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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
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A
INSTITUTO DE CI
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ENCIAS EXATAS E NATURAIS
PROGRAMA DE P
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OS-GRADUAC¸
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AO EM MATEM
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ATICA E ESTAT
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ISTICA
Anderson David de Souza Campelo
An´alise de dados de Imagem por Ressonˆancia Magn´etica
Funcional utilizando Mapas auto-organiz´aveis
Bel´em
2010
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Livros Grátis
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
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A
INSTITUTO DE CI
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ENCIAS EXATAS E NATURAIS
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
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AO EM MATEM
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ATICA E ESTAT
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ISTICA
Anderson David de Souza Campelo
An´alise de dados de Imagem por Ressonˆancia Magn´etica
Funcional utilizando Mapas auto-organiz´aveis
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-
gradua¸c˜ao em Matem´atica e Estat´ıstica -
PPGME - da Universidade Federal do Par´a,
como pr´e-requisito para obten¸c˜ao do t´ıtulo de
Mestre em Matem´atica.
ORIENTADOR: Prof. Dr. Valcir Jo˜ao da Cunha Farias
Bel´em
2010
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Campelo, Anderson David de Souza
An´alise de dados de Imagem por Ressonˆancia Magn´etica Funcional utilizando
Mapas auto-organiz´aveis/(Anderson David de Souza Campelo); orientador, Valcir
Jo˜ao da Cunha Farias. - 2010.
61 f. il. 28 cm
Disserta¸c˜ao (Mestrado) - Universidade Federal do Par´a. Instituto de Ciˆencias
Exatas e Naturais. Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica e Estat´ıstica.
Bel´em, 2010.
1. Redes Neurais. 2. Entropia - Teoria da Informa¸c˜ao. 3. Imagem por
ressonˆancia Magn´etica. I. Farias, Valcir Jo˜ao da Cunha, orient. II. Universidade
Federal do Par´a, Instituto de Ciˆenciais Exatas e Naturais, Programa de P´os-
Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Estat´ıtica. III. T´ıtulo.
CDD 22. ed. 006.32
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR
´
A
INSTITUTO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS E NATURAIS
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
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AO EM MATEM
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ATICA E ESTAT
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ISTICA
Anderson David de Souza Campelo
An´alise de dados de Imagem por Ressonˆancia Magn´etica Funcional utilizando
Mapas auto-organiz´aveis
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-
gradua¸c˜ao em Matem´atica e Estat´ıstica da
Universidade Federal do Par´a, como pr´e-
requisito para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em
Matem´atica.
Data da defesa: 18 de fevereiro de 2010.
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Valcir Jo˜ao da Cunha Farias (Orientador)
PPGME - UFPA
Prof. Dr. Marcus Pinto da Costa da Rocha (Co-orientador)
PPGME - UFPA
Prof. Dr. Heliton Ribeiro Tavares
PPGME - UFPA
Prof. Dr. Antˆonio Pereira J´unior
UFRN
`
A minha fam´ılia.
Agradecimentos
• Agrade¸co primeiramente a Deus, por ter me dado a vida e a oportunidade de estudar.
• Aos meus pais que transformaram essa oportunidade em realiza¸c˜ao, atrav´es de seus incen-
tivos e carinho.
• A Gilmara, pessoa que esteve presente todos esses anos desde os tempos de gradua¸c˜ao
tornando a vida mais agrad´avel.
• Agrade¸co aos professores e amigos Marcus Rocha e, particularmente, Valcir Farias que
como co-orientador e orientador, dedicaram tempos para discuss˜oes, aprendizados e sem
os quais esta disserta¸c˜ao n˜ao seria poss´ıvel.
• A todos do LAM, Alessandra, Andr´e, Daniel, Edinaldo, Josiane, Liliane, Lu´ıs, Marcos,
Nayane, Phillip e Ulisses pelo companheirismo, momentos de discuss˜ao e apoio ao trabalho.
• Agrade¸co ainda, aos outros membros da banca, professores Heliton e Antˆonio Pereira, que
se dispuseram a ler criticamente o texto e auxiliar em poss´ıveis d´uvidas correntes.
• Ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Estat´ıstica da Universidade Federal
do Par´a de modo geral, pelo apoio de todos os professores que ainda que indiretamente,
tenham contribu´ıdo com valiosos ensinamentos.
• A CAPES, pela concess˜ao da bolsa de mestrado e pelo apoio financeiro para a realiza¸c˜ao
desta pesquisa.
Lista de Abreviaturas
BOLD Contraste dependente do n´ıvel de oxigena¸c˜ao sangu´ınea
(Blood Oxygenation Level Dependent Contrast)
EPI Echo-planar imaging
fMRI Imagem por ressonˆancia magn´etica funcional
(functional magnetic resonance imaging)
FWHM Largura no ponto de meia-altura (full-width at half maximum)
GLM Modelo linear geral (general linear model )
HC Agrupamento Hier´arquico (hierarchical clustering)
HRF Fun¸c˜ao de resposta hemodinˆamica (hemodynamic response function)
ICA An´alise de componentes independentes
(independent component analysis)
MR Ressonˆancia Magn´etica (magnetic resonance)
PCA An´alise de componentes principais (principal component analysis)
RF R´adio-freq¨uˆencia
RNA Redes Neurais Artificiais
SNR Rela¸c˜ao sinal-ru´ıdo (signal-to-noise ratio)
SOM Mapas auto-organiz´aveis (self-organizing maps)
iv
Lista de Figuras
1.1 (a) Neurˆonio biol´ogico; (b) Neurˆonio artificial; (c) Esquema ilustrativo de uma
RNA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Diferentes arquiteturas de mapas auto-organiz´aveis: (a) mapa unidimensional;
(b) mapa bidimensional retangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 As trˆes distˆancias da U-matrix. Imagem retirada e adaptada a partir de Costa &
Netto, 2007. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 (a) Dendrograma; (b) Diagrama de agrupamentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Entropia no caso de duas possibilidades com probabilidades p e 1 −p . . . . . . . 16
2.1 Exemplo de orienta¸c˜ao de trˆes diferente cortes: (a) Fatia Coronal; (b) Fatia Sag-
ital; (c) Fatia Axial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Fun¸c˜ao Resposta Hemodinˆamica para um est´ımulo de curta dura¸c˜ao. Imagem
retirada e adaptada a partir de Mulert & Lemieux, 2010 . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Experimentos em fMRI: (a) Paradigma em Bloco, quatro per´ıodos de repouco in-
tercalados com trˆes de ativa¸c˜ao; (b) Um paradigma misto, paradigma em bloco in-
terpretado como evento-relacionado; (c) um paradigma evento-relacionado aleat´orio.
Imagem retirada de Sarty, 2007. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Realinhamento espacial de um experimento auditivo. Na legenda, os 6 parˆametros
de corpo r´ıgido, para transla¸c˜ao e rota¸c˜ao. Figura obtida ap´os a etapa de realin-
hamento realizada no SPM8 (Statistical Parametric Mapping). . . . . . . . . . . 22
2.5 S´erie temporal de voxels ativos e n˜ao ativos de uma ´unica fatia dos volumes de
imagens. Imagem retirada e adaptada a partir de Sarty, 2007. . . . . . . . . . . . 24
2.6 (a) Representa¸c˜ao de um paradigma em bloco, o valor 0 indica o repouso e 1
a ativa¸c˜ao; (b) HRF modelada segundo a proposta de Friston (1998), usando
parˆametros de Glover (1999); (c) Convolu¸c˜ao da HRF com o paradigma em bloco. 26
v
2.7 Diagrama descritivo do c´alculo da entropia de Shannon. As probabilidades podem
ser obtidas sobre cada janela separadamente (W
1
e W
2
) e para cada n´ıvel I
k
.
Imagem retirada de Ara´ujo et al. 2003. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Esquema ilustrativo da distribui¸c˜ao espacial de voxels ativos e a intensidade destes
voxels ao longo do tempo em dados sint´eticos com SNR = 5dB . . . . . . . . . . 29
3.2 S´eries temporais para diferentes valores de SNR. Para valores altos de SNR, a
HRF ´e mais evidente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 (a) Sinal apresentando baixa entropia, os pontos concentram-se no intervalo su-
perior, com as seguintes distribui¸c˜ao de probabilidade de cada intervalo, p(I
1
) =
0.1083 e p(I
2
) = 0.8917 e entropia H = 0.4949; (b) Sinal apresentando alta en-
tropia, com distribui¸c˜ao de probabilidade para os intervalos p(I
1
) = 0.4667 e
p(I
2
) = 0.5333 e entropia H = 0.9968. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1 (a) Mapa entr´opico dos dados artificiais; (b)An´alise entr´opica dos dados sint´eticos.
Os pontos pretos na imagem foram eliminados, o equivalente a 6% dos dados de
entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 (a) Resultado do m´etodo de agrupamento hier´arquico aplicado aos pesos do SOM,
72 agrupamentos foram formados; (b) Visualiza¸c˜ao tridimensional da U-matriz
dos dados sint´eticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Configura¸c˜ao final do SOM, grade 10 × 10 para os dados sint´eticos, o neurˆonios
em destaque representam os padr˜oes ativos dos dados de entrada. . . . . . . . . . 36
4.4 O sinal em azul corresponde a HRF com SNR de 5dB atribu´ıda aos dados
sint´eticos. O sinal em vermelhos representa a m´edia da s´erie temporal dos neurˆonios
candidatos a ativa¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5 As regi˜oes pretas no interior do c´erebro correspondem `as regi˜oes ativas com-
putadadas pelo SOM com 100 itera¸c˜oes para um CC> 0.7056. . . . . . . . . . . . 37
4.6 (a) Mapa entr´opico dos dados reais da oitava fatia; (b)An´alise entr´opica dos
dados reais. Os pontos pretos na imagem foram eliminados, o equivalente a 8%
dos dados de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7 Gr´afico do erro de quantiza¸c˜ao para um total de 250 itera¸c˜oes. (a) erro de quan-
tiza¸c˜ao com aplica¸c˜ao de entropia; (b) erro de quantiza¸c˜ao sem entropia. . . . . . 38
4.8 (a)Resultado do m´etodo de agrupamento hier´arquico aplicado aos pesos do SOM,
49 agrupamentos foram formados; (b) Visualiza¸c˜ao tridimensional da U-matriz
do experimento auditivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
vi
4.9 Configura¸c˜ao final do SOM (10×10) para os dados reais, o neurˆonios em destaque
representam os padr˜oes ativos dos dados de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.10
`
A esquerda, resultado de uma estimula¸c˜ao auditiva no c´ortex cerebral segundo
an´alise do SOM (CC> 0.6).
`
A direita, m´edia da s´erie temporal dos pesos dos
neurˆonios ativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.11 Resultado de uma estimula¸c˜ao auditiva no c´ortex cerebral segundo an´alise do
SOM, fatias 9 e 10 (CC> 0.6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.12 Resultado de uma estimula¸c˜ao auditiva no c´ortex cerebral segundo an´alise do SPM. 41
vii
Resumo
A imagem por ressonˆancia magn´etica funcional (fMRI) tem se tornado uma importante
t´ecnica no estudo do c´erebro humano em a¸c˜ao, principalmente por permitir uma investiga¸c˜ao
de forma n˜ao-invasiva e por possuir uma boa resolu¸c˜ao espa¸co-temporal. Nos ´ultimos anos, os
mais diferentes m´etodos tem surgido com o intuito de analisar os sinais coletados em fMRI a
fim de detectar ativa¸c˜oes cerebrais funcionais. Dentre esses m´etodos, incluem-se os mapas auto-
organiz´aveis (SOM) que juntamente com t´ecnicas de agrupamento hier´arquico (HC) mostraram-
se bastante consistentes, especialmente por permitirem identificar atividades que surgem de
diferentes fontes de sinal. No presente estudo, foi proposto uma an´alise dos dados fMRI, na qual
antes da aplica¸c˜ao do SOM e HC, foi utilizada a entropia de Shanonn visando eliminar sinais
que podem estar relacionados a fontes de ru´ıdos. Desta forma, aumentando a eficiˆencia do SOM
e HC na busca de padr˜oes de atividade. Al´em disso, a entropia de Shannon, assim como, outra
t´ecnicas baseadas na Teoria da Informa¸c˜ao, j´a mostrou-se satisfat´oria em experimentos fMRI. Os
trˆes m´etodos foram aplicados conjuntamente em dados simulados e em um experimento auditivo
real, o que revelou ser poss´ıvel, efetivamente, encontrar ativa¸c˜oes cerebrais funcionais.
Palavras-chave: Mapas auto-organiz´aveis, fMRI, entropia de Shannon, agrupamento hier´ar-
quico, coeficiente de correla¸c˜ao.
viii
Abstract
A magnetic resonance imaging (fMRI) has become an important technique in the study of
human brain in action, especially for allowing an investigation of a non-invasive form and to
have a good spatial and temporal resolution. In recent years, several methods have emerged
in order to analyze the signals collected in fMRI to detect brain functional activation. Among
these methods, include the self-organizing maps (SOM) that together with the techniques of
hierarchical clustering (HC) were revealed very consistent, especially for allowing to identify
activities that appear of different sources of signal. In this study, we proposed an analysis of
fMRI data, which predated the implementation of the SOM and HC, we used the Shannon’s
entropy to eliminate signals that may be related to noise sources. Thus, increasing the efficiency
of the SOM and HC in the search for patterns of activity. In addition, the Shannon’s entropy,
as well as other techniques based on Information Theory, has proved to be satisfactory in fMRI
experiments. The three methods were applied together in simulated data and a real auditory
experiment, which proved to be possible, effectively, find functional brain activation.
Keywords: Self-organizing maps, fMRI, Shannon’s entropy, Hierarchical Clustering, correlation
coefficient.
ix
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1 Mapas auto-organiz´aveis 3
1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 O mapa auto-organiz´avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 O Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 O Processo Competitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 O Processo Cooperativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 O Processo Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Avalia¸c˜ao da qualidade da aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Formando grupos no Mapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 U-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 T´ecnicas de Agrupamento Hier´arquico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Entropia de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Imagem Funcional por Ressonˆancia Magn´etica 17
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Aquisi¸c˜ao das imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Efeito BOLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Experimentos em fMRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Pr´e-processamento das Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1 Realinhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 Filtros Espaciais e Temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 An´alise dos dados fMRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.1 O modelo linear geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.2 M´etodo Entr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
x
3 Materiais e m´etodos 29
3.1 Dados Simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Dados Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 An´alise de Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Resultados 35
4.1 Dados Simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Dados Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Conclus˜ao 42
Referˆencias Bibliogr´aficas 43
xi
Introdu¸c˜ao
A imagem funcional por ressonˆancia magn´etica (fMRI - functional magnetic resonance imag-
ing) ´e uma ferramenta amplamente usada em estudos do c´erebro humano em a¸c˜ao. Ela permite
mapear as respostas funcionais quantitativamente usando uma tecnologia que ´e n˜ao-invasiva,
oferecendo uma boa resolu¸c˜ao espa¸co-temporal (Logothethis, 2002). A t´ecnica tem sido apli-
cada de forma bastante consistente em processos cognitivos elevados, como no monitoramento
do crescimento de tumores cerebrais, mapeamento pr´e-cir´urgico, estudos de cronometria men-
tal, e tamb´em como m´etodo de diagn´ostico em doen¸cas de Alzheimer, epilepsia (Fountura et al.,
2008).
A fMRI surgiu no in´ıcio da d´ecada de 90 como extens˜ao dos convencionais exames de res-
sonˆancia magn´etica. Em um simples procedimento fMRI o sujeito ´e submetido a est´ımulos vari-
ados enquanto sucessivas imagens v˜ao sendo adquiridas. O scanner MR detecta as atividades
funcionais cerebrais a partir de mudan¸cas nos n´ıveis oxigena¸c˜ao do sangue, as quais causam per-
tuba¸c˜oes no campo magn´etico aplicado. Estas altera¸c˜oes na taxa de oxigena¸c˜ao no sangue s˜ao
conhecidas como contraste ou efeito BOLD (Blood Oxigenation Level Dependent), e podem ser
modeladas atrav´es da fun¸c˜ao resposta hemodinˆamica (HRF - Hemodynamic Response Function).
As imagens obtidas em um experimento fMRI, geralmente, possuem uma baixa rela¸c˜ao
sinal ru´ıdo (SNR - signal to noise ratio), o que, somado `as outras fontes de ru´ıdo dificultam
a inspe¸c˜ao visual direta das ´areas de atividade cerebral, tornando necess´aria a utiliza¸c˜ao de
m´etodos computacionais de an´alises. Contudo, n˜ao existe um consenso entre os pesquisadores em
fMRI na escolha de um melhor m´etodo, sendo crescente o n´umero de trabalhos que desenvolvem
metodologias alternativas de an´alise dos sinais provenientes da fMRI (de Ara´ujo, 2002).
Uma classe particular do conjunto de m´etodos de an´alise envolve t´ecnicas de agrupamento,
que consiste em atribuir `a s´erie temporal de cada ponto (voxel) dos dados fMRI a diferentes
grupos homogˆeneos, de maneira a maximizar a similaridade entre voxels do mesmo grupo, e
minimizar a similaridade entre voxels de grupos distintos. Esperando-se encontrar um grupo
que represente um efeito dinˆamico de interesse, tal como padr˜oes de ativa¸c˜ao. Os mais populares
1
algoritmos de agrupamento em fMRI s˜ao K -m´edias (Balslev et al. 2002), agrupamento fuzzy
(Baumgartner et al., 1998; Fadili et al., 2000) e m´etodos de agrupamento hier´arquico (HC -
Hierarchical Clustering) (Stanberry et al., 2003).
Dentro da mesma classe de m´etodos, ainda se pode destacar os mapas auto-organiz´aveis
(SOM - self-organizing maps), um tipo de rede neural artificial (RNA) para agrupamento e
visualiza¸c˜ao de dados de altas dimens˜oes, e que preserva uma organiza¸c˜ao espacial, utilizando
uma aprendizagem competitiva (Kohonen, 2001). O SOM j´a foi utilizado como m´etodo de
an´alises de dados de fMRI por Fischer e Hennig (1999), que aplicaram o SOM em fMRI, bem
como tamb´em em exames de mamografias. Ngan et al. (2002), utilizaram o m´etodo juntamente
com an´alises de correla¸c˜ao cruzada para identificar as regi˜oes associadas as est´ımulos visuais
e motor. Peltier, et al. (2003), aplicaram o SOM para identificar conectividade funcionais de
baixa-freq¨uˆencia em fMRI. Chen et al. (2006) e Liao et al. (2008) utilizaram SOM associados a
um agrupamento hier´arquico para detectar diferentes desenhos experimentais no mesmo mapa.
A partir, principalmente, desses dois ´ultimos trabalhos, desenvolveu-se um estudo com os
mapas auto-organiz´aveis e t´ecnicas de agrupamento hier´arquico como ferramentas de an´alises de
dados fMRI. Ao m´etodo, foi associada a entropia de Shannon com intuito de torn´a-lo mais eficaz
na detec¸c˜ao de padr˜oes relativos a atividades cerebrais. Para medir esta efic´acia ´e calculado o
erro de quantiza¸c˜ao do SOM, uma medidade que avalia a qualidade de aprendizagem da rede.
O estudo estrutura-se da seguinte maneira: no primeiro cap´ıtulo, estudou-se os mapas auto-
organiz´aveis, al´em entropia de Shannon e t´ecnicas de agrupamento hierarquico. No segundo
cap´ıtulo, foi feita uma introdu¸c˜ao sobre alguns fundamentos e conceitos do fMRI, passando pela
aquisi¸c˜ao de imagens at´e uma breve vis˜ao do modelo linear geral (GLM - General Linear Model)
e entropia de Shannon aplicados ao fMRI. O terceiro cap´ıtulo ´e caracterizado pela descri¸c˜ao dos
fMRI utilizados no estudo e procedimento metodol´ogico, al´em da configura¸c˜ao dos parˆametros do
SOM e HC. No quarto cap´ıtulo s˜ao exibidos os resultados das an´alises do SOM tanto pra dados
sint´eticos como em dados reais. Por fim, s˜ao apresentados conclus˜ao e referencial bibliogr´afico.
2
Cap´ıtulo 1
Mapas auto-organiz´aveis
1.1 Introdu¸c˜ao
As redes neurais artificiais (RNA) s˜ao modelos matem´aticos e computacionais baseados nos
m´etodos de processamento cerebral. O c´erebro pode ser considerado como um computador, o
qual recebe informa¸c˜oes, processa-as e toma decis˜oes apropriadas. A unidade de processamento
cerebral s˜ao os neurˆonios (Figura 1.1a), que por sua vez s˜ao constitu´ıdos por trˆes principais
componentes: os dendritos que s˜ao os canais de entrada dos sinais transmitidos por outros
neurˆonios; o corpo celular que tem por fun¸c˜ao coletar e processar estes sinais; e o axˆonio, o qual
´e respons´avel por transmitir os est´ımulos para outras c´elulas. Estima-se que haja aproximada-
mente 10 bilh˜oes de neurˆonios no c´ortex humano e 60 trilh˜oes de sinapses
1
(Shepherd e Kock,
1990).
Em um neurˆonio matem´atico (Figura 1.1b), as sinapses s˜ao caracterizadas por um peso
m
i
= [m
i1
, m
i2
, . . . , m
in
]
T
associado a um neurˆonio i de entrada x = [x
1
, x
2
, . . . , x
n
]
T
. Estes
vetores s˜ao, ent˜ao, combinados linearmente v =
n
j=1
m
ij
xj e uma fun¸c˜ao de ativa¸c˜ao f (v)
determina a forma e a intensidade dos valores transmitidos para um outro neurˆonio. Existem
varia¸c˜oes deste modelo b´asico, assim como v´arias fun¸c˜oes de ativa¸c˜ao. Sendo uma RNA (Figura
1.1c) formada pela combina¸c˜ao destes neurˆonios artificiais em uma ou mais camadas, as quais
podem conter um ou mais neurˆonios interligados pelas sinapses.
Uma outra caracter´ıstica importante de uma RNA ´e a sua habilidade de aprender a partir
de seu ambiente e de melhorar o seu desempenho atrav´es da aprendizagem. O processo de
aprendizagem em uma rede neural est´a associado a altera¸c˜oes aplicadas aos seus pesos sin´apticos,
processo este conhecido como treinamento. Atualmente, existem uma diversidade de algoritmos
1
As sinapses s˜ao pequenas estruturas biol´ogicas respons´aveis pela conex˜ao entre neurˆonios.
3
Figura 1.1: (a) Neurˆonio biol´ogico; (b) Neurˆonio artificial; (c) Esquema ilustrativo de uma RNA.
de aprendizagem, dentre eles o processo de aprendizagem competitiva, o qual forma a base para
o estudo do presente cap´ıtulo.
A aprendizagem competitiva ´e um tipo de aprendizado n˜ao-supervisionado ou auto-organiza-
do, ou seja, a rede ´e treinada conforme informa¸c˜oes de entrada e sem envolver um agente externo
(sa´ıdas desejadas). Essencialmente, o princ´ıpio da aprendizagem competitiva est´a na competi¸c˜ao
entre os neurˆonios a partir da apresenta¸c˜ao de um sinal de entrada, o neurˆonio vencedor tem,
ent˜ao, seus pesos ajustados para melhor responder ao sinal empregado, e por intera¸c˜ao lateral
os neurˆonios vizinhos ao vencedor tamb´em recebem reajustes ao seus pesos. Como resultado,
os neurˆonios tornam-se gradualmente sens´ıveis aos diversos padr˜oes de entrada e a conjuntos de
amostras num dom´ınio espec´ıfico do espa¸co de entrada.
1.2 O mapa auto-organiz´avel
Sabe-se que o c´erebro, em suas v´arias regi˜oes, especialmente o c´ortex cerebral, est´a dividido
de maneira ordenada em diferentes modalidades sensoriais, realizando tarefas espec´ıficas, tais
como, tarefas motoras, somest´esicas, visuais, auditivas, etc.
´
E esta estrutura cerebral que serve
como motiva¸c˜ao para constru¸c˜ao de mapas topogr´aficos artificiais e que possam aprender atrav´es
de auto-organiza¸c˜ao de maneira inspirada na neurobiologia.
A forma¸c˜ao destes mapas topogr´aficos obedece a um princ´ıpio formulado por Kohonen,
que diz que a localiza¸c˜ao espacial dos neurˆonios de sa´ıda s˜ao indicativas das caracter´ısticas
particulares contidas nos dados de entrada (Kohonen, 1990). Por isto o nome mapa auto-
organiz´avel (SOM - self-organizing map), o qual transforma um padr˜ao de sinal incidente de
dimens˜ao arbitr´aria em um mapa discreto e realiza esta transforma¸c˜ao adaptativamente de uma
maneira topologicamente ordenada (Haykin, 2001).
Entre os modelos de mapas auto-organiz´aveis, o mais conhecido na literatura ´e o de Kohonen
4
Figura 1.2: Diferentes arquiteturas de mapas auto-organiz´aveis: (a) mapa unidimensional; (b)
mapa bidimensional retangular.
proposto em 1982. O mapa auto-organiz´avel de Kohonen ´e uma RNA na qual os neurˆonios ficam
dispostos em uma grade (Figura 1.2), normalmente, uni ou bidimensional. Cada neurˆonio da
grade ´e ligado a todos os componentes da fonte de entrada, isto ´e, a dimens˜ao dos pesos sin´apticos
´e mesma dos dados de entrada. E, para que o processo de auto-organiza¸c˜ao seja bem sucedido,
todo os neurˆonios da grade devem ser apresentados a um n´umero suficiente de diferentes padr˜oes
de entrada.
1.3 O Algoritmo
O algoritmo da constru¸c˜ao do SOM come¸ca inicializando os pesos sin´apticos da grade com
valores aleat´orios, para que nenhuma organiza¸c˜ao pr´evia seja imposta ao mapa. O processo,
ent˜ao, ´e dividido em trˆes fases (Haykin, 2001). Na primeira etapa, a fase competitiva, para
cada padr˜ao de entradas, os neurˆonios da grade competem entre si para escolha de um ´unico
vencedor. Na segunda fase, cooperativa, ´e definida a vizinhan¸ca do neurˆonio vencedor. Por fim,
a fase adaptativa, o neurˆonio vencedor e sua vizinhan¸ca tem seus pesos ajustados. As trˆes fases
s˜ao mais detalhadamente descritas nas subse¸c˜oes seguintes.
1.3.1 O Processo Competitivo
Considere um mapa auto-organiz´avel como descrito anteriormente. Seja x ∈
n
um vetor
de entradas selecionado aleatoriamente dado por:
x = [x
1
, x
2
, . . . , x
n
]
T
(1.1)
5
Para cada neurˆonio i da grade ´e associado um vetor peso sin´aptico m
i
∈
n
representado
por:
m
i
= [m
i1
, m
i2
, . . . , m
in
]
T
, i = 1, 2, ..., k (1.2)
onde k indica o n´umero total de neurˆonios na grade. A fim de se encontrar o neurˆonio vencedor,
o vetor de entrada x ´e ent˜ao combinado com todos os pesos m
i
s. Um simples crit´erio para
essa busca pode ser o produto interno x
T
m
i
para i = 1, 2, . . . , k e selecionar o maior produto.
Contudo, outras m´etricas podem ser usadas, dentre elas ´e freq¨uente o usa da distˆancia euclideana
entre x e m
i
, onde a m´ınima distˆancia indica o neurˆonio vencedor c. Esta sele¸c˜ao ´e definida por:
c = arg min
i
{x − m
i
}, i = 1, 2, . . . , k (1.3)
1.3.2 O Processo Cooperativo
O neurˆonio vencedor indica o centro de uma vizinhan¸ca topol´ogica de neurˆonios coopera-
tivos. E esta rela¸c˜ao de vizinhan¸ca ´e definida conforme uma fun¸c˜ao que busque seguir o modelo
neurobiol´ogico em que para uma determinada ativa¸c˜ao cerebral, o grau de ativa¸c˜ao dos neurˆonios
diminui `a medida que se aumenta a distˆancia da regi˜ao de ativa¸c˜ao inicial, isto ´e, a intera¸c˜ao
lateral entre o neurˆonio vencedor e seus vizinhos decresce ligeiramente com a distˆancia lateral.
O parˆametro vizinhan¸ca topol´ogica h
ci
indica o grau de intera¸c˜ao entre o neurˆonio c e seu
vizinho i, assim como d
ci
representa a distˆancia lateral entre os mesmo neurˆonios. Para que
a fun¸c˜ao h
ci
obede¸ca aos crit´erios neurobiol´ogicos, ´e necess´ario que a mesma seja sim´etrica em
rela¸c˜ao ao ponto m´aximo onde define-se d
ci
= 0, e que decres¸ca monotonicamente com o aumento
da distˆancia lateral d
ci
, em que se tem h
ci
→ 0 quando d
ci
→ ∞. Uma fun¸c˜ao freq¨uentemente
usada e que satisfaz estas exigˆencias ´e a fun¸c˜ao gaussiana, dada por:
h
ci
(t) = exp
−d
2
ci
2σ
2
(t)
, t = 0, 1, 2, . . . , (1.4)
A distˆancia lateral d
ci
, no caso de uma grade bidimensional, ´e a distˆancia euclideana e o
parˆametro σ(t) corresponde a largura da fun¸c˜ao gaussiana, ou ainda, definida como raio da
vizinhan¸ca topol´ogica, o qual deve diminuir monotonicamente com o tempo discreto t. O valor
de σ ´e freq¨uentemente adotado como um decaimento exponencial:
6
σ(t) = σ(0)·exp
−t
τ
1
(1.5)
onde τ
1
´e uma constante de tempo e pode igual ao n´umero de itera¸c˜oes do algoritmo, ou ainda,
τ
1
=
n.
◦
de itera¸c˜oes
log σ
0
.
1.3.3 O Processo Adaptativo
Como mencionado anteriormente, o aprendizado de uma RNA, particularmente de um mapa
auto-organiz´avel, se d´a pelo ajuste dos pesos sin´apticos. Sendo assim, depois de se encontrar
o neurˆonio vencedor c, seu peso m
c
´e ent˜ao ajustado, tornando-se ainda mais similar ao vetor
x do espa¸co de entradas. A forma mais comum de se ajustar este peso deriva do postulado de
aprendizado de Hebb (Hebb, 1949):
“Quando o axˆonio de uma c´elula A est´a pr´oximo o bastante para excitar uma c´elula
B e participa do seu disparo repetida ou persistentemente, ent˜ao algum processo
de crescimento ou mudan¸ca metab´olica acontece em uma das c´elulas ou ambas, de
maneira que a eficiˆencia de A, como uma das c´elulas que dispara B, ´e aumentada.”
Analiticamente, isto significa que os pesos s˜ao ajustados de acordo com (Kohonen, 2001):
∆m
i
(t) = αy
i
(t)x
i
(t), (1.6)
em que t denota o tempo, α(t) ´e uma constante positiva que determina a taxa de aprendizagem, x
´e um sinal de entrada (atividade pr´e-sin´aptica) e yi ´e um sinal de sa´ıda (atividade p´os-sin´aptica).
Da Eq. (1.6), ent˜ao, adiciona-se o termo −g(yi)mi, onde m
i
´e o vetor peso sin´aptico do neurˆonio
i e g(y
i
) ´e uma fun¸c˜ao escalar positiva. Desta forma, podemos expressar o ajuste do vetor peso
do neurˆonio i por:
∆m
i
(t) = αy
i
(t)x
i
(t) − g(yi)mi (1.7)
A ´unica exigˆencia da fun¸c˜ao g(y
i
) ´e que deve passar pela origem, sendo assim:
g(y
i
) = 0 y
i
= 0. (1.8)
Para satisfazer a Eq. (1.8), tomamos g(y
i
) como uma fun¸c˜ao linear dada por:
7
g(y
i
) = αy
i
, (1.9)
adotando
y
i
= h
ci
. (1.10)
A Eq. (1.7), conforme as Eqs. (1.9) e (1.10), pode agora ser escrita como:
∆m
i
(t) = αy
i
(t)x
i
(t) − αh
ci
m
i
(1.11)
= αh
ci
(xm
i
)
Deste modo, o vetor de peso atualizado m
i
(t+ 1) para o neurˆonio i, no passo t + 1, ´e descrito
pela seguinte equa¸c˜ao (Haykin, 2001; Kohonen, 2001):
m
i
(t + 1) = m
i
(t) + α(t)h
ci
(t)[x(t) − m
i
(t)] (1.12)
que modifica toda a vizinhan¸ca topol´ogica do neurˆonio vencedor c, de maneira que o o grau
de ajuste dos pesos m
i
´e regido pela fun¸c˜ao vizinhan¸ca topol´ogica h
ci
(Eq.1.4). Atrav´es da
apresenta¸c˜ao repetida dos dados de treinamento, os vetores de peso sin´aptico tendem a seguir
a distribui¸c˜ao dos vetores de entrada devido `a atualiza¸c˜ao da vizinhan¸ca. Desta maneira, a
grade, ap´os o processo de treinamento conclu´ıdo, transforma-se em um mapa de caracter´ısticas
ordenado topologicamente, no sentido de que neurˆonios que s˜ao adjacentes na grade, tender˜ao
a ter vetores de pesos similares.
O parˆametro taxa de aprendizagem α(t), normalmente ´e definido por um decaimento expo-
nencial:
α(t) = α(0)·exp
−t
τ
2
(1.13)
onde τ
2
´e outra constante de tempo, normalmente adotada como sendo igual ao n´umero de
itera¸c˜oes. A taxa de aprendizagem decresce com o tempo, evitando assim, que dados novos
apresentados ap´os um longo treinamento, venham a comprometer o conhecimento que j´a foi
sedimentado.
8
1.4 Avalia¸c˜ao da qualidade da aprendizagem
Durante o processo de treinamento, o objetivo, a cada itera¸c˜ao, ´e aproximar os vetores pesos
sin´apticos aos dados de entrada, caracterizando o aprendizado. Para avaliar a qualidade do
aprendizado, introduziu-se um erro de quantiza¸c˜ao vetorial, que calcula a distˆancia entre o vetor
de entrada x ∈
n
e o peso m
c
∈
n
do neurˆonio vencedor. Desta maneira, o erro de quantiza¸c˜ao
pode ser descrito como um erro de distor¸c˜ao, expresso por (Kohonen, 2001; Samarasinghe, 2006):
e = d(x, m
c
), (1.14)
que ´e a distˆancia entre x e m
c
. Contudo, pode ser mais apropriado definir o erro de distor¸c˜ao
em fun¸c˜ao da vizinhan¸ca topol´ogica h
ci
(Eq. 1.4). Sendo assim, o erro de distor¸c˜ao para um
vetor de entrada x torna-se:
e =
i
h
ci
d(x, m
i
), (1.15)
onde m
i
´e ´e um vetor peso sin´aptico pertencente a vizinhan¸ca do neurˆonio vencedor c. Calculando
esta medida de distor¸c˜ao para todos os vetores x do espa¸co de entrada, a m´edia do erro de
distor¸c˜ao E, ´e calculado por:
E =
1
N
j
i
h
ci
d(x
j
, m
i
), (1.16)
ou ainda, caso a vizinhan¸ca topol´ogica n˜ao seja usada, a equa¸c˜ao (1.16) simplifica-se a:
E =
1
N
j
d(x
j
, m
i
). (1.17)
Nas equa¸c˜oes (1.16) e (1.17), o termo x
j
denota o j-´esimo vetor de entradas e N o n´umero
total de vetores de entrada. Desta maneira, o objetivo do SOM pode ser, alternativamente
expressado, encontrar o conjunto de vetores de pesos sin´apticos m
i
que minimize globalmente o
erro E.
9
1.5 Formando grupos no Mapa
Ap´os o processo de aprendizagem do SOM, padr˜oes dos dados de entradas similares aparecem
em grupos de neurˆonios vizinhos no mapa. Contudo, muitas vezes, a quantidade de grupos ´e
desconhecida ou de complexa distin¸c˜ao, tornando-se dif´ıcil segment´a-los. Para uma melhor visu-
aliza¸c˜ao destas estruturas alguns m´etodos tem sido propostos, tais como a matriz de distˆancias
entre os neurˆonios vizinhos, denominada matriz de distˆancia unificada ou U-matrix (Ultsch,
1993), a qual utiliza da mesma m´etrica usada durante o processo de treinamento para calcu-
lar distˆancias entre pesos sin´apticos de neurˆonios adjacentes. O resultado gerado a partir da
aplica¸c˜ao da U-matrix ´e uma imagem em que a intensidade de cor de cada regi˜ao corresponde
a uma distˆancia calculada. Uma proposta alternativa para detec¸c˜ao e segmenta¸c˜ao autom´atica
de grupos no mapa SOM ´e por meio de t´ecnicas de agrupamento hier´arquico (HC - Hierarchical
Clustering) para aglomerar os neurˆonios (Vesanto & Alhoniemi, 2000). As t´ecnicas de agrupa-
mento, de um ponto de vista geral, tem por objetivo reunir objetos (neurˆonios do SOM) em
grupos, de forma que os objetos no mesmo grupo s˜ao mais parecidos uns com os outros do que
com os objetos de outros grupos, sendo assim os agrupamentos resultantes devem ent˜ao exibir
elevada homogeneidade interna (dentro dos agrupamentos) e elevada heterogeneidade externa
(entre agrupamentos) (Hair et al., 2009).
1.5.1 U-matrix
Para um mapa bidimensional retangular X ×Y , encontra-se a U-matrix de dimens˜ao (2X −
1) × (2Y − 1), calculando-se as distˆancias dx, dy e dxy (Figura 1.3) para cada neurˆonio i(x, y)
com peso m
i
, conforme as equa¸c˜oes abaixo:
dx(x, y) = m
i(x,y)
− m
i(x+1,y)
(1.18)
(1.19)
dy(x, y) = m
i(x,y)
− m
i(x,y+1)
(1.20)
dxy(x, y) =
1
2
m
i(x,y)
− m
i(x+1,y+1)
√
2
m
i(x,y+1)
− m
i(x+1,y)
√
2
em que (x, y) corresponde as coordenadas do neurˆonio i na grade do mapa. O valor du da U-
matrix ´e calculado em fun¸c˜ao dos valores dos elementos circunvizinhos ao neurˆonio i, podendo
ser a m´edia, valor m´aximo ou valor m´ınimo destes valores.
10
Figura 1.3: As trˆes distˆancias da U-matrix. Imagem retirada e adaptada a partir de Costa &
Netto, 2007.
A interpreta¸c˜ao da U-matrix se d´a a partir da an´alise da intensidade de cor de cada termo
da matriz, em que valores que se apresentam relativamente elevados indicam dissimilaridades
entre neurˆonios vizinhos podendo estar associados a fronteiras de agrupamentos de neurˆonios,
por outro lado, valores baixos correspondem a neurˆonios vizinhos similares. Tamb´em pode-se
pensar em uma imagem como uma fun¸c˜ao tridimensional onde vales, neste relevo topogr´afico,
correspondem a regi˜oes de neurˆonios que s˜ao similares, enquantoque montanhas, i.e., valores
relativamente elevados na U-matrix, refletem a dissimilaridade entre neurˆonios vizinhos epodem
ser associadas a fronteiras de agrupamentos de neurˆonios. Pelo fato da U-matrix ser uma imagem
relativamente complexa, principalmente em problemas de an´alise de dados reais, geralmente seu
uso se restringe a visualiza¸c˜ao do mapa para a separa¸c˜ao manual dos agrupamentos da rede
SOM (Costa & Netto 2001).
1.5.2 T´ecnicas de Agrupamento Hier´arquico
Como dito anteriormente, a proposta das t´ecnicas de agrupamento ´e formar grupos parecidos,
isto ´e, grupos que apresentem um alto grau de correspondˆencia ou semelhan¸ca. Portanto, ´e
necess´ario um coeficiente que possa ser usado como um quantificador desta parecen¸ca. A rigor,o
coeficiente de parecen¸ca dividi-se em duas categorias: medidas de similaridade e dissimilaridade
(ou distˆancia). Na primeira quanto maior o valor observado menos parecido (mais dissimilares)
ser˜ao os objetos. Desta maneira, diversos m´etodos s˜ao poss´ıveis, incluindo a correla¸c˜ao, exemplo
de medida de similaridade, e a distˆancia euclideana, que ´e um exemplo de dissimilaridade. A
seguir, veremos alguns exemplos de coeficientes de parecen¸ca entre par de objetos (Bussab et
11
al., 1990).
Considere o conjunto X = (x
1
, . . . , x
2
, . . . , x
N
), em que cada x
j
= (x
j1
, x
j2
, . . . , x
jd
)
T
∈
d
representa um objeto descrito pelas suas d componentes reais x
jk
, k = 1, . . . , d.
• Distˆancia Euclideana
d(x
i
, x
j
) =
k=1
d|x
ik
− x
jk
|
1
2
2
. (1.21)
• Distˆancia Citiy-block
d(x
i
, x
j
) =
k=1
d|x
ik
− x
jk
|
. (1.22)
• Distˆancia de Minkowsky
d(x
i
, x
j
) =
k=1
d|x
ik
− x
jk
|
1
p
p
, (1.23)
para p = 1 e p = 2 passa a ser o caso das m´etricas city-block e euclideana, respectivamente.
• Distˆancia de Mahalanobis
d(x
i
, x
j
) = (x
i
− x
j
)
T
S
−1
(x
i
− x
j
) (1.24)
onde S
−1
´e a matriz de covariˆancia da amostra.
• Coeficiente de correla¸c˜ao de Pearson
d(x
i
, x
j
) = (1 − r(x
i
, x
j
))/2 (1.25)
onde
r(x
i
, x
j
) =
d
k=1
(x
ik
− ¯x
i
)(x
jk
− ¯x
j
)
d
k=1
(x
ik
− ¯x
i
)
2
d
i=k
(x
jk
− ¯x
j
)
2
. (1.26)
os valores do coeficiente de correla¸c˜ao r(x
i
, x
j
) variam no intervalo real [−1, 1], e se r(x
i
, x
j
) = 0,
diz-se que os vetores objetos n˜ao est˜ao correlacionados.
As t´ecnicas de agrupamento hier´arquico envolvem uma s´erie de N −1 (sendo N o n´umero to-
tal de objetos) decis˜oes de agrupamento que combinam objetos em uma estrutura de hierarquia.
Os dois tipos b´asicos de procedimentos hier´arquicos s˜ao aglomerativos e divisivos. Nos m´etodos
aglomerativos, iniciam-se a an´alise dos dados considerando a existˆencia de N agrupamentos, isto
´e, cada objeto come¸ca como seu pr´oprio agrupamento, nos passos seguintes, agrupamentos pare-
cidos v˜ao sendo fundidos at´e que exista um ´unico agrupamentos contendo todos os N objetos.
Nos m´etodos divisivos todas as N observa¸c˜oes iniciam-se como um ´unico agrupamento, sendo
sucessivamente divididos at´e que cada objeto seja um agrupamento unit´ario. Para uma melhor
visualiza¸c˜ao do funcionamento do procedimento hier´arquico, examinemos o m´etodo aglomera-
tivo, que segue um processo simples e repetitivo (Gon¸calves, et al., 2008):
12
1. Come¸car com N agrupamentos C
1
, C
2
, . . . , C
N
cada um contendo exatamente um ´unico
objeto.
2. Determinar o par de agrupamentos distintos (C
i
, C
j
) de modo que:
d(C
i
, C
j
) = min
1≤k, l≤N
d(C
k
, C
l
), ∀k = l. (1.27)
onde d(∗, ∗) ´e o coeficiente de parecen¸ca.
3. Formar um novo agrupamento C
q
= C
i
∪ C
j
.
4. Calcular as novas distˆancias, d(C
q
, C
l
) entre o novo agrupamento C
q
e todos os outros
restantes.
5. Repetir os passos 2, 3 e 4 at´e que os objetos estejam em um ´unico agrupamento.
Anteriormente foi visto algumas maneiras de se determinar o coeficiente de parecen¸ca d(∗, ∗)
para dois objetos. Contudo ´e importante definir de que maneira medir a parecen¸ca entre agrupa-
mentos com mais de um objeto no processo. Para tal, existem algumas metodologias, as quais
s˜ao comumente chamadas de algoritmos de agrupamento. Abaixo, ser˜ao apresentado alguns
algoritmos de agrupamento aglomerativos (Bussab et al., 1990).
• Liga¸c˜ao Simples. O m´etodo de liga¸c˜ao simples define a parecen¸ca entre dois agrupamen-
tos como a menor distˆancia de qualquer objeto de um agrupamento a qualquer objeto no
outro. Assim, dados os agrupamentos C
k
e C
l
do conjunto de objetos X, a distˆancia entre
eles ser´a definida por:
d(C
k
, C
l
) = min d(x
i
, x
j
) : x
i
∈ C
k
e x
j
∈ C
l
. (1.28)
• Liga¸c˜ao Completa. O m´etodo da liga¸c˜ao completa define a parecen¸ca entre dois agru-
pamentos baseando-se na distˆancia m´axima entre objetos em cada grupo. Desta forma, a
distˆancia entre os agrupamentos C
k
e C
l
ser´a:
d(C
k
, C
l
) = max d(x
i
, x
j
) : x
i
∈ C
k
e x
j
∈ C
l
. (1.29)
• Liga¸c˜ao m´edia. No m´etodo de liga¸c˜ao m´edia a parecen¸ca entre dois agrupamentos ´e
definida pela m´edia de todos os objetos em um agrupamento com todos os objetos em
outro. Desta forma, a distˆancia d(C
k
, C
l
) entre os agrupamentos C
k
e C
l
´e expressada pela
equa¸c˜ao:
13
d(C
k
, C
l
) =
i,j
d(x
i
, x
j
)
n
k
n
l
, x
i
∈ C
k
e x
j
∈ C
l
, (1.30)
onde n
k
e n
l
representam os n´umeros de objetos contidos em C
k
e C
l
, respectivamente.
• M´etodo centr´oide. O m´etodo centr´oide, substitui cada fus˜ao de objetos em um ´unico
ponto, o qual ´e representado pelas coordenadas de seu centro. A distˆancia entre grupos ´e
definida pela distˆancia entre os centros.
d(C
k
, C
l
) = d(c
k
, c
l
), (1.31)
onde c
k
=
1
n
k
i
x
i
, x
i
∈ C
k
.
com n
k
igual ao n´umero de objetos em C
k
.
Figura 1.4: (a) Dendrograma; (b) Diagrama de agrupamentos.
Sendo assim, os m´etodos hier´arquicos s˜ao uma combina¸c˜ao de um processo repetitivo para
agregar com um algoritmo de agrupamento, para definir a parecen¸ca entre agregados com
m´ultiplos objetos. O resultado gera um gr´afico em forma de um diagrama bidimensional
conhecido como dendrograma ou ´arvore de agrupamento (Figura 1.4a). Contudo, surge uma
quest˜ao: onde cortar o dendrograma de modo a se obter uma quantidade ´otima de agrupamen-
tos? Infezlimente, esse passo fundamental da an´alise de agrupamentos n˜ao est´a completamente
resolvido. Desta forma, no presente estudo foi utilizado a sensibidade do pesquisador para se
determinar uma quantidade de agrupamentos satisfat´orios.
14
1.6 Entropia de Shannon
Algumas vezes ´e necess´ario eliminar algumas posi¸c˜oes do vetor x dos dados de entrada da
RNA. O truncamento dos dados deve conservar ao m´aximo as informa¸c˜oes capazes de caracteri-
zar os padr˜oes adequadamente. Sendo assim, o objetivo da entropia ´e eliminar do conjunto de
vetores de entrada, aqueles vetores que representem caracter´ısticas de menor relevˆancia a partir
de um certo limiar a ser estabelecido.
A entropia de Shannon foi estabelecida em 1948 como parte da medida de informa¸c˜ao ou
incerteza (Shannon, 1948). A teoria da informa¸c˜ao lidava com a rec´em-nascida ciˆencia da co-
munica¸c˜ao de dados. Para Shannon, a quest˜ao fundamental da comunica¸c˜ao ´e a capacidade de
se reproduzir remotamente uma mensagem, com o grau de fidelidade desejado. Esta proposta
baseia-se na teoria das probabilidades, onde a quantidade de informa¸c˜ao de uma mensagem ´e me-
dida em fun¸c˜ao de sua previsibilidade de ocorrˆencia, ou seja, se essa probabilidade de ocorrˆencia
for pequena, a mensagem cont´em muita informa¸c˜ao, caso contr´ario, se ela for previs´ıvel, h´a
pouca informa¸c˜ao.
Considere, ent˜ao, uma vari´avel aleat´oria discreta X em que cada apresenta¸c˜ao sua pode ser
vista como uma mensagem. Associe o vetor de probabilidades (p
1
, . . . , p
n
, . . . , p
N
) como grau
de incerteza da ocorrˆencia de cada mensagem. A entropia, segundo Shannon, ´e ent˜ao calculada
da seguinte forma (Cover & Thomas, 2006):
H(X ) = −
n
i=1
p
i
·log
2
p
i
(1.32)
Na utiliza¸c˜ao de logaritmo na base 2 a entropia ´e expressada em bits. Por exemplo, a entropia
no lan¸camento de uma moeda ´e de 1 bit. Por conven¸c˜ao, adota-se 0 log 0 = 0 , o que ´e facilmente
justificado desde que x log x → 0 para x → 0. Da defini¸c˜ao de entropia, pode-se concluir que:
0 ≤ H(X) ≤ log
2
(N) (1.33)
Al´em disso, podemos fazer as seguintes afirma¸c˜oes:
1. H(X) = 0 se, e somente se, p
n
= 1 para algum n, e todas as demais forem iguais a 0.
Neste ponto n˜ao existe nenhuma incerteza e conseq¨uentemente a entropia ´e m´ınima.
2. H(X) = log
2
(N) se, e somente se, as probabilidades de todos os eventos forem equiprov´aveis,
isto ´e, p
n
=
1
N
para todo n. Correspondendo a entropia m´axima.
15
Figura 1.5: Entropia no caso de duas possibilidades com probabilidades p e 1 − p
O gr´afico da entropia no caso de duas possibilidades com probabilidades p e q = p − 1,
H(p, p − 1) pode ser visto na Figura (1.5). Analisando a entropia de Shannon, verifica-se que
ela atinge um m´aximo quando os estados est˜ao igualmente distribu´ıdos e um m´ınimo quando os
estados tˆem uma distribui¸c˜ao concentrada em qualquer um dos estados.
16
Cap´ıtulo 2
Imagem Funcional por Ressonˆancia
Magn´etica
2.1 Introdu¸c˜ao
A imagem por ressonˆancia magn´etica ´e uma avan¸cada tecnologia que vem sendo cada vez
mais utilizada em diagn´osticos m´edicos por imagem. O exame permite retratar, com alta qual-
idade, os tecidos do interior do corpo humano, permitindo diferenciar os saud´aveis dos pa-
tol´ogicos.
A t´ecnica explora a intera¸c˜ao entre part´ıculas sub-atˆomicas carregadas, particularmente os
pr´otons, que por sua vez possuem um momento angular freq¨uentemente referido como spin
nuclear. Quando este momento angular ´e n˜ao nulo, gera-se um momento magn´etico n˜ao nulo, o
que os torna suscet´ıveis a reagir diante de um campo magn´etico externo.
O corpo humano ´e composto por muitos ´atomos, dentre eles o hidrogˆenio, que est´a presente
em abundˆancia nos tecidos, os quais s˜ao o alvo da ressonˆancia magn´etica. Quando submetido
a um intenso campo magn´etico, o spin de alguns pr´otons do hidrogˆenio tendem a assumir
um estado de alta energia (alinhando-se em dire¸c˜ao oposta ao campo), outros adquirem um
estado de baixa energia (alinhando-se na mesma dire¸c˜ao do campo). O estado de baixa energia
´e ligeiramente predominante, o que produz uma pequena magnetiza¸c˜ao em dire¸c˜ao ao campo
magn´etico principal.
Emite-se energia em forma de pulsos de radiofreq¨uˆencia (RF) ao sistema, o que excita os spins
em estado de baixa energia, deslocando-os para o estado de energia maior. Ao se interromper o
17
pulso, os spins excitados relaxam
1
retornando ao seu estado anterior, liberando energia, a qual
´e detectada e interpretada pelo equipamento para formar as imagens.
2.2 Aquisi¸c˜ao das imagens
Existem muitas t´ecnicas para a aquisi¸c˜ao de imagens MR tais como seq¨uˆencia de pulsos
RF, como descrito de maneira sucinta anteriormente. Em fMRI, a seq¨uencia mais utilizada ´e a
eco-planar (EPI - echo-planar imaging), originalmente proposta por Peter Mansfield em 1977,
´e atualmente a mais r´apida t´ecnica dispon´ıvel (Hashemi et al., 2004 apud Lazar 2008). Com
EPI, uma imagem inteira pode ser obtida a partir um ´unico pulso RF inicial. Normalmente,
s˜ao feitas aquisi¸c˜oes de imagens tridimensionais em um intervalo de 1 a 3 segundos. Este valor
pode variar de experimento para experimento, e ´e conhecido como tempo de repeti¸c˜ao (TR).
As imagens podem ser adquiridas em diferentes cortes: axial, coronal e sagital. As fatias
axiais s˜ao perpendiculares ao eixo longitudinal do corpo. Coronal, ou frontal, s˜ao fatias paralelas
a frente do corpo. As fatias sagitais s˜ao paralelas a linha que divide o corpo. A Figura 2.1 ilustra
os trˆes diferentes cortes.
Figura 2.1: Exemplo de orienta¸c˜ao de trˆes diferente cortes: (a) Fatia Coronal; (b) Fatia Sagital;
(c) Fatia Axial.
Durante o processo de aquisi¸c˜ao, alguns parˆametros se fazem importante em virtude de
1
Existem trˆes tempos de relaxa¸c˜ao relevantes na ressonˆancia magn´etica. S˜ao eles: tempo de relaxa¸c˜ao longi-
tudinal T
1
, tempo de relaxa¸c˜ao transversal T
2
e o tempo de relaxa¸c˜ao T
∗
2
associado ao fenˆomeno decaimento livre
da indu¸c˜ao (FID - free induction decay) (Lazar, 2008).
18
regular a resolu¸c˜ao espacial e temporal dos dados, sobretudo, influenciando na qualidade das
imagens.
Pode-se dizer que a resolu¸c˜ao espacial de uma imagem MR ´e determinada pelo tamanho dos
elementos da imagem, elementos estes conhecidos como voxels
2
. O tamanho do voxel ´e fun¸c˜ao de
trˆes parˆametros. O primeiro, ´e o campo de vis˜ao (FOV - field of view ), o qual indica o tamanho
f´ısico da imagem, isto ´e, o alcance espacial da imagem de uma borda a outra, e ´e medido em
mm
2
. Em segundo o tamanho da matriz, que representa o tamanho da grade na qual o FOV
´e dividido para cada fatia, freq¨uentemente apresenta-se nas dimens˜oes 64×64 e 128×128. Por
fim, a espessura da fatia, que como nome j´a diz ´e a espessura de uma ´unica fatia, geralmente,
medida em mm. Sendo assim, as dimens˜oes de um voxel para um FOV de 220 mm em uma
dire¸c˜ao, tamanho da matriz 128×128 e espessura da fatia de 5 mm ´e de 1,72 mm × 1,72 mm
× 5 mm (FOV e tamanho da matriz definem duas dimens˜oes 220/128 = 1,72 mm cada).
2.3 Efeito BOLD
O efeito BOLD (Blood Oxigenation Level Dependent) tem sido amplamente usado nas re-
centes t´ecnicas de fMRI. O fenˆomeno, que foi primeiramente descrito por Seiji Ogawa em 1990
em seu estudo com ratos, tem origem nas propriedades magn´eticas de oxigena¸c˜ao e desoxi-
gena¸c˜ao do sangue (Ogawa, et al., 1990). Em 1936, Paulling e Coryell haviam mostrado que
a associa¸c˜ao oxigˆenio e hemoglobina, denominada oxi-hemoglobina, ´e diamagn´etica, enquanto
que a hemoglobina quando n˜ao est´a ligada ao oxigˆenio, desoxi-hemoglobina, ´e paramagn´etica
(Paulling & Coryell, 1936).
Durante uma atividade cerebral a taxa de fluxo sangu´ıneo ´e aumentada em virtude da maior
necessidade de glicose e oxigˆenio. Com a altera¸c˜ao do metabolismo local, a quantidade de
oxigˆenio torna-se maior que a demanda, aumentando os n´ıveis de oxigˆenio nos vasos sangu´ıneos
e diminuindo a concentra¸c˜ao de sangue desoxigenado. A diminui¸c˜ao da concentra¸c˜ao de desoxi-
hemoglobina, sendo ela paramagn´etica, gera mudan¸cas na susceptibilidade magn´etica local, a
qual varia linearmente com a oxigena¸c˜ao do sangue (Weisskoff & Kiihne, 1992 apud Buxton,
2009), provocando pertuba¸c˜oes no sinal da ressonˆancia magn´etica com altera¸c˜ao dos tempos de
relaxa¸c˜ao T
2
e T
∗
2
(Thulborn et al., 1982; Ogawa et al., 1990). Estas mudan¸cas s˜ao detectadas
nas imagens MR atrav´es de pequenas mudan¸cas na intensidade de brilho dos voxels ativos.
A Figura (2.2) mostra a evolu¸c˜ao temporal de uma ativa¸c˜ao neural, associada a uma tarefa
ou atividade cerebral espontˆanea, conhecida como fun¸c˜ao resposta hemodinˆamica (HRF - Hemo-
2
voxel (volume elements), um termo generalizado da palavra pixel (picture elements).
19
Figura 2.2: Fun¸c˜ao Resposta Hemodinˆamica para um est´ımulo de curta dura¸c˜ao. Imagem
retirada e adaptada a partir de Mulert & Lemieux, 2010
dynamic Response Function). Pode-se, inicialmente, verificar um breve decr´escimo do sinal, o
qual nem sempre pode ser observado. Posteriormente, come¸ca uma etapa de resposta positiva
BOLD mantendo-se de 5-10s, consistindo de uma ascens˜ao do sinal at´e alcan¸car o valor m´aximo.
Em seguida, h´a uma queda no sinal, a qual estende-se at´e ficar abaixo da linha de base, para s´o
ent˜ao, retornar a valores compar´aveis a linha de base inicial. Contudo, a forma da HRF varia de
acordo com as propriedades da tarefa executada e com a atividade cerebral inerente. Se a taxa
de atividade neural for aumentada, a amplitude da HRF tamb´em aumenta e se esta atividade
for prolongada a largura da HRF ´e estendida. Ainda de acordo com o grau de complexidade da
tarefa, pode haver HRF’s diferentes em uma mesma ´area (Dale & Buckner, 1997).
2.4 Experimentos em fMRI
A fim de que se possa observar o comportamento da resposta BOLD resultante de uma ativi-
dade neural s˜ao elaboradas tarefas, as quais seguem uma estrutura organizacional temporal, a
serem realizadas pelo sujeito durante o processo de aquisi¸c˜ao de imagens em um exame fMRI.
As diferentes formas de se apresentar estas tarefas s˜ao comumente chamadas de desenhos experi-
mentais ou paradigmas. O seu planejamento ´e fundamental na obten¸c˜ao de bons resultados, que
refletem a atividade de regi˜oes espec´ıficas de interesse (de Ara´ujo, 2002). Em fMRI, os principais
tipos de paradigmas s˜ao bloco e evento-relacionado. A Figura 2.3 mostra as diferen¸cas entre os
paradigmas.
O paradigma em bloco ´e o mais comum experimento utilizado em fMRI. Nele, longos per´ıodos,
20
Figura 2.3: Experimentos em fMRI: (a) Paradigma em Bloco, quatro per´ıodos de repouco
intercalados com trˆes de ativa¸c˜ao; (b) Um paradigma misto, paradigma em bloco interpretado
como evento-relacionado; (c) um paradigma evento-relacionado aleat´orio. Imagem retirada de
Sarty, 2007.
ou blocos, de repouso s˜ao alternados com per´ıodos igualmente longos de est´ımulos, ou ainda,
pode-se alternar per´ıodos de tarefas distintas. Um ciclo de blocos de ativa¸c˜ao e repouso ´e
conhecido como ´epoca. No paradigma evento-relacionado os est´ımulos s˜ao apresentados por um
per´ıodo curto, seguido por um per´ıodo relativamente longo de repouso. Cada um tem suas
vantagens e desvantagens, por exemplo, o paradigma em bloco, geralmente, ´e mais sens´ıvel
para detectar ativa¸c˜oes, enquanto que o evento relacionado pode ser melhor para caracterizar
a resposta BOLD. Uma estrat´egia mista pode ser uma alternativa por reunir as vantagens das
duas t´ecnicas, por´em sua an´alise pode ser mais complicada, podendo comprometer o estudo.
2.5 Pr´e-processamento das Imagens
A etapa do pr´e-processamento se faz necess´aria para corrigir ou minimizar uma variedade
de aspectos n˜ao desej´aveis, por´em freq¨uentes ap´os a aquisi¸c˜ao de dados fMRI. Fatores como
diferen¸cas no tempo de aquisi¸c˜ao al´em de movimento involunt´ario da cabe¸ca, batimentos card´ıacos
e respira¸c˜ao, entre outros processos fisiol´ogicos, geram ru´ıdos, o que dificulta a an´alise e inter-
preta¸c˜ao dos dados, e se n˜ao forem tratados podem invalidar an´alises e conclus˜oes.
21
2.5.1 Realinhamento
Enquanto o equipamento MR captura as imagens, o sujeito ´e instru´ıdo a permanecer parado,
por´em pequenos movimentos podem ser inevit´aveis. Se ele move a cabe¸ca, por m´ınimo que seja, a
posi¸c˜ao do c´erebro dentro das imagens funcionais ir˜ao variar com o tempo, isto ´e, a s´erie temporal
dos voxels j´a n˜ao se referem ao mesmo ponto do c´erebro. Portanto, ´e comum o uso de recursos
para prevenir o movimento da cabe¸ca. Al´em disso, processos fisiol´ogicos tais como respira¸c˜ao
e batimentos card´ıacos provocam movimentos intracranianos, e ainda expans˜ao cerebral (Hu et
al, 1995). Uma estrat´egia de corre¸c˜ao de movimento ´e alinhar todas as s´eries temporais das
imagens tomando como referˆencia uma imagem, a qual pode ser a primeira (Friston et al., 1996)
ou a m´edia das imagens (Bullmore et al., 1999).
Figura 2.4: Realinhamento espacial de um experimento auditivo. Na legenda, os 6 parˆametros de
corpo r´ıgido, para transla¸c˜ao e rota¸c˜ao. Figura obtida ap´os a etapa de realinhamento realizada
no SPM8 (Statistical Parametric Mapping).
O processo de alinhamento utiliza seis parˆametros que definem transla¸c˜ao e rota¸c˜ao, aplicando-
se transforma¸c˜oes de corpo r´ıgido
3
. Transla¸c˜oes e rota¸c˜oes, em cada dire¸c˜ao, s˜ao ent˜ao estimadas
a fim de minimizar as distancias entre as imagens e a imagem referˆencia (Figura 2.4). Uma vez
determinado um conjunto de parˆametros de realinhamento, os dados originais s˜ao re-amostrados
por interpola¸c˜ao espacial.
3
em inglˆes rigid body registration, onde considera-se que cabe¸ca e c´erebro n˜ao mudam sua forma, somente sua
posi¸c˜ao e orienta¸c˜ao.
22
Al´em disso, nos exames de fMRI, as imagens (ou volumes) s˜ao formadas por fatias, as quais
s˜ao adquiridas uma por vez. O problema ´e que, em geral, os m´etodos de an´alises de dados
de fMRI assumem que todas as fatias foram adquiridas ao mesmo tempo. Isto pode levar
a resultados n˜ao ´otimos. Uma estrat´egia, ´e corrigir este defasamento por reajuste da s´erie
temporal de cada voxel de uma dada fatia, o que pode ser feito via transformada de Fourier.
2.5.2 Filtros Espaciais e Temporais
O ru´ıdo, qualquer quer seja sua origem, reduz a significancia de detectar ativa¸c˜oes. O
processamento das imagens funcionais pode envolver a aplica¸c˜ao de filtros espaciais e temporais
na tentativa de melhorar a qualidade dos dados fMRI, aumentando a rela¸c˜ao sinal ru´ıdo (SNR
- signal to noise ratio).
O m´etodo mais comum de realizar a filtragem espacial ´e com a utiliza¸c˜ao de um filtro de
perfil gaussiano convoluindo com cada volume de imagens (Jezzard et al., 2001). A forma
usual de caracteriza¸c˜ao do filtro ´e atrav´es dos parˆametros de largura a meia altura (FWHM -
full width half maximum) que determina a forma de atua¸c˜ao do filtro sobre a imagem. Al´em
de melhorar a SNR, a aplica¸c˜ao do filtro espacial se faz importante para posteriores an´alises
estat´ısticas, fazendo com que a distribui¸c˜ao dos erros se aproxime de uma distribui¸c˜ao normal.
O principal papel dos filtros temporais ´e remover componentes indesej´aveis da s´erie temporal
sem comprometer o sinal de interesse. Com filtros passa-alta, busca-se atenuar apenas baixas
freq¨uˆencias do sinal, as quais podem estar relacionadas a alguns efeitos fisiol´ogicos ou associados
a instabilidades do hardware. Filtros passa-baixa tentam reduzir as altas freq¨uˆencias da s´erie
temporal de cada voxel.
´
E comum usar filtros passa-baixa de perfil gaussiano de maneira similar
aos filtros espaciais.
2.6 An´alise dos dados fMRI
Em um conjunto de dados fMRI cada posi¸c˜ao do c´erebro est´a ligada a um voxel em uma im-
agem tridimensional. Enquanto o sujeito realiza distintas tarefas, uma seq¨uˆencia destas imagens
v˜ao sendo adquiridas. Podemos ent˜ao associar uma s´erie temporal a cada voxel da imagem, em
que cada elemento da s´erie tem o valor do voxel das imagens funcionais adquiridas no tempo.
E, a partir da an´alise dos dados, espera-se encontrar evidˆencias da resposta BOLD nas s´eries
temporais dos voxels pertencentes a ´area de interesse (ver Figura 2.5). Isto pode vir a ser um
desafio, haja vista que o efeito BOLD tem uma baixa SNR, promovendo diferen¸cas de contraste
muito pequenas, al´em da abundˆancia de informa¸c˜oes a serem analisadas. Contudo, muitos
23
m´etodos tem sido introduzidos, alguns originalmente testados em t´ecnicas mais antigas, como a
tomografia por emiss˜ao de p´ositrons (PET - Positron Emission Tomography).
Figura 2.5: S´erie temporal de voxels ativos e n˜ao ativos de uma ´unica fatia dos volumes de
imagens. Imagem retirada e adaptada a partir de Sarty, 2007.
Os primeiros m´etodos de an´alise consistiam na subtra¸c˜ao de imagens adquiridas em per´ıodos
de atividade das imagens adquiridas em per´ıodos de repouso. Atualmente, a maioria das
metodologias utilizam de t´ecnicas estat´ısticas para detec¸c˜ao de regi˜oes ativas, incluindo, teste-t
de Student (Huettel et al., 2004), correla¸c˜ao cruzada (Rabe-Hesketh et al., 1997) e varia¸c˜oes
do Modelo linear geral (GLM - General Linear Model) (Friston, et al., 1995). Outros m´etodos
abordam perspectivas multivariadas de componentes e an´alise de correla¸c˜ao, tais como an´alise
de componentes independentes (ICA - Independet Component Analysis) (McKeown et al., 1998;
Biswal e Ulmer, 1999) e an´alise de componente principal (PCA - Principal Component Analysis)
(Friston et al., 1993). Al´em disso, m´etodos que exploram a teoria da informa¸c˜ao tamb´em tem
sido empregados em fMRI, tais como, entropia de Shannon e Tsallis dependentes do tempo (de
Ara´ujo, et al. 2003; Sturzbecher, 2006). Nas subse¸c˜oes seguintes ´e feito um apanhado geral
do GLM, um m´etodo muito popular entre os pesquisadores al´em de um breve coment´ario a
respeitos dos m´etodos entr´opicos.
24
2.6.1 O modelo linear geral
No modelo linear geral, o comportamento de uma dado voxel ´e representando por um vetor
y, ao longo de N observa¸c˜oes (scans). Cada observa¸c˜ao ´e modelada como combina¸c˜ao linear de
um conjunto de vari´aveis explanat´orias x, somados a um termo de erro :
y
i
= β
1
x
i1
+ . . . + β
j
x
ij
+ . . . + β
K
x
iK
+
i
, i = 1, . . . , N (2.1)
onde os parˆametros β
j
s˜ao as amplitudes que indicam o quanto cada uma das K vari´aveis x
contribui para os dados. Expandindo-se a Equa¸c˜ao (2.1) para N observa¸c˜oes, de forma matricial,
tem-se:
y
1
.
.
.
y
i
.
.
.
y
N
=
x
11
. . . x
1j
. . . x
1K
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
i1
. . . x
ij
. . . x
iK
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
N1
. . . x
Nj
. . . x
NK
β
1
.
.
.
β
j
.
.
.
β
K
+
1
.
.
.
i
.
.
.
N
(2.2)
ou de maneira simplificada:
Y = Xβ + (2.3)
onde X ´e denominada matriz experimental
4
. Cada coluna desta matriz, ou conjunto de colunas,
modela uma caracter´ıstica particular da s´erie temporal observada. A an´alise consiste em estimar
as amplitudes β
j
com intuito de fornecer o melhor ajuste do modelo aos dados fMRI, ou seja,
calcular qual a melhor combina¸c˜ao de parˆametros β
j
que minimiza o termo de erro. O problema
de encontrar a melhor solu¸c˜ao para β pode ser resolvido pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados,
resultando em:
ˆ
β = (X
T
X)
−1
X
T
Y. (2.4)
Os fatores que descrevem a matriz X envolvem desde o desenho experimental, como tamb´em
predi¸c˜oes da resposta hemodinˆamica, a qual pode ser modelada como uma simples fun¸c˜ao de
4
Em inglˆes design matrix
25
distribui¸c˜ao gama (Lange & Zeger, 1997) ou Poisson (Friston et al., 1994). Contudo, o mod-
elo fisiol´ogico mais plaus´ıvel prop˜oe a diferen¸ca de duas fun¸c˜oes gama, capturando o pequeno
decr´escimo da resposta BOLD ap´os o t´ermino do est´ımulo, antes do retorno a linha de base
(Friston et al., 1998).
h(t) =
t
d
1
a
1
exp
−(t − d
1
)
b
1
− c
t
d
2
a
2
exp
−(t − d
2
)
b
2
(2.5)
onde d
j
= a
j
b
j
correspondem ao tempo at´e o pico de cada uma das fun¸c˜oes gama, e a
1
= 6,
a
2
= 12, b
1
= b
2
= 0.9s, e c = 0.35 (Glover, 1999).
Figura 2.6: (a) Representa¸c˜ao de um paradigma em bloco, o valor 0 indica o repouso e 1
a ativa¸c˜ao; (b) HRF modelada segundo a proposta de Friston (1998), usando parˆametros de
Glover (1999); (c) Convolu¸c˜ao da HRF com o paradigma em bloco.
Esta particular escolha da fun¸c˜ao HRF pode ser vista na Figura (2.6b). O modelamento
conjunto da fun¸c˜ao de est´ımulo s(t) (Figura 2.6a) com a resposta hemodinˆamica esperada h(t) ´e
realizado com a convolu¸c˜ao de ambas as fun¸c˜oes no dom´ınio de tempo (Figura 2.6c), conforme:
x(t) =
∞
0
h(u)s(t − u)du. (2.6)
O resultado x(t) ´e utilizado na composi¸c˜ao da matriz experimental X. Desse modo, a
necessidade de informar a forma da HRF constitui a principal desvantagem do GLM, pois se
esta n˜ao for precisamente modelada, o m´etodo perder´a sensibilidade de detec¸c˜ao (Sturzbecher,
2006).
26
2.6.2 M´etodo Entr´opico
Nos estudos desenvolvidos por Capurro (1999), de Ara´ujo (2003) e Sturzbecher (2006), a
entropia de um sinal ´e calculada no dom´ınio do tempo, definindo estados acess´ıveis do sistema
como a amplitude do sinal dentro de um intervalo espec´ıfico (janela), centrado em um instante t.
No contexto do fMRI, a evolu¸c˜ao temporal de um voxel ao longo de uma ´epoca foi denotada por
s(t). Onde cada posi¸c˜ao discreta da curva s(t) corresponde ao valor de intensidade do voxel em
fun¸c˜ao do tempo. Para o c´alculo da entropia, dividiu-se o sinal s(t) em duas janelas (W
1
e W
2
) e
o intervalo de tempo total (W ) foi dividido em um n´umero discreto de (k) n´ıveis de intensidade
do sinal (I
k
) (ver Figura 2.7). Desta maneira, a probabilidade de um n´ıvel de intensidade (I
k
)
conter uma por¸c˜ao do sinal (s(t
k
)) foi dada por (ver de Ara´ujo, et al., 2001; Sturzbecher 2006):
p
m
(I
k
) =
n.
◦
de valores de s(t
k
) ∈ W
m
no intervalo I
k
n.
◦
de valores de s(t
k
) ∈ W
m
. (2.7)
Figura 2.7: Diagrama descritivo do c´alculo da entropia de Shannon. As probabilidades podem
ser obtidas sobre cada janela separadamente (W
1
e W
2
) e para cada n´ıvel I
k
. Imagem retirada
de Ara´ujo et al. 2003.
De posse das probabilidades, o c´alculo da entropia de Shannon para cada uma das janelas
´e obtido, independentemente, de acordo com a Eq. (1.32). Observou-se ent˜ao, que a evolu¸c˜ao
temporal da entropia nas regi˜oes onde haviam um predom´ınio de atividade devido a determinada
tarefa, se assemelha a uma fun¸c˜ao “dente de serra”. E, o algoritmo era conclu´ıdo aplicando-
se uma correla¸c˜ao cruzada entre uma fun¸c˜ao dente de serra simulada e os valores de evolu¸c˜ao
27
temporal das entropias de Shannon calculadas. Sendo poss´ıvel, ent˜ao, gerar um mapa estat´ıstico
com valores de coeficientes de correla¸c˜ao que se referem `as ´areas cerebrais com maior chance de
estarem ativas.
28
Cap´ıtulo 3
Materiais e m´etodos
3.1 Dados Simulados
Para avaliar a qualidade ou sensibilidade do m´etodo em estudo, foi criado um experimento
fMRI (64×64) artificialmente (Figura 3.1), acrescentando sinal BOLD simulado ao longo de 120
fatias. A HRF seguiu a proposta dada por Friston modelada como a diferen¸ca de duas fun¸c˜oes
de distribui¸c˜ao gama (Eq. 2.5). A fun¸c˜ao de est´ımulo foi modelada a partir de um paradigma
em bloco, consistindo de 6 blocos de ativa¸c˜ao e 6 blocos de repouso, com 20 pontos temporais
cada ´epoca.
Figura 3.1: Esquema ilustrativo da distribui¸c˜ao espacial de voxels ativos e a intensidade destes
voxels ao longo do tempo em dados sint´eticos com SNR = 5dB
A ´area considerada ativa corresponde a 49 voxels, enquanto que 1349 voxels designam a
massa cinzenta restante, isto ´e, cont´em apenas ru´ıdo. Os outros 2698, correspondem ao fundo
da imagem, e n˜ao variam com o tempo. Para tornar o modelo artificial mais real´ıstico, foi
adicionado ru´ıdo `as s´eries temporais dos voxels ativos. O ru´ıdo adicionado descreve um padr˜ao
29
gaussiano, em que os valores do desvio-padr˜ao do ru´ıdo determinar˜ao as caracter´ısticas da SNR,
a qual ´e medida em decibe´ıs (dB), sendo calculada pela seguinte express˜ao:
SNR = 10 log
σ
2
S
σ
2
R
= 20 log
σ
S
σ
R
(3.1)
onde σ
S
e σ
R
s˜ao o desvio-padr˜ao do sinal e do ru´ıdo, respectivamente. A Figura (3.2) apresenta
s´eries temporais com 6 ´epocas para alguns valores de SNR.
´
E poss´ıvel visualizar que quanto maior
o ru´ıdo menor ´e a SNR, conseq¨uentemente mais dif´ıcil de se identificar a resposta BOLD.
Figura 3.2: S´eries temporais para diferentes valores de SNR. Para valores altos de SNR, a HRF
´e mais evidente.
3.2 Dados Reais
O experimento fMRI foi realizado em um scanner Siemens de 1.5 T (Magnetom Vision, Erlan-
gen, Germany), usando-se seq¨uˆencias EPI (echo-planar imaging) com os seguintes parˆametros:
TE = 60 ms, TR = 4.6 s, FA = 90
o
, FOV = 220 mm, espessura das fatias de 6.25 mm, e
dimens˜ao do voxel = 1.72 × 1.72 × 6.25 mm. Foram adquiridos 64 volumes cerebrais com 16
fatias cada, e tamanho da matriz 128 × 128.
Durante o procedimento, o indiv´ıduo foi submetido a um est´ımulo auditivo com paradigma
em bloco, sendo 6 blocos em repouso (27.5 s cada) intercalados com 5 de atividade (27.5s
cada). Durante a tarefa o paciente ouviu passivamente uma est´oria complexa com uma estrutura
30
narrativa padr˜ao. Imediatamente ap´os o exame, o sujeito teve que informar o conte´udo da
narrativa.
As imagens adquiridas foram devidamente pr´e-processadas, usando-se o software SPM8 (Sta-
tistical Parametric Mapping)
1
. Nesta etapa foi realizada a corre¸c˜ao de movimento, a corre¸c˜ao do
tempo entre fatia, a suaviza¸c˜ao espacial (atrav´es de um Filtro Gaussiano com FWHM de 4 mm)
e tamb´em a filtragem temporal. As an´alises dos dados simulados e p´os-processamento das ima-
gens reais, atrav´es dos m´etodos descritos anteriormente, foram realizadas utilizando algoritmos
pr´oprios implementados em MATLAB 7.6.
3.3 An´alise de Entropia
Alguns autores recomendam a redu¸c˜ao do conjunto de voxels na aplica¸c˜ao dos algoritmos,
devido ao fato que a propor¸c˜ao de voxels ativos no c´erebro ´e relativamente pequena (Gibbons
et al., 2004). Ent˜ao, para aumentar a eficiˆencia da an´alise dos dados, ´e aplicado a cada voxel do
conjunto de caracter´ısticas uma an´alise de entropia, como sugerido na Se¸c˜ao 1.6, com o objetivo
de suprimir algumas posi¸c˜oes do vetor dos dados de entrada, sendo eliminados os voxels com
n´ıvel de entropia abaixo de certo limiar empiricamente determinado.
No presente estudo, o c´alculo da entropia do sinal foi baseado nas pesquisas anteriores (ver
Se¸c˜ao 2.6.2). Desta vez, s(t) denota o comportamento de toda s´erie temporal de um voxel. Este
sinal s(t) ´e dividido em dois intervalos de intensidade (I
l
, l = 1, 2). Essa divis˜ao ´e realizada
calculando-se os valores m´aximo e m´ınimo da s´erie temporal. Matematicamente, tem-se:
s
0
= min
k
{s(t
k
), k = 1, . . . , K}, (3.2)
s
1
= max
k
{s(t
k
), k = 1, . . . , K}, (3.3)
Desse modo, define-se os intervalos de intensidade, I
1
e I
2
, como:
I
1
= [s
0
, s
M
), (3.4)
I
2
= [s
M
, s
1
], (3.5)
em que s
M
´e a m´edia aritm´etica de s
1
e s
2
.
1
http://www.fil.ion.ucl.ac.uk/spm/
31
E da´ı, a probabilidade de cada intervalo, simplificando a Eq. (2.7), ´e dada por:
p(I
l
) =
n.
◦
de valores de s(t
k
) no intervalo I
l
n.
◦
total de valores de s(t
k
)
. (3.6)
E a entropia sendo, por fim, calculada segundo a Eq. (1.32). Conforme analisamos a Figura
(3.3), ´e poss´ıvel dizer que a entropia ´e um parˆametro intuitivo no sentido de que ´e poss´ıvel
distinguir, visualmente, um sinal regular de um sinal irregular. Na Figura (3.3a) ´e poss´ıvel
observar que para um sinal correspondente a um voxel n˜ao ativo, a presen¸ca de picos torna a
distribui¸c˜ao de probabilidade estreita, conseq¨uentemente, um baixo valor de entropia. Por outro
lado, na Figura (3.3b) apresenta a s´erie temporal de um prov´avel voxel ativo. O elevado valor
da entropia, neste caso, ´e associado a ampla distribui¸c˜ao de probabilidade.
3.4 Procedimentos
Como etapa de prepara¸c˜ao, calculou-se o valor da entropia de todos os voxels dos dados
fMRI, conforme descrito antes. Aqueles voxels que apresentaram valores de entropia menores
que o limiar escolhido foram eliminados do conjunto de dados de entrada referentes a etapa do
SOM juntamente com aqueles voxels pertencentes a parte externa do c´erebro (fundo da imagem).
Para configura¸c˜ao dos parˆametros de configura¸c˜ao do SOM usou-se informa¸c˜oes obtidas em
estudos anteriores (Peltier, et al., 2003; Liao, et al., 2008) tanto nos dados simulados quanto nos
dados reais. Desta forma, utilizou-se uma grade bidimensional retangular 10 ×10. Inicializou-se
a taxa de aprendizagem (Eq. 1.13) em α(0) = 0.1, e o parˆametro largura efetiva (Eq. 1.5)
σ(0) = 7. O n´umero de itera¸c˜oes do SOM foi regulado conforme a estabiliza¸c˜ao do erro (Eq.
1.17), contudo Peltier, et al., (2003) sugere que para imagens de dimens˜oes 64×64, 100 itera¸c˜oes
seja o suficiente. E, a sele¸c˜ao do neurˆonio vencedor ´e dada pela m´axima correla¸c˜ao entre dado
de entrada e neurˆonios da grade, em alternativa a m´ınima distˆancia euclideana (Eq. 1.3):
m
c
(t) = arg max
i
{corr(x(t), m
i
(t))}, i = 1, 2, . . . , k. (3.7)
Ap´os o treinamento do SOM, com a finalidade de reconhecer nos dados de entrada aqueles
padr˜oes que representam atividade, aplicou-se agrupamento hier´arquico aglomerativo, adotando
o m´etodo de liga¸c˜ao simples (Eq. 1.28), e tomando o coeficiente de correla¸c˜ao de Pearson como
coeficiente de parecen¸ca (Eq. 1.26). Contudo s´o foram agrupados neurˆonios vizinhos no mapa,
isto ´e, para que dois neurˆonios ou agrupamentos fossem agregados, a distˆancia em rela¸c˜ao a
32
Figura 3.3: (a) Sinal apresentando baixa entropia, os pontos concentram-se no intervalo superior,
com as seguintes distribui¸c˜ao de probabilidade de cada intervalo, p(I
1
) = 0.1083 e p(I
2
) = 0.8917
e entropia H = 0.4949; (b) Sinal apresentando alta entropia, com distribui¸c˜ao de probabilidade
para os intervalos p(I
1
) = 0.4667 e p(I
2
) = 0.5333 e entropia H = 0.9968.
33
posi¸c˜ao discreta entre eles n˜ao deveria ser superior a
√
2. Al´em disso, determinou-se U-matrix
para auxiliar na procura da quantidade de agrupamentos a serem formados.
Tendo definido quais agrupamentos apresentam evidˆencias de resposta BOLD, ent˜ao, correla-
cionou-se a m´edia dos pesos dos neurˆonios pertencentes ao agrupamento encontrado com todos
os voxel das imagens. Esta correla¸c˜ao (Eq. 1.26) visa medir o quanto os dois sinais est˜ao rela-
cionados linearmente, que em fMRI possibilita inferir se um voxel est´a ativo ou n˜ao, dependendo
do coeficiente de correla¸c˜ao (Cabella, 2008)(por conveniˆencia, adotamos a partir daqui a nota¸c˜ao
CC, aos inv´es de r). Feito isso, aqueles voxels que apresentaram um CC com a m´edia dos pesos,
superior a um limiar a ser escolhido s˜ao destacados em uma m´ascara com a finalidade de se
gerar o mapa de ativa¸c˜oes.
34
Cap´ıtulo 4
Resultados
4.1 Dados Simulados
A primeira etapa do processo foi calcular a entropia de Shannon para cada voxel dos dados
simulados. Os valores de entropia para os 1398 voxels contidos no interior do c´erebro artificial
variaram de 0.4949 `a 1, e como j´a esperado, os 49 voxels com sinal de ativa¸c˜ao apresentaram um
alto valor de entropia (Figura 4.1a). Ap´os isto, cerca de 6% dos 1398 voxels foram eliminados
dos dados de entrada do SOM, estes voxels apresentaram um valor de entropia H < 0.85 (Figura
4.1b).
Figura 4.1: (a) Mapa entr´opico dos dados artificiais; (b)An´alise entr´opica dos dados sint´eticos.
Os pontos pretos na imagem foram eliminados, o equivalente a 6% dos dados de entrada.
Posteriormente, iniciou-se a etapa de treinamento do SOM em um total de 100 itera¸c˜oes.
Feito isso, o passo seguinte foi descobrir os agrupamentos que apresentassem padr˜oes de sinal
BOLD nos neurˆonios do mapa atrav´es do m´etodo de agrupamento hier´arquico. A Figura (4.2a)
mostra o resultado do algoritmo de agrupamento para os dados artificiais. Nele ´e poss´ıvel ver
35
a forma¸c˜ao de 2 grandes grupos (canto superior esquerdo e canto inferior direito) o que pode
ser confirmado a partir da visualiza¸c˜ao da U-matrix em tons de azul escuro e em baixo relevo
Figura(4.2b), resultado este que serviu para segmentar o mapa, destacando somente os neurˆonios
candidatos aos padr˜oes de ativa¸c˜ao (Figura 4.3).
Figura 4.2: (a) Resultado do m´etodo de agrupamento hier´arquico aplicado aos pesos do SOM, 72
agrupamentos foram formados; (b) Visualiza¸c˜ao tridimensional da U-matriz dos dados sint´eticos.
Figura 4.3: Configura¸c˜ao final do SOM, grade 10 × 10 para os dados sint´eticos, o neurˆonios em
destaque representam os padr˜oes ativos dos dados de entrada.
Para gerar o mapa de ativa¸c˜oes (Figura 4.5), ´e calculado um coeficiente de correla¸c˜ao en-
tre todos os voxels das ´areas correspondentes ao c´erebro e a m´edia dos pesos pertencentes ao
agrupamento dos neurˆonios candidatos. A Figura (4.4) faz uma compara¸c˜ao entre m´edia dos
neurˆonios e a HRF atribu´ıda aos dados simulados. O coeficiente de correla¸c˜ao entre estes dois
36
sinais ´e de 0.7056, valor este que foi usado como limiar para encontrar os voxels com maiores
possibilidades de estarem ativos.
Figura 4.4: O sinal em azul corresponde a HRF com SNR de 5dB atribu´ıda aos dados sint´eticos.
O sinal em vermelhos representa a m´edia da s´erie temporal dos neurˆonios candidatos a ativa¸c˜ao.
Figura 4.5: As regi˜oes pretas no interior do c´erebro correspondem `as regi˜oes ativas computadadas
pelo SOM com 100 itera¸c˜oes para um CC> 0.7056.
4.2 Dados Reais
Utilizamos o SOM para analisar os dados reais corresponde a um est´ımulo auditivo, como
proposto na Se¸c˜ao 3.2. A Figura (4.6a) mostra a an´alise entr´opica para os voxels da oitava
fatia que variaram de 0.1161 a 1. Do total de voxels interiores ao c´erebro, 8% foram eliminados
do posterior treinamento do SOM (Figura 4.6b). Estes voxels apresentavam valor de entropia
H < 0.8.
37
Figura 4.6: (a) Mapa entr´opico dos dados reais da oitava fatia; (b)An´alise entr´opica dos dados
reais. Os pontos pretos na imagem foram eliminados, o equivalente a 8% dos dados de entrada.
Figura 4.7: Gr´afico do erro de quantiza¸c˜ao para um total de 250 itera¸c˜oes. (a) erro de quan-
tiza¸c˜ao com aplica¸c˜ao de entropia; (b) erro de quantiza¸c˜ao sem entropia.
38
Diferente dos dados simulados, nos dados reais o conjunto de padr˜oes de entrada ´e maior,
embora a grade do SOM apresente a mesma quantidade de neurˆonios. Deduz-se, portanto, que
o n´umero de itera¸c˜oes na etapa do treinamento seja tamb´em maior para que o processo de
aprendizado n˜ao seja comprometido. Assim sendo, adotou-se o erro de quantiza¸c˜ao (Eq. 1.17)
para estimar a quantidade de passos do algoritmo e tamb´em atuar como controlador de qualidade
do aprendizado. A Figura (4.7) mostra a evolu¸c˜ao do erro a cada 10 itera¸c˜oes. Por´em, ainda que
o erro tenha come¸cado a se estabilizar por volta das 100 repeti¸c˜oes o treinamento estendeu-se
at´e as 250 itera¸c˜oes com a finalidade de se realizar uma sintonia fina do mapa de caracter´ısticas
e assim produzir uma quantiza¸c˜ao estat´ıstica precisa do espa¸co de entrada. Ainda analisando a
mesma figura, ´e poss´ıvel verificar que a amplitude do erro para a situa¸c˜ao em que foi aplicada
a an´alise entr´opica precedendo o SOM (Fig. 4.7a), apresenta-se menor al´em de ter come¸cado a
se estabilizar um pouco antes do que o caso em que n˜ao utilizou-se a entropia de Shannon (Fig.
4.7b).
Finalizado o processo de treinamento, pode-se observar o mapa de caracter´ısticas referentes
aos dados da oitava fatia (Figura 4.9) j´a segmentado ap´os aplica¸c˜ao do agrupamento hier´arquico
(Figura 4.8a) e U-matrix (Figura 4.8b).
Figura 4.8: (a)Resultado do m´etodo de agrupamento hier´arquico aplicado aos pesos do SOM,
49 agrupamentos foram formados; (b) Visualiza¸c˜ao tridimensional da U-matriz do experimento
auditivo.
O mapa de ativa¸c˜ao constru´ıdo a partir do CC entre a s´erie temporal de cada voxel do interior
do c´erebro nas imagens e a m´edia dos pesos dos neurˆonios, que tamb´em ´e ilustrado, pode ser
visto na Figura (4.10). Valores com CC superior a 0.6 foram destacados no mapa cerebral.
Nele, ´e poss´ıvel ver duas principais regi˜oes, como resultado da tarefa auditiva, localizadas no
lobo temporal. Segundo Huettel et al., (2004) o lobo temporal al´em de estar associado com
39
est´ımulos auditivos, tamb´em pode estar envolvido com mem´oria e fala.
Figura 4.9: Configura¸c˜ao final do SOM (10 × 10) para os dados reais, o neurˆonios em destaque
representam os padr˜oes ativos dos dados de entrada.
Figura 4.10:
`
A esquerda, resultado de uma estimula¸c˜ao auditiva no c´ortex cerebral segundo
an´alise do SOM (CC> 0.6).
`
A direita, m´edia da s´erie temporal dos pesos dos neurˆonios ativos.
As figuras seguintes (Fig. 4.11) mostram o mapa de ativa¸c˜ao, ap´os a execu¸c˜ao do SOM,
para as fatias 9 e 10 dos dados reais. A Figura (4.12) mostra o resultado do mesmo conjunto de
dados segundo an´alise do SPM, o qual ´e baseado no GLM.
40
Figura 4.11: Resultado de uma estimula¸c˜ao auditiva no c´ortex cerebral segundo an´alise do SOM,
fatias 9 e 10 (CC> 0.6).
Figura 4.12: Resultado de uma estimula¸c˜ao auditiva no c´ortex cerebral segundo an´alise do SPM.
41
Conclus˜ao
No presente estudo foi usado como ferramenta de an´alise de dados fMRI o mapa auto-
organiz´avel de Kohonen, um tipo de rede neural artificial com treinamento baseado na apren-
dizagem competitiva e que ordena topologicamente os padr˜oes de dados incidentes em um mapa
discreto. Tamb´em, com o intuito de segmentar padr˜oes do mapa de caracter´ısticas provenientes
de diferentes fontes dos dados de entrada, utilizou-se agrupamento hier´arquico auxiliado pela
U-matrix na decis˜ao do n´umero de agrupamentos. Al´em disso, com o prop´osito de aumentar a
eficiˆencia do m´etodo de an´alises, foi proposta a entropia de Shannon, a qual eliminou uma faixa
de 5-10% do conjunto de dados de entrada, que por sua vez estavam relacionados a voxels que
apresentavam picos e estavam distribu´ıdos de forma irregular. Como se pˆode ver em dados sim-
ulados, a entropia relacionada a s´erie temporal de voxels que continham evidˆencias da resposta
BOLD tende a ser m´axima. Portanto, a configura¸c˜ao dos dados ap´os a an´alise entr´opica permite
maiores chances de se encontrar grupos de neurˆonios ativos na grade do SOM com um menor
n´umero de itera¸c˜oes. Ademais, na evolu¸c˜ao temporal do erro de quantiza¸c˜ao do SOM, pode-se
verificar que a an´alise entr´opica diminuiu a amplitude deste erro e admitiu sua estabiliza¸c˜ao
sutilmente mais r´apida.
Os resultados do SOM, tanto para dados simulados, quanto para dados reais, reafirmaram
que ele pode ser usado como ferramenta de interpreta¸c˜ao de dados fMRI. Al´em disso, como
vantagem, ele n˜ao considera a forma da resposta hemodinˆamica, n˜ao fazendo uso de uma HRF
modelada matematicamente.
Como pr´oximo passo para o desenvolvimento do m´etodo, pretende-se aplicar uma t´ecnica
que possa determinar, de maneira autom´atica, o limiar da an´alise entr´opica, permitindo decidir,
com mais seguran¸ca, na elimina¸c˜ao de poss´ıveis voxels irrelevantes. Al´em disso, pretende-se
apresentar m´etodos estat´ısticos que possam mensurar o poder de detec¸c˜ao do m´etodo como o
todo e validar os resultados obtidos.
42
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