( PDF ) Análise da informação do spin dos orbitais atômicos no cálculo de propriedades de estruturas semicondutoras

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Universidade de São Paulo

Instituto de Física de São Carlos

Weslley Souza Patrocinio

Análise da informação do spin dos orbitais

atômicos no cálculo de propriedades de estruturas

semicondutoras

São Carlos

2010

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Weslley Souza Patrocinio

Análise da informação do spin dos orbitais

atômicos no cálculo de propriedades de estruturas

semicondutoras

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

graduação em Física do Instituto de Física de

São Carlos da Universidade de São Paulo, para a

obtenção do título de Mestre em Física.

Área de Concentração: Física Aplicada

Orientador: Prof. Dr. Guilherme Matos Sipahi

São Carlos

2010

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Dedico este trabalho aos meus amados

pais, Dirlei e Vitor, e à mulher que eu

amo, Daniela.

Agradecimentos

Aos meus pais e heróis, Dirlei e Vitor, pelo suporte e amor incondicional de todos esses

anos. Se hoje cheguei até aqui, devo isto à vocês. Amo vocês!

Aos meus familiares, pelo apoio dado desde a minha infância. Agradecimento em especial

aos meus tios Daislan, Dalmir e Wilson.

Aos meus amigos de Santa Fé: Anderson, Édio, Gilmar, Magrão, Rael e Zão. Sem palavras,

vagabundos!

Aos meus amigos de longa data: Daniel, David, Jhonson e Kátia. Amizades que foram

além das salas de aula, e já duram mais que uma dezena de anos.

À todos os meus amigos de graduação, onde conheci um mundo completamente novo. Em

especial ao meu grande parceiro Leonardo, e aos meus amigos desnaturados, Marcão e Suelene.

Tem coisas que nunca mudam, e duram para sempre.

Ao meu orientador, Guilherme, pelo trabalho e dedicação desses últimos anos. Obrigado.

Aos meus companheiros e amigos de LFC da velha guarda: Aiton, Ivan, Keila e Marcel; e

da nova geração: Claudinei e Paulo. Obrigado pelos ensinamentos e por tornarem o ambiente

de trabalho mais agradável.

À minha companheira, Dani, pelos incontáveis momentos em que tornou minha vida mais

feliz. Muito obrigado por estar ao meu lado. Te amo!

“O primeiro princípio é não enganar a si mesmo - e você é a pessoa mais fácil de enganar.”

— RICHARD P. FEYNMAN (1918 - 1988)

Resumo

PATROCINIO, W. S. Análise da informação do spin dos orbitais atômicos no cálculo de

propriedades de estruturas semicondutoras. 2010. 107 f. Dissertação (Mestrado em Física

Aplicada) - Instituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2010.

O presente trabalho é um estudo sobre a importância da informação dos orbitais atômicos no

cálculo de propriedades optoeletrônicas de heteroestruturas semicondutoras de baixa dimen-

sionalidade. O trabalho é dividido em duas partes: na primeira parte, é estudada a simetria

de reversão temporal no hamiltoniano k·p, analisando a preservação da informação de spin

presente nos orbitais atômicos. O hamiltoniano obtido é inserido na equação de massa efetiva

expandida para superredes. São calculadas estruturas de bandas de alguns poços quânticos de

semicondutores III-V e grupo-IV. Compara-se o novo método com os tradicionais, e então são

analisadas algumas grandezas que apresentam alteração signiﬁcativa entre os métodos usados;

A segunda parte é composta por um estudo detalhado do potencial de troca-correlação em se-

micondutores dopados. A matriz que descreve este potencial é escrita usando a distribuição

de portadores presentes nos orbitais atômicos da rede cristalina, e os coeﬁcientes desta ma-

triz foram calculados usando quatro modelos para a correção de muitos corpos, baseadas nas

aproximações LDA (Local density approximation) e LSDA (Local spin density approximation),

com o objetivo de comparar as diversas parametrizações. Usando o método k·p tradicional, ex-

pandido para superredes, foram simulados sistemas

-doped e Mn-

-doped de Si, através de

um cálculo autoconsistente baseado na equação de Poisson. A magnetização dos portadores

é descrita por um modelo de campo médio. Foram analisados os perﬁs de potencial, estrutu-

ras de bandas, polarização de portadores e espectros de fotoluminescência para determinar as

diferenças entre as aproximações utilizadas.

Palavras-chave: Spintrônica. Método k·p. Simetria de reversão temporal. Semicondutores

magnéticos diluídos. Troca-correlação.

Abstract

PATROCINIO, W. S. Analisys of the atomic orbitals spin information in the calculation

of semiconductors strucutures properties. 2010. 107 f. Dissertação (Mestrado em Física

Aplicada) - Instituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2010.

This work is a study about the atomic orbitals information importance in the calculation of

optoelectronics properties of low dimensionality semiconductors. The work is divided in two

parts. In the ﬁrst one, a study of the time reversal symmetry of the k · p Hamiltonian is

realized analyzing the preservation of the spin information present in the atomic orbitals. The

obtained Hamiltonian is applied in the effective mass equation expanded to superlattices. Some

calculations of quantum wells band structures are made using III-V and group-IV semicon-

ductors, comparing the new method with the conventional ones to obtain an analysis of the

difference of some physics properties. The second part is a detailed study of the exchange-

correlation potential in doped semiconductors. The matrix coefﬁcients are calculated using

the charge distribution of the crystalline lattice atomic orbitals, applied in some LDA (Local

density approximation) and LSDA (Local spin density approximation) parameterizations to

compare them. Using the conventional k·p method expanded to superlattices, Si

-doped and

Mn-

-doped systems were calculated through a self consistent calculation based on Poisson’s

equation. The carriers magnetization is described by an average ﬁeld model. The potential

proﬁles, band structures, carrier polarization and photoluminescence spectra were analyzed to

obtain the difference between the approaches.

Keywords: Spintronics. k·p method. Time reversal symmetry. Diluted magnetic semiconduc-

tors. Exchange-correlation.

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Primeira zona de Brillouin de uma rede fcc (zinc blende e diamante),

com seus respectivos pontos de alta simetria . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 4.1 - Esquema de uma heteroestrutura formada por dois materiais diferentes,

onde o material 2 possui menor gap de energia que o material 1. A linha

preta mostra o perﬁl de potencial para buracos . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 4.2 - Exemplo de uma superrede montada a partir da heteroestrutura mostrada

na ﬁgura 4.1. A região destacada em vermelho deﬁne uma supercélula

unitária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 4.3 - Ilustração do formato do hamiltoniano total quando a equação de massa

efetiva é expandida em uma onda plana. Os blocos não-diagonais aco-

plam supercélulas vizinhas. Quanto mais escuro o bloco, maior sua

contribuição no resultado ﬁnal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 5.1 - Ilustração da montagem da heteroestrutura pelo arquivo de entrada . . . 70

Figura 5.2 - Exemplo de um arquivo de entrada para uma estrutura

-doped de GaAs.

O bloco verde informa o número de materiais no sistema e também

o número de dimensões conﬁnadas no mesmo. Já o bloco vermelho

contém os parâmetros referentes ao material. O bloco azul claro possui

as informações de execução do programa e o bloco azul escuro contém

as distribuições de carga e potenciais do sistema . . . . . . . . . . . . . 71

Figura 5.3 - Esquema mostrando a redução de cálculo de pontos para as direções ˆx e ˆy

em uma rede 11×11. Os pontos vermelhos são calculados, reduzindo de

121 para 21 diagonalizações. É possível observar que a região amarela

pode ser deslocada/rotacionada e preencher todo o espaço do mesh . . . 73

Figura 5.4 - Diagrama mostrando como funciona o ciclo autoconsistente na simulação 75

Figura 6.1 - Potencial, para buracos, da heteroestrutura do sistema montado a partir

da liga de Al

0.2

0.8

As/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Figura 6.2 - Estrutura dabanda de valênciada heteroestrutura de Al

0.2

0.8

As/GaAs,

apresentada na ﬁgura 6.1. No quadro superior, há a comparação entre

as estruturas de bandas calculadas usado os hamiltonianos de Luttinger-

Kohn (linha preta pontilhada) e LK-TR (linha vermelha contínua). No

quadro inferior estão ilustradas as diferenças entre os modelos para as

três sub-bandas calculadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Figura 6.3 - Média da projeção do momento angular (m

), ao longo da direção [100]

da FBZ (Γ∆), do sistema da ﬁgura 6.1, para ambos os métodos calcu-

lados (a) Luttinger-Kohn (em azul) e (b) LK-RT (em vermelho). As

linhas contínuas representam o estado de buraco leve (LH1), as linhas

pontilhadas estão associadas à primeira sub-banda de buraco pesado

(HH1) e as linhas tracejadas representam o segundo estado de buraco

pesado (HH2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Figura 6.4 - Comparação de m

 para as sub-bandas HH1 e LH1, mostradas na

ﬁgura 6.3. As linhas pretas foram obtidas pelo método tradicional, en-

quanto as vermelhas foram obtidas pelo método apresentado neste tra-

balho. O estado HH1 é representado pelas linhas tracejadas, enquanto

LH1 é representado pelas linhas contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Figura 6.5 - Potencial da heteroestrutura para buracos dos sistemas (a) simétrico e

(b) assimétrico, montados a partir de ligas de GaAs/InGaAs . . . . . . . 81

Figura 6.6 - Estrutura da banda de valência dos sistemas de GaAs/InGaAs (a) simé-

trico e (b) assimétrico, mostrados na ﬁgura 6.5. No quadro superior são

mostradas as estruturas de bandas calculadas pelos modelos de Kane,

linhas pretas e tracejadas, e Kane-TR, linhas vermelhas e contínuas. As

linhas cinzas ilustram os poços quânticos, para identiﬁcação da posição

das energias dentro dos mesmos. O quadro inferior mostra a diferença

entre os métodos para cada uma das sub-bandas, onde a linha 01 mostra

a diferença para a primeira sub-banda, e assim sucessivamente . . . . . 82

Figura 6.7 - Potencial da heteroestrutura, para buracos, do sistema montado a partir

de ligas de Si/SiGe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Figura 6.8 - Estrutura da banda de valência do sistema de Si/SiGe mostrado na ﬁgura

6.7. No quadro superior há a comparação entre as estruturas de bandas

calculadas usado os modelos de Luttinger-Kohn (linha preta pontilhada)

e LK-TR (linha vermelha contínua). No quadro inferior estão graﬁcadas

a diferença entre as sub-bandas calculadas por ambos os modelos, para

as sub-bandas mostradas no quadro superior . . . . . . . . . . . . . . . 84

Figura 6.9 - Média da projeção do momento angular (m

), ao longo da direção Γ∆ da

FBZ do sistema 6.7, para ambos os métodos calculados (a) Luttinger-

Kohn (em azul) e (b) LK-RT (em vermelho). As linhas contínuas re-

presentam o estado de buraco leve (LH1), as linhas pontilhadas estão

associadas à primeira sub-banda de buraco pesado (HH1) e as linhas

tracejadas representam o segundo estado de buraco pesado (HH2) . . . 85

Figura 6.10 - Comparação de m

 para HH1 e LH1 do sistema da ﬁgura 6.7, cal-

culados por ambos os métodos. As linhas pretas foram obtidas pelo

método tradicional, enquanto as vermelhas foram obtidas pelo método

apresentado neste trabalho. O estado HH1 é representado pelas linhas

tracejadas, enquanto LH1 é representado pelas linhas contínuas . . . . . 85

Figura 6.11 - Potencial da heteroestrutura, para buracos, dos sistemas (a) simétrico e

(b) assimétrico, montados a partir de ligas de Si/SiGe . . . . . . . . . . 86

Figura 6.12 - Estrutura da banda de valência dos sistemas de Si/SiGe (a) simétrico e

(b) assimétrico, mostrados na ﬁgura 6.11. No quadro superior, são mos-

tradas as estruturas de bandas calculadas pelos modelos de Luttinger-

Kohn, linhas pretas e tracejadas, e LK-TR, linhas vermelhas e contí-

nuas. As linhas cinzas ilustram os poços quânticos, para identiﬁcação

da posição das energias dentro dos mesmos. O quadro inferior mostra a

diferença entre os métodos para cada uma das sub-bandas, onde a linha

01 mostra a diferença para a primeira sub-banda, e assim sucessivamente 87

Figura 7.1 - Ilustração do sistema

-doped simulado. A região vermelha representa

a dopagem tipo

, a qual possui um perﬁl gaussiano devido à difusão

das impurezas dopantes. A linha preta ilustra o potencial ﬁnal do sistema 90

Figura 7.2 - Potencial total do sistema simulado,

-doped de Si, para os buracos

pesado (linha azul escuro), leve (linha roxa) e split-off (linha azul claro)

para as quatro parametrizações XC incluídas na simulação: HL, BH, GL

e PW92. A linha vermelha representa o nível de Fermi, e a linha preta e

tracejada ilustra o potencial Coulombiano, sem a correção XC . . . . . 91

Figura 7.3 - Estrutura de bandas, na direção Γ∆, do sistema mostrado na ﬁgura 7.2,

calculadas usando as quatro parametrizações XC apresentadas. As li-

nhas contínuas mostram os estados ocupados do sistema, onde o pri-

meiro estado refere-se à buracos pesados (linha azul) e o segundo estado

refere-se à buracos leves (linha verde). As linhas tracejadas representam

os dois primeiros estados não ocupados: buraco split-off (linha preta) e

buraco pesado (linha azul). A linha vermelha ilustra o nível de Fermi . . 92

Figura 7.4 - Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, com polariza-

ção

, extraídas do sistema da ﬁgura 7.2, para três temperaturas dife-

rentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Figura 7.5 - Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, com polariza-

ção

−

, extraídas do sistema da ﬁgura 7.2, para três temperaturas dife-

rentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Figura 7.6 - Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, com polariza-

ção

, extraídas do sistema da ﬁgura 7.2, para três temperaturas dife-

rentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Figura 7.7 - Espectrode fotoluminescência, por transições indiretas, sem polarização

no plano-xy, extraídas do sistema da ﬁgura 7.2, para três temperaturas

diferentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Figura 7.8 - Ilustração do sistema Mn-

-doped simulado. A região azul representa

a dopagem tipo Mn-

, a qual possui um perﬁl gaussiano devido à

difusão das impurezas dopantes. A linha preta ilustra o potencial ﬁ-

nal do sistema. Portadores com spin down estão sujeitos ao potencial

delimitado pela região verde, enquanto os portadores com spin up estão

associados ao potencial delimitado pela região vermelha . . . . . . . . 95

Figura 7.9 - Potencial total do sistema simulado, Mn-

-doped de Si, para os bu-

racos pesado (tons de azul), leve (tons de verde) e split-off (tons de

violeta) para duas parametrizações XC: HL e PW92. A linha vermelha

representa o nível de Fermi, e a linha preta e tracejada ilustra o potencial

Coulombiano, sem a correção XC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Figura 7.10 - Estrutura de bandas, na direção Γ∆, do sistema mostrado na ﬁgura 7.9,

calculadas usando duas parametrizações XC: HL (lado esquerdo) e PW92

(lado direito). As linhas azul escuro mostram os estados ocupados do

sistema (na sequência: HH DW, LH DW, LH UP e HH UP). A linha

cinza representa o primeiro estado não ocupado (o qual mistura estados

de buracos). A linha vermelha ilustra o nível de Fermi . . . . . . . . . . 97

Figura 7.11 - Polarização de portadores do sistema da ﬁgura 7.9 ao longo do sistema.

A linha azul e pontilhada representa a polarização obtida usando a para-

metrização de Hedin & Lundqvist. A linha vermelha e contínua ilustra

a polarização obtida usando Perdew & Wang . . . . . . . . . . . . . . . 97

Figura 7.12 - Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, com polariza-

ção

, extraídas do sistema da ﬁgura 7.9, para três temperaturas di-

ferentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K. Os cálculos foram realizados

usando as parametrizações HL e PW92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Figura 7.13 - Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, com polariza-

ção

−

, extraídas do sistema da ﬁgura 7.9, para três temperaturas di-

ferentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K. Os cálculos foram realizados

usando as parametrizações HL e PW92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Figura 7.14 - Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, com polariza-

ção

, extraídas do sistema da ﬁgura 7.9, para três temperaturas di-

ferentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K. Os cálculos foram realizados

usando as parametrizações HL e PW92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Lista de Tabelas

Tabela 3.1 - Parâmetros usados nas parametrizações de Barth-Hedin e Gunnarson-

Lundqvist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Tabela 3.2 - Parâmetros usados na parametrização PW92. . . . . . . . . . . . . . . . 53

Tabela 6.1 - Parâmetros da liga Al

0.2

0.8

As/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Tabela 6.2 - Parâmetros da liga GaAs/InGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Tabela 6.3 - Parâmetros da liga Si/Si

0.75

0.25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Tabela 6.4 - Parâmetros da liga Si/SiGe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Lista de Abreviaturas

FET Field effect transistor

LED Light-emiting diode

RTD Resonance tunneling diode

MRAM Magnetic random access memory

FS Ferromagnetic semiconductors

DMS Diluted magnetic semiconductors

FM Ferromagnetismo

BZ Brillouin zone

FBZ First Brillouin zone

fcc Face centered cubic

SO Spin-orbita

LDA Local density approximation

LSDA Local spin density approximation

RPA Random phase approximation

XC Exchange-correlation

FFT Fast Fourier transform

Lista de Símbolos

h Constante de Planck

Massa de repouso do elétron

e Carga do elétron

c Velocidade da luz

∆

Split-off de energia devido à interação spin-órbita

↑ Spin up

↓ Spin down

1,2,3

Parâmetros de Luttinger

Estado de spin up

Estado de spin down

Polarização relativa de spin

Raio de Wigner-Seitz

Raio de Bohr

∗

Raio de Bohr efetivo

Constante dielétrica estática

Energia de troca

Energia de correlação

HL Parametrização de Hedin & Lundqvist

BH Parametrização de Barth & Hedin

GL Parametrização de Gunnarson & Lundqvist

PW92 Parametrização de Perdew & Wang

Ω Volume da célula unitária

k Vetor da primeira zona de Brillouin

K Vetor da rede recíproca

KaneTR Hamiltoniano 8×8 usando a reversão temporal dos orbitais s-p

LKTR Hamiltoniano 6×6 usando a reversão temporal dos orbitais s-p

Gap de energia entre as bandas de valência e condução

∗

Massa efetiva do elétron

∗

Massa efetiva do buraco pesado

∗

Massa efetiva do buraco leve

∗

Massa efetiva do buraco split-off

Sumário

1 Introdução. .. . ... . .. . . . . . ... . . . . ... . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . p.25

1.1 Spintrônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.25

1.1.1 Spintrônica usando semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.26

1.2 DMS baseados em semicondutores grupo-IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

1.3 O trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.28

2 Elétrons em um potencial periódico. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . p.31

2.1 Teorema de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.31

2.1.1 Zonas de Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.33

2.2 Aproximação de Hartree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.33

2.3 Interação spin-órbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.35

2.4 Método k·p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.38

2.5 Hamiltoniano k·p de Kane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.40

2.6 Hamiltoniano k·p com simetria de reversão temporal . . . . . . . . . . . . . . . p.41

3 Energia de troca-correlação .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . p.47

3.1 Termo de correção de troca-correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.48

3.1.1 Potencial de troca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.48

3.1.2 Potencial de correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.48

3.2 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.49

3.3 Parametrizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.51

3.3.1

HL (Hedin & Lundqvist) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.51

3.3.2

BH (Barth & Hedin) e

GL (Gunnarson & Lundqvist) . . . . . . . . . . . . p.51

3.3.3 PW92 (Perdew & Wang) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.52

4 Cálculo de heteroestruturas semicondutoras. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.55

4.1 Heteroestruturas e superredes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.55

4.2 Equação de massa efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.56

4.3 Potencial Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.59

4.4 Representação no espaço-k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.61

4.4.1 Hamiltoniano k·p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.62

4.4.2 Potencial da heteroestrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.63

4.4.3 Potencial de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.64

4.4.4 Potenciais de Troca-correlação e Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.66

4.5 Cálculo de espectros de fotoluminescência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.66

5 Simulação ... . . . .. . . .. . .. . ... . .. . . . . . ... . . . . ... . . . . ... . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . p.69

5.1 Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.72

5.2 Ciclo autoconsistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.72

6 Resultados - Hamiltoniano k·p . . . .. . . . . ... . . . . . .. . . .. . .. . ... . .. . . . . . ... . . . p.77

6.1 AlGaAs/GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.77

6.2 GaAs/InGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.80

6.3 Si/SiGe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.83

7 Resultados - Troca-correlação . ... . . . . . .. . . .. . .. . ... . .. . . . . . ... . . . . ... . . . . . p.89

7.1

-doped de Si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.89

7.2 Mn-

-doped de Si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.93

8 Conclusões . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ... . .. . . . . . ... . . . . . p.101

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . p.103

1 Introdução

1.1 Spintrônica

Nascida no ﬁm dos anos 80, a spintrônica é considerada o novo paradigma da eletrônica

baseada no spin, um grau de liberdade intrínseco do elétron. O termo vem da contração da frase

spin transport electronics, onde o portador de informação é o spin do elétron, e não mais sua

carga. Esta característica oferece diversas possibilidades para a nova geração de dispositivos

combinando a microeletrônica já existente com efeitos dependentes de spin. Adicionando o

spin à eletrônica convencional, a performance e capacidade dos produtos deve aumentar subs-

tancialmente, incrementando os dispositivos com a não-volatilidade de informação, velocidade

de processamento de dados, menor consumo de energia e aumento na densidade de integração

de circuitos (1).

Entretanto, ainda existem barreiras nesta área que impedem a implementação real dos

dispositivos, por exemplo a otimização do tempo de vida do spin, a detecção de coerência

de spin em escalas nanométricas, o transporte de portadores polarizados por longas distâncias e

heterointerfaces, e a manipulação dos spins eletrônicos e nucleares em períodos curtos. A com-

binação de eletrônica, fotônica e magnetismo permitirá o surgimento de novos dispositivos mul-

tifuncionais baseados em spin, como spin-FET (ﬁeld effect transistor), spin-LED (light-emiting

diode), spin-RTD (resonance tunneling diode), chaveadores ópticos operando em frequências

de terahertz, moduladores, decodiﬁcadores e qubits para computação e comunicação quântica.

O sucesso desses dispositivos depende de um claro entendimento das interações fundamentais

em materiais no estado sólido. Quando for possível realizar o controle do spin em estruturas

semicondutoras e ferromagnéticas, ﬁnalmente será possível então compreender o potencial da

spintrônica (2).

1.1.1 Spintrônica usando semicondutores

Os dispositivos spintrônicos metálicos surgiram no ﬁnal dos anos 80 com a descoberta

da magnetorresistência gigante (3). Dispositivos spintrônicos metálicos, como cabeçotes de

leitura de discos rígidos e memória magnética de acesso aleatório (MRAM), são algumas das

tecnologias mais bem sucedidas da última década. Nesta geração de dispositivos não havia uma

preocupação signiﬁcativa com o transporte coerente de portadores polarizados, apenas com o

controle da polarização local de portadores.

A física de dispositivos semicondutores spintrônicos percorreu um caminho similar aos

dispositivos metálicos e teve um avanço signiﬁcativo nos últimos anos. A busca por fenômenos

dependentes de spin à temperatura ambiente tem sido um dos grandes alvos de pesquisa na

última década, indicando que dispositivos operando nessa faixa de temperatura podem ser

implementados em um futuro próximo (1, 2, 4).

A spintrônica de semicondutores possui diversas características interessantes para um dis-

positivo. Um dispositivo spintrônico coerente pode, a princípio, exercer várias operações inde-

pendentes simultaneamente após atingirem equilíbrio térmico (2). O uso do spin pode aumentar

substancialmente a velocidade de processamento de informação, pois o limitante do chavea-

mento de bits não será mais a capacitância do dispositivo e sim a frequência de precessão do

spin eletrônico, variando de GHz a THz. Não-volatilidade de dados armazenados usando spin,

assim como o longo tempo de polarização permitem um grande avanço no armazenamento

de dados e no acoplamento optoeletrônico. Além dos fatores diretamente envolvidos com os

possíveis dispositivos, os semicondutores também podem ser um caminho para a implementa-

ção da computação quântica, através do isolamento de spins. E todos esses dispositivos serão

implementados de forma a possuirem tamanho reduzido, multifuncionalidade e baixo consumo

de energia (1, 2).

Entretanto, perspectivas implicam em desaﬁos. A otimização do transporte de spin, man-

tendo a polarização e a coerência, assim como a injeção de spin em regiões não-magnéticas e a

detecção dos mesmos são passos importantes para a viabilidade de dispositivos.

A busca por materiais que combinem propriedades ferromagnéticas e semicondutoras tem

sido um grande objeto de estudo nos últimos anos. Os semicondutores ferromagnéticos (FS)

possuem grande potencial para se tornarem fonte de portadores de spin polarizados e também

são facilmente integráveis a dispositivos semicondutores. Um FS ideal possuiria temperaturas

de Curie acima da temperatura ambiente e também permitiria tanto a dopagem tipo-p como a

tipo-n. Entretanto, as temperaturas de Curie desses materiais estão bastante abaixo da tempera-

tura ambiente, e não apresentam grandes perspectivas de aumento (5).

Os semicondutores magnéticos diluídos (DMS - diluted magnetic semicondutors) são ligas

onde alguns íons são aleatoriamente substituídos por metais de transição, como Mn, Co e

outros, de forma a gerar um semicondutor com regiões contendo momento magnético local.

Estes materiais podem ser usados na criação, injeção e transporte de portadores polarizados

(2). Alguns DMS’s baseados em semicondutores III-V apresentaram ferromagnetismo em

temperaturas da ordem de 110 K (6), e existem previsões teóricas de T

acima da temperatura

ambiente para diversas classes desses materiais (7).

Outra promissora classe de materiais aplicáveis à spintrônica são os óxidos ferromagnéti-

cos, cuja previsão é que sejam meio-metálicos (7). Tais materiais apresentam alta polarização, e

alguns estudos mostram que é possível obter ferromagnetismo acima da temperatura ambiente

para os mesmos (8).

1.2 DMS baseados em semicondutores grupo-IV

Alguns DMS’s crescidos com semicondutores III-V, como o (Ga,Mn)As, apresentam tem-

peraturas de Curie acima de 110 K, para uma concentração substitucional de cerca 5% e já foram

aplicados com sucesso em alguns dispositivos, como o spin-LED (9). Tal sucesso motivou o

estudo de DMS’s baseados em semicondutores grupo-IV com altas temperaturas de Curie de-

vido a sua grande compatibilidade com os circuitos integrados convencionais. Estudos recentes

mostraram ferromagnetismo em cristais de (Ge,Mn) a 116 K (10) e 285 K (11) e também efeito

Hall anômalo em (Si,Mn) a cerca de 70 K (12).

Estudos usando primeiros princípios mostraram algumas características de ligas de Si e

Ge com metais de transição (Cr, Mn e Fe)(13). Sistemas de (Si/Ge,Cr) possuem tendência a

serem antiferromagnéticos, ao contrário dos sistemas com Mn e Fe. Segundo Weng e Jong

(13), o (Ge,Mn) possui ferromagnetismo do tipo RKKY, enquanto o (Si,Mn) apresenta ferro-

magnetismo de longo alcance quando a distância entre os íon de Mn é maior que 9,41 Å. Isto

implicaria que a temperatura de Curie para o (Ge,Mn) seria maior que a do (Si,Mn). Os resul-

tados apresentados para (Si/Ge,Fe) mostram que estes materiais possuem o ferromagnetismo

mais forte dentre os três metais de transição estudados, e resultados experimentais mostram que

o (Ge,Fe) é um DMS tipo-n com T

de 233 K (14).

Além de crescimento epitaxial dos DMS, foram usadas também técnicas como a implan-

tação de íon de Mn em Si já dopado (10). Esta técnica permite a inserção de uma quantidade

de carga maior que o limite de solubilidade de Mn em Si (cerca de 10

−3

(15). Bolduc et

al. (10) mediu T

acima de 400 K em cristais de Si (tipo-p e tipo-n) com Mn implantado. Foi

observado também que o ferromagnetismo é afetado pela concentração de Mn, sugerindo que o

ferromagnetismo é mediado por buracos.

1.3 O trabalho

Neste trabalho foi realizado um estudo do tratamento rigoroso da informação dos orbi-

tais atômicos da rede cristalina em dois itens fundamentais nos cálculos de propriedades de

estruturas semicondutoras: o hamiltoniano k·p e o potencial de troca-correlação. Tal estudo

foi realizado visando obter uma descrição teórica mais completa e abrangente de estruturas

semicondutoras aplicadas à spintrônica.

A primeira parte do trabalho foi composta por uma análise da simetria de reversão temporal

dos hamiltonianos de Luttinger-Kohn (16) e Kane (17) quando escrito na base dos orbitais

atômicos. Esta análise resultou em umamatriz onde a informaçãobem deﬁnida de spin, presente

nos orbitais atômicos, é incluída diretamente nos elementos de matriz, os quais diferem ligei-

ramente dos calculados pelos métodos tradicionais. Aplicando este hamiltoniano na equação

de massa efetiva expandida para superredes (18), foram calculadas as estruturas de bandas de

alguns poços quânticos de semicondutores III-V e grupo-IV, para visualização e interpretação

das novas informações dadas por este novo hamiltoniano.

Na segunda parte foi trabalhado um modelo para a representação matricial do potencial

de troca-correlação na base de momento angular, e também um estudo do efeito das diversas

parametrizações XC existentes no cenário cientíﬁco. Os coeﬁcientes da matriz XC foram

calculados a partir da distribuição de portadores dos orbitais atômicos, usando quatro diferentes

parametrizações diferentes: uma baseada na aproximação LDA (Local density approximation)

e outras três aproximações LSDA (Local density approximation). Com este modelo é pos-

sível incluir a contribuição dos buracos split-off ao potencial XC, e também obter calcular

este potencial para semicondutores que não possuem estrutura cristalina zinc blende, como

a wurtzita. Foram simulados sistemas

-doped e Mn-

-doped de Si, onde os perﬁs de

potencial, estruturas de bandas e espectros de luminescência foram analisados para interpretar

as diferenças entre as diversas parametrizações.

2 Elétrons em um potencial periódico

O problema de elétrons em um sólido é, a princípio, um problema de muitos corpos, pois

o hamiltoniano completo do sólido contém não apenas os potenciais que descrevem a interação

de um elétron com a rede, mas também as interações elétron-elétron e entre os íons da rede.

Na aproximação de elétrons independentes, é possível fazer a representação via um potencial

efetivo para apenas um elétron. Entretanto, pode-se extrair algumas propriedades de um sistema

periódico a partir da equação de Schrödinger para um elétron, mesmo sem conhecer exatamente

a forma do potencial periódico.

2.1 Teorema de Bloch

Para apenas um elétron sob um potencial periódico, também chamado de elétron de Bloch,

a equação de energia de um sistema cristalino é dada por:



−

∇

(r)



εψ

(2.1)

onde m

é a massa do elétron e V

possui a periodicidade da rede de Bravais do sistema

cristalino, tal que V

(r) = V

(r+ R), para R pertencente à rede de Bravais.

Os autoestados,

, do hamiltoniano da equação (2.1), podem ser escolhidos como o produto

de uma onda plana com uma função a qual possui a periodicidade da rede de Bravais. O

enunciado acima é conhecido como teorema de Bloch, dado por:

n,k

(r) = e

ik·r

n,k

(r) (2.2)

onde

n,k

(r) = u

n,k

(r+ R) (2.3)

Nota-se que:

n,k

(r+ R) = e

ik·R

n,k

(r) (2.4)

Impondo condições de contorno apropriadas para as funções de onda, pode-se mostrar que

o vetor de onda k deve ser real, e com apenas alguns valores permitidos. Como o tamanho de

uma rede de Bravais é um múltiplo da constante de rede a, podemos escrever a condição de

periodicidade como:

(r+ N

) =

(r), j = 1, 2,3 (2.5)

onde a

são os vetores primitivos e N

são todos inteiros da ordem de

√

N, visto que N = N

é o número total de células primitivas no cristal.

Aplicando as condições de contorno da equação (2.5) na função de Bloch, tem-se:

(r+ N

) = e

k·a

(r) (2.6)

ou seja,

k·a

= 1 (2.7)

Como k = h

+ h

, então e

= 1. Generalizando para três dimensões, os

vetores de onda de Bloch permitidos são dados por:

k =

∑

j=1

(2.8)

com m

inteiro.

O inﬁnitésimo de volume do espaço recíproco, ∆k, é dado pelo volume da célula primitiva

calculado da seguinte forma:

∆k =





(2.9)

com v

o volume da célula primitiva no espaço recíproco.

Pode-se concluir, a partir da equação (2.9), que o número de vetores de onda permitidos em

uma célula primitiva da rede recíproca é igual ao número de sítios no cristal.

O teorema de Bloch introduz um vetor de onda k que possui papel fundamental na movi-

mentação de elétrons em um potencial periódico, assim como no problema de um elétron livre

em uma caixa (modelo de Sommerfeld). Para o elétron livre, o vetor de onda é dado por p/

onde p representa o momento da partícula. Para os elétrons de Bloch, o vetor k é um número

quântico característico da simetria translacional do potencial periódico, chamado de momento

cristalino, uma extensão natural de p para tais elétrons.

A periodicidade do sistema implica em propriedades particulares para este vetor de onda

de Bloch. k pode sempre ser conﬁnado à primeira zona de Brillouin, já que um vetor de onda

qualquer, k

′

, pode ser escrito como k

′

= k+ K, com k pertencente à primeira zona de Brillouin

e K um vetor qualquer da rede recíproca.

2.1.1 Zonas de Brillouin

Seja um vetor k

, pertencente à

-ésima zona de Brillouin, e um vetor K(k

) tal que

K(k

)−k

= k

, com k

pertencente a primeira zona de Brillouin (FBZ). Um vetor k qualquer

do espaço recíproco, o qual pertence a uma zona de Brillouin de ordem

, sempre pode ser

decomposto como um vetor da FBZ somado a um vetor da rede recíproca. Dessa forma, é

possível descrever todo o espaço-k conhecendo apenas a primeira zona de Brillouin. Devido à

periodicidade da rede, tem-se a seguinte relação:

) = E(k

+ K(k

)) ≡ E(k

) (2.10)

2.2 Aproximação de Hartree

Em semicondutores, a interação da rede cristalina com os elétrons livres pode ser tratada

como perturbação, o que permite a utilização da aproximação de elétrons independentes. A

equação de Schrödinger de um sistema com muitos elétrons é representada por:

,...,r

) = E

,...,r

) (2.11)

Figura 2.1 – Primeira zona de Brillouin de uma rede fcc (zinc blende e diamante), com seus respectivos

pontos de alta simetria

onde o hamiltoniano H inclui a energia cinética dos elétrons e as interações com íons da rede e

com elétrons (19):

H =

∑



ions

)



∑

′

∑

k=k

′

−r

(2.12)

com o termo V

ions

representando a interação dos elétrons com os íons da rede, desprezando a

interação íon-íon.

Segundo a aproximação de elétrons independentes, a função de onda de um sistema de N

elétrons pode ser representada como o produto de várias funções de onda de apenas um elétron:

,...,r

) =

∏

) (2.13)

tal que o conjunto de funções

formem uma base completa de funções, e que possuam a

periodicidade da rede cristalina.

Substituindo este formato da função de onda na equação (2.11), tem-se:



∏

j=i

)|H|

∏

j=i

)

) = E



∏

j=i

)|H|

∏

j=i

)

) (2.14)

Pela aproximação de Hartree, apenas os termos diagonais

para cada j = i contri-

buem de forma não-nula (19), ou seja:



∏

j=i

) |H|

∏

j=i

)



) = E

) (2.15)

Então a autoenergia do estado

é dada por:

= E

−

∑

k=i



ions

−

∑

k=i

∑

′

=k,i



′

−r

′

 (2.16)

É possível escrever a equação de Schrödinger para a i-ésima partícula,



ions

) +V

)



) =

), i = 1, 2, ..., N (2.17)

e também deﬁnir o potencial de Hartree:

) = e



′

∑

k=i

′

−r

′

(2.18)

Neste ponto são feitas duas aproximações: primeiramente, em sistemas cristalinos, o nú-

mero de elétrons é grande e considera-se que estes estão dispersos por todo o cristal. Dessa

forma, não haverá grandes diferenças se os termos com k = i forem incluídos no potencial

total, removendo assim a dependência com i; Segundo: em condições usuais, um semicondutor

encontra-se no estado fundamental (ou em pequenas variações do mesmo), o qual é identiﬁcado

a partir da ocupação de seus estados. Nesta conﬁguração, todos os estados abaixo da energia

de Fermi estão ocupados, e os acima estão vazios (19). Tem-se então o seguinte potencial de

Hartree:

) ≡V

) = e



′

∑

′

−r

′

(2.19)

e o potencial Coulombiano é dado então pela soma dos potenciais V

ions

r) e V

r).

2.3 Interação spin-órbita

Em um sólido cristalino, o estado dos elétrons é caracterizado pela sua banda de energia

e pelo seu vetor de onda k. Em alguns semicondutores, como o GaAs, a interação spin-órbita

(SO) causa a quebra de degenerescência entre sub-bandas de energia relacionadas a estados com

momento angular total distintos (j = 1/2 e 3/2). Este é um dos indicativos de como a interação

SO inﬂui no movimento orbital dos elétrons cristalinos. Outro indicativo bastante interessante

é a quebra de degenerescência de spin em sistemas sem simetria de inversão, como os cristais

zinc blende (20).

No método k·p, a interação SO é inserida no cálculo de estrutura de bandas por meio dos

elementos de matriz que representam o hamiltoniano SO, o qual fornece uma parametrização

conveniente dos efeitos do acoplamento spin-órbita em estruturas semicondutoras.

O hamiltoniano spin-órbita não relativístico de Pauli é dado por (19):

p·(

×∇V

) (2.20)

onde m

é a massa de repouso do elétron, c a velocidade da luz, p representa o momento da

partícula,

representa a matrizde Pauli eV

é o potencial periódicoimposto pela rede cristalina.

Atuando o hamiltoniano spin-órbita sobre a função de Bloch:

ik·r

n,k

) =

[(pe

ik·r

n,k

+ e

ik·r

(pu

n,k

)] ·(

×∇V

) (2.21)

ik·r

n,k

) =

[

hk·(

×∇V

n,k

+ p·(

×∇V

n,k

ik·r

(2.22)

A equação de energia do sistema com interação spin-órbita é dada por:



k·p+

k·

×∇V

) +

p·(

×∇V

) +V

(r)



n,k

= E

n,k

(2.23)

Substituindo:

= p+

(

×∇V

) (2.24)

obtém-se:



k·

p·(

×∇V

) +V

(r)



n,k

= E

n,k

(2.25)

A representação matricial da interação spin-órbita na base dos orbitais hidrogenoides s-p

(|s ↑,|s ↓,|x ↑, |y ↑, |z ↑,|x ↓,|y ↓,|z ↓) é dada por:

∆







0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 −i 0 0 0 1

0 0 i 0 0 0 0 −i

0 0 0 0 0 −1 i 0

0 0 0 0 −1 0 i 0

0 0 0 0 −i −i 0 0

0 0 1 i 0 0 0 0







(2.26)

Diagonalizando a matriz (2.26), obtém-se a base de momento angular, a qual é tradicional-

mente usada para representar os Hamiltonianos de cristais do tipo diamante e zinc blende:





= |s ↑



,−



= |s ↓





√

|(X + iY) ↑





√

[−2|Z ↑ + |(X + iY) ↓]



,−



√

[2|Z ↓+ |(X −iY) ↑]



,−



√

|(X −iY) ↑





√

[|Z ↑+ | (X + iY) ↓]



,−



√

[|Z ↓−| (X −iY) ↑]

(2.27)

Nesta base, o hamiltoniano SO possui a forma:

∆







0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 −2 0

0 0 0 0 0 0 0 −2







(2.28)

A partir da equação (2.28) pode-se observar que os estados com momento angular total 3/2

são degenerados, e que há uma diferença de energia de ∆ entre os estados j = 3/2 e j = 1/2,

fazendo com que este termo ∆ seja chamado de Delta de split-off.

2.4 Método k·p

De acordo com o teorema de Bloch, a função de onda pode ser escrita como:

n,k

= e



k·r

n,k

(r) = e

ik·r

r|n,k (2.29)

Substituindo a função de Bloch na equação de energia:



(r)



ik·r

n,k

= E

n,k

ik·r

n,k

(2.30)

Lembrando que p

= p·p e p= −i

h∇, e aplicando o operador momento na função de onda,

obtém-se:

p(e



k·r

n,k

) =

hke

ik·r

n,k

+ e

ik·r

n,k

(2.31)

p·[p(e

ik·r

n,k

)] =

hk·p(e

ik·r

n,k

) +e

ik·r

n,k

+ (pe

ik·r

) ·(pu

n,k

) +e

ik·r

p·pu

n,k

(2.32)

Portanto:

ik·r

n,k

) = (

n,k

+ 2

hk·pu

n,k

+ p

n,k

ik·r

(2.33)

O hamiltoniano do sistema se torna:

H =

k·p+

(r) (2.34)

Agora todo o sistema é descrito pela primeira zona de Brillouin, e k surge como um índice

para o hamiltoniano, H

, o qual gera níveis discretos de energia, devido ao tamanho ﬁnito do

sistema. É importante notar que k não varia continuamente, como já foi visto na equação (2.9).

Como N é da ordem da constante de Avogadro, então o inﬁnitésimo de variação de k é muito

pequeno, sendo quasi-contínuo. Dessa forma, os níveis de energia serão discretos e variando

quasi-continuamente, ou seja,

(k).

Como todo o conjunto de níveis de energia do sistema é descrito dentro de uma célula

primitiva,a descrição do sistema por meiode vetores de onda além da primeira zona de Brillouin

torna-se redundante. Seja uma função de onda de Bloch para k

′

além da FBZ:

′

(r+ R) = e

ik’·R

′

(r) (2.35)

ou seja, e

i(k+K)·R

= e

ik·R

iK·R

= e

ik·R

. Portanto, pode-se concluir que:

n,k+K

(r) =

n,k

(r) (2.36)

(k+ K) =

(k) (2.37)

A informação contida nas funções

n,k

(r) e

(k) é conhecida como estrutura de bandas

do sólido. Para cada n,

(k) é chamada banda de energia. Devido à periodicidade do sistema

e a quasi-continuidade de k, as bandas de energia possuem limites superior e inferior. Um

elétron em um determinado nível de energia n e com vetor de onda k possui velocidade média

não-evanescente, dada por (21):

(k) =

∇

(k) (2.38)

A equação (2.38) mostra que existem níveis estacionários para um elétron em um potencial

periódico, o qual representa a interação dos elétrons com os íons da rede. Assim, os elétrons

movem-sesem qualquer variação em sua velocidade média, contrastando com a ideia do modelo

de Drude, onde as colisões ocorriam entre elétrons e íons da rede.

2.5 Hamiltoniano k·p de Kane

Kane (17) mostrou que o hamiltoniano k·p, proposto por Dresselhaus (22), pode ser bloco-

diagonalizado. O operador de Kramer para um cristal com simetria de inversão é:

= −i

C (2.39)

para

representando a matriz de Pauli e C o operador complexo conjugado.

Quando o operador de Kramer é aplicado sobre as funções de Bloch de um cristal, chega-se

à conclusão de que as funções de onda com k e −k são degeneradas quando o cristal possui

simetria de inversão. Caso o cristal não possua tal simetria, então o operador de Kramer possui

a forma:

= −i

CJ (2.40)

onde J é o operador inversão. Pode-se observar claramente que:













→

κψ







∗

−W

∗







(2.41)

É possível, então, escrever uma base na forma (17):

κφ

(2.42)

onde as funções de onda

representam a base de momento angular (j, m

) com valores positi-

vos de m

. Sendo assim:



−→

,−



,−



,−



(2.43)

Notam-se as seguintes propriedades:



κφ

 = 



∗

(2.44)



κφ

|H|

κφ

 = 

|H|



∗

(2.45)



|H|

κφ

 = −

|H|



∗

(2.46)

2.6 Hamiltoniano k·p com simetria de reversão temporal

Os hamiltonianos k·p usuais (16, 17, 22) são construídos a partir de dois blocos idênticos

os quais constituem a parte espacial da função de onda na base dos orbitais hidrogenoides

sp, para ambos estados de spin. Quando a interação spin-órbita é incluída, o hamiltoniano é

representado na base de momento angular, dada pela equação (2.27). Em tal representação,

o estado de spin dos portadores deﬁnidos por estes estados é determinado pela projeção do

momento angular total, m

. Entretanto, a informação do spin dos portadores que ocupam os

orbitais, a qual anteriormente era bem deﬁnida, é perdida, já que há mistura entre orbitais com

diferentes spins na composição da base de momento angular.

Se o operador reversão temporal de Kramer for aplicado em uma função de Bloch associada

a um estado de spin up, o resultado é:



√

Ω

ik·r

r|u

n,k

s| ↑



√

Ω

−ik·r

r|u

n,−k

s| ↓ (2.47)

O spin é antissimétrico sobre reversão temporal, assim como o vetor de onda k, o momento

cristalino. Para manter a simetria de reversãotemporal no hamiltoniano de Kane (23), os estados

com m

negativos são escritos como a reversão temporal dos estados com m

positivos. Isso

também é válido quando o hamiltoniano é escrito na base dos orbitais s-p. Deﬁnindo o vetor de

onda de estados spin up como k

e aplicando o operador reversão temporal em um estado tipo

s-p com spin up, tem-se:

|sp, k

,↑ → |sp,k

,↓ (2.48)

Utilizando o formato de base dado pela equação (2.42), onde k

é a reversão temporal

de k

, e já estendendo para o modelo de Kane, o qual insere o fundo da banda de condução

explicitamente (23), obtém-se a base revertida temporalmente:

|x,k

,↑

|y,k

,↑

|z,k

,↑

|s,k

,↑

−→

|x,k

,↓

|y,k

,↓

|z,k

,↓

|s,k

,↓

(2.49)

e o hamiltoniano na base dos orbitais possui a seguinte forma:







) 0

)]













) 0

0 H

)







(2.50)

Usando a notação de Luttinger-Kohn (16) e a aproximação de Löwdin (24), o bloco H

(k)

é escrito como:







gap

+ Ak

−iP

+ M

−iP

+ M

−iP

+ M







(2.51)

onde o zero de energia é deﬁnido como o topo da banda de valência, E

é o gap de energia entre

as bandas de valência e condução, e o vetor de onda k é o vetor k

para o bloco spin up e k

para o bloco spin down.

Foreman (25) mostrou que, em superredes, o operador k

deve ser operado de forma assi-

métrica (k

(z)k

) para tratar as descontinuidades das condições de contorno. Assim, índices

devem ser associados à ordem do operador. Os elementos da matriz dada pela equação (2.51)

são deﬁnidos por:

= (k

) (2.52)

P+ Pk

) (2.53)

= k

(

+ 4

(2.54)

= k

(

−2

+ k

(

−2

(2.55)

= 3(k

+ k

) (2.56)

Os parâmetros

, P e A são os parâmetros de Luttinger, parâmetro de Kane e o inverso da

massa efetiva do elétron, respectivamente.

Para estruturas cristalinas do tipo zinc blende e diamante, o hamiltoniano é usualmente

representado na base de momento angular, dada pela equação (2.27). A matriz que transforma

a base revertida temporalmente (2.49) na base de momento angular é dada por:

U =







1 0 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0

√

0 0 0 0

0 0 0 0 −

√

−

√

0 0

√

−

√

0 0 0

√

0 0 0 0 0

√

0 0 0 0

√

0 0 −

√

−

√

0 0 0

√







(2.57)

Fazendo a transformação U

†

HU, e deﬁnindo o zero de energia como o topo da banda de

valência, tem-se:







gap

+ A

√

−

√

−

0 E

gap

+ A

0 −

√

−

√

−

√

−

√

−

√

−

0 Q

−i

√

−i

√

−

√

−

√

∗

(2T

+ Q

) i(S

−S

) R

√

−Q

)

√

(2S

+ S

)

−

√

−

√

∗

−i(S

∗

−S

∗

)

+ 2T

) i

√

∗

+ 2S

∗

) −

√

−T

)

0 −

√

0 R

∗

−i

√

∗

−i

√

∗

√

∗

−

√

−

√

−

√

∗

−i

√

−Q

)

√

+ 2S

) i

√

+ 2Q

−∆) −i(S

−S

)

√

−

√

∗

√

(2S

∗

+ S

∗

)

√

−T

)

√

i(S

∗

−S

∗

)

(2Q

+ T

−∆)







(2.58)

Os índices

são redeﬁnidos para mostrar os vetores de onda presentes no cálculo de

cada elemento, mostrando assim a informação de spin presente no hamiltoniano representado

na base dos orbitais. Os elementos que acoplam as sub-bandas de valência, em unidades de

Rydberg, são dados por:

Q = −[(k

(

+ k

(

) +k

(

−2

] (2.59)

T = −[(k

(

−2

+ k

(

−2

) +k

(

+ 4

] (2.60)

S = −[(k

+ k

) −i(k

+ k

)] (2.61)

R = −

√

3[(k

−k

) −i(k

+ k

)] (2.62)

Os elementos associados à primeira sub-banda de condução são:

±ik

) (2.63)

= k

(2.64)

A = k

(2.65)

Na equação (2.58), a mistura de spin que ocorre na base de momento angular é realçada e o

acoplamento entre estados spin up e down é explicitado pelos termos que possuem índices

. Os termos S

−S

, os quais eram nulos na representação convencional, quando analisados

sob a simetria de reversão temporal, apresentam acoplamentos entre buracos leve spin up e

down, e o mesmo ocorre para buracos split-off. Isto não implica em grandes problemas, já

que estes termos são originados por interações de segunda ordem segundo a aproximação de

Löwdin.

3 Energia de troca-correlação

Na década de 50 houve um aumento no estudo de propriedades de gases de elétrons com

ampla faixa de densidades, procurando compreender sistemas inomogêneos usando modelos

teóricos. Os primeiros modelos representaram as interações de muitos corpos como partículas

independentes interagindo com um gás homogêneo de elétrons, baseados nos trabalhos de

Thomas-Fermi (26, 27), Slater (28) e Hartree-Fock (29).

Kohn e Sham (30) propuseram um modelo inserindo as correções de troca-correlação com

equações autoconsistentes, semelhantes à equação de Schrödinger, e funcionais de densidade.

Entretanto, existem algumas condições para que este método seja aplicado: variação suave e

altas densidades de carga. Anos mais tarde, Barth e Hedin (31) generalizaram o formalismo

de Kohn-Sham para casos onde há polarização de spin, parametrizando a correção de muitos

corpos por meio de funcionais baseados nos estados paramagnético e ferromagnético, usando

a aproximação LSDA (local spin density approximation). Surgiram também algumas aproxi-

mações não-locais, como a aproximação de densidade média e de densidade ponderada (32).

Outro caminho seguido por alguns pesquisadores foi o uso de métodos estatísticos como Monte

Carlo e aproximação de fase aleatória (RPA) (33, 34).

Algumas parametrizações foram desenvolvidas especiﬁcamente para gases de buracos em

semicondutores (34–38). Entretanto, estas descrições limitam-se às sub-bandas com simetria

em cristais zinc blende (buracos leve e pesado). Em sistemas onde as sub-bandas com

simetria Γ

não podem ser desprezadas, em modelos com descrição de orbitais p e d da banda

de condução (39, 40) e em sistemas cristalinos de outros tipos, como a wurtizita, tais modelos

não podem ser aplicados.

3.1 Termo de correção de troca-correlação

Embora a troca-correlação (XC) seja mencionada conjuntamente, é possívelseparar a mesma

em duas interações diferentes. A energia de troca pode ser obtida exatamente, entretanto

a correlação é sempre parametrizada, fornecendo resultados aproximados. Ambas energias

são descritas em função dos mesmos parâmetros, os quais dependem do modelo usado. Em

aproximações LSDA, os parâmetros são a polarização relativa de portadores (

) e o raio de

Wigner-Seitz (r

−

(3.1)



πρ

∗3



−1/3

(3.2)

onde

é a densidade de portadores,

são os estados de spin 1/2 (up e down) e a

∗

o raio de Bohr efetivo.

Ambos os potenciais são construídos a partir da combinação de estados ferromagnético

(

= 1) e paramagnético (

= 0). Assim, a energia XC,

), será escrita em função de

,1) e

,0).

3.1.1 Potencial de troca

A interação de troca é um efeito quântico que minimiza a energia de duas ou mais partículas

quando as respectivas funções de onda se sobrepõem. Oriunda do princípio de exclusão de

Pauli, esta diferença de energia é resultado da identidade das partículas e da simetria de troca

entre elas (19). A troca é conhecida exatamente (41), e pode ser escrita na seguinte forma:

,0)



σζ

(3.3)

3.1.2 Potencial de correlação

A correlação estima a mudança da energia total devido à reorganização de numerosas

partículas carregadas e interagentes. Por ser um fenômeno de muitos corpos, esta correção não

pode ser obtida exatamente, exigindo o uso de parametrizações para descrevê-la (31–33, 42).

3.2 Método

A aproximação de densidade local (LDA), e suas variantes, tratam um sistema inomogêneo

como se fosse uma deformação suave de uma conﬁguração homogênea, as quais não alteram as

atribuições qualitativas do sistema (30).

Elétrons ocupando um orbital especíﬁco são espacialmente e energeticamente distintos dos

que estão em outros orbitais. Dessa forma, os elétrons que ocupam um determinado orbital

podem ser tratados como um gás de elétrons independentes e existe apenas a troca-correlação

intra-orbital. Em sólidos é possível tratar a interação XC dentro de cada casca fechada (32),

pois tal sistema possui as características impostas pelo modelo de Kohn-Sham (30).

Duas suposições são feitas nessa aproximação:

1. As forças que mantém os elétrons separados uns dos outros são devidas somente às

interações de troca-correlação e Coulomb;

2. Os efeitos destas forças são bastante similares aos ocorridos em um gás homogêneo.

A proposta deste modelo é calcular o potencial XC para os orbitais s-p, tal que o gás de

portadores possui duas componentes, uma para cada spin, como sugerido por Kärkkäinen (37).

O potencial XC, V

), é calculado separadamente para cada orbital s-p.

O raio de Bohr efetivo depende das massas efetivas dos portadores. É necessário, então,

encontrar a massa efetiva referente a cada orbital. No modelo proposto por Sipahi et al. (18),

são usadas as massas isotrópicas obtidas a partir dos parâmetros de Luttinger. No modelo apre-

sentado nesse trabalho, foram analisadas as composições dos orbitais nos estados de momento

angular e então foi obtida uma aproximação para as massas efetivas dos orbitais usando as

massas isotrópicas dos buracos leve, pesado e split-off. As massas efetivas dos orbitais são

dadas por:

∗

= m

∗

(3m

∗

+ m

∗

+ 2m

∗

) (3.4)

∗

(2m

∗

+ m

∗

) (3.5)

Na base dos orbitais s-p, a matriz XC tem a forma:







(

) 0 0 0 0 0 0 0

0 V

(

) 0 0 0 0 0 0

0 0 V

(

) 0 0 0 0 0

0 0 0 V

(

) 0 0 0 0

0 0 0 0 V

(

) 0 0 0

0 0 0 0 0 V

(

) 0 0

0 0 0 0 0 0 V

(

) 0

0 0 0 0 0 0 0 V

(

)







(3.6)

tal que os coeﬁcientes V

são obtidos usando a forma exata da interação de troca, dada pela

equação (3.3), e algumas parametrizações para a correlação, as quais serão apresentadas poste-

riormente.

Transformando a matriz (3.6) na base de momento angular, equação (2.27), o hamiltoniano

XC é dado por:







0 0 0 0 0 0 0

0 V

0 0 0 0 0 0

0 0 Q 0

√

3R 0 0 i

√

0 0 0 T 0

√

(Q−T) 0

0 0

√

3R 0 T 0 0

√

(Q−T)

0 0 0

√

3R 0 Q i

√

6R 0

0 0 0 −

√

(Q−T) 0 −i

√

(Q+ T) 0

0 0 −i

√

3R 0 −

√

(Q−T) 0 0

(Q+ T)







(3.7)

tal que os elementos de matriz possuem a forma:

Q =

) (3.8)

T =

(4V

) (3.9)

R =

−V

) (3.10)

3.3 Parametrizações

Neste trabalho serão analisadas quatro diferentes parametrizações para o termo de correção

de correlação. Os modelos utilizados são baseados na teoria do funcional da densidade (DFT -

density functional theory), onde um dos modelos é uma aproximação LDA e as outras três são

aproximações LSDA.

3.3.1

HL (Hedin & Lundqvist)

Nesta aproximação, a energia de troca-correlação é tratada conjuntamente e a polarização

de spin não é tratada rigorosamente (LDA). O potencial XC, neste modelo, é dado por:

= −

∗q



πα



−

∗q

0.0368ln





(3.11)

onde R



∗q

)

p(z) e p(z) é a densidade total de portadores dada por p(z) = p

+ p

. O índice q refere-se aos estados de buracos pesado, leve e split-off, respectivamente.

3.3.2

BH (Barth & Hedin) e

GL (Gunnarson & Lundqvist)

Os modelos de Barth-Hedin (31), BH, e Gunnarson-Lundqvist (32), GL, são baseados na

aproximação LSDA. As energias de troca e correlação são tratadas separadamente, sendo a

última parametrizada. Ambos modelos usam o mesmo funcional, diferindo apenas dos parâ-

metros, os quais são mostrados na tabela (3.1). O potencial de troca é calculado por meio da

equação (3.3). O funcional usado para obter a energia de correlação é dado por:

) =

,0) + f(

)[

,1) −

,0)] (3.12)

onde

) =

(1+

)

4/3

+ (1−

)

4/3

−2

2(2

1/3

−1)

(3.13)

Neste modelo, os elementos do funcional que necessitam de parametrização são as energias

dos estados paramagnético,

,0), e ferromagnético,

,1):

,i) = −C





(3.14)

onde i possui os valores 0 (paramagnético) e 1 (ferromagnético), e

g(x) = (1+ x

)ln





−x

−

(3.15)

O potencial de correlação pode ser escrito então como:

) = −C





−



) +(

−

)

∂

)

∂ζ





∂





∂

+ f(

)



∂





∂

−

∂





∂



(3.16)

Tabela 3.1 – Parâmetros usados nas parametrizações de Barth-Hedin e Gunnarson-Lundqvist.

0.0333





0.0252





11.4 30

0.0203





0.0127





15.9 75

3.3.3 PW92 (Perdew & Wang)

Assim como nos modelos de Barth-Hedin e Gunnarson-Lundqvist, Perdew e Wang (33)

parametrizaram apenas a energia de correlação, usando a seguinte aproximação:

) =

,0) +

)

′′

(0)

(1−

) +[

,1) −

,0)] f(

)

(3.17)

Nesta aproximação, os termos

,0),

,1) e −

) são escritos usando a seguinte

equação:

−2A(1+

)ln



2A(

1/2

3/2

p+1

)



(3.18)

tal que os parâmetros p, A,

são mostrados na tabela (3.2)

O potencial de correlação possui a seguinte forma:

) =

) −

∂ε

)

∂

−(

−

)

∂ε

)

∂ζ

(3.19)

Tabela 3.2 – Parâmetros usados na parametrização PW92.

,0)

,1) −

)

p 1.0 1.0 1.0

A 0.031091 0.015545 0.016887

0.21370 0.20548 0.11125

7.5957 14.1189 10.357

3.5876 6.1977 3.6231

1.6382 3.3662 0.88026

0.49294 0.62517 0.49671

4 Cálculo de heteroestruturas

semicondutoras

4.1 Heteroestruturas e superredes

Uma heteroestrutura é formada pela disposição sequencial de diferentes materiais semicon-

dutores com características e propriedades diferentes. Na maioria dos casos, uma heteroestru-

tura é construída para criar regiões de conﬁnamento de estados e assim obter maior controle

dos fenômenos ocorrentes naquela região. Na ﬁgura 4.1 é apresentado um esquema de uma

heteroestrutura.

Poço

Barreira

Figura 4.1 – Esquema de uma heteroestrutura formada por dois materiais diferentes, onde o material 2

possui menor gap de energia que o material 1. A linha preta mostra o perﬁl de potencial

para buracos

Em um material bulk, a célula unitária da rede cristalina deﬁne a região de periodicidade

do sistema e este período implica em propriedades particulares de tais sistemas. Se uma

heteroestrutura é deﬁnida como uma supercélula unitária do sistema, a repetição das mesmas ao

longo de uma direção de crescimento é deﬁnida como superrede. Os parâmetros dos materiais

variam ao longo da direção de crescimento, deﬁnida como ˆz, ou seja, as características do

sistema serão funções de z:

∗

(z) =











∗

,z < 0,

∗

,z > 0

(4.1)

(z) =











,z < 0,

,z > 0

(4.2)

Figura 4.2 – Exemplo de uma superrede montada a partir da heteroestrutura mostrada na ﬁgura 4.1. A

região destacada em vermelho deﬁne uma supercélula unitária

4.2 Equação de massa efetiva

O método k·p é utilizado com sucesso em casos em que é necessário apenas a descrição

da vizinhança do ponto Γ da FBZ do sistema. Em tais casos, a banda de energia pode ser

representada por uma expansão em séries de Taylor de segunda ordem (19), tal que:

(k) = E

) +

∗

(k)

(4.3)

Com esta aproximação, é introduzido ao sistema a relação de dispersão de um elétron

livre. O termo m

∗

é chamado de massa efetiva, pois o mesmo é responsável por carregar as

informações referentes ao potencial da rede cristalina. Em um cristal, a relação de dispersão

é bastante complexa. Entretanto, para pontos na vizinhança do ponto Γ a relação de dispersão

quadrática é predominante, permitindo que a aproximação de massa efetiva seja usada. Em

geral, usa-se o tensor massa efetiva, M

−1

ναβ

, o qual possui valores diferentes de massas para

diferentes direções da FBZ do cristal. Porém, em alguns casos especiais, de acordo com as

simetrias do sistema, a massa efetiva torna-se uma quantidade escalar (19).

Uma heteroestrutura é composta por camadas de diferentes materiais semicondutores. A

teoria de massa efetiva é bem estabelecida quando aplicada em materiais bulk. Entretanto,

quando vários materiais são arranjados em camada, são geradas interfaces entre dois materiais

diferentes, conhecidas como heterointerfaces. Para que a teoria de massa efetiva seja aplicada

em sistemas onde ocorrem heterointerfaces, as condições de contorno devem ser tratadas rigo-

rosamente (19).

Seja uma heteroestrutura simples, composta por dois materiais, onde o material 1 ocupa a

região z < 0 e o material 2 ocupa z > 0. Considerando apenas os respectivos autoestados que

estão próximos ao fundo da banda de valência de cada material,

(r) e

(r), estas funções

de onda podem ser escritas como:

(r) = F

(r)u

(r) e

(r) = F

(r)u

(r) (4.4)

As funções envelope F

(r) e F

(r) obedecem à equação de massa efetiva:



−

∗

∇

+ E



(r) = E

(4.5)

para r pertencente ao material i = 1, 2. Ambas as equações podem ser escritas em apenas uma,

usando uma função envelope para toda a heteroestrutura.

(r) =











,z < 0,

,z > 0

(4.6)

Para resolver a equação com a função envelope, (4.6), é necessário introduzir a massa

efetiva m

∗

(z), assim como a fronteira de energia E

(z). A equação de massa efetiva para uma

única função envelope assume a forma:



−

∗

(z)

∇

+ E

(z)



(r) = E

(r),z = 0 (4.7)

A função de onda

(r) da heteroestrutura é dada, então, por:

(r) = F

(r)u

(r) (4.8)

onde

(r) =











,z < 0,

,z > 0

(4.9)

é o fator de Bloch da heteroestrutura.

A heterointerface entre dois diferentes materiais ainda não foi considerada, apenas a solução

para cada material separadamente. Em z = 0 , as soluções de ambos materiais devem ser conec-

tadas de forma adequada para formar uma autofunção envelope para toda a heteroestrutura.

É necessário encontrar uma condição para a troca de função envelope ao longo da interface.

A função de onda total,

(r), deve ser contínua em todo o espaço. Assim, se o fator de Bloch

é contínuo ao longo da interface, então a função envelope necessariamente também o é. Este

argumento pode ser representado por:

(x,y,0−

) = F

(x,y,0+

) (4.10)

com

→ 0.

O fator de Bloch deve ser contínuo em uma interface se a estrutura de bandas de dois ma-

teriais são similares. Entretanto, cálculos de massa efetiva baseados na continuidade da função

envelope apresentam resultados consistentes para heteroestruturas compostas por materiais com

estruturas de bandas consideravelmente diferentes (19). Segundo Enderlein e Horing (19), dois

fatores de Bloch em uma interface não precisam ser periódicos na direção z, pois a periodicidade

da rede é perturbada. Esta liberdade pode ser usada para justiﬁcar a condição de continuidade

do fator de Bloch na interface.

Uma forma de analisar a continuidade da função envelope ao longo da interface é a partir

da primeira derivada com relação a z da mesma. A densidade de corrente de probabilidade,

associada à função de onda total, deve ser a mesma em ambos os lados da interface. Isto

também acontece caso seja tomada uma média ao longo da célula primitiva, ou seja, a função

envelope varia suavemente e é quase constante nesta região (19). A densidade de corrente de

probabilidade é dada por (43):

J(r,t) =

2mi

[

∗

∇

−

∇

∗

] (4.11)

Considerando o fator de Bloch contínuo ao longo da interface, então J é obtido a partir da

função envelope somente, e não da função de onda total, o que exige que a função envelope seja

contínua ao longo da interface. Assim, a derivada da função de onda obedece à relação:

∗

∂

(x,y,z)



z=−

∗

∂

(x,y,z)



z=+

(4.12)

conhecida como condição de contorno de Ben Daniel - Duke. O termo de energia cinética deve

ser substituído por (19):

−

∗

(z)

∇

= −

∇·

∗

(z)

∇ (4.13)

A equação de massa efetiva torna-se então:



−

∇·

∗

(z)

∇+ E

(z)



(r) = E

(r) (4.14)

A fronteira de energia faz o papel de um potencial externo na equação de massa efetiva

(4.14). Como há a dependência apenas em z, a função envelope pode ser decomposta como

(19):

(r) = F

(r) =

Ω

2/3

·r

(z) (4.15)

A equação de Schrödinger torna-se então:



−

∗

(z)

+ E

(z) +



∗

(z)

−

∗





(z) = E

′

(z) (4.16)

para z = 0. O termo E

′

é dado por:

′

= E

−

∗

(4.17)

sendo que

∗



∗−1



(4.18)

4.3 Potencial Magnético

Para descrever a interação existente devido à presença de íons magnéticos na rede cristalina,

foi usado o modelo de campo médio proposto em trabalhos anteriores (44). Neste modelo,

supõe-se que a interação entre os portadores livres e os íons magnéticos ocorrem por troca

indireta, ou seja, os portadores livres são responsáveis pela mediação da interação entre elétrons

dos orbitais d ou f dos íons magnéticos. Esta interação pode assumir caráter ferromagnético e

antiferromagnético (44).

A interação entre portadores livres e momentos magnéticos alinhados pode ser descrita

como:

mag

(r) = −I

∑

s(r) ·S(R

)

(r−R

) (4.19)

onde I representa a interação de troca da interação sp−d. O spin localizado dos íons de Mn,

), é oriundo dos elétrons ocupando um orbital d, obedecendo a regra de Hund, e não é

considerada a hibridização com portadores, devido à grande diferença de energia.

Como foi suposto que os íons do metal de transição são distribuídos uniformemente ao

longo da região magnética, algumas aproximações podem ser feitas. Primeiramente, a soma

sobre os termos

(r−R

) pode ser substituída por uma densidade, já que trata-se da contagem

dos íons magnéticos, dada por xN

, onde x representa a porcentagem de íons da rede substituídos

por íons do metal de transição, e N

o número total de íons (magnéticos ou não). Pode-se

também usar uma função g(z), para deﬁnir qual é a região magnética. Assim, a descrição toma

a forma:

mag

(r) = −Is·Sg(z)xN

(4.20)

Tomando a média térmica da magnetização, M, tem-se a expressão:

mag

(r) = −

g(z)M·

(4.21)

onde o termo I passa a ser chamado

para portadores tipo-p e

para tipo-n, e o termo s

é substituído por

/2, devido ao uso das matrizes de Pauli,

, para representar o spin dos

portadores livres.

Para incluir a interação magnética no hamiltoniano total, é necessário escrevê-la na forma

matricial, usando a base de momento angular (2.27). O bloco 6×6, referente à banda de

valência, é dado por:

−







0 i

√

−

√

−

0 −3M

0 −i3M

0 −

√

−i

√

0 M

i2M

−

√

−

√

−

0 i

√

−

−i2M

−M

√

−i2

√

0 −i2

√

−

−M

−

0 −

√

−

√

−iM







(4.22)

com M

= M

±iM

Representando a banda de condução, tem-se:

−







0 M







(4.23)

Com isso obteve-se a matriz 8×8 o qual irá compor cada bloco construtor do hamiltoniano

total do sistema.

4.4 Representação no espaço-k

Sipahi et al. (18) propuseram uma expansão em ondas planas da equação de massa efetiva

multibandas a partir do modelo 6×6 de Luttinger-Kohn (16). Os estados de momento angular

são escritos como:

rs|jm

k =

√

Ω

ik·r

rs|jm

 (4.24)

onde k pertence a primeira zona de Brillouin da supercélula.

Como os estados |jm

 compõem uma base completa, é possível expandir os autoestados

da superrede, |

k, usando a base de momento angular, dada pela equação (2.27):

rs|

k =

∑

jm

kK|

krs|jm

kK (4.25)

Devido a periodicidade da rede, os únicos termos não nulos desta expansão ocorrem quando

K é um vetor da superrede recíproca. Dessa forma, a equação de massa efetiva expandida tem

a forma:

∑

′

jm

kK|H

Total

′

kK’j

′

kK’|

k = E

(k)jm

kK|

k (4.26)

O hamiltoniano total será composto por diversos blocos construtores, como pode ser visto

na ﬁgura (4.3). Os blocos não-diagonais acoplam supercélulas vizinhas, permitindo o cálculo

de superredes com poços interagentes, caso desejado.

Figura 4.3 – Ilustração do formato do hamiltoniano total quando a equação de massa efetiva é expandida

em uma onda plana. Os blocos não-diagonais acoplam supercélulas vizinhas. Quanto mais

escuro o bloco, maior sua contribuição no resultado ﬁnal

O hamiltoniano total é composto pelas diversas interações presentes no sistema. Para os

DMS que serão estudados neste trabalho, o hamiltoniano é dado por:

Total

= H

k·p

Het

Coulomb

Mag

(4.27)

onde H

k·p

representa a energia cinética calculada pelo método k·p, V

Het

o potencial da hete-

roestrutura, V

Coulomb

o potencial Coulombiano, V

o potencial corretivo de troca-correlação e

Mag

o potencial magnético. No estudo de estruturas semicondutoras sem presença de carga,

serão usados apenas os hamiltonianos H

k·p

e V

Het

4.4.1 Hamiltoniano k·p

No presente trabalho, cada bloco do hamiltoniano k ·p total será composto pela matriz

8×8 com simetria de reversão temporal, descrita anteriormente na equação (2.58), baseado no

modelo de Kane (23). Os vetores de onda que irão compor os elementos são a soma de um vetor

da FBZ da supercélula com um vetor da superrede recíproca, porém agora com a informação

de spin inclusa em k

, ou seja:

L,R

−→ k+ K

L,R

−→ −k+K

L,R

(4.28)

Os índices L e R identiﬁcam os vetores da superrede recíproca que entram no cálculos dos

blocos não-diagonais da matriz total, de acordo com a notação de Dirac, k

|H|k

. Tomando

como exemplo a ﬁgura 4.3, no bloco 0|H|K

K tem-se:

= k

= −k

= k

k+ K

= −k

k+ K

(4.29)

Os elementos de matriz pertencentes a um bloco não-diagonal dependem de dois vetores

diferentes do espaço-k, os quais pertencem a diferentes supercélulas. Deﬁnindo dois estados,

|jm

 e |j

′

, o elemento de matriz será escrito como jm

′

, e

j

′

|jm

= jm

′



†

. Entretanto, como as supercélulas são idên-

ticas, a interação é determinada apenas pela distância entre elas, não havendo diferença da

disposição das mesmas. Este fato também pode ser interpretado como a não simetrização do

operador k

proposta por Foreman (25) escrita no espaço-k. Assim, os elementos de matriz dos

blocos não diagonais são calculados da seguinte forma:

jm

′

+jm

′



(4.30)

4.4.2 Potencial da heteroestrutura

A diferença entre os gaps de energia dos diferentes materiais em uma heteroestrutura gera

uma fronteira de energia que perturba o sistema como um todo, criando regiões de conﬁnamento

de estados, como mostrado na ﬁgura 4.1.

Calculando os elementos de matriz via teoria de perturbação, o potencial da heteroestrutura,

representado na base de momento angular, é dado por:

jm

k|V

Het

′

k= jm

Het

′

+i

∗

jm

|∇V

Het

′



∑

=



jm

|p|j

′



−E

′



(4.31)

Como o cálculo é realizado no espaço de Fourier, a expansão do potencial em senos e cosse-

nos faz com que o mesmo não seja abrupto nas interfaces, ou seja, tem-se um potencial suave.

Assim, os termos de segunda ordem da expansão podem ser desprezados, já que envolvem a

variação do potencial (termo ∇V), permitindo que o potencial da heteroestrutura, expandido em

ondas planas, seja escrito na seguinte forma:

jm

kK|V

Het

′

 = K|V

Het

′



′

(4.32)

Pela equação (4.32) pode-se notar que o potencial da heteroestrutura será diagonal em cada

bloco construtor 8×8 do hamiltoniano total.

4.4.3 Potencial de Coulomb

A equação de Poisson é dada por:

∇

(r) = −

(r) (4.33)

A densidade total de carga,

(r), representa a densidade de portadores livres no sistema,

p(r), e a densidade de impurezas aceitadoras, N

(r). Devido a neutralidade do sistema, tem-se:

(r) = e[p(r) −N

(r)] (4.34)

Como os cálculos da simulação são realizados no espaço-k, então é necessário obter a

representação do potencial Coulombiano nos autoestados expandidos da superrede, que é dada

por (18):

jm

kK|V

′

 = −

|K−K

′

K|p(r) −N

(r)|K

′



′

(4.35)

Devido à linearidade da equação acima, pode-se encontrar separadamente as contribuições

dos portadores livres e das impurezas. Transformando a distribuição de impurezas para o espaço

de Fourier, tem-se:

K|N

(r)|K

′

=

A(K−K

′

) (4.36)

onde N

representa a densidade superﬁcial de impurezas por supercélula unitária e A é deﬁnido

como:

A(K) =



∞

−∞

cos(K·r)

−

√

πσ

dr (4.37)

A contribuição dos portadores livres é obtida a partir da ocupação dos estados livres presen-

tes na primeira zona de Brillouin da supercélula e abaixo da energia de Fermi. Assim, pode-se

encontrar tal contribuição a partir da densidade de probabilidade obtida a partir dos autoestados

da superrede:

|rs|

k|

√

Ω

∑

′

∑

′

jm

kK|

k

k|j

′

rs|jm

kKj

′

|rs (4.38)

O termo rs|jm

kKj

′

|rs pode ser representado por:



spin



∞

−∞

∗

′

−i(K

′

−K)

drds (4.39)

ou seja,

rs|jm

kKj

′

|rs = r|K

′

−Kjm

|rsrs|j

′

 (4.40)

Portanto, a densidade de probabilidade dos autoestados da superrede é dada por:

|rs|

k|

√

Ω

∑

′

∑

′

jm

kK|

k

k|j

′

r|K

′

−Kjm

|rsrs|j

′



(4.41)

Tomando a média sobre a supercélula unitária e realizando a somatória sobre as coordena-

das de spin, tem-se:

∑

|rs|

k|

√

Ω

∑

′

jm

kK|

k

k|jm

′

r|K

′

−K (4.42)

A distribuiçãode densidade de portadores livres será dada então pela contagem de ocupação

dos estados da superrede:

p(r) =

√

Ω

∑

′

jm

kK|

k

k|jm

′

r|K

′

−K (4.43)

A transformada de Fourier de p(r) tem a forma:

K|p|K

′

 =

Ω

P(K−K

′

) (4.44)

tal que P é deﬁnido como:

P(K) =

∑

′′

jm

′′

k

k|jm

k(K

′′

−K) (4.45)

Em equilíbrio, o sistema total deve ser neutro, exigindo que:

K|p(r)|K−K|N

(r)|K = 0 (4.46)

4.4.4 Potenciais de Troca-correlação e Magnético

Como os elementos de matriz dos hamiltonianos XC e magnético não dependem explicita-

mente de k e K, então cada bloco 8×8 do hamiltoniano total será composto pelas respectivas

matrizes mostradas anteriormente. O bloco XC é representado pela matriz (3.7) enquanto o

bloco magnético será construído usando as matrizes (4.23) e (4.22).

4.5 Cálculo de espectros de fotoluminescência

Todas as grandezas incluídas até o momento, neste trabalho, permitem o cálculo da ocupa-

ção dos estados, estrutura de bandas, energia de Fermi, a partir dos autoestados e autoenergias

do sistema. Tais elementos permitem calcular e entender as transições e recombinações dos

pares elétron-buraco presentes no sistema.

A luminescência é interpretada como a emissão de luz pela recombinação espontânea entre

pares elétron-buraco, em situação de equilíbrio térmico, após serem excitados por um processo

externo qualquer. Sipahi et al. (36, 45) propuseram um modelo para o cálculo da intensidade

de luminescência, dada por:

) =

∑

i, f

(1−N

)

i, f

−E

−

)

i, f

(4.47)

onde

i, f

representa o alargamento da transição devido ao tempo de vida médio do acoplamento,

de forma que a expressão é ponderada pela distribuição Lorentziana. N

e N

representam

as probabilidades de ocupação dos estados inicial (energias E

e E

, respectivamente) e ﬁnal,

enquanto o termo f

i, f

representa a força de oscilador da transição de dipolo ótica entre tais

estados sob luz polarizada na direção x:

i, f

2|k

|

−E

)

(4.48)

Como as transições ocorrem devido à recombinação dos pares elétron-buraco, é necessário

identiﬁcar os estados inicial e ﬁnal. Os estados da banda de condução serão identiﬁcados como

, enquanto os estados da banda de valência terão os rótulos |n

, onde q representa

os estados hh (buraco pesado), lh (buraco leve) e so (split-off). Reescrevendo a equação (4.47)

usando a identiﬁcação dos estados, obtém-se a expressão:

) =

∑

(k)N

(1−N

)

(k) −(E

(k) −

)

(4.49)

Com a identiﬁcação dos estados de condução e valência, a expressão para a força de

oscilador assume a forma:

(k) =

∑

|n

k|p

k|

(k) −E

(k)

(4.50)

Nos sistemas a serem estudados neste trabalho, a banda de condução é fracamente ligada à

banda de valência, pois o gap de energia, no ponto Γ, é grande (da ordem de 3.4 eV). Assim, os

termos não nulos ocorrem para a transição entre estados da banda de condução (elétrons) para

os estados da banda de valência (buracos pesado, leve e split-off) obedecendo a regra de ouro

de Fermi, ou seja, a variação de m

entre um estado e outro deve ser igual a 1. Portanto:

→

ou −

= −

→

ou −

(4.51)

A expressão para a força do oscilador pode ser escrita como:

−E

)



|n

↑ |p

↑|

+ |n

↓ |p

↑|



(4.52)

A distribuição de probabilidade de ocupação dos portadores é obtida a partir da função de

distribuição de Fermi. Assim, as ocupações das bandas de condução e valência são dadas por:

−E

(k)]

+ 1

(4.53)

1−N

−E

(k)]

+ 1

(4.54)

5 Simulação

O programa bs-new executa simulações de estruturas semicondutoras de baixa dimensiona-

lidade, baseado em trabalhos desenvolvidos no Laboratório de NovosMateriais Semicondutores

(IF-USP) (18, 46, 47) e posteriormente no Laboratório de Física Computacional (IFSC-USP).

Desenvolvido na linguagem Fortran90, devido ao caráter matricial dos cálculos realizados, este

programa foi recentemente modularizado, de forma a facilitar a inclusão de novas rotinas de

cálculos. Para executar os cálculos e otimizar a performance de execução, o programa utiliza

bibliotecas já consagradas: fftw (transformada de Fourier rápida), BLAS e LAPACK (álgebra

linear). A FFT é bastante importante nos cálculos, pois todos eles são realizados no espaço

recíproco. Já as bibliotecas de álgebra linear são importantes em algumas etapas do programa,

principalmente na diagonalização do hamiltoniano total.

Os dados do sistema simulado são passados para o programa a partir de um arquivo de

entrada. É possível construir diversos tipos de heteroestruturas com vários materiais, dimensio-

nalidades e geometrias diferentes. Na versão utilizada, apenas materiais com rede cristalina do

tipo zinc blende podem ser simulados. O arquivo contém os seguintes dados:

• Dimensões do sistema (L

, L

e L

);

• Centro de cada região de material (X

, Y

e Z

);

• Parâmetros de Luttinger (

123

);

• Massas efetivas de buracos pesado, leve, split-off e também de elétrons;

• Parâmetro interbandas de Kane (P);

• Constante dielétrica estática;

• Parâmetro de rede do material;

• Gap de energia do material;

• Energia de split-off devido à interação spin-órbita;

• Band mismatch;

Conjunto de

parâmetros 2

Conjunto de

parâmetros 1

Figura 5.1 – Ilustração da montagem da heteroestrutura pelo arquivo de entrada

O arquivo de entrada também contém os parâmetros de execução do programa: o número

de ondas planas da expansão em Fourier, o número de pontos em que será discretizada a FBZ, a

porcentagem da FBZ que será usada no cálculo e o número de iterações. Em média, são usados

cerca de 20∼30 ondas planas para a simulação de heteroestruturas, com a FBZ discretizada

em 10 pontos em cada direção. Isso resulta em uma matriz de ordem ∼ 400 a qual deve ser

diagonalizada para cerca de 300 pontos.

Na última parte do arquivo são inseridas as dopagens de carga e também os potenciais

a serem calculados na simulação: XC, magnético e Coulomb. Existem duas possibilidades

de dopagem de carga: dopagem tipo

, onde é inserida uma densidade superﬁcial de carga

constante e o perﬁl é construído como uma função gaussiana, para levar em conta a difusão das

impurezas no material; a outra possibilidade é inserir uma densidade volumétrica constante de

carga, a qual é usada para dopagens em regiões maiores.

Os potenciais são inseridos por último. O único parâmetro que a troca-correlação exige

refere-se a escolha de qual parametrização será usada no cálculo. O potencial magnético requer

os parâmetros envolvidos no cálculo mostrado em (4.21): porcentagem de substituição do metal

de transição, região do material magnético e o termo de troca sp−d. O potencial de Coulomb

é calculado sempre que há presença de carga. Já o potencial da heteroestrutura é obtido a partir

da primeira parte do arquivo, onde são inseridos os gaps de energia dos diferentes materiais.

1 1

5.6530 5.6530 500.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1.5190

0.3410

6.7900 1.9240 2.7800

0.0000

15.0376

0.0000

5.6530

122.1000 56.6000 0.0000

2.0000

-8.3300

12.9000

0.3400 0.0940 0.1780 0.0665

0.4000

0.84005E-04 0.00000E+00 5.6530 5.6530 500.0000 5.6500

0 0 20 5 5 5 1 20 20 100

0.1000 0.0100 0.0070 0.0100

8 1 100

0 5 0 0

30.0000 0.0000 10.0000 0.9000

Figura 5.2 – Exemplo de um arquivo de entrada para uma estrutura

-doped de GaAs. O bloco verde

informa o número de materiais no sistema e também o número de dimensões conﬁnadas

no mesmo. Já o bloco vermelho contém os parâmetros referentes ao material. O bloco

azul claro possui as informações de execução do programa e o bloco azul escuro contém as

distribuições de carga e potenciais do sistema

O bs-new é dividido em duas partes: o Pot_kane e o SEQBanDist_kane. A primeira parte é

responsável por:

• Construção dos potenciais que não envolvem as distribuição de portadores (heteroestru-

tura e magnético);

• Construção da distribuição inicial de impurezas e portadores livres, deﬁnindo qual região

possui ou não portadores;

• Escrita dos coeﬁcientes de Fourier dos itens calculados acima, para serem usados pelo

segundo programa.

Já a segunda parte é responsável por:

• Fazer a leitura dos parâmetros de massa efetiva;

• Fazer a leitura dos potenciais calculados pela parte anterior;

• Construir a discretização da primeira zona de Brillouin (mesh);

• Realizar o ciclo autoconsistente para calcular as distribuições de cargas e os potenciais

Coulombiano e de troca-correlação;

• Calcular a estrutura de bandas, a densidade de probabilidade dos estados e os espectros

de fotoluminescência;

5.1 Mesh

O mesh representa a primeira zona de Brillouin discretizada com o número de pontos

inseridos no arquivo de entrada. Entretanto, como a diagonalização é realizada para todos os

pontos da FBZ, propriedades de simetria da rede cristalina são usadas para reduzir o número

de pontos calculados. Como cristais zinc blende possuem simetria tetragonal (T

), é possível

encontrar os pontos equivalentes a cada ponto k e calcular apenas um destes, e pesando-os com

a devida multiplicidade. Como exemplo, uma discretização com 10 pontos em cada direção,

a qual resulta em um mesh de 1000 pontos, pode ser reduzida a apenas 396 pontos a serem

diagonalizados.

5.2 Ciclo autoconsistente

O ciclo autoconsistente é a parte do programa responsável pela convergência do potencial

Coulombiano e, consequentemente, pela distribuição de portadores livres. Inicialmente, o perﬁl

tentativo da distribuição de portadores livres é dado pelo mesmo perﬁl de distribuição das

impurezas, porém com sinal oposto.

Após esta etapa, calcula-se o potencial Coulombiano e troca-correlação usando esta dis-

tribuição de cargas tentativa, a partir do método apresentado no capítulo anterior. O potencial

Coulombiano é calculado como a diferença entre o potencial de portadores livres e o potencial

Figura 5.3 – Esquema mostrando a redução de cálculo de pontos para as direções ˆx e ˆy em uma rede

11×11. Os pontos vermelhos são calculados, reduzindo de 121 para 21 diagonalizações. É

possível observar que a região amarela pode ser deslocada/rotacionada e preencher todo o

espaço do mesh

de impurezas, ambos calculados usando a equação de Poisson (4.33). Estes potenciais então são

somados aos potenciais calculados pelo Pot_kane e também à energia cinética, e o hamiltoniano

total é diagonalizado para cada ponto k do mesh, retornando as quarenta primeiras auto-energias

e auto-estados do sistema ao longo da FBZ.

Passa-se então ao cálculo da ocupação dos autoestados da superrede com a quantidade de

portadores livres do sistema, a qual é realizada pela rotina Fermi. Essa rotina consiste em

uma visitação de cada uma das bandas de energia calculadas, ao longo da zona de Brillouin.

Uma energia de Fermi inicial é colocada, e todos os pontos k visitados com energia menor que

esta energia de Fermi são ocupados. Após toda a ocupação, a quantidade de carga ocupada é

comparada à quantidade inicial e o nível de Fermi é reajustado até as quantidades sejam iguais,

já que a aproximação de Hartree supõe que o sistema está em seu estado fundamental. Esta

etapa resulta na obtenção do nível de Fermi e na ocupação dos estados à T = 0.

Com os estados ocupados, é possívelusar a aproximação de Hartree e calcular a distribuição

de portadores livres, já que

∼ |

occ

. Nesse ponto do programa, calcula-se a distribuição

de portadores em três bases diferentes: orbitais hidrogenoides (p

, p

,s) usada na troca-

correlação, orbitais reais (p

, p

−

, p

,s) usados para encontrar a polarização de portadores, e na

base de momento angular ( j,m

). As diferentes distribuições são encontradas a partir de uma

mudança de base das autofunções do sistema, a partir de transformações unitárias, já que:

|

†

|

= |

|

(5.1)

desde que U

†

U = 1.

Conhecendo as distribuições de cargas, calcula-se então os novos potenciais Coulombiano

e XC. Para que a convergência ocorra de forma suave, faz-se uma mistura do potencial de

Coulomb recém calculado com o potencial o qual iniciou a iteração. Esta mistura é da ordem

de 5%, exigindo algumas dezenas de iterações para que ocorra a convergência. O ciclo termina

quando a diferença entre o potencial da iteração anterior e a atual é muito pequena, ou então

quando o número de iterações fornecidas ao programa é atingido.

Após o término do ciclo, as escritas ﬁnais do programa são realizadas. Nelas estão inclusos:

• escrita do potencial ﬁnal (heteroestrutura, magnético, impurezas, portadores livres, Cou-

lomb, XC e a soma de todos eles);

• estrutura de bandas para todo o mesh;

• nível de Fermi;

• distribuições de cargas (nas três bases citadas anteriormente);

• funções de onda no ponto Γ para os quarenta estados calculados;

• função densidade de probabilidade para estas mesmas funções;

• porcentagem de probabilidade de ocupação de cada estado, ao longo da FBZ;

• espectros de fotoluminescência.

Potencial tentativo

inicial de cargas

Cálculo dos

potenciais:

Coulomb e XC

Diagonalização

do Hamiltoniano

CICLO

AUTOCONSISTENTE

Determinação do

nível de Fermi

e ocupação

Nova distribuição

de cargas

Cálculo dos

potenciais:

Coulomb e XC

Convergiu ?

Escritas:

Estrutura de bandas,

potenciais,

distribuições de carga,

ocupação.

Soma de todos

os potenciais +

energia cinética

Sim

Não

Figura 5.4 – Diagrama mostrando como funciona o ciclo autoconsistente na simulação

Os cálculos foram realizados em processadores Intel Core 2 Duo E7400 (3MB de cache,

frequência de clock de 2.8 GHz e frequência de barramento de 1066 MHz) e com 4 GB de

memória RAM DDR2 1066 MHz. As simulações de heteroestruturas sem dopagem duram

cerca de 2 minutos. Já sistemas onde era necessário a aplicação do método autoconsistente, o

tempo de simulação é da ordem de 1 hora.

6 Resultados - Hamiltoniano k·p

Para testar os efeitos da aplicação da reversão temporal no vetor k da função de Bloch

dos orbitais s-p, foram realizados alguns testes em poços quânticos de semicondutores III-

V (Al

1−x

As e In

1−x

As) e IV (Si

1−x

). Em todos os sistemas simulados, a largura

dos poços é grande o suﬁciente para que efeitos de strain sejam desprezados. Para facilitar a

identiﬁcação dos métodos usados nas simulações, serão deﬁnidas duas notações:

• Kane-TR refere-se ao hamiltoniano 8×8 descrito pela equação (2.58), baseado no modelo

de Kane (23);

• LK-TR refere-se ao hamiltoniano 6×6 baseado na matriz (2.58), porém considerando

apenas os estados da banda de valência, sem a descrição explícita do orbital s do fundo

da banda de condução (analogamente ao modelo de Luttinger-Kohn (16) em relação ao

de Kane).

6.1 AlGaAs/GaAs

Foi simulado um poço quântico de Al

0.2

0.8

As/GaAs com 80 Å de largura, o qual foi

calculado no artigo de Ferreira e Bastard (48). Neste artigo, foram calculados os tempos

de spin-ﬂip de buracos interagindo com impurezas em uma heterointerface. Na ﬁgura 6.2

são comparadas as estruturas de bandas do sistema simulado usando os hamiltonianos k ·p

de Luttinger-Kohn (16) e LK-TR, dado pela equação (2.58). Em ambas as simulações, os

parâmetros usados foram os presentes na tabela 6.1. A simulação foi realizada usando 5% da

FBZ.

Pode-se notar, pela ﬁgura 6.2, que as duas primeiras sub-bandas, buracos pesado e leve,

respectivamente, possuem interação muito mais forte quando comparadas às sub-bandas obtidas

100

120

140

160

180

Energia (meV)

Figura 6.1 – Potencial, para buracos, da heteroestrutura do sistema montado a partir da liga de

0.2

0.8

As/GaAs

Tabela 6.1 – Parâmetros da liga Al

0.2

0.8

As/GaAs

Parâmetro GaAs Al

0.2

0.8

6.980 6.336

2.060 1.812

2.930 2.628

(eV) 1.519 1.836

lattice

(Å) 5.653 5.655

∗

0.067 0.083

∗

0.340 0.342

∗

0.094 0.106

∗

0.172 0.194

∆ (eV) 0.341 0.329

pelo método convencional. Tal fato pode ser analisado com mais detalhes através da ﬁgura 6.3.

No gráﬁco obtido pelo modelo de Luttinger-Kohn, os pontos de mínimo de m

 dos estados

HH1 e LH1 não estão relacionados, e diferem signiﬁcativamente. No resultado obtido pelo

hamiltoniano LK-TR, pode-se notar uma forte interação das bandas HH1 e LH1 entre 3 e 4 %

da FBZ. Após este ponto, nota-se que há uma troca dos valores de m

: os estado HH1, o qual

possui inicialmente m

= 3/2, assume m

∼1/2; o contrário acontece com LH1. Esta mistura

é detalhada na ﬁgura 6.4.

Ferreira e Bastard (48) calcularam o tempo de spin-ﬂip,

, de buracos ao interagirem com

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

HH1

LH1

HH2

130

140

150

160

170

180

LK-TR

Luttinger-Kohn

HH1

LH1

HH2

Energia (meV)

Figura 6.2 – Estrutura da banda de valência da heteroestrutura de Al

0.2

0.8

As/GaAs, apresentada

na ﬁgura 6.1. No quadro superior, há a comparação entre as estruturas de bandas

calculadas usado os hamiltonianos de Luttinger-Kohn (linha preta pontilhada) e LK-TR

(linha vermelha contínua). No quadro inferior estão ilustradas as diferenças entre os

modelos para as três sub-bandas calculadas

impurezas presentes em uma das heterointerfaces. De acordo com tal trabalho,

é dado por:

πτ

∑

′

|

nk↑

imp

′

↓

|

(

nk↑

−

′

↓

) (6.1)

onde k e k

′

são vetores da FBZ contidos no plano xy do espaço k, e V

imp

é o potencial devido

à presença das impurezas espalhadoras. Sendo assim,

diminui com o aumento da interação

entre as sub-bandas HH1, LH1 e HH2. De acordo com a ﬁgura 6.4, as sub-bandas calculadas

a partir do modelo LK-TR apresentam maior interação, o que pode ser uma indicação que o

tempo de spin-ﬂip naquela região é menor que o obtido pelo método tradicional.

-1.5

-0.5

0.5

1.5

LH1

HH1

HH2

Luttinger-Kohn

LK-TR

Figura 6.3 – Média da projeção do momento angular (m

), ao longo da direção [100] da FBZ (Γ∆), do

sistema da ﬁgura 6.1, para ambos os métodos calculados (a) Luttinger-Kohn (em azul) e (b)

LK-RT (em vermelho). As linhas contínuas representam o estado de buraco leve (LH1),

as linhas pontilhadas estão associadas à primeira sub-banda de buraco pesado (HH1) e as

linhas tracejadas representam o segundo estado de buraco pesado (HH2)

LK-TR

Luttinger-Kohn

Figura 6.4 – Comparação de m

 para as sub-bandas HH1 e LH1, mostradas na ﬁgura 6.3. As linhas

pretas foram obtidas pelo método tradicional, enquanto as vermelhas foram obtidas pelo

método apresentado neste trabalho. O estado HH1 é representado pelas linhas tracejadas,

enquanto LH1 é representado pelas linhas contínuas

6.2 GaAs/InGaAs

Para veriﬁcar o comportamento do formalismo apresentado neste trabalho em algumas situ-

ações comuns encontradas em heteroestruturas semicondutoras, foram simulados dois sistemas

compostos pela liga GaAs/InGaAs. O primeiro sistema é composto por dois poços quânticos

idênticos, formados por duas camadas de In

0.2

0.8

As, de largura 100 Å, colocadas entre

camadas de GaAs. A separação entre os poços é de 200 Å. O segundo sistema é bastante

semelhante ao primeiro, diferindo apenas pela substituição de uma das camadas de In

0.2

0.8

por In

0.15

0.85

As, formando assim um sistema assimétrico. As conﬁgurações dos sistemas são

explicitadas na ﬁgura 6.5.

Energia (meV)

(a)

(b)

Figura 6.5 – Potencial da heteroestrutura para buracos dos sistemas (a) simétrico e (b) assimétrico,

montados a partir de ligas de GaAs/InGaAs

Tabela 6.2 – Parâmetros da liga GaAs/InGaAs

Parâmetro GaAs In

0.15

0.85

As In

0.2

0.8

0.591 2.131 2.592

-1.135 -0.375 -0.148

-0.265 0.470 0.688

(eV) 1.519 1.354 1.299

lattice

(Å) 5.653 5.714 5.734

∗

0.067 0.061 0.059

∗

0.340 0.342 0.342

∗

0.094 0.084 0.080

∗

0.172 0.168 0.167

∆ (eV) 0.341 0.348 0.351

P -1.455 -1.425 -1.415

Na ﬁgura 6.6 foram graﬁcadas as estruturas de banda na direção Γ∆ para as cinco primeiras

sub-bandas de energia de ambos os sistemas de GaAs/InGaAs, assim como a diferença entre

as mesmas, calculadas pelos modelos de Kane e Kane-TR. Foram usados 10% da FBZ nos

cálculos. É possível observar que, como no poço de AlGaAs/GaAs, a interação entre sub-

bandas próximas é mais forte quando calculada pelo hamiltoniano Kane-TR, o qual também

apresenta maior não-parabolicidade das sub-bandas. Para o sistema simétrico (ﬁgura 6.6a),

os quatro primeiros estados são quadridegenerados para ambos os métodos, devido à paridade

da função de onda total do sistema. Apenas o quinto estado é bidegenerado, já que está bem

próximo à região sem conﬁnamento. Já o sistema assimétrico (ﬁgura 6.6b) apresenta todos os

estados bidegenerados, para ambos os métodos, e é possível notar semelhança entre os dois

últimos estados com os respectivos estados do sistema simétrico, já que ambos os sistemas são

semelhantes nesta faixa de energia.

Energia (meV)

Kane-TR

Kane

(a) Simétrico

-1

Energia (meV)

Kane-TR

Kane

(b) Assimétrico

Figura 6.6 – Estrutura da banda de valência dos sistemas de GaAs/InGaAs (a) simétrico e (b)

assimétrico, mostrados na ﬁgura 6.5. No quadro superior são mostradas as estruturas de

bandas calculadas pelos modelos de Kane, linhas pretas e tracejadas, e Kane-TR, linhas

vermelhas e contínuas. As linhas cinzas ilustram os poços quânticos, para identiﬁcação da

posição das energias dentro dos mesmos. O quadro inferior mostra a diferença entre os

métodos para cada uma das sub-bandas, onde a linha 01 mostra a diferença para a primeira

sub-banda, e assim sucessivamente

Nos quadros inferiores da ﬁgura 6.6 são mostradas as diferenças entre os valores calculados

por ambos os métodos em cada sub-banda. Para valores de k próximos a 10% da FBZ, as

diferenças entre os métodos chegam a 5 meV para o sistema assimétrico e 8 meV para o

simétrico. Na região próxima ao ponto Γ (∼ 1% FBZ) as estruturas são praticamente idênticas.

6.3 Si/SiGe

Para fazer uma análise semelhante à realizada para o poço de AlGaAs/GaAs, foi simulado

um poço quântico, também com 80 Å de largura, de Si/Si

0.75

0.25

, ilustrado na ﬁgura 6.7, com

os parâmetros contidos na tabela 6.3 e usando 5% da FBZ.

100

150

200

250

Energia (meV)

Figura 6.7 – Potencial da heteroestrutura, para buracos, do sistema montado a partir de ligas de Si/SiGe

Tabela 6.3 – Parâmetros da liga Si/Si

0.75

0.25

Parâmetro Si Si

0.75

0.25

4.220 6.510

0.390 1.353

1.440 2.503

(eV) 3.400 2.750

lattice

(Å) 5.431 5.488

∗

0.260 0.225

∗

0.290 0.288

∗

0.200 0.161

∗

0.240 0.240

∆ (eV) 0.044 0.104

Assim como realizado para o poço do AlGaAs/GaAs, foi calculada a estrutura de bandas

do poço de Si/Si

0.75

0.25

a partir dos modelos de Luttinger-Kohn e o LK-TR. Na ﬁgura 6.8

é mostrada a estrutura de bandas contendo os três primeiros estados do sistema (HH1, LH1

e HH2), assim como a diferença entre os métodos para cada sub-banda. Pode-se notar um

comportamento semelhante ao mostrado na ﬁgura 6.2, com maior interação entre HH1 e LH1, e

sem grandes alterações para o estado HH2. Os valores das diferenças entre os métodos também

são da ordem de 5 meV para os pontos mais distantes da FBZ.

-5

-4

-3

-2

-1

HH1

LH1

HH2

160

170

180

190

200

210

220

LK-TR

Luttinger-Kohn

HH1

LH1

HH2

Energia (meV)

Figura 6.8 – Estrutura da banda de valência do sistema de Si/SiGe mostrado na ﬁgura 6.7. No quadro

superior há a comparação entre as estruturas de bandas calculadas usado os modelos de

Luttinger-Kohn (linha preta pontilhada) e LK-TR (linha vermelha contínua). No quadro

inferior estão graﬁcadas a diferença entre as sub-bandas calculadas por ambos os modelos,

para as sub-bandas mostradas no quadro superior

Na ﬁgura 6.9 está ilustrada a média de m

para ambos os métodos. Assim como no ﬁgura

6.8, o comportamento é semelhante ao sistema de AlGaAs/GaAs (ﬁgura 6.3). A maior interação

entre os estados HH1 e LH1, ilustrada com maiores detalhes na ﬁgura 6.10, também está

presente.

Foram simulados dois sistemas análogos aos mostrados na ﬁgura 6.5, porém os poços

quânticos são formados por camadas de Si

1−x

em meio ao silício. O sistema simétrico

foi construído usando duas camadas de Si

0.9

0.1

, com a mesma geometria da ﬁgura 6.5. No

sistema assimétrico, uma das camadas de Si

0.9

0.1

é substituída por Si

0.96

0.04

, diminuindo

HH2

-1.5

-0.5

0.5

1.5

Luttinger-Kohn

LK-TR

HH1

LH1

Figura 6.9 – Média da projeção do momento angular (m

), ao longo da direção Γ∆ da FBZ do sistema

6.7, para ambos os métodos calculados (a) Luttinger-Kohn (em azul) e (b) LK-RT (em

vermelho). As linhas contínuas representam o estado de buraco leve (LH1), as linhas

pontilhadas estão associadas à primeira sub-banda de buraco pesado (HH1) e as linhas

tracejadas representam o segundo estado de buraco pesado (HH2)

LK-TR

Luttinger-Kohn

Figura 6.10 – Comparação de m

 para HH1 e LH1 do sistema da ﬁgura 6.7, calculados por ambos os

métodos. As linhas pretas foram obtidas pelo método tradicional, enquanto as vermelhas

foram obtidas pelo método apresentado neste trabalho. O estado HH1 é representado pelas

linhas tracejadas, enquanto LH1 é representado pelas linhas contínuas

a profundidade do poço. Essa simulação foi realizada para observação do comportamento das

sub-bandas de energia para estruturas cristalinas do tipo diamante, as quais possuem simetria

de inversão. Os parâmetros usados neste cálculo estão presentes na tabela 6.3, e foram usados

10 % da FBZ.

A ﬁgura 6.12 ilustra as estruturas de bandas calculadas pelos dois métodos usados nos

sistemas de GaAs/InGaAs. O sistema simétrico (ﬁgura 6.12a) mostra sub-bandas quadride-

100

(a)

(b)

Energia (meV)

Figura 6.11 – Potencial da heteroestrutura, para buracos, dos sistemas (a) simétrico e (b) assimétrico,

montados a partir de ligas de Si/SiGe

Tabela 6.4 – Parâmetros da liga Si/SiGe

Parâmetro Si Si

0.94

0.06

0.9

0.1

4.220 4.770 5.136

0.390 0.621 0.775

1.440 1.695 1.865

(eV) 3.400 3.238 3.130

lattice

(Å) 5.431 5.445 5.454

∗

0.260 0.251 0.246

∗

0.290 0.289 0.289

∗

0.200 0.191 0.184

∗

0.240 0.240 0.240

∆ (eV) 0.044 0.058 0.068

generadas, devido à paridade da função de onda, para ambos os métodos. Como nos casos

anteriores, as sub-bandas calculadas pelo método LK-RT apresentam maior interação entre si, e

também possuem maior maior não-parabolicidade. O sistema assimétrico (ﬁgura 6.12b) possui

sub-bandas bidegeneradas, e as mesmas apresentam as mesmas caraterísticas dos sistemas

anteriores quanto a interações e não-parabolicidade. Nos pontos mais distantes do ponto Γ,

pode-se notar uma diferença considerável de energia entre os métodos, que pode chegar a 15

meV para algumas sub-bandas.

A partir do conjunto de resultados obtidos a partir da implementação dos modelos LK-

RT e Kane-RT, observa-se que ao preservar a informação de spin presente nos orbitais na

representação do hamiltoniano na base de momento angular, as sub-bandas de energia obtidas

por tais métodos possuem alterações de parabolicidade e interações com sub-bandas vizinhas.

-15

-10

-5

Energia (meV)

100

Energia (meV)

LK-TR

Luttinger-Kohn

(a) Simétrico

-15

-10

-5

Energia (meV)

100

LK-TR

Luttinger-Kohn

Energia (meV)

(b) Assimétrico

Figura 6.12 – Estrutura da banda de valência dos sistemas de Si/SiGe (a) simétrico e (b) assimétrico,

mostrados na ﬁgura 6.11. No quadro superior, são mostradas as estruturas de bandas

calculadas pelos modelos de Luttinger-Kohn, linhas pretas e tracejadas, e LK-TR, linhas

vermelhas e contínuas. As linhas cinzas ilustram os poços quânticos, para identiﬁcação

da posição das energias dentro dos mesmos. O quadro inferior mostra a diferença entre os

métodos para cada uma das sub-bandas, onde a linha 01 mostra a diferença para a primeira

sub-banda, e assim sucessivamente

Estas alterações podem trazer correções a algumas propriedades de semicondutores obtidas por

meio dos hamiltonianos k·p tradicionais, como o tempo de relaxação de spin-ﬂip causado por

impurezas espalhadoras em heterointerfaces.

7 Resultados - Troca-correlação

Para avaliar o modelo de potencial de troca-correlação apresentado neste trabalho, foram

realizadas simulações de sistemas onde a interação de muitos corpos é importante. Como o

modelo considera todos os estados de buraco, incluindo o buraco split-off, foram escolhidos

dois sistemas: uma estrutura

-doped de Si e uma estrutura Mn-

-doped de (Si,Mn). Ambas

as simulações foram realizadas usando o hamiltoniano k·p de Luttinger-Kohn (16), usando os

parâmetros do Si presentes na tabela 6.3.

7.1

-doped de Si

A estrutura

-doped de Si foi escolhida por dois motivos: a alta densidade superﬁcial de

portadores, ou seja, os portadores livres estão bastante próximos, implicando em correções

energéticas de grande magnitude, e energia de split-off (∆) pequena, da ordem de 44 meV.

Dependendo da profundidade do potencial total do sistema, estados de buracos split-off podem

ser ocupados, fazendo com que a correção XC entre tais seja necessária.

Foram realizadas quatro simulações para o mesmo sistema: densidade superﬁcial de carga,

, de 2×10

−2

, 20 Å de largura a meia altura da distribuição de impurezas e 500 Å de

largura da supercélula unitária na direção de crescimento. As diferentes simulações usaram

as quatro parametrizações para a energia de troca-correlação citadas anteriormente: Hedin-

Lundqvist (HL), Barth-Hedin (BH), Gunnarson-Lundqvist (GL) e Perdew-Wang (PW92). As

parametrizações foram usadas para obter o perﬁl de potencial para os buracos ao longo da

direção de crescimento, assim como os coeﬁcientes da matriz XC, dada pela equação (7.1).

Para avaliar as diferenças entre tais aproximações, foram comparados os perﬁs de potencial, as

estruturas de bandas e o espectro de fotoluminescência por transições indiretas.

Figura 7.1 – Ilustração do sistema

-doped simulado. A região vermelha representa a dopagem tipo

a qual possui um perﬁl gaussiano devido à difusão das impurezas dopantes. A linha preta

ilustra o potencial ﬁnal do sistema

Na ﬁgura 7.2 são mostrados os perﬁs de potencial dos três tipos de buracos, usando as

quatro parametrizações XC implementadas na simulação. Os resultados obtidos são bastante

semelhantes para todas as parametrizações. Os modelos BH e GL incluem correções de maior

magnitude, já que os poços formados pelo potencial total possuem profundidade de cerca de 150

meV, enquanto os modelos HL e PW92 possuem profundidade entre 120 e 130 meV. Entretanto,

o nível de Fermi não possui grandes alterações nas quatro simulações, ﬁcando em torno de 115

meV, o que sugere que a ocupação dos estados também não deve diferir signiﬁcativamente. Os

potencias de Coulomb encontrados para todas as simulações também alteram-se muito pouco,

tendo profundidade em torno de 80 meV.

A estrutura da banda de valência de cada um dos perﬁs de potencial mostrados na ﬁgura 7.2

podem ser observadas na ﬁgura 7.3. É possível notar que as diferenças são pequenas entre as

diferentes parametrizações. As posições e curvaturasdas sub-bandas ocupadas são semelhantes,

assim como a posição do nível de Fermi. Uma das diferenças ocorre com a posição do primeiro

estado não ocupado, a qual está mais profunda para as parametrizações HL e PW92, porém

a diferença entre uma parametrização e outra é da ordem de 5 meV. Outra diferença notável

é a distância entre o primeiro e o segundo estados de buracos pesados, a qual é maior para

as parametrizações BH e GL. Esta diferença torna-se bastante importante caso a profundidade

do potencial Coulombiano somado à troca correlação seja o suﬁciente para ocupar o segundo

estado de buraco pesado. A diferença entre tais distâncias ao usar as parametrizações HL e BH

-150

-100

-50

-200 -100 0 100 200

Energia (meV)

z (

)

Hedin-Lundqvist

FERMI

Coulomb

-150

-100

-50

-200 -100 0 100 200

Energia (meV)

Barth-Hedin

FERMI

Coulomb

-150

-100

-50

-200 -100 0 100 200

Energia (meV)

Gunnarson-Lundqvist

FERMI

Coulomb

-150

-100

-50

-200 -100 0 100 200

Energia (meV)

Perdew-Wang

FERMI

Coulomb

z (

)

z (

)

z (

)

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 7.2 – Potencial total do sistema simulado,

-doped de Si, para os buracos pesado (linha azul

escuro), leve (linha roxa) e split-off (linha azul claro) para as quatro parametrizações XC

incluídas na simulação: HL, BH, GL e PW92. A linha vermelha representa o nível de

Fermi, e a linha preta e tracejada ilustra o potencial Coulombiano, sem a correção XC

é da ordem de 15 meV. Entretanto, as curvatura de tal sub-banda são semelhantes para todos

os modelos XC. Em nenhuma das simulações o potencial foi profundo o suﬁciente para que

estados de split-off fossem ocupados.

Para veriﬁcar outros efeitos das diversasparametrizações XC, foram simuladosos espectros

de fotoluminescência, por transições indiretas, dos sistemasmostrados na ﬁgura 7.2, usando três

temperaturas diferentes: 4 K, 77 K e 300 K. Tal tipo de transição foi escolhida devido à estudos

anteriores realizados para estruturas

-doped de Si (46).

Na ﬁgura 7.4 são mostrados os espectros de fotoluminescência com polarização

, no

-140

-120

-100

-80

-60

Energia (meV)

Hedin-Lundqvist

-140

-120

-100

-80

-60

Energia (meV)

Barth-Hedin

-140

-120

-100

-80

-60

Energia (meV)

Gunnarson-Lundqvist

-140

-120

-100

-80

-60

Energia (meV)

Perdew-Wang

(a) (b)

Figura 7.3 – Estrutura de bandas, na direção Γ∆, do sistema mostrado na ﬁgura 7.2, calculadas usando

as quatro parametrizações XC apresentadas. As linhas contínuas mostram os estados

ocupados do sistema, onde o primeiro estado refere-se à buracos pesados (linha azul) e

o segundo estado refere-se à buracos leves (linha verde). As linhas tracejadas representam

os dois primeiros estados não ocupados: buraco split-off (linha preta) e buraco pesado

(linha azul). A linha vermelha ilustra o nível de Fermi

plano xy. De acordo com a ﬁgura, pode-se notar que as parametrizações causam duas alterações

nos espectros: uma pequena alteração no pico das curvas, o que reﬂete a renormalização do

gap devido ao potencial Coulombiano associado à troca-correlação, e uma diferença entre

as amplitudes das curvas. Os espectros com maior amplitude mostram que a integral de su-

perposição dos estados envolvidos nas transições possuem maior magnitude, entretanto, não

indicam explicitamentea intensidade do espectro. Observa-se também que a largura do espectro

aumenta com temperaturas mais altas, como esperado, já que quanto maior a temperatura, mais

elétrons são excitados, criando estados eletrônicos parcialmente ocupados.

As parametrizações HL e PW92 possuem maior integral de superposição na maioria dos

casos. Em questão à correção dos picos dos espectros, o modelo HL apesenta o pico de menor

energia, seguido de PW, GL e BH, respectivamente. Nos espectros a 300 K, pode-se ver que os

diferentes modelos não apresentam apenas alteração nos picos, mas também há o surgimento

de picos adjacentes, mais visíveis para os modelos BH e GL.

3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

P+(indireta) - 4 K

3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

P+(indireta) - 77 K

3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

P+(indireta) - 300 K

Figura 7.4 – Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, com polarização

, extraídas do

sistema da ﬁgura 7.2, para três temperaturas diferentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K

Nas ﬁguras 7.5, 7.6 e 7.7 tem-se os espectros de fotoluminescência com as polarizações

−

e sem polarização no plano xy (

−

), respectivamente. Em todas estas ﬁguras, podemos

ver um comportamento análogo ao da polarização

7.2 Mn-

-doped de Si

O sistemas Mn-

-doped de Si foram simulados para comparar o comportamento das

parametrizações LDA e LSDA na ocorrência de polarização de spin. O sistema simulado

possui supercélulas com 500 Å de tamanho, densidade superﬁcial de portadores de 2 ×10

−2

, largura média de 20 Å e concentração substitucional de Mn de 0,8%. Esta conﬁguração

foi escolhida de acordo com os resultados obtidos por Bolduc et al. (10), onde foi obtido

3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

P (indireta) 4

3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

P-(indireta) - 77 K

3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

P-(indireta) - 300 K

Figura 7.5 – Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, com polarização

−

, extraídas do

sistema da ﬁgura 7.2, para três temperaturas diferentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K

3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

Pz(indireta) - 4 K

3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

Pz(indireta) - 77 K

3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

Pz(indireta) - 300 K

Figura 7.6 – Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, com polarização

, extraídas do

sistema da ﬁgura 7.2, para três temperaturas diferentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K

temperatura de Curie acima da temperatura ambiente implantando íons de Mn (0,8 %) em Si

dopado (1 ×10

−3

). Como os resultados do item anterior mostraram que, em um caso

onde não há polarização de spin, não há diferenças signiﬁcativas entre as parametrizações,

serão usadas apenas duas parametrizações: HL e PW92, para avaliar as diferenças entre as

aproximações de densidade LDA e LSDA.

Na ﬁgura 7.9 pode-se ver o perﬁl de potencial total de buracos. Devido à presença de

momento magnético local, há uma separação de energia entre os potenciais de buracos com

spin up e down. No sistema simulado, a separação de energia entre os potenciais up e down

é da ordem de 25 meV. Como os portadores com spin down estão sujeitos a um potencial

3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

77 K

3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

300 K

Figura 7.7 – Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, sem polarização no plano-xy,

extraídas do sistema da ﬁgura 7.2, para três temperaturas diferentes: (a) 4 K, (b) 77 K

e (c) 300 K

Figura 7.8 – Ilustração do sistema Mn-

-doped simulado. A região azul representa a dopagem tipo

Mn-

, a qual possui um perﬁl gaussiano devido à difusão das impurezas dopantes. A

linha preta ilustra o potencial ﬁnal do sistema. Portadores com spin down estão sujeitos

ao potencial delimitado pela região verde, enquanto os portadores com spin up estão

associados ao potencial delimitado pela região vermelha

mais profundo, há maior ocupação dos respectivos estados, gerando polarização de portadores

naquela região. Como a densidade de dopagem não é tão grande quanto a simulada na ﬁgura

7.2, o potencial não é profundo o suﬁciente para ocupar estados de split-off. Comparando as

duas parametrizações XC, os resultados são semelhantes. A diferença mais visível é a diferença

entre os potenciais de buracos pesado e leve. O modelo HL apresenta potenciais de buracos

pesado e leve praticamente idênticos, equanto o modelo PW92 apresenta maior diferença entre

tais perﬁs (∼ 3 meV). Porém, como ambos os níveis de Fermi estão praticamente na mesma

posição, a ocupação de ambos os sistemas deve ser semelhante.

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

-200 -100 0 100 200

Energia (meV)

z (

)

Hedin-Lundqvist

HH UP

HH DW

LH UP

LH DW

SO UP

SO DW

FERMI

Coulomb

-200 -100 0 100 200

z (

)

Perdew-Wang

HH UP

HH DW

LH UP

LH DW

SO UP

SO DW

FERMI

Coulomb

Figura 7.9 – Potencial total do sistema simulado, Mn-

-doped de Si, para os buracos pesado (tons de

azul), leve (tons de verde) e split-off (tons de violeta) para duas parametrizações XC: HL

e PW92. A linha vermelha representa o nível de Fermi, e a linha preta e tracejada ilustra o

potencial Coulombiano, sem a correção XC

A comparação da ocupação dos estados pode ser feita analisando as estruturas da banda de

valência de ambos os sistemas Mn-

simulados, presentes na ﬁgura 7.10. Pode-se observar

que ambas as estruturas são semelhantes. As respectivas sub-bandas possuem as mesmas

curvaturas e ordem de ocupação dos estados. Há uma pequena diferença quantoa distância entre

alguns estados. O modelo usando PW92 apresenta maior separação entre o primeiro e segundo

estados (da ordem de 1 meV) e entre o último estado ocupado e o primeiro estado não ocupado.

O último fato não é tão signiﬁcante quanto nos sistemas

-Si simulados na seção anterior, já que

a diferença da distância em questão é da ordem de 2 meV no sistema Mn-

simulado. Estas

diferenças podem causar pequenos ajustes em fenômenos como fotoluminescência, porém não

apresentam grande inﬂuência sobre a polarização de portadores, como mostrado na ﬁgura 7.11.

Na ﬁgura 7.11 é mostrada a polarização total de portadores ao longo da direção de cresci-

mento. Pode-se notar que a diferença entre as curvas obtidas com ambas as parametrizações

são mínimas, como esperado. O máximo de polarização chega a aproximadamente 30 %, e a

diferença entre as duas curvas é da ordem de 1 % o que conﬁrma as expectativas geradas a partir

da estrutura de bandas mostrada na ﬁgura 7.10.

-40

-35

-30

-25

-20

-15

Energia (meV)

Hedin-Lundqvist

Perdew-Wang

HH DW

LH DW

LH UP

HH UP

HH DW

LH DW

LH UP

HH UP

FERMI

Figura 7.10 – Estrutura de bandas, na direção Γ∆, do sistema mostrado na ﬁgura 7.9, calculadas usando

duas parametrizações XC: HL (lado esquerdo) e PW92 (lado direito). As linhas azul

escuro mostram os estados ocupados do sistema (na sequência: HH DW, LH DW, LH UP

e HH UP). A linha cinza representa o primeiro estado não ocupado (o qual mistura estados

de buracos). A linha vermelha ilustra o nível de Fermi

-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-200 -100 0 100 200

z (

)

PW92

Polarização de portadores

Figura 7.11 – Polarização de portadores do sistema da ﬁgura 7.9 ao longo do sistema. A linha

azul e pontilhada representa a polarização obtida usando a parametrização de Hedin &

Lundqvist. A linha vermelha e contínua ilustra a polarização obtida usando Perdew &

Wang

Foram calculados os espectros de fotoluminescência do sistema da ﬁgura 7.9, para tran-

sições indiretas, usando as parametrizações HL e PW92. Nas ﬁguras 7.12, 7.13 e 7.14 são

mostrados os espectros de fotoluminescência, por transições indiretas, com polarização

−

, respectivamente. Pode-se notar o mesmo comportamento para as três polarizações. Os

picos das curvas possuem uma alteração muito pequena para as diferentes parametrizações.

Para a temperatura de 4 K, a integral de superposição entre os estados envolvidos na transição

eletrônica é muito maior quando o modelo PW92 é usado. Para 77 K, a parametrização HL

apresenta superposição um pouco maior. À 300 K, as polarizações

−

apresentam

curvas semelhantes para ambas as parametrizações, a menos da ﬁgura 7.14, onde

mostra

superposição consideravelmente maior quando usado o modelo HL. Ao contrário do resultado

obtido na ﬁgura 7.6, não é possível observar o surgimento de picos adjacentes na ﬁguras 7.12,

7.13 e 7.14.

3200 3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

P+(indireta) - 4 K

PW92

3200 3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

P+(indireta) - 77 K

3200 3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

P+(indireta) - 300 K

PW92

Figura 7.12 – Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, com polarização

, extraídas do

sistema da ﬁgura 7.9, para três temperaturas diferentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K. Os

cálculos foram realizados usando as parametrizações HL e PW92

3200 3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

P-(indireta) - 4 K

PW92

3200 3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

P-(indireta) - 77 K

3200 3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

P-(indireta) - 300 K

PW92

Figura 7.13 – Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, com polarização

−

, extraídas do

sistema da ﬁgura 7.9, para três temperaturas diferentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K. Os

cálculos foram realizados usando as parametrizações HL e PW92

Com este estudo sobre a correção de troca-correlação, foi possível notar que o modelo

3200 3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

Pz(indireta) - 4 K

3200 3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

Pz(indireta) - 77 K

3200 3300 3400 3500 3600

Intensidade (u.a.)

Energia (meV)

Pz(indireta) - 300 K

PW92

Figura 7.14 – Espectro de fotoluminescência, por transições indiretas, com polarização

, extraídas do

sistema da ﬁgura 7.9, para três temperaturas diferentes: (a) 4 K, (b) 77 K e (c) 300 K. Os

cálculos foram realizados usando as parametrizações HL e PW92

proposto possui resultados coerentes com os presentes em estudos anteriores. Entretanto, a

possibilidade de extensão desse modelo para outros tipo de cálculos, como para wurtizita e

modelos com mais de 8 sub-bandas, torna-o interessante. As comparações de diversas para-

metrizações XC mostraram que as diferenças mais signiﬁcativas surgem nas sub-bandas não

ocupadas e nos espectros de fotoluminescência a temperaturas mais elevadas. Pode-se concluir

que a análise da correção XC deve ser bastante cuidadosa em aplicações que exigem bastante

precisão em suas propriedades.

100

101

8 Conclusões

O objetivo principal deste trabalho foi avaliar a importância da informação dos orbitais

atômicos da rede cristalina em estruturas semicondutoras de baixa dimensionalidade. Na pri-

meira etapa deste trabalho, foi analisada da simetria de reversão temporal no hamiltoniano

k·p de Luttinger-Kohn (16) e Kane (23), buscando uma descrição mais completa de algumas

propriedades de estruturas semicondutoras. Os resultados obtidos com a análise da simetria

de reversão temporal no hamiltoniano k ·p foram signiﬁcativos. Com esta análise foi pos-

sível inserir a informação de spin presente nos orbitais atômicos da rede cristalina, a qual é

bem deﬁnida, explicitamente nos elementos do hamiltoniano total escrito na base de momento

angular expandida. As estruturas de bandas calculadas com os métodos LK-RT e Kane-RT

apresentam maior não-parabolicidade das sub-bandas e também maior interação entre os dois

estados mais próximos ao fundo da banda de valência (HH1 e LH1). Ao obter a média da

projeção do momento angular, m

, ao longo da FBZ, foi possível notar mais claramente os

efeitos causados pelo tratamento mais cuidadoso da informação de spin. Os estados LH1 e HH1

trocam de características após o ponto de espalhamento das sub-bandas, já que HH1 começa

com m

 = 3/2 e assume m

 = 1/2 e LH1 segue o caminho contrário, o que não é visto

quando o cálculo é realizado pelo método tradicional. Como o tempo de relaxação de spin-ﬂip,

, é inversamente proporcional à magnitude da interação entre os estados, os resultados obtidos

neste trabalho dão indícios que o decaimento de

ao longo da FBZ, é mais acentuado do que

o mostrado no trabalho de Ferreira e Bastard (48).

A segunda etapa foi composta por um estudo do potencial de troca-correlação em semi-

condutores, propondo uma nova maneira de descrever o potencial, de forma que tal descrição

fosse geral e extensível a outros cálculos, e estudando a inﬂuência das diversas parametrizações

XC existentes nos cálculos de propriedades de semicondutores, observandos quais propriedades

102

são signiﬁcativamente sensíveis aos diversos modelos utilizados. Não foi possível simular uma

estrutura onde o primeiro estado de buraco split-off fosse ocupado, devido à dopagem altíssima

necessária para tal. Entretanto, o modelo apresentou resultados semelhantes aos já calculados

anteriormente (46). Com o teste das diversas parametrizações foi possível avaliar quais as

propriedades mais afetadas por esta correção energética. Os perﬁs de potencial calculados

mostraram variação quanto à profundidade dos perﬁs especíﬁcos de cada tipo de portador,

porém a posição do nível de Fermi em relação ao fundo do poço foi pouco afetada. As

parametrizações BH e GL apresentam maior renormalização do gap, com diferença da ordem

de 20 meV em relação às parametrizações HL e PW92. Ao analisar as estruturas de bandas, a

diferença mais notável foi a distância entre os dois primeiros estados de buraco pesado, o que

causaria signiﬁcativas diferenças na ocupação da faixa de energia do segundo estado. Porém,

para os sistemas calculados as ocupações foram semelhantes, fato também devido à polarização

de portadores do sistema Mn-

-doped. Na análise dos espectros de luminescência foram

observadas pequenas alterações quanto à posição do pico das curvas, devido à renormalização

do gap de energia. As parametrizações com poços menos profundos apresentaram maior super-

posição entre os estados envolvidos na transição eletrônica. No sistema

-doped, os espectros

à 300 K mostraram o surgimento de um pico adjacente, mais visíveis com as parametrizações

BH e GL.

Com estes dados, é possível concluir que a informação presente nos orbitais atômicos da

rede cristalina deve ser preservada ao máximo quando a representação de um sistema é realizada

em uma base diferente, como a base de momento angular, pois tais informações permitem

uma descrição completa do formalismo usando no cálculo de propriedades optoeletrônicas de

estruturas semicondutoras.

103

Referências

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