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Universidade Federal da Para´ıba
Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
Curso de Mestrado em Matem´atica
Resultados de coincidˆencia para
polinˆomios dominados entre espa¸cos
de Banach
Ana Cec´ılia Costa de Freitas
2009
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Universidade Federal da Para´ıba
Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
Curso de Mestrado em Matem´atica
Resultados de coincidˆencia para
polinˆomios dominados entre espa¸cos
de Banach
por
Ana Cec´ılia Costa de Freitas
sob orienta¸c˜ao do
Prof. Dr. Daniel Marinho Pellegrino
26 de novembro de 2009
Jo˜ao Pessoa-PB
ii
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Resultados de coincidˆencia para
polinˆomios dominados entre espa¸cos
de Banach
por
Ana Cec´ılia Costa de Freitas
Disserta¸c˜ao apresentada ao Departamento de Matem´atica da Universidade Federal
da Para´ıba, como requisito parcial para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
´
Area de Concentra¸c˜ao: An´alise
Aprovada por:
Prof. Dr. Daniel Marinho Pellegrino - UFPB (Orientador)
Prof. Dr. Cleon da Silva Barroso (UFC)
Prof. Dr. Jaime Alves Barbosa Sobrinho (UFCG)
Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros (UFPB)
Universidade Federal da Para´ıba
Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica
Curso de Mestrado em Matem´atica
iii
Aos meus pais,
Jos´e e Leonice.
iv
Agradecimentos
Aos meus pais, Jos´e e Leonice, meus maiores exemplos de vida, agrade¸co pelos
ensinamentos, pelo imenso amor e apoio em tudo que preciso. Obrigada por me fazer
acreditar que posso dar passos importantes na vida.
`
A minha irm˜a e melhor amiga Patr´ıcia, pelo ser maravilhoso que ´es, pelas suas
palvras que animam minha vida, pelo grandioso amor e apoio.
Ao meu namorado Agostinho, pelo companheirismo, paciˆencia e compreens˜ao.
Aos meus irm˜aos Fabiano e Adriano, que sempre me ajudaram no que precisei.
Aos meus sobrinhos Ana Clara, Jo˜ao Victor, Lucas e Guilherme, pelas alegrias que
d˜ao em minha vida.
`
A minha quase sobrinha Cristiane, pelos conselhos e conversas bem humoradas.
`
As minhas cunhadas Gl´oria e Andr´ea, pela prestatividade.
Ao meu primo Calixto, por ter me acolhido aqui em Jo˜ao Pessoa.
Ao meu professor e orientador Daniel Marinho Pellegrino, pela imensa aten¸c˜ao que
teve comigo desde que cheguei aqui. Pela paciˆencia, boa vontade e disponibilidade de
esclarecer sempre minhas d´uvidas.
Aos professores Jos´e Gomes de Assis, Pedro Antonio Hinojosa Vera e Fernando
Antˆonio Xavier de Sousa, pelo aprendizado e aten¸c˜ao.
Aos professores Jos´e Othon Dantas Lopes e Jo˜ao Montenegro de Miranda, pela
recomenda¸c˜ao e incentivo.
A todos os meus colegas desta p´os-gradua¸c˜ao que me ajudaram, incentivaram e
motivaram para que eu pudesse chegar at´e aqui.
`
A minha colega e amiga Andr´ea e sua fam´ılia, pela amizade adquirida, pela
convivˆencia e pela ajuda nas horas de estudo.
`
As minhas amigas Cristiane e Vˆania, pelo incentivo.
`
A CAPES, Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior, pelo
apoio financeiro.
Enfim, agrade¸co a Deus, pelo maior presente: a vida.
v
Resumo
Neste trabalho estudamos a teoria de polinˆomios dominados entre espa¸cos de
Banach, destacando alguns resultados cl´assicos e recentes de coincidˆencia e n˜ao-
coincidˆencia, relacionando-os ao cotipo dos espa¸cos de Banach envolvidos. E, por fim,
apresentamos, com detalhes, resultados n˜ao publicados de Botelho, Pellegrino e Rueda,
que demonstram uma conjectura sobre resultados de coincidˆencia para polinˆomios
dominados. Uma vers˜ao mais forte dessa conjectura foi recentemente demonstrada
em [11].
Palavras-Chave:
Operadores Absolutamente Somantes, Cotipo, Polinˆomios Absolutamente Somantes
e Dominados, Resultados de Coincidˆencia.
vi
Abstract
In this work we investigate the theory of dominated polynomials between Banach
spaces, highlighting some classical and recent results related to the cotype of the Banach
spaces involved. Finally, we give a detailed presentation of unpublished results due to
Botelho, Pellegrino and Rueda, that proves a conjecture on coincidence results for
dominated polynomials. A stronger version of this conjecture was recently proved in
[11].
Key-Words:
Absolutely Summing Operators, Cotype, Absolutely Summing and Dominated
Polynomials, Coincidence Results.
vii
Sum´ario
1 Operadores Absolutamente Somantes 2
1.1 S´eries em espa¸cos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Sequˆencias fracamente som´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Operadores Absolutamente Somantes e a contribui¸c˜ao de Grothendieck 6
1.3.1 A Desigualdade e o Teorema de Grothendieck . . . . . . . . . . 7
1.4 Cotipo e operadores absolutamente somantes . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Resultados cl´assicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Resultados recentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 O Teorema de Lindenstrauss-Pe̷lczy´nski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Polinˆomios Absolutamente Somantes 14
2.1 Aplica¸c˜oes Multilineares e Polinˆomios Homogˆeneos . . . . . . . . . . . 14
2.2 Polinˆomios Absolutamente Somantes e Polinˆomios Dominados . . . . . 16
2.2.1 Polinˆomios Absolutamente Somantes . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Polinˆomios Dominados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Uma conjectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Varia¸c˜oes n˜ao-lineares de um argumento de Lindenstrauss e
Pe̷lczy´nski 21
3.1 Resultados recentes de coincidˆencia para polinˆomios absolutamente
somantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Resultados de coincidˆencia para polinˆomios dominados . . . . . . . . . 29
3.3 A demonstra¸c˜ao da conjectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
viii
Introdu¸c˜ao
A teoria de operadores absolutamente somantes surgiu, na d´ecada de 50, a partir
de ideias de A. Grothendieck em seu famoso Resum´e, como consequˆencia do grande
desenvolvimento da teoria dos espa¸cos de Banach. Esse foi o maior legado deixado
por Grothendieck nesta ´area, antes de dedicar-se `a geometria alg´ebrica. Entretanto em
1968, com as contribui¸c˜oes de Joram Lindenstrauss e Aleksander Pe̷lczy´nski, suas ideias
ganharam um novo enfoque, tornando-se conhecidas, mais acess´ıveis e proporcionando
um r´apido desenvolvimento da teoria e aplica¸c˜oes, fazendo renascer a Teoria dos Espa¸cos
de Banach.
A partir dos anos 80, o matem´atico alem˜ao Albrecht Pietsch, sugeriu uma
abordagem n˜ao-linear para a teoria de operadores absolutamente somantes; desde ent˜ao
v´arios autores come¸caram a investigar diversas vers˜oes n˜ao-lineares para o conceito
de operador absolutamente somante. Dentre as v´arias poss´ıveis generaliza¸c˜oes, o
conceito de polinˆomios dominados tem um destaque especial e vem sendo fruto de
v´arios trabalhos.
No presente trabalho dissertaremos sobre a teoria de polinˆomios absolutamente
somantes e exploraremos, com mais detalhes, resultados recentes da teoria de polinˆomios
dominados entre espa¸cos de Banach. O resultado principal deste trabalho ser´a a
demonstra¸c˜ao de uma conjectura, n˜ao publicada, devida a Botelho, Pellegrino e Rueda,
sobre resultados de coincidˆencia para polinˆomios dominados.
Estrutura dos T´opicos Apresentados
No Cap´ıtulo 1, apresentamos os elementos b´asicos da teoria dos operadores
absolutamente somantes e introduzimos alguns conceitos e resultados importantes.
No Cap´ıtulo 2, apresentamos o conceito de aplica¸c˜oes multilineares, polinˆomios
homogˆeneos absolutamente somantes e dominados, bem como resultados essenciais para
o desenvolvimento do nosso objeto de estudo, que ser´a apresentado no cap´ıtulo seguinte.
No Cap´ıtulo 3, destacamos uma s´erie de resultados recentes, todos inspirados em um
argumento, usado na teoria linear, devido a Lindenstrauss e Pe̷lczy´nski, que culminam
com uma demonstra¸c˜ao, n˜ao publicada, devida a Botelho, Pellegrino e Rueda, sobre a
limita¸c˜ao de resultados de coincidˆencia para polinˆomios dominados.
ix
Nota¸c˜ao e Terminologia
Neste trabalho faremos o uso da seguinte simbologia:
∙ ℕ denotar´a o conjunto dos inteiros positivos.
∙ Se 𝐴 ´e um conjunto qualquer, 𝐴
ℕ
denotar´a 𝐴 × 𝐴 × 𝐴 × ⋅ ⋅ ⋅ .
∙ 𝕂 denotar´a o corpo dos reais ℝ ou o corpo dos complexos ℂ.
∙ A menos que se mencione algo em contr´ario, 𝑋 e 𝑌 denotar˜ao espa¸cos de Banach
sobre 𝕂.
∙ 𝐻 denotar´a um espa¸co de Hilbert.
∙ O conjunto de todas as aplica¸c˜oes 𝑚-lineares de 𝑋
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑋
𝑚
em 𝑌 ´e denotado
por 𝐿(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑚
; 𝑌 ). Quando 𝑋
1
= ⋅ ⋅ ⋅ = 𝑋
𝑚
, escrevemos 𝐿(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ao inv´es de
𝐿(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑚
; 𝑌 ).
∙ O conjunto de todas as aplica¸c˜oes 𝑚-lineares cont´ınuas de 𝑋
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑋
𝑚
em 𝑌
´e denotado por ℒ(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑚
; 𝑌 ). Quando 𝑋
1
= ⋅ ⋅ ⋅ = 𝑋
𝑚
, escrevemos ℒ(
𝑚
𝑋; 𝑌 )
ao inv´es de ℒ(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑚
; 𝑌 ).
∙ O espa¸co de Banach formado por todos os polinˆomios 𝑚-homogˆeneos 𝑃 : 𝑋 → 𝑌
´e denotado por 𝑃 (
𝑚
𝑋; 𝑌 ).
∙ O espa¸co de Banach formado por todos os polinˆomios 𝑚-homogˆeneos cont´ınuos
𝑃 : 𝑋 → 𝑌 com a norma ∣∣𝑃 ∣∣ := sup
∥𝑥∥≤1
∣∣𝑃 (𝑥)∣∣ ser´a denotado por 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ).
∙ O espa¸co de todos os polinˆomios 𝑚-homogˆeneos absolutamente (𝑝, 𝑞)-somantes
de 𝑋 em 𝑌 ´e denotado por 𝒫
𝑎𝑠(𝑝,𝑞)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ). Se 𝑚 = 1, o espa¸co ´e denotado por
ℒ
𝑎𝑠(𝑝,𝑞)
(𝑋; 𝑌 ).
∙ O espa¸co de todos os polinˆomios 𝑚-homogˆeneos 𝑟-dominados de 𝑋 em 𝑌 ´e
denotado por 𝒫
𝑑,𝑟
(
𝑚
𝑋; 𝑌 )
∙ O dual topol´ogico de um espa¸co de Banach 𝑋 ser´a denotado por 𝑋
∗
e 𝐵
𝑋
∗
representar´a a sua bola unit´aria fechada.
∙ 𝑖𝑑
𝑋
denotar´a o operador identidade em 𝑋.
∙ Denotaremos por 𝐶(𝐾) o espa¸co de Banach das fun¸c˜oes cont´ınuas (com a norma
do sup) definidas em um espa¸co topol´ogico compacto de Hausdorff 𝐾.
∙ Se 1 < 𝑞 < ∞, 𝑞
∗
indica o conjugado de 𝑞, isto ´e,
1
𝑞
+
1
𝑞
∗
= 1.
∙ 𝛿
𝑗𝑘
representa o delta de Kronecker, definido por 𝛿
𝑗𝑘
=
1, se 𝑗 = 𝑘
0, se 𝑗 ∕= 𝑘
.
1
Cap´ıtulo 1
Operadores Absolutamente
Somantes
Este primeiro cap´ıtulo ser´a dedicado `a teoria linear de operadores absolutamente
somantes e ao estudo do conceito de cotipo de um espa¸co de Banach. Como veremos,
a teoria cl´assica de operadores absolutamente somantes tem uma forte rela¸c˜ao com
o cotipo dos espa¸cos de Banach envolvidos. Essa rela¸c˜ao ser´a exploranda, com mais
detalhes, no contexto polinomial, no Cap´ıtulo 3.
1.1 S´eries em espa¸cos de Banach
S´eries em espa¸cos de Banach tˆem um papel central na motiva¸c˜ao da teoria de operadores
absolutamente somantes.
Uma seq¨uˆencia (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
em um espa¸co vetorial normado 𝐸 ´e dita absolutamente
som´avel se
∞
𝑛=1
∥𝑥
𝑛
∥ < ∞.
Nesse caso, dizemos que a s´erie correspondente Σ
∞
𝑛=1
𝑥
𝑛
´e absolutamente convergente.
Se (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
for tal que
∞
𝑛=1
𝑥
𝜎(𝑛)
converge, qualquer que seja a bije¸c˜ao 𝜎 : ℕ → ℕ, dizemos que (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
´e
incondicionalmente som´avel e que Σ
∞
𝑛=1
𝑥
𝑛
´e incondicionalmente convergente. Uma
consequˆencia do Teorema de Hahn-Banach garante que se (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
´e incondicionalmente
som´avel , ent˜ao
∞
𝑛=1
𝑥
𝜎(𝑛)
=
∞
𝑛=1
𝑥
𝑛
para toda bije¸c˜ao 𝜎 : ℕ → ℕ. Para detalhes, sugerimos [30, pag 6].
2
´
E interessante observar que espa¸cos de Banach s˜ao caracterizados atrav´es da
convergˆencia de s´eries:
Teorema 1.1.1 Um espa¸co vetorial normado 𝐸 ´e Banach se, e somente se, cada s´erie
absolutamente convergente for convergente em 𝐸.
Demonstra¸c˜ao. =⇒) Seja
∞
𝑛=1
𝑥
𝑛
uma s´erie absolutamente convergente em 𝐸; fa¸ca 𝑆
𝑘
=
𝑘
𝑛=1
𝑥
𝑛
. Afirmamos que a
sequˆencia (𝑆
𝑘
)
∞
𝑘=1
converge em 𝐸. De fato, para 𝑛 > 𝑚, temos
∥𝑆
𝑛
− 𝑆
𝑚
∥ =
𝑛
𝑗=𝑚+1
𝑥
𝑗
≤
𝑛
𝑗=𝑚+1
∥𝑥
𝑗
∥ . (1.1)
Como
∞
𝑗=1
∥𝑥
𝑗
∥ ´e convergente, segue de (1.1) que dado 𝜀 > 0, existe 𝑁 tal que
𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 ⇒ ∥𝑆
𝑛
− 𝑆
𝑚
∥ < 𝜀.
Logo, (𝑆
𝑛
) ´e convergente (pois ´e de Cauchy em 𝐸, que ´e espa¸co de Banach).
⇐=) Agora, temos que toda s´erie absolutamente convergente em 𝐸 ´e tamb´em
convergente. Seja (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
uma seq¨uˆencia de Cauchy em 𝐸. Queremos mostrar que
(𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
tamb´em converge. Para tanto, dados 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, dado 𝑘 ∈ ℕ, existe 𝑛
𝑘
tal que
se 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛
𝑘
, ent˜ao
∥𝑥
𝑚
− 𝑥
𝑛
∥ <
1
2
𝑘
Desta forma, podemos encontrar n´umeros naturais 𝑛
1
< 𝑛
2
< ⋅ ⋅ ⋅ tais que
𝑥
𝑛
𝑘
− 𝑥
𝑛
𝑘+1
<
1
2
𝑘
.
Em particular,
∞
𝑘=1
𝑥
𝑛
𝑘+1
− 𝑥
𝑛
𝑘
<
∞
𝑘=1
1
2
𝑘
= 1
e, portanto, a s´erie
∞
𝑘=1
(𝑥
𝑛
𝑘+1
− 𝑥
𝑛
𝑘
)
´e absolutamente convergente e, por hip´otese, ´e convergente.
3
Observe que
𝑥
𝑛
𝑘+1
= 𝑥
𝑛
1
+
𝑘
𝑗=1
(𝑥
𝑛
𝑗+1
− 𝑥
𝑛
𝑗
),
donde conclui-se que (𝑥
𝑛
𝑘
)
∞
𝑘=1
´e convergente. Assim, a sequˆencia (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
´e de Cauchy
e admite subseq¨uˆencia convergente; logo (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
tamb´em converge, o que implica que
𝐸 ´e completo.
Sabemos que todo espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita ´e um espa¸co de
Banach e, para todo espa¸co nessas condi¸c˜oes, quaisquer duas normas s˜ao equivalentes.
No entanto, quando passamos a trabalhar em espa¸cos de dimens˜ao infinita, muitas
propriedades t´ıpicas em espa¸cos finito-dimensionais s˜ao perdidas como, por exemplo,
a compacidade da bola unit´aria fechada. Em rela¸c˜ao `a convergˆencia de s´eries,
Dirichlet provou que, na reta, uma s´erie converge incondicionalmente se, e somente
se, converge absolutamente. Entretanto, mesmo em alguns espa¸cos de Banach de
dimens˜ao infinita espec´ıficos, n˜ao era f´acil perceber se esses tipos de convergˆencia eram
equivalentes. Essa dificuldade tornou-se clara, a partir do importante Teorema de
Dvoretzky-Rogers, provado na d´ecada de 50, que garantiu a existˆencia de uma sequˆencia
incondicionalmente som´avel que n˜ao ´e absolutamente som´avel, para qualquer espa¸co de
Banach de dimens˜ao infinita. O Teorema de Dvoretzky-Rogers, que ser´a enunciado a
seguir, ´e essencialmente devido ao seguinte lema:
Lema 1.1.2 Seja 𝑋 um espa¸co de Banach de dimens˜ao 2𝑛. Ent˜ao existem 𝑛 vetores
𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑛
em 𝑋, com
1
2
≤ ∥𝑥
𝑗
∥ ≤ 1 e 𝑗 = 1, ..., 𝑛 tais que para quaisquer escalares
𝛼
1
, ..., 𝛼
𝑛
tem-se
𝑛
𝑗=1
𝛼
𝑗
𝑥
𝑗
≤
𝑛
𝑗=1
∣𝛼
𝑗
∣
2
1/2
.
Teorema 1.1.3 (Dvoretzky-Rogers) Seja 𝑋 um espa¸co de Banach de dimens˜ao
infinita. Ent˜ao para qualquer escolha de (𝜆
𝑛
)
∞
𝑛=1
em 𝑙
2
, existe uma seq¨uˆencia
incondicionalmente som´avel (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
em 𝑋 com ∥𝑥
𝑛
∥ = ∣𝜆
𝑛
∣ para todo 𝑛 ∈ ℕ.
Note que, em particular, se escolhermos (𝜆
𝑛
)
∞
𝑛=1
em 𝑙
2
−𝑙
1
, o Teorema de Dvoretzky-
Rogers garante que existe uma seq¨uˆencia incondicionalmente som´avel que n˜ao ´e
absolutamente som´avel.
Para detalhes da demonstra¸c˜ao do lema e do teorema, veja [14] ou [30], para um
texto em portuguˆes.
4
1.2 Sequˆencias fracamente som´aveis
Para cada n´umero real 𝑝, com 0 < 𝑝 < ∞, recordamos a defini¸c˜ao de espa¸cos 𝑙
𝑝
, dada
por
𝑙
𝑝
=
(𝑥
𝑗
)
∞
𝑗=1
∈ 𝕂
ℕ
;
∞
𝑗=1
∣𝑥
𝑗
∣
𝑝
< ∞
.
A fun¸c˜ao ∥⋅∥
𝑝
dada por
(𝑥
𝑗
)
∞
𝑗=1
𝑝
=
∞
𝑗=1
∣𝑥
𝑗
∣
𝑝
1
𝑝
´e uma norma em 𝑙
𝑝
(𝑝-norma se
0 < 𝑝 < 1).
Defini¸c˜ao 1.2.1 Sejam 𝑋 um espa¸co de Banach e 0 < 𝑝 < ∞ . Uma sequˆencia (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
em 𝑋 ´e fortemente 𝑝-som´avel se a sequˆencia de escalares correspondente (∥𝑥
𝑛
∥)
∞
𝑛=1
estiver em 𝑙
𝑝
.
Denotaremos por 𝑙
𝑝
(𝑋) o espa¸co vetorial de todas as sequˆencias fortemente 𝑝-
som´aveis em 𝑋, ou seja,
𝑙
𝑝
(𝑋) =
(𝑥
𝑗
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑋
ℕ
;
∞
𝑗=1
∥𝑥
𝑗
∥
𝑝
< ∞
.
Em 𝑙
𝑝
(𝑋) definimos
∥(𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
∥
𝑝
=
∞
𝑛=1
∥𝑥
𝑛
∥
𝑝
1
𝑝
.
Se 𝑝 = ∞, definimos 𝑙
∞
(𝑋) como o espa¸co das sequˆencias limitadas de vetores (em 𝑋)
dado por
𝑙
∞
(𝑋) :=
(𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
∈ 𝑋
ℕ
; ∥(𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
∥
∞
:= sup
𝑛
∥𝑥∥ < ∞
.
Defini¸c˜ao 1.2.2 Sejam 𝑋 um espa¸co de Banach e 1 ≤ 𝑝 < ∞ . Uma sequˆencia
(𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
em 𝑋 ´e fracamente 𝑝-som´avel se a sequˆencia de escalares (𝜑(𝑥
𝑛
))
∞
𝑛=1
estiver
em 𝑙
𝑝
para todo 𝜑 ∈ 𝑋
∗
.
Denotaremos por 𝑙
𝑤
𝑝
(𝑋) o conjunto de todas as sequˆencias fracamente 𝑝-som´aveis
em 𝑋, ou seja,
𝑙
𝑤
𝑝
(𝑋) =
(𝑥
𝑗
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑋
ℕ
;
∞
𝑗=1
∣𝜑(𝑥
𝑛
)∣
𝑝
< ∞, para todo 𝜑 ∈ 𝑋
∗
.
Em 𝑙
𝑤
𝑝
(𝑋) consideramos
∥(𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
∥
𝑤,𝑝
:= sup
𝜑∈𝐵
𝑋
∗
∞
𝑛=1
∣𝜑(𝑥
𝑛
)∣
𝑝
1
𝑝
.
5
O Teorema do Gr´afico Fechado garante que ∥.∥
𝑤,𝑝
est´a bem definido (´e finito). N˜ao ´e
dif´ıcil mostrar que ∥.∥
𝑤,𝑝
´e uma norma em 𝑙
𝑤
𝑝
(𝑋). O caso 𝑝 = ∞ ser´a ´util no decorrer
do texto. Precisamente, se 𝑝 = ∞, definimos
∥(𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
∥
𝑤,∞
= sup
𝜑∈𝐵
𝑋
∗
∥(𝜑(𝑥
𝑛
))
∞
𝑛=1
∥
∞
.
O seguinte resultado ´e simples, por´em ´util:
Proposi¸c˜ao 1.2.3 Para qualquer espa¸co de Banach 𝑋 vale, isometricamente, a
igualdade
𝑙
𝑤
∞
(𝑋) = 𝑙
∞
(𝑋).
Demonstra¸c˜ao. Basta observar as seguintes igualdades:
∥(𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
∥
∞
= sup
𝑛
∥𝑥
𝑛
∥ = sup
𝑛
sup
𝜑∈𝐵
𝑋
∗
∣𝜑 (𝑥
𝑛
)∣
= sup
𝜑∈𝐵
𝑋
∗
sup
𝑛
∣𝜑 (𝑥
𝑛
)∣
= sup
𝜑∈𝐵
𝑋
∗
∥(𝜑 (𝑥
𝑛
))
∞
𝑛=1
∥
∞
= ∥(𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
∥
𝑤,∞
.
1.3 Operadores Absolutamente Somantes e a
contribui¸c˜ao de Grothendieck
Defini¸c˜ao 1.3.1 Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach e 𝑢 : 𝑋 → 𝑌 um operador linear
cont´ınuo. Dados 1 ≤ 𝑝, 𝑞 < ∞, dizemos que 𝑢 ´e absolutamente (𝑝, 𝑞)-somante (ou
(𝑝, 𝑞)-somante) se (𝑢(𝑥
𝑗
))
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑝
(𝑌 ) sempre que (𝑥
𝑗
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑤
𝑞
(𝑋).
Denotaremos por ℒ
𝑎𝑠(𝑝,𝑞)
(𝑋; 𝑌 ) o conjunto formado por todos os operadores (𝑝, 𝑞)-
somantes de 𝑋 em 𝑌 . Quando 𝑝 = 𝑞, escreveremos ℒ
𝑎𝑠,𝑝
(𝑋; 𝑌 ) no lugar de
ℒ
𝑎𝑠(𝑝,𝑞)
(𝑋; 𝑌 ). Neste caso, dizemos simplesmente que 𝑢 ´e absolutamente 𝑝-somante.
´
E poss´ıvel mostrar que os operadores 𝑢 : 𝑋 → 𝑌 absolutamente 1-somantes s˜ao
precisamente aqueles tais que (𝑢(𝑥
𝑗
))
∞
𝑗=1
´e absolutamente som´avel sempre que (𝑥
𝑗
)
∞
𝑗=1
´e incondicionalmente som´avel. Para maiores detalhes e exemplos, sugerimos [14].
O resultado a seguir oferece v´arias caracteriza¸c˜oes para operadores absolutamente
(𝑝, 𝑞)-somantes. Para detalhes da demonstra¸c˜ao, veja [14, 30]:
Proposi¸c˜ao 1.3.2 Seja 𝑢 ∈ ℒ(𝑋; 𝑌 ). S˜ao equivalentes:
(i) 𝑢 ´e (𝑝, 𝑞)-somante,
6
(ii) Existe 𝐿 > 0 tal que
𝑛
𝑘=1
∥𝑢(𝑥
𝑘
)∥
𝑝
1
𝑝
≤ 𝐿 sup
𝜑∈𝐵
𝑋
∗
𝑛
𝑘=1
∣𝜑(𝑥
𝑘
)∣
𝑞
1
𝑞
, (1.2)
para quaisquer 𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑛
em 𝑋 e 𝑛 natural,
(iii) Existe 𝐿 > 0 tal que
∞
𝑘=1
∥𝑢(𝑥
𝑘
)∥
𝑝
1
𝑝
≤ 𝐿 sup
𝜑∈𝐵
𝑋
∗
∞
𝑘=1
∣𝜑(𝑥
𝑘
)∣
𝑞
1
𝑞
, (1.3)
sempre que (𝑥
𝑘
)
∞
𝑘=1
∈ 𝑙
𝑤
𝑞
(𝑋).
Denotamos por 𝜋
𝑝,𝑞
(𝑢) o ´ınfimo dos 𝐿 para os quais as desigualdades acima s˜ao
v´alidas.
O pr´oximo resultado, devido a Grothendieck e Pietsch (mas em geral creditado
a Pietsch), ´e um dos pilares da teoria e oferece uma interessante caracteriza¸c˜ao de
operadores absolutamente somantes por interm´edio de medidas de probabilidade:
Teorema 1.3.3 (Teorema da Domina¸c˜ao de Pietsch (Linear)) Seja 1 ≤ 𝑝 <
∞. Um operador 𝑢 : 𝑋 → 𝑌 linear cont´ınuo ´e 𝑝-somante se, e somente se, existem
uma constante 𝐶 ≥ 0 e uma medida regular de probabilidade 𝜇 nos borelianos de 𝐵
𝑋
∗
,
com a topologia fraca estrela, tais que
∥𝑢(𝑥)∥ ≤ 𝐶
𝐵
𝑋
∗
∣𝜑(𝑥)∣
𝑝
𝑑𝜇(𝜑)
1
𝑝
para cada 𝑥 em 𝑋.
1.3.1 A Desigualdade e o Teorema de Grothendieck
Como mencionamos anteriormente, Grothendieck ´e o precursor da teoria de operadores
absolutamente somantes. Mais ainda, seu famoso Resum´e, publicado pela Revista da
Sociedade Matem´atica de S˜ao Paulo, cont´em, na linguagem de produtos tensoriais, as
no¸c˜oes essenciais da Teoria de Espa¸cos de Banach que seriam estudadas at´e os dias
de hoje. No que se refere `a teoria de operadores absolutamente somantes, dentre as
v´arias contribui¸c˜oes de Grothendieck, merecem destaque especial a Desigualdade de
Grothendieck e o Teorema de Grothendieck, que enunciamos abaixo:
Teorema 1.3.4 (Desigualdade de Grothendieck) Existe uma constante positiva
𝐾
𝐺
tal que, para todo espa¸co de Hilbert 𝐻, todo 𝑛 ∈ ℕ, toda matriz (𝑎
𝑖𝑗
)
𝑛×𝑛
e quaisquer
𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑛
, 𝑦
1
, ..., 𝑦
𝑛
na bola unit´aria de 𝐻, vale a seguinte desigualdade:
𝑖,𝑗
𝑎
𝑖𝑗
⟨𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑗
⟩
≤ 𝐾
𝐺
sup
𝑖,𝑗
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
𝑖
𝑡
𝑗
: ∣𝑠
𝑖
∣ ≤ 1, ∣𝑡
𝑗
∣ ≤ 1
. (1.4)
7
Observa¸c˜ao 1.3.5 𝐾
𝐺
´e chamada de constante de Grothendieck e denota a menor
constante que satisfaz a desigualdade acima. As constantes de Grothendieck para o
caso real e complexo s˜ao denotadas, respectivamente, por 𝐾
𝑅
𝐺
e 𝐾
𝐶
𝐺
. Os valores exatos
dessas constantes n˜ao s˜ao conhecidos, por´em, as seguintes estimativas s˜ao v´alidas (veja
[14])
1, 571 ≈
𝜋
2
≤ 𝐾
𝑅
𝐺
≤
𝜋
2 sinh
−1
1
≈ 1, 782
1, 338 ≤ 𝐾
𝐶
𝐺
≤ 1, 405,
Teorema 1.3.6 (Grothendieck) Todo operador linear cont´ınuo 𝑢 : 𝑙
1
−→ 𝑙
2
´e
absolutamente 1-somante.
1.4 Cotipo e operadores absolutamente somantes
O conceito de cotipo de um espa¸co de Banach ´e fruto natural de trabalhos de J.
Hoffmann-Jorgensen, Stanislaw Kwapie´n, Bernard Maurey e Gilles Pisier, publicados
na d´ecada de 70, e tem forte rela¸c˜ao com a teoria de probabilidade em espa¸cos de
Banach.
Definimos as fun¸c˜oes de Rademacher
𝑟
𝑛
: [0, 1] −→ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ
por
𝑟
𝑛
(𝑡) := 𝑠𝑖𝑔𝑛 (sin 2
𝑛
𝜋𝑡) .
Dividindo o intervalo [0, 1] em 2
𝑛
sub-intervalos 𝐼
𝑘
=
𝑘−1
2
𝑛
,
𝑘
2
𝑛
, com 𝑘 = 1, . . . , 2
𝑛
,
temos que [0, 1] ser´a formado pela uni˜ao de todos os 𝐼
𝑘
e os seus extremos. Assim, as
fun¸c˜oes de Rademacher assumem, alternadamente, os valores 1 e −1 `a medida que 𝑡
percorre o intervalo [0, 1] e na fronteira dos intervalos 𝐼
𝑘
assumem o valor zero.
Um fato importante das fun¸c˜oes de Rademacher ´e que elas possuem a propriedade
de ortogonalidade, ou seja,
1
0
𝑟
𝑗
(𝑡) 𝑟
𝑘
(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛿
𝑗𝑘
=
1, se 𝑗 = 𝑘
0, se 𝑗 ∕= 𝑘
.
Defini¸c˜ao 1.4.1 Um espa¸co de Banach 𝑋 possui cotipo finito 𝑞 ≥ 2 se existir uma
constante 𝜅 ≥ 0, tal que, para qualquer escolha finita 𝑥
1
, . . . , 𝑥
𝑛
de elementos de 𝑋,
vale a desigualdade
𝑛
𝑖=1
∥𝑥
𝑖
∥
𝑞
1
𝑞
≤ 𝜅
1
0
𝑛
𝑖=1
𝑟
𝑖
(𝑡)𝑥
𝑖
2
𝑑𝑡
1
2
. (1.5)
Quando 𝑞 = ∞ substitu´ımos o primeiro membro da desigualdade acima por
max
𝑗≤𝑛
∥𝑥
𝑗
∥.
8
Denotamos por 𝐶
𝑞
(𝑋) o ´ınfimo das constantes 𝜅 que satisfazem (1.5).
Note que a integral
1
0
𝑛
𝑖=1
𝑟
𝑖
(𝑡)𝑥
𝑖
2
𝑑𝑡
se comporta como uma m´edia de todas as somas dos vetores 𝑥
1
± 𝑥
2
± ⋅ ⋅ ⋅ ± 𝑥
𝑛
com
todas as 2
𝑛
varia¸c˜oes de sinais poss´ıveis.
Tamb´em ´e f´acil ver, usando um argumento canˆonico, que a constante 𝐶
𝑞
(𝑋) ´e
assumida na desigualdade acima. De fato, suponhamos que n˜ao fosse assumida; ent˜ao
existiriam 𝑛
0
∈ ℕ e 𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑛
0
em 𝑋 tais que
𝑛
0
𝑖=1
∥𝑥
𝑖
∥
𝑞
1
𝑞
> 𝐶
𝑞
(𝑋)
1
0
𝑛
0
𝑖=1
𝑟
𝑖
(𝑡)𝑥
𝑖
2
𝑑𝑡
1
2
.
Assim, para algum 𝜀 > 0 suficientemente pequeno, ter´ıamos
𝑛
0
𝑖=1
∥𝑥
𝑖
∥
𝑞
1
𝑞
> (𝐶
𝑞
(𝑋) + 𝜀)
1
0
𝑛
0
𝑖=1
𝑟
𝑖
(𝑡)𝑥
𝑖
2
𝑑𝑡
1
2
e isso contradiz o fato de ser 𝐶
𝑞
(𝑋) o ´ınfimo das constantes 𝜅 que satisfazem (1.5).
Esse mesmo tipo de argumento mostra que o ´ınfimo das constantes 𝐿 que satisfazem
(1.2) ou (1.3) tamb´em ´e assumido.
Definimos por cot 𝑋 o ´ınfimo dos cotipos assumidos por 𝑋, isto ´e,
cot 𝑋 = inf{2 ≤ 𝑝 ≤ ∞: 𝑋 tem cotipo 𝑝}.
Exemplo 1.4.2 Se 1 ≤ 𝑝 ≤ 2, os espa¸cos 𝑙
𝑝
tˆem cotipo 2; se 𝑝 ≥ 2, os espa¸cos 𝑙
𝑝
tˆem
cotipo 𝑝. Resultados similares valem para espa¸cos do tipo 𝐿
𝑝
(veja [14]).
Exemplo 1.4.3 Todo espa¸co de Banach 𝑋 tem, pelo menos, cotipo infinito (veja [14]).
Exemplo 1.4.4 𝑙
∞
, 𝑐
0
e 𝐶[0, 1] n˜ao possuem cotipo finito (veja [14]).
´
E interessante informar que h´a espa¸cos de Banach que possuem cotipo 𝑞 + 𝜀 para
todo 𝜀 > 0, embora n˜ao possuam o cotipo 𝑞.
1.4.1 Resultados cl´assicos
A rela¸c˜ao entre cotipo e operadores lineares absolutamente somantes ´e muito forte e
pode ser constatada nos trabalhos cl´assicos de Maurey-Pisier [22] e Talagrand [31].
Essa rela¸c˜ao, mesmo no caso linear, ainda vem sendo estudada e, cada vez mais, o
papel fundamental do cotipo na teoria de operadores absolutamente somantes vem
sendo elucidado (citamos, por exemplo, [6, 9]).
A seguir, listamos alguns resultados cl´assicos (para referˆencias, sugerimos o excelente
livro [14]:
9
Teorema 1.4.5 (Dvoretzky - Rogers) Seja 𝑋 um espa¸co de Banach. Se 1 ≤ 𝑝 ≤
𝑞 < ∞ e
1
𝑝
−
1
𝑞
<
1
2
ent˜ao 𝑖𝑑
𝑋
n˜ao ´e (𝑞; 𝑝)-somante.
N˜ao ´e dif´ıcil mostrar que se 𝑋 tem cotipo finito 𝑞, ent˜ao a identidade 𝑖𝑑
𝑋
´e
absolutamente (𝑞, 1)-somante. A rec´ıproca ´e bem mais delicada, e ´e devida a M.
Talagrand:
Teorema 1.4.6 (Talagrand) Seja 𝑋 um espa¸co de Banach. Se 𝑞 > 2 e 𝑖𝑑
𝑋
´e (𝑞, 1)-
somante ent˜ao 𝑋 tem cotipo 𝑞.
Teorema 1.4.7 (Dubinsky - Pe̷lczy´nski - Rosenthal - Maurey) Sejam 𝑌 um
espa¸co de Banach com cotipo 𝑞, com 2 ≤ 𝑞 < ∞, e 𝐾 um espa¸co de Hausforff compacto.
(a) Se 𝑞 = 2, ent˜ao
ℒ(𝐶 (𝐾) ; 𝑌 ) = ℒ
𝑎𝑠,2
(𝐶 (𝐾) ; 𝑌 )
(b) Se 2 < 𝑞 < ∞, ent˜ao
ℒ(𝐶 (𝐾) ; 𝑌 ) = ℒ
𝑎𝑠(𝑝,𝑞)
(𝐶 (𝐾) ; 𝑌 ) = ℒ
𝑎𝑠,𝑟
(𝐶 (𝐾) ; 𝑌 )
para quaisquer 𝑝 < 𝑞 e 𝑞 < 𝑟 < ∞.
Tamb´em chamamos de resultados de coincidˆencia `aqueles que oferecem igualdades
do tipo
ℒ
𝑎𝑠,𝑝
(𝑋; 𝑌 ) = ℒ
𝑎𝑠,𝑞
(𝑋; 𝑌 )
para certos 𝑝, 𝑞, 𝑋 e 𝑌 .
Teorema 1.4.8 (Maurey) Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach. As seguintes afirma¸c˜oes
s˜ao v´alidas:
(a) Se 𝑋 tem cotipo 2, ent˜ao
ℒ
𝑎𝑠,2
(𝑋; 𝑌 ) = ℒ
𝑎𝑠,1
(𝑋; 𝑌 ) .
(b) Se 𝑋 tem cotipo 2 < 𝑞 < ∞, ent˜ao
ℒ
𝑎𝑠,𝑟
(𝑋; 𝑌 ) = ℒ
𝑎𝑠,1
(𝑋; 𝑌 )
para todo 1 < 𝑟 < 𝑞
∗
.
(c) Se 𝑋 e 𝑌 tˆem cotipo 2, ent˜ao
ℒ
𝑎𝑠,𝑟
(𝑋; 𝑌 ) = ℒ
𝑎𝑠,1
(𝑋; 𝑌 )
para todo 1 < 𝑟 < ∞.
10
1.4.2 Resultados recentes
Recentemente, a seguinte caracteriza¸c˜ao de resultados de coincidˆencia, para o caso em
que 𝑌 n˜ao tem cotipo finito, foi obtida por G. Botelho e D. Pellegrino [6]:
Teorema 1.4.9 Sejam 𝑌 um espa¸co de Banach sem cotipo finito e 𝑋 um espa¸co de
Banach de dimens˜ao infinita. Ent˜ao
(a) Π
𝑞,𝑝
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 ) se
1 ≤ 𝑞 < cot 𝑋 ou 𝑝 ≥ (cot 𝑋)
∗
ou
1 < 𝑝 < (cot 𝑋)
∗
e 𝑞 <
1
𝑝
−
1
(cot 𝑋)
∗
−1
.
(b) Π
𝑞,𝑝
(𝑋; 𝑌 ) = ℒ(𝑋; 𝑌 ) se
𝑝 = 1 e 𝑞 > cot 𝑋
ou
1 < 𝑝 < (cot 𝑋)
∗
e 𝑞 >
1
𝑝
−
1
(cot 𝑋)
∗
−1
.
Para espa¸cos 𝑋 que assumem o cotipo cot 𝑋, ainda em [6], h´a uma solu¸c˜ao mais
completa, pois abrange todas as poss´ıveis escolhas de 𝑝 e 𝑞, fornecendo um resultado
do tipo “se, e somente se”:
Teorema 1.4.10 Sejam 𝑌 um espa¸co de Banach sem cotipo finito e 𝑋 um espa¸co de
Banach de dimens˜ao infinita que assume o cotipo cot 𝑋. Ent˜ao
ℒ
𝑎𝑠(𝑞,𝑝)
(𝑋; 𝑌 ) = ℒ(𝑋; 𝑌 )
se, e somente se,
𝑝 = 1 e 𝑞 ≥ cot 𝑋
ou
1 < 𝑝 < (cot 𝑋)
∗
e 𝑞 ≥
1
𝑝
−
1
(cot 𝑋)
∗
−1
.
Os pr´oximos teoremas aparecem em [9]:
Teorema 1.4.11 Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita com cot 𝑌 >
max{2, 𝑟}. Ent˜ao existe um operador linear compacto de 𝑋 em 𝑌 que n˜ao ´e 𝑟-somante.
Teorema 1.4.12 Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita. Sejam
2 ≤ 𝑟 < cot 𝑌 e 𝑞 ≥ 𝑟 tais que
ℒ
𝑎𝑠(𝑞,𝑟)
(𝑋; 𝑌 ) = ℒ (𝑋; 𝑌 ) .
Ent˜ao
ℒ (𝑙
1
, 𝑙
cot 𝑌
) = ℒ
𝑎𝑠(𝑞,𝑟)
(𝑙
1
, 𝑙
cot 𝑌
) .
11
1.5 O Teorema de Lindenstrauss-Pe̷lczy´nski
Relembremos a defini¸c˜ao de base de Schauder de um espa¸co de Banach:
Defini¸c˜ao 1.5.1 Seja 𝑋 um espa¸co de Banach. Uma seq¨uˆencia (𝑥
𝑗
)
∞
𝑗=1
´e uma base de
Schauder de 𝑋 se cada 𝑥 ∈ 𝑋 puder ser representado de maneira ´unica como
𝑥 =
∞
𝑗=1
𝑎
𝑗
𝑥
𝑗
, 𝑎
𝑗
∈ 𝕂. (1.6)
Uma base de Schauder ´e dita incondicional se a convergˆencia em (1.6) for
incondicional para todo 𝑥 ∈ 𝑋.
O pr´oximo teorema, devido a Lindenstrauss e Pe̷lczy´nski (veja [19]), mostra que
resultados de coincidˆencia para o espa¸co dos operadores absolutamente 1-somantes s˜ao
bastante raros, destacando como o Teorema de Grothendieck ´e especial:
Teorema 1.5.2 (Lindenstrauss-Pe̷lczy´nski) Se 𝑋 tem base de Schauder
incondicional, dim 𝑋 = dim 𝑌 = ∞ e
ℒ
𝑎𝑠,1
(𝑋; 𝑌 ) = ℒ (𝑋; 𝑌 ) ,
ent˜ao 𝑋 ´e isomorfo a 𝑙
1
e 𝑌 ´e isomorfo a um espa¸co de Hilbert.
A ideia da demonstra¸c˜ao do Teorema de Lindenstrauss e Pe̷lczy´nski ´e muito rica e
possibilitou muitos resultados novos cujas demonstra¸c˜oes seguem o seu esp´ırito; para
tanto, a defini¸c˜ao do seguinte parˆametro ser´a bastante ´util.
Seja 𝑋 um espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita com uma base de Schauder
incondicional normalizada (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
. Definimos
𝜇
𝑋,(𝑥
𝑛
)
= inf
𝑡; (𝑎
𝑗
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑡
sempre que 𝑥 =
∞
𝑗=1
𝑎
𝑗
𝑥
𝑗
∈ 𝑋
.
Quando 𝑋 = 𝑐
0
, 𝑙
1
ou 𝑙
2
, n˜ao h´a perigo de ambiguidades ao escrever simplesmente
𝜇
𝑋
, pois toda base incondicional ´e equivalente `a base canˆonica ([20, Prop. 2.b.9] e [17,
Exerc´ıcio 6.33]). Para 𝑋 = 𝑙
𝑝
, 1 < 𝑝 < ∞, 𝑝 ∕= 2, quando escrevermos 𝜇
𝑋
estaremos
considerando a base canˆonica.
O pr´oximo resultado, cuja demonstra¸c˜ao ´e inspirada nas ideias de Lindenstrauss
e Pe̷lczy´nski, ´e um caso particular de resultados obtidos por D. Pellegrino em [27] e
ilustra uma dire¸c˜ao de investiga¸c˜ao que ser´a melhor detalhada adiante, no contexto n˜ao
linear.
12
Teorema 1.5.3 Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita e suponha que
𝑋 tenha uma base de Schauder incondicional e normalizada (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
. Se cot 𝑌 < ∞ e
ℒ
𝑎𝑠(𝑞,1)
(𝑋; 𝑌 ) = ℒ (𝑋; 𝑌 ) ,
ent˜ao
(a) 𝜇
𝑋,(𝑥
𝑛
)
≤
𝑞 cot 𝑌
cot 𝑌 −𝑞
se 𝑞 < cot 𝑌
(b)
𝑋,(𝑥
𝑛
)
≤ 𝑞 se 𝑞 ≤
cot 𝑌
2
.
13
Cap´ıtulo 2
Polinˆomios Absolutamente
Somantes
No presente cap´ıtulo apresentamos o conceito de aplica¸c˜oes multilineares, polinˆomios
homogˆeneos cont´ınuos entre espa¸cos de Banach. Em seguida exploramos o conceito de
polinˆomios absolutamente somantes e dominados e resultados que ser˜ao essenciais para
o desenvolvimento do nosso objeto principal de estudo, que ser´a a demostra¸c˜ao de uma
conjectura a respeito de resultados de coincidˆencia para polinˆomios dominados.
2.1 Aplica¸c˜oes Multilineares e Polinˆomios
Homogˆeneos
Defini¸c˜ao 2.1.1 Sejam 𝑚 ∈ ℕ, 𝑋
1
, 𝑋
2
, ..., 𝑋
𝑚
e 𝑌 espa¸cos vetoriais sobre 𝕂. Uma
aplica¸c˜ao 𝐴 : 𝑋
1
× ... × 𝑋
𝑚
→ 𝑌 ´e 𝑚-linear (multilinear) se 𝐴 for linear em cada
vari´avel. Mais precisamente, 𝐴 ´e 𝑚-linear se, para todos 𝑥
1
∈ 𝑋
1
, ..., 𝑥
𝑚
∈ 𝑋
𝑚
e
𝑖 = 1, ..., 𝑚, os operadores
𝐴(𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑖−1
, ⋅, 𝑥
𝑖+1
..., 𝑥
𝑚
): 𝑋
𝑖
→ 𝑌
𝐴(𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑖−1
, ⋅, 𝑥
𝑖+1
, ..., 𝑥
𝑚
)(𝑦) = 𝐴(𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑖+1
, 𝑦, 𝑥
𝑖+1
, ..., 𝑥
𝑚
)
forem lineares.
Para cada 𝑚 ∈ ℕ, denotamos o conjunto de todas as aplica¸c˜oes 𝑚-lineares de
𝑋
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑋
𝑚
em 𝑌 por 𝐿(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑚
; 𝑌 ) e o conjunto de todas as aplica¸c˜oes 𝑚-
lineares cont´ınuas de 𝑋
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑋
𝑚
em 𝑌 ´e denotado por ℒ(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑚
; 𝑌 ). Uma
aplica¸c˜ao 𝑚-linear ´e dita sim´etrica se
𝐴(𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑚
) = 𝐴(𝑥
𝜎(1)
, ..., 𝑥
𝜎(𝑚)
)
para toda bije¸c˜ao 𝜎 : {1, ..., 𝑚} → {1, ..., 𝑚}.
Assim como no caso de operadores lineares, as aplica¸c˜oes multilineares cont´ınuas
podem ser caracterizadas atrav´es de desigualdades. O resultado a seguir apresenta tal
caracteriza¸c˜ao:
14
Proposi¸c˜ao 2.1.2 Sejam 𝑚 ∈ ℕ, 𝑋
1
, 𝑋
2
, ..., 𝑋
𝑚
e 𝑌 espa¸cos vetoriais normados sobre
𝕂 e 𝐴 : 𝑋
1
× ... × 𝑋
𝑚
→ 𝑌 uma aplica¸c˜ao multilinear. S˜ao equivalentes:
(i) 𝐴 ´e cont´ınua;
(ii) 𝐴 ´e cont´ınua na origem;
(iii) Existe uma constante 𝑀 > 0 tal que
∥𝐴(𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑚
)∥ ≤ 𝑀 ∥𝑥
1
∥ ⋅ ⋅ ⋅ ∥𝑥
𝑚
∥
para quaisquer (𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑚
) ∈ 𝑋
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑋
𝑚
.
Para detalhes da demonstra¸c˜ao, sugerimos [4].
Defini¸c˜ao 2.1.3 Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos vetoriais sobre 𝕂 . Uma aplica¸c˜ao 𝑃 : 𝑋 → 𝑌
´e um polinˆomio 𝑚-homogˆeneo se existe 𝐴 ∈ 𝐿(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) tal que
𝑃 (𝑥) = 𝐴(𝑥, ..., 𝑥),
para todo 𝑥 ∈ 𝑋. O espa¸co dos polinˆomios 𝑚-homogˆeneos de 𝑋 em 𝑌 ´e denotado por
𝑃 (
𝑚
𝑋; 𝑌 ). Pode-se mostrar que sempre existe uma ´unica aplica¸c˜ao 𝑚-linear sim´etrica
𝐴
𝑠
tal que 𝑃 (𝑥) = 𝐴
𝑠
(𝑥, ..., 𝑥). Nesse caso, dizemos que 𝑃 ´e o polinˆomio 𝑚-homogˆeneo
associado a 𝐴
𝑠
e, em geral, 𝐴
𝑠
´e representada por
ˇ
𝑃 .
Denotaremos por 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) (ou 𝒫(
𝑚
𝑋), se 𝑌 = 𝕂) o espa¸co de Banach formado
por todos os polinˆomios 𝑚-homogˆeneos cont´ınuos de 𝑋 em 𝑌 com a norma
∣∣𝑃 ∣∣ := sup
∥𝑥∥=1
∣∣𝑃 (𝑥)∣∣.
O resultado a seguir fornece uma caracteriza¸c˜ao dos polinˆomios homogˆeneos
cont´ınuos (veja [4]):
Proposi¸c˜ao 2.1.4 Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach sobre 𝕂, 𝑚 ∈ ℕ, 𝑃 ∈ 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 )
e
ˇ
𝑃 ∈ ℒ(
𝑚
𝑋; 𝑌 ). As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(i)
ˇ
𝑃 ∈ ℒ(
𝑚
𝑋; 𝑌 );
(ii) 𝑃 ∈ 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 );
(iii) 𝑃 ´e cont´ınuo na origem;
(iv) Existe uma constante 𝑀 > 0, tal que
∥𝑃 (𝑥)∥ ≤ 𝑀 ∥𝑥∥
𝑚
para qualquer 𝑥 ∈ 𝑋;
O pr´oximo resultado ´e bastante ´util, pois mostra como se pode calcular
ˇ
𝑃 (𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑚
)
a partir de 𝑃 avaliado em certos vetores. Ele ser´a utilizado, por exemplo, na
demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.2.5:
15
Teorema 2.1.5 (F´ormula de Polariza¸c˜ao) Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach sobre
𝕂. Se 𝑃 ∈ 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ), ent˜ao
ˇ
𝑃 ∈ ℒ(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) e
ˇ
𝑃 (𝑥
1
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑥
𝑚
) =
1
𝑚!2
𝑚
𝜀
𝑘
=±1
𝑘=1,⋅⋅⋅ ,𝑚
𝜀
1
⋅ ⋅ ⋅ 𝜀
𝑚
𝑃 (𝑥
0
+ 𝜀
1
𝑥
1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝜀
𝑚
𝑥
𝑚
) ,
para quaisquer 𝑥
0
, 𝑥
1
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑥
𝑚
∈ 𝑋.
Observa¸c˜ao 2.1.6
´
E interessante perceber que na F´ormula de Polariza¸c˜ao, o termo
𝑥
0
aparece apenas no lado direito da desigualdade e, al´em disso, ´e completamente
arbitr´ario.
Para detalhes da teoria de polinˆomios e aplica¸c˜oes multilineares entre espa¸cos de
Banach, mencionamos [15, 24].
2.2 Polinˆomios Absolutamente Somantes e
Polinˆomios Dominados
2.2.1 Polinˆomios Absolutamente Somantes
Defini¸c˜ao 2.2.1 Sejam 0 < 𝑝, 𝑞 < ∞. Um polinˆomio 𝑚-homogˆeneo 𝑃 : 𝑋 → 𝑌
´e absolutamente (𝑝, 𝑞)-somante (ou (𝑝, 𝑞)-somante) se (𝑃 (𝑥
𝑗
))
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑝
(𝑌 ) para toda
(𝑥
𝑗
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑤
𝑞
(𝑋).
O espa¸co de todos os polinˆomios 𝑚-homogˆeneos absolutamente (𝑝, 𝑞)-somantes de 𝑋
em 𝑌 ´e denotado por 𝒫
𝑎𝑠(𝑝,𝑞)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) (ou 𝒫
𝑎𝑠(𝑝,𝑞)
(
𝑚
𝑋) se 𝑌 = 𝕂). Quando 𝑚 = 1 temos
o conceito original de operadores absolutamente somantes e nesse caso 𝒫
𝑎𝑠(𝑝;𝑞)
(
1
𝑋; 𝑌 )
´e representado por ℒ
𝑎𝑠(𝑝;𝑞)
(𝑋; 𝑌 ).
Observa¸c˜ao 2.2.2
´
E poss´ıvel provar que se 𝑝 <
𝑞
𝑚
, ent˜ao 𝒫
𝑎𝑠(𝑝;𝑞)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = {0}.
Assim, a teoria s´o ´e interessante se 𝑞 ≤ 𝑝𝑚. De agora em diante, sempre estar´a
impl´ıcito que 𝑞 ≤ 𝑚𝑝.
O seguinte resultado, que pode ser encontrado em [21], caracteriza por desigualdades
os polinˆomios absolutamente somantes:
Proposi¸c˜ao 2.2.3 Seja 𝑃 ∈ 𝒫
𝑎𝑠(𝑝,𝑞)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) com 0 < 𝑝, 𝑞 < ∞. S˜ao equivalentes:
(i) 𝑃 ´e (𝑝, 𝑞)-somante;
(ii) Existe 𝐿 > 0 tal que
𝑛
𝑘=1
∥𝑃 (𝑥
𝑘
)∥
𝑝
1
𝑝
≤ 𝐿 sup
𝜑∈𝐵
𝑋
∗
𝑛
𝑘=1
∣𝜑(𝑥
𝑘
)∣
𝑞
𝑚
𝑞
, (2.1)
para quaisquer 𝑥
1
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑥
𝑛
em 𝑋 e 𝑛 natural;
16
(iii) Existe 𝐿 > 0 tal que
∞
𝑘=1
∥𝑃 (𝑥
𝑘
)∥
𝑝
1
𝑝
≤ 𝐿 sup
𝜑∈𝐵
𝑋
∗
∞
𝑘=1
∣𝜑(𝑥
𝑘
)∣
𝑞
𝑚
𝑞
, (2.2)
sempre que (𝑥
𝑘
)
∞
𝑘=1
∈ 𝑙
𝑤
𝑞
(𝑋).
O ´ınfimo das constantes 𝐿 tais que (2.1) (ou, equivalentemente (2.2)) vale ´e denotado
por ∥𝑃 ∥
𝑎𝑠(𝑝,𝑞)
. Se 𝑝 < 1, ∥.∥
𝑎𝑠(𝑝,𝑞)
´e uma 𝑝-norma e, se 𝑝 ≥ 1, ∥.∥
𝑎𝑠(𝑝,𝑞)
´e uma norma
em 𝒫
𝑎𝑠(𝑝,𝑞)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ). Em qualquer dos casos, temos espa¸cos topol´ogicos metriz´aveis e
completos (veja [21]).
H´a v´arias poss´ıveis generaliza¸c˜oes do conceito de operadores absolutamente
somantes para aplica¸c˜oes multilineares. A seguir, apresentamos um dos primeiros
conceitos n˜ao lineares explorados na literatura (veja [2]).
Defini¸c˜ao 2.2.4 Sejam 0 < 𝑝, 𝑞
1
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑞
𝑛
≤ ∞. Uma aplica¸c˜ao multilinear cont´ınua 𝑇 :
𝑋
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑋
𝑛
→ 𝑌 ´e absolutamente (𝑝; 𝑞
1
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑞
𝑛
)-somante se (𝑇 (𝑥
(1)
𝑗
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑥
(𝑛)
𝑗
))
∞
𝑗=1
∈
𝑙
𝑝
(𝑌 ) sempre que (𝑥
(𝑠)
𝑗
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑤
𝑞
𝑠
(𝑋
𝑠
), 𝑠 = 1, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑛.
Como veremos, a F´ormula de Polariza¸c˜ao nos permite provar que 𝑃 ´e absolutamente
(𝑝; 𝑞)-somante se, e somante se, sua multilinear sim´etrica associada ´e absolutamente
(𝑝; 𝑞, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑞)-somante.
Proposi¸c˜ao 2.2.5 Um polinˆomio 𝑚-homogˆeneo 𝑃 : 𝑋 → 𝑌 ´e absolutamente (𝑝; 𝑞)-
somante se, e somente se,
ˇ
𝑃 : 𝑋 × ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑋 → 𝑌 ´e absolutamente (𝑝; 𝑞, ..., 𝑞)-somante.
Demonstra¸c˜ao. (⇒) Suponha que 𝑃 seja absolutamente (𝑝; 𝑞)-somante. Sejam
(𝑥
(1)
𝑗
)
∞
𝑗=1
, ⋅ ⋅ ⋅ , (𝑥
(𝑚)
𝑗
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑤
𝑞
(𝑋). Pela F´ormula de Polariza¸c˜ao segue que
(
ˇ
𝑃 (𝑥
(1)
𝑗
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑥
(𝑚)
𝑗
))
∞
𝑗=1
=
1
𝑚!2
𝑚
𝜀
𝑘
=±1
𝑘=1,⋅⋅⋅ ,𝑚
𝜀
1
⋅ ⋅ ⋅ 𝜀
𝑚
𝑃 (𝜀
1
𝑥
(1)
𝑗
+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝜀
𝑚
𝑥
(𝑚)
𝑗
)
∞
𝑗=1
=
1
𝑚!2
𝑚
𝜀
𝑘
=±1
𝑘=1,⋅⋅⋅ ,𝑚
𝜀
1
⋅ ⋅ ⋅ 𝜀
𝑚
𝑃 (𝜀
1
𝑥
(1)
𝑗
+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝜀
𝑚
𝑥
(𝑚)
𝑗
)
∞
𝑗=1
.
Note que cada
(𝜀
1
𝑥
(1)
𝑗
+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝜀
𝑚
𝑥
(𝑚)
𝑗
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑤
𝑞
(𝑋).
Assim, como 𝑃 ´e (𝑝; 𝑞)-somante, segue que cada
𝑃 (𝜀
1
𝑥
(1)
𝑗
+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝜀
𝑚
𝑥
(𝑚)
𝑗
)
∞
𝑗=1
17
pertence a 𝑙
𝑝
(𝑌 ). Como
1
𝑚!2
𝑚
𝜀
𝑘
=±1
𝑘=1,⋅⋅⋅ ,𝑚
𝜀
1
⋅ ⋅ ⋅ 𝜀
𝑚
´e uma soma finita, segue que
(
ˇ
𝑃 (𝑥
(1)
𝑗
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑥
(𝑚)
𝑗
))
∞
𝑗=1
=
1
𝑚!2
𝑚
𝜀
𝑘
=±1
𝑘=1,⋅⋅⋅ ,𝑚
𝜀
1
⋅ ⋅ ⋅ 𝜀
𝑚
𝑃 (𝜀
1
𝑥
(1)
𝑗
+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝜀
𝑚
𝑥
(𝑚)
𝑗
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑝
(𝑌 ).
Portanto,
ˇ
𝑃 ´e absolutamente (𝑝; 𝑞, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑞)-somante.
(⇐) Considere (𝑥
𝑗
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑤
𝑞
(𝑋). Como
ˇ
𝑃 ´e (𝑝; 𝑞, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑞)-somante, temos que
∞
𝑗=1
∥𝑃 (𝑥
𝑗
)∥
𝑝
1
𝑝
=
∞
𝑗=1
ˇ
𝑃 (𝑥
𝑗
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑥
𝑗
)
𝑝
1
𝑝
< ∞
Logo, 𝑃 ´e absolutamente (𝑝; 𝑞)-somante.
2.2.2 Polinˆomios Dominados
A teoria de polinˆomios absolutamente (𝑝; 𝑞)-somantes apresenta, em geral, pouca
rela¸c˜ao com a teoria linear. Por exemplo, em geral, n˜ao h´a um Teorema de Inclus˜ao
e teoremas de coincidˆencia s˜ao muito comuns, ao contr´ario do que acontece na teoria
linear. Por exemplo, ´e f´acil provar que
ℒ(
𝑚
𝑙
𝑝
; 𝑌 ) = ℒ
𝑎𝑠(1;1)
(
𝑚
𝑙
𝑝
; 𝑌 )
para todo 𝑚 ≥ 2, 1 ≤ 𝑝 ≤ 2 e todo espa¸co de Banach 𝑌 , e isso contrasta fortemente
com o Teorema de Grothendieck e o Teorema de Lindesntrauss-Pe̷lczy´nski da teoria
linear.
Al´em disso, n˜ao h´a um Teorema de Domina¸c˜ao de Pietsch e, em contextos mais
espec´ıficos da teoria de ideais, o ideal dos polinˆomios absolutamente somantes, apresenta
propriedades indesej´aveis. Por exemplo, o multi-ideal das aplica¸c˜oes multilineares
absolutamente 𝑝-somantes, em geral, n˜ao ´e um tipo de holomorfia.
Entretanto, o caso particular de polinˆomios 𝑚-homogˆeneos absolutamente (
𝑟
𝑚
; 𝑟)-
somantes (chamados de 𝑟-dominados) resgata muitas das propriedades da teoria linear
como, por exemplo, o Teorema da Domina¸c˜ao de Pietsch e o Teorema de Inclus˜ao. Por
essa raz˜ao, esse caso particular, tem sido estudado separadamente.
Defini¸c˜ao 2.2.6 Seja 𝑟 ≥ 1. Um polinˆomio 𝑚-homogˆeneo 𝑃 ∈ 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ´e dito ser 𝑟-
dominado se ele ´e (
𝑟
𝑚
; 𝑟)-somante. Nesse caso, escreveremos 𝒫
𝑑,𝑟
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) (ou 𝒫
𝑑,𝑟
(
𝑚
𝑋)
se 𝑌 = 𝕂) em vez 𝒫
𝑎𝑠(
𝑟
𝑚
;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ).
Teorema 2.2.7 (Teorema de Pietsch para Polinˆomios Dominados) Seja 1 ≤
𝑝 < ∞. Um polinˆomio 𝑚-homogˆeneo cont´ınuo 𝑃 : 𝑋 → 𝑌 ´e 𝑝-dominado se, e somente
se, existem uma constante 𝐶 ≥ 0 e uma medida regular de probabilidade 𝜇 nos borelianos
de 𝐵
𝑋
∗
, tais que
∥𝑃 (𝑥)∥ ≤ 𝐶
𝐵
𝑋
∗
∣𝜑(𝑥)∣
𝑝
𝑑𝜇(𝜑)
𝑚
𝑝
18
qualquer que seja 𝑥 ∈ 𝑋.
O pr´oximo teorema ´e consequˆencia imediata do Teorema de Pietsch acima. Basta
notar que se 𝑝 ≤ 𝑞, ent˜ao 𝐿
𝑞
(𝐵
𝑋
∗
, 𝜇) ⊂ 𝐿
𝑝
(𝐵
𝑋
∗
, 𝜇) e ∥.∥
𝑝
≤ ∥.∥
𝑞
.
Teorema 2.2.8 (Teorema de Inclus˜ao para Polinˆomios Dominados) Sejam
1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑞, 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach. Ent˜ao,
𝒫
𝑑,𝑝
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ⊂ 𝒫
𝑑,𝑞
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ).
Conforme veremos a seguir, a no¸c˜ao de polinˆomios 𝑟-dominados se estende ao caso
multilinear.
Defini¸c˜ao 2.2.9 Sejam 𝑋
1
, ...., 𝑋
𝑚
espa¸cos de Banach e 𝐴 : 𝑋
1
×⋅ ⋅ ⋅×𝑋
𝑚
→ 𝑌 ´e uma
aplica¸c˜ao 𝑚-linear cont´ınua. Dizemos que 𝐴 ´e 𝑟-dominada se (𝐴(𝑥
1
𝑗
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑥
𝑚
𝑗
))
∞
𝑗=1
∈
𝑙
𝑟
𝑚
(𝑌 ) sempre (𝑥
𝑘
𝑗
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑤
𝑟
(𝑋
𝑘
) para cada 𝑘 = 1, ..., 𝑚.
Para aplica¸c˜oes multilineares dominadas, tamb´em h´a uma vers˜ao do Teorema da
Domina¸c˜ao de Pietsch:
Teorema 2.2.10 (Teorema de Pietsch para Aplica¸c˜oes Dominadas) Seja 1 ≤
𝑝 < ∞. Uma aplica¸c˜ao 𝑇 ∈ ℒ(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑚
; 𝑌 ) ´e 𝑝-dominada se, e somente se, existem
uma constante 𝐶 ≥ 0 e medidas regulares de probabilidade 𝜇
𝑘
nos borelianos de 𝐵
𝑋
∗
𝑘
,
𝑘 = 1, ..., ,, tais que
∥𝑇 (𝑥
1,
..., 𝑥
𝑚
)∥ ≤ 𝐶
𝑚
𝑘=1
𝐵
𝑋
∗
𝑘
∣𝜑
𝑘
(𝑥
𝑘
)∣
𝑝
𝑑𝜇
𝑘
(𝜑
𝑘
)
1
𝑝
para quaisquer 𝑥
𝑘
em 𝑋
𝑘
com 𝑘 = 1, ..., 𝑛.
2.3 Uma conjectura
A teoria de polinˆomios homogˆeneos 𝑝-dominados entre espa¸cos de Banach tem uma
grande importˆancia na teoria n˜ao-linear de operadores absolutamente somantes. Ela
tem sido investigada por diversos autores (veja, por exemplo, [11, 12, 13, 18, 23]). Uma
conjectura dessa teoria, apresentada em [8] diz o seguinte:
Conjectura 2.3.1 N˜ao existe espa¸co de Banach 𝑋 de dimens˜ao infinita tal que para
cada 𝑚 ∈ ℕ e todo 𝑟 ≥ 1, todo polinˆomio 𝑚-homogˆeneo cont´ınuo 𝑃 : 𝑋 → 𝕂 seja
𝑟-dominado.
19
Sabe-se que essa conjectura ´e verdadeira para espa¸cos de Banach com base
incondicional (veja [8, Teorema 3.2]). Al´em disso, sabe-se que a vers˜ao multilinear
dessa conjectura ´e verdadeira, mesmo em um contexto mais forte (veja [18]). Pela
Proposi¸c˜ao 2.2.5, sabemos que um polinˆomio homogˆeneo ´e 𝑟-dominado se, e somente
se, sua aplica¸c˜ao multilinear sim´etrica associada tamb´em ´e 𝑟-dominada. No entanto,
as partes polinomiais e multilineares desse problema s˜ao relativamente independentes,
como mostra o exemplo seguinte de uma aplica¸c˜ao multilinear que n˜ao ´e 𝑝-dominada,
cuja aplica¸c˜ao sim´etrica associada ´e 𝑟-dominada:
Exemplo 2.3.2 Seja
𝑇 : 𝑙
2
× 𝑙
2
→ 𝕂
definida por
𝑇 (𝑥, 𝑦) =
∞
𝑗=1
𝑥
𝑗
𝑦
𝑗+1
−
∞
𝑗=1
𝑥
𝑗+1
𝑦
𝑗
.
Note que 𝑇 (𝑒
𝑗
, 𝑒
𝑗+1
) = 1 para todo 𝑗. Ent˜ao, 𝑇 n˜ao ´e 𝑟-dominada, qualquer que seja
𝑝 ≥ 1. Por outro lado, temos que a aplica¸c˜ao sim´etrica associada a 𝑇 ´e zero, pois,
𝑇 (𝑥, 𝑦) =
1
2
(𝑇 (𝑥, 𝑦) + 𝑇 (𝑦, 𝑥))
=
1
2
∞
𝑗=1
𝑥
𝑗
𝑦
𝑗+1
−
∞
𝑗=1
𝑥
𝑗+1
𝑦
𝑗
+
∞
𝑗=1
𝑦
𝑗
𝑥
𝑗+1
+
∞
𝑗=1
𝑦
𝑗+1
𝑥
𝑗
= 0.
Assim, mesmo sabendo que a conjectura em sua vers˜ao multilinear ´e verdadeira, n˜ao ´e
claro que a conjectura original seja verdadeira.
No pr´oximo cap´ıtulo apresentaremos uma demonstra¸c˜ao da Conjectura 2.3.1
mencionada acima. Os argumentos s˜ao retirados de um material n˜ao publicado devido
a Botelho, Pellegrino e Rueda, cujas ideias est˜ao essencialmente em [9, 10].
20
Cap´ıtulo 3
Varia¸c˜oes n˜ao-lineares de um
argumento de Lindenstrauss e
Pe̷lczy´nski
Neste cap´ıtulo, destacaremos alguns resultados recentes de coincidˆencia e n˜ao-
coincidˆencia para polinˆomios absolutamente somantes e dominados, e por fim, daremos
uma prova para o caso de espa¸cos de Banach sobre o corpo dos reais, da conjectura
citada anteriormente.
Como mencionamos anteriormente, a demonstra¸c˜ao do Teorema 1.5.2, devido a
Lindenstrauss e Pe̷lczy´nski, tem inspirado v´arios resultados, tanto da teoria linear
quanto no contexto n˜ao-linear. Na teoria de polinˆomios absolutamente somantes,
a demonstra¸c˜ao do Teorema de Lindenstrauss-Pe̷lczy´nski, por exemplo, inspirou os
seguintes resultados:
Teorema 3.0.3 ([27]) Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita.
Suponhamos que 𝑋 possua uma base de Schauder incondicional normalizada (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
e
cot 𝑌 = ∞. Se
𝒫
𝑎𝑠(𝑞;1)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ),
ent˜ao
𝜇
𝑋,(𝑥
𝑛
)
≤ 𝑚𝑞.
Teorema 3.0.4 ([7]) Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita tais que
𝒫
𝑎𝑠(𝑞;1)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ).
Suponha que 𝑋 possui uma base incondicional normalizada (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
. Ent˜ao
𝜇
𝑋,(𝑥
𝑛
)
≤ 𝑚𝑞
se
(i) 𝑞 < 1 e dim 𝑌 < ∞;
(ii) 𝑞 < cot 𝑌 e dim 𝑌 = ∞.
21
3.1 Resultados recentes de coincidˆencia para
polinˆomios absolutamente somantes
Os resultados principais da presente est˜ao indicados, sem maiores detalhes, em [9].
Defini¸c˜ao 3.1.1 Seja 𝑌 um espa¸co de Banach. Dizemos que 𝑌 fatora finitamente (ff)
a inclus˜ao 𝑙
𝑝
→ 𝑙
∞
se existirem constantes 𝐶
1
, 𝐶
2
> 0 tais que, para cada 𝑛 natural,
existem 𝑦
1
, ..., 𝑦
𝑛
∈ 𝑌 tais que
𝐶
1
∣∣(𝑎
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
∣∣
∞
≤ ∣∣
𝑛
𝑗=1
𝑎
𝑗
𝑦
𝑗
∣∣ ≤ 𝐶
2
𝑛
𝑗=1
∣𝑎
𝑗
∣
𝑝
1
𝑝
, (3.1)
para quaisquer escalares 𝑎
1
, ..., 𝑎
𝑛
. Em outras palavras, existem 𝑟
𝑛
: 𝑙
𝑛
𝑝
→ [𝑦
1
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑦
𝑛
] e
𝑠
𝑛
: [𝑦
1
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑦
𝑛
] → 𝑙
𝑛
∞
dadas por
𝑟
𝑛
((𝑎
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
) =
𝑛
𝑗=1
𝑎
𝑗
𝑦
𝑗
e
𝑠
𝑛
(
𝑛
𝑗=1
𝑎
𝑗
𝑦
𝑗
) = (𝑎
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
,
cont´ınuas, para as quais o diagrama abaixo ´e comutativo e as constantes de continuidade
n˜ao dependem de 𝑛:
[𝑦
1
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑦
𝑛
]
𝑠
𝑛
??
𝑙
𝑛
𝑝
𝑟
𝑛
?
?
?
?
?
𝑖
//
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
𝑙
𝑛
∞
Teorema 3.1.2 Seja 𝑌 um espa¸co de Banach e 2 ≤ 𝑝 < ∞ . Suponha que 𝑌 fatora
finitamente a inclus˜ao 𝑙
𝑝
→ 𝑙
∞
. Se 𝑞 < 𝑝 e 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ent˜ao 𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚𝑝𝑞
𝑝−𝑞
, 𝑟
-somante.
Demonstra¸c˜ao. Como 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) e ∥.∥ ≤ ∣∣.∣∣
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
segue que
𝑖𝑑 : 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) → 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ´e um operador linear, limitado e bijetivo. Note
que o Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta ´e v´alido mesmo no caso em que ∣∣.∣∣
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
´e uma
𝑞-norma. Para detalhes, veja [29]. Assim, pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta, temos
que 𝑖𝑑
−1
´e limitado e da´ı existe 𝐾 > 0 tal que
∣∣𝑃 ∣∣
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
≤ 𝐾∣∣𝑃 ∣∣
para todo polinˆomio 𝑚-homogˆeneo cont´ınuo 𝑃 : 𝑋 → 𝑌 .
Sejam 𝑛 ∈ ℕ e 𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑛
∈ 𝑋. Pelo Teorema de Hahn-Banach, existem 𝜑
1
, ..., 𝜑
𝑛
∈
𝐵
𝑋
∗
tais que ∣∣𝜑
𝑗
∣∣ = 1 e 𝜑
𝑗
(𝑥
𝑗
) = ∣∣𝑥
𝑗
∣∣, para todo 𝑗 = 1, ..., 𝑛.
22
Sejam 𝜇
1
, ..., 𝜇
𝑛
escalares tais que
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
𝑠
= 1, com 𝑠 =
𝑝
𝑞
. Definamos 𝑃
𝑛
: 𝑋 → 𝑌
por
𝑃
𝑛
(𝑥) =
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
𝜑
𝑗
(𝑥)
𝑚
𝑦
𝑗
,
para todo 𝑥 ∈ 𝑋.
Note que 𝑃
𝑛
´e cont´ınuo e sua norma n˜ao depende de 𝑛, pois dado 𝑥 ∈ 𝑋,
∣∣𝑃
𝑛
(𝑥)∣∣ =
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
𝜑
𝑗
(𝑥)
𝑚
𝑦
𝑗
≤ 𝐶
2
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
𝜑
𝑗
(𝑥)
𝑚
𝑝
1
𝑝
≤ 𝐶
2
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
∣∣𝜑
𝑗
∣∣
𝑚
∣∣𝑥∣∣
𝑚
𝑝
1
𝑝
≤ 𝐶
2
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
∣∣𝑥∣∣
𝑚
𝑝
1
𝑝
= 𝐶
2
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
𝑝
𝑞
1
𝑝
∣∣𝑥∣∣
𝑚
= 𝐶
2
∣∣𝑥∣∣
𝑚
.
Assim,
∣∣𝑃 ∣∣
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
≤ 𝐾∣∣𝑃 ∣∣ = 𝐾 sup
∣∣𝑥∣∣=1
∣∣𝑃
𝑛
(𝑥)∣∣ ≤ 𝐾𝐶
2
:= 𝐾
1
.
Note que, para 𝑘 = 1, ..., 𝑛, temos
∥𝑃
𝑛
(𝑥
𝑘
)∥ =
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
𝜑(𝑥
𝑘
)
𝑚
𝑦
𝑗
≥ 𝐶
1
(∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
𝜑
𝑗
(𝑥
𝑘
)
𝑚
)
𝑛
𝑗=1
∞
= 𝐶
1
sup
𝑗=1,...,𝑛
∣∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
𝜑
𝑗
(𝑥
𝑘
)
𝑚
∣
= 𝐶
1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
𝜑
𝑘
(𝑥
𝑘
)
𝑚
= 𝐶
1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
∣∣𝑥
𝑘
∣∣
𝑚
.
23
Assim, obtemos as seguintes estimativas:
𝑛
𝑗=1
∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚𝑞
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
=
𝑛
𝑗=1
(∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
)
𝑞
1
𝑞
≤ 𝐶
−1
1
𝑛
𝑗=1
∣∣𝑃 (𝑥
𝑗
)∣∣
𝑞
1
𝑞
≤ 𝐶
−1
1
∣∣𝑃 ∣∣
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(∣∣(𝑥
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
∣∣
𝑤,𝑟
)
𝑚
.
Note que a desigualdade acima ´e v´alida sempre que
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
𝑠
= 1. Como
1
𝑠
+
1
𝑠
𝑠−1
= 1
e 𝑙
𝑛
𝑠
=
𝑙
𝑛
𝑠
𝑠−1
∗
obtemos:
(∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚𝑞
)
𝑛
𝑗=1
𝑠
𝑠−1
=
𝑛
𝑗=1
(∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑠
𝑠−1
𝑚𝑞
)
1
𝑠
𝑠−1
= sup
𝜑∈𝐵
(
𝑙
𝑛
𝑠
𝑠−1
)
∗
𝜑(∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚𝑞
)
𝑛
𝑗=1
= sup
(𝜇
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
∈𝐵
𝑙
𝑛
𝑠
𝑛
𝑗=1
𝜇
𝑗
∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚𝑞
= sup
𝑛
𝑗=1
𝜇
𝑗
∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚𝑞
:
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
𝑠
= 1
≤ sup
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚𝑞
:
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
𝑠
= 1
≤ (𝐶
−1
1
∣∣𝑃 ∣∣
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
∣∣(𝑥
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
∣∣
𝑚
𝑤,𝑟
)
𝑞
≤ (𝐶
−1
1
𝐾
1
∣∣(𝑥
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
∣∣
𝑚
𝑤,𝑟
)
𝑞
.
Logo
𝑛
𝑗=1
(∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑠
𝑠−1
𝑚𝑞
)
1
(
𝑠
𝑠−1
)
𝑚𝑞
≤ (𝐶
−1
1
𝐾
1
)
1
𝑚
∣∣(𝑥
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
∣∣
𝑤,𝑟
.
Como
𝑠
𝑠−1
𝑚𝑞 =
𝑚𝑝𝑞
𝑝−𝑞
, 𝑛 e 𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑛
∈ 𝑋 s˜ao arbitr´arios, segue que 𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚𝑝𝑞
𝑝−𝑞
, 𝑟
-
somante.
A pr´oxima defini¸c˜ao mant´em a simbologia introduzida no trabalho cl´assico de
Maurey e Pisier [22]:
Defini¸c˜ao 3.1.3 Dado um espa¸co de Banach 𝑋, definimos:
𝑟
𝑋
:= sup{2 ≤ 𝑝 ≤ ∞ : 𝑋 fatora finitamente a inclus˜ao formal 𝑙
𝑝
→ 𝑙
∞
}
𝑠
𝑋
:= inf{2 ≤ 𝑝 ≤ ∞: 𝑖𝑑
𝑋
∈ ℒ
𝑎𝑠(𝑝,1)
(𝑋, 𝑋)}
24
com 𝑟
𝑋
,𝑠
𝑋
∈ [2, ∞].
O pr´oximo teorema, devido a Maurey e Pisier, mostra que os parˆametros 𝑟
𝑋
e 𝑠
𝑋
coincidem e, al´em disso, s˜ao iguais a cot 𝑋. Note que o Teorema de Talagrand (Teorema
1.4.6) traz informa¸c˜oes mais precisas que a igualdade cot 𝑋 = 𝑠
𝑋
.
Teorema 3.1.4 (Maurey-Pisier) Para todo espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita
X,
cot 𝑋 = 𝑟
𝑋
= 𝑠
𝑋
.
A partir do Teorema de Maurey-Pisier e do teorema 3.1.2, seguem imediatamente
alguns resultados:
Corol´ario 3.1.5 Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita e 𝑝, 𝑞 > 0 tais
que cot 𝑌 = 𝑝 > 𝑞. Se
𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ),
ent˜ao 𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚𝑝𝑞
𝑝−𝑞
; 𝑟
-somante.
Demonstra¸c˜ao. Temos 𝑝 > 𝑞 e 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ). Como cot 𝑌 = 𝑝 ent˜ao o
Teorema de Maurey-Pisier garante que 𝑟
𝑌
= 𝑝. Mas, por [14], sabemos que o supremo
´e atingido. Logo 𝑌 fatora finitamente a inclus˜ao formal 𝑙
𝑝
→ 𝑙
∞
. Assim, pelo Teorema
3.1.2, segue que 𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚𝑝𝑞
𝑝−𝑞
; 𝑟
-somante.
Corol´ario 3.1.6 Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita e 𝑝, 𝑞 > 0 tal
que cot 𝑌 = 𝑝 > 𝑞. Se
𝑚𝑝𝑞
𝑝 − 𝑞
> 2
e 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;1)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ), ent˜ao 𝑋 tem cotipo
𝑚𝑝𝑞
𝑝−𝑞
.
Demonstra¸c˜ao. Pelo Corol´ario 3.1.5 com 𝑟 = 1, temos que 𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚𝑝𝑞
𝑝−𝑞
, 1
-somante.
Por hip´otese,
𝑚𝑝𝑞
𝑝 − 𝑞
> 2.
Da´ı, pelo Teorema 1.4.6, conclu´ımos que 𝑋 tem cotipo
𝑚𝑝𝑞
𝑝−𝑞
.
Corol´ario 3.1.7 Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita. Se 𝑌 n˜ao tem
cotipo finito e
𝒫
𝑎𝑠(𝑞;1)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ),
ent˜ao cot 𝑋 ≤ 𝑚𝑞.
25
Demonstra¸c˜ao. Como cot 𝑌 = ∞, podemos usar 𝑝, na defini¸c˜ao anterior,
arbitrariamente grande. Do Teorema 3.1.2 temos que 𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚𝑝𝑞
𝑝−𝑞
, 1
-somante com
𝑞 < 𝑝 e 𝑝 arbitrariamente grande.
Note que
lim
𝑝→∞
𝑚𝑝𝑞
𝑝 − 𝑞
= 𝑚𝑞.
Logo, dado 𝜖 > 0, ∃ 𝑝
𝜖
tal que
𝑚𝑝
𝜖
𝑞
𝑝
𝜖
− 𝑞
< 𝑚𝑞 + 𝜖.
Como 𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚𝑝
𝜖
𝑞
𝑝
𝜖
−𝑞
, 1
-somante, segue que 𝑖𝑑
𝑋
´e (𝑚𝑞 + 𝜖, 1)-somante. Logo
𝑚𝑞 + 𝜖 ≥ 2
para todo 𝜖 > 0. Da´ı conclu´ımos que 𝑚𝑞 ≥ 2 e, pelo Teorema 3.1.4, obtemos
cot 𝑋 ≤ 𝑚𝑞.
Observa¸c˜ao 3.1.8 O Teorema 3.0.3 mostra que, sob as hip´oteses do Corol´ario 3.1.7,
e se 𝑋 tem base incondicional normalizada (𝑥
𝑛
)
∞
𝑛=1
, temos
𝜇
𝑋,(𝑥
𝑛
)
≤ 𝑚𝑞.
O Corol´ario 3.1.7 melhora o Teorema 3.0.3 em dois sentidos: primeiro, uma base
de Schauder n˜ao ´e usada no corol´ario e, segundo, se 𝑋 tem uma base de Schauder
incondicional, a conclus˜ao cot 𝑋 ≤ 𝑚𝑞 do Corol´ario 3.1.7 ´e mais forte que a conclus˜ao
𝜇
𝑋,(𝑥
𝑛
)
≤ 𝑚𝑞 do Teorema 3.0.3. De fato, se cot 𝑋 ≤ 𝑚𝑞 e 𝑋 tem base incondicional,
ent˜ao 𝑖𝑑
𝑋
´e (𝑚𝑞 + 𝜖, 1)-somante ∀𝜖 > 0. Da´ı, segue que 𝜇
𝑋,(𝑥
𝑛
)
≤ 𝑚𝑞.
Proposi¸c˜ao 3.1.9 Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita e
𝑞 < cot 𝑌 = 𝑝.
Ent˜ao:
(a) 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ), se
𝑟 >
2𝑚𝑝𝑞
𝑚𝑝𝑞 + 2𝑝 − 2𝑞
,
(b) 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ), se 𝑟 ≥ 2. Em particular,
𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 )
para todo 𝑟 ≥ 2, se cot 𝑌 = ∞.
26
Demonstra¸c˜ao. (a) Suponha que 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ). Da´ı, pelo Corol´ario
3.1.5, temos que 𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚𝑝𝑞
𝑝−𝑞
, 𝑟
-somante. Como 𝑖𝑑
𝑋
∕= 0, segue que
𝑟 ≤
𝑚𝑝𝑞
𝑝 − 𝑞
.
Usando o Teorema 1.4.5, temos
1
𝑟
−
𝑝 − 𝑞
𝑚𝑝𝑞
≥
1
2
,
ou seja,
𝑟 ≤
2𝑚𝑝𝑞
𝑚𝑝𝑞 + 2𝑝 − 2𝑞
,
o que ´e uma contradi¸c˜ao.
(b) Suponha que 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ). Novamente, usando o Corol´ario
3.1.5, segue que 𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚𝑝𝑞
𝑝−𝑞
, 2
-somante, pois 𝑟 ≥ 2. E da´ı, como 𝑖𝑑
𝑋
∕= 0, temos
𝑚𝑝𝑞
𝑝 − 𝑞
≥ 2.
Mas, pelo Teorema 1.4.5, temos que 𝑖𝑑
𝑋
n˜ao pode ser absolutamente (𝑠, 2)-somante
para 𝑠 ≥ 2 algum.
Como mostra o resultado a seguir, os resultados anteriores tˆem consequˆencias
interessantes, inclusive, no caso linear:
Teorema 3.1.10 Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita. Se 𝑟 ≥ 2 e
𝑞 < cot 𝑌 ent˜ao
ℒ
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 ).
Em particular, se 𝑟 ≥ 1 e cot 𝑌 > max{2, 𝑟} ent˜ao
ℒ
𝑎𝑠,𝑟
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 ).
Demonstra¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 3.1.9, item (b) temos que se 𝑟 ≥ 2 ent˜ao
𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ).
Assim, fazendo 𝑚 = 1 segue que
ℒ
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 )
e a primeira afirma¸c˜ao do teorema est´a demonstrada. Para a demonstra¸c˜ao da segunda
afirma¸c˜ao, consideraremos dois casos:
1
𝑜
caso: 𝑟 ≥ 2. Como cot 𝑌 > max{2, 𝑟} ent˜ao cot 𝑌 > 𝑟. Fazendo 𝑞 = 𝑟 na primeira
afirma¸c˜ao do teorema temos
ℒ
𝑎𝑠,𝑟
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 ).
27
2
𝑜
caso: 1 ≤ 𝑟 < 2. Nesse caso, cot 𝑌 > 2. Pelo que j´a foi provado, segue que
ℒ
𝑎𝑠,2
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 )
e da´ı, pelo Teorema de Inclus˜ao, conclu´ımos
ℒ
𝑎𝑠,𝑟
(𝑋; 𝑌 ) ⊂ ℒ
𝑎𝑠,2
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 ).
Observa¸c˜ao 3.1.11 Relembremos o famoso Teorema de Grothendieck:
ℒ
𝑎𝑠,1
(𝑙
1
; 𝑙
2
) = ℒ(𝑙
1
; 𝑙
2
).
Note que o Teorema 3.1.10, em geral, n˜ao pode ser melhorado (isto ´e, n˜ao se pode trocar
o > por ≥) para espa¸cos 𝑌 com cotipo 2. De fato, o teorema n˜ao vale para 𝑋 = 𝑙
1
,
𝑌 = 𝑙
2
(que tem cotipo 2) e 𝑟 = 1.
Corol´ario 3.1.12 Se 𝑋 e 𝑌 s˜ao espa¸cos de dimens˜ao infinita e
ℒ
𝑎𝑠,𝑟
(𝑋; 𝑌 ) = ℒ(𝑋; 𝑌 )
para algum 1 ≤ 𝑟 < 2 ent˜ao cot 𝑌 = 2.
Demonstra¸c˜ao. Se fosse cot 𝑌 > 2, ter´ıamos
cot 𝑌 > 2 = max{2, 𝑟},
e o Teorema 3.1.10 implicaria que
ℒ
𝑎𝑠,𝑟
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 ).
Logo, cot 𝑌 = 2.
O pr´oximo corol´ario ´e uma simples consequˆencia dos resultados anteriores. Ele ser´a
destacado apenas para tornar mais clara a Observa¸c˜ao 3.1.14.
Corol´ario 3.1.13 Sejam 𝑋 e 𝑌 espa¸cos de Banch de dimens˜ao infinita com cot 𝑌 <
∞. Ent˜ao:
(a)
ℒ
𝑎𝑠(𝑞;1)
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 ) para todo 𝑞 <
2 cot 𝑌
2 + cot 𝑌
.
(b)
ℒ
𝑎𝑠(𝑞;2)
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 ) para todo 𝑞 < cot 𝑌.
28
Demonstra¸c˜ao. (a) Como claramente
2 cot 𝑌
2 + cot 𝑌
< cot 𝑌
e, por hip´otese,
𝑞 <
2 cot 𝑌
2 + cot 𝑌
segue que
𝑞 < cot 𝑌 .
Assim, fazendo 𝑚 = 𝑟 = 1 na Proposi¸c˜ao 3.1.9 (a), temos que
ℒ
𝑎𝑠(𝑞;1)
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 )
sempre que
2𝑞 cot 𝑌
𝑞 cot 𝑌 + 2 cot 𝑌 − 2𝑞
< 1,
ou seja,
𝑞 <
2 cot 𝑌
2 + cot 𝑌
.
(b) Pelo Teorema 3.1.10 temos que se 𝑟 ≥ 2 e 𝑞 < cot 𝑌 ent˜ao
ℒ
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 ).
Logo, fazendo 𝑟 = 2, segue que
ℒ
𝑎𝑠(𝑞;2)
(𝑋; 𝑌 ) ∕= ℒ(𝑋; 𝑌 )
para todo 𝑞 < cot 𝑌 .
Observa¸c˜ao 3.1.14 Para 𝑌 = 𝑙
𝑝
, com 2 ≤ 𝑝 < ∞ e 𝑋 = 𝑙
1
, de [3] sabemos que
ℒ
𝑎𝑠(
2𝑝
2+𝑝
,1)
(𝑙
1
; 𝑙
𝑝
) = ℒ(𝑙
1
; 𝑙
𝑝
)
e isso mostra que o resultado anterior em geral n˜ao vale para
𝑞 =
2 cot 𝑌
2 + cot 𝑌
.
3.2 Resultados de coincidˆencia para polinˆomios
dominados
Come¸camos a presente se¸c˜ao com uma s´erie de lemas, que podem ser encontrados em
[26].
29
Defini¸c˜ao 3.2.1 Sejam 𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑛
e 𝑌 espa¸cos de Banach. Definimos, para cada
𝑘 = 1, ..., 𝑛 − 1,
𝜓
𝑘
: ℒ(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 ) → ℒ(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑘
; ℒ(𝑋
𝑘+1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 ))
por
𝜓
𝑘
(𝑇 )(𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑘
)(𝑥
𝑘+1
, ..., 𝑥
𝑛
) = 𝑇 (𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑛
).
N˜ao ´e dif´ıcil mostrar que 𝜓
𝑘
´e uma isometria.
Lema 3.2.2 Se
ℒ(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 ) = ℒ
𝑎𝑠(𝑟;𝑠
1
,...,𝑠
𝑡
,∞,...,∞)
(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 ),
ent˜ao
ℒ(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑡
; ℒ(𝑋
𝑡+1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 )) = ℒ
𝑎𝑠(𝑟;𝑠
1
,...,𝑠
𝑡
)
(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑡
; ℒ(𝑋
𝑡+1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 ))
e vice versa.
Demonstra¸c˜ao. Suponha
ℒ(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 ) = ℒ
𝑎𝑠(𝑟;𝑠
1
,...,𝑠
𝑡
,∞,...,∞)
(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 ).
Considere 𝑇 : 𝑋
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑋
𝑡
→ ℒ(𝑋
𝑡+1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 ) uma aplica¸c˜ao multilinear cont´ınua.
Temos que
∞
𝑗=1
𝑇 (𝑥
(𝑗)
1
, ..., 𝑥
(𝑗)
𝑡
)
𝑟
1
𝑟
=
∞
𝑗=1
sup
∥
𝑦
𝑘
∥
≤1
𝑘=𝑡+1,⋅⋅⋅,𝑛
𝑇 (𝑥
(𝑗)
1
, ..., 𝑥
(𝑗)
𝑡
)(𝑦
𝑡+1,
..., 𝑦
𝑛
)
𝑟
1
𝑟
= (∗).
Para cada 𝑗 existem 𝑦
(𝑗)
𝑡+1
∈ 𝐵
𝑋
∗
𝑡+1
, ..., 𝑦
(𝑗)
𝑛
∈ 𝐵
𝑋
∗
𝑛
tais que
(∗) ≤
∞
𝑗=1
𝑇 (𝑥
(𝑗)
1
, ..., 𝑥
(𝑗)
𝑡
)(𝑦
(𝑗)
𝑡+1
, ..., 𝑦
(𝑗)
𝑛
)
𝑟
+
1
2
𝑗
1
𝑟
=
∞
𝑗=1
𝜓
−1
𝑡
(𝑇 )(𝑥
(𝑗)
1
, ..., 𝑥
(𝑗)
𝑡
, 𝑦
(𝑗)
𝑡+1
, ..., 𝑦
(𝑗)
𝑛
)
𝑟
+
1
2
𝑗
1
𝑟
< ∞
sempre que (𝑥
(𝑗)
1
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑤
𝑠
1
(𝑋
1
), ..., (𝑥
(𝑗)
𝑡
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑤
𝑠
𝑡
(𝑋
𝑡
). Logo
𝑇 ∈ ℒ
𝑎𝑠(𝑟;𝑠
1
,...,𝑠
𝑡
)
(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑡
; ℒ(𝑋
𝑡+1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 )).
Reciprocamente, suponha
ℒ(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑡
; ℒ(𝑋
𝑡+1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 )) = ℒ
𝑎𝑠(𝑟;𝑠
1
,...,𝑠
𝑡
)
(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑡
; ℒ(𝑋
𝑡+1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 )).
30
Novamente, considere 𝑇 : 𝑋
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑋
𝑛
→ 𝑌 uma aplica¸c˜ao multilinear cont´ınua.
Assim, para (𝑥
(𝑗)
𝑙
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑤
𝑠
𝑙
(𝑋
𝑙
) e (𝑦
(𝑗)
𝑖
)
∞
𝑗=1
∈ 𝑙
𝑤
∞
(𝑋
𝑖
), 𝑙 = 1, ⋅ ⋅ ⋅, 𝑡, 𝑖 = 𝑡 + 1, ⋅ ⋅ ⋅, 𝑛, temos
∞
𝑗=1
𝑇 (𝑥
(𝑗)
1
, ..., 𝑥
(𝑗)
𝑡
, 𝑦
(𝑗)
𝑡+1
, ..., 𝑦
(𝑗)
𝑛
)
𝑟
1
𝑟
=
∞
𝑗=1
𝜓
𝑡
(𝑇 )(𝑥
(𝑗)
1
, ..., 𝑥
(𝑗)
𝑡
)(𝑦
(𝑗)
𝑡+1
, ..., 𝑦
(𝑗)
𝑛
)
𝑟
1
𝑟
≤
∞
𝑗=1
𝜓
𝑡
(𝑇 )(𝑥
(𝑗)
1
, ..., 𝑥
(𝑗)
𝑡
)
𝑟
1
𝑟
(𝑦
(𝑗)
𝑡+1
)
∞
𝑗=1
∞
⋅ ⋅ ⋅
(𝑦
(𝑗)
𝑛
)
∞
𝑗=1
∞
≤ ∥𝜓
𝑡
(𝑇 )∥
𝑎𝑠(𝑟;𝑠
1
,...,𝑠
𝑡
)
𝑡
𝑙=1
(𝑥
(𝑗)
𝑙
)
∞
𝑗=1
𝑤,𝑠
𝑙
(𝑦
(𝑗)
𝑡+1
)
∞
𝑗=1
∞
⋅ ⋅ ⋅
(𝑦
(𝑗)
𝑛
)
∞
𝑗=1
∞
< ∞.
Portanto, 𝑇 ∈ ℒ
𝑎𝑠(𝑟;𝑠
1
,...,𝑠
𝑡
,∞,...,∞)
(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 ).
Lema 3.2.3 Se uma aplica¸c˜ao bilinear cont´ınua 𝑇 : 𝑋
1
×𝑋
2
→ 𝑌 ´e 𝑝-dominada, ent˜ao
𝑇 ´e (𝑟; 𝑟, ∞)-somante para cada 𝑟 ≥ 𝑝.
Demonstra¸c˜ao. Como 𝑇 : 𝑋
1
× 𝑋
2
→ 𝑌 ´e 𝑝-dominada, pelo Teorema de Domina¸c˜ao
de Grothendieck-Pietsch temos
∥𝜓
1
(𝑇 )(𝑥)∥ = sup
∥𝑦∥≤1
∥𝜓
1
(𝑇 )(𝑥)(𝑦)∥ = sup
∥𝑦∥≤1
∥𝑇 (𝑥, 𝑦)∥
≤ sup
∥𝑦∥≤1
𝐶
𝐵
𝑋
∗
1
∣𝜑
1
(𝑥)∣
𝑝
𝑑𝜇
1
(𝜑
1
)
1
𝑝
𝐵
𝑋
∗
2
∣𝜑
2
(𝑦)∣
𝑝
𝑑𝜇
2
(𝜑
2
)
1
𝑝
≤ 𝐶
𝐵
𝑋
∗
1
∣𝜑
1
(𝑥)∣
𝑝
𝑑𝜇
1
(𝜑
1
)
1
𝑝
≤ 𝐶
𝐵
𝑋
∗
1
∣𝜑
1
(𝑥)∣
𝑟
𝑑𝜇
1
(𝜑
1
)
1
𝑟
.
Logo 𝜓
1
(𝑇 ) ´e (𝑟; 𝑟)-somante e, pelo Lema 3.2.2, segue que, 𝑇 = 𝜓
−1
1
(𝜓
1
(𝑇 )) ´e (𝑟; 𝑟, ∞)-
somante .
A ideia do lema anterior pode ser usada para provar o seguinte:
Lema 3.2.4 Se uma aplica¸c˜ao 𝑛-linear cont´ınua 𝑇 : 𝑋
1
× ⋅⋅ ⋅ ×𝑋
𝑛
→ 𝑌 ´e 𝑝-dominada,
ent˜ao 𝑇 ´e (
𝑟
𝑛−1
; 𝑟, ..., 𝑟, ∞)-somante para cada 𝑟 ≥ 𝑝. Al´em disso,
ℒ
𝑎𝑠(
𝑝
𝑛−1
;𝑝,...,𝑝,∞)
(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 ) ⊂ ℒ
𝑎𝑠(
𝑟
𝑛−1
;𝑟,...,𝑟,∞)
(𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑛
; 𝑌 ).
31
Lema 3.2.5 Se
ℒ(
2
𝑋; 𝑌 ) = ℒ
𝑑,𝑟
(
2
𝑋; 𝑌 ),
ent˜ao
ℒ
𝑎𝑠,𝑟
(𝑋; ℒ(𝑋; 𝑌 )) = ℒ(𝑋; ℒ(𝑋; 𝑌 )).
Demonstra¸c˜ao. Seja 𝑇 ∈ ℒ(𝑋; ℒ(𝑋; 𝑌 )). Ent˜ao,
𝜓
−1
1
(𝑇 ) ∈ ℒ(
2
𝑋; 𝑌 ) = ℒ
𝑑,𝑟
(
2
𝑋; 𝑌 ).
Pelo Lema 3.2.4,
𝜓
−1
1
(𝑇 ) ∈ ℒ
𝑎𝑠(𝑟;𝑟,∞)
(
2
𝑋; 𝑌 ).
Agora, pelo Lema 3.2.2 segue que
𝑇 = 𝜓
1
(𝜓
−1
1
(𝑇 )) ∈ ℒ
𝑎𝑠(𝑟;𝑟)
(𝑋; ℒ(𝑋; 𝑌 )).
Logo
ℒ(𝑋; ℒ(𝑋; 𝑌 )) ⊂ ℒ
𝑎𝑠(𝑟;𝑟)
(𝑋; ℒ(𝑋; 𝑌 ))
e temos, portanto,
ℒ
𝑎𝑠,𝑟
(𝑋; ℒ(𝑋; 𝑌 )) = ℒ(𝑋; ℒ(𝑋; 𝑌 )).
A partir dos resultados anteriores, ´e f´acil obter o seguinte resultado de n˜ao-
coincidˆencia para aplica¸c˜oes multilineares dominadas.
Proposi¸c˜ao 3.2.6 Se cot 𝑋
∗
> 2, ent˜ao
ℒ
𝑑,𝑟
(
2
𝑋) ∕= ℒ(
2
𝑋)
sempre que 1 ≤ 𝑟 < cot 𝑋
∗
.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que ℒ
𝑑,𝑟
(
2
𝑋) = ℒ(
2
𝑋) para algum 1 ≤ 𝑟 < cot 𝑋
∗
. Pelo
lema anterior,
ℒ
𝑎𝑠,𝑟
(𝑋; ℒ(𝑋; 𝕂)) = ℒ(𝑋; ℒ(𝑋; 𝕂)).
Como, por hip´otese, cot 𝑋
∗
> 2, temos que cot 𝑋
∗
> max{2, 𝑟}. Pelo Teorema 3.1.10,
temos
ℒ
𝑎𝑠,𝑟
(𝑋; ℒ(𝑋; 𝕂)) ∕= ℒ(𝑋; ℒ(𝑋; 𝕂))
sempre que cot 𝑋
∗
> max{2, 𝑟} e o resultado segue.
Corol´ario 3.2.7 Se 𝑋 e 𝑌 s˜ao espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita, ent˜ao
𝒫
𝑑,𝑟
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 )
para todo 𝑟 < 𝑚 cot 𝑌 e 𝑚 ≥ 2.
32
Demonstra¸c˜ao. Suponha cot 𝑌 = 𝑝 > 𝑞. Pela Proposi¸c˜ao 3.1.9 (b) temos que
𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 )
para 𝑟 ≥ 2.
Logo, fazendo 𝑞 =
𝑟
𝑚
segue que
𝒫
𝑑,𝑟
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 )
para 𝑟 ≥ 2.
Para o caso 1 ≤ 𝑟 < 2 segue do Teorema de Inclus˜ao que
𝒫
𝑑,𝑟
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ⊂ 𝒫
𝑑,2
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ).
Logo,
𝒫
𝑑,𝑟
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ).
O pr´oximo corol´ario que obteremos necessita de um famoso resultado de coincidˆencia
devido a A. Defant e J. Voigt. Esse resultado apareceu, pela primeira vez no trabalho
de R. Alencar e M. Matos [2], com o devido cr´edito a Defant e Voigt.
Teorema 3.2.8 (Teorema de Defant-Voigt) Se 𝑚 ≥ 1 e 𝑋 ´e um espa¸co de
Banach, ent˜ao
𝒫
𝑎𝑠(1;1)
(
𝑚
𝑋) = 𝒫(
𝑚
𝑋).
Uma simples combina¸c˜ao do Corol´ario 3.1.6 e [5, Teorema 2.2 (ii)] fornece a seguinte
extens˜ao de [27].
Corol´ario 3.2.9 Sejam 𝑋 um espa¸co de Banach tal que cot 𝑋 = ∞ e 𝑌 um espa¸co
de Banach de dimens˜ao infinita que assume o cotipo cot 𝑌 . Ent˜ao
𝒫
𝑎𝑠(𝑞;1)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) ⇐⇒ 𝑞 ≥ cot 𝑌.
Demonstra¸c˜ao. (⇒) Suponha cot 𝑌 = 𝑝 > 𝑞. Da´ı, pelo Corol´ario 3.1.5, 𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚𝑝𝑞
𝑝−𝑞
, 1
-somante, o que ´e absurdo em virtude do Teorema de Maurey-Pisier, pois
cot 𝑋 = ∞.
(⇐) Por hip´otese, cot 𝑌 ≤ 𝑞 e 𝑌 assume o ´ınfimo dos seus cotipos. Ent˜ao, 𝑖𝑑
𝑌
´e (𝑞, 1)-
somante. Assim, usando o Teorema de Defant-Voigt e o Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta
33
(TAA), existe 𝐶 > 0 tal que
(
𝑘
𝑗=1
∣∣𝑃 (𝑥
𝑗
)∣∣
𝑞
)
1
𝑞
≤ ∥𝑖𝑑
𝑌
∥
𝑎𝑠(𝑞,1)
(𝑃 (𝑥
𝑗
))
𝑘
𝑗=1
𝑤,1
= ∥𝑖𝑑
𝑌
∥
𝑎𝑠(𝑞,1)
sup
∥𝜑∥≤1
𝑘
𝑗=1
∣𝜑(𝑃 (𝑥
𝑗
))∣
= ∥𝑖𝑑
𝑌
∥
𝑎𝑠(𝑞,1)
sup
∥𝜑∥≤1
𝑘
𝑗=1
∣(𝜑 ∘ 𝑃 )(𝑥
𝑗
)∣
Teorema 3.2.8
≤ ∥𝑖𝑑
𝑌
∥
𝑎𝑠(𝑞,1)
sup
∥𝜑∥≤1
∥𝜑 ∘ 𝑃 ∥
𝑎𝑠(1,1)
(𝑥
𝑗
)
𝑘
𝑗=1
𝑛
𝑤,1
TAA
≤ ∥𝑖𝑑
𝑌
∥
𝑎𝑠(𝑞,1)
sup
∥𝜑∥≤1
𝐶 ∥𝜑 ∘ 𝑃 ∥
(𝑥
𝑗
)
𝑘
𝑗=1
𝑛
𝑤,1
≤ 𝐶 ∥𝑖𝑑
𝑌
∥
𝑎𝑠(𝑞,1)
∥𝑃 ∥
(𝑥
𝑗
)
𝑘
𝑗=1
𝑛
𝑤,1
.
Portanto,
𝒫
𝑎𝑠(𝑞;1)
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 ).
3.3 A demonstra¸c˜ao da conjectura
Nessa se¸c˜ao, vamos mostrar que a Conjectura 2.3.1 ´e verdadeira para espa¸cos de Banach
sobre o corpo dos reais. A demonstra¸c˜ao se dar´a basicamente em duas etapas. Primeiro,
demonstraremos um resultado similar ao Teorema 3.1.2 com 𝑌 = 𝕂 = ℝ e 𝑚 par; o
segundo passo ´e estender este resultado para o caso de inteiros ´ımpares.
Teorema 3.3.1 Sejam 𝑚 um inteiro positivo par e 𝑋 um espa¸co de Banach real de
dimens˜ao infinita. Se 𝑞 < 1 e 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋) = 𝒫(
𝑚
𝑋) ent˜ao 𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚𝑞
1−𝑞
, 𝑟
-somante.
Demonstra¸c˜ao. Como 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋) = 𝒫(
𝑚
𝑋) e como
∣∣𝑄∣∣ ≤ ∣∣𝑄∣∣
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
para todo 𝑄 ∈ 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋), segue que
𝑖𝑑 : 𝒫
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(
𝑚
𝑋) → 𝒫(
𝑚
𝑋)
´e um operador linear, limitado e bijetivo. Assim, pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta,
temos que 𝑖𝑑
−1
´e limitado e existe 𝐾 > 0 tal que
∣∣𝑄∣∣
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
≤ 𝐾∣∣𝑄∣∣,
para todo polinˆomio 𝑚-homogˆeneo cont´ınuo 𝑄 : 𝑋 → ℝ.
34
Sejam 𝑛 ∈ ℕ e 𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑛
∈ 𝑋. Pelo Teorema de Hahn-Banach, existem 𝜑
1
, ..., 𝜑
𝑛
∈ 𝐵
𝑋
∗
tais que ∣∣𝜑
𝑗
∣∣ = 1 e 𝜑
𝑗
(𝑥
𝑗
) = ∣∣𝑥
𝑗
∣∣, para todo 𝑗 = 1, ..., 𝑛.
Sejam 𝜇
1
, ..., 𝜇
𝑛
n´umeros reais tais que
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
𝑠
= 1, com 𝑠 =
1
𝑞
.
Definamos, para cada 𝑛 natural, 𝑃
𝑛
: 𝑋 → ℝ por
𝑃
𝑛
(𝑥) =
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
𝜑
𝑗
(𝑥)
𝑚
.
Note que, como 𝑚 ´e par, temos 𝑃
𝑛
(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ 𝑋 e
∣𝑃
𝑛
(𝑥)∣ = 𝑃
𝑛
(𝑥) ≥ ∣𝜇
𝑘
∣
1
𝑞
𝜑
𝑘
(𝑥)
𝑚
,
para todo 𝑥 ∈ 𝑋 e todo 𝑘 = 1, ..., 𝑛.
Al´em disso, 𝑃
𝑛
´e cont´ınuo e sua norma n˜ao depende de 𝑛, pois dado 𝑥 ∈ 𝑋, temos que
∣𝑃
𝑛
(𝑥)∣ =
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
𝜑
𝑗
(𝑥)
𝑚
≤
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
𝜑
𝑗
(𝑥)
𝑚
=
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
∣𝜑
𝑗
(𝑥)
𝑚
∣
≤
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
∥𝜑
𝑗
∥
𝑚
∣∣𝑥∣∣
𝑚
= ∣∣𝑥∣∣
𝑚
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
= ∣∣𝑥∣∣
𝑚
.
Assim,
∣∣𝑃
𝑛
∣∣
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
≤ 𝐾∣∣𝑃
𝑛
∣∣ = 𝐾 sup
∣∣𝑥∣∣=1
∣∣𝑃
𝑛
(𝑥)∣∣ ≤ 𝐾 sup
∣∣𝑥∣∣=1
∣∣𝑥∣∣
𝑚
= 𝐾.
Logo,
𝑛
𝑗=1
∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚𝑞
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
=
𝑛
𝑗=1
(∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚
∣𝜇
𝑗
∣
1
𝑞
)
𝑞
1
𝑞
(3.2)
≤
𝑛
𝑗=1
∣∣𝑃
𝑛
(𝑥
𝑗
)∣∣
𝑞
1
𝑞
≤ ∣∣𝑃
𝑛
∣∣
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(∣∣(𝑥
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
∣∣
𝑤,𝑟
)
𝑚
.
35
Note que a desigualdade acima ´e v´alida sempre que
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
𝑠
= 1.
Como
1
𝑠
+
1
𝑠
𝑠−1
= 1 e 𝑙
𝑛
𝑠
=
𝑙
𝑛
𝑠
𝑠−1
∗
temos:
(∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚𝑞
)
𝑛
𝑗=1
𝑠
𝑠−1
=
𝑛
𝑗=1
(∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑠
𝑠−1
𝑚𝑞
)
1
𝑠
𝑠−1
= sup
𝜑∈𝐵
(
𝑙
𝑛
𝑠
𝑠−1
)
∗
𝜑
(∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚𝑞
)
𝑛
𝑗=1
= sup
(𝜇
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
∈𝐵
𝑙
𝑛
𝑠
𝑛
𝑗=1
𝜇
𝑗
∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚𝑞
= sup
𝑛
𝑗=1
𝜇
𝑗
∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚𝑞
;
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
𝑠
= 1
≤ sup
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑚𝑞
;
𝑛
𝑗=1
∣𝜇
𝑗
∣
𝑠
= 1
(3.2)
≤ ∣∣𝑃
𝑛
∣∣
𝑞
𝑎𝑠(𝑞;𝑟)
(∣∣(𝑥
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
∣∣
𝑤,𝑟
)
𝑚𝑞
≤ 𝐾
𝑞
(∣∣(𝑥
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
∣∣
𝑤,𝑟
)
𝑚𝑞
.
Segue, portanto, que
𝑛
𝑗=1
∣∣𝑥
𝑗
∣∣
𝑠
𝑠−1
𝑚𝑞
1
(
𝑠
𝑠−1
)
𝑚𝑞
≤ 𝐾
1
𝑚
∣∣(𝑥
𝑗
)
𝑛
𝑗=1
∣∣
𝑤,𝑟
.
Como
𝑠
𝑠−1
𝑚𝑞 =
𝑚𝑞
1−𝑞
, 𝑛 e 𝑥
1
, ..., 𝑥
𝑛
∈ 𝑋 s˜ao arbitr´arios, segue que 𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚𝑞
1−𝑞
, 𝑟
-
somante.
Os pr´oximos dois lemas ser˜ao essenciais para a demonstra¸c˜ao da conjectura:
Proposi¸c˜ao 3.3.2 Se 𝑃 : 𝑋 → 𝑌 ´e um polinˆomio 𝑛-homogˆeneo 𝑝-dominado ent˜ao,
para quaisquer vetores 𝑎
1,
..., 𝑎
𝑟
fixos, a aplica¸c˜ao multilinear
ˇ
𝑃
𝑎
1,
...,𝑎
𝑟
(𝑥
𝑟+1
, ..., 𝑥
𝑛
) :=
ˇ
𝑃 (𝑎
1,
..., 𝑎
𝑟
, 𝑥
𝑟+1
, ..., 𝑥
𝑛
)
´e 𝑝-dominada. Analogamente, se 𝑇 : 𝑋
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑋
𝑛
→ 𝑌 ´e 𝑛-linear 𝑝-dominada, ent˜ao
𝑇
𝑎
1,
...,𝑎
𝑟
(𝑥
𝑟+1
, ..., 𝑥
𝑛
) := 𝑇 (𝑎
1,
..., 𝑎
𝑟
, 𝑥
𝑟+1
, ..., 𝑥
𝑛
)
´e 𝑝-dominada.
36
Demonstra¸c˜ao. Comecemos pelo caso de uma aplica¸c˜ao 𝑛-linear 𝑝-dominada 𝑇 :
𝑋
1
× ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑋
𝑛
→ 𝑌. Pelo Teorema da Domina¸c˜ao de Pietsch temos
𝑇
𝑎
1,
...,𝑎
𝑟
(𝑥
𝑟+1
, ..., 𝑥
𝑛
)
= ∥𝑇 (𝑎
1,
..., 𝑎
𝑟
, 𝑥
𝑟+1
, ..., 𝑥
𝑛
)∥
≤ 𝐶
𝐵
𝑋
∗
1
∣𝜑
1
(𝑎
1
)∣
𝑝
𝑑𝜇
1
(𝜑
1
)
1
𝑝
⋅ ⋅ ⋅
𝐵
𝑋
∗
𝑟
∣𝜑
𝑟
(𝑎
𝑟
)∣
𝑝
𝑑𝜇
𝑟
(𝜑
𝑟
)
1
𝑝
⋅
𝐵
𝑋
∗
𝑟+1
∣𝜑
𝑟+1
(𝑥
𝑟+1
)∣
𝑝
𝑑𝜇
𝑟+1
(𝜑
𝑟+1
)
1
𝑝
⋅ ⋅ ⋅
𝐵
𝑋
∗
𝑛
∣𝜑
𝑛
(𝑥
𝑛
)∣
𝑝
𝑑𝜇
𝑛
(𝜑
𝑛
)
1
𝑝
≤ 𝐶
𝐵
𝑋
∗
1
∥𝜑
1
∥
𝑝
∥𝑎
1
∥
𝑝
𝑑𝜇
1
(𝜑
1
)
1
𝑝
⋅ ⋅ ⋅
𝐵
𝑋
∗
𝑟
∥𝜑
𝑟
∥
𝑝
∥𝑎
𝑟
∥
𝑝
𝑑𝜇
𝑟
(𝜑
𝑟
)
1
𝑝
⋅
𝐵
𝑋
∗
𝑟+1
∣𝜑
𝑟+1
(𝑥
𝑟+1
)∣
𝑝
𝑑𝜇
𝑟+1
(𝜑
𝑟+1
)
1
𝑝
⋅ ⋅ ⋅
𝐵
𝑋
∗
𝑛
∣𝜑
𝑛
(𝑥
𝑛
)∣
𝑝
𝑑𝜇
𝑛
(𝜑
𝑛
)
1
𝑝
≤ 𝐶
𝐵
𝑋
∗
1
1 ⋅ ∥𝑎
1
∥
𝑝
𝑑𝜇
1
(𝜑
1
)
1
𝑝
⋅ ⋅ ⋅
𝐵
𝑋
∗
𝑟
1 ⋅ ∥𝑎
𝑟
∥
𝑝
𝑑𝜇
𝑟
(𝜑
𝑟
)
1
𝑝
⋅
𝐵
𝑋
∗
𝑟+1
∣𝜑
𝑟+1
(𝑥
𝑟+1
)∣
𝑝
𝑑𝜇
𝑟+1
(𝜑
𝑟+1
)
1
𝑝
⋅ ⋅ ⋅
𝐵
𝑋
∗
𝑛
∣𝜑
𝑛
(𝑥
𝑛
)∣
𝑝
𝑑𝜇
𝑛
(𝜑
𝑛
)
1
𝑝
≤ 𝐶 ∥𝑎
1
∥
𝑝
𝜇
1
(𝐵
𝑋
∗
1
) ⋅ ⋅ ⋅ ∥𝑎
𝑟
∥
𝑝
𝜇
𝑟
(𝐵
𝑋
∗
𝑟
)
⋅
𝐵
𝑋
∗
𝑟+1
∣𝜑
𝑟+1
(𝑥
𝑟+1
)∣
𝑝
𝑑𝜇
𝑟+1
(𝜑
𝑟+1
)
1
𝑝
⋅ ⋅ ⋅
𝐵
𝑋
∗
𝑛
∣𝜑
𝑛
(𝑥
𝑛
)∣
𝑝
𝑑𝜇
𝑛
(𝜑
𝑛
)
1
𝑝
= 𝐶
1
𝐵
𝑋
∗
𝑟+1
∣𝜑
𝑟+1
(𝑥
𝑟+1
)∣
𝑝
𝑑𝜇
𝑟+1
(𝜑
𝑟+1
)
1
𝑝
⋅ ⋅ ⋅
𝐵
𝑋
∗
𝑛
∣𝜑
𝑛
(𝑥
𝑛
)∣
𝑝
𝑑𝜇
𝑛
(𝜑
𝑛
)
1
𝑝
.
Portanto, pelo Teorema da Domina¸c˜ao de Pietsch, 𝑇
𝑎
1,
...,𝑎
𝑟
´e 𝑝-dominada.
Consideremos, agora, o caso de um polinˆomio 𝑛-homogˆeneo 𝑝-dominado 𝑃 : 𝑋 → 𝑌.
Ent˜ao, sabemos que
ˇ
𝑃 ´e 𝑝-dominada. Pelo que acabamos de demonstrar, segue que
ˇ
𝑃
𝑎
1,
...,𝑎
𝑟
´e 𝑝-dominada.
Lema 3.3.3 Sejam 𝑝 ≥ 1 e 𝑚 ∈ ℕ. Seja 𝑋 um espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita.
Se
𝒫
𝑑,𝑝
(
𝑛
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑛
𝑋; 𝑌 )
ent˜ao
𝒫
𝑑,𝑝
(
𝑚
𝑋; 𝑌 ) = 𝒫(
𝑚
𝑋; 𝑌 )
37
para cada 𝑚 ≤ 𝑛.
Demonstra¸c˜ao. Para 𝑚 = 1, considere 𝑇 : 𝑋 → 𝑌 uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua
qualquer. Defina 𝑃 : 𝑋 → 𝑌 por
𝑃 (𝑥) = 𝜑(𝑥)
𝑛−1
𝑇 (𝑥),
onde 𝜑 ´e um funcional linear cont´ınuo n˜ao nulo. Ent˜ao, por hip´otese, 𝑃 ser´a 𝑝-
dominado. A multilinear sim´etrica
ˇ
𝑃 : 𝑋 × ⋅ ⋅ ⋅ × 𝑋 → 𝑌 associada a 𝑃 ´e dada
por
ˇ
𝑃 (𝑥
1
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑥
𝑛
) =
=
1
𝑛
𝜑(𝑥
1
) ⋅ ⋅ ⋅ 𝜑(𝑥
𝑛−1
)𝑇 (𝑥
𝑛
) + 𝜑(𝑥
1
) ⋅ ⋅ ⋅ 𝜑(𝑥
𝑛−2
)𝜑(𝑥
𝑛
)𝑇 (𝑥
𝑛−1
)
+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝜑(𝑥
2
) ⋅ ⋅ ⋅ 𝜑(𝑥
𝑛
)𝑇 (𝑥
1
)
,
e da´ı obtemos
ˇ
𝑃 (𝑎, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑎, 𝑥) =
1
𝑛
𝜑(𝑎)
𝑛−1
𝑇 (𝑥) + (𝑛 − 1)𝜑(𝑎)
𝑛−2
𝜑(𝑥)𝑇 (𝑎)
.
´
E claro que 𝜑 ´e absolutamente 𝑝-somante. Pela proposi¸c˜ao anterior,
ˇ
𝑃 (𝑎, ..., 𝑎, ⋅) ´e
absolutamente 𝑝-somante. Logo, como ℒ
𝑎𝑠,𝑝
(𝑋; 𝑌 ) ´e um espa¸co vetorial, segue que 𝑇 ´e
absolutamente 𝑝-somante.
Para 𝑚 = 2, considere 𝑄 : 𝑋 → 𝑌 um polinˆomio 2-homogˆeneo cont´ınuo qualquer.
Defina 𝑃 : 𝑋 → 𝑌 por
𝑃 (𝑥) = 𝜑(𝑥)
𝑛−2
𝑄(𝑥),
onde 𝜑 ´e um funcional linear cont´ınuo n˜ao nulo. Novamente, temos que
ˇ
𝑃 (𝑥
1
, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑥
𝑛
)
=
2
𝑛(𝑛 − 1)
𝜑(𝑥
1
) ⋅ ⋅ ⋅ 𝜑(𝑥
𝑛−2
)
ˇ
𝑄(𝑥
𝑛−1
, 𝑥
𝑛
) + 𝜑(𝑥
1
) ⋅ ⋅ ⋅ 𝜑(𝑥
𝑛−1
)
ˇ
𝑄(𝑥
𝑛−2
, 𝑥
𝑛
)
+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝜑(𝑥
3
) ⋅ ⋅ ⋅ 𝜑(𝑥
𝑛
)
ˇ
𝑄(𝑥
1
, 𝑥
2
)
,
onde, em cada parcela, os termos que aparecem calculados em
ˇ
𝑄 n˜ao aparecem no
respectivo produto das 𝜑. Assim
ˇ
𝑃 (𝑎, ..., 𝑎, 𝑥, 𝑥) =
=
2
𝑛(𝑛 − 1)
𝜑(𝑎)
𝑛−2
𝑄(𝑥) +
𝑛(𝑛 − 1)
2
− 1
𝜑(𝑎)
𝑛−3
𝜑(𝑥)
ˇ
𝑄(𝑎, 𝑥)
.
Por hip´otese, 𝑃 ´e 𝑝-dominado. Logo, pela proposi¸c˜ao anterior,
ˇ
𝑃 (𝑎, ..., 𝑎, ⋅, ⋅) ´e
𝑝-dominado.
´
E f´acil ver que 𝜑(⋅)
ˇ
𝑄(𝑎, ⋅) tamb´em ´e 𝑝-dominado (usando que 𝜑 ´e
absolutamente 𝑝-somante e o caso 𝑚 = 1). Como 𝒫
𝑑,𝑝
(
2
𝑋; 𝑌 ) ´e um espa¸co vetorial,
segue que 𝑄 ´e 𝑝-dominado.
Prosseguimos com o mesmo racioc´ınio para os outros casos.
O pr´oximo resultado responde afirmativamente a Conjectura 2.3.1 para o caso de
escalares reais:
38
Teorema 3.3.4 Seja 𝑟 ≥ 1 e 𝑋 um espa¸co de Banach real de dimens˜ao infinita. Se
𝑚 ∈ ℕ ´e tal que
𝑚 > 𝑟, se 𝑚 ≥ 4 ´e par
𝑚 > 𝑟 + 1, se 𝑚 ≥ 5 ´e ´ımpar,
ent˜ao
𝒫
𝑑,𝑟
(
𝑚
𝑋) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋).
Demonstra¸c˜ao. Considere 𝑚 ≥ 4 par e 𝑟 < 𝑚. Se
𝒫
𝑑,𝑟
(
𝑚
𝑋) = 𝒫
𝑎𝑠(
𝑟
𝑚
;𝑟)
= 𝒫(
𝑚
𝑋),
ent˜ao, pelo Teorema 3.3.1, temos que
𝑖𝑑
𝑋
´e
𝑚
𝑟
𝑚
1 −
𝑟
𝑚
, 𝑟
− somante.
Como 𝑚 ≥ 4, segue que
1
𝑟
−
1
𝑚
𝑟
𝑚
1−
𝑟
𝑚
=
1
𝑟
−
1 −
𝑟
𝑚
𝑟
=
1 − 1 +
𝑟
𝑚
𝑟
=
𝑟
𝑚
𝑟
=
1
𝑚
<
1
2
,
e, pelo Teorema 1.4.5, segue que 𝑖𝑑
𝑋
n˜ao pode ser
𝑚
𝑟
𝑚
1−
𝑟
𝑚
; 𝑟
-somante. Logo,
𝒫
𝑑,𝑟
(
𝑚
𝑋) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋)
para 𝑚 ≥ 4 par e 𝑟 < 𝑚.
Agora, suponha que 𝑚 ≥ 5 ´e ´ımpar e 𝑚 > 𝑟 + 1. Ent˜ao, 𝑚 − 1 ≥ 4 e 𝑚 − 1 ´e par;
al´em disso, temos 𝑚 − 1 > 𝑟. Da´ı, pelo caso anterior, temos
𝒫
𝑑,𝑟
(
𝑚−1
𝑋) ∕= 𝒫(
𝑚−1
𝑋).
Usando o Lema 3.3.3, conclu´ımos que
𝒫
𝑑,𝑟
(
𝑚
𝑋) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋).
Observe que o resultado anterior, embora demonstre a conjectura para o caso de
escalares reais, n˜ao abrange o caso 𝑚 = 3. A pr´oxima proposi¸c˜ao, al´em do caso 𝑚 = 3,
traz alguma informa¸c˜ao para o caso 𝑚 = 2 :
39
Proposi¸c˜ao 3.3.5 Se cot 𝑋 > 2, ent˜ao
𝒫
𝑑,1
(
𝑚
𝑋) ∕= 𝒫(
𝑚
𝑋)
para 𝑚 = 2, 3.
Demonstra¸c˜ao. Considere 𝑚 = 2 e 𝑟 = 1. Ent˜ao
𝑚
𝑟
𝑚
1 −
𝑟
𝑚
= 2
Se
𝒫
𝑑,1
(
2
𝑋) = 𝒫
𝑎𝑠(
1
𝑚
;1)
(
2
𝑋) = 𝒫(
2
𝑋),
ent˜ao, pelo Teorema 3.3.1, segue que 𝑖𝑑
𝑋
´e (2; 1)−somante, o que ´e imposs´ıvel, pois
cot 𝑋 > 2.
Logo,
𝒫
𝑑,1
(
2
𝑋) ∕= 𝒫(
2
𝑋).
Para o caso 𝑚 = 3, o Lema 3.3.3 garante que, como
𝒫
𝑑,1
(
2
𝑋) ∕= 𝒫(
2
𝑋),
ent˜ao
𝒫
𝑑,1
(
3
𝑋) ∕= 𝒫(
3
𝑋).
40
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43
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