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UNIVERSIDADE FEDERAL
FLUMINENSE
Instituto de Matem´atica
Classifica¸c˜ao de Curvas Planas com
Infinitos Pontos de Galois Externos
Claudio Plinio Campana Chacca
Disserta¸c˜ao submetida ao Corpo Docente do
Instituto de Matem´atica da Univers idade Fe-
deral Fluminense, como parte dos requisitos
necess´arios para a obten¸c˜ao do grau de Mestre.
Orientador: Abramo Hefez
Niter´oi, 26 de Fevereiro de 2010
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Classifica¸c˜ao de Curvas Planas com Infinitos
Pontos de Galois Externos
Disserta¸c˜ao submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matem´atica da
Universidade Federal Fluminense, como parte dos requisitos necess´arios
para a obten¸c˜ao do grau de Mestre.
´
Area de concentra¸c˜ao : Matem´atica
Aprovada por:
Abramo Hefez - IM/UFF
(Orientador)
Valmecir Antonio dos Santos Bayer - UFES
Juliana Coelho Chaves - UFF
Marco Pacini - UFF
Niter´oi, 26 de Fevereiro de 2010
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Dedicat´oria
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A Pame que ´e a luz da minha vida.
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Agradecimentos
A Pame pela for¸ca que sempre me deu nos momentos dif´ıceis.
A meus pais e meus irm˜aos, pelo apoio incondicional.
A meu orientador professor Abramo Hefez pela paciˆencia, encorajamento
e as infinitas conversas.
Ao professor Walter Torres Montes que ´e um exemplo de dedica¸c˜ao.
Ao professor Nivaldo Medeiros pela motiva¸c˜ao que me deu.
`
A CAPES (Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de Ensino Su-
perior) pelo apoio financeiro.
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RESUMO
O objetivo deste trabalho ´e de caracterizar atrav´es de suas equa¸c˜oes
as curvas projetivas planas cujo conjunto de pontos de Galois externos ´e
infinito. O resultado principal ´e um teorema devido a S. Fukasawa, cuja
demonstra¸c˜ao ocupa grande parte dessa monografia.
ABSTRACT
The aim of this work is to characterize, by means of their equations,
those plane projective curves whose set of external Galois points is infinite.
The main result is a theorem due to S. Fukasawa, which proof will occupy
a large part of this monograph.
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Conte´udo
1 Preliminares 5
1 Grau de um morfismo entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Proje¸c˜oes em espa¸cos projetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Mapa de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Curvas estranhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Formula de Riemann-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 O grupo de automorfismos de uma curva projetiva lisa . . . . 12
2 Trˆes Lemas 14
1 Recobrimentos de P
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Uma propriedade de polinˆomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos 19
1 Primeira caracteriza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Distribui¸c˜ao dos pontos de Galois externos . . . . . . . . . . . 23
3 A implica¸c˜ao (2) =⇒ (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 A implica¸c˜ao (3) =⇒ (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 A implica¸c˜ao (4) =⇒ (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6 Pontos de Galois internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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Introdu¸c˜ao
A no¸c˜ao de Pontos de Galois para curvas projetivas planas ´e bastante re-
cente, tendo sido introduzida por Hisao Yoshihara em 1996. Desde ent˜ao
muitos trabalhos foram publicados a e sse respeito.
Seja dada uma curva projetiva plana C definida sobre um corpo alge-
bricamente fechado K. Um ponto R do plano ´e dito ponto de Galois para a
curva C se a proje¸c˜ao π
R
, centrada em R, da curva sobre uma reta L, que
n˜ao passa por R, ´e tal que a extens˜ao de c orpos K(C)/K(L) induzida por π
R
´e galoisiana. Note que ess a no¸c˜ao independe das escolhas das coordenadas
projetivas e da reta L
O conjunto dos pontos de Galois de C se divide naturalmente em dois
subconjuntos: o subconjunto ∆
dos pontos externos `a curva e o subconjunto
∆
dos pontos pertencentes a C.
Vamos a seguir listar os principais resultados conhecidos sobre pontos
de Galois de curvas.
No caso em que car(K)= 0, Yoshihara, em [Yo], provou o seguinte resul-
tado:
Teorema A Se C ´e uma curva projetiva plana lisa de grau d ≥ 4, ent˜ao ∆
s´o pode conter 0, 1 ou 4 elementos e ∆
s´o pode conter 0, 1 ou 3 elementos.
Al´em disso,
1) #∆
= 4 se, e somente se, C ´e projetivamente equivalente `a curva
X
3
Z + Y
4
+ Z
4
= 0.
2) #∆
= 3 se, e somente se, C ´e projetivamente equivalente `a curva
X
d
+ Y
d
+ Z
d
= 0.
O primeiro estudo da distribui¸c˜ao dos pontos de Galois para curvas s obre
corpos de caracter´ıstica positiva foi feito por Masaaki Homma que provou
em [Ho] o seguinte resultado:
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Introdu¸c˜ao 3
Teorema B Seja p um n´umero primo e seja K o fecho alg´ebrico do corpo
F
p
. Se q = p
e
≥ 3 e H ´e a curva hermitiana X
q
Z + XZ
q
= Y
q+1
, ent˜ao um
ponto R ∈ P
2
´e de galois para H se, e somente se, R ´e ponto F
p
-racional em
P
2
. Em particular,
#∆
= q
3
+ 1 e #∆
= q
4
− q
3
+ q
2
.
Fazendo hip´oteses relacionando o grau de uma curva e a caracter´ıstica
do corpo de base, Satoru Fukasawa, em [Fu2], provou o seguinte resultado:
Teorema C Seja C uma curva plana de grau d ≥ 4, ent˜ao
1) Se d ≡ 1 (modp), ent˜ao #∆
= 0, 1 ou 4 e a condi¸c˜ao (1) no Teorema
A ´e verificada.
2) Se d ≡ 0 (modp) e o grau de inseparabilidade do mapa de Gauss ´e
menor do que d − 1, ent˜ao #∆
= 0, 1 ou 3 e a condi¸c˜ao (2) do Teorema A
´e verificada.
Em todos os resultados, acima referidos, tem-se que ∆
´e um conjunto
finito. Takeshiro Hasegawa e Fukasawa em (cf. [Ha-Fu]) produziram o
primeiro exemplo onde ∆
´e um conjunto infinito. Dada a sua simplicidade,
o reproduzimos a seguir.
Exemplo 0.1 (Fukasawa-Hasegawa). Seja q ≥ 4 uma potˆencia da carac-
ter´ıstica do corpo base. Se C ´e a curva plana XZ
q−1
− Y
q
= 0, L : Z = 0,
P = (1 : 0 : 0) e Q = (0 : 1 : 0), ent˜ao
i) L \ {P, Q} ⊂ ∆
.
ii) ∆
= C \ {P}.
i) De fato, se R = (1 : b : 0), com b = 0, ´e um ponto de L \ {P, Q}, ent˜ao
a proje¸c˜ao centrada em R ´e dada por π
R
(x : y : 1) = (y − bx : 1) e a
extens˜ao de corpos K(C)/K(P
1
) ´e igual a K(x, ^y)/K(^y), onde ^y = y − bx e
com b
q
x
q
− x + ^y
q
= 0. Mostraremos que esta ´e uma extens˜ao galoisiana.
De fato se g(t) = b
q
t
q
− t + ^y
q
∈ K(^y)[t], ent˜ao g
(t) = −1 = 0 logo g
´e separ´avel e, al´em disso, o polinˆomio b
q
t
q
− t tem q ra´ızes distintas em K,
digamos α
1
, . . . , α
q
, logo x + α
i
∈ K(x, ^y) ´e raiz de g(t), para i = 1, . . . , q.
Portanto, a extens˜ao K(x, ^y)/|K(^y) ´e normal e separ´avel logo uma e x-
tens˜ao galoisiana. Por outro lado, quando tomamos a proje¸c˜ao com centro
em Q, obtemos a extens˜ao K(y, x)/K(x) com y
q
−x = 0, que ´e uma extens˜ao
puramente insepar´avel de grau q. Assim, L \ {P, Q} ⊂ ∆
.
Mais adiante, no Teorema 3.1, mostraremos, que a inclus˜ao acima de
conjuntos, na realidade, ´e uma igualdade.
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4 Introdu¸c˜ao
ii) De fato, notemos inicialmente que C ∩ L = { P}. Seja R = (a : b : 1) um
ponto de C\{P}, ent˜ao a−b
q
= 0 e a proje¸c˜ao π
R
(X, Y, Z) = (X−aZ : Y−bZ),
com XZ
q−1
−Y
q
=
^
XZ
q−1
−
^
Y
q
, onde
^
X = X−aZ e
^
Y = Y −bZ. Assim, temos
a extens˜ao de corpos K(z, y)/k(y), com z
q−1
− y
q
= 0 que ´e um extens˜ao
c´ıclica, logo galoisiana.
Tomando agora a proje¸c˜ao com centro em P = (1 : 0 : 0), temos
π
P
(X, Y, Z) = (Y : Z), logo π
P
(x, y, 1) = (y, 1). Assim, temos a extens˜ao
K(x, y)/K(y), com x − y
q
= 0, ou seja, K(y
q
, y)/k(y). Portanto, neste caso,
a extens˜ao ´e de grau 1, logo K(C) e π
∗
P
K(P
1
) s˜ao isomorfos.
O objetivo desse nosso trabalho ´e expor o conte´udo dos artigos [Fu] e
[H-F], onde as curvas com infinitos pontos de Galois externos s˜ao classifi-
cadas, bem como as que tamb´em tem infinitos pontos de Galois internos.
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1
Preliminares
Neste cap´ıtulo introduziremos os conceitos, as nota¸c˜oes e os resultados de
natureza geral que necessitaremos para desenvolver este trabalho.
1 Grau de um morfismo entre curvas
Por curva alg´ebrica X entenderemos uma curva quase-projetiva irredut´ıvel
definida sobre um corpo K algebricamente fechado e de caracter´ıstica p ≥ 0.
Denotaremos por X
0
o conjunto dos pontos regulares de X.
Sejam dadas duas curvas alg´ebricas irredut´ıveis X e Y e seja f: X → Y
um mapa racional tal que a imagem de X por f seja densa em Y. Sabe-se
que a extens˜ao K(X)/f
∗
K(Y) ´e finita.
Defini¸c˜ao 1.1. Define-se o grau de f como sendo o n´umero natural
deg f = [K(X) : f
∗
K(Y)].
Sabe-se que para um ponto geral Q ∈ Y vale a desigualdade:
#f
−1
(Q) ≤ deg f.
Na realidade, se f ´e um morfismo finito e se Q ∈ Y
0
, vale a des igualdade:
#f
−1
(Q) ≤ deg
s
f,
onde deg
s
f ´e o grau de separabilidade [K(X) : f
∗
K(Y)]
s
da extens˜ao. Al´em
disso, a igualdade vale em um aberto n˜ao vazio de Y.
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6 Preliminares Capitulo1
Defini¸c˜ao 1.2. Seja f como ac ima, Q ∈ Y
0
´e dito um valor n˜ao ramificado
de f se o n´umero de imagens inversas de Q ´e igual ao grau de f. Caso
contr´ario, Q se r´a dito valor ramificado para f.
Note que se f ´e n˜ao separ´avel, i.e., se [K(X) : f
∗
K(Y)]
i
> 1, ent˜ao todo
Q ∈ Y
0
´e valor ramificado de f.
O fato de um ponto Q ∈ Y ser valor ramificado, ou n˜ao, pode ser de-
tectado por propriedades dos pontos P na fibra f
−1
(Q). Isto po de ser feito
quando P e Q s˜ao pontos regulares de X e Y, respectivamente, como segue.
Seja P ∈ X
0
tal que Q = f(P) ∈ Y
0
. Os an´eis locais O
X,P
de X em P e O
Y,Q
de Y em Q s˜ao dom´ınios de valoriza¸c˜ao discreta e f induz um homomorfismo
f
∗
: O
Y,Q
→ O
X,P
de an´eis locais. Seja t
∈ O
Y,Q
um parˆametro local em Q.
Denotando por v
P
a valoriza¸c˜ao de O
X,P
, temos a seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 1.3. O n´umero e
P
= v
P
(f
∗
(t
)), onde v
P
´e a valoriza¸c˜ao de O
X,P
,
´e chamado de ´ındice de ramifica¸c˜ao de f em P.
Se e
P
> 1, dizemos que f ´e ramificada em P.
Se e
P
= 1, dizemos que f ´e n˜ao-ramificada em P.
Tem-se o seguinte resultado bem conhecido (cf. [Sha] ou [Ful]:
Seja f: X → Y um mapa regular, onde X e Y s˜ao curvas projetivas. Se
Q ∈ Y
0
e se f
−1
(Q) ⊂ X
0
, ent˜ao
P∈f
−1
(Q)
e
P
= deg f.
Al´em disso, se Q ´e um ponto geral de Y, ent˜ao cada imagem inversa
f
−1
(Q) tem exatamente deg
s
f pontos tais que em cada um deles o ´ındice de
ramifica¸c˜ao ´e igual a deg
i
f = [K(X) : f
∗
K(Y)]
i
.
Quando X e Y s˜ao curvas projetivas regulares e a extens˜ao K(X)/f
∗
K(Y)
´e galoisiana, com grupo de Galois G, dizemos que f ´e um recobrimento
galoisiano e temos que o grupo G age naturalmente sobre X, valendo o
resultado a seguir, cuja demonstra¸c˜ao ´e bem simples e pode se r encontrada
em [St].
Teorema 1.1. Sejam X e Y duas curvas projetivas lisas e f: X → Y um
recobrimento galoisiano de grau d, c om grupo de Galois G.
1) Para qualquer σ ∈ G, temos f(σ(P)) = f(P).
2) A ordem de G(P), onde G(P) ´e o subgrupo de G que deixa fixo P, ´e igual
a e
P
para qualquer P ∈ X.
3) Se f(P) = f(Q), ent˜ao e
P
= e
Q
.
4) O ´ındice de ramifica¸c˜ao e
P
divide d.
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Cap´ıtulo 1 Preliminares 7
2 Proje¸c˜oes em espa¸cos projetivos
Sejam E e E
dois subespa¸cos lineares de P
n
de dimens˜oes m e n − m − 1,
respectivamente, disjuntos.
Seja P ∈ P
n
\ E e considere o espa¸co linear L = E, P gerado por E e P.
Este espa¸co, de dimens˜ao n − m, corta E
em apenas um ponto, definindo
assim uma aplica¸c˜ao racional
π
E
: P
n
E
P → L ∩ E
regular em P
n
\ E.
Coordenadas podem ser esc olhidas em P
n
de tal modo que
π
E
: P
n
E
(P
0
: · · · : P
n
) → (P
0
: · · · : P
n−m−1
: 0 : . . . 0)
onde o espa¸co E ´e dado pelas equa¸c˜oes X
0
= · · · = X
n−m−1
= 0 e o espa¸co
E
pelas equa¸c˜oes X
n−m
= · · · = X
n
= 0.
Se X ´e uma subvariedade fechada qualquer de P
n
, n˜ao contida em E,
a restri¸c˜ao de π
E
a X define um mapa racional π
E
: X E
. Quando
E ∩ X = ∅, o mapa ´e regular.
A seguir estudaremos a ramifica¸c˜ao das proje¸c˜oes de curvas em P
n
.
Sejam X uma curva em P
n
e P ∈ X
0
. Se L ´e um subespa¸co linear de P
n
,
definido por formas lineares l
0
, . . . , l
r
, ent˜ao o ´ındice de interse¸c˜ao de X com
L em P ´e o inteiro
I
P
(X, L) = min{v
P
(l
0
), . . . , v
P
(l
r
)}.
Seja X uma curva em P
n
e seja E um subespa¸co linear de P
n
como acima,
com X ⊂ E.
Proposi¸c˜ao 1.1. Sejam P ∈ X
0
e L = E, P. Se P ∈ E e e
P
´e o ´ındice de
ramifica¸c˜ao de π
E
em P, ent˜ao
e
P
= I
P
(X, L)
Demonstra¸c˜ao. Sejam L
0
, . . . , L
n−m−1
formas lineares independentes que de-
finem o espa¸co linear L. Como E ⊂ L e tem codimens˜ao 1, existe uma forma
linear L
n−m
tal que L
0
, . . . , l
n−m−1
, L
n−m
definem E. Tem-se ent˜ao que a
proje¸c˜ao π
E
: X → P
n−m
´e dada por π
E
(x) = (L
0
(x) : · · · : L
n−m−1
(x) :
L
n−m
(x)) e portanto π
E
(P) = (0 : · · · : 0 : L
n−m
(P)). Ponhamos Y := π
E
(X).
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8 Preliminares Capitulo1
Seja a
0
X
0
+ · · · + a
n−m−1
X
n−m−1
um hiperplano gen´erico que passa por
π
E
(P). Sendo o hiperplano gen´erico, ele ´e transversal `a curva Y em π
E
(P),
a sua imagem em O
Y,π
E
(P)
´e um parˆametro local t
de Y em π
E
(P). Seja t
um parˆametro local em P e suponhamos que P ∈ U ∩ X, onde U ´e o aberto
X
n
= 0. Denotando
X
0
X
n
= x
0
(t), . . . ,
X
n−1
X
n
= x
n
(t),
em O
X,P
, temos
π
∗
E
(t
) = π
∗
E
(a
0
X
0
+ · · · + a
n−m−1
X
n−m−1
) =
a
0
L
0
(x
0
(t), . . . x
n−1
(t), 1)+· · ·+a
n−m−1
L
n−m−1
(x
0
(t), . . . , x
n−1
(t), 1).
Sendo o hiperplano gen´erico, temos que
e
P
= ord
P
π
∗
E
(t
) = ord
t
(a
0
L
0
(x
0
(t), . . . , x
n−1
(t), 1) + · · · +
a
n−m−1
L
n−m−1
(x
0
(t), . . . , x
n−1
(t), 1)
= min
i=0,...,n−m−1
ord
t
L
i
(x
0
(t), . . . , x
n−1
(t), 1)
= I
P
(X, L)
Corol´ario 1.1. Seja P ∈ X
0
e denotemos por T
P
X a reta tangente a X em
P. O ponto P ´e ponto de ramifica¸c˜ao de π
E
se e somente se T
P
X ∩ E = ∅.
Em particular, quando o espa¸co E tem dimens˜ao m = 0, a proje¸c˜ao
´e centrada num ponto. Pode-se mostrar facilmente que qualquer proje¸c˜ao
pode ser obtida atrav´es de uma sucess˜ao de proje¸c˜oes a partir de pontos.
Um fenˆomeno curioso que pode ocorrer, relacionado com proje¸c˜oes de
curvas, ´e que a proje¸c˜ao de uma curva X centrada em um ponto Q pode
ser ramificada em quase todos os pontos. Isto ocorre quando quase todas
as retas tangentes T
P
X passam por Q. Tais curvas s˜ao chamadas de curvas
estranhas e o ponto Q ser´a dito o centro de X.
Vamos especializar o que fizemos acima para o caso em que X ´e uma
curva plana e E = {R}, um ponto.
Sejam C uma curva plana irredut´ıvel de grau d e R ∈ P
2
. A proje¸c˜ao
π
R
pode ser interpretada como sendo a aplica¸c˜ao π
R
: C P
1
definida por
Q → RQ, onde fazemos a identifica¸c˜ao
{ retas de P
2
que passam por R} P
1
.
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Cap´ıtulo 1 Preliminares 9
Observa¸c˜ao 1.1. Para o mapa π
R
, dado P ∈ C
0
\ {R}, temos que
e
P
= I
P
(C, RP).
Observa¸c˜ao 1.2. Quando R ∈ C
0
, o mapa π
R
, a priori n˜ao definido em R,
se estende a todo C
0
, inclusive a R. Neste caso, nas nota¸c˜oes acima, temos
π
R
(R) = T
R
C e vamos mostrar que
e
R
= I
R
(C, T
R
C) − 1.
De fato, suponhamos que E = {R} e escolhamos coordenadas em P
2
de
modo que R = (0 : 0 : 1) e T
R
C : Y = 0. Podemos escolher E
: Z = 0. Como
π
R
(C) = E
e Q = π
R
(R) = T
R
C ∩ E
, temos que t
= Y/X em O
E
,Q
´e um
parˆametro local. Mas, em O
C,R
, temos que t = X/Z ´e um parˆametro local,
sendo que Y/Z representa a reta tangente a C em R vista nesse anel local.
Portanto,
ord
t
π
∗
R
t
= ord
t
(Y/X) = ord
t
(Y/Z) − ord
t
(X/Z) = I
R
(C, T
R
C) − 1.
3 Divisores
Para o que s egue, nes ta se ¸c˜ao, utilizamos com o referˆencia [Sha].
O grupo dos divisores sobre uma curva lisa X ´e o grupo abeliano livre
gerado pelos pontos de X. Um divisor ´e uma soma formal D =
P∈X
n
P
P,
com n
P
∈ Z e n
P
= 0, salvo para um n´umero finito de pontos P.
Se todos os n
P
s˜ao nulos, escrevemos D = 0, Se todo n
P
≥ 0 e algum
n
P
> 0, escrevemos D > 0 e, neste caso, D ´e dito um divisor efetivo.
O grau de um divisor ´e a soma de seus coeficientes: deg(D) =
n
P
.
´
E
claro que deg(D + D
) = deg(D) + deg(D
)
Para todo z ∈ K(X), n˜ao nulo, definimos o divisor de z como sendo
div(z) =
P∈X
ord
P
(z)P.
Como z possui somente um n´umero finito de polos e ze ros, div(z) est´a
bem definido. Consideremos
(z)
0
=
ord
P
(z)>0
ord
P
(z)P, (z)
∞
=
ord
P
(z)<0
−ord
P
(z)P,
os divisores dos zeros e dos polos de z, respectivamente, ent˜ao
div(z) = (z)
0
− (z)
∞
.
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10 Preliminares Capitulo1
Sabe-se que para todo z ∈ K(X), n˜ao nulo, div(z) ´e um divisor de grau
zero.
Dois divisores D e D
sobre X s˜ao ditos linearmente equivalentes quando
D
= D + div(z), para algum z ∈ K(X) e, neste caso, escrevemos D ≡
D
. Trata-se de uma rela¸c˜ao de equivalˆencia no conjunto dos divisores,
compat´ıvel com a soma de divisores e que preserva os graus.
Os divisores s˜ao apropriados para descrever morfismos de uma curva n˜ao
singular X em um espa¸co projetivo.
Dado um divisor D sobre uma curva lisa X, define-se o espa¸co L(D) como
sendo subespa¸co vetorial de K(X) definido como segue:
L(D) = {z ∈ K(X)
∗
; div(z) + D ≥ 0} ∪ {0}.
Se D ≡ D
, tem-se que L(D) L(D
)
Escolhendo uma base h
0
, . . . , h
n
de L(D), podemos definir um morfismo
h: X → P
n
P → (h
0
(P) : · · · : h
n
(P))
Escolhendo outra base g
0
, . . . , g
n
de L(D) e considerando a aplica¸c˜ao
associada g de X em P
n
, existe uma transforma¸c˜ao linear projetiva T de P
n
tal que T ◦ h = g.
Diremos que o morfismo h ´e um mergulho de X quando estabelece um
isomorfismo entre X e a sua imagem. Um divisor D ser´a dito muito amplo
quando a aplica¸c˜ao g associada for um mergulho.
Por outro lado existe uma cota inferior de sua dimens˜ao l(D) dada por
um teorema de Riemann:
Existe uma constante n˜ao negativa g
tal que para todo divisor D sobre
X se tem
l(D) ≥ deg D + 1 − g
.
O menor n´umero n˜ao negativo g
satisfazendo a desigualdade acima,
chama-se o gˆenero da curva e se denota por g.
Utilizaremos, sem demonstra¸c˜ao, o importante resultado abaixo, cuja
prova pode ser e ncontrada em [Har], Cap´ıtulo IV, Corol´ario 3.2(b).
Um divisor D tal que deg D ≥ 2g + 1 sobre um curva projetiva lisa, de
gˆenero g, ´e muito amplo.
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Cap´ıtulo 1 Preliminares 11
4 Mapa de Gauss
Seja C ⊂ P
2
uma curva irredut´ıvel de grau d dada pela equa¸c˜ao homogˆenea
F e sejam F
X
, F
Y
, F
Z
suas derivadas parciais. Denotando por
ˇ
P
2
o espa¸co dual
de P
2
, definimos o mapa de Gauss como sendo o mapa racional
γ: C
ˇ
P
2
P → (F
X
(P) : F
Y
(P) : F
Z
(P))
O fecho projetivo
ˇ
C de γ(C) em
ˇ
P
2
´e chamado de curva dual de C. Quando
d ≥ 2,
ˇ
C ´e efetivamente uma curva. Sabe-se que se carK = 0, ent˜ao γ ´e
birracional sobre
ˇ
C.
Atrav´es de γ podemos realizar K(
ˇ
C) como subcorpo de K(C). Pomos
s = [K(C) : K(
ˇ
C)]
s
e q = [K(C) : K(
ˇ
C)]
i
.
Sabe-se que q = 1 se e somente se γ ´e birracional. Em tal caso, sabe-se
tamb´em que vale a bidualidade, isto ´e
ˇ
ˇ
C = C. Quando isto ocorre, dizemos
que a curva C ´e reflexiva. Quando q > 1 tem-se o seguinte teorema devido
a A. Hefez e S. Kleiman (cf. [H-K] ou [H]):
Teorema 1.2 (Teorema da Ordem Gen´erica de Contato). Suponha que γ
n˜ao seja birracional. Ent˜ao #γ
−1
(Q) = s, para um ponto geral Q ∈
ˇ
C e
I
P
(C, T
P
C) = q, para um ponto geral P ∈ C.
5 Curvas estranhas
As curvas estranhas foram introduzidas em conex˜ao com o problema de
projetar curvas no espa¸co por um ponto; s ˜ao curvas para as quais a proje¸c˜ao
por um ponto espec´ıfico ´e ramificada em todo ponto suave. Essas curvas
foram estudadas por E. Lluis, para as quais deu a seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 1.4. Uma curva projetiva irredut´ıvel e n˜ao linear ´e dita estranha
se toda reta tangente `a curva num ponto n˜ao singular passa por um ponto
fixo, chamado de c entro da curva.
Por exemplo, a cˆonica YZ−X
2
= 0 em P
2
sobre um corpo de c aracter´ıstica
2 ´e estranha, pois toda tangente passa por (1 : 0 : 0).
Uma curva es tranha plana C ´e n˜ao reflexiva, pois temos que
ˇ
ˇ
C = C.
O res ultado abaixo caracteriza as curvas projetivas lisas estranhas, cuja
demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [Har] Cap´ıtulo IV, Teorema 3.9.
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12 Preliminares Capitulo1
Teorema 1.3 (Lluis-Samuel). As ´unicas curvas projetivas lisas estranhas
s˜ao as cˆonicas em caracter´ıstica 2.
Se L ´e uma reta tangente geral a uma curva n˜ao reflexiva C, isto ´e,
uma reta correspondente a um ponto geral de
ˇ
C ent˜ao o teorema da ordem
gen´erica de contato implica que
L C ≥
s
j=1
I(P
j
, C L)P
j
=
s
j=1
qP
j
,
onde P
1
, . . . , P
s
s˜ao os pontos nos quais L ´e tangente a C. Tomando graus
na desigualdade temos
sq ≤ deg C
Defini¸c˜ao 1.5. Uma curva C ´e dita extremal se
qs = deg C
Teorema 1.4 (Hefez [He]). Toda curva projetiva plana extremal ´e estranha.
6 Formula de Riemann-Hurwitz
Um importante resultado que ser´a utilizado diversas vezes neste trabalho
´e a chamada f´ormula de Riemann-Hurwitz, cuja demonstra¸c˜ao pode ser
encontrada em [Har] Cap´ıtulo IV, Corol´ario 2.4.
Teorema 1.5 (Formula de Riemann-Hurwitz). Seja f: X → Y um morfismo
separ´avel de curvas suaves. Seja n = deg f. Ent˜ao
2g(X) − 2 = n(2g(Y) − 2) + R
0
Onde R
0
´e um inteiro n˜ao negativo.
Observa¸c˜ao 1.3. No teorema de Riemann-Hurwitz se car(K) = 0 ou car(K) =
p > 0 e p e
P
, para todo ponto ramificado P de X, ent˜ao R
0
=
P∈X
(e
P
−1).
7 O grupo de automorfismos de uma curva projetiva lisa
Para o que s egue, nes ta se ¸c˜ao, utilizamos com o referˆencia [Har].
Defini¸c˜ao 1.6. Uma curva ´e dita racional se se u gˆenero ´e 0, e ´e dita em
el´ıptica se seu gˆenero ´e 1.
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Cap´ıtulo 1 Preliminares 13
Proposi¸c˜ao 1.2. O grupo de automorfismos de uma curva lisa de gˆenero
g > 1 ´e finito.
Proposi¸c˜ao 1.3. Seja X uma curva el´ıptica lisa sobre K. Seja P
0
∈ X e
seja G = Aut(X, P
0
) o grupo de automorfismos de X deixando fixo P
0
, ent˜ao
G ´e um grupo de ordem finita.
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2
Trˆes Lemas
Neste cap´ıtulo aprese ntaremos trˆes lemas que s er˜ao importantes para o de-
senvolvimento do trabalho.
1 Recobrimentos de P
1
Lema 2.1. Seja φ : P
1
→ P
1
um recobrimento galoisiano de grau d com
grupo G. Ent˜ao:
i) Se e
P
> 1 ´e uma potˆencia de p, para algum ponto P ∈ P
1
, ent˜ao G(P)
´e um p-subgrupo de Sylow de G.
ii) Se φ(P) ´e o ´unico valor de ramifica¸c˜ao de φ, ent˜ao φ ´e totalmente
ramificada em P, e
P
´e uma potˆencia de p e d = e
P
.
Demonstra¸c˜ao. Assumamos P = (1 : 0) e ponhamos H = G(P).
(i) Suponhamos e
P
= q (uma potˆencia de p).
Como G ⊂ PGL(1, K), podemos representar σ ∈ G por
[σ] =
a b
c d
Suponhamos que σ ∈ H, isto ´e, σ(P) = P, logo, para algum a = 0, temos
[σ] =
a b
0 d
.
Como q = e
P
= |H|, temos que
[σ]
q
=
a b
0 d
q
=
a
q
∗
0 d
q
=
1 0
0 1
,
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Cap´ıtulo 2 Trˆes Lemas 15
e como q ´e uma potˆencia de p, segue-se que a = d = 1. Assim,
[σ] =
1 α
0 1
para algum α ∈ K.
Agora, dado γ ∈ G(P) ∩ G(R), com P = R, temos que
[γ] =
1 α
0 1
,
e se R = (m : 1), e nt˜ao
m
1
=
1 α
0 1
m
1
=
m + α
1
.
Logo, α = 0.
Portanto, G(P) ∩ G(R) = {Id}, para todo R = P.
Por outro lado, como H ´e um p-subgrupo de G, existe um p-s ubgrupo de
Sylow S de G, contendo H. A demonstra¸c˜ao terminaria, por propriedades
bem conhecidas de p-grupos, s e soubessemos que o normalizador N
S
(H) de
H em S ´e o pr´oprio H.
Vamos provar este ´ultimo fato. Seja g ∈ N
S
(H) \ H, ent˜ao g(P) = P, o
que implica G(P) ∩ G(g(P)) = {Id}.
Pela defini¸c˜ao de normalizador, dado qualquer σ ∈ H, existe τ ∈ H tal
que σg = gτ, logo
σ(g(P)) = (σ ◦ g)(P) = (g ◦ τ)(P) = g(τ(P)) = g(P).
Logo, σ ∈ G(P) ∩ G(g(P)) = {Id}, o que gera uma contradi¸c˜ao se e sc o-
lhermos σ = Id.
(ii) Supondo que φ(P) ´e o ´unico valor de ramifica¸c˜ao de φ, mostraremos que
φ ´e totalmente ramificada em P.
Suponha, por absurdo, que φ
−1
(φ(P)) = {P
1
, P
2
, . . . , P
s
} com s ≥ 2.
Como φ ´e um recobrimento galoisiano, temos que
d = deg φ =
s
i=1
e
P
i
= s e
P
.
Assim,
s
i=1
G(P
i
)
≤ s e
P
− 1 < d, o que implica que
s
i=1
G(P
i
) =
G. Tomemos τ ∈ G \
s
i=1
G(P
i
) e o representemos por uma matriz [τ] ∈
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16 Trˆes Lemas Capitulo 2
PGL(1, K). Se (a, b) ´e um autovetor de [τ], ent˜ao R = (a : b) ∈ P
1
´e tal que
τ(R) = R.
Ent˜ao, e
R
= |G(R)| ≥ 2 j´a que, por escolha, τ = Id. Ass im, R ´e um
ponto de ramifica¸c˜ao e, novamente, pela escolha de τ, temos que R = P
i
,
i = 1, . . . , s, logo φ(R) = φ(P), uma contradi¸c˜ao, pois, por hip´otese, φ(P) ´e o
´unico valor de ramifica¸c˜ao. Assim, φ s´o ´e ramificado em P onde ´e totalmente
ramificado.
Demonstraremos a seguir que o ´ındice de ramifica¸c˜ao e
P
´e uma potˆencia
de p.
Escrevamos e
P
= ql, onde q ´e uma potˆencia de p e l n˜ao ´e m´ultiplo de
p. Tome σ ∈ H, com σ representada por
[σ] =
a b
0 1
.
Como a ordem de H ´e e
P
= ql, temos que
[σ]
ql
=
a b
0 1
ql
=
a
lq
∗
0 1
=
1 0
0 1
,
logo a
l
= 1 e, portanto,
[σ] =
ξ α
0 1
onde ξ ´e uma raiz l-´esima da unidade e α ∈ K.
Se l > 1, ent˜ao existe σ ∈ H, represe ntada por [σ], com ξ = 1, tal que
ξ α
0 1
α
1 − ξ
=
α
1 − ξ
;
o que nos diz que R = (α : 1 − ξ) = (1 : 0) = P ´e tal que σ(R) = R, ou seja,
R ´e um ponto de ramifica¸c˜ao de φ, contradizendo o fato de que φ(P) s´o ´e
ramificado em P. Logo, l = 1 e, portanto, e
P
= q.
Finalmente,
d = deg φ =
Q∈φ
−1
(φ(P))
e
Q
= e
P
= q.
Lema 2.2. Existe um n ´umero finito de automorfismos σ ∈ Aut(P
1
) cuja
ordem ´e limitada por uma cota N e tais que σ(P
1
) = P
1
e σ(P
2
) = P
2
, com
P
1
= P
2
.
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Cap´ıtulo 2 Trˆes Lemas 17
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos p or absurdo que existam infinitos σ como no
lema. Podemos representar σ por
[σ] =
a b
c d
.
Como σ(P
1
) = P
1
e σ(P
2
) = P
2
temos que [σ](P
1
) = αP
1
e [σ](P
2
) = βP
2
,
para alguns α, β ∈ K
∗
, com α = β. Logo, existe uma matriz M invert´ıvel
tal que:
M
−1
[σ]M =
α 0
0 β
.
Como supusemos que existem infinitos σ que fixam P
1
e P
2
temos que
tamb´em existir˜ao infinitos α ou β satisfazendo a propriedade acima.
Suponhamos, por exemplo, que existam infinitos tais α. Temos ent˜ao:
1 0
0 1
= (P
−1
[σ]P)
ord(σ)
=
α 0
0 β
ord(σ)
=
α
ord(σ)
0
0 β
ord(σ)
Logo existem infinitos α ∈ k tais que α
n
= 1, com n ≤ N. Contradi¸c˜ao.
2 Uma propriedade de polinˆomios
Lema 2.3. Seja ψ ∈ K[X] um polinˆomio de grau d, onde K ´e um corpo
de caracter´ıstica p > 0. Se ψ(X + α) = ψ(X) para d elementos α ∈ K,
distintos, ent˜ao ψ, al´em do termo constante, s´o tem termos cujos expoentes
s˜ao potˆencias de p.
Demonstra¸c˜ao. Seja
h
1
(X) := ψ(X) − XD
1
X
ψ(0) − ψ(0) ∈ k[X].
Logo, h
1
(0) = 0 e D
1
X
h
1
(0) = 0.
Avaliando em X + α e derivando, temos que
D
1
X
h
1
(X + α) = D
1
X
ψ(X + α) − D
1
X
ψ(0) = D
1
X
ψ(X) − D
1
X
ψ(0) = D
1
X
h
1
(X).
Avaliando em X = 0, temos D
1
X
h
1
(α) = D
1
X
h
1
(0) = 0, para d elementos
α ∈ K distintos. Como o grau de h
1
´e menor igual `a d − 1, temos que
D
1
X
h
1
(X) = 0. Assim, h
1
(X) ∈ K[X
p
].
Definamos agora
h
2
(X) = ψ(X) − XD
1
X
ψ(0) − X
p
D
p
X
ψ(0) − ψ(0).
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18 Trˆes Lemas Capitulo 2
Temos que h
2
(0) = D
1
X
h
2
(0) = D
p
X
h
2
(0) = 0.
Aplicando o operador diferencial de Hasse D
p
X
a ambos os lados da igual-
dade acima, e avaliando em X + α, obtemos
D
p
X
h
2
(X + α) = D
p
X
h
2
(X).
Avaliando em X = 0, temos D
p
X
h
2
(α) = D
p
X
h
2
(0) = 0, para d valores de
α distintos. Como o grau de D
p
X
h
2
(X) ´e menor ou igual a d − 1, tem-se que
D
p
X
h
2
(X) = 0, o que implica que h
2
(X) ∈ K[X
p
2
].
Procedendo indutivamente, deduz-se o resultado.
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3
Curvas com Infinitos Pontos de
Galois Externos
O objetivo deste trabalho, conforme anunciado anteriormente, ´e caracterizar
atrav´es de suas e qua¸c˜oes as curvas projetivas planas cujo c onjunto de pontos
de Galois externos ∆
´e infinito. O principal resultado ´e o teorema a seguir
devido a S. Fukasawa [Fu] e cuja demonstra¸c˜ao ocupar´a todo o presente
cap´ıtulo, exceto a ´ultima se¸c˜ao onde apresentamos um resultado devido a
Fukasawa e Hasegawa [H-F], onde mostram que existe dentre essas curvas
uma ´unica curva, a menos de equivalˆencia projetiva, com um ponto de Galois
interno, exibindo explicitamente a sua equa¸c˜ao.
Teorema 3.1. Seja C ⊂ P
2
uma curva plana de grau d ≥ 3 sobre um corpo
algebricamente fechado K de caracter´ıstica p ≥ 0. Seja ∆
⊂ P
2
o conjunto
de todos os pontos de Galois externos para C. Ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes
s˜ao equivalentes:
(1) ∆
´e um conjunto infinito.
(2) C ´e uma curva est ranha racional com centro Q e existe uma reta L
que cont´em Q e infinitos pontos de Galois externos.
(3) p > 0, a curva C ´e projetivamente equivalente `a imagem de um mor-
fismo Ψ: P
1
→ P
2
, Ψ(u : 1) = (ψ
1
(u) : ψ
2
(u) : 1), o qual ´e birra-
cional sobre sua imagem, onde ψ
1
(u): = Ψ
1
(u, 1) = a
1
u
p
+· · ·+a
e
u
p
e
e ψ
2
(u): = Ψ
2
(u, 1) = u + b
1
u
p
+ · · · + b
e
u
p
e
e d = p
e
.
(4) p > 0 e C ´e projetivamente equivalente a uma curva irredut´ıvel plana
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20 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos Capitulo 3
cuja equa¸c˜ao ´e da forma
x
p
e
+ α
e−1
x
p
e−1
+ · · · + α
1
x
p
+ α
0
x + β
e
y
p
e
+ · · · + β
1
y
p
= 0,
com α
0
= 0.
Al´em disso, se uma das condi¸c˜oes acima ´e verificada, ent˜ao ∆
´e um
aberto de Zariski da reta L e o grupo de Galois G
R
em R, para todo R ∈ ∆
,
´e isomorfo a (Z/pZ)
⊕e
, onde p
e
= d.
1 Primeira caracteriza¸c˜ao
Vamos provar nesta se¸c˜ao a implica¸c˜ao (1) =⇒ (2) do teorema. Inicial-
mente, provaremos que nas condi¸c˜oes de (1) a curva ´e estranha, em seguida
que ´e racional e, por fim, que existe uma reta L contendo o centro da curva
e infinitos pontos de Galois externos.
Antes , por´em, vamos fazer algumas considera¸c˜oes para facilitar a com-
preens˜ao da prova.
Denotemos por V ⊂
ˇ
C ⊂
ˇ
P
2
o aberto n˜ao vazio dos pontos de
ˇ
C para
os quais as retas correspondentes em P
2
s˜ao tangentes a C em exatamente
s = [K(C) : K(
ˇ
C)]
s
pontos (s = 1, em caracter´ıstica zero), com multiplicidade
de interse¸c˜ao com a curva nesses pontos igual `a ordem gen´erica do contato
contato (2, em caracter´ıstica zero, e q = [K(C) : K(
ˇ
C)]
i
, em caracter´ıstica
positiva).
Consideremos agora U ⊂ C o aberto consistindo dos pontos de γ
−1
(V)
para os quais, adicionalmente, a tangente nestes pontos n˜ao passa por nen-
hum ponto singular de C.
Observa¸c˜ao 3.1. U = ∅ se, e somente se, C ´e estranha e o seu centro ´e
um ponto singular.
De fato, ´e imediato ver que U = ∅, se C ´e estranha e o seu centro ´e um
ponto singular. Por outro lado, se a curva C n˜ao ´e uma curva estranha com
centro pertencente a ela e singular, as retas tangentes a C em algum ponto
regular que passam por um ponto singular s˜ao em n´umero finito, logo o
conjunto Z dos seus pontos de contato ´e finito e temos U = γ
−1
(V) \ Z = ∅.
Se U = ∅, ent˜ao W = γ(U) ´e claramente um aberto n˜ao vazio de
ˇ
C.
Logo,
ˇ
C \ W ´e un conjunto finito.
Consideremos agora o conjunto:
Σ
:= {(P, Q) ∈ U × P
2
; P ∈ U e Q ∈ T
P
C} ⊂ U × P
2
e seja Σ := π
2
(Σ
), onde π
2
´e a segunda proje¸c˜ao U × P
2
→ P
2
.
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Cap´ıtulo 3 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos 21
Observa¸c˜ao 3.2. Se U = ∅, ent˜ao P
2
\ Σ est´a contido e m uma uni˜ao finita
de retas.
De fato, seja {Q
1
, . . . , Q
r
} =
ˇ
C \ W e sejam L
i
as retas de P
2
que cor-
respondem por dualidade a Q
i
, i = 1, . . . , r. Se P /∈ ∪
r
i=1
L
i
, ent˜ao a reta
ˇ
P ⊂
ˇ
P
2
n˜ao passa por nenhum dos pontos Q
i
, logo corta
ˇ
C em algum ponto
que corresponde, por dualidade, a uma reta por P contida em Σ. Portanto,
P /∈ P
2
\ Σ. Assim, P
2
\ Σ ⊂ ∪
r
i=1
L
i
.
Observa¸c˜ao 3.3. Seja L ⊂ P
2
uma reta qualquer. Se C n˜ao ´e estranha,
ent˜ao, L ∩ Σ ´e infinito.
De fato, sabemos que U = ∅. Para cada P ∈ U, a reta T
p
C ⊂ Σ corta L
em algum ponto Q ∈ Σ ∩ L. Como C n˜ao ´e estranha, somente um n´umero
finito dessas retas passam por Q. Como s˜ao infinitas as retas T
P
C, P ∈ U,
vem os que L cont´e m infinitos pontos de Σ.
Lema 3.1. Se ∆
´e infinito ent˜ao C ´e estranha .
Demonstra¸c˜ao. Vamos supor por absurdo que C n˜ao ´e estranha.
• Suponhamos inicialmente que Σ ∩ ∆
= ∅.
Temos ent˜ao que
∆
⊂ P
2
\ Σ ⊂
r
i=1
L
i
.
Logo , existe uma reta L (uma das L
i
) que cont´em infinitos pontos de ∆
.
Mas, pela Observa¸c˜ao 2.3, temos que L ∩ Σ ´e infinito, e sendo construt´ıvel
ele ´e um aberto de L. Como ∆
∩ L ´e infinito, temos que (L ∩ Σ) ∩ ∆
= ∅.
• Suponhamos agora Σ ∩ ∆
= ∅.
Logo, existe uma reta T ⊂ Σ com T ∩ ∆
= ∅. Seja R ∈ T ∩∆
, logo todos
os pontos de T ∩ C s˜ao lisos e como R ´e ponto de Galois, todos os pontos
de C tˆem ´ındice de ramifica¸c˜ao q que s˜ao em n´umero s, o que implica
pelo Teorema de Bezout que d = qs; ou seja C ´e extremal, logo estranha.
Contradi¸c˜ao.
Lema 3.2. Seja C uma curva projetiva plana e sejam P, Q ∈ ∆, com P = Q,
ent˜ao G
P
∩ G
Q
= {Id}.
Demonstra¸c˜ao. Podemos supor, efetuando se necess´ario, uma transforma-
¸c˜ao projetiva de coordenadas que P = (1 : 0 : 0) e Q = (0 : 1 : 0). A
extens˜ao de corpos determinada por π
P
´e K(y/x, z/x))/K(y/z), enquanto
que a determinada por π
Q
´e K(x/y, z/y))/K(x/z). Seja σ ∈ G
P
∩ G
Q
,
logo σ(x/z) = x/z e σ(y/z) = y/z, o que implica que σ = Id, j´a que
K(C) = K(x/z, y/z).
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22 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos Capitulo 3
Lema 3. 3. Se C ⊂ P
2
´e uma curva com infinitos pontos de Galois, ent˜ao
^
C ´e racional ou el´ıptica.
Demonstra¸c˜ao. Como
R∈∆
G
R
⊂ Aut(
^
C),
e G
P
∩ G
Q
= {Id}, se P, Q ∈ ∆, com P = Q, segue-se que Aut(
^
C) ´e infinito,
o que s´o pode ocorrer se C ´e racional ou el´ıptica.
Provaremos um resultado mais forte do que o acima, mas para isto pre-
cisaremos de alguns requisitos.
Seja C uma curva em P
2
e seja r :
^
C → C ⊂ P
2
a sua normaliza¸c˜ao. Seja
L uma reta que corta C em d = deg C pontos distintos, logo D = r
−1
(L ∩ C)
´e um divisor de grau d sobre
^
C. O morfismo r:
^
C → P
2
´e dado por um
subespa¸co linear M do sistema linear L(D). Agora, se C ´e racional ou
el´ıptica, i.e., g ≤ 1, onde g ´e o gˆenero geom´etrico de C (igual ao gˆenero
de
^
C), temos que deg D ≥ 3 ≥ 2g + 1. Logo, por um resultado citado
nos preliminares, o divisor D ´e muito amplo e o sistema linear completo
L(D) fornece um mergulho ϕ de
^
C em um espa¸co projetivo P
N
, onde N =
dim(L(D)) − 1. Como M ´e um subespa¸co de L(D), tem-se que C ´e uma
proje¸c˜ao linear de ϕ(
^
C) em P
2
, com centro um subespa¸co linear V de P
N
de
dimens˜ao N − 3 que n˜ao corta o P
2
onde C se encontra.
Agora, suponhamos que a reta L passa por R ∈ ∆, e seja σ ∈ G
R
.
Denotando por ^σ o automorfismo de
^
C associado a σ, temos que ^σ(D) =
D, para todo σ ∈ G
R
. Assim, se h
0
, . . . , h
N
´e a base de L(D) utilizada
para efetuar o mergulho ϕ de
^
C em P
N
, ent˜ao σ(h
0
), . . . , σ(h
N
) fornece um
conjunto linearmente independente de elementos de L(D) e, portanto, uma
outra base. Se P ∈
^
C ent˜ao ^σ(P) ∈
^
C e ϕ(P) e
ϕ(^σ)(P) = (h
0
(^σ(P)), . . . , h
N
(^σ(P))) = (σ(h
0
)(P), . . . , σ(h
N
)(P)),
logo a a¸c˜ao induzida por ^σ sobre ϕ(
^
C) coincide com uma mudan¸ca de base
de L(D), o que ´e o mesmo que aplicar uma transforma¸c˜ao linear projetiva
˜
σ a ϕ(
^
C).
Doravante, identificaremos
^
C com a sua imagem ϕ(
^
C) em P
N
e o mor-
fismo r com a proje¸c˜ao linear π
V
de centro V sobre C ⊂ P
2
, de modo
que todo σ
R
∈ G
R
age sobre
^
C como uma transforma¸c˜ao linear projetiva
˜
σ
R
∈ PGL(N, K) de P
N
.
Como π
R
´e uma proje¸c˜ao de P
2
em P
1
com centro R, temos que a com-
posi¸c˜ao π
R
◦π
V
´e uma proje¸c˜ao π
W
R
de P
N
em P
1
com centro W
R
= π
−1
V
(R),
que ´e um subespa¸co linear de P
N
de dimens˜ao N − 2.
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Cap´ıtulo 3 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos 23
Proposi¸c˜ao 3.1. Se C ⊂ P
2
tem infinitos pontos de Galois, ent˜ao
^
C ´e
racional.
Demonstra¸c˜ao. Sabemos que C ´e estranha com gˆenero g ≤ 1. Suponhamos
por absurdo que g = 1, ou seja que
^
C ´e el´ıptica. Seja Q o centro da curva C.
O conjunto W
Q
= π
−1
V
(Q) ´e um subespa¸co linear de P
N
de dimens˜ao N − 2.
Consideremos agora o conjunto
X =
∪
P∈
^
C
T
P
^
C
∩ W
Q
.
Como a uni˜ao das retas tangentes forma um conjunto alg´ebrico de di-
mens˜ao 2 e que W
Q
tem codimens˜ao 2, temos que X = ∅ e dim X ≤ 2.
Afirmamos que dim X = 0, pois, caso contr´ario, todas as retas tangentes
T
P
^
C passariam por um conjunto finito de pontos Q
1
, . . . , Q
s
, logo a hiper-
superf´ıcie dual Z de
^
C estaria contida na uni˜ao dos hiperplanos
ˇ
Q
1
, . . . ,
ˇ
Q
s
e isto implicaria que Z seria um dos hiperplanos
ˇ
Q
i
. Isto acarretaria que
^
C
seria estranha, contradizendo o Teore ma de Lluis-Samuel, pois
^
C n˜ao ´e uma
cˆonica.
Portanto, dim X > 0, o que implica que no espa¸co projetivo W
Q
, o
hiperplano V deve cortar X em algum ponto. Assim, existe um ponto P ∈
^
C
tal que T
P
^
C ∩ V = ∅, logo para todo R ∈ ∆ tem-se que π
W
R
´e ramificada
em P, logo G
R
(P) = {Id}, para infinitos R, o que implica que o conjunto dos
automorfismos de
^
C que deixam P fixo ´e infinito, o que n˜ao pode ocorrer
para uma curva el´ıptica.
2 Distribui¸c˜ao dos pontos de Galois externos
Para des crever a distribui¸c˜ao dos pontos de Galois externos de uma curva
com infinitos tais pontos, necessitaremos de alguns lemas que daremos a
seguir.
Lema 3.4. Se C tem um ponto singular n˜ao estranho P com multiplicidade
m e cuja fibra r
−1
(P) tem cardinalidade menor do que m, ent˜ao ∆
est´a
contido em uma uni˜ao finita de retas.
Demonstra¸c˜ao. Denotemos por Σ a uni˜ao de todas as retas que passam por
P e que, ou contenham um outro ponto singular de C, ou s˜ao tangentes a
algum ramo de C. Dado que P n˜ao ´e o centro da curva, se por ventura for
estranha, este c onjunto de retas ´e finito. Vamos mostrar que ∆
est´a contido
em Σ.
Suponhamos, por absurdo, que ∆
\ Σ = ∅ e seja R ∈ ∆
\ Σ. Como, por
hip´otese, ^π
−1
R
(RP) = r
−1
(π
−1
R
(RP)) tem cardinalidade menor do que o grau
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24 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos Capitulo 3
de C, segue que RP ´e um valor ramificado de ^π
R
. Por outro lado, como a
reta RP n˜ao ´e tangente a nenhum ramo de C, pelo Teorema de B´ezout, ela
certamente cont´em um outro ponto P
de C. Pela escolha de Σ, P
n˜ao ´e
singular e ^π
R
n˜ao ´e ramificado em Q = r
−1
(P
). Como R ´e ponto de Galois,
^π
R
(Q) = RP n˜ao ´e valor ramificado, o que ´e uma contradi¸c˜ao.
Lema 3.5. Seja Q o centro de uma curva estranha C de grau d ≥ 3 e supo-
nhamos que ∆
n˜ao esteja contido em uma uni˜ao finita de retas. Ent˜ao existe
R ∈ ∆
tal que os pontos de ramifica¸c˜ao de ^π
R
s˜ao exatamente r
−1
(C ∩ RQ)
e o ´ındice de ramifica¸c˜ao em cada um desses pontos ´e igual `a ordem gen´erica
de contato q. Al´em disso, d > q e C ∩ RQ cont´em pelo menos dois pontos.
Demonstra¸c˜ao. Denotemos por Σ a uni˜ao das retas tangentes a C em pontos
singulares, das retas tangentes em pontos de inflex˜ao e das retas unindo dois
pontos singulares.
Como as retas acima s˜ao em n´umero finito, temos que ∆
\ Σ = ∅. Seja
R ∈ ∆
\ Σ. Pela nossa escolha de Σ e pelo fato de Q ser o centro da curva
C, o mapa ^π
R
´e n˜ao ramificado nos pontos fora de RQ. Al´em disso, existe
P
∈ RQ ∩ C
0
tal que I
P
(C, RQ) = q. Logo, e
r
−1
(P
)
= q > 1 e, assim, todos
os pontos de r
−1
(C ∩ RQ) s˜ao ramificados.
Para provar que d > q, suponhamos p or absurdo que d ≤ q. Logo,
necessariamente, d = q. Ent˜ao, pelo Teorema de B´e zout, Q /∈ C. Seja P um
ponto singular de C, que existe pelo Teorema de Lluis-Samuel, e seja γ um
ramo de C em P. Se γ ´e singular, ent˜ao pelo Lema 3.4, temos que ∆
est´a
contido numa uni˜ao finita de retas, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Se, por outro
lado, γ n˜ao ´e singular, temos que
QP ´e tangente a γ e I
P
(γ, QP) ≥ q, o que
implica que γ ´e o ´unico ramo de C por P, o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois P
´e ponto singular de C e γ ´e liso.
Como I
P
(C, RQ) = q e d > q, existe um outro ponto em C ∩ RQ.
Lema 3.6. Seja C uma curva estranha com centro Q e suponhamos que
exista uma reta L contendo infinitos pontos de ∆
.
i) Se Q /∈ L, ent˜ao existem infinitos R ∈ ∆
∩ L tais que
(C
0
∩ RQ) \ {Q} = {Q
1
, . . . , Q
k
},
com I
Q
i
(C, T
Q
i
C) = q e com ^π
R
ramificado em RQ e eventualmente em L,
e em mais nenhum ponto.
ii) Se Q ∈ L, ent˜ao existem infinitos R ∈ ∆
∩ L tais que os pontos de
ramifica¸c˜ao de ^π
R
s˜ao exatamente os pontos de r
−1
(C ∩ L).
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Cap´ıtulo 3 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos 25
Demonstra¸c˜ao. (i) Denotemos por Σ a uni˜ao das retas tangentes em pontos
de inflex˜ao fora de L, das retas unindo dois pontos singulares de C fora de
L e das retas tangentes em pontos singulares fora de L.
Como (∆
∩ L) \ Σ ´e infinito e todos os seus pontos satisfazem (i), esta
parte do lema est´a provada.
(ii) Como o centro Q da curva C est´a em L, dado um ponto n˜ao singular S
fora de L, temos que e
r
−1
(S)
= I
S
(C, RS) = 1, para todo R ∈ ∆
∩ L. Logo,
RS n˜ao ´e valor ramificado.
Denotemos por Σ
a uni˜ao das retas tangentes em pontos singulares de
C fora de L e das retas unindo dois pontos singulares de C fora de L. Note
que Σ
∩ L ´e finito.
Se tomarmos R ∈ (∆
∩ L) \ Σ
, temos que RS
n˜ao ´e valor ramificado
para todo S
ponto singular de C fora de L. De fato, RS
cont´e m um ponto
S n˜ao singular de C fora de L, logo RS
= RS ´e valor n˜ao ramificado de ^π
R
,
pelo que vimos acima.
Para provar que os pontos de r
−1
(C ∩ L) s˜ao todos de ramifica¸c˜ao de
^π
R
, suponhamos por absurdo que ^π
R
fosse n˜ao ramificada em algum ponto
do conjunto r
−1
(C ∩ L), logo seria n˜ao ramificada em todos os seus pontos.
Portanto ^π
R
n˜ao teria nenhum ponto de ramifica¸c˜ao, o que pela f´ormula de
Riemann-Hurwitz nos daria −2d = −2, logo d = 1, absurdo.
Vimos, na se¸c˜ao anterior que se ∆
´e infinito, ent˜ao a curva C ´e estranha,
com centro Q, e racional. Vamos agora mostrar que, nessa situa¸c˜ao, existe
uma reta L passando por Q que cont´em um n´umero infinito desses pontos,
terminando assim a prova de (1) ⇒ (2).
Do lema 3.5 segue que ∆
est´a contido em uma uni˜ao finita de retas.
De fato, se esse n˜ao fosse o caso, existiria R ∈ ∆
tal que os pontos de
ramifica¸c˜ao de ^π
R
seriam exatamente r
−1
(C ∩ RQ) e r
−1
(C ∩ RQ) cont´em
dois pontos distintos. Logo, RQ ´e o ´unico valor ramificado de ^π
R
. Do Lema
2.1 (ii), temos que ^π
R
´e s´o ramificada em um ponto. Contradi¸c˜ao.
Conclu´ımos assim que existe uma reta L contendo infinitos pontos de ∆
.
S´o nos resta mostrar que Q ∈ L. Suponhamos por absurdo que Q /∈ L.
Vamos separar a an´alise em dois casos:
Caso a) d > q.
Pelo Lema 3.6 (i), existem infinitos pontos R ∈ ∆
∩ L para os quais
os valores ramificados de ^π
R
s˜ao RQ e eventualmente L e com ´ındice de
ramifica¸c˜ao q em qualquer ponto da fibra de ^π
−1
R
(RQ). Segue do Lema
2.1(i) que n :=
d
q
´e um inteiro n˜ao divis´ıvel por p.
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26 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos Capitulo 3
Neste caso, L ´e tamb´em um valor ramificado de ^π
R
, pois se apenas RQ
fosse valor ramificado de ^π
R
, ent˜ao pelo lema 2.1(ii) ter´ıamos d = q, absurdo.
Por outro lado, na fibra ^π
−1
R
(L) existem pelo menos dois pontos (ramifica-
dos), pois caso contr´ario ^π
R
seria ramificado em um s´o ponto, mas isto n˜ao
ocorre, pois RQ ´e tamb´em um valor ramificado.
Dado um ponto P
∈ r
−1
(C ∩ L), temos que G
R
(P
) n˜ao ´e um p-grupo,
pois, caso contr´ario, pelo Lema 2.1(i), todos os pontos de ramifica¸c˜ao de ^π
R
teriam grupos estabilizadores p-Sylow. Isto n˜ao pode ocorrer. De fato, se
isto ocorresse, dado σ ∈ G
R
⊂ Aut(
^
C) ⊂ PGL(2, K), com σ = Id, tomando
um autovetor de [σ], existiria P ∈ P
1
tal que σ(P) = P. Assim, σ ∈ G
R
(P)
e, portanto, ord(σ) seria uma potˆencia de p, o que gera uma contradi¸c˜ao,
bastando para isto tomar σ ∈ G
R
com ordem um divisor de n.
Agora seja r
−1
(C ∩ L) = {P
1
, . . . , P
m
} (sabemos que m ≥ 2) e seja A =
{P
2
, . . . , P
m
}.
Tomemos τ ∈ G
R
(P
1
) tal que a sua ordem n˜ao seja uma potˆencia de p.
Ent˜ao, por um argumento semelhante ao usado na demostra¸c˜ao do Lema
2.1(ii), existe S
τ
= P
1
tal que τ(S
τ
) = S
τ
, logo S
τ
∈ A.
Seja agora R
∈ ∆
∩ L, com R
= R, e tomemos η ∈ G
R
(P
1
) tal que
sua ordem n˜ao seja uma potˆencia de p. Novamente, existe S
η
= P
1
tal que
η(S
η
) = S
η
, logo S
η
∈ A. Al´em disso, como G
R
∩ G
R
= {Id}, segue que
existem infinitos τ ∈ Aut(P
1
) tais que S
τ
∈ A. Logo existe j ∈ {2, . . . , m},
fixo, tal que S
τ
= P
j
para infinitos automorfismos τ. Supondo P
j
= P
2
, temos
que existem infinitos τ ∈ Aut(P
1
) (cujas ordens s˜ao menores ou iguais a d)
tais que τ(P
1
) = P
1
e τ(P
2
) = P
2
, contradizendo o Lem a 2.2.
Caso b) d = q.
Pelo lema 3.6(i) temos que (C
0
∩RQ)\{Q} = {Q
}, I
Q
(C, T
Q
C) = q (= d)
e G
R
= G
R
(r
−1
(Q
)) (ou seja, ^π
R
´e s´o ramificado em r
−1
(Q
)). Por outro
lado, do fato de C ser estranha e d ≥ 3, segue do Teorema de Lluis-Samuel
que C tem um ponto singular P. Como RQ = T
Q
C e I
Q
(C, RQ) = d, a
reta RQ n˜ao cont´em pontos de C al´em de Q
. Assim, P /∈ RQ. A curva
C s´o pode ter um ramo no ponto P, pois se houves se dois ramos em P,
cada um deles teria que ter multiplicidade menor do que q (= d), logo as
suas retas tangentes coincidiriam com a reta PQ, cujo ´ındice de interse¸c˜ao
com cada ramo ´e maior ou igual do que q (= d) (cf. [B-H]), mas isto n˜ao ´e
poss´ıvel. Portanto, r
−1
(P) ´e um ponto e, consequentemente, ^π
R
´e ramificada
em r
−1
(P) = r
−1
(Q
), contradi¸c˜ao.
Assim, mostramos que Q ∈ L.
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Cap´ıtulo 3 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos 27
3 A implica¸c˜ao (2) =⇒ (3)
Assumamos a condi¸c˜ao (2) do Teorema. Pelo lema 3.6(ii) existem infinitos
pontos de Galois R tais que os pontos de ramifica¸c˜ao de ^π
R
s˜ao r
−1
(C∩L), ou
seja, o ´unico valor ramificado de ^π
R
´e L e, pelo Lema 2.1 (ii), ^π
−1
R
(L) = {P}
e ^π
R
´e s´o ramificada em P. Portanto, a reta L s´o cont´em o ponto r(P) de
C, logo ela ´e tangente a C neste ponto. Assim, o hiperplano H = r
−1
(L) ´e
tangente a
^
C em P e n˜ao corta
^
C em nenhum outro ponto.
A demonstra¸c˜ao da implica¸c˜ao decorrer´a do lema a seguir.
Lema 3.7. Sejam C ⊂ P
2
uma curva racional estranha de grau d ≥ 3.
Se para infinitos R em uma dada reta L ⊂ P
2
, a proje¸c˜ao ^π
R
´e galoisiana
e ramificada s´o em P ∈ ^π
−1
R
(L). Ent˜ao C ´e projetivamente equivalente `a
imagem de um morfismo Ψ = (ψ
1
: ψ
2
: 1): P
1
→ P
2
que ´e birracional sobre
sua imagem, onde ψ
1
(u) = a
1
u
p
+ · · · + a
e
u
p
e
e ψ
2
(u) = u + b
1
u
p
+ · · · +
b
e
u
p
e
Demonstra¸c˜ao. Nesse caso, por Riemann-Roch, como o divisor se¸c˜ao hiper-
plana D sobre
^
C ´e tal que l(D) = d + 1, podemos considerar
^
C ⊂ P
d
.
Identificamos agora
^
C com P
1
atrav´es de um mergulho ϕ : P
1
→ P
d
e es-
colhemos coordenadas de modo que P = (1 : 0 : · · · : 0). Como
^
C tem
grau d em P
d
e ´e regular, ela ´e a curva de Veronese. Portanto, escolhendo
coordenadas em P
1
temos que φ ´e o d-mergulho de Ve ronese de P
1
em P
d
dado por ϕ(u : v) = (u
d
: u
d−1
v : · · · : v
d
). Vimos acima que o hiperplano
H = r
−1
(L) s´o corta
^
C no ponto P, logo ele ´e dado por X
d
= 0.
Sejam H
0
, H
1
e X
d
trˆes formas lineares que definem V, tais que H
0
(P) = 0
e H
1
(P) = 0 e n˜ao contendo a vari´avel X
d
. Permutando a coordenada X
2
e X
d
em P
d
, a proje¸c˜ao r = π
V
pode ser realizada como sendo a aplica¸c˜ao
(X
0
: · · · : X
d
) → (H
0
: H
1
: X
2
: 0 · · · : 0). Assim, a equa¸c˜ao de L ´e dada
por X
2
= 0 e r ◦ ϕ = (ψ
1
: ψ
2
: 1) onde ψ
1
e ψ
2
s˜ao polinˆomios em u e
ψ
1
(0) = ψ
2
(0) = 0.
Como L tem equa¸c˜ao X
2
= 0, todo ponto R de L, exceto um deles, tem
coordenadas da forma (1 : s : 0). A proje¸c˜ao de centro R sobre P
1
pode ser
dada por π
R
(X : Y : Z) = (Y − sX : Z), donde π
R
◦ π
V
◦ ϕ = (ψ
2
− sψ
1
: 1).
Se ψ
1
ou ψ
2
tem um termo cujo grau n˜ao ´e uma potˆencia de p, ent˜ao
ψ
2
− sψ
1
cont´e m aquele termo para um s geral. Assim, temos que provar
que um recobrimento galoisiano P
1
→ P
1
; (u : 1) → (ψ(u) : 1) de grau p
e
com ψ(0) = 0 que ´e s´o ramificada num ponto, ent˜ao ψ s´o tem termos com
potˆencias de p. Seja σ ∈ G
R
(P), pela prova do lema 2.1, onde l = 1, a matriz
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28 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos Capitulo 3
de σ ´e da forma
[σ] =
1 α
0 1
.
Por outro lado como σ deixa fixo ψ(u), temos que ψ(u + α) = ψ(u) para
p
e
elementos α ∈ K (recorde que a cardinalidade de G
R
´e p
e
). Logo, pelo
lema 2.3, temos que ψ s´o tem termos com potˆencias de p, e assim ψ
1
e ψ
2
s´o tem termos com potˆencias de p.
Para terminar a prova precisamos mos trar que ψ
1
(u) ou ψ
2
(u) tem
um termo n˜ao nulo em u. Mas, isto segue do fato de que a extens˜ao
K(u)/K(ψ
2
(u) − sψ
1
(u)) ´e galoisiana.
4 A implica¸c˜ao (3) =⇒ (4)
Vamos demonstrar neste par´agrafo que (3) implica (4) no Teorema 3.1.
Assumamos a condi¸c˜ao (3) do Teorema. Seja
x := ψ
1
(u) = a
1
u
p
+ · · · + a
p
e
u
e y := ψ
2
(u) = u + b
1
u
p
+ · · · + b
e
u
p
e
e seja V o subespa¸co vetorial de K[u] gerado pelos elementos, u
p
, u
p
2
, . . . , u
p
2e
.
Consideremos agora os (2e + 1) elementos em V
x, x
p
, x
p
2
. . . , x
p
e
, y
p
, y
p
2
. . . , y
p
e
,
como dim V = 2e, temos que existem α
0
, . . . , α
e
, β
1
, . . . , β
e
∈ K, n˜ao todos
nulos, tais que :
f(x, y) = α
e
x
p
e
+ α
e−1
x
p
e−1
+ · · · + α
1
x
p
+ α
0
x + β
e
y
p
e
+ · · · + β
1
y
p
= 0
em V, ou seja, f(ψ
1
(u), ψ
2
(u)) = 0. Como d = p
e
, a curva C ´e definida por
f(x, y) = 0. Fazendo, se necess´ario, uma mudan¸ca de coordenadas, podemos
supor que α
e
= 1.
Finalmente, α
0
= 0, pois f(x, y) ´e irredut´ıvel.
Terminamos assim a prova de (3) ⇒ (4).
5 A implica¸c˜ao (4) =⇒ (1)
Esta parte do Teorema 3.1 decorrer´a do resultado a seguir.
Proposi¸c˜ao 3.2. Seja C ⊂ P
2
uma curva plana irredut´ıvel definida por
x
p
e
+ α
e−1
x
p
e−1
+ · · · + α
1
x
p
+ α
0
x + β
e
y
p
e
+ · · · + β
1
y
p
= 0, α
0
= 0.
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Cap´ıtulo 3 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos 29
Ent˜ao C ´e estranha de cen tro Q = (0 : 1 : 0) e possui um ´unico ponto
singular P que est´a na reta L : Z = 0 (P = Q ´e poss´ıvel). Al´em disso, temos
que ∆
= L \ {P, Q}. Ademais, para cada R ∈ ∆
, o grupo de Galois G
R
´e
isomorfo a (Z
p
)
⊕e
Demonstra¸c˜ao. Homogenizando o polinˆomio temos:
F(X, Y, Z) = X
p
e
+ · · · + α
0
XZ
p
e
−1
+ β
p
e
Y
p
e
+ · · · + β
1
Y
p
Z
p
e
−p
.
Calculando as suas derivadas parciais, temos :
∂F
∂X
= α
0
Z
p
e
−1
,
∂F
∂Y
= 0,
∂F
∂Z
= −α
0
XZ
P
e
−2
.
Assim, o ´unico ponto singular P de C ´e dado por
X
p
e
+ β
e
Y
p
e
= Z = 0. (1)
Dado um ponto P
= (a : b : c) ∈ C \ {P}, temos que a reta tangente
a C em P
´e dada por α
0
c
p
e
−1
X − α
0
ac
p
e
−2
Z = 0, logo todas estas retas
tangentes passam por Q = (0 : 1 : 0) (o centro da curva).
Seja R = (1 : s : 0) um ponto qualquer de L \ {Q}, logo a proje¸c˜ao π
R
´e dada
por (x : y : 1) → (y − sx : 1). Seja ^y = y− sx, logo a extens˜ao K(C)/π
∗
R
K(P
1
)
´e dada por K(x, ^y)/K(^y), com
(1 + β
e
s
p
e
)x
p
e
+ · · · + (α
1
+ β
1
s
p
)x
p
+ α
0
x + β
e
^y
p
e
+ · · · + β
1
^y
p
= 0,
obtida a partir da equa¸c˜ao de C.
Dado
h(t) = (1 + β
e
s
p
e
)t
p
e
+ · · · + (α
1
+ β
1
s
p
)t
p
+ α
0
t+
β
e
^y
p
e
+ · · · + β
1
^y
p
∈ K(^y)[t],
temos que h
(t) = α
0
= 0, logo a extens˜ao K(x, ^y)/K(^y) ´e separ´avel. Al´em
disso o polinˆomio
q(t) = (1 + β
e
s
p
e
)t
p
e
+ · · · + (α
1
+ β
1
s
p
)t
p
+ α
0
t ∈ K[t]
tem p
e
ra´ızes distintas em K, digamos γ
1
, . . . , γ
p
e
∈ K, logo
x + γ
1
, . . . , x + γ
p
e
∈ K(x, ^y)
s˜ao as ra´ızes de h(t) e, portanto, a extens˜ao K(x, ^y)/K(^y)) ´e normal e
separ´ave l, logo galoisiana.
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30 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos Capitulo 3
Al´em disso dado σ ∈ G
R
, temos σ(x) = x + γ
i
, para algum i, logo o grupo
de Galois ´e isomorfo ao grupo aditivo H := {γ ∈ K; q(γ) = 0}.
Como H ´e um grupo abeliano finito, ent˜ao ele ´e da forma Z
p
m
1
⊕· · ·⊕ Z
p
m
k
.
Mas, como cada elemento de H tem ordem p, temos que m
1
= · · · = m
k
= 1,
ou seja, H = (Z
p
)
⊕e
, sempre que 1 + s
p
e
β
e
= 0, o que ocorre para todo R
ponto distinto de P.
Logo, L \ {P, Q} ⊂ ∆
e, consequentemente, ∆
´e infinito.
Para terminar a prova, devemos mostrar que nenhum ponto fora de L ´e
ponto de Galois externo de C, na presen¸ca de qualquer uma das c ondi¸c˜oes
equivalentes do Teorema 3.1.
Pela condi¸c˜ao (3) do Teorema 3.1, o me rgulho de Veronese ϕ : P
1
→ P
d
d´a um isomorfismo de P
1
sobre
^
C. A aplica¸c˜ao r ◦ ϕ ´e dada em coordenadas
homogˆeneas (u : v) de P
1
por (u : v) → (Ψ
1
(u, v) : Ψ
2
(u : v) : v
p
e
). Segue-se
que Ψ
−1
(P) = {(1 : 0)}, logo r
−1
(P) = {(1 : 0 : · · · : 0)}.
Dado um ponto qualquer R = (a : b : 1) /∈ C ∪ L, suponhamos por
absurdo que R ∈ ∆
. Nesse ponto, separaremos a an´alise em dois casos.
Caso 1) P = Q
A reta que une P a R (que n˜ao cont´em Q) ´e dada por L
: X + ζY − (a +
ζb)Z = 0, onde ζ satisfaz −(ζ)
p
e
= β
e
, devido `a condi¸c˜ao (1) acima que
caracteriza o ponto P.
Agora, calculemos L
∩C na parte afim, ou seja, quando Z = 1. Resolvendo o
sistema, obtemos um polinˆomio em y que tem pelo menos uma raiz, que nos
dar´a um ponto de C distinto de P, logo regular. A reta L
, em n˜ao contendo
Q ´e transversal a C nesse ponto. Isto implicaria que ^π
R
´e n˜ao ramificada
em r
−1
(P), o que ´e um absurdo, pois r
−1
(P) consiste de apenas um ponto.
Caso 2) P = Q
A reta que une P(= Q) a R ´e dada por L
: X − aZ = 0. Substituindo
X por aZ e Z por 1 na equa¸c˜ao da curva, encontramos solu¸c˜oes para y que
nos d˜ao pontos em L
∩ C, distintos de Q (= P). Logo como a reta L
passa
por Q ela ´e tangente a C nos pontos encontrados, portanto, ^π
R
´e ramificado
nas imagens inversas por r desses pontos, al´em do ponto r
−1
(P). Por outro
lado ^π
R
´e n˜ao ramificada nos pontos P
fora de r
−1
(C ∩ L
) (recorde que
Rr(P
) ´e transversal a C em r(P
)). Pelo Lema 2.1, ^π
R
tem um ´unico ponto
de ramifica¸c˜ao, o que ´e uma contradi¸c˜ao.
Portanto, mostramos que ∆
= L \ {P, Q}
Com isto terminamos a prova do Teorema 3,1.
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Cap´ıtulo 3 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos 31
Observa¸c˜ao 3.4. Para cada R ∈ ∆
, e qualquer σ ∈ G
R
, σ pode se estender
a uma transforma¸c˜ao projetiva de P
2
.
De fato, dado σ ∈ G
R
, existe um γ ∈ K (como na prova da proposi¸c˜ao
acima) tal que σ
∗
(x) = x + γ, al´em disso lembremos que σ
∗
deixa fixo
^y = y − bx daqui temos que σ
∗
(y − bx) = y − bx assim σ
∗
(y) = y + bγ, e
por tanto σ pode-se estender a uma transforma¸c˜ao projetiva de P
2
.
6 Pontos de Galois internos
Nesta se¸c˜ao caracterizaremos dentre as curvas con infinitos pontos de Galois
externos aquelas que tamb´em tem pontos de Galois internos.
Proposi¸c˜ao 3.3. Seja C ⊂ P
2
uma curva plana irredut´ıvel de grau d com
∆
infinito. Se ∆
∩ C
0
= ∅, ent˜ao C ´e projetivamente equivalente `a curva
x − y
d
= 0 e, neste caso, ∆
∩ C
0
= C
0
.
Antes de dar a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao, provaremos alguns lemas.
Denotaremos o conjunto ∆
∩ C
0
por ∆
0
.
Lema 3.8. Seja C uma curva plana irredutivel com ∆
infinito. Se ∆
0
tem
um ponto, ent˜ao ∆
0
´e um aberto de Zariski de C.
Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 3.1 temos que a curva C ´e estranha e satisfaz
∆
= L \ {P, Q}, onde Q ´e o centro da curva C, Sing(C) = {P} e L ´e uma reta.
Suponhamos que ∆
0
= ∅ e seja R ∈ ∆
0
. Como o conjunto C ∩ (RP ∪ RQ)
´e finito, tem os que C \ (RP ∪ RQ) ´e um aberto de Zariski de C
0
. Seja dado
R
1
∈ C \ (RP ∪ RQ), ent˜ao temos que R
1
∈ C
0
e logo podemos achar R
∈
∆
∩ RR
1
. Sendo R
um ponto de Galois externo e como π
R
(R) = π
R
(R
1
),
sabendo que o grupo de Galois G
R
da proje¸c˜ao por um ponto de Galois
R
age transitivamente sobre cada fibra de π
R
, temos que existe σ ∈ G
R
tal que σ(R) = R
1
. Pela observa¸c˜ao 3.4, temos que σ pode-se estender a
uma transforma¸c˜ao projetiva em P
2
, logo R
1
´e tamb´em um ponto de Galois
interno em C
0
, ou seja, todo ponto de C\(RP∪RQ) ´e um ponto de Galois.
Lema 3.9. Se ∆
0
´e um aberto de Zariski, ent˜ao γ ´e puramente inseparavel.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos por contradi¸c˜ao que γ tem grau de separabi-
lidade s ≥ 2, ent˜ao para um ponto geral R ∈ C, existe R
∈ C
0
tal que
γ(R) = γ(R
), onde γ denota a aplica¸c˜ao de Gauss, o que significa que
T
R
C = T
R
C. Mais ainda, podemos supor I
R
(C, T
R
C) = I
R
(C, T
R
C) = q
e R ∈ ∆
0
. Assim, para a proje¸c˜ao ^π
R
, pelas Observa¸c˜oes 1.2 e 1.1, temos
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32 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos Capitulo 3
e
R
= q−1 e e
R
= q, uma contradi¸c˜ao, pois estamos supondo R ∈ ∆
0
e nesse
caso os indices de ramifica¸c˜ao coincidem para cada elemento da fibra.
Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 3.3. Pelo Lema 3.8, sabemos que ∆
0
´e um
aberto de Zariski, n˜ao vazio, de C. Seja R um ponto geral de ∆
0
. O morfismo
^π
R
´e ramificado em R, com ´ındice e
R
= q − 1 (Observa¸c˜ao 1.2) e temos que
(C ∩ T
R
C) \ {R} ⊂ Sing(C) = {P}, pois, pelo Lema 3.9, o mapa de Gauss ´e
puramente inseparavel.
Mostraremos inicialmente que (C∩T
R
C)\{R} = ∅. De fato, suponhamos,
por absurdo, que (C ∩ T
R
C) \ {R} = {P}. Neste caso, a curva C ´e estranha,
com centro Q = P, cuja multiplicidade ´e d − q, pois o mapa de Gauss
´e puramente inseparavel, T
R
C ∩ C
0
= {R} e I
R
(C, T
R
C) = q. Lembremos
que pelo Teorema 3.1, C ´e racional. Os pontos de ramifica¸c˜ao de ^π
R
s˜ao
exatamente ^π
−1
R
(π
R
(Q)). Como R ∈ C
0
, ent˜ao RQ = T
R
C, logo e
R
= q − 1
(Observa¸c˜ao 1.2) e do fato de R ∈ ∆
0
, todo ponto na fibra tem o mesmo
´ındice de ramifica¸c˜ao. Como p (q − 1), a aplica¸c˜ao ^π
R
s´o tem ramifica¸c˜oes
n˜ao selvagens. Aplicando a formula de Riemann-Hurwitz temos:
2g(
^
C) − 2 = (d − 1)(2g(P
1
) − 2) +
S∈ ^π
−1
R
(RQ)
(q − 2). (1)
Por outro lado, temos
S∈ ^π
−1
R
(RQ)
e
S
= d − 1,
donde # ^π
−1
R
(RQ) =
d−1
q−1
. Al´em disso, sendo C racional, a f´ormula (1),
acima, fica
−2 = −2(d − 1) +
(q − 2)(d − 1)
q − 1
.
Fazendo as contas, temos:
2(q − 1) = q(d − 1),
o que ´e uma contradi¸c˜ao.
Portanto, podemos supor que (C ∩ T
R
C) \ {R} = ∅, para R geral em ∆
0
.
Como a nossa curva tem mapa de Gauss puramente insepar´avel e ´e estranha,
segue imediatamente pelo Teorema de B´ezout que d = q e o ce ntro Q est´a
fora da curva. Assim, para todo ponto R suave, temos que I
R
(C, T
R
C) = q,
logo, o morfismo ^π
R
´e n˜ao ramificado em todo ponto suave distinto de R.
Demonstraremos que o ponto singular P satisfaz C ∩ RP = {R, P} para
um R geral.
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Cap´ıtulo 3 Curvas com Infinitos Pontos de Galois Externos 33
De fato, suponhamos, por absurdo, que para um R geral, C∩RP contenha
um outro ponto suave R
∈ C. Assim, ^π
R
, ´e n˜ao ramificada em cada ponto da
fibra de r
−1
(P), portanto, ^π
R
´e s´o ramificada em R, logo, da Observa¸c˜ao 1.2,
com ´ındice q − 1 (n˜ao selvagem). Aplicando a formula de Riemann-Hurwitz,
temos
2g(
^
C) − 2 = (d − 1)(2g(P
1
) − 2) + q − 2.
Da´ı termos que 2g(
^
C) = −2(q−1)+q = −q+2 < 0, o que ´e uma contradi¸c ˜ao.
Assim, RP ∩ C = {R, P}, para um R geral, ou seja, a multiplicidade do
ponto singular P ´e m
P
= q − 1.
Para terminar a prova da Teorema, mostraremos que C ´e projetivamente
equivalente `a curva definida por XZ
q−1
−Y
q
= 0. De fato sabemos que d = q,
pelo Corolario (3.4) em [B-H], C ´e projetivamente equivalente a uma curva
dada por
X
q−1
Z + b
2
X
q−2
Z
2
+ · · · + b
q−2
X
2
Z
q−2
+ XZ
q−1
− Y
q
= 0,
onde os b
j
∈ K para j = 2, . . . , q−1. Como a curva C tem um ponto singular
com multiplicidade q − 1, temos que C ´e projetivamente equivalente `a curva
dada por XZ
q−1
− Y
q
= 0, o que termina a prova da proposi¸c˜ao.
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Bibliografia
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[H-F] Hasegawa T. e Fukasawa S., Singular plane curves with infinitely many
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[Ho] Homma M., The Galois points for a Hermitian curve, Comm. Algebra
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[M-Y] Miura K. e Yoshihara H., Field theory for function fields of plane
quartic curves, J. Algebra 226, (2000), 283-294.
34
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Bibliografia 35
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[St] Stichtenoth H., Algebraic Funtions Fields and Codes. Springer-Verlag
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