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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
´
A
INSTITUTO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS E NATURAIS
PROGRAMA DE MESTRADO EM MATEM
´
ATICA E ESTAT
´
ISTICA
Marcos Paulo Cintra da Silva
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS
Bel´em
2009
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MARCOS PAULO CINTRA DA SILVA
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS
Disserta¸c˜ao apresentada para obten¸c˜ao do
grau de Mestre em Matem´atica e em Es-
tat´ıstca.
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
e em Estat´ıstca. Instituto de Ciˆencias Exatas
e Naturais. Universidade Federal do Par´a.
´
Area de concentra¸c˜ao:
´
Algebra.
Orientadora Prof
a
. Dr
a
. Maria de Nazar´e
Carvalho Bezerra.
Bel´em
2009
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CERTIFICADO DE AVALIAC¸
˜
AO
Marcos Paulo Cintra da Silva
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS
Disserta¸c˜ao apresentada para obten¸c˜ao do
grau de Mestre em Matem´atica e em Es-
tat´ıstca. Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em
Matem´atica e Estat´ıstca. Instituto de
Ciˆencias Exatas e Naturais. Universidade
Federal do Par´a.
DATA DA APROVAC¸
˜
AO: Bel´em-PA. 18-06-2009.
Banca Examinadora
—————————————————————
Prof
a
. Dr
a
. Maria de Nazar´e Carvalho Bezerra (orientadora)
ICEN - UFPA
—————————————————————
Valcir Jo˜ao da Cunha Farias.
Faculdade de Matem´atica - UFPA Castanhal
—————————————————————
Sheila Campos Chagas
Departamento de Matem´atica - UFAM
AGRADECIMENTOS
`
A Deus que no decorrer desses anos me deu sa´ude para que este trabalho
fosse realizado.
`
A minha fam´ılia que sempre me incetivou a nunca desistir do curso devido
`as dificuldades.
Aos meus professores que me deram a base necess´aria para a constru¸c˜ao desse
trabalho, alguns at´e se dispondo mesmo sem a obriga¸c˜ao de me auxiliar. Em particular,
ao Prof. Dr. Juaci Pican¸co (ICEN-UFPA) e `a Prof
a
. Dra. L´ucia Satie Ikemoto Murakami
(IME-USP) pelas valiosas sugest˜oes e corre¸c˜oes para este trabalho.
Aos meus colegas de curso pela ajuda nos estudos e nas dificuldades e pelos
momentos de descontra¸c˜ao.
iii
RESUMO
O objetivo deste trabalho ´e estudar as ´algebras de potˆencias associativas, as train ´algebras
de posto 3 e as ´algebras de Jordan e de Bernstein-Jordan, provando uma condi¸c˜ao de
equivalˆencia das mesmas e analisando a nilpotˆencia do quadrado do barideal de uma ´algebra
de Bernstein. Deduz-se identidades v´alidas em ´algebras de potˆencias associativas que per-
mitem obter uma decomposi¸c˜ao de Peirce relativa a um idempotente. Em seguida, ´e dada
a defini¸c˜ao de ´algebras b´aricas. Depois, determina-se uma s´erie de identidades v´alidas em
train ´algebras de posto 3 e em as ´algebras de Jordan e de Bernstein-Jordan, que resul-
tar˜ao na decomposi¸c˜ao de Peirce destas ´algebras. Finalmente, determina-se um ´ındice de
nilpotˆencia do quadrado do barideal da ´algebra de Bernstein e condi¸c˜oes de equivalˆencia
entre as ´algebras abordadas neste trabalho.
PALAVRAS-CHAVE:
´
Algebra de potˆencias associativas. Train ´algebra de posto 3.
´
Algebra
de Jordan.
´
Algebra de Bernstein-Jordan.
ABSTRACT
The objective of this work is to study the power associative algebras, the train algebras of
rank 3 and the Jordan and Bernstein-Jordan algebras, showing a condition of equivalence
between them and analyse the nilpotency of the square of the barideal of a Bernstein
algebra. It is proved some identities on power associative algebras that provide the Peirce
decomposition. Then, the baric algebras are defined. After that, it is proved identities
on train algebras of rank 3 and on Jordan and Bernstein-Jordan algebras, the will result
in the Peirce decomposition of this algebras. Finally, it is given an index of nilpotency of
the square of the barideal of a Bernstein algebra and conditions of equivalence between the
algebras studied in this work.
KEYWORDS: Power associative algebra, train algebra of rank 3, Bernstein algebra, Berntein-
Jordan algebra.
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1
´
Algebras de potˆencias associativas 3
1.1 Defini¸c˜oes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Potˆencias associativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 A ´algebra A
(+)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Identidades envolvendo L
x
e R
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Nil´algebras e nilideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Idempotentes em ´algebras comutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Idempotentes em ´algebras n˜ao comutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8
´
Algebras flex´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9 Idempotentes principais de uma ´algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Train ´algebras de posto 3 25
2.1
´
Algebras b´aricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Train ´algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3
´
Algebras de Bernstein e de Bernstein-Jordan 34
3.1
´
Algebras de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2
´
Algebras de Bernstein-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Nilpotˆencia das ´algebras de Bernstein 46
4.1 Barideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2
´
Algebras de Bernstein e de potˆencias associativas . . . . . . . . . . . . . . . 56
Bibliografia 61
vi
Introdu¸c˜ao
Este trabalho estuda basicamente trˆes tipos de ´algebras: as de potˆencias associativas,
as train ´algebras de posto 3 e ´algebras de Bernstein. Os principais objetivos s˜ao obter um
´ındice de nilpotˆencia para o quadrado do barideal de uma ´algebra de Bernstein e estabelecer
uma condi¸c˜ao de equivalˆencia entre as ´algebras de potˆencias associativas, as train ´algebras
de posto 3 e as ´algebras de Bernstein.
Em 1948, A. Albert estabeleceu v´arios resultados que caracterizam os an´eis de
potˆencias associativas, que s˜ao aqueles que em que a sub´algebra gerada por um elemento
arbitr´ario ´e de potˆencias associativas. No cap´ıtulo 1 encontram-se as adapta¸c˜oes desses
resultados para ´algebras de potˆencias associativas. Em seguida, define-se uma ´algebra A
(+)
associada `a ´algebra A, modificando apenas o seu produto, de modo que A
(+)
tamb´em seja
de potˆencias associativas e um conjunto A
x
que contem os operadores de multiplica¸c˜ao `a
direita e `a esquerda do elemento x. Demonstra-se que esse conjunto tamb´em contem todas
as potˆencias do elemento x. Trabalhando com um elemento idempotente e ∈ A, consegue-se
decompor uma ´algebra A comutativa de potˆencias associativas em uma soma direta de trˆes
sub´algebras, denominada decomposi¸c˜ao de Peirce de A relativa ao idempotente e e usando a
´algebra A
(+)
, e obtem-se um resultado an´alogo para o caso em que A n˜ao ´e necessariamente
uma ´algebra comutativa. A fim de obter resutados mais relevantes sobre a estrutura de
uma ´algebra de potˆencias associativas A, acrescenta-se a hip´otese de flexibilidade, isto ´e,
que x(yx) = (xy)x, para quaisquer x, y ∈ A.
As ´algebras b´aricas s˜ao ´algebras constitu´ıdas de um par ordenado (A, ω), onde A
´e uma ´algebra sobre o corpo F e ω ´e um homomorfismo de A em F e foram introduzi-
das por I. Etherington com objetivo de resolver problemas sobre Gen´etica de Popula¸c˜oes.
Estas ´algebras s˜ao subdivididas em outras classes impondo-se determinadas condi¸c˜oes, nor-
malmente sob o contexto da Gen´etica, definindo-se assim ´algebras como as train ´algebras,
as ´algebras de Bernstein e as ´algebras de Bernstein-Jordan. O cap´ıtulo 2 come¸ca com
a defini¸c˜ao de ´algebras b´aricas e, em particular, a defini¸c˜ao de train ´algebra de posto n.
Sejam (A, ω) uma ´algebra b´arica de dimens˜ao finita sobre o corpo F , com caracter´ıstica
diferente de 2 e n um inteiro p ositivo fixo. Diz-se que A ´e uma train ´algebra de posto n, se
a igualdade
x
n
+ γ
1
ω(x)x
n−1
+ . . . + γ
n−1
ω(x)
n−1
x = 0
´e v´alida para qualquer x ∈ A. Nos ´ultimos vinte anos tem-se estudado com muito esfor¸co
as train ´algebras sob v´arios pontos de vista, principalmente ´algebras de baixo posto e pouco
se sabe ainda sobre train ´algebras de posto arbitr´ario. As aten¸c˜oes deste trabalho s˜ao
1
2
voltadas especificamente para o caso em que n = 3. A partir da´ı, deduz-se identidades que
fornecem a decomposi¸c˜ao de Peirce relativa a um idempotente e da train ´algebra de posto
3 e o conjunto de idempotentes. Al´em disso, outras identidades s˜ao estabeleceidas como
consequˆencia dessa decomposi¸c˜ao, assim como rela¸c˜oes de inclus˜oes envolvendo os somandos
dessa decomposi¸c˜ao.
O cap´ıtulo 3 trata de um outro tipo de ´algebra b´arica: a ´algebra de Bernstein, isto
´e, uma ´algebra comutativa para qual
(x
2
)
2
= ω(x
2
)x
2
qualquer que seja x ∈ A. Resultados an´alogos aos que foram provados no cap´ıtulo anterior
s˜ao demonstrados estuda-se tamb´em as ´algebras de Bernstein-Jordan, isto ´e, ´algebras de
Bernstein para as quais vale a identidade de Jordan, a saber: x
2
(yx) = (x
2
y)x, quaisquer
que sejam os elementos x e y da ´algebra de Bernstein-Jordan. As ´algebras de Jordan tem
origem na formula¸c˜ao da Mecˆanica Quˆantica.
O cap´ıtulo 4 est´a baseado no artigo On the Nilpotency of the Barideal of a Benstein
Algebra (1998). S˜ao apresentadas uma s´erie de identidades que resultar˜ao na obten¸c˜ao de
´ındice de nilpotˆencia para o quadrado do barideal N de uma ´algebra de Jordan e uma
condi¸c˜ao de equivalˆencia envolvendo as ´algebras estudadas. At´e o momento ainda n˜ao se
sabe se o ´ındice de nilpotˆencia obtido pode ser aprimorado.
Cap´ıtulo 1
´
Algebras de potˆencias associativas
Neste cap´ıtulo vamos apresentar os resultados sobre ´algebras de potˆencias associativas
que, posteriormente, ser˜ao utilizados na obten¸c˜ao dos resultados principais deste trabalho.
1.1 Defini¸c˜oes iniciais
Defini¸c˜ao 1.1. Uma ´algebra A ´e um espa¸co vetorial sobre um corpo F , onde est´a definida
uma opera¸c˜ao denominada multiplica¸c˜ao que associa todo par de elementos x, y ∈ A ao
produto xy ∈ A, a qual as seguintes propriedades
α(xy) = x(αy) = y(αx),
x(y + z) = xy + xz,
(y + z)x = yx + zx,
quaisquer que sejam os elementos x, y, z ∈ A e α ∈ F .
Defini¸c˜ao 1.2. Uma sub´algebra S da ´algebra A ´e um subespa¸co vetorial. Uma sub´algebra
S para a qual ax, xa ∈ S, para quaisquer a ∈ A e x ∈ S ´e chamada ideal de A.
Defini¸c˜ao 1.3. Uma ´algebra A ´e denominada uma ´algebra comutativa se xy = yx, para
quaisquer x, y ∈ A e ´algebra associativa se (xy)z = x(yz), para quaisquer x, y, z ∈ A.
Defini¸c˜ao 1.4. As potˆencias principais `a direita da ´algebra A s˜ao definidas por x
1
= x
e x
n
= x
n−1
x, onde n ∈ N. As potˆencias principais `a esquerda da ´algebra A s˜ao
definidas por
1
x = x e
n
x = x(
n−1
x), onde n ∈ N.
Defini¸c˜ao 1.5. Dados x, y ∈ A, define-se o comutador de x com y pela f´ormula
[x, y] = xy − yx.
Obsevermos que o comutador ´e bilinear e anti-sim´etrico, isto ´e, dados x, y, z ∈ A, tem-se,
respectivamente, que [x, y + z] = [x, y] + [x, z] e [x, y] = −[y, x].
3
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 4
1.2 Potˆencias associativas
Defini¸c˜ao 1.6. Uma ´algebra A ´e uma ´algebra de potˆencias associativas se a sub´algebra
gerada por todo elemento x ∈ A ´e associativa.
De modo equivalente, podemos afirmar que uma ´algebra A ´e de potˆencias associativas
se, e somente se, x
m
x
n
= x
m+n
para quaisquer x ∈ A e inteiros positvos m e n
Lema 1.1. Seja A uma ´algebra sobre um corpo F, cuja caracter´ıstica ´e diferente de 2. Se
xx
2
= x
2
x, para todo x ∈ A, ent˜ao para quaisquer x, y, z ∈ A, tem-se que
[xy + yx, z] + [yz + zy, x] + [zx + xz, y] = 0. (1.1)
Demonstra¸c˜ao. Por hip´otese, temos que [x
2
, x] = 0. Em particular, substituindo x por
x + λy, onde λ ∈ F , temos
0 = [x
2
, x]
=
(x + λy)
2
, x + λy
=
x
2
+ λxy + λyx + λ
2
y
2
, x + λy
=
x
2
, x
+ λ
x
2
, y
+ [xy + yx, x]
+ λ
2
y
2
, x
+ [yx + xy, y]
+ λ
3
[y
2
, y]
= λT (x, y) + λ
2
U(y, x),
em que, T (x, y) = [x
2
, y] + [xy + yx, x] e U(y, x) = [y
2
, x] + [yx + xy, y]. Tomando λ = 1,
obtemos T (x, y)+U(y, x) = 0 e λ = −1, fornece −T (x, y)+U(y, x) = 0. Ent˜ao 2T (x, y) = 0,
ou seja, T (x, y) = 0. O pr´oximo passo ´e substituir x por x + µz, onde µ ∈ F e z ∈ A, em
T (x, y) = 0.
0 = T (x + µz, y)
=
(x + µz)
2
, y
+ [(x + µz) y + y (x + µz) , x + µy]
=
x
2
+ µxz + µzx + µ
2
z
2
, y
+ [xy + µzy + yx + µyz, x + µz]
=
x
2
, y
+ [xy + yx, x] + µ ([xz + zx, y] + [zy + yz, x] + [xy + yx, z])
+µ
2
z
2
, y
+ [zy + yz, z]
= T (x, y) + µW (x, y, z) + µ
2
T (z, y),
em que W (x, y, z) = [xz + zx, y] + [zy + yz, x] + [xy + yx, z]. Como T = 0, obtemos a
igualdade fazendo µ = 1.
Notemos que se a caracter´ıstica de F for diferente de 2 e de 3, ent˜ao fazendo x = y = z
em (1.1), temos 3[2x
2
, x] = 0. Logo, 6 [x
2
, x] = 0. Assim x
2
x = xx
2
.
Lema 1.2. Seja A uma ´algebra sobre um corpo F, cuja caracter´ıstica ´e diferente de 2. Se
x
i
x
j
= x
i+j
para todo x ∈ A para todos os inteiros positivos i e j tais que i + j < n e n ≥ 4,
ent˜ao
n
x
n−1
, x
= 0,
x
n−α
, x
α
= α
x
n−1
, x
, α = 1, 2, . . . , n − 1. (1.2)
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 5
Demonstra¸c˜ao. Sejam α e β inteiros positvos com α + β < n. Substituindo x, y e z por x
α
,
x
β
e x
n−(α+β)
, respectivamente, na identidade (1.1), temos que [x
α
x
β
+ x
β
x
α
, x
n−(α+β)
] +
[x
β
x
n−(α+β)
+ x
n−(α+β)
x
β
, x
α
] + [x
n−(α+β)
x
α
+ x
α
x
n−(α+β)
, x
β
] = 0. Logo
x
α+β
, x
n−(α+β)
+
[x
n−α
, x
α
] +
x
n−β
, x
β
= 0 e, ent˜ao
x
n−(α+β)
, x
α+β
=
x
n−α
, x
α
+
x
n−β
, x
β
.
Usaremos esta ´ultima igualdade para provar o lema. Fazendo α = 1, 2, . . . n − 1 e β = 1,
temos, respectivamente
[x
n−2
, x
2
] = [x
n−1
, x] + [x
n−1
, x],
[x
n−3
, x
3
] = [x
n−2
, x
2
] + [x
n−1
, x],
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
[x
n−(k−1)
, x
k−1
] = [x
n−(k−2)
, x
k−2
] + [x
n−1
, x],
[x
n−k
, x
k
] = [x
n−(k−1)
, x
k−1
] + [x
n−1
, x].
Somando membro a membro as igualdades acima, obtemos [x
n−k
, x
k
] = k[x
n−1
, x]. E para
k = n − 1, segue da identidade anterior que n[x
n−1
, x] = 0.
Lema 1.3. Seja A uma ´algebra sobre um corpo F, cuja caracter´ıstica ´e diferente de 2. Se
x
2
x
2
= (x
2
x)x, para todo x ∈ A, ent˜ao
6
(xy + yx)(zw + w z) =
4
3
(zw + wz)y
x. (1.3)
onde as somas acima s˜ao obtidas por todas as sele¸c˜oes poss´ıveis dos s´ımbolos envolvidos e
Σ
k
tem k parcelas.
Demonstra¸c˜ao. Substituindo x por x + λy na hip´otese, em que x, y ∈ A e λ ∈ F , tem-se
que
(x + λy)
2
(x + λy)
2
− [(x + λy)
2
(x + λy)](x + λy) = 0.
Efetuando os c´alculos, chegamos `a K + λL + λ
2
M + λ
3
N + λ
4
P = 0, onde
K = K(x) = x
2
x
2
− x
3
x = 0,
P = K(y) = y
2
y
2
− y
3
y = 0,
L = L(x, y) = x
2
(xy) + x
2
(yx) + (xy)x
2
+ (yx)x
2
− x
3
y − ((xy)x)x − ((yx)x)x − (x
2
y)x,
M = M(x, y) = x
2
y
2
+ (xy)
2
+ (xy)(yx) + (yx)(xy) + (yx)
2
+ y
2
x
2
− ((xy)y)x − ((yx)x)y
−(xy
2
)x − (y
2
x)x − (x
2
y)y − ((yx)x)y − ((yx)y)x,
N = L(y, x) = y
2
(yx) + y
2
(xy) + (yx)y
2
+ (xy)y
2
− y
3
x − ((yx )y)y − ((xy)y)y − (y
2
x)y.
Segue que λL + λ
2
M + λ
3
N = 0. Quando λ = 1, temos que L + M + N = 0 e quando
λ = −1, temos que −L + M − N = 0. Logo, M(x, y) = 0 e substituindo x por x + µz, onde
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 6
µ ∈ F e z ∈ A obtemos
M(x + µz, y) = (x + µz)
2
y
2
+ [(x + µz)y]
2
+ [(x + µz)y][y(x + µz)]
+[y(x + µz)][(x + µz)y] + [y(x + µz)]
2
+ y
2
(x + µz)
2
−[y
2
(x + µz)](x + µz) − [((x + µz)y)y](x + µz)
−[(y(x + µz))y](x + µz) − [((x + µz)y)(x + µz)]y
−[(y(x + µz)(x + µz)]y − [((x + µz)
2
y]y
e isto fornece a equa¸c˜ao M(x + µz, y) = M(x, y) + µQ(x, y, z) + µ
2
M(z, y), onde
Q(x, y, z) = y
2
(xz + zx) + (xz + zx)y
2
+ (xy + yx)(zy + zy) + (zy + zy)(xy + yx)
−(y
2
x)z − z(y
2
x) − [(xy + yx)y]z − [(zy + yz)y]x − [(xy + yx)z]y −
[(zy + yz)x]y − [(xz + zx)y]y.
Mas, como vimos acima, M = 0 e, assim, Q(x, y, z) = 0. Agora, substituindo y por y + αw,
encontramos a igualdade Q(x, y, z) + αR(x, y, z, w) + α
2
Q(x, w, z) = 0. Lembrando que Q
´e nula e fazendo α = 1, obtemos o resultado, ou seja
(xy + yx)(zw + w z) + (xz + zx)(yw + wy) + (xw + wx)(zy + yz) + (zy + yz)(xw + wx)
+(yw + wy)(xz + zx) + (zw + wz)(xy + yx) = [(zw + wz)y + (wy + yw)z + (yz + zy)w]x
[(zw + wz)x + (wx + xw)z + (xz + xy)w]y + [(xw + wx)y + (wy + yw)x + (yx + xy)w]z
[(zx + xz)y + (xy + yx)z + (yz + zy)x]w.
E assim fica provada a equa¸c˜ao (1.3).
Observemos que se a caracter´ıstica de F for diferente de 2 e de 3, ent˜ao fazendo x = y =
z = w em (1.3), obtemos x
2
x
2
= x
3
x.
Lema 1.4. Seja A uma ´algebra sobre um corpo F de caracter´ıstica diferente de 2, de 3 e de
5. Se n ≥ 5 e x
λ
x
µ
= x
λ+µ
, quaisquer que sejam os inteiros positivos λ e µ, com λ + µ < n,
ent˜ao
x
n−α
x
α
= x
n−1
x +
α − 1
2
x
n−1
, x
, α = 1, 2, . . . , n − 1. (1.4)
Demonstra¸c˜ao. Consideremos os inteiros positivos α, β, γ, δ tais que α + β + γ + δ = n.
Substituindo x por x
α
, y por x
β
, z por x
γ
e w por x
δ
em (1.3) obtemos
4x
α+β
x
γ+δ
+ 4x
α+γ
x
β+δ
+ 4x
α+δ
x
β+γ
+ 4x
β+γ
x
α+δ
+ 4x
β+δ
x
α+γ
+ 4x
γ+δ
x
α+β
=
6x
β+γ+δ
x
α
+ 6x
α+γ+δ
x
β
+ 6x
α+β+δ
x
γ
+ 6x
α+β+γ
x
δ
,
de onde segue que
2
x
α+β
x
γ+δ
+ x
α+γ
x
β+δ
+ x
α+δ
x
β+γ
= 3
x
n−α
x
α
+ x
n−β
x
β
+ x
n−γ
x
γ
+ x
n−(α+β+γ)
x
α+β+γ
.
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 7
Calculando x
n−δ
x
δ
, x
α+β
x
γ+δ
, x
α+γ
x
β+δ
e x
α+δ
x
β+γ
no Lema 1.2, obtemos os resultados que
s˜ao aplicados na igualdade anterior de modo que
3
x
n−α
x
α
+ x
n−β
x
β
+ x
n−γ
x
γ
+ x
n−(α+β+γ)
x
α+β+γ
= 4
x
n−(α+β)
x
α+β
+ x
n−(α+γ)
x
α+γ
+4
x
n−(β+γ)
x
β+γ
−(α + β + γ)[x
(n−1)
, x]. (1.5)
Vamos discutir os casos em que α + β + γ = 3, 4 e 5. No primeiro caso, obrigatoriamente
α = β = γ = 1 e aplicando acima, temos que
3(x
n−1
x + x
n−1
x + x
n−1
x + x
n−3
x
3
) = 4(x
n−2
x
2
+ x
n−2
x
2
+ x
n−2
x
2
) − 3[x
n−1
, x],
x
n−3
x
3
= 4x
n−2
x
2
− 3x
n
− [x
n−1
, x]. (1.6)
Se α+β+γ = 4, pode ser que α = 2 e β = γ = 1. Aplicados na equa¸c˜ao (1.5) e usando (1.6),
fornecem
3(x
n−2
x
2
+ x
n−1
x + x
n−1
x + x
n−4
x
4
) = 4(x
n−3
x
3
+ x
n−3
x
3
+ x
n−2
x
2
) − 4[x
n−1
, x],
3x
n−2
x
2
+ 6x
n−1
x + 3x
n−4
x
4
= 8x
n−3
x
3
+ 4x
n−2
x
2
− 4[x
n−1
, x],
x
n−4
x
4
= 11x
n−2
x
2
− 10x
n
− 4[x
n−1
, x]. (1.7)
Os casos em que α = γ = 1 e β = 2 e em que α = β = 1 e γ = 2 fornecem uma igualdade
semelhante a (1.6) pela simetria em rela¸c˜ao `a α, β e γ. Agora, vejamos o que ocorre quando
α + β + γ = 5. Ent˜ao n > 6 e se α = β = 2 e γ = 1, segue de (1.5) que
3(x
n−2
x
2
+ x
n−2
x
2
+ x
n−1
x + x
n−5
x
5
) = 4(x
n−4
x
4
+ x
n−3
x
3
+ x
n−3
x
3
) − 5[x
n−1
, x],
6x
n−2
x
2
+ 3x
n
+ 3x
n−5
x
5
= 4x
n−4
x
4
+ 8x
n−3
x
3
− 5[x
n−1
, x]. (1.8)
Se α = 3 e β = γ = 1, ent˜ao
3(x
n−3
x
3
+ x
n−1
x + x
n−1
x + x
n−5
x
5
) = 4(x
n−4
x
4
+ x
n−4
x
4
+ x
n−2
x
2
) − 5[x
n−1
, x],
3x
n−3
+ 6x
n
+ 3x
n−5
x
5
= 8x
n−4
x
4
+ 8x
n−2
x
2
− 5[x
n−1
, x]. (1.9)
Subtraindo membro a membro (1.8) e (1.9), obtemos
3x
n−3
+ 3x
n
− 6x
n−2
x
2
= 4x
n−4
x
4
+ 4x
n−2
x
2
− 8x
n−3
x
3
3x
n
+ 11x
n−3
x
3
− 10x
n−2
x
2
= 4x
n−4
x
4
. (1.10)
Usando (1.6) e (1.7) em (1.10)
3x
n
+ 11(4x
n−2
x
2
− 3x
n
− [x
n−1
, x]) − 10x
n−2
= 4(11x
n−2
− 10x
n
− 4[x
n−1
, x]),
x
n−2
x
2
= x
n
+
1
2
[x
n−1
, x].
que ´e o resultado do lema para α = 2. Agora vamos proceder por indu¸c˜ao. Suponhamos
que (1.4) seja v´alida para α = 1, 2, . . . , k − 2, onde k ≥ 1. Substituindo β = γ = 1 e
α = k − 1 em (1.5), obtemos
3(x
n−(k−1)
x
k−1
+ 2x
n−1
x + x
n−(k+1)
x
k+1
) = 4(2x
n−k
x
k
+ x
n−2
x
2
) − (k + 1)[x
n−1
, x],
3x
n−(k−1)
x
k−1
+ 6x
n−1
x + 3x
n−(k+1)
x
k+1
= 8x
n−k
x
k
+ 4x
n−2
x
2
− (k + 1)[x
n−1
, x],
3x
n−(k+1)
x
k+1
= 8x
n−k
x
k
+ 4x
n−2
x
2
− 3x
n−(k−1)
x
k−1
−
6x
n−1
x − (k + 1)[x
n−1
, x]. (1.11)
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 8
Fazendo α = k − 1 e α = k na hip´otese de indu¸c˜ao, obtemos respectivamente
x
n−(k+1)
x
k+1
= x
n−1
x +
k − 2
2
[x
n−1
, x],
x
n−k
x
k
= x
n−1
x +
k − 1
2
[x
n−1
, x]
Levando esses resultados em (1.12), concluimos que
3x
n−(k+1)
x
k+1
= 8
x
n−1
x +
k − 1
2
[x
n−1
, x]
+ 4
x
n−1
x +
1
2
[x
n−1
, x]
−6
x
n−1
x +
k − 1
2
[x
n−1
, x]
− (k + 1)[x
n−1
, x]
−3
x
n−1
x +
k − 2
2
[x
n−1
, x]
,
x
n−(k+1)
x
k+1
= x
n−1
x +
k
2
[x
n−1
, x].
Portanto, o resultado tamb´em ´e v´alido para α = k e isso encerra a demonstra¸c˜ao.
Corol´ario 1.1. Sejam n ≥ 5 um inteiro e A ´algebra sobre um corpo F com a caracter´ıstica
diferente de n, ent˜ao [x
n−α
, x
α
] = α[x
n−1
, x], n[x
n−1
, x] = 0 e x
n−α
x
α
= x
n
.
Teorema 1.1. Seja A uma ´algebra comutativa sobre um corpo F com caracter´ıstica diferente
de 2, 3 e 5 e suponha que x
2
x
2
= (x
2
x)x para qualquer x ∈ A. Ent˜ao A ´e de potˆencias
associativas.
Demonstra¸c˜ao. Se A for um ´algebra comutativa, ent˜ao [x
n−1
, x] = 0, isto ´e, x
n−1
x = xx
n−1
e de (1.4) conclui-se que as n-´esimas potˆencias s˜ao associativas e o mesmo vale para as
k-´esimas potˆencias, com k < n e n ≥ 5.
Teorema 1.2. Seja A uma ´algebra comutativa sobre um corpo F com caracter´ıstica zero
e suponha que x
2
x = xx
2
e x
2
x
2
= (x
2
x)x para qualquer x ∈ A. Ent˜ao A ´e de potˆencias
associativas.
Apresentemos, agora, alguns contra-exemplos que mostram a importˆancia da hip´otese
sobre a caracter´ıstica do Teorema 1.1. Esses contra-exemplos e outro sobre a caracter´ıstica
zero para o Teorema 1.2 est˜ao na referˆencia [1].
Exemplo 1.1. Seja A uma ´algebra comutativa com uma base formada pelos elementos
a, a
2
, a
3
, a
4
= a
2
a
2
e a
5
= a
6
sobre o corpo F = {0, 1} de caracter´ıstica 2 e tal que a
2
a
3
=
a
2
a
4
= a
2
a
5
= a
3
a
3
= a
3
a
4
= a
3
a
5
= a
4
a
4
= a
4
a
5
= a
5
a
5
= 0. Notemos que A n˜ao ´e de
potˆencias associativas, pois a
5
= a
2
a
3
. Dado qualquer x ∈ A, existem α
1
, . . . α
5
∈ F , tais
que x = α
1
a, +α
2
a
2
+ α
3
a
3
+ α
4
a
4
+ α
5
a
5
e temos sucessivamente que
x
2
= α
2
1
a
2
+ α
2
2
a
4
,
x
2
x
2
= α
4
1
a
4
,
x
2
x = α
3
1
a
3
+ α
2
1
α
2
2
a
5
,
(x
2
x)x = α
4
1
a
4
+ (α
2
2
α
2
1
+ α
3
1
α
2
)a
5
.
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 9
Mas, como F = {0, 1}, a soma α
2
2
α
2
1
+ α
3
1
α
2
se anula. Logo x
2
x
2
= (x
2
x)x.
Exemplo 1.2. Seja A uma ´algebra comutativa com base {a, a
2
, a
3
, a
4
= a
2
a
2
, a
5
, a
2
a
3
}
sobre um corpo qualquer cuja caracter´ıstica ´e 3. Consideremos que todos os produtos de
seis ou mais fatores de A seja nulo. Dado x = α
1
a, +α
2
a
2
+α
3
a
3
+α
4
a
4
+α
5
a
5
+α
6
a
2
a
3
∈ A,
onde α
i
∈ F , para i = 1, 2, ..., 6, temos que
x
2
= α
2
1
a
2
+ 2α
1
α
2
a
3
+ (2α
1
α
3
+ α
2
2
)a
4
+ 2α
1
α
4
a
5
+ 2α
1
α
3
a
2
a
3
,
x
2
x
2
= α
4
1
a
4
+ α
3
1
α
2
a
2
a
3
,
x
2
x = α
3
1
a
3
+ (α
2
2
α
1
+ 2α
2
1
α
3
)a
5
+ (2α
1
α
2
2
+ α
2
1
α
3
)a
2
a
3
,
(x
2
x)x = α
4
1
a
4
+ α
3
1
α
2
a
2
a
3
.
Ent˜ao x
2
x
2
= (x
2
x)x, por´em A n˜ao ´e uma ´algebra de potˆencias associativas, pois a
5
= a
2
a
3
.
Exemplo 1.3. Seja A uma ´algebra sobre um corpo F de caracter´ıstica 5, cuja base ´e
{a, a
2
, a
3
, a
4
= a
2
a
2
, a
5
= a
2
a
3
, a
2
a
4
, a
3
a
3
}. Suponhamos ainda que essa ´algebra seja co-
mutativa, que o produto de potˆencias de a com sete ou mais fatores se anule e que as
identidades a
6
= 3a
3
a
3
− 2a
2
a
4
e 3a
3
a
3
= 4a
2
a
4
− 3a
6
sejam v´alidas. Desse modo, temos
para um elemento arbitr´ario x = α
1
a, +α
2
a
2
+ α
3
a
3
+ α
4
a
4
+ α
5
a
5
+ α
6
a
2
a
4
+ α
7
a
3
a
3
, onde
α
i
∈ F , para i = 1, 2, ..., 7, que
x
2
= α
2
1
a
2
+ 2α
1
α
2
a
3
+ (2α
1
α
3
+ α
2
2
)a
4
+ 2(α
1
α
4
+ α
2
α
3
)a
5
− 2α
2
α
4
a
2
a
4
+(α
2
3
+ α
1
α
5
)a
3
a
3
.
Fazendo −2α
2
α
4
= α ∈ F e α
2
3
+ α
1
α
5
= β ∈ F , temos
x
2
= α
2
1
a
2
+ 2α
1
α
2
a
3
+ (2α
1
α
3
+ α
2
2
)a
4
+ 2(α
1
α
4
+ α
2
α
3
)a
5
+ αa
2
a
4
+ βa
3
a
3
,
x
2
x
2
= α
4
1
a
4
+ 4α
3
1
α
2
a
5
+ 2α
2
1
(α
2
3
+ 2α
1
α
3
)a
2
a
4
+ 4α
2
1
α
2
2
a
3
a
3
.
Por outro lado, temos ainda
x
2
x = α
3
1
a
3
+ 3α
2
1
α
2
a
4
+ 3(α
1
α
2
2
+ α
2
1
α
3
)a
5
+ λa
2
a
4
+ γa
3
a
3
,
onde λ = α
3
2
+ 2α
2
1
α
4
+ 3α
1
α
2
α
3
e γ = α
2
1
α
4
+ 3α
1
α
2
α
3
. Al´em disso,
(x
2
x)x = α
4
1
a
4
+ 4α
3
1
α
2
a
5
− 3(α
2
1
α
2
2
+ 2α
3
1
α
3
)a
2
a
4
+ (9α
2
1
α
2
2
+ 10α
3
1
α
3
)a
3
a
3
.
Por´em, −3α
2
1
α
2
2
− 6α
3
1
α
3
= 2α
2
1
α
2
2
+ 4α
3
1
α
3
e 9α
2
1
α
2
2
+ 10α
3
1
α
3
= 4α
2
1
α
2
2
. Portanto,
(x
2
x)x = α
4
1
a
4
+ 4α
3
1
α
2
a
5
+ (2α
2
1
α
2
2
+ 4α
3
1
α
3
)a
2
a
4
+ 4α
2
1
α
2
2
a
3
a
3
= x
2
x
2
.
mas A n˜ao ´e uma ´algebra de potˆencias associativas, j´a que a
3
a
3
= a
2
a
4
.
1.3 A ´algebra A
(+)
Veremos agora que, a partir de uma ´algebra A dada, podemos construir uma nova ´algebra,
apenas modificando o produto. A ´algebra que veremos agora ser´a ´util no estudo das ´algebras
de potˆencias associativas n˜ao comutativas.
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 10
Seja A uma ´algebra, na qual a equa¸c˜ao 2x = a admite uma ´unica solu¸c˜ao x ∈ A qualquer
que seja a ∈ A. Definiremos, agora, uma ´algebra associada A
(+)
cuja adi¸c˜ao ´e a mesma da
´algebra A, mas com produto denotado por x · y e definido em fun¸c˜ao do produto xy em A
da seguinte maneira
x · y =
1
2
(xy + yx)
Temos que a ´algebra A
(+)
´e comutativa, pois x · y =
1
2
(xy + yx) =
1
2
(xy + yx) = y · x.
Definimos as potˆencias de A
(+)
por x
·1
= x e x
·n
= x
·(n−1)
x, onde n > 1 ´e inteiro. Essas
potˆencias coincidem com as de A. De fato, suponhamos por indu¸c˜ao que isso seja verdade
para o inteiro positivo k, ou seja, x
·k
= x
k
, ent˜ao
x
·(k+1)
= x
·k
x = x
k
x = x
k+1
Ent˜ao A
(+)
´e uma ´algebra de potˆencias associativas, se A for de potˆencias associativas.
Por´em, ´e possivel construir uma ´algebra A
(+)
de potˆencias associativas, sem que A seja de
potˆencias associativas.
Exemplo 1.4. Seja A uma ´algebra sobre um corpo F com base {a, a
2
, a
2
a, aa
2
} definida
de modo que os produtos a · · · a com quatro ou mais fatores sejam iguais a zero. Ent˜ao,
para todo x ∈ A
(+)
, temos
x = αa + βa
2
+ γaa
2
+ δa
2
a,
x
2
= (αa + βa
2
+ γaa
2
+ δa
2
a)(αa + βa
2
+ γaa
2
+ δa
2
a) = α
2
a
2
+ αβaa
2
+ αβa
2
a,
xx
2
= (αa + βa
2
+ γaa
2
+ δa
2
a)(α
2
a
2
+ αβaa
2
+ αβa
2
a) = α
3
aa
2
= x
2
x,
x · x
2
=
1
2
(xx
2
+ x
2
x) =
α
3
aa
2
2
=
1
2
(xx
2
+ x
2
x) = x
2
· x.
E como x
α
x
β
= 0, para α + β ≥ 4, teremos sempre que x
α
x
β
= x
α+β
, para todos os
inteiros positivos α e β. Portanto, A
(+)
´e de potˆencias associativas, onde A n˜ao o ´e, pois
aa
2
= a
2
a.
1.4 Identidades envolvendo L
x
e R
x
Nesta se¸c˜ao, vamos definir os operadores de multiplica¸c˜ao em uma ´algebra e estabelecer
algumas identidades envolvendo tais operadores.
Defini¸c˜ao 1.7. Sejam A uma ´algebra sobre o corpo F e x ∈ A. O operador linear R
x
sobre
A definido por aR
x
= ax ´e denominado operador de multiplica¸c˜ao `a direita por x.
Analogamente, o operador linear L
x
definido por aL
x
= xa ´e denominado operador de
multiplica¸c˜ao `a esquerda por x.
Com isso a multiplica¸c˜ao por x em A
(+)
´e unicamente representada pela aplica¸c˜ao:
T
x
=
1
2
(R
x
+ L
x
).
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 11
Reescrevendo a identidade (1.1) em termos de multiplica¸c˜ao `a direita e `a esquerda, temos
L
xy+yx
− R
xy+yx
+ (L
y
+ R
y
)x − x(L
y
+ R
y
) + (L
x
+ R
x
)y − y(L
x
+ R
x
) = 0,
que pode ainda ser reescrita como segue
(R
x
+ L
x
)(R
y
− L
y
) + (R
y
+ L
y
)(R
x
− L
x
) = R
xy+yx
− L
xy+yx
. (1.12)
Reescrevendo a identidade (1.3) em termos de multiplica¸c˜ao `a esquerda e `a direita temos
que:
(xy + yx)(R
z
+ L
z
) + (xz + zx)(R
y
+ L
y
) + (R
x
+ L
x
)(zy + yz) + (zy + yz)(R
x
+ L
x
)
+(R
y
+ L
y
)(xz + zx) + (R
z
+ L
z
)(xy + yx) = [(R
z
+ L
z
)y + (R
y
+ L
y
)z + L
yz+zy
]x+
+[(R
x
+ L
x
)y + (R
y
+ L
y
)x + L
xy+yx
]z + [(R
z
+ L
z
)x + (R
x
+ L
x
)z + L
xz+zx
]y+
L
(xz+zx)y
+ L
(xy+y x )z
+ L
(yz+zy)x
Portanto,
L
(xz+zx)y
+ L
(xy+yx)z
+ L
(yz+zy)x
= (R
x
+ L
x
)(R
yz+zy
+ L
yz+zy
− R
y
R
z
− R
z
R
y
) +
(R
y
+ L
y
)(R
xz+zx
+ L
xz+zx
− R
x
R
z
− R
z
R
x
) +
(R
z
+ L
z
)(R
xy+yx
+ L
xy+yx
− R
x
R
y
− R
y
R
x
) −
(L
xy+yx
R
z
+ L
xz+zx
R
y
+ L
yz+zy
R
x
) (1.13)
Fazendo x = y em (1.12), temos que R
2xx
− L
2xx
= 2(R
x
+ L
x
)(R
x
− L
x
), ou ainda
R
xx
− L
xx
= (R
x
+ L
x
)(R
x
− L
x
) (1.14)
e quando x = y = z, segue de (1.13), temos que
3L
2(xx)x
= 3(R
x
+ L
x
)(R
2xx
+ L
2xx
− 2R
2
x
) − 3L
2xx
R
x
,
L
(xx)x
= (R
x
+ L
x
)(R
xx
+ L
xx
− R
2
x
) − L
xx
R
x
. (1.15)
Lema 1.5. Sejam A uma ´algebra, x ∈ A e A
x
o conjunto do todas as somas finitas de
produtos de um n´umero finito de fatores da forma R
x
, L
x
ou R
xx
. Ent˜ao A
x
cont´em todos
os elementos da forma R
w
e L
w
, onde w = x
k
e k ´e um inteiro positivo.
Demonstra¸c˜ao.
´
E claro que o resultado ´e v´alido para k = 1 e segue de (1.14) que o resultado
tamb´em vale para k = 2. Suponhamos que esse resultado seja v´alido para todos os expoentes
inteiros k tais que k ≤ t + 1. Escrevendo y = x
t+1
e w = x
t+2
e como xy + yx = xx
t+1
+
x
t+1
x = 2x
t+2
= 2w, segue de (1.12) que
2(R
w
− L
w
) = (R
x
+ L
x
)(R
y
− L
y
) + (R
y
+ L
y
)(R
x
− L
x
) (1.16)
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 12
O pr´oximo passo ´e substituir z por x
t
e y por x em (1.13). Notemos que dessa maneira
(xy + yx)z = (xx + xx)x
t
= 2x
t+2
= 2w e, analogamente, (xy + yx)z = (yz + zy)x =
(xz + zx)y. Ent˜ao
6L
w
= (R
x
+ L
x
)(2R
x
t+1
− 2L
x
t+1
− R
x
R
x
t
− R
x
t
R
x
) + (R
x
t
+ L
x
t
)(2R
x
2
+ 2L
x
2
− 2R
x
)
Consequentemente, pela hip´otese de indu¸c˜ao, temos que L
x
∈ A
x
e por (1.16) temos que
L
w
∈ A
x
.
No caso particular em que x = e = e
2
, a f´ormula (1.14) se transforma em R
ee
− L
ee
=
(R
e
+ L
e
)(R
e
− L
e
), de onde segue que (R
e
+ L
e
)(R
e
− L
e
) − (R
e
− L
e
) = 0. Logo,
(R
e
+ L
e
− I)(R
e
− L
e
) − (R
e
− L
e
) = 0. (1.17)
Fazendo x = e = e
2
tamb´em em (1.15), obtemos L
(ee)e
= (R
e
+ L
e
)(R
e
+ L
e
− R
2
e
) − L
e
R
e
,
ou ainda, R
2
e
+ R
e
L
e
− R
e
R
2
e
+ L
e
R
e
+ L
2
e
− L
e
R
2
e
− L
e
R
e
− L
e
= 0. Assim, temos
(R
e
+ L
e
)
2
− (R
e
+ L
e
)R
2
e
− L
e
(R
e
+ I) = 0. (1.18)
onde I ´e o operador identidade em A. N˜ao ´e poss´ıvel deduzir a partir de (1.17) e (1.18)
equa¸c˜oes que s´o contenham R
e
ou L
e
. Quando A ´e comutativa, segue de (1.13) que
2R
x(yz)
+ 2R
y(zx)
+ 2R
z(xy)
= (R
x
+ L
x
)(4R
yz
− R
y
R
z
− R
z
R
y
) +
(R
y
+ R
y
)(4R
zx
− R
z
R
x
− R
x
R
z
) +
(R
z
+ R
z
)(4R
xy
− R
x
R
y
− R
y
R
x
) −
2(R
xy
R
z
+ R
zx
R
y
+ R
yz
R
x
).
portanto, temos
R
x(yz)
+ R
y(zx)
+ R
z(xy)
= 4(R
x
R
yz
+ R
y
R
zx
+ R
z
R
xy
) − (R
yz
R
x
+ R
zx
R
y
+ R
xy
R
z
) −
[R
x
(R
y
R
z
+ R
z
R
y
) + R
y
(R
z
R
x
+ R
x
R
z
) + R
z
(R
x
R
y
+ R
y
R
x
)].
(1.19)
Al´em disso, (1.12) e (1.14) se anulam, pois L
x
= R
x
, para todo x ∈ A. A igualdade (1.15)
se torna R
(xx)x
= 2R
x
(R
xx
− R
2
x
) − R
xx
R
x
, ou seja,
R
(xx)x
= 4R
x
R
xx
− 2R
3
x
− R
xx
R
x
. (1.20)
Finalmente, usando a express˜ao (1.19) com y = x e z = x
2
e a express˜ao (1.20), chegamos
`a identidade
R
(xx)(xx)
= R
2
xx
+ 10R
2
x
R
xx
− 6R
x
R
xx
R
x
− 4R
4
x
. (1.21)
1.5 Nil´algebras e nilideais
Veremos agora uma condi¸c˜ao para que, dados uma ´algebra de potˆencias associativas A
e um elemento x ∈ A qualquer, a ´algebra A
x
seja nilpotente e um exemplo de ´algebra n˜ao
comutativa A, em que A
x
n˜ao ´e nilpotente.
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 13
Defini¸c˜ao 1.8. Seja A uma ´algebra de potˆencias associativas. Dizemos que um elemento
x ∈ A ´e nilpotente existe um inteiro r tal que x
r
= 0. O menor inteiro positivo r para o
qual x
r
= 0 ´e denominado nil´ındice ou ´ındice de nilpotˆencia de x.
Defini¸c˜ao 1.9. Diz-se que A ´e uma nil´algebra se todos os elementos de A forem nilpo-
tentes. O nil´ındice da ´algebra A ´e definido como sendo o menor inteiro positivo para o
qual todos os elementos de A s˜ao nilpotentes.
Defini¸c˜ao 1.10. Se todos os elementos do ideal B da ´algebra A forem nilpontentes, ent˜ao
B ´e denomidado um nilideal.
Notemos que a soma de nilideais tamb´em ´e um nilideal. De fato, sejam B e C nilideais,
de nil´ındices k e t, respectivamente. Sendo assim, b
k
= c
t
= 0 para quaisquer b ∈ B e c ∈ C.
Como cada elemento de B + C ´e da forma b + c, temos
(b + c)
kt
= [(b + c)
k
]
t
= [b
k
+ c
0
]
t
= c
t
0
= 0
onde c
0
=
(b
i
c
j
+ c
j
b
i
) ∈ C ´e uma soma de produtos de elementos envolvendo b
i
∈ B e
c
i
∈ C e os ´ındices i e j s˜ao inteiros positivos. Disso se conclui que a soma B
1
+ · · · + B
r
de
uma quantidade finita de nilideais tamb´em ´e um nilideal. Define-se tamb´em a soma R dos
nilideais de A como sendo o conjunto de todas as somas finitas da forma b = b
i
+ · · · + b
r
,
onde cada b
1
∈ B
i
, i = 1, . . . , r. Evidentemente, b ´e nilpotente com ´ındice de nilpotˆencia
igual ao m´ınimo m´ultiplo comum dos ´ındices dos b
i
e R ´e chamado de nilradical de A.
Teorema 1.3. Seja A um ´algebra comutativa de potˆencias associativas sobre um corpo
de caracter´ıstica diferente de 2 com nil´ındice t ≤ 4. Ent˜ao A
x
´e nula ou ´e uma ´algebra
associativa nilpotente, para todo x ∈ A.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que t = 2. Ent˜ao, para quaisquer a, b ∈ A, temos que (a+b)
2
=
0, ou ainda, a
2
+ 2ab + b
2
= 0. Assim, ab = 0. Neste caso A ´e nula e A
x
s´o cont´em o
homomorfismo nulo. Suponhamos agora que t = 3. Assim, pela defini¸c˜ao de ´ındice de
nilpotˆencia, deve existir z ∈ A tal que z
2
= 0 e, logicamente, R
z
= 0. Segue de x
2
x = 0 que
(xy)z + (xz)y + (yz)x = 0
onde x, y, z ∈ A. Portanto, temos
R
xy
+ R
x
R
y
+ R
y
R
x
= 0. (1.22)
Fazendo x = y em (1.22) temos R
xx
+ R
x
R
x
+ R
x
R
x
= 0. Logo
R
xx
= −2R
2
x
, (1.23)
multiplicando por R
x
`a esquerda, obtemos
R
x
R
xx
= −4R
3
x
. (1.24)
Notemos que R
xx
comuta com R
x
, pois
R
xx
R
x
= −2R
2
x
R
x
= −2R
3
x
,
R
x
R
xx
= R
x
(−2R
2
x
) = −2R
3
x
.
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 14
Da´ı segue que, para todo y ∈ A
yR
xx
R
x
= yR
x
R
xx
,
(y(xx))x = (yx)(xx),
(x
2
y)x = x
2
(yx).
Substituindo y por xx em (1.22), obtemos R
x(xx)
+ R
x
R
x(xx)
+ R
x(xx)
R
x
= 0. Assim,
R
x(xx)
= −2R
x
R
xx
e, portanto,
R
x
R
xx
= 0
pois, x
3
= 0, e segue de (1.24) que R
x
´e nilpotente. Quando o ´ındice de nilpotˆencia for 4,
temos por lineariza¸c˜ao de (xx)(xx) = 0 que
(xy)(wz) + (xz)(yw) + (xw)(yz) = 0,
R
z
R
xy
+ R
zx
+ R
x
R
yz
= 0
onde x, y, z, w ∈ A. Fazendo x = y = z acima, obtemos R
x
R
xx
= 0 e de (1.21) obtemos
R
2
xx
= 4R
4
x
. Portanto, multiplicando por R
x
`a esquerda, R
5
x
= 0, ou seja, R
x
´e nilpotente.
Agora vamos demonstrar que A
x
´e nilpotente. Lembramos que cada elemento desse conjunto
´e uma soma de produtos de uma quantidade finita de elementos iguais a R
x
ou R
xx
, ou seja:
A = P
1
P
2
· · · P
k
1
+ P
1
P
2
· · · P
k
2
+ · · · + P
1
P
2
· · · P
k
r
onde k e r s˜ao inteiros positivos e cada P
i
´e R
x
ou R
xx
e modo que cada produto de seis
elementos de A
x
´e uma soma finita de produtos da forma P = S
1
S
2
· · · S
n
, n ≥ 6. Se
S
1
= R
x
, ent˜ao P ´e sempre zero pois, se S
2
= R
xx
vamos ter P = R
x
R
xx
· · · = 0 e caso
S
2
= R
x
devemos olhar para o valor de S
3
. Se este for R
xx
, ent˜ao P = R
x
R
x
R
xx
· · · = 0,
caso contr´ario continuamos esse processo at´e S
5
e ai s´o pode o correr P = R
5
x
· · · = 0 ou
P = R
3
x
R
x
R
xx
· · · = 0. Supondo que S
1
= S
2
= R
xx
, segue que S
1
= S
2
= 4R
2
x
e,
para qualquer S
3
, P se anula novamente. Fixando S
1
= R
xx
e S
2
= R
x
, podemos ter
R
xx
R
x
· · · R
x
R
xx
· · · = 0 ou R
xx
R
x
R
xx
· · · = 0, ou mesmo R
xx
R
5
x
· · · = 0. Portanto, A
x
´e
nilpotente.
Vejamos um exemplo de ´algebra n˜ao comutativa e que n˜ao possui a propriedade do
Teorema 1.3.
Exemplo 1.5. Seja A uma ´algebra sobre um corpo F com base {u, v, uv} tal que u
2
=
v
2
= (uv)
2
= 0, uv + vu = 0, (uv)u = −u(uv) = v e (uv)v = −v(uv) = u. Ent˜ao dado
qualquer x ∈ A, exitem λ, γ, ϕ ∈ F tais que x = λu + µv + ϕuv. Dessa forma, temos que
x
2
= γ
2
u
2
+ λµuv + λϕu(uv) + λµvu + µ
2
v
2
+ µϕv(uv) + λϕ(uv)u + µϕ(uv)v + ϕ
2
v
2
= λµ(uv + vu) + λϕ[u(uv) + (uv)u] + µϕ[v(uv) + (uv)v] = λϕ(−v + v) + µϕ(−u + u)
= 0.
Ent˜ao A tem nil´ındice 2 e ´e de potˆencias associativas. Por´em as aplica¸c˜oes R
u
e R
v
n˜ao s˜ao
nilpotentes. De fato, construindo as matrizes dessas mesmas, temos
uR
u
= u
2
= 0 = 0u + 0v + 0uv,
vR
u
= vu = 0u + 0v − uv,
(uv)R
u
= (uv)u = v = 0u + v + 0uv.
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 15
Al´em disso,
uR
v
= uv = 0u + 0v + 1uv,
vR
v
= v
2
= 0u + 0v + 0uv,
(uv)R
v
= (uv)v = u = 1u + v + 0uv.
Logo, as matrizes dos operadores R
u
e R
v
s˜ao dadas por
[R
u
] =
0 0 0
0 0 1
0 −1 0
e
[R
v
] =
0 0 1
0 0 0
1 0 0
.
Com isso, podemos constatar que R
4
u
e R
2
v
s˜ao idempotentes, ou seja, (R
4
u
)
2
= R
4
u
e (R
2
v
)
2
=
R
2
v
. Assim, nenhuma potˆencia de R
u
e R
v
ser´a nula. Consequentemente, qualquer R
x
= 0
e A
x
n˜ao ´e nilpotente.
1.6 Idempotentes em ´algebras comutativas
Nesta se¸c˜ao consideraremos um idempotente e de uma ´algebra comutativa e de potˆencias
associativas A. Provaremos que os autovalores do operador R
e
s˜ao 0, 1 e
1
2
. A partir
desses autovalores, construiremos subespa¸cos que decompor˜ao A em soma direta. Depois
estudaremos como se comporta o produto de dois desses subespa¸cos.
Seja A uma ´algebra comutativa. Com isso a igualdade (1.18) se torna −2R
3
e
+3R
2
e
−R
e
=
0. Da´ı
(2R
2
e
− 3R
e
+ I)R
e
= 0,
(2R
2
e
− 2R
e
− R
e
+ I)R
e
= 0,
[2R
e
(R
e
− I) − (R
e
− I)] R
e
= 0,
(2R
e
− I)(R
e
− I)R
e
= 0. (1.25)
Para todo idempotente e ∈ A. Definimos o conjunto A
e
(λ) como sendo o conjunto dos
elementos a
e
(λ) ∈ A tais que
ea
e
(λ) = λa
e
(λ). (1.26)
Ent˜ao dado qualquer x ∈ A
e
(λ), temos que ex = λe e segue de (1.25) que
x[(2R
e
− I)(R
e
− I)R
e
] = 0,
(2λ − 1)x[(R
e
− I)R
e
] = 0,
(2λ − 1)(λ − 1)xR
e
= 0,
(2λ − 1)(λ − 1)λx = 0.
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 16
Portanto, λ ∈ {0, 1, 1/2}. Mostremos agora que A
e
(λ) ´e um subespa¸co de A. Dados
x, y ∈ A
e
(λ) e ϕ ∈ F , tem-se que ex = λx e ey = λy, logo
e(x − y) = ex − ey = λx − λy = λ(x − y),
e(ϕx) = ϕ(ex) = ϕ(λx) = λ(ϕx) .
Logo, x − y ∈ A
e
(λ) e ϕx ∈ A
e
(λ). Al´em disso, a ´algebra A ´e a soma direta
A = A
e
(0) ⊕ A
e
(1) ⊕ A
e
(1/2). (1.27)
De fato, pois dados a ∈ A e o operador identidade I sobre A, temos que
a = aI − 3aR
e
+ 2aR
2
e
+ 4aR
e
− 4aR
2
e
+ 2aR
2
e
− aR
e
= a(I − 3R
e
+ 2R
2
e
) + 4a(R
e
− R
2
e
) + a(2R
2
e
− R
e
)
= x + y + z,
onde x = a(I − 3R
e
+ 2R
2
e
), y = 4a(R
e
− R
2
e
), z = a(2R
2
e
− R
e
). Observemos que x ∈ A
e
(0),
y ∈ A
e
(1/2) e z ∈ A
e
(1), j´a que, usando o fato de que 2R
3
e
− 3R
2
e
+ R
e
= 0, temos
ex = ea(I − 3R
e
+ 2R
2
e
) = ae − 3aeR
e
+ 2aeR
2
e
= a(R
e
− 3R
2
e
+ 2R
3
e
) = 0,
ey = 4ea(R
e
− R
2
e
) = 4aeR
e
− 4aeR
2
e
= 4aR
2
e
− 4aR
3
e
.
Mas como 2R
3
e
− 3R
2
e
+ R
e
= 0 implica 2
−1
(R
e
− R
2
e
) = R
2
e
− R
3
e
, ent˜ao
ey = 4(aR
2
e
− aR
3
e
) = 2
−1
a(R
2
e
− R
3
e
) =
y
2
,
ez = a(2R
2
e
− R
e
) = 2aeR
2
e
− aeR
e
= 2aR
3
e
− aR
2
e
= a(2R
3
e
− R
2
e
).
Por´em 2R
3
e
− 3R
2
e
+ R
e
= 2R
3
e
− R
2
e
− 2R
2
e
+ R
e
= 0. Ent˜ao 2R
3
e
− R
2
e
= 2R
2
e
− R
e
e obtemos
ez = a(2R
3
e
− R
2
e
) = a(2R
2
e
− R
e
) = z.
E para provar que a soma ´e direta, multiplicamos duas vezes por e a igualdade a
e
(0) +
a
e
(1) + a
e
(1/2) = 0 e usamos a defini¸c˜ao de a
e
(λ)
ea
e
(0) + ea
e
(1) + ea
e
(1/2) = 0,
a
e
(1) + 2
−1
a
e
(1/2) = 0, (1.28)
ea
e
(1) + e2
−1
a
e
(1/2) = 0,
a
e
(1) + 4
−1
a
e
(1/2) = 0. (1.29)
Resolvendo o sistema formado por (1.28) e (1.29), obtemos a solu¸c˜ao trivial e tamb´em
conclu´ımos que a
e
(0) = 0.
Defini¸c˜ao 1.11. Diz-se que os subespa¸cos B e C da ´algebra A s˜ao ortogonais quando
xy = 0, para quaisquer x ∈ B e y ∈ C.
Teorema 1.4. Os subespa¸cos A
e
(1) e A
e
(0) num ´algebra comutativa de potˆencias associa-
tivas s˜ao nulos ou sub´algebras ortogonais de A e s˜ao v´alidas as seguintes inclus˜oes
A
e
(1/2) A
e
(1/2) ⊆ A
e
(1) + A
e
(0),
A
e
(1) A
e
(1/2) ⊆ A
e
(1/2) + A
e
(0), (1.30)
A
e
(0) A
e
(1/2) ⊆ A
e
(1/2) + A
e
(1).
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 17
Demonstra¸c˜ao. Inicialmente, obsevermos que a lineariza¸c˜ao de x
2
x
2
= (x
2
x)x fornece a
identidade
4[(xy)(wz) + ( xz)(yw) + (xw)(yz)] = x[y(zw) + z(wy) + w(yz)]
+y[x(zw) + z(wx) + w(xz)]
+z[x(yw) + y(wx) + w(xy)]
+w[x(yz) + y(xz) + z(xy)]
Em particular, quando z = w = e, obtemos a seguinte identidade
4[(xy)e + 2(xe)(ye)] = x[ye + 2(ye)e] + y[xe + 2(xe)e] + 2 e[x(ye) + y(xe) + (xy)e].
(1.31)
Sejam x, y ∈ A
e
(1), ent˜ao xe = x e ye = y. Fazendo essas substitui¸c˜oes em (1.31) temos
4(xy)e + 8xy = 6xy + 4e(xy) + 2((xy)e)e. Logo,((xy)e)e − xy = (xy)(R
2
e
− I). Segue
da´ı que (xy)(R
e
− I) = 0. Assim, e(xy) = xy e, portanto, xy ∈ A
e
(1). Ent˜ao A ´e
uma sub´algebra. Agora consideremos x, y ∈ A
e
(0), de modo que xe = ye = 0. Com
isto, a equa¸c˜ao (1.31) se reduz `a 4(xy)e = 2((xy)e)e, que pode ainda se reescrita como
((xy)e)e − 2(xy)e = 0. Logo (xy)(R
2
e
− 2R
e
) = (xy)R
e
(R
e
− 2I) = 0. Assim, (xy)R
e
= 0, ou
seja (xy)e = 0. Portanto, xy ∈ A
e
(0) e fica provado que A
e
(0) tamb´em ´e uma sub´algebra.
Vamos provar que elas s˜ao ortogonais. Dados x ∈ A
e
(1) e y ∈ A
e
(0). Segue de (1.31) que
4(xy)e = 3xy + 2(xy)e + 2((xy)e)e. Portanto, 0 = (xy)(2R
2
e
−R
e
+3I) = (xy)R
e
(R
2
e
+2I) =
(xy)R
e
= (xy)e. Ent˜ao, segue de 4(xy)e = 3xy + 2(xy)e + 2((xy)e)e, que 3xy = 0 e assim
xy = 0. Logo, as sub´algebras A
e
(1) e A
e
(0) s˜ao ortogonais.
Resta provar as inclus˜oes. Consideremos x, y ∈ A
e
(1/2) e isto significa que xe =
x
2
e
ye =
y
2
. De (1.31) vem ((xy)e)e − (xy)e = 0, (xy)R
e
(R
e
− I) = 0 e (xy)R
e
= 0 e assim
xy ∈ A
e
(0) ⊆ A
e
(0) + A
e
(1).
Se x ∈ A
e
(1) e y ∈ A
e
(1/2), isto ´e, se xe = x e ye =
y
2
, obtemos 2((xy)e)e − (xy)e = 0,
(xy)R
e
(2R
e
− I) = 0, (xy)(2R
e
− I) = 0 e e(xy) = (xy)/2. Logo, xy ∈ A
e
(1/2) ⊆
A
e
(0) + A
e
(1/2).
Finalmente, quando x ∈ A
e
(0) e y ∈ A
e
(1/2), isto ´e, se xe = 0 e ye =
y
2
. Ent˜ao
2((xy)e) − 3(xy)e + xy = 0, (xy)(2R
e
− I)(R
e
− I) = 0, (xy)(2R
e
− I) = 0. Portanto,
xy ∈ A
e
(1/2) ⊆ A
e
(1) + A
e
(1/2) e isto encerra a demonstra¸c˜ao.
Quando A ´e uma ´algebra de Jordan, isto ´e, uma ´algebra comutativa para qual x
2
(yx) =
(x
2
y)x, para quaisquer x, y ∈ A, as duas ´ultimas inclus˜oes do Teorema 1.4 se reduzem a
A
e
(1) A
e
(1/2) ⊆ A
e
(1/2), A
e
(0) A
e
(1/2) ⊆ A
e
(1/2). (1.32)
Entretanto, as inclus˜oes em (1.32) n˜ao s˜ao v´alidas para todos os ´algebras comutativas
de potˆencias associativas.
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 18
Exemplo 1.6. Seja A uma ´algebra comutativa sobre um corpo F cuja caracter´ıstica ´e
diferente de 2, 3 e 5, tal que {e, f, g, h} seja uma base para A de modo que e
2
= e, ef =
f, eg =
1
2
g, gh = f, eh = f
2
= g
2
= h
2
= fg = fh = 0. Ent˜ao A
e
(1/2) = gF , pois dado
x ∈ gF , ent˜ao x ´e da forma x = αg e ex = e(αg) =
1
2
αg =
1
2
x e assim x ∈ A
e
(1/2). Agora,
dado x = αe + βf + γg + δh ∈ A
e
(1/2), temos
ex =
1
2
x,
e(αe + βf + γg + δh) =
1
2
(αe + βf + γg + δh),
αe + βf − δh = 0.
Segue que α = β = δ = 0, pois os elementos da base s˜ao linearmente independentes e
conclu´ımos assim que x = αe + βf + γg + δh = γg ∈ gF . Tamb´em temos que, A
e
(0) = hF ,
pois dado x ∈ hF , temos que x = αh e ex = e(αh) = α(eh) = α0 = 0, da´ı x ∈ A
e
(0). Dado
x = αe + βf + γg + δh ∈ A
e
(0), temos
ex = 0,
e(αe + βf + γg + δh) = 0,
αe + βf +
1
2
γg = 0.
Logo, α = β = γ = 0, pois os elementos da base s˜ao linearmente independentes e concluimos
assim que x = αe + βf + γg + δh = δh ∈ hF . Finalmente, A
e
(1/2)A
e
(0) = (hF )(gF ) =
(hg)F = fF ⊂ A
e
(1) e fF A
e
(1/2), j´a que x = λf ∈ fF implica ex = λef = λf =
1
2
.
Ent˜ao n˜ao vale (1.32), embora A seja uma ´algebra de potˆencias associativas, pois dado
qualquer x = αe + βf + γg + δh ∈ A, tem-se que
x
2
= (αe + βf + γg + δh)
2
= α
2
e + 2(αβ + γδ)f + αγg,
x
2
x
2
= α
4
e + 4α
2
(αβ + γδ)f + α
3
γg,
x
2
x = (α
2
e + 2(αβ + γδ)f + αγg)(αe + βf + γg + δh) = α
3
e + 3α(αβ + γδ)f + α
2
γg,
(x
2
x) = = (α
3
e + 3α(αβ + γδ)f + α
2
γg)(αe + βf + γg + δh) = x
2
x
2
.
1.7 Idempotentes em ´algebras n˜ao comutativas
Seja A uma ´algebra de potˆencias associativas n˜ao necessariamente comutativa. Como j´a
foi visto, as potˆencias de A coincidem com as potˆencias de A
(+)
, al´em disso todo idempotente
idempotente e ∈ A tamb´em ´e um idempotente da ´algebra A
(+)
, pois e · e =
1
2
(e
2
+ e
2
) =
e
2
= e. Ent˜ao tudo o que foi visto na se¸c˜ao anterior ´e v´alido para a ´algebra A
(+)
. Assim,
temos a seguinte decomposi¸c˜ao
A = A
(+)
e
(0) ⊕ A
(+)
e
(1) ⊕ A
(+)
e
(1/2),
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 19
onde
A
(+)
e
(0) = {a ∈ A; e · a = 0} = {a ∈ A; ea + ae = 0},
A
(+)
e
(1) = {a ∈ A; e · a = a} = {a ∈ A; ea + ae = 2a},
A
(+)
e
(1/2) = {a ∈ A; 2e · a = a} = {a ∈ A; ea + ae = a}.
Esses conjuntos podem ser escritos como
A
(+)
e
(λ) = {a ∈ A; e · a = λa} = {a ∈ A; ea + ae = 2λa}.
Quando A ´e uma ´algebra comutativa, vimos na se¸c˜ao anterior que dois dos somandos de
A s˜ao ortogonais. No pr´oximo teorema vamos provar um resultado an´alogo.
Teorema 1.5. Os subespa¸cos A
e
(1) e A
e
(0) da ´algebra A de potˆencias associativas n˜ao
necessariamente comutativa s˜ao ortogonais tais que
ea
e
(1) = a
e
(1)e = a
e
(1), ea
e
(0) = a
e
(0)e = 0, (1.33)
para todos os elementos a
e
(1) ∈ A
e
(1) e a
e
(0) ∈ A
e
(0).
Demonstra¸c˜ao. Dados x ∈ A
e
(1), ent˜ao ex = x. Com rela¸c˜ao ao produto em A
(+)
e
(1),
sabemos que ex + ex = 2x. Logo, xe = 2x − ex = 2x − x = x. Analogamente, se y ∈ A
e
(0),
ent˜ao ex = 0. Pelo produto em A
(+)
e
(0), vem ex + xe = 0, isto ´e, xe = 0. Assim as rela¸c˜oes
em (1.33) ficam provadas.
Como ex+xe = 2x em A
(+)
e
(1), ey +ye = 0 em A
(+)
e
(0) e, pela ortogonalidade de A
e
(1) e
A
e
(0), temos que xy + yx = 0. Ent˜ao substituindo esses dados e z por e na igualdade (1.1),
segue que [xy + yx, e] + [xe + ex, y] + [ye + ey, x] = 0, o que implica [x, y] = 0. Logo
xy − yx = 0. Portanto, xy = 0.
Exemplo 1.7. Quando a ´algebra A n˜ao ´e comutativa, os autovalores de R
e
n˜ao necessari-
amente s˜ao 0, 1 e
1
2
vistos no caso comutativo.
De fato, consideremos a ´algebra A com base {e, e
1
, . . . , e
t
}, onde e ´e um idempotente e
tal que ee
i
= α
i
e
i
, e
i
e = (1 − α
i
)e
i
e e
i
e
j
= 0 para i, j = 1, . . . , t. Ent˜ao os autovalores
s˜ao arbitr´arios e A ´e de potˆencias associativas, pois dado y = β
1
e
1
+ · · · + β
t
e
t
ent˜ao
y
2
= yy = β
1
e
1
+ · · · + β
t
e
t
= 0. Logo yy
2
= y
2
y e y
2
y
2
= (y
2
y)y. Para os demais elementos
x ∈ A, temos que x = αe + y. Assim,
ey + ye = e
t
i=1
β
i
e
i
+
t
i=1
β
i
e
i
e =
t
i=1
β
i
ee
i
+
t
i=1
β
i
e
i
e =
=
t
i=1
α
i
β
i
e
i
+
t
i=1
β
i
(1 − α
i
)e
i
=
t
i=1
α
i
β
i
e
i
+
t
i=1
(β
i
− α
i
β
i
)e
i
= y.
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 20
Portanto, temos que
x
2
= (αe + y)
2
= α
2
e
2
+ αey + αye + y
2
= α
2
e + αy = αx,
xx
2
= x (αx) = αx
2
= α
2
x,
x
2
x = (αx)x = αx
2
= α
2
x,
x
2
x
2
= (αx)(αx) = α
2
x
2
= α
3
x,
(x
2
x)x = ((αx)x)x = αx
2
x = α
2
x
2
= α
3
x.
e conclu´ımos que xx
2
= x
2
x e x
2
x
2
= x
2
= (x
2
x)x.
Exemplo 1.8. Consideremos uma ´algebra com base {e, u, v} sobre um corpo F de carac-
ter´ıstica diferente de 2, 3 e 5, de tal maneira que e
2
= e, eu = ue =
1
2
u, ev = ve =
1
2
v,
uv = v, vu = −u, u
2
= v
2
= 0.
Nesta ´algebra n˜ao comutativa, x, y ∈ A
e
(1/2), pois dados x = αe + βu + γv e y =
λe + ϕu + ψv em A
e
(1/2), com α, β, γ, λ, ϕ, ψ ∈ F , temos
xy = αλe +
1
2
αϕu +
1
2
αψv +
1
2
βλu + βψv +
1
2
γλv − γϕu,
e(xy) = αλe +
1
4
αϕu +
1
4
αψv +
1
4
βλu +
1
2
βψv +
1
4
γλv −
1
2
γϕu =
1
2
xy.
Ent˜ao xy ∈ A
e
(1/2) e assim a
e
(1/2) ´e uma sub´algebra de A e por isso n˜ao vale a inclus˜ao
A
e
(1/2)A
e
(1/2) ⊆ A
e
(1)A
e
(0). Entretanto
x
2
= α
2
e +
1
2
αβu +
1
2
αγv +
1
2
αβu + βγu +
1
2
αγv − βγu = α
2
e + α(βu + γv) = αx.
E, como vimos no exemplo anterior, isso acarreta no fato de que A ´e uma ´algebra de
potˆencias associativas. Vejamos um exemplo em que os subconjuntos A
e
(1) e A
e
(0) n˜ao
precisam ser sub´algebras de A para que esta seja uma ´algebra de potˆencias associativas.
Exemplo 1.9. Seja A uma ´algebra com base {e, u, v, w} tal que eu = ue = u, e
2
= e,
ev = ve = ew = we = u
2
= v
2
= w
2
= uv = vu = uw = wu = 0, vw = u, wv = −u.
Dados x, y ∈ A
e
(0), ent˜ao estes elementos s˜ao da forma x = αe + βf + γg + δh e
y = µe + ϕu + ψv + σw, com α, β, γ, δ, µ, ϕ, ψ, σ ∈ F , temos
xy = (αe + βf + γg + δh)(µe + ϕu + ψv + σw) = αµe + (αµ + βµ + γσ − δψ)u.
Mas como xy ∈ A
e
(0), ent˜ao e(xy) = 0 e αµe + (αµ + βµ + γσ − δψ)u = 0. Sendo os
elementos da base n˜ao nulos, conclu´ımos que αµ = 0 e que xy ∈ uF . Logo, A
e
(0)A
e
(0) ⊆
uF . Al´em disso, e(xy) = xy e xy ∈ A
e
(1). Agora calculemos
x
2
= (αe + βu + γv + δw)
2
= α
2
e + 2αβu,
x
2
x = (α
2
e + 2αβu)(αe + βu + γv + δw) = α
3
e + 3α
2
βu = xx
2
,
(x
2
x)x = (α
3
e + 3α
2
βu)(αe + βu + γv + δw) = α
4
e + 4α
3
βu = x
2
x
2
.
Ent˜ao A ´e de potˆencias associativas, por´em A
e
(0) n˜ao ´e uma sub´algebra de A.
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 21
1.8
´
Algebras flex´ıveis
Nesta se¸c˜ao, vamos considerar ´algebras de potˆencias associativas com uma condi¸c˜ao
adicional, o que nos permitir´a melhores resultados sobre a sua estrutura.
Defini¸c˜ao 1.12. Dizemos que a ´algebra A ´e flex´ıvel se (xy)x = x(yx), quaisquer que sejam
x, y ∈ A.
Observemos que, substituindo x por x + z, onde z ∈ A, ficamos com ((x + z)y) (x + z) =
(x + z) (y(x + z)) e isso, usando a defini¸c˜ao acima, gera a identidade (xy + zy)(x + z) =
(x + z)(yx + yz), ou seja,
(xy)z + (zy)x = x(yz) + z(yx). (1.34)
Reciprocamente, se uma ´algebra A cumpre a condi¸c˜ao (1.34), ent˜ao A ´e flex´ıvel. Em par-
ticular a igualdade x
2
x = xx
2
´e v´alida para todo x numa ´algebra flex´ıvel.
Teorema 1.6. Seja A uma ´algebra flex´ıvel sobre um corpo F com caracter´ıstica diferente
de 2, 3 e 5. Ent˜ao A ´e de potˆencias associativas se, e somente se, x
2
x
2
= (x
2
x)x.
Demonstra¸c˜ao.
´
E claro que se A ´e de potˆencias associativas, tem-se que x
2
x
2
= (x
2
x)x.
Reciprocamente, pela flexibilidade , temos que xx
2
= x(xx) = (xx)x = x
2
x. Notemos
tamb´em, que esse fato e a flexibilidade de A nos d˜ao xx
3
= x(x
2
x) = (xx
2
)x = x
3
x = x
4
.
Al´em disso, por hip´otese, temos que x
2
x
2
= x
4
. Segue que x
α
x
β
= x
α+β
, para inteiros
positivos α e β tais que α + β ≤ 4. Agora suponhamos, por indu¸c˜ao, que isso tamb´em
seja verdade α + β ≤ n, onde n ≥ 4. Substituindo y por x
λ−1
e z por x
n−λ
, onde λ ∈
{2, 3, . . . , n−1} em (1.34), teremos (xx
λ−1
)x
n−λ
+(x
n−λ
x
λ−1
)x = x(x
λ−1
x
n−λ
)+x
n−λ
(x
λ−1
x),
ou seja,
x
λ
x
n−λ
+ x
n−1
x = xx
n−1
+ x
n−λ
x
λ
.
Fazendo λ = n − 1 na identidade acima, obtemos x
n−1
x = xx
n−1
e que pode ser ree-
scrita como [x
n−1
, x] = 0. Pelo Lema 1.4, x
n−λ
x
λ
= x
n−1
x = x
n
e assim, conclu´ımos que
x
α
x
β
= x
α+β
tamb´em para α + β = n. Portanto, A ´e uma ´algebra de potˆencias associativas.
Teorema 1.7. Seja e um idempotente de uma ´algebra flex´ıvel de potˆencias associativas
A. Ent˜ao A
e
(1) e A
e
(0) s˜ao nulos ou s˜ao sub´algebras de A; ex, xe ∈ A
e
(1/2), para todo
x ∈ A
e
(1/2) e valem as inclus˜oes
A
e
(1)A
e
(1/2) ⊆ A
e
(1/2) + A
e
(0), A
e
(1/2)A
e
(1) ⊆ A
e
(1/2) + A
e
(0),
A
e
(0)A
e
(1/2) ⊆ A
e
(1/2) + A
e
(1), A
e
(1/2)A
e
(0) ⊆ A
e
(1/2) + A
e
(1).
(1.35)
Demonstra¸c˜ao. Inicialmente, substituimos ey e ye por αy e z por e em (1.34), ent˜ao
(xy)e + α(yx) = α(xy) + e(yx),
(xy)e + α(yx) = 2α(xy) − α(xy) + e(yx) + e(xy) − e(xy),
α(xy + yx) − e(xy + yx) = 2α(xy) − [(xy)e + e(yx)],
(xy + yx)(αI − L
e
) = 2xy(αI − T
e
). (1.36)
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 22
Dados x, y ∈ A
e
(1), ent˜ao xy + yx ∈ A
e
(1), pois A
e
(1) ´e um sub´algebra de A
(+)
. Aplicando
α = 1 na igualdade (1.36), obtemos,
(xy + yx)(I − L
e
) = xy + yx − e(xy + yx) = xy + yx − (xy + yx) = 0,
0 = 2xy(I − T
e
),
0 = xy(I − T
e
),
(xy)T
e
= xy.
Segue que xy ∈ A
e
(1). Analogamente, dados x, y ∈ A
e
(0), ent˜ao xy+yx ∈ A
e
(0) e aplicando
α = 0 temos (xy + yx)L
e
= e(xy + yx) = e(xy) + e(yx) = 0, ou ainda, 2(xy)T
e
= 0 e
0 = (xy)T
e
. Logo, xy ∈ A
e
(0) e ent˜ao A
e
(0) e A
e
(1) s˜ao sub´algebras. Tamb´em j´a foi
provado anteriormente que estas sub´algebras s˜ao ortogonais. Agora vamos substituir y por
e em (1.34) e obtemos (xe)z + (ze)x = x(ez) + z(ex). Se x ∈ A
e
(1/2), ent˜ao xe + ex = x e
dai (xe)e + (ex)e = xe e para α = 1
x(I − L
e
) = x − ex = xe,
2xe(I − T
e
) = 2xe − 2 ·
1
2
((xe)e + (ex)e) = xe,
xe = 2xe − 2(xe)T
e
,
(xe)T
e
= xe/2,
xe ∈ A
e
(1/2).
E como x ∈ A
e
(1/2) e A
e
(1/2) ´e uma sub´algebra, temos que ex = x − xe ∈ A
e
(1/2).
Resta provar as inclus˜oes (1.35). Come¸camos por substituir y por e em (1.34) e con-
sideremos ainda x ∈ A
e
(1/2) e z ∈ A
e
(1). Ent˜ao (xe)z + (ze)x = x(ez) + z(ex), ou
ainda, xz = xz + zx − z(ex) − (ex)z e segue de (1.30) que xz + zx ⊆ A
e
(1) + A
e
(0) e
z(ex) + (ex)z ⊆ A
e
(1) + A
e
(0). Logo, xz ∈ A
e
(1) + A
e
(1/2). Finalmente, escolhemos
ez = ze = 0, isto ´e, z ∈ A
e
(0). Ent˜ao xz + (ze)x = x(ez) + z(ex) + (ex)z, isto ´e,
xz = z(ex) + (ex)z ∈ A
e
(0)A
e
(1/2) ⊆ A
e
(1/2) + A
e
(1). Assim, zx tamb´em est´a nessa
sub´algebra, pois xz = xz + zx − z(ex) − (ex)z. Logo, zx = z(ex) + (ex)z ∈ A
e
(1/2) + A
e
(1)
e o teorema est´a demonstrado.
O teorema acima ´e um resultado an´alogo ao Teorema 1.4 para ´algebras flex´ıveis. Lem-
bremos que para ´algebras n˜ao comutativas,
A = A
(+)
e
(0) ⊕ A
(+)
e
(1) ⊕ A
(+)
e
(1/2),
onde, pelo Teorema 1.5,
A
(+)
e
(0) = {a ∈ A; aT
e
= 0} = {a ∈ A; ea = ae = 0},
A
(+)
e
(1) = {a ∈ A; aT
e
= a} = {a ∈ A; ea = ae = a},
A
(+)
e
(1/2) = {a ∈ A; 2aT
e
= a}.
Al´em disso, A
(+)
e
(0) e A
(+)
e
(1) s˜ao ortogonais e para todo a ∈ A, se a = x + y + z, ent˜ao
x = a(I − 3T
e
+ 2T
2
e
) ∈ A
(+)
e
(0),
y = 4a(T
e
− T
2
e
) ∈ A
(+)
e
(1/2),
z = a(2T
2
e
− T
e
) ∈ A
(+)
e
(1).
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 23
Defini¸c˜ao 1.13. Diz-se que um ´algebra A ´e est´avel, se A for um ´algebra de potˆencias
associativas flex´ıvel e, para todo idempotente e ∈ A, valer as seguintes inclus˜oes.
A
e
(0)A
e
(1/2) ⊆ A
e
(1/2), A
e
(1/2)A
e
(0) ⊆ A
e
(1/2),
A
e
(1)A
e
(1/2) ⊆ A
e
(1/2), A
e
(1/2)A
e
(1) ⊆ A
e
(1/2).
(1.37)
Teorema 1.8. Um ´algebra de potˆencias associativas flex´ıvel A ´e um ´algebra est´avel se, e
somente se, A
(+)
´e est´avel.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que A seja est´avel. Dados x ∈ A
e
(1) ⊆ A
e
(1) + A
e
(0) e
y ∈ A
e
(1/2). Por hip´otese, temos que xy + yx ∈ A
e
(1/2),
1
2
(xy + yx) ∈ A
e
(1/2) e x · y ∈
A
e
(1/2). De modo an´alogo se prova que dados x ∈ A
e
(0) ⊆ A
e
(1) + A
e
(0) e y ∈ A
e
(1/2),
ent˜ao x · y ∈ v
e
(1/2). Reciprocamente, suponhamos que A
(+)
seja est´avel. Substitu´ımos y
por e em (1.36) e obtemos (xe )z + (ze)x = x(ez) + z(ex). Dados x ∈ A
e
(1) e z ∈ A
e
(1/2)
ent˜ao xe = ex = x e ze + ex = z. Somando (ez)x, teremos
xz + (ze + ez)x = x(ez) + z(ex) + zx,
xz + zx = x(ez) + z(ex) + zx,
xz = x(ez) + z(ex).
Isso implica xz ∈ A
e
(1/2), pois A
(+)
´e est´avel e ez ∈ A
e
(1/2), p elo Teorema 1.7. Se
som´assemos x(ze) e repet´ıssemos o argumento acima, poderemos concluir que zx ∈ A
e
(1/2).
Se x ∈ A
e
(0), ent˜ao ex = xe = 0 e consequentemente
(xe)z + (ze)x = x(ez) + z(ex),
(ze)x = x(ez),
(ze)x + (ez)x = x(ez) + (ez)x,
(ze + ez)x = x(ez) + (ez)x,
zx = x(ez) + (ez)x ∈ A
e
(1/2).
Segue do Teorema 1.7, A
(+)
´e uma ´algebra est´avel. Analogamente xz ∈ A
e
(1/2). Portanto,
A ´e est´avel.
1.9 Idempotentes principais de uma ´algebra
Defini¸c˜ao 1.14. Um idempotente e de um ´algebra A ´e denominadado idempotente prin-
cipal de A se n˜ao existir outro idempotente u ∈ A que seja ortogonal a e.
Quando A ´e de potˆencias associativas, isto significa que A
e
(0) n˜ao tem idempotentes e
quando A ´e uma ´algebra flex´ıvel, tem-se que A
e
(0) ´e uma sub´algebra e e ´e principal se, e s´o
se, A
e
(0) ´e uma nil´algebra.
Teorema 1.9. Seja e um idempotente principal de uma ´algebra est´avel A. Ent˜ao os ele-
mentos de A
e
(1/2) s˜ao todos nilpotentes.
CAP
´
ITULO 1.
´
ALGEBRAS DE POT
ˆ
ENCIAS ASSOCIATIVAS 24
Demonstra¸c˜ao. Como as potˆencias de A
(+)
coincidem com as potˆencias de A, ´e necess´ario
apenas provar o teorema para A
(+)
. Ent˜ao ´e poss´ıvel tomar apenas o caso em que A ´e
comutativo. Come¸camos com a igualdade (1.20), considerando nela x ∈ A
e
(1/2) (lembremos
que isso implica 2ex = x) e e como sendo um idempotente. Segue disso que
eR
(xx)x
= e(4R
x
R
xx
− R
xx
R
x
− 2R
3
x
),
e[(xx)x] = e[4x(xx) − (xx)x − 2(xx)x],
ex
3
= x
3
− (ex
2
)x.
Pelo Teorema 1.4, podemos escrever
w = x
2
= w
1
+ w
0
, w
1
∈ A
e
(1/2), w
0
∈ A
e
(0).
Usando as rela¸c˜oes (1.37), temos que x
3
= x
2
x = (w
1
+ w
0
)x ∈ A
e
(1/2) e dai segue que
x
3
/2 = x
3
− [e(w
1
+ w
0
)]x,
x
3
− x
3
/2 = (ew
1
)x + (ew
0
)x,
x
3
/2 = w
1
x,
x
2
x = 2w
1
x,
(w
1
+ w
0
)x = 2w
1
x,
w
1
x + w
0
x = 2w
1
x,
w
1
x = w
0
x. (1.38)
Seja e um idempotente principal tal que A
e
(0) seja uma nil´algebra, logo existe um inteiro
positivo k para o qual w
k
0
= 0. Ponhamos z = x
2k+1
e teremos
z
2
= zz = x
2k+1
x
2k+1
= (x
2
)
2k+1
= w
2k+1
= w
2k+1
1
+ w
2k+1
0
,
pois w
1
e w
0
s˜ao ortogonais. Por outro lado, observemos que x
2k
= (x
2
)
k
= w
k
= w
k
1
+ w
k
0
∈
A
e
(1) + A
e
(0) e assim
z = x
2k+1
= x
2k
x = (w
k
1
+ w
k
0
)x = w
k
1
x + w
k
0
x = w
k
1
x ∈ A
e
(1/2),
z
2
= (x
2
)
2k+1
= (w
1
+ w
0
)
2k+1
= w
2k+1
1
+ w
2k+1
0
.
Fazendo v
1
= w
2k+1
1
e v
0
= w
2k+1
0
= 0, decorre de (1.38) que v
1
z = v
0
z = 0 e z
3
= z
2
z =
(v
k
1
+ v
k
0
)z = v
k
1
z + v
k
0
z = 0. Portanto, (x
2k+1
)
5
= z
3
= 0 e assim x ´e nilpotente.
Cap´ıtulo 2
Train ´algebras de posto 3
2.1
´
Algebras b´aricas
Defini¸c˜ao 2.1. Uma ´algebra b´arica ´e um par ordenado (A; ω), onde A ´e uma ´algebra
sobre o corpo F e ω ´e um homomorfismo n˜ao nulo de A em F .
Vejamos, agora, que toda ´algebra b´arica (A; ω) sempre admite uma decomposi¸c˜ao em
somas diretas de dois subespa¸cos.
Lema 2.1. Toda ´algebra b´arica (A; ω) pode ser decomposta em A = F x ⊕ N, onde F x ´e o
subespa¸co gerado pelo elemento x /∈ N, o kernel de ω.
Demonstra¸c˜ao. Obviamente, F x + N ⊆ A. Dado y ∈ A, ent˜ao podemos escrever
y =
ω(y)
ω(x)
x +
y −
ω(y)
ω(x)
x
∈ F x + N,
pois
ω
y −
ω(y)
ω(x)
x
= ω(y) −
ω(y)
ω(x)
ω(x) = 0.
Para ver que a soma ´e direta, tomemos z ∈ F x ∩N. Logo, z ∈ F x e, assim, existe α ∈ F
de modo que z = αx. Da´ı ω(z) = ω(α x ) = αω(x) = 0. Mas como x /∈ N, ent˜ao ω(x) = 0.
Segue que α = 0 e, portanto, F x ∩ N = {0}.
2.2 Train ´algebras
Defini¸c˜ao 2.2. Sejam (A, ω) uma ´algebra b´arica de dimens˜ao finita sobre o corpo F , com
caracter´ıstica diferente de 2 e n um inteiro positivo fixo. Dizemos que A ´e uma train
´algebra de posto n, se a igualdade
x
n
+ γ
1
ω(x)x
n−1
+ . . . + γ
n−1
ω(x)
n−1
x = 0
´e v´alida para qualquer x ∈ A.
25
CAP
´
ITULO 2. TRAIN
´
ALGEBRAS DE POSTO 3 26
Notemos que os escalares γ
1
, . . . , γ
n−1
∈ F cumprem a condi¸c˜ao 1 + γ
1
+ · · · + γ
n−1
= 0,
pois dado x ∈ A tal que ω(x) = 0, temos
0 = ω(x
n
+ γ
1
ω(x)x
n−1
+ . . . + γ
n−1
ω(x)
n−1
x) = ω(x)
n
(1 + γ
1
+ . . . + γ
n−1
)
e, como ω(x)
n
= 0, chegamos `a 1 + γ
1
+ · · · + γ
n−1
= 0.
Defini¸c˜ao 2.3. Um polinˆomio da forma p(a) = a
n
+ γ
1
ω(a)a
n−1
+ . . . + γ
n−1
ω(a)
n−1
a cujos
coeficientes satisfazem 1 + γ
1
+ · · · + γ
n−1
= 0 ´e chamado de train polinˆomio de grau n.
Em uma train ´algebra existe um ´unico train polinˆomio p(a) de menor grau que satisfaz
p(x) = 0 para todo x ∈ A. O grau deste polinˆomio ´e chamado de posto de A. Uma train
´algebra de posto n satisfaz x
n
= 0 para todo x ∈ N, o kernel de ω.
Lema 2.2. Toda train ´algebra de posto n possui um ´unico caracter.
Demonstra¸c˜ao. Seja (A; ω) e suponhamos que ω
seja outro caracter de A. Desse modo,
qualquer que seja x ∈ N, teremos
x
n
+ γ
1
ω
(x)x
n−1
+ · · · + γ
n−1
ω
(x)
n−1
x = 0.
Entretanto, como x
n
= 0 e aplicando ω
, segue que
0 = ω
(x
n
+ γ
1
ω
(x)x
n−1
+ · · · + γ
n−1
ω
(x)
n−1
x),
= γ
1
ω
(x)ω
(x)
n−1
+ · · · + γ
n−1
ω
(x)
n−1
ω
(x),
= +γ
1
ω
(x)
n
+ · · · + γ
n−1
(x)ω
(x)
n
= ω
(x)
n
(γ
1
+ · · · + γ
n−1
) = −ω
(x)
n
.
Isto nos diz que ω
(x) = 0, ou ainda, que x ∈ ker(ω
), resultando em N ⊆ ker(ω
). Como
ω tamb´em ´e um caracter de A, por hip´otese, existe x
0
∈ N tal que x = αx
0
+ n, onde α ∈ F
e n ∈ N. Temos, agora ω
(x) = ω
(αx
0
+ n) = αω
(x
0
) + ω
(n) = αω
(x
0
). Mas
ω
(x
0
) = ω
(x
0
)
ω(x
0
)
ω(x
0
)
=
ω
(x
0
)
ω(x
0
)
ω(x
0
).
Ponhamos β =
ω
(x
0
)
ω(x
0
)
. Ent˜ao
ω
(x) = αω
(x
0
) = αβω(x
0
) = αβω(x
0
) + 0 = αβω(x
0
) + ω(n) = βω(αx
0
+ n) = βω(x)
e note-se ainda que
βω(x
0
)
2
= βω(x
2
0
) = ω
(x
2
0
) = ω
(x
0
)
2
= (βω(x
0
))
2
= β
2
ω(x
0
)
2
,
(β
2
− β)ω(x
0
)
2
= 0.
Lembrando que x
0
/∈ N, obtemos ω(x
0
)
2
= 0. Segue que β
2
− β = 0, logo β = 0 ou β = 1.
Lembremos, tamb´em, que ω
´e um caracter de A, por isso β n˜ao pode ser zero. Portanto,
β = 1 e ω = ω
.
CAP
´
ITULO 2. TRAIN
´
ALGEBRAS DE POSTO 3 27
Em decorrˆencia deste lema, denotaremos uma train ´algebra simplesmente por A. No
caso particular em que n = 3, isto ´e, em uma train ´algebra A de posto 3, vale a seguinte
igualdade, para todo x ∈ A e para todo γ ∈ F
x
3
− (1 + γ)ω(x)x
2
+ γω(x)
2
x = 0. (2.1)
Seja A uma train ´algebra de posto 3, linearizando a igualdade x
3
= 0, onde x ∈ N,
temos
x
3
= 0, (2.2)
x
2
1
x
2
+ 2x
1
(x
1
x
2
) = 0, (2.3)
x
1
(x
2
x
3
) + x
2
(x
1
x
3
) + x
3
(x
1
x
2
) = 0, (2.4)
onde x
1
, x
2
, x
3
∈ N. Agora, vamos linearizar (2.1)
x
2
y + 2x(xy) − (1 + γ)
ω(y)x
2
+ 2ω(x)xy
+ γ
2ω(x)ω(y)x + ω(x)
2
y
= 0 (2.5)
e linearizando esta ´ultima igualdade, obtemos, para x, y, z ∈ A
(xy) z + (xz) y + (yz) x − (1 + γ) [ω (x) yz + ω (y) xz + ω (z) xy] +
γ [ω (x) ω (y) z + ω (y ) ω (z) x + ω (x) ω (z) y] = 0. (2.6)
Substituindo y por x e z e x
2
na express˜ao acima, onde x ∈ A ´e tal que ω(x) = 1,
teremos
(xx)x
2
+ (xx
2
)x + (xx
2
)x = (1 + γ)(xx
2
+ xx
2
+ xx) − γ(x
2
+ x + x),
(x
2
)
2
+ 2x
4
= (1 + γ)(2x
3
+ x
2
) − γ(x
2
+ 2x),
mas de (2.1), temos x
3
− (1 + γ)x
2
+ γx = 0, ou seja,
x
3
= (1 + γ)x
2
− γx. (2.7)
Esta igualdade, quando multiplicada por x, resulta em x
4
= (1 + γ)x
3
− γx
2
. Logo
(x
2
)
2
= (1 + γ)(2x
3
+ x
2
) − γ(x
2
+ 2x) − 2x
4
,
(x
2
)
2
= (1 + γ)(2x
3
+ x
2
) − γ(x
2
+ 2x) − 2(1 + γ)x
3
+ 2γx
2
,
(x
2
)
2
= (1 + 2γ)x
2
− 2γx. (2.8)
Defini¸c˜ao 2.4. Define-se as potˆencias plenas de x por x
[1]
= e e x
[k]
= x
[k−1]
x
[k−1]
, para
o inteiro k ≥ 2.
Lema 2.3. Sejam A uma ´algebra e x ∈ A . As potˆencias plenas de x pertencem ao subespa¸co
W , gerado por x e x
2
.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que x ∈ A. Inicialmente, observemos que para k = 2, temos
x
[2]
= x
[1]
x
[1]
= xx = x
2
∈ W. Suponhamos, agora, que o lema seja v´alido, para to-
das as potˆencias com expoentes menores do que ou iguais ao inteiro positivo k. Ent˜ao
x
[k+1]
= x
[k]
x
[k]
=
x
[k]
2
∈ W , por hip´otese de indu¸c˜ao e conclu´ımos o resultado.
O pr´oximo lema descreve o conjunto dos idempotentes de uma train ´algebra de posto 3.
CAP
´
ITULO 2. TRAIN
´
ALGEBRAS DE POSTO 3 28
Lema 2.4. Seja A uma train ´algebra de posto 3 e γ =
1
2
. O conjunto dos idempotentes n˜ao
nulos nessa ´algebra ´e dado por
Id
1
(A) =
1
1 − 2γ
(x
2
− 2γx) ; x ∈ A e ω(x) = 1
.
Demonstra¸c˜ao. Tomemos um elemento da forma αx
2
+βx, onde x ∈ A, ω(x) = 1 e α, β ∈ F .
Por defini¸c˜ao de idempotente, temos (αx
2
+βx)
2
= αx
2
+βx, isto ´e, α
2
(x
2
)
2
+2αβx
3
+β
2
x
2
=
αx
2
+ βx. De (2.7) e (2.8), temos que
α
2
(1 + 2γ)x
2
− 2α
2
γx + 2αβ(1 + γ)x
2
− 2αβγx + β
2
x
2
= αx
2
+ βx,
α
2
(1 + 2γ) + 2αβ(1 + γ) + β
2
x
2
+ (−2α
2
γ − 2βγ)x = αx
2
+ βx.
Resolvendo o sistema
α
2
(1 + 2γ) + 2αβ(1 + γ) + β
2
= α
−2α
2
γ − 2αβγ = β
,
obtemos a solu¸c˜ao
a =
1
1 − 2γ
, b =
−2γ
1 − 2γ
e, portanto, o idempotente ´e
αx
2
+ βx =
1
1 − 2γ
(x
2
− 2γx).
Por simplicidade, faremos θ =
1
1 − 2γ
e devemos ter em mente que γ =
1
2
. Fazendo
x = e ∈ Id
1
(A) e y ∈ N em (2.5), vem
ey + 2e(ey) + 2ey(1 + γ) + γy = 0 (2.9)
e fazendo x = y ∈ N e y ∈ Id
1
(A) em (2.5), temos que
ey
2
+ 2y(ey) = (1 + γ)y
2
. (2.10)
Consideremos um idempotente e ∈ A, com ω(e) = 1, e y ∈ N. Definimos o operador
L
e
: N → N pela lei L
e
(y) = ey e com isto podemos reescrever (2.9) como
L
e
(y) + 2 eL
e
(y) − 2(1 + γ)L
e
(y) + γy = 0,
2L
2
e
(y) − (1 + 2γ)L
e
(y) + γy = 0. (2.11)
Assim, o polinˆomio p(x) = 2x
2
− (1 + 2γ)x − γ = 2
x −
1
2
(x − γ) ∈ F [X] ´e um
anulador de L
e
, j´a que p(L
e
) = 2L
2
e
(y) − (1 + 2γ)L
e
+ γI
N
, sendo I
N
o operador identidade
CAP
´
ITULO 2. TRAIN
´
ALGEBRAS DE POSTO 3 29
em N, calculado em y ´e zero, para todo y ∈ N. Notemos que p
1
(x) = x −
1
2
n˜ao anula L
e
.
Caso contr´ario, ter´ıamos L
e
(y) −
1
2
y = 0, ou seja, ey =
1
2
y. Aplicando esta ´ultima rela¸c˜ao
em (2.10), temos
1
2
y
2
+ y
2
= (1 + γ)y
2
,
γ −
1
2
y
2
= 0,
logo, γ =
1
2
, o que n˜ao pode ocorrer. Similarmente, o polinˆomio p
2
(x) = x −
1
2
n˜ao ´e um
anulador de L
e
, pois resultaria em L
e
(y) − γy = 0, o que d´a ey = γy. Levando isto em (2.9),
teremos
γy
2
+ 2γy
2
= (1 + γ)y
2
,
(2γ − 1)y
2
= 0,
ou seja γ =
1
2
. Segue que m(x) = (x−
1
2
)(x−γ) ´e o polinˆomio minimal de L
e
. Pelo Teorema
da Decomposi¸c˜ao Prim´aria, obtemos a soma direta
N = ker
L
e
−
1
2
I
N
⊕ ker(L
e
− γI
N
).
Vamos definir os conjuntos U
e
e V
e
, da seguinte maneira
U
e
:= ker
L
e
−
1
2
I
N
=
u ∈ N; eu =
1
2
u
, (2.12)
V
e
:= ker (L
e
− γI
N
) = {v ∈ N; ev = γv} . (2.13)
Logo, N = U
e
⊕ V
e
e como A = F
e
⊕ N, ent˜ao A = F
e
⊕ U
e
⊕ V
e
.
Defini¸c˜ao 2.5. A soma direta A = F
e
⊕ U
e
⊕ V
e
, onde U
e
´e definido em (2.12) e V
e
´e
definido em (2.13), ´e denominada decomposi¸c˜ao de Peirce relativa ao idempotente
e.
No lema a seguir, veremos como os conjuntos U
e
e V
e
est˜ao relacionados.
Lema 2.5. Seja A uma train ´algebras de posto 3, com a decomposi¸c˜ao A = F
e
⊕ U
e
⊕ V
e
.
Ent˜ao
U
e
V
e
⊆ U
e
, U
2
e
⊆ V
e
, V
2
e
= 0.
(2.14)
Demonstra¸c˜ao. De fato, linerizando a identidade (2.10), obtemos
e(y
1
y
2
) + y
1
(ey
2
) + y
2
(ey
1
) = (1 + γ)y
1
y
2
. (2.15)
CAP
´
ITULO 2. TRAIN
´
ALGEBRAS DE POSTO 3 30
Dados u
1
, u
2
∈ N, segue de (2.12) e (2.15) que
e(u
1
u
2
) +
1
2
u
1
u
2
+
1
2
u
1
u
2
= (1 + γ)u
1
u
2
,
e(u
1
u
2
) = γu
1
u
2
.
E assim, concluimos que U
2
e
⊆ V
e
. Tomemos u ∈ U
e
e v ∈ V
e
. Usando (2.10), (2.12)
e (2.13) obtemos
e(uv) + u(ev) + v(eu) = (1 + γ)uv,
e(uv) =
1
2
uv,
e isso implica uv ∈ U
e
. Finalmente, dados v
1
, v
2
∈ V
e
, segue
e(v
1
v
2
) + γv
1
v
2
+ γv
1
v
2
= (1 + γ)v
1
v
2
,
e(v
1
v
2
) = (1 − γ)v
1
v
2
,
escrevendo v
1
v
2
= u + v, com u ∈ U
e
e v ∈ V
e
, temos
e(u + v) = (1 − γ)(u + v),
γ −
1
2
u + (2γ − 1)v = 0.
Decorre de N = U
e
⊕ V
e
e de γ =
1
2
, que u = v = 0 e, portanto, v
1
v
2
= u + v = 0 e
V
2
e
= 0.
No pr´oximo lema temos algumas identidades que os elementos de U
e
e V
e
satisfazem.
Lema 2.6. Sejam A = F
e
⊕ U
e
⊕ V
e
uma train ´algebra de posto 3, u, u
1
, u
2
∈ U
e
e v ∈ V
e
.
Ent˜ao s˜ao v´alidas as seguintes identidades.
u
3
= 0, (2.16)
v
3
= 0, (2.17)
v
2
= 0, (2.18)
u
2
v = 0, (2.19)
u(uv) = 0, (2.20)
v(vu) = 0, (2.21)
u
2
1
u
2
+ 2u
1
(u
1
u
2
) = 0, (2.22)
u
2
1
(u
1
u
2
) = 0, (2.23)
u
2
1
(u
1
v) = 0, (2.24)
(uv)
2
= 0. (2.25)
CAP
´
ITULO 2. TRAIN
´
ALGEBRAS DE POSTO 3 31
Demonstra¸c˜ao. Como em A temos x
3
= 0, em particular vale u
3
= v
3
= 0. A identi-
dade (2.18) segue imediatamente do fato de que V
2
e
= 0. Substituindo x
1
por u e x
2
por v
em (2.3), obtemos u
2
v + 2u(uv) = 0. Mas, por (2.19), u
2
v = 0. Logo, u(uv) = 0. Agora,
vamos substituir x
1
por v e x
2
por u em (2.3), obtemos v
2
u + 2v(vu) = 0 e segue de (2.18)
que v(vu) = 0. A igualdade (2.20) ´e um caso particular de (2.3), onde x
1
= u
1
e x
2
= u
2
.
Para concluir, usamos o lema anterior da seguinte forma
u
2
1
(u
1
u
2
) ∈ U
2
e
(U
e
U
e
) ⊆ V
e
V
e
= V
2
e
= 0,
u
2
1
(u
1
v) ∈ U
2
e
(U
e
V
e
) ⊆ V
e
V
e
= V
2
e
= 0,
(uv)
2
∈ (U
e
V
e
)
2
⊆ V
2
e
= 0.
Lema 2.7. Em uma train ´algebra A de posto 3, com a decomposi¸c˜ao de Peirce A = F
e
⊕U
e
⊕
V
e
, s˜ao v´alidas as identidades abaixo, quaisquer que sejam os elementos u, u
1
, u
2
, u
3
∈ U
e
e
v, v
1
, v
2
, v
3
∈ V
e
.
u
1
(u
2
u
3
) + u
2
(u
1
u
3
) + u
3
(u
1
u
2
) = 0, (2.26)
v
1
(v
2
v
3
) + v
2
(v
1
v
3
) + v
3
(v
1
v
2
) = 0, (2.27)
v
1
v
2
= 0, (2.28)
(u
1
u
2
)v = 0, (2.29)
u
1
(u
2
v) = 0, (2.30)
u
2
(u
1
v) = 0, (2.31)
v
1
(uv
2
) + v
2
(uv
1
) = 0, (2.32)
(u
1
v)(u
2
v) = 0, (2.33)
(uv
1
)(uv
2
) = 0. (2.34)
Demonstra¸c˜ao. De fato, linearizando a igualdade (2.16), obtemos a igualdade (2.26). Analoga-
mente, linearizando a igualdade (2.17), obtemos a igualdade (2.27). As demais identidades
s˜ao obtidas a partir do Lema 2.5.
Agora vamos caracterizar os idempotentes de peso 1 de uma train ´algebra de posto 3.
Teorema 2.1. Seja A = F
e
⊕ U
e
⊕ V
e
´e uma train ´algebra de posto 3. Ent˜ao o conjunto
dos idempotentes de peso 1 de A ´e
Id
1
(A) =
e + u + θu
2
; u ∈ U
e
, θ =
1
1 − 2γ
, γ =
1
2
.
Demonstra¸c˜ao. Com base no Lema 2.5, temos
(e + u + θu
2
)
2
= e
2
+ u
2
+ θ
2
(u
2
)
2
+ 2eu + 2θeu
2
+ 2θu
3
= e + u + u
2
+ 2θγu
2
,
= e + u + (1 + 2θγ)u
2
= e + u +
1 +
2γ
1 − 2γ
u
2
,
= e + u +
1
1 − 2γ
u
2
= e + u + θu
2
.
CAP
´
ITULO 2. TRAIN
´
ALGEBRAS DE POSTO 3 32
e assim e + u + θu
2
⊆ Id
1
(A). Por outro lado, seja x ∈ Id
1
(A), ent˜ao x = e + u + v, onde
u ∈ U
e
e v ∈ V
e
. Como x
2
= x, segue que
e + u + v = (e + u + v)
2
= e + u
2
+ 2eu + 2ev + 2uv = e + u
2
+ 2eu + 2γv + 2uv,
= e + (u + 2uv) + (u
2
+ 2γv),
pela decomposi¸c˜ao A = F
e
⊕ U
e
⊕ V
e
, temos que u = u + 2uv, isto ´e uv = 0 e ainda
v = u
2
+ 2γv, o que fornece v = θu
2
. Portanto, x = e + u + v.
Pelo que acabamos de ver, fixando um idempotente e ∈ Id
1
(A), qualquer outro idempo-
tente n˜ao nulo pode ser escrito como f = e + u
0
+ u
2
0
, onde u
0
∈ U
e
.
Corol´ario 2.1. Sejam e, f ∈ Id
1
(A), tais que f = e + u
0
+ u
2
0
, com u
0
∈ U
e
. Ent˜ao as
fun¸c˜oes abaixo s˜ao isomorfismos.
σ
e,u
0
: U
e
−→ U
f
u −→ u + 2θu
0
u
τ
e,u
0
: V
e
−→ V
f
v −→ v − 2θu
0
v
Demonstra¸c˜ao. Pelos lemas anteriores, temos que as aplica¸c˜oes σ
e,u
0
e τ
e,u
0
est˜ao bem
definidas, pois
2f(u + 2θu
0
u) = 2(e + u
0
+ θu
2
0
)(u + 2θu
0
u)
= 2eu + 4θe(u
0
u) + 2u
0
u + (4θu
0
(u
0
u) + 2θu
2
0
u) + 4θ
2
u
2
0
(u
0
u)
= u + 4θγ(u
0
u) + 2(u
0
u) + 2θ(u
2
0
+ u
2
0
(u
0
u))
= u + 2(2θγ + 1)u
0
u = u + 2
2γ
1 − 2γ
+ 1
(u
0
u)
= u +
2
1 − 2γ
(u
0
u) = u + 2γu
0
u ∈ U
f
,
f(v − 2θu
0
v) = 2(e + u
0
+ θu
2
0
)(v − 2θu
0
v)
= ev − 2θe(u
0
v) + u
0
v − 2θu
0
(u
0
v) + u
2
0
v − 2θu
2
0
(u
0
v)
= γv − θu
0
v + u
0
v = γv +
1 −
1
1 − 2γ
u
0
v
= γ
v −
2
1 − 2γ
u
0
v
= γ(v − 2θu
0
v).
Dados u
1
, u
2
∈ U
e
, com σ
e,u
0
(u
1
) = σ
e,u
0
(u
2
), temos que u
1
+ 2θu
0
u
1
= u
2
+ 2θu
0
u
2
, mas
pela soma direta N = U
e
⊕ V
e
, conclu´ımos que u
1
= u
2
. Analogamente, Dados v
1
, v
2
∈ V
e
,
com τ
e,v
0
(v
1
) = τ
e,u
0
(v
2
), temos que v
1
− 2θu
0
v
1
= v
2
− 2θu
0
v
2
, da´ı v
1
= v
2
. Logo, σ
e,u
0
e
τ
e,u
0
s˜ao injetivas.
CAP
´
ITULO 2. TRAIN
´
ALGEBRAS DE POSTO 3 33
Seja ϕ
e,u
0
: A −→ A, definida pela lei ϕ
e,u
0
(αe + u + v) = αf + σ
e,u
0
(u) + τ
e,u
0
(v), com
u ∈ U
e
e v ∈ V
e
, vemos que ϕ
e,u
0
´e injetiva, portanto sobrejetiva. Logo, σ
e,u
0
e τ
e,u
0
tamb´em
s˜ao sobrejetivas. Portanto, σ
e,u
0
e τ
e,u
0
s˜ao isomorfismos.
Notemos que n˜ao h´a problema em escrever simplesmente σ, τ e ϕ ao inv´es de σ
e,u
0
, τ
e,u
0
e ϕ
e,u
0
, j´a que estas aplica¸c˜oes n˜ao dependem dos idempotentes e, f ∈ Id
1
(A). Al´em disso,
o corol´ario acima nos diz para e, f ∈ Id
1
(A), onde f = e + u
0
+ u
2
0
, com u
0
∈ U
e
, tem-se que
U
f
= {u + 2θu
0
u ; u ∈ U
e
},
V
f
= {v − 2θu
0
v ; v ∈ V
e
}.
Cap´ıtulo 3
´
Algebras de Bernstein e de
Bernstein-Jordan
3.1
´
Algebras de Bernstein
Defini¸c˜ao 3.1. Diz-se que a ´algebra b´arica (A, ω) sobre um corpo F ´e uma ´algebra de
Bernstein, se A for comutativa e
(x
2
)
2
= ω(x
2
)x
2
, (3.1)
para todo x ∈ A.
Como uma ´algebra de Bernstein (A, ω) ´e uma ´algebra b´arica, pelo Lema 2.1, podemos
decompˆo-la na soma direta A = F x ⊕ N, onde N ´e o kernel de ω. Al´em disso, dado n ∈ N,
tem-se que
(n
2
)
2
= 0 (3.2)
e por lineariza¸c˜ao, temos que
n
2
1
(n
1
n
2
) = 0, (3.3)
n
2
1
(n
2
n
3
) + 2(n
1
n
2
)(n
1
n
3
) = 0, (3.4)
(n
1
n
2
)(n
3
n
4
) + (n
1
n
3
)(n
2
n
4
) + (n
1
n
4
)(n
2
n
3
) = 0, (3.5)
para quaisquer n
1
, n
2
, n
3
, n
4
∈ N.
O lema a seguir nos mostra um resultado an´alogo ao que j´a foi provado para train
´algebras de posto 3.
Lema 3.1. Toda ´algebra de Bernstein possui um ´unico caracter.
Demonstra¸c˜ao. Seja (A, ω) uma ´algebra de Bernstein e suponhamos que ω
seja outro
caracter de A. Dado n ∈ N, temos que (n
2
)
2
= ω(n)
2
n
2
= 0n
2
= 0 e notemos que
34
CAP
´
ITULO 3.
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN E DE BERNSTEIN-JORDAN 35
ω
(n)
4
= (ω
(n)
2
)
2
= ω
((n
2
)
2
) = ω
(0) = 0 e com isso podemos dizer que n ∈ ker(ω
).
Como ω ´e caracter de A ent˜ao, pelo Lema 2.1 existe um x
0
∈ A tal que ω(x
0
) = 0 e
A = F x
0
⊕ N. Da´ı, para qualquer x em A existem e s˜ao ´unicos α ∈ F e n ∈ N tais que
x = αx
0
+ n. Com isso,
ω
(x) = ω
(αx
0
+ n) = αω
(x
0
) = αω
(x
0
)
ω(x
0
)
ω(x
0
)
= α
ω
(x
0
)
ω(x
0
)
ω(x
0
).
Fazendo λ =
ω
(x
0
)
ω(x
0
)
, tem-se
ω
(x) = αλω(x
0
) = αλω(x
0
) + 0 = αλω(x
0
) + ω(n) = λω(αx
0
+ n) = λω(x).
Portanto, ω
= λω com λ = 0 pois ω
´e caracter de A. Mas,
λω(x
0
)
2
= λω(x
2
0
) = ω
(x
2
0
) = ω
(x
0
)
2
= [λω(x
0
)]
2
= λ
2
ω(x
0
)
2
.
Logo, (λ
2
− λ)ω(x
0
)
2
= 0 e como ω(x
0
)
2
= 0 tem-se λ
2
− λ = 0, o que implica que λ = 1 e,
portanto, ω
= ω.
O lema anterior nos permite denotar uma ´algebra de Bernstein (A, ω) simplesmente por
A. No que segue, suporemos sempre que F ´e um corpo de caracter´ıstica diferente de 2.
Lema 3.2. Seja A um ´algebra de Bernstein sobre um corpo F com mais de trˆes elementos.
Nessas condi¸c˜oes, a seguinte identidade ´e v´alida para quaisquer x, y ∈ A.
2x
2
(xy) = ω(x)
2
xy + ω(x)ω(y)x
2
. (3.6)
Demonstra¸c˜ao. Dados x, y ∈ A, trocamos x por αx + y, com α ∈ F em (3.1), temos
((αx + y)
2
)
2
= ω(αx + y)
2
(αx + y)
2
.
Desenvolvendo esta igualdade, aplicando, em seguida, (3.1) novamente e reordenando os
termos, temos
α
3
(4x
2
(xy) − 2ω(x)
2
xy − 2ω(x)ω(y)x
2
) + α
2
(4(xy)
2
+ 2x
2
y
2
− ω(x)
2
y
2
−
−4ω(x)ω(y)xy − ω(y)
2
x
2
) + α(4(xy)y
2
− 2ω(x)ω(x)y
2
− 2ω(y)
2
xy) = 0.
Substituindo α por −α nesta equa¸c˜ao resulta
α
3
(−4x
2
(xy) + 2ω(x)
2
xy + 2ω(x)ω(y)x
2
) + α
2
(4(yx)
2
+ 2x
2
y
2
− ω(x)
2
y
2
−
−4ω(x)ω(y)xy − ω(y)
2
x
2
) + α(−4(xy)y
2
+ 2ω(x)ω(y)y
2
+ 2ω(y)
2
xy) = 0.
Agora, subtraindo estas duas equa¸c˜oes e depois multiplicando por
1
4
temos
α
3
(2x
2
(xy) − ω(x)
2
xy − ω(x)ω(y)x
2
) + α(2y
2
(xy) − ω(x)ω(y)y
2
− ω(y)
2
(xy)) = 0.
CAP
´
ITULO 3.
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN E DE BERNSTEIN-JORDAN 36
Como F tem caracter´ıstica diferente de 2 e mais de 3 elementos ent˜ao 1 = −1. Assim existe
β ∈ F com β /∈ {0, 1, −1} de tal modo que substituindo α por β e multiplicando por
1
β
na
´ultima equa¸c˜ao verificamos que
β
2
(2x
2
(xy) − ω(x)
2
xy − ω(x)ω(y)x
2
) + (2(xy)y
2
− ω(x)ω(y)y
2
− ω(y)
2
xy) = 0.
Fazendo α = 1 obtemos
(2x
2
(xy) − ω(x)
2
xy − ω(x)ω(y)x
2
) + (2y
2
(xy) − ω(x)ω(y)y
2
− ω(y)
2
xy) = 0.
Finalmente, subtraindo as duas ´ultimas equa¸c˜oes resulta
(β
2
− 1)(2x
2
(xy) − ω(x)
2
xy − ω(x)ω(y)x
2
) = 0
e como β
2
= 1 conclu´ımos o resultado.
O pr´oximo passo ´e descrever o conjunto dos idempotentes de uma ´algebra de Bernstein.
Lema 3.3. Seja A uma ´algebra de Bernstein. Todo idempotente n˜ao nulo pertence ao
conjunto Id
1
(A) = {x
2
; x ∈ A e ω(x) = 1}.
Demonstra¸c˜ao. Seja x ∈ A um idempotente n˜ao nulo. Temos que x = x
2
= (x
2
)
2
=
ω(x
2
)x
2
= ω(x)x, ou seja, ω(x) = 1 e Id
1
(A) ⊆ X. Por outro lado, se y ∈ Id
1
(A), ent˜ao
existe x ∈ A, de modo que y = x
2
e ω(x) = 1. Segue de (3.1) que y
2
= (x
2
)
2
= ω(x
2
)x
2
=
ω(x)ω(x)x
2
= x
2
= y, assim y ´e um idempotente de A.
Lema 3.4. Sejam (A, ω) uma ´algebra b´arica sobre um corpo F e e um idempotente n˜ao-
nulo de peso 1. Se F tem pelo menos quatro elementos, ent˜ao (A, ω) ´e de Bernstein se, e
somente se, todo y ∈ N verifica as identidades abaixo.
2e(2ey) = 2ey, (3.7)
(2ey)y
2
= 0, (3.8)
2ey
2
+ (2ey)
2
= y
2
, (3.9)
(y
2
)
2
= 0. (3.10)
Demonstra¸c˜ao. Como ω(e) = 1 e ω(y) = 0 para qualquer y ∈ N, substituimos x por e
em (3.1) e multiplicando ambos os membros por 2 obtemos (3.7). Substituindo em x por y
e y por e em (3.6), teremos
0 = ω(y)
2
ye + ω(y)ω(e)y
2
= 2y
2
(ye) = (2ey)y
2
.
Substituindo x por e + y e y por e em (3.6) temos
2e(ey) + 2e(2ey) + (2ey)
2
+ (2ey)y
2
= ey + 2ey + y
2
.
CAP
´
ITULO 3.
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN E DE BERNSTEIN-JORDAN 37
e usando (3.7) e (3.8) chegamos `a equa¸c˜ao (3.9). E para obter a identidade (3.10), basta
substituir x por y em (3.1). Reciprocamente, se (A, ω) for uma ´algebra b´arica, e um idem-
potente n˜ao nulo de peso e todo y ∈ N cumprir as igualdades (3.7), (3.8), (3.9) e (3.10),
ent˜ao para um dado x = ω(x)e + y ∈ A, com y ∈ N e ω(x) ∈ F , temos
x
2
2
=
(ω (x) e + y)
2
2
=
ω (x)
2
e + 2ω (x) ey + y
2
2
= ω(x)
4
e + 4ω(x)
2
(ey)
2
+ (y
2
)
2
+ 4ω(x)
3
e(ey) + 4 ω (x) (ey) y
2
+ 2ω (x)
2
ey
2
= ω (x)
4
e + ω (x)
2
2ey
2
+ (2ey)
2
+ ω (x)
3
2e (2ey)
= ω (x)
2
ω (x)
2
e + ω (x) 2e (2ey) + y
2
= ω (x)
2
ω (x)
2
e + ω (x) 2ey + y
2
= ω (x)
2
(ω (x) e + y)
2
= ω(x)
2
x
2
= ω(x
2
)x
2
.
Portanto, (A, ω) ´e ´algebra de Bernstein.
Considerando o ideal N, podemos definir um operador M
e
: N → N dado por M
e
(y) =
2ey, para cada y ∈ N. Note-se que M
e
´e uma proje¸c˜ao, pois M
2
e
(y) = M
e
(M
e
(y)) =
2e(2ey) = 2ey = M
e
(y). Ent˜ao se U
e
e V
e
s˜ao a imagem e o kernel, repectivamente, de M
e
,
temos a seguinte decomposi¸c˜ao
N = U
e
⊕ V
e
,
onde
U
e
=
u ∈ N; eu =
1
2
u
, (3.11)
V
e
= {v ∈ N; ev = 0}. (3.12)
A seguir, mostramos mais um resultado an´alogo ao que foi visto para as train ´algebras
de posto 3 em rela¸c˜ao aos conjuntos U
e
e V
e
.
Lema 3.5. Seja A uma ´algebra de Bernstein. Tem-se as seguintes inclus˜oes:
U
e
V
e
⊆ U
e
, U
2
e
⊆ V
e
, V
2
e
⊆ U
e
.
Demonstra¸c˜ao. Inicialmente reescrevemos (3.9) em fun¸c˜ao do operador M
e
para obter
M
e
(y)
2
+M
e
(y)
2
= y
2
e, por lineariza¸c˜ao, M
e
(y
1
y
2
)+M
e
(y
1
)M
e
(y
2
) = y
1
y
2
, onde y
1
, y
2
∈ N.
Tomemos y
1
, y
2
∈ U
e
, ent˜ao M
e
(y
1
y
2
) + (2ey
1
)(2ey
2
) = y
1
y
2
, ou seja M
e
(y
1
y
2
) = 0. Isso
fornece y
1
, y
2
∈ V
e
e U
2
e
⊆ V
e
.
Quando y
1
∈ V
e
ou y
2
∈ V
e
, temos M
e
(y
1
y
2
) = y
1
y
2
, da´ı y
1
y
2
∈ U
e
e portanto NV
e
⊆ U
e
.
Assim, em particular, temos as desigualdades U
e
V
e
⊆ U
e
e V
2
e
⊆ U
e
.
Defini¸c˜ao 3.2. A soma direta A = F
e
⊕ U
e
⊕ V
e
, onde U
e
´e definido em (3.11) e V
e
´e
definido em (3.12), ´e denominada decomposi¸c˜ao de Peirce relativa ao idempotente
e.
CAP
´
ITULO 3.
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN E DE BERNSTEIN-JORDAN 38
Agora, vamos ver como reescrever um elemento x da ´algebra de Bernstein A usando
a sua decomposi¸c˜ao de Peirce e algumas identidades que os elementos de U
e
e V
e
de uma
´algebra de Bernstein satisfazem.
Teorema 3.1. Seja (A, ω) uma ´algebra b´arica com idempotente n˜ao-nulo e.
(a) Se (A, ω) ´e uma ´algebra de Bernstein, decompondo cada x ∈ A da forma x =
ω(x)e + u + v com u ∈ U
e
e v ∈ V
e
, tem-se:
x
2
= ω(x)
2
e + (ω(x)u + 2uv + v
2
) + u
2
, (3.13)
onde ω(x)u + 2uv + v
2
∈ U
e
e u
2
∈ V
e
. Al´em disso, valem as seguintes identidades, para
quaisquer u ∈ U
e
e v ∈ V
e
:
u
3
= 0, (3.14)
u(uv) = 0, (3.15)
uv
2
= 0, (3.16)
(u
2
)
2
= 0, (3.17)
(uv)
2
= 0. (3.18)
(b) Reciprocamente, se A = F e ⊕U ⊕V ´e soma direta de subespa¸cos com a multiplica¸c˜ao
satisfazendo (3.13), (3.14), (3.15), (3.16), (3.17) e (3.18), ent˜ao (A, ω) ´e uma ´algebra
de Bernstein com U = U
e
e V = V
e
.
Demonstra¸c˜ao. (a) Seja (A, ω) ´algebra de Bernstein. Como A admite a decomposi¸c˜ao
A = F e ⊕ U
e
⊕ V
e
, podemos escrever para todo x ∈ A, x = ω(x)e + u + v, com u ∈ U
e
e
v ∈ V
e
. Lembrando que 2eu = M
e
(u) = u e 2ev = M
e
(v) = 0, para u ∈ U
e
e v ∈ V
e
, temos
x
2
= (ω(x)e + u + v)
2
= ω(x)
2
e
2
+ u
2
+ v
2
+ 2ω(x)eu + 2ω(x)ev + 2uv = ω(x)
2
e + (ω(x)u +
2uv + v
2
) + u
2
. Pelo lema anterior, segue que ω(x)u + 2uv + v
2
∈ U
e
e u
2
∈ V
e
. Prova-se
assim, (3.13).
Cada y ∈ N se decomp˜oe da forma y = αu + βv, onde α, β ∈ F , u ∈ U
e
e v ∈ V
e
. Desse
modo, 2ey = M
e
(y) = αM
e
(u) + βM
e
(v) = αu. Substituindo y = αu + βv na identidade
(3.8), obtemos:
0 = (2ey)y
2
= αu(αu + βv)
2
= α
3
u
3
+ 2α
2
βu(uv) + αβ
2
uv
2
,
para todo α, β ∈ F , u ∈ U
e
e v ∈ V
e
. Fazendo α = 1 e β = 0, temos u
3
= 0. Para α = −1 e
β = 1, resulta em
−u
3
+ 2u(uv) − uv
2
= 0. (3.19)
Para α = β = 1,
u
3
+ 2u(uv) + uv
2
= 0. (3.20)
Finalmente, para α = 1 e β = −1, temos
u
3
− 2u(uv) + uv
2
= 0. (3.21)
CAP
´
ITULO 3.
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN E DE BERNSTEIN-JORDAN 39
Da soma de (3.16) e (3.17), resulta u(uv) = 0. Somando (3.17) e (3.18), obtemos uv
2
= 0.
Substituindo y, desta vez, em (3.10), resulta que (y
2
)
2
= 0 se, e somente se, (u
2
)
2
= (uv)
2
=
u
2
v
2
= (v
2
)
2
= u
2
(uv) = (uv)v
2
= 0, para todo u ∈ U
e
e v ∈ V
e
. De fato,
0 = (y
2
)
2
= ((αu + βv)
2
)
2
= (α
2
u
2
+ 2αβ(uv) + β
2
v
2
)
2
= α
4
(u
2
)
2
+ 4α
2
β
2
(uv)
2
+ 2α
2
β
2
u
2
v
2
+ β
4
(v
2
)
2
+ 4α
3
βu
2
(uv) + 4αt
3
(uv)v
2
,
para todo u ∈ U
e
e v ∈ v
e
. Por hip´otese, a identidade (x
2
)
2
= ω(x)
2
x
2
´e satisfeita para todo
x ∈ A; em particular, (u
2
)
2
= (v
2
)
2
= 0, para todo u ∈ U
e
e v ∈ V
e
. Fazendo α = −1 e
β = 1, resulta
4(uv)
2
+ 2u
2
v
2
− 4u
2
(uv) − 4(uv)v
2
= 0. (3.22)
Para α = β = 1, temos
4(uv)
2
+ 2u
2
v
2
+ 4u
2
(uv) + 4(uv)v
2
= 0. (3.23)
Somando (3.22) e (3.23), obtemos 2(uv)
2
+u
2
v
2
= 0. Do lema anterior, temos que (uv)
2
∈ V
e
e u
2
v
2
∈ U
e
. Como U
e
∩ V
e
= {0}, pois N = U
e
⊕ V
e
, conclu´ımos que (uv)
2
= u
2
v
2
= 0.
Subtraindo (3.22) e (3.23), resulta u
2
(uv) + (uv)v
2
= 0. Pelo lema anterior e pelo fato de
U
e
∩ V
e
= {0}, conclu´ımos que u
2
(uv) = (uv)v
2
= 0. Em particular, valem as identidades
em (3.17) e (3.18).
(b) Como A = F e ⊕ N = Ke ⊕ U
e
⊕ V
e
por hip´otese, podemos decompor cada y ∈ N
na forma y = u + v, onde u ∈ U
e
e v ∈ V
e
. Usando (3.13) para x = e + u + v, temos
x
2
= e
2
+u
2
+v
2
+2eu+2ev +2uv = e+u+2uv +v
2
+u
2
. Assim, 2e(u+v) = u. Lembremos
que o operador M
e
: N → N, definido por L
2e
(y) = 2ey ´e uma proje¸c˜ao com Im(L
2e
) = U
e
e ker(L
2e
) = V
e
e ´e de f´acil verifica¸c˜ao que Im(L
2e
) = U
e
e ker(L
2e
) = V
e
. Temos, assim, a
identidade (3.7) verificada. Novamente, por (3.13) temos y
2
= (u + v)
2
= 2uv + v
2
+ u
2
,
com 2uv + v
2
∈ U
e
e u
2
∈ V
e
, o que implica U
e
V
e
+ V
2
e
⊆ U
e
e U
2
e
⊆ V
e
. Desse modo,
2ey
2
+ (2ey)
2
= M
e
(y
2
) + (M
e
(y))
2
= M
e
(u
2
+ 2uv + v
2
) + u
2
= M
e
(u
2
) + M
e
(2uv + v
2
) + u
2
= 2uv + v
2
+ u
2
= y
2
.
Portanto, vale (3.9). Resta ent˜ao, provar que para todo y = u+v ∈ N, com u ∈ U
e
e v ∈ V
e
,
vale (y
2
)
2
= (u
2
+ 2uv + v
2
)
2
= (u
2
)
2
+ 4(uv)
2
+ (v
2
)
2
+ 4u
2
(uv) + 2u
2
v
2
+ 4(uv)v
2
= 0. Por
hip´otese, temos (uv)
2
= (u
2
)
2
= 0. Logo, ´e suficiente mostrar que:
(v
2
)
2
= u
2
(uv) = u
2
v
2
= (uv)v
2
= 0, (3.24)
para todo u ∈ U
e
e v ∈ V
e
.
Fa¸camos uma lineariza¸c˜ao da identidade u
3
= 0:
0 = u
3
= u(uu)
= u
1
(uu) + u(u
1
u) + u(uu
1
)
= u
1
u
2
+ 2u(u
1
u).
CAP
´
ITULO 3.
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN E DE BERNSTEIN-JORDAN 40
Fazendo u = u
2
e linearizando novamente, obtemos:
0 = u
3
= u
1
(u
2
u
3
+ u
3
u
2
) + 2
u
2
(u
1
u
3
) + u
3
(u
1
u
2
)
= 2u
1
(u
2
u
3
) + 2u
2
(u
1
u
3
) + 2u
3
(u
1
u
2
)
= u
1
(u
2
u
3
) + u
2
(u
1
u
3
) + u
3
(u
1
u
2
), (3.25)
para todo u
1
, u
2
, u
3
∈ U. Tomando u
1
= u
2
= u e u
3
= uv, obtemos 2u
u(uv)
+(uv)u
2
= 0,
o que implica (uv)u
2
= 0, pois, por hip´otese, u(uv) = 0. Da mesma forma, tomando
u
1
= u
2
= u e u
3
= v
2
, resulta 2u(uv
2
) + u
2
v
2
= 0, o que implica u
2
v
2
= 0, pois, desta vez,
uv
2
= 0. Finalmente, da identidade uv
2
= 0 e observando que U
e
V
e
e V
2
e
est˜ao contidos em
U
e
, conclu´ımos que (uv)v
2
= (v
2
)
2
= 0.
Provamos assim que as identidades do Lema 3.4 s˜ao satisfeitas para todo y ∈ N. Por-
tanto (A, ω) ´e uma ´algebra de Bernstein.
Temos, ainda, outras identidades obtidas atrav´es da lineariza¸c˜ao das identidades (3.13),
(3.14), (3.15), (3.16), (3.17) e (3.18).
Corol´ario 3.1. Em uma ´algebra de Bernstein A = F e ⊕ U ⊕ V valem as seguintes identi-
dades:
u(v
1
v
2
) = 0, (3.26)
u(u
2
v) = 0, (3.27)
u
2
1
u
2
+ 2u
1
(u
1
u
2
) = 0, (3.28)
u
2
(u
2
v) = 0, (3.29)
u
1
(u
2
v) + u
2
(u
1
v) = 0, (3.30)
u
2
1
(u
1
u
2
) = 0, (3.31)
u
2
1
(u
2
v) + 2(u
1
u
2
)(u
1
v) = 0, (3.32)
(u
1
v)(u
2
v) = 0, (3.33)
(uv
1
)(uv
2
) = 0, (3.34)
(u
1
u
2
)v
2
= 0, (3.35)
u
2
(v
1
v
2
) = 0, (3.36)
para todos u, u
1
, u
2
∈ U
e
e v, v
1
, v
2
∈ V
e
.
Demonstra¸c˜ao. Linearizando uv
2
= 0, resulta u(v
1
v) = 0. Fazendo v = v
2
e v
1
= u
2
obt´em-
se (3.27), observando que u
2
∈ V
e
, para todo u ∈ U
e
. A identidade (3.28) vem de (3.25),
fazendo u
1
= u
3
. Assim, lembrando que u(u
2
v) = 0, obtemos u
2
(u
2
v) = −2u(u(u
2
v)) = 0,
o que verifica a segunda identidade de (3.27). Linearizando u( uv) = 0, obtemos u
1
(uv) +
u(u
1
v) = 0. Fazendo u = u
2
, obtemos a identidade (3.30). Ao linearizarmos (u
2
)
2
= 0,
resulta u
2
1
(u
1
u) = 0, que nos (3.31) tomando-se u = u
2
. A identidade (3.32) pode ser
obtida atrav´es da lineariza¸c˜ao de u
2
(uv) = 0, conforme segue: u
2
(uv) = 0 isto implica que
(uu)(uv) = 0, da´ı segue que (u
1
u)(uv) + (uu
1
)(uv) + u
2
(u
1
v) = u
2
(u
1
v) + 2(uu
1
)(uv) = 0.
CAP
´
ITULO 3.
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN E DE BERNSTEIN-JORDAN 41
Agora, basta tomar u = u
1
e u
1
= u
2
. Linearizando (uv)
2
= 0, temos: (uv)(uv) = 0
ent˜ao (u
1
v)(uv) + (uv)(u
1
v) = 0 = (u
1
v)(uv). Fazendo u = u
2
, obtemos (u
1
v)(u
2
v) = 0.
Da mesma forma, podemos escrever (uv)(uv) = 0 segue que (uv
1
)(uv) + (uv)(uv
1
) = 0 =
(uv
1
)(uv). Fazendo v = v
2
, obtemos (uv
1
)(uv
2
) = (u
1
v)(u
2
v) = 0, Finalmente, uma lin-
eariza¸c˜ao de u
2
v
2
= 0 ´e dada por (uu)(vv) = (uu)v
2
= 0, ent˜ao (u
1
u)v
2
= 0. Fazendo
u = u
2
, obtemos (u
1
u
2
)v
2
= 0. De forma an´aloga, podemos obter u
2
(v
1
v
2
) = (u
1
u
2
)v
2
= 0.
Corol´ario 3.2. Seja A = F e ⊕ U ⊕ V ´e uma ´algebra de Bernstein e e ∈ Id
1
(A). Ent˜ao
todo idempotente de peso 1 pertence ao conjunto Id
1
(A) = {e + u + u
2
; u ∈ U
e
}.
Demonstra¸c˜ao. Come¸camos provando que para todo u ∈ U
e
, e + u + u
2
∈ Id
1
(A). Mas para
todo u ∈ U
e
, tem-se 2eu = M
e
(u) = u, 2eu
2
= M
e
(u
2
) = 0, u
3
= 0 e (u
2
)
2
= 0. Logo
(e + u + u
2
)
2
= e
2
+ u
2
+ (u
2
)
2
+ 2eu + 2eu
2
+ 2uu
2
= e + u + u
2
e e+u+u
2
´e idempotente de peso 1. Fica, ent˜ao, provado que {e+u+u
2
; u ∈ U
e
} ⊆ Id
1
(A).
Por outro lado, se x ´e um idempotente de peso 1, temos x = e + u + v e x
2
= x, com u ∈ U
e
e v ∈ V
e
. Da equa¸c˜ao (3.13), temos x
2
= x = e + u + v = e + (u + 2uv + v
2
) + u
2
, com
u + 2 uv + v
2
∈ U
e
e u
2
∈ V
e
, de onde resulta v = u
2
. Logo, para todo x ∈ Id
1
(A), temos
x = e + u + u
2
, para um certo u ∈ U
e
. Portanto, Id
1
(A) ⊆ {e + u + u
2
; u ∈ U
e
}.
Corol´ario 3.3. Sejam e, f = e+u
0
+u
2
0
idempotentes n˜ao nulos de uma ´algebra de Bernstein
A = F e ⊕ U
e
⊕ V
e
, com u
0
∈ U
e
. Ent˜ao as aplica¸c˜oes abaixo s˜ao isomorfismos de espa¸cos
vetoriais.
σ : U
e
−→ U
f
u −→ u + 2uu
0
τ : V
e
−→ V
f
u −→ v − 2u
0
v − 2u
2
0
v
ψ : U
e
−→ U
f
u −→ u − 2uu
2
0
Demonstra¸c˜ao. Vamos come¸car provando que as aplica¸c˜oes est˜ao bem definidas. De fato, σ
est´a bem definida, pois usando (3.3), (3.11), (3.12), o Lema 3.5, (3.17) e (3.18), obtemos
2(e + u
0
+ u
2
0
)(u + 2uu
0
) = 2eu + 4e(uu
0
) + 2uu
0
+ 4u
0
(uu
0
) + 2uu
2
0
+ 4u
2
0
(uu
0
)
= u + 2uu
0
.
Para ver que τ est´a bem definida, observemos que x ∈ V
f
equivale `a M
f
(x) = 2fx = 0,
ou seja, fx = 0. Ent˜ao segue de (3.6), (3.12), do Lema 3.5 e do corl´ario anterior que
f(v − 2u
0
v − 2u
2
0
v) = ev − 2e(u
0
v) − 2e(u
2
0
v) + u
0
v − 2u
0
(u
0
v) − 2u
0
(u
2
0
v)
+u
2
0
v − 2u
2
0
(u
0
v) − 2u
2
0
(u
2
0
v) = −2u
2
0
(u
2
0
v)
= −2(−2u
0
(u
0
(u
2
0
v))) = 4u
0
(u
0
(u
2
0
v)) = 0.
CAP
´
ITULO 3.
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN E DE BERNSTEIN-JORDAN 42
´
E f´acil ver que as trˆes aplica¸c˜oes s˜ao lineares. Dados u
1
, u
2
∈ U
e
e v
1
, v
2
∈ V
e
e α ∈ F ,
temos
σ(αu
1
+ u
2
) = αu
1
+ u
2
+ 2u
0
(αu
1
+ u
2
) = αu
1
+ 2αu
0
u
1
+ u
2
+ 2u
0
u
2
= α(u
1
+ 2u
0
u
1
) + u
2
+ 2u
0
u
2
= ασ(u
1
) + σ(u
2
),
τ(αv
1
+ v
2
) = αv
1
+ v
2
− 2u
0
(αv
1
+ v
2
) − 2u
2
0
(αv
1
+ v
2
)
= αv
1
− 2αu
0
v
1
− 2αu
2
0
v
1
+ v
2
− 2u
0
v
2
− 2u
2
0
v
2
= α(v
1
− 2u
0
v
1
− 2u
2
0
v
1
) + v
2
− 2u
0
v
2
− 2u
2
0
v
2
= ατ (v
1
) + τ(v
2
),
ψ(αu
1
+ u
2
) = αu
1
+ u
2
− 2(αu
1
+ u
2
)u
2
0
= αu
1
− 2αu
1
u
2
0
+ u
2
− 2u
2
u
2
0
= α(u
1
− 2u
1
u
2
0
) + u
2
− 2u
2
u
2
0
= αψ(u
1
) + ψ(u
2
).
As aplica¸c˜oes s˜ao injetoras. Seja u ∈ U
e
tal que σ(u) = 0, ent˜ao u + 2u
0
u = 0, ou
ainda, u = −2u
0
u ∈ V
e
. Logo, u ∈ U
e
∩ V
e
. Por´em U
e
∩ V
e
= 0, sendo assim s´o pode
ser u = 0. Seja v ∈ V
e
tal que τ (v) = 0. Agora temos que v − 2u
0
v
1
− 2u
2
0
v = 0 e, pela
Decomposi¸c˜ao de Peirce, decorre que v = 0. Seja u ∈ U
e
para o qual ψ(u) = 0, isto ´e, u =
2uu
2
0
. Multiplicando por u
2
0
ambos os membros dessa equa¸c˜ao e utilizando o Lema 3.5 e as
identidades (3.14), (3.28) e (3.30) obtemos uu
2
0
= 2u
2
0
(uu
2
0
) = −4u
0
(u
0
(uu
2
0
)) = 4u
0
(uu
3
0
) = 0
e, portanto, u = 0.
Finalmente, provemos que as aplica¸c˜oes s˜ao sobrejetoras. Dado y ∈ U
f
⊂ N podemos
obter u ∈ U
e
e v ∈ V
e
tais que y = u + v. Assim
(u + v) = 2(e + u
0
+ u
2
0
)(u + v) = 2eu + 2ev + 2u
0
u + 2u
0
v + 2u
2
0
u + 2u
2
0
v
= u + 2u
0
u + 2u
0
v + 2u
2
0
u + 2u
2
0
v.
Segue da decomposi¸c˜ao de Peirce que 2u
0
v + 2uu
2
0
+ 2u
2
0
v = 0 e v = 2uu
0
, resultando em
σ(u) = y. Fica, assim, provado que σ ´e sobrejetora e de modo an´alogo se prova que o mesmo
para ψ. Dados u ∈ U
e
e v ∈ V
e
, seja y = u + v ∈ V
f
, tem-se que
0 = 2(e + u
0
+ u
2
0
)(u + v) = 2eu + 2ev + 2u
0
u + 2u
0
v + 2u
2
0
u + 2u
2
0
v
= (u + 2u
0
v + 2u
2
0
v + 2u
2
0
u) + 2u
0
u.
Notemos que u + 2u
0
v + 2u
2
0
v + 2u
2
0
u ∈ U
e
e u
0
u ∈ V
e
, como N = U
e
⊕ V
e
ent˜ao
u + 2u
0
v + 2u
2
0
v + 2u
2
0
u = 0 e 2u
0
u = 0 por (3.28) segue que u
2
0
u = −2u
0
(u
0
u) = 0,
assim u = −2u
0
v − 2u
2
0
v, logo τ(v) = v − 2u
0
v − 2u
2
0
v = v + u = y.
Decorre do que acabamos de ver que as dimens˜oes de U
e
e V
e
n˜ao dep endem da escolha
do idempotente n˜ao nulo e; assim, o par (1 + dim U
e
; dim V
e
) ´e um invariante para ´algebras
de Bernstein com dimens˜ao finita e ´e denominado o tipo da ´algebra (A; ω).
CAP
´
ITULO 3.
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN E DE BERNSTEIN-JORDAN 43
3.2
´
Algebras de Bernstein-Jordan
Defini¸c˜ao 3.3. Uma ´algebra comutativa A ´e uma ´algebra de Jordan quando quaisquer
elementos x, y ∈ A cumprem com seguinte condi¸c˜ao
x
2
(yx) = (x
2
y)x. (3.37)
Defini¸c˜ao 3.4. Diz-se que a ´algebra de Bernstein A ´e uma ´algebra de Bernstein-Jordan
quando A tamb´em for uma ´algebra de Jordan.
O seguinte teorema caracteriza as ´algebras de Bernstein-Jordan.
Teorema 3.2. Seja A = F e ⊕ U
e
⊕ V
e
uma ´algebra de Bernstein. Ent˜ao as seguintes
afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes.
(a) A ´e uma ´algebra de Jordan;
(b) V
2
e
= 0 para todo e ∈ Id
1
(A);
(c) V
2
e
= 0, para algum e ∈ Id
1
(A) e (uv)v = 0, para todo u ∈ U
e
e v ∈ V
e
;
(d) Todo elemento x ∈ A satisfaz x
3
= ω(x)x
2
.
Demonstra¸c˜ao. (a) ⇒ (b). Como A ´e uma ´algebra de Jordan, vamos substituir x por e + v
e y por e em (3.37), onde e ∈ Id
1
(A) e v ∈ V
e
. Recordando que e
2
= e, ev = 0, eu =
1
2
u,
U
2
e
⊆ V
e
, V
2
e
⊆ U
e
e U
e
V
e
⊆ U
e
, temos que
(e + v)
2
e(e + v)
=
(e + v)
2
e
(e + v),
(e
2
+ 2ev + v
2
)(e
2
+ ev) =
(e
2
+ 2ev + v
2
)e
(e + v),
(e + v
2
)e =
(e + v
2
)e
(e + v),
e
2
+ ev
2
= (e
2
+ ev
2
)(e + v),
e + ev
2
= (e + ev
2
)(e + v),
e + ev
2
= e
2
+ ev + e(ev
2
) + v(ev
2
),
ev
2
= e(ev
2
) + v(ev
2
).
Usando o fato de que v
2
∈ U
e
a ´ultima equa¸c˜ao se reduz `a
1
2
v
2
=
1
4
v
2
+
1
2
v
3
e, como v
3
= 0,
segue que v
2
= 0.
(b) ⇒ (c). Seja A = F e ⊕ U
e
⊕ V
e
uma decomposi¸c˜ao de Peirce de A relativa a um
idempotente e. Para cada u ∈ U
e
, e consideremos o idempotente f = e+ u + u
2
. Troquemos
e por f na hip´otese, assim V
2
f
= 0. Vamos usar a aplica¸c˜ao τ do corol´ario anterior.
Como τ(V
e
) = V
f
ent˜ao τ
2
(V
e
) = V
2
f
= 0. Logo, lembrando que (uv)
2
= 0 e que
u
2
v ∈ V
2
e
= 0 temos
0 = τ
2
(v) = (v − 2uv − 2u
2
v)
2
= (v − 2uv)
2
− 2(v − 2uv)2u
2
v + (2u
2
v)
2
= v
2
− 4v(uv) + 4(uv)
2
− 4v(u
2
v) + 8(uv)(u
2
v) + 4(u
2
v)(u
2
v) = −4v(uv) = (uv)v
CAP
´
ITULO 3.
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN E DE BERNSTEIN-JORDAN 44
(c) ⇒ (d). Dado x ∈ A = F e ⊕ U
e
⊕ V
e
, temos que existem u ∈ U
e
e v ∈ V
e
tais que
x = ω(x)e + u + v. Tendo em vista as hip´oteses, efetuamos c´alculos de modo que tenhamos
x
3
= (ω(x)e + u + v)
3
= (ω(x)e + u + v)
2
(ω(x)e + u + v)
=
ω(x)
2
e
2
+ 2ω(x)e(u + v) + (u + v)
2
(ω(x)e + u + v)
=
ω(x)
2
e + ω(x)u + u
2
+ 2uv
(ω(x)e + u + v)
= ω(x)
3
e + ω(x)
2
eu + ω(x)
2
eu + ω(x)u
2
+ ω(x)uv + ω(x)uv + 2(uv)u + 2(uv)v
= ω(x)
ω(x)
2
e + 2ω(x)eu + u
2
+ 2uv
= ω(x)x
2
.
(d)⇒ (a). Linearizando x
3
= ω(x)x
2
temos
2(yx)x + x
2
y = ω(y)x
2
+ 2ω(x)(yx).
Substituindo y por xy na equa¸c˜ao anterior obtemos
2x(x(xy)) + x
2
(xy) = ω(x)ω(y)x
2
+ 2ω(x)x(xy).
Multiplicando a pen´ultima equa¸c˜ao por x obtemos
2x(yx)x + x(x
2
y) = ω(y)x
3
+ 2ω(x)x(yx).
Subtraindo esta ´ultima equa¸c˜ao da anterior temos
x(x
2
y) − x
2
(xy) = ω(y)x
3
− ω(x)ω(y)x
2
.
Como x
3
= ω(x)x
2
x(x
2
y) − x
2
(xy) = ω(y)ω(x)x
2
− ω(x)ω(y)x
2
,
x(x
2
y) − x
2
(xy) = 0.
Portanto x(x
2
y) = x
2
(xy) ou x
2
(yx) = (x
2
y)x, o que faz com que A seja uma ´algebra de
Jordan.
Corol´ario 3.4. Seja A uma ´algebra de Bernstein-Jordan. Ent˜ao vale as seguintes identi-
dades
v
1
v
2
= 0,
(uv
1
)v
2
+ (uv
2
)v
1
= 0,
para e ∈ Id
1
(A), u ∈ U
e
, v
1
, v
2
∈ V
e
.
Demonstra¸c˜ao. Basta linearizar v
2
= 0 e (uv)v = 0 que obtemos o resultado.
Fechamos essa se¸c˜ao, apresentando um ideal que ser´a ´util no cap´ıtulo seguinte.
Lema 3.6. Seja A = Ke ⊕ U
e
⊕ V
e
´e uma ´algebra de Bernstein.
CAP
´
ITULO 3.
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN E DE BERNSTEIN-JORDAN 45
a) O conjunto L = {u ∈ U
e
; uU
e
= 0} ´e um ideal de A.
b) V
2
e
⊆ L.
Demonstra¸c˜ao. a) Notemos que L = ∅, pois 0 ∈ L. Agora, sejam α ∈ F, u
1
, u
2
∈ L e
u ∈ U
e
temos que
(αu
1
+ u
2
)u = αu
1
u + u
2
u = α0 + 0 = 0.
Suponha agora x ∈ A tal que x = ω(x)e + u
+ v, onde u
∈ U
e
, v ∈ V
e
e u
1
∈ L, ent˜ao
xu
1
= w(x)eu
1
+ vu
1
=
1
2
w(x)u
1
+ vu
1
∈ U
e
.
Assim, usando (3.30) obtemos
(xu
1
)u =
1
2
w(x)u
1
u + (u
1
v)u = −(uv)u
1
= 0.
Logo, xu
1
∈ L.
b) Por (3.16), V
2
U
e
= 0.
Lema 3.7. Sejam A = F e ⊕ U
e
⊕ V
e
uma ´algebra de Bernstein e I ⊆ N um ideal de A. A
´algebra quociente (A/I, ω), onde ω (x) = ω(x), para todo x ∈ A, ´e Bernstein-Jordan se, e
somente se, V
2
e
⊆ I para todo idempotente e ∈ A.
Demonstra¸c˜ao. De fato, mostraremos inicialmente que (A/I, ω) ´e uma ´algebra de Bern-
stein com as opera¸c˜oes usualmente definidas para quocientes e sendo ω : /I → K dada
por ω(x) = ω(x). Com efeito, como I ⊆ N ent˜ao para cada x = y temos que x − y ∈ N.
Logo, ω(x) = ω(y) e assim ω(x) = ω(y). Deste modo, ω est´a b em definida.
´
E f´acil observar
que ω ´e um caracter sobre A, pois ω o ´e. Al´em disso, para qualquer x ∈ A/I segue que
(x
2
)
2
= (x
2
)
2
= ω(x
2
)
2
x
2
= ω(x)
2
x
2
e portanto A/I ´e uma ´algebra de Bernstein. Agora, se
A/I ´e Bernstein-Jordan ent˜ao v
2
= v
2
= 0, o que implica em v
2
∈ I para todo v ∈ V
e
, ou
seja, V
2
e
⊆ I. Reciprocamente, se V
2
e
⊆ I ent˜ao v
2
= 0, pelo Teorema 3.2, temos que A/I ´e
Bernstein-Jordan.
Do Lemas 3.6(b) e 3.7, conclu´ımos que A/L ´e uma ´algebra de Bernstein-Jordan.
Cap´ıtulo 4
Nilpotˆencia das ´algebras de Bernstein
4.1 Barideal
Nesta se¸c˜ao deduziremos uma s´erie de identidades que nos levaram a um ´ındice de
nilpotˆencia para N
2
, isto ´e, o quadrado do barideal N . Entretanto, ainda n˜ao se sabe se
tal ´ındice ´e o melhor poss´ıvel.
Seja x ∈ N numa ´algebra Bernstein-Jordan, ent˜ao x
3
= 0, ou ainda,
(xy)z + (yz)x + (xz)y = 0 (4.1)
Lema 4.1. Sejam A uma ´algebra de Bernstein-Jordan e os elementos u
1
, u
2
∈ U
e
e v
1
, . . . , v
t
∈
V
e
. Ent˜ao
(i) Se t ≡ 1, 2 (mod 4), ent˜ao ((((u
1
v
1
)v
2
) · · · v
t
)u
2
) + ((((u
2
v
1
)v
2
) · · · v
t
)u
1
) = 0.
(ii) Se t ≡ 0, 3 (mod 4), ent˜ao ((((u
1
v
1
)v
2
) · · · v
t
)u
2
) − ((((u
2
v
1
)v
2
) · · · v
t
)u
1
) = 0.
Demonstra¸c˜ao. De acordo com t ≡ 1, 2 (mod 4) e t ≡ 0, 3 (mod 4), basta provar que
((((u
1
v
1
)v
2
) · · · v
t
)u
2
) = (−1)
t(t+1)
2
((((u
2
v
1
)v
2
) · · · v
t
)u
1
) = 0.
Temos de (3.30) e depois aplicando t − 1 vezes o Corol´ario 3.4, temos que
((((u
1
v
1
)v
2
) · · · v
t
)u
2
) = −(u
2
v
t
)(((· · · ((u
1
v
1
)v
2
) · · · )v
t−2
)v
t−1
= ((u
2
v
t
)v
t−1
))((· · · ((u
1
v
1
)v
2
) · · · )v
t−3
)v
t−2
= · · ·
= (−1)
t
(· · · ((u
2
v
t
)v
t−1
) · · · v
1
)u
1
.
Usando o Corol´ario 3.4 temos
u
1
v
1
· · · v
t
u
2
= (−1)
t+t−1
((· · · ((u
2
v
1
)v
t
) · · · )v
2
)u
1
= (−1)
t+t−1+t−2
(· · · ((u
2
v
1
)v
2
)v
t
) · · · v
3
u
1
= · · · = (−1)
t(t+1)
2
(· · · ((u
2
v
1
) · · · )v
t
)u
1
.
46
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 47
Lema 4.2. Sejam A uma ´algebra de Bernstein-Jordan e os elementos u
1
, u
2
, u
3
∈ U
e
e
v
1
, . . . , v
t
∈ V
e
. Ent˜ao
(a) Se t ≡ 0, 3 (mod 4), ent˜ao (((· · · (u
1
v
1
) · · · )v
t
)u
2
)u
3
= ((· · · (u
3
v
1
) · · · )v
t
)(u
1
u
2
).
(b) (((u
1
u
2
2
)v
1
)v
2
)u
1
= (((u
2
u
2
1
)v
1
)v
2
)u
2
.
Demonstra¸c˜ao. Para a primeira parte, usaremos a igualdade (4.1) e o lema anterior da
seguinte maneira
(((· · · (u
1
v
1
) · · · )v
t
)u
2
)u
3
= −(((· · · (u
3
v
1
) · · · )v
t
)u
2
)u
1
+ ((· · · (u
3
v
1
) · · · )v
t
)(u
2
u
1
)
−((· · · (u
1
v
1
) · · · )v
t
)(u
2
u
3
). (4.2)
Calculando (((· · · (u
1
v
1
) · · · )v
t
)u
2
)u
3
de outra maneira com base na igualdade (7.1) e no
lema anterior, temos
(((· · · (u
1
v
1
) · · · )v
t
)u
2
)u
3
= −(((· · · (u
3
v
1
) · · · )v
t
)u
2
)u
1
− ((· · · (u
2
v
1
) · · · )v
t
)(u
1
u
3
).
(4.3)
Somando membro a membro as identidades (4.2) e (4.3), obtemos
2(((· · · (u
1
v
1
) · · · )v
t
)u
2
)u
3
= ((· · · (u
3
v
1
) · · · )v
t
)(u
2
u
1
) − ((· · · (u
1
v
1
) · · · )v
t
)(u
2
u
3
)
−((· · · (u
2
v
1
) · · · )v
t
)(u
1
u
3
)
= ((· · · (2u
3
v
1
) · · · v
t
)(u
1
u
2
).
Dividindo por 2 temos o resultado. Para a outra parte, temos que
(((u
1
u
2
2
)v
1
)v
2
)u
1
= −2((u
2
(u
1
u
2
)v
1
)v
2
)u
1
= −2((u
1
(u
1
u
2
)v
1
)v
2
)u
2
= −(((u
2
u
2
1
)v
1
)v
2
)u
2
.
Lema 4.3. Se A = F e ⊕ U
e
⊕ V
e
´e uma ´algebra de Bernstein-Jordan, ent˜ao ´e v´alida a
seguinte identidade ´e satisfeita
((((u
1
v)v
1
)u
2
)u
3
)v
2
+ ((((u
1
v
2
)u
2
)u
3
)v)v
1
= 0.
para quaisquer u
1
, u
2
, u
3
∈ U
e
e v, v
2
, v
3
∈ V
e
.
Demonstra¸c˜ao. Fazendo x = u
1
v
1
, y = u
2
v
2
e z = u
3
em (4.1), obtemos a identidade
((u
1
v
1
)(u
2
v
2
))u
3
+ ((u
1
v
1
)u
3
)(u
2
v
2
) + ((u
2
v
2
)u
3
)(u
1
v
1
) = 0. (4.4)
Substituindo u
1
por u
1
v,
((u
1
v)v
1
)(u
2
v
2
))u
3
+ (((u
1
v)v
1
)u
3
)(u
2
v
2
) + ((u
2
v
2
)u
3
)((u
1
v)v
1
) = 0. (4.5)
Por (3.30) e pelo Corol´ario 3.4, temos
(((u
1
v)v
1
)u
2
)v
2
)u
3
+ (((u
1
v)v
1
)u
3
)u
2
)v
2
+ ((u
2
v
2
)u
3
)((u
1
v)v
1
) = 0. (4.6)
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 48
Permutando u
1
com u
3
e u
2
com u
3
em (4.6), obtemos identidades que somadas membro
a membro com (4.6) nos d˜ao
0 = (((u
1
v)v
1
)u
2
)v
2
)u
3
+ (((u
1
v)v
1
)u
3
)u
2
)v
2
+ ((u
2
v
2
)u
3
)((u
1
v)v
1
)
+(((u
3
v)v
1
)u
2
)v
2
)u
1
+ (((u
3
v)v
1
)u
1
)u
2
)v
2
+ ((u
2
v
2
)u
1
)((u
3
v)v
1
) (4.7)
+(((u
1
v)v
1
)u
3
)v
2
)u
2
+ (((u
1
v)v
1
)u
2
)u
3
)v
2
+ ((u
3
v
2
)u
2
)((u
1
v)v
1
).
Pelo Lema 4.1(a),
(((u
3
v)v
1
)u
2
)v
2
)u
1
+ (((u
1
v)v
1
)u
2
)u
3
)v
2
= 0
Por (3.30), temos que
((u
3
v
2
)u
2
)((u
1
v)v
1
) + ((u
2
v
2
)u
3
)((u
1
v)v
1
) = 0
Agora, usando o lema anterior e trˆes vezes a igualdade (3.30) em cada parcela abaixo, segue
que
(((u
1
v)v
1
)u
2
)v
2
)u
3
+ (((u
3
v)v
1
)u
2
)v
2
)u
1
+ (((u
1
v)v
1
)u
3
)v
2
)u
2
= 0.
Logo a igualdade (4.7) se reduz `a (((u
1
v)v
1
)u
3
)v
2
)u
2
+ ((u
2
v
2
)u
1
)((u
3
v)v
1
) = 0 e, por-
tanto, do Corol´ario 3.4, temos a identidade desejada.
Os lemas acima nos ajudam a concluir que certos produtos de elementos de U
e
e V
e
se
anulam.
Teorema 4.1. Se A = F e ⊕ U
e
⊕ V
e
´e uma ´algebra de Bernstein-Jordan, ent˜ao todos os
produtos de trˆes elementos de U
e
e quatro elementos de V
e
se anulam.
Demonstra¸c˜ao. Sejam u
1
, u
2
, u
3
∈ U
e
e v
1
, v
2
, v
3
, v
4
∈ V
e
. Recordemos que o produto
de cada dois elementos de V
e
sempre se anula. Do mesmo modo, um produto do tipo
(u
1
u
2
)v
1
= 0. Assim, ap´os analisar todas as possibilidades de produto nas condi¸c˜oes do
teorema, observamos que basta considerar apenas os seguintes produtos:
(a) (((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
2
)u
3
)v
4
.
(b) (((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
2
)u
3
)v
4
.
(c) (((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
2
)u
3
)v
4
.
(d) (((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
2
)u
3
)v
4
.
(e) (((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
2
)u
3
)v
4
.
Substituindo u
1
por u
1
v em lema anterior, teremos
((((((u
1
v)v
1
)u
2
)u
3
)v
2
)v
3
)v
4
+ (((((((u
1
v)v
2
)v
3
)u
2
)u
3
)v)v
1
)v
4
= 0. (4.8)
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 49
Permutando u
1
e u
2
na identidade (4.8), obtemos uma nova identidade que ao ser somada
membro a membro com a identidade (4.8) fornece
0 = ((((((u
1
v)v
1
)u
2
)u
3
)v
2
)v
3
)v
4
+ (((((((u
1
v)v
2
)v
3
)u
2
)u
3
)v)v
1
)v
4
+((((((u
2
v)v
1
)u
1
)u
3
)v
2
)v
3
)v
4
+ (((((((u
2
v)v
2
)v
3
)u
1
)u
3
)v)v
1
)v
4
.
Mas, pelo Lema 4.1(a), a soma da primeira com a terceira parcelas acima se anula. Al´em
disso, pelo Lema 4.1(b), a quarta parcela ´e igual a segunda. Logo (((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
2
)u
3
)v
4
=
0, ou seja, o produto do item (a) se anula. Segue de (4.8) que o produto do item (b) se
anula. Para mostrar que o produto do item (c) se anula, usamos, sucessivamente, o Lema
4.2(a), o Corol´ario 3.4, a identidade (4.1) e o produto do item (a). Para o produto do item
(d), usamos o lema anterior e reca´ımos no produto do item (b). Finalmente, o produto do
item (e) pode ser decomposto em duas parcelas do produto do item (a), desde que usemos
o Corol´ario 3.4 e a identidade (4.1)
Teorema 4.2. Se A = F e ⊕ U
e
⊕ V
e
´e uma ´algebra de Bernstein-Jordan, ent˜ao todos os
produtos de quatro elementos de U
e
e trˆes elementos de V
e
se anulam.
Demonstra¸c˜ao. Sejam u
1
, u
2
, u
3
, u
4
∈ U
e
e v
1
, v
2
, v
3
∈ V
e
. Assim como no teorema anterior,
devemos determinar todos os casos poss´ıveis, lembrando que v
1
v
2
= (u
1
u
2
)v
1
= 0. Tais
produtos s˜ao dos seguintes tipos
(a) (((((u
1
v
1
)u
2
)u
3
)v
2
)v
3
)u
4
.
(b) (((((u
1
v
1
)v
2
)u
2
)u
3
)v
3
)u
4
.
(c) (((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
2
)u
3
)u
4
.
(d) (((((u
1
u
2
)u
3
)v
1
)v
2
)v
3
)u
4
.
Multiplicando a igualdade do Lema 4.3 por u
4
, teremos
(((((u
1
v
1
)u
2
)u
3
)v
2
)v
3
)u
4
+ (((((u
1
v
1
)v
2
)u
2
)u
3
)v
3
)u
4
= 0.
Usando os Lemas 4.1 e 4.2, podemos reescrever a igualdade acima como
((((u
3
(u
1
v
1
)u
2
))v
2
)v
3
)u
4
+ ((u
3
(((u
1
v
2
)v
3
)u
2
))v
1
)u
4
= 0. (4.9)
Permutando u
3
e u
4
na igualdade (4.9) obtemos uma igualdade obtemos uma nova identidade
que ao ser somada membro a membro com (4.9) resulta em
0 = ((((u
3
(u
1
v
1
)u
2
))v
2
)v
3
)u
4
+ ((u
3
(((u
1
v
2
)v
3
)u
2
))v
1
)u
4
+((((u
4
(u
1
v
1
)u
2
))v
2
)v
3
)u
3
+ ((u
4
(((u
1
v
2
)v
3
)u
2
))v
1
)u
3
. (4.10)
Pelo Lema 4.1(a) ((u
3
(((u
1
v
2
)v
3
)u
2
))v
1
)u
4
= −((u
4
(((u
1
v
2
)v
3
)u
2
))v
1
)u
3
e pelo Lema 4.1(b)
((((u
3
(u
1
v
1
)u
2
))v
2
)v
3
)u
4
= ((((u
4
(u
1
v
1
)u
2
))v
2
)v
3
)u
3
. Logo, segue de (4.10) que
2((((u
3
(u
1
v
1
)u
2
))v
2
)v
3
)u
4
= 0
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 50
Aplicando esse resultado em (4.9), conclu´ımos que o produto do item (b) se anula. Para
mostrar que o produto do item (c) se anula, usamos o Lema 4.2(a), as identidades (3.30)
e (4.1) e o produto do item (b). Finalmente, o produto do item (d) se anula quando apli-
camos, sucessivamente, as identidades (3.30) e (4.1) e o produto do item (a).
Lema 4.4. Seja A = F e ⊕ U
e
⊕ V
e
uma ´algebra de Bernstein-Jordan. Se u
1
, u
2
, u
3
∈ U
e
e
v
1
∈ V
e
, ent˜ao
(((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)N = 0.
Demonstra¸c˜ao. Seja n ∈ N, ent˜ao existem u ∈ U
e
e v ∈ V
e
, tais que n = u + v. As-
sim, devemos apenas provar que u
1
v
1
u
2
2
u
2
3
u + u
1
v
1
u
2
2
u
2
3
v = 0. Vamos come¸car mostrando
(((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)u
1
= 0. Para isso, usamos v´arias vezes a identidade (3.30) e o Lema 4.2 para
obter
(((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)u
1
= (((u
1
v
1
)u
2
3
)u
2
2
)u
1
.
Agora, usamos (3.30) apenas uma vez e obtemos
(((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)u
1
= −(((u
1
v
1
)u
2
3
)u
2
2
)u
1
.
Somando esta igualdade membro a membro com a anterior, conclu´ımos que 2(((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)u
1
=
0. Ent˜ao, em particular,
((((u + u
1
)v
1
)u
2
2
)u
2
3
)(u + u
1
) = 0.
Tendo em vista o nosso resultado preeliminar, desenvolvemos essa igualdade, obtendo
(((uv
1
)u
2
2
)u
2
3
)u
1
+ (((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)u = 0.
Lembrando que, pelo Lema 4.1(a),
((((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)u − ((((uv
1
)u
2
2
)u
2
3
)u
1
= 0.
Dessas duas ´ultimas igualdades, segue que ((((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)u = 0. Agora, usando v´arias vezes
as afirma¸c˜oes do Lema 4.2 e (3.30),
((((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)v = −(((u
1
v)v
1
)u
2
3
)u
2
2
e usando apenas (3.30) v´arias vezes,
((((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)v = (((u
1
v)v
1
)u
2
3
)u
2
2
.
Portanto, ((((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)v = 0.
Lema 4.5. Seja A = F e ⊕ U
e
⊕ V
e
uma ´algebra de Bernstein-Jordan. Se u
1
, u
2
, u
3
∈ U
e
e
v
1
, v
2
∈ V
e
, ent˜ao
(((u
1
v
1
)u
2
2
)v
2
)u
3
N = 0.
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 51
Demonstra¸c˜ao. Seja n ∈ N, ent˜ao existem u ∈ U
e
e v ∈ V
e
, tais que n = u + v. Assim,
devemos apenas provar que ((((u
1
v
1
)u
2
2
)v
2
)u
3
)u + ((((u
1
v
1
)u
2
2
)v
2
)u
3
)v = 0. Mas notemos
que (((( u
1
v
1
)u
2
2
)v
2
)u
3
) ∈ V
e
e, como o produto de dois elementos de V
e
´e nulo, ent˜ao
resta provar que ((((u
1
v
1
)u
2
2
)v
2
)u
3
)u = 0. De acordo com o lema anterior, sabemos que
((((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)v = 0. Em particular, substituindo u
3
por u
3
+ u ∈ U, temos
(((u
1
v
1
)u
2
2
)(u
3
+ u)
2
)v = 0,
(((u
1
v
1
)u
2
2
)(u
3
u))v = 0. (4.11)
Por outro lado, aplicamos sucessivamente (3.25), (3.30), (4.11), o Lema 4.1(b) e novamente
(3.25), (3.30) e (4.11) chegamos `a igualdade
((((u
1
v
1
)u
2
2
)v
2
)u
3
)u = ((((uv
1
)u
2
2
)v
2
)u
3
)u
1
.
e, usando os mesmos argumentos, podemos afirmar que
((((u
1
v
1
)u
2
2
)v
2
)u
3
)u = −((((uv
1
)u
2
2
)v
2
)u
3
)u
1
.
Somando membro a membro, conclu´ımos que ((((u
1
v
1
)u
2
2
)v
2
)u
3
)u = 0.
Defini¸c˜ao 4.1. A potˆencia produto de uma ´algebra A ´e definida por
A
(1)
= A, A
(k)
=
i+j=k
A
(i)
A
(j)
.
Lema 4.6. Em uma ´algebra de Bernstein-Jordan, tem-se que N
(k)
⊆ N
k
.
Demonstra¸c˜ao.
´
E evidente que o resultado ´e v´alido para k = 1. Suponhamos que isso
tamb´em seja v´alido para inteiros menores do que ou iguais a k. Temos que
A
(k+1)
=
i+j=k+1
A
(i)
A
(j)
= A
(k)
A + A
(k−1)
A
(2)
+ · · · ⊆ A
k
A + A
k−1
A
2
+ · · · ⊆ A
k
A = A
k+1
.
Portanto, o resultado ´e v´alido para todo inteiro positivo k.
Agora que j´a possuimos os resultados necess´arios, vamos provar que o quadrado do
barideal N ´e nilpotente.
Teorema 4.3. Seja N o barideal de uma ´algebra de Bernstein-Jordan. Ent˜ao
(N
(2)
)
(3)
N = 0.
Demonstra¸c˜ao. Observemos que, pelo lema anterior, (N
(2)
)
(3)
⊆ (N
2
)
3
. Assim, basta provar
que (N
2
)
3
N = 0. Como N = U
e
⊕ V
e
e V
2
e
= 0, temos
(N
2
)
3
N = [(U
e
+ V
e
)
2
]
3
(U
e
+ V
e
) = (U
2
e
+ U
e
V
e
)
3
(U
e
+ V
e
)
= [(U
2
e
(U
e
V
e
))U
2
e
+ (U
2
e
(U
e
V
e
))(U
e
V
e
) + ((U
e
V
e
)(U
e
V
e
))(U
e
V
e
)](U
e
+ V
e
).
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 52
Analisemos cada parcela acima. Pelo Lema 4.4, temos que (((u
1
v
1
)u
2
2
)u
2
3
)(u + v) = 0.
Em particular, substituindo u
2
por u
2
+ u
4
∈ U
e
, j´a que u
4
∈ U
e
, temos que (((u
1
v
1
)(u
2
+
u
4
)
2
)u
2
3
)(u + v) = 0. Logo,
(((u
1
v
1
)(u
2
u
4
))u
2
3
)(u + v) = 0.
Agora vamos substituir na identidade acima u
3
por u
3
+ u
5
∈ U
e
, j´a que u
5
∈ U
e
. Obtemos,
assim, (((u
1
v
1
)(u
2
u
4
))(u
3
+ u
5
)
2
)(u + v) = 0, o que implica
(((u
1
v
1
)(u
2
u
4
))(u
3
u
5
))(u + v) = 0,
e, assim, [(U
2
e
(U
e
V
e
))U
2
e
](U
e
+ V
e
) = 0.
Do Lema 4.5, temos que ((((u
1
v
1
)u
2
2
)v
2
)u
3
)(u + v) = 0. Substituindo nessa identidade
u
2
por u
2
+ u
4
∈ U
e
, temos que ((((u
1
v
1
)(u
2
+ u
4
)
2
)v
2
)u
3
)(u + v) = 0, ou ainda,
((((u
1
v
1
)(u
2
u
4
))v
2
)u
3
)(u + v) = 0
Tomando x = (u
1
v
1
)(u
2
u
4
), y = v
2
e z = u
3
, segue de (4.1) que
(((u
1
v
1
)(u
2
u
4
))v
2
)u
3
= −(((u
1
v
1
)(u
2
u
4
))u
3
)v
2
− (((u
1
v
1
)(u
2
u
4
))(u
3
v
2
)
= −(((u
1
v
1
)(u
2
u
4
))(u
3
v
2
),
pois (((u
1
v
1
)(u
2
u
4
))u
3
)v
2
∈ V
2
e
= 0. Logo, ((U
2
e
(U
e
V
e
))(U
e
V
e
))(U
e
+ V
e
) = 0.
Al´em disso, como [(U
e
V
e
)(U
e
V
e
)(U
e
V
e
)]U
e
= 0, pelo Teorema 4.2 e [(U
e
V
e
)(U
e
V
e
)(U
e
V
e
)]V
e
=
0, pelo Teorema 4.1 ent˜ao [(U
e
V
e
)(U
e
V
e
)(U
e
V
e
)](U
e
+ V
e
) = 0. Portanto, (N
2
)
3
N = 0.
Corol´ario 4.1. Seja N o barideal de uma ´algebra de Bernstein-Jordan. Ent˜ao
(N
(2)
)
(4)
= 0.
Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 4.6 e pelo Teorema 4.3, temos (N
(2)
)
(4)
⊆ (N
2
)
4
= (N
2
)
3
N = 0.
Teorema 4.4. Seja N o barideal de uma ´algebra de Bernstein. Ent˜ao
N
[4]
= 0.
Demonstra¸c˜ao. Pela defini¸c˜ao de potˆencia plena, N
[4]
= N
[3]
N
[3]
= (N
[2]
N
[2]
)(N
[2]
N
[2]
) =
(N
2
N
2
)(N
2
N
2
). Assim, temos provar que (N
2
N
2
)(N
2
N
2
) = 0. Observemos que
N
2
N
2
= (U
e
+ V
e
)
2
(U
e
+ V
e
)
2
= U
2
e
U
2
e
+ U
2
e
(U
e
V
e
) + U
2
e
V
2
e
+ (U
e
V
e
)(U
e
V
e
) + (U
e
V
e
)V
2
e
+ V
2
e
V
2
e
.
Mas por (3.26), temos que U
e
V
2
e
= 0 e por (3.36), temos que U
2
e
V
2
e
= 0. Desses dois fatos
decorre que (U
e
V
e
)V
2
e
⊆ U
e
V
2
e
= 0 e que V
2
e
V
2
e
⊆ U
2
e
V
2
e
= 0. Ent˜ao
N
2
N
2
= U
2
e
U
2
e
+ U
2
e
(U
e
V
e
) + (U
e
V
e
)(U
e
V
e
).
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 53
Lembremos que por (3.26), temos
(U
2
e
)
2
(U
2
e
)
2
⊆ V
2
e
V
2
e
⊆ U
e
V
2
e
= 0,
(U
2
e
)
2
(U
2
e
(U
e
V
e
)) ⊆ V
2
e
(U
2
e
V
e
) = 0.
Com isso, conclu´ımos que
N
[4]
= (N
2
N
2
)(N
2
N
2
) = (U
2
e
(U
e
V
e
))(U
2
e
(U
e
V
e
)) + (U
2
e
(U
e
V
e
))(U
e
V
e
)
2
+ (U
e
V
e
)
2
(U
e
V
e
)
2
.
Agora, vamos mostrar que cada parcela acima se anula. Come¸camos mostrando que um
produto do tipo ((u
1
v
1
)(u
2
u
3
))((u
4
v
2
)(u
5
u
6
)) se anula. Notemos que (u
1
v
1
)(u
2
u
3
) ∈ U
e
,
(u
4
v
2
) ∈ U
e
, (u
5
u
6
) ∈ V
e
e aplicando o Corol´ario 3.4 duas vezes
((u
1
v
1
)(u
2
u
3
))((u
4
v
2
)(u
5
u
6
)) = −(((u
1
v
1
)(u
2
u
3
))(u
5
u
6
))(u
4
v
2
)
= ((((u
1
v
1
)(u
2
u
3
))(u
5
u
6
))v
2
)u
4
.
Por outro lado, tomando a classe lateral
(((((u
1
+ L)(v
1
+ L))((u
2
+ L)(u
3
+ L)))(u
5
+ L)(u
6
+ L))(v
2
+ L))(u
4
+ L)
temos que ((((u
1
v
1
)(u
2
u
3
))(u
5
u
6
))v
2
)u
4
+ L ∈ A/L, que ´e uma ´algebra de Bernstein-Jordan.
Pelo Teorema 4.3,
((((u
1
v
1
)(u
2
u
3
))(u
5
u
6
))v
2
)u
4
+ L ∈ A/L = 0 + L
e assim ((((u
1
v
1
)(u
2
u
3
))(u
5
u
6
))v
2
)u
4
= 0.
Agora vamos provar que o produto do tipo ((u
1
v
1
)(u
2
v
2
))((u
3
v
3
)(u
4
u
5
)) se anula. Tendo
em vista a identidade (3.25), esse produto pode ser reescrito como
((u
1
v
1
)(u
2
v
2
))((u
3
v
3
)(u
4
u
5
)) = −(((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))(u
1
v
1
))(u
2
v
2
) − (((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))(u
2
v
2
))(u
1
v
1
).
Assim, basta mostrar que uma das parcelas do segundo membro da identidade acima se
anula. De fato, usando (3.30), temos
(((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))(u
1
v
1
))(u
2
v
2
) = −((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
1
)(u
2
v
2
) (4.12)
e por (3.5),
−((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
1
)(u
2
v
2
) = ((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
2
)(u
1
v
2
)
+((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)v
2
)(u
1
u
2
). (4.13)
Usando a identidade (3.25) na ´ultima parcela de (4.13), temos
(((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)v
2
)(u
1
u
2
) = −((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)v
2
)u
2
)u
1
−((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)v
2
)u
1
)u
2
. (4.14)
Usando classes laterais e aplicando o Corol´ario 3.4 e depois (3.25) no ´ultimo produto da
identidade (4.14), segue que
((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)v
2
)u
1
+ L = −((((u
3
(u
4
u
5
))v
3
)v
1
)v
2
)u
1
+ L
= ((((((u
3
u
4
)u
5
)v
3
)v
1
)v
2
)u
1
+ (((((u
3
u
5
)u
4
)v
3
)v
1
)v
2
)u
1
) + L
= 0 + L,
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 54
pelo Teorema 4.2. Consequentemente, ((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)v
2
)u
1
= 0. De modo an´alogo se
prova que a primeira parcela de (4.14) se anula. Agora, a identidade (4.13) est´a reduzida `a
identidade
−((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
1
)(u
2
v
2
) = (((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
2
)(u
1
v
2
),
((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
1
)(u
2
v
2
) = −(((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
2
)(u
1
v
2
). (4.15)
Trabalhando com classes laterais no segundo membro de (4.15) e usando o Lema 4.1(b),
temos
(((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
2
+ L = −(((u
2
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
3
+ L,
o que implica (((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
2
− (((u
2
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
3
∈ L e como u
1
v
2
∈ U
e
, segue que
((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
2
− (((u
2
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
3
)(u
1
v
2
) = 0, ou seja,
(((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
2
= (((u
2
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
3
). (4.16)
Decorre da identidade (4.16), da identidade (4.15) e do Lema 2.1(b) que
−((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
2
)(u
1
v
2
) = −((((u
2
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
3
)(u
1
v
2
)
= ((((u
2
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
1
)(u
3
v
2
)
= ((((u
1
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
2
)(u
3
v
2
)
= −((((u
1
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
3
)(u
2
v
2
)
= −((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
1
)(u
2
v
2
).
Levando este resultado em (4.15), obtemos ((((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))v
1
)u
1
)(u
2
v
2
) = 0 e com isto (4.12)
fornece (((u
3
v
3
)(u
4
u
5
))(u
1
v
1
))(u
2
v
2
))0. Portanto, (U
e
V
e
)
2
(U
e
V
e
)
2
= 0.
Finalmente, vamos provar que um produto do tipo ((u
1
v
1
)(u
2
v
2
))((u
3
v
3
)(u
4
v
4
)) se anula
para concluir que (U
e
V
e
)
2
(U
e
V
e
)
2
= 0. De fato, temos por (3.30) e (3.5), sucessivamente
((u
1
v
1
)(u
2
v
2
))((u
3
v
3
)(u
4
v
4
)) = −(u
2
((u
1
v
1
)v
2
))((u
3
v
3
)(u
4
v
4
))
= (((u
1
v
1
)v
2
)(u
3
v
3
))(u
2
(u
4
v
4
)) + (((u
1
v
1
)v
2
)(u
4
v
4
))(u
2
(u
3
v
3
)).
Como as parcelas da ´ultima igualdade acima s˜ao semelhantes, basta mostrar que uma delas
se anula, digamos, a primeira. Provemos, ent˜ao, que (((u
1
v
1
)v
2
)(u
3
v
3
))(u
2
(u
4
v
4
)) = 0 ou,
equivalentemente, pelo Corol´ario 3.4
((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
3
)(u
2
(u
4
v
4
)) = 0.
Pelas identidades (3.5) e (3.30) e pelo Lema 2.1
((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
3
)(u
2
(u
4
v
4
)) = −((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
2
)(u
3
(u
4
v
4
)) − ((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)(u
4
v
4
))(u
2
u
3
)
= ((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
2
)(u
4
(u
3
v
4
)) + (((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
4
)(u
2
u
3
)
= ((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)u
1
)(u
4
(u
3
v
4
)) + (((((u
4
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
1
)(u
2
u
3
)
= −((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)u
4
)(u
1
(u
3
v
4
)) − (((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
))(u
3
v
4
))(u
1
u
4
)
+(((((u
4
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
1
)(u
2
u
3
). (4.17)
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 55
Permutando u
1
e u
3
na identidade (4.17) e somando membro a membro com a mesma resulta
em
0 = ((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
3
)(u
2
(u
4
v
4
)) + ((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)u
4
)(u
1
(u
3
v
4
))
−(((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
3
)(u
1
u
4
) − (((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
4
)(u
2
u
3
)
+((((u
3
v
1
)v
2
)v
3
)u
1
)(u
2
(u
4
v
4
)) + ((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)(u
3
(u
1
u
4
))
−(((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)u
4
)u
1
)(u
3
v
4
) − (((((u
3
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
4
)(u
2
u
1
). (4.18)
Por´em, lembremos que por (3.30) a soma da segunda com a sexta parcelas de (4.18) se
anula. Al´em disso, decorre de (3.5) e do Lema 2.1(b) que
−(((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
4
)(u
2
u
3
) − (((((u
3
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
4
)(u
2
u
1
)
= −(((((u
4
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
1
)(u
2
u
3
) − (((((u
4
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
3
)(u
2
u
1
)
= (((((u
4
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
2
)(u
1
u
3
) = (((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
4
)(u
1
u
3
)
e, pela mesma raz˜ao, temos que
−(((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
3
)(u
1
u
4
) − (((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)u
4
)u
1
)(u
3
v
4
) =
= (((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
4
)(u
1
u
3
).
Pelo Lema 2.1(b),
((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
3
)(u
2
(u
4
v
4
)) + ((((u
3
v
1
)v
2
)v
3
)u
1
)(u
2
(u
4
v
4
)) = 2((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
3
)(u
2
(u
4
v
4
)).
Com estes resultados, a igualdade (4.18) se reduz `a identidade
2((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
3
)(u
2
(u
4
v
4
)) + 2(((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
4
)(u
1
u
3
) = 0. (4.19)
Permutando os elementos u
2
e u
4
na identidade (4.19) e somando membro a membro com
a mesma, chegamos `a identidade
0 = ((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
3
)(u
4
(u
2
v
4
)) + (((((u
4
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
2
)(u
1
u
3
)
+((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
3
)(u
2
(u
4
v
4
)) + (((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
4
)(u
1
u
3
). (4.20)
Mas levando em considera¸c˜ao u
4
(u
2
v
4
) = −u
2
(u
4
v
4
), o que anula a soma da primeira com
a terceira parcelas de (4.20). De acordo com o Lema 2.1(b) temos ((((u
2
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
4
=
((((u
4
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
2
. Logo, (((((u
4
v
1
)v
2
)v
3
)v
4
)u
2
)(u
1
u
3
) = 0. Portanto, segue de (4.19)
((((u
1
v
1
)v
2
)v
3
)u
3
)(u
2
(u
4
v
4
)) = 0.
Corol´ario 4.2. O barideal N de uma ´algebra de Bernstein cumpre com a condi¸c˜ao
(N
(2)
)
(5)
= 0.
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 56
Demonstra¸c˜ao. Usando os Teoremas 4.3 e 4.4, temos
(N
(2)
)
(4)
= (N
(2)
)
(3)
N
2
+ (N
(2)
)
(2)
(N
(2)
)
(2)
= (N
(2)
)
3
N
2
+ (N
(2)
N
(2)
)(N
(2)
N
(2)
)
= (N
(2)
)
3
(N
(2)
)
(2)
= (N
(2)
)
4
.
Logo, 0 = (N
(2)
)
(4)
= (N
(2)
)
4
⊆ L. Al´em disso,
LN
(2)
= LN
2
= L(U
e
V
e
+ U
2
e
) ⊆ LU
e
+ LU
2
e
= LU
2
e
.
Mas notemos que dado x ∈ LU
2
e
, existem u
0
∈ L e u
1
, u
2
∈ U
e
, tais que x = u
0
(u
1
u
2
) =
−u
1
(u
0
u
2
) − u
2
(u
0
u
1
) = 0. Ent˜ao, LU
2
e
= 0 e segue que LN
(2)
= 0. Portanto,
(N
(2)
)
(5)
= (N
(2)
)
(4)
N
(2)
+ (N
(2)
)
(3)
(N
(2)
)
(2)
⊆ LN
(2)
+ (N
(2)
)
3
N
(2)
= (N
(2)
)
4
= 0.
No artigo Free Nuclear Algebras de C. Martinez (1995) ´e dado um exemplo de uma
´algebra de Bernstein A que ´e nuclear (A
2
= A) mas que n˜ao ´e de Jordan, isto ´e, existe um
idempotente e tal que U
2
e
U
2
e
= 0, logo N
[3]
= 0. Por isso, o ´ındice de solubilidade dado no
Teorema 4.4 ´e o melhor poss´ıvel. N˜ao se sabe ainda se o ´ındice de nilpotˆencia de N
(2)
pode
ser aprimorado.
4.2
´
Algebras de Bernstein e de potˆencias associativas
Agora veremos os teoremas que relacionam as ´algebras de potˆencias associativas, de
Jordan, de Bernstein-Jordan e train de posto 3.
Teorema 4.5. Seja (A, ω) uma train ´algebra comutativa de posto 3. As seguintes afirma¸c˜oes
s˜ao equivalentes.
(i) A ´e uma ´algebra de Jordan.
(ii) A ´e uma ´algebra de potˆencias associativas.
(iii) γ = 0 ou γ = 1
Demonstra¸c˜ao. (i) ⇒ (ii). Suponhamos que A seja uma ´algebra de Jordan. Ent˜ao (xy)x
2
=
x(yx
2
), quaisquer que sejam x, y ∈ A. Lembremos que A
x
´e o conjunto de todos as somas
finitas de produtos de um n´umero finito de fatores iguais a R
x
ou a R
xx
. Al´em disso, pelo
Lema 1.6, A
x
contem todos R
w
, onde w = x
k
e k ´e um inteiro positivo. Vejamos que R
x
comuta com R
xx
. Dado y ∈ A, tem-se que
yR
x
R
xx
= (yx)R
xx
= (yx)x
2
= (xy)x
2
= x(yx
2
) = (yx
2
)x = (yx
2
)R
x
= yR
xx
R
x
.
Ent˜ao, podemos afimar que
R
x
i
R
x
j
= R
x
j
R
x
i
(4.21)
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 57
´e v´alido para todos os inteiros positivos i e j. Este fato ser´a usado para concluir que A
´e de potˆencias associativas. Raciocionando, novamente por indu¸c˜ao sobre i, temos que o
resultado ´e claro para i = 1. Suponhamos, ent˜ao que seja v´alido para todo inteiro i, ou seja,
x
i
x
j
= x
i+j
. Ent˜ao, aplicando (4.21) para x ∈ A, tem-se que
x
i+1
x
j
= (xx
i
)x
j
= (x)R
x
i
R
x
j
= (x)R
x
j
R
x
i
= (xx
j
)x
i
= x
j+1
x
i
= x
i+j+1
.
(ii) ⇒ (iii). Como A ´e uma train ´algebra de posto 3, seja x ∈ A de modo que ω(x) = 1.
Segue de (2.1) que x
3
= (1 + γ)x
2
− γx. Multiplicando essa equa¸c˜ao por x, temos
x
4
= (1 + γ)x
3
− γx
2
= (1 + γ)((1 + γ)x
3
− γx
2
) − γx
2
= (1 + 2γ + γ
2
)x
2
+ (−γ − γ
2
)x − γx
2
= (1 + γ + γ
2
)x
2
+ (−γ − γ
2
)x. (4.22)
Mas, por hip´otese, A ´e de potˆencias associativas, ent˜ao (x
2
)
2
= x
4
= x
3
x. Logo,
(1 + 2γ)x
2
− 2γx = (1 + γ + γ
2
)x
2
+ (−γ − γ
2
)x
por igualdade de polinˆomios, segue que 1 + γ + γ
2
= 1 + 2γ e −γ − γ
2
= −2γ. Ambas as
equa¸c˜oes s˜ao equivalentes `a equa¸c˜ao γ
2
− γ = 0 e, portanto, γ = 0 ou γ = 1.
(iii) ⇒ (i). Fazendo y = x e z = y em (2.6), obtemos
x
2
y + 2 (xy) x − (1 + γ)
2ω (x) xy + ω (y) x
2
+ γ
ω (x)
2
y + 2ω (x) ω (y) x
= 0.
Multiplicando por x, temos
x(x
2
y) + 2x(x(xy)) − (1 + γ)[2ω(x)x(xy) + ω(y)x
3
] + γ[ω(x)
2
xy + 2ω(x)ω(y)x
2
] = 0,
(4.23)
substituindo y por xy e lembrando que ω(x(xy)) = ω(x)ω(xy) = ω(x)ω(x)ω(y) = ω(x)
2
ω(y),
temos
x
2
(xy) + 2( x(xy))x − (1 + γ)[2ω(x)x(xy) + ω(xy)x
2
] + γ[ω(x)
2
xy + 2ω(x)
2
ω(y)x] = 0
(4.24)
e subtraindo membro a membro (4.23) e (4.24), obtemos
x(x
2
y) − x
2
(xy) = (1 + γ)ω(y)x
3
− (1 + γ)ω(x)ω(y)x
2
− 2γω(x)ω(y)x
2
+ 2ω(x)
2
ω(y)x
= ω(y)[(1 + γ)x
3
− (1 + γ)ω(x)x
2
− 2γω(x)x
2
+ γω(x)
2
x + γω(x)
2
x].
Como −x
3
= −(1 + γ)ω(x)x
2
+ γω(x)
2
x, por (2.1), ent˜ao
x(x
2
y) − x
2
(xy) = ω(y)[(1 + γ)x
3
− x
3
− 2γω(x)x
2
+ γω(x)
2
x]
= ω(y)[γx
3
− 2γω(x)x
2
+ γω(x)
2
x].
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 58
Finalmente, para γ = 0 temos que x(x
2
y) − x
2
(xy) = 0. Logo A ´e uma ´algebra de Jordan e
para γ = 1, usamos (2.1) para concluir que
x(x
2
y) − x
2
(xy) = ω(y)[x
3
− 2ω(x)x
2
+ ω(x)
2
x]
= ω(y)[2ω(x)x
2
− ω(x)
2
x − 2ω(x)x
2
+ ω(x)
2
x] = 0.
Portanto, neste caso A tamb´em ´e uma ´algebra de Jordan.
Teorema 4.6. Seja (A, ω) uma train ´algebra comutativa de posto 3. As seguintes afirma¸c˜oes
s˜ao equivalentes.
(i) A ´e uma ´algebra de Bernstein-Jordan.
(ii) A ´e uma ´algebra de Bernstein e de potˆencias associativas.
(iii) A ´e uma ´algebra de Bernstein.
(iv) γ = 0.
Demonstra¸c˜ao. (i) ⇒ (ii). Foi feito no teorema anterior.
(ii) ⇒ (iii).
´
Obvio.
(iii) ⇒ (iv). Como A ´e uma train ´algebra de posto 3, temos a decomposi¸c˜ao N = U
e
⊕V
e
,
onde
U
e
=
u ∈ N; eu =
1
2
u
,
V
e
= {v ∈ N; ev = γv}.
Mas como A tamb´em ´e uma ´algebra de Bernstein, temos a decomposi¸c˜ao N = U
e
⊕ V
e
,
onde
V
e
= {v
∈ N; ev
= 0}.
Pelo Teorema 3.2, existe e ∈ Id(A), tal que V
e
= 0. Dado a ∈ V
e
, ent˜ao ea = γv. Mas
a ∈ V
e
⊆ N = U
e
⊕ V
e
, logo existem u
∈ U
e
e v
∈ V
e
tais que a = u
+ v
, eu
=
1
2
u
e
ev
= 0. Segue que
ea = eu
+ ev
,
γa =
1
2
u
,
γu
+ γv
=
1
2
u
.
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 59
Como a soma ´e direta, temos que γu
=
1
2
u
, ou ainda
γ −
1
2
u
= 0 e, portanto, u
= 0.
Al´em disso, de γv
= 0, pode ser γ = 0 ou v
= 0. Mas notemos que se γ = 0, ent˜ao ter´ıamos
v
= 0 e, como j´a vimos que u
= 0, resultaria em a = 0, o que n˜ao pode o correr. Portanto,
γ = 0.
(iv) ⇒ (i). Aplicando a hip´otese γ = 0 em (2.1), temos
x
3
− ω(x)x
2
= 0. (4.25)
Substituindo x por x + λy, onde y ∈ A e λ ∈ F , acima temos
0 = (x + λy)
3
− ω(x + λy)(x + λy)
2
= x
3
+ λx
2
y + 2λ(xy)x + 2λ
2
(xy)y + λ
2
y
2
x + λ
3
y
3
− ω(x)x
2
− 2λxyω(x) −
λ
2
y
2
ω(x) − λx
2
ω(y) − 2λ
2
xyω(y) − λ
3
y
2
ω(y). (4.26)
Fazendo x = λy em (4.25)
(λy)
3
− ω(λy)(λy)
2
= 0,
λ
3
y
3
− λ
3
ω(y)y
2
= 0. (4.27)
Usando (4.25) e (4.27) em (4.26) temos
λ[x
2
y + 2(xy)x − 2xyω(x) − x
2
ω(y)] + λ
2
[2(xy)y + y
2
x − y
2
ω(x) − 2xyω(y)] = 0.
Mas λ = 0, da´ı
x
2
y + 2(xy)x − 2xyω(x) − x
2
ω(y) = 0, (4.28)
2(xy)y + y
2
x − y
2
ω(x) − 2xyω(y) = 0. (4.29)
Conv´em notar que as identidades acima s˜ao equivalentes, bastando substituir x por y
em uma que se obt´em a outra. Multiplicando (4.28) por x, temos
x(x
2
y) + 2x(x(xy)) − 2x(xy)ω(x) − x
3
ω(y) = 0. (4.30)
Substituindo y por xy em (4.28), temos
x
2
(xy) + 2x(x(xy)) − 2x(xy)ω(x) − x
2
ω(xy) = 0. (4.31)
Vamos subtrair membro a membro as identidades (4.30) e (4.31). O resultado ´e
x(x
2
y) − x
2
(xy) + ω(x)ω(y)x
2
− x
3
ω(y) = 0,
x(x
2
y) − x
2
(xy) − ω(y)[x
3
− ω(x)x
2
] = 0,
x(x
2
y) − x
2
(xy) = 0.
CAP
´
ITULO 4. NILPOT
ˆ
ENCIA DAS
´
ALGEBRAS DE BERNSTEIN 60
Note-se que foi usada a rela¸c˜ao (4.25). Assim A ´e uma ´algebra de Jordan. Resta provar
que A ´e uma ´algebra de Bernstein. Para isso, multiplicamos (4.25) por x, ent˜ao
0 = x
4
− ω(x)x
3
= x
4
− ω(x)ω(x)x
2
,
x
4
= ω(x)
2
x
2
.
Pelo teorema anterior, A ´e de potˆencias associativas, ou seja (x
2
)
2
= x
4
. Logo (x
2
)
2
=
ω(x)
2
x
2
. Portanto, A ´e uma ´algebra de Bernstein-Jordan.
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] ALBERT, Abraham Adrian. On the Power-associativity of Rings. Summa Brasilien-
sis Mathematicæ, v. 2(2), p. 21-33, 1948.
[2] ALBERT, Abraham Adrian. Power-associative Rings. American Mathematical So-
ciety, v. 64, p. 552-593, 1948.
[3] ARRUDA, Suellen Cristina Arruda. Varia¸c˜oes no Polinˆomio V
2
em
´
Algebras
de Bernstein. 2008, 49 f. Disserta¸c˜ao (Mestrado em Matem´atica) - Programa de
P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Estat´ıstica, Instituto de Ciˆencias Exatas e Naturais,
Universidade Federal do Par´a, Bel´em.
[4] JACOBSON, Nathan. Basic Algebra. 2. ed. San Francisco: W H Freeman & Co.
(Sd), 1985. 499 p.
[5] MARTINEZ, C.; BERNARD, J.; GONZALEZ S.. On the Nilpotency of the Barideal of
a Bernstein Algebra, Communications In Algebra, Oviedo v. 25, n. 9, p. 2967-2985,
1997.
[6] MONTOYA, Mary Luz Rondi˜no. Nil´agebras Comutativas de Potˆencias Associa-
tivas. 2005, 92 f. Disserta¸c˜ao (Mestrado em Matem´atica) - Instituto de Matem´atica e
Estat´ıstica, Universidade de S˜ao Paulo, S˜ao Paulo.
[7] ROCHA, Adriano Aparecido Soares. Subespa¸cos Invariantes em
´
Algebras Satis-
fazendo a Identidade x
3
= λ(x)x
2
. 2008, 80 f. Disserta¸c˜ao (Mestrado em
Matem´atica) - Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Estat´ıstica, Instituto
de Ciˆencias Exatas e Naturais, Universidade Federal do Par´a, Bel´em.
[8] RODRIGUES, Rodrigo Lucas.
´
Algebras B´aricas e Aplica¸c˜oes. 2008, 177 f. Dis-
serta¸c˜ao (Mestrado em Matem´atica) - Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica, Universi-
dade de S˜ao Paulo, S˜ao Paulo.
[9] SCHAFER, Richard. An Introduction to Nonassociative Algebras. New York:
Dover Publications, 1995. 173 p.
61
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