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COPPE/UFRJ
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ALISE DE UM SISTEMA DE POSICIONAMENTO DIN
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AMICO PARA
NAVIOS ALIVIADORES
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Abia Jamni Almeida Carneiro do Rio
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao
Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Engenharia
Oceˆanica, COPPE, da Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre
em Engenharia Oceˆanica.
Orientador: Sergio Hamilton Sphaier
Rio de Janeiro
Julho de 2009
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ALISE DE UM SISTEMA DE POSICIONAMENTO DIN
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AMICO PARA
NAVIOS ALIVIADORES
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Abia Jamni Almeida Carneiro do Rio
DISSERTAC¸
˜
AO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO
ALBERTO LUIZ COIMBRA DE P
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OS-GRADUAC¸
˜
AO E PESQUISA DE
ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESS
´
ARIOS PARA A
OBTENC¸
˜
AO DO GRAU DE MESTRE EM CI
ˆ
ENCIAS EM ENGENHARIA
OCE
ˆ
ANICA.
Aprovada por:
Prof. Sergio Hamilton Sphaier, Dr.-Ing
Prof. Paulo de Tarso Themistocles Esperan¸ca, D.Sc.
Prof. Marcos Donato Auler da Silva Ferreira, Ph.D.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
JULHO DE 2009
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Rio,
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Abia Jamni Almeida Carneiro do
An´alise de um Sistema de Posicionamento Dinˆamico
para Navios Aliviadores/
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Abia Jamni Almeida Carneiro do
Rio. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2009.
XVIII, 95 p.: il.; 29, 7cm.
Orientador: Sergio Hamilton Sphaier
Disserta¸c˜ao (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de
Engenharia Oceˆanica, 2009.
Referˆencias Bibliogr´aficas: p. 89 – 95.
1. Posicionamento Dinˆamico. 2. Backstepping.
3. Navios Aliviadores. I. Sphaier, Sergio Hamilton.
II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,
Programa de Engenharia Oceˆanica. III. T´ıtulo.
iii
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A minha av´o Nailda e Tia av´o Nazilda, por serem influˆencia em tudo na minha vida.
Elas tem uma preocupa¸c˜ao de serem muito certas e me ensinaram isso, a ser certa,
correta, honesta, respons´avel, n˜ao faltar aos compromissos, n˜ao chegar atrasada etc.
S˜ao mulheres maravilhosas! Quero ser a metade do que vocˆes s˜ao. Pe¸co a Deus
todos os dias que se eu tiver uma filha ela tenha a alma, o espirito de bondade e de
perd˜ao que ambas possuem. Amo muito muito muito ...... vocˆes!
iv
Agradecimentos
Eu tenho uma esp´ecie de dever, de dever de sonhar, de sonhar sempre, pois sendo
mais que uma espectadora de mim mesma, eu tenho que ter o melhor espet´aculo
que posso. E assim, me construo a ouro e sedas, em salas supostas, invento palco,
cen´ario para viver o meu sonho, entre luzes brandas e m´usicas invis´ıveis (Fernando
Pessoa).
Dois anos passaram r´apido, mas foram suficientes para encontrar pessoas so-
lid´arias, generosas, cordiais e dedicadas, que se tornaram especiais, e em muitos
momentos, me comoveram pelo apoio, incentivo e amizade. Sem estas pessoas, cer-
tamente teria sido muito mais dif´ıcil. Todos contribu´ıram de alguma forma para
a realiza¸c˜ao deste trabalho. Neste momento da realiza¸c˜ao do meu sonho, tenho a
agradecer:
`
A vida, pois, atrav´es de sua grandiosa sabedoria e simples complexidade
permitiu-me evoluir atrav´es de experiˆencias, algumas dolorosas, outras interessantes
e at´e aquelas engra¸cadas.
`
A Deus, que sabiamente me proporcionou a d´adiva de desfrutar, admirar e es-
tudar os encantos, as perfei¸c˜oes e imperfei¸c˜oes desta casa terrestre, por me escolher
como membro desta infinita jornada em busca do saber, do descobrir. Por me guiar
`as respostas para as minhas incessantes inquietudes e principalmente por ser minha
fortaleza nos momentos mais dif´ıceis que ocorreram durante essa disserta¸c˜ao.
`
A Sergio Sphaier, meu orientador, por ter me recebido, pelo apoio, pela confian¸ca
e pela `a oportunidade de realiza¸c˜ao desse trabalho. Muito obrigada!
Aos professores e funcion´arios do Programa de Engenharia Oceˆanica em especial
ao Prof. Severino (Pessoa mais humana que conheci em toda minha vida) por
v
suas contribui¸c˜oes na minha forma¸c˜ao e a funcion´aria Glace Farias pelo carinho de
sempre.
Aos meus Anjos da Guarda, muito solicitados, Suely, Marise e Lucimar. Jamais
irei esquecer o que fizeram e o que fazem por mim, o cuidado e do carinho de sempre.
Muito obrigada meus anjos!
Aos meu Pais (Telmo e Rosa), ve´ıculos f´ısicos para que eu estivesse aqui neste
momento, agrade¸co pela vida, amor, carinho e por mesmo sem perceberem serem
altamente motivadores. M˜ae, obrigada pelas ora¸c˜oes no momento em que a senhora
precisava muito mais do que eu. Saibam que cuidarei de vocˆes com todo zelo e amor
que uma filha deve ter por seu pais.
Ao meu melhor amigo e noivo George Ainsworth, uma pessoa muito muito es-
pecial que esteve sempre do meu lado, foi paciente, enxugou minhas l´agrimas de
cansa¸co, me levantou quando eu quis desistir at´e os ´ultimos segundos. Obrigada
pela amizade e lealdade. Jr, Te amo com todas as possibilidades que eu tenho para
amar algu´em.
Ao meus meus amados irm˜aos Eva e T´arsis. Com quem aprendi que devemos
aceitar as pessoas do jeitinho que elas s˜ao. S˜ao os amores da minha vida!
Agrade¸co `a minha fam´ılia, aqui representada pela minhas Tias (Ester, Edla e
Luiza) e Primos ( Jailma, Junior, Val, Paulo, Junior e Xande), e `a Dinha Juci, Aline
e Osvaldo que representam a minha raiz e a minha fonte de energia inesgot´avel, onde
busquei e reencontrei minhas for¸cas para vencer os momentos de fraqueza e desˆanimo
e com isso pude chegar ao fim desse longo e muitas vezes solit´ario caminho.
Aos sobrinhos e primos que ado¸cam minha vida com a inocˆencia da infˆancia,
Victor, J´ulia, Lav´ınia, Amanda e Caio.
Este par´agrafo ´e dedicado exclusivamente a uma grande amiga Gorete Azevedo.
Agrade¸co a essa pessoa por ser a principal incentivadora da minha vinda ao Rio de
Janeiro. De todas as pessoas que j´a conheci ela sempre se mostrou fiel, dedicada e
principalmente honesta. Sua vida a tornou uma pessoa digna de muitos aplausos,
admira¸c˜oes e muito amor. Desejo a Gorete toda felicidade que uma pessoa pode
vi
querer na vida. Te adoro!
`
A minha amiga de infˆancia, Karla por mesmo estando com problemas de sa´ude
sempre achou um tempinho pra querer saber como estou. Obrigada pelas ora¸c˜oes e
amizade ao logo de tantos anos.
Aos amigos que conquistei durante minha vida, Joalice, Davi, Davi Filho, Tiago,
M´arcia, Jailza, Jurema (obrigada por cuidar dos dois amores da minha vida) e
Cremilda. Obrigada pelo apoio, amizade, ora¸c˜oes e principalmente por gostarem
muito muito de mim.
Aos amigos do CEFET, Eduardo, Izabel e Rosˆangela, por terem sido o in´ıcio
dessa trajet´oria, pelo apoio, amizade e a principal torcida. Amo vocˆes!
Aos amigos de faculdade, em especial a Rafaella e Tha´ıs por terem me propor-
cionado momentos maravilhosos e a certeza de que seremos amigas pra sempre.
Aos amigos de Base Naval, em especial a Pina, Gesteira, Victor, Jiuvan e Jorge.
Obrigada pelo cuidado, dedica¸c˜ao, amizade e torcida.
Aos amigos de apartamento, Rosana, Gustavo e Cescyle pelo apoio, carinho,
torcida, amizade e principalmente por me deixar muito mais perto do Nordeste.
Saibam que a convivˆencia com vocˆes foi e ´e especial, amenizou muito a saudade
de casa.
`
A Graziela Maria, pe¸co desculpas por todo sofrimento que te fiz passar.
Saiba que hoje olhando pra tr´as pude perceber o quanto eu errei, espero que um dia
possamos apagar as coisas ruins e que eu possa proporcionar algo muito bom pra
compensar um pouco de tudo que te fiz.
Aos amigos de alma, Sara e Marc´ılio !!!!!!!
Aos amigos e colegas de turma, Amparo, Clarice, Cursino, Daniel Alves, F´abio,
Joelson, Jorge, Jorge Merino, Guilherme, Iran, Saulo, Nathali, Miguel. Mˆonica e
Vanessa por todos os momentos que estudamos e nos divert´ıamos nos almo¸cos. Com
certeza, ser˜ao inesquec´ıveis.
Aos colegas do Laboceano, Marcelo, Igor, Vila¸ca e Matoso, obrigada pelo apoio
e pelas risadas.
Aos amigos do Programa de Engenharia Civil, Vanessa e Tamara, pela amizade,
vii
apoio e carinho, adorei conhecer vocˆes!
Gostaria de agradecer `a equipe do CoppeT
E
X pelo desenvolvimento da classe
utilizada nesta disserta¸c˜ao.
`
A Agencia Nacional de Petr´oleo(ANP) pela concess˜ao de bolsa para a execu¸c˜ao
deste trabalho. Certamente, possibilitou-me total dedica¸c˜ao, empenho `a pesquisa e
fortalecimento do meu amor `a Engenharia Naval.
viii
Resumo da Disserta¸c˜ao apresentada `a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necess´arios para a obten¸c˜ao do grau de Mestre em Ciˆencias (M.Sc.)
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ALISE DE UM SISTEMA DE POSICIONAMENTO DIN
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AMICO PARA
NAVIOS ALIVIADORES
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Abia Jamni Almeida Carneiro do Rio
Julho/2009
Orientador: Sergio Hamilton Sphaier
Programa: Engenharia Oceˆanica
Este trabalho apresenta an´alise de casos de um sistema de posicionamento
dinˆamico, baseado na metodologia de controle n˜ao-linear backstepping e no algoritmo
proporcional integral e derivativo (PID). Ambas as t´ecnica foram implementada em
associa¸c˜ao com observadores passivos n˜ao-lineares. Tamb´em foi adotado um modelo
matem´atico n˜ao-linearizado para descrever o sistema navio, de modo a posicion´a-lo
de maneira autˆonoma. Os controladores e observadores utilizados, foram testados
num modelo de um navio aliviador em diversas condi¸c˜oes iniciais.
ix
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
A DYNAMIC POSITIONING SYSTEM APPLIED TO SHIPS SHUTTLE
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Abia Jamni Almeida Carneiro do Rio
July/2009
Advisor: Sergio Hamilton Sphaier
Department: Ocean Engineering
This work presents case studies of a dynamic positioning system based on the
non-linear control methodology backstepping and the algotithm proportional inte-
gral derivative (PID). Both techniques were implemented with non-linear passive
observers. A non-linearized mathematical model was also adopted in order to de-
scribe the ship system and thus, allowing an autonomous positioning. The developed
controllers and observers were tested in a shuttle ship model with variable initial
conditions.
x
Sum´ario
Lista de Figuras xiii
Lista de Tabelas xviii
1 Introdu¸c˜ao 1
1.1 Motiva¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Revis˜ao bibliogr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Modelos Matem´aticos 10
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Dinˆamica do Navio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 For¸cas de Manobras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 For¸cas devidas ao Vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4 For¸cas de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.5 Simula¸c˜ao e Controle da Dinˆamica do Navio . . . . . . . . . . 20
2.2.6 Equa¸c˜oes de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Modelo Grovlen-Fossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 Modelo Strand-Fossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
xi
2.4.2 PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Alocador de For¸cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.2 Formula¸c˜ao geral do problema de Aloca¸c˜ao de For¸cas . . . . . 39
2.5.3 Satura¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Estudo de Casos 42
3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Caracter´ısticas do Navio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Fase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Fase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3 Fase 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.4 Fase 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.5 Fase 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.6 Fase 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Conclus˜oes e Trabalhos Futuros 87
Referˆencias Bibliogr´aficas 89
xii
Lista de Figuras
1.1 Diagrama de bloco de um sistema SDP. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Sistema de coordenadas utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1 Resposta do navio em surge - caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Resposta do navio em sway - caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Resposta do navio em yaw - caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Resposta do navio em surge- caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Resposta do navio em sway- caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 Resposta do navio em yaw- caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.7 Resposta do navio em surge- caso 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.8 Resposta do navio em sway- caso 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9 Resposta do navio em yaw- caso 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.10 Fase 2 - Deslocamento em surge- observador de Grovlen e Fossen. . . 50
3.11 Fase 2 - Deslocamento em sway - observador de Grovlen e Fossen. . . 51
3.12 Fase 2 - Deslocamento em yaw - observador de Grovlen e Fossen. . . . 51
3.13 Fase 2 - Deslocamento em surge - observador de Strand e Fossen. . . 52
3.14 Fase 2 - Deslocamento em sway - observador de Strand e Fossen. . . . 52
3.15 Fase 2 - Deslocamento em yaw- observador de Strand e Fossen. . . . . 53
3.16 Fase 3 - caso 1: deslocamento em surge, utilizando o controlador
backstepping e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . 54
3.17 Fase 3 - caso 1: trecho do deslocamento em surge, da figura (3.16). . . 55
xiii
3.18 Fase 3 - caso 1: deslocamento em sway, utilizando o controlador backs-
tepping e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.19 Fase 3 - caso 1: trecho do deslocamento em sway, da figura (3.18). . . 56
3.20 Fase 3 - caso 1: deslocamento em yaw, utilizando o controlador backs-
tepping e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.21 Fase 3 - caso 1: trecho do deslocamento em yaw, da figura (3.20). . . 57
3.22 Fase 3 - caso 1: deslocamento em surge, utilizando o controlador
backstepping e o observador de Strand-Fossen. . . . . . . . . . . . . . 57
3.23 Fase 3 - caso 1: trecho do deslocamento em surge, da figura (3.22). . . 58
3.24 Fase 3 - caso 1: deslocamento em sway, utilizando o controlador backs-
tepping e o observador de Strand-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.25 Fase 3 - caso 1: trecho do deslocamento em sway, da figura (3.24). . . 59
3.26 Fase 3 - caso 1: deslocamento em yaw, utilizando o controlador backs-
tepping e o observador de Strand-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.27 Fase 3 - caso 1: trecho do deslocamento em yaw, da figura (3.26). . . 60
3.28 Fase 3 - caso 2: deslocamento em surge, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.29 Fase 3 - caso 2: trecho do deslocamento em surge, da figura (3.28). . . 61
3.30 Fase 3 - caso 2: deslocamento em sway, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.31 Fase 3 - caso 2: trecho do deslocamento em sway, da figura (3.30). . . 62
3.32 Fase 3 - caso 2: deslocamento em yaw, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.33 Fase 3 - caso 2: trecho do deslocamento em yaw, da figura (3.32). . . 63
3.34 Fase 3 - caso 2: deslocamento em surge, utilizando o controlador PID
e o observador de Strand-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.35 Fase 3 - caso 2: trecho do deslocamento em surge, da figura (3.34). . . 64
3.36 Fase 3 - caso 2: deslocamento em sway, utilizando o controlador PID
e o observador de Strand-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
xiv
3.37 Fase 3 - caso 2: trecho do deslocamento em sway, da figura (3.24). . . 65
3.38 Fase 3 - caso 2: deslocamento em yaw, utilizando o controlador PID
e o observador de Strand-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.39 Fase 3 - caso 2: trecho do deslocamento em yaw, da figura (3.38). . . 66
3.40 For¸ca em surge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.41 For¸ca em sway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.42 Momento em yaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.43 Fase 5 - caso 1: deslocamento do navio em surge, considerando a
satura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador backstepping e o
observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.44 Fase 5 - caso 1: deslocamento do navio em sway, considerando a
satura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador backstepping e o
observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.45 Fase 5 - caso 1: deslocamento do navio em yaw, considerando a sa-
tura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador backstepping e o
observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.46 Fase 5 - caso 1: deslocamento do navio em surge, considerando a
satura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador backstepping e o
observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.47 Fase 5 - caso 1: deslocamento do navio em sway, considerando a
satura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador backstepping e o
observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.48 Fase 5 - caso 1: deslocamento do navio em yaw, considerando a sa-
tura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador backstepping e o
observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.49 Fase 5 - caso 2: deslocamento do navio em surge, considerando a sa-
tura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador PID e o observador
de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
xv
3.50 Fase 5 - caso 2: deslocamento do navio em sway, considerando a sa-
tura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador PID e o observador
de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.51 Fase 5 - caso 2: deslocamento do navio em yaw, considerando a sa-
tura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador PID e o observador
de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.52 Fase 5 - caso 2: deslocamento do navio em surge, considerando a sa-
tura¸c˜ao dos propulsores. Controlador PID e o observador de Grovlen-
Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.53 Fase 5 - caso 2: deslocamento do navio em sway, considerando a sa-
tura¸c˜ao dos propulsores. Controlador PID e o observador de Grovlen-
Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.54 Fase 5 - caso 2: deslocamento do navio em yaw, considerando a sa-
tura¸c˜ao dos propulsores. Controlador PID e o observador de Grovlen-
Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.55 Fase 6: Deslocamento do navio em surge, utilizando o controlador
PID e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.56 Fase 6: Deslocamento do navio em sway, utilizando o controlador
PID e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.57 Fase 6: Deslocamento do navio em yaw, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.58 Fase 6: Deslocamento do navio em surge, utilizando o controlador
PID e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.59 Fase 6: Deslocamento do navio em sway, utilizando o controlador
PID e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.60 Fase 6: Deslocamento do navio em yaw, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.61 Fase 6:Deslocamento do navio em surge, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
xvi
3.62 Fase 6:Deslocamento do navio em sway, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.63 Fase 6:Deslocamento do navio em yaw, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.64 Fase 6: Deslocamento do navio em surge, utilizando o controlador
PID e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.65 Fase 6: Deslocamento do navio em sway, utilizando o controlador
PID e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.66 Fase 6: Deslocamento do navio em yaw, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
xvii
Lista de Tabelas
3.1 Caracter´ısticas principais do navio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Caracter´ısticas propulsiva do navio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Condi¸c˜oes ambientais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Condi¸c˜oes iniciais para os casos simulados. . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Casos simulados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Primeira matriz de ganhos do observador antes. . . . . . . . . . . . . 80
3.7 Segunda matriz de ganhos do observador antes. . . . . . . . . . . . . 80
3.8 Terceira matriz de ganhos do observador antes. . . . . . . . . . . . . 81
3.9 Matriz de ganhos do controlador antes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.10 Primeira matriz de ganhos do observador atual. . . . . . . . . . . . . 81
3.11 Segunda matriz de ganhos do observador atual. . . . . . . . . . . . . 81
3.12 Terceira matriz de ganhos do observador atual. . . . . . . . . . . . . . 81
3.13 Matriz de ganhos do controlador atual. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.14 Condi¸c˜oes ambientais antes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.15 Condi¸c˜oes ambientais atual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
xviii
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
1.1 Motiva¸c˜ao
Nos ´ultimos anos, a explora¸c˜ao de petr´oleo na costa brasileira vem batendo recordes
de explora¸c˜ao em ´aguas profundas. Para garantir um alto escoamento do ´oleo do
campo em ´aguas profundas para o litoral, ´e requerido um sistema que possa pro-
porcionar eficiˆencia e seguran¸ca durante a opera¸c˜ao de offloading . Com o avan¸co
tecnol´ogico, modernos sistemas de posicionamento dinˆamico podem garantir estas
condi¸c˜oes e j´a vem sendo utilizados por diversas unidades de explora¸c˜ao como pla-
taformas semi-submers´ıveis e navios aliviadores, entre outros.
No SPD - (sistema de posicionamento dinˆamico) n˜ao existe liga¸c˜ao f´ısica da em-
barca¸c˜ao com o fundo do mar. Sensores ac´usticos determinam a deriva e propulsores
no casco restauram a posi¸c˜ao da embarca¸c˜ao. Define-se posicionamento dinˆamico
[1, 2], como um sistema que controla automaticamente a posi¸c˜ao e aproamento de
uma embarca¸c˜ao por meio de propuls˜ao ativa.
Em 1961 nos Estados Unidos, deu-se in´ıcio ao desenvolvimento do sistema de
posicionamento dinˆamico, quando o navio Cuss1 foi equipado com quatro thrus-
ters controlados manualmente. Nesse mesmo ano, um representante da Shell Oil
Company lan¸cou o navio Eureka, que inicialmente tamb´em seria controlado manual-
mente, mas logo foi equipado com um sistema autom´atico de posi¸c˜ao e aproamento.
Em 1964, baseado no mesmo princ´ıpio foi lan¸cado Cardrill equipado com quatro
1
thrusters govern´aveis e dois control´aveis operando em paralelo. Em 1965 na Fran¸ca,
o navio Ter´ebel, antes equipado com dois thrusters, foi reequipado com um con-
trolador anal´ogico para manter a posi¸c˜ao automaticamente [3]. Ap´os a d´ecada de
70, diversos navios com posicionamento dinˆamico come¸caram a operar, tornando-se
uma t´ecnica difundida.
A figura (1.1) apresenta um diagrama de bloco de um sistema SPD o qual, como
pode-se observar ´e constitu´ıdo pelos seguintes seguintes subsistemas [4]:
Navio
Medi¸c˜oes
Operador
Controlador
Observador
Aloca¸c˜ao
de for¸cas
Comando
de for¸cas
Processamento
de sinais
Set points
Sistema
de gest˜ao de
energia
Potˆencia
limite
Movimento do navio
Figura 1.1: Diagrama de bloco de um sistema SDP.
• sistema de potˆencia: ´e o respons´avel por fornecer energia aos propulsores,
alguns sensores e aos elementos de controle. Existem tamb´em diferentes tipos
de equipamentos para a mesma finalidade, destacando-se os com caracter´ısticas
diesel-el´etricas e os motores `a diesel (propulsor principal).
• sistema de sensoriamento: ´e respons´avel por analisar e verificar as informa¸c˜oes
necess´arias para que a embarca¸c˜ao possa ser posicionada de forma desejada.
Os sinais mais importantes, s˜ao os que medem a posi¸c˜ao e o rumo da em-
barca¸c˜ao no plano horizontal. Existem diversas tecnologias empregadas para
essa finalidade como a agulha girosc´opica, os sistemas de navega¸c˜ao sat´elite,
sistemas de referˆencia hidroac´usticos, acelerˆometros, etc.
2
• sistema de estima ou observa¸c˜ao das posi¸c˜oes do navio: ´e respons´avel por fil-
trar os erros de posi¸c˜ao e reconstruir os estados n˜ao medidos do sistema. Sua
t´ecnica consiste em desenvolver um modelo matem´atico que compara a esti-
mativa da sa´ıda com a sa´ıda medida, a diferen¸ca entre os dois sinais presentes
resulta em um res´ıduo que ´e utilizado para an´alise.
• sistema de controle: ´e a unidade computacional que determina a a¸c˜ao de
controle respons´avel pelo posicionamento da embarca¸c˜ao.
• sistema de aloca¸c˜ao de for¸cas: ´e respons´avel pela distribui¸c˜ao das for¸cas de
comando pelos propulsores, minimizando o consumo de potˆencia, otimizando
o consumo de combust´ıvel, evitando satura¸c˜ao dos propulsores e compensando
as for¸cas em caso de falha de algum propulsor.
• sistema de referˆencias de posi¸c˜ao: ´e um m´odulo de interface entre o sistema de
controle e o operador, podendo ser autom´atico, de trajet´oria, de alinhamento
com for¸cas ambientais, manuais, etc.
1.2 Revis˜ao bibliogr´afica
Nos s´eculos XVII e XVIII, diversos dispositivos de controle foram criados no intuito
de poder resolver alguns problemas pr´aticos, mas o desenvolvimento das t´ecnicas
de controle s´o teve impulso no s´eculo XVIII com a Revolu¸c˜ao industrial, devido ao
desenvolvimento de processos industriais.
Um dos primeiros trabalhos cient´ıficos aplicando teoria de controle foi do
astrˆonomo Airy em 1840 [5]. Airy desenvolveu um dispositivo de controle para
reposicionamento autom´atico de um telesc´opio, modelando a dinˆamica do sistema
atrav´es de equa¸c˜oes diferenciais, dando origem a teoria matem´atica de controle com
realimenta¸c˜ao (feedback control).
Um outro problema na ´epoca era o controle da velocidade de teares. Watt de-
senvolveu um sistema de controle usando o chamado pˆendulo de Watt como sensor
de velocidade. Permitindo o controle em malha fechada da velocidade controlando a
3
inje¸c˜ao em m´aquinas a vapor, esse sistema apresentou um comportamento inst´avel.
Em 1868, Maxwell publicou um artigo, analisando o comportamento dinˆamico dos
sistemas de controle [6]. A abordagem usada foi a modelagem do sistema por
equa¸c˜oes diferenciais, sendo que Maxwell demonstrou que, para determinadas faixas
de valores dos parˆametros, as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes eram inst´aveis.
Na mesma ´epoca, Routh e Hurwitz desenvolveram t´ecnicas que permitiam de-
terminar diretamente a estabilidade do sistema sem a necessidade da solu¸c˜ao das
equa¸c˜oes [7, 8]. Vishnegradisky publicou um trabalho que analisava a estabilidade
de reguladores empregando equa¸c˜oes diferenciais [9]. Mais tarde, alguns estudos uti-
lizando as t´ecnicas de an´alise proposta por Vishnegradisky [9] introduzindo o con-
ceito de sistemas n˜ao variantes no tempo, por´em sem solu¸c˜ao pois, segundo Lewis,
apresentou o problema da estabilidade da equa¸c˜ao caracter´ıstica de Hurwitiz, que
resolveu o problema na forma num´erica, de forma independente de Routh [7, 8, 10].
Um marco no desenvolvimento da teoria de controle foi a publica¸c˜ao de um
trabalho pelo matem´atico russo Lyapunov em 1897. Pouco divulgado no ocidente, o
trabalho de Lyapunov[11] continuou a ser desenvolvido na extinta Uni˜ao Sovi´etica,
o que permitiu aos pesquisadores sovi´eticos grandes avan¸cos no que diz respeito `a
teoria de sistemas n˜ao-lineares.
Em 1907, foi instalado pela C. J. Tagliabue Company, em Nova Iorque, o pri-
meiro controlador de temperatura pneum´atico autom´atico em uma unidade de pas-
teuriza¸c˜ao de leite. Na sequˆencia, Bristol, desenvolveu um sistemas de controle
pneum´aticos ao protocolar em 1914, o pedido da patente de um amplificador bocal-
palheta (flapper-nozzle amplifier), o qual era capaz de prover a¸c˜ao proporcional.
Em 1922, Minorsky realizou uma das primeiras aplica¸c˜oes de elementos delibe-
radamente n˜ao-lineares em sistemas a malha fechada em seu estudo de pilotagem
autom´atica de navios. Em 1932, engenheiros da Bell Telephone Laboratories tra-
balhavam com o problema de comunica¸c˜ao `a longa distˆancia nos Estados Unidos. O
problema de refor¸co de sinais atrav´es de amplificadores levou ao desenvolvimento de
t´ecnicas no dom´ınio da frequˆencia, t´ecnica esta desenvolvidas por Laplace, Fourier,
4
Cauchy entre outros [12]. O grande problema a ser solucionado era como estender a
comunica¸c˜ao de massa para longas distˆancias, periodicamente amplificando o sinal
de voz atrav´es de linhas telefˆonicas e separando as amplifica¸c˜oes de ru´ıdos a ela
associadas.
Em 1935, Clarridge criou um controlador de trˆes termos que antecipava a va-
ria¸c˜ao no sinal de erro para solucionar um problema de oscila¸c˜ao de uma malha de
controle de temperatura em uma ind´ustria de celulose. Chamada inicialmente pelos
engenheiros de pre-act, a a¸c˜ao derivativa foi testada apenas em casos especiais at´e
o ano de 1939, quando surgiu uma vers˜ao totalmente reprojetada do controlador
PID - (proporcional integral e derivativo). No mesmo ano, a Foxboro Instrument
Company lan¸cou o controlador pneum´atico Stabilog, o qual possu´ıa a tecnologia
hyper-reset, baseada na derivada do sinal de erro.
Apesar do controlador PID ter demonstrado sua importˆancia em algumas
aplica¸c˜oes consideradas dif´ıceis, ainda havia grande dificuldade de difus˜ao nos pro-
cessos industriais, onde n˜ao se considerava a controlabilidade no projeto das unidades
industriais, a complexidade e fragilidade dos elementos de atua¸c˜ao e a inexistˆencia de
regras simples para ajuste dos parˆametros do controlador PID [13]. A primeira ten-
tativa de sucesso para resolver este problema aconteceu em 1942, atrav´es do artigo
Optimum Settings for Automatic Controllers, de Ziegler e Nichols [14], ambos da
Taylor Instrument Companies onde apresentaram dois procedimentos para sintonia
dos controladores, atrav´es de simples regras de ajuste baseadas em caracter´ısticas
dinˆamicas do processo. Este trabalho foi um marco na hist´oria do controlador PID,
fazendo v´arios pesquisadores formularem novos m´etodos de ajuste a partir de suas
id´eias originais.
O in´ıcio da Segunda Guerra mundial estimulou a pesquisa em sistemas de con-
trole, visando o uso militar. Nos Estados Unidos o MIT foi um centro de desen-
volvimento de tais t´ecnicas. Outros desenvolvimentos se seguiram, inclusive com o
aparecimento da t´ecnica do lugar das ra´ızes, criada por Evans em 1948. Este m´etodo
´e utilizado no projeto e an´alise da estabilidade de sistemas de controle, pois fornece
5
uma representa¸c˜ao gr´afica das propriedades de um determinado sistema baseado nas
ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica do sistema. A teoria de controle ao final dos anos
1950 j´a consistia de um corpo de conhecimento consolidado, com forte ˆenfase em
t´ecnicas baseadas no uso de m´etodos frequenciais e com muitas aplica¸c˜oes industri-
ais. No entanto a demanda por novas t´ecnicas, especialmente no setor aeroespacial
impulsionou o desenvolvimento do chamado controle moderno. O controle moderno
retomou muitas id´eias de Lyapunov, usando t´ecnicas no dom´ınio do tempo.
Em 1959, entrou em opera¸c˜ao o primeiro sistema de controle assistido por com-
putador, em uma unidade industrial. O sistema de controle projetado foi o fruto
do estudo realizado por um grupo de engenheiros da Texaco em conjunto com en-
genheiros da companhia aeroespacial TRW - (Thomson Ramo Woodridge).
Entre 1950 a 1960, surgiram diversos trabalhos importantes, podendo ser desta-
cado o de Bellman em 1957, onde aplicou os princ´ıpios da programa¸c˜ao dinˆamica
para determina¸c˜ao da condi¸c˜ao ´otima em sistemas de controle [15]. Em 1958 Pon-
tryagin desenvolveu uma teoria aplicada a controles ´otimos, relacionando o tempo
m´ınimo de atua¸c˜ao de um controlador para estabiliza¸c˜ao de sistemas n˜ao lineares,
que ficou conhecida como t´ecnica do princ´ıpio m´aximo [16].
Em 1960, Kalman apresenta trabalhos que constituem o in´ıcio da moderna teoria
de controle com realimenta¸c˜ao. No primeiro trabalho, analisa os fundamentos das
fun¸c˜oes controle de Lyapunov, no dom´ınio do tempo, para controle e projeto de
sistemas n˜ao lineares [17]. No segundo trabalho, analisa o conceito da solu¸c˜ao ´otima
aplicada ao controle de sistemas no dom´ınio do tempo e apresenta um conjunto de
equa¸c˜oes para um regulador linear quadr´atico (Linear Quadratic Regulator - LQR)
[18]. No terceiro trabalho, discute sobre filtros ´otimos e mostra que as vari´aveis de
estado podem ser estimadas em fun¸c˜ao de sua variˆancia m´ınima. Ele apresenta uma
solu¸c˜ao recursiva para sistemas n˜ao estacion´arios variantes no tempo empregando
a teoria de estima ou de observa¸c˜ao e cria um algoritmo de projeto para um filtro,
que se tornou conhecido como filtro de Kalman [19]. Dando continuidade a esses
trabalho em 1961, Kalman e Bucy desenvolvem o filtro de Kalman cont´ınuo [20] e
6
em 1963, o controle LQG - (Linear Quadr´atico Gaussiano), cujos ganhos ´otimos do
regulador s˜ao dados pela solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Riccati e a estima ou observa¸c˜ao
´e feita por um filtro Kalman-Bucy o que permitiram processos de c´alculo de ganho
em tempo real [21].
Em 1961, foi instalado, no ch˜ao de f´abrica de uma empresa, o primeiro robˆo
industrial chamado de Unimate, da Unimation Inc. , resultado da combina¸c˜ao
de mecanismos articulados e a tecnologia de controle desenvolvida em m´aquinas
operatrizes com comando num´erico. A partir da d´ecada de 60, devido `a crescente
capacidade computacional dos computadores, houve um r´apido desenvolvimento de
novas tecnologias de controle, como preditor de Smith, controle preditivo, controle
adaptativo, l´ogica Fuzzy, gain schedule, auto ajuste, redes neurais, controle robusto,
controle ´otimo, entre outros.
No final da d´ecada de 1970 na Uni˜ao Sovi´etica foi desenvolvida a t´ecnica de
controle por modos deslizantes, como se pode verificar no trabalho de Utkin [22], que
cria uma t´ecnica robusta para tratar as incertezas de modelo empregando fun¸c˜oes
de controle de Lyapunov. A lei de controle ´e feita de forma que as trajet´orias do
sistema sejam for¸cadas a deslizar para uma superf´ıcie no espa¸co de estado desejado,
em um intervalo de tempo definido, e a permanecerem ali indefinidamente [23].
No final da d´ecada de 1980, surge a metodologia de backstepping um m´etodo
sistem´atico para projeto de controles n˜ao-lineares. O nome backstepping se refere `a
natureza recursiva do procedimento de projeto. Em backstepping, a constru¸c˜ao da lei
de controle ´e desenvolvida a partir de uma fun¸c˜ao de controle de Lyapunov. Diversos
trabalhos deram origem a t´ecnica, destacando-se os trabalhos de Kodistschek [24],
Sontag e Sussmann [25], Tsinias [26] e Byrnes e Isidori [27]. Entretanto, cabe-
se ressaltar que a metodologia de backstepping recebeu grande notoriedade com o
trabalho de Kokotovic [28].
Hoje j´a temos trabalhos mais atuais aplicando tanto modos deslizantes como
backstepping. Em 1998, Aarset [29] aplica t´ecnicas de backstepping que depois
foram adaptadas por Grovlen e Fossen em um rebocador de apoio [30].
7
Em 1998, Fossen apresenta mais dois trabalhos, o primeiro com Strand [31],
onde emprega o conceito de posicionamento ´otimo em fun¸c˜ao do ambiente, onde o
aproamento do navio ´e automaticamente corrigido em rela¸c˜ao a resultante das for¸cas
ambientais de forma a fazer com que os momentos em yaw e for¸cas transversais sejam
zero. O segundo foi com Grovlen [32], onde apresenta uma metodologia alternativa
de projeto, para estima de vari´aveis de estado aplicada a sistemas de posicionamento
dinˆamico.
Em 2002, Tannuri desenvolveu uma nova metodologia para o projeto de con-
trolador de posi¸c˜ao e aproamento baseado na teoria de controle robusto n˜ao-linear
por modos deslizantes [33]. Um pouco mais tarde, em 2005 Mesquita apresenta um
sistema de posicionamento dinˆamico baseado em um observador passivo n˜ao-linear
e na t´ecnica de controle backstepping. Tanto o observador quanto a lei de controle
foram constru´ıdos a partir de modelos matem´aticos de simuladores de manobras de
navio para aplica¸c˜oes em tempo real [34], entre outros.
1.3 Objetivo
Este trabalho tem como objetivo realizar uma exaustiva an´alise de casos para ava-
liar o comportamento de modelos matem´aticos implementados em um Sistema de
Posicionamento Dinˆamico de navios.
Para descrever a dinˆamica do navio ´e empregada a cl´assica teoria de manobras
de navios. Nas equa¸c˜oes de movimento s˜ao introduzidas as for¸cas devidas `as on-
das e as for¸cas devidas ao vento.
´
E introduzido um ru´ıdo para representar mais
realisticamente as observa¸c˜oes de posi¸c˜ao e aproamento em um caso real.
Dois observadores desenvolvidos por Grovlen e Fossen e por Strand e Fossen s˜ao
empregados para filtrar o sinal e determinar as v´ariaveis de estado velocidades. A
partir dos resultados dos observadores s˜ao aplicadas as t´ecnicas de controle, modelos
PID e a metodologia de controle n˜ao-linear backstepping, para determina¸c˜ao das
for¸cas a serem utilizadas pelo sistema propulsivo a fim de manter a posi¸c˜ao e o
aproamento desejados.
8
Para realizar a an´alise dos modelos empregados uma s´erie de casos s˜ao simulados
e o comportamento da resposta analisado.
9
Cap´ıtulo 2
Modelos Matem´aticos
Neste cap´ıtulo apresentam-se os modelos matem´aticos que descrevem o movimento
de uma embarca¸c˜ao sujeita aos agentes ambientais de ondas, vento e correnteza,
ancorada ou n˜ao, incluindo-se a a¸c˜ao de atuadores (propulsores e lemes) sem tratar
suas dinˆamicas. A obten¸c˜ao do modelo matem´atico do sistema tem dois objetivos
principais: o projeto do controlador e observador em si e a simula¸c˜ao para represen-
tar o corpo navio no mar em condi¸c˜oes real´ısticas.
Os modelos apresentados neste cap´ıtulo foram desenvolvidos, a partir de notas
de aulas do orientador [35], trabalhos publicados pelo orientador [40], trabalhos de
outros autores [36, 37, 44, 46, 30, 48, 4], livros [1, 23, 38] e notas de aulas de outros
autores [23] encontrados na Literatura, e foi elaborado atrav´es de discuss˜oes durante
a execu¸c˜ao do trabalho.
2.1 Introdu¸c˜ao
Sabe-se que em opera¸c˜ao de offloading manter o navio completamente parado em
uma posi¸c˜ao e aproamento desejados nem sempre ´e poss´ıvel. Existem diversas a¸c˜oes
ambientais de car´ater irregular e vari´avel no tempo agindo sobre o navio, o que
dificulta essa opera¸c˜ao.
´
E necess´ario fazer uso de atuadores para tentar controlar o
navio, mantendo-o em torno de uma posi¸c˜ao desejada.
Para se realizar uma avalia¸c˜ao da opera¸c˜ao e do papel dos dispositivos de con-
10
trole, uma forma de abordar o problema ´e desenvolver simula¸c˜oes no tempo das
equa¸c˜oes de movimento, levando-se em conta os diversos efeitos agindo sobre um
sistema, e ent˜ao avaliar o comportamento resultante.
Com esse objetivo, neste trabalho ´e utilizado um simulador da dinˆamica do navio
em que, para integra¸c˜ao no tempo, utiliza-se o m´etodo de Runge-Kutta de quarta
ordem, onde a cada passo todas as for¸cas e momentos s˜ao calculados em fun¸c˜ao da
forma do navio, de sua posi¸c˜ao, de sua velocidade e sua acelera¸c˜ao. O simulador
considera os efeitos das ambientais e dos atuadores, introduz “erros de medi¸c˜ao”e
emprega modelos de controladores e observadores.
O objetivo do controlador ´e fazer com que a sa´ıda do sistema, no caso a posi¸c˜ao
e rumo do navio tendam a uma posi¸c˜ao e rumo desejados. A leitura de sa´ıda do
sistema, por ser representada por um sinal de posi¸c˜ao dado pelo DGPS e um sinal
de aproamento do girosc´opio, ´e filtrada pelo observador e com ele s˜ao estimadas
as velocidades do navio, com isto as referˆencias de posi¸c˜ao e velocidades passadas
para o controlador s˜ao valores estimados. As estimativas de posi¸c˜oes e aproamento
dados pelo observador s˜ao ent˜ao utilizadas pelo controlador para determinar as a¸c˜oes
a serem executadas pelos atuadores para tentar manter a posi¸c˜ao e o aproamento
desejados.
2.2 Dinˆamica do Navio
2.2.1 Introdu¸c˜ao
A formula¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento de um navio em manobras sujeito `a cor-
renteza segue o cl´assico modelo de manobras, incluindo a a¸c˜ao do leme, do propulsor,
de linhas de ancoragem (caso de posicionamento dinˆamico assistido), de cabos de
conex˜ao e for¸cas ambientais devidas a correntes, ondas e ventos [35].
A segunda lei de Newton aplicada a um corpo em movimento, em sua forma
b´asica (massa vezes a acelera¸c˜ao = somat´orio das for¸cas externas) ´e valida em um
sistema inercial para a acelera¸c˜ao no centro de gravidade do corpo. No caso de
11
um navio em movimento ´e mais conveniente extendˆe-la para sua aplica¸c˜ao em um
sistema solid´ario ao navio. Assim procedendo, escrevem-se as equa¸c˜oes dos movi-
mentos de surge e sway . A extens˜ao da segunda lei de Newton para momentos ´e
utilizada para descrever a equa¸c˜ao do movimento de yaw . Desta forma, e consi-
derando que o sistema solid´ario n˜ao se encontra no centro de gravidade, os temos
inerciais apresentam acoplamentos e n˜ao linearidades [1]
S˜ao utilizados dois sistemas de coordenadas para representar o movimento do
navio, sendo OXY o sistema inercial e oxy o sistema solid´ario. O sistema de coor-
denadas solid´ario ao navio tem sua origem localizada no plano de linha d’´agua com
o eixo oz voltado para baixo. O ˆangulo formado pelos eixos OX e ox definem o
ˆangulo de aproamento (ou simplesmente o aproamento) ψ (ou ˆangulo de yaw).
X
Y
y
x
ψ
O
U
β
N, r
F
u
F
v
Figura 2.1: Sistema de coordenadas utilizado
Sendo assim, levando-se em conta que navios s˜ao corpos sim´etricos, podemos
escrever as equa¸c˜oes dos movimentos de surge, sway e yaw na forma abaixo.
Equa¸c˜ao de for¸cas na dire¸c˜ao ox:
m[ ˙u
a
− v
a
r − x
G
r
2
] = X
Hull
+ X
P rop
+ X
Rud
+ X
W ave
+ X
W ind
+ X
Anc
(2.1)
Equa¸c˜ao de for¸cas na dire¸c˜ao oy:
m[ ˙v
a
+ u
a
r + x
G
˙r] = Y
Hull
+ Y
P rop
+ Y
Rud
+ Y
W ave
+ Y
W ind
+ Y
Anc
(2.2)
12
Equa¸c˜ao de momento:
I ˙r + mx
G
( ˙v
a
+ u
a
r) = N
Hull
+ N
P rop
+ N
Rud
+ N
W ave
+ N
W ind
+ N
Anc
(2.3)
onde, m e I s˜ao a massa e a in´ercia do modelo, X
Hull
, Y
Hull
e N
Hull
s˜ao as for¸cas
hidrodinˆamicas atuantes no casco do navio devidas `a velocidade relativa fluido corpo,
considerando a correnteza e a velocidade do corpo, que aqui chamaremos de for¸cas
de manobra [35]. u
a
e v
a
s˜ao as componentes da velocidade absoluta do corpo em
surge e sway e r e a raz˜ao de giro ou velocidade de yaw. X
P rop
, Y
P rop
e N
P rop
s˜ao as for¸cas devidas aos propulsores. X
Rud
, Y
Rud
e N
Rud
s˜ao as for¸cas devidas aos
lemes. X
W ind
, Y
W ind
e N
W ind
s˜ao as for¸cas devidas `a velocidade relativa ar corpo,
considerando o vento e a velocidade do corpo. X
W ave
, Y
W ave
e N
W ave
s˜ao as for¸cas
devidas `as ondas. X
Anc
, Y
Anc
e N
Anc
s˜ao as for¸cas a serem consideradas em caso do
sistema ser ancorado.
Definimos tamb´em as componentes da velocidade relativa corpo corrente em
surge e sway no sistema solid´ario u e v. Definindo C e α como o m´odulo e o ˆangulo
de incidˆencia da corrente, podemos escrever:
U
x
− C cos(α) = u cos(ψ) − v sin(ψ)
U
y
− C sin(α) = u sin(ψ) + v cos(ψ)
u = (U
x
− C cos(α)) cos(ψ) + (U
y
− C sin(α)) sin(ψ)
v = −(U
x
− C cos(α)) sin(ψ) + (U
y
− C sin(α)) cos(ψ)
A velocidade de yaw, ”rate of turn ”, ´e dada por
d ψ
d t
= r.
Sob a considera¸c˜ao que C ´e constante temos as acelera¸c˜oes relativas iguais as
acelera¸c˜oes absolutas, ˙u = ˙u
a
e ˙v = ˙v
a
.
Quando estivermos tratando problemas de posicionamento dinˆamico com baixas
velocidades vamos reunir as for¸cas devidas aos propulsores e `as superf´ıcies de controle
na forma de for¸cas devidas aos atuadores de tal forma que X
Atua
= X
P rop
+ X
Rud
,
Y
Atua
= Y
P rop
+ Y
Rud
e N
Atua
= N
P rop
+ N
Rud
13
2.2.2 For¸cas de Manobras
Quando o casco se move em um dom´ınio fluido, este exerce sobre o casco for¸cas de
rea¸c˜ao ao seu movimento. Estas for¸cas s˜ao chamadas de for¸cas de manobras [36, 37].
Entre os problemas b´asicos tratados na teoria de manobras est˜ao o da estabi-
lidade direcional e o da estabilidade em curso [38]. O primeiro caso refere-se `a
capacidade de um navio avan¸car em linha reta sem a utiliza¸c˜ao do leme ap´os ter
sofrido uma pequena perturba¸c˜ao. O segundo caso refere-se `a capacidade do na-
vio manter um rumo auxiliado pelo leme. Em ambos os casos o navio avan¸ca com
velocidade de cruzeiro e pode estar sujeito a pequenos ˆangulos de deriva. Nesses
casos o problema pode ser tratado linearmente. As for¸cas de manobra X
Hull
, Y
Hull
e
N
Hull
podem ser representadas por termos lineares e as equa¸c˜oes de sway e yaw sˆao
acopladas entre si, mas n˜ao tˆem acoplamento com a equa¸c˜ao de surge . A medida
que se quer executar manobras como curva de giro, zig-zag e outras ´e necess´ario
ter uma representa¸c˜ao das for¸cas de manobra para maiores ˆangulos de deriva. As
for¸cas X
Hull
, Y
Hull
e N
Hull
tem que ser modeladas por express˜oes mais complexas,
n˜ao lineares.
Navios aliviadores executando opera¸c˜oes de offloading, drillships em opera¸c˜ao
de perfura¸c˜ao, pipe laying barges em opera¸c˜ao de instala¸c˜ao de dutos, navios ma-
nobrando em portos, navios ancorados, etc, est˜ao sujeitos a manobras de baixas
velocidades e grandes ˆangulos de deriva. Nestes casos as for¸cas hidrodinˆamicas
X
Hull
, Y
Hull
e N
Hull
tem que ser modeladas por express˜oes n˜ao lineares. As for¸cas
hidrodinˆamicas s˜ao representadas na forma polinomial em fun¸c˜ao das velocidades e
das acelera¸c˜oes do corpo no sistema solid´ario. Aos coeficientes dos polinˆomios d´a-
se o nome de derivadas hidrodinˆamicas. Este nome deve-se ao fato do tratamento
inicial do problema [39] ser elaborado atrav´es do desenvolvimento das express˜oes de
for¸cas em s´eries de Taylor. Uma vez truncadas tˆem a forma de polinˆomios.
Vale destacar que ´e comum realizar ensaios em tanques de prova com o objetivo
de levantar as express˜oes dessas for¸cas. Atrav´es de um trabalho desenvolvido para a
E&P (Departamento de Explora¸c˜ao e Produ¸c˜ao) da Petrobras foi desenvolvido pelo
14
orientador desta disserta¸c˜ao um modelo de manobra para um navio Aliviador da
Classe M da Transpetro com base em dados experimentais realizados no tanque de
provas do IPT. Este modelo foi posteriormente publicado em [40].Posteriormente foi
utilizada uma extens˜ao do modelo para representar a for¸ca longitudinal. Clarissa
[41], em sua tese de mestrado, descreve modelo extendido para representar a for¸ca
longitudinal. Utilizando-se a nota¸c˜ao de manobras na forma adimensional o modelo
pode ser escrito como:
For¸ca Longitudinal
X
Hull
= X
˙u
˙u
+ X
uU
u
+ X
|vvv|u
| v
3
| u
+ X
|vvv|v
| v
3
| v
+ X
vr
v
r
+ X
rr
r
2
(2.4)
onde, X
uU
, X
|vvv|u
, X
|vvv|v
, X
vr
e X
rr
s˜ao derivadas hidrodinˆamicas do casco dadas
na forma de coeficientes adimensionais. X
uU
u
representa a resistˆencia viscosa do
casco ao avan¸co.
For¸ca Transversal
Y
Hull
= Y
˙v
˙v
+Y
˙r
˙r
+Y
v
v
+Y
v|v|
v
| v
| +Y
r
r
+Y
r|r|
r
| r
| +Y
|r|v
r
v
+Y
ur
u
r
(2.5)
onde, Y
˙v
, Y
˙r
, Y
v
, Y
v|v|
, Y
r
, Y
r|r|
, Y
|r|v
e Y
ur
s˜ao derivadas hidrodinˆamicas do casco
dadas na forma de coeficientes adimensionais.
Momento
N
Hull
= N
˙v
˙v
+ N
˙r
˙r
+ N
v
v
+ N
v|v|
v
| v
| +N
r
r
+ N
r|r|
r
| r
| +N
rvv
r
v
2
+N
rrv
r
2
v
+ N
uv
u
v
+ N
ur
u
r
(2.6)
onde, N
˙v
, N
˙r
, N
v
, N
v|v|
, N
r
, N
r|r|
, N
rvv
,N
rrv
, N
uv
e N
ur
s˜ao derivadas hidrodinˆamicas
do casco dados na forma de coeficientes adimensionais.
2.2.3 For¸cas devidas ao Vento
As for¸cas devidas `a incidˆencia dos ventos s˜ao modeladas a partir de ensaios realizados
em t´uneis de vento para navios e disponibilizados pelo OCIMF [42]. S˜ao expressas
15
na seguinte forma:
X
W ind
= 0.5ρ
ar
C
X
(θ)S
frontal
V
2
r
(2.7)
Y
W ind
= 0.5ρ
ar
C
Y
(θ)S
lateral
V
2
r
(2.8)
N
W ind
= 0.5ρ
ar
C
N
(θ)S
lateral
V
2
r
(2.9)
onde, C
X
, C
Y
e C
N
s˜ao os coeficientes adimensionais de for¸ca e momento obtidos
experimentalmente. θ ´e o ˆangulo relativo de incidˆencia entre o navio e o vento, V
r
´e
a velocidade relativa vento corpo, ρ
ar
´e a massa espec´ıfica do ar e S
frontal
e S
lateral
s˜ao proje¸c˜oes verticais das ´areas frontal e lateral.
As componentes da velocidade relativa do vento s˜ao dadas por:
u
R
= V
w
cos(γ) − u (2.10)
v
R
= V
w
sin(γ) − v (2.11)
onde, V
w
´e a velocidade do vento e γ ´e o ˆangulo entre a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao do
vento e o ˆangulo de aproamento do navio. A velocidade relativa do vento ´e dada
ent˜ao por V
r
=
u
2
R
+ v
2
R
.
2.2.4 For¸cas de Ondas
As for¸cas devidas `as ondas podem ser divididas em for¸cas de primeira ordem e
for¸cas de segunda ordem. Tais conceitos est˜ao bem consolidados na literatura e
aqui apresentaremos somente o procedimento utilizado no algoritmo do simulador.
Como programa auxiliar para gera¸c˜ao dos RAOs (Response Amplitude Operator) dos
movimentos de primeira ordem e das for¸cas de segunda ordem utiliza-se o WAMIT
[43].
16
O estado de mar ´e caracterizado pela fun¸c˜ao de densidade espectral S
zz
(ω)
em fun¸c˜ao da frequˆencia tendo como parˆametros a altura significativa do mar e o
per´ıodo m´edio ou o per´ıodo de pico. Opcionalmente utiliza-se o espectro de Pierson-
Moskowitz modificado (ISSC) ou o espectro de Jonswap utilizado pela Petrobras para
a Bacia de Campos.
Como modelo para descri¸c˜ao da eleva¸c˜ao da superf´ıcie do mar ´e normalmente
considerado que se trata de um processo estoc´astico erg´odico, e que a eleva¸c˜ao da
superf´ıcie livre em um ponto do mar pode ser representada pela superposi¸c˜ao de N
harmˆonicos atrav´es da express˜ao
z(t) =
N
n=1
z
n
(t) =
N
n=1
ζ
n
cos(ω
n
t + θ
n
) (2.12)
onde z
n
(t) = ζ
n
(ω
n
) cos(ω
n
t + θ
n
) com amplitudes ζ
n
(ω
n
) =
2S
zz
(ω
n
)δω, em que
as frequˆencias ω
n
assumem valores no intervalo (0, ∞); as fases ψ
n
s˜ao vari´aveis
aleat´orias independentes, com distribui¸c˜ao uniforme no intervalo [0, 2π]; que consti-
tuem o sinal.
Um conjunto de per´ıodos ´e fornecido ao simulador. Para este conjunto de
per´ıodos s˜ao determinadas os RAOs e as fun¸c˜oes de transferˆencia quadr´aticas. De
acordo com o espectro de mar escolhido para a simula¸c˜ao e os per´ıodos, s˜ao calcu-
ladas as amplitudes das ondas do mar e arbitradas fases de forma aleat´oria. Com
os RAO’s e as fases s˜ao geradas as s´eries temporais das respostas de primeira or-
dem. Essas respostas s˜ao superpostas aos movimentos gerados pela integra¸c˜ao das
equa¸c˜oes da dinˆamica do navio. As for¸cas de segunda ordem devidas `as ondas se
somam `as for¸cas devidas ao vento, `a corrente, aos atuadores, a cabos, etc, gerando
as for¸cas de excita¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento que descrevem a dinˆamica do
navio.
Os movimentos devidos `as a¸c˜oes de primeira ordem de ondas s˜ao ent˜ao dadas
por:
x
(k)
(t) =
N
1
RAO
(k)
(ω
n
)
2S
zz
(ω
n
)δω cos(ω
n
t + θ
n
+ θ
(k)
n
), k = 1, 2, 3 (2.13)
17
onde: RAO
(k)
(ω
n
) e θ
(k)
n
s˜ao as amplitudes e os ˆangulos de fase das respostas de
surge, sway e yaw para as frequˆencias ω
n
e k = 1, 2, 3 indica os movimentos de
surge, sway e yaw respectivamente.
For¸cas de Segunda Ordem
As for¸cas de segunda ordem devem-se aos potenciais de onda incidente, difra¸c˜ao e
radia¸c˜ao de segunda ordem, a potenciais de segunda ordem que surgem da intera¸c˜ao
entre os potenciais de radia¸c˜ao, incidente e difra¸c˜ao de primeira ordem e a produtos
de grandezas de primeira ordem cujas frequˆencias de oscila¸c˜ao se d˜ao nas frequˆencias
soma e frequˆencias diferen¸cas entre frequˆencias de todas as componentes de ondas
que comp˜oem o mar. Essas for¸cas s˜ao de pequenas intensidades. Cabe observar
que no processo de posicionamento dinˆamico, n˜ao h´a sentido em se tentar operar os
atuadores para se contrapor `as for¸cas de primeira ordem de onda, uma vez que, pelos
altos per´ıodos e o grande amortecimento, n˜ao geram grandes movimentos. J´a a a¸c˜ao
das for¸cas de manobra, for¸cas de vento, for¸cas devidas a sistemas de ancoragem e
for¸cas de onda de segunda ordem tendem a gerar for¸cas de grandes per´ıodos. Como
nesta faixa de per´ıodos o amortecimento ´e pequeno, podem ser gerados grandes
movimentos. Assim, as for¸cas de onda de segunda ordem nas frequˆencias diferen¸cas
tamb´em tˆem que ser consideradas no problema, pois podem gerar for¸cas em faixas de
frequˆencias baixas. Pinkters [44] formulou o problema e mostrou que essas for¸cas de
deriva devidas `as frequˆencias diferen¸ca, F
k
drif t
, k = 1, 2, 3, s˜ao dadas pela express˜ao:
F
drif t
(t) =
N
i=1
N
j=1
ζ
i
ζ
j
P
ij
(ω
i
, ω
j
)cos[(ω
i
− ω
j
)t + (
i
−
j
)] +
N
i=1
N
j=1
ζ
i
ζ
j
Q
ij
(ω
i
, ω
j
)sin[(ω
i
− ω
j
)t + (
i
−
j
)] (2.14)
Com os valores de P
(k)
ij
e Q
(k)
ij
define-se a fun¸c˜ao de transferˆencia quadr´atica das
for¸cas de segunda ordem:
T
(k)
ij
=
P
(k) 2
ij
+ Q
(k) 2
ij
(2.15)
18
Deve-se observar que se retirarmos desta express˜ao os termos que correspondem
aos casos i = j temos:
F
(k)
mean
= ζ
2
1
P
(k)
11
(ω
1
) + ζ
2
2
P
(k)
22
(ω
2
) · · · +ζ
2
N
P
(k)
NN
(ω
N
) (2.16)
Esta for¸ca independe do tempo. Sua a¸c˜ao sobre o corpo vai gerar a chamada for¸ca
de deriva m´edia.
A for¸ca dependente do tempo, resultado da soma de todas as componentes em
que i = j na express˜ao acima, ´e chamada de for¸ca de deriva lenta
Para frequˆencias diferen¸cas muito baixas os coeficientes Q
(k)
ij
s˜ao pequenos e po-
dem ser desprezados. Al´em disso, se montarmos uma matriz dos coeficientes P
(k)
ij
, as
combina¸c˜oes de frequˆencias nos colocam pr´oximos da diagonal da matriz. Newman
[45] mostrou que para esses casos o valor da fun¸c˜ao de transferˆencia quadr´atica ´e
dado aproximadamente por:
T
(k)
ij
= P
(k)
ij
≈ P
(k)
(
ω
i
+ ω
j
2
,
ω
i
+ ω
j
2
) (2.17)
Deve-se observar que para cada movimento, surge, sway e yaw, temos uma matriz
T
k
ij
e uma for¸ca de deriva F
(k)
drif t
(t) com as componentes de deriva m´edia e deriva
lenta. Deve-se lembrar que o c´odigo WAMIT em sua vers˜ao de primeira ordem, gera
a diagonal da matriz T
(k)
ij
.
Wave Drift Damping
Wichers [46] observou que quando um corpo oscilava longitudinalmente em ondas
sofria um amortecimento maior que o que aparece quando oscila em ´aguas tranquilas.
Atrav´es de testes de decaimento em ondas e em ´aguas tranquilas pode constatar sua
observa¸c˜ao. A este amortecimento adicional d´a-se o nome de wave drift damping.
Wichers formulou o problema mostrando que a for¸ca adicional de amortecimento
pode ser escrita como
F
(1)
wdd
(t) =
N
i=1
ζ
2
i
D
(1)
i
u (2.18)
19
onde D
(1)
i
´e o wave drift damping para a frequˆencia ω
i
.
Utilizamos para seu c´alculo a express˜ao proposta por Aranha [47]:
D
(1)
i
= −
ω
g
[4T
(1)
(ω
i
, ω
i
) + ω
dT
(1)
(ω
i
, ω
i
)
dω
] (2.19)
Assim, as for¸cas de ondas de segunda ordem s˜ao escritas como:
X
W ave
= F
(1)
drif t
(t) + F
(1)
wdd
(t) (2.20)
Y
W ave
= F
(2)
drif t
(t) (2.21)
N
W ave
= F
(3)
drif t
(t) (2.22)
2.2.5 Simula¸c˜ao e Controle da Dinˆamica do Navio
Neste trabalho, as equa¸c˜oes de movimento s˜ao utilizadas para representar o mundo
real atrav´es de simula¸c˜ao desenvolvendo a integra¸c˜ao das equa¸c˜oes no dom´ınio do
tempo. As equa¸c˜oes de movimento s˜ao tamb´em utilizadas nos algoritmos dos Obser-
vadores e tamb´em nos algoritmos dos Controladores. H´a entretanto diferen¸cas fun-
damentais que devem ser ressaltadas. No presente trabalho a simula¸c˜ao atua como
se determin´assemos resultados da realidade, inclusive introduzindo ru´ıdo. Neste caso
as for¸cas fluidas reativas ao movimento relativo corpo fluido s˜ao consideradas atrav´es
dos termos chamados for¸cas de manobra utilizando-se as velocidades relativas. Na
concep¸c˜ao do Observador tenta-se imitar o mais pr´oximo poss´ıvel a realidade, por´em
temos que supor que desconhecemos as formula¸c˜oes utilizadas na simula¸c˜ao. Nos-
sas velocidades neste caso, s˜ao as velocidades absolutas uma vez que, por princ´ıpio,
os termos que v˜ao corrigir a falta de conhecimento das a¸c˜oes ambientais entram
atrav´es dos ganhos multiplicados pelos erros entre valor estimado e valor observado.
Usamos modelos lineares tentando aproximar a representa¸c˜ao da dinˆamica do navio.
Para o controlador a situa¸c˜ao ´e similar. Por essas raz˜oes vamos escrever as equa¸c˜oes
20
de movimento tanto em fun¸c˜ao das velocidades absolutas quanto das velocidades
relativas e vamos tamb´em apresent´a-las linearizadas.
2.2.6 Equa¸c˜oes de Movimento
Acima foram apresentadas as express˜oes da segunda lei de Newton aplicada em
um sistema solid´ario e as express˜oes para as for¸cas de manobra, ondas e vento.
Reunindo dos propulsores e do leme como for¸cas dos atuadores e colocando na
forma adimensional temos:
(m
− X
˙u
) ˙u
− m
v
a
r
− X
vr
v
r
− m
x
G
r
2
− X
uU
u
−X
|vvv|u
| v
3
| u
− X
|vvv|v
| v
3
| v
− X
rr
r
2
= X
Atua
+ X
W ind
+ X
W aves
(2.23)
(m
− Y
˙v
) ˙v
− (Y
˙r
− m
x
G
) ˙r
+ m
u
a
r
−Y
v
v
− (Y
r
+ Y
ur
u
)r
− Y
v|v|
v
| v
| −Y
r|r|
r
| r
| −Y
|r|v
| r
| v
= Y
Atua
+ Y
W ind
+ Y
W aves
(2.24)
(I
− N
˙r
) ˙r
− (N
˙v
− m
x
G
) ˙v
+ m
x
G
u
a
r
−(N
v
+ N
uv
u
)v
− N
v|v|
v
| v
| −(N
r
+ N
ur
u
)r
− N
r|r|
r
| r
| −N
rvv
r
v
2
− N
rrv
r
2
v
= N
Atua
+ N
W ind
+ N
W aves
(2.25)
21
Se escrevermos as equa¸c˜oes de movimento separando as rea¸c˜oes hidrodinˆamicas
ao movimento do corpo das a¸c˜oes da corrente, de tal forma que os termos de aco-
plamento devidos `as n˜ao linearidades fiquem agregados `as for¸cas devidas `a corrente,
podemos reescrever as express˜oes acima na forma:
(m
− X
˙u
) ˙u
a
− (m
+ X
vr
)v
a
r
− m
x
G
r
2
− X
uU
u
a
−X
|vvv|u
| v
3
a
| u
a
− X
|vvv|v
| v
3
a
| v
a
− X
rr
r
2
= X
Atua
+ X
Amb
+ X
Anc
(2.26)
(m
− Y
˙v
) ˙v
a
− (Y
˙r
− m
x
G
) ˙r
+ m
u
a
r
−Y
v
v
a
− (Y
r
+ Y
ur
u
a
)r
− Y
v|v|
v
a
| v
a
| −Y
r|r|
r
| r
| −Y
|r|v
| r
| v
a
= Y
Atua
+ Y
Amb
+ Y
Anc
(2.27)
(I
− N
˙r
) ˙r
− (N
˙v
− m
x
G
) ˙v
a
+ m
x
G
u
a
r
−(N
v
+N
uv
u
a
)v
a
−N
v|v|
v
a
| v
a
| −(N
r
+N
ur
u
a
)r
−N
r|r|
r
| r
| −N
rvv
r
v
2
a
−N
rrv
r
2
v
a
= N
Atua
+ N
Amb
+ N
Anc
(2.28)
onde: X
Amb
= X
Cur
+ X
W ind
+ X
W aves
, Y
Amb
= Y
Cur
+ Y
W ind
+ Y
W aves
e N
Amb
=
N
Cur
+ N
W ind
+ N
W aves
s˜ao as for¸cas e momentos devidos aos efeitos ambientais e
X
Cur
, Y
Cur
e N
Cur
s˜ao as for¸cas e momento devidos `a corrente. Para generalizar
as express˜oes, inclu´ımos for¸cas devidas ao uso de sistema de ancoragem, linhas,
hawsers, etc nos termos X
Anc
, Y
Anc
e N
Anc
.
22
Em forma compacta escrevemos:
M
˙
ν + C(ν) + D(ν) + R
−1
G(η) = τ + F
Amb
(2.29)
e
˙
η = R(ψ)ν (2.30)
onde: M - ´e a matriz de in´ercia, R - ´e a matriz de rota¸c˜ao, C - ´e o vetor dos termos
n˜ao lineares de in´ercia, D - ´e o vetor das rea¸c˜oes hidrodinˆamicas em fun¸c˜ao das
velocidades, G ´e o vetor de for¸cas devidas `a ancoragem, linhas, hawser em fun¸c˜ao
das posi¸c˜oes dos extremos das linhas no sistema inercial, τ - ´e o vetor das for¸cas
dos atuadores, ν - ´e o vetor de velocidades absolutas, η - ´e o vetor das posi¸c˜oes do
navio no sistema inercial, F
Amb
- ´e o vetor das for¸cas ambientais.
R(ψ) =
cos ψ − sin ψ 0
sin ψ cos ψ 0
0 0 1
M =
(m
− X
˙u
) 0 0
0 (m
− Y
˙v
) (m
x
G
− Y
˙r
)
0 (m
x
G
− N
˙v
) I
− N
˙r
C =
−(m
)v
a
r
− m
x
G
r
2
m
u
a
r
m
x
G
u
a
r
D =
D
1
D
2
D
3
onde:
D
1
= −X
vr
v
a
r
− X
uU
u
a
− X
|vvv|u
| v
3
a
| u
a
− X
|vvv|v
| v
3
a
| v
a
− X
rr
r
2
23
D
2
= −Y
v
v
a
− (Y
r
+ Y
ur
u
a
)r
− Y
v|v|
v
a
| v
a
| −Y
r|r|
r
| r
| −Y
|r|v
| r
| v
a
D
3
= −(N
v
+ N
uv
u
)v
− N
v|v|
v
| v
| −(N
r
+ N
ur
u
)r
−
N
r|r|
r
| r
| −N
rvv
r
v
2
− N
rrv
r
2
v
Se considerarmos que a corrente ´e nula o navio tem uma velocidade absoluta
m´edia u
0
em surge, nula em sway e nula em yaw e em torno desta condi¸c˜ao sofre pe-
quenas oscila¸c˜oes de velocidade δu, v e r e linearizarmos as equa¸c˜oes de movimento,
temos:
(m
− X
˙u
)δ ˙u
− X
uU
δu
= X
Atua
+ X
Amb
+ X
Anc
(2.31)
(m
−Y
˙v
) ˙v
+(m
x
G
−Y
˙r
) ˙r
−Y
v
v
+(m
−Y
r
−Y
ur
u
)r
= Y
Atua
+Y
Am
+Y
Anc
(2.32)
(I
−N
˙r
) ˙r
+(m
x
G
−N
˙v
) ˙v
−(N
v
+N
uv
)v
+(m
x
G
−N
r
−N
ur
)r
= N
Atua
+N
Amb
+N
Anc
(2.33)
ou
(m
− X
˙u
) 0 0
0 (m
− Y
˙v
) (m
x
G
− Y
˙r
)
0 (m
x
G
− N
˙v
) I
− N
˙r
δ ˙u
˙v
˙r
+
−X
uU
0 0
0 −Y
v
(m
− Y
r
− Y
ur
)
0 −(N
v
+ N
uv
) (m
x
G
− N
r
− N
ur
)
δu
v
r
=
X
Atua
Y
Atua
N
Atua
+
X
Amb
Y
Amb
N
Amb
+
X
Anc
Y
Anc
N
Anc
(2.34)
24
O vetor D(ν) pode ser linearizado sendo representado pelo produto de uma
matriz D multiplicada pelo vetor ν tal que:
D =
−X
uU
0 0
0 −Y
v
(m
− Y
r
− Y
ur
)
0 −(N
v
+ N
uv
) (m
x
G
− N
r
− N
ur
)
Neste processo de lineariza¸c˜ao, caso o sistema esteja ancorado, as for¸cas de
ancoragem podem ser escritas como o produto de uma matriz de restaura¸c˜ao G
multiplicada pelos deslocamentos da estrutura no sistema inercial fixo na Terra.
Multiplicando-se a for¸ca de restaura¸c˜ao no sistema inercial pela inversa da matriz
de rota¸c˜ao R(ψ), a qual transfere componentes de um vetor no sistema local para o
sistema inercial, tˆem-se as componentes de for¸ca escritas no sistema local:
X
Anc
Y
Anc
N
Anc
= −R(ψ)
−1
G
δx
δy
δψ
Devemos ter em mente que no caso de navios ancorados, o modelo linear aqui
apresentado pressup˜oe que o navio encontra-se na posi¸c˜ao de equil´ıbrio {X
0
, Y
0
, ψ
0
}
T
com velocidade absoluta nula, velocidade relativa {u
0
, 0, 0}
T
e em torno desta
posi¸c˜ao oscila com pequenas velocidades {δu, v, r}
T
deslocando-se {δx = X −
X
0
, δy = Y − Y
0
, δψ = ψ − ψ
0
}
T
.
Definindo ν = {δu, v, r}
T
, η = {δx = X − X
0
, δy = Y − Y
0
, δψ = ψ − ψ
0
}
T
,
τ = {X
Atua
, Y
Atua
, N
Atua
}
T
e F
Amb
= {X
Amb
, Y
Amb
, N
Amb
}
T
podemos escrever a
equa¸c˜ao (2.34) na forma:
M
˙
ν + Dν + R(ψ)
−1
Gη = τ + F
Amb
(2.35)
com
˙
η = R(ψ)ν (2.36)
25
2.3 Observador
Nesta se¸c˜ao ser˜ao apresentados os dois modelos do observador utilizado no trabalho.
2.3.1 Introdu¸c˜ao
Em um sistema de posicionamento dinˆamico, o observador ´e o m´odulo que recebe os
sinais do sistema de sensoriamento e trata essas informa¸c˜oes para servir de entrada
para a¸c˜ao de um controlador. Existindo falta de informa¸c˜oes sobre as vari´aveis de
estado, o observador faz as estimativas das mesmas com a finalidade de se calcular
as a¸c˜oes a serem definidas pela lei de controle. Normalmente, s´o s˜ao medidas as
vari´aveis de posi¸c˜ao dadas por equipamentos como DGPS, sistemas hidroac´usticos,
laser, etc. e o rumo da embarca¸c˜ao fornecida por uma agulha girosc´opica. Em
geral, n˜ao se disp˜oem de medi¸c˜oes de velocidade do navio, logo as estimativas das
velocidades devem ser computadas a partir de medi¸c˜oes de posi¸c˜ao e aproamento
que, por sua vez, contem ruido e contribui¸c˜oes de alta frequˆencia. A posi¸c˜ao e o
rumo est˜ao corrompidos com ru´ıdos de medi¸c˜ao e influˆencia de movimentos de alta
frequˆencia devidos `as a¸c˜oes ambientais, essas perturba¸c˜oes devem ser filtradas [34].
Deve-se mostrar que o observador ´e passivo e globalmente est´avel.
Existem dois modelos que ser˜ao utilizados neste trabalho. O primeiro proposto
por Grovlen e Fossen [30] e o segundo proposto por Strand e Fossen [48]. Em ambos
os casos o modelo utilizado est´a baseado nas equa¸c˜oes de movimento linearizadas. O
modelo de Grovlen e Fossen [30] foi desenvolvido para o caso de um navio ancorado
em que a ´unica a¸c˜ao ambiental deve-se ao efeito da corrente, atrav´es dos termos de
manobra tratando-se o problema do movimento relativo casco fluido. J´a o modelo
de Strand e Fossen [48] incorpora modelos para se considerar os efeitos das a¸c˜oes
ambientais. Nesse modelo ser˜ao feitas algumas modifica¸c˜oes e a partir de ent˜ao, o
chamaremos de Strand - Fossen modificado.
26
2.3.2 Modelo Grovlen-Fossen
O modelo proposto por Grovlen e Fossen [30] utiliza um observador passivo n˜ao-
linear e foi desenvolvido para o caso de um navio ancorado. A ´unica for¸ca ambiental
atuante que pode ser incorporada pelo modelo usado como base ´e a for¸ca de cor-
rente, que aparece atrav´es da velocidade relativa casco corrente. Assim, utilizando
o modelo expresso pelas equa¸c˜oes de movimento (2.35) e (2.36), Grovlen e Fossen
propuseram usar o seguinte observador:
˙
ˆη = R(ψ)
ˆ
ν + K
1
˜
η (2.37)
˙
ˆν = −A
1
ˆ
η − A
2
ˆ
ν + τ + K
2
˜
η (2.38)
onde: A
1
= −M
−1
G, A
2
= −M
−1
D, K
1
e K
2
s˜ao matrizes de ganhos,
ˆ
η ´e o valor
estimado do vetor posi¸c˜ao e aproamento,
˜
η = η
d
−
ˆ
η ´e o vetor erro da posi¸c˜ao e
do aproamento, η
d
´e o valor desejado do vetor posi¸c˜ao e aproamento e
ˆ
ν ´e o valor
estimado do vetor velocidades,
As equa¸c˜oes da dinˆamica do erro s˜ao dadas por:
˙
˜η = R(ψ)
˜
ν − K
1
˜
η (2.39)
e
˙
˜ν = −A
1
˜
η − A
2
˜
ν − K
2
˜
η (2.40)
onde:
˜
ν = ν
d
−
ˆ
ν ´e o vetor do erro da velocidade e η
d
´e o valor desejado do vetor
velocidade.
Seguindo Grovlen e Fossen [30], vamos mostrar como devem ser estimados os
ganhos garantindo-se que o observador ´e passivo e globalmente est´avel.
As matrizes K
1
e K
2
devem ser escolhidos de forma que o observador seja passivo
e globalmente est´avel. Isto ´e obtido definindo uma fun¸c˜ao candidata de Lyapunov:
V
obs
(
˜
η,
˜
ν) =
1
2
(
˜
η
T
P
1
˜
η +
˜
ν
T
P
2
˜
ν) (2.41)
27
onde,P
1
= P
T
1
e P
2
= P
T
2
s˜ao matrizes positiva definida. Consequentemente:
˙
V
obs
=
˙
˜η
T
P
1
˜
η +
1
2
(
˜
ν
T
P
2
˙
˜ν +
˙
˜ν
T
P
2
˜
ν) (2.42)
˙
V
obs
= (R(ψ)
˜
ν − K
1
˜
η)
T
P
1
˜
η
+
1
2
˜
ν
T
P
2
(−A
1
˜
η − A
2
˜
ν − K
2
˜
η)
+
1
2
(−A
1
˜
η − A
2
˜
ν − K
2
˜
η)
T
P
2
˜
ν (2.43)
˙
V
obs
=
˜
ν
T
(R
T
(ψ)P
1
− P
2
A
1
− P
2
K
2
)
˜
η
−
˜
η
T
K
T
1
P
1
˜
η −
1
2
˜
ν
T
(P
2
A
2
+ A
T
2
P
2
)
˜
ν (2.44)
˙
V
obs
pode ser feito negativo definido se:
R
T
(ψ)P
1
− P
2
A
1
− P
2
K
2
0 (2.45)
K
T
1
P
1
Q
1
(2.46)
1
2
(P
2
A
2
+ A
T
2
P
2
) Q
2
(2.47)
onde, Q
1
= Q
T
1
e Q
2
= Q
T
2
s˜ao matrizes positiva definida. Consequentemente:
˙
V
obs
= −
˜
η
T
Q
1
˜
η −
˜
ν
T
Q
2
˜
ν < 0, ∀
˜
η = 0,
˜
ν = 0 (2.48)
o que prova que o observador ´e passivo e globalmente est´avel.
Assim de (2.46) tem-se a matriz de ganhos K
1
K
1
= P
−1
1
Q
1
(2.49)
e de (2.45) tem-se a matriz de ganhos K
2
K
2
(ψ) = P
−1
2
R
T
(ψ)P
1
− A
1
(2.50)
28
onde podemos notar que K
2
´e uma fun¸c˜ao expl´ıcita de ψ.
2.3.3 Modelo Strand-Fossen
O modelo proposto por Strand e Fossen [48] tamb´em utiliza um observador passivo
n˜ao-linear. Baseia-se em um modelo que incorpora termos representativos dos mo-
vimentos na frequˆencia das ondas do mar (WF-Wave frequency) e termos de baixa
frequˆencia (LF-Low-frequency) representativo das a¸c˜oes das for¸cas ambientais. A
partir de agora modelo Strand-Fossen modificado ser´a utilizado, neste modelo o
termo (WF-Wave frequency) n˜ao ´e levado em considera¸c˜ao, sendo dado por:
˙
ξ = A
w
ξ + E
w
w
w
(2.51)
η
w
= C
w
ξ (2.52)
˙
η = R(ψ)ν (2.53)
˙
b = −T
−1
b
b + E
b
w
b
(2.54)
M
˙
ν = −Dν − R
T
(ψ)Gη + R
T
(ψ)b + τ (2.55)
y = η + η
w
(2.56)
As duas primeiras equa¸c˜oes, (2.51) e (2.52), modelam os movimentos devidos
aos efeitos na faixa de frequˆencias de onda do mar (WF-Wave frequency) onde:
A
w
∈ R
6x6
.
A
w
=
0 I
−Ω
2
−2ΛΩ
, C
w
=
0 I
, E
w
=
0
¯
E
w2
,
29
I ∈ R
3×3
´e uma matriz identidade 0 ∈ R
3×3
´e uma matriz zero e Λ, Ω e
¯
E
w2
s˜ao
matrizes diagonais com diagonais dadas por:
Λ = diag{ζ
1
, ζ
2
, ζ
3
}, Ω = diag{ω
o1
, ω
o2
, ω
o3
},
¯
E
w2
= diag{
w1
,
w2
,
w3
} (2.57)
η
w
= {x
w
, y
w
, ψ
w
}, ξ ∈ R
6
, w
w
∈ R
3
´e um ruido com m´edia zero.
η
(i)
w
(s) =
wi
s
s
2
+ 2ζ
i
ω
oi
s + ω
2
oi
w
(i)
w
, (i = 1, 2, 3) (2.58)
onde o ´ındice i representa a i´esima componente do vetor η
w
e w
w
, ζ
i
´e a raz˜ao
de amortecimento e ω
oi
´e a frequˆencia dominante do movimento do navio induzido
pelas ondas.
A quarta equa¸c˜ao, (2.54) modela as for¸cas e os momentos devidos ao vento, aos
efeitos de segunda ordem de ondas e `as correntes. Onde T
b
∈ R
3×3
´e uma matriz
diagonal das constantes de tempo, w
b
∈ R
3
´e um ruido com m´edia zero, E
b
∈ R
3×3
´e uma matriz diagonal multiplica o ruido, gerando resultados da ordem das for¸cas
externas e b ∈ R
3
.
Baseado no modelo acima apresentado, temos o seguinte modelo de observador:
˙
ˆη = R(ψ)
ˆ
ν + K
2
˜
y (2.59)
M
˙
ˆν = −D
ˆ
ν − R
T
(ψ)K
ˆ
η + R
T
(ψ)
ˆ
b + τ + R
T
(ψ)K
4
˜
y (2.60)
onde:
˜
y = y
d
−
ˆ
y ´e o erro estimado e K
2
, K
4
∈ R
3×3
s˜ao matrizes de ganho do
observador.
De forma similar ao que mostramos acima para o observador de Grovlen e Fossen
[30], Strand [48] mostrou que o observado assim definido ´e passivo e globalmente
est´avel.
2.4 Controlador
Nesta se¸c˜ao ser˜ao apresentados os dois modelos do controlador que ser˜ao utilizado
neste trabalho. O primeiro modelo ´e a metodologia de controle n˜ao-linear Backstep-
ping e o segundo modelo ´e o cl´assico PID - ( Proporcional, Integral e Derivativo).
30
2.4.1 Backstepping
Introdu¸c˜ao
Backstepping ´e uma metodologia para projeto de controladores n˜ao-lineares funda-
mentada nas fun¸c˜oes de Lyapunov. A constru¸c˜ao da lei de controle se d´a em conjunto
com a constru¸c˜ao de uma fun¸c˜ao de controle de Lyapunov, cujas derivadas em cada
passo de integra¸c˜ao deve ser nula ou negativa [1, 34, 24]. Est´a t´ecnica ´e considerada
estabilizadora e se aplica a sistema n˜ao-lineares e tem garantias de robustez.
O modelo do controlador backstepping utilizado neste trabalho ´e o modelo pro-
posto por Khalil [23]. Vamos inicialmente descrever a t´ecnica para um sistema
com entrada simples, em seguida aplicamos a um sistema com entradas m´ultiplas e
finalmente mostramos a implementa¸c˜ao para o caso presente.
A metodologia Backstepping
Consideremos um sistema de controle de entrada simples:
˙
η = f (η) + g(η)ξ (2.61)
˙
ξ = u (2.62)
onde η(t) ∈ R
n
, ξ(t) ∈ R e f ´e uma fun¸c˜ao suave em um dom´ınio D que cont´em
f(0) = 0.
Como o objetivo do integrador ´e estabilizar a origem do sistema assumindo que
f ´e uma fun¸c˜ao conhecida tendo (η, ξ) = (0, 0) tem-se um ´unico ponto de equil´ıbrio.
No projeto do controlador, a aproxima¸c˜ao para o ponto de equil´ıbrio se da na forma
exponencial ou assint´otica [50, 51].
´
E poss´ıvel projetar um controlador supondo que a equa¸c˜ao
˙
η = f(η) + g(η)ξ
possa ser estabilizada por uma lei de controle de realimenta¸c˜ao para
˙
η subsistemas,
agindo ξ como entrada. Assim, assumimos que ξ = φ(η), com φ(0) = 0 estabiliza a
31
origem do sistema, ou seja:
˙
η = f (η) + g(η)φ(η) (2.63)
Suponha-se que existe uma fun¸c˜ao de Lyapunov V (η) suave, positivo definida,
provando assintoticamente a estabilidade de ciclo fechado de
˙
η subsistemas. Isto ´e,
assumimos uma fun¸c˜ao V (η) > 0, tal que:
˙
V =
∂V
∂η
(f(η) + g(η)φ(η)) < −W (η) (2.64)
onde W (η) ´e uma fun¸c˜ao positivo definida e
˙
V ´e uma fun¸c˜ao que define a energia
armazenada no sistema [52, 11, 53].
Dessa maneira as equa¸c˜oes podem ser reescrita como:
˙
η = (f (η) + g(η)φ(η)) + (g(η)(ξ − φ(η)) (2.65)
˙
ξ = u (2.66)
Introduzindo uma mudan¸ca de vari´aveis (η, ξ) para (η, z), com z = ξ − φ(η),
temos:
˙
η = (f (η) + g(η)φ(η)) + g(η)z (2.67)
˙z = u −
˙
φ (2.68)
Escolhendo u = v + φ, temos:
˙
η = (f (η) + g(η)φ(η)) + g(η)z (2.69)
˙z = v (2.70)
Com z = 0, a primeira equa¸c˜ao descreve um sistema de equil´ıbrio assintotica-
mente est´avel em η = 0. A escolha da nova fun¸c˜ao de controle v deve fornecer
32
a realimenta¸c˜ao necess´aria para z, evitando que o sistema seja estabilizado apenas
localmente (ξ = φ). Devemos escolher cuidadosamente v, definindo o argumento
seguindo Lyapunov, tornando poss´ıvel escolher a fun¸c˜ao de controle atrav´es de:
V
a
(η, ξ) = V (η) +
1
2
z
2
(2.71)
Diferenciando V
a
em rela¸c˜ao ao tempo, temos:
˙
V
a
=
∂V
∂η
(f(η) + g(η)φ(η)) +
∂V
∂η
g(η)z + zv
≤ −W (η) +
∂V
∂η
g(η)z + zv (2.72)
Por esta raz˜ao, escolhemos:
v = −
∂V
∂η
g(η) − kz (2.73)
˙
V
a
≤ −W (η) − kz
2
(2.74)
Para qualquer ganho K > 0 o subsistema (η, ξ) ser´a est´avel na origem (0, 0). Os
termos das vari´aveis de estado da lei de controle s˜ao:
u(η, ξ) = v +
˙
φ
=
∂V
∂η
g(η) − k(ξ − φ(η)) +
∂V
∂η
(f(η) + g(η)ξ) (2.75)
Consideremos agora o sistema com m´ultiplas entradas:
˙
η = f (η) + R(η)ν (2.76)
˙
ν = f
a
(η, ν) + G
a
(η, ν)u (2.77)
onde η(t) ∈ R
n
, ν(t) ∈ R
m
τ (t) ∈ R
m
, e com isto, no sistema
˙
ν, o n´umero de
entradas em τ ´e igual ao n´umero de componentes de ν.
33
Assumimos que f e f
a
s˜ao fun¸c˜oes que se anulam na origem, isto ´e f(0) = 0 e
f
a
(0) = 0 e G
a
n˜ao ´e singular no dom´ınio de defini¸c˜ao do problema.
Supomos que ∃ φ | ν = φ(η) estabiliza assintoticamente o sistema (2.76) em
torno da origem. Supomos que V (η) ´e uma fun¸c˜ao de Lyapunov, positiva definida
˙
V ≤ −W (η) (2.78)
onde W (η) ´e uma fun¸c˜ao positiva definida
Assumimos que ν = φ(η), com φ(0) = 0 estabiliza a origem do sistema
˙
η, ou
seja:
˙
η = f (η) + R(η)φ(η) (2.79)
Escolhemos uma candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov
V
a
(η, ν) = V (η) +
1
2
[ν − φ(η)] [ν − φ(η)] (2.80)
em que
V (η) =
1
2
x
L
2
+
y
L
2
+ (ψ)
2
e com ela teremos:
˙
V
a
=
∂V
∂η
[f(η) + R(η)ν] + [ν − φ(η)]
˙
ν −
∂φ
∂η
˙
η
ou
˙
V
a
=
∂V
∂η
[f(η) + R(η)φ(η)] +
∂V
∂η
R(η) [ν − φ(η)]
+ [ν − φ(η)]
f
a
(η, ν) + G
a
(η, ν)τ −
∂φ
∂η
[f(η) + R(η)ν]
(2.81)
Observando esta express˜ao podemos dizer que a escolha de τ na forma:
τ = G
−1
a
(η, ν)
−f
a
(η, ν) +
∂φ
∂η
[f(η) + R(η)ν] − (
∂V
∂η
R(η))
T
− K[ν − φ(η)]
34
= G
−1
a
(η, ν)
−f
a
(η, ν) +
˙
φ − (
∂V
∂η
G(η))
T
− K[ν − φ(η)]
(2.82)
com K > 0 resulta em:
˙
V
a
≤ −W (η) − [ν − φ(η)]K(ν − φ(η) (2.83)
que garante que o sistema (2.76) e (2.77) ´e est´avel em torno da origem (η, ν) = (0, 0).
Implementa¸c˜ao da Metodologia
Para a implementa¸c˜ao da metodologia comparemos as equa¸c˜oes (2.76) e (2.77)
˙
ˆη = f(
ˆ
η) + R(
ˆ
η)
ˆ
ν
˙
ˆν = f
a
(
ˆ
η,
ˆ
ν) + G
a
(
ˆ
η,
ˆ
ν)τ
com as equa¸c˜oes (2.29) e (2.30)
˙
ˆη = R(
ˆ
ψ)
ˆ
ν
˙
ˆν = M
−1
[−C(
ˆ
ν) − D(
ˆ
ν) − R
T
(
ˆ
ψ)G(
ˆ
η) + F
Amb
] + M
−1
τ
Para que sejam equivalentes fazemos:
f
a
(
ˆ
η,
ˆ
ν) = M
−1
[−C(
ˆ
ν) − D(
ˆ
ν) − R
T
(
ˆ
ψ)G(
ˆ
η) + F
Amb
]
G
a
(
ˆ
η,
ˆ
ν) = M
−1
e
f(
ˆ
η) = 0
35
e ent˜ao aplicamos a express˜ao (2.82)
τ = G
−1
a
(
ˆ
η,
ˆ
ν)
−f
a
(
ˆ
η,
ˆ
ν) +
˙
φ − [
∂V
∂
ˆ
η
R(
ˆ
ψ)]
T
− K
1
[
ˆ
ν − ν
d
− φ(
ˆ
η)]
A fun¸c˜ao de Lyapunov V ´e dada por:
V (
ˆ
η) =
1
2
ˆx − x
d
L
2
+
ˆy − y
d
L
2
+
ˆ
ψ − ψ
d
2
cujo gradiente ´e:
∂V
∂
ˆ
η
=
(ˆx − x
d
)/L
2
(ˆy − y
d
)/L
2
(
ˆ
ψ − ψ
d
)
(2.84)
onde: x
d
, y
d
e ψ
d
s˜ao os set-points desejados.
Assim temos a seguinte express˜ao para as for¸cas de controle:
τ = C(
ˆ
ν)+D(
ˆ
ν)+R
T
(
ˆ
ψ)G(
ˆ
η)+F
Amb
+M
˙
φ − [
∂V
∂
ˆ
η
R(
ˆ
ψ)]
T
− K
1
[
ˆ
ν − ν
d
− φ(
ˆ
η)]
Como
φ = −R
T
(
ˆ
ψ)
k
x
δx
k
y
δy
k
ψ
δψ
= −R
T
(
ˆ
ψ)K
2
{
ˆ
η − η
d
} (2.85)
ent˜ao
˙
φ = −
d
dt
R
T
(
ˆ
ψ)
k
x
δx
k
y
δy
k
ψ
δψ
− R
T
(
ˆ
ψ)
d
dt
k
x
δx
k
y
δy
k
ψ
δψ
(2.86)
Derivando R
T
(
ˆ
ψ) e {k
x
δx, k
y
δy, k
ψ
δψ}
T
obtemos:
d
dt
R
T
(
ˆ
ψ) = R
T
(
ˆ
ψ)
0
˙
ˆ
ψ 0
−
˙
ˆ
ψ 0 0
0 0 0
(2.87)
36
d
dt
k
x
δx
k
y
δy
k
ψ
δψ
=
k
x
δ ˙x
k
y
δ ˙y
k
ψ
δ
˙
ψ
=
k
x
0 0
0 k
y
0
0 0 k
ψ
R(
ˆ
ψ)
ˆu
ˆv
ˆr
(2.88)
Assim, expressando φ e
˙
φ em forma compacta temos:
φ = −R
T
(
ˆ
ψ) K
2
{
ˆ
η − η
d
} (2.89)
˙
φ = −R
T
(
ˆ
ψ)
˙
Ψ K
2
{
ˆ
η − η
d
} − R
T
(
ˆ
ψ) K
2
R(
ˆ
ψ) {
ˆ
ν − ν
d
} (2.90)
onde:
˙
Ψ =
0
˙
ˆ
ψ 0
−
˙
ˆ
ψ 0 0
0 0 0
(2.91)
Assim sendo, chegamos a express˜ao das for¸cas e do momento que tˆem que ser
gerados pelos atuadores para controlar o navio:
τ = C(
ˆ
ν) + D(
ˆ
ν) + R
T
(
ˆ
ψ)G(
ˆ
η) + F
Amb
−M
R
T
(
ˆ
ψ)
˙
Ψ K
2
{
ˆ
η − η
d
} + R
T
(
ˆ
ψ) K
2
R(
ˆ
ψ) {
ˆ
ν − ν
d
}
−M
[(ˆx − x
d
)/L
2
, (ˆy − y
d
)/L
2
, (
ˆ
ψ − ψ
d
)]R(
ˆ
ψ)
T
−
M {K
1
{
ˆ
ν − ν
d
}} − M
R
T
(
ˆ
ψ)K
2
{
ˆ
η − η
d
}
(2.92)
Nesta express˜ao aparecem quatro termos que tˆem que ser aproximados, uma vez
que os desconhecemos: C(
ˆ
ν), D(
ˆ
ν), G(
ˆ
η) e F
Amb
. At´e mesmo a matriz de in´ercia
M tem contribui¸c˜oes desconhecidas. Temos que criar dispositivos para prever ou
modelos para estimar aproximadamente essas quantidades.
37
No presente trabalho, vamos aproximar a matriz de in´ercia e o termo inercial
C(
ˆ
ν). Nos casos em que utilizarmos ancoragem vamos utilizar o mesmo modelo
utilizado para a simula¸c˜ao, pensando que pode-se atrav´es de medi¸c˜ao das tens˜oes
nas linhas estimar as for¸cas da ancoragem e realimentar o sistema com elas. Os
problemas mais cr´ıticos est˜ao nas for¸cas ambientais F
Amb
e na for¸ca reativa `as ve-
locidades do corpo D(
ˆ
ν). Tentando compensar essas for¸cas vamos introduzir um
termo de controle integral no algoritmo de forma emp´ırica e observar seu efeito. A
forma deste termo pode ser vista na formula¸c˜ao PID.
2.4.2 PID
Introdu¸c˜ao
O controlador PID ou controlador proporcional integral e derivativo ´e largamente
utilizado em sistemas pr´aticos. Apesar deste controlador j´a ser conhecido no per´ıodo
entre as duas guerras mundiais, ele continua sendo uma ferramenta fundamental,
devido, principalmente, `a sua simplicidade, sendo a forma de controle industrial
mais utilizado nos dias de hoje.
O controlador PID combina as a¸c˜oes de controle proporcional, integral e de-
rivativa. O conceito do controlador PID pode ser generalizado para um sistema
mecˆanico n˜ao-linear explorando a cinem´atica das equa¸c˜oes de movimento do navio
[1].
A lei de controle da metodologia PID ´e dada por:
τ = R
T
(ψ)τ
P ID
(2.93)
τ
P ID
(t) = K
p
˜
η + K
d
˙
˜η + K
i
t
t
0
˜
η(w) dw (2.94)
onde,
˜
η =
ˆ
η − η
d
. K
p
, K
d
e K
i
s˜ao matrizes de ganhos proporcional, derivativo e
integral.
38
2.5 Alocador de For¸cas
2.5.1 Introdu¸c˜ao
O sistema de aloca¸c˜ao de for¸cas ´e um algoritmo respons´avel pela distribui¸c˜ao das
for¸cas e ˆangulo azimutal em cada um dos propulsores resultando nas for¸cas em surge
e sway e no momento de yaw calculados pelo controlador, de forma a minimizar o
consumo de potˆencia, otimizar o consumo de combust´ıvel, evitando a satura¸c˜ao dos
propulsores e compensando as for¸cas em caso de falha de algum propulsor.
2.5.2 Formula¸c˜ao geral do problema de Aloca¸c˜ao de For¸cas
Este algoritmo consiste no c´alculo da for¸ca e dos ˆangulos dos propulsores azimutais
em cada um dos propulsores de forma que a for¸ca e momento resultantes sejam
iguais aos computados pelo controlador e forne¸cam uma distribui¸c˜ao otimizada.
Pode-se escrever a for¸ca total τ a ser fornecida pelos atuadores a partir das for¸cas
em cada atuador da seguinte forma:
τ = BU (2.95)
onde, B ´e uma matriz definida pela configura¸c˜ao dos atuadores instalados e U ´e o
vetor das for¸cas que ser˜ao exigidas de cada um dos atuadores.
No presente caso em estudo nos ativemos `a configura¸c˜ao dos navios Cartola e
Ataulfo Alves da TRANSPETRO, que contam com um propulsor principal dois
propulsores em t´unel e um azimutal a vante. Consideremos que a for¸ca total τ seja
dada por:
τ =
τ
u
τ
v
τ
N
(2.96)
O comando da for¸ca τ
u
ser´a exercido pelo propulsor principal e pelo azimutal.
Os comandos da for¸ca τ
v
e do momento τ
N
ser˜ao exercido pelo stern thuster, bow
39
thuster e o propulsor azimutal. Sendo assim:
τ
u
= τ
principal
+ τ
x,azimutal
(2.97)
τ
v
= τ
stern
+ τ
bow
+ τ
y,azimutal
(2.98)
τ
N
= τ
stern
× l
stern
+ τ
bow
× l
bow
+ τ
y,azimutal
× l
azimutal
(2.99)
Define-se a matriz B pela configura¸c˜ao dos atuadores segundo as express˜oes
(2.97), (2.98) e (2.99) acima:
B =
1 1 0 0 0
0 0 1 1 1
0 0 x
stern
x
bow
x
azimutal
(2.100)
A determina¸c˜ao do vetor U ´e dada pela solu¸c˜ao do sistema acima que ´e inde-
terminada, admitindo infinitas solu¸c˜oes. Na literatura o seguinte procedimento ´e
amplamente utilizado.
A solu¸c˜ao do problema ´e dada por:
U = B
+
τ (2.101)
A matriz B
+
, pseudo-inversa da matriz B, ´e dada por:
B
+
= B
T
(BB
T
)
−1
(2.102)
Este procedimento ´e conhecido como solu¸c˜ao de Moore-Penrose, conforme mos-
trado por Fossen [56].
2.5.3 Satura¸c˜ao
Quando um ou mais propulsores saturam, atingindo sua potˆencia m´axima, o m´etodo
de aloca¸c˜ao de for¸cas descrito acima torna-se incerto. Observa-se na literatura que
40
o tratamento do problema de aloca¸c˜ao ´e extremamente complexo. S˜ao utilizadas
t´ecnicas como a de Programa¸c˜ao Quadr´atica Sequencial (SQP). Esta t´ecnica divide o
problema geral em subproblemas de programa¸c˜ao quadr´aticas com v´ınculos lineares
obtidos por lineariza¸c˜ao, tornando a t´ecnica computacionalmente custosa [33].
Alternativamente, Tannuri [33] mostra uma forma muito menos custosa compu-
tacionalmente, onde caso algum propulsor sature aloca-se neste o valor de sua ca-
pacidade m´axima . Este valor j´a alocado ´e descontado do comando do controlador
o que procede-se ent˜ao uma nova aloca¸c˜ao, desconsiderando a parcela j´a fornecida
pelo propulsor saturado. Este processo iterativo ´e interrompido quando nenhum dos
propulsores restante satura ou caso isto n˜ao ocorra, at´e que todos os propulsores es-
tejam saturados.
Caso o comando de for¸ca seja maior que a capacidade dos propulsores, o processo
descrito acima nem sempre ir´a convergir. Neste caso, os propulsores atuar˜ao em sua
capacidade m´axima visando o mais pr´oximo poss´ıvel o comando do controlador.
41
Cap´ıtulo 3
Estudo de Casos
Neste capitulo, inclui todos os modelos discutidos no cap´ıtulo (2). Ser˜ao apresenta-
dos os resultados obtidos tendo como exemplo os modelos estudado.
3.1 Introdu¸c˜ao
Nesta se¸c˜ao, os modelos matem´aticos discutidos anteriormente ser˜ao aplicados a
um simulador de manobras no intuito de verificar o comportamento de um navio
equipado por um sistema de posicionamento dinˆamico e as metodologias de controle
aplicadas em associa¸c˜ao com observadores passivos n˜ao-lineares. Deseja-se que essas
combina¸c˜oes possuam boas caracter´ısticas de estabilidade.
Para apresentar as vantagens do emprego dos controladores ( backstepping e PID)
e dos observadores (Grovlen-Fossen e Strand-Fossen modificado ), ser˜ao utilizados
resultados de um simulador de manobra, onde s˜ao apresentados seis fases de ensaios
e nessas fases ser˜ao fornecido os deslocamento nas dire¸c˜oes transversais e longitudi-
nais e o ˆangulo de aproamento. Em todos esses ensaios foram utilizados 5000 passos,
com intervalo de tempo de 0.5 segundos para cada passo. Em alguns casos a posi¸c˜ao
do navio foi perturbada por um ru´ıdo branco originado por um equipamento DGPS.
Na primeira fase, temos a verifica¸c˜ao dos modelos de manobras, vento, onda, cor-
rente e ancoragem, sem a utiliza¸c˜ao dos modelos do observador e controlador. Na
segunda fase, temos a verifica¸c˜ao dos modelos do observador sem o controlador.
42
Na terceira fase, temos a verifica¸c˜ao dos modelos do observador e controlador. Na
quarta fase, temos a distribui¸c˜ao das for¸cas e do ˆangulo do sistema de propuls˜ao.
Na quinta fase, temos a verifica¸c˜ao dos modelos do observador e controlador quando
existe a satura¸c˜ao dos propulsores e na sexta e ´ultima fase, exploramos mudan¸cas
de comportamento, visando testar o sistema de posicionamento dinˆamico.
Em todas as simula¸c˜oes realizadas o navio est´a inicialmente parado e com um
determinado aproamento, onde deseja-se que o mesmo se movimente a uma distˆancia
longitudinal e transversal em rela¸c˜ao ao sistema global OXYZ e permane¸ca nesta
posi¸c˜ao final para demonstrar a estabilidade do sistema.
3.2 Caracter´ısticas do Navio
O navio aliviador utilizado foi o Suezmax, navio petroleiro para transporte de ´oleo
cru ou de produtos, com posicionamento dinˆamico e sistema de carregamento na proa
para al´ıvio de plataformas. Suas dimens˜oes permitem sua passagem pelo Canal de
Suez. Para integra¸c˜ao no tempo, o simulador utiliza o m´etodo de Runge-Kutta de
quarta ordem, sendo que em cada passo, todas as for¸cas e momentos s˜ao calculados
como fun¸c˜oes de posi¸c˜ao e velocidade.
O navio empregado no estudo apresentado neste cap´ıtulo possui as caracter´ısticas
principais, mostradas nas tabelas (3.1) e (3.2).
Tabela 3.1: Caracter´ısticas principais do navio.
Comprimento 263 m
Boca 46 m
Calado 15.50
Coeficiente de bloco 0.80
Por sua vez, as condi¸c˜oes ambientais utilizadas s˜ao mostradas na tabela (3.3):
43
Tabela 3.2: Caracter´ısticas propulsiva do navio.
bow thruster 1400 KW
ster thruster 1800 KW
azimutal 2200 KW
Tabela 3.3: Condi¸c˜oes ambientais.
Velocidade de correnteza 1 m/s
Dire¸c˜ao da correnteza 30
◦
Altura significativa da onda (H
s
) 2 m
Per´ıodo de pico (T
p
) 10 s
Dire¸c˜ao da onda 90
◦
Velocidade do vento 20 m/s
Dire¸c˜ao do vento 45
◦
3.2.1 Fase 1
Esta fase ´e destinada `a verifica¸c˜ao dos modelos matem´aticos de manobra, vento e
onda, considerando-se, ou n˜ao, efeitos relacionados `a correnteza e ancoragem, sem
a presen¸ca do observador e controlador. Para tanto, foram avaliados trˆes casos com
as seguintes condi¸c˜oes iniciais:
Tabela 3.4: Condi¸c˜oes iniciais para os casos simulados.
Casos/Condi¸c˜oes iniciais x y ψ
1 10m 5m 45 graus
2 10m 5m 45 graus
3 0m 0m 0 graus
Caso 1
Aqui, al´em do espectro de Pierson-Moskowitz , todas as condi¸c˜oes ambientais foram
consideradas, ru´ıdo e o sistema de ancoragem. As figuras (3.1),(3.2) apresentam os
deslocamentos nas dire¸c˜oes x e y, e a figura (3.3) representa o aproamento (ψ) do
44
navio ao longo do tempo.
Figura 3.1: Resposta do navio em surge - caso 1.
Figura 3.2: Resposta do navio em sway - caso 1.
45
Figura 3.3: Resposta do navio em yaw - caso 1.
Observa-se que, apesar de sofrer pertuba¸c˜oes relacionadas `as condi¸c˜oes ambien-
tais, o navio apresenta pequena oscila¸c˜ao em torno do ponto (0, 0) devido `a presen¸ca
do sistema de ancoragem.
Caso 2
Este caso ´e similar ao caso 1, exceto pela ausˆencia do sistema de ancoragem. As
figuras (3.4),(3.5) e (3.6) representam as posi¸c˜oes (x, y) e o aproamento (ψ) do navio.
Figura 3.4: Resposta do navio em surge- caso 2.
46
Figura 3.5: Resposta do navio em sway- caso 2.
Figura 3.6: Resposta do navio em yaw- caso 2.
Diferente do caso 1, tem-se aqui uma estrutura livre, sem ancoragem, uma vez
que sofre a a¸c˜ao das condi¸c˜oes ambientais, seu deslocamento aumenta continuamente
no tempo. Este comportamento pode ser observado nas figuras (3.4),(3.5) e (3.6).
47
Caso 3
Neste caso apenas a corrente ´e considerada. As figuras (3.7),(3.8) e (3.9) representam
as posi¸c˜oes e o aproamento do navio.
Figura 3.7: Resposta do navio em surge- caso 3.
Tempo (s)
Deslocamento (m)
0 500 1000 1500 2000 2500
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
Direção Transversal
Figura 3.8: Resposta do navio em sway- caso 3.
48
3.2.2 Fase 2
Aqui temos dois casos simulados, onde o objetivo ´e fazer a an´alise da efic´acia do
observador sem a presen¸ca do controlador. Em todos os casos foram considerados
as condi¸c˜oes ambientais tirando o efeito de onda de primeira ordem, espectro de
Pierson-Moskowitz, sistema de ancoragem e ruido. As diferen¸cas est˜ao nos modelos
utilizados. Os dois casos foram simulados com as mesmas condi¸c˜oes iniciais ( x=10m,
y=10m e psi=30 graus ).
Figura 3.10: Fase 2 - Deslocamento em surge- observador de Grovlen e Fossen.
50
Figura 3.11: Fase 2 - Deslocamento em sway - observador de Grovlen e Fossen.
Figura 3.12: Fase 2 - Deslocamento em yaw - observador de Grovlen e Fossen.
51
Figura 3.13: Fase 2 - Deslocamento em surge - observador de Strand e Fossen.
Figura 3.14: Fase 2 - Deslocamento em sway - observador de Strand e Fossen.
52
Figura 3.15: Fase 2 - Deslocamento em yaw- observador de Strand e Fossen.
Em ambos os casos simulados o modelo utilizado est´a baseado nas equa¸c˜oes
de movimento linearizadas. Nas figuras (3.10),(3.11) e (3.12) temos o filtro que foi
realizado pelo observador proposto por Grovlen e Fossen e nas figuras (3.13),(3.14) e
(3.15), temos o filtro que foi realizado pelo observador proposto por Strand e Fossen
modificado, conforme mostrado no cap´ıtulo 2.
Nos gr´aficos mostrados, temos a simula¸c˜ao que representa o mundo real e o
observador que tenta imitar o mais pr´oximo poss´ıvel da realidade. O que podemos
observar, ´e que tanto para o modelo proposto por Grovlen e Fossen quanto para
o modelo proposto por Strand e Fossen modificado, as perturba¸c˜oes est˜ao sendo
filtradas a contento. Em ambos os casos, temos uma boa resposta do observador,
apesar dos deslocamentos em surge e sway apresentarem poucas oscila¸c˜oes, diferente
do deslocamento em yaw, onde apresentam grandes oscila¸c˜oes.
53
3.2.3 Fase 3
Aqui ´e feita a an´alise de desempenho das leis de controle com observadores, consi-
derando a ancoragem, tendo como referˆencia um valor desejado de posi¸c˜ao em um
determinado instante de tempo. A combina¸c˜ao dos casos ´e mostrado na tabela (3.5).
Em todos os casos, teremos as mesmas condi¸c˜oes iniciais ( x=20m, y=20m e psi=45
graus ) e set-points desejados ( x=40m, y=40m e psi=0 graus ).
Tabela 3.5: Casos simulados.
Casos Controlador Observador
1 Backstepping Grovlen e Fossen
Backstepping Strand e Fossen
2 PID Grovlen e Fossen
PID Strand e Fossen
Caso 1
Nas figuras (3.16),(3.18) e (3.20), temos os deslocamentos do navio e nas figuras
(3.17),(3.19) e (3.21), temos um trecho desses deslocamentos.
Figura 3.16: Fase 3 - caso 1: deslocamento em surge, utilizando o controlador
backstepping e o observador de Grovlen-Fossen.
54
Figura 3.21: Fase 3 - caso 1: trecho do deslocamento em yaw, da figura (3.20).
Continuando o caso 1 com a lei de controle backstepping e a mudan¸ca do modelo
observador, como mostram as figuras (3.22),(3.24) e (3.26) com os deslocamentos e
as figuras (3.23),(3.25) e (3.27) com um trecho desses deslocamentos.
Figura 3.22: Fase 3 - caso 1: deslocamento em surge, utilizando o controlador
backstepping e o observador de Strand-Fossen.
57
Figura 3.27: Fase 3 - caso 1: trecho do deslocamento em yaw, da figura (3.26).
Caso 2
Da mesma forma como aconteceu no caso 1, as figuras (3.28),(3.30) e (3.32), mostram
os deslocamentos do navio e nas figuras (3.29),(3.31) e (3.33), mostram um trecho
desses deslocamentos.
Figura 3.28: Fase 3 - caso 2: deslocamento em surge, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen.
60
Figura 3.33: Fase 3 - caso 2: trecho do deslocamento em yaw, da figura (3.32).
Continuando o caso 2 com a lei de controle PID e a mudan¸ca do modelo obser-
vador, como mostram as figuras (3.34),(3.36) e (3.38) com os deslocamentos e as
figuras (3.35),(3.37) e (3.39) com um trecho desses deslocamentos.
Figura 3.34: Fase 3 - caso 2: deslocamento em surge, utilizando o controlador PID
e o observador de Strand-Fossen.
63
Figura 3.39: Fase 3 - caso 2: trecho do deslocamento em yaw, da figura (3.38).
Para o caso 1, onde usamos a lei de controle backstepping, tivemos dois exemplos,
o primeiro usando o observador proposto por Grovlen-Fossen e o segundo usando
o observador Strand-Fossen modificado. Nos dois exemplos mostrado no caso 1, os
modelos mostraram-se eficazes, indo para o ponto desejado, mesmo apresentando
um pouco de dificuldade devido `as oscila¸c˜oes ocorridas. No caso 2, usamos a lei de
controle PID, da mesma forma como foi mostrado no caso 1, tivemos dois exemplos
usando os modelos dos observadores. Aqui os modelos tamb´em mostraram-se efi-
cazes, apesar de apresentar um pouco de dificuldade nos deslocamentos em surge e
sway. Em alguns casos podem acontecer comportamento estranhos como aconteceu
na figura (3.32), onde deslocamento em yaw ficou variando de um lado para o outro,
porem o navio n˜ao perdeu o aproamento. Os exemplos do caso 2, onde utiliza-se
o controlador PID , apresentaram maiores oscila¸c˜oes, variando muito em torno do
set-point. Isso pode ter ocorrido devido `a dificuldade de ajustes dos ganhos do con-
trolador. Apesar das perturba¸c˜oes apresentadas, o observador se mostrou confi´avel,
o navio apresentou um bom comportamento e todos os set-points ( x=40m, y=40m
e psi=0 graus ) foram atingidos.
66
3.2.4 Fase 4
Nessa fase ser´a apresentado um ´unico caso com os resultados das for¸cas e momento
resultantes durante a opera¸c˜ao. For¸ca que ser˜ao distribu´ıdas no sistema nas dire¸c˜oes
surge e sway entre os propulsores conforme apresentado no sistema de aloca¸c˜ao de
for¸cas descrito no cap´ıtulo (2).
Figura 3.40: For¸ca em surge .
Figura 3.41: For¸ca em sway .
67
Figura 3.42: Momento em yaw .
Nas figuras (3.40),(3.41) e (3.42), temos as for¸cas e o momento do propulsores.
Podemos observar neste caso que a for¸ca nas duas dire¸c˜oes e o momento dos pro-
pulsores variam bruscamente de um lado para o outro. Esse comportamento ´e uma
limita¸c˜ao do modelo apresentado, uma vez que o mesmo n˜ao possui um termo de
acomoda¸c˜ao com as for¸cas exercidas pelo motor. Devido a isso, as for¸cas podem
saltar de um lado para o outro, o que em situa¸c˜oes reais n˜ao acontece. No mundo
real, essas curvas ficam mais suavizadas e o navio demora mais para reagir. Vale
salientar que essa quest˜ao ser´a resolvida em implementa¸c˜oes futuras.
68
3.2.5 Fase 5
Nessa fase, tamb´em ´e verificado o mesmo desempenho dos modelos do controlador
e observador para uma estrutura flutuando livremente, considerando que exista a
satura¸c˜ao dos propulsores.
Caso 1
Aqui, teremos dois exemplos, onde ser˜ao analisados o desempenho da lei de controle
backstepping e do observador Grovlen-Fossen. As figuras (3.43),(3.44) e (3.45) apre-
sentam o desempenho dos modelos com a satura¸c˜ao dos propulsores, com o azimutal
priorizando a for¸ca lateral. Condi¸c˜oes iniciais ( x=5m, y=5m e psi=45 graus ) e
set-points desejados (x=20m, y=20m e psi=0 graus ).
Figura 3.43: Fase 5 - caso 1: deslocamento do navio em surge, considerando a
satura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador backstepping e o observador de
Grovlen-Fossen.
69
Figura 3.44: Fase 5 - caso 1: deslocamento do navio em sway, considerando a
satura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador backstepping e o observador de
Grovlen-Fossen.
Figura 3.45: Fase 5 - caso 1: deslocamento do navio em yaw, considerando a sa-
tura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador backstepping e o observador de
Grovlen-Fossen.
70
Nas figuras (3.46),(3.47) e (3.48), tamb´em apresentamos o desempenho dos mo-
delos, com o azimutal priorizando a for¸ca longitudinal. Condi¸c˜oes iniciais ( x=10m,
y=5m e psi=180 graus ) e set-points desejados (x=10m, y=10m e psi=30 graus ).
Figura 3.46: Fase 5 - caso 1: deslocamento do navio em surge, considerando a
satura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador backstepping e o observador de
Grovlen-Fossen.
Figura 3.47: Fase 5 - caso 1: deslocamento do navio em sway, considerando a
satura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador backstepping e o observador de
Grovlen-Fossen.
71
Figura 3.48: Fase 5 - caso 1: deslocamento do navio em yaw, considerando a sa-
tura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador backstepping e o observador de
Grovlen-Fossen.
72
Caso 2
No caso 2, teremos uma pequena mudan¸ca na lei de controle. Aqui ser´a analisado o
desempenho do controlador PID com o observador Grovlen-Fossen. Apresentamos
as figuras (3.49),(3.50) e (3.51), onde nos mostram o desempenho da lei de controle
PID, com a satura¸c˜ao dos propulsores, com o azimutal priorizando a for¸ca lateral.
Condi¸c˜oes iniciais ( x=0m, y=0m e psi=180 graus ) e set-points desejados (x=20m,
y=20m e psi=45 graus ).
Figura 3.49: Fase 5 - caso 2: deslocamento do navio em surge, considerando a
satura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador PID e o observador de Grovlen-
Fossen.
73
Figura 3.50: Fase 5 - caso 2: deslocamento do navio em sway, considerando a
satura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador PID e o observador de Grovlen-
Fossen.
Figura 3.51: Fase 5 - caso 2: deslocamento do navio em yaw, considerando a sa-
tura¸c˜ao dos propulsores. Utilizando o controlador PID e o observador de Grovlen-
Fossen.
74
As figuras (3.52),(3.53) e (3.54) tamb´em nos mostram o desempenho do PID,
com a satura¸c˜ao dos propulsores, com o azimutal priorizando a for¸ca longitudinal.
Condi¸c˜oes iniciais( x=0m, y=0m e psi=45 graus ) e set-points desejados (x=25m,
y=25m e psi=0 graus).
Figura 3.52: Fase 5 - caso 2: deslocamento do navio em surge, considerando a
satura¸c˜ao dos propulsores. Controlador PID e o observador de Grovlen-Fossen.
Figura 3.53: Fase 5 - caso 2: deslocamento do navio em sway, considerando a
satura¸c˜ao dos propulsores. Controlador PID e o observador de Grovlen-Fossen.
75
Figura 3.54: Fase 5 - caso 2: deslocamento do navio em yaw, considerando a sa-
tura¸c˜ao dos propulsores. Controlador PID e o observador de Grovlen-Fossen.
Nos casos 1 e 2, temos a resposta do navio considerando a satura¸c˜ao dos pro-
pulsores. Utilizando o controlador backstepping no caso 1, as metas estabelecidas
foram atingidas, por´em, no segundo exemplo, quando se prioriza a for¸ca lateral, h´a
a ocorrˆencia de oscila¸c˜oes em torno do ponto (0) na dire¸c˜ao longitudinal e no apro-
amento. J´a no caso 2, onde foi utilizando o controlador PID no primeiro exemplo,
onde prioriza a for¸ca longitudinal, podemos observar que existem grandes oscila¸c˜oes
dificultando um pouco o deslocamento para o ponto desejado, ao contr´ario do se-
gundo exemplo que apesar de pequenas oscila¸c˜oes, apresentou um comportamento
mais est´avel e o algoritmo convergiu para o ponto desejado.
76
3.2.6 Fase 6
Esta fase ´e destinada a verifica¸c˜ao da combina¸c˜ao do controlador com o observador,
com o objetivo de verificar se os modelos suportam pequenas mudan¸cas, ou s´o funci-
ona para um determinado ponto. Para isto ´e explorado mudan¸cas de comportamento
como:
• pequenas mudan¸cas dos set-points ;
• mudan¸ca no ponto inicial;
• mudan¸cas nos ganhos; e
• aumento de cargas ambientais sem mexer nas dire¸c˜oes.
Em todos os casos o controlador utilizado foi o PID e o observador proposto por
Grovlen-Fossen. Todas as condi¸c˜oes ambientais foram consideradas al´em de espectro
de Pierson-Moskowitz, ru´ıdo e sistema de ancoragem
Nas figuras (3.55),(3.56) e (3.57) apresentamos o desempenho dos modelos com
uma pequena mudan¸ca nos set-points . Condi¸c˜oes iniciais ( x=0m, y=0m e psi=0
graus ) e Set-points desejados (x=10m, y=10m e psi=30 graus ).
Figura 3.55: Fase 6: Deslocamento do navio em surge, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen.
77
Figura 3.56: Fase 6: Deslocamento do navio em sway, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen.
Figura 3.57: Fase 6: Deslocamento do navio em yaw, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen.
78
Nas figuras (3.58),(3.59) e (3.60) apresentamos os resultados do desempenho dos
modelos com uma mudan¸ca na condi¸c˜ao inicial usada anteriormente. Condi¸c˜oes
iniciais ( x=5m, y=5m e psi=15 graus ) e Set-points desejados (x=10m, y=10m e
psi=30 graus ).
Figura 3.58: Fase 6: Deslocamento do navio em surge, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen.
Figura 3.59: Fase 6: Deslocamento do navio em sway, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen.
79
Figura 3.60: Fase 6: Deslocamento do navio em yaw, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen.
Nas figuras (3.61),(3.62) e (3.63), apresentamos os resultados do desempenho dos
modelos quando acontece uma mudan¸ca nos ganhos, conforme mostram as tabelas
(3.6), (3.7), (3.8) e (3.9), referentes aos ganhos utilizado anteriormente e as tabelas
(3.10), (3.11), (3.12) e (3.13) referem-se aos ganhos utilizados no atual exemplo.
Condi¸c˜oes iniciais ( x=5m, y=5m e psi=15 graus ) e set-points desejados (x=10m,
y=10m e psi=30 graus ).
Tabela 3.6: Primeira matriz de ganhos do observador antes.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Tabela 3.7: Segunda matriz de ganhos do observador antes.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
80
Tabela 3.8: Terceira matriz de ganhos do observador antes.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Tabela 3.9: Matriz de ganhos do controlador antes.
Ganho proporcional 2000 2000 3000000
Ganho derivativo 40000 40000 300000
Ganho integral 10 10 100000
Tabela 3.10: Primeira matriz de ganhos do observador atual.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Tabela 3.11: Segunda matriz de ganhos do observador atual.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Tabela 3.12: Terceira matriz de ganhos do observador atual.
0.1 0 0
0 0.1 0
0 0 0.1
81
Tabela 3.13: Matriz de ganhos do controlador atual.
Ganho proporcional 1000 1000 2000000
Ganho derivativo 20000 20000 30000
Ganho integral 10 10 100000
Figura 3.61: Fase 6:Deslocamento do navio em surge, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen.
Figura 3.62: Fase 6:Deslocamento do navio em sway, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen.
82
Figura 3.63: Fase 6:Deslocamento do navio em yaw, utilizando o controlador PID e
o observador de Grovlen-Fossen.
83
Nas figuras (3.64),(3.65) e (3.66), apresentamos o desempenho dos modelos apre-
sentando um pequeno aumento das cargas ambientais sem mexer nas dire¸c˜oes. A
tabela (3.14) ´e referente `as condi¸c˜oes ambientais utilizadas anteriormente e a tabela
(3.15) ´e referente `as condi¸c˜oes ambientais utilizadas no atual exemplo. Condi¸c˜oes
iniciais ( x=5m, y=5m e psi=15 graus ) e set-points desejados (x=10m, y=10m e
psi=30 graus ).
Tabela 3.14: Condi¸c˜oes ambientais antes.
Velocidade de correnteza 1 m/s
Dire¸c˜ao da correnteza 30
◦
Altura significativa da onda (H
s
) 2 m
Per´ıodo de pico (T
p
) 10 s
Dire¸c˜ao da onda 90
◦
Velocidade do vento 20 m/s
Dire¸c˜ao do vento 45
◦
Tabela 3.15: Condi¸c˜oes ambientais atual.
Velocidade de correnteza 1,4 m/s
Dire¸c˜ao da correnteza 30
◦
Altura significativa da onda (H
s
) 4.8 m
Per´ıodo de pico (T
p
) 11.4 s
Dire¸c˜ao da onda 90
◦
Velocidade do vento 30 m/s
Dire¸c˜ao do vento 45
◦
84
Figura 3.64: Fase 6: Deslocamento do navio em surge, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen.
Figura 3.65: Fase 6: Deslocamento do navio em sway, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen.
85
Figura 3.66: Fase 6: Deslocamento do navio em yaw, utilizando o controlador PID
e o observador de Grovlen-Fossen.
O objetivo principal desta fase era analisar se os modelos suportariam peque-
nas mudan¸cas. Primeiro, colocamos todas as condi¸c˜oes iniciais iguais a zero para
assim determinarmos pequenas mudan¸cas nos set-points, o que foi observado ´e que
o navio apresentou um pouco de dificuldade para se deslocar quando os set-points
est˜ao pr´oximos `a origem. Em seguida, mudamos as condi¸c˜oes iniciais e percebemos
que nada foi alterado. A partir da´ı, mudamos os ganhos e percebemos que houve
melhoras nos deslocamentos nas dire¸c˜oes longitudinais e transversais e as oscila¸c˜oes
diminu´ıram. Sendo assim, teve-se um aumento das cargas ambientais sem mexer
nas dire¸c˜oes e nada foi alterado.
86
Cap´ıtulo 4
Conclus˜oes e Trabalhos Futuros
O presente trabalho realizou contribui¸c˜oes em rela¸c˜ao ao desenvolvimento de um
sistema de posicionamento dinˆamico aplicado a navios aliviadores, empregando uma
metodologia de controle robusto n˜ao-linear backstepping e o cl´assico controlador
proporcional integral derivativo (PID), em associa¸c˜ao com observadores passivos
n˜ao-lineares, fazendo uso de modelos matem´aticos de manobra do navio. Os modelos
matem´aticos de manobra e da a¸c˜ao das condi¸c˜oes ambientais foram incorporados
nos seguintes algoritmos:backstepping, PID e observadores para o posicionamento
do navio.
As simula¸c˜oes foram realizadas no intuito de verificar as referidas teorias discu-
tidas no cap´ıtulo 2 e testar o desempenho das propostas dos controladores e dos
observadores. De acordo com os resultados obtidos nas simula¸c˜oes, podemos obser-
var que as metas foram atingidas a contento, tanto para o controlador backstepping
quanto para PID. Por´em, o controlador PID possui uma desvantagem significativa,
que ´e a dificuldade nos ajustes dos ganhos, apesar de se mostrar bastante funcional
e de f´acil implementa¸c˜ao.
O controlador backstepping apresenta uma s´eries de vantagens. O controlador em
associa¸c˜ao com observador demonstrou possuir a desejada caracter´ıstica de robustez,
t˜ao essencial para aplica¸c˜oes em navios. Devido a possuir uma estrutura n˜ao-linear,
o controlador garante os requisitos de desempenho e estabilidade, mesmo com mu-
dan¸cas no aproamento. Uma grande vantagem verificada deve-se ao fato de realizar
87
a calibragem de apenas trˆes ganhos do observador e uma do controlador. O que
tamb´em constitui uma outra grande vantagem em rela¸c˜ao `a controladores comuns
que requerem exaustivos testes em mar para a calibra¸c˜ao dos diversos parˆametros
do modelo neles contido.
As simula¸c˜oes tamb´em puderam mostrar que tanto no backstepping quanto no
PID, podemos fazer o gerenciamento das for¸cas dos atuadores do navio. Outro ponto
positivo verificado foi em rela¸c˜ao aos observadores, onde se prevˆe a reconstru¸c˜ao dos
movimentos de baixa e alta frequˆencia das ondas, movimento com ruido e medi¸c˜ao
das posi¸c˜oes (x, y) e aproamento (ψ).
Os controladores e observadores utilizados, foram aplicados em um navio alivi-
ador, apesar de possuir limita¸c˜oes em seus dispositivos de controle, os resultados
obtidos em fun¸c˜ao dos casos rodados demonstraram que ambas as t´ecnicas de con-
trole empregadas garantiram requisitos de desempenho e estabilidade para qualquer
que seja o aproamento da embarca¸c˜ao.
Desta forma, por possuir caracter´ısticas de robustez e por possuir uma estrutura
n˜ao-linear, as leis de controle implementadas mostraram-se eficazes e satisfat´orias,
garantindo, assim, os requisitos de estabilidade e um bom desempenho em condi¸c˜oes
ambientais realistas, no que tange `a realiza¸c˜ao de manobras de aproxima¸c˜ao e ma-
nobra de al´ıvio.
Como trabalhos futuros, sugerem-se o projeto e implementa¸c˜ao de um modelo de
controle por modos deslizantes no simulador de manobras e um modelo mais realista
de resposta dos motores `a for¸ca ordenada ou rota¸c˜ao ordenada.
88
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