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Universidade Federal do Maranh˜ao
Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnologia
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia de
Eletricidade
Observadores de Estados para Sistemas de
Medi¸c˜ao Indireta e Controle RLQD-GA
Marcio Mendes Cerqueira
S˜ao Lu´ıs
2010
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Universidade Federal do Maranh˜ao
Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnologia
Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia de
Eletricidade
Observadores de Estados para Sistemas de
Medi¸c˜ao Indireta e Controle RLQD-GA
Marcio Mendes Cerqueira
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao
em Engenharia de Eletricidade da UFMA como parte dos
requisitos necess´arios para obten¸c˜ao do grau de Mestre
em Engenharia El´etrica.
S˜ao Lu´ıs
2010
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Cerqueira, Marcio Mendes
Observadores de Estados para Sistema de Medi¸c˜ao Indireta e Con-
trole RLQD-GA / Marcio Mendes Cerqueira. - S˜ao Lu´ıs, 2010.
113f.:il.
Disserta¸c˜ao (Mestrado) - Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engen-
haria de Eletricidade. Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnologia, Uni-
versidade Federal do Maranh˜ao, 2010.
1. Controle autom´atico. 2. Sistemas dinˆamicos. 3. Regulador
linear quadr´atico discreto. 4. Algoritmo gen´etico. 5. Sistemas in-
teligentes.. I.T´ıtulo.
CDU 62-52
“Diga-me quais s˜ao os segredos das Pirˆamides que “eu” conquistarei a eternidade”.
Jo˜ao Viana da Fonseca Neto
Aos meus pais Socorro e Luiz e ao meu irm˜ao Marcos,
`a minha namorada Luciana
Agradecimentos
Em primeiro lugar a Deus, a quem sempre recorri nos momentos dif´ıceis.
Ao meu orientador, Prof
o
. Dr. Jo˜ao Viana da Fonseca Neto, pela orienta¸c˜ao
segura, amizade e companheirismo durante a realiza¸c˜ao deste trabalho.
A minha sogra que sempre me recebeu bem nos momentos em que eu n˜ao
tinha onde almo¸car e pelos conselhos sobre a vida.
Aos meus afilhados Bruno e Ana Karoline que j´a fazem parte da minha vida.
Aos grandes amigos do LAC e LCP que me acompanharam e me ajudaram
nessa jornada, especialmente Renan Lima, Gustavo de Andrade e Jo˜ao In´acio. A
todos que contribu´ıram de forma direta ou indireta para este trabalho.
A CNPQ pelos recursos financeiros destinados a esse projeto.
Resumo
Motivado pela necessidade de algoritmos eficientes, apresenta-se o desenvolvi-
mento de uma metodologia para projeto e an´alise de observadores de estado em
malhas aberta e fechada que s˜ao dedicados a monitora¸c˜ao e controle de sistemas
dinˆamicos. O desenvolvimento dos observadores est˜ao fundamentados em modelos
OE, descri¸c˜ao no espa¸co de estados e filtro de Kalman. Os modelos s˜ao avalia-
dos para o controle da temperatura de um cubo de alum´ınio que encontra-se no
interior de uma estufa. Al´em das avalia¸c˜oes dos modelos em termos de sua habili-
dade em representar comportamento de plantas, estes s˜ao tamb´em avaliados para
o projeto do regulador linear quadr´atico discreto (RQLD) que s˜ao sintonizados
por algoritmos gen´eticos. Aplica¸c˜ao dos modelos para monitora¸c˜ao ´e avaliada nas
estruturas das malhas aberta e fechada que s˜ao representadas por algoritmos em
da equa¸c˜ao `a diferen¸ca, tendo em vistas o desenvolvimento de n´ucleos de software
para os sistemas de medi¸c˜ao indireta.
Palavras-Chave: Observadores de Estado, Identifica¸c˜ao de Sistemas, Mode-
los OE, Filtro de Kalman, Algoritmo Gen´etico, Regulador Linear Quadr´atico
Discreto, Sistemas de Medi¸c˜ao Indireta.
Abstract
Motivated by the necessity of efficient algorithms, it’s presented the devel-
opment of a methodology for the design and analysis of state observers in open
and closed loops that are dedicated to monitoring and control of dynamic sys-
tems. The development of observers are based on OE models, description in state
space and Kalman filter. The models are evaluated for temperature control of
a aluminum cube that is inside of a sterilizer oven. In addition to the models
assessment in terms of its ability to represent behavior of plants, these models
also evaluated for the design of discrete linear quadric regulator DLQR that are
tuned by genetic algorithms. The monitoring models are evaluated for open and
closed loops structures that are represented by algorithms in terms of difference
equations, these algorithms are seen as software core for the indirect measurement
systems.
Keywords: State Observers, System Identification, OE Models, Kalman Fil-
ter, Discrete Linear Quadratic Regulator, Genetic Algorithms, Indirect Measure-
ment Systems.
Sum´ario
Lista de Figuras 5
Lista de Tabelas 6
Lista de S´ımbolos 7
Lista de Abreviaturas e Siglas 9
1 Introdu¸c˜ao 10
1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Motiva¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Contribui¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Organiza¸c˜ao da Disserta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Contextualiza¸c˜ao e Estado da Arte 15
2.1 Sistemas de Medi¸c˜ao Indireta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Identifica¸c˜ao de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Equa¸c˜ao `a diferen¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Solu¸c˜ao da EAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Estima¸c˜ao dos parˆametros da FT . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Observadores de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Observador de Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Formula¸c˜ao para Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 Observador de estado de ordem completa . . . . . . . . . . 29
2.3.4 Matriz Controlador-Observador . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Projeto dos Controladores RLQ Discretos . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Problema de Otimiza¸c˜ao Cl´assico . . . . . . . . . . . . . . 31
1
2.4.2 Solu¸c˜ao RLQD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Caracteriza¸c˜ao e Formula¸c˜ao do Problema 35
3.1 Caracteriza¸c˜ao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Modelagem Param´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 O Modelo OE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Modelo no Espa¸co de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3 Projeto de Observadores de Estados . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.4 Sistema de aquisi¸c˜ao de dados . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Formula¸c˜ao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Modelagem e Observadores de Estados 45
4.1 Medi¸c˜ao direta de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Modelagem do sistema dinˆamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.1 EAD-OE de Temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Observador em Malha Aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.1 Propriedades Caixa-Cinza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.2 Equa¸c˜oes `a diferen¸ca do meio 1 . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.3 Equa¸c˜oes `a diferen¸ca do meio 2 . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.4 An´alise dinˆamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Modelagem no Espa¸co de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.1 Aquisi¸c˜ao de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.2 An´alise dos Sinais Medidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.3 Modelagem da Planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4.4 Estimativa dos Parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.5 Modelo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5 Observador em Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 Projeto RLQD-Gen´etico 79
5.1 Aloca¸c˜ao de Autoestrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 Sintonia RLQD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3
5.3 Descri¸c˜ao no espa¸co de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4 Sintonia GA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4.1 Popula¸c˜ao inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4.2 Popula¸c˜ao Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4.3 A Solu¸c˜ao QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5 An´alise do Desempenho do RLQD . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 Conclus˜ao 92
6.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A Formula¸c˜ao e Equa¸c˜ao de Riccati Discreta 94
A.1 Solu¸c˜ao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A.2 Solu¸c˜ao da EARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.2.1 O Horizonte Infinito para solu¸c˜ao RLQD-EARD . . . . . . 97
A.2.2 Decomposi¸c˜ao de autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.2.3 Abordagem do m´etodo de Schur . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.3 Equa¸c˜oes `a diferen¸ca Acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
B QR-Modelos Gen´eticos 103
B.1 Mo delo das matrizes Q e R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
B.2 Mo delo da popula¸c˜ao QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
B.3 Mo delo da popula¸c˜ao inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
B.4 Mo delo de avalia¸c˜ao dos cromossomos . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B.5 Mo delos de opera¸c˜oes gen´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
C Parˆametros RLQD − AG
Q,R
108
Referˆencias Bibliogr´aficas 109
Lista de Figuras
2.1 Diagrama Geral do Sistema de Monitora¸c˜ao-SMI e Controle-RLQD. 15
2.2 Unidades Funcionais do SMI e Natureza dos Estados no Observador. 17
2.3 Regra de um observador em um sistema de controle. . . . . . . . . 23
2.4 Forma geral do Observador de Luenberger. . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Projeto RLQD e Observador de Estado. . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Sistema de Controle RLQD ajust´avel . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Diagrama do experimento do sistema de medi¸c˜ao SMI. . . . . . . 40
3.3 Problema da medi¸c˜ao n˜ao invasiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 SMI com observador de Estados em Malha Fechada. . . . . . . . . 42
4.1 Estufa T´ermica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Temperaturas medidas no forno esterilizador. . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Diagrama geral para planta t´ermica. . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Diagrama de Blocos do observador em Malha Aberta para medi¸c˜oes
n˜ao invasivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Temperaturas medidas na cˆamara interna. . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 Temperaturas estimadas e medidas no interior do objeto. . . . . . 53
4.7 Estima¸c˜ao das temperaturas T
u
2
devido a temperatura T
u
do atuador. 54
4.8 Temperaturas T
T 1
2
estimada e T
1
medida. . . . . . . . . . . . . . . 55
4.9 Temperaturas T
T 0
2
estimada e T
0
medida. . . . . . . . . . . . . . . 56
4.10 Erros de medi¸c˜ao direta e da medi¸c˜ao n˜ao invasiva. . . . . . . . . 58
4.11 Estima¸c˜ao de erros - temperaturas estimadas e medidas com sensores. 59
4.12 P´olos e zeros das Fun¸c˜oes de Transferˆencia do SMI. . . . . . . . . 60
4.13 Resposta ao degrau das temperaturas estimadas T
12
e T
20
. . . . . 61
4.14 Resposta ao degrau das temperaturas estimadas T
21
e T
2
u. . . . . 62
4
LISTA DE FIGURAS 5
4.15 Diagrama de Bode das FT das temperaturas estimadas, a) T
12
e
b) T
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.16 Diagrama de Bode das FT das temperaturas estimadas, a) T
21
e
b) T
2u
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.17 SMI com observador em Malha Fechada. . . . . . . . . . . . . . . 66
4.18 Varia¸c˜oes das Var´aveis Medidas Temperaturas. . . . . . . . . . . . 68
4.19 Varia¸c˜oes por faixas das Temperaturas T
1
e T
2
. . . . . . . . . . . 69
4.20 Varia¸c˜oes por faixas das Temperaturas ambiente e T
2
. . . . . . . . 69
4.21 Modelo de 1
a
ordem para T
1
e Erro da Estimativa. . . . . . . . . 72
4.22 Modelo de 1
a
ordem para T
21
e T
2u
e Erros da Estimativas. . . . . 73
4.23 Modelo de 1
a
ordem para T
0
e Erro da Estimativa. . . . . . . . . 74
4.24 Temperaturas no Interior da Estufa e Erros da Estima¸c˜ao. . . . . 75
4.25 Temperaturas Estimadas no interior da Estufa. . . . . . . . . . . 77
5.1 Paradigma de Controle
´
Otimo RLQD. . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 P´olos e zeros da FT do SMI com controle RLQD . . . . . . . . . 85
5.3 Resposta ao degrau da temperatura estimada T
12
. . . . . . . . . . 86
5.4 Resposta ao degrau da FT do SMI com controle RLQD. . . . . . 87
5.5 Resposta ao Impulso da Temperatura Estimada T
12
. . . . . . . . . 88
5.6 Resposta ao Impulso da FT com Controle RLQD. . . . . . . . . 89
5.7 Diagrama de Bode da Temperatura Estimada T
12
com controle
RLQD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Lista de Tabelas
4.1 P´olos, zeros e ganhos das Fun¸c˜oes de Transferˆencia do SMI. . . . 60
4.2 Figuras de m´erito no dom´ınio da frequˆencia das temperaturas esti-
madas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Parˆametros das fun¸c˜oes de transferˆencia . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Ganhos do Filtros de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1 Sensibilidades normalizadas - Estat´ısticas popula¸c˜ao inicial . . . . 83
5.2 Sensibilidades normalizadas - Estat´ısticas popula¸c˜ao final. . . . . 83
5.3 Autovalores parte real - Estat´ısticas. . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 P´olos, zeros e ganhos das Fun¸c˜oes de Transferˆencia do SMI controle
RLQD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5 Figuras de M´erito do Sistema para Resposta ao Degrau. . . . . . 87
5.6 Caracter´ısticas do Sistema para Resposta ao Impulso. . . . . . . . 89
5.7 An´alise em frequˆencia do Controle RLQD. . . . . . . . . . . . . . 91
C.1 Parˆametros iniciais do algoritmo Gen´etico . . . . . . . . . . . . . 108
C.2 Parˆametros da popula¸c˜ao inicial da matriz Q . . . . . . . . . . . . 109
C.3 Parˆametros da popula¸c˜ao inicial da matriz R . . . . . . . . . . . . 109
C.6 Autovalores e Sensibilidades - Limites . . . . . . . . . . . . . . . . 109
C.4 Alelos que seguem a estrat´egia de muta¸c˜ao proposta no algoritmo 110
C.5 Fatores de muta¸c˜ao dos alelos selecionados . . . . . . . . . . . . . 110
6
Lista de S´ımbolos
BW Largura de banda
C
c
Capacidade t´ermica do lado frio
C
s
Capacidade t´ermica do dissipador
G
s
Condutˆancia t´ermica do dissipador para o ambiente
G
c
Condutˆancia t´ermica do lado frio
G
m
Condutˆancia t´ermica do interior da c´elula Peltier
GM Margem de Ganho
G
T 2T u
Fun¸c˜ao de Transferˆencia do modelo no operador q,
sendo as varia¸c˜oes da temperatura no interior do forno
s˜ao guiadas pela contribui¸c˜ao da temperatura na fonte de calor
G
T 2T 1
Fun¸c˜ao de Transferˆencia do modelo no operador q,
sendo as varia¸c˜oes da temperatura no interior do forno
s˜ao guiadas pela contribui¸c˜ao da temperatura dentro do forno
G
T 2T 0
Fun¸c˜ao de Transferˆencia do modelo no operador q,
sendo as varia¸c˜oes da temperatura no interior do forno
s˜ao guiadas pela contribui¸c˜ao da temperatura do ambiente
G
T 1
Fun¸c˜ao de Transferˆencia do objeto
G
T 0
Fun¸c˜ao de Transferˆencia do ambiente
G
T u
Fun¸c˜ao de Transferˆencia da fonte de calor
c
i
Calor espec´ıfico no i−´esimo meio
I Corrente el´etrica aplicada a c´elula
I
o
Corrente de polariza¸c˜ao
m
i
Massa de um corpo no i−´esimo meio
M
r
Resposta de frequˆencia ou valor de pico de ressonˆancia
k
ij
Condutˆancias t´ermicas i para o meio j
P M Margem de fase
7
LISTA DE TABELAS 8
R
m
Resistˆencia el´etrica da c´elula
T
c
Temperatura do lado frio
T
0
k
Temperatura do ambiente
T
1
k
Temperatura do objeto dentro do forno
T
2
k
Temperatura no interior do forno
T
u
k
Temperatura da fonte de calor
T
2,i
k
Contribui¸c˜ao da temperatura T
2
para estima¸c˜ao
da temperatura no interior do forno
T
i
Conjunto de modelos de entrada
u
k
Vetor de entrada
u
k−1
Seq¨uˆencia passada do vetor de controle
V
in
Tens˜ao de entrada
V
out
Tens˜ao de sa´ıda
y
k
Vetor de sa´ıda
ˆ
Θ Estimador n˜ao Recursivo
ˆ
Θ
LS
Estimador Recursivo
Ω OHM
ω
g
Frequˆencia natural amortecida
ω
f
Frequˆencia de corte
ω
r
Frequˆencia de ressonˆancia
ζ Fator de amortecimento
Lista de Abreviaturas e Siglas
AG Algoritmo Gen´etico
A/D Anal´ogico / Digital
RNA Redes Neurais Artificiais
EAD Equa¸c˜oes a diferen¸ca
EARD Equa¸c˜ao Alg´ebrica de Riccati Discreto
ARX Autoregressivo (Modelo de Identifica¸c˜ao Autoregressivo com entrada extra)
CI Circuito Integrado
FT Fun¸c˜ao de Transferˆencia
K Ganho do Regulador Linear Quadr´atico
LQG Gaussiano Linear Quadr´atico
LAC Laborat´orio de Automa¸c˜ao e Controle
LCP Laborat´orio de Controle de Processos
RLQD Regulador Linear Quadr´atico Discreto
LTR Recupera¸c˜ao da Malha de Transferˆencia
OE Output-Error (Erro-Sa´ıda)
EDO Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias
CP Computador Pessoal
SMI Sistemas de Medi¸c˜ao Indireta
9
Cap
´
ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
O comportamento de sistemas dinˆamicos pode ser avaliado por meio de modelos
matem´aticos que baseiam-se nas observa¸c˜oes (medi¸c˜oes) de certas sa´ıdas que s˜ao
adquiridas durante as modalidades operacionais das plantas. Por´em as amostras
podem ser dif´ıceis de obter, devido ao custo dos sensores e da instrumenta¸c˜ao,
`a limita¸c˜ao do espa¸co f´ısico, inser¸c˜ao dos sensores e `as limita¸c˜oes tecnol´ogicas
operacionais dos sistemas de sensores.
A teoria de observadores de estado contribui de forma marcante com as suas es-
truturas para a realiza¸c˜ao de estados que n˜ao fazem parte do conjunto de medi¸c˜oes.
Estas estruturas geram estados que s˜ao vari´aveis originadas de artif´ıcios alg´ebricos
(matem´aticos), como tamb´em representam vari´aveis f´ısicas que n˜ao s˜ao medidas
por sensores.
Uma reflex˜ao em rela¸c˜ao aos par´agrafos anteriores, faz-se necess´ario estimar
parˆametros de modelos matem´aticos de sistemas dinˆamicos que conseguem esti-
mar os estados n˜ao medidos e gerar os estados que s˜ao meramente matem´aticos.
Estes modelos dinˆamicos s˜ao convertidos em algoritmos que s˜ao utilizados como
n´ucleo de estima¸c˜ao dos sistemas de medi¸c˜ao indireta (SMI). Devido a importˆancia
dos observadores de estados, o objeto desta pesquisa ´e a investiga¸c˜ao de m´etodos
para determina¸c˜ao de parˆametros de equa¸c˜oes `a diferen¸ca.
Neste trabalho ´e apresentado o desenvolvimento de um modelo para sistemas
de medi¸c˜ao indireta (ou n˜ao invasiva), tendo como abrevia¸c˜ao SMI, que ´e ori-
entado `as avalia¸c˜oes do comportamento das temperaturas dentro dos objetos.
Dado um conjunto de medidas diretas das temperaturas, os parˆametros de mod-
10
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 11
elos Output-Error (OE) s˜ao estimados para serem usados como parˆametros das
fun¸c˜oes de transferˆencia das equa¸c˜oes `a diferen¸ca (da Fonseca Neto et al. 2008).
Especificamente, o alvo principal ´e a medida da temperatura dentro de um objeto
que representa o elemento do sistema de medi¸c˜ao n˜ao invasiva ou indireta.
Para superar estas dificuldades, pesquisadores vˆem desenvolvendo modelos que
levam em considera¸c˜ao as representa¸c˜oes matem´aticas e/ou l´ogicas das intera¸c˜oes
dinˆamicas entre as vari´aveis de processo que n˜ao podem ser medidas diretamente
por sensores. Os sistemas de medida (n˜ao-invasivos) indiretos tornaram-se uma
alternativa ((Braga et al. 2008), (Mouzinho et al. 2005) e (Baili and Fleury 2004)
)para solucionar os problemas relacionados com custo e barreiras tecnol´ogicas dos
sensores.
O sistema de medi¸c˜ao indireta considerado ´e composto de Hardware e de
Modelos matem´aticos para tempo real. O Hardware de tempo real (Shaw 2001)
s˜ao os sensores, os atuadores, os circuitos do controle e o microcontrolador. O
software de tempo real ´e o sistema operacional e o n´ucleo do SMI que baseia-se
em modelos matem´aticos de filtragem e de estima¸c˜ao. A metodologia ´e avaliada
para um sistema dinˆamico, a planta ´e o forno esterilizador e um objeto met´alico
ou cerˆamico no seu interior.
A teoria de controle ´otimo Regulador Linear Quadr´atico Discreto (RLQD)
´e utilizada para o projeto de sistemas de controle de plantas que s˜ao modeladas
por meio de observa¸c˜oes (medi¸c˜oes diretas). Este pode ser visualizado como uma
aplica¸c˜ao particular de um problema de otimiza¸c˜ao, a estrutura de otimiza¸c˜ao
´e utilizada para estabelecer a formula¸c˜ao matem´atica do problema de controle
´otimo. No caso do RLQD, o desempenho do controle ´e avaliado por fun¸c˜ao de
custo J que ´e um funcional dos estados do sistema e dos vetores de entrada,
ponderado por matrizes bem definidas.
1.1 Objetivos
Gerais
Apresentar modelos em equa¸c˜oes `a diferen¸ca para desenvolvimento de uma
metodologia para o projeto e implementa¸c˜ao de observadores de estados para
monitora¸c˜ao e controle de sistemas dinˆamicos.
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 12
Espec´ıficos
1. Desenvolver um modelo polinomial OE-Output Error da familia Box-Jenkins
para o projeto de observadores de estado em malha aberta. A equa¸c˜ao `a
diferen¸ca do observador ´e utilizada como n´ucleo de software de um sistema
de medi¸c˜ao indireta.
2. Desenvolver modelos no espa¸co de estados e aplicar a teoria da Filtragem
de Kalman para o projeto de observadores em malha fechada.
3. Aplicar o m´etodo para o projeto e sintonia de sistemas de controle digital
do tipo regulador linear quadr´atico discreto (RLQD).
4. Avaliar o desempenho dos observadores para medi¸c˜ao indireta das tempera-
turas em materiais cerˆamicos e cubos de alum´ınio.
5. Utilizar a componente de controle inteligente para sintonia dos ganhos dos
controladores (RLQD).
1.2 Motiva¸c˜ao
Aplicar as metodologias estudadas durante o mestrado, aliado as teorias assim-
iladas durante os cursos oferecidos pelo programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engen-
haria El´etrica, tais como: Sistemas Lineares, Identifica¸c˜ao de Sistemas, Sistemas
Embarcados, Instrumenta¸c˜ao Eletrˆonica, An´alise de Sinais e Sistemas e Redes
Neurais aplicadas a plantas e materiais, onde utilizaram-se os recursos do Labo-
rat´orio de Automa¸c˜ao e Controle (LAC) e Laborat´orio de Controle de Processos
(LCP) foram o grande desafio a ser superado no intuito de se realizar um bom
trabalho de disserta¸c˜ao.
O surgimento das aplica¸c˜oes de controle no contexto de programa¸c˜ao dinˆamica
adaptativa foram o est´ımulo cient´ıfico e tecnol´ogico para o desenvolvimento desta
pesquisa, envolvendo as teorias de controle digital e ´otimo e teoria de identifica¸c˜ao
de sistemas. Outra motiva¸c˜ao para a realiza¸c˜ao destes estudo s˜ao os sistemas
de medi¸c˜ao indireta que consiste dos algoritmos de estima¸c˜ao (software) e do
hardware uma vez que aliar estas duas tecnologias enriquece ainda mais o trabalho.
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 13
1.3 Contribui¸c˜oes
Como contribui¸c˜ao podemos citar uma metodologia para identifica¸c˜ao de mode-
los e observadores de estado para monitora¸c˜ao e controle de sistemas de controle
RLQ discreto que est˜ao fundamentados na teoria de identifica¸c˜ao, controle ´otimo
e observadores de estado. Como resultado desta pesquisa temos um SMI que
consiste da uni˜ao hardware e software, um modelo no espa¸co de estado para projeto
de controladores e um observador para realimenta¸c˜ao dos estados n˜ao dispon´ıveis
para medi¸c˜ao.
Esta metodologia ´e baseada em um modelo matem´atico caixa cinza que rep-
resenta o sistema t´ermico e um sistema embarcado para carregar no sistema de
medida indireta. As seguintes referˆencias asseguram que o desenvolvimento de
sistemas indiretos ´e problema a ser pesquisado devido a seu impacto tecnol´ogico
(Moudden and Boubal 2001), (Haihong Zhang 2004), (Angrisani and Schiano
Lo Moriello 2005) e (De Capua 2004).
1.4 Organiza¸c˜ao da Disserta¸c˜ao
A disserta¸c˜ao ´e organizada em Cap´ıtulos que descrevem o desenvolvimento de
uma metodologia para modelagem polinomial no espa¸co de estados de sistemas
dinˆamicos que ´e utilizada para fins de projeto de controladores e realiza¸c˜ao de
observadores de estado.
Desta forma, o conte´udo da disserta¸c˜ao ´e apresentado sequencialmente desde
o estado da arte, fundamenta¸c˜ao te´orica, modelagem da planta, aplica¸c˜oes em
sintonia de controladores RLQD por meio de algoritmos gen´eticos e no final
encontram-se as Conclus˜oes e os Apˆendices que complementam o trabalho. A
seguir, resume-se o conte´udo dos Cap´ıtulos da disserta¸c˜ao.
O estado da arte, apresentado no Cap´ıtulo 2, envolve o desenvolvimento de
pesquisas em modelagem de sistemas dinˆamicos, medi¸c˜ao indireta e aplica¸c˜oes em
controle que est˜ao orientadas para o projeto de controladores ´otimos RLQD e
observadores de estado.
A caracteriza¸c˜ao e formula¸c˜ao do problema de medi¸c˜ao indireta, sua funda-
menta¸c˜ao te´orica e aplica¸c˜ao em sistemas t´ermicos s˜ao abordadas no Cap´ıtulo 3.
Apresenta-se um estudo detalhado (an´alise das fun¸c˜oes transferˆencia, medi¸c˜oes
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 14
diretas) da metodologia e dispositivos que s˜ao utilizados para a realiza¸c˜ao das
medi¸c˜oes indiretas.
No Cap´ıtulo 4 apresenta-se o modelo param´etrico Erro-Sa´ıda (Output-Error)
como alternativa para n´ucleos de estima¸c˜ao em sistemas de medi¸c˜ao indireta. As
an´alises de desempenho das estabilidade no dom´ınio da frequˆencia ´e avaliada para
a medi¸c˜ao de temperatura no interior de uma estufa.
No Cap´ıtulo 5 aborda-se a aplica¸c˜ao dos modelos no espa¸co de estado para o
projeto de sistemas de RLQD-Gen´etico. Este projeto baseia-se na realimenta¸c˜ao
de estados que pode ser realizada pelo observador do SMI e a sintonia do RLQD
via Algoritmos Gen´eticos. A abordagem discreta para controle incorpora o modelo
no espa¸co de estados para projeto e estrutura de estima¸c˜ao para realiza¸c˜ao do
observador de estados do sistema de medi¸c˜ao indireta.
Por fim, no Cap´ıtulo 6 s˜ao feitas as devidas conclus˜oes e coment´arios. No
Apˆendice A apresenta-se a formula¸c˜ao no contexto de controle ´otimo e a sua
solu¸c˜ao pelo m´etodo de Schur. No Apˆendice B apresentam-se os modelos do al-
goritmo gen´etico para as buscas das matrizes de pondera¸c˜ao do projeto RLQD,
as condi¸c˜oes iniciais e os parˆametros da busca dos ganhos controlador s˜ao apre-
sentadas no Apˆendice C.
Cap
´
ıtulo 2
Contextualiza¸c˜ao e Estado da
Arte
As equa¸c˜oes `a diferen¸ca desenvolvidas nesta disserta¸c˜ao est˜ao inseridas nos con-
textos de identifica¸c˜ao de sistemas, observadores de estado, sistemas de medi¸c˜ao
indireta e projeto de controladores RLQD. A abordagem do estado da arte segue
formula¸c˜ao geral em termos dos trˆes contextos que est˜ao representados pelos ele-
mentos do diagrama de blocos da Figura 2.1.
PLANTA
LQR
SMI
ATUADOR
Figura 2.1: Diagrama Geral do Sistema de Monitora¸c˜ao-SMI e Controle-RLQD.
A Figura 2.1 ´e utilizada para ilustrar contextualiza¸c˜ao das metodologias na
pesquisa, sendo estabelecida pela associa¸c˜ao dos elementos do diagrama com as
respectivas ´areas do conhecimento, conforme listadas:
1. Sistemas de medi¸c˜ao indireta associados com o observadores de estado (Teo-
ria de Espa¸co de Estados e Equa¸c˜oes `a diferen¸ca)
15
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 16
2. Observadores de estado associados com a teoria da identifica¸c˜ao (Estima¸c˜ao
Param´etrica) e processos estoc´asticos (Teoria de Kalman para sintonia de
ganhos do observador), desenvolvimento de modelos dos sistemas dinˆamicos
e sintonia de ganhos do observador
3. Controladores RLQD (Projeto e Sintonia dos Ganhos). Investiga-se o pro-
jeto controle RLQD para atender demandas de monitora¸c˜ao e de realiza¸c˜oes
em controle inteligente.
Considerando os trˆes contextos citados acima, apresenta-se uma descri¸c˜ao do
estado da arte em identifica¸c˜ao de sistemas (Estima¸c˜ao Param´etrica de modelos
Box-Jenkins, fun¸c˜oes de transferˆencia e descri¸c˜ao no espa¸co de estados), sistemas
de medi¸c˜ao indireta e observadores de estado (Vari´aveis para o Controle) e sintonia
RLQD. A pesquisa bibliogr´afica, desenvolvida nesta disserta¸c˜ao, tem o intuito
de agregar os conhecimentos te´oricos e pr´aticos em torno de um arcabou¸co para
realiza¸c˜ao de observadores para SMI e projetos RLQD.
Apresenta-se nas pr´oximas Se¸c˜oes o estado arte da modelagem de sistemas
dinˆamicos para medi¸c˜ao n˜ao invasiva, projeto de observadores e os m´etodos de
sintonia de ganhos de controladores.
2.1 Sistemas de Medi¸c˜ao Indireta
A evolu¸c˜ao tecnol´ogica de dispositivos de estado s´olido inspirou o desenvolvi-
mento de novas teorias, tais como: monitora¸c˜ao e controle sistemas do mundo
real baseados em modelos e redes neuronais artificiais (RNA). Em face `a possibil-
idade tecnol´ogica da realiza¸c˜ao dos SMI por meio dos avan¸cos na microeletrˆonica,
tornando-se poss´ıvel a implementa¸c˜ao dos m´etodos que demandam potˆencia com-
putacional para atender requisitos de tempo real cr´ıtico (Shaw 2001) para mode-
lagem, monitora¸c˜ao e controle de sistemas dinˆamicos.
Na Figura 2.2 mostra-se os blocos funcionais para realiza¸c˜ao de sistemas de
medi¸c˜ao indireta (SMI) baseados em observadores de estado. Verifica-se que a
medi¸c˜ao direta ´e uma das condi¸c˜oes necess´arias, nesta abordagem. Os outros
blocos funcionais s˜ao as interface, para manipular (traduzir) o conhecimento de
outros ambientes que influenciam o desempenho do SMI. O microcontrolador rep-
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 17
resentado por linhas pontilhadas que abrigam os seguintes blocos funcionais: ob-
servador de estado, interface e aquisi¸c˜ao de dados (Taylor 1999). O sistema de
medi¸c˜ao direta fornece o suporte para estima¸c˜ao das vari´aveis que n˜ao fazem parte
do conjunto de medi¸c˜oes.
replacemen
Medi¸c˜ao
Direta
Interface
Observador
de
Estados
Filtragem
Predi¸c˜ao
Matem´atica
y
k
x
F
k
x
P
k
x
M
k
Microcontrolador
Sistema de Medi¸c˜ao Indireta
(SMI)
Aquisi¸c˜ao
de
Dados
Figura 2.2: Unidades Funcionais do SMI e Natureza dos Estados no Observador.
Muitas vezes, os estados s˜ao dif´ıceis de serem medidos, ou serem modelados
matematicamente. No nosso caso, o observador realiza duas fun¸c˜oes que s˜ao:
estimativa do estado
1
de um objeto sem sensor e filtragem do estado que ´e
medido diretamente com um sensor. Ainda, os observadores de estado s˜ao vistos
neste texto, como um dispositivo que constr´oi os estados para fins de Monitora¸c˜ao
e Controle do sistema dinˆamico de SMI.
As teorias de controle adaptativo, teorias de Inteligˆencia Computacional, sin-
tonia em tempo real para controladores por Algoritmos Gen´eticos tornaram re-
aliz´aveis a teoria de controle ´otimo. Melhores desempenhos destes controladores
s˜ao obtidos para situa¸c˜oes em que todos os estados dos sistemas s˜ao acess´ıveis para
uma realimenta¸c˜ao completa dos estados. Consequentemente, o desenvolvimento
de algoritmos de observadores de estado s˜ao imprescind´ıveis para realiza¸c˜ao do
1
O estado de um sistema dinˆamico ´e o menor conjunto de vari´aveis (chamado vari´aveis de
estado) tal que o conhecimento destas vari´aveis em t = t
0
, juntamente com a entrada para
t ≥ t
0
, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t
0
.
Portanto, o estado de um sistema dinˆamico no instante t ´e unicamente determinado pelo estado
no instante t
0
e a entrada para t ≥ t
0
, ´e independente do estado e da entrada antes de t
0
.
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 18
controle RLQD de alto desempenho. A associa¸c˜ao dos sistemas de medi¸c˜ao indi-
reta com os observadores de estado consiste da realiza¸c˜ao das EAD, estas equa¸c˜oes
representam os observadores e s˜ao n´ucleo de software dos SMI da estima¸c˜ao e fil-
tragem digital. As referˆencias (Mouzinho et al. 2005), (Bilski and Winiecki 2005)
e (Smith and Ponci 2007) apresentam avan¸cos, conceitos e implementa¸c˜ao para o
desenvolvimento dos sistemas de medi¸c˜ao indireta ou medi¸c˜ao n˜ao invasiva.
2.2 Identifica¸c˜ao de Sistemas
Os desenvolvimentos te´oricos e aplica¸c˜oes de identifica¸c˜ao de sistemas orien-
tados para estima¸c˜ao de modelos para observadores de estado s˜ao os principais
alvos dos estudos e discuss˜oes que s˜ao apresentados nesta se¸c˜ao. Estes mode-
los s˜ao utilizados em sistemas de medi¸c˜ao e projeto de sistemas controle ´otimo.
Como tamb´em, aborda-se os fundamentos da teoria da identifica¸c˜ao que ´e utilizada
na realiza¸c˜ao dos modelos para observadores de estado que formam o n´ucleo de
predi¸c˜ao (software) de sistemas de medi¸c˜ao indireta.
2.2.1 Equa¸c˜ao `a diferen¸ca
Os valores das grandezas de sa´ıda (observa¸c˜oes) s˜ao utilizados para representar
o sistema dinˆamico por meio de equa¸c˜oes `a diferen¸ca (EAD) (D.G. 1966)
Considera-se o conjunto (y
k
,k) que ´e formado por uma sequˆencia de sinais
amostrados y
k
associados com o ´ındice k que representa a evolu¸c˜ao temporal do
vetor y
k
. Formalizando uma defini¸c˜ao de sequˆencias de sinais,
(y
k
, k) = {y
k
∈ R
m×1
e ; k ∈ Z
+
|y = (y
1
k
, ..., y
q
k
) ; k = t
k
} (2.1)
No desenvolvimento, a equa¸c˜ao `a diferen¸ca ´e uma estrutura alg´ebrica que pode
ser utilizada para representar/modelar o comportamento de um sistema dinˆamico.
A equa¸c˜ao ´e exposta em termos da sa´ıda em fun¸c˜ao dela pr´opria e dos sinais de
controle em fun¸c˜ao dos deslocamentos no tempo dos sinais observados (entradas
e sa´ıdas) que ´e representado por
y
k
= f
y
[y
k−1
, y
k−2
, ..., y
k−n
, u
k
, u
k−1
, ..., u
k−m
] (2.2)
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 19
A equa¸c˜ao `a diferen¸ca para y
k
como sa´ıda e u
k
como vetor de entrada ´e esta-
belecida como uma combina¸c˜ao linear destas vari´aveis,
y
k
+ a
n−1
y
k−1
+ ... + a
0
y
k−n
= b
m
u
k
+ b
m−1
u
k−1
+ ... + b
0
u
k−m
(2.3)
A equa¸c˜ao `a diferen¸ca linear ´e chamada de equa¸c˜ao `a coeficientes constantes
ou invariantes no tempo e os valores a
i
e b
j
s˜ao independentes de k. De forma
similar, a seq¨uˆencia u
k
, i = 1, ..., m do sinal de controle u
k
´e representada em
fun¸c˜ao da medida de sa´ıda e dos sinais de controle que ´e dada por:
u
k
= f
u
[y
k
, y
k−1
, ..., y
k−n
, u
k−1
, u
k−2
, ..., u
k−m
] (2.4)
A lei do controle ´e fun¸c˜ao de sequˆencias finitas dos vetores de sa´ıda y
k
= (y
k
,
..., y
k−n
) e das sequˆencias passadas u
k−1
= (u
k−1
, ..., u
k−m
) do vetor de controle.
O pr´oximo passo consiste em determinar como ´e estabelecida esta funcionali-
dade para a lei de controle. Neste caso o esfor¸co de controle ´e representado como
uma combina¸c˜ao linear destas vari´aveis, sendo chamada de equa¸c˜ao `a diferen¸ca
para o esfor¸co de controle u
k
. Considerando a Equa¸c˜ao (2.3) com b
m
= 1, a lei de
controle u
k
´e dada por
u
k
= −b
m−1
u
k−1
− ... − b
0
u
k−m
+ a
n−1
y
k−1
+ ... + a
0
y
k−n
(2.5)
2.2.2 Solu¸c˜ao da EAD
Para resolver a equa¸c˜ao `a diferen¸ca apresenta-se uma abordagem em transfor-
mada Z. O operador em atraso ´e dado por
z{f
k−n
} = z
−n
F (z)
= z
−n
f
0
− ... − zf
n−1
(2.6)
e no operador avan¸co ´e dado por
z{f
k+n
} = z
n
F (z)
= −z
n
f
0
− ... − zf
n−1
(2.7)
Considerando a Equa¸c˜ao (2.3) que ´e a equa¸c˜ao `a diferen¸ca linear a coeficientes
constantes ou invariantes no tempo. A EAD ´e estabelecida por uma combina¸c˜ao
linear das vari´aveis de entrada e sa´ıda que ´e dada por
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 20
y
k+n
+ a
n−1
y
k+n−1
... + a
1
y
k+1
+ a
0
y
k
= b
m
u
k+m
+ b
m−1
u
k+m−1
+ ... + b
0
u
k
tendo y
k+n
como sa´ıda e u
k+m
como vetor de entrada. De forma gen´erica, apli-
cando a transformada Z temos como resultado
(z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ ... + a
1
z + a
0
)Y (z) = (b
m
z
m
+ b
m−1
z
m−1
+ ... + b
0
)U(z) (2.8)
Fatorando para o operador atraso, a fun¸c˜ao de transferˆencia ´e dada por
G(z) =
Y (z)
U(z)
=
b
m
z
m
+ b
m−1
z
m−1
+ ... + b
0
z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ ... + a
1
z + a
0
(2.9)
2.2.3 Estima¸c˜ao dos parˆametros da FT
Os parˆametros da FT s˜ao estimados pela minimiza¸c˜ao do erro entre a ob-
serva¸c˜ao e estima¸c˜ao (m´etodo dos m´ınimos quadrados). Assumindo o car´ater
discreto do sistema, pois os dados coletados s˜ao amostrados no tempo, tˆem-se as
sequˆencias aplicadas de est´ımulo e respostas, u
k
e y
k
, respectivamente, sendo k
um n´umero inteiro referente a uma respectiva amostra.
A fun¸c˜ao de transferˆencia para um determinado processo pode ser expressa
pela Equa¸c˜ao (2.9) e na forma de EAD ´e dada por
y
k
= a
n−1
y(k − 1) + ... + a
0
y(k − n) +
b
m−1
u(k − 1) + ... + b
0
u(k − m) (2.10)
assumindo que u
k
e y
k
s˜ao nulos para ´ındices k negativos. Definindo o k-´esimo
vetor de regressores como
d
k
= [y(k − 1)y(k − 2)...y(k − n)u(k − 1)...u(k − m)]
T
(2.11)
e o vetor dos parˆametros como:
θ = [a
n−1
...a
0
, b
m−1
...b
0
]
T
(2.12)
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 21
A sa´ıda pode ser expressa em termos do produto dos vetores de dados e
parˆametros:
y
k
= d
T
k
θ (2.13)
usando um vetor de parˆametros estimados de θ, como θ
T
tem-se um erro na
estima¸c˜ao de y
k
, ou seja,
y
k
= d
T
k
θ + e
k
(2.14)
Se k variar de n e ir at´e N, resultar´a em um sistema de equa¸c˜oes y(n) =
d
T
(n)θ
T
+ e(n) at´e y(N) = d
T
(N)θ
T
+ e(N). Ent˜ao, tˆem-se um vetor de sa´ıda
y(N) como
y(N) = [y(n)...y(N)]
T
(2.15)
Define-se a matriz de regressores como sendo,
D(N) = [d(n)...d(N)]
T
=
d
T
(n)
.
.
.
d
T
(N)
(2.16)
e a matriz de erros como,
e(N) = [e(n)...e(N)]
T
(2.17)
Para um vetor estimado dos parˆametros pode-se escrever o sistema de equa¸c˜oes
na forma,
y(N) = D(N)θ
T
+ e(N) (2.18)
sendo,
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 22
e(N) = y(N) − D(N)θ
T
(2.19)
para se estimar o vetor de parˆametros θ
T
´e preciso minimizar a soma dos quadrados
dos erros, ou seja,
J =
N
k=n
e
2
k
= e
T
(N)e(N) (2.20)
substitui-se e(N),
J = [y(N) − D(N)θ
T
][y(N) − D(N)θ
T
] (2.21)
Deriva-se em rela¸c˜ao ao parˆametro θ,
∂J
∂θ
= −y(N)D(N) + θ
T
D
T
(N)D(N) = 0 (2.22)
ou melhor,
D
T
(N)D(N)θ
T
= D
T
(N)y(N) (2.23)
e por fim,
θ
T
= [D
T
(N)D(N)]
−1
D
T
(N)y(N) (2.24)
a matriz θ
T
´e a solu¸c˜ao para estima¸c˜ao dos parˆametros da fun¸c˜ao de transferˆencia
(Ljung 1987).
2.3 Observadores de Estado
Para (Ellis 2002) existem pelo menos quatro desvantagens causados por sen-
sores. Primeiro, sensores s˜ao caros, o custo de um sensor pode aumentar substan-
cialmente o pre¸co de um sistema de controle. Em muitos casos, os sensores e seu
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 23
cabeamento est˜ao entre os componentes mais caros do sistema. Segundo, sensores
e suas liga¸c˜oes associadas reduzem a confiabilidade do sistema de controle. Ter-
ceiro, alguns sinais s˜ao imposs´ıveis de medir. Os objetos a serem medidos podem
ser inacess´ıveis por diversas raz˜oes, como ambientes insalubres e de dif´ıcil movi-
menta¸c˜ao entre o controlador e o sensor (por exemplo a medi¸c˜ao de temperatura
de um motor). Quarto, sensores usualmente induzem erros significativos assim
como ru´ıdos estoc´asticos, erros c´ıclicos e flexibilidade limitada.
Os observadores podem ser usados para substituir sensores no sistema de con-
trole. Podem ser vistos em termos pr´aticos como algoritmos que combinam sinais
percebidos com outros conhecimentos de sistema de controle para produzir sinais
observados. Estes sinais observados podem ser mais precisos, menos caros e mais
confi´aveis que os sinais percebidos. Os observadores oferecem uma alternativa
para adicionar novos sensores ou atualizar os j´a existentes. Na Figura 2.3 mostra-
se o diagrama do observador com os principais blocos funcionais.
Figura 2.3: Regra de um observador em um sistema de controle.
Conforme apresentado na Figura 2.3, mostra-se a combina¸c˜ao dos conheci-
mentos da planta, conversor de potˆencia e um dispositivo de retorno para extrair
o sinal. O princ´ıpio de um observador: as intera¸c˜oes um sinal de retorno medido
com conhecimento de componentes de sistema de controle, o comportamento da
planta pode ser conhecido (determinado ou estimado) com grande precis˜ao do que
quando ´e usado somente sinal de retorno, na Figura 2.3, o observador aumenta a
sa´ıda do sinal do sensor e proporciona um sinal de retorno para lei de controle.
Os observadores por si s´o adicionam complexidade ao sistema e requerem
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 24
recursos computacionais, no entanto, podem ser menos robustos que sensores
f´ısicos, especificamente quando os parˆametros da planta mudam substancialmente
durante a opera¸c˜ao. E ainda, um observador aplicado com per´ıcia pode trazer
benef´ıcios de desempenho e ainda, em muitos casos, reduzir custos ou aumentar
confiabilidade.
A maior parte da teoria de projeto de controle moderno est´a baseada na su-
posi¸c˜ao de que o vetor de estado do sistema a ser controlado est´a dispon´ıvel por
medi¸c˜ao direta. Mas em muitas situa¸c˜oes pr´aticas, somente poucas quantidades
de sa´ıda est˜ao dispon´ıveis. (Ellis 2002) demonstra como as entradas e sa´ıdas
dispon´ıveis de um sistema podem ser usadas para construir uma estimativa do
vetor de estado do sistema, no qual o dispositivo respons´avel pela reconstru¸c˜ao
do vetor de estado
2
´e chamado de observador de Luenberger, ou somente, obser-
vador. Este trabalho deu in´ıcio a teoria dos observadores de estado (D.G. 1964)
(Fuhrmann 2008).
2.3.1 Observador de Luenberger
Um observador ´e uma estrutura matem´atica que combina sa´ıda, sensor e planta
excitada com modelo de plantas e sensores. Um observador prov´em do sinal de
retorno que ´e superior `a sa´ıda do sensor sem observador. O observador de Luen-
berger combina 5 elementos: uma sa´ıda sensor, Y (s), um conversor de potˆencia
(excita¸c˜ao da planta), P
c
(s), um modelo (estima¸c˜ao) da planta, G
P est
(s), um
modelo de sensor, G
Sest
(s) e um compensador, G
co
(s), conforme pode ser visto na
Figura 2.4.
2
Se n vari´aveis de estado s˜ao necess´arias para descrever completamente o comportamento
de um dado sistema, ent˜ao estas n vari´aveis de estado podem ser consideradas como as n
componentes de um vetor x(t). Tal vetor ´e chamado de vetor de estado. Um vetor de estado
´e portanto um vetor que determina unicamente o estado do sistema x(t) para qualquer t ≥ t
0
,
uma vez que a entrada u(t) para t ≥ t
0
seja especificada.
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 25
Figura 2.4: Forma geral do Observador de Luenberger.
Luenberger demonstrou que se um sistema ´e linear, seu vetor de estado pode
ser aproximadamente reconstru´ıdo atrav´es do projeto de um observador. O vetor
de estado de ordem “n”e com “m”sa´ıdas independentes pode ser reconstru´ıdo com
um observador de ordem “n−m”, reconstruindo o restante dos estados a partir de
equa¸c˜oes diferenciais. Mostrou tamb´em que o projeto de um observador para um
sistema com “m”sa´ıdas pode ser reduzido a um projeto de “m”observadores como
se fossem subsistemas com sa´ıdas simples, reduzindo sua complexidade (D.G.
1966).
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 26
Projeto de Controle
Na abordagem do projeto de controle por realimenta¸c˜ao de estados ´e assumido
que todas as vari´aveis de estados
3
estejam dispon´ıveis para realimenta¸c˜ao, que por
sua vez ´e um princ´ıpio b´asico para a realiza¸c˜ao de controle. Na pr´atica, contudo,
nem todas as vari´aveis de estados est˜ao dispon´ıveis para a realimenta¸c˜ao, devido
a natureza intr´ınseca do processo ou planta que absorve ou transforma a vari´avel,
ou ent˜ao do ponto de vista t´ecnico ou econˆomico seja invi´avel a constru¸c˜ao de um
dispositivo para medir diretamente a vari´avel de interesse. Ent˜ao, ´e necess´ario
estim´a-las ou aproxim´a-las das vari´aveis reais.
Ordem dos Observadores
Alguns m´etodos est˜ao dispon´ıveis para estimar as vari´aveis de estados n˜ao-
mensur´aveis sem o processo de diferencia¸c˜ao. A estima¸c˜ao de vari´aveis de estado
n˜ao-mensur´aveis ´e comumente chamado de observa¸c˜ao como j´a foi dito. Um
dispositivo (computador ou programa) que aproxima as vari´aveis de estados ´e
chamado de observador de estado ou simplesmente um observador. Se por outro
lado, observa-se todas as vari´aveis de estados do sistema, sem se importar que
algumas vari´aveis estejam dispon´ıveis para medida direta, ´e chamado observador
de estados de ordem completa.
Existem determinados momentos que ´e necess´ario a observa¸c˜ao de somente
vari´aveis de estado n˜ao-mensur´aveis, mas n˜ao daquelas que s˜ao diretamente ou
completamente mensur´aveis. Desde que essas vari´aveis sejam observ´aveis e li-
nearmente relacionadas `as vari´aveis de estados, somente n−m, sendo n a dimens˜ao
do vetor de estado e m ´e a dimens˜ao do vetor de sa´ıda.
Um observador que estima menos do que n vari´aveis de estados ´e chamado de
3
As vari´aveis de estado de sistema dinˆamico s˜ao o menor conjunto de vari´aveis que determina
o estado do sistema dinˆamico. Se pelo menos n vari´aveis x
1
(t), x
2
(t), ..., x
n
(t) s˜ao necess´arias
para descrever completamente o comportamento de um sistema dinˆamico (tal que uma vez dada
a entrada para t ≥ t
0
e o estado inicial em t = t
0
´e especificado, o estado futuro do sistema
esteja completamente determinado), ent˜ao as n vari´aveis x
1
(t), x
2
(t), ..., x
n
(t) s˜ao um conjunto
de vari´aveis de estado. Logo, as vari´aveis de estado n˜ao precisam ser grandezas fisicamente
mensur´aveis ou observ´aveis. Em termos pr´aticos, ´e conveniente escolher grandezas facilmente
mensur´aveis para as vari´aveis de estado, pois as leis de controle ´otimo requerem a realimenta¸c˜ao
de to das as vari´aveis de estado com ganhos adequados.
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 27
observador de estado de ordem reduzida. Se a ordem do observador de estado de
ordem reduzida ´e a m´ınima poss´ıvel, ent˜ao o observador ´e chamado de observador
de estado de ordem m´ınima.
Vantagens
Em alguns casos o observador pode ser usado para melhorar o desempenho
do sistema. Isto pode ser mais preciso que sensores ou podem reduzir o retardo
de fase inerente no sensor. Podem tamb´em prover sinais de dist ´urbio observados
que podem ser usados para apurar a resposta de dist´urbio. Em outros casos, eles
podem reduzir custo do sistema pelo aumento do desempenho de um sensor de
baixo custo, no entanto os dois juntos podem prover desempenho equivalente ao
sensor de alto custo. Em casos extremos, observadores podem eliminar um sensor
ao todo, reduzindo o custo do sensor e o cabeamento associado.
2.3.2 Formula¸c˜ao para Projeto
O projeto de um observador de estado consiste na determina¸c˜ao de uma matriz
de pondera¸c˜ao, cuja finalidade ´e minimizar o erro entre as vari´aveis do sistema
real e as do observador de estado. A matriz de pondera¸c˜ao deve satisfazer a dois
crit´erios: ser assintoticamente est´avel e possuir velocidade de resposta satisfat´oria.
Os requisitos para a matriz de pondera¸c˜ao s˜ao obtidos a partir dos autovalores
das matrizes de observabilidade e de controlabilidade. Dessa forma, o projeto
de um observador de estado de ordem completa, compreende, a determina¸c˜ao de
uma matriz de pondera¸c˜ao apropriada, que possui autovalores especificados pelo
projetista.
Um observador estima as vari´aveis de estado baseado nas medidas das vari´aveis
de sa´ıda e de controle, onde os conceitos de observabilidade representam uma im-
portante regra. Como dever´a ser visto posteriormente, os observadores de estado
podem ser projetados se e somente se a condi¸c˜ao de observabilidade for satisfeita.
Na seguinte discuss˜ao sobre observadores de estado, usa-se a nota¸c˜ao ˆx para
representar o vetor de estado observado. Em muito casos pr´aticos, esse vetor ´e usa-
do na realimenta¸c˜ao de estado para gerar o vetor de controle desejado. Considere
o sistema definido por
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 28
x
k+1
= Ax
k
+ Bu
k
(2.25)
y
k
= Cx
k
(2.26)
E o estado x seja aproximado pelo estado ˆx do modelo dinˆamico.
ˆx
k+1
= Aˆx
k
+ Bu
k
+ L(y
k
− C ˆx
k
) (2.27)
que representa o observador de estado (Ogata 1995). O observador de estado
possui y
k
e u
k
como vari´aveis de entradas e ˆx
k
como vari´avel de sa´ıda. O termo
L(y
k
−C ˆx
k
) ´e a corre¸c˜ao que envolve a diferen¸ca existente entre a sa´ıda medida y
k
e a sa´ıda estimada Cˆx
k
e a matriz L serve como matriz de pondera¸c˜ao. O termo
de corre¸c˜ao monitora o estado ˆx
k+1
.
Condi¸c˜oes Necess´aria e Suficiente
A condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a determina¸c˜ao da matriz ganho do
observador L para os autovalores desejados de A − LC ´e dada por
˙z = A
∗
z + C
∗
v
sendo completamente est´avel e control´avel.
A condi¸c˜ao completa do estado de controlabilidade para este sistema dual ´e
que o rank de
C
∗
.
.
. A
∗
C
∗
.
.
. · · ·
.
.
. (A
∗
)
n−1
C
∗
seja n. Esta ´e a condi¸c˜ao para a observabilidade completa do sistema original
definido pelas Equa¸c˜oes (2.25) e (2.26). Isto significa que a condi¸c˜ao necess´aria e
suficiente para a observa¸c˜ao de estado do sistema definido pelas equa¸c˜oes (2.25)
e (2.26) ´e que o sistema seja completamente observ´avel.
Em seguida, ser´a discutido os detalhes do observador de estado cujas car-
acter´ısticas dinˆamicas s˜ao determinadas pelas matrizes A e B e pelo termo de
corre¸c˜ao adicional, que envolve a diferen¸ca entre a sa´ıda medida e a sa´ıda esti-
mada. Neste caso, as matrizes A e B usadas no modelo e `aquelas do sistema real
s˜ao as mesmas.
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 29
2.3.3 Observador de estado de ordem completa
Assume-se que o sistema seja definido pelas equa¸c˜oes (2.25) e (2.26) e o modelo
do observador seja definido pela Equa¸c˜ao (2.27).
Para obter a equa¸c˜ao de erro do observador, subtrai-se a Equa¸c˜ao (2.27) da
Equa¸c˜ao (2.25).
ˆx
k+1
− x
k+1
= Aˆx
k
+ L(Cx
k
− C ˆx
k
) − Ax
k
= LCx
k
+ Aˆx
k
− LC ˆx
k
− Ax
k
= ˆx
k
(A − LC) − x
k
(A − LC)
= (ˆx
k
− x
k
)(A − LC)
= (A − LC)(ˆx
k
− x
k
) (2.28)
o vetor e
k
´e a diferen¸ca entre x
k
e ˆx
k
:
e
k
= ˆx
k
− x
k
(2.29)
a Equa¸c˜ao (2.28) torna-se
e
k+1
= (A − LC)e
k
(2.30)
Com base na Equa¸c˜ao (2.30) observa-se que o comportamento dinˆamico do
vetor de erro ´e determinado pelos autovalores da matriz A − LC. Se a matriz
A − LC ´e est´avel, o vetor de erro dever´a convergir para zero para qualquer vetor
erro inicial e(0). Isto ´e, ˆx
k
dever´a convergir para x
k
considerando os valores de
x(0) e ˆx(0). Se os autovalores da matriz A − LC s˜ao escolhidos de tal forma que o
comportamento dinˆamico do vetor erro seja assintoticamente est´avel e adequada-
mente r´apido, ent˜ao qualquer vetor de erro dever´a tender para zero (origem) com
uma velocidade adequada (Ogata 1995).
2.3.4 Matriz Controlador-Observador
Se o sistema ´e completamente observ´avel, ´e poss´ıvel escolher a matriz L tal que
A − LC possui autovalores arbitrariamente desejados, isto ´e, a matriz de ganho L
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 30
pode ser determinada para produzir a matriz desejada A − LC (Ogata 1995).
u
k
= −Kx
k
+ v
k
= −
K
1
K
2
... K
n
x
1 k
x
2 k
.
.
.
x
nk
+v
k
(2.31)
Tomando v
k
= 0 e usando ˆx no lugar de x obtˆem-se a seguinte lei de controle
u
k
= −K ˆx
k
(2.32)
substituindo a Equa¸c˜ao (2.32) na Equa¸c˜ao (2.25) tˆem-se
x
k +1
= Ax
k
− BK x
k
(2.33)
substituindo o valor ˆx da Equa¸c˜ao (2.29) na Equa¸c˜ao (2.33)
x
k +1
= Ax
k
− BK [e
k
+ x
k
] (2.34)
Organizando em forma de matrizes de estado as Equa¸c˜oes (2.30) e (2.34). A
matriz Controlador-Observador ´e dada por
e
k +1
x
k +1
=
A − LC 0
−BK A − BK
e
k
x
k
(2.35)
Observa-se as seguintes caracter´ısticas nas intera¸c˜oes entre os estados estima-
dos e o erro da estima¸c˜ao. Um aumento do erro provoca problemas nas a¸c˜oes do
controle. Observando o termo do erro, verifica-se que o projeto do observador n˜ao
sofre influˆencia direta dos ganho do controlador.
2.4 Projeto dos Controladores RLQ Discretos
A realiza¸c˜ao do projeto RLQD exige o desenvolvimento de observadores de
estados para a realimenta¸c˜ao completa de seus estados, os projetos do RLQD e
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 31
dos observadores de estado envolve o desenvolvimento de m´etodos para s´ıntese
e an´alise do seu desempenho que est˜ao associados com sistemas de aquisi¸c˜ao de
dados, identifica¸c˜ao de sistemas e os m´etodos para o projeto do controle RLQD
e observadores de estado, conforme apresentado na Figura 2.5.
Entrada e Sa´ıda
u
k
e y
k
Modelo do Sistema
˙x
k+1
= Ax
k
+ Bu
k
LQRD
Sintonia
Alg. Gen´eticos
Observador
Sintonia
T. de Kalman
Estados
Estimados
Ganhos
Controladores
Aquisi¸c˜ao
de
Sinais
Medi¸c˜ao
Direta
Identifica¸c˜ao
de
Sistemas
Modelos
Estima¸c˜ao Param´etrica
Controle
e
Monitora¸c˜ao
Medi¸c˜ao
Indiereta
Projetos
Sa´ıdas
Figura 2.5: Projeto RLQD e Observador de Estado.
2.4.1 Problema de Otimiza¸c˜ao Cl´assico
O problema de controle ´otimo consiste em determinar uma lei de controle que
minimize o ´ındice de desempenho quadr´atico, tendo como restri¸c˜ao o sistema
dinˆamico representado por x
k+1
e [0, N] ´e o intervalo de interesse. Este problema
pode ser formulado em uma estrutura de otimiza¸c˜ao restrita dada por
min
u
1
2
N
k=0
x
T
k
Q
1
x
k
+ u
T
k
Q
2
u
k
dt (2.36)
sujeito a equa¸c˜ao dinˆamica do sistema
x
k+1
= Ax
k
+ Bu
k
, (2.37)
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 32
x(0 ) = x
0
(2.38)
e como restri¸c˜oes
x
T
Q
1
x ≥ 0 ,∀x
u
T
Q
2
u > 0 ,∀u ̸= 0
(2.39)
reorganiza-se a Equa¸c˜ao (2.37) para minimizar J sujeito a
−x
k +1
+ Ax
k
+ Bu
k
= 0 , k = 0 , 1 ,..., N (2.40)
Usa-se o m´etodo do multiplicador de Lagrange que ser´a o vetor denotado por
λ
k+1
para todo m. Chega-se a uma nova fun¸c˜ao de custo:
J
′
=
1
2
N
k =0
x
T
k
Q
1
x
k
+ u
T
k
Q
2
u
k
+
λ
T
k +1
[−x
k +1
+ Ax
k
+ Bu
k
]
(2.41)
obtˆem-se as seguintes equa¸c˜oes:
∂J
′
∂u
k
= u
T
k
Q
2
+λ
T
k +1
B = 0 (2.42)
(equa¸c˜ao de controle)
∂J
′
∂λ
k +1
= −x
k +1
+ Ax
k
+ Bu
k
= 0 (2.43)
(equa¸c˜ao de estado)
∂J
′
∂x
k
= x
T
k
Q
1
−λ
T
k
+λ
T
k +1
A = 0 (2.44)
(equa¸c˜ao adjunta)
Com isto apresenta-se o projeto do regulador linear quadr´atico discreto (RLQD)
em trˆes etapas:
1. Busca das matrizes de pondera¸c˜ao;
2. Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao Alg´ebrica de Riccati;
3. C´alculo do ganho do controlador ´otimo.
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 33
2.4.2 Solu¸c˜ao RLQD
A lei de controle linear dada por u
k
= −Kx
k
´e obtida pelas solu¸c˜oes das
Equa¸c˜oes (2.42), (2.43) e (2.44). A solu¸c˜ao detalhada da lei do controle RLQD
´e apresentada no Apˆendice A. A estrutura para u
k
e Equa¸c˜ao Alg´ebrica Discreta
de Riccati (EADR) que s˜ao dadas por
u
k
= −R
−1
B
T
S
k +1
Ax
k
(2.45)
sendo S
k+1
a solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao Alg´ebrica Discreta de Riccati (EADR) que ´e
dada por
A
T
[S
k +1
− S
k +1
BR
−1
B
T
S
k +1
]A + Q = 0 (2.46)
sendo Q e R as matrizes de pondera¸c˜ao do estado e do controle, respectivamente.
A lei do controle u
k
= −Kx
k
´e ´otima para qualquer que seja o estado inicial
x(0). O problema de projetar um sistema de controle de realimenta¸c˜ao linear que
minimiza um ´ındice de desempenho quadr´atico, problema este que pode ser re-
duzido ao problema de obter uma solu¸c˜ao sim´etrica e definida positiva da Equa¸c˜ao
Alg´ebrica de Riccati (Moudgalya 2007).
2.5 Conclus˜ao
No intuito de estabelecer a contextualiza¸c˜ao do tema da pesquisa em rela¸c˜ao a
um car´ater interdisciplinar em identifica¸c˜ao de sistemas, observadores de estados e
as aplica¸c˜oes em sistemas de medi¸c˜ao indireta e projeto de controladores RLQD,
apresentou-se os elementos b´asicos, de cada teoria, para o desenvolvimento de al-
goritmos de observadores de estado baseados em equa¸c˜oes `a diferen¸ca e estima¸c˜ao
param´etrica.
De forma geral, apresentou-se uma descri¸c˜ao do problema de medi¸c˜ao indi-
reta sob o ponto de vista de observador de estado. Especificamente, a partir de
uma ´unica medi¸c˜ao estima-se o estado no interior de um espa¸co de estado que ´e
subespa¸co de um espa¸co mais abrangente de estados (maior n´umero).
CAP
´
ITULO 2. CONTEXTUALIZAC¸
˜
AO E ESTADO DA ARTE 34
A teoria de identifica¸c˜ao de sistemas fornece m´etodo e t´ecnicas de apoio para
o desenvolvimento de algoritmos para estima¸c˜ao de estado que s˜ao essencialmente
baseados em modelos de sistemas dinˆamicos. Como pode ser verificado em todas
fases do projeto, as matrizes do sistema dinˆamico est˜ao presentes na determina¸c˜ao
de ganhos de observadores e controladores. A importˆancia pode ser salientada
devido a praticidade para determina¸c˜ao das propriedades do sistemas por meio
de simula¸c˜oes computacionais.
Os observadores de estado s˜ao apresentados em termos de sua formula¸c˜ao
b´asica e m´etricas para avalia¸c˜ao do seu desempenho em termos de convergˆencia.
A teoria de Kalman ´e apresentada como uma alternativa para o c´alculo do ganho
de malha fechada do observador, pois tˆem-se aloca¸c˜ao direta de p´olos.
Uma das aplica¸c˜oes dos modelos da planta ´e a disponibiliza¸c˜ao de uma de-
scri¸c˜ao no espa¸co de estado para o projeto de controladores do tipo RLQD. O
problema ´e formalizado em termos de solu¸c˜ao cl´assica para mostrar a importˆancia
do modelo do sistema dinˆamico em espa¸co de estados para o desenvolvimento de
controladores ´otimos. A solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao Alg´ebrica de Riccati Discreta mostra
a influˆencia dos parˆametros de modelo na obten¸c˜ao da lei do Controle
´
Otimo.
Cap
´
ıtulo 3
Caracteriza¸c˜ao e Formula¸c˜ao do
Problema
Inicialmente, o problema ´e caracterizado como um problema de monitora¸c˜ao e con-
trole de sistemas dinˆamicos, partindo deste contexto, o problema ´e formulado para
pesquisa em estima¸c˜ao param´etrica para descri¸c˜oes em fun¸c˜ao de transferˆencia e
espa¸co de estados. As descri¸c˜oes no espa¸co de estado s˜ao aplicados em n´ucleo de
estima¸c˜ao de SMI e projetos de sistemas de controle ´otimo.
Apresenta-se uma fundamenta¸c˜ao te´orica para modelagem do sistema, obser-
vadores de estado e sistema de aquisi¸c˜ao de dados. A formula¸c˜ao do problema
´e apresentada no espa¸co de estado para monitora¸c˜ao (Observadores) e controle
(Regulador Linear Quadr´atico Discreto).
Em contexto tecnol´ogico, a caracteriza¸c˜ao do problema envolve uma descri¸c˜ao
do problema de medi¸c˜ao indireta, mas em contexto cient´ıfico, a pesquisa ´e ori-
entada para o desenvolvimento de modelos matem´aticos para os observadores de
estado que s˜ao utilizados para n´ucleo de sistemas de monitora¸c˜ao e para o projeto
de controladores discretos e ´otimos.
O observador ´e caracterizado como n´ucleo de estima¸c˜ao de estado de SMIs,
sendo constitu´ıdo pelos algoritmos de processamento da informa¸c˜ao (Estima¸c˜ao
e c´alculo simb´olico) e o outro pelo hardware que realiza o processamento da in-
forma¸c˜ao (medi¸c˜ao de sa´ıda). Entende-se por Sistema de Medi¸c˜ao Indireta a
composi¸c˜ao entre hardware (sensores e eletrˆonica) e software.
35
CAP
´
ITULO 3. CARACTERIZAC¸
˜
AO E FORMULAC¸
˜
AO DO PROBLEMA 36
3.1 Caracteriza¸c˜ao do problema
O problema de medi¸c˜ao indireta proposto ´e caracterizado como um problema
que envolve a teoria identifica¸c˜ao de sistemas, medi¸c˜ao direta, observadores de
estado e controle ´otimo. De maneira geral, caracteriza-se uma estrutura para mo-
nitora¸c˜ao e controle digital envolvendo modelos OE, curva de rea¸c˜ao de processo,
observadores de estado e controle linear quadr´aticos.
Na Figura 3.1 mostra-se o diagrama do SMI que ´e utilizado para caracterizar
o problema. O sistema de medi¸c˜ao indireta, observador, controlador RLQD e
atuador s˜ao os m´odulos principais do sistema de controle RLQD auto-ajust´avel.
O conjunto de observa¸c˜oes das sa´ıdas e as entradas (atuador e aleot´oria) s˜ao uti-
lizadas para realizar a modelagem do sistema em termos de equa¸c˜oes `a diferen¸ca.
Atuador
Sistema
Mundo Real
SMI
Observador
LQRD
Sintonia
GA
LQR
Auto-Ajust´avel
Modelagem
˙x = Ax + Bu
r(t)
u
c
(t)
y(t)
ˆx
1
ˆx
2
−
+
Figura 3.1: Sistema de Controle RLQD ajust´avel
O bloco RLQD representa o controle ´otimo RLQ discreto, sendo a sintonia
realizada por um algoritmo gen´etico e a sua realimenta¸c˜ao sendo realizada pelo
observador de estado que garante robustez ao SMI, na Figura 3.1 salienta-se a
integra¸c˜ao entre o SMI e observador de estado que utilizada as observa¸c˜oes e
as estimativas das EADs para contruir o estado. Reportando ao observador de
Luenberger, a quest˜ao do ajuste do ganhos s˜ao solucionadas para m´etodos de
aloca¸c˜ao de p´olos ou por Kalman.
A medi¸c˜ao indireta ´e feita por meio de modelos matem´aticos e a problem´atica
que envolve a necessidade de avaliar (ou monitorar) o comportamento de vari´aveis
de sistemas dinˆamicos. Estes problemas s˜ao relacionados com sensores, ru´ıdo,
CAP
´
ITULO 3. CARACTERIZAC¸
˜
AO E FORMULAC¸
˜
AO DO PROBLEMA 37
dimens˜oes e custo e envolvem uma complexidade que n˜ao ´e s´o num´erica, mas
tamb´em relacionada com a ordem de representatividade da grandeza.
No caso de origem num´erica devido a redu¸c˜ao da ordem de estados n˜ao existe
preocupa¸c˜ao com ru´ıdo, banda de frequˆencia, ou seja, n˜ao existe uma preocupa¸c˜ao
com a analogia do mundo real, mas sim uma liga¸c˜ao com erro zero no caso ideal
entre os estados.
Desta forma conceituamos as vari´aveis dos observadores de estado proveniente
de duas vertentes:
• Medi¸c˜oes indireta e diretas.
• Estados sem representa¸c˜ao no mundo real.
Os ru´ıdos de um determinado processo podem ser muito prejudiciais para a
leitura de uma aquisi¸c˜ao de dados. No caso das dimens˜oes podemos justificar que a
dimens˜ao do sensor pode ser considerado como fator que venha causar dist´urbios
no processo. A dificuldade de acesso a determinados meios ´e um dos motivos
quando deseja-se substituir um sensor por estimadores (Mouzinho et al. 2005).
Por fim, os custos de um sensor e de todo um arranjo por tr´as disso podem ser
bastante elevados tornando-se tamb´em um fator primordial na escolha de medi¸c˜ao
indireta.
3.2 Modelagem Param´etrica
Entende-se por modelagem param´etrica as estruturas alg´ebricas e os m´etodos
para estima¸c˜ao dos parˆametros das equa¸c˜oes `a diferen¸ca que s˜ao descritas na
formas de fun¸c˜oes de transferˆencia e no espa¸co de estado.
Enfoca-se os m´etodos e algoritmos da teoria identifica¸c˜ao, sistemas de aquisi¸c˜ao
de dados e a sintonia de observadores de estado como elementos essenciais para
constru¸c˜ao de sistema de medi¸c˜ao indireta.
3.2.1 O Modelo OE
A estrutura do modelo polinomial OE que calcula a estimativa do erro da
predi¸c˜ao ´e dada por (Ljung 1987)
CAP
´
ITULO 3. CARACTERIZAC¸
˜
AO E FORMULAC¸
˜
AO DO PROBLEMA 38
y
k
=
B
OE
(q)
A
OE
(q)
u
k−nk
+ e
k
(3.1)
sendo A
OE
(q) e B
OE
(q) os polinˆomios que modelam a dinˆamica da planta e
A
OE
(q) = 1 + a
1
q
−1
+ a
2
q
−2
+ . . . +a
na
q
−na
e B
OE
(q) = b
1
+ b
2
q
−1
+ b
3
q
−2
+ . . .
+b
nb
q
−nb
as pondera¸c˜oes do controle.
A Equa¸c˜ao (3.1) pode ser representada como
A
OE
(q)w
k
= B
OE
(q)u
k
y
k
= w
k
+ e
k
(3.2)
Uma estima¸c˜ao para o modelo da Equa¸c˜ao (3.2) ´e dada por
⌢
y
k
=
B
OE
A
OE
u
k
(3.3)
logo,
⌢
y
k
= w(k|θ) (3.4)
Embora n˜ao se possa medir w pode-se calcul´a-lo usando a Equa¸c˜ao (3.2), onde
chega-se no seguinte modelo linear
⌢
y
k
= w(k|θ) = ϕ
T
(k|θ)θ (3.5)
sendo,
ϕ(k|θ) = [u(k − 1)...u(k − dB
OE
) − w(k − 1|θ)... − w(k − dA
OE
)]
T
(3.6)
θ = [
b
1
...b
dB
OE
a
1
...a
dA
OE
]
T
(3.7)
CAP
´
ITULO 3. CARACTERIZAC¸
˜
AO E FORMULAC¸
˜
AO DO PROBLEMA 39
3.2.2 Modelo no Espa¸co de Estados
As equa¸c˜oes `a diferen¸ca de primeira ordem s˜ao utilizadas para representar
as rela¸c˜oes entre as vari´aveis de entrada, sa´ıda e ru´ıdo de sistemas dinˆamicos,
chamamos esta forma de descri¸c˜ao de espa¸co de estados. As vari´aveis de estado
descrevem um sistema por um conjunto equa¸c˜oes `a diferen¸ca de primeira ordem.
Os estados das vari´aveis pode reconstru´ıdos a partir dos sinais medidos de entrada-
sa´ıda.
Devido a natureza do problema o sistema ´e modelado na forma discreta no
tempo. Considerando o sinal de entrada constante tˆem-se
u
k
= u
kt
kT ≤ t
k
≤ (k + 1)T (3.8)
x
k+1
= Ax
k
+ Bu
k
+ Γw
k
(3.9)
y
k
= Cx
k
+ v
k
(3.10)
sendo x
k
, u
k
, y
k
, w
k
e v
k
os estado, entrada, sa´ıda, perturba¸c˜ao da planta, ru´ıdo
da medida, respectivamente. As matrizes A
n×n
,B
n×p
, C
n×q
, Γ
n×1
representam a
dinˆamica do sistemas e pondera¸c˜oes (controle, sa´ıda e perturba¸c˜ao), respectiva-
mante.
3.2.3 Projeto de Observadores de Estados
Para o projeto de observadores de estados de ordem completa com abordagem
direta considera-se o sistema definido pelas Equa¸c˜oes (2.25) e (2.26), sendo x(k+1)
o vetor de estados (vetor - n); u
k
o sinal de controle (escalar); y
k
o sinal de sa´ıda
(escalar); A matriz constante nxn; B matriz constante nxl e C matriz constante
lxn.
Como estabelecido anteriormente, o observador de estado dinˆamico ´e dado por
ˆx
k+1
= Ax
k
+ Bu
k
+ L(y
k
− Cx
k
) (3.11)
= (A − LC)x
k
+ Bu
k
+ LCx
k
(3.12)
CAP
´
ITULO 3. CARACTERIZAC¸
˜
AO E FORMULAC¸
˜
AO DO PROBLEMA 40
Exige-se que o erro dinˆamico seja assintoticamente est´avel e ϵ
k
alcance zero
dentro de velocidade suficiente para atender os requisitos de projeto. O proced-
imento para determina¸c˜ao da matriz L ´e selecionar os p´olos do observador (os
autovalores de A − LC ).
A determina¸c˜ao dos ganhos L do observador ´e realizado pela Teoria de Kalman,
levando em considera¸c˜ao os momentos estat´ısticos de primeira e segunda ordem
dos estados e a inser¸c˜ao do ru´ıdos da medida e dist´urbios da planta.
3.2.4 Sistema de aquisi¸c˜ao de dados
O sistema de aquisi¸c˜ao de dados que executa o experimento do SMI, no forno
esterilizador e no objeto, consiste de um conjunto de componentes eletrˆonicos
e de sensores que medem e armazenam os valores das temperaturas. Um soft-
ware dedicado em C - ´e embarcado no microcontrolador para executar a coleta
e o armazenamento dos valores da temperatura. Na Figura 3.2 ´e apresentado
o diagrama de bloco do sistema de medidas para construir projetar e avaliar o
desempenho do SMI.
LM35DZ
LM4741
PIC16F877
MAX
232
PC
LM35DZ
LM35DZ
0
T
1
T
2
T
Figura 3.2: Diagrama do experimento do sistema de medi¸c˜ao SMI.
CAP
´
ITULO 3. CARACTERIZAC¸
˜
AO E FORMULAC¸
˜
AO DO PROBLEMA 41
O sistema de aquisi¸c˜ao de dados que suporta a experiˆencia do SMI ´e cons-
titu´ıdo de 6 CI’s: um microcontrolador PIC16F877 (microchip), fazendo o uso de
conversores anal´ogicos-digital, tomando como a referˆencia 0V e n´ıveis de tens˜ao
de 5V . Um drive MAX232 e TTL/RS-232, compat´ıveis entre si foram utilizados
para fazer a comunica¸c˜ao entre o microcontrolador e o CP. Um amplificador do
CI (4741) e trˆes semicondutores LM35DZ que s˜ao os sensores, produzindo um
sinal proporcional e cont´ınuo de tens˜ao `a temperatura no meio, tornando poss´ıvel
avaliar o comportamento da temperatura na escala de 0
◦
C e de 120
◦
C.
3.3 Formula¸c˜ao do problema
A formula¸c˜ao do problema consiste em desenvolver equa¸c˜oes `a diferen¸ca nas
descri¸c˜oes de modelos polinomiais OE e no Espa¸co de Estado para observadores
de estado. Destes m´etodos s˜ao desenvolvidos os algoritmos em tempo real do
observador que fazem parte do n´ucleo de filtragem e predi¸c˜ao do SMI para o
desenvolvimento de uma solu¸c˜ao para o problema de controle RLQD.
Como solu¸c˜ao para projeto de SMI, vislumbra-se uma estrutura de hardware
e software constru´ıda para medi¸c˜ao n˜ao invasiva e controle de vari´aveis de estado
que sofrem a influˆencia de diversas vari´aveis, mas somente um estado ´e suficiente
para verificar o estado em uma dada regi˜ao devido as caracter´ısticas de um objeto.
As vari´aveis de estado internas s˜ao um subconjunto das vari´aveis externas.
A nota¸c˜ao de conjunto para esta situa¸c˜ao ´e que os estados da planta 1 s˜ao sub-
conjuntos da planta 2, conforme a representa¸c˜ao para os dois conjuntos dados
por
x
meio−1
:=
x
1
1
, . . . , x
1
n
(3.13)
x
meio−2
2
:= x
meio−1
∪ x
2
(3.14)
sendo x
meio−r
o conjunto de vari´aveis do meio r, x
1
n
a n-´esima vari´aveis de estado
do meio 1. O conjunto x
2
cont´em os estados do meio 2 que n˜ao est˜ao na vizinhan¸ca
do meio 2.
A planta 1 est´a totalmente inserida no interior da planta 2, conforme re-
presentado na Figura 3.3. O problema consiste em monitorar e controlar certos
CAP
´
ITULO 3. CARACTERIZAC¸
˜
AO E FORMULAC¸
˜
AO DO PROBLEMA 42
estados da planta 2 por meio de medi¸c˜oes de estados que s˜ao relacionados com
comportamento dos estados da planta 1.
Atuador
Sistemas
Dinˆamicos
Planta 2
Planta 1
r(t)
u
c
(t)
y(t)
u
0
(t)
Figura 3.3: Problema da medi¸c˜ao n˜ao invasiva
Na Figura 3.4 apresenta-se uma arquitetura para o projeto do SMI com ob-
servador de estado. O conjunto de observa¸c˜ao das sa´ıdas e as entradas (atuador
e aleot´oria) s˜ao utilizadas para realizar a modelagem do sistema em termos de
equa¸c˜oes `a diferen¸ca.
u
k
y
k
ˆy
k
ˆx
k
y
med
k
SMI
Observador Estados-MF
˙x = f(x, u, t)
y = g(x, u, t)
Ganho
L(e
k
, t)
Medi¸c˜ao Direta
y
1
, . . . , y
m
Estados
ˆx
k+1
= Aˆx
k
+ Bu
k
Sa´ıdas Estimadas
ˆy
=
C ˆx
k
Figura 3.4: SMI com observador de Estados em Malha Fechada.
CAP
´
ITULO 3. CARACTERIZAC¸
˜
AO E FORMULAC¸
˜
AO DO PROBLEMA 43
A solu¸c˜ao do problema consiste em realizar investiga¸c˜oes nas teorias e m´etodos
de identifica¸c˜ao de sistemas para o desenvolvimento de modelos matem´aticos de
plantas do mundo real. Os modelos s˜ao utilizados no projeto de observadores
de estado em malha fechada e aberta. As diretrizes para solu¸c˜ao do problema
consiste da realiza¸c˜ao das seguintes tarefas:
1. Especificar um sistema de aquisi¸c˜ao de dados que durante o processo de
aquisi¸c˜ao de dados, deve capturar a dinˆamica do processo em quest˜ao.
2. Determinar os parˆametros das equa¸c˜oes `a diferen¸ca das descri¸c˜oes em fun¸c˜ao
de transferˆencia e espa¸co de estados.
3. Elaborar os algoritmos do observador de estados para fins de monitora¸c˜ao e
controle.
3.4 Conclus˜ao
A caracteriza¸c˜ao e formula¸c˜ao do problema proposto foi apresentada desde a
sua descri¸c˜ao, mostrando os desafios que devem ser enfrentados para o desenvolvi-
mento de modelos matem´aticos para observadores estado em termos da equa¸c˜ao `a
diferen¸ca, at´e formula¸c˜ao estruturada do problema de modelagem proposto. Estas
equa¸c˜oes s˜ao utilizadas como n´ucleo dos sistemas de medi¸c˜ao e para projeto de
controladores RLQD.
A modelagem param´etrica para identifica¸c˜ao dos modelos polinomais-OE e no
espa¸co de estado foram apresentados em suas formula¸c˜oes para malhas aberta e
fechada, respectivamente. Na formula¸c˜ao do observador para fins de projeto,
apresentou-se a formula¸c˜ao cl´assica (Gauss-Legendre) para o problema de es-
tima¸c˜ao, salientando-se a importˆancia do ajuste do ganho e o m´etodo do Filtro de
Kalman para sintonizar o observador. O sistema de aquisi¸c˜ao ´e referenciado por
uma quest˜ao de consistˆencia com a proposta, montado em uma estrutura simples
e de baixo custo que atende aos requisitos de aquisi¸c˜ao de dados e mem´oria para
embarcar os algoritmos dos observadores.
O problema foi caracterizado de forma descritiva e formalizado em linguagem
matem´atica, envolvendo em uma ´unica estrutura as teorias de SMI (hardware
e algoritmos), observador de estado e controle ´otimo. Desta forma, temos as
CAP
´
ITULO 3. CARACTERIZAC¸
˜
AO E FORMULAC¸
˜
AO DO PROBLEMA 44
aplica¸c˜oes e direcionamentos dos desenvolvimentos em identifica¸c˜ao de sistemas,
controle ´otimo e programa¸c˜ao dinˆamica para solucionar o problema de medi¸c˜ao
indireta.
Cap
´
ıtulo 4
Modelagem e Observadores de
Estados
Neste Cap´ıtulo apresenta-se o desenvolvimento de modelos do sistema dinˆamico
para observadores de estado. As equa¸c˜oes `a diferen¸ca dos modelos e observadores
s˜ao representados na forma de algoritmos para constitu´ırem os n´ucleos de SMI.
Especificamente, apresenta-se o desenvolvimento modelos e algoritmos que viabi-
lizam a realiza¸c˜ao do observador de estado.
A complexidade do tema pode ser avaliada pela seguinte cadeia de eventos: a)
Identifica¸c˜ao dos modelos matem´aticos do sistema dinˆamico que fornece m´etodos
para estima¸c˜ao param´etrica do modelos de sistemas do mundo real. Os m´etodos
estima¸c˜ao utilizam medi¸c˜oes da sa´ıda que s˜ao obtidas pelos sistemas de aquisi¸c˜ao
de dados e a teoria de otimiza¸c˜ao. b) Projeto do observadores de estados nas
malhas fechadas e aberta utilizam os modelos matem´aticos levantados no item a)
e/ou medi¸c˜ao direta.
Unindo as metodologias citadas no par´agrafo anterior com os sistemas de
aquisi¸c˜ao de dados, tem-se uma abstra¸c˜ao funcional de um sistema de medi¸c˜ao
indireta baseado em observadores de estado. Nesta pesquisa e em contextos tec-
nol´ogicos, os observadores de estado s˜ao desenvolvidos em malha aberta para
monitora¸c˜ao e em malha fechada para monitora¸c˜ao e controle.
O desenvolvimento da metodologia proposta ´e ilustrada para medi¸c˜ao n˜ao
invasiva de temperaturas. Realiza-se medi¸c˜oes das temperaturas externas, estufa
e objetos no seu interior, os parˆametros dos modelos (equa¸c˜oes `a diferen¸ca) s˜ao
45
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 46
estimados para as descri¸c˜oes em fun¸c˜ao de transferˆencia Output-Error e no espa¸co
de estados. As an´alises no dom´ınio do tempo e da frequˆencia s˜ao incorporadas a
an´alise de desempenho dos algoritmos.
Ainda neste Cap´ıtulo, mostra-se o desenvolvimento de algoritmos para a medi¸c˜ao
indireta de objetos (bloco de alum´ınio) no interior de uma estufa. Os obser-
vadores para um SMI, comportam-se como um sistema de medi¸c˜ao que atendem
a solicita¸c˜ao de controladores baseados em realimenta¸c˜ao completa de estados.
Realizou-se desenvolvimentos para blocos cerˆamicos, contudo, os resultados s˜ao
apresentados somente para a situa¸c˜ao de medi¸c˜oes no bloco de alum´ınio.
4.1 Medi¸c˜ao direta de temperatura
O desenvolvimento do modelo dinˆamico (caixa-cinza) que representa o sis-
tema t´ermico da Figura 4.1 ´e baseado em conceitos da termodinˆamica de trans-
ferˆencia de calor e em Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias. Nos pr´oximos par´agrafos
apresentam-se os gr´aficos das temperaturas (T
1
→ interior de objeto, T
2
→ den-
tro da estufa e T
0
→ tempertura ambiente) e coment´arios a respeito das medi¸c˜oes
diretas que s˜ao realizadas na modelagem da planta.
Figura 4.1: Estufa T´ermica.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 47
Os resultados das medi¸c˜oes de temperaturas diretas do objeto, estufa e ru´ıdo
que foram realizados com a implementa¸c˜ao do sistema de aquisi¸c˜ao de dados da
Figura 3.2 do Cap´ıtulo 3. Na Figura 4.2 ´e apresentado o comportamento da
temperatura na estufa para um conjunto de 3 horas de temperaturas medidas
com intervalo de amostragem de 1 minuto. O software utilizado para gerar os
gr´aficos dessa medi¸c˜oes foi o toolbox de identifica¸c˜ao do MATLAB.
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
109
109.5
110
110.5
111
a) Tempo (s)
u
t
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
22.5
23
23.5
24
24.5
25
25.5
26
b) Tempo (s)
T
0
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
20
40
60
80
100
120
c) Tempo (s)
T
1
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
20
40
60
80
100
120
d) Tempo (s)
T
2
Figura 4.2: Temperaturas medidas no forno esterilizador.
Na Figura 4.2(a) tˆem-se a entrada degrau do sistema fixado em 110 V ; (b)
tˆem-se o ru´ıdo da planta t´ermica; (c) tˆem-se as temperaturas medidas no objeto
e (d) tˆem-se as temperaturas medidas dentro do forno.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 48
4.2 Modelagem do sistema dinˆamico
Para o projeto do controlador utiliza-se tanto conceitos de termodinˆamica e
de transferˆencia de calor necess´arios `a compreens˜ao e modelagem de sistemas
t´ermicos, considerando sinais provenientes de medi¸c˜oes de experimentos ou de
atividades de campo.
Os elementos do sistema de controle s˜ao mostrados na Figura 4.3. Atuador
e Planta s˜ao modelados por meio de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias. Nesse caso
temos duas plantas que s˜ao representadas pelas temperaturas T
1
e T
2
. A tempera-
tura T
0
representa a temperatura ambiente.
Figura 4.3: Diagrama geral para planta t´ermica.
O princ´ıpio da conserva¸c˜ao de energia para os dois meios e as leis da ter-
modinˆamica que representam a transferˆencia de calor s˜ao os fundamentos utiliza-
dos para modelar o sistema t´ermico. As equa¸c˜oes diferenciais que representam o
estado ou o comportamento do sistema s˜ao dadas por
m
1
c
1
dT
1
dt
= k
12
(T
2
− T
1
) (4.1)
m
2
c
2
dT
2
dt
= −k
12
(T
2
− T
1
) − k
20
(T
2
− T
0
) + b
u
T
u
(4.2)
sendo m
i
, c
i
, T
0
, T
1
e T
2
a massa, o calor espec´ıfico do i-´esimo meio e as tempera-
turas ambiente, forno e do objeto, respectivamente. As respectivas condutˆancias
t´ermicas s˜ao representadas por k
ij
.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 49
4.2.1 EAD-OE de Temperaturas
Os modelos Output-Error das plantas s˜ao o n´ucleo estrutural do observador que
pode ser representado por equa¸c˜ao `a diferen¸ca. A estrutura do modelo polinomial
OE que calcula a estimativa para temperatura ´e dada por
T
1
k
=
b
1
+ b
2
q
−1
1 + a
1
q
−1
+ a
2
q
−2
T
2
k−nk
+ e
2
k
(4.3)
sendo 1 + a
1
q
−1
+ a
2
q
−2
e b
1
+ b
2
q
−1
o polinˆomio que modelam a dinˆamica da
planta.
A expans˜ao de segunda ordem da equa¸c˜ao `a diferen¸ca, Equa¸c˜ao () ´e dada por
T
1
k
+ a
i
1
T
1
k−1
+ a
1
2
T
i
k−2
= T
2
k
+ b
1
T
2
k−1
+ e
1
k
(4.4)
sendo a
1
1
, . . . e b
2
1
, . . . os coeficientes dos polinˆomios da Equa¸c˜ao (4.2.1). O ruido
´e representado por e
1
k
.
Os modelos tipo OE de 1
a
ordem s˜ao utilizados para representar as parcelas de
T
2
no observador em malha aberta, as equa¸c˜oes para sistemas de primeira ordem
s˜ao dadas por
T
i
k
=
b
i
1
1 + a
i
1
q
−1
u
i
k−nk
+ e
2
k
(4.5)
sendo 1 + a
1
q
−1
e b
1
os polinˆomios que modelam a dinˆamica da planta e as en-
tradas u
i
. Os indices i de u
i
s˜ao as temperaturas T
1
, T
0
e T
u
. Estes indices i s˜ao
os elementos de conjunto de entrada do modelo caixa branca u
i
. Desta forma, in-
corporamos a informa¸c˜ao no modelo caixa cinza proposto. O ruido ´e representado
por e
2
k
.
4.3 Observador em Malha Aberta
As fun¸c˜oes de transferˆencia das Equa¸c˜oes (4.2.1 ) e (4.5) s˜ao utilizadas para
modelar o comportamento das temperaturas no interior da estufa. Estas Equa¸c˜oes
formam o observador de estado em malha aberta que est´a representado na Figura
4.4, as entradas T
0
e T
2
s˜ao a temperaturas obtidas por sensores e T
1
´e a vari´avel
medida sem sensor.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 50
b
T
0
1
1+a
T
0
1
q
−1
b
T
u
1
1+a
T
u
1
q
−1
Σ
b
T
2
1
+b
T
2
2
q
−1
1+a
1
q
−1
+a
2
q
−2
b
T
u
1
1+a
T
u
1
q
−1
∧
T
1
(1)
(2)
(4)
(3)
U(q)
T
0
T
2
∧
T
2
Figura 4.4: Diagrama de Blocos do observador em Malha Aberta para medi¸c˜oes
n˜ao invasivas.
Observando a Figura 4.4, o observador de estado realiza as fun¸c˜oes de filtragem
da vari´avel de estado T
2
e de estima¸c˜ao indireta do estado T
1
. O observador em
malha aberta ´e constitu´ıdo de quatro blocos funcionais bem definidos de acordo
com a estrutura caixa-branca das Equa¸c˜oes (4.1) e (4.2). O bloco do atuador (1)
representa a fonte de calor principal do sistema, tendo a fun¸c˜ao de controlar as
temperaturas no interior do forno e do objeto. O bloco (2) tem a temperatura
T
0
como entrada, este bloco representa as perturba¸c˜oes das plantas devidas as
mudan¸cas de temperatura externas. O bloco (3) tem a temperatura T
1
como uma
parcela que retorna para a temperatura no interior da estufa, representando a
influˆencia de T
1
para a temperatura dentro do forno. O bloco (4) representa os
valores medidos indiretos da temperatura dentro do objeto.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 51
4.3.1 Propriedades Caixa-Cinza
No intuito de associar propriedades do modelos com os valores medidos com o
sensor da temperatura T
2
, ilustra-se na Figura 4.5 as contribui¸c˜oes de cada tem-
peratura em rela¸c˜ao a outra. No gr´afico (a) tˆem-se a medi¸c˜ao das temperaturas
T
1
e T
2
para a entrada degrau fixada em 110 V ; (b) tˆem-se a contribui¸c˜ao da tem-
peratura T
1
(no interior da estufa) para a temperatura T
2
(no objeto);(c) tˆem-se
a contribui¸c˜ao de T
0
(ru´ıdo ou temperatura no ambiente) para a temperatura T
2
e (d) tˆem-se a contribui¸c˜ao da pr´opria entrada degrau para a temperatura T
2
.
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
20
40
60
80
100
120
a) Time(s)
T
i
T
1
T
2
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
0
20
40
60
80
100
120
b) Time(s)
T
i
T
2
* K
T1
T
1
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
0
5
10
15
20
25
30
c) Time(s)
T
i
T
2
* K
T0
T
0
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
0
20
40
60
80
100
120
b) Time(s)
T
i
T
2
* K
U
T
U
Figura 4.5: Temperaturas medidas na cˆamara interna.
Nos gr´aficos b), c) e d) da Figura 4.5 s˜ao apresentados uma situa¸c˜ao em que
a medida do sensor T
2
´e constitu´ıda das contribui¸c˜oes de T
1
, T
0
2 e T
u
da bobina
t´ermica, conforme pode ser observado no diagrama de blocos do observador em
malha aberta da Figura 4.4.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 52
Consequente, a temperatura T
2
pode ser representada pelas contribui¸c˜oes das
trˆes temperaturas (T
0
, T
1
e T
u
), podendo ser verificado pela transformada de
Laplace da Equa¸c˜ao (4.2). Aplicando o teorema da superposi¸c˜ao temos que
T
med
2
(s) = k
T
1
(s)T
1
(s) + k
T
0
(s)T
0
(s) + k
u
T
u
(s) (4.6)
sendo k
T
1
, k
T
0
e k
u
as fun¸c˜oes de transferˆencia associadas com as contribui¸c˜oes
de T
1
, T
0
e T
u
, respectivamente.
Ainda considerando que o lado esquerdo da Equa¸c˜ao (4.6) pode ser decomposto
em trˆes contribui¸c˜oes, uma outra representa¸c˜ao para T
med
2
(s) ´e dada por
T
med
2
(s) = T
T
1
2
(s) + T
T
0
2
(s) + T
T
u
2
(s) (4.7)
sendo
T
T
1
2
(s) = k
T
1
(s) (4.8)
T
med
2
(s) = k
T
0
(s)T
0
(4.9)
T
med
2
(s) = k
u
T
u
(s) (4.10)
As parcelas do lado direito s˜ao utilizadas como observa¸c˜oes para estima¸c˜oes dos
parˆametros das fun¸c˜oes de transferˆencia que est˜ao associadas com a Equa¸c˜ao (4.2).
A determina¸c˜ao das constantes k
T
1
, k
T
0
e k
u
s˜ao determinadas empiricamente, mas
de forma polarizada em termos da dimens˜ao do forno e tipo de material, s˜ao duas
referˆencia para determina¸c˜ao destes parˆametros para modelagem do processo.
4.3.2 Equa¸c˜oes `a diferen¸ca do meio 1
O comportamento da temperatura T
1
k
no objeto (alum´ınio) ´e guiado pela tem-
peratura (T
2
k
) no interior do forno. A equa¸c˜ao `a diferen¸ca que representa a tem-
peratura de T
1
k
do objeto no k-´esimo instante ´e dada por
T
1
k
= −a
1
T
1
k−1
− a
2
T
1
k−2
+ b
1
T
2
k
+ b
1
T
2
k−1
(4.11)
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 53
sendo que os parˆametros da equa¸c˜ao `a diferen¸ca s˜ao obtidos pelo toolbox de con-
trole do MATLAB denominado LTIVIEW e s˜ao dados na forma polinomial
A(q) = 1 − 0.6603q
−1
− 0.3373q
−2
e B(q) = 0.125q
−1
− 0.1227q
−2
Na Figura 4.6 ´e apresentado o comportamento de temperaturas estimadas e
medidas no objeto no interior do forno hospitalar. Na Figura 4.6b apresenta-se o
sinal de excita¸c˜ao que foi medido com o sensor LM35DZ.
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
a) Tempo (s)
T
1
0
C
T
1
est
T
1
med
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
b) Tempo (s)
T
2
med
0
C
Figura 4.6: Temperaturas estimadas e medidas no interior do objeto.
4.3.3 Equa¸c˜oes `a diferen¸ca do meio 2
A contribui¸c˜ao de cada fonte de calor para a temperatura total T
2
k
no k-´esimo
instante ´e representada pelas equa¸c˜oes `a diferen¸ca na forma:
T
2,i
k
= −a
i
1
T
i
k−1
+ b
i
1
T
i
(4.12)
sendo T
2,i
k
a contribui¸c˜ao da temperatura T
2
para estima¸c˜ao da temperatura no
interior do forno e T
i
a entrada, T
i
= {T
o
, T
1
, T
u
} ´e o conjunto ordenado do
modelo de entradas e seu conjunto de ´ındices associados ´e dado por i = {0, 1,
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 54
u}. Os coeficientes a
i
1
e b
i
1
do modelo s˜ao determinados pelo m´etodo de m´ınimos
quadrados (Johnson 1988).
A Fun¸c˜ao de Transferˆencia G
T 2T u
A G
T 2T u
(q) representa uma descri¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia do modelo
no operador q, onde as varia¸c˜oes da temperatura no interior do forno (T
2
k
) no
instante k s˜ao guiadas pela contribui¸c˜ao da temperatura T
u
no k-´esimo instante.
A temperatura T
2,T u
k
´e determinada pela equa¸c˜ao `a diferen¸ca que ´e dada por:
T
2,T u
k
= b
T u
1
T
u
k
− a
T u
1
T
2,T u
k−1
(4.13)
sendo B(q) = 0.00141 e A(q) = 1 − 0.998q
−1
os parˆametros estimados.
Na Figura 4.7 ´e apresentado o comportamento da temperatura T
u
que contribui
para a temperatura T
2
e sua compara¸c˜ao com os valores medidos da temperatura.
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
10
20
30
40
50
60
70
80
a) Tempo (s)
T
2
0
C
T
2
T
u
−est
T
2
T
u
−med
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
109
109.2
109.4
109.6
109.8
110
110.2
110.4
110.6
110.8
111
b) Tempo (s)
T
u
0
C
Figura 4.7: Estima¸c˜ao das temperaturas T
u
2
devido a temperatura T
u
do atuador.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 55
A Fun¸c˜ao de Transferˆencia G
T 2T 1
A G
T 2T 1
(q) representa uma descri¸c˜ao da fun¸c˜ao de Transferˆencia do modelo
no operador q, onde as varia¸c˜oes da temperatura no interior do forno (T
2
k
) s˜ao
guiadas pela contribui¸c˜ao da temperatura T
1
k
no k-´esimo instante. A temperatura
T
2,T 1
k
´e guiada pela equa¸c˜ao `a diferen¸ca que ´e dada por
T
2,T 1
k
= b
T 1
1
T
1
k
− a
T 1
1
T
2,T 1
k−1
(4.14)
sendo B(q)= 0.2687 e A(q) = 1 + 0.2356q
−1
os parˆametros estimados.
Na Figura 4.8 ´e apresentado o comportamento da temperatura T
1
que retorna
ao meio - 2 (temperatura T
2
) e a sua compara¸c˜ao com os valores medidos da
temperatura. A estima¸c˜ao ´e apresentada na Figura 4.8b.
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
a) Tempo (s)
T
2
0
C
T
2
T
1
−est
T
2
T
1
−med
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
b) Tempo (s)
T
1
0
C
Figura 4.8: Temperaturas T
T 1
2
estimada e T
1
medida.
A Fun¸c˜ao de Transferˆencia G
T 2T 0
A G
T 2T 0
(q) representa uma descri¸c˜ao da Fun¸c˜ao de Transferˆencia do modelo no
operador q, onde as varia¸c˜oes da temperatura no interior do forno (T
2
k
) no instante
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 56
k s˜ao guiadas pela contribui¸c˜ao da temperatura de T
0
no k-´esimo instante. A
temperatura T
2,T 0
k
´e determinada pela equa¸c˜ao `a diferen¸ca que ´e dada por
T
2,T 0
k
= b
T 0
1
T
0
k
− a
T 0
1
T
2,T 0
k−1
(4.15)
sendo B(q)= 0.000982 e A(q) = 1 − 0.9978q
−1
os parˆametros estimados.
Na Figura 4.9 ´e apresentado o comportamento da contribui¸c˜ao da tempera-
tura T
0
para a temperatura T
2
e de sua compara¸c˜ao com o valor medido da
temperatura. A estima¸c˜ao ´e apresentada na Figura 4.9b.
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a) Tempo (s)
T
2
0
C
T
2
T
0
−est
T
2
T
0
−med
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
22.5
23
23.5
24
24.5
25
25.5
26
b) Tempo (s)
T
0
0
C
Figura 4.9: Temperaturas T
T 0
2
estimada e T
0
medida.
As equa¸c˜oes `a diferen¸ca que realizam o observador em malha aberta, chamado
de procedimento SMI-Temp(A(q), B(q), setup), s˜ao dadas a seguir
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 57
SMI-Temp(A(q), B(q), setup)
while status
do ∞
✄ Bloco do Atuador
1
ˆ
T
2u
k+1
= −a
u
1
ˆ
T
2u
k
+ b
u
1
ˆ
T
u
k
✄ Bloco da Temperatura Ambiente
2
ˆ
T
20
k+1
= −a
0
1
ˆ
T
20
k
+ b
0
1
ˆ
T
0
k
✄ Bloco da Realimenta¸c˜ao de T
1
3
ˆ
T
21
k+1
= −a
1
1
ˆ
T
21
k
+ b
1
1
ˆ
T
1
k
✄ Temperatura T
2
Estimada
4
ˆ
T
2
k+1
=
ˆ
T
2u
k+1
+
ˆ
T
20
k+1
+
ˆ
T
21
k+1
✄ Medi¸c˜ao Indireta de T
1
5
ˆ
T
1
k+2
= −a
2
1
ˆ
T
1
k+1
− a
2
2
ˆ
T
1
k
+ b
2
1
T
2
k+1
+ b
2
2
T
2
k
4.3.4 An´alise dinˆamica
´
E executada uma an´alise no dom´ınio do tempo e da frequˆencia do SMI, tomando
em considera¸c˜ao: os erros de medidas, estabilidade pelos p´olos da fun¸c˜oes de
transferˆencia e respostas no dom´ınio da frequˆencia.
Os erros de medi¸c˜ao
Na Figura 4.10 s˜ao apresentados os valores estimados e os erros associados
das temperaturas estimadas que tˆem T
1
e T
2
medidas com os sensores (Medi¸c˜ao
Direta) como valores de referˆencia. Nas Figuras 4.10a e 4.10b s˜ao observados a
temperatura medida T
2
e seus erros associados, o erro da temperatura ´e aceit´avel
quando comparado com as caracter´ısticas do sensor real. Na Figura 4.10c-d ´e
apresentada a medida pelo sensor (Medi¸c˜ao Invasiva) e estimado por temperaturas
(n˜ao invas´ıvas) do modelo OE.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 58
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
20
40
60
80
100
120
a) Tempo (s)
T
2
0
C
T
2
est
T
2
med
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
−2
0
2
4
6
8
b) Tempo (s)
Erro − T
2
0
C
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
20
40
60
80
100
120
c) Tempo (s)
T
1
0
C
T
1
est
T
1
med
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
−2
−1
0
1
2
3
4
5
d) Tempo (s)
Erro − T
1
0
C
Figura 4.10: Erros de medi¸c˜ao direta e da medi¸c˜ao n˜ao invasiva.
Na Figura 4.11 s˜ao apresentados os erros de estima¸c˜oes das temperaturas
com rela¸c˜ao aos valores medidos. Na Figura 4.11 ´e apresentada o erro da medi¸c˜ao
no interior do objeto.
´
E observado que o erro est´a em uma escala aceit´avel, quando
comparado com o sensor direto que ´e executado pelo sistema de aquisi¸c˜ao de
dados da Figura 3.2. Na Figura 4.11b-d apresentam-se os erros das contribui¸c˜oes
das entradas para a temperatura total dentro do forno. O erro de estima¸c˜ao ´e
apresentado no Figura 4.11b.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 59
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
−2
−1
0
1
2
3
4
5
a) Tempo (s)
Erro − T
1
/T
2
0
C
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
−2
0
2
4
6
8
b) Tempo (s)
Erro − T
2
/T
u
0
C
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
c) Tempo (s)
Erro − T
2
/T
1
0
C
0 0.5 1 1.5 2
x 10
4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
d) Tempo (s)
Erro − T
2
/T
0
0
C
Figura 4.11: Estima¸c˜ao de erros - temperaturas estimadas e medidas com sensores.
Estabilidade
Os p´olos dos modelos do observador, representado pelos diagramas de blocos
do Figura 4.4, s˜ao mostrados na Figura 4.12 e detalhados na Tabela 4.1. En-
quanto os p´olos est˜ao no interior do c´ırculo unit´ario, um comportamento est´avel
do observador est´a garantido sob circunstˆancias operacionais normais.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 60
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pole−Zero Map
Real Axis
Imaginary Axis
Figura 4.12: P´olos e zeros das Fun¸c˜oes de Transferˆencia do SMI.
Tabela 4.1: P´olos, zeros e ganhos das Fun¸c˜oes de Transferˆencia do SMI.
F T Zeros P´olos Ganhos
z
1
p
2
p
1
K
T
12
0.9818 0.9982 -0.3379 0.9517
T
20
—- —- 0.9978 0.4463
T
21
—- —- -0.2356 0.2174
T
2u
—- —- 0.9980 0.7104
As Figuras 4.13 e 4.14 mostram as respostas ao degrau das Temperaturas
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 61
Estimadas. Como pode-se perceber, todas as respostas s˜ao favor´aveis j´a que o
sistema ´e est´avel para qualquer situa¸c˜ao.
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 50 100 150 200 250 300 350
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
System: sys_OE_D_T1_T2
Rise Time (sec): 123
System: sys_OE_D_T1_T2
Settling Time (sec): 214
System: sys_OE_D_T1_T2
Final Value: 0.952
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
System: sys_OE_D_TF_T20
Rise Time (sec): 998
System: sys_OE_D_TF_T20
Settling Time (sec): 1.78e+003
System: sys_OE_D_TF_T20
Final Value: 0.446
Figura 4.13: Resposta ao degrau das temperaturas estimadas T
12
e T
20
.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 62
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
System: sys_OE_D_TF_T2u
Settling Time (sec): 1.97e+003
System: sys_OE_D_TF_T2u
Final Value: 0.71
System: sys_OE_D_TF_T2u
Rise Time (sec): 1.11e+003
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
System: sys_OE_D_TF_T21
Rise Time (sec): 0
System: sys_OE_D_TF_T21
Settling Time (sec): 3
System: sys_OE_D_TF_T21
Peak amplitude: 0.269
Overshoot (%): 23.6
At time (sec): 1
System: sys_OE_D_TF_T21
Final Value: 0.217
Figura 4.14: Resposta ao degrau das temperaturas estimadas T
21
e T
2
u.
Resposta em frequˆencia
Os diagramas do magnitude e de fase nas Figuras 4.15 e 4.16 mostram o com-
portamento de cada bloco do SMI. Observa-se que o modelo da segunda ordem
apresentou a sensibilidade menor para varia¸c˜oes na frequˆencia e outro tem o com-
portamento regular de sistemas de primeira ordem. A an´alise das vari´aveis est˜ao
expl´ıcitadas na Tabela 4.2.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 63
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
−180
−90
0
−100
−50
0
System: sys_OE_D_TF_T20
Gain Margin (dB): 66.2
At frequency (rad/sec): 3.14
Closed Loop Stable? Yes
System: sys_OE_D_TF_T20
Peak gain (dB): −7.01
At frequency (rad/sec): 4.41e−012
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−180
−90
0
−40
−20
0
System: sys_OE_D_T1_T2
Peak gain (dB): −0.43
At frequency (rad/sec): 3.57e−011
System: sys_OE_D_T1_T2
Gain Margin (dB): 14.6
At frequency (rad/sec): 31.4
Closed Loop Stable? Yes
Figura 4.15: Diagrama de Bode das FT das temperaturas estimadas, a) T
12
e b)
T
20
.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 64
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
−180
−90
0
Phase (deg)
−100
−50
0
Magnitude (dB)
System: sys_OE_D_TF_T2u
Gain Margin (dB): 63
At frequency (rad/sec): 3.14
Closed Loop Stable? Yes
10
0
10
1
−180
−90
0
−15
−10
−5
System: sys_OE_D_TF_T21
Gain Margin (dB): 9.08
At frequency (rad/sec): 3.14
Closed Loop Stable? Yes
Figura 4.16: Diagrama de Bode das FT das temperaturas estimadas, a) T
21
e b)
T
2u
.
Tabela 4.2: Figuras de m´erito no dom´ınio da frequˆencia das temperaturas esti-
madas.
F T T
12
T
20
T
21
T
2u
M
r
(dB) −0.43 −7.01 9.08 −2.97
ϖ
r
(rad/sec) 3.57e
−11
4.41e
−12
3.14 3.97e
−12
BW (dB) 0.018 0.0022 —- 0.002
GM(dB) 14.6 66.2 9.08 63
ϖ
g
(rad/sec) 31.4 3.14 3.14 3.14
P M(dB) —- —- —- —-
ϖ
f
(rad/sec) —- —- —- —-
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 65
A resposta em frequˆencia em malha fechada dos modelos, de acordo com a
an´alise das especifica¸c˜oes no dom´ınio da frequˆencia s˜ao considerados est´aveis para
os valores encontrados de M
r
.
No entanto, observa-se que o comportamento do modelo T
12
´e mais sens´ıvel
`a altas frequˆencias, pois sua frequˆencia de corte (Cutoff Rate) ´e mais acentuada
que as demais.
Observa-se ainda que a largura de banda (Bandwidth) s˜ao b em pequenas em
todos os casos, logo, apenas sinais de frequˆencia relativamente baixas passam, e o
tempo de resposta ser´a baixo e lento. Por isso s˜ao considerados sistemas robustos,
pois possuem pouca sensibilidade em varia¸c˜ao de parˆametros do sistema.
Sabe-se que a largura de banda BW ´e diretamente proporcional a ω
n
e inversa-
mente proporcional ao coeficiente de amortecimento ζ para o caso de sistemas de
segunda ordem, isto ´e, para o caso do modelo T
12
abordado, como BW ´e pequeno
conclui-se que ζ ´e alto e ω
n
´e baixo, logo tˆem-se um sistema lento (como pode ser
comprovado na Figura 4.13).
Com rela¸c˜ao as margens de ganho observa-se que os modelos est˜ao todas dentro
dos padr˜oes de projeto, ou seja GM est´a acima de 6dB e com rela¸c˜ao `as margens
de fase em todos os modelos a margem de fase ´e infinita.
4.4 Modelagem no Espa¸co de Estados
O Diagrama do observador de estados da Figura 4.17 salienta a inclus˜ao do
bloco de erro, entre as medi¸c˜oes da temperatura T
2
e suas estimativas. Desta
maneira caracteriza-se observador em malha fechada, conforme (C.T.Chen 1999).
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 66
b
T 0
1
1+a
T 0
1
q
−1
b
T u
1
1+a
T u
1
q
−1
b
T 2
1
+b
T 2
2
q
−1
1+a
1
q
−1
+a
2
q
−2
b
T 1
1
1+a
T 1
1
q
−1
ˆ
T
1
k
(1)
(2)
(4)
(3)
T
U
k
T
0
k
ˆ
T
2
k
L
observer
(5)
+
−
T
2
k
Figura 4.17: SMI com observador em Malha Fechada.
Os blocos 1, 2, 3 e 4 possuem as mesmas fun¸c˜oes que os blocos do obervador em
malha aberta da Figura 4.4. O bloco 5 representa o vetor de ganhos do observador
de estados.
Na pr´oxima se¸c˜ao s˜ao apresentados em linguagem algoritmica (pseudo c´odigo),
o processamento da informa¸c˜ao para obten¸c˜ao de um modelo para fins de medi¸c˜ao
n˜ao invasiva e projeto de sistemas de controle.
4.4.1 Aquisi¸c˜ao de Dados
As temperaturas s˜ao medidas por meio de um sistema de aquisi¸c˜ao de dados
desenvolvido para aplica¸c˜oes embarcadas que s˜ao relatadas em (da Fonseca Neto
et al. 2008). As medi¸c˜oes s˜ao realizadas durante um intervalo de 2 horas para
valores constantes de tens˜ao. As medi¸c˜oes s˜ao realizadas no objeto (T
1
), na estufa
(T
1
) e no meio ambiente T
0
. Os conjuntos de medi¸c˜oes s˜ao definidos para uma
tens˜ao de 110 volts na bobina t´ermica.
O algoritmo que representa o processo das aquisi¸c˜oes das medi¸c˜oes direta
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 67
atende ao requisitos necess´arios para o levantamento do modelo (T
1
, T
2
e T
0
)
e para o observador de estados (T
2
e T
0
) em malha fechada. A representa¸c˜ao ´e
dada por
SMI-Medic Direta(T
1
, T
2
, T
0
✄ Algoritmo 1
✄ Bloco do conjunto de Medi¸c˜oes
1 T
1
← {T
1
0
, T
2
0
, . . . , T
n
0
}
2 T
2
← {T
1
1
, T
2
1
, . . . , T
n
1
}
3 T
0
← {T
1
2
, T
2
2
, . . . , T
n
2
}
As temperaturas medidas no interior da estufa (T
2
), no objeto (T
1
) e ambiente
(T
0
) que foram apresentadas na Figura 4.2 s˜ao medidas por sensores (medi¸c˜ao
direta). Os valores das temperaturas s˜ao utilizados no desenvolvimento do sis-
tema de medi¸c˜ao indireta que tem seu conceitos te´oricos alicer¸cados na teoria de
observadores de estado.
4.4.2 An´alise dos Sinais Medidos
A an´alise das medidas consiste da avalia¸c˜ao da qualidade dos sinais medidos no
intuito de detectar outliers, offset e outros valores esp´urios. O comportamento dos
sinais envolvidos no desenvolvimento dos modelos para os observadores (malhas
aberta e fechada) foram apresentados nos gr´aficos de tens˜ao (entrada) e temper-
aturas (sa´ıdas) da Figura 4.2.
As varia¸c˜oes das vari´aveis medidas para os instantes k e k +1 s˜ao apresentadas
na Figura 4.18, observa-se que temperatura temperatura T
2
apresenta varia¸c˜oes
superior a 2
0
C. A temperatura T
1
apresenta varia¸c˜oes superior a 1
0
C. As varia¸c˜oes
destas temperaturas est˜ao associadas com varia¸c˜oes do meio ambiente, desta forma
podemos concluir que estas varia¸c˜oes s˜ao ocasionadas devido as perturba¸c˜oes no
meio ambiente.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 68
0 500 1000 1500 2000
−1
−0.5
0
0.5
1
a) Tempo (s)
∆ U
0 500 1000 1500 2000
−1
−0.5
0
0.5
b) Tempo (s)
T
0
0 500 1000 1500 2000
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
c) Tempo (s)
∆ T
1
0 500 1000 1500 2000
−3
−2
−1
0
1
2
3
d) Tempo (s)
T
2
Figura 4.18: Varia¸c˜oes das Var´aveis Medidas Temperaturas.
Nas Figuras 4.19 e 4.20 apresenta-se os detalhes das varia¸c˜oes das medidas
para fins de um processamento para levantamento dos parˆametros do modelos
dos observadores.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 69
300 350 400 450 500
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Grandezas Medidas por faixa
a) Tempo (s)
∆ T
1
300 350 400 450 500
70
75
80
85
90
95
b) Tempo (s)
T
1
300 350 400 450 500
−3
−2
−1
0
1
2
3
c) Tempo (s)
∆ T
2
300 350 400 450 500
80
85
90
95
100
d) Tempo (s)
T
2
Figura 4.19: Varia¸c˜oes por faixas das Temperaturas T
1
e T
2
.
300 350 400 450 500
−0.5
0
0.5
Grandezas Medidas por faixa
a) Tempo (s)
∆ T
0
300 350 400 450 500
24
24.2
24.4
24.6
24.8
25
25.2
b) Tempo (s)
T
0
300 350 400 450 500
−3
−2
−1
0
1
2
3
c) Tempo (s)
∆ T
2
300 350 400 450 500
80
85
90
95
100
d) Tempo (s)
T
2
Figura 4.20: Varia¸c˜oes por faixas das Temperaturas ambiente e T
2
.
4.4.3 Modelagem da Planta
As fun¸c˜oes de transferˆencia s˜ao obtidas a partir da modelagem caixa cinza do
processo de medi¸c˜ao que ´e obtido pelas equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias (4.1) e
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 70
(4.2). Expandindo essas equa¸c˜oes temos que
dT
1
dt
= −a
11
T
1
+ a
12
T
2
(4.16)
dT
2
dt
= a
12
T
1
− a
22
T
2
+ b
21
T
0
+ b
22
T
u
(4.17)
sendo a
11
=
k
12
m
1
c
1
, a
12
= a
11
, a
21
=
k
12
m
2
c
2
, a
22
=
k
12
+k
20
m
2
c
2
. As pondera¸c˜oes do vetor
de entradas s˜ao b
21
=
K
20
m
2
c
2
e b
22
=
b
u
m
2
c
2
Aplicando a transformada de Laplace nas Equa¸c˜oes (4.16) e (4.17), obt´em-se
as fun¸c˜oes de transferˆencias que s˜ao dadas por
T
1
(s) =
a
12
s + a
11
T
2
(s) (4.18)
T
2
(s) =
a
21
s + a
22
T
1
(s) +
b
21
s + a
22
T
0
(s) +
b
22
s + a
22
T
u
(4.19)
Conforme a Equa¸c˜ao (4.19), os parˆametros que estabelecem as contribui¸c˜oes
de cada fonte, de calor para a temperatura T
2
, s˜ao ponderados para estipular a
contribui¸c˜ao de cada temperatura para a entrada do modelo da temperatura do
interior da estufa. As instru¸c˜oes do algoritmo que implementam a determina¸c˜ao
de parˆametros emp´ıricos da modelagem s˜ao dados a seguir:
SMI-fator(T
1
, T
2
, T
0
)
✄ Algoritmo 2
✄ Bloco de Parˆametros do Modelo
1 K
T 1−T 2
←
T
1
T
2
2 K
T 2−T
u
←
T
u
2
T
u
3 K
T 2−T 1
←
T
1
2
T
1
Embasado na Equa¸c˜ao (4.19), a decomposi¸c˜ao de T
2
como uma contribui¸c˜ao
das fontes t´ermicas T
1
, T
0
e T
u
´e utilizada para tornar a estima¸c˜ao param´etrica
mais confi´avel para estima¸c˜ao da vari´aveis de estado T
1
sem a utiliza¸c˜ao de sensor
direto. A decomposi¸c˜ao ´e representada por
T
med
2
(s) = T
1
2
(s) + T
0
2
(s) + T
u
2
(s) (4.20)
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 71
sendo T
med
2
(s) as temp eraturas medidas pelo sensor e as decomposi¸c˜oes das con-
tribui¸c˜oes T
1
2
(s), T
0
2
(s) e T
u
2
(s) das fontes que s˜ao est˜ao associadas com T
sensor
2
(s).
As parcelas est˜ao associadas com
T
1
2
(s) =
a
21
s + a
22
T
1
(s) (4.21)
T
0
2
(s) =
b
21
s + a
22
T
0
(s) (4.22)
T
u
2
(s) =
b
22
s + a
22
T
u
(4.23)
4.4.4 Estimativa dos Parˆametros
Utilizando a decomposi¸c˜ao da medi¸c˜ao direta e o teorema da superposi¸c˜ao, os
parˆametros s˜ao estimados para fun¸c˜oes de transferˆencias de primeira ordem, o
estimador fornece os parˆametros das FTs no dom´ınio cont´ınuo do tempo em ter-
mos das constantes de tempo e ganhos de regime permanente. Estas fun¸c˜oes de
transferˆencia s˜ao curvas de rea¸c˜ao do processo com t
0
= 0. A fun¸c˜ao de primeira
ordem ´e dada por
G(s)
i
=
K
i
1 + sτ
i
(4.24)
sendo τ
i
e K
i
a constante de tempo e o ganho da FTs de primeira ordem, respec-
tivamente. Estas fun¸c˜oes est˜ao associadas com a decomposi¸c˜ao de T
med
2
(s) que ´e
a temperatura medida, conforme estabelecido pela Equa¸c˜ao (4.20).
O modelo de 1
a
ordem para T
1
e o erro (T
med
1
- T
estim
1
) da estimativa, Figura
4.21, mostra a influˆencia da temperatura (contribui¸c˜ao) para a temperatura T
2
.
Os parˆametros da fun¸c˜ao de transferˆencias T
12
s˜ao apresentados na Tabela 4.3.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 72
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
−20
0
20
40
60
80
100
120
a) Tempo (s)
T
12
0
C
Est
Medida
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
a) Tempo (s)
Erro T
12
0
C
Figura 4.21: Modelo de 1
a
ordem para T
1
e Erro da Estimativa.
Na Tabela 4.3 tem-se os parˆametros das fun¸c˜oes de transferˆencias que est˜ao
associados com a das contribui¸c˜oes (T
21
, T
2u
e T
20
) para a temperatura T
2
. O
erro ∆
e
do modelo T
1
´e satisfat´orio. Contudo verifica-se que para o modelo T
2
o
melhor ∆
e
foi obtido para a fun¸c˜ao de transferˆencia T
2u
, sendo a mesma escolhida
para representar a dinˆamica do modelo de T
2
.
Tabela 4.3: Parˆametros das fun¸c˜oes de transferˆencia
FT τ (s) Ganho K polo Erro∆
e
T
1
28.5141 0.9304 0.0351 98.5279
T
21
0.0010 0.0544 1000.0 88.7388
T
2u
0.9318 1.0006 1.0732 98.6576
T
20
2288.50 0.0893 0.0004 94.8059
Na Figura 4.22 apresenta-se o modelo de 1
a
ordem para as contribui¸c˜oes T
21
(contribui¸c˜ao de devido a T
1
e T
2u
(contribui¸c˜ao devido a u). Os erros das esti-
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 73
mativas das contribui¸c˜oes s˜ao dadas por (T
med
21
- T
estim
21
) e (T
med
2u
- (T
estim
2u
).
0 500 1000 1500 2000
0
1
2
3
4
5
6
a) Tempo (s)
T
12
0
C
Est
Medida
0 500 1000 1500 2000
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
a) Tempo (s)
Erro T
12
0
C
0 500 1000 1500 2000
0
20
40
60
80
100
120
a) Tempo (s)
T
2u
0
C
Est
Medida
0 500 1000 1500 2000
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
a) Tempo (s)
Erro T
12
0
C
Figura 4.22: Modelo de 1
a
ordem para T
21
e T
2u
e Erros da Estimativas.
Os parˆametros da fun¸c˜ao de transferˆencia de T
u
para T
2
s˜ao dados por
G(s) =
K
1 + T p
1
s
(4.25)
sendo K = 1.0002 e T p1 = 4.8949 com varia¸c˜oes param´etricas de ±1.9944e
−005
e
±0.13766, respectivamente.
O modelo de 1
a
ordem para T
0
e o erro (T
med
1
- T
estim
1
) da estimativa, Figura
4.23, mostra a influˆencia da temperatura (contribui¸c˜ao) para a temperatura T
2
.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 74
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
0
0.5
1
1.5
2
2.5
a) Tempo (s)
T
20
0
C
Est
Medida
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
a) Tempo (s)
Erro T
20
0
C
Figura 4.23: Modelo de 1
a
ordem para T
0
e Erro da Estimativa.
4.4.5 Modelo Discreto
Modelo no Espa¸co de Estados ´e montado a partir dos parˆametros das fun¸c˜oes
de transferˆencias que s˜ao caracterizados pelos parˆametros apresentados na Tabela
4.3, sendo apresentado tanto na sua forma cont´ınua quanto na sua forma discreta.
A fim de obtermos uma identifica¸c˜ao do sistema para uma situa¸c˜ao em que a
dinˆamica do sistema ´e imposta a todas as contribui¸c˜oes de T
2
, como observado
na Equa¸c˜ao (4.17). Nesta situa¸c˜ao, o projetista deve decidir (empiricamente)
ou inferir para escolher qual conjunto {σ, K} que melhor aproxima (representa)
a dinˆamica do estado T
2
. Observando-se a dinˆamica das temperaturas que est˜ao
associadas as contribui¸c˜oes de T
2
, conforme apresentado na Tabela 4.3, o projetista
deve deve decidir qual a melhor dinˆamica. Desta forma, al´em da informa¸c˜ao sobre
a ordem do modelo, o processo de modelagem ´e alimentado com informa¸c˜ao (p´olos
e ganhos) com particularidades sobre a dinˆamica do sistema que s˜ao agregadas a
modelagem caixa cinza.
A experiˆencia do projetista, as informa¸c˜oes da Tabela 4.3 e m´etodos de an´alise
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 75
de controle conduzem ao modelo cont´ınuo no tempo que ´e dado por
˙
T
1
˙
T
2
−a
11
a
12
a
21
−a
22
T
1
T
2
+
0
b
22
T
u
(4.26)
A descri¸c˜ao no espa¸co de estado, Equa¸c˜ao (4.27), no tempo continuo ´e transfor-
mada para o tempo discreto (Ljung 1987), o modelo no espa¸co de estados em
tempo discreto ´e dada por
˙
T
1
˙
T
2
0.9965 0.003183
0.04903 0.7883
T
1
T
2
+
0.001656
0.8903
T
u
(4.27)
0 500 1000 1500 2000
20
40
60
80
100
120
T (s)
Temperatura
o
C
T
1
med
T
1
estim
0 500 1000 1500 2000
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Erro T
1
0 500 1000 1500 2000
20
40
60
80
100
120
T(s)
Temperatura
o
C
T
2
med
T
2
estim
0 500 1000 1500 2000
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Erro T
2
Figura 4.24: Temperaturas no Interior da Estufa e Erros da Estima¸c˜ao.
Os autovalores do modelo discreto s˜ao 0.9692 e 0.3406. Observa-se que os
valores que o erro da medida, considerando a medida do sensor como sendo o
valor verdadeiro.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 76
4.5 Observador em Malha Fechada
A determina¸c˜ao das condi¸c˜oes iniciais, valor inicial das estimativas a priori
(x
k+1|k
) e posteriori (x
k+1|k+1
), covariˆancias (P ) iniciais da incertezas das es-
tima¸c˜oes, matrizes de covariˆancias dos estados, perturba¸c˜ao da planta s˜ao os
parˆametros do Filtro de Kalman Padr˜ao. Os ganhos de Kalman (L), covariˆancia
do estado a posteriori, estimativas a priori (x
k+1|k
), covariˆancias do estado a priori
e posteriori s˜ao as vari´aveis internas dos processos. A estimativa a posteriori do
vetor corre¸c˜ao (x
k+1|k+1
) ´e vari´avel alvo. As vari´aveis e os parˆametros s˜ao asso-
ciados por meio da teoria c´alculo, ´algebra linear e estat´ısticas para constituir o
algoritmo do filtro de Kalman canˆonico (Braga et al. 2008). A determina¸c˜ao de
x
k+1|k+1
´e formada de cinco etapas, conforme apresentado no algoritmo:
SMI-Kalman(x, k, z)
✄ Algoritmo 2
xp = [0; 0];
xh = [0; 0];
P = [P
0
, 0; 0, P
0
];
while status
do ∞
✄ Ganhos de Kalman
1 L = P C
′
(CP C
′
+ R)
−1
✄ Estimativas a posteriori - Corre¸c˜ao x
k+1|k+1
= xh
2 xh = x
p
+ K(y
k
− Cx
p
);
✄ Covariˆancia do Estado a posteriori
3 P = P − K ∗ H ∗ P
✄ Estimativas a priori x
k+1|k
= xp
4 x
p
= Ax
h
+ B ∗ u
in
(k, 1)
✄ Covariancia do Estado a priori
5 P = AP A
′
+ Q
Os valores dos ganhos do filtro apresentados na Tabela 4.4 s˜ao associados ao
diagrama do observador da Figura 4.17. Em particular, o ganho L do observador
de estado em malha fechada para o sistema de medi¸c˜ao indireta.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 77
Tabela 4.4: Ganhos do Filtros de Kalman.
No Ganho L
1
L
2
1 0.0021 0.0856
Considerando resultados do modelo para temperaturas medidas e os seu er-
ros para 3000 medi¸c˜oes de 1 segundo, os resultados mostraram-se divergentes do
valores medidos.
Na Figura 4.25 mostra-se as temperaturas estimadas e os seu erros para 763
medi¸c˜oes de 1 segundo. Os valores das condi¸c˜oes iniciais: x
p
= x
k+1|k
=[23 23]
T
e x
h
= x
k+1|k+1
=[23 23]
T
. A covariˆancia inicial da incerteza da estima¸c˜ao ´e
dada por P = [14, 0 0, 14]
T
.
0 100 200 300 400
0
20
40
60
80
100
120
T (s)
Temperatura
o
C
Estados Estimados − x
k+1|k+1
e Medição
0 100 200 300 400
−1
0
1
2
3
4
5
0 100 200 300 400
0
20
40
60
80
100
120
T(s)
Temperatura
o
C
Estados Estimados − x
k+1|k+1
e Medição
0 100 200 300 400
0
0.5
1
1.5
2
2.5
T
1
med
T
1
estim
Erro T
1
T
2
med
T
2
estim
Erro T
2
Figura 4.25: Temperaturas Estimadas no interior da Estufa.
CAP
´
ITULO 4. MODELAGEM E OBSERVADORES DE ESTADOS 78
4.6 Conclus˜ao
Apresentou-se neste Cap´ıtulo a modelagem e estima¸c˜ao param´etrica de equa¸c˜oes
`a diferen¸ca para realiza¸c˜ao de observadores de estados que baseiam-se em modelos
OE e no espa¸co de estado. Verificou-se o desempenho do modelos em rela¸c˜ao a
estabilidade e as an´alises no dom´ınio do tempo e da frequˆencia para os obser-
vadores em malha aberta. Tanto para o observadores em malha aberta quanto
em malha fechada realizou uma analise do sinais no sentido de detectar offset e
outliers, desta forma garante-se uma maior extatid˜ao do modelo.
O modelo no espa¸co de estado baseia-se na estrutura do modelo caixa branca
que ´e utilizado para representar o comportamento da temperatura no interior de
objetos em estufas. As fun¸c˜oes de primeira ordem s˜ao estimadas para avaliar o
comportamento dinˆamico de cada temperatura em faces as entradas que provocam
altera¸c˜oes na temperaturas internas do estufa.
A teoria de Kalman foi utilizada para sintonizar os ganhos do observador de
estado em malha fechada, desta forma garantiu-se uma melhor exatid˜ao e robustez
ao processo de medi¸c˜ao indireta. Na malha aberta, observadores s˜ao realizados
pelas equa¸c˜oes a diferen¸ca que tem suas origens nos parˆametros estimados em
fun¸c˜oes de transferˆencia do modelo OE.
Cap
´
ıtulo 5
Projeto RLQD-Gen´etico
Neste Cap´ıtulo mostra-se por meio de aplica¸c˜oes a importˆancia dos modelos
no espa¸co de estados para o projeto, simula¸c˜oes e realiza¸c˜ao do controle RLQD.
Salientamos tamb´em a necessidade da realimenta¸c˜ao completa dos estados para o
projeto RLQD, como sendo uma justificativa tecnol´ogica para o desenvolvimento
de observadores no espa¸co de estados para realiza¸c˜ao de sistemas de controle
´otimo.
A importˆancia dos moldelos dos sistemas dinˆamicos para o projeto RLQD,
como uma justificativa tecnol´ogica para o desenvolvimento de observador est´a rela-
cionada com a necessidade dos seus parˆametros na deteitina¸c˜ao da lei de controle
´otimo via solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao Alg´ebrica de Riccati Discreta. Ap´os a determina¸c˜ao
dos ganhos do controlador, o observador de estado disponibiliza os estados n˜ao
mensur´aveis, a partir das medi¸c˜oes de algumas sa´ıdas, os estados do sistema para
fins realimenta¸c˜ao. Podemos, ainda salientar a importˆancia do modelo da planta
para o conhecimento do seu comportamento e a avalia¸c˜ao do sistema de controle
por meio de simula¸c˜oes computacionais.
Basicamente, duas principais quest˜oes do problema RLQ tem sido alvo de
investiga¸c˜ao desde os primeiros desenvolvimentos do controle ´otimo que s˜ao as
escolhas dos pesos das matrizes Q e R (Johnson and Grimble 1987) e a solu¸c˜ao
da EARD. Sabe-se que estas quest˜oes (problemas) possuem solu¸c˜oes que s˜ao
extremamente dependentes da ordem do sistema dinˆamico e das condi¸c˜oes opera-
cionais. Entre os diversos m´etodos que tratam do estado da arte para sintonia dos
reguladores RLQ, investiga-se os algoritmos gen´eticos para o ajuste dos ganhos
79
CAP
´
ITULO 5. PROJETO RLQD-GEN
´
ETICO 80
RLQ. O AG ´e desenvolvido para orientar a busca das matrizes de pondera¸c˜ao
que imp˜oem as especifica¸c˜oes do projeto. Nos Apˆendices B e C apresenta-se os
modelos dos algoritimos gen´eticos e os parˆametros para busca das matrizes de
pondera¸c˜ao, respectivamente.
O desempenho do controlador ´e avaliado nos dom´ınios do tempo e da frequˆencia
por meio de respostas ao degrau e diagramas de Bode, apresenta-se uma an´alise
comparativa das figuras de m´erito, tais como: tempo de acomoda¸c˜ao, tempo de
subida, etc.
5.1 Aloca¸c˜ao de Autoestrutura
O problema de aloca¸c˜ao de autoestrutura via projeto RLQD, consiste na de-
termina¸c˜ao da matriz de ganho ´otimo K
∗
(Q, R), que imp˜oe o sistema de malha
fechada especificado por x
k+1
= [A − BK(Q, R)], ou na forma de autovalores e
autovetores que satisfa¸ca as restri¸c˜oes de autoestrutura.
As restri¸c˜oes de autovalores s˜ao especificadas por uma regi˜ao no semiplano
complexo esquerdo e esta regi˜ao ´e limitada pelas desigualdades λ
i,e
≤ λ
i,c
≤ λ
i,d
,
para i = 1, ..., n, sendo os extremos deste intervalo os i-´esimos autovalores com-
plexos conjugados representando as fronteiras especificadas `a esquerda e `a direita,
enquanto que o termo central designa o i-´esimo autovalor alocado que satisfaz as
restri¸c˜oes.
O ganho do Controle RLQD ´e dado por
K
k
= [Q
2
+B
T
S
k +1
B]
−1
B
T
S
k +1
A (5.1)
sendo S
k+1
a solu¸c˜ao da EADR que ´e dada por
A
T
[S
k +1
− S
k +1
BR
−1
B
T
S
k +1
]A + Q1 = 0 (5.2)
Detalhes da formula¸c˜ao da EARD no contexto da formula¸c˜ao de controle
RLQD e a sua solu¸c˜ao pelo m´etodo de Schur s˜ao apresentados no Apˆendice A.
A Lei do Controle que imp˜oe a autoestrutura ´e dada por
u
k
= −R
−1
B
T
S
k +1
Ax
k
(5.3)
CAP
´
ITULO 5. PROJETO RLQD-GEN
´
ETICO 81
5.2 Sintonia RLQD
O diagrama da Figura 5.1, representa a evolu¸c˜ao dos m´etodos de apoio para
sintonia dos controladores RLQD, relacionados com a sele¸c˜ao das matrizes de
pondera¸c˜ao. O foco desta se¸c˜ao ´e sobre os m´etodos computacionais para a busca
das matrizes de pondera¸c˜ao que s˜ao os coeficientes da EARD.
Busca das Matrizes Q e R
Solu¸c˜ao
Cl´assica
Tentativa
e Erro
M´etodo
Heur´ıstico
M´etodo
Bryson
M´etodo
Determin´ıstico
Modelo
´
Otimo
Projeto
Regulador com
condi¸c˜oes de
estabilidade
Inteligˆencia
Computacional
Algor´ıtmo
Gen´etico
Figura 5.1: Paradigma de Controle
´
Otimo RLQD.
Os m´etodos de busca pelas matrizes Q e R da Figura 5.1 s˜ao orientados para
realizar um determinado controle, os m´etodos de busca baseiam-se em heur´ısticas,
empirismo, solu¸c˜oes alg´ebricas e computa¸c˜ao inteligente, (Johnson and Grimble
1987). No Apˆendice B apresenta-se os algoritmos gen´eticos que conforme a Figura
5.1 s˜ao m´etodos de inteligˆencia computacional.
5.3 Descri¸c˜ao no espa¸co de estados
Os modelos extra´ıdos no Cap´ıtulo 4 atrav´es da Figura 4.6 ´e representada aqui
como modelo Espa¸co de Estados.
CAP
´
ITULO 5. PROJETO RLQD-GEN
´
ETICO 82
x
k+1
= Ax
k
+ Bu
k
, t ≥ t
o
. (5.4)
y
k
= Cx
k
(5.5)
onde x = [x
1
x
2
]
′
s˜ao os estados, u = [u
1
]
′
´e a entrada e y = [y
1
]
′
´e a sa´ıda.
A
2×2
´e o estado, B
2×1
´e a entrada e C
1×2
´e a sa´ıda das matrizes.
Realizando as devidas transforma¸c˜oes do modelo discreto para o modelo espa¸co
de estados temos:
A =
0.9548 0.0002
1 0
(5.6)
B =
1
0
(5.7)
C =
0.1203 −0.0957
(5.8)
Tendo em m˜aos o modelo em espa¸co de estados do sistema dinˆamico, aplica-se
a solu¸c˜ao de busca das matrizes QR para o controlador ´otimo por meio do projeto
de aloca¸c˜ao de autoestruturas.
5.4 Sintonia GA
Os modelos do algoritmo gen´etico apresentados no Apˆendice B s˜ao implementa-
dos para realizar a sintonia controle RLQD. Os resultados da busca s˜ao avaliados
em termos da popula¸c˜ao inicial e final, tais como: m´edias e desvios padr˜oes.
O algoritmo gen´etico, chamado de RLQD −AG
QR
, est´a implementado no am-
biente computacional MATLAB. No Apˆendice C s˜ao apresentados as restri¸c˜oes
de projeto e os parˆametros do RLQD −AG
QR
, tais como: tamanho da popula¸c˜ao,
probabilidade de ocorrˆencia de opera¸c˜oes, n´umero m´aximo de itera¸c˜oes, etc.
CAP
´
ITULO 5. PROJETO RLQD-GEN
´
ETICO 83
5.4.1 Popula¸c˜ao inicial
Na gera¸c˜ao da popula¸c˜ao inicial observa-se uma pequena diversidade gen´etica
em todos os 50 indiv´ıduos da popula¸c˜ao, isso se deve ao fato de terem sido sele-
cionados aleatoriamente indiv´ıduos em torno dos valores ´otimos. Neste processo
de inicializa¸c˜ao da busca pelo AG, diversos indiv´ıduos possuem sensibilidade que
satisfazem as condi¸c˜oes associadas na estrutura de otimiza¸c˜ao combinat´oria para
realizar a busca das matrizes.
Na Tabela 5.1 tem-se as estat´ısticas de sensibilidades associadas aos autova-
lores, a m´edia de valores das sensibilidades normalizadas, mostram que um dos
indiv´ıduos alcan¸cou a sensibilidade especificada, ou seja, s
i
(Q, R) ≤ 1. Os valores
m´ınimos de algumas sensibilidades alcan¸caram as especifica¸c˜oes de projeto para
indiv´ıduos diferentes.
Tabela 5.1: Sensibilidades normalizadas - Estat´ısticas popula¸c˜ao inicial
S
i
Max M´edia Min Desv. Padr˜ao
1 2.454 2.417 0.579 0.265
2 2.791 0.383 0.333 0.348
5.4.2 Popula¸c˜ao Final
As estat´ısticas das sensibilidades normalizadas e autovalores para uma busca
de 50 gera¸c˜oes s˜ao apresentadas nas Tabelas 5.2 e 5.3, respectivamente. As partes
imagin´arias dos autovalores s˜ao nulas, portanto n˜ao h´a necessidade de apresentar
tabelas com as suas estat´ısticas
Tabela 5.2: Sensibilidades normalizadas - Estat´ısticas popula¸c˜ao final.
Max M´edia Min Std
1 2.454 2.454 2.454 0.000
2 0.333 0.333 0.333 0.000
CAP
´
ITULO 5. PROJETO RLQD-GEN
´
ETICO 84
Tabela 5.3: Autovalores parte real - Estat´ısticas.
Max M´edia Min Std
1 -0.955 -0.955 -0.955 0.000
2 -0.004 -0.004 -0.007 0.001
5.4.3 A Solu¸c˜ao QR
Diversas solu¸c˜oes apresentadas pelo GA s˜ao satisfat´orias, pois atendem as res-
tri¸c˜oes de autovalores. Quanto as sensibilidades dos autovalores, o projetista
n˜ao tem o grau de liberdade de escolher os autovalores pois, o sistema ´e SISO
(uma entrada e uma sa´ıda), o grau de liberdade de autovetores s´o ´e poss´ıvel para
sistemas MIMO (m´ultiplas entradas e m´ultiplas sa´ıdas). Escolheu-se como solu¸c˜ao
a matriz QR do indiv´ıduo 5 da gera¸c˜ao 88. As matrizes QR escolhidas s˜ao dadas
por
Q =
1.4532 11.1847
11.1847 1.6159
(5.9)
R = [129.2107] (5.10)
5.5 An´alise do Desempenho do RLQD
Nesta se¸c˜ao destaca-se o comportamento da planta nos dom´ınios do tempo e
da frequˆencia para fins de avalia¸c˜ao do desempenho do controle ´otimo RLQD.
Na Figura 5.2 observa-se que assim como no sistema em malha aberta, os p´olos
e os zeros continuam dentro do c´ırculo unit´ario, o que comprova a estabilidade do
sistema. Com o controle ´otimo a grande diferen¸ca ´e no ganho ´otimo, como pode
ser destacado na Tabela 5.4 e comparado com o ganho anterior este diminuiu, isto
pode ser comprovado pela perda da robustez do sistema com controle RLQD.
CAP
´
ITULO 5. PROJETO RLQD-GEN
´
ETICO 85
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pole−Zero Map
Real Axis
Imaginary Axis
Figura 5.2: P´olos e zeros da FT do SMI com controle RLQD
Tabela 5.4: P´olos, zeros e ganhos das Fun¸c˜oes de Transferˆencia do SMI controle
RLQD.
F T Zeros P´olos Ganhos
z
1
p
2
p
1
K
T
12
0.982 0.858 -0.338 0.0119
Nas Figuras 5.3 e 5.4 s˜ao mostradas as respostas ao degrau do sistema em
malha aberta e o sistema com controle RLQD e na Tabela 5.5 est˜ao as carac-
ter´ısticas do sistema. Como foi dito anteriormente o sistema perdeu em termos
de ganho, no entanto os tempos de atraso, subida e de acomoda¸c˜ao foram todos
melhorados.
CAP
´
ITULO 5. PROJETO RLQD-GEN
´
ETICO 86
0 50 100 150 200 250 300 350
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 5.3: Resposta ao degrau da temperatura estimada T
12
.
CAP
´
ITULO 5. PROJETO RLQD-GEN
´
ETICO 87
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 5.4: Resposta ao degrau da FT do SMI com controle RLQD.
Tabela 5.5: Figuras de M´erito do Sistema para Resposta ao Degrau.
Sistemas Tempo de Tempo de Tempo de
Atraso (t
d
) Subida(t
r
) Acomoda¸c˜ao (t
s
)
Malha Aberta 214 123 350
RLQD 0.08 2.5 3.5
Uma outra peculiaridade do sistema em malha aberta e do sistema com con-
trole ´e que eles n˜ao possuem overshoot o que pode ser explicado facilmente pelo
fato de n˜ao haver p´olos complexos.
Nas Figuras 5.5 e 5.6 s˜ao mostradas as respostas ao impulso e na Tabela 5.6
´e feita a an´alise de suas principais caracter´ısticas. Observa-se que as amplitudes
s˜ao as mesmas tendo o controle ´otimo atuado no tempo de acomoda¸c˜ao.
CAP
´
ITULO 5. PROJETO RLQD-GEN
´
ETICO 88
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 5.5: Resposta ao Impulso da Temperatura Estimada T
12
.
CAP
´
ITULO 5. PROJETO RLQD-GEN
´
ETICO 89
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Impulse Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 5.6: Resposta ao Impulso da FT com Controle RLQD.
Tabela 5.6: Caracter´ısticas do Sistema para Resposta ao Impulso.
Sistemas Amplitude Tempo de
e Resposta de Pico Acomoda¸c˜ao (t
s
)
Malha Aberta 0.12 em 0.1s 4.71
RLQD 0.12 em 0.1s 1.2
Com rela¸c˜ao `a an´alise em frequˆencia do sistema com controle RLQD observa-
se na Figura 5.7 e os seus parˆametros detalhados na Tabela 5.7 que o sistema
comporta-se satisfatoriamente para altas frequˆencias j´a que sua frequˆencia de
corte (Cutoff Rate) n˜ao ´e mais acentuada do que o mesmo sistema sem o controle.
Com rela¸c˜ao as margem de ganho observa-se que o sistema est´a dentro dos
padr˜oes de projeto, ou seja GM est´a acima de 6dB e com rela¸c˜ao a margem de
CAP
´
ITULO 5. PROJETO RLQD-GEN
´
ETICO 90
fase ´e infinita, o que ´e considerado satisfat´orio, pois o RLQD faz com que a
margem de fase torna-se infinita.
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
Magnitude (dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−180
−135
−90
−45
0
45
90
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 5.7: Diagrama de Bode da Temperatura Estimada T
12
com controle
RLQD.
CAP
´
ITULO 5. PROJETO RLQD-GEN
´
ETICO 91
Tabela 5.7: An´alise em frequˆencia do Controle RLQD.
F T T
12
M
r
(dB) −13.9
ϖ
r
(rad/sec) 31.4
BW (dB) inf.
GM(dB) 13.9
ϖ
g
(rad/sec) 31.4
P M(dB) − − −−
ϖ
f
(rad/sec) − − −−
5.6 Conclus˜ao
Neste Cap´ıtulo apresentou-se a aplica¸c˜ao do modelo em espa¸co de estados para
o projeto de controle ´otimo discreto que s˜ao sintonizados por algoritmos gen´eticos.
Nas primeiras duas Sec¸c˜oes foram apresentadas a problem´atica do ajuste do ganho
sob o ponto de vista alg´ebrico e os m´etodos que foram desenvolvidos para realizar
a sintonia de controladores RLQD.
A importˆancia do modelo do sistema dinˆamico foi salientada nas fases de
sintonia e de avalia¸c˜ao de desempenho do controle. Mostrou-se que os coeficientes
do modelo s˜ao tamb´em os coeficientes da equa¸c˜ao de Riiccati que fornece os ganhos
do controlador ´otimo. A importˆancia do modelo tamb´em ´e salientada na avalia¸c˜ao
do desempenho do sistema de controle para respostas impulso e ao degrau.
O AG de busca com seus parˆametros de inicializa¸c˜ao produziram solu¸c˜oes
muito pr´oximas, ou seja, as matrizes solu¸c˜ao apresentadas pelo AG possuem
ligeiras discrepˆancias. Isto porque foi realizado um pr´e estudo das matrizes e
dos parˆametros de inicializa¸c˜ao do algoritmo gen´etico que facilitou a busca das
matrizes de pondera¸c˜ao.
Cap
´
ıtulo 6
Conclus˜ao
Apresentou-se o desenvolvimento de uma metodologia para projeto de obser-
vadores de estado nas malhas aberta e fechada que utilizam modelos polinomiais
OE e no espa¸co de estados. Durante o desenvolvimento do trabalho mostrou-se
a importˆancia dos modelos matem´aticos baseados em medi¸c˜oes em rela¸c˜ao aos
modelos baseados somente em princ´ıpios f´ısicos.
Abordou-se nesta pesquisa uma vis˜ao dos observadores de estado que ainda
´e pouco estudada, que ´e a vis˜ao de observadores no sentido de um estimador
para compor n´ucleo de software de sistemas de medi¸c˜ao indireta. Os resultados
apresentados mostraram que os observadores podem reduzir os custos dos sistemas
pelo aumento do desempenho de sensores de baixo custo. No entanto os dois
juntos podem prover um desempenho equivalente ao sensor de alto custo. Em
casos extremos, observadores podem at´e mesmo eliminar um sensor, reduzindo o
custo de projeto e o cabeamento associado.
Nesta disserta¸c˜ao tamb´em apresentou-se abstra¸c˜oes e diretrizes para o desen-
volvimento de um sistema de medi¸c˜ao indireta que ´e orientado para monitora¸c˜ao
e controle discreto ´otimo. A monitora¸c˜ao ´e realizada pelo SMI, tendo como n´ucleo
uma equa¸c˜ao `a diferen¸ca para a medi¸c˜ao n˜ao invasiva e o processamento ´e rea-
lizado por microcontroladores de baixo custo.
De forma geral, pode-se afirmar que a metodologia proposta ´e bastante promis-
sora para a realiza¸c˜ao de observadores de estado em sistemas de medi¸c˜ao indi-
reta. Estes SMIs podem ser aplicados para monitora¸c˜ao dos estados em cubas
eletrol´ıticas para redu¸c˜ao de alum´ınio. Como tamb´em, os SMIs pode ser uti-
92
CAP
´
ITULO 6. CONCLUS
˜
AO 93
lizados para realiza¸c˜ao dos m´etodos de controle ´otimo que est˜ao baseados na
realimenta¸c˜ao completa de estados.
6.1 Trabalhos Futuros
A seguir apresenta-se dois temas para o desenvolvimento de pesquisa que envolve
observadores de estado e sistemas de controle ´otimo:
1. Aplica¸c˜ao da metodologia proposta para o desenvolvimento e implementa¸c˜ao
de um SMI e de controladores RLQD para sistemas dinˆamicos.
2. Projeto e realiza¸c˜ao de um SMI dedicado a medi¸c˜ao n˜ao invasiva da tem-
peratura de objetos em estufas, tendo como vari´aveis: entrada e sa´ıda. As
entrada s˜ao a tens˜ao de acionamento da bobina t´ermica e a temperatura da
estufa e as sa´ıdas s˜ao estados estimados que realimentam os controladores
RLQD.
Ap
ˆ
endice A
Formula¸c˜ao e Equa¸c˜ao de Riccati
Discreta
No intuito de fornecer apoio para uma melhor compreens˜ao do problema de Con-
trole RLQD, apresenta-se a solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao de Riccati na forma Discreta.
A.1 Solu¸c˜ao do Problema
A lei de controle linear dada por u
k
= −K.x
k
´e a lei de controle ´otimo. Em
conseq¨uˆencia, se os elementos da matriz K ganho de realimenta¸c˜ao forem de-
terminados de modo a minimizar o ´ındice de desempenho, ent˜ao u
k
= −K.x
k
´e
´otimo para qualquer que seja o estado inicial x(0). O problema de projetar um
sistema de controle de realimenta¸c˜ao linear que minimiza um ´ındice de desem-
penho quadr´atico pode ser reduzido ao problema de obter uma solu¸c˜ao sim´etrica
e definida positiva da Equa¸c˜ao Alg´ebrica de Riccati (Moudgalya 2007),
Sabe-se que λ(N + 1) = 0 e substituindo na Equa¸c˜ao (2.43) obtˆem-se a
condi¸c˜ao
λ(N ) = Q
1
x(N ) (A.1)
Motivado pela Equa¸c˜ao (A.1) onde λ aparece como fun¸c˜ao linear de x em N, logo
pode-se dizer que
94
AP
ˆ
ENDICE A. FORMULAC¸
˜
AO E EQUAC¸
˜
AO DE RICCATI DISCRETA 95
λ
k
= S
k
x
k
(A.2)
(m´etodo da varredura)
Da Equa¸c˜ao (2.42) vem
Q
2
u
k
+ B
T
λ
k +1
= 0 (A.3)
Substituindo λ da Equa¸c˜ao (A.2) obtˆem-se
Q
2
u
k
= −B
T
S
k +1
x
k +1
(A.4)
Substituindo por x(k + 1) da Equa¸c˜ao (2.37) e simplificando
Q
2
u
k
= −B
T
S
k +1
(Ax
k
+ Bu
k
)
[Q
2
+B
T
S
k +1
B]u
k
= −B
T
S
k +1
Ax
k
(A.5)
logo, chega-se a seguinte express˜ao para a lei de controle:
u
k
= −[Q
2
+B
T
S
k +1
B]
−1
B
T
S
k +1
Ax
k
(A.6)
Definindo
R = Q
2
+B
T
S
k +1
B (A.7)
obtˆem-se
u
k
= −R
−1
B
T
S
k +1
Ax
k
(A.8)
a Equa¸c˜ao (2.44) pode ser reescrita como
λ
k
= A
T
λ
k +1
+ Q
1
x
k
(A.9)
AP
ˆ
ENDICE A. FORMULAC¸
˜
AO E EQUAC¸
˜
AO DE RICCATI DISCRETA 96
da Equa¸c˜ao (A.2) a Equa¸c˜ao (A.9) torna-se
S
k
x
k
= A
T
S
k +1
x
k +1
+ Q
1
x
k
(A.10)
substituindo x(k + 1) da Equa¸c˜ao (2.37) obtˆem-se
S
k
x
k
= A
T
S
k +1
[Ax
k
+ Bu
k
] + Q
1
x
k
(A.11)
substituindo u
k
da Equa¸c˜ao (A.8) vem
S
k
x
k
= A
T
S
k +1
[Ax
k
− BR
−1
B
T
S
k +1
Ax
k
] + Q
1
x
k
(A.12)
Agrupando e simplificando
S
k
= A
T
[S
k +1
− S
k +1
BR
−1
B
T
S
k +1
]A + Q
1
(A.13)
A Equa¸c˜ao (A.13) ´e a Equa¸c˜ao Alg´ebrica de Riccati. Definindo
M
k +1
= [S
k +1
− S
k +1
BR
−1
B
T
S
k +1
] (A.14)
logo,
S
k
= A
T
M
k +1
A + Q
1
(A.15)
Usando R da Equa¸c˜ao (A.7) a Equa¸c˜ao (A.14) torna-se
M
k +1
= [S
k +1
− S
k +1
B[Q
2
+B
T
S
k +1
B]
−1
B
T
S
k +1
] (A.16)
das Equa¸c˜oes (A.1) e (A.2)
S(N) = Q
1
(A.17)
AP
ˆ
ENDICE A. FORMULAC¸
˜
AO E EQUAC¸
˜
AO DE RICCATI DISCRETA 97
e da Equa¸c˜ao (A.6) obtˆem-se a rela¸c˜ao para K
k
dado u
k
= −K
k
x
k
K
k
= [Q
2
+B
T
S
k +1
B]
−1
B
T
S
k +1
A (A.18)
O valor ´otimo da fun¸c˜ao objetivo pode ser calculado facilmente. Primeiro
substituindo a Equa¸c˜ao (2.41) a express˜ao para λ
T
k +1
A da equa¸c˜ao adjunta dada
pela Equa¸c˜ao (2.44) e para λ
T
k +1
B da Equa¸c˜ao (2.42) chega-se em (Moudgalya
2007)
J
′
=
1
2
N
k =0
x
T
k
Q
1
x
k
+ u
T
k
Q
2
u
k
−
λ
T
k +1
x
k +1
+
λ
T
k
− x
T
k
Q
1
x
k
− u
T
k
Q
2
u
k
=
1
2
N
k =0
λ
T
k
x
k
− λ
T
k +1
x
k +1
=
1
2
λ
T
(0 )x(0 ) − λ
T
(N + 1)x(N + 1 )
mas como λ(N + 1) = 0 chega-se em
J
′
= J =
1
2
λ
T
(0 )x(0 ) =
1
2
x
T
(0 )S(0)x (0 ) (A.19)
A.2 Solu¸c˜ao da EARD
O procedimento de solu¸c˜ao da equa¸c˜ao alg´ebrica matricial de Riccati, EAR, ´e
est´avel devido as matrizes de pondera¸c˜ao e outros termos obedecem rigorosamente
as restri¸c˜oes que garantem a existˆencia de uma solu¸c˜ao ´otima. Esta Se¸c˜ao introduz
de forma suscinta um dos m´etodos num´ericos sequenciais e paralelos usados na
solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao Matricial Alg´ebrica de Riccati que ´e o m´etodo do Autovetor
e Schur (baseados na matriz Hamiltoniana)
Devido sua grande vantagem, o m´etodo de Schur ´e escolhido como referˆencia
para validar a performance do algoritmo Gen´etico para solu¸c˜ao EARD. Nesta
se¸c˜ao ser˜ao apresentadas as equa¸c˜oes b´asicas do m´etodo de Schur (Laub 1979).
A.2.1 O Horizonte Infinito para solu¸c˜ao RLQD-EARD
A lei de controle de K apresentado na ´ultima se¸c˜ao ´e tempo vari´avel. Busca-se
uma solu¸c˜ao est´avel, no entanto. As raz˜oes s˜ao que a solu¸c˜ao constante ´e a mais
AP
ˆ
ENDICE A. FORMULAC¸
˜
AO E EQUAC¸
˜
AO DE RICCATI DISCRETA 98
f´acil de se implementar. Al´em disso, mesmo a solu¸c˜ao variante no temp o, o direito
poderia ser constante durante a maior parte do tempo. Quando a fun¸c˜ao objetivo ´e
uma soma de um infinito n´umero de termos, conhecidos como o problema de tempo
infinito, a solu¸c˜ao ´otima ´e o estado estacion´ario. Isso porque estamos interessados
em uma solu¸c˜ao est´avel para o problema do controle ´otimo, n´os olhamos para a
solu¸c˜ao de Riccati dada pela Equa¸c˜ao (A.13), e reproduzida aqui por conveniˆencia
(Ogata 1995) e (Gene F Franklin and Workman 1997):
S
k
= A
T
[S
k +1
− S
k +1
BR
−1
B
T
S
k +1
]A + Q
1
(A.20)
isso porque est´a-se interessado na solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de estado dado:
S
k
= S
k +1
= S
∞
(A.21)
substituindo na Equa¸c˜ao (A.20)
S
∞
= A
T
[S
∞
− S
∞
BR
−1
B
T
S
∞
]A + Q
1
(A.22)
retomando a Equa¸c˜ao de controle (2.42) e reorganizando
u
k
= −Q
−1
2
B
T
λ
k+1
(A.23)
e colocando a Equa¸c˜ao (A.9) em teitos de λ
k+1
λ
k+1
= A
−T
λK − A
−T
Q
1
x
k
(A.24)
Combinando as Equa¸c˜oes (2.37), (A.23) e (A.24) nas formas de x e λ assumindo
que Q
2
e A s˜ao n˜ao singulares. Estas equa¸c˜oes s˜ao chamadas de equa¸c˜oes de
Hamilton ou equa¸c˜oes de Euler Lagrange.
x
λ
k+1
=
A + BQ
−1
2
B
T
A
−T
Q
1
−BQ
−1
2
B
T
A
−T
−A
−T
Q
1
A
−T
x
λ
k
(A.25)
AP
ˆ
ENDICE A. FORMULAC¸
˜
AO E EQUAC¸
˜
AO DE RICCATI DISCRETA 99
sendo,
H
c
=
A + BQ
−1
2
B
T
A
−T
Q
1
−BQ
−1
2
B
T
A
−T
−A
−T
Q
1
A
−T
(A.26)
A.2.2 Decomposi¸c˜ao de autovetores
Deve-se transformar a Equa¸c˜ao (A.25) para um novo estado que tem um sis-
tema de matriz diagonal e desta solu¸c˜ao pode-se obter a equa¸c˜ao de estado de
controle ´otimo. Assim como antes os autovalores desta matriz s˜ao tais que para
cada autovalor rec´ıproco ´e tamb´em um autovalor. Desta forma H
c
pode ser diag-
nolizado da forma
H
T
c
=
E
−1
0
0 E
(A.27)
sendo E ´e a matriz diagonal de ra´ızes inst´aveis (|z| > 1) e E
−1
´e a matriz diagonal
de ra´ızes est´aveis (|z| < 1) e H
T
c
´e obtido pela transforma¸c˜ao de similaridade.
H
T
c
= W
−1
H
c
W (A.28)
sendo W ´e a matriz de autovetores de H
c
e pode ser escrita na forma de blocos
como
W =
X
I
X
0
Λ
I
Λ
0
(A.29)
sendo
X
0
Λ
0
´e a matriz de autovetores associados com os autovalores fora do
c´ırculo unit´ario e
X
I
Λ
I
´e a matriz de autovetores associados com os autovalores
dentro do c´ırculo unit´ario.
Esta mesma matriz W pode ser usada para transformar x e λ para os modos
normais do sistema
AP
ˆ
ENDICE A. FORMULAC¸
˜
AO E EQUAC¸
˜
AO DE RICCATI DISCRETA 100
x
T
λ
T
= W
−1
x
λ
(A.30)
sendo x
T
e λ
T
s˜ao os modos normais. Convertendo
x
λ
= W
x
T
λ
T
=
X
I
X
0
Λ
I
Λ
0
x
T
λ
T
(A.31)
A.2.3 Abordagem do m´etodo de Schur
O m´etodo de Schur ´e estudado como uma variante da abordagem cl´assica de
autovetores e utiliza ao inv´es disso, um conjunto adequado de vetores de Schur,
desta maneira adquiri uma vantagem num´erica substancial. A abordagem dos
vetores de Schur fornece uma t´ecnica confi´avel, proveitosa e muito mais eficiente
para resolver numericamente a equa¸c˜ao alg´ebrica de Riccati (Laub 1979).
Seja U uma matriz ortogonal que transforma a matriz Hamiltoniano, (Laub
1979) na forma real de Schur,
T = U
T
HU =
T
11
T
12
0 T
22
(A.32)
sendo T
11
e T
22
s˜ao matrizes superiores quasi-triangular. Os blocos na diagonal
de T
11
e T
22
s˜ao na maioria 2 × 2. A redu¸c˜ao da Equa¸c˜ao (A.32) ´e n˜ao ´unica e
´e sempre poss´ıvel escolher a matriz U em que os autovalores T
11
tenham parte
real negativa, enquanto os autovalores T
22
parte real positiva. Seja U a matriz
particionada,
U =
U
11
U
12
U
21
U
22
(A.33)
onde cada bloco tem dimens˜ao n × n. Se a matriz U
11
´e n˜ao singular e a solu¸c˜ao
´e semidefinida positiva da EARD,
S
k+1schur
= U
21
U
−1
11
(A.34)
AP
ˆ
ENDICE A. FORMULAC¸
˜
AO E EQUAC¸
˜
AO DE RICCATI DISCRETA 101
Al´em disso, os autovalores da matriz de bloco T
11
formam o espectro da malha
fechada da matriz (A − BR
−1
BT S
k+1
), isto ´e, a regi˜ao polar do sistema de malha
fechada ´otimo ´e devida a rela¸c˜ao (A − BR
−1
BT S
k+1
) = U
11
T
11
U
−1
11
.
A solu¸c˜ao da EARD est´a relacionada com a matriz Hamiltoniano, que deve
ser definida positivamente, H > 0, os detalhes dessa propriedades podem ser
obtidas em (Athans 1966). Os autovetores e o m´etodo de Schur s˜ao classificados
como Aproxima¸c˜ao de Auto-sistemas para solu¸c˜ao EARD. Estes m´etodos de
auto-sistemas s˜ao baseados na matriz Hamiltoniana.
O m´etodo de Schur possui diversas vantagens em rela¸c˜ao ao m´etodo dos au-
tovetores. Inicialmente, a redu¸c˜ao para para a forma quasi-triangular ´e um passo
intermedi´ario no c´alculo dos autovetores usando a decomposi¸c˜ao QR, de tal forma
que o m´etodo de Schur requer menos c´alculo que o m´etodo dos autovetores. In-
dependentemente da matriz Hamiltoniana ser defectiva, o m´etodo de Schur n˜ao
´e afetado pelas dificuldades inerentes dos autovetores da matriz Hamiltoniana.
O m´etodo de Schur ´e significativamente mais r´apido que o m´etodo de Newton e
tamb´em o m´etodo da Fun¸c˜ao Sinal Matricial com refinamento iterativo.
Uma desvantagem da abordagem de Auto-Sistema, ´e que ela n˜ao explora to-
talmente a estrutura da matriz Hamiltoniana. Nestes m´etodos, o algoritmo QR
´e aplicado a matriz H ∈ R
2n×2n
como se ela fosse uma matriz geral, isto ´e, sem
explorar a estrutura da matriz Hamiltoniana H, que ´e ineficiente para o trabalho
de armazenamento computacional. Os erros de arredondamento surgem no curso
da aplica¸c˜ao do algoritmo QR , de tal forma que, os autovalores n˜ao aparecem
exatamente mais em pares.
A.3 Equa¸c˜oes `a diferen¸ca Acopladas
O procedimento de solu¸c˜ao da equa¸c˜ao alg´ebrica para o conjunto de equa¸c˜oes
diferen¸cas acopladas da Equa¸c˜ao (A.25) pode ser simplesmente o estado em termos
das condi¸c˜oes iniciais e finais e do mo do normal (Equa¸c˜ao (A.31)) por que a
solu¸c˜ao para o modo normal ´e dado por
x
T
λ
T
N
=
E
−N
0
0 E
N
x
T
λ
T
0
(A.35)
AP
ˆ
ENDICE A. FORMULAC¸
˜
AO E EQUAC¸
˜
AO DE RICCATI DISCRETA 102
Para obter o estado tˆem-se que N vai para infinito (embora x
T
(N) v´a para
zero) em geral λ
T
(N) deveria ser infinito por que cada elemento de E ´e maior que
1. Ent˜ao tˆem-se que a ´unica solu¸c˜ao para o espa¸co de estado (N → ∞) e para
λ
T
(0) = 0 e λ
T
k
≡ 0 tˆem-se
x
k
= X
I
x
T
k
= X
I
E
−k
x
T
(0) (A.36)
λ
k
= Λ
I
x
T
k
= Λ
I
E
−k
x
T
(0) (A.37)
na Equa¸c˜ao (A.36) tˆem-se que
x
T
(0) = E
k
X
−1
I
x
k
(A.38)
das Equa¸c˜oes (A.37) e (A.38)
λ
k
= Λ
I
X
−1
I
x
k
= S
∞
x
k
(A.39)
que possui a mesma da Equa¸c˜ao (A.2) (m´etodo da varredura) logo conclui-se que
S
∞
= Λ
I
X
−1
I
(A.40)
A solu¸c˜ao para lei de controle para o sistema correspondente para J com
N → ∞ ´e
u
k
= −K
∞
x
k
(A.41)
onde das Equa¸c˜oes (A.40) e (A.18)
K
∞
=
Q
2
+ B
T
S
∞
B
−1
B
T
S
∞
A (A.42)
e da equa¸c˜ao de custo para o valor inicial (Equa¸c˜ao (A.19)) associado a lei de
controle tˆem-se
J
∞
=
1
2
x
T
(0)S
∞
x(0) (A.43)
Ap
ˆ
endice B
QR-Modelos Gen´eticos
Os Modelos Gen´eticos QR s˜ao modelos que comp˜oem o algoritmo gen´etico para
a busca das matrizes de pondera¸c˜ao. Estes modelos representam uma modelagem
da estrutura de otimiza¸c˜ao de acordo com suas funcionalidades: representa¸c˜oes
gen´etico artificial das matrizes, avalia¸c˜oes de fitness e opera¸c˜oes de opera¸c˜oes
cromossˆomicas.
B.1 Modelo das matrizes Q e R
As dimens˜oes das matrizes Q e R do modelo e as especifica¸c˜oes do projeto
RLQD nos levam a agrupar as matrizes dos pesos Q
n×n
e R
m×m
. Estas matrizes
devem ser sim´etricas, semidefinida positiva e definida positiva, respectivamente. A
caracter´ıstica relativa a simetricidade dessas matrizes, nos conduzem a um modelo
com matrizes triangulares superiores ou inferiores. O modelo do cromossomo que
representa as matrizes Q e R.
QR
z
=
n
j,i=1
q
ij
∧
m
j,i=1
r
ij
(B.1)
z = 1, . . . , n
indiv
onde n ´e a dimens˜ao da matriz A e m o n´umero de colunas da matriz B. Os
elementos q
ij
e r
ij
representam os genes da matriz QR
z
; e n
indiv
´e o n´umero de
cromossomos individuais de uma certa popula¸c˜ao.
103
AP
ˆ
ENDICE B. QR -MODELOS GEN
´
ETICOS 104
B.2 Modelo da popula¸c˜ao QR
Considerando que o cromossomo QR
z
, Equa¸c˜ao (B.1), ´e um elemento composto
por g genes, o qual representa as matrizes Q
n×n
e R
m×m
, a quantidade de genes de
um cromossomo depende da dimens˜ao (n) da matriz dinˆamica do sistema e de m
que representa o n´umero de entradas do sistema. A quantidade g de genes de uma
solu¸c˜ao cromossˆomica ´e dada por g =
n(n+1)+m(m+1)
2
. A popula¸c˜ao cromossˆomica
´e representada da seguinte forma:
QR
n
indiv
×g
=
QR
1
; QR
2
; QR
3
; . . . ; QR
n
indiv
, (B.2)
A nota¸c˜ao n
indiv
× g indica a quantidade individual do cromossomo de uma
popula¸c˜ao e a quantidade de genes em cada solu¸c˜ao cromossˆomica ou indiv´ıduo,
respectivamente. A popula¸c˜ao tem n
indiv
indiv´ıduos e cada indiv´ıduo tem n
Q
+
n
R
genes, sendo n
R
= m(m + 1)/2. Os indiv´ıduos QR de uma popula¸c˜ao s˜ao
modelados como,
qr
w
z
=
q
i,j
, w < n
Q
+ 1, i, j = 1, . . . , n
Q
r
i,j
, w > n
Q
, i, j = 1, . . . , n
R
z = 1, . . . , n
indiv
(B.3)
sendo n
Q
e n
R
as quantidades dos elementos das matrizes sim´etricas Q e R,
respectivamente e n
indiv
´e o n´umero de indiv´ıduos
B.3 Modelo da popula¸c˜ao inicial
O modelo de gera¸c˜ao aleat´orio das matrizes iniciais Q e R,
q
i,j
=
p
Qα
+ p
Q
β
κ
Qii
i = j
p
Qγ
κ
Qij
i ̸= j
i, j = 1, . . . , n (B.4)
sendo, p
Qα
e p
Q
β
parˆametros fixos e vari´aveis dos elementos da diagonal q
i,j
,
respectivamente.
O modelo de gera¸c˜ao do indiv´ıduo para a matriz R ´e similar ao modelo de
gera¸c˜ao do indiv´ıduo da matriz Q e assume a seguinte forma,
AP
ˆ
ENDICE B. QR -MODELOS GEN
´
ETICOS 105
r
i,j
=
p
Rα
+ p
R
β
κ
Rii
i = j
p
Rγ
κ
Rij
i ̸= j
i, j = 1, . . . , n (B.5)
Esses parˆametros de controle permitem manter a popula¸c˜ao em uma certa
regi˜ao do espa¸co de solu¸c˜ao que garantem as restri¸c˜oes de positividade para as
matrizes Q e R.
B.4 Modelo de avalia¸c˜ao dos cromossomos
O desempenho de cada cromossomo do z−´esimo indiv´ıduo da popula¸c˜ao QR
n
indiv
×g
´e avaliado e cada indiv´ıduo QR
z
´e pontuado. O modelo da fun¸c˜ao fitness requer
a solu¸c˜ao do RLQD, o espectro de malha fechada e seus autovetores:
K
z
= DLQR
z
(A, B, Q
z
, R
z
) (B.6)
A
z
= (A − BK
z
) (B.7)
λ
z
, V
z
, W
z
= A
z
(B.8)
S
z
=
|V
z
|
2
|W
z
|
2
< V
z
, W
z
>
(B.9)
z = 1, . . . , n
indiv
onde, K
z
o ganho produzido por um indiv´ıduo z. A
z
´e a matriz de malha fechada
para o ganho K
z
. λ
z
, V
z
s˜ao os autovalores e autovetores `a direita e esquerda,
respectivamente. S
z
s˜ao as sensibilidades associadas com cada autovalor.
B.5 Modelos de opera¸c˜oes gen´eticas
As opera¸c˜oes gen´eticas s˜ao representadas por modelos. O primeiro modelo
est´a direcionado para a sele¸c˜ao de indiv´ıduos para reprodu¸c˜ao, o segundo modelo
armazena o melhor indiv´ıduo da gera¸c˜ao atual para a gera¸c˜ao seguinte e o outros
com os operadores gen´eticos crossover e muta¸c˜ao.
A opera¸c˜ao de sele¸c˜ao baseada nos valores da fun¸c˜ao de fitness, ´e um dos princi-
pais elementos de um algoritmo gen´etico. A sele¸c˜ao dos indiv´ıduos ´e representada
pelo modelo seguinte:
AP
ˆ
ENDICE B. QR -MODELOS GEN
´
ETICOS 106
κ
z
= F it
pop
κ
rand
(B.10)
QR
select
= QR
j
, max
j
κ
z
<
n
indiv
j=1
F it
j
, (B.11)
z = 1, . . . , n
indiv
onde, κ
z
´e a escolha aleat´oria para o z−´esimo indiv´ıduo baseado no n´umero
pseudo-aleat´orio κ
rand
e F it
pop
´e o desempenho populacional total e QR
select
´e
o j−´esimo indiv´ıduo selecionado.
A recombina¸c˜ao ou crossover ´e o operador AG respons´avel pela combina¸c˜ao de
dois indiv´ıduos. Neste est´agio os indiv´ıduos QR
l
1
e QR
l
2
da popula¸c˜ao QR
crom×g
trocam informa¸c˜ao gen´etica. O modelo para esta opera¸c˜ao considera os l
1
e l
2
´esimos indiv´ıduos de uma dada popula¸c˜ao G, l
1
̸= l
2
,
QR
G+1,l
1
← α(QR
G,l
1
) + (1 − α)(QR
G,l
2
) (B.12)
QR
G+1,l
2
← α(QR
G,l
2
) + (1 − α)(QR
G,l
1
)
(B.13)
O ´ındice G representa a G−´esima gera¸c˜ao da popula¸c˜ao e o ´ındice G + 1
representa a pr´oxima gera¸c˜ao. O indiv´ıduo QR
G,l
1
representa l
1
−´esimo indiv´ıduo
e QR
G,l
2
representa o l
2
-´esimo indiv´ıduo da popula¸c˜ao G respectivamente, os quais
fazem parte do cruzamento. O parˆametro α ´e um n´umero aleat´orio gerado entre
0 e 1.
A muta¸c˜ao ´e um elemento essencial neste m´etodo de busca, esse operador
modifica os genes nos cromossomos para gerar um novo cromossomo. A principal
caracter´ıstica desta opera¸c˜ao ´e evitar uma convergˆencia prematura e gerar um
novo material gen´etico. Este modelo considera a sele¸c˜ao de um indiv´ıduo somente
para desempenhar a opera¸c˜ao de muta¸c˜ao,
q
novo
ij
← q
l
ij
b
x
local
(B.14)
i = 1, . . . , (n
2
+ n)/2 and
j = 1, . . . , (n
2
+ n)/2
AP
ˆ
ENDICE B. QR -MODELOS GEN
´
ETICOS 107
sendo b a base determin´ıstica do multiplicador exponencial, b > 1, x
local
´e o ex-
poente aleat´orio, 0 < x
local
< 1.
Este modelo gen´etico desempenha uma muta¸c˜ao decimal. Cada elemento QR
z
da popula¸c˜ao QR
crom×g
tem probabilidade de P = 0 : 05. Em outras palavras,
5% de chance de ser mutado. Se um certo elemento ´e escolhido, um novo gene
´e aleatoriamente gerado para substituir o gene de um cromossomo antigo se-
lecionado. Depois, o algoritmo de muta¸c˜ao implementa seu modelo, Equa¸c˜ao
(B.14).
Ap
ˆ
endice C
Parˆametros RLQD − AG
Q,R
Os parˆametros necess´arios para o desenvolvimento do projeto s˜ao os que seguem:
tamanho da popula¸c˜ao, semente do gerador pseudo aleat´orio utilizado para gerar
a popula¸c˜ao inicial e para realizar as opera¸c˜oes gen´eticas do processo, assim como
para a ocorrˆencia de qualquer evento aleat´orio desse processo, parˆametros con-
stantes da popula¸c˜ao inicial para garantir a positividade das matrizes Q e R,
quantidades de pares de indiv´ıduos selecionados pela roleta para participar da
opera¸c˜ao crossover, probabilidade de crossover, alelos que seguem a estrat´egia
de muta¸c˜ao proposta no algoritmo, fatores de muta¸c˜ao dos alelos selecionados,
probabilidade de muta¸c˜ao, tamanho da elite e o n´umero de itera¸c˜oes do cilco de
busca. Estes parˆametros s˜ao encontrados nas Tabelas C.1-C.5
Tabela C.1: Parˆametros iniciais do algoritmo Gen´etico
Tamanho da popula¸c˜ao n
indiv
= 50
Semente do gerador pseudo-aleat´orio S = 12
N´umero de pares de indiv´ıduos para n
cross
= 25
participarem da opera¸c˜ao crossover
Probabilidade de crossover p
c
= 1
Probabilidade de muta¸c˜ao p
m
= 0.05
Tamanho da elite n
e
= 1
N´umero de itera¸c˜oes n
ger
= 100
108
AP
ˆ
ENDICE C. PAR
ˆ
AMETROS RLQD − AG
Q,R
109
Tabela C.2: Parˆametros da popula¸c˜ao inicial da matriz Q
Parˆametro Parˆametro
p
Qα
p
Qβ
p
Qα
p
Qβ
Fixo Vari´avel Fixo Vari´avel
q
11
1.5 0.1 q
22
1.5 0.1
q
ij
p
Qγ
3.27
Tabela C.3: Parˆametros da popula¸c˜ao inicial da matriz R
Parˆametro Parˆametro
p
Qα
p
Qβ
p
Qα
p
Qβ
Fixo Vari´avel Fixo Vari´avel
r
11
100000 25 r
22
20 15
r
ij
p
Rγ
2
Na Tabela C.6 s˜ao apresentadas as especifica¸c˜oes da autoestrutura (autovalores
e sensibiliddes) que devem impostas pela lei de controle ´otimo.
Tabela C.6: Autovalores e Sensibilidades - Limites
λ
d
λ
e
S
i
1.000 -0.500 + j 1.000 -20.000 + j 1.000 3
2.000 -0.500 + j -1.000 -20.000 + j -1.000 3
AP
ˆ
ENDICE C. PAR
ˆ
AMETROS RLQD − AG
Q,R
110
Tabela C.4: Alelos que seguem a estrat´egia de muta¸c˜ao proposta no algoritmo
j
alelo
1
= 11 j
alelo
2
= 13 j
alelo
3
= 12
j
alelo
4
= 1 j
alelo
5
= 3 j
alelo
6
= 6
j
alelo
7
= 8 j
alelo
8
= 10 j
alelo
9
= 11
Tabela C.5: Fatores de muta¸c˜ao dos alelos selecionados
mut
12alelok
= 2 mut
12alelo
v
= 1
mut
3alelo
k
= 2 mut
3alelo
v
= 1
mut
F 1alelok
= 1 mut
F 1alelov
= 1
mut
A1alelok
= 2 mut
A1alelov
= 0
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