( PDF ) Análise da correlação entre o ibovespa e o ativo petr4: estimação via modelos garch e modelos aditivos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA

FÁBIO MAGALHÃES NUNES

ANÁLISE DA CORRELAÇÃO ENTRE O IBOVESPA E O ATIVO PETR4: ESTIMAÇÃO

VIA MODELOS GARCH E MODELOS ADITIVOS

Porto Alegre

2009

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FÁBIO MAGALHÃES NUNES

ANÁLISE DA CORRELAÇÃO ENTRE O IBOVESPA E O ATIVO PETR4: ESTIMAÇÃO

VIA MODELOS GARCH E MODELOS ADITIVOS

PORTO ALEGRE

2009

Dissertação de Mestrado submetida ao

Programa de Pós Graduação em Economia d

Faculdade de Ciências Econômicas da

UFRGS, com quesito parcial para obtenção do

título de Mestre em Economia com ênfase e

Economia Aplicada.

Orientador: Prof. Dr. Gilberto Oliveir

Kloeckner

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DADOS INTERNACIONAIS DE CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO (CIP)

Responsável: Biblioteca Gládis W. do Amaral, Faculdade de Ciências Economicas da

UFRGS

972a Nunes, Fábio Magalhães

Análise da correlação entre o Ibovespa e o ativo PETR4: estimaçã via

Modelos GARCH e modelos aditivos/ Fábio Magalhães Nunes. – Porto

Alegre, 2009.

091 f.: il.

Orientador: Gilberto de Oliveira Kloeckner.

Ênfase em Economia Aplicada.

Dissertação (Mestrado em Economia) Universidade Federal do Rio

grande do Sul, Faculdade de Ciências Econômicas, Programa de Pós

Graduação em Economia, Porto Alegre, 2009.

1. Volatilidade: índice Bovespa. 2. Volatilidade: PETR4.

3. índice Bovespa: Ativo PETR4: Correlação. I. Kloeckner, Gilberto

de Oliveira. II. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Faculdade de

Ciências Econômicas. Programa de Pós Graduação em Economia.

III. Título.

CDU 336.764

519.23

FÁBIO MAGALHÃES NUNES

ANÁLISE DA CORRELAÇÃO ENTRE O IBOVESPA E O ATIVO PETR4: ESTIMAÇÃO

VIA MODELOS GARCH E MODELOS ADITIVOS

Aprovada em: Porto Alegre, Agosto de 2009.

Prof. Dr. Gilberto de Oliveira Kloeckner (Orientador)

UFRGS

Prof. Dr. Igor Morais.

UNISINOS

Prof. Dr. Oscar Claudino Galli

UFRGS

Prof. Dr. Fabrício Tourrucôo

UFRGS

Dissertação de Mestrado submetida ao

Programa de Pós Graduação em Economia d

Faculdade de Ciências Econômicas da

UFRGS, com quesito parcial para obtenção do

título de Mestre em Economia com ênfase e

Economia Aplicada.

Orientador: Prof. Dr. Gilberto Oliveir

Kloeckner

“..Nas pequenas coisas que

Identificamos o caráter de um

Homem..”

Milton Nunes (meu pai, meu Herói)

AGRADECIMENTOS

Compartilho essa alegria com toda minha família especialmente, minha mãe Elizabethe,

minha irmã Flávia.

Sem o apoio incondicional da minha namorada, Bárbara, não venceria essa batalha. Agradeço

ao Matheus por me distrair nos momentos de stress com seu sorriso e alegia

Agradeço ao professor Gilberto Kloeckner, meu orientador, por entender minha situação e

não medir esforços para me ajudar.

Agradeço aos meus colegas, André, Bruno (carioca), Bruno (cearense) e Pedro pela

convivência nessa batalha.

E por fim, agradeço ao meu pai, Milton Nunes, um grande homem, que não pode me ver

atingir esse trunfo, porém estará sempre torcendo por mim. Aprendi muito com esse grande

ser Humano, sem sombra de dúvidas, o maior de todos.

RESUMO

A estimação e previsão da volatilidade de ativos são de suma importância para os mercados

financeiros. Temas como risco e incerteza na teoria econômica incentivaram a procura por

métodos capazes de modelar a variância condicional que evolui ao longo do tempo. O

objetivo central desta dissertação foi modelar via modelos ARCH – GARCH e modelos

aditivos o índice do IBOVESPA e o ativo PETR4 para analisar a existência de correlação

entre as volatilidades estimadas. A estimação da volatilidade dos ativos no método

paramétrico foi realizada via modelos EGARCH; já para o método não paramétrico, utilizou-

se os modelos aditivos com 5 defasagens.

Palavras Chaves: IBOVESPA. PETR4. modelos GARCH. modelos Aditivos. Estimação

paramétrica. Estimação não paramétrica.

ABSTRACT

Volatility estimation and forecasting are very important matters for the financial markets.

Themes like risk and uncertainty in modern economic theory have encouraged the search for

methods that allow for modeling of time varying variances.

The main objective of this dissertation was estimate through GARCH models and additive

models of IBOVESPA and PETR4 assets; and analyzes the existence of correlation between

volatilities estimated. We use EGARCH models to estimate through parametric methods and

use additive models 5 to estimate non parametric methods.

Key Words: IBOVESPA. PETR4. GARCH models. Additive models. Parametric estimation

and Non parametric estimation.

Lista de Gráficos

Gráfico 1 - Volatilidade de um ativo modelado via GARCH(1,1) ................................ 17

Gráfico 2 - Exemplificação dos parâmetros de suavização. .......................................... 34

Gráfico 3 - Preços de Fechamento PETR4 ....................................................................... 45

Gráfico 4 – Valor de Fechamento do IBOVESPA........................................................... 45

Gráfico 5 – Variação IBOVESPA x PETR4..................................................................... 46

Gráfico 6 – Retornos diários IBOVESPA......................................................................... 47

Gráfico 7 – PETR4 x Preço do Brent................................................................................ 48

Gráfico 8 – Histograma Retornos Diários IBOVESPA................................................... 50

Gráfico 9 – Plot Q – Q Retornos diários IBOVESPA....................................................... 51

Gráfico 10 – Histograma Retornos diários ao quadrado d índice IBOVESPA................ 52

Gráfico 11 – Histograma Retornos Diários PETR4........................................................... 54

Gráfico 12 – Plot Quantis – quantis dos Retornos diários do PETR4............................. 55

Gráfico 13 – Retornos Diários PETR4......................................................................... 57

Gráfico 14 - Histograma Retornos ao quadrado do ativo PETR4.................................. 58

Gráfico 15 – Plot Quantis-quantis dos retornos ao quadrado do PETR4.......................... 59

Gráfico 16 – Plot Quantis Resíduos ARMA(3,0) – EGARCH(1,3)................................ 64

Gráfico 17 – Plot Q x Q resíduos IBOVESPA............................................................. 67

Gráfico 18 – Volatilidade estimada PETR4 e IBOVESPA via Modelos EGARCH........ 68

Gráfico 19 – Volatilidade estimada períodos 1994 à 2005............................................ 69

Gráfico 20 – Autocorrelação dos resíduos do modelo ARMA (3,0)............................... 72

Gráfico 21 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo

4 – IBOVESPA.................................................................................................................

Gráfico 22 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo

5 – IBOVESPA.................................................................................................................

Gráfico 23 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo

6 - IBOVESPA.................................................................................................................

Gráfico 24 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo 5 com

span ótimo – IBOVESPA.................................................................................................

Gráfico 25 – Estatísticas provenientes do modelo aditivo 5 para o IBOVESPA.............. 78

Gráfico 26 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo 4 –

PETR4................................................................................................................................

Gráfico 27 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo 5

–PETR4........................................................................................................................

Gráfico 28 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo 5 com

o span ótimo – PETR4.................................................................................................

Gráfico 29 – Estatísticas provenientes do modelo aditivo 5 com span ótimo

para a série da PETR4.................................................................................................

Gráfico 30 – Volatilidade estimada via modelos aditivos para as séries do

IBOVESPA e PETR4....................................................................................................

Lista de Quadros

Quadro 1 – Funções Núcleos......................................................................................... 33

Quadro 2 – Correlação entre o preço do Brent x Cotação TR4...................................... 49

Quadro 3 – Output teste BDS Eviews 5.0...................................................................... 52

Quadro 4 - Correlograma dos Retornos diários ao Quadrado do IBOVESPA.............. 53

Quadro 5 – Correlograma dos Retornos Diários do PETR4........................................ 56

Quadro 6 – Output teste BDS para os Retornos Diários do Ativo PETR4..................... 57

Quadro 7 - Correlograma dos Retornos ao quadrado do PETR4................................. 59

Quadro 8 – Sumário de Estatísticas do ARMA (3,0) para PETR4............................... 60

Quadro 9 – Correlograma dos resíduos ao quadrado da série do IBOVESPA............... 66

Quadro 10 – Coeficiente de Correlação das Volatilidade estimadas............................. 69

Quadro 11 – Coeficiente de Correlação Volatilidades estimadas – Período 1994 à

2005.................................................................................................................................

Quadro 12 – Correlação entre as volatilidades estimadas via modelos aditivos............. 84

Lista de Tabelas

Tabela 1 – Estatísticas do teste de Ljung – Box para os Retornos Diários de PETR4...... 61

Tabela 2 – Modelos de Heterocedasticidade Condicional para o PETR4......................... 62

Tabela 3 - Modelos de Heterocedasticidade Condicional para o IBOVESPA................. 65

Tabela 4 – Coeficientes de Informação modelos aditivos IBOVESPA............................ 73

Tabela 5 – Definição do Span ótimo para o modelo aditivo 5 IBOVESPA..................... 77

Tabela 6 – Coeficientes de informação para definição do modelo aditivo ótimo PETR4. 79

Tabela 7 – Definição do Span ótimo para o modelo aditivo 5.......................................... 82

Sumário

1 Introdução........................................................................................................................... 14

2 Modelos Determinísticos de Estimação da Volatilidade........................................... 17

2.1 Modelos ARCH........................................................................................................... 18

2.1.1 Identificação de um modelo ARCH.......................................................................... 21

2.1.2 Estimação do Modelo ARCH................................................................................... 22

2.2 Modelos GARCH........................................................................................................ 23

2.3 Modelos EGARCH...................................................................................................... 25

2.4 Modelos TARGH......................................................................................................... 27

2.5 Teste BDS (Brock, Dechert & Scheinkman)............................................................... 27

3 Estimação Não Paramétrica........................................................................................ 30

3.2 Restrição nas Funções Núcleos.................................................................................... 32

3.3 Parâmetro de Suavização............................................................................................. 34

3.3.1 Formas de definir-se o h*......................................................................................... 35

3.3.1.1 Critério de Informação e Validação Cruzada........................................................ 35

3.3.1.2 Seletores Anexos (Plug- in)................................................................................... 36

3.4 Estimador de Nadaraya-Watson.................................................................................. 36

3.5 Modelos Aditivos......................................................................................................... 39

3.5.1 Backfiting Algorithm................................................................................................ 40

3.5.2 Modelos Aditivos de Volatilidade............................................................................ 41

3.5.3 Identificação dos Modelos Aditivos......................................................................... 41

4 Estimação dos Modelos................................................................................................ 44

4.1 Apresentando as Séries................................................................................................ 44

4.1.1 O que é IBOVESPA?................................................................................................ 46

4.1.2 Variações Petr4 x Preço do Petróleo......................................................................... 48

4.2 Características Estatísticas das Séries (análise quantitativa dos dados)...................... 50

4.2.1 IBOVESPA............................................................................................................... 50

4.2.2 PETR4....................................................................................................................... 54

4.3 Estimação da Volatilidade........................................................................................... 60

4.3.1 Estimação Paramétrcia via Modelos de Heterocedasticidade Condicional...... 60

4.3.2 Estimação Via Modelos Aditivos............................................................................. 71

5 Considerações Finais.................................................................................................... 86

BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................. 88

1Introdução

Uma infinidade de pessoas passa, a maior parte de seu tempo, estudando modelos ou

teorias que as auxiliem na determinação ou na previsão das variações dos ativos econômicos.

O interesse geral da economia foi, sempre, tentar antever a dinâmica dos indicadores

econômicos; começando por John M. Keynes com sua elucidação acerca das expectativas

condicionais, passando por Lucas com sua teoria de expectativas racionais, e não esquecendo

de Fridman com suas expectativas adaptativas. Teóricos modernos como Krugman, Roubini,

Barro e entre outros; não medem esforços para desenvolverem métodos para fomentar essa

ânsia por tornar a economia uma ciência exata e com grande capacidade preditiva.

Com o avanço do mercado de capitais junto com o grande volume de cifras e pessoas

envolvidas, prever a dinâmica dos ativos econômicos, além de antever o comportamento dos

preços futuros das ações, passou a ser uma “febre” dentre inúmeros teóricos. Cursos de pós-

graduação, com ênfase no mercado de capitais, emergem a cada dia, assim como novas teorias

e análises que podem ser lidas e encontradas com facilidade.

Começando com os modelos CAPM, de Sharpe (1964) e Lintner (1965), os quais

serviam como base para a análise de risco dos ativos; chegando aos modelos de

heterocedasticidade condicional de Engle (1982) e Bollerslev (1986), além de suas

derivações; e por fim, analisando os modelos não paramétricos de estimação propostos por

Hastie & Tibshirani (1990). Concluímos que os avanços verificados na determinação e na

previsão das variações dos indicadores econômicos estão condicionados ao avanço da

econometria e da informática.

Uma explicação para a afirmativa explicitada no parágrafo anterior seria: poderíamos

estimar o modelo CAPM de Sharpe (1964) e Lintner (1965) através do método dos Mínimos

Quadrados Ordinários, sendo necessário frisar que esse método exige algumas condições

primárias para gerar estimativas eficientes e não viesadas:

 Série estacionária

 Não haver heterocedasticidade

 Distribuição normal;

Todavia, nem sempre as séries respeitam tais condições, o que sugere uma reflexão de

como estimar o modelo CAPM para séries não lineares, heterocedásticas e que não seguem

uma distribuição normal (quando a distribuição tiver formato leptocúrtico

). Para este

exemplo, em específico, o Método dos Momentos Generalizados (GMM)

seria o mais eficaz,

já que o mesmo é mais robusto que o MQO, ao passo que suas estimativas seriam eficientes.

Dessa forma, notamos que certas suposições e condições impostas por determinados

modelos ou métodos de estimação acabam limitando nosso escopo de análise; ao passo que

novas formas teriam que ser criadas para se chegar a resultados mais satisfatórios. Nesse

sentido, identificamos os modelos sugeridos por Engle (1982) e Bollerslev (1986) como

precursores dessa nova forma de se estimar séries financeiras. Adicionalmente, com os

modelos não paramétricos propostos por Hastie & Tibshirani (1990), chegamos a outro

patamar, uma vez que para esse método de estimação não há necessidade de se supor qual

distribuição os dados seguem o que minimiza nosso erro de especificação do modelo,

(Ziegelmann, 2002).

Sendo assim, este trabalho buscará realizar um estudo do comportamento dos ativos

financeiros, utilizando como base o Índice IBOVESPA e o ativo mais líquido da bolsa de

valores de São Paulo (BOVESPA) o PETR4

. Estimar-se-á a volatilidade desses ativos

mediante a utilização dos modelos autorregressivos de heterocedasticidade condicional

(ARCH), adicionalmente, se estimará a volatilidade dos mesmos ativos através do método não

paramétrico Aditivo.

A utilização do ativo PETR4 é justificada por ele ser o mais negociado na bolsa de

valores de São Paulo. Com um volume relativo de negociações nos últimos 12 meses de 16%

do volume total de negociação da bolsa.

Dessa forma, o objetivo central dessa dissertação é verificar a existência de correlação

entre a volatilidade do IBOVESPA com a volatilidade do PETR4. Tem-se como hipótese “a

priori” que a correlação seja positiva e significativa (superior a 50%), todavia a partir de

procedimentos estatísticos, se tentará provar esse argumento.

Como dito anteriormente, utilizamos o índice IBOVESPA e o PETR4 como nossa

base de dados, sendo o período analisado compreendido entre 01 de Julho de 1994 até 31 de

Dezembro de 2008. Frisa-se que o período de escolha foi tal em virtude da instituição do

Possuem caudas pesadas, como a distribuição “t”e a GED.

Para melhor apreciação vide Hamilton (2003).

Correspode as ações da Petrobrás preferencial.

plano Real, e porque nesses quase 15 anos, passamos por diversas crises, o que influencia

diretamente nossa estimação via modelos de volatilidade.

O roteiro de trabalho divide-se em:

Primeiramente, serão apresentados alguns modelos determinísticos de como se estimar

a volatilidade das séries. Neste capítulo, serão apresentados os modelos autorregressivos de

heterocedasticidade condicional. Além de ser demonstrado como identificá-los e estimá-los.

Ainda como subseção deste capítulo, apresentaremos o teste BDS (Brock, Dechert &

Scheinkman, 1996) o qual servirá como forma alternativa de determinar se uma série é IID

Após os modelos determinísticos, será apresentada a teoria que suporta os modelos

não paramétricos. Apresentar-se-á as funções núcleo de Kernel e seus suavizadores, os

estimadores de Nadayra – Watson, bem como o método Aditivo de estimação não

paramétrica. Sendo que a grande vantagem dos modelos aditivos é o fato deles poderem

assumir uma forma muito parecida aos modelos autorregressivos de heterocedasticidade

condicional, entretanto utilizando como propriedades de estimação as não paramétricas.

Em continuidade, na primeira seção do capítulo 4, serão demonstradas as séries para

as quais estimaremos as volatilidades (paramétricas e não paramétricas); adicionalmente, será

efetuado todo o procedimento de estimação apresentando todos os resultado obtidos mediante

a estimação no software Eviews e R. Além disso, será verificado se as volatilidades obtidas

das séries são correlacionadas e também será identificado qual o melhor modelo de

volatilidade para as ambas as séries.

Por fim, nas considerações finais, apresentaremos um breve resumo do trabalho

evidenciado todos os resultados obtidos e, de forma complementar, serão realizadas algumas

proposições quanto a trabalhos futuros acerca do tema.

Para melhor entendimento vide seção 2.5 deste trabalho.

2 Modelos Determinísticos de Estimação da Volatilidade

No início da década de 80, assistiu-se ao surgimento dos modelos autorregressivos de

heterocedasticidade condicional ARCH (ver Engle, 1982). Esses modelos foram,

posteriormente, generalizados por Bollerslev (1986) com GARCH, originando vasta literatura

sobre o assunto, ainda inesgotada provavelmente.

A razão principal do surgimento desses modelos é que, antes disso, os modelos

econométricos de séries de tempo, financeiros e macroeconômicos, enfatizavam apenas o

primeiro momento condicional. Dependências temporais de ordem superior eram

simplesmente tratadas como perturbações aleatórias. Essas dependências expressam a

existência de aglomerações na série e alternância de períodos de baixa volatilidade com

períodos de alta volatilidade(vide eixo das abscissas).

O gráfico 1 apresenta essas características:

Gráfico 1 – Retorno de um ativo modelado via GARCH (1,1)

Os modelos de heterocedasticidade condicional surgiram principalmente, porque a

importância do risco e da incerteza na teoria econômica moderna tornou-se proeminente, e

pelo fato de modelos como o CAPM de Sharpe (1964) e Lintner (1965) não funcionarem tão

bem empiricamente. Talvez fosse necessário incluir momentos de ordem maior no modelo

CAPM para aproximá-lo dos dados empíricos. Assim, desenvolveram-se técnicas que

permitem a modelagem temporal de variâncias e covariâncias. De fato, os modelos de

heterocedasticidade condicional GARCH fundamentam-se na estimação da variância

condicional em vez de considerá-la constante ao longo do tempo.

A distinção de uso entre momentos de segunda ordem condicionais e não condicionais

é a contribuição principal desses modelos. Enquanto a matriz de covariância não condicional

para as variáveis de interesse pode ser invariante no tempo, a matriz de covariância

condicional depende de estados passados da natureza.

Empiricamente observa-se que as séries financeiras não têm distribuição normal-padrão em

geral, dada elevada probabilidade de eventos extremos. Então, os modelos GARCH teriam a

capacidade de modelar esse fato estilizado.

2.1 Modelos ARCH

Os modelos ARCH, Auto Regressivo com Heterocedasticidade Condicional, foram

desenvolvidos por Engle (1982) a fim de estimar a variância da inflação européia. Este

modelo tem como premissa básica que o retorno de um ativo qualquer

X é não

correlacionado serialmente, o que denota que o passado do retorno não influencia o presente.

Entretanto uma outra premissa é que a variância condicional, neste caso a volatilidade, é

função quadrática dos retornos passados o que evidencia a existência de correlação na

variância.

Definição 2.1 - Retornos

Entenda-se retorno por:

() ( )

lnln

−

ttT

PPX (2.1)

onde

P , com nt ...2,1= , é o preço de um ativo em vários períodos.

Um modelo ARCH(r) é definido como:

110

.....

rtrttt

ttt

XXXh

−−−

++++=

αααα

(2.2)

Onde

()

1,0.. dii 0

, 0≥

, 0>r

Nota-se que ao descrevermos o modelo à distribuição dos erros (resíduos),

, não

necessita ser Normal, ela pode assumir qualquer distribuição que melhor explique as caudas

pesadas das séries financeiras

Para melhor apresentarmos os modelos ARCH

, consideraremos o caso onde 1

Dessa forma, o modelo ARCH (1) é descrito por:

110 −

ttt

αα

(2.3)

onde

, 0

≥

Calculando a média e a variância incondicionais da série chega-se aos seguintes

resultados:

() ( ){}

−ttt

FXEEXE

()

(

)

(

)

{

}

(

)

1101

−−

+===

ttttt

XEFXEEXEXVar

αα

Sendo o processo

X estacionário de segunda ordem, então para todo

(

)

(

)

()

ttt

XVarXEXE ==

−

, temos que:

()

−

XVar (2.4)

Neste sentido, os modelos ARMA, subestimavam as series financeiras, uma vez que ao supor que inovações,

ou choques externos tinham como características serem ruido branco e variância constante, acabava limitando

nossa análise. Com o surgimento dos modelos auto regressivos, o principio de normalidade não precisava ser

seguido o que acarreta maior qualidade a estimação de séries financeiras, já que elas são caracterizadas por terem

caudas pesadas.

Vide Tsay (2002).

Uma generalização do resultado encontrado em (2.4) para o modelo ARCH(r) é:

(

)

() ()

(

)

222

tttt

hEhEhEXE

−

∑

−

====

(2.5)

Cabe frisar, que algumas restrições são necessárias para garantir a estacionariedade e a

positividade da variância condicional. Como foi explicitado anteriormente, tem-se que

, 0≥

, 0>i é a condição suficiente para que a variância condicional seja positiva.

Além disso,

−

∑

é a condição necessária para que a série seja estacionária. Isso

significa que as raízes do polinômio

∑

−

devem estar fora do circulo unitário.

Sabe-se ainda, que normalmente, os retornos de uma série financeira apresentam

caudas longas (pesadas) de modo que o coeficiente de curtose é maior do que 3. Esse

resultado denota que a série não é normalmente distribuída e sua função de densidade de

probabilidade é chamada de leptocúrtica . O coeficiente de curtose é dado por:

(

)

()

K = (2.6)

Até este momento, definiu-se o que é um modelo ARCH e suas premissas básicas,

entretanto nada se falou sobre como identificá-lo e construí-lo. Nesta próxima subseção, será

apresentado como se identificar um modelo ARCH.

2.1.1 Identificação de um modelo ARCH

Como primeiro passo para identificar um modelo ARCH, deve-se tentar ajustar um

modelo ARMA para remover a correlação serial na série de

X se esta existir. A idéia nesse

caso é utilizarmos os modelos Auto Regressivos e de Médias Móveis para removermos a

correlação serial da serie

X .

() ()

aBXB

(2.7)

Sendo que

()

rARCHa

~ . Para melhor apresentação dos modelos, ao nos referirmos

X , estar-se-á supondo que a série seja não correlacionada serialmente.

Como segundo passo do processo de identificação, verifica-se se a série

apresenta heterocedasticidade condicional. Na literatura existem inúmeros testes que podem

ser utilizados para verificação deste objetivo, para tanto, será apresentado três testes que

podem ser realizados para examinar

X .

i) Teste de FAC e FACP – verificou-se que os modelos ARCH

assemelham-se a um

modelo ARMA (Max (p, q),q). Assim as funções de autocorrelação, FAC e as funções

de autocorrelação parcial, FACP, devem sugerir se a série

X é heterocedástica e,

mais especificamente, a FACP nos informará qual a ordem do modelo ARCH que

estaremos modelando.

ii) Teste de Ljung – Box (Q) – A estatística de Ljung - Box é utilizada para se testar a

presença ou não de heterocedasticidade condicional na série. O teste consiste em

verificar se a hipótese nula de que a soma das autocorrelações é estatisticamente

diferente de zero se verifica. Sendo assim tem-se:

Da mesma forma os GARCH, que será apresentado posteriormente.

∑

e (2.8)

A estatística Q é calculada da seguinte forma:

()

∑

⎯→⎯

−

TTQ

(2.9)

iii) Teste de Multiplicador de Lagrange - Este teste foi proposto, inicialmente, por Engle;

o qual definiu o teste como:

0.....

210

===

x 0

≠

para qualquer i > 0

Dessa forma, os parâmetros associados à estimação de

X devem ser diferentes de

zero para que se rejeite

H e verifique-se dessa maneira heterocedasticidade.

Após breve explanação acerca dos meios para identificarmos um modelo ARCH, será

apresentado na próxima subseção desse trabalho como proceder para estimar um modelo

ARCH.

2.1.2 Estimação do Modelo ARCH

Os estimadores do Modelo ARCH, são obtidos através do método de máxima

verossimilhança.

A função de máxima verossimilhança é dada por:

()

(

)( )

(

)

(

)

,/,.......,/......///,......

112111 rrrTTTTT

xxfFxfFxfFxfxxL

+−−−

= (2.10)

e supondo-se normalidade dos resíduos

podemos reescrever da seguinte forma;

()

∏

−

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

xxf

xxL

/,......,

exp2/,......,

πσα

(2.11)

para T grande, o termo

()

/,......,

1 T

xxf pode ser desprezado

. Dessa forma, maximizamos a

função de verossimilhança condicional:

()

∏

−

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

trT

xxxxL

exp2,......,,/,......,

πσα

(2.12)

onde a volatilidade

é obtida recursivamente,

Para verificar se o modelo estimado é adequado, pode-se calcular a estatística Q de

Ljung – Box para a sequência de

, ou calcula-se os coeficiente de assimetria e curtose

estimados e/ou fazer um gráfico QxQ para avaliar a suposição de normalidade.

Após apresentação dos Modelos ARCH, será apresentado a generalização dos modelos

ARCH; os modelos GARCH.

2.2 Modelos GARCH

Uma generalização dos modelos ARCH foi sugerida por Bollerslev (1986, 1987,

1988) o chamado modelo GARCH (generalized ARCH). Sabe-se que um modelo ARMA

pode ser mais parcimonioso no sentido de apresentar menos parâmetros do que um modelo

AR ou MA puro. Do mesmo modo, um modelo GARCH pode ser usado para descrever a

volatilidade com menos parâmetros do que um modelo ARCH.

Um modelo GARCH pode ser definido por

jit

ttt

hXh

−

∑∑

++=

βαα

(2.13)

Vide Engle (1982) para melhor apreciação

Onde

()

1,0.. dii 0

, 0≥

()

∑

βα

()

qrm ,max

As restrições impostas acima nos remetem à um modelo GARCH estacionário e

positivo, entretanto essas restrições especificam apenas uma condição suficiente, mas não

necessária

. Vale lembrar que os resíduos nesse tipo de modelo devem ser apenas

independentes e identicamente distribuídos (IID

) não importando a qual distribuição segue,

uma vez que eles devem seguir a melhor distribuição que especifique suas características

podendo essa ser a “t” ou a de erros generalizados.

O modelo GARCH (r,q) pode ser interpretado como um processo autoregressivo em

X , dessa maneira pode-se especificar que

(

)

ttttt

hhX 1

−=−=

(2.14)

E dessa maneira obtém-se

()

jtjt

jit

XXh

−−

−

−++=

∑∑

νβαα

(2.15)

que pode ser reescrito como

()

(

)

tjt

jit

iit

ννββαα

+−++=

−

∑∑

,max

(2.16)

Olhando com critério esta última equação, verifica-se que a mesma lembra um modelo

ARMA[max(r,q), q], o que sugere que poder-se-ia identificar um modelo GARCH através da

metodologia apresentada por Box-Jenkins. Contudo, essa metodologia é falha, pois se não

estivermos tratando de um modelo GARCH esse método de identificação não é valido.

Ver Nelson e Cao (2002)

Na seção 2.5 deste trabalho apresentaremos o teste BDS (Brock, Dechert & Scheinkman; 1987) o qual é

utilizado para verificar se as variáveis que compõe uma série são Independentes e igualmente distribuídas).

Apenas frisando, conforme visto nos modelos ARCH, o coeficiente de curtose (K) de

um modelo GARCH também tende a ser maior do que 3, o que remete a uma função de

densidade probabilidade com caudas pesadas.

2.2.1 Identificação do Modelo GARCH

Para identificar-se um modelo GARCH, poderia ser utilizado o teste de Ljung - Box

(Q), bem como o teste LM e também analisar-se o correlograma dos resíduos; entretanto

como a especificação dos modelos GARCH é mais difícil e sutil sugere-se que o pesquisador

estime modelos GARCH de ordem baixa, verificando se o mesmo respeite as premissas

básicas (levantadas nos modelos ARCH) e depois compare os modelos analisando qual resulta

em um critério de informação Akaike ou Schwart maior; uma vez que o modelo que possuir

um critério de informação maior em módulo é o mais recomendável.

Após a explicitação dos modelos ARCH - GARCH pode-se notar que os mesmos,

tratam a variância dos retornos de maneira simétrica, já que ambos modelam a volatilidade

valendo-se de uma função quadrática dos retornos. Porém é censo comum afirmar (evidencias

empíricas) que variações negativas dos retornos dos ativos tem um peso maior do que

variações positivas, ao passo que a volatilidade associada a um choque negativo é maior do

que a um choque positivo; e é nesse sentido que repousa o caráter assimétrico da volatilidade.

Sendo assim, serão apresentados a seguir, dois modelos que tratam a volatilidade de maneira

assimétrica ao passo que os mesmos têm por conseqüência darem pesos maiores a variações

negativas assim como ocorre na prática

2.3 Modelos EGARCH

Para tentar superar a deficiência dos modelos ARCH e GARCH quanto à assimetria da

volatilidade, Nelson (1991) propôs o modelo EGARCH – modelo de heterocedasticidade

condicional auto regressivo generalizado exponencial – o qual possibilita que choques

Existem diversas variações dos modelos ARCH e GARCH, entretanto analisa-se apenas os modelos

assimétrico EGARCH e TARCH, uma vez que o foco deste trabalho não é fazer uma revisão bibliográfica de

todos modelos que estimam a volatilidade.

assimétricos sejam absorvidos, bem como que se possam assumir parâmetros negativos para

explicar o modelo

O modelo EGARCH é definido por

()

∑∑∑

−

+++=

ijtjt

ttt

111

lnln

γαβα

(2.17)

A especificação logarítmica impede que a variância seja negativa e o parâmetro

ajusta a assimetria dos efeitos. Se 0

, então um choque positivo tem o mesmo efeito na

volatilidade que um choque negativo de mesmo tamanho; sendo o impacto nesse caso

simétrico. Porém, caso o parâmetro

seja negativo, chama-se o efeito do choque assimétrico

como efeito alavancagem.

Um ponto que não pode ser esquecido, é que as raízes do polinômio

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∑

devem estar fora do círculo unitário afim que a variância seja estacionária. E de acordo com

Nelson (1991), a estacionariedade estrita é dada se

∑

∞<

. Ainda, segundo Nelson

(1991), a melhor forma de se estimar o EGARCH é supondo-se os erros distribuídos pela

função de Distribuição dos Erros Generalizados, GED:

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

exp

uf (2.18)

Viu-se que nos modelos ARCH e GARCH parâmetros negativos não poderiam compor o modelo o mesmo

devido as restrições impostas.

Quanto à identificação, bem como a estimação do modelo EGARCH, elas seguem os

mesmos critérios apresentados para os modelos ARCH e GARCH.

2.4 Modelos TARGH

As formulações econométricas para captação de impactos assimétricos foram bastante

estudadas, como no caso do EGARCH apresentado anteriormente. Entretanto Zakoian (1994)

propôs o modelo de heterocedasticidade condicional autorregressivo truncado, TGARCH, o

qual é expresso da seguinte forma:

()

∑∑∑

===

−≤−−−

+++=

ktkk

jtj

111

εγεασβσ

(2.19)

onde

()

.d é uma variável “dummy”igual a zero se o erro não satisfaz a condição imposta entre

parênteses, e 1, caso satisfaça.

Glosten, Jagannathan e Runkle (1993) modificaram o modelo, impondo a= 2, que é a

especificação, utilizada no programa Eviews.

O modelo implica um aumento da volatilidade quando notícias ruins, representadas

por

kt+

< 0, são acompanhadas por um coeficiente positivo, isto é, por 0>

. É possível

observar que o modelo GARCH é um caso especial do TGARCH, bastando impor 0

para qualquer k.

Como explicitado anteriormente, como o modelo GARCH é uma variação do

TGARCH, sua estimação bem como identificação se dá pelo mesmo procedimento ilustrado

para o ARCH e GARCH.

2.5 Teste BDS (Brock, Dechert & Scheinkman)

Este teste foi proposto por Brock, Dechert & Scheinkman em 1996, o qual visa

identificar se as variáveis aleatórias que compõem uma série são IID – independentes e

identicamente distribuídas. Conforme Fernandes e Premont (2003), o BDS apresenta um alto

poder contra uma variedade de modelos lineares, não lineares e não estacionários.

O teste BDS é derivado da medida conhecida como correlação integral, na qual se

correlaciona dois pontos dispersos no espaço m – dimensional, No contexto de séries de

tempo,

X ,será tratada como um vetor

(

)

,.......,

+−−

mttt

XXXX . A correlação integral

teórica será:

() ( )

(

)

(

)

vdFudFvuImC

ςς

,,,

∫∫

= (2.20)

sendo que a função indicadora

(

)

.I é 1 quando

<− vu , e zero,caso contrário;

(

)

F é a

função distribuição de

X , ela indica a distribuição das m- observações consecutivas.

Adicionalmente, Brock, Dechert & Scheinkman (1996) demonstraram que a estatística

generalizada:

()

()( )

(

)

∑

≤

+−−

XXI

mTmT

tmC

ςς

,, (2.21)

é um estimador consistente de

(

)

mC ,

. Conforme Serfling (1980 apud Fernandes &

Preumont, 2003) a utilização de uma estatística vinculada ao fato de que esta apresenta

mínima variância quando comparamos com todos os outros estimadores não viesados,

converge rapidamente para a normalidade.

Se o processo

X é IID, então

()

∏

−

XFXF , e

()()

CmC 1,,

ςς

= quase

certamente. Esta relação é utilizada para construir o seguinte teste a fim de detectar os desvios

da propriedade IID.

()

(

)

()

1,0~

,1,,,

,, N

TCTmC

TTmBDS

ςσ

ςς

−

= (2.22)

sendo que

()

Tm,,

é uma função não trivial da correlação integral.

O teste BDS, será estimado via o software Eviews 5.0, dessa forma, no output do

resultado, caso o p-valor seja inferior a 5% , rejeita-se a hipótese nula de que as séries sejam

IID.

Após esta apresentação acerca dos modelos determinísticos paramétricos da

volatilidade, apresentaremos no próximo capítulo uma forma não paramétrica de se estimar a

volatilidade das séries. Sendo que a grande diferença entre as formas de se estimar a

volatilidade apresentadas nessa dissertação, está no aspecto que na estimação não-paramétrica

não há necessidade de se supor qual distribuição os retornos seguem.

3 Estimação Não Paramétrica

A motivação para trabalhar-se com a estimação não paramétrica pode ser sintetizada

na seguinte frase:

“.....trabalhar com modelos não paramétricos ao invés dos paramétricos

se apresenta quando o pesquisador não possui conhecimento suficiente sobre o

processo gerador explicativo, permitindo desta forma que os dados falem por si

mesmos...”(Santos, 2008 pg 35)

Segundo Ziegelmann (2002), modelos não paramétricos são caracterizados por conter

uma ou mais funções desconhecidas e por não apresentarem espaço paramétrico de dimensão

finita. Existem os modelos semi-paramétricos os quais se caracterizam por serem compostos

por uma ou mais funções desconhecidas, e por terem um espaço paramétrico desconhecido

com dimensão finita. Por fim, os modelos paramétricos, explicitados no capítulo anterior,

caracterizam-se por possuírem apenas o espaço paramétrico de dimensão finita como uma

estrutura desconhecida.

Dessa forma, nos deparamos com um dilema, uma vez que a principal vantagem do

modelo não paramétrico repousa no aspecto de minimizar o erro de especificação do modelo,

entretanto essa maior flexibilidade na hora de definir o modelo gera alguns custos como:

convergência mais lenta, perda do poder de extrapolação e o problema de dimensionalidade.

Neste trabalho, será utilizado, o método de Suavização de Kernel para modelar as estruturas

explicativas. Para tanto, podem ser encontradas referências desse modelo nos trabalhos de

Ziegelmann (2002), Fan e Gilbels(1996) e Fan e Yao(2003).

Neste capítulo, será apresentado os principais pontos para a estimação não

paramétrica. Adicionalmente, se apresentará a função núcleo e o estimador de Nadaraya –

Watson. Por fim, apresentaremos os modelos aditivos os quais serão utilizados para

estimarmos a volatilidade das séries do IBOVESPA e do ativo PETR4.

3.1 Introdução

A estimação não paramétrica via Função Núcleo desenvolveu-se nos estudos das

densidades. Esses estudos possibilitaram o desenvolvimento da estimação via função núcleo,

pois se sabia que a função de distribuição empírica era o melhor estimador para a função de

distribuição desconhecida; entretanto no estudo das densidades essa associação não poderia

ser realizada diretamente; sendo este o fato gerador das funções núcleo.

Definição 3.1.1 ( Distribuição Empírica ).

Seja

{}

XXX ,....;

uma amostra aleatória de

F . O estimador empírico de

F é

dado por:

()

∑

∞−

∈

∀

(3.1)

Como o estimador

não é diferenciável (nos pontos amostrais), não podemos

utilizá-lo para estimar a densidade de X. Dessa forma, será utilizado um estimador alternativo

a (3.1) o qual é descrito por

()

[]

()

∑

∈

∀

(3.2)

Sendo este um estimador empírico de

f . Entretanto, mesmo na utilização desse

estimador alternativo, incorremos em um conflito, uma vez que a probabilidade do evento

[]

= ocorrer é nula, caso

X seja uma variável aleatória contínua. Mediante isso,

reescreveremos (3.2) como,

()

[]

()

[]

() ()

∑∑∑

===

−=−==

iix

xXK

111

(3.3)

onde

()

[]

()

.1.

K . Após essa flexibilização da fórmula; utilizando (3.3), com

propriedades de regularidades mais desejáveis, cria-se uma família de estimadores cujos

desempenhos são próximos do ótimo.

Definição 3.1.2 (estimador de Densidade)

Seja

{}

XXX ,....;

uma amostra aleatória da distribuição

(

)

∫

fF . O estimador

por função – núcleo de

f é dado por:

() ()

∑

−=

xXK

, (3.4)

onde

()

.K é uma função conhecida, intitulada função núcleo.

Todavia, para que o estimador definido pela função (3.4) tenha propriedades que

respeitem nossos interesses, devemos restringi-lo a funções

()

.K que respeitem as

propriedades de regularidade que serão apresentadas na seção posterior.

3.2 Restrição nas Funções Núcleos

Sendo a função

()

.−

XK interpretada como o peso de cada variável aleatória sob o

estimador de densidade, num ponto específico de

∈

; faz sentido que a função

(

)

.K seja

simétrica, tal que as variáveis localizadas na mesma distância de x tenham o mesmo peso na

estimativa da densidade empírica de x. Para tanto, toma-se como premissas básicas que a

função núcleo satisfaça os seguintes axiomas:

()

∫

∞

∞−

dxxK (3.5) Continuidade

e, como conseqüência o da simetria, que

()

∫

∞

∞−

dxxxK (3.6)

Para tanto, vide o quadro 1 abaixo, o qual ilustra alguns exemplos de funções núcleos

para casos conhecidos

Quadro 1 – Funções Núcleos

Segundo Cleveland e Loader (1996a, p. 11) e Loader (1999, p. 23) esta função deve ser

contínua, simétrica, com maior peso em torno de x

e decrescente a medida em que x se afasta de

. Dentre as escolhas possíveis, destacam-se as funções retangular, tri-cúbica, de Epanechnikov e

a normal ou Gaussiana.

3.3 Parâmetro de Suavização

Adicionalmente, para gerar maior flexibilização da estimativa

f , um novo parâmetro

será introduzido, sendo esse responsável por quantificar a escala

ou grau que cada variável

aleatória influenciará na definição da estimativa. A nova função é descrita por:

() ()

∑∑

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

xXK

(3.7)

onde

()

(

)

. = . O parâmetro h , conhecido como parâmetro de suavização ou de

alisamento, influencia diretamente o peso dado a cada estimativa de x para definição da

estimativa para

(

)

. Dessa forma, utilizando-se um parâmetro h “grande”, observações

mais afastadas de x passarão a influenciar mais a estimativa de

(

)

, enquanto que quanto

menor o

h , mais influência terão as variáveis mais próximas de x. Segundo Ziegelmann

(2002), quanto maior for o parâmetro de suavização, mais suave torna-se a função de

densidade, sendo assim mais plana e regular; já quanto menor o parâmetro, mais detalhada e

irregular a função fica. Esse detalhamento ou suavização da densidade é acarretada pela

O quanto de informação o dado carregará para definição da densidade; ou de outra maneira, indicará a

vizinhança de dados para determinação do modelo.

influência do parâmetro

h junto ao núcleo da função escolhida, para melhor apreciação vide

gráfico 2

Gráfico 2: exemplificação dos parâmetros de suavização.

Nota-se que o gráfico 2 mostra estimativas de regressão local para diferentes valores

de h. Conforme dito por Ziegelmann (2002), quando h = 0,1 se obtém uma função muito

mais detalhada em comparação a utilização de h = 1. Todavia, para esta função, o h que

melhor captura a real curva das variáveis X e Y é o 0,25 já que a curvatura da função expressa

com exatidão a distribuição das variáveis pré definidas. Segundo Clevand e Loader (1996), o

grande objetivo na definição do h* é produzir uma estimativa que não distorça a relação de

dependência das variáveis envolvidas na função.

Por fim, o parâmetro

h * define o número “real”de observações que serão utilizadas na

composição da estimativa de cada

(

)

3.3.1 Formas de definir-se o h*

A literatura é rica quanto a formas de definir-se o h que melhor expressa a relação de

dependência das variáveis envolvidas. Neste trabalho, será apresentado um breve resumo das

pesquisas realizadas por Loader (1995 e 1999) as quais discutem dois métodos diferentes de

definição do h*.

Loader concluiu que a definição do h* pode ser divida em dois grupos: os que utilizam

o critério de informação e cross validation para definir o h*, e os que utilizam aproximação

via séries de Taylor para definição do parâmetro de suavização ótimo.

3.3.1.1 Critério de Informação e Validação Cruzada.

Estes métodos caracterizam-se por também serem utilizados na estimação da regressão

paramétrica. Dessa forma, estes métodos consistem em se usar alguma medida de aderência

para chegar-se ao parâmetro ótimo. Segundo Santos (2008), o principio básico da validação

cruzada é “prever cada valor da resposta

Y , do restante dos dados, isto é, deixando-se um

dos pontos da amostra de lado para validação do modelo e utilizando-se as observações

restantes para sua estimação” (pg 42. Santos 2008).

Observando-se a função da validação cruzada,

() ( ){}

∑

−

−=

tthT

XmYThCV

(3.8)

deduz-se que o h* será aquele valor que minimizar a função 3.8, já que esta muito se parece

com a equação dos betas de uma regressão paramétrica onde

(

)

∗

hCV .

Quanto à utilização do Critério de informação para definição do parâmetro ótimo de

suavização, entende-se que quanto maior for a estatística oriunda da utilização do h melhor

será o modelo, visto que os critérios de Akaike e Schwarz dizem que quanto maior em

módulo for a estatística gerada na utilização desse parâmetro melhor é o modelo.

3.3.1.2 Seletores Anexos (Plug- in)

Flexibilizando-se a equação do erro em média quadrática Via expansão de Taylor,

temos

()

[]

()

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∫

dxxfxmT

dxx

kCh

(3.9)

Segundo Ziegelmann (2002), a intenção é usar a expressão 3.9 como seletor de

janela, mas como existem alguns termos desconhecidos os mesmos precisam ser estimados. O

método “direct plug in” consiste em estimar os termos desconhecidos de 3.9 e substituir os

mesmos por suas estimativas.

3.4 Estimador de Nadaraya-Watson

Para analisar a interação de um conjunto de dados IID, neste caso (X, Y), cujo

tamanho da população seja

n ,

(

)

{

}

, define-se que a esperança condicional desse

conjunto seja assim apresentada:

()

xXYE =/ (3.10)

e adicionalmente, deseja-se modelar a relação entre as variáveis que compõem esse conjunto

como:

()

iiii

XYEY

+= / , ni ,.....2,1

(3.11)

onde

é o erro amostral de cada observação,

Definindo

()

xm como a representação de

(

)

xXYE

/ e supondo-se que o conjunto

composto por X e Y seja contínuo; temos:

() ()

(

)

()

∫∫

xXY

yxf

ydyyyfxm

(3.12)

Para melhor apreciação vide Santos (2008).

Utilizando-se o método Plug - In, apresentado anteriormente

chegamos:

()

∫

yxf

yxm

(3.13)

conforme visto em 3.7, definiu-se um estimador ótimo para

(

)

, agora será definido, um

estimador ótimo para

()

YXf , utilizando-se o parâmetro de suavização. Dessa forma,

utilizando-se o raciocínio análogo, chegamos:

()

()()

∑

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

ihih

yYKxXK

yxf

(3.14)

onde

()

(

)

. = . Substituindo 3.7 e 3.14 em 3.13, temos:

()

∫

yxf

(3.15.1)

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∫

∑

KxXK

(3.15.2)

()

∑

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

yKxXK

(3.15.3)

através da transformação de variáveis

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

e lembrando que os axiomas necessários

para a função

()

.K é que ela seja simétrica e possua norma 1, dessa forma;

Substituindo-se as funções desconhecidas por suas estimativas 3.11.

()

()()

∑

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

dyvyKxXK

= (3.16)

()

∑

−

iih

xXK

YxXK

(3.16.1)

sendo que a equação 3.16.1 expressa o estimador de Nadaraya – Watson.

Podemos reescrever a equação 3.16.1 por

() ()

∑

iin

YxW

(3.17)

onde

()

∑

−

xXK

xXnK

(3.18)

Nota-se que o estimador de Nadaraya - Watson descrito na equação 3.17, nada mais é

que a média ponderada das n observações de Y pela seqüência de pesos definidas por

3.5 Modelos Aditivos

Os modelos aditivos são uma generalização dos modelos de regressão lineares, os

quais foram estudados por Hastie & Tibshirani (1990). Enquanto, nos modelos de regressão

linear múltipla a função de regressão é tida como linear, e dessa forma, aditiva nas variáveis

explicativas; nos modelos aditivos, o pressuposto de linearidade é abandonado, mas a forma

aditiva é mantida. Sendo assim, conforme Hastie & Tibshirani (1990), o principal insight

desenvolvido pelos modelos aditivos repousa no aspecto de permitir que os componentes de

regressão linear assumam formas não paramétricas.

Segundo Fan & Gijbels (1996), o modelo aditivo é definido por:

()

∑

++=

XgY

εα

(3.19)

onde

gggj ,.....,

= são funções univariadas desconhecidas. Segundo Hastie & Tibshirani

(1990) para evitar a existência de constantes livres, e por conseqüência, garantir a

identificabilidade do modelo se faz necessário a seguinte restrição:

(

)

{

}

,0=

XgE dj ,.....,1

(3.20)

fato, este que impõe:

()

=YE (3.21)

o que caracteriza que esse modelo pode ser encarado como um mecanismo para redução da

dimensão.

Ainda segundo Fan & Gijbels (1996), quando o modelo aditivo é válido, tem - se;

()

kjj

XgXXgYE =

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−−

∑

≠

dk ,....1

(3.22)

O que implica no surgimento de um algoritmo o qual permite calcular de maneira

independente e univariada cada função de

gg ,.....,

. Esse algoritmo independente é

conhecido por Backfiting Algorithm; o qual será brevemente apresentado abaixo.

3.5.1 Backfiting Algorithm

Esse procedimento consiste em através da regressão inicial, calcular os resíduos

parciais desta e regredir novamente. O procedimento de Backfiting Algorithm segue os

seguintes passos:

1) Inicialização:

∑

−

gg = , dk ,....,1

2) Para cada

dk ,....,1= , obter

()

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−−=

∑

=kj

kjjkk

XXgYSg /

^^^

e obter

()

g .

3) Manter rodando até o segundo passo convergir.

Por fim, conclui-se que os modelos aditivos superam o problema de dimensionalidade,

devido ao sistema de ajuste ser construído a partir de suavizadores univariados (Ziegelmann

,2002). Adicionalmente, espera-se que o Backfiting Algorithm gere estimativas que sejam as

melhores aproximações aditivas à superfície de regressão.

Com o objetivo de sintetizar tudo que foi apresentado sobre modelos aditivos em uma

frase, temos:

“....nos modelos aditivos, podemos verificar a contribuição individual de cada

variável em predizer a resposta.” (Kirchner, Souza & Zielgelmann, pg 4)

3.5.2 Modelos Aditivos de Volatilidade

De acordo com o exemplo sugerido por Ziegelmann (2002), no qual volatilidade é

descrita por modelos aditivos, tem - se:

() ( )

∏

−

itit

XgX

(3.23)

sendo que o mesmo pode ser reescrito por:

() ( )

∑

−

loglog

itit

XgX

(3.24)

sendo a expressão (3.24) a representação do modelo aditivo para o log da volatilidade.

Conforme explicitado anteriormente, utilizamos o procedimento de Backfiting Algorithm para

gerarmos as melhores aproximações aditivas à superfície da regressão.

Entretanto, nada foi dito sobre como identificar o melhor modelo aditivo para estimar-

se a volatilidade das séries de ativos a serem utilizadas nesse trabalho. Sendo assim, na seção

posterior, serão apresentadas duas formas para efetuarmos esse procedimento de

identificação.

3.5.3 Identificação dos Modelos Aditivos

Segundo Hastie & Tibshirani (1990), uma forma de se realizar a inferência quanto a

identificação dos modelos aditivos é a utilização da soma dos quadrados dos resíduos e seus

graus de liberdade aproximados como mecanismo de auxílio na escolha dos modelos.

A partir do modelo aditivo

;

()

∑

++=

ijiji

Xgy

εα

, (3.25)

a soma dos quadrados dos resíduos pode ser definida como:

∑

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

yySQR

(3.26)

onde

y denota o valor ajustado através da avaliação do modelo na observação

x .

Como, em cada passo do procedimento de Backfiting Algorithm, uma matriz de

suavização está envolvida, a qual é definida por

S , podemos

representar o modelo aditivo

Exemplo proposto por Santos (2008)

ajustado para cada observação como

, onde

denota o vetor de respostas observadas.

Dessa forma segundo Bowman & Azzalini (1997), os graus de liberdade utilizados no modelo

podem ser calculados via utilização da última matriz, neste caso

S . Por fim, tem-se uma

estimativa a ser utilizada como o número de graus de liberdade da especificação do modelo.

Adicionalmente, a estimativa dos graus de liberdade são obtidos através do traço da matriz de

suavização

S .

A comparação entre modelos alternativos podem ser efetuadas através de um teste F

aproximado ou a partir de um critério de informação aproximado de Akaike (AIC).

O teste F aproximado é especificado da seguinte maneira:

(

)

(

)

res

resres

dfSQR

dfdfSQRSQR

1212

−−

(3.27)

esse teste baseia-se no teste F para comparação de modelos paramétricos. Entretanto, no que

diz respeito à distribuição a seguir para apuração dos valores, não pode-se realizar a mesma

analogia ao teste F original, ao passo que Hastie & Tibshirani (1990) sugerem que ao menos

alguma aproximação pode ser feita mediante as estimativas de

(

)

resres

dfdf

− e

res

como os graus de liberdade a serem utilizados.

A outra forma de compararmos os modelos aditivos é pelo critério de informação

aproximado de Akaike (AIC), sendo este utilizado para comparação dos modelos alternativos

ou ,como especificado anteriormente, para definição do parâmetro de suavização ótimo.

O critério de informação é descrito por:

ndfnyDAIC

φμ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(3.28)

As linhas da matriz

S consistem nos pesos que foram utilizados na estimação de cada

x .

onde os graus de liberdade ,

(

)

Strdf = , tornam o AIC assintoticamente não viesado.

Desta forma, neste capítulo procurou-se apresentar a metodologia necessária para a

estimação dos modelos não paramétricos. Com isso, no capítulo 4 realizaremos a estimação

da volatilidade do Índice IBOVESPA, bem como do ativo PETR4 pelos métodos

paramétricos e não paramétricos com o objetivo de respondermos o seguinte questionamento:

Será que conseguiremos comprovar a existência da correlação entre a volatilidade do IBO

VESPA com o ativo PETR4 e vice versa? Adicionalmente, tentaremos desmistificar

qual método de estimação é mais eficiente para esses casos.

4. Estimação dos Modelos

Neste capítulo, se estimará a volatilidade de forma paramétrica e não paramétrica de

duas séries financeiras de alta representatividade para o mercado de capitais brasileiro. As

séries são o Índice IBOVESPA e o ativo PETR4, o qual é o mais negociado na bolsa de

capitais de São Paulo. Nossa amostra é composta por 3576 observações, sendo o período de

análise compreendido entre 01 de Julho de 1994 a 31 de Dezembro de 2008.

Frisa-se, que a série do IBOVESPA, foi coletada do site “br.finance.yahoo.com

”,

enquanto que os preços diários do ativo da Petrobrás foram coletados no próprio site da

empresa; www.petrobras.com.br.

Dessa forma, na primeira seção deste capítulo, serão apresentados os dados, para os

quais será realizado uma breve reflexão, e após, se efetuará, todos os procedimentos

econométricos para a estimação da volatilidade de ambas as séries.

4.1 Apresentando as Séries

Essas duas séries foram selecionadas como nossas amostras de estudo, uma vez que o

objetivo principal desse trabalho é demonstrar que a volatilidade do Índice IBOVESPA é

altamente influenciada pela volatilidade do ativo PETR4

. Observando-se os gráficos

individuais da oscilação dos preços de fechamentos do ativo PETR4 bem como do

IBOVESPA tem-se,

Gráfico 3 - Preços de Fechamento PETR4

A idéia central, é demonstrar que o ativo PETR4, representa por quase a totalidade da variação índice

IBOVESPA.

Gráfico 4 – Valor de Fechamento do IBOVESPA

Onde nota-se uma forte simetria das variações, entretanto para facilitar a análise,

verifiquemos o Gráfico 5 o qual traz as séries sobrepostas uma a outra;

Gráfico 5 – Variação IBOVESPA x PETR4

Fica visível que a tendência de ambas as séries é praticamente a mesma, embora o

IBOVESPA sofra maiores oscilações.

IBOV x PETR4

10.000,00

20.000,00

30.000,00

40.000,00

50.000,00

60.000,00

70.000,00

80.000,00

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7420752076207720782079208020812082208320842085208620872088208920902091209220932094209520962097209820992100210121022103210421052106210721082109211021112112211321142115211621172118211921202121212221232124212521262127212821292130213121322133213421352136213721382139214021412142214321442145214621472148214921502151215221532154215521562157215821592160216121622163216421652166216721682169217021712172217321742175217621772178217921802181218221832184218521862187218821892190219121922193219421952196219721982199220022012202220322042205220622072208220922102211221222132214221522162217221822192220222122222223222422252226222722282229223022312232223322342235223622372238223922402241224222432244224522462247224822492250225122522253225422552256225722582259226022612262226322642265226622672268226922702271227222732274227522762277227822792280228122822283228422852286228722882289229022912292229322942295229622972298229923002301230223032304230523062307230823092310231123122313231423152316231723182319232023212322232323242325232623272328232923302331233223332334233523362337233823392340234123422343234423452346234723482349235023512352235323542355235623572358235923602361236223632364236523662367236823692370237123722373237423752376237723782379238023812382238323842385238623872388238923902391239223932394239523962397239823992400240124022403240424052406240724082409241024112412241324142415241624172418241924202421242224232424242524262427242824292430243124322433243424352436243724382439244024412442244324442445244624472448244924502451245224532454245524562457245824592460246124622463246424652466246724682469247024712472247324742475247624772478247924802481248224832484248524862487248824892490249124922493249424952496249724982499250025012502250325042505250625072508250925102511251225132514251525162517251825192520252125222523252425252526252725282529253025312532253325342535253625372538253925402541254225432544254525462547254825492550255125522553255425552556255725582559256025612562256325642565256625672568256925702571257225732574257525762577257825792580258125822583258425852586258725882589259025912592259325942595259625972598259926002601260226032604260526062607260826092610261126122613261426152616261726182619262026212622262326242625262626272628262926302631263226332634263526362637263826392640264126422643264426452646264726482649265026512652265326542655265626572658265926602661266226632664266526662667266826692670267126722673267426752676267726782679268026812682268326842685268626872688268926902691269226932694269526962697269826992700270127022703270427052706270727082709271027112712271327142715271627172718271927202721272227232724272527262727272827292730273127322733273427352736273727382739274027412742274327442745274627472748274927502751275227532754275527562757275827592760276127622763276427652766276727682769277027712772277327742775277627772778277927802781278227832784278527862787278827892790279127922793279427952796279727982799280028012802280328042805280628072808280928102811281228132814281528162817281828192820282128222823282428252826282728282829283028312832283328342835283628372838283928402841284228432844284528462847284828492850285128522853285428552856285728582859286028612862286328642865286628672868286928702871287228732874287528762877287828792880288128822883288428852886288728882889289028912892289328942895289628972898289929002901290229032904290529062907290829092910291129122913291429152916291729182919292029212922292329242925292629272928292929302931293229332934293529362937293829392940294129422943294429452946294729482949295029512952295329542955295629572958295929602961296229632964296529662967296829692970297129722973297429752976297729782979298029812982298329842985298629872988298929902991299229932994299529962997299829993000300130023003300430053006300730083009301030113012301330143015301630173018301930203021302230233024302530263027302830293030303130323033303430353036303730383039304030413042304330443045304630473048304930503051305230533054305530563057305830593060306130623063306430653066306730683069307030713072307330743075307630773078307930803081308230833084308530863087308830893090309130923093309430953096309730983099310031013102310331043105310631073108310931103111311231133114311531163117311831193120312131223123312431253126312731283129313031313132313331343135313631373138313931403141314231433144314531463147314831493150315131523153315431553156315731583159316031613162316331643165316631673168316931703171317231733174317531763177317831793180318131823183318431853186318731883189319031913192319331943195319631973198319932003201320232033204320532063207320832093210321132123213321432153216321732183219322032213222322332243225322632273228322932303231323232333234323532363237323832393240324132423243324432453246324732483249325032513252325332543255325632573258325932603261326232633264326532663267326832693270327132723273327432753276327732783279328032813282328332843285328632873288328932903291329232933294329532963297329832993300330133023303330433053306330733083309331033113312331333143315331633173318331933203321332233233324332533263327332833293330333133323333333433353336333733383339334033413342334333443345334633473348334933503351335233533354335533563357335833593360336133623363336433653366336733683369337033713372337333743375337633773378337933803381338233833384338533863387338833893390339133923393339433953396339733983399340034013402340334043405340634073408340934103411341234133414341534163417341834193420342134223423342434253426342734283429343034313432343334343435343634373438343934403441344234433444344534463447344834493450345134523453345434553456345734583459346034613462346334643465346634673468346934703471347234733474347534763477347834793480348134823483348434853486348734883489349034913492349334943495349634973498349935003501350235033504350535063507350835093510351135123513351435153516351735183519352035213522352335243525352635273528352935303531353235333534353535363537353835393540354135423543354435453546354735483549355035513552355335543555355635573558355935603561356235633564356535663567356835693570357135723573357435753576

IBOVESPA_CLOSE

PETR4_CLOSE

Dando-se continuidade ao trabalho, se definirá o real significado do Índice

IBOVESPA.

4.1.1. O que é IBOVESPA?

Conforme a verificado no site da BMF&BOVESPA

, o IBOVESPA é o valor atual,

em moeda corrente, de uma carteira teórica de ações constituída em 02/01/1968 (valor-base:

100 pontos), a partir de uma aplicação hipotética. Supõe-se não ter sido efetuado nenhum

investimento adicional desde então, considerando-se somente os ajustes efetuados em

decorrência da distribuição de proventos pelas empresas emissoras (tais como reinversão de

dividendos recebidos e do valor apurado com a venda de direitos de subscrição, e manutenção

em carteira das ações recebidas em bonificação). Dessa forma, o índice reflete não apenas as

variações dos preços das ações, mas também o impacto da distribuição dos proventos, sendo

considerado um indicador que avalia o retorno total de suas ações componentes. Sendo que a

carteira teórica do IBOVESPA é formada pelas ações que atenderam cumulativamente aos

seguintes critérios, com relação aos doze meses anteriores à formação da carteira: i) estar

incluída em uma relação de ações cujos índices de negociabilidade somados representem 80%

do valor acumulado de todos os índices individuais; ii) apresentem participação, em termos de

volume, superior a 0,1% do total; iii) ter sido negociada em mais de 80% do total de pregões

do período. Dentro dessa metodologia, a cada quadrimestre a carteira teórica do IBOVESPA é

reavaliada, visando manter a sua representatividade ao longo do tempo. Em tais reavaliações,

identificam-se as alterações na participação relativa de cada ação no índice, bem como sua

permanência ou exclusão, além é claro, das novas inclusões. Vale destacar que as ações que

não atenderem simultaneamente a dois dos três critérios definidos para a inclusão são

excluídas do IBOVESPA. A carteira teórica tem vigência de quatro meses, vigorando para os

períodos janeiro-abril, maio- agosto e setembro-dezembro.

Um ponto que dever ser ressaltado é que o ativo PETR4 compõe o IBOVESPA,

todavia, não podemos considerar que apenas um ativo possua tamanha capacidade de

influenciar um índice composto por mais de 150 ativos das mais diversas companhias

brasileiras.

www.bovespa.com.br

Por fim, pode-se verificar no gráfico 6 os retornos diários

do IBOVESPA para o

período de análise,

-.2

-.1

94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08

VARIACAO_IBOV

Gáfico 6 – Retornos diários IBOVESPA

onde se not, cluster`s

de volatilidade acentuados no final de 1994 em decorrência da

implementação do plano Real e também influenciada pela Crise no México; no anos de 1997

,1998 e inicio de 1999 com a chamada crise dos Tigres Asiáticos e com a crise na Rússia, e

entre 2007 e 2008 com a crise do Sub-prime.

4.1.2 Variações Petr4 x Preço do Petróleo

Analisando-se as cotações do ativo PETR4, em comparação com o preço do Brent

, o

qual está expresso em R$, notamos uma forte simetria das variações.

Como definido no capítulo 2, consideramos o retorno de uma série como:

() ( )

lnln

−

tty

PPX

Agrupamentos, momentos de alta volatilidade.

Brent, nada mais é que petróleo cru.

100

120

140

160

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

PETR4_CLOSE PRECO_PETROLEO

Gráfico 7 – PETR4 x Preço do Brent

Adicionalmente, realizando-se uma análise criteriosa do gráfico notamos que o valor

do ativo da PETR4, segue a mesma tendência das variações dos preços do petróleo. Frisa-se

que essa tendência era esperada, uma vez que o petróleo é uma commodity com alta demanda

mundial, e por se tratar de um bem cuja fonte é esgotável, em períodos de menores ofertas,

seu preço sofre forte variação e as ações das empresas “produtoras” de petróleo sofrem essa

influência. Períodos como a Guerra do Golfo (não compreendido nesse trabalho), bem como a

invasão norte americana no Afeganistão, impactam positivamente no preço do Brent, uma vez

que nesses episódios a oferta do bem poderia sofrer alguma pressão e consequentemente, seu

preço internacional aumenta o que impacta diretamente nas cotações das empresas

petrolíferas.

Neste trabalho, entretanto não se acredita que o impacto de uma variação dos preços

do petróleo afete na mesma grandeza os preços dos ativos das empresas petrolíferas, já que

fatores externos podem sustentar os ativos das empresas, por exemplo, como a descoberta de

poços da camada pré-sal realizadas pela Petrobrás entre Junho e Julho de 2008, em meio a

crise do sub-prime.

Para corroborar com a análise gráfica, realizou-se um teste de correlação entre o Preço

do Brent e a cotação da Petr4, chegando-se ao seguinte resultado:

Quadro 2 – Correlação entre o preço do Brent x Cotação PETR4

Conforme a tela do software estatístico EViews 5.0, nota-se que a correlação entre as duas

variáveis é de 0,96, de um total de 1; o que vem a validar a interpretação executada no grádico

7, que preço do Brent tem forte influência sobre os ativos das empresas petrolíferas, neste

caso, na Petrobrás.

Dessa forma, na próxima seção desse trabalho, serão apresentadas as características

estatísticas das duas séries utilizadas nessa dissertação.

4.2 Características Estatísticas das Séries (análise quantitativa dos dados)

Nesta seção do trabalho, será demonstrado via gráficos e testes estatísticos quais as

principais características

das séries do PETR4 e IBOVESPA no período de análise.

Salienta-se que nossa amostra é composta por 3576 observações, as quais compreendem o

período histórico de 01 de Julho de 1994 a 31 de Dezembro de 2008.

4.2.1 IBOVESPA

Observando-se o histograma da série dos retornos diários do IBOVESPA conclui-se:

400

800

1200

1600

-0.1 -0.0 0.1 0.2 0.3

Series: VARIACAO_IBOV

Sample 1 3576

Observations 3576

Mean 0.000657

Median 0.001390

Maximum 0.288325

Minimum -0.172082

Std. Dev. 0.024500

Skewness 0.445079

Kurtosis 14.53337

Jarque-Bera 19937.83

Probability 0.000000

Gráfico 8 – Histograma Retornos Diários IBOVESPA

que os retornos não seguem uma distribuição normal, já que se analisando o coeficiente de

Curtose

da série identifica-se que o valor é de 14,53, sendo que o coeficiente de uma série

normal é próximo de 3. Adicionalmente, verifica-se que a estatística do teste de Jarque-Bera,

o qual detém como hipótese nula de a série ser normalmente distribuída, é rejeitada uma vez

que seu p-valor é igual a zero. Ainda na análise dos retornos diários do IBOVESPA, nota-se

via gráfico dos quantis, as caudas pesadas da série, fato este que vem a corroborar com a

conclusão dos retornos não serem normalmente distribuídos. Adicionalmente, identificou-se

que a distribuição dos retornos diários do IBOVESPA possui uma maior concentração para

Entende-se como principais caracteristicas os seguintes aspectos: Histograma das séries, teste BDS, desvio

padrão, coeficiente de curtose e assimetria e teste de Jaque – Bera.

No gráfico, está descrito em inglês como”Kurtosis”.

retornos negativos, o que indicará que um modelo heterocedástico, que capte o efeito da

assimetria, seja o mais indicado.

Gráfico 9 – Plot Q – Q Retornos diários IBOVESPA.

Em continuidade com a bateria de testes, realizou-se o teste BDS, a qual, conforme

explicitação no capítulo 2, busca identificar se a série é IID. Entretanto, percebe-se que a série

sofre correlação serial, ao passo que o teste BDS, com certeza rejeitará a hipótese nula de que

a série seja IID.

Quadro 3 – Output teste BDS Eviews 5.0

Conforme output do teste fica evidenciado que a série sofre com algum tipo de

dependência, uma vez que os p-valores para todas as dimensões do teste são iguais a zero, o

que leva a aceitar a hipótese alternativa de que a série não é IID.

Agora, analisando-se as estatísticas provenientes dos retornos ao quadrado do

IBOVESPA, encontra-se:

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0.000 0.025 0.050 0.075

Series: RIBOV

Sample 1 3576

Observations 3576

Mean 0.000601

Median 0.000161

Maximum 0.083131

Minimum 0.000000

Std. Dev. 0.002212

Skewness 20.89257

Kurtosis 651.3791

Jarque-Bera 62899075

Probability 0.000000

Gráfico 10 – Histograma Retornos diários ao quadrado do índice IBOVESPA

Claramente, a série não é normalmente distribuída, como indica o teste de Jarque –

Bera.

E validando o conceito de Engle (1982), sobre os modelos de heterocedasticidade

condicional, realizou-se o correlograma dos retornos ao quadrado do IBOVESPA,

comprovando a correlação serial entre os retornos:

Quadro 4 - Correlograma dos Retornos diários ao Quadrado do IBOVESPA

Para tanto, vide que as barras das funções de autocorrelação e de auto -correlação

parcial, transpõem o limite máximo o que indica que série sofre de correlação serial.

Esse resultado sustenta a utilização dos modelos de heterocedasticidade condicional

para melhor estimação da volatilidade da série.

4.2.2 PETR4

Efetuando-se a mesma análise executada para a série do IBOVESPA, temos as

seguintes características sobre a série dos retornos diários do ativo PETR4:

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

-0.2 -0.1 -0.0 0.1 0.2

Series: VARIACAO_PETR4

Sample 1 3576

Observations 3576

Mean 0.000990

Median 0.000000

Maximum 0.234840

Minimum -0.208001

Std. Dev. 0.029695

Skewness -0.058924

Kurtosis 9.219163

Jarque-Bera 5765.091

Probability 0.000000

Gráfico 11 – Histograma Retornos Diários PETR4

verifica-se que não se pode assumir que a série seja normalmente distribuída pelo fato das

estatísticas do teste de Jarque-Bera e pelo fato do coeficiente de Curtose negarem essa

suposição. Percebe-se também, que a maior parte dos retornos assumem valores negativos, ao

passo que modelos de heterocedasticidade condicional que captem a assimetria dos retornos

sejam os mais indicados

Para tanto, será apresentado o gráfico dos quantis o qual explicita a cauda pesada dos

retornos diários do ativo PETR4 e a maior presença de retornos negativos.

Vide capitulo 2 da dissertação, sobre os modelos EGARCH E TARCH.

Gráfico 12 – Plot Quantis – quantis dos Retornos diários do PETR4

E verificando-se o correlograma dos retornos diários;

Quadro 5 – Correlograma dos Retornos Diários do PETR4

Encontra-se uma dependência serial entre as variáveis, o que nos leva a determinar um

modelo ARMA

para extinguirmos essa correlação afim de estimarmos a volatilidade de

forma eficiente. Destaca-se que no momento em que se estima um modelo de volatilidade a

série só deve possuir dependência linear em sua variância (retornos ao quadrado), para mais

vide Engle (1982). Como forma alternativa de se demonstrar essa correlação na série dos

retornos diários, observando-se o resultado do teste BDS, nota-se que ele rejeita a hipótese

nula das séries serem IID. O que só vem a corroborar com os outros testes realizados

anteriormente.

Auto Regressivo de Médias Móveis.

Quadro 6 – Resultado teste BDS para os Retornos Diários do Ativo PETR4

Por fim, apenas como forma ilustrativa, pode-se verificar o gráfico dos retornos

diários da PETR4,

-.3

-.2

-.1

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

VARIACAO_PETR4

Gráfico 13 – Retornos Diários PETR4

o qual demonstra que a série é estacionária uma vez que, o gráfico não apresenta nenhuma

tendência de crescimento ou decrescimento e pelo fato de os retornos diários serem calculados

através da diferença dos logaritmos naturais dos preços do ativo(o que por si só é uma forma

de se remover a não estacionaridaade de uma série).

Agora, observando-se o histograma dos retornos diários ao quadrado do ativo PETR4

tem-se;

400

800

1200

1600

2000

2400

2800

3200

0.0000 0.0125 0.0250 0.0375 0.0500

Series: RPETR

Sample 1 3329

Observations 3328

Mean 0.000821

Median 0.000214

Maximum 0.055150

Minimum 0.000000

Std. Dev. 0.002469

Skewness 10.52407

Kurtosis 160.9899

Jarque-Bera 3522664.

Probability 0.000000

Gráfico 14 - Histograma Retornos ao quadrado do ativo PETR4

que os retornos ao quadrado não podem ser considerados distribuídos normalmente, pelos

simples fatos das estatísticas provenientes dos testes de Jarque – Bera e do coeficiente de

Curtose negarem essa característica. Além disso, o histograma indica uma forma bem pouco

parecida com uma distribuição normal, o que só vem a corroborar com os testes.

Verificando-se o correlograma dos retornos diários ao quadrado do PETR4 percebe-se

claramente que os retornos ao quadrado sofrem o problema de correlação serial, o que pode

ser evidenciado através da função de correlação parcial, na qual encontra-se nos três primeiros

lags forte correlação.

Quadro 7 - Correlograma dos Retornos ao quadrado do PETR4

Por fim, observando-se o gráfico dos quantis, fica claro as caudas pesadas da séries

dos retornos ao quadrado, o que vem a somar aos procedimentos anteriores.

Gráfico

15 –Plot Quantis-quantis dos retornos ao quadrado do PETR4

4.3 Estimação da Volatilidade

Nesta seção, se estimará ,de duas formas distintas, a volatilidade das séries utilizadas

neste trabalho. Para tanto, na primeira subseção deste trabalho, apresentaremos os modelos

determinísticos de volatilidade, em que será aplicado os métodos de identificação e de

estimação dos modelos. Já na segunda parte desse capítulo, será estimado a volatilidade das

séries utilizando-se a metodologia não paramétrica de estimação.

Conforme explicitado anteriormente, a grande diferença entre os métodos

paramétricos para os não paramétricos está no fato de que na estimação não paramétrica os

dados falam por si, sendo o que o modelo se ajusta para a melhor especificação e estimação

dos dados, enquanto no modelo paramétrico suposições são necessárias.

4.3.1 Estimação Paramétrcia via Modelos de Heterocedasticidade Condicional

Começando pela série da PETR4, de acordo explicitado na seção 4.2 deste trabalho,

identificou-se que a mesma sofre de autocorrelação serial dos retornos. Sendo assim, deve-se

remover essa estrutura de dependência das series do retorno, para tanto utilizou-se uma

modelo ARMA(3,0), o qual regrediu-se utilizando o sofwatre R. Observando-se o resultado

do sumário da regressão, nota-se que todos os coeficientes associados a essa regressão são

estatisticamente significativos

Quadro 8 – Sumário de Estatísticas do ARMA (3,0) para PETR4

Além disso, observando-se o quadro 8 que traz as estatísticas do teste de Ljung e Box

(1979)

, observa-se que a estrutura auto correlacionada foi dos retornos diários do PETR4,

foi ajustada

Tabela 1 – Estatísticas do teste de Ljung – Box para os Retornos Diários de PETR4

Dessa forma, após o ajuste da correlação serial da série dos retornos diários de

PETR4, pode-se começar a execução dos procedimentos para definição do melhor modelo

heterocedástico condicional para a série do PETR4.

Conforme apresentado no quadro 8, deste trabalho, os retornos diários ao quadrado do

ativo PETR4 apresentam correlação serial, dessa maneira serão apresentados na tabela 2

modelos auto regressivos de heterocedasticidade condicional que removem essa correlação,

sendo que o critério de seleção do modelo será o que detiver maior valor (em módulo) do

coeficiente de AIC

conjuntamente com o maior log de verossimilhança.

Vide Hamilton (2003).

Para um nível de significance de 5%.

Akaike.

# Modelo Distribuição

IC Log Likelihood

1 ARMA(3,0) - ARCH(3) t'student -11,7752 21.044,38

(a)

2 ARMA(3,0) - GARCH(2,0) t'student -11,4466 20.456,38

(b)

3 ARMA(3,0) - GARCH(2,1) t'student -11,798 21.085,09

(b)

4 ARMA(3,0) - GARCH(3,0) t'student -11,4459 20.456,05

(b)

5 ARMA(3,0) - TGARCH(2,0) t'student -11,6724 20.860,78

(b)

6 ARMA(3,0) - TGARCH(2,1) t'student -11,798 21.086,13

(b)

7 ARMA(3,0) - TGARCH(3,0) t'student -11,6732 20.863,27

(b)

8 ARMA(3,0) - TGARCH(3,1) t'student -11,8068 21.102,98

(b)

9 ARMA(3,0) - EGARCH(2,0) t'student -11,7952 21.080,19

(b)

10 ARMA(3,0) - EGARCH(2,1) t'student -11,7958 21.082,13

(b)

11 ARMA(3,0) - EGARCH(3,0) t'student -11,4459 21.091,03

12 ARMA(3,0) - EGARCH(3,1) t'student

-11,8002

21.091,08

13 ARMA(3,0) - EGARCH(2,0) GED -11,9513 21.359,03

(b)

14 ARMA(3,0) - EGARCH(2,1) GED -11,9534 21.363,80

(b)

15 ARMA(3,0) - EGARCH(3,1) GED -11,9469 21.353,05

(b)

Nota

(a)

Entretanto os parâmteros são não significativos estatisticamente.

(b)

Não removeu todo a correlação da série dos retornos ao quadrado

Tabela 2 – Modelos de Heterocedasticidade Condicional para o PETR4

Para remover a correlação serial da série dos retornos ao quadrado, foram rodados 15

modelos, para os quais apenas dois detiveram sucesso em remover a heterocedasticidade da

série. Dessa forma, comparando o coeficiente de informação de cada modelo, conjuntamente

com a estimativa do log de Verossimilhança de ambos modelos, chegamos a conclusão de

selecionar o modelo ARMA(3,0) – EGARCH(3,1), sendo que supomos que a distribuição dos

resíduos é a t’student, a qual é leptocúrtica (caudas pesadas). Cabe salientar, que o modelo

EGARCH consegue captar de forma eficiente o problema de assimetria

, o qual , conforme

Nelson(1991), é chamado de

Leverage.

Sendo assim, a representação do modelo estimado pode ser descrito da seguinte forma:

)3(*132,0)2(*144,0)1(*107,0

)008565,0()0095,0()0073,0(

ARARARy

a qual refere-se a parte ARMA(3,0) do modelo(os números entre parênteses são os desvios

padrões de cada parâmetro), enquanto que a função:

Retornos negativos influem com maior força a volatilidade do que retornos positivos.

()

() () ()

()

305,02117,0

107,0

44,0

22,0)035,0(

*4147,0*858,0

*423,1*239,1117,03519,0

−−

−

+−

++−−=

ttt

hLnhLn

hLn

εε

Refere-se ao modelo EGARCH(3,1).

Todos os coeficientes são significativos, sendo o efeito alavancagem 117,0

−=

. O

quadro abaixo segue o resultado do teste ARCH LM, o qual demonstrará pela aceitação da

hipótese nula que os resíduos dos modelos não são correlacionados serialmente:

Quadro 8 – Teste ARCH LM para os resíduos do ARMA(3,0) EGARCH(3,1)

Adicionalmente, verificando-se o gráfico 16 do plot dos quantis dos resíduos,

-10

-.02 -.01 .00 .01 .02 .03 .04 .05

RESID02

Theoretical Quantile-Quantile

Gráfico 16 – Plot Quantis Resíduos ARMA(3,0) – EGARCH(1,3)

Verifica-se que os resíduos não são distribuídos normalmente. Após apresentação da

estimação da volatilidade para série do PETR4, se apresentará a estimação da série do

IBOVESPA.

Seguindo a mesma ordem de apresentação do modelo para a série do IBOVESPA,

tem-se que devemos remover a correlação serial da série dos retornos diários do IBOVESPA,

para tanto, utilizaremos um modelo ARMA(3,0), o qual gera as seguintes estatísticas:

Call:

arma(x = r.ibov, order = c(3, 0), include.intercept = F)

Model:

ARMA(3,0)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-0.173649 -0.011441 0.001504 0.013609 0.287678

Coefficient(s):

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

ar1 0.03934 0.01671 2.355 0.0185 *

ar2 -0.02988 0.01670 -1.789 0.0736 .

ar3 -0.04081 0.01670 -2.444 0.0145 *

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Fit:

sigma^2 estimated as 0.0005972, Conditional Sum-of-Squares = 2.13, AIC = -16386.62

verifica-se que o parâmetro AR(2) é estatisticamente igual a zero, para p-valor de 5%.

Entretanto, analisando-se as estatísticas provenientes do teste de Ljung – Box, encontra-se que

o problema da correlação serial das séries foi removido com eficiência. Dessa forma, após a

remoção da dependência serial na série dos retornos, ira estimar-se o modelo heterocedástico

que melhor explica a volatilidade da série do IBOVESPA. Observando-se a tabela 3, verifica-

se as estatísticas provenientes do critério de informação de cada modelo, assim como as

estatísticas do teste de log verossimilhança,

# Modelo Distribuição

IC Log Likelihood

1 ARMA(3,0) - ARCH(3) t'student -12,4949 22.330,12

2 ARMA(3,0) - GARCH(2,0) t'student -12,245 21.882,94

3 ARMA(3,0) - GARCH(2,1) t'student -12,548 22.425,05

4 ARMA(3,0) - TGARCH(2,0) t'student -12,4554 22.259,74

5 ARMA(3,0) - TGARCH(2,1) t'student -12,549 22.427,92

6 ARMA(3,0) - TGARCH(2,0) GED/Parâmtero fixo -11,5147 20.578,09

(a)

7 ARMA(3,0) - TGARCH(2,1) GED -12,7329 22.756,36

(a)

8 ARMA(3,0) - EGARCH(2,0) t'student -12,5544 22.436,38

9 ARMA(3,0) - EGARCH(2,1) t'student -12,5538 22.436,38

10 ARMA(3,0) - EGARCH(3,0) t'student -12,5539 22.436,60

11 ARMA(3,0) - EGARCH(2,0) GED/Parâmtero fixo -11,8581 21.191,54

12 ARMA(3,0) - EGARCH(2,0) GED -12,5673 22.459,56

(a)

13 ARMA(3,0) - EGARCH(2,1) GED -12,7267 22.745,32

(a)

14 ARMA(3,0) - EGARCH(3,0) GED -12,5564 22.440,97

(a)

15 ARMA(3,0) - EGARCH(3,1) GED -12,7263 22.745,51

Nota

(a)

Não removeu todo a correlação da série.

Tabela 3 - Modelos de Heterocedasticidade Condicional para o IBOVESPA

Nota-se que comparativamente, o modelo ARMA(3,0) – EGARCH(3,1) com

distribuição GED, apresentou estatísticas do critério de informação de AIC superiores ao

modelo o modelo ARMA(3,0) – EGARCH(2,0) todavia, este modelo utilizou um número

menor de parâmetros para chegar a um resultado satisfatório

, o que levou a escolha deste

como o mais efetivo na explicação da volatilidade da série do IBOVESPA.

Dessa forma, observando-se o correlograma dos resíduos ao quadrado da série do

IBOVESPA, mostras que a correlação serial dos retornos foi completamente removida, já que

os p-valores associados a cada lag do correlograma são maiores que 5% (nosso limite de

aceitação), fato este que leva a aceitação da hipótese nula de que a série é não

correlacionada.(vide quadro 12);

Quadro 9 – Correlograma dos resíduos ao quadrado da série do IBOVESPA

As estatísticas geradas pelo modelo ARMA(3,0) – EGARCH (2,0) com distribuição

t’student, foram:

()

)(*0897,0)(*884,0*394,6339,0

*127,0*114,0*109,0

321

−−

−

−−−

+++−=

++=

ttt

tttt

hLnhLn

hLn

yyyy

Sendo todos os parâmetros significativos.

Além do critério de informação, selecionamos o modelo via o critério da parcimônia.

Adicionalmente, olhando-se o gráfico 15 do plot dos quantis para série do

IBOVESPA, nota-se claramente que os resíduos não são distribuídos normalmente.

-20

100

-.02 .00 .02 .04 .06 .08 .10

RESID04

Theoretical Quantile-Quantile

Gráfico 17 – Plot Q x Q resíduos IBOVESPA

Uma observação deve ser feita, uma vez que os modelos heterocedásticos que geraram

melhores estimativas foram os EGARCH, todavia com distribuição t’student, o que vai contra

a proposição realizada por Nelson (1991) a qual dizia que os modelos EGARCH, deveriam

ser estimados com a distribuição dos erros generalizados (GED). Mas como a distribuição

t’student assume caudas pesadas, nenhuma perda nesse sentido foi verificada.

Após a estimação de ambos os modelos, será verificado se existe correlação entre a

volatilidade estimada dos modelos, uma vez que essa é a pergunta central desse trabalho.

Em uma primeira analise, observando-se o gráfico das volatilidades estimadas de

ambos os modelos, nota-se claramente uma forte simetria entre elas, uma vez que, para quase

toda amostra, verifica-se forte relação,

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

VOL_IBOV_ESTIMADA

.000

.002

.004

.006

.008

.010

.012

.014

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

VOL_PETR4_ESTIMADA

Gráfico 18 – Volatilidade estimada PETR4 e IBOVESPA via Modelos EGARCH

Todavia, realizando o teste de correlação da série, verificou-se que ambas possuem

uma correlação de 0,62, (62%) o que é muito forte. Sendo que uma variação de um ponto

percentual no ativo PETR4 influencia o IBOVESPA em 0,62.

Quadro 10 – Coeficiente de Correlação das Volatilidade estimadas

Vale lembrar que este trabalho se propôs a comparar um período de 14 anos,

aproximadamente, se realizássemos esse cálculo, entre os períodos de 1994 até 2005,

chegaríamos a uma correlação de 93%.(vide quadro 11,e gráfico 19)

Quadro 11 – Coeficiente de Correlação Volatilidades estimadas – Período 1994 à 2005

.000

.002

.004

.006

.008

.010

94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05

VOLAIBOV VOLAPETR

Gráfico 19 – Volatilidade estimada períodos 1994 à 2005

Essa diferença nos níveis de correlação observada nos períodos reflete a forte

oscilação do IBOVESPA, principalmente no ano de 2008, o que descolou um pouco da

variação do PERT4. Para tanto, chegou-se nesses resultados pelo seguinte aspecto: o volume

diário do PETR4 é muito superior a qualquer outro ativo negociado na Bolsa de Valores de

São Paulo, dessa forma, sua variação influencia em grande escala à performance do índice

IBOVEPA.

Na próxima seção, apresentaremos a estimação via modelos aditivos.

4.3.2 Estimação Via Modelos Aditivos.

Para a estimação do Modelo Aditivo para série do IBOVESPA, excluiu-se 26

observações extremas, sendo 15 máximas e 13 mínimas; elas foram excluídas, pois estavam

deturpando as estimativas geradas pelo modelo, uma vez que os modelos aditivos são muito

flexíveis (Hastie; Tibshirani, 1990). Cerca de 60% dos dados retirados eram retornos

deturpados pelo desdobramento das crises do México em 1994, dos tigres asiáticos em 1997 e

pela crise Russa. Outros 40% dos dados, foram influenciados pelas crises do Petróleo em

2001 e 2002 e pela crise do Sub-prime em 2008.

Como o realizado para os modelos paramétricos determinísticos, para remover a

correlação serial das séries dos retornos diários, utilizou-se um modelo de estrutura

ARMA(3,0). Para tanto, evidencia-se no gráfico 19, abaixo, que após a utilização do modelo

ARMA, a série dos retornos deixou de ser correlacionada, porém na série dos retornos ao

quadrado a correlação persiste.

Gráfico 20 – Autocorrelação dos resíduos do modelo ARMA (3,0)

Agora, na estimação da volatilidade da série do IBOVESPA, utilizando-se os modelos

aditivos, ressalta-se que meios alternativos somados ao teste F aproximado, bem como pelo

critério de AIC, aproximados serão fundamentais para determinação do melhor modelo para

se especificar a volatilidade. Neste trabalho, serão consideradas, formas alternativas na

escolha do modelo mais apropriado os seguintes resultados: caso as estimativas de

volatilidade apresentem retornos negativos, consideraremos que o modelo foi mal

especificado; adicionalmente, analisa-se, o comportamento dos modelos mediante a

visualização da contribuição individual de cada lag das variáveis explicativas; e por fim a

análise dos resíduos padronizados.

Dessa forma, neste trabalho, estimaremos os modelos aditivos, conforme evidenciado

em Santos(2008), em que se executou uma aproximação ao modelo ARCH(q), sendo o

número de defasagens definidas mediantes tentativas e comparação dos resultados pelos

critério elucidados no parágrafo passado

. Após a definição do modelo, em um segundo

momento, se definirá o parâmetro de suavização ótimo.

Dessa forma, efetuou-se a comparação de modelos aditivos com 1 a 6 termos

defasados, todavia verificou-se que a inclusão de instrumentos funcionais foi significativo ate

o lag 7, entretanto o comportamento individual dessas variáveis não era lógico. Com isso,

vide a tabela 4, a qual contempla os resultados obtidos a partir do teste de AIC de cada

modelo cujos lag’s vão de 1 a 6;

Tabela 4 – Coeficientes de Informação modelos aditivos IBOVESPA

Pelo critério de AIC, constata-se que o modelo 6 é o mais indicado. Todavia,

conforme explicitado anteriormente, outros dois critérios serão utilizados para escolha do

número de defasagens. O primeiro critério de avaliação alternativo, consiste na avaliação do

comportamento visual dos últimos três modelos quanto a descrição visual das funções

univariadas (aplicadas nos resíduos defasados) na aplicação aditiva da variável resposta (

volatilidade). Iniciando-se com as descrições individuais do modelo aditivo 4, nota-se;

Na definição dos modelos, utilizou-se como parâmetro de suavização 0,5, medida defina por Cleveland (1979)

como padrão.

Gráfico 21 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo 4 - IBOVESPA

que abaixo de cada estimativa um rug plot o que indica a região onde ocorre a maior

concentração de observações. Analisando-se o quadro 21, pode-se se fazer uma relação com a

curva proposta por Engle e Ng (1993), denominada como “New Impact Curve”, a qual mede a

resposta da volatilidade frente a ocorrência de choques positivos e negativos. Observando-se

as funções, notamos que o comportamento da terceira defasagem não é muito lógico, pois na

ocorrência de retornos positivos, a resposta na volatilidade é negativa. Todavia, para as outras

defasagens o comportamento foi conforme o fato estilizado diz. Adicionalmente, pode-se

notar a maior inclinação da curva para retornos negativos, sendo isso a exemplificação gráfica

do problema da assimetria.

Analisando-se o comportamento visual do modelo aditivo 5, tem-se

Gráfico 22 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo 5 - IBOVESPA

Que o comportamento visual das 4 primeiras defasagens são muito parecidas com o

verificado para o modelo 5, entretanto, nota-se que alguns aspectos influenciam

negativamente na escolha desse modelo. Na defasagem 1, encontra-se na ocorrência de

retornos positivos, que resposta na volatilidade é constante o que não é verificado na prática.

Outro aspecto refere-se a defasagem 5, uma vez que a inclinação para os retornos positivos é

superior a dos retornos negativos, o que não é verdade.

Por fim, analisando-se o modelo 6, tem-se

Gráfico 23 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo 6 - IBOVESPA

Que comportamentos pouco prováveis acontecem nas defasagens 1, 3, 5 e 6 o que

remete a excluir esse modelo dos possíveis candidatos a especificação da série do

IBOVESPA.

Dessa forma, escolheu-se o modelo aditivo 5 como o melhor para especificação do

IBOVESPA. Agora, para determinação do span ótimo (parâmetro de suavização) rodaremos o

modelo, utilizando níveis de suavização entre 03 à 08; uma vez que quanto maior os níveis

menos detalhada tornam-se as curvas, e quanto menores os níveis mais flexível e detalhada

serão as curvas, umas vez que o span define a distância do núcleo para que os parâmetros da

regressão local sejam válidos.

Analisando-se o quadro abaixo;

Tabela 5 – Definição do Span ótimo para o modelo aditivo 5 IBOVESPA

Nota-se que pelo critério de seleção de AIC aproximado, o span que melhor especifica

o modelo para série do IBOVESPA é o 0,6; dessa forma o comportamento individual de cada

variável explicativa do modelo pode ser verificado abaixo:

Gráfico 24 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo 5 com span ótimo - IBOVESPA

Verifica-se que modelo aditivo com 5 defasagens com span de 0,6 conseguiu remover

integralmente a correlação da série do retornos ao quadrado do IBOVESPA, (vide gráfico 25)

0 5 10 15 20 25 30 35

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Lag

ACF

Series rapad

0 5 10 15 20 25 30 35

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Lag

ACF

Series rapad^2

Histogram of rapad

rapad

Density

-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0246810 14

-2 0 2

0.00.10.20.3

Normal Q-Q Plot

Theoretical Quantiles

Sample Quantiles

Gráfico 25 – Estatísticas provenientes do modelo aditivo 5 para o IBOVESPA

Dessa, forma, o mesmo procedimento executado para série do IBOVESPA será

realizado para os retornos da PETR4.

Como sabido, a série dos retornos diários da PETR4 sofre com o problema de

correlação serial, para tanto, ir-se-á remove-la valendo-se da utilização de um modelo

ARMA(3,0)

O mesmo modelo utilizado na estimação dos modelos determinísticos.

Vale enfatizar que retornos diários iguais a zero, foram excluídos de nossa série, uma

vez que estavam dificultando a estimação; adicionalmente, foram excluídos 13 retornos

extremos os quais eram retornos influenciados pela crise do Petróleo de 2001 e 2002 pela

crise no sub-prime que derrubou o mercado mundial.

Após a estimação dos modelos aditivos com até 5 lag’s de defasagem; já que a partir

do 6, o acréscimo de mais uma variável não representava em ganho para especificação do

modelo; chegou-se as seguintes estimativas de AIC;

Tabela 6 – Coeficientes de informação para definição do modelo aditivo ótimo PETR4

Nota-se que conforme o IBOVESPA, o modelo aditivo 5 atingiu um maior valor em

modulo do critério de AIC, entretanto, será realizado o teste alternativo de visualização do

comportamento individual das variáveis explicativas ao modelo. Frisa-se que este

procedimento será executado apenas para os Lag’s 4 e 5, visto que para os outros não

conseguiu-se remover a correlação das séries.

Gráfico 26 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo 4 – PETR4

Para o modelo aditivo 4, verificamos que o comportamento das variáveis estão de

acordo com o fato estilizado, embora no lag 1, observou-se um pequeno problema no que

tange a resposta a um retorno positivo ser próximo a zero.

Já para o modelo aditivo 5 verifica-se

Gráfico 27 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo 5 – PETR4

o mesmo problema encontrado no modelo aditivo 4. Uma vez que no gráfico representativo

da primeira defasagem, tem-se que retornos positivos não impactam na volatilidade dos

retornos. Essa premissa não é verdadeira, muito embora no gráfico representativo da

defasagem 4 observou-se um ganho na especificação. Nesse, fica caracterizado perfeitamente

conceito de assimetria dos retornos financeiros, uma vez que retornos negativos geram

respostas maiores do que retornos positivos (isso se dá através da inclinação da curva), para

tanto vide Engle (1993).

Pelas justificativas dadas no parágrafo anterior, a escolha do modelo que melhor

estima os retornos ao quadrado do ativo PETR4 é o modelo aditivo 5, para tanto, nesse

momento, é definido qual o span mais apropriado a ser utilizado na estimação;

Tabela 7 – Definição do Span ótimo para o modelo aditivo 5

Coincidentemente, o span ótimo foi de 0,5; sendo que este foi utilizado como base

para a definição do modelo ótimo. No entanto, após análise da volatilidade estimada, foi

verificado, que tanto para o span 0,5 quanto para 0,6, valores de volatilidade negativos o que é

matematicamente impossível, já que a volatilidade só pode assumir valores maiores ou iguais

a zero; dessa forma, acabou-se escolhendo o span 0,7; sendo a visualização das curvas

individuais do mesmo expostas abaixo;

-0.15 -0.05 0.05 0.15

0.0000 0.0020

res1

lo(res1, span = 0.7)

-0.15 -0.05 0.05 0.15

0.000 0.002 0.004

res2

lo(res2, span = 0.7)

-0.15 -0.05 0.05 0.15

0.0000 0.0010 0.0020

res3

lo(res3, span = 0.7)

-0.15 -0.05 0.05 0.15

0.0000 0.0020

res4

lo(res4, span = 0.7)

-0.15 -0.05 0.05 0.15

0.0000 0.0010

res5

lo(res5, span = 0.7)

Gráfico 28 – Comportamento individual da volatilidade modelo aditivo 5 com o span ótimo – PETR4

Dessa maneira as estatísticas provenientes dessa estimação do modelo aditivo 5 com

span 0,7 podem ser verificadas no quadro 21,

0 5 10 15 20 25 30 35

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Lag

ACF

Series respetr

0 5 10 15 20 25 30 35

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Lag

ACF

Series respetr^2

Histogram of respetr

respetr

Density

-0.005 0.005 0.015 0.025

0 50 150 250 350

-2 0 2

-0.005 0.005 0.015 0.025

Normal Q-Q Plot

Theoretical Quantiles

Sample Quantiles

Gráfico 29 – Estatísticas provenientes do modelo aditivo 5 com span ótimo para a série da PETR4

Agora, após estimação das volatilidades das séries do IBOVESPA, bem como da

PETR4 através da estimação via modelos aditivos, será verificado se existe correlação entre o

ambas volatilidades estimadas.

.000

.001

.002

.003

.004

.005

.006

.007

.008

.009

500 1000 1500 2000 2500 3000

VOL_IBOV_ADITIVO VOL_PETR_ADITIVO

Gráfico 30 – Volatilidade estimada via modelos aditivos para as séries do IBOVESPA e PETR4

Este é o gráfico das volatilidades estimadas via modelos aditivos, que demonstra uma

forte simetria entre as mesmas. Todavia mediante as exclusões realizadas para melhor

especificação do modelo, acredita-se que o nível de correlação verificado será menor do que

nos modelos paramétricos.

Quadro 12 – Correlação entre as volatilidades estimadas via modelos aditivos

E observando-se o coeficiente de correlação, nota-se que para cada unidade de

variação no PETR4, temos um reflexo de 0,20 no IBOVESPA, que ainda pode ser

considerado um valor elevado se for considerado que o índice IBOVESPA é composto por

mais de 150 ativos, todavia, não se chegou a resultados parecidos como os dos modelos

paramétrico pelo simples fato que modelos aditivos são altamente flexíveis o que torna a

estimação deles muito mais sensível. Conforme Zielgemann (2002), os custos dos modelos

aditivos estão associados à perda do poder de extrapolação e taxas de convergências mais

lentas.

5. Considerações Finais

O objetivo central deste trabalho era verificar a correlação entre o índice IBOVESPA

com o ativo PETR4 o qual foi atingido com êxito.

A eliminação de algumas observações extremas pode ser entendida como um ponto

negativo na estimação dos modelos aditivos. Devido às funções univariadas serem muito

flexíveis, a exclusão dos retornos outliers fez-se necessária visto que as estimativas de

volatilidade para estes casos seriam prejudicadas. Todavia, esse processo de exclusão de

outliers não foi realizado na estimação dos modelos paramétricos, uma vez que a

convergência nesses modelos é mais rápida que a verificada nos modelos aditivos, e dessa

forma conseguiu-se atingir resultados satisfatórios.

Os modelos aditivos descrevem comportamentos visuais informativos da dependência

da variável reposta frente as variáveis explicativas, sendo essa característica muito positiva

para estudos empíricos.

Quanto aos modelos de volatilidade paramétrica, os mesmos demonstraram, mais uma

vez, sua eficiência na explicação dos fatos estilizados.

No que tange aos resultados atingidos, entende-se que a correlação entre as duas séries

pode ser explicada por alguns aspectos em especial: o ativo PETR4 é o mais negociado na

bolsa de São Paulo, o seu peso no índice IBOVESPA é muito superior ao todos os outros

ativos, sendo que sua influência só pode ser comparada aos ativos da Vale. Como no passado,

em meados da década de 90 e início do novo século, a bolsa de valores não era uma forma de

investimento popular, ações de grandes corporações acabavam por definir o índice

IBOVESPA, como um todo.

Adicionalmente, quando o governo sinaliza que a população pode comprar ações com

seu FGTS, fica nítido um incentivo subliminar para esse tipo de empresa, o que só aumenta o

volume de negociações desses títulos.

Na estimação dos modelos de volatilidade paramétricos ARMA(3,0) – EGARCH, para

ambas as séries, notou-se que a os resultados práticos convergiram perfeitamente com a

metodologia apresentada por Nelson(1991). Já para os modelos aditivos, encontrou-se uma

maior dificuldade na especificação do modelo, entretanto concluiu-se, que ambos os modelos

são complementares, já que pela capacidade dos modelos aditivos explicarem os fatos ser bem

superior a observada nos modelos GARCH.

Entende-se que este trabalho, conseguiu provar de forma econométrica o que era

sabido em termos práticos. Entretanto, analisando outros índices da BOVESPA, como IBX e

o IBX50, poderíamos atingir resultado superiores, já que esses índices são compostos pelos

100 ativos e pelos 50 ativos mais negociadas na bolsa respectivamente.

Como questões futuras, poder-se-ia tentar compor um índice sem os ativos da

Petrobrás e da Vale, para verificar-se como se daria a trajetória do índice, em comparação ao

IBOVESPA, pois essa seria uma forma alternativa de verificar-se a influência desses ativos

sobre o IBOVESPA.

Como outras sugestões de trabalhos, poder-se-ia utilizar os modelos GARCH

multivariados, os quais permitem que séries de ativos expliquem a volatilidade de um terceiro,

dessa forma, se realizaria uma amostra composta pare verificar quais os ativos que mais

influenciam a volatilidade do IBOVESPA.

Por fim, neste trabalho procurou-se provar uma hipótese prática, por meios formais

(econométricos e técnicos), além disso, não identifiquei, na literatura, nenhum artigo ou

trabalho do gênero fato este que só vem enriquecer ainda mais os resultados auferidos.

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