( PDF ) Desenvolvimento e aplicação de um sistema computacional para simulação via método dos elementos finitos do comportamento de estruturas de aço e mistas em situação de incêndio

Download PDF

ads:

FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA SIMULAÇÃO VIA

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS DO COMPORTAMENTO

TERMOMECÂNICO TRIDIMENSIONAL DE ESTRUTURAS EM

SITUAÇÃO DE INCÊNDIO

José Carlos Lopes Ribeiro

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

“FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA SIMULAÇÃO VIA

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS DO COMPORTAMENTO

TERMOMECÂNICO TRIDIMENSIONAL DE ESTRUTURAS EM

SITUAÇÃO DE INCÊNDIO”

José Carlos Lopes Ribeiro

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em

Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da

Universidade Federal de Minas Gerais, como parte

dos requisitos necessários à obtenção do título de

“Doutor em Engenharia de Estruturas”.

Comissão Examinadora:

__________________________________ __________________________________

Prof. Dr. Ricardo Hallal Fakury Prof. Dr. Estevam Barbosa de Las Casas

DEES – UFMG (Orientador) DEES – UFMG (Co-orientador)

__________________________________ __________________________________

Prof. Dr. Prof. Dr.

__________________________________ __________________________________

Prof. Dr. Prof. Dr.

Belo Horizonte, Novembro de 2009

ads:

“Depois de algum tempo, você aprende que verdadeiras amizades continuam a crescer

mesmo a longas distâncias. E o que importa não é o que você tem na vida, mas quem

você tem na vida. E que bons amigos são a família que nos permitiram escolher.

Você descobre que as pessoas com quem você mais se importa na vida são tomadas de

você muito depressa, por isso sempre devemos deixar as pessoas que amamos com

palavras amorosas; pode ser a última vez que as vejamos.

Aprende que quando está com raiva tem o direito de estar com raiva, mas isso não te

dá o direito de ser cruel. Descobre que só porque alguém não o ama do jeito que você

quer que ame, não significa que esse alguém não o ama. Aprende que o tempo não é

algo que possa voltar para trás.

Portanto... plante seu jardim e decore sua alma, ao invés de esperar que alguém lhe

traga flores. E você aprende que realmente pode suportar... que realmente é forte, e que

pode ir muito mais longe depois de pensar que não se pode mais. E que realmente a

vida tem valor e que você tem valor diante da vida! Nossas dúvidas são traidoras e nos

fazem perder o bem que poderíamos conquistar, se não fosse o medo de tentar.”

William Shakespeare

À memória do meu querido pai,

exemplo de honestidade e paciência.

À minha querida mãe,

exemplo de dedicação e carinho.

À minha querida Gisele,

por compreender amorosamente os

momentos que não pude estar ao seu lado.

Valeu a pena? Tudo vale a pena

Se a alma não é pequena.

Quem quer passar além do Bojador

Tem que passar além da dor.

Deus ao mar o perigo e o abismo deu,

Mas nele é que espelhou o céu.

Fernando Pessoa

AGRADECIMENTOS

“Assim, minha alma vos louvará sem calar jamais.

Senhor, meus Deus, eu vos bendirei eternamente.”

Salmos 29, 13.

A Deus, acima de tudo.

Ao meu pai e à minha mãe, por terem me educado no caminho do bem e da verdade, e

por terem me ensinado os verdadeiros valores e a força do amor.

À Gisele, minha amiga, companheira, alegria dos meus dias, pela cumplicidade nos

momentos mais difíceis, pelo incentivo, apoio, amor e carinho desmedidos.

Ao Prof. Ricardo Hallal Fakury, pela imensa confiança em mim depositada, pela

amizade, apoio, dedicação e orientação competente ao longo de todo este trabalho.

Ao Prof. Estevam Barbosa de Las Casas, pela amizade, pelo apoio e discussões técnicas

e pela co-orientação imprescindível para realização deste trabalho.

Ao Dr. Eduardo de Souza Neto, pelas discussões e sugestões que engrandeceram este

trabalho e pelo código do programa HYPLAS, gentilmente cedido e fundamental no

desenvolvimento das análises não-lineares implementadas no trabalho.

Ao Vanderli, Cibele e Rodrigo, amigos verdadeiros, pela amizade, apoio, conselhos e

incentivo. Ao Gustavo e José Luiz, os mestres que me iniciaram nesta jornada.

A todos professores e funcionários do Departamento de Engenharia de Estruturas da

UFMG, pela atenção e disponibilidade sempre que foi necessário. E a todos que, direta

ou indiretamente, contribuíram para a realização deste trabalho.

À equipe do CIMNE (UPC), pelas licenças fornecidas do programa GID que

proporcionou extrema facilidade na modelagem e geração de malhas. E ao CBCA, pelo

apoio financeiro sem o qual seria impossível o desenvolvimento deste trabalho.

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ................................................................................... 1

1.1 - GENERALIDADES..................................................................................................... 1

1.2 - OBJETIVOS .............................................................................................................. 5

1.3 - JUSTIFICATIVA DO TEMA ......................................................................................... 6

1.4 - ORGANIZAÇÃO DO TEXTO ....................................................................................... 7

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA........................................................... 9

2.1 - GENERALIDADES..................................................................................................... 9

2.2 - CARACTERÍSTICAS DOS INCÊNDIOS ......................................................................... 9

2.2.1 - A curva do incêndio natural............................................................................. 9

2.2.2 - Curvas de incêndio nominais......................................................................... 11

2.2.3 - Curvas de incêndio paramétricas ................................................................... 12

2.2.4 - Curvas BFD ................................................................................................... 12

2.3 - ENSAIOS DE LABORATÓRIO ................................................................................... 15

2.3.1 - Generalidades................................................................................................. 15

2.3.2 - Ensaios-padrão de resistência ao fogo........................................................... 17

2.3.3 - Ensaios de elementos estruturais em fornos .................................................. 17

2.3.4 - Ensaios em escala real em Cardington .......................................................... 21

2.4 - VERIFICAÇÃO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS EM SITUAÇÃO DE INCÊNDIO ............. 24

2.4.1 - Obtenção da distribuição de temperatura....................................................... 25

2.4.2 - Propriedades mecânicas dos materiais em altas temperaturas....................... 27

2.5 - SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL EM INCÊNDIO........... 32

2.5.1 - Análise estrutural com não-linearidades geométrica e material .................... 32

2.5.2 - Análise térmica de estruturas em situação de incêndio ................................. 33

2.5.3 - Dimensionamento de estruturas em situação de incêndio ............................. 36

2.5.4 - Análise termomecânica de elementos estruturais .......................................... 39

2.5.5 - Comparação de resultados experimentais com análises numéricas............... 42

2.5.6 - Considerações finais ...................................................................................... 43

CAPÍTULO 3 - ANÁLISE TÉRMICA....................................................................... 44

3.1 - INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 44

3.2 - MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR........................................................ 44

3.2.1 - Condução ....................................................................................................... 45

3.2.2 - Convecção...................................................................................................... 49

3.2.3 - Radiação......................................................................................................... 59

3.3 - PROBLEMAS DE DOMÍNIO SÓLIDO .......................................................................... 62

3.4 - APLICAÇÃO DO MEF À TRANSFERÊNCIA DE CALOR .............................................. 63

3.4.1 - Método dos Resíduos Ponderados ................................................................. 63

3.4.2 - Equações básicas do MEF ............................................................................. 64

3.4.3 - Formulação para o MEF da transmissão de calor.......................................... 66

3.4.4 - Problemas estacionários................................................................................. 69

3.4.5 - Problemas transientes .................................................................................... 69

3.4.6 - Resolução do sistema de equações lineares................................................... 75

CAPÍTULO 4 - ANÁLISE MECÂNICA.................................................................... 78

4.1 - INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 78

4.2 - FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS COM BASE EM DESLOCAMENTOS............... 79

4.2.1 - Variáveis nodais............................................................................................. 79

4.2.2 - Relação entre deformações e deslocamentos em análises com pequenas

deformações................................................................................................... 81

4.2.3 - Relação entre tensões e deformações em análises com linearidade

material .......................................................................................................... 82

4.2.4 - Princípio dos Trabalhos Virtuais ................................................................... 84

4.3 - ANÁLISE NÃO-LINEAR GEOMÉTRICA ..................................................................... 86

4.3.1 - Definição do gradiente de deformação .......................................................... 87

4.3.2 - Medidas de deformações ............................................................................... 89

4.3.3 - Medidas de tensões ........................................................................................ 91

4.3.4 - Formulação para Elementos Finitos .............................................................. 93

4.3.5 - Matriz de rigidez tangente espacial ............................................................... 95

4.3.6 - Funções isotrópicas de tensores simétricos ................................................... 99

4.3.7 - Solução não-linear - Método de Newton-Raphson...................................... 104

4.3.8 - Modelos constitutivos elásticos para análises em grandes deformações..... 109

4.4

- ANÁLISE NÃO-LINEAR MATERIAL........................................................................ 110

4.4.1 - Critérios de escoamento independentes da tensão média ............................ 110

4.4.2 - Critérios de escoamento dependentes da tensão média ............................... 114

4.4.3 - Regras de encruamento................................................................................ 121

4.4.4 - Regra de fluxo e potencial plástico.............................................................. 125

4.4.5 - Definição do problema incremental constitutivo elasto-plástico................. 126

4.4.6 - Adaptação do problema incremental ao critério de von Mises.................... 128

4.4.7 - Adaptação do problema incremental ao critério de Drucker-Prager ........... 133

4.4.8 - Adaptação do Método de Newton-Raphson à não-linearidade material ..... 142

4.5

- ANÁLISE INCREMENTAL ...................................................................................... 149

4.5.1 - Corte automático do incremento de carga ................................................... 151

4.5.2 - Procedimentos mais apurados de convergência........................................... 152

vii

CAPÍTULO 5 - ANÁLISE TERMOMECÂNICA E IMPLEMENTAÇÃO

COMPUTACIONAL ....................................................................................... 155

5.1 - INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 155

5.2 - PROCESSO DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA TERMOMECÂNICO .................................. 156

5.2.1 - Cálculo das forças nodais devido às deformações térmicas ........................ 157

5.2.2 - Correção do incremento de deformações devido às deformações térmicas 158

5.2.3 - Cálculo de tensões na presença de deformações térmicas........................... 159

5.3 - VISÃO GERAL DO PROGRAMA THERSYS 2.0 .......................................................... 160

5.3.1 - Corte automático do incremento de tempo.................................................. 163

5.3.2 - Características do programa Thersys 2.0 ..................................................... 164

5.3.3 - Comunicação entre os programas Thersys 2.0 e GID.................................. 171

5.3.4 - Interface com o usuário................................................................................ 172

5.3.5 - Estruturação do programa Thersys 2.0 em classes ...................................... 182

CAPÍTULO 6 - ESTUDOS DE CASO E VALIDAÇÃO DO THERSYS 2.0......... 189

6.1 - GENERALIDADES................................................................................................. 189

6.2 - ANÁLISE TÉRMICA .............................................................................................. 192

6.2.1 - Pilar misto em perfil I totalmente revestido por concreto ........................... 192

6.3 - ANÁLISE MECÂNICA ........................................................................................... 194

6.3.1 - Flambagem de um pilar de aço em perfil I.................................................. 194

6.3.2 - Formação de rótula plástica em viga mista de aço e concreto..................... 201

6.3.3 - Viga de aço com alma senoidal sujeita à flexão.......................................... 206

6.4 - ANÁLISE TERMOMECÂNICA ................................................................................ 209

6.4.1 - Pilar de aço em perfil I com flexão no eixo de maior inércia...................... 209

6.4.2 - Pilar de aço em perfil I com flexão no eixo de menor inércia..................... 214

6.4.3 - Viga de aço com momentos fletores nas extremidades ............................... 218

6.4.4 - Viga de aço com alma senoidal sujeita à flexão.......................................... 221

6.4.5 - Pilar misto tubular preenchido com concreto .............................................. 227

6.4.6 - Viga mista de aço e concreto ....................................................................... 233

CAPÍTULO 7 - CONSIDERAÇÕES FINAIS.......................................................... 241

7.1 - DISCUSSÃO E CONCLUSÕES ................................................................................. 241

7.2 - AVALIAÇÃO GLOBAL DO TRABALHO ................................................................... 247

7.3 - SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ............................................................. 248

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................... 250

viii

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2.1 – Evolução da temperatura dos gases em um incêndio natural ................ 10

FIGURA 2.2 – Comparação entre a curva de incêndio-padrão e resultados de

ensaios ..................................................................................................................... 13

FIGURA 2.3 – Forno de ensaios do CTICM com as portas abertas e todos

queimadores trabalhando a plena potência, apenas para demonstração (fonte:

BARNNET, 1992)................................................................................................... 16

FIGURA 2.4 – Ensaio de uma viga mista no forno do Warrington Research Centre

(fonte: WAINMAN e KIRBY, 1988a).................................................................... 18

FIGURA 2.5 – Retirada da viga mista do forno após o ensaio (fonte: WAINMAN

e KIRBY, 1988a)..................................................................................................... 18

FIGURA 2.6 – Vista interna do forno mostrando o posicionamento dos termopares

na viga mista e o pilar indicativo no piso do forno (fonte: WAINMAN e

KIRBY, 1988a) ....................................................................................................... 19

FIGURA 2.7 – Forno do Warrington Research Centre para ensaios de pilares de

aço à compressão axial (fonte: WAINMAN e KIRBY, 1988a).............................. 20

FIGURA 2.8 – Ensaio de um pilar de aço à flexo-compressão no forno do CTICM

(fonte: BARNETT, 1992)........................................................................................ 21

FIGURA 2.9 – Edifício de estrutura mista utilizado nos ensaios em Cardington

(fonte: LAWSON, 2001)......................................................................................... 22

FIGURA 2.10 – Compartimento de escritório após o ensaio em Cardington (fonte:

LAWSON, 2001)..................................................................................................... 23

FIGURA 2.11 – Isotermas para um pilar de concreto de 300 mm x 300 mm (CEB) .... 25

FIGURA 2.12 – Fatores de redução para os aços estruturais ......................................... 28

FIGURA 2.13 – Fatores de redução para os concretos estruturais................................. 30

FIGURA 2.14 – Fatores de redução à tração para os concretos estruturais ................... 31

FIGURA 3.1 – Fluxo de calor em um elemento tridimensional infinitesimal ............... 46

FIGURA 3.2 – Formação da camada limite em um fluxo convectivo ........................... 52

FIGURA 3.3 – Resfriamento de uma placa quente horizontal com a face para baixo... 56

FIGURA 3.4 – Resfriamento de uma placa quente vertical ........................................... 56

FIGURA 3.5 – Resfriamento de uma placa quente horizontal com a face para cima.... 57

FIGURA 3.6 – Variação do coeficiente de convecção com a inclinação da placa......... 58

FIGURA 3.7 – Emissividade total de uma mistura de 10% CO

, 10% H

O e 80% N

... 60

FIGURA 3.8 – Absortividade total de uma mistura de 10% CO

, 10% H

O e 80% N

.... 61

FIGURA 3.9 – Condições de contorno em um problema de domínio sólido................. 62

FIGURA 3.10 – Variação da temperatura no intervalo de tempo ∆t.............................. 70

FIGURA 3.11 – Comparação da eficiência dos métodos de solução............................. 77

FIGURA 4.1 – Forças e deslocamentos nodais considerados em um elemento

finito tridimensional ................................................................................................ 80

FIGURA 4.2 – Vetores posição e movimento de um corpo sob deformação ................ 87

FIGURA 4.3 – Decomposição polar do gradiente de deformação................................. 88

FIGURA 4.4 – Iterações do Método de Newton-Raphson........................................... 104

FIGURA 4.5 – Método de Newton Raphson para pequenas deformações .................. 105

FIGURA 4.6 – Método de Newton-Raphson para grandes deformações..................... 106

FIGURA 4.7 – Critérios de escoamento de Tresca e von Mises .................................. 112

FIGURA 4.8 – Critérios de escoamento de Mohr-Coulomb e Drucker-Prager ........... 115

FIGURA 4.9 – Outros critérios de escoamento dependentes da tensão média ............ 118

FIGURA 4.10 – Curvas de falha e de fissuração para o concreto (Launay e Gachon

apud CHEN, 1988)................................................................................................ 120

FIGURA 4.11 – Regra de encruamento isotrópico....................................................... 121

FIGURA 4.12 – Regra de encruamento cinemático..................................................... 123

FIGURA 4.13 – Problema incremental constitutivo elasto-plástico ............................ 126

FIGURA 4.14 – Algoritmo implícito de integração das equações elasto-plásticas...... 127

FIGURA 4.15 – Algoritmo de integração implícito para o critério de von Mises ....... 129

FIGURA 4.16 – Algoritmo de Newton-Raphson para solução da equação de

retorno para o critério de von Mises...................................................................... 130

FIGURA 4.17 – Esquema de integração implícito para o critério de von Mises ......... 131

FIGURA 4.18 – Relação constitutiva tangente consistente para von Mises ................ 132

FIGURA 4.19 – Esquemas de integração implícitos para o critério de Drucker-

Prager..................................................................................................................... 135

FIGURA 4.20 – Seleção do algoritmo de retorno para o critério de Drucker-Prager .. 136

FIGURA 4.21 – Algoritmo de integração implícito para o critério de Drucker-

Prager..................................................................................................................... 137

FIGURA 4.22 – Algoritmo de retorno univetorial à superfície do cone de Drucker-

Prager..................................................................................................................... 138

FIGURA 4.23 – Algoritmo de retorno bivetorial ao ápice do cone de Drucker-

Prager..................................................................................................................... 139

FIGURA 4.24 – Relação constitutiva tangente consistente para Drucker-Prager........ 140

FIGURA 4.25 – Tangente consistente com o algoritmo de retorno à superfície do

cone ....................................................................................................................... 141

FIGURA 4.26 – Tangente consistente com o algoritmo de retorno ao ápice do cone . 141

FIGURA 4.27 – Método de Newton-Raphson para elasto-plasticidade em

pequenas deformações........................................................................................... 142

FIGURA 4.28 – Problema incremental finito elasto-plástico....................................... 145

FIGURA 4.29 – Método de Newton-Raphson para elasto-plasticidade em grandes

deformações........................................................................................................... 147

FIGURA 4.30 – Algoritmo incremental-iterativo com incrementos fixos e corte

automático dos incrementos de carga.................................................................... 150

FIGURA 4.31 – Método de comprimento de arco esférico para um sistema com

um grau de liberdade ............................................................................................. 154

FIGURA 5.1 – Algoritmo macro do programa Thersys 2.0......................................... 161

FIGURA 5.2 – Tipos de forças distribuídas em superfícies......................................... 168

FIGURA 5.3 – Interação entre o Thersys 2.0 e o GID por meio do problem type....... 171

FIGURA 5.4 – Tela de abertura do programa Thersys 2.0........................................... 172

FIGURA 5.5 – Tela principal do GID com o menu Thersys........................................ 173

FIGURA 5.6 – Tela de entrada dos dados gerais da análise......................................... 173

FIGURA 5.7 – Tela de configuração da análise mecânica........................................... 174

FIGURA 5.8 – Tela de configuração da análise térmica.............................................. 175

FIGURA 5.9 – Tela de seleção da curva de incêndio................................................... 175

FIGURA 5.10 – Tela de seleção dos materiais............................................................. 176

FIGURA 5.11 – Tela de ajuste do modelo de Drucker-Prager..................................... 176

FIGURA 5.12 – Tela de edição das propriedades dos materiais.................................. 177

FIGURA 5.13 – Tela de definição das restrições nodais.............................................. 178

FIGURA 5.14 – Tela de definição dos carregamentos nodais ..................................... 178

FIGURA 5.15 – Tela de definição dos carregamentos distribuídos............................. 178

FIGURA 5.16 – Telas de definição das condições de contorno térmicas .................... 179

FIGURA 5.17 – Tela de seleção dos resultados gerais................................................. 180

FIGURA 5.18 – Tela de seleção de um resultado específico ....................................... 180

FIGURA 5.19 – Tela de monitoramento da análise ..................................................... 181

FIGURA 5.20 – Relações funcionais entre as classes que compõem o Thersys 2.0.... 182

FIGURA 5.21 – Classe TFEShape e classes derivadas................................................ 184

FIGURA 5.22 – Classe TLBMaterial e classes derivadas............................................ 185

FIGURA 5.23 – Classe TFire e classes derivadas........................................................ 186

FIGURA 5.24 – Classe TSolver e classes derivadas .................................................... 187

FIGURA 5.25 – Classe TModel e classes derivadas .................................................... 187

FIGURA 5.26 – Classe TIsoFunc e classes derivadas.................................................. 188

FIGURA 6.1 – Dimensões e discretização do pilar misto............................................ 192

FIGURA 6.2 – Temperaturas obtidas na análise térmica (420 minutos)...................... 193

FIGURA 6.3 – Comparação das temperaturas entre o Thersys 2.0 e o ensaio............. 193

FIGURA 6.4 – Dimensões e discretização do pilar de aço bi-apoiado ........................ 194

FIGURA 6.5 – Resultados da flambagem elástica (pilar bi-apoiado) .......................... 195

FIGURA 6.6 – Comparação dos deslocamentos no centro do vão (flambagem

elástica do pilar bi-apoiado) .................................................................................. 196

FIGURA 6.7 – Resultados da flambagem elasto-plástica (pilar bi-apoiado) ............... 197

FIGURA 6.8 – Comparação dos deslocamentos no centro do vão (flambagem

elasto-plástica do pilar bi-apoiado) ....................................................................... 197

FIGURA 6.9 – Comportamento puramente plástico (rótula plástica).......................... 198

FIGURA 6.10 – Dimensões e discretização do pilar de aço engastado-livre............... 199

FIGURA 6.11 – Comparação dos deslocamentos na extremidade livre (flambagem

elástica do pilar engastado-livre)........................................................................... 199

FIGURA 6.12 – Resultados da flambagem elástica (pilar engastado-livre)................. 200

FIGURA 6.13 – Dimensões e carregamento do modelo de viga mista........................ 201

FIGURA 6.14 – Discretização do modelo de viga mista ............................................. 202

FIGURA 6.15 – Deslocamentos obtidos na análise da viga mista ............................... 203

FIGURA 6.16 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP1) ........................... 204

xii

FIGURA 6.17 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP2) ........................... 204

FIGURA 6.18 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP3) ........................... 205

FIGURA 6.19 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP4) ........................... 205

FIGURA 6.20 – Dimensões da viga de aço com alma senoidal................................... 206

FIGURA 6.21 – Discretização do modelo da viga de aço com alma senoidal............. 207

FIGURA 6.22 – Resultados obtidos na análise da viga com alma senoidal................. 207

FIGURA 6.23 – Deslocamentos obtidos na análise da viga com alma senoidal.......... 208

FIGURA 6.24 – Dimensões e discretização do pilar de aço ........................................ 209

FIGURA 6.25 – Resultados do pilar de aço (3 faces expostas).................................... 210

FIGURA 6.26 – Deslocamento horizontal no meio do comprimento (3 faces

expostas)................................................................................................................ 211

FIGURA 6.27 – Resultados do pilar de aço (4 faces expostas).................................... 212

FIGURA 6.28 – Deslocamento horizontal no meio do comprimento (4 faces

expostas)................................................................................................................ 213

FIGURA 6.29 – Dimensões e discretização do pilar de aço ........................................ 214

FIGURA 6.30 – Resultados do pilar de aço (

res

= 0,5) ............................................... 215

FIGURA 6.31 – Resultados do pilar de aço (

res

= 0,7) ............................................... 215

FIGURA 6.32 – Deslocamentos obtidos na análise do pilar de aço (

res

= 0,5)........... 216

FIGURA 6.33 – Deslocamentos obtidos na análise do pilar de aço (

res

= 0,7)........... 216

FIGURA 6.34 – Temperaturas na metade do comprimento (

res

= 0,5)....................... 217

FIGURA 6.35 – Dimensões da viga de aço analisada.................................................. 218

FIGURA 6.36 – Discretização e condições de contorno da viga de aço...................... 218

FIGURA 6.37 – Resultados da análise da viga de aço ................................................. 219

FIGURA 6.38 – Deslocamento vertical no centro do vão............................................ 220

FIGURA 6.39 – Dimensões da viga de aço com alma senoidal................................... 221

FIGURA 6.40 – Discretização do modelo da viga de aço com alma senoidal............. 222

FIGURA 6.41 – Resultados da viga com alma senoidal sem revestimento térmico

(SR) ....................................................................................................................... 223

FIGURA 6.42 – Resultados da viga com alma senoidal e com 12 mm de Blaze

Shield II na alma do perfil (BS12) ........................................................................ 224

FIGURA 6.43 – Resultados da viga com alma senoidal e com 25 mm de Blaze

Shield II na alma do perfil (BS25) ........................................................................ 225

xiii

FIGURA 6.44 – Deslocamento vertical no meio do vão da viga com alma senoidal .. 226

FIGURA 6.45 – Dimensões do pilar misto tubular preenchido com concreto............. 227

FIGURA 6.46 – Discretização do modelo do pilar misto tubular ................................ 228

FIGURA 6.47 – Resultados obtidos na análise do pilar misto (DP1) .......................... 229

FIGURA 6.48 – Resultados obtidos na análise do pilar misto (DP2) .......................... 229

FIGURA 6.49 – Resultados obtidos na análise do pilar misto (DP3) .......................... 230

FIGURA 6.50 – Resultados obtidos na análise do pilar misto (DP4) .......................... 230

FIGURA 6.51 – Deslocamentos na metade do comprimento do pilar misto ............... 231

FIGURA 6.52 – Comparativo de resultados (adaptado de RIBEIRO et al., 2008)...... 232

FIGURA 6.53 – Dimensões e carregamento do modelo de viga mista........................ 233

FIGURA 6.54 – Discretização do modelo de viga mista ............................................. 234

FIGURA 6.55 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP1) ........................... 235

FIGURA 6.56 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP2) ........................... 236

FIGURA 6.57 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP3) ........................... 237

FIGURA 6.58 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP4) ........................... 238

FIGURA 6.59 – Deslocamentos no meio do vão da viga mista................................... 239

xiv

LISTA DE TABELAS

TABELA 1.1 – Número de incêndios por ano em edificações no Estado de São

Paulo (SEITO et al., 2008)........................................................................................ 2

TABELA 1.2 – Estatísticas do Corpo de Bombeiros do Estado de SP, E.U.A. e

Reino Unido (SEITO et al., 2008) ............................................................................ 3

TABELA 1.3 – Causas possíveis de incêndios no Estado de São Paulo no ano de

2006 (SEITO et al., 2008)......................................................................................... 4

TABELA 2.1 – Valores de

, t

e s

utilizados na expressão de BARNETT

(2002a)..................................................................................................................... 14

TABELA 2.2 – Fatores de redução para os aços estruturais .......................................... 27

TABELA 2.3 – Fatores de redução para os concretos estruturais.................................. 29

TABELA 3.1 – Expressões para obtenção das propriedades térmicas do ar

atmosférico .............................................................................................................. 53

TABELA 3.2 – Obtenção do número de Nusselt ........................................................... 54

TABELA 3.3 – Coeficientes de convecção ajustados por minimização do erro............ 57

TABELA 4.1 – Tipos de análise quanto à variação da geometria.................................. 86

TABELA 5.1 – Elementos finitos previstos pelo Thersys 2.0...................................... 167

TABELA 6.1 – Convenção de símbolos adotada nas figuras....................................... 191

TABELA 6.2 – Tempo de resistência ao incêndio para o pilar de aço......................... 213

TABELA 6.3 – Comparação do tempo de resistência ao incêndio .............................. 217

TABELA 6.4 – Comparação do tempo de resistência ao incêndio .............................. 220

LISTA DE SÍMBOLOS

Letras romanas minúsculas

c calor específico, coesão do material segundo o critério de Mohr-Coulomb

resistência ao escoamento do aço estrutural laminado

resistência à compressão uniaxial do concreto

resistência ao escoamento do aço estrutural trefilado

resistência à tração uniaxial do concreto

g aceleração da gravidade (9,81 m/s

)

coeficiente de redução da resistência à compressão uniaxial do concreto com a

temperatura

coeficiente de redução do módulo de Young do aço laminado com a temperatura

Ec,

coeficiente de redução do módulo de Young do concreto com a temperatura

sE,

coeficiente de redução do módulo de Young do aço trefilado com a temperatura

sy,

coeficiente de redução da resistência ao escoamento do aço trefilado com a

temperatura

coeficiente de redução da resistência à tração uniaxial do concreto com a

temperatura

coeficiente de redução da resistência ao escoamento do aço laminado com a

temperatura

p tensão hidrostática

q fluxo de calor (quantidade de calor por unidade de área e por unidade de tempo)

t tempo decorrido desde a ignição do incêndio

u/A fator de massividade (relação entre o perímetro da seção transversal exposto ao

incêndio e a sua respectiva área)

Letras romanas maiúsculas

A área

módulo de Young do aço estrutural laminado

xvi

módulo de Young do concreto

c,sec,

módulo secante do concreto em alta temperatura

módulo de Young do aço estrutural trefilado

módulo tangente do material (em regime elasto-plástico)

G módulo de cisalhamento

primeiro invariante do tensor de tensões

segundo invariante do tensor de tensões

terceiro invariante do tensor de tensões

segundo invariante do tensor de tensões desviadoras

terceiro invariante do tensor de tensões desviadoras

K módulo de elasticidade volumétrico

L comprimento de um elemento estrutural, comprimento característico (dimensão

sobre a qual se desenvolvem as correntes de convecção)

M momento fletor aplicado no elemento estrutural

momento fletor correspondente à plastificação da seção transversal

N força axial de compressão aplicada no elemento estrutural

força axial de compressão correspondente à flambagem teórica de Euler

força axial de compressão correspondente à plastificação da seção transversal

medida do grau de proximidade de uma regressão em relação aos dados reais

Letras romanas minúsculas em negrito

a matriz completa do módulo tangente espacial consistente

ext

vetor das forças externas

int

vetor das forças internas (devido às tensões internas)

f vetor de fluxos nodais equivalentes

i representação vetorial do tensor identidade de segunda ordem

r vetor das forças residuais

s vetor de tensões desviadoras

u vetor de deslocamentos nodais

xvii

Letras romanas maiúsculas em negrito

B operador gradiente discreto (para pequenas deformações), tensor de deformação

de Cauchy-Green pela esquerda

C tensor de deformação de Cauchy-Green pela direita

D matriz de condutividade térmica, matriz da relação constitutiva

matriz da relação constitutiva elástica

matriz da relação constitutiva elasto-plástica

F gradiente de deformação

∆

gradiente de deformação incremental

G operador gradiente espacial completo (para grandes deformações)

representação matricial do tensor identidade simétrico de quarta ordem

J matriz Jacobiana da transformação de coordenadas

K matriz de rigidez térmica, matriz de rigidez mecânica

matriz de rigidez tangente espacial

M matriz de massa

N vetor das funções de forma, vetor de fluxo plástico

U tensor de mudança de forma pela direita

V tensor de mudança de forma pela esquerda

Letras gregas minúsculas

coeficiente combinado de transmissão de calor por convecção e radiação,

difusividade térmica, coeficiente de dilatação térmica

coeficiente de convecção (W/m

ºC)

coeficiente de transmissão de calor por radiação

esquema de integração temporal

∂ gradiente, derivada

cu,

deformação correspondente à resistência à compressão uniaxial do concreto em

alta temperatura

deformação plástica acumulada

res

emissividade resultante de uma superfície

deformação térmica (m/m)

xviii

inclinação da normal da superfície em relação ao vetor da gravidade g, ângulo de

atrito interno do material segundo o critério de Mohr-Coulomb

condutividade térmica, fator de carga

viscosidade cinemática, coeficiente de Poisson

temperatura do material, terceira coordenada de Haigh-Westergaard

temperatura ambiente inicial, geralmente adotada igual a 20ºC

temperatura do aço

temperatura do concreto

temperatura do fluido (gases quentes oriundos do incêndio)

temperatura em um ponto qualquer do sólido

densidade (massa por unidade de volume)

tolerância dos algoritmos iterativos de resolução de sistema de equações

abs

tolerância do método iterativo simples em valor absoluto da variável

considerada como critério de convergência

perc

tolerância do método iterativo simples em termos de porcentagem da norma da

variável considerada como critério de convergência

tol

tolerância do método de Newton-Raphson em termos de porcentagem da norma

da variável considerada como critério de convergência

Letras gregas maiúsculas

∇ operador diferencial (gradiente)

∆ variação, incremento

∆

multiplicador plástico

∆t incremento de tempo

Φ função matemática do critério de escoamento

contorno do corpo sólido com uma condição de contorno x qualquer especificada

Ω domínio do corpo sólido

Ψ função de potencial plástico

xix

Letras gregas minúsculas em negrito

δ delta de Kronecker

vetor de deformações quaisquer, vetor de deformações totais

ε vetor de deformações desviadoras

vetor de deformações elásticas

ε vetor de deformações plásticas

ε vetor de deformações térmicas

vol

ε vetor de deformações volumétricas

vetor de tensões de Cauchy

τ vetor de tensões de Kirchhoff

RESUMO

RIBEIRO, J. C. L. Ferramenta computacional para simulação via Método dos

Elementos Finitos do comportamento termomecânico tridimensional de estruturas

em situação de incêndio. Tese de Doutorado. 259p. Programa de Pós-Graduação em

Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia, Universidade Federal de Minas

Gerais. Belo Horizonte, 2009.

Nos últimos anos, vários países têm se preocupado com a análise e o projeto de

estruturas metálicas e mistas em situação de incêndio. No Brasil, a norma ABNT NBR

14323:1999, relacionada às estruturas de aço e estruturas mistas de aço e concreto,

encontra-se atualmente em processo de revisão. O texto-base de revisão dessa norma,

fundamentado principalmente em pesquisas e normas européias (EN 1992-1-2:2004,

EN 1993-1-2:2005 e EN 1994-1-2:2005), permite o dimensionamento de estruturas

metálicas e mistas em situação de incêndio por meio de resultados de ensaios, de

métodos avançados de análise estrutural e térmica e de métodos simplificados.

Considerando-se o conservadorismo intrínseco dos métodos simplificados, os elevados

custos envolvidos na realização de ensaios e a rara disponibilidade de programas de

computador amigáveis que permitam o uso de análises avançadas, o presente trabalho

tem por objetivo o desenvolvimento de uma ferramenta computacional para simulação

do comportamento de elementos estruturais em situação de incêndio via análise

termomecânica transiente e não-linear de modelos tridimensionais, com base no Método

dos Elementos Finitos. Vários exemplos de elementos estruturais de aço e mistos foram

modelados e os resultados obtidos foram comparados e avaliados criticamente face a

resultados de procedimentos de normas européias e de valores provenientes de literatura

especializada. A ferramenta desenvolvida neste trabalho se mostrou capaz de realizar

análises avançadas e de fornecer subsídios para avaliação dos métodos simplificados

propostos em normas, de modo que esses métodos possam ser melhorados e otimizados.

Palavras-chave: análise termomecânica, segurança contra incêndio, Método dos

Elementos Finitos, estruturas metálicas, estruturas mistas.

xxi

ABSTRACT

RIBEIRO, J. C. L. Computational program for Finite Element Method simulation of

thermomechanical behavior of three-dimensional structures in fire condition.

Doctoral Thesis. 259p. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas,

Escola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais. Belo Horizonte, 2009.

The last years in world, many countries have concerned about analysis and design of

structures exposed to fire. In Brazil, the code ABNT NBR 14323:1999 – dealing with

steel and composite structures – is currently being reviewed. The review proposal text

for this norm has its basis on European research works and standards (EN 1992-1-

2:2004, EN 1993-1-2:2005 and EN 1994-1-2:2005). This norm presents procedures for

designing steel and composite structures in fire condition by test results, advanced

methods of structural and thermal analyses and simplified methods. Considering the

intrinsic conservatism of the simplified methods, the high costs in testing and the

difficulty in having access to computer friendly software that permits advanced analysis,

this work had as objective to develop a computer software for simulation of structural

behavior under fire condition by transient and nonlinear three-dimensional

thermomechanical analysis, based on the Finite Element Method. Several examples of

steel and composite structural elements were analyzed. The obtained results were

compared and critically evaluated considering the procedures of European standards and

results from the technical literature. The computer software proved to be a powerful tool

doing advanced nonlinear analysis and providing means of validation for the simplified

methods proposed in standards in order to improve and optimize them.

Key words: thermomechanical analysis, fire safety, Finite Element Method, steel

structures, composite structures.

CAPÍTULO 1 - Introdução

INTRODUÇÃO

1.1 - Generalidades

De forma cada vez mais intensa, vários países, em especial os desenvolvidos, têm se

preocupado em estabelecer regras e procedimentos mais avançados e realísticos para

garantir a segurança das edificações em situação de incêndio. Essa preocupação advém

da necessidade de se minimizar o risco à vida e reduzir a perda patrimonial,

conseqüências potenciais de um incêndio.

O risco à vida humana provém da exposição severa dos usuários da edificação à fumaça

ou ao calor e do eventual desabamento de elementos construtivos sobre os usuários ou

sobre a equipe de combate ao incêndio. A perda patrimonial se deve à destruição parcial

ou total da edificação provocada pelo incêndio, dos estoques, documentos,

equipamentos e acabamentos da edificação.

A segurança contra incêndio consiste da combinação de sistemas de proteção ativos

(detecção de calor ou fumaça, chuveiros automáticos, corpo de bombeiros, entre outros)

e passivos (resistência ao fogo das estruturas, compartimentação, saídas de emergência

e outros). Esses sistemas devem garantir a fuga dos ocupantes da edificação, minimizar

os danos à própria edificação, às edificações adjacentes e à infra-estrutura pública, e

ainda a segurança das operações de combate ao incêndio. O foco do presente trabalho

situa-se no estudo da resistência ao fogo de elementos estruturais e subsistemas de aço e

mistos de aço e concreto.

Todos os países têm aprendido com os grandes incêndios e com o Brasil não foi

diferente. A urbanização alucinante dos grandes centros provocou um aumento brutal do

risco desse tipo de sinistro. Em São Paulo, esse fato culminou com os incêndios dos

edifícios Andraus e Joelma, com um grande número de vítimas, não apenas as que

morreram, mas também as pessoas envolvidas diretamente nesses incêndios que tiveram

suas vidas afetadas, causando várias mudanças comportamentais e traumas psicológicos

pós-incêndio. Indiretamente, toda a população brasileira foi afetada, pois a televisão

apresentou ao vivo essas tragédias (SEITO et al., 2008).

Outras tragédias seguiram-se no país, com vítimas nas cidades do Rio de Janeiro e de

Porto Alegre, entre outras. Essas tragédias provocaram mudanças na legislação, nas

corporações de bombeiros, nos institutos de pesquisa e, principalmente, foi iniciado um

processo de formação de técnicos e pesquisadores preocupados com essa área do

conhecimento.

Para se ilustrar a importância desse tema, pode-se observar na TAB.1.1 o crescimento

das estatísticas do número de incêndios por ano em edificações no Estado de São Paulo,

segundo levantamento feito pelo Corpo de Bombeiros (SEITO et al., 2008).

TABELA 1.1 – Número de incêndios por ano em edificações no

Estado de São Paulo (SEITO et al., 2008)

Tipo de

edificação

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Residencial 5342 5670 4930 4894 5729 6183 6352 6833

Comercial 1654 1600 901 1517 1674 1780 1687 1884

Industrial 1020 1071 1586 850 1041 1077 993 1006

Total 8016 8341 7417 7261 8444 9040 9032 9723

O Brasil ainda carece de uma centralização das estatísticas de incêndio, sendo que a

maioria dos dados é obtida de modo fragmentado, por meio de cada Corpo de

Bombeiros da Federação. Por esse mesmo motivo, não há uma terminologia

padronizada para apresentação das estatísticas entre os Corpos de Bombeiros, sendo

difícil fazer comparações.

Com relação ao número de óbitos por incêndio, a TAB.1.2 mostra resumidamente a

comparação entre as estatísticas do Corpo de Bombeiros do Estado de São Paulo,

E.U.A. e Reino Unido. Nessa tabela pode-se observar que a situação no Brasil em 2003

era mais grave que a situação nos E.U.A e Reino Unido em 1995. Em outras palavras,

fica evidente a pouca importância e o tratamento tardio que foram dados à segurança

contra incêndio no Brasil.

TABELA 1.2 – Estatísticas do Corpo de Bombeiros do Estado de SP,

E.U.A. e Reino Unido (SEITO et al., 2008)

Local

Total de

incêndios

Óbitos

Risco de óbito/

1000 incêndios

Observações

Estado de SP 7156 76 10,6 Ano base 2003

Reino Unido 68376 549 8,1 Ano base 1995

E.U.A. 425500 3695 8,7 Ano base 1995

E.U.A. 379900 1440 3,8 Ano base 1997

Ainda de acordo com as estatísticas do Corpo de Bombeiros do Estado de São Paulo, no

ano de 2004 ocorreram 37.975 incêndios de diferentes proporções somente no Estado de

São Paulo, sendo que em cerca de metade deles não foi possível determinar a causa real.

Nos demais casos, as instalações elétricas inadequadas, que acabam causando curtos-

circuitos e sobrecargas, só ficam atrás dos “atos incendiários” provocados por

vandalismo ou doença mental.

A TAB.1.3 mostra o percentual aproximado das causas possíveis de incêndios no

Estado de São Paulo no ano de 2006. Deve-se atentar para o fato de que os incêndios

relatados nessa tabela, bem como no parágrafo anterior, incluem todos os incêndios para

os quais o Corpo de Bombeiros foi acionado, ou seja, considerando incêndios em

edificações residenciais, comerciais e industriais e incêndios florestais.

TABELA 1.3 – Causas possíveis de incêndios no Estado de São Paulo

no ano de 2006 (SEITO et al., 2008)

Causa Possível Incêndios Percentual

Ato incendiário 13653 27,0 %

Instalações elétricas inadequadas 3677 7,3 %

Displicência ao cozinhar 1059 2,0 %

Prática de ações criminosas 966 1,9 %

Ignição espontânea 909 1,8 %

Brincadeira de crianças 705 1,4 %

Displicência de fumantes com pontas de cigarro/fósforo 696 1,3 %

Superaquecimento de equipamento 591 1,2 %

Outras causas 26652 52,7 %

Nos últimos anos no Brasil, com o crescimento do número de incêndios mostrado nas

estatísticas, houve um aumento significativo do interesse pela análise e projeto de

estruturas metálicas e mistas em situação de incêndio. Dessa forma, a partir de

pesquisas realizadas em algumas universidades, entre elas a UFMG, a USP e a UFOP,

desenvolveu-se uma norma sobre esse assunto, a ABNT NBR 14323:1999.

Atualmente, a ABNT NBR 14323:1999 se encontra em processo de revisão. Uma

comissão formada por pesquisadores de renomadas universidades brasileiras e por

profissionais de conceituadas empresas e entidades representativas elaborou o texto-

base de revisão dessa norma, tornado público em agosto de 2003 e atualmente em fase

de ajustes para ser submetido à apreciação da Comissão de Estudos do Comitê

Brasileiro de Construção Civil da ABNT (CB-02).

O texto-base de revisão da ABNT NBR 14323:1999, que será tratado neste trabalho

como PR-NBR 14323:2003, é fundamentado principalmente em pesquisas e normas

européias (EN 1992-1-2:2004, EN 1993-1-2:2005 e EN 1994-1-2:2005) e permite o

dimensionamento de estruturas metálicas e mistas em situação de incêndio por meio de

resultados de ensaios, de métodos avançados de análise estrutural e térmica e de

métodos simplificados.

A realização de ensaios para situações específicas raramente é feita na prática, tendo em

vista a necessidade de laboratórios altamente especializados e os altos custos

envolvidos. O uso de um método avançado de análise estrutural e térmica, no qual os

princípios da engenharia de incêndio são aplicados de maneira realística a situações

específicas, também dificilmente ocorre, pois exige estudos complexos e programas de

computador sofisticados, raramente disponíveis, de custo elevado e de manuseio pouco

amigável. Nessas circunstâncias, normalmente se opta pelo emprego de métodos

simplificados, que se resumem na interpretação de tabelas ou no uso de procedimentos

analíticos elementares, considerando os elementos estruturais isolados e com

distribuição de temperatura pouco precisa, o que geralmente conduz a resultados

conservadores e, portanto, contrários à economia.

Nesse contexto, este trabalho foi dedicado ao dimensionamento de estruturas de aço e

mistas usando-se um método avançado de análise estrutural e térmica. Foi implementado

um programa de computador com base no Método dos Elementos Finitos, com

elementos tridimensionais, para simulação do comportamento de elementos estruturais

de aço e mistos em situação de incêndio. Procurou-se validar a ferramenta computacional

desenvolvida por meio de comparações com métodos de dimensionamento analítico já

consolidados, com resultados experimentais constantes em literatura especializada e

com outros métodos apresentados nas normas européias utilizadas como base para o

PR-NBR 14323:2003 (EN 1992-1-2:2004, EN 1993-1-2:2005 e EN 1994-1-2:2005).

1.2 - Objetivos

Este trabalho tem por objetivo a implementação de um algoritmo com base no Método

dos Elementos Finitos para análise termomecânica acoplada de estruturas

tridimensionais de aço e mistas de aço e concreto em situação de incêndio, tornando

possível:

• obter a distribuição de temperatura, tensões e deformações em qualquer ponto de

um elemento estrutural sob efeito de uma variação térmica, com ou sem material

de revestimento contra fogo;

• analisar o comportamento de elementos e subsistemas estruturais em situação de

incêndio, sob regime de grandes deslocamentos e grandes deformações;

• obter a capacidade resistente de elementos isolados ou de subsistemas

estruturais, buscando substituir os onerosos ensaios realizados em fornos;

• verificar a capacidade de isolamento térmico de elementos de

compartimentação.

1.3 - Justificativa do tema

Em pesquisas no nível de mestrado, realizadas na própria UFMG, FIGUEIREDO

JÚNIOR (2002) e RIBEIRO (2004) demonstraram que o uso do Método dos Elementos

Finitos na análise térmica de estruturas submetidas à condição de incêndio conduz a

resultados muito bons, semelhantes aos obtidos em ensaios de laboratório.

Internacionalmente, entre diversos outros pesquisadores, VILA REAL (1988 e 1993)

utilizou o Método dos Elementos Finitos na análise termomecânica de sólidos obtendo

também bons resultados. Foster e seus colaboradores (FOSTER et al., 2004), por meio

do programa Vulcan, com base no Método dos Elementos Finitos, obtiveram resultados

numéricos muito próximos dos valores obtidos em ensaios de incêndio.

Adicionalmente, JOHANSSON e GYLLTOFT (2001) mostraram que a simulação

numérica de pilares mistos em situação de incêndio, por meio do programa Abaqus,

conduz a resultados muito precisos, quando comparados com ensaios experimentais.

No Brasil, LANDESMANN (2003) e CALDAS (2008) demonstraram que o uso da

análise termomecânica permite simular com boa precisão o comportamento das

estruturas aporticadas em situação de incêndio.

Como se pode observar, o Método dos Elementos Finitos é uma ferramenta poderosa

para simulação do comportamento das estruturas, tanto a temperatura ambiente quanto

em situação de incêndio, fornecendo bons resultados, próximos dos observados em

ensaios.

No entanto, observa-se que a grande maioria dos pesquisadores tem trabalhado com

programas que utilizam elementos do tipo viga-pilar, como se pode constatar mais

adiante no subitem 2.5. Esses programas são mais rápidos e mais fáceis de ser

utilizados, mas envolvem várias simplificações para modelagem do comportamento

mecânico e para determinação da distribuição de temperatura na seção transversal dos

elementos. Alguns poucos programas, geralmente comerciais, permitem a modelagem

de uma estrutura com elementos tridimensionais tetraédricos e hexaédricos, entretanto,

são de uso difícil e exigem um grande esforço para modelagem do problema em

situação de incêndio, por não serem desenvolvidos especificamente para tal tipo de

análise.

O tema deste trabalho tem sua relevância calcada na importância de se ter um método

avançado para simulação do comportamento de elementos isolados e de subsistemas

estruturais de aço e mistos, no campo tridimensional, e ainda, de se ter uma ferramenta

computacional de uso simples, especialmente desenvolvida para este tipo de análise e

com facilidade para posterior evolução do código em face às pesquisas futuras.

Salienta-se que este trabalho busca viabilizar, a custos reduzidíssimos, um número

bastante grande de simulações, permitindo inclusive a avaliação dos atuais

procedimentos de cálculo das normas nacionais e internacionais e o desenvolvimento de

novos métodos simplificados de cálculo.

Sendo totalmente produzido no Brasil, este trabalho terá possibilidade de ser

posteriormente ampliado, permitindo o desenvolvimento de novas frentes de pesquisa.

1.4 - Organização do texto

Na estruturação do presente trabalho, o capítulo 2 apresenta a revisão bibliográfica,

focada em informações sobre várias curvas de incêndios (nominais e paramétricas), nos

conceitos envolvidos nos ensaios de laboratório para simulação do comportamento de

elementos estruturais em situação de incêndio e nas considerações das normas EN 1992-

1-2:2004, EN 1993-1-2:2005 e EN 1994-1-2:2005 para verificação da resistência de

elementos estruturais em situação de incêndio. Ao final, são mostrados alguns dos

trabalhos mais importantes desenvolvidos na área de Engenharia de Segurança Contra

Incêndio.

No capítulo 3 são apresentados os conceitos básicos dos principais mecanismos de

transferência de calor: condução, convecção e radiação, bem como o desenvolvimento

teórico da formulação para análise térmica via Método dos Elementos Finitos de

problemas de domínios sólidos.

No capítulo 4 são discutidos os conceitos e formulações para a análise não-linear

geométrica, os critérios elasto-plásticos empregados em análise não-linear material e os

algoritmos iterativo-incrementais para solução dessas formulações. Nesse capítulo são

apresentados também os conceitos e modo de funcionamento do algoritmo de corte

automático do incremento de carga.

O capítulo 5 apresenta a teoria envolvida no acoplamento entre as análises térmica e

mecânica, relativa à consideração das deformações térmicas na análise mecânica.

Adicionalmente, é mostrada a ferramenta computacional desenvolvida neste trabalho

para simulação do comportamento de estruturas de aço e mistas de aço e concreto em

situação de incêndio. São apresentadas as principais características do programa, sua

interação com o pré e pós-processador gráfico utilizado, interface com o usuário e a

estruturação do programa em classes.

No capítulo 6 são mostrados os modelos analisados neste trabalho, envolvendo várias

geometrias, materiais e condições de contorno. Os resultados obtidos com a análise

numérica são comparados com resultados disponíveis na literatura e com aqueles

obtidos pelos procedimentos prescritos no EN 1992-1-2:2004, EN 1993-1-2:2005 e

EN 1994-1-2:2005, visando validar o programa desenvolvido neste trabalho e

demonstrar a sua aplicabilidade.

O capítulo 7 apresenta as conclusões, envolvendo os estudos de caso analisados, a

avaliação global deste trabalho e recomendações para pesquisas futuras.

Salienta-se que, embora alguns assuntos sejam relativamente conhecidos, em especial os

conceitos apresentados nos capítulos 2 a 4, optou-se por incluí-los neste trabalho para

tornar o texto mais compreensível como um todo e mais fácil de ser consultado.

CAPÍTULO 2 - Revisão Bibliográfica

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 - Generalidades

Este capítulo apresenta as características dos incêndios, discorrendo-se sobre as curvas

de incêndios naturais, nominais e paramétricas, os conceitos envolvidos nos ensaios em

laboratório para simulação do comportamento de elementos estruturais em situação de

incêndio e as linhas gerais que as normas EN 1992-1-2:2004, EN 1993-1-2:2005 e

EN 1994-1-2:2005 utilizam como base para verificação da resistência de elementos

estruturais. Ao final, são mostrados alguns trabalhos desenvolvidos na área de

Engenharia de Segurança Contra Incêndio.

2.2 - Características dos incêndios

2.2.1 - A curva do incêndio natural

Para a ocorrência de um incêndio, é necessária a existência simultânea de três fatores:

uma fonte de calor, o combustível e o comburente (o oxigênio). O início do incêndio se

dá quando a mistura (combustível e oxigênio) está na temperatura suficiente para que

ocorra a combustão.

A principal característica descritiva de um incêndio em uma edificação é a curva que

fornece a temperatura dos gases (

) em função do tempo de incêndio, mostrada de

forma genérica na FIG.2.1.

Tempo

Flashover

(inflamação generalizada)

abcd

FIGURA 2.1 – Evolução da temperatura dos gases em um incêndio natural

A partir dessa curva, é possível se obter a máxima temperatura atingida pelos elementos

estruturais e, portanto, determinar suas resistências ao incêndio. Essa curva apresenta

quatro fases sucessivas:

Fase inicial ou fase de ignição, durante a qual as temperaturas permanecem baixas

e o incêndio é considerado de pequenas proporções, sem riscos à estrutura. No

entanto, é uma fase crítica quanto à salvaguarda de vidas humanas, pois é a fase

em que se produzem os gases tóxicos.

Fase de propagação, durante a qual o fogo se espalha por radiação ou por contato

direto, dando-se, em um determinado instante, a inflamação súbita dos gases, de

modo que o incêndio propaga-se a todo o compartimento. Esse momento é

denominado flashover ou inflamação generalizada, sendo o instante a partir do

qual as temperaturas aumentam rapidamente.

Fase de desenvolvimento pleno, decorrendo-se a queima do material combustível e

mantendo-se as temperaturas praticamente constantes.

Fase de extinção ou fase de arrefecimento, com uma diminuição progressiva da

temperatura dos gases por falta de combustível, oxigênio ou por resfriamento

externo (bombeiros ou outros).

2.2.2 - Curvas de incêndio nominais

A curva temperatura × tempo de incêndio depende da geometria do compartimento

incendiado, das características térmicas dos materiais de vedação, da quantidade de

material combustível e do grau de ventilação do ambiente. Simplificadamente, os

regulamentos apresentam várias maneiras de modelar a temperatura dos gases em um

compartimento incendiado por meio de curvas de incêndios nominais e paramétricas.

As curvas nominais são curvas convencionadas que podem ser definidas por uma

fórmula simples e independem da dimensão ou tipo dos edifícios. O EN 1991-1-2:2002

estabelece três curvas de incêndios nominais:

Incêndio-padrão da ISO 834-1 (1999):

(

)

18log345

(2.1)

Incêndio para elementos exteriores:

(

)

θθ

+−−=

−− 8,332,0

313,0687,01660

(2.2)

Incêndio de hidrocarbonetos:

(

)

θθ

+−−=

−− 5,2167,0

675,0325,011080

(2.3)

onde

é a temperatura dos gases no tempo t (em ºC),

é a temperatura ambiente

inicial, geralmente adotada igual a 20ºC, e t é o tempo decorrido desde a ignição do

fogo (em minutos).

VILA REAL (2003) enfatiza que a curva de incêndio padrão da ISO 834-1 (1999) é a

utilizada nos ensaios de laboratório em fornos para determinação da resistência ao fogo

dos elementos estruturais. Embora com pouca realidade física, o propósito da utilização

desta curva normalizada foi, e continua a ser, o de unificar os programas térmicos dos

ensaios em fornos, permitindo a comparação de resultados experimentais obtidos em

laboratórios diferentes.

2.2.3 - Curvas de incêndio paramétricas

O EN 1991-1-2:2002 também define, no Anexo A, as curvas paramétricas de evolução

da temperatura em função do tempo, que, contrariamente às curvas nominais, dependem

de certos parâmetros físicos:

•

densidade de carga de incêndio (quanto maior a carga de incêndio, maior será a

duração do incêndio);

•

condições de arejamento, função principalmente da geometria, dimensões e

distribuição das aberturas do compartimento (grandes aberturas de ventilação

implicam em incêndios rápidos, porém mais severos);

•

propriedades das paredes envolventes do compartimento de incêndio (paredes que

absorvem energia limitam a temperatura do incêndio).

Diferentemente das curvas nominais, as curvas paramétricas distinguem-se por

possuírem a fase de arrefecimento. Assim, essas curvas pretendem traduzir de modo

mais apropriado os incêndios reais, considerando os principais parâmetros que

influenciam a extensão e o desenvolvimento dos incêndios. As expressões relativas às

curvas paramétricas e suas limitações quanto ao fator de abertura, fator de absorção de

energia pelas paredes, carga de incêndio, área máxima de piso e altura máxima do

compartimento, podem ser consultadas diretamente no EN 1991-1-2:2002.

2.2.4 - Curvas BFD

BARNETT (2002a e 2002b) propõe em seu trabalho uma expressão geral para

modelagem de curvas de incêndio, denominadas por ele de “curvas BFD”, dada por:

mog

−

θθθ

(2.4)

onde

é a temperatura dos gases no tempo t (em ºC),

é a temperatura ambiente

inicial (em ºC),

é o incremento máximo de temperatura acima de

(em ºC) e z é o

coeficiente temporal adimensional dado por:

(

)

sttz /lnln

−=

(2.5)

sendo t o tempo decorrido desde a ignição do fogo (em minutos), t

o tempo em que

ocorre (em minutos) e s

o fator de forma da curva.

A FIG.2.2 ilustra algumas curvas de incêndio possíveis de serem obtidas por ajuste da

expressão de Barnett com dados de testes realizados em laboratório. Essa figura mostra

também a curva do incêndio-padrão apenas para fins de comparação.

200

400

600

800

1000

1200

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180

Tempo (min)

Temperatura dos gases (ºC)

Incêndio-padrão

Car test

Odeen test

Cardinton test 5

Swedish test D2

FIGURA 2.2 – Comparação entre a curva de incêndio-padrão e resultados de ensaios

A expressão proposta por Barnett utiliza apenas três fatores distintos para descrever

qualquer curva de incêndio: a máxima temperatura dos gases, o tempo (no qual essa

temperatura ocorre) e uma constante de forma para a curva. A constante de forma é um

número adimensional, que pode ser obtido em correlação com o coeficiente de pirólise e

o fator de abertura (ventilação) do compartimento. A TAB.2.1 mostra os valores dos

três fatores citados para alguns tipos de ensaios citados em literatura.

TABELA 2.1 – Valores de

, t

e s

utilizados na expressão de BARNETT (2002a)

Ensaios citados

em literatura

(ºC)

(min) s

Odden test 860 48 0,7

Car test 590 13 1,0

Swedish test D2 850 21 1,6

EBS test 22 930 18 1,8

JFRO test R 800 10 1,8

JFRO test Q 1070 13 1,7

EBS test 9 1125 19 1,3

EBS test 16 1030 11 1,2

CIB / W14 (a) 960 15 0,3

CIB / W14 (b) 980 20 1,2

CTICM test 35 1120 14 1,7

CTICM test 63 1242 9 1,6

Cardington test 2 1100 29 0,8

Cardington test 5 1160 39 1,6

Cardington test 6 740 115 4,5

Cardington test 7 1260 19 1,9

Uma outra vantagem da expressão de Barnett consiste no fato de utilizar-se apenas uma

expressão para a fase de aquecimento e resfriamento do incêndio, ao contrário da curva

paramétrica proposta pelo EN 1991-1-2:2002, que utiliza duas expressões.

Barnett utilizou 142 ensaios de incêndio, obtidos da literatura, para modelar sua

expressão, sendo que 87% dos dados se ajustaram muito bem. Os combustíveis

utilizados para os ensaios foram: madeiras, petróleo, querosene, poliuretano,

automóveis, cadeiras e mobílias. A massa total de combustível variou entre 3 kg e

5100 kg e as temperaturas máximas de incêndio entre 500ºC e 1200ºC.

2.3 - Ensaios de laboratório

2.3.1 - Generalidades

A compreensão de um aspecto do comportamento de uma estrutura sempre se inicia a

partir de observações do comportamento de modelos físicos de experimentos

cuidadosamente planejados e executados ou de acidentes. De modo geral, incêndios

acidentais podem contribuir com algumas especulações qualitativas enquanto que

somente experimentos planejados fornecem resultados mais precisos e uma melhor

compreensão quantitativa dos fenômenos (WANG, 2002).

A realização de ensaios em fornos tem por objetivo a avaliação criteriosa do

comportamento de elementos ou de subsistemas estruturais expostos a um incêndio de

interesse. Esse tipo de experimento, praticado por vários laboratórios, implica em

incertezas devido:

•

aos resultados de ensaios de componentes e sistemas estruturais de dimensões

que não correspondem à realidade (não se pode aplicar sempre o efeito de

escala);

•

à aplicação de um programa de aquecimento térmico que não corresponde a um

incêndio real.

Essas considerações têm sido levantadas desde os primeiros ensaios na década de 60,

visando reduzir incertezas e imprecisões. Assim, com o desenvolvimento de novas

técnicas, as investigações experimentais foram se tornando mais confiáveis e precisas,

permitindo simular o comportamento de estruturas em situação de um incêndio real,

conforme estudos apresentados por SCHLEICH (1993).

Segundo BARNETT (1992), um dos mais famosos laboratórios de ensaios foi

construído no Centro Técnico-Industrial da Construção Metálica (CTICM), em

Maizières-lès-Metz, na França. Esse laboratório possui um grande forno que tem

respondido às necessidades de pesquisas, permitindo o ensaio de modelos de vários

tamanhos e grande capacidade de controle do experimento durante sua execução

(FIG.2.3). Em atividade desde a década de 70, o CTICM tem sido uma grande fonte de

dados experimentais para a engenharia de estruturas, obtidos dos ensaios já realizados

em suas instalações.

FIGURA 2.3 – Forno de ensaios do CTICM com as portas abertas e todos queimadores

trabalhando a plena potência, apenas para demonstração (fonte: BARNNET, 1992)

O forno do CTICM tem uma área de piso de 5,75 m x 7,75 m e uma altura de 3,00 m.

As paredes têm uma espessura de 35 cm de material refratário e, na parte frontal,

existem duas portas que permitem total acesso a seu interior. As dimensões internas

podem ser reduzidas para 5,75 m × 4,60 m por meio de uma parede transversal

removível. O forno é dotado de 9 janelas de observação para acompanhamento do

ensaio e de 16 queimadores de alta pressão que injetam de 25 a 90 litros por hora de

combustível, correspondendo a 13 × 10

cal/h. Com essas características, esse forno

atinge temperaturas de até 1200 ºC durante a realização de um ensaio.

Para aplicação do carregamento, o forno possui ao seu redor um pórtico de reação com

6 atuadores de grande curso suportando 300 kN cada e outros 6 atuadores de 1500 kN

cada. O sistema tem um mecanismo que permite manter o nível de carga constante

durante o ensaio, mesmo com as deformações sofridas pelo protótipo.

2.3.2 - Ensaios-padrão de resistência ao fogo

Os ensaios-padrão de resistência ao fogo são realizados em fornos a gás ou a óleo, de

acordo com a ISO 834-1 (1999), de modo que a curva temperatura × tempo represente,

na média de vários termopares instalados no interior do forno, a Eq.2.1 (WANG, 2002).

Em geral, os ensaios realizados em fornos podem ser classificados em quatro categorias:

•

elementos estruturais: compreende à determinação do comportamento estrutural

de vigas de aço e mistas, isoladas e contínuas, lajes de concreto armado e mistas,

pilares de aço e mistos;

•

elementos de divisórias: permite determinar o comportamento estrutural de

paredes com ou sem juntas horizontais e sua conexão com elementos estruturais;

•

equipamentos mecânicos: permite determinar se um duto que atravessa vários

compartimentos de uma edificação (ar condicionado, por exemplo) pode

funcionar ou não como um caminho para disseminação do incêndio; e

•

elementos de compartimentação: corresponde à determinação da capacidade de

um elemento de compartimentação de manter a estanqueidade e o isolamento

térmico.

Os ensaios que envolvem o comportamento de elementos estruturais são os de maior

interesse neste trabalho e, portanto, são descritos a seguir.

2.3.3 - Ensaios de elementos estruturais em fornos

WAINMAN e KIRBY (1988a e 1988b), pesquisadores do Warrington Research Centre,

no Reino Unido, apresentam vários resultados de ensaios em fornos de vigas mistas de

aço e concreto e pilares de aço preenchidos com alvenaria, submetidos ao incêndio-

padrão da ISO 834-1 (1999).

Com relação às vigas mistas, Wainman e Kirby fornecem as temperaturas obtidas nos

ensaios por meio de termopares localizados em vários pontos das vigas e o

deslocamento vertical no meio do vão em função do tempo de incêndio, até que as vigas

apresentassem um deslocamento limite de um trinta avos do vão (WOOLLEY, 1988).

A FIG.2.4 mostra o forno utilizado por Wainman e Kirby para ensaios de vigas mistas.

Nessa figura podem-se observar os atuadores de carga já devidamente posicionados

para o ensaio. A FIG.2.5 ilustra a retirada da viga mista após a realização do ensaio.

FIGURA 2.4 – Ensaio de uma viga mista no forno do Warrington Research Centre

(fonte: WAINMAN e KIRBY, 1988a)

FIGURA 2.5 – Retirada da viga mista do forno após o ensaio

(fonte: WAINMAN e KIRBY, 1988a)

Os termopares foram colocados no meio da alma da viga mista em quatro pontos ao

longo do vão. Na mesa superior, foram colocados em dois pontos e na mesa inferior em

três pontos ao longo do vão, sempre a ¼ da largura das mesas. O transdutor de

deslocamento foi adaptado na mesa inferior da viga mista, no meio do vão. Alguns

desses sensores podem ser observados na FIG.2.6.

FIGURA 2.6 – Vista interna do forno mostrando o posicionamento dos termopares na

viga mista e o pilar indicativo no piso do forno (fonte: WAINMAN e KIRBY, 1988a)

No que se refere aos pilares de aço, Wainman e Kirby fornecem as temperaturas obtidas

nos ensaios por meio de termopares localizados a ¼ da largura das mesas e a

aproximadamente ¼ da alma e o deslocamento vertical dos pilares ensaiados.

A FIG.2.7 ilustra o ensaio, realizado por Wainman e Kirby, de um pilar de aço

preenchido com alvenaria à compressão axial. O pilar é engastado na base e rotulado na

extremidade em que o atuador hidráulico é adaptado, possuindo um comprimento

efetivo de 0,7 vezes o comprimento do perfil. A carga de ensaio é aplicada ao perfil

metálico e então é mantida fixa durante a aplicação do incêndio nas quatro faces. O

tempo limite de resistência ao incêndio foi adotado conforme WOOLLEY (1988),

sendo o tempo para o qual o perfil não é mais capaz de manter o nível de carga

aplicado, apresentando colapso.

a) Forno para ensaios de pilares de aço b) Pilar de aço após o ensaio

FIGURA 2.7 – Forno do Warrington Research Centre para ensaios de pilares de aço à

compressão axial (fonte: WAINMAN e KIRBY, 1988a)

Wainman e Kirby também realizaram ensaios de pilares expostos ao incêndio pelas

quatro faces à flexo-compressão. Nesses ensaios também é fornecido o deslocamento

horizontal no centro do pilar.

Além dos experimentos citados, também foram realizados ensaios com pilares de aço

sem preenchimento de alvenaria, pilares pertencentes a estruturas de vedação com

apenas uma face exposta ao incêndio e parte da alma exposta e pilares pertencentes a

estruturas de vedação com uma face exposta ao incêndio e a alma preenchida por

alvenaria.

Dentre os vários experimentos realizados no forno do Warrington Research Centre, os

resultados de alguns ensaios foram catalogados por WAINMAN e KIRBY (1988a e

1988b), servindo de base a várias pesquisas sobre o comportamento de estruturas em

situação de incêndio, inclusive neste trabalho, como se verá no capítulo 6.

Apenas para ilustração, a FIG.2.8 mostra a realização de um ensaio de flexo-

compressão no forno do CTICM. São utilizados dois atuadores verticais para aplicação

dos momentos fletores nas extremidades do pilar e um atuador horizontal para aplicação

da força axial de compressão.

a) Forno para ensaios de pilares de aço à flexo-compressão b) Pilar após o ensaio

FIGURA 2.8 – Ensaio de um pilar de aço à flexo-compressão no forno do CTICM

(fonte: BARNETT, 1992)

2.3.4 - Ensaios em escala real em Cardington

Na década de 90 foram realizados vários ensaios de incêndio em escala real em

Cardington, na Inglaterra. LAWSON (2001) destaca que esses ensaios envolveram seis

compartimentos de um edifício de oito andares, como mostrado na FIG.2.9, com área

plana de 30 m x 45 m.

A estrutura do edifício se caracterizava como um pórtico indeslocável. As vigas foram

projetadas como vigas mistas, rotuladas em suas extremidades, em aço com resistência

ao escoamento de 275 MPa. As lajes eram do tipo mistas com fôrma de aço incorporada,

com nervuras trapezoidais de 55 mm de altura e altura total de 130 mm. Uma malha de

armaduras do tipo A142 (barras de 6 mm de diâmetro, espaçadas de 200 mm de centro a

centro, com resistência ao escoamento de 600 MPa) foi posicionada na laje de 15 mm a

40 mm acima do topo das nervuras da fôrma de aço. O concreto utilizado era de baixa

densidade com resistência característica à compressão igual a 35 MPa.

FIGURA 2.9 – Edifício de estrutura mista utilizado nos ensaios

em Cardington (fonte: LAWSON, 2001)

Em vários ensaios realizados, apenas as vigas principais e os pilares foram revestidos,

ficando as vigas secundárias sem revestimento contra fogo. Em um desses ensaios, foi

incendiado um compartimento de 136 m² com mobília típica de escritório. Na FIG.2.10

pode-se observar o efeito de membrana apresentado pela laje após o ensaio.

a) Efeito de membrana no vigamento sem revestimento térmico

b) O vigamento sem revestimento térmico mostra-se deformado, porém

estável,mesmo tendo atingido temperaturas da ordem de 1100 ºC

FIGURA 2.10 – Compartimento de escritório após o ensaio

em Cardington (fonte: LAWSON, 2001)

2.4 - Verificação de elementos estruturais em situação de incêndio

A verificação da capacidade resistente de elementos estruturais em situação de incêndio

é um processo extremamente complexo e que engloba um elevado número de variáveis.

Assim, as normas têm procurado simplificar e classificar os procedimentos de análise

em níveis de complexidade crescente.

As normas EN 1992-1-2:2004, EN 1993-1-2:2005 e EN 1994-1-2:2005 estabelecem as

seguintes alternativas para verificação dos elementos estruturais:

Dados tabulares: são soluções de projeto padronizadas, obtidas com base em

ensaios ou simulações avançadas, de modo a cobrir uma grande faixa de variação

das dimensões do componente, fornecendo sempre resultados conservadores.

Essas soluções são apresentadas em tabelas contendo limitações para as dimensões

da seção transversal do componente, sendo aplicáveis a elementos estruturais

individuais, expostos ao incêndio em todo o seu comprimento.

Métodos simplificados de cálculo: também são soluções simplificadas e

adequadas para cálculo de elementos estruturais individuais, tendo-se por base

hipóteses conservadoras para determinação da capacidade de uma seção

transversal resistir a uma combinação de ações relevante em altas temperaturas.

Métodos avançados de cálculo: são métodos de cálculo em que os princípios de

engenharia são aplicados de forma realística em aplicações específicas, visando

simular o comportamento global da estrutura, de subsistemas ou até de elementos

estruturais individuais com qualquer tipo de seção transversal. Esses métodos

devem idealmente ser aplicáveis a qualquer curva de incêndio, desde que as

propriedades do material sejam conhecidas para a faixa de temperaturas relevante

ao problema. Adicionalmente, os métodos avançados devem conter ao mesmo

tempo um modelo de resposta térmica (para a distribuição de temperatura) e um

modelo de resposta mecânica (para simulação do comportamento estrutural).

Ensaios: os métodos de cálculo com base em resultados de ensaios devem ser

utilizados quando os demais métodos não são aplicáveis. Esses métodos também

podem ser utilizados para validação da precisão dos outros métodos.

2.4.1 - Obtenção da distribuição de temperatura

A verificação de elementos estruturais em situação de incêndio exige, para os métodos

simplificados e para os métodos avançados de cálculo, a determinação da distribuição

de temperatura nesses elementos.

Os métodos simplificados geralmente trabalham com distribuições de temperatura

obtidas por meio de gráficos de isotermas, de fórmulas analíticas conservadoras ou de

algoritmos computacionais.

Nas seções de concreto, devido à baixa condutividade térmica do material, formam-se

elevados gradientes de temperatura. Assim, o aquecimento do concreto mostra-se difícil

de ser equacionado e, geralmente, trabalha-se com gráficos de isotermas. A FIG 2.11

mostra as isotermas apresentadas pelo CEB FIP MODEL CODE (1982) para a seção

transversal de um pilar quadrado de 300 mm de lado, exposto ao incêndio-padrão por

todos os lados, para os tempos de 30, 60, 90 e 120 minutos.

100ºC

200

300

400

500

600

30'

150 mm

100ºC

200

300

600

700

800

60'

150 mm

400

500

600

900

90'

150 mm

400

500

200

300

100ºC

700

800

700

120'

150 mm

500

600

300

400

200ºC

800

900

FIGURA 2.11 – Isotermas para um pilar de concreto de 300 mm x 300 mm (CEB)

O EN 1992-1-2:2004 também apresenta algumas isotermas para elementos estruturais

de concreto com seções transversais de uso comum.

De modo contrário, o aquecimento de elementos estruturais de aço é mais fácil de ser

equacionado devido à alta condutividade térmica desse material, o que faz com que os

gradientes de temperatura sejam muito menores que no concreto.

O EN 1993-1-2:2005 apresenta fórmulas analíticas para determinação da temperatura

em elementos de aço com ou sem revestimento térmico. Segundo RIBEIRO (2004), os

resultados obtidos por tais expressões são muito bons comparando-se com os valores

obtidos por meio de modelos via Método dos Elementos Finitos.

Com relação aos elementos mistos de aço e concreto, o EN 1994-1-2:2005 sugere, para

as vigas mistas, a utilização das fórmulas analíticas para o perfil de aço em conjunto

com os gráficos de isotermas para a laje de concreto. Para as lajes mistas, recomenda-se

o uso de expressões analíticas ou isotermas específicas para tais elementos e, para os

pilares mistos, o uso de modelos computacionais se mostra mais aplicável.

Os métodos avançados de cálculo, em função do maior grau de refinamento das

análises, necessitam de distribuições de temperatura mais precisas. Assim, destaca-se o

uso de modelos computacionais ou de formulações ajustadas com resultados de ensaios,

tendo-se por base os princípios e hipóteses da teoria de transferência de calor.

O EN 1994-1-2:2005 recomenda, para os métodos avançados de cálculo, que o modelo

de resposta térmica considere, além das ações térmicas (curvas de incêndio) prescritas

pelo EN 1991-1-2:2002, a variação das propriedades térmicas dos materiais com a

temperatura, gerando um acoplamento entre as análises térmica e mecânica.

Adicionalmente, os efeitos da exposição térmica não-uniforme e da umidade (no caso

de concretos) também podem ser considerados quando apropriado.

Tendo por objetivo a implementação computacional para o Método dos Elementos

Finitos, RIBEIRO (2004) apresenta as expressões de condutividade térmica, calor

específico e massa específica variáveis com a temperatura para o aço e o concreto,

segundo o EN 1994-1-2:2005. Ribeiro também apresenta as propriedades térmicas,

variáveis com a temperatura, de alguns materiais de revestimento térmico de uso

comum em estruturas metálicas e estruturas mistas de aço e concreto.

2.4.2 - Propriedades mecânicas dos materiais em altas temperaturas

WANG (2002) afirma que a verificação dos elementos estruturais em altas temperaturas

deve considerar os efeitos estruturais do incêndio no comportamento da estrutura,

causados por mudanças nas propriedades mecânicas do aço e do concreto (ambos

materiais tornam-se menos resistentes e mais flexíveis em altas temperaturas) e por

deformações devido à variação de temperatura.

Para utilização dos métodos avançados de cálculo, as normas EN 1992-1-2:2004,

EN 1993-1-2:2005 e EN 1994-1-2:2005 apresentam a variação da resistência e da

rigidez do aço e do concreto com a temperatura, bem como as deformações térmicas dos

dois materiais. Essas modificações nas propriedades mecânicas dos materiais devem-se

a vários fenômenos observados em diferentes experimentos (WANG, 2002).

2.4.2.1 - Aços estruturais

Considerando-se os aços laminados, as degenerescências da resistência ao escoamento

) e do módulo de Young (E

) com o aumento de temperatura são representadas,

respectivamente, pelos fatores de redução k

e k

., mostrados na TAB.2.2.

TABELA 2.2 – Fatores de redução para os aços estruturais

Aços laminados Aços trefilados

Temperatura

(ºC)

20 1,000 1,000 1,000 1,000

100 1,000 1,000 1,000 1,000

200 1,000 0,900 1,000 0,870

300 1,000 0,800 1,000 0,720

400 1,000 0,700 0,940 0,560

500 0,780 0,600 0,670 0,400

600 0,470 0,310 0,400 0,240

700 0,230 0,130 0,120 0,080

800 0,110 0,090 0,110 0,060

900 0,060 0,0675 0,080 0,050

1000 0,040 0,045 0,050 0,030

1100 0,020 0,0225 0,030 0,020

1200 0,000 0,000 0,000 0,000

A TAB.2.2 também mostra, para os aços trefilados, as degenerescências da resistência

ao escoamento (

) e do módulo de Young (E

) com o aumento de temperatura,

representadas, respectivamente, pelos fatores de redução

sy,

e k

sE,

A comparação do comportamento dos fatores de redução para os aços laminados e para

os aços trefilados pode ser observada graficamente por meio da FIG.2.12.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 200 400 600 800 1000 1200

Temperatura (ºC)

Fator de redução, k

sy,

sE,

FIGURA 2.12 – Fatores de redução para os aços estruturais

Com relação às deformações térmicas dos aços estruturais (

), o EN 1993-1-2:2005

recomenda a utilização da Eq.2.6, sendo

a temperatura do aço em graus Celsius.

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

>×+−

≤<

≤×+×+×−

−

−−−

Cº860 para10200620

Cº860750para0,011

Cº750para104,0102,110416,2

2854

aaa

θ,

θθθ

(2.6)

Segundo o EN 1993-1-2:2005, o patamar nos valores da deformação térmica que ocorre

na faixa de 750ºC a 860ºC deve-se às mudanças de fase no aço de perlita (ferro

α +

carboneto de ferro Fe

C) para austenita (ferro γ).

2.4.2.2 - Concretos estruturais

As propriedades mecânicas dos concretos são mais variáveis que as dos aços. PHAN e

CARINO apud WANG (2002) desenvolveram um estudo das propriedades mecânicas

de concretos em altas temperaturas (incluindo-se concretos de alta resistência) e

observaram que os valores apresentados no EN 1994-1-2:2005 podem ser considerados

como um limite inferior para vários ensaios de concretos com resistências usuais.

O EN 1994-1-2:2005 apresenta a degenerescência da resistência à compressão uniaxial

(

), representada pelo fator k

, e a deformação correspondente à resistência à

compressão uniaxial (

) para os concretos de densidade normal (NC) e para os

concretos leves (LC) com o aumento da temperatura, conforme a TAB.2.3.

TABELA 2.3 – Fatores de redução para os concretos estruturais

,cu

Temperatura

(ºC)

NC LC NC LC NC

20 1,000 1,000 1,000 1,000 0,0025

100 1,000 1,000 0,625 0,625 0,0040

200 0,950 1,000 0,432 0,455 0,0055

300 0,850 1,000 0,304 0,357 0,0070

400 0,750 0,880 0,188 0,220 0,0100

500 0,600 0,760 0,100 0,127 0,0150

600 0,450 0,640 0,045 0,064 0,0250

700 0,300 0,520 0,030 0,052 0,0250

800 0,150 0,400 0,015 0,040 0,0250

900 0,080 0,280 0,008 0,028 0,0250

1000 0,040 0,160 0,004 0,016 0,0250

1100 0,010 0,040 0,001 0,004 0,0250

1200 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0250

Nota: O símbolo NC denota o concreto de densidade normal e LC o concreto leve.

Segundo o EN 1994-1-2:2005, o módulo de Young do concreto em altas temperaturas

(

) e o módulo secante (E

c,sec,

) podem ser obtidos pelas expressões:

E =

(2.7)

sec,,

E =

(2.8)

Com base na Eq.2.7 e na Eq.2.8, pode-se concluir que a degenerescência do módulo de

Young e do módulo secante dos concretos, representada pelo fator

Ec,

, pode ser obtida

por meio da Eq.2.9, apresentado na TAB.2.3.

θθθθ

εε

20,20,

20,

0025,0

cuc

k ===

(2.9)

A FIG.2.13 mostra comparativamente o comportamento dos fatores de redução para os

concretos de densidade normal e para os concretos leves com o aumento da temperatura.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 200 400 600 800 1000 1200

Temperatura (ºC)

Fator de redução, k

(LC)

Ec,

(NC)

Ec,

(LC)

FIGURA 2.13 – Fatores de redução para os concretos estruturais

A resistência à tração uniaxial dos concretos (

) pode ser ignorada, conservadoramente.

No entanto, em métodos simplificados ou avançados, o EN 1992-1-2:2004 permite

considerar a degenerescência dessa propriedade com a temperatura, representada pelo

fator

, conforme a seguinte expressão:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

−

≤≤

º600º100

500

100

0,1

º100º200,1

(2.10)

CALDAS (2008) constata que o fator de redução da resistência à tração,

, é

aproximadamente o fator de redução da resistência à compressão, k

, elevado ao cubo.

Essa aproximação é utilizada no presente trabalho, possibilitando o cadastro apenas dos

fatores

. A FIG.2.14 mostra comparativamente os fatores de redução da resistência à

tração do concreto segundo o EN 1992-1-2:2004 e a aproximação utilizada nesse

trabalho, para concretos com agregados silicosos.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 200 400 600 800 1000 1200

Temperatura (ºC)

Fator de redução, k

(EN 1994-1-2:2004)

= (k

)³

Entre 550 ºC e 700 ºC, a diferença torna-

se grande. Porém, nessa faixa tem-se

no máximo 10% da resistência à tração,

sendo improvável que a análise numérica

atinja tal nível de redução.

FIGURA 2.14 – Fatores de redução à tração para os concretos estruturais

Com relação às deformações térmicas dos concretos estruturais (

), WANG (2002)

afirma que essas deformações são complexas e influenciadas por um grande número de

variáveis, sendo compostas pela dilatação térmica, pela deformação de

creep e por

tensões geradas pela dilatação térmica transiente. O EN 1994-1-2:2005 apresenta, de

modo simplificado, a deformação térmica dos concretos por meio da expressão:

⎩

⎨

⎧

≤≤×+×+×−

−−−

Cº700para0,014

Cº700Cº20para103,2109108,1

31164

ccc

θθθ

(2.10)

2.5 - Simulação numérica do comportamento estrutural em incêndio

Nos subitens a seguir serão enumerados alguns trabalhos correlacionados com a

presente pesquisa visando mostrar os recentes avanços na área de Engenharia de

Segurança Contra Incêndio.

Dar-se-á ênfase aos seguintes temas: análise estrutural com não-linearidades geométrica

e material, análise térmica de estruturas em situação de incêndio, dimensionamento de

estruturas em situação de incêndio, análise termomecânica de elementos estruturais e

comparação de resultados experimentais com análises numéricas.

2.5.1 - Análise estrutural com não-linearidades geométrica e material

CHEN (1982), CHEN e HAN (1988) e CHEN e ZHANG (1991) são importantes

referências para o estudo do comportamento não-linear dos materiais, análise elasto-

plástica do aço e do concreto, equações constitutivas, critérios de escoamento e outros

assuntos ligados ao estudo da plasticidade em engenharia de estruturas.

CRISFIELD (1991 e 1997) é outra importante referência para o estudo das não-

linearidades geométricas e materiais. Em seus livros, o autor apresentou vários métodos

e abordagens para análise não-linear de sólidos e estruturas pelo Método dos Elementos

Finitos, bem como fluxogramas para análises elasto-plásticas e para análises com não-

linearidades geométricas, além de alguns métodos para aceleração da convergência dos

modelos numéricos.

SIMO e HUGHES (1997) também apresentaram alguns métodos para análise não-linear

de sólidos, placas, cascas e estruturas pelo Método dos Elementos Finitos.

Apresentaram ainda equações constitutivas de modelos elasto-plásticos, com ou sem

encruamento, além de modelos que tratam da viscoplasticidade e de algoritmos de

integração aplicados à plasticidade e à viscoplasticidade.

SMITH e GRIFFITHS (1997) são uma importante referência para programação de

computadores com base no Método dos Elementos Finitos. Eles forneceram vários

algoritmos para implementação de análises estática e dinâmica de estruturas de barras,

bidimensionais e tridimensionais. Apresentaram também algoritmos para análises que

englobam não-linearidades materiais, análises de fluxos estacionários e transientes e

problemas acoplados.

Recentemente, Souza Neto e seus colaboradores (SOUZA NETO

et al., 2006)

publicaram um livro que trata de vários métodos computacionais para plasticidade,

abordando análises com não-linearidades geométricas, plasticidade, visco-plasticidade,

hiper-elasticidade e hiper-plasticidade. Os autores descreveram vários modelos

constitutivos, comentando desde a formação das relações constitutivas não-lineares até

os algoritmos implícitos de integração dessas relações constitutivas. Ao final da

apresentação de cada critério para tratamento das não-linearidades materiais, os autores

mostraram o desenvolvimento de algoritmos na linguagem FORTRAN para

implementação computacional.

2.5.2 - Análise térmica de estruturas em situação de incêndio

VILA REAL (1988), em sua dissertação de mestrado, apresentou a formulação utilizada

no desenvolvimento de um programa para análise térmica bidimensional via Método

dos Elementos Finitos. O programa elaborado permite a obtenção do campo de

temperaturas em regimes estacionário e transitório, para problemas planos e

axissimétricos, lineares ou não-lineares e das tensões térmicas, utilizando um modelo

constitutivo elástico-linear. Vila Real também utilizou funções de forma hierárquicas de

grau sucessivamente crescente de acordo com as necessidades verificadas em casos de

elevados gradientes térmicos.

HUANG e USMANI (1994) forneceram algoritmos para análise térmica de domínios

sólidos com contornos convectivos-radiativos. Também apresentaram algoritmos para

análise de transformação de fase e para análises térmicas adaptativas. Forneceram ainda

alguns exemplos com soluções analíticas para validação de algoritmos computacionais.

VILA REAL e OLIVEIRA (1997) modelaram, via Método dos Elementos Finitos, a

evolução no tempo dos campos de temperatura em perfis laminados metálicos sujeitos à

ação do fogo, correspondente à curva de incêndio-padrão ISO 834, idêntica à atual ISO

834-1 (1999). Os resultados obtidos da análise bidimensional transiente foram

comparados com os obtidos pelos procedimentos do EN 1993-1-2:1995. Vila Real e

Oliveira concluíram que a maior parte da alma dos perfis I na realidade se aquece mais

rapidamente do que preconizam os procedimentos do EN 1993-1-2:1995.

GHOJEL (1998) abordou em seu trabalho um novo modelo para tratar da transferência

de calor em compartimentos incendiados. O modelo de Ghojel considerou, para a

emissão e absorção de radiação, as propriedades radiativas dos principais produtos da

combustão, como o gás carbônico, o gás nitrogênio e o vapor de água, obtidos em

ensaios usando madeira como combustível. Além disso, o autor propôs um novo

modelo para cálculo do coeficiente de convecção em incêndios naturais. Os resultados

obtidos com o modelo proposto se mostraram muito próximos dos resultados obtidos

por meio de ensaios para elementos de aço.

SILVA e CALMON (2000) desenvolveram um programa de análise térmica com base

no Método dos Elementos Finitos para domínios bidimensionais denominado

PFEM_2D. Esse programa é capaz de determinar campos de temperaturas para

diferentes tipos de estruturas e condições de contorno, realizando análises linear e não-

linear, no que se refere às propriedades térmicas dos materiais. Silva e Calmon

analisaram um perfil soldado VS 600x114 por meio do PFEM_2D e dos procedimentos

da ABNT NBR 14323:1999, obtendo temperaturas maiores ao usar os procedimentos da

norma. Analisando elementos de concreto, Silva e Calmon concluíram que após uma

hora de exposição ao incêndio-padrão, a temperatura praticamente só varia numa faixa

de 20 cm próxima à superfície.

FIGUEIREDO JÚNIOR (2002) descreveu, em sua dissertação de mestrado, a

formulação utilizada no desenvolvimento de um programa para análise térmica

bidimensional via Método dos Elementos Finitos. Em seu trabalho, Figueiredo

descreveu as prescrições da ABNT NBR 14323:1999, do EN 1993-1-2:1995 e do

EN 1994-1-2:1994, comparando os resultados obtidos por essas normas com os

resultados do seu programa computacional. Esse programa, denominado

Caltemi, foi

desenvolvido com base no programa

Caltep, criado por ZÁRATE e OÑATE (1993) no

CIMNE (UPC), e realiza análise térmica não-linear transiente ou estacionária.

BARNETT (2002a e 2002b) propôs em seus trabalhos um novo equacionamento para

os incêndios naturais por meio de uma única expressão denominada por ele de “curvas

BFD”. Para essas curvas, apenas três elementos são requeridos para modelagem de um

incêndio natural: a máxima temperatura dos gases, o tempo em que essa temperatura

ocorre, e o fator de forma da curva. Esse último parâmetro é obtido por uma relação

entre o coeficiente de pirólise e o fator de abertura. Dentre as principais vantagens desse

modelo podem ser citadas a utilização de apenas uma equação, tanto para a fase de

aquecimento quanto para a fase de resfriamento, e a facilidade de adaptação do modelo

para dados obtidos em ensaios, sendo possível a descrição de qualquer incêndio natural.

RIBEIRO (2004) apresentou, em sua dissertação de mestrado, a formulação utilizada no

desenvolvimento de um programa para análise térmica tridimensional transitória não-

linear via Método dos Elementos Finitos. Em seu trabalho, Ribeiro apresentou as

prescrições do PR-NBR 14323:2003 e de normas européias, comparando as

temperaturas obtidas por tais procedimentos com os resultados da análise numérica. O

programa, denominado

Thersys, foi validado por meio de comparações com o programa

Caltemi, desenvolvido por FIGUEIREDO JÚNIOR (2002) na UFMG, com o programa

Safir, desenvolvido por Jean-Marc Franssen na Universidade de Liège, e com resultados

de ensaios existentes na literatura científica.

REGOBELLO (2007) abordou, em sua dissertação de mestrado, a elevação de

temperatura em seções transversais de elementos estruturais de aço e mistos de aço e

concreto, via ANSYS 9.0, com o objetivo de avaliar as equações propostas pelo método

simplificado de cálculo da ABNT NBR 14323:1999. Para casos de seções transversais

usuais não contempladas por essa norma, Regobello observou a necessidade de se

empregar modelos avançados de cálculo ou de se estudar e desenvolver ferramentas

analíticas apropriadas para tais situações.

2.5.3 - Dimensionamento de estruturas em situação de incêndio

No Brasil, uma das primeiras referências relacionada ao dimensionamento de estruturas

em situação de incêndio se deve a SILVA (1997). O autor apresentou, em sua tese de

doutorado, o estudo do comportamento das estruturas de aço em altas temperaturas, as

curvas temperatura-tempo dos gases que envolvem as chamas e as expressões para a

determinação da ação térmica e seu efeito nas peças estruturais. O autor analisou a

influência da ventilação, da carga de incêndio e da geometria da seção transversal na

temperatura dos elementos estruturais. Ao final, Silva ainda apresentou as

recomendações para um método simplificado de dimensionamento das peças estruturais

em situação de incêndio, considerando a influência das não-linearidades geométricas e

materiais e das deformações térmicas.

MARTINS (2000) abordou, em sua dissertação de mestrado, as prescrições da ABNT

NBR 14323:1999 para o dimensionamento de elementos estruturais de aço em situação

de incêndio, incluindo as características dos incêndios, os conceitos relativos a ações e

segurança, obtenção do TRRF, tipos de revestimento contra fogo, procedimentos para

obtenção da elevação de temperatura nos elementos estruturais e os métodos para

obtenção das resistências de cálculo. Martins desenvolveu nesse trabalho um exemplo

completo de dimensionamento em situação de incêndio de um edifício comercial

segundo a ABNT NBR 14323:1999. Também foi desenvolvido um programa para

dimensionamento estrutural de barras em situação de incêndio e a temperatura ambiente.

SILVA (2001) publicou um livro que trata das estruturas de aço em situação de

incêndio, descrevendo as características dos incêndios, a determinação da temperatura

nos elementos estruturais, a segurança e o comportamento das estruturas em situação de

incêndio e o método simplificado de dimensionamento. O autor apresentou ainda os

materiais de revestimento contra fogo, os procedimentos de dimensionamento das

estruturas em situação de incêndio e alguns conceitos básicos sobre estruturas de

concreto armado em situação de incêndio.

Posteriormente, SILVA e FAKURY (2002) introduziram na comunidade científica

internacional a publicação dos padrões brasileiros para o cálculo de estruturas de aço em

situação de incêndio, descrevendo e aplicando as principais recomendações normativas

vigentes no país.

BAILEY (2001 e 2004) apresentou um método simplificado de dimensionamento de

pisos mistos apoiados em grelhas de vigas de aço com base no comportamento do

sistema. Esse método tem por base a ação de membrana da laje e a mudança das

charneiras plásticas com a temperatura, permitindo que várias vigas internas do sistema

de piso permaneçam sem material de revestimento contra fogo. Bailey discutiu as

hipóteses adotadas nos métodos de projeto atuais, que são conservadoras, e comparou

resultados de ensaios em situação de incêndio com o método proposto.

SPÍNDOLA (2002) apresentou, em sua dissertação de mestrado, as bases teóricas do

procedimento de cálculo desenvolvido por BAILEY (2001), que considerou o trabalho

conjunto de vigas e lajes, permitindo que as vigas secundárias possam ficar sem

revestimento térmico. É mostrado como o procedimento pode ser aplicado à realidade

brasileira, com uso de produtos fabricados no Brasil e da norma de projeto ABNT NBR

14323:1999. Ao final, são apresentados exemplos práticos de dimensionamento,

evidenciando a economia obtida com o procedimento apresentado.

Posteriormente, Fakury e seus colaboradores (FAKURY

et al., 2004a e 2004b)

demonstraram como o método de dimensionamento apresentado por BAILEY (2001 e

2004) pode ser utilizado por meio do emprego de produtos fabricados no Brasil e de

normas de projeto brasileiras. Ainda propuseram duas modificações: a primeira

relacionada com o uso de temperaturas mais precisas nas lajes por meio da utilização do

programa

Thersys, desenvolvido por RIBEIRO (2004), e a segunda relacionada com a

redução de custos e tempo de construção empregando-se telas soldadas pré-fabricadas.

Os autores apresentaram um exemplo prático de dimensionamento, onde se pode

observar a economia obtida na quantidade de material de revestimento térmico.

NÓBREGA (2003) abordou, em sua dissertação de mestrado, o dimensionamento em

situação de incêndio de pilares mistos constituídos por um perfil H de aço totalmente ou

parcialmente revestido por concreto e de pilares constituídos por um perfil tubular

circular ou retangular preenchido por concreto. Nóbrega utilizou o programa

Caltemi,

desenvolvido por FIGUEIREDO JÚNIOR (2002) na UFMG, para obtenção da

distribuição de temperatura na seção transversal dos pilares. É feita uma avaliação

crítica dos métodos simplificados de cálculo previstos pelo EN 1994-1-2:1994, no que

se refere à precisão e à consistência dos resultados obtidos.

Ainda com relação aos pilares mistos, COSTA (2005) apresentou, em sua dissertação de

mestrado, os procedimentos das normas nacionais e internacionais para dimensionamento

em situação de incêndio de pilares mistos constituídos por um perfil tubular circular ou

retangular preenchido por concreto. O autor apresentou também a adaptação desses

procedimentos para dimensionamento com um concreto refratário de alto desempenho

denominado CRAD, utilizando o programa

Thersys, desenvolvido por RIBEIRO (2004)

na UFMG, para obtenção da distribuição de temperatura na seção transversal dos

pilares. Ao final, é feita uma avaliação crítica dos procedimentos utilizados,

comparando-se os resultados obtidos com o concreto convencional e com o CRAD.

No exterior, Vila Real e seus colaboradores (VILA REAL

et al., 2002) estudaram o

problema da flambagem lateral com torção de vigas fletidas em torno do eixo de maior

inércia em situação de incêndio. Utilizando o programa

Safir, com base no Método dos

Elementos Finitos, para considerar as não-linearidades geométrica e material,

verificaram que as prescrições do EN 1993-1-2:1995 se tornam inseguras a

temperaturas de 700 ºC e determinaram novas expressões para consideração da

flambagem lateral com torção em tais situações.

Posteriormente, Vila Real e seu grupo (VILA REAL

et al., 2004) estenderam o estudo

realizado à pré-norma prEN1993-1-2, comparando suas prescrições com as do

EN 1993-1-2:1995, com resultados de modelos numéricos obtidos pelo programa

Safir e

com o modelo proposto anteriormente. Observaram que a pré-norma prEN1993-1-2

também apresenta resultados contrários à segurança em relação à flambagem lateral

com torção para temperaturas próximas de 700 ºC.

Uma grande contribuição para o projeto e dimensionamento de estruturas de aço em

situação de incêndio se deve a FRANSSEN e ZAHARIA (2006). Em seu livro, os

autores apresentaram todos os itens envolvidos no projeto estrutural com base nas

normas européias: as bases do projeto, as ações mecânicas, as ações térmicas, os

métodos para determinação das temperaturas nos elementos estruturais e os métodos

para determinação da estabilidade estrutural. Além da verificação de pilares, vigas e

lajes, os autores também apresentaram as bases para a verificação de ligações em

situação de incêndio, fornecendo vários exemplos de cálculo.

GUIMARÃES (2007) apresentou, em sua dissertação de mestrado, algumas

metodologias para o dimensionamento do material de revestimento térmico de

estruturas de aço em situação de incêndio. A autora também apresentou em detalhes a

aplicação do programa de computador Super Temp Calc (STC) para análise térmica e

dimensionamento de pilares, revestidos ou não, em contato com alvenarias. Ao final,

são feitas comparações entre os métodos utilizados, bem como sugestões de emprego

para a prática de projeto.

COSTA (2008) abordou, em sua tese de doutorado, os efeitos do calor sobre as

propriedades térmicas e mecânicas dos materiais - concreto e aço - e suas influências no

comportamento estrutural de edifícios de concreto armado. Também são apresentados

os métodos de cálculo disponíveis na literatura técnica internacional para o projeto de

estruturas de concreto armado em situação de incêndio e a proposta de um método

simplificado expedito e mais preciso para o projeto de elementos estruturais. A autora

ainda destaca o objetivo de fornecer informações às futuras revisões de normas

pertinentes ao projeto de estruturas de concreto e às pesquisas subseqüentes.

2.5.4 - Análise termomecânica de elementos estruturais

VILA REAL (1993), em sua tese de doutorado, apresentou a formulação utilizada no

desenvolvimento de um programa para análise bidimensional, via Método dos

Elementos Finitos, da solidificação e do comportamento termomecânico de peças

produzidas em moldes metálicos. O programa permite a obtenção do campo de

temperaturas em regimes estacionário e transitório e das tensões e deformações devido

às temperaturas e às ações externas. Vila Real utilizou o modelo elasto-viscoplástico de

Perzyna para análise do material a ser moldado.

LANDESMANN (2003) apresentou, em sua tese de doutorado, um modelo

computacional para análise não-linear elasto-plástica de estruturas de aço, planas e

aporticadas, sob condições de incêndio. Para determinação da distribuição de

temperatura, o autor utilizou um procedimento não-linear transiente de transferência de

calor com base no Método dos Elementos Finitos. O comportamento estrutural foi

investigado por meio de princípios de plasticidade concentrada, funções de estabilidade

e superfícies inelásticas de redução de resistência. Os resultados obtidos, para um grupo

selecionado de estruturas aporticadas, foram examinados tomando-se por base o

programa

Safir e recomendações previstas por normas nacionais e internacionais.

KIRCHHOF (2004) apresentou, em sua dissertação de mestrado, a elaboração de um

modelo numérico tridimensional para viga mista, objetivando simular satisfatoriamente

seu comportamento estrutural em situação de incêndio e em temperatura ambiente. A

autora aborda as vigas mistas formadas por perfil I de aço conectado a lajes de concreto

por conectores de cisalhamento. O modelo numérico permite tratar o cisalhamento

longitudinal entre a laje e a viga, bem como a separação vertical entre esses materiais

(

uplift). Os resultados obtidos foram comparados com valores de análises numéricas e

experimentais extraídos da literatura científica. Na modelagem numérica, foi utilizado o

programa

Abaqus.

Huang e seus colaboradores (HUANG

et al., 2004) descreveram um elemento não-

linear do tipo viga-pilar para análise tridimensional de pórticos de seção transversal

quaisquer. A formulação permite a consideração das não-linearidades geométrica e

material, sendo adequada para modelagem das grandes deformações obtidas em

situação de incêndio. É apresentado um exemplo numérico utilizando-se material

elástico-linear para demonstrar a precisão dos elementos em grandes deformações.

Ainda para mostrar as capacidades da formulação, é apresentada a análise numérica de

uma viga mista do tipo

slim-floor.

MOUÇO (2008) desenvolveu, em sua dissertação de mestrado, uma ferramenta

computacional de análise avançada que realiza análise inelástica de estruturas aporticadas

de aço e mistas de aço e concreto em condição de incêndio. Para análise térmica, o autor

utilizou um algoritmo não-linear que considera automaticamente os efeitos da exposição

não-uniforme do elemento estrutural ao fogo. O comportamento mecânico inelástico foi

simulado por meio de princípios de plasticidade concentrada e funções de estabilidade,

utilizando-se um modelo com formulação corrotacional e grandes deslocamentos.

SUAZNÁBAR VELARDE (2008) abordou, em sua dissertação de mestrado, o

comportamento de pilares de aço em situação de incêndio, por meio de simulações

numéricas utilizando-se o programa Vulcan e de códigos desenvolvidos em Matlab.

Foram empregadas análises não-lineares geométricas e materiais, a curva de incêndio

prescrita na ISO 834-1 (1999) e a variação das propriedades termomecânicas de quatro

tipos de aços. Os resultados obtidos serviram de base para a construção de curvas para

determinação da temperatura crítica a partir de métodos padronizados pela norma

EN 1993-1-2:2005 e pelo PR-NBR 14323:2003.

CALDAS (2008) apresentou, em sua tese de doutorado, o desenvolvimento e a

implementação de modelos numéricos não-lineares para análise térmica e mecânica de

estruturas de aço, concreto e mistas de aço e concreto em situação de incêndio. Caldas

utilizou um elemento de viga tridimensional capaz de simular o comportamento

termomecânico de estruturas por meio de plasticidade distribuída. Para simular lajes de

concreto, um elemento de casca, composto por camadas com um modelo constitutivo de

dano, foi utilizado. Caldas ainda considerou um elemento de mola para simulação de

ligações semi-rígidas, acoplado aos elementos de viga. Os modelos foram validados por

comparações com resultados numéricos e experimentais encontrados em literatura.

Recentemente, KIMURA (2009) abordou, em sua dissertação de mestrado, a análise

numérica do comportamento de pilares de aço em situação de incêndio, considerando as

condições de compartimentação do ambiente sob incêndio. Foram desenvolvidos

modelos tridimensionais para realização da análise termo-estrutural no programa

ANSYS 9.0. A capacidade resistente e as temperaturas obtidas na análise computacional

foram comparadas com os resultados provenientes dos procedimentos das normas

ABNT NBR 14323:1999 e EN 1993-1-2:2005. Em situações onde a distribuição de

temperatura ocorre de modo não-uniforme, observou-se que os procedimentos das

normas conduzem a resultados discrepantes ao comportamento previsto nas simulações.

2.5.5 - Comparação de resultados experimentais com análises numéricas

Huang e seus colaboradores (HUANG et al., 2000) apresentaram as bases teóricas do

programa

Vulcan, que tem sido progressivamente desenvolvido há alguns anos na

Universidade de Sheffield, na Inglaterra. Esse programa permite a modelagem

tridimensional de estruturas em situação de incêndio, utilizando elementos do tipo viga-

pilar e elementos de placas. Os autores modelaram três ensaios de incêndio em pórticos

mistos realizados em 1995 e 1996, em Cardington, também na Inglaterra, e também

observaram uma excelente concordância dos resultados numéricos com os ensaios. A

modelagem numérica considerou o efeito de membrana das lajes em situação de

incêndio, utilizando elementos de placa geometricamente lineares e não-lineares.

JOHANSSON e GYLLTOFT (2001) desenvolveram um estudo analítico e experimental

sobre o comportamento de pilares mistos de aço e concreto, esbeltos e de seção circular,

sendo o carregamento aplicado excentricamente, ora na seção de concreto, ora na seção

de aço ou ainda em ambos os materiais simultaneamente. Eles modelaram os espécimes

ensaiados no programa

Abaqus e utilizaram o modelo de plasticidade de von Mises para

o aço e o modelo de Drucker-Prager para o concreto, obtendo boa concordância entre a

análise numérica e a experimental. Observaram que o comportamento dos pilares é

extremamente influenciado pela forma de aplicação do carregamento e que, quando se

utiliza apenas a aderência entre o aço e o concreto, a seção mista trabalha com iteração

total somente se o carregamento for aplicado em ambos os materiais.

Foster e seus colaboradores (FOSTER

et al., 2004) apresentaram os resultados de

ensaios em pequena escala de lajes sem restrições a deslocamentos horizontais em

situação de incêndio. O objetivo dos ensaios era investigar a influência da curvatura,

devido à temperatura, nos mecanismos de falha das lajes retangulares. Observaram que

o mecanismo de falha das lajes em altas temperaturas difere do assumido nos métodos

simplificados de projeto, resultando em altos deslocamentos no meio do vão, que

conduzem à formação de fissuras de grande profundidade na direção do menor vão da

laje. Foram feitas algumas modelagens numéricas com o programa

Vulcan, desenvolvido

na Universidade de Sheffield, obtendo-se resultados bem próximos dos ensaios.

Lim e seu grupo (LIM

et al., 2004) compararam modelos numéricos com base no

Método dos Elementos Finitos de lajes de concreto armado em situação de incêndio

com resultados de ensaios, obtendo valores muito próximos. Os modelos numéricos

abrangeram lajes armadas em uma e em duas direções com várias condições de

contorno, com as análises feitas pelo programa

Safir. As análises demonstraram que o

comportamento das lajes com restrições axiais é muito sensível ao tipo de apoio.

Resultados de ensaio mostraram que o tempo de falha é muito maior que o predito por

cálculos com base na teoria das charneiras plásticas, sendo a ação de membrana a

principal responsável por essa resistência adicional e pelo aumento de deformações

durante um incêndio prolongado.

Recentemente, FRATTI (2009) apresentou, em sua dissertação de mestrado, um estudo

do comportamento não-linear de ligações metálicas do tipo “chapa de topo” em situação

de incêndio. Foi proposto um modelo numérico-computacional tomando-se por base o

método dos componentes (EN 1993-1-2:2005), permitindo-se a determinação de curvas

momento-rotação-temperatura (M-R-T) de ligações, segundo o modelo exponencial

proposto por Ramberg-Osgood. Os resultados numéricos obtidos pelo autor foram

comparados com dados experimentais obtidos na literatura, indicando boa correlação.

2.5.6 - Considerações finais

Por meio dos trabalhos anteriormente expostos, conclui-se que a simulação numérica do

comportamento de um elemento estrutural ou subsistemas estruturais em situação de

incêndio via Método dos Elementos Finitos freqüentemente conduz a bons resultados,

próximos dos observados em ensaios. Adicionalmente, o uso de modelos numéricos que

contemplem não-linearidades geométricas, materiais e térmicas tem-se mostrado uma

ferramenta importante para simulações e conseqüente aprimoramento dos métodos

simplificados de cálculo prescritos nas normas.

CAPÍTULO 3 -

Análise Térmica

ANÁLISE TÉRMICA

3.1 - Introdução

A análise térmica desenvolvida neste trabalho visa basicamente determinar a

distribuição de temperatura nos elementos estruturais em situação de incêndio, de modo

que uma análise mecânica tenha os subsídios necessários para a avaliação da perda de

resistência e de rigidez do material estrutural com o aumento de temperatura.

O objetivo desse capítulo consiste em apresentar os mecanismos de transferência de

calor, bem como a formulação para análise térmica via Método dos Elementos Finitos

obtida por meio do Método dos Resíduos Ponderados.

3.2 - Mecanismos de transferência de calor

A transferência de calor pode ser entendida como a propagação de energia de uma

região para outra, devido à diferença de temperatura entre elas. Habitualmente

consideram-se três mecanismos básicos de transferência de calor: condução, convecção

e radiação.

3.2.1 - Condução

A condução é um processo pelo qual o calor é transmitido de uma região a elevada

temperatura para outra de temperatura mais baixa dentro de um meio (sólido, líquido ou

gasoso), ou entre meios diferentes em contato físico direto. Na transmissão de calor por

condução, a energia é transmitida por meio do movimento cinético ou pelo impacto

direto de moléculas, no caso de fluidos em repouso, sem apreciável deslocamento das

moléculas. No caso de sólidos isolantes, a transferência de energia se faz por meio da

vibração da rede molecular devido ao movimento atômico. Nos sólidos condutores, a

transferência de calor por condução se deve também ao movimento translacional dos

elétrons livres.

A lei fundamental que rege a transmissão de calor por condução foi proposta por J. B.

Fourier em 1822. Segundo essa lei, a quantidade de calor que atravessa uma área

normal à direção do fluxo calorífico, na unidade de tempo, é proporcional ao produto da

área pelo gradiente térmico:

−=

(3.1)

onde

Q é a quantidade de calor que atravessa a área A,

é a constante de

proporcionalidade, denominada

condutibilidade ou condutividade térmica do material,

A é a área da seção transversal através da qual o calor flui por condução, medida

perpendicularmente à direção do fluxo e

/dn é o gradiente de temperatura na seção,

isto é, a razão de variação da temperatura

com a distância, na direção n do fluxo de calor.

A condutividade térmica do material depende da sua composição química, do seu estado

físico, textura e da sua temperatura. Dessa forma, a condutividade térmica varia entre

valores muito afastados. Sua unidade é dada no sistema internacional por W/mºC.

O sinal negativo na Eq.3.1 serve para assegurar que o fluxo de calor ocorre em sentido

contrário ao gradiente de temperatura. A quantidade de calor por unidade de área e por

unidade de tempo é chamada fluxo de calor, sendo dada por:

−==

(3.2)

Essa é a expressão matemática para o princípio básico da condução de calor

unidimensional em regime permanente.

Para determinação das equações básicas que governam a condução de calor em um

sólido, considerou-se um elemento tridimensional infinitesimal em um domínio

Ω,

conforme a FIG.3.1. Foram consideradas também as hipóteses de isotropia, meio

contínuo, homogeneidade térmica, isto é, as propriedades do material são independentes

do ponto considerado, e permanência térmica, ou seja, a condutividade térmica e o calor

específico são variáveis com a temperatura.

dzdydx

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

dzdxdy

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

dydxdz

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

dydxq

dzdyq

dzdxq

Ω

FIGURA 3.1 – Fluxo de calor em um elemento tridimensional infinitesimal

Aplicando-se a primeira lei da termodinâmica, Lei de Conservação da Energia, no

elemento infinitesimal tridimensional apresentado na FIG.3.1, tem-se:

fluxo de

calor que

entra

fluxo de

calor que

sai

calor

gerado

internamente

variação da

energia interna

do elemento

+–

(3.3)

Se o calor que flui na direção dos eixos

x, y e z por unidade de comprimento na unidade

de tempo é denominado

, q

e q

, respectivamente, a diferença entre o fluxo que sai e o

que entra no elemento é dada por:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

qdx

qdzdyqdy

qdzdxqdz

qdydx

(3.4)

Sendo

Q o calor gerado no interior do elemento por unidade de volume e por unidade de

tempo, o calor gerado no elemento na unidade de tempo pode ser dado por:

dzdydxQ

(3.5)

A variação da energia interna na unidade de tempo pode ser expressa por:

dzdydx

∂

(3.6)

onde

c é o calor específico do material,

é a densidade do material e

(x, y, z, t) é a

distribuição de temperatura.

Substituindo-se os termos desenvolvidos na equação da conservação de energia tem-se:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

cQdzdydx

dzdydx

(3.7)

Dividindo-se todos os termos por

dx dy dz, obtém-se:

∂

+−

∂

(3.8)

Aplicando-se a lei de Fourier (Eq.3.2) à Eq.3.8, chega-se à

equação diferencial da

condução de calor

∂

−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

zzyyxx

zyx

(3.9)

Segundo as hipóteses da homogeneidade térmica e isotropia, a condutividade térmica

é constante em qualquer ponto do material e em qualquer direção. Aplicando essa

hipótese sobre a Eq.3.9, obtém-se:

∂

−+

∂

zyx

θθθ

ou 0

∂

−+∇

(3.10)

sendo

a difusibilidade térmica do material e ∇ o operador diferencial.

Caso não exista geração interna de calor (Q = 0), tem-se a equação de Fourier:

∂

−∇

(3.11)

Em regime permanente (

∂

), tem-se a equação de Poisson:

=+∇

(3.12)

Em regime permanente e não havendo geração interna de calor, tem-se a equação de

Laplace:

=∇

(3.13)

3.2.1.1

- Condições iniciais e de contorno

Para solucionar a equação diferencial da condução de calor (Eq.3.9), deve-se especificar

as condições iniciais (no tempo

t = t

no domínio Ω) e as condições de contorno na

superfície Γ para um problema particular. As condições de contorno podem ser

divididas em essenciais ou naturais:

a) condições iniciais

O campo inicial de temperaturas deve ser especificado no domínio como:

()

(

)

Ωem,,0,,,

zyxzyx

(3.14)

b) condições de contorno essenciais ou de Dirichlet

As condições de contorno essenciais correspondem a temperaturas prescritas numa

parte do contorno:

(

)

em,,, tzyx

(3.15)

c) condições de contorno naturais ou de Neumann

As condições de contorno naturais correspondem a fluxos de calor prescritos numa

parte do contorno, saindo do domínio na direção normal

n ao contorno:

()

tzyxq

q Γ=

∂

−= em,,,

(3.16)

Esse fluxo é tomado igual a zero para uma superfície perfeitamente isolada.

3.2.2

- Convecção

A convecção é um processo pelo qual o calor é transmitido entre as partes em

movimento de um fluido (líquido ou gasoso) ou entre esse e superfícies sólidas a

diferentes temperaturas.

As correntes de convecção num fluido estão sempre associadas a diferenças de pressão.

Quando as correntes de convecção desenvolvem-se devido unicamente à diferença de

densidade do fluido oriunda dos gradientes térmicos, a convecção é dita

natural. Se as

diferenças de pressão forem motivadas por causas externas como ventiladores, bombas,

explosões ou reações de queima, a convecção é dita

forçada.

Em muitos casos, e particularmente na análise térmica de uma estrutura em situação de

incêndio, a convecção ocorre entre um fluido e a superfície de um sólido. Portanto, as

velocidades desenvolvidas pelo fluido como conseqüência das correntes de convecção

não necessitam ser determinadas, sendo o processo de transferência de calor por convecção

utilizado apenas como um tipo de condição de contorno para o domínio sólido.

Isaac Newton, observando o fenômeno da convecção, propôs em 1701 que a quantidade

de calor que atravessa uma área

A é proporcional à diferença entre a temperatura do

fluido e a temperatura da superfície do sólido. Essa relação é conhecida como

lei de

arrefecimento de Newton

e é expressa por:

(

)

fscc

−

(3.17)

onde

é a quantidade de calor que atravessa a área A,

é a constante de

proporcionalidade, denominada

coeficiente de transmissão de calor por convecção, A é

a área da interface sólido-fluido através da qual o calor flui por convecção, medida

perpendicularmente à direção do fluxo,

é a temperatura da superfície do sólido e

a temperatura média do fluido.

O fluxo de calor devido à convecção é dado por:

()

fsc

θθα

−==

(3.18)

Utilizando-se a convecção como condição de contorno para um problema de domínio

sólido, tem-se uma condição de contorno natural denominada

contorno convectivo. Para

essa condição tem-se o fluxo de calor prescrito numa parte Γ

do contorno por:

(

)

cfsc

Γ−=

∂

−= em

θθα

(3.19)

3.2.2.1

- Coeficientes para convecção forçada

A combustão é um tipo de reação química que ocorre em altas temperaturas, com

desprendimento de calor em quantidade suficiente para manter a temperatura da reação.

Na maioria dos incêndios em edificações, o combustível envolvido geralmente é de

natureza celulósica e, em certos casos, de material hidrocarboneto. Tais materiais,

quando sofrem reações de combustão, produzem vários gases, entre eles CO

, N

vapores de água. Essa reação ocorre com um notório aumento de volume, pressão e

temperatura, quando se comparam os produtos com os reagentes.

Em um compartimento incendiado, o aumento de volume proporcionado pela

combustão dos materiais presentes faz com que as correntes de convecção geradas no

meio sejam de direções extremamente aleatórias e de altas velocidades. Em tais casos,

fica configurada uma convecção forçada, sendo as correntes convectivas independentes

do gradiente térmico entre os gases e a superfície da estrutura.

O EN 1991-1-2:2002 recomenda simplificadamente, para o coeficiente de transferência

de calor por convecção

entre os gases e a superfície da estrutura, os valores de

25 W/m

2 o

C (para as curvas de incêndio-padrão e incêndio em estruturas externas),

50 W/m

2 o

C (para a curva de incêndio de hidrocarbonetos) e 35 W/m

2 o

C (para modelos

de incêndios naturais). Esses valores produzem bons resultados quando se tem uma

curva de incêndio do tipo padrão, ou seja, de comportamento monotônico.

GHOJEL (1998) afirmou que, para incêndios naturais, bons resultados são obtidos se

for assumido variando de zero, no início da combustão, até um valor máximo, quando

as temperaturas dos gases e do elemento de aço se tornam iguais (

t = t

g=s

). O modelo

proposto por Ghojel pode ser expresso por:

sgc

ttt

≤=

para CºW/m10

para CºW/m

(3.20)

sendo o parâmetro

g=s

calculado pela relação exponencial:

max

0009,0

500

et =

(3.21)

onde

g=s

e t

max

devem ser dados em segundos e t

max

deve ser obtido por curvas de

temperatura de incêndios reais, encontradas por meio de ensaios.

Segundo Ghojel, os resultados obtidos com o modelo apresentado se mostraram muito

próximos dos resultados obtidos em ensaios.

3.2.2.2

- Coeficientes para convecção natural

As superfícies da estrutura que não estão diretamente expostas ao incêndio não têm as

correntes convectivas influenciadas pela reação de combustão, como mostrado em

3.2.2.1. Em tais casos, as correntes de convecção são formadas devido à diferença de

densidade do ar oriunda dos gradientes térmicos, caracterizando uma convecção natural.

O uso dos coeficientes simplificados preconizados no EN 1991-1-2:2002 e mostrados

no subitem anterior, nesse caso, superestima extremamente o arrefecimento da estrutura.

INCROPERA (1992) apresenta a obtenção do coeficiente de convecção natural do ar

atmosférico por:

(3.22)

onde

é o coeficiente de transferência de calor por convecção, em W/m

ºC, N

é o

número de Nusselt,

é a condutividade térmica do ar, em W/mºC (conforme a

TAB.3.1), e

L é o comprimento característico, em metros, correspondente à dimensão

sobre a qual se desenvolvem as correntes de convecção, conforme a FIG.3.2.

u(y)

Fluido quiescente

x, u

y, v

Perfil de velocidades

do fluido

Placa quente

FIGURA 3.2 – Formação da camada limite em um fluxo convectivo

A condutividade térmica do ar atmosférico e outras propriedades de interesse, como a

difusividade térmica, a viscosidade cinemática e o número de Prandtl, foram

equacionadas por RIBEIRO (2004) na forma de regressões polinomiais calculadas com

base nos valores tabulares apresentados por INCROPERA (1992). Essas expressões são

reproduzidas na TAB.3.1, sendo válidas para Cº1200Cº20

≤

θ , onde

é a

temperatura do ar em ºC.

TABELA 3.1 – Expressões para obtenção das propriedades térmicas do ar atmosférico

Propriedade Expressão Correlação

Massa específica

(kg/m³)

2345,100341,0105884,5

105358,4103913,1

+−×+

+×−×=

−

−−

arar

ararar

θθ

θθρ

= 0,9993

Calor específico

(J/kg ºC)

82,996135915,0

1042695,11040016,8

+×+×−=

−−

ararar

θθ

= 0,9970

Condutividade

(W/m ºC)

(

)

101688,23094884,0

1012886,81045993,4

−

−−

×++

+×−×=

ararar

θθλ

= 0,9996

Difusividade

térmica

(m²/s)

(

)

10672,1419898,0

100017,5109429,8

−

−−

×++

+×−×=

ararar

θθα

= 0,9997

Viscosidade

cinemática

(m²/s)

(

)

10104,1210785,0

10101,5107692,9

−

−−

×++

+×+×=

ararar

θθ

= 0,9999

Número de

Prandtl

(adimensional)

arr

O número de Nusselt depende da posição em que se encontra a superfície em relação ao

eixo vertical. A TAB.3.2 fornece as expressões para sua obtenção para diversas

situações, onde

é o número de Prandtl (obtido na TAB.3.1) e R

é o coeficiente de

Rayleigh, dado por:

(

)

να

θθβ

−

(3.23)

onde

g é a aceleração da gravidade, tomada igual a 9,81 m/s

é o coeficiente de

expansão da camada limite, em K

-1

é a temperatura da superfície, em ºC,

é a

temperatura do fluido, no caso o ar, em ºC,

é a difusividade térmica do ar, em m

/s,

obtida conforme a TAB.3.1, e

é a viscosidade cinemática do ar, em m

/s, obtida

conforme a TAB.3.1.

TABELA 3.2 – Obtenção do número de Nusselt

Descrição Ilustração Expressão

Placa vertical com a

superfície quente ou fria

27/8

16/9

6/1

492,0

387,0

825,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Placa inclinada com a

superfície fria, para cima,

ou com a superfície quente,

para baixo

Mesma equação acima, corrigindo-se a

aceleração da gravidade g por g.sen

no cálculo de R

(Eq.3.23),

sendo válida para 30º ≤

≤ 90º

Placa horizontal com a

superfície quente, para

cima, ou com a superfície

fria, para baixo

3/1

4/1

10para,15,0

10para,54,0

ALALUL

RRN

Placa horizontal com a

superfície fria, para cima,

ou com a superfície quente,

para baixo

4/1

27,0

ALUL

RN =

O coeficiente de expansão da camada limite

mede a extensão da variação da

densidade em resposta a uma variação de temperatura numa pressão constante.

Simplificadamente, esse coeficiente é dado pelo inverso da temperatura média da

película

, em Kelvin:

fsf

θθ

(3.24)

A formulação apresentada por Incropera permite a obtenção do coeficiente de

transferência de calor por convecção natural para placas planas de comprimento

característico

L, com um ângulo

qualquer em relação ao vetor gravidade g.

No entanto, para implementação computacional via Método dos Elementos Finitos,

torna-se necessário informar, para cada superfície sujeita à convecção natural, o

comprimento característico da superfície e o tipo de resfriamento que a superfície está

submetida (TAB.3.2).

Neste trabalho, visando a obtenção de uma formulação simplificada e de emprego

prático para implementação computacional (função apenas do ângulo

entre a

superfície e o vetor gravidade), aplicou-se a formulação apresentada por Incropera ao

problema de resfriamento de uma placa quente de aço com 1,0 cm de espessura,

adotando-se uma temperatura inicial de 1200 ºC para a placa de aço e 20 ºC para o

fluido. Para o cálculo da perda de calor por convecção e radiação, utilizou-se a

formulação proposta pelo EN 1994-1-2:2005 com base no fator de massividade da placa

e com incremento temporal de 60 segundos, sendo o coeficiente de convecção calculado

para cada incremento. Foram considerados cinco comprimentos característicos

L para a

placa, variando de 0,25 m a 5,00 m, que correspondem, aproximadamente, às dimensões

típicas das peças de uma estrutura. Adicionalmente, considerou-se a inclinação da placa

variando de 0º (superfície quente para baixo) a 180º (superfície quente para cima).

A curva temperatura da placa × tempo

é ilustrada na FIG.3.3 para a placa na horizontal,

com a face quente para baixo. A FIG.3.4 ilustra o caso da placa na vertical e a FIG.3.5

mostra os resultados para a placa com a superfície quente para cima. São mostradas

também as curvas de resfriamento considerando-se um coeficiente de convecção fixo,

ajustado de modo a minimizar o erro, relativo à temperatura da placa, durante o

processo de resfriamento.

200

400

600

800

1000

1200

0 30 60 90 120 150 180 210 240

Tempo (minutos)

Temperatura da placa (ºC)

= 2,524 W/m² ºC

L = 0,25 m

L = 0,6 m

L = 1,5 m

L = 3,0 m

L = 5,0 m

FIGURA 3.3 – Resfriamento de uma placa quente horizontal com a face para baixo

200

400

600

800

1000

1200

0 30 60 90 120 150 180 210 240

Tempo (minutos)

Temperatura da placa (ºC)

= 7,073 W/m² ºC

L = 0,25 m

L = 0,6 m

L = 1,5 m

L = 3,0 m

L = 5,0 m

FIGURA 3.4 – Resfriamento de uma placa quente vertical

200

400

600

800

1000

1200

0 30 60 90 120 150 180 210 240

Tempo (minutos)

Temperatura da placa (ºC)

= 8,419 W/m² ºC

L = 0,25 m

L = 0,6 m

L = 1,5 m

L = 3,0 m

L = 5,0 m

FIGURA 3.5 – Resfriamento de uma placa quente horizontal com a face para cima

Por meio da formulação apresentada, ajustou-se o valor do coeficiente de convecção

para vários ângulos de inclinação da placa, como mostrado na TAB.3.3.

TABELA 3.3 – Coeficientes de convecção ajustados por minimização do erro

Inclinação

superfície (graus)

Coeficiente

ajustado (W/m

ºC)

Máxima diferença no

valor do coeficiente

Erro na

temperatura (ºC)

0 2,524 0,505 12,48

30 5,686 0,913 8,72

40 6,152 1,058 9,34

50 6,502 1,127 9,53

60 6,759 1,139 9,44

70 6,935 1,121 9,37

80 7,039 1,099 9,74

90 7,073 1,099 9,80

180 8,419 1,251 6,28

Variando-se a espessura da placa entre 1,0 cm e 50,0 cm, a temperatura inicial entre

150 ºC e 1200 ºC, o comprimento característico entre 0,25 m e 5,00 m e alternando-se o

material da placa entre aço e concreto, o coeficiente de convecção para cada incremento

temporal obtido pela formulação apresentada por Incropera e o valor ajustado mostrado

na TAB.3.3 diferem entre si no máximo em 1,251 W/m

ºC. Comparando-se as

temperaturas da placa durante o resfriamento com o coeficiente ajustado (fixo) e o

resfriamento com o coeficiente calculado a cada incremento, a diferença máxima obtida

é de 12,48 ºC.

Os valores do coeficiente de convecção mostrados na TAB.3.3 podem ser ajustados em

função da inclinação da superfície por meio de regressão polinomial, conforme ilustrado

na FIG.3.6, resultando em uma boa correlação. A maior vantagem do uso dessa equação

para obtenção do coeficiente de convecção é sua fácil implementação em um programa

de elementos finitos, uma vez que a mesma pode ser aplicada tanto para o aço quanto

para o concreto, para comprimentos característicos de 0,25 m a 5,00 m e para uma larga

faixa de temperaturas e espessuras dos elementos estruturais, sendo função unicamente

do ângulo de inclinação da placa

= -0,1799

+ 1,8318

- 6,1301

+ 8,5955

+ 2,6335

= 0,9980 Equação válida para

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

0,0000 0,5236 1,0472 1,5708 2,0944 2,6180 3,1416

- Ângulo entre a normal da superfície e o vetor g (radianos)

- Coeficiente de convecção natural (W/m² ºC)

FIGURA 3.6 – Variação do coeficiente de convecção com a inclinação da placa

Ressalta-se que esse procedimento é válido quando temperatura da placa

é maior que

a do fluido

. Em caso contrário, deve-se adotar na regressão π -

no lugar de

3.2.3 - Radiação

A radiação térmica é o processo de transmissão de calor entre corpos por emissão ou

absorção de radiações eletromagnéticas. Contrariamente à convecção e à condução, a

radiação não necessita da presença de um meio material para que possa ocorrer. Sabe-

se, inclusive, que a transmissão de calor por radiação tem sua eficiência máxima no

vácuo.

Simplificadamente, o mecanismo da radiação consiste na emissão de ondas

eletromagnéticas por um corpo aquecido, que, ao serem absorvidas por um receptor,

transformam-se em energia térmica. O fluxo máximo de calor que pode ser emitido de

uma superfície por radiação é dado pela lei de Stefan-Boltzmann:

θσ

(3.25)

onde

q é o fluxo de calor emitido pela superfície aquecida, em W/m

é a constante de

proporcionalidade de Stefan-Boltzmann, igual a 5,6697 × 10

-8

W/m

, e

é a

temperatura absoluta da superfície (em Kelvin).

A Eq.3.25 é válida para os chamados irradiadores perfeitos ou corpos negros. Os corpos

reais não preenchem os requisitos de um irradiador perfeito, pelo que o fluxo de calor

emitido corresponde a uma fração dos corpos negros, sendo expresso por:

θσε

(3.26)

sendo

a emissividade da superfície (0 <

< 1).

Por outro lado, no caso de um fluido gasoso envolvendo um corpo sólido, o fluido emite

calor por radiação

inc

para a superfície do sólido, que o absorve dependendo de sua

absortividade

, numa quantidade igual a

inc

. Fazendo-se a troca líquida de calor

entre a superfície e a vizinhança, tem-se que o fluxo líquido de calor emitido por

radiação

q é igual à quantidade emitida menos a quantidade absorvida:

incs

ηθσε

−=

(3.27.a)

ou ainda

θσηθσε

−=

(3.27.b)

Pode-se demonstrar que, para superfícies cinzentas, isto é, aquelas que não absorvem

integralmente a energia radiante incidente,

e o calor trocado será então:

(

)

fsres

θθσε

−=

(3.28)

sendo

q a quantidade líquida de calor emitido por radiação, em W/m

res

emissividade resultante da superfície,

a temperatura absoluta da superfície do sólido

(em Kelvin) e

a temperatura absoluta média do fluido (em Kelvin).

O EN 1994-1-2:2005 recomenda simplificadamente para a emissividade resultante da

superfície o valor de 0,7, considerando-se a troca de calor por radiação entre os gases

quentes da combustão e uma superfície típica de aço ou concreto. O PR-NBR

14323:2003, no entanto, recomenda para a emissividade resultante o valor de 0,5.

GHOJEL (1998) afirma que ótimos resultados são obtidos quando se utiliza a Eq.3.27.b

com os valores da emissividade

(FIG.3.7) e da absortividade

(FIG.3.8) de uma

mistura de 10% de gás carbônico, 10% de vapor de água e 80% de gás nitrogênio,

correspondente aos gases resultantes da combustão completa de material celulósico

seco.

1,5 atm

1 atm

2 atm

3 atm

0,55

0,5

0,4

0,3

0,2

0,45

0,35

0,25

400 800 1200 1600

Temperatura (Kelvin)

Emissividade

( )

FIGURA 3.7 – Emissividade total de uma mistura de 10% CO

, 10% H

O e 80% N

300

491

682

873

1064

1255

300

491

682

873

1064

1255

0.2

0.4

0.6

0.8

(Kelvin)

P = 1 atm

Absortividade

(

)

0,8

0,6

0,4

0,2

FIGURA 3.8 – Absortividade total de uma mistura de 10% CO

, 10% H

O e 80% N

FIGUEIREDO JÚNIOR (2002) observa que os resultados obtidos com o modelo de

Ghojel se mostraram bastante próximos dos resultados obtidos por ensaios no caso de

elementos de aço. Entretanto, estudos adicionais são necessários para se verificar a

aplicabilidade desse modelo em elementos de concreto e mistos de aço e concreto.

Neste trabalho, optou-se por utilizar a formulação com a emissividade resultante fixa

(Eq.3.28) para evitar a dificuldade de implementação do modelo proposto por Ghojel.

Reescrevendo-se a Eq.3.28 de forma similar à utilizada para convecção, obtém-se:

(

)

fsr

−

(3.29)

com o coeficiente de transmissão de calor por radiação

definido por

(

)

(

)

fsfsresr

θθθθσεα

++=

(3.30)

Utilizando-se a radiação como condição de contorno para um problema de domínio

sólido, tem-se uma condição de contorno natural denominada

contorno radiativo. Para

essa condição tem-se o fluxo de calor prescrito numa parte

do contorno por:

(

)

rfsr

q Γ−=

∂

−= em

θθα

(3.31)

3.3 - Problemas de domínio sólido

Para os corpos sólidos, as trocas de calor no domínio (volume do corpo) ocorrem apenas

por condução, segundo a Eq.3.9. Estando um corpo sólido envolvido por um fluido,

conforme a FIG.3.9, pode-se utilizar a convecção juntamente com a radiação como

condição de contorno para o problema de domínio sólido

(contorno convectivo-

radiativo

), além de um fluxo de calor prescrito. Nessa condição, o fluxo de calor é dado

numa parte

do contorno saindo na direção n normal ao contorno por:

()

(

)

(

)

qfsrfsc

tzyxq

q Γ−+−+=

∂

−= em,,,

θθαθθα

()

(

)

qfs

tzyxq

q Γ−+=

∂

−= em,,,

θθα

(3.32.a)

(3.32.b)

onde

q(x,y,z,t) é o fluxo de calor prescrito no instante t e

é o coeficiente combinado de

transmissão de calor por convecção e radiação (Eq.3.30), expresso por

(

)

(

)

fsfsrescrc

θθθθσεααααα

+++=+=

(3.33)

sendo as temperaturas dadas em Kelvin.

Correntes de convecção

Radiação

Troca de calor

por condução

no domínio

Ω

Troca de calor por convecção,

radiação e fluxo prescrito no contorno

Condição de contorno natural

Temperatura prescrita no contorno

Condição de contorno essencial

FIGURA 3.9 – Condições de contorno em um problema de domínio sólido

3.4 - Aplicação do MEF à transferência de calor

3.4.1 - Método dos Resíduos Ponderados

Muitos problemas de engenharia são regidos por uma equação diferencial válida em um

domínio

Ω, sujeita a condições de contorno em Γ. Porém, de forma geral, só para alguns

casos simples se conhecem soluções analíticas para essas equações diferenciais. Assim,

a determinação da função desconhecida

u (solução do problema) é feita utilizando-se

métodos numéricos.

Na solução via métodos numéricos o domínio

Ω é discretizado, associando-se a cada

ponto da discretização uma variável

que terá de ser calculada. Essas variáveis,

juntamente com funções de forma apropriadas

, definem û como uma aproximação da

função desconhecida

u no domínio Ω por:

aN===

∑

aNûu

(3.34)

sendo

û considerada uma boa aproximação se o resíduo

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∑

Ω

aNAûAR

(3.35)

for pequeno no domínio

Ω, para A um operador diferencial.

No método dos resíduos ponderados, os parâmetros

são escolhidos de modo a tornar

nulo não o valor do resíduo

Ω

, mas sim certas médias ponderadas. Considerando-se W

um conjunto de funções de peso independentes, tem-se:

0=Ω

∫

Ω

dRW

(3.36)

A escolha das funções de peso

pode ser definida para diferentes métodos:

a) Método da colocação pontual

O resíduo é forçado a ser nulo em um número m de pontos do domínio.

b) Método da colocação por subdomínios

O domínio é subdividido em m subdomínios nos quais a integral do resíduo é forçada

a ser nula.

c) Método de Galerkin

As funções de peso W

são escolhidas de modo da serem iguais às funções de forma

utilizadas na aproximação de

u. Assim:

0=Ω

∫

Ω

dRN

(3.37)

A é um operador diferencial simétrico então o método de Galerkin gera matrizes

simétricas, o que é preferido na prática para o uso posterior do método dos elementos

finitos.

Estendendo-se o conceito do método dos resíduos ponderados às condições de contorno,

há necessidade de se considerar um novo resíduo no contorno

Γ:

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∑

aNBûBR

(3.38)

Aplicando-se o conceito de nulidade das médias ponderadas utilizado no método dos

resíduos ponderados e considerando-se um conjunto de funções de peso independentes

para o contorno, tem-se:

0=Γ

∫

dRW

(3.39)

3.4.2 - Equações básicas do MEF

A expressão básica da transferência de calor é dada pela Eq.3.9. Rearranjando-se os

termos da expressão em um domínio

Ω, pode-se escrever:

Ω=

∂

−+∇∇ em0

ρρθ

(3.40)

onde

representa a temperatura, t a variável tempo,

a densidade do material, c o calor

específico,

= Q a densidade de calor devido uma fonte de calor interna e D

corresponde à matriz constitutiva, formada pelas condutividades térmicas:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

(3.41)

O símbolo

∇ indica o operador gradiente, sendo expresso por:

zyx

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

=∇

(3.42)

As condições de contorno às quais está sujeito o problema de domínio sólido podem

ser:

• Condição de Dirichlet, que fixa a temperatura

a um valor previamente

conhecido sobre um contorno particular;

θθ

Γ=− em0

(3.43)

•

Condição de Neumann, que fixa o gradiente de temperatura normal à superfície.

(

)

−

− em0

(3.44)

onde:

é a temperatura com valor conhecido no contorno;

é o coeficiente de transmissão de calor por convecção-radiação (Eq.3.33);

q é o fluxo de calor com valor conhecido no contorno, normal ao mesmo;

é a temperatura na superfície do sólido;

é a temperatura dos gases fora do domínio;

[]

zyx

nnn=n , vetor de normais ao contorno;

[]

∇−=== Dnq

zyxn

qqqq , é o vetor gradiente de temperatura normal a Γ

Em função dos valores dos parâmetros da Eq.3.44, tem-se:

a) contorno isolado

Representa um fluxo de calor nulo na interface do domínio com o meio externo:

0 pois ,0

qqn

(3.45.a)

b) contorno com entrada ou saída de calor

Representa um fluxo de calor de valor conhecido no contorno:

0 que vezuma ,

qqn

(3.45.b)

c) contorno com entrada ou saída de calor por convecção-radiação

Representa um fluxo de calor no contorno em função da diferença de temperatura

entre o meio externo e o domínio, sendo dado pelas leis da termodinâmica por:

(

)

0 que vezuma ,

−

= qq

(3.45.c)

3.4.3

- Formulação para o MEF da transmissão de calor

A aplicação do método dos elementos finitos exige como ponto de partida a existência

de uma forma integral que expresse o mecanismo global do sistema. Essa forma integral

pode ser obtida aplicando-se o método dos resíduos ponderados à equação diferencial

do problema (Eq.3.40) e à condição de contorno (Eq.3.44).

Escrevendo-se a expressão do resíduo para a equação diferencial, obtém-se:

∂

−+∇∇=

Ω

ρρθ

(3.46)

que, ao aplicar-se o conceito de nulidade das médias ponderadas, chega-se a

0=Ω∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−+∇∇=Ω

∫∫

ΩΩ

Ω

cdRW

ρρθ

(3.47)

Repetindo-se o procedimento acima para as condições de contorno, tem-se:

(

)

qqR

−

(3.48)

Logo:

(

)

(

)

0=Γ∂−++−=Γ

∫∫

ΓΓ

qdRW

θθα

(3.49)

Conjugando-se os resíduos obtidos nas expressões acima obtém-se a expressão seguinte,

denominada

equação de resíduos:

()

0=Γ∂−++∇+Ω∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−+∇∇

∫∫

ΓΩ

αθαθθ

ρρθ

DWDW

(3.50)

Na equação de resíduos não foi considerada a parcela correspondente ao resíduo da

condição de contorno essencial (Dirichlet), pois sendo as temperaturas conhecidas, o

resíduo pode ser exatamente anulado pela imposição das temperaturas prescritas.

Integrando-se por partes o termo ∇

D∇

segundo o Teorema de Green e reagrupando-

se a expressão obtida, vem:

+Ω∂

∂

−Ω∂+Γ∂∇+Ω∂∇∇−

∫∫∫∫

ΩΩΓ+Γ+ΓΩ

TTTT

ρρθθ

αθ

WWDWDW

0=Γ∂−Γ∂+Γ∂+Γ∂∇+

∫∫∫∫

ΓΓΓΓ+Γ

ααα

αθαθθ

q WWWDW

(3.51)

Sendo as funções de peso arbitrárias, pode-se tomar

WW −= , o que leva a:

+Ω∂

∂

−Ω∂+Γ∂∇+Ω∂∇∇−

∫∫∫∫

ΩΩΓ+Γ+ΓΩ

TTTT

ρρθθ

αθ

WWDWDW

0=Γ∂+Γ∂−Γ∂−Γ∂∇−

∫∫∫∫

ΓΓΓΓ+Γ

ααα

αθαθθ

q WWWDW

(3.52)

Cabe ressaltar que a integral

∫

Γ∂∇

pode ser ignorada, uma vez que a mesma

ocorre no contorno de temperaturas prescritas (

), sendo essas impostas ao nível da

resolução do sistema de equações. Assim, simplificando-se a Eq.3.52, chega-se a:

+Ω∂

∂

−Ω∂+Ω∂∇∇−

∫∫∫

ΩΩΩ

TTT

ρρθ

WWDW

0=Γ∂+Γ∂−Γ∂−

∫∫∫

ΓΓΓ

αα

αθαθ

q WWW

(3.53)

Após a discretização do domínio em elementos finitos, as temperaturas são interpoladas

no interior de cada elemento como:

)(e

N Na==

∑

θθ

(3.54)

onde

N é a matriz das funções de forma definidas em cada elemento e a

(e)

é o vetor dos

valores das temperaturas nodais do elemento (

e).

O vetor de gradientes em cada elemento é obtido por:

)()( ee

BaNag =∇=∇=

(3.55)

sendo a matriz

[]

BBBB ,...,,

= e B

dado por:

iii

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

(3.56)

O vetor de fluxos de calor pode ser determinado em função dos valores nodais de

temperatura pela expressão:

)(e

DBaq −=

(3.57)

Substituindo-se a Eq.3.54 e a Eq.3.55 na Eq.3.53 e fazendo-se

W igual a N, segundo o

método de Galerkin (HUANG e USMANI, 1994), obtém-se um sistema matricial de

equações que pode ser escrito na forma:

fKa

M =+

∂

(3.58)

onde

M é a matriz de massa, K é a matriz de rigidez térmica, f é o vetor de fluxos

nodais equivalentes e

a é o vetor de incógnitas contendo a temperatura em todos os nós

da malha.

Para cada elemento, as matrizes

M, K e f podem ser obtidas pelas seguintes expressões:

)(

∫

Ω

Ω∂= NNM

(3.59)

∫∫

Ω

Γ∂+Ω∂=

)()(

)(

TTe

NNDBBK

(3.60)

∫∫∫

ΓΓ

Ω

Γ∂+Γ∂−Ω∂=

)()()(

)()(

θαρ

NNNf

(3.61)

3.4.4 - Problemas estacionários

Para problemas estacionários, a temperatura não varia com o tempo, assim o termo

t∂∂ /a

é nulo e o sistema de equações se reduz a:

fKa

(3.62)

Obtidas as temperaturas nodais a, os fluxos de calor em cada ponto de integração de

Gauss são calculados por meio da Eq.3.57.

3.4.5 - Problemas transientes

A Eq.3.58 é resultante apenas da discretização do espaço, representando um sistema de

equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Na solução desse sistema de

equações empregam-se métodos numéricos que requerem a discretização no domínio do

tempo.

A discretização no tempo que será utilizada corresponde a uma aplicação do método das

diferenças finitas, baseado nas hipóteses:

• a Eq.3.58 é satisfeita apenas em pontos discretos t

de cada intervalo de tempo

∆t em que se discretizou o domínio tempo (FIG.3.10);

• as temperaturas variam linearmente ao longo do intervalo de tempo ∆t, desde o

instante

até t

n+1

= t

+ ∆t.

n+1

Tempo

∆t

(1− ) ∆t

∆t

(Vetor )a

ββ

FIGURA 3.10 – Variação da temperatura no intervalo de tempo

∆t

As temperaturas

no instante t

= t

∆t podem ser dadas então por:

()

(

)

()

⎩

⎨

⎧

−∈

∈

∆−∆+=

1...,,1,0

0,1

com/

nnnn

aaaa

(3.63)

sendo

N o número total de intervalos de tempo e

é um parâmetro que define dentro de

cada intervalo de tempo o instante em que a Eq.3.58 é satisfeita.

Pela segunda hipótese, a derivada da temperatura em relação ao tempo é constante

dentro de cada intervalo e dada por:

∆

−

∂

(3.64)

Substituindo-se a Eq.3.63 e a Eq.3.64 na Eq.3.58, chega-se à seguinte fórmula de

recorrência:

nnn

faK

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

+++

ββ

βββ

(3.65)

As matrizes

, K

e f

são avaliadas no instante t

. Reescrevendo-se a fórmula

de recorrência de outra forma, obtém-se:

βββ

+++

nnn

faK

(3.66)

onde

∆

(3.67.a)

∆

ββ

(3.67.b)

Resolvido o sistema de equações (Eq.3.66) para

, as temperaturas no final do

intervalo de tempo

n+1

são dadas por:

nnn

aaa

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=

ββ

(3.68)

sendo essas as temperaturas

quando se avança para o intervalo de tempo seguinte.

Em função do valor do operador

na Eq.3.65, obtém-se vários esquemas de integração

no tempo, sendo mais conhecidos os esquemas de:

a) esquema explícito de Euler:

= 0

b) esquema implícito de Crank-Nicolson:

= 1/2

c) esquema implícito de Galerkin:

= 2/3

d) esquema implícito de Backward-Euler:

= 1

O algoritmo mostrado tem os mesmos critérios de estabilidade tanto para problemas

lineares quanto para problemas não-lineares. Segundo HOGGE (1981), para

< ½ os

esquemas de integração são

condicionalmente estáveis enquanto que, para ½ ≤

≤ 1,

são designados de

incondicionalmente estáveis, mesmo que tal convergência ocorra

com oscilações.

À medida que

se aproxima da unidade, as oscilações na resolução do problema

diminuem e para o esquema de Backward-Euler, não há oscilações, sendo, de modo

geral, a solução obtida com esse esquema subestimada. VILA REAL (1988) sugere

como solução de compromisso a utilização do esquema de Galerkin, demonstrando que

tal esquema faz com que a solução numérica aproxime-se rapidamente da solução exata.

Vila Real apresenta vários processos iterativos de resolução do sistema dado na Eq.3.66,

sendo o mais simples o denominado

método iterativo simples, descrito a seguir.

3.4.5.1 - Método iterativo simples

No método iterativo simples, a solução obtida no passo anterior é utilizada para obter a

solução atual. O processo de solução para problemas lineares e não-lineares é dado pela

seqüência:

Cálculos iniciais

1) Tomar n = 0, i = 0 e t

= 0;

Fixar as condições iniciais

aaa

+ nn

(temperaturas iniciais).

Para cada intervalo de tempo

3) Calcular as matrizes

M e

K de acordo com a Eq.3.59 e a Eq.3.60,

respectivamente, se

i = 0 ou se as propriedades (

, c ou

) variarem com

a .

Caso contrário ir para o passo 5.

∑

∫

Ω

Ω∂==

)(

NNMM

∑

∫

∑

∫

Ω

Γ∂+Ω∂==

αβ

)(

)()(

NNDBBKK

Calcular a matriz:

∆

Calcular o vetor f

de acordo com a Eq.3.61 para i = 0, quando as condições

de contorno mudarem durante o intervalo de tempo

n = n + 1 e durante as

iterações

i = i + 1 (mudança no valor de q , de

ou de

). Caso contrário, ir para

o passo 7.

∑

∫

∑

∫

∑

∫

Ω

Γ∂+Γ∂−Ω∂=

αβ

αθρ

)(

)()()(

NNNf

Calcular a matriz:

∆

ββ

Resolver o sistema de equações:

βββ

−

fKa

Verificação da convergência:

A verificação da convergência dos resultados é feita por análise da diferença

entre os resultados da iteração

i+1 e os resultados da iteração i. Essa análise pode

ser feita de várias formas. A seguir são mostrados dois métodos:

- pela norma euclidiana: o critério de convergência é satisfeito quando a norma

da diferença entre os resultados da iteração

i+1 e os resultados da iteração i

são menores que uma porcentagem

perc

da norma dos resultados da iteração

i+1, denominada “tolerância”.

perc

ββ

≤×

−

100

- pelo erro máximo: o critério de convergência é satisfeito quando a maior

diferença, em módulo, entre os resultados da iteração

i+1 e os resultados da

iteração

i é menor que uma tolerância

abs

(em ºC) pré-fixada.

abs

Max

ββ

≤−

Caso a convergência não seja atendida, fazer i = i + 1, e voltar ao passo 3. Caso

contrário, ir para o passo 10.

10)

Tomar

ββ

aa .

11)

Avaliar a temperatura no instante t

n+1

de acordo com a Eq.3.68.

nnn

aaa

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=

ββ

12)

Se n = N - 1, onde N é o número total de intervalos de tempo, então ir para o

passo 13, caso contrário tomar

n+1

= t

+ ∆t, n = n + 1, i = 0 e voltar ao passo 3.

13)

Fim da análise térmica não-linear.

3.4.5.2 - Critérios para discretização no tempo

Como já visto anteriormente, para ½ ≤

≤ 1 o sistema de equações é

incondicionalmente estável, mesmo que haja oscilações na convergência. Porém,

dependendo da geometria do problema, da discretização da malha de elementos finitos e

do intervalo de tempo adotado, essas oscilações podem provocar a convergência para

soluções numéricas que fogem à realidade.

HUANG, H. C. e USMANI, A. S (1994) recomendam, para garantir a convergência

fisicamente correta das soluções, que se utilize no esquema de integração um intervalo

de tempo da ordem de:

<∆

(3.69)

onde

∆t é intervalo de tempo, em segundos,

é a massa específica do material, em

kg/m

, c é o calor específico do material, em J/kg ºC,

é a condutividade térmica do

material, em W/m ºC, e

h é a dimensão característica dos elementos (distância entre dois

nós muito próximos), em metros.

Segundo as recomendações de FIGUEIREDO JÚNIOR (2002) e através do

processamento de vários problemas, concluiu-se que bons resultados são obtidos com

análise térmica via MEF quando a dimensão característica dos elementos é menor que

50 mm, para concreto, e 10 mm, para aço. Com base nesses parâmetros e na Eq.3.69,

RIBEIRO (2004) sugere como solução de compromisso o uso de um intervalo de tempo

da ordem de 5,0 segundos.

3.4.6 - Resolução do sistema de equações lineares

Tanto para problemas estacionários (Eq.3.62) como para problemas transitórios

(Eq.3.66), sempre se recai na resolução de um sistema de equações lineares do tipo:

fKa

(3.70)

onde

K é uma matriz simétrica, f é um vetor conhecido, e a é o vetor de incógnitas.

Para resolução dos sistemas de equações lineares podem ser utilizados:

a) métodos diretos: são aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a

solução exata do sistema linear, caso ela exista, após um número finito de

operações aritméticas.

b) métodos iterativos: são aqueles que utilizam um algoritmo iterativo para converter

um vetor

(k)

em outro, a

(k+1)

, que depende de a

(k)

, K e f, e, a princípio, consiste

em uma melhor aproximação da solução do sistema de equações. O critério de

parada é dado pela comparação da norma da diferença entre os valores da

iteração

k+1 e os valores da iteração k, com uma tolerância

, em ºC:

≤−

+ )()1( kk

(3.71)

3.4.6.1 - Comparação dos métodos de solução utilizados

No desenvolvimento deste trabalho foram utilizados para resolução do sistema de

equações lineares os seguintes métodos:

• Fatorização de Cholesky (método direto)

• Método de Gauss-Seidel (método iterativo)

• Método dos Gradientes Conjugados Pré-Condicionado (método iterativo)

O algoritmo da fatorização de Cholesky utilizado foi obtido de WEAVER e

JOHNSTON (1984). Os algoritmos do Método de Gauss-Seidel e do Método dos

Gradientes Conjugados Pré-Condicionados foram obtidos de CRISFIELD (1986).

Com relação à convergência, a fatorização de Cholesky, por ser um método direto, é um

processo finito e, teoricamente, obtém a solução de qualquer sistema não singular de

equações. Os métodos iterativos, no entanto, podem apresentar problemas de

convergência para alguns problemas térmicos, sobretudo quando se utilizam grandes

intervalos de tempo.

Com relação ao número de operações, sendo

n a ordem da matriz K, a fatorização de

Cholesky requer um total de operações aritméticas da ordem de

enquanto que os

métodos iterativos requerem 2

operações por iteração. Se o número de iterações dos

métodos iterativos for menor que

n/2, o esforço computacional requerido por tais

métodos será menor. Por isso, para sistemas de grande porte, os métodos iterativos são

mais recomendados.

Com relação aos erros de arredondamento, os métodos diretos apresentam sérios

problemas com esses erros. Os métodos iterativos, no entanto, são insensíveis aos erros

de arredondamento, pois a convergência, uma vez assegurada, independe da

aproximação inicial. Assim, apenas os erros cometidos na última iteração afetam a

solução, pois os erros cometidos nas iterações anteriores não levarão à divergência do

processo nem à convergência a outros valores que não a solução.

3.4.6.2 - Recomendações práticas

Através do processamento de vários modelos de estruturas em situação de incêndio e

exemplos citados em literatura, observou-se que:

• para verificação da convergência do algoritmo não-linear (subitem 3.4.5.1), o

critério de melhor desempenho consiste em considerar a convergência atingida

se a norma euclidiana ou o erro máximo for satisfeito. O erro máximo torna-se

muito severo em altas temperaturas, sendo no entanto funcional quando as

temperaturas tendem para 0 ºC, faixa em que a norma euclidiana não converge

(divisão por zero). Por outro lado, a norma euclidiana é capaz de manter

constante o nível percentual de erro na malha em toda a análise;

• os valores das tolerâncias utilizadas no controle da norma euclidiana e do erro

máximo que possibilitaram a maior velocidade de convergência, sem alterar

perceptivelmente as temperaturas para problemas de estruturas em situação de

incêndio, são, respectivamente:

perc

= 0,001 e

abs

= 0,000001 ºC;

• para que os métodos iterativos utilizados não promovam influência nos

resultados maior do que os critérios de convergência mencionados no subitem

3.4.5.1, deve-se utilizar para

um valor de no máximo 1/25 da tolerância

perc

;

• os tempos obtidos de processamento dos modelos, para os três métodos de

resolução das equações lineares utilizados, sugerem um comportamento próximo

ao mostrado na FIG.3.11. Assim, para se obter a maior velocidade de

processamento, deve-se escolher o método de resolução das equações de acordo

com o número de incógnitas do modelo.

3000

50000

Número de incógnitas do sistema

Tempo de processamento

Fatorização de

Cholesky

Gauss-Seidel

Gradientes Conjugados

Pré-Condicionado

FIGURA 3.11 – Comparação da eficiência dos métodos de solução

CAPÍTULO 4 -

Análise Mecânica

ANÁLISE MECÂNICA

4.1 - Introdução

Na análise mecânica de um problema estrutural, utiliza-se basicamente três entidades

relacionadas entre si: tensões (

), deformações (

) e deslocamentos (d). As relações

entre essas grandezas podem ser lineares ou não-lineares. Segundo LOURENÇO

(1999), as causas típicas do comportamento não-linear são:

• não-linearidade material: quando a lei constitutiva que rege a relação

material é não-linear;

• não-linearidade geométrica: quando os deslocamentos e/ou as deformações são

de tal magnitude que a configuração inicial não pode mais ser utilizada para

exprimir equilíbrio e compatibilidade;

• não-linearidade de contato: quando as alterações nas condições de apoio e/ou

aplicação das forças são tais que as condições de apoio iniciais não podem mais

ser utilizadas para exprimir equilíbrio e compatibilidade.

Para simulação do comportamento de estruturas em situação de incêndio, serão

utilizadas no presente trabalho apenas as não-linearidades geométrica e material.

O objetivo desse capítulo consiste em apresentar as formulações para a análise não-linear

geométrica, os critérios elasto-plásticos que serão utilizados na análise não-linear

material, bem como os algoritmos incrementais empregados no processo de solução

dessas formulações.

4.2 - Formulação de elementos finitos com base em deslocamentos

O tipo de formulação utilizada nos problemas de mecânica estrutural depende das

variáveis escolhidas como incógnitas do problema. VILA REAL (1993) mostra que há

três tipos de formulações:

• formulação com base em deslocamentos: é derivada do Princípio da Energia

Potencial Mínima e busca garantir a continuidade do campo de deslocamentos

entre os elementos adjacentes;

• formulação com base em tensões: é derivada do Princípio da Energia

Complementar Mínima e busca garantir a continuidade do campo de tensões;

• formulação mista ou híbrida: os deslocamentos e as tensões são adotados

simultaneamente como incógnitas.

Neste trabalho adotou-se uma formulação com base em deslocamentos, em que esses

são as incógnitas do problema, sendo o campo de tensões obtido por meio do campo de

deslocamentos calculado.

4.2.1 - Variáveis nodais

A FIG.4.1 apresenta um elemento finito tridimensional típico, sendo as componentes do

deslocamento do nó

i dadas por u

, v

e w

, segundo os eixos X, Y e Z, respectivamente.

As forças nodais

, Pv

e Pw

são tomadas de acordo com esses deslocamentos.

nó genérico

FIGURA 4.1 – Forças e deslocamentos nodais considerados em um

elemento finito tridimensional

Assim, os deslocamentos e as forças nodais, para um dado elemento com

n nós, podem

ser representados por:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

(4.1)

sendo:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

(4.2)

Conhecidos os deslocamentos nodais e adotando-se o procedimento habitual do Método

dos Elementos Finitos, os deslocamentos em qualquer ponto do elemento são dados por:

∑

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

dNdNd

(4.3)

onde:

n é o número de nós do elemento;

[]

NNNN ,...,,

= ;

= N

I, em que N

é a função de forma do i-ésimo nó relativo ao elemento utilizado e I

é a matriz identidade de ordem 3, para problemas tridimensionais, ou de ordem 2,

para problemas bidimensionais.

4.2.2 - Relação entre deformações e deslocamentos em análises com pequenas

deformações

O estado de deformação em um ponto de um elemento finito pode ser calculado com

base nos deslocamentos nodais. Para problemas com pequenas deformações (linearidade

geométrica), sendo

L a matriz dos operadores diferenciais, as deformações,

representadas pelo vetor

,ε

se relacionam com os deslocamentos d pela expressão:

dLε

(4.4)

Substituindo-se a expressão dos deslocamentos (Eq.4.3) na Eq.4.4, obtém-se:

∑

====

dBdBdNLdLε

(4.5)

onde

[]

BBBB ,...,,

= e B

é o operador gradiente discreto relacionado ao i-ésimo

nó do elemento finito considerado. A medida de deformação obtida por meio da Eq.4.4

é denominada

deformação de Biot ou de engenharia.

Para problemas tridimensionais, tem-se:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

Bε

(4.6)

Para problemas bidimensionais (

= 0),

é calculado indiretamente para estado

plano de tensões e tomado igual a zero para estado plano de deformações, tendo-se:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

Bε

(4.7)

4.2.3 - Relação entre tensões e deformações em análises com linearidade material

Ao ser solicitado por ações externas, se um corpo se deforma, isso provoca o

surgimento de um estado de tensões. Assim, há uma relação entre as tensões e as

deformações. Se o corpo regressar à configuração inicial ao serem retiradas as

solicitações, diz-se que é um corpo elástico, e se houver uma relação linear entre as

tensões e as deformações, diz-se que o corpo possui linearidade material.

O comportamento elástico linear entre tensões e deformações foi proposto por Robert

Hooke em 1676. A Teoria da Elasticidade estabelece que a lei constitutiva dessa relação

no interior de cada elemento finito é dada por:

dBDεDσ ==

(4.8)

onde

é o vetor de tensões, D é a matriz discreta do operador constitutivo e

é o vetor

de deformações dado na Eq.4.6 e na Eq.4.7.

A matriz constitutiva elástica linear para materiais isotrópicos é dada por:

GKG iiID

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=

(4.9)

onde:

G é o módulo de cisalhamento:

()

(4.10)

K é o módulo de elasticidade volumétrico:

()

213 −

(4.11)

E é o módulo de elasticidade ou módulo de Young;

é o coeficiente de Poisson;

é a representação matricial do tensor identidade simétrico de quarta ordem;

i é a representação vetorial do tensor identidade de segunda ordem.

Para problemas tridimensionais, tem-se:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

σ ,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

5,000000

05,00000

005,0000

000100

000010

000001

I e

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

(4.12)

e, para problemas de estado plano de deformações, tem-se:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

1000

05,000

0010

0001

I e

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

(4.13)

Nos problemas de estado plano de tensões, SOUZA NETO (2006) demonstra que a

matriz constitutiva consistente pode ser calculada a partir da matriz constitutiva obtida

para o estado plano de deformações por meio da expressão:

⎩

⎨

⎧

−=

32,1,

com/

4,4,44,

jiijij

DDDDD

(4.14)

No caso de existirem deformações iniciais na análise, ε

, devido a variações térmicas,

por exemplo, e ainda se o corpo estiver sujeito a um estado inicial de tensão, σ

, como

ocorre na presença de tensões residuais, a Eq.4.8 pode ser reescrita na forma:

(

)

σεεDσ

−

(4.15)

sendo o vetor das deformações térmicas dado por

iε T

∆

(4.16)

onde

é o coeficiente de dilatação térmica (1/ºC) e ∆T é a variação de temperatura (ºC)

do material em relação à temperatura de referência da análise.

4.2.4

- Princípio dos Trabalhos Virtuais

As equações de equilíbrio podem ser obtidas por diversos processos, sendo o mais

utilizado para aplicações estruturais o Princípio dos Trabalhos Virtuais.

Considera-se um único elemento sujeito a forças nodais f

, a forças de volume b e a

forças de superfície t, as quais produzem um estado de tensão

σ estaticamente

equilibrado. Sendo esse elemento sujeito a deslocamentos nodais virtuais arbitrários

∗

d ,

os quais produzem deslocamentos

∗

d e deformações internas

∗

ε compatíveis, pelo

Princípio dos Trabalhos Virtuais pode-se escrever:

∫∫∫

Ω

∗

Ω

∗

∗∗

=++

eee

eTeTeTe

dvdvda σεbdtdfd

(4.17)

onde Γ

Ω

correspondem, respectivamente, ao contorno e ao volume do elemento.

Por meio das Eq.4.5 e Eq.4.8, tem-se que:

(

)

TTe

NddNd

∗∗∗

(4.18)

(

)

TTe

BddBε

∗∗∗

(4.19)

Substituindo-se as Eq.4.18, Eq.4.19, Eq.4.15 e Eq.4.5 na Eq.4.17 e, uma vez que os

deslocamentos nodais virtuais

∗

d são arbitrários, obtém-se:

∫∫

∫∫∫

ΩΩ

ΩΓΩ

−+

+++=

eee

eTeT

eTeTe

eeT

dvdv

dvdadv

σBεDB

bNtNfdBDB

(4.20)

eee

fdK =

(4.21)

onde:

é a matriz de rigidez do elemento, dada por

∫

Ω

eTe

dvBDBK

(4.22)

é o vetor dos deslocamentos nodais incógnitos;

é o vetor das forças nodais equivalentes, dadas por:

eee

σε

ffffff ++++=

(4.23)

é o vetor das forças aplicadas diretamente nos nós do elemento;

é o vetor das forças de superfície do elemento:

∫

eTe

datNf

(4.24)

é o vetor das forças de volume ou forças de corpo:

∫

Ω

eTe

dvbNf

(4.25)

f é o vetor das forças equivalentes ao estado de deformação inicial:

∫

Ω

eTe

εDBf

(4.26)

f é o vetor das forças equivalentes ao estado de tensão inicial:

∫

Ω

−=

eTe

σBf

(4.27)

As equações anteriores são aplicáveis quando se considera um único elemento. Para se

obter a contribuição dos vários elementos que constituem a malha da estrutura, basta

somá-los por meio do Método da Rigidez Direta (Método dos Deslocamentos com um

enfoque matricial), obtendo-se um sistema global de equações de equilíbrio da forma:

fdK

(4.28)

Após resolvida, a Eq.4.28 fornece os deslocamentos para todos os nós da estrutura. As

deformações e tensões em cada elemento podem ser obtidas pelas Eq.4.5 e Eq.4.15,

respectivamente.

4.3 - Análise não-linear geométrica

As não-linearidades geométricas correspondem às não-linearidades da estrutura devido

às variações na geometria, tais como mudanças de forma e rotações, que podem causar

alterações consideráveis na condição e posição de equilíbrio da estrutura. Em tais casos,

a rigidez da estrutura K é uma função dos deslocamentos d. A TAB.4.1 mostra os tipos

de análise utilizadas neste trabalho em função das deformações e dos deslocamentos,

tendo as medidas de tensões e deformações com base na Formulação Lagrangeana e na

Formulação Euleriana, vistas a seguir.

TABELA 4.1 – Tipos de análise quanto à variação da geometria

Formulação utilizada

Tipo de

análise

Descrição

Lagrangeana Euleriana

Pequenos

deslocamentos

e deformações

Os deslocamentos e as rotações são pequenos,

não há alterações nem na geometria e nem na

forma (área, espessura, etc.). Uma aproximação

de primeira ordem pode ser utilizada.

Tensões e

deformações de

engenharia

Tensões e

deformações de

engenharia

Grandes

deslocamentos

e deformações

Os deslocamentos, as rotações e as

deformações são grandes. As mudanças de

forma (área, espessura, etc.) devem ser

consideradas na análise.

2ª tensões de

Piola-Kirchhoff

e deformações

de Green

Tensões de

Cauchy e

deformações de

Hencky

Existem basicamente duas alternativas para as formulações utilizadas:

•

formulação Lagrangeana ou material: em que todas as quantidades são referidas à

configuração original, indeformada;

•

formulação Euleriana ou espacial: todas as quantidades são referidas à

configuração final, deformada.

LOURENÇO (1999) afirma que, em análises não-lineares geométricas, as diferenças

entre as duas formulações são reduzidas. No caso de se considerar não-linearidades

materiais, as diferenças tornam-se maiores, mas raramente ultrapassam 5%. Na análise

não-linear material, as maiores diferenças ocorrem para os modelos constitutivos

dependentes do caminho de carga, tais como os modelos de plasticidade e fissuração.

Nesses modelos, o estado de deformação total depende da seqüência de aplicação do

carregamento, pelo que a Formulação Euleriana é mais atrativa, segundo SOUZA

NETO (2006). Visando a implementação de modelos de plasticidade, a Formulação

Euleriana foi adotada neste trabalho.

4.3.1

- Definição do gradiente de deformação

As deformações citadas no subitem 4.2.2 estão relacionadas com pequenos

deslocamentos. A obtenção da formulação para grandes deslocamentos parte da

definição das quantidades físicas básicas (movimento e deformação) e de sua relação

matemática correspondente. Fisicamente, ao se aplicar um esforço sobre um corpo, ele

sai da posição original para uma nova posição de equilíbrio (FIG.4.2).

Indeformada Deformada

FIGURA 4.2 – Vetores posição e movimento de um corpo sob deformação

O movimento (vetor u) pode ser definido por meio de um vetor de posição nas

configurações deformada (vetor x) e indeformada (vetor X) com a expressão:

Xxu

−

(4.29)

A forma diferencial do vetor x é dada pela expressão:

XFX

x ddd =

∂

(4.30)

sendo F o gradiente material de deformação dado por

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

(4.31)

O gradiente de deformação F contém informações sobre a mudança de volume, a

mudança de forma e rotações sofridas por um ponto no corpo deformado. Em um ponto

qualquer do corpo, a mudança de volume é dada por:

()

Fdet

(4.32)

onde, na configuração deformada, dV é o volume infinitesimal e

é a massa específica,

e, na configuração indeformada, dV

é o volume infinitesimal e

é a massa específica.

4.3.1.1

- Decomposição polar

Aplicando-se a decomposição polar ao gradiente de deformação (FIG.4.3), tem-se:

RVURF

(4.33)

onde R é o tensor ortogonal de rotação (R

R = I), U e V são tensores simétricos

positivos de mudança de forma pela direita e pela esquerda, respectivamente.

Ω

Configuração

de referência

U dp

(

Ω

)

R dp

dx=F dp

Configuração

deformada

FIGURA 4.3 – Decomposição polar do gradiente de deformação

Os tensores de mudança de forma U e V também podem ser expressos por:

CFFU ==

, BFFV ==

(4.34)

onde C e B são, respectivamente, os tensores de deformação de Cauchy-Green pela

direita e pela esquerda.

4.3.1.2

- Decomposição espectral

Como os tensores U e V são simétricos, por meio do teorema espectral pode-se concluir

que eles admitem a decomposição espectral:

∑

iii

llU

∑

iii

eeV

(4.35)

sendo

os autovalores de U (e também de V), l

os autovetores de U referenciados à

configuração Lagrangeana e e

os autovetores de V referenciados à configuração

Euleriana.

4.3.2

- Medidas de deformações

CRISFIELD (1997) apresenta uma expressão geral para medidas de deformações com

base nas direções Lagrangeanas principais. Essas medidas de deformações constituem a

família dos tensores de deformação Lagrangeanos:

()

[]

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≠−

0ln

(4.36)

onde m é um número real e ln[⋅] é o tensor logaritmo de [⋅]. Equivalentemente, em

termos da decomposição espectral de U, tem-se:

()

∑

iii

f llE

(4.37)

sendo

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≠−

0ln

(4.38)

Os valores que m pode assumir definem os membros da família dos tensores de

deformação. As medidas de deformações mais comuns são Green-Lagrange (m = 2),

Biot (m = 1), Hencky (m = 0) e Almansi (m = -2).

SOUZA NETO (2006) apresenta uma expressão análoga à Eq.4.36, porém com base nas

direções Eulerianas principais, constituindo a família dos tensores de deformação

Eulerianos:

()

[]

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≠−

0ln

(4.39)

Em termos da decomposição espectral de V, tem-se:

()

∑

iii

f eeε

(4.40)

A deformação de Hencky (m = 0) é comumente utilizada na análise plástica de metais

sujeitos a grandes deformações. Para HIBBIT (1998), a principal motivação para o uso

dessa medida de deformação é que, quando se comparam as tensões verdadeiras em

função das deformações logarítmicas, os modelos numéricos coincidem com resultados

de ensaios de tração, compressão e torção.

Devido à figuração do tensor logaritmo ln[⋅] na Eq.4.39, a forma mais prática para se

calcular a deformação de Hencky é obtida reescrevendo-se a Eq.4.40 em função do

gradiente de deformação F:

()

∑

iii

eeε

(4.41)

sendo

os autovalores de F F

e e

os autovetores de F F

Com relação ao cálculo dos autovalores e autovetores, o algoritmo das Transformações

de Jacobi é um dos mais utilizados, conforme PRESS et al. (1990).

4.3.3

- Medidas de tensões

Conceitualmente, a tensão é definida como a relação entre força e unidade de área.

Assim, quando os gradientes de deslocamentos ∂u/∂X são pequenos em comparação

com a unidade, não é relevante em que configuração, deformada ou indeformada, é

medida a área onde a força é aplicada. No entanto, para grandes deslocamentos, a

hipótese anterior não é mais válida, sendo necessário definir com precisão a

configuração a que as tensões se referem.

Para aplicações em engenharia, geralmente o conhecimento das tensões é requerido na

configuração deformada, ou seja, a força total dividida pela área de aplicação real

(deformada). Essas tensões são simbolizadas pelo vetor σ e recebem a denominação de

tensões de Cauchy ou tensões reais. BATHE (1996) demonstra que as tensões de

Cauchy são energeticamente conjugadas com as deformações de Hencky. A expressão

seguinte mostra os componentes do vetor

σ e do tensor σ

correspondente:

[]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

zzyzx

yzyyx

xzxyx

yzxzxyzyx

σττ

τστ

ττσ

τττσσσ

σσ

(4.42)

Na mecânica dos sólidos, referenciar os deslocamentos e deformações à configuração

indeformada é também uma forma utilizada para descrever a estática e a cinemática de

uma estrutura sujeita a grandes deslocamentos. Nessa abordagem, todas as quantidades

têm de estar referidas à configuração original (Formulação Lagrangeana).

Em análises não-lineares, a medida de tensão mais utilizada, referente à configuração

indeformada, ou seja, força total dividida pela área indeformada, é o

primeiro tensor de

tensões de Piola-Kirchhoff

. O primeiro tensor de tensões de Piola-Kirchhoff e as

tensões de Cauchy se relacionam pela seguinte expressão (SOUZA NETO, 2006):

(

)

T−

= FσFP

det

(4.43)

segundo tensor de tensões de Piola-Kirchhoff

é utilizado como uma medida de

tensão energeticamente conjugada com as deformações de Green-Lagrange, visto que

são referidas à configuração indeformada (SOUZA NETO, 2006). Esse tensor, no

entanto, não tem um significado físico direto.

O tensor de tensões de Cauchy e o segundo tensor de tensões de Piola-Kirchhoff se

relacionam pela seguinte expressão (CRISFIELD, 1991; BATHE, 1996):

(

)

T−−

= FσFFS

det

(4.44)

Uma outra medida de tensões de interesse em análises com não-lineridades geométricas

é a tensão de Kirchhoff, cujo tensor é simbolizado por

. As tensões de Kirchhoff são

freqüentemente empregadas na formulação de vários modelos constitutivos, se

relacionando com as tensões de Cauchy por meio da expressão (SOUZA NETO, 2006):

(

)

σFτ

det

(4.45)

A medida de tensões denominada

tensão de engenharia é uma simplificação para

análises mecânicas que envolvem pequenas deformações e deslocamentos. A partir

dessa consideração, tem-se que x ≅ X, e portanto, F ≅ I. Aplicando-se essas

aproximações na Eq.4.44, chega-se em:

Sσ

engenharia de Tensão ≅=

(4.46)

A tensão de engenharia pode ser utilizada com qualquer medida de deformação.

Particularmente, a deformação de engenharia ou de Biot é mais atrativa, uma vez que

exige um menor esforço computacional. De fato, em análises de pequenas deformações

e deslocamentos, o vetor de deslocamentos u possui componentes muito próximas de

zero, e portanto, as deformações de Almansi, Hencky, Biot e Green se resumem em:

∂

≅=engenharia de Deformação

(4.47)

4.3.4 - Formulação para Elementos Finitos

A aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais às expressões de equilíbrio pode ser

vista como um ponto de partida para a obtenção da formulação para elementos finitos

com base em deslocamentos.

Assim, de forma análoga à desenvolvida no subitem 4.2.4, o Princípio dos Trabalhos

Virtuais pode ser escrito de forma apropriada para a análise não-linear geométrica com

base na Formulação Lagrangeana:

fugutuSE

dvdadv

δδρδδ

++=

∫∫∫

ΩΓΩ

(4.48)

onde Ω é o volume (domínio) do corpo, Γ é o contorno (fronteira) do corpo, δ

E é o

incremento virtual de deformações de Green-Lagrange,

S é o segundo tensor de tensões

de Piola-Kirchhoff,

é o vetor do campo contínuo de deslocamentos virtuais, t é o

vetor das forças de superfície,

é a densidade do material (indeformado), g é a

aceleração da gravidade (

g = b, sendo b o vetor das forças de corpo) e f é o vetor das

forças aplicadas diretamente nos nós da malha de elementos finitos.

A versão espacial (Formulação Euleriana) do Princípio dos Trabalhos Virtuais considera

o equilíbrio da estrutura na posição deformada. Sendo

o mapeamento da deformação

do corpo,

ε as deformações de Hencky, σ as tensões de Cauchy, a Eq.4.48 adquire a

seguinte forma (SOUZA NETO, 2006):

() () ()

fugutuσε

dvdadv

δδρδδ

ϕϕϕ

++=

∫∫∫

ΩΓΩ

(4.49)

onde a densidade do material deformado

é dada pela Eq.4.32

Segundo CRISFIELD (1991), o cálculo não-linear de estruturas é freqüentemente um

processo incremental e iterativo, ou seja, a carga total deve ser aplicada gradualmente à

estrutura, que atinge o equilíbrio de modo iterativo. Assim, o vetor das tensões

incógnitas

σ , correspondente à iteração k+1 do passo de carga n+1, deve ser

decomposto no vetor das tensões

e no vetor dos incrementos de tensões σ

∆

Aplicando-se esses conceitos na Eq.4.49, referida à configuração deformada no instante

n+1, chega-se a:

() () () ()

1111 +

Ω

++=+∆

∫∫∫∫

cnn

dvdadvdv fugutuσεσε

δδρδδδ

ϕϕϕϕ

(4.50)

Com algum esforço algébrico, a Eq.4.50 pode ser desenvolvida de modo semelhante ao

demonstrado no subitem 4.2.4 para obter-se uma formulação matricial adequada para o

MEF, considerando-se que o campo de deslocamentos virtuais δ

é arbitrário. SOUZA

NETO (2006) apresenta o desenvolvimento dessas expressões, obtendo:

() () () ()

∫∫∫∫

Ω

−++=

ϕϕϕϕ

dvdvdadv

1111

σBbNtNfuGaG

(4.51)

ou ainda

ruK

−

(4.52)

onde

é a matriz de rigidez tangente espacial da estrutura no instante n+1, dada por:

()

∫

Ω

GaGK

(4.53)

G é o operador gradiente espacial completo;

a é a matriz completa do módulo tangente espacial consistente (conforme a Eq.4.62);

u é o vetor dos incrementos de deslocamentos nodais (discretos) incógnitos;

r é o vetor das forças residuais no instante n+1, expresso por:

(

)

ext

int

11 ++

−= fufr

(4.54)

int

n+1

) é o vetor das forças internas do modelo de elementos finitos:

(

)

()

∫

Ω

int

σBuf

(4.55)

ext

f é o vetor das forças externas:

() ( )

∫∫

Ω

+++

++=

ϕϕ

dvda

ext

n 1111

bNtNff

(4.56)

e as demais variáveis já foram definidas no subitem 4.2.4.

Para o desenvolvimento da análise incremental-iterativa, é interessante que a aplicação

gradual do carregamento externo seja feita por meio de um

fator de carga

, na forma:

ext

11 ++

(4.57)

onde

ext

é o vetor das forças externas calculado apenas uma única vez no início do

algoritmo incremental pela equação

∫∫

ΩΓ

++= dvda

TText

bNtNff

(4.58)

sendo

as forças de superfície e b

as forças de corpo. Neste trabalho, adotou-se que

todas as forças são referidas à configuração inicial.

4.3.5 - Matriz de rigidez tangente espacial

A matriz de rigidez tangente pode ser definida por meio da relação entre as forças

residuais e os deslocamentos:

∂

(4.59)

Para a Formulação Euleriana (espacial), como visto no subitem anterior na Eq.4.51 e na

Eq.4.52, a matriz de rigidez tangente pode ser especialmente definida pela Eq.4.53:

()

∫

Ω

GaGK

(4.53)

onde

[]

GGGG ,...,,

= e G

é a matriz do operador gradiente espacial completo

referente ao i-ésimo nó do elemento finito considerado, no instante

n+1.

SOUZA NETO (2006) apresenta o desenvolvimento algébrico para montagem da matriz

G, obtendo para problemas bidimensionais:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

(4.60)

e, para problemas tridimensionais

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

(4.61)

sendo

i,x

a derivada da função de forma referente ao i-ésimo nó em relação à

coordenada

x (na configuração deformada).

Quanto à obtenção do módulo tangente espacial consistente

a, referente ao instante n+1,

SOUZA NETO (2006) demonstra a derivação da versão linearizada do Princípio dos

Trabalhos Virtuais aplicado à Formulação Euleriana (espacial), obtendo a forma

tensorial do módulo tangente espacial consistente

â por meio da expressão:

()

jkillm

ijkl

δσF

det

−

∂

(4.62)

onde

é o tensor de tensões de Kirchhoff,

é o tensor do gradiente de deformações,

é o tensor de tensões de Cauchy e

δ é o delta de Kronecker.

Ao se utilizar a deformação de Hencky como medida de deformações para análises não-

lineares geométricas, conforme a Eq.4.41, e considerando-se a relação entre o tensor de

deformação de Cauchy-Green pela esquerda e o gradiente de deformação, Eq.4.34,

pode-se escrever o tensor de tensões de Kirchhoff como uma função implícita:

(

)

(

)

(

)

(

)

1111

ˆˆ

++++

triale

FBετFτ

(4.63)

sendo que o índice

e trial indica que a deformação considerada é uma tentativa elástica

utilizada nos algoritmos de plasticidade para cálculo das tensões. Quando não se

considera a não-linearidade material (plasticidade) na análise, deve-se utilizar a própria

deformação elástica:

triale

n 11

ˆˆ

= εε .

Expressando-se o termo

kmij

Fτ

∂∂ por meio da regra da cadeia, obtém-se:

∂

triale

(4.64)

sendo que o símbolo “:” denota o produto tensorial.

Substituindo-se a Eq.4.64 na Eq.4.62, com algumas operações algébricas chega-se a:

()

[

]

jkil

ijkl

δσBLD

det2

−=

(4.65)

onde

é a forma tensorial do operador constitutivo tangente consistente D (o mesmo

utilizado em análises com pequenas deformações), dada por

triale

n 1

∂

(4.66)

é a forma tensorial da derivada da função logarítmica de

triale

n 1

[

]

triale

∂

(4.67)

é o tensor de quarta ordem referente à deformação de Cauchy-Green pela esquerda

(

)

(

)

triale

njk

triale

nikijkl

ˆˆˆ

+= BδBδB

(4.68)

A implementação computacional do cálculo do produto tensorial

[]

ijkl

BLD

exige que

os tensores sejam convertidos para a forma matricial completa, e então pode-se fazer

diretamente o produto matricial [

D L B]. Fazendo-se essa conversão, o módulo tangente

espacial consistente

â, resultado da Eq.4.65, também estará na forma matricial completa

a, de modo que o produto matricial G

aG também poderá ser feito diretamente.

Os algoritmos que fazem a montagem do operador constitutivo tangente consistente

para pequenas deformações geralmente apresentam o resultado na forma matricial

discreta. A Eq.4.69.a mostra como os termos de um tensor

â são organizados na forma

matricial discreta para problemas bidimensionais. SOUZA NETO (2006) demonstra que

a forma matricial completa deve ser organizada conforme mostrado na Eq.4.69.b, para

que os termos correspondentes sejam corretamente multiplicados na Eq.4.53 e no

produto matricial [

D L B]. Especificamente para a conversão do operador constitutivo

tangente consistente

D em problemas elásticos ou com plasticidade associativa, pode-se

utilizar das simetrias:

klijjilkjiklijkl

DDDD

ˆˆˆˆ

=== , chegando-se a

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⇒

2222221222212211

1222121212211211

2122211221212111

1122111211211111

121212221211

221222222211

111211221111

aaaa

aaa

completa

discreta

ijkl

(4.69.a)

(4.69.b)

Analogamente, estendendo-se as dimensões dos índices

i, j, k e l do tensor â para 3,

pode-se escrever a forma matricial discreta para problemas tridimensionais conforme a

Eq.4.70.a (também muito utilizada pelos algoritmos que fazem a montagem do operador

D para pequenas deformações). A forma matricial completa é dada por:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⇒

333333233313333233223312333133213311

233323232313233223222312233123212311

133313231313233213221312133113211311

323332233213323232223212323132213211

223322232213223222222212223122212211

123312231213123212221212123112211211

313331233113313231223112313131213111

213321232113213221222112213121212111

113311231113113211221112113111211111

131313231312133313221311

231323232312233323222311

121312231212123312221211

3313

33233312333333223311

221322232212223322222211

111311231112113311221111

aaaaaaaaa

aaaaaa

aaaaa

aaaaaa

completa

discreta

ijkl

(4.70.a)

(4.70.b)

4.3.6 - Funções isotrópicas de tensores simétricos

Segundo OGDEN (1984), uma função tensorial é dita isotrópica se, e somente se, ela

pode ser representada na forma:

()

210

XXIXY

ααα

++=

(4.71)

onde

(

)

(

)

(

)

(

)

() () ()()

XXX

32122

32111

32100

III

αα

(4.72)

são funções dos invariantes principais de

Adicionalmente, se o domínio de

Y é um conjunto de tensores simétricos inversíveis,

então

Y é uma função isotrópica se, e somente se, pode-se representá-la por:

()

110

−

++= XXIXY

βββ

(4.73)

onde os escalares

(Γ = 0, 1, -1) são funções dos invariantes principais de X.

Uma forma alternativa à Eq.4.71 e à Eq.4.73 é a representação das funções tensoriais

isotrópicas em termos dos valores principais (autovalores). É importante destacar que tal

forma é essencial para a solução da Eq.4.67 e para montagem do operador tangente

consistente

D de alguns modelos de plasticidade que somente podem ser descritos em

termos das tensões principais.

Assim, em termos dos autovalores, uma função de um tensor simétrico é isotrópica se, e

somente se, existe uma função escalar

y : ℜ

→ ℜ, tal que:

()

∑∑

qqEXY

(4.74)

onde

p é o número de autovalores distintos de Y (e de X), E

são as autoprojeções de X

(e de

Y) e q

são os autovetores de X (e de Y) . No espaço bidimensional, os autovalores

de Y são obtidos a partir dos autovalores x

de X por:

(

)

()

122

211

xxyy

(4.75)

100

No espaço tridimensional, os autovalores

são dados por:

(

)

()

2133

1322

3211

xxxyy

(4.76)

sendo que, para valores arbitrários

a, b e c, a função y tem a propriedade de simetria:

()

(

)

bcacba

xxxyxxxy ,,,,

(4.77)

4.3.6.1 - Derivada de funções tensoriais isotrópicas

Com base nos conceitos anteriores e tendo o foco na solução da Eq.4.67, é necessário

um aprofundamento no campo das funções isotrópicas de tensores simétricos com vista

à diferenciação. Assim, assumindo-se que uma função tensorial

Y é diferenciável, sua

derivada pode ser designada por um tensor de quarta ordem na forma:

()

(

)

≡D

(4.78)

Em um espaço

n-dimensional, se X tem n autovalores distintos (p ≡ n), por meio da

Eq.4.74 pode-se chegar a:

()

∑

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+≡

(4.79)

ou, aplicando-se a regra da cadeia

()

∑∑

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

+≡

(4.80)

Para fins de cálculo computacional da Eq.4.80, as autoprojeções, definidas pela Eq.4.74

em função dos autovetores, devem ser convertidas da forma matricial para a forma

vetorial apropriada. Assim, para problemas bidimensionais (

i = 1,2), tem-se a forma:

[]

yxyyxx

yyyx

yxxx

qqqqqq

qqqq

⇒

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

== qqE

(4.81.a)

101

sendo que, para problemas de estado plano de deformações, a componente z deve ser

incluída separadamente, na forma

[]

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⇒⊥

⇒

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

1000:plano ao

0 :plano No

3)(i

2) 1, (i

yxyyxx

yyyx

yxxx

EPD

qqqqqq

qqqq

(4.81.b)

Para problemas tridimensionais (

i = 1,2,3), todas as componentes devem estar presentes:

[]

zxzyyxzzyyxx

zzzyzx

zyyyyx

zxyxxx

qqqqqqqqqqqq

qqqqqq

⇒

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

== qqE

(4.81.c)

4.3.6.2 - Derivadas no espaço bidimensional

Para o espaço bidimensional, a equação característica (que fornece os autovalores) pode

ser escrita como uma equação quadrática em função do primeiro e segundo invariantes,

respectivamente

e I

(

)

210

,==+−

αα

IxIx

(4.82)

CARLSON e HOGER (1986) demonstram que a substituição das soluções da Eq.4.82

na Eq.4.80 conduz às seguintes soluções para a derivada tensorial:

()

[]

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

∂

≠

∂

+−−

−

∑∑

2211

ppp

TTT

iiI

EEEEEEI

αβ

βα

(4.83)

onde

, y

, x

e x

são dados pela Eq.4.75, E

é dado pela Eq.4.81.a e I

e i

são os

tensores identidade de quarta e de segunda ordem relativos ao estado plano, dados por

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

5000

010

001

I e

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

(4.84)

102

Em problemas de estado plano de deformação, a componente perpendicular ao plano

deve ser incluída na derivada. Visando isso, deve-se considerar a autoprojeção

dada

pela Eq.4.81.b na montagem de

Y na Eq.4.74, adotando-se o valor máximo de p = 3.

Nesse caso, as derivadas de

Y no plano são dadas pela Eq.4.83 e as derivadas

perpendiculares ao plano são obtidas por:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∂

≠

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∑

2133

TTT

EEiEEi

EEEEEE

(4.85)

sendo que, tanto na Eq.4.83 quanto na Eq.4.85, deve-se utilizar os tensores identidade

expandidos para o estado plano de deformação:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

0000

05000

0010

0001

I e

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

(4.86)

4.3.6.3 - Derivadas no espaço tridimensional

Para o espaço tridimensional, a equação característica (que fornece os autovalores) se

transforma em uma equação cúbica em função do primeiro, segundo e terceiro

invariantes, respectivamente

, I

e I

(

)

3210

,,==−+−

ααα

IxIxIx

(4.87)

CHEN (1988) apresenta um método de solução para a equação característica cúbica em

função das coordenadas de Haigh-Westergaard. SOUZA NETO (2006) demonstra que a

substituição dessas soluções na Eq.4.80, tendo-se o tensor

X na forma vetorial

correspondente dada por:

[]

132312332211

xxxxxx=X

(4.88)

e os tensores

e i conforme apresentados na Eq.4.12, conduz às soluções para a

derivada tensorial mostradas a seguir.

103

()

()()

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

∂

=≠−++−−

≠≠

∂

⎥

⎦

⎤

−−−

⎢

⎣

⎡

+−

−−

∑∑

∑

321

65432

321

xxx

xxxsssss

xxx

xxxx

cba

TTTT

bcb

acba

Scb

caba

iiI

iiXiiXXXI

EEEE

(4.89)

sendo a derivada tensorial

/dX dada por

()

ilkjikjlkjilljik

ijkl

XXXX

δδδδ

+++=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

(4.90)

e os escalares s

, s

, ..., s

definidos por

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

∂

−

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

∂

−

()()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

∂

−

∂

−

caca

xxxx

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

∂

−

sxs

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

∂

−

sxs

()()

()

∂

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

∂

−

(4.91)

104

Voltando-se ao cálculo da derivada tensorial

dada na Eq.4.67, o uso das expressões

anteriores relativas ao cálculo de derivadas de funções tensoriais isotrópicas se mostra

plenamente aplicável, tomando-se a Eq.4.75 e a Eq.4.76 na forma:

()

triale

nii

comxy

== BX (i = 1,2,3)

(4.92)

e portanto

iii

xxy /1/

∂∂ (i = 1,2,3)

(4.93)

Ressalta-se que a formulação apresentada neste item apresenta os resultados das

derivadas tensoriais na forma matricial discreta. Novamente, o tensor deve ser

convertido para a forma matricial completa para que a Eq.4.65 possa ser adequadamente

calculada.

4.3.7

- Solução não-linear - Método de Newton-Raphson

O Método de Newton-Raphson é um dos procedimentos incrementais e iterativos mais

atrativos para resolução de problemas não-lineares devido a sua convergência assintótica

quadrática. A sua seqüência de cálculo pode ser compreendida observando-se a FIG.4.4.

(0)

int

(0)

int

(1)

int

(2)

(1)

(2)

(1)

(2)

(0)

ext

int

FIGURA 4.4 – Iterações do Método de Newton-Raphson

105

Primeiramente, considere-se uma análise incremental iterativa não-linear, contudo, sem

o efeito da não-linearidade geométrica (pequenas deformações). Considere-se ainda que

os deslocamentos e as forças externas estão em equilíbrio no instante n, dados por u

ext

f . Sendo x

as coordenadas da estrutura,

ε as deformações e

σ as tensões na última

configuração de equilíbrio (n), os deslocamentos no instante n+1, denominados u

n+1

podem ser obtidos de modo iterativo por meio do procedimento mostrado na FIG 4.5.

(i) k = 0. Ajustar o deslocamento inicial e a força residual:

()

(

)

ext

nnnn

fufruu

int0

1 ++

−==

(ii) Calcular a matriz constitutiva tangente consistente:

∂

εσD

(iii) Calcular a matriz de rigidez tangente:

∑

NGaussPts

iiii

BDBK

(iv) k = k +1. Resolver o sistema de equações:

(

)

(

)

1−

−=

ruK

(v) Aplicar a correção de Newton-Raphson para deslocamentos:

(

)

(

)

(

)

uuu

−

(vi) Atualizar as deformações:

(

)

(

)

n 11 ++

= uBε

(vii) Utilizar o algoritmo de integração da relação constitutiva para atualizar as tensões

e outras variáveis de estado

(como deformação plástica acumulada, etc.):

()

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

n 1111

++++

== εαααεασσ

(viii) Calcular o vetor de forças internas:

()

∑

NGaussPts

int

σBf

(ix) Atualizar o vetor de forças residuais:

ext

ffr

int

−=

(x) Verificar a convergência:

tol

ext

≤fr / ENTÃO FAZER

(

)

(

)

(

)

nn 11 ++

⋅=⋅

e FIM

CASO CONTRÁRIO IR PARA (ii).

FIGURA 4.5 – Método de Newton Raphson para pequenas deformações

106

Para fins de implementação computacional, a convergência do Método de Newton-

Raphson também pode ser averiguada pela norma do vetor de forças residuais. SOUZA

NETO (2006) recomenda a adoção do seguinte verificador:

OUiaConvergênc

tol

ext

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤

≤×

1000

%100

(4.94)

A inclusão da não-linearidade geométrica no algoritmo de análise mostrado na FIG.4.5

é feita alterando-se os itens relativos à montagem da matriz de rigidez, (ii) e (iii), ao

cálculo da deformação, (vi), e ao cálculo das tensões e das variáveis de estado, (vii),

observando-se os conceitos apresentados nos subitens 4.3.4 e 4.3.5. Essas modificações

são mostradas na FIG.4.6.

(i) k = 0. Ajustar o deslocamento inicial e a força residual:

()

(

)

ext

nnnn

fufruu

int0

1 ++

−==

(ii) Calcular a matriz constitutiva tangente consistente:

()

[

]

jkil

ijkl

δσBLD

det2

−=

sendo:

triale

n 1

∂

[

]

triale

∂

(

)

(

)

triale

njk

triale

nikijkl

ˆˆˆ

+= BδBδB

(

)

triale

n 11

2exp

= εB

(iii) Calcular a matriz de rigidez tangente:

∑

NGaussPts

iiii

GaGK

(iv) k = k +1. Resolver o sistema de equações:

(

)

(

)

1−

−=

ruK

(v) Aplicar a correção de Newton-Raphson para deslocamentos:

(

)

(

)

(

)

uuu

−

continua...

FIGURA 4.6 – Método de Newton-Raphson para grandes deformações

107

...continuação

(vi) Atualizar o gradiente de deformações:

() ()

(

)

−

∇−=

uIF

(vii) Utilizar o algoritmo de integração da relação constitutiva para atualizar as tensões

e outras variáveis de estado

(como deformação plástica acumulada, etc.):

()

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

n 1111

++++

== FαααFασσ

(viii) Calcular o vetor de forças internas:

()

∑

NGaussPts

int

σBf

(ix) Atualizar o vetor de forças residuais:

ext

ffr

int

−=

(x) Verificar a convergência:

tol

ext

≤fr / ENTÃO FAZER

(

)

(

)

(

)

nn 11 ++

⋅=⋅

e FIM

CASO CONTRÁRIO IR PARA (ii).

FIGURA 4.6 – Método de Newton-Raphson para grandes deformações

Novamente deve-se ressaltar que o índice “

e trial” indica que a deformação considerada

é uma tentativa elástica utilizada nos algoritmos de plasticidade. Quando a análise não

considera a plasticidade, deve-se utilizar a própria deformação elástica:

triale

n 11

ˆˆ

= εε .

4.3.7.1 - Obtenção do gradiente de deformações no MEF

O cálculo do gradiente de deformações mostrado no item (vi) da FIG.4.6 pode ser

otimizado por meio dos procedimentos que serão discutidos a seguir.

O algoritmo de cálculo da matriz de rigidez tangente no item (iii) exige que a matriz

G e

o jacobiano |

| sejam avaliados na última posição de equilíbrio

()

n 1+

. Visto que a

matriz

G consiste de um arranjo das derivadas das funções de forma em relação à última

configuração de equilíbrio,

, conclui-se que tal algoritmo pode ser reutilizado no

cálculo do gradiente de deformação.

Assim, sendo

a matriz das derivadas das funções de forma em relação às

coordenadas naturais (locais) do elemento finito,

(

)

n 1+

os deslocamentos nodais relativos

108

à última configuração de equilíbrio e

X as coordenadas nodais referentes à configuração

indeformada, pode-se definir a matriz Jacobiana da transformação de

ξ para

()

n 1+

por:

()

zyx

111

...

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

= uXNJ

ζζζ

ηηη

ξξξ

MMM

(4.95)

O valor de |

| pode então ser imediatamente obtido.

De posse da matriz

e da matriz Jacobiana J

, a matriz das derivadas das funções de

forma em relação à configuração deformada

é dada por:

ξξ

NJN

−

(4.96)

A montagem da matriz

G é mostrada na Eq.4.60 e na Eq.4.61.

A matriz Jacobiana da transformação de

X para

(

)

n 1+

pode ser obtida por meio da matriz

das derivadas

e dos deslocamentos nodais

(

)

n 1+

, segundo a expressão:

()

(

)

(

)

()

wvu

111

...

100

010

001

−=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

−

∂

−

∂

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

−∂

∂

−∂

∂

−∂

∂

−∂

∂

−∂

∂

−∂

∂

−∂

∂

−∂

∂

−∂

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

uNI

MMM

(4.97)

Finalmente, o gradiente de deformações é dado pelo inverso da transposta da matriz

Jacobiana

X /x

, ou seja:

()

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

(4.98)

109

4.3.8 - Modelos constitutivos elásticos para análises em grandes deformações

4.3.8.1

- Modelo elástico simplificado - Lei de Hooke

CRISFIELD (1991) mostra analiticamente alguns exemplos de não-linearidade

geométrica em que faz uso de um modelo constitutivo elástico simplificado com base na

Lei de Hooke. Para tal, no algoritmo mostrado na FIG.4.6, item (ii), utiliza-se a Eq.4.9

(ou a Eq.4.14 em casos de estado plano de tensões) para cálculo da matriz

D. Com

relação ao item (vii), adota-se a expressão:

vold

KG εεσ

εDσ

(4.99)

onde

é o vetor das tensões de Cauchy, D é a relação constitutiva elástica de pequenas

deformações, dada na Eq.4.9, e

ε é o vetor das deformações elásticas de Hencky

(logarítmicas).

4.3.8.2 - Modelo de Hencky

SOUZA NETO (2006) utiliza o modelo constitutivo elástico de Hencky para a

modelagem de estruturas sujeitas a grandes deformações (hiperelasticidade). Esse

modelo é derivado da Lei de Hooke simplificada, substituindo-se as tensões de Cauchy

pelas tensões de Kirchhoff e utilizando-se o vetor de deformações elásticas de Hencky:

εD

det

(4.100)

BRUHNS

et al. (2004) argumentam que estudos feitos por Anand em 1979 e 1986

indicaram que o modelo de Hencky é realístico e conduz a um bom ajuste com dados

experimentais para uma variedade de materiais de engenharia sob deformações

moderadas.

Recentemente, por meio de procedimentos com bases físicas e matemáticas sólidas,

esses autores demonstraram que o modelo de Hencky é essencialmente consistente com

as teorias Eulerianas de inelasticidade finita e de plasticidade para metais com base no

segundo invariante desviador

110

4.4 - Análise não-linear material

As não-linearidades materiais referem-se ao comportamento não-linear da relação entre

a tensão e a deformação devido à plasticidade, fluência, fissuração, fraturas, etc. Neste

trabalho será tratada apenas a não-linearidade material devido à plasticidade,

independente da velocidade de deformação do material (

rate-independent plasticity).

Esse comportamento plástico é caracterizado por deformações irreversíveis que ocorrem

em um material quando um dado nível de tensão é atingido, assumindo-se que as

deformações plásticas se desenvolvem instantaneamente.

A teoria da plasticidade fornece as relações matemáticas que caracterizam o

comportamento elasto-plástico de um material. As seguintes hipóteses são necessárias

para modelar o comportamento plástico:

• um critério de escoamento: que define o limite elástico, ou seja, determina o nível

de tensões em que o comportamento plástico se inicia;

• uma regra de encruamento: utilizada para descrever as mudanças que ocorrem na

superfície de escoamento com o avanço das deformações plásticas, de modo que

escoamentos subseqüentes possam ser definidos;

• uma regra de fluxo: que define as deformações plásticas (intensidade e direção)

em função do nível de tensão instalado.

Essas hipóteses serão analisadas em detalhes nos subitens a seguir.

4.4.1 - Critérios de escoamento independentes da tensão média

O início do comportamento plástico de um material isotrópico pode ser modelado por

um critério de escoamento, que pode ser expresso por uma função escalar:

(

)

0,...,,

Φ kk

(4.101)

onde

é o estado de tensões em um ponto do corpo na forma indicial e k

(

, T) é a n-

ésima constante de resistência do material, dependente do parâmetro de encruamento

e da temperatura

111

Observações experimentais permitem concluir, com alguma aproximação, que o

escoamento plástico nos metais pode ser considerado independente da

tensão

hidrostática

ou tensão média, dada por:

(

)

zyxm

=++=

σσσσ

(4.102)

onde

é o primeiro invariante do tensor de tensões.

Assim, os critérios de escoamento mais adequados para análise estrutural de metais são

os critérios de Tresca e de von Mises, pois esses critérios independem da tensão média.

4.4.1.1 - Critério de Tresca

Em 1864, a partir de resultados experimentais, Tresca elaborou a hipótese de que a

deformação plástica ocorria sempre que a tensão de cisalhamento máxima atingisse o

valor limite

/2, sendo

a tensão de escoamento do material. A expressão do critério

de Tresca é dada por:

(

)

()

(

)

0,,,,

01332210

=−−−−=Φ TMax

κσσσσσσσσσ

(4.103)

As tensões principais

correspondem às raízes reais da equação cúbica:

=−−− III

σσσ

(4.104)

sendo

, I

e I

, respectivamente, o primeiro (Eq.4.102), o segundo (Eq.4.105) e o

terceiro (Eq.4.106) invariantes do tensor de tensões:

(

)

222

2 xzyzxyzxzyyx

τττσσσσσσ

+++++−=

(4.105)

222

xyzxzyyzxxzyzxyzyx

τστστστττσσσ

−−−+=

(4.106)

Ao invés de se usar a Eq.4.104 para se obter as tensões principais, pode-se também

utilizar um procedimento com base nas coordenadas de Haigh-Westergaard (Eq.4.107):

()

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−+

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

3/2cos

cos

πθ

(4.107)

112

onde:

é a tensão hidrostática ou tensão média (Eq.4.102);

é o segundo invariante do tensor de tensões desviadoras, dado por:

()

(

)

()

222

zxyzxyxzzyyx

τττσσσσσσ

+++−+−+−=

(4.108)

é a terceira coordenada de Haigh-Westergaard, dada por:

cos

2/3

θθ

≤≤

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

(4.109)

é o terceiro invariante do tensor de tensões desviadoras:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

det

yxz

zyzx

zxy

xzxy

zyx

σσσ

ττ

σσσ

ττ

σσσ

(4.110)

O critério de Tresca define, no espaço das tensões principais (o espaço de Haigh-

Westergaard), um prisma hexagonal regular e de comprimento infinito, cujo eixo

hidrostático (

) é perpendicular ao plano desviador Π (ver FIG.4.7.a). A

projeção desse prisma no plano desviador

Π é um hexágono regular (ver FIG.4.7.b).

a) Critérios de escoamento no espaço

de tensões principais

Plano desviador

Eixo

hidrostático

Superfície de

escoamento de

Tresca

Superfície de

escoamento de

von Mises

b) Critérios de escoamento no

plano desviador

Hexágono

de Tresca

Círculo de

von Mises

Estado de

cisalhamento puro

Osgood

apud

CHEN (1988)

FIGURA 4.7 – Critérios de escoamento de Tresca e von Mises

113

4.4.1.2 - Critério de von Mises

O critério de escoamento de von Mises surgiu como conseqüência da necessidade de se

criar uma alternativa ao critério de Tresca, pois esse apresenta algumas dificuldades

matemáticas para a sua aplicação a problemas tridimensionais devido à falta de

continuidade da derivada da superfície de escoamento. Assim, em 1913, von Mises

sugeriu que o escoamento plástico se inicia quando o segundo invariante do tensor de

tensões desviadoras,

, atinge um valor crítico:

()

020

=−=Φ TJ

κσσσ

(4.111)

ou ainda

(

)

(

)

0,3,

020

=−=Φ TJ

κσσσ

(4.112)

sendo

a resistência ao escoamento à tração e

a tensão equivalente de von Mises

(4.113)

O critério de von Mises representa, no espaço das tensões principais, a superfície de um

cilindro com o mesmo eixo do prisma hexagonal de Tresca (o eixo hidrostático),

conforme é mostrado na FIG.4.7.a. A interseção desse cilindro com o plano desviador

é um círculo de raio igual a

3/2

, como ilustrado na FIG.4.7.b.

O fato de se utilizar no critério de Tresca a tensão limite

e no critério de von Mises a

tensão

faz com que, no plano desviador Π, o círculo de von Mises passe

exatamente nos vértices do hexágono de Tresca (FIG.4.7.b). Porém, para um estado de

cisalhamento puro, o critério de von Mises apresenta um valor que é

()

155,13/2 ≅

vezes maior que o fornecido pelo critério de Tresca.

CHEN (1988) demonstra que as superfícies de Tresca e von Mises são convexas,

atendendo às considerações energéticas para superfícies de escoamento. Com relação à

validação experimental, Osgood em 1947

apud CHEN (1988), entre vários outros

pesquisadores, mostrou que resultados de ensaios em tubos de alumínio de paredes finas

com carregamento radial situam-se entre as superfícies de Tresca (no máximo 7,4%

acima dessa) e de von Mises (no máximo 6,85% abaixo dessa), conforme a FIG.4.7.b.

114

Devido à maior facilidade matemática de uso em problemas tridimensionais e, portanto,

maior velocidade de cálculo computacional, e por fornecer resultados mais próximos

dos obtidos em ensaios que outros critérios, o critério de von Mises será utilizado neste

trabalho para análise do comportamento do aço estrutural em situação de incêndio.

4.4.2 - Critérios de escoamento dependentes da tensão média

Segundo VILA REAL (1993), os critérios de escoamento dependentes da tensão média

se adaptam melhor ao comportamento de materiais não metálicos, como rochas, solos e

concretos. Esses critérios são marcados pela presença do primeiro invariante do tensor

de tensões

em suas formulações.

CHEN (1988) utiliza o termo

critérios de falha para os critérios de escoamento

dependentes da tensão média, justificando que geralmente esses critérios são aplicados a

materiais perfeitamente plásticos ou frágeis, e, portanto, o escoamento implicaria em

falha, ou seja, a resistência ao escoamento é também a tensão limite de resistência.

Conforme CHEN (1988), os critérios de escoamento dependentes da tensão média mais

utilizados são mostrados a seguir.

4.4.2.1 - Critério de Mohr-Coulomb

O critério de Mohr-Coulomb foi desenvolvido em 1900, podendo ser considerado como

uma generalização do critério de Tresca. Ambos os critérios têm base na hipótese de

que a tensão de cisalhamento máxima é a única medida que define o escoamento do

material. Porém, ao invés de se admitir uma tensão limite constante como no critério de

Tresca, no critério de Mohr-Coulomb a tensão limite depende da tensão média:

()

() () ()

0cossen

cos

sensen

=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++=Φ

TTcT

φφ

θφφσ

(4.114)

onde

(T) é o ângulo de atrito interno do material dependente da temperatura, c(T) é a

coesão do material em função da temperatura,

é o primeiro invariante do tensor de

tensões (Eq.4.102),

é o segundo invariante do tensor de tensões desviadoras

(Eq.4.108) e

é a terceira coordenada de Haigh-Westergaard (Eq.4.109).

115

Os parâmetros

e c podem ser obtidos, para uma dada temperatura T, por correlação

com resultados de ensaios à tração (

) e à compressão (f

) uniaxial por meio das

expressões:

sen 1

cos2

sen 1

cos2

−

(4.115)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=→

−

sen

sen 1

(4.116)

O critério de Mohr-Coulomb representa, no espaço das tensões principais, uma pirâmide

hexagonal irregular, conforme mostrado na FIG.4.8.a. A interseção dessa pirâmide com

o plano desviador

Π é um hexágono irregular, como ilustrado na FIG.4.8.b.

b) Critérios de escoamento no

plano desviador

Mohr-Coulomb

Drucker-Prager

(vértices externos)

=60

Drucker-Prager

(vértices internos)

a) Critérios de escoamento no espaço

de tensões principais

−

Eixo hidrostático

Superfície de

escoamento de

Mohr-Coulomb

Superfície de

escoamento de

Drucker-Prager

FIGURA 4.8 – Critérios de escoamento de Mohr-Coulomb e Drucker-Prager

Apenas duas grandezas,

, são necessárias para determinar o hexágono de Mohr-

Coulomb no plano desviador

Π. Essas grandezas correspondem à segunda variável de

Haigh-Westergaard ajustada para compressão simples (

= 60º) e para tração simples

(

= 0º), respectivamente:

φφ

sen 3

sen 3/22cos62

−

(4.117)

116

φφ

sen 3

sen 3/22cos62

−

(4.118)

SMITH (1997) afirma que o critério de Mohr-Coulomb é muito utilizado na Mecânica

dos Solos para modelagem de solos saturados que possuem um esqueleto resistente,

como areias quartzosas densas. Segundo CHEN (1988), esse critério também é bastante

utilizado para modelagem de concretos sob baixas tensões de confinamento. A principal

vantagem desse critério é a variação da resistência ao escoamento com a coordenada

4.4.2.2 - Critério de Drucker-Prager

O critério de Drucker-Prager, formulado em 1952, é uma simples modificação do

critério de von Mises, onde se introduziu a influência da tensão média na resistência ao

escoamento, resultando na expressão:

()

(

)

(

)

0,,

=−+=Φ TcJITc

ηησ

(4.119)

sendo

e c constantes do material, I

o primeiro invariante do tensor de tensões

(Eq.4.102) e

o segundo invariante do tensor de tensões desviadoras (Eq.4.108).

No espaço das tensões principais, o critério de escoamento de Drucker-Prager

representa um cone regular de base circular, conforme mostrado na FIG.4.8.a. A

interseção desse cone com o plano desviador

Π é um círculo, como ilustrado na

FIG.4.8.b, cujo raio

é dado em função do primeiro invariante I

pela expressão:

(

)

2 Ic

ηρ

−=

(4.120)

Com o objetivo de aproximar o critério de Drucker-Prager ao critério de Mohr-

Coulomb, pode-se reescrever a Eq.4.119 na forma:

()

(

)

(

)

(

)

0,,,

=−+=Φ TcTJITc

ξηξησ

(4.121)

onde

c é a coesão do material e os parâmetros

são obtidos em função da

aproximação requerida com o critério de Mohr-Coulomb.

117

As duas aproximações mais utilizadas consistem no ajuste do critério de Drucker-Prager

de modo a coincidir com o critério de Mohr-Coulomb nos vértices externos ou nos

vértices internos do hexágono irregular (FIG.4.8.b). A coincidência nos vértices

externos é obtida adotando-se (SOUZA NETO, 2006):

()

sen 33

sen 6

−

()

sen 33

cos6

−

(4.122)

Por outro lado, a coincidência nos vértices internos é obtida por:

()

sen 33

sen 6

()

sen 33

cos6

(4.123)

Os cones interno e externo de Drucker-Prager são também denominados

cone de tração

cone de compressão, respectivamente. Ressalta-se que, em ambos os casos, o ápice do

cone de Drucker-Prager coincide com o ápice da pirâmide de Mohr-Coulomb.

Uma terceira aproximação possível consiste em ajustar o raio

da base do cone de

Drucker-Prager, dado pela Eq.4.120, com o valor médio entre os vértices externos

(Eq.4.122) e os vértices internos (Eq.4.123) do critério de Mohr-Coulomb. Para essa

aproximação, basta fazer os parâmetros

do material iguais às médias dos valores

apresentados na Eq.4.122 e Eq.4.123, obtendo-se:

()

sen93

sen 18

−

()

sen93

cos18

−

(4.124)

Também nesse caso, o ápice do cone de Drucker-Prager coincide com o ápice da

pirâmide de Mohr-Coulomb.

SOUZA NETO (2006) também mostra o caso de ajuste do cone de Drucker-Prager com

estados de tensões uniaxiais de tração (

) e compressão (f

). Nesse caso, as mesmas

tensões uniaxiais de falha são obtidas considerando-se:

sen 3

= e

cos2

(4.125)

Evidentemente, em tal ajuste o ápice do cone de Drucker-Prager não coincide com o

ápice da pirâmide de Mohr-Coulomb.

118

Uma desvantagem do critério de Drucker-Prager é a não consideração da variação da

resistência ao escoamento com a coordenada

. Em contrapartida, a principal vantagem

matemática do uso do critério de Drucker-Prager em relação ao critério de Mohr-

Coulomb é a não existência de quinas na superfície de escoamento no plano desviador,

conduzindo a um cálculo mais rápido e com menores complicações numéricas, pois não

é necessário trabalhar no espaço das tensões principais (CHEN, 1988).

Além disso, para tensões de confinamento mais elevadas, a superfície de escoamento do

concreto no plano desviador

Π se aproxima de um círculo, sendo esse critério mais

apropriado para modelagem de concretos que o critério de Mohr-Coulomb.

4.4.2.3 - Outros critérios de escoamento dependentes da tensão média

CHEN (1988) apresenta outros critérios de escoamento dependentes da tensão média,

conforme a FIG.4.9, também muito utilizados para modelagem de concretos.

c) Ottosen

oct

= 60º

= 0º

a) Bresler-Pister

oct

b) Hsieh-Ting-Chen

oct

= 60º

= 0º

d) Willam-Warnke

oct

= 60º

= 0º

FIGURA 4.9 – Outros critérios de escoamento dependentes da tensão média

O critério proposto por Bresler-Pister, datado de 1958, é uma generalização do critério

de Drucker-Prager, no qual é inserido um terceiro parâmetro que permite que a relação

oct

seja parabólica. No entanto, como ocorre no critério de Drucker-Prager, o

critério de Bresler-Pister também é independente da coordenada

(como mostrado na

seção no plano desviador).

119

O critério de Hsieh-Ting-Chen, de 1982, é um modelo de quatro parâmetros no qual se

admite que a relação

oct

seja parabólica e que haja uma dependência da

coordenada

no plano desviador. Trata-se de um modelo mais refinado que os demais,

exigindo quatro ensaios em diferentes estados de tensões para sua calibração. Esse

modelo fornece bons resultados para o concreto com pequenas tensões de confinamento.

Um outro modelo de quatro parâmetros muito utilizado é o critério de Ottosen, de 1977.

Esse modelo tem as mesmas vantagens que o critério de Hsieh-Ting-Chen e ainda

admite uma variação da seção no plano desviador de triangular para circular com o

aumento da tensão média, sendo um dos melhores critérios para modelagem do

concreto. No entanto, também se exige quatro estados de tensões para sua calibragem.

Segundo CHEN (1988), o critério mais refinado para modelagem do concreto é o

critério de Willam-Warnke, um modelo de cinco parâmetros, e, portanto, que exige

cinco ensaios em diferentes estados de tensões para sua calibração. Esse modelo admite

que a relação

oct

seja parabólica e que a seção no plano desviador seja um traço

de elipse, variando de uma forma triangular para circular com o aumento da tensão

média.

KOHNKE (1997) destaca que o programa ANSYS, um sistema mundialmente

conhecido para análises por elementos finitos desenvolvido pela empresa americana

Swanson Analysis Systems Inc., disponibiliza os critérios de Mohr-Coulomb, Drucker-

Prager e Willam-Warnke para análise de ruptura de materiais frágeis, como o concreto.

A razão para se ter disponível modelos de dois e de cinco parâmetros em um programa

de computador é que, apesar de os critérios de Mohr-Coulomb e Drucker-Prager não

serem modelos tão refinados como o critério de Willam-Warnke, segundo CHEN

(1988), os resultados obtidos por uma análise utilizando os modelos de dois parâmetros

consistem em uma razoável aproximação da realidade, com um esforço computacional

muito menor que com o modelo de Willam-Warnke.

Assim, no presente trabalho, pretende-se utilizar o critério de Drucker-Prager para

análise do comportamento do concreto em situação de incêndio, ficando os modelos

120

mais refinados, como o critério de Ottosen e o critério de Willam-Warnke, como

sugestões para implementação em trabalhos futuros. Ressalta-se que os fenômenos

típicos do concreto como fissuração, expansão de volume sob cargas de compressão

(dilatância), amolecimento e degradação da rigidez sob cargas cíclicas não são

considerados pelas formulações apresentadas.

Nas análises que serão feitas neste trabalho, o elemento estrutural será solicitado até um

nível de carregamento pré-determinado, após o qual o incêndio terá início, degradando

progressivamente as propriedades mecânicas dos materiais até que sejam atingidas

deformações excessivas, falhas ou instabilidade. Assim, carregamentos cíclicos não

serão utilizados nas análises.

Adicionalmente, como o presente trabalho trata de elementos estruturais mistos de aço e

concreto convencionais (vigas e pilares), não se esperam altas tensões de confinamento,

de modo que a fissuração também não será um efeito determinante nas análises, como

se pode observar na FIG.4.10, obtida experimentalmente por Launay e Gachon

apud

CHEN (1988).

Fissuração

Falha

= 60º

= 0º

-I

/ f

-4 -6 -8 -10

-12

Limite elástico

FIGURA 4.10 – Curvas de falha e de fissuração para o concreto

(Launay e Gachon

apud CHEN, 1988)

121

4.4.3 - Regras de encruamento

As regras de encruamento estabelecem como devem ocorrer as mudanças em uma

superfície de escoamento à medida que as deformações plásticas se processam, de modo

a se definir como ocorrem os escoamentos subseqüentes.

Embora essas regras possam ser aplicadas a qualquer um dos critérios de escoamento,

apenas o critério de von Mises (utilizado para análise do aço estrutural) será passível de

encruamento neste trabalho. Segundo KOHNKE (1997), a modelagem do concreto por

meio do critério de Mohr-Coulomb não deve levar em consideração o encruamento,

devendo-se tratar o material como perfeitamente plástico. No entanto, a formulação que

será apresentada a seguir pode ser adaptada a qualquer critério.

Há várias regras de encruamento propostas em literatura. As mais largamente utilizadas

são as regras de

encruamento isotrópico, encruamento cinemático e encruamento misto,

sendo essa última uma combinação das duas primeiras.

4.4.3.1 - Encruamento isotrópico

A regra de encruamento isotrópico considera que, com as deformações plásticas, a

superfície de escoamento se expande uniformemente sem distorção ou translação, como

mostrado na FIG.4.11.

(0)

b) Diagrama tensões-deformações

(

)

(

)

(

)

a) Representação na superfície de escoamento

Superfície de

escoamento inicial

F =

(0)

Superfície de

escoamento subsequente

F =

(

)

FIGURA 4.11 – Regra de encruamento isotrópico

122

De modo geral, a função escalar que define a superfície de escoamento tem a forma da

Eq.4.126, sendo

o parâmetro de encruamento:

(

)

(

)

(

)

0,,

−

Φ TF

ijij

(4.126)

O parâmetro de encruamento

pode estar relacionado ao trabalho plástico total W

tendo-se um encruamento energético, ou à deformação plástica efetiva

, tendo-se um

encruamento por deformação. A forma incremental para o primeiro caso é dada por:

ijijpep

dddWd

εσεσκ

===

(4.127)

e, no segundo caso, tem-se

ijp

ddCdd

εεεκ

(4.128)

onde

é a tensão efetiva, d

é a variação da deformação plástica efetiva, C é uma

constante ajustada para cada critério de escoamento por correlação com um estado de

tensões uniaxial e

é a componente plástica (indicial) da variação de deformação

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

ddd

εεε

(4.129)

Considerando-se o encruamento por deformação (

= d

), a variação da tensão de

escoamento é dada por:

(

)

dTEd

(4.130)

sendo

o módulo plástico em função da temperatura. O módulo plástico relaciona-se

com o módulo de elasticidade

E e com o módulo tangente E

pela expressão:

EEE

111

−

=⇒=+

(4.131)

Apesar de ser de fácil aplicação, a regra de encruamento isotrópico não permite simular

o efeito de Bauschinger que consiste no fato de a resistência ao escoamento de um

material (à compressão, por exemplo), após ter sofrido deformação plástica, ser mais

baixa do que a tensão de escoamento inicial na direção oposta (ou seja, à tração).

123

4.4.3.2 - Encruamento cinemático

A regra de encruamento cinemático admite que a superfície de escoamento é rígida.

Assim, com as deformações plásticas, a superfície sofre uma translação em relação à

superfície de escoamento inicial, como mostra a FIG.4.12.

b) Diagrama tensões-deformações

a) Representação na superfície de escoamento

Superfície de

escoamento inicial

(

)

Superfície de

escoamento subsequente

(

)

FIGURA 4.12 – Regra de encruamento cinemático

Nesse caso, a função escalar que define a superfície de escoamento é modificada pela

inserção das coordenadas do centro dessa superfície

. De modo geral, a expressão da

superfície de escoamento tem a forma da Eq.4.132:

(

)

(

)

(

)

−

Φ TF

ijij

(4.132)

onde

ijijij

−= são as tensões reduzidas.

Essa regra de encruamento foi primeiramente proposta por Prager em 1955, que definiu

a variação do centro da superfície de escoamento

com as deformações plásticas por:

ijij

dcd

εα

(4.133)

onde

c é uma constante de encruamento, característica para o material analisado.

No entanto, CHEN (1988) demonstra que a regra de encruamento de Prager pode

apresentar algumas inconsistências quando aplicada a subespaços de tensões. Por esse

motivo, em 1959, Ziegler propôs uma modificação na regra de encruamento de Prager:

(

)

pijijíj

dad

−

(4.134)

124

onde

a é uma constante positiva de encruamento do material e

corresponde ao estado

de tensões atual. Para o critério de von Mises, CHEN (1988) demonstra que a constante

a, em função da temperatura, é dada por:

(

)

(

)

(

)

TTETa

p 0

(4.135)

4.4.3.3 - Encruamento misto

A combinação das duas regras de encruamento anteriores fornece a regra de

encruamento misto que admite tanto uma expansão da superfície de escoamento quanto

a sua translação, por meio da expressão:

(

)

(

)

(

)

0,,

−

Φ TF

ijijij

(4.136)

Na regra de encruamento misto, o incremento de deformação plástica pode ser

decomposto em dois componentes colineares:

cin

iso

ddd

εεε

(4.137)

onde

iso

está associado com a expansão e

cin

está associado com a translação da

superfície de escoamento. Esses dois componentes podem ser expressos por:

()

10com

≤≤

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−=

dMd

cin

iso

εε

(4.138)

sendo

M o parâmetro de encruamento misto.

Substituindo-se o termo

iso

da Eq.4.138 no lugar do termo

da Eq.4.128, obtém-

se uma nova expressão para a variação da tensão de escoamento (anteriormente

Eq.4.130):

(

)

dTEMd

(4.139)

125

Analogamente, substituindo-se o termo

cin

da Eq.4.138 no lugar do termo

Eq.4.133, obtém-se uma nova expressão para a variação do centro da superfície de

escoamento (anteriormente Eq.4.134):

(

)

(

)

pijijíj

dMad

−

= 1

(4.140)

Apesar de o apelo prático da regra de encruamento misto, SOUZA NETO (2006)

comenta que o encruamento cinemático tem o inconveniente de introduzir anisotropia

no material, dificultando o tratamento computacional da plastificação e da montagem da

matriz da relação constitutiva. Por esse motivo, e como não serão consideradas cargas

cíclicas neste trabalho, optou-se por utilizar a regra de encruamento isotrópico para

modelagem dos aços estruturais.

4.4.4 - Regra de fluxo e potencial plástico

A regra de fluxo é utilizada para se obter as deformações plásticas que ocorrem quando

o estado de tensões atinge a superfície de escoamento. Em analogia com problemas de

fluxos de fluidos ideais, pode-se definir a função de

potencial plástico

(

)

Ψ por:

γε

∂

∆=

(4.141)

onde

∆

> 0 é uma função escalar que varia ao longo da história do processo de

deformação, denominada por multiplicador plástico.

O gradiente da superfície de potencial plástico

∂Ψ/∂

define a direção N do vetor de

incrementos de deformações plásticas

, enquanto que a magnitude do vetor é

determinada pelo parâmetro de carregamento

∆

A regra de fluxo é denominada

associativa quando a superfície de potencial plástico e a

superfície de escoamento coincidem, ou seja,

(

)

(

)

ijij

, e, assim, a Eq.4.141

adquire a forma simplificada:

γε

∆=

∂

∆=

(4.142)

126

Segundo CHEN (1988), tem-se poucas evidências experimentais relativas às funções de

potencial plástico (não-associativas). Portanto, o uso da regra de fluxo associativa para os

materiais de uso comum em engenharia é feito preferencialmente por razões práticas.

4.4.5 - Definição do problema incremental constitutivo elasto-plástico

Com base nos conceitos anteriores, pode-se definir a expressão para a atualização das

deformações elásticas durante um fluxo plástico. Assim, seja

o vetor de deformações

elásticas no instante

n e ∆ε o incremento de deformações totais durante o fluxo plástico.

O vetor de deformações elásticas no instante

n+1,

, pode ser obtido por:

()

1,1,1

+++

∆−∆+=

∆+=

npnij

εσγ

Nεεε

εεεε

εεε

(4.143)

SOUZA NETO (2006) demonstra que, adotando-se a mesma lógica para a variável de

estado, pode-se também definir uma expressão para atualização dessa variável durante o

fluxo plástico. Para a regra de encruamento isotrópico por deformação, a variável de

estado consiste basicamente na deformação plástica efetiva

. Sendo E

o módulo

plástico (Eq.4.131), tem-se que:

Pnpnp

∆

+ ,1,

(4.144)

Com as definições anteriores de critérios de escoamento, regras de encruamento e regras

de fluxo, o problema incremental constitutivo elasto-plástico pode ser resumido no

sistema de equações mostrado na FIG.4.13.

Dados, no instante n, o vetor de deformações elásticas

ε e a deformação plástica efetiva

p,n

resolver o sistema de equações:

(

)

pnpnp

npnij

γεε

εσγ

∆+=

∆−∆+=

+++

,1,

1,1,1

,Nεεε

para as incógnitas

ε ,

1, +np

e ∆

, sujeitas às restrições:

(

)

(

)

0,0,0

1,1,1,1,

∆

≤

Φ≥∆

++++ npnijnpnij

FIGURA 4.13 – Problema incremental constitutivo elasto-plástico

127

A solução desse problema incremental permite somente duas possibilidades

mutuamente exclusivas:

• ∆

= 0. Nesse caso não há fluxo plástico e nem evolução das variáveis de estado,

de modo que o incremento é puramente elástico. Adicionalmente, as restrições

são automaticamente satisfeitas;

• ∆

> 0. Nesse caso há fluxo plástico com possível evolução das variáveis de

estado. As restrições se resumem a:

(

)

1,1,

++ npnij

, sendo o incremento

elasto-plástico.

A natureza desse problema exige para a sua solução o estabelecimento de um algoritmo

de dois passos, no qual dois conjuntos de equações (incremento puramente elástico e

retorno elasto-plástico) são empregados seqüencialmente e a solução final é selecionada

como a realmente válida pelo conjunto de restrições. Esse tipo de algoritmo tem a

vantagem de assegurar a convergência no instante

n+1, sendo denominado esquema de

integração backward-Euler

ou integração implícita (FIG.4.14).

(i) Dados de entrada:

ε ,

p,n

, ε∆

(ii) Passo 1: Tentativa elástica (∆

= 0)

()

trial

triale

trial

triale

1,1

,1,

Φ=Φ

∆+=

εε

εσ

εεε

SE Φ

trial

≤ 0 ENTÃO

()

(

)

trial

⋅=⋅

e FIM

Deformações elásticas “trial”

Deformação plástica efetiva “trial”

Tensões elásticas equivalentes

Critério de escoamento

Verifica se há fluxo plástico

(iii) Passo 2: Algoritmo de retorno (∆

> 0). Resolver o sistema de equações:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=Φ

∆+=

∆−=

++++

1,1

1,1,

1,111

npn

trial

npnp

npn

triale

γεε

εγ

εσ

σNεε

Deformações elásticas corrigidas

Deformação plástica efetiva

Cálculo das tensões de Cauchy

Critério de escoamento atendido

(iv) FIM

FIGURA 4.14 – Algoritmo implícito de integração das equações elasto-plásticas

128

4.4.6

- Adaptação do problema incremental ao critério de von Mises

O critério de plasticidade de von Mises foi descrito no subitem 4.4.1.2. Porém, por

conveniência, as suas equações básicas serão reapresentadas. Assim, essencialmente, o

critério de von Mises compreende:

Uma lei elástica linear dada por:

εDσ :=

(4.145)

onde D

é o tensor da relação constitutiva elástica (Eq.4.9).

Uma função de escoamento da forma:

()

(

)

(

)

εσσ

020

3, −=Φ σσ

(4.146)

onde

é a tensão de escoamento uniaxial em função da deformação plástica

efetiva (ou deformação plástica acumulada).

Uma regra de fluxo associativa:

Nε

∂

∆=∆=∆

γγ

(4.147)

sendo o vetor de fluxo N explicitamente dado por

∂

Φ∂

(4.148)

Uma regra de encruamento associativa, com a equação de evolução para a

variável interna de encruamento dada por:

γε

∆=∆=∆

(4.149)

4.4.6.1

- Algoritmo de integração implícito

SOUZA NETO (2006) apresenta o desenvolvimento passo a passo do algoritmo de

integração implícito mostrado na FIG.4.14 de modo específico para o critério de von

Mises. O algoritmo obtido é apresentado na FIG.4.15 em forma de pseudo-código.

129

(i) Dados de entrada:

ε∆ (vetor do incremento de deformações total),

ε (vetor de deformações elásticas),

p,n

(deformação plástica efetiva).

(ii) Tentativa elástica: dado o incremento de deformações

∆

e as variáveis de estado em t

calcular a tentativa de estado elástico (trial):

EPFLAG = 0 Análise elástica

trial

triale

trial

triale

trial

triale

nzz

triale

nyy

triale

nxx

triale

trial

triale

GKp

1,11,1

1,11,

1,1,1,

,1,

;

−

++++

+++

−=

∆+=

sIs

εs

iεε

εεε

εε

(iii) Verificar a violação da função de escoamento:

(

)

() ()

SAIReFazerENTÃO

0SE

1,01

trial

⋅=⋅

≤−

εσ

(iv) Algoritmo de retorno: resolver a equação:

()

(

)

,01

=∆+−∆−=∆Φ

γεσγγ

trial

VAI PARA o algoritmo da FIG.4.16

(Cálculo de

∆γ

usando o método de Newton-Raphson)

(v) Atualizar as variáveis de estado:

EPFLAG = 1 Análise elasto-plástica

γεε

∆+=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

−==

+++

npnp

triale

nvn

nnn

trial

,1,

1,11

111

isε

isσ

(vi) SAIR.

FIGURA 4.15 – Algoritmo de integração implícito para o critério de von Mises

130

(i) Inicializar o contador de iterações k, a estimativa inicial para ∆

e o resíduo

correspondente na função de escoamento:

()

(

)

trial

,01

;0;0

εσγ

−=Φ=∆=

(ii) Processar uma iteração segundo o algoritmo de Newton-Raphson:

d −−=

∆

= 3

Derivada residual

−∆=∆

γγ

Nova estimativa para ∆

(iii) Verificar a convergência:

(

)

4.16.FIG.da algoritmo aoVoltar ENTÃOSE

,01

tol

trial

γεσγ

≤Φ

∆+−∆−=Φ

(iv) Voltar em (ii).

FIGURA 4.16 – Algoritmo de Newton-Raphson para solução da equação de retorno

para o critério de von Mises

Deve-se observar nos códigos anteriores que, como o algoritmo de retorno para o

critério de von Mises no plano desviador é radial (visto que a normal N tem a direção

radial do cilindro de von Mises), a componente hidrostática da tensão e da deformação

são mantidas intactas durante o fluxo plástico. Assim, o algoritmo trabalha apenas com

as componentes desviadoras da tensão e da deformação, conforme mostrado na

FIG.4.17. Adicionalmente, os seguintes símbolos devem ser definidos para os

algoritmos apresentados:

•

EPFLAG é uma variável binária que indica se o ponto de Gauss em análise

atingiu a plastificação (

EPFLAG = 1) ou permaneceu na fase elástica

(

EPFLAG = 0), considerando-se a aplicação do incremento de deformações

;ε

∆

•

é a matriz do tensor identidade simétrico de quarta ordem (Eq.4.12);

•

i é o vetor do tensor identidade de segunda ordem (Eq.4.12).

131

Superfície de

escoamento inicial

Superfície de

escoamento atualizada

Eixo hidrostático

trial

superfície em

Plano Desviador (

)

(a) Representação nas tensões principais (b) Representação no plano desviador

FIGURA 4.17 – Esquema de integração implícito para o critério de von Mises

4.4.6.2

- Algoritmo para obtenção da relação constitutiva tangente consistente

CHEN (1988) demonstra que, no instante n+1, as tensões podem ser calculadas em

função da relação constitutiva tangente elasto-plástica por meio da relação:

triale

trial

etriale

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆

−== εIDεDσ

(4.150)

sendo a matriz do tensor identidade simétrico desviador de quarta ordem dada por

iiII

−=

(4.151)

SOUZA NETO (2006) afirma que uma maior velocidade (menor número de iterações)

do algoritmo de Newton-Raphson mostrado na FIG.4.5 e na FIG.4.6 é atingida com o

uso de uma relação constitutiva tangente consistente com o algoritmo de integração da

FIG.4.15 (

backward-Euler). Para esse propósito, conforme o algoritmo da FIG.4.16,

deve-se substituir na Eq.4.150 a expressão de ∆

, dada como solução da seguinte

expressão:

()

(

)

,01

=∆+−∆−=∆Φ

γεσγγ

trial

(4.152)

132

Adicionalmente, nas expressões anteriores deve-se considerar que

trial

é dado pela

seguinte expressão, conforme mostrado no algoritmo da FIG.4.15:

triale

trial

GGq

11,11

++++

=== εIεs

(4.153)

Com as considerações anteriores, a relação constitutiva tangente consistente pode então

ser obtida a partir de:

triale

∂

(4.154)

O algoritmo correspondente é apresentado na FIG.4.18.

(i) Dados de entrada:

EPFLAG (indicador de fase elasto-plástico),

1+n

(vetor de tensões de Cauchy),

∆

(multiplicador plástico).

(ii) Montagem da matriz constitutiva elasto-plástica:

EPFLAG = 1 ENTÃO

Obtenção do vetor de fluxo

(

)

,1,1,11 zznyynxxnn

++++

iσs

111 +++

−

nnn

σIσ

1−

Snorm

norm

N =

Obtenção dos parâmetros

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

−=

∆+=

trial

norm

trial

γσ

Montagem da matriz constitutiva

TTT

K iiNNiiID ++

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

βα

(iii) Montagem da matriz constitutiva elástica:

EPFLAG = 0 ENTÃO

KG iiiiID +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

(iv) SAIR.

FIGURA 4.18 – Relação constitutiva tangente consistente para von Mises

133

4.4.7

- Adaptação do problema incremental ao critério de Drucker-Prager

O critério de plasticidade de Drucker-Prager foi descrito no subitem 4.4.2.2. Por

conveniência, as suas equações básicas serão reapresentadas a seguir como base para a

obtenção do algoritmo de integração.

Assim, o critério de escoamento de Drucker-Prager é definido por:

Uma lei elástica linear dada por:

εDσ :=

(4.155)

onde D

é o tensor da relação constitutiva elástica (Eq.4.9).

Uma função de escoamento:

()

(

)

(

)

cIJc

ξη

−+=Φ σσσ

(4.156)

onde

é segundo invariante do tensor de tensões desviadoras (Eq.4.108), I

é o

primeiro invariante do tensor de tensões (Eq.4.102),

c é a coesão do material em

função da deformação plástica efetiva (ou deformação plástica acumulada),

são parâmetros do material obtidos em função do ajustamento escolhido segundo

as Eq.4.122, Eq.4.123, Eq.4.124 e Eq.4.125.

Uma regra de fluxo:

Nε

∂

∆=∆=∆

γγ

(4.157)

sendo Ψ a função de potencial plástico definida por

()

(

)

(

)

σσσ

, IJc

+=Ψ

(4.158)

onde

é uma função do ângulo de dilatância do material,

, obtida por meio

das Eq.4.122, Eq.4.123, Eq.4.124 e Eq.4.125, considerando-se

no lugar de

134

De modo diferente do critério de von Mises, o critério de Drucker-Prager apresenta um

ponto de singularidade na superfície de escoamento: o ápice do cone. Assim, duas

possibilidades distintas de fluxo plástico podem ocorrer:

Fluxo plástico na superfície do cone, onde a função de escoamento é derivável

(FIG.4.19.a). Nesse caso, o vetor de fluxo é (definido unicamente) normal à

superfície do cone:

()

∂

Ψ∂

=≡

trial

(4.159)

e o incremento da variável interna de encruamento ∆

é então dado por

ηγε

+∆=∆∆=∆

εε

(4.160)

Fluxo plástico no ápice do cone de Drucker-Prager (FIG.4.19.b). Nesse caso, a

regra de fluxo pode ser explicitamente definida por:

bbaa

NNε

γγ

∆+∆=∆

(4.161)

onde N

é o vetor de retorno normal à superfície do cone e N

é o vetor de

retorno situado sobre o eixo hidrostático

()

3/1

trial

(4.162)

O incremento da variável interna de encruamento ∆

torna-se função de ∆

∆

, na forma:

()

baa

γγηγε

∆+∆+∆=∆∆=∆ εε

(4.163)

Para regras de fluxo associativas, deve-se fazer Ψ ≡ Φ, o que corresponde a adotar

= nas expressões anteriores (Eq.4.159 a Eq.4.163).

135

Superfície de

escoamento inicial

Superfície de

escoamento atualizada

Eixo hidrostático

trial

superfície em

Plano Desviador (

)

(a) Retorno à superfície do cone

Superfície de escoamento

inicial

Superfície de escoamento

atualizada

Eixo

hidrostático

trial

(b) Retorno ao ápice do cone

FIGURA 4.19 – Esquemas de integração implícitos para o critério

de Drucker-Prager

136

4.4.7.1

- Algoritmo de integração implícito

A estratégia para seleção do algoritmo implícito de retorno apropriado (FIG.4.19) a ser

utilizado em um incremento elasto-plástico é relativamente simples, tendo por base a

garantia de que o estado pós-retorno satisfaz rigorosamente as equações de retorno. Em

essência, a estratégia de retorno deve satisfazer os seguintes passos:

Primeiramente, deve-se aplicar o procedimento de retorno à superfície do cone.

Verificar a validade do retorno utilizado: se, após a obtenção de ∆

a partir da

condição de consistência, a seguinte expressão for satisfeita:

(

)

≥∆−

trial

(4.164)

então o retorno à superfície do cone é válido e o estado atualizado

correspondente deve ser aceito, conforme a FIG.4.20.

Caso contrário, aplicar o algoritmo de retorno ao ápice do cone. O resultado

obtido será necessariamente válido e não exigirá uma verificação adicional.

trial

()

>∆−

trial

()

<∆−

trial

Ápice

()

1, +np

εξ

Domínio

elástico

FIGURA 4.20 – Seleção do algoritmo de retorno para o critério de Drucker-Prager

SOUZA NETO (2006) apresenta o algoritmo de integração implícito adaptado para o

critério de Drucker-Prager, com base nos conceitos anteriores. A FIG.4.21 reproduz

esse algoritmo na forma de pseudo-código.

137

(i) Dados de entrada:

ε∆ (vetor do incremento de deformações total),

ε (vetor de deformações elásticas),

p,n

(deformação plástica efetiva).

(ii) Tentativa elástica: Calcular a tentativa de estado elástico (

trial).

EPFLAG = 0 Análise elástica

triale

trial

triale

trial

triale

nzz

triale

nyy

triale

nxx

triale

trial

triale

KpG

1,11,1

11,1,1,1,1,

,1,

;

++++

++++++

−=++=

∆+=

εεεε

εε

εs

iεε

εεε

(iii) Verificar a violação da função de escoamento:

()

(

)

() ()

SAIReFazerENTÃO

0SE

1,112

trial

cpJ

+++

⋅=⋅

≤−+

εξη

(iv) Algoritmo de retorno: verificar os 2 retornos possíveis à superfície de escoamento.

a. Efetuar o retorno ao plano principal:

EPFLAG = 1 e VAI PARA o algoritmo da FIG.4.22.

b. Verificar a validade do retorno ao plano principal:

()

≥∆−

trial

s ENTÃO VAI PARA (v) O retorno é válido!

c. Efetuar o retorno ao ápice:

EPFLAG = 2 e VAI PARA o algoritmo da FIG.4.23.

(v) Atualizar as deformações elásticas:

isε

(vi) SAIR.

FIGURA 4.21 – Algoritmo de integração implícito para o critério de Drucker-Prager

138

(i) Inicializar a estimativa inicial para ∆

e o resíduo correspondente na função de

escoamento Φ:

(

)

(

)

trial

cpJ

,112

εξηγ

−+=Φ=∆

(ii) Processar uma iteração para ∆

segundo o algoritmo de Newton-Raphson:

,1,

ηγεε

+∆+=

+ anpnp

Atualiza

1, +np

ηξηη

+−−−=

∆

EKG

Derivada residual

−∆=∆

γγ

Nova estimativa para ∆

(iii) Verificar a convergência:

()

(

)

(

)

1,112 +++

−∆−+∆−=Φ

npa

trial

cKpGJ

εξγηηγ

tol

≤Φ

ENTÃO atualizar

()

trial

Kpp

γη

∆−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

−=

1 s

Voltar ao algoritmo da FIG.4.21.

(iv) Voltar em (ii).

FIGURA 4.22 – Algoritmo de retorno univetorial à superfície do

cone de Drucker-Prager

139

(i) Inicializar a estimativa inicial para ∆

e ∆

e o resíduo correspondente:

()

(

)

(

)

,112

=∆

−∆−==∆

npa

trial

cKprGJ

εξγηηγ

(ii) Processar uma iteração de Newton-Raphson (somente para ∆

()

baap

γγηγε

∆+∆+∆=∆

pnpnp

∆+=

+ ,1,

Atualiza

1, +np

(

)

bap

∆

−−=

Derivada residual

−∆=∆

γγ

Nova estimativa para ∆

(iii) Verificar a convergência:

()

1,1

−=

∆+∆−=

npn

trial

cpr

Kpp

εξη

γγη

tol

≤

ENTÃO atualizar

iσ

11 ++

Voltar ao algoritmo da FIG.4.21.

(iv) Voltar em (ii).

FIGURA 4.23 – Algoritmo de retorno bivetorial ao ápice do

cone de Drucker-Prager

4.4.7.2

- Algoritmo para obtenção da relação constitutiva tangente consistente

A elaboração do algoritmo para montagem da relação constitutiva tangente consistente

para o critério de Drucker-Prager, de modo diferente da sistemática apresentada para o

critério de von Mises, envolve dois algoritmos de retorno possíveis. Conseqüentemente,

dois operadores tangentes consistentes podem ser obtidos: um relativo ao retorno à

superfície do cone e outro relativo ao retorno ao ápice do cone.

SOUZA NETO (2006) apresenta os passos necessários para a obtenção das derivadas

parciais das tensões em relação às deformações elásticas (

trial) compatíveis com cada

algoritmo de integração implícito.

140

Adicionalmente, com base nos conceitos anteriormente apresentados, SOUZA NETO

(2006) também ilustra a seqüência de cálculo utilizada na montagem de um algoritmo

computacional. A FIG.4.24 reproduz esse algoritmo de cálculo da relação constitutiva

tangente consistente para o critério de Drucker-Prager na forma de pseudo-código.

(i) Dados de entrada:

EPFLAG (indicador de fase elasto-plástico),

1+n

(vetor de tensões de Cauchy),

triale

n 1+

(vetor de deformações elásticas trial), ∆

e ∆

(multiplicadores plásticos).

(ii) Montagem da matriz constitutiva elástica:

EPFLAG = 0 ENTÃO

KG iiiiID +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

e VAI PARA (iv)

(iii) Montagem da matriz constitutiva elasto-plástica:

(

)

triale

nnep 11

∂∂= εσD

a. Calcular o vetor de fluxo unitário:

()()()()()()

[]

triale

unit

triale

zxd

triale

yzd

triale

xyd

triale

zzd

triale

yyd

triale

xxd

triale

nzz

triale

nyy

triale

nxx

triale

1,1,

,1,

11,

1,1,1,1,

++++

+++++=

−=

++=

εεε

iεε

εεεεεε

εεεε

b. Selecionar o algoritmo de cálculo da tangente consistente:

EPFLAG = 1 ENTÃO VAI PARA o algoritmo da FIG.4.25.

EPFLAG = 2 ENTÃO VAI PARA o algoritmo da FIG.4.26.

(iv) SAIR.

FIGURA 4.24 – Relação constitutiva tangente consistente para Drucker-Prager

141

(i) Dados de entrada:

unit

triale

EGK ,,,,,,,,

γηηξ

∆

εε

(ii) Calcular a tangente consistente

(

)

triale

nnep

∂∂= εσD com o algoritmo univetorial de

retorno à superfície do cone:

ηξηη

+++

EKG

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

−=

triale

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∆

GGB

triale

KGC 2−=

(

)

KKD

−

() ()

(

)

unit

Tunit

unit

dSep

DCBA iiεiiεεεID

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−++++=

ηη

(iii) Voltar ao algoritmo da FIG.4.24.

FIGURA 4.25 – Tangente consistente com o algoritmo de retorno à superfície do cone

(i) Dados de entrada:

unit

triale

EGK ,,,,,,,,

γηηξ

∆

εε

(ii) Calcular a tangente consistente

(

)

triale

nnep

∂∂= εσD

com o algoritmo bivetorial de

retorno ao ápice do cone:

()

baap

γγηγε

∆+∆+∆=∆

()

γγη

ηα

∆+∆

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

KA 1

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆+∆+

∆

+−−=

+ ba

triale

KKB

γγηη

ηη

()

unit

BA εiiiD +=

(iii) Voltar ao algoritmo da FIG.4.24.

FIGURA 4.26 – Tangente consistente com o algoritmo de retorno ao ápice do cone

142

4.4.8

- Adaptação do Método de Newton-Raphson à não-linearidade material

4.4.8.1

- Elasto-plasticidade em pequenas deformações

O método de Newton-Raphson foi descrito no subitem 4.3.7 como um dos

procedimentos incrementais e iterativos mais simples para solução de problemas via

MEF com não-linearidades. Mostrou-se ainda, na FIG.4.5 daquele item, o algoritmo

básico do Método de Newton-Raphson, adaptado para análises em pequenas

deformações (linearidade geométrica).

A adaptação do algoritmo do Método de Newton-Raphson da FIG.4.5 para consideração

da não-linearidade material nas análises (em regime de linearidade geométrica) é

realizada basicamente em dois pontos:

•

No item (ii), adaptando-se o cálculo da matriz constitutiva tangente consistente

para o critério utilizado: Hencky, von Mises e Drucker-Prager.

•

No item (vii), adaptando-se o cálculo das tensões a partir das deformações

elásticas anteriores

ε e do incremento de deformações totais ε∆ , em função do

critério utilizado. Nos casos de critérios elasto-plásticos, o algoritmo de

integração implícito adequado deve ser utilizado.

Essas modificações, bem como a adaptação para se trabalhar com o incremento de

deformações, ao invés das deformações totais, podem ser observadas na FIG.4.27.

(i) k = 0. Ajustar o deslocamento inicial e a força residual:

()

(

)

ext

nnnn

fufruu

int0

1 ++

−==

(ii) Calcular a matriz constitutiva tangente consistente:

∂

εσD

• Elasticidade:

– Critério de Hencky: D

é calculado pela Eq.4.9.

• Elasto-plasticidade:

– Critério de von Mises: D

é calculado pelo algoritmo da FIG.4.18.

– Critério de Drucker-Prager: D

é calculado pelo algoritmo da FIG.4.24.

continua...

FIGURA 4.27 – Método de Newton-Raphson para elasto-plasticidade em

pequenas deformações

143

...continuação

(iii) Calcular a matriz de rigidez tangente:

∑

NGaussPts

iiii

BDBK

(iv)

k = k +1. Resolver o sistema de equações:

(

)

(

)

1−

−=

ruK

(v) Aplicar a correção de Newton-Raphson para deslocamentos:

(

)

(

)

(

)

uuu

−

(vi) Atualizar as deformações totais e o incremento de deformações:

()

(

)

n 11 ++

= uBε

deformações totais (apenas informativo)

(

)

(

)

uuBε −=∆

incremento de deformações totais

(vii) Utilizar o algoritmo de integração da relação constitutiva para atualizar as tensões

de Cauchy

σ e outras variáveis de estado α (como deformação plástica

acumulada, etc.), em função das deformações elásticas

e do incremento de

deformação

ε∆ .

• Elasticidade:

– Critério de Hencky:

(

)

εεσ ∆,

é calculada pela Eq.4.100.

• Elasto-plasticidade:

– Critério de von Mises:

(

)

εεσ ∆,

é calculada pelo algoritmo da FIG.4.15.

– Critério de Drucker-Prager:

(

)

εεσ ∆,

é calculada pelo algoritmo da FIG.4.21.

(viii) Calcular o vetor de forças internas:

()

∑

NGaussPts

int

σBf

(ix) Atualizar o vetor de forças residuais:

ext

ffr

int

−=

(x) Verificar a convergência:

tol

ext

≤fr / ENTÃO FAZER

(

)

(

)

(

)

nn 11 ++

⋅=⋅

e FIM

CASO CONTRÁRIO IR PARA (ii).

FIGURA 4.27 – Método de Newton-Raphson para elasto-plasticidade em

pequenas deformações

144

4.4.8.2

- Elasto-plasticidade em grandes deformações

A definição da equação de fluxo plástico para problemas com grandes deformações tem

por base a decomposição multiplicativa do gradiente de deformações em duas partes:

uma elástica e outra plástica, conforme a expressão:

111 +++

= FFF

(4.165)

ou ainda, fazendo-se a decomposição polar (subitem 4.3.1.1):

111111111 +++++++++

== RVRVURURF

(4.166)

A diferença básica entre a formulação da elasto-plasticidade em grandes deformações e

em pequenas deformações consiste na aproximação numérica adotada para a equação de

fluxo plástico. SOUZA NETO (2006) comenta que a estrutura da equação de fluxo

plástico mais apropriada para uso com plasticidade em grandes deformações é mostrada

na expressão a seguir, visto que a mesma permite a integração da função exponencial

por meio do algoritmo de

backward-Euler, por exemplo:

exp

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

Ψ∂

∆=

(4.167)

Adicionalmente, é necessário introduzir o conceito do gradiente de deformação

incremental. Sendo F

o gradiente de deformação no instante n e F

n+1

o gradiente de

deformações no instante

n+1, o gradiente de deformação incremental é definido por:

[]

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∆∇+=≡

∴=

−

+∆

uIFFF

FFF

nnn

triale

(4.168)

onde I é o tensor identidade, ∇

é o operador diferencial relativo às coordenadas nodais

no instante

n e ∆u é o incremento de deslocamentos nodais entre os instantes n e n+1.

Com base nas expressões anteriormente definidas (Eq.4.166, Eq.4.167 e Eq.4.168), é

possível finalmente derivar a equação para atualização do gradiente de deformações

elásticas em termos do gradiente de deformação incremental:

exp

+∆+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

Ψ∂

∆−=

RFFF

(4.169)

145

Assim, de forma análoga às pequenas deformações, o problema incremental finito

elasto-plástico pode ser resumido no sistema de equações mostrado na FIG.4.28.

Dados, no instante n, o gradiente de deformações elásticas

F , a deformação plástica efetiva

np,

e o gradiente de deformações incremental F

∆

, resolver o sistema de equações:

pnpnp

γεε

∆+=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

Ψ∂

∆−=

+∆+

,1,

exp R

RFFF

para as incógnitas

n 1+

F ,

1, +np

e ∆

, sujeitas às restrições:

(

)

(

)

0,0,0

1,1,1,1,

∆

≤

Φ≥∆

++++ npnijnpnij

FIGURA 4.28 – Problema incremental finito elasto-plástico

A Eq.4.169 pode ser simplificada utilizando-se a definição de

triale

n 1+

F (Eq.4.168) e se

ambos os lados da igualdade forem pós-multiplicados por

n 1

, resultando:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

Ψ∂

∆−=

+++

111

exp

triale

RFV

(4.170)

E, invertendo-se o termo exponencial:

triale

n 11

exp

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

Ψ∂

∆

(4.171)

Fazendo-se uma pós-multiplicação adicional de cada lado da igualdade pela sua

transposta, chega-se à expressão:

()

2exp

triale

n ++

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

Ψ∂

∆

(4.172)

E, ao rearranjar os termos e tirar a raiz quadrada em ambos os lados, é possível obter:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

Ψ∂

∆−=

exp

triale

(4.173)

146

Finalizando-se, aplica-se a função tensorial logarítmica em ambos os lados da igualdade

(conceito da deformação de Hencky), chegando-se à expressão:

∂

Ψ∂

∆−=

triale

εε

(4.174)

Como pode ser observado, a Eq.4.174, obtida a partir do problema incremental finito

elasto-plástico e utilizando-se a deformação de Hencky, é semelhante à expressão

utilizada no problema incremental infinitesimal elasto-plástico (conforme a FIG.4.13).

Adicionalmente, pode-se concluir que todos os algoritmos para cálculo de elasto-

plasticidade vistos anteriormente, aplicáveis a pequenas deformações, nomeadamente o

algoritmo de integração implícito para obtenção das tensões e o algoritmo para obtenção

da relação constitutiva tangente consistente, também são válidos para grandes

deformações, desde que se trabalhe com deformações de Hencky e com tensões de

Kirchoff (usar τ no lugar de σ nos algoritmos citados).

Visto que os algoritmos elasto-plásticos não trabalham diretamente com o gradiente de

deformação incremental F

∆

, que é a variável original quando se trata de análises com

não-linearidade geométrica, torna-se necessário adaptar o algoritmo de Newton-

Raphson para converter o gradiente de deformação elástico,

triale

n 1

, na deformação

elástica de Hencky,

triale

n 1+

ε . Assim, a deformação elástica de Hencky,

ε , permanece

como a variável cinemática a ser guardada na memória do computador durante uma

análise, tanto em regime de pequenas deformações quanto em grandes deformações.

A obtenção das deformações elásticas de Hencky referentes à tentativa elástica (estado

trial) é feita por meio dos seguintes passos:

•

Primeiramente, deve-se recuperar o tensor de deformações de Cauchy-Green

pela esquerda, referente ao instante n. Conforme demonstrado no subitem 4.3.2,

esse cálculo deve ser realizado por meio dos autovetores e autovalores de

ε :

[

]

εB 2exp=

(4.175)

147

•

A obtenção de F

∆

é feita por meio da Eq.4.168.

•

O tensor de deformações de Cauchy-Green pela esquerda referente à tentativa

elástica é calculado por meio da expressão:

TTe

Ttriale

triale

n ∆∆∆∆+++

=== FBFFFFFFFB

111

(4.176)

•

Finalmente, pode-se então obter o tensor de deformações de Hencky referente à

tentativa elástica:

(

)

triale

n 1

= Bε

(4.177)

A FIG.4.6 mostra a adaptação do algoritmo do Método de Newton-Raphson da FIG.4.5

para consideração da não-linearidade geométrica. Inserindo-se naquele algoritmo os

conceitos aqui apresentados para consideração da não-linearidade material, chega-se ao

algoritmo mostrado na FIG.4.29.

(i) k = 0. Ajustar o deslocamento inicial e a força residual:

()

(

)

ext

nnnn

fufruu

int0

1 ++

−==

(ii) Calcular a matriz constitutiva tangente consistente:

()

[

]

jkil

ijkl

δσBLD

det2

−=

sendo:

• Elasticidade:

– Critério de Hencky: D

é calculado pela Eq.4.9.

• Elasto-plasticidade:

– Critério de von Mises: D

é calculado pelo algoritmo da FIG.4.18.

– Critério de Drucker-Prager: D

é calculado pelo algoritmo da FIG.4.24.

e ainda:

[]

triale

∂

(

)

(

)

triale

njk

triale

nikijkl 11

ˆˆˆ

+= BδBδB

(

)

triale

n 11

2exp

= εB

(iii) Calcular a matriz de rigidez tangente:

∑

NGaussPts

iiii

GaGK

continua...

FIGURA 4.29 – Método de Newton-Raphson para elasto-plasticidade em

grandes deformações

148

...continuação

(iv)

k = k +1. Resolver o sistema de equações:

(

)

(

)

1−

−=

ruK

(v) Aplicar a correção de Newton-Raphson para deslocamentos:

(

)

(

)

(

)

uuu

−

(vi) Atualizar as deformações totais e as deformações elásticas logarítmicas

trial:

Calcula as deformações totais:

()

nnn

111

+++

−

+++

∇−=

FFε

uIF

Calcula as deformações elásticas trial:

(

)

()

[]

triale

lnln

2exp

+++

∆∆+

−

∆

∆∇+=

−=∆

BVε

FBFB

εB

uIF

uuu

(vii) Utilizar o algoritmo de integração da relação constitutiva para atualizar as tensões

de Cauchy

σ e outras variáveis de estado α (como deformação plástica

acumulada, etc.), em função das deformações elásticas de Hencky referentes ao

estado de tentativa elástica

triale

n 1+

ε e da deformação plástica efetiva

trial

np ,1,

εε

• Elasticidade:

– Critério de Hencky:

)(

triale

ετ é calculada pela Eq.4.100.

• Elasto-plasticidade:

– Critério de von Mises:

)(

triale

ετ é calculada pelo algoritmo da FIG.4.15.

– Critério de Drucker-Prager:

)(

triale

ετ é calculada pelo algoritmo da FIG.4.21.

• Atualização das tensões de Cauchy:

(

)

det

−

nnn

τFσ

(viii) Calcular o vetor de forças internas:

()

∑

NGaussPts

int

σBf

(ix) Atualizar o vetor de forças residuais:

ext

ffr

int

−=

(x) Verificar a convergência:

tol

ext

≤fr / ENTÃO FAZER

(

)

(

)

(

)

nn 11 ++

⋅=⋅

e FIM

CASO CONTRÁRIO IR PARA (ii).

FIGURA 4.29 – Método de Newton-Raphson para elasto-plasticidade em

grandes deformações

149

4.5 - Análise incremental

Ao se considerar o comportamento não-linear de uma estrutura, seja nos aspectos

geométricos ou materiais, a análise mecânica torna-se um processo tipicamente

incremental e iterativo. Em tais casos, não há outra solução numérica que permita a

obtenção direta das tensões, deformações e deslocamentos.

A análise incremental consiste em dividir o carregamento da estrutura em vários

incrementos e aplicá-los gradualmente, de modo que se verifique o equilíbrio (tensões

e/ou deslocamentos) iterativamente antes da aplicação do próximo incremento de

solicitações. O método incremental mais comum tem por base o uso de uma matriz de

rigidez tangente, que relaciona o incremento de deformações com o incremento de

tensões, conforme já mostrado anteriormente para o Método de Newton-Raphson.

O foco principal deste item consiste na discussão sobre o funcionamento do

procedimento incremental que rege a aplicação gradual do carregamento à estrutura,

visto que o equilíbrio iterativo por meio do Método de Newton-Raphson já foi

demonstrado anteriormente para as análises lineares e para as análises com não-

linearidades geométricas e/ou materiais.

Dentre as várias formas possíveis para aplicação incremental do carregamento, o

procedimento mais simples consiste em aplicar um fator a todas as forças, fator este que

é aumentado proporcionalmente por um valor pré-fixado a cada ciclo do procedimento

incremental.

A FIG.4.30 ilustra os principais passos da análise incremental com a adoção de

incrementos fixos. Adicionalmente, é mostrado também como o algoritmo do corte

automático do incremento de carga (subitem 4.5.1) deve interagir com o ciclo do

procedimento incremental. Nesse algoritmo, o ciclo do procedimento incremental é

finalizado quando o programa de carregamento é completado com sucesso (o último

incremento prescrito converge) ou quando o número de cortes sucessivos do incremento

de carga atinge o limite da matriz de sub-incrementos.

150

Divide o incremento do

fator de carga ∆λ pela

metade e reinicia a partir

da última solução

convergida

Gravação dos resultados

solicitados relativos ao

incremento λ

Ciclo dos incrementos de carga

Sim

Entrada de dados e

inicialização

Fim da análise!!!

Deformações excessivas?

Deslocamentos excessivos?

É o último incremento de

carga?

Não

Incremento de

carga muito

pequeno

Incrementa o fator

de carga: λ = λ + ∆λ

Núcleo da Análise Mecânica

Cálculo das forças residuais

r = f

int

– λ

fext

Montagem da matriz de

rigidez K e solução do

sistema de equações

Atualiza os deslocamentos u

e as coordenadas nodais

Cálculo das forças internas

nos elementos f

int

Ciclo das iterações de equilíbrio

Não

Número máximo

de iterações

excedido

Falha na

atualização

das tensões

Falha na

solução

do sistema

As forças

residuais

convergiram?

Cálculo das forças residuais

r = f

int

– λ f

ext

Sim

FIGURA 4.30 – Algoritmo incremental-iterativo com incrementos fixos e

corte automático dos incrementos de carga

151

4.5.1

- Corte automático do incremento de carga

O corte automático do incremento de carga é uma facilidade extremamente importante

para análises não-lineares. Freqüentemente tem-se o problema da convergência para

uma solução de equilíbrio não ser atingida, sendo necessária a redução do incremento de

carga.

O algoritmo mostrado na FIG.4.30 possui o seguinte comportamento: quando a

convergência para uma solução de equilíbrio não se verifica, o procedimento de corte do

incremento de carga é ativado dividindo-se o valor do incremento em dois sub-

incrementos. Em seguida, o passo de carga atual é reiniciado (a partir da última solução

convergida) com os sub-incrementos reduzidos.

Segundo SOUZA NETO (2006), as causas de falha da convergência são:

•

O incremento de carga é muito grande. Isso ocorre quando a carga total prescrita

é superior à carga limite da estrutura. Nesse caso, a norma residual diverge ou

simplesmente não converge após um número razoável de iterações. Uma

possível alternativa para se aumentar o raio de convergência é a incorporação do

line-search nas iterações de equilíbrio (subitem 4.5.2).

•

O algoritmo de integração numérica das equações constitutivas dependentes da

história de carregamento falha em algum ponto de integração de Gauss. Isso

geralmente ocorre quando se têm incrementos de deformações excessivamente

grandes. Os modelos constitutivos com não-linearidade material elevada são

particularmente propensos a esse tipo de comportamento patológico.

•

O sistema de equações lineares não pode ser resolvido por apresentar um pivô

negativo ou nulo na matriz de rigidez. Isso pode acontecer para modelos de

materiais cujo operador tangente pode se tornar singular sob certos estados de

tensões. Adicionalmente, tal comportamento também pode acontecer nos casos

onde se têm grandes não-linearidades geométricas que degeneram alguns pivôs

na matriz de rigidez, como acontece nos fenômenos de flambagem.

152

4.5.2

- Procedimentos mais apurados de convergência

Pelos subitens anteriores claramente observa-se que, devido à plasticidade e à não-

linearidade geométrica, um grande esforço computacional é requerido, ao se comparar

com a análise linear elástica. Além disso, o elemento utilizado, a discretização da

estrutura, a definição das condições de contorno e a definição do processo não-linear de

solução do problema são itens fundamentais para a obtenção de bons resultados, mas

que podem onerar ainda mais o processamento numérico do problema.

A princípio, soluções precisas das equações não-lineares podem ser obtidas se os

incrementos de carga a cada iteração forem suficientemente pequenos. No entanto,

seguindo-se esse raciocínio, pode-se chegar a um número tal de incrementos que torna

proibitiva a análise de um problema de maiores proporções, mesmo considerando-se o

grande crescimento da capacidade de processamento dos computadores. Assim, muitos

pesquisadores têm-se dedicado ao desenvolvimento de métodos numéricos eficientes

que forneçam resultados precisos a custos razoáveis.

A questão básica de uma análise não-linear é determinar o vetor de deslocamentos a

partir de um vetor de forças e de uma matriz de rigidez dependente desses

deslocamentos. Os algoritmos de solução mais freqüentemente utilizados são o de

Newton-Raphson e suas variações (CRISFIELD, 1991). Buscando-se otimizar o

desempenho, geralmente utilizam-se processos modificados, em que a matriz de rigidez

é atualizada a certos números pré-determinados de iterações.

O método de Newton-Raphson completo exige poucas iterações para solução de um

incremento, devido à convergência quadrática. No entanto, esse método pode não ser

adequado para análises de não-linearidades geométricas e materiais por exigir avaliação

e fatoração da matriz de rigidez a cada iteração. Para ser vantajoso, devem ser utilizados

grandes incrementos de carga, o que também pode ser incompatível com a necessidade

de pequenos incrementos para se manter a precisão e a estabilidade numérica.

O método de Newton-Raphson modificado de maior uso consiste em adotar a mesma

matriz de rigidez para todas as iterações de um incremento de carga, atualizando-se essa

153

matriz apenas a cada novo incremento. Assim, evita-se o trabalho de recalcular e fatorar

diversas vezes a matriz de rigidez. No entanto, esse método apresenta convergência

linear e, nos problemas com grandes não-linearidades, pode apresentar uma

convergência muito lenta ou até mesmo não convergir.

Segundo CHEN (1988), a lentidão e falta de convergência, problemas potenciais do

método de Newton-Raphson modificado, ocorrem principalmente devido a um

amolecimento repentino durante um incremento de carga, como acontece em problemas

de plasticidade. Nesses casos, é preciso um número muito grande de iterações para que

haja convergência. Como nas situações práticas, existe um limite para o número de

iterações, o processamento pode ser interrompido por falta de convergência.

Visando contornar o problema de lentidão do processo, costuma-se empregar os

denominados esquemas de aceleração. Um procedimento muito conhecido é o line

search (CRISFIELD, 1991). Nesse procedimento, o algoritmo escolhe uma direção no

espaço para a busca de uma melhor aproximação para a solução. Para isto, procura-se

um escalar tal que, multiplicado pelo vetor unitário em uma certa direção, torna mínima

a energia potencial total na direção.

Com relação ao problema da convergência em pontos limites, como máximos e

mínimos de cargas ou pontos de bifurcação, o método mais utilizado para transpor esses

pontos é o arc-length ou método de comprimento de arco (CRISFIELD, 1991),

mostrado na FIG.4.31. Esse método é de grande valia para problemas que podem parar

de convergir por razões numéricas sem que tenha havido uma ruptura da estrutura. Para

tais problemas, o comportamento da estrutura somente é determinado com clareza se a

análise for além dos pontos limites. Em estruturas de concreto, devido ao amolecimento,

esse método se destaca por permitir a construção de todo o diagrama força-deslocamento.

Em essência, o método de comprimento de arco consiste em uma restrição ao avanço

dos incrementos de carga durante as iterações, forçando a convergência para o valor

correto (FIG.4.31).

154

Carregamento

∆

Deslocamento

∆

)

(

)

(

)

(

)

FIGURA 4.31 – Método de comprimento de arco esférico para

um sistema com um grau de liberdade

CRISFIELD (1991) considerou que o método de comprimento de arco associado ao

procedimento de line search é a técnica numérica mais apropriada para análise de

estruturas sujeitas à não-linearidades geométricas e materiais, pois uma análise além da

carga limite permite uma melhor investigação do comportamento da estrutura. Métodos

do tipo Newton-Raphson, embora mais largamente utilizados, impõem dificuldades à

passagem por pontos limites por aplicar cargas constantes a cada incremento.

No entanto, conforme se verá no capítulo 6 deste trabalho, em análises termomecânicas

visando à simulação do comportamento de estruturas em situação de incêndio, o

carregamento inicial da estrutura (em temperatura ambiente) não produz um esforço

mecânico capaz de promover problemas de convergência, sendo que tais efeitos

ocorrem sempre sob altas temperaturas, fase em que as forças permanecem constantes.

Adicionalmente, para fins deste trabalho, o primeiro ponto crítico foi adotado como

sendo o fim da análise, dispensando-se o uso de um algoritmo mais refinado como o

arc-length.

CAPÍTULO 5 -

Análise Termomecânica e Implementação Computacional

ANÁLISE TERMOMECÂNICA E IMPLEMENTAÇÃO

COMPUTACIONAL

5.1 - Introdução

A simulação do comportamento de elementos estruturais em situação de incêndio

envolve simultaneamente a análise térmica, que visa basicamente determinar a

distribuição de temperatura nos elementos estruturais, e a análise mecânica, que visa

simular os deslocamentos, deformações e tensões internas na estrutura, considerando a

perda de resistência e de rigidez do material estrutural com o aumento de temperatura.

O objetivo deste capítulo consiste em apresentar os conceitos envolvidos no

acoplamento entre as análises térmica e mecânica. Adicionalmente, será apresentada a

ferramenta computacional desenvolvida neste trabalho para simulação do

comportamento de estruturas de aço e mistas de aço e concreto em situação de incêndio,

denominada Thersys 2.0 (Sistema para simulação via Método dos Elementos Finitos do

comportamento termomecânico 3D de estruturas em situação de incêndio).

156

5.2 - Processo de solução do problema termomecânico

A solução de um problema termomecânico, relativo a estruturas em situação de

incêndio, é um sistema claramente acoplado, uma vez que as temperaturas influenciam

nas propriedades mecânicas dos materiais e nas deformações térmicas e que as

deformações influenciam na densidade, e conseqüentemente, no campo de temperaturas.

No entanto, segundo VILA REAL (1993), em uma análise incremental-iterativa, os

incrementos geralmente são pequenos o suficiente para que a variação da densidade,

dada pela norma do gradiente de deformação (Eq.4.32), seja muito pequena dentro do

intervalo em que o incremento é considerado. Assim, a resolução do problema mecânico

com base em uma configuração térmica relativa ao início do intervalo não promove

erros que possam prejudicar a precisão do sistema.

Considerando-se essa observação, VILA REAL (1993), LANDESMANN (2003),

CALDAS (2008) e vários outros pesquisadores adotam o procedimento da resolução

consecutiva de dois sistemas de equações dentro de cada intervalo: um sistema

resultante da integração da equação de condução de calor (análise térmica) e um sistema

correspondente às equações incrementais de equilíbrio (análise mecânica).

Uma vez que no capítulo 3 foi descrita a solução do problema térmico e no capítulo 4 a

solução do problema mecânico com não-linearidades geométricas e materiais, a seguir

será apresentada apenas a forma como ocorre a conexão dos dois problemas. Esse

vínculo se dá basicamente por meio da equação da deformação total, expressa por:

thpe

εεεε ++=

(5.1)

onde

ε é o vetor das deformações totais,

ε é o vetor das deformações elásticas,

ε é o

vetor das deformações plásticas e

ε é o vetor das deformações térmicas.

O EN 1994-1-2:2005 apresenta os alongamentos normalizados ∆L/L do aço, do

concreto de densidade normal e do concreto leve em função da temperatura T em uma

direção no espaço.

157

Em regime de pequenas deformações e pequenos deslocamentos, os alongamentos

normalizados correspondem diretamente à deformação térmica. Assim, o vetor das

deformações térmicas em função dos alongamentos normalizados é dado por:

(

)

iε

∆

(5.2.a)

Para problemas que envolvem grandes deformações e/ou grandes deslocamentos (não-

linearidade geométrica), o vetor das deformações térmicas em função dos alongamentos

normalizados deve ser expresso na forma da deformação de Hencky:

(

)

iε

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

1ln

(5.2.b)

A seguir serão enumeradas as modificações que devem ser incluídas nos algoritmos de

cálculo apresentados no capítulo 4 de modo a incorporar o efeito das deformações

térmicas na análise termomecânica.

5.2.1

- Cálculo das forças nodais devido às deformações térmicas

Inicialmente, na primeira iteração de um incremento de tempo, devem-se subtrair das

forças internas do modelo (que são devido às tensões internas) as forças nodais devido

às deformações térmicas. Assim, a Eq.4.54 adquire a forma:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

−−

iteraçõesdemaisnas

iteração1ªna

int

ext

fff

(5.3)

onde f

é o vetor de forças nodais devido às deformações térmicas, dado por

∑

∆=

NGaussPts

εDBf

(5.4)

ε∆ é o incremento de deformações térmicas no i-ésimo ponto de Gauss no

incremento de tempo considerado (n a n+1)

εεε −=∆

(5.5)

158

Conforme pode ser observado na Eq.5.4, um aumento de temperatura provoca o

aparecimento de forças nodais positivas. Por outro lado, por meio da Eq.5.3 e da

Eq.4.52, é possível concluir que forças térmicas positivas provocam um estado de tração

no modelo de elementos finitos de modo que a estrutura se desloca aumentando suas

dimensões (dilatação térmica).

Uma vantagem importante dessa forma de incorporação das deformações térmicas é a

estabilização do modelo numérico na primeira iteração de um incremento de tempo,

devido ao pseudo estado de tração causado pelo aumento de temperatura.

Visto que o algoritmo de Newton-Raphson, a cada iteração, adiciona os deslocamentos

devido às forças residuais r ao vetor de deslocamentos nodais, na segunda iteração, a

malha já apresenta um deslocamento equivalente à deformação térmica. Por esse

motivo, da segunda iteração em diante, não se deve continuar subtraindo as forças

térmicas f

das forças internas do modelo.

5.2.2

- Correção do incremento de deformações devido às deformações térmicas

Ao se calcular as deformações referentes à tentativa elástica,

triale

n 1+

ε , utilizadas pelos

algoritmos de cálculo de tensões (com ou sem plasticidade), deve-se remover o

incremento de deformações térmicas do incremento de deformações referentes à

tentativa elástica. Visto que as deformações térmicas não produzem tensões, esse

procedimento permite que apenas a parcela do incremento de deformações mecânicas

seja considerada pelos algoritmos de integração das relações constitutivas.

Assim, em regime de pequenas deformações e pequenos deslocamentos, o cálculo de

triale

n 1+

ε é realizado por meio da expressão:

(

)

(

)

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+∆−∆=

−=∆

thtriale

εεεε

uuBε

(5.6.a)

onde

ε é o vetor das deformações elásticas no instante n (fim do incremento anterior) e

ε∆ é calculado por meio da Eq.5.5 e da Eq.5.2.a.

159

Para problemas que envolvem grandes deformações e/ou grandes deslocamentos (não-

linearidade geométrica), o cálculo de

triale

n 1+

ε é realizado por meio da expressão:

(

)

()

[]

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∆−=

∆∇+=

−=∆

∆∆+

−

∆

thtriale

triale

εBε

FBFB

εB

uIF

uuu

2exp

(5.6.b)

sendo

ε∆ calculado por meio da Eq.5.5 e da Eq.5.2.b.

Diferentemente do cálculo das forças nodais devido às deformações térmicas, deve-se

observar que as Eq.5.6.a e Eq.5.6.b são válidas para todas as iterações referentes a um

incremento de carga, visto que o deslocamento de referência das expressões é sempre o

deslocamento do final do último incremento, u

, e não o deslocamento da última

iteração.

5.2.3

- Cálculo de tensões na presença de deformações térmicas

O cálculo de tensões é realizado a partir da integração das relações constitutivas com

base nas deformações referentes à tentativa elástica,

triale

n 1

ε . Visto que a parcela relativa

às deformações térmicas já foi removida da análise por meio da formulação apresentada

no subitem anterior, as tensões calculadas serão exclusivamente devido às deformações

elásticas, não sendo necessária nenhuma modificação nesses algoritmos.

As modificações mostradas nos itens anteriores referentes à inclusão das deformações

térmicas podem ser facilmente implementadas nos algoritmos incrementais-iterativos de

Newton-Raphson apresentados na FIG.4.27 e na FIG.4.29, mesmo com a característica

de corte automático do incremento de carga mostrada no algoritmo da FIG.4.30.

160

5.3 - Visão geral do programa Thersys 2.0

O programa desenvolvido neste trabalho, denominado Thersys 2.0, consiste em um

ambiente computacional onde é possível modelar um elemento estrutural isolado ou

subsistemas estruturais e simular numericamente, via método dos elementos finitos, o

comportamento do modelo em situação de incêndio.

O ambiente gráfico para modelagem da estrutura a ser analisada e geração da respectiva

malha de elementos finitos é proporcionado pelo pré e pós-processador gráfico GID,

elaborado pelo CIMNE (2004), por meio de modificações na configuração do problem

type para problemas térmicos desenvolvido por RIBEIRO (2004). O programa GID

também é utilizado para visualização de resultados e geração de gráficos.

Basicamente, os passos que devem ser seguidos na simulação de uma estrutura são:

•

Modelagem da estrutura no pré-processador GID;

•

Definição dos materiais e suas propriedades termomecânicas;

•

Definição das condições de contorno térmicas (arrefecimento e curva de

incêndio desejada) e mecânicas (restrição de deslocamentos e forças externas);

•

Definição do programa de carregamento: primeiramente são aplicadas as forças

e, posteriormente, estando a estrutura em equilíbrio, é aplicado o incêndio, sob

forças constantes, até que algum critério de parada do ensaio seja atingido

(WOOLLEY, 1988);

•

Geração da malha de elementos finitos no pré-processador GID;

•

Utilização do programa desenvolvido neste trabalho para realização da análise

termomecânica da estrutura; e

•

Visualização dos resultados (temperaturas, deslocamentos, deformações, tensões

e capacidade resistente ao incêndio considerado) e geração de gráficos por meio

do pós-processador GID.

O programa Thersys 2.0 consiste no núcleo do ambiente de simulação, reunindo em si

todas as etapas que o processamento numérico do problema exige. O funcionamento do

programa pode ser melhor compreendido observando-se o algoritmo da FIG.5.1.

161

Análise Mecânica

Análise Térmica

Cálculo das forças residuais

r = f

int

– f

– λ

fext

Montagem da matriz de

rigidez K e solução do

sistema de equações

Atualiza os deslocamentos u

e as coordenadas nodais

Cálculo das forças internas

nos elementos f

int

Divide o incremento de

tempo ∆t pela metade e

reinicia o incremento a

partir da última solução

convergida

Gravação dos

resultados solicitados

Ciclo das iterações de equilíbrio

Não

Número máximo

de iterações

excedido

Falha na

atualização

das tensões

Falha na

solução

do sistema

Sim

As forças

residuais

convergiram?

Entrada de dados e

inicialização

Fim da análise!!!

Obtenção do tempo de

resistência ao incêndio.

Cálculo das forças residuais

r = f

int

– λ f

ext

Análise mecânica inicial

(Algoritmo da FIG.4.30)

Cálculo da temperatura

dos gases (incêndio)

Montagem e solução do

sistema de equações

As temperaturas

convergiram?

Não

Sim

Início do incêndio

Deformações excessivas?

Deslocamentos excessivos?

É o último incremento de

tempo?

Sim

Próximo intervalo de tempo

t = t +∆t

Não

Incremento de

tempo muito

pequeno

Ciclo dos incrementos de tempo

FIGURA 5.1 – Algoritmo macro do programa Thersys 2.0

162

Simplificadamente, o programa é composto de dois blocos básicos: um de análise

térmica e outro de análise mecânica. O bloco relativo à análise térmica corresponde ao

algoritmo desenvolvido por RIBEIRO (2004) e foi totalmente incorporado pelo

Thersys 2.0. O bloco correspondente à análise mecânica foi desenvolvido neste trabalho

com base nas teorias apresentadas no capítulo 4.

Além de simulações termomecânicas de estruturas em situação de incêndio, o programa

também permite a realização de análises puramente térmicas e de análises puramente

mecânicas.

No caso de simulações termomecânicas, o bloco correspondente à análise mecânica é

acionado de duas formas diferentes: primeiramente para aplicação do carregamento

(análise mecânica inicial) e posteriormente para fazer com que o carregamento

permaneça constante enquanto ocorre a evolução do incêndio, via análise térmica, uma

vez que o aumento da temperatura promove a degradação das propriedades mecânicas

dos materiais.

Tanto a análise puramente mecânica quanto a análise mecânica inicial (no caso de

análises termomecânicas) são realizadas pelo algoritmo mostrado na FIG.4.30. O

segundo tipo de análise mecânica, que é acionado juntamente com a análise térmica, é

realizado conforme o algoritmo mostrado na FIG.5.1, derivado do código anterior.

Nesse segundo tipo de análise mecânica, não há incrementação do fator de carga

(carregamento constante durante o incêndio). Assim, o corte do incremento de carga ∆

em decorrência de uma falha (FIG.4.30) foi substituído por um corte na variável que

promove a degradação das propriedades mecânicas dos materiais estruturais, ou seja, o

incremento de tempo ∆t (FIG.5.1).

Ressalta-se que os critérios de parada da análise puramente mecânica se mantém na

análise termomecânica: deformações excessivas, deslocamentos excessivos e último

incremento de carga/tempo. A análise também é interrompida se o incremento de tempo

∆t, após o corte automático, se tornar muito pequeno (adotou-se o limite de 0,25

segundo neste trabalho).

163

5.3.1

- Corte automático do incremento de tempo

De forma análoga ao corte do incremento de carga em análises puramente mecânicas, o

corte automático do incremento de tempo é uma importante ferramenta para análises

termomecânicas não-lineares. Freqüentemente, tem-se o problema da convergência para

uma solução de equilíbrio não ser atingida, sem no entanto o modelo de elementos

finitos apresentar o comportamento característico de uma falha: instabilidades, rótulas

plásticas, grandes deslocamentos ou grandes deformações.

Os casos com problemas de convergência geralmente ocorrem porque, para um dado

incremento de tempo, o aumento de temperatura é suficientemente alto para

proporcionar uma forte redução da resistência e/ou rigidez dos materiais estruturais. A

grande redução na capacidade portante da estrutura frente ao carregamento constante

funciona de modo similar à aplicação de um grande incremento de carga em uma

análise puramente mecânica: o incremento deixa de ser compatível com as limitações

numéricas dos algoritmos integradores, proporcionando a falha.

Em tais casos de falha da análise mecânica, deve-se retomar a análise a partir da última

solução convergida, usando-se um incremento menor. Em análises termomecânicas,

esse incremento refere-se à variável do incremento de tempo ∆t.

Assim, o algoritmo mostrado na FIG.5.1 possui o seguinte comportamento: quando a

convergência para uma solução de equilíbrio não se verifica, o procedimento de corte do

incremento de tempo é ativado dividindo-se o valor do incremento à metade. Em

seguida, o intervalo de tempo atual é reiniciado (a partir da última solução convergida)

com o incremento de tempo reduzido.

Como geralmente o corte do incremento de tempo ocorre quando se está próximo da

capacidade resistente da estrutura ao incêndio, é interessante que, após o corte do

incremento de tempo, se registre os resultados a cada incremento. Assim, se o intervalo

entre gravações dos resultados era, por exemplo, a cada 10 incrementos de tempo, a

partir de um corte do incremento de tempo os resultados passam a ser gravados a cada

incremento de tempo.

164

5.3.2

- Características do programa Thersys 2.0

A seguir serão mostradas as características do programa Thersys 2.0 no que se refere às

curvas de incêndio, propriedades dos materiais, tipos de elementos previstos, condições

de contorno e métodos de solução dos sistemas de equações.

5.3.2.1

- Curvas de incêndio

Visando a análise de qualquer problema termomecânico, o programa Thersys 2.0 foi

elaborado com a possibilidade de uso das seguintes curvas de incêndio:

•

Incêndio definido pelo usuário;

•

Incêndio-padrão (EN 1991-1-2:2002);

•

Incêndio externo (EN 1991-1-2:2002);

•

Incêndio de hidrocarbonetos (EN 1991-1-2:2002);

•

Odden test (BFD);

•

Car test (BFD);

•

Swedish test D2 (BFD);

•

EBS test D2 (BFD);

•

JFRO test R (BFD);

•

JFRO test Q (BFD);

•

EBS test 9 (BFD);

•

EBS test 16 (BFD);

•

CIB/W14 (a) (BFD);

•

CIB/W14 (b) (BFD);

•

CTICM test 35 (BFD);

•

CTICM test 63 (BFD);

•

Cardington test 2 (BFD);

•

Cardington test 5 (BFD);

•

Cardington test 6 (BFD);

•

Cardington test 7 (BFD).

165

Na opção “incêndio definido pelo usuário”, o programa permite que a curva de incêndio

seja fornecida através de uma tabela de valores: tempo × temperatura dos gases. Para

valores intermediários aos fornecidos na tabela, o programa faz interpolação linear. Essa

opção torna possível o uso de uma curva de incêndio cuja equação não esteja

implementada no programa.

As curvas de incêndio correspondentes a resultados de ensaios são modeladas através

das equações de Barnett (curvas BFD), mostradas em 2.2.4.

5.3.2.2

- Propriedades dos materiais

O programa Thersys 2.0 foi desenvolvido de modo a utilizar todas as propriedades

relevantes variáveis com a temperatura para qualquer material. O programa pode

trabalhar com os seguintes materiais:

•

material definido pelo usuário;

•

aço estrutural laminado, segundo o EN 1994-1-2:2005;

•

aço estrutural trefilado, segundo o EN 1994-1-2:2005;

•

concreto de densidade normal com 0%, 2%, 4%, 6%, 8% e 10% de umidade,

segundo o EN 1994-1-2:2005;

•

concreto de baixa densidade, segundo o EN 1994-1-2:2005;

•

ISOBRAX, segundo informações do fabricante (FAKURY e RIBEIRO, 2005);

•

Blaze Shield II, segundo SILVA (2001);

•

concreto celular autoclavado, segundo catálogo do fabricante (SICAL);

•

placas de vermiculita, segundo MARTINS (2000);

•

ar atmosférico, segundo INCROPERA (1992).

Na opção “material definido pelo usuário”, o programa permite que as propriedades do

material (massa específica, calor específico, condutividade térmica, alongamento

térmico, coeficiente de redução do módulo de elasticidade com a temperatura e

coeficiente de redução da resistência com a temperatura) sejam fornecidas por meio de

tabelas: temperatura × valor da propriedade. Para valores intermediários aos fornecidos

na tabela, o programa faz interpolação linear.

166

Os demais materiais permitidos pelo programa já possuem suas propriedades

equacionadas internamente no programa, conforme as referências citadas.

5.3.2.3

- Elementos finitos previstos

O programa Thersys 2.0 utiliza elementos finitos isoparamétricos dos tipos:

•

bidimensionais, em análises mecânicas de estado plano de tensões, estado plano

de deformações e análises térmicas planas;

•

tridimensionais, em análises térmicas, mecânicas e termomecânicas (simulação

de incêndio) de estruturas espaciais (3D).

A TAB.5.1 ilustra os elementos previstos pelo Thersys 2.0, bem como o número de

pontos de Gauss possíveis no domínio e no contorno dos elementos. Entre parênteses, é

mostrado o número padrão de pontos de Gauss adotado pelo programa para cada

elemento finito.

5.3.2.4

- Condição inicial

Em análises térmicas e termomecânicas, o programa admite como condição inicial um

único valor de temperatura prescrita em todo o domínio no início da análise

(tempo t = 0). Essa condição é dada pela Eq.3.14.

5.3.2.5

- Condições de contorno mecânicas

O programa Thersys 2.0 permite a modelagem de restrições nodais ao deslocamento nas

direções globais X, Y e Z em análises mecânicas e termomecânicas.

O ambiente de modelagem no GID permite que as restrições nodais sejam aplicadas em

nós, superfícies e volumes. Assim, na etapa de geração da malha de elementos finitos,

as condições aplicadas nas superfícies e volumes são transferidas para os nós dos

elementos pertencentes a essas entidades.

167

TABELA 5.1 – Elementos finitos previstos pelo Thersys 2.0

Denominação

Pontos de

Gauss no

domínio

Pontos de

Gauss no

contorno

Esquema

Elemento triangular lagrangiano

de 3 nós

1, 3 ou 4

(3)

1, 2 ou 3

(1)

Elemento triangular serendíptico

de 6 nós

1, 3 ou 4

(3)

1, 2 ou 3

(2)

Elemento quadrilateral lagrangiano

de 4 nós

4 ou 9

(4)

2 ou 3

(2)

Elemento quadrilateral serendíptico

de 8 nós

4 ou 9

(9)

2 ou 3

(3)

Elemento quadrilateral lagrangiano

de 9 nós

4 ou 9

(9)

2 ou 3

(3)

Elemento tetraédrico lagrangiano

de 4 nós

1, 4 ou 5

(4)

1, 3 ou 4

(1)

Elemento tetraédrico serendíptico

de 10 nós

1, 4 ou 5

(4)

1, 3 ou 4

(3)

Elemento hexaédrico lagrangiano

de 8 nós

8 ou 27

(8)

4 ou 9

(4)

Elemento hexaédrico serendíptico

de 20 nós

8 ou 27

(27)

4 ou 9

(9)

168

5.3.2.6

- Carregamentos

Os carregamentos podem ser aplicados no modelo de elementos finitos nas direções

globais X, Y e Z. O Thersys 2.0 permite três tipos básicos de carregamentos:

•

aplicação de forças diretamente nos nós;

•

aplicação de forças distribuídas em superfícies;

•

aplicação de peso próprio (forças distribuídas em volumes).

A aplicação de forças nos nós exige basicamente a informação da direção (X, Y ou Z) e

da intensidade. Já as forças devido o peso próprio são desenvolvidas em função do vetor

da aceleração da gravidade e da massa específica dos materiais.

As forças distribuídas em superfícies podem apresentar três tipos de variação, conforme

a FIG.5.2:

•

constante: nesse caso basta informar a direção da força distribuída (X, Y ou Z) e

a sua intensidade F1;

•

linear: deve-se informar a direção da força distribuída (X, Y ou Z), os pontos de

controle P1 e P2, e a intensidade da força distribuída nos pontos de controle F1 e

F2, respectivamente;

•

parabólica: é necessário informar a direção da força distribuída (X, Y ou Z), os

pontos de controle P1 e P2 e a intensidade máxima dessa força no ponto médio

entre P1 e P2.

(a) Constante (b) Linear

FIGURA 5.2 – Tipos de forças distribuídas em superfícies

169

5.3.2.7

- Condições de contorno térmicas

O programa admite quatro formas distintas de condições de contorno térmicas:

•

nós com temperatura prescrita, segundo a Eq.3.15;

•

superfícies com fluxo de calor prescrito, segundo a Eq.3.16;

•

superfícies com troca de calor por convecção e radiação, segundo a Eq.3.32;

•

geração de calor interno, atuando no domínio do elemento, segundo a Eq.3.10.

Para a condição de troca de calor por convecção e radiação, citada na interface do

programa como “condição de exposição térmica”, são possíveis quatro combinações:

•

Incêndio (EN): a troca de calor ocorre por radiação e por convecção forçada com

o coeficiente convectivo fixo (conforme o EN 1991-1-2:2002) entre a superfície

e os gases quentes do incêndio;

•

Incêndio (Ghojel): a troca de calor ocorre por radiação e por convecção forçada

com o coeficiente convectivo variável (segundo o modelo de GHOJEL, 1998)

entre a superfície e os gases quentes do incêndio;

•

Arrefecimento (EN): a troca de calor ocorre por radiação e por convecção

natural com o coeficiente convectivo fixo (conforme o EN 1991-1-2:2002) entre

a superfície e o ar ambiente;

•

Arrefecimento (Ribeiro): a troca de calor ocorre por radiação e por convecção

natural com o coeficiente convectivo variável (conforme a regressão apresentada

na FIG.3.6) entre a superfície e o ar ambiente. Essa condição de contorno é

influenciada pelo ângulo entre a normal da superfície e o vetor da aceleração da

gravidade.

O programa Thersys 2.0 considera que o ar ambiente possui sempre a temperatura dada

na condição inicial, independente do tempo. Para as condições de incêndio, o programa

considera a temperatura dos gases quentes por meio da curva de incêndio selecionada.

170

5.3.2.8

- Métodos de solução dos sistemas de equações

No desenvolvimento do programa Thersys 2.0, procurou-se otimizar o desempenho do

algoritmo de solução, visto ser o ponto de maior uso de processamento computacional.

Dessa forma, o programa armazena as matrizes de rigidez em skyline e possibilita a

solução do sistema de equações pelos métodos:

•

Fatorização de Cholesky;

•

Método de Gauss-Seidel;

•

Método dos Gradientes Conjugados Pré-Condicionado.

Caso seja utilizado um dos métodos iterativos, deve-se informar qual o nível de precisão

desejada. Em análises térmicas, o método recomendado e o nível de precisão

(tolerância) para cada tipo de problema constituem assuntos já tratados em 3.4.6.

No entanto, para as análises mecânicas e análises termomecânicas realizadas neste

trabalho, observou-se que os algoritmos iterativos freqüentemente exigem muitas

iterações para se atingir o nível de tolerância requerido pelo algoritmo de solução do

problema termomecânico. Adicionalmente, em problemas com fortes não-linearidades

materiais ou geométricas, pode haver não-convergência do algoritmo de solução.

Assim, no presente trabalho utilizou-se sempre a fatorização de Cholesky para solução

das análises termomecânicas, ficando a verificação de melhores métodos de solução

como sugestão para desenvolvimentos futuros.

5.3.2.9

- Algoritmo de solução do problema termomecânico não-linear

O algoritmo empregado para solução do problema incremental utilizado como base das

análises mecânicas e termomecânicas é o Newton-Raphson com incrementos fixos de

carga/tempo, já comentado no capítulo 4. Adicionalmente, o algoritmo também conta

com as ferramentas de corte automático do incremento de carga/tempo.

A estruturação do programa Thersys 2.0 permite a futura implementação do algoritmo

de solução arc-length para fins de pesquisa. No entanto, conforme discutido no

capítulo 4, tal algoritmo não foi empregado no presente trabalho.

171

5.3.3

- Comunicação entre os programas Thersys 2.0 e GID

O programa Thersys 2.0 foi desenvolvido para trabalhar em conjunto com o pré e pós-

processador gráfico GID (CIMNE, 2004). A interação entre esses dois programas ocorre

por meio do problem type, criado neste trabalho com o objetivo de manusear os dados

necessários à análise termomecânica, como ilustrado na FIG.5.3.

GID

Pré-processador

Arquivos de

dados

Thersys 2.0

Processador

Arquivos de

resultados

GID

Pós-processador

.mat

Definição dos materiais

.prb

Definição dos dados

gerais do problema

.cnd

Definição das condições

de contorno

.geo

Definição dos símbolos

das condições de contorno

.sim

Associação dos símbolos

às condições de contorno

.bas

Formatação para gerar

o arquivo de dados

.bat

Shell do sistema operacional

para carregar o Thersys

.tcl

Códigos para otimização

da interface em TCL-TK

Thersys – Problem Type

.mat

Definição dos materiais

.prb

Definição dos dados

gerais do problema

.cnd

Definição das condições

de contorno

.geo

Definição dos símbolos

das condições de contorno

.sim

Associação dos símbolos

às condições de contorno

.bas

Formatação para gerar

o arquivo de dados

.bat

Shell do sistema operacional

para carregar o Thersys

.tcl

Códigos para otimização

da interface em TCL-TK

Thersys – Problem Type

.txt

nome.txt

Informações gerais da análise

.post

.res

nome.post.res

Resultados nodais da malha

-GRAF

.txt

nome-GRAF.txt

Gráfico do resultado selecionado

.err

nome.err

Mensagens de erros ocorridos

Arquivos de resultados

.txt

nome.txt

Informações gerais da análise

.post

.res

nome.post.res

Resultados nodais da malha

-GRAF

.txt

nome-GRAF.txt

Gráfico do resultado selecionado

.err

nome.err

Mensagens de erros ocorridos

Arquivos de resultados

.sol

.dat

nome.dat

Arquivo de dados da análise

nome.sol

Arquivo temporário para

reinício da análise

FIGURA 5.3 – Interação entre o Thersys 2.0 e o GID por meio do problem type

O problem type consiste em um conjunto de arquivos que o GID utiliza para

personalizar a modelagem, definindo os dados do problema, os materiais, as condições

de contorno e demais parâmetros necessários para a modelagem. No problem type

também são definidos os símbolos que são associados às condições de contorno, para

facilitar a visualização do modelo, bem como rotinas em linguagem TCL-TK para

melhorar a manipulação das janelas, efetuar leitura e gravação de tabelas em arquivos e

outras operações mais complexas (arquivos “.tcl”).

172

O fluxo de utilização dos programas ocorre na seguinte seqüência: com o modelo bi ou

tridimensional pronto, os materiais definidos e as condições de contorno aplicadas,

efetua-se no GID a geração da malha de elementos finitos. Após essa operação, o GID

pode gerar um arquivo de dados que será lido pelo Thersys 2.0. O formato desse arquivo

de dados também é definido pelo problem type, estando parametrizado no arquivo “.bas”.

Através do comando calculate, o GID executa as rotinas prescritas no arquivo “.bat”

que concluem por carregar o programa Thersys 2.0, orientando esse a ler o arquivo de

dados, efetuar a análise e gerar os arquivos de resultados. Ao término da análise, o GID

automaticamente muda para o modo de pós-processamento, procedendo à leitura dos

arquivos de resultados.

No item a seguir são mostradas as telas de interface do Thersys 2.0 com o usuário.

Como já discutido, essas telas são providas pelo problem type desenvolvido para o GID.

5.3.4

- Interface com o usuário

Ao iniciar o programa Thersys 2.0 dentro do ambiente do GID, o programa exibe a tela

de abertura mostrada na FIG.5.4.

FIGURA 5.4 – Tela de abertura do programa Thersys 2.0

173

Na tela principal do GID, mostrada na FIG.5.5, o problem type disponibiliza o menu

Thersys, com todas as funções necessárias para a modelagem de problemas térmicos,

mecânicos e termomecânicos (simulação de incêndio) via programa Thersys 2.0.

FIGURA 5.5 – Tela principal do GID com o menu Thersys

O menu Dados gerais aciona a tela mostrada na FIG.5.6, na qual pode-se editar a

identificação da análise, escolher o tipo de análise, ajustar a necessidade ou não de gerar

o arquivo de reinício e configurar o vetor da aceleração da gravidade.

FIGURA 5.6 – Tela de entrada dos dados gerais da análise

174

O menu Análise mecânica permite o acesso à tela apresentada na FIG.5.7. Essa tela é

responsável pelas configurações da análise mecânica, tais como a seleção da formulação

para deformações, consideração do peso próprio dos materiais, seleção do algoritmo de

solução não-linear, seleção do algoritmo de solução do sistema de equações mecânicas e

ajuste dos critérios de parada da análise.

FIGURA 5.7 – Tela de configuração da análise mecânica

O menu Análise térmica mostra a tela da FIG.5.8, onde o usuário pode ajustar os

seguintes parâmetros da análise térmica: curva de incêndio, temperatura inicial,

tolerância do algoritmo não-linear, algoritmo de solução do sistema de equações

térmicas e parâmetros temporais da análise térmica, tal como o esquema de integração.

O botão de seleção da curva de incêndio permite o acesso à tela da FIG.5.9, na qual é

possível selecionar a curva de incêndio a ser utilizada na análise, dentre as apresentadas

no subitem 5.3.2.1. A opção “incêndio definido pelo usuário” coloca a tabela na lateral

esquerda da tela no modo de edição, sendo possível a entrada de uma curva genérica por

meio dos valores tempo × temperatura dos gases.

175

FIGURA 5.8 – Tela de configuração da análise térmica

FIGURA 5.9 – Tela de seleção da curva de incêndio

o se escolher uma curva de

incêndio diferente de “incêndio

definido pelo usuário”, essa

tabela permanece desabilitada.

176

Para definição dos materiais, o GID utiliza a tela mostrada na FIG.5.10. Nessa tela é

possível criar, apagar e modificar os materiais do modelo. Para cada material, pode-se

definir o tipo de material (conforme o subitem 5.3.2.2), o modelo matemático do

comportamento mecânico (critério de escoamento), a espessura (para problemas 2D) e

as demais propriedades mecânicas.

FIGURA 5.10 – Tela de seleção dos materiais

Para o modelo matemático de Drucker-Prager, pode-se ajustar os parâmetros com o

critério de Mohr-Coulomb. Para tal, o botão “

,c” propicia o acesso à tela mostrada na

FIG.5.11, onde o programa converte ângulo de atrito e coesão em tensões limites.

FIGURA 5.11 – Tela de ajuste do modelo de Drucker-Prager

177

As propriedades dos materiais que variam com a temperatura (massa específica, calor

específico, condutividade, alongamento, coeficiente de redução da rigidez e coeficiente

de redução da resistência) podem ser editadas por meio dos botões na base da tela

mostrada na FIG.5.10. Acionando-se esses botões, uma tela semelhante à apresentada

na FIG.5.12 é mostrada, exibindo o comportamento da propriedade com a temperatura.

Se o tipo de material for “definido pelo usuário”, a tabela à esquerda da FIG.5.12 é

habilitada e o usuário pode então digitar o valor da propriedade com a temperatura.

FIGURA 5.12 – Tela de edição das propriedades dos materiais

Com relação às condições de contorno mecânicas, o menu Restrições nodais permite o

acesso à tela mostrada na FIG.5.13, onde o usuário pode aplicar restrições nas direções

globais X, Y e/ou Z em nós, superfícies e volumes do modelo.

O menu Carregamentos exibe as telas mostradas na FIG.5.14, para carregamentos

nodais, e na FIG.5.15, para carregamentos distribuídos. Em ambos os casos, deve-se

sempre informar a direção global da força, X, Y ou Z. Para forças distribuídas, é

necessário informar também o tipo de variação da força, as intensidades envolvidas com

o tipo de variação e os pontos de controle, cujas coordenadas podem ser obtidas

diretamente do modelo no GID. O subitem 5.3.2.6 apresenta maiores informações.

Se o tipo de material não for

“definido pelo usuário”, essa tabela

permanece desabilitada. Nesse

caso, o gráfico ao lado representa a

propriedade do material selecionado

na FIG.5.10 (concreto normal 4%).

178

FIGURA 5.13 – Tela de definição das restrições nodais

FIGURA 5.14 – Tela de definição dos carregamentos nodais

FIGURA 5.15 – Tela de definição dos carregamentos distribuídos

179

Com relação às condições de contorno térmicas, as telas do Thersys 2.0 que permitem

suas definições são acionadas pelos menus Temperaturas prescritas e Condições

térmicas, mostradas na FIG.5.16 e descritas a seguir:

a) temperatura prescrita: é aplicável nos nós (2D e 3D), em linhas (2D e 3D) e em

superfícies (apenas 3D).

b) exposição térmica: é aplicável em linhas (2D) e em superfícies (3D). Os tipos

possíveis de exposição térmica foram discutidos no subitem 5.3.2.7.

c) fluxo de calor prescrito: é aplicável em linhas (2D) e em superfícies (3D).

d) geração de calor: é aplicável em superfícies (2D) e em volumes (3D).

(a) Temperaturas prescritas (b) Exposição térmica

FIGURA 5.16 – Telas de definição das condições de contorno térmicas

180

Com relação aos resultados das análises, o Thersys 2.0 permite que o usuário selecione

aqueles de interesse para serem gravados, durante e ao final do processamento, por meio

do menu Resultados gerais, conforme a FIG.5.17. Nessa tela, o usuário também pode

configurar a apresentação das informações da análise no arquivo “.txt” (ver FIG.5.3).

Quando se deseja visualizar o deslocamento de um nó durante a evolução de uma

análise, pode-se utilizar o menu Resultados específicos para selecionar o nó em questão,

conforme a FIG.5.18. O gráfico é registrado no arquivo “-

GRAF.txt” (ver FIG.5.3).

FIGURA 5.17 – Tela de seleção dos resultados gerais

FIGURA 5.18 – Tela de seleção de um resultado específico

181

Ao se iniciar uma análise no Thersys 2.0, seja por meio de uma chamada do programa

GID ou para uma análise independente do pré/pós processador, o programa exibe a tela

mostrada na FIG.5.19. Nessa tela, as informações da análise em processamento são

divididas em quatro grupos: dados gerais da análise, informações sobre o

processamento, informações relativas ao comportamento mecânico e informações

relativas à análise térmica. Nessa tela também é possível acompanhar a evolução do

deslocamento do nó selecionado no menu Resultado específico por meio do gráfico

deslocamento × tempo de incêndio.

FIGURA 5.19 – Tela de monitoramento da análise

182

5.3.5

- Estruturação do programa Thersys 2.0 em classes

O programa Thersys 2.0 foi desenvolvido na linguagem Delphi utilizando-se o conceito

de programação orientada a objeto, visando a modularidade, a reusabilidade e novos

desenvolvimentos do código (PRESSMAN, 1995). A linguagem Delphi foi escolhida

por ser de alto nível (próxima à linguagem humana), por ter grandes facilidades para

desenvolvimento da interface e por permitir a programação orientada a objeto.

A FIG.5.20 ilustra as relações funcionais entre as classes básicas que compõem o

programa Thersys 2.0. O núcleo do programa corresponde à classe TMain, responsável

por gerenciar as análises: leitura do arquivo de dados, acionamento das análises por

incrementos, acionamento da gravação de resultados e interface com o usuário. A classe

TMain comunica inicialmente com as classes TMaterial e TMesh no processo de leitura

do arquivo de dados. Durante a análise, a classe TMain comunica-se com as classes

TThermic e TMechanic (análises) e com a classe TResult (gravação de resultados).

TMechanic

TThermic

Driver para solução

de problemas

térmicos

TSolver TModel TIsoFunc

TMaterial

TFire

TShape TMesh

TResult

Interface para

gravação de

resultados

Biblioteca de funções

isotrópicas de

tensores simétricos

Biblioteca de

curvas de

incêndio

Biblioteca de

integradores de

relações constitutivas

Biblioteca de

algoritmos de solução de

sistemas de equações

TMain

Gerenciador da

biblioteca de

elementos finitos

Driver para solução

de problemas

mecânicos

Gerenciador da

biblioteca de

materiais

Interface de

armazenamento

de dados

da malha

Gerenciador de

análises e interface

com o usuário

FIGURA 5.20 – Relações funcionais entre as classes que compõem o Thersys 2.0

183

A classe TResult é responsável por efetuar a geração de todos os arquivos de resultados

da análise, conforme mostrado na FIG.5.3. O padrão utilizado por essa classe

corresponde ao formato usado pelo GID. A geração de um novo formato de resultados

pode ser feita derivando-se uma nova classe a partir de TResult e sobrescrevendo-se o

método SaveRes. Essa classe também é responsável pela gravação do arquivo “.sol” que

habilita o reinício da análise após uma interrupção qualquer.

A classe TThermic corresponde ao núcleo da análise térmica, sendo a classe que

gerencia todos os dados e coeficientes relativos ao problema térmico, faz o cálculo de

todas as matrizes térmicas e vetores de fluxos nodais e faz a montagem do sistema de

equações para cálculo das temperaturas e fluxos de calor nodais.

Durante a análise térmica, a classe TThermic comunica-se com as classes: TFire,

responsável por fornecer a temperatura dos gases do incêndio; TSolver, responsável pela

solução do sistema de equações; TShape, responsável pelo cálculo das funções de forma

dos elementos finitos e suas derivadas; TMaterial, responsável por fornecer as

propriedades térmicas dos materiais do modelo; e TMesh, responsável por fornecer as

coordenadas nodais, incidência dos elementos e as condições de contorno térmicas.

A classe TMechanic é o núcleo da análise mecânica, responsável por gerenciar todos os

parâmetros e incrementos de carga relativos ao problema mecânico, por efetuar o

cálculo da matriz de rigidez tangente, do vetor de forças nodais, do sistema de equações

para cálculo dos deslocamentos, e por efetuar o cálculo das deformações, tanto em

regime linear quanto em regime não-linear geométrico.

Na análise mecânica, a classe TMechanic comunica-se com as classes: TSolver,

responsável pela solução do sistema de equações; TModel, responsável pelo cálculo das

relações constitutivas dos materiais e pelo cálculo das tensões e deformações plásticas;

TIsoFunc, responsável pelo cálculo das derivadas dos tensores isotrópicos; TShape,

responsável pelo cálculo das funções de forma dos elementos finitos e suas derivadas;

TMaterial, responsável por fornecer as propriedades mecânicas dos materiais em função

da temperatura; e TMesh, responsável por gerenciar as coordenadas nodais,

deslocamentos nodais, incidência dos elementos e as condições de contorno mecânicas.

184

A classe TShape é responsável pelo gerenciamento das classes relativas aos vários tipos

de elementos finitos, derivados da classe principal TFEShape, conforme a FIG.5.21. A

classe TFEShape estabelece os parâmetros básicos para definição dos elementos e para

interface com os demais objetos que compõem o programa.

As classes TFETriangle, TFEQuadrilateral, TFETetrahedra e TFEHexahedra são

derivadas da classe TFEShape e contêm as tabelas de pontos de Gauss, formulação de

cálculo do Jacobiano e das derivadas cartesianas para cada tipo de elemento. As classes

derivadas TFET3, TFET6, TFEQ4, ..., TFEHE20 contêm as funções de forma e as

derivadas locais do elemento finito isoparamétrico em questão.

TFEShape

TFETriangle

TFEQuadrilateral

TFETetrahedra

TFEHexahedra

Biblioteca de

elementos

triangulares (2D)

Biblioteca de

elementos

quadrilaterais (2D)

Biblioteca de

elementos

tetraédricos (3D)

Biblioteca de

elementos

hexaédricos (3D)

Biblioteca de

elementos

finitos

isoparamétricos

TShape

Gerenciador da

biblioteca de

elementos finitos

TFET3

TFET6

TFEQ4

TFEQ8

TFEQ9

TFETE4

TFETE10

TFEHE8

TFEHE20

Elemento triangular

de 3 nodos

Elemento quadrilateral

de 9 nodos

Elemento quadrilateral

de 8 nodos

Elemento quadrilateral

de 4 nodos

Elemento triangular

de 6 nodos

Elemento tetraédrico

de 4 nodos

Elemento hexaédrico

de 20 nodos

Elemento hexaédrico

de 8 nodos

Elemento tetraédrico

de 10 nodos

Relação de herança

(classes derivadas)

Relação funcional

Relação de herança

(classes derivadas)

Relação funcional

FIGURA 5.21 – Classe TFEShape e classes derivadas

185

A classe TMaterial é responsável pelo gerenciamento das classes relativas aos vários

tipos de materiais, derivadas da classe principal TLBMaterial, conforme a FIG.5.22. A

classe TLBMaterial estabelece as propriedades que todos materiais devem ter, bem

como os parâmetros de interface com as demais classes do Thersys 2.0.

As classes derivadas de TLBMaterial contêm as equações das propriedades que variam

com a temperatura para cada tipo de material: massa específica, calor específico,

condutividade, alongamento, coeficiente de redução da rigidez com a temperatura e

coeficiente de redução da resistência com a temperatura. As demais propriedades, como

o módulo de Young, coeficiente de Poisson, módulo de rigidez tangente, resistência à

tração e compressão uniaxial, são configuráveis para todas as classes na fase de leitura

do arquivo de dados. Para os materiais definidos pelo usuário, derivados de TLBUser, a

classe TSpline é requerida para gerenciar as tabelas das propriedades × temperatura.

TLBMaterial

TLBUser

Material definido pelo usuário

Biblioteca de

equações de

materiais

TLBSteelLam

Aço laminado EN1994-1-2:2005

TLBSteelTref

Aço trefilado EN1994-1-2:2005

TLBConcNorm

Concreto de densidade normal EN1994-1-2:2005

TLBConcLight

Concreto de baixa densidade EN1994-1-2:2005

TLBBlazeShield

Blaze Shield II (SILVA, 2001)

TLBConcCel

Concreto celular autoclavado (SICAL)

TLBVermPlate

Placa de vermiculita (MARTINS, 2000)

TLBAirAtm

Ar atmosférico (INCROPERA, 1992)

Gerenciador da biblioteca de materiais

TSpline

Curvas das

propriedades x temperatura

Relação de herança

(classes derivadas)

Relação funcional

Relação de herança

(classes derivadas)

Relação funcional

TMaterial

FIGURA 5.22 – Classe TLBMaterial e classes derivadas

186

A classe TFire é utilizada em análises térmicas para gerenciar a curva de incêndio

empregada na análise. O Thersys 2.0 contém 19 curvas de incêndio já implementadas

(subitem 5.3.2.1), sendo classes derivadas de TFire. Adicionalmente, o programa tem

disponível a classe TFireUser, que corresponde a uma curva de incêndio definida pelo

usuário. A classe TFireUser utiliza a classe TSpline para gerenciar a tabela da

temperatura dos gases × tempo de incêndio.

TFire

TFireUser

TFireOddenTest

Incêndio definido pelo usuário

Incêndio Odden Test (Barnett)

Biblioteca de

curvas de

incêndio

TFireHidrocarbon

TFireExternal

Incêndio hidrocarbonetos EN1991-1-2:2002

Incêndio est. Externa EN1991-1-2:2002

TFireCarTest

Incêndio Car Test (Barnett)

TFireSwedishD2

Incêndio Swedish Test D2 (Barnett)

TFireEBSD2

Incêndio EBS Test D2 (Barnett)

TFireJFROTestR

Incêndio JFRO Test R (Barnett)

TFireEBS9

Incêndio EBS Test 9 (Barnett)

TFireEBS16

Incêndio EBS Test 16 (Barnett)

TFireCIBW14a

Incêndio CIB / W14 (a) (Barnett)

TFireCIBW14b

Incêndio CIB / W14 (b) (Barnett)

TFireCTICM35

Incêndio CTICM Test 35 (Barnett)

TFireCTICM63

Incêndio CTICM Test 63 (Barnett)

TFireCardington2

Incêndio Cardington Test 2 (Barnett)

TFireCardington5

Incêndio Cardington Test 5 (Barnett)

TFireCardington6

Incêndio Cardington Test 6 (Barnett)

TFireCardington7

Incêndio Cardington Test 7 (Barnett)

TFireJFROTestQ

Incêndio JFRO Test Q (Barnett)

TSpline

Curva temperatura x tempo

TFireStandard

Incêndio padrão EN1991-1-2:2002

Relação de herança

(classes derivadas)

Relação funcional

Relação de herança

(classes derivadas)

Relação funcional

FIGURA 5.23 – Classe TFire e classes derivadas

187

Tanto para análises térmicas (TThermic) quando para análises mecânicas (TMechanic),

o Thersys 2.0 utiliza a classe TSolver para gerenciamento do sistema de equações na

forma skyline e solução dos sistemas de equações. Existem três métodos de solução

disponíveis no programa que foram implementados em classes derivadas de TSolver,

conforme mostra a FIG.5.24: Método de Cholesky, Método de Gauss-Seidel e Método

dos Gradientes Conjugados Pré-Condicionado. A utilização desses métodos já foi

discutida nos capítulos 3 e 4.

TSolver TSLVCholesky

Método de Cholesky

Biblioteca de

algoritmos de solução de

sistemas de equações

TSLVGaussSeidel

Método de Gauss-Seidel

TSLVGradConj

Método dos Gradientes Conjugados Pré-Condicionado

FIGURA 5.24 – Classe TSolver e classes derivadas

Em análises mecânicas, o cálculo das relações constitutivas dos diversos materiais, das

tensões e das deformações plásticas (algoritmo de integração de Backward-Euler) é

disponibilizado pela classe TModel, mostrada na FIG.5.25. O Thersys 2.0 conta com

três modelos de materiais já implementados: Modelo de Hencky, elástico; Modelo de

von Mises, elasto-plástico independente da tensão média; e Modelo de Drucker-Prager,

elasto-plástico dependente da tensão média. O modelo de Drucker-Prager permite o

ajustamento com o modelo de Mohr-Coulomb na rotina TModelDP.Create(adjust). A

variável adjust pode assumir os quatro tipos de ajustes discutidos no subitem 4.4.2.2.

TModel TModelElast

Modelo de Hencky (elástico)

Biblioteca de

integradores de relações

constitutivas

TModelVM

Modelo de von Mises (elasto-plástico)

TModelDP

Modelo de Drucker-Prager (elasto-plástico)

FIGURA 5.25 – Classe TModel e classes derivadas

188

Ainda em análises mecânicas, o cálculo de autovalores, autovetores, autoprojeções e das

derivadas dos tensores isotrópicos, utilizados para a obtenção da matriz constitutiva

tangente espacial (algoritmo de grandes deformações), é feito pela classe TIsoFunc.

Essa classe apresenta duas classes derivadas, conforme mostrado na FIG.5.26:

TIsoFunc2D, com as rotinas adaptadas para análise mecânica bidimensional; e

TIsoFunc3D, com as rotinas adaptadas para análise mecânica tridimensional.

TIsoFunc

TIsoFunc2D

Funções isotrópicas para tensores 2D

Biblioteca de funções

isotrópicas de

tensores simétricos

TIsoFunc3D

Funções isotrópicas para tensores 3D

FIGURA 5.26 – Classe TIsoFunc e classes derivadas

Com relação às tabelas utilizadas pelo programa Thersys 2.0 por meio das classes

TFireUser e TLBUser, cabe ressaltar que a classe TSpline foi desenvolvida de modo a

realizar interpolações lineares, visto apresentar o melhor funcionamento no caso de

funções descontínuas (como ocorre com o calor específico dos materiais).

CAPÍTULO 6 -

Estudos de Caso e Validação do Thersys 2.0

ESTUDOS DE CASO E VALIDAÇÃO DO THERSYS 2.0

6.1 - Generalidades

Este capítulo apresenta os modelos analisados neste trabalho, envolvendo várias

geometrias, materiais e condições de contorno. Os resultados obtidos pela análise

numérica por meio do programa Thersys 2.0 são comparados com resultados

disponíveis na literatura e com aqueles obtidos pelos procedimentos prescritos no EN

1992-1-2:2004, EN 1993-1-2:2005 e EN 1994-1-2:2005, visando validar o programa

Thersys 2.0 e demonstrar a sua aplicabilidade.

De modo geral, com exceção dos casos explicitamente discutidos, as seguintes

considerações foram adotadas em todos os modelos:

•

Nas análises térmicas e termomecânicas, utilizou-se a curva de incêndio-padrão

dada pelo EN 1991-1-2:2004;

•

Nas faces com convecção forçada (incêndio) utilizou-se o coeficiente de troca de

calor por convecção

igual a 25 W/m² ºC e, nas faces com convecção natural

190

(arrefecimento), adotou-se

conforme a FIG.3.6. A emissividade resultante

(

res

) utilizada nas análises é discutida separadamente para cada situação;

•

Utilizou-se o esquema de Galerkin (

= 2/3) para integração temporal, conforme

o subitem 3.4.5, com uma tolerância

perc

de 0,001 e

abs

de 10

-6

ºC, segundo o

subitem 3.4.6.2;

•

Os materiais utilizados nas análises têm suas propriedades variáveis com a

temperatura determinadas segundo o subitem 2.4.2 e conforme as prescrições

das normas EN 1992-1-2:2004, EN 1993-1-2:2005 e EN 1994-1-2:2005;

•

Nas análises mecânicas e termomecânicas, utilizou-se sempre a formulação para

grandes deformações (não-linearidade geométrica) apresentada neste trabalho. O

peso próprio dos materiais não foi considerado nas análises;

•

Utilizou-se o algoritmo de Newton-Raphson com incrementos fixos e corte

automático do incremento de carga para solução do problema mecânico não-

linear. A tolerância

tol

utilizada foi de 10

-5

;

•

Na discretização dos modelos, foram utilizados elementos quadrilaterais de 4

nós com integração de ordem 2 × 2 para problemas térmicos bidimensionais;

•

Para problemas mecânicos e termomecânicos tridimensionais, foram utilizados

na discretização dos modelos elementos tetraédricos de 4 nós com integração de

ordem 4 e, em alguns casos, utilizaram-se elementos hexaédricos de 8 nós com

integração de ordem 2 × 2 × 2;

•

Considerando-se que o maior modelo analisado neste trabalho possui 14851 nós,

optou-se por utilizar o Método de Cholesky para solução do sistema de equações

em todas as análises;

•

Nas análises que compreendem elementos estruturais mistos de aço e concreto,

adotou-se interação completa entre os dois materiais;

191

•

O tempo de processamento de cada análise foi obtido utilizando-se um

computador Pentium 4 com velocidade de 3,20 GHz, com 2,0 GB de memória

RAM e com disco rígido tipo SATA com capacidade de 149 GB.

Nas figuras mostradas neste capítulo, todas as cotas são dadas em milímetros.

Adicionalmente, adotou-se a convenção de símbolos mostrada na TAB.6.1.

TABELA 6.1 – Convenção de símbolos adotada nas figuras

Símbolo Definição

Face exposta ao incêndio

Face com arrefecimento

Deslocamento restringido

Carregamento

Tempo de processamento



Tempo máximo de incêndio obtido na simulação

FAD Fator de ampliação dos deslocamentos

Com relação às malhas de elementos finitos dos modelos, utilizou-se como “semente”

para o algoritmo de geração de malhas do GID o valor de 10 mm para elementos de aço

e 50 mm para elementos de concreto. Esses valores correspondem à dimensão máxima

do maior lado de um elemento, sendo obtidos por meio de refinamento gradual das

malhas utilizadas (teste de malha), conforme o subitem 3.4.5.2.

O número de elementos utilizado nas análises, que será apresentado a seguir para cada

estudo de caso, corresponde ao nível de refinamento que forneceu variações na

distribuição de temperatura menores que 5 ºC e que não promoveu alterações

significativas na carga crítica (plastificação ou flambagem), para análises mecânicas, ou

na capacidade resistente do modelo ao incêndio, para análises termomecânicas.

192

6.2 - Análise Térmica

Conforme discutido no subitem 5.3, o algoritmo de análise térmica utilizado neste

trabalho foi implementado e validado por RIBEIRO (2004). Assim, análises adicionais

para validação dessa implementação não são necessárias. Apenas a título de ilustração,

será apresentado a seguir o resultado da análise térmica de um pilar misto submetido a

uma curva de incêndio não padronizada.

6.2.1

- Pilar misto em perfil I totalmente revestido por concreto

HUANG et al. (2007) analisaram um pilar misto constituído por um perfil I laminado

UC 152x152x37 revestido por uma seção de concreto de 300x300 mm². A temperatura

dos gases do incêndio tem duas fases ascendentes: de 0 a 35 minutos, variando de 20ºC

a 200ºC, e de 120 a 195 minutos, variando de 200ºC a 700ºC. Posteriormente, os gases

continuam com um leve aumento de temperatura, chegando a 420 minutos com 800 ºC.

Esse modelo foi analisado no programa Thersys 2.0 utilizando-se um intervalo de tempo

∆t de 60 segundos. As temperaturas obtidas foram comparadas com os valores obtidos

experimentalmente por Huang et al. no ponto A do perfil de aço. As dimensões e a

malha de elementos finitos do modelo são mostradas na FIG.6.1.

1241 nós

1176 elems

0:00:29

162

154

8,04

11,5

300

R 7,61

· A

FIGURA 6.1 – Dimensões e discretização do pilar misto

193

Ressalta-se que, na análise térmica realizada, o concreto foi considerado com umidade

de 8% do peso do concreto (valor utilizado por Huang et al. em simulações numéricas).

A FIG.6.2 ilustra as temperaturas obtidas para o tempo de 420 minutos de incêndio,

considerando-se uma emissividade resultante de 0,5 e de 0,7.

(a)

res

= 0,5

(b)

res

= 0,7

FIGURA 6.2 – Temperaturas obtidas na análise térmica (420 minutos)

A FIG.6.3 mostra a curva de incêndio e a evolução das temperaturas obtidas pelo

Thersys 2.0, bem como a temperatura obtida experimentalmente. A maior diferença

entre as temperaturas é de +8,2%, para

res

de 0,5, e de +10,6%, para

res

de 0,7.

100

200

300

400

500

600

700

800

0 60 120 180 240 300 360 420 480

Tempo de incêndio (min)

Temperatura (ºC)

Temperatura dos gases

Thersys 2.0 ( = 0,7)

Thersys 2.0 ( = 0,5)

Resultados de ensaio

res

FIGURA 6.3 – Comparação das temperaturas entre o Thersys 2.0 e o ensaio

194

6.3 - Análise Mecânica

Os exemplos mostrados a seguir foram elaborados com o objetivo de validar a

implementação do algoritmo de análise mecânica do Thersys 2.0, bem como demonstrar

a potencialidade do programa.

6.3.1

- Flambagem de um pilar de aço em perfil I

Este exemplo corresponde a um perfil I soldado CS 250x52 (250 x 250 x 9,5 x 8,0) com

2500 mm de comprimento, submetido a uma força axial de compressão e com uma

excentricidade inicial d

de L /100. O pilar é bi-rotulado e a análise mecânica visa obter

a força crítica de flambagem elástica. As dimensões do modelo e a discretização em

elementos finitos são mostradas na FIG.6.4.

250

8,0

9,5

Seção AA

2500

= 25 mm

5875 nós

16773 elems

Elástico: 7:10:10

Elasto-plástico: 1:25:34

Aço estrutural:

- Elástico: critério de Hencky

- Elasto-plástico: von Mises

= 205 GPa

= 0,3

FIGURA 6.4 – Dimensões e discretização do pilar de aço bi-apoiado

195

Os incrementos de carga utilizados na análise mecânica foram de 10% da força de

flambagem teórica de Euler. Os resultados obtidos na análise (tensões e deslocamentos)

podem ser vistos na FIG.6.5. Observa-se que a força axial máxima atingida pelo perfil

foi 5,78% acima da força de flambagem teórica.

Flambagem de Euler

= 8012 kN

Fator de carga último

N / N

= 1,0578

FAD = 1,0

FIGURA 6.5 – Resultados da flambagem elástica (pilar bi-apoiado)

Como o Thersys 2.0 utiliza a formulação de grandes deformações, o programa permite

que a análise continue acima da carga de flambagem. No entanto, o modelo descrito

neste exemplo apresentou elementos com deformação excessiva (Jacobiano negativo),

de modo que a continuação da análise somente seria possível com remalhamento, uma

técnica não implementada no programa.

A FIG.6.6 mostra o deslocamento horizontal analítico no centro do vão em comparação

com o resultado apresentado pelo programa Thersys 2.0. A curva obtida pelo

Thersys 2.0 é mais rígida porque, sob regime de grandes deformações, a seção

transversal do perfil aumenta sob efeito de força de compressão, e conseqüentemente, a

inércia do perfil também. O deslocamento analítico é dado por meio da expressão:

−

(6.1)

196

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 5 10 15 20 25

Deslocamento normalizado (dx/do)

Fator de carga ( N/N

)

Thersys 2.0

Solução analítica

do = L / 100 = 25mm

FIGURA 6.6 – Comparação dos deslocamentos no centro do vão

(flambagem elástica do pilar bi-apoiado)

Uma segunda análise foi realizada incluindo-se o comportamento não-linear do

material. Nessa análise, adotou-se uma resistência ao escoamento do aço, f

, de 300

MPa. Os resultados obtidos (tensões, deslocamentos e deformação plástica acumulada)

podem ser vistos na FIG.6.7.

Observa-se que a força axial máxima atingida pelo perfil foi 72,7 % da força de

plastificação da seção transversal, sendo que a força máxima analítica é de 77,3 % da

força de plastificação. Ou seja, a força máxima obtida pelo Thersys 2.0 foi 6,3% menor

que a força máxima analítica.

FAKURY (2000) demonstra que a força axial máxima analítica, caso se despreze as

tensões residuais, é obtida pela interseção das curvas de deslocamentos horizontais d

considerando-se o comportamento puramente elástico e o comportamento puramente

plástico, conforme mostrado na FIG.6.8. A curva do comportamento elástico é obtida

por meio da Eq.6.1 e a do comportamento plástico é obtida em função da força axial N,

fazendo-se o equilíbrio da seção transversal plastificada (rótula plástica), como

mostrado na FIG.6.9.

197

Força axial de plastificação

= 1979 kN

Fator de carga último

N / N

= 0,7267

FAD = 5,0

FIGURA 6.7 – Resultados da flambagem elasto-plástica (pilar bi-apoiado)

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

Deslocamento normalizado (dx/do )

Fator de carga ( N / N

)

Thersys 2.0

Comportamento elástico (analítico)

Comportamento plástico (analítico)

do = 25 mm

Fator máximo (analítico) = 0,773

Fator máximo (Thersys 2.0) = 0,727

FIGURA 6.8 – Comparação dos deslocamentos no centro do vão

(flambagem elasto-plástica do pilar bi-apoiado)

198

(

)

()()

[]

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−+−=

=−=

abttdtfN

dNabtafM

fffway

xffay

222

FIGURA 6.9 – Comportamento puramente plástico (rótula plástica)

Ressalta-se que o cálculo analítico não considera a influência da plastificação na

estabilidade do perfil, ao contrário do modelo de elementos finitos. Esse fato é

responsável pelo abatimento da curva mostrada na FIG.6.8 na zona acima de 60 % da

força de plastificação. Deve-se destacar que, na análise realizada, as tensões residuais

do perfil não foram consideradas, o que provocaria um abatimento ainda maior da curva

de força × deslocamento.

Voltando-se ao problema de deformação excessiva da primeira análise e com o objetivo

de demonstrar a capacidade do programa Thersys 2.0 de continuar a análise para forças

acima do limite de flambagem, elaborou-se um terceiro modelo consistindo em um pilar

de aço mais robusto, com comprimento de 8000 mm, engastado-livre, com uma força

axial de compressão e uma força transversal de desestabilização de N /

1726. As

dimensões do modelo e a discretização em elementos finitos são mostradas na FIG.6.10.

Os incrementos de carga utilizados na análise foram de 10% da força axial de

plastificação, N

. Para ultrapassar o ponto crítico, o Thersys 2.0 utilizou o recurso de

corte automático do incremento de carga. A FIG.6.11 mostra os deslocamentos obtidos

na extremidade livre do pilar. Nesse caso, o deslocamento analítico também é obtido

por meio da Eq.6.1. No entanto, essa equação não consegue retratar o comportamento

do pilar em grandes deformações.

Para fins ilustrativos, a FIG.6.12 retrata o comportamento (deslocamentos) do pilar em

função do fator de carga

aplicado. Adotou-se como fim da análise mecânica o fator de

carga máximo igual a 3.

199

431

499

54,0

89,5

Seção AA

8000

14851 nós

58980 elems

40:49:42

N / 1726

Aço estrutural:

Critério de Hencky

= 205 GPa

= 0,3

FIGURA 6.10 – Dimensões e discretização do pilar de aço engastado-livre

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Deslocamento (m)

Fator de carga ( N / N

)

Thersys 2.0

Solução analítica

Deslocamento

vertical

Deslocamento

horizontal

FIGURA 6.11 – Comparação dos deslocamentos na extremidade livre

(flambagem elástica do pilar engastado-livre)

200

λ = 0,0

λ = 1,0 λ = 1,01

λ = 1,05 λ = 1,10 λ = 1,5

λ = 2,0 λ = 2,5 λ = 3,0

FIGURA 6.12 – Resultados da flambagem elástica (pilar engastado-livre)

201

6.3.2

- Formação de rótula plástica em viga mista de aço e concreto

Nesse exemplo analisou-se o comportamento de uma viga mista de aço e concreto

formada por um perfil VS 300x47 (300 x 150 x 12,5 x 8,0), com resistência ao

escoamento de 250 MPa, sobreposta por uma laje de concreto com 800 mm de largura

por 110 mm de espessura. Adotou-se para o concreto uma resistência de cálculo

à compressão f

de 17 MPa, que segundo as prescrições do EN 1992-1-1:2004

corresponde a uma resistência de cálculo à tração f

de 1,32 MPa e ao módulo de Young

de 24968 MPa. O aço e o concreto foram modelados com interação completa.

A viga mista é bi-apoiada, com um vão total de 4530 mm, sendo solicitada por forças

concentradas P espaçadas de 1133 mm, conforme mostrado na FIG.6.13.

565,5

= 134,9 kN

1133

4530

150

300

8,0

12,5

Seção AA

800

110

Laje de

concreto

Perfil de aço

VS 300x47

150

300

8,0

12,5

Seção AA

800

110

Laje de

concreto

Perfil de aço

VS 300x47

Aço estrutural:

Critério de von Mises

= 250 MPa

= 205 GPa

= 0,3

Concreto

Critério de Drucker-Prager

= 17,0 MPa

= 1,32 MPa

= 24,97 GPa

= 0,2

FIGURA 6.13 – Dimensões e carregamento do modelo de viga mista

202

As forças concentradas P foram calculadas de modo que a viga mista atinja o momento

de plastificação no centro do vão de 30540 kN.cm, considerando a interação total entre

o perfil de aço e a laje de concreto. FAKURY et al. (2004) apresentam em seu trabalho

o cálculo do momento de plastificação para vigas mistas similares a este exemplo, tanto

para a temperatura ambiente quanto em situação de incêndio.

A FIG.6.14 mostra a discretização do modelo analisado em elementos finitos.

Considerou-se na análise os quatro ajustes para o critério de Drucker-Prager discutidos

no capítulo 4. Para identificar os resultados obtidos em função de cada tipo de ajuste foi

utilizado o código mostrado na legenda da FIG.6.14.

11845 nós

51365 elems

DP1: 18:01:31

DP2: 14:06:14

DP3: 08:28:29

DP4: 25:10:08

Modelo de ½ vão

DP1 - Drucker-Prager ajustado para tração e compressão uniaxiais simultaneamente

DP2 - Drucker-Prager coincidente com Mohr-Coulomb nos vértices externos (compressão uniaxial)

DP3 - Drucker-Prager coincidente com Mohr-Coulomb nos vértices internos (tração uniaxial)

DP4 - Drucker-Prager ajustado para o raio médio entre os vértices externos e internos

FIGURA 6.14 – Discretização do modelo de viga mista

A FIG.6.15 ilustra os deslocamentos verticais no centro do vão obtidos com o

Thersys 2.0 e analiticamente, conforme o procedimento da ABNT NBR 8800:1986,

com base na inércia efetiva transformada da seção mista (igual a 26300 cm

), obtida

pela transformação da laje de concreto em uma seção transversal de aço equivalente.

Essa transformação é realizada por meio da largura efetiva da laje, b

, que é convertida

para uma largura efetiva transformada, b

ef,tr

, com base na expressão:

eftref

bb =

(6.2)

203

A partir da largura efetiva transformada, as demais propriedades da laje de concreto são

calculadas por meio das expressões:

tref

trc

treftrc

abA

≤

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

com

(6.3)

onde A

c,tr

é a área transformada da seção de concreto, I

c,tr

é a inércia transformada, a é a

espessura comprimida da laje de concreto e t

é a espessura total da laje. Por essas

expressões, verifica-se que a parte da laje sob tração é desprezada nos cálculos.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-140-120-100-80-60-40-200

Deslocamento vertical (mm)

Fator de carga ( M / M

)

Thersys 2.0 (DP1)

= 1,1663

Thersys 2.0 (DP2)

= 1,1484

Thersys 2.0 (DP3)

= 0,7530

Solução analítica

Thersys 2.0 (DP4)

= 0,8928

FIGURA 6.15 – Deslocamentos obtidos na análise da viga mista

Na FIG.6.15 observa-se que os ajustes DP1 e DP2 resultam em resistência última

superior ao cálculo analítico, enquanto que DP3 e DP4 se mostram inferiores. O ajuste

com o raio médio de Mohr-Coulomb (DP4) é o que mais se aproxima do cálculo

analítico, resultando em um fator de carga último de 0,8928. Observa-se ainda que as

flechas elásticas (rigidez inicial) obtidas por cálculo analítico são semelhantes às obtidas

pelo Thersys 2.0. A FIG.6.16 até a FIG.6.19 mostram os resultados obtidos nas análises.

204

Fator de carga

último = 1,1663

FAD = 3,0

FIGURA 6.16 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP1)

Fator de carga

último = 1,1484

FAD = 3,0

FIGURA 6.17 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP2)

205

Fator de carga

último = 0,7530

FAD = 3,0

FIGURA 6.18 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP3)

Fator de carga

último = 0,8928

FAD = 3,0

FIGURA 6.19 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP4)

206

6.3.3

- Viga de aço com alma senoidal sujeita à flexão

Este exemplo corresponde a uma viga de aço com alma senoidal sujeita a momentos

iguais aplicados nas extremidades. A resistência ao escoamento do aço é de 300 MPa e

a viga possui um vão de 4400 mm. A espessura de alma t

é de 2,0 mm, a amplitude da

onda b

é de 40 mm e o período da onda w é de 155 mm. As demais dimensões do perfil

e vinculações da viga são mostradas na FIG.6.20.

4400

Aço estrutural:

Critério de von Mises

= 300 MPa

= 205 GPa

= 0,3

200

425

2,0

12,5

Seção AA

200

425

2,0

12,5

Seção AA

155

Seção BB

FIGURA 6.20 – Dimensões da viga de aço com alma senoidal

Na análise via elementos finitos, utilizaram-se incrementos de carga de 10 % do

momento de plastificação da seção transversal da viga (igual a 30937 kN.cm). PLAIS

(2005) comenta que o momento de plastificação é obtido pelo produto do módulo

plástico pela resistência ao escoamento, descontando-se a contribuição da alma devido à

sua reduzida espessura e à configuração corrugada na direção longitudinal.

A FIG.6.21 mostra a discretização do modelo analisado em elementos finitos. Foram

utilizados elementos hexaédricos de 8 nós por questões de facilidade de construção da

malha, visto que a geometria envolve espessuras muito reduzidas, o que tende a elevar

muito o número de elementos quando se utilizam tetraedros.

207

9405 nós

6048 elems

12:59:11

Modelo de ½ vão

FIGURA 6.21 – Discretização do modelo da viga de aço com alma senoidal

Os resultados obtidos na análise (tensões, deformações plásticas e deslocamentos)

podem ser vistos na FIG.6.22. Claramente, observa-se a formação de rótula plástica com

a linha neutra plástica evidente à meia altura do perfil. Observa-se também que a mesa

comprimida demonstra elevados deslocamentos laterais (fora do plano de flexão).

Fator de carga

último = 1,060

FAD = 1,0

FIGURA 6.22 – Resultados obtidos na análise da viga com alma senoidal

208

A FIG.6.23 mostra, comparativamente, os deslocamentos verticais no centro do vão

analítico e obtido com o Thersys 2.0. Pelos conceitos da Resistência dos Materiais, a

flecha elástica d

no centro do vão L em uma viga bi-apoiada com momentos M

aplicados nas extremidades e momento de inércia I

é dada pela expressão:

(6.4)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-240-200-160-120-80-400

Deslocamento vertical (mm)

Fator de carga ( M / M

)

Thersys 2.0

Analítico

Thersys 2.0 / Analítico = 6,0 %

Fator máximo caso

toda a alma pudesse

lastificar sem sofrer

instabilidade: 1,072

FIGURA 6.23 – Deslocamentos obtidos na análise da viga com alma senoidal

O carregamento para o qual as mesas atingem o escoamento se mostrou idêntico entre o

modelo numérico e a solução analítica, correspondendo ao momento de plastificação do

perfil. Após o escoamento das mesas, todo carregamento adicional se deve à

plastificação da alma. No exemplo, o momento máximo atingido pelo perfil na análise

via elementos finitos foi 6,0 % maior que o momento de plastificação teórico. Caso toda

a alma do perfil pudesse plastificar sem apresentar instabilidade, o fator máximo teórico

seria de 1,072.

Por meio dos estudos de caso apresentados neste item, observa-se um bom ajuste entre

os resultados numéricos e analíticos, podendo-se considerar o programa

Thersys 2.0

validado para análises mecânicas. Discussões adicionais serão apresentadas no capítulo 7.

209

6.4 - Análise Termomecânica

A seguir serão exibidos vários estudos de caso envolvendo o comportamento térmico

(incêndio) e mecânico de elementos estruturais convencionais. Estes estudos têm por

objetivo validar o algoritmo de análise termomecânica do programa

Thersys 2.0.

6.4.1 - Pilar de aço em perfil I com flexão no eixo de maior inércia

LANDESMANN et al. (2005) e CALDAS (2008) analisaram o comportamento de um

pilar constituído por um perfil laminado IPE 360 com 4000 mm de comprimento, bi-

apoiado, submetido a uma força axial de compressão de 30 % da força axial de

plastificação,

, e a um momento fletor de 20 % do momento de plastificação, M

. As

dimensões do perfil, vinculações e malha utilizada são mostradas na FIG.6.24.

Seção AA

= 0,3

4000

170

360

8,0

12,7

R 18,0

M = 0,2 M

Aço estrutural:

Critério de von Mises

= 250 MPa

= 205 GPa

= 0,3

= 1818,36 kN

= 25480,83 kN.cm

7425 nós

4736 elems

3 faces: 03:49:53

4 faces: 03:28:07

Apenas nos

exemplos com 4

faces expostas

FIGURA 6.24 – Dimensões e discretização do pilar de aço

210

A malha de elementos finitos foi gerada com elementos hexaédricos de 8 nós por

questões de facilidade de construção. No entanto, procurou-se manter o mesmo nível de

refinamento discutido no início deste capítulo. O pilar foi analisado com incêndio em 3

e 4 faces, conforme a FIG.6.24. No caso de incêndio em 3 faces, a face protegida

corresponde à mesa do perfil que é comprimida pelo momento fletor. Utilizou-se na

análise um incremento de tempo

∆t de 15 segundos e emissividade resultante

res

de 0,5.

Os resultados obtidos na análise com 3 faces expostas (tensões de von Mises,

deformações plástica, deslocamentos e temperaturas) são mostrados na FIG.6.25. O

deslocamento horizontal no meio do comprimento do pilar é mostrado na FIG.6.26, em

comparação com os deslocamentos obtidos por LANDESMANN

et al. (2005),

CALDAS (2008) e por meio do programa Safir, também utilizado por Landesmann.

FAD = 10

00:15:42



FIGURA 6.25 – Resultados do pilar de aço (3 faces expostas)

O programa

Thersys 2.0 interrompeu a análise com 15:42 (15 minutos e 42 segundos),

apresentando um tempo de resistência ao incêndio-padrão maior que o obtido pelo

Safir (15:00), Caldas (14:53) e Landesmann (14:28). Considerando-se apenas a

plastificação do perfil, o tempo de resistência ao incêndio é de 16:12, com nítida

formação de rótula plástica (FIG.6.26).

211

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Tempo de incêndio (min)

Deslocamento horizontal (mm)

Thersys 2.0 (15:42)

Thersys 2.0 (16:12) - Apenas plastificação

SAFIR (15:00)

Landesmann et al. (14:28)

Caldas (14:53)

-22

-21,5

-21

-20,5

-20

14 14,5 15 15,5 16

FIGURA 6.26 – Deslocamento horizontal no meio do comprimento (3 faces expostas)

A curva de deslocamento

× tempo de incêndio obtida pelo Thersys 2.0 na análise com

não-linearidade material e geométrica apresenta uma interrupção abrupta, conforme

mostrado na ampliação à direita da FIG.6.26. No entanto, a curva finaliza em um trecho

praticamente vertical, demonstrando ser um ponto de equilíbrio quase instável.

Na FIG.6.25 pode-se observar o desenvolvimento de um gradiente térmico entre a mesa

protegida e a alma de 151 ºC. Esse gradiente térmico é o responsável pelo fluxo de

cisalhamento que surge entre a mesa e a alma, fluxo esse que atinge o máximo valor nas

extremidades do perfil. A perda de parte da capacidade portante frente à presença de um

alto fluxo de cisalhamento é responsável pela incapacidade do perfil de suportar o

carregamento aplicado nas extremidades, ao contrário do que ocorre nos outros modelos

que apresentaram a formação de rótula plástica.

Isso ocorre porque os programas utilizados por CALDAS (2008) e LANDESMANN

. (2005), incluindo o Safir, prevêem elementos de viga, ou seja, elementos que não são

capazes de simular efeitos localizados como o fluxo de cisalhamento nas extremidades

do pilar devido ao gradiente térmico entre a mesa protegida e a alma (FIG.6.25).

212

Para a análise com 4 faces expostas, os resultados obtidos (tensões de von Mises,

deformações plástica, deslocamentos e temperaturas) são mostrados na FIG.6.27. O

deslocamento horizontal na metade do comprimento do pilar é mostrado na FIG.6.28,

juntamente com os deslocamentos obtidos por CALDAS (2008), LANDESMANN

et al.

(2005), e por meio do programa Safir (conforme Landesmann).

FAD = 20

00:11:30



FIGURA 6.27 – Resultados do pilar de aço (4 faces expostas)

Nesse exemplo, a análise com o programa

Thersys 2.0 foi até 11:30 (11 minutos e 30

segundos), com um tempo de resistência ao incêndio menor que o obtido por Caldas

(11:52), Safir (12:01) e Landesmann (13:09). Como no caso de incêndio em 3 faces, ao

se considerar apenas a plastificação do perfil, o programa alcança um tempo maior de

resistência ao incêndio, atingindo 13:02, com nítida formação de rótula plástica

(FIG.6.28) e apresentando um bom ajuste com os resultados obtidos por Landesmann.

No modelo que considera a não-linearidade material e geométrica do pilar, o programa

Thersys 2.0 interrompeu a análise com 11:30, devido à não convergência do algoritmo

de não-linearidade geométrica, com cortes sucessivos do incremento de tempo.

213

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

02468101214

Tempo de incêndio (min)

Deslocamento horizontal (mm)

Thersys 2.0 (11:30)

Thersys 2.0 (13:02) - Apenas plastificação

SAFIR (12:01)

Landesmann et al. (13:09)

Caldas (11:52)

FIGURA 6.28 – Deslocamento horizontal no meio do comprimento (4 faces expostas)

A não convergência do algoritmo de não-linearidade geométrica ocorre devido à

instabilidade local do perfil na região da junção da mesa comprimida e da alma. Nessa

região, além das tensões de compressão devido ao carregamento externo e da redução

da rigidez do aço devido à elevada temperatura, há ainda o fluxo de cisalhamento

devido ao gradiente térmico, conforme já discutido anteriormente.

De modo resumido, os tempos de resistência ao incêndio obtidos pelo programa

Thersys 2.0 para o pilar de aço podem ser observados comparativamente na TAB.6.2.

TABELA 6.2 – Tempo de resistência ao incêndio para o pilar de aço

Variação na resistência ao incêndio

via Thersys 2.0

Modelo

Base de

Comparação

Resistência

ao incêndio

(hora:min:seg)

Não-linearidades

geométrica e

material

Somente

não-linearidade

material

0:15:42 0:16:12

SAFIR 0:15:00 4,67% 8,00%

Landesmann 0:14:28 8,53% 11,98%

3 faces

expostas

Caldas 0:14:53 5,49% 8,85%

0:11:30 0:13:02

SAFIR 0:12:01 -4,30% 8,46%

Landesmann 0:13:09 -12,55% -0,89%

4 faces

expostas

Caldas 0:11:52 -3,09% 9,83%

214

6.4.2 - Pilar de aço em perfil I com flexão no eixo de menor inércia

WAINMAN e KIRBY (1988a) apresentaram os resultados de um ensaio conduzido na

Ghent Université, na Bélgica, onde um pilar de aço H 400 x 400 com 3950 mm de

comprimento, bi-apoiado, foi submetido a uma força axial de compressão de 3400 kN,

com uma excentricidade dos apoios de 180 mm na direção do eixo de menor inércia. A

FIG.6.29 ilustra as dimensões do perfil, vinculações, excentricidade da força e malha

utilizada na análise numérica realizada neste trabalho.

N = 3400 kN

3950

Seção AA

431

499

54,0

89,5

180

Aço estrutural:

Critério de von Mises

= 238 MPa

= 205 GPa

= 0,3

7275 nós

28764 elems

res

= 0,5 → 04:38:02

res

= 0,7 → 03:07:24

FIGURA 6.29 – Dimensões e discretização do pilar de aço

A análise termomecânica foi realizada com incremento de tempo

∆t de 30 segundos e

emissividades resultantes

res

de 0,5 (de acordo com o EN 1994-1-2:1994) e de 0,7 (de

acordo com o EN 1994-1-2:2005). Os resultados obtidos na análise (tensões de von

Mises, deformações plástica e temperaturas) são mostrados na FIG.6.30, para a análise

com

res

de 0,5, e na FIG.6.31, para a análise com

res

de 0,7.

215

FAD = 10

res

= 0,5

00:42:42



FIGURA 6.30 – Resultados do pilar de aço (

res

= 0,5)

FAD = 10

res

= 0,7

00:36:29



FIGURA 6.31 – Resultados do pilar de aço (

res

= 0,7)

Claramente pode-se observar que o fim das análises, apesar de ocorrerem em tempos

diferentes devido às emissividades resultantes usadas, e conseqüentemente às diferentes

intensidades do incêndio, conduzem a resultados semelhantes, ao se comparar as

tensões de von Mises, deformações plásticas e temperaturas.

216

O deslocamento horizontal na metade do comprimento do pilar e o deslocamento

vertical no topo do pilar são mostrados na FIG.6.32 e na FIG.6.33, em comparação com

os deslocamentos obtidos no ensaio reportado por WAINMAN e KIRBY (1988a).

-10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Tempo de incêndio (min)

Deslocamentos (mm)

Thersys 2.0 ( = 0,5)

WAINMAN e KIRBY (1988a)

Deslocamento

vertical no

topo do pilar

Deslocamento

horizontal na

metade do

comprimento

res

FIGURA 6.32 – Deslocamentos obtidos na análise do pilar de aço (

res

= 0,5)

-10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Tempo de incêndio (min)

Deslocamentos (mm)

Thersys 2.0 ( = 0,7)

WAINMAN e KIRBY (1988a)

res

Deslocamento

vertical no

topo do pilar

Deslocamento

horizontal na

metade do

comprimento

FIGURA 6.33 – Deslocamentos obtidos na análise do pilar de aço (

res

= 0,7)

217

Observa-se nas figuras anteriores que a análise com

res

de 0,5 conduz a resultados

muito bons, quando comparados com os obtidos no ensaio reportado por WAINMAN e

KIRBY (1988a). Adicionalmente, a TAB.6.3 mostra a comparação entre os tempos de

resistência ao incêndio obtidos no ensaio e por meio do programa

Thersys 2.0.

TABELA 6.3 – Comparação do tempo de resistência ao incêndio

Thersys 2.0

Ensaio

(min:seg)

res

= 0,5

res

= 0,7

46:00 42:42

(-7,2 %)

36:29

(-20,7 %)

O uso da emissividade resultante de 0,7 se mostrou conservador em relação ao resultado

experimental. Assim, optou-se por comparar as temperaturas obtidas no ensaio com os

resultados do

Thersys 2.0 para a emissividade de 0,5, conforme a FIG.6.34. No tempo

de 40 minutos (próximo à falha), o

Thersys 2.0 apresenta temperaturas 5,0 % e 23,0 %

maiores que as obtidas no ensaio, respectivamente, na mesa e na alma do perfil.

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Tempo de incêndio (min)

Temperatura (ºC)

Gases (EN1991-1-2:2002) Gases (Ensaio)

F1 (Thersys 2.0) F1 (Ensaio)

F2 (Thersys 2.0) F2 (Ensaio)

W (Thersys 2.0) W (Ensaio)

R (Thersys 2.0) R (Ensaio)

Observações:

Incêndio padrão (EN1991-1-2:2002)

res

= 0,5

= 25 W/m² ºC

Ensaio (WAINMAN e KIRBY, 1988a)

FIGURA 6.34 – Temperaturas na metade do comprimento (

res

= 0,5)

218

6.4.3 - Viga de aço com momentos fletores nas extremidades

LANDESMANN et al. (2005) e CALDAS (2008) analisaram o comportamento de uma

viga de aço IPE 360 com 5000 mm de vão, bi-apoiada, submetida a momentos fletores

nas extremidades iguais a 40 % do momento de plastificação do perfil,

. As

dimensões do perfil e o carregamento são mostrados na FIG.6.35.

0,4 M

5000

Aço estrutural:

Critério de von Mises

= 250 MPa

= 205 GPa

= 0,3

= 25481 kN.cm

0,4 M

170

360

8,0

12,7

Seção AA

FIGURA 6.35 – Dimensões da viga de aço analisada

A malha de elementos finitos foi gerada com elementos hexaédricos de 8 nós, de modo

similar ao exemplo 6.4.1. Utilizou-se na análise o incremento de tempo

∆t de 15

segundos e emissividade resultante

res

de 0,5. As vinculações (restrições nodais) e a

discretização do modelo são apresentadas na FIG.6.36.

5247 nós

3328 elems

06:26:12

Modelo de ½ vão

FIGURA 6.36 – Discretização e condições de contorno da viga de aço

219

Os resultados obtidos na análise (tensões de von Mises, deformações plástica,

deslocamentos e temperaturas) são mostrados na FIG.6.37 para o tempo máximo de

resistência ao incêndio-padrão obtido pelo

Thersys 2.0.

FAD = 2,0

00:15:09



Modelo de ½ vão

FIGURA 6.37 – Resultados da análise da viga de aço

Observa-se por meio das deformações plásticas que a mesa inferior da viga de aço

atinge o escoamento antes da mesa superior. Isso ocorre porque a temperatura da mesa

inferior é maior que a temperatura da mesa superior, visto que o perfil é exposto ao

incêndio em apenas 3 faces. Conseqüentemente, a redução na resistência do aço é maior

na mesa inferior que na mesa superior, fazendo com que a linha neutra plástica se

desloque para cima, como pode ser observado por meio das tensões de von Mises.

220

O deslocamento vertical no meio do vão da viga é mostrado na FIG.6.38, em

comparação com os deslocamentos obtidos por LANDESMANN

et al. (2005),

CALDAS (2008) e por meio do programa Safir, também utilizado por Landesmann.

Como se pode observar, os resultados obtidos na análise com o programa

Thersys 2.0

são muito bons, tendo-se por base os resultados obtidos nos outros trabalhos citados.

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0 2 4 6 8 101214161820

Tempo de incêndio (min)

Deslocamento vertical (mm)

Thersys 2.0 (15:09)

Landesman (17:30)

Safir (16:02)

Caldas (15:49)

FIGURA 6.38 – Deslocamento vertical no centro do vão

O programa

Thersys 2.0 interrompeu a análise com 15:09 (15 minutos e 9 segundos),

apresentando um tempo de resistência ao incêndio um pouco menor que o obtido por

Caldas (15:49), Safir (16:022) e por Landesmann (17:30). Comparativamente, os

tempos de resistência ao incêndio são apresentados na TAB.6.4.

TABELA 6.4 – Comparação do tempo de resistência ao incêndio

Base de

comparação

Resistência ao

incêndio

(hora:min:seg)

Resistência ao

incêndio via

Thersys 2.0

00:15:09

SAFIR 00:16:02 -5,51%

Landesmann 00:17:30 -13,43%

Caldas 00:15:49 -4,21%

221

6.4.4 - Viga de aço com alma senoidal sujeita à flexão

Nesse exemplo analisou-se uma viga de aço com alma senoidal sujeita a momentos

aplicados nas extremidades do perfil no valor de 40 % do momento de plastificação

(omitindo-se a contribuição da alma conforme mencionado no subitem 6.3.3). O aço

possui resistência ao escoamento de 300 MPa e o vão é de 4400 mm. As dimensões do

perfil, as vinculações e o carregamento mecânico são mostrados na FIG.6.39.

4400

Aço estrutural:

Critério de von Mises M

= 30937 kN.cm

= 300 MPa

= 205 GPa

= 0,3

0,4 M

200

425

2,0

12,5

Seção AA

200

425

2,0

12,5

Seção AA

155

Seção BB

0,4 M

FIGURA 6.39 – Dimensões da viga de aço com alma senoidal

A malha de elementos finitos foi gerada com elementos hexaédricos de 8 nós por

questões de facilidade de construção, uma vez que a geometria do perfil compreende

espessuras muito reduzidas, elevando demasiadamente o número de elementos ao se

utilizar tetraedros. A FIG.6.40 ilustra a discretização do modelo em elementos finitos.

A viga foi analisada com incêndio aplicado em 3 faces, conforme a FIG.6.40, de modo

que a mesa comprimida do perfil é atingida pelo incêndio em apenas três faces.

Utilizou-se um incremento de tempo

∆t inicial de 20 segundos e emissividade resultante

res

de 0,7, conforme o EN 1993-1-2:2005. Adicionalmente, foram consideradas três

situações: sem revestimento térmico, com revestimento térmico constituído por 12 mm

de Blaze Shield II (apenas na alma) e com revestimento térmico de 25 mm de Blaze

Shield II (apenas na alma).

222

Modelo de ½ vão

9405 nós

6048 elems

16:52:16

BS12

13527 nós

10136 elems

19:15:32

SR – Sem revestimento térmico

BS12 – Blaze Shield II (12 mm) apenas na alma

BS25 – Blaze Shield II (25 mm) apenas na alma

BS25

13527 nós

10136 elems

92:02:03

FIGURA 6.40 – Discretização do modelo da viga de aço com alma senoidal

Os resultados obtidos na análise da viga de aço sem revestimento térmico (tensões de

von Mises, deformação plástica, deslocamentos e temperaturas) são mostrados na

FIG.6.41. O rápido aquecimento da alma devido à sua pequena espessura faz com que,

no tempo máximo de resistência ao incêndio (12:59), a mesma atinja a temperatura de

709 ºC, enquanto que a mesa superior atinge 530 ºC e a mesa inferior 631 ºC.

Devido à alta temperatura observada na alma, esse elemento sofre uma forte redução da

resistência e da rigidez, apresentando escoamento antes das mesas do perfil.

Adicionalmente, a redução da resistência e da rigidez da alma com o aumento de

temperatura proporciona, mesmo com a forma senoidal da alma, a instabilidade da mesa

comprimida na direção vertical. Nesse caso, o programa

Thersys 2.0 não consegue

continuar a análise, falhando por divisões sucessivas do incremento de tempo, antes de

atingir o escoamento de ambas as mesas.

Para a análise da viga de aço com revestimento térmico na alma, os resultados são

apresentados na FIG.6.42, para o revestimento com 12 mm de espessura, e na FIG.6.43,

para o revestimento com 25 mm de espessura.

223

Modelo de ½ vão

FAD = 6

00:12:59



FIGURA 6.41 – Resultados da viga com alma senoidal sem revestimento térmico (SR)

Na FIG.6.42 observa-se que o revestimento de 12 mm de Blaze Shield II faz com que a

alma apresente uma temperatura de 316 ºC no tempo máximo de resistência ao incêndio

(15:19), enquanto que a mesa inferior chega ao valor médio de 630 ºC. Com isso, a

estabilização da mesa superior na direção da sua espessura (direção vertical) é melhor

que no caso da alma sem revestimento térmico (SR).

Nesse caso, a mesa inferior escoa sob tração, deslocando a linha neutra plástica para

cima. A mesa superior não atinge o escoamento, pois sendo a sua temperatura menor

que na mesa inferior, a redução de resistência desse elemento também é menor.

224

Modelo de ½ vão

FAD = 6

00:15:19



FIGURA 6.42 – Resultados da viga com alma senoidal e com 12 mm de

Blaze Shield II na alma do perfil (BS12)

Na FIG.6.43 observa-se que o revestimento de 25 mm de Blaze Shield II faz com que a

temperatura da alma chegue a 115 ºC no tempo máximo de resistência ao incêndio

(17:16). Nesse mesmo tempo, a mesa inferior chega ao valor médio de 640 ºC. A

estabilização da mesa superior pela alma é ainda mais efetiva nesse caso, de modo que a

mesa comprimida começa a apresentar escoamentos localizados.

Devido à alta temperatura da mesa inferior, esse elemento escoa por tração sob valores

elevados de deformação plástica e provocando o deslocamento da linha neutra plástica

em direção à mesa comprimida.

225

Modelo de ½ vão

FAD = 6

00:17:16



FIGURA 6.43 – Resultados da viga com alma senoidal e com 25 mm de

Blaze Shield II na alma do perfil (BS25)

A FIG.6.44 mostra os deslocamentos obtidos no meio do vão na direção vertical para as

três situações estudadas. Adicionalmente, essa figura também mostra o tempo de

resistência ao incêndio calculado analiticamente, conforme o procedimento iterativo

indicado no EN 1993-1-2:2005, considerando-se as seguintes situações:

(A)

adotando-se um fator de massividade único para o perfil (incluindo a alma);

(B)

adotando-se um fator de massividade para a mesa superior (com a face superior

não exposta) e outro para a mesa inferior (com todas as faces expostas).

226

-55

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

02468101214161820

Tempo de incêndio (min)

Deslocamento vertical (mm)

Thersys 2.0 - SR (12:59)

Thersys 2.0 - BS12 (15:19)

Thersys 2.0 - BS25 (17:16)

Cálculo analítico B (15:25)

u /A flange inf. = 169 m-¹

u /A flange sup. = 89 m-¹

Cálculo analítico A (11:15)

u /A perfil = 249 m-¹

FIGURA 6.44 – Deslocamento vertical no meio do vão da viga com alma senoidal

Observa-se que os resultados numéricos dos modelos que possuem revestimento

térmico na alma do perfil apresentam-se compatíveis com o cálculo analítico B, ao se

considerar um fator de massividade para cada mesa do perfil.

No entanto, para o perfil sem revestimento térmico na alma, observa-se que a viga falha

antes do previsto pelo cálculo analítico B, o qual tem por base a plastificação da seção

transversal da viga em temperatura elevada. Esse fato demonstra a conclusão já

discutida para o modelo sem revestimento térmico: devido à forte redução da rigidez da

alma pela sua temperatura elevada, a mesa superior do perfil (comprimida) começa a

apresentar instabilidade, o que provoca a falha antes da plastificação total da seção.

Por outro lado, a FIG.6.44 ilustra claramente para o perfil de alma senoidal estudado

neste exemplo que, por apresentar a alma com espessura muito reduzida, a consideração

do fator de massividade do perfil como um todo faz com que o cálculo analítico A se

demonstre muito conservador. O tempo de resistência ao incêndio obtido dessa forma é

substancialmente menor que o obtido pelo método dos elementos finitos, até mesmo

para o perfil sem revestimento térmico na alma.

227

6.4.5 - Pilar misto tubular preenchido com concreto

RIBEIRO et al. (2008) analisaram o comportamento de um pilar misto formado por um

perfil tubular com diâmetro externo de 355,6 mm, espessura de 5,6 mm, preenchido

com concreto. O pilar possui ainda 8 armaduras de 22 mm de diâmetro, 4000 mm de

comprimento, sendo bi-engastado e com a extremidade superior livre para aplicação de

uma força de compressão de 3071 kN, equivalente a 60 minutos de incêndio (RIBEIRO

et al., 2008). Na metade do comprimento, o pilar possui uma excentricidade de 20 mm.

O tubo possui resistência ao escoamento de 235 MPa e as armaduras de 400 MPa. As

dimensões do pilar misto, as vinculações e o carregamento são mostrados na FIG.6.45,

bem como as propriedades mecânicas do concreto utilizado no preenchimento.

= 3071 kN

4000

vo = 20 (L/200)

Aço estrutural: laminado Concreto:

Critério de von Mises Critério de Drucker-Prager

= 235 MPa (tubo) f

= 30,0 MPa

= 400 MPa (armaduras) f

= 1,92 MPa

= 205 GPa E

c,sec,

= 12,0 GPa

= 0,3

= 0,2

Umidade = 4%

Seção A-A

FIGURA 6.45 – Dimensões do pilar misto tubular preenchido com concreto

A malha de elementos finitos foi gerada com elementos tetraédricos de 4 nós. Utilizou-

se na análise um incremento de tempo

∆t de 20 segundos e emissividade resultante

res

de 0,5. A FIG.6.46 mostra a discretização do modelo analisado.

228

7393 nós

33864 elems

DP1: 16:17:16

DP2: 17:30:25

DP3: 05:18:15

DP4: 196:13:32

DP1 - Drucker-Prager ajustado para tração e compressão uniaxiais simultaneamente

DP2 - Drucker-Prager coincidente com Mohr-Coulomb nos vértices externos (compressão uniaxial)

DP3 - Drucker-Prager coincidente com Mohr-Coulomb nos vértices internos (tração uniaxial)

DP4 - Drucker-Prager ajustado para o raio médio entre os vértices externos e internos

Modelo de ½ vão e

½ seção transversal

res

= 0,5

FIGURA 6.46 – Discretização do modelo do pilar misto tubular

O pilar foi analisado com a condição de incêndio atuando em toda a face externa do

tubo. Considerou-se na análise os quatro ajustes para o critério de Drucker-Prager

discutidos no capítulo 4, referenciando-se ao código mostrado na legenda da FIG.6.46.

Da FIG.6.47 até a FIG.6.50 observa-se os resultados obtidos nas análises: tensões de

von Mises, deformações plásticas acumuladas, deslocamentos e temperaturas. Na

FIG.6.51 pode-se observar os deslocamentos horizontais na metade do comprimento do

pilar em função do tempo de incêndio para os quatro ajustes utilizados na análise.

Os resultados obtidos mostram que os ajustes DP1 e DP2 resultam em tempos de

resistência ao incêndio maiores que o obtido por RIBEIRO

et al. (2008) e DP3 e DP4

em tempos de resistência menores. O ajuste com o raio médio de Mohr-Coulomb (DP4)

é o que mais se aproxima do tempo de resistência obtido por Ribeiro

et al., sendo

19,5 % menor que esse. Porém, tal modelo apresentou problema de convergência, com

divisão excessiva do incremento de tempo e aumento do tempo total de análise.

229

FAD = 2

01:30:37



Modelo de ½ vão e

½ seção transversal

FIGURA 6.47 – Resultados obtidos na análise do pilar misto (DP1)

FAD = 2

01:28:56



Modelo de ½ vão e

½ seção transversal

FIGURA 6.48 – Resultados obtidos na análise do pilar misto (DP2)

230

FAD = 2

00:24:47



Modelo de ½ vão e

½ seção transversal

FIGURA 6.49 – Resultados obtidos na análise do pilar misto (DP3)

FAD = 2

00:48:19



Modelo de ½ vão e

½ seção transversal

FIGURA 6.50 – Resultados obtidos na análise do pilar misto (DP4)

231

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

140,0

160,0

180,0

0 102030405060708090100

Tempo de incêndio (mim)

Deslocamento horizontal (mm)

Thersys 2.0 DP1 (01:30:37)

Thersys 2.0 DP2 (01:28:56)

Thersys 2.0 DP3 (00:24:47)

Thersys 2.0 DP4 (00:48:19)

Solução analítica (00:60:00)

RIBEIRO et al. (2008)

Solução numérica (00:49:35)

TWILT et al. (1994)

FIGURA 6.51 – Deslocamentos na metade do comprimento do pilar misto

RIBEIRO

et al. (2008) obtiveram a força axial máxima suportada pelo pilar misto para

60 minutos de incêndio (3071 kN) por meio de um procedimento simplificado com base

no EN 1994-1-2:2005 – item 4.3, considerando-se a distribuição de temperatura em

todo o volume do elemento estrutural. O procedimento consiste em obter:

• a força axial de plastificação de cálculo da seção transversal do pilar;

• a rigidez efetiva à flexão considerando-se a influência da temperatura;

• a carga elástica crítica, por meio de uma análise de flambagem teórica;

• o índice de esbeltez do pilar misto;

• a resistência axial de cálculo, com base na curva c do EN 1993-1-1:2005.

No trabalho de RIBEIRO

et al. (2008) é realizada uma comparação com os resultados

apresentados por TWILT

et al. (1994), também mostrados na FIG.6.51. Esses

resultados foram obtidos por um programa de computador desenvolvido e verificado

por Valexy (TWILT

et al., 1994). O programa foi ajustado de modo a apresentar

conformidade com os mais recentes resultados de ensaios. Para o exemplo em questão,

Twilt apresenta os resultados para 60, 90 e 120 minutos de incêndio (FIG.6.52).

232

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0306090120

Tempo de incêndio (min)

Resistência à compressão axial (kN)

Dados tabulares

EN 1994-1-2:2005

Método simplificado

RIBEIRO et al. (2008)

Resistência à

temperatura

ambiente

TWILT et al.

(

1994

)

Umidade do

concreto: 4%

00:49:35

FIGURA 6.52 – Comparativo de resultados (adaptado de RIBEIRO

et al., 2008)

Tendo-se por base a boa concordância entre os resultados obtidos por RIBEIRO

et al.

(2008) e os resultados obtidos por TWILT

et al. (1994), fez-se a extrapolação dos

resultados obtidos por Twilt para 30 minutos de incêndio, indicado na FIG.6.52 pela

linha tracejada. Assim, a interseção da extrapolação dos resultados de Twilt com a linha

horizontal relativa à força axial obtida por Ribeiro para 60 minutos de incêndio fornece

o tempo máximo (49:35) esperado para o modelo de Twilt sujeito à força de 3071 kN.

Considerando-se o tempo de resistência ao incêndio do modelo de TWILT

et al. (1994)

com base na extrapolação acima, observa-se na FIG.6.51 que o comportamento dos

resultados obtidos pelo

Thersys 2.0 se mantém. No entanto, o ajuste DP4 apresenta

melhor concordância, sendo 2,6 % menor que o resultado extrapolado de Twilt.

Adicionalmente, evidencia-se nos modelos analisados que o modo de falha do pilar

misto ocorre basicamente por formação de rótula plástica na metade do comprimento e

próximo às extremidades engastadas. Porém, mesmo o momento fletor sendo maior nos

engastes, a deformação plástica acumulada indica que a plastificação é maior na metade

do comprimento do pilar. Isso ocorre porque nessa seção às temperaturas são mais altas

e, conseqüentemente, o material apresenta menor resistência e rigidez.

233

6.4.6 - Viga mista de aço e concreto

Nesse exemplo analisou-se o comportamento da viga mista de aço e concreto descrita

por FAKURY

et al. (2004) em situação de incêndio. O modelo de elementos finitos é o

mesmo analisado em temperatura ambiente no subitem 6.3.2 e reproduzido abaixo na

FIG.6.53. Nesse caso, as forças concentradas

P foram calculadas de modo que a viga

mista atinja o momento de plastificação no centro do vão de 4511 kN.cm, o que

correspondente a 30 minutos de incêndio, conforme obtido por FAKURY

et al. (2004).

565,5

PP= 19,92 kN

1133

4530

150

300

8,0

12,5

Seção AA

800

110

Laje de

concreto

Perfil de aço

VS 300x47

Aço estrutural:

Critério de von Mises

= 250 MPa

= 205 GPa

= 0,3

Concreto

Critério de Drucker-Prager

= 17,0 MPa

= 1,32 MPa

c,sec,

= 6,80 GPa (secante)

= 0,2

Umidade = 4%

FIGURA 6.53 – Dimensões e carregamento do modelo de viga mista

Em relação ao modelo analisado em temperatura ambiente, a principal modificação

consiste no módulo de Young do concreto. Conforme mostrado no subitem 6.3.2, para

análise em temperatura ambiente foram utilizadas as prescrições do EN 1992-1-1:2004,

obtendo-se o módulo de Young de 24968 MPa. No entanto, em situação de incêndio o

EN 1994-1-2:2005 recomenda utilizar-se o módulo secante do concreto

c,sec,

, que

resulta no valor de 6800 MPa para a temperatura de 20ºC, segundo a Eq.2.8.

234

A FIG.6.54 mostra a discretização do modelo da viga mista em elementos finitos

tetraédricos de 4 nós. Foram considerados os quatro ajustes para o critério de Drucker-

Prager discutidos no capítulo 4. Utilizou-se o código mostrado na legenda da FIG.6.54

para identificar os resultados obtidos em função de cada tipo de ajuste.

12845 nós

56397 elems

DP1: 64:09:28

DP2: 77:21:33

DP3: 69:49:38

DP4: 63:11:23

DP1 - Drucker-Prager ajustado para tração e compressão uniaxiais simultaneamente

DP2 - Drucker-Prager coincidente com Mohr-Coulomb nos vértices externos (compressão uniaxial)

DP3 - Drucker-Prager coincidente com Mohr-Coulomb nos vértices internos (tração uniaxial)

DP4 - Drucker-Prager ajustado para o raio médio entre os vértices externos e internos

Modelo de ½ vão

FIGURA 6.54 – Discretização do modelo de viga mista

Utilizou-se na análise termomecânica um incremento de tempo

∆t de 20 segundos e

emissividade resultante

res

de 0,5, conforme adotado no trabalho de FAKURY et al.

(2004). Na face superior da laje sujeita a resfriamento por convecção natural, utilizou-se

a condição de contorno térmica denominada “arrefecimento (Ribeiro)”, já discutida no

subitem 5.3.2.7. Nessa condição de contorno, a troca de calor ocorre por radiação e por

convecção natural, com o coeficiente convectivo variável conforme a regressão

apresentada na FIG.3.6.

A FIG.6.55 até a FIG.6.58 mostram os resultados obtidos nas análises: tensões de von

Mises, deformações plásticas acumuladas, deslocamentos e temperaturas.

235

Modelo de ½ vão

FAD = 1,0

00:34:22



FIGURA 6.55 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP1)

Na FIG.6.55 observa-se os resultados da análise com o ajuste DP1. A formação da

rótula plástica no meio do vão ocorre com maior deformação plástica na mesa inferior

do perfil de aço, que apresenta maior temperatura e conseqüentemente maior redução da

resistência ao escoamento do aço.

Observa-se também o acúmulo de deformação plástica na extremidade do perfil (apoio)

na interface entre o perfil e a laje de concreto. Essa plastificação ocorre devido ao fluxo

de cisalhamento ser mais intenso próximo aos apoios de uma viga bi-apoiada. Esse

fenômeno pode ser observado em todos os ajustes (FIG.6.55 a FIG.6.58).

236

Modelo de ½ vão

FAD = 1,0

00:35:07



FIGURA 6.56 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP2)

A FIG.6.56 mostra os resultados obtidos para o ajuste DP2. Observa-se que os

resultados são muito próximos aos apresentados com o ajuste DP1, sendo que o ajuste

DP2 permitiu alcançar um tempo de resistência ao incêndio 2,2 % maior que o obtido

pelo ajuste DP1. Em relação ao tempo de resistência obtido por FAKURY

et al. (2004),

o ajuste DP2 resultou em um tempo de resistência 17 % maior que aquele.

Como já evidenciado nos exemplos 6.3.2 e 6.4.5, os ajustes DP1 e DP2 apresentam

resultados muito próximos e freqüentemente superiores aos obtidos em literatura.

237

Modelo de ½ vão

FAD = 1,0

00:27:58



FIGURA 6.57 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP3)

Os resultados da análise com o ajuste DP3 são mostrados na FIG.6.57. Observa-se que a

laje apresenta um acúmulo de deformação plástica maior que o obtido por meio dos

ajustes DP1 e DP2. Isso ocorre porque, no ajuste DP3, a superfície de Drucker-Prager

coincide com a de Mohr-Coulomb nos vértices internos (tração uniaxial), subestimando

a resistência do material à compressão, que é o esforço predominante na laje.

Assim, o tempo de resistência ao incêndio obtido com o ajuste DP3 é sempre menor que

o tempo de resistência obtido com os demais ajustes (vide exemplos 6.3.2 e 6.4.5).

Nesse caso, o ajuste DP3 resultou em um tempo de resistência ao incêndio 6,8 % menor

que o obtido por FAKURY

et al. (2004).

238

FAD = 1,0

00:33:45



Modelo de ½ vão

FIGURA 6.58 – Resultados obtidos na análise da viga mista (DP4)

O último ajuste utilizado na análise (DP4) consiste em se empregar o raio médio entre

os vértices internos e externos da superfície de Mohr-Coulomb para se ajustar o cone de

Drucker-Prager. Os resultados obtidos por esse ajustamento são mostrados na FIG.6.58.

Evidentemente, os resultados obtidos se mostram intermediários aos obtidos por meio

dos ajustes DP1, DP2 e DP3. Nos exemplos 6.3.2 e 6.4.5, o ajuste DP4 era o que mais

se aproximava dos resultados constantes em literatura. No entanto, nesse exemplo, o

ajuste DP4 apresentou um tempo máximo de resistência ao incêndio 12,5 % maior que o

obtido por FAKURY

et al. (2004). Assim, DP3 se apresenta como o ajuste de menor

desvio em relação ao resultado de literatura.

239

FAKURY

et al. (2004) obtiveram o momento de plastificação da viga mista para 30

minutos de incêndio (4511 kN.cm) por meio do procedimento simplificado prescrito no

EN 1994-1-2:2005. Esse procedimento consiste em:

• calcular a temperatura de cada elemento do perfil (mesas e alma), sendo que a

temperatura da laje é dada por uma tabela para cada 5 mm de espessura;

• calcular o coeficiente de redução da resistência de cada elemento do perfil e de

cada camada de concreto da laje em função das temperaturas;

• calcular as forças resultantes em cada elemento e em cada camada da laje como

sendo o produto: resistência

× coeficiente de redução × área de influência;

• fazer o equilíbrio de forças determinando a posição da linha neutra plástica e o

momento de plastificação correspondente.

Na FIG.6.59 observa-se os deslocamentos verticais no meio do vão da viga mista em

função do tempo de incêndio para os quatro ajustes utilizados na análise.

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tempo de incêndio (min)

Deslocamento vertical (mm)

Thersys 2.0 DP1 (00:34:22)

Thersys 2.0 DP2 (00:35:07)

Thersys 2.0 DP3 (00:27:58)

Thersys 2.0 DP4 (00:33:45)

Solução analítica (00:30:00)

FAKURY et al. (2004)

FIGURA 6.59 – Deslocamentos no meio do vão da viga mista

240

Os resultados mostram um espalhamento menor que o observado no exemplo 6.4.5.

Porém, enquanto que no exemplo 6.4.5 o ajuste DP4 é o de menor desvio em relação ao

resultado de literatura, no presente exemplo o ajuste DP3 é que se apresenta com o

menor desvio, conforme os resultados obtidos por FAKURY

et al. (2004).

Concluindo-se, os estudos de caso termomecânicos apresentados neste capítulo

mostram uma boa concordância entre os resultados obtidos por meio do programa

Thersys 2.0 e os resultados de outros programas, de ensaios e de métodos analíticos. Os

exemplos com elementos estruturais de aço apresentam um bom comportamento do

modelo numérico, tanto para efeitos de instabilidade quanto para efeitos de plasticidade.

No entanto, os problemas que envolvem elementos estruturais de concreto apresentam

uma dispersão dos resultados maior ou menor em função dos estados de tensão

presentes nos modelos e dos ajustes utilizados nas análises. Porém, como se observou

nos exemplos, o ajuste do cone de Drucker-Prager por meio do raio médio entre os

vértices internos e externos da superfície de Mohr-Coulomb (DP4) freqüentemente

conduz a bons resultados quando se compara com os resultados de ensaios e de cálculos

analíticos apresentados em literatura.

Com base nas conclusões acima, pode-se considerar o programa

Thersys 2.0 validado

para análises termomecânicas. Algumas informações adicionais para a melhoria dos

resultados aqui apresentados são discutidas no capítulo 7.

CAPÍTULO 7 -

Considerações Finais

CONSIDERAÇÕES FINAIS

7.1 - Discussão e conclusões

No presente trabalho foi desenvolvido um programa computacional com base no

Método dos Elementos Finitos para realização de análises termomecânicas de estruturas

tridimensionais de aço e mistas de aço e concreto em situação de incêndio.

O programa recebeu a denominação

Thersys 2.0 (Sistema para simulação via Método

dos Elementos Finitos do comportamento termomecânico 3D de estruturas em situação

de incêndio

) e teve por base o programa Thersys 1.0 (Sistema para simulação via MEF

da distribuição 3D de temperatura em estruturas em situação de incêndio

desenvolvido por

RIBEIRO (2004) na Universidade Federal de Minas Gerais.

O programa

Thersys 2.0 foi elaborado na linguagem Delphi, utilizando-se o paradigma

de programação orientado a objetos. Essa metodologia de construção de códigos

computacionais tem conquistado campo na área de mecânica computacional devido às

características de modularidade, reusabilidade e de facilidade para efetuar novos

desenvolvimentos dos códigos.

242

Dentre as principais características do programa

Thersys 2.0, pode-se enumerar:

• Possibilidade de adoção de várias curvas de incêndio além da prescrita na norma

EN 1991-1-2:2002, inclusive, curvas provenientes de resultados de ensaios;

• Possibilidade de uso de qualquer material com todas as propriedades térmicas

variáveis com a temperatura, bem como possibilidade de modelagem da redução

do módulo de Young (rigidez) e da resistência com a temperatura;

• Condição de contorno “arrefecimento”, com uso do coeficiente de convecção

variável com a posição da face em relação ao vetor da gravidade (FIG.3.6);

• Possibilidade de uso de três algoritmos de solução para os sistemas de equações,

tanto térmico quanto mecânico, podendo-se empregar o algoritmo mais rápido

para cada modelo específico;

• Possibilidade de se considerar ou não a não-linearidade geométrica nas análises

mecânicas (regime de grandes deformações e grandes deslocamentos), sendo

possível a determinação da carga crítica de flambagem de um modelo qualquer;

• Disponibilidade de dois critérios de plastificação (não-linearidade material): von

Mises e Drucker-Prager, sendo possível a implementação de novos critérios

apenas derivando-se a classe básica

TModel;

• Possibilidade de cortar automaticamente o incremento de carga para melhorar a

convergência em análises mecânicas, bem como o incremento de tempo para

melhorar a convergência em análises termomecânicas.

Com o programa desenvolvido nesta pesquisa foi possível o estudo de alguns elementos

estruturais em situação de incêndio, conforme apresentado no capítulo 6.

Com relação à análise térmica, os algoritmos utilizados no presente trabalho foram

implementados e validados por RIBEIRO (2004). Desse modo, análises adicionais para

validação dessa implementação não são necessárias. Apenas para ilustração, estudou-se

o comportamento térmico de um pilar constituído por um perfil I revestido por concreto,

segundo HUANG

et al. (2007). Observou-se que a maior diferença entre os resultados

obtidos pelo programa e as respectivas temperaturas obtidas em experimentos foram de

8,2 % para

res

de 0,5 e de 10,6 % para

res

de 0,7.

243

Com relação à análise mecânica, deve-se destacar que os algoritmos implementados no

Thersys 2.0 têm por base o trabalho de SOUZA NETO (2006), conforme discutido no

capítulo 4. Souza Neto consolidou o funcionamento desses algoritmos por meio do

programa

HYPLAS (Program for implicit small and large strain finite element analysis

of hyperelastic and elastoplastic solids

), desenvolvido para análises mecânicas

bidimensionais.

Buscando validar e também demonstrar a potencialidade do programa

Thersys 2.0,

foram analisados vários exemplos com diferentes condições de contorno e utilizando-se

sempre o algoritmo de não-linearidade geométrica (em todos os modelos).

O primeiro exemplo foi relativo à flambagem global de um perfil de aço bi-apoiado e,

em uma segunda análise, engastado e livre. Nesse estudo demonstrou-se e validou-se a

capacidade do programa em análises com grandes deformações e grandes

deslocamentos. Incluiu-se ainda uma análise de flambagem elasto-plástica na qual a

força axial máxima obtida pelo

Thersys 2.0 foi 6,3 % menor que a força máxima teórica.

No que se refere a problemas envolvendo plasticidade, foi analisada a formação de

rótula plástica em uma viga mista de aço e concreto, utilizando-se os quatro ajustes para

o critério de Drucker-Prager descritos no capítulo 4. Os resultados obtidos com o

Thersys 2.0 apresentaram concordância razoável com os resultados obtidos por meio

dos procedimentos do EN 1994-1-1:2004, sendo que o modelo com o critério de

Drucker-Prager ajustado a partir do raio médio entre os vértices internos e externos do

critério de Mohr-Coulomb (DP4) mostrou a melhor concordância, atingindo 0,8928 do

momento de plastificação teórico.

Ainda envolvendo a plasticidade em análises puramente mecânicas, estudou-se também

a formação de rótula plástica em uma viga de aço com alma senoidal, obtendo-se o

momento máximo, por meio do

Thersys 2.0, 6,0 % maior que o momento teórico

apresentado por PLAIS (2005). O modelo analisado apresentou grandes deslocamentos

a partir do instante em que o incremento de carga no

Thersys 2.0 atinge o valor teórico,

demonstrando que, em tais tipos de viga, a contribuição da alma pode ser ignorada no

cálculo do momento de plastificação, como observado por PLAIS (2005).

244

Com relação à análise termomecânica (simulação de incêndios), o programa

Thersys 2.0

utiliza o procedimento de acoplamento fraco, também utilizado por VILA REAL (1993),

LANDESMANN (2003) e CALDAS (2008). Esse procedimento consiste em desacoplar

o problema térmico do problema mecânico de modo a se resolver consecutivamente

dois sistemas de equações independentes em cada intervalo de tempo.

Assim, visando validar e também demonstrar a potencialidade do programa

Thersys 2.0

na simulação de elementos estruturais em situação de incêndio, analisou-se vários

exemplos no presente trabalho, conforme discutidos a seguir.

O primeiro estudo consistiu na análise de um pilar de aço IPE360, bi-apoiado, com

ambas as extremidades sujeitas a uma força de compressão de 30% da força axial de

plastificação e ao momento fletor de 20% do momento de plastificação. Uma primeira

análise foi realizada com o perfil sujeito ao incêndio em três faces (a mesa comprimida

permaneceu protegida) e, na segunda análise, com todas as faces expostas ao incêndio.

Os tempos de resistência ao incêndio obtidos foram comparados com os apresentados

por

LANDESMANN et al. (2005) e por CALDAS (2008). No caso do incêndio em três

faces, a menor diferença foi obtida ao comparar os resultados do

Thersys 2.0 com o

programa SAFIR (+4,67 %) e, no caso do incêndio em quatro faces, com o programa

desenvolvido por Caldas (-3,09 %). Nesse estudo foi possível observar alguns efeitos

localizados, como o fluxo de cisalhamento nas extremidades do pilar devido ao

gradiente térmico entre a mesa protegida e a alma.

Ainda com relação a pilares de aço, estudou-se também o modelo de um pilar

H 400 x 400, bi-apoiado, sujeito a uma força axial de 3400 kN, com uma excentricidade

de 180 mm de modo a flexionar em torno do eixo de menor inércia. Os resultados

obtidos foram comparados com os oriundos do ensaio apresentado por WAINMAN e

KIRBY (1988a). Para uma emissividade resultante de 0,5, a análise numérica com o

Thersys 2.0 forneceu um tempo de resistência ao incêndio 7,2 % menor que o obtido no

ensaio. Ao se considerar a emissividade resultante de 0,7, a simulação numérica

resultou em um tempo de resistência 20,7 % menor que o experimental, evidenciando

que, nessa análise, a emissividade de 0,7 é relativamente severa.

245

Um outro estudo realizado consistiu na análise de uma viga de aço sujeita ao momento

fletor de 40% do momento de plastificação em ambas as extremidades. A viga é exposta

ao incêndio por três faces, de modo que a mesa comprimida permanece protegida do

incêndio. O tempo de resistência ao incêndio obtido com o

Thersys 2.0 foi comparado

com os apresentados por LANDESMANN

et al. (2005) e CALDAS (2008). A menor

diferença foi obtida ao comparar o resultado do

Thersys 2.0 com o programa

desenvolvido por Caldas (-4,21 %). Nesse exemplo, o deslocamento vertical no centro

do vão apresentou um bom ajuste entre o programa

Thersys 2.0 e os demais utilizados

como base de comparação.

Analisou-se também a viga de aço com alma senoidal para a qual foi realizada a análise

mecânica anteriormente citada. Nesse caso, a viga foi carregada com momentos nas

extremidades iguais a 40% do momento de plastificação e, posteriormente, simulou-se o

incêndio. No estudo, considerou-se a viga com a alma exposta ao incêndio e com uma

camada de Blaze Shield II de 12 mm e de 25 mm sobre a alma do perfil. No modelo

com a alma exposta, o perfil resistiu menos tempo que o previsto por cálculo analítico.

Observou-se que a mesa comprimida apresenta deslocamentos laterais elevados,

juntamente com a redução de rigidez da alma com a temperatura, que configuram

indícios de flambagem lateral com torção. O modelo com o revestimento de 12 mm

atingiu o mesmo tempo de resistência ao incêndio que o obtido via cálculo analítico, e

no modelo com 25 mm de revestimento, o tempo de resistência foi ainda maior, de

modo que a mesa comprimida apresentou pontos de escoamento localizado,

demonstrando a maior efetividade da alma em estabilizar a mesa do perfil.

Com relação aos elementos mistos de aço e concreto, estudou-se o comportamento de

um pilar misto tubular preenchido com concreto, apresentando as extremidades

engastadas e submetido a uma força axial de 3071 kN, equivalente a 60 minutos de

incêndio, conforme RIBEIRO

et al. (2008). O pilar foi analisado utilizando-se os quatro

ajustes para o critério de Drucker-Prager descritos no capítulo 4. Os resultados obtidos

apresentaram concordância razoável com a solução analítica obtida por RIBEIRO

et al.

(2008). O modelo com o critério de Drucker-Prager ajustado a partir do raio médio entre

os vértices internos e externos do critério de Mohr-Coulomb (DP4) apresentou o melhor

246

ajuste, sendo 19,5 % menor que o tempo de resistência ao incêndio obtido por Ribeiro.

Ao se comparar com o tempo de resistência obtido por TWILT

et al. (1994), para esse

mesmo estudo, o tempo de resistência obtido com o

Thersys 2.0 se mostrou 2,6 %

menor.

Outro elemento misto de aço e concreto analisado em situação de incêndio foi a viga

mista para a qual foi realizada a análise mecânica (anteriormente citada). O

carregamento aplicado foi calculado para que a viga suporte 30 minutos de incêndio,

segundo o estudo de FAKURY

et al. (2004). Também se considerou na análise, por

meio do

Thersys 2.0, os quatro ajustes para o critério de Drucker-Prager descritos no

capítulo 4, obtendo-se uma boa concordância com o tempo de resistência dado por

FAKURY

et al. (2004). Destacou-se que, para esse exemplo, o uso do critério de

Drucker-Prager ajustado com os vértices internos do critério de Mohr-Coulomb (DP3)

forneceu o melhor ajuste, resultando em um tempo de resistência ao incêndio 6,8 %

menor que o obtido por Fakury. O ajuste DP4, nesse caso, resultou em um tempo de

resistência 12,5 % maior que o obtido analiticamente.

Concluindo, por meio dos estudos de caso analisados observou-se que o programa

desenvolvido neste trabalho apresentou um bom ajuste entre os resultados obtidos e os

resultados de outros programas de elementos finitos, de ensaios ou de cálculos

analíticos com bases no EN 1992-1-2:2004, EN 1993-1-2:2005 e EN 1994-1-2:2005.

Assim, pode-se considerar o programa

Thersys 2.0 validado para análises térmicas,

mecânicas e termomecânicas (simulação de incêndios).

De modo geral, observou-se que os exemplos com elementos estruturais de aço

apresentaram uma boa concordância entre os resultados obtidos nas simulações com o

Thersys 2.0 e os resultados de outros programas, de ensaios e de métodos analíticos.

No entanto, os problemas que envolvem elementos estruturais de concreto apresentaram

uma dispersão dos resultados maior ou menor em função dos estados de tensão

presentes nos modelos e dos ajustes utilizados nas análises, devido ao uso do critério de

Drucker-Prager para modelagem do comportamento do concreto.

247

Observou-se ainda que, os estados de tensão predominantemente uniaxiais, como no

caso da viga mista, resultam em melhores ajustes do critério de Drucker-Prager,

enquanto que os estados de tensão multiaxiais, como no caso do pilar misto tubular,

resultam em ajustes com grande dispersão.

O uso de critérios mais apurados que Drucker-Prager deverá promover uma melhor

qualidade dos resultados. No entanto, ressalta-se que critérios com vértices que

permitem indeterminação do correto estado de tensões, como ocorre no critério de

Mohr-Coulomb quando algumas tensões principais são iguais (

devem ser evitados. Em estudos realizados ao longo do presente trabalho, o critério de

Mohr-Coulomb não demonstrou robustez devido ao problema citado, resultando

freqüentemente em instabilidade dos modelos numéricos, com interrupção prematura

das análises.

7.2 - Avaliação global do trabalho

O programa computacional desenvolvido no presente trabalho resolve o problema

acoplado de transferência de calor e análise de tensões, tendo-se em consideração a

degradação das propriedades dos materiais com a temperatura.

Comparando-se as pesquisas realizadas até o presente e as análises desenvolvidas neste

trabalho, pode-se considerar que o mesmo representa uma contribuição adicional no que

se refere à compreensão, caracterização e simulação do comportamento de estruturas de

aço e mistas de aço e concreto em situação de incêndio.

Assim, a contribuição principal do presente trabalho encontra-se no desenvolvimento de

uma ferramenta sofisticada que permite promover novas pesquisas na área de estruturas

em situação de incêndio, devido à sua facilidade para simular o comportamento de

estruturas considerando-se a não-linearidade geométrica e material em altas

temperaturas. Adicionalmente, esse trabalho não encerra em si próprio, visto que a

estrutura do programa orientada a objeto permite o teste e a implementação de novos

algoritmos, de modo a simular o comportamento de elementos estruturais com

geometrias e características diversas das aqui apresentadas.

248

7.3 - Sugestões para trabalhos futuros

Durante o desenvolvimento do presente trabalho, observou-se que alguns fenômenos e

comportamentos estruturais merecem estudos complementares e podem ser abordados

em pesquisas posteriores. Assim, os seguintes temas são sugeridos:

• Analisar a possibilidade de implementação de relações constitutivas mais

apuradas para simulação do comportamento do concreto. Sugere-se o estudo dos

critérios de Ottosen e Willam-Warnke, conforme comentado no capítulo 4;

• Visto que o concreto é tratado como um material com a superfície de

escoamento dependente da tensão média, ou seja, sem o fechamento da mesma

na direção da tensão hidrostática compressiva, propõe-se analisar a

implementação de modelos de fissuração no

Thersys 2.0, bem como o

comportamento desses modelos em alta temperatura;

• No caso das vigas de aço de alma senoidal em situação de incêndio, observou-se

na literatura uma grande deficiência atual de dados experimentais, sendo uma

frente de pesquisa ainda com grande potencial de desenvolvimento;

• No decorrer deste trabalho, visando a simulação de flambagem local em perfis

de aço, estudou-se a aplicação do Método dos Elementos Finitos ao problema de

flambagem de placas por meio de elementos tridimensionais sólidos (tetraedros

e hexaedros). Porém, devido à grande diferença entre a espessura e as demais

dimensões das placas, os geradores de malha criam elementos muito distorcidos

e os resultados obtidos mostram um elevado enrijecimento dos modelos,

resultando em cargas críticas de flambagem da ordem de 5,4 vezes os valores

limites obtidos por cálculos analíticos.

Segundo CASTRO E SILVA (2006), os elementos sólidos tradicionais não

representam bem o comportamento de placas, principalmente em casos de

instabilidade. Em tais casos, uma melhor precisão pode ser obtida ao se utilizar o

elemento do tipo

shell.

249

Assim, como solução para esse tipo de simulação, recomenda-se o estudo da

flambagem de placas por meio de elementos tridimensionais enriquecidos com

funções adicionais. Alternativamente, caso a implementação do elemento do tipo

shell seja mais interessante, recomenda-se o estudo de métodos para estimar a

distribuição de temperatura ao longo da espessura desse tipo de elemento, bem

como a sua influência na rigidez, na resistência e no desenvolvimento das

tensões e deformações de origem térmica.

• Ao longo do presente trabalho estudou-se o desenvolvimento de um modelo

numérico para modelagem da transferência de calor por radiação em domínios

não sólidos, o que viabilizaria a análise de proteções térmicas do tipo caixa,

conforme sugerido por RIBEIRO (2004). No entanto, os resultados obtidos

divergiram dos cálculos analíticos com base na Transferência de Calor. Assim,

visando eliminar uma limitação atual do programa

Thersys 2.0, sugere-se o

estudo e desenvolvimento desse tema.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Referências Bibliográficas

ABNT, NBR 14323. “Dimensionamento de estruturas de aço de edifícios em

situação de incêndio”, Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro,

1999.

ABNT, PR-NBR 14323. “Dimensionamento de estruturas de aço e de estruturas

mistas aço-concreto de edifícios em situação de incêndio”, Associação Brasileira

de Normas Técnicas, Projeto de Revisão da NBR 14323, 2003. (Disponível no sítio

www.dees.ufmg.br, em 12/10/2009).

ABNT, NBR 8800. “Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios”,

Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, 1986.

BAILEY, C. G. “Membrane action of composite floor systems in fire”. Third

International Workshop – Structures in Fire. Paper S7-1. p. 335-352. Ottawa –

Canada, 2004.

BAILEY, C. G. “Membrane action of unrestrained lightly reinforced concrete slabs

at large displacements”. Engineering Structures, 23. p. 470-483. Reino Unido,

2001.

BARNETT, C. “Fire safety in tall buildings”. Council on Tall Buildings and Urban

Habitat. Committee 8A. McGraw-Hill, Inc. United States of America, 1992.

BARNETT, C. R. “BFD curve: a new empirical model for fire compartment

temperatures”. Fire Safety Journal 37. p. 437-463. Elsevier Science Ltd, 2002a.

BARNETT, C. R. “Erratum to BFD curve: a new empirical model for fire

compartment temperatures”. Fire Safety Journal 37. p. 719. Elsevier Science Ltd,

2002b.

251

BATHE, K. J. “Finite Element Procedures”. Prentice-Hall. New Jersey, EUA, 1996.

10.

BRUHNS, O. T.; XIAO, H. e MEYERS, A. “Finite bending of a rectangular block

of an elastic Hencky material”. Journal of Elasticity, Springer, Holanda, 2004.

11.

CALDAS, R. B. “Análise numérica de estruturas de aço, concreto e mistas em

situação de incêndio”. Tese de Doutorado. Curso de Pós-Graduação em Engenharia

de Estruturas. Escola de Engenharia da UFMG. Belo Horizonte, 2008.

12.

CARLSON, D. E. e HOGER, A. “The derivative of a tensor-valued function of a

tensor”. Quart. Appl. Math. 44 (3). p. 409-423. 1986.

13.

CASTRO E SILVA, A. L. R. “Análise numérica não-linear da flambagem local de

perfis de aço estrutural submetidos à compressão uniaxial”. Tese de Doutorado.

Curso de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas. Escola de Engenharia da

UFMG. Belo Horizonte, 2006.

14.

CEB – FIP MODEL CODE. “Design of concrete structures for fire resistance.

Preliminar draft of appendix to the CEB – FIP Model Code”, 1982.

15.

CEN, EN 1991-1-2:2002: “Actions on structures: Part 1-2: General actions –

Actions on structures exposed to fire”. EUROCODE 1, European Committee for

Standardization, Bruxelas, Bélgica, 2002.

16.

CEN, EN 1992-1-1:2004: “Design of concrete structures: Part 1-1: General rules

and rules for buildings”. EUROCODE 2, European Committee for Standardization,

Bruxelas, Bélgica, 2004.

17.

CEN, EN 1992-1-2:2004: “Design of concrete structures: Part 1-2: General rules –

Structural fire design”. EUROCODE 2, European Committee for Standardization,

Bruxelas, Bélgica, 2004.

18.

CEN, EN 1993-1-2:1995: “Design of steel structures: Part 1-2: General rules –

Structural fire design”. EUROCODE 3, European Committee for Standardization,

Bruxelas, Bélgica, 1995.

252

19.

CEN, EN 1993-1-2:2005: “Design of steel structures: Part 1-2: General rules –

Structural fire design”. EUROCODE 3, European Committee for Standardization,

Bruxelas, Bélgica, 2005.

20.

CEN, EN 1994-1-1:2004: “Design of composite steel and concrete structures: Part

1-1: General rules and rules for buildings”. EUROCODE 4, European Committee

for Standardization, Bruxelas, Bélgica, 2004.

21.

CEN, EN 1994-1-2:1994: “Design of composite steel and concrete structures: Part

1-2: General rules – Structural fire design”. EUROCODE 4, European Committee

for Standardization, Bruxelas, Bélgica, 1994.

22.

CEN, EN 1994-1-2:2005: “Design of composite steel and concrete structures: Part

1-2: General rules – Structural fire design”. EUROCODE 4, European Committee

for Standardization, Bruxelas, Bélgica, 2005.

23.

CHEN, W. F. “Plasticity in Reinforced Concrete”. McGraw-Hill. Nova Iorque,

1982.

24.

CHEN, W. F. e HAN, D. J. “Plasticity for Structural Engineers”. Springer-Verlag.

Nova Iorque, 1988.

25.

CHEN, W. F. e ZHANG, H. “Structural Plasticity – Theory, Problems, and CAE

Software”. Springer-Verlag. Nova Iorque, 1991.

26.

CIMNE. Centro Internacional de Métodos Numéricos em Engenharia. GID Pré/pos

Processador Gráfico – Versão 7.2. Barcelona, 2004.

27.

COSTA, C. N. “Dimensionamento de elementos de concreto armado em situação

de incêndio”. Tese de Doutorado. Escola Politécnica, Universidade de São Paulo.

São Paulo, 2008.

28.

COSTA, R. E. N. “Projeto de pilares mistos preenchidos com concreto refratário de

alto desempenho à temperatura ambiente e em situação de incêndio”. Dissertação

253

de Mestrado. Curso de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas. Escola de

Engenharia da UFMG. Belo Horizonte, 2005.

29.

CRISFIELD, M. A. “Finite elements and solution procedures for structural

analysis”. Vol I: linear analysis. Pineridge Press Limited. Swansea, Reino Unido,

1986.

30.

CRISFIELD, M. A. “Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures”.

Volume 1: Essentials. John Wiley & Sons. Chichester, 1991.

31.

CRISFIELD, M. A. “Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures”.

Volume 2: Advanced Topics. John Wiley & Sons. Chichester, 1997.

32.

FAKURY, R. H. “Estudos Avançados em Estruturas de Aço”. Publicação Interna

do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas da UFMG. Belo

Horizonte, 2000.

33.

FAKURY, R. H. e RIBEIRO, J. C. L. “ISOBRAX – Cartas de cobertura”.

Relatório de Consultoria Técnica à Magnesita S. A., Escola de Engenharia da

UFMG. Belo Horizonte, 2005.

34.

FAKURY, R. H.; RIBEIRO, J. C. L. e LAS CASAS, E. B. “Projeto de vigas mistas

semicontínuas em situação de incêndio a partir de análise térmica via MEF”. XXXI

Jornadas Sud-Americanas de Ingeniería Estructural. 20 p. Mendoza – Argentina,

2004.

35.

FAKURY, R. H.; RIBEIRO, J. C. L.; LAS CASAS, E. B. e PANNONI, F. D.

“Projeto de pisos mistos aço-concreto em situação de incêndio considerando a

interação entre vigas e laje”. XXXI Jornadas Sud-Americanas de Ingeniería

Estructural. p. 19. Mendoza – Argentina, 2004a.

36.

FAKURY, R. H.; RIBEIRO, J. C. L.; LAS CASAS, E. B. e PANNONI, F. D. “Um

método avançado de cálculo para pisos mistos de aço e concreto em situação de

254

incêndio”. XXV Iberian Latin American Congress on Computational Methods in

Engineering. p. 17. Recife – Brasil, 2004b.

37.

FIGUEIREDO Jr., F. P. “Simulação via método dos elementos finitos da

distribuição de temperatura em estruturas metálicas e mistas no caso de incêndio”.

Dissertação de Mestrado. Curso de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas.

Escola de Engenharia da UFMG. Belo Horizonte, 2002.

38.

FOSTER, S. J.; BURGESS, I. W. e PLANK, R. J. “High-temperature experiments

on model-scale concrete slabs at high displacement”. Third International Workshop

– Structures in Fire. Paper S5-5. p. 259-270. Ottawa – Canada, 2004.

39.

FRANSSEN, J. M. e ZAHARIA, R. “Design of steel structures subjected to fire –

Background and design guide to Eurocode 3”. 2

edition, Les Éditions de

l’Université de Liège. Bélgica, 2006.

40.

FRATTI, J. M. “Análise inelástica de estruturas metálicas com ligações semi-

rígidas em situação de incêndio”. Dissertação de Mestrado. Programa de Pós-

Graduação em Engenharia, COPPE/UFRJ. Rio de Janeiro, 2009.

41.

GHOJEL, J. I. “A new approach to modeling heat transfer in compartment fires”.

Fire Safety Journal 31. p. 227-237. Elsevier Science Ltd, 1998.

42.

GUIMARÃES, P. P. O. “Sobre o dimensionamento do revestimento contra fogo de

estruturas de aço”. Dissertação de Mestrado. Escola Politécnica, Universidade de

São Paulo. São Paulo, 2007.

43.

HIBBITT; KARLSSON e SORENSEN, Inc. “Abaqus – Theory Manual – Release

6.3”. HKS. Pawtucket, 1998.

44.

HOGGE, M. A. “Comparison of Two-Level and Tree-Level Integration Schemes

for Non-Linear Heat Conduction” in ZIENKIEWICZ, O. C., LEWIS, R. W. and

MORGAN, K. “Numerical Methods in Heat Transfer” – Chapter 4. p. 75-90. John

Wiley & Sons LTD. Reino Unido, Bristol, 1981.

255

45.

HUANG, H. C. e USMANI, A. S. “Finite element analysis of heat transfer”.

Springer-Verlag London Limited, 1994.

46.

HUANG, Z. F., TAN, K. H., PHNG, G. H. “Axial Restraint Effects on the Fire

Resistance of Composite Columns Encasing I-Section Steel”. J. Constr. Steel Res.,

63. p. 437-447. 2007.

47.

HUANG, Z.; BURGESS, I. W. e PLANK, R. J. “3D modeling of beam-columns

with general cross-sections in fire”. Third International Workshop – Structures in

Fire. Paper S6-5. p. 323-334. Ottawa – Canada, 2004.

48.

HUANG, Z.; BURGESS, I. W. e PLANK, R. J. “Non-linear modelling of three

full-scale structural fire tests”. Proc. First International Workshop on Structures in

Fire. p. 53-70. Copenhagen, 2000.

49.

INCROPERA, F. P. e DEWITT, D. P. “Fundamentos de transferência de calor e de

massa”. Terceira edição. Editora Guanabara Koogan S. A. Rio de Janeiro, 1992.

50.

ISO 834-1. Fire resistance tests – Elements of buildings construction, Part 1:

General requirements. ISO – International Organization for Standardization.

Geneva, 1999.

51.

JOHANSSON, M. e GYLLTOFT, K. “Structural behavior of slender circular steel-

concrete composite columns under various means of load application”. Steel and

Composite Structures. Vol. 1, No. 4. p. 393-410. 2001.

52.

KIMURA, E. F. A. “Análise termo-estrutural de pilares de aço em situação de

incêndio”. Dissertação de Mestrado. Escola de Engenharia de São Carlos,

Universidade de São Paulo. São Carlos, 2007.

53.

KIRCHHOF, L. D. “Análise numérica de vigas mistas aço-concreto em

temperatura ambiente e em situação de incêndio”. Dissertação de Mestrado.

Universidade de São Paulo – Engenharia Civil. São Carlos, 2004.

256

54.

KOHNKE, Peter. “ANSYS – Theory Reference – Release 5.4”. SAS IP.

Canonsburg – PA, 1997.

55.

LANDESMANN, A.; BATISTA, E. M.; ALVES, J. L. D. “Implementation of

advanced analysis method for steel-framed structures under fire conditions”. Fire

Safety Journal, vol. 40, p. 339-366. 2005.

56.

LANDESMANN, Alexandre. “Modelo não-linear inelástico para análise de

estruturas metálicas aporticadas em condições de incêndio”. Tese de Doutorado

apresentada ao Programa de Pós-Graduação de Engenharia da UFRJ. Rio de

Janeiro, 2003.

57.

LAWSON, R. M. “Fire engineering design of steel and composite buildings”.

Journal of Constructional Steel Research 57. p. 1233-1247. Elsevier Science Ltd,

2001.

58.

LIM, L.; BUCHANAN, A. e MOSS, P. “Analysis and design of reinforced

concrete slabs exposed to fires”. Third International Workshop – Structures in Fire.

Paper S7-2. p. 353-368. Ottawa – Canada, 2004.

59.

LOURENÇO, P. B. “Métodos computacionais na mecânica dos sólidos não-

linear”. Relatório 99-DEC/E-1. Guimarães – Portugal, 1999.

60.

MARTINS, M. M. “Dimensionamento de estruturas de aço em situação de

incêndio”. Dissertação de Mestrado. Curso de Pós-Graduação em Engenharia de

Estruturas. Escola de Engenharia da UFMG. Belo Horizonte, 2000.

61.

MOUÇO, D. L. “Modelo inelástico para análise avançada de estruturas mistas aço-

concreto em situação de incêndio”. Dissertação de Mestrado. Programa de Pós-

Graduação em Engenharia, COPPE/UFRJ. Rio de Janeiro, 2008.

62.

NÓBREGA, A. P. M. “Análise do comportamento de pilares mistos aço-concreto

em situação de incêndio”. Dissertação de Mestrado. Curso de Pós-Graduação em

Engenharia de Estruturas. Escola de Engenharia da UFMG. Belo Horizonte, 2003.

257

63.

OGDEN, R. W. “Non-linear elastic deformations”. Ellis Horwood. Chichester, 1984.

64.

PLAIS, W. “Perfis de alma senoidal”, Versão 1.0, CODEME Engenharia S. A.,

Betim, Brasil, 2005.

65.

PRESS, W. H.; FLANNERY, B. P.; TEUKOLSKY, S. A. e VETTERLING, W. T.

“Numerical recipes in Pascal”. Cambridge University Press. Nova Iorque, EUA,

1990.

66.

PRESSMAN, Roger S. “Engenharia de Software”. Makron Books do Brasil, 1995.

67.

REGOBELLO, R. “Análise numérica de seções transversais e de elementos

estruturais de aço e misto de aço e concreto em situação de incêndio”. Dissertação

de Mestrado. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São

Carlos, 2007.

68.

RIBEIRO, J. C. L. “Simulação via método dos elementos finitos da distribuição

tridimensional de temperatura em estruturas em situação de incêndio”. Dissertação

de Mestrado. Curso de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas. Escola de

Engenharia da UFMG. Belo Horizonte, 2004.

69.

RIBEIRO, J. C. L.; FAKURY, R. H.; LAS CASAS, E. B. “Eurocode structural fire

design and its application for composite circular hollow section columns”. Journal

of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, vol. XXX, No 1,

p.39-46. 2008.

70.

SCHLEICH, J. B.; BOUILLETTE, J. P.; HASS, R.; PRESTON, R. e SANDMAN,

T. “International - Fire engineering design for steel structures: state of the art”.

International Iron and Steel Institute. Bruxelas, 1993.

71.

SEITO, A. I.; GILL, A. A.; PANNONI, F. D.; ONO, R.; SILVA, S. B.; DEL

CARLO, U.; SILVA, V. P. “A segurança contra incêndio no Brasil”. Projeto

Editora, São Paulo, 2008.

258

72.

SILVA, C. J. e CALMON, J. L. “Análise térmica bidimensional em regime

transiente pelo Método dos Elementos Finitos. Aplicação em estruturas metálicas e

mistas em condições de incêndio”. Revista Engenharia, Ciência e Tecnologia –

Edição nº 17. p. 72-82. Setembro / Outubro, 2000.

73.

SILVA, V. P. “Estruturas de aço em situação de incêndio”. Tese de Doutorado.

Escola Politécnica (PEF). São Paulo, 1997.

74.

SILVA, V. P. “Estruturas de aço em situação de incêndio”. Zigurate Editora. São

Paulo, 2001.

75.

SILVA, V. P. e FAKURY, R. H. “Brazilian standards for steel structures fire

design”. Fire Safety Journal 37. p. 217-227. Elsevier Science Ltd. 2002.

76.

SIMO, J. C. e HUGHES, T. J. R. “Computational Inelasticity”. Springer-Verlag.

Nova Iorque, 1997.

77.

SMITH, I. M. e GRIFFITHS, D. V. “Programming the Finite Element Method”.

Third Edition. John Wiley & Sons. Chichester, 1997.

78.

SOUZA NETO, E. A.; PERIĆ, D. e OWEN, D. R. J. “Computational methods for

plasticity: Theory and application”. Draft version of 1

edition distributed in Non-

Linear Computational Mechanic Course - UFMG. Belo Horizonte, 2006.

79.

SPÍNDOLA, C. C. “Dimensionamento de pisos mistos em situação de incêndio

com proteção apenas nas vigas principais”. Dissertação de Mestrado. Curso de Pós-

Graduação em Engenharia de Estruturas. Escola de Engenharia da UFMG. Belo

Horizonte, 2002.

80.

SUAZNÁBAR VELARDE, J. S. “Sobre o comportamento de pilares de aço em

situação de incêndio”. Dissertação de Mestrado. Escola Politécnica, Universidade

de São Paulo. São Paulo, 2008.

259

81.

TWILT, L.; HASS, R.; KLINGSCH, W.; EDWARDS, M.; DUTTA. D. “Design

guide for structural hollow section columns exposed to fire”. Construction with

hollow steel sections, CIDECT. Verlag TÜV Rheinland, Alemanha, 1994.

82.

VILA REAL, P. M. M. “Incêndio em estruturas metálicas – Cálculo estrutural”.

Edições Orion, 1ª edição. Amadora – Portugal, 2003.

83.

VILA REAL, P. M. M. “Modelação por elementos finitos da solidificação e

comportamento termo-mecânico de peças vazadas em moldações metálicas”. Tese

de Doutorado. Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto –

Portugal, 1993.

84.

VILA REAL, P. M. M. “Modelação por elementos finitos do comportamento

térmico e termo-elástico de sólidos sujeitos a elevados gradientes térmicos”.

Dissertação de Mestrado. Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto,

Porto – Portugal, 1988.

85.

VILA REAL, P. M. M. e OLIVEIRA, C. A. M. “Modelação por elementos finitos

do comportamento térmico de perfis metálicos sujeitos à acção do fogo”. V

Encontro Nacional de Mecânica Computacional. p. 415-424. Guimarães – Portugal,

1997.

86.

VILA REAL, P. M. M.; CAZELI, R.; SIMÕES DA SILVA, L.; SANTIAGO, A. e

PILOTO, P. “The effect of residual stresses in the lateral-torsional buckling of steel

I-beams at elevated temperature”. EuroSteel. p. 1437-1448. Coimbra – Portugal,

2002.

87.

VILA REAL, P. M. M.; LOPES, N.; SIMÕES DA SILVA, L. e FRANSSEN, J. M.

“Improvement of the current version of the EC3 for the lateral-torsional buckling of

unrestrained steel beams under fire conditions”. Third International Workshop –

Structures in Fire. Paper S4-2. p. 169-186. Ottawa – Canada, 2004.

88.

WAINMAN, D. E. e KIRBY, B. R. “Compendium of UK standard fire test data –

unprotected structural steel – 1”. BSC Swinden Laboratories. Reino Unido, 1988a.

260

89.

WAINMAN, D. E. e KIRBY, B. R. “Compendium of UK standard fire test data –

unprotected structural steel – 2”. BSC Swinden Laboratories. Reino Unido, 1988b.

90.

WANG, Y. C. “Steel and composite structures – Behaviour and design for fire

safety”. Spon Press, 1

edition. Londres, Reino Unido, 2002.

91.

WEAVER, W. e JOHNSTON, P. R. “Finite elements for structural analysis”.

Prentice-Hall, Inc. Nova Jersey, 1984.

92.

WOOLLEY, W. D. “Fire protection for structural steel in buildings”. ASFPCM /

SCI / FTSG. Second edition - Yellow book. Reino Unido, 1988.

93.

ZÁRATE, F. C. e OÑATE, E. “Caltep: Programa para el cálculo transitorio de la

ecuación de Poisson”. Publicação CIMNE nº 27. Barcelona, 1993.

______________________

Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
 
Milhares de Livros para Download:
 
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas

Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
 
 