ads:
Desemaranhamento de Qutrits
Breno Marques Gon¸calves Teixeira
Mar¸co de 2009
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Desemaranhamento de Qutrits
Breno Marques Gon¸calves Teixeira
Orientador: Marcelo Pale´ologo Fran¸ca Santos
Disserta¸c˜ao apresentada `a Universidade Federal de Minas Gerais como requisito parcial para a
obten¸c˜ao do grau de Mestre em F´ısica.
Mar¸co de 2009
ads:
Agradecimentos
Agrade¸co aos meus pais e minha irm˜a que sempre me apoiaram em todas as situa¸c˜oes.
Agrade¸co `a Ana que, ao longo dessa jornada sem fim na f´ısica, sempre esteve ao meu lado.
Agradecer sogra deve dar azar, mas mesmo assim agrade¸co `afam´ılia da Ana que eu gosto tanto.
Agrade¸co ao Grupo Enlight que al´em de ´otimos amigos, s˜ao pessoas muito boas de trabalhar
junto. Sem a ajuda de todos essa disserta¸c˜ao n˜ao sairia. Um agradecimento especial ao Professor
Marcelo Fran¸ca Santos por me suportar como orientado.
Agrade¸co a meu colegas de sala, exceto o Edmilson, por serem grandes amigos, pelas horas
de estudos juntos, pelas discuss˜oes, as vezes, n˜ao muito produtivas, mas bastante engra¸cadas.
Agrade¸co `a turma do Anta Vesga que, com certeza, sem eles n˜ao teria chegado onde
estou agora. Pelos dias de zua¸c˜ao em Maravilhas e em Belo Horizonte, que n˜ao me deixaram
enlouquecer mais do que sou.
Agrade¸co ao CNPq, a Fapemig e ao Instituto Milˆenio de Informa¸c˜ao Quˆantica pelo suporte
financeiro.
i
Resumo
Sistemas emaranhados que interagem com o ambiente tendem a perder o emaranhamento.
Para sistemas 2 ⊗ 2 (dois qubits) que interagem com um reservat´orio de emiss˜ao espontˆanea,
foi mostrado que h´a essencialmente duas dinˆamicas: morte s´ubita e decaimento assimpt´otico
[1]. Alguns trabalhos estudaram o comportamento do emaranhamento para sistemas bipartites
de maior dimens˜ao, tamb´em com intera¸c˜ao com o ambiente. Por exemplo, Lastra et al. [2]
mostram que em sistemas de maior dimens˜ao pode haver mudan¸caabruptadadinˆamica de
desemaranhamento, al´em da morte s´ubita j´a estudada.
Neste trabalho estudamos como a evolu¸c˜ao do emaranhamento em um sistema quˆantico
constitu´ıdo de dois qutrits que interagem com o ambiente de forma independente varia com a
mudan¸ca da configura¸c˜ao dos n´ıveis de energia de cada subsistema. Para isso, utilizaremos a
Negatividade [3] como quantificador de emaranhamento,que informa sobre o emaranhamento
livre (destil´avel) [4], recurso, esse, importante para protocolos de Informa¸c˜ao Quˆantica [5]. Para
fazer o c´alculo da dinˆamica, utilizaremos Trajet´orias Quˆanticas [6, 7] que permitem simular
computacionalmente sistemas quˆanticos. Esse m´etodo ´e equivalente a resolver a Equa¸c˜ao
Mestra [6, 8] e relaciona-se com realiza¸c˜oes experimentais em que obt´em-se informa¸c˜ao sobre o
sistema a partir do monitoramento do reservat´orio.
ii
Abstract
The interaction of entanglement system with the enviroment tends to degrade the entanglement.
It has been shown that, for 2 ⊗ 2 system (two qubits) interacting with spontaneus emission
reservoir there are essentially two types of dynamics: sudden death and asymptotic decay
of entanglement [1]. The entanglement behavior for bibartite systems of higher dimension
interacting with the enviroment has also been subject of some studies. Lastra et. al. [2]
showed that, in system higher dimension, the disentanglement dynamics may present abrupt
changes, along with sudden death.
In this work we study quantum system of two qutrits that interact with the enviroment
indenpendly, and how the entanglement evolution of these systems changes for different internal
level configuration of each subsystem. Therefore, we use Negativity [3] as an entanglement
quantifier that gives information on free entanglement (distillable) [4], which is important
to quantum information protocols [5]. The dynamics calculation is done using Quantum
Trajectories Method [6, 7],with allow us to computationally simulate quantum system. This
method is equivalent to solving the Master Equation [6, 8] and is related to experiments in wich
information on the system is obtained by monitoring the reservoir.
iii
Conte´udo
Agradecimentos i
Resumo ii
Abstract iii
Introdu¸c˜ao vi
1 Correla¸c˜oes 1
1.1 Correla¸c˜oes Cl´assicas ................................. 1
1.2 Correla¸c˜oes Quˆanticas ................................ 3
1.3 Crit´eriodePeres-HorodeckieNegatividade..................... 5
1.3.1 Crit´erio de Separabilidade . . ........................ 5
1.3.2 Emaranhamento Destil´avel.......................... 8
2Evolu¸c˜ao Temporal de Sistemas Quˆanticos 11
2.1 SistemasFechados .................................. 11
2.2 SistemasAbertos ................................... 13
2.3 Opera¸c˜oes Quˆanticas ................................. 14
2.4 Equa¸c˜aoMestra.................................... 15
2.5 Reservat´orio de Emiss˜ao Espontˆanea ........................ 19
3Trajet´orias Quˆanticas 24
3.1 Processo Estoc´astico Cl´assico ............................ 24
3.2 Processo Estoc´astico Quˆantico, Trajet´orias Quˆanticas............... 26
3.3 Equivalˆencia entre Trajet´orias Quˆanticas e Equa¸c˜aoMestra............ 27
3.4 An´alise usando Trajet´orias QuˆanticasdeumQubitemumReservat´orio de Emiss˜ao 30
3.5 An´alise usando Trajet´orias Quˆanticas de dois Qubits emaranhados em
Reservat´orios de Emiss˜aoIndependente....................... 32
4Dinˆamica de Dois Qutrits 33
4.1 O Que
´
EUmQutrit?................................. 33
4.2 DesemaranhamentoEntreDoisQutrits....................... 35
4.2.1 Configura¸c˜aoCascata-Cascata........................ 36
4.2.2 Configura¸c˜aoV-V............................... 38
4.2.3 Configura¸c˜aoLambda-Lambda ....................... 40
4.3 Dinˆamica de Emaranhamento de Uma Trajet´oria ................. 42
4.4 Solu¸c˜ao Anal´ıtica para Trajet´oriasSemSaltos ................... 46
4.4.1 Cascata-CascataeV-V............................ 46
4.4.2 Lambda-Lambda ............................... 46
iv
4.5 Compara¸c˜ao Entre Diferentes Configura¸c˜oesdeEnergia.............. 47
5Conclus˜oes 50
v
Introdu¸c˜ao
Os primeiros passos da Mecˆanica Quˆantica foram dados no come¸co do s´eculo XX, quando se
fez necess´aria outra teoria para explicar fenˆomenos exclusivamente microsc´opicos, por exemplo
as linhas espectrais de um ´atomo (a referˆencia [9] apresenta os fatos que deram origem `aF´ısica
Quˆantica de forma cronolˆogica). A cria¸c˜ao de um dicotomismo entre f´ısica cl´assica e quˆantica
foi fortalecida por outros fenˆomenos observados posteriormente que s´o eram explicados usando
o formalismo da mecˆanica quˆantica. Mas o que parecia o inferno, come¸ca a tomar forma e
entre perguntas (algumas ainda n˜ao respondidas) e respostas, surge uma teoria que descreve o
mundo microsc´opio com ´otima fidelidade e introduz uma nova forma de ver a natureza, onde as
grandezas f´ısicas s˜ao descritas por operadores, o sistema f´ısico ´e descrito por um vetor complexo,
etc.
Em seu processo de crescimento em descrever o micro, a Mecˆanica Quˆantica mostra suas
estranhas peculiaridades: n˜ao determina¸c˜ao absoluta dos graus de liberdade, tunelamento,
emaranhamento, dentre outras. O que j´asa´ıa do senso comum, coloca agora todo o nosso
instinto em xeque. Entretanto, o que parece ser o fim ´e, na verdade, o come¸co de uma
nova hist´oria. Mesmo com perguntas ainda sem respostas definitivas como a de Einsten,
Rosen e Podolski [10], a mecˆanica quˆantica tr´as infinidades de poss´ıveis aplica¸c˜oes de efeitos
exclusivamente quˆanticos. Por exemplo, o emaranhamento [11], principal motivador de um dos
debates cient´ıficos mais famosos no s´eculo XX (ou at´edahist´oria da f´ısica), aparece, atualmente,
como uma das propriedades quˆanticas mais estudadas. O impressionante ´e o aparecimento
desta propriedade como um recurso para fazer Informa¸c˜ao Quˆantica [5], que ´e a abordagem
que possibilita o uso de quˆantica para produzir, manipular e transmitir informa¸c˜ao. An´alogo
`aInforma¸c˜ao Cl´assica [12], essa nova teoria usa canais de comunica¸c˜ao, portas l´ogicas e tem
como principal portador de informa¸c˜ao os qubits [13] (um sistema quˆantico de dois n´ıveis, o
an´alogo quˆantico de um bit cl´assico).
Nessa disserta¸c˜ao, estudaremos propriedades dinˆamicas do emaranhamento em sistemas
quˆanticos abertos. S˜ao ditos abertos sistemas que possuem intera¸c˜ao com o ambiente (sistema
com muitos graus de liberdade). Em quˆantica, pela caracter´ıstica probabilisticas dos estados
f´ısicos, se faz necess´ario o conceito de ensemble: idealiza¸c˜ao de um n´umero grande de c´opias do
sistema, considerando-se todas de uma s´o vez, cada uma representando poss´ıveis estados que
o sistema real pode ter. Em sistemas abertos, uma descri¸c˜ao natural da evolu¸c˜ao temporal
desses ensembles ´eobtidaapartirdeumaequa¸c˜ao mestra. Nessa disserta¸c˜ao, contudo,
aplicaremos um tratamento equivalente, desenvolvido em [6, 7], chamado de Trajet´orias
Quˆanticas. Esse tratamento permite acompanhar, atrav´es do monitoramento do reservat´orio,
as diferentes evolu¸c˜oes poss´ıveis de cada realiza¸c˜ao desses ensembles, facilitando, assim, o
tempo de computa¸c˜ao e enriquecendo a an´alise te´orica como mostraremos ao longo do trabalho.
Nesse trabalho, em particular, estudaremos como a evolu¸c˜ao do emaranhamento em sistemas
quˆanticos 3 ⊗ 3 (dois qutrits) que interagem, individualmente, com o ambiente varia se
mudarmos as configura¸c˜oes dos n´ıveis internos de energia de cada qutrit ou as condi¸c˜oes iniciais
do sistema.
vi
O primeiro Cap´ıtulo discute sobre o principal recurso usado para fazer Informa¸c˜ao Quˆantica.
A discuss˜ao ´e iniciada comparando-se estados cl´assicos e quˆanticos, e mostrando como
o emaranhamento aparece como uma caracter´ıstica exclusivamente quˆantica. Essa parte
familiariza o leitor com a nota¸c˜ao que ser´a usada ao longo dessa jornada. Para usar o
emaranhamento como recurso, ´e preciso quantific´a-lo, por isso, vamos introduzir o conceito de
Negatividade, criado em [3, 4, 14], que ´eumdosposs´ıveis quantificadores de emaranhamento
de dois qubits e indica o emaranhamento de sistemas mais complexos.
O segundo Cap´ıtulo fala sobre a dinˆamica de estados quˆanticos, passando rapidamente por
sistemas isolados e concentrando-se na an´alise de sistemas quˆanticos abertos. Um sistema
isolado tem uma dinˆamica completamente diferente de um sistema que est´aimersoemum
banho t´ermico ou interagindo com outro do qual n˜ao se tem controle (o ambiente, neste caso,
onde o sistema est´a imerso). Por menor que essa intera¸c˜ao seja, n˜ao pode ser desconsiderada.
Uma maneira de analisar matematicamente a dinˆamicadeumsistemaquesecomunicacomo
ambiente ´e atrav´es de uma equa¸c˜ao Mestra [6, 8]. Essa equa¸c˜ao, fornece uma forma simples de
descrever sistemas em condi¸c˜oes muito pr´oximas das reais.
O terceiro cap´ıtulo introduz as Trajet´orias Quˆanticas [6, 7] que tamb´em permitem a analise
de qualquer dinˆamica de um sistema quˆantico. Em particular, pode-se usar esse m´etodo para
resolver numericamente dinˆamicas descritas pela equa¸c˜ao Mestra. Al´em disso, pode-se us´a-lo
tamb´em para analisar efeitos em realiza¸c˜oes ´unicas de experimentos, servindo como ferramenta
para algumas experiˆencias feitas atualmente em
´
Optica Quˆantica [15].
O quarto e ´ultimo cap´ıtulo fala sobre um caso especial de sistemas quˆanticos abertos
emaranhados, o de dois qutrits (sistemas com espa¸co de Hilbert de dimens˜ao n =3). Mesmo
sendo o caso mais simples depois de dois qubits, esses sistemas j´a apresentam varia¸c˜oes n˜ao
encontradas em sistemas de dois qubits. Por apresentar diferentes configura¸c˜
oes poss´ıveis e
maior dimens˜ao, a dinˆamica de emaranhamento para dois qutrits possui caracter´ısticas muito
interessantes que podem ser facilmente generalizadas para maiores dimens˜oes.
Por fim, conclu´ımos, com perspectivas futuras, inclusive de implementa¸c˜ao dessas ideias em
laborat´orio de f´otons gˆemeos.
vii
Cap´ıtulo 1
Correla¸c˜oes
Correla¸c˜oes Quˆanticas, tamb´em conhecidas como emaranhamento, s˜ao uma das propriedades
mais estranhas e fascinantes da f´ısica. A abordagem mais moderna renomeou-as de
emaranhamento. Na literatura, existem quantidades imensas de usos para emaranhamento,
sendo a maioria voltada, principalmente, para computa¸c˜ao quˆantica [5], teleporta¸c˜ao [16] e
distribui¸c˜ao de chaves quˆanticas [17]. Neste cap´ıtulo ser˜ao comparados sistemas cl´assicos e
quˆanticos e suas poss´ıveis correla¸c˜oes [18]. Al´em disso, a defini¸c˜ao de um crit´erio para conseguir
diferenciar estados emaranhados e separ´aveis ser´a discutida, assim como uma poss´ıvel escala
de emaranhamento entre dois subsistemas quˆanticos.
1.1 Correla¸c˜oes Cl´assicas
Um sistema cl´assico pode ser descrito em um espa¸co vetorial: o Espa¸co de Fase Γ. O conjunto
necess´ario para definir Γ ´e dado por
Γ={(q
k
, p
k
); k =1, 2, ···,n}, (1.1)
onde q
k
e p
k
s˜ao a posi¸c˜ao e o momento da part´ıcula k e n ´eon´umero de constituintes do
sistema. O espa¸co de fase ´e, ent˜ao, formado pelo produto cartesiano das posi¸c˜oes e momentos
de cada part´ıcula
Γ=q
1
× p
1
× q
2
× p
2
···×q
n
× p
n
(1.2)
A descri¸c˜ao do estado do sistema em um espa¸co de fase encena todo o conhecimento que
temos sobre ele. Um sistema cujo estado conhecemos exatamente (posi¸c˜ao e momento de todos
os constituintes), ´e descrito por um ponto no espa¸co de fase:
ρ
puro
=
k
δ(q
k
− q
k0
)δ(p
k
− p
k0
), (1.3)
oestadoρ
puro
´e dito puro. Caso n˜ao saibamos com precis˜ao os valores de todas as suas grandezas
f´ısicas, o sistema ´e descrito por uma distribui¸c˜ao de probabilidades no espa¸co de fase:
ρ
misto
= ρ(q
k
, p
k
) ≥ 0,
ρ(q
k
, p
k
)dq
k
dp
k
=1. (1.4)
Esse tipo de estado ´e dito misto.
Em particular, o sistema total formado por dois subsistemas A e B tem, como seu espa¸co
de fase, o produto cartesiano dos dois subsistemas:
Γ
AB
=Γ
A
× Γ
B
= {(q
A
, p
A
), (q
B
, p
B
)} (1.5)
1
e a forma mais geral de um estado desse sistema ´e dada por:
ρ
AB
= ρ
AB
(q
A
, p
A
, q
B
, p
B
) (1.6)
Se quisermos olhar apenas para o subsistema A, basta integrarmos em todos os poss´ıveis valores
de B
ρ
A
=
ρ
AB
dq
B
dp
B
(1.7)
Oestadoρ
AB
ser´a produto de estados dos dois subsistemas se, e somente se, n˜ao existirem
correla¸c˜oes estat´ısticas entre ambos. Esse, contudo, n˜ao ´e o caso geral e, normalmente, o
estado geral ter´a duas partes
ρ
AB
= ρ
A
ρ
B
+ corr.Cl. =≤ (1.8)
onde corr.Cl. s˜ao todos os termos que possuem correla¸c˜oes estat´ısticas que chamamos de
correla¸c˜oes cl´assicas. Por´em, um estado cl´assico sempre pode ser escrito como separ´avel, isso
´e, pode-se sempre preparar um estado an´alogo composto de uma mistura estat´ıstica de estados
produtos (n˜ao-correlacionados). Esta decomposi¸c˜ao ´e´unica em termos de estados puros,
ρ
AB
(q
A
, p
A
, q
B
, p
B
)=
k
ω
k
ρ
Ak
(q
A
, p
A
)ρ
Bk
(q
B
, p
B
); ω
k
≥ 0,
k
ω
k
=1. (1.9)
O que essa equa¸c˜ao est´a dizendo ´e que um estado cl´assico ρ
AB
sempre pode ser preparado
pegando o subsistema A e preparando-o no estado ρ
Ak
e o subsistema B em ρ
Bk
com
probabilidade ω
k
e fazendo isso para todo k.Aseguirh´a um exemplo simples de um sistema
cl´assico que tem correla¸c˜oes.
Exemplo 1. Suponha um jogo de cara ou coroa. No caso usual joga-se a moeda para cima e
depois de cair vˆe-se qual face ficou para cima. O estado que descreve essa situa¸c˜ao antes de
olharmos a moeda ´e:
ρ =
1
2
(ρ(cara)+ρ(coroa)). (1.10)
O estado acima representa uma moeda com probabilidade meio de dar cara e meio de dar coroa.
Faremos o lan¸camento duas vezes. Temos 4 possibilidades de resultado, todos com a mesma
probabilidade: cara-cara; coroa-coroa; coroa-cara ou cara-coroa, tal que o e stado global seja da
forma:
ρ =
1
4
(ρ
1
(cara)×ρ
2
(cara)+ρ
1
(cara)×ρ
2
(coroa), +ρ
1
(coroa)×ρ
2
(cara)+ρ
1
(coroa)×ρ
2
(coroa)).
(1.11)
onde ρ
1
se refere ao primeiro lan¸camento e ρ
2
ao segundo.
Agora, ao inv´es de jogar para cima, divida a moeda no meio de tal forma que uma parte s´o
tenhacaraeaoutras´o coroa. Coloque cada uma, aleatoriamente, em um envelope de modo
que n˜ao possamos saber em qual envelope est´a a cara ou a coroa. Os dois lan¸camentos ser˜ao
substitu´ıdos pela abertura dos dois envelopes. I ndividualmente, o estado de cada envelope ´e
igual ao do caso anterior 1.10, mas os poss´ıveis resultados s˜ao: cara-coroa ou coroa-cara. O
estado global ser´a:
ρ =
1
2
(ρ
1
(cara) × ρ
2
(coroa)+ρ
1
(coroa) × ρ
2
(cara)). (1.12)
No primeiro caso as jogadas s˜ao independentes, n˜ao tendo correla¸c˜ao cl´assica. No segundo
caso, os estados dos envelopes est˜ao estatisticamente correlacionados, apresentando correla¸c˜oes
cl´assica.
2
1.2 Correla¸c˜oes Quˆanticas
Come¸caremos por definir estado quˆantico: um sistema quˆantico ´e definido no espa¸co de Hilbert,
um espa¸co vetorial complexo com dimens˜ao d igual `a do sistema,
E = C
d
= {c
k
; k =1, 2, ···,d}. (1.13)
Esse espa¸co tem produto interno e norma finita. J´a introduzindo a nota¸c˜ao que ser´ausadaao
longo dessa disserta¸c˜ao, um vetor no espa¸co de Hilbert ser´a descrito por |ψ e
|ψ = ψ| ´eoseu
conjugado transposto. O produto interno de um espa¸co vetorial complexo ´e dado por
(φ, ψ)=φ|ψ (1.14)
e a norma de um vetor no espa¸co ´e dada por
||ψ| =
ψ|ψ. (1.15)
O produto interno neste espa¸co respeita todas as propriedades de um produto interno complexo:
1.(φ| + θ|)|ψ = φ|ψ + θ|ψ 2.aφ|bψ = a
∗
b(φ|ψ)
3.
φ|ψ = ψ|φ 4.ψ|ψ≥0, (1.16)
onde a e b s˜ao n´umeros complexos e |ψ, |φ e |θ s˜ao vetores complexos.
Um sistema quˆantico em um estado puro ´e descrito por um vetor complexo de norma igual
a 1 no espa¸co de Hilbert:
|ψ =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
c
1
c
2
.
.
.
c
d
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
d
k=1
|c
k
|
2
= 1 (1.17)
e o seu complexo conjugado
ψ| =
c
∗
1
c
∗
2
··· c
∗
d
d
k=1
|c
k
|
2
=1. (1.18)
A primeira diferen¸ca existente entre estados cl´assicos e quˆanticos ´e que sistemas quˆanticos
podem ter sobreposi¸c˜ao de estados puros, sendo poss´ıvel escrever um estado de v´arias formas,
dependendo de qual base ´eusada.
Para ficar mais f´acil de visualizar o que foi dito at´e agora sobre sistemas quˆanticos considere
um estado de um sistema de dois n´ıveis d =2:
|ψ =
√
a|1 +
√
1 − ae
iϕ
|2. (1.19)
Oestado|ψ ´eumasuperposi¸c˜ao de dois estados poss´ıveis do sistema com probabilidade a de
ter o estado |1 e1−a de ter o estado |2.Al´em disso existe uma diferen¸ca de fase ϕ entre o
primeiro e segundo estado. Os valores
√
a e
√
1 − a s˜ao interpretados como uma amplitude de
probabilidade em |1 e |2, respectivamente (1|2=0).
Um estado puro tamb´em pode ser descrito pela sua matriz densidade ρ,tamb´em chamada
de operador densidade, sendo o produto externo do estado com ele mesmo.
ρ
puro
= |ψψ| (1.20)
3
Em mecˆanica quˆantica, os estados puros s˜ao os tipos de estados em que temos mais
conhecimento sobre o sistema. Analogamente a um sistema cl´assico, caso n˜ao tenhamos
informa¸c˜ao m´axima sobre o sistema, o estado que o descreve ´e dito misto. Um estado misto
pode ser escrito na forma de matrix densidade como:
ρ = {ρ
lm
; l, m =1, 2, ···,d}≥0,Tr(ρ) = 1 (1.21)
ρ =
i
p
i
|ψ
i
ψ
i
|
i
p
i
=1. (1.22)
Aequa¸c˜ao 1.22 apresenta o estado escrito como uma soma convexa de estados puros. Essa
decomposi¸c˜ao pode ser feita de infinitas formas, todas descrevendo o mesmo estado quˆantico,
sendo esta, outra diferen¸ca entre estados cl´assicos e quˆanticos. Por exemplo, se aplicarmos uma
transforma¸c˜ao unit´aria U em ρ obt´em-se um ρ
= U
†
ρU que possui as mesmas propriedades do
estado ρ s´o que com uma decomposi¸c˜ao diferente.
ρ
= U
†
ρU =
i
p
i
U
†
|ψ
i
ψ
i
|U =
i
p
i
|ψ
i
ψ
i
|. (1.23)
Uma opera¸c˜ao unit´aria pode ser escrita como U = e
iH
, onde H ´e um operador hermitiano. O
quesetem´e o sistema ganhando uma fase global que n˜ao altera suas propriedades, sendo ρ e
ρ
duas maneiras de descrever o mesmo estado.
Semelhante a sistemas cl´assicos, sistemas quˆanticos tamb´em podem ser compostos por
subsistemas. O espa¸co vetorial do sistema quˆantico composto pelos subsistemas A e B ´e definido
como o produto tensorial dos espa¸cos vetoriais de cada sub-espa¸co.
H = C
d
A
⊗ C
d
B
= {c
lm
; l =1, 2, ···,d
A
; m =1, 2, ···,d
B
} (1.24)
Da mesma forma que no caso cl´assico, existem estados quˆanticos separ´aveis que podem ser
escritos como
ρ
AB
=
k
ω
k
ρ
Ak
⊗ ρ
Bk
ω
k
≥ 0,
k
ω
k
=1. (1.25)
Entretanto, para um estado geral temos:
ρ
AB
= ρ
Ak
⊗ ρ
Bk
+ corr.Cl. + corr.Q (1.26)
onde coor.Q. s˜ao correla¸c˜oes exclusivamente quˆanticas.
Pode-se olhar para somente uma parte do sistema, por exemplo a parte A, se, seguindo a
mesma receita dos caso cl´assico, somarmos sobre todos os estados de B.
ρ
A
= Tr
B
(ρ
AB
). (1.27)
Essa opera¸c˜ao ´e chamada de Tra¸co Parcial.
Sistemas quˆanticos que tˆem somente correla¸c˜oes cl´assicas podem ser escritos na forma 1.25,
mas sistemas que tenham correla¸c˜oes quˆanticas n˜ao. Um caso particular de estado separ´avel
s˜ao os estados favor´aveis, que podem ser escritos como produto de estados de cada parte. Por
exemplo, para sistemas bipartites (cont´em duas partes), o estado pode ser descrito pela equa¸c˜ao
1.25.
Note, contudo que n˜ao devemos confundir separ´avel com fator´avel. Fator´aveis s˜ao os estados
que n˜ao apresentam sequer correla¸c˜ao cl´assicas, mas mesmo que o sistema n˜ao seja fator´avel,
ainda assim, se puder ser escrito na forma separ´avel com em 1.25 ainda ter´auman´alogo cl´assico
como em1.9. Mas mecˆanica quˆantica ´e mais estranha que isso. Ela permite correla¸c˜oes mais
4
fortes do que as cl´assicas, encontradas quando o estado n˜ao permite decomposi¸c˜ao como 1.25.
A esses estados, chamamos de emaranhados. Esses s˜ao os estados mais comuns em sistemas
quˆanticos compostos (um sorteio aleat´orio de uma matriz densidade tem mais probabilidade de
apresentar emaranhamento do que n˜ao).
Exemplo 2. Estados de Bell. Considere um estado de um sistema bipartite de dimens˜ao
2 ⊗ 2 dado por |ψ =
1
√
2
(| ↑↓ + e
iφ
| ↓↑). Esses estados s˜ao muito conhecidos, pois s˜ao
exemplos comuns em discuss˜oes sobre emaranhamento. O estado global do sistema ´epuro,mas
se olharmos para o estado reduzido de qualquer uma das partes esse ´e dado por:
ρ
A
= ρ
B
=
1
2
10
01
, (1.28)
que ´e o estado de maior ignorˆancia sobre o sistema (proporcional `a identidade) e tem a mesma
distribui¸c˜ao de uma moeda honesta. Se tentarmos descrever o estado global olhando s´opara
as partes separadamente, ´eimposs´ıvel, mostrando que existe m ais do que correla¸c˜oes cl´assicas
envolvidas entre os sistemas (note que a fase φ desaparece nos estados reduzidos). Para todos os
outros casos dos estados de Bell a resposta ´e a mesma. Isso sugere que uma primeira poss´ıvel
caracteriza¸c˜ao de emaranhamento de um estado puro seja olhar para o estado reduzido de
uma das partes que o comp˜oem. Caso o estado reduzido tamb´em seja puro, o estado global n˜ao
apresenta correla¸c˜oes, mas, caso contr´ario, o sistema apresenta alguma correla¸c˜ao quˆantica. De
fato para sistemas bipartidos com estado global puro, essa an´alise ´e suficiente para determinar
o emaranhamento do sistema. A t´ıtulo de curiosidade, estados quˆanticos desse tipo s˜ao usados
como geradores genu´ınos de n´umeros aleat´orios justamente pela analogia com a m oeda cl´assica
honesta.
Outros exemplos de estados que tˆem correla¸c˜oes quˆanticas ser˜ao discutidos na pr´oxima
se¸c˜ao.
1.3 Crit´erio de Peres-Horodecki e Negatividade
Com os estudos usando estados emaranhados principalmente para informa¸c˜ao quˆantica e
discuss˜oes sobre, por exemplo, desigualdades de Bell (dois exemplos s˜aoapropostadopr´oprio
Bell[19] e a de CHSH [20]) veio a necessidade de caracterizar os estados do ponto de vista de
correla¸c˜oes quˆanticas. Dentre outras propostas Perez [14] e depois Horodecki [4] encontraram
um crit´erio que permite dizer se o estado bipartite (sistema composto por duas partes)
´e fator´avel ou emaranhado. O crit´erio de Perez-Horodecki ´e necess´ario e suficiente para
determinar se um estado ´e emaranhado para sistemas 2 ⊗ 2e2⊗ 3. Por´em, para sistemas
com dimens˜oes maiores o crit´erio ´e suficiente, mas n˜ao necess´ario (de fato, n˜ao h´aumcrit´erio
´unico para sistemas de dimens˜oes maiores que 2 ⊗ 2e2⊗ 3, sen˜ao o da pr´opria defini¸c˜ao de
separabilidade dada pela equa¸c˜ao 1.25).
1.3.1 Crit´erio de Separabilidade
Um estado bipartite qualquer ´e dito separ´avel se puder ser escrito na forma 1.25. Para explicar
com mais facilidade a condi¸c˜ao alg´ebrica de separabilidade, ´emaisf´acil escrever os termos da
matriz densidade:
ρ
mμlυ
=
k
ω
k
(ρ
Ak
)
ml
(ρ
Bk
)
μυ
, (1.29)
5
onde os ´ındices gregos se referem ao segundo sistema. Para sistemas quˆanticos, a matriz
densidade tem de ser positiva, o que implica em n˜ao ter nenhum auto-valor negativo. Como
a matriz densidade pode ser escrita de v´arias formas, uma delas (a melhor para ser usada
agora) ´e diagonaliz´a-la e montar uma soma convexa com as matrizes dos produtos externos dos
auto-vetores com o respectivo auto-valor associado,
ρ =
k
ω
k
|ψ
k
ψ
k
|. (1.30)
Todos esses auto-valores ω
k
s˜ao positivos, pois representam a probabilidade do sistema estar
no estado do respectivos auto-vetor |ψ
k
.Aideiadocrit´erio ´e combinar essa restri¸c˜ao com o
fato de que opera¸c˜oes quˆanticas tˆem de ser descritas por mapas completamente positivos (a
ideiademapaquˆantico est´a melhor explicada no se¸c˜ao 2.3, sendo abordada agora somente
o essencial para introduzir o conceito). Um mapa M : ρ → Mρ ´e dito positivo se Mρ ≥
0 e para ser quˆantico Tr(Mρ) ≤ 1. Para um mapa ser completamente positivo, al´em das
propriedades descritas anteriormente, ele tem de continuar sendo um mapa positivo se for
estendido trivialmente (M ⊗I
arb
)ρ
big
≥ 0 onde ρ
big
= ρ ⊗ρ
arb
´e o estado do nosso sistema mais
outro sistema com espa¸co de Hilbert arbitr´ario.
Uma opera¸c˜ao que ´e positiva, mas n˜ao completamente positiva, ´eatransposi¸c˜ao: Tρ
ml
= ρ
lm
(Tρ = ρ
T
). Como toda matriz densidade ´ehermitianaρ
ml
= ρ
∗
lm
, de tal forma que quando ´e
feita a transposi¸c˜ao em uma matriz densidade a opera¸c˜ao produz um novo estado que tem a
fase das correla¸c˜oes com sinal invertido em rela¸c˜ao ao anterior. Por outro lado, vejamos o que
ocorre se o sistema quˆantico for composto por dois subsistemas. Nesse caso, se o estado for
separ´avel j´a vimos que pode ser escrito da forma 1.25. A transposi¸c˜ao do sistema A (tamb´em
chamada de transposi¸c˜ao parcial) resulta em uma matriz σ dada por:
σ =(T
A
⊗ I
B
)ρ
AB
=
k
ω
k
(T
A
ρ
A
) ⊗ (I
B
ρ
B
)=
k
ω
k
ρ
T
A
⊗ ρ
B
(1.31)
Como ρ
T
A
tamb´em ´eumestadoquˆantico, segue, imediatamente que σ ´eumestadoquˆantico
(todos seus auto-valores s˜ao positivos). Esse racioc´ınio fornece um identificador autom´atico
de emaranhamento. Em um sistema quˆantico bipartite qualquer (de qualquer dimens˜ao), se
fizermos a transposi¸c˜ao parcial de um subsistema e, ao diagonalizar σ encontramos ao menos
um auto-valor negativo, isso indica que ρ n˜ao ´esepar´avel, ou seja, ´e emaranhado. Contudo,
esse crit´erio n˜ao ´e suficiente j´a que h´a estados emaranhados com transposi¸c˜ao parcial positiva.
Com essas ideias ´eposs´ıvel montar um crit´erio que nos permite saber se o sistema ´eoun˜ao
emaranhado:
1. Se a transposta parcial for negativa,oestado´e emaranhado. O sistema n˜ao ´esepar´avel,
n˜ao sendo poss´ıvel escrevˆe-lo na forma 1.25.
2. Caso a transposta parcial seja positiva, o estado pode ou n˜ao estar emaranhado. No
caso de sistemas 2 ⊗ 2e2⊗ 3oestado´esepar´avel, podendo ser escrito como uma soma
convexa de estados produto. No caso de dimens˜oes maiores n˜ao podemos dizer nada sobre
o sistema, pois existe a possibilidade de, mesmo σ sendo uma matriz positiva, o estado
ser emaranhado.
Seguem dois exemplos para deixar mais claro como o crit´erio funciona.
6
Exemplo 3. Considere o estado de Bell |ψ =
1
√
2
(| ↑↑ + | ↓↓). Escrevendo-o na forma de
matriz densidade e depois calculando a transposta parcial, tem-se:
ρ =
1
2
⎛
⎜
⎜
⎝
1001
0000
0000
1001
⎞
⎟
⎟
⎠
σ =
1
2
⎛
⎜
⎜
⎝
1000
0010
0100
0001
⎞
⎟
⎟
⎠
(1.32)
Calculando os auto-valores da matriz σ acha-se λ
1
= λ
2
= λ
3
=
1
2
e λ
4
= −
1
2
. Logo, esse
estado de Bell tem correla¸c˜oes quˆanticas entre seus constituintes. De fato, os estados de Bell
s˜ao maximamente emaranhados [5].
Exemplo 4. Consideraremos agora o estado misto que ´eosingleto|ψ =
1
√
2
(| ↑↓−| ↓↑) com
raz˜ao x mais um fator aleat´orio com raz˜ao 1 − x
ρ = x|ψψ| +(1−x)
I
4
, (1.33)
onde I = | ↓↓↓↓ |+ | ↓↑↓↑ |+ | ↑↓↑↓ |+ | ↑↑↑↑ | ´e a identidade. A matriz densidade e a
transposta parcial correspondente s˜ao:
ρ =
⎛
⎜
⎜
⎝
1−x
4
000
0
1+x
4
−x
2
0
0
−x
2
1+x
4
0
000
1−x
4
⎞
⎟
⎟
⎠
σ =
⎛
⎜
⎜
⎝
1−x
4
00
−x
2
0
1+x
4
00
00
1+x
4
0
−x
2
00
1−x
4
⎞
⎟
⎟
⎠
(1.34)
Calculando-se os auto-valores de σ encontra-se λ
1
= λ
2
= λ
3
=
1+x
4
e λ
4
=
1−3x
4
,ondeo
quarto auto-valor pode tomar valores negativos dependendo do valor de x. Se x ≤
1
3
o estado ´e
separ´avel, se x>
1
3
o estado ´e emaranhado.
At´e agora foi discutido que se a transposta parcial de um estado n˜ao for positiva, o estado
est´a emaranhado. Por´em uma pergunta ainda n˜ao foi respondida: qu˜ao emaranhado um estado
´e? Dentre outras [21], deseja-se de um quantificador de emaranhamento duas propriedades:
1. de diga se um estado ´e mais emaranhado que outro;
2. se usado para aplica¸c˜oes pr´aticas (por exemplo, informa¸c˜ao quˆantica) que essa grandeza
seja vista como um recurso a ser utilizado [21].
Um quantificador de emaranhamento que tem ambas as propriedades ´e a Negatividade [3]
definida como:
N = −2
λ
−
(1.35)
onde λ
−
s˜ao os auto-valores negativos da matriz transposi¸c˜ao parcial. O valor 2 multiplicando
asoma´e uma normaliza¸c˜ao para que os estados de Bell tenham emaranhamento igual a 1 (vide
exemplo 3, onde foram calculados os auto-valores negativos de σ). Os estados que tˆem a maior
correla¸c˜ao poss´ıvel para um sistema de dois qubits s˜ao os estados de Bell. Por outro lado, caso
oestadosejasepar´avel N = 0. Ainda existem alguns estados que tem negatividade igual a
zero que n˜ao s˜ao separ´aveis, que s˜ao conhecidos por estados PPT (partial positive tranposition,
transposi¸c˜ao parcial positiva). A figura 1.1 muito comum em livros e artigos que discutem
emaranhamento, deixa mais clara as ideias descritas at´e agora.
N˜ao existem quantificadores absolutos de emaranhamento [22]. O melhor que se pode fazer
´e classificar os estados de acordo com o recurso que prov´em para realiza¸c˜ao de tarefas quˆanticas.
A negatividade se enquadra nesse crit´erio quantificando o emaranhamento destil´avel (ou livre)
[23].
7
Figura 1.1: Conjunto de todos os estados poss´ıveis quanticamente. A Negatividade n˜ao consegue diferenciar os
estados PPT (mesmo estes s endo estados emaranhados) e os estados separ´aveis. Assim, os estados emaranhados
no qual a negatividade ´e diferente de zero s ˜ao os estados que encontram na area branca. No caso de sistemas
2 ⊗ 2e2⊗ 3n˜ao existem estados PPT, somente separ´aveis e emaranhados, ou seja, nesses casos, a ´area cinza
claro ´enula.
1.3.2 Emaranhamento Destil´avel
Suponha as v´arias c´opias de um estado emaranhado (n˜ao precisa ser puro) de um sistema
bipartite, de modo que cada c´opia esteja dividida entre dois observadores que conseguem operar
somente em sua pr´opria parte (permitidas somente opera¸c˜oes locais). Os dois observadores
podem se comunicar classicamente. A maioria dos protocolos de informa¸c˜ao quˆantica exigem
estados de Bell como ponto de partida mas, geralmente, o que se tem ´eumconjuntode
estados com algum emaranhamento, mas n˜aoom´aximo. Um protocolo de destila¸c˜ao ´eum
conjunto de opera¸c˜oes locais e comunica¸c˜ao cl´assica que concentra o emaranhamento em alguns
constituintes, normalmente criando pares de Bell, e descartando o resto (pre¸coquesepagapara
fazer a destila¸c˜ao).
P. Horodecki mostrou que existem alguns tipos de estados mistos emaranhados cuja matriz
transposi¸c˜ao parcial ´e positiva [4]. Esse tipo especial de estado ´e chamado PPT e sua
principal propriedade ´e que seu emaranhamento n˜ao pode ser destilado. Por outro lado, a
negatividade n˜ao quantifica o emaranhamento total do sistema, mas acredita-se que quantifique
o emaranhamento destil´avel desse. A maioria dos protocolos quˆanticos est˜ao interessados nesse
tipo de emaranhamento, tamb´em chamado de livre, para o qual a negatividade ´eumbom
quantificador.
Exemplo 5. Um estado que tem transposi¸c˜ao parcial positiva e n˜ao ´esepar´avel para um sistema
8
de dois qutrit ´e dado por
ρ =
1
1+8a
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a 000a 000a
0 a 0000 0 0 0
00a 000 0 0 0
000a 00 0 0 0
a 000a 000a
00000a 000
000000
1
2
(1 + a)0
1
2
√
1 − a
2
000000 0 a 0
a 000a 0
1
2
√
1 − a
2
0
1
2
(1 + a)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, (1.36)
onde 0 <a<1. A transposta parcial do estado ´edaforma:
σ =
1
1+8a
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a 00000 0 0 0
0 a 0 a 00000
00a 000 a 00
0 a 0 a 00000
0000a 000a
00000a 0 a 0
000000
1
2
(1 + a)0
1
2
√
1 − a
2
00000a 0 a 0
000000
1
2
√
1 − a
2
0
1
2
(1 + a)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
. (1.37)
Olhando bem para σ e comparando com ρ,vˆe-se que a matriz parcialmente transposta respeita
todas as propriedades de um estado quˆantico : n˜ao tem nenhum auto-valor negativo (N(ρ)=
0). Mostrar que esse estado n˜ao ´esepar´avel ´en˜ao trivial, por esse motivo ´edif´ıcil encontrar
exemplos para estados PPT. P. Horodocki usou esse estado como exemplo em seu artigo que
mostra que existem estados com dimens˜oes maiores que tem negatividade nula e emaranhamento
[4].
No caso de sistemas de dois qubits ou de um qubit e um qutrit a negatividade caracteriza
totalmente o emaranhamento do estado. Outros bons quantificadores de emaranhamento, por
exemplo a Concorrˆencia [24] e a Entropia de Von Newmann [25], s˜ao igualmente satisfat´orios
para sistemas dessas dimens˜oes.
J´a no caso de sistemas bipartites com dimens˜oes maiores a negatividade caracteriza apenas
o emaranhamento destil´avel. E h´a, ainda, o caso de sistemas multipartites cuja caracteriza¸c˜ao
do emaranhamento ´e algo ainda mais complexo, n˜ao tendo um crit´erio ´unico e totalmente
satisfat´orio. A dificuldade est´a no fato de que em sistemas multipartites podem haver v´arios
tipos de emaranhamento: entre apenas duas das partes constituintes ou entre v´arias delas,
podendo mesmo ser entre todas as partes. Ainda n˜ao h´a uma medida absoluta para caracterizar-
se o emaranhamento desse tipo de sistema, portanto, o m´aximo que podemos dizer ´e, quando
muito, o emaranhamento entre cada parti¸c˜ao.
Uma complica¸c˜ao ainda pior na caracteriza¸c˜ao do emaranhamento ´e que estados quˆanticos
podem ser escritos de v´arias formas, sendo que um bom quantificador n˜ao pode variar
para diferentes formas de representa¸c˜ao do estado. Por esse motivo, a forma mais aceita
para caracterizar o emaranhamento ´eoEmaranhamento de Forma¸c˜ao que determina a
menor quantidade de emaranhamento necess´
aria para formar o estado [22]. Mesmo sendo
o quantificador mais desejado, n˜ao ´e o mais ´util, pois ´e muito dif´ıcil de calcular, mesmo para o
caso de dois qubits [26] [27].
9
Nesse trabalho, as caracter´ısticas que queremos observar envolvem a dinˆamica de
emaranhamento em sistemas 3 ⊗3. Como, nesse caso, n˜ao h´a quantificador absoluto, optamos
por estudar o emaranhamento destil´avel. Sendo assim, nos concentramos na Negatividade dos
estados estudados. No pr´oximo cap´ıtulo falaremos da dinˆamica desses sistemas quando est˜ao
em contato com o ambiente e depois retornaremos a discuss˜ao do emaranhamento desta feita,
ao longo de uma evolu¸c˜ao temporal.
10
Cap´ıtulo 2
Evolu¸c˜ao Temporal de Sistemas
Quˆanticos
Em mecˆanica cl´assica, normalmente se est´a preocupado com a evolu¸c˜ao temporal de um dado
sistema. Existem v´arias formas de descrever essa dinˆamica, sendo uma das mais conhecidas a
equa¸c˜ao de Liouville
dρ
dt
= {H, ρ}, onde {, } s˜ao os colchetes de Poisson. A inclus˜ao de elementos
externos sobre os quais n˜ao se tem controle pode ser feita de v´arias maneiras: por uma for¸ca
dissipativa, um reservat´orio, etc. Quanticamente, encontra-se o mesmo tipo de problema. Nesse
cap´ıtulo ser´a mostrado como pode ser analisado matematicamente um sistema cuja dinˆamica
depende de fatores externos n˜ao-control´aveis. Al´em disso ser´a discutida a dinˆamica de sistemas
fechados e de sistemas abertos. Ser´a apresentada, tamb´em, uma formula¸c˜ao poss´ıvel para
sistema quˆanticos abertos, a Equa¸c˜ao Mestra.
2.1 Sistemas Fechados
Pode-se descrever a dinˆamica de um estado quˆantico puro em um sistema fechado usando-se a
equa¸c˜ao de Schr¨ondinger [28]:
d
dt
|ψ(t) = −
i
H(t)|ψ(t) (2.1)
onde H(t)´e o Hamiltoniano do sistema. Considerando-se que o estado inicial de um sistema
´edadoemumtempot = t
0
, a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao ser´a dada por um operador evolu¸c˜ao
temporal aplicado no estado inicial.
|ψ(t) = U(t, t
0
)|ψ(t
0
) (2.2)
Para 2.2 ser solu¸c˜ao de 2.1 U(t, t
0
) tem de respeitar uma equa¸c˜ao semelhante (com a condi¸c˜ao
inicial U(t
0
,t
0
)=1):
∂
∂t
U(t, t
0
)=−
i
H(t)U(t, t
0
)
∂
∂t
(U
†
U)=
i
(U
†
H
†
U − U
†
HU). (2.3)
O Hamiltoniano ´eumavari´avel dinˆamica, ent˜ao ele ´e Hermitiano. Assim, tem-se que o operador
evolu¸c˜ao temporal ´e unit´ario. Pode-se escrever esse operador para um sistema que tenha o
Hamiltoniano independente do tempo na forma:
U(t, t
0
)=e
−
i
H(t−t
0
)
(2.4)
11
Um estado puro isolado (sistema fechado) sempre evolui temporalmente para outro estado
puro. Isso ocorre porque uma opera¸c˜ao unit´aria n˜aopodelevarumestadopuroemummisto.
Por outro lado, se o estado inicial ´e misto obtemos a evolu¸c˜ao temporal a partir de:
ρ(t)=
k
ω
k
|ψ
k
(t)ψ
k
(t)|
=
k
ω
k
U(t, t
0
)|ψ
k
(t
0
)ψ
k
(t
0
)|U
†
(t, t
0
)
= U(t, t
0
)ρ(t
0
)U
†
(t, t
0
) (2.5)
Aequa¸c˜ao diferencial para a evolu¸c˜ao de um estado misto pode ser facilmente mostrada se
derivarmos ρ(t)emrela¸c˜ao ao tempo e nos lembrarmos de que o Hamiltoniano comuta com o
operador U(t, t
0
)(o operador evolu¸c˜ao ´e fun¸c˜ao do hamiltoniano).
dρ(t)
dt
= −
i
[H(t),ρ(t)] = −
i
(H(t)ρ(t) − ρ(t)H(t)) (2.6)
H´a, ainda, trˆes poss´ıveis formas de descrever qualquer evolu¸c˜ao temporal de um sistema
quˆantico:
1. Representa¸c˜ao de Schr¨ondinger: A dependˆencia temporal do sistema ´e carregada
pelo estado.
´
E a mais comum nos livros did´aticos e ´e a que foi apresentada nesta se¸c˜ao.
2. Representa¸c˜ao de Heisenberg: A dependˆencia temporal do sistema ´e carregada pelos
operadores. Neste formalismo, o estado ´e independente do tempo e as vari´aveis dinˆamicas
evoluem. A equa¸c˜ao que rege essa evolu¸c˜ao ´e:
dR
h
(t)
dt
=
i
[H
h
(t),R
h
(t)] +
∂R
∂t
h
(2.7)
onde R ´eumavari´avel dinˆamica qualquer e o sub-escrito h simboliza a vari´avel escrita
na Representa¸c˜ao de Heisenberg. A rela¸c˜ao entre a vari´avel escrita na Representa¸c˜ao de
Heisenberg e Representa¸c˜ao de Schr¨ondinger ´e R
h
(t)=U
†
(t, t
0
)RU(t, t
0
), onde U ´eo
operador evolu¸c˜ao temporal.
3. Representa¸c˜ao de Intera¸c˜ao: Em um sistema bipartite (n˜ao se aplica somente a
sistemas bipartites, mas como nesta disserta¸c˜ao estamos focando-os, introduziremos essa
representa¸c˜ao somente para esses sistemas) pode-se dividir o Hamiltoniano em trˆes partes:
H = H
1
+ H
2
+ H
I
onde H
1
= H
1
⊗ I e H
2
= I ⊗ H
2
s˜ao hamiltonianos que agem
somente no primeiro e no segundo constituinte respectivamente. H
I
´e a intera¸c˜ao entre
os subsistemas. A representa¸c˜ao de Intera¸c˜ao divide a evolu¸c˜ao temporal em duas partes:
dos sistemas e da intera¸c˜ao. O estado na representa¸c˜ao de Intera¸c˜ao tem a forma:
ρ(t)=e
i
(H
1
+H
2
)t
ρ(t)e
−
i
(H
1
+H
2
)t
(2.8)
Derivando ρ(t)emrela¸c˜ao ao tempo temos.
dρ(t)
dt
=
i
(H
1
+ H
2
)ρ(t) −
i
ρ(t)(H
1
+ H
2
)+e
i
(H
1
+H
2
)t
dρ(t)
dt
e
−
i
(H
1
+H
2
)t
= −
i
[
H
I
(t), ρ(t)] (2.9)
12
onde H
I
tamb´em depende explicitamente do tempo:
H
I
(t)=e
i
(H
1
+H
2
)t
H
I
e
−
i
(H
1
+H
2
)t
(2.10)
Integrando a equa¸c˜ao 2.9 obt´em-se [8]:
ρ(t)=ρ(t
0
)+
1
i
t
t
0
[
H
I
(t
), ρ(t
)]dt
, (2.11)
e substituindo ρ(t) dentro do comutador em 2.9.
dρ(t)
dt
=
1
i
[
H
I
(t),ρ(t
0
)] + −
1
2
t
t
0
[
H
I
(t), [
H
I
(t
), ρ(t
)]]dt
. (2.12)
Essa equa¸c˜ao ´e exata. Tanto o estado, quanto os operadores dependem explicitamente
do tempo. Essa an´alise ´emuito´util quando os tempos caracter´ısticos da intera¸c˜ao s˜ao
muito maiores que os dos hamiltonianos livres. Uma das dedu¸c˜oes da equa¸c˜ao mestra
cuja apresenta¸c˜ao ser´a descrita neste cap´ıtulo ser´a feita utilizando a representa¸c˜ao de
Intera¸c˜ao.
2.2 Sistemas Abertos
Sistemas fechados s˜ao casos muito especiais e pouco realistas de dinˆamicas quˆanticas, pois
´e muito dif´ıcil, se n˜ao imposs´ıvel, isolar um sistema de tal forma que seus constituintes n˜ao
tenham nenhuma intera¸c˜ao com o ambiente. Sistemas reais sofrem intera¸c˜oes incontrol´aveis,
sendo necess´ario lev´a-las em considera¸c˜ao para uma modelagem te´orica mais pr´oxima do que ´e
observado nos experimentos.
Distinguir um sistema aberto de um fechado ´e algo delicado, mesmo em mecˆanica cl´assica.
Suponha o pˆendulo de um rel´ogio. Este interage muito pouco com o ambiente, mas mesmo esse
pouco tem de ser considerado porque, depois de um tempo, ele vai diminuir a amplitude de
seu movimento at´e parar. O amortecimento causado pela resistˆencia do ar e pelas imperfei¸c˜oes
do mecanismo de suspens˜ao do pˆendulo s˜ao os principais canais de intera¸c˜ao do pˆendulo com
o ambiente. Caso o sistema fosse fechado, n˜ao interagindo nada com o ambiente, esse pˆendulo
ficaria oscilando para sempre. A diferen¸ca neste caso entre o sistema aberto e fechado ´e parar
em um tempo finito ou oscilar para sempre. Para tempos curtos, considerar o sistema fechado
seria uma boa aproxima¸c˜ao (considerando o regime em que a intera¸c˜ao sistema e ambiente seja
pequena), mas no caso de um rel´ogio, queremos vˆe-lo medindo as horas por meses, anos, sendo,
portanto, imposs´ıvel desconsiderar os efeitos do ambiente.
Quando se est´a analisando um sistema aberto n˜ao ´e preciso levar em conta como o ambiente
modifica seu pr´oprio estado, mas sim como a existˆencia dele modifica o sistema em quest˜ao. No
caso do pˆendulo, o que acontece com o ar por causa do seu movimento n˜ao ´e importante para
aan´alise. Entretanto, o efeito da resistˆencia do ar no pˆendulo ´e algo importante, n˜ao podendo
ser desconsiderado. O exemplo abaixo mostra um exemplo cl´assico de um sistema aberto com
uma descri¸c˜ao matem´atica muito simples.
Exemplo 6. Considere um bit de informa¸c˜ao armazenado no disco r´ıgido de um computador
[5]. O bit pode tomar os valores 0 ou 1. Depois de um longo tempo, por flutua¸c˜oes do campo
magn´etico pr´oximo deste bit, ele pode mudar de valor. Esse problema pode ser modelado
13
Figura 2.1: Ap´os um tempo longo um bit em um HD pode ter seu valor modificado com probabilidade p.
considerando que o bit tem probabilidade p de mudar o valor e probabilidade 1 − p de manter
seu valor inalterado.
O estado inicial do bit ´e:
ρ = p
0
ρ(0) + p
1
ρ(1) =
p
0
p
1
(2.13)
onde p
0
´e a probabilidade do bit estar em zero e p
1
´e a probabilidade do bit come¸car com o valor
1. Depois do tempo decorrido o estado do bit pode ser escrito por:
q
0
q
1
=
1 − pp
p 1 − p
p
0
p
1
(2.14)
onde q
0
e q
1
s˜ao as novas probabilidades de encontrar o bit em 0 e 1, respectivamente. Em
nenhum momento deste exemplo foram discutidas mudan¸cas no campo magn´etico, apenas como
suas flutua¸c˜oes afetam o bit.
A descri¸c˜ao do exemplo anterior exemplifica um mapa cl´assico descrito pela matriz
1 − pp
p 1 − p
. Da mesma forma, para um sistema quˆantico aberto, a evolu¸c˜ao temporal do
estado pode ser dada por um mapa quˆantico. Antes de ir para o caso especial de evolu¸c˜ao
temporal ser´a discutida a ideia do que ´eummapaquˆantico. A ideia geral de um mapa
quˆantico foi discutida na se¸c˜ao 1.3. Abaixo ser˜ao explicitados com mais cuidado quais s˜ao
as poss´ıveis opera¸c˜oes quˆanticas. Essas ideias ser˜ao muito importantes ao decorrer desse texto,
sendo necess´ario enfatiz´a-las.
2.3 Ope ra¸c˜oes Quˆanticas
Mapa quˆantico ´e qualquer opera¸c˜ao em um estado quˆantico que o leva, com certa probabilidade,
a um outro estado quˆantico (uma matriz hermitiana n˜ao negativa cujo tra¸co ´e igual a 1). Como
foiditonase¸c˜ao 1.3, todo mapa quˆantico ´e um mapa completamente positivo. Para deixar mais
claro, suponha um mapa M qualquer que atue em um estado quˆantico arbitr´ario ρ levando a
uma matriz ρ
ρ
= M(ρ). (2.15)
Para que essa opera¸c˜ao seja fisicamente poss´ıvel M tem de seguir algumas regras.
14
1. Tr[M(ρ)] ´e a probabilidade do processo caracterizado por M acontecer, ent˜ao 0 ≤
Tr[M(ρ)] ≤ 1.
2. M ´e um mapa linear. Considerando um mapa qualquer atuando em um estado misto
escrito na forma de 1.14
M
i
p
i
ρ
i
=
i
p
i
M(ρ
i
) (2.16)
3. M tem de ser um mapa completamente positivo. Isso quer dizer que, se A e B s˜ao
operadores positivos, ent˜ao M
A
(A)e(M
A
⊗I
B
)(A ⊗B)tamb´em o ser˜ao. Por esse motivo
a transposi¸c˜ao n˜ao ´e uma opera¸c˜ao quˆantica, pois ela ´e positiva mas n˜ao completamente
positiva.
Dois exemplos simples de opera¸c˜oes poss´ıveis s˜ao transforma¸c˜oes unit´arias ρ
= UρU
†
e
medi¸c˜oes ρ
m
= P
m
ρP
†
m
. O caso da medi¸c˜ao inicialmente leva a um estado quˆantico n˜ao
normalizado, pois Tr(P
m
ρP
†
m
) ≤ 1. O estado final, no caso de medi¸c˜ao ´e ρ
= M(ρ)/T r[M(ρ)].
Os operadores quˆanticos descrevem processos f´ısicos que levam estados iniciais ρ,aestados
finais M(ρ). Um caso muito especial de transforma¸c˜ao, nesse caso, unit´aria ´eaevolu¸c˜ao
temporal,descritanaprimeirase¸c˜ao deste cap´ıtulo.
Na pr´oxima se¸c˜ao ser´a descrito como se pode analisar um sistema quˆantico aberto levando
em conta somente a dinˆamica do sub-sistema de interesse, desconsiderando-se a dinˆamica do
ambiente. Para introduzir essa abordagem, usaremos mapas quˆanticos cujas propriedades foram
descritas nessa se¸c˜ao.
2.4 Equa¸c˜ao Mestra
Considere um sistema aberto que pode ser tratado como o sistema de interesse em contato com
oambiente. Oespa¸co de Hilbert do sistema total ´e E = E
S
⊗E
B
, onde E
S
´eoespa¸co de Hilbert
do sistema e E
B
´e o do ambiente. Pode-se escrever o hamiltoniano do sistema total como:
H = H
S
⊗ I
B
+ I
S
⊗ H
B
+ H
I
(2.17)
onde H
I
´e o Hamiltoniano de intera¸c˜ao entre o sistema e o ambiente.
Figura 2.2: Esquema do sistema de interesse mais ambiente mostrando o estado e o espa¸co de Hilbert global
e as dois poss´ıveis estados e espa¸cos reduzidos.
15
OsistemaS´eo´unico em que se tem interesse. Considerando-se um observ´avel A = A ⊗I
B
desse sistema, seu valor esperado ´e A = Tr(Aρ
S
), onde o estado ρ
S
do sistema ´e obtido
fazendo o tra¸co parcial em rela¸c˜ao aos graus de liberdade do ambiente.
ρ
S
= Tr
B
(ρ
SB
) (2.18)
O sistema global evolui na representa¸c˜ao de Schr¨ondinger com a equa¸c˜ao de Schr¨ondinger.
A evolu¸c˜ao do sistema S pode, portanto, ser constru´ıda a partir de:
ρ
S
(t)=Tr
B
(ρ
SB
(t)) = Tr
B
(U(t, t
0
)ρ
SB
U
†
(t, t
0
)) (2.19)
Consideraremos agora duas aproxima¸c˜oes t´ıpicas do tratamento de sistemas quˆanticos
abertos (para maiores detalhes, ver referˆencia [8]):
1. Aproxima¸c˜ao de Born: Consideramos que o estado global do sistema ´esempre
fator´avel. Em geral, mesmo que isso seja verdade inicialmente, para tempos posteriores
surgem correla¸c˜oes entre o sistema e o ambiente. Assume-se, entretanto, que o estado
´e sempre fator´avel fazendo duas considera¸c˜oes: primeiramente que o acoplamento entre
os sistemas ´e fraco, ou seja, o hamiltoniano do sistema S ´e mais relevante na dinˆamica
do que a intera¸c˜ao com o reservat´orio. Al´em disso, que o ambiente ´e um sistema muito
grande cujo estado pode ser considerado inalterado pela intera¸c˜ao com o sub-sistema S.
Essa ´e chamada de Aproxima¸c˜ao de Born
2. Aproxima¸c˜ao de Markov: O estado do sistema no tempo t
2
>t
1
depende apenas do
estado do sistema em t
1
. Assume-se que o estado do reservat´orio n˜ao muda na dinˆamica.
Isso ´e aproximadamente verdade se o tempo caracter´ıstico da perda de correla¸c˜ao do
reservat´orio for muito menor que o tempo caracter´ıstico da evolu¸c˜ao do sistema. Isso
define que o reservat´orio n˜ao tem mem´oria de um estado anterior.
Vamosconsiderarqueoestadodosistemaedoambiente´e, inicialmente, separ´avel:
ρ
SB
(t
0
)=ρ
S
(t
0
) ⊗ρ
B
, onde ρ
S
(t
0
)´e o estado inicial do sistema e ρ
B
´e o estado do reservat´orio
em equil´ıbrio t´ermico, por exemplo. Nesse caso, pode-se escrever a evolu¸c˜ao do sistema como
[6]:
ρ
S
(t
0
) → ρ
S
(t − t
0
)=V (t −t
0
)ρ
S
(t
0
)=Tr
B
{U(t, t
0
)[ρ
S
(t
0
) ⊗ ρ
B
]U
†
(t, t
0
)}, (2.20)
onde V (t − t
0
)´eomapaquˆantico que governa a dinˆamica do sub-sistema (t>t
0
). Pela
aproxima¸c˜ao de Markov, para uma evolu¸c˜ao com varia¸c˜ao temporal t
1
+ t
2
,omapatemde
ser dado por V (t
1
+ t
2
)=V (t
2
)V (t
1
). O estado reduzido do ambiente escrito em sua forma
espectral ´e ρ
B
=
β
λ
β
|ϕ
β
ϕ
β
|, onde {|ϕ
β
} forma uma base no espa¸co E
B
e λ
β
s˜ao n´umeros
reais n˜ao negativos que satisfazem
β
λ
β
= 1. Podemos definir diretamente de 2.19 o mapa
quˆantico V (t)naforma:
V (t − t
0
)ρ
S
(t
0
)=
α,β
W
α,β
ρ
S
W
†
α,β
(2.21)
W
α,β
=
λ
β
ϕ
α
|U(t, t
0
)|ϕ
β
. (2.22)
Por W
α,β
definir um mapa,
α,β
W
α,β
= I
S
.PorV (t) ser formado por uma soma convexa
de operadores ele ´e um mapa completamente positivo que preserva o tra¸co do sistema. Essa
fam´ılia de operadores pode descrever uma gama enorme de dinˆamicas sempre dadas em uma
dire¸c˜ao temporal (t ≥ t
0
).
16
Nesses casos,um gerador linear L da dinˆamica pode ser representado por um mapa linear
da forma:
V (t)=e
Lt
(2.23)
Essa representa¸c˜ao leva imediatamente em uma equa¸c˜ao deferencial de primeira ordem para o
estado do sub-sistema S:
dρ
S
(t)
dt
= Lρ
S
(t) (2.24)
que ´e chamada de Equa¸c˜ao Mestra de Markov. Note que, dado 2.23, a equa¸c˜ao 2.24 ´eaforma
diferencial de 2.20.
Pode-se construir uma forma geral para a dinˆamica do sistema (esse tratamento est´a
seguindo os passos descritos em [6]). Considerando-se, inicialmente, que o sistema de interesse
tem dimens˜ao finita, dim(E
S
)=N, pode-se montar uma base ortonormal para os operadores
que atuam no espa¸co de Hilbert desse sistema {F
i
,i =1, 2, ···,N
2
} com o produto interno
dado por (F
i
,F
j
)=Tr
S
{F
†
i
F
j
} = δ
i,j
. Uma base conveniente para esse caso ´econstitu´ıda por
um operador proporcional `a identidade F
N
2
=
1
√
N
I
S
e os demais com tra¸co zero Tr
S
{F
i
} =0
para i =1, 2, ···N
2
− 1. Reescrevendo o operador W
α,β
nessa nova base, tem-se:
W
α,β
=
N
2
i
F
i
(F
i
,W
α,β
) (2.25)
Analogamente, pode-se escrever o mapa V (t)aplicadonoestadoρ
S
como:
ρ
S
(t)=V (t)ρ
S
=
N
2
i,j
c
i,j
(t)F
i
ρ
S
F
†
j
(2.26)
onde,
c
i,j
(t) ≡
α,β
(F
i
,W
α,β
)(F
j
,W
α,β
)
∗
. (2.27)
A matriz de coeficientes c =(c
i,j
)´e hermitiana e positiva.
Podemos, ent˜ao, usar as rela¸c˜oes descritas em 2.26 para reescrever a equa¸c˜ao 2.24. Primeiro,
note que, da defini¸c˜ao de derivada segue que:
Lρ
S
= lim
→0
[
1
(V ()ρ
S
− ρ
S
)], (2.28)
lembrando que V (0) = I
S
. Substituindo 2.26 em 2.28 temos que:
Lρ
S
= lim
→0
1
N
c
N
2
,N
2
() − N
ρ
S
+
1
√
N
N
2
−1
i=1
c
i,N
2
()
F
i
ρ
S
+
c
N
2
,i
()
ρ
S
F
†
i
+
N
2
−1
i,j
c
i,j
()
F
i
ρ
S
F
†
j
,
(2.29)
Agora, introduzimos os coeficientes a
i,j
a
N
2
,N
2
= lim
→0
1
N
c
N
2
,N
2
() − N
(2.30)
a
i,N
2
= lim
→0
c
N
2
,i
()
,i=1, 2 ···N
2
− 1 (2.31)
a
i,j
= lim
→0
c
i,j
()
,i,j=1, 2 ···N
2
− 1, (2.32)
17
e os operadores:
F =
1
√
N
N
2
−1
i
a
i,N
2
F
i
(2.33)
G =
1
2N
a
N
2
,N
2
I
S
+
1
2
(F
†
+ F ) (2.34)
H =
1
2i
(F
†
− F ), (2.35)
onde H ´e um operador hermitiano. Assim como a matriz de coeficientes c, a =(a
i,j
)´ehermitiana
e positiva. Usando essas defini¸c˜oes pode-se escrever a equa¸c˜ao 2.29 como:
Lρ
S
= −i[H, ρ
S
]+{G, ρ
S
} +
N
2
−1
i,j
a
i,j
F
i
ρ
S
F
†
j
. (2.36)
onde {,} ´e o anti-comutador ({A,B}=AB+BA). Note que a escolha de base {F
i
} est´a restrita
ao fato de que o mapa descrito ter de levar um estado quˆantico em outro. Portanto, o tra¸co de
ρ
S
tem de ser preservado:
Tr
S
(Lρ
S
)=0=Tr
S
2G +
N
2
−1
i,j
a
i,j
F
†
j
F
i
ρ
S
, (2.37)
Para que isso seja verdade sempre, tem-se que:
G = −
1
2
N
2
−1
i,j
a
i,j
F
†
j
F
i
. (2.38)
Como a matriz dos coeficientes a ´e positiva e hermitiana pode-se diagonaliz´a-la usando uma
matriz unit´aria u apropriada.
uau
†
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
γ
1
0 ··· 0
0 γ
2
··· 0
00
.
.
.
0
00··· γ
N
2
−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
, (2.39)
onde γ
i
´eumn´umero real positivo. Introduzindo os operadores A
k
:
F
i
=
N
2
−1
k=1
u
k,i
A
k
. (2.40)
chegamos na forma mais conhecida da Equa¸c˜ao Mestra:
dρ
S
dt
= Lρ
S
= −i[H, ρ
S
]+
N
2
−1
k=1
γ
k
A
k
ρ
S
A
†
k
−
1
2
{A
†
k
A
k
,ρ
S
}
. (2.41)
O primeiro termo do gerador representa a parte unit´aria da evolu¸c˜ao gerada pelo Hamiltoniano
H. Os operadores A
k
, introduzidos como combina¸c˜ao linear apropriada para a base de
operadores F
i
,s˜ao usualmente chamados de Operadores de Lindblad, e dependem da situa¸c˜ao
f´ısica que ser´a estudada. Na pr´oxima se¸c˜ao ser´a mostrado um tipo de situa¸c˜ao f´ısica muito
comum: o reservat´orio de emiss˜ao espontˆanea. Ser´a considerado um sistema quˆantico limitado
(por exemplo um ´atomo ou uma cavidade resonante), com dois n´ıveis, que interage com um
ambiente representado por um conjunto infinito de graus de liberdade e evolui de acordo com
2.41. Seguimos os c´alculos desenvolvidos na referˆencia [6]
18
2.5 Reservat´orio de Emiss˜ao Espontˆane a
Considere, inicialmente, um sistema qualquer descrito na Representa¸c˜ao de Intera¸c˜ao
interagindo com um reservat´orio. A equa¸c˜ao 2.12 diz respeito `a dinˆamica do reservat´orio
mais sistema, mas pode-se tomar o tra¸co parcial em rela¸c˜ao ao ambiente permitindo escrever a
evolu¸c˜ao temporal somente do sistema.
dρ
S
(t)
dt
= Tr
B
1
i
[
H
I
(t),ρ
SB
(t
0
)] + −
1
2
t
t
0
Tr
B
{[
H
I
(t), [
H
I
(t
), ρ
SB
(t
)]]}dt
. (2.42)
Usando a aproxima¸c˜ao de Born, o estado inicial ´esepar´avel e ´e invariante no tempo. Como
consequˆencia, a rela¸c˜ao
Tr
B
1
i
[
H
I
(t),ρ
B
(t
0
)] = 0 (2.43)
´ev´alida. Por simplicidade, mas sem perder generalidade, pode-se fazer t
0
= 0. Reescrevendo
2.42:
dρ
S
dt
= −
1
2
t
0
Tr
B
{[
H
I
(t), [
H
I
(t
), ρ
S
(t
) ⊗ ρ
B
]]}dt
. (2.44)
Usando agora a aproxima¸c˜ao de Markov, a evolu¸c˜ao depende somente do estado presente, o
estado ρ
S
(t
) pode ser substituido por ρ
S
(t) chegando em:
dρ
S
dt
= −
1
2
t
0
Tr
B
{[
H
I
(t), [
H
I
(t
), ρ
S
(t) ⊗ ρ
B
]]}dt
. (2.45)
Ainda n˜ao foi dito nada sobre o reservat´orio ou sobre o sistema, sendo a an´alise at´e agora
muito geral. O reservat´orio ´e modelado considerando-o como uma cole¸c˜ao de osciladores
harmˆonicos com frequˆencia w
i
e com os operadores cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao r
†
i
e r
i
, respectivamente.
O hamiltoniano livre do reservat´orio ser´a:
H
B
=
i
w
i
r
†
i
r
i
. (2.46)
Tomando o estado inicial do ambiente como o estado de equil´ıbrio t´ermico `a temperatura T, o
correspondente operador densidade ´e:
ρ
B
=
i
e
−
w
i
r
†
i
r
i
K
B
T
1 − e
−
w
i
K
B
T
, (2.47)
onde K
B
´e a constante de Boltzmann.
Nessa an´alise, ser´a considerado que o sistema tem dois n´ıveis (para ilustrar o caso,
estudaremos o caso de n´ıveis de energia atˆomicos ou moleculares). O hamiltoniano livre do
sistema pode ser escrito na forma diagonal:
H
S
= E
1
|11| + E
2
|22|
=
1
2
(E
1
+ E
2
)I
S
+
1
2
(E
1
− E
2
)σ
z
σ
z
= |11|−|22|, (2.48)
onde o estado |1 ´e o estado fundamental (E
1
<E
2
). O primeiro termo de 2.48 ´eumaconstante
que pode ser eliminada se o zero de energia estiver no meio da transi¸c˜ao, podendo escrever o
hamiltoniano na forma:
H
S
=
1
2
w
S
σ
z
w
S
≡
(E
1
− E
2
)
. (2.49)
19
Considerando agora o momento de dipolo eq (consideraremos somente o termo de intera¸c˜ao
de dipolo), onde e ´eacargael´etrica e q ´e o operador coordenada do el´etronemumn´ıvel
atˆomico, temos.
eq =
2
n,m=1
n|eq|m|nm|
= e(1|q|2|12|+ 2|q|1|21|)
= d
1,2
σ
−
+ d
2,1
σ
+
σ
−
≡|12| σ
+
≡|21|, (2.50)
onde foi feito 1|q|1 = 2|q|2 = 0, assumindo que a simetria dos estados atˆomicos garante
que o momento el´etrico permanente seja nulo. Como todo observ´avel quˆantico, o momento de
dipolo ´e hermitiano, ent˜ao d
2,1
=(d
1,2
)
∗
.
As matrizes σ
z
, σ
−
e σ
+
s˜ao os operadores de spin
1
2
: σ
±
=
1
2
(σ
x
±iσ
y
), e um sistema de dois
n´ıveis, montado dessa forma, tem caracter´ısticas semelhantes `as de spin, onde os operadores
σ
−
e σ
+
aparecem no contexto de transi¸c˜oes magn´eticas de spins
1
2
[28].
Estando o sistema de interesse e o reservat´orio bem definidos, podemos montar o
hamiltoniano global do sistema como sendo a soma de 2.49, 2.46 e um termo de intera¸c˜ao
na forma:
H
I
=
k,λ
(κ
∗
k,λ
r
†
k,λ
σ
−
+ κ
k,λ
r
k,λ
σ
+
)=(σ
−
Γ
†
+ σ
+
Γ) (2.51)
κ
k,λ
≡−e
ik·r
S
w
k
2
0
V
ˆ
e
k,λ
· d
21
(2.52)
Γ=
k,λ
κ
k,λ
r
k,λ
Γ
†
=
k,λ
κ
∗
k,λ
r
†
k,λ
. (2.53)
Oparˆametro κ
k,λ
´e o termo de acoplamento de dipolo entre o reservat´orio e o sistema. A soma ´e
feita sobre os parˆametros dos osciladores do reservat´orio (modos do campo eletromagn´etico) com
vetor de onda k e estado de polariza¸c˜ao λ,comfrequˆencia w
k
e o vetor unit´ario de polariza¸c˜ao
ˆ
e
k,λ
.O´atomo ´e posicionado em r
S
, V ´e o volume quantizado do campo. O operador Γ
incorpora a soma de todos os operadores do reservat´orio mais a constante de acoplamento.
Esse hamiltoniano de intera¸c˜ao ´e proporcional a d
S
E
B
(onde d
S
´e o momento de dipolo e
E
B
´e a amplitude do campo) com a aproxima¸c˜ao de onda girante que desconsidera termos
do tipo σ
+
Γ
†
e σ
−
Γ. Esses termos s˜ao desconsiderados pois tˆem uma dinˆamica muito mais
r´apida do que a dinˆamica das partes proporcionais `a σ
+
Γe`a σ
−
Γ
†
. Essa aproxima¸c˜ao ´e
boa no regime de osciladores pr´oximos `as frequˆencias ´opticas. Para frequˆencias baixas ou para
amortecimento muito forte, em que o tempo de decaimento se aproxima do per´ıodo de oscila¸c˜ao,
essa aproxima¸c˜ao n˜ao ´e boa.
O hamiltoniano de intera¸c˜ao na Representa¸c˜ao de Intera¸c˜ao ´edaforma:
H
I
= e
(i
1
2
w
S
σ
z
t+i
j
w
j
r
†
j
r
j
t)
(σ
−
Γ
†
+ σ
†
+
Γ)e
(−i
1
2
w
S
σ
z
t−i
j
w
j
r
†
j
r
j
t)
=
e
i
1
2
w
S
σ
z
t
σ
−
e
−i
1
2
w
S
σ
z
t
e
i(
j
w
j
r
†
j
r
j
t)
Γ
†
e
−i(
j
w
j
r
†
j
r
j
t)
+
e
i
1
2
w
S
σ
z
t
σ
+
e
−i
1
2
w
S
σ
z
t
e
i(
j
w
j
r
†
j
r
j
t)
Γe
−i(
j
w
j
r
†
j
r
j
t)
(2.54)
=
σ
−
e
−iw
S
t
Γ
†
+
σ
+
e
iw
S
t
Γ, (2.55)
onde os termos de σ
−
e σ
+
s˜ao obtidos se considerarmos a equa¸c˜ao de movimento de Heisenberg
dσ
−
dt
= i
1
2
w
S
e
i(
w
S
σ
z
2
)t
(σ
z
σ
−
− σ
−
σ
z
)e
−i(
w
S
σ
z
2
)t
= iw
S
σ
−
, (2.56)
20
a qual pode ser resolvida trivialmente
σ
−
(t)=σ
−
e
−iw
S
t
, (2.57)
e analogamente para σ
+
.
Com o hamiltoniano
H
I
em m˜aos podemos us´a-lo em 2.45 obtendo:
dρ
S
dt
= −
t
t
0
{[σ
−
σ
−
ρ
S
(t
) − σ
−
ρ
S
(t
)σ
−
]e
−iw
S
(t+t
)
Γ
†
(t)
Γ
†
(t
)
B
+ h.c.
+[σ
+
σ
+
ρ
S
(t
) − σ
+
ρ
S
(t
)σ
+
]e
iw
S
(t+t
)
Γ(t)
Γ(t
)
B
+ h.c.
+[σ
−
σ
+
ρ
S
(t
) − σ
+
ρ
S
(t
)σ
−
]e
−iw
S
(t−t
)
Γ
†
(t)
Γ(t
)
B
+ h.c.
+[σ
+
σ
−
ρ
S
(t
) − σ
−
ρ
S
(t
)σ
+
]e
iw
S
(t−t
)
Γ(t)
Γ
†
(t
)
B
+ h.c.}dt
(2.58)
onde as fun¸c˜oes correla¸c˜oes do reservat´orio s˜ao dadas por:
Γ
†
(t)
Γ
†
(t
)
B
=
j,k
κ
∗
j
κ
∗
k
e
iw
j
t
e
iw
k
t
Tr
B
ρ
B
r
†
j
r
†
k
= 0 (2.59)
Γ(t)
Γ(t
)
B
=
j,k
κ
j
κ
k
e
−iw
j
t
e
−iw
k
t
Tr
B
(ρ
B
r
j
r
k
) = 0 (2.60)
Γ
†
(t)
Γ(t
)
B
=
j,k
κ
∗
j
κ
k
e
iw
j
t
e
−iw
k
t
Tr
B
ρ
B
r
†
j
r
k
=
j
|κ
j
|
2
e
iw
j
(t−t
)
n(w
j
,T) (2.61)
Γ(t)
Γ
†
(t
)
B
=
j,k
κ
j
κ
∗
k
e
iw
j
t
e
−iw
k
t
Tr
B
ρ
B
r
j
r
†
k
=
j
|κ
j
|
2
e
−iw
j
(t−t
)
[n(w
j
,T) + 1] (2.62)
com
n(w
j
,T)=Tr
B
ρ
B
r
†
j
r
j
=
e
−
w
j
K
B
T
1 − e
−
w
j
K
B
T
(2.63)
As correla¸c˜oes n˜ao nulas 2.61 e 2.62 envolvem uma soma sobre os osciladores do reservat´orio.
Pode-se mudar a soma para uma integral introduzindo a densidade de estados g(w) onde g(w)dw
´eon´umero de osciladores com frequˆencia no intervalo w e w + dw. Fazendo a mudan¸ca de
vari´avel τ = t − t
e fazendo t
0
= 0 podemos escrever 2.58 como:
dρ
S
dt
= α(σ
−
ρ
S
σ
+
− σ
+
σ
−
ρ
S
)+β(σ
−
ρ
S
σ
+
+ σ
+
ρ
S
σ
−
− σ
+
σ
−
ρ
S
− ρ
S
σ
−
σ
+
)+h.c. (2.64)
onde
α =
t
0
dτ
∞
0
e
−i(w−w
S
)τ
g(w)|κ(w)|
2
dw (2.65)
β =
t
0
dτ
∞
0
e
−i(w−w
S
)τ
g(w)|κ(w)|
2
n(w, T)dw (2.66)
A express˜ao 2.64 pode ser simplificada usando α, β,ocomutador[σ
+
,σ
−
]=σ
z
e as defini¸c˜oes:
γ ≡ 2π
λ
d
3
kg(k)|κ(k,λ)|
2
δ(kc − w
S
), (2.67)
Δ ≡
λ
P
d
3
k
g(k)|κ(k,λ)|
2
w
S
− kc
, (2.68)
Δ
≡
λ
P
d
3
k
g(k)|κ(k,λ)|
2
w
S
− kc
n(kc, T), (2.69)
n ≡ n(w
S
,T), (2.70)
21
onde P indica o valor principal de Cauchy. As rela¸c˜oes entre as defini¸c˜oes e α e β s˜ao:
α =
γ
2
+ iΔ β =
γ
2
n + iΔ
. (2.71)
Usando as rela¸c˜oes σ
±
σ
∓
=
1
2
(I ± σ
z
) e com pequenas simplifica¸c˜oes chega-se em :
dρ
S
dt
= −i
1
2
(2Δ
+Δ)[σ
z
, ρ
S
]+
γ
2
(
n + 1)(2σ
−
ρ
S
σ
+
− σ
+
σ
−
ρ
S
− ρ
S
σ
+
σ
−
)
+
γ
2
n(2σ
+
ρ
S
σ
−
− σ
−
σ
+
ρ
S
− ρ
S
σ
−
σ
+
). (2.72)
Agora, voltando para a representa¸c˜ao Schr¨ondinger,obt´em-se a Equa¸c˜ao Mestra para um ´atomo
de dois n´ıveis amortecido:
dρ
S
dt
= iw
S
[σ
z
,ρ
S
]+
γ
2
(
n + 1)(2σ
−
ρ
S
σ
+
− σ
+
σ
−
ρ
S
− ρ
S
σ
+
σ
−
)
+
γ
2
n(2σ
+
ρ
S
σ
−
− σ
−
σ
+
ρ
S
− ρ
S
σ
−
σ
+
), (2.73)
com
w
S
≡ w
S
+2Δ
+Δ. (2.74)
O termo proporcional a
γ
2
(n +1)´e a taxa de transi¸c˜ao |2→|1 e o termo proporcional a
γ
2
n ´e a taxa de transi¸c˜ao |1→|2. A diferen¸ca de energia entre os n´ıveis do ´atomo no sistema
isolado e no sistema interagindo com o ambiente (w
S
− w
S
) inclui um termo independente da
temperatura chamado de Lamb Shift dado por Δ, tamb´em visto em um oscilador harmˆonico, e
um termo dependente da temperatura 2Δ
(proporcional a 2n)quevemdoefeito Stark.
Exemplo 7. Os valores m´edios σ
z
= ρ
11
−ρ
22
, σ
+
= ρ
12
e σ
−
= ρ
21
tˆem correla¸c˜ao direta
com os termos da matriz densidade ρ. Usandoaequa¸c˜ao 2.73 para cada termo da matriz,
temos um conjunto de quatro equa¸c˜oes diferenciais:
˙ρ
22
= −
i
2
w
S
2|σ
z
ρ − ρσ
z
|2
+
γ
2
(
n +1)2|(2σ
−
ρσ
+
− ρσ
+
σ
−
− σ
+
σ
−
ρ)|2 +
γ
2
(
n)2|(2σ
+
ρσ
−
− ρσ
−
σ
+
− σ
−
σ
+
ρ)|2
= −γ(
n +1)ρ
22
+ γnρ
11
, (2.75)
e, analogamente
˙ρ
11
= −γnρ
11
+ γ(n +1)ρ
22
(2.76)
˙ρ
21
= −
γ
2
(2
n +1)+iw
S
ρ
21
(2.77)
˙ρ
12
=
γ
2
(2
n +1)−iw
S
ρ
12
. (2.78)
Como a evolu¸c˜ao temporal da m´edia de um operador ´e dada por
˙
O = Tr(O ˙ρ), as evolu¸c˜oes
temporais da m´edia dos dos trˆes operadores podem ser escritas na forma:
˙σ
z
= −γ[(2n +1)σ
z
+ 1] (2.79)
˙σ
−
= −
γ
2
(2
n +1)+iw
S
σ
−
(2.80)
˙σ
+
=
γ
2
(2
n +1)−iw
S
σ
+
. (2.81)
Sabendo ˙σ
−
e ˙σ
+
conseguimos saber qual ´eavaria¸c˜ao do momento de dipolo ao longo da
evolu¸c˜ao,
˙
eq = d
12
˙σ
−
+ d
∗
12
˙σ
+
.
22
Comparando as equa¸c˜oes 2.72 e 2.41 vemos que elas tˆem a mesma forma substituindo
os operadores A
1
por σ
−
, A
†
1
por σ
+
, A
2
por σ
+
, A
†
2
por σ
−
; as constantes de decaimento
γ
1
= γ(n +1)eγ
2
= γn.
Para encerrar o cap´ıtulo sobre equa¸c˜oes mestras, vale, ainda, salientar que com a equa¸c˜ao
mestra pode-se, a princ´ıpio calcular ρ(t) para qualquer t. Contudo, na maioria dos casos
isso significa resolver v´arias equa¸c˜oes diferencias acopladas, o que pode torna-se um problema
computacionalmente complexo. No pr´oximo cap´ıtulo mostraremos um m´etodo alternativo
computacionalmente mais simples e r´apido, chamado de Trajet´orias Quˆanticas.
23
Cap´ıtulo 3
Tra jet´orias Quˆanticas
At´e agora, toda a teoria apresentada fala da evolu¸c˜ao temporal da m´edia sobre um ensemble de
sistemas f´ısico. Entretanto, h´a experimentos atuais que permitem a observa¸c˜ao e manipula¸c˜ao
de uma ´unica realiza¸c˜ao de um sistema f´ısico, apresentando efeitos interessantes, tais como os
saltos quˆanticos [29]. Nesse caso, uma nova descri¸c˜ao da dinˆamica ´e necess´aria. Uma alternativa
´eom´etodo das Trajet´orias Quˆanticas que apresentaremos nesse cap´ıtulo.
No primeiro cap´ıtulo foram feitas compara¸c˜oes entre um sistema cl´assico e um sistema
quˆantico do ponto de vista de suas descri¸c˜oes matem´aticas e de correla¸c˜oes que podem
apresentar. Agora, mostraremos que nos dois casos, a a¸c˜ao do ambiente torna o estado do
sistema obrigatoriamente misto. Contudo, tanto no caso cl´assico quanto no caso quˆantico pode
ser usada uma descri¸c˜ao de trajet´orias estoc´asticas de estados puros (no caso cl´assico pontos
no espa¸co de fase, no caso quˆantico projetores no espa¸co de Hilbert). No caso quˆantico essas
trajet´orias estoc´asticas s˜ao as Trajet´orias Quˆanticas.
3.1 Processo Estoc´astico Cl´assico
Considere o sistema de um bit em um disco r´ıgido descrito no exemplo 6. Um bit no estado
inicial 2.13 tem probabilidade de inverter-se, o que modifica a distribui¸c˜ao de probabilidades
de encontrarmos esse bit nos estados 0 e 1 conforme descrito na equa¸c˜ao 2.14.
Uma forma de determinar a dinˆamica de um ´unico bit ´e medir seu valor em intervalos
consecutivos de tempo [7]. Por exemplo, considere um bit que ser´a monitorando ao longo do
tempo t. Dividindo esse tempo em m intervalos iguais Δt,comt = mΔt pode-se obter como
respostas um conjunto de medidas ao longo do processo. As respostas obtidas em uma parte
da dinˆamica s˜ao:
RESP OST AS ≡
···
···
, ∅,
0 → 1
T
n−1
, ∅,
1 → 0
T
n
, ∅,
0 → 1
T
n+1
, ∅,
···
···
,
(3.1)
onde ∅ s˜ao os intervalos que n˜ao ocorrem mudan¸cas no estado e T
i
´eotempoqueai-´esima
mudan¸ca de estado ocorre (a mudan¸ca ocorrida est´arepresentadaacimadeT
i
). Essas mudan¸cas
abruptas do estado s˜ao chamadas de “Saltos”. Esse monitoramento temporal de um sistema
individual ´e chamado de Trajet´oria.
As respostas s˜ao triviais e mon´otonas, sendo, neste caso, somente importantes, os tempos
em que s˜ao observadas mudan¸cas de estado. A evolu¸c˜ao temporal do estado em que ocorre
apenas um salto est´adescritanafigura3.1.
Pode-se simular esse tipo de sistema em um computador usando um n´umero aleat´orio r
m
(0 ≤ r
m
≤ 1)que ´e sorteado a cada passo m. Dependo de seu valor ocorre um salto ou o estado
permanece o mesmo.
24
Figura 3.1: Considerando um sistema constitu´ıdo por um bit, o sistema pode ter dois tipos de dinˆamicas,
com ou sem saltos. Quando o estado tem mudan¸ca o sistema teve um salto: 1 → 0 (1a) ou 0 → 1(1b). Caso
osisteman˜ao apresente saltos a dinˆamica ´e descrita pelos gr´aficos 2a (caso o valor inicial do bit seja 1) e 2b
(caso o valor seja zero).
1. SE oestado´e0ent˜ao:
Se p
m
>r
m
, inverte-se o bit de 0 → 1.
Caso contr´ario 0 → 0.
2. SE oestado´e1ent˜ao:
Se p
m
>r
m
, inverte-se o bit de 1 → 0.
Caso contr´ario 1 → 1.
A probabilidade p
m
de ocorrer um salto pode variar ou ser est´atica no tempo dependendo da
intera¸c˜ao com o campo magn´etico e de como esse flutua.
´
E importante ressaltar que estamos lidando com um ´unico bit. No exemplo 6, para chegar
na equa¸c˜ao 2.14, tem-se de considerar um ensemble. Usando esse m´etodo, para chegarmos na
mesma resposta do exemplo, ´e necess´ario fazer trajet´oriasparatodooensembleetiraram´edia
das dinˆamicas. Note tamb´em que no modelo de trajet´orias, se o o estado inicial ´e puro, por
exemplo o estado 0 (p
0
=1,p
1
= 0), ent˜ao, ao longo de uma trajet´oria permanecer´a puro e a
trajet´oria ser´aumasequˆencia de 0’s e 1’s dependendo dos saltos que ocorrem. Por outro lado, o
estado descrito no exemplo 6 ´e obrigatoriamente misto para qualquer tempo diferente de zero.
Essa estat´ıstica ´e recuperada quando tomamos a m´edia sobre todas as trajet´orias.
De um ponto de vista quˆantico, al´em dos estados 0 (|0)e1(|1), um estado puro pode
estar em uma superposi¸c˜ao (|ψ = a|0 + b|1). Para generalizar a ideia desse modelo cl´assico
ser´a necess´ario usar um modelo mais sofisticado que considera a possibilidade de superposi¸c˜ao
dos estados e leva em considera¸c˜ao n˜ao s´o as popula¸c˜oes desses como tamb´em sua coerˆencia.
25
3.2 Processo Estoc´astico Quˆantico, Trajet´orias
Quˆanticas
Suponha um sistema quˆantico inicialmente puro ρ
S
= |ψψ| queestejaemumambiente
qualquer descrito pela equa¸c˜ao 2.41. Queremos saber como ´e a fun¸c˜ao de onda do estado em
um tempo t + δt,parauma´unica realiza¸c˜ao experimental do ensemble, no qual monitoramos
o reservat´orio. O sistema pode evoluir de duas formas [30]:
1. O estado evolui sem ter nenhum salto. Para calcular |ψ
(t + δt) pode-se evoluir o estado
|ψ(t) por um hamiltoniano efetivo:
H
eff
= H −
iγ
k
2
k
A
†
k
A
k
. (3.2)
H
eff
´eumoperadorn˜ao-hermitiano e gera uma evolu¸c˜ao n˜ao-unit´aria do estado:
|ψ
(t + δt) = e
−
i
H
ef f
δt
|ψ(t) =
I −
iH
eff
δt
|ψ(t). (3.3)
A segunda igualdade ´e valida para o caso de δt ser um passo muito pequeno tal que a
aproxima¸c˜ao de primeira ordem no tempo seja v´alida . Como H
eff
gera uma dinˆamica
n˜ao-unit´aria o novo estado |ψ
(t + δt) n˜ao ´e normalizado.
ψ
(t + δt)|ψ
(t + δt) = ψ(t)|
I +
iH
†
eff
δt
I −
iH
eff
δt
|ψ(t) =1−δp (3.4)
onde δp ´e descrito por:
δp = δt
i
ψ(t)|
H
†
eff
− H
eff
|ψ(t) = δtγ
k
ψ(t)|
k
A
†
k
A
k
|ψ(t) =
k
δp
k
(3.5)
δp
k
= δtγ
k
ψ(t)|
A
†
k
A
k
|ψ(t)≥0 (3.6)
Como o passo δt ´e pequeno, isso implica que δp 1
2. A evolu¸c˜ao do estado |ψ(t) entre o tempo t e t + δt inclui um salto quˆantico. Em geral,
existem v´arios saltos poss´ıveis , cada qual associado a um operador L
k
=
√
γ
k
A
k
ecom
a probabilidade Π
k
= δp
k
/δp de ocorrer (isso s˜ao probabilidades, pois
k
Π
k
=1). O
intervalo δt ´e escolhido de forma que apenas um salto possa ocorrer e, nesse caso, o estado
ser´a:
|ψ(t + δt) =
1
δp
k
/δt
L
k
|ψ(t). (3.7)
A evolu¸c˜ao do sistema em uma trajet´oria n ser´adadapelasequˆencia de estados
{|ψ(0), |ψ(δt), |ψ(2δt), ···, |ψ(Nδt)}, (3.8)
onde cada qual ´e gerado a partir do caso anterior por um dos saltos poss´ıveis ou pela evolu¸c˜ao
sem saltos. Essa sequˆencia ´e chamada de Trajet´oria Quˆantica
26
3.3 Equivalˆencia entre Trajet´orias Quˆanticas e Equa¸c˜ao
Mestra
Usando o processo descrito anteriormente ´eposs´ıvel recuperar todos os resultados de uma
´unica realiza¸c˜ao do experimento, tal qual no caso cl´assico. Fazendo esse procedimento v´arias
vezes e calculando a m´edia sobre os resultados em cada tempo devemos recuperar o resultado
encontrado pela equa¸c˜ao mestra [31], conforme mostraremos a seguir
Seja ρ(t) a matriz densidade do sistema no tempo t. No intervalo δt ou o sistema evolui por
H
eff
(trajet´oria sem salto) ou por um dos operadores A
k
correspondentes a um dos poss´ıveis
saltos. Para conhecermos ρ(t+ δt) fazemos a m´edia sobre todas as possibilidades de trajet´orias,
ou seja, se ρ(t)=
i
p
i
|ψ
i
(t)ψ
i
(t)| onde o i-´esimo estado tem probabilidade p
i
de ocorrer ao
longo de todas as trajet´orias, ent˜ao
ρ(t + δt)=(1− δp)
i
p
i
|ψ
i
(t + δt)ψ
i
(t + δt)|
√
1 − δp
√
1 − δp
+ δp
k,i
p
i
Π
k
L
k
|ψ
i
(t)
δp
k
/δt
ψ
i
(t)|L
†
k
δp
k
/δt
. (3.9)
Da equa¸c˜ao 3.3 e reescrevendo os operadores L
k
=
√
γ
k
A
k
temos:
ρ(t + δt)=ρ(t)+
iδt
[ρ(t),H]+δt
k
γ
k
A
k
ρ(t)A
†
k
−
1
2
{A
†
k
A
k
,ρ(t)}
, (3.10)
o que leva `aequa¸c˜ao diferencial
dρ(t)
dt
=
i
[ρ(t),H]+
k
γ
k
A
k
ρ(t)A
†
k
−
1
2
{A
†
k
A
k
,ρ(t)}
. (3.11)
Aequa¸c˜aoacimatemamesmaformadaequa¸c˜ao 2.41 o que mostra a equivalˆencia entre a
equa¸c˜ao mestra e as trajet´orias quˆanticas
As trajet´orias quˆanticas tˆem quatro importantes vantagens que nos levaram a escolher esse
m´etodo em nosso trabalho:
1. Realiza¸c˜ao Experimental: As trajet´orias quˆanticas podem ser realizadas
experimentalmente usando uma ideia muito simples: monitorar o ambiente que est´a
interagindo com o sistema. O monitoramento do reservat´orio se d´a fazendo medidas
consecutivas a cada passo δt de tempo. Por exemplo, se estivermos analisando um ´atomo
com decaimento espontˆaneo, e observarmos um f´oton no reservat´orio, isso significa que
o sistema decaiu, seguindo, portanto, a evolu¸c˜ao descrita pela equa¸c˜ao 3.7; caso n˜ao
observemos nenhum f´oton no reservat´orio (considerando um reservat´orio `a temperatura
zero) o sistema evolui tamb´em, s´o que seguindo a dinˆamica descrita por 3.3. Note que
para esse tipo de reservat´orio as medidas nele realizadas fornecem algum conhecimento
sobre o estado [32], mesmo quando o resultado ´e nulo. O exemplo 8 mostra um caso
simples de como uma medida nula afeta o sistema.
2. Simula¸c˜ao Computacional: Esse modelo permite fazer simula¸c˜oes computacionais
usando poucos recursos, pois se o estado inicial ´e puro, ent˜ao para uma dada trajet´oria,
este sempre permanecer´a puro o que nos permite trabalhar com vetores de dimens˜ao
N(fun¸c˜ao de onda) em vez de matrizes com dimens˜ao N
2
(operador densidade). Para a
simula¸c˜ao ´e usado um processo de sorteio de um n´umero aleat´orio r
m
em cada passo m
para determinar se ouve um salto ou n˜ao, igual ao caso cl´assico. Dado um estado inicial
|ψ em cada intervalo de tempo δt sorteia-se um n´umero aleat´orio entre 0 e 1. De acordo
27
com o intervalo em que o n´umero sorteado cair, aplica-se a correspondente evolu¸c˜ao (H
eff
ou um dos saltos L
k
). Uma particular trajet´oria j ser´adadapelasequˆencia
{|ψ
j
(0), |ψ
j
(δt), |ψ
j
(2δt), ···, |ψ
j
(Nδt)} (3.12)
obtida a partir dos r
m
’s sorteados {r
1
,r
2
, ···,r
N
} e da aplica¸c˜ao dos respectivos
operadores {O
1
,O
2
, ···,O
N
}, onde O
i
´e L
k
para um salto k e H
eff
caso n˜ao haja
nenhum salto. Note que a aplica¸c˜ao de O
i
no estado diminui sua norma. Para evitar
trabalhar com n´umeros muito pequenos ´e importante renormalizar o estado a cada passo.
Para recuperar ρ(t) para um tempo qualquer basta repetir o procedimento muitas vezes,
obtendo diferentes |ψ
j
(t) (onde j indica a correspondente trajet´oria) e fazer a m´edia sobre
todas as trajet´orias encontradas
ρ(t)=
1
T
j
ω
j
|ψ
j
(t)ψ
j
(t)| (3.13)
onde T ´eon´umero total de trajet´orias simuladas e ω
j
´eafrequˆencia com que o estado
|ψ
j
(t) aparece. Note ainda que, como |ψ
j
(t) ´e normalizado, segue que:
Tr[ρ(t)] =
1
T
j
ω
j
Tr[|ψ
j
(t)ψ
j
(t)|]=
1
T
j
ω
j
= 1 (3.14)
o significa que
j
ω
j
= T , conforme deveria ser. Por usar simula¸c˜ao, esse m´etodo faz
com que perdemos generalidade porque estudamos apenas casos particulares.
3. Rela¸c˜ao entre Simula¸c˜ao e Experimento: Um experimento pode ser facilmente
simulado usando trajet´orias quˆanticas. Geralmente um experimento ´e feito usando um
constituinte do ensemble de cada vez e monitorando seu estado em intervalos discretos.
Asimula¸c˜ao segue esse mesmo racioc´ınio, usando um n´umero aleat´orio para simular a
aleatoriedade da evolu¸c˜ao do sistema experimental.
4. “Destilamento” do Emaranhamento:
´
E conhecido que opera¸c˜oes locais (opera¸c˜oes
que atuam individualmente em cada subsistema) n˜ao aumentam o emaranhamento de
um sistema em m´edia. Nesse trabalho ser´a mostrado que as trajet´orias sem saltos podem
aumentar o emaranhamento de alguns constituintes, dependendo do estado inicial, mesmo
com reservat´orios locais. Pode-se usar o processo de p´os-sele¸c˜ao de estados dividindo os
sistemas em dois casos: os que evoluem com algum salto e os que evoluem sem nenhum
salto. Os sistemas em que ocorrem saltos s˜ao descartados. Os estados que evoluem com
uma trajet´oria sem saltos s˜ao selecionados, pois podem possuir mais emaranhamento que
oestadoinicial(ser´a mostrado como isso ocorre na se¸c˜ao 4.3). Esse processo n˜ao aumenta
o emaranhamento na m´edia, mas somente de alguns constituintes.
28
Figura 3.2: Esquema que mostra a equivalˆencia entre equa¸c˜ao mestra e trajet´orias quˆanticas. Al´em disso,
as trajet´orias quˆanticas tem interpreta¸c˜ao direta r e lacionada ao s experimentos, facilitando a ssim, simular
computacionalmente alguns experimentos.
Mostramos, agora, um exemplo de evolu¸c˜ao por trajet´oria quˆantica.
Exemplo 8. Considere o sistema descrito na se¸c˜ao 2.5 com o estado inicial |ψ(0) = a|1+b|2
normalizado (|a|
2
+ |b|
2
=1) interagindo com um reservat´orio com temperatura igual a zero
(
n =0). Depo is de um passo δt o sistema pode sofrer um salto σ
−
(detectar um f´oton no
reservat´orio) ou evoluir pelo hamiltoniano efetivo (nenhum f´oton detectado). Se n˜ao houver
um salto, o estado do sistema em δt ser´a dado por:
|ψ(δt) =
I −
iδt
H
eff
|ψ(0)
√
1 − γδt
=
|ψ(0) + γδtσ
+
σ
−
|ψ(0)
√
1 − γδt
|ψ(δt) =
a|1 +(1− γδt) b|2
√
1 − γδt
(3.15)
Pode-se ver que a popula¸c˜ao do estado excitado |2 diminui e do estado |1 aumenta. Como
nenhum f´oton foi detectado no reservat´orio, o sistema tem uma probabilidade menor de estar
no estado |2 ap´os δt. Repetindo esse processo v´arias vezes (n´umero de passos m →∞)o
estado final ser´a o estado |1, como deveria ser, posto que para um reservat´orio de emiss˜ao
espontˆanea o estado assimpt´oticodosistema´e sempre o seu estado fundamental.
lim
m→∞
|ψ(mδt) = lim
m→∞
a|1 +(1− mγδt) b|2
√
1 − mγδt
= |1. (3.16)
Atrajet´oria sem n enhum salto quˆantico ´e chamada de “ No-Jump Trajectory”(trajet´oria sem
salto). Esse tipo de trajet´oria mostra que uma n˜ao detec¸c˜ao no reservat´orio nos fornece
informa¸c˜ao sobre o sistema, sendo uma medida t˜ao importante quanto a detec¸c˜ao de um f´oton.
Por outro lado, se houver um salto, o estado do sistema ´e projetado imediatamente em seu
estado final |1,j´aqueo´unico operador de salto ´e σ
−
29
3.4 An´alise usando Trajet´orias Quˆanticas de um Qubit
em um Reservat´orio de Emiss˜ao
Para deixar claro como as trajet´orias quˆanticas fornecem resultados t˜ao bons quanto o da
equa¸c˜ao mestra, voltamos ao exemplo anterior, agora calculando ρ(t)ao longo da dinˆamica
temos: um qubit interagindo com um reservat´orio de emiss˜ao a temperatura zero (outros
exemplos simples de uso da trajet´oria podem ser encontrados na referˆencia [33]). Investigando
s´oparaadinˆamica de intera¸c˜ao entre o reservat´orio e o qubit (analisando o sistema na
representa¸c˜ao de intera¸c˜ao) e usando a equa¸c˜ao mestra pode-se montar um sistema de equa¸c˜oes
diferenciais para cada elemento da matriz densidade ρ
11
, ρ
22
e ρ
12
= ρ
21
(n = 0). Resolvendo
essas equa¸c˜oes, encontramos:
ρ
22
= ae
−γt
(3.17)
ρ
11
=1−ae
−γt
(3.18)
ρ
12
= a(1 − a)e
−
γt
2
. (3.19)
Essa solu¸c˜ao tem como condi¸c˜ao inicial o estado puro |ψ =
√
a|1 +
√
1 − a|2.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
População do Estado Fundamental
População doEstado Excitado
Correlação
Figura 3.3: Resolu¸c˜ao anal´ıtica da equa ¸c˜ao mestra feita para o sistema de um qubit, mostrando que as duas
s˜ao igualmente satisfat´orias. Foi escolhido a =
1
2
.
Agora usaremos as trajet´orias quˆanticas para analisar o mesmo problema. Como exemplo,
analisaremos um estado inicial:
|ψ
1
(0) =
1
√
2
(|1 + |2). (3.20)
Para se ter uma boa aproxima¸c˜ao do resultado anal´ıtico ´e preciso ter um n´umero consider´avel
de trajet´orias que depende de v´arios fatores, sendo o principal o qu˜ao dr´astico o sistema
´e modificado quando ocorre um salto quˆantico. Quanto mais dr´astica a mudan¸ca ´e, mais
trajet´orias ser˜ao necess´arias. Outro fator importante a ser considerado ´eon´umero de saltos e o
n´umero de n´ıveis envolvidos. O n´umero de trajet´orias aumenta com o aumento da possibilidade
de saltos e com a dimens˜ao do sistema. No caso estudado foram usadas 1000 trajet´orias, o que
fornece um resultado muito satisfat´orio, como mostra a figura 3.4 quando comparada com a
solu¸c˜ao anal´ıtica na figura 3.3.
Ao monitorar o reservat´orio, uma trajet´oria poss´ıvel ´e aquela que n˜ao apresenta saltos,
conforme discutido anteriormente. Afigura3.5mostracomooestadodoqubitevoluisen˜ao
30
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
TEMPO x GAMMA
População do Estado Fundamental
População do Estado Excitado
Correlação
Figura 3.4: Resolu¸c˜ao num´erica feita para o mesmo estado inicial, mostra ndo que as duas resolu¸c˜oes chegam
no mesmo resultado, sendo igualmente satisfat´orias.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
TEMPO x GAMMA
Estado Fundamental
Estado Excitado
Correlação
Figura 3.5: Um qubit com estado inicial igual ao analisado anteriormente evoluindo em uma dinˆamica sem
saltos.
ocorre nenhum salto. A dinˆamica sem saltos modifica as popula¸c˜oes seguindo o que foi dito no
final da se¸c˜ao anterior.
31
3.5 An´alise usando Trajet´orias Quˆanticas de dois
Qubits emaranhados em Reservat´orios de Emiss˜ao
Independente
Nessa disserta¸c˜ao estamos interessados em investigar o desemaranhamento de sistemas abertos.
Um sistema j´a estudado envolve dois qubits, inicialmente emaranhados, cada um interagindo
com um reservat´orio de emiss˜ao dado pela equa¸c˜ao 2.73. Nesse caso, h´a dois tipos poss´ıveis de
dinˆamica de emaranhamento: morte s´ubita de emaranhamento (o emaranhamento chega a zero
em tempo finito) ou decaimento assimpt´otico. Se vai ocorrer uma ou outra dinˆamica depende
somente do estado inicial. Considerando estados da forma |ψ = a|11 + b|22, podemos usar
trajet´orias quˆanticas para encontrar como ´e a dinˆamica em dois diferentes intervalos: a>be
b>a.Segueogr´afico mostrando dois exemplos, um para cada intervalo. Esse exemplo j´afoi
estudado nas referˆencias [1, 34].
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
TEMPO x GAMMA
NEGATIVIDADE
Dinâmica sem Morte Súbita
Dinâmica com Morte Súbita
Figura 3.6: Um sistema constitu´ıdo por dois qubits tem o emaranhamento morrendo assimptoticamente se
a>be apresenta morte s´ubita se b>a. Os valores utilizados nos dois casos foram
3
5
paraomenorvalore
4
5
para o maior.
Esse exemplo apresenta os poss´ıveis casos de dinˆamica de emaranhamento de dois qubits.
No pr´oximo cap´ıtulo ser´a apresentada uma an´alise semelhante para qutrits. No caso de dois
qutrits al´em da possibilidade de variar o estado inicial, ainda h´a a possibilidade de um sistema
ter configura¸c˜oes de n´ıveis diferentes, sendo o principal estudo dessa disserta¸c˜ao como essas
configura¸c˜oes afetam a dinˆamica de emaranhamento.
32
Cap´ıtulo 4
Dinˆamica de Dois Qutrits
O emaranhamento aparece como recurso em v´arios protocolos de informa¸c˜ao quˆantica, o
que cria a necessidade de saber como essa propriedade do sistema evolui no tempo quando
estamos lidando com sistemas quˆanticos abertos. A dinˆamica de qubits banhados por um
reservat´orio de emiss˜ao j´a foi estudada exaustivamente em v´arios trabalhos, conforme exemplo
dado na se¸c˜ao 3.5. Em sistemas bipartites de maior dimens˜ao podem ocorrer efeitos diferentes,
devidos `a sua complexidade. O menor sistema que cont´em caracter´ısticas que n˜ao podem
servistasemdoisqubitss˜ao dois qutrits. J´a foram estudadas algumas propriedades da
evolu¸c˜ao do emaranhamento em um sistema aberto de dois qutrits como: mudan¸cas abruptas
de emaranhamento [2], cria¸c˜ao de emaranhamento em reservat´orio conjunto [35] e an´alise de
canais atˆomicos envolvendo qutrits [36]. Neste cap´ıtulo ser˜ao mostradas algumas das poss´ıveis
dinˆamicas de emaranhamento que um sistema constitu´ıdo de dois qutrits pode ter e, mais
especificamente, como o desemaranhamento varia para diferentes configura¸c˜oes dos n´ıveis de
energia de cada qutrit.
4.1 O Que
´
EUmQutrit?
Um Qutrit ´e um sistema quˆantico de trˆes n´ıveis. A primeira diferen¸ca evidente entre qutrits
e qubits ´e a possibilidade de qutrits terem diferentes configura¸c˜oes, que se mostrar´a essencial
para a dinˆamica de desemaranhamento. Nessa disserta¸c˜ao, estudaremos o emaranhamento de
sistemas de dois qutrits que apresentam trˆes poss´ıveis configura¸c˜oes: Lambda (um n´ıvel superior
edoisn´ıveis inferiores que n˜ao se enxergam, considerando a aproxima¸c˜ao de dipolo), Cascata
(semelhante a um oscilador harmˆonico truncado no terceiro n´ıvel, onde o estado mais excitado
n˜ao decai diretamente para o estado fundamental) e V (dois n´ıveis superiores cujo decaimento
´e proibido entre si mais um n´ıvel com energia inferior, para o qual ambos decaem). A figura
4.1 mostra com maior clareza como s˜ao os trˆes tipos de configura¸c˜ao.
Vamos, sempre, analisar qutrits que interagem com um reservat´orio independente atrav´es
de dois canais de decaimento que dependem das configura¸c˜oes dos n´ıveis de energia. Dessa
forma, podemos comparar com os casos previamente estudados em que o decaimento se dava
em cascata. Pode-se considerar que cada canal, separadamente, tem a mesma forma do canal
de decaimento descrito para um qubit na equa¸c˜ao 2.73. Os canais para cada configura¸c˜ao s˜ao:
1. Caso o Qutrit tenha configura¸c˜ao Cascata
C
1
= |12| C
2
= |23|. (4.1)
2. Caso o Qutrit tenha configura¸c˜ao Lambda
Λ
1
= |13| Λ
2
= |23| (4.2)
33
3. Caso o Qutrit tenha configura¸c˜ao V
V
1
= |12| V
2
= |13| (4.3)
Cada canal de decaimento ´e definido pelo seu operador, semelhantes ao σ
−
,cujobra define o
n´ıvel que perde popula¸c˜ao e o ket on´ıvel que ganha popula¸c˜ao.
Figura 4.1: Poss´ıveis configura¸c˜oes dos n´ıveis de energia de um sistema de trˆes n´ıveis.
Em nossa an´alise, vamos considerar que os qutrits estejam longe o suficiente um do
outro para conseguimos distinguir os f´otons emitidos por cada um. Ou seja, trataremos de
reservat´orios independentes.
Figura 4.2: Esquema que mostra o sistema mais seu reservat´orio evoluindo independentemente.
Como queremos analisar como o emaranhamento varia dependendo somente da intera¸c˜ao
entre o sistema e o reservat´orio, todas as an´alises estar˜ao na representa¸c˜ao de Intera¸c˜ao.A
equa¸c˜ao mestra que descreve o sistema ´e:
dρ
dt
= γ
1
A
1
ρA
†
1
−
1
2
{A
†
1
A
1
,ρ}
+ γ
2
A
2
ρA
†
2
−
1
2
{A
†
2
A
2
,ρ}
+ γ
1
B
1
ρB
†
1
−
1
2
{B
†
1
B
1
,ρ}
+ γ
2
B
2
ρB
†
2
−
1
2
{B
†
2
B
2
,ρ}
, (4.4)
onde A
i
e γ
i
´e relativo a operadores do primeiro qutrit e B
j
e γ
j
´e relativo a operadores do
segundo qutrit. Por exemplo, se o primeiro qutrit tiver a configura¸c˜ao cascata, A
1
= C
1
⊗ I e
A
2
= C
2
⊗I, e o segundo em configura¸c˜ao Lambda, B
1
= I ⊗Λ
1
e B
2
= I ⊗Λ
2
. Para simplificar
a nota¸c˜ao ρ
S
≡ ρ. Consideraremos o caso que todas as constantes de decaimento s˜ao iguais
(γ
1
= γ
2
= γ
1
= γ
2
).
Outra possibilidade, que n˜ao sera alvo de estudos dessa disserta¸c˜ao, analisa o caso em os
estados que n˜ao tˆem decaimento entre si (nas configura¸c˜oes V e Lambda) s˜ao degenerados. Isso
34
implicaria em n˜ao saberemos qual salto ocorreu (Λ
1
ou Λ
2
para Lambda e V
1
ou V
2
para a
configura¸c˜ao V), n˜ao sabendo, portanto, para qual n´ıvel de energia o estado decaiu, no caso
Lambda, ou em qual n´ıvel estava, no caso V. Existiria, tamb´em, a possibilidade, na configura¸c˜ao
Cascata, de n˜ao conseguirmos destingir os f´otons de cada transi¸c˜ao, formando, assim, uma
”degenerescˆencia”dos poss´ıveis f´otons emitidos, implicando na mesma ignorˆancia das outras
configura¸c˜oes. Em todos esses casos de n´ıveis degenerado, a dinˆamica n˜ao seria dada pela
equa¸c˜ao 4.4 e sim por uma nova equa¸c˜ao.
dρ
dt
= γ
JρJ
†
−
1
2
{J
†
J, ρ}
+ γ
J
ρJ
†
−
1
2
{J
†
J
,ρ}
(4.5)
onde
J =(C
1
+ C
2
) ⊗ I
(4.6)
J =(Λ
1
+Λ
2
) ⊗ I
(4.7)
J =(V
1
+ V
2
) ⊗ I
, (4.8)
por exemplo,onde 4.6, 4.7 e 4.8 se referem, respectivamente, a operadores degenerados das
configura¸c˜oes Cascata, Lambda e V para a primeira part´ıcula (as grandezas com
atuam no
segundo sistema). Contudo, nesse trabalho ficaremos restritos somente ao caso n˜ao-degenerado,
onde os canais de decaimento s˜ao caracterizados pelos operadores 4.1 para a configura¸c˜ao
cascata, 4.2 para lambda e 4.8 para V.
4.2 Desemaranhamento Entre Dois Qutrits
Sistemas quˆanticos abertos que estejam emaranhados inicialmente perdem emaranhamento em
contato com um reservat´orio. Sem perda de generalizadade, restringiremos nossa an´alise aos
estados da forma:
|ψ = a|11+ b|22 + c|33. (4.9)
Por simplicidade os valores de a, b e c ser˜ao tomados reais e positivos. Note que, para estudos de
emaranhamento, a fase relativa entre eles ´e pouco importante e pode sempre ser “absorvida”
por uma redefini¸c˜ao momentˆanea dos estados. O estado 4.9 tem emaranhamento m´aximo
quando a = b = c =
1
√
3
com negatividade N = 2. Considerando-se somente estados desse
tipo j´a se pode observar um conjunto muito grande de diferentes dinˆamicas dependendo dos
valores de a, b e c ou das diferentes configura¸c˜oes (Cascata, Lambda e V). Para facilitar a
visualiza¸c˜ao da evolu¸c˜ao do emaranhamento, os gr´aficos das sub-se¸c˜oes 4.2.1,4.2.2 e 4.2.3, al´em
de mostrarem a negatividade, mostram o comportamento temporal de cada auto-valor negativo
separadamente. No caso dos sistemas em quest˜ao, a transposta parcial do estado cont´em, no
m´aximo, 3 auto-valores negativos. Como suas dinˆamicas tˆem tempos caracter´ısticos diferentes,
podem-se observar mudan¸cas abruptas na negatividade. Observa-se, tamb´em, emaranhamento
decaindo assimptoticamente se pelo menos um dos auto-valores tende assimptoticamente para
zero. E s´o se observa morte s´ubita quando todos os auto-valores negativos chegam a zero em
tempo finito.
Para observar essas propriedades fizemos simula¸c˜oesusandoom´etodo de Trajet´orias
Quˆanticas pois, mesmo sendo poss´ıveis, resultados anal´ıticos demandariam c´alculos muito
extensos sem acr´escimo qualitativo (ou mesmo quantitativo) ao principal objetivo da
disserta¸c˜ao: estudar a evolu¸c˜ao do emaranhamento para diferentes configura¸c˜oes de energia
em sistemas aberto 3 ⊗ 3 em reservat´orios independentes.
35
4.2.1 Configura¸c˜ao Cascata-Cascata
Primeiramente, considerando ambos os qutrits na configura¸c˜ao cascata, mostramos, a seguir, a
dinˆamica de seu desemaranhamento. Em particular, ´e mostrado a negatividade das poss´ıveis
dinˆamicas que podem ocorrer dependendo do estado inicial do sistema. Para essa configura¸c˜ao
pode-se ver que o sistema possui diferentes dinˆamicas dependendo do estado inicial. F. Lastra
et al. estudaram esse caso em [2]. Repetimos os resultados para comparar com as outras
configura¸c˜oes. As poss´ıveis dinˆamicas para essa configura¸c˜ao s˜ao:
1. a>b>c: decaimento assimpt´otico.
2. b>a>cou a>c>b: uma mudan¸ca abrupta e decaimento assimpt´otico.
3. b>c>a: duas mudan¸cas abruptas e decaimento assimpt´otico.
4. c>b>a: duas mudan¸cas abruptas e morte s´ubita.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
TEMPO x GAMMA
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.3: Caso sem muda n¸cas abruptas para configura¸c˜ao Cascata-Cascata. Valores num´ericos: a=0.9545,
b=0.2386, c=0.1790
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
TEMPO x GAMMA
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.4: Caso com uma mudan¸ca abrupta e decaimento assimpt´otico para configura¸c˜ao Cascata-Cascata.
Valores utilizados: a=0.2386, b=0.9545 c=0.1790
36
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
TEMPO x GAMMA
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.5: Caso com uma mudan¸ca abrupta e decaimento assimpt´otico para configura¸c˜ao Cascata-Cascata.
Valores num´ericos: a=0.9545, b=0.1790 c=0.2386
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
TEMPO x GAMMA
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.6: Caso com duas mudan¸cas abruptas e decaimento assimpt´otico para configura¸c˜ao Cascata-Cascata.
Os valores utilizados foram: a=0.4243, b =0.7071 c=0.5657
37
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
TEMPO x GAMMA
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.7: Caso com duas mudan¸cas abruptas e morte s´ubita para configura¸c˜ao Cascata-Cascata. Com os
valores num´ericos sendo: a=0.1790, b=0.2386 c=0.9545
4.2.2 Configura¸c˜ao V-V
No caso Cascata-Cascata foram encontrados diferentes dinˆamicas dependo dos valores de a, b e
c. O comportamento da dinˆamica, dependendo do estado inicial, pode ser visto, tamb´em para
ocasoV-V.Abaixoseguemasposs´ıveis dinˆamicas para este caso:
1. a>be a>c:N˜ao h´a mudan¸cas abruptas no emaranhamento
2. a>be a<cou a<be a>c:H´a uma mudan¸ca abrupta.
3. a<be a<c: Ocorrem duas mudan¸cas abruptas
Na configura¸c˜ao V-V n˜ao existe a possibilidade de haver morte s´ubita, pois um dos auto-
valores negativos sempre tende `a zero assimptoticamente para qualquer estado inicial do
sistema. No caso estudado de configura¸c˜ao V, consideramos que n˜ao h´a decaimento entre
os dois n´ıveis excitados. Al´em disso, consideramos que os canais de perda s˜ao independentes.
Como o estado final s´o converge para o estado fundamental (|11) assimptoticamente, sempre
haver´a um pouquinho de emaranhamento livre dispon´ıvel, mesmo para tempos longos, desde
que o sistema seja originalmente emaranhado. Al´em do mais, os dois estados excitados tˆem um
canal de decaimento para o n´ıvel |1, apresentando dinˆamicas idˆenticas (isso vale somente para
ocason˜ao degenerado e que a constante de decaimento seja a mesma). Portanto, para dois
qutrits nessa configura¸c˜ao, a troca das popula¸c˜oes entre b e c n˜ao muda a dinˆamica do sistema.
38
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.8: N˜ao h´a mudan¸ca abrupta no emaranhamento para configura¸c˜ao V-V. Valores num´erico s :
a=0.1790, b=0.2386 c=0.9545
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
TEMPO x GAMMA
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.9: Caso com uma mudan¸ca abrupta para configura¸c˜ao V-V. Valores num´ericos: a=0.2386, b=0.9545
c=0.1790
39
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
TEMPO x GAMMA
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.10: Caso com duas mudan¸cas abruptas para configura¸c˜ao V-V. Os valores utilizados foram: a=0.1790,
b=0.2386 c=0.9545
4.2.3 Configura¸c˜ao Lambda-Lambda
Semelhante ao caso Cascata-Cascata e V-V, foi feita uma an´alise com os dois qutrits tendo
configura¸c˜ao Lambda. A seguir seguem os gr´aficos e os intervalos interessantes nesse caso.
1.
a
c
>
1
2
e
b
c
>
1
2
:N˜ao h´a mudan¸cas abruptas no sistema e o sistema tem emaranhamento
assimpt´otico.
2.
a
c
>
1
2
e
b
c
<
1
2
ou
a
c
<
1
2
e
b
c
>
1
2
:H´a duas mudan¸cas abruptas e o emaranhamento
morre assimptoticamente (
c
2
4
>ab); ou h´a uma mudan¸caabruptaeosistemapossui
emaranhamento assimpt´otico (
c
2
4
<ab).
3.
a
c
<
1
2
e
b
c
<
1
2
: Ocorrem duas mudan¸cas abruptas no sistema e ocorre morte s´ubita .
Um qutrit na configura¸c˜ao Lambda, diferente das outras duas configura¸c˜oes n˜ao tende
paraon´ıvel fundamental |1 (espa¸codeHilbertdoestadoquandootempot →∞´e igual
`a E
C
final
= E
V
final
= 1) e sim para o sub-espa¸co de dimens˜ao E
Λ
final
= 2 formado pelos n´ıveis
de energia |1 e |2. Nos casos de dois qutrits com essa configura¸c˜ao h´a a possibilidade de
existir emaranhamento assimpt´otico, pois o sistema n˜ao tende para o estado fundamental |11
global, mas para o sub-espa¸co E
Λ
final
⊗ E
Λ
final
definido pelos vetores |11, |12, |21 e |22.
Portanto, o sistema pode apresentar um emaranhamento equivalente ao de dois qubits. Ou
seja, al´em das possibilidades de dinˆamica semelhante ao outros casos de configura¸c˜ao, existem
as possibilidades:
1. se
c
2
4
>abn˜ao h´a emaranhamento assimpt´otico
2. se
c
2
4
<abh´a emaranhamento assimpt´otico
Quando h´a emaranhamento assimpt´otico, apenas um dos auto-valores negativos n˜ao morrem
nunca. Para dois qubits, o emaranhamento ´e caracterizado por somente um auto-valor negativo,
confirmando cujo emaranhamento entre os qutrits tende para um estado que o emaranhamento
´e semelhante ao de um sistema de dois qubits (2 ⊗ 2).
40
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
TEMPO x GAMMA
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.11: Caso em que o sistema Lamb da-Lambda n˜ao tem nenhuma mudan¸ca abrupta e tem
emaranhamento assimpt´otico, como expresso no primeiro caso. O emaranhamento assimpt´oticodosistema
´e N=0.4394. Os valores utilizados foram a=0.2386, b=0.9545 e c=0.1790
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
TEMPO x GAMMA
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.12: O sistema Lambda-Lambda po ssui duas mudan¸cas abruptas e morte s´ubita, como descrito no
segundo caso com
c
2
4
>ab. Os valores num´ericos usados foram: a=0.2449, b=0.5477 c=0.8000
41
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
TEMPO x GAMMA
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.13: Neste caso da configura¸c˜ao Lambda-Lambda, o sistema apresenta uma mudan¸ca abrupta e
emaranhamento assimpt´otico como descrito no segundo caso com
c
2
4
<ab. O emaranhamento assimpt´otico do
sistema ´e N=0.0366. Os valores num´ericos usados foram a=0.5747, b=0.2873 c=0.7663
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
TEMPO x GAMMA
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.14: O sistema apresenta duas mudan¸cas abruptas e morte s´ubita, como apresentado no ´ultimo caso
da configura¸c˜ao Lambda-Lambda. a=0.1790, b=0.2386 c=0.9545.
4.3 Dinˆamica de Emaranhamento de Uma Trajet´oria
No caso n˜ao degenerado, em que o f´oton identifica de qual n´ıvel decaiu e para qual n´ıvel foi, a
ocorrˆencia de algum salto quˆantico sempre destr´oi todo o emaranhamento existente no sistema.
Para esses casos, portanto, estaremos mais interessados na dinˆamica de uma trajet´oria sem
saltos que pode, eventualmente, preservar ou mesmo aumentar o emaranhamento existente.
Nessa se¸c˜ao, repetimos a an´alise, para todas as configura¸c˜oes apresentadas anteriormente,
olhando a evolu¸c˜ao quando nenhum f´oton ´e detectado no reservat´orio. Em alguns casos, para
facilitar a an´alise, as trajet´orias foram feitas para valores de a, b e c diferentes dos anteriores,
contudo sem perda de generalidade.
42
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
TEMPO x GAMMA
NEGATIVIDADE
a>b>c
a>c>b
b>a>c
b>c>a
c>b>a
Figura 4.15: Todososcasodetrajet´orias sem saltos para a config ura¸c˜ao Cascata- Cascata. Os valores utilizados
sem foram maior=0.9545, intermedi´ario=0.2386 menor=0.1790
No caso Cascata-Cascata existem duas possibilidades de um trajet´oria sem saltos: o
emaranhamento passa por um m´aximo ou decai diretamente. Para os casos c>b>ae
b>c>aem que o emaranhamento apresenta um pico, esse ´eaoredordetγ =1.51 e
negatividade N =1.4705 e para o caso b>a>copico´eaoredordetγ =1.24 e negatividade
N =1.3623 para os valores estudados. Na pr´oxima se¸c˜ao explicamos essa propriedade.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
TEMPO x GAMMA
NEGATIVIDADE
a>b>c
b>a>c
c>b>a
Figura 4.16: Todososcasodetrajet´orias sem saltos para a configura¸c˜ao V-V. Os valores utilizados em todos
os gr´aficos foram maior=0.9545, intermedi´ario=0.2386 menor=0.1790
Na configura¸c˜ao V-V, dois poss´ıveis intervalos dos valores iniciais (b>a>ce c>b>a)
apresentam um pico de emaranhamento. Nos nossos exemplos, os picos s˜ao em tγ =1.51 com
negatividade N =1.4705 para o caso c>b>ae tγ =1.24 com negatividade N =1.3623 no
caso b>a>c. Comparando as trajet´orias das configura¸c˜oes Cascata-Cascata e V-V podemos
notar que s˜ao idˆenticas para os mesmos intervalos de a, b e c, sendo melhor explicado o por quˆe
na pr´oxima se¸c˜ao.
43
No caso do Lambda-Lambda foram feitos os gr´aficos separadamente, para mostrar o que
ocorre com cada auto-valor. Esta configura¸c˜ao, apresenta uma caracter´ıstica singular se
comparada com as demais. Se a, b =0,ent˜aooestadoassimpt´otico ´e obrigatoriamente
emaranhado. Nos exemplos que se seguem, os valores num´ericos usados para fazer as trajet´orias
sem saltos foram os mesmos valores usados para fazer a dinˆamica na se¸c˜ao anterior.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
TEMPO x GAMMA
Negatividade
Auto−Valor 1
Auto−Valor 2
Auto−Valor 3
Figura 4.17: Primeiro caso da configura¸c˜ao Lambda-Lambda
a
c
>
1
2
e
b
c
>
1
2
. O sistema tente para um estado
com negatividade N=0.4709.O ´unico intervalo dessa co nfigura¸c˜ao que n˜ao apresenta um pico de emaranhamento.
Figura 4.18: Segundo caso da configura¸c˜ao Lambda-Lambda
a
c
>
1
2
,
b
c
<
1
2
e
c
2
4
>ab. O sistema tente para
um estado com negatividade N=0.9613.O pico de emaranhamento ´eemtγ =0.31 com negatividade N=1.9211.
44
Figura 4.19: Terceiro caso da configura¸c˜ao Lambda-Lamb da
a
c
>
1
2
,
b
c
<
1
2
e
c
2
4
<ab. O sistema tente para
um estado com negatividade N=0.7454.O pico de emaranhamento ´eemtγ =0.28 com negatividade N=1.7453.
Figura 4.20: Quarto caso da co nfigura¸c˜ao Lambda-Lambda
a
c
<
1
2
e
b
c
<
1
2
. O sistema tente para um estado
com negatividade N=0.9602. O pico de emaranhamento ´eemtγ =0.75 com negatividade N=1.9599.
Para entender esse comportamento aparentemente anˆomalo vale lembrar que o estado final
para esta configura¸c˜ao mora em um espa¸co de Hilbert 2 ⊗ 2. Na pr´oxima se¸c˜ao calculamos
analiticamente e interpretamos fisicamente esse fenˆomeno.
45
4.4 Solu¸c˜ao Anal´ıtica para Trajet´orias Sem Saltos
Embora na se¸c˜ao anterior tenhamos utilizado simula¸c˜oes de computador para obter as
trajet´orias sem salto, uma r´apidaolhadanaequa¸c˜ao 3.3 aponta uma solu¸c˜ao anal´ıtica simples
para as mesmas. De fato, a aplica¸c˜ao de sucessivas evolu¸c˜oes sem saltos equivale a uma evolu¸c˜ao
temporal para o estado dada por:
|ψ(t) =
1
ψ(t)|ψ(t)
e
i
H
ef f
t
|ψ(0), (4.10)
Nas sub-se¸c˜oes abaixo usamos essa evolu¸c˜ao para obter analiticamente a Negatividade do estado
|ψ(t) para as diferentes configura¸c˜oes.
4.4.1 Cascata-Cascata e V-V
Para as configura¸c˜oes Cascata-Cascata e V-V, o hamiltoniano efetivo ´eomesmo.
H
eff
=
iγ
2
C
†
1
C
1
+ C
†
2
C
2
+ C
†
1
C
1
+ C
†
2
C
2
=
iγ
2
V
†
1
V
1
+ V
†
2
V
2
+ V
†
1
V
1
+ V
†
2
V
2
=
iγ
2
(|33|+ |22| + |3
3
| + |2
2
|) (4.11)
onde |ii| = |ii|⊗I e |i
i
| = I ⊗|ii|. Substituindo 4.11 em 4.10 e usando o mesmo estado
inicial desse cap´ıtulo temos:
|ψ(t) =
1
a
2
+(1− a
2
)e
−4γt
(a|11 + be
−2γt
|22 + ce
−2γt
|33). (4.12)
A negatividade em fun¸c˜ao do tempo ´e dada por:
N =
2
a
2
+(1− a
2
)e
−4γt
abe
−2γt
+ ace
−2γt
+ bce
−4γt
, (4.13)
eaequa¸c˜ao que determina a posi¸c˜ao temporal do m´aximo de emaranhamento, se houver, ´e:
2a(a
2
(b + c)+2abce
−2γt
+(a
2
− 1)(b + c)e
−4γt
)=0. (4.14)
Note, primeiro, que a negatividade vai a zero para t →∞oque´e razo´avel se lembrarmos
que nessas configura¸c˜oes o estado assimpt´otico ´e o estado fundamental. Note, tamb´em, que a
equa¸c˜ao 4.14 ´edef´acil solu¸c˜ao em γt.
4.4.2 Lambda-Lambda
Nesse caso, a evolu¸c˜ao temporal an´aloga leva ao estado
|ψ(t) =
1
1+c
2
(e
−8γt
− 1)
a|11+ b|22 + ce
−4γt
|33
. (4.15)
De cara, note que a a¸c˜ao da n˜ao observa¸c˜ao de f´otons no reservat´orio afeta diretamente apenas
o estado excitado. A negatividade em fun¸c˜ao do tempo, dada por
N =2
ab +(a + b)ce
−4γt
1+c
2
(e
−8γt
− 1)
, (4.16)
46
evidencia a diferen¸ca dessa configura¸c˜ao para as anteriores, pois, nesse caso percebe-se
imediatamente que se a e b forem diferentes de zero h´a emaranhamento residual mesmo em
tempo infinito
N(t →∞)=
2ab
a
2
+ b
2
. (4.17)
Note tamb´em, que esse comportamento sequer depende das particulares taxas de decaimento.
Esse fenˆomeno se explica facilmente se percebermos que a trajet´oria sem saltos descreve uma
realiza¸c˜ao para a qual o estado inicial se encontra, de fato, no sub-espa¸co de dimens˜ao 2 ⊗ 2
{|11, |12, |21, |22} que corresponde a um sistema efetivo de dois qubits.
Por fim, a equa¸c˜ao que determina a posi¸c˜ao temporal do m´aximo de emaranhamento, se
houver, ´e:
(a + b)(c
2
− 1) + 2abce
−4γt
+(a + b)c
2
e
−8γt
=0. (4.18)
4.5 Compara¸c˜ao Entre Diferentes Configura¸c˜oes de
Energia
Existe ainda a possibilidade de termos sistemas emaranhados que n˜ao tenham a mesma
configura¸c˜ao dos n´ıveis de energia em cada sub-sistema. Nesse caso, podem aparecer diferen¸cas
consider´aveis de dinˆamica. Como exemplo dessas poss´ıveis configura¸c˜oes, para os mesmos
estados iniciais, fizemos dois casos, e apresentamos os resultados nos gr´aficos a seguir. O que
pode-se observar dos gr´aficos ´e que a estrutura da dinˆamica passa a depender consideravelmente
do estado inicial.
No caso que c>b>aas dinˆamicas s˜ao completamente diferentes, algumas apresentando
morte s´ubita, outras apresentando mudan¸ca abrupta e decaimento assimpt´otico. Uma
caracter´ıstica importante neste intervalo ´e que em todas as configura¸c˜oes o sistema apresenta
alguma mudan¸ca abrupta no emaranhamento.
No caso b>a>cas dinˆamicas s˜ao muito pr´oximas, havendo somente dinˆamicas
com decaimento assimpt´otico, exceto o caso Lambda-Lambda que apresenta emaranhamento
assimpt´otico. Nesse intervalo, a ocorrˆencia de mudan¸cas abruptas ´e condicionada `a configura¸c˜ao
dos n´ıveis de energia. De fato, apenas as configura¸c˜oes V-V e Cascata-Cascata apresentam
mudan¸ca abrupta.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
TEMPO x GAMMA
NEGATIVIDADE
Cascata−Cascata
Cascata−Lambda
Cascata−V
Lambda−Lambda
Lambda−V
V−V
Figura 4.21: Dinˆamica para um mesmo estado inicial (a=0.1790, b=0.2386 e c=0.9545) em to das as poss´ıveis
configura¸c˜oes de energia.
47
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
TEMPO x GAMMA
NEGATIVIDADE
Cascata−Cascata
Cascata−Lambda
Cascata−V
Lambda−Lambda
Lambda−V
V−V
Figura 4.22: Dinˆamica para um mesmo estado inicial (a=0.2386, b=0.9545 e c=0.1790) em to das as poss´ıveis
configura¸c˜oes de energia.
Tamb´em foram feitas, para todas as configura¸c˜oes, as trajet´orias sem saltos. Algumas
configura¸c˜oes apresentam trajet´orias semelhantes pois para elas, o Hamiltoniano efetivo H
eff
,
gerador das trajet´orias sem saltos, ´e sempre o mesmo. As trajet´orias sem saltos das
configura¸c˜oes Cascata-Cascata, Cascata-V e V-V s˜ao iguais entre si, e Lambda-Cascata e
Lambda-V tˆem a mesma trajet´oria. Para estados iniciais semelhantes a 4.9 n˜ao se consegue
diferenciar qual configura¸c˜ao que o sistema apresenta olhando somente para as trajet´orias sem
saltos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
TEMPO x GAMMA
NEGATIVIDADE
Cascats−Cascata
Cascata−Lambda
Cascata−V
Lambda−Lambda
LAmbda−V
V−V
Figura 4.23: Tra jet´oria sem saltos para um mesmo estado inicial (a=0.1790, b=0.2386 e c=0.9545) em todas
as poss´ıveis configura¸c˜oes de ener gia.
48
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
TEMPO x GAMMA
NEGATIVIDADE
Cascata−Cascata
Cascata−Lambda
Cascata−V
Lambda−Lambda
Lambda−V
V−V
Figura 4.24: Tra jet´oria sem saltos para um mesmo estado inicial (a=0.2386, b=0.9545 e c=0.1790) em todas
as poss´ıveis configura¸c˜oes de ener gia.
49
Cap´ıtulo 5
Conclus˜oes
A dinˆamica de emaranhamento para sistemas maiores (nos restringindo aqui, somente ao caso
bipartite) mostra uma gama muito maior de possibilidades, devido `a maior complexidade
existente nesses sistemas. Isso j´a pode ser observado mesmo pegando um dos primeiros casos
de sistemas bipartites maiores, o de dois qutrits. Al´em da possibilidade da mudan¸ca de
configura¸c˜ao dos n´ıveis de energia, a mudan¸ca nas popula¸c˜oes iniciais de um ´unico tipo de
estado j´a apresenta mudan¸cas dr´asticas em como o emaranhamento evolui quando o sistema
interage com o ambiente.
Com o uso de trajet´orias quˆanticas foi poss´ıvel analisar, usando simula¸c˜ao computacional,
a dinˆamica do emaranhamento do ensemble e tamb´em de trajet´orias ´unicas para dois qutrits
em reservat´orios independentes. O uso das trajet´orias possibilitou a simula¸c˜ao de problemas
de dif´ıcil solu¸c˜ao anal´ıtica. Os resultados obtidos est˜ao de acordo com as obtidas por F. Lastra
el al. [2].
O emaranhamento entre dois qutrits, dependendo dos canais de decaimento, pode variar
drasticamente dependendo do estado inicial e da configura¸c˜ao dos n´ıveis de energia internos
de cada um dos constituintes (nesse trabalho usamos somente estados iniciais do tipo |ψ =
a|11 + b|22 + c|33). Dependendo do estado inicial a evolu¸c˜ao do emaranhamento pode
apresentar para as configura¸c˜oes:
1. Cascata-Cascata: nenhuma mudan¸ca abrupta (a>b>c); uma mudan¸ca abrupta
(b>a>cou a>c>b); duas mudan¸cas abruptas e decaimento assimpt´otico (b>c>a);
e duas mudan¸cas abruptas e morte s´ubita (c>b>a).
2. Lambda-Lambda: nenhuma mudan¸ca abrupta e emaranhamento assimpt´otico (
a
c
>
1
2
e
b
c
>
1
2
); duas mudan¸cas abruptas e o emaranhamento morre assimptoticamente (
a
c
>
1
2
e
b
c
>
1
2
com
c
2
4
>ab); uma mudan¸ca abrupta e emaranhamento assimpt´otico (
a
c
>
1
2
e
b
c
>
1
2
com
c
2
4
<ab); e duas mudan¸cas abruptas e morte s´ubita (
a
c
<
1
2
e
a
c
<
1
2
).
3. V-V : nenhuma mudan¸ca abrupta (a>be a>c); uma mudan¸ca abrupta (a>be a<c);
ou duas mudan¸cas abruptas e emaranhamento assimpt´otico (a<be a<c).
Com v´arias possibilidades de dinˆamica, dependendo do processo a ser estudado usando qutrits,
podemos escolher uma configura¸c˜ao de n´ıveis de energia que otimize o resultado que queiramos
obter.
Al´em do estudo da dinˆamica de emaranhamento do ensemble, foi estudado a dinˆamica
de uma ´unica trajet´oria. Para sistemas n˜ao degenerados em reservat´orios independentes, o
´unico caso interessante s˜ao a trajet´orias sem saltos, pois para tempos posteriores a um salto o
emaranhamento ´e sempre nulo. Observamos que, para alguns estados iniciais, o emaranhamento
50
tem um aumento para tempos curtos. Isso possibilita usar esse tipo de dinˆamica para aumentar
o emaranhamento de alguns constituintes fazendo p´os-sele¸c˜ao. Al´em disso, para a configura¸c˜ao
Lambda-Lambda ´e observado um emaranhamento assimpt´otico alto para todos os casos de
estados iniciais estudados.
Temos como perspectiva de futuros trabalhos generalizar a dinˆamica estudada aqui para
sistemas de dois qudits (dimens˜ao do espa¸co de Hilbert d⊗d). A dinˆamica com dimens˜oes ainda
maiores aumenta o n´umero de mudan¸cas abruptas e aumenta o n´umero de possibilidades de
configura¸c˜oes dos n´ıveis de energia. Al´em disso, temos interesse em implementar esse trabalho
experimentalmente, usando f´otons gˆemeos, seguindo linha semelhante `a desenvolvida no
Laborat´orio de
´
Optica Quˆantica da UFRJ s´o que para qudits implementados pelo Laborat´orio
de
´
Optica Quˆantica da UFMG.
51
Bibliografia
[1] T. Yu and J. H. Eberly. Physical Review Letters v.93 - 140404, 2004.
[2] F. Lastra et.al.; Phycical Review A V.75 062324 (2007).
[3] G. Vidal and R. F. Werner; Physical Review A V.65 032314 (2002).
[4] P. Horodecki; Physics Letters A V.232 N
o
333 (1997).
[5] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang. Quantum Computation and Quantum
Information. Cambridge, The University Press-Cambrigde-United Kingdom, 2000.
[6] H.-Peter Breuer and F. Petruccione. The Theory of Open Quantum System.Oxford,
university press, 2002.
[7]H.J.Carmichael. Statistical Methods in Quantum Optics 2. Springer-Verlag Berlin
Heidelberg New York, 2002.
[8]H.J.Carmichael. Statistical Methods in Quantum Optics 1. Springer-Verlag Berlin
Heidelberg New York, 2002.
[9] R. Eisberg and R. Resnick. F´ısica Quˆantica:
´
Atomo, Mol´eculas, S´olidos, N´ucleos e
Part´ıculas. Elsevier Editora Ltda (tradu¸c˜ao), 1979.
[10] B. Podolsky A. Einstein and . Rosen; Physical Review V.47 777 (1935).
[11] E. Schr¨ondinger. Naturwiss 23, 807 (1935); 23, 823 (1935); 23, 844 (1935).
[12] C. E. Shannon and W. Weaver. The Mathematical Theory of Communication. University
of Illinois Press, New York, 1949.
[13] B. Schumacher; Physical Review A v.53 2738 (1995).
[14] A. Peres; Physical Review Letters V.76 1413 (1996).
[15] C. H. Bannett et al.; Physical Review Letters v.70 1895 (1993).
[16] C. H. Bennett and G. Brassard. Proceedings of IEEE International Conference on
Computers, Systems and Signal Processing, Bangalore, India. IEEE Computer Society
Press, Los Alomitos, CA, p. 175.
[17] Lajos Di´osi. A Short Course in Quantum Information Theory. Springer, Berling
Heidelberg, 2007.
[18] J. S. Bell; Physics 1 195 (1964).
52
[19] M. A. Horne A. Shimony J. F, Clauser and R. A. Holt; Physical Review Letters v.23
880 (1969).
[20] Marcelo Terra Cunha. Emaranhamento: caracteriza¸c˜ao, manipula¸c˜ao e consequˆencias.
UFMG, Universidade federal de Minas Gerais, 2005.
[21] C. H. Bennett et. al.; Physical Review A V.54 N
o
5 (1996).
[22] P. Horodecki M. Horodecki and R. Horodecki; Physical Review Lettes V.80 24 (1998).
[23] W. K. Wootters; Physical Review Letters v.80 2245 (1998).
[24] C. H. Bennett et al.; Physical Review A v.53 2046 (1996).
[25] W. K. Wootters; Physical Review Letters V.80 10 (1998).
[26] S. Hill and W. K. Wootters; Physical Review Letters V.78 26 (1997).
[27] Leslie E. Ballentine. Quantum Mechanics: a modern development. World Scientific
Publishing, Singapore, 1998.
[28] M. B. Plenio and P. L. Knight; Reviews of Modern Physics V.70 N
o
1 (1998).
[29] Y. Castin K. Molmer and J. Dalibard; J. Opt. Soc. Am. B V.10 N
o
3 (1993).
[30] P. Zoller R. Dum and H. Ritsch; Phycical Review A V.45 N
o
7 (1992).
[31] H. M. Wiseman and L. Di´osi; Chemical Physics 91-104 (2001).
[32] Todd A. Brun; American Journal of Physics V.70 719 (2002).
[33] L. Davidovich N. Zagury M. F. Santos, P. Milman. Phycical Review A V.7 - 042328, 2006.
[34] J. Dajka and J. Luczka; Physical Review A v.77 062303 (2008).
[35] A. Checinska and K. W´odkiewicz; Physical Review A v.76 052306 (2007).
53
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
