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A AVALIAÇÃO ECONÔMICO-FINANCEIRA DE
INVESTIMENTOS SOB CONDIÇÃO DE INCERTEZA:
UMA COMPARAÇÃO ENTRE O MÉTODO DE MONTE
CARLO E O VPL FUZZY
Mário Henrique da Fonseca Oliveira
Dissertação apresentada à Escola de Engenharia de São
Carlos, da Universidade de São Paulo, como parte dos
requisitos para obtenção do título de Mestre em
Engenharia de Produção
ORIENTADORA: Profa. Associada Daisy Aparecida do Nascimento Rebelatto
São Carlos
2008
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Milhares de livros grátis para download.
ii
A minha esposa Francine, meu filho
Guilherme e minha mãe Luzia.
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iii
AGRADECIMENTOS
A Deus por todas as oportunidades e realizações que tem me abençoado em toda
minha vida.
A orientadora, professora Daisy Aparecida do Nascimento Rebelatto, pela
oportunidade e pela sábia maneira com que conduziu este trabalho. Obrigado pelo
valor inestimável de seu exemplo pessoal e profissional.
A minha esposa Francine Guidugli Bartoletti, pela amada companhia e maneira
atenciosa com que dispôs de seu tempo para me ajudar na construção textual e
conceitual deste trabalho.
A minha mãe, Luzia Darci da Fonseca, que em todos os momentos de minha vida
sempre incentivou meus estudos e pelo seu exemplo de dedicação e força de vontade.
Aos professores da Escola de Engenharia de São Carlos, Marcelo Seido Nagano e
Ivan Nunes da Silva, pelas sugestões que aperfeiçoaram e engrandeceram este
trabalho.
Ao professor Carlos Roberto Azzoni por honrar-me com presença na participação da
banca examinadora.
Ao estimado amigo Ronaldo Justo Santoro pela ajuda neste trabalho e por nossas
intermináveis discussões que nos acompanham desde os tempos de graduação.
iv
Aos companheiros de Tecumseh, Orlando Falanghe Carneiro, Marcos Roberto Perez
de Oliveira e Valter Kenji Okada, pelos esforços para disponibilizar horários para
minha participação no programa de pós-graduação.
Aos amigos do programa de pós-graduação em Engenharia de Produção, uma geração
estimada de novos pesquisadores.
v
“Mire o céu para acertar o horizonte”.
(Renato Nunes Faria de Aquino)
vi
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS............................................................................................................................. I
LISTA DE QUADROS..........................................................................................................................V
LISTA DE TABELAS......................................................................................................................... VI
LISTA DE SÍMBOLOS .....................................................................................................................VII
LISTA DE ABREVIATURAS..............................................................................................................X
RESUMO ............................................................................................................................................. XI
ABSTRACT ........................................................................................................................................XII
1 APRESENTAÇÃO..............................................................................................................................1
1.1 OBJETIVO.........................................................................................................................................4
1.2 JUSTIFICATIVA DO TRABALHO..................................................................................................5
1.3 MÉTODO...........................................................................................................................................6
1.3.1 Pesquisa bibliográfica.................................................................................................................6
1.3.2 Estudo de caso ............................................................................................................................8
1.4 A COMPARAÇÃO ENTRE O MÉTODO DE MONTE CARLO E O VALOR PRESENTE
LÍQUIDO FUZZY ....................................................................................................................................9
1.4.1 Grupo de análises quantitativas ..................................................................................................9
1.4.2 Grupo de análises qualitativas ..................................................................................................11
1.5 LOCALIZAÇÃO DO TEMA NO CONTEXTO DA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO...............11
1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO.....................................................................................................12
2 A ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E AS INCERTEZAS NA TOMADA DE DECISÕES ....14
2.1 MÉTODOS QUANTITATIVOS NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS......................................15
2.1.1 Valor Presente Líquido (VPL)..................................................................................................15
2.1.2 Taxa Mínima De Atratividade (TMA)......................................................................................17
2.1.3 Taxa Interna De Retorno (TIR).................................................................................................19
2.1.4 TIR Modificada (MTIR)...........................................................................................................21
2.1.5 Payback Descontado.................................................................................................................23
2.2 O INVESTIMENTO E A INCERTEZA..........................................................................................24
2.3 A NATUREZA DAS INCERTEZAS ..............................................................................................26
vii
3 A SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO NA ANÁLISE DE INVESTIMENTO SOB
CONDIÇÕES DE INCERTEZA.........................................................................................................30
3.1 O CONCEITO DE SIMULAÇÃO...................................................................................................31
3.2 A CONSTRUÇÃO DE UM MODELO PROBABILÍSTICO E O USO DA SIMULAÇÃO DE
MONTE CARLO ...................................................................................................................................34
3.2.1 Um Breve Histórico..................................................................................................................34
3.2.2 As Árvores de Decisão .............................................................................................................35
3.2.3 O Conceito da Simulação de Monte Carlo aplicado ao VPL....................................................38
3.2.4 Elementos da Simulação de Monte Carlo.................................................................................42
3.2.5 Alguns tipos importantes de distribuição de probabilidade ......................................................46
3.2.6 Considerações Importantes.......................................................................................................51
4 O USO DE NÚMEROS FUZZY NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS SOB CONDIÇÕES DE
INCERTEZA........................................................................................................................................55
4.1 A LÓGICA FUZZY..........................................................................................................................57
4.2. NÚMEROS E CONJUNTOS FUZZY.............................................................................................60
4.2.1 Introdução.................................................................................................................................60
4.2.2 O Conceito de Possibilidade.....................................................................................................62
4.2.3 Os Números Fuzzy....................................................................................................................64
4.2.4 Tipos de Números Fuzzy...........................................................................................................66
4.2.5 Operações com Números Triangulares Fuzzy...........................................................................71
4.3 A ESTRUTURA LÓGICA EM SISTEMAS E MODELOS FUZZY...............................................76
4.3.1 Fuzzificação..............................................................................................................................79
4.3.2 Defuzzificação..........................................................................................................................81
4.4 A APLICAÇÃO DA LÓGICA FUZZY EM UM SISTEMA DE CONTROLE...............................86
4.5 A APLICAÇÃO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO FUZZY NA AVALIAÇÃO ECONÔMICO-
FINANCEIRA DE INVESTIMENTOS.................................................................................................95
4.5.1 Cálculo de VPL
Fuzzy
l(α)
..............................................................................................................98
4.5.2 Cálculo de VPL
Fuzzy
r(α)
..............................................................................................................99
4.5.3 O Valor Presente Líquido Fuzzy.............................................................................................101
4.5.4 Fuzzificação do Fluxo de Caixa..............................................................................................102
4.5.5 Cálculo do VPL
Fuzzy
................................................................................................................104
4.5.6 Defuzzificação do VPL
Fuzzy
....................................................................................................105
4.5.7 VPL
Fuzzy
utilizando o número de períodos de um investimento como uma variável Fuzzy....107
4.5.8 Considerações Importantes.....................................................................................................110
5 ESTUDO DE CASO........................................................................................................................113
5.1 O PROJETO DE INVESTIMENTO..............................................................................................113
5.2 O ESTUDO DE MERCADO.........................................................................................................117
5.2.1 Aspectos Gerais ......................................................................................................................117
5.2.2 Mercado Alvo da Empresa .....................................................................................................121
5.2.3 Concorrência no Setor ............................................................................................................122
5.3 PROJEÇÕES DE ENGENHARIA E LOGÍSTICA DO PROJETO...............................................125
viii
5.3.1 Aspectos Logísticos................................................................................................................125
5.3.2 A Engenharia do Projeto.........................................................................................................126
5.4 A ESTIMATIVA DE CUSTOS E RECEITAS DO PROJETO.....................................................128
5.5 AS IMPLICAÇÕES SOCIAIS E AMBIENTAIS DO PROJETO .................................................131
5.6 O CÁLCULO DO VPL DETERMINÍSTICO PARA A AVALIAÇÃO ECONÔMICO-
FINANCEIRA DO PROJETO DE INVESTIMENTO ........................................................................132
5.6.1 O Investimento Total..............................................................................................................132
5.6.2 Receita Anual Total................................................................................................................133
5.6.3 Custos e Despesas Anuais Totais............................................................................................133
5.6.4 O Fluxo de Caixa antes dos Impostos.....................................................................................134
5.6.5 Depreciação Total Anual ........................................................................................................134
5.6.6 O Fluxo de Caixa após os Impostos........................................................................................135
5.6.7 O Cálculo do VPL determinístico...........................................................................................136
5.7 A AVALIAÇÃO ECONÔMICO-FINANCEIRA DO PROJETO DE INVESTIMENTO
UTILIZANDO A SIMULAÇÃO DE MONTE-CARLO.....................................................................137
5.7.1 Atribuição de distribuições de probabilidades junto às variáveis independentes....................138
5.7.2 Atribuição dos números aleatórios e execução da simulação .................................................142
5.7.3 Resultados da simulação.........................................................................................................143
5.8 A AVALIAÇÃO ECONÔMICO-FINANCEIRA DO PROJETO DE INVESTIMENTO
UTILIZANDO VPL FUZZY ................................................................................................................146
5.7.1 A fuzzificação das variáveis ...................................................................................................147
5.7.2 O cálculo do VPL
fuzzy
..............................................................................................................150
5.7.3 A defuzzificação do Valor Presente Líquido Fuzzy................................................................158
5.9 A COMPARAÇÃO ENTRE O VPL OBTIDO PELA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO E O
VPL FUZZY .........................................................................................................................................161
5.9.1 Grupo de análises quantitativas ..............................................................................................162
5.9.2 Grupo de análises qualitativas ................................................................................................166
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS..........................................................................................................172
6.1 RESULTADOS OBITOS...............................................................................................................173
6.1.1 A incerteza e o projeto de investimento avaliado ...................................................................175
6.1.2 A importância da avaliação de investimentos.........................................................................176
6.1.3
Contribuições para o grupo de pesquisa............................................................................177
6.1.4 Contribuições para o pesquisador...........................................................................................178
6.1.5 Dificuldades encontradas........................................................................................................178
6.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS..........................................................................180
6.2.1 Melhorias na composição do Valor Presente Líquido Fuzzy..................................................180
6.2.2 Melhorias na quantificação de incertezas ...............................................................................181
6.2.3 Estruturação de softwares ou planilhas de cálculo para maior facilidade de aplicação ..........183
6.2.4 Sistemas de apoio a decisão para decisões de curto e curtíssimo prazo..................................184
6.2.5 Sistema de apoio a decisão para a análise de crédito..............................................................185
6.2.6 Sistema de avaliação social de projetos..................................................................................186
6.2.7 A utilização da Lógica Fuzzy para precificação de opções.....................................................187
6.2.8 Possíveis aplicações da lógica Fuzzy em outras áreas da engenharia de produção.................187
ix
APÊNDICE A .....................................................................................................................................190
APÊNDICE B .....................................................................................................................................196
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..............................................................................................204
i
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – O conceito de VPL 16
Figura 2 – Ilustração Gráfica da TIR 20
Figura 3 – A Incerteza nos Fluxos de Caixa 25
Figura 4 – Formas de Estudo de um Sistema 32
Figura 5 – Processo simples de modelagem 33
Figura 6 – Uso da Árvore de Decisão 36
Figura 7 – Árvore de Decisão para Comparação de Investimentos 37
Figura 8 – Uma comparação entre o uso da Árvore Decisão e a Simulação de Monte
Carlo 39
Figura 9 – Função densidade de probabilidade uniforme contínua 47
Figura 10 – Função densidade de probabilidade da distribuição normal. 49
Figura 11 – Função densidade de probabilidade de Weibull para valores selecionados
de δ e β. 50
Figura 12 – A estrutura da Simulação de Monte Carlo. 52
Figura 13 – Lógica booleana 58
Figura 14 – Lógica Fuzzy 59
Figura 15 – Número Real 0 61
Figura 16 – O conceito de Quase zero 61
Figura 17 – Próximo de Zero 62
Figura 18 – A Intensidade da Chuva 64
Figura 19 – Função de pertinência não normalizada 65
Figura 20 – Função de pertinência normalizada 65
Figura 21 – Função de pertinência normalizada, porém não convexa 66
ii
Figura 22 – Número Trapezoidal Fuzzy 67
Figura 23 – Número Triangular Fuzzy 68
Figura 24 – Representação de
25.0
=
−
cut
α
e
75.0
=
−
cut
α
em um número triangular
Fuzzy 69
Figura 25 – Representação gráfica do número Fuzzy A = (-1, 2, 5) 70
Figura 26 – Número Fuzzy em formato de Sino 71
Figura 27 – Soma entre os números Fuzzy A e B 73
Figura 28 – A Imagem Simétrica de A 73
Figura 29 – Subtração entre os números Fuzzy A e B 74
Figura 30 – Multiplicação entre os números Fuzzy A e B 75
Figura 31 – Divisão entre os números Fuzzy A e B 76
Figura 32 – Sistemas e Modelos Fuzzy 77
Figura 33 – Variável Lingüística Taxa de Juros Selic Alta 79
Figura 34 – Possíveis valores Taxa de Juros Selic 80
Figura 35 – Valor de entrada 13% 81
Figura 36 – Método de defuzzificação pelo Centro da Área 83
Figura 37 – Método de Defuzzificação pela Média do Máximo 84
Figura 38 – Possibilidade Cumulativa 85
Figura 39 – Transporte para cargas portuárias 88
Figura 40 – Estrutura de Controle 89
Figura 41 – Entrada da variável angle 90
Figura 42 – Entrada da variável distance 90
Figura 43 – Conjunto de regras para o sistema 91
Figura 44 – Potência pos_medium com pertinência 0.70 93
Figura 45 – Resultado fuzzificado da Power 94
iii
Figura 46 – Valor defuzzificado de power : 14.0500 kW 94
Figura 47 – VPL obtido em um investimento onde fora utilizado taxas de descontos e
fluxos caixa Fuzzy 97
Figura 48 – Investimento fuzzificado 102
Figura 49 – Retorno Esperado Fuzzy 103
Figura 50 – A TMA fuzzificada 104
Figura 51 – VPL
Fuzzy
aplicado ao exemplo apresentado 105
Figura 52 – Valor do VPL
Fuzzy
defuzzificado pelo método do Centro da Área 106
Figura 53 – Vida econômica do investimento representada por um número Fuzzy 108
Figura 54 – Resultados do VPL para cada período 109
Figura 55 – Defuzzificação proposta por Sanches (2003) 109
Figura 56 – Defuzzificação proposta por Omitaou e Badiru (2007) 110
Figura 57 – Esquema de funcionamento de uma caldeira aquatubular 115
Figura 58 – Esquema de funcionamento de uma caldeira aquatubular 116
Figura 59 – Produção de cana-de-açúcar em tonelada 120
Figura 60 – Estimativa da distribuição atual do mercado 123
Figura 61– O teorema de Tchebichev ou regra empírica 139
Figura 62– Definição da variável Galpão na simulação utilizando o Crystall Ball 142
Figura 63 – VPL obtido como resultado da simulação 144
Figura 64 – Indicadores estatísticos obtidos através da simulação 145
Figura 65 – Fluxo de caixa Fuzzy para o período de 1 a 10 anos 155
Figura 66 – Fluxo de caixa Fuzzy para o período de 11 a 15 anos 156
Figura 67 – Valor Presente Líquido Fuzzy do projeto de investimento 158
Figura 68 – Defuzzificação do Valor Presente Líquido Fuzzy do projeto de
investimento 159
iv
Figura 69 – Valor Presente Líquido fuzzy obtido por aproximação 165
v
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Grandes Áreas da Engenharia de Produção 12
Quadro 2 – Fatores que contribuem para Incerteza 27
Quadro 3 – Fatores e Tratamentos para as Incertezas 29
Quadro 4 – Uma representação Fuzzy para chuva 63
Quadro 5 – Grandes produtores mundiais de etanol 122
vi
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Diferenças básicas entre Cálculos e Inferências Fuzzy 78
Tabela 2 – Inferência do sistema 92
Tabela 3 – Estimativas Iniciais do Projeto 128
Tabela 4 – Estimativa de receitas e custos anuais do projeto 129
Tabela 5 – Variáveis independentes para execução da Simulação de Monte Carlo 141
Tabela 6 – Resultados obtidos pela aplicação da Simulação de Monte Carlo 145
Tabela 7 – Variáveis fuzzificadas para o cálculo do Valor Presente Líquido Fuzzy 149
Tabela 8 – Resultados obtidos pela aplicação do Valor Presente Líquido Fuzzy 161
Tabela 9 – Análise numérica comparativa entre os valores obtidos pela aplicação da
simulação de Monte Carlo e Valor Presente Líquido Fuzzy 162
Tabela 10 – Comparação numérica entre valores obtidos pela simulação de Monte
Carlo em duas diferentes situações 164
Tabela 11 – Comparação numérica entre valores obtidos pelo cálculo do Valor
Presente Líquido Fuzzy efetuado sem aproximação e com aproximação
matemática 165
vii
LISTA DE SÍMBOLOS
a
- Limite Inferior da Distribuição de Probabilidade Uniforme
1
a
- Representação Genérica do Primeiro Elemento do Número Fuzzy A
2
a
- Representação Genérica do Segundo Elemento do Número Fuzzy A
3
a - Representação Genérica do Terceiro Elemento do Número Fuzzy A
4
a
- Representação Genérica do Quarto Elemento do Número Fuzzy A
)(
α
l
a
- Lado Esquerdo de Pertinência do Número Fuzzy A
)(
α
r
a
- Lado Direito de Pertinência do Número Fuzzy A
α
- Indicador de Representação por
cut
−
α
b
- Limite Superior da Distribuição de Probabilidade Uniforme
1
b
- Representação Genérica do Primeiro Elemento do Número
Fuzzy
B
2
b
- Representação Genérica do Segundo Elemento do Número
Fuzzy
B
3
b
- Representação Genérica do Terceiro Elemento do Número
Fuzzy
B
)(
α
l
b
- Lado Esquerdo de Pertinência do Número
Fuzzy
B
)(
α
r
b
- Lado Direito de Pertinência do Número
Fuzzy
B
B
- Montante Capital de Terceiros
β
- Parâmetro de Forma
c
- Constante de Incremento
j
C - Fluxos de Caixa Negativos
d - Constante Multiplicadora
)(XE - Valor Médio para Distribuição de Probabilidade Uniforme
)(xf - Função Densidade de Probabilidade
viii
)(
1
xf
a
- Função de Pertinência 1
)(
2
xf
a
- Função de Pertinência 2
0
FC - Fluxo de caixa verificado no momento zero (momento inicial)
j
FC - Fluxo de caixa em cada período j
)(
α
l
FC - Lado Esquerdo de Pertinência do número Fuzzy FC
)(
α
r
FC - Lado Direito de Pertinência do número Fuzzy FC
δ
- Parâmetro de Escala
i
- Taxa de Desconto
B
i
- Custo de Capital de Terceiros
c
i - Taxa Correspondente ao Custo de Capitação
s
i - Custo de Capital Próprio
r
i
- Taxa de Aplicação de Recursos Ociosos
)(
α
l
i - Lado Direito de Pertinência do número Fuzzy i
)(
α
r
i - Lado Direito de Pertinência do número Fuzzy i
l(α) – Lado Esquerdo de uma Função de Pertinência
m
- Constante Módulo
µ
- Média
Galpão
µ
- Média da Variável Galpão
x
saída
(
µ
) – Função de Pertinência da Variável Saída
)(x
A
µ
- Função de Pertinência para o Número Fuzzy A
)0(* <
fuzzy
VPL
µ
- Possibilidade Cumulativa de
fuzzy
VPL menor do que 0
n
- Período de Tempo
N - Quantidade de Iterações utilizadas
ix
Galpão
N - Distribuição Normal de Probabilidade da Variável Galpão
P - Probabilidade
r(α) – Lado Direito de uma Função de Pertinência
j
R - Fluxos de Caixa Positivos
Γ
- Função Auxiliar da Distribuição de Probabilidade de Weibull
S - Montante da Capital Próprio
σ
- Desvio-padrão
Galpão
σ
- Desvio-padrão da Variável Galpão
2
σ
- Variância
U - Universo de Discurso
*
VPL
- Valor Presente Líquido Defuzzificado
fuzzy
VPL
- Valor Presente Líquido
Fuzzy
)(
α
l
fuzzy
VPL
- Lado Esquerdo de Pertinência da função
VPL Fuzzy
)(
α
r
VPL
fuzzy
- Lado Direito de Pertinência da função
VPL Fuzzy
x
- Valor que o VPL pode assumir
0
x
- Semente ou
seed
m
x
- m-ésimo Valor no Universo de Discurso com Pertinência Máxima
1
+n
x
- Número aleatório
x
Gerado
*
x
- Valor da Variável
x
Defuzzificado
)(
+
- Adição
Fuzzy
)(
−
- Subtração
Fuzzy
)(
×
-Multiplicação
Fuzzy
)(
÷
- Divisão
Fuzzy
x
LISTA DE ABREVIATURAS
BNDES – Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social
CAD
- Computer Aided Design
(Desenho Auxiliado por Computador)
CNAA - Companhia Nacional de Açúcar e Álcool
CIL - Coeficiente de Incerteza Léxica
IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
IPEA - Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada
MTIR - Taxa Interna De Retorno Modificada
PROINFA - Programa de Incentivo às Fontes Alternativas
SELIC – Sistema Especial de Liquidação e Custódia
TIR - Taxa Interna De Retorno
TMA - Taxa Mínima de Atratividade
VPL
- Valor Presente Líquido
VPL
fuzzy
- Valor Presente Líquido
Fuzzy
WACC -
Weighted Average Cost of Capital
(Custo Médio Ponderado de Capital)
xi
RESUMO
OLIVEIRA, M. H. F. (2008). A avaliação econômico-financeira de investimentos sob
condição de incerteza: uma comparação entre o método de Monte Carlo e o VPL
fuzzy
. São Carlos, 2008, 209p. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São
Carlos, Universidade de São Paulo.
Os métodos determinísticos utilizados para avaliação econômico-financeira de
projetos de investimentos, como o Valor Presente Líquido (VPL) e a Taxa Interna de
Retorno (TIR), contemplam exatidão do comportamento futuro das varáveis inerentes
ao projeto. Porém, as imprevisibilidades futuras acrescidas da alta volatilidade da
economia e tecnologia mundial tornam as análises determinísticas frágeis em
situações onde existam incertezas, o que pode levar gestores e investidores a tomar
decisões equivocadas quanto à alocação de capital. O presente trabalho tem como
objetivo geral a comparação entre dois métodos que podem ser utilizados para
avaliação de investimentos que abordam a condição de incerteza. O método de Monte
Carlo, em seu caráter estatístico, permite que as variáveis presentes sejam
consideradas por meio de distribuições de probabilidade, as quais associadas a
geração de números aleatórios fornecem uma resposta que considera as incertezas
presentes. O Valor Presente Líquido
Fuzzy
constitui-se em um método alternativo
para análise, o qual considera as variáveis incertas como números nebulosos, ou seja,
concepções matemáticas que não apresentam fronteiras rígidas. Por meio da
aplicação dos métodos em uma situação real de investimento, buscou-se realizar uma
análise comparativa, que levasse em conta os resultados numéricos obtidos e a
conceituação teórica envolvida.
Palavras-chave: VPL
Fuzzy
, Incerteza, Análise de Investimentos.
xii
ABSTRACT
OLIVEIRA, M. H. F. (2008). The financial and economic evaluation of investments
under uncertainly: a comparison between the Monte Carlo method and NPV
fuzzy
.
São Carlos, 2008, 209p. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São
Carlos, Universidade de São Paulo.
The deterministic methods used for economical and financial evaluation of
investments projects, such as Net Present Value (NPV) and Internal Rate Return
(IRR) consider the future comportment of the project variables as exact values.
Nevertheless, the future unpredictability and the high volatility of world economy and
technology make fragile the deterministic analysis under situations that uncertainty is
present, what may lead managers and investors to take bad decisions about capital
allocation. The main objective of this assignment is two compare two different
methods used to evaluate investments under uncertainty. The Monte Carlo Method is
its statistical character, allows to associate probability distributions with random
numbers and this application provides that includes uncertainty. The
Fuzzy
Net
Present Value is an alternative method to analyze investments, which consider
uncertainty variable as
Fuzzy
numbers, i.e., mathematics conceptions that do not
present absolute borders. Two different kinds of comparisons were produced by
applications of both methods in a real investment situation: the first was developed
based on numeric analysis; the second is based on a theory that involves those
methods.
Key-words: NPV
Fuzzy
, Uncertainty, Investments Analysis.
1
1 APRESENTAÇÃO
A partir da década de 90 grandes transformações foram observadas no mundo;
a crescente tecnologia na informática, a intensificação das relações comerciais e maior
integração dos meios de informação propiciaram a criação de um mercado global,
onde a variedade de produtos e empresas contribuiu para o aumento da volatilidade
econômica e a concorrência empresarial.
O mundo é um lugar menor para se fazer negócio. Muitas empresas médias
estão buscando fornecedores e vendendo seus produtos e serviços globalmente. Um
website
bem desenhado pode transformar mesmo pequenas empresas em atores
globais (SLACK et al, 2002).
A facilidade comercial e de comunicação fez com que o acesso a novos
produtos, marcas e serviços se tornassem accessíveis. Os objetivos de desempenho
como qualidade, flexibilidade e custo tornaram-se mais importantes, agindo como
diferenciais competitivos na concorrência empresarial. Em um cenário volátil fora
possível observar grandes empresas como a IBM, reduzirem seu faturamento
acentuadamente, enquanto novas empresas surgiam no mercado internacional.
O governo brasileiro inseriu o país neste cenário ao desvencilhar-se de uma
política comercial protecionista em pró da abertura econômica. Segundo Meireles
(2004) a redução das tarifas de importação sem uma contrapartida de financiamentos
voltados a modernização, acentuou ainda mais as diferenças competitivas entre as
empresas, segundo a origem de capital e segundo o tamanho.
A dificuldade inicial das empresas brasileiras em se desenvolver neste novo
cenário internacional também era advinda do grande descontrole que a economia
nacional apresentou desde a década 80. Os altos índices de inflação dificultavam a
2
gestão financeira e empresarial, altos estoques assim como o
overnight
eram incisivos
no sucesso das empresas.
O ambiente complexo da globalização forçou a evolução da estratégia
empresarial e os investimentos e modernização passaram a ser fundamentais
(MEIRELES, 2004). O uso de métodos quantitativos para a avaliação econômico-
financeira de investimentos passaram a ter mais visibilidade, isto não só pela
necessidade dos investidores em avaliar seus passos futuros, mas também pela
evolução do sistema financeiro nacional, informatizado e bastante lucrativo.
A análise das alternativas de investimento é o estudo dos fluxos de
caixa – desembolsos de capital (saídas de caixa) e retornos de
investimentos (entradas de caixa) – de um projeto para avaliar a sua
viabilidade econômica. A viabilidade econômica de um investimento
exige sua recuperação de capital (retorno do investimento) e sua
remuneração (retorno sobre o investimento) (Rebelatto, 2004).
As avaliações econômico-financeiras dos investimentos contribuem
diretamente para a tomada de decisão de gestores e investidores. Através de tais
análises é possível projetar o sucesso ou insucesso econômico de um investimento, já
que consideram como entradas, as variáveis que compõem o fluxo de caixa do
investimento, e oferece como resposta ou saída a viabilidade do investimento em
termos financeiros.
É evidente que análises podem conduzir a prejuízos; o cenário projetado para o
investimento pode modificar-se ao longo do tempo e as premissas assumidas no início
do projeto podem não ocorrer, já que na grande maioria dos casos existem incertezas
sobre qual será o comportamento do projeto analisado no futuro.
3
As informações disponíveis para elaborar uma análise de investimento não são
lineares ou absolutas, visto que a economia e o mercado financeiro mundial
historicamente apresentam variações que podem ser imprevisíveis e também podem
atingir economias diversas. Mesmo com as agências de
rating
e diversos sistemas de
informações
on-line
, parte dos títulos mobiliários americanos estiveram
supervalorizados no primeiro semestre de 2007. Surpresas e variações de natureza
diversas são bastante presentes na economia.
A dificuldade dos gestores e investidores em prever com exatidão
os resultados de suas decisões é existente devido a inúmeros fatos
desconhecidos, como mudanças de tecnologia, modificações na
preferência, incertezas em função da legislação, flutuação de preços e
câmbio (Thompson Júnior, 1995).
A incerteza é um componente imutável da vida empresarial tal qual
impostos e acionistas. Cabe à empresa, no entanto, decidir quais as
incertezas que deseja assumir e quais prefere evitar. Para tanto, é preciso
um método para descobrir e avaliar as incertezas inerentes aos seus
projetos de investimento (Brandão, 2007).
Uma das grandes dificuldades ao se elaborar uma análise de um projeto de
investimento é a de concernir os dados presentes de modo com que as variações
futuras em custos, receitas e horizonte de planejamento, entre outras, sejam
consideradas na análise.
O presente trabalho visa comparar dois métodos para a análise de
investimentos: o primeiro deles está associado à simulação de Monte Carlo e o
segundo é baseado na teoria dos números e conjuntos
Fuzzy.
A opção por essa
4
comparação está associada à capacidade que eles apresentam de representar riscos e
incertezas, presentes em grande parte dos investimentos correntes.
A simulação de Monte Carlo é um método de simulação estocástico, que se
baseia na geração de números aleatórios para sua execução. Em síntese, pode-se dizer
que os números aleatórios gerados representam cenários possíveis do investimento em
questão. A geração de números aleatórios é associada a distribuições de probabilidade
de maneira a simular os valores futuros de receitas e custos.
A Lógica
Fuzzy
é conhecida por ser factível ao uso em situações incertas e de
difícil mensuração. Em vários momentos de uma análise de investimentos, as
informações encontram-se vagas e imprecisas, sendo necessário interpretar as
variáveis de maneira qualitativa. A Lógica
Fuzzy
permite manipular informações que
se encontram imprecisas, traduzindo expressões verbais, vagas, imprecisas e
qualitativas, de categoria subjetiva, comuns na comunicação humana, em valores
numéricos (MEDEIROS, 2003).
1.1 OBJETIVO
O objetivo geral deste trabalho consiste em avaliar a aplicabilidade do Valor
Presente Líquido
Fuzzy
como instrumento de avaliação de projetos de investimento, a
partir da comparação que será feita junto ao método de Monte Carlo. Os objetivos
específicos deste trabalho são:
Discutir a incerteza na análise econômico-financeira de investimentos e sua
influência na tomada de decisão;
5
Estruturar de maneira clara os principais conceitos que envolvem o uso da Lógica
Fuzzy
, representando-os segundo a óptica da Engenharia de Produção;
Estruturar os conceitos que envolvem o Valor Presente Líquido
Fuzzy
e sua
aplicabilidade;
Verificar as possíveis vantagens do uso do Valor Presente Líquido
Fuzzy
para a
avaliação de investimentos onde a incerteza está presente;
Apresentar as limitações e as principais dificuldades para o uso da Lógica
Fuzzy
como método para avaliação de investimentos.
1.2 JUSTIFICATIVA DO TRABALHO
A necessidade de se considerar a variação dos parâmetros de entrada é
fundamental para realização de uma avaliação concisa de um investimento, já que é
impossível saber quais os valores exatos que o fluxo de caixa do projeto assumirá no
futuro. Assim é necessário buscar métodos que consigam representar a
imprevisibilidade futura (MALERBA, 2003).
Apesar de difundida em outras áreas do conhecimento, a Lógica
Fuzzy
ainda
carece de estudos quando sua aplicação diz respeito à área financeira. A quantidade de
trabalhos que visam aprimorar e divulgar métodos baseados neste princípio é bastante
escassa, sendo também poucas as fontes bibliográficas que estruturam de forma
acessível e fundamentada as aplicações presentes na Engenharia de Produção.
A comparação de novas teorias (Lógica
Fuzzy
) junto a métodos já aceitos pela
comunidade científica (simulação de Monte Carlo) pode trazer informações e
discussões relevantes ao processo decisório nas análises de investimentos.
6
Mesmo sendo conceitualmente diferente da matemática tradicional, os
conceitos para utilização da Lógica
Fuzzy
não apresentam grande complexidade,
sendo viável sua aplicação em diversos
softwares
no mercado. Aliado a isso,
softwares
específicos para manipular sistemas
Fuzzy
têm sido desenvolvidos, fazendo
com que sua operacionalização em diversas instituições e empresas seja bastante
factível.
1.3 MÉTODO
Segundo Gil (1987) quando no objeto de estudo deseja-se confrontar de
maneira empírica os dados teóricos com a realidade, torna-se necessário traçar um
modelo conceitual e operativo para pesquisa, que recebe o nome de delineamento.
O mesmo autor define dois grandes tipos de delineamento: o que se vale das
chamadas fontes de “papel” e aqueles cujo os dados são fornecidos por “pessoas”. No
primeiro grupo estão a pesquisa bibliográfica e a pesquisa documental. O segundo
grupo está compreendido pela pesquisa experimental, a pesquisa
ex-post-facto
, o
levantamento e o estudo de caso.
A presente dissertação foi elaborada com a combinação de duas etapas
distintas. A primeira, de caráter conceitual, foi desenvolvida com base em uma
pesquisa bibliográfica. A segunda, de caráter complementar e adicional, consistiu na
execução de um estudo de caso, que permitiu a explanação dos conceitos à luz de uma
situação real de investimento.
1.3.1
Pesquisa bibliográfica
7
Uma pesquisa bibliográfica consiste no levantamento da bibliografia já
publicada que apresente relação com o assunto. Sua finalidade é colocar o
pesquisador em contato com muito do já foi escrito sobre determinado assunto
(MARCONI e LAKATOS, 1982).
O ponto de partida para o desenvolvimento conceitual foi a crítica aos métodos
tradicionais para a avaliação de investimentos, que em muitas de suas aplicações, não
permitem explorar as variações futuras nas receitas e dispêndios de um projeto. Tal
crítica fortalece a hipótese do uso Valor Presente Líquido
Fuzzy
como uma alternativa
aos problemas correntes na avaliação de investimentos.
Enquanto não testadas empiricamente, e mesmo após isto, as
conclusões e raciocínios lógicos não passam de hipóteses. Mesmo após
serem submetidas com sucesso a uma bateria de testes empíricos jamais
perderão seu caráter precário. A qualquer momento, podem ser postas em
xeque, diante da apresentação de novos indícios ou explicações (Meireles,
2004).
Para confecção de uma revisão bibliográfica compactuada ao tema, fez-se
necessária a pesquisa e estudo de variados textos. A discussão sobre os métodos
quantitativos tradicionais de análises e as incertezas presentes nos investimentos foi
realizada através de pesquisas em trabalhos sobre finanças corporativas, o mercado
financeiro e a engenharia econômica.
Em uma segunda etapa fez-se necessário conceituar o método de Monte Carlo,
levando em conta os principais conceitos sobre simulação. Também foi necessária a
pesquisa em publicações sobre estatística, característica marcante ao método, já que é
8
necessária tanto para estipular as variações nas entradas da análise como para
interpretação de seu resultado final.
A construção da revisão sobre a Lógica
Fuzzy
e do método do Valor Presente
Líquido
Fuzzy
é subsidiada por trabalhos da área de automação, sistemas de apoio de
decisão, matemática aplicada e da análise de investimentos. Esta parte da revisão visa
atender objetivos importantes deste trabalho; como o de estruturar a Lógica
Fuzzy
segundo a óptica da Engenharia de Produção e o de apresentar os principais conceitos
da ferramenta central da pesquisa.
1.3.2
Estudo de caso
A opção pela realização de uma experimentação foi de explicitar a pesquisa
vigente, já que traz à tona a aplicação prática de constatações importantes realizadas
na revisão bibliográfica.
Um estudo de caso é caracterizado pelo estudo profundo de um ou poucos
objetos, de maneira que permita o seu amplo e detalhado conhecimento, tarefa
praticamente impossível mediante os outros tipos de delineamento (GIL, 1987).
A aplicação em questão consiste na avaliação de um projeto de investimento
referente a criação de um centro fabril para produção máquinas e equipamentos
industriais utilizados no setor sucroalcooleiro. O estudo é fundamentado nas seguintes
etapas:
Coleta dos dados referentes ao projeto, como receitas, despesas, custos, prazos e
demais fatores considerados importantes ao estudo;
9
Coleta e pesquisa de informações econômicas e financeiras referentes ao setor em
que a empresa está inserido, considerados o caráter micro e macroeconômico,
possibilitando contextualizar a incerteza presente no projeto;
Elaboração de planilhas eletrônicas para o uso da simulação do método de Monte
Carlo;
Elaboração de planilhas eletrônicas para o uso do Valor Presente Líquido
Fuzzy
;
Análise comparativa dos resultados obtidos pelos modelos aplicados.
1.4 A COMPARAÇÃO ENTRE O MÉTODO DE MONTE CARLO E O VALOR
PRESENTE LÍQUIDO
FUZZY
O trabalho tem entre seus objetivos a comparação entre dois métodos para a
avaliação econômico-financeira de investimentos. Através da experimentação (estudo
de caso) acredita-se que será possível realizar análises comparativas baseadas na
aplicação prática.
A fim de evitar que as conclusões e considerações apresentem algum tipo de
viés, faz-se necessário estruturar alguns possíveis itens de comparação antes mesmo
da realização do experimento. Dois grupos de análise foram criados: o primeiro se
refere à análises quantitativas e o segundo a análises qualitativas.
1.4.1
Grupo de análises quantitativas
O método de Monte Carlo e o Valor Presente Líquido
Fuzzy
apresentam
respostas de caráter matemático, o que torna possível confrontar diretamente os
10
valores obtidos pelos dois métodos. Em resumo, as respostas dos métodos se
apresentam como uma faixa de valores prováveis (ou possíveis) do capital que será
ganho ou perdido caso o investimento seja realizado. Baseando-se nos valores obtidos
como resposta, os seguintes itens de comparação serão trabalhados nesta dissertação:
Comparação entre o retorno esperado mais provável (método de Monte Carlo) e
os mais possível (Lógica
Fuzzy
) se realizado o investimento;
Análise comparativa entre os limites numéricos (melhor e pior situações) de
retorno de capital obtidos pela aplicação dos métodos;
Uma das respostas obtidas pelo aplicação do método de Monte Carlo é a
probabilidade de insucesso de um investimento, já o Valor Presente Líquido
Fuzzy
informa possibilidade de sucesso ou insucesso de um investimento. Apesar de
conceitualmente distintos, os dois conceitos podem ser comparados
numericamente;
A simulação de Monte Carlo tem sua execução é baseada em números aleatórios,
fazendo com que cada vez que o método seja aplicado, mesmo que mantidas as
mesmas entradas, as respostas apresentem alguma alteração (neste trabalho
chamado de erro de reaplicação). No caso da Valor Presente Líquido
Fuzzy
as
funções geradas muitas vezes podem ser trabalhadas com aproximações (gerando
um erro por aproximação). Tem-se então o intuito de comparar o erro matemático
presente nos dois métodos (reaplicação e aproximação).
Embora na parte inicial deste trabalho os itens citados para a comparação
quantitativa possam parecer pouco claros, ao decorrer do trabalho e principalmente no
11
capítulo final, ter-se-á o intuito de deixá-los mais perceptíveis, visto que toda a
revisão bibliográfica e aplicação dos métodos já terão sido efetuadas.
1.4.2
Grupo de análises qualitativas
Além da comparação por resultados numéricos obtidos como resposta da
aplicação dos dois métodos, uma série de análises qualitativas será efetuada para
confrontá-los:
A facilidade em representar a incerteza presente no investimento como uma
entrada para o modelo de cálculo;
Viabilidade de execução dos cálculos pertinentes a cada método;
Facilidade de assimilação da resposta calculada pelos modelos matemáticos;
Aplicabilidade junto ao estudo de caso efetuado.
1.5 LOCALIZAÇÃO DO TEMA NO CONTEXTO DA ENGENHARIA DE
PRODUÇÃO
A Comissão de Diretrizes Curriculares da ABEPRO (Associação Brasileira de
Engenharia de Produção), cumprindo resolução da Sessão Plenária Final do IX
ENCEP (Encontro Nacional de Coordenadores de Cursos de Engenharia de
Produção), realizado entre os dias 28 e 30 de maio de 2003, no Centro Universitário
da FEI em São Bernardo do Campo – SP relata dez diferentes áreas do conhecimento
compreendidas pela Engenharia de Produção:
12
1 Gestão da Produção
2 Gestão da Qualidade
3 Gestão Econômica
4 Ergonomia e Segurança do Trabalho
5 Gestão do Produto
6 Pesquisa Operacional
7 Gestão Estratégica e Organizacional
8 Gestão do Conhecimento Organizacional
9 Gestão Ambiental
10 Educação em Engenharia de Produção
Quadro 1 - Grandes Áreas da Engenharia de Produção
Fonte: ABEPRO (2007).
O presente trabalho se enquadra na área denominada Gestão Econômica, que
por sua vez inclui a Engenharia Econômica, a Gestão de Custos, a Gestão Financeira
de Projetos e a Gestão de Investimentos.
1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO
Este trabalho será estruturado em 6 capítulos. No primeiro é colocada em
pauta uma breve apresentação do trabalho, bem como a definição do objetivo,
justificativas a respeito do tema e da linha metodológica utilizada.
O capítulo 2 caracteriza-se pela apresentação de conceitos sobre análise de
investimentos, trazendo a tona os principais métodos determinísticos utilizados para
avaliar investimentos, como o Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno,
13
além de considerações sobre o custo de capital em empresas. Na seqüência são
apresentados conceitos sobre as incertezas e riscos presentes nos projetos de
investimentos, bem como suas principais fontes e como tratá-las.
O terceiro capítulo refere-se à Simulação de Monte Carlo. Este método tem
como foco central a geração de números aleatórios associados a distribuições de
probabilidade para representação do risco em um investimento, fazendo com que a
interpretação de resultados seja realizada de maneira estatística. Desta forma, faz-se
necessário a apresentação de conceitos de como são gerados os números aleatórios,
algumas distribuições de probabilidade e como estruturar a Simulação para uso na
avaliação de um projeto de investimento.
A Lógica
Fuzzy
é apresentada no capítulo 4 como método alternativo para
formulação de problemas onde a incerteza está presente. O capítulo traz em sua parte
inicial o estado da arte desta lógica, seguindo para os conceitos fundamentais para
aplicação. Um exemplo de sistema de automação
Fuzzy
é mostrado; por fim
apresenta-se o método do Valor Presente Líquido
Fuzzy
e um exemplo de sua
aplicação.
O capítulo 5 destina-se à apresentação do estudo de caso; sua descrição em
âmbito geral, o cenário do projeto de investimento, a ponderação sobre as incertezas e
a aplicação da Simulação de Monte Carlo e do Valor Presente Líquido
Fuzzy
para
avaliação quantitativa do investimento.
O sexto capítulo é dedicado às conclusões e recomendações finais, assim como
propostas para trabalhos futuros. Os apêndices A e B os conceitos básicos para a
estruturação de cálculos no
Microsoft Excel®
em aplicações da simulação de Monte
Carlo e da Lógica
Fuzzy
.
14
2 A ANÁLISE DE INVESTIMENTOS E AS INCERTEZAS NA
TOMADA DE DECISÕES
Pode-se definir investimento como sendo o ato de incorrer em gastos
imediatos na expectativa de obter futuros benefícios. São esses benefícios que
promovem ganhos de capital para empresa, propiciando crescimento, novas
alternativas ou, em alguns casos, sua sobrevivência. Diversos são os fatores que
justificam um investimento; a pesquisa em uma nova tecnologia, investimentos em
manufatura, substituição de equipamentos, troca de fonte energética, a possibilidade
de ganho de capital em aplicações financeiras, etc. O capital é um recurso escasso, por
isso seleção do investimento correto é questão fundamental para os gestores.
A decisão de investir envolve um conjunto particularmente complexo de
questões e alternativas que devem ser solucionadas pela administração (PACÍFICO,
2003). Durante a análise do investimento deve-se considerar as possíveis vantagens
competitivas que a empresa poderá obter, tempo limite de espera do retorno do
investimento, perspectivas da empresa dentro do setor que está inserido e demais
fatores que interferem na sua decisão de investir (LIMA, 2007).
O processo decisório de uma empresa é complexo, sobretudo porque as
decisões refletem muitas vezes características para longo prazo. As estimativas e
cálculos devem refletir informações disponíveis de maneira ampla e concisa, a partir
daí deve-se lançar uso de um método para análise do investimento em questão.
Os métodos de análise de investimentos são utilizados pelas
empresas para a seleção de projetos que visam aumentar a riqueza de
seus proprietários ou acionistas (Rebelatto, 2004).
15
Dentre os métodos utilizados para análise de investimentos cita-se como
determinísticos o Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR),
Taxa Interna de Retorno Modificada (MTIR) e o
Payback
Descontado, os quais serão
apresentados nos próximos itens.
Prosseguindo na discussão em questão, a análise de investimentos em sua
essência lida com expectativas, premissas de custos e receitas futuras. O que foi
definido como certo no projeto realmente se confirmará? A própria experiência do ser
humano sugere dificuldade em lidar com esses assuntos futuros e incertos. Assim,
conhece–se a incerteza, a qual não pode ser ignorada em grande parte das análises de
investimentos. O item 2.2. fornece um panorama sobre o assunto e como pode ser
tratado.
2.1 MÉTODOS QUANTITATIVOS NA ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
2.1.1
Valor Presente Líquido (VPL)
O Valor Presente Líquido (VPL) apresenta-se como um dos métodos mais
utilizados pela engenharia econômica, sendo de grande valia para avaliar
investimentos. Seu intuito é fornecer qual seria o ganho monetário que se teria na
realização de um investimento a uma determinada taxa de juros.
De acordo com Rebelatto (2004), o VPL de um projeto de investimento é o
valor atual das entradas de caixa (retornos de capital esperados), incluindo o valor
residual (se houver) menos o valor atual das saídas de caixa (investimentos
realizados).
16
Por considerar explicitamente o valor do dinheiro no tempo, o valor presente
líquido é considerado uma técnica sofisticada para a análise de investimentos. Este
tipo de técnica de uma forma ou de outra, desconta os fluxos de caixa de uma empresa
a uma taxa especificada. Essa taxa, freqüentemente chamada de taxa de desconto
1
(i),
custo de oportunidade de capital ou custo de capital (GITMAN, 2002).
A Figura 1 ilustra um fluxo de caixa qualquer. A função do VPL consiste em
trazer as entradas e saídas de capital para a data zero do investimento.
Figura 1 – O conceito de VPL
O cálculo do
VPL
é descrito pela seguinte função:
0
1
)1(
FC
i
FC
VPL
n
j
j
j
−
+
=
∑
=
(Eq. 2.1)
1
A taxa de desconto é taxa de juros aplicadas sobre os valores futuros. Ao analisar seus investimentos
os gestores utilizam-se da chamada Taxa Mínima de Atratividade (TMA) a qual será abordada no
próximo item deste capítulo.
17
Em que:
0
FC
: fluxo de caixa verificado no momento zero (momento inicial), podendo
ser um investimento, empréstimo ou financiamento;
j
FC
: representa o valor de entrada (ou saída) de caixa previsto para cada
intervalo de tempo;
i
: é a taxa de desconto;
n
: período de tempo.
No caso de uma única alternativa de investimento:
Se o
VPL
> aceita-se o projeto;
Se o
VPL
< rejeita-se o projeto;
Se o
VPL
= 0, é indiferente investir ou não nesse projeto.
Considerando duas ou mais alternativas de investimento utiliza-se a de maior
VPL positivo. A grande vantagem para o uso VPL do como indicador para avaliação
de investimentos sustenta-se na revelação do quanto o projeto enriquecerá a empresa,
representado pelo próprio valor do VPL.
2.1.2
Taxa Mínima De Atratividade (TMA)
Como o dinheiro tem valor no tempo, alguns métodos de análise de
investimentos de projetos econômicos sugeridos pela engenharia econômica requerem
a necessidade de uma taxa de juros para equacionamento (REBELATTO, 2004).
18
A mesma autora diz ser necessária a definição prévia de uma taxa para servir
como parâmetro de aceitação ou rejeição de um determinado projeto de investimento.
Essa taxa de aceitação recebe o nome de Taxa Mínima de Atratividade (TMA) e deve
ser a taxa mínima alcançada pelo investimento para que ele seja viável
economicamente, isto é, a taxa mínima de retorno de capital aceitável para que um
projeto econômico seja implementado. Assim, deve-se considerar a TMA é taxa de
desconto a ser utilizada no cálculo do VPL.
Existem grandes controvérsias quanto a como calcular esta taxa. Alguns
autores afirmam que taxa de juros a ser usada pela engenharia econômica é a taxa de
juros equivalente à maior rentabilidade das aplicações correntes e de pouco risco.
Uma proposta de investimento deve render, no mínimo, esta taxa de juros para ser
atrativa.
Outro enfoque dado à TMA é a de que deve ser o custo de capital investido na
proposta em questão, ou ainda, o custo de capital da empresa mais o risco envolvido
em cada alternativa de investimento. Naturalmente, haverá disposição de investir se a
expectativa de ganhos, já deduzido o valor do investimento, for superior ao custo
médio de capital (PAMPLONA e MONTEVECHI 2006).
O custo médio de capital é uma média ponderada do custo de capital próprio e
do custo de capital de terceiros e também costuma ser chamado de Custo Médio
Ponderado de Capital ou
Weighted Average Cost of Capital
(WACC) (ROSS et al,
2000):
)1(
CBS
Ti
BS
B
i
BS
S
WACC −××
+
+×
+
=
(Eq. 2.2)
Em que:
19
s
i : custo de capital próprio;
B
i
: custo de capital de terceiros;
C
T : alíquota de imposto de renda da empresa;
S : montante da capital próprio;
B
: montante capital de terceiros.
Observa-se que todas as fontes de capital da empresa são consideradas
levando em conta a proporção de que cada um constitui o investimento, Dessa forma
um investimento que tenha um retorno percentual superior ao WACC propicia a
empresa lucro econômico, pois permite ao gestor saldar suas obrigações, sejam elas
de capital próprio ou de terceiros, e o excedente de capital adquirido aumenta a
riqueza da empresa.
2.1.3
Taxa Interna De Retorno (TIR)
A taxa interna de retorno de um projeto é a taxa de desconto para a qual o
valor presente das receitas torna-se igual ao valor presente dos desembolsos. Isto
significa dizer que a TIR é aquela que torna nulo o valor presente líquido do projeto.
Pode ainda ser entendida como a taxa de remuneração do capital. Um investimento
onde a TIR apresenta um valor superior ao da TMA é viável economicamente, pois
sua taxa de remuneração é maior do que o mínimo exigido pela empresa.
A Figura 2 apresenta a relação ente TIR e VPL:
20
Figura 2 – Ilustração Gráfica da TIR
Fonte: BARREIROS (2004).
Matematicamente a TIR é obtida resolvendo-se a equação:
∑
=
−
+
=
n
j
j
j
FC
i
FC
VPL
1
0
)1(
(Eq. 2.3)
∑
=
−
+
=
n
j
j
j
FC
TIR
FC
1
0
)1(
0 (Eq. 2.4)
∑
=
+
=
n
j
j
j
TIR
FC
FC
1
0
)1(
(Eq. 2.5)
A TIR pode ser usada pelo executivo para tomar decisões entre diferentes
alternativas de investimentos. Para isso determina-se a TMA e a TIR de cada uma das
alternativas. A vencedora é aquela que tiver maior TIR, desde que seja maior que a
TMA. Caso contrário, nenhuma das alternativas é viável (BARREIROS, 2003)
21
Deve-se ressaltar que a comparação entre duas ou mais TIRs é estritamente
percentual e deixa de lado valores monetários. Por exemplo, dois investimentos de
prazo de um ano são colocados em questão; o investimento A requer um desembolso
inicial de R$10.000 e o retorno é de R$12.000,00. Já o desembolso em B é de
R$20.000, e seu retorno é de R$23.000,00. Nesta situação TIR
A
é 20% e TIR
B
é 15%,
porém o ganho de capital em A é de R$2.000,00 e em B de R$3.000,00. Qual seria o
investimento escolhido?
Uma alternativa para esta situação é a da utilização do capital excedente do
investimento A em relação B, no caso R$10.000,00, e estimar sua aplicação em outro
investimento corrente (investimento C). A TIR
AC
seria resultado da composição de A
e de C; esta taxa seria comparada com a TIR
B.
Casarotto Filho e Kopittke (2000) consideram a Taxa Interna de Retorno (TIR)
como um método determinístico para a análise de investimentos equivalente ao VPL.
Apesar de apresentarem diferenciações, vantagens e desvantagens, grande parte dos
investimentos a serem realizados podem ser avaliados pelas duas técnicas.
2.1.4
TIR Modificada (MTIR)
A TIR, apesar da facilidade de entendimento como uma taxa, requer alguns
cuidados em sua interpretação que muitas vezes podem vir a serem desprezados.
Segundo Kassai (1996) quando um projeto é representado por um fluxo de
caixa não tradicional em que há várias inversões de sinais entre fluxo de caixas
positivos e negativos, esse mesmo projeto pode apresentar mais de uma TIR
(positivas ou negativas) ou até inexistir solução.
22
Outro fator negativo é que na confecção do cálculo da TIR pressupõe-se que
todos os fluxos de caixa, sejam eles recebimentos ou desembolsos, são financiados ao
longo do tempo. No entanto, normalmente a taxa de captação (custo financeiro) é
maior do que a taxa de remuneração para aplicações dos saldos de caixa
(BALARINE, 2004)
O método da TIR Modificada (MTIR) leva em consideração essas diferentes
taxas, através da seguinte solução:
1
)1/(
)1(
1
0
0
−
+
+
=
∑
∑
=
=
−
n
n
j
j
cj
n
j
jn
rj
iC
iR
MTIR (Eq. 2.6)
Em que:
r
i
é a taxa de atratividade (taxa de aplicação de recursos ociosos);
c
i é taxa correspondente ao custo de capitação (custo financeiro);
j
R representa os fluxos de caixa positivos (recebimentos);
j
C representa os fluxos de caixa negativos (custos ou dispêndios de capital);
n
: período de tempo.
A utilização de planilhas eletrônicas e calculadoras financeiras torna bastante
funcionais técnicas como TIR, MTIR e VPL, pois propicia velocidade de execução,
além de dispor de ferramentas para análises subseqüentes.
23
2.1.5
Payback Descontado
O método do Payback consiste em mostrar quanto tempo (n) um investimento
leva para ser ressarcido, porém a taxa de desconto é ignorada. O conceito do Payback
Descontado atua justamente nessa falha, pois considera uma taxa de juros para
realizar o cálculo do período gasto.
O Payback Descontado é obtido pela função abaixo:
∑
=
+
+−=
n
j
j
j
i
FC
FCVPL
1
0
)1(
(Eq. 2.7)
Em que:
i
é a taxa de desconto;
j
é um índice genérico que representa os períodos 1
=
j a
n
;
VPL é o Valor Presente Líquido;
j
FC : representa o valor de entrada (ou saída) de caixa até o instante
n
;
0
FC : fluxo de caixa verificado no momento zero (momento inicial).
Quando ocorrer VPL = 0,
n
é o Payback Descontado, com
n
inteiro. Se ocorrer
VPL<0 em 1
−
j e VPL>0 em
j
, interpola-se para determinar um
n
fracionário
(LIMA, 2007).
A grande informação que o Payback Descontado oferece é qual o período
necessário para que o investidor retome o dinheiro que fora investido, e a partir daí,
comece a obter ganhos de capital.
24
O tempo é sem dúvida importante para análise de investimentos, quanto maior o
horizonte de planejamento do projeto, maior a chance da avaliação ficar sujeita as
oscilações, mudanças econômicas, alterações no preço da energia ou outras alterações
nas estimativas e premissas assumidas no início do projeto.
2.2 O INVESTIMENTO E A INCERTEZA
Na tomada de decisão sobre um investimento são aceitas algumas previsões,
que podem não se concretizar, ou se apresentarem de forma diferente, refletindo
diretamente no sucesso ou insucesso de um projeto. O conceito de incerteza reflete as
dúvidas sobre o investimento corrente.
A intensidade da incerteza em um dado investimento aumenta
proporcionalmente à variável tempo (n), ou seja, quanto mais distante o fluxo de
caixa, maiores são as incertezas a seu respeito.
Figura 3 – A Incerteza nos Fluxos de Caixa
Fonte: PAMPLONA E MONTEVECHI (2006)
25
A Figura 3 apresenta um fluxo de caixa esquemático. Nos períodos próximos
da data zero, normalmente se tem boas estimativas do investimento necessário para o
projeto, com algumas pequenas incertezas, as estimativas para esse cenário próximo
refletem a realidade mais próxima da empresa e da economia. Entretanto variações ao
longo do tempo ocorrem nos fatores que compõem as receitas e despesas caixa. Os
valores a priori estimados como manutenção, mão-de-obra, matéria prima, energia
elétrica, impostos, depreciação, financiamentos, etc. podem não se comportar da
maneira prevista. Na maioria das vezes, ao se analisar e construir os fluxos de caixa, a
consideração sobre os dados é determinística, sendo que na realidade isso pode gerar
falhas em algumas análises. Existem variações imprevisíveis sobre os diversos
elementos que compõem o fluxo de caixa, que precisam ser considerados para a
correta avaliação do projeto.
A “incerteza”, esporadicamente confundida com “risco”, pode ser definida
segundo Von Altrock (1995) como dúvidas sobre eventos futuros que independem da
ação tomada no presente, podendo ser “Estocástica” ou “Léxica”. A “Estocástica”
está associada à probabilidade de um evento ocorrer, enquanto a “Léxica” está
associada à intensidade com que o evento ocorre. Já o “Risco” é definido segundo
Pamplona e Montevechi (2006), como um valor conhecido de dispersão associado à
distribuição de probabilidade com que o evento ocorre, o que está, logicamente,
associado à incerteza Estocástica (SANCHES, 2003).
Em suma, num ambiente de incertezas, devem ser calculadas as possíveis
conseqüências dessas incertezas, de forma que o projeto tenha uma possibilidade de
sucesso adequada, como objetivo de maximizar a riqueza da empresa. Quando as
incertezas são ignoradas numa análise, esta pode ficar comprometida. A avaliação de
investimentos em um ambiente que não seja sujeito a incertezas é bastante
26
conveniente, porém são poucos os fatores que podem ser tratados efetivamente como
certos. Na economia isso é evidente, pois existem variáveis que estão ligadas a
parâmetros de grande incerteza como: mercado, inflação, guerras, eleições, etc.
Em um caso genérico de investimento em equipamentos, devem ser
consideradas as seguintes variáveis: o “Investimento Fixo”, que representa o custo de
aquisição e instalações do equipamento, o “Capital de Giro”, que é o capital
necessário para a compra de matéria prima e implementos em geral, o “Horizonte de
Planejamento”, que é a vida útil esperada para o empreendimento, a “Previsão de
Vendas”, o “Custo Fixo”, o “Custo Variável”, a “TMA” representando a taxa de
desconto a ser utilizada nos cálculos de VPL (custo de capital da empresa), as
“Alíquotas de Imposto de Renda”, a “Taxa de Depreciação” (regulamentada pela
Receita Federal) e finalmente o “Valor Residual do Equipamento” (SANCHES,
2003).
2.3 A NATUREZA DAS INCERTEZAS
Como já mostrado esquematicamente na Figura 3, “O futuro pode revelar
surpresas” (PAMPLONA e MONTEVECHI, 2006). Quanto maior a vida do projeto,
maiores as chances de se ter problemas com estimativas feitas na época da análise
econômica do projeto. Vários são os fatores que podem contribuir para a incerteza.
Alguns destes fatores estão sintetizados na Quadro 2.
27
Econômicos Financeiros Técnicos Outros
Oferta
Subdimensionada
Insuficiência de
capital
Inadequabilidade do
processo utilizado
Fatores
Políticos
Oferta
Superdimensionada
Falta de capacidade
de pagamento
Inadequabilidade das
matérias-primas
Fatores
Institucionais
Dimensionamento
Incorreto
Inadequabilidade da
tecnologia empregada
Greve
Alteração de
produtos e
subprodutos
Inflação
Aumento dos
custos de matéria-
prima
Investimentos
imprevistos
Quadro 2 – Fatores que contribuem para Incerteza
Fonte: PAMPLONA e MOTEVECHI (2006)
Fatores como o aumento de investimento ou
impostos podem afetar a todas as
empresas e são os chamados sistemáticos. Outros fatores como o aumento de preço de
uma matéria-prima específica, atingem empresas em casos isolados e são os não
sistemáticos.
Na realidade a distinção de fatores sistemáticos ou não sistemáticos nunca é tão
exata. Mesmo eventos mais limitados e peculiares a um tipo de empresa têm repercussão
na economia (
ROSS et al, 2002).
Cada projeto é concebido e desenvolvido com base em um conjunto de
hipóteses. Esta é uma técnica que explora as incertezas do projeto pela existência de
algumas premissas que foram assumidas e podem não ser verdadeiras. Essas
28
premissas incertas podem, ainda, ser imprecisas, inconsistentes ou incompletas e
deverão ser identificadas e descritas, conforme suas origens, para posteriormente
poderem ser avaliadas (SANHCES, 2003).
As incertezas possuem diferentes fontes e formas de tratamento e podem ser
ilustradas segundo no Quadro 3:
Fonte/Tipo Exemplo de Origem Tratamento Analítico
Física Conhecimento limitado Simulação de Monte Carlo
Estatística Amostragem
Desvio padrão, erro médio,
limites de confiança
Epistêmica
Simplificação de Modelos
Matemáticos
Simulação de Monte Carlo,
Teorema de Bayes, Árvore de
eventos
Decisão
Visão Humana Subjetiva de
um estado Oculto
Teorema de Bayes, Árvore de
eventos
Predição Eventos futuros Incertos
Teorema de Bayes, Árvore de
eventos
Reação Pública
Falta de confiança ou
impossibilidade de
transferência
Comunicação
Erro Humano
Ignorância, negligência, falta
de experiência e
treinamento
Teoria do erro grosseiro
Quadro 3 – Fatores e Tratamentos para as Incertezas
Fonte: SANCHEZ(2003) apud KREUZER (2000)
29
Nesta visão, cada tipo de incerteza deveria receber um tratamento específico,
porém este tipo de abordagem torna-se impraticável, pois o número de possíveis
fatores fontes de incerteza é muito abrangente na avaliação de investimentos.
Dessa maneira, a escolha do tratamento que se adéqüe de forma abrangente ao
tipo de análise é um caminho a ser usado. Na análise de investimentos a Simulação de
Monte Carlo destaca-se como um método utilizado. A Lógica Fuzzy, devido a sua
flexibilidade, considera as incertezas de várias fontes distintas, não sendo rígida a
forma como se chega a incerteza, propiciando uma análise conjunta dos fatores
presentes.
30
3 A SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO NA ANÁLISE DE
INVESTIMENTO SOB CONDIÇÕES DE INCERTEZA
A Simulação é uma ferramenta que permite a reprodução de um sistema real
através da criação de um modelo matemático. Diversa é sua utilização na engenharia,
dada sobretudo, pela evolução da informática ao longo dos últimos vinte anos, que
propiciou softwares de custo acessível e fácil uso, seja pela melhoria de interface, ou
pelo grande ganho na capacidade para efetuar cálculos.
Na engenharia mecânica, softwares atuais relacionados ao Desenho Auxiliado
por Computador (CAD – Computer Aided Design), como SolidWorks® e Cathia®,
apresentam funções integradas
2
para simulação de, por exemplo, esforços em
estruturas metálicas, propiciando aos projetistas captar informações representativas,
evitando possíveis problemas na fase de execução do projeto. Na engenharia de
produção, softwares como o Arena proporcionam observação virtual de sistemas de
manufatura, possibilitando as mais diversas alterações, contribuindo para tomada de
decisão.
A evolução computacional proporcionou também a disseminação de modelos
chamados estocásticos, que são baseados na geração de números aleatórios. A
Simulação de Monte Carlo utiliza a geração destes números aleatórios, os quais estão
associados a distribuições de probabilidade pré-definidas. Softwares amplamente
encontrados como Statistica® ou Microsoft® Excel oferecem este recurso de
aplicação vasta.
2
Este tipo de função presente nesses softwares recebe a denominação de CAE – Computer Aided
Engineering
www.numa.org.br/conhecimento
31
Na avaliação de investimentos a Simulação de Monte Carlo é muito utilizada
como ferramenta para análise de riscos e incertezas. Em um dado investimento ao
invés de se tratar uma variável, como a demanda, assumindo um valor fixo, considera-
se que esta demanda pode assumir qualquer valor, obedecendo a uma distribuição de
probabilidade estipulada pelo analista, o que dá uma conotação mais ampla do cenário
analisado.
A primeira parte deste capítulo apresenta o conceito de Simulação; enquanto a
segunda visa mostrar a Simulação utilizando o método de Monte Carlo, focando sua
aplicação na criação de modelos probabilísticos para a análise de investimentos em
condições de risco e incertezas.
3.1 O CONCEITO DE SIMULAÇÃO
A Simulação, de acordo do com Shamblin (1979), é uma ferramenta muito
valiosa por permitir obter uma resposta a um problema particular, principalmente
quando se trata de um sistema complexo.
Uma Simulação é a imitação da operação de um sistema ou de um processo do
mundo real.
Feita a mão (estudando) ou em um computador, a simulação envolve a
geração de uma história artificial do sistema, e a partir desta história artificial a
inferência de como o sistema real funcionaria. O comportamento do sistema é
estudado pela construção de um Modelo de Simulação (SANTOS, 1999). A Figura 4
exprime o conceito de simulação junto a um sistema.
32
Figura 4 – Formas de Estudo de um Sistema
Fonte: GAVIRA (2003) apud LAW e KELTON (2000)
O uso da Simulação busca representar de maneira próxima um evento real. A
partir daí uma série de prévias considerações podem ser feitas, sem que seja
necessário a implementação ou alteração do sistema real. Por exemplo, que efeitos
poderiam ser observados em uma célula de manufatura caso um equipamento fosse
substituído por um mais produtivo?
Segundo Pinto (2001) a simulação é uma ferramenta versátil que
permite as companhias responder questões do tipo “what if” (o que
aconteceria se...) sobre mudanças em seus sistemas sem ser necessário
efetuar mudanças na prática.
33
Figura 5 – Processo simples de modelagem
Fonte: GAVIRA (2003)
A Figura 5 apresenta uma noção dos princípios utilizados no processo de
modelagem. Imaginando um projeto de investimento com duração de 10 anos, onde
deseja-se utilizar o VPL para sua avaliação. Qual associação poderia ser feita entre a
figura e a análise de investimento desse projeto? Neste caso, o “Sistema” engloba toda
a situação real do investimento a ser realizado. Desde o início do investimento até o
seu final, todas as receitas e dispêndios reais que ocorrerem no período irão contribuir
para o sucesso ou insucesso do investimento. É evidente que não há como saber
realmente quais serão tais receitas e dispêndios de capital ao longo do projeto, já que
se tratam de eventos futuros, ou seja, não há como saber o VPL exato deste
“Sistema”. Desta forma, a ato de simular este problema está associado a criação de
um “Modelo” matemático, onde através do uso da “Simulação” os valores utilizados
para cálculo do fluxo de caixa sofrem variações, as quais representam alterações que
irão ocorrer com os valores entrada e saída de capital ao decorrer do projeto.
34
Segundo Santos (1999) um modelo de simulação pode ser “Determinístico”
ou
“Estocástico”. Modelos de simulação que não contém nenhuma variável aleatória são
classificados como determinísticos, ou seja, para um conjunto conhecido de dados de
entrada teremos um único conjunto de resultados de saída.
O mesmo autor define que modelos estocásticos de simulação aqueles têm
uma ou mais variáveis aleatórias como entrada. Estas entradas aleatórias levam a
saídas aleatórias que podem somente ser consideradas como estimativas das
características verdadeiras de um modelo. Assim, por exemplo, a simulação
(estocástica) do funcionamento de uma agência bancária envolve variáveis aleatórias
como o intervalo entre chegadas e a duração dos serviços prestados. Logo, medidas
como o número médio de clientes esperando e o tempo médio de espera de um
cliente, devem ser tratadas como estimativas estatísticas das medidas reais do sistema.
3.2 A CONSTRUÇÃO DE UM MODELO PROBABILÍSTICO E O USO DA
SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO
3.2.1
Um Breve Histórico
O Método de Monte Carlo é uma ferramenta para modelagem de problemas
estocásticos. Leva este nome devido ao comportamento aleatório das roletas, principal
atração da cidade de Monte Carlo, capital do principado de Mônaco. Tal método tem
como base a geração de valores aleatórios para criar um cenário de um problema
(PLLANA, 2007). Estes valores aleatórios são selecionados dentro de uma
35
determinada faixa de valores que seguem uma determinada distribuição de
probabilidades (CORREA NETO et al, 2002).
A aparição do método e seu desenvolvimento ocorreram por volta de 1944, na
época da segunda guerra mundial no projeto Manhattan, relacionado a construção da
bomba atômica. O intuito do estudo na ocasião era obter soluções aproximadas para
problemas referentes à difusão randômica de nêutrons no material nuclear através de
simulações (PLLANA, 2007). O nome Monte Carlo foi dado por um dos seus
criadores o matemático austríaco Stanislaw Uslam (CORREA NETO et al, 2002).
Segundo Brealey e Myers (1998) a aplicação da Simulação de Monte Carlo na
análise de investimentos está associada a David Hertz
3
e a McKinsey and Company,
consultores associados. Sua aplicação consistia em simular a taxa de retorno dos
investimentos.
3.2.2
As Árvores de Decisão
Diagramas de decisão ou árvores de decisão são representações gráficas das
relações e seus possíveis resultados. Seu conceito, embora simples, tem ampla relação
com o uso da Simulação de Monte Carlo.
As árvores de decisão tem uma convenção simples, onde as decisões e
incertezas do projeto são representadas por nós na árvore, com os galhos
representando as alternativas escolhidas ou o resultado da resolução da incerteza
(BRANDÃO, 2007).
3
D. B. HERTZ, Investment Policies that Pay Off. Harvard Business Review, 46:96-108.
janeiro/fevereiro 1968.
36
Um exemplo explica o conceito: suponha que um uma empresa esteja
analisando um projeto que apresenta 70% de chances de sucesso, e consequentemente
30% de probabilidade de fracasso. Se o investimento resultar em sucesso, o retorno
será um VPL de $10.000,00, caso seja um fracasso acarretará um prejuízo de
$12.000,00.
A Figura 6 ilustra o exemplo utilizando uma árvore de decisão. No início do
projeto pode-se tomar a decisão de se investir ou não, representada pelo
□
. Caso o
investimento seja realizado encontra-se uma bifurcação na árvore, representada na
incerteza, simbolizada por
○.
A partir daí as duas situações possíveis são ilustradas;
a de sucesso e a de insucesso.
Figura 6 – Uso da Árvore de Decisão
Fonte: Adaptado de BRANDÃO (2007)
A resolução da árvore de decisão se dá do final para o início. As incertezas
envolvidas são resolvidas utilizando-se os valores esperados do VPL de cada uma.
37
Não se sabe qual será o resultado do projeto, mas pode-se calcular o valor equivalente
através da média ponderada entre os VPLs de sucesso e insucesso:
)(
1
i
k
i
i
pVPLVPL ×=
∑
=
(Eq. 3.1)
)3,0(00,000.12$)7,0(00,000.10$
×
−
×
=
VPL (Eq. 3.2)
00,400.3$
=
VPL (Eq. 3.3)
Em que:
i
VPL : Valor presente líquido para a situação i;
i
p : Probabilidade de ocorrência de i;
k : Situações totais.
O exemplo é meramente ilustrativo, porém este conceito pode ser utilizado
aumentando o número de alternativas e incertezas ao longo do projeto. A Figura 7
apresenta um investimento hipotético, onde dois projetos são analisados.
Figura 7 – Árvore de Decisão para Comparação de Investimentos
Fonte: Adaptado de BRANDÃO (2007)
38
Segundo Brandão (2007) as árvores de decisão têm a vantagem de
representarem graficamente as interações de maneira simples e intuitiva. Elas devem
ser mantidas simples, pois se desdobram facilmente, se tornando complexas e de
difícil manejo. Diversas ferramentas computacionais foram desenvolvidas nos últimos
anos com o intuito de facilitar e automatizar a construção das árvores de decisão,
facilitando seu manejo e permitindo a construção de árvores complexas.
3.2.3
O Conceito da Simulação de Monte Carlo aplicado ao VPL
A análise de cenário, utilizando a árvore de decisão, permite na prática, apenas
um número limitado de alternativas. A simulação de Monte Carlo é uma ferramenta
que possibilita considerar uma quantidade muito grande de alternativas possíveis,
fornecendo uma distribuição estatística do VPL do projeto (BRANDÃO, 2007),
contribuindo para redução do viés do analista, muito presente no uso de árvores de
decisão.
O método gera continuamente e aleatoriamente números, que estão ligados nas
entradas e/ou saídas de caixa, usadas no cálculo do VPL. Tais alterações no fluxo de
caixa funcionam como cenários aleatórios. Os números gerados aleatoriamente
obedecem a distribuições de probabilidade pré-definidas pelo analista, baseando-se
em dados obtidos da análise de eventos passados ou usando projeções para o futuro.
A definição das distribuições de probabilidades é feita sobre fatores que
compõe o cálculo do VPL, como demanda e custo fixo; sendo assim o ato de gerar
aleatoriamente esses fatores faz com que o VPL assuma diversos valores.
39
Figura 8 – Uma comparação entre o uso da Árvore Decisão e a Simulação de Monte Carlo
Segundo Torres (2006) a simulação de Monte Carlo executa o
projeto muitas vezes, criando cenários aleatórios que permitem uma
distribuição estatística das variáveis, permitindo uso de ferramentas da
estatística descritiva, como média, desvio-padrão e probabilidade
acumulada.
Densidade de
Probabilidade
40
A Figura 8 ilustra o cálculo do VPL do exemplo do item 3.2.2. O uso da
árvore de cenários leva em conta um número reduzido de hipóteses, fornecendo uma
informação direta, porém ela mostra pouco sobre qual a probabilidade de haver
insucesso. O uso da Simulação de Monte Carlo permite que um grande número de
alternativas sejam inclusas no cálculo do VPL, fornecendo uma informação de cunho
estatístico, propiciando análises dos tipos: qual a probabilidade de haver sucesso no
investimento? Qual a probabilidade do retorno superar $7.000,00? Qual projeto
apresenta mais risco (no caso de comparação entre projetos)?
A definição de “Risco” foi apresentada no capítulo 2 e está relacionada com a
dispersão dos valores obtidos pela simulação. O desvio-padrão é usado como
ferramenta para obtenção do risco, quanto maior o desvio-padrão, maior a
variabilidade dos dados, conseqüentemente maior o risco do projeto.
“O indicador estatístico mais comum para o risco de um ativo é o
desvio-padrão, o qual mede a dispersão em torno de um valor esperado. O
valor esperado de um retorno é o retorno mais provável de um ativo”
(Gitman, 2004, p.207).
A função do desvio-padrão
4
(s) é expressa por:
( )
−
=
∑
=
N
x
N
j
j
1
2
µ
σ
(Eq. 3.4)
4
A função representa o desvio-padrão (raiz quadrada da variância) para distribuições normais de
probabilidades, porém outros tipos de distribuições geradas pela simulação podem ser transformadas
em normais, assim pode-se fazer uso da função apresentada.
41
Em que:
N é relacionado a quantidade de números aleatórios gerados;
µ
é valor esperado do VPL (obtido pela média dos retornos de cada situação
simulada i);
j
x é o retorno apresentado pelo VPL para cada situação simulada j;
A partir do momento em que é analisada uma distribuição estatística pode-se
fazer considerações de quão prováveis são determinados valores; assim é possível
efetuar o cálculo de qual a probabilidade do VPL ter um valor maior que 0, o que
torna viável um investimento. Para este cálculo usa-se o conceito de probabilidade
cumulativa, também conhecido como probabilidade acumulada.
O cálculo da probabilidade cumulativa do VPL é apresentado pela função:
∫
−
−=>
X
x
duufxXP )(1)(
(Eq. 3.5)
para
∞
<
<
∞
−
x
Em que:
)( xXP
>
é a probabilidade cumulativa do valor do VPL desejado;
x
é o valor mínimo que o VPL desejado pode assumir;
)(uf é função densidade de probabilidade do VPL (representada pela curva de
probabilidades geradas pelo VPL simulado).
De maneira geral, os softwares que permitem o uso da Simulação de Monte
Carlo apresentam grande quantidade de ferramentas da estatística descritiva, o que faz
42
com que o gestor não tenha que se preocupar com os cálculos, porém a interpretação
correta dos indicadores é fundamental.
Ao decorrer do capítulo serão mostrados alguns elementos ainda não bem
definidos sobre a Simulação de Monte Carlo; como a geração de números aleatórios e
a possibilidade de criar variações em variáveis independentes (demanda, preço,
custos, etc.) de maneira a gerar um VPL simulado (variável dependente).
3.2.4
Elementos da Simulação de Monte Carlo
Variáveis Dependentes e Independentes
O ponto de partida para a construção da simulação é a definição de qual
método matemático estará envolvido no cálculo. Todos os métodos citados no
capítulo 2 (VPL, TIR, MTIR e Payback Descontado) são passíveis de simulação,
sendo chamados de “Variáveis Dependentes” do modelo, já que seu cálculo depende
do fluxo de caixa do composto pela interação matemática de valores constituintes do
projeto, como receita bruta, TMA, preço de venda de determinado produto, custo de
mão-de-obra direta, etc.; considerados “Varáveis Independentes”.
A Simulação de Monte Carlo ocorre variando continuamente as variáveis
independentes. Dessa forma a cada novo valor dessas variáveis, uma variável
dependente nova é calculada (neste trabalho o VPL), representando um cenário
diferente.
Para execução da simulação o analista define a quantidade de números
aleatórios que serão gerados. A cada nova geração de números aleatórios durante a
43
simulação, as variáveis independentes assumem um novo valor. Desta forma,
quantidade de números aleatórios está relacionada a quantidade de cenários aleatórios.
Números Aleatórios
Para geração de tais números diversas técnicas foram utilizadas ao longo da
história. A priori métodos manuais eram utilizados para sua geração, como o sorteio
de valores através do uso de urnas. Depois foram desenvolvidas as tabelas de números
aleatórios, que apresentam uma série muito grande de números, cumprindo a condição
de igualdade de probabilidade de ocorrência de cada número. Máquinas mecânicas e
elétricas analógicas também foram desenvolvidas com o intuito de reproduzir eventos
aleatórios para geração dos números (NOVA, 1980).
O mesmo autor cita que com a evolução da eletrônica teve-se o surgimento
dos chamados métodos eletrônicos. Existem muitas máquinas eletrônicas para geração
de números aleatórios, um exemplo interessante é a ERNIE, que seleciona os prêmios
da loteria da Grã-Bretanha. Nessas máquinas os números são gerados com base no
ruído produzido por uma fonte (material radioativo, lâmpadas de néon, diodos
termoinônicos). Os ruídos apresentados por essas fontes, não apresentam padrões
harmônicos, o que dá caráter aleatório.
Na informática, os números aleatórios são obtidos através de geradores de
números aleatórios, que tem o propósito de através do cálculo numérico, produzir uma
seqüência de números gerados aleatoriamente dentro de uma distribuição de
probabilidade específica. Usualmente, um gerador básico de números aleatórios
produz números que imitam variáveis aleatórias independentes da distribuição
uniforme sobre o intervalo [0;1]. As variáveis aleatórias de outras distribuições
44
(normal, qui-quadrado, exponencial, poisson, etc.) são simuladas empregando-se
transformações apropriadas aos números aleatórios uniformes gerados (VIEIRA et al,
2004).
Na literatura os números aleatórios gerados por computador também são
conhecidos como número pseudo-aleatórios, já que ainda não se consegue gerar por
esse advento seqüências totalmente aleatórias, pois após certos números gerados
percebe-se padrões de repetição. Muitas empresas de software têm investido nesse
recurso, o software Sas
5
, por exemplo, pode gerar rapidamente milhões de números
com correlação relativamente baixa a algum tipo de padrão matemático de repetição.
Segundo Torres (2006), a grande maioria dos algoritmos dos softwares utiliza
o método da congruência linear do cálculo numérico, representado pela função
abaixo:
mcdxx
nn
mod)(
1
+=
+
(Eq. 3.5)
Em que:
0
x é chamado de semente (seed), que pode ser definida pelo usuário do
software;
d é a constante multiplicadora;
c é a constante incremento;
m
é a constante módulo.
Rosa e Pedro Júnior (2002) salientam que tais constantes devem ser
convenientemente escolhidas, pois estes valores afetam drasticamente o comprimento
5
www.sas.com/offices/latinamerica/brazil/technologies/ai/forecasting.html
45
do período da seqüência de números aleatórios. Existem softwares que permitem ao
usuário alterar ou fixar o valor da semente.
A planilha Excel apresenta a função ALEATORIO( ), que permite gerar
valores entre 0 e 1. O Minitab permite geração de números aleatórios usando o
comando CALC \ RANDOM DATA; esse recurso permite ao usuário definir quantos
números deseja gerar e qual a distribuição de probabilidade que tais números irão
assumir.
Distribuições de Probabilidade
Na Simulação de Monte Carlo as distribuições de probabilidade têm a função
de delinear as varáveis independentes, ou seja, são elas que definem quais são as
fronteiras que os números aleatórios gerados irão pertencer; evitando o aparecimento
de valores fora da realidade do investimento.
“Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de cada
valor de uma variável aleatória” (Triola, 1999, p.94).
O intuito de se atribuir uma distribuição a determinada variável independente é
reproduzir o comportamento das variáveis durante todo o período do projeto de
investimento. Dessa forma, na construção de um modelo onde há uso do método de
Monte Carlo faz-se necessário conhecer; não somente o valor mais provável de uma
variável, mas todos os valores em questão, ou pelo menos uma estimativa de como
eles se comportam. Assim lança-se uso das distribuições que visam reproduzir o
comportamento da variável independente.
46
Segundo Silva (2004) uma forma comum de estabelecer a distribuição de
probabilidades para uma dada variável é através da consulta de dados históricos ou
estimativas. Quando se utiliza dados históricos, vale o pressuposto de que estes dados
poderão descrever adequadamente o futuro, se isto não for correto, o recomendável é
que se trabalhe com estimativas.
Devido à relevância do uso das distribuições para a aplicação da simulação de
Monte Carlo, o item 3.2.5 trata sobre alguns tipos importantes de distribuições para a
aplicação do método.
3.2.5
Alguns tipos importantes de distribuição de probabilidade
Distribuição de Probabilidade Uniforme
Neste tipo de distribuição considera-se que todos os eventos que podem
ocorrer são equiprováveis. Essa distribuição remete ao velho exemplo do uso de
dados; a probabilidade de se obter um número entre seis é a mesma para qualquer
evento do espaço amostral. Apesar do exemplo em um caso discreto, usualmente são
usadas distribuições contínuas para uma simulação.
Uma variável aleatória discreta admite um número finito de valores
ou tem uma quantidade enumerável de valores. Uma variável aleatória
contínua pode tomar um número infinito de valores, e esses valores
podem ser associados a mensurações em uma escala contínua, de tal
forma que não haja lacunas ou interrupções (Triola, 1999).
47
A Figura 9 apresenta a função densidade de probabilidade de uma distribuição
de probabilidade uniforme contínua:
Figura 9 – Função densidade de probabilidade uniforme contínua
Fonte: MONTGOMERY e RUNGER (2003)
A variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme contínua com
parâmetros reais
a
e b ; sua função densidade de probabilidade é denotada por:
bxaabxf
≤≤−=
),/(1)(
(Eq. 3.5)
Em que:
a
é o limite inferior da distribuição;
b é o limite superior da distribuição.
O valor médio em uma distribuição uniforme contínua denotado por:
b
a
b
a
ab
x
dx
ab
x
XE
−
=
−
=
∫
2
5,0
)( (Eq. 3.6)
48
2/)()( baXE
+
=
(Eq. 3.7)
A variância é denotada por:
b
a
b
a
ab
ba
x
dx
ab
ba
x
)(3
2
2
3
2
2
−
+
−
=
−
+
−
=
∫
σ
(Eq. 3.8)
12/)(
22
ab −=
σ
(Eq. 3.9)
Segundo Kalatizs (2006) essa distribuição é usada quando se tem informação
sobre os limites de variação da variável em estudo. O fato é que nesta distribuição o
responsável pela construção do modelo probabilístico para simulação define somente
os limites
a
e b .
.
Distribuição de Probabilidade Normal
Indubitavelmente, o modelo mais largamente usado para a distribuição de uma
variável aleatória é a distribuição normal” (MONTGMOREY
e
RUNGER
et al,
2003). Seu formato é definido por uma função gaussiana; simétrico em relação a
média (
µ
), onde o desvio-padrão (
σ
) é maneira usual de representear sua dispersão.
A Figura 10 ilustra uma particular curva normal, determinada por valores de
µ
e
σ
:
49
Figura 10 – Função densidade de probabilidade da distribuição normal.
Fonte: KALATIZS (2006)
A função densidade de probabilidade é denotada por:
2
2
2
)(
2
1
)(
σ
µ
πσ
−−
=
x
exf
para
∞
<
<
∞
−
x
(Eq. 3.10)
A média pode ser obtida através da média aritmética de todos os valores que
compõe o estudo. Já o desvio-padrão foi apresentado pela equação 3.4.
Kalatizs (2006) cita que a distribuição normal deve ser utilizada quando não se
tem informação sobre os limites de variação da variável em estudo ou, não se quer
fixar os limites para a variável em estudo.
Distribuição de Probabilidade de Weibull
A distribuição de Weibull pode apresentar formatos variados, apresentando
grande flexibilidade para modelar diferentes tipos de sistemas físicos. Tal
50
flexibilidade da distribuição de Weibull é ilustrada pelos gráficos das funções
densidade de probabilidade selecionadas na Figura 11:
Figura 11 – Função densidade de probabilidade de Weibull para valores
selecionados de
δ e β.
Fonte: MONTGOMERY e RUNGER (2003)
A função densidade de probabilidade dessa função é descrita por:
( )
)(x/-
1
β
δ
β
δδ
β
e
x
xf
−
=
, para
x
>0,
δ
>0 e
β
>0. (Eq. 3.10)
Em que:
δ
é o parâmetro de escala;
β
é o parâmetro que dá forma a distribuição.
A média e a variância são descritas pelas funções abaixo:
51
+Γ=
β
δµ
1
1 (Eq. 3.10)
2
222
1
1
2
1
+Γ−
+Γ=
β
δ
β
δσ
(Eq. 3.11)
)!1()(
−
=
Γ
rr
(Eq. 3.12)
Este tipo de distribuição deve ser usado quando se tem idéia da assimetria da
variável independente, de forma que possa ser estipulado seu limite inferior e a
curvatura da distribuição de probabilidades.
3.2.6
Considerações Importantes
Depois de apresentada a conceituação sobre a Simulação de Monte Carlo, faz-
se necessário apresentar de maneira lógica e seqüencial a construção do modelo
probabilístico e o uso da simulação. O fluxograma apresentado na Figura 12 exprime
os conceitos:
52
Figura 12 – A estrutura da Simulação de Monte Carlo.
Fonte: adaptado de CASAROTTO FILHO e KOPITTKE. (2000)
Após construído o modelo probabilístico, a cada nova situação i as variáveis
independentes (venda, custo fixo, custo unitário e valor residual) assumem um valor
diferente, desta forma a cada situação tem-se um novo VPL. O conjunto de VPLs
calculados formará a distribuição de probabilidade para a tomada de decisão.
Outra consideração que deve ser feita é sobre a relação do método com os
tipos de incerteza vistos no capítulo 2. A Simulação de Monte Carlo é fundamentada
para efetuar análises de “Risco”, onde o cenário do projeto permite a formulação de
distribuições estatística para uso nas variáveis dependentes. Em um investimento em
53
um título público, por exemplo, informações históricas do valor deste título podem ser
relevantes e suficientes para o investidor, o que faz com que as distribuições de
probabilidade sejam facilmente obtidas e reflitam a confiança do investidor nos dados.
O mesmo pode ocorrer com algumas expansões de manufatura de uma indústria, na
formulação de uma carteira com muitos ativos, etc.
Nas situações de análise de “Incerteza” as informações sobre os cenários
financeiros e econômicos são vagas e pouco mensuráveis, ou seja, não se conhece a
distribuição estatística dos componentes do fluxo de caixa e usa-se como alternativa
trabalhar com opiniões e sugestões de especialistas que tem a função de decidir as
condições do projeto do ponto de vista econômico. Infelizmente, é esta situação mais
freqüente e também a qual os especialistas estão menos preparados para enfrentar.
Como responder as seguintes perguntas: qual será a inflação daqui três anos? Qual o
valor do kW/h se as companhias de distribuição forem privatizadas? Qual o valor do
petróleo daqui cinco anos? (PAMPLONA e MONTEVECHI, 2005).
Segundo Casarotto Filho e Kopittke (2000) quando se dispõe de alguma
informação é possível considerar a incerteza como risco, propiciando o uso da
Simulação de Monte Carlo. Intuitivamente, pode-se criar distribuições de
probabilidade para representar situações de incerteza, porém o mesmo autor salienta o
cuidado que deve ser dado na definição de parâmetros de distribuição de cada
variável, sob pena de obter resultados totalmente inúteis.
O conceito do método de Monte Carlo trata a incerteza como estritamente
“Estocástica”, onde os limites das incertezas presentes na análise são bastante visíveis
e bem definidos pelas distribuições de probabilidade. No capítulo 4, avalia-se a
incerteza em seu caráter “Léxico”, assim lança-se uso da teoria de conjuntos
fuzzy
e
sua utilização em sistemas que apresentam incerteza e subjetividade.
54
O Apêndice A apresenta a construção uma breve conceituação de como
Microsoft® Excel
em conjunto com
software
Crystal Ball
pode ser utilizado para
executar uma Simulação de Monte Carlo.
55
4 O USO DE NÚMEROS FUZZY NA ANÁLISE DE
INVESTIMENTOS SOB CONDIÇÕES DE INCERTEZA
Os “Sistemas Inteligentes” são ferramentas computacionais aplicáveis em
diversas áreas do conhecimento. Suas principais estruturas são baseadas em novos
conceitos matemáticos, que permitem a trabalhar na resolução de problemas onde a
programação ou formulação tradicional é muito difícil ou até mesmo impraticável.
Tais sistemas são utilizados desde automação de sistemas de manufatura, previsões
temporais e na tomada de decisão, entre outras inúmeras aplicações.
Grande parte destes Sistemas Inteligentes é bastante conhecida e utilizada em
aplicações na chamada “Inteligência Artificial”, definida por Shaw e Simões (1999)
como a área do conhecimento que estuda como as pessoas resolvem problemas e
como as máquinas podem emular esse comportamento humano de solução de
problemas, em outras palavras, como fazer com que as máquinas sejam mais
atribuídas de características da inteligência humana.
A concepção lógica dos diversos tipos de Sistemas Inteligentes é bastante
variada; as “Redes Neurais Artificiais”, por exemplo, são técnicas computacionais que
apresentam um modelo matemático inspirado na estrutura neural de organismos
inteligentes que adquirem conhecimento com a experiência. Porém enquanto uma
rede neural artificial pode ter centenas ou milhares de unidades de processamento, o
cérebro de um mamífero pode ter muitos bilhões de neurônios (SANCHES, 2003).
Os “Algoritmos Genéticos” são uma família de modelos computacionais
inspirados na evolução, que incorporam uma solução potencial para um problema
específico numa estrutura semelhante a de um cromossomo e aplicam operadores de
seleção e "
cross-over
" a essas estruturas de forma a preservar informações críticas
56
relativas à solução do problema. Normalmente os algoritmos genéticos são vistos
como otimizadores de funções, embora a quantidade de problemas para o qual os
algoritmos genéticos se aplicam seja bastante abrangente (ARAÚJO, 2008).
A “Lógica
Fuzzy
”
,
também conhecida como difusa ou nebulosa, tem o intuito
de emular o pensamento humano, baseando-se na forma incerta e imprecisa com que
os seres humanos raciocinam (SHAW e SIMÕES, 1999). Sua aplicação é crescente na
engenharia, sendo comuns estudos e aplicações em conjunto com as redes neurais
artificiais, culminando nos “Sistemas Neuro-
Fuzzy
”.
Segundo Oliveira Júnior (1999) o aspecto mais notável dos métodos baseados
na Lógica
Fuzzy
é a possibilidade de capturar em um modelo matemático, conceitos
intuitivos como grau de satisfação, conforto e adequação.
O mesmo autor cita um exemplo para ilustrar a idéia. Supõe-se que em uma
determinada cidade a temperatura varia anualmente entre 15 e 42
°
C. Ao questionar-se
um grupo de habitantes sobre sua sensação térmica, escolhida entre diferentes
alternativas {Fria, Neutra, Quente}, provavelmente haveria consenso que a 15
°
C a
sensação térmica é Fria, a 42
°
C seria Quente e a 25
°
C tal sensação poderia ser
considerada Neutra.
Mas em que temperaturas a sensação Fria se torna Neutra e esta se transforma
em Quente?
Dificilmente haverá coincidência de opiniões na resposta a essa pergunta,
tendo em vista que os conceitos envolvidos são subjetivos e apresentam áreas
“sombrias”, onde não se consegue escolher entre duas alternativas mutuamente
exclusivas simplesmente porque ambas podem estar parcialmente presentes.
Através da Lógica
Fuzzy
o problema poderia ser interpretado de maneira em
que as temperaturas não apresentem fronteiras rígidas entre os limites de Fria, Neutra
57
e Quente. Isto seria possível representado, por exemplo, a concepção de Frio como
um número ou conjunto
Fuzzy
, que conteria uma faixa de valores possíveis para as
temperaturas consideradas frias. Tal conceito é expresso ao longo deste capítulo.
4.1 A LÓGICA
FUZZY
O surgimento da Lógica
Fuzzy
está associado ao professor Loft A. Zadeh, da
Universidade de Berkley na Califórnia, que em 1965 publicou o artigo
Fuzzy Sets
. Na
época Zadeh havia observado que os recursos tecnológicos disponíveis eram
incapazes de automatizar problemas de natureza industrial que compreendessem
situações ambíguas, não passíveis de processamento através da lógica computacional
fundamentada na lógica booleana.
Na lógica booleana ou binária, um elemento
x
pertence ou não pertence a um
determinado conjunto
A
. Apenas duas hipóteses lógicas sobre a pertinência de
x
ao
conjunto
A
são possíveis, sendo representadas em um conjunto binário {0,1}.
1)( =x
A
µ
se e somente se
Ax
∈
; (Eq.4.1)
0)( =x
A
µ
se somente se
Ax
∉
; (Eq.4.2)
Em que:
)(x
A
µ
é a função de inclusão do elemento ao conjunto.
A Figura 13 exprime o conceito:
58
Figura 13 – Lógica booleana
Fonte: adaptado de SANCHEZ(2003)
A lógica booleana é na verdade a estruturação da lógica clássica proposta por
Aristóteles, baseada no princípio da bivalência, o qual permeia o pensamento
ocidental. Espera-se sempre que uma afirmação seja verdadeira ou falsa, branco ou
preto, um ou zero. Nada está entre ambas e o meio está excluído.
Há um considerável descompasso entre o mundo real e a visão
bivalente do mesmo, a começar pelo fato de que o mundo real contém um
número infinito de graus de cinza entre as cores pretas e brancas. Verdade
e precisão existem apenas em casos extremos. Desta forma a Lógica
Fuzzy tem o objetivo de capturar os tons de cinza ou graus de verdade
(Shaw e Simões, 1999).
Na lógica proposta por Zadeh (1965), existe a possibilidade dos termos
pertencerem parcialmente ao conjunto
A
, ou seja, um termo qualquer
x
pode ter uma
59
“Função Pertinência” ou “
Membership
” que assuma qualquer valor no intervalo [0,1].
Segundo Shaw e Simões (1999) este princípio é chamado de multivalência.
Figura 14 – Lógica Fuzzy
Fonte: adaptado de SANCHEZ(2003).
“Um conjunto Fuzzy
A
é caracterizado por um membership
)(x
µ
que associa cada ponto em
x
a um número real no intervalo [0,1], onde
cada valor da função
)(x
µ
representa o ‘grau de pertinência’ de
x
em
A
”
(Zadeh, 1965 p.339).
Pela Figura 14 é possível observar que na Lógica
Fuzzy
pode existir um
elemento
c
que pertence parcialmente ao conjunto
A
(0
≤
grau de pertinência
≤
1).
O “grau de pertinência” de um elemento a um conjunto
Fuzzy
expressa o grau
de compatibilidade do elemento com o conceito representado (NICOLETTI e
CAMARGO, 2004).
60
Inicialmente a função pertinência associada a um elemento
x
qualquer pode
apresentar semelhança com o conceito de uma função de probabilidade, porém
existem diferenças essenciais entre esses dois conceitos que ficam mais claras ao
apresentar-se a seqüência de regras de combinação entre funções pertinência e suas
propriedades básicas. Na verdade, a noção de um conjunto
Fuzzy
é de natureza não
estatística (ZADEH, 1965).
4.2. NÚMEROS E CONJUNTOS
FUZZY
4.2.1
Introdução
Embora na matemática clássica exista uma distinção entre a noção de
elemento e a de um conjunto, na Lógica
Fuzzy
esta noção se aproxima bastante, isso
porque um número
Fuzzy
representa uma faixa de números possíveis e não um valor
absoluto.
Segundo Sanches (2003) os números
Fuzzy
são subconjuntos dentro dos
números reais, representando valores incertos. Todos os números
Fuzzy
estão
relacionados ao grau de pertinência que expressam o quanto é verdadeira uma
informação.
Por exemplo, numericamente o número “Zero” poderia ser representado em
um eixo cartesiano simplesmente por um ponto único (Figura 15).
61
Figura 15 – Número Real 0
Fonte: SHAW e SIMÕES (1999)
O número
Fuzzy
mostrado na Figura 16 expressa o conceito de “Quase Zero”.
Neste conceito observa-se que existe uma área coberta no eixo horizontal. O conceito
matemático de “Zero” tem uma abstração matemática de área nula, enquanto o
conjunto “Quase Zero” desfruta de uma faixa de valores no eixo horizontal,
denominada Universo de Discurso (
U
).
Figura 16 – O conceito de Quase zero
Fonte: Adaptado de SHAW e SIMÕES (1999)
Observa-se que o para todos os valores compreendidos no número
Fuzzy
“Quase Zero” existe uma relação com a função pertinência. Onde 0 tem pertinência
máxima 1.
Os termos “números
Fuzzy
’’ e “conjuntos
Fuzzy
” podem nesse caso
representar a mesma coisa, há no entanto definições matemáticas mais
rigorosas que apresentam diferenciação entre os termos (Shaw e Simões,
1999).
62
A Figura 17 apresenta outro conceito; o de “Próximo de Zero”. Neste caso a
área de valores compreendidos é maior do que “Quase Zero”, o que permite dizer que
este novo número é mais
Fuzzy
do que o número que representa “Quase Zero”.
Figura 17 – Próximo de Zero
Fonte: Adaptado de SHAW e SIMÕES (1999)
A representação de uma grandeza ou evento por um número
Fuzzy
permite que
através da matemática, conceitos que poderiam ser considerados qualitativos sejam
representados de maneira quantitativa.
4.2.2
O Conceito de Possibilidade
A teoria dos conjuntos
Fuzzy
é baseada no fato de que os conjuntos existentes
no mundo real não possuem limites precisos. Um conjunto
Fuzzy
é um agrupamento
impreciso e indefinido, onde a transição da não-pertinência para a pertinência é
gradual e não abrupta. A característica
Fuzzy
implica em existência de imprecisão,
incerteza e definições qualitativas. A teoria dos conjuntos
Fuzzy
provê um método
para manipulação dos conjuntos, onde os limites são imprecisos ao invés de restritos.
A incerteza de um elemento, isso é, seus graus fracionário de pertinência pode ser
concebida por uma “medida de possibilidade”, ou seja, a “possibilidade” de que um
elemento seja membro de um conjunto. O conceito de possibilidade não é o mesmo de
63
probabilidade que se refere a “chance” de que um elemento seja membro de um
conjunto (SHAW e SIMÕES, 1999).
Os mesmos autores apresentam um exemplo que ajuda a compreender o
conceito. Em um relatório de metrologia a chance de chuva é de 0,8. Essa é uma
expressão probabilística, pois o que está sendo levado em conta é se haverá chuva ou
não. No conceito de possibilidade a representação do evento chuva poderia ser obtida
através da construção de uma escala de possibilidades, como na Quadro 4:
Grau de Pertinência Intensidade da Chuva
1,0 Tempestade (T)
0,8 Chuva Forte (CF)
0,6 Chuvas Intermitentes (CI)
0,4 Garoa (G)
0,2 Garoa Fina (GF)
Quadro 4 – Uma representação
Fuzzy
para chuva
Neste caso uma possibilidade de chuva 0,8 indica que a chuva será forte, o que
difere conceitualmente de dizer que amanhã existe uma probabilidade 80% de que
haja chuva.
Através de um conjunto
Fuzzy
em forma de trapézio pode-se representar a
intensidade de chuva expressa pela quadro anterior:
64
Figura 18 – A Intensidade da Chuva
Na Figura 18 o segmento em verde que representa a função )(
x
µ
é também
chamado de distribuição de possibilidades (FEITOSA e PAULOVICH, 2005).
4.2.3
Os Números Fuzzy
Até o presente momento nenhuma diferenciação entre um número
Fuzzy
e um
conjunto
Fuzzy
foi apresentada, porém faz-se necessário explorar esses conceitos para
que a matemática utilizada no trabalho fique mais clara.
Segundo Chiu e Park (1994) um número
Fuzzy
é um subconjunto
Fuzzy
caracterizado por uma função pertinência que satisfaz as seguintes condições:
Normalidade:
1)( =x
A
µ
, pelo menos em um ponto
Ux
∈
:
As Figuras 19 e 20 mostram o conceito:
65
Figura 19 – Função de pertinência não normalizada.
Fonte: Adaptado de OLIVEIRA JÚNIOR (1999).
Figura 20 – Função de pertinência normalizada
Fonte: Adaptado de OLIVEIRA JÚNIOR (1999)
Convexidade:
)()()'(
21
xxx
AAA
µµµ
∧≥
, onde:
]1,0[)( ∈x
A
µ
e
],['
21
xxx ∈∀
As Figuras 19 e 20 apresentam funções pertinências convexas, já a Figura 21
apresenta uma não convexa:
66
Figura 21 – Função de pertinência normalizada, porém não convexa
4.2.4
Tipos de Números Fuzzy
Diversos tipos de números
Fuzzy
são aplicados na engenharia, usualmente são
denominados em função do formato de funções de pertinência e podem ser aplicados
para representar conceitos ou eventos diversos. Na automação, são utilizados para
representar entradas incertas em sistemas de controle. Nos sistemas de apoio à
decisão, podem representar incertezas como, por exemplo, comportamento cambial ou
variação diária da quantidade produzida de um produto.
Número Trapezoidal Fuzzy
Neste caso a função pertinência assume um formato de trapézio como na
Figura 22 que representa um número trapezoidal
Fuzzy
qualquer denominado A:
67
Figura 22 – Número Trapezoidal
Fuzzy
Fonte: Adaptado de SANCHEZ (2003)
Matematicamente o número acima pode ser representado por:
),,(
43,21
aaaaA
=
(Eq.4.3)
Onde )(
1
xf
a
e
a
f
2
(x) são funções que representam os seguimentos de reta,
definindo a função pertinência como:
>
≤≤
−
−
≤≤
≤≤
−
−
<
=
4
43
34
4
32
21
12
1
1
,0
,
1
,
,0
)(
ax
axa
aa
xa
axa
axa
aa
ax
ax
x
A
µ
(Eq.4.4)
Número Triangular Fuzzy
Um número triangular
Fuzzy
é constituído por dois segmentos de reta, o que
faz com que sua função pertinência assuma a seguinte forma:
68
(Eq.4.5)
Figura 23 – Número Triangular
Fuzzy
Fonte: Adaptado de SANCHEZ (2003)
Uma representação matemática simples do número apresentado na Figura 23
pode ser expressa por:
),(
3,21
aaaA
=
(Eq.4.6)
Na literatura a denominação
cut
−
α
é muito utilizada quando deseja-se
representar um número
Fuzzy
em função de determinada pertinência. Em termos
práticos o
cut
−
α
nada mais é do que os infinitos valores que uma função de
pertinência pode assumir dentro do intervalo [0,1].
A Figura 24 exprime esta
representação para um número triangular
Fuzzy
e em seguida é apresentada sua
representação matemática.
<
≤≤
−
−
≤≤
−
−
<
=
3
32
23
3
21
12
1
1
,0
,
,
,0
)(
ax
axa
aa
xa
axa
aa
ax
ax
x
A
µ
69
Figura 24 – Representação de
25.0
=
−
cut
α
e
75.0
=
−
cut
α
em um número triangular
Fuzzy
],[
)()(
αα
rl
aaA =
(Eq.4.7)
Onde, )(
α
l
é função inversa do seguimento de reta à esquerda do referido
número
Fuzzy
e )(
α
r
é função inversa que representa o seguimento da direita
(BANHOLZER, 2005). Desta forma:
])(,)[(],[
]1,0[
323112
)()(
aaaaaaaaA
rl
+×−−+×−==
∈
∀
αα
α
αα
(Eq.4.8)
Um exemplo ajuda na melhor compreensão dos conceitos. Supõe-se que um
número triangular
Fuzzy
A seja definido por (-1, 2, 5), ilustrado na Figura 25. Sua
função de pertinência é expressa por:
70
>
≤≤
−
≤≤−
+
−<
=
5,0
52,
3
5
21,
3
1
1,0
)(
x
x
x
x
x
x
x
A
µ
(Eq.4.9)
Figura 25 – Representação gráfica do número
Fuzzy
A = (-1, 2, 5)
Utilizando a representação por
cut
−
α
:
]53,13[],[
]1,0[
)()(
+×−−×==
∈
∀
αα
α
αα
rl
aaA
(Eq.4.10)
Número Fuzzy em formato de Sino
As funções pertinência em formato de sino são representadas pela seguinte
função:
bax
A
ex
/)(
2
)(
−−
=
µ
(Eq.4.11)
71
Figura 26 – Número
Fuzzy
em formato de Sino
Fonte: NICOLETTI e CAMARGO (2004)
Os números Fuzzy podem assumir formatos diversos, isto porque uma função
qualquer que apresente os princípios de normalidade e convexidade pode caracterizar
um número Fuzzy.
Neste trabalho o intuito principal é o de representar parâmetros que compõe
um fluxo de caixa através de números Fuzzy. Visto que tais parâmetros são incertos e,
de certa forma, de difícil mensuração, atear-se-á aos números de formato geométrico
mais simples como os triangulares, pois a opção por funções mais complexas pode ser
pouco representativa. À medida que a complexidade da função aumenta, mais difícil
se torna adequá-las as informações vagas e muitas vezes intuitivas presentes nas
análises de investimento onde não se sabe claramente o comportamento futuro das
variáveis dependentes.
4.2.5 Operações com Números Triangulares Fuzzy
A Adição Fuzzy (+)
72
Segundo Chiu e Park (1994) a adição entre dois números Fuzzy A e B pode ser
expressa por:
],[)(
)()()()(
αααα
rrll
babaBA ++=+ (Eq.4.12)
Para a soma entre dois números Fuzzy A = (-10, 4, 5) e B = (7, 10, 15). Tem-
se:
]5,1410[
αα
−×+−=A
e
]515,37[
αα
×−×+=B
(Eq.4.13)
]620,173[)(
αα
×−×+−=+ BA
(Eq.4.14)
Para
α
= 0:
]20,3[)( −=+ BA
Para
α
= 1:
]14,14[)( =+ BA
Figura 27 – Soma entre os números
Fuzzy
A e B
Fonte: BANHOLZER (2005).
A Imagem Simétrica
73
A Imagem Simétrica de um número triangular Fuzzy ),,(
321
aaaA = pode ser
definida como:
),,(
123
aaaA −−−=− (Eq.4.15)
A representação gráfica da imagem simétrica de um número Fuzzy pode ser
visualizada através da Figura 28:
Figura 28 – A Imagem Simétrica de A
Pela concepção por
cut
−
α
;
],[
)()(
αα
lr
aaA −−=− (Eq.4.16)
A Subtração Fuzzy (-)
A subtração Fuzzy na verdade é a soma de um número Fuzzy A com a imagem
simétrica do número Fuzzy B que se pretende subtrair:
74
],[)(
)()()()(
αααα
lrrl
babaBA −−=− (Eq.4.17)
Considerando os números Fuzzy A = (-2, 0, 3) e B = (2, 4, 5) tem-se:
]33,22[
αα
×−×+−=A
e
]5,22[ +−+×=
αα
B
(Eq.4.18)
]51,37[)(
αα
×−×+−=− BA
(Eq.4.19)
Para
α
= 0:
]1,7[)( −=− BA
Para
α
= 1
]4,4[)( −−=− BA
Figura 29 – Subtração entre os números
Fuzzy
A e B
A Multiplicação Fuzzy (
×
)
Segundo Chiu e Park (1994) a multiplicação entre dois números Fuzzy A e B
pode ser expressa por:
75
],[)(
)()()()(
αααα
rrll
babaBA
××=×
(Eq.4.20)
Utilizando os valores dos números Fuzzy do exemplo anterior (subtração
Fuzzy) tem-se:
]15183,44[)(
22
−×−××−=×
ααα
BA (Eq.4.21)
Desta forma o número Fuzzy resultante da multiplicação poderia ser
representado pela Figura 30. Onde )(
α
l e )(
α
r de BA )(
×
não são segmentos de reta.
Figura 30 – Multiplicação entre os números
Fuzzy
A e B
A Divisão Fuzzy (
÷
)
Segundo Banholzer (2005) a divisão de dois números Fuzzy A e B pode ser
expressa por:
76
)]/,/,/,/max(
);/,/,/,/[min()(
)()()()()()()()(
)()()()()()()()(
αααααααα
αααααααα
rllrrlll
rrlrrlll
babababa
babababaBA =÷
(Eq.4.22)
O mesmo autor apresenta um exemplo usando números Fuzzy A = (-10, 4, 5) e
B = (7, 10, 5):
]5,1410[
αα
−×+−=A
(Eq.4.23)
]515,37[
αα
×−×+=B
(Eq.4.24)
(Eq.4.25)
))]515/()5(),37/()5(
),515/()1410(),37/()1410max(());515/()5(
),37/()5(,)515/()1410(),37/()1410[min(()(
αααα
ααααα
α
α
α
α
α
α
×−−×+−
×−×+−×+×+−×−−
×
+
−
×
−
×
+
−
×
+
×
+
−
=
÷
a
BA
Figura 31 – Divisão entre os números
Fuzzy
A e B
Fonte: BANHOLZER (2005)
4.3 A ESTRUTURA LÓGICA EM SISTEMAS E MODELOS FUZZY
A partir dos primeiros conceitos propostos por Zadeh até os dias atuais, muito
se desenvolveu da Lógica Fuzzy, o que fez com que suas aplicações se estendessem à
diversos tipos de sistemas e modelos. Este capítulo enfatiza sua utilização, em um
77
primeiro momento, em um Sistema de Controle Fuzzy automático; a posteriori é
apresentado um exemplo na avaliação de um investimento, que serve como base
conceitual para modelo proposto no Estudo de Caso.
Como ponto de partida para sua aplicação, alguns conceitos utilizados na
estruturação de modelos e sistemas Fuzzy devem ser ressaltados. A Figura 32 ilustra
conceitos importantes do método e faz uma referência à Figura 5 do capítulo 2:
Figura 32 – Sistemas e Modelos
Fuzzy
A “Fuzzificação” torna variáveis de entrada reais em variáveis Fuzzy. Estas
variáveis fuzzificadas são utilizadas por meio de “Cálculos ou Inferências” baseados
na matemática Fuzzy, que resultam em saídas para o sistema ou modelo. Por fim é
realizada a “Defuzzificação”, que torna as variáveis Fuzzy de saída obtidas em saídas
78
reais, de maneira que possam ser interpretadas e utilizadas em ações ou aplicações
subseqüentes.
A utilização de estruturas Fuzzy para “Inferência” apresenta diferenças
significativas quando comparada a utilizações em “Cálculos”. Desta forma uma breve
diferenciação sobre as duas aplicações é exposta na Tabela 1; melhor esclarecida nos
itens seguintes:
Tabela 1 – Diferenças básicas entre Cálculos e Inferências
Fuzzy
Cálculo Inferência
Estrutura Principal Operações Matemáticas Fuzzy.
Estruturas lógicas:
- Se;
- Então.
Fuzzificação
Números Fuzzy representam
evento incerto.
- Conjuntos numéricos Fuzzy
delimitam todos os valores
possíveis de entrada;
- Qualquer valor real pode
representar entrada no
Sistema. A partir daí ocorre a
fuzzificação, que transforma a
variável real em um vetor
Fuzzy.
Defuzzificação
Resultado Fuzzy obtido é passível de interpretação ou serve
como resposta do sistema ou modelo.
79
4.3.1 Fuzzificação
Segundo Oliveira Júnior et al (2007) a Fuzzificação é feita para incorporar
percepções a elementos ordinários, sendo realizada por meio de funções de
pertinência que modelam a análise. Nesta etapa todas as informações relativas à
imprecisão ou incertezas associadas devem ser consideradas.
Por exemplo, a variável lingüística, “Taxa de juros Selic Alta” poderia ser
utilizada em Cálculo financeiro na forma de um número triangular Fuzzy, como na
Figura 33. Neste caso, baseando-se nas informações econômicas e financeiras
vigentes, o investidor supõe que a variação desta taxa de juros ao longo do
investimento será representada pela função de pertinência triangular exposta na
figura.
A Fuzzificação corresponde simplesmente em tornar o conceito “Taxa de
Juros Selic Alta” em um número Fuzzy.
Figura 33 – Variável Lingüística Taxa de Juros Selic Alta
.
80
De maneira diferente das aplicações Fuzzy baseadas em cálculo, nos sistemas
Fuzzy baseados em Inferência, usualmente representa-se uma determinada variável
lingüística através de um conjunto de funções de pertinência, o qual representa todos
os valores possíveis de entrada. A Figura 34 apresenta o conceito:
Figura 34 – Possíveis valores Taxa de Juros Selic
A Figura 34 serve como universo de discurso para qualquer entrada do
sistema, ou seja, qualquer variável real possível no intervalo de 8% a 24% é passível
de fuzzificação. Supõe-se que as estruturas apresentadas na figura sejam componentes
de um software que faz inferências baseado no valor diário da Taxa de Juros Selic de
Mercado, além de outras entradas, como valores de títulos e ações. A saída do
software indica a melhor composição de um portifólio para um investidor em ativos
para curtíssimo prazo.
Neste tipo de aplicação, a alimentação do sistema seria feita com valores
diários da Taxa Selic no Mercado Financeiro. A cada dia um novo valor de entrada
corresponderia à essa variável. A Figura 35 mostra a entrada no sistema quando a taxa
referente é 13% a.a.
81
Figura 35 – Valor de entrada 13%
O valor 13% pertence a dois dos números Fuzzy da Figura 35; o primeiro que
se refere a “Taxa de Juros Selic Baixa”, com pertinência 0.35 e o segundo referente a
“Taxa de Juros Selic Média” com pertinência 0.8. Nota-se que a pertinência do valor
13% ao número Fuzzy “Taxa de Juros Selic Alta” é igual a 0.
Assim, um “Vetor de Possibilidades” equivalente ao número discreto 13%
poderia ser representado por {0.35; 0.8; 0} (SHAW e SIMÕES, 1999). Em suma, nos
sistemas de Inferência, usualmente as entradas são Fuzzificadas através deste tipo de
vetor.
4.3.2 Defuzzificação
Na Defuzzificação o valor da variável de saída inferida ou calculada será
traduzida em um valor discreto. O objetivo é obter-se um único valor numérico
discreto que melhor represente os valores Fuzzy obtidos da variável de saída, ou seja,
da distribuição de possibilidades gerada. Assim a Defuzzificação é uma
transformação inversa que traduz a saída do domínio Fuzzy para o domínio discreto
(SHAW e SIMÕES, 1999).
82
O mundo físico não “entende” números e conjuntos difusos, logo é
necessário gerar grandezas abruptas que representem ou resumam da
melhor maneira possível a informação contida nesses resultados (Oliveira
Júnior, 1999).
Existem inúmeros métodos para realização da Defuzzificação, onde sua
aplicabilidade varia de acordo com os tipos de aplicações em que a Lógica Fuzzy está
sendo utilizada.
Defuzzificação pelo Centro da Área
Este método também é conhecido como método do Centro de Gravidade, pois
sua utilização se dá pelo cálculo do centróide da área composta que representa o
termo Fuzzy obtido como saída sistema ou modelo (SHAW e SIMÕES, 1999).
A Figura 36 apresenta a saída de um controlador Fuzzy de potência de um
motor em um sistema automático. Este exemplo será detalhado no item 4.4 deste
capítulo.
83
Figura 36 – Método de defuzzificação pelo Centro da Área
Fonte: Adaptado de SHAW e SIMÕES (1999).
O cálculo do centróide da área pode expresso da seguinte forma:
)(
)(
*
1
1
x
xx
x
N
j
saída
N
j
saídaj
∑
∑
=
=
×
=
µ
µ
(Eq.4.26)
Em que:
j
x é o valor do valor real da variável em cada em cada situação j;
)(x
saída
µ
é o valor função de pertinência para valor real os cada valor real
j
x ;
N é o número de iterações utilizadas.
Defuzzificação pela Média dos Máximos
84
Neste método os picos máximos das funções de pertinência são utilizados,
enquanto a área é ignorada. Matematicamente é expresso por (SHAW e SIMÕES,
1999):
(Eq.4.27)
Em que:
m
x é o m-ésimo valor no inverso de discurso com pertinência máxima;
M é o número total de valores com pertinência máxima.
A mesma saída fuzzificada, mostrada no item anterior, resultaria em uma
menor potência do motor quando utilizando o método da Média dos Máximos,
representado na Figura 37:
Figura 37 – Método de Defuzzificação pela Média do Máximo
Fonte: Adaptado de SHAW e SIMÕES (1999)
∑
=
=
M
m
m
M
x
x
1
*
85
Defuzzificação pela Distribuição de Possibilidades Cumulativa
Chiu e Park (1994) defendem o uso do cálculo de áreas para calcular a
possibilidades da saída. Utilizando a saída fuzzificada apresentada nos exemplos
anteriores poderia ser calculada a possibilidade do motor atuar em reverso, ou seja,
apresentar potência negativa. Assim o valor seria obtido pela divisão da área que
compreende os valores negativos na Figura 38 divididos pela área total.
Figura 38 – Possibilidade Cumulativa
Desta forma:
∫
∫
−
−
=<
30
15
0
15
)(
)(
)0(*
x
x
x
saída
saída
µ
µ
µ
(Eq.4.28)
86
Apesar de parecer pouco representativa, se aplicada no controle de um motor
elétrico, a utilização da possibilidade cumulativa pode ser muito útil em aplicações
onde se deseja fazer uso do VPL, pois através dela é possível calcular a possibilidade
de sucesso ou insucesso de um investimento. Já os métodos do centróide e do centro
do máximo podem ser úteis no cálculo do valor mais possível, ou seja, no caso do
VPL, o retorno de maior possibilidade.
A escolha do método de Defuzzificação nos sistemas de apoio a
decisão depende do contexto dessa decisão. Nas decisões qualitativas
como alocação de recursos ou priorização de projetos é recomendado o
uso centro do máximo (Shaw e Simões, 1999).
Apresentado os conceitos de Fuzzificação e Defuzzificação, uma lacuna surge
no que diz respeito a maneira que cálculos ou inferências Fuzzy são efetuados.
Pretende-se apresentar esses conceitos ainda inexplorados nos próximos tópicos do
capítulo, onde são apresentados exemplos da aplicação da lógica.
4.4 A APLICAÇÃO DA LÓGICA FUZZY EM UM SISTEMA DE CONTROLE
Nas aplicações industriais e na engenharia de controle a Lógica Fuzzy ganhou
aplicabilidade desde seu surgimento. Fora utilizada no controle automático de
máquinas de lavar, controle de freios ABS, direção automática de trens, sistemas de
transmissão automática de veículos, controle de tráfego urbano e rodoviário, sistemas
de reconhecimento de voz e imagem, entre inúmeras outras aplicações (OLIVEIRA
JÚNIOR, 1999).
87
A ampla utilização industrial e em produtos de bens de consumo culminou no
desenvolvimento de softwares para aplicação e equipamentos para automação. Na
Europa e na Ásia principalmente, e com menor intensidade nos EUA, diversos
fabricantes como Siemens, Allen-Bradley, AEG desenvolveram Controladores
Lógicos Programáveis (CLP) com módulos específicos para a Lógica Fuzzy (SHAW e
SIMÕES, 1999).
Os Controladores Lógicos Programáveis são dispositivos
eletrônicos utilizados em sistemas de automação flexível. São ferramentas
de trabalho muito úteis e versáteis para aplicações em sistemas de
acionamentos e controle, e por isso são utilizados em grande escala no
mercado industrial. Permitem desenvolver e alterar facilmente a lógica
para acionamento das saídas em função das entradas. Desta forma, pode-
se associar diversos sinais de entrada para controlar diversos atuadores
ligados nos pontos de saída (Silva Filho, 2007).
O sistema de controle que será apresentado é aplicado em uma situação de
automação. Trata-se de uma ponte rolante para contêineres, usada para carga e
descarga em embarcações navais. A Figura 39 ilustra a situação:
88
Figura 39 – Transporte para cargas portuárias
Fonte: Adaptado de FUZZYTECH (2006)
A operação consiste em transportar contêineres ao longo da distância
(distance) compreendida entre o navio e área de descarregamento. A dificuldade desta
tarefa é que o contêiner é suspenso através de um cabo e a medida que há
movimentação; forma-se um ângulo de abertura (angle) durante o transporte, gerando
oscilação no sistema. À medida que a carga ganha velocidade, mais difícil se torna
controlá-la, o que pode culminar em graves acidentes.
Deve-se levar em conta que trata-se de uma aplicação largamente usada em
zonas portuárias, dessa forma a velocidade de descarregamento desses contêineres é
um fator primordial, visto que afeta diretamente a produtividade logística e os custos
operacionais. A velocidade do sistema está ligada à potência (power) do motor em
operação.
Devido à dificuldade de automação por modelos físicos, usualmente esta tarefa
era realizada manualmente por operadores humanos, o que também apresentava
89
riscos, pois os mesmos caminhavam com os controladores em mãos, estando sujeitos
a quedas ou algum deslize.
A aplicação da Lógica Fuzzy na automação desta operação é baseada na
experiência humana neste controle. Subsidiada pelo raciocínio humano, a automação
é realizada considerando apenas duas variáveis de entrada: distance e angle. Pela
observação das entradas o operador controla power buscando velocidade no
descarregamento.
O sistema Fuzzy para esse controle é baseado em inferências. A Figura 40
representa as entradas e saídas do sistema.
Figura 40 – Estrutura de Controle
Fonte: FUZZYTECH (2006)
Fuzzificação das Variáveis
Para fuzzificação das variáveis utiliza-se o conceito de vetor de possibilidades.
A Figura 41 representa a entrada da variável angle em graus.
90
Figura 41 – Entrada da variável
angle
Fonte: FUZZYTECH (2006).
A seta vermelha representa a entrada angle em -45 ° que é fuzzificada em um
vetor de possibilidades {0.70;0.30;0.00;0.00;0.00}. A pertinência do valor real ao
número Fuzzy neg_big (negativo alto) é 0.70, sua pertinência à neg_small é 0.30,
enquanto a pertinência é nula quando considerado os outros números Fuzzy da figura.
A entrada distance com valor de 13.27 jardas é expressa pelo vetor Fuzzy
{0.00;0.00;0.00;0.73;0.27}. Os números Fuzzy neg_close, zero, close, medium e far
representam respectivamente os conceitos de perto à esquerda, na posição adequada,
perto à direita, distância média à direita e longe à direita. A Figura 42 apresenta esta
entrada.
Figura 42 – Entrada da variável
distance
Fonte: FUZZYTECH (2006).
91
A Inferência Fuzzy no Sistema
O ato da inferência está relacionado ao processamento das variáveis de entrada
de maneira a obter uma saída ou reposta fuzzyficada. Tal inferência é realizada
através dos conectivos lógicos SE, E e ENTÃO. A Figura 43 exprime o conjunto de
regras de inferência necessárias para o controle.
Figura 43 – Conjunto de regras para o sistema
Fonte: FUZZYTECH (2006)
Nesta aplicação, em uma situação em que o sistema apresenta um ângulo
levemente negativo e o contêiner está próximo do ponto de descarregamento, a saída
do sistema power é levemente negativa, conforme a regra 5.
Para que a inferência seja feita, considera-se os valores dos vetores de
possibilidade onde a combinação entre seus mínimos resultam em saídas fuzzificadas.
Quando a entrada angle é -45 °, esta apresenta possibilidade 0.70 em neg_small e
0.30 em neg_big. Trata-se então das possibilidade separadamente:
92
- o ângulo de abertura -45 ° é pequeno e negativo (neg_small). Sua intensidade
é 0.30;
- o ângulo de abertura -45 ° é grande e negativo (neg_big). Sua intensidade é
0.70.
A outra entrada mostra a distância em que o contêiner está do ponto de
descarregamento. Conforme Figura 41, quando a distância é 13.27 jardas o vetor de
possibilidades representa que:
- a distância 13.27 jardas é média (medium) com intensidade 0.73;
- a distância 13.27 jardas é longa (far) com intensidade 0.27.
Desta forma, o resultado Fuzzy da potência do motor é obtido combinando as
duas entradas, onde a pertinência resultante é obtida pelo menor valor de pertinência
entre elas. Utilizando o bloco de regras da Figura 43 obtêm-se a resposta do sistema:
Tabela 2 – Inferência do sistema
SE E ENTÃO
Regras
Angle µ
angle
Distance µ
distance
Power µ
power
6
neg_small
0.30
medium
0.73
pos_high
0.30
7
neg_big
0.70
medium
0.73
pos_medium
0.70
9
neg_small
0.70
far
0.27
pos_high
0.27
93
Apenas 3 entre 9 regras presentes na Figura 43 foram utilizadas, isto porque,
power
µ
é obtida pelo menor valor entre
angle
µ
e
cedis tan
µ
. Assim quando alguma destas
pertinências é nula,
power
µ
também é.
Quando não há regra para uma situação corrente, não há saída no sistema e a
potência permanece inalterada.
Assim como para as entradas angle e distance, a saída Fuzzy é realizada
através de uma série de números Fuzzy (neg_high, neg_medium, zero, pos_medium e
pos_high) que representam a potência do motor. Observando-se a Tabela 2 na regra 7;
a saída inferida é uma potência pos_medium com pertinência é 0.70, visualizada
geometricamente pela Figura 44:
Figura 44 – Potência
pos_medium
com pertinência 0.70
Fonte: Adaptado de FUZZYTECH (2006).
Na realidade a resposta da inferência precisa ser composta pela combinação de
todas as regras. Assim, a figura geométrica resultante da inferência é composta pela
união das áreas geradas nas regras 6, 7 e 9. Tal saída é conhecida como resposta
fuzzificada, apresentada na Figura 45:
94
Figura 45 – Resultado fuzzificado da
power
”
Fonte: Adaptado de FUZZYTECH (2006).
Este método de inferência é denominado por Shaw e Simões (1999) como de
Mínimo-Máximo (Min-Max).
A Defuzzificação das Variáveis
Obtida a saída fuzzificada faz-se necessário torna-lá uma variável real para
que seja emitido o sinal de saída do controlador para o atuador. O método de
defuzzificação é o da Média dos Máximos, que resulta um valor de 14.0500 kW.
Figura 46 – Valor defuzzificado de
power
: 14.0500 kW
Fonte: Adaptado de FUZZYTECH (2006).
R
R
e
e
g
g
r
r
a
a
7
7
R
R
e
e
g
g
r
r
a
a
9
9
R
R
e
e
g
g
r
r
a
a
6
6
95
A cada instante os valores de angle e distance se alteram devido a
movimentação, a cada variação nas entradas a inferência é realizada, o que resulta em
um novo valor para power, ou seja, o controle é contínuo.
A aplicação apresentada faz parte de exemplos presentes nos software
Fuzzytech 5.60, que apresenta versão demonstrativa para download no site
6
do
fabricante.
Apesar de não ser tratada diretamente no estudo de caso, a utilização da
Lógica Fuzzy para inferências é amplamente utilizada, seja em aplicações de controle,
como em sistemas de apoio a decisão, portanto fez-se necessária sua apresentação no
trabalho.
4.5 A APLICAÇÃO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO FUZZY NA AVALIAÇÃO
ECONÔMICO-FINANCEIRA DE INVESTIMENTOS
A capacidade de relacionar a incerteza fez com que os conceitos Fuzzy
ganhassem notoriedade e aplicabilidade em outras áreas do conhecimento. Na área
financeira é crescente a quantidade de trabalhos e aplicações, a literatura internacional
contempla livros específicos do uso da Lógica Fuzzy em finanças. Von Altrock (1995)
e Gil-Lafuente (2005) apresentam aplicações diversas, como o uso na concessão de
crédito e na detecção de fraudes.
No Brasil ainda são escassos os trabalhos que promovem o uso da Lógica
Fuzzy na área financeira, porém este cenário está mudando. Borba e Dill (2007)
mostram sua aplicação na análise de rentabilidade de empresas, onde o balanço
patrimonial das mesmas é o objeto de estudo. Banholzer (2005) propõe o cálculo da
6
www.fuzzytech.com
96
Taxa Interna de Retorno através do cálculo Fuzzy. Medeiros (2003) apresenta em sua
dissertação um estudo para avaliação de viabilidade de um projeto de um campo de
golfe público, levando em conta a ordenação de fatores ambientais, econômicos e
sociais.
Neste trabalho o intuito é calcular o VPL através da Lógica Fuzzy de modo
com que as incertezas presentes no investimento sejam incorporadas ao cálculo.
Gutiérrez (1989) apresenta a primeira formulação para a aplicação de números Fuzzy
para o cálculo do Valor Presente Líquido. Em seu trabalho os fluxos de caixa por
período( FC ) e a taxa de desconto de um investimento por período(
i
) são
representados por números triangulares Fuzzy, tratando a incerteza presente como
léxica.
[
]
)()(
;
αα
rl
FCFCFC =
(Eq.4.29)
[
]
)()(
;
αα
rl
i
ii=
(Eq.4.30)
Como resultado dos cálculos, fora apresentado um número Fuzzy de formato
próximo a um triangular que constituía a função Valor Presente Líquido Fuzzy
(VPL
Fuzzy
). No entanto o trabalho de Gutierréz (1989) apresentava certa dificuldade
para interpretação dos resultados, já que a saída do modelo era na verdade um valor
fuzzificado.
97
Figura 47 – VPL obtido em um investimento onde fora utilizado taxas de descontos e fluxos
caixa
Fuzzy
Fonte: Adaptado de GUTIERRÉZ(1989)
A dificuldade de interpretação do VPL resultante na Figura 47 é acentuada
quando se deseja a comparação entre vários investimentos, visto que o ato de
comparar valores fuzzificados pode exigir certo cuidado matemático.
Chiu e Park (1994) apresentam um método para defuzzificação para o
VPL
Fuzzy
, além de reestruturar a formulação proposta por Guiterréz (1989), tornando-
se um dos trabalhos mais conceituados para a aplicação da Lógica Fuzzy como
instrumento para avaliação de investimentos. A formulação de Chiu e Park (1994)
éapresentada em duas etapas distintas; a primeira refere-se ao cálculo do lado
esquerdo da função (
)(
α
l
fuzzy
VPL ) e posteriormente o lado direito (
)(
α
r
fuzzy
VPL ), de
maneira que:
[
]
)()(
;
αα
r
fuzzy
l
fuzzyfuzzy
VPLVPLVPL =
(Eq.4.31)
98
4.5.1
Cálculo de VPL
Fuzzy
l(α)
A função VPL
Fuzzy
l(α)
representa os piores resultados possíveis para o
investimento em questão. Para seu cálculo é necessário considerar três situações
possíveis para o fluxo de caixa:
I. Para
0
)(
>
α
l
j
FC
em n períodos;
)1(
...
)1()1(
)(
)(
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
)(
0
)(
α
α
α
α
α
α
α
α
r
n
l
n
r
l
r
l
l
l
fuzzy
i
FC
i
FC
i
FC
FCVPL
+
++
+
+
+
+= (Eq.4.32)
∑
∏
=
=
+
=
n
j
j
j
r
j
l
j
l
fuzzy
i
FC
VPL
0
0'
)(
)(
)(
)1(
α
α
α
, onde 0
)(
0
=
α
r
i (Eq.4.33)
II. Para
0
)(
<
α
l
j
FC
em n períodos;
)1(
...
)1()1(
)(
)(
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
)(
0
)(
α
α
α
α
α
α
α
α
l
n
l
n
l
l
l
l
l
l
fuzzy
i
FC
i
FC
i
FC
FCVPL
+
++
+
+
+
+= (Eq.4.34)
∑
∏
=
=
+
=
n
j
j
j
l
j
l
j
l
fuzzy
i
FC
VPL
0
0'
)(
)(
)(
)1(
α
α
α
, onde 0
)(
0
=
α
l
i (Eq.4.35)
III. Para
0
)(
=
α
l
j
FC
em n períodos;
99
0
)1(
0
)(
)(
)(
=
⇒
+
=
α
α
α
l
fuzzy
r
n
l
fuzzy
VPL
i
VPL (Eq.4.36)
0
)1(
0
)(
)(
)(
=
⇒
+
=
α
α
α
l
fuzzy
l
n
l
fuzzy
VPL
i
VPL (Eq.4.37)
Ou seja, esta situação não influencia o cálculo.
Representando-se I e II na mesma função:
∑
∏∏
=
==
+
+
+
=
n
j
j
j
l
j
l
j
j
j
r
j
l
j
l
fuzzy
i
FC
i
FC
VPL
0
0'
)(
)(
0'
)(
)(
)(
)1(
)0,min(
)1(
)0,max(
α
α
α
α
α
(Eq.4.38)
4.5.2
Cálculo de VPL
Fuzzy
r(α)
O intuito do VPL
Fuzzy
r(α)
é representar as possíveis combinações das funções
Fuzzy FC e i, de maneira a função gerada represente os melhores resultados para o
investimento em questão. Sua estruturação é realizada pelas situações IV, V e VI:
IV. Para
0
)(
>
α
r
j
FC
em n períodos;
)1(
...
)1()1(
)(
)(
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
)(
0
)(
α
α
α
α
α
α
α
α
l
n
r
n
l
r
l
r
r
r
fuzzy
i
FC
i
FC
i
FC
FCVPL
+
++
+
+
+
+= (Eq.4.39)
100
∑
∏
=
=
+
=
n
j
j
j
l
j
r
j
r
fuzzy
i
FC
VPL
0
0'
)(
)(
)(
)1(
α
α
α
, onde 0
)(
0
=
α
l
i (Eq.4.40)
V. Para
0
)(
<
α
r
j
FC
em n períodos;
)1(
...
)1()1(
)(
)(
)(
2
)(
2
)(
1
)(
1
)(
0
)(
α
α
α
α
α
α
α
α
r
n
r
n
r
r
r
r
r
r
fuzzy
i
FC
i
FC
i
FC
FCVPL
+
++
+
+
+
+= (Eq.4.41)
∑
∏
=
=
+
=
n
j
j
j
r
j
r
j
r
fuzzy
i
FC
VPL
0
0'
)(
)(
)(
)1(
α
α
α
, onde 0
)(
0
=
α
r
i (Eq.4.42)
VI. Para
0
)(
=
α
r
j
FC
em n períodos;
0
)1(
0
)(
)(
1
)(
=
⇒
+
=
α
α
α
r
fuzzy
l
r
fuzzy
VPL
i
VPL (Eq.4.43)
0
)1(
0
)(
)(
1
)(
=
⇒
+
=
α
α
α
r
fuzzy
r
r
fuzzy
VPL
i
VPL (Eq.4.44)
Também não há influência sobre o cálculo.
Representando IV e V na mesma função tem-se:
101
∑
∏∏
=
==
+
+
+
=
n
j
j
j
r
j
r
j
j
j
l
j
r
j
r
fuzzy
i
FC
i
FC
VPL
0
0'
)(
)(
0'
)(
)(
)(
)1(
)0,min(
)1(
)0,max(
α
α
α
α
α
(Eq.4.45)
4.5.3
O Valor Presente Líquido Fuzzy
Através da combinação entre as funções
)(
α
l
fuzzy
VPL e
)(
α
r
fuzzy
VPL no intervalo
de pertinência de 0 a 1 tem-se:
(Eq.4.46)
+
+
+
+
+
+
=
∑
∏∏
∑
∏∏
=
==
=
==
n
j
j
j
r
j
r
j
j
j
l
j
r
j
n
j
j
j
l
j
l
j
j
j
r
j
l
j
fuzzy
i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
VPL
0
0'
)(
)(
0'
)(
)(
0
0'
)(
)(
0'
)(
)(
)1(
)0,min(
)1(
)0,max(
;
)1(
)0,min(
)1(
)0,max(
α
α
α
α
α
α
α
α
Para ilustrar sua aplicação um exemplo simplificado é mostrado a seguir.
Através da opinião de especialistas e análise mercadológica tem-se estimativas dos
componentes de caixa de um determinado investimento:
Investimento:
R$ 280.000,00, com variação estimada entre -10% a +15%;
Retorno Esperado:
R$ 240.000,00, com variação estimada entre ±15%;
Taxa mínima de Atratividade:
15% a.a., variando ±2%;
Valor residual:
nulo para este exemplo;
Vida econômica:
3 anos.
102
4.5.4
Fuzzificação do Fluxo de Caixa
Realizar a fuzzificação significa escrever as variáveis em números Fuzzy. O
Investimento pode ser transformado em um número triangular Fuzzy conforme as
Figura 48:
Investimento
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
-350000 -300000 -250000 -200000 -150000 -100000 -50000 0
Investimento L(α) Investimento R(α)
Figura 48 – Investimento fuzzificado
Matematicamente o Investimento pode ser representado da seguinte forma:
Investimento = (-322000, -280000, -252000) (Eq.4.47)
Utilizando-se da representação por
cut
−
α
tem-se:
Investimento
]25200028000;42000322000[ −×−×+−=
αα
(Eq.4.48)
O Retorno Esperado pode ser representado matematicamente por:
103
Retorno Esperado = (204000, 240000, 276000) (Eq.4.59)
Retorno Esperado
]27600036000;36000204000[ +×−×+=
αα
(Eq.450)
Graficamente as funções que definem o Retorno Esperado Fuzzy são
mostradas na Figura 49:
Retorno Esperado
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 50000 100000 150000 200000 250000 300000
Ret. Esp L(α) Ret. Esp R(α)
Figura 49
–
Retorno Esperado
Fuzzy
A Taxa Mínima de Atratividade a ser utilizada para o cálculo do VPL
Fuzzy
é
expressa matematicamente por:
TMA = (0.130, 0.150, 0.170) (Eq.4.51)
TMA
]170.0020.0;020.0130.0[ +×−×+=
αα
(Eq.4.52)
A Figura 50 mostra sua representação como um número triangular Fuzzy:
104
TMA
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0% 18,0%
TMA L(α) TMA R(α)
Figura 50 – A TMA fuzzificada
4.5.5
Cálculo do VPL
Fuzzy
Uma vez obtidas as variáveis Fuzzy presentes no investimento, dá-se a etapa
de cálculo do
fuzzy
VPL . Utilizando a formulação proposta por Chiu e Park (1994),
tem-se:
(Eq.4.53)
32
)(
)020.0170.1/()36000204000()020.0170.1/()36000204000(
)020.0170.1/()36000204000()42000322000(
αααα
ααα
α
×−×++×−×+
+×−×++×+−=
l
fuzzy
VPL
(Eq.4.54)
32
)(
)02.0130.1/()36000276000()02.0130.1/()36000276000(
)02.0130.1/()36000276000()28000252000(
αααα
ααα
α
×+×−+×+×−
+×+×−+×−−=
r
fuzzy
VPL
105
A Figura 51 mostra a representação vetorial do VPL, obtida no intervalo de
α
entre 0 e 1.
VPL
fuzzy
128755,33 399678,12
267974,03
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 400000 450000
VPLL(α) VPLR(α)
Figura 51 – VPL
Fuzzy
aplicado ao exemplo apresentado
4.5.6
Defuzzificação do VPL
Fuzzy
As funções
)(
α
l
fuzzy
VPL e
)(
α
r
fuzzy
VPL aparentemente lembram seguimentos de
reta, o que levaria a pensar que trata-se de um número triangular. Entretanto, trata-se
de um equívoco. Isso deve-se ao fato de haver potenciação em
α
. Como seu domínio
é pequeno (entre 0 e 1), a curvatura das funções geradas é muito pouco acentuada.
Assim, caso haja necessidade de se trabalhar com algum tipo de aproximação junto ao
fuzzy
VPL , esta apresenta resultados bastante satisfatórios.
No exemplo apresentado, o
fuzzy
VPL obtido como saída apresenta somente
valores positivos, ou seja, para todos os valores de pertinência o investimento é
viável. Não é necessário, à priori, lançar-se uso do cálculo da possibilidade
cumulativa [ )0(* <
fuzzy
VPL
µ
]. Já o valor que apresenta maior possibilidade no
106
domínio Real é obtido pelo uso do método de defuzzificação pelo Centro da Área
(CHIU e PARK, 1994):
)(
)(
*
1
1
fuzzy
N
j
N
j
fuzzy
j
fuzzy
VPL
VPLVPL
VPL
∑
∑
=
=
×
=
µ
µ
(Eq.4.55)
Em que:
N é o número de iterações a serem realizadas;
µ(VPL
Fuzzy
) é função que descreve a pertinência do
fuzzy
VPL
Neste exemplo foi utilizado N = 40, sendo o intervalo entre cada iteração uma
valor em 0,05 de µ(VPL
Fuzzy
), obtendo-se:
*VPL = R$ 266.270,57 (Eq.4.56)
A Figura 52 faz referência ao valor defuzzificado:
VPL
*
266270,57
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 400000 450000
VPLL(α) VPLR(α) VALOR DEFUZZIFCADO
Figura 52 – Valor do VPL
Fuzzy
defuzzificado pelo método do Centro da Área
107
O valor obtido pela defuzzificação pode ser utilizado para comparação
econômico-financeira entre projetos de investimento, uma vez que o valor
defuzzificado representa o valor mais possível para cada investimento.
Esta dissertação apresenta um indicador complementar para comparação entre
projetos de investimentos. O nome escolhido é coeficiente de incerteza léxica (CIL)
representado pela função:
*
)1()1(
VPL
VPLVPL
CIL
l
fuzzy
r
fuzzy
−
=
(Eq.4.57)
Quanto mais próximo de 0 for o valor de CIL, menos incerto é o
investimento.
Para o exemplo apresentado tem-se:
266.270,57
128.755,33399.678,12
−
=CIL (Eq.4.58)
02,1
=
CIL (Eq.4.59)
4.5.7
VPL
Fuzzy
utilizando o número de períodos de um investimento como uma
variável Fuzzy
O uso da Lógica Fuzzy pode ser bastante flexível em representar as incertezas,
Sanchez (2003) assim como Omitaou e Badiru (2007) propõem em seus trabalhos o
uso de números Fuzzy para representar a vida econômica de um investimento.
108
Desta forma, explorando o exemplo apresentado, o número de períodos do
investimento poderia ser considerado um valor entre 2 e 4 anos, ao invés do valor
absoluto de 3 anos. A Figura 53 apresenta o conceito.
Vida Econômica
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Vida Econômica L(α) Vida Econômica R(α)
Figura 53 – Vida econômica do investimento representada por um número
Fuzzy
Para obtenção do Vapor Presente Líquido Fuzzy em períodos variáveis, é
necessário calcular individualmente o
fuzzy
VPL do investimento em cada uma das três
principais situações que definem o número triangular Fuzzy Vida Econômica: 2, 3 e 4
anos. A combinação entre os três
fuzzy
VPLs obtidos representa o
fuzzy
VPL para
períodos variáveis, expresso na Figura 54:
109
VPL
fuzzy
com vida econômica em 2, 3 e 4 anos
128755,33 399678,12
267974,03
1383,74
110170,13
208396,27 237619,94 568954,09
405194,81
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 100000 200000 300000 400000 500000 600000
VPL
fuzzy
2
anos VPL
fuzzy
3 anos VPL
fuzzy
4 anos
Figura 54 – Resultados do VPL para cada período
Para realizar a defuzzifação, Sanches (2003) propõe a aproximação das
funções geradas para um número triangular Fuzzy e a partir daí utiliza-se do método
do centro da área para obter o valor defuzzificado. A Figura 54 exprime o conceito e
apresenta o valor defuzzificado de R$273.419,07:
VPL
fuzzy
com vida econômica em 2, 3 e 4 anos
273419,07
1383,74 568954,09
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 100000 200000 300000 400000 500000 600000
Figura 55 – Defuzzificação proposta por Sanches (2003)
110
Omitaou e Badiru (2007) sugerem para interpretação do Vapor Presente
Líquido Fuzzy em períodos variáveis, o uso do conceito de máximo Fuzzy,
representado pela união das funções de pertinência do
fuzzy
VPL com vida econômica
de 2, 3 e 4 anos, mostrado pelo tracejado na Figura 56.
A defuzzificação também é realizada pelo método do centro da área e resulta
em um valor líquido de R$
256.301,39. Percebe-se que neste exemplo, que a
diferença do valor presente líquido em períodos variáveis utilizando-se dos métodos
apresentados é relativamente pequena; R$ 17.117,68 (um valor próximo a 7% do
resultado total do investimento).
VPL
fuzzy
com vida econômica em 2, 3 e 4 anos
256301,39
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0 100000 200000 300000 400000 500000 600000
Figura 56 – Defuzzificação proposta por Omitaou e Badiru (2007)
4.5.8
Considerações Importantes
Na aplicação do Valor Presente Líquido Fuzzy, a incerteza presente em um
investimento é tratada como léxica, ou seja, o modelo é possibilístico e como
mostrado ao longo do capítulo não apresenta caráter estatístico.
111
O exemplo apresentado é bastante simplificado, visto que o projeto apresenta
vida econômica reduzida e a variável chamada Retorno Esperado incorpora as
incertezas presentes no fluxo de caixa do investimento. Entre suas contribuições, esta
dissertação tratará em seu estudo de caso as variáveis incertas que compõe o fluxo de
caixa de maneira independente. Por exemplo: a demanda e o valor do dólar são
consideradas variáveis de entrada representadas cada qual por números Fuzzy
distintos. Desta maneira as receitas e dispêndios de caixa no período são obtidos
através da interação matemática dessas variáveis, que embora aumente
substancialmente o cálculo, contribui para a quantificação das incertezas.
O cálculo do Valor Presente Líquido Fuzzy utilizando-se de um número Fuzzy
para representar a vida econômica de um investimento pode ser bastante útil, pois
permite representar as dúvidas quanto a longevidade do investimento. Entretanto,
neste trabalho este artifício não será colocado em prática, visto que tem-se também
como objetivo, a comparação da Lógica Fuzzy junto ao método de Monte Carlo. A
medida que se adiciona variações ao modelo, mais difícil torna-se a comparação entre
as respostas; o que conseqüentemente poderia comprometer o estudo.
Apesar da matemática Fuzzy não ser demasiadamente complexa, seu uso só é
viabilizado através de softwares. Além do já citado Fuzzytech, existem softwares
específicos para aplicação dos conceitos Fuzzy, como o Matlab, que apresenta um
toolbox específico para sua aplicação. Oliveira Júnior et al (2007) cita os softwares
desenvolvidos na Universidade de Magdeburg
7
, na Alemanha, como o Nefcon,
Nefclass e o Neprox. Trabalhos que usam o Microsoft Excel em sua estruturação
também são encontrados.
7
http://fuzzy.cs.uni-magdeburg.de/
112
Assim como no método de Monte Carlo, para que o resultado seja
representativo, a contextualização do cenário econômico deve ser clara e
fundamentada nas informações presentes do investimento. A economia mundial
apresenta um cenário bastante volátil, de fato isto contribui para que informações
presentes se transformem em fatos relativamente diferentes no futuro. No exemplo
apresentado as faixas de incerteza são bastante reduzidas, em uma situação real com
investimentos de períodos mais longos, pode ser incoerente assumir faixas de
incertezas 10% ou 15%. É evidente que tais variáveis dependem da situação
econômica e empresarial de cada investimento.
No próximo capítulo é apresentado o Estudo de Caso, onde Lógica Fuzzy é
usada para contextualizar a incerteza, tratada em seu caráter léxico. O Apêndice B
apresenta como representar e operar números a formulação utilizando o Microsoft®
Excel.
113
5 A APLICAÇÃO E COMPARAÇÃO ENTRE O MÉTODO DE
MONTE CARLO E O VPL FUZZY EM UM ESTUDO DE CASO
5.1 O PROJETO DE INVESTIMENTO
Com intuito de promover empiricamente a avaliação dos conceitos
apresentados ao longo do trabalho, o método de Monte Carlo e o Valor Presente
Líquido Fuzzy serão aplicados em um projeto real de investimento. A parte inicial
deste capítulo refere-se a apresentação e estruturação do investimento. A segunda
parte destina-se a aplicação dos métodos em discussão. Por fim, são efetuadas as
comparações, qualitativas e quantitativas, propostas no capítulo inicial desta
dissertação.
Para elaboração de um projeto de investimento é necessário buscar e organizar
as informações presentes que envolvem o projeto, organizando-as de maneira
sistematizada, e a partir daí, realizar uma avaliação concisa sobre o investimento em
discussão. Rebelatto (2004) apresenta a estruturação de um projeto de investimento
em cinco etapas. A primeira delas denomina-se análise de mercado. A segunda refere-
se às projeções de engenharia e logística do projeto. Em seguida devem ser estimados
os custos e receitas do projeto. No quarto item são observadas as implicações sócio-
ambientais que a execução do projeto trará, e por fim deve ser realizada a avaliação
econômico-financeira.
Este trabalho apresenta um projeto de investimento, elaborado conforme os
itens descritos. O projeto consiste na criação de uma empresa para a fabricação de
máquinas de grande porte para o mercado agroindustrial, com foco central no setor
114
sucroalcooleiro, apresentando também boas perspectivas na indústria de papel e
celulose. O grupo de investidores envolvidos apresenta experiência neste mercado,
tendo atuado na direção de uma metalúrgica de grande porte no setor.
A produção de açúcar e álcool exige uma série de processos logísticos e de
transformação. Após a colheita e transporte, o processo industrial é delimitado em
várias etapas: a cana deve ser lavada, picada e desfibrada; a partir daí inicia-se o
processo de extração do caldo. Em síntese, tal processo consiste na utilização de
moendas que esmagam a cana desfibrada, ou através de difusores, que permitem a
extração através de lavagens repetitivas.
Após a extração, iniciam-se uma série de processos físico-químicos que
permitem a obtenção do açúcar e do álcool. A fonte primária de energia utilizada em
todo o processo inerente à operação em uma usina é a queima do bagaço da cana.
Através do uso de uma central térmica; um grande volume de água é aquecido
gerando vapor, que além de ser diretamente utilizado no processo industrial tem suas
propriedades termodinâmicas aproveitadas em sistemas mecânicos para o
acionamento de máquinas ou geradores de energia elétrica.
Devido a grande quantidade de processos presentes em uma usina
sulcroalcooleira, uma série de máquinas e equipamentos são necessários. Nos
próximos itens são apresentados dois exemplos de produtos que visam ser
comercializados pelos investidores:
Caldeiras Aquatubulares
Uma caldeira aquatubular é um vaso de pressão que contém a água. A
caracterísitca técnica mais importante de uma caldeira é sua pressão de trabalho. Em
115
caldeiras de baixa e média pressão, à medida que o equipamento recebe calor de uma
fonte térmica, a água presente no vaso se torna vapor saturado (FLORES, 2003). Já as
caldeiras de alta pressão trabalham com vapor em seu estado superaquecido,
apresentando maior eficiência energética, tornado-a mais apropriada para a geração de
energia elétrica, o que as tornam um modelo de maior valor agregado. A Figura 57
apresenta um esquema de funcionamento de uma caldeira aquatubular.
Figura 57 – Esquema de funcionamento de uma caldeira aquatubular
Fonte: ALCKMIN et al (2008)
Por meio da queima do insumo (bagaço de cana) na câmara de combustão,
obtêm-se energia para a transformação da água em vapor no interior da caldeira
(região em verde). Por meio de uma linha de descarga o vapor é direcionado a outras
etapas do processo.
Para geração de energia elétrica, o vapor obtido pela queima de bagaço de
cana nas caldeiras é direcionado para uma turbina; o vapor superaquecido passa pelos
discos da turbina mantendo o eixo central do equipamento em rotação, a energia
116
mecânica obtida pela rotação aciona os geradores de energia que através de indução
magnética, transformam a energia mecânica em energia elétrica.
Difusor
Os difusores são equipamentos responsáveis pela extração do caldo da cana de
açúcar. Pelo processo de difusão, o caldo concentrado presente na cana desfibrada é
extraído através do contato com a água aquecida.
A Figura 58 apresenta um esquema simplificado do funcionamento de um
difusor. A região em azul representa a água de embebição. Na embebição é injetado
vapor entre 75ºC a 90°C, temperatura apropriada para extração de sacarose.
Figura 58 – Esquema de funcionamento de um difusor
Fonte: BASTOS NETO (2008)
A região em verde, no esquema da Figura 58, representa a cana de açúcar
desfibrada que passa pelo difusor. Pelas canaletas, a embebição percorre o colchão de
cana, fazendo com que o concentrado de sacarose deixe as células desfibradas,
substância em maior concentração, e se acumule no líquido de embebebição
(inicialmente em menor concentração), originando o caldo; uma substância rica em
sacarose que é recolhida no captador abaixo do difusor (BASTOS NETO, 2008).
117
5.2 O ESTUDO DE MERCADO
Um estudo de mercado tem o intuito de captar informações relevantes a um
projeto de investimento, relacionando informações econômicas, financeiras e técnicas.
Neste tópico é apresentado um panorama geral sobre o mercado, buscando obter
informações das perspectivas de crescimento e concorrência no setor, o que
contribuirá para quantificação da incerteza inerente ao projeto.
5.2.1
Aspectos Gerais
O setor sulcroalcooreiro movimenta 2% do Produto Interno Bruto (PIB) do
Brasil. Esta grande participação na economia nacional está relacionada a posição do
país neste seguimento; sendo o maior produtor e exportador de álcool etílico e açúcar
do mundo. O setor é considerado o mais antigo da economia nacional, visto que a
cana-de-açúcar chegou ao país ainda em seu período colonial e ganhou projeção
econômica com a produção de açúcar enviado a Portugal. Apesar de bastante
representativo em diversos períodos da economia nacional, o setor só iniciou sua
diversificação em 1931, quando o então presidente Getúlio Vargas decretou o
acréscimo de 5% de álcool na gasolina (OLIVEIRA e VASCONCELOS, 2006).
Em 1976 teve início o Programa Nacional do Álcool (Proálcool), marcado por
incentivos fiscais significativos que propiciaram desenvolvimento de tecnologia no
setor, porém a imagem do programa ficou abalada no fim dos anos 80 com falta do
combustível no mercado, visto que a exportação do açúcar era mais lucrativa do que a
venda do combustível no mercado nacional.
118
Nos últimos anos a participação do setor na economia nacional foi
intensificada. Em 2002, com o lançamento dos carros com tecnologia Flex Fuel,
esenvolvida pela Bosch
8
, observou-se significativo crescimento do consumo do álcool
combustível no país (OLIVEIRA e VASCONCELOS, 2006). Hoje o número de
carros bicombustíveis representa quase 90% dos carros vendidos no país (RANGEL,
2007).
O álcool produzido a partir da cana-de-açúcar é visto como um produto de
grande potencial, por se tratar de um biocombústivel e estima-se que seu consumo
deva crescer nos próximos anos. O processo de geração do álcool brasileiro é tomado
como uma referência mundial. Quando comparado a processos produtivos que se
utilizam do milho, como nos EUA, China e Índia (MSANGI et al, 2006), a tecnologia
nacional para produção de álcool mostra-se mais eficiente e com custo mais baixo
(ZHANG et al, 2006).
Em 2007 as exportações do álcool nacional alcançaram 3,6 bilhões de litros,
um leve crescimento em relação aos 3,4 bilhões exportados em 2006. Os Estados
Unidos são os maiores importadores de álcool, com 1,9 bilhão de litros (900 milhões
diretamente comprados do Brasil e 1 bilhão comprados de países da América
Central), seguidos pela Holanda, com 700 milhões, e Japão, com 380 milhões de
litros.
A ascensão do álcool brasileiro tem gerado interesse do mercado internacional,
fazendo com que o produto fosse destaque em uma matéria do jornal americano The
New York Times que ressaltou a tecnologia brasileira e sua importância para auto-
suficiência energética do Brasil (ROTHER, 2006).
8
A empresa ganhou o prêmio FINEP por inovação tecnológica por este desenvolvimento.
119
O interesse norte-americano na agroindústria sucroalcooleira também pode ser
observado pela sua inserção no grupo Santelisa Vale, da região de Ribeirão Preto,
interior do estado de São Paulo. Em março de 2007, a direção da empresa anunciou
uma sociedade com a Global Foods e o Carlyle Riverstone para criar a Companhia
Nacional de Açúcar e Álcool (CNAA). A empresa deverá investir R$ 2 bilhões de
reais nos próximos dois anos para erguer quatro usinas. Em julho de 2007, foi a vez
do banco americano Goldman Sachs investir 400 milhões de reais no Santelisa Vale
(CORREA, 2007).
Com o "boom" do álcool no mundo, o setor sucroalcooleiro do Brasil receberá
novos investimentos, que contarão com forte financiamento estatal. Serão aplicados
US$ 19 bilhões até 2012 em pelo menos 86 novas usinas e ampliações, e os
empréstimos do BNDES (Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social)
somarão até R$ 10 bilhões no período (SOARES, 2007). Em contrapartida o Instituto
de Pesquisa Econômica Aplicada do governo (IPEA) criticou a presença do BNDES
no setor, alegando instabilidade nos preços do produto, julgando que o mercado ainda
é incerto (IPEA, 2008).
Segundo Pessoa (2008), além do álcool, o mercado do açúcar refinado também
tem sido diferencial para a indústria sulcroalcooleira. Apesar da diminuição no
consumo mundial, os produtores nacionais vêem oportunidades de negócio em países
como China e Japão, que apresentam um consumo de açúcar abaixo da média (6
kg/habitante ano), substancialmente menor do que os Estados Unidos e a União
Européia (20 kg/habitante ano).
Junto a comercialização de produtos derivados da cana-de-açúcar, a venda de
energia elétrica pelas usinas sucroalcooleiras ao mercado de distribuição é uma fonte
de receita potencial. Em 2003 o governo brasileiro criou o Programa de Incentivo às
120
Fontes Alternativas (PROINFRA). Tal programa tem como objetivo diversificar a
matriz energética brasileira, buscando soluções regionais por meio da implementação
de políticas para o desenvolvimento de novas fontes energéticas como a biomassa,
pequenas centrais hidroelétricas e aplicações em fontes eólicas. No entanto percebe-se
que, apesar de seu potencial, o setor sulcroalcooleiro não apresentou a adesão
esperada ao programa. Segundo Souza e Azevedo (2006) o preço de compra pelo
MWh pago pela Eletrobrás ainda é considerado pouco atrativo.
Visto um panorama geral sobre o mercado sulcroalcooleiro, a Figura 59
apresenta a quantidade em toneladas produzidas de cana-de-açúcar, desde o ano de
1900 até o ano de 2007.
Figura 59 – Produção de cana-de-açúcar em tonelada
Fonte: Adaptado de IPEADATA (2008)
O ano de 2007 foi marcado por uma safra recorde, onde foram produzidas
cerca de 514.000.000 toneladas. Para 2008 o IBGE projeta uma produção no setor 9,3
% maior, superando o valor de 560.000.000 de toneladas (ABDALA, 2007).
121
Apesar das boas projeções do IBGE o início do ano de 2008 (período em que
está sendo realizada a análise do projeto presente neste trabalho) começou com um
sinal amarelo para os produtores e investidores. Ao menos em curto prazo, o mercado
do álcool frustrou os que acreditaram nas promessas de novo eldorado verde dos
negócios. A euforia de investidores e empresários com o crescimento do setor,
iniciada em 2006, arrefeceu com a queda nos preços do produto no mercado interno e
com as dificuldades para a exportação, que não se abriu na velocidade alardeada pelo
governo; no mercado acredita-se que há excesso de oferta do produto, causada pela
safra recorde em 2007. Outro fator de influência foi a produção recorde de
combustível a partir do milho nos Estados Unidos que reduziu sua importação do
produto (LOBATO e SOARES, 2008).
Segundo informações de empresários, ao menos 25 projetos de implantação de
novas unidades industriais foram adiados ou reavaliados. Há, no país, 367 usinas em
funcionamento, com a previsão de mais 29 entrarem em operação este ano e um
estudo inédito, o BNDES admite a possibilidade de excedente de produção de 10%
até 2010, a depender da evolução do preço da gasolina. A partir daí, projeta-se um
longo ciclo de crescimento sustentado, principalmente, pelo mercado interno
(LOBATO e SOARES, 2008).
5.2.2
Mercado Alvo da Empresa
O grupo de investidores em questão acredita que os possíveis projetos em
expansão, criação e reformas de usinas sucrooalcoleiras no Brasil serão valiosas
oportunidade de negócios.
122
Além de atender ao mercado nacional, a tecnologia brasileira mostra-se
propicia à exportação, já que os produtos nacionais também são diretamente
aplicáveis ou adaptáveis em sistemas agroindustriais onde o milho é utilizado. O
Quadro 5 apresenta uma descrição dos principais mercados em questão:
País / Região Tecnologia Empregada
Produção Anual de Etanol
(milhões de litros em 2005)
Brasil Cana-de-Açúcar 16500
EUA Milho 16230
China Milho 2000
União Européia Milho 950
Índia Milho 300
Canadá Milho 250
Colômbia Cana-de-Açúcar 150
Tailândia Cana-de-Açúcar 60
Austrália Cana-de-Açúcar 60
Quadro 5 – Grandes produtores mundiais de etanol
Fonte: MSANG et al (2005)
Os responsáveis pelo projeto de investimento afirmam que, além dos países
apresentados no estudo de Msang et al (2005), outros países já aderiam ou deverão
aderir à produção de etanol em suas economias. No continente americano tem-se:
Argentina, Equador, México, Paraguai, Peru, Venezuela e países da América Central
como Nicarágua e El Salvador (onde há forte presença do grupo Cargil). Na África
destacam-se a África do Sul, Nigéria e Angola.
5.2.3
Concorrência no Setor
123
No Brasil existem grandes fabricantes de máquinas e equipamentos para as
usinas sucroalcooleiras; a maioria deles está concentrada no interior do estado de São
Paulo. A estrutura industrial neste segmento apresenta-se bastante verticalizada,
fazendo com que as empresas envolvidas trabalhem com produtos ou serviços
bastante específicos de engenharia. As parcerias empresarias são bastante
contundentes; enquanto parte das empresas são responsáveis pelo desenvolvimento de
projetos, outras são responsáveis pela manufatura e aplicação dos produtos.
Algumas parcerias não se apresentam totalmente rígidas, onde é possível
encontrar um único fabricante trabalhando simultaneamente com mais de uma
empresa responsável pela execução de projetos, sejam elas nacionais ou
internacionais.
Os responsáveis pelo investimento consideram quatro grandes fabricantes
nacionais, como seus futuros concorrentes diretos. A Figura 60 apresenta uma
estimativa realizada pelos investidores sobre a situação atual do marketshare entre as
empresas envolvidas:
Figura 60 – Estimativa da distribuição atual do mercado
124
Somando-se à concorrência nacional, existe a presença de empresas
internacionais no fornecimento de máquinas e equipamentos para produção de açúcar
e álcool. À medida que a tecnologia de fabricação de etanol diversifica-se pelo
mundo, novas empresas poderão surgir o que poderá aumentar a volatilidade do setor.
Caso o projeto de investimento seja executado, é de se esperar que a empresa
enfrente dificuldades para estabelecer-se no mercado, já que seus principais
concorrentes mostram-se empresas bem estruturadas. Com o intuito de superar as
possíveis dificuldades para a comercialização de seus produtos, o grupo de
investidores tem em mente alguns itens estratégicos que deverão delinear a política da
empresa em seus primeiros anos de trabalho:
Prazo de entrega reduzido
As empresas deste setor foram absorvidas por uma grande demanda do
mercado nacional e internacional nos últimos anos. A demanda excedente elevou
significativamente o volume de produção do setor, culminando na maioria das vezes
em um alto prazo de entrega dos produtos acabados.
Os investidores entendem que trabalhar com prazos mais curtos de entrega
será um bom diferencial competitivo para empresa, principalmente para negociações
comerciais junto aos clientes.
Margem de contribuição reduzida frente aos concorrentes
A margem de contribuição é um indicador de custeio que tem o intuito de
represntar as receitas obtidas pela venda de um produto, frente aos custos variáveis
125
incorridos pela sua fabricação (MARTINS, 2003). Em termos gerais o conceito
margem de contribuição é utilizado para representação do lucro obtido pela venda de
determinado produto.
Com intuito de firmarem-se no mercado, os investidores acreditam que será
necessário trabalhar com margens menores nos primeiros projetos, oferecendo preços
competitivos ao mercado.
Parcerias empresariais
Além de um bom relacionamento junto a possíveis parceiros nacionais, o
grupo de investidores mantém contato com uma empresa sul-africana que projeta
difusores e pretendem buscar novas parcerias com empresas internacionais.
As parcerias entre as empresas são encaradas como uma boa maneira de
angariar mercado, já que fortalece a empresa em negociações comerciais e permitem
que os produtos fabricados possam ser oferecidos em diferentes mercados.
5.3 PROJEÇÕES DE ENGENHARIA E LOGÍSTICA DO PROJETO
5.3.1
Aspectos Logísticos
O empreendimento em questão será realizado em Sertãozinho, interior do
estado de São Paulo. A cidade apresenta sua economia voltada ao setor
sucroalcooleiro contemplando sete usinas e quase 500 empresas em atividade
126
(ERENO, 2006). Tal localização propiciará fácil acesso a parceiros, fornecedores e
clientes do interior paulista.
Vizinha à cidade de Riberão Preto, a região conta com excelente infra-
estrutura. O acesso rodoviário é bom, facilitando o fluxo dos produtos até o porto de
Santos, principal centro logístico de exportação industrial do país.
5.3.2
A Engenharia do Projeto
De acordo com Rebelatto (2004) um projeto de investimento deve
compreender um estudo amplo de engenharia que retrate o sistema produtivo da
empresa, apresentando informações claras e estruturadas sobre as escolhas por
processos de manufatura, equipamentos, capacidade produtiva e definições quanto a
fornecedores e mão-de-obra.
O grupo de investidores preferiu não divulgar de maneira completa as
informações técnicas do projeto, acreditando que devem ser mantidas como dados
sigilosos. Desta forma, este capítulo apresenta exclusivamente as informações
consideradas relevantes para a avaliação econômico-financeira do projeto, não se
referindo a maneira como foi estruturado e desenvolvido.
O centro fabril foi projetado para que sua capacidade máxima de produção seja
de 1560 toneladas por ano de produtos fabricados. Para tal, os investidores têm
interesse na compra de um galpão de 2.900 m
2
presente em um terreno de 24.600 m
2
.
Além disso, os investidores vêem a necessidade de uma área livre adicional de 10.250
m
2
que contribuirá para possíveis expansões, à medida que os resultados do
empreendimento sejam positivos.
127
A empresa deverá contar inicialmente com 10 funcionários para trabalhar na
parte administrativa e de engenharia. Estima-se que serão necessários mais 25 para
trabalhar diretamente na produção industrial. Os investidores também deverão
comprar máquinas e equipamentos para implementação de seu sistema de manufatura.
A Tabela 3 apresenta as estimativas iniciais do projeto:
128
Tabela 3 – Estimativas Iniciais do Projeto
Valor
Projetado
Especificação
Galpão 2900 m
2
Nele será montado o centro fabril para
manufatura de equipamentos. Também conta
com escritórios para a área administrativa.
Área Inicial 24600 m
2
Importante para logística interna da empresa,
servindo como suporte para o centro fabril na
movimentação de produtos em processamento e
matéria-prima.
Terreno Adicional 10250 m
2
Vizinho ao galpão, será utilizado para uma
possível expansão da empresa.
Guincho para
Movimentação
01
Será utilizado para movimentação de grandes
cargas no galpão.
Máquina Curvadora de
Tubos
01
Será utilizado no processo de conformação
mecânica de produtos em processamento.
Calandra 01
Será utilizado no processo de conformação
mecânica de produtos em processamento.
Munk 01
Movimentação de material em processamento
em médias distâncias
Máquinas leves e
soldadoras
---
Processamento de material e junção de ligas
metálicas.
Material para escritório,
móveis e computadores
---
Equipamentos diversos para realização de
trabalhos técnicos e administrativos.
Número de funcionários
(mão-de-obra direta)
11
Número de funcionários
(mão-de-obra indireta)
25
Capacidade de produção
1560 ton/ano
Vida econômica do projeto
15 anos
5.4 A ESTIMATIVA DE CUSTOS E RECEITAS DO PROJETO
Baseando-se em informações de engenharia do projeto obtidas junto aos
responsáveis pelo investimento, elaborou-se a Tabela 3, que apresenta estimativa
sobre o comportamento de receitas e dispêndios de capital que o projeto, caso
executado, apresentará:
129
Tabela 4 – Estimativa de receitas e custos anuais do projeto
Valor Esperado
Incerteza
Estimada
Depreciação
Restante
Galpão -R$ 2.000.000,00 ± 3% 10 anos
Área Inicial -R$ 2.400.000,00 ± 3%
não é
depreciável
Terreno Adicional -R$ 1.725.000,00 ± 3%
não é
depreciável
Guincho para
Movimentação
-R$100.000,00 ± 3% 10 anos
Máquina Curvadora
de Tubos
-R$150.000,00 ± 3% 10 anos
Calandra -R$20.000,00 ± 3% 10 anos
Munk -R$20.000,00 ± 3% 10 anos
Máquinas leves e
soldadoras
-R$100.000,00 ± 3% 10 anos
Investimento
Material para
escritório, móveis e
computadores
-R$30.000,00 ± 3% 10 anos
Estimativa de
demanda anual
1200 ton ± 30%
Receitas
Estimativa de preço
de venda
R$10.495,00 /ton ± 5%
Salários e encargos
anuais com mão-de-
obra direta
-R$672.750,00 ± 30%
Salários encargos
anuais com mão-de-
obra indireta
-R$491.556,00 ± 30%
Gastos anuais com
agua, energia e
telefone
-R$100.000,00 ± 30%
Custos e
Despesas
Custos anuais gerais
de produção (matéria-
prima e consumíveis)
-R$7.623,75 /ton ± 5%
Impostos
Alíquota de imposto a
ser pago
35% a.a.
Não é tratado
como incerto.
Valor Residual
9
Valor Residual do
empreendimento
R$ 4.725.000,00
± 20%
Rentabilidade
Desejada
Taxa mínima de
atratividade (TMA)
15,72% a.a.
± 6%
9
O valor residual do investimento corresponde a soma dos itens Área Inicial e Terreno Adicional da
tabela.
130
As informações contidas na Tabela 4 estão divididas em quatro principais
grupos. O primeiro deles, o investimento, representa os ativos necessários para que a
empresa seja implantada. Os demais fornecem informações estimadas sobre as
receitas e dispêndios de capital que a execução do projeto trará, bem como a
rentabilidade desejada do projeto e sua carga tributária.
A coluna incerteza estimada é de fundamental importância para o estudo. Esse
indicador apresenta as possíveis variações que influenciarão no fluxo de caixa da
empresa no decorrer da vida econômica do investimento. A grande dificuldade para
quantificação destas incertezas é que, apesar de existirem informações relevantes
sobre o mercado, as mesmas apresentam-se pouco sistematizadas e organizadas,
dificultando a aplicação de ferramentas matemáticas ou procedimentais para
representá-las numericamente. Desta forma, as faixas de valores incertos foram
estipuladas com base em informações de mercado e reuniões efetuadas junto aos
investidores, nas quais o feeling e experiência empresarial dos responsáveis pelo
projeto apresentaram papel fundamental nestas estimativas.
Observa-se que as estimativas de incerteza para o investimento inicial são
variações muito pequenas, isto porque os investimentos já foram cotados e acredita-se
que as possíveis alterações possam ocorrer por motivo de negociação ou pela forma
de pagamento do ativo. Já as receitas, despesas e custos estimados apresentam uma
amplitude maior, visto que uma projeção para quinze anos contém alto grau de
imprevisibilidade.
A coluna depreciação consiste em representar contabilmente em quanto tempo
um determinado ativo imobilizado perde seu valor durante o uso. As depreciações são
importantes, pois são computadas como custos ou despesas nas demonstrações de
131
resultados de uma empresa, o que diminui o lucro contábil, valor pelo qual incidem a
maioria dos tributos pagos pela empresa (PAMPLONA e MONTEVECHI, 2006).
O próximo tópico deste trabalho destina-se a uma breve consideração sobre as
implicações sociais e ambientais que a execução do projeto trará. Posteriormente é
iniciada a avaliação econômico-financeira do projeto, que será apresentada por meio
da aplicação do cálculo determinístico do Valor Presente Líquido, da simulação de
Monte Carlo e do Valor Presente Líquido Fuzzy.
5.5 AS IMPLICAÇÕES SOCIAIS E AMBIENTAIS DO PROJETO
Caso o projeto seja realizado, serão criados 35 novos empregos; o quadro de
funcionários tende a aumentar a medida com que a empresa atinja bons resultado.
Pela comercialização e manufatura dos produtos são esperadas outras contribuições
sociais, já que o fluxo de capital junto a clientes e fornecedores deverá impactar
positivamente na economia regional.
Quanto as questões ambientais, não são observadas no setor empresas que
possuam a certificação ISO 14.001, a qual refere-se a implementação e controle de
um Sistema de Gestão Ambiental. Segundo Batalha (2008) tal sistema tem o objetivo
de avaliar e melhorar continuamente os processos inerentes a empresa buscando a
eliminação dos resíduos descartados durante a vida útil do empreendimento.
O grupo de investidores não entende que a implementação de um sistema de
gestão ambiental seja prioridade neste momento, pois os custos com a implementação
são altos e não se percebe, neste mercado, exigências por parte de clientes nacionais e
internacionais por este tipo de certificação.
132
5.6 O CÁLCULO DO VPL DETERMINÍSTICO PARA A AVALIAÇÃO
ECONÔMICO-FINANCEIRA DO PROJETO DE INVESTIMENTO
Apresentado o projeto de investimento, inicia-se a etapa referente à sua
avaliação econômico-financeira. Em geral este tipo de avaliação tem o objetivo de
quantificar aos investidores o resultado do investimento. Neste tópico será
apresentado o cálculo determinístico do VPL. Este modelo considera os componentes
de caixa do investimento valores absolutos, não sendo atribuída nenhuma
consideração sobre a incerteza presente. Os valores utilizados para elaboração dos
cálculos foram apresentados na Tabela 4.
A primeira etapa para o cálculo do VPL consiste em definir os componentes de
caixa do projeto: Investimento Total, Receita Anual Total, Custos e Despesas Anuais
Totais, Depreciação Anual Total e Valor Residual. A partir daí, é possível obter o
fluxo de caixa ao longo da vida econômica do empreendimento, necessário para
obtenção do VPL.
5.6.1
O Investimento Total
O Investimento Total consiste na somatória de todos os valores gastos para
implementação e funcionamento da empresa:
(Eq. 5.1)
Investimento Total = Galpão + Área Inicial + Terreno Adicional + Guincho para
Movimentação + Máquina Curvadora de Tubos + Calandra + Munk + Máquinas
leves e soldadoras + Material para escritório, móveis e computadores
Investimento Total = – R$ 6.545.000,00 (Eq. 5.2)
133
5.6.2
Receita Anual Total
Tendo em mente que a comercialização de seus produtos será a única fonte de
receita da empresa, a Receita Anual Total é composta pela multiplicação entre
Estimativa de Demanda e a Estimativa de preço de venda:
(Eq. 5.3)
Receita Anual Total = Estimativa de Demanda
×
Estimativa de preço de venda
Receita Anual Total = R$ 12.594.000,00 (Eq. 5.4)
5.6.3
Custos e Despesas Anuais Totais
Os Custos e Despesas Anuais Totais
representam todos os dispêndios de
capital que o projeto trará após sua realização, excluindo-se os impostos a serem
pagos:
(Eq. 5.5)
Custos e Despesas Anuais Totais = [Estimativa de Demanda
×
Custos gerais de
produção (matéria-prima e consumíveis)] + Salários e encargos com mão-de-obra
direta + Salários e encargos com mão-de-obra indireta + Água, energia e telefone
Custos e Despesas Totais = – R$ 10.412.806,00 (Eq. 5.6)
134
5.6.4
O Fluxo de Caixa antes dos Impostos
A partir das estimativas apresentadas sobre o projeto de investimento, é
possível calcular o fluxo de caixa anual que o projeto apresentará antes da tributação:
(Eq. 5.7)
Fluxo de Caixa antes dos Impostos = Receita Anual Total +- Custos e Despesas
Anuais Totais
Fluxo de Caixa antes dos Impostos = R$ 2.181.194,00 (Eq. 5.8)
5.6.5
Depreciação Total Anual
Apesar de um bom indicador para expor a diferença entre receitas e dispêndios
de capitais estimadas para um projeto de investimento, o Fluxo de Caixa antes dos
Impostos por si só não é representativo para avaliação de um projeto, já que não leva
em consideração as depreciações, amortizações e impostos, os quais apresentarão
influência no resultado anual do empreendimento.
As amortizações não fazem parte do estudo, já que os investidores com capital
trabalharão exclusivamente com capital próprio, não havendo interesse de usar
alguma forma de financiamento
10
para o projeto. Quanto as depreciações, denominou-
se um indicador chamado Depreciação Anual Total que consiste em representar
10
Apesar de não haver intuito dos investidores por capital de terceiros, o uso de financiamentos e
emissão de títulos de dívida podem ser alternativas interessantes para empresas; os juros pagos em
empréstimos e financiamentos são dedutíveis do imposto de renda, o que alguns casos podem ser
alternativas para maximização dos resultados financeiros de uma empresa(GITMAN, 2002)
135
anualmente o quanto os ativos imobilizados perderam seu valor segundo as instruções
normativas da Receita Federal (1998).
Conforme apresentado na Tabela 4, os ativos depreciáveis apresentam vida
contábil de 10 anos. Assim a parcela de depreciação anual em um período de 1 a 10
anos é calculada por:
(Eq. 5.9)
Depreciação Anual Total = (Galpão + Guincho para Movimentação + Máquina
Curvadora de Tubos + Calandra + Munk + Máquinas leves e soldadoras + Material
para escritório, móveis e computadores) / 10
Depreciação Anual Total = – R$ 242.000,00 (Eq. 5.10)
Anualmente até o décimo ano de vida econômica da empresa, será possível
deduzir, para o cálculo do imposto a ser pago, o valor das depreciações do lucro
tributável. Pelo escopo do projeto, a partir do décimo primeiro ano esse benefício
cessará, fazendo com que o valor pago em impostos seja maior.
5.6.6
O Fluxo de Caixa após os Impostos
Utilizando-se do conceito de depreciação é possível calcular o fluxo de caixa
que o projeto de investimento apresentará do primeiro ao décimo ano após sua
execução. Conforme apresentado na Tabela 4, a alíquota de imposto utilizada será
35% a.a.:
136
(Eq. 5.11)
Fluxo de Caixa após os Impostos (1 a 10 anos) = Fluxo de Caixa antes dos Impostos
– Alíquota de Imposto
×
[Fluxo de Caixa antes dos Impostos + Depreciação Anual
Total]
(Eq. 5.12)
Fluxo de Caixa após os Impostos (1 a 10 anos) =
R$ 1.502.476,10
Para o cálculo do fluxo de caixa do décimo primeiro ao décimo quinto ano as
depreciações foram finalizadas, de maneira que:
(Eq. 5.13)
Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a 15 anos) = Fluxo de Caixa antes dos Impostos
– [Alíquota de Imposto
×
Fluxo de Caixa antes dos Impostos]
(Eq. 5.14)
Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a 15 anos) = R$ 1.417.776,10
5.6.7
O Cálculo do VPL determinístico
Organizado os dados que compõem financeiramente o projeto é possível
calcular o VPL resultante caso o investimento seja realizado. Utilizando-se a
formulação apresentada no capítulo 3 tem-se:
(Eq. 5.15)
VPL = Investimento Total +
∑
=
+
10
1
)1(
101
j
j
TMA
anos) a s (os impostoaixa após Fluxo de C
137
+
∑
=
+
15
11
)1(
1511
j
j
TMA
anos) a s (os impostoaixa após Fluxo de C
+
15
)1( TMA
residualValor
+
VPL=
R$ 2.407.071,12 (Eq. 5.16)
O Valor residual do investimento, R$ 4.725.000,00, e a TMA, 15,72% a.a.,
foram extraídos da Tabela 4. A taxa mínima de atratividade adotada apresenta valor
4% maior do que a taxa de juros Selic
11
média que o mercado apresentou no mês de
janeiro de 2008, considerada por muitos investidores como a taxa de remuneração de
capital mais segura no mercado financeiro nacional.
O resultado do cálculo do VPL mostra que o investimento é viável. Caso o
grupo de investidores realize o projeto, é de se esperar uma remuneração sobre o
capital investido de 15,72% a.a. mais um lucro adicional R$ 2.407.071,1.
Apesar do resultado positivo, a aceitação ou não do investimento, baseando-se
no resultado do VPL determinístico, pode não ser suficiente para uma análise concisa
sobre o investimento. Ao longo de 15 anos os valores que compõem o fluxo de caixa
estimado do empreendimento certamente apresentarão variações. Nos próximos
tópicos serão apresentados os métodos de avaliação que permitem contemplar a
incerteza presente no investimento.
5.7 A AVALIAÇÃO ECONÔMICO-FINANCEIRA DO PROJETO DE
INVESTIMENTO UTILIZANDO A SIMULAÇÃO DE MONTE-CARLO
11
A Taxa Selic média em Janeiro de 2008 foi 11,72% a.a.
www.bacen.gov.br
138
Baseando-se no fluxograma apresentado na Figura 12 inicia-se a aplicação do
método de Monte Carlo no cálculo do Valor Presente Líquido. O primeiro passo
consiste na resolução determinística do problema, apresentada no tópico anterior. Os
cálculos foram efetuados por meio de uma planilha eletrônica elaborada no
Microsoft® Excel, onde foi estruturada a base de cálculo para a simulação.
5.7.1
Atribuição de distribuições de probabilidades junto às variáveis
independentes
Após a resolução determinística do modelo, as variáveis que compõem o
cálculo do VPL devem ser tratadas como variáveis independentes e em cada uma
delas devem ser atribuídas distribuições de probabilidade, as quais têm o intuito de
representar as incertezas inerentes ao projeto.
Todas as incertezas serão tratadas como distribuições normais de
probabilidade, isto porque não há histórico algum sobre as variáveis que possam ser
considerados na análise. Em situações como essa, a opção por distribuições de
probabilidade mais sofisticadas ou assimétricas poderia distorcer o resultado, já que
estipular os parâmetros que definem o comportamento matemático destas funções não
é uma tarefa simples.
A representação das incertezas presentes de maneira estatística foi baseada nos
conceitos do teorema de Tchebichev, onde o comportamento de uma distribuição de
probabilidade normal é descrito em função de sua média (
µ
) e de seu desvio-padrão
(
σ
) (TRIOLA, 1999), como apresentado na Figura 61.
139
Figura 61– O teorema de Tchebichev ou regra empírica
Fonte: Adaptado de TRIOLA (1999)
Quanto maior a faixa de desvios-padrão considerados a partir de um valor
médio, maior é a probabilidade de que um elemento de uma amostragem ou
população esteja representado dentro desta faixa. Neste contexto admitir-se-á que a
faixa de incerteza que compõe cada componente de caixa do projeto de investimento
sejam informações que apresentem um intervalo de confiança de 95%.
A faixa de incerteza apresentada na Tabela 4 corresponderá a um intervalo
total de 2 desvios-padrão em relação à média (
µ
-2
σ
,
µ
+2
σ
). Assim, para a variável que
representa o investimento no Galpão tem-se:
Galpão
µ
= valor esperado do investimento no Galpão (Eq. 5.17)
Galpão
µ
= – R$ 2.000.000,00 (Eq. 5.18)
140
(Eq. 5.19)
4
máxima) estimada incerteza mínima) estimada incerteza [(1 ]× +[(1 −]×+
=
GalpãoGalpão
Galpão
µµ
σ
4
)]2000000)03,01[(]2000000)03,01[( ×+−×−
=
Galpão
σ
(Eq. 5.20)
Galpão
σ
= R$ 30.000,000 (Eq. 5.21)
A partir da obtenção de
Galpão
µ
e
Galpão
σ
é possível parametrizar a distribuição
de probabilidades normal (N) que representa a variável incerta Galpão:
),(
GalpàoGalpãoGalpão
N
σµ
(Eq. 5.22)
)30000,2000000(−
Galpão
N (Eq. 5.23)
De maneira análoga, o mesmo procedimento deve ser utilizado para obter as
distribuições de probabilidade que representarão as outras variáveis incertas do
investimento, culminando na Tabela 5:
141
Tabela 5 – Variáveis independentes para execução da Simulação de Monte Carlo
Distribuição normal
de probabilidade (N)
Média (µ) Desvio Padrão (σ)
Galpão -R$ 2.000.000,00 R$ 30.000,000
Área Inicial -R$ 2.400.000,00 R$ 36.000,000
Terreno Adicional -R$ 1.725.000,00 R$ 25.875,000
Guincho para
Movimentação
-R$100.000,00 R$ 1.500,000
Máquina Curvadora
de Tubos
-R$150.000,00 R$ 2.250,000
Calandra -R$20.000,00 R$ 300,000
Munk -R$20.000,00 R$ 300,000
Máquinas leves e
soldadoras
-R$100.000,00 R$ 1.500,000
Investimento
Material para
escritório, móveis e
computadores
-R$30.000,00 R$ 450,000
Estimativa de
demanda anual
1200 ton R$ 180,000
Receitas
Estimativa de preço
de venda
R$10.495,00 /ton R$ 262,375
Salários e encargos
anuais com mão-de-
obra direta
-R$672.750,00 R$ 100.912,500
Salários encargos
anuais com mão-de-
obra indireta
-R$491.556,00
R$ 73.733,400
Gastos anuais com
agua, energia e
telefone
-R$100.000,00 R$ 15.000,000
Custos e
Despesas
Custos anuais gerais
de produção (matéria-
prima e consumíveis)
-R$7.623,75 /ton R$ 190,594 / ton
Impostos
Alíquota de imposto a
ser pago
35% a.a.
Não é tratado como
incerto.
Valor Residual
Valor Residual do
empreendimento
R$ 4.725.000,00 R$ 472.500,000
Rentabilidade
Desejada
Taxa mínima de
atratividade (TMA)
15,72% a.a.
3,00% a.a.
142
Neste trabalho, toda a operacionalização da simulação de Monte Carlo é
realizada por meio do software Crystall Ball. Tal programa funciona acoplado ao
Microsoft® Excel e permite boa interface e aplicabilidade para executar problemas de
caráter estatístico onde seja usada a geração de números aleatórios.
Para executar a simulação da variável dependente VPL é necessário atribuir,
por meio do software, as distribuições de probabilidade em cada variável
independente que compõe o projeto de investimento. A Figura 62 mostra o uso do
Crystall Ball para inserção dos parâmetros da distribuição de probabilidade da
variável independente Galpão na planilha de cálculo, que se constituem na média,
desvio-padrão e intervalo de confiança adotado (95%).
Figura 62– Definição da variável Galpão na simulação utilizando o
Crystall Ball
5.7.2
Atribuição dos números aleatórios e execução da simulação
143
Para prosseguir no desenvolvimento da simulação é necessário definir a
quantidade de números aleatórios que serão utilizados para calcular a variável
dependente. Os números aleatórios serão gerados de maneira que obedeçam às
distribuições de probabilidade associadas a cada variável independente.
O Crystall Ball solicita que sejam definidas as quantidades de cenários que
serão gerados. Para esta aplicação o número estipulado é de 30.000. Como ao todo
existem 17 variáveis independentes, a reposta obtida a partir da simulação será
baseada em 510.000 números aleatórios gerados.
Após construída a planilha, definida as distribuições de probabilidade das
variáveis independentes e a quantidade de números aleatórios a ser utilizada, a
simulação é executada.
5.7.3
Resultados da simulação
O resultado da simulação de Monte Carlo é uma distribuição de probabilidades
que representa o Valor Presente Líquido do projeto. A Figura 63 apresenta o
histograma gerado pela simulação.
144
Figura 63 – VPL obtido como resultado da simulação
O software Crystall Ball propicia que a probabilidade cumulativa seja
calculada. A probabilidade de que o VPL seja maior ou menor do que 0 (áreas em azul
e vermelho no histograma gerado) são informações relevantes pois representam o
provável resultado deste investimento.
Pelo indicador Certainly da Figura 63, observa-se que a probabilidade do VPL
ser maior do que 0 é 82%. Desta forma a probabilidade de insucesso do
empreendimento é:
P(VPL
≥
0) = 0,8200 (Eq. 5.24)
P(VPL
<
0) = 1 – 0,8200 (Eq. 5.25)
P(VPL
<
0) = 18,00% (Eq. 5.26)
Além de oferecer o cálculo da probabilidade de sucesso ou insucesso do
investimento, o software utilizado permite que seja extraído um grande número de
informações estatísticas sobre a simulação. As mais importantes são apresentadas na
Figura 64.
145
Figura 64 – Indicadores estatísticos obtidos através da simulação
As informações consideradas relevantes para este trabalho são o indicadores
Mean, que representa o VPL médio obtido pela simulação, o Range Minimun e o
Range Maximun, que representam respectivamente o menor e o maior valor de VPL
gerado pela combinação das variáveis independentes durante a simulação.
A Tabela 6 faz um síntese sobre as principais informações obtidas pela
aplicação do método de Monte Carlo aplicado à variável VPL, que servirá como base
para comparação de resultados junto ao VPL
fuzzy
.
Tabela 6 – Resultados obtidos pela aplicação da Simulação de Monte Carlo
Valor mínimo
(VPL
min
)
Valor esperado
(VPL
esperado
)
Valor máximo
(VPL
máx
)
Probabilidade de
insucesso
Método de
Monte Carlo
-R$ 6.020.086,14 R$ 2.610.450,81 R$ 23.801.229,71
18,00%
Diferentemente dos resultados obtido pela aplicação do VPL determinístico, os
resultados obtidos pela aplicação do método de Monte Carlo consideram as faixas de
incerteza estimada. Por meio da aplicação deste método é possível obter a informação
de que existe probabilidade de insucesso econômico-financeiro do empreendimento,
calculada em 18%. Sabe-se que o valor mais provável para o VPL é R$ 2.610.450,81
146
e se as variáveis se comportarem da pior forma haverá um prejuízo de – R$
6.020.086,14.
A inclusão das incertezas em um modelo de análise apresenta informações
relevantes aos investidores e ganham importância em estudos onde são comparados
vários projetos de investimento, pois propicia o uso de uma quantidade maior de
ferramentas matemáticas para comparação.
A aplicação do método de Monte Carlo apresenta novas informações para a
análise que servem de subsídios para a decisão a ser tomada; porém a opção pela
realização ou não de um investimento é estritamente pessoal e depende do grau de
aversão à incerteza e ao risco de cada investidor. Na economia poucos são os
investimentos tratados como totalmente certos; à medida que a rentabilidade desejada
aumenta, os investimentos podem se tornar mais incertos. Caso os investidores
acreditem que a probabilidade de insucesso é aceitável o investimento deverá ser
realizado. Caso a opinião seja de que esta probabilidade é alta, uma possível opção
seria rever a TMA utilizada, e possivelmente decidir por outra alternativa, como por
exemplo, investimentos em renda fixa.
5.8 A AVALIAÇÃO ECONÔMICO-FINANCEIRA DO PROJETO DE
INVESTIMENTO UTILIZANDO VPL FUZZY
Prosseguindo com os métodos para a avaliação econômico-financeira, inicia-
se a estruturação para o uso do VPL
fuzzy
, que apresenta-se organizada em três etapas:
fuzzificação das variáveis de entrada, cálculo e defuzzificação.
Todas as etapas de cálculo foram elaboradas utilizando o Microsoft® Excel,
que embora não apresente nenhuma função específica para aplicação da lógica Fuzzy
147
mostrou-se suficiente para a execução do estudo. A opção pelo uso do Excel tem o
intuito de contemplar um dos objetivos centrais do trabalho: o de divulgar e promover
o uso da matemática Fuzzy em aplicações práticas e acadêmicas da Engenharia de
Produção, visto que este software é, sem dúvida, um dos mais utilizados nesta área da
engenharia.
5.8.1
A fuzzificação das variáveis
Por meio da fuzzificação é possível transformar os conceitos incertos que
estão presentes nas variáveis que compõem o investimento em números Fuzzy. As
informações sobre cada variável apresentadas na Tabela 4, serão utilizadas como os
parâmetros para obtenção dos números Fuzzy.
A variável que representa o investimento no Galpão, por exemplo, apresenta
valor esperado em –R$ 2.000.000,00 e a incerteza estipulada corresponde a ± 3%. A
partir destas informações é possível obter o número triangular Fuzzy correspondente:
Galpão
fuzzy
= (Galpão
1
, Galpão
2
, Galpão
3
) (Eq. 5.27)
Galpão
2
= valor esperado do investimento no Galpão (Eq. 5.28)
Galpão
2
=
– R$ 2.000.000,00 (Eq. 5.29)
Galpão
1
= Galpão
2
×
(1 + incerteza máxima estimada) (Eq. 5.30)
Galpão
1
=
– 2000000
×
(1 + 0,03) (Eq. 5.31)
148
Galpão
1
=
– R$ 2.060.000,00 (Eq. 5.32)
Galpão
3
= Galpão
2
×
(1 - incerteza mínima estimada) (Eq. 5.33)
Galpão
3
=
– 2000000
×
(1 – 0,03) (Eq. 5.34)
Galpão
3
=
– R$ 1.940.000,00 (Eq. 5.35)
Assim tem-se:
Galpão
fuzzy
= (– R$ 2.060.000, – R$ 2.000.000, – R$ 1.940.000) (Eq. 5.36)
Utilizando a representação por
α
-cut apresentada na capítulo 4 tem-se:
Galpão
fuzzy
= [Galpão
l(α)
, Galpão
r(α)
]
Galpão
l(α)
= (Galpão
2
– Galpão
1
)
α
×
+ Galpão
1
(Eq. 5.37)
Galpão
l(α)
= (– 2000000 + 2060000)
α
×
– 2060000 (Eq. 5.38)
Galpão
l(α)
= 60000
α
×
– 2060000 (Eq. 5.39)
Galpão
r(α)
= – (Galpão
3
– Galpão
2
)
α
×
+ Galpão
3
(Eq. 5.40)
Galpão
r(α)
= – (1940000
– 2000000)
α
×
– 1940000 (Eq. 5.41)
Galpão
r(α)
= – 60000
α
×
– 1940000 (Eq. 5.42)
De maneira análoga, o mesmo procedimento deve ser utilizado para obter os
valores fuzzificados que representarão as outras variáveis incertas do investimento,
culminando na Tabela 7.
149
Tabela 7 – Variáveis fuzzificadas para o cálculo do Valor Presente Líquido
Fuzzy
Número fuzzy
l(α) r(α)
Galpão
60000x
α
– 2060000 – 60000x
α
–1940000
Área Inicial
72000x
α
– 2472000 – 72000x
α
– 2328000
Terreno Adicional
51750x
α
– 1776750 – 51750x
α
– 1673250
Guincho para
Movimentação
3000x
α
– 103000 – 3000x
α
– 97000
Máquina Curvadora
de Tubos
4500x
α
– 154500 – 4500x
α
– 145500
Calandra
600x
α
– 20600 – 600x
α
– 19400
Munk
600x
α
– 20600 – 600x
α
– 19400
Máquinas leves e
soldadoras
3000x
α
– 103000 – 3000x
α
– 97000
Investimento
Material para
escritório, móveis e
computadores
900x
α
– 30900 – 900x
α
– 29100
Estimativa de
demanda anual
360x
α +
840 – 360x
α
+1560
Receitas
Estimativa de preço
de venda
524,75x
α +
9970,25 –524,75x
α +
11019,75
Salários e encargos
anuais com mão-
de-obra direta
201825x
α
– 874575 – 201825x
α
–470925
Salários encargos
anuais com mão-
de-obra indireta
147466,80x
α
–
639022,80
– 147466,80x
α
–
344089,20
Gastos anuais com
agua, energia e
telefone
30000x
α
– 130000 – 30000x
α
– 70000
Custos e
Despesas
Custos anuais
gerais de produção
(matéria-prima e
consumíveis)
381,19x
α
– 8004,94 – 381.19x
α
– 7242,56
Impostos
Alíquota de imposto
a ser pago
Não é tratado como incerto.
Valor Residual
Valor Residual do
empreendimento
4725000x
α
– 3780000 –945000x
α+
5670000
Rentabilidade
Desejada
Taxa mínima de
atratividade (TMA)
0,060x
α +
0,097 – 0,060x
α +
0,217
150
5.8.2
O cálculo do VPL
fuzzy
Para realização do cálculo é necessário executar algumas operações
intermediárias de modo que as variáveis sejam organizadas. Conceitualmente, as
operações seguintes seguem o modelo determinístico apresentado no item 5.5.7,
porém nos cálculos a seguir as variáveis encontram-se em sua forma Fuzzy.
Investimento Total
A primeira etapa consiste em obter um número Fuzzy que represente todo
investimento necessário para execução do projeto:
(Eq. 5.43)
Investimento Total
fuzzy
= [Investimento Total
l(α)
, Investimento Total
r(α)
]
(Eq. 5.44)
Investimento Total
l(α)
= Galpão
l(α)
+ Área Inicial
l(α)
+ Terreno Adicional
l(α)
+
Guincho para Movimentação
l(α)
+ Máquina Curvadora de Tubos
l(α)
+ Calandra
l(α)
+
Munk
l(α)
+ Máquinas leves e soldadoras
l(α)
+ Material para escritório, móveis e
computadores
l(α)
(Eq. 5.45)
Investimento Total
r(α)
= Galpão
r(α)
+ Área Inicial
r(α)
+ Terreno Adicional
r(α)
+
Guincho para Movimentação
r(α)
+ Máquina Curvadora de Tubos
r(α)
+ Calandra
r(α)
+ Munk
r(α)
+ Máquinas leves e soldadoras
r(α)
+ Material para escritório, móveis e
computadores
r(α)
151
Receita Anual Total
Prosseguindo com os cálculos, é necessário obter a receita total que o
empreendimento apresentará em sua representação Fuzzy, descrita pelas equações
abaixo:
(Eq. 5.46)
Receita Anual Total
fuzzy
= [Receita Anual Total
l(α)
, Receita Anual Total
r(α)
]
(Eq. 5.47)
Receita Anual Total
l(α)
= Estimativa de demanda anual
l(α)
×
Estimativa de preço de
venda
l(α)
(Eq. 5.48)
Receita Anual Total
r(α)
= Estimativa de demanda anual
r(α)
×
Estimativa de preço de
venda
r(α)
Custos e Despesas Anuais Totais
Os custos e despesas totais anuais representam todo dispêndio de capital que
serão gerados ao longo da vida econômica do projeto após a sua execução:
(Eq. 5.49)
Custos e Despesas Anuais Totais
fuzzy
= [Custos e Despesas Anuais Totais
l(α)
,
Custos e Despesas Anuais Totais
r(α)
]
152
(Eq. 5.50)
Custos e Despesas Anuais Totais
l(α)
= [Estimativa de demanda anual
l(α)
×
Custos
anuais gerais de produção
(matéria-prima e consumíveis)
l(α)
] + Salários e encargos
com mão-de-obra direta
l(α)
+ Salários e encargos com mão-de-obra indireta
l(α)
+
Água, energia e telefone
l(α)
(Eq. 5.51)
Custos e Despesas Anuais Totais
r(α)
= [Estimativa de demanda anual
r(α)
×
Custos
anuais gerais de produção
(matéria-prima e consumíveis)
r(α)
] + Salários e encargos
com mão-de-obra direta
r(α)
+ Salários e encargos com mão-de-obra indireta
r(α)
+
Água, energia e telefone
r(α)
O Fluxo de Caixa antes dos impostos
Assim como no cálculo do VPL determinístico, o fluxo de caixa antes dos
impostos é obtido pela combinação entre receitas e saídas de caixa ao longo da vida
econômica do projeto:
(Eq. 5.52)
Fluxo de Caixa antes dos impostos
fuzzy
= [Fluxo de Caixa antes dos impostos
l(α)
,
Fluxo de Caixa antes dos impostos
r(α)
]
(Eq. 5.53)
Fluxo de Caixa antes dos impostos
l(α)
= Receita Anual Total
l(α)
+ Custos e
Despesas Anuais Totais
l(α)
153
(Eq. 5.54)
Fluxo de Caixa antes dos impostos
r(α)
= Receita Anual Total
r(α)
+ Custos e
Despesas Anuais Totais
r(α)
Depreciação Anual Total
A contabilização da Depreciação Anual Total é obtida pela somatória dos
valores investidos em ativos depreciáveis para execução do projeto divididos pelo
período de depreciação, neste projeto, de 10 anos:
(Eq. 5.55)
Depreciação Anual Total
fuzzy
= [Depreciação Anual Total
l(α)
, Depreciação Anual
Total
r(α)
]
(Eq. 5.56)
Depreciação Anual Total
l(α)
= (Galpão
l(α)
+ Guincho para Movimentação
l(α)
+
Máquina Curvadora de Tubos
l(α)
+ Calandra
l(α)
+ Munk
l(α)
+ Máquinas leves e
soldadoras
l(α)
+ Material para escritório, móveis e computadores
l(α)
) / 10
(Eq. 5.57)
Depreciação Anual Total
r(α)
= (Galpão
r(α)
+ Guincho para Movimentação
r(α)
+
Máquina Curvadora de Tubos
r(α)
+ Calandra
r(α)
+ Munk
r(α)
+ Máquinas leves e
soldadoras
r(α)
+ Material para escritório, móveis e computadores
r(α)
) / 10
Fluxo de Caixa após os Impostos
154
Obtidos os números Fuzzy que representam o valor depreciável dos ativos
imobilizados, é possível obter o fluxo de caixa após os impostos. Conforme
apresentado, as depreciações são factíveis até o décimo ano de projeto, desta forma o
Fluxo de Caixa após os Impostos é representado por dois números Fuzzy distintos: o
primeiro se refere ao período de 1 a 10 anos de projeto e o segundo de 11 a 15 anos.
(Eq. 5.58)
Fluxo de Caixa após os Impostos (1 a 10 anos)
fuzzy
= [Fluxo de Caixa após os
Impostos (1 a 10 anos)
l(α)
, Fluxo de Caixa após os Impostos (1 a 10 anos)
r(α)
]
(Eq. 5.59)
Fluxo de Caixa após os Impostos (1 a 10 anos)
l(α)
= Fluxo de Caixa antes dos
Impostos
l(α)
- Alíquota de Imposto
×
[Fluxo de Caixa antes dos Impostos
l(α)
+
Depreciação Anual Total
l(α)
]
(Eq. 5.60)
Fluxo de Caixa após os Impostos (1 a 10 anos)
r(α)
= Fluxo de Caixa antes dos
Impostos
r(α)
- Alíquota de Imposto
×
[Fluxo de Caixa antes dos Impostos
r(α)
+
Depreciação Anual Total
r(α)
]
Vale ressaltar que a Alíquota de Imposto não é considerada neste trabalho
como uma variável incerta, portanto não é um número Fuzzy. Trata-se de uma
constante que multiplica todos os valores obtidos pela a adição entre Fluxo de Caixa
antes dos Impostos
fuzzy
e a Depreciação Anual Total
fuzzy
:
(Eq. 5.61)
155
Fluxo de Caixa após os Impostos (1 a 10 anos)
l(α)
= Fluxo de Caixa antes dos
Impostos
l(α)
- 0,35
×
[Fluxo de Caixa antes dos Impostos
l(α)
+ Depreciação Anual
Total
l(α)
]
(Eq. 5.62)
Fluxo de Caixa após os Impostos (1 a 10 anos)
r(α)
= Fluxo de Caixa antes dos
Impostos
r(α)
- 0,35
×
[Fluxo de Caixa antes dos Impostos
r(α)
+ Depreciação Anual
Total
r(α)
]
A Figura 65 traz a representação gráfica do Fluxo de Caixa após os Impostos
(1 a 10 anos)
fuzzy
:
Fluxo de Caixa Depois de Impostos (1 a 10 anos)
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
R$ 0,00 R$
500.000,00
R$
1.000.000,00
R$
1.500.000,00
R$
2.000.000,00
R$
2.500.000,00
R$
3.000.000,00
R$
3.500.000,00
R$
4.000.000,00
Fluxo de Caixa Depois de Impostos 1 a 10 anos L(α) Fluxo de Caixa Depois de Impostos 1 a 10 anos R(α)
Figura 65 – Fluxo de caixa
Fuzzy
para o período de 1 a 10 anos
No período entre 11 e 15 anos de investimento, o fluxo de caixa após os
impostos é obtido por:
(Eq. 5.63)
Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a 15 anos)
fuzzy
= [Fluxo de Caixa após os
Impostos (11 a 15 anos)
l(α)
, Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a 15 anos)
r(α)
]
156
(Eq. 5.64)
Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a 15 anos)
l(α)
= (1 – 0,35)
×
Fluxo de Caixa
antes dos Impostos
l(α)
(Eq. 5.65)
Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a 15 anos)
r(α)
= (1 – 0,35)
×
Fluxo de Caixa
antes dos Impostos
r(α)
Fluxo de Caixa Depois de Impostos (11 a 15 anos)
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
R$ 0,00 R$
500.000,00
R$
1.000.000,00
R$
1.500.000,00
R$
2.000.000,00
R$
2.500.000,00
R$
3.000.000,00
R$
3.500.000,00
R$
4.000.000,00
Fluxo de Caixa Depois de Impostos 11 a 15 anos L(α)
Fluxo de Caixa Depois de Impostos 11 a 15 anos R(α)
Figura 66 – Fluxo de caixa
Fuzzy
para o período de 11 a 15 anos
O Valor Presente Líquido Fuzzy
Obtida a representação Fuzzy para o fluxo de caixa, aplicam-se os conceitos
apresentados na equação do capítulo 4:
VPL
fuzzy
= [VPL
fuzzy
l(α)
, VPL
fuzzy
r(α)
] (Eq. 5.66)
157
(Eq. 5.67)
VPL
fuzzy
l(α)
= [Investimento Total
l(α)
] +
∑
=
10
0j
[max(Fluxo de Caixa após os Impostos
(1 a 10 anos)
l(α)
, 0) / (1 + TMA
r(α)
)
j
) + min(Fluxo de Caixa após os Impostos (1 a 10
anos)
l(α)
, 0) / (1 + TMA
l(α)
)
j
)] +
∑
=
15
11j
[max(Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a
15 anos)
l(α)
, 0) / (1 + TMA
r(α)
)
j
) + min(Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a 15
anos)
l(α)
, 0) / (1 + TMA
l(α)
)
j
)] + [(Valor Residual
l(α)
) / (1 + TMA
r(α)
)
15
]
(Eq. 5.68)
VPL
fuzzy
r(α)
= [Investimento Total
r(α)
] +
∑
=
10
0j
[max(Fluxo de Caixa após os Impostos
(1 a 10 anos)
r(α)
, 0) / (1 + TMA
l(α)
)
j
) + min(Fluxo de Caixa após os Impostos (1 a 10
anos)
r(α)
, 0) / (1 + TMA
rl(α)
)
j
)] +
∑
=
15
11j
[max(Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a
15 anos)
r(α)
, 0) / (1 + TMA
l(α)
)
j
) + min(Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a 15
anos)
r(α)
, 0) / (1 + TMA
r(α)
)
j
)] + [(Valor Residual
r(α)
) / (1 + TMA
l(α)
)
15
]
A Figura 67 traz a representação gráfica do Valor Presente Líquido calculado
para este projeto de investimento.
158
VPL
fuzzy
-R$ 6.177.171,30 R$ 20.729.644,92
R$ 2.407.071,12
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
-R$
10.000.000,00
-R$
5.000.000,00
R$ 0,00 R$
5.000.000,00
R$
10.000.000,00
R$
15.000.000,00
R$
20.000.000,00
R$
25.000.000,00
VPL fuzzy anos L(α) VPL fuzzy R(α)
Figura 67 – Valor Presente Líquido
Fuzzy
do projeto de investimento
5.8.3
A defuzzificação do Valor Presente Líquido Fuzzy
O valor mais possível para o VPL
fuzzy
Para representar as variáveis obtidas em variáveis reais passíveis de
interpretação, inicia-se a etapa de defuzificação. Por meio da aplicação do método do
Centro da Área é possível obter o valor do VPL de maior possibilidade no domínio
real:
)(
)(
*
1
1
fuzzy
N
j
N
j
fuzzy
j
fuzzy
VPL
VPLVPL
VPL
∑
∑
=
=
×
=
µ
µ
(Eq. 5.69)
Em que:
N é o número de iterações a serem realizadas;
µ(VPL
fuzzy
) é a função que descreve a pertinência do
fuzzy
VPL .
159
Utilizando-se N = 40 é o obtido o valor defuzzificado:
VPL* = R$ 3.153.147,04
A Figura 68 representa o valor mais possível obtido pela defuzzificação:
VPL fuzzy - Valor Defuzzificado
R$ 3.153.147,04
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
-R$
10.000.000,00
-R$
5.000.000,00
R$ 0,00 R$
5.000.000,00
R$
10.000.000,00
R$
15.000.000,00
R$
20.000.000,00
R$
25.000.000,00
VPL fuzzy anos L(α) VPL fuzzy R(α) VPL defuzificado
Figura 68 – Defuzzificação do Valor Presente Líquido
Fuzzy
do projeto de investimento
Pior e melhor situações possíveis para o investimento
O pior resultado que o investimento poderá apresentar segundo esta aplicação
da lógica Fuzzy é obtida pelo valor de
α
igual a 0 na função VPL
fuzzy
l(α)
.
(Eq. 5.70)
160
VPL
fuzzy
l(0)
= [Investimento Total
l(0)
] +
∑
=
10
0j
[max(Fluxo de Caixa após os Impostos
(1 a 10 anos)
l(0)
, 0) / (1 + TMA
r(0)
)
j
) + min(Fluxo de Caixa após os Impostos (1 a 10
anos)
l(0)
, 0) / (1 + TMA
l(0)
)
j
)] +
∑
=
15
11j
[max(Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a
15 anos)
l(0)
, 0) / (1 + TMA
r(0)
)
j
) + min(Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a 15
anos)
l(0)
, 0) / (1 + TMA
l(α)
)
j
)] + [(Valor Residual
l(0)
) / (1 + TMA
r(0)
)
15
]
VPL
fuzzy
l(0)
= – R$ 6.177.171,30 (Eq. 5.71)
O valor que representa o melhor resultado possível para o projeto de
investimento é obtido pela substituição do 0 em
α
na função VPL
fuzzy
r(α)
:
(Eq. 5.72)
VPL
fuzzy
r(0)
= [Investimento Total
r(0)
] +
∑
=
10
0j
[max(Fluxo de Caixa após os Impostos
(1 a 10 anos)
r(0)
, 0) / (1 + TMA
l(0)
)
j
) + min(Fluxo de Caixa após os Impostos (1 a 10
anos)
r(0)
, 0) / (1 + TMA
r(0)
)
j
)] +
∑
=
15
11j
[max(Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a
15 anos)
r(0)
, 0) / (1 + TMA
l(0)
)
j
) + min(Fluxo de Caixa após os Impostos (11 a 15
anos)
r(0)
, 0) / (1 + TMA
r(0)
)
j
)] + [(Valor Residual
r(0)
) / (1 + TMA
l(0)
)
15
]
VPL
fuzzy
r(0)
= R$ 20.729.644,92 (Eq. 5.73)
A possibilidade de insucesso do projeto de investimento
161
Como apresentado na Figura 68, o
fuzzy
VPL contempla valores positivos e
negativos, fazendo com que seja necessário o cálculo da possibilidade cumulativa
[ )0(* <
fuzzy
VPL
µ
] para identificar a possibilidade de insucesso do projeto de
investimento. Aplicando-se a equação tem-se:
)0(* <
fuzzy
VPL
µ
=
∫
∫
−
−
,9220.729.644
306.177.171,
0
306.177.171,
)(
)(
fuzzy
fuzzy
VPL
VPL
µ
µ
(Eq. 5.74)
)0(* <
fuzzy
VPL
µ
= 0,2219 (Eq. 5.75)
=< )0(*
fuzzy
VPL
µ
22,19 % (Eq. 5.76)
A Tabela 8 apresenta as informações obtidas pelo uso do Valor Presente
Líquido Fuzzy para avaliação econômico-financeira do projeto de investimento:
Tabela 8 – Resultados obtidos pela aplicação do Valor Presente Líquido
Fuzzy
Valor mínimo
(VPL
min
)
Valor esperado
(VPL
esperado
)
Valor máximo
(VPL
máx
)
Possibilidade de
insucesso
VPL
fuzzy
-R$ 6.177.171,30 R$ 3.153.147,04 R$ 20.729.644,92
22,19%
5.9 A COMPARAÇÃO ENTRE O VPL OBTIDO PELA SIMULAÇÃO DE MONTE
CARLO E O VPL FUZZY
Conforme apresentado no primeiro capítulo deste trabalho, dois grupos de
análises serão elaborados para que seja estruturada a comparação entre os métodos
162
apresentados. O primeiro deles refere-se a análises quantitativas, já o segundo destina-
se a comparações qualitativas.
5.9.1
Grupo de análises quantitativas
A comparação entre os valores obtidos
A simulação de Monte Carlo aplicada ao VPL e o Valor Presente Líquido
Fuzzy apresentam respostas de caráter matemático, o que torna possível confrontar
diretamente os valores obtidos pela aplicação de cada um dos métodos. A Tabela 9
apresenta a comparação entre resultados obtidos:
Tabela 9 – Análise numérica comparativa entre os valores obtidos pela aplicação da simulação de
Monte Carlo e Valor Presente Líquido
Fuzzy
Valor mínimo
(VPL
min
)
Valor esperado
(VPL
esperado
)
Valor máximo
(VPL
máx
)
Insucesso do
investimento
Método de
Monte Carlo
-R$ 6.020.086,14 R$ 2.610.450,81 R$ 23.801.229,71
18,00%
VPL
fuzzy
-R$ 6.177.171,30 R$ 3.153.147,04 R$ 20.729.644,92
22,19%
Diferença
Percentual
2,6% 20,8% -12,9% 4,19%
Tmando como referência os resultados obtidos pelo uso da simulação de
Monte Carlo é calculada a linha que apresenta a diferença percentual entre os valores
de resposta de cada método.
A variável que apresenta diferença mais significativa é o valor esperado para o
VPL. Apesar da grande diferença entre os valores obtidos para este indicador, o valor
esperado é muitas vezes pouco representativo, pois se trata de um valor único em
163
meio a um grande universo de discurso que compreende os prováveis e possíveis
resultados do empreendimento. Para um investidor, possivelmente a principal
informação obtida pela aplicação dos dois métodos seja a quantificação de insucesso
do investimento, cuja a diferença é 4,19%. Apesar da diferença numérica presente em
todos os indicadores obtidos como resposta, cada um dos métodos apresentam
informações substancialmente próximas, levando-se em conta que são obtidas por
concepções totalmente distintas.
A comparação numérica efetuada entre os resultados obtidos pelo método de
Monte Carlo e o VPL
fuzzy
, não permite conclusões exatas sobre qual deles apresenta
respostas mais significativas frente à realidade do projeto, visto que o conceito de
Valor Presente Líquido exprime os resultados financeiros presentes do projeto a partir
projeções que representam o futuro. Desta forma, uma comparação desta natureza
seria melhor subsidiada mediante estudos em projetos de investimento já realizados e
com vida econômica finalizada, situação diferente da estudada neste trabalho.
Possíveis variações na aplicação dos métodos
Mesmo que mantidas todas as entradas do modelo, tanto o método de Monte
Carlo como o VPL
fuzzy
podem apresentar variações na maneira como são aplicados,
podendo gerar algumas diferenças numéricas nas respostas obtidas. No caso da
simulação de Monte Carlo, uma possível variação pode ser obtida pela reaplicação do
método, já que a simulação ocorre por meio da geração de números aleatórios; em
cada vez que o método for aplicado é de se esperar que haja alguma diferença no
resultado obtido.
164
Neste tópico, além de reaplicado o método, será alterada a quantidade de
números aleatórios estipulada; o intuito é de adicionar maior variabilidade à
comparação. Na primeira aplicação para o estudo de caso foram utilizados 510.000
números aleatórios, para a próxima simulação a ser apresentada, a quantidade foi
aumentada para 1.530.000.
A Tabela 10 sintetiza as informações obtidas pela execução da simulação
utilizando-se desta outra proposta de números aleatórios:
Tabela 10 – Comparação numérica entre valores obtidos pela simulação de Monte Carlo em duas
diferentes situações
Valor mínimo
(VPL
min
)
Valor esperado
(VPL
esperado
)
Valor máximo
(VPL
máx
)
Probabilidade de
insucesso
Método de
Monte Carlo
-R$ 6.020.086,14 R$ 2.610.450,81 R$ 23.801.229,71
18,00%
Reaplicação
-R$ 6.384.780,34 R$ 2.602.583,00 R$ 20.340.033,88
18,02%
Erro de
reaplicação
6,1% -0,3% -14,5% -0,02%
A linha Erro de reaplicação apresenta a variação percentual obtida pela
reaplicação do método de Monte Carlo quando confrontada com os resultados iniciais,
apresentados no tópico 5.6. Observa-se que, apesar de muito sensíveis para alguns
indicadores, existe variação dos resultados mesmo quando mantidas as mesmas
definições quanto às variáveis independentes do modelo.
Como não é baseado na geração de números aleatórios, Valor Presente
Líquido Fuzzy não apresenta variações quanto à reaplicação do método em um mesmo
modelo, porém é muito comum o uso de aproximações para seu cálculo, já que este
artifício reduz sensivelmente sua complexidade. A aproximação consiste em
representar cada número não triangular obtido pelos cálculos em números
triangulares. A linha tracejada na Figura 69 representa a aproximação do VPL
fuzzy
:
165
Valor obtido por aproximação do VPL
fuzzy
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
-R$
10.000.000,00
-R$
5.000.000,00
R$ 0,00 R$
5.000.000,00
R$
10.000.000,00
R$
15.000.000,00
R$
20.000.000,00
R$
25.000.000,00
VPL fuzzy L(α) VPL fuzzy R(α) VPL fuzzy aprox L(α) VPL fuzzy aprox R(α)
Figura 69 – Valor Presente Líquido
Fuzzy
obtido por aproximação
Nos trabalhos de Chiu e Park (1994), Sanchez (2003) e Omitaou et al (2007),
o uso da aproximação para o VPL
fuzzy
é considerado matematicamente irrelevante, já
que os resultados apresentam variações pouco significativas quando comparado aos
cálculos sem aproximação. Vale ressaltar que, nos trabalhos citados, o número de
variáveis Fuzzy utilizado é menor que nesta dissertação, que totaliza 17 números
Fuzzy representando as variáveis que compõem o investimento.
A Tabela 11 apresenta os resultados obtidos pela defuzzificação do VPL
fuzzy
aproximado; nela são apresentadas também a comparação numérica frente aos
resultados obtidos pelo cálculo sem aproximação.
Tabela 11– Comparação numérica entre valores obtidos pelo cálculo do Valor Presente Líquido
Fuzzy
efeutado sem aproximação e com aproximação matemática
Valor mínimo
(VPL
min
)
Valor esperado
(VPL
esperado
)
Valor máximo
(VPL
máx
)
Possibilidade de
insucesso
VPL
fuzzy
-R$ 6.177.171,30 R$ 3.153.147,04 R$ 20.729.644,92
22,19%
VPL
fuzzy aprox
-R$ 6.177.171,30 R$ 3.948.973,59 R$ 20.729.644,92
16,08%
Erro por
aproximação
0,0% 25,4% 0,0% - 6,11%
166
Observa-se que a aproximação gera um erro considerável no indicador de
resposta mais importante; a possibilidade de insucesso do investimento, que passa de
22,19% para 16,08%. Pelo grande número de ferramentas computacionais disponíveis
a pesquisadores e aplicadores da lógica Fuzzy, entende-se que a prática de
aproximações para o cálculo do VPL
fuzzy
não deve ser utilizada, pois exprime
diferença no resultado.
Embora os resultados obtidos pela reaplicação da simulação de Monte Carlo
não tenha apresentado diferenças significativas, quando comparada ao seu resultado
original, uma possível vantagem do uso do VPL
fuzzy
sem aproximação para com a
simulação é sua independência à aleatoriedade, pois sempre que mantidas as mesmas
entradas o resultado de cálculo é o mesmo.
5.9.2
Grupo de análises qualitativas
As análises qualitativas presentes no trabalho têm o intuito de proporcionar
diversas comparações sobre a aplicabilidade da simulação de Monte Carlo e o Valor
Presente Líquido Fuzzy não por suas respostas numéricas, mas sim pela compilação
dos conceitos que envolvem cada um dos métodos.
A facilidade em representar a incerteza presente no investimento como uma
entrada para o modelo de cálculo
Para a execução da simulação de Monte Carlo, as variáveis incertas que
compõem um investimento devem ser estruturadas por meio de distribuições de
167
probabilidade, o que requer certo conhecimento em estatística, sobretudo quando tem-
se o intuito de utilizar representações assimétricas para tais variáveis.
A lógica Fuzzy é fundamentada na existência de imprecisão, incerteza e
definições qualitativas. A representação da incerteza presente nas variáveis que
compõem o investimento por números triangulares Fuzzy é uma tarefa de natureza
matemática bastante simplificada, pois para que seja efetuada a fuzzificação de uma
variável presente no investimento, basta definir os vértices do triangulo que compõem
o número Fuzzy. Apesar de não terem sido utilizadas durante o estudo de caso, se
necessário o uso de variáveis assimétricas, basta deslocar o vértice do triangulo de
pertinência igual a 1 dentro do universo em discurso.
A viabilidade de execução dos cálculos pertinentes em cada modelo
Por se tratar de um método utilizado em um grande número de estudos
estatísticos, as simulações de caráter estocástico, como a de Monte Carlo, podem ser
executadas por diversos softwares no mercado. O Microsoft® Excel, por exemplo,
apresenta diversos tipos de funções lógicas e da matemática, que permitem construir
modelos de simulação sem grandes dificuldades.
Quando realizadas em softwares específicos, como o Crystall Ball, a facilidade
para a execução das simulações é ainda maior. Além disto, estes aplicativos
apresentam um grande número de informações estatísticas para a análise da variável
simulada, embora a maior parte delas não seja representativa em situações onde a
variável independente é o Valor Presente Líquido para um investimento.
Os modelos baseados em lógica Fuzzy por sua vez, constituem-se em
concepções mais recentes e pouco conhecidas em algumas áreas da engenharia. São
168
escassos os softwares específicos que permitem simplicidade ao cálculo do Valor
Presente Líquido Fuzzy ou que sejam estruturados para aplicações diretas na área
financeira. Na maioria das aplicações faz-se necessário a estruturação passo a passo
do problema, tornando sua execução relativamente trabalhosa.
Dentre os softwares mais utilizados para aplicação da lógica Fuzzy descata-se
o Matlab, o qual apresenta uma barra de ferramentas específica que permite a
construção de sistemas e modelos de inferência ou cálculo. Apesar de propiciar ao
usuário a construção de trabalhos complexos, a utilização deste software requer bons
conhecimentos sobre programação, o que restringe seu uso.
O cálculo do Valor Presente Líquido Fuzzy apresentado no estudo de caso,
fora executado pelo Microsoft® Excel. Como tal aplicativo não apresenta nenhuma
função específica que contemple a lógica Fuzzy, a execução do trabalho deu-se de
maneira bastante trabalhosa, visto que não foram encontrados, dentro da pesquisa
bibliográfica realizada, trabalhos que mostrassem como representar as variáveis Fuzzy
por meio daquele software.
Para a execução do cálculo do VPL
fuzzy
foram construídas quatro pastas de
trabalho. A primeira delas, referente a fuzzificação das variáveis de caixa do
investimento, constituída por 22 planilhas. A segunda, elaborada para a realização de
cálculos de depreciação dos ativos, constituída por 8 planilhas. A terceira constitui os
cálculos de impostos a serem pagos pela empresa, totalizando 5 planilhas. Por fim, a
quarta pasta de trabalho, destinada aos cálculos referentes a defuzzificação das
variáveis, constituída por 10 planilhas. Os arquivos em Excel elaborados para o
cálculo estão gravados no CD em anexo a esta dissertação, servindo como mecanismo
de consulta e aprendizado para pesquisadores interessados em aplicações da lógica
Fuzzy.
169
Facilidade de assimilação da resposta calculada pelos modelos matemáticos
Conforme apresentado no grupo de análises quantitativas, os resultados
obtidos, tanto pelo método de Monte Carlo como pelo Valor Presente Líquido Fuzzy
apresentam respostas que pode ser parametrizadas e comparadas. Desta forma não há
grande diferença sobre o tipo de resposta obtida, já que a aplicação de ambos os
métodos pode apresentar respostas equivalentes.
Aplicabilidade junto ao estudo de caso efetuado
O estudo de caso presente neste trabalho refere-se a criação de uma nova
empresa; não há referência histórica ou conjunto de dados que possa servir como base
para obtenção dos valores que compõem o fluxo de caixa. Pelas concepções
apresentadas no capítulo 2, a situação que contempla o investimento é de incerteza.
Uma situação de risco, apesar de conceitualmente próxima a de incerteza, é delineada
quando existem dados que permitam relacionar situações passadas com projeções
futuras.
O método de Monte Carlo, conforme definição de Casarotto Filho e Kopittke
(2002), é adequado para situações de risco, onde, por meio de dados existentes sobre
o investimento em questão, é possível obter distribuições de probabilidade que
representem as variáveis independentes do projeto. Existem ferramentas estatísticas
que permitem a associação de uma série de dados para compor informações sob o
futuro, como os testes de aderência e as regressões lineares.
Quando não se dispõe de dados que permitam o uso de ferramentas
estatísticas, ou acredita-se que o comportamento passado não apresenta relação com o
170
comportamento de variáveis no futuro, uma das poucas alternativas é trabalhar junto
às estimativas que representem o projeto de investimento.
Para análises de projetos de investimento sob condição de incerteza, estipular
distribuições de probabilidade associadas a cada uma das variáveis presentes é uma
tarefa difícil já que, em geral, não há informações concretas sobre o comportamento
das variáveis, o que interfere diretamente em um dos pontos centrais das teorias que
acercam a estatística; a análise de dados.
No projeto de investimento apresentado a incerteza presente é mensurada por
conceitos não estatísticos, baseados em definições bastante subjetivas onde
factivelmente, a imprecisão pode estar presente. Essencialmente a teoria Fuzzy é
voltada para o desenvolvimento de conceitos e técnicas que permitam quantificar
fontes de incerteza e imprecisão de natureza não estatística e de difícil mensuração;
fato com que fez que tal teoria fosse aplicada com bastante sucesso em diversas da
engenharia. Desta forma, acredita-se que os conceitos que envolvem a aplicação do
Valor Presente Líquido Fuzzy sejam mais adequados para a avaliação de
investimentos onde a condição presente é de incerteza.
A aceitação de um investimento deste porte, na grande maioria das vezes, não
é realizada com base exclusiva de resultados em indicadores. Uma avaliação
econômico-financeira tem o intuito de proporcionar a investidores maiores subsídios
para decisões a serem tomadas, porém vale a ressalva que em um ambiente complexo
sobre um investimento; o conhecimento de mercado, contatos empresariais,
capacidade técnica são fatores relevantes para a execução ou não de um projeto.
O próximo capítulo destina-se a apresentar as considerações finais sobre os
métodos em estudo, promover uma revisão geral sobre o que fora exposto ao longo do
171
trabalho e por fim, esboçar possíveis trabalhos futuros que possam contribuir com as
discussões apresentadas.
172
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
As incertezas são características presentes em investimentos correntes do
mercado financeiro e também em projetos de investimento com escopo definido. A
dificuldade em se estimar, com exatidão, as varáveis de caixa presentes a qualquer
investimento está ligada a imprevisibilidade futura e alta volatilidade econômica e
tecnológica que o atual cenário internacional apresenta. Mesmo em curto prazo,
eventos naturais, políticos e econômicos apresentam grande influência em fatores
decisivos no resultado de empresas e grupos de investidores.
As análises determinísticas de investimentos podem ser falhas; à medida que
há presença de incerteza em um projeto, os resultados obtidos por estimativas exatas,
em muitos casos, não representam a realidade do investimento, o que pode contribuir
diretamente para que gestores ou investidores tomem decisões equivocadas sobre a
alocação de capital.
Os métodos que permitem aos investidores considerar a incerteza junto a um
investimento apresentam-se como alternativas de apoio à decisão. O método de Monte
Carlo, em seu caráter estatístico, permite com que as variáveis presentes sejam
consideradas por meio de distribuições de probabilidade. Embora tal alternativa seja
dificultada em situações onde não existem dados passados referentes às variáveis
presentes, este método tem sido bastante utilizado ao longo dos anos, seja em
trabalhos científicos ou em aplicações em práticas empresariais.
A lógica Fuzzy, conforme apresentado ao longo do trabalho, prescreve uma
nova alternativa para aplicações onde existe incerteza. O uso de uma função de
pertinência contínua permite quantificar de maneira estruturada a incerteza presente
173
em um sistema ou modelo, de forma a representá-la como um número ou conjunto
nebuloso onde suas fronteiras não são rígidas.
O Valor Presente Líquido Fuzzy constitui-se em método para a avaliação
econômico-financeira que utiliza a associação de números difusos ou nebulosos, o que
permite representar a incerteza presente em um investimento por seu caráter léxico. O
uso de números Fuzzy contempla todos os valores possíveis que compõem a variável
em questão, onde tais valores podem apresentar intensidades diferentes. Este tipo de
representação mostrou-se propícia para análises onde não existiam clareza das
variáveis a serem utilizadas, fazendo-se necessário a utilização de estimativas, em
certos casos até intuitivas.
Ao decorrer do trabalho e sobretudo após da execução do estudo de caso,
percebeu-se que o Valor Presente Líquido Fuzzy contribui significativamente para
avaliação de investimentos sob condição de incerteza, já que pode trazer informações
relevantes aos que buscam decisões otimizadas, considerando o uso de faixas de
incerteza em seu cálculo. Como resposta da aplicação, são fornecidas estruturas
matemáticas Fuzzy que, por meio do conceito de defuzzicação, são transformadas em
indicadores passíveis de interpretação.
A concepção da lógica Fuzzy mostra-se diferente dos conceitos estatísticos que
envolvem a execução de uma simulação de Monte Carlo. Por meio de observações
quantitativas e qualitativas buscou-se realizar uma comparação entre os dois métodos.
6.1 RESULTADOS OBTIDOS
O objetivo geral deste trabalho consistira em avaliar a aplicabilidade do Valor
Presente Líquido Fuzzy como instrumento de avaliação de projetos de investimento, a
174
partir da comparação feita junto ao método de Monte Carlo. O capítulo 5 foi dedicado
à comparação: por meio da aplicação em uma situação real de investimento foram
obtidos resultados que puderam ser discutidos. Em termos gerais observou-se que as
respostas obtidas pelos dois métodos convergem para um cenário relativamente
próximo, apesar de observadas diferenças consideráveis em alguns dos indicadores
obtidos.
Dentre as comparações qualitativas observou-se maior facilidade da Lógica
Fuzzy para a representação de variáveis incertas; a utilização das faixas de incerteza
por meio de números triangulares Fuzzy mostrou-se conceitualmente simples, sendo
bastante apropriada na transformação de dados estimados e intuitivos em valores
matemáticos que se associassem às incertezas presentes.
Apesar de muito relevante, a aplicação do Valor Presente Líquido Fuzzy em
seus moldes atuais exige relativo conhecimento sobre a lógica em questão, visto que o
mercado ainda não dispõe de ferramentas computacionais que permitam sua aplicação
em situações de maneira simplificada, necessitando em muitos casos de softwares
específicos para sua aplicação. Neste trabalho o uso do Microsoft Excel® teve o
intuito de aproximar a Lógica Fuzzy a um dos aplicativos computacionais mais
utilizadas no mercado. Apesar de não conter nenhuma ferramenta específica para o
uso de números Fuzzy, os cálculos foram considerados satisfatórios, já que atenderam
as exigências matemáticas necessárias.
Quanto à adequação conceitual ao estudo de caso realizado, o uso da lógica
Fuzzy está bem alinhado a situação avaliada, pois não se dispõe de informações que
permitam grandes considerações sobre o comportamento econômico do projeto de
investimento apresentado.
175
6.1.1
A incerteza e o projeto de investimento avaliado
Durante a realização do estudo de caso, uma das tarefas de maior dificuldade
fora a busca por estimativas de faixas de incerteza que representassem o projeto de
investimento em análise. A definição de faixas de incerteza que não englobem as
possibilidades futuras faz com que a resposta obtida pela aplicação do modelo de
cálculo seja inútil e, conseqüentemente, possa levar investidores e gestores a
conclusões deturpadas sobre o projeto de investimento.
Com o intuito de realizar uma avaliação econômico-financeira que
representasse a variabilidade futura do projeto, optou-se pela utilização de faixas de
incerteza elevadas, em que alguns componentes de caixa chegaram a apresentar
valores com variação percentual de 60%. Um valor alto, porém adequado em vista da
imprevisibilidade e da baixa capacidade de mensuração do comportamento futuro das
variáveis envolvidas.
A taxa de desconto utilizada no projeto de investimento fora estipulada
baseada em discussão com o grupo de investidores. Seu valor fora referenciado na
taxa Selic média do mês de janeiro de 2008: 11,72% a.a. Segundo os investidores, a
realização do projeto de investimento só se torna viável caso sua rentabilidade supere
a taxa básica de juros nacional em 4%. Desta forma:
TMA = (Selic Janeiro/2008) + 4%
TMA = 15,72% a.a.
176
A expectativa do pesquisador responsável pela avaliação é que o valor da taxa
de juros básica da economia nacional para os próximos 15 anos, seja estimada em 6%
acima ou abaixo do valor apresentado em março de 2008. Desta forma:
TMA = (Selic Janeiro/2008+ 4%) ± 6%
TMA = 15,72 ± 6% a.a.
A inclusão deste raciocínio como entrada para os modelos de cálculo, fizera
com que as repostas obtidas (valor mínimo, valor máximo, valor esperado,
possibilidade ou probabilidade de insucesso) levassem em conta flutuações estimadas
nos juros da economia nacional.
6.1.2
A importância da avaliação de investimentos
As contribuições da avaliação de um projeto de investimento vão além dos
resultados econômico-financeiros que possam ser inferidos. O sucesso de um
empreendimento depende de fatores políticos, econômicos, estratégicos e
operacionais. A construção de um projeto sistematizado permite a gestores e
investidores angariarem um grande número de informações decisivas, como a atuação
da concorrência, perspectivas de mercado, entre outras: o que pode contribuir para a
definição da estratégia e política empresarial a serem seguidas, caso o investimento
seja realizado.
As avaliações econômico-financeiras constituem-se em um mecanismo de
apoio a decisão; à medida que seja possível oferecer modelos de cálculo que
representem a realidade futura de um investimento, mais apropriadas e menos incertas
177
podem se tornar as decisões tomadas. Tendo em vista a quantidade de informações
passíveis de coleta e sistemas para aplicação, presentes na chamada era digital, o
adequado uso da informação em busca melhores resultados empresarias, em quaisquer
áreas, não deve ser considerado um diferencial, mas sim uma exigência futura incisiva
no sucesso empresarial.
6.1.3
Contribuições para o grupo de pesquisa
O grupo de pesquisa em economia e finanças do SEP - Departamento de
Engenharia de Produção da Escola de Engenharia de São Carlos, ao longo de 8 anos
tem apresentado diversos trabalhos, nacionais e internacionais, que visam criar ou
aprimorar métodos e aplicações para a engenheira econômica, a gestão econômica e a
gestão de custos.
Desde a criação do grupo, muitos temas e métodos foram trabalhados, como as
Redes Neurais Artificiais, a Análise por Envoltória de Dados, os Sistemas de Custeio
Dinâmicos, a Teoria das Opções Reais entre outros. Apesar da variabilidade técnica e
temática das pesquisas já realizadas, a presente dissertação é o primeiro trabalho do
grupo a utilizar a Lógica Fuzzy.
O início das aplicações da Lógica Fuzzy na área financeira é bastante recente,
o que faz acreditar que pouco de seu potencial tenha sido explorado. Com o intuito de
promover este trabalho a um material para informação e consulta para realização de
trabalhos futuros, buscou-se realizar a revisão bibliográfica de forma abrangente; a
apresentação de conceitos foi colocada de forma lógica e seqüencial, expondo-se um
número grande de figuras e ilustrações para maior facilidade de assimilação.
178
6.1.4
Contribuições para o pesquisador
Apesar de não se apresentar demasiadamente complexos, os conceitos que
envolvem a lógica Fuzzy não se caracterizam pela obviedade; acredita-se que a
escolha deste tema de pesquisa contribuiu sensivelmente para desenvolvimento do
raciocínio analítico e do poder de assimilação do autor. Em vista ao grande número de
publicações relacionadas aos chamados sistemas inteligentes realizadas anualmente, é
de se supor que a execução deste trabalho contribuirá conceitualmente, ao autor, para
a busca por novas e mais elaboradas pesquisas, não se restringindo a Lógica Fuzzy,
mas também ao alcance de outros métodos, como as redes neurais, os sistemas Neuro-
Fuzzy e os Algoritmos Genéticos.
Além dos conceitos que envolvem a Lógica Fuzzy, a execução do presente
trabalho tornou necessária a pesquisa em outras áreas do conhecimento. A engenharia
econômica, a gestão financeira e a estatística mostram-se áreas valorizadas e
importantes no meio empresarial e acadêmico, firmando-se também como um
possível universo de atuação profissional para o pesquisador.
6.1.5
Dificuldades encontradas
A busca de informações diversas para elaboração de uma dissertação vem
acompanhada de dificuldades, sejam elas de caráter conceitual ou prático. No caso em
específico da Lógica Fuzzy, os trabalhos encontrados em pesquisas realizadas
apresentam-se conceituados em universos específicos referentes à suas aplicações,
caracterizadas em diversas áreas da engenharia como a de controle e de computação.
Por se tratar de um dissertação referente a engenharia de produção, foi necessário
179
estruturá-la em uma linguagem compactuada com a área, com a adaptação de parte
dos conceitos referenciados.
Vale a ressalva de que a linguagem matemática utilizada nas representações
que envolvem a Lógica Fuzzy carece muito em padronização e que este fato dificulta
sensivelmente a compreensão de grande parte dos trabalhos pesquisados, aumentando
o tempo de estudo dedicado. Para elaboração desta dissertação, buscou-se uma
representação matemática modernizada, já utilizada em trabalhos nacionais e
internacionais como os de Nicoletti e Camargo (2004); Banholzer (2005); Omitaou e
Badiru (2007).
As áreas financeiras são tratadas com extremo sigilo pela direção das
empresas em geral, fato que dificulta a execução de pesquisas e estudos relacionados.
O estudo de caso tornou-se quase uma exigência para este trabalho, já que acreditava-
se que a comparação entre os métodos apresentados seria melhor avaliada ao entorno
de uma situação real de investimento. Apesar de sua importância, a aplicação em uma
situação prática quase foi inviabilizada, já que a primeira empresa que havia se
comprometido em fornecer informações necessárias preferiu não divulgá-las. Desta
forma, o estudo de caso foi realizado em uma segunda empresa, a qual se mostrou
bastante receptiva e informativa. Embora a necessidade da aplicação prática tenha
sido suprida nesta dissertação, muitos pesquisadores apresentam dificuldades na busca
por situações reais, fazendo-se necessária esta menção.
Por fim, apesar das dificuldades para execução de uma dissertação, a
satisfação obtida e o conhecimento adquirido fazem com que as barreiras encontradas
sejam minimizadas. O Brasil, apesar dos significativos avanços em pesquisa e
desenvolvimento, ainda é muito dependente das instituições de ensino superior para
seu avanço cultural e tecnológico visto que, ao contrário de outros países que
180
produzem conhecimento, a presença da iniciativa empresarial neste seguimento ainda
é restrita, o que ressalta a importância de dissertações e teses construídas ano após
ano.
6.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
A facilidade do acesso à informação dos dias atuais gera oportunidades de
pesquisas vastas fazendo com que os trabalhos possam ser ampliados, tornando-se
muito abrangentes. Ao longo da elaboração de uma dissertação de mestrado, emerge
ao pesquisador a necessidade de capacidade analítica e senso crítico, importantes para
delinear e delimitar um trabalho científico de modo que não sejam perdidos de vista
os objetivos envolvidos. Em paralelo, uma série de limitações e possíveis melhorias
ao trabalho executado tornam-se visíveis. Este tópico trata das idéias que surgiram no
decorrer desta dissertação e, acredita-se, possam orientar novos trabalhos de pesquisa,
dentro da Engenharia de Produção.
6.2.1
Melhorias na composição do Valor Presente Líquido Fuzzy
O método conceitual que compreende o Valor Presente Líquido Fuzzy
apresentado neste trabalho restringiu-se ao uso de números triangulares. Um possível
trabalho que poderia complementar o modelo descrito, seria baseado na inclusão de
mais tipos de números Fuzzy ao cálculo.
Em princípio, parece não haver grandes problemas em tipos de números Fuzzy
cuja função de pertinência compreende um único valor em sua normalidade (µ = 1),
181
como os números em formato de sino, já que nestes casos a definição de cada lado da
função Fuzzy [l(
α
) e r(
α
)] é natural. Acredita-se que a maior dificuldade estaria
associada a utilização de números Fuzzy onde a normalidade esteja compreendida em
uma faixa de valores, como nos números trapezoidais. Nestes casos, uma alternativa
seria a definição de uma representação matemática por
α
-cut que permitisse trabalhar
tais números por funções l(
α
) e r(
α
), dividindo a região normalizada.
6.2.2
Melhorias na quantificação de incertezas
Uma lacuna que este trabalho traz é relativo a como as incertezas devem ser
parametrizadas, para que sejam inclusas aos modelos cálculo do valor presente
líquido. As definições quanto às incertezas consideradas no estudo de caso
apresentam certa fragilidade estrutural, pois dependem excessivamente de
conhecimento e opinião de mercado dos investidores responsáveis pelo projeto,
fazendo-se necessário o uso de amplitudes altas para definição dos valores numéricos
que representarão as variáveis incertas.
Quanto mais incertas as variáveis de entrada, maior será a amplitude numérica
das respostas obtidas pela aplicação do modelo, fazendo com que mecanismos que
levem a redução dos parâmetros que definem as faixas de incerteza possam contribuir
significativamente ao apoio a decisão. Dois tipos de pesquisa distintos são sugeridos
para a busca de novas contribuições a este tema:
A uso de ferramentas qualitativas para delineamento da incerteza
182
A Engenharia de Produção dispõe de métodos qualitativos para análise de
problemas de concepção complexa. Dentre os mais difundidos, destacam-se o Failure
Mode Effect Analysis (FMEA) e o Quality Function Deployment (QFD), muito
utilizados nas áreas de produção, projeto e qualidade de grandes corporações
industriais.
Tais ferramentas ganharam projeção com a ascensão da filosofia Lean
Production, do Sistema Toyota de Produção e mais recentemente, do Lean Six Sigma.
Em síntese o FMEA e o QFD familiarizam-se por relacionar diversas informações
qualitativas e trabalhá-las, de maneira lógica e procedimental, utilizando-se de
conceitos matemáticos bastante simplificados.
Acredita-se que estudos que visem à utilização de conceitos presentes em tais
métodos, para a contextualização de informações e cenários de investimento poderão
promover melhores interpretações quanto às incertezas presentes em um projeto,
contribuindo para a definição de faixas de incerteza menos amplas.
O uso de Sistemas Neuro
-
Fuzzy para delineamento da incerteza
Seguindo para uma linha de pesquisa mais computacional, a aplicação de
sistemas denominados Neuro-Fuzzy também poderá contribuir para a melhor
quantificação de incertezas em investimentos. As Redes Neurais são conhecidas pelo
alto poder de associação de dados, enquanto a Lógica Fuzzy é caracterizada por sua
capacidade de mensuração de variáveis inexatas, fazendo com que estes sistemas
híbridos propiciem a associação de um grande número de informações quantitativas e
qualitativas.
Em situações onde não se dispõe de informações que permitam projeções
futuras sobre as principais variáveis de caixa em um projeto de investimento, uma
183
possível alternativa poderia ser a utilização de dados macroeconômico junto a
informações qualitativas que considerassem perspectivas específicas sobre o
empreendimento. Este conjunto de informações quando trabalhadas por meio de
cálculos e inferências nos sistemas Neuro-Fuzzy, poderia gerar repostas que
exprimissem a incerteza referente a importantes variáveis de um projeto de
investimento
As variáveis obtidas pela aplicação de um Sistema Neuro-Fuzzy poderiam ser
mantidas em seu estado fuzzificado, que por sua vez seriam entradas diretas para um
modelo de cálculo do Valor Presente Líquido Fuzzy. É evidente esta sugestão
incorpora um sistema de cálculo bastante complexo que possivelmente possa não ser
explorado em um único projeto de pesquisa, mas possa se tornar factível ao longo de
trabalhos complementares.
6.2.3
Estruturação de softwares ou planilhas de cálculo para maior facilidade de
aplicação
Conforme já ressaltado ao longo do trabalho, o crescimento das aplicações da
Lógica Fuzzy na área financeira poderá ser elevado, à medida com que os aplicativos
disponíveis apresentem uma interface prática e amigável a gestores e investidores.
Desta forma acredita-se que um trabalho focado ao desenvolvimento de softwares que
venham preencher esta lacuna sejam de grande valia, sobretudo pelo apelo comercial
que possam apresentar.
Para o desenvolvimento de um software específico realmente efetivo, mesmo
antes das definições quanto ao padrão de interface a ser seguido, diversas questões
devem estar pré-determinadas: quais funções matemáticas oferecidas? que tipo de
184
situações financeiras poderão ser trabalhadas pelo uso do aplicativo? serão
necessários treinamentos preliminares para sua utilização?
Assim como no item anterior, o desenvolvimento de um trabalho desta
natureza mostra-se complexo, fazendo-se acreditar que sua realização exija um grupo
de pesquisadores experientes no tema, composto também por pessoas com elevado
conhecimento em linguagens de programação.
Uma alternativa mais simplificada, e não menos importante para este problema
de pesquisa, poderia ser a utilização da linguagem de programação intitulada Visual
Basic for Applications (VBA). Trata-se da linguagem interna de programação dos
aplicativos do pacote Microsoft Office®, os quais apresentam um editor específico
para criação de rotinas utilizadas na automatização de tarefas repetitivas.
O editor de VBA poderia ser utilizado para a criação de uma barra de
ferramentas no Microsoft Excel® que permitisse a automatização de tarefas referentes
ao uso da Lógica Fuzzy. Este artifício ainda permitiria que as diversas funções de
cálculo e lógica oferecidas pelo Excel pudessem ser utilizadas normalmente por um
usuário.
6.2.4
Sistemas de apoio a decisão para decisões de curto e curtíssimo prazo
A economia globalizada, ao longo dos anos, tem se mostrado bastante
oscilante com a formação de grandes grupos e uma possibilidade ilimitada de
mercados a se investir. Em períodos muito curtos de tempo podem ocorrer variações
consideráveis em valores cambiais, no preço do petróleo ou outras commodities.
185
Embora muitas empresas tentem reduzir seu ambiente de incerteza por meio
de heading e contratos firmados junto a fornecedores e clientes, as possibilidades de
prejuízos em decisões de curto prazo são bastante factíveis.
Nas negociações comerciais realizadas por indústrias de produtos seriados, por
exemplo, ocorrem situações onde devem ser definidos preços de venda com
informações baseadas em indicadores econômicos e financeiros diários. Acredita-se
que pesquisas relacionadas ao uso de números triangulares Fuzzy para representar as
variáveis e compor o preço de seus produtos poderão trazer consideráveis
contribuições às decisões a serem tomadas.
Outra aplicação possível da Lógica Fuzzy para situações em curto prazo seria a
criação de um sistema de apoio a decisão, ou mesmo um sistema especialista, para o
gerenciamento de fundos agressivos de ações. Tais fundos são possibilidades de
investimento oferecidas por bancos de varejo e são caracterizados pela busca de altos
índices de rentabilidade, aumentando a incerteza presente.
Os gestores destes fundos, além de trabalharem com ações de alta
variabilidade, realizam grandes volumes de negociação, seja buscando a redução de
prejuízos ou a realização de lucros em períodos onde seus ativos apresentam alta
valorização. Por meio de um sistema de inferência Fuzzy seria possível considerar o
preço de ações e investimentos de renda fixa disponíveis no mercado, fuzzificados por
meio de indicadores qualitativos (muito baixo, baixo, normal, alto, muito alto). Por
meio da inferência Fuzzy, seria possível a composição de uma carteira otimizada para
o fundo em análise.
6.2.5
Sistema de apoio a decisão para a análise de crédito
186
As análises para concessão de crédito a pessoas físicas são atividades muito
importantes para as instituições financeiras; a decisão de conceder crédito ou não
envolve questões como inadimplência e taxa de juros a ser cobrada.
Em instituições onde há alto índice de inadimplência, muitas vezes é
necessário elevar política de juros proposta para a concessão de empréstimos, fazendo
com que prejuízos causados pelo não pagamento de clientes sejam cobertos. Em
contrapartida, quanto maior a taxa de juros cobrada pela instituição financeira, menor
será sua demanda, visto que no mercado talvez sejam encontradas taxas menores, em
concorrentes. Desta forma, quanto mais certeiras as análises, melhores os resultados
obtidos pela empresa.
Para que seja possível as análises estatísticas e regressões, uma série de
questionamentos são realizados, como faixa etária, renda mensal, quantidade de
dependentes, etc. Um Sistema Neuro-Fuzzy poderia ser utilizado para este tipo de
avaliação, conjugando variáveis quantitativas e qualitativas.
6.2.6
Sistema de avaliação social de projetos
Talvez uma das maiores dificuldades na avaliação de um projeto de
investimento seja quanto às contribuições sociais ou mesmo sócio-ambientais que sua
execução possa causar. Uma possível alternativa para este problema seria a criação de
um sistema de inferência Fuzzy baseando-se em indicadores padronizados de entrada
como, por exemplo, número de empregos gerados e a quantidade de CO
2
lançada ao
meio ambiente. Como resposta do sistema poderia ser obtido um indicador numérico
que representasse as contribuições sociais ou ambientais que a execução do projeto
traria, fazendo-se possível a comparação entre projetos.
187
6.2.7
A utilização da lógica Fuzzy para precificação de opções
Em sua grande maioria, os modelos desenvolvidos para precificação de opções
financeiras, como o de Black-Scholes caracterizam-se pela utilização da estatística
para representar a variabilidade do ativo a que opção se refere. Acredita-se que o uso
de números Fuzzy neste tipo de representação seria uma técnica interessante. Uma
pesquisa poderia ser desenvolvida para explorar este tema, facilitada pelo fato de que
as informações necessárias (valor de mercado de ações e opções) para comparações
em situações reais entre o modelo de Black-Scholes e o modelo a ser desenvolvido,
apresentam-se amplamente disponíveis.
A Teoria das Opções Reais (TOR) consiste em um método em destaque, tema
de pesquisas e publicações para avaliação de projetos de investimentos. Tal método
caracteriza-se por permitir ao cálculo do VPL maior flexibilidade, já que torna
possível considerar o investimento inicial em um projeto como uma opção de compra,
contemplando situações onde dispêndio de capital não precisa ser totalizado em seu
início. O uso de um modelo de precificação de opções utilizando-se de números Fuzzy
poderia ser utilizado em conjunto com o Valor Presente Líquido Fuzzy, fazendo com
que as aplicações da TOR contemplassem também a incerteza em variáveis presentes
ao investimento.
6.2.8
Possíveis aplicações da lógica Fuzzy em outras áreas da engenharia de
produção
188
Não se restringindo às sugestões relacionadas as áreas de economia e finanças,
a parte final desta dissertação é dedicada a mais duas sugestões de pesquisas que
podem ser englobadas em outras áreas, dentro da Engenharia de Produção.
Pesquisa Operacional
A Pesquisa Operacional é a área da Engenharia de Produção referente a
aplicação de métodos científicos a problemas complexos no auxílio a tomada de
decisão, tais como projetar, planejar e operar sistemas em situações que requerem
alocações eficientes de recursos escassos (BATALHA, 2008). Em suas aplicações
mais comuns, destacam-se os problemas de otimização executados por meio do uso
de sistemas numéricos. Acredita-se que o uso de números Fuzzy como entradas de tais
sistemas permitiria agregar o conceito de incerteza as variáveis presentes, como por
exemplo, variações em processos de transformação dentro de um problema de
alocação de recursos em um complexo de manufatura.
Planejamento e controle da produção
Os sistemas denominados Enterprise Resource Planning (ERP) permitem a
integração de várias (ou todas) as base de dados que acercam uma empresa (SLACK
et al, 2002). Dentre as funções que tais sistemas apresentam é o planejamento e
controle da produção.
Por meio de informações firmadas junto ao departamento de vendas de uma
empresa inicia-se a programação da produção ou serviço, gerando o chamado Plano
Mestre de Produção, que por sua vez, apresenta as ordens de fabricação diária ou
semanal dos sistemas de produção e manufatura. Em tais ordens estão definidos o
189
prazos de entrega, material utilizado e as quantidade de cada produto que devem ser
produzidas.
Um ERP, no entanto, trabalha em seu sistema de cálculo valores absolutos,
porém no meio industrial, grandes variações podem ser originadas devido a falta de
material, atraso em fornecimentos internos ou externos, presença de refugos, etc.
A utilização de um ERP que utilize as variáveis de entrada para a programação
da produção representada por números Fuzzy, possivelmente poderá apresentar
ganhos, pois à medida que seja possível obter um Plano Mestre de Produção melhor
ordenado, mais adequadas as empresas de manufatura poderão estar de uma das suas
principais metas: a de conseguir trabalhar da maneira mais próxima possível a sua
programação, cumprindo datas e quantidades estipuladas.
190
APÊNDICE A
O objetivo deste tópico é apresentar de maneira simplificada a execução de
uma simulação baseada no método de Monte Carlo, utilizando o Excel e Crystall Ball.
Exemplo
Obter a distribuição de probabilidades Receita Total, resultante do produto
entre Preço de Venda e a Demanda. Em que:
Preço de Venda:
µ
preço
= R$10.495,00 e
σ
preço
= R$ 262,375
Demanda:
µ
demanda
= 1200 e
σ
demanda
= 180
Representação no Excel
B. Na célula C que representa a Receita Total digita
-
se
:
=A2*B2
A. Digita
-
se os valores de média do Preço
e da Demanda
191
Associação das distribuições de probabilidade às variáveis independentes
C. Deve neste exemplo a distribuição é a normal
A. Seleciona
-
se a célula da variável
independente P
reço
B. Deve
-
se clicar no botão
Define Assumption
do
Crystall Ball
192
D. Digita-se o desvio-padrão da distribuição
De maneira análoga o mesmo procedimento é realizado com a variável
Demanda.
193
Definição da Variável Dependente
B. Dev
e
-
se clicar no botão
Define Forecast
do
Crystall Ball
A. Seleciona
-
se a célula da variável dependente Receita Total
194
Execução da simulação
A
. Deve
-
se clicar no botão
Run Preferences
do
Crystall Ball
B. Define
-
se o número de cenários a ser utilizado
195
D. Obtêm a variável RECEITA simulada
C. Simulação deve ser executada
196
APÊNDICE B
O objetivo deste tópico é apresentar de maneira simplificada de como, definir,
realizar cálculos e representar números Fuzzy utilizando o Microsoft® Excel:
Exemplo
Calculo do número Fuzzy Receita Total, resultante da multiplicação dos números
triangulares Fuzzy Preço de Venda e Demanda. Em que:
Preço de Venda = (R$9.970,25, R$10.495,00, R$11.019,75)
Demanda = (840, 1200, 1560)
Representação por α-cut
Representação necessária para que sejam efetuados os cálculos (seu
equacionamento é apresentado no item 4.2.4
deste trabalho):
Preço de Venda
l(α)
= (524,75
α
×
+ 9970,25)
Preço de Venda
r(α)
= (–524,75
α
×
+11019,75)
Demanda
l(α)
= (360
α
×
+ 840)
Demanda
r(α)
= (–360
α
×
+1560)
197
Representação no Excel
1. Cria-se uma planilha. A coluna A é destinada para descrever a função de
pertinência. Cada função (L e R) dos números Fuzzy é representada por uma coluna
diferente.
Região onde os
números Fuzzy
serão as entradas
198
2. Define-se a função pertinência baseando-se nas iterações definidas.
A. Digita
-
se na célula
B2
= A2-$I2$
B. Utiliza
-
se do recurso de
autocompletar
e chega-se até o valor 0,00 de
pertinência
199
3. Digitam-se as funções representadas por nas colunas respectivas.
A. Digita
-
se
em
B2 a
função L do preço de
venda, considerando a
coluna A como α
=(524,75*A2+9970,25)
B. Utiliza
-
se do recurso de
autocompletar
200
4. De maneira análoga, são preenchidas as outras funções.
201
Cálculo da Receita Total Fuzzy
Conforme apresentado no item 4.2.5 deste trabalho, multiplicação Fuzzy é
obtida pela multiplicação das funções pertinência, de forma que:
Receita Total
l(α )
= Preço de Venda
l(α )
×
Demanda
l(α)
Receita Total
r(α )
= Preço de Venda
r(α )
×
Demanda
r(α)
Utilizando-se o Excel tem-se o número Fuzzy Receita Total, resultante da
multiplicação:
A
A
.
.
D
D
i
i
g
g
i
i
t
t
a
a
-
-
s
s
e
e
:
:
=
=
B
B
2
2
*
*
D
D
2
2
B
B
.
.
D
D
i
i
g
g
i
i
t
t
a
a
-
-
s
s
e
e
:
:
=
=
C
C
2
2
*
*
E
E
2
2
C
C
.
.
U
U
s
s
a
a
-
-
s
s
e
e
o
o
a
a
u
u
t
t
o
o
c
c
o
o
m
m
p
p
l
l
e
e
t
t
a
a
r
r
202
Representação gráfica
1. Para representar graficamente o número Fuzzy obtido deve ser usado um
gráfico de dispersão.
2. Insere-se a função L da variável no menu do gráfico.
Coluna F
Coluna A
203
3. Insere-se a função R da variável no menu do gráfico.
4. Obtêm-se o gráfico.
204
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