( PDF ) Ressonância não-linear no universo primordial com condições iniciais para a inflação e o problema do colapso gravitacional: correções da teoria de branas-mundo para a relatividade geral

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Tese de Doutorado

Ressonˆancia N˜ao-Linear no

Universo Primordial com Condi¸c˜oes

Iniciais para a Inﬂa¸c˜ao e o

Problema do Colapso Gravitacional:

Corre¸c˜oes da Teoria de

Branas-Mundo para a

Relatividade Geral

Rodrigo Maier

Centro Brasileiro de Pesquisas F

ısicas

Departamento de F

ısica Te

orica - TEO

Rua Dr. Xavier Sigaud 150, Rio de Janeiro - RJ

Marc¸o de 2010

Orientador: Ivano Dami

ao Soares

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Para o meu irm˜ao

Renato Maier

(In Memoriam)

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Conte´udo

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Intro du¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Formula¸c˜ao Te´orica 5

1.1 O Problema da Imers˜ao e as Equa¸c˜oes de Gauss-Codazzi . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Deriva¸c˜ao Diferencial das Equa¸c˜oes de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Deriva¸c˜ao Variacional das Equa¸c˜oes de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Aplica¸c˜ao Cosmol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Ressonˆancia N˜ao-Linear e Condi¸c˜oes Iniciais para a Inﬂa¸c˜ao 25

2.1 O Modelo Geral e as Equa¸c˜oes Dinˆamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 A Estrutura do Espa¸co de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Um Modelo Pr´e-Inﬂacion´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Ressonˆancia N˜ao-Linear dos Toros KAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5 O Padr˜ao Ressonante no Espa¸co Param´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6 Caos Homocl´ınico e um Escape Ca´otico para a Inﬂa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . 52

2.7 Cosmologias de Puro Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Buracos Negros N˜ao Singulares 63

3.1 O Modelo e a Solu¸c˜ao Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 A Solu¸c˜ao Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 A Extens˜ao Maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

iii

3.4 Corre¸c˜oes dos Testes Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4.1 O Avan¸co do Perih´elio Planet´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4.2 A Deﬂex˜ao do Feixe Luminoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5 A Radia¸c˜ao Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6 A Entropia de Bekenstein para Buracos Negros Quase-Extremos . . . . . . . . 94

3.7 Um Modelo Estat´ıstico para a Termodinˆamica de

Buracos Negros Quase-Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Apˆendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

A As Condi¸c˜oes de Jun¸c˜ao 105

B A Cria¸c˜ao de Part´ıculas por um Campo Gravitacional 108

Bibliograﬁa 110

Agradecimentos

Em primeiro lugar gostaria de agradecer de cora¸c˜ao inﬂamado ao meu orientador e amigo Ivano

Dami˜ao Soares, por quem tenho uma forte admira¸c˜ao pessoal e acadˆemica. Agrade¸co por ouvir com

entusiasmo e interesse todas as quest˜oes, d´uvidas e problemas que surgiram durante meu processo de

aprendizado desde os tempos de inicia¸c˜ao cient´ıﬁca. Agrade¸co p or ter acreditado em mim. Agrade¸co

por ter compartilhado comigo seu tema de pesquisa no meu doutorado, sendo um interlocutor ﬁrme,

paciente e generoso. Por sua amizade, principalmente, agrade¸co.

Aos professores Nelson Pinto Neto, M´ario Novello, Jos´e Martins Salim, Jos´e Abdalla Helayel Neto,

Nelson Luiz Panza Pereira da Silva, Geraldo Monteiro Sigaud, Luca Moriconi, Nelson Ricardo de

Freitas Braga e Ioav Waga, gostaria de agradecer pelos excelentes cursos ministrados ao longo de meu

doutorado e gradua¸c˜ao, aproveitando aqui para lhes prestar, desde j´a, a merecida homenagem.

Ao professor Maur´ıcio Ortiz Calv˜ao gostaria de agradecer pela aten¸c˜ao com que me acolheu no

in´ıcio do meu doutoramento na Universidade Federal do Rio de Janeiro.

Ao professor Eduardo Valentino Tonini agrade¸co pela inextim´avel colabora¸c˜ao devido a sua extrema

habilidade computacional.

Ao professor Hugo Pinheiro agrade¸co por despertar, ainda no ensino m´edio, meu agudo fasc´ınio

pela intera¸c˜ao gravitacional.

Aos meus pais Inah Lindenberg Braga Maier e Ricardo Jos´e Maier agrade¸co p or todo o amor,

suporte e apoio. Sem vocˆes nada disso seria poss´ıvel. Gostaria de agradecer tamb´em a todos os meus

familiares, em especial, a minha av´o Inah (pelo zelo), a minha tia-av´o Henriqueta (pelo cuidado) e ao

meu tio Manoel (pelo apre¸co).

A minha namorada Itala Resende Carvalhal agrade¸co pelo seu amor singular, paciˆencia, com-

preens˜ao e apoio. Sem vocˆe a vida seria qualquer coisa de cinza e obtusa.

Aos meus amigos Andr´e Pacheco Teixeira Mendes, Marcelo de Faria Fernandes e Jos´e Antˆonio

Marques Fonseca, gostaria de agradecer pelo v´ınculo inef´avel de amizade estabelecido. Agrade¸co por

serem meus exemplos. Agrade¸co pelo apoio irrestrito. Agrade¸co pelo entusiasmo (manifesto algumas

vezes pelos olhares incr´edulos).

Aos meus amigos Ricardo Kullock, Paulo Guilherme Couto de Castro, Saulo Machado Moreira

Sousa, Gabriel Lima Santiago, Rafael Fernandes Aranha,

Erico Goulart, Felipe Tovar Falciano e

Marcela Campista Borges de Carvalho, agrade¸co pela amizade e ambiente acadˆemico ´ımpar que s´o

vo cˆes poderiam proporcionar.

Agrade¸co ao Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas, b em como a todos os seus funcion´arios, pela

sem igual oportunidade.

Ao CNPQ agrade¸co pelo suporte ﬁnanceiro.

Resumo

No ˆambito da teoria de branas-mundo, examinamos modelos cosmol´ogicos pr´e-inﬂacion´arios e o

problema de colapso gravitacional supondo uma dimens˜ao extra tipo-tempo n˜ao-compacta.

Ao contr´ario do modelo cosmol´ogico padr˜ao, as equa¸c˜oes de Friedmann na brana cont´em termos de

corre¸c˜ao (provenientes da dimens˜ao extra) que implementam ricochetes metaest´aveis n˜ao-singulares na

evolu¸c˜ao primordial do universo. O conte´udo material dos modelos corresponde a um campo escalar

massivo n˜ao-minimamente acoplado al´em de poeira e/ou radi¸c˜ao. Devido `a n˜ao-linearidade do sistema

de equa¸c˜oes, observamos que em estreitas regi˜oes do espa¸co dos parˆametros – rotuladas por um n´umero

inteiro n ≥ 2 – o mecanismo de ressonˆancia n˜ao-linear destr´oi os toros KAM que conﬁnam inicialmente

a dinˆamica do sistema, conduzindo o universo para um regime inﬂacion´ario. Como consequˆencia, a

ressonˆancia n˜ao-linear imp˜oe v´ınculos sobre os parˆametros f´ısicos e conﬁgura¸c˜oes iniciais dos modelos

de modo que a inﬂa¸c˜ao possa ser realizada.

Ao considerarmos o colapso gravitacional esfericamente sim´etrico de pura poeira, derivamos uma

solu¸c˜ao interior analiticamente completa incluindo sua jun¸c˜ao com o espa¸co-tempo exterior. O colapso

forma um buraco negro (um horizonte de eventos exterior) escondendo n˜ao uma singularidade, mas uma

distribui¸c˜ao de mat´eria eternamente oscilante numa cadeia inﬁnita de extens˜oes maximais anal´ıticas

dentro do horizonte de eventos externo. Esta cadeia de extens˜oes anal´ıticas tem uma estrutura an´aloga

a solu¸c˜ao de Reissner-Nordstrom, exceto que a singularidade tipo-tempo no interior da distribui¸c˜ao de

mat´eria ´e evitada. Para a geometria exterior do buraco negro n˜ao singular, examinamos as corre¸c˜oes

nos testes experimentais da Relatividade Geral e na temperatura Hawking. No caso de um buraco negro

quase-extremo, reproduzimos os resultados de Bekenstein para a termodinˆamica de buracos negros.

vii

Abstract

In the realm of braneworld theory, we exam cosmological preinﬂationary models and the gravita-

tional collapse problem by assuming a noncompact time-like extra dimension.

On the contrary of the standard cosmological model, Friedmann equations on the brane contain

correction terms (arising from the extra dimension) that implement nonsingular metastable bounces

in the early evolution of the universe. The matter content of the models corresponds to a massive non-

minimal coupled scalar ﬁeld together with dust and/or radiation. Due to the nonintegrability of the

system of equations, we notice that in narrow windows of the parameter space – labeled by an integer

n ≥ 2 – the nonlinear resonance mechanism destroy the KAM tori that initially trap the dynamics of

the system, leading the universe to a inﬂationary regime. As a consequence, the nonlinear resonance

imposes constraints in the physical parameters and in the initial conﬁgurations of the models so that

inﬂation may be realized.

By considering the spherically symmetric gravitational collapse of pure dust, we derive an interior

analytically complete solution including its matching with an exterior spacetime. The collapse forms a

black hole (an exterior event horizon) hiding not a singularity but perpetually bouncing matter in the

inﬁnite chain of spacetime maximal analytical extensions inside the outer event horizon. This chain

of analytical extensions has a structure analogous to that of the Reissner-Nordstrom solution, except

that the timelike singularity inside the matter distribution is avoided. For the exterior geometry of the

nonsingular black hole, we examine the corrections on the experimental tests of General Relativity and

on the Hawking temperature. In the case of a quasi-extremal black hole, we reproduce Bekenstein’s

results of black hole thermodynamics.

viii

Introdu¸c˜ao

Emb ora estabelecida como a mais bem sucedida teoria para a descri¸c˜ao do campo gravita-

cional, a teoria da Relatividade Geral apresenta uma grave patologia quando procuramos cons-

truir um modelo cosmol´ogico compat´ıvel com as observa¸c˜oes, ou quando tentamos descrever

o pro cesso de colapso gravitacional. Tomado como padr˜ao, o modelo Friedmann-Robertson-

Walker (FRW) nos fornece previs˜oes absolutamente importantes sobre a evolu¸c˜ao de nosso

universo bem como sobre seu estado atual[1]. Suponhamos entretanto que as condi¸c˜oes ini-

ciais de nosso universo estivessem ﬁxas quando o universo primordial emergiu de um regime

semi-Planckiano e come¸cou sua expans˜ao at´e o regime atual. Evoluindo para tr´as no tempo

tais condi¸c˜oes iniciais usando as equa¸c˜oes de campo de Einstein, vemos que nosso universo

´e levado numa singularidade inicial onde o regime cl´assico perde sua validade[2]. O mesmo

ocorre quando evolu´ımos, agora para frente no tempo, as condi¸c˜oes iniciais de uma distribui¸c˜ao

de poeira esfericamente sim´etrica. Neste processo, o est´agio ﬁnal corresponde a uma singular-

idade encapsulada por um horizonte de eventos[3] (um buraco negro). Desta forma, em ambos

os casos a teoria da Relatividade Geral parece incorporar em seus fundamentos um proble-

ma cr´ıtico j´a que a presen¸ca de uma singularidade na natureza n˜ao pode ser empiricamente

concebida.

Certamente este ´e um ind´ıcio de que a teoria da Relatividade Geral possui uma forte

patologia e deve ser substitu´ıda por uma teoria mais completa ao considerarmos altas escalas

de energia. Neste contexto, tanto as condi¸c˜oes iniciais a partir das quais nosso universo evoluiu

quanto o processo de forma¸c˜ao de buracos negros, devem depender de forma crucial da vers˜ao

da teoria adotada para a descri¸c˜ao da dinˆamica num entorno da singularidade.

Uma das mais importantes caracter´ısticas de nosso universo, corrob orada por recentes

observa¸c˜oes, ´e a sua larga escala de homogeneidade e isotropia. De fato, embora esta suposi¸c˜ao

tenha sido estabelecida a priori atrav´es de um Princ´ıpio Cosmol´ogico[4], dados experimentais

de desvio para o vermelho nos mostram que a escala de homogeneidade e isotropia ´e bem aceita

empiricamente para distˆancias acima de 100 Mpc. Sem d´uvida esta ´e a principal raz˜ao que

torna a geometria FRW uma poderosa ferramenta te´orica para a constru¸c˜ao de um cen´ario

cosmol´ogico. Contudo, este mo delo esbarra em graves obst´aculos quando consideramos o

estado primordial de nosso universo. Entre tais obst´aculos, podemos destacar os problemas

do horizonte e da planeza[1].

Como uma proposta para a solu¸c˜ao destes problemas surgiu o chamado Paradigma Inﬂa-

cion´ario[5]. Neste contexto, a id´eia de inﬂa¸c˜ao remete a uma fase primordial do nosso universo

na qual a gravidade teria atuado como uma for¸ca repulsiva. Apesar de constituir um forte

paradigma por resolver alguns dos problemas do modelo padr˜ao, a cosmologia inﬂacion´aria se

utiliza da hip´otese de que o universo primordial tenha emergido a partir de uma singularidade

c´osmica cl´assica. Portanto, modelos oriundos de uma nova teoria que estejam em consonˆancia

com este paradigma e eliminem o problema da singularidade inicial devem ser considerados.

Por outro lado, dados recentes indicam a existˆencia de buracos negros em nosso universo.

De fato, o centro de nossa pr´opria gal´axia possui uma grande fonte de r´adio compacta chamada

Sagitarius A. At´e o ﬁnal do s´eculo passado, o centro da Via L´actea s´o podia ser observado

atrav´es da detec¸c˜ao de ondas de r´adio devido `a grande quantidade de poeira que impedia a

observa¸c˜ao ´otica das estrelas. Com o recente aperfei¸coamanto de detectores na faixa do espec-

tro infravermelho, foi permitida uma observa¸c˜ao (atrav´es da poeira) de estrelas individuais no

centro de nossa gal´axia. Dados observacionais[6] apontam que as velocidades de tais estrelas

crescem em dire¸c˜ao ao n´ucleo da Via L´actea indicando uma densidade central maior do que

2 ×10



/pc

. Este valor ´e muito maior do que a massa de um aglomerado estelar est´avel.

Por esta raz˜ao, a ´unica conclus˜ao plaus´ıvel ´e a de que existe realmente um buraco negro com

uma massa de aproximadamente 2.6 × 10



no centro de nossa gal´axia.

Emb ora a forma¸c˜ao de tal estrutura seja prevista pela Relatividade Geral, a singularidade

manifesta neste caso aparece como um problema inerente `a teoria. Desta forma, uma abor-

dagem mais completa do problema deve, em princ´ıpio, reproduzir a previs˜ao de forma¸c˜ao de

um buraco negro, introduzindo corre¸c˜oes de modo a eliminar a presen¸ca da singularidade em

seu estado ﬁnal.

Ao longo dos ´ultimos anos, v´arias foram as propostas para uma teoria alternativa da

gravita¸c˜ao que se propusesse a resolver o problema da singularidade[7]-[9]. Todas essas as

abordagens nos levam a corre¸c˜oes nas equa¸c˜oes de campo de Einstein e recuperam a Relativi-

dade Geral num limite de baixas energias. No caso de cosmologias espacialmente homogˆeneas

e isotr´opicas, a distin¸c˜ao b´asica entre estas teorias se deve aos tipos de corre¸c˜oes introduzidas

no v´ınculo Hamiltoniano de Friedmann. Enquanto em teorias como quantum loop cosmol-

ogy temos corre¸c˜oes nos termos cin´eticos, na teoria de strings derivamos corre¸c˜oes (devido

as dimens˜oes extras) nos termos de energia potencial. Em amb os os casos podemos ter um

ricochete do fator de escala de modo que um universo eterno substitui a conﬁgura¸c˜ao de uma

singularidade inicial[10, 11]. Corre¸c˜oes nos termos cin´eticos do v´ınculo Hamiltoniano de Fried-

mann podem tamb´em ser utilizadas para se evitar a forma¸c˜ao de uma singularidade global

tipo-espa¸co no problema do colapso gravitacional[8, 12].

Na presente disserta¸c˜ao iremos aderir ao formalismo da teoria de branas-mundo[13]. Neste

cen´ario dimens˜oes extras n˜ao-compactas s˜ao introduzidas atrav´es de um espa¸co ambiente

e toda a mat´eria conhecida de nosso universo se encontra encerrada numa hiper-superf´ıcie

(brana) com trˆes dimens˜oes espaciais e uma temporal. Apenas gravitons podem deixar tal

hiper-superf´ıcie em dire¸c˜ao ao espa¸co ambiente[14]. A baixas energias a teoria da Relativi-

dade Geral ´e recuperada mas, a altas energias mudan¸cas signiﬁcativas s˜ao produzidas na

dinˆamica gravitacional. Nosso interesse principal aqui se deve a corre¸c˜oes de altas energias

que s˜ao dominantes na vizinhan¸ca da singularidade. De fato, o resultado esperado mediante

a introdu¸c˜ao destas corre¸c˜oes deve estar conectado a uma for¸ca repulsiva a qual evita por

completo a forma¸c˜ao de uma singularidade. Tanto no caso do universo primordial quanto no

processo de colapso gravitacional, veremos sob quais circunstˆancias a distribui¸c˜ao de mat´eria

de nossos modelos pode exibir um comportamento oscilante n˜ao-singular.

No cap´ıtulo 1 apresentamos uma detalhada discuss˜ao de como as equa¸c˜oes de campo de

Einstein devem ser corrigidas se supormos a existˆencia de uma ´unica dimens˜ao extra n˜ao-

compacta. Dada uma geometria homogˆenea e isotr´opica, mostraremos como a singularidade

inicial pode ser evitada.

Entretanto, de nada adianta eliminarmos o problema da singularidade inicial se n˜ao pu-

dermos, neste contexo, reobter um paradigma inﬂacion´ario. Este ser´a o objetivo central do

cap´ıtulo 2.

Uma outra interessante aplica¸c˜ao da formula¸c˜ao te´orica utilizada neste trabalho ser´a explo-

rada no cap´ıtulo 3. Neste caso veremos que ao considerar o colapso gravitacional esfericamente

sim´etrico de pura poeira, conseguimos prever a forma¸c˜ao de um buraco negro est´avel n˜ao sin-

gular. Consequentemente, uma s´erie de previs˜oes observacionais da teoria da Relatividade

Geral podem ser corrigidas de modo a sugerir de forma mais palp´avel a existˆencia de uma

dimens˜ao extra.

Coment´arios ﬁnais e perspectivas ser˜ao apresentadas na Conclus˜ao. Apˆendices elucidativos

foram escritos para melhor compreens˜ao da nota¸c˜ao e do texto em si. A menos da se¸c˜ao 3.6,

utilizaremos as unidades G

= c =  = 1. Entretanto, por motivo de clareza manteremos a

constante de Newton G

em todas as express˜oes.

Cap´ıtulo 1

Formula¸c˜ao Te´orica

“A natureza ama esconder-se”

Her´aclito de

Efeso

Sem d´uvida, a suposi¸c˜ao de que existam mais do que 4 dimens˜oes na natureza n˜ao ´e

recente. Na tentativa de se uniﬁcar a gravidade com a intera¸c˜ao eletromagn´etica, T. Kaluza

e O. Klein postularam, por volta de 1920, a existˆencia de uma quinta dimens˜ao espacial [15].

Emb ora tal teoria tenha, em sua ´epoca, apresentado graves problemas de interpreta¸c˜ao (como

a previs˜ao de uma carga fundamental menor que a do el´etron), a cosmologia de Kaluza-Klein

voltou a se destacar na d´ecada de 80, quando foi associada com o progresso feito nas teorias

de gauge n˜ao-Abelianas. Neste contexto, o objetivo principal correspondia `a recupera¸c˜ao das

simetrias de gauge do modelo padr˜ao da f´ısica de part´ıculas, a partir de dimens˜oes extras

compactas (“escondidas” na natureza). Entretanto, quando levamos em conta o problema da

singularidade existente na teoria da Relatividade Geral, a teoria de Kaluza-Klein revela-se

insuﬁciente.

Dentre v´arias tentativas de se resolver este problema, a teoria de branas-mundo parece uma

proposta promissora. Inicialmente, veremos neste cap´ıtulo quais s˜ao as condi¸c˜oes necess´arias

e suﬁcientes para que possamos realizar a imers˜ao de uma hiper-superf´ıcie 1 + 3 (brana),

num espa¸co ambiente 5-dimensional, independente da assinatura do mesmo. Em seguida,

desenvolveremos um formalismo covariante que apontar´a como devemos proceder de modo a

obter corre¸c˜oes (associadas `a presen¸ca de uma dimens˜ao extra n˜ao-compacta) nas equa¸c˜oes

de campo de Einstein. Com base neste desenvolvimento, construiremos uma a¸c˜ao efetiva para

que p ossamos, consistentemente, derivar as equa¸c˜oes de campo modiﬁcadas a partir de um

princ´ıpio variacional. Finalmente, ao supormos uma geometria homogˆenea e isotr´opica (in-

duzida na brana) para construirmos uma modelo cosmol´ogico compat´ıvel com as observa¸c˜oes

em larga escala, avaliaremos as corre¸c˜oes na equa¸c˜ao de Friedmann bem como a natureza do

espa¸co ambiente.

1.1 O Problema da Imers˜ao e as Equa¸c˜oes de Gauss-Codazzi

Para avaliarmos os efeitos da introdu¸c˜ao de uma dimens˜ao extra (n˜ao-compacta) numa

teoria geom´etrica do campo gravitacional precisamos, em princ´ıpio, saber em que tipo de

variedade nosso universo se encontraria imerso. Um vez que a teoria da Relatividade Geral

se utiliza de um postulado m´etrico e de um termo de conex˜ao sim´etrico, nada mais natural

sen˜ao supormos que, no espa¸co ambiente, a conex˜ao ´e tamb´em expressa p elos s´ımbolos de

Christoﬀel.

Consideremos ent˜ao um espa¸co U

, N-dimensional, com uma m´etrica

(N)

, onde os

termos de conex˜ao s˜ao dados puramente pelos s´ımbolos de Christoﬀel. Por outro lado, seja V

um espa¸co n-dimensional com n < N . Como estamos interessados no problema da imers˜ao,

uma pergunta se faz pertinente: Quais s˜ao as condi¸c˜oes suﬁcientes e necess´arias a serem

satisfeitas de modo que possamos tomar V

como um subespa¸co imerso em U

? Aqui n˜ao

levaremos em conta o caso de V

ser um espa¸co cujos vetores normais tenham norma nula.

Al´em disso, estamos interessados agora apenas no problema de imers˜oes locais[16], j´a que

a formula¸c˜ao global da quest˜ao impo˜em problemas adicionais que, a priori, n˜ao ir˜ao nos

interessar.

Dado ent˜ao um sistema de coordenadas {x

, α = 0, .., n} em V

, existe um conjunto de

fun¸c˜oes

= f

, ..., x

), A = 1, ..., N (1.1)

tal que a geometria induzida

(n)

αβ

em V

´e expressa por

(n)

αβ

(N)

, α

, β

. (1.2)

Aqui Y

, α

corresponde simplesmente `a derivada simples das coordenadas Y

com rela¸c˜ao `a x

Dessa forma, as equa¸c˜oes (1.1) representam as equa¸c˜oes param´etricas de V

como subespa¸co

de U

. Tais equa¸c˜oes deﬁnem as chamadas fun¸c˜oes de imers˜ao Y

Denotemos agora por n

os campos vetoriais unit´arios em U

(os ´ındices a = n + 1, ..., N

enumeram vetores) ortogonais a V

e ortogonais entre si. Isto ´e:

(N)

= 

= ±1, (1.3)

sem soma sobre a, e

(N)

= 0 (1.4)

se a = b. O sinal de 

na equa¸c˜ao (1.3) est´a relacionado com a natureza das dimens˜oes

extras a serem consideradas em U

. Tomaremos aqui por conven¸c˜ao que 

= −1 denota

uma a-´esima dimens˜ao extra do tipo-tempo, caso contr´ario (

= +1) teremos uma a-´esima

dimens˜ao extra tipo-espa¸co.

Como os vetores Y

, α

s˜ao tangentes `a V

e os n

ortogonais, temos que:

(N)

, α

= 0 (1.5)

para todo α e b. Al´em disso, por deﬁni¸c˜ao Y

(N)

s˜ao escalares em V

. Assim, deﬁnindo

o operador de derivada covariante sobre a brana por ∇

, temos que

∇

(n)

αβ

= 0 =

(N)

AB, C

, α

, β

, γ

(N)

[(∇

∇

, β

+ Y

, α

(∇

∇

)]. (1.6)

Mas

∇

(n)

αγ

+ ∇

(n)

βγ

− ∇

(n)

αβ

= 0. (1.7)

Aplicando ent˜ao esta identidade em (1.6) obtemos

(N)

, γ

(∇

∇

(N)

, α

, β

) = 0 (1.8)

onde

(N)

denota o s´ımbolo de Christoﬀel dado pela m´etrica

(N)

. Por um c´alculo direto

vemos que

(N)

´e um escalar em V

Para um dado γ ﬁxo, Y

, γ

representa uma cole¸c˜ao de componentes de um vetor em U

tangente a V

. Como γ pode assumir qualquer um dos n valores, a cole¸c˜ao {Y

, γ

} forma uma

base completa do espa¸co tangente de V

num ponto ﬁxo x

 V

. Dessa forma, a equa¸c˜ao

(1.8) nos diz que o termo entre parˆenteses ´e ortogonal a todos os n vetores tangentes `a V

podendo assim ser expresso atrav´es de uma combina¸c˜ao linear dos N −n vetores n

que s˜ao

ortogonais `a V

. Isto ´e

∇

(N)

, α

, β



s=n+1



Ω

(s)αβ

, (1.9)

onde os Ω

(s)αβ

s˜ao coeﬁcientes a serem determinados.

Para um dado s ﬁxo, Ω

(s)αβ

´e um tensor em V

, sim´etrico em α e β. Ent˜ao, uma vez que

(N)

= 

sem soma sobre a, temos

Ω

(b)αβ

(N)

(∇

∇

(N)

, α

, β

. (1.10)

No caso de N = n + 1, a quantidade ´unica Ω

αβ

deﬁnida acima ´e denominada a segunda forma

fundamental do subespa¸co V

Para sabermos agora se V

pode ser imerso num dado espa¸co U

, devemos descobrir se

as fun¸c˜oes de imers˜ao que satisfazem (1.2) existem de fato. Estas fun¸c˜oes devem satisfazer as

rela¸c˜oes (1.9) as quais determinam as derivadas segundas covariantes de Y

com respeito as

coordenadas x

. Estas equa¸c˜oes ser˜ao sol´uveis desde que as condi¸c˜oes de integrabilidade de

Ricci[17]

∇

− ∇

∇

(n)

αβγ

, ρ

(1.11)

sejam satisfeitas. Denotamos aqui

(n)

αβγ

como o tensor de Riemann dado pela geometria de

Derivando covariantemente (1.5), temos que

∇

[

(N)

, α

] = ∇

[

(N)

, α

(N)

∇

, α

(N)

, α

∇

] = 0. (1.12)

Usando a identidade

∇

[

(N)

] = [

(N)

]

, β

= [

(N)

]

, C

, β

= [

(N)

, β

(1.13)

junto com a equa¸c˜ao (1.12), p odemos reescrever (1.10) da seguinte forma

Ω

(b)αβ

= −

(N)

, α

b, β

−

(N)

, α

, β

= −

(N)

, α

, β

), (1.14)

onde denotamos a derivada covariante constru´ıda com a geometria do espa¸co ambiente por

A equa¸c˜ao acima nos d´a uma interpreta¸c˜ao geom´etrica da segunda forma fundamental. No

presente contexto, Y

, β

) ´e a taxa de varia¸c˜ao do b-´esimo vetor normal `a V

conforme

nos movemos ao longo do β-´esimo campo vetorial Y

, β

. Assim, Ω

(b)αβ

representa a proje¸c˜ao

desta varia¸c˜ao no α-´esimo campo vetorial tangente Y

, α

. Por esta raz˜ao, Ω

(b)αβ

´e, `as vezes

chamado de curvatura extr´ınseca do subespa¸co V

imerso em U

. Vale notar pela ´ultima

equa¸c˜ao que Ω

(b)αβ

s˜ao escalares em U

Deﬁnimos agora o seguinte conjunto de campos vetoriais em V

[ab]β

(N)

, β

). (1.15)

Aplicando a identidade

(N)

b, β

) = [

(N)

]

, β

− [

(N)

]

, β

e, levando em conta (1.3), (1.4) e (1.13), encontramos que

[ba]β

= −

(N)

, β

) = −A

[ab]β

. (1.16)

Notemos que se N = n + 1, temos a = b → A

[ab]β

= 0.

As derivadas n

b, β

n˜ao s˜ao tensores em U

. Entretanto, ﬁxando um sistema de coordenadas

em V

, esses objetos podem ser decompostos numa base {Y

, α

, n

b, β

= M

(b)β

, γ



p=n+1

(pb)β

(1.17)

onde os coeﬁcientes M e L de tal decomposi¸c˜ao ser˜ao escalares. Substituindo ent˜ao a equa¸c˜ao

acima em (1.14) e (1.15), obtemos

(a)β

= −

(n)

αβ

Ω

(a)αβ

−

(n)

ασ

(N)

, α

, β

(1.18)

(pb)β

= 

[pb]β

−

(N)

, β

]. (1.19)

Como o conjunto {Y

, α

, n

}, (α = 1, .., n e b = n + 1, .., N) ´e uma base em U

podemos

representar

(N)

por suas componentes nesta base. Isto ´e:

(N)

ˆg

αβ

= Y

, α

, β

(N)

(n)

αβ

(N)

ˆg

aβ

= n

, β

(N)

= 0,

(N)

ˆg

= n

(N)

= 

. (1.20)

Por outro lado, por deﬁni¸c˜ao, as matrizes inversas s˜ao dadas por:

(N)

ˆg

αβ

(n)

αβ

(N)

ˆg

aβ

= 0,

(N)

ˆg

= 

, (1.21)

sem soma em a em (1.20) e (1.21). A mesma base {Y

, α

, n

} pode ser ainda usada para

representar a geometria inversa

(N)

. Isto ´e:

(N)

= Y

, α

, β

(n)

αβ



p=n+1



. (1.22)

Portanto, de (1.18), obtemos

(a)β

= −

(n)

αγ

Ω

(a)αβ

, γ

−

(N)

, β

(N)

, β



p=n+1



. (1.23)

Utilizando este resultado junto com a equa¸c˜ao (1.19), vemos que (1.17) se reescreve da seguinte

forma:

(s), β

= −

(n)

αγ

Ω

(s)αβ

, γ

−

(N)

, β



p=n+1



[ps]β

Iremos agora empregar a condi¸c˜ao de integrabilidade (1.11). De acordo com (1.9), temos que

∇

= −

(N)

∇

, α

, β

) −

(N)

MR, C

, γ

, α

, β



p=n+1



∇

[Ω

(p)αβ

]. (1.24)

Substituindo este resultado em (1.11), obtemos:

(n)

αβγ

, ρ

= Y

, α

, γ

, β

− Y

, β

, γ

)[

(N)

MR, C

−

(N)

]



p=n+1



[∇

Ω

(p)αβ

− ∇

Ω

(p)αγ

]



p=n+1



, ρ

(n)

ρµ

[Ω

(p)αγ

Ω

(p)µβ

− Ω

(p)αβ

Ω

(p)µγ

]



p=n+1



s=n+1



{Ω

(s)αβ

[ps]γ

− Ω

(s)αγ

[ps]β

}. (1.25)

Mas

, α

, γ

, β

− Y

, β

, γ

)[

(N)

MR, C

−

(N)

] ≡

(N)

MRP

, α

, β

, γ

onde

(N)

MRP

representa o tensor de Riemann constru´ıdo com a geometria de U

. Assim, a

equa¸c˜ao (1.25) ﬁca:

(n)

αβγ

, ρ

(N)

MRP

, α

, β

, γ



p=n+1



[∇

Ω

(p)αβ

− ∇

Ω

(p)αγ

]



p=n+1



, ρ

(n)

ρµ

[Ω

(p)αγ

Ω

(p)µβ

− Ω

(p)αβ

Ω

(p)µγ

]



p=n+1



s=n+1



{Ω

(s)αβ

[ps]γ

− Ω

(s)αγ

[ps]β

}. (1.26)

Po de-se mostrar atrav´es de um c´alculo direto que, contraindo a equa¸c˜ao acima com

(N)

, δ

obtemos

(n)

δαβγ

(N)

QMRP

, δ

, α

, β

, γ



p=n+1



[Ω

(p)αγ

Ω

(p)δβ

− Ω

(p)αβ

Ω

(p)δγ

]. (1.27)

Por outro lado, contraindo (1.26) com

(N)

, ﬁcamos com

(N)

AMRP

, α

, β

, γ

+ [∇

Ω

(a)αβ

− ∇

Ω

(a)αγ

]



p=n+1



{Ω

(p)αβ

[ap]γ

− Ω

(p)αγ

[as]β

} = 0. (1.28)

As equa¸c˜oes (1.27) e (1.28) s˜ao as chamadas equa¸c˜oes de Gauss-Codazzi. Quando N = n + 1,

essas equa¸c˜oes se reduzem a:

(n)

αβγδ

(N)

ABCD

, α

, β

, γ

, δ

+ [Ω

αγ

Ω

βδ

− Ω

αδ

Ω

βγ

] (1.29)

∇

Ω

αγ

− ∇

Ω

αβ

= −

(N)

ABCD

, α

, γ

, β

, (1.30)

onde  =

(N)

= ±1.

Um vez satisfeitas, as equa¸c˜oes de Gauss-Codazzi estabelecem as condi¸c˜oes necess´arias e

suﬁcientes para que V

possa ser imerso em U

quando N = n + 1.

1.2 Deriva¸c˜ao Diferencial das Equa¸c˜oes de Campo

Nesta se¸c˜ao, apresentaremos um desenvolvimento covariante que nos mostrar´a como as

equa¸c˜oes de campo de Einstein devem ser modiﬁcadas se supormos que nosso universo corres-

ponde a uma variedade 4-dimensional Σ (brana), imersa num espa¸co ambiente 5-dimensional.

A princ´ıpio, consideraremos que o car´ater da dimens˜ao extra pode tanto ser do tipo-espa¸co

quanto do tipo-tempo.

Para construirmos a formula¸c˜ao da teoria, consideremos uma hiper-superf´ıcie lorentziana

4-dimensional Σ com uma m´etrica

(4)

αβ

, imersa num espa¸co ambiente 5-dimensional M com

uma geometria

(5)

Indices latinos mai´usculos (´ındices do espa¸co ambiente) variam de 0 a 4

enquanto ´ındices gregos min´usculos (´ındices de brana) variam de 0 a 3. No presente contexto,

entendemos a brana Σ como uma parti¸c˜ao da variedade M em duas por¸c˜oes, a saber, M

. Os vetores n

e n

, correspondem aos vetores ortogonais `a Σ. A id´eia de que n

tenha

sentido oposto `a n

(cf. Fig. 1.1), corresponde `a chamada simetria Z

[18].

Deﬁnimos o projetor sobre a brana como

(5)

− n

, (1.31)

onde i = 1 ou 2, e  ´e a norma dos vetores normais n

e n

. Se  = −1, a assinatura do

espa¸co ambiente ´e dada por (−, +, +, +, −), de modo que a dimens˜ao extra ´e do tipo-tempo.

(Y )

(5)

Figura 1.1: Uma hiper-superf´ıcie Σ (brana) divide a variedade M em duas partes. Dado

um sistema de coordenadas particular Y

= (y, x

) em M, a brana pode ser deﬁnida, por

exemplo, pela equa¸c˜ao y = 0.

Do contr´ario, se  = +1, temos uma assinatura dada por (−, +, +, +, +), e a dimens˜ao extra ´e

do tip o-espa¸co. De (1.31) vemos que h

≡ h

, de modo que, a partir de agora supriremos

os ´ındices i em h

. Por outro lado, por deﬁni¸c˜ao, segue que:

(4)

αβ

= h

,α

,β

→

(4)

αβ

,α

,β

≡ h

. (1.32)

Usando ent˜ao a rela¸c˜ao (1.32) ao contra´ırmos os ´ındices α e γ na equa¸c˜ao de Gauss (1.29),

teremos que:

(4)

βδ

(5)

, β

, δ

+ [Ω

Ω

iβδ

− Ω

iαδ

Ω

iβ

−

(5)

ABCD

, β

, δ

], (1.33)

onde deﬁnimos Ω

iαβ

:= −

(5)

, α

, β

E importante destacarmos que o ´ındice i, da

deﬁni¸c˜ao precedente, denota apenas o vetor normal que estamos considerando (n

ou n

cf.

Fig. 1.1). Como n

= −n

, supriremos tamb´em aqui o ´ındice i em Ω

iαβ

quando tivermos a

ocorrˆencia de termos quadr´aticos dos mesmos nas subsequentes equa¸c˜oes.

Po demos ainda reescrever a equa¸c˜ao (1.33) como

(4)

βδ

(5)

, β

, δ

+ [Ω Ω

βδ

− Ω

αδ

Ω

] −

(4)

βδ

(4)

R − E

βδ

, (1.34)

onde deﬁnimos E

βδ

(5)

ABCD

, β

, δ

Por outro lado, contraindo β com δ em (1.33), temos que:

(4)

R =

(5)

R + [Ω

− Ω

αδ

Ω

αδ

− 2

(5)

]. (1.35)

Substituindo este resultado em (1.34), obtemos

(4)

βδ

(5)

, β

, δ

+ 

(5)

D (4)

βδ

+ [Ω Ω

βδ

− Ω

αδ

Ω

]

−



(4)

βδ

(Ω

− Ω

αγ

Ω

αγ

) − E

βδ

. (1.36)

Vejamos agora que para um espa¸co m´etrico 5-dimensional, o tensor de Weyl[19] ´e dado

por

(5)

ABCD

(5)

ABCD

−

{

(5)

A[C

(5)

D]B

−

(5)

B[C

(5)

D]A

} +

(5)

A[C

(5)

D]B

(5)

onde os colchetes acima denotam anti-simetria (isto ´e, para um dado tensor Q

qualquer,

identiﬁcamos sua parte anti-sim´etrica por Q

[AB]

≡

− Q

]).

Deﬁnindo ent˜ao

βδ

(5)

ABCD

, β

, δ

, (1.37)

temos que

βδ

= E

βδ

[

(5)

, β

(5)

D(4)

βδ

] −



(4)

βδ

(5)

onde, por constru¸c˜ao, o tra¸co de E

βδ

´e nulo. Substituindo o resultado acima na equa¸c˜ao (1.36),

obtemos

(4)

βδ



(5)

, β

, δ





(5)

−

(5)



(4)

βδ

−

(4)

βδ

(5)



+[Ω Ω

βδ

− Ω

αβ

Ω

] −



(4)

βδ

(Ω

− Ω

αγ

Ω

αγ

) − E

βδ

. (1.38)

Suponhamos agora que as equa¸c˜oes de campo para a geometria do espa¸co ambiente sejam

dadas por

(5)

+ Λ

(5)

= κ

(5)

, (1.39)

onde Λ

e κ

correspondem, respectivamente, a uma constante cosmol´ogica e a uma constante

de Einstein, no espa¸co ambiente 5-dimensional. Desta forma, as equa¸c˜oes (1.38) se reescrevem

(4)

βδ

= −

(4)

βδ



(5)

, β

, δ





(5)

−

(5)



(4)

βδ



+[Ω Ω

βδ

− Ω

αβ

Ω

] −



(4)

βδ

(Ω

− Ω

αγ

Ω

αγ

) − E

βδ

. (1.40)

Usando ent˜ao as condi¸c˜oes de jun¸c˜ao (vide Apˆendice A), obtemos

(4)

βδ

= −Λ

(4)

βδ

+ 8πG

βδ

+ κ

βδ

− E

βδ

+ F

βδ

(1.41)

onde deﬁnimos



κ



:= 

48π

βδ

:= −

δα

ττ

βδ

(4)

βδ

αµ

−

2(4)

βδ





(5)

, β

, δ



(5)

−



(5)



(4)

βδ



. (1.42)

Aqui, Λ

corresponde a uma constante cosmol´ogica efetiva enquanto G

´e a constante de

Newton na brana. Vejamos que as equa¸c˜oes (1.41) se reduzem as equa¸c˜oes de campo cl´assicas

de Einstein se ﬁzermos Λ

e κ

→ 0 (mantendo-se G

ﬁnito). Vale tamb´em notar que como

num regime de baixas energias a gravita¸c˜ao ´e uma intera¸c˜ao sempre atrativa (isto ´e, G

> 0),

devemos ter σ < 0 se supormos uma dimens˜ao extra tipo-tempo ( = −1). Caso contr´ario

(para  = +1), devemos ter σ > 0.

Emb ora as equa¸c˜oes (1.41) nos mostrem os termos de corre¸c˜ao que devem surgir numa

teoria geom´etrica para o campo gravitacional (devido a introdu¸c˜ao de uma dimens˜ao extra n˜ao-

compacta), devemos lembrar que as condi¸c˜oes de jun¸c˜ao (cf. Apˆendice A) s´o valem no limite

em que nos aproximamos da brana. Assim, tomando por exemplo o sistema de coordenadas

= (y, x

) – onde deﬁnimos a brana pela equa¸c˜ao y = 0 – tais equa¸c˜oes de campo devem

ser satisfeitas apenas quando y → 0. Contudo, para derivarmos tais condi¸c˜oes de jun¸c˜ao

utilizadas em (1.41), introduzimos uma distribui¸c˜ao δ(y) na forma de

(5)

para enfatizarmos

a presen¸ca de campos de mat´eria restritos a brana. De fato, este ´e um artif´ıcio amplamente

utilizado[18, 20] para que possamos expressar a curvatura extr´ınseca em termos do conte ´udo

material presente na mesma. Portanto, ao considerarmos uma distribui¸c˜ao δ(y) em

(5)

vemos que, por constru¸c˜ao, F

βδ

depende tamb´em desta distribui¸c˜ao. Como n˜ao h´a sentido

em se tomar o limite de uma distribui¸c˜ao δ(y) quando y → 0, n˜ao h´a sentido em se tomar o

limite de F

βδ

e, por conseguinte, da equa¸c˜ao (1.41). Evidentemente, o aparecimento de uma

distribui¸c˜ao nas equa¸c˜oes de campo corrigidas se deve a deriva¸c˜ao diferencial que apresentamos

aqui. Para eliminarmos este problema, exibiremos agora uma deriva¸c˜ao alternativa (usando

um princ´ıpio variacional), de modo a reproduzirmos as mesmas corre¸c˜oes supramencionadas

nas equa¸c˜oes de campo de Einstein sem a distribui¸c˜ao δ(y) em F

βδ

1.3 Deriva¸c˜ao Variacional das Equa¸c˜oes de Campo

Para construirmos a a¸c˜ao da teoria, consideremos novamente o contexto da se¸c˜ao anterior.

Isto ´e, suponhamos uma brana lorentziana 4-dimensional Σ com uma m´etrica

(4)

αβ

, imersa

num espa¸co ambiente 5-dimensional M com uma geometria

(5)

. Al´em disso, Σ corresponde

a uma h´ıper-superf´ıcie (que divide a variedade M em duas por¸c˜oes, M

e M

) com vetores

normais n

e n

satisfazendo `a simetria Z

. (cf. Figura 1.1).

A forma que Σ se encontra “encurvada” em M pode ser calculada pelos tensores usuais

iAB

, α

, β

:= Ω

iαβ

≡ −

(5)

, α

, β

, (1.43)

onde i = 1 ou 2. Devido a simetria Z

, deﬁnimos a chamada curvatura extr´ınseca da brana

por K

1AB

Da deﬁni¸c˜ao acima decorrem as seguintes propriedades:

iAB

= −h

= K

iBA

e K

iAB

≡ 0. (1.44)

Consideremos ent˜ao a a¸c˜ao da teoria por

S =

2κ







−

(5)



(5)

R − 2Λ

+ 2κ

(

(5)

, Φ)



x − 2





−

(4)





−

(5)



(5)

R − 2Λ

+ 2κ

(

(5)

, Φ)



x + 2





−

(4)







−

(4)



2κ

(4)

R − 2σ



x +





−

(4)

αβ

, ρ, φ)d

x, (1.45)

onde κ

e κ

correspondem `as constantes de Einsten 5-dimensional e 4-dimensional respec-

tivamente.

(5)

R ´e o escalar de Ricci constru´ıdo com a geometria

(5)

(4)

R o escalar de

curvatura calculado sobre a brana com a geometria induzida

(4)

αβ

. Por outro lado, as quan-

tidades K

e K

s˜ao os tra¸cos dos tensores de curvatura extr´ınseca enquanto o parˆametro σ

´e a chamada tens˜ao na brana. Λ

corresponde a uma constante cosmol´ogica 5-dimensional e,

ﬁnalmente, L

αβ

, ρ, φ) e L

(

(5)

, Φ) designam as densidades lagrangeanas de mat´eria na

brana e no espa¸co ambiente respectivamente.

Para efeito de c´alculo, seja





−

(5)

R d

x − 2





−

(4)

x. (1.46)

Temos ent˜ao que





−

(5)

R d

x = −





−

(5)

(δ

(5)





−

(5)

(δ

(5)

x. (1.47)

Mas





−

(5)

(δ

(5)

x =





−

(5)

[

(5)

−

(5)

x. (1.48)

Deﬁnindo

(5)

−

(5)

, (1.49)

obtemos de (1.3) que





−

(5)

R d

x = −





−

(5)

(δ

(5)





−

(5)

g D

x. (1.50)

Notemos que v

pode ser facilmente reescrito como

= D

(δ

(5)

) −

(5)

(δ

(5)

). (1.51)

Vejamos agora que num espa¸co Riemanniano n -dimensional, a forma generalizada do teo-

rema de Gauss se escreve:



∂

(



(n)

g v

x =



∂V



(n−1)

g (v

n−1

x. (1.52)

Entretando, em nosso caso temos uma variedade Σ pseudo-Riemanniano 1 + 3, imersa num

espa¸co ambiente onde, a priori, a dimens˜ao extra pode tanto ser tipo-espa¸co quanto tipo-

tempo. Desta forma, ´e imediato ver que a adapta¸c˜ao direta da lei de Gauss generalizada para

o nosso contexto se escreve



∂

(



−

(5)

g v

x = 



∂V



−

(4)

g (v

x. (1.53)

Assim, pelo teorema de Gauss generalizado, segue que:





−

(5)

g (D

x = 



∂M



−

(4)

g (v

x (1.54)

Supondo ent˜ao que v

se anule no inﬁnito mas n˜ao sobre a brana, temos:





−

(5)

g (D

x = 





−

(4)

g (v

x. (1.55)

Agora,

(5)

(δ

(5)

) − D

(δ

(5)

)]. (1.56)

Entretanto, como h

= δ

− n

, segue que

(δ

(5)

) − D

(δ

(5)

)] = 2n

(δ

(5)

|B|C]

)] ≡ 0

= n

(δ

(5)

) − D

(δ

(5)

)]. (1.57)

Vejamos agora que K

= K

1AB

. Portanto,

δK

= −δ(h

)(D

) − h

(δ

(5)

− h

(δn

)

, A

, (1.58)

onde

(δh

)(D

) = δ(

(5)

− n

= −[(δn

+ n

(δn

)]D

Mas

δ(n

) = δ(n

+ n

δ(n

) = δ() = 0. (1.59)

Isto ´e:

δ(n

) = −n

δ(n

). (1.60)

Logo

(δh

)(D

) = −δ(n

)(n

) ≡ 0. (1.61)

Por outro lado, lembremos que

(4)

αβ

= h

, α

, β

. Portanto, temos det g ≡ det h e





−

(4)

x =



(δK

)

√

−hd

x +



√

−h(δh

x = (1.62)

−



[(δ

(5)

+ D

(δn

)]

√

−hd

x −



√

−h(δh

Mas

(δ

(5)

(δ

(5)

). (1.63)

Substituindo esse resultado em (1.62), obtemos:



√

−hd

x = −





(δ

(5)

) + h

(δn

)



√

−hd

−



√

−h(δh

x. (1.64)

Usando ent˜ao esta rela¸c˜ao, temos de (1.46) que

δS

= −





−

(5)

(δ

(5)

x +





−

(5)

g D

+



√

−h[n

(δg

) + 2h

(δn

)]d

x + 



√

−hK

(δh

Po demos ainda reescrever a equa¸c˜ao acima como:

δS

= −





−

(5)

(δ

(5)

x +

+



√

−h[n

(δ

(5)

) + 2h

(δn

) + K

(δh

)]d

x (1.65)

onde usamos (1.55) e (1.57).

Entretanto, vejamos que:

(δ

(5)

) = h

(5)

] − h

)δ

(5)

= h

(5)

] − h

)(δh

) − h

)δ(n

)

= h

(5)

] − h

)(δh

) − h

(δn

)

= h

(5)

] + K

δh

onde usamos (1.60).

Substituindo este resultado em (1.65), obtemos:

δS

= −





−

(5)

(δ

(5)

+



√

−h[h

(5)

] + 2h

(δn

) + (K

− K

1AB

)(δh

)]d

x. (1.66)

Mas

(5)

] + 2h

(δn

) = h

[δn

−

(5)

δn

] + 2h

(δn

)

= h

[δn

−

(5)

δn

] + 2h

[

(5)

δn

] = h

[δn

(5)

δn

]

= h

[−n

δn

(5)

δn

] = h

δn

de modo que, deﬁnindo d

:= h

como o operador de derivada covariante sobre a brana,

temos

(5)

] + 2h

(δn

) = d

δn

]. (1.67)

Portanto:



√

−h[h

(5)

) + 2h

(δn

)]d

x =



√

−h[d

δn

)]d



[

√

−h(h

δn

)]

x =



∂Σ



−

(4)

g(h

δn

)¯n

x, (1.68)

onde ¯n

corresponde ao vetor normal `a ∂Σ da brana. Mas, ´e f´acil ver de (1.60) que

δn

= −n

δn

→ (δn

= 0. (1.69)

Logo,



∂Σ

√

−h(h

δn

)¯n

x = 0 (1.70)

δS





−

(5)

(δ

(5)

x + 



√

−h(K

1AB

− K

)(δh

Analogamente, deﬁnindo





−

(5)

R d

x + 2



√

−hK

x, (1.71)

obtemos:

δS





−

(5)

(δ

(5)

x − 



√

−h(K

2AB

− K

)(δh

onde a diferen¸ca de sinal entre δS

e δS

(no segundo termo) se deve a simetria Z

Por outro lado, atrav´es de um c´alculo direto vemos que a vari¸c˜ao funcional dos demais

termos da a¸c˜ao S resultada nas usuais express˜oes:





(4)

x = −



√

−h

(5)

(δh





−

(4)

g σd

x =



√

−h σh

(δh





−

(4)

g L

αβ

, φ)d

x =



√

−h τ

(δh





−

(5)

g Λ

x =





−

(5)

g Λ

(5)

(δ

(5)





−

(5)

g L

(

(5)

, ρ, Φ)d

x =





−

(5)

(δ

(5)

onde i = 1 ou 2. Portanto:

δS =

2κ







−

(5)

g [

(5)

+ Λ

(5)

− κ

(5)

](δ

(5)

x +





−

(5)

g [

(5)

+ Λ

(5)

− κ

(5)

](δ

(5)



2κ



√

−h [

(5)

+ κ

(σh

− τ

)](δh



2κ



√

−h[K

1AB

− K

2AB

− (K

+ K

](δh

x. (1.72)

Logo, a varia¸c˜ao da a¸c˜ao com respeito a m´etrica do espa¸co ambiente

(5)

, nos d´a:

(5)

+ Λ

(5)

= κ

(5)

. (1.73)

Por outro lado, deﬁnindo

iAB

:= K

iAB

− K

, (1.74)

a varia¸c˜ao da a¸c˜ao com respeito a h

nos fornece

(4)

+ 

1AB

− X

2AB

) = κ

(τ

− σh

). (1.75)

Dadas as fun¸c˜oes de imers˜ao Y

,α

, a equa¸c˜ao acima pode ser reescrita nos ´ındices de brana.

Isto ´e:

(4)

αβ

+ 

1αβ

− X

2αβ

) = κ

(τ

αβ

− σ

(4)

αβ

). (1.76)

onde X

iαβ

≡ Ω

iαβ

−Ω

(4)

αβ

. Suponhamos agora que a escala de intera¸c˜ao gravitacional seja

muito maior na brana do que no espa¸co ambiente, isto ´e, κ

 κ

. Desta forma obtemos a

seguinte rela¸c˜ao:

1αβ

− X

2αβ

= κ

(τ

αβ

− σ

(4)

αβ

). (1.77)

Tomando o tra¸co da rela¸c˜ao acima temos que

Ω

− Ω

= −

κ

(τ − 4σ). (1.78)

Logo:

Ω

1αβ

− Ω

2αβ

= κ



αβ

−

(τ − σ)

(4)

αβ



. (1.79)

Mas, pela simetria Z

, sabemos que Ω

1αβ

= −Ω

2αβ

. Desta forma, obtemos ent˜ao que o tensor

de curvatura extr´ınseca da brana ´e dado por

Ω

αβ

κ



αβ

−

(τ − σ)

(4)

αβ



. (1.80)

Da express˜ao acima vemos claramente que a condi¸c˜ao κ

 κ

corresponde diretamente as

condi¸c˜oes de jun¸c˜ao utilizadas na se¸c˜ao precedente.

Considerando portanto as equa¸c˜oes (1.73) e (1.80), junto com a equa¸c˜ao de Gauss, reobte-

mos, de acordo com a se¸c˜ao anterior que

(4)

µν

= −Λ

(4)

µν

+ 8πG

µν

+ κ

µν

− E

µν

+ F

µν

. (1.81)

Por outro lado, utilizando a rela¸c˜ao (1.80) vemos que ao contrair α com γ nas equa¸c˜oes de

Codazzi (1.30), obtemos:

∇

Ω − ∇

Ω

= −

κ

∇

. (1.82)

Assim, impondo que ∇

= 0 obtemos

∇

βδ

= κ

∇

βδ

+ ∇

βδ

. (1.83)

Ou seja, dado um conte´udo material em nossa brana, n˜ao podemos inferir, indiretamente,

as componentes de E

βδ

associadas ao tensor de Weyl do espa¸co ambiente. Isto porque apesar

de a divergˆencia de tal termo estar associada ao conte´udo de mat´eria em nosso universo,

precisamos saber ainda quais s˜ao os poss´ıveis tipos de ﬂuido, presentes no espa¸co ambiente,

que satisfazem (1.83).

1.4 Aplica¸c˜ao Cosmol´ogica

At´e agora, todo o desenvolvimento que ﬁzemos foi no sentido de encontrarmos quais se-

riam os termos de corre¸c˜ao (devido a introdu¸c˜ao de uma dimens˜ao extra n˜ao-compacta) nas

equa¸c˜oes de campo de Einstein, independente de modelo. Isto ´e, n˜ao consideramos a priori

nenhuma geometria ou conte´udo material, seja para a brana ou para o espa¸co de ambiente.

Al´em disso, n˜ao sup omos tamb´em qual seria o car´ater de nossa dimens˜ao extra. Embora

o caso de uma dimens˜ao extra tipo-espa¸co[14] tenha interessantes implica¸c˜oes cosmol´ogicas,

o problema da singularidade inicial ainda ´e manifesto – e refor¸cado – neste cen´ario. Vejamos

ent˜ao o que ocorre quando consideramos uma teoria alternativa na qual a dimens˜ao extra seja

do tipo-tempo. Para examinarmos a consequˆencia cosmol´ogica desta hip´otese, consideremos

uma geometria induzida (na brana) homogˆenea a isotr´opica expressa pelo seguinte elemento

de linha nas coordenadas (t, r, θ, φ):

= dt

− a

(t)



1 − kr

+ r

(dθ

+ sin

θdφ

)



, (1.84)

onde k denota a 3-curvatura e a(t) corresponde a um fator de escala respons´avel pela dinˆamica

do espa¸co-tempo.

Suponhamos agora que o conte´udo material de nosso modelo corresponda a um ﬂuido

perfeito[1] com tensor energia-momento dado por

αβ

= (ρ + p)U

+ p

(4)

αβ

, (1.85)

onde tomamos ρ ≡ ρ(t), p ≡ p(t) e U

≡ δ

Desta forma, segue de (1.81) a seguinte equa¸c˜ao de Friedmann modiﬁcada:

−

8πG



ρ −

2|σ|



− F

), (1.86)

onde deﬁnimos H :=

˙a

com ˙a ≡

Assim, se E

= F

, o termo proporcional a ρ

desempenha um papel crucial na equa¸c˜ao

(1.86). De fato, considerando uma equa¸c˜ao de estado p = αρ com α ≥ 0, vemos que a presen¸ca

de uma singularidade inicial (a = 0) para o nosso universo ´e eliminada por completo.

Entretanto, a imposi¸c˜ao de que E

seja igual `a F

parece, em princ´ıpio, bastante compli-

cada se E

e F

n˜ao forem nulos. Isto porque precisamos de um ﬂuido no espa¸co ambiente

que, conectado com a geometria e fun¸c˜oes de imers˜ao, satisfa¸ca a equa¸c˜ao (1.83). Por esta

raz˜ao suporemos, por enquanto, E

= 0 = F

. Dada esta premissa, vemos claramente que

as equa¸c˜oes de campo para o espa¸co de ambiente s˜ao dadas por

(5)

+ Λ

(5)

= 0. (1.87)

Para termos uma constante cosmol´ogica efetiva Λ

positiva, devemos supor em (1.42)

que Λ

> 0. A motiva¸c˜ao para tomarmos um valor positivo de Λ

ﬁcar´a clara a seguir. Por

simplicidade, suponhamos ent˜ao que a m´etrica do espa¸co ambiente seja descrita pela geometria

de De-Sitter 5-dimensional usual:

= −



k −



− v



1 − kR

+ R

(dξ

+ sin

ξdψ

)



−



k −



. (1.88)

Resta-nos agora encontrar fun¸c˜oes que realizem a imers˜ao de um espa¸co-tempo tipo FRW

4-dimensional, em tal variedade 5-dimensional. Consideremos ent˜ao as seguintes fun¸c˜oes:

u := u(t), v := v(t), R := r, ξ := θ e ψ := φ. (1.89)

Impondo que

v(t) = a(t) e u(t) =











k −





− k



− ˙a



dt, (1.90)

´e imediato ver que recuperamos a geometria FRW induzida (1.84).

Certamente o modelo descrito acima nos motiva na constru¸c˜ao de uma cosmologia no

cen´ario da teoria de branas-mundo com uma dimens˜ao extra (n˜ao-compacta) tipo-tempo. Isto

porque, como vimos acima, a ausˆencia da singularidade inicial ´e manifesta para qualquer

tipo de ﬂuido perfeito com p ≥ 0. Assim, nosso objetivo no cap´ıtulo seguinte ser´a o de aper-

fei¸coarmos esse modelo, introduzindo um campo escalar massivo (na brana) n˜ao-minimamente

acoplado com a curvatura para que possamos reobter o paradigma inﬂacion´ario. Neste cen´ario,

a presen¸ca de uma constante cosmol´ogica efetiva Λ

positiva ´e fundamental.

Cap´ıtulo 2

Ressonˆancia N˜ao-Linear e

Condi¸c˜oes Iniciais para a Inﬂa¸c˜ao

“Vˆe! teu terr´ıvel imp´erio, Caos! est´a restaurado;

A luz morre ante tua palavra aniquiladora;

Tua m˜ao, grande Anarca! deixa a cortina cair;

E a treva universal tudo sepulta.”

Alexander Pope, The Dunciad

De acordo com o Paradigma Inﬂacion´ario, a condi¸c˜ao forte de energia ρ + 3p > 0 deve ser

violada para que o universo primordial tenha atravessado uma fase de expans˜ao acelerada.

Neste contexto, um forte candidato para um ﬂuido que satisfa¸ca esta viola¸c˜ao corresp onde a

uma constante cosmol´ogica com equa¸c˜ao de estado p = −ρ. De fato, na teoria da Relativi-

dade Geral, uma boa aproxima¸c˜ao de ordem zero para a cosmologia inﬂacion´aria corresponde

`a solu¸c˜ao de De Sitter onde a constante cosmol´ogica ´e interpretada como um ﬂuido ex´otico

por ter uma press˜ao negativa. Contudo, para que o paradigma da teoria cl´assica seja consis-

tente, precisamos que a era inﬂacion´aria tenha uma sa´ıda suave para o modelo de Friedmann,

do contr´ario p erderemos importantes previs˜oes do modelo padr˜ao como a Nucleoss´ıntese[19].

Considerando um modelo com constante cosmol´ogica na teoria cl´assica, onde o conte´udo ma-

terial de nosso universo seja dado por radia¸c˜ao e poeira, vemos que uma era inﬂacion´aria

(onde tal constante dominasse) nunca p oderia ser seguida de uma era dominada por radia¸c˜ao

e, posteriormente, por poeira. Como essas fases s˜ao indispens´aveis para a constru¸c˜ao de um

modelo cosmol´ogico coerente, precisamos supor a presen¸ca de um ﬂuido alternativo no uni-

verso primordial que viole a condi¸c˜ao forte de energia. Neste cen´ario surgiu o chamado inﬂaton

(ou campo escalar) o qual imita um ﬂuido ideal podendo, dentro de certa aproxima¸c˜ao[1], ter

uma equa¸c˜ao de estado do tipo p = −ρ. Embora esta abordagem nos forne¸ca uma expans˜ao

acelerada seguida pelo modelo cosmol´ogico padr˜ao, o problema da singularidade cl´assica inicial

permanece ainda como um enigma perturbador.

Neste cap´ıtulo, nosso objetivo ser´a o de reobtermos o paradigma inﬂacion´ario – para um

modelo de universo n˜ao singular – mediante a introdu¸c˜ao de um campo escalar massivo n˜ao

minimamente acoplado com a curvatura[2] na brana. Para isto utilizaremos a formula¸c˜ao

te´orica do cap´ıtulo precedente supondo uma dimens˜ao extra do tipo-tempo.

2.1 O Modelo Geral e as Equa¸c˜oes Dinˆamicas

No contexto do cap´ıtulo anterior, suponhamos que nosso universo se encontre imerso num

espa¸co ambiente conformalmente plano (isto ´e: F

αβ

= 0 = E

αβ

). Suponhamos tamb´em que

o conte´udo material de nosso universo seja dado, em princ´ıpio, por um conjunto de ﬂuidos

perfeitos n˜ao interagentes entre si, e um campo escalar φ massivo com uma constante de

acomplamento ξ. Isto ´e, deﬁnimos a lagrangeana de mat´eria como



−

(4)



−

(4)





−



αβ

,α

,β

+ m



(4)

Rφ



. (2.1)

O ´ındice i acima denota cada componente de ﬂuido perfeito com equa¸c˜ao de estado p

= α

(onde os coeﬁcientes α

s˜ao constantes), sem soma sobre os ´ındices. Decorre da densidade

lagrangeana (2.1) que o tensor energia-momento de nosso modelo ´e dado por:

αβ



[(1 + α

)ρ

+ α

(4)

αβ

] + φ

, α

, β

−

(φ

, γ

, δ

+ m

)

(4)

γδ

+ξ[

(4)

αβ

(φ

) − ∇

∇

(φ

) −

(4)

αβ

]. (2.2)

Consideremos agora as deﬁni¸c˜oes

˜τ

αβ



[(1 + α

)ρ

+ α

(4)

αβ

]

¯τ

αβ

:= φ

, α

, β

−

(φ

, γ

, δ

+ m

)

(4)

γδ

+ξ[

(4)

αβ

(φ

) − ∇

∇

(φ

) −

(4)

αβ

Admitindo uma geometria homogˆenea e isotr´opica (da forma (1.84)) induzida sobre a brana,

ao impormos que ∇

˜τ

= 0 = ∇

¯τ

, obtemos

3(1+α

)

, (2.3)

onde E

s˜ao constantes de movimento, e

φ + 3

˙a

φ + m

φ + 6ξ



¨a

+ (

˙a

)



= 0. (2.4)

Neste cap´ıtulo ﬁxaremos c = 1 = G

. Desta forma, nos testes num´ericos das pr´oximas se¸c˜oes

devemos lembrar que os valores das quantidades E

tˆem dimens˜ao de 1/L

, onde L denota

uma escala de comprimento. A equa¸c˜ao (2.4) corresponde `a equa¸c˜ao de Klein-Gordon a qual,

junto com (2.3), garante automaticamente as condi¸c˜oes de Codazzi ∇

= 0. Por outro

lado, veriﬁca-se por um c´alculo direto que as equa¸c˜oes de campo corrigidas (1.81) possuem a

integral primeira



˙a



−

8πG





+ 3ξ



(

˙a

)



+ 6ξ

˙a



κ





+ 3ξ



(

˙a

)



+ 6ξ

˙a



, (2.5)

desde que a equa¸c˜ao de Klein-Gordon seja satisfeita.

O acoplamento n˜ao-m´ınimo do campo escalar com a curvatura aqui sup osto, ´e particu-

larmente motivado para que tenhamos a possibilidade de construir cen´arios inﬂacion´arios e

pr´e-inﬂacion´arios. Para simpliﬁcarmos a an´alise das equa¸c˜oes dinˆamicas (2.4) e (2.5), ire-

mos nos restringir a partir de agora ao chamado acoplamento conforme onde ξ =

. Al´em

disso, por conveniˆencias computacionais, ﬁxaremos k = 1 e κ

= 6. Reescalonando ent˜ao

o campo escalar pela transforma¸c˜ao ϕ := a(t)φ, podemos simpliﬁcar consideravelmente as

equa¸c˜oes dinˆamicas se as expressarmos no tempo conforme τ :=



a(t)

dt. De fato, com estas

transforma¸c˜oes, tais equa¸c˜oes se reduzem a:



+ a

−

|σ|









+ (1 + m

)ϕ



−









+ (1 + m

)ϕ



, (2.6)



+ (1 + m

) ϕ = 0, (2.7)

onde deﬁnimos f



dτ

para uma fun¸c˜ao f(τ) arbitr´aria.

As equa¸c˜oes (2.6) e (2.7) constituem as equa¸c˜oes dinˆamicas b´asicas, deﬁnidas no espa¸co

de fase (ϕ, ϕ



, a, a



), a serem exploradas neste cap´ıtulo.

Vale notar aqui que quando m = 0, o sistema de equa¸c˜oes dinˆamicas acima ´e separ´avel

e, consequentemente, integr´avel. Isto ´e, neste caso a equa¸c˜ao de Klein-Gordon possui uma

integral primeira E

(ϕ



+ ϕ

) e, substituindo este resultado em (2.6), segue que

τ ≡





− a

|σ|





+ E



−





+ E



De acordo com essa express˜ao, a solu¸c˜ao para o fator de escala a(τ) (para valores apropri-

ados de α

) pode ser reduzida em geral a uma soma de fun¸c˜oes elementares com integrais

el´ıpticas[22]. Como veremos a seguir, o caso integr´avel ´e de grande importˆancia para derivar-

mos um procedimento semi-anal´ıtico que localizar´a, no espa¸co dos parˆametros, as regi˜oes nas

quais um escape para a inﬂa¸c˜ao possa ser realizado.

2.2 A Estrutura do Espa¸co de Fase

A partir das equa¸c˜oes (2.6) e (2.7), deﬁnimos o seguinte sistema dinˆamico



= p

, p



= −(1 + m

) ϕ,



= p

/6, p



= −6a + 4Λ

− |σ|





(3α

− 1)

3α

− m

aϕ



(2.8)





3α





+ (1 + m

)ϕ





(3α

+ 1)

3α





+ ϕ



onde substituimos (2.3) em (2.6).

Deﬁnindo agora

H := 3a



+ 3a

− Λ

− |σ|









+ (1 + m

)ϕ











+ (1 + m

)ϕ



, (2.9)

temos que o v´ınculo H = 0 corresponde a equa¸c˜ao dinˆamica (2.6). Por outo lado, de tal

v´ınculo segue que

∂H

∂p

≡ a



(2.10)

∂H

∂a

= +6a − 4Λ

+ |σ|





(3α

− 1)

3α

− m

aϕ



−





3α





+ (1 + m

)ϕ







(3α

+ 1)

3α





+ ϕ



≡ −p



. (2.11)

Desta forma vemos que as vari´aveis a e p

satizfazem as equa¸c˜oes canˆonicas de Hamilton.

Entretanto, como H depende de termos de ordem superior em ϕ



, as vari´aveis (ϕ, p

) n˜ao s˜ao

canonicamente conjugadas e, por isso, H = 0 n˜ao pode ser tomado como um v´ınculo Hamil-

toniano. Por esta raz˜ao, a primeira e a terceira equa¸c˜oes de (2.8) correspondem simplesmente

a meras redeﬁni¸c˜oes das vari´aveis ϕ



e a



Iremos agora nos concentrar em trˆes estruturas b´asicas que organizam a dinˆamica no espa¸co

de fase de nosso sistema dinˆamico. Tais estruturas nos permitem uma descri¸c˜ao global dos

movimentos associados com cada modelo cosmol´ogico particular.

(i) O Plano Invariante:

Consideremos um plano em nosso espa¸co de fase deﬁnido por

ϕ = 0, p

≡ ϕ



= 0. (2.12)

Neste caso vemos diretamente das equa¸c˜oes (2.8) que a dinˆamica ´e integr´avel. Por outro

lado, ao ﬁxarmos p

= 0 = ϕ, garantimos que a dinˆamica n˜ao evolui na dire¸c˜ao ϕ nem na

dire¸c˜ao ϕ



do espa¸co de fase. Isto ´e, ´orbitas com condi¸c˜oes iniciais no plano (2.12) permanecem

totalmente contidas no mesmo ao longo de toda a evolu¸c˜ao do sistema. Assim, denotamos o

plano (2.12) como plano invariante de nosso sistema dinˆamico.

Vale notar que a dinˆamica neste plano ´e an´aloga ao caso separ´avel onde m = 0. Isto ´e,

em ambos os casos o sistema ´e separ´avel e integr´avel, descrito por ´orbitas similares (a menos

de uma constante E

) no setor (a, p

). Como veremos a seguir, para construirmos modelos

cosmol´ogicos pr´e-inﬂacion´arios tomaremos sempre condi¸c˜oes iniciais suﬁcientemente pr´oximas

do plano invariante.

Como a e p

s˜ao vari´aveis canonicamente conjugadas, vemos que a dinˆamica no plano

invariante possui uma integral primeira dada pelo v´ınculo Hamiltoniano

H =

+ V (a) − |σ|E

rad

= 0, (2.13)

onde E

rad

corresponde a uma constante associada a α

rad

, e V (a) ´e um potencial deﬁnido

por

V (a) := 3a

− Λ

− |σ|



i=rad

3α

−1





3α



. (2.14)

Desta forma, as equa¸c˜oes de movimento geradas pela Hamiltoniana (2.13) s˜ao equivalentes a

terceira e quarta equa¸c˜oes de (2.8) quando restritas ao plano invariante.

Para que V (a) forne¸ca uma barreira de p otencial impedindo a singularidade em a = 0,

precisamos que pelo menos um termo deste potencial caia com

, onde λ ´e uma constante

positiva. Isto ´e, precisamos que 3α

+ 1 > 0 ou, simplesmente, que α

> −

. Entretanto, α

n˜ao pode ser t˜ao grande quanto desejarmos. Isto porque a velocidade do som num meio n˜ao

pode exceder a velocidade da luz. Como a velocidade do som ´e dada por c

∂p

∂ρ

= α

, temos

que α

≤ 1. Portanto, satisfazendo a desigualdade

1 ≥ α

> −

, (2.15)

obtemos uma barreira para o potencial que evita a forma¸c˜ao de uma singularidade em a = 0.

Por esta raz˜ao consideraremos a partir de agora somente modelos cosmol´ogicos com o supra-

mencionado dom´ınio de α

. Termos de corre¸c˜ao que produzam esse tipo de comportamento

para o potencial s˜ao equivalentes a ﬂuidos com densidades de energia negativa. Isto est´a de

acordo com a previs˜ao de que efeitos quˆanticos possam violar as condi¸c˜oes cl´assicas de energia,

eventualmente evitando singularidades de curvatura nos regimes em que a Relatividade Geral

deixa de ser v´alida[23]. Tais viola¸c˜oes quˆanticas tendem a ocorrer em pequena escala e/ou em

altas curvaturas, casos os quais ser˜ao previstos pelo nosso modelo.

(ii) Pontos Cr´ıticos:

Por deﬁni¸c˜ao, um certo ponto cr´ıtico corresponde a uma solu¸c˜ao estacion´aria de um sistema

dinˆamico dada por

−→



= 0 (onde

−→

x = (ϕ, p

, a, p

) em nosso caso). Desta forma p

, p

e ϕ

devem ser nulos para um ou mais pontos cr´ıticos do sistema (2.8). Deﬁnimos ent˜ao os pontos

cr´ıticos no espa¸co de fase por P = (0, 0, a

, 0), onde a

satisfaz a rela¸c˜ao



= −6a

+ 4Λ

− |σ|



(3α

− 1)

3α





3α







(3α

+ 1)

3α



= 0. (2.16)

Por deﬁni¸c˜ao vemos imediatamente que os pontos cr´ıticos se encontram no plano invariante.

Al´em disso, de acordo com o v´ınculo Hamiltoniano (2.13), temos que p



= −

∂V

∂a

. Isto ´e, pontos

cr´ıticos do sistema dinˆamico (2.8) est˜ao associados a extremos do potencial V (a). Dependendo

dos valores de Λ

, σ, E

e α

, podemos ter um ou mais extremos de V (a) (caracterizando um ou

mais valores para a

). De fato este ´e o caso para um valor de Λ

ﬁxo e dom´ınios apropriados

de E

. As condi¸c˜oes de limite sobre E

n˜ao s˜ao em geral analiticamente conhecidas exceto

para os casos de poeira ou radia¸c˜ao, os quais ser˜ao explorados na pr´oxima se¸c˜ao. Para Λ

= 0,

o sistema dinˆamico (2.8) tem um ´unico ponto cr´ıtico correspondendo a um m´ınimo global do

potencial V (a). Neste caso, os modelos contruidos mediante a condi¸c˜ao (2.15) n˜ao possuem

interesse f´ısico j´a que correspondem a universos n˜ao singulares eternamente oscilantes onde a

inﬂa¸c˜ao n˜ao pode ser realizada.

Para examinarmos a natureza dos pontos cr´ıticos e, consequentemente, a natureza do

movimento em suas vizinhan¸cas, vamos linearizar o sistema (2.8) em torno do ponto P =

(0, 0, a

, 0). Uma lineariza¸c˜ao imediata de (2.8) nos fornece x



 M|

a=a

x onde

a=a







0 1 0 0

−(1 + m

) 0 0 0

0 0 0

0 0 −

∂

V (a)

∂a

a=a







. (2.17)

Denotando por ξ

(onde s = 1, .., 4) os autovalores de M |

a=a

, temos que

1,2

= ±



−



∂

V (a)

∂a





a=a

, ξ

3,4

= ±i



1 + m

, (2.18)

onde ξ

1,2

e ξ

3,4

est˜ao relacionados, respectivamente, aos planos (a, p

) e (ϕ, p

Como vimos anteriormente, os pontos cr´ıticos de nosso sistema est˜ao ligados ao extremo do

potencial V (a). Quando



∂

V (a)

∂a





a=a

> 0, temos um m´ınimo para o potencial com dois pares

de autovalores imagin´arios puros complexo conjugados, caracterizando o ponto cr´ıtico P

como

um centro[24]. Por outro lado, quando



∂

V (a)

∂a





a=a

< 0, temos um m´aximo para o potencial.

Desta forma temos um ponto cr´ıtico P

, com um par de autovalores reais (com sinais opostos)

e um par de autovalores imagin´arios. Neste caso P

´e chamado de centro-sela[25]. Enquanto

as componentes v

= (0, 0, 1,



−6V



(a)|

a=a

) e v

= (0, 0, 1, −



−6V



(a)|

a=a

) dos

autovetores de M geram, respectivamente, as variedades inst´avel E

e est´avel E

no plano

(a, p

), as componentes v

= (1, 0, 0, 0) e v

= (0,



1 + m

, 0, 0) geram uma variedade

tipo centro E

no plano (ϕ, p

) (cf. Fig. 2.1).

Expandindo a integral primeira (2.6) em torno dos pontos cr´ıticos, temos que:

H ≡



crit

) (a − a

crit

)

−

|σ|



+ (1 + m

crit

)ϕ



crit

− |σ|E

rad

+ O(3) = 0, (2.19)

onde O(3) denota os termos de ordem mais alta na expans˜ao e E

crit

≡ V (a

crit

) ´e a energia do

ponto cr´ıtico respectivo. Numa pequena vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico estes termos de ordem

superior podem ser desprezados e o movimento ´e separ´avel em dois setores com constantes de

movimento aproximadas, dadas por

(a)



crit

) (a − a

crit

)

(ϕ)



+ (1 + m

crit

)ϕ



, (2.20)

Figura 2.1: O ponto cr´ıtico centro-sela P

. Enquanto no setor (ϕ, p

) temos um centro na

origem, no setor (a, p

) temos uma sela em (p

= 0, a = a

com E

(a)

−|σ|E

(ϕ)

+ E

crit

−|σ|E

rad

∼ 0 e |E

crit

−|σ|E

rad

| suﬁcientemente pequeno. Enquanto

no setor (ϕ, p

) temos um movimento rotacional associado a uma energia E

(ϕ)

no entorno

dos pontos cr´ıticos, no setor (a, p

) temos duas possibilidades. Se V



) > 0 temos um

movimento rotacional com energia E

(a)

numa vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico P

. Do contr´ario



) < 0), um movimento hiperb´olico ocorre num entorno do ponto cr´ıtico P

Atrav´es desta an´alise local vemos que o ponto cr´ıtico P

deﬁne um an´alogo do universo

est´atico inst´avel de Einstein[2]. Ao contr´ario, a conﬁgura¸c˜ao de universo est´atico est´avel de

Einstein, correpondente ao ponto cr´ıtico P

, n˜ao possui an´alogo cl´assico (isto ´e, n˜ao ´e prevista

pela teoria da Relatividade Geral).

(iii) Separatrizes.

Considerando a forma das ´orbitas numa vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico P

(cf. Fig 2.1), vemos

que as variedades est´avel E

e inst´avel E

deﬁnem estruturas na forma de quatro separatrizes

no plano invariante.

Quando a(t) → ∞, vemos de (2.5) que

˙a



→ a(t) ∼ exp







(2.21)

ou a(η) ∼ (C

− η)

−1

para η → C

. Assim, ´orbitas no plano invariante sobre as separatrizes

e E

`a direita de P

tendem assintoticamente (para τ → ±∞) a um espa¸co-tempo de De

Sitter. Neste sentido, identiﬁcamos um ponto no inﬁnito do espa¸co de fase que atua como um

atrator de De-Sitter, e outro que atua como um repulsor de De-Sitter.

Estamos agora prontos para descrever a topologia de nosso sistema para os casos separ´aveis

considerando uma vizinhan¸ca n˜ao-linear dos pontos cr´ıticos. Para isto iremos introduzir na

pr´oxima se¸c˜ao um modelo cosmol´ogico particular onde as componentes de ﬂuido perfeito ser˜ao

dadas por uma mat´eria fria escura (poeira) e/ou radia¸c˜ao.

2.3 Um Modelo Pr´e-Inﬂacion´ario

Suponhamos que o conte´udo material em nosso universo primordial fosse dado por uma

componente de mat´eria fria escura (poeira) e/ou radia¸c˜ao, um campo escalar massivo (confor-

malmente acoplado com a curvatura) e uma componente de energia escura descrita por uma

constante cosmol´ogica efetiva Λ

. Deﬁnindo E

dust

como a constante de poeira associada a

dust

= 0, as equa¸c˜oes (2.6) e (2.7) se reduzem a

+ V (a) − |σ|E

rad

−

|σ|





+ (1 + m

)ϕ





rad

dust





+ (1 + m

)ϕ







+ (1 + m

)ϕ



= 0, (2.22)



+ (1 + m

) ϕ = 0, (2.23)

onde

V (a) = 3a

− Λ

− |σ|aE

dust



rad

dust



. (2.24)

Como mencionado anteriormente, para um dado valor ﬁxo de Λ

o potencial V (a) possui

dois extremos (um m´ınimo e um m´aximo) para valores apropriados de (|σ|, E

rad

, E

dust

). Ve-

jamos ent˜ao quais s˜ao os limites sobre estes parˆametros de modo a obter dois extremos para

o potencial V (a).

Para o caso de pura radia¸c˜ao temos que



(a) = 6a − 4Λ

−

rad

. (2.25)

Deﬁnindo Q(a) := a



(a), obtemos



(a) = 36a

− 32Λ

. (2.26)

Para que V (a) possua pelo menos dois extremos, Q(a) deve ter duas ra´ızes. Para que isto

ocorra, o valor de seu extremo deve ser positivo, isto ´e Q(¯a) > 0 onde Q



(¯a) = 0. Atrav´es de

um c´aculo imediato, vemos que ¯a ≡ 3



8Λ

. Logo



(¯a) =

2187

1024Λ

− 2E

rad

. (2.27)

Portanto, para que V (a) tenha dois extremos, a desigualdade

rad

2187

2048

(2.28)

precisa ser satisfeita.

Para o caso de pura poeira temos



(a) = 6a − 4Λ

−

dust

− |σ|E

dust

. (2.29)

Deﬁnindo Q(a) := a



(a) segue que



(a) = 3a

(8a − 8Λ

− |σ|E

dust

). (2.30)

Novamente, para que V (a) tenha pelo menos dois extremos, Q(a) deve ter duas ra´ızes reais

positivas. Para que isto ocorra, Q(a) deve ter um extremo positivo. Isto ´e, deve existir um

valor a = ˜a tal que Q



(˜a) = 0 e Q(˜a) > 0. Deﬁnindo ent˜ao R (a) := 8a − 8Λ

− |σ|E

dust

temos que



(a) = 8 − 24Λ

. (2.31)

Por deﬁni¸c˜ao vemos que R(a) possui um extremo positivo localizado em a = ˆa =



3Λ

R(ˆa) =



3Λ

− |σ|E

dust

> 0. (2.32)

d =2.3

d =1.8

=0.9d

d =0.5

d =0.2

±0.6

±0.4

±0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

V( )a

Figura 2.2: Curvas para o potencial V (a) para valores de δ ≡ |σ|E

dust

. Para altos valores

de |σ|E

dust

o m´ınimo do potencial est´a fora do espa¸co de fase f´ısico. Para |σ|E

dust

 2.3

os extremos do potencial (associados as conﬁgura¸c˜oes de universo est´aticos est´avel e inst´avel

de Einstein) desaparecem por completo. Neste gr´aﬁco ﬁxamos Λ

= 1.5, E

dust

= 10

−3

rad

= 10

−2

Isso garante que Q(a) tenha dois extremos para a > 0 mas n˜ao garante que um desses extremos

seja positivo. Desta forma, podemos tra¸car um limite superior para E

dust

por

|σ|E

dust



. (2.33)

Se a rela¸c˜ao acima for satisfeita, V (a) n˜ao possuir´a nenhum extremo.

Para radia¸c˜ao e poeira, n˜ao possuimos uma forma anal´ıtica fechada dos parˆametros de

modo que V (a) tenha dois extremos. Entretanto, n˜ao ´e diﬁcil veriﬁcar que, em geral, o

aumento de |σ|E

dust

, isto ´e, o aumento da intera¸c˜ao gravitacional da componente de poeira

tem o efeito de destruir a conﬁgura¸c˜ao de um potencial V (a) com dois extremos. Em outras

palavras, o aumento de |σ|E

dust

tem o efeito de reduzir o volume dispon´ıvel no espa¸co de fase

para ´orbitas inicialmente limitadas (com condi¸c˜oes iniciais dentro do po¸co do p otencial). Isto

´e ilustrado na ﬁgura 2.2 onde mostramos o gr´aﬁco do potencial V (a) para v´arios valores de

|σ| com Λ

, E

rad

e E

dust

ﬁxos. Vemos que para |σ|E

dust

 2.3 a conﬁgura¸c˜ao de um potencial

com dois extremos n˜ao est´a mais presente.

Vejamos agora que no caso integr´avel m = 0, a equa¸c˜ao (2.22) se simpliﬁca em

V (a) − |σ|



rad

+ E



= 0, (2.34)

Escapepara

deSitter

III

±4

±2

0.5 1 1.5

Figura 2.3: O retrato de fase da dinˆamica no plano invariante com pontos cr´ıticos P

(centro) e

(cento-sela) correspondendo, respectivamente, aos universos est´avel e inst´avel de Einstein.

As ´orbitas peri´odicas da regi˜ao I descrevem universos perpetualmente oscilantes.

Orbitas na

regi˜ao II s˜ao solu¸c˜oes de universos com um ´unico ricochete. Uma separatriz S que emerge de

deﬁne um escape para um regime inﬂacion´ario. Os valores adotados dos parˆametros aqui

correspondem a |σ| = 500 e E

rad

= E

dust

= 10

−3

onde

V (a) = 3a

− Λ

− |σ|aE

dust



rad

+ E

dust



, (2.35)

e E

≡ (ϕ



+ ϕ

)/2 ´e uma constante de movimento. Se compararmos a equa¸c˜ao (2.34) com

(2.13) vemos que a dinˆamica integr´avel no plano invariante ´e an´aloga a dinˆamica integr´avel

com m = 0 se ﬁzermos a substitui¸c˜ao E

rad

→ E

rad

+ E

. Em outras palavras, o campo escalar

se comporta, no caso integr´avel m = 0, como um ﬂuido de radia¸c˜ao com respeito a dinˆamica

do fator de escala.

Na ﬁgura 2.3 exibimos o retrato do espa¸co de fase da dinˆamica integr´avel no plano invari-

ante (ϕ = 0 = p

) para o caso de p oeira e radia¸c˜ao, com valores apropriados de |σ| e E

dust

de modo que V (a) possui um po¸co bem deﬁnido com dois extremos. Os pontos cr´ıticos P

(centro) e P

(centro-sela) correspondem aos universos est´avel e inst´avel de Einstein. Vemos

ent˜ao que este modelo nos permite a presen¸ca de universos perpetualmente oscilantes (´orbitas

peri´odicas na regi˜ao I da ﬁgura 2.3). Estas ´orbitas est˜ao associadas com o movimento no

po¸co do potencial V (a) no entorno da conﬁgura¸c˜ao de universo est´avel de Einstein (P

) e s˜ao,

basicamente, aquelas para as quais o produto |σ|E

rad

´e menor do que o valor do potencial em

. As duas separatrizes que emergem do centro-sela P

`a esquerda coalescem criando uma

liga¸c˜ao homocl´ınica que limita a regi˜ao I. A separatriz que emana deste ponto `a direita, corres-

pondente a variedade inst´avel E

(cf. Fig. 2.1), deﬁne ´orbitas que escapam para um regime

inﬂacion´ario. Por outro lado, a separatriz que emana deste ponto `a direita correspondente a

variedade est´avel E

, deﬁne ´orbitas que colapsam a partir de um espa¸co-tempo de De Sitter.

Orbitas na regi˜ao II correspondem a universos com um ´unico ricochete.

E importante destacarmos agora algumas diferen¸cas estruturais b´asicas entre a dinˆamica

integr´avel no plano invariante e aquela do caso integr´avel m = 0. Se ϕ(0) e/ou p

(0) n˜ao

s˜ao nulos (no caso integr´avel m = 0), o retrato do espa¸co de fase no plano (a, p

) ´e similar

aquele do plano invariante (cf. Fig. 2.3). Entretanto, P

e P

n˜ao s˜ao mais pontos cr´ıticos

mas sim ´orbitas peri´odicas est´aveis e inst´aveis respectivamente. Devido ao car´ater peri´odico

do sistema numa vizinhan¸ca de P

, vemos que tais ´orbitas encontram-se conﬁnadas sobre

superf´ıcies bidimensionais no espa¸co de fase as quais coincidem topologicamente com 2-toros.

Assim a dinˆamica integr´avel n˜ao ´e restrita ao plano mas sim, no caso de uma vizinhan¸ca de

, envolui em 2-toros que s˜ao o produto direto de curvas fechadas na regi˜ao I com ´orbitas

peri´odicas no setor (ϕ, p

Uma outra estrutura topol´ogica a ser considerada – no caso integr´avel m = 0 – ´e a

da dinˆamica das ´orbitas numa vizinhan¸ca de P

. Dadas as condi¸c˜oes iniciais p

(0) = 0 e

a = a

, o movimento do sistema corresponder´a a uma ´orbita peri´odica inst´avel que varre

um c´ırculo no setor (ϕ, p

). Designemos por Γ uma dessas ´orbitas. Consideremos entretanto

um pequeno desvio, sobre as separatrizes `a esquerda de P

, de tais condi¸c˜oes iniciais. Assim,

`a medida que o sistema evolui estaremos nos aproximando de P

por sua vizinhan¸ca est´avel

, ou nos afastando de P

por sua vizinhan¸ca inst´avel E

(cf. Fig. 2.1). Desta forma, o

produto direto das ´orbitas peri´odicas no setor (ϕ, p

) com estas variedades (E

e E

) geram

semi-cilindros (numa vizinhan¸ca de P

), que coalescem na pr´opria ´orbita Γ. De fato, a ´unica

interse¸c˜ao desses cilindros ´e a pr´opria ´orbita Γ. Quando consideramos uma descri¸c˜ao n˜ao

local da topologia, isto ´e, quando levamos em conta a presen¸ca de termos de ordem mais alta

no v´ınculo (2.34), o que ocorre ´e que a medida que esses tubos se afastam de Γ, a a¸c˜ao das

n˜ao-linearidades for¸ca com que os cilindros se fechem suavemente sobre si mesmos quando

a < a

, dando origem aos chamados cilindros homocl´ınicos. Esses cilindros coalescem aos

pares em Γ e s˜ao formados pelo produto direto entre as ´orbitas peri´odicas no setor (ϕ, p

)

e as separatrizes S que coalescem `a esquerda de P

. Qualquer ´orbita sobre estes cilindros

homocl´ınicos que tenda para Γ quando τ → ±∞ ´e dita uma ´orbita homocl´ınica.

A direita

de P

, os termos n˜ao-lineares n˜ao far˜ao com que os cilindros se fechem sobre si mesmos. Ao

inv´es disso, o produto direto das ´orbitas peri´odicas no setor (ϕ, p

) com as separatrizes S (`a

direita de P

) gera cilindros semi-inﬁnitos que coalescem na pr´opria ´orbita Γ. A tabela abaixo

resume as respectivas diferen¸cas estruturais b´asicas entre a dinˆamica do plano invariante (cf.

Fig. 2.3) e a dinˆamica do caso integr´avel com m = 0.

Dinˆamica no Plano Invariante: Dinˆamica Integr´avel m = 0:

Nenhum movimento no setor (ϕ, p

) Movimento separ´avel nos setores (a, p

) e (ϕ, p

)

Pontos Cr´ıticos P

e P

Orbitas Peri´odicas Est´avel e Inst´avel

Orbitas Peri´odicas (Regi˜ao I) Toros Integr´aveis

Separatrizes entre as Regi˜oes I e II Cilindros Homocl´ınicos

Separatrizes entre as Regi˜oes II e III Cilindros Integr´aveis Semi-Inﬁnitos

A estrutura do movimento no entorno de P

ser´a o principal objeto de nosso interesse nas

pr´oximas se¸c˜oes onde estudaremos o comportamento da dinˆamica n˜ao integr´avel em detalhe.

Esta regi˜ao ´e ﬁsicamente mais relevante do que aquelas em que apenas um ricochete ocorre pois

evita problemas te´oricos de deixarmos as condi¸c˜oes iniciais no inﬁnito passado. Assim, neste

dom´ınio forneceremos um mecanismo para que universos ﬁnitos perpetualmente em oscila¸c˜ao

correspondam a conﬁgura¸c˜oes metaest´aveis de tal forma que a inﬂa¸c˜ao possa ser realizada.

2.4 Ressonˆancia N˜ao-Linear dos Toros KAM

De acordo com o teorema de Liouville-Arnold[26], se o movimento de um sistema hamil-

toniano com n-graus de liberdade ´e integr´avel e limitado, ent˜ao as ´orbitas de tal sistema

encontram-se conﬁnadas sobre hiper-superf´ıcies n-dimensionais no espa¸co de fase, as quais

coincidem topologicamente com n-toros. Como discutido anteriormente, isto ´e o que ocorre

para o nosso sistema quando consideramos o caso integr´avel m = 0 numa vizinhan¸ca de

. Para uma an´alise mais detalhada, consideremos as superf´ıcies de energia deﬁnidas por

= |σ|(E

rad

+ E

) < E

crit

) ≡ V (P

) correspondentes aos movimentos limitados do caso

integr´avel m = 0 (cf. (2.34)). De acordo com a an´alise da topologia feita na se¸c˜ao precedente,

esta regi˜ao do espa¸co de fase ´e foleada por 2-toros S

× S

que s˜ao o produto topol´ogico de

´orbitas peri´odicas dos setores separ´aveis (ϕ, p

) e (a, p

). Estas ´orbitas possuem as respecti-

vas quantidades conservadas E

e E

, satisfazendo a condi¸c˜ao E

− |σ|(E

rad

+ E

) = 0. A

frequˆencia ν

da ´orbita peri´odica no setor (a, p

) ´e dada pela integral el´ıptica[22]









− 2α

a + (α

+ α

)





i=1

(a − β

)

, (2.36)

onde β

(i = 1...6) e α

± iα

s˜ao, respectivamente, as ra´ızes reais e imagin´arias de

V (a) −

|σ|(E

rad

+ E

) = 0. Denotamos aqui por β

(i = 1...3) as trˆes ra´ızes reais positivas com

< β

. Em contrapartida, as ´orbitas peri´odicas no setor (ϕ, p

), parametrizadas por

, possuem frequˆencia ν

= 1/2π.

A importˆancia dos n-toros para sistemas Hamiltonianos integr´aveis vem do fato que estas

superf´ıcies conﬁnam a dinˆamica sobre uma regi˜ao ﬁnita do espa¸co de fase. Em nosso caso,

tais toros numa vizinhan¸ca de P

evitam que o modelo tenha uma entrada para um regime

inﬂacion´ario. Entretanto, uma quest˜ao pertinente aqui ´e se estas superf´ıcies bidimensionais

“sobrevivem” quando introduzirmos uma pequena perturba¸c˜ao conectada a uma massa m

n˜ao nula do campo escalar. Supondo que as condi¸c˜ao iniciais (ϕ

, p

ϕ0

) se encontrem muito

pr´oximas do plano invariante, podemos aproximar a equa¸c˜ao (2.23) por



+ (1 + m

(τ)) ϕ = 0, (2.37)

onde a

(τ) ´e deﬁnido como uma solu¸c˜ao do fator de escala para a dinˆamica integr´avel (2.34).

A equa¸c˜ao (2.37) tem a forma de uma equa¸c˜ao de Lam´e. Desta forma, deﬁnindo ˜ν

como a

frequˆencia no setor (ϕ, p

) dada por (2.37), o fenˆomeno de ressonˆancia[30] ocorrer´a quando a

raz˜ao

R 

˜ν

(2.38)

for um n´umero racional. Expandindo a solu¸c˜ao exata do caso integr´avel a

(τ) na equa¸c˜ao de

Lam´e, pode-se mostrar que

˜ν

2π



1 +

(ζ m)

(β

+ β

). (2.39)

Para E

rad

= 10

−3

= E

dust

obtemos que ζ  0.9. Para valores diferentes de E

rad

= 10

−3

dust

, o fator 0.9 ´e modiﬁcado de acordo com a aproxima¸c˜ao de ponto m´edio das oscila¸c˜oes de

(τ). Entretanto, um valor inicialmente pequeno de ϕ na equa¸c˜ao de Lam´e pode crescer muito

depois de um tempo suﬁciente, deixando de ser uma perturba¸c˜ao suﬁcientemente pequena no

setor (a, p

). Isto ´e, a medida que o sistema evolui o campo ϕ passa a atuar sobre a dinˆamica

do fator de escala a(τ ) e a solu¸c˜ao do caso integr´avel a

(τ) deixa de ser uma boa aproxima¸c˜ao a

ser introduzida na equa¸c˜ao do campo escalar. Como veremos na pr´oxima se¸c˜ao, este processo

reestrutura as ressonˆancias de uma das duas formas: (i) ou a dinˆamica ´e conduzida a um

comportamento mais inst´avel, com ampliﬁca¸c˜ao do mecanismo de ressonˆancia e consequente

quebra dos toros KAM[27] levando a um escape das ´orbitas para um regime inﬂacion´ario (ii)

ou as ´orbitas ser˜ao conduzidas a um movimento randˆomico dentro de uma regi˜ao ﬁnita do

espa¸co de fase.

Consideremos agora uma aproxima¸c˜ao no v´ınculo (2.22) onde termos de ordem superior

em ϕ e p

s˜ao desprezados. Substituindo no termo remanescente n˜ao-integr´avel a solu¸c˜ao

integr´avel a

(τ), podemos expressar (2.22) aproximadamente por

H ≡ E

− |σ|E

−

|σ|

(τ)ϕ

(τ)  |σ|E

rad

, (2.40)

onde ϕ(τ) corresponde a uma solu¸c˜ao aproximada da equa¸c˜ao de Lam´e (2.37). Como o

car´ater Hamiltoniano da integral primeira ´e recuperado nesta aproxima¸c˜ao, podemos intro-

duzir as vari´aveis a¸c˜ao-ˆangulo[28] (Θ

, J

, Θ

, J

). As vari´aveis ˆangulo s˜ao deﬁnidas por

(Θ

= ˜ν

τ, Θ

= ν

τ,) tais que ambas varrem o intervalo [0, 1] durante num ciclo completo

do sistema.

E importante comentar que nos testes num´ericos a serem considerados a seguir

temos que E

≈ |σ|E

rad

nos est´agios iniciais da dinˆamica. Contudo, E

n˜ao ´e conservado a

medida que o sistema evolui j´a que o termo n˜ao integr´avel ´e respons´avel por uma troca de

energia entre os setores (a, p

) e (ϕ, p

). Levando em conta que a fun¸c˜ao a

(τ) ´e p eri´odica

com periodo T

= ν

−1

, a expans˜ao em fun¸c˜oes circulares do termo n˜ao-integr´avel de (2.40)

assume a forma[22]

= −

|σ|

(0)





cos 2nπΘ



cos 4πΘ

, (2.41)

onde A

s˜ao coeﬁcientes dependentes das ra´ızes de V (a) − |σ|E

rad

∼ 0 (cf. (2.36)). O

´ındice superior em J

e J

denota que estas s˜ao as vari´aveis de a¸c˜ao construidas para o caso

integr´avel. A equa¸c˜ao de Hamilton para J

, derivada a partir de (2.40), pode ser integrada

nos fornecendo em primeira aproxima¸c˜ao que

∼

|σ|

(0)



2πn˜ν



cos(2πnΘ

− 4πΘ

)

R − 2/n

cos(2πnΘ

+ 4πΘ

)

R + 2/n



. (2.42)

A partir de (2.42) temos que os termos de ressonˆancia dominantes s˜ao aqueles para os quais

R  2/n. Considerando valores apropriados dos parˆametros para que as ´orbitas sejam inicial-

mente ﬁnitas, a condi¸c˜ao n ≥ 2 deve ser satisfeita de modo a obtermos um valor real para a

massa m. Portanto a express˜ao

R 

˜ν



, (n ≥ 2) (2.43)

determina aproximadamente as ressonˆancias de nosso sistema. Quando tais ressonˆancias

ocorrem podemos ter, ocasionalmente, uma perda de estabidilidade com a quebra dos toros

KAM[27], permitindo que as ´orbitas do sistema descrevam uma entrada num regime inﬂa-

cion´ario.

Consideremos agora um mapa de Poincar´e nas vari´aveis (ϕ, p

) com se¸c˜ao p

= 0. Por con-

ven¸c˜ao suporemos que este mapa ´e unidirecional, isto ´e, uma determinada ´orbita do sistema

s´o atravessa o plano de se¸c˜ao p

= 0 uma ´unica vez depois de um per´ıodo aproximada-

mente dado por T

. Se E

= 0, as ´orbitas peri´odicas sobre o setor (a, p

) no caso integr´avel

m = 0 correspondem ao ponto (ϕ = 0, p

= 0). Para E

= 0, os toros do sistema integr´avel

s˜ao representados por curvas fechadas em torno da origem deste mapa. Para um pequeno

valor do parˆametro n˜ao-integr´avel m, esta conﬁgura¸c˜ao ´e mantida num entorno da origem

(ϕ = 0, p

= 0). De fato, em nosso caso o teorema KAM[29] garante que se ν

e ν

s˜ao

suﬁcientemente irracionais (isto ´e, satisfazem a condi¸c˜ao diofantina[30]), ent˜ao para m suﬁ-

cientemente pequeno as solu¸c˜oes do sistema perturbado s˜ao quase-peri´odicas e se encontram

sobre toros (remanescentes do caso integr´avel) agora deformados.

Para confrontarmos nossa aproxima¸c˜ao com a dinˆamica exata do sistema, faremos uma

an´alise num´erica de sua evolu¸c˜ao no mapa de Poincar´e com se¸c˜ao p

= 0. Por simplicidade

computacional ﬁxaremos Λ

= 1.5 e E

rad

= 10

−3

= E

dust

. Desta forma deﬁmos um espa¸co

param´etrico (|σ|, m) onde as ressonˆancias podem ocorrer. Para v´arias condi¸c˜oes iniciais no

entorno de (p

= 0, ϕ

= 0), tra¸camos os mapas de Poincar´e com m = 5.85 (cf. Fig. 2.4) e

m = 7.10 (cf. Fig. 2.5), tomando |σ| = 500. De acordo com nossa aproxima¸c˜ao, o primeiro

±0.002

±0.001

0.001

0.002

±0.004 ±0.002 0 0.002 0.004 0.006

Figura 2.4: Mapa de Poincar´e de se¸c˜ao p

= 0 para v´arias condi¸c˜oes iniciais (p

, ϕ

) com

|σ| = 500 e m = 5.85, no dom´ınio da ressonˆancia param´etrica n = 3. Vemos aqui que a

dinˆamica exata encontra-se conectada a uma bifurca¸c˜ao da ´orbita peri´odica est´avel na origem

(ϕ = 0, p

= 0), numa ´orbita peri´odica inst´avel. Neste bifurca¸c˜ao identiﬁcamos a presen¸ca de

uma ´unica ´orbita peri´odica est´avel caracter´ıstica. A estrutura do mar estoc´astico no entorno

da origem apresenta mecanismo de difus˜ao que permite uma entrada das ´orbitas num regime

inﬂacion´ario.

mapa apresenta um comportamento ressonante do sistema para n = 3 enquanto o segundo

exibe um padr˜ao de estabilidade numa regi˜ao entre as ressonˆancias n = 3 e n = 4.

Entretanto, atrav´es desta avalia¸c˜ao num´erica observamos uma diferen¸ca crucial entre um

ponto do espa¸co param´etrico (|σ|, m) que esteja na zona de ressonˆancia n = 3, e um ponto

que esteja numa zona de estabilidade (entre as ressonˆancias n = 3 e n = 4).

No mapa 2.5 vemos que a topologia do sistema no entorno da origem coincide com a de 2-

toros quando n˜ao estamos numa zona de ressonˆancia. Neste caso, os toros KAM remanescentes

do caso integr´avel conﬁnam ´orbitas com condi¸c˜oes iniciais nesta vizinhan¸ca, proibindo um

escape para a inﬂa¸c˜ao. Por esta raz˜ao a regi˜ao de estabilidade param´etrica do sistema ser´a

desfavor´avel para a constru¸c˜ao de um modelo inﬂacion´ario.

Por outro lado, quando consideramos a ressonˆancia n = 3 (mapa 2.4), vemos que a

dinˆamica exata encontra-se conectada a uma bifurca¸c˜ao da ´orbita peri´odica est´avel na origem

(ϕ = 0, p

= 0) numa ´orbita peri´odica inst´avel. A esta bifurca¸c˜ao encontra-se associada uma

´unica ´orbita peri´odica est´avel caracter´ıstica. Veremos adiante que a presen¸ca desta ´orbita

±0.006

±0.004

±0.002

0.002

0.004

0.006

±0.002 ±0.001 0 0.001 0.002 0.003

Figura 2.5: Mapa de Poincar´e de se¸c˜ao p

= 0 para v´arias condi¸c˜oes iniciais (p

, ϕ

) com

|σ| = 500 e m = 7.10 no dom´ınio de estabilidade param´etrica entre as ressonˆancias n = 3 e

n = 4. A topologia do sistema no entorno da origem (que deﬁne uma ´orbita peri´odica est´avel)

corresponde a de 2-toros. O estrutura do mar estoc´astico se manisfesta apenas para condi¸c˜oes

iniciais suﬁcientemente distantes do plano invariante.

peri´odica caracter´ıstica se deve ao fato de n ser ´ımpar neste caso. Se n fosse par ter´ıamos

duas ´orbitas peri´odicas caracter´ısticas. De qualquer sorte, nenhum toro KAM est´a presente

no entorno da origem do mapa de modo que ´orbitas com condi¸c˜oes iniciais numa vizinhan¸ca

da mesma s˜ao livres para escapar para largas regi˜oes de espa¸co de fase. Assim, a presen¸ca de

tal bifurca¸c˜ao ´e crucial para que a inﬂa¸c˜ao seja realizada.

A estrutura do mar estoc´astico[31] ´e ainda distinta em cada caso. Se o sistema est´a numa

regi˜ao de ressonˆancia param´etrica, condi¸c˜oes iniciais pr´oximas do plano invariante podem

gerar ´orbitas com um longo tempo de difus˜ao. Este fenˆomeno ´e representado atrav´es de um

mar estoc´astico que se manifesta em amplas regi˜oes do espa¸co de fase (cf. mapa 2.4), onde as

´orbitas escapam para o atrator de De Sitter. Por outro lado, quando o sistema est´a na regi˜ao

de estabilidade param´etrica, condi¸c˜oes iniciais para ´orbitas que tenham difus˜ao se encontram

suﬁcientemente distantes do plano invariante (cf. Fig. 2.5).

Feitas essas pondera¸c˜oes, uma carta de ressonˆancia para o nosso modelo pode agora ser

construida numericamente usando a dinˆamica exata. Por simplicidade num´erica iremos no-

vamente ﬁxar os parˆametros E

dust

= 10

−3

= E

rad

e Λ

= 1.5 de modo a examinarmos

as ressonˆancias no plano (|σ|, m) do espa¸co param´etrico. Tomando as condi¸c˜oes iniciais

= 0 = p

e ϕ

= 10

−4

, obteremos um valor correspondente para a

quando substi-

tuirmos valores num´ericos de |σ| e m no v´ınculo (2.22). Para um apropriado valor de |σ|, a

express˜ao aproximada (2.43) constitui um acurado guia para localizarmos os respectivos valo-

res de m correspondentes as ressonˆancias no espa¸co param´etrico. Variando ent˜ao os valores

de |σ| construimos curvas (cf. Fig. 2.6) no espa¸co param´etrico (|σ|, m) que nos permitem

localizar um determinado dom´ınio de ressonˆancia. Contudo, como discutimos anteriormente,

as ressonˆancias dominantes do sistema encontram-se conectadas a uma bifurca¸c˜ao da ´orbita

peri´odica est´avel na origem. Embora a aproxima¸c˜ao utilizada nesta se¸c˜ao nos permita identi-

ﬁcar curvas no espa¸co param´etrico (|σ|, m) onde as ressonˆancias ocorram, o efeito da dinˆamica

exata tende a aumentar estes dom´ınios. De fato, pode-se veriﬁcar numericamente que, para

um dado valor ﬁxo de |σ|, existe um dom´ınio cont´ınuo de valores de m (onde temos uma

bifurca¸c˜ao da ´orbita peri´odica est´avel na origem) para cada ressonˆancia. Variando ent˜ao os

valores de |σ|, identiﬁcamos janelas de ressonˆancia as quais s˜ao identiﬁcadas como regi˜oes

sombreadas na ﬁgura 2.6. Ao levarmos o sistema em dire¸c˜ao a uma das zonas de ressonˆancia

(por uma apropriada mudan¸ca de m e/ou |σ|), podemos tornar a conﬁgura¸c˜ao est´avel numa

conﬁgura¸c˜ao metaest´avel com um consequente escape das ´orbitas para o atrator de De Sitter

num tempo ﬁnito. Embora para certas regi˜oes de uma dada ressonˆancia este escape possa

ser repentino, para outras o sistema pode passar por um longo temp o de difus˜ao atrav´es

de dom´ınios estoc´asticos do espa¸co de fase antes de ﬁnalmente escapar. Deixaremos para a

pr´oxima se¸c˜ao uma an´alise mais detalhada deste padr˜ao no espa¸co param´etrico.

Experimentos num´ericos com a dinˆamica exata mostram que a presen¸ca de poeira tem

o efeito de diminuir o volume das janelas de ressonˆancia, sendo portanto menos favor´avel a

ocorrˆencia de inﬂa¸c˜ao. Na ﬁgura 2.7 exibimos as janelas da ressonˆancia n = 3 para pura poeira

rad

= 0, E

dust

= 10

−3

), pura radia¸c˜ao (E

rad

= 10

−3

, E

dust

= 0) e uma mistura de ambas as

componentes (E

rad

= 10

−3

= E

dust

). Tanto o dom´ınio quanto o tamanho relativo das janelas

ressonantes s˜ao distintos. De fato, para um dado valor de |σ| ﬁxo, a largura da janela ´e re-

duzida quando a poeira est´a presente. Para |σ | = 600 e |σ| = 400, exibimos na tabela abaixo

a largura ∆m da janela de ressonˆancia n = 3 considerando os trˆes casos previstos (cf. Fig. 2.7).

n=5

n=4

n=3

n=2

100

200

300

400

500

600

700

| |s

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Figura 2.6: Carta de ressonˆancia no plano (|σ|, m). As linhas cont´ınuas s˜ao solu¸c˜oes da

condi¸c˜ao aproximada de ressonˆancia e as regi˜oes sombreadas (em torno das linhas cont´ınuas)

correspondem aos dom´ınios de ressonˆancia da dinˆamica exata. Estes dom´ınios correspondem

a zonas onde h´a uma bifurca¸c˜ao da ´orbita peri´odica est´avel na origem do mapa de Poincar´e

de se¸c˜ao p

= 0. A regi˜ao remanescente (branca) corresponde ao dom´ınio de estabilidade

param´etrica onde a dinˆamica ´e limitada pelos toros KAM. Para um valor de m ﬁxo, vemos

que quanto maior for o valor de n, maior a intera¸c˜ao gravitacional G

no universo inﬂado a

partir de condi¸c˜oes iniciais ligadas `a ressonˆancia considerada. Nesta simula¸c˜ao consideramos

a condi¸c˜ao inicial ϕ

= 10

−4

200

400

600

800

1000

1200

1400

| |s

10 15 20 25 30 35

Figura 2.7: Janelas de Ressonˆancia n = 3 para (1) poeira e radia¸c˜ao (E

rad

= E

dust

= 10

−3

), (2)

pura radia¸c˜ao (E

rad

= 10

−3

, E

dust

= 0) e (3) pura poeira (E

rad

= 0, E

dust

= 10

−3

). Fixamos

aqui Λ

= 1.5, p

= 0 = p

e ϕ

= 10

−4

. Para um dado valor ﬁxo de |σ| vemos que a largura

da janela ´e reduzida quando consideramos a presen¸ca de poeira.

rad

= 10

−3

rad

= 10

−3

rad

= 10

−3

rad

= 0

dust

= 0 E

dust

= 10

−4

dust

= 10

−3

dust

= 10

−3

∆m (|σ| = 600) 1.1088 1.0446 0.5166 0.5588

∆m (|σ| = 400) 1.4418 1.3850 0.9307 1.1305

Al´em da bifurca¸c˜ao da ´orbita peri´odica na origem no plano de se¸c˜ao p

= 0, podemos

identiﬁcar uma estrutura associada a ´orbitas peri´odicas caracter´ısticas nos mapas de Poincar´e

quando nos encontramos numa particular zona de ressonˆancia do sistema. O ponto de partida

para a an´alise desta estrutura leva em conta a constru¸c˜ao num´erica de mapas de Poincar´e

(ϕ, p

) – de se¸c˜ao p

= 0 – e (a, p

) – de se¸c˜ao ϕ = 0.

Suponhamos inicialmente que R = 2/n fossem as ressonˆancias exatas de nosso sistema.

Considerando uma ressonˆancia par n = 2k, onde k ´e um n´umero inteiro, o per´ıodo no plano

(ϕ, p

) seria dado em termos do per´ıodo no plano (a, p

) por

. (2.44)

Por deﬁni¸c˜ao, a superf´ıcie de se¸c˜ao ϕ = 0 ´e cruzada a cada tempo T

. Portanto, atrav´es da

rela¸c˜ao (2.44) vemos que no mapa de Poincar´e de se¸c˜ao ϕ = 0, as vari´aveis (a, p

) iriam tomar

o mesmo valor depois que esta se¸c˜ao fosse cruzada k vezes. Desta forma estes k pontos deﬁnem

uma ´orbita peri´odica (com per´ıodo dado por kT

) caracter´ıstica da ressonˆancia. Entretanto,

a ressonˆancia R = 2/n corresponde apenas a uma aproxima¸c˜ao pois n˜ao estamos levando

em conta os termos n˜ao dominantes em (2.42). Quando consideramos a corre¸c˜ao devido

a tais termos, o efeito da dinˆamica exata torna estas ´orbitas p eri´odicas em ´orbitas quase-

peri´odicas densas[30]. Assim surgem k (ou n/2) ilhas KAM que encerram uma ´orbita peri´odica

caracter´ıstica na se¸c˜ao de Poincar´e ϕ = 0. Uma estrutura similar (encerrando uma outra ´orbita

peri´odica caracter´ıstica) ´e gerada numa diferente regi˜ao do espa¸co de fase quando consideramos

a transforma¸c˜ao ϕ

→ −ϕ

Para uma ressonˆancia ´ımpar n = 2k + 1, ter´ıamos que

2k + 1

. (2.45)

0.002

-0.002

0.006

-0.006

0.3

0.6

2.5

-2.5

p p

Figura 2.8: Mapas de Poincar´e na zona de ressonˆancia n = 2 ﬁxando os parˆametros |σ| = 500,

m = 3.4, E

rad

= 10

−3

= E

dust

e Λ

= 1.5. Tomando as condi¸c˜oes iniciais p

= 0 = p

= 0.03191955156973482 e ϕ

= 10

−4

, o efeito da dinˆamica exata produz apenas uma ilha

KAM (escura) encerrando uma ´orbita ´unica peri´odica caracter´ıstica nos mapas de se¸c˜ao p

= 0

(`a esquerda) e ϕ = 0 (`a direita). Uma ´orbita peri´odica similar, encerrada por uma outra ilha

KAM (vermelha), ´e gerada com a condi¸c˜ao inicial ϕ

= −10

−4

0.002

-0.002

0.004

-0.004

0.3

0.6

2.5

-2.5

Figura 2.9: Mapas de Poincar´e na zona de ressonˆancia n = 3 ﬁxando os parˆametros |σ| = 500,

m = 6.0, E

rad

= 10

−3

= E

dust

e Λ

= 1.5. Tomando as condi¸c˜oes iniciais p

= 0 = p

= 0.03191955060235938 e ϕ

= 10

−4

, o efeito da dinˆamica exata produz duas ilhas KAM

no mapa de se¸c˜ao p

= 0 (`a esquerda) e trˆes no mapa de se¸c˜ao ϕ = 0 (`a direita). Estas

ilhas encerram uma ´unica ´orbita peri´odica caracter´ıstica que p ode ser reobtida se tomarmos

= −10

−4

Logo o mapa de Poincar´e de se¸c˜ao ϕ = 0 seria interseptado a cada per´ıodo T

e as vari´aveis

(a, p

) retornariam aos mesmos valores iniciais depois de um tempo (2k + 1)T

. Em outras

palavras, as vari´aveis (a, p

) retornariam aos mesmos valores iniciais depois que a se¸c˜ao ϕ

fosse cruzada 2k + 1 vezes. Novamente, ao considerarmos os termos de corre¸c˜ao exata em

R = 2/n, as ´orbitas peri´odicas ser˜ao convertidas em ´orbitas quase-peri´odicas densas. Desta

forma, uma ressonnˆancia n = 2k +1 ter´a agora uma ´orbita peri´odica caracter´ıstica (de per´ıodo

(2k + 1)T

) com 2k + 1 ilhas KAM em seu entorno. N˜ao ´e diﬁcil de se checar numericamente

que a transforma¸c˜ao de condi¸c˜oes iniciais ϕ

→ −ϕ

reproduz a mesma ´orbita, contrariamente

ao caso de ressonˆancias pares.

Analogamente, podemos obter a estrutura do mapa de Poincar´e com se¸c˜ao p

= 0 (plano

(ϕ, p

)) quando consideramos a ressonˆancia R = 2/n. De fato, para uma dada ressonˆancia

n temos aproximadamente que T

. Para n par, o efeito da dinˆamica exata produzir´a

apenas uma ilha KAM (encerrando uma ´orbita ´unica peri´odica caracter´ıstica) neste mapa de

Poincar´e. A transforma¸c˜ao ϕ

→ −ϕ

revela uma segunda ´orbita peri´odica caracter´ıstica neste

mapa. Se n for ´ımpar teremos duas ilhas encerrando uma ´orbita peri´odica caracter´ıstica. Desta

forma vemos que os mapas de Poincar´e de se¸c˜ao p

= 0 n˜ao informam a ordem da ressonˆancia

mas sim apenas se a mesma ´e par ou ´ımpar.

Estes resultados, derivados a partir de nossa aproxima¸c˜ao anal´ıtica, s˜ao ilustrados na ﬁgura

2.8 (para n = 2) e 2.9 (para n = 3), construidas a partir da dinˆamica exata. A tabela abaixo

resume a classiﬁca¸c˜ao das ressonˆancias de acordo com as ´orbitas peri´odicas caracter´ısticas.

Ressonˆancias

Orbitas Peri´odicas Ilhas KAM Principais Ilhas KAM Principais

Caracter´ısticas (Mapa com se¸c˜ao ϕ = 0) (Mapa com se¸c˜ao p

= 0)

n = 2k 2 k 1

n = 2k + 1 1 2k + 1 2

±0.01

0.01

0 20 40 60 80 100 120 140

0.2

0.4

0.6

0.8

20 40 60 80 100 120 140

Escapeparaainflação

Figura 2.10: A evolu¸c˜ao do fator de escala e do campo escalar para m = 7.99 e |σ| = 350. Este

comportamento caracteriza uma regi˜ao de ressonˆancia abrupta, pr´oxima a borda esquerda da

zona de ressonˆancia n = 3 da ﬁgura 2.6.

2.5 O Padr˜ao Ressonante no Espa¸co Param´etrico

Do ponto de vista da f´ısica da inﬂa¸c˜ao, as regi˜oes de ressonˆancia no espa¸co param´etrico

(|σ|, m) apresentam uma subestrutura que examinaremos agora.

Para simpliﬁcar nossa an´alise, iremos nos restringir ao dom´ınio de ressonˆancia n = 3 (cf.

Fig. 2.6) ﬁxando |σ| = 350. Para este valor vemos que a zona de ressonˆancia ´e identiﬁcada

pelo intervalo ∆m

∼

[7.78431, 8.84341]. Atrav´es de um exame num´erico cuidadoso, observa-

mos neste intervalo trˆes regi˜oes dinamicamente distintas:

(i) Para m  8.52, a dinˆamica ´e altamente inst´avel de mo do que ressonˆancias fornecem

um r´apido escape das ´orbitas para a inﬂa¸c˜ao (quando τ ≤ 15, 000).

Na ﬁgura 2.10 apresentamos os gr´aﬁcos de a e ϕ com respeito ao tempo conforme tomando

m = 7.99. Atrav´es desta ﬁgura vemos que o escape para a inﬂa¸c˜ao ocorre em τ  140 de

modo que o fator de escala n˜ao possui recorrˆencia suﬁciente para construirmos um mapa de

Poincar´e.

(ii) Quando 8.84  m  8.56, o movimento das ´orbitas ´e ressonante e ca´otico, embora seja

est´avel.

±0.004

±0.002

0.002

0.004

0 50 100 150 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

50 100 150 200

Figura 2.11: A evolu¸c˜ao de a e ϕ para m = 8.6 e |σ| = 350 (correspondente a regi˜ao (ii)

pr´oxima a borda direita da zona de ressonˆancia n = 3 da ﬁgura 2.6). O movimento nesta

regi˜ao n˜ao possui interesse f´ısico pois, embora seja ressonante e ca´otico, ´e tamb´em est´avel

(sem uma sa´ıda para um regime inﬂacion´ario).

Na ﬁgura 2.11 exibimos o comportamento de ´orbitas nessa regi˜ao para o caso de m = 8.6.

Este ´e o padr˜ao pr´oximo a borda direita da janela de ressonˆancia n = 3. Devido a estabilidade

do movimento, ´orbitas dessa natureza – embora correspondam ao caso de selas bifurcadas

na origem do mapa de Poincar´e de se¸c˜ao p

= 0 – devem ser descartadas quando quisermos

considerar cen´arios cosmol´ogicos inﬂacion´arios.

(iii) Uma regi˜ao de transi¸c˜ao ocorre quando 8.52 < m < 8.56. Neste caso as ´orbitas passam

por um longo tempo de difus˜ao (15, 000 < τ < 100, 000) antes de escapar para a inﬂa¸c˜ao.

Na ﬁgura 2.12, temos o mapa de Poincar´e (com p

= 0) de uma ´unica ´orbita onde m =

8.555. Este mapa ilusta o que ocorre na regi˜ao (iii). Aqui observamos que as ´orbitas passam

por um tempo de longa difus˜ao antes de entrar no regime inﬂacion´ario.

A subestrutura apresentada acima ´e um padr˜ao de toda a zona de ressonˆancia. Isto ´e, para

qualquer valor de |σ| a mesma subestrutura se repete qualitativamente em todo o dom´ınio de

ressonˆancia n = 3. Podemos ainda generalizar essa an´alise ao veriﬁcarmos numericamente

este ´e o padr˜ao para qualquer valor de n. Vale destacar aqui que no caso de pura poeira o

subdom´ınio de regi˜oes de transi¸c˜ao (iii) ´e dominante fazendo com que o das regi˜oes (i) e (ii)

±0.002

0.002

±0.004 ±0.002 0 0.002 0.004 0.006

Figura 2.12: Mapa de Poincar´e (com se¸c˜ao p

= 0) de uma ´unica ´orbita, onde m = 8.555 e

|σ| = 350. Este ´e o comportamento padr˜ao na regi˜ao de transi¸c˜ao da zona de ressonˆacia n = 3

da ﬁgura 2.6. As ´orbitas passam por um longo tempo de difus˜ao antes de escapar (com τ 

64, 000) para a inﬂa¸c˜ao. O mapa exibe uma camada escura associada a estrutura de movimento

randˆomico da ´orbita num mar estoc´astico no entorno das ilhas KAM de ressonˆancia.

seja muito estreito.

Vemos ent˜ao que – com respeito ao fenˆomeno de ressonˆancia n˜ao linear – a vis˜ao geral

´e de que modelos de brana-mundo para universos oscilantes n˜ao singulares tem um restrito

dom´ınio no espa¸co dos parˆametros onde a inﬂa¸c˜ao pode ser realizada. Para varia¸c˜oes t´ıpicas

dos parˆametros Λ

, E

rad

e/ou E

dust

de modo que o v´ınculo (2.22) seja satisfeito, podemos

aumentar ou diminuir os dom´ınios do espa¸co param´etrico (|σ|, m) onde o sistema ´e ressonante.

Entretanto, o padr˜ao das janelas de ressonˆancia e sua subestrutura s˜ao mantidas como pode-se

veriﬁcar numericamente. Neste sentido o padr˜ao ´e dito estruturalmente est´avel.

2.6 Caos Homocl´ınico e um Escape Ca´otico para a Inﬂa¸c˜ao

Na se¸c˜ao 2.3 vimos que para o caso integr´avel m = 0 o ponto P

induz, no espa¸co de fase

dos modelos, a topologia de cilindros homocl´ınicos. Nesta se¸c˜ao iremos examinar o que ocorre

com a topologia quando consideramos o caso n˜ao-integr´avel. Por simplicidade consideraremos

apenas as componentes de poeira e radia¸c˜ao utilizadas em nosso modelo pr´e-inﬂacion´ario (cf.

Sec. 2.3).

No caso integr´avel (m = 0), os cilindros homocl´ınicos correspondem ao produto topol´ogico

da separatrizes S – que coalescem `a esquerda de P

– com as ´orbitas peri´odicas no setor

(ϕ, p

) com energia E

. Consideremos ent˜ao o par de cilindros homocl´ınicos (um est´avel e

outro inst´avel) que emergem da ´orbita peri´odica Γ. Quando a n˜ao-integrabilidade ´e “ligada”

(isto ´e, quando m = 0), a coalescˆencia cont´ınua do cilindro inst´avel no est´avel se quebra,

induzindo um cruzamento transversal dos mesmos. Os pontos de interse¸c˜ao devido a este

cruzamento deﬁnem ´orbitas homocl´ınicas as quais emergem da ´orbita peri´odica Γ ao longo do

cilindro inst´avel, retornando para a mesma ´orbita Γ ao longo do cilindro do est´avel num tempo

inﬁnito. Tipicamente se os cilindros bidimensionais se interseptam transversalmente uma

vez, eles ir˜ao se interseptar um n´umero inﬁnito de vezes, produzindo um conjunto inﬁnito de

´orbitas homocl´ınicas assint´oticas `a ´orbita peri´odica inst´avel Γ. Consequentemente, a dinˆamica

pr´oxima `as ´orbitas homocl´ınicas ´e muito complexa, associada por exemplo `a presen¸ca de

ferraduras[32, 33]. Este conjunto inﬁnito de ´orbitas homocl´ınicas, denotado como variedade

de interse¸c˜ao, d´a origem a um emaranhado homocl´ınico o qual ´e uma assinatura de caos no

modelo.

A manifesta¸c˜ao do caos homocl´ınico em nosso modelo ´e ilustrada na ﬁgura 2.13 onde

observamos uma fractaliza¸c˜ao da fronteira entre dom´ınios de condi¸c˜oes iniciais de ´orbitas que

escapam para um regime inﬂacion´ario, e dom´ınios de condi¸c˜oes iniciais associadas a ´orbitas

que recolapsam. Nesta ﬁgura representamos um conjunto de condi¸c˜oes iniciais projetadas

no plano (ϕ, p

) por um quadrado de comprimento caracter´ıstico R  10

−3

, construido no

entorno do ponto (a = 0.15, p

= 3.114327925239397, ϕ = 0, p

= 0) pr´oximo[34] `a separatriz

S com N = 160, 000 condi¸c˜oes iniciais. Estes pontos satisfazem o v´ınculo (2.22) ao tomarmos

dust

= 10

−3

= E

rad

e |σ| = 762, de modo que |σ|E

rad

 E

crit

≡ V

max

. Estes conjuntos

correspondem a condi¸c˜oes iniciais para universos em expans˜ao que passam por uma vizinhan¸ca

de P

antes de recolapsar ou escapar para a inﬂa¸c˜ao. Os pontos do quadrado s˜ao codiﬁcados

por cor de acordo com seus comportamentos assint´oticos para um temp o τ = 4, 000. Pontos

brancos correspondem a condi¸c˜oes iniciais para ´orbitas com escape para a inﬂa¸c˜ao. Pontos

escuros correspondem a condi¸c˜oes iniciais para ´orbitas que recolapsam e retornam a uma

vizinhan¸ca de a  0. Na ﬁgura 2.13 tomamos m = 6 para a bacia de condi¸c˜oes iniciais `a

.1e±2

-.1e±2

.2e±30.-.2e±3

.1e±2

-.1e±2

.5e±30.-.5e±3

Figura 2.13: Bacias limite fractais no plano (ϕ, p

) para condi¸c˜oes iniciais com m = 6 (`a

esquerda) e m = 18 (`a direita).

Orbitas com condi¸c˜oes iniciais neste dom´ınio passam por

uma pequena vizinhan¸ca de P

antes de recolapsar ou escapar para a inﬂa¸c˜ao. Pontos escuros

correspondem a ´orbitas que recolapsam no dom´ınio a  0 e pontos brancos correspondem

a ´orbitas que escapam para a inﬂa¸c˜ao. Estes resultados s˜ao encontrados para um tempo

τ = 4, 000.

esquerda, e m = 18 para a bacia de condi¸c˜oes iniciais `a direita. Assim, conforme aumentamos

m, isto ´e, aumentamos a n˜ao integrabilidade do sistema, vemos que a dominˆancia de escape

para a inﬂa¸c˜ao e fractalidade dos contornos de bacia aumentam, favorecendo uma sa´ıda ca´otica

para a inﬂa¸c˜ao.

O emaranhamento homocl´ınico devido ao cruzamento transversal inﬁnito dos cilindros

homocl´ınicos est´avel e inst´avel gera um mecanismo adicional na sa´ıda ca´otica para a inﬂa¸c˜ao

o qual denotamos como drenagem da bacia de condi¸c˜oes iniciais. De acordo com a an´alise do

caso integr´avel m = 0, vimos que a superf´ıcie de cilindros constituem uma fronteira para o ﬂuxo

do sistema. Se considerarmos por exemplo, um conjunto de condi¸c˜oes iniciais correspondendo

a universos inicialmente em expans˜ao, dois ﬂuxos distintos estar˜ao associados a estas condi¸c˜oes

iniciais dependendo se eles est˜ao dentro ou fora no cilindro est´avel. O ﬂuxo corresp ondente

a condi¸c˜oes iniciais dentro do cilindro est´avel alcan¸car´a uma vizinhan¸ca de P

e retornar´a

em dire¸c˜ao a uma vizinhan¸ca de a  0. Por outro lado o ﬂuxo de ´orbitas associadas com as

condi¸c˜oes iniciais que est˜ao fora do cilindro est´avel ir´a atingir a vizinhan¸ca de P

e escapar

em dire¸c˜ao ao atrator de De-Sitter. Consideremos agora a primeira interse¸c˜ao transversal

dos cilindros devido a n˜ao integrabilidade do sistema. Neste caso, uma parte das ´orbitas

inicialmente dentro do cilindro inst´avel ir´a entrar no cilindro est´avel enquanto outra parte

ﬁcar´a fora do mesmo. O ﬂuxo dentro do cilindro est´avel ir´a proceder em dire¸c˜ao a P

, onde

ir´a reentrar no tubo inst´avel em dire¸c˜ao a regi˜ao a  0. O ﬂuxo que sai do cilindro est´avel

ir´a proceder em dire¸c˜ao a P

e escapar para o atrator de De-Sitter. Por uma nova interse¸c˜ao,

enquanto uma parte das ´orbitas ir´a novamente entrar no tubo est´avel (voltando assim a atingir

uma vizinhan¸ca de P

), uma outra parte ir´a sair do cilindro est´avel e escapar para um regime

inﬂacion´ario. Conforme o movimento procede, as interse¸c˜oes inﬁnitas sucessivas dos cilindros

drenam a bacia de condi¸c˜oes iniciais tornando os pontos escuros em pontos brancos conforme

τ aumenta. Este fenˆomeno ´e ilustrado na ﬁgura 2.14, onde identiﬁcamos um conjunto de

condi¸c˜oes iniciais codiﬁcado por cor de τ = 4, 000 at´e τ = 32, 000. Nestas ﬁguras utilizamos

um conjunto N = 40, 000 de condi¸c˜oes iniciais. As ´unicas ´orbitas que permanecem numa

recorrˆencia inﬁnita de movimento s˜ao as ´orbitas homocl´ınicas (que constituem a variedade

de interse¸c˜ao) e as ´orbitas peri´odicas com per´ıodos arbitrariamente longos numa vizinhan¸ca

de cada ´orbita homocl´ınica. Estas ´orbitas constituem um conjunto de Cantor que ´e uma

caracteriza¸c˜ao topol´ogica de caos no modelo[32].

Finalmente, na ﬁgura 2.15 exibimos dois conjuntos de condi¸c˜oes iniciais para m = 6 com

τ = 4, 000 para pura poeira (`a esquerda) e pura radia¸c˜ao (`a direita), ambos com N = 160, 000

pontos. Para o caso de radia¸c˜ao o conjunto inicial foi constru´ıdo no entorno do ponto (ϕ

0 = p

ϕ0

, a

= 0.15, p

= 4.144304603687830) suﬁcientemente pr´oximo[34] da separatriz,

com |σ| = 1499 e E

rad

= 10

−3

. Para poeira o conjunto inicial foi construido no entorno do

ponto (ϕ = 0, p

= 0, a = 0.15, p

= 1.460426592928701), tamb´em suﬁcientemente pr´oximo

da separatriz, com |σ| = 1630 e E

dust

= 10

−3

. Assim podemos observar que a fractaliza¸c˜ao

das fronteiras (entre os dom´ınios de condi¸c˜oes iniciais associadas a ´orbitas com escape e os

dom´ınios de condi¸c˜oes iniciais associadas a ´orbitas que recolapsam) ´e menor para o caso de

poeira do que para o caso pura de radia¸c˜ao.

2.7 Cosmologias de Puro Campo Escalar

Consideremos agora um modelo sem qualquer componente de ﬂuido perfeito. Neste con-

.1e±2

-.1e±2

.5e±30.-.5e±3

.1e±2

-.1e±2

.5e±30.-.5e±3

.1e±2

-.1e±2

.5e±30.-.5e±3

.1e±2

-.1e±2

.5e±30.-.5e±3

t=32000t=16000

t=8000t=4000

fff

ffffffffffff

ffffffffffffffffffffffff

ffffffffffff

Figura 2.14: Ilusta¸c˜ao do processo de drenagem (no tempo) da bacia de condi¸c˜oes iniciais

de ´orbitas conﬁnadas (escuras) em contraste com as condi¸c˜oes iniciais de ´orbitas de escape

(brancas), para m = 6. O conjunto de condi¸c˜oes iniciais considerado no entorno da separatriz

´e o mesmo que na ﬁgura 2.13. As ﬁguras mostram a sa´ıda para a inﬂa¸c˜ao de quase todas as

´orbitas ap´os um longo tempo.

.5e±3

-.5e±3

.2e±30.-.2e±3

.5e±3

-.5e±3

.5e±30.-.5e±3

Figura 2.15: Fronteiras de bacias fractais no plano (ϕ, p

) para pura poeira (`a esquerda) e pura

radia¸c˜ao (`a direita), considerando m = 6 e τ = 4, 000. Nesta ﬁgura vemos que a fractaliza¸c˜ao

das fronteiras parece menos efetiva no caso de pura poeira em compara¸c˜ao com o caso de pura

radia¸c˜ao.

texto as equa¸c˜oes dinˆamicas s˜ao dadas por



+ a

−

∆

(ϕ) −

|σ|

∆(ϕ) = 0, (2.46)



+ (1 + m

) ϕ = 0,

onde deﬁnimos

∆(ϕ) :=





+ (1 + m

)ϕ



. (2.47)

Para o caso integr´avel (m = 0), temos que ∆

≡

[ϕ



(τ) + ϕ

(τ)] ≡

[ϕ



(0) + ϕ

(0)] ´e uma

constante de movimento de modo que a equa¸c˜ao (2.46) se reduz a

+ V (a) = |σ|∆

, V (a) = 3a

− Λ

∆

. (2.48)

A dinˆamica do fator de escala a(τ) ´e an´aloga ao caso integr´avel do modelo pr´e-inﬂacion´ario

(cf. Sec. 2.3) se ﬁzermos E

dust

= 0 e considerarmos uma componente de radia¸c˜ao com uma

densidade de energia total igual a ∆

. Para que o potencial tenha dois extremos, a condi¸c˜ao

an´aloga a (2.28) ´e dada por

∆

2187

2048

. (2.49)

Supondo que este seja o caso, deﬁnimos a

min

como o valor de a para o qual V (a) tenha

um m´ınimo. Para obtemos um movimento oscilat´orio em torno deste m´ınimo, o v´ınculo

V (a

min

) < |σ|∆

deve ser satisfeito.

Uma caracter´ıstica distinta do espa¸co de fase neste caso integr´avel ´e que a barreira de

potencial que evita a singularidade ´e constru´ıda pelas amplitudes iniciais n˜ao-nulas do campo

escalar. Desta forma, a ﬁm de preservarmos a ausˆencia de singularidades com a presen¸ca de

barreiras no potencial, n˜ao consideraremos a se¸c˜ao ϕ = 0 = p

do espa¸co de fase. Assim, de

acordo com (2.8) e (2.12) n˜ao teremos nenhum plano invariante ou pontos cr´ıticos do sistema

emb ora possamos ter extremos para o potencial.

O retrato do plano de fase (a, p

) – an´alogo `aquele da ﬁgura 2.3 – pode ser construido se

variarmos continuamente o valor do produto |σ|∆

. No dom´ınio V (a

min

) ≤ |σ|∆

< V (a

max

a dinˆamica do sistema se encontra sobre os 2-toros correspondentes ao produto de ´orbitas

peri´odicas no plano (a, p

) com as ´orbitas peri´odicas parametrizadas por ϕ



+ ϕ

= 2∆

. A

conﬁgura¸c˜ao de m´ınimo corresponde novamente a um universo est´avel de Einstein que tem

como fonte um campo escalar n˜ao-massivo. Topologicamente este universo ´e representado

por um toro unidimensional dado pelo pro duto do ponto (p

= 0, a = a

min

) com as ´orbitas

peri´odicas no setor (ϕ, p

). Como precisamos de amplitudes n˜ao-nulas do campo escalar para

evitarmos uma singularidade, o universo de Einstein n˜ao ´e um ponto cr´ıtico da dinˆamica, mas

sim uma ´orbita peri´odica est´avel.

O dom´ınio do espa¸co de fase que cont´em os 2-toros KAM ´e restrito pela condi¸c˜ao (2.49).

De acordo com (2.48), para valores ﬁxos de σ e Λ

, cada um dos toros integr´aveis ´e gerado por

uma ´unica curva com condi¸c˜oes iniciais ϕ



e ϕ

suﬁcientemente limitadas. Neste sentido as

superf´ıcies de energia com |σ|∆

constante designam os toros integr´aveis. Um dom´ınio an´alogo

pode ser construido ao considerarmos uma ´unica ´orbita com condi¸c˜oes iniciais (ϕ



, ϕ

). Vari-

ando apenas o valor de |σ|, caracterizamos universos com distintas intensidades gravitacionais

= |σ|/8π e, neste caso, os toros correspondentes nos fornecem qualitativamente a mesma

dinˆamica est´avel no entorno do universo est´avel de Einstein.

Para o caso n˜ao-integr´avel, atrav´es de uma an´alise num´erica considerando um valor suﬁ-

cientemente pequeno para m (e |σ|m

ϕ(0)

/6  1), vemos que o padr˜ao ´e o de movimento

est´avel sobre os toros KAM remanescentes do caso integr´avel. A estabilidade do movimento

implica que as ´orbitas se encontram “presas” entre tais toros de modo que nosso sistema n˜ao

pode escapar para para o atrator de De-Sitter. Isto ´e ilustrado na ﬁgura 2.16 onde constru-

imos o mapa de Poincar´e com se¸c˜ao p

= 0 ﬁxando os parˆametros Λ

= 1.5, |σ| = 500 e

m = 8.15. O c´ırculo mais pr´oximo da origem neste mapa denota um toro unidimensional ger-

ado por uma ´orbita ﬁxa correspondente ao universo est´avel de Einstein onde o termo de fonte

´e dado pelo campo escalar conforme massivo. Este universo ´e descrito topologicamente pelo

produto do ponto (p

= 0, a  0.00519690052) com os c´ırculos no plano (ϕ



, ϕ). Um desses

toros unidimensionais pode ser gerado, por exemplo, a partir das condi¸c˜oes iniciais (ϕ



(0) = 0,

ϕ  0.000696503226) com constante de energia asso ciada ∆

 0.2429935 × 10

−6

. Abaixo

desta energia nenhum movimento oscilat´orio ´e encontrado de modo que nenhum movimento

f´ısico existe em tal vizinhan¸ca da origem. O padr˜ao das se¸c˜oes dos toros KAM, com eventuais

ilhas secund´arias bifurcadas, se estende por exemplo at´e as condi¸c˜oes iniciais p

= 0, ϕ



= 0 e

 0.01105, que ﬁxam o ´ultimo toro KAM a partir do qual um escape para a inﬂa¸c˜ao pode

±0.01

±0.005

0.005

0.01

±0.012 ±0.008 ±0.004 0 0.002 0.006 0.01 0.014

fff

Figura 2.16: Mapas de Poincar´e com se¸c˜ao a



= 0 para v´arias condi¸c˜oes iniciais (ϕ

, p

) onde

ﬁxamos |σ| = 500 e m = 8.15.

Orbitas com condi¸c˜oes iniciais num entorno da origem se

encontram “presas” entre os toros KAM de modo que o sistema n˜ao pode alcan¸car amplas

regi˜oes do espa¸co de fase e escapar para o atrator de De-Sitter. Al´em do ´ultimo toro KAM

ﬁxado por exemplo pelas condi¸c˜oes iniciais p

= 0, ϕ



= 0 e ϕ

 0.01105, observamos a

presen¸ca de uma mar estoc´astico onde as ´orbitas podem escapar para um regime inﬂacion´ario.

ocorrer. Na regi˜ao de ´orbitas conﬁnadas encontramos, por exemplo, 8 ilhas (indentiﬁcamos

uma destas centrada em ϕ

 0.01079) conectadas a uma bifurca¸c˜ao 8/5. Isto ´e, enquanto no

mapa (ϕ, p

) a ilha KAM principal se bifurca em 8 ilhas, no mapa (a, p

) a ilha KAM prin-

cipal se bifurca em 5 ilhas. Observamos ainda um mar estoc´astico fora da borda da ´ultima

ilha KAM principal. Esta regi˜ao corresponde ao dom´ınio de condi¸c˜oes iniciais onde a inﬂa¸c˜ao

pode ser realizada. De fato, de acordo com experimentos num´ericos podemos ter nesta regi˜ao

tanto um r´apido escape para a inﬂa¸c˜ao (para ϕ

= 0.0118 com τ  210, por exemplo) ou

um efeito de difus˜ao com escape. Este ´ultimo efeito pode ser observado se tomarmos uma

condi¸c˜ao inicial ϕ

= ±0.011305. Neste caso observamos uma difus˜ao das ´orbitas em torno

de uma bifurca¸c˜ao do tipo 3/2 (3 ilhas KAM no mapa (ϕ, p

) e 2 no (a, p

)) com escape

para a inﬂa¸c˜ao quando τ  1690. Para condi¸c˜oes iniciais maiores, por exemplo ϕ

 0.01234,

nenhuma ilha bifurcada ´e encontrada no mar estoc´astico. Entretanto, oscila¸c˜oes ﬁnitas ainda

s˜ao encontradas neste dom´ınio devido ao mecanismo de conﬁnamento parcialmente dinˆamico

conectado aos valores do parˆametro

ς ≡ |σ|m

ϕ(0)

/6 (2.50)

suﬁcientemente pr´oximos de 1.

Para examinarmos mais detalhadamente este conﬁnamento, lembremos que o potencial

V (a) em (2.48) apresenta um po¸co (com possibilidades de movimento oscilat´orio) para val-

ores apropriadamente limitados de ∆

restrito por (2.49). Se este for o caso, o polinˆomio

V (a)−|σ|∆

= 0 deve ter trˆes ra´ızes reais positivas. Entretanto, a restri¸c˜ao (2.49) foi derivada

para o caso integr´avel e para um parˆametro espacial de curvatura reescalonado, k = 1. Na

verdade a presen¸ca dos extremos no potencial se deve ao balan¸co entre o termo de curvatura

espacial e o termo de corre¸c˜ao na equa¸c˜ao de Friedmann. Mais especiﬁcamente, tal balan¸co se

deve aos valores dos parˆametros k e ∆

. De fato, pode-se mostrar numericamente que no caso

integr´avel, o decr´escimo (acr´escimo) de k com ∆

ﬁxo, assim como o acr´escimo (decr´escimo)

de ∆

para k ﬁxo, pode destruir (ou criar) um po¸co com dois extremos bem deﬁnidos. En-

tretanto, para o caso n˜ao-integr´avel (m = 0) um exame cuidadoso do v´ınculo integral (2.46)

mostra que o termo proporcional a m

ir´a contribuir para a corrigir o termo de curvatura

k = 1 por uma curvatura espacial efetiva (k

eﬀ

 1 − ς). Para a conﬁgura¸c˜ao param´etrica da

ﬁgura 2.16, avalia¸c˜oes num´ericas nos mostram que os efeitos citados acima ser˜ao cruciais para

a dinˆamica do fator de escala a(τ) quando k

eﬀ

 0.157 (o que corresponde a ϕ

 0.01234).

Neste caso surgem duas possibilidades.

(i) Se 0.01234  ϕ

< 0.1334 e ϕ



= 0, a fun¸c˜ao

P(a) ≡ 3a

− Λ

∆

(ϕ

) − |σ|∆(ϕ

), (2.51)

(cf. (2.46)) tem dois extremos (um m´aximo e um m´ınimo) e apenas uma raiz real positiva.

Isto implica que o valor do m´aximo local de P(a) ´e menor que zero. A ´orbita evolu´ıda

a partir desta condi¸c˜ao inicial ir´a, em princ´ıpio, escapar sem executar nenhuma oscila¸c˜ao.

Entretanto, devido ao aumento temporalmente dependente da curvatura espacial efetiva dada

por k

eﬀ

 1−|σ|m

ϕ(τ)

/6, o m´aximo local de P(a) pode ser aumentado num tempo posterior,

ocasionando um novo ricochete da ´orbita.

Ilustramos este fenˆomeno na ﬁgura 2.17 (`a esquerda) onde exibimos o gr´aﬁco de P(a) para

condi¸c˜oes iniciais (ϕ



= 0, ϕ

= 0.0126). Neste caso temos inicialmente apenas uma raiz real

dada por a

 0.016955927198 (curva cont´ınua). A medida que o tempo evolui, o m´aximo

local do potencial se eleva (curva pontilhada) fazendo com que o sistema execute um ricochete.

Escapepara

ainflação

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

20 40 60 80 100

±0.05

0.05

0.1

0.15

0.1 0.2 0.3 0.4

P()

Figura 2.17: Gr´aﬁco da fun¸c˜ao P(a) (`a esquerda) para um tempo inicial (curva cont´ınua). O

primeiro ricochete ocorre quando P(a) assume a forma da linha p ontilhada. A ocorrˆencia de

oscila¸c˜oes ﬁnitas do fator de escala (`a direita) se deve ao aumento dinˆamico do potencial como

consequˆencia do aumento da curvatura espacial efetiva k

eﬀ

(τ).

Este primeiro rico chete corresponde ao ponto (ϕ



 −0.0144932, ϕ

 −0.00419929)) onde

eﬀ

∼ 0.9. Desta forma, a curva pontilhada ilustra a evolu¸c˜ao de um potencial dinˆamico que

permite ao sistema executar oscila¸c˜oes ﬁnitas por um determinado tempo. De fato, um ajuste

ﬁno deste efeito levando em conta o per´ıodo das oscila¸c˜oes do campo escalar massivo permite

uma s´erie de ricochetes das ´orbitas antes que elas escapem. Este fenˆomeno ´e ilustrado na

ﬁgura 2.17 (`a direita).

(ii) Considerando a condi¸c˜ao inicial ϕ

 0.1334, P(a) n˜ao possui nenhum extremo inicial-

mente. Embora devido ao mecanismo de curvatura efetiva temporalmente dependente dois

extremos locais (um m´aximo maior que zero e um m´ınimo) sejam criados, as ´orbitas realizam

apenas um ricochete antes de escapar, ao contr´ario do caso (i). Este efeito pode ainda ocorrer

para ϕ

< 0.01234, desde que aumentemos apropriadamente os parˆametros m e/ou |σ| para

podermos tornar ς

suﬁcientemente pequeno.

Finalmente, ´e importante comentar que a dinˆamica de puro campo escalar na cosmologia

de brana-mundo n˜ao possui o padr˜ao de ressonˆancia param´etrica explorado na se¸c˜ao 2.4.

Ao inv´es disso, as caracter´ısticas dos dom´ınios de condi¸c˜oes iniciais que realizam a inﬂa¸c˜ao

aqui, s˜ao similares `aquelas do dom´ınio de estabilidade param´etrica. Para vermos isso basta

compararmos o mapa de Poincar´e da ﬁgura 2.5 com o apresentado na ﬁgura Fig. 2.16. Isto ´e,

neste caso as conﬁgura¸c˜oes que realizam inﬂa¸c˜ao s˜ao aquelas correspondentes `a altos valores

de ϕ

, al´em da ´ultima ilha KAM principal.

Cap´ıtulo 3

Buracos Negros N˜ao Singulares

“N˜ao ´e objetivo da ciˆencia

abrir uma porta `a sabedoria inﬁnita,

mas impor uma fronteira ao erro inﬁnito.

Tomem nota.”

E. B. F. Brecht, Leben des Galilei

Na teoria da Relatividade Geral, entendemos um buraco negro como o resultado do co-

lapso gravitacional de uma determinada conﬁgura¸c˜ao de mat´eria onde uma singularidade ´e

formada. Tais conﬁgura¸c˜oes s˜ao descritas por solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de campo de Einstein as-

sintoticamente planas e limitadas por um horizonte de eventos (o qual esconde a singularidade

formada no colapso). Neste contexto, teoremas fundamentais de Israel e Carter[35] aﬁrmam

que o ´ultimo est´agio de um colapso geral de mat´eria sem carga ´e tipicamente descrito pela

geometria de Kerr[36].

Entretanto, ao considerarmos um colapso f´ısico, n˜ao conhecemos nenhum tipo de dis-

tribui¸c˜ao de mat´eria que possa dar origem a um buraco negro de Kerr. Desta forma, n˜ao h´a

raz˜ao alguma para acreditarmos que esta solu¸c˜ao descreva acuradamente a regi˜ao interna de

um buraco negro. Ao contr´ario, a melhor evidˆencia te´orica[2] presente dispon´ıvel indica que

esta regi˜ao ´e an´aloga a de um buraco negro de Schwarzschild com uma singularidade global

tipo-espa¸co[3].

Numa teoria modiﬁcada da gravita¸c˜ao, a presen¸ca de tal singularidade deve ser eliminada.

Desta forma, nosso interesse principal aqui ´e avaliar como as corre¸c˜oes de brana nas equa¸c˜oes

de campo de Einstein podem evitar a singularidade interior `a distribui¸c˜ao de mat´eria. Uma

vez atingido esse objetivo, derivaremos uma solu¸c˜ao exterior com o intuito de corrigir v´arias

das previs˜oes feitas pela teoria da Relatividade Geral.

3.1 O Modelo e a Solu¸c˜ao Interior

Consideremos o colapso gravitacional esfericamente sim´etrico de uma determinada dis-

tribui¸c˜ao de mat´eria com press˜ao desprez´ıvel conﬁnada numa brana 1 + 3. Fixando um sis-

tema de coordenadas com´oveis[2] (t, ˜r, θ, φ), deﬁnido pelo movimento geod´etico das part´ıculas

da distribui¸c˜ao colapsante, a geometria induzida sobre a brana g

αβ

pode ser expressa pelo

elemento de linha

= −g

αβ

= dt

− A(˜r, t)d˜r

− B(˜r, t)dΩ

, (3.1)

onde A(˜r, t) e B(˜r, t) s˜ao fun¸c˜oes arbitr´arias e dΩ

´e a m´etrica bidimensional Euclidiana

padr˜ao.

Deﬁnindo

αβ

:= −

8πG

αβ

−



αβ

−

αβ



−

κ

8πG



αβ

−

αβ



, (3.2)

as equa¸c˜oes de campo modiﬁcadas (1.81) podem ser reescritas como

αβ

= −8πG

αβ

(3.3)

se supomos um espa¸co ambiente conformalmente plano.

Suponhamos ent˜ao que o conte´udo material de nosso modelo seja dado por um ﬂuido

homogˆeneo. Isto ´e:

αβ

= ρ(t)U

, (3.4)

onde U

= δ

. Desta forma as equa¸c˜oes de campo (3.3) podem ser expressas, em termos de

componentes, por:

−

= −4πG

ρ −

κ

+ Λ

, (3.5)





−



−



2AB



−

2AB

= −4πG

ρ − Λ

, (3.6)

−





−



4AB



−

, −

4AB

= −4πG

ρ − Λ

(3.7)



−



2AB

, −



= 0. (3.8)

onde denotamos por

A e A



as respectivas derivadas temporal e radial da fun¸c˜ao A(˜r, t). Para

encontrarmos uma solu¸c˜ao destas equa¸c˜oes por separa¸c˜ao de vari´aveis, suponhamos que

A(˜r, t) = a

(t)h(˜r) , B(˜r, t) = b

(t)g(˜r). (3.9)

Deste modo, a equa¸c˜ao (3.8) nos d´a

b(t) = C a(t), (3.10)

onde C ´e uma constante arbitr´aria. Sem perda de generalidade, temos a liberdade de redeﬁnir

a coordenada radial ˜r como uma fun¸c˜ao arbitr´aria de uma nova vari´avel r. Em particular,

podemos fazer r =



Cg(˜r) de mo do que

A(r, t) = a

(t)f(r) , B(r, t) = a

(t)r

, (3.11)

onde f(r) :=

h[˜r(r)]



. Adotando esta escolha, as equa¸c˜oes (3.6) e (3.7) podem ser escritas

como

−



(r)

(r)r

− ¨aa − 2 ˙a

= −4πG

ρa

− Λ

(3.12)

−

f(r)

−



(

)

(r)r

− ¨aa − 2 ˙a

= −4πG

ρa

− Λ

. (3.13)

onde agora f



(r) :=

. Para resolvermos as equa¸c˜oes acima, vemos que a ´unica alternativa ´e

fazermos os primeiros termos dependentes de r, em (3.12) e (3.13), iguais uma constante. Isto

´e:

−



(r)

(r)r

C = −

f(r)

−



(r)

(r)r

Desta forma, ﬁxando

C = −2k, a ´unica solu¸c˜ao radial para f(r) ´e

f(r) =

1 − kr

, (3.14)

e o elemento de linha (3.1) ´e expresso por

= dt

− a

(t)



1 − kr

+ r

dΩ



. (3.15)

Por consistˆencia, ´e importante notarmos que a geometria acima pode ser imersa num espa¸co

ambiente de De-Sitter 5-dimensional (cf. Cap. 1), onde o tensor de Weyl

(5)

ABCD

= 0. Isto

implica que E

αβ

= 0 = F

αβ

de acordo com a nossa premissa inicial.

Agora nosso problema se reduz a calcular as fun¸c˜oes ρ(t) e a(t). Vejamos ent˜ao que as

equa¸c˜oes de Codazzi s˜ao satisfeitas se supormos que

∂

∂t

(ρB

√

A) = 0. (3.16)

Usando (3.11) e (3.14) na rela¸c˜ao acima temos

ρ(t) =

(t)

(3.17)

onde E

corresponde `a densidade de nosso ﬂuido. Desta maneira, decorre de (3.5) que

¨aa = −

4πG



2E

|σ|a



. (3.18)

Por outro lado, das equa¸c˜oes (3.12) e (3.13) obtemos

−2k − ¨aa − 2˙a

= −

4πG

− Λ

. (3.19)

Logo, somando as equa¸c˜oes (3.18) e (3.19) obtemos a integral primeira

˙a

8πG

4πG

3|σ|a

− k. (3.20)

Consideremos agora as seguintes condi¸c˜oes iniciais para o colapso:

˙a(0) = 0 , a(0) = 1. (3.21)

Assim, de (3.20) segue que

k =

8πG



+ 

2|σ|



. (3.22)

At´e aqui, n˜ao determinamos a natureza da dimens˜ao extra (a qual pode ser tanto do tipo-

espa¸co quanto do tipo-tempo). Supondo que  = +1, isto ´e, uma dimens˜ao extra tipo-espa¸co,

teremos sempre k > 0 e o termo de corre¸c˜ao de brana (proporcional a E

) ir´a for¸car o colapso

at´e que se atinja uma singularidade an´aloga ao caso da Relatividade Geral[3]. Entretanto,

no caso de uma dimens˜ao extra tipo-tempo, o sinal da 3-curvatura ﬁca em aberto e o termo

de corre¸c˜ao evitar´a o colapso numa singularidade. Por esta raz˜ao iremos, a partir de agora,

considerar o caso de uma dimens˜ao extra tipo-tempo. Iremos tamb´em supor uma constante

cosmol´ogica efetiva nula sobre a brana. Para isto, tomaremos

= +

. (3.23)

Deﬁnindo ent˜ao

:= ˙a , V (a) :=

2πG

3|σ|a

−

4πG

, (3.24)

podemos inferir o v´ınculo hamiltoniano

H =

+ V (a) = 0, (3.25)

equivalente a integral primeira (3.20).

E imediato ver que deste v´ınculo deriva-se a equa¸c˜ao

de movimento (3.19) para Λ

= 0.

Com o intuito de garantirmos uma distribui¸c˜ao ﬁnita da mat´eria, suporemos k > 0 e que

o p otencial V (a) tenha duas ra´ızes reais. Isto ´e, iremos a partir de agora nos restringir ao

dom´ınio

|σ| > 2E

. (3.26)

Desta forma vemos que V (a) possui um extremo localizado em ¯a =



|σ|



, e duas ra´ızes reais

positivas a

= a

min

e a

= 1 (com a

min

< 1). De acordo com a restri¸c˜ao (3.26), o potencial

V (a) nos fornecer´a uma solu¸c˜ao oscilante para o fator de escala (entre a

min

≤ a ≤ 1) evitando

assim a forma¸c˜ao de uma singularidade em a = 0 (cf. Fig 3.1).

min

V()

Figura 3.1: O potencial V (a) com duas ra´ızes reais positivas a

= a

min

e a

= 1 (onde

min

< 1) e um extremo localizado em ¯a =



|σ|



. A solu¸c˜ao para o fator de escala ´e uma

fun¸c˜ao que oscila entre a = a

min

e a = 1.

3.2 A Solu¸c˜ao Exterior

Consideremos a seguinte transforma¸c˜ao de coordenadas

R = ar ,

θ = θ ,

φ = φ. (3.27)

Desta forma, o elemento de linha (3.15) pode ser reescrito como



1 −

˙a

− kR



2a ˙aR

− kR

dtdR −

− kR

− R

Ω

. (3.28)

onde d

Ω

≡ dΩ

. Deﬁnindo ent˜ao

T := F [S(r, t)], C(r, t) :=



1 −

˙a

− kR



, E(r, t) := −

a˙aR

− kR

D(r, t) :=

− kR

, (3.29)

temos que:

= C



∂S

∂t



−2



∂F

∂S



−2

− 2



∂S

∂t



−1



∂F

∂S



−1





∂S

∂t



−1



∂S

∂R



+ E



dtdR





∂S

∂t



−2



∂S

∂R



− D + 2E



∂S

∂t



−1



∂S

∂R



− R

dΩ

. (3.30)

De acordo com o teorema de Birkhoﬀ[19] na teoria da Relatividade Geral, sabemos que a

solu¸c˜ao exterior para um colapso esfericamente sim´etrico de pura poeira ´e dada pela geometria

de Schwarzschild onde a m´etrica ´e diagonal. Motivados a encontrar uma corre¸c˜ao para esta

solu¸c˜ao, consideremos a condi¸c˜ao



∂S

∂t



−1



∂S

∂R



+ E = 0. (3.31)

Assim eliminamos o termo cruzado em (3.30) e garantimos automaticamente que



1 − r

(k + ˙a

)



−1

. (3.32)

Suponhamos ent˜ao que a jun¸c˜ao da geometria interna com a m´etrica exterior seja feita na su-

perf´ıcie deﬁnida por r = γ, onde γ determina a fornteira da distribui¸c˜ao de mat´eria. Deﬁnindo

a constante M :=

4πγ

, obtemos



1 −

4π|σ|R



−1



r=γ

. (3.33)

Vejamos agora que quando k > 0, uma solu¸c˜ao para (3.31) ´e

S(r, t) = δ + α(1 − kr

)

exp



− k



a˙a



, (3.34)

onde δ e α s˜ao constantes arbitr´arias. Podemos ainda reescrever a integral acima como



a˙a

(a)

da =



λa

− ζ − ka

da = −



P (a)

da =: −

G(a) (3.35)

onde

λ :=

8πG

, ζ :=

2|σ|

λ (3.36)

P (a) = a

−

. (3.37)

Supondo que o dom´ınio de nossos parˆametros satisfa¸ca (3.26), temos que o polinˆomio P (a)

pode ser reescrito como

P (a) = (a − 1)(a − a

min

)(a

+ Aa + B), (3.38)

S()

Figura 3.2: S(a) como uma fun¸c˜ao mon´otona de a no dom´ınio f´ısico a

min

≤ a ≤ 1.

onde A = 1 + a

min

−

, B =

min

e A

< 4B. Portanto



P (a)

da = D ln |a − 1| − E ln |a − a

min

| +

√

4B − A

arctan



2a + A

√

4B − A



onde

D :=

(1 − a

min

)(A + B + 1)

, E :=

min

(1 − a

min

)(a

min

+ Aa

min

+ B)

, F :=

B(Da

min

+ E)

min

Emb ora esta integral tenha uma forma complicada, podemos fazer um teste num´erico de

modo a analisar o comportamento da fun¸c˜ao S para valores razo´aveis dos parˆametros de nosso

modelo. Consideremos ent˜ao os seguintes parˆametros

|σ| = 0.05m

−2

, G

= 1 , E

= 1.04 × 10

−23

−2

, r = γ = 6.96 × 10

δ = 1 , α = 0.01. (3.39)

Fisicamente isto signiﬁca que estamos considerando uma ordem de grandeza t´ıpica para a

tens˜ao na brana (como veremos a seguir), ao lidarmos com uma massa cem vezes maior que

a do Sol.

Uma vez que tais parˆametros satisfazem (3.26), podemos integrar numericamente a fun¸c˜ao

G(a) e, por conseguinte, construir o gr´aﬁco da fun¸c˜ao S(a) (cf. Fig. 3.2). Vemos ent˜ao que

para o dom´ınio f´ısico dos parˆametros considerados aqui, S(a) ´e uma fun¸c˜ao mon´otona de a

quando r = γ. Assim, podemos inverter esta fun¸c˜ao de modo a obter a(S) dentro de nosso

dom´ınio espec´ıﬁco. Desta forma, devido ao car´ater geral da fun¸c˜ao F , podemos aﬁrmar que

existe uma fun¸c˜ao F [S(r, t)] tal que, quando r = γ, tenhamos

∂F

∂S



r=γ

≡ F (a) =



a ˙a

1 − γ

(k + ˙a

)



(1 − kγ

)

1/2

k[S(a) − δ]



. (3.40)

Adotando portanto esta escolha, a geometria exterior (dada pela jun¸c˜ao com a m´etrica interior

(3.15) quando r = γ) ﬁca expressa por



1 −

4π|σ|R



−



1 −

4π|σ|R



−1

− R

(dθ

+ sin

θdφ

). (3.41)

Vemos ent˜ao que nossa solu¸c˜ao exterior corresponde a geometria de Schwarzschild com

uma corre¸c˜ao de brana dada pelo termo

4π|σ|R

. Considerando a deﬁni¸c˜ao do polinˆomio

P (R) := R

−1

, a condi¸c˜ao

6πG|σ|

´e suﬁciente para que P (R) tenha duas ra´ızes reais

positivas. Tais ra´ızes n˜ao representam uma singularidade real de nossa geometria e podem ser

eliminadas por uma transforma¸c˜ao de coordenadas apropriada como veremos mais adiante.

Ao contr´ario de nossa an´alise anterior, temos agora uma diferente condi¸c˜ao de imers˜ao

para a nossa geometria exterior (3.41). De fato, tanto no cap´ıtulo 2 quanto em nossa solu¸c˜ao

interior na se¸c˜ao precedente, consideramos uma geometria FRW a qual pode ser imersa num

espa¸co ambiente de De-Sitter 5-dimensional (cf. Sec. 1.4). Desta forma algumas quest˜oes

aqui se tornam pertinentes: Pode nossa solu¸c˜ao exterior (3.41) ser imersa tamb´em num espa¸co

ambiente de De-Sitter? Caso n˜ao seja poss´ıvel, qual deve ser a natureza do espa¸co ambiente?

Apresentaremos agora uma solu¸c˜ao para este problema.

Como estamos n˜ao estamos supondo termos de fonte exteriores `a distribui¸c˜ao de mat´eria

na brana, as equa¸c˜oes de campo corrigidas para a regi˜ao exterior (cf. Cap. 1) ﬁcam

(4)

αβ

= E

αβ

− F

αβ

. (3.42)

Tomando ainda o tra¸co da equa¸c˜ao acima, temos que

(4)

R = F (3.43)

onde F = 2κ

. Como

(4)

R = −

2π|σ|R

, vemos o espa¸co ambiente n˜ao pode ser

descrito pela geometria de De-Sitter, do contr´ario as equa¸c˜oes de campo corrigidas n˜ao ser˜ao

satisfeitas[37].

Consideremos ent˜ao um espa¸co ambiente com coordenadas (u, v, w, χ, ξ) onde o elemento

de linha ´e expresso por

= exp (αu)



1 −

4π|σ|w



−



1 −

4π|σ|w



−1

− w

(dχ

+ sin

χdξ

)



+ du

, (3.44)

com α ≡



. Dadas as equa¸c˜oes de campo para espa¸co ambiente, inferimos as componentes

de nosso tensor energia-momento

por

4π|σ|w

exp (−αu)

(5)

= −

4π|σ|w

exp (−αu)

(5)

= −

4π|σ|w

exp (−αu)

(5)

χχ

2π|σ|w

exp (−αu)

(5)

χχ

ξξ

2π|σ|w

exp (−αu)

(5)

ξξ

, (3.45)

de modo que (1.73) ´e automaticamente satisfeita.

Deﬁnindo n

:= exp (

αu

)δ

, segue que n

= −exp (αu). Caracterizando ent˜ao a

imers˜ao pela equa¸c˜ao u = 0, temos que n

u=0

= −1 e Y

, α

= δ

α+1

. Assim, as componentes

(4)

αβ

e E

αβ

sobre a brana s˜ao dadas por

(4)

T T

(4)

T T

(4)

θθ

= −

(4)

θθ

(4)

φφ

= −

(4)

φφ

. (3.46)

T T

(4)

T T

, E

(4)

θθ

= −

(4)

θθ

, E

φφ

= −

(4)

φφ

. (3.47)

Considerando estas componentes junto com a forma de

, garantimos que tanto as equa¸c˜oes

de campo corrigidas (3.42) quanto as condi¸c˜oes de Codazzi ∇

αβ

= ∇

αβ

, s˜ao identica-

mente satisfeitas sobre a brana.

De acordo com (1.90), (3.27) e (3.40), vemos que possuimos transforma¸c˜oes locais que

nos levam de um espa¸co-tempo de De-Sitter 5-dimensional (1.88), para uma geometria de

Schwarzschild corrigida (3.41). Logo, como temos uma imers˜ao local desta geometria num

espa¸co ambiente do tipo (3.44), podemos inverter tais transforma¸c˜oes de modo a fazer uma

jun¸c˜ao de (3.44) com (1.88) quando r = γ. Neste contexto, as descontuidades do tensor de

Weyl do espa¸co ambiente estariam conectadas as descontinuidades do tensor energia-momento

no mesmo quando cruz´assemos a superf´ıcie correspondente a r = γ.

3.3 A Extens˜ao Maximal

Para examinarmos a extens˜ao maximal de nosso espa¸co-tempo, precisamos saber se, e

sob quais circusntˆancias, nossa conﬁgura¸c˜ao expressa pela geometria (3.41) forma horizontes.

De fato, como observado na se¸c˜ao precedente, uma condi¸c˜ao suﬁciente para a forma¸c˜ao de

horizontes ´e que a massa M de uma estrela colapsante se iguale ou seja maior que o limite

cr´ıtico M

∗

, onde deﬁnimos

∗

≡



9πG

|σ

∗



1/2

(3.48)

para um dado valor ﬁxo |σ

∗

|. Pela ﬁgura 3.3, vemos que quando M = M

∗

, o polinˆomio P (R)

tem apenas uma ra´ız R

∗

. Neste caso temos o que se chama de buraco negro extremo. Por outro

lado, quando M > M

∗

, P (R) possui duas ra´ızes R

−

e R

(onde R

−

< R

). Analogamente

ao espa¸co-tempo de Reissner-Nordstrom, R

e R

−

correspondem aos chamados horizontes de

eventos e de Cauchy respectivamente.

Substituindo M

∗

pelo valor m´aximo de massa poss´ıvel para que uma estrela do tipo an˜a

branca permane¸ca em equil´ıbrio (isto ´e pela massa de Chandrasekhar

M = 1.4M



[38]),

temos que o dom´ınio f´ısico do parˆametro |σ | deve ser

|σ|  10

−8

para que o colapso ocorra. O comportamento de S (cf. Fig. 3.2) pouco muda no dom´ınio em

que |σ| > 10

−7

. Desta forma, justiﬁcamos aqui o valor t´ıpico |σ| = 0.05 adotado em nossa

ilustra¸c˜ao num´erica da se¸c˜ao anterior.

Daqui em diante construiremos nossa extens˜ao maximal supondo a condi¸c˜ao M > M

∗

, a

qual nos garante γa

min

< R

−

[39]. Desta maneira segue que:

P (R) = R

− 2G

4π|σ|

= (R − R

)(R − R

−

)(R

+ αR + β), (3.49)

R+R_

M>M*

M=M*

M<M*

1 2 3

P(R)

Figura 3.3: Gr´aﬁco do p olinˆomio P (R) ≡

para massas de poeira M < M

∗

(ausˆencia de

um buraco negro), M = M

∗

(buraco negro extremo) e M > M

∗

(buraco negro com horizonte

de eventos R

e horizonte de Cauchy R

−

). Nesta ﬁgura, tomamos o parˆametro |σ| = 0.05,

em unidades G

= c = 1.

onde

α = R

+ R

−

− 2G

M , β =

4π|σ|R

−

. (3.50)

Deﬁnindo

∗



P (R)

, (3.51)

temos que

∗

:= R +

ln |R − R

| −

−

ln |R − R

−

| +



4β − α

arctan



2R + α



4β − α



. (3.52)

onde

≡

− R

−

)(R

+ 2αR

+ β)

−

≡

−

− R

−

)(R

−

+ 2αR

−

+ β)

D ≡ 2G

M(W − K) + α ( R

+ R

−

) − β − R

−

. (3.53)

A ﬁm de introduzirmos as chamadas coordenadas nulas, cabe agora dividirmos nosso

espa¸co-tempo em trˆes regi˜oes distintas, a saber:

(i) Regi˜ao I: (R > R

; P (R) > 0).

(ii) Regi˜ao II: (R

−

< R < R

; P (R) < 0).

(iii) Regi˜ao III: (R < R

−

; P (R) > 0).

Nas regi˜oes I e III, deﬁnimos as coordenadas nulas por

u := T − R

∗

, v := T + R

∗

, (3.54)

de modo que a geometria (3.41) ﬁca:

P (R)

dudv − R

(dθ

+ sin

θdφ

), (3.55)

f(R) exp



(v − u) − R





dudv − R

(dθ

+ sin

θdφ

), (3.56)

onde

f(R) ≡ (R

+ αR + β)(R − R

−

)

−

×exp





4β − α

arctan



2R + α



4β − α





. (3.57)

Consideremos agora a seguinte transforma¸c˜ao

U = −exp



−



, V = exp





. (3.58)

Assim, neste sistema de coordenadas, temos que:

f(R) exp(−Rk

)dUdV −R

(dθ

+ sin

θdφ

). (3.59)

Desta forma, vemos que a carta (U, V ) nos fornece um mapa regular para os dom´ınios R ≥ R

e R < R

−

. Isto ´e, para as regi˜oes I e III.

Por outro lado, na regi˜ao II (onde P (R) < 0) deﬁnimos as coordenadas nulas por

¯u := R

∗

− T , ¯v := R

∗

+ T. (3.60)

de modo que a geometria (3.41) ﬁca:

|P (R)|

d¯ud¯v − R

(dθ

+ sin

θdφ

), (3.61)

f(R) exp



R −

(¯u + ¯v)



−



d¯ud¯v − R

(dθ

+ sin

θdφ

), (3.62)

onde

f(R) ≡

(R − R

)

−

+ αR + β)

exp





4β − α

arctan



2R + α



4β − α



−



Considerando ent˜ao as transforma¸c˜oes

U = exp



−

¯uk

−



V = exp



−

¯vk

−



, (3.63)

temos que:

−

f(R) exp(Rk

−

V − R

(dθ

+ sin

θdφ

). (3.64)

Quando R → R

−

vemos que n˜ao temos um ponto singular em nosso espa¸co-tempo e podemos

estender a nossa solu¸c˜ao para todos os valores em que R

> R ≥ R

−

. Portanto, as cartas

(U, V ) e (

V ) s˜ao suﬁcientes para que cubramos todo o espa¸co-tempo (3.41).

Para exibirmos agora a representa¸c˜ao maximalmente estendida de nosso espa¸co-tempo,

consideremos as transfoma¸c˜oes de coordenadas

tan(

U) := −exp (−νu) , tan(

V ) := exp (νv), (3.65)

para as regi˜oes I e III e,

tan(

U) := exp (ν ¯u) , tan(

V ) := exp (ν¯v) (3.66)

para a regi˜ao II, onde ν ´e uma constante arbitr´aria diferente de zero. Assim, a geometria

(3.41) assume a forma geral

= −

4|P (R)|

csc(2

U) csc(2

V )d

V − R

(dθ

+ sin

θdφ

) (3.67)

para as regi˜oes I, II e III. Vejamos ainda que, dadas as transforma¸c˜oes (3.65) e (3.66), as trˆes

regi˜oes de nosso espa¸co-temp o podem ser mapeadas no plano (

V ) para valores constantes

R=R;u=+;U=0

R=+;u=-;U=-/2

R=+;

v=+;

V=/2

+++

R=R;

v=-;

V=0

R=R;u=+;U=/2

R=R;u=-;U=0

R=R;

v=+;

V=/2

+++

R=R;

v=-;

V=0

Reg.I

Reg.II

R=R;u=-;U=/2

R=0

R=R;

v=+;

V=/2

Reg.III

Geodésicasnulas

V=const.eU=const.

Figura 3.4: Na ilustra¸c˜ao acima exibimos os blocos fundamentais para a constru¸c˜ao da ex-

tens˜ao maximal completa do espa¸co-tempo (3.41) supondo o dom´ınio 0 ≤ R < ∞.

R=0

IIIIII

- -

R= g

R=

min

Figura 3.5: Diagrama de Penrose para o espa¸co-tempo (3.41) supondo-se M > M

∗

. A cadeia

inﬁnita de regi˜oes assintoticamente planas I (∞ > R > R

) s˜ao conectadas as regi˜oes III

−

> R > γa

min

) pelas regi˜oes II (R

> R > R

−

). A por¸c˜ao hachurada limitada por

R = γa

min

e R = γ corresponde a regi˜ao interna a distribui¸c˜ao de mat´eria e n˜ao faz parte

do espa¸co-tempo gerado por (3.41). A linha pontilhada ilustra como uma superf´ıcie de poeira

colapsante evolui no tempo. Uma vez atravessado R

−

(o horizonte de Cauchy) tal superf´ıcie

permanece perpetuamente oscilando entre R = γ e R = γa

min

das coordenadas angulares θ e ϕ. Na ﬁgura 3.4 representamos este mapa nos dom´ınios π ≥

U ≥ −π/2 e π/2 ≥

U ≥ 0.

Para garantirmos agora que nosso espa¸co-tempo seja geodesicamente completo, precisamos

considerar os demais dom´ınios das coordenadas (

V ). Desta forma geramos c´opias das

regi˜oes I, II e III de modo que a extens˜ao maximal anal´ıtica deve ser obtida ao juntarmos

todas estas c´opias repetidamente. A cadeia resultante ´e exibida na ﬁgura 3.5 onde agora

exibimos a regi˜ao interna a distribui¸c˜ao de mat´eria (´area hachurada) que realiza inﬁnitos

ricochetes entre R = γ e R = γa

min

Na teoria da Relatividade Geral, a singularidade global tipo-espa¸co manifesta num buraco

negro de Schwarzschild, aparece conectada com uma densidade inﬁnita de mat´eria (pois o

volume de uma distribui¸c˜ao esfericamente sim´etrica de poeira se anula para um observador em

repouso com respeito a estrela colapsante). No modelo apresentado neste cap´ıtulo denotamos

por n˜ao singular o fato de o volume de tal distribui¸c˜ao nunca se anular. Entretanto, isso n˜ao

signiﬁca que n˜ao tenhamos singularidades em nosso espa¸co temp o. De fato, de acordo com a

ﬁgura 3.5, vemos que existem singularidades de curvatura em R = 0 para determinadas c´opias

da regi˜ao III onde n˜ao ocorra o colapso de uma distribui¸c˜ao de mat´eria. A interpreta¸c˜ao bem

como as consequˆencias de tais singularidades ser˜ao exploradas em trabalhos futuros.

3.4 Corre¸c˜oes dos Testes Experimentais

De acordo com a Relatividade Geral, a m´etrica de Schwarzschild forma a base para o

c´alculo dos testes observacionais cl´assicos da teoria de Einstein, descrevendo univocamente

(segundo o teorema de Birkhoﬀ) a geometria do espa¸co-temp o no vazio. Como esta poderosa

solu¸c˜ao apresenta uma patologia crucial da teoria da Relatividade Geral (uma singularidade

quando consideramos o problema de colapso gravitacional), tais testes devem ser corrigidos

por uma teoria modiﬁcada que n˜ao incorpore este problema.

Seguramente, as corre¸c˜oes na geometria de Schwarzschild fornecidas pelo nosso modelo

ter˜ao efeitos sobre estes testes ao considerarmos escalas mais altas de energia. Deste modo,

esta seria uma interessante forma de se detectar dimens˜oes extras, no contexto da teoria de

branas, se elas de fato existirem.

Nesta se¸c˜ao avaliaremos as corre¸c˜oes sobre o avan¸co do perih´elio planet´ario e sobre a

deﬂex˜ao do feixe luminoso. Devido ao termo de corre¸c˜ao de brana em (3.41), o qual ´e pro-

porcional a R

−4

, n˜ao temos nenhuma previs˜ao al´em da Relatividade Geral sobre o desvio das

linhas espectrais.

3.4.1 O Avan¸co do Perih´elio Planet´ario

Estamos interessados aqui no estudo do movimento de part´ıculas teste no campo gravita-

cional est´atico (3.41) obtido anteriormente. Como sabemos, o movimento de um corpo teste

num campo gravitacional ´e governado pelas equa¸c˜oes geod´esicas. Deﬁnindo ent˜ao

F (R) :=



1 −

2GM

3GM

4π|σ|R



, (3.68)

temos pela geometria (3.41) os seguintes termos de conex˜ao n˜ao nulos:



, Γ



, Γ

= −



, Γ

= −rF , Γ

= −R sin

θF ,

, Γ

= −sin θ cos θ , Γ

, Γ

= cot θ. (3.69)

Desta forma, as equa¸c˜oes da linha geod´esica ﬁcam



= 0, (3.70)

F F







−







− RF



dθ



+ sin



dφ





= 0, (3.71)

dθ

− sin θ cos θ



dφ



= 0, (3.72)

dφ

+ 2 cot θ

dθ

dφ

= 0, (3.73)

onde s ´e o parˆametro aﬁm deﬁnido por (3.41) e F



≡

Adotando ent˜ao as condi¸c˜oes iniciais θ =

θ = 0, segue da equa¸c˜ao (3.72) que

θ e todas

as suas derivadas superiores se anulam de tal forma que a ´orbita ﬁca conﬁnada no plano θ =

Assim, a partir de (3.70) e (3.73), temos que

= 0 → F

= E (3.74)

dφ

= h, (3.75)

onde E e h s˜ao constantes de movimento correspondendo a energia e momento angular do

sistema respectivamente. Entretanto, como g

αβ

= −1 temos que

−

= 1 (3.76)

1 −

4π|σ|R

−

1 −

4π|σ|R

−

= 1. (3.77)

Fazendo agora u ≡

, segue que

R =

= −h

dφ

de modo que a equa¸c˜ao (3.76) pode

ser reescrita como



dφ



+ u

(¯α

− 1)



Mu −

4π|σ|



+ 2G

−

4π|σ|

(3.78)

e, diferenciando a rela¸c˜ao acima, ﬁcamos com



dφ



+ u −

= 3G

−

2π|σ|h

−

4π|σ|

. (3.79)

Comparando (3.79) com a equa¸c˜ao proveniente da teoria Newtoniana,



dφ



+ u −

= 0, (3.80)

com

= G

Ma(1 − ε

), (3.81)

onde a corresponde ao semi-eixo maior da elipse e ε a sua excentricidade, vemos que (3.79) e

(3.80) diferem apenas pelo termo de corre¸c˜ao da Relatividade Geral 3GMu

, al´em da corre¸c˜ao

de brana (a parte remanescente do lado direito de (3.79)) o qual pode ser desprezado desde que

|σ| n˜ao seja suﬁcientemente pequeno. De qualquer forma, devido a tais termos de corre¸c˜ao, as

´orbitas dos planetas n˜ao s˜ao mais fechadas em geral. De fato, al´em da precess˜ao do perih´elio

prevista pela teoria da Relatividade Geral, o termo de corre¸c˜ao de brana fornecer´a uma outra

corre¸c˜ao a qual pode ser relevante quando considerarmos escalas de energia maiores do que as

de nosso sistema solar.

Para encontrarmos uma solu¸c˜ao para a nossa equa¸c˜ao (3.79), adotaremos um procedimento

iterativo de expans˜ao da solu¸c˜ao em s´eries de potˆencia de

. Isto ´e, faremos

u = u

(0)

+ u

(1)

+ u

(2)

+ ........ (3.82)

onde

(0)

[1 + ε cos(φ − φ

)]. (3.83)

´e a solu¸c˜ao de (3.80), a qual corresponde a uma elipse com excentricidade ε e perih´elio inicial

Desconsiderando termos de ordem mais alta em ε, derivamos diretamente que

(1)

3(G

εφ sin[(φ − φ

)] (3.84)

(2)

= −

π|σ|



2 +

5(G



εφ sin[(φ − φ

)]. (3.85)

Isto ´e,

u 



[1 + ε cos(φ − φ

)]



3(G

−

π|σ|



2 +

5(G



εφ sin[(φ − φ

)]



. (3.86)

Deﬁnindo

∆φ



3(G

−

π|σ|



2 +

5(G



φ (3.87)

podemos ainda reescrever

u 

[1 + ε cos(φ − φ

− ∆φ

)] se ∆φ

 1. (3.88)

A equa¸c˜ao (3.88) representa uma ´orbita el´ıptica precessante onde o avan¸co do perih´elio

por revolu¸c˜ao ´e dado por

∆φ 

6π(G



1 −

π|σ|

−

15G

π|σ|



. (3.89)

Apenas o primeiro termo do lado direito da equa¸c˜ao acima corresponde a corre¸c˜ao da Rela-

tividade Geral[40]. Portanto, vemos aqui que as corre¸c˜oes inferidas pelo nosso modelo tendem

a atenuar os efeitos da teoria cl´assica para o avan¸co do perih´elio planet´ario.

Vale destacar que a diminui¸c˜ao deste avan¸co se deve ao car´ater temporal de nossa dimens˜ao

extra. Caso consider´assemos uma dimens˜ao extra tipo-espa¸co, ter´ıamos uma contribui¸c˜ao para

o termo proveniente da Relatividade Geral que aumentaria este avan¸co. Embora este aumento

pudesse ter uma importante consequˆencia observacional, o caso de uma dimens˜ao extra tipo-

espa¸co ainda geraria a mesma patologia da teoria cl´assica (cf. Sec. 3.1).

3.4.2 A Deﬂex˜ao do Feixe Luminoso

Consideremos agora o movimento geod´etico de de uma part´ıcula que segue uma linha nula

de universo. Dado novamente o parˆametro aﬁm s, temos de (3.41) que



1 −

4π|σ|R





−



1 −

4π|σ|R



−1





−R



dθ



− R

sin



dφ



= 0. (3.90)

Seguindo mesmo protocolo que ﬁzemos no caso do movimento planet´ario, ﬁxemos θ =

de modo que

φ =

. Assim ﬁcamos com





= E



1 −

4π|σ|R



−1

Fazendo novamente u =

, a equa¸c˜ao (3.90) ﬁca

−



dφ



− u



1 − 2G

Mu +

4π|σ|



= 0 (3.91)

e, quando a diferenciamos, obtemos



dφ



+ u = 3G

−

4π|σ|

. (3.92)

Por uma aproxima¸c˜ao de ordem zero temos que



dφ



= 0

⇒

cos(

−

)

, (3.93)

onde L corresponde ao raio da distribui¸c˜ao de mat´eria e φ

a uma condi¸c˜ao de contorno

adequada. A solu¸c˜ao acima corresponde ao caso em que n˜ao h´a qualquer tipo de deﬂex˜ao do

feixe luminoso.

Intro duzimos agora um sistema de coordenadas polares por x = L cos φ e y = L sin φ.

Suporemos tamb´em que a origem de nosso sitema de coordenadas coincide com o centro

gravitacional de uma distribui¸c˜ao de mat´eria respons´avel por tal deﬂex˜ao e que φ

= 0.

Expandindo ent˜ao a solu¸c˜ao em s´erie de potˆencias da mesma forma que no caso anterior,

temos que

u  u

(0)

+ u

(1)

cos φ +

(1 + sin

φ) −

192π|σ|L

×[15(cos φ + φ sin φ) − 2 cos

φ − 5 cos

φ]. (3.94)

Em coordenadas cartesianas podemos ainda reescrever

x = L −



+ 2y



+ y



192π

|σ|L





x + y arccos





+ y



−

+ y

)

−

+ y



. (3.95)

Enquanto o segundo termo do lado direito da equa¸c˜ao acima nos fornece a corre¸c˜ao da Relativi-

dade Geral[40], o terceiro termo adicional corresponde a corre¸c˜ao de brana de nosso modelo.

Atrav´es de um c´alculo direto vemos que quando y  x ﬁcamos com

x  L ± y



2 −

45M

128|σ|L



. (3.96)

Feixeluminoso

defletido

Distribuiçãode

matéria

Figura 3.6: A deﬂex˜ao do feixe luminoso. O ˆangulo de deﬂex˜ao ∆φ entre as duas ass´ıntotas

(cf. (3.96)) possui, al´em da corre¸c˜ao cl´assica, uma corre¸c˜ao devido a teoria de branas.

Neste limite, o ˆangulo de deﬂex˜ao ∆φ entre as duas ass´ıntotas (cf. Fig. 3.6) expressas pela

equa¸c˜ao acima ´e dado por

∆φ = 4



1 −

45M

256|σ|L



. (3.97)

Isto ´e, o efeito da teoria de branas neste caso serve para diminuir o efeito previsto pela teoria da

Relatividade Geral no caso da deﬂex˜ao do feixe luminoso. Novamente, se consider´assemos uma

dimens˜ao extra tipo-espa¸co ir´ıamos aumentar esse efeito sob pena de reobter uma singularidade

quando lev´asssemos em conta o problema de colapso gravitacional.

3.5 A Radia¸c˜ao Hawking

Atrav´es de uma abordagem semi-cl´assica da teoria da Relatividade Geral, S. Hawking de-

rivou em 1975 o espectro t´ermico de part´ıculas emitidas por um buraco negro[41]. Embora tal

resultado se aplique a um campo teste n˜ao massivo minimalmente acoplado com a curvatura

num espa¸co-tempo de Schwarzschild, as no¸c˜oes de cria¸c˜ao de part´ıculas por campos gravita-

cionais neste caso podem ser estendidas a qualquer campo quˆantico levando-se em conta um

buraco negro geral.

Certamente o resultado original de Hawking deve ser alterado para uma teoria que elimine

a singularidade manifesta num buraco negro de Schwarzschild. Como em nosso modelo temos

uma corre¸c˜ao para a geometria de Schwarzschild (que torna a m´etrica n˜ao singular no interior

da mat´eria em R = 0) nossa inten¸c˜ao nesta se¸c˜ao ´e derivarmos quais seriam as corre¸c˜oes sobre

este resultado. Ao longo de nossa an´alise faremos  = K

= 1, onde K

´e a constante de

Boltzmann.

Utilizando ent˜ao a mesma abordagem proposta por Hawking, consideremos o acoplamento

m´ınimo de um campo escalar ϕ n˜ao massivo num espa¸co-tempo dado por (3.41). Neste

contexto, a equa¸c˜ao de Klein Gordon[2] ﬁca:

¨ϕ −



1 −

4π|σ|R



∂

∂R



1 −

4π|σ|R





2π|σ|R

−



∂ϕ

∂R

−



1 −

4π|σ|R





∂

∂θ

cos θ

sin θ

∂

∂θ



ϕ +

sin

∂

∂φ



= 0. (3.98)

Usando a deﬁni¸c˜ao (3.51) e supondo uma solu¸c˜ao do tipo ϕ

ωml

ωl

(R) exp(−iωT )Y

(θ, φ),

a equa¸c˜ao (3.98) pode ser reescrita como

ωl

∗



−



l(l + 1) +

−

π|σ|R





1 −

4π|σ|R



ωl

= 0. (3.99)

Quando R → ∞ temos

ωl

∗

+ ω

ωl

= 0 ⇒ Q

ωl

(R) = exp(±iωR

∗

)

de modo que, assintoticamente, temos duas solu¸c˜oes independentes para o campo de Klein

Gordon dadas por

exp[−iω(T − R

∗

)]Y

(θ, φ) (3.100)

exp[−iω(T + R

∗

)]Y

(θ, φ). (3.101)

Deﬁnindo

V (r) := ω

−



l(l + 1) +

−

π|σ|R



1 −

4π|σ|R



vemos que o potencial acima ir´a produzir, pela a equa¸c˜ao (3.99), um espalhamento parcial das

ondas assint´oticas incidentes (3.101).

Consideremos entretanto apenas o limite assint´otico da equa¸c˜ao (3.99). Suponhamos que

ωlm

sejam os modos de frequˆencia positivas das ondas na regi˜ao assint´otica J

. Para en-

contrarmos a forma deste modos, suponhamos que tais ondas incidam inicialmente sobre uma

distribui¸c˜ao esf´erica de mat´eria. Conforme estas ondas se aproximam, elas sofrem um desvio

para o azul. Por outro lado, depois de atravessar toda distribui¸c˜ao e come¸carem a emergir,

sofrer˜ao um desvio para o vermelho. Se tivermos uma distribui¸c˜ao est´atica de mat´eria, am-

bos os efeitos s˜ao compensados. Contudo, quando consideramos o colapso, a regi˜ao exterior

`a distribui¸c˜ao de mat´eria – descrita pela geometria (3.41) – aumenta. Assim, as ondas que

emergem da distribui¸c˜ao de mat´eria ter˜ao de atravessar regi˜oes onde campo gravitacional ´e

mais intenso (cf. Fig. 3.7). Assim, em princ´ıpio, as ondas emergentes ser˜ao mais desviadas

para o vermelho do que foram desviadas para o azul as incidentes.

Para efeito de c´alculo, consideremos inicialmente uma camada ﬁna de mat´eria esferica-

mente sim´etrica. Suponhamos tamb´em que o espa¸co-tempo dentro desta camada seja dado

pela geometria de Minkowski usual

= d

− d

−

Ω

, (3.102)

onde

Ω denota o angulo s´olido bidimensional Euclidiano. Seja b(T ) :=

R uma fun¸c˜ao que

nos descreve a evolu¸c˜ao da camada esf´erica de mat´eria. Impondo ent˜ao que a m´etrica interna

coincide com a geometria externa quando

R = b(T ) = R, temos que

1 −







1 −

4π|σ|b





−



1 −

4π|σ|b



−1





. (3.103)

Consideremos agora a deﬁni¸c˜ao das coordenadas nulas interiores por

ˆu :=

T −

R , ˆv :=

T +

R. (3.104)

R=0

ondaincidente

v =constante

ondaemergente

u =constante

Figura 3.7: Neste ﬁgura exibimos a trajet´oria de uma onda descrita por ϕ

que parte de J

−

em dire¸c˜ao a distribui¸c˜ao de mat´eria colapsante (´area hachurada). Depois de atravess´a-la, a

onda emerge em dire¸c˜ao ao limite assint´otico J

onde ´e descrita por ϕ

. Devido ao colapso

da distribui¸c˜ao de mat´eria, a onda emergente passa por regi˜oes onde o campo gravitacional ´e

mais intenso sendo assim fortemente desviada para o vermelho.

Figura 3.8: Na ﬁgura acima o c´ırculo representa a camada de mat´eria colapsante. A rela¸c˜ao

entre v e u deﬁne uma dependˆencia dos modos assint´oticos emergentes em termos dos in-

cidentes que ´e de fundamental importˆancia para encontramos um espectro t´ermico. Para

derivarmos esta dependˆencia relacionamos: (i) v e ˆv para as ondas incidentes, (ii) ˆv e ˆu no

centro da camada esf´erica, (iii) ˆu e u para ondas emergentes.

Para que possamos expressar ϕ

em termos de ϕ

com o intuito de derivarmos um espectro

t´ermico, precisamos encontrar uma forma de relacionar as coordenadas nulas exteriores u e

v (deﬁnidas cf. (3.54)). Utilizando a deﬁni¸c˜ao (3.104) iremos derivar esta dependˆencia con-

siderando trˆes est´agios distintos (cf. Fig. 3.8):

(i)Rela¸c˜ao v e ˆv para as ondas incidentes:

Suponhamos que os raios nulos incidentes atinjam a distribui¸c˜ao de mat´eria quando b =

b  R

 G

M. Desta forma temos de (3.103) que



1 −

4π|σ|



→ 1. (3.105)





 1 → T =

T + C. (3.106)

onde C ´e uma constante arbitr´aria. Assim segue que

ˆv = v + κ (3.107)

onde κ ≡

b − C − R

∗

(

b).

(ii) Rela¸c˜ao entre ˆv e ˆu no centro da camada esf´erica:

Como

R = 0 temos que

ˆv =

T = ˆu. (3.108)

(iii) Rela¸c˜ao entre ˆu e u para ondas emergentes:

Nesta conﬁgura¸c˜ao estamos considerando o colapso gravitacional. Portanto, diferente-

mente da condi¸c˜ao (i), estamos interessados agora nas ondas que emergem da distribui¸c˜ao de

mat´eria quando R ∼ R

Seja

o instante em que b = R

. Para

T ≈

podemos expandir b(

T ) da forma

T )  R

+ F (

−

T ) (3.109)

onde F ´e uma constante n˜ao nula. Desta forma, da equa¸c˜ao (3.103) vem que

T  ς ln(

T −

) (3.110)

onde

ς  −R







−

8π|σ|

− 3G

(3.111)

se desprezarmos termos de ordem mais alta em (

−

T ). Por outro lado, quando R → R

temos

∗



ln [b(T ) − R

]. (3.112)

Logo

u = T − R

∗

 ς ln(

T −

) −

ln [F (T

− T )] =



ς −



ln (

T −

) −

ln F. (3.113)

Entretanto, neste limite temos que

ˆu =

T −

R =

T − R

− F (

−

T ). (3.114)

Como de (3.113) e (3.114) decorre que exp



ς−k

−1



∝ (

−

T ), obtemos:

ˆu = Υ exp



−



+ µ (3.115)

onde deﬁnimos Υ := −2F

ςk

−1

, δ :=

−ς e µ :=

+ R

. Usando ent˜ao a condi¸c˜ao (3.107)

junto com (3.108), obtemos que

u = −δ ln



v − v



(3.116)

onde v

≡ µ − κ. Dada a lei logar´ıtmica que governa a dependˆencia de u em termos de v

segundo a rela¸c˜ao acima, podemos agora prosseguir no c´alculo do espectro t´ermico emitido

por nosso buraco negro.

Considerando a forma assint´otica do campo escalar em J

expressa por (3.100), temos

que

1ωlm

 exp



δiω ln



v − v



. (3.117)

De acordo com o apˆendice C, podemos expandir ϕ

em termos de ϕ

da seguinte forma

1ωlm





∞

[α

∗



ωlm

exp (−iω



v) − β



ωlm

exp (iω



v)]dω



(3.118)

onde α



ωlm

e β



ωlm

s˜ao os chamados coeﬁcientes de Bogolubov e o asterisco designa seus

complexos conjugados. Multiplicando ambos os lados da equa¸c˜ao acima por exp (iω



v), ao

integrarmos a mesma em v no intervalo (−∞, v

) obtemos

∗



ωlm

2π



−∞

exp (iω



v) exp



δiω ln



− v



dv (3.119)



ωlm

= −

2π



−∞

exp (−iω



v) exp



δiω ln



− v



dv (3.120)

onde usamos a identidade



−∞

exp [i(ω



− ω



)v]dv = 2πδ(ω



−ω



). Deﬁnindo ainda v



:= v

−v,

podemos reescrever:

∗



ωlm

2π

exp (iωv

)



∞

exp (−iω



) exp



δiω ln









(3.121)



ωlm

= −

2π

exp (−iωv

)



∞

exp (iω



) exp



δiω ln









. (3.122)

Consideremos agora a integral

I :=



exp (iω



z) exp



δiω ln





dz (3.123)

Figura 3.9: O contorno C considerado para a integral (3.123)

onde z ´e um n´umero complexo e C ´e o contorno deﬁnido de acordo com a ﬁgura 3.9. Como

n˜ao existe nenhuma singularidade interna a C nem sobre C, temos que

I =



k+σ+i

σ+i

exp (iω



z) exp



δiω ln







k+σ

k+σ+i

exp (iω



z) exp



δiω ln







k+σ

exp (iω



z) exp



δiω ln







σ+i

exp (iω



z) exp



δiω ln





dz = 0,

lim

→0

I =



k+σ

exp (iω



z) exp



δiω ln







k+σ

exp (iω



z) exp



δiω ln





dz ≡ 0. (3.124)

Vejamos ent˜ao que se v



 , podemos escrever

lim

(,σ,k)→(0,0,∞)

I =



∞

exp (iω



) exp



δiω ln











∞

exp (iω



) exp



δiω ln









= 0. (3.125)

Usando agora as identidades



∞

exp (iω



) exp



δiω ln











∞

exp (−iω



) exp



δiω ln



−v







iπ + ln(v



/Υ) = ln(−v



/Υ)

obtemos que



∞

exp (iω



) exp



δiω ln









−exp (−δπω)



∞

exp (−iω



) exp



δiω ln









. (3.126)

Desta forma decorre de (3.121) e (3.122) que

|α



ωlm

| = exp(δπω)|β



ωlm

|. (3.127)

Mas de acordo com o apˆendice C, temos





(|α



ωlm

− |β



ωlm

) = 1. (3.128)

Portanto





[exp(2πδω) − 1]|β



ωlm

= 1, (3.129)

e o n´umero de part´ıculas criadas no modo ωlm ´e dado por

ωlm

exp (2πδω) − 1

. (3.130)

O resultado acima ainda corresponde a um espectro de Planck, assim como obtido por Hawk-

ing, mas agora corrigido. A este espectro a temperatura associada ´e



− R

−



2πR

, (3.131)

onde

ζ =



+ AR

+ B)



M (2R

− 3M/4π|σ|)(R

− R

−

)

4(R

− 3G

M/2)



1/2



De (3.131) vemos que nosso resultado possui alguns tra¸cos qualitativos da teoria cl´assica.

De fato, um desses tra¸cos ´e a previs˜ao de uma temperatura nula para buracos negros extremos

−

= R

). Uma outra caracter´ıstica, a qual merece uma abordagem mais detalhada, diz

respeito a entropia. A este estudo dedicaremos a pr´oxima se¸c˜ao.

3.6 A Entropia de Bekenstein para Buracos Negros Quase-

Extremos

Em 1973, J. Bekenstein apresentou uma forma heur´ıstica de se determinar a entropia de

um buraco negro[42]. Encontrado atrav´es de uma deriva¸c˜ao geom´etrica, seu c´elebre resultado

aﬁrma que tal entropia deveria ser proporcional a ´area do horizonte de eventos. Embora

este resultado n˜ao tenha sido muito bem aceito na ´epoca por n˜ao se utilizar de nenhum pr´e-

requisito de mecˆanica estat´ıstica, a entropia de Bekenstein ganhou uma grande for¸ca quando

Hawking calculou, em 1975, o espectro t´ermico de part´ıculas emitidas por um buraco negro.

De fato, o resultado da temperatura prevista por Hawking era idˆentico ao obtido segundo a

rela¸c˜ao de Bekenstein.

Para vermos que nosso modelo reproduz o resultado da entropia prevista por Bekenstein,

consideremos um pequeno desvio do caso extremo. Isto ´e, suponhamos que R

± 

onde  ´e um desvio inﬁnitesimal. Desprezando termos de ordem superior em , temos que

P (R

) = 0 →  =



−

6πG

|σ|

. (3.132)

A condi¸c˜ao para a forma¸c˜ao de horizontes ´e dada por  ≥ 0. A igualdade nesta rela¸c˜ao de-

ﬁne uma curva (cf. Fig. 3.10) no espa¸co param´etrico (|σ|, M

) asso ciada a buracos negros

extremos. Enquanto p ontos acima desta curva correspondem a conﬁgura¸c˜oes com dois hor-

izontes, pontos abaixo denotam conﬁgura¸c˜oes sem a forma¸c˜ao de nenhum horizonte. Neste

sentido a pequena perturba¸c˜ao  aqui considerada corresponde a um pequeno desvio da curva

(|σ

∗

|, M

∗

) em dire¸c˜ao a ´area hachurada.

Substituindo a forma de R

em T

, temos aproximadamente em torno do caso extremo

que



8

9πG

∗

, (3.133)

onde agora restauramos as constantes de Planck e de Boltzmann. Introduzimos aqui tais cons-

tantes por estarmos motivados a derivar um an´alogo do n´umero de Avogadro como veremos

pr´oxima se¸c˜ao.

De (3.132) segue que

d 

2



∗

dM +

6πG

|σ

∗

d|σ|



. (3.134)

(,)

Figura 3.10: Nesta ﬁgura exibimos o dom´ınio do espa¸co param´etrico (|σ|, M

) correspon-

dente a conﬁgura¸c˜oes com dois horizontes (´area hachurada). Pontos na ´area branca denotam

conﬁgura¸c˜oes onde n˜ao ocorre a forma¸c˜ao de horizontes. A condi¸c˜ao  = 0 deﬁne a curva

(|σ

∗

|, M

∗

) para buracos negros extremos.

Deﬁnindo a ´area do horizonte de eventos por A := 4πR

, temos

A  4π



∗

+ 3G

∗





, (3.135)

de modo que, utilizando (3.134), obtemos

dA  8π



∗

16

dM +

∗

8π|σ

∗



d|σ|



. (3.136)

Usando a express˜ao (3.133), temos que:



dA 



dM +

∗

2|σ

∗

d|σ|



. (3.137)

Assim como no caso da Relatividade Geral, a rela¸c˜ao (3.137) nos sugere fortemente a deﬁni¸c˜ao

de uma entropia geom´etrica dada por

S :=



A. (3.138)

Neste caso obtemos que

dS 



dM +

∗

2|σ

∗

d|σ|



. (3.139)

Este resultado est´a de acordo com a rela¸c˜ao prevista por Bekenstein a menos do incremento

d|σ|. Desta forma interpretamos a equa¸c˜ao acima como uma extens˜ao da primeira lei da

termodinˆamica – para buracos negros quase-extremos – onde um termo extra de trabalho ´e

conectado a uma varia¸c˜ao da tens˜ao na brana.

3.7 Um Modelo Estat´ıstico para a Termodinˆamica de

Buracos Negros Quase-Extremos

Consideremos a equa¸c˜ao dinˆamica para o fator de escala expressa pelo v´ınculo hamiltoniano

(3.25), com condi¸c˜oes iniciais (3.21). Deﬁnida a superf´ıcie da distribui¸c˜ao de mat´eria por

R ≡ γa, podemos redeﬁnir o momento (por unidade de massa) na superf´ıcie da distribui¸c˜ao

como p

:= γp

de modo que a equa¸c˜ao dinˆamica para o fator de escala pode ser expressa por

H =



+ V (R)



= 0, (3.140)

onde

V (R) :=

8π|σ|R

−

kγ

. (3.141)

Expandindo a hamiltoniana (3.140) num entorno do caso extremo, temos que

H  H + V (R

∗

) = 0 (3.142)

onde

H :=



∗



∗



R +



1 −

∗







. (3.143)

Como este modelo deve se reduzir a teoria da Relatividade Geral num limite de baixas energias,

´e natural esperarmos que o valor de |σ

∗

| seja suﬁcientemente grande. De fato, se a tens˜ao na

brana satisﬁzer a desigualdade



3πG

|σ|

∗

 1, o termo linear em R no v´ınculo (3.142) pode

ser deprezado quando comparado com o termo n˜ao-linear (proporcional a R

). Desta forma o

v´ınculo (3.142) pode ser aproximado por

H =

, (3.144)

onde

ω ≡

√

∗





1 −

∗





≈

√

∗

−

√

∗



. (3.145)

Como estamos supondo um ﬂuido n˜ao interagente, as part´ıculas interiores `a distribui¸c˜ao

de mat´eria devem tamb´em oscilar com uma frequˆencia ω. Deﬁnindo ent˜ao N

∗

como n´umero de

massas de Planck presentes em toda a distribui¸c˜ao de mat´eria, iremos agora quantizar as os-

cila¸c˜oes do fator de escala em nosso modelo. Desta forma o movimento aproximado do sistema

poder´a ser interpretado como o movimento de N

∗

osciladores quˆanticos em equil´ıbrio t´ermico

com temperatura T

, localizados e unidimensionais, oscilando com uma mesma frequˆencia ω.

Neste contexto, a fun¸c˜ao canˆonica de parti¸c˜ao do sistema pode ser expressa por

Z =



exp(βω/2)

exp(βω) − 1



∗

, (3.146)

onde β ≡

, ou

Z = exp(−N

∗

βω/2) (3.147)

para valores baixos de temperatura T

. Desta forma segue que

ln Z = −

∗

ω

. (3.148)

Consideremos agora a energia livre dada por

F = −RT

ln Z 

∗

Rω

, (3.149)

onde R ´e uma constante apropriada. Por deﬁni¸c˜ao a entropia do sistema pode ser calculada

em fun¸c˜ao da energia livre atrav´es da rela¸c˜ao:

S = −

∂F

∂T

 −

∗

R

∂ω

∂T

. (3.150)

Substituindo ent˜ao (3.133) em (3.145), segue que

∂ω

∂T

= −

√

2π

∗

4

. (3.151)

S 

√

2π

∗

. (3.152)

Finalmente, utilizando as express˜oes (3.133), (3.134) e (3.137), obtemos

dS 

√

∗





dM +

∗

2|σ

∗

d|σ|





√

∗







. (3.153)

Deﬁnindo R := K

N, onde

N corresponde a um an´alogo do n´umero de Avogadro, obtemos:

√

∗

√

∗

. (3.154)

Fixando ent˜ao

N  1.272N

∗

, reobtemos naturalmente a rela¸c˜ao (3.138).

Fa¸camos agora um breve resumo de modo a interpretarmos adequadamente os resultados

expostos nesta duas ´ultimas se¸c˜oes. Em primeiro lugar, derivamos uma entropia geom´etrica

para buracos negros quase-extremos adotando um procedimento an´alogo ao utilizado por

Bekenstein[42]. Para uma dada tens˜ao na brana constante, repro duzimos a rela¸c˜ao de Beken-

stein mediante o c´alculo independente da temperatura Hawking. At´e aqui nosso modelo repro-

duz, em termos de consistˆencia, as mesmas bases para o c´alculo de uma entropia geom´etrica

(obtida de forma heur´ıstica) usadas pela teoria da Relatividade Geral. Entretanto, ao contr´ario

da teoria cl´assica, podemos aplicar conceitos simples de mecˆanica estat´ıstica para reobter exa-

tamente o mesmo resultado numa vizinhan¸ca de buracos negros extremos.

Conclus˜ao

Neste trabalho vimos que o formalismo da teoria de branas-mundo pode ser encarado como

uma poderosa ferramenta te´orica para que as singularidades previstas pela teoria da Relativi-

dade Geral sejam evitadas. Com efeito, ao considerarmos uma m´etrica fechada homogˆenea

e isotr´opica numa brana 4-dimensional – imersa num espa¸co ambiente 5-dimensional confor-

malmente plano com uma dimens˜ao extra tipo-tempo n˜ao-compacta – com uma constante

cosmol´ogica efetiva, vimos como (cf. Cap. 1) a singularidade inicial para o nosso universo ´e

eliminada. Por outro lado, ao estudarmos o problema de um colapso esfericamente sim´etrico

de pura poeira, eliminamos a singularidade global tipo-espa¸co presente na deriva¸c˜ao cl´assica

de Oppenheimer-Snyder[3].

Para construirmos modelos cosmol´ogicos na formula¸c˜ao aqui adotada consideramos, a

t´ıtulo de generalidade, que o conte ´udo material presente na brana fosse dado por ﬂuidos

perfeitos n˜ao interagentes junto com um campo escalar massivo n˜ao minimamente acoplado

com a curvatura. Nas equa¸c˜oes de Friedmann modiﬁcadas observamos que a singularidade

inicial para o nosso universo ´e evitada desde que tomemos um dom´ınio −

< α

≤ 1 para

o conte´udo material conﬁnado na brana. Por simplicidade supomos inicialmente um modelo

pr´e-inﬂacion´ario onde os ﬂuidos n˜ao interagentes do modelo s˜ao dados por radia¸c˜ao e mat´eria

fria escura (poeira). Atrav´es de um exame cuidadoso da equa¸c˜ao de Friedmann modiﬁcada e

da equa¸c˜ao de Klein-Gordon, identiﬁcamos trˆes estruturas b´asicas que organizam a dinˆamica

no espa¸co de fase.

Em primeiro lugar vimos que existe um plano invariante deﬁnido por ϕ = 0 = p

no qual

a dinˆamica est´a conﬁnada. Embora a dinˆamica no plano invariante seja similar a dinˆamica

no plano (a, p

) no caso integr´avel m = 0, algumas diferen¸cas estruturais b´asicas s˜ao obser-

vadas. Enquanto para as condi¸c˜oes iniciais p

= 0 = ϕ

temos uma ausˆencia completa de

movimento no setor (ϕ, p

), no caso integr´avel m = 0 temos movimentos separ´aveis nos se-

tores (a, p

) e (ϕ, p

). Pontos cr´ıticos no plano invariante correspodem a ´orbitas peri´odicas no

caso integr´avel.

Orbitas peri´odicas no plano invariante correspodem a 2-toros integr´aveis no

caso integr´avel. Separatrizes no plano invariante correspodem a cilindros integr´aveis no caso

integr´avel. Os cilindros que coalescem `a esquerda do ponto cr´ıtico centro-sela s˜ao chamados

de cilindros homocl´ınicos.

No plano invariante identiﬁcamos a presen¸ca de pontos cr´ıticos associados aos extremos

do potencial. Para uma constante cosmol´ogica efetiva nula sobre a brana vimos que o sistema

dinˆamico possui apenas um ponto cr´ıtico associado a um m´ınimo global do potencial. Neste

caso os modelos constru´ıdos n˜ao possuem interesse f´ısico pois, embora a singularidade inicial

seja evitada, o universo ´e oscilat´orio e eterno (isto ´e, n˜ao possui uma sa´ıda para um regime

inﬂacion´ario). Considerando ent˜ao uma constante cosmol´ogica efetiva p ositiva sobre a brana,

identiﬁcamos numericamente (cf. Fig. 2.2) a presen¸ca de um ponto cr´ıtico correspondente a

um m´ınimo local do potencial (um centro, deﬁnindo um universo est´avel de Einstein) e um

ponto cr´ıtico correspondente a um m´aximo local do potencial (um centro-sela, correspondente

`a conﬁgura¸c˜ao de universo inst´avel de Einstein). A regi˜ao de condi¸c˜oes iniciais dentro de um

po¸co (cf. Fig. 2.2 com δ  2.3) ´e ﬁsicamente mais relevante[43] que a regi˜ao correspondente a

condi¸c˜oes iniciais de modelos de um ´unico ricochete. De fato, neste cen´ario evitamos problemas

te´oricos de se tomar condi¸c˜oes iniciais no inﬁnito passado.

A estrutura das ´orbitas no plano invariante numa vizinhan¸ca destes pontos cr´ıticos deﬁne

uma estrutura na forma de quatro separatrizes. Quando a(t) → ∞, vimos que duas destas

separatrizes (`a direita do ponto centro-sela) deﬁnem no inﬁnito do espa¸co de fase um ponto

que atua como um atrator (e outro que atua como um repulsor) de uma conﬁgura¸c˜ao de

De-Sitter.

A presen¸ca do ponto cr´ıtico centro-sela devido a uma constante cosmol´ogica efetiva posi-

tiva ´e crucial para que possamos construir um modelo pr´e-inﬂacion´ario. Para o caso in-

tegr´avel m = 0, as ´orbitas com condi¸c˜oes iniciais dentro deste po¸co realizam inﬁnitos rico-

100

chetes deﬁnindo universos eternos oscilat´orios n˜ao-singulares. Entretanto, ao supormos uma

massa n˜ao nula para o campo escalar, as conﬁgura¸c˜oes correspondentes a condi¸c˜oes iniciais

(suﬁcientemente pr´oximas do plano invariante) tomadas dentro do po¸co do potencial possuem

solu¸c˜oes oscilat´orias metaest´aveis – devido ao fenˆomeno de ressonˆancia n˜ao-linear – em certas

zonas do espa¸co param´etrico (|σ|, m).

E este mecanismo presente nestas zonas que permite

uma sa´ıda do universo para uma fase inﬂacion´aria.

As zonas de ressonˆancia no espa¸co param´etrico (|σ|, m) – rotuladas por um n´umero inteiro

n ≥ 2 – tˆem a peculiaridade principal de bifurcar a ´orbita peri´odica na origem do mapa de

Poincar´e de se¸c˜ao p

= 0. Isto ´e, enquanto numa zona de estabilidade temos uma ´orbita

peri´odica caracter´ıstica est´avel na origem (ϕ = 0, p

= 0) deste mapa, numa zona de res-

sonˆancia temos uma ´orbita peri´odica inst´avel na origem. O sistema de equa¸c˜oes fornece ainda

duas (ou uma) ´orbitas peri´odicas caracter´ısticas se n for par (se n for ´ımpar). Quando tal bi-

furca¸c˜ao ocorre podemos observar um mecanismo de difus˜ao das ´orbitas – para certos dom´ınios

dos parˆametros dentro das zonas de ressonˆancia – de modo que estas podem escapar para o

inﬁnito do espa¸co de fase. Estes s˜ao os chamados dom´ınios f´ısicos de nosso modelo pois ´e neles

que a inﬂa¸c˜ao pode ser realizada.

O tamanho da regi˜ao das janelas de ressonˆancia depende fortemente do conte´udo material

do modelo de universo adotado. Isso foi visto quando exibimos, por exemplo, as zonas de

ressonˆancia com n = 3 para pura poeira, pura radi¸c˜ao e para uma mistura destes constituintes.

No caso de pura poeira, vimos que as regi˜oes de ressonˆancia s˜ao menores que no caso de

pura radia¸c˜ao. Isto sugere que para considerarmos um modelo pr´e-inﬂacion´ario que possua

uma componente de mat´eria escura fria, devemos fornecer uma valor apropriado de E

dust

de modo que a inﬂa¸c˜ao tenha maior probabilidade de ser realizada quando considerarmos

uma mistura destes constituintes. Tipicamente, a varia¸c˜ao dos parˆametros E

dust

e E

rad

pode

aumentar ou diminuir as zonas de ressonˆancia. Ao levarmos o sistema em dire¸c˜ao a uma

das zonas de ressonˆancia atrav´es de uma apropriada varia¸c˜ao de m e/ou |σ|, a conﬁgura¸c˜ao

est´avel torna-se metaest´avel com um consequente escape das ´orbitas para o atrator de De

Sitter num tempo ﬁnito. Embora para certas regi˜oes da janela de uma dada ressonˆancia este

escape possa ser repentino, para outras o sistema pode passar por um longo tempo de difus˜ao

atrav´es de dom´ınios estoc´asticos do espa¸co de fase antes de ﬁnalmente escapar. Neste contexto

identiﬁcamos um padr˜ao em todas as janelas de ressonˆancia. Isto ´e, para dom´ınios na borda

101

esquerda de cada janela veriﬁcamos que as ´orbitas possuem uma r´apida sa´ıda para um regime

inﬂacion´ario. Para dom´ınios na borda direita de cada janela veriﬁcamos que a dinˆamica das

´orbitas, embora ressonante e ca´otica, encontra-se conﬁnada numa regi˜ao ﬁnita do espa¸co de

fase. Em zonas intermedi´arias destes dom´ınios veriﬁcamos a existˆencia de ´orbitas que passam

por um longo tempo de difus˜ao antes de ﬁnalmente escapar para o atrator de De-Sitter.

Neste sentido, como a inﬂa¸c˜ao ´e um forte paradigma estabelecido da cosmologia moderna

sustentado por observa¸c˜oes, se nosso universo atual ´e de fato uma brana inﬂada por um

mecanismo de ressonˆancia param´etrica, ent˜ao o espectro das perturba¸c˜oes, assim como os

valores de parˆametros cosmol´ogicos devem ter uma assinatura de uma particular janela de

ressonˆancia a partir da qual a brana inﬂou. Em particular, para valores ﬁxos de Λ

, m, E

rad

e E

dust

, a tens˜ao na brana |σ|, que regula a escala da constante de Newton efetiva G

, ser´a

restrita a um pequeno dom´ınio de uma das janelas de ressonˆancia. Assim, quanto maior ´e a

ordem da ressonˆancia, maior ´e a escala de intera¸c˜ao gravitacional na brana inﬂada a partir de

uma determinada ressonˆancia.

Ao considerarmos o movimento no entorno do ponto centro-sela, observamos ainda que

uma sa´ıda ca´otica para a inﬂa¸c˜ao pode ser realizada para conjuntos de condi¸c˜oes iniciais

correspondentes a universos inicialmente em expans˜ao. Essas bacias de condi¸c˜oes iniciais

apresentam fronteiras que s˜ao fractais relacionadas ao c´odigo recolapso/escape. A fractalidade

dessas fronteiras aumenta conforme a n˜ao integrabilidade aumenta. O escape para a inﬂa¸c˜ao

neste caso se deve ao cruzamento dos cilindros homocl´ınicos e n˜ao envolve nenhum fenˆomeno

de ampliﬁca¸c˜ao param´etrica do campo escalar, ao contr´ario do regime de ressonˆancia n˜ao

linear. Observamos tamb´em um fenˆomeno de drenagem das bacias de condi¸c˜oes iniciais (de

recolapso para escape) conforme o tempo aumenta. Para τ → ∞, apenas a variedade de

interse¸c˜ao homocl´ınica permanece num movimento recorrente oscilat´orio.

Al´em da contru¸c˜ao de um modelo pr´e-inﬂacion´ario com diferentes componentes de ﬂu-

ido perfeito, examinamos tamb´em cen´arios cosmol´ogicos de puro campo escalar. Devido a

ausˆencia de qualquer componente de ﬂuido perfeito, os termos de corre¸c˜ao nas equa¸c˜oes de

campo que evitam a singularidade inicial dependem crucialmente de amplitudes iniciais n˜ao

nulas do campo escalar. Por esta raz˜ao n˜ao identiﬁcamos a presen¸ca de um plano invariante

para a dinˆamica. As amplitudes n˜ao nulas do campo escalar s˜ao extremamente sens´ıveis na

determina¸c˜ao de uma dinˆamica oscilante. O escape para a inﬂa¸c˜ao no caso n˜ao integr´avel n˜ao ´e

102

associado ao mecanismo de ressonˆancia param´etrica e ocorre apenas para grandes amplitudes

iniciais do campo escalar.

Ao tratarmos o problema do colapso gravitacional considerando uma distribui¸c˜ao de mat´eria

com press˜ao nula (poeira), reobtemos uma solu¸c˜ao interior ainda descrita por uma geometria

homogˆenea e isotr´opica em coordenadas com´oveis cuja a dinˆamica ´e oscilante e n˜ao-singular.

A jun¸c˜ao suave dessa geometria com a m´etrica exterior fornece um espa¸co-tempo an´alogo ao

de Reissner-Nordstrom com um horizonte de eventos e um horizonte de Cauchy. Neste con-

texto nosso modelo apresenta uma forte vantagem te´orica sobre alguns dos mais relevantes

modelos em voga.

De fato, um problema an´alogo – o est´agio ﬁnal do colapso de um campo escalar homogˆeneo

– foi explorado por Bojowald et. al. [12] no cen´ario de loop quantum cosmology. Atrav´es

desta abordagem a singularidade ´e evitada basicamente atrav´es de corre¸c˜oes semi-cl´assicas

no termo cin´etico do v´ınculo hamiltoniano de Friedmann (que n˜ao diverge quando a → 0).

Contudo, como a press˜ao do campo escalar n˜ao ´e nula na superf´ıcie da distribui¸c˜ao de mat´eria,

a distribui¸c˜ao de campo escalar interior n˜ao possui uma jun¸c˜ao suave com a geometria exterior

est´atica (a qual corresponde m´etrica de Schwarzschild com um termo de corre¸c˜ao). Desta

forma, a subsequente evolu¸c˜ao do horizonte de eventos e sua estrutura ﬁcam indeterminadas

neste modelo. Um limiar cr´ıtico de escala para a forma¸c˜ao do horizontes ´e obtido, indicando a

possibilidade de forma¸c˜ao de horizontes dinˆamicos. Entretanto a massa cr´ıtica associada n˜ao

pode ser calculada porque a dinˆamica exterior permanece indeterminada. A sugest˜ao de que

amb os os horizontes se tornar˜ao do tipo-tempo e evaporar n˜ao ´e sustentada pelos c´alculos de

nosso modelo. Al´em desta abordagem, muitas outras propostas para a constru¸c˜ao de buracos

negros n˜ao singulares na Relatividade Geral aparecem na literatura. Entretanto, nenhuma

delas s˜ao solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de campo de Einstein nem est˜ao associadas a fontes f´ısicas

conhecidas (cf. [44]).

Em nosso caso a geometria exterior (solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Einstein modiﬁcadas) nos

permitiu recalcular uma s´erie de previs˜oes feitas pela teoria da Relatividade Geral. Entre

elas, derivamos corre¸c˜oes sobre os testes experimentais (a menos do desvio das linhas espec-

trais). Tanto no caso do avan¸co do perih´elio planet´ario quanto na deﬂex˜ao do feixe luminoso,

veriﬁcamos que corre¸c˜oes devido a introdu¸c˜ao de uma dimens˜ao extra tipo-tempo atenuam

os efeitos previstos pela Relatividade Geral. Embora as previs˜oes da Relatividade Geral se-

103

jam suﬁcientes para a corrobora¸c˜ao experimental da teoria cl´assica na escala de energia de

nosso sistema solar, as corre¸c˜oes de nosso modelo p odem ser importantes ao considerarmos

conﬁgura¸c˜oes com altas escalas de curvatura e/ou energia.

Uma outra importante aplica¸c˜ao de nosso modelo se deve ao c´alculo (atrav´es de uma abor-

dagem semi-cl´assica) da temperatura Hawking. Analogamente a teoria da Relatividade Geral

reproduzimos a previs˜ao de uma temperatura nula para buracos negros extremos. Por outro

lado, o c´alculo desta temperatura para buracos negros quase-extemos nos forneceu impor-

tantes resultados. Em primeiro lugar derivamos, analogamente a Bekenstein, uma entropia

geom´etrica que reaﬁrma (para buracos negros quase-extremos) a previs˜ao semi-cl´assica de que

a entropia ´e proporcional a ´area do horizonte de eventos. Embora a termodinˆamica cl´assica de

buracos negros tenha ganhado uma grande for¸ca quando Hawking derivou o espectro t´ermico

de part´ıculas emitidas por um buraco negro, a rela¸c˜ao originalmente obtida por Bekenstein

sempre possuiu um car´acter heur´ıstico na determina¸c˜ao da entropia por n˜ao se utilizar de

nenhum princ´ıpio de mecˆanica estat´ıstica. Devido a este fato, a deﬁni¸c˜ao de uma entropia

para buracos negros se revela um problema em aberto at´e os dias de hoje. Neste contexto, a

constru¸c˜ao de um modelo estat´ıstico para a termodinˆamica de buracos negros quase extremos

(cf. Sec. 3.7) nos forneceu um resultado sem precedentes. De fato, ao quantizarmos os graus

de liberdade internos de um buraco negro quase extremo reobtemos – a partir de uma fun¸c˜ao

de parti¸c˜ao e energia livre estat´ısticas – mediante ao c´alculo independente da temperatura

Hawking, a previs˜ao de que a entropia ´e proporcional a ´area do horizonte de eventos.

104

Apˆendice A

As Condi¸c˜oes de Jun¸c˜ao

Suponhamos que um determinado conte´udo material se encontre distribu´ıdo somente sobre

nossa brana (uma dada hiper-superf´ıcie 4-dimensional (1+3)). Suponhamos ainda que tal

hiper-superf´ıcie estivesse imersa num espa¸co m´etrico 5-dimensional onde, a priori, a dimens˜ao

extra poderia ser tanto do tipo-tempo quanto do tipo-espa¸co. Desta forma, certamente haveria

uma descontinuidade na distribui¸c˜ao de mat´eria quando atravess´assemos a brana, a partir de

, at´e M

(cf. Fig. 1.1).

Pela teoria da Relatividade Geral, sabemos que condi¸c˜oes de jun¸c˜ao[21] devem ser satis-

feitas de modo a conectar descontinuidades na distribui¸c˜ao de mat´eria com a geometria do

espa¸co-tempo. Da mesma forma, numa teoria geom´etrica modiﬁcada do campo gravitacional,

devemos esperar que algum objeto geom´etrico possa expressar tal descontinuidade manifesta

em nossa brana. Neste apˆendice, exploraremos esse problema e veremos como tal descon-

tinuidade pode ser relacionada com a curvatura extr´ınseca de nossa hiper-superf´ıcie. Para

vermos isso, consideremos a equa¸c˜ao de Gauss

(4)

αβγδ

(5)

ABCD

, α

, β

, γ

, δ

+ (Ω

αγ

Ω

βδ

− Ω

αδ

Ω

βγ

). (A.1)

Adotando ent˜ao um sistema de coordenadas gaussiano do tipo

= g

αβ

+ dy

, (A.2)

onde y denota a dimens˜ao extra, tomamos n

≡ δ

. Assim, ao contrairmos α com γ em (A.1),

obtemos

(4)

βδ

(5)

βδ

− 

(5)

yByD

, β

, δ

+ (ΩΩ

βδ

− Ω

αδ

Ω

) (A.3)

105

onde deﬁnimos

(5)

βδ

(5)

, β

, δ

Entretanto,

(5)

yByD

= 

(5)

ByD

= [−

(5)

By, D

(5)

BD, y

−

(5)

]. (A.4)

Para uma dada curvatura extr´ınseca deﬁnida por K

iAB

≡ −h

, temos

(5)

= 0 ,

(5)

= K

(5)

= −K

, (A.5)

de modo que

(5)

yByD

= K

BD, y

+ K

. (A.6)

Projetando a equa¸c˜ao acima na brana, obtemos

(5)

yByD

, α

, β

= Ω

αβ, y

+ Ω

σα

Ω

, (A.7)

onde Ω

αβ

≡ K

, α

, β

Desta forma, a equa¸c˜ao (A.3), se reescreve

(5)

βδ

= Z

βδ

+ Ω

βδ, y

(A.8)

onde deﬁnimos

βδ

(4)

βδ

+ 2Ω

σβ

Ω

− ΩΩ

βδ

. (A.9)

Suponhamos agora que a equa¸c˜ao de camp o no espa¸co ambiente seja dada por

(5)

+ Λ

(5)

= κ

(5)

, (A.10)

onde

(5)

≡

. Neste contexo, deﬁnimos

como as componentes do tensor

energia-momento do espa¸co ambiente cont´ınuas ao atravessarmos a brana. Por outro lado,

denota apenas as componentes do tensor energia momento restritas a brana. Isto ´e,

= 0. Devido a descontinuidade em

(5)

ao atravessarmos a brana, podemos ainda

deﬁnir

=: T

δ(y). Assim de acordo com (A.10) segue que

(5)

R = −

2κ

[

T + T δ(y)] +

, (A.11)

106

de modo que podemos reescrever a equa¸c˜ao (A.8) como

(5)

αβ

= κ



αβ

−

(4)

αβ



δ(y) +

[2Λ

− κ

T ]

(4)

αβ

= Z

αβ

+ Ω

αβ, y

, (A.12)

onde deﬁnimos T

αβ

:= T

, α

, β

Suponhamos agora que Z

αβ

(4)

αβ

T sejam n˜ao divergentes quando tomamos um limite

y = ξ → 0. Ent˜ao:

lim

ξ→0



+ξ

−ξ

[2Λ

− κ

T ]

(4)

αβ

dy = 0 = lim

ξ→0



+ξ

−ξ

αβ

dy. (A.13)

Resta-nos portanto de (A.12) que:

lim

ξ→0



+ξ

−ξ



αβ

−

(4)

αβ



δ(y)dy =  lim

ξ→0



+ξ

−ξ

Ω

αβ, y

dy.

Isto ´e:



αβ

−

(4)

αβ



=  lim

ξ→0





+ξ

Ω

αβ, y

dy +



−ξ

Ω

−

αβ, y



=  lim

ξ→0



Ω

αβ

(ξ) − Ω

−

αβ

(−ξ)



. (A.14)

Impondo agora a chamada simetria Z

(Ω

αβ

= −Ω

−

αβ

≡ Ω

αβ

), obtemos:

Ω

αβ

κ



αβ

−

(4)

αβ



. (A.15)

Deﬁnindo ent˜ao T

αβ

:= τ

αβ

− σ

(4)

αβ

, onde τ

αβ

e σ correspondem, respectivamente, ao

conte ´udo material presente apenas na brana e a uma constante cosmol´ogica 4-dimensional

(tamb´em chamada de tens˜ao na brana), temos que:

Ω

αβ

κ



αβ

−

(τ − σ)

(4)

αβ



. (A.16)

Isto ´e, supondo uma descontinuidade no tensor energia-momento na brana, vemos que

devido `a simetria Z

, a curvatura extr´ınseca de nossa h´ıper-superf´ıcie pode ser expressa atrav´es

do tensor energia-momento τ

αβ

, e da tens˜ao σ, presentes somente sobre a mesma.

107

Apˆendice B

A Cria¸c˜ao de Part´ıculas por um

Campo Gravitacional

Consideremos um espa¸co-tempo plano no futuro e no passado assint´oticos mas que n˜ao

possua uma geometria de Minkowski numa zona intermedi´aria. Sejam {φ

} as solu¸c˜oes de

frequˆencia positiva deﬁnidas no passado assint´otico, e {ϕ

} as solu¸c˜oes de frequˆencia positiva

deﬁnidas no futuro assint´otico[45]. Como estas solu¸c˜oes constituem uma base completa[46],

podemos podemos expandir os φ

em termos dos ϕ

da seguinte forma



(α

+ β

∗

), (B.1)

onde α

e β

s˜ao coeﬁcientes apropriados.

Impondo ent˜ao as condi¸c˜oes de ortonormalidade:

φ

, φ

 = δ

, φ

∗

, φ

∗

 = −δ

, φ

, φ

∗

 = 0,

ϕ

, ϕ

 = δ

, ϕ

∗

, ϕ

∗

 = −δ

, ϕ

, ϕ

∗

 = 0, (B.2)

decorre de (B.1) que



(α

∗

− β

∗

) = δ

, (B.3)



(β

∗

− α

∗

) = −δ

(B.4)

108



(α

− β

) = 0. (B.5)

Consideremos agora a expans˜ao dos ϕ

em termos dos φ

por



(γ

+ σ

∗

). (B.6)

onde γ

e σ

s˜ao constantes. Usando (B.1) obtemos



k,l

[(α

+ β

∗

)φ

+ (α

+ β

∗

)φ

∗

]. (B.7)

Fazendo ent˜ao γ

= α

∗

e σ

= −β

, temos de (B.4) e (B.5) que



k,l

(α

+ β

∗

)φ



k,l

(α

∗

− β

∗

)φ

∗

= φ

(B.8)



k,l

(α

+ β

∗

)φ

∗



k,l

(α

+ α

)φ

∗

= 0. (B.9)

Assim, por consistˆencia obtemos de (B.6),



(α

∗

− β

∗

). (B.10)

A partir de agora denotaremos as regi˜oes passado e futuro assint´oticas pelos ´ındices p e f

respectivamente.

Consideremos ent˜ao os respectivos operadores de aniquila¸c˜ao e cria¸c˜ao a

e a

†

na regi˜ao p,

e b

†

na regi˜ao f. O estado de v´acuo na regi˜ao p ´e deﬁnido por a

|0

= 0, ∀j. Este caso

descreve uma conﬁgura¸c˜ao onde n˜ao existam part´ıculas inicialmente. Analogamente, deﬁnimos

o v´acuo na regi˜ao f por b

|0

= 0, ∀j. Consideremos a expans˜ao da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de

Klein-Gordon em termos das solu¸c˜oes de frequˆencias positivas (φ

e ϕ

) e dos operadores de

cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao em p e f. Isto ´e

ϕ =



+ a

†

∗

) =



+ b

†

∗

). (B.11)

Assim de (B.2) temos que:

ϕ, φ

 = a

, ϕ, ϕ

 = b

. (B.12)

109

Segue ent˜ao de (B.3) e (B.10) que



(α

− β

†

) (B.13)



(α

∗

+ β

†

). (B.14)

As transforma¸c˜oes (B.13) e (B.14) s˜ao as chamadas transforma¸c˜oes de Bogolubov e, α

e β

s˜ao os chamados coeﬁcientes de Bogolubov.

Suponhamos agora que n˜ao tenhamos part´ıcula alguma no passado assint´otico. Se a rep-

resenta¸c˜ao de Heisenb erg[47] ´e adotada, ent˜ao |0|

´e o estado do sistema para qualquer t no

passado assint´otico. Considerando o operador de n´umero N

= b

†

(que conta o n´umero

de part´ıculas na regi˜ao f dep ois que as ondas incidentes cruzam o campo gravitacional) ao

utilizarmos (B.14), o n´umero de part´ıculas criadas num determinado modo k ´e dado por:

N

 =

|0|b

†

|0|



|β

. (B.15)

Assim, se quaisquer um dos coeﬁcientes de Bogolubov β

k ´e n˜ao nulo, haver´a cria¸c˜ao de

part´ıculas pelo campo gravitacional.

110

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