
inicialmente o problema da obtenção dos campos elétrico e magnético em uma região
preenchida com um material isotrópico.
Figura 3.1: Antena de microfita com patch circular.
A estrutura a ser analisada está mostrada na Figura 3.1 e consiste em uma estrutura
planar, com um plano de terra que sustenta um substrato dielétrico de permissividade
relativa
r
ε
, permeabilidade
0
µ
e altura d, sobre o qual apóia-se um patch circular metálico de
raio a. Na análise da estrutura, considera-se desprezíveis a espessura do patch metálico, as
perdas condutoras e dielétricas.
As equações de Maxwell numa região sem fontes e com dependência harmônica
com o tempo da forma
tj
e
ω
, são escritas como [40]:
Εωε=Η×∇
r
r
j ; (3.1)
Ηωµ−=Ε×∇
r
v
0
j
;
(3.2)
0D =⋅∇
r
; (3.3)
0=Β⋅∇
r
; (3.4)
29
sendo
f2π=ω
a freqüência angular,
0r
ε
ε
=
ε
a permissividade do substrato dielétrico que
compõe a camada 1 e
0
µ a permeabilidade magnética dos meios envolvidos.
Os potenciais vetoriais de Hertz são definidos como [40]:
zee
a
r
r
π
=
π
;
(3.5)
zhh
a
r
r
π
=
π
.
(3.6)
Considerando um modo de propagação do tipo TM, ou seja, admitindo que o campo
magnético na direção z é nulo, define-se o vetor intensidade de campo magnético em
função de
e
π
r
como:
e0
j π×∇ωε=Η
r
r
(3.7)
Substituindo (3.7) em (3.2), obtém-se:
e00
2
π×∇εµω=Ε×∇
r
r
.
(3.8)
Para uma função escalar qualquer
e
φ
, tem-se a seguinte identidade vetorial:
0
e
=
φ
∇
×
∇
, (3.9)
logo, (3.8) pode ser escrita como:
ee00
2
φ∇×∇+π×∇εµω=Ε×∇
r
r
(3.10)
portanto,
ee00
2
φ∇+πεµω=Ε
r
r
. (3.11)
Substituindo (3.7) e (3.11) em (3.1), obtém-se:
()
(
)
ee00
2
r0e0
jj φ∇+πεµωεωε=π×∇×∇ωε
r
r
.
(3.12)
A simplificação de (3.12), seguida do uso da identidade vetorial
(
)
Α∇−Α⋅∇∇=Α×∇×∇
r
r
r
2
, (3.13)
sendo
Α
r
uma função vetorial qualquer, permite obter:
()
e00
2
e
2
ere
πεµω+π∇=φε−π⋅∇∇
r
r
r
. (3.14)
Como
e
φ
é arbitrária, define-se [9]:
30
e
r
e
1
π⋅∇
ε
=φ
r
. (3.15)
Substituindo (3.15) em (3.14) obtém-se a equação de onda para
e
π
r
, sendo dada por:
0
er00
2
e
2
=πεεµω+π∇
r
r
. (3.16)
A partir de (3.7) e (3.11), obtém-se, respectivamente, os campos elétrico e
magnético para o modo TM:
()
e
r
e00
2
1
π⋅∇∇
ε
+πεµω=Ε
rr
r
, (3.17)
e0
j
π×∇ωε=Η
r
r
. (3.18)
Aplicando-se um procedimento análogo para o modo TE e utilizando o potencial
h
π
r
, obtêm-se:
0
hr00
2
h
2
=πεεµω+π∇
r
r
; (3.19)
h0
j π×∇ωµ−=Ε
r
r
; (3.20)
(
)
h
2
h
π∇−π⋅∇∇=Η
r
r
r
, (3.21)
que são, respectivamente, a equação de onda para
h
π
r
e os campos elétrico e magnético
definidos em função do potencial magnético
h
π
r
.
No próximo capítulo será apresentado o modelamento da antena de microfita com
patch circular, considerando o método da cavidade e o método de onda completa dos
potenciais vetoriais de Hertz, abordando estruturas isotrópicas e anisotrópicas uniaxiais.
31
C
apítulo 4
Patch Circular
4.1– Modelamento de uma antena de microfita com
patch circular utilizando o modelo da cavidade
Dentre as varias técnicas de projeto para elementos de antenas de microfita, um
modelo simples e útil na predição das características de radiação, é o modelo da cavidade.
No modelo utilizado por Derneryd [15], as freqüências de ressonância são obtidas
em função do raio (a) do patch, da espessura (d) do substrato dielétrico e da constante
dielétrica (
r
ε ). Entretanto, um raio efetivo (a
e
), ligeiramente maior do que o físico, é
introduzido devido ao efeito da borda do ressoador. A relação entre o raio efetivo e o raio
físico é dada por [15]:
2/1
r
e
7726,1
d2
a
ln
a
d2
1aa
+
π
επ
+= . (4.1)
Essa expressão é encontrada considerando uma distribuição de campo quase-
estática. Nessa aproximação, considera-se que a espessura do substrato é muito menor que
o comprimento de onda no mesmo, sendo válida para freqüências situadas na faixa inferior
de microondas. Entretanto, também pode ser usada para estimar as freqüências de
ressonância de ordens mais altas.
Assim, para cada modo TM de propagação, a freqüência de ressonância é calculada
a partir de [15]:
re
mn
r
a2
cX
F
επ
= , (4.2)
32
sendo X
nm
uma raiz da derivada da função de Bessel de ordem n, m o número da raiz, e c a
velocidade da luz no espaço livre.
Os valores de X
nm
para alguns valores de n estão listados na Tabela 4.1. Para
qualquer raio dado, o modo correspondente a n = 1 possui a mais baixa freqüência de
ressonância, sendo, portanto, o modo dominante.
Tabela 4.1: Raízes de J’n(X).
n X
nm
1 1,84118
2 3,05424
0 3,83171
3 4,20119
4.2 – Modelamento de uma antena de microfita com
patch circular sobre substrato isotrópico utilizando o
método dos potenciais vetoriais de Hertz
A análise para a antena de microfita com
patch
circular é realizada de forma
semelhante àquela desenvolvida para o
patch
retangular, considerando-se, entretanto, que,
devido à sua geometria, será aplicado o sistema de coordenadas cilíndricas ilustrado na
Figura 4.1.
Figura 4.1: Sistema de coordenadas cilíndricas.
33
A partir desta transformação, as expressões das componentes de campo elétrico e
magnético, em coordenadas cilíndricas, são obtidas a partir de (3.17) e (3.18) para o modo
TM como:
zr
1
e
2
r
r
∂∂
π∂
ε
=Ε
; (4.3)
zr
1
e
2
r
∂φ∂
π∂
ε
=Ε
φ
; (4.4)
e00
2
2
e
2
r
z
z
1
πεµω+
∂
π∂
ε
=Ε ; (4.5)
φ∂
π
∂
ωε=Η
e
0r
r
1
j ; (4.6)
r
j
e
0
∂
π
∂
ωε−=Η
φ
; (4.7)
0
z
=Η
. (4.8)
Seguindo o mesmo procedimento, agora para o modo TE, são obtidas, a partir de
(3.20) e (3.21), as seguintes componentes dos campos elétrico e magnético:
φ∂
π
∂
ωµ−=Ε
h
0r
r
1
j ; (4.9)
r
j
h
0
∂
π
∂
ωµ=Ε
φ
; (4.10)
0
z
=Ε
; (4.11)
zr
h
2
r
∂∂
π∂
=Η
; (4.12)
zr
1
h
2
∂φ∂
π∂
=Η
φ
; (4.13)
φ∂
π∂
+
∂
π∂
∂
∂
−=Η
2
h
2
h
z
r
1
r
r
rr
1
. (4.14)
34
Agrupando as componentes de campo dos modos TE e TM, obtêm-se:
zr
1
r
1
j
e
2
r
h
0r
∂∂
π∂
ε
+
φ∂
π∂
ωµ−=Ε ; (4.15)
zr
1
r
j
e
2
r
h
0
∂φ∂
π∂
ε
+
∂
π∂
ωµ=Ε
φ
; (4.16)
e00
2
2
e
2
r
z
z
1
πεµω+
∂
π∂
ε
=Ε
; (4.17)
zrr
1
j
h
2
e
0r
∂∂
π∂
+
φ∂
π∂
ωε=Η ; (4.18)
zr
1
r
j
h
2
e
0
∂φ∂
π∂
+
∂
π∂
ωε−=Η
φ
; (4.19)
φ∂
π∂
+
∂
π∂
∂
∂
−=Η
2
h
2
h
z
r
1
r
r
rr
1
. (4.20)
Nas equações de onda (3.16) e (3.19), obtêm-se, respectivamente:
0k
e
2
e
2
=π+π∇
, (4.21)
e
0k
h
2
h
2
=π+π∇
, (4.22)
sendo
0r0
k µεεω= . (4.23)
Considerando que a estrutura possui simetria cilíndrica, o potencial
e
π
pode ser
representado em termos de funções cilíndricas [19], como segue:
() ()()
∫
∞
φ
ααααπ=φπ
0
ne
jn
e
drJz,
~
ez,,r , (4.24)
sendo
()
rJ
n
α uma função de Bessel de primeiro tipo e ordem n, e
(
)
z,
~
e
α
π
a transformada
de Hankel de
e
π
[41].
35
Convém observar que as funções de Bessel de primeiro tipo são definidas como as
soluções da equação diferencial de Bessel, dada por [42]:
()
(
)
()
()
0sJns
s
sJ
s
s
sJ
s
n
22
n
2
n
2
2
=−+
∂
∂
+
∂
∂
. (4.25)
Substituindo (4.24) em (4.21), considerando
r
s
α
=
e fazendo uso de (4.25), obtém-
se a seguinte equação de onda de
e
~
π :
0
~
z
e
2
2
2
=π
γ−
∂
∂
, (4.26)
sendo
222
k−α=γ . (4.27)
Analogamente, o potencial
h
π
é representado como [19]:
() ()()
∫
∞
φ
ααααπ=φπ
0
nh
jn
h
drJz,
~
ez,,r
. (4.28)
Substituindo (4.28) em (4.22) e realizando o mesmo procedimento utilizado para o
potencial
e
π
, obtém-se a equação de onda para
h
~
π
.
0
~
z
h
2
2
2
=π
γ−
∂
∂
. (4.29)
As soluções de (4.26) e (4.29) são determinadas para cada região dielétrica da
estrutura considerada (regiões 1 e 2 na Figura 3.1), de modo a atenderem as condições de
contorno apropriadas.
A estrutura da Figura 3.1 possui duas regiões dielétricas distintas. A região 1 é
composta pelo substrato dielétrico e a região 2 pelo ar.
Na região 1,
1
~
π
significará
e
~
π
ou
h
~
π
, bem como
2
~
π
significará
e
~
π
ou
h
~
π
na região
2.
Assim, na região 1, tanto (4.26) como (4.29) podem ser expressas como:
36
0
~
z
~
1
2
1
2
1
2
=πγ−
∂
π∂
, (4.30)
sendo
2
1
2
2
1
k−α=γ
(4.31)
e
10
2
2
1
k εµω= . (4.32)
Para a região 2, tem-se, de forma análoga:
0
~
z
~
2
2
0
2
2
2
=πγ−
∂
π∂
, (4.33)
sendo
2
0
2
2
0
k−α=γ
(4.34)
e
00
2
2
0
k εµω=
. (4.35)
As soluções para (4.30) e (4.33) nas regiões 1 e 2, são:
(
)
(
)
zcosh'zsenh
~
11111h
γ
Α
+
γ
Α
=π ; (4.36)
(
)
(
)
zsenh'zcosh
~
11111e
γ
Β
+
γ
Β
=π
; (4.37)
(
)
dz
22h
0
e
~
−γ−
Α=π ; (4.38)
(
)
dz
22e
0
e
~
−γ−
Β=π . (4.39)
Realizando a substituição de (4.24) e (4.28) nas equações das componentes
tangenciais (4.15), (4.16), (4.18) e (4.19), visando a obtenção dessas no domínio espectral,
surgem duas funções de Bessel de ordens diferentes, sendo uma de ordem n-1 e a outra de
ordem n+1. Este fato ocorre em virtude da derivada da função de Bessel de ordem n poder
ser representada por funções de Bessel de ordem n-1 e n+1, ou seja [42]:
()
=
∂
∂
s
sJ
n
()
)()(
2
1
11
sJsJ
nn +−
−
. (4.40)
Para efeito de simplificação das equações, é mais apropriado tratar fatores contendo
funções de Bessel de mesma ordem. Para isto, define-se as seguintes componentes de
campo [19]:
37
φ±
Ε
±
Ε
=Ε j
r
(4.41)
e
φ±
Η
±
Η
=Η j
r
. (4.42)
A obtenção de E
r
e E
φ
é realizada substituindo-se (4.24) e (4.28) nas componentes
dadas em (4.15) e (4.16), considerando
r
s
α
=
, obtendo-se, respectivamente:
()
α
−
∂
π∂
ε
+π
ωµ
α=Ε
∫
∞
+−
φ
d)s(J)s(J
2
1
z
~
1
)s(J
~
s
n
e
0
1n1n
e
r
nh
0
2jn
r
(4.43)
e
()
α
∂
π∂
ε
+−πωµα=Ε
∫
∞
+−
φ
φ
d)s(J
z
~
s
jn
)s(J)s(J
2
1
~
je
0
n
e
r
1n1nh0
2jn
. (4.44)
Substituindo (4.43) e (4.44) em (4.41), obtém-se:
αα
∂
π∂
ε
πωµα=Ε
±
∞
φ
±
∫
d)s(J
z
~
1
~
e
1n
0
e
r
h0
jn
m
. (4.45)
Para obter a expressão (4.45), foi utilizada a fórmula de recorrência dada por [42]:
)s(J)s(J
s
n2
)s(J
1nn1n
+−
−=
. (4.46)
Aplicando o mesmo procedimento a partir de (4.18) e (4.19), as componentes
transversais do campo magnético são dadas por:
()
α
π
ωε
−−
∂
π∂
α=Η
∫
∞
+−
φ
d)s(J
~
s
n
)s(J)s(J
2
1
z
~
e
0
ne
0
1n1n
h
2jn
r
; (4.47)
()
α
−πωε−
∂
π∂
α=Η
∫
∞
+−
φ
φ
d)s(J)s(J
2
1
~
j)s(J
z
~
s
jn
e
0
1n1ne0n
h
2jn
. (4.48)
Substituindo (4.47) e (4.48) em (4.42) e utilizando (4.46), tem-se:
αα
∂
π∂
±πωε−α=Η
±
∞
φ
±
∫
d)s(J
z
~
~
e
1n
0
h
e0
jn
. (4.49)
38
As constantes
21111
,',,',
Α
ΒΒΑΑ e
2
Β
são determinadas a partir da aplicação das
condições de contorno. Para a estrutura da Figura 3.1 essas condições são dadas por:
0
1
=Ε
±
em z = 0; (4.50)
21
±±
Ε=Ε
em z = d; (4.51)
±±±
Ι
=Η−Η j
12
m
em z = d, (4.52)
onde
±
Ι representam as componentes (+) e (-) da corrente superficial no patch condutor,
sendo dadas por [20]:
φ±
Ι
±
Ι=Ι j
r
. (4.53)
As correntes
±
Ι
em termos de funções cilíndricas são escritas como:
αααΙ=Ι
±
∞
±
φ
±
∫
d)s(J)z,(
~
e
1n
0
jn
, (4.54)
sendo
r
s α=
.
Aplicando as condições de contorno e fazendo uso de (4.54), as constantes
21111
,',,', ΑΒΒΑΑ e
2
Β são determinadas como:
)]dcoth()[d(senh2
)
~
~
(j
1101
1
γγ+γγα
Ι+Ι−
=Α
+−
; (4.55)
0'
1
=Α
; (4.56)
)]dcoth()[d(senh2
)
~
~
(j
11r0110
01r
1
γεγ+γγαωε
Ι−Ιγε
=Β
+−
; (4.57)
0'
1
=Β ; (4.58)
)]dcoth([2
)
~
~
(j
110
2
γγ+γα
Ι+Ι−
=Α
+−
; (4.59)
)]dcoth([2
)
~
~
(j
11r010
1
2
γεγ+γαωε
Ι−Ιγ−
=Β
+−
. (4.60)
39
A substituição das constantes obtidas em (4.55) a (4.60) nos campos
+
Ε e
−
Ε na
interface dos dois dielétricos, ou seja, em z = d, permite expressar as Transformadas de
Hankel dos campos elétricos em função das correntes
+
Ι
~
e
−
Ι
~
. Esses campos são dados por:
−++
ΙΖ+ΙΖ=Ε
~
~
~
~
~
1211
; (4.61)
−+−
ΙΖ+ΙΖ=Ε
~
~
~
~
~
2221
, (4.62)
sendo
211211
~
,
~
,
~
ΖΖΖ
e
22
~
Ζ
as transformadas das componentes da função diádica de Green da
estrutura, ou, escrevendo na forma matricial:
Ι
Ι
⋅
=
Ε
Ε
−
+
−
+
~
~
~~
~
~
~
~
2221
1211
ZZ
ZZ
. (4.63)
As componentes na matriz
[
]
Ζ
~
são dadas por:
γεγ+γωε
γγ
−
γγ+γ
ωµ
=Ζ=Ζ
)]dcoth([)dcoth(j2
1
~~
11r010
10
110
0
2211
; (4.64)
γεγ+γωε
γγ
+
γγ+γ
ωµ
=Ζ=Ζ
)]dcoth([)dcoth(j2
1
~~
11r010
10
110
0
2112
. (4.65)
Nas equações (4.61) e (4.62),
±
Ε
~
e
±
Ι
~
são funções desconhecidas. Como os campos
elétricos e as correntes são diferentes de zero em regiões complementares na interface z = d
(Figura 3.1), torna-se possível eliminar
±
Ε
~
através do método de Galerkin. Neste
procedimento, as correntes
±
Ι
~
são expandidas em termos de funções de base conhecidas
i
~
±
Ι
, com coeficientes de expansão
i
a
±
, desconhecidos, de acordo com:
∑
=
±±±
Ι=Ι
m
1i
ii
~
a
~
. (4.66)
40
A partir das expressões (4.61) e (4.62), fazendo uso de (4.66), aplica-se o método de
Galerkin, visando a obtenção da seguinte equação matricial [19]:
0
a
a
a
a
.
m
1
m
1
22
mm
22
1m
21
mm
21
1m
22
m1
22
11
21
m1
21
11
12
mm
12
1m
11
mm
11
1m
12
m1
12
11
11
m1
11
11
=
ΚΚΚΚ
ΚΚΚΚ
ΚΚΚΚ
ΚΚΚΚ
−
−
+
+
M
M
LL
MM
LL
LL
MM
LL
, (4.67)
sendo
11
ij
0
j11i
11
ji
d
~~~
Κ=ααΙΖΙ=Κ
∫
∞
++
; (4.68)
21
ij
0
j12i
12
ji
d
~~~
Κ=ααΙΖΙ=Κ
∫
∞
−+
; (4.69)
e
22
ij
0
j22i
22
ji
d
~~~
Κ=ααΙΖΙ=Κ
∫
∞
−−
. (4.70)
Uma solução não-nula para a equação matricial dada em (4.67) é obtida fazendo-se
o determinante da matriz de coeficientes [K] igual a zero.
As raízes complexas obtidas do det [K] =0 são as freqüências de ressonância da
estrutura analisada, que são expressas como [40]:
imagrealres
jFFF
+
=
. (4.71)
A análise da antena de microfita com
patch circular pode ser estendida para o caso
da antena com
patch supercondutor [23]. A introdução desses materiais na estrutura
possibilita agregar características como: pequenas perdas (resultando numa menor
atenuação e nível de ruído), pequena dispersão e redução do tempo de propagação dos
sinais nos circuitos. Uma dificuldade na aplicação dos supercondutores deve-se ao fato
deles apresentarem essas propriedades apenas em temperaturas muito baixas, dificultando a
sua construção e operação. A antena de microfita com
patch circular supercondutor será
abordada no item seguinte.
41
4.2.1 – Antena de microfita com patch circular de filme
supercondutor
Para introduzir o efeito da supercondutividade do patch circular, calcula-se um
termo correspondente à impedância de superfície complexa,
s
Z
~
. Esse termo é então
aplicado na matriz de impedância
[
]
Ζ
~
da estrutura. Esta impedância é determinada em
função da profundidade de penetração quando a temperatura possui um valor próximo ao
zero absoluto, dado por
()
0
L
λ , e em função da condutividade complexa
scn
jσ−σ=σ . Os
componentes da condutividade complexa são dados por [30]:
4
c
scn
T
T
σ=σ ;
(4.72)
e
()
2
L0
sc
T
1
λωµ
=σ ,
(4.73)
com
() ()
2
1
4
c
LL
T
T
1.0T
−
−λ=λ
.
(4.74)
onde T
c
é a temperatura crítica do material, ou seja, para valores de temperatura iguais ou
superiores a T
c
, o material deixa de ser supercondutor. O termo
(
)
T
L
λ
é a profundidade de
penetração na temperatura T, ω
é a freqüência angular e
0
µ
é a permeabilidade magnética
do espaço livre.
Dessa forma, a impedância de superfície complexa,
s
Z
~
,
é obtida a partir de [30]:
[
]
1
scnscs
)j(tZ
~
−
σ−σ= ,
(4.75)
sendo t
sc
a espessura do filme supercondutor.
42
Após efetuar o modelamento do
patch de filme supercondutor, as transformadas de
Hankel das componentes do campo elétrico,
+
E
~
e
−
E
~
, podem ser escritas como [30]:
(
)
−++
Ι+Ι−=
~
Z
~
~
Z
~
Z
~
E
~
12s11
(4.76)
e
(
)
−+−
Ι−+Ι=
~
Z
~
Z
~
~
Z
~
E
~
s2221
. (4.77)
Uma nova matriz
[]
Z
~
é então definida como:
[]
−
−
=
s2221
12s11
z
~
z
~
z
~
z
~
z
~
z
~
z
~
. (4.78)
A partir deste ponto, o procedimento utilizado para a determinação da freqüência de
ressonância é semelhante ao já mostrado nas equações de (4.66) a (4.71).
4.3 – Modelamento de uma antena de microfita com
patch circular sobre substrato anisotrópico uniaxial
utilizando o método dos potenciais vetoriais de Hertz
A anisotropia dielétrica é caracterizada pelo fato do material que compõe o substrato
possuir uma permissividade elétrica na forma tensorial, ou seja [9]:
εεε
εεε
εεε
ε=ε
φ
φφφφ
φ
zzzrz
zr
zrrrr
0
.
(4.79)
43
Para o caso de substratos dielétricos anisotrópicos sem perdas, considerando os
eixos ópticos orientados ao longo dos eixos principais do sistema de coordenadas
cilíndricas, a permissividade elétrica é dada por [9]:
ε
ε
ε
ε=ε
φφ
zz
rr
0
00
00
00
.
(4.80)
O material é denominado de anisotrópico biaxial quando
rr
ε
,
φφ
ε
e
zz
ε
são
diferentes entre si. Quando duas dessas componentes são iguais, o material é denominado
de anisotrópico uniaxial.
No caso da anisotropia uniaxial, o eixo para o qual o elemento da matriz é diferente
dos outros dois, é chamado de eixo de simetria, ou eixo óptico. Considerando o eixo óptico
na direção perpendicular ao plano de terra, ou seja, na direção z, a permissividade é dada
por:
ε
ε
ε
ε=ε
zz
rr
rr
0
00
00
00
.
(4.81)
A Figura 4.2 ilustra a estrutura considerada nesta análise, que consiste de um patch
circular de raio a, composto por um material condutor. O patch se encontra sobre uma
camada dielétrica anisotrópica uniaxial de altura d, que é apoiada por um plano de terra.
Considera-se que o eixo óptico é orientado na direção perpendicular ao plano de terra, ou
seja, na direção do eixo z.
O tensor permissividade elétrica do substrato é dada segundo a expressão (4.81),
sendo
zz
ε
a componente da permissividade relativa na direção z, e
rr
ε
a componente da
permissividade relativa na direção r, que é a mesma da direção
φ
. A constante
0
ε
é a
permissividade elétrica do espaço livre. A permeabilidade magnética
0
µ
é igual a do espaço
livre.
44
Define-se a razão de anisotropia como sendo:
zz
rr
z
r
n
n
ε
ε
= . (4.82)
Figura 4.2:
Antena de microfita com patch circular sobre substrato anisotrópico uniaxial.
Considerando (4.81), a lei de Ampère pode ser escrita como:
Ε
Ε
Ε
ε
ε
ε
ωε=Η×∇
φ
z
r
zz
rr
rr
0
00
00
00
j
r
; (4.83)
()
zzzz0rr0rrrr0
aaaj
r
r
r
r
Εεε+Εεε+Εεεω=Η×∇
φφ
; (4.84)
Ε
ε
ε−ε
+Εεωε=Η×∇
zz
rr
rrzz
rr0
aj
r
rr
. (4.85)
Substituindo (3.7) e (3.11) em (4.85), chega-se a:
()
(
)
∂
φ∂
+εµ
−
+=×∇×∇
z
e
e00
2
rr
rrzz
rr0e0
a
z
πω
ε
εε
Eεωεjπωεj
r
r
r
. (4.86)
Desenvolvendo (4.86), obtém-se:
[]
(
)
z
e
rrzzezz00
2
e
2
rre
a
z
εεππ
r
rrr
∂
φ
∂
−+εεµω+π∇=φε−⋅∇∇
. (4.87)
45
Define-se
e
φ
como:
e
rr
e
π.
ε
1
r
∇=φ
(4.88)
Com esta definição, obtém-se:
2
e
2
rr
e
z
π
ε
1
z
∂
∂
=
∂
φ∂
r
(4.89)
e
()
e
rr
e
π.
ε
1
r
⋅∇∇=φ∇
.
(4.90)
Substituindo (4.88) e (4.89) em (4.87), tem-se:
0
z
π
ε
εε
πεεµωπ
e
rr
rrzz
ezz00
2
e
2
=
∂
∂
−
++∇
r
rr
. (4.91)
Substituindo (4.90) em (3.11), obtém-se:
()
e
rr
e00
2
π
1
E
rr
r
⋅∇∇
ε
+πεµω=
. (4.92)
Como mostrado anteriormente, o campo elétrico para o modo TE é definido de
acordo com a expressão (3.20). Aplicando-se um procedimento análogo ao utilizado para o
modo TM, obtém-se a expressão para o campo magnético, dada por:
hhrr00
2
H φ∇+πεεµω=
r
r
(4.93)
sendo
h
φ igual a:
eh
π
r
⋅∇=φ . (4.94)
A equação de onda, por sua vez, é dada por:
0πεεµωπ
hrr00
2
h
2
=+∇
r
r
. (4.95)
As expressões das componentes de campo elétrico e magnético, em coordenadas
cilíndricas, são obtidas a partir de (3.18) e (4.92) para o modo TM como:
46
zr
1
e
2
rr
r
∂∂
π∂
ε
=Ε
; (4.96)
zr
1
e
2
rr
∂φ∂
π∂
ε
=Ε
φ
; (4.97)
e00
2
2
e
2
rr
z
z
1
πεµω+
∂
π∂
ε
=Ε
; (4.98)
φ∂
π
∂
ωε=Η
e
0r
r
1
j ; (4.99)
r
j
e
0
∂
π
∂
ωε−=Η
φ
; (4.100)
0
z
=Η . (4.101)
Seguindo o mesmo procedimento para o modo TE, são obtidas de (3.20) e (4.93) as
seguintes componentes dos campos elétrico e magnético:
φ∂
π
∂
ωµ−=Ε
h
0r
r
1
j ; (4.102)
r
j
h
0
∂
π
∂
ωµ=Ε
φ
; (4.103)
0
z
=Ε ; (4.104)
zr
h
2
r
∂∂
π∂
=Η ; (4.105)
zr
1
h
2
∂φ∂
π∂
=Η
φ
; (4.106)
φ∂
π∂
+
∂
π∂
∂
∂
−=Η
2
h
2
h
z
r
1
r
r
rr
1
. (4.107)
Agrupando as componentes de campo dos modos TE e TM, obtêm-se:
47
zr
1
r
1
j
e
2
rr
h
0r
∂∂
π∂
ε
+
φ∂
π∂
ωµ−=Ε ; (4.108)
zr
1
r
j
e
2
rr
h
0
∂φ∂
π∂
ε
+
∂
π∂
ωµ=Ε
φ
; (4.109)
e00
2
2
e
2
rr
z
z
1
πεµω+
∂
π∂
ε
=Ε
; (4.110)
zrr
1
j
h
2
e
0r
∂∂
π∂
+
φ∂
π∂
ωε=Η
; (4.111)
zr
1
r
j
h
2
e
0
∂φ∂
π∂
+
∂
π∂
ωε−=Η
φ
; (4.112)
φ∂
π∂
+
∂
π∂
∂
∂
−=Η
2
h
2
h
z
r
1
r
r
rr
1
. (4.113)
Nas equações de onda (4.91) e (4.95), obtêm-se, respectivamente:
0
z
k
2
e
2
rr
rrzz
e
2
ee
2
=
∂
π∂
ε
ε−ε
+π+π∇ , (4.114)
e
0k
h
2
hh
2
=π+π∇
, (4.115)
sendo
zz00e
k εεµω= (4.116)
e
rr00h
k εεµω=
.
(4.117)
Substituindo (4.24) em (4.114) e realizando o mesmo procedimento utilizado para o
caso isotrópico, obtém-se a equação de onda de
e
~
π
:
48
0
~
z
e
2
e
2
2
=π
γ−
∂
∂
(4.118)
sendo
(
)
2
e
2
zz
rr2
e
k−α
ε
ε
=γ .
(4.119)
Substituindo (4.28) em (4.115) e realizando o mesmo procedimento utilizado para o
potencial
e
π , obtém-se a equação de onda para
h
~
π
:
0
~
z
h
2
h
2
2
=π
γ−
∂
∂
(4.120)
sendo
2
h
2
2
h
k−α=γ .
(4.121)
As soluções para (4.118) e (4.120) nas regiões 1 e 2, são:
(
)
(
)
zcosh'zsenh
~
h1h11h
γ
Α
+
γ
Α
=π ; (4.122)
(
)
(
)
zsenh'zcosh
~
e1e11e
γ
Β
+
γ
Β
=π ; (4.123)
(
)
dz
22h
0
e
~
−γ−
Α=π ; (4.124)
(
)
dz
22e
0
e
~
−γ−
Β=π
. (4.125)
Da mesma forma como foi feito para o caso isotrópico, define-se as componentes de
campo:
φ±
Ε
±
Ε
=Ε j
r
(4.126)
e
φ±
Η
±
Η
=Η j
r
. (4.127)
Através do mesmo procedimento, obtêm-se:
49
αα
∂
π∂
ε
πωµα=Ε
±
∞
φ
±
∫
d)s(J
z
~
1
~
e
1n
0
e
rr
h0
jn
m
(4.128)
e
αα
∂
π∂
±πωε−α=Η
±
∞
φ
±
∫
d)s(J
z
~
~
e
1n
0
h
e0
jn
.
(4.129)
Novamente, a determinação das constantes
21111
,',,',
Α
Β
Β
Α
Α
e
2
Β é feita através
da aplicação das condições de contorno (4.50) a (4.52). Desta forma, chega-se a:
)]dcoth()[d(senh2
)
~
~
(j
hh0h
1
γγ+γγα
Ι+Ι−
=Α
+−
; (4.130)
0'
1
=Α ; (4.131)
)]dcoth()[d(senh2
)
~
~
(j
err0ee0
0rr
1
γεγ+γγαωε
Ι−Ιγε
=Β
+−
; (4.132)
0'
1
=Β ; (4.133)
)]dcoth([2
)
~
~
(j
hh0
2
γγ+γα
Ι+Ι−
=Α
+−
; (4.134)
)]dcoth([2
)
~
~
(j
hrr0h0
1
2
γεγ+γαωε
Ι−Ιγ−
=Β
+−
. (4.135)
De forma semelhante ao caso isotrópico, com a substituição das constantes obtidas
em (4.130) a (4.135), nos campos
+
Ε
e
−
Ε
na interface entre as duas regiões, obtém-se as
Transformadas de Hankel dos campos elétricos em função das correntes
+
Ι
~
e
−
Ι
~
. A partir
desse procedimento, as componentes na matriz
[
]
Ζ
~
dada em (4.63) são escritas como:
γεγ+γωε
γγ
−
γγ+γ
ωµ
=Ζ=Ζ
)]dcoth([)dcoth(j2
1
~~
err0e0
e0
hh0
0
2211
; (4.136)
50
γεγ+γωε
γγ
+
γγ+γ
ωµ
=Ζ=Ζ
)]dcoth([)dcoth(j2
1
~~
err0e0
e0
hh0
0
2112
. (4.137)
Para a determinação da freqüência de ressonância, utiliza-se o mesmo procedimento
adotado para o caso isotrópico.
4.4 – Modelamento de uma antena de microfita com
patch circular sobre duas camadas dielétricas
anisotrópicas uniaxiais utilizando o método dos
potenciais vetoriais de Hertz
A estrutura considerada nesta análise consiste de um
patch circular de microfita,
condutor, situado acima de duas camadas dielétricas anisotrópicas uniaxiais, apoiadas por
um plano de terra, conforme mostra a Figura 4.3. Considera-se que o eixo óptico é
orientado na direção perpendicular ao plano de terra, isto é, na direção do eixo z.
O
patch e o plano de terra são separados por duas camadas dielétricas anisotrópicas,
cujas espessuras são representadas por d
1
e d
2
, respectivamente.
Figura 4.3:
Antena de microfita com patch circular sobre duas camadas dielétricas
anisotrópicas uniaxiais
.
51
A permissividade elétrica do substrato em cada região j ( j = 1,2 ) é dada por:
ε
ε
ε
ε=ε
jzz
jrr
jrr
0j
00
00
00
, (4.138)
sendo
jzz
ε
a componente da permissividade relativa na direção z, na região dielétrica j ( j =
1,2 ), e
jrr
ε
a componente da permissividade relativa na direção r, que é igual a da direção
φ
. A constante
0
ε é a permissividade elétrica do espaço livre. A permeabilidade magnética
0
µ
é igual a do espaço livre.
Na análise da estrutura, define-se inicialmente os potenciais de Hertz para cada
região j ( j = 1,2 ), orientados na direção do eixo óptico como:
zjeje
a
r
r
π
=
π
; (4.139)
zjhjh
a
r
r
π
=
π
. (4.140)
As expressões para as componentes do campo elétrico e do campo magnético são
dadas em (4.108) a (4.113). Portanto, para cada região j ( j = 1,2 ), têm-se:
zr
1
r
1
j
je
2
jrr
jh
0jr
∂∂
π∂
ε
+
φ∂
π∂
ωµ−=Ε
; (4.141)
zr
1
r
j
je
2
jrr
jh
0j
∂φ∂
π∂
ε
+
∂
π∂
ωµ=Ε
φ
; (4.142)
je00
2
2
je
2
jrr
jz
z
1
πεµω+
∂
π∂
ε
=Ε
; (4.143)
zrr
1
j
jh
2
je
0jr
∂∂
π∂
+
φ∂
π∂
ωε=Η ; (4.144)
zr
1
r
j
jh
2
je
0j
∂φ∂
π∂
+
∂
π∂
ωε−=Η
φ
; (4.145)
52
φ∂
π∂
+
∂
π∂
∂
∂
−=Η
2
jh
2
jh
jz
r
1
r
r
rr
1
. (4.146)
As equações de onda são dadas em (4.114) e (4.115). Dessa forma, para cada região
j ( j = 1,2 ), têm-se:
0
z
k
2
je
2
jrr
jrrjzz
je
2
jeje
2
=
∂
π∂
ε
ε−ε
+π+π∇
, (4.147)
e
0k
jh
2
jhjh
2
=π+π∇
, (4.148)
sendo
jzz00je
k εεµω= (4.149)
e
jrr00jh
k εεµω= .
(4.150)
As equações de onda dadas em (4.147) e (4.148), no domínio da transformada de
Hankel, são obtidas como:
0
~
z
je
2
je
2
2
=π
γ−
∂
∂
(4.151)
e
0
~
z
jh
2
jh
2
2
=π
γ−
∂
∂
. (4.152)
sendo
(
)
2
je
2
jzz
jrr
2
je
k−α
ε
ε
=γ
(4.153)
e
2
jh
2
2
jh
k−α=γ
.
(4.154)
53
As soluções para (4.151) e (4.152) nas regiões dielétricas definidas por j = 1 e 2,
são:
(
)
(
)
zcosh'zsenh
~
jhjjhjjh
γ
Α
+
γ
Α
=π
; (4.155)
(
)
(
)
zsenh'zcosh
~
jejjejje
γ
Β
+
γ
Β
=π
. (4.156)
Na região dielétrica 3 (ar), as soluções são:
(
)
120
dz
33h
e
~
−γ−
Α=π ; (4.157)
(
)
120
dz
33e
e
~
−γ−
Β=π , (4.158)
sendo
2112
ddd += .
Seguindo o mesmo procedimento, as componentes de campo
±
Ε e
±
Η , em cada
região j ( j = 1,2 ), são dadas por:
jjrj
j
φ±
Ε
±
Ε
=Ε
(4.159)
e
jjrj
j
φ±
Η
±
Η
=Η
. (4.160)
sendo,
αα
∂
π∂
ε
πωµα=Ε
±
∞
φ
±
∫
d)s(J
z
~
1
~
e
1n
0
je
jrr
jh0
jn
j
m
(4.161)
e
∫
∞
±
φ
±
αα
∂
π∂
±πωε−α=Η
0
1n
jh
je0
jn
j
d)s(J
z
~
~
e
.
(4.162)
A determinação das constantes
jjjj
',,',
Β
Β
Α
Α
é feita através da aplicação das
condições de contorno. Para a estrutura considerada (Figura 4.3), as condições de contorno
são as seguintes:
0
1
=
Ε
±
em z = 0; (4.163)
54
21 ±±
Ε
=Ε em z = d
1
; (4.164)
21 ±±
Η
=
Η
em z = d
1
; (4.165)
32 ±±
Ε
=
Ε em z = d
12
; (4.166)
±±±
Ι
=
Η
−
Η j
23
m
em z = d
12
. (4.167)
Aplicando as condições de contorno, as constantes
jjjj
',,', Β
Β
Α
Α
são obtidas em
cada região j ( j = 1,2,3 ) segundo as seguintes expressões:
6
8
1
P2
P)
~
~
(j
α
Ι+Ι−
=Α
+−
; (4.168)
0'
1
=Α ; (4.169)
6
5
2
P2
P)
~
~
(j
α
Ι+Ι−
=Α
+−
; (4.170)
6
2
P2
)
~~
(j
'
α
Ι+Ι−
=Α
+−
; (4.171)
6
7
3
P2
P)
~
~
(j
α
Ι+Ι−
=Α
+−
; (4.172)
20
4
1
P2
P)
~
~
(j
αωε
Ι−Ι
=Β
+−
; (4.173)
0'
1
=Β
; (4.174)
20
1
2
P2
P)
~
~
(j
αωε
Ι−Ι
=Β
+−
; (4.175)
0
1
2
2
P)
~
~
(j
'
αωε
Ι−Ι
=Β
+−
;
(4.176)
55
202rr0
32e
3
P2
P)
~
~
(j
γεαωε
γΙ−Ι−
=Β
+−
;
(4.177)
sendo
)d(senh)dtanh()dcosh(
)dcosh()dtanh()d(senh
P
12e2e1rr11e12e1e2rr
12e2e1rr11e12e1e2rr
1
γγε−γγγε
γ
γ
ε
+
γ
γ
γ
ε
−
=
;
(4.178)
)dcosh(P)d(senh
P
1P
122e
02rr
2e
1122e
02rr
2e1
2
γ
γε
γ
++γ
γε
γ
+= ;
(4.179)
)dcosh()d(senhPP
122e122e13
γ
+
γ
=
;
(4.180)
)d(senh
)d(senh)dcosh(P
P
11e
12e12e1
4
γ
γ
+
γ
= ;
(4.181)
)dcosh()dcoth()d(senh
)d(senh)dcoth()dcosh(
P
12h2h11h12h1h
12h2h11h12h1h
5
γγ−γγγ
γ
γ
+
γ
γ
γ
= ;
(4.182)
(
)
(
)
)dcosh(P)d(senhPP
122h2h50122h2h506
γ
γ
+
γ
+
γ
γ
+
γ
=
;
(4.183)
)dcosh()d(senhPP
122h122h57
γ
+
γ
= ;
(4.184)
)d(senh
)dcosh()d(senhP
P
11h
12h12h5
8
γ
γ
+
γ
=
.
(4.185)
Com a substituição das constantes nas expressões dos campos, obtém-se as
componentes da matriz impedância
[
]
Ζ
~
dada em (4.63) como:
εωε
γ
−
ωµ
=Ζ=Ζ
22rr0
32e
6
70
2211
P
P
P
P
j2
1
~~
; (4.186)
εωε
γ
+
ωµ
=Ζ=Ζ
22rr0
32e
6
70
2112
P
P
P
P
j2
1
~~
. (4.187)
A freqüência de ressonância é determinada através do mesmo procedimento
utilizado para o caso isotrópico.
56
Na obtenção dos diagramas de radiação das estruturas analisadas, foram utilizadas
as seguintes expressões [19]:
() ()
θΕ−=φθΕ
φ
−
θ
senk
~
2
ej
R
e
k,,R
00
jnn
Rjk
0
0
; (4.188)
() ()
θΕθ+=φθΕ
φ+
−
φ
senk
~
cos
2
ej
R
e
k,,R
0e
jn1n
Rjk
0
0
, (4.189)
sendo
−+
Ε−Ε=Ε
~
~
~
0
(4.190)
e
−+
Ε+Ε=Ε
~
~
~
e
. (4.191)
No capítulo seguinte serão apresentados os resultados obtidos para a freqüência de
ressonância e para o diagrama de radiação, fazendo-se comparações com outros resultados
presentes na literatura especializada.
57
C
apítulo 5
Resultados Numéricos
A partir das expressões desenvolvidas no capítulo anterior, foi elaborado um
programa computacional visando a obtenção de valores para a freqüência de ressonância e
para o diagrama de radiação das estruturas em análise.
Para a análise numérica, foram escolhidas as seguintes funções de base para a
distribuição de corrente sobre o condutor [17]:
L,2,1i,)ra(r)r(
2/1221i
i
=−=Ι
−−
φ
(5.1)
L,2,1i,)ra(r)r(
2/1221i
ir
=−=Ι
−
. (5.2)
As funções definidas por (5.1) e (5.2) permitem a obtenção das transformadas de
Hankel de forma analítica, utilizando a seguinte integral [17]:
dxx)xy(J)x(T)x1(x
1
0
l
21221
µ
−−
∫
−
π
=
−µ+µ
2
y
J
2
y
Jy
2
2)1(2)1(
21
, (5.3)
onde
)x(T
l
é o polinômio de Chebyshev de l-ésimo grau.
O número de funções de base utilizadas na análise foi definido a partir do trabalho
publicado por Itoh e Araki [17], no qual observou-se que os resultados utilizando duas
funções de base praticamente não diferem dos resultados com três funções. A utilização de
um número maior de funções de base forneceria um resultado muito semelhante, e ao
mesmo tempo aumentaria significativamente o tempo de processamento. Dessa forma, os
resultados apresentados foram obtidos considerando-se duas funções de base nas direções
φ
e r.
Nesse caso, as expressões para as transformadas de Hankel das densidades de
corrente são dadas por [20]:
2,1i,drr)r(J)r(
~
1n
0
ii
=αΙ=Ι
+
∞
++
∫
(5.4)
58
e
.2,1i,drr)r(J)r(
~
1n
0
ii
=αΙ=Ι
−
∞
−−
∫
(5.5)
Uma vez definido o valor de n nas expressões (5.4) e (5.5), o cálculo das
transformadas de Hankel das correntes poderá então ser realizado.
Conforme indica a equação (4.2), os modos de propagação para o
patch
circular são
dados em função das raízes das derivadas das funções de Bessel. A derivada da função de
Bessel que possui a raiz de menor valor corresponde ao modo fundamental de propagação.
A Figura 5.1 mostra as curvas correspondentes aos quatro primeiros modos de propagação.
Conforme ilustrado, a curva da derivada da função de Bessel de ordem 1 possui a raiz de
menor valor. Dessa forma, para o modo fundamental de propagação, o valor de n nas
integrais correspondentes às transformadas de Hankel das correntes será igual a 1, e o modo
fundamental de propagação será o modo TM
11
, onde o primeiro índice representa a ordem
da função de Bessel e o segundo o número da raiz.
Os valores das raízes correspondentes aos quatro primeiros modos de propagação
foram apresentados na Tabela 4.1.
Figura 5.1: Derivadas das funções de Bessel correspondentes aos quatro primeiros modos
de propagação.
59
Dessa maneira, considerando o modo fundamental de propagação (n = 1), e a
equação (4.53), as correntes
1+
Ι
,
1−
Ι
,
2+
Ι
e
2−
Ι
são dadas por:
drr)r(J)ra(jdrr)r(J)ra(
~
2
a
0
2122
2
a
0
2122
1
α−+α−=Ι
∫∫
−
+
;
(5.6)
drr)r(J)ra(jdrr)r(J)ra(
~
0
a
0
2122
0
a
0
2122
1
α−−α−=Ι
∫∫
−
−
;
(5.7)
drr)r(J)ra(rjdrr)r(J)ra(r
~
2
a
0
2122
2
a
0
2122
2
α−+α−=Ι
∫∫
−
+
; (5.8)
e
drr)r(J)ra(rjdrr)r(J)ra(r
~
0
a
0
2122
0
a
0
2122
2
α−−α−=Ι
∫∫
−
−
. (5.9)
Na seqüência serão apresentados os resultados obtidos para a freqüência de
ressonância e para o diagrama de radiação das antenas analisadas.
5.1 – Antena de microfita com patch circular sobre
substrato isotrópico
A Tabela 5.1 compara os resultados experimentais para a freqüência de ressonância
obtidos por diversos autores e os obtidos neste trabalho.
Na Tabela 5.2 podem ser observados os resultados para a freqüência de ressonância
obtidos neste trabalho comparados com os obtidos através de três softwares comerciais e
através do modelo de Wolff modificado. Nesta tabela, MWM1 se refere ao modelo
apresentado no artigo publicado em 2002 por Verma e Nasimuddin [36], enquanto que
MWM2 se refere ao estudo publicado em 2003 pelos mesmos autores [38]. Apesar dos dois
modelos serem denominados como modelo de Wolff modificado, eles apresentam algumas
diferenças nas equações que envolvem a determinação da freqüência de ressonância.
60
Tabela 5.1 – Valores experimentais e calculados para a freqüência de ressonância.
Ref. n
o
do
patch
d (mm) a (mm)
ε
r
Fr exp.
(GHz)
Este
trab.
[43] 1 3,18 68,00 2,32 0,815 0,844
[44] 2 1,524 38,00 2,49 1,443 1,497
[45] 3 3,175 41,91 2,5 1,286 1,298
[46] 4 1,6 18,90 2,47 2,810 2,867
5 3,2 13,50 2,62 3,600 3,583 [47]
6 4,7 13,00 2,62 3,500 3,554
7 1,1938 4,7752 10,00 5,455 5,406
8 1,1938 7,1628 10,00 3,650 3,729
9 0,49 3,9592 2,43 13,100 13,287
[29]
10 0,49 1,9698 2,43 25,600 25,369
11 1,5875 11,50 2,65 4,425 4,404
12 1,5875 9,60 2,65 5,224 5,193
[48]
13 1,5875 7,40 2,65 6,634 6,588
61
Tabela 5.2 – Comparações para a freqüência de ressonância.
n
o
do
patch
Este trab. Ensemble
[49]
PCAAD
[50]
MCM [51] MWM1
[36]
MWM2
[38]
1 0,844 0,783 0,822 0,820 0,819 --
2 1,497 1,444 1,426 1,427 1,440 --
3 1,298 1,284 1,268 1,270 1,280 --
4 2,867 2,875 2,817 2,820 2,802 --
5 3,583 3,650 3,653 3,660 3,560 --
6 3,554 3,575 3,683 3,700 3,505 --
7 5,406 5,572 5,657 5,660 -- 5,475
8 3,729 3,776 3,798 3,800 -- 3,701
9 13,287 13,400 13,331 13,347 -- 13,250
10 25,369 24,900 25,736 25,865 -- 25,900
11 4,404 4,449 4,396 4,400 -- 4,434
12 5,193 5,286 5,219 5,265 -- 5,254
13 6,588 6,735 6,674 6,685 -- 6,702
62
A Figura 5.2 mostra os resultados obtidos neste trabalho para a freqüência de
ressonância em função do raio do
patch
, comparados com os obtidos por Itoh e Araki [17].
Observa-se uma diminuição na freqüência à medida que o valor do raio cresce. Este
resultado é esperado em função da equação (4.2).
O efeito da variação do valor da permissividade elétrica do substrato sobre a
freqüência de ressonância pode ser observado na Figura 5.3. Os valores são comparados
com os obtidos através das expressões utilizadas por Derneryd [15].
Figura 5.2: Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do patch; d = 1,5875mm;
ε
r
= 2,65.
63
Figura 5.3: Freqüência de ressonância (parte real) versus permissividade elétrica do substrato;
a = 5mm; d = 1mm.
64
A Figura 5.4 apresenta o comportamento da freqüência de ressonância quando a
altura do substrato é variada. Os valores são comparados com os obtidos pelo modelo
utilizado por Derneryd [15].
Para efeito de comparação e validação do método, quatro antenas de microfita com
patches
circulares com diferentes valores de raio foram confeccionadas e medidas no
Laboratório de Telecomunicações da UFRN. A Figura 5.5 mostra os resultados obtidos
neste trabalho e os obtidos através do modelo utilizado por Derneryd [15], comparados com
os resultados experimentais obtidos para a freqüência de ressonância dessas antenas.
Mesmo não tendo sido consideradas as perdas condutoras e dielétricas, percebe-se uma boa
concordância entre os resultados experimentais e os calculados. Esse fato indica que a
inserção das perdas no modelamento não resultaria numa melhora significativa dos valores
para a freqüência de ressonância.
Maiores detalhes a respeito das medições em laboratório são descritos no apêndice.
Figura 5.4: Freqüência de ressonância (parte real) versus altura do substrato; a = 10mm;
ε
r
= 2,65.
65
Alguns resultados experimentais obtidos por Verma e Rostamy [21] são
comparados com os valores obtidos neste trabalho na Figura 5.6. Observa-se uma boa
concordância dos resultados.
Figura 5.5: Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do patch; d = 1,53mm;
ε
r
= 4,4.
66
Figura 5.6: Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do patch; d = 2,35mm;
ε
r
= 4,55.
Na Figura 5.7 são apresentados os resultados para a freqüência de ressonância de
um
patch
circular constituído por um material supercondutor em função da temperatura de
operação. Percebe-se que à medida que o valor da temperatura se aproxima de T
c
, o
material vai perdendo a condição de supercondutor. O erro percentual entre os valores
experimentais obtidos por Richard et al [23] e os obtidos neste trabalho é da ordem de
0,23%.
67
Figura 5.7: Freqüência de ressonância (parte real) versus temperatura de operação para uma antena
de microfita com patch circular supercondutor. Filme supercondutor: T
c
= 84,5K; λ(0) =140nm e
t
sc
= 330nm. Antena: a = 0,61mm; d = 0,254 mm; ε
r
= 23,81.
As Figuras 5.8 e 5.9, mostram as amplitudes relativas das componentes radiadas do
campo elétrico,
φ
Ε
e
θ
Ε
, respectivamente. Pode ser observada uma boa concordância com
os resultados apresentados por Losada et al [29].
Na Figura 5.10 são mostrados resultados para o diagrama de radiação do campo
θ
Ε
para diferentes valores de raio do
patch
.
O comportamento do diagrama de radiação para o campo
θ
Ε
quando o valor da
permissividade elétrica do substrato é variado pode ser observado na Figura 5.11.
Observa-se nas Figuras 5.10 e 5.11 que o efeito da variação da permissividade
elétrica sobre o campo
θ
Ε
é mais perceptível do que o efeito da variação do raio.
68
Figura 5.8: Diagrama de radiação (campo
φ
Ε
); ε
r
= 2,65; d = 1,5875mm; a = 67,26mm; Fr =
0,8066GHz.
Figura 5.9: Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
); ε
r
= 2,65; d = 1,5875mm; a = 67,26mm; Fr =
0,8066GHz.
69
Figura 5.10: Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
) para diferentes valores de raio do patch; ε
r
= 2,65;
d = 1,5875mm.
Figura 5.11: Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
) para diferentes valores de permissividade elétrica;
a = 5mm ; d = 1mm.
70
5.2 – Antena de microfita com patch circular sobre
substrato anisotrópico uniaxial
Na Figura 5.12 é mostrado o comportamento da freqüência de ressonância versus o
raio do
patch
considerando o substrato como sendo composto por um material anisotrópico.
Foram considerados três materiais anisotrópicos: a safira (
=
ε
zz
11,6,
=ε
rr
9,4), o
Epsilam-10 (
=ε
zz
10,3,
=ε
rr
13) e o nitreto de boro (
=
ε
zz
3,4,
=
ε
rr
5,12). Para este
último, um resultado apresentado por Losada et al [29] é comparado com os obtidos neste
trabalho, observando-se uma boa concordância entre eles.
A Figura 5.13 mostra os resultados obtidos para a freqüência de ressonância em
função da razão de anisotropia. Quando o valor da razão de anisotropia é igual a 1 (caso
isotrópico), o resultado obtido neste trabalho concorda com o apresentado por Losada et al
[29].
Figura 5.12: Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do patch; d = 1,27mm.
71
Figura 5.13: Freqüência de ressonância (parte real) versus razão de anisotropia; a =
7,9375mm; d = 1,5875mm; ε
zz
= 2,65.
72
Na Figura 5.14 pode ser observado o comportamento da freqüência de ressonância
em função da razão de anisotropia para os três materiais considerados na análise: a safira, o
epsilam-10 e o nitreto de boro.
As Figuras 5.15 a 5.17 apresentam comparações entre os resultados obtidos neste
trabalho e os resultados apresentados por Gürel e Yazgan [39].
Na Figura 5.15 são mostrados os valores para a freqüência de ressonância, obtidos
através do método usado neste trabalho, quando a razão de anisotropia vale 1,75 (f
1.75
), e
quando esta vale 1 (f
1
), em função da altura do substrato. Para o caso isotrópico, os valores
são comparados com os apresentados por Gurel e Yazgan [39].
Os resultados da freqüência de ressonância para o caso isotrópico (f
1
) normalizados
com relação aos resultados para o caso isotrópico quando o raio do
patch
é igual a 5mm
(f
1(a=5mm)
), em função do raio do
patch
, são mostrados na Figura 5.16.
Figura 5.14: Freqüência de ressonância (parte real) versus razão de anisotropia; d = 1,58mm;
a = 5mm.
73
Pode ser observado na Figura 5.17 que quando a razão de anisotropia é igual a 0,5, a
freqüência de ressonância (f
0,5
) normalizada com relação ao caso isotrópico (f
1
)
praticamente não muda quando o raio do
patch
é variado. Um comportamento diferente é
observado para a freqüência correspondente a razão de anisotropia igual a dois (f
2
)
normalizada com relação ao caso isotrópico (f
1
). Nessa situação, o valor normalizado (f
2
/f
1
)
sofre um pequeno aumento a medida que o raio do
patch
vai aumentando.
As diferenças existentes entre os resultados obtidos neste trabalho e os valores
apresentados por Gürel e Yazgan [39] podem ser atribuídas à utilização de diferentes
funções de base. Neste trabalho, foram utilizadas as funções de base presentes no artigo
publicado por Itoh e Araki [17], enquanto que nos resultados obtidos por Gürel e Yazgan
foram utilizadas as funções de base presentes no estudo realizado por Fan e Lee [20].
Figura 5.15: Freqüência de ressonância (parte real) em função da altura do substrato; ε
rr
=
6,8; ε
zz
= 2,22; a = 6mm.
74
As Figuras 5.18 e 5.19, apresentam, respectivamente, resultados para o diagrama de
radiação relativos aos campos
φ
Ε
e
θ
Ε
para os três materiais anisotrópicos. Como pode ser
percebido, o diagrama de radiação do campo
φ
Ε
sofre uma pequena variação quando o
material é modificado. Já no campo
θ
Ε
essa variação é mais perceptível.
Resultados para o diagrama de radiação do campo
θ
Ε
considerando diferentes
valores para o raio do
patch
são mostrados na Figura 5.20. Percebe-se que a variação do
raio não implica em uma grande variação na distribuição do campo.
Figura 5.16: Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do patch; ε
rr
= ε
zz
= 9,4;
d = 1mm.
75
Na Figura 5.21 pode ser observado o efeito da variação da razão de anisotropia
sobre o diagrama de radiação para o campo
θ
Ε
. Como pode ser visto, esse efeito é mais
acentuado que o efeito da variação do raio.
Para a antena com substrato anisotrópico não foram feitas comparações de
resultados relativos ao diagrama de radiação devido a não existência desses dados na
literatura.
Figura 5.17: Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do patch; ε
rr
= 9,4; d = 1mm.
76
Figura 5.18: Diagrama de radiação (campo
φ
Ε
) para diferentes materiais; a = 5mm ; d = 1,27mm.
Figura 5.19: Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
) para diferentes materiais; a = 5mm ; d = 1,27mm.
77
Figura 5.20: Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
) para diferentes valores de raio do patch; d =
1,27mm; ε
rr
= 5,12; ε
zz
= 3,4.
Figura 5.21: Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
) para diferentes razões de anisotropia; ε
rr
= 9,4;
d = 1,58mm; a = 5mm.
78
5.3 – Antena de microfita com patch circular sobre
duas camadas dielétricas anisotrópicas uniaxiais
A Figura 5.22 mostra os valores obtidos para a freqüência de ressonância para a
estrutura da Figura 4.3, considerando a camada 2 composta por safira (
=ε
zz
11,6,
=
ε
rr
9,4), e a camada 1 composta por nitreto de boro (
=
ε
zz
3,4,
=
ε
rr
5,12) ou epsilam-10
(
=ε
zz
10,3,
=ε
rr
13), em função do raio do
patch
.
As Figuras 5.23 e 5.24 apresentam, respectivamente, os resultados para o diagrama
de radiação dos campos
φ
Ε
e
θ
Ε
, quando o material que compõe a camada 1 é modificado.
Figura 5.22: Freqüência de ressonância (parte real) versus raio do patch; ε
rr2
= 9,4; ε
zz2
=
11,6; d
1
= 0,254mm; d
2
= 0,635mm.
79
Figura 5.23: Diagrama de radiação (campo
φ
Ε
); ε
rr2
= 9,4; ε
zz2
= 11,6; d
2
= 0,635mm; d
1
=
0,254mm ;
a = 5mm.
Figura 5.24: Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
); ε
rr2
= 9,4; ε
zz2
= 11,6; d
2
= 0,635mm; d
1
=
0,254mm ;
a = 5mm.
80
A Figura 5.25 ilustra o comportamento da freqüência de ressonância para a estrutura
com duas camadas, sendo uma delas o ar e a outra composta por um material isotrópico, em
função da altura da camada 1. Os resultados são comparados com valores experimentais
apresentados por Dahele et al [52] e com valores teóricos apresentados por Guha [33].
Na Figura 5.26 são apresentados os resultados para a freqüência de ressonância do
patch
de microfita suspenso, com substrato dielétrico anisotrópico na região 2 composto
por três diferentes materiais, em função da altura da camada de ar.
O comportamento da freqüência de ressonância do
patch
suspenso, em função da
razão de anisotropia para os três materiais anisotrópicos pode ser observado na Figura 5.27.
Figura 5.25: Freqüência de ressonância (parte real) versus altura da camada 1; ε
rr1
= ε
zz1
= 1;
ε
rr2
= ε
zz2
= 2,32; a = 50mm; d
2
= 1,59mm.
81
Figura 5.26: Freqüência de ressonância (parte real) versus altura da camada 1 para
diferentes materiais anisotrópicos; ε
rr1
= ε
zz1
= 1; a = 15mm; d
2
= 1,27mm.
82
As Figuras 5.28 e 5.29 mostram, respectivamente, os resultados para o diagrama de
radiação dos campos
φ
Ε
e
θ
Ε
quando a altura da camada de ar é variada. Percebe-se que o
efeito da variação da camada de ar é praticamente inexistente para o campo
φ
Ε
.
Para a estrutura com duas camadas anisotrópicas e para a estrutura suspensa com
uma camada anisotrópica, não foram feitas comparações com outros resultados devido a
ausência destes na literatura.
Figura 5.27: Freqüência de ressonância (parte real) versus razão de anisotropia; ε
rr1
= ε
zz1
=
1; a = 8mm; d
1
= 0,254mm; d
2
= 1,016mm.
83
Figura 5.28: Diagrama de radiação (campo
φ
Ε
); ε
rr1
= 1; ε
zz1
= 1; ε
rr2
= 5,12; ε
zz2
= 3,4; d
2
=
1,27mm; a = 15mm.
Figura 5.29: Diagrama de radiação (campo
θ
Ε
); ε
rr1
= 1; ε
zz1
= 1; ε
rr2
= 5,12; ε
zz2
= 3,4; d
2
=
1,27mm; a = 15mm.
84
C
apítulo 6
Conclusões
Neste trabalho, foram apresentados o desenvolvimento teórico e os resultados
numéricos para a freqüência de ressonância e para o diagrama de radiação de uma antena
de microfita com patch circular. Na análise, foram consideradas estruturas contendo uma
camada dielétrica isotrópica, uma camada dielétrica anisotrópica e duas camadas dielétricas
anisotrópicas. Para a estrutura com duas camadas, foi observado o caso particular no qual a
camada inferior é composta pelo ar. Para os casos que envolvem estruturas com substratos
anisotrópicos, os potenciais de Hertz são orientados na direção do eixo óptico, que é
tomado na direção perpendicular ao plano de terra. Para a estrutura isotrópica foram obtidos
também resultados considerando o patch como sendo composto por um material
supercondutor.
Na obtenção das expressões dos campos elétrico e magnético, foi usado o método
dos potenciais vetoriais de Hertz no domínio espectral, que, em conjunto com o método dos
momentos, permitiu a determinação da freqüência de ressonância da estrutura.
O efeito da camada de ar mostrou-se importante, tendo em vista que os parâmetros
analisados apresentam uma variação à medida que sua espessura é modificada. Esse efeito
permite a sintonia da freqüência de ressonância através da variação da camada de ar
presente entre o plano de terra e o substrato.
Outro fator analisado que também revelou-se importante foi a razão de anisotropia
do material que compõe o substrato, pois este exerce influência direta nas características da
antena. Dessa forma, o seu estudo se faz necessário, tendo em vista que vários materiais
utilizados na fabricação de dispositivos de microondas possuem alguma propriedade de
anisotropia.
Para os resultados dos diagramas de radiação, pode-se concluir que o campo
θ
Ε
é
mais sensível às variações do raio do patch, da permissividade elétrica e da altura substrato,
inclusive para estruturas suspensas, quando comparado ao campo
φ
Ε
.
85
Os resultados obtidos neste trabalho foram comparados com outros publicados na
literatura especializada, verificando-se uma boa concordância entre eles.
Algumas sugestões para a continuidade deste trabalho são:
a) Estudo de antenas de microfita com outros formatos do patch, como por
exemplo setor circular ou anel circular;
b) Análise de arranjos de antenas com patch circular;
c) Determinação de outras características da antena com patch circular, tais como:
fator de qualidade, largura de banda, impedância de entrada, ganho e
diretividade;
d) Estudo do patch circular sobre estruturas contendo substratos ferrimagnéticos.
e) Análise de arranjos inteligentes formados por antenas com patches circulares.
86
Referências Bibliográficas
[1] D. D. GREIG e H. F. ENGLEMAN. Microstrip – a new transmission technique for
the kilomegacicle range. Proc. IRE, vol. 40, pp. 1644-1650, 1952.
[2] G. A. DESCHAMPS. Microstrip microwave antennas. In 3rd USAF Symposium on
Antennas, 1953.
[3] J. Q. HOWELL. Microstrip antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-23,
pp. 90-93, janeiro 1975.
[4] R. E. MUNSON. Conformal microstrip antennas and microstrip phased arrays. IEEE
Trans. Antennas Propagat., vol. AP-22, pp. 74-77, janeiro 1974.
[5] I. J. BAHL e P. BHARTIA. Microstrip Antennas. Artech House, 1980.
[6] J. R. JAMES, P. S. HALL e C. WOOD. Microstrip Antenna Theory Design. Peter
Peregrinus Ltda., 1981.
[7] R. M. NELSON, D. A. ROGERS e A. G. D’ASSUNÇÃO. Resonant Frequency of a
rectangular microstrip patch on a several uniaxial substrates. IEEE Trans. Antennas
Propagat., vol. AP-38, pp. 973-981, julho 1990.
[8] K.-L. WONG, J.-S. ROW, C.-W. KUO e K.-C. HUANG. Resonance of a rectangular
microstrip patch on a uniaxial substrate. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol.
MTT-41, pp. 698-701, abril 1993.
[9] J. R. S. OLIVEIRA. Antenas de microfita sobre substratos dielétricos anisotrópicos e
ferrimagnéticos magnetizados. Tese de Doutorado, Universidade Federal da Paraíba –
Campus II. Tese, Doutorado em Engenharia Elétrica – 213p., abril 1996.
87
[10] A. G. D’ASSUNÇÃO e E. J. A. DANTAS. On the resonant frequency of
magnetized rectangular microstrip patch resonators. In IEEE AP-S Antennas Propagation
Symp., pp. 1508-1511, junho 1993.
[11] E. J. A. DANTAS. Características do ressoador de microfita sobre substratos
ferrimagnéticos magnetizados. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Rio
Grande do Norte. Dissertação, Mestrado em Engenharia Elétrica – 80 p., 1993.
[12] R.E. MUNSON. Conformal microstrip antennas and microstrip phased arrays. IEEE
Trans. Antennas Propagat., vol. AP-22, pp. 74-77, janeiro 1974.
[13] L. C. SHEN, S. A. LONG, M. R. ALLERDING e M. D.WALTON. Resonant
Frequency of a circular disc, printed-circuit antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat.,
vol. AP-25, pp. 595-596, julho 1977.
[14] Y. T. LO, D. SOLOMON e W. F. RICHARDS. Theory and experiment on
microstrip antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-27, pp. 137-145, março
1979.
[15] A. G. DERNERYD. Analysis of the microstrip disk antenna element. IEEE Trans.
Antennas Propagat., vol. AP-27, pp. 660-664, setembro 1979.
[16] E. H. NEWMAN e P. TULYATHAN. Analysis of microstrip antennas using
moment method. IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-29, pp. 47-53, janeiro 1981.
[17] K. ARAKI e T. ITOH. Hankel transform domain analysis of open circular microstrip
radiating structures. IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-29, pp. 84-89, janeiro
1981.
[18] N. G. ALEXÓPOULOS. Integrated-circuit structures on anisotropic substrates.
IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-33, pp. 847-881, outubro 1985.
88
[19] Z. FAN e J. HUANG. Hankel transform domain analysis of an annular-ring
microstrip antenna with an air gap. International Conference on Computation in
Electromagnetics., pp. 312-314, novembro 1991.
[20] Z. FAN e K. LEE. Hankel transform domain analysis of dual-frequency stacked
circular-disk and annular-ring microstrip antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.
AP-99, pp. 867-870, junho 1991.
[21] A. K. VERMA e Z. ROSTAMY. Modified Wolff model for determination of
resonance frequency of dieletric covered circular microstrip patch antenna. Electronics
Letters., vol. 27, pp. 2234-2236, novembro 1991.
[22] Z. FAN e K. F. LEE. Input Impedance of annular ring microstrip antennas with a
dielectric cover. IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-40, pp. 992-995, agosto 1992.
[23] M. A. RICHARD, K.B. BHASIN, P.C. CLASPY. Superconducting microstrip
antennas: an experimental comparison of two feeding methods. IEEE Trans. Antennas
Propagat., vol. AP-41, pp. 967-974, julho 1993.
[24] S. MELLAH, M. DRISSI e J. CITERNE. A rigorous analysis of novel microstrip
circular patch antennas. In IEEE AP-S Antennas Propagation Symp., pp. 952-955, junho
1994.
[25] G. M. TURNER e C. G. CHRISTODOULOU. Finite difference time domain
analysis of circular microstrip antennas. In IEEE International Antennas and
Propagation Symp. and URSI National Radio Science Meeting., pp. 1292-1295, julho
1996.
[26] W. X. ZHANG e G.Z. JIANG. An improved full wave analysis for open circular
microstrip structures. In IEEE International Antennas and Propagation Symposium and
URSI National Radio Science Meeting., pp. 412-415, julho 1996.
89
[27] J. C. BATCHELOR, G. CLASSEN e R. J. LANGLEY. Microstrip antennas on
ferrite. 10
th
International Conference on Antennas and Propagation, pp.30-33, abril
1997.
[28] P. MYTHILI e A. DAS. Simple approach to determine resonant frequencies of
microstrip antennas. IEE Proc. Microw. Antennas Propagat., vol. 145, pp.159-162, abril
1998.
[29] V. LOSADA, R. MARQUES e M. HORNO. Resonant modes of circular microstrip
patches in multilayered substrates. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-47,
pp. 488-498, abril 1999.
[30] S. G. SILVA, A. G. D’ASSUNÇÃO e J. R. S. OLIVEIRA. Analysis of high Tc
superconducting microstrip antennas and arrays. SBMO/IEEE MTT-S, AP-S and LEOS,
International Microwave and Optoelectronics Conference., pp. 243-246, agosto 1999.
[31] V. LOSADA, R. MARQUES e M. HORNO. Full-wave analysis of circular
microstrip resonators in multilayered media containing uniaxial anisotropic dielectrics,
magnetized ferrites ans chiral materials. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol.
MTT-48, pp. 1057-1064, junho 2000.
[32] V. LOSADA, R. R. BOIX. Resonant modes of circular microstrip patches over
ground planes with circular apertures in multilayered substrates containing anisotropic
and ferrite materials. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. MTT-48, pp. 1756-
1762, outubro 2000.
[33] D. GUHA. Resonant frequency of circular microstrip antennas with and without air
gaps. IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-49, pp. 55-59, janeiro 2001.
[34] A. K. VERMA e NASIMUDDIN. Resonance frequency of rectangular microstrip
antenna in thick substrate. Electronics Letters., vol. 37, pp. 1373-1374, novembro 2001.
90
[35] A. K. VERMA e NASIMUDDIN. Resonance frequency and bandwidth of
rectangular microstrip antenna in thick substrate. IEEE Microwave and Wireless
Components Letters., vol. 12, pp. 60-62, fevereiro 2002.
[36] A. K. VERMA e NASIMUDDIN. Analysis of circular microstrip antenna on thick
substrate. Journal of Microwaves and Optoelectronics, vol. 2, pp. 30-38, julho 2002.
[37] D. GUHA e J. Y. SIDDIQUI. Resonant frequency of circular microstrip antenna
covered with dielectric superstrate. IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-51,
pp.1649-1652, julho 2003.
[38] A. K. VERMA e NASIMUDDIN. Analysis of circular microstrip patch antenna as
an equivalent rectangular microstrip patch antenna on iso/anisotropic thick substrate. IEE
Proc. Microw. Antennas Propagat., vol. 150, pp. 223-229, agosto 2003.
[39] Ç. S. GÜREL e E. YAZGAN. Characteristics of a circular patch microstrip antenna
on uniaxially anisotropic substrate. IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-52, pp.
2532-2537, outubro 2004.
[40] S. G. SILVA. Arranjos de antenas de microfita com patches supercondutores sobre
substratos anisotrópicos. Tese de Doutorado, Universidade Federal da Paraíba – Campus
II. Tese, Doutorado em Engenharia Elétrica, 2002.
[41] F. R. GERARDI. Application of Mellin and Hankel transforms to Networks with
time-varying parameters. IRE Trans. Circuit Theory., pp. 197-208, junho 1959.
[42] M. ABRAMOWITZ e I. A. STEGUN. Handbook of mathematical functions, with
formulas, graphs and mathematical tables. Dover, 1970.
91
[43] J. S. DAHELE e K. F. LEE. Effect of substrate thickness on the performance of
circular-disk microstrip antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-31, pp.358-
360, março 1983.
[44] K. R. CARVER. Practical analytical techniques for the microstrip antenna. Proc.
Workshop on Printed Circuit Antenna Technology, New Mexico State University, Las
Cruces, New Mexico, pp. 7.1-7.20, outubro 1979.
[45] S. YANO e A. ISHIMARU. A theoretical study of the input impedance of a circular
microstrip disk antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-29, pp.77-83, janeiro
1981.
[46] S. A. LONG, L. C. SHEN, M. D. WALTON e M. R. ALLERDING. Impedance of a
circular disk printed-circuit antenna. Electronics Letters, vol. 14, pp. 684-686, outubro
1978.
[47] M. DAVIDOVITZ e Y. T. LO. Input impedance of a probe-fed circular microstrip
antenna with thick substrate. IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-34, pp. 905-911,
julho 1986.
[48] T. ITOH e R. MITTRA. Analysis of microstrip disk resonator. Arch Eleck.
Ubertragung., vol. 27, pp. 456-458, novembro 1973.
[49] Ensemble Version 6.1, Ansoft Co., USA, setembro 1999.
[50] D. M. POZAR. PCAAD 3.0, Personal Computer Aided Antenna Design. Antenna
Design Associates, Inc. 1996.
[51] A. BENALLA, C. H. THNG e K. C. GUPTA, Computer-Aided design and analysis
of microstrip patch antennas, Micropatch Version 2.0, 1993.
92
[52] S. DAHELE, S. MEM e K. F. LEE. Theory and experiment on microstrip antennas
with air gaps. Proc. Inst. Elect. Eng., vol. 132, pp. 455-460, dezembro 1985.
[53] G. M. FEITOZA, S. G. SILVA, J.R.S. OLIVEIRA e A. G. D´ASSUNÇÃO.
Analysis of circular patch microstrip antennas on anisotropic substrates using hertz
potential method. In Progress in Electromagnetics Research Symposium, agosto 2005.
93
Apêndice
Para a obtenção de valores experimentais das freqüências de ressonância das quatro
antenas fabricadas, ilustradas na Figura A.1, foi utilizado o analisador de rede 8714C da
HP, mostrado na Figura A.2.
Figura A.1: Antenas utilizadas no experimento.
94
Figura A.2: Analisador de rede 8714C.
As antenas foram alimentadas através da utilização de um cabo coaxial, sendo o
condutor central ligado ao patch radiante e o condutor externo ao plano de terra, conforme
mostra a Figura A.3.
Figura A.3: Alimentação através de cabo coaxial.
Após esta montagem, cada uma das antenas foi conectada a uma das entradas do
equipamento. Esta entrada gera um sinal numa determinada faixa de freqüência,
alimentando a antena. Uma parcela deste sinal é transmitida e outra é refletida em direção
ao instrumento. A parcela que é refletida para o analisador é medida e dividida pelo valor
da potencia incidente, ou seja, é calculado o coeficiente de reflexão para a freqüência do
95
sinal gerado. Em seguida essa razão é convertida para uma escala logarítmica, sendo então
mostrada no visor do equipamento.
A freqüência na qual o sinal refletido possui o menor valor, ou seja, a freqüência na
qual a antena transmite para o espaço livre a maior parcela do sinal incidente, corresponde a
freqüência de ressonância da antena. As respostas em freqüência para as antenas analisadas
estão apresentadas nas figuras A.4 a A.7.
Figura A.4: Resposta em freqüência; a = 37mm; Fr = 1,141GHz.
96
Figura A.5: Resposta em freqüência; a = 27mm; Fr = 1,564GHz.
97
Figura A.6: Resposta em freqüência; a = 20mm; Fr = 2,098GHz.
98
Figura A.7: Resposta em freqüência; a = 16mm; Fr = 2,663GHz.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
