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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
´
A
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM MATEM
´
ATICA E ESTAT
´
ISTICA
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS E NATURAIS
Deiziane Mendes Wanzeler
DECAIMENTO EXPONENCIAL E AN
´
ALISE NUM
´
ERICA DE SOLUC¸
˜
AO
DO SISTEMA TERMOEL
´
ASTICO N
˜
AO DISSIPATIVO
Orientador: Prof. Dr. Mauro De Lima Santos
Bel´em-PA
2008
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Deiziane Mendes Wanzeler
DECAIMENTO EXPONENCIAL E AN
´
ALISE NUM
´
ERICA DE SOLUC¸
˜
AO
DO SISTEMA TERMOEL
´
ASTICO N
˜
AO DISSIPATIVO
Disserta¸c˜ao apresentada ao corpo docente do
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
e Estat´ıstica - UFPA, como quisito par-
cial para a obten¸c˜ao do grau de Mestre em
Matem´atica.
´
Area de Concentra¸c˜ao: Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais
Orientador: Prof. Dr. Mauro de Lima Santos
Bel´em-PA
2008
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Deiziane Mendes Wanzeler
DECAIMENTO EXPONENCIAL E AN
´
ALISE NUM
´
ERICA DE SOLUC¸
˜
AO
DO SISTEMA TERMOEL
´
ASTICO N
˜
AO DISSIPATIVO
Esta Disserta¸c˜ao foi julgada e aprovada pelo Corpo Docente do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao
em Matem´atica e Estat´ıstica da Universidade Federal do Par´a, para a obten¸c˜ao do grau de
Mestre em Matem´atica.
Bel´em, 06 junho de 2008
Prof. Dr. Mauro De Lima Santos
(Coordenador do PPGME - UFPA)
Banca Examinadora
Prof. Dr. Mauro De Lima Santos
Universidade Federal do Par´a, UFPA
Orientador
Prof. Dr. Jo˜ao Marcelo Braz˜ao Prot´azio
Universidade Federal do Par´a, UFPA-DCR
Examinador
Prof. Dr. Valcir Jo˜ao Da Cunha Farias
Universidade Federal do Par´a, UFPA-PPGME
Examinador
Prof. Dr. Ademir Fernando Pazoto
Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ
Examinador
Agradecimentos
Agrade¸co a Deus, Todo Poderoso, fonte de toda a sabedoria, que me concedeu a
vida e for¸ca para chegar ao final deste trabalho;
Agrade¸co a minha m˜ae pela for¸ca e encorajamento para seguir em frente e a toda
fam´ılia;
Agrade¸co em especial a minha av´o, que sempre me deu for¸ca e bons exemplos
para seguir em frente;
Ao meu orientador, Prof. Dr. Mauro De Lima Santos, pela orienta¸c˜ao, disponibil-
idade e aten¸c˜ao dispensados na elabora¸c˜ao deste trabalho;
Aos professores do Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica e Estat´ıstica;
Ao Prof. Dr. Valcir, pela orienta¸c˜ao, paciˆencia e tranq¨uilidade num momento
decisivo do desenvolvimento deste trabalho;
Aos meus amigos do cora¸c˜ao: Carla, Ana Paula, Silvia, Renato, sem esquecer a
mais nova integrante Paula Cristina;
`
A todos aqueles que mesmo inconscientes do papel que cumpriam, tornaram esta
travessia mais amena.
Ao futuro: Weverson Wanzeler
Resumo
Neste trabalho vamos mostrar a existˆencia e regularidade de solu¸c˜oes, o decaimento
exponencial e a soluc˜ao num´erica do seguinte sistema termoel´astico hiperb´olico
definido em um dom´ınio n˜ao cil´ındrico (
ˆ
Q) com convenientes hip´oteses sobre k e γ:
u
tt
− u
xx
+ βθ
x
= 0 em
ˆ
Q,
θ
t
− k ∗ θ
xx
− ηθ
xx
+ µu
xt
= 0 em
ˆ
Q.
Com as condi¸c˜oes de fronteira
u(0, t) = u(γ(t), t) = 0; k ∗ θ(0, t) = k ∗ θ(γ(t), t) = 0 (0 < t < T ).
e as condi¸c˜oes iniciais
u|
t=0
= u
0
, u
t
|
t=0
= u
1
, θ|
t=0
= θ
0
em ]0, γ(0)[.
A existˆencia ser´a desenvolvida usando o M´etodo de Galerkin no problema aproxi-
mado definido em um dom´ınio cil´ındrico (Q). A unicidade ´e desenvolvida usando o
M´etodo da Energia. O decaimento exponencial do sistema tem uma s´erie de difi-
culdades, uma delas ´e que n˜ao podemos trabalhar diretamente com o sistema, da´ı a
necessidade de se obter um sistema aproximado, vamos mostrar que a energia asso-
ciada a este sistema ´e limitada. A solu¸c˜ao num´erica do problema se faz aplicando o
M´etodo dos Elementos Finitos em combina¸c˜ao com o m´etodo das diferen¸cas finitas.
Abstract
In this paper we study the hyperbolic thermoelastic system in a domain with mov-
ing boundary, which obtained when instead of the Fourier’s Law for the heat flux
relation, we follow the linearized model proposed by Coleman and Gurtin [21] about
the memory theory of heat conduction. We show existence and uniqueness and ex-
ponential decay rate of global regular solutions. The numeric analysis of solution
was also considered.
SUM
´
ARIO
Resumo vi
Abstract vii
Introdu¸c˜ao 2
1 Preliminares 4
1.1 Espa¸cos De Bannach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 O Espa¸co Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Os Espa¸cos L
P
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Outros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Teoria das Distribui¸c˜oes Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Espa¸cos das fun¸c˜oes Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Convergˆencia em C
∞
0
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Distribui¸c˜oes Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.4 Convergˆencia e Derivada Distribucional . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Espa¸cos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 O espa¸co H
m
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜ao Global 18
2.1 Estimativa a Priori I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Estimativa a Priori II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Decaimento Exponencial 29
4 An´alise Num´erica Da Solu¸c˜ao 40
4.1 Aproxima¸c˜ao Por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.1 Aproxima¸c˜ao Via Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 M´etodo Das Diferen¸cas Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Sistema Desacoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Discretiza¸c˜ao Da Energia Do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Resultados Num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
BIBLIOGRAFIA 52
Introdu¸c˜ao
Neste trabalho estudaremos a existˆencia e regularidade de solu¸c˜oes globais do sis-
tema termoel´astico hiperb´olico em um dom´ınio n˜ao-cil´ındrico. Na Teoria cl´assica
Linear de termoelasticidade, a Lei de Fourier ´e usada para descrever a condu¸c˜ao
de calor num corpo. Esta Teoria tem duas deficiˆencias principais. Primeira, n˜ao ´e
poss´ıvel descrever tal conduta para efeitos de mem´oria que podem prevalecer em al-
guns materiais, particularmente a baixas temperaturas. Segunda, a parte parab´olica
correspondente ao sistema prediz um resultado irreal; que uma perturba¸c˜ao t´ermica
em um ponto ´e instantaneamento sentida em todo o corpo. Estas observa¸c˜oes levam
a acreditar que para materiais com mem´oria, a Lei de Fourier n˜ao ´e um bom modelo
e temos que olhar outra Lei constitutiva mais geral. Sendo assim, seguiremos neste
trabalho o modelo linearizado introduzido por Coleman e Gurtin [21].
Nosso objetivo ´e estudar a existˆencia, unicidade de solu¸c˜ao, comportamento assint´otico
e a an´alise num´erica da solu¸c˜ao do seguinte sistema
u
tt
− u
xx
+ βθ
x
= 0 em
ˆ
Q
θ
t
− k ∗ θ
xx
− ηθ
xx
+ µu
xt
= 0 em
ˆ
Q
onde
ˆ
Q ´e um dom´ınio n˜ao-cil´ındrico.
Faremos uma breve descri¸c˜ao de alguns resultados importantes. Quando k = 0 e
η = 1, temos o pioneiro trabalho de Dafermos [1]. Ele mostrou que a solu¸c˜ao do
sistema termoel´astico linear se estabiliza sem taxa de decaimento. Posteriormente
significativos progressos sobre o aspecto linear e n˜ao linear do sistema termoel´astico
foram obtidos; Veja [2,3,4,5,6,7,8,9,11,13,14,15,16], onde os autores obtem a ex-
istˆencia, unicidade e estabilidade exponencial de solu¸c˜ao. Relacionado ao objetivo
deste trabalho, no caso η = 0, temos o trabalho de Fatori e Rivera [10] que mostra a
3
estabilidade exponencial do sistema termoel´astico linear com mem´oria em dom´ınio
fixo. Em um dom´ınio com fronteira m´ovel o problema (2.1)-(2.2) e(2.4)-(2.5) n˜ao
foi considerado na literatura. Sendo assim estudaremos tal problema.
O trabalho est´a organizado da seguinte forma: No primeiro cap´ıtulo fizemos uma
introdu¸c˜ao preliminar de alguns resultados importantes para o desenvolvimento do
trabalho. No segundo, temos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao global. No terceiro,
o estudo do comportamento assint´otico e no quarto temos a an´alise num´erica da
solu¸c˜ao do sistema.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
Cap´ıtulo 1
Preliminares
Neste cap´ıtulo apresentaremos alguns resultados que ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos
posteriores.
1.1 Espa¸cos De Bannach
Um espa¸co normado E ´e dito um Espa¸co de Bannach, se o mesmo ´e completo, isto
´e, se toda seq¨uˆencia de Cauchy converge em E.
1.1.1 O Espa¸co Dual
Defini¸c˜ao 1.1.1. Denotamos por E
o conjunto das fun¸c˜oes f : E → R lineares e cont´ınuas,
isto ´e :
E
= {f : E → R; f ´e linear e cont´ınua}. O conjunto E
´e chamado o dual de E.
Proposi¸c˜ao 1.1.1. Uma aplica¸c˜ao linear f ´e cont´ınua se, e somente se, ela ´e limitada.
Demonstra¸c˜ao :
Pela continuidade de f teremos que para todo > o existe δ > 0 tal que:
x < δ ⇒ |f(x)| <
Isso significa que para cada y ∈ E,
δ
y
y satisfaz a condi¸c˜ao:
δ
y
y ≤ δ, logo,
f
δ
y
y
< ⇒ |f(y)| ≤
δ
y, assim conclu´ımos que f ´e limitada.
Reciprocamente, suponhamos que f seja limitada, vamos mostrar que f deve ser cont´ınua. Da
limita¸c˜ao de f existe C > 0 tal que |f(x)| ≤ Cx. Portanto, para todo > 0 existe δ > 0 tal
que se :
x −y < δ ⇒ |f(x) −f(y)| < . Ent˜ao, tomemos δ =
C
e sabendo que f ´e limitada,ent˜ao segue
a sua continuidade.
1.2 Os Espa¸cos L
P
(Ω) 5
1.2 Os Espa¸cos L
P
(Ω)
Vejamos alguns resultados importantes para o que se segue.
Defini¸c˜ao 1.2.1. Seja p ∈ R, 0 < p < ∞, definimos:
L
P
(Ω) =
f : Ω −→ R ; f´e mensur´avel e | f |
P
∈ L
1
(Ω)
.
Considerando agora P = ∞, tem-se:
L
∞
(Ω) = {f : Ω −→ R ; f ´e mensur´avel e ∃c ≥ 0tal que | f( x) |≤ c quase sempre em Ω}.
Definimos tamb´em as normas : .
P
: L
P
(Ω) −→ R
+
, para P = ∞, dadas respectiva-
mente por:
f (x)
P
= (
Ω
| f (x) |
P
dµ)
1
P
e
f
∞
= inf {c : f(x) ≤ c quase sempre em Ω}.
Lema 1.2.1. (A Desigualdade De Young) Se 1 < p < ∞ e a,b s˜ao n´umeros reais n˜ao negativos
ent˜ao:
ab ≤
1
p
a
p
+
1
q
b
q
a igualdade s´o ocorre quando a
p
= b
q
.
Demonstra¸c˜ao: Se ϕ(t) = (1 − λ) + λt − t
λ
⇒ ϕ
(t) = λ(1 − t
λ−1
) e se λ − 1 < 0 temos que:
1) ϕ
(t) < 0 para t < 1
2) ϕ
(t) > 0 para t > 1
Logo, para t = 1, temos ϕ(t) > ϕ(1) = 0, onde (1 − λ) + λt ≥ t
λ
.
Se b = 0 a deigualdade segue substituindo t por
a
p
b
q
. Por outro lado, se b = 0, o Lema ´e imediato.
Lema 1.2.2. (Desigualdade de H¨older) Sejam f ∈ L
p
(Ω) e g ∈ L
q
(Ω), com 1 < p < ∞. Ent˜ao
f, g ∈ L
1
(Ω) e :
Ω
|f.g|dx ≤ f
p
g
q
.
Demonstra¸c˜ao:
Os casos p = 1 e p = ∞ seguem de modo imedito. Com 1 < p < ∞ segue que
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
1.2 Os Espa¸cos L
P
(Ω) 6
|f(x)||g(x)| ≤
1
p
|f(x)|
p
+
1
q
|g(x)|
q
,
por Young.
Assim, temos
Ω
|f.g|dx ≤
1
p
f
p
L
p
+
1
q
g
q
L
q
temos que f.g ∈ L
1
(Ω).
Substituindo f por λf, λ > 0 segue que
Ω
|f.g|dx ≤
λ
p−1
p
f
p
L
p
+
1
λq
g
q
L
q
Por outro lado, minimizando o lado direito da desigualdade acima, para λ ∈ (0, ∞) temos que o
m´ınimo ocorre para λ = f
−1
L
p
g
q/p
L
q
e o resultado segue.
Teorema 1.2.1. (Da Convergˆencia Dominada De Lebesgue) Seja (f
n
)
n
uma seq ¨uˆencia de
fun¸c˜oes integr´aveis definidas em X. Suponha que:
1) (f
n
)
n
converge quase sempre para uma fun¸c˜ao real, mensur´avel, f.
2) Existe uma fun¸c˜ao integr´avel g, tal que | f
n
|≤ g,∀n. Ent˜ao,
fdµ = lim
f
n
dµ.
Demonstra¸c˜ao : ver [17]
Defini¸c˜ao 1.2.2. Seja H um Espa¸co de Hilbert. Chama-se base hilbertiana de H uma seq¨uˆencia
de elementos (ω
n
) de H tais que:
1) (ω
n
) = 1 ∀n, (ω
n
, ω
m
) = 0, ∀
n,m
= n;
2) O espa¸co gerado pela (ω
n
) ´e denso em H.
A seguinte proposi¸c˜ao estabelece que a convergˆencia em L
p
(Ω) d´a origem a uma convergˆencia
pontual.
Proposi¸c˜ao 1.2.1. Sejam Ω ⊂ R
n
um aberto, 1 ≤ p ≤ ∞, u ∈ L
p
(Ω) e (u
k
)
k∈N
uma seq¨uˆencia
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
1.3 Outros Resultados 7
em L
p
(Ω) convergindo para u em L
p
(Ω). Ent˜ao existe uma subseq¨uˆencia de (u
k
), ainda denotada
por (u
k
), tal que:
1) u
k
(x) −→ u(x), quase sempre em Ω;
2) | u
k
(x) |≤ h(x), quase sempre em Ω, ∀k ∈ N, com h ∈ L
p
(Ω).
Demonstra¸c˜ao: ver [17]
1.3 Outros Resultados
Defini¸c˜ao 1.3.1. (Convergˆencia Fraca) Sejam E um espa¸co de Bannach e (u
v
)
v∈N
uma seq¨uˆencia
de E. Ent˜ao o u
v
→ u se, e somente se, < ϕ, u
v
>→< ϕ, u >, ∀u ∈ E
.
Proposi¸c˜ao 1.3.1. Seja E um Espa¸co de Bannach e x
n
uma sucess˜ao em E. Se verifica:
1) [x
n
→ xemσ(E, E
)][< f, X
n
>→< f, x >, ∀f ∈ E
].
2) Se x
n
→ x fortemente, ent˜ao x
n
→ x fracamente para σ(E, E
).
3) Se x
n
→ x fracamente para σ(E, E
) e se f
n
→ f fortemente em E’, ent˜ao
< f
n
, X
n
>→< f, x >.
Demonstra¸c˜ao: ver [17]
1.4 Teoria das Distribui¸c˜oes Escalares
1.4.1 Espa¸cos das fun¸c˜oes Testes
Sejam Ω ⊂ R
um aberto limitado e ϕ : Ω → R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Denotamos
suporte de ϕ ao fecho em Ω do conjunto dos pontos x pertencentes a Ω onde ϕ n˜ao
se anula. Denotamos o suporte de ϕ por supp(ϕ). Simbolicamente, temos que:
supp(ϕ) = {x ∈ Ω; ϕ(x) = 0} em Ω.
Usando a defini¸c˜ao acima conclu´ımos que o supp(ϕ) ´e o menor fechado fora do
qual (ϕ) se anula e valem as seguintes rela¸c˜oes:
1) supp(ϕ + ψ) ⊂ supp(ϕ) ∪ supp(ψ),
2) supp(ϕψ) ⊂ supp(ϕ) ∩ supp(ψ),
3) supp(λϕ) = λsupp(ϕ), λ ∈ R −{0}.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
1.4.2 Convergˆencia em C
∞
0
(Ω) 8
Daremos um destaque especial `as fun¸c˜oes ϕ : Ω → R com suporte compacto contido
em Ω que sejam infinitamente diferenci´aveis. Com esse objetivo definimos o espa¸co
C
∞
0
(Ω) como sendo o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes indefinidamente diferenci´aveis com
suporte compacto contido em Ω. Os elementos de C
∞
0
(Ω) s˜ao denominados fun¸c˜oes
testes em Ω.
Observa¸c˜ao 1.4.1. Por um multi-´ındice, entendemos, uma n-upla α = (α
1
, . . . , α
n
) de n´umeros
inteiros n˜ao negativos. Denotamos por | α |= α
1
+ ··· + α
n
a ordem do multi-´ındice e por D
α
o
operador deriva¸c˜ao parcial de ordem | α |,
D
α
=
∂
|α|
∂
α
1
x
1
. . . . .∂
α
n
x
n
Para α = (0, . . . , 0), temos por defini¸c˜ao D
0
ϕ = ϕ.
1.4.2 Convergˆencia em C
∞
0
(Ω)
Dizemos que uma sucess˜ao (ϕ
n
)
n∈R
de fun¸c˜oes em C
∞
0
(Ω) converge para ϕemC
∞
0
(Ω)
quando forem satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes:
(i) Existe um conjunto compacto K ⊂ Ω tal que
supp(ϕ) ⊂ K e supp(ϕ
n
) ⊂ K, ∀
n
∈ R
(ii)D
α
ϕ
n
−→ D
α
ϕ uniformemente em K para todo multi-´ındice α.
O espa¸co vetorial C
∞
0
(Ω) juntamente com a no¸c˜ao de convergˆenia definida acima ´e
um espa¸co vetorial topol´ogico que denotamos por D(Ω) e ´e denominado espa¸co de
fun¸c˜oes testes.
Denota-se por L
p
(Ω), 1 < p < ∞, o espa¸co das fun¸c˜oes reais u : Ω −→ R mensur´aveis
tais que | u |
p
s˜ao Lebesgue integr´aveis em Ω. O espa¸co L
p
(Ω) ´e um Espa¸co de Ban-
nach com a norma
u
p
L
p
(Ω)
=
Ω
| u |
p
dx.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
1.4.2 Convergˆencia em C
∞
0
(Ω) 9
Quando p = ∞, L
∞
(Ω) denota o Espa¸co de Bannach de todas as fun¸c˜oes reais
essencialmente limitadas com a norma
u
∞
= sup
x∈Ω
ess | u(x) |
Quando p = 2, L
2
(Ω) ´e um Espa¸co de Hilbert com produto interno
(u, v) =
Ω
u(x)v(x)dx,
e norma induzida
| u |
2
=
Ω
| u(x) |
2
dx.
Observa¸c˜ao 1.4.2. Sendo Ω limitado, obtemos D(Ω) → L
p
(Ω), para todo p, tal que 1 ≤ p < ∞
com imers˜ao ont´ınua e densa. De fato, dado ϕ ∈ D(Ω) temos que
Ω
| ϕ(x) |
p
dx ≤ sup
x∈Ω
| ϕ(x) |
p
µ(Ω) < ∞.
Isto prova a inclus˜ao alg´ebrica. Para a continuidade, suponhamos que ϕ
n
→ ϕ em D(Ω).
Mostraremos que
Ω
| ϕ
n
(x) − ϕ(x) |
p
dx → 0.
Notemos que
Ω
| ϕ
n
(x) − ϕ(x) |
p
dx =
K
| ϕ
n
(x) − ϕ(x) |
p
dx.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
1.4.3 Distribui¸c˜oes Escalares 10
Logo, pelo Teorema da Convergˆenia Dominada de Lebesgue, temos que
lim
n→∞
Ω
| ϕ
n
(x) −ϕ(x) |
p
dx = lim
n→∞
K
| ϕ
n
(x) −ϕ(x) |
p
dx =
K
lim
n→∞
| ϕ
n
(x) −ϕ(x) |
p
dx = 0
Para a demonstra¸c˜ao de que a imers˜ao anterior ´e densa veja [18].
1.4.3 Distribui¸c˜oes Escalares
Denominamos distribui¸c˜ao escalar sobre Ω a toda forma linear e cont´ınua sobre
D(Ω), isto ´e, uma fun¸c˜ao T : D(Ω) → R que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
(i) T (αϕ + βψ) = αT (ϕ) + βT (ψ), ∀ϕ, ψ ∈ D(Ω), ∀α, β ∈ R.
(ii) T ´e cont´ınua, isto ´e, se (ϕ
v
)
v∈R
converge para ϕ, em D(Ω), ent˜ao
T (ϕ
v
) −→ T (ϕ) em R.
O valor da distribui¸c˜ao T na fun¸c˜ao teste ϕ ser´a denotado por < T, ϕ >. Considere
no espa¸co vetorial das distribui¸c˜oes escalares a seguinte no¸c˜ao de convergˆencia:
A sucess˜ao (T
v
)
v∈N
converge para T quando a sucess˜ao (< T
v
, ϕ >)
v∈N
converge para
< T, ϕ > em R, para toda ϕ ∈ D (Ω).
O espa¸co das distribui¸c˜oes que aparecem com mais freq¨uˆencia s˜ao aquelas definidas
a partir de fun¸c˜oes localmente integr´aveis.
Defini¸c˜ao 1.4.1. Temos que uma fun¸c˜ao u : Ω −→ R ´e localmente integravel em Ω quando u ´e
integr´avel `a Lebesgue em todo compacto K ⊂ Ω. O espa¸co das fun¸c˜oes localmente integr´aveis ´e
denotado por L
1
loc
(Ω). Em s´ımbolo temos
u ∈ L
1
loc
(Ω) ⇐⇒
K
| u(x) | dx < ∞,
para todo compacto K ⊂ Ω.
A distribui¸c˜ao T
u
assim definida ´e dita ”gerada pela fun¸c˜ao localmente integravel
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
1.4.3 Distribui¸c˜oes Escalares 11
u” e usando o Lema Du Bois Raymond temos que T
u
´e univocamente determinada
por u no seguinte sentido: T
u
= T
v
se, e somente se, u = v quase sempre em Ω.
Neste sentido identificamos u com a distribui¸c˜ao T
u
e o espa¸co L
1
loc
(Ω) das fun¸c˜oes
localmente integr´aveis pode ser visto como parte do espa¸co das distribui¸c˜oes D
(Ω).
Denotamos por L
1
loc
(R) o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes u : R → R tais que a restri¸c˜ao
de u a qualquer compacto k de R ´e integr´avel a Lebesgue em k. Seja u ∈ L
1
loc
(R) e
ϕ ∈ C
∞
0
(R). Denomina-se convolu¸c˜ao de u com ϕ `a fun¸c˜ao u ∗ ϕ definida em R por:
(u ∗ ϕ)(x) =
R
u(x − y) ϕ(y) dy =
R
u(y) ϕ(x − y) dy.
Segue-se que u ∗ ϕ ∈ C
∞
0
(R) e se u possui suporte compacto, ent˜ao u ∗ ϕ ∈ C
∞
0
(R).
Lema 1.4.1. (Du Bois Raymond). Seja u ∈ L
1
loc
(Ω). Ent˜ao T
u
= 0 se, e somente se. u = 0
quase sempre em Ω.
Demonstra¸c˜ao: Considerando o intervalo aberto finito ]a, b[ fixo. Sabe-se que C
∞
0
(a, b)
´e denso em L
1
(a, b). Conseq¨uentemente, se u = L
1
loc
(a, b), ent˜ao, para cada > 0 existe
v ∈ C
∞
0
(a, b) tal que:
b
a
| u − v | dx ≤ .
Da hip´otese do Lema e desta ´ultima desigualdade, resulta:
|
b
a
vϕdx |=|
b
a
(vϕ − uϕ)dx |≤ max | ϕ |, (1.1)
para toda ϕ ∈ (a, b).
Considere-se os conjuntos:
k
1
= {x ∈ ]a, b[ ; v(x) ≥ } ; k
2
= {x ∈ ]a, b[ ; v(x) ≤ −},
ϕ
1
= 1 em k
1
, ϕ
1
= 0 em k
2
, 0 ≤ ϕ
1
≤ 1
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
1.4.4 Convergˆencia e Derivada Distribucional 12
ϕ
2
= 1 em k
2
, ϕ
2
= 0 em k
2
, 0 ≤ ϕ
2
≤ 1
Considereando-se Ψ = ϕ
1
− ϕ
2
, obtem-se:
Ψ = 1 em k
1
, Ψ = −1 em k
2
, 0 ≤ Ψ ≤ +1
Resulta, portanto,
b
a
vΨdx =
]a,b[−k
vΨdx +
K
vΨdx,
onde K ∪ K
1
∪ K
2
. Observando-se que | v |≤ em ]a, b[−K, a (1.1) implica:
|
K
vΨdx | ≤ |
b
a
vΨdx | + |
]a,b[−K
vΨdx ≤ + (b − a).
Da defini¸c˜ao de Ψ e desta ´ultima desigualdade, obt´em-se:
K
| v | dx =
K
vΨdx ≤ + (b − a).
Portanto,
b
a
| u | dx <
b
a
| u − v | dx +
K
| v | dx +
]a,b[−K
| v | dx ≤ 2 + 2(b − a).
Fazendo-se tender para zero conclui-se que u = 0 quase sempre em ]a, b[. Sendo
]a, b[ arbitr´ario, resulta a demonstra¸c˜ao do Lema.
1.4.4 Convergˆencia e Derivada Distribucional
Seja T uma distribui¸c˜ao sobre Ω e α um multi-´ındice. A derivada no sentido das
distribui¸c˜oes de ordem α de T ´e definida como sendo o funcional linear
D
α
T : D(Ω) −→ R
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
1.5 Espa¸cos de Sobolev 13
tal que
< D
α
T, ϕ >= (−1)
|α|
< T, D
α
ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω).
Segue da defini¸c˜ao acima que cada distribui¸c˜ao T sobre Ω possui derivadas de
todas as ordens. Assim as fun¸c˜oes de L
1
loc
(Ω) possuem derivadas de todas as ordens
no sentido das distribui¸c˜oes. Observe que a aplica¸c˜ao
D
α
: D
(Ω) → D
(Ω)
´e linear e cont´ınua no sentido da convergˆencia definida em D
(Ω). Isto significa que
lim
v→∞
T
v
= T em D
(Ω) ent˜ao lim
v→∞
D
α
T
v
= D
α
T em D
(Ω).
1.5 Espa¸cos de Sobolev
Nesta se¸c˜ao mostraremos uma classe de espa¸cos fundamentais para o estudo das
Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais. Tal classe ´e conhecida como Espa¸cos de Sobolev.
1.5.1 O espa¸co H
m
(Ω)
Seja Ω um aberto do R
n
com fronteira Γ regular. Foi observado na se¸c˜ao anterior
que se u ∈ L
p
(Ω), u possui derivadas de todas as ordens no sentido das distribui¸c˜oes.
Observamos que D
α
u, em geral, n˜ao ´e uma distribui¸c˜ao definida por uma fun¸c˜ao de
L
p
(Ω). Estamos interessados em espa¸cos de distribui¸c˜oes u ∈ L
p
(Ω) cujas derivadas
permane¸cam em L
p
(Ω). Tais espa¸cos s˜ao denominados Espa¸cos de Sobolev.
Dados um inteiro m > 0 e 1 ≤ p ≤ ∞, o espa¸co de Sobolev de ordem m sobre Ω ´e
o espa¸co vetorial denotado por W
m,p
(Ω) constitu´ıdo das fun¸c˜oes u ∈ L
p
(Ω) para os
quais D
α
u ∈ L
p
(Ω), para todo mult-´ındice α com | α |≤ m. Em s´ımbolos temos
W
m,p
(Ω) = {u ∈ L
p
(Ω) : D
α
u ∈ L
p
(Ω), ∀
α
, com | α |≤ m}.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
1.5.1 O espa¸co H
m
(Ω) 14
O espa¸co W
m,p
(Ω) ser´a munido da norma
u
W
m,p
(Ω)
=
|α|≤m
D
α
u
p
L
p
(Ω)
1/p
, 1 ≤ p < ∞
e se p = ∞
u
W
m,p
(Ω)
=
|α|≤m
D
α
u
L
∞
(Ω)
.
Em ambos os casos W
m,p
(Ω) ´e um Espa¸co de Bannach. O espa¸co W
m,p
(Ω) ´e um espa¸co
reflexivo se 1 < p < ∞ e separ´avel se 1 ≤ p < ∞.
No caso particular em que p = 2 o espa¸co W
m,2
(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert, sendo
denotado por H
m
(Ω), isto ´e,
H
m
(Ω) =
u ∈ L
2
(Ω) : D
α
u ∈ L
2
(Ω), ∀
α
, com | α |≤ m
.
O Tra¸co em H
1
(Ω)
D(Ω) ´e o conjunto
ϕ|
Ω
; ϕ ∈ D(R
n
)
que se pode definir a restri¸c˜ao `a fronteira Γ de
Ω. Dada ϕ ∈ H
1
(Ω), consideremos uma seq¨uˆencia (ϕ
v
)
v∈N
em D(Ω) com
ϕ
v
−→ ϕ em H
1
(Ω).
Definimos o operador γ
0
: H
1
(Ω) −→ L
2
(Γ) por
γ
0
(ϕ) = lim
k→∞
ϕ
k
|
Γ
,
sendo este limite considerado na norma de L
2
(Γ).
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
1.5.1 O espa¸co H
m
(Ω) 15
O operador γ
0
denominado o operador tra¸co ´e cont´ınuo, linear e seu n´ucleo ´e H
1
0
(Ω).
De forma mais simples escrevemos ϕ|
Γ
em vez de γ
0
ϕ. Assim, podemos caracterizar,
o espa¸co H
1
0
(Ω) por H
1
0
(Ω) =
ϕ ∈ H
1
(Ω); ϕ|
Γ
= 0
.A generaliza¸c˜ao do operador de
tra¸co para os espa¸cos H
m
(Ω) ocorre de forma natural e no caso m = 2, temos
H
2
0
(Ω) =
ϕ ∈ H
2
(Ω); ϕ|
Γ
= 0,
∂ϕ
∂v
|
Γ
= 0
.
O dual topol´ogico do espa¸co W
m,p
0
(Ω) representamos por W
−m,p
(Ω) se 1 ≤ p < ∞
com
1
p
+
1
q
= 1. Se ϕ ∈ W
−m,p
(Ω), ent˜ao ϕ|
D(Ω)
∈ D
(Ω).
Quando p = 2, W
m,2
0
(Ω) ser´a denotado por H
m
0
(Ω) cujo dual ´e H
−m
(Ω).
O teorema seguinte caracteriza o espa¸co W
−m,p
(Ω).
Teorema 1.5.1. Seja T ∈ W
−m,p
(Ω) se, somente se, existem g
α
∈ L
q
(Ω) tais que
T =
|α|≤m
D
α
g
α
.
Demonstra¸c˜ao : Ver [19]
Lema 1.5.1. (Desigualdade de Poincar´e) Seja Ω ⊂ R
n
um aberto limitado em alguma dire¸c˜ao.
Se u ∈ H
1
0
(Ω), ent˜ao existe uma constante C > tal que
|u|
2
L
2
(Ω)
≤ C|∇u|
2
L
2
(Ω)
.
Dmonstra¸c˜ao: Ver [18]
Lema 1.5.2. (Lema de Gronwall) Sejam ϕ, ψ : [a, b] → R fun¸c˜oes cont´ınuas e n˜ao-negativas,
α ≥ 0. Se
ϕ(t) ≤ α +
t
a
ϕ(s)ψ(s)ds,
ent˜ao,
ϕ(t) ≤ α exp
t
a
ψ(s)ds
, ∀
t
∈ [a, b].
Em particular, ϕ(t) ´e limitada e se α = 0 , ent˜ao ϕ ≡ 0.
Demonstra¸c˜ao:
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
1.5.1 O espa¸co H
m
(Ω) 16
Fazendo Z(t) = α +
t
a
ϕ(s)ψ(s)ds, da hip´otese segue que ϕ(t) ≤ Z(t) e pelo teorema
fundamental do c´alulo, temos que Z
(t) = ϕ(t)ψ(t). Logo, Z
(t) ≤ Z(t)ψ(t), de onde
segue:
Z
(t)
Z(t)
≤ ψ(t)
Integrando a ´ultima desigualdade de a at´e t, segue:
t
a
Z
(s)
Z(t)
ds ≤
t
a
ψ(s) ds
Da´ı,
t
a
d
dt
ln(Z(s)) ds ≤
t
a
ψ(s) ds
Portanto,
ln
Z(t)
Z(a)
≤
t
a
ψ(s) ds, ou seja,
Z(t) ≤ α exp
t
a
ψ(s) ds
, t ∈ [a, b]
De tal desigualdade e de ϕ(t) ≤ Z(t), temos o Lema.
Defini¸c˜ao 1.5.1. Dizemos que uma fun¸c˜ao b ∈ L
1
[0, ∞[ ´e positiva definida quando
T
0
ω(t)
t
0
b(t − τ)ω(τ )dτdt ≥ 0, (1.2)
para todo ω ∈ C([0, ∞[) e T > 0. Dizemos que b ´e fortemente positiva definida se existir > 0
tal que a fun¸c˜ao t → b(t) −
−t
´e positiva definida.
Observa¸c˜ao 1.5.1. Toda fun¸c˜ao fortemente positiva definida ´e positiva definida.
Lema 1.5.3. Se b ∈ L
1
(0, ∞). Ent˜ao b ´e fortemente positiva definida se e somente se existir
uma constante positiva tal que
Re
ˆ
b(iλ) ≥
λ
2
+ 1
, ∀λ ∈ R;
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
1.5.1 O espa¸co H
m
(Ω) 17
onde
ˆ
b ´e a transformada de Laplace de b.
Demonstra¸c˜ao: ver[12]
Lema 1.5.4. Suponhamos que k ∈ L
1
(R
+
) ´e uma fun¸c˜ao fortemente positiva definida satis-
fazendo k
∈ L
1
(R
+
), ent˜ao
t
0
|k ∗ y(τ)|
2
dτ ≤ β
0
K
t
0
k ∗ y(τ)y(τ)dτ
para todo y ∈ L
1
loc
(R
+
) onde K = ||k||
2
L
1
(R
+
)
+ 4||k
||
2
L
1
(R
+
)
e β
0
> 0 ´e tal que a fun¸c˜ao
k(t) − β
0
e
−t
´e uma fun¸c˜ao positiva definida.
Demonstra¸c˜ao: ver[12]
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
Cap´ıtulo 2
Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜ao Global
O objetivo principal deste cap´ıtulo ´e estudar a Existˆencia e Unicidade de solu¸c˜ao
global do seguinte sistema termoel´astico com mem´oria:
u
tt
− u
xx
+ βθx = 0 em
ˆ
Q (2.1)
θ
t
− k ∗ θ
xx
− ηθ
xx
+ µu
xt
= 0 em
ˆ
Q (2.2)
onde
Q ´e um dom´ınio n˜ao-cil´ıdrico de R
2
definido por
ˆ
Q = {(x, t) ∈ R
2
, 0 < x < γ(t), 0 < t < T } =
0<t<T
]0, γ(t)[×{t}, (2.3)
γ(·) ´e uma fun¸c˜ao positiva e η ´e uma constante suficientimente pequena. A fronteira
lateral
ˆ
de
ˆ
Q ´e dada por
ˆ
=
0<t<T
({0} × {t}) ∪ ({γ(t)} × {t}).
Al´em disso, a solu¸c˜ao satisfaz a condi¸c˜ao de fronteira
u(0, t) = u(γ(t), t ) = 0; k ∗ θ(0, t) = k ∗ θ(γ(t), t) = 0 (0 < t < T ) (2.4)
e as condi¸c˜oes iniciais
u|
t=0
= u
0
, u
t
|
t=0
= u
1
, θ|
t=0
= θ
0
em ]0, γ(0)[. (2.5)
Note que as condi¸c˜oes de fronteira (2.4) implicam na condi¸c˜ao de fronteira de
Dirichlet para θ ∈ H
1
(I
t
), onde I
t
=]0, γ(t)[. Assumiremos que
θ(x, t) = 0 ∀t < 0
−
.
19
Finalmente, denotaremos por k uma fun¸c˜ao C
1
(0, ∞) satisfazendo as seguites pro-
priedades:
• k ´e uma fun¸c˜ao fortemente positiva definida;
• k e k
decaem exponencialmente para zero; isto ´e, existem constantes C
i
e
p
i
(1 = 1, 2) tal que
|k(t)| ≤ C
1
e
−p
1
t
, |k
(t)| ≤ C
2
e
−p
2
t
.
De (2.1)-(2.2), temos:
d
dt
E(t) = −
β
µ
I
t
(k ∗ θ
x
)θ
x
dx − η
β
µ
I
t
|θ
x
|
2
dx, (2.6)
onde
E(t) =
1
2
I
t
(|u
t
|
2
+ |u
x
|
2
+
β
µ
|θ|
2
)dx,
´e a energia do sistema. Note que do fato de k ser uma fun¸c˜ao fortemente positiva
definida n˜ao implica que (2.6) seja negativa, veja observa¸c˜ao abaixo.
Observa¸c˜ao 2.0.2. Considerando a fun¸c˜ao k(t) = e
−t
cos t e ω(t) = e
−2t
. Temos que k satisfaz
as hip´oteses do Lema (1.5.3), ent˜ao k ´e fortemente positiva definida; isto ´e, satisfaz (1.2). Al´em
disso temos
k ∗ ω =
t
0
e
−s
cos s e
−2(t−s)
ds
e
R(t) = (k ∗ ω)(t).ω(t) =
e
−t
2
(cos t + sin t)
e
−2t
2
e
−2t
=
e
−4t
2
e
t
(cos t + sin t) − 1
.
Logo, escolhendo t =
π
2
+ 2nπ, segue que R(t) > 0, e escolhendo t =
−π
2
+ 2nπ, temos
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
20
R(t) < 0. Portanto, R(t) ´e n˜ao positiva. Mas
T
0
R(t)dt > 0, para todo T > 0. Portanto,
o sistema (2.1)- (2.2) e (2.4)-(2.5) ´e do tipo n˜ao dissipativo.
Mostraremos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao do nosso problema em um
dom´ınio cil´ındrico Q =]0, 1[×]0, T [ (T > 0), que ´e relacionado com
ˆ
Q (ver(2.3)) pelo
difeormofismo τ :
ˆ
Q → Q definido por
τ(x, t) = (y, t) = (xγ
−1
(t), t) para (x, t) ∈
ˆ
Q. (2.7)
Definimos:
ψ(y, t) = u ◦ τ
−1
(y, t) = u(γ(t)y, t)
ϕ(y, t) = θ ◦ τ
−1
(y, t) = θ(γ(t)y, t)
(2.8)
Denotaremos por Dw a derivada parcial da fun¸c˜ao w em rela¸c˜ao a y.
Temos
u(x, t) = ψ(y, t),
u
x
(x, t) =
∂ψ
∂y
.
∂y
∂x
+
∂ψ
∂t
.
∂t
∂x
= γ
−1
ψ
y
(y, t),
u
xx
(x, t) = γ
−2
ψ
yy
,
u
t
(x, y) =
∂ψ
∂y
.
∂y
∂t
+
∂ψ
∂t
∂t
∂t
= ψ
y
−y
γ
γ
+ ψ
t
,
u
tx
=
d
dt
γ
−1
∂ψ
∂y
(y, t)
= −
∂
2
ψ
∂y
2
γ
γ
2
y −
γ
γ
2
∂ψ
∂y
+
1
γ
∂
2
ψ
∂y∂t
,
u
tt
(x, t) =
d
dt
−y
γ
γ
∂ψ
∂y
+
∂ψ
∂t
=
−y
γ
γ
∂ψ
∂y
+
−y
γ
γ
∂ψ
∂y
+
∂ψ
∂t
=
y
γ
γ
2
∂
2
ψ
∂y
2
− 2y
γ
γ
∂
2
ψ
∂t∂y
−
γ
γ
γ
2
y
∂ψ
∂y
+
∂
2
ψ
∂t
2
.
Das considera¸c˜oes acima, obtemos o problema transformado,
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
21
ψ
tt
− D(a
1
Dψ) + a
2
Dψ
t
+ a
3
Dψ + βγ
−1
Dϕ = 0 em Q, (2.9)
ϕ
t
− γ
−2
k ∗ D
2
ϕ − ηγ
−2
D
2
ϕ +
a
2
2
Dϕ + µγ
−1
Dψ
t
+ b
2
Dψ + b
1
D
2
ψ = 0 em Q,(2.10)
ψ(0, t) = ψ(1, t) = k ∗ ϕ(0, t) = k ∗ϕ(1, t) = 0 em , ∀t > 0, (2.11)
ψ|
t=0
= ψ
0
; ψ
t
|
t=0
= ψ
1
; ϕ|
t=0
= ϕ
0
em ]0, 1[, (2.12)
onde
a
1
(y, t) =
1 − (γ
y)
2
γ
2
,
a
2
(y, t) = −2
γ
γ
y,
a
3
(y, t) = −
γ
γ
γ
2
y,
b
1
(y, t) = −µ
γ
γ
2
y,
b
2
(t) = −µ
γ
γ
2
.
Considere
a(t, v, w) =
1
0
a
1
(t, y)DvDwdy (2.13)
e suponhamos que
γ ∈ W
3,∞
(0, ∞), ess inf
0≤t<∞
γ(t) ≥ γ
0
> 0, (2.14)
γ
∈ W
1,2
(0, ∞), ess inf
0≤t<∞
γ
(t) ≥ γ
1
> 0. (2.15)
Exemplo 2.0.1. Como exemplo de uma fun¸c˜ao satisfazendo (2.14) e (2.15), temos:
γ(t) = e
−α
1
t
+
1
α
0
, onde α
0
> 0
.
De (2.15), temos que
ˆ
Q cresce no sentido que t
1
> t
2
, ent˜ao a proje¸c˜ao de [0, γ(t
1
)]
sobre o espa¸co t = 0 cont´em a proje¸c˜ao [0, γ(t
2
)] sobre o mesmo espa¸co.
Assumindo que
sup
0≤t<∞
|γ
(t)| <
1 − λγ
2
L
∞
, (0 < λ < γ
−2
L
∞
). (2.16)
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
22
Segue que
a
1
(y, t) ≥ λ > 0, ∀(y, t) ∈ Q, (2.17)
onde λ ´e uma constante positiva independente de y e t.
Teorema 2.0.2. Sejam T > 0, ψ
0
∈ H
1
0
(0, 1) ∩ H
2
(0, 1), ψ
1
∈ H
1
0
(0, 1) e ϕ
0
∈ H
1
0
(0, 1) ∩
H
2
(0, 1). Se (2.5)-(2.8) s˜ao v´alidas, ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao regular para o sistema (2.9)-
(2.12) tal que
ψ ∈ L
∞
(0, ∞; H
1
0
(0, 1) ∩ H
2
(0, 1)), ψ
t
∈ L
∞
(0, ∞; H
1
0
(0, 1))
ψ
tt
∈ L
∞
(0, ∞; L
2
(0, 1)),
ϕ ∈ L
∞
(0, ∞; L
2
(0, 1)) ∩ L
2
(0, ∞; H
1
0
(0, 1) ∩ H
2
(0, 1)),
ϕ
t
∈ L
∞
(0, ∞; L
2
(0, 1)) ∩ L
2
(0, ∞; H
1
0
(0, 1)).
(2.18)
Demonstra¸c˜ao: Seja A o operador denotado por
Aw = −w
ww
, D(A) = H
1
0
(0, 1) ∩ H
2
(0, 1).
Sendo A um operador auto-adjunto positivo no espa¸co de Hilbert L
2
(0, 1), con-
sidere {w
n
} um conjunto ortonormal completo de H
1
0
(0, 1), formado por auto-fun¸c˜oes
do operador A com correspondentes auto-valores λ
1
< λ
2
≤ ··· ≤ λ
n
→ ∞. Denotare-
mos por
ψ
(m)
0
=
m
i=1
(ψ
0
, w
i
)w
i
,
ψ
(m)
1
=
m
i=1
(ψ
1
, w
i
)w
i
,
ϕ
(m)
0
=
m
i=1
(ϕ
0
, w
i
)w
i
.
Para cada m ∈ N, seja V
m
o subespa¸co gerado por w
1
, w
2
, . . . , w
m
. Do Teorema de
Picard segue que existe uma ´unica solu¸c˜ao local (ψ
(m)
, ϕ
(m)
) sob a forma:
ψ
(m)
(t) =
m
t=1
g
in
(t)w
i
ϕ
(m)
(t) =
m
t=1
h
in
(t)w
i
do problema aproximado
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
2.1 Estimativa a Priori I 23
(ψ
(m)
tt
, w
i
) + a(t, ψ
(m)
, w
i
) + (a
2
Dψ
(m)
t
, w
i
) + (a
3
Dψ
(m)
, w
i
) (2.19)
+βγ
−1
(Dϕ
(m)
, w
i
) = 0
(ϕ
(m)
t
, w
i
) − γ
−2
(k ∗ D
2
ϕ
(m)
, w
i
) − ηγ
−2
(D
2
ϕ
(m)
, w
i
) +
1
2
(a
2
ϕ
(n)
, w
i
)
+µγ
−1
(Dψ
t
, w
i
) + (b
2
Dψ
(m)
, w
i
) + (b
1
D
2
ψ
(m)
, w
i
) = 0 (2.20)
ψ
(m)
(x, 0) = ψ
(m)
0
→ ψ
0
em D(A) (2.21)
ψ
(m)
t
(x, 0) = ψ
(m)
1
→ ψ
1
em H
1
0
(0, 1)
ϕ
(m)
(x, 0) = ϕ
(m)
0
→ ϕ
0
em D(A)
A extens˜ao destas solu¸c˜oes para o intervalo [0, T ], 0 < T < ∞, ´e conseq¨uˆencia da
estimativa abaixo:
2.1 Estimativa a Priori I
Multiplicando a equa¸c˜ao (2.19) e (2.20) por g
im
(t) e
β
µ
h
im
(t) respectivamente, temos:
(ψ
(m)
tt
, ψ
(m)
t
) + a(t, ψ
(m)
, ψ
(m)
t
) + (a
2
Dψ
(m)
t
, ψ
(m)
t
) + (a
3
Dψ
(m)
, ψ
(m)
t
)
+βγ
−1
(Dϕ
(m)
, ψ
(m)
t
) = 0
β
µ
(ϕ
(m)
t
, ϕ
(m)
) −
β
µ
γ
−2
(k ∗ D
2
ϕ
(m)
, ϕ
(m)
) −
β
µ
ηγ
−2
(D
2
ϕ
(m)
, ϕ
(m)
) +
β
µ
1
2
(a
2
Dϕ
(m)
, ϕ
(m)
)
+
β
µ
µγ
−1
(Dψ
(m)
t
, ϕ
(m)
) +
β
µ
(b
2
Dψ
(m)
, ϕ
(m)
) +
β
µ
(b
1
D
2
ψ
(m)
, ϕ
(m)
) = 0
Observando que
a(t, ψ, ψ
t
) =
1
0
a
1
(y, t)DψDψ
t
dy,
temos
1
0
a
1
(y, t)DψDψ
t
dy =
1
2
d
dt
1
0
a
1
(y, t)DψDψ dy −
1
2
1
0
a
1
(y, t)DψDψ dy
=
1
2
d
dt
a(t, ψ, ψ) −
1
2
1
0
a
1
(y, t)DψDψ dy.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
2.1 Estimativa a Priori I 24
temos
1
2
d
dt
ψ
t
2
L
2
+
1
2
d
dt
a(t, ψ, ψ) +
1
2
β
µ
d
dt
ϕ
2
L
2
+
β
µ
η
γ
2
(t)
1
0
|Dϕ(y)|
2
dy
=
1
2
1
0
a
1
(t, y)DψDψdy − (a
2
Dψ
t
, ψ
t
) − (a
3
Dψ, ψ
t
) − βγ
−1
(Dϕ, ψ
t
)
−
β
µ
γ
−2
1
0
(k ∗ Dϕ(y))Dϕ(y)dy −
1
2
β
µ
(a
2
Dϕ, ϕ) −
β
µ
µγ
−1
(Dψ
t
, ϕ) −
β
µ
(b
2
Dψ, ϕ) −
β
µ
(b
1
D
2
ψ, ϕ).
De
−βγ
−1
(Dϕ, ψ
t
) − βγ
−1
(Dψ
t
, ϕ) = βγ
−1
(Dϕ, ψ
t
) + βγ
−1
(Dψ
t
, ϕ) = 0,
e
1
0
(Dψ
t
, ϕ)dx = ϕψ
t
−
1
0
ψ
t
Dϕdx = −
1
0
ψ
t
Dϕdx = −(ψ
t
, Dϕ).
Obtemos:
1
2
d
dt
(ψ
t
2
L
2
+ a(t, ψ, ψ) +
β
µ
ϕ
2
L
2
) +
β
µ
η
γ
2
(t)
1
0
|Dϕ(y)|
2
dy
=
1
2
1
0
−2γ
γ
y
2
γ
2
− 2γγ
+ 2(γ
)
3
γy
2
γ
4
|Dψ|
2
dy
−
−2
γ
γ
y(Dψ
t
, ψ
t
)
−
−
γ
γ
γ
2
y(Dψ, ψ
t
)
− βγ
−1
(Dϕ, ψ
t
) +
β
µ
γ
−2
1
0
(k ∗ Dϕ(y))Dϕ(y)dy
β
µ
1
2
−
2γ
γ
y(Dϕ, ϕ)
− βγ
−1
(Dψ
t
, ϕ) −
β
µ
−µ
γ
γ
2
y(Dψ, ϕ)
−
β
µ
−
µγ
γ
2
y(D
2
ψ, ϕ)
.
Ou
1
2
d
dt
(ψ
t
2
L
2
+ a(t, ψ, ψ) +
β
µ
ϕ
2
L
2
) +
β
µγ
2
1
0
(k ∗ Dϕ(y))Dϕ(y)dy +
β
µ
η
γ
2
(t)
1
0
|Dϕ(y)|
2
dy
=
1
2
1
0
−2γ
γ
y
2
γ
2
− 2γγ
+ 2(γ
)
3
γy
2
γ
4
|Dψ|
2
dy +
2γ
γ
y(Dψ
t
, ψ
t
) +
γ
γ
γ
2
y(Dψ, ψ
t
)
−
β
µ
γ
γ
y(Dϕ, ϕ) +
βγ
γ
2
y(Dψ, ϕ) −
βγ
γ
2
y(Dψ, Dϕ).
Da condi¸c˜ao (2.14), temos:
1
2
d
dt
ψ
(m)
t
2
L
2
+ a(t, ψ
(m)
, ψ
(m)
) +
β
µ
ϕ
(m)
2
L
2
+
β
µ
η
γ
2
(t)
1
0
|Dϕ
(m)
(y)|
2
dy
+
β
µγ
2
1
0
(k ∗ Dϕ
(m)
(y))Dϕ
(m)
(y)dy ≤ (γ
L
1
+ γ
L
1
)E
(m)
1
(t),
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
2.2 Estimativa a Priori II 25
onde
E
(m)
1
(t) = ψ
(m)
t
2
L
2
+ Dψ
(m)
2
L
2
+
β
µ
ϕ
(m)
2
L
2
.
Integrando a express˜ao acima em [0, t[, usando o fato de que k ´e fortemente positiva
definida, o Lema (1.5.4) e o Lema de Gronwall conclu´ımos que:
t
0
1
2
d
dt
ψ
(m)
t
2
L
2
+ a(t, ψ
(m)
, ψ
(m)
) +
β
µ
ϕ
(m)
2
L
2
dt +
β
µγ
2
t
0
1
0
(k ∗ Dϕ
(m)
(y))Dϕ
(m)
(y)dydt
+
β
µ
η
γ
2
(t)
t
0
1
0
|Dϕ
(m)
(y)|
2
dydt ≤
t
0
C(γ
+ γ
)E
(m)
1
(t)dt.
Da´ı
E
(m)
1
(t) + C
0
t
0
1
0
(|k ∗ Dϕ
(m)
|
2
+ |Dϕ
(m)
(y)|
2
)dydt ≤ M, ∀m ∈ N e ∀t ∈ [0, T ]. (2.22)
2.2 Estimativa a Priori II
Derivando as equa¸c˜oes (2.19) e (2.20) em t, multiplicando-as por g
im
(t) e
β
µ
h
im
(t),
respectivamente e somando seus produtos, teremos:
1
2
d
dt
ψ
(m)
tt
2
L
2
− 2
1
0
γ
γ
γ
2
(Dψ
(m)
, Dψ
(m)
tt
)dy −
1
0
(1 − γ
2
)2γ
γ
3
(Dψ
(m)
, Dψ
(m)
tt
)dy
+
1
2
d
dt
a(t, ψ
(m)
t
, ψ
(m)
t
) −
1
2
d
dt
1
0
a
1
(y, t)Dψ
(m)
t
Dψ
(m)
t
dy − 2
γ
γ
(Dψ
(m)
t
, ψ
(m)
tt
)
+2
γ
γ
2
(Dψ
(m)
t
, ψ
(m)
tt
) + a
2
(Dψ
(m)
tt
, ψ
(m)
tt
) −
γ
γ
(Dψ
(m)
, ψ
(m)
tt
) +
γ
γ
γ
2
(Dψ
(m)
, ψ
(m)
tt
)
+a
3
(Dψ
(m)
t
, ψ
(m)
tt
) − βγ
−2
(Dϕ
(m)
, ψ
(m)
tt
) +
β
µ
1
2
d
dt
ϕ
(m)
t
2
L
2
−
β
µ
2γ
−3
1
0
k ∗ Dϕ
(m)
Dϕ
(m)
t
dy
−
β
µ
γ
−2
D
2
ϕ
(m)
(0)k(t)ϕ
(m)
t
+
β
µ
γ
−2
k(0)D
2
ϕ
(m)
(t)ϕ
(m)
t
−
β
µ
γ
−2
1
0
k ∗ D
2
ϕ
(m)
t
ϕ
(m)
t
dy
−
β
µ
ηγ
−3
γ
(D
2
ϕ
(m)
t
, ϕ
(m)
t
) +
β
µ
ηγ
−2
(D
2
ϕ
(m)
t
, ϕ
(m)
t
) −
β
µ
1
2
γ
γ
(Dϕ
(m)
t
, ϕ
(m)
t
)
+
β
µ
γ
γ
2
(Dϕ
(m)
t
, ϕ
(m)
t
) +
β
µ
1
2
(a
2
Dϕ
(m)
t
, ϕ
(m)
t
) − βγ
−2
(Dψ
(m)
t
, ϕ
(m)
t
) − β
γ
γ
2
(Dψ
(m)
, ϕ
(m)
t
)
−β
2γ
γ
3
(Dψ
(m)
, ϕ
(m)
t
) +
β
µ
(bDψ
(m)
t
, ϕ
(m)
t
) − β
γ
γ
2
(D
2
ψ
(m)
, ϕ
(m)
t
) + β
2γ
γ
3
(D
2
ψ
(m)
, ϕ
(m)
t
)
+
β
µ
(bD
2
ψ
(m)
t
, ϕ
(m)
t
) = 0.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
2.2 Estimativa a Priori II 26
Usando procedimento similar ao da primeira estimativa, obtemos:
d
dt
(ψ
(m)
tt
2
L
2
+ a(t, ψ
(m)
t
, ψ
(m)
t
) +
β
µ
ϕ
(m)
t
2
L
2
) +
η
γ
2
(t)
1
0
|Dϕ
(m)
t
|
2
dy
≤ C(γ
W
1,2
(E
(m)
1
(t) + E
(m)
2
(t))) + 2
γ
(t)
γ
3
(t)
1
0
k ∗ Dϕ
(m)
Dϕ
(m)
t
dy (2.23)
−γ
−2
(t)
1
0
k ∗ Dϕ
(m)
t
Dϕ
(m)
t
dy − γ
−2
(t)
1
0
Dϕ
(m)
(0)Dϕ
(m)
t
dy +
2γ
(t)
γ
3
(t)
1
0
Dϕ
(m)
Dϕ
(m)
t
dy,
onde
E
(m)
1
(t) = ψ
(m)
t
2
L
2
+ Dψ
(m)
2
L
2
+
β
µ
ϕ
(m)
2
L
2
.
E
(m)
2
(t) = ψ
(m)
tt
2
L
2
+ Dψ
(m)
t
2
L
2
+
β
µ
ϕ
(m)
t
2
L
2
.
Usando o fato de k ser fortemente positiva definida e a desigualdade de Young,
obtemos;
d
dt
E
(m)
2
(t) +
1
γ
2
(t)
1
0
k ∗ Dϕ
(m)
t
Dϕ
(m)
t
dy +
η
2γ
2
(t)
1
0
|Dϕ
(m)
t
|
2
dy ≤ C(γ
W
1,2
(E
(m)
1
(t) + E
(m)
2
(t)))
+
(2γ
(t))
2
ηγ
4
(t)
1
0
|k ∗ Dϕ
(m)
|
2
dy +
4
ηγ
2
(t)
1
0
|Dϕ
(m)
(0)|
2
dy +
(γ
(t))
2
ηγ
4
(t)
1
0
|Dϕ
(m)
|
2
dy. (2.24)
Fazendo t → 0
+
nas equa¸c˜oes (2.19) e (2.20) multiplicando o resultado por g
im
(0)
e h
im
(0), respectivamente, e somando em i = 1, . . . , m obtemos:
ψ
(m)
tt
(0)
2
L
2
+ ϕ
(m)
t
(0)
2
L
2
≤ M
1
, ∀m ∈ N; ∀t ∈ [0, T ]. (2.25)
Integrando a inequa¸c˜ao (2.24) em t, considerando a primeira estimativa , o Lema
de Gronwall e (2.25) , obtemos:
E
(m)
2
(t)+
t
0
1
0
k∗Dϕ
(m)
t
Dϕ
(m)
t
dyds+
t
0
1
0
|Dϕ
(m)
t
|
2
dyds ≤ M
2
, ∀m ∈ N; ∀t ∈ [0, T ]. (2.26)
Das limita¸c˜oes acima , segue que:
ψ
(m)
ψ fraco estrela em L
∞
(0, T ; H
1
0
(0, 1)),
ϕ
(m)
ϕ fraco estrela em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)),
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
2.2 Estimativa a Priori II 27
ψ
(m)
t
ψ
t
fraco estrela em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1) ∩ H
1
0
(0, 1)),
ϕ
(m)
t
ϕ
t
fraco estrela em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)),
ψ
(m)
tt
ψ
tt
fraco estrela em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)),
ϕ
(m)
ϕ fraco em L
2
(0, T ; H
1
0
(0, 1)),
k
∗
ϕ
(m)
−→
χ
fraco em
L
2
(0
, T
;
L
2
(0
,
1))
,
Dϕ
(m)
Dϕ fraco estrela em L
∞
(0, T ; L
2
(0, 1)).
Como
k ∗ Dϕ
(m)
´e limitada em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)),
k ∗ Dϕ
(m)
t
´e limitada L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)),
ϕ
(m)
ϕ fraco em L
2
(0, T ; H
1
0
(0, 1)),
ϕ
(m)
t
ϕ
t
fraco em L
2
(0, T ; H
1
0
(0, 1)),
ϕ
(m)
ϕ forte em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)).
Das hip´oteses de k segue-se que
k ∗ ϕ
(m)
−→ k ∗ ϕ forte em L
2
(0, T ; L
2
(0, 1)).
Usando distribui¸c˜oes conclu´ımos que
χ = k ∗ ϕ.
Das convergˆencias acima podemos passar o limite com m → ∞ em (2.19) e (2.20).
O limite de (ψ, ϕ) satisfaz
ψ ∈ L
∞
(0, ∞; H
1
0
(0, 1) ∩ H
2
(0, 1)), ψ ∈ L
∞
(0, ∞; H
1
0
(0, 1)),
ψ
tt
∈ L
∞
(0, ∞; L
2
(0, 1)),
ϕ ∈ L
∞
(0, ∞; L
2
(0, 1)) ∩ L
2
(0, ∞; H
1
0
(0, 1) ∩ H
2
(0, 1)),
k ∗ ϕ ∈ L
2
(0, ∞; L
2
(0, 1)),
ϕ
t
∈ L
∞
(0, ∞; L
2
(0, 1)) ∩ L
2
(0, ∞; H
1
0
(0, 1))
(2.27)
e obter (2.9)-(2.10).
Usando regularidade el´ıptica, conclu´ımos que ψ ∈ L
∞
(0, T ; H
1
0
(0, 1) ∩ H
2
(0, 1)) , os
dados iniciais seguem imediatamente a partir das convergˆencias obtidas e a unici-
dade ´e obtida usando o M´etodo da Energia, conforme Lions[19].
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
2.2 Estimativa a Priori II 28
Teorema 2.2.1. Seja T > 0, I
t
, 0 < t < T , e I
0
os intervalos ]0, γ(t)[ e ]0, γ(0)[, respectiva-
mente. Se u
0
, θ
0
∈ H
1
0
(I
0
) ∩H
2
(I
0
), u
1
∈ H
1
0
(I
0
) e as hip´oteses do Teorema (2.0.2) s˜ao v´alidas,
ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao regular (u, θ) do sistema (2.1)-(2.2) na classe (2.28).
Demonstra¸c˜ao: Seja (ψ, ϕ) a solu¸c˜ao obtida pelo teorema (2.0.2) e (u, θ) definidos por
u = ψ ◦ τ, θ = ϕ ◦ τ (ver (2.8) para τ), ent˜ao por (2.27) u e θ pertencem a classe
u ∈ L
∞
(0, ∞; H
1
0
(I
t
) ∩ H
2
(I
t
)), u
t
∈ L
∞
(0, ∞; H
1
0
(I
t
)),
u
tt
∈ L
∞
(0, ∞; L
2
(I
t
)),
θ ∈ L
∞
(0, ∞; L
2
(I
t
)) ∩ L
2
(0, ∞; H
1
0
(I
t
) ∩ H
2
(I
t
)),
θ
t
∈ L
∞
(0, ∞; L
2
(I
t
)) ∩ L
2
(0, ∞; H
1
0
(I
t
))
(2.28)
e das equa¸c˜oes (2.9)-(2.10) temos que (u, θ) satisfaz o sistema de equa¸c˜oes (2.1)-(2.2)
em L
2
(0, ∞; L
2
(I
t
)). Seja (u
1
, θ
1
), (u
2
, θ
2
) as solu¸c˜oes para (2.1)-(2.2), e (ψ
1
, ϕ
1
), (ψ
2
, ϕ
2
)
as fun¸c˜oes obtidas atrav´es do difeomorfismo τ dado por (2.8). Ent˜ao (ψ
1
, ϕ
1
),(ψ
2
, ϕ
2
)
s˜ao as solu¸c˜oes para o sistema (2.9)-(2.10). A unicidade resulta do Teorema (2.0.2).
Temos (ψ
1
, ϕ
1
) = (ψ
2
, ϕ
2
), u
1
= u
2
e θ
1
= θ
2
.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
Cap´ıtulo 3
Decaimento Exponencial
Neste cap´ıtulo temos o estudo do decaimento exponencial da solu¸c˜ao do problema
(2.1)-(2.2) e (2.4)-(2.5) quando t → ∞.
Para estudarmos o comportamento assint´otico da solu¸c˜ao com t → ∞, consider-
amos a seguinte transforma¸c˜ao.
v(x, t) = u(x, t)e
αt
, ϕ(x, t) = θ(x, t)e
αt
.
com as condi¸c˜oes abaixo:
v
t
(x, t) = u
t
(x, t)e
αt
+ αu(x, t)e
αt
,
v
tt
(x, t) = u
tt
(x, t)e
αt
+ αu
t
(x, t)e
αt
+ αu
t
(x, t)e
αt
+ α
2
u(x, t)e
αt
v
tt
(x, t) = u
tt
(x, t)e
αt
+ 2αu
t
(x, t)e
αt
+ α
2
u(x, t)e
αt
v
tt
(x, t) = u
tt
(x, t)e
αt
+ 2αu
t
(x, t)e
αt
+ α
2
u(x, t)e
αt
+ α
2
u(x, t)e
αt
− α
2
u(x, t)e
αt
v
tt
(x, t) = u
tt
(x, t)e
αt
+ 2αu
t
(x, t)e
αt
+ 2α
2
u(x, t)e
αt
− α
2
u(x, t)e
αt
v
tt
(x, t) = u
tt
(x, t)e
αt
+ 2α(u
t
(x, t)e
αt
+ αu(x, t)e
αt
) − α
2
u(x, t)e
αt
v
tt
(x, t) = u
tt
(x, t)e
αt
+ 2αv
t
(x, t) − α
2
v(x, t),
ϕ
t
(x, t) = θ
t
(x, t)e
αt
+ αθ(x, t)e
αt
,
ϕ
x
(x, t) = θ
x
(x, t)e
αt
,
v
x
(x, t) = u
x
(x, t)e
αt
,
v
xx
(x, t) = u
xx
(x, t)e
αt
.
Definindo
k(t) = e
αt
k(t) ⇒
k ∗ ϕ
xx
= e
αt
(k ∗ θ
xx
).
30
Para mostrar o decaimento exponencial, usaremos o fato de que o Kernel (n´ucleo)
de k decai exponencialmente, ou seja, |k(t)| ≤ ce
−bt
. Para α suficientemente pequeno,
0 < α < (ver (3.21) para ), dessa forma, segue |
k(t)| ≤ ce
ξt
, onde ξ = b −α > 0, assim,
fazendo as devidas mundan¸cas de vari´aveis, usando o par (v, ϕ) sobre o sistema (2.1)
e (2.2). De (2.1) temos:
v
tt
− 2αv
t
+ α
2
v − v
xx
+ βϕ
x
= 0,
v
tt
− v
xx
+ βϕ
x
= 2αv
t
− α
2
v.
e de (2.2) temos:
ϕ
t
− αθe
αt
− (k ∗ θ
xx
)e
αt
− ηϕ
xx
e
αt
+ µv
xt
− µαv
x
= 0,
ϕ
t
− αθe
αt
−
k ∗ ϕ
xx
− ηϕ
xx
+ µv
xt
− µαv
x
= 0
ϕ
t
− αϕ −
k ∗ ϕ
xx
− ηϕ
xx
+ µv
xt
− µαv
x
= 0
ϕ
t
−
k ∗ ϕ
xx
− ηϕ
xx
+ µv
xt
= αϕ + µα v
x
= 0
Segue que o par (v, ϕ) satisfaz:
v
tt
− v
xx
+ βϕ
x
= R, (3.1)
ϕ
t
−
k ∗ ϕ
xx
− ηϕ
xx
+ µv
xt
= S. (3.2)
onde R e S s˜ao dados por:
R = 2αv
t
− α
2
v,
S = αv + µαv
x
.
onde v e ϕ satisfazendo as condi¸c˜oes de fronteira e de valor inicial do sistema (2.1)-
(2.2) e (2.4)-(2.5).
Definimos a energia associada a (3.1)-(3.2);
ε(t) =
1
2
I
t
(|v
t
|
2
+ |v
x
|
2
+
β
µ
|ϕ|
2
)dx.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
31
Mostrar o decaimento exponencial do acoplamento (u, θ) ´e o mesmo que mostrar
que ε(t) ´e limitada. Agora definindo que a fun¸c˜ao γ satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
max
0≤t<∞
|γ
(t)| ≤ , max
0≤t<∞
|γ
(t)| ≤ , (3.3)
onde ε ´e um n´umero positivo determinado convenientimente no decorrer do tra-
balho (ver (3.21)).
Teorema 3.0.2. Sejam T > 0 , I
t
, 0 < t < T , e I
0
os intervalos ]0, γ(t)[ e ]0, γ(0)[, respec-
tivamente. Se u
0
, θ
0
∈ H
1
0
(I
0
) ∩ H
2
(I
0
), u
1
∈ H
1
0
(I
0
), as hip´oteses do Teorema 2.1 e (3.3) s˜ao
v´alidas, ent˜ao temos que
E(t) ≤ Ce
−ςt
,
onde C e ς s˜ao constantes positivas.
Demonstra¸c˜ao: Consideremos o produto interno em L
2
(I
t
) de (3.1)-(3.2) por (v
t
+γ
(t)v
x
)
e ϕ, respectivamente.
Primeiramente, vejamos o produto de (3.1) por (v
t
+ γ
(t)v
x
):
v
tt
v
t
− v
tt
γ
(t)v
x
− v
xx
v
t
− v
xx
γ
(t)v
x
+ βϕ
x
v
t
+ βϕ
x
γ
(t)v
x
= Rv
t
+ Rγ
(t)v
x
.
Integrando a igualdade acima no intervalo I
t
, sejam as integrais uma a uma:
1.
I
t
1
2
d
dt
|v
t
|
2
=
1
2
d
dt
I
t
|v
t
|
2
−
1
2
|v
t
(γ(t))|
2
+
1
2
|v
t
(0)|
2
.
2. v
tt
γ
v
x
I
t
γ
(t)v
tt
v
x
dx =
d
dt
γ
(t)
I
t
v
t
v
x
dx − γ
(t)v
t
(γ(t))v
x
(γ(t)) − γ”(t)
I
t
v
t
v
x
dx
−
γ
2
|v
t
(γ(t))|
2
−
γ
2
|v
t
(0)|
2
.
3. v
xx
v
t
−
I
t
v
xx
v
t
dx = −
d
dx
I
t
(v
x
v
t
)dx +
1
2
d
dt
I
t
|v
x
|
2
dx −
1
2
|v
x
(γ(t))|
2
+
1
2
|v
x
(0)|
2
.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
32
4. −v
xx
γ
v
x
−
I
t
γ
(t)v
xx
v
x
dx = γ
(t)
I
t
1
2
d
dx
|v
x
|
2
dx = −
γ
2
|v
x
(γ(t))|
2
+
γ
2
|v
x
(0)|
2
.
5. β
I
t
v
t
ϕ
x
dx.
6. βγ
I
t
ϕ
x
v
x
dx.
Vejamos o produto de (3.2) por ϕ e
β
µ
:
β
µ
ϕ
t
ϕ −
β
µ
(
k ∗ ϕ
xx
)ϕ −
β
µ
ηϕ
xx
ϕ + βv
xt
ϕ =
β
µ
αϕ
2
+ βαϕv
x
.
Intrando a igualdade acima em x no intervalo I
t
, teremos:
7.
β
µ
ϕ
t
ϕ =
β
µ
I
t
ϕ
t
ϕdx =
β
µ
I
t
1
2
d
dt
|ϕ|
2
dx =
β
µ
1
2
d
dt
I
t
|ϕ|
2
dx −
β
µ
1
2
|ϕ(γ(t))|
2
+
β
µ
1
2
|ϕ(0)|
2
.
8.
β
µ
(
k ∗ ϕ
xx
)ϕ
β
µ
I
t
(
k ∗ ϕ
xx
)ϕdx =
β
µ
I
t
k ∗ ϕ
x
ϕ
x
dx.
9.
−β
µ
ηϕ
xx
ϕ =
−β
µ
η
I
t
ϕ
xx
ϕdx =
β
µ
η
I
t
|ϕ
x
|
2
dx.
10. βv
tx
ϕ
β
v
tx
ϕdx = β[(ϕ.v
t
)
I
t
−
I
t
v
t
ϕ
x
dx] = −β
I
t
v
t
ϕ
x
dx.
Somando-se as identidades, temos:
1
2
d
dt
I
t
|v
t
|
2
dx −
1
2
|v
t
(γ(t))|
2
+
d
dt
γ
(t)
I
t
v
t
v
x
dx
−γ
(t)v
t
(γ(t))v
x
(γ(t)) − γ
(t)
I
t
v
t
v
x
dx
−γ
2
|v
t
(γ(t))|
2
− v
x
(γ(t))v
t
(γ(t)) +
1
2
d
dt
I
t
|v
x
|
2
dx
+
1
2
|v
x
(γ(t))|
2
+
1
2
|v
x
(0)|
2
+
γ
2
|v
x
(γ(t))|
2
+
γ
2
|v
x
(0)|
2
+β
I
t
v
t
ϕ
x
dx + βγ
(t)
I
t
ϕ
x
v
x
dx +
β
µ
1
2
d
dx
I
t
|ϕ|
2
dx
+
β
µ
I
t
k ∗ ϕ
x
ϕ
x
dx +
β
µ
η
I
t
|ϕ
x
|
2
dx − β
I
t
v
t
ϕ
x
dx
=
I
t
Rv
t
dx +
β
µ
I
t
Sϕdx + γ
(t)
I
t
Rv
x
dx.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
33
1
2
d
dt
I
t
(|v
t
|
2
+ |v
x
|
2
+
β
µ
|ϕ|
2
)dx +
β
µ
I
t
k ∗ ϕ
x
ϕ
x
dx +
β
µ
η
I
t
|ϕ
x
|
2
dx + γ
(t)|v
x
(0)|
2
−γ
(t)
I
t
v
t
v
x
dx + βγ
(t)
I
t
ϕ
x
v
x
dx +
d
dx
γ
(t)
I
t
v
t
v
x
dx − |γ
(t)|
2
v
t
(γ(t))v
x
(γ(t))
−v
x
(γ(t))v
t
(γ(t)) − γ
|v
t
(γ(t))|
2
+ γ
|v
x
(γ(t))|
2
=
I
t
Rv
t
dx +
β
µ
I
t
Sϕdx + γ
(t)
I
t
Rv
x
dx.
1
2
d
dt
L
1
(t) +
β
µ
I
t
k ∗ ϕ
x
ϕ
x
dx +
β
µ
η
I
t
|ϕ
x
|
2
dx +
γ
2
(t)|v
x
(0)|
2
− γ
(t)
I
t
v
t
v
x
dx +
βγ
(t)
I
t
ϕ
x
v
x
dx − γ
(t)v
t
(γ(t))[v
t
(γ(t)) + γ
(t)v
x
(γ(t))] − γ
(t)v
x
(γ(t))[v
t
(γ(t)) + γ
(t)v
x
(γ(t))]
=
I
t
Rv
t
dx +
β
µ
I
t
Sϕdx + γ
(t)
I
t
Rv
x
dx. (3.4)
onde
L
1
(t) = ε(t) + 2γ
I
t
v
t
v
x
dx.
Vejamos que:
|γ
I
t
v
t
v
x
dx| ≤
|γ
|
2
I
t
|v
t
|
2
dx +
I
t
|v
x
|
2
dx
,
|βγ
I
t
ϕ
x
v
x
dx| ≤
ηβ
2µ
I
t
|ϕ
x
|
2
dx +
µβ|γ
|
2
2η
I
t
|v
x
|
2
dx,
|
I
t
Rv
t
dx| ≤
5
2
I
t
|v
t
|
2
dx +
C
p
2
I
t
|v
x
|
2
dx,
|
β
µ
I
t
Sϕdx| ≤
ηβ
4µ
I
t
|ϕ
x
|
2
dx +
2C
2
p
β
µη
I
t
|v
x
|
2
dx,
|γ
I
t
Rv
x
dx| ≤ |γ
|
I
t
|v
t
|
2
dx + (C
p
+ 1)|γ
|
I
t
|v
x
|
2
dx.
Usando a condi¸c˜ao (3.3), segue que
|γ
I
t
v
t
v
x
| ≤
2
I
t
|v
t
|
2
dx +
I
t
|v
x
|
2
dx
,
|βγ
I
t
ϕ
x
v
x
dx| ≤
ηβ
2µ
I
t
|ϕ
x
|
2
dx +
µβ
2η
I
t
|v
x
|
2
dx,
|
I
t
Rv
t
dx| ≤
5
2
I
t
|v
t
|
2
dx + C
p
1
2
I
t
|v
x
|
2
dx,
|γ
I
t
Rv
x
dx| ≤
I
t
|v
t
|
2
dx + (C
p
+ 1)
I
t
|v
x
|
2
dx.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
34
Em virtude da seguinte rela¸c˜ao
v
x
(γ(t))γ
(t) + v
t
(γ(t)) = 0 (3.5)
Usando a condi¸c˜ao de Dirichlet, conforme (1.4), em (3.4), segue que
d
dt
L
1
(t) +
β
µ
I
t
k ∗ ϕ
x
ϕ
x
dx +
ηβ
2µ
I
t
|ϕ
x
|
2
dx
+γ
|v
x
(0)|
2
≤
2
I
t
|v
t
|
2
dx +
2
I
t
|v
x
|
2
dx
+
ηβ
2µ
I
t
|ϕ
x
|
2
dx +
µβ
2η
I
t
|v
x
|
2
dx +
5
2
I
t
|v
t
|
2
dx +
2
c
I
t
|v
x
|
2
dx
ηβ
4µ
I
t
|ϕ
x
|
2
dx +
2c
2
β
µη
I
t
|v
x
|
2
dx +
I
t
|v
t
|
2
dx + c
I
t
|v
x
|
2
dx.
Da´ı
d
dt
L
1
(t) +
β
µ
I
t
k ∗ ϕ
x
ϕ
x
dx +
ηβ
2µ
I
t
|ϕ
x
|
2
dx + γ
|v
x
(0)|
2
≤ 4
I
t
|v
x
|
2
dx +
3
2
+
µβ
2η
+
3C
p
2
+
2C
2
p
β
µη
I
t
|v
x
|
2
dx. (3.6)
Agora, definimos a fun¸c˜ao positiva ω ∈ C
1
(]0, 1[) tal que
ω
< 0 em ]0, 1[, max
0≤y≤1
ω
(y) = −k < 0 (3.7)
Definimos
ξ : I
t
= [γ(t), 0] → [0, 1], x ∈ I
t
→ y =
x
γ(t)
(3.8)
e
q(x) = (ω o ξ)(x) = ω(xγ
−1
(t)) = ω(y). (3.9)
Ent˜ao q ∈ C
1
(I
t
) e com base na segunda condi¸c˜ao de (2.14), obtemos:
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
35
q(x) = ω(xγ
−1
(t)) ⇔ q
C
1
(I
t
)
= ω(xγ
−1
(t))
sup
0≤x≤γ(t)
q
C
1
(I
t
)
= sup
0≤x≤γ(t)
ω(xγ
−1
(t)) ≤ ω +
ω
ess inf
0≤t≤∞
|γ
(t)|
= ω
C
1
(I
t
)
(1 + γ
−1
0
) = M < ∞.
Logo,
q
C
1
(I
t
)
≤ (1 + γ
−1
0
)ω
C
1
([0,1])
= M < ∞. (3.10)
Alem disso, de (3.7) segue que
q
x
=
γ(t)
γ
2
(t)
ω
=
ω
γ(t)
< 0, min
x∈I
t
(−q
x
) =
k
γ(t)
≥
k
r
, r = γ
L
∞
(0,∞)
. (3.11)
Consideremos o Produto interno em L
2
(I
t
) da equa¸c˜ao (3.1) por −qv
x
, vem que
−qv
x
v
tt
+ qv
x
v
xx
− βqv
x
ϕ
x
= −qv
x
R.
Integrando a igualdade acima em x, vejamos o c´alculo das integrais uma a uma:
11.
I
t
d
dt
qv
x
v
t
dx =
I
t
q
t
v
x
v
t
dx +
I
t
qv
xt
v
t
dx +
I
t
qv
x
v
tt
dx
−
I
t
qv
x
v
tt
dx = −
I
t
d
dt
qv
x
v
t
dx +
I
t
q
t
v
x
v
t
dx +
I
t
qv
xt
v
t
dx
=
I
t
q
t
v
x
v
t
dx −
1
2
I
t
q
x
|v
t
|
2
dx +
1
2
I
t
d
dx
q|v
t
|
2
dx
−
I
t
d
dt
qv
x
v
t
dx + q(γ(t))v
x
(γ(t))v
t
(γ(t)).
12.
I
t
d
dx
qv
x
v
x
dx =
I
t
q
x
|v
x
|
2
dx +
I
t
2qv
x
v
xx
dx.
−2
I
t
qv
x
v
xx
dx = −
I
t
d
dx
qv
x
v
x
dx +
I
t
q
x
|v
x
|
2
dx.
I
t
qv
x
v
xx
dx =
−1
2
I
t
q
x
|v
x
|
2
dx +
1
2
I
t
d
dx
q|v
x
|
2
dx
=
−1
2
I
t
q
x
|v
x
|
2
dx +
1
2
q(γ(t))|v
x
(γ(t))|
2
−
1
2
q(0)|v
x
(0)|
2
.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
36
Multiplicando os componentes acima por 2, vem que:
2
I
t
q
t
v
x
v
t
dx −
I
t
q
x
|v
t
|
2
dx +
d
dx
I
t
q|v
t
|
2
dx − 2
d
dt
I
t
qv
x
v
t
dx + 2q(γ(t))v
x
(γ(t))v
t
(γ(t))
−
I
t
q
x
|v
x
|
2
dx + q(γ(t))|v
x
(γ(t))|
2
− q(0)|v
x
(0)|
2
− 2β
I
t
qv
x
ϕ
x
dx = −2
I
t
qv
x
Rdx.
d
dt
L
2
(t) + q(γ(t))
|v
x
(γ(t))|
2
+ 2v
x
(γ
(t))v
t
(γ(t)) + |v
t
(γ(t))|
2
− q(0)|v
x
(0)|
2
−
I
t
q
x
|v
t
|
2
dx −
I
t
q
x
|v
x
|
2
dx = 2β
I
t
qv
x
ϕ
x
dx − 2
I
t
q
t
v
t
v
x
dx − 2
I
t
Rqv
x
dx, (3.12)
onde
L
2
(t) = −2
I
t
qv
x
v
t
dx.
Desde que
|v
x
(γ(t))|
2
+ 2γ
v
x
(γ(t))v
t
(γ(t)) + |v
t
(γ(t))|
2
= (1 − γ
2
)|v
x
(γ(t))|
2
+
v
t
(γ(t)) + γ
(t)v
x
(γ(t))
2
,
Sabendo que v
t
(γ(t))+γ
(t)v
x
(γ(t) = 0, p ois se trata do ponto de fronteira e (ver (3.9)),
segue
q(0) = (ω o ξ)(0) = ω
0
> 0,
q(γ(t)) = ω(1) ≥ 0.
Da´ı
d
dt
L
2
(t) + ω(1)(1 − γ
2
)|v
x
(γ(t))|
2
− ω
0
|v
x
(0)|
2
−
I
t
q
x
|v
t
|
2
dx +
I
t
q
x
|v
x
|
2
dx
= 2β
I
t
qv
x
v
x
dx − 2
I
t
q
t
v
t
v
x
dx − 2
I
t
Rqv
x
dx. (3.13)
Com base em (3.10), temos:
|2β
I
t
qϕ
x
v
x
dx| ≤
k
2τ
I
t
|v
x
|
2
dx +
2τβ
2
M
2
k
I
t
|ϕ
x
|
2
dx. (3.14)
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
37
Al´em disso,
q
t
=
−xγ
γγ
ω
y
= −
γ
γ
yω
y
= −γ
yq
x
.
De (3.10) e (3.3), segue:
| − 2
I
t
q
t
v
t
v
x
dx| ≤ M
I
t
|v
x
|
2
dx +
I
t
|v
t
|
2
dx
, (3.15)
| − 2
I
t
Rqv
x
dx| ≤ 2αM
I
t
|v
t
|
2
dx + α(2M + C
p
M)
I
t
|v
x
|
2
dx. (3.16)
Substituindo (3.14), (3.15), (3.16) na equa¸c˜ao (3.13), sabendo que 0 < α < e
considerando (3.11), obtemos:
d
dt
L
2
(t) + ω(1)(1 − γ
2
(t))|v
x
(γ(t))|
2
− ω
0
|v
x
(0)|
2
+
k
τ
− 3M
I
t
|v
t
|
2
dx +
+
k
τ
− M − 2M + 2C
p
M
I
t
|v
x
|
2
dx ≤
2τβ
2
M
2
k
I
t
|ϕ
x
|
2
dx. (3.17)
De (3.10) e (3.3), temos a seguinte inequa¸c˜ao:
2
I
t
δγ
− q
v
x
v
t
dx
≤
δ
2
I
t
|v
t
|
2
dx + 2
δ
2
+
M
2
δ
I
t
|v
x
|
2
dx,
fixando
0
∈
0,
1
√
2
e escolhendo
δ > δ(
0
) =
M
√
2
1 − 2
2
0
, (3.18)
Temos que, para todo ∈ ]0,
0
[,
δL
1
(t) + L
2
(t) = δ
+ 2γ
I
t
v
t
v
x
dx
− 2
I
t
qv
x
v
t
dx,
δL
1
(t) + L
2
(t) = δ + δ2γ
I
t
v
t
v
x
dx − 2
I
t
qv
x
v
t
dx,
δL
1
(t) + L
2
(t) = δ + 2
I
t
(δγ
− q)v
t
v
x
dx,
δL
1
(t) + L
2
(t) ≥
δ
2
I
t
|v
t
|
2
dx +
δβ
2µ
I
t
|ϕ|
2
dx +
(1 − 2
2
)δ − 2M
2
δ
I
t
|v
x
|
2
dx,
δL
1
(t) + L
2
(t) ≥ C
I
t
(|v
t
|
2
+ |v
x
|
2
+ |ϕ|
2
)dx
, (3.19)
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
38
onde C ´e uma constante positiva dependente de µ, β, τ, M e
0.
Agora, multiplicando (3.6) por δ e somando com (3.17), temos:
d
dt
δL
1
(t) +
δβ
µ
I
t
k ∗ ϕ
x
ϕ
x
dx +
δηβ
2µ
I
t
|ϕ
x
|
2
dx + δ
γ
2
|v
x
(0)|
2
−4δ
I
t
|v
t
|
2
dx + δ
3
2
+
µβ
2η
+
3C
p
2
+
2C
p
β
µη
I
t
|v
x
|
2
dx
d
dt
L
2
(t) + ω(1)(1 − γ
2
)|v
x
(γ(t))|
2
− ω
0
|v
x
(0)|
2
+
k
τ
− 3M
I
t
|v
t
|
2
dx +
k
2τ
− (3M + 2C
p
M
I
t
|v
x
|
2
dx −
2τβ
2
M
2
k
I
t
|ϕ
x
|
2
dx ≤ 0,
fazendo as derivadas simplifica¸c˜oes , obtemos;
d
dt
{δL
1
(t) + L
2
(t)} +
δβ
µ
I
t
k ∗ ϕ
x
ϕ
x
dx +
δηβ
2µ
−
2τβ
2
M
2
k
I
t
|ϕ
x
|
2
dx
+ω(1)(1 − γ
2
(t))|v
x
(γ(t))|
2
+
δ
γ
2
− ω
0
|v
x
(0)|
2
+
k
τ
− (4δ + 3M)
I
t
|v
t
|
2
dx +
+
k
2τ
−
δ
3
2
+
µβ
2η
+
3C
p
2
+
2C
p
β
µη
+ 3M + 2C
p
M
I
t
|v
x
|
2
dx ≤ 0. (3.20)
Escolhendo,
δ = max
δ(
0
),
4τβµM
2
ηk
,
2ω
0
γ
1
,
= min
0
,
k
τ(4δ + 3M)
,
k
2τ
δ
3
2
+
µβ
2η
+
3C
p
2
+
2C
p
β
µη
+ 3M + 2C
p
M
, (3.21)
e usando o Lema (1.5.4) em (3.20), vem que:
d
dt
L(t) + C
I
t
(|v
t
|
2
+ |v
x
|
2
+ |ϕ
x
|
2
)dx
≤ 0, (3.22)
onde
L(t) = δL
1
(t) + L
2
(t). (3.23)
De (3.21), obtemos:
d
dt
L(t) ≤ 0.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
39
Integrando de 0 a T a rela¸c˜ao acima, obtemos
T
0
d
dt
L(t) ≤ 0,
L(T) − L(0) ≤ 0,
L(T) ≤ L(0).
Repetindo a integra¸c˜ao acima de 0 a nT com n ∈ IN, concluimos que
nT
0
d
dt
L(t) ≤ 0,
L(nT) ≤ L(0). (3.24)
De (3.19), segue que existem constantes positivas, ent˜ao definimos, C
0
e C
1
satis-
fazendo
C
0
e
2αt
E(t) ≤ ε(t) < L(t) < L(0). (3.25)
Para todo t > 0, podemos escrever t = nT + r, onde r < T, e E(t) ´e uma fun¸c˜ao
decrescente, ent˜ao de (3.25) e (3.24), segue que existe uma constante positiva C tal
que:
E(t) ≤ E(nT) ≤
1
C
0
e
−2αt
L(nT) ≤ Ce
−2αnT
E(0).
Quando t ≤ 2nT, temos
E(t) ≤ Ce
−2αt
E(0).
Segue portanto o resultado requerido.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
Cap´ıtulo 4
An´alise Num´erica Da Solu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo obteremos a solu¸c˜ao num´erica do problema (2.1)-(2.2) aplicando o
m´etodo dos elementos finitos em combina¸c˜ao com o m´etodo das diferen¸cas finitas.
4.1 Aproxima¸c˜ao Por Elementos Finitos
´
E mais simples aplicar o m´etodo dos elementos finitos no problema equivalente
(2.9),(2.10), (2.11), (2.12), ou seja, no dom´ınio cil´ındrico, do que no problema em
dom´ınio n˜ao-cil´ındrico (2.1) e (2.2). Vamos considerar a seguinte forma variacional
do problema apresentado em (2.19), (2.20) e (2.21)
(ψ
(m)
tt
, w) + a(t, ψ
(m)
, w) + (a
2
Dψ
(m)
t
, w) + (a
3
Dψ
(m)
, w) + βγ
−1
(Dϕ
(m)
, w) = 0 (4.1)
(ϕ
(m)
t
, w) − γ
−2
(k ∗ D
2
ϕ
(m)
, w) − ηγ
−2
(D
2
ϕ
(m)
, w) +
1
2
(a
2
Dϕ
(m)
, w)
+µγ
−1
(Dψ
(m)
t
, w) − (b
2
Dψ
(m)
, w) = 0, ∀w ∈ V
m
(4.2)
4.1.1 Aproxima¸c˜ao Via Galerkin
Conderando as fun¸c˜oes ψ
(m)
, ϕ
(m)
∈ V
m
definido por:
ψ
(m)
=
m
i=1
g
im
(t)w
i
(y) (4.3)
ϕ
(m)
=
m
i=1
h
im
(t)w
i
(y) (4.4)
Substituindo (4.3) e (4.4) nas equa¸c˜oes (4.1) e (4.2), escolhendo w = φ
j
(y), teremos:
4.1.1 Aproxima¸c˜ao Via Galerkin 41
g
im
(t)
1
0
φ
j
(y)φ
i
(y) dy +
1
γ
2
g
im
(t)
1
0
Dφ
j
(y)Dφ
i
(y) dy − 2
γ
γ
y g
im
(t)
1
0
Dφ
j
(y)φ
i
(y) dy
−
2γ
γ
y
g
im
(t)
1
0
φ
j
(y)Dφ
i
(y) dy −
γ
γ
y
g
im
1
0
Dφ
i
(y)φ
j
(y) dy
+ βγ
−1
h
im
1
0
Dφ
j
(y)φ
i
(y) dy = 0
h
im
(t)
1
0
φ
j
(y)φ
i
(y) dy + γ
−2
k ∗h
im
(t)
1
0
Dφ
j
(y)Dφ
i
(y) dy + ηγ
−2
h
im
(t)
1
0
Dφ
j
(y)Dφ
i
(y) dy
−
γ
γ
y
h
im
1
0
φ
j
(y)Dφ
i
(y) dy + µγ
−1
g
im
(t)
1
0
φ
j
(y)Dφ
i
(y) dy
+
µγ
γ
2
y
g
im
1
0
Dφ
j
(y)Dφ
i
(y) dy = 0
Da´ı,
Ag
tt
+ (B
1
+ B
2
+ E)g + Cg
t
+ βγ
−1
F h = 0 (4.5)
Ah
t
+ G(k ∗ γ
−2
h) + ηγ
−2
Gh +
1
2
Ch + µγ
−1
F g
t
− Jg = 0
onde
A =
1
0
φ
j
φ
i
dy E = −
γ
γ
1
0
yφ
j
φ
i
dy
B
1
=
1
γ
2
1
0
φ
j
φ
i
dy C = −2
γ
γ
1
0
yφ
j
φ
i
dy
B
2
= −
(γ
)
2
γ
2
1
0
y
2
φ
j
φ
i
dy F =
1
0
φ
j
φ
i
dy
J = µ
γ
γ
2
1
0
yφ
j
φ
i
dy G =
1
0
φ
j
φ
i
dy
Discretizando o dom´ınio Q = [0, 1] em sub-dom´ınios Q
i
= (y
i
, y
i+1
) chamados ele-
mentos finitos da forma (Q =
i
Q
i
), e escolhendo o tipo de fun¸c˜ao para representar
os (Q
i
), a partir disso, as matrizes do sistema (4.5) s˜ao obtidas, as fun¸c˜oes conve-
nientemente usadas s˜ao
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
4.1.1 Aproxima¸c˜ao Via Galerkin 42
φ
i
(y) =
y − y
i−1
∆
∀y ∈ [y
i−1
, y
i
]
y
i+1
− y
∆
∀y ∈ [y
i
, y
i+1
]
0 ∀y /∈ [y
i−1
, y
i+1
]
onde consideramos a malha uniforme, ∆ = ∆
i
= y
i+1
− y
i
(i = 1, 2, . . . , M) com 0 = y
0
<
y
1
< ··· < y
M
= 1.
Para cada matriz tridiagonal A, B
1
, B
2
, C, E, F eJ s˜ao calculados os seguintes elemen-
tos:
Tomando φ
A
= 1 −
h
=
y
i+1
−y
h
e φ
B
=
h
=
y−y
i
h
Sabendo que:
A =
1
0
φ
j
φ
i
dy .Da´ı
a
AA
=
h
0
h
2
d =
h
3
,
a
AB
=
h
0
h
1 −
h
d =
h
6
,
a
BB
=
h
0
1 −
h
2
d ==
h
3
. Logo,
a
ii
= a
AA
+ a
BB
=
2h
3
, assim a
ii
=
2∆
3
, a
i,i+1
= a
i+1,i
=
∆
6
.
De B
1
=
1
γ
2
1
0
φ
j
φ
i
dy. Da´ı,
b
1AA
=
1
γ
2
1
0
1
h
2
d =
1
γ
2
h
,
b
1AB
=
1
γ
2
h
0
1
h
−
1
h
d = −
1
γ
2
h
,
b
1BB
=
1
γ
2
1
0
−
1
h
2
d =
1
γ
2
h
. Da´ı,
b
1ii
= b
1AA
+ b
1BB
=
2
γ
2
h
, assim b
1ii
=
2
γ
2
∆
b
1i,i+1
= b
1i+1,i
=
−1
γ
2
∆
.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
4.1.1 Aproxima¸c˜ao Via Galerkin 43
De B
2
= −
γ
2
γ
2
1
0
y
2
φ
j
φ
i
dy. Da´ı,
b
2AA
=
γ
2
γ
2
h
0
( + y
A
)
2
1
h
2
d = −
γ
2
γ
2
1
3h
(h
2
+ 3y
A
h + 3y
2
A
),
b
2BB
= −
1
γ
2
h
0
( + y
A
)
2
1
h
2
d = −
γ
2
γ
2
3h
(h
2
+ 3y
A
h + 3y
2
A
),
b
2AB
= b
2BA
=
γ
2
γ
2
h
0
( + y
A
)
2
1
h
2
d =
γ
2
γ
2
1
3h
(h
2
+ 3y
A
h + 3y
2
A
). Assim,
b
2ii
=
−
γ
2
γ
2
2
3∆
(∆
2
+ 3
y
A
∆ + 3
y
2
A
)
,
b
2i,i+1
= b
2i+1,i
=
γ
2
γ
2
2
3∆
(∆
2
+ 3y
A
∆ + 3y
2
A
).
De C = −2
γ
γ
1
0
yφ
j
φ
i
dy. Da´ı,
c
AA
=
2γ
γ
h
0
( + y
A
)
1
h
h
d = −
γ
3γ
(2h + 3y
A
),
c
BB
= −
2γ
γ
h
0
( + y
A
)
−
1
h
1 −
h
d =
2γ
γ
h
6
+
y
A
2
,
c
AB
= −
2γ
γ
h
0
( + y
A
)
1
h
1 −
h
d = −
γ
3γ
(h + 3y
A
),
c
BA
= −
2γ
γ
h
0
( + y
A
)
−
1
h
h
d =
γ
3γ
(2h + 3y
A
).
Dessa forma,
c
ii
= −
γ
∆
3γ
, c
i,i+1
= −
γ
3γ
(∆ + 3y
i
), c
i,i+1
= −
γ
3γ
(2∆ + 3y
i
).
De φ
A
=
y
i
−y
h
, φ
B
=
y−y
i−1
h
e E = −
γ
γ
1
0
yφ
j
φ
i
dy. Da´ı,
E
AA
= −
γ
γ
y
i
y
i−1
y
−
1
h
y
i
− y
h
dy =
γ
6γ
(3y
i
− 2h),
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
4.2 M´etodo Das Diferen¸cas Finitas 44
E
BB
= −
γ
γ
y
i
y
i−1
y
1
h
y − y
i−1
h
dy =
γ
6γ
(−3y
i
+ h),
Ou seja,
a
ii
=
2∆
3
a
i,i+1
= a
i+1,1
=
∆
6
a
1ii
=
2
γ
2
∆
b
1i,i+1
= b
1i+1,i
=
−1
γ
2
∆
b
2ii
=
−γ
2
γ
2
2
3∆
(∆
2
+ 3∆y
i
+ 3y
2
i
) b
2i,i+1
= b
2i+1,i
=
γ
2
γ
2
1
3∆
(∆
2
+ 3∆y
i
+ 3y
2
i
)
C
ii
= −
γ
∆
3γ
c
i+1,i
= −
γ
3γ
(∆ + 3y
i
)
e
ii
= −
γ
∆
6γ
e
i+1,i
= −
γ
6γ
(∆ + 3y
i
)
f
ii
= 0
g
ii
=
2
∆
e
i,i+i
=
γ
6γ
(2∆ + 3y
i
)
J
ii
= −µ
γ
∆
6γ
2
f
i+i,i
= f
i,i+1
=
1
2
g
i+1,i
= g
i,i+1
= −
1
∆
j
i+i,i
= µ
γ
∆
6γ
2
(2∆ + 3y
i
)
j
i,i+1
= −µ
γ
∆
6γ
2
(∆ + 3y
i
)
4.2 M´etodo Das Diferen¸cas Finitas
Para obter as aproxima¸c˜oes das solu¸c˜oes do sistema de equa¸c˜oes em (4.5), usando
uma variante do m´etodo da aproxima¸c˜ao por diferen¸ca centrada (ver [23]). Seja
t
n
= nδt, n = 0, 1, . . . , N , isto ´e, a discretiza¸c˜ao em t no intervalo [0, T ], considerando
g
n
= g(t
n
) e h
n
= h(t
n
) as aproxima¸c˜oes de solu¸c˜ao g(t) e h(t), respectivamente, em
t
n
. As derivadas que est˜ao na equa¸c˜ao diferencial s˜ao aproximadas por equa¸c˜oes de
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
4.2 M´etodo Das Diferen¸cas Finitas 45
diferen¸cas entre valores da solu¸c˜ao em pontos discretos do dom´ınio. A ferramenta
mais utilizada para obter essas aproxima¸c˜oes ´e a s´erie de Taylor, da´ı temos as
seguintes discretiza¸c˜oes das derivadas de primeira e segunda ordens que aparecem
na equa¸c˜ao diferencial:
g
t
∼
=
g
n+1
− g
n−1
2δt
(4.6)
g
tt
∼
=
g
n+1
− 2g
n
+ g
n−1
δt
2
(4.7)
h
t
∼
=
h
n+1
− h
n−1
2δt
(4.8)
e as aproxima¸c˜oes para g
n
e h
n
, em (4.5), s˜ao assim consideradas:
g
∗
n
=
α
2
g
n+1
+ (1 − α)g
n
+
α
2
g
n−1
(4.9)
h
∗
n
=
α
2
h
n+1
+ (1 − α)h
n
+
α
2
h
n−1
(4.10)
com α > 0 resulta a aproxima¸c˜ao. A convolu¸c˜ao tem sua aproxima¸c˜ao conforme
(ver[24]),
k ∗ γ
−2
h =
i
j=1
K
i−j+1
g
j
/γ
2
(t
j
) i = 1, . . . , N. (4.11)
Substituindo (4.6),(4.7),(4.8), (4.9), (4.10) e (4.11) em (4.5), temos:
Ag
n+1
δt
2
−
Ag
n
δt
2
+
Ag
n−1
δt
2
+ B
1
α
2
g
n+1
+ B
1
(1 − α)g
n
+ B
1
α
2
g
n−1
+ B
2
g
n
+ Eg
n
+ C
g
n+1
2δt
−C
g
n−1
2δt
+ βγ
−1
F
α
2
h
n+1
+ βγ
−1
F (1 − α) h
n
+ βγ
−1
F
α
2
h
n−1
= 0,
A h
n+1
2δt
−
A h
n−1
2δt
+ G(k ∗ γ
−2
)h
n
+ ηγ
−2
G
α
2
h
n
+1
+ (1 − α)h
n
+
α
2
h
n
−
1
+
1
2
C h
n
+ µγ
−1
F
g
n+1
2δt
− µγ
−1
F
g
n−1
2δt
− J g
n
= 0.
ent˜ao
¯
A
n
g
n+1
+
¯
B
n
h
n+1
=
¯
C
n
g
n
+
¯
E
n
g
n−1
+
¯
F
n
h
n
+
¯
G
n
h
n−1
(4.12)
¯
¯
A
n
g
n+1
+
¯
¯
B
n
h
n+1
=
¯
¯
C
n
g
n
+
¯
¯
E
n
g
n−1
+
¯
¯
F
n
h
n
+
¯
¯
G
n
h
n−1
−
i
j=1
K
i−j+1
g
j
/γ
2
(t
j
)
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
4.2 M´etodo Das Diferen¸cas Finitas 46
onde
¯
A
n
=
A
δt
2
+
α
2
B
1
+
1
2δt
C,
¯
B
n
= βγ
−1
α
2
F,
¯
C
n
=
2A
δt
2
+ (α − 1)B
1
− B
2
− E,
¯
E
n
=
−A
δt
2
−
α
2
B
1
+
C
2δt
,
¯
F = −βγ
−1
(1 − α)F,
¯
G
n
= −βγ
−1
α
2
F,
¯
¯
A
n
=
µγ
−1
2δt
F,
¯
¯
B
n
=
A
2δt
+ ηγ
−1
α
2
G,
¯
¯
C
n
= J,
¯
¯
E
n
=
µγ
−1
2δt
F,
¯
¯
F
n
= ηγ
−2
(α − 1)G −
1
2
C,
¯
¯
G
n
=
A
2δt
− ηγ
−2
α
2
G.
Para obter a solu¸c˜ao do par {g
n
, h
n
} ser´a primeiramente considerado n = 0 em
(4.12), assim:
¯
A
0
g
1
+
¯
B
0
h
1
=
¯
C
0
g
0
+
¯
E
0
g
−1
+
¯
F
0
h
0
+
¯
G
0
h
−1
(4.13)
¯
¯
A
0
g
1
+
¯
¯
B
0
h
1
=
¯
¯
C
0
g
0
+
¯
¯
E
0
g
−1
+
¯
¯
F
0
h
0
+
¯
¯
G
0
h
−1
Onde os valores de {g
0
, h
0
} de (4.14) s˜ao determinados a partir das solu¸c˜oes de
{ψ(y, t), ϕ(y, t)} quando t = 0, isto ´e, g
0
= ψ(y, 0), h
0
= ϕ(y, 0). Para o c´alculo das
aproxima¸c˜oes de {g
−1
, h
−1
}, expandiremos ψ(y, t) e ϕ(y, t) em polinˆomio de Taylor de
primeiro e segundo graus, respectivamente, em t = 0.
g
−1
= g
0
− δtg
t
(0) +
δt
2
2
g
tt
(0) h
−1
= h
0
− δth
t
(0) (4.14)
nos quais os valores de g
t
(0), g
tt
(0) e h
t
(0) s˜ao dados por
g
t
(0) =
∂ψ
∂t
(y
i
, 0) = ψ(y
i
), g
tt
(0) =
∂
2
ψ
∂t
2
(y
i
, 0), h
t
(0) =
∂ϕ
∂t
(y
i
, 0) (4.15)
e s˜ao calculadas a partir do problema (2.9),(2.10), (2.11), (2.12) definido no dom´ınio
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
4.3 Sistema Desacoplado 47
cil´ındrico. Dos valores {g
1
, h
1
} e usando as equa¸c˜oes do sistema acoplado (4.12), as
aproxima¸c˜oes {g
n+1
, h
n+1
} para n = 1, 2, . . . , N s˜ao obtidas.
4.3 Sistema Desacoplado
Para obter a solu¸c˜ao num´erica do sistema desacoplado, utiliza-se a extrapola¸c˜ao
regressiva da primeira derivada ,
g
t
(t
n
) =
1
2δt
(3g
n
− 4g
n−1
+ g
n−2
) (4.16)
Substituindo (4.6)-(4.10) e (4.16) no sistema de equa¸c˜oes (4.5), segue:
Ag
n+1
δt
2
−
2g
n
δt
2
+
Ag
n−1
δt
2
+ B
1
α
2
g
n+1
+ B
1
(1 − α) g
n
+ B
1
α
2
g
n−1
+ B
2
g
n
+ E g
n
+ C
g
n+1
2δt
−C
g
n−1
2δt
+ βγ
−1
F
α
2
h
n+1
+ (1 − α)h
n
+
α
2
h
n−1
= 0,
A h
n+1
2δt
−
A h
n−1
2δt
+ G(k ∗ γ
−2
) h
n
+ ηγ
−2
G
α
2
h
n+1
+ (1 − α)h
n
+
α
2
h
n−1
+
1
2
C h
n
+µγ
−1
F
3g
n
2δt
−
4g
n−1
2δt
+
g
n−2
2δt
− J g
n
= 0.
Resultando no sistema:
¯
A
n
g
n+1
=
¯
B
n
h
n+1
+
¯
C
n
g
n
+
¯
E
n
g
n−1
+
¯
F
n
h
n
+
¯
G
n
h
n−1
¯
¯
A
n
h
n+1
=
¯
¯
B
n
g
n
+
¯
¯
C
n
g
n−1
+
¯
¯
E
n
g
n−2
+
¯
¯
F
n
h
n
+
¯
¯
G
n
h
n−1
−
i
j=1
K
i−j+1
g
j
/γ
2
(t
j
) (4.17)
onde
¯
A
n
=
A
δt
2
+
α
2
B
1
+
1
2δt
C,
¯
B
n
= −βγ
−1
α
2
F,
¯
C
n
=
2A
δt
2
+ (α − 1)B
1
− B
2
− E,
¯
E
n
=
−A
δt
2
−
α
2
B
1
+
C
2δt
,
¯
F
n
= −βγ
−1
(1 − α)F,
¯
G
n
= −βγ
−1
α
2
F,
¯
¯
A
n
=
A
2δt
+ ηγ
−2
α
2
G,
¯
¯
B
n
=
−3µγ
−1
2δt
F + J,
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
4.4 Discretiza¸c˜ao Da Energia Do Sistema 48
¯
¯
C
n
=
2µγ
−1
δt
F,
¯
¯
E
n
=
−µγ
−1
2δt
F,
¯
¯
F
n
= ηγ
−2
(α − 1)G −
1
2
C,
¯
¯
G
n
=
A
2δt
− ηγ
−2
α
2
G.
Note que o sistema desacoplado (4.17) ´e computacionalmente simples de ser re-
solvido, j´a o sistema acoplado (4.12) n˜ao, pois, no primeiro a cada intervalo t
n
, os
valores de h
n+1
s˜ao calculados independentemente dos valores de g
n+1
.
4.4 Discretiza¸c˜ao Da Energia Do Sistema
A energia do sistema ´e dada por:
E(t) = ψ
t
2
L
2
+ Dψ
2
L
2
+
β
µ
ϕ
2
L
2
(4.18)
A discretiza¸c˜ao de (4.11) se faz pelo m´etodo das diferen¸cas finitas, obtendo:
E
n
=
h
2
M
i=1
(
ψ(i, n + 1) − ψ(i, n)
δt
ψ(i + 1, n + 1) − ψ(i + 1, n)
δt
+
ψ(i + 1, n + 1) − ψ(i, n + 1)
h
ψ(i + 1, n) − ψ(i, n)
h
+
β
µ
ϕ(i, n)
2
) (4.19)
4.5 Resultados Num´ericos
Nesta se¸c˜ao, temos os resultados num´ericos do sistema termoel´astico hiperb´olico
com mem´oria. Usando os seguintes valores para as constantes : µ = 0.161, β =
0.164, η = 0.177. Satisfazendo as hip´oteses sobre a fun¸c˜ao γ(t) que define o tempo
dependendo das condi¸c˜oes de fronteira para o dom´ınio n˜ao-cil´ındrico, assim γ(t) =
1 − e
−t−1
.
Sejam as condi¸c˜oes de fronteira:
ψ|
t=0
= ψ
0
= 0.3(y
2
− y), ψ
t
|
t=0
= ψ
1
= 0, ϕ|
t=0
= ϕ
0
= 0.1(y − y
2
).
onde x = γ(t)y ´e usado em todos os resultados desta se¸c˜ao , N = 400 e M = 100 s˜ao
usados em todas as simula¸c˜oes. Nas figuras 1 e 2 temos as solu¸c˜oes aproximadas de
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
4.5 Resultados Num´ericos 49
θ(x, t) e u(x, t), respectivamente, sem o termo de mem´oria (k ∗ θ
xx
) com T = 5.
Nas figuras 3 e 4 temos a solu¸c˜ao num´erica do problema com termo de mem´oria
tendo T = 2. Note que devido ao efeito de mem´oria, o parˆametro θ(x, t ) decai rapida-
mente. E usando T = 5 obtemos as aproxima¸c˜oes de solu¸c˜ao apresentadas nas figuras
5 e 6. Na figura 7, temos a simula¸c˜ao do termo u(x, t) considerando T = 10, note que
u(x, t) decai lentamente. Na figura 8, temos que a fronteira da energia associada ao
sistema, considerando T = 20 decai exponencialmente.
Figura 4.1 θ(x, t) sem termo de mem´oria.
Figura 4.2 u(x, t) sem termo de mem´oria.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
4.5 Resultados Num´ericos 50
Figura 4.3 θ(x, t) com termo de mem´oria e T=2.
Figura 4.4 u(x, t) com termo de mem´oria e T=2.
Figura 4.5 θ(x, t) com termo de mem´oria e T=5.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
4.5 Resultados Num´ericos 51
Figura 4.6 u(x, t) com termo de mem´oria e T=5.
Figura 4.7 u(x, t) com termo de mem´oria e T=10.
0 5 10 15 20
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
t(s)
E(t)
Figura 4.8 A energia do sistema, T=20.
Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
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Wanzeler, Deiziane Mendes PPGME/UFPA
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