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UNESP
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguet
´
a
An
´
alise da estabilidade da regi
˜
ao externa do sistema Plut
˜
ao-Caronte ap
´
os a
descoberta dos novos sat
´
elites Nix e Hidra: aplicac¸
˜
ao
`
a sonda New Horizons
Pryscilla Maria Pires dos Santos
Guaratinguet´a
2010
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PRYSCILLA MARIA PIRES DOS SANTOS
AN
´
ALISE DA ESTABILIDADE DA REGI
˜
AO EXTERNA DO SISTEMA
PLUT
˜
AO-CARONTE AP
´
OS A DESCOBERTA DOS NOVOS SAT
´
ELITES NIX E HIDRA:
APLICAC¸
˜
AO
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A SONDA NEW HORIZONS
Dissertac¸˜ao apresentada `a Faculdade de
Engenharia do Campus de Guaratinguet´a,
Universidade Estadual Paulista, para a
obtenc¸˜ao do t´ıtulo de Mestre em F´ısica.
Orientadora: Prof
a
Dr
a
Silvia Maria Giuliatti Winter
Guaratinguet´a
2010
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DADOS CURRICULARES
PRYSCILLA MARIA PIRES DOS SANTOS
NASCIMENTO 23.03.1984 - GUARATINGUET
´
A/SP
FILIAC¸
˜
AO Silvio Ananias dos Santos
Regina Pires dos Santos
2004 - 2007 Curso de Graduac¸˜ao
Licenciatura em Matem´atica- UNESP - Campus de Guaratinguet´a
de modo especial, `a minha m˜ae, pai, irm˜aos, sobrinho e av´o Ana.
AGRADECIMENTOS
`
A minha orientadora, prof
a
Silvia Maria Giuliatti Winter por todo incentivo, sabedoria e
compreens˜ao.
Aos meus pais pelo apoio e paciˆencia.
Aos meus irm
˜
aos e sobrinho em especial ao meu irm˜ao Felipe por sua amizade.
Aos meus amigos e professores do Curso de P
´
os-graduac¸
˜
ao com os quais aprendi muito
durante os dois anos do curso, e em especial ao Rafael Sfair por todo conhecimento sobre
linguagem de programac¸˜ao e simulac¸˜oes num´ericas comigo compartilhados.
Este trabalho contou com o apoio da
FAPESP - atrav´es do processo n
◦
2007/06275-0
SANTOS, P.M.P. An
´
alise da estabilidade da regi
˜
ao externa do Sistema Plut
˜
ao-Caronte
ap
´
os a descoberta dos novos sat
´
elites Nix e Hidra: aplicac¸
˜
ao
`
a sonda New Horizons,
2010, 103 f., Dissertac¸˜ao (Mestrado em F´ısica) - Faculdade de Engenharia do Campus de
Guaratinguet´a, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguet´a, 2010.
RESUMO
Neste trabalho analisamos numericamente a regi˜ao externa do sistema Plut˜ao-Caronte atrav´es
da inserc¸˜ao de part´ıculas-teste inicialmente em ´orbitas do tipo-P pr´ogradas e retr´ogradas, no sis-
tema formado por Plut˜ao, Caronte, Nix e Hidra. Destas integrac¸˜oes num´ericas foram
geradas grades semi-eixo maior em func¸˜ao da excentricidade definindo-se regi˜oes de part´ıculas
em ´orbitas est´aveis e regi˜oes de colis˜ao e escape. Na vizinhanc¸a dos sat´elites Nix e Hidra foram
identificadas regi˜oes ca´oticas, em que part´ıculas localizadas dentro desta regi˜ao tˆem suas ex-
centricidades e semi-eixo maiores aumentados e escapam ou colidem com um corpo massivo
do sistema. Um conjunto de part´ıculas permaneceram em regi˜oes pr´oximas das ´orbitas de Nix
e Hidra, possivelmente coorbitais de Nix e Hidra. Para ambos os casos, pr´ogrado e retr´ogrado,
a regi˜ao “est´avel” ´e maior na regi˜ao externa do sistema, ap´os a ´orbita de Hidra, dependendo
do valor da excentricidade. Tamb´em foram realizadas simulac¸˜oes num´ericas inserindo sat´elites
hipot´eticos massivos al´em da ´orbita de Caronte e os efeitos causados nas ´orbitas de Nix e Hidra
foram analisados. Um estudo num´erico preliminar dos efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao So-
lar em part´ıculas com raios de 1µm, 3µm, 5µm e 10µm foi realizado. Este estudo mostrou
que part´ıculas sob os efeitos do Arrasto de Poynting-Robertson deca´ıram em 1,45 × 10
6
anos
(part´ıculas de 1µm de raio) e 1,45 × 10
7
anos (part´ıculas de 10µm de raio), enquanto que a
Press˜ao de Radiac¸˜ao causou variac¸˜oes das excentricidades das part´ıculas fazendo com que em
alguns casos houvesse colis˜oes com o planeta.
Palavras-chave: Sistema de Plut˜ao, efeitosgravitacionais, ´orbitas est´aveis, press˜ao de radiac¸˜ao
solar, simulac¸˜ao num´erica.
SANTOS, P.M.P. An
´
alise da estabilidade da regi
˜
ao externa do Sistema Plut
˜
ao-Caronte
ap
´
os a descoberta dos novos sat
´
elites Nix e Hidra: aplicac¸
˜
ao
`
a sonda New Horizons,
2010, 103 f., Dissertac¸˜ao (Mestrado em F´ısica) - Faculdade de Engenharia do Campus de
Guaratinguet´a, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguet´a, 2010.
ABSTRACT
In this work we performed a numerical analysis of the the outer region of the Pluto-Charon
system by the insertion of a sample of test particles initially in P-type prograde and retrograde
orbits, in the system formed by Pluto, Charon, Nix and Hydra. These numerical integrations
generated diagrams of semi-major axis versus eccentricity which define regions of particles
in stable orbits and regions of collision and escape. In the vicinity of the satellites Nix and
Hydra were identified chaotic regions, where particles located in this region have their eccen-
tricities and semi-major axis increased provoking an ejection or collision with a massive body
of the system. A set of particles remained in regions near the orbits of Nix and Hydra, possibly
coorbitais with them. For both cases, prograde and retrograde, the “stable” region is larger in
the outer region of the system, after Hydra’s orbit, depending on the value of eccentricity.
Numerical simulations were also performed by inserting some massive hypothetical satellites
beyond the Charon’s orbit and the effects on the orbits of Nix and Hydra were analyzed. A
preliminary numerical study of the effects of the solar radiation force on a sample of particles
with radii of 1µm, 3 µm, 5µm e 10µm was performed. This study showed that particles under
the effects of the Poynting-Robertson drag decay on a time scale between 1.45×10
6
years (par-
ticles of 1µm in radius) and 1.45×10
7
years (particles of 10µm in radius), while the radiation
pressure caused variations of the eccentricities of the particles causing in some cases collisions
with the planet.
Keywords: Pluto system, gravitacional effects, stable orbits, solar radiation pressure, nu-
merical simulation.
Lista de Figuras
2.1 Plut˜ao e Caronte a frente e Nix e Hidra atr´as. Imagem do sistema de Plut˜ao em
15 de fevereiro de 2006, obtida atrav´es do Telesc´opio Espacial Hubble. (Ex-
tra´ıda de Hubble site/NASA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Trajet´oria da sonda New Horizons. As setas vermelhas indicam a posic¸˜ao da
sonda, as quais dependiam da data de lanc¸amento. Adaptado de Stern (2008). . 29
3.1 Precess˜ao do argumento do pericentro de Caronte por um per´ıodo de 60 anos. . 38
3.2 Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao do tempo (dias) de Nix por um per´ıodo de
100 dias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Excentricidade em func¸˜ao do tempo (dias) de Nix por um per´ıodo de 100 dias. . 39
3.4 Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao do tempo (dias) de Hidra por um per´ıodo de
100 dias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Excentricidade em func¸˜ao do tempo (dias) de Hidra por um per´ıodo de 100 dias. 41
3.6 Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao do tempo (dias) de Nix por um per´ıodo de
100 dias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 Excentricidade em func¸˜ao do tempo (dias) de Nix por um per´ıodo de 100 dias. . 43
3.8 Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao do tempo (dias) de Hidra por um per´ıodo de
100 dias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.9 Excentricidade em func¸˜ao do tempo (dias) de Hidra por um per´ıodo de 100 dias. 43
4.1 Localizac¸˜ao dos pontos de equil´ıbrio lagrangianos, L
1
, L
2
, L
3
, L
4
e L
5
em
relac¸˜ao as massas µ
1
e µ
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao da excentricidade para o conjunto de part´ıculas
no tempo inicial t=0. Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos
em 49.240 km e 65.210 km, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10
4.3 Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao da excentricidade por um per´ıodo de ∼10
3
T
P −C
(10.000 dias). Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em
49.240 km e 65.210 km, respectivamente. A localizac¸˜ao aproximada dos semi-
eixo maiores ressonantes entre part´ıcula-sat´elite Nix (parte superior) ou Hidra
(parte inferior) s˜ao indicadas por retas verticais tracejadas. As retas em preto
s˜ao uma aproximac¸˜ao do limite da regi˜ao de caos. . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao da excentricidade por um per´ıodo de ∼10
4
T
P −C
(70.000 dias). Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em
49.240 km e 65.210 km, respectivamente. A localizac¸˜ao aproximada dos semi-
eixo maiores ressonantes entre part´ıcula-sat´elite Nix (parte superior) ou Hidra
(parte inferior) s˜ao indicadas por retas verticais tracejadas. As retas em preto
s˜ao uma aproximac¸˜ao do limite da regi˜ao de caos. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5 Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao da excentricidade por um per´ıodo de ∼10
5
T
P −C
(650.000 dias). Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em
49.240 km e 65.210 km, respectivamente. A localizac¸˜ao aproximada dos semi-
eixo maiores ressonantes entre part´ıcula-sat´elite Nix (parte superior) ou Hidra
(parte inferior) s˜ao indicadas por retas verticais tracejadas. As retas em preto
s˜ao uma aproximac¸˜ao do limite da regi˜ao de caos. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6 Part´ıcula com semi-eixo maior inicialiguala49.100km, θ apresenta uma variac¸˜ao
de aproximadamente 155
◦
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7 Part´ıcula com semi-eixo maior inicialiguala49.200km, θ apresenta uma variac¸˜ao
de aproximadamente 153
◦
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8 Part´ıcula com semi-eixo maior inicialiguala49.300km, θ apresenta uma variac¸˜ao
de aproximadamente 155
◦
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.9 Part´ıcula com semi-eixo maior inicialiguala65.100km, θ apresenta uma variac¸˜ao
de aproximadamente 134
◦
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.10 Part´ıcula com semi-eixo maior inicial igual a 65.200 km, θ apresenta uma variac¸˜ao
de aproximadamente 140
◦
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.11 Part´ıcula com semi-eixo maior inicial igual a 65.300 km, θ apresenta uma variac¸˜ao
de aproximadamente 153
◦
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
11
4.12 Semi-eixo maior (km) emfunc¸˜ao da excentricidade para o conjuntodepart´ıculas
no tempo inicial t=0. Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos
em 49.240 km e 65.210 km, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.13 Semi-eixo maior (km) emfunc¸˜ao da excentricidade para um per´ıodo de∼10
3
T
P −C
(10.000 dias). Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em
49.240 km e 65.210km, respectivamente. As retas cont´ınuas s˜ao umaaproximac¸˜ao
dos limites das regi˜oes colisionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.14 Semi-eixo maior (km) emfunc¸˜ao da excentricidade para um per´ıodo de∼10
4
T
P −C
(70.000 dias). Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em
49.240 km e 65.210km, respectivamente. As retas cont´ınuas s˜ao umaaproximac¸˜ao
dos limites das regi˜oes colisionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.15 Semi-eixo maior (km) emfunc¸˜ao da excentricidade para um per´ıodo de∼10
5
T
P −C
(650.000 dias). Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em
49.240 km e 65.210km, respectivamente. As retas cont´ınuas s˜ao umaaproximac¸˜ao
dos limites das regi˜oes colisionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1 Limite superior em raio (km) de um sat´elite hipot´etico em ´orbita ao redor do
baricentro do sistema, como func¸˜ao de seu semi-eixo maior inicial, que causa
somente uma variac¸˜ao negligenci´avelnos limites superiores das excentricidades
de Nix e Hidra da O (10
−3
). Nix e Hidra s˜ao indiciados por pequenos quadrados
em vermelho. A localizac¸˜ao aproximada dos semi-eixo maiores ressonantes
entre sat´elite hipot´etico-Nix (parte superior) ou sat´elite hipot´etico-Hidra (parte
inferior) s˜ao indicadas por retas verticais tracejadas. . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Raio do sat´elite hipot´etico (km) em func¸˜ao do tempo de colis˜ao ou ejec¸˜ao
(x650.000 dias). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Raio do sat´elite hipot´etico (km) em func¸˜ao do tempo de colis˜ao ou ejec¸˜ao
(x650.000 dias). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
12
6.1 C´ırculo unit´ario centrado no planeta. I ´e a inclinac¸˜ao do plano da ´orbita da
part´ıcula em relac¸˜ao ao plano orbital do planeta. Ω, ω, γ, f s˜ao as vari´aveis
usuais. ˆa ´e o versor na direc¸˜ao planeta-pericentro da ´orbita da part´ıcula,
ˆ
b ´e per-
pendicular a ˆa, ˆc = ˆa ×
ˆ
b e ´e paralelo ao vetor ˆe
N
. Os versores radial, transversal
e normal localizados na part´ıcula com anomalia verdadeira f s˜ao ˆe
R
, ˆe
T
e ˆe
N
,
respectivamente. O movimento solar ´e dado por λ = n
s
t. (Adaptado de Burns
et al., 1979). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2 Evoluc¸˜ao temporal do semi-eixo maior (km) depart´ıculas com raios 1µm, 3µm,
5µm, 10µm sob os efeitos do Arrasto de Poynting-Robertson. ∆a = 0 corre-
sponde ao semi-eixo maior inicial da part´ıcula. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios 1µm, 3µm, 5µm,
10µm sob os efeitos do Arrasto de Poynting-Robertson. . . . . . . . . . . . . . 82
6.4 Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios 1µm, 3µm, 5µm,
10µm sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.5 Evoluc¸˜ao temporal do semi-eixo maior (km) de uma part´ıcula de 10µm de raio
sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.6 Valores dos parˆametros em func¸˜ao da distˆancia em raios do planeta, A (mar´e
solar) e C (press˜ao de radiac¸˜ao). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.7 Distˆancia da part´ıcula ao planeta (R
p
) em func¸˜ao do tempo de colis˜ao (anos). . 85
6.8 Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios iguais a 1µm,
3µm, 5µm e 10µm sob os efeitos do Arrasto de Poynting-Robertson e da
Press˜ao de Radiac¸˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.9 Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios iguais a 20µm,
30µm, 40µm sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao. . . . . . . . . . . . . . . 89
6.10 Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios iguais a 50µm,
80µm, 100µm sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao. . . . . . . . . . . . . . . 90
6.11 Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios iguais a 10µm
com diferentes valores para a obliquidade sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao. 91
6.12 Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios iguais a 10µm
com diferentes valores para a obliquidade sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao. 91
6.13 Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios iguais a 100µm
com diferentes valores para a obliquidade sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao. 92
13
6.14 Valores dos parˆametros em func¸˜ao da distˆancia em raios do planeta, A (mar´e
solar) e C (press˜ao de radiac¸˜ao) para Marte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.15 Valores dos parˆametros em func¸˜ao da distˆancia em raios do planeta, A (mar´e
solar) e C (press˜ao de radiac¸˜ao) para J´upiter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.16 Valores dos parˆametros em func¸˜ao da distˆancia em raios do planeta, A (mar´e
solar) e C (press˜ao de radiac¸˜ao) para Saturno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.17 Valores dos parˆametros em func¸˜ao da distˆancia em raios do planeta, A (mar´e
solar) e C (press˜ao de radiac¸˜ao) para Urano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
14
Lista de Tabelas
2.1 Massas, densidades e diˆametros dos corpos do Sistema de Plut˜ao. Dados ex-
tra´ıdos de Tholen et al. (2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Elementos Orbitais Keplerianos extra´ıdos de Tholen et al. (2008).
´
Epoca JD
2452600,5 (J2000). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1 Condic¸˜oes iniciais, em unidades do Sistema Internacional (SI), utilizados nas
simulac¸˜oes num´ericas, em relac¸˜ao a um referencial plutocˆentrico. Valores ex-
tra´ıdos de Tholen et al. (2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Massa e raio dos corpos analisados, utilizados nas simulac¸˜oes num´ericas. Val-
ores extra´ıdos de Tholen et al. (2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1 Taxas de ejec¸˜ao e colis˜ao entre as part´ıculas e os corpos massivos para o tempo
final de integrac¸˜ao, 650.000 dias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Taxas de ejec¸˜ao e colis˜ao entre as part´ıculas e os corpos massivos do sistema de
Plut˜ao para o tempo final de integrac¸˜ao, 650.000 dias. . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Taxas de ejec¸˜ao e colis˜ao entre as part´ıculas e os corpos massivos para o tempo
final de integrac¸˜ao, 650.000 dias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1 Limites para sat´elites adicionais com 90% de confianc¸a considerando um albedo
como o de Caronte (0,38) e um albedo compar´avel a um n´ucleo comet´ario
(0,04). Adaptado de Steffl et al. (2006). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.1 Variac¸˜ao do parˆametro C para diferentes planetas do Sistema Solar. . . . . . . 94
15
Sum
´
ario
1 Introduc¸
˜
ao 18
2 Revis
˜
ao Bibliogr
´
afica 20
2.1 Plut˜ao, Caronte, Nix e Hidra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Miss˜ao New Horizons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Simulac¸
˜
oes Num
´
ericas 31
3.1 Integrador Num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Sistema de 4-corpos: Plut˜ao, Caronte, Nix e Hidra . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Problema de Dois Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Evoluc¸˜ao Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1 Caronte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Nix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3 Hidra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.4 Nix e Hidra: perturbac¸˜ao m´utua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 An
´
alise da regi
˜
ao externa do Sistema Plut
˜
ao-Caronte 44
4.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Estudo Te´orico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1 Ressonˆancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.2 Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3
´
Orbitas girino e ferradura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.1
´
Orbitas pr´ogradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.2 Part´ıculas coorbitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.3
´
Orbitas retr´ogradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
16
5 Evoluc¸
˜
ao orbital de Nix e Hidra ap
´
os a inserc¸
˜
ao de sat
´
elites hipot
´
eticos no sistema 70
5.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6 Efeitos da Press
˜
ao de Radiac¸
˜
ao Solar 75
6.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Press˜ao de Radiac¸˜ao Solar para o caso planetocˆentrico . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 An´alise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7 Discuss
˜
ao Geral 97
17
Cap
´
ıtulo 1
Introduc¸
˜
ao
Ap´os a descoberta de Netuno em 1846, alguns astrˆonomos comec¸aram a procurar por um
nono planeta. Percival Lowell inspirado por irregularidades observadas na ´orbita de Netuno
iniciou sua busca por um novo planeta em 1905. Em 1930 Clyde Tombaugh descobriu Plut˜ao
(atualmente classificado como um planeta-an˜ao), por´em Plut˜ao era menor do que o esperado
(Tegler e Romanishin, 2001).
Caronte, o primeiro sat´elite de Plut˜ao, descoberto por Christy e Harrington (1978), con-
tribuiu para que o estudo de Plut˜ao fosse facilitado atrav´es do estudo dos eventos m´utuos en-
tre os dois corpos (Buie et al., 2006). O diˆametro de Caronte ´e aproximadamente metade do
diˆametro de Plut˜ao, o que faz com que seja o maior, em relac¸˜ao ao seu prim´ario, de todos os
sat´elites planet´arios no Sistema Solar. Recentemente, Weaver et al. (2006) descobriram dois
novos sat´elites de Plut˜ao, Nix e Hidra, atrav´es de imagens obtidas pelo Telesc´opio Espacial
Hubble realizadas em maio de 2005. Desta maneira, Plut˜ao passou a ser o primeiro objeto
conhecido do Cintur˜ao de Kuiper a ter m´ultiplos sat´elites. Os novos sat´elites orbitam o centro
de massa do sistema, o qual ´e localizado fora de Plut˜ao.
A regi˜ao onde est˜ao localizados Plut˜ao e seus sat´elites ´e muito distante para ser observada
em detalhes da Terra, assim a miss˜ao New Horizons-The first mission to Pluto and the Kuiper
Belt: exploring frontier worlds da National Aeronautics and Space Administration (NASA) foi
lanc¸ada em janeiro de 2006 com o objetivo de se aproximar de Plut˜ao em julho de 2015. Essa
miss˜ao propiciar´a a oportunidade de obter uma maior quantidade de informac¸˜oes `a respeito de
Plut˜ao, Caronte, Nix e Hidra.
Paraque a sonda New Horizons possa passar pelo sistema sem sofrer danos causados por im-
pactos, os quais poderiam danificar seus equipamentos, ´e importante que se tenha o
18
conhecimento da regi˜ao onde pode haver aglomerac¸˜oes de part´ıculas. Materiais ejetados de co-
lis˜oes entre pequenos detritos do Cintur˜ao de Kuiper com Nix e Hidra podem escapar destes cor-
pos, por´em geralmente ficar˜ao ligados gravitacionalmente a Plut˜ao formando aneis, dependendo
de alguns fatores como seu tamanho e densidade (Steffl e Stern, 2007). Assim, ´e necess´ario
determinar as regi˜oes dinamicamente inst´aveis, regi˜oes estas recomendadas para a passagem
da sonda New Horizons. Al´em disso, a descoberta de Nix e Hidra reforc¸a a importˆancia do
conhecimento de ´orbitas est´aveis no sistema, prop´ıcias a existˆencia de corpos.
Neste trabalho analisamos a regi˜ao externa do sistema Plut˜ao-Caronte (al´em da ´orbita de
Caronte), no que tange a delimitac¸˜ao das regi˜oes onde possam haver part´ıculas que permanec¸am
por longos per´ıodos de tempo, e regi˜oes de colis˜oes e escape onde sat´elites n˜ao seriam espera-
dos. Tamb´em analisamos os efeitos gravitacionais causados por sat´elites hipot´eticos massivos
em Nix e Hidra. Um estudo num´erico preliminar da press˜ao de radiac¸˜ao solar tamb´em foi
realizado.
No cap´ıtulo 2 apresentamos uma revis˜ao bibliogr´afica sobre Plut˜ao, Caronte, Nix e Hidra,
al´em de um resumo sobre a Miss˜ao New Horizons.
No cap´ıtulo 3 apresentamos uma descric¸˜ao do integrador num´erico utilizado para realizar
as simulac¸˜oes num´ericas, al´em de uma breve revis˜ao do Problema de Dois Corpos. Tamb´em
apresentamos os resultados de simulac¸˜oes num´ericas iniciais realizadas no sistema formado por
4-corpos.
No cap´ıtulo 4 s˜ao apresentados os resultados obtidos com a inserc¸˜ao de um conjunto de
part´ıculas localizadas na regi˜ao externa do sistema Plut˜ao-Caronte.
No cap´ıtulo 5 ´e an´alisada a evoluc¸˜ao orbital de Nix e Hidra ap´os a inserc¸˜ao de sat´elites
hipot´eticos no sistema.
No cap´ıtulo 6 ´e apresentado um estudo preliminar dos efeitos das componentes da Press˜ao
de Radiac¸˜ao Solar em part´ıculas da ordem de m
´
ıcron metro.
No cap´ıtulo 7 ´e apresentada uma discuss˜ao geral.
19
Cap
´
ıtulo 2
Revis
˜
ao Bibliogr
´
afica
2.1 Plut
˜
ao, Caronte, Nix e Hidra
Em 1930 Plut˜ao foi descoberto por Clyde Tombaugh. Ele possui trˆes sat´elites conhecidos,
Caronte descoberto por Christy e Harrington (1978), e Nix e Hidra descobertos por Weaver
et al. (2006). Plut˜ao e seu maior sat´elite Caronte formam um sistema bin´ario. Esses objetos
pertencem ao Cintur˜ao de Kuiper, um disco de corpos de gelo que orbita o Sol al´em da ´orbita
de Netuno, o nome foi dado em homenagem ao astronˆomo Gerard Kuiper. Atualmente, mais de
1.000 objetos j´a foram descobertos na regi˜ao do Cintur˜ao de Kuiper com diˆametros entre 50km
e 2.000 km (Stern et al., 2006a).
Em 24 de agosto de 2006 a International Astronomical Union (IAU) definiu o termo
planeta, segundo essa definic¸˜ao Plut˜ao deixou de ser classificado como planeta e passou a per-
tencer a uma nova categoria, a dos planetas-an˜oes, juntamente com Eris e Ceres (pertencente ao
Cintur˜ao Principal de Aster´oides), Makemake e Haumea. A definic¸˜ao de planeta-an˜ao segundo
a IAU ´e a seguinte: ´e um objeto celeste que est´a em ´orbita ao redor do Sol, grande suficiente
para estar em equil´ıbrio hidrost´atico (se tornar redondo), tem massa insuficiente para dominar
gravitacionalmentea sua regi˜ao (permiteaformac¸˜ao ou estabilidadedeoutroscorposde tamanho
similar em sua vizinhanc¸a) e n˜ao ´e um sat´elite. Um objeto maior que Plut˜ao foi descoberto no
Sistema Solar externo, hoje chamado de Eris. Eris possui um diˆametro de ∼2.400km (Brown
et al., 2006a), o diˆametro de Plut˜ao estimado por Tholen et al. (2008) ´e 2.294km. Quase dois
anos ap´os a criac¸˜ao da categoria Planeta-an˜ao, foi criada pela IAU uma sub-categoria para os
planetas-an˜oes trans-netunianos similares a Plut˜ao, chamada Plutoides. Pertencem `a essa nova
categoria os planetas-an˜oes que possuem semi-eixo maiores maiores do que o de Netuno, s˜ao
20
eles Plut˜ao, Eris, Makemake e Haumea. Segundo a IAU mais corpos desse tipo s˜ao esperados
para serem anunciados nos pr´oximos anos.
Plut˜ao ´e consideravelmente menor que os outros oito planetas do Sistema Solar, seu per´ıodo
orbital ´e de aproximadamente 248 anos, com um semi-eixo maior de 39,482 UA (Murray e
Dermott, 1999). A excentricidade (e) e a inclinac¸˜ao (I) s˜ao maiores que as de qualquer outro
planeta no Sistema Solar, sendo e = 0,2488 e I = 17,16
◦
, elementos orbitais keplearianos, ´epoca
JD 2452600,5 (J2000). A alta excentricidade de Plut˜ao faz com que ele atravesse a ´orbita
de Netuno e esteja em torno de 29,658 UA de distˆancia do Sol no peri´elio, e em torno de
49,7 UA no af´elio. Entre 1979 e 1999 Plut˜ao estava mais pr´oximo do Sol do que Netuno. Em
1989 Plut˜ao teve seu encontro pr´oximo com o Sol.
Plut˜ao est´a em ressonˆancia de movimento m´edio 3:2 com Netuno, ou seja, enquanto Plut˜ao
realiza duas voltas ao redor do Sol, Netuno realiza trˆes. Na ´epoca do descobrimento de Plut˜ao
acreditava-se que o seu tempo de vida antes que um encontro pr´oximo com Netuno alterasse
radicalmente a sua ´orbita era curto (Lyttleton, 1936), por´em conforme mostrado por Cohen e
Hubbard (1965) a ressonˆancia 3:2 com Netuno faz com que a distˆancia entre Plut˜ao e Netuno
seja grande no momento do cruzamento de suas ´orbitas. Levison e Stern (1995) afirmam que
os dois corpos n˜ao se aproximam menos do que aproximadamente 17UA. Segundo Murray e
Dermot (1999) essa distˆancia n˜ao ´e inferior a aproximadamente 20 UA.
A alta excentricidade e inclinac¸˜ao de Plut˜ao s˜ao caracter´ısticas dinˆamicas ´unicas quando
comparadas com as dos planetas do Sistema Solar, uma alternativa para a origem da atual
´orbita de Plut˜ao foi desenvolvida por Malhotra (Malhotra, 1993, 1995). Malhotra (1993, 1995)
apresentou a primeira tentativa de explicac¸˜ao da estrutura orbital do Cintur˜ao de Kuiper, neste
trabalho utilizando resultados de Fernandez e Ip (1984), foi proposto que um disco primor-
dial de planetesimais forc¸ou os planetas maiores a migrar, em particular foi proposto que
Plut˜ao foi capturado na ressonˆancia 3:2 com Netuno enquanto a ´orbita de Netuno estava ex-
pandindo devida a troca de momento angular entre os planetas gigantes e os detritos que foram
espalhados, ou seja, a ´orbita excˆentrica de Plut˜ao pode ser o resultado da ressonˆancia 3:2 var-
rendo o disco proto-planet´ario durante a migrac¸˜ao de Netuno para a direc¸˜ao exterior do Sistema
Solar. A id´eia utilizada por Malhotra (1993, 1995) em que a configurac¸˜ao do Cintur˜ao de Kuiper
pode ser consequˆencia de uma migrac¸˜ao planet´aria primordial foi revisada por Gomes (2003)
utilizando uma quantidade maior de planetesimais compondo o disco. Em Gomes (2003) foi
simulado numericamente a evoluc¸˜ao orbital dos quatro planetas gigantes e de um disco primor-
21
dial massivo de planetesimais, conforme Netuno migrava devido a troca de energia e momento
angular com os planetesimais, um grande n´umero de planetesimais eram espalhados. Durante a
migrac¸˜ao muitos planetesimais localizados inicialmente na parte interna do disco ficaram pre-
sos na ressonˆancia 3:2 com Netuno. Como resultado foi obtido que a maioria dos plutinos
teriam vindos das regi˜oes interiores do disco primordial planetesimal, em especial o modelo
mostra que Plut˜ao seria um objeto primordial espalhado ao inv´es de um produto do processo de
varredura de ressonˆancia proposto por Malhotra (1995).
Caronte, o primeiro sat´elite descoberto de Plut˜ao, temaproximadamentemetadedo diˆametro
e uma massa aproximadamente 10 vezesmenor que massa de Plut˜ao. A raz˜ao de massa Caronte-
Plut˜ao ´e aproximadamente 0,1166 (Tholen et al., 2008), o centro de massa do bin´ario localiza-
se fora do corpo principal. O per´ıodo de rotac¸˜ao de Plut˜ao ´e igual ao per´ıodo de rotac¸˜ao e ao
per´ıodo orbital de Caronte, cujo valor fornecido por Tholen et al. (2008) ´e 6,38720 dias. Com a
descoberta de Caronte o estudo de Plut˜ao foi facilitado, pois foi poss´ıvel determinar com mais
precis˜ao o valor da massa do planeta-an˜ao.
Nix e Hidra foram identificados em imagens feitas com o Telesc´opio Espacial Hubble em
15 e 18 de maio de 2005, os objetos tinham sido fracamente identificados em imagens de
2002 (Weaver et al., 2006). Eles orbitam o centro de massa do sistema. Soluc¸˜oes orbitais
preliminares de Weaver et al. (2006) forneceram a=49.400 ± 600km e P = 25 ± 0,5 dias para
Nix, e a= 64.700 ± 850 km e P = 38,2 ± 0,8 dias para Hidra, medidos em relac¸˜ao a um sistema
baricˆentrico, ambos os sat´elites se movendo no mesmo plano orbital de Caronte. Foi sugerido
que Nix pode estar na ressonˆancia de movimento m´edio 4:1 com Caronte, enquanto Hidra pode
estar na ressonˆancia 6:1, e Hidra e Nix podem estar na ressonˆancia 3:2. Na figura (2.1) podem
ser vistos Plut˜ao e seus sat´elites.
22
Figura 2.1: Plut˜ao e Caronte a frente e Nix e Hidra atr´as. Imagem do sistema de Plut˜ao em
15 de fevereiro de 2006, obtida atrav´es do Telesc´opio Espacial Hubble. (Extra´ıda de Hubble
site/NASA).
Stern et al. (1994) realizou um estudo com o objetivo de localizar regi˜oes est´aveis na regi˜ao
interna (interior a ´orbita de Caronte) eexterna (exterior a ´orbita de Caronte). O sistema era com-
posto por Plut˜ao, Caronte e part´ıculas. Plut˜ao e Caronte estavam inicialmente em ´orbitas circu-
lares ao redor um do outro. Seus resultados mostraram que entre 1,8a
0
e 2,4a
0
, havia ´orbitas
est´aveis e inst´aveis, a
0
=19.580 km, efeito que Stern et al. (1994) acreditam estar associado
com ressonˆancias de movimento m´edio. Para ´orbitas retr´ogradas, seus resultados mostraram
que a regi˜ao de estabilidade ´e maior, sendo que o limite da regi˜ao de instabilidade se move
para ∼1,6a
0
. Um segundo conjunto de simulac¸˜oes num´ericas realizadas tinha como objetivo
verificar qu˜ao massivo um objeto pode ser estando localizado nas regi˜oes est´aveis do sistema
sem fazer com que a excentricidade de Caronte alcance valores maiores que 10
−3
e 10
−4
. Nes-
sas simulac¸˜oes num´ericas Caronte tinha uma ´orbita circular em torno de Plut˜ao e os sat´elites
hipot´eticos estavam no mesmo plano da ´orbita de Plut˜ao-Caronte. Considerando a excentri-
cidade de Caronte igual a 10
−3
encontraram que nenhum sat´elite com massa maior que uma
massa da ordem de 10
17
e com raio maior que 85 km pode existir na regi˜ao interna a ´orbita de
Caronte sem violar o limite para a excentricidade utilizado. Para 2a
0
Stern et al. (1994) encon-
traram resultados similares, por´em conforme o semi-eixo maior do sat´elite hipot´etico aumenta
23
sat´elites maiores n˜ao s˜ao descartados. Para 5a
0
os autores n˜ao excluem sat´elites com massas da
ordem de 10
20
. Estudo que est´a de acordo com valores atuais de semi-eixo maior e massa de
Nix e Hidra.
Holman e Wiegert (1999) seguindo a nomenclatura de Dvorak (1986) classificam as ´orbitas
dos bin´arios em trˆes categorias: ´orbitas do tipo-P, que s˜ao aquelas fora do bin´ario em que
o terceiro corpo orbita o centro de massa do sistema; ´orbitas do tipo-S, em que o terceiro
corpo orbita um dos componentes do bin´ario; e ´orbitas pr´oximas aos pontos L
4
ou L
5
(pontos
Lagrangianos triangulares), os quais n˜ao s˜ao geralmente de interesse em sistema bin´arios, pois
a raz˜ao de massa deve ser menor que ±0,04 para que o movimento em torno desses pontos
sejam linearmente est´aveis.
A soluc¸˜ao do problema de dois corpos (P2C) para Nix e Hidra foi realizada por Buie et
al. (2006) utilizando dados de imagens do sistema de Plut˜ao no per´ıodo 2002-2003, obtidas
com o Telesc´opio Espacial Hubble. Foram obtidas imagens de todos os corpos do sistema de
Plut˜ao. Algumas das maiores conclus˜oes de Buie et al. (2006) s˜ao: as ´orbitas de Nix e Hidra s˜ao
quase coplanares com a ´orbita de Caronte e s˜ao praticamente circulares, com excentricidades
de 0,0023 ± 0,0021 e 0,0052 ± 0,001, respectivamente, os per´ıodos orbitais s˜ao 24,8562 ±
0,0013 dias para Nix, 38,2065 ± 0,0014 dias para Hidra e 6,3872304 ± 0,0000011 dias para
Caronte, as raz˜oes entre os per´ıodos orbitais de Nix e Hidra com o per´ıodo orbital de Caronte
diferem significativamente das raz˜oes exatas de 4:1 e 6:1, respectivamente. Desta maneira, eles
prop˜oem que talvez n˜ao exista ressonˆancias atuando entre os sat´elites.
Nagy et al. (2006) estudaram a estrutura dinˆamica do espac¸o de fase do sistema Plut˜ao-
Caronte, atrav´es do Problema Circular Restrito de trˆes corpos espacial. Nesse estudo as ´orbitas
dos prim´arios (Plut˜ao e Caronte) eram circulares, e Nix e Hidra foram tratados como part´ıculas-
teste. Seus resultados mostraram, para ´orbitas do tipo-P, que a regi˜ao est´avel ´e mais larga para
´orbitas retr´ogradas (I > 90
◦
) do que para ´orbitas pr´ogradas (I < 90
◦
). Para ´orbitas retr´ogradas
o limite da regi˜ao ca´otica para I > 160
◦
se mant´em em ∼1,7A, A=19.600 km, podendo ser
verificado em suas grades a por I. Para verificar se Nix e Hidra estavam em uma regi˜ao est´avel
do espac¸o de fase, foi apresentada uma grade a por e para o caso I = 0
◦
(em relac¸˜ao ao plano
dos prim´arios). Nesta grade para a < 2,15A (∼42.000 km do baricentro) o sistema ´e inst´avel
para todas as excentricidades, e para a ≥ 2,15A h´a uma regi˜ao est´avel dependendo do valor da
excentricidade. De acordo com seus resultados Nix e Hidra est˜ao em regi˜oes est´aveis do espac¸o
de fase do sistema, com excentricidades superiores limitadas a 0,31 para Nix e 0,17 para Hidra.
24
Com relac¸˜ao `a ressonˆancia conclu´ıram que o semi-eixo maior de Nix e Hidra indicam que eles
est˜ao pr´oximos da ressonˆancia de movimento m´edio 4:1 e 6:1 com Caronte, respectivamente,
por´em acreditam que s˜ao necess´arias mais observac¸˜oes do sistema para essa confirmac¸˜ao.
Tholen et al. (2008) obteve a “soluc¸˜ao” do problema de quatro corpos utilizando dados
astrom´etricos de diversas fontes. Neste estudo as perturbac¸˜oes do Sol foram ignoradas devido
ao fato dos trˆes sat´elites estarem fortemente ligados gravitacionalmente a Plut˜ao. O objetivo
era determinar a massa de cada um dos membros do sistema. O valor obtido para a raz˜ao
de massa Caronte/Plut˜ao foi 0,1166 ±0,0069, praticamente idˆentico ao obtido por Buie et al.
(2006). Foram verificados que as excentricidades dos trˆes sat´elites n˜ao s˜ao iguais a zero, por´em
s˜ao pequenas quando medidas em um sistema de referˆencia baricˆentrico, e que Caronte, Nix e
Hidra n˜ao s˜ao coplanares. Com relac¸˜ao `a ressonˆancia, n˜ao foi identificado qualquer argumento
ressonante que indicasse a existˆencia de ressonˆancia de movimento m´edio entre qualquer um
dos pares de sat´elites. Na tabela (2.1) s˜ao apresentados os dados f´ısicos de Plut˜ao e dos sat´elites,
e na tabela (2.2) s˜ao apresentados os elementos orbitais dos sat´elites, em que a ´e o semi-eixo
maior, e ´e a excentricidade, I ´e a inclinac¸˜ao, Ω ´e a longitudade do nodo ascendente, ω ´e o
argumento do pericentro, L ´e a longitude m´edia da ´epoca e P ´e o per´ıodo, os valores entre [ ]
s˜ao quantidades assumidas.
Massa (kg) Densidade (gm cm
−3
) Diˆametro (km)
Plut˜ao 1,304 x 10
22
2,06 [2.294]
Caronte 1,520 x 10
21
1,63 1.212
Nix 5,8 x 10
17
[1,63] 88
Hidra 3,2 x 10
17
[1,63] 72
Total 1,456 x 10
22
2,01 -
Tabela 2.1: Massas, densidades e diˆametros dos corpos do Sistema de Plut˜ao. Dados extra´ıdos
de Tholen et al. (2008).
S¨uli e Zsigmond (2009) apresentaram um estudo da estrutura dinˆamica do espac¸o de fase
em torno das novas luas do sistema Plut˜ao-Caronte, utilizando o Problema El´ıptico Restrito
de trˆes corpos. As condic¸˜oes inicias para Caronte foram extra´ıdas de Tholen et al. (2008). O
estudo na vizinhanc¸a de Nix e Hidra foi feito separadamente variando-se os elementos orbitais
das part´ıculas teste mas mantendo a anomalia m´edia constante. Foram apresentados mapas de
estabilidade a por e e a por I. Seus resultados mostraram que a estrutura do espac¸o de fase
25
a(km) e I (graus) Ω (graus) ω (graus) L P (dias)
Caronte
a
19.570,3 0,0035 96,168 223,054 157,9 257,960 6,38720
Nix
b
49.240 0,0119 96,190 223,202 244,3 122,7 25,49
Hidra
b
65.210 0,0078 96,362 223,077 45,4 322,4 38,85
Tabela 2.2: Elementos Orbitais Keplerianos extra´ıdos de Tholen et al. (2008).
´
Epoca JD
2452600,5 (J2000).
Notas
Medidos em relac¸˜ao a um sistema de referˆencia plutocˆentrico
a
Medidos em relac¸˜ao a um sistema de referˆencia baricˆentrico
b
para o caso el´ıptico e para o caso circular (Nagy et al., 2006) s˜ao qualitativamente diferentes, a
regi˜ao inst´avel ´e muito maior para o caso el´ıptico. O centro da ressonˆancia 4:1 muda de ∼2,544
para ∼2,564, enquanto que o centro da ressonˆancia 6:1 se move para mais perto de Plut˜ao e
tem sua forma mudada completamente. Tamb´em ´e mostrado que as presentes posic¸˜oes de Nix e
Hidra est˜ao nas regi˜oes est´aveis em ambos os mapas (a-e) e (a-I), por´em nenhuma das estruturas
relacionadas as ressonˆancias de movimento m´edio 4:1 e 6:1 contˆem os sat´elites.
Giuliatti Winter et al. (2009) utilizando o Problema Restrito de trˆes corpos apresentaram
diagramas (a-e) para part´ıculas teste inicialmente em ´orbitas do tipo-S ao redor de Plut˜ao e
de Caronte. Neste trabalho foram determinadas regi˜oes est´aveis para part´ıculas em ´orbitas ao
redor de Plut˜ao e Caronte, para diferentes valores de excentricidade. Atrav´es da an´alise das
Superf´ıcies de Sec¸˜ao de Poincar´e foi verificado que nessas regi˜oes est´aveis as part´ıculas est˜ao
em ´orbitas peri´odicas e quase-peri´odicas. A fam´ılia de cada ´orbita foi identificada.
A seguir apresentamos alguns estudos relacionados `a formac¸˜ao dos sat´elites Nix e Hidra.
Stern et al. (2006b) sugeriram que Nix e Hidra, assim como Caronte, foram formados de
material ejetado em uma ´orbita ao redor de Plut˜ao como resultado do impacto formador de
Caronte. A hip´otese ´e baseada no fato das ´orbitas de Nix e Hidra serem circulares ou quase
circulares, deles aparentemente estarem pr´oximos ou em ressonˆancias de movimento m´edio de
alta ordem, e no mesmo plano da ´orbita de Caronte. Al´em disso, a partir das ´orbitas circulares
dos sat´elites, foi sugerido que eles provavelmente foram formados muito pr´oximos de Plut˜ao,
migrando posteriormente para sua posic¸˜ao atual durante a evoluc¸˜ao, causada pelo efeito de
mar´e, de Caronte para sua atual ´orbita. Foi proposto que talvezoutros pequenos sat´elites, podem
26
ter sido formados, por´em se desestabilizaram dinamicamente e se acumularam sobre Caronte
ou Plut˜ao, ou escaparam da detecc¸˜ao de telesc´opios. Na ´epoca do descobrimento de Nix e Hidra
suas magnitudes eram V = 23,38 ± 0,17 e V = 22,93 ± 0,12, respectivamente (Weaver et al.,
2006). Magnitude visual (V) ´e uma unidade de medida utilizada para medir o brilho de objetos
astronˆomicos, quanto menor o valor de V mais brilhante ´e o objeto.
Ward e Canup (2006) propuseram um cen´ario (Cen´ario de Migrac¸˜ao Ressonante Forc¸ada)
no qual Nix e Hidra foram formados a partir da colis˜ao que formou Caronte, e migraram pos-
teriormente para suas posic¸˜oes atuais devido a interac¸˜oes ressonantes com o sat´elite, enquanto
que Caronte tamb´em migrava para sua posic¸˜ao atual. Lithwick e Wu (2008) mostraram que o
cen´ario de Ward e Canup (2006) s´o funciona para Nix ou Hidra se a excentricidade de Caronte
for corretamente escolhida, mas n˜ao para ambos simultaneamente. No trabalho tamb´em foram
discutidas mais duas possibilidades de como Nix e Hidra teriam evolu´ıdo para suas posic¸˜oes
atuais com baixas excentricidades, caso eles fossem produtos do referido impacto. Uma das
possibilidades ´e que os dois pequenos sat´elites teriam sido ejetados para os seus semi-eixo
maiores atuais com altas excentricidades, sendo posteriormente diminu´ıdas devido aos efeitos
de mar´e de Plut˜ao, por´em o tempo necess´ario para que houvesse a diminuic¸˜ao das excentrici-
dades ´e maior que a idade do Sistema Solar (Stern et al, 2006b); a segunda possibilidade era
que Nix e Hidra teriam sido ejetados como produtos do impacto formador de Caronte junto com
v´arias part´ıculas, se essas part´ıculas formassem um disco as excentricidades dos sat´elites pode-
riam ter sido diminu´ıdas devido as interac¸˜oes com o disco, por´em um disco desse tipo n˜ao se
estenderia a distˆancias t˜ao grandes. Em contrapartida, Lithwick e Wu (2008) sugeriram que Nix
e Hidra foram formados em um disco plutocˆentrico colisional composto por pequenos corpos
capturados em ´orbitas heliocˆentricas.
Com o passar dos anos os parˆametros f´ısicos e orbitais dos corpos deste sistema quadr´uplo
vˆem sendo determinados com mais precis˜ao, por´em podemos verificar que existem diferentes
teorias para a formac¸˜ao destes corpos e que estudos vˆem sendo realizados na tentativa de se
entender melhor esses objetos que ainda est˜ao em faseinicial de conhecimento. Assim, a miss˜ao
New Horizons (a primeira miss˜ao lanc¸ada com destino a Plut˜ao e o Cintur˜ao de Kuiper) poder´a
contribuir muito para a expans˜ao do conhecimento e entendimento deste sistema e tamb´em da
hist´oria da regi˜ao. A descoberta de Nix e Hidra acrescentaram mais objetivos e expectativas em
relac¸˜ao `a miss˜ao.
Na pr´oxima sec¸˜ao faremos uma introduc¸˜ao `a Miss˜ao New Horizons.
27
2.2 Miss
˜
ao New Horizons
A miss˜ao New Horizons-The first mission to Pluto and the Kuiper Belt: exploring frontier
worlds ´e uma miss˜ao da NASA lanc¸ada em 19 de janeiro de 2006.
´
E a primeira miss˜ao para
o sistema de Plut˜ao e para o Cintur˜ao de Kuiper e tamb´em a primeira da s´erie de miss˜oes
New Frontiers. Existem diversas motivac¸˜oes para a realizac¸˜ao da miss˜ao, entre elas a ´orbita de
Plut˜ao, seu tamanho, por ser um tipo de objeto (an˜ao de gelo) somente encontrado no Sistema
Solar externo, por formar um bin´ario com Caronte (o ´unico sistema bin´ario conhecido no Sis-
tema Solar), pelo fato de que acredita-se que colis˜ao similar a que formou Caronte possa ter
formado a Lua, podendo contribuir para se entender como o sistema Terra-Lua foi formado,
pelas recentes descobertas de mais dois sat´elites (Nix e Hidra), pelo sistema estar t˜ao longe
da Terra dificultando a sua observac¸˜ao mesmo com os telesc´opios mais avanc¸ados tecnologica-
mente, e porpossibilitar o conhecimento destes corpos t˜ao distantes, estendendo o entendimento
dos an˜oes de gelo, dos objetos do Cintur˜ao de Kuiper e da origem e evoluc¸˜ao do Sistema Solar
externo.
Desde a descoberta do primeiro objeto do Cintur˜ao de Kuiper em 1992, astrˆonomos en-
contraram mais de 1.000 objetos no cintur˜ao, com diˆametros entre 50 km e 2.000 km (Stern
et al., 2006a), portanto o sistema de Plut˜ao pode ser somente o primeiro de uma s´erie de
outros sistemas ainda desconhecidos. Foi apresentado por Brown et al. (2006b) o primeiro
sat´elite descoberto de Eris, Dysnomia.
A sonda tamb´em chamada New Horizons ´e a mais r´apida j´a lanc¸ada, passou pela ´orbita da
Lua em apenas 9 horas e por J´upiter em apenas 13 meses depois do seu lanc¸amento, e alcanc¸ar´a
Plut˜ao em 9 anos e meio. As sondas Galileo e Cassini levaram 6 anos e 4 anos, respectivamente,
para alcanc¸ar J´upiter. Ap´os passagem por J´upiter ela passar´a pelo sistema de Plut˜ao (a sonda
n˜ao ir´a orbit´a-lo).
Em 13 de junho de 2006, a New Horizons passou pr´oximo a um pequeno aster´oide (∼4 km
de diˆametro) com uma ´orbita do tipo-S chamado 2002 JF56, foram realizados testes com os
instrumentos de imagem da sonda (Stern, 2008).
O encontro com o sistema de J´upiter ocorreu no dia 28 de fevereiro de 2007. De janeiro
a junho de 2007 foi poss´ıvel realizar uma s´erie de mais de 700 observac¸˜oes do sistema (Stern,
2008). Segundo Stern et al. (2006a) o objetivoda passagem pelo sistema deJ´upiter foi aproveitar
a gravidade assistida para diminuir o tempo de viagem da sonda.
Para conseguir maximar a quantidade e qualidade dos dados obtidos a sonda carrega 7
28
instrumentos cient´ıficos, sendo 3 intrumentos ´opticos, 2 instrumentos de plasma, 1 detector
de poeira e 1 experimento de r´adio ciˆencia.
Os objetivoscient´ıficosdamiss˜ao s˜ao classificados em 3 categorias. Os objetivosdaprimeira
categoria s˜ao caracterizar a morfologia, geologia e mapear a composic¸˜ao da superf´ıcie de
Plut˜ao e Caronte, e caracterizar a atmosfera neutra e a taxa de escape da atmosfera de Plut˜ao.
Na segunda e terceira categoria destacamos procurar por uma atmosfera em Caronte, refinar
parˆametros orbitais e f´ısicos (massa, densidade, raios) de Plut˜ao e Caronte e procurar por
sat´elites e por um sistema de an´eis, detectar ou possibilitar o estabelecimento de um valor
limite de J
2
(coeficiente gravitacional) de Plut˜ao e medir a interac¸˜ao do vento solar com Plut˜ao
e Caronte. Os objetivos da primeira categoria s˜ao principais, os demais ser˜ao cumpridos caso
sejam poss´ıveis.
A figura (2.5) mostra a trajet´oria da sonda.
Figura 2.2: Trajet´oria da sonda New Horizons. As setas vermelhas indicam a posic¸˜ao da sonda,
as quais dependiam da data de lanc¸amento. Adaptado de Stern (2008).
29
Se a extens˜ao da miss˜ao for aprovada, os planos para a sonda New Horizons de 2016 a 2020,
incluem a realizac¸˜ao de um ou dois encontros pr´oximos com objetos do Cintur˜ao de Kuiper
com diˆametros iguais ou superiores a 50 km. Os estudos a serem realizados com os objetos do
Cintur˜ao de Kuiper ser˜ao similares aos realizados em Plut˜ao e Caronte (Stern et al., 2006a).
Posteriormente, a sonda continuar´a sua trajet´oria para al´em do Cintur˜ao de Kuiper, escapando
da gravidade solar.
30
Cap
´
ıtulo 3
Simulac¸
˜
oes Num
´
ericas
3.1 Integrador Num
´
erico
Para a realizac¸˜ao das simulac¸˜oes num´ericas utilizamos o pacote Mercury (Chambers, 1999).
Esse pacote foi desenvolvido para simular um conjunto de n-corpos, a evoluc¸˜ao orbital de obje-
tos movendo-se no campo gravitacional de um corpo central muito massivo quando comparado
ao tamanho dos outros objetos. Este integrador num´erico oferece os seguintes algoritmos de
integrac¸˜ao escritos em linguagem FORTRAN: RADAU (RA15) (Everhart, 1985), algoritmos
Bulirsch-Stoer (Stoer e Bulirsch, 1980), Integrador simpl´etico de vari´aveis mistas (MVS) (Wis-
dom e Holman, 1991; Wisdom et al. 1996) e um integrador h´ıbrido e simpl´etico. O m´etodo
utilizado foi o Bulirsch-Stoer.
Os arquivos de entrada, os quais s˜ao alterados para descrever cada sistema estudado, s˜ao:
a) big.in: este arquivo cont´em as condic¸˜oes iniciais dos corpos massivos, exceto as do corpo
central. Um corpo massivo ´e definido como um corpo que perturba todos os outros objetos
durante a integrac¸˜ao.
b) small.in: este arquivo cont´em as condic¸˜oes iniciais para todos os corpos pequenos
(part´ıculas) da integrac¸˜ao num´erica. Um corpo pequeno ´e definido como aquele que perturba e
interage com os corpos massivos durante a integrac¸˜ao, por´em ignoram uns aos outros comple-
tamente (n˜ao perturbam uns aos outros e n˜ao podem colidir entre si).
c) param.in: este arquivo cont´em os parˆametros que controlam a integrac¸˜ao num´erica. Pode-
se escolher por exemplo o algoritmo da integrac¸˜ao, tempo inicial e tempo final, intervalo de
sa´ıda dos dados, a opc¸˜ao de parar a integrac¸˜ao ap´os um encontro pr´oximo, a opc¸˜ao de permitir
que ocorram colis˜oes com os corpos massivos, inclus˜ao de fragmentos colisionais, escolha do
31
valor da distˆancia de ejec¸˜ao, inclus˜ao do raio e da massa do corpo central, a opc¸˜ao de inserir os
coeficientes gravitacionais: J
2
, J
4
ou J
6
do corpo central. Se o campo gravitacional do planeta
n˜ao ´e esfericamente sim´etrico, suas n˜ao-uniformidades produzem acelerac¸˜oes que s˜ao tratadas
como perturbac¸˜oes ao movimento Kepleriano de um sat´elite ou part´ıculas de an´eis. Os J
n
’s
s˜ao constantes presentes na equac¸˜ao do potencial gravitacional externo de um corpo. Essas
constantes refletem a distribuic¸˜ao de massa de um corpo e s˜ao determinadas analiticamente
utilizando-se os Polinˆomios de Legendre de grau n.
d) element.in: este arquivo informa de que maneira devem ser gerados os dados de sa´ıda:
em relac¸˜ao a um sistema centrado no corpo central, no baricentro, ou em elementos Jacobianos.
Tamb´em se escolhe o formato de sa´ıda dos elementos (em elementos orbitais ou coordenadas
de posic¸˜ao e velocidade).
e) mercury.inc: este arquivo cont´em constantes e parˆametros gerais utilizados por subroti-
nas do pacote Mercury. As alterac¸˜oes foram no valor de K2 (quadrado da constante gravita-
cional gaussiana) e a unidade astronˆomica (UA) como sendo a distˆancia de Caronte a Plut˜ao,
UA=19.570,3km.
No pacote Mercury ´e poss´ıvel extender o tempo final de uma integrac¸˜ao conclu´ıda.
3.2 Sistema de 4-corpos: Plut
˜
ao, Caronte, Nix e Hidra
No primeiro conjunto de simulac¸˜oes num´ericas realizadas, durante a fase de aprendiza-
gem do pacote Mercury, utilizamos as coordenadas de posic¸˜ao e velocidade apresentadas na
tabela (3.1) e simulamos numericamente o sistema formado por 4-corpos: Plut˜ao (corpo cen-
tral), Caronte, Nix e Hidra, para fazermos uma comparac¸˜ao com os resultados obtidos (elemen-
tos orbitais no tempo inicial de Caronte, Nix e Hidra e variac¸˜ao temporal da excentricidade e
inclinac¸˜ao de Nix e Hidra) por Tholen et al. (2008). O objetivo dessas simulac¸˜oes num´ericas
era inserir as condic¸˜oes iniciais do sistema de Plut˜ao no pacote Mercury, aprender a utiliz´a-lo e
tentar reproduzir os resultados de Tholen et al. (2008).
Os elementos orbitais de Caronte em Tholen et al. (2008) s˜ao fornecidos com relac¸˜ao a um
referencial planetocˆentrico, e os elementos orbitais de Nix e Hidra com relac¸˜ao a um referencial
baricˆentrico. No pacote Mercury a integrac¸˜ao ´e realizada em relac¸˜ao a um
referencial plutocˆentrico, por´em temos a opc¸˜ao para que os dados de sa´ıda sejam convertidos
para um referencial baricˆentrico, mas verificamos que a rotina apresenta problemas no c´alculo
32
das velocidades. Assim, utilizou-se um programa escrito em linguagem de programac¸˜ao C para
realizar a convers˜ao entre os referenciais e a seguir fazermos as comparac¸˜oes dos resultados.
Os gr´aficos com os dados obtidos nas simulac¸˜oes num´ericas foram gerados com o Gnuplot.
O programa barycenter.c faz a translac¸˜ao das coordenadas de posic¸˜ao e velocidade cen-
tradas em Plut˜ao para coordenadas de posic¸˜ao e velocidade centradas no baricentro, a seguir
faz a transformac¸˜ao das coordenadas de posic¸˜ao e velocidade para elementos orbitais (agora
dados em relac¸˜ao ao baricentro) e poss´ıveis de serem comparados com os dados do artigo.
A translac¸˜ao do referencial plutocˆentrico para o baricˆentrico ´e feita utilizando-se as equac¸˜oes
(3.1), (3.2), (3.3), e (3.4):
A posic¸˜ao e velocidade do centro de massa em relac¸˜ao a Plut˜ao:
x
cm
=
(m
C
x
C
+ m
N
x
N
+ m
H
x
H
)
(m
P
+ m
C
+ m
N
+ m
H
)
(3.1)
˙x
cm
=
(m
C
˙x
C
+ m
N
˙x
N
+ m
H
˙x
H
)
(m
P
+ m
C
+ m
N
+ m
H
)
(3.2)
an´alogo para y
cm
e z
cm
, ˙y
cm
e ˙z
cm
, em que x, y e z s˜ao as componentes da posic¸˜ao e ˙x, ˙y e ˙z
s˜ao as componentes da velocidade em relac¸˜ao a Plut˜ao, m ´e a massa, os ´ındices P , C, N e H
referem-se a Plut˜ao, Caronte, Nix e Hidra, respectivamente.
¯x = x − x
cm
(3.3)
an´alogo para ¯y e ¯z.
˙
¯x = ˙x − ˙x
cm
(3.4)
an´alogo para
˙
¯y e
˙
¯z, em que ¯x, ¯y, ¯z s˜ao as componentes da posic¸˜ao em relac¸˜ao ao baricentro, e
˙
¯x,
˙
¯y,
˙
¯z s˜ao as componentes da velocidade em relac¸˜ao ao baricentro.
Ap´os a translac¸˜ao, utilizando as equac¸˜oes do Problema de 2-corpos, transformamos as co-
ordenadas de posic¸˜ao e velocidade em relac¸˜ao ao baricentro (¯x, ¯y, ¯z,
˙
¯x,
˙
¯y,
˙
¯z) para elementos
orbitais. As equac¸˜oes utilizadas no barycenter.c para obter a transformac¸˜ao de coordenadas
de posic¸˜ao e velocidade para elementos orbitais s˜ao do Problema de 2-corpos, assim fez-se
necess´aria fazer uma revis˜ao do Problema de 2-corpos, a qual apresentamos resumidamente a
seguir baseados em Murray e Dermott (1999).
3.2.1 Problema de Dois Corpos
O Problema de Dois Corpos (P2C) ´e um problema poss´ıvel de ser resolvido analitica-
mente. Trata da interac¸˜ao gravitacional de dois pontos de massa descrita pela Lei Universal
33
da Gravitac¸˜ao de Newton. O problema consiste de um corpo menor se movendo ao redor
de um corpo central muito maior, os efeitos dos outros corpos s˜ao usualmente tratados como
perturbac¸˜oes para o sistema de dois corpos.
Considerando o movimento de m
1
e m
2
, com vetores de posic¸˜ao
−→
r
1
e
−→
r
2
referentes a uma
origem O fixada em um espac¸o inercial, pode-se escrever as forc¸as gravitacionais e conse-
quentes acelerac¸˜oes experimentadas pelas duas massas. Considerando o movimento m
2
com
relac¸˜ao a m
1
(movimento relativo), escrevemos:
d
2
−→
r
dt
2
+ µ
−→
r
r
3
=
−→
0 (3.5)
em que µ=G(m
1
+m
2
), G ´e a constante gravitacional. Determinando-se as constantes do movi-
mento conseguimos obter a ´orbita de m
2
relativo a m
1
atrav´es de (3.5).
Fazendo o produto vetorial de
−→
r com a equac¸˜ao (3.5) obtemos
−→
r ×
¨
−→
r =
−→
0 , integrando
em seguida obtemos
−→
r ×
˙
−→
r =
−→
h .
Considerando a origem do sistema centrada em m
1
e uma linha de referˆencia em θ=0
◦
,
substituindo a definic¸˜ao do vetor acelerac¸˜ao em coordenadas polares na equac¸˜ao (3.5) e com-
parando as componentes na direc¸˜ao
ˆ
r obtemos ¨r − r
˙
θ
2
= −
µ
r
2
. Para resolver r=f(θ), pode-se
fazer a substituic¸˜ao u =
1
r
e eliminar o tempo fazendo uso da constante h = r
2
˙
θ.
Diferenciando duas vezes com relac¸˜ao ao tempo r de u =
1
r
, e substituindo em ¨r − r
˙
θ
2
=
−
µ
r
2
obtemos uma equac¸˜ao diferencial linear de segunda ordem para u. Substituindo r uti-
lizando a relac¸˜ao entre u e r na soluc¸˜ao geral da equac¸˜ao diferencial, obtemos:
r =
p
1 + e cos (θ − ̟)
(3.6)
A equac¸˜ao (3.6) ´e a equac¸˜ao geral de uma cˆonica em coordenadas polares, onde e ´e a ex-
centricidade e p o semilatus rectum dado por p =
h
2
µ
.
Para o caso el´ıptico temos:
r =
a(1 − e
2
)
1 + e cos (θ − ̟)
(3.7)
em que o ˆangulo θ ´e a longitudade verdadeira, f ´e a anomalia verdadeira e ̟ = f + θ (̟ ´e a
longitudade do pericentro).
A velocidade angular “m´edia”, ou movimento m´edio, n ´e definido como:
n =
2π
P
(3.8)
em que P ´e o per´ıodo orbital.
34
Fazendo o produto escalar de
˙
−→
r com a equac¸˜ao (3.5), substituindo as express˜oes para
−→
r e
˙
−→
r em coordenadas polares no produto escalar e integrando, obtemos:
1
2
v
2
−
µ
r
= C (3.9)
em que v
2
=
˙
−→
r ·
˙
−→
r , e C ´e uma constante do movimento.
O Problema de 2-corpos tem quatro constantes do movimento: a Energia integral C e as trˆes
componentes da Integral do Momento Angular,
−→
h .
Na pr´atica deseja-se calcular a localizac¸˜ao de um corpo para um dado tempo e a soluc¸˜ao
para o P2C, n˜ao cont´em o tempo explicitamente.
A a anomalia m´edia M ´e definida como M = n(t − τ), em que τ ´e o tempo de passagem
pelo pericentro. Atrav´es das projec¸˜oes de r nas direc¸˜oes horizontal e vertical r pode ser escrito
como:
r = a(1 − e cos E) (3.10)
e
cos f =
cos E −e
1 − e cos E
(3.11)
r e f s˜ao determinados unicamente a partir das equac¸˜oes (3.10) e (3.11), desde que E (anomalia
excˆentrica) e f estejam no mesmo semi-plano e E seja conhecido. No entanto, o tempo est´a
presente na equac¸˜ao da anomalida m´edia. A relac¸˜ao entre M e E ´e dada pela equac¸˜ao:
M = E − esenE (3.12)
que ´e a equac¸
˜
ao de Kepler e sua soluc¸˜ao ´e fundamental para determinar a posic¸˜ao orbital em
um dado tempo t.
Agora, passaremos a tratar do caso de fornecidas as componentes de posic¸˜ao e velocidade,
deseja-se obter os elementos orbitais correspondentes no tempo t.
Murray e Dermott (1999) consideram um plano tridimensional como representac¸˜ao de uma
´orbita no espac¸o, e um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional no qual um ponto
arbitr´ario tem o vetor posic¸˜ao
−→
r = xˆx + yˆy + zˆz. (X, Y, Z) e (
˙
X,
˙
Y ,
˙
Z) s˜ao as coordenadas de
posic¸˜ao e velocidade de um objeto em uma ´orbita el´ıptica no plano de referˆencia padr˜ao em um
dado instante t, a, e, I, s˜ao o semi-eixo maior, a excentricidade e a inclinac¸˜ao da ´orbita, respec-
tivamente. A seguir apresentamos os procedimentos para calcular alguns elementos orbitais
extra´ıdos de Murray e Dermott (1999).
35
1) C´alculo de a:
a =
2
R
−
V
2
G(m
1
+ m
2
)
−1
(3.13)
2) C´alculo de e:
e =
1 −
h
2
G(m
1
+ m
2
)a
(3.14)
3) C´alculo de I:
I = cos
−1
h
z
h
(3.15)
em que
R =
√
X
2
+ Y
2
+ Z
2
(3.16)
V
2
=
˙
X
2
+
˙
Y
2
+
˙
Z
2
(3.17)
−→
h = (Y
˙
Z −Z
˙
Y , Z
˙
X − X
˙
Z, X
˙
Y − Y
˙
X) (3.18)
R = r representa o comprimento do raio vetor. As projec¸˜oes de
−→
h s˜ao:
h
z
= h cos I (3.19)
±h
x
= hsenIsenΩ (3.20)
∓h
y
= hsenI cos Ω (3.21)
o sinal superior nas equac¸˜oes (3.20) e (3.21) ´e utilizado quando h
z
>0 e o sinal inferior ´e
utilizado quando h
z
<0.
3.3 Evoluc¸
˜
ao Orbital
Na fase inicial deste trabalho, com o objetivo de reproduzir os gr´aficos (a por t) e (e por t)
e os elementos orbitais dos trˆes sat´elites apresentados em Tholen et al. (2008), realizamos as
simulac¸˜oes num´ericas descritas a seguir.
As coordenadas de posic¸˜ao (x, y, z) e velocidade (x’,y’,z’) de Caronte, Nix e Hidra foram
extra´ıdas da tabela (3.1). O valor de G assumido foi G = 6,67428x10
−11
m
3
kg
−1
s
−2
. Os valores
referentes a massa e raios de cada um dos quatro corpos s˜ao apresentados na tabela (3.2).
O sistema de quatro corpos foi numericamente integrado em relac¸˜ao `a um referencial iner-
cial fixo em Plut˜ao por um tempo correspondente a 100 dias.
36
x (km) y (km) z (km) x’ (km dia
−1
) y’ (km dia
−1
) z’ (km dia
−1
)
Caronte -12.614 -10.150 11.061,1 6.842,2 8.715,1 15.699,2
Nix 8.450 1.020 -46.480 -7.930 -7.533 -542
Hidra 2.120 11.830 64.674 8.479 7.900 -132
Tabela 3.1: Condic¸˜oes iniciais, em unidades do Sistema Internacional (SI), utilizados nas
simulac¸˜oes num´ericas, em relac¸˜ao a um referencial plutocˆentrico. Valores extra´ıdos de Tholen
et al. (2008).
Plut
˜
ao Caronte Nix Hidra
Massa (kg) 1,304 x 10
22
1,520 x 10
21
5,8 x 10
17
3,2 x 10
17
Raio (km) 1.147 606 44 36
Tabela 3.2: Massa e raio dos corpos analisados, utilizados nas simulac¸˜oes num´ericas. Valores
extra´ıdos de Tholen et al. (2008).
3.3.1 Caronte
Os resultados obtidos foram que o semi-eixo maior a ´e igual a 19.574,80 ±2 km, valor que
difere em apenas ∼4 km do valor obtido por Tholen et al. (2008) (o valor esperado). A excen-
tricidade encontrada foi e = 0,0034 com variac¸˜oes da ordem de 3×10
−5
, o valor esperado era
0,0035 com variac¸˜oes de 2×10
−5
. A longitude do nodo ascendente (Ω) permaneceu constante
com o valor de Ω = 223,0565
◦
, com uma diferenc¸a de 0,0025 para o valor esperado. O argu-
mento do pericentro (ω) encontrado foi 154,575
◦
, valor esperado era 157,9
◦
. A inclinac¸˜ao de
Caronte calculada foi I = 96,168
◦
, com uma variac¸˜ao de 10
−5
, no artigo citado o valor ´e I =
96,168
◦
± 0,0002
◦
. O per´ıodo calculado foi 6,38 dias, valor que est´a de acordo com o esperado.
Realizando a simulac¸˜ao num´erica por um per´ıodo de tempo maior, 60 anos, vemos que o
argumento do pericentro (ω), figura (3.1), de Caronte precessiona conforme previsto por Tholen
et al. (2008), com a mesma variac¸˜ao de 1,5
◦
na amplitude, por´em o valor inicial do argumento
do pericentro que obtivemos foi menor que o previsto.
37
Figura 3.1: Precess˜ao do argumento do pericentro de Caronte por um per´ıodo de 60 anos.
3.3.2 Nix
Para realizar as integrac¸˜oes num´ericas para Nix foram inseridas as coordenadas de posic¸˜ao
e velocidade em relac¸˜ao ao referencial plutocˆentrico. Ap´os realizada a integrac¸˜ao num´erica, ob-
tivemos os elementos orbitais em relac¸˜ao ao baricentro, atrav´es do barycenter.c:
a = 49.232,216km, e = 0,011860, I = 96,194526
◦
, valores que diferem somente de ∼8km para
a e de 4 ×10
−5
e ∼4 ×10
−3
graus para e e I, respectivamente, em relac¸˜ao ao valor esperado.
Para o per´ıodo de 100 dias, obtivemos que o semi-eixo maior, a, assume valores no intervalo
[48.576,220; 49.654,144] km, figura (3.2). A excentricidade, e, assume valores no intervalo
[0,001325; 0,024970], figura (3.3). A inclinac¸˜ao assume valores dentro do intervalo [96,020;
96,316] graus. O per´ıodo de Nix obtido foi de aproximadamente 25,04 dias, valor esperado era
25,49 dias. Na simulac¸˜ao num´erica por um per´ıodo de 90 dias Tholen et al. (2008) encontraram
que a excentricidade de Nix assume valores no intervalo [0; 0,0272] e a inclinac¸˜ao assume
valores no intervalo [96,020; 96,320] graus. Portanto, conclu´ımos que os valores encontrados
em nossas simulac¸˜oes num´ericas est˜ao de acordo com os apresentados no artigo citado.
Nas figuras (3.2) e (3.3) s˜ao apresentados os gr´aficos do semi-eixo maior em func¸˜ao do
tempo (a-t) e da excentricidade em func¸˜ao do tempo (e-t) de Nix, por um per´ıodo de 100 dias.
Gr´afico semelhante ao da variac¸˜ao da excentricidade em func¸˜ao do tempo foi encontrado por
Tholen et al. (2008).
38
Figura 3.2: Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao do tempo (dias) de Nix por um per´ıodo de 100
dias.
Figura 3.3: Excentricidade em func¸˜ao do tempo (dias) de Nix por um per´ıodo de 100 dias.
3.3.3 Hidra
Para o caso do sat´elite Hidra foram realizadas as mesmas convers˜oes necess´arias para
obtenc¸˜ao dos elementos orbitais do sat´elite Nix em relac¸˜ao ao baricentro. Ap´os realizada
a integrac¸˜ao num´erica, obtivemos os elementos orbitais em relac¸˜ao ao baricentro, atrav´es do
barycenter.c: a = 65.213,096 km, e = 0,007842, I = 96,349336
◦
, valores que diferem somente
de ∼3km para a e de 4 × 10
−5
e ∼2 × 10
−2
para e e I, respectivamente, em relac¸˜ao ao valor
esperado.
39
Para o per´ıodo de 100 dias obtivemos que o semi-eixo maior assume valores no inter-
valo [64.827,964; 65.266,556] km, figura (3.4). A excentricidade assume valores no intervalo
[0,000339; 0,015198], figura (3.5). A inclinac¸˜ao assume valores dentro do intervalo [95,983;
96,352] graus. O per´ıodo determinado atrav´es da simulac¸˜ao num´erica foi 38,3957 dias, o valor
esperado era 38,85 dias. Na simulac¸˜ao num´erica por um per´ıodo de 90 dias Tholen et al.
(2008) encontraram que a excentricidade de Hidra assume valores no intervalo [0; 0,0179] e
a inclinac¸˜ao assume valores no intervalo [95,980; 96,340] graus. Portanto, conclu´ımos que os
nossos resultados est˜ao de acordo com os valores do referido artigo.
Nas figuras (3.4) e (3.5) s˜ao apresentados os gr´aficos do semi-eixo maior em func¸˜ao do
tempo (a-t) e da excentricidade em func¸˜ao do tempo (e-t) de Hidra por um per´ıodo de 100 dias.
Gr´afico semelhante ao da variac¸˜ao da excentricidade em func¸˜ao do tempo foi encontrado por
Tholen et al. (2008).
Figura 3.4: Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao do tempo (dias) de Hidra por um per´ıodo de 100
dias.
40
Figura 3.5: Excentricidade em func¸˜ao do tempo (dias) de Hidra por um per´ıodo de 100 dias.
O estudo foi ´util para verificarmos a funcionalidade do programa de convers˜ao, o qual seria
utilizado nas pr´oximas etapas deste trabalho.
Ap´os a realizac¸˜ao desta primeira etapa, fizemos novas integrac¸˜oes num´ericas utilizando as
mesmas condic¸˜oes inicias para os quatros corpos, por´em simulamos para um intervalo de tempo
maior, 50 anos. O objetivo era verificar a variac¸˜ao do semi-eixo maior (a) e excentricidade (e)
de Nix e Hidra em um intervalo de tempo maior.
Analisando os gr´aficos do semi-eixo maior e da excentricidade em func¸˜oes do tempo, ambos
por um per´ıodo de 50 anos, verificamos que o semi-eixo maior de Nix assume valores pratica-
mente iguais e tem a mesma variac¸˜ao de ∆a∼1.000 km obtida para o per´ıodo de 100 dias. A
excentricidade assume valores no intervalo [0,000103; 0,026610]. O per´ıodo obtido para Nix
foi P ∼25,3 dias. Para Hidra analisando os gr´aficos do semi-eixo maior e da excentricidade
em func¸˜oes do tempo por um per´ıodo de 50 anos, verificamos que o semi-eixo maior assume
praticamente os mesmos valores e tem a mesma variac¸˜ao de ∆a∼430 km obtida para o per´ıodo
de 100 dias. A excentricidade assume valores no intervalo [0,000020; 0,017461]. O per´ıodo
encontrado para Hidra foi P ∼38,36 dias. Os per´ıodos de Nix e Hidra encontrados por Tholen
et al. (2008) na simulac¸˜ao por um per´ıodo de 50 anos s˜ao P = 25,492 dias e P = 38,734 dias,
respectivamente. Valores pr´oximos ao encontrado em nossas simulac¸˜oes. Conclu´ımos que os
elementos a e e de Nix e Hidra mantˆem praticamente as mesmas variac¸˜oes apresentadas para
um per´ıodo de 100 dias. Verificamos tamb´em que como esperado Nix sofre mais os efeitos das
interac¸˜oes dinˆamicas com Caronte do que Hidra.
41
3.3.4 Nix e Hidra: perturbac¸
˜
ao m
´
utua
Com o objetivo de verificarmos a perturbac¸˜ao m´utua entre Nix e Hidra, realizamos duas
simulac¸˜oes num´ericas:
1
a
simulac¸˜ao num´erica: noarquivo big.in inserimos somente as condic¸˜oes iniciais deCaronte
e Nix, portanto temos somente as perturbac¸˜oes causadas por Plut˜ao e Caronte em Nix, sem o
acr´escimo de eventuais efeitos gravitacionais de Hidra (sistema formado por trˆes corpos).
2
a
simulac¸˜ao num´erica: no arquivo big.in inserimos somente os dados de Caronte e Hidra,
portanto temos somente asperturbac¸˜oescausadasporPlut˜ao e Caronte em Hidra, sem o acr´escimo
de eventuais efeitos gravitacionais de Nix (sistema formado por trˆes corpos).
Ap´os obtidos os gr´aficos, comparamos com os gr´aficos que mostravam a variac¸˜ao do a e
do e em func¸˜ao do tempo de Nix e Hidra nas simulac¸˜oes num´ericas realizadas para o sistema
formado pelos quatro corpos.
1
a
simulac¸˜ao - Em relac¸˜ao aos resultados obtidos nas simulac¸˜oes num´ericas com o sistema
formado por quatro corpos verificamos que o ∆a ´e igual para os dois sistemas, mesmo fato
ocorreu com o valor de ∆e. Logo, conclu´ımos que Hidra n˜ao exerce um efeito significativo na
variac¸˜ao temporal dos elementos orbitais (a, e) de Nix.
2
a
simulac¸˜ao - O ∆a obtido nesta simulac¸˜ao num´erica ´e igual ao do sistema com quatro
corpos, mesmo fato ocorreu com a variac¸˜ao da excentricidade, ∆e. Logo, conclu´ımos que
Nix n˜ao exerce um efeito significativo no movimento de Hidra, sendo um resultado esperado,
visto que Nix e Hidra tˆem diˆametros de 88 km e 72 km, respectivamente, e est˜ao separados
de ∆a=15.970,0 km. Nas figuras de (3.6) a (3.9) apresentamos os gr´aficos obtidos no sistema
de 4-corpos e de 3-corpos para um per´ıodo menor, 100 dias, pois a visualizac¸˜ao de que as os
resultados obtidos nos dois sistemas s˜ao praticamente iguais fica mais f´acil.
42
48400
48600
48800
49000
49200
49400
49600
49800
0 20 40 60 80 100
semi-eixo maior (km)
tempo (dias)
4-corpos
3-corpos
Figura 3.6: Semi-eixo maior (km) em
func¸˜ao do tempo (dias) de Nix por um
per´ıodo de 100 dias.
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0 20 40 60 80 100
excentricidade
tempo (dias)
4-corpos
3-corpos
Figura 3.7: Excentricidade em func¸˜ao do
tempo (dias) de Nix por um per´ıodo de 100
dias.
64800
64850
64900
64950
65000
65050
65100
65150
65200
65250
65300
0 20 40 60 80 100
semi-eixo maior (km)
tempo (dias)
4-corpos
3-corpos
Figura 3.8: Semi-eixo maior (km) em
func¸˜ao do tempo (dias) de Hidra por um
per´ıodo de 100 dias.
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0 20 40 60 80 100
excentricidade
tempo (dias)
4-corpos
3-corpos
Figura 3.9: Excentricidade em func¸˜ao do
tempo (dias) de Hidra por um per´ıodo de
100 dias.
43
Cap
´
ıtulo 4
An
´
alise da regi
˜
ao externa do Sistema
Plut
˜
ao-Caronte
4.1 Introduc¸
˜
ao
A an´alise e determinac¸˜ao de regi˜oes est´aveis podem auxiliar a sonda New Horizons a detec-
tar poss´ıveis sat´elites e an´eis pertencentes ao sistema Plut˜ao-Caronte. Al´em disso, determinar
regi˜oes onde part´ıculas possam permanecer por longos per´ıodos de tempo ´e importante para a
pr´opria seguranc¸a da sonda, pois caso esta passe atrav´es de um sistema de aneis pouco tˆenue
poder´a sofrer colis˜oes com um n´umero significativo de part´ıculas que poder˜ao causar preju´ızos
`a miss˜ao.
Thiessenhusen et al. (2002) sugerem que Plut˜ao e Caronte est˜ao dentro de um tˆenue anel de
poeira, e mostram que um anel de poeira pode existir em torno do bin´ario. No trabalho foram
estudados a densidade deste poss´ıvelanele as ´orbitas das part´ıculas que o formam. Aspart´ıculas
que comp˜oem o anel seriam ejetadas de Plut˜ao e, especialmente de Caronte, frutos de colis˜oes
de micrometeoritos origin´arios do Cintur˜ao de Kuiper com as superf´ıcies destes. Os efeitos
da atmosfera de Plut˜ao em suas an´alises tˆem um efeito pequeno, pois a maior contribuic¸˜ao
vem de material ejetado de Caronte, n˜ao se sabe ainda se Caronte tem atmosfera. Segundo
Thiessenhusen et al. (2002) o poss´ıvel anel ´e denso o suficiente para ser detectado por uma
sonda espacial que passasse pelo sistema.
Com a descoberta de Nix e Hidra, a quest˜ao sobre a existˆencia de uma sistema de aneis
originadodecolis˜oes entre pequenos detritoscom essecorposapareceu com maisforc¸a. Atrav´es
do c´alculo da velocidade de escape do material que seria ejetado dessas colis˜oes, Steffl e Stern
44
(2007) conclu´ıram que o material poderia ficar gravitacionalmente ligado a Plut˜ao, dependendo
de algumas caracter´ısticas como tamanho e densidade, podendo formar aneis.
A profundidade ´optica m´edia (τ) de um anel ´e uma medida do decl´ınio exponencial da luz `a
medida que penetra o anel, ela permite dizer se um anel ´e mais tˆenue ou mais denso. Baseados
em teorias que sugerem que pequenos corpos que colidem com os sat´elites Nix e Hidra s˜ao
capazes de gerar aneis no sistema de Plut˜ao, Steffl e Stern (2007) realizaram um estudo sobre
a existˆencia destes aneis, utilizando imagens obtidas com o Telesc´opio Espacial Hubble. Seus
resultados mostraram que n˜ao foram encontradas evidˆencias observacionais de aneis no sistema
e que se o sistema de aneis de Plut˜ao existir, ele ´e t˜ao tˆenue quanto o sistema de aneis de J´upiter.
O valor de τ determinado por Stern et al. (2006b) ´e τ = 5×10
−6
.
Holman e Wiegert (1999) analisaram em quais regi˜oes do espac¸o de fase pr´oximo a um sis-
tema bin´ario poderiam existir planetas. Eles simularam numericamente conjuntos de part´ıculas
utilizando o Problema El´ıptico Restrito de 3-corpos por um per´ıodo de 10
4
T
bin´a rio
. Valores para
a excentricidade dos bin´arios foram adotados entre 0,0 ≤ e ≤ 0,8 e para a raz˜ao de massa entre
0,1 ≤ µ ≤ 0,9. Dos resultados foram derivadas express˜oes anal´ıticas para o semi-eixo maior
cr´ıtico, o qual determina um limite para a regi˜ao est´avel para o tempo de integrac¸˜ao consider-
ado. Para o caso de part´ıculas externas ao bin´ario orbitando o centro de massa do sistema o
semi-eixo maior cr´ıtico (a
crit
) em unidades do semi-eixo maior do bin´ario, ´e dado por:
a
crit
= (1, 60 ± 0, 04) + (5, 10 ± 0, 05)e (4.1)
+(−2, 22 ± 0, 11)e
2
+ (4, 12 ± 0, 09)µ (4.2)
+(−4, 27 ± 0, 17)eµ + (−5, 09 ± 0, 11)µ
2
(4.3)
+(4, 61 ± 0, 36)e
2
µ
2
(4.4)
ParaosistemaPlut˜ao-Caronte, emquee =0,0035eµ=
m
C
m
P
= ´e 0,1166, temos a
crit
=39.674km.
Holman e Wiegert (1999) ressaltam que o limiar entre a regi˜ao de estabilidade e a regi˜ao de
instabilidade n˜ao ´e bem definido.
Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e obter diagramas semi-eixo maior em func¸˜ao da excentrici-
dade (a-e) para part´ıculas em ´orbitas pr´ogradas e retr´ogradas se movendo em ´orbitas do tipo-P
sob os efeitos gravitacionais de todos os corpos do sistema de Plut˜ao na regi˜ao externa do sis-
tema bin´ario Plut˜ao-Caronte, esta regi˜ao ´e localizada al´em da ´orbita de Caronte. De acordo com
os resultados obtidos foram identificadas regi˜oes ca´oticas pr´oximas dos sat´elites Nix e Hidra.
45
Tamb´em foram identificadas part´ıculas em ressonˆancia de movimento m´edio com os sat´elites
Nix ou Hidra. Temos que part´ıculas-teste localizadas inicialmente dentro da regi˜ao de caos
sofrem um aumento em suas excentricidades podendo colidir com um dos corpos massivos do
sistema ou serem ejetadas. Part´ıculas com semi-eixo maiores mais pr´oximos aos dos sat´elites
s˜ao “refletidas” quando se aproximam destes e movem-se em ´orbitas ferradura ou girino. Para
entendermos esses regimes, os quais foram necess´arios para a an´alise dos gr´aficos obtidos,
faremos nas pr´oximas sec¸˜oes considerac¸˜oes te´oricas breves com relac¸˜ao a sobreposic¸˜ao de res-
sonˆancias e caos e com relac¸˜ao a dinˆamica de part´ıculas coorbitais a um sat´elite.
4.2 Estudo Te
´
orico
4.2.1 Resson
ˆ
ancias
S˜ao os fenˆomenos de ressonˆancia que determinam a estrutura dinˆamica do Sistema So-
lar. Em an´eis planet´arios, ressonˆancias entre partes dos an´eis e sat´elites s˜ao respons´aveis pela
formac¸˜ao de v´arias estruturas nos aneis, como falhas e ondulac¸˜oes. No caso dos aneis de
Saturno, a maioria da estrutura do anel A pode ser entendida no contexto de ressonˆancias entre
as part´ıculas do anel e os sat´elites que orbitam pr´oximos a ele, Prometeu, Pandora e Jano.
Em algumas situac¸˜oes o anel ´e confinado devido a ressonˆancias com seus sat´elites pastores,
por exemplo, o anel ǫ ´e confinado devido a ressonˆancia com Cord´elia e Of´elia (Goldreich e
Tremaine, 1979) que orbitam interiormente e exteriormente o anel. Esta teoria foi confirmada
posteriormente atrav´es de imagens da Voyager 2 (Murray e Dermott, 1999).
O Sistema de Saturno apresenta uma enorme variedade de fenˆomenos causados por res-
sonˆancia, alguns exemplos s˜ao Mimas e T´etis que est˜ao em ressonˆancia 4:2 e Enceladus e
Dione em ressonˆancia 2:1 (Murray e Dermott, 1999). Estes s˜ao somente alguns exemplos da
grande quantidade de ressonˆancias presentes no Sistema Solar.
Uma ressonˆancia pode aparecer quando h´a uma relac¸˜ao num´erica entre frequˆencias ou
per´ıodos, outros tipos de relac¸˜ao de ressonˆancia mais complicadastamb´em existem. Os per´ıodos
podem ser rotacional ou orbital de um ´unico corpo ou orbitais de dois ou mais corpos. A res-
sonˆancia 1:1 (quando o per´ıodo orbital ´e igual ao per´ıodo rotacional) faz com que a Lua man-
tenha sempre a mesma face voltada para a Terra. Este tipo de ressonˆancia est´a presente na
maioria dos sat´elites naturais do Sistema Solar (Murray e Dermott, 1999). O estudo dos efeitos
da ressonˆancia em mecˆanica celeste comec¸ou com a dinˆamica dos aster´oides. Kirkwood em
46
1867 publicou um estudo que apontava falhas no Cintur˜ao de Aster´oides devido a importantes
ressonˆancias com J´upiter (Kirkwood, 1867). Emumcasomaisgeral, considerando dois sat´elites
se movendo ao redor de um planeta em ´orbitas circulares e coplanares podemos assumir que:
n
′
n
=
p
p + q
(4.5)
em que n e n
′
s˜ao os movimentos m´edios dos sat´elites interno e externo, respectivamente, e
p e q s˜ao inteiros. Considerando dois sat´elites em conjunc¸˜ao no tempo t=0, ent˜ao a pr´oxima
conjunc¸˜ao ocorrer´a quando:
nt − n
′
t = 2π (4.6)
e o per´ıodo, T
con
, entre conjunc¸˜oes sucessivas ´e dado por:
T
con
=
2π
n − n
′
(4.7)
De (4.5) temos que p(n − n
′
) = qn
′
ent˜ao (n − n
′
) =
q
p
n
′
, e temos que p =
(p+q)n
′
n
,
substituindo (n −n
′
) em (4.7) obtemos:
T
con
=
p
q
2π
n
′
=
p
q
T
′
=
p + q
q
T (4.8)
em que T e T
′
s˜ao os per´ıodos orbitais dos dois sat´elites, interno e externo, respectivamente.
De (4.8) obtemos:
qT
con
= pT
′
= (p + q)T (4.9)
Para q=1 sabemos o n´umero de voltas completas realizadas por cada um dos sat´elites entre
sucessivas conjunc¸˜oes e cada conjunc¸˜ao ocorre na mesma longitude do espac¸o inercial. Se q=2,
cada segunda conjunc¸˜ao ocorre na mesma longitude.
Anteriormente consideramos o caso dos dois sat´elites em ´orbitas circulares, e =0 e e
′
=0,
agora vamos considerar o caso quando e=0 e e
′
= 0, e al´em disso ˙̟ = 0, em que ̟ ´e a
longitude do pericentro. Se a equac¸˜ao
(p + q)n
′
− pn − q
˙
̟
′
= 0 (4.10)
´e satisfeita, ent˜ao podemos escrevˆe-la da seguinte forma:
47
(n
′
−
˙
̟
′
)q + (n
′
− n)p + p
˙
̟
′
− p
˙
̟
′
= 0 (4.11)
(n
′
−
˙
̟
′
)q + (n
′
−
˙
̟
′
)p − pn + p
˙
̟
′
= 0 (4.12)
(n
′
−
˙
̟
′
)(p + q) = p(n −
˙
̟
′
) (4.13)
(n
′
−
˙
̟
′
)
(n −
˙
̟
′
)
=
p
p + q
(4.14)
em que n
′
−
˙
̟
′
e n −
˙
̟
′
s˜ao os movimentos relativos, podendo ser considerado como o movi-
mento m´edio em um sistema de referˆencia corotacional com o pericentro do sat´elite externo
(Murray e Dermott, 1999).
O argumento ressonante correspondente `a equac¸˜ao (4.10) ´e
ϕ = (p + q)λ
′
− pλ − q̟
′
(4.15)
O ˆangulo ϕ ´e a medida do deslocamento da longitude da conjunc¸˜ao em relac¸˜ao ao pericentro
do sat´elite externo. O Sistema Solar tem v´arios exemplos de objetos que orbitam um corpo
central e ambos est˜ao presos em uma ressonˆancia de movimento m´edio. Este tipo de ressonˆancia
tamb´em ´e conhecida como ressonˆancia de dois-corpos, neste caso um ou mais argumentos da
expans˜ao da func¸˜ao perturbadora est´a librando, por exemplo, Plut˜ao est´a em ressonˆancia de
movimento m´edio 3:2 com Netuno e o argumento do peri´elio de Plut˜ao libra em torno de 90
◦
(Levison e Stern, 1995).
No caso de Tit˜a-Hip´erio, em que Tit˜a est´a em uma ressonˆancia 4:3 com Hip´erion, de
observac¸˜oes foi obtido que ϕ = 4λ
′
- 3λ - ̟
′
libra em torno de 180
◦
. A conjunc¸˜ao entre os
dois sat´elites libra em torno do apocentro de Hip´erio.
4.2.2 Caos
O fenˆomeno conhecido como caos pode ser detectado em v´arios sistema dinˆamicos, por´em
n˜ao h´a ainda uma definic¸˜ao universalmente aceita de caos (Murray e Dermott, 1999). Um
sistema ´e dito determin´ıstico quando o seu estado atual permite definir as condic¸˜oes de seus
estados passado e futuro conhecendo todas as forc¸as que agem sobre ele, ou seja, dado um
estado inicial e as equac¸˜oes que descrevem tal sistema ´e poss´ıvel calcular a configurac¸˜ao do
48
sistema em qualquer instante de tempo. Em um sistema ca´otico existe uma dependˆencia em
relac¸˜ao as condic¸˜oes iniciais, que faz com que um mesmo sistema com duas condic¸˜oes iniciais
pr´oximas apresentem configurac¸˜oes bastante diferentes depois de um determinado per´ıodo de
tempo. Sistemas ca´oticos s˜ao caracterizados pela extrema sensibilidade `as condic¸˜oes iniciais e
pela imprevisibilidade a longo prazo. Um objeto no Sistema Solar exibe um movimento ca´otico
se o seu estado dinˆamico final ´e sensivelmente dependente do seu estado inicial (Murray e
Dermott, 1999).
O movimento ca´otico tamb´em pode ser origin´ario da sobreposic¸˜ao de ressonˆancias adja-
centes. Considerando o caso do Problema Circular Restrito de 3-corpos em que temos dois
corpos com massas se movendo em ´orbitas circulares e coplanares ao redor do centro de massa
comum e uma part´ıcula de massa negligenci´avel, de tal modo que a part´ıcula n˜ao afeta as duas
massas embora seja afetada por elas, de acordo com a teoria de perturbac¸˜oes ressonantes desen-
volvida em Murray e Dermott (1999) na vizinhanc¸a de uma ressonˆancia existe uma separatriz
bem definida e uma largura m´axima para a ressonˆancia. Em primeira aproximac¸˜ao neste tra-
balho ´e considerado um espac¸o de fase composto por uma sucess˜ao de tais ressonˆancias cada
uma tratada isoladamente, assim s˜ao definidas express˜oes para o c´alculo da largura m´axima de
librac¸˜ao de tais ressonˆancias. Um exemplo s˜ao as ressonˆancias interiores de primeira ordem
da forma p + 1 : p. Cada ressonˆancia tem uma separac¸˜ao bem definida em semi-eixo maior
e conforme o perturbador se aproxima as separac¸˜oes entre ressonˆancias adjacentes se tornam
menores, chegando a um ponto onde elas comec¸am a se sobrepor (Murray e Dermott, 1999).
Utilizando o Problema Circular Restrito de 3-corpos Wisdom (1980) mostrou que para pe-
quenas excentricidades (e ≤ 0, 15) da part´ıcula o ponto de sobreposic¸˜ao de ressonˆancias ´e
alcanc¸ado quando:
s
sobrep
≈ 0, 51µ
−2/7
2
(4.16)
em que µ
2
=
m
2
m
1
+m
2
, m
2
´e a massa do perturbador secund´ario e m
1
´e a massa do corpo central.
Murray e Dermott (1999) fornecem a separac¸˜ao em semi-eixo maior do sat´elite perturbador,
utilizando a terceira Lei de Kepler, pela equac¸˜ao:
∆a
sobrep
≈ 1, 3µ
2/7
2
a
′
(4.17)
em que a
′
´e o semi-eixo maior do perturbador.
´
E esperado que part´ıculas na regi˜ao a
′
±∆a
sobrep
estejam em ´orbitas ca´oticas, sendo removidas da regi˜ao devido a encontros pr´oximos com o
49
corpo perturbador. Utilizamos a equac¸˜ao (4.17) quando calculamos a localizac¸˜ao aproximada
dos limites das regi˜oes de caos de Nix e Hidra.
4.2.3
´
Orbitas girino e ferradura
O Problema Circular Restrito de 3-corpos n˜ao ´e integr´avel, por´em ´e poss´ıvel encontrar
soluc¸˜oes particularesdistintas. Elas podem ser encontradas buscandoporpontosondeapart´ıcula
tem velocidade e acelerac¸˜ao nulas em um sistema girante, estes pontos s˜ao chamados pontos de
equil´ıbrio do sistema.
Part´ıculas de aneis, por exemplo, podem ser confinadas devido a perturbac¸˜ao de um sat´elite
imerso no anel fazendo com que as part´ıculas descrevam em um sistema girante uma ´orbita do
tipo ferradura ou girino.
Dermott e Murray (1981a,1981b) apresentaram um estudo da dinˆamica de ´orbitas do tipo
girino e ferradura para o Problema Restrito de 3-corpos circular e el´ıptico utilizando m´etodos
anal´ıticos e num´ericos. Em Dermott e Murray (1981a) s˜ao descritas as propriedades gerais de
´orbitas girino e ferradura. Foi mostrado que a trajet´oria da part´ıcula em um sistema girante
est´a relacionada a forma da curva de velocidade zero associada (as curvas de velocidade zero
delimitam regi˜oes onde o movimento da part´ıcula ´e exclu´ıdo).
As localizac¸˜oes dos pontos de equil´ıbrio foram mostradas por Murray e Dermott (1999)
utilizando o Problema Circular Restrito de 3-corpos. Nesta sec¸˜ao apresentaremos considerac¸˜oes
te´oricas breves visando o entendimento da dinˆamica de ´orbitas do tipo ferradura e girino.
Considerando o movimento de uma part´ıcula de massa negligenci´avel se movento sob os
efeitos gravitacionais de dois corpos com massas m
1
e m
2
que est˜ao em ´orbitas circulares ao
redor de seu centro de massa comum e exercem uma forc¸a na part´ıcula, a part´ıcula n˜ao afeta
as duas massas. No sistema de referˆencia inercial ξ, η e ζ s˜ao os eixos do sistema centrado no
centro de massa do sistema. O eixo ξ est´a ao longo de uma linha conectando m
1
a m
2
no tempo
t =0, η ´e perpendicular a ξ, e ζ ´e perpendicular ao plano ξ − η. Assume-se que m
1
e m
2
tem
separac¸˜ao constante e mesma velocidade angular ao redor um do outro e do centro de massa
comum, que m
1
> m
2
e µ =
m
2
m
1
+m
2
, µ
1
= Gm
1
= 1 −µ e µ
2
= Gm
2
= µ.
As equac¸˜oes do movimento da part´ıcula s˜ao dadas por:
¨
ξ = µ
1
ξ
1
− ξ
r
3
1
+ µ
2
ξ
2
− ξ
r
3
2
(4.18)
50
¨η = µ
1
η
1
− η
r
3
1
+ µ
2
η
2
− η
r
3
2
(4.19)
¨
ζ = µ
1
ζ
1
− ζ
r
3
1
+ µ
2
ζ
2
− ζ
r
3
2
(4.20)
em que
r
2
1
= (ξ
1
− ξ)
2
+ (η
1
− η)
2
+ (ζ
1
− ζ)
2
(4.21)
r
2
2
= (ξ
2
− ξ)
2
+ (η
2
− η)
2
+ (ζ
2
− ζ)
2
(4.22)
A distˆancia entre as duas massas ´e fixa (´orbitas circulares) e a velocidade angular n (movi-
mento m´edio) ´e fixa em torno do centro de massa, assim ´e interessante trabalharmos com um
sistema girante (x, y, z) no qual as duas massas s˜ao fixas e o sistema gira no sentido anti-hor´ario
(positivo) a uma taxa constante n tendo a mesma origem do sistema inercial. No novo sistema
as duas massas tˆem coordenadas (x
1
, y
1
, z
1
) = (−µ
2
, 0, 0) e (x
2
, y
2
, z
2
) = (µ
1
, 0, 0). Da equac¸˜ao
(4.21) e (4.22) e das definic¸˜oes de µ
1
e µ
2
temos:
r
2
1
= (x + µ
2
)
2
+ y
2
+ z
2
(4.23)
r
2
2
= (x − µ
1
)
2
+ y
2
+ z
2
(4.24)
(x, y, z) s˜ao as coordenadas da part´ıcula no sistema girante.
Atrav´es de matrizes de rotac¸˜ao ´e poss´ıvel relacionar os dois sistemas. No novo sistema as
acelerac¸˜oes podem ser escritas como o gradiente de uma func¸˜ao escalar U:
¨x − 2n ˙y =
∂U
∂x
(4.25)
¨y + 2n ˙x =
∂U
∂y
(4.26)
¨z =
∂U
∂z
(4.27)
em que U = U(x, y, z) ´e dado da forma:
U =
n
2
2
(x
2
+ y
2
) +
µ
1
r
1
+
µ
2
r
2
(4.28)
51
Vamos assumir que todo o movimento est´a confinado no plano x −y e n =1. Das equac¸˜oes
(4.23) e (4.24) e usando o fato que µ
1
+ µ
2
=1, U pode ser escrito da seguinte forma:
U = µ
1
(
1
r
1
+
r
2
1
2
) + µ
2
(
1
r
2
+
r
2
2
2
) −
1
2
µ
1
µ
2
(4.29)
Para determinar as localizac¸˜oes dos pontos de equil´ıbrio devemos resolver as equac¸˜oes:
∂U
∂x
= 0 (4.30)
∂U
∂y
= 0 (4.31)
usando U = U(r
1
, r
2
) dada em (4.29). Ap´os a resoluc¸˜ao das derivadas parcias obt´em-se que
r
1
= r
2
= 1 no sistema de unidades considerado. Das equac¸˜oes (4.23) e (4.24), obt´em-se:
x =
1
2
− µ
2
(4.32)
y = ±
√
3
2
(4.33)
Temos que r
1
= r
2
= 1, logo cada um desses pontos denifidos pelas equac¸˜oes formam um
triˆangulo equil´atero com massas µ
1
e µ
2
, sendo chamados de pontos de equil´ıbrio Lagrangianos
triangulares (L
4
e L
5
). Para y = 0 outra soluc¸˜ao ´e obtida implicando que os pontos de equil´ıbrio
est˜ao dispostos no eixo x, estes s˜ao chamados pontos de equil´ıbrio lagrangianos colineares (L
1
,
L
2
e L
3
).
Al´em da determinac¸˜ao da quantidade de pontos de equil´ıbrio existentes em um sistema,
tamb´em ´e importante determinar a estabilidade dos mesmos. A verificac¸˜ao da estabilidade
dos pontos ´e feita analisando o movimento de uma part´ıcula considerando um pequeno deslo-
camento de um ponto de equil´ıbrio, atrav´es da linearizac¸˜ao das equac¸˜oes do movimento. A
soluc¸˜ao geral das componentes dos vetores velocidade e posic¸˜ao relativos ao ponto de equil´ıbrio
envolvem uma combinac¸˜ao linear de termos da forma e
λ
j
t
, sendo λ um autovalor complexo.
Para os pontos triangulares os autovalores s˜ao puramente imagin´arios o que resulta num movi-
mento da part´ıcula oscilat´orio, ela permanece na vizinhanc¸a do ponto de equil´ıbrio e o movi-
mento ´e est´avel para µ
2
≤ 0,0385 (Murray e Dermott, 1999). Para os pontos colineares os au-
tovalores tem parte real e parte imagin´aria, assim h´a um crescimento exponencial nas vari´aveis
X, Y,
˙
X e
˙
Y (X, Y denotam os pequenos deslocamentos)resultando num movimentodapart´ıcula
se afastando do ponto de equil´ıbrio e no ponto ser linearmente inst´avel.
52
Um esquema mostrando a localizac¸˜ao dos pontos de equil´ıbrio ´e mostrado na figura (4.1)
em que L
4
e L
5
s˜ao pontos de equil´ıbrio est´aveis e L
1
, L
2
e L
3
pontos de equil´ıbrio inst´aveis.
Figura 4.1: Localizac¸˜ao dos pontos de equil´ıbrio lagrangianos, L
1
, L
2
, L
3
, L
4
e L
5
em relac¸˜ao
as massas µ
1
e µ
2
.
Uma ´orbita ´e chamada de girino devido ao seu formato alongado ao redor dos pontos de
equil´ıbrio est´aveis L
4
e L
5
, e chamada de ferradura quando engloba os pontos L
3
, L
4
e L
5
.
Esses formatos s˜ao vis´ıveis em um sistema rotacional. Em um sistema rotacional a part´ıcula
libra em torno de 60
◦
ou 300
◦
(´orbita girino) ou em torno de 180
◦
(´orbita ferradura).
A largura da regi˜ao de ´orbitas de ferradura depende da raz˜ao de massa entre as massas do
sat´elite e do planeta (µ) e do semi-eixo maior do sat´elite (a
sat
). Dermott e Murray (1981a)
fornecem a largura radial da regi˜ao de ferradura dada pela equac¸˜ao:
δ
r
≈ 0, 5µ
1/3
a
sat
(4.34)
Nix e Hidra possuem ´orbitas excˆentricas, utilizando a equac¸˜ao (4.34) podemos calcular uma
aproximac¸˜ao para a largura da regi˜ao de ferradura desses corpos. Assim obtemos:
W
hs(Nix)
= 1.680km (4.35)
W
hs(Hidra)
= 1.826km (4.36)
Os limites para a regi˜ao coorbital s˜ao a
sat
± δr.
53
4.3 Resultados
4.3.1
´
Orbitas pr
´
ogradas
Nosso sistema ´e formado por 5 corpos: Plut˜ao (corpo central), Caronte, Nix e Hidra (cor-
pos massivos) e part´ıcula-teste. Realizamos as integrac¸˜oes num´ericas utilizando o integrador
Bulirsch-Stoer (Chambers, 1999). A distˆancia Plut˜ao-Caronte d foi tomada como unidade de
distˆancia, o plano orbital dos prim´arios foi considerado o plano de referˆencia e a linha que os
conecta em t = 0 define um eixo de referˆencia x. A raz˜ao de massa adotada
µ = m
2
/(m
1
+m
2
)=0,1166 (Tholen et al., 2008), sendo m
1
a massa de Plut˜ao e m
2
a massa
de Caronte. As condic¸˜oes iniciais de Plut˜ao, Caronte, Nix e Hidra foram extra´ıdas das tabelas
(3.1) e (3.2). Variamos os elementos orbitais iniciais das part´ıculas testes da seguinte maneira:
• o semi-eixo maior a, medido em relac¸˜ao ao baricentro do sistema, assumiu valores de
∼2d (40.000 km) a ∼5d (100.000 km), com passo ∆a=0,005d, em que d = 19.570,3 km;
• a excentricidade e assumiu valores de 0,0 a 0,20 com passo ∆e = 0,05;
• assumimos que a linha dos nodos do plano orbital das part´ıculas teste coincide com o eixo
x no tempo t = 0, logo Ω = 0
◦
;
• valores de ω foram escolhidos aleatoriamente entre 0
◦
e 360
◦
, f = 0
◦
(anomalia ver-
dadeira);
• I = 0
◦
em relac¸˜ao ao plano orbital de Plut˜ao-Caronte.
O sistemaformadopor Plut˜ao, Caronte, Nix, Hidra e part´ıculas foi integradonumericamente
por um per´ıodo de ∼10
5
per´ıodos do bin´ario (T
P −C
), ou 650.000 dias, com sa´ıda a cada 10.000
dias. No total foram integradas numericamente 303.505 part´ıculas. A distˆancia de ejec¸˜ao ado-
tada foi 10d ou ∼200.000 km de Plut˜ao, quando a distˆancia da part´ıcula a Plut˜ao ´e maior que
esse valor uma ejec¸˜ao ´e detectada. Quando a distˆancia entre a part´ıcula e um sat´elite ou entre
a part´ıcula e o corpo central ´e menor que o raio desses corpos, uma colis˜ao ´e detectada. No
caso de colis˜ao e ejec¸˜ao a part´ıcula ´e removida do sistema e as coordenadas de posic¸˜ao e ve-
locidade s˜ao armazenadas. Os elementos orbitais acima referem-se a um sistema de referˆencia
baricˆentrico, em que a massa do baricentro ´e dada pela massa de Plut˜ao somada a massa de
Caronte (m
P
+ m
C
).
54
Realizamos integrac¸˜oes num´ericas com a de 40.000 km a 100.000 km, pois resultados ante-
riores (Stern et al., 1994 e Nagy et al., 2006) mostraram que interac¸˜oes dinˆamicas com Caronte
tornam as ´orbitas das part´ıculas com a <42.000 km inst´aveis. Al´em disso, o nosso objetivo ´e
analisar as regi˜oes de ´orbitas est´aveis externas, pr´oximas a Nix e Hidra. Optamos por obter
aleatoriamente um conjunto de 101 valores para o argumento do pericentro das part´ıculas teste,
de modo que ficasse mais clara a visualizac¸˜ao dos efeitos sofridos quando elas estivessem lo-
calizadas pr´oximas ou nas posic¸˜oes de ressonˆancia. Logo, para cada valor de a e e t´ınhamos um
pequeno conjunto de part´ıculas.
Como dissemos anteriormente, no pacote Mercury a integrac¸˜ao num´erica ´e realizada em
relac¸˜ao a um referencial plutocˆentrico, portanto atrav´es de um programa escrito em linguagem
C, transformamos os elementos orbitais das part´ıculas em um referencial baricˆentrico para co-
ordenadas de posic¸˜ao e velocidade no mesmo referencial. A seguir as coordenadas de posic¸˜ao
e velocidade foram transladadas do referencial baricˆentrico para um referencial plutocˆentrico.
Uma lista com estas coordenadas de posic¸˜ao e velocidade foi criada no arquivo small.in do
pacote Mercury. Ap´os realizadas as integrac¸˜oes num´ericas, transformamos as coordenadas de
posic¸˜ao e velocidade das part´ıculase de Nix e Hidra dos arquivosde sa´ıdaem elementos orbitais
em relac¸˜ao ao baricentro.
A figura (4.2) apresenta o semi-eixo maior em func¸˜ao da excentricidade para todas as
part´ıculas no tempo inicial (t = 0). Part´ıculas com semi-eixo maior inicial entre 40.000 km
e 60.000 km est˜ao em vermelho, entre 60.000 km e 80.000 km est˜ao em verde e entre 80.000 km
e 100.000 km est˜ao em azul.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
2x10
4
3x10
4
4x10
4
5x10
4
6x10
4
7x10
4
8x10
4
9x10
4
1x10
5
excentricidade
semi-eixo maior (km)
Figura 4.2: Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao da excentricidade para o conjunto de part´ıculas
no tempo inicial t=0. Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em 49.240 km
e 65.210 km, respectivamente.
55
A seguir apresentamos as grades (a-e) obtidas para ∼10
3
T
P −C
(figura 4.3), ∼10
4
T
P −C
(figura 4.4) e ∼10
5
T
P −C
(figura 4.5).
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
4x10
4
5x10
4
6x10
4
7x10
4
8x10
4
9x10
4
1x10
5
6:5
5:4
3:2
2:1
5:2
excentricidade
semi-eixo maior (km)
3:2
5:4
6:5
2:3
6:7
8:5
9:7
8:7
9:8
7:5
11:8
10:7
4:5
5:6
7:6
4:3
Figura 4.3: Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao da excentricidade por um per´ıodo de ∼10
3
T
P −C
(10.000 dias). Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em 49.240 km e
65.210 km, respectivamente. A localizac¸˜ao aproximada dos semi-eixo maiores ressonantes
entre part´ıcula-sat´elite Nix (parte superior) ou Hidra (parte inferior) s˜ao indicadas por retas
verticais tracejadas. As retas em preto s˜ao uma aproximac¸˜ao do limite da regi˜ao de caos.
Na tabela (4.1) apresentamos as taxas de ejec¸˜ao e colis˜ao entre as part´ıculas e os corpos
massivos.
56
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
4x10
4
5x10
4
6x10
4
7x10
4
8x10
4
9x10
4
1x10
5
6:5
5:4
3:2
2:1
5:2
excentricidade
semi-eixo maior (km)
3:2
5:4
6:5
2:3
6:7
8:5
9:7
8:7
9:8
7:5
11:8
10:7
4:5
5:6
7:6
4:3
Figura 4.4: Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao da excentricidade por um per´ıodo de ∼10
4
T
P −C
(70.000 dias). Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em 49.240 km e
65.210 km, respectivamente. A localizac¸˜ao aproximada dos semi-eixo maiores ressonantes
entre part´ıcula-sat´elite Nix (parte superior) ou Hidra (parte inferior) s˜ao indicadas por retas
verticais tracejadas. As retas em preto s˜ao uma aproximac¸˜ao do limite da regi˜ao de caos.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
4x10
4
5x10
4
6x10
4
7x10
4
8x10
4
9x10
4
1x10
5
6:5
5:4
3:2
2:1
5:2
excentricidade
semi-eixo maior (km)
3:2
5:4
6:5
2:3
6:7
8:5
9:7
8:7
9:8
7:5
11:8
10:7
4:5
5:6
7:6
4:3
Figura 4.5: Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao da excentricidade por um per´ıodo de ∼10
5
T
P −C
(650.000 dias). Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em 49.240 km e
65.210 km, respectivamente. A localizac¸˜ao aproximada dos semi-eixo maiores ressonantes entre
part´ıcula-sat´elite Nix (parte superior) ou Hidra (parte inferior) s˜ao indicadas por retas verticais
tracejadas. As retas em preto s˜ao uma aproximac¸˜ao do limite da regi˜ao de caos.
57
Plut˜ao Caronte Nix Hidra Total
colis˜ao 0,70% 1,07% 7,39% 7,11% 16,27%
ejec¸˜ao - - - - 32,74%
total 49,02%
Tabela 4.1: Taxas de ejec¸˜ao e colis˜ao entre as part´ıculas e os corpos massivos para o tempo final
de integrac¸˜ao, 650.000 dias.
Aproximadamente 51% das part´ıculas “sobreviveram”at´e o tempo final de integrac¸˜ao, sendo
que a maior parte das part´ıculas que sobreviveram s˜ao indicadas nos gr´aficos por pontos em
azul, ap´os a ´orbita de Hidra, como pode ser verificado pelos valores das taxas de ejec¸˜ao e co-
lis˜ao com os corpos massivos do sistema em func¸˜ao da localizac¸˜ao inicial da part´ıcula na tabela
(4.2). Part´ıculas com semi-eixo maior inicial entre 40.000 km e 60.000 km (em vermelho) con-
stituem o conjunto 1, entre 60.000 km e 80.000 km (em verde) constituem o conjunto 2 e entre
80.000 km e 100.000 km (em azul) constituem o conjunto 3.
conj. 1 conj. 2 conj. 3
colis˜ao-Nix 17,18% colis˜ao-Hidra 15,81% colis˜ao-Hidra 0,84%
colis˜ao-outros corpos 9,17% colis˜ao-outros corpos 5,49% colis˜ao-outros corpos 0,30%
ejec¸˜ao 63,69% ejec¸˜ao 32,67% ejec¸˜ao 1,70%
total 90,03% total 53,97% total 2,85%
Tabela 4.2: Taxas de ejec¸˜ao e colis˜ao entre as part´ıculas e os corpos massivos do sistema de
Plut˜ao para o tempo final de integrac¸˜ao, 650.000 dias.
Nas grades (a-e) ´e poss´ıvel ver os efeitos de Nix e e Hidra nas part´ıculas. Os sat´elites
“limpam” a regi˜ao em torno deles, permanecendo somente part´ıculas com semi-eixo maior
pr´oximo aos dos sat´elites (“coorbitais”) e com baixas excentricidades. Tamb´em vemos os
efeitos causados nas part´ıculas, aumento das excentricidades, quando estas tem um semi-eixo
maior inicial pr´oximo a uma ressonˆancia p + q : q em que q ´e a ordem da ressonˆancia, dada pela
f´ormula para o corpo interno (Murray e Dermott, 1999):
a = (
p
p + q
)
2/3
a
′
(4.37)
em que a
′
´e o semi-eixo maior do sat´elite, sendo similar para o corpo externo:
58
a = (
p + q
p
)
2/3
a
′
(4.38)
Para calcular as localizac¸˜oes dos semi-eixo maiores ressonantes entre part´ıcula-sat´elite (Nix
e Hidra) escrevemos um programa em C que nos forneceu esses valores utilizando as equac¸˜oes
(4.37) e (4.38) para diferentes valores de q.
Pela an´alise das figuras (4.3), (4.4) e (4.5) vemos que as interac¸˜oes gravitacionais das
part´ıculas-teste com os corpos massivos do sistema podem causar um aumento na excentri-
cidade e no semi-eixo maior destes pequenos corpos. Desta forma, estes corpos podem ser
ejetados, colidir com Plut˜ao ou com os seus sat´elites, ou ainda devido ao tempo de integrac¸˜ao
n˜ao ser suficiente para que umas das duas opc¸˜oes anteriores ocorra, como pode ser verificado
nas figuras (4.3) e (4.4), os pequenos corpos podem ser espalhados pela regi˜ao 1 (interior `a
´orbita de Nix) e 2 (entre as ´orbitas de Nix e Hidra) se movendo em direc¸˜ao a regi˜ao mais ex-
terna do sistema.
Em torno dos sat´elites Nix e Hidra foram identificadas regi˜oes ca´oticas, os limites inferiores
e exteriores dessas regi˜oes s˜ao: a = 45.698 km e a = 52.781 km para Nix, e a = 61.253 km e
a = 69.167 km para Hidra, respectivamente, para e = 0. As regi˜oes de caos aumentam `a medida
que a excentricidade aumenta. Essas regi˜oes tˆem a largura radial calculada atrav´es da equac¸˜ao
(4.39) (Murray e Dermott, 1999).
∆a
sobrep
= 1, 3µ
2/7
a
′
(4.39)
em que a
′
´e o semi-eixo maior do perturbador, µ =
m
m
P
+m
C
, sendo m, m
P
e m
C
as massas de
Nix ou Hidra, Plut˜ao e Caronte, respectivamente. Portanto, ´e esperado que part´ıculas na regi˜ao
entre 2∆a
sobrep
estejam em ´orbitas ca´oticas, tendo encontros pr´oximos com o perturbador e
sendo asim removidas da regi˜ao. Temos,
∆a
sobrep
Nix = 3.541, 5km (4.40)
∆a
sobrep
Hidra = 3.957km (4.41)
portanto, os valores da largura da regi˜ao de caos para Nix e Hidra s˜ao:
W
ch(Nix)
= 7.083km (4.42)
59
W
ch(Hidra)
= 7.914km (4.43)
Para valores de e = 0, calculamos os valores de r
a
(raio orbital no apocentro) e r
p
(raio
orbital no pericentro), estes valores s˜ao representados pelas retas em preto delimitando a regi˜ao
de caos nas figuras (4.3), (4.4) e (4.5). Para e = 0, r = a.
r
a
= a
f
(1 + e) (4.44)
r
p
= a
i
(1 − e); (4.45)
em que a
i
e a
f
s˜ao:
a
i
= a
sat
− ∆a
sobrep
(4.46)
a
f
= a
sat
+ ∆a
sobrep
(4.47)
Os resultados obtidos foram que at´e ∼ 10
5
T
P −C
um conjunto de part´ıculas permaneceu na
regi˜ao entre ∼38.000 km ≤ a ≤ ∼40.800 km com e ≤ 0,1. Part´ıculas tamb´em permaneceram
entre ∼42.300 km a ∼44.400 km, para e ≤ 0,1.
Na vizinhanc¸a de Nix e Hidra permaneceram conjuntos de part´ıculas,
∼48.800 km ≤ a ≤ ∼49.800 km e ∼64.000 km ≤ a ≤ ∼66.200 km, para e ≤ 0,1. Entre
os sat´elites Nix e Hidra, h´a uma regi˜ao de part´ıculas que permaneceram at´e o tempo final de
integrac¸˜ao com a variando entre ∼54.400 km e ∼59.000 km, para e < 0,073. Part´ıculas com
excentricidades maiores que esse limite s˜ao espalhadas devido aos encontros pr´oximos com Nix
ou Hidra.
Part´ıculas cujos semi-eixo maiores est˜ao localizados pr´oximos aos semi-eixo maiores resso-
nantes sofrem um aumento em suas excentricidades, este efeito pode ser facilmente visualizado
para as part´ıculas localizadas pr´oximas a ressonˆancia 3:2 com Hidra.
Na regi˜ao pr´oxima ao limite exterior de caos de Hidra, entre ∼69.700 km e ∼71.800 km, h´a
pequenos intervalos em semi-eixo maior onde part´ıculas permaneceram at´e o final da integrac¸˜ao
para e ≤0,05, estrutura que parece estar relacionada `as ressonˆancias de movimento m´edio entre
part´ıcula teste-Hidra. Para a ≥ 71.800 km h´a uma regi˜ao “est´avel” maior comparada com as
regi˜oes interior a Nix e entre Nix e Hidra, para e = 0. Um n´umero maior de part´ıculas per-
maneceram at´e o per´ıodo final da integrac¸˜ao num´erica `a medida que o seus semi-eixo maiores
60
aumentavam, pois as perturbac¸˜oes gravitacionais causadas pelos corpos massivos do sistema
passavam a ser menores.
Nas figuras apresentadas pode-se ver o efeitos gravitacionais causados pelos sat´elites Nix e
Hidra nas part´ıculas. Nagy et al. (2006) mostraram que entre as ´orbitas de Nix e Hidra haveria
uma regi˜ao est´avel com excentricidade m´axima entre 0,17 e 0,31, dependo do valor do semi-
eixo maior. Como esperado nossos resultados mostraram que as regi˜oes onde as part´ıculas teste
permaneceram ap´os o per´ıodo de integrac¸˜ao ´e bem menor do que as apresentadas por Nagy
et al. (2006). Al´em disso, nossos resultados mostraram que o tempo de vida da part´ıcula est´a
fortemente ligado `a sua excentricidade inicial, part´ıculas com excentricidade inicial maior que
0,05 s˜ao espalhadas principalmente nas regi˜oes 1 e 2 em escalas de tempo menor, ∼10
3
T
P −C
.
A diferenc¸a fundamental entre os dois estudos ´e o n´umero de corpos utilizados nas integrac¸˜oes
num´ericas, 5 corpos sendo 4 corpos massivos e part´ıcula (este estudo) e 3 corpos sendo 2 corpos
massivos e part´ıcula (Nagy et al., 2006).
Stern et al. (1994) mostrou que para o caso planar entre aproximadamente 35.280 km e
47.040 km havia intervalos de ´orbitas est´aveis e inst´aveis para um per´ıodo de integrac¸˜ao de
10
5
T
P −C
, e que ap´os 47.040 km a regi˜ao era est´avel, para e = 0. Mostramos que part´ıculas
permaneceram at´e o tempo final de integrac¸˜ao entre ∼38.000 km ≤ a ≤ ∼40.800km e entre
∼42.300 km ≤ a ≤ ∼44500 km para e ≤ 0,05. Esses intervalos em semi-eixo maior obtidos
est˜ao dentro do fornecido por Stern et al. (1994), por´em ele n˜ao se estende at´e 47.040 km, pois
como foi discutido anteriormente part´ıculas com semi-eixo maior inicial > 45.698km est˜ao
dentro do limite interior da regi˜ao de caos de Nix, permanecendo somente part´ıculas coorbitais
com este sat´elite para o per´ıodo de ∼10
5
T
P −C
. A diferenc¸a fundamental entre os dois estudos
tamb´em ´e o n´umero de corpos utilizados nas integrac¸˜oes num´ericas, 3 corpos sendo 2 corpos
massivos e part´ıcula em Stern et al. (1994).
Em nossos gr´aficos tamb´em ´e poss´ıvel notar que na regi˜ao pr´oxima de Nix ocorre uma
“limpeza” das part´ıculas em escala de tempo menor do que na regi˜ao pr´oxima de Hidra. Favore-
cem esse acontecimento o fato de Nix ser mais massivo (88 km de diˆametro e 5,8 ×10
17
kg de
massa) do que Hidra (72 km de diˆametro e 3,2 ×10
17
kg de massa) e o per´ıodo de Nix ser menor
(25,49 dias) do que o de Hidra (38,85 dias). Al´em disso, na regi˜ao 1 os efeitos gravitacionais
causados por Nix nas part´ıculas faz com que suas excentricidades e semi-eixo maiores au-
mentem empurrando-as em `a direc¸˜ao a regi˜ao externa e consequentemente em direc¸˜ao `a Hidra.
A regi˜ao vizinha de Hidra recebe part´ıculas da regi˜ao 1 e part´ıculas que estavam inicialmente
61
entre os dois sat´elites (regi˜ao 2).
4.3.2 Part
´
ıculas coorbitais
Considerando-se o problema de 3 corpos formado por baricentro, sat´elites Nix ou Hidra e
part´ıcula, os limites interiores e exteriores da regi˜ao coorbital para o sat´elite Nix est˜ao em a =
48.400 km e a = 50.080 km, respectivamente, e para o sat´elite Hidra em
a = 64.297 km e a = 66.123 km, respectivamente. Vimos na figura (4.5) que permaneceram
part´ıculas de ∼48.800 km ≤a≤ ∼49.800 km e ∼64.000 km ≤ a ≤ ∼66.200 km, para e ≤ 0,1.
Logo, conclu´ımos que nossos resultados s˜ao pr´oximos da largura de ferradura derivada para um
sistema de 3 corpos.
A an´alise da localizac¸˜ao das part´ıculas atrav´es de grades (a-e) n˜ao informa o tipo de ´orbita
das “sobreviventes”. O ˆangulo de librac¸˜ao (θ) da part´ıcula foi obtido calculando o ˆangulo
relativo entre uma linha que une a part´ıcula ao corpo central (baricentro do sistema) e uma
linha que une o corpo central ao sat´elite (Nix ou Hidra).
Selecionamos part´ıculas que permaneceram na regi˜ao de ferradura at´e o tempo final de
integrac¸˜ao e calculamos os seus respectivos ˆangulos de librac¸˜ao. Apresentamos nas figuras
(4.6) a (4.11) o ˆangulo de librac¸˜ao das part´ıculas em func¸˜ao do tempo por um per´ıodo de 100
dias.
180
210
240
270
300
330
360
0 20 40 60 80 100
θ (graus)
tempo (dias)
Figura 4.6: Part´ıcula com semi-eixo maior inicial igual a 49.100 km, θ apresenta uma variac¸˜ao
de aproximadamente 155
◦
.
62
0
30
60
90
120
150
180
0 20 40 60 80 100
θ (graus)
tempo (dias)
Figura 4.7: Part´ıcula com semi-eixo maior inicial igual a 49.200 km, θ apresenta uma variac¸˜ao
de aproximadamente 153
◦
.
0
30
60
90
120
150
180
0 20 40 60 80 100
θ (graus)
tempo (dias)
Figura 4.8: Part´ıcula com semi-eixo maior inicial igual a 49.300 km, θ apresenta uma variac¸˜ao
de aproximadamente 155
◦
.
210
240
270
300
330
360
0 20 40 60 80 100
θ (graus)
tempo (dias)
Figura 4.9: Part´ıcula com semi-eixo maior inicial igual a 65.100 km, θ apresenta uma variac¸˜ao
de aproximadamente 134
◦
.
63
210
240
270
300
330
360
0 20 40 60 80 100
θ (graus)
tempo (dias)
Figura 4.10: Part´ıcula com semi-eixo maior inicial igual a 65.200 km, θ apresenta uma variac¸˜ao
de aproximadamente 140
◦
.
0
30
60
90
120
150
180
0 20 40 60 80 100
θ (graus)
tempo (dias)
Figura 4.11: Part´ıcula com semi-eixo maior inicial igual a 65.300 km, θ apresenta uma variac¸˜ao
de aproximadamente 153
◦
.
Vimos que as part´ıculas selecionadas na regi˜ao de ferradura de Nix ou de Hidra apresen-
taram o ˆangulo θ librando em torno de 60
◦
ou 300
◦
com grandes amplitudes.
64
4.3.3
´
Orbitas retr
´
ogradas
Simulamos numericamente um sistema formado por 5 corpos: Plut˜ao (corpo central),
Caronte, Nix e Hidra (corpos massivos) e part´ıcula-teste. Realizamos as integrac¸˜oes num´ericas
utilizando o mesmo integrador e programas de convers˜ao em C utilizados para as ´orbitas
pr´ogradas.
A distˆancia Plut˜ao-Caronte d foi tomada como unidade de distˆancia, o plano orbital dos
prim´arios foi considerado o plano de referˆencia e a linha que os conecta em t=0 define um
eixo de referˆencia x. A raz˜ao de massa adotada e as condic¸˜oes iniciais de Plut˜ao, Caronte,
Nix e Hidra tamb´em s˜ao iguais as utilizadas nas simulac¸˜oes num´ericas de part´ıculas em ´orbitas
pr´ogradas. Variamos os elementos orbitais iniciais das part´ıculas-teste da seguinte maneira:
• o semi-eixo maior a, medido em relac¸˜ao ao baricentro do sistema, assumiu valores de
∼1,3d (25.000 km) a ∼5d (100.000 km), com passo ∆a = 0,005d, d = 19.570,3 km;
• a excentricidade e assumiu valores de 0,0 a 0,20 com passo ∆e = 0,05;
• assumimos que a linha dos nodos do plano orbital das part´ıculas-teste coincidem com o
eixo x no tempo t = 0, logo Ω = 0
◦
. Adotamos f = 0
◦
(anomalia verdadeira);
• ω assumiu os valores 0
◦
, 45
◦
, 90
◦
, 135
◦
, 180
◦
, 225
◦
, 270
◦
e 315
◦
.
• I = 180
◦
em relac¸˜ao ao plano orbital de Plut˜ao-Caronte.
A figura (4.12) apresenta o semi-eixo maior em func¸˜ao da excentricidade para todas as
part´ıculas no tempo inicial (t = 0).
O sistemaformadopor Plut˜ao, Caronte, Nix, Hidra e part´ıculas foi integradonumericamente
por um per´ıodo de ∼10
5
per´ıodos do bin´ario (T
P −C
), ou 650.000 dias, com sa´ıda a cada 10.000
dias. No total foram integradas numericamente 30.040 part´ıculas. A distˆancia de ejec¸˜ao adotada
foi 10d ou ∼200.000 km de Plut˜ao. Os elementos orbitais acima referem-se a um sistema de
referˆencia baricˆentrico, em que a massa do baricentro ´e dada por m
P
+ m
C
.
Apresentamos os diagramas semi-eixo maior em func¸˜ao da excentricidade (a-e) para trˆes
per´ıodos de tempo, ∼10
3
T
P −C
(10.000 dias) na figura (4.13), ∼10
4
T
P −C
(70.000 dias) na figura
a (4.14) e ∼10
5
T
P −C
(650.000 dias) na figura (4.15).
65
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
2x10
4
3x10
4
4x10
4
5x10
4
6x10
4
7x10
4
8x10
4
9x10
4
1x10
5
excentricidade
semi-eixo maior (km)
Figura 4.12: Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao da excentricidade para o conjunto de part´ıculas
no tempo inicial t=0. Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em 49.240 km
e 65.210 km, respectivamente.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
2x10
4
3x10
4
4x10
4
5x10
4
6x10
4
7x10
4
8x10
4
9x10
4
1x10
5
excentricidade
semi-eixo maior (km)
Figura 4.13: Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao da excentricidade para um per´ıodo de ∼10
3
T
P −C
(10.000 dias). Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em 49.240 km e
65.210km, respectivamente. As retas cont´ınuas s˜ao uma aproximac¸˜ao dos limites das regi˜oes
colisionais.
O valores aproximados dos limites das regi˜oes colisionais foram calculados atrav´es da
equac¸˜ao que fornece o valor do raio do pericentro (equac¸˜ao 4.48) e do apocentro (equac¸˜ao
4.49), em que a = a
sat
,
r
p
= a(1 − e) (4.48)
r
a
= a(1 + e) (4.49)
66
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
2x10
4
3x10
4
4x10
4
5x10
4
6x10
4
7x10
4
8x10
4
9x10
4
1x10
5
excentricidade
semi-eixo maior (km)
Figura 4.14: Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao da excentricidade para um per´ıodo de ∼10
4
T
P −C
(70.000 dias). Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em 49.240 km e
65.210km, respectivamente. As retas cont´ınuas s˜ao uma aproximac¸˜ao dos limites das regi˜oes
colisionais.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
2x10
4
3x10
4
4x10
4
5x10
4
6x10
4
7x10
4
8x10
4
9x10
4
1x10
5
excentricidade
semi-eixo maior (km)
Figura 4.15: Semi-eixo maior (km) em func¸˜ao da excentricidade para um per´ıodo de ∼10
5
T
P −C
(650.000 dias). Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadrados pretos em 49.240 km e
65.210km, respectivamente. As retas cont´ınuas s˜ao uma aproximac¸˜ao dos limites das regi˜oes
colisionais.
Nossos resultados (figuras de (4.13) a (4.15)) mostram que a regi˜ao de ´orbitas est´aveis ´e
maior quando comparada com part´ıculas em ´orbitas pr´ogradas. Part´ıculas pr´oximas as ´orbitas
67
de Nix e Hidra (dentro das linhas que delimitam a regi˜ao colisional) podem colidir com um dos
sat´elites ou serem ejetadas, pois elas cruzam a ´orbita desses corpos resultando em uma regi˜ao
menos densa.
At´e o tempo final de integrac¸˜ao part´ıculas permaneceram na regi˜ao interna `a ´orbita de Nix
de 25.600 km at´e pr´oximo ao limite interno da regi˜ao colisional de Nix, por´em sofreram um
aumento em suas excentricidades alcanc¸ando valores de at´e 0,25. Part´ıculas em ´orbitas est´aveis
pemaneceram na regi˜ao entre os limites das regi˜oes colisionais (de 49.240 km a 65.210 km)
quando e = 0 delimitada pelas retas inclinadas em preto nos gr´aficos, para excentricidades
menores que 0,14, conforme obtido analiticamente pelas equac¸˜oes dos raios do pericentro e
do apocentro.
Al´em da ´orbita de Hidra a regi˜ao “est´avel” ´e maior do que a obtida para part´ıculas em
´orbitas pr´ogradas. Part´ıculas com semi-eixo maiores iniciais maiores ou iguais a 66.500 km em
´orbitas circulares n˜ao foram ejetadas e n˜ao colidiram com os corpos massivos. Part´ıculas com
excentricidades maiores faz com que a borda interna da regi˜ao em que part´ıculas n˜ao colidem
ou n˜ao s˜ao ejetadas se afaste de Hidra, por exemplo, para e = 0,20, o valor em semi-eixo maior
em que as part´ıculas permaneceram at´e ∼10
5
T
P −C
´e em a = 81.500 km.
Stern et al. (1994) determinou que o in´ıcio da regi˜ao est´avel ´e em 31.360 km para e = 0,
enquanto que Nagy et al. (2006) para 0 e 0,20 encontrou o valor de 33.320 km, sendo
que para part´ıculas em ´orbitas retr´ogradas a estabilidade n˜ao dependia de e. Em nosso estudo
vemos que a excentricidade da part´ıcula ´e importante, pois entre as ´orbitas de Nix e Hidra
somente permaneceram part´ıculas cujas excentricidades eram menores do que o valor obtido
analiticamente de 0,14.
A seguir apresentamos na tabela (4.3) as taxas de colis˜ao e ejec¸˜ao das part´ıculas para o
tempo final de integrac¸˜ao.
Plut˜ao Caronte Nix Hidra Total
Colis˜ao 0,01% 0,37% 11,73% 11,39% 23,50%
Ejec¸˜ao - - - - 2,09%
Total 25,58%
Tabela 4.3: Taxas de ejec¸˜ao e colis˜ao entre as part´ıculas e os corpos massivos para o tempo final
de integrac¸˜ao, 650.000 dias.
A taxa total de colis˜oes e ejec¸˜oes para I = 180
◦
´e menor do que para I = 0
◦
, aproximada-
68
mente 26% e aproximadamente 49%, respectivamente. Por´em para ´orbitas retr´ogradas a taxa
de colis˜ao com Nix e Hidra ´e maior do que a taxa de ejec¸˜ao. A taxa de colis˜ao com Nix e com
Hidra s˜ao praticamente iguais para I = 180
◦
, aproximadamente 12% das part´ıculas colidiram
com cada um dos sat´elites, mesmo fato ocorreu com part´ıculas em ´orbitas pr´ogradas, sendo que
aproximadamente 8% das part´ıculas colidiram com cada um dos sat´elites.
No pr´oximo cap´ıtulo apresentamos os resultados de uma an´alise feita na evoluc¸˜ao orbital de
Nix e Hidra ap´os inserc¸˜ao de sat´elites hipot´eticos com massa no sistema.
69
Cap
´
ıtulo 5
Evoluc¸
˜
ao orbital de Nix e Hidra ap
´
os a
inserc¸
˜
ao de sat
´
elites hipot
´
eticos no sistema
5.1 Introduc¸
˜
ao
Ap´os a descoberta dos sat´elites Nix e Hidra surgiram quest˜oes sobre a possibilidade da
existˆencia de outros sat´elites no sistema de Plut˜ao, aumentando assim o interesse em observar
esse sistema. An´alises de imagens obtidas com telesc´opios foram realizadas durante os ´ultimos
anos e foram fornecidos limites com relac¸˜ao a posic¸˜ao e tamanho desses poss´ıveis “novos”
sat´elites.
Um dos trabalhos mais recentes com o objetivo de detectar novos sat´elites foi realizado
por Steffl et al. (2006). Com as imagens obtidas pelo Telesc´opio Espacial Hubble em 15 e
18 de maio de 2005 era poss´ıvel detectar sat´elites considerando-os esf´ericos com tamanhos
espec´ıficos em (km) apresentados na tabela (5.1). A tabela fornecida por Steffl et al. (2006)
relaciona a distˆancia para novos sat´elites de Plut˜ao e seus diˆametros para dois valores distintos
de albedo, um albedo como o de Caronte e um albedo como o de um n´ucleo comet´ario. Segundo
Steffl et al. (2006) a existˆencia de um sat´elite com diˆametro maior que 49,4 km na regi˜ao entre
23.000 km e 69.000 km de distˆancia projetada de Plut˜ao ´e descartada com 90% de confianc¸a,
assumindo um albedo de 0,04.
70
Distˆancia projetada de Plut˜ao (km) 6.900-23.000 23.000-69.000 69.000-110.000 >110.000
Diˆametro m´aximo (km) (ρ
v
=0,38) 37 16,0 11,7 9,3
Diˆametro m´aximo (km) (ρ
v
=0,04) 115 49,4 36,1 28,6
Tabela 5.1: Limites para sat´elites adicionais com 90% de confianc¸a considerando um albedo
como o de Caronte (0,38) e um albedo compar´avel a um n´ucleo comet´ario (0,04). Adaptado de
Steffl et al. (2006).
5.2 Resultados
Localizados nas regi˜oes 1, 2 e 3, nosso objetivo ´e verificar qu˜ao massivopode ser um sat´elite
que induz um acr´escimo de no m´aximo O(10
−3
) nos limites superiores das excentricidades de
Nix e Hydra. Para o sistema formado por 4-corpos, Plut˜ao, Caronte, Nix e Hidra, para o per´ıodo
de ∼10
5
T
P −C
obtivemos que a excentricidade de Nix varia no intervalo [0,000118; 0,026649]
e de Hydra no intervalo [0,000038; 0,017445].
Nesse conjunto de simulac¸˜oes num´ericas inserimos sat´elites com diferentes massas em
diferentes posic¸˜oes. Os sat´elites hipot´eticos estavam inicialmente em ´orbitas circulares ao redor
do baricentro do sistema e no mesmo plano dos prim´arios. Foram variados 2 parˆametros em
cada simulac¸˜ao num´erica: o semi-eixo maior do sat´elite e seu raio com ∆r = 1 km. Os sat´elites
s˜ao assumidos esf´ericos, com densidade igual a de Caronte, NixeHidra(d=1,63gcm
−3
) (Tholen
et al., 2008). Em cada simulac¸˜ao t´ınhamos os 4-corpos do sistema de Plut˜ao mais um sat´elite
hipot´etico, todos os sat´elites foram inseridos no arquivo big.in do Pacote Mercury.
Estudamos a regi˜ao localizada entre 40.000 km e 100.000 km com passo ∆a = 100 km. A
linha que os conecta os prim´arios em t = 0 define um eixo de referˆencia x, assumimos que a
linha dos nodos do plano orbital dos sat´elites hipot´eticos coincidem com o eixo x no tempo
t = 0, logo Ω = 0
◦
. Inicialmente ω = 0
◦
, f = 0
◦
. A inclinac¸˜ao adotada foi I = 0
◦
em relac¸˜ao ao
plano orbital de Plut˜ao-Caronte. As condic¸˜oes iniciais de Plut˜ao, Caronte, Nix e Hidra foram
extra´ıdas das tabelas (3.1) e (3.2).
As simulac¸˜oes num´ericas foram realizadas por per´ıodos ∼10
5
T
P −C
(650.000 dias). Ap´os
cada simulac¸˜ao num´erica os valores das excentricidades de Nix e Hidra foram verificados, e
caso a inserc¸˜ao do sat´elite fizesse com que a excentricidade de Nix assumisse valores maiores
ou iguais a 0,028 e de Hidra assumisse valores maiores ou iguais a 0,019, o sat´elite hipot´etico
daquele tamanho e naquela posic¸˜ao era descartado. Desta maneira, estamos determinando quais
tamanhos de sat´elites provocam uma variac¸˜ao nas excentricidades de Nix e Hidra de ordem
71
maior que 10
−3
do valor nominal.
Na figura (5.1) apresentamos o limite superior em raio de um sat´elite hipot´etico em func¸˜ao
de seu semi-eixo maior inicial, que causa somente uma variac¸˜ao negligenci´avel nos limites
superiores das excentricidades de Nix e Hidra. Nix e Hidra s˜ao indicados por pequenos quadra-
dos em vermelho. A localizac¸˜ao aproximada dos semi-eixo maiores ressonantes entre sat´elite
hipot´etico-Nix (parte superior) ou sat´elite hipot´etico-Hidra (parte inferior) s˜ao indicadas por
retas verticais tracejadas.
0
10
20
30
40
50
4x10
4
5x10
4
6x10
4
7x10
4
8x10
4
9x10
4
1x10
5
6:5
5:4
3:2
2:1
5:2
Raio (km)
semi-eixo maior (km)
3:2
5:4
6:5
2:3
6:7
8:5
9:7
8:7
9:8
7:5
11:8
10:7
4:5
5:6
7:6
4:3
Figura 5.1: Limite superior em raio (km) de um sat´elite hipot´etico em ´orbita ao redor do
baricentro do sistema, como func¸˜ao de seu semi-eixo maior inicial, que causa somente uma
variac¸˜ao negligenci´avel nos limites superiores das excentricidades de Nix e Hidra da O (10
−3
).
Nix e Hidra s˜ao indiciados por pequenos quadrados em vermelho. A localizac¸˜ao aproximada
dos semi-eixo maiores ressonantes entre sat´elite hipot´etico-Nix (parte superior) ou sat´elite
hipot´etico-Hidra (parte inferior) s˜ao indicadas por retas verticais tracejadas.
Na figura (5.1) apresentamos o limite superior em raio para sat´elites hipot´eticos que es-
tavam localizados inicialmente em um valor de semi-eixo maior em que todos os sat´elites in-
seridos n˜ao foram ejetados ou colidiram. Em outros valores de semi-eixo maior tivemos casos
que sat´elites que provocavam uma variac¸˜ao consider´avel na excentricidade de Nix e Hidra n˜ao
necessariamente eram os que tinham o maior diˆametro, sendo que nestes casos eles eram ejeta-
dos ou colidiam com os corpos massivos. Assim, estendemos a integrac¸˜ao num´erica de 650.000
dias de uma ordem 10, ou seja, para 6.500.000 dias
Nas figuras (5.2) e (5.3) apresentamos dois gr´aficos que mostram o raio do sat´elite pelo
tempo de colis˜ao ou ejec¸˜ao. Os sat´elites localizados inicialmente em a = 42.900 km com raios
72
1 km, 7 km, 9 km, 14 km e 24 km sobreviveram at´e 650.000 dias. Estendendo a integrac¸˜ao
num´erica para 6.500.000 dias eles tamb´em colidiram ou foram ejetados do sistema. Sat´elites
localizados inicialmente em a = 58.800 km com raios 2 km e 9 km tamb´em sobreviveram na
integrac¸˜ao inicial, por´em foram removidos do sistema quando aumentamos o tempo final da
integrac¸˜ao num´erica.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
tempo x (650.000 dias)
raio (km)
Figura 5.2: Raio do sat´elite hipot´etico (km) em func¸˜ao do tempo de colis˜ao ou ejec¸˜ao (x650.000
dias).
Os valores de semi-eixo maior apresentados na figura (5.1) em que todos os sat´elites inseri-
dos pemaneceram no sistema ap´os 650.000 dias est˜ao dentro dos limites das regi˜oes “est´aveis”
fornecidos pela an´alise das grades (a-e) das part´ıculas-teste na figura (4.5).
Atrav´es da an´alise da figura (5.1) vemos que sat´elites com raio at´e 31 km causam somente
uma variac¸˜ao pequena nos limites superiores das excentricidades de Nix e Hidra.
`
A me-
dida que se afastam do baricentro sat´elites com tamanhos maiores s˜ao permitidos, chegando a
50 km de raio para valores de semi-eixo maior inicial igual ou superior a 80.000 km. Sat´elites
hipot´eticos localizados pr´oximos aos semi-eixo maiores ressonantes s˜ao perturbados fazendo
com que somente sat´elites com menores raios possam existir sem violar o limite das excentrici-
dades, como por exemplo, acontece na ressonˆancia 3:2 entre sat´elite hipot´etico-Hidra.
Dos limites fornecidos por Steffl et al. (2006), considerando um albedo compar´avel ao de
um n´ucleo de um cometa (ρ = 0,04) sat´elites com raio at´e 24,7 km poderiam ser visualiza-
73
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
tempo x (650.000 dias)
raio (km)
Figura 5.3: Raio do sat´elite hipot´etico (km) em func¸˜ao do tempo de colis˜ao ou ejec¸˜ao (x650.000
dias).
dos, para um albedo igual ao de Caronte (ρ = 0,38) este limite cai para 8 km na regi˜ao de
23.000 km a 69.000 km de distˆancia projetada de Plut˜ao. Em nossas simulac¸˜oes num´ericas
verificamos que sat´elites menores que esses valores causaram somente uma pequena variac¸˜ao
nas excentricidades de Nix e Hidra. Na regi˜ao al´em de 69.000 km de distˆancia projetada de
Plut˜ao Steffl et al. (2006) forneceu os valores de raios 5,85 km e 18,05 km que correspondem a
albedos iguais a (0,38) e (0,04), respectivamente, como poss´ıveis de serem por eles visualiza-
dos. Verificamos que nessa regi˜ao tamb´em obtivemos que sat´elites com raios menores do que
esses valores causam somente uma pequena variac¸˜ao nas excentricidades de Nix e Hidra.
Sat´elites hipot´eticos localizados pr´oximos a Nix e Hidra para os valores de raio mostrado na
figura (5.1) fazem com que as variac¸˜oes em semi-eixo maior de Nix e Hidra sejam aumentadas.
Neste trabalho analisamos somente a variac¸˜ao causada na excentricidade de Nix e Hidra, por´em
verificamos que ´e necess´aria uma an´alise do vetor posic¸˜ao para obtenc¸˜ao de limites superiores
mais precisos, pois desta maneira a an´alise ter´a como parˆametros de decis˜ao n˜ao somente a
variac¸˜ao da excentricidade, mas tamb´em o efeito causado no semi-eixo maior dos sat´elites de
Plut˜ao. Com essa an´alise ´e poss´ıvel que os limites superiores em raio dos sat´elites hipot´eticos
sejam diminu´ıdos consideravelmente, principalmente na vizinhanc¸a destes corpos.
74
Cap
´
ıtulo 6
Efeitos da Press
˜
ao de Radiac¸
˜
ao Solar
6.1 Introduc¸
˜
ao
Corpos no espac¸o interplanet´ario n˜ao s˜ao apenas atra´ıdos pelo Sol devido a gravitac¸˜ao solar,
mas tamb´em s˜ao repelidos dele devido `a press˜ao de radiac¸˜ao causada pelo momento que os
f´otons solares carregam (Burns et al., 1979).
A existˆencia de um arrasto tangencial em part´ıculas da ordem de m
´
ıcron metros foi
analisado por Robertson em 1937, este arrasto ´e tido como uma forc¸a dissipativa mais efe-
tiva em part´ıculas pequenas (microm´etricas). A forc¸a exercida pelos f´otons (radiac¸˜ao solar) em
uma part´ıcula, quando um feixe de energia incidente ´e interceptado pela part´ıcula, ´e chamada
de press˜ao de radiac¸˜ao solar.
A quantidade de energia por unidade de tempo interceptada por uma part´ıcula que ´e um
absorvedor perfeito, com secc¸˜ao geom´etrica transversal A, localizada em um ponto onde a
densidade do fluxo de radiac¸˜ao ´e S ´e:
∆E = SA (6.1)
As part´ıculas quando atravessadas pelo feixe de radiac¸˜ao absorvem energia e s˜ao submeti-
das a uma transferˆencia de momento linear, ao mesmo tempo elas experimentam uma forc¸a
resultante na direc¸˜ao da fonte de emiss˜ao dada por:
−→
F =
S.A
c
ˆ
S (6.2)
em que c ´e a velocidade da luz no v´acuo,
ˆ
S ´e o versor que une a part´ıcula a fonte de radiac¸˜ao
(no caso o Sol). Esta express˜ao ´e v´alida para uma part´ıcula perfeitamente absorvedora.
75
Burns et al. (1979) derivou uma express˜ao para a forc¸a resultante que ´e a soma das forc¸as
causadas pelo impulso exercido pelo feixe incidente e pela perda de momento em part´ıculas
perfeitamente absorvedoras, estas part´ıculas perdem momento linear, por´em suas massas s˜ao
conservadas. A forc¸a resultante ´e dada por:
−→
F = m
˙
−→
v
∼
=
(
SA
c
)[(1 −
˙r
c
)
ˆ
S −
−→
v
c
] (6.3)
em que m ´e a massa da part´ıcula,
−→
v ´e o vetor velocidade da part´ıcula, ˙r ´e a derivada primeira
do vetor posic¸˜ao em relac¸˜ao ao tempo. A parte da equac¸˜ao (6.3) dependente da velocidade
´e chamada de Arrasto de Poynting-Robertson (P-R) e a parte independente da velocidade ´e
chamada de Press˜ao de Radiac¸˜ao (R-P) por Burns et al. (1979).
A express˜ao da forc¸a de press˜ao de radiac¸˜ao solar ´e generalizada para tamb´em ser apli-
cada para part´ıculas que espalham, absorvem e transmitem luz, quando ´e inserido o coeficiente
Q
pr
. Este coeficiente ´e adimensional e est´a relacionado `as taxas de absorc¸˜ao, espalhamento e
reemiss˜ao de energia pela part´ıcula (Burns et al., 1979), dado pela equac¸˜ao (6.4).
Q
pr
≡ Q
abs
+ Q
esp
(1 −cosα) (6.4)
em que Q
abs
e Q
esp
s˜ao definidos como os coeficientes de absorc¸˜ao e espalhamento da luz
(coeficientes da Teoria de Mie (Mignard, 1984)) e cosα ´e um fator de assimetria.
A express˜ao derivada por Burns et al. (1979) incluindo o Q
pr
´e:
−→
F = m
˙
−→
v
∼
=
(
SA
c
)Q
pr
[(1 −
˙r
c
)
ˆ
S −
−→
v
c
] (6.5)
para Q
pr
= 1 a express˜ao da forc¸a se reduz `a equac¸˜ao (6.3), ou seja, para part´ıculas que s˜ao
perfeitamente absorvedoras.
Os efeitos esperados nos movimentos das part´ıculas s˜ao: sob os efeitos do arrasto de P-R
o semi-eixo maior da part´ıcula decair´a at´e que ocorra uma colis˜ao com o planeta, fazendo com
seu movimento seja espiralado em direc¸˜ao ao planeta; sob os efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao a
excentricidade da part´ıcula oscilar´a.
Quando o Q
pr
´e conhecido a press˜ao de radiac¸˜ao solar pode ser calculada pela equac¸˜ao (6.5),
Burns et al. (1979) fornece um parˆametro (β) que mostra como a ´orbita atual diferencia-se da
´orbita n˜ao perturbada devido `a ac¸˜ao da press˜ao de radiac¸˜ao . Para isto ´e assumido que F
G
e F
r
s˜ao as forc¸as gravitacionais e de radiac¸˜ao que atuam sobre gr˜aos no meio solar, e considera uma
part´ıcula com raio r e densidade ρ localizada a uma distˆancia R do Sol, assim temos que:
76
F
G
= GM
4
3
πr
3
ρ
R
2
(6.6)
F
r
=
Sπr
2
c
Q
pr
=
L
4πR
2
πr
2
c
Q
pr
(6.7)
em que S = L/(4πR
2
) ´e a densidade do fluxo de radiac¸˜ao na distˆancia R, M ´e a massa solar, L ´e
a luminosidade e G ´e a constante gravitacional. As duas forc¸as decaem com o quadrado inverso
da distˆancia ao Sol (R
2
), ent˜ao a raz˜ao F
r
/F
G
depende somente de propriedades da part´ıcula,
esta raz˜ao ´e definida como sendo β.
β =
F
r
F
G
=
3L
16πGMc
Q
pr
ρr
= 5, 7 × 10
−5
Q
pr
ρr
(6.8)
em que ρ e r devem ser dados em unidades cgs .
Um gr´afico do parˆametro β como func¸˜ao do tamanho da part´ıcula para trˆes materiais abun-
dantes (grafite, ferro e basalto) e dois padr˜oes de comparac¸˜ao foi apresentado em Burns et al.
(1979).
6.2 Press
˜
ao de Radiac¸
˜
ao Solar para o caso planetoc
ˆ
entrico
A an´alise das consequˆencias dinˆamicas do Arrasto de Poynting-Robertson em ´orbitas de
part´ıculas planetocˆentricas foi realizada por Burns et al. (1979), neste caso levou-se em conta
o fato de que elas nem sempre est˜ao no mesmo plano orbital do planeta. Considerando este
detalhe a abordagem recorreu `a mecˆanica celeste vetorial. Em termos de vetores da figura (6.1)
temos que
−→
a = aˆa e
−→
b = a(1 − e
2
)
1/2
ˆ
b.
Allan (1962) mostrou que
−→
r =
−→
a ( co sE −e) +
−→
b senE, logo a derivada primeira de
−→
r em
relac¸˜ao ao tempo ´e:
d
−→
r
dt
=
˙
E(−
−→
a s enE +
−→
b cosE) (6.9)
em que E ´e a anomalia excˆentrica. Temos que r = a(1 − cosE) e nt = E - esenE, logo
˙
E = na/r, em que n ´e o movimento m´edio da part´ıcula. Desta maneira, a parte dependente da
velocidade da equac¸˜ao (6.5) pode reescrita substituindo
˙
−→
r (Burns et al. (1979):
−→
F
P −R
= −
SA
c
2
Q
pr
[(ˆr ·
ˆ
S)
ˆ
S −
˙
−→
r ] (6.10)
77
Figura 6.1: C´ırculo unit´ario centrado no planeta. I ´e a inclinac¸˜ao do plano da ´orbita da part´ıcula
em relac¸˜ao ao plano orbital do planeta. Ω, ω, γ, f s˜ao as vari´aveis usuais. ˆa ´e o versor na direc¸˜ao
planeta-pericentro da ´orbita da part´ıcula,
ˆ
b ´e perpendicular a ˆa, ˆc = ˆa ×
ˆ
b e ´e paralelo ao vetor
ˆe
N
. Os versores radial, transversal e normal localizados na part´ıcula com anomalia verdadeira f
s˜ao ˆe
R
, ˆe
T
e ˆe
N
, respectivamente. O movimento solar ´e dado por λ = n
s
t. (Adaptado de Burns
et al., 1979).
Atrav´es da taxa de mudanc¸a da energia da ´orbita de uma part´ıcula circumplanet´aria dada
por
˙
E =
−→
F
P −R
·
˙
−→
r e da variac¸˜ao do elemento orbital a escrita em termos da energia orbital e
do momento angular por unidade de massa, Burns et al. (1979) derivou uma express˜ao (6.11)
que fornece o tempo em anos que uma part´ıcula circumplanet´aria com I = 0
◦
, densidade ρ, raio
r, leva para colidir com o planeta.
τ
P −R
= 9, 3 × 10
6
R
2
ρr/Q
pr
(6.11)
em que ρ e r devem estar em unidades cgs e R ´e a distˆancia heliocˆentrica do planeta ao Sol em
UA.
Al´em da atrac¸˜ao gravitacional exercida pelo planeta uma part´ıcula tamb´em pode sofrer os
efeitos da radiac¸˜ao solar, como dissemos anteriormente. Mignard (1984) fornece a express˜ao
vetorial da press˜ao de radiac¸˜ao solar (equac¸˜ao 6.12), considerando o fluxo solar constante, ou
seja, qualquer pequena variac¸˜ao da distˆancia part´ıcula-Sol ´e neglicenciada, a ´orbita do planeta
´e circular e a sombra do planeta n˜ao ´e considerada.
−→
F =
SA
c
Q
pr
−→
r
sp
r
sp
1 −
−→
r
sp
r
sp
−→
v
p
c
+
−→
v
c
−
−→
v
p
c
+
−→
v
c
(6.12)
em que
−→
v vetor velocidade da part´ıcula em relac¸˜ao ao planeta,
−→
r
sp
´e vetor posic¸˜ao Sol-planeta
78
e r
sp
= |
−→
r
sp
|,
−→
v
p
´e a velocidade orbital do planeta. As duas componentes da press˜ao de radiac¸˜ao
solar agem simultaneamente.
Considerando o sistema de referˆencia com origem no centro do planeta, sendo n
s
constante
assim como o fluxo solar, podemos separar a equac¸˜ao (6.12) em trˆes componentes F
x
, F
y
e F
z
em um sistema cartesiano inercial para uma part´ıcula que tem uma ´orbita ao redor do planeta
com obliquidade (γ), ˆangulo entre o plano Sol-planeta e o plano do equador do planeta como
fornecido em Sfair e Giuliatti Winter (2009).
F
x
=
βGM
s
r
2
sp
[cos(n
s
t) − (
x
s
r
sp
)
2
(
v
xs
c
+
v
x
c
) − (
v
xs
c
+
v
x
c
)] (6.13)
F
y
=
βGM
s
r
2
sp
[cos(γ)sen(n
s
t) − (
y
s
r
sp
)
2
(
v
y s
c
+
v
y
c
) −(
v
y s
c
+
v
y
c
)] (6.14)
F
z
=
βGM
s
r
2
sp
[sen(γ)sen(n
s
t) − (
z
s
r
sp
)
2
(
v
zs
c
+
v
z
c
) − (
v
zs
c
+
v
z
c
)] (6.15)
em que
−→
v
p
= (v
xs
, v
y s
, v
zs
) s˜ao as componentes da velocidade do planeta ao redor do Sol,
−→
v =
(v
x
, v
y
, v
z
) s˜ao as componentes da velocidade da part´ıcula ao redor do planeta,
−→
r
sp
= (x
s
, y
s
, z
s
) s˜ao as componentes do vetor posic¸˜ao Sol-planeta, , G ´e a constante gravita-
cional, M
s
e n
s
s˜ao a massa e o movimento m´edio do Sol.
Separando as equac¸˜oes (6.13), (6.14) e (6.15) nas componentes correspondentes ao Arrasto
de Poynting-Robertson e a Press˜ao de Radiac¸˜ao temos:
F
x
=
βGM
s
r
2
sp
cos(n
s
t) (6.16)
F
y
=
βGM
s
r
2
sp
[cos(γ)sen(n
s
t)] (6.17)
F
z
=
βGM
s
r
2
sp
[sen(γ)sen(n
s
t)] (6.18)
componentes da press˜ao de radiac¸˜ao, e
F
x
=
βGM
s
r
2
sp
[−(
x
s
r
sp
)
2
(
v
xs
c
+
v
x
c
) −(
v
xs
c
+
v
x
c
)] (6.19)
F
y
=
βGM
s
r
2
sp
[−(
y
s
r
sp
)
2
(
v
y s
c
+
v
y
c
) − (
v
y s
c
+
v
y
c
)] (6.20)
79
F
z
=
βGM
s
r
2
sp
[−(
z
s
r
sp
)
2
(
v
zs
c
+
v
z
c
) − (
v
zs
c
+
v
z
c
)] (6.21)
componentes do Arrasto de Poynting-Robertson.
Neste trabalho fizemos uma an´alise preliminar dos efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao solar em
part´ıculas microm´etricas localizadas na regi˜ao externa do sistema de Plut˜ao, nosso objetivo ´e
analisar a evoluc¸˜ao orbital dessas part´ıculas sob o efeito da press˜ao de radiac¸˜ao solar e verificar
se ela ´e importante neste caso, j´a que Plut˜ao est´a distante do Sol a uma distˆancia m´edia de
39.482 UA.
6.3 Resultados
As part´ıculas foram colocadas em ´orbitas no equador de Plut˜ao, o ˆangulo γ entre o plano
Sol-planeta e o equador do planeta ´e 119,61
◦
, por isso a abordagem neste trabalho ´e tridimen-
sional.
Simulamos numericamente um conjunto de part´ıculas localizadas inicialmente na regi˜ao
entre Nix e Hidra, de 50.000 km a 60.000 km de Plut˜ao, em um sistema formado somente por
Plut˜ao e part´ıculas. As part´ıculas estavaminicialmenteem ´orbitas circulares (e = 0) e equatoriais
(I = 0
◦
) ao redor do planeta.
Inicialmente consideramos os efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao e do Arrasto de Poynting-
Robertson isoladamente, no final foram analisados os efeitos das duas componentes nas
part´ıculas. Os tamanhos de raios das part´ıculas escolhidos foram 1µm, 3µm, 5µm e 10 µm.
Para cada um dos tamanhos simulamos um conjunto com 10 part´ıculas com semi-eixo maior
inicial aleatoriamente distribu´ıdo na regi˜ao de 10.000 km. Os outros elementos orbitais s˜ao:
M = 0 e ̟ =0. Esse conjunto de part´ıculas ´e chamado de conjunto 1.
Para realizac¸˜ao das integrac¸˜oes num´ericas utilizamos o Bulirsh-Stoer (Chambers, 1999),
com modificac¸˜oes feitas por D´ecio Mour˜ao e Rafael Sfair, para incluir a press˜ao de radiac¸˜ao
solar descritas nas equac¸˜oes de (6.13) a (6.15). N˜ao foi considerado nenhum valor estimado
para o achatamento de Plut˜ao j´a que este n˜ao ´e conhecido. A integrac¸˜ao foi realizada por um
per´ıodo de 1.000 anos.
Foi assumido que Plut˜ao est´a em ´orbita circular ao redor do Sol, logo n
s
, assim como o
fluxo solar, s˜ao constantes. Os parˆametros de Plut˜ao como o raio e a massa foram extra´ıdos de
Tholen et al. (2008), e o semi-eixo maior em (UA) foi extra´ıdo de Murray e Dermott (1999).
80
Quando a distˆancia entre a part´ıcula e o planeta for menor que o raio do planeta uma colis˜ao ´e
detectada, neste caso a part´ıcula ´e removida do sistema.
Na figura (6.2) apresentamos os resultados das simulac¸˜oes num´ericas para 4 tamanhos de
part´ıculas, com condic¸˜oes iniciais idˆenticas sob os efeitos do Arrasto de Poynting-Robertson.
Essas part´ıculas tˆem seus semi-eixo maiores diminu´ıdos devido `a perda de energia.
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
∆a (km)
tempo (anos)
1 µm
3 µm
5 µm
10 µm
Figura 6.2: Evoluc¸˜ao temporal do semi-eixo maior (km) de part´ıculas com raios 1µm, 3µm,
5µm, 10µm sob os efeitos do Arrasto de Poynting-Robertson. ∆a = 0 corresponde ao semi-
eixo maior inicial da part´ıcula.
Part´ıculas menores apresentam um tempo de decaimento menor. De acordo com a figura
(6.2) part´ıculas com raio igual a 1µm decaem ∼18 km em 500 anos e part´ıculas com raio igual
a 10µm decaem ∼2 km em 500 anos. Com relac¸˜ao a excentricidade, como esperado o Arrasto
de P-R n˜ao altera de maneira significativa sua evoluc¸˜ao temporal, como pode ser visualizado na
figura (6.3), a part´ıcula de 1µm assume o maior valor para excentricidade em e = 0,0014.
Atrav´es da equac¸˜ao (6.11) podemos calcular uma estimativa do tempo de decaimento das
part´ıculas em ´orbita ao redor de Plut˜ao sob o efeito do Arrasto de Poynting-Robertson. Con-
sideramos em nossas simulac¸˜oes num´ericas Q
p−r
=1, ou seja, um material ideal e ρ = 1gcm
−3
.
Temos para part´ıculas de 1µm, 3µ m, 5µm e 10µm de raio, os seguintes tempos estimados
de decaimentos: τ
p−r
= 1,45 × 10
6
anos, τ
p−r
= 4,35 × 10
6
anos, τ
p−r
= 7,25 × 10
6
anos,
τ
p−r
= 1,45 × 10
7
anos, respectivamente.
Uma extrapolac¸˜ao do decaimento mostrado na figura (6.2) mostra que as part´ıculas colidem
com Plut˜ao em 1,47 × 10
6
anos, 2,96 × 10
6
anos, 5,92 × 10
6
anos e 1,47 × 10
7
anos, para
81
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.0012
0.0014
0.0016
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
excentricidade
tempo (anos)
1 µm
3 µm
5 µm
10 µm
Figura 6.3: Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios 1µm, 3µm, 5µm,
10µm sob os efeitos do Arrasto de Poynting-Robertson.
os valores de 1µ m, 3µm, 5µm e 10 µm de raio, respectivamente. Desta maneira, verificamos
que nossos resultados est˜ao de acordo com os valores obtidos atrav´es da equac¸˜ao de Burns et
al. (1979).
As mesmas condic¸˜oes iniciais para as part´ıculas e para Plut˜ao foram utilizadas para verificar
os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao. Na figura (6.4) apresentamos os resultados das simulac¸˜oes
num´ericas para os 4 tamanhos de part´ıculas considerados.
Como esperado o efeito da Press˜ao de radiac¸˜ao ´e menor para part´ıculas maiores, as part´ıculas
de 1µm colidiram com o planeta em no m´aximo 1,77 anos, enquanto que as part´ıculas de 3µm
colidiram com o planeta em no m´aximo 5,32 anos. Part´ıculas de 5µm colidiram com o planeta
em no m´aximo 9 anos. As part´ıculas maiores, com 10µm de raio n˜ao colidiram, embora suas
excentricidades tenham aumentado para valores maiores que 0,90. Com relac¸˜ao ao semi-eixo
maior, como esperado a Press˜ao de radiac¸˜ao n˜ao causa efeitos significativos em sua evoluc¸˜ao
temporal para as part´ıculas que sobreviveram, obtendo no m´aximo uma variac¸˜ao de aproxi-
madamente 215 km durante o per´ıodo integrado, figura (6.5).
A figura (6.6) foi obtida utilizando-se uma maneira apresentada por Hamilton e Krikov
(1996) para obter parˆametros que descrevem a magnitude da perturbac¸˜ao causada pela mar´e
solar (A), pela press˜ao de radiac¸˜ao (C) e pelo achatamento (W), no nosso caso s´o teremos (A) e
(C). A comparac¸˜ao entre a magnitude de cada forc¸a perturbadora ´e feita utilizando parˆametros
82
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 50 100 150 200 250 300
excentricidade
tempo (anos)
1µm
3µm
5µm
10µm
Figura 6.4: Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios 1µm, 3µm, 5µm,
10µm sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao.
58950
59000
59050
59100
59150
59200
0 50 100 150 200 250 300
semi-eixo maior (km)
tempo (anos)
10µm
Figura 6.5: Evoluc¸˜ao temporal do semi-eixo maior (km) de uma part´ıcula de 10µm de raio sob
os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao.
adimensionais que dependem do semi-eixo maior da part´ıcula e tamb´em de propriedades f´ısicas
do gr˜ao de poeira e do planeta.
O parˆametro (A) ´e definido como:
A ≡
3
4
n
s
n
(6.22)
83
em que n ´e o movimento m´edio da part´ıcula e n
s
´e o movimento m´edio do planeta ao redor do
Sol.
A raz˜ao da forc¸a de radiac¸˜ao pela forc¸a gravitacional do planeta em uma ´orbita circular a
uma distˆancia a ´e:
σ =
3
4
Q
pr
F
s
a
2
GMcρr
(6.23)
em que F
s
´e o fluxo solar na distˆancia heliocˆentrica do planeta, r ´e o raio da part´ıcula, ρ ´e a
densidade do material da part´ıcula, GM ´e a constante gravitacional do planeta, c ´e a velocidade
da luz no v´acuo. Utilizando a definic¸˜ao de σ, o parˆametro C ´e dado por:
C ≡
3
2
n
n
s
σ (6.24)
Os parˆametros A e C foram calculados para part´ıculas de poeira de ρ = 1gcm
−3
e raios
iguais a 1µm, 3µm, 5µm e 10µm, apresentados na figura (6.6).
Figura 6.6: Valores dos parˆametros em func¸˜ao da distˆancia em raios do planeta, A (mar´e solar)
e C (press˜ao de radiac¸˜ao).
Como pode ser visto na figura (6.6) a mar´e solar (A) ´e relevante para part´ıculas localizadas
a uma distˆancia maior que 100 raios do planeta (R
p
), enquanto que a press˜ao de radiac¸˜ao ´e rele-
84
vante na regi˜ao em que inserimos as part´ıculas, entre ∼44R
p
e ∼53R
p
, atuando mais fortemente
em part´ıculas menores, conforme verificamos numericamente.
Na figura (6.6) vemos que part´ıculas localizadas mais distantes do planeta sofrem mais os
efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao, ocorrendo o contr´ario para part´ıculas localizadas mais pr´oximas.
Desta maneira, selecionamos um conjunto de 20 part´ıculas de 1µm distribu´ıdas aleatoriamente
de 18R
p
a 40R
p
, ou seja, na regi˜ao al´em da ´orbita de Caronte e interior `a ´orbita de Nix, sendo
que todo o restante das condic¸˜oes iniciais ´e igual as condic¸˜oes iniciais das part´ıculas do conjunto
1.
Ap´os a integrac¸˜ao num´erica era esperado que os efeitos causados pela press˜ao de radiac¸˜ao
nas part´ıculas fosse menor em relac¸˜ao aos efeitos causados nas part´ıculas do conjunto 1, que
estavam mais distantes do planeta, e que o tempo de colis˜ao com o planeta, caso houvesse, fosse
maior do que o tempo de colis˜ao das part´ıculas do conjunto 1. Como resultado obtivemos que
a part´ıcula que demorou mais tempo para colidir com o planeta, levou 2,5 anos.
A figura (6.7) apresenta a distˆancia da part´ıcula ao planeta (R
p
) em func¸˜ao do tempo de
colis˜ao (anos).
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
15 20 25 30 35 40 45 50 55
tempo de colisao (anos)
distancia (raios do planeta)
conjunto 1
conjunto 2
Figura 6.7: Distˆancia da part´ıcula ao planeta (R
p
) em func¸˜ao do tempo de colis˜ao (anos).
Vemos que part´ıculas localizadas mais pr´oximas do planeta demoraram mais tempo para
colidir do que part´ıculas localizadas mais distantes.
Ap´os an´alise das componentes da press˜ao de radiac¸˜ao solar atuando isoladamente vamos
considerar o caso em que as part´ıculas sofrem os efeitos das duas componentes simultanea-
mente.
85
Integramos numericamente part´ıculas de 1µm, 3µm, 5µm e 1 0 µm de raio, com condic¸˜oes
iniciais idˆenticas as das part´ıculas do conjunto 1, ou seja, inicialmente localizadas entre as
´orbitas e Nix e Hidra.
As part´ıculas de 1µm de raio sob os efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao solar colidiram em no
m´aximo 1,77 anos, enquanto que part´ıculas com 3µm de raio colidiram em no m´aximo 5,33
anos. Part´ıculas com 5µm de raio colidiram em no m´aximo 9 anos. Na figura (6.8) mostramos
a variac¸˜ao temporal da excentricidade quando inclu´ımos as duas componentes da press˜ao de
radiac¸˜ao solar.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 50 100 150 200 250 300
excentricidade
tempo (anos)
1µm
3µm
5µm
10µm
Figura 6.8: Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios iguais a 1µm, 3µm,
5µm e 10µm sob os efeitos do Arrasto de Poynting-Robertson e da Press˜ao de Radiac¸˜ao.
A excentricidade dos corpos menores, at´e 5µm, alcanc¸a valores maiores do que 0,9 o que
faz com que essas part´ıculas colidam rapidamente com o planeta. As part´ıculas de 10µm apre-
sentaram uma grande variac¸˜ao na excentricidade, por´em n˜ao colidiram com o planeta.
6.4 An
´
alise dos Resultados
Vimos que embora Plut˜ao esteja distante do Sol (∼40 UA) o efeito da press˜ao de radiac¸˜ao
em part´ıculas da ordem de m
´
ıcron metros n˜ao pode ser desconsiderado. Nesta sec¸˜ao citamos
alguns estudos que d˜ao embasamento anal´ıtico e num´erico para os nossos resultados.
A press˜ao de radiac¸˜ao (uma componente da press˜ao de radiac¸˜ao solar) ´e uma forc¸a que atua
na direc¸˜ao radial e com o quadrado inverso da distˆancia (como a forc¸a gravitacional), portanto
86
as ´orbitas dos corpos sob os efeitos desta forc¸a ainda s˜ao sec¸˜oes cˆonicas (elipse, par´abola,
hip´erbole) dependendo da energia orbital. Pode ocorrer alguns casos em que a press˜ao de
radiac¸˜ao exceda a forc¸a gravitacional e as part´ıculas tenham ´orbitas hiperb´olicas de escape
(Burns et al., 1979).
Um estudo anal´ıtico dos efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao em part´ıculas pequenas foi feito em
Burns et al. (1979) atrav´es de uma an´alise de como as trajet´orias de part´ıculas planetocˆentricas
podem ser modificadas pela ac¸˜ao dessa forc¸a. A an´alise foi feita utilizando as equac¸˜oes do
movimento de part´ıculas circumplanet´arias sob a ac¸˜ao de uma forc¸a perturbadora d
−→
F . Inicial-
mente foram utilizadas express˜oes para os elementos orbitais escritas em termos da energia e
do momento angular por unidade de massa, a seguir elas foram substitu´ıdas por express˜oes nas
quais a energia e o momento angular variam com o tempo sob os efeitos dessa perturbac¸˜ao.
Utilizando as seguintes hip´oteses: (i) a luz solar refletida pelo planeta foi ignorada, (ii) o fluxo
solar foi assumido constante, (iii) a sombra do planeta e as interac¸˜oes com o campo magn´etico
do planeta foram desconsideradas, (iv) o planeta foi considerado esf´erico, (v) perturbac¸˜oes dos
sat´elites planet´arios foram ignoradas; e utilizando componentes da forc¸a perturbadora em um
sistema de coordenadas centrado no planeta foram obtidas as taxas de variac¸˜ao dos elementos
orbitais em relac¸˜ao ao tempo.
Da an´alise das equac¸˜oes do valor m´edio da taxa de variac¸˜ao da excentricidade em relac¸˜ao
ao tempo (
de
dt
) Burns et al. (1979) verificou que a variac¸˜ao da excentricidade ´e peri´odica e tem
o per´ıodo igual ao per´ıodo orbital do planeta.
Estudos num´ericos iniciados na d´ecada de 90 para part´ıculas em ´orbitas ao redor de
diferentes planetas confirmaram os resultados anal´ıticos.
Krivov et al. (1996) apresentaram um estudo da dinˆamica de part´ıculas de poeira orbitando
Marte. Neste estudo foram apresentados gr´aficos que mostram a variac¸˜ao da excentricidade de
part´ıculas ejetadas de Fobos e Deimos em ´orbitas ao redor de Marte sob os efeitos da press˜ao
de radiac¸˜ao. As part´ıculas ejetadas de colis˜oes com Fobos, part´ıculas com raios iguais a 20µm
e 40µm, alcanc¸aram excentricidades m´aximas (e
max
) de ∼0,40 e ∼0,20, respectivamente, com
per´ıodos de oscilac¸˜ao pr´oximos ao per´ıodo orbital de Marte.
´
E importante observar que con-
forme o tamanho da part´ıcula aumentava o per´ıodo da variac¸˜ao da excentricidade se aproximava
do per´ıodo orbital do planeta. As part´ıculas ejetadas de colis˜oes com Deimos com raios iguais a
20µm e 40µm alcanc¸aram excentricidades m´aximas iguais a ∼0,60 e ∼0,30, respectivamente,
sendo que o per´ıodo de oscilac¸˜ao da excentricidade ´e pr´oximo ao per´ıodo do planeta. Deimos
87
est´a mais distante do que Fobos em relac¸˜ao a Marte. N˜ao ocorreram colis˜oes das part´ıculas com
o planeta.
Resultado pr´oximo ao de Krivov et al. (1996) foi obtido por Hamilton e Krivov (1996) no
que se refere ao valor m´aximo da excentricidade alcanc¸ado por part´ıculas ejetadas de Deimos
com 20µm de raio sob os efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao. Em Hamilton e Krivov (1996) o valor
da excentricidade alcanc¸ado por estas part´ıculas foi ∼0,70, sendo que o per´ıodo de oscilac¸˜ao
da excentricidade ´e muito pr´oximo do per´ıodo orbital de Marte. Tamb´em n˜ao foram verificadas
colis˜oes entre as part´ıculas e o planeta.
Sfair et al. (2009) analisaram o movimento de part´ıculas com raios iguais a 1µm, 3µm, 5µm
e 10µm localizadas na regi˜ao do anel F de Saturno sob os efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao. Como
resultado foi obtido que part´ıculas com 1µm de raio alcanc¸aram uma excentricidade m´axima
de ∼0,60 e colidiram com Saturno em menos de 10 anos. Para as part´ıculas maiores o efeito da
forc¸a era menor fazendo com que essas part´ıculas alcanc¸assem excentricidades menores (e
max
´e ∼0,30 para uma part´ıcula de 3µm de raio). As part´ıculas “sobreviventes” tem o per´ıodo de
oscilac¸˜ao da excentricidade muito pr´oximo ao per´ıodo orbital de Saturno (∼30 anos).
Sfair e Giuliatti Winter (2009) fizeram um estudo da evoluc¸˜ao orbital de part´ıculas de poeira
localizadas na regi˜ao dos aneis µ e ν (aneis de Urano) sob os efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao.
Seus resultados mostraram que part´ıculas do anel mais distante do planeta (anel µ) alcanc¸aram
excentricidades maiores do que part´ıculas do anel ν. Part´ıculas com 1µm de raio na regi˜ao do
anel µ alcanc¸aram uma excentricidade m´axima em torno de 0,60, por´em o per´ıodo de oscilac¸˜ao
da excentricidade ´e menor do que o per´ıodo orbital de Urano (∼84 anos). Conforme foram
aumentados os tamanhos das part´ıculas, o per´ıodo de oscilac¸˜ao foi se aproximando de 84 anos.
Mesmo fato ocorreu para as part´ıculas localizadas na regi˜ao do anel ν. N˜ao foram verificadas
colis˜oes entre as part´ıculas e o planeta.
Vimos que em todos os estudos citados part´ıculas menores sofrem mais os efeitos da press˜ao
de radiac¸˜ao do que part´ıculas maiores, part´ıculas localizadas em regi˜oes mais distantes do
planeta tamb´em s˜ao mais afetadas pela ac¸˜ao da press˜ao de radiac¸˜ao e que as excentricidades
das part´ıculas sob os efeitos dessa forc¸a oscilam com o tempo com um per´ıodo igual ou muito
pr´oximo ao per´ıodo orbital do planeta. Todos os resultados citados n˜ao incluem poss´ıveisefeitos
do achatamento do planeta.
Sejam F
g
e F
r
as forc¸as gravitacional e de radiac¸˜ao, definidas nas equac¸˜oes (6.6) e (6.7),
respectivamente. A raz˜ao entre essas duas forc¸as ´e o parˆametro β =
F
r
F
G
=
3L
16πGM c
Q
pr
ρr
, mostrado
88
anteriormente na equac¸˜ao (6.8).
Para o caso planetocˆentrico inserimos no arquivo mercury.for as express˜oes de (6.16) a
(6.18), em que M
s
=
M
sol
M
planeta
devido a normalizac¸˜ao.
Nas simulac¸˜oes num´ericas, utilizando part´ıculas com raios entre 1µm e 10µm, obtive-
mos que somente as part´ıculas de 10µm de raio n˜ao colidiram com Plut˜ao, as part´ıculas de
tamanhos menores alcanc¸aram excentricidades m´aximas maiores que 0,90 e colidiram com o
planeta em menos de 9 anos. Com o objetivo de verificarmos o efeito da press˜ao de radiac¸˜ao
em part´ıculas maiores fizemos novas simulac¸˜oes num´ericas. Como resultado era esperado que
conforme o raio da part´ıcula fosse aumentado menor deveria ser o valor m´aximo da excentri-
cidade alcanc¸ado por essa part´ıcula e que o per´ıodo de oscilac¸˜ao da excentricidade deveria ser
igual ou muito pr´oximo do per´ıodo orbital de Plut˜ao (∼248 anos).
A seguirapresentamos os gr´aficos obtidos para part´ıculas em ´orbita ao redor de Plut˜ao, entre
as ´orbitas de Nix e Hidra, sob os efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao, com as mesmas condic¸˜oes
iniciais utilizadas para as part´ıculas do conjunto 1 da sec¸˜ao (6.3).
Como foi verificado na sec¸˜ao (6.3) o efeito da press˜ao de radiac¸˜ao era grande para part´ıculas
com raios de 1µm a 10µ m fazendo com que o per´ıodo de oscilac¸˜ao da excentricidade fosse
menor do que o per´ıodo orbital de Plut˜ao.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500
excentricidade
tempo (anos)
20 µm
30 µm
40 µm
Figura 6.9: Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios iguais a 20µm, 30µm,
40µm sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao.
Na figura (6.9) podemos verificar que part´ıculas com 40µm de raio sofrem menos os efeitos
89
da press˜ao de radiac¸˜ao do que as part´ıculas com raios iguais a 20µm e 30µm. Tamb´em vemos
que o per´ıodo de oscilac¸˜ao da excentricidade para as part´ıculas maiores ´e de 190 anos.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500
excentricidade
tempo (anos)
50 µm
80 µm
100 µm
Figura 6.10: Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios iguais a 50µm,
80µm, 100µm sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao.
Conforme os raios das part´ıculas foram aumentados, os valores m´aximos das excentrici-
dades alcanc¸ados diminu´ıram e os per´ıodos de oscilac¸˜ao se aproximaram de 248 anos. As
part´ıculas com 100µm de raio tem o per´ıodo de oscilac¸˜ao da excentricidade igual a 235 anos,
ou seja, pr´oximo ao per´ıodo orbital de Plut˜ao. Al´em disso, a excentricidade da part´ıcula
apresenta seu menor valor na metade de seu per´ıodo de oscilac¸˜ao, em 117 anos para a part´ıcula
com 100µm de raio, conforme pode ser verificado na figura (6.10), estando de acordo com o
esperado.
Part´ıculas maiores ou iguais a 10µm de raio n˜ao colidiram durante as integrac¸˜oes num´ericas
realizadas por um per´ıodo de 1.000 anos.
A obliquidade em nosso estudo ´e alta (119,61
◦
), para verificarmos o efeito da obliquidade na
evoluc¸˜ao temporal da excentricidade das part´ıculas simulamos numericamente part´ıculas com
os mesmos raios e com diferentes obliquidades para o planeta, com as mesmas condic¸˜oes inici-
ais das part´ıculas do conjunto 1 da sec¸˜ao (6.3), desta maneira o que diferencia uma simulac¸˜ao
da outra ´e a obliquidade. Quando γ ´e zero a forc¸a de press˜ao de radiac¸˜ao tem a componente F
z
nula.
Nas figuras (6.11), (6.12) e (6.13) vemos que obliquidades diferentes de zero geram uma
90
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20
excentricidade
tempo (anos)
γ (0)
γ (20)
γ (30)
Figura 6.11: Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios iguais a 10µm com
diferentes valores para a obliquidade sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 25 50 75
excentricidade
tempo (anos)
γ (45)
γ (70)
γ (90)
γ (96,168)
γ (119,61)
Figura 6.12: Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios iguais a 10µm com
diferentes valores para a obliquidade sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao.
concavidade na curvadiminuindo a excentricidadeda part´ıcula, alcanc¸ando o valormuitopr´oximo
de zero quando a obliquidade ´e igual a 90
◦
. Nas simulac¸˜oes num´ericas com obliquidades
menores (0
◦
, 20
◦
e 30
◦
) as part´ıculas colidiram com o corpo central em menos de 20 anos.
Os resultados das simulac¸˜oes num´ericas para part´ıculas com raios iguais a 100µm para
91
diferentes obliquidades s˜ao apresentados na figura (6.13).
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300
excentricidade
tempo (anos)
γ (0)
γ (20)
γ (30)
γ (45)
γ (70)
γ (90)
γ (119,61)
Figura 6.13: Evoluc¸˜ao temporal da excentricidade de part´ıculas com raios iguais a 100µm com
diferentes valores para a obliquidade sob os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao.
Na sec¸˜ao (6.3) apresentamos na figura (6.6) um gr´afico que relacionava a magnitude da
forc¸a perturbadora (press˜ao de radiac¸˜ao) em func¸˜ao da distˆancia ao planeta para Plut˜ao, atrav´es
do parˆametro adimensional C (Hamilton e Krivov, 1996):
C ≡
3
2
n
n
s
σ (6.25)
em que n ´e o movimento m´edio da part´ıcula ao redor do planeta (n
2
= GM/ a
3
) e n
s
´e o
movimento m´edio do planeta ao redor do Sol (n
2
s
= GM
sol
/R
3
), σ foi definido na equac¸˜ao
(6.23) como sendo a raz˜ao da forc¸a de radiac¸˜ao pela forc¸a gravitacional exercida pelo planeta
na part´ıcula, σ =
3
4
Q
pr
F
s
a
2
GMcρr
. O parˆametro σ ´e diretamente proporcional ao fluxo solar e
inversamente proporcional a massa do planeta. Atrav´es deste parˆametro podemos comparar a
magnitude da forc¸a em part´ıculas ao redor de diferente planetas. Os gr´aficos obtidos para Marte,
J´upiter e Saturno s˜ao iguais aos obtidos por Hamilton e Krivov (1996), enquanto que o gr´afico
obtido para Urano para a part´ıcula de 1µm de raio ´e igual ao obtido por Sfair e Giuliatti Winter
(2009). Para a obtenc¸˜ao dos gr´aficos das figuras (6.14), (6.15), (6.16) e (6.17) foi utilizado
ρ = 1gcm
−3
para a densidade das part´ıculas e Q
pr
= 1.
Atrav´es dos gr´aficos que fornecem o parˆametro C em func¸˜ao da distˆancia em raios do
92
planeta para part´ıculas com raios iguais a 1µm e 10µm podemos verificar que o valor de C para
Plut˜ao tem a mesma magnitude do valor de C para Marte.
Figura 6.14: Valores dos parˆametros em func¸˜ao da distˆancia em raios do planeta, A (mar´e solar)
e C (press˜ao de radiac¸˜ao) para Marte.
93
Figura 6.15: Valores dos parˆametros em func¸˜ao da distˆancia em raios do planeta, A (mar´e solar)
e C (press˜ao de radiac¸˜ao) para J´upiter.
A tabela (1.1) apresenta a magnitude do parˆametro C para part´ıculas com raios iguais a 1µm
e 10µm ao redor de diferentes planetas.
Planeta 1µm 10µm
Marte 1 < C < 10 10
−1
< C < 1
J´upiter 10
−1
< C < 1 10
−2
< C < 10
−1
Saturno 10
−1
< C < 1 10
−2
< C < 10
−1
Urano 10
−1
< C < 1 10
−2
< C < 10
−1
Plut˜ao 1 < C < 10 10
−1
< C < 1
Tabela 6.1: Variac¸˜ao do parˆametro C para diferentes planetas do Sistema Solar.
Atrav´es da an´alise do parˆametro C para diferentes planetas, vemos que para Plut˜ao C tem
magnitude maior do que para J´upiter, Saturno e Urano. C ´e diretamente proporcional a distˆancia
heliocˆentrica do planeta e inversamente proporcional a massa do planeta, que faz com que para
Plut˜ao C seja maior, devido a forc¸a gravitacional desse planeta ser menor.
94
Figura 6.16: Valores dos parˆametros em func¸˜ao da distˆancia em raios do planeta, A (mar´e solar)
e C (press˜ao de radiac¸˜ao) para Saturno.
Aqui realizamos um estudo preliminar da ac¸˜ao da press˜ao de radiac¸˜ao solar em part´ıculas
com raios da ordem de m
´
ıcron metros. Como foi apresentado, embora Plut˜ao esteja distante do
Sol, verificamos que os efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao solar ´e importante em part´ıculas peque-
nas localizadas nesta regi˜ao, logo um estudo mais detalhado considerando tamb´em os efeitos
gravitacionais dos sat´elites de Plut˜ao nas part´ıculas, e possivelmente inserindo nas simulac¸˜oes
num´ericas uma estimativa para o valor do coeficiente gravitacional J
2
dever´a ser feito.
95
Figura 6.17: Valores dos parˆametros em func¸˜ao da distˆancia em raios do planeta, A (mar´e solar)
e C (press˜ao de radiac¸˜ao) para Urano.
96
Cap
´
ıtulo 7
Discuss
˜
ao Geral
O objetivo deste trabalho foi o de analisar a regi˜ao externa do sistema Plut˜ao-Caronte in-
cluindo os efeitos gravitacionais de Nix e Hidra. Simulamos numericamente part´ıculas que
estavam inicialmente em ´orbitas pr´ogradas e retr´ogradas ao redor do baricentro do sistema.
Das integrac¸˜oes num´ericas do sistema formado por Plut˜ao, Caronte, Nix, Hidra e part´ıcula
geramos diagramas semi-eixo maior por excentricidade definindo regi˜oes em que part´ıculas
permaneceram em ´orbitas est´aveis at´e o per´ıodo final da integrac¸˜ao num´erica, ∼10
5
T
P −C
. No
caso pr´ogrado pudemos ver o efeitos gravitacionais causados pelos sat´elites Nix e Hidra nas
part´ıculas. Os sat´elites “limparam” a regi˜ao em torno deles, permanecendo somente part´ıculas
com semi-eixo maior pr´oximo aos dos sat´elites (coorbitais) e com baixas excentricidades.
Tamb´em verificamos os efeitos causados nas ´orbitas das part´ıculas que estavam pr´oximas de
ressonˆancias de movimento m´edio com os sat´elites (Nix ou Hidra), foi verificado um aumento
nas excentricidades dessas part´ıculas. Gr´aficos mostrando o ˆangulo de librac¸˜ao (θ) de algumas
part´ıculas na regi˜ao de ferradura de Nix ou de Hidra tamb´em foram apresentados. Estes gr´aficos
mostraram que o ˆangulo θ das part´ıculas libravam em torno de 60
◦
ou 300
◦
com grandes ampli-
tudes. Para o caso retr´ogrado verificamos que as part´ıculas colidiram ou foram ejetadas quando
cruzaram os limites das regi˜oes colisionais de Nix ou Hidra. Portanto, conclu´ımos que foi im-
portante para a delimitac¸˜ao de regi˜oes em que part´ıculas permanecem por longos per´ıodos de
tempo a inserc¸˜ao de todos os sat´elites de Plut˜ao.
Uma outra an´alise foi feita inserindo-se sat´elites hipot´eticos massivos no sistema e
verificando os efeitos gravitacionais causados em Nix e em Hidra. Conforme foi apresentado,
sat´elites com raio at´e 31km causaram somente uma variac¸˜ao pequena nos limites superiores das
excentricidades de Nix e Hidra, sendo que `a medida que esses sat´elites se afastavam do bari-
97
centro tamanhos maiores foram permitidos. Verificamos tamb´em que ´e necess´ario uma an´alise
mais detalhada dos resultados das simulac¸˜oes num´ericas levando-se em considerac¸˜ao o efeito
causado nos semi-eixo maiores dos sat´elites Nix e Hidra.
Outro objetivo deste trabalho foi estudar os efeitos da Press˜ao de Radiac¸˜ao Solar e sua
relevˆancia para o caso de part´ıculas de poeira localizadas no sistema de Plut˜ao. Neste trabalho
fizemos uma an´alise dos efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao solar em part´ıculas microm´etricas lo-
calizadas na regi˜ao externa do sistema formado por planeta e part´ıculas. Embora Plut˜ao esteja
distante do Sol (∼39 UA), verificamos que os efeitos da press˜ao de radiac¸˜ao solar ´e importante
em part´ıculas da ordem de m
´
ıcron metros. Considerando os efeitos das duas componentes da
press˜ao de radiac¸˜ao solar agindo isoladamente, obtivemos que part´ıculas sob os efeitos do Ar-
rasto de Poynting-Robertson, deca´ıram em escala de tempo de mesma magnitude fornecida por
Burns et al. (1979), sendo que, como esperado, o Arrasto de Poynting-Robertson n˜ao alterou
de maneira significativa a evoluc¸˜ao temporal da excentricidade das part´ıculas. Com relac¸˜ao
ao efeito da press˜ao de radiac¸˜ao verificamos que seu efeito foi menor em part´ıculas maiores,
part´ıculas com raios maiores ou iguais a 10µm n˜ao colidiram com o planeta. Conforme os
raios das part´ıculas foram aumentados, os valores m´aximos das excentricidades alcanc¸ados
diminu´ıram e os per´ıodos de oscilac¸˜ao se aproximaram do per´ıodo orbital de Plut˜ao. Com
relac¸˜ao ao semi-eixo maiores das part´ıculas, como esperado, a press˜ao de radiac¸˜ao n˜ao causou
efeitos significativos em suas evoluc¸˜oes temporais.
Espera-se que a miss˜ao New Horizons, cujo encontro pr´oximo com o sistema de Plut˜ao
ocorrer´a em 2015, fornec¸a novas informac¸˜oes sobre a possibilidade da existˆencia de novos
sat´elites ou aneis de poeira no sistema. A sonda poder´a contribuir para uma maior compreens˜ao
da dinˆamica e do processo de formac¸˜ao dos corpos da regi˜ao.
98
Refer
ˆ
encias Bibliogr
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