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ANÁLISE DE EDIFÍCIOS ALTOS SUBMETIDOS
A TERREMOTOS PELA TÉCNICA DO MEIO
CONTÍNUO
1
César Alfredo Espezúa Llerena
Orientador: Prof. José Elias Laier
Dissertação apresentada ao Departamento de Engenharia
de Estruturas da Universidade de São Paulo - São Carlos,
como parte dos requisitos para obtenção do título de
Mestre em Engenharia de Estruturas.
USP – São Carlos
Agosto 2009
1
Este trabalho teve suporte financeiro do CNPq
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3
4
A todos os que me
apoiaram.
5
Agradecimentos
Inicialmente gostaria de agradecer à minha família, em especial a minha mãe Soledad,
quem sempre acreditou em mim; ao meu pai Hugo pelo apoio e carinho incondicional; a meu
sobrinho Gabrielito; a minhas irmãs Katia e Soledad e a meu cunhado Edwin, pela confiança,
pelo carinho nos momentos ruins e bons, pelas broncas nas horas certas, pelos conselhos, por
dividir sua história comigo, por todo seu apoio e me ajudado em todos os sentidos para que
este trabalho fosse realizado. Obrigado por fazer parte da minha vida...
Agradeço também aos meus amigos que fiz nesta jornada e que nunca irei esquecer,
pelo apoio e ajuda no início da caminhada. À galera da pós pela companhia na hora do
cafezinho. Aos meus amigos de diferentes nacionalidades nos diferentes departamentos do
campus universitário, e que me ajudaram a não esquecer o espanhol. Ao meu orientador
Professor José Elias Laier, pela orientação e bons conselhos na hora certa, sua paciência e
grande profissionalismo, ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e
Tecnológico (CNPq) pela bolsa de estudos concedida.
Obrigado a todos!
6
7
Resumo
ESPEZUA, C. A. Análise de edifícios altos submetidos a terremotos pela técnica do meio
contínuo. 2009. 111p. Dissertação (mestrado) - Departamento de Engenharia de Estruturas,
Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 2009.
Nesta dissertação emprega-se um método simplificado de análise elástica baseado na
técnica do meio contínuo para edifícios altos submetidos a terremoto formados por painéis
paredes, pórticos e núcleos de seção aberta de parede delgada. Na ligação dos diferentes
painéis, supõe-se que existe uma considerável quantidade de diafragmas horizontais rígidos
em seu próprio plano, distribuídos continuamente ao longo da vertical 0z. Levando-se em
conta a equação constitutiva dos painéis individuais pode-se obter a solução de analise
estrutural para o edifício mediante equações diferenciais acopladas para deslocamento e
rotações ao longo do eixo vertical do edifício. Com base nesses resultados, todos os esforços
internos podem, então, ser obtidos. O método de análise proposto oferece um simples e
rápido meio de obtenção da deformada e das forças internas dos diferentes painéis do edifício
alto em fases iniciais do projeto. A utilidade e a aproximação do método são examinadas
mediante exemplos numéricos, sendo a solução aproximada comparada com aquela obtida
com o emprego do método de elementos finitos elaborado pelo programa SAP2000.
Palavras-chave: Técnica do meio contínuo, painéis, terremoto, deformada, forças internas.
8
9
Abstract
ESPEZUA, C. A. Analysis of tall buildings subject to earthquakes using the continuous
medium technique. 2009. 111p. Dissertação (mestrado) - Departamento de Engenharia de
Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 2009.
This work presents a simplified method of elastic analysis based on the continuous
medium technique for tall building structures formed by shear wall panels, frames and core
thin walled sections. In order to connect the various panels, it is assumed that there exist a
considerable amount of rigid diaphragms continuously distributed along the vertical 0z. The
building is subject to lateral earthquake load. Taking into account the constitutive equation of
the individual panel, one can achieve a solution through coupled differential equations for
displacement and rotation of the building. Based on that, all of the internal forces can be
obtained. The analysis is extended to structures formed by singular panel configuration. The
proposed method offers a relatively simple and rapid way to obtain the displacements and
internal forces of different structural systems of tall buildings, especially indicated for
preliminary stages of calculation. The usefulness of the approach and method are illustrated
by numerical examples, where the approximated solution is compared with that obtained by
finite element calculations.
Keywords: continuous medium technique, panels, earthquake, displacements, internal forces.
10
11
Sumário
Introdução 23
1. Calculo da forca sísmica em edifícios 27
1.1. Equação do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2. Avaliação numérica da resposta dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.1. Métodos de passo de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.2. Métodos baseados em interpolação de excitação . . . . . . 30
1.2.3. Método da diferença central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.4. Método de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3. Resposta sísmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.1. Excitação sísmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.2. Equação do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.3. Histórico da resposta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.4. Conceito de espectro de resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.5. Espectro de resposta ao deslocamento, à pseudo–velocidade e à pseudo
–aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.6. Resposta estrutural pico do espectro de resposta . . . . . . . . . . . 52
2. Técnica do meio contínuo para cálculo de edifícios 55
2.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2. Tipos básicos de painéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.1. Pilares parede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.2. Pórtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
12
2.2.3. Núcleos de seções abertas de parede delgada . . . . . . . . . . . 59
2.3. Associação múltipla de pilares parede, pórticos e núcleos de seções abertas
de parede delgada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.1. Convenções e hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.2. Equações de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.3. Associação contendo unicamente pilares parede . . . . . . . . . . . 67
2.3.4. Associação contendo unicamente pórticos . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.5. Desacoplamento do caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.6. Resolução da equação diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.7. Desacoplamento em casos singulares . . . . . . . . . . . . . . . 73
3. Aplicabilidade e procedimento do método 77
3.1. Distribuição da força sísmica na altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2. Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3. Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4. Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4. Conclusões 91
A. Definições para o cálculo da força sísmica 93
A.1. Período natural de vibração e freqüência natural circular de vibração . . . 93
A.2. Livre vibração sem amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A.3. Livre vibração com amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B. Seqüência do programa 97
B.1 Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
B.2 Estrutura do programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
B.3 Dados de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
B.4 Dados de saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
B.5 Programa fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Referências bibliográficas 111
13
Lista de Figuras
1.1. Notação para interpolação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2. Componente horizontal norte - sul do terreno do registro da aceleração na
subestação Valle Imperial, El Centro, Califórnia, durante o terremoto de 18 de
maio de 1940. A velocidade e deslocamento do terreno foram obtidos por
integração da aceleração do terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3. Sistema de simples grau de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4. Resposta ao deslocamento de sistemas simples com (
= 0.5, = 0.02);
(
= 1, = 0.02) e (
= 2, = 0.02) respectivamente para o
terremoto “El Centro”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5. Resposta ao deslocamento de sistemas simples com (
= 2, = 0.00);
(
= 2, = 0.02) e (
= 2, = 0.05) respectivamente para o sismo
“El Centro”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6. Força estática equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7. Resposta de pseudo - aceleração de sistemas simples com (
= 0.5, =
0.02); (
= 1, = 0.02) e (
= 2, = 0.02) respectivamente para o
sismo “El centro”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.8. Espectro de resposta ao deslocamento = 2%. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.9. Espectro de resposta à pseudo–velocidade = 2%. . . . . . . . . . . . . . . 48
1.10. Espectro de resposta à pseudo–aceleração = 2%. . . . . . . . . . . . . . . 49
1.11. Combinação de espectro de resposta de para o registro de terremoto
“El Centro” com = 2%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
14
1.12. Combinação de espectro de resposta de para o registro de terremoto
“El Centro” com = 0; 2; 5; 10 e 20%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.13. Valor pico da força estática equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1. Carregamento externo em pilares parede, elástica e elemento isolado e
convenção de sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2. Carregamento externo em pórtico e elástica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3. Pórtico com vigas de = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4. Momento de torção
atuante em um núcleo de seção aberta de parede delgada. 60
2.5. Tensões de cisalhamento uniforme na seção aberta de parede delgada. . . . . 62
2.6. Associação múltipla de pilares parede, pórticos e núcleos de seção aberta de
parede delgada (planta térrea). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7. Mudança do sistema de referência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.8. Carregamento horizontal no edifício genérico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1. Planta térrea do edifício conformado pela associação de pilares parede e
pórticos (caso não singular). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2. Deslocamentos principais do edifício do exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3. Planta térrea do edifício conformado pela associação de pórticos e um pilar
parede (caso singular). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4. Deslocamentos principais do edifício do exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5. Planta térrea do edifício conformado pela associação de pórticos, pilares parede
e núcleos de seção aberta de parede delgada (caso não singular). . . . . 84
3.6. Força concentrada no topo e carregamento linear produzidas pelo terremoto. . . 85
3.7. Deslocamentos principais do edifício do exemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.8. Deslocamentos do pilar parede 5 e o pórtico 1. Os deslocamentos estão em
coordenadas locais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.9. Momentos fletores dos pilares parede 1 e 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.10. Força cortante dos pilares parede 1 e 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.11. Força cortante dos pórticos 1 e 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
15
Lista de Tabelas
1.1. Coeficientes para métodos baseados na interpolação. . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2. Método da diferença central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3. Método de aceleração media e aceleração linear. . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4. Método de Newmark para sistemas lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1. Pilares parede do exemplo 1. X1 e Y1 representam as coordenadas do nó
inicial do pilar parede. X2 e Y2 representam o nó final da respectiva parede. . 79
3.2. Pórticos do exemplo 1. X e Y representam as coordenadas das colunas de cada
um dos pórticos. m contem as larguras de seções das vigas. n contem os
comprimentos de seções das vigas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3. Deslocamentos e giro do diafragma genérico do exemplo 1. . . . . . . . . . . 81
3.4. Pilar parede do exemplo 2. X1 e Y1 representam as coordenadas do nó inicial
do pilar parede. X2 e Y2 representam o nó final da respectiva parede. . . . . . 82
3.5. Pórticos do exemplo 2, na qual
contem as larguras das seções das colunas,
contem os comprimentos das seções das colunas,
contem as larguras das
seções das vigas e
contem os comprimentos das seções das vigas. . . . . 82
3.6. Pilar parede do exemplo 3. X1 e Y1 representam as coordenadas do nó inicial
do pilar parede. X2 e Y2 representam o nó final da respectiva parede. . . . . . 86
3.7. Pórticos do exemplo 3, na qual
contem as larguras das seções das colunas,
contem os comprimentos das seções das colunas,
contem as larguras das
seções das vigas e
contem os comprimentos das seções das vigas. . . . . . 86
16
17
Lista de símbolos
Força elástica; força estática equivalente.
Força de amortecimento.
Força de inércia.
Força externa.
Rigidez lateral do sistema.
Coeficiente de amortecimento.
Massa do sistema.
Aceleração do sistema.
Velocidade do sistema.
Deslocamento do sistema. Deslocamento do eixo 0 do diafragma rígido.
Deslocamento total.
Deslocamento do terreno.
Aceleração total.
Aceleração do terreno.
eff
Força efetiva do terremoto.
0
Deslocamento inicial.
0
Velocidade inicial.
Passo de tempo .
Tempo; espessura da parede delgada do núcleo da seção aberta
Tempo no fim do passo de tempo .
Aceleração no tempo .
Velocidade no tempo .
Deslocamento no tempo .
Tempo relativo
Valor de
no tempo .
Incremento de
com o passo de tempo .
18
Passo de tempo .
Passo de tempo.
Freqüência natural.
Freqüência natural amortecida.
Razão de amortecimento.
Parâmetro no método de Newmark.
Parâmetro no método de Newmark.
Período natural.
0
Aceleração no tempo zero.
0
Velocidade no tempo zero.
0
Deslocamento no tempo zero.
Pseudo-aceleração.
Força cortante na base.
Momento de tombamento na base.
Valor máximo de
.
Valor máximo de
.
0
Valor máximo de
.
Espectro à pseudo-velocidade. Força cortante na técnica do meio contínuo.
Constante arbitraria; deslocamento na ordenada do espectro; Centro de torção.
Maximo valor de energia de deformação.
Maximo valor de
.
Maximo valor de
.
Maximo valor de
.
Aceleração devido à gravidade.
Peso.
Altura do pé-direito do andar.
Força cortante do pilar parede.
Momento fletor do pilar parede.
Carregamento horizontal linear distribuído no pilar parede.
Carregamento horizontal concentrado no topo do pilar parede.
Modulo de elasticidade do pilar parede.
Momento de inércia no eixo principal do pilar parede.
Deslocamento no eixo principal do pilar parede.
Produto de rigidez a flexão do pilar parede.
Curvatura do eixo principal do pilar parede (elástica).
Terceira derivada da deformada do pilar parede.
Força cortante do pórtico.
19
Momento fletor do pórtico.
Carregamento horizontal linear distribuído no pórtico.
Carregamento horizontal concentrado no topo do pórtico.
Modulo de elasticidade do pórtico.
Rigidez constante no pórtico a força cortante.
Deslocamento no eixo principal do pórtico.
Produto de rigidez a flexão do pilar parede.
Equação diferencial da linha elástica do pórtico.
Deslocamento relativo ao pé-direito.
Momento de torção solicitante.
Momento de inércia a torção.
Modulo de elasticidade transversal.
. Amplitude do empenamento
Ângulo de rotação.
Primeira derivada do ângulo de rotação com respeito ao eixo .
Segunda derivada do ângulo de rotação com respeito ao eixo .
Terceira derivada do ângulo de rotação com respeito ao eixo .
Área setorial da seção transversal.
Deformação no eixo .
Deformação da seção transversal .
Tensão normal na direção do eixo .
Tensão normal na direção da seção do elemento.
Coeficiente de Poisson.
Modulo de elasticidade longitudinal.
Força resultante das tensões
.
Área da seção transversal.
Direção do percorrido da seção transversal.
Tensão à flexo-torção.
Tensão livre.
Momento estático setorial.
Distancia tangencial da tensão à flexo-torção ao centro de torção .
1
,
2
Eixos locais do núcleo de seção aberta de parede delgada.
Plano vertical no qual atua o carregamento externo.
Altura do edifício.
Força concentrada aplicada no topo do edifício.
, Constante arbitraria. Componentes do vetor unitário do plano do carregamento.
20
Constante arbitraria. Distancia do plano ao eixo 0.
,
Componentes do vetor unitário do pilar parede.
Distancia do plano do pilar parede ao eixo 0.
,
Componentes do vetor unitário do pórtico.
Distancia do plano do pórtico ao eixo 0.
Deslocamento segundo o eixo 0 do diafragma rígido genérico.
Rotação do diafragma rígido genérico em torno do eixo 0.
Termos da matriz do pilar parede, e representam qualquer das coordenadas , , .
Termos da matriz do pórtico, e representam qualquer das coordenadas , , .
Produto de rigidez a flexo-torção.
Produto de rigidez a torção livre.
0. Sistema de coordenadas globais do edifício.
0
. Sistema de coordenadas trasladado do edifício.
0
. Sistema de coordenadas girado do edifício.
. Distancia do plano do pilar parede ao novo sistema de referência trasladado.
,
Termos da matriz de pilares parede referido ao sistema de referência trasladado.
0
,
0
. Origem das coordenadas do novo sistema de referência trasladado.
,
Componentes do vetor unitário do pilar parede do sistema de referência girado.
Termo da matriz de pilares parede referido ao sistema de referência girado.
Ângulo de giro do sistema de referência.
. Deslocamento segundo o eixo 0
do diafragma rígido genérico.
. Deslocamento segundo o eixo 0
do diafragma rígido genérico.
. Rotação do diafragma rígido genérico em torno do eixo 0
.
. Matriz referida à equação (2.45).
. Matriz de autoversores, ver equação (2.46).
. Matriz de pilares parede.
. Matriz de pórticos.
. Matriz de transformação, ver equação (2.47).
. Matriz de identidade.
. Matriz de autovalores.
. Transposta da matriz de transformação.
. Transposta da matriz
.
Direção do da transformação linear para desacoplamento.
Direção do da transformação linear para desacoplamento.
Rotação da transformação linear para desacoplamento.
1
,
2
,
3
Autovalores.
21
. Escalar correspondente a cada equação diferencial desacoplada.
. Constante correspondente aos autovalores.
. Constante correspondente aos escalares da equação diferencial.
Solução da equação diferencial para carregamento concentrado no topo do edifício.
Solução da equação diferencial para carregamento horizontal constante.
Solução da equação diferencial para carregamento horizontal linear.
1
,
2
,
3
Constantes para resolução da equação diferencial de carregamento concentrado
no topo do edifício.
4
,
5
,
6
Constantes para resolução da equação diferencial de carregamento horizontal
constante.
7
,
8
,
9
Constantes para resolução da equação diferencial de carregamento horizontal
linear.
. Constante na equação (2.62).
. Constante na equação (2.62).
Coeficiente sismorresistente.
Força cortante distribuída no andar do edifício.
Peso do andar do edifício.
Altura do andar com relação ao nível do terreno.
Força cortante atuante em cada andar do edifício, equação (3.5).
Momento acidental em cada andar .
Excentricidade acidental.
,
,
Termos da matriz de pórticos caso singular, equação (2.63).
,
. Termos do vetor de direção do cortante na equação (2.63).
22
23
Introdução
Durante a ocorrência de um terremoto, o dano provocado nas estruturas é em grande parte
causado pelos carregamentos dinâmicos. Assim, com a finalidade de se projetar estruturas
resistentes a terremotos, as características dinâmicas da estrutura devem ser conhecidas. As
características importantes, tal como a freqüência circular e os modos de vibração, podem ser
obtidas por meios numéricos, como o Método de Elementos Finitos (FEM). A utilização
destes métodos é necessária para as fases finais do projeto, o emprego de análises
aproximadas pode ser de grande utilidade nas fases iniciais do projeto. A análise pela técnica
do meio contínuo de estruturas é indicada em etapas preliminares do projeto de estruturas de
edifícios de grande altura sujeitas a carregamento horizontal. Ao longo dos anos a técnica do
meio contínuo foi estendida à abordagem de problemas de autovalores, incluindo vibração
livre e análise de flambagem [6].
No dimensionamento de edifícios é comum contar com elementos estruturais resistentes a
carregamento horizontal, denominados de painéis de contraventamento. Neste trabalho tais
painéis estão limitados a pilares parede, pórticos e núcleos de paredes delgadas de seções
abertas, supondo que estão distribuídos em planta de forma tal que proporcionem à estrutura
um adequado comportamento quando exposta a carregamento horizontal. Para o
dimensionamento anti-terremotos de edifícios deve-se levar em conta três diferentes análises:
uma para sismos moderados em condições de serviço dentro do regime elástico linear, outra
para examinar se não foi excedida a resistência das seções críticas, fazendo-se uso de um
modelo elástico linear com propriedades que correspondem a níveis de tensões elevadas; e
uma análise para mecanismos de colapso para terremoto de intensidade extraordinária, no
qual se considera o comportamento plástico dos elementos estruturais (regime não-linear
físico) [4].
Levando-se em conta que se trata de uma análise muito complicada e de pouco resultado
prático, tem sido aceito que a dissipação de energia seja feita por deformações inelásticas, e,
24
por esta razão, são menores as forças que os elementos estruturais são capazes de resistir que
aquelas que se introduziriam se seu comportamento fosse elástico linear.
Assim é suposto que a estrutura dispõe de um mecanismo de dissipação de energia e que, no
caso de um terremoto de magnitude importante, admite-se que esta dissipação de energia
ocorre por meio da plastificação em seção dos elementos estruturais, sem que a estrutura
atinja ao colapso.
A análise estrutural do edifício implica as seguintes etapas [4]:
Escolha de uma análise estrutural adequada, capaz de absorver todas as solicitações
de movimento e dissipar-lhas adequadamente.
A análise sísmica, na qual a estrutura deve estar representada por um modelo
matemático muito perto da realidade.
O dimensionamento das seções.
Detalhamento da estrutura, na qual se detalham as conexões entre elementos para que
tenham um alto grau de ductilidade e deformação antes do colapso.
A técnica do meio contínuo é, pois, indicada nas duas primeiras etapas, uma vez que permite
de maneira expedita saber se o projeto estrutural está sendo feito adequadamente, além de
permitir uma analise sísmica sem maior custo computacional, e com muita rapidez.
Objetivos
Pretende-se no presente trabalho alcançar os seguintes objetivos:
Estudar a resposta sísmica de um edifício para registros de terremotos já conhecidos
no sentido da definição de um carregamento horizontal equivalente ao terremoto.
Representação do edifício mediante equações diferenciais que permita a aplicação da
técnica do meio contínuo.
Aplicação da técnica do meio contínuo e obtenção dos deslocamentos do edifício.
Hipóteses básicas
As hipóteses básicas adotadas no presente trabalho são:
As lajes são consideradas como rígidas no seu próprio plano e transferem apenas
forças horizontais entre os painéis resistentes.
É admitido que os diafragmas estejam distribuídos continuamente ao longo da altura
do edifício.
Considera-se que se trata de estruturas sujeitas a pequenos deslocamentos, ou seja, a
ordem de grandeza dos deslocamentos é muito menor que a ordem de grandeza das
medidas geométricas da estrutura.
O material é homogêneo e se comporta de maneira linear.
25
Definição do problema
Considera-se uma estrutura com uma combinação arbitraria de painéis resistentes a
carregamento horizontal (pilares parede, pórticos e núcleos de seções aberta de parede
delgada). Além disso, os painéis resistentes a carregamento horizontal são idênticos em todos
os níveis. As dimensões e rigidez em cada nível e a distribuição horizontal da massa são
idênticas.
Estrutura da dissertação
Esta dissertação organiza-se da seguinte forma: No Capítulo 1 apresenta-se o cálculo da
solicitação sísmica, no qual se realiza o desenvolvimento do equacionamento e da
metodologia para se obter a força efetiva atuante no edifício. No Capítulo 2 empregam-se as
equações diferenciais que representam o comportamento do edifício segundo a modelagem
com a técnica do meio contínuo. No Capítulo 3 apresentam-se exemplos de aplicação da
técnica desenvolvida e os demais resultados, bem como as discussões e comparações dos
resultados com os obtidos em outros trabalhos; e, finalmente, no capítulo 4 apresentam-se as
conclusões. Além destes capítulos têm-se dois apêndices correspondentes à teoria utilizada e
ao programa desenvolvido no presente trabalho.
26
27
Cálculo da força sísmica em edifícios
1.1 Equação do movimento
O sistema pode ser considerado mediante uma idealização simplificada, na qual cada
elemento estrutural (viga, coluna, pilar, parede, etc.) contribui nas características inerciais
(massa), de elasticidade (rigidez ou flexibilidade), e de dissipação de energia
(amortecimento), de modo a representar com suficiente fidelidade as propriedades reais da
estrutura. Na idealização do sistema estrutural, cada uma destas propriedades é considerada
por meio de parâmetros concentrados, que resultam da aplicação de critérios empíricos, ou
mesmo matemática, como no caso do método dos elementos finitos.
Para um sistema estrutural de comportamento elástico linear mais simples (um grau de
liberdade), o relacionamento entre a força
e o deslocamento correspondente é dado por
=
na qual é a rigidez lateral do sistema, sendo implícito na equação (1.1) a hipótese de que se
trata de uma relação que se sustenta apenas em regime de pequenos deslocamentos.
A força responsável pela dissipação de energia é a força de amortecimento e que é oposta à
velocidade. Tal força externa
tem a seguinte relação linear com a velocidade
correspondente:
=
na qual a constante é o coeficiente de amortecimento. Cumpre assinalar que mesmo em
regime de pequenas velocidades o amortecimento pode ter características não-lineares.
Todavia, dado que o amortecimento é de pequena magnitude em geral a consideração linear
não produz distorções apreciáveis por meio de um parâmetro adequado.
Capítulo
1
(1.1)
(1.2)
28
As forças atuando na massa em um mesmo instante de tempo são: a força externa
, a
força elástica
e a força de amortecimento
. Assim sendo, a aplicação da segunda lei de
Newton resulta:
=
Por outro lado, levando-se em conta o expresso nas equações (1.1) e (1.2), podem-se
reescrever assim:
+ + =
sendo esta a equação canônica de movimento que governa a resposta da estrutura,
,
sujeita a uma força dinâmica externa
.
No caso de ações sísmicas o movimento induzido pelo terremoto é o movimento da base da
estrutura. O deslocamento do terreno é denotado por
, o deslocamento total (ou absoluto)
da massa por
, e o deslocamento relativo entre a massa e o terreno por . Em cada instante
de tempo estes deslocamentos são relacionados por:
=
+
e pela aplicação da equação de D´alembert nesse caso se expressa:
= 0
e como a força inercial
esta relacionada à aceleração da massa
por:
=
a substituição das equações (1.6) e (1.4) na equação (1.3), produz:
+ + =
A Eq. (1.7) mostra que a ação sísmica é proporcional à massa da estrutura, ou seja:
eff
=
em outras palavras, a ação sísmica é aumentada se a massa estrutural é incrementada [2].
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
29
1.2 Avaliação numérica da resposta dinâmica
Encontrar a solução analítica da equação do movimento para um sistema simples usualmente
não é possível se a força de excitação aplicada
ou aceleração do terreno
varia
arbitrariamente com o tempo ou se o sistema é não linear. O problema pode ser abordado por
métodos numéricos de passo de tempo mediante integração numérica das equações
diferenciais [2].
1.2.1. Métodos de passo de tempo
Para o sistema elástico a equação do movimento a ser resolvida numericamente é a equação
(1.3) sujeita às seguintes condições iniciais:
=
0
=
0
A força aplicada
é dada por um conjunto de valores discretos
=
, = 0 até , ou
seja, por um vetor. O intervalo de tempo é dado por:
=
+1
sendo usual que o intervalo de tempo
seja constante, embora esta condição não seja
necessária. A resposta da estrutura é determinada para cada instante de tempo discreto
denotado como tempo . Assim no tempo o equilíbrio implica em:
+
+
=
Os procedimentos numéricos a serem empregados no que segue permitem determinar a
resposta quantitativa
+1
,
+1
, e
+1
no instante de tempo + 1 em função desses mesmos
valores no tempo anterior. A equação (1.9) no tempo + 1 se expressa como:
+1
+
+1
+
+1
=
+1
e quando aplicada sucessivamente nos tempos = 0; 1; 2; 3; o procedimento de passo de
tempo proporciona a resposta desejada nos instantes de tempo = 1; 2; 3; . As condições
iniciais conhecidas proporcionam a informação necessária para iniciar o procedimento.
A passagem do tempo para + 1 usualmente não é um procedimento exato. Muitos
procedimentos aproximados são possíveis de serem implementados numericamente. Os três
requerimentos importantes que deve possuir um procedimento numérico são [2]:
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
30
Convergência: como o passo de tempo decresce, a solução numérica aproxima-se para
a solução exata.
Estabilidade: a solução numérica deverá ser estável na presencia de erros por
arredondamento numérico.
Precisão: o procedimento numérico proporciona resultados que são representativos da
solução exata.
Três tipos de procedimentos de passo de tempo são usados [2]:
Método baseado na interpolação da função excitação.
Método baseado em expressões de diferenças finitas de velocidade e aceleração.
Método baseado em variação assumida de aceleração.
1.2.2. Métodos baseados em interpolação de excitação
Um procedimento numérico altamente eficiente por interpolação da excitação sobre cada
intervalo de tempo pode ser desenvolvido para sistemas lineares. Se o intervalo de tempo
é curto, a interpolação linear é satisfatória. A figura 1.1 mostra que sobre o intervalo de
tempo
+1
, a função de excitação é dada por:
=
+
na qual
=
+1
sendo que a variável varia de 0 até
. Por simplificação, primeiro consideram-se sistemas
sem amortecimento; depois o procedimento será estendido para incluir o amortecimento.
Assim, a equação a resolver é:
+ =
+
Figura 1.1: Notação para interpolação linear
(1.13)
(1.14)
(1.15)
31
A resposta
sobre o intervalo de tempo 0
é a soma de três partes:
Vibração livre causada pelo deslocamento inicial
e velocidade inicial
em = 0.
Resposta para o passo de força
com condições iniciais iguais a zero.
Resposta para uma força linearmente crescente
com condições iniciais
iguais a zero.
Adotando-se a solução mencionada para estes três casos: vibração livre sem amortecimento
2
,
passo de força
3
e incremento linear de força
4
(Apêndice 1) obtém-se:
=
+
+
1
+
=
+
+
+
1
1
nas quais o termo
é a freqüência natural angular. (Apêndice 1)
Avaliando-se em =
obtém-se o deslocamento
+1
e a velocidade
+1
:
+1
=
+
+
1
+
1
+1
=
+
+
+
1
1
ou ainda depois da substituição da equação (1.14) obtém-se:
+1
=
+
+
+
+1
+1
=
+
+
+
+1
2
A solução da equação diferencial homogênea para vibração livre sujeita a condições iniciais = (0)
e =
0
é
=
0
cos
+
0
sin
3
Um passo de força de salto intempestivo de zero para
0
e que permanece constante no valor
=
0
tem a seguinte equação de movimento
=
0
1 cos
4
A força aplicada é incrementada linearmente com o tempo até certo limite
=
0
e cuja equação
de movimento é
=
0
sin
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)
32
Estas expressões também são aplicadas a sistemas amortecidos com as expressões para os
coeficientes dados na tabela 1.1 para sistemas com amortecimento subcrítico (ou seja, < 1).
Tabela 1.1: Coeficientes para métodos baseados na interpolação
=
1
2
+
=
1
=
1
2
+
1 2
2
1
2
1 +
2
=
1
1
2
+
2
2
1
+
2
=
1
2
=
1
2
=
1
1
+
1
2
+
1
2
+
1
=
1
1
1
2
+
1.2.3. Método da diferença central
Este método esta baseado na aproximação de operadores de diferenças finitas para a variável
tempo. Tomando passos de tempo constante
= , a expressão de diferença central para
velocidade e aceleração no tempo são dadas por:
=
+1
1
2
=
+1
2
+
1
2
substituindo na equação (1.11) as expressões aproximadas para velocidade e aceleração da
equação (1.12) obtém-se:
+1
2
+
1
2
+
+1
1
2
+
=
ou, ainda:
(1.22)
(1.23)
(1.24)
33
2
+
2
+1
=
2
2
1
2
2
que em forma simbólica pode-se expressar:
+1
=
na qual
=
2
+
2
=
2
2
1
2
2
O termo desconhecido
+1
é dado então por:
+1
=
Tendo-se em conta de que os valores de
0
e
1
são requeridos para determinar
1
, cabe
utilizar a expressão (1.22) para = 0, obtendo-se:
0
=
1
1
2
0
=
1
2
0
+
1
2
Resolvendo para
1
na primeira equação e substituindo na segunda obtém-se:
1
=
0
0
+
2
2
0
Como o deslocamento inicial
0
e a velocidade inicial
0
são conhecidos, a equação do
movimento na origem é escrita como:
0
+
0
+
0
=
0
ou equivalentemente:
0
=
0
0
0
A tabela (1.2) a seguir sumariza os procedimentos anteriormente descritos.
(1.25)
(1.26)
(1.27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)
(1.31)
(1.32)
34
Tabela 1.2: Método da diferença central
Cálculos Iniciais
0
=
0
0
0
1
=
0
0
+
2
2
0
=
2
+
2
=
2
2
=
2
2
Cálculos para passo de tempo i
=
1
+1
=
=
+1
1
2
,
=
1
2
0
+
1
2
Repetição para o próximo passo de tempo
1.2.4. Método de Newmark
O renomado N. M. Newmark desenvolve uma família de soluções para o passo de tempo [2]
baseado nas seguintes relações:
+1
=
+
1
+
+1
+1
=
+
+
0.5
2
+
2
+1
nas quais os parâmetros e definem a variação da aceleração sobre o passo de tempo, e
determinam a estabilidade e a aproximação característica do método. Tipicamente a seleção
de = 1 2
e 1 6
1 4
resulta satisfatória em termos de aproximação. Estas duas
equações junto com a equação de equilíbrio (1.12), no fim do passo de tempo, proporcionam
as bases para o cálculo de
+1
,
+1
e
+1
no tempo + 1 conhecidos
,
e
no tempo .
A iteração é necessária para programar estes cálculos por causa do termo desconhecido
+1
que aparece no lado direito das equações (1.33) e (1.34).
Em sistemas lineares é possível modificar a formulação original de Newmark para permitir a
solução das equações (1.33) e (1.34); e da equação (1.12) sem iteração. Antes de escrever
(1.33)
(1.34)
35
esta modificação, se expõem dois casos especiais do método de Newmark, conhecidos como
o método de aceleração media e o método de aceleração linear.
Tabela 1.3: Método de aceleração media e aceleração linear
Aceleração media
Aceleração linear
=
1
2
+1
+
.
=
+
2
+1
+
.
+1
=
+
2
+1
+
.
=
+
+
2
4
+1
+
.
+1
=
+
+
2
4
+1
+
.
=
+
+1
=
+
+
2
2
+1
+1
=
+
2
+1
+
.
=
+
+
2
2
+
3
6
+1
+1
=
+
+
2
1
6
+1
+
1
3
Para os dois casos a tabela 1.3 sumariza o desenvolvimento do relacionamento entre as
respostas
+1
,
+1
e
+1
no tempo + 1 para a correspondente quantidade no tempo .
A equação (1.35) descreve o caso em que a variação de aceleração sobre um passo de tempo
é constante, e igual para aceleração media ou linear. Integrando
obtém-se a equação
(1.36) para a variação
de velocidade sobre o passo de tempo na qual = é substituída
para se obter a equação (1.37) com a velocidade
+1
no tempo + 1. Da integração de
obtém-se a equação (1.38) para a variação
de deslocamento sobre o passo de tempo no
qual = é substituído para se obter a equação (1.39) com o deslocamento
+1
no tempo
+ 1.
Comparando as equações (1.37) e (1.39) com as equações (1.33) e (1.34) demonstra-se que a
equação de Newmark com = 1 2
e = 1 4
corresponde ao caso em que se supõe a
aceleração média constante, e com = 1 2
e = 1 6
tem-se o caso de variação de
aceleração de forma linear.
Retomando as equações (1.33) e (1.34), e reformulando para evitar iteração e fazendo uso de
quantidades incrementais:
(
1
.
3
5
)
(
1
.
3
6
)
(
1
.
3
7
)
(
1
.
3
8
)
(
1
.
3
9
)
36
+1
+1
+1
=
+1
as equações (1.33) e (1.34) podem ser escritas da forma
=
+
=
+
2
2
+
2
a segunda das equações (1.42) pode ser resolvida para:
=
1
2
1
1
2
substituindo a equação (1.43) na primeira das equações (1.42) obtém-se:
=
+ 1
2
logo, as equações (1.43) e (1.44) são substituídas na equação incremental do movimento
resultando:
+
+
=
A equação (1.45) foi obtida subtraendo a equação (1.11) da equação (1.12). Considerando
que em regimes lineares
=
e
+1
=
+1
. Com isto a seguinte relação pode ser
escrita:
=
na qual
= +
1
+
1
2
e
=
+
1
+
+
1
2
+
2
1
assim, o deslocamento incremental é calculado como:
(1.40)
(1.41)
(1.42)
(1.43)
(1.44)
(1.45)
(1.46)
(1.47)
(1.48)
37
=
Uma vez que
é conhecido,
e
pode ser calculado das equações (1.44) e (1.43), e
+1
,
+1
e
+1
da equação (1.40).
A aceleração pode ser obtida da equação do movimento em um tempo
+1
.
+1
=
+1
+1
+1
No método de Newmark, a solução no tempo + 1 é determinada da equação (1.45) que é
equivalente ao uso da condição de equilíbrio, equação (1.12) no tempo + 1.
O método de Newmark é estável se:
1
2
1
2
se deduz que para =
1
2
e =
1
4
esta condição implica em:
<
mostrando que o método da aceleração media é estável para qualquer .
Para =
1
2
e =
1
6
, a equação (1.51) indica que o método de aceleração linear é estável
se:
0.551
(1.49)
(1.50)
(1.51)
38
Tabela 1.4: Método de Newmark para sistemas lineares
Casos especiais
Método da aceleração media =
1
2
, =
1
4
Método da aceleração linear =
1
2
, =
1
6
1) Cálculos iniciais
a)
0
=
0
0
0
b) Seleção de
c)
= +
1
+
1
2
d) =
1
+
e =
1
2
+
2
1
2) Calculo para cada passo de tempo
a)
=
+
+
b)
=
c)
=
+ 1
2
d)
=
1
2
1
1
2
e)
+1
=
+
,
+1
=
+
,
+1
=
+
3) Repete-se para os próximos passos de tempo. Substituição de por + 1 e
programam-se os passos 2.a. até 2.e. para o seguinte passo de tempo.
1.3. Resposta sísmica
1.3.1 Excitação sísmica
Para propósitos de engenharia a variação no tempo da aceleração do terreno é o dado de
maior utilidade para definir o tremor do chão durante a ocorrência de um terremoto. A
aceleração do terreno
aparece no lado direito da equação diferencial (1.7), que governa
a resposta de estruturas com excitação por terremoto.
Neste trabalho foi escolhida a componente norte-sul do movimento de terreno registrado na
cidade de “El Centro”, Califórnia, durante o terremoto de 18 de maio de 1940. Nesta escala
torna-se aparente que a aceleração do terreno varia com o tempo de forma irregular.
39
Figura 1.2: Componente horizontal norte-sul do terreno do registro da aceleração na subestação Valle Imperial,
El Centro, Califórnia, durante o terremoto de 18 de maio de 1940. A velocidade e deslocamento do terreno
foram obtidos por integração da aceleração do terreno. [2]
40
1.3.2 Equação do movimento
Retorna-se agora à equação (1.7) que governa o movimento de um sistema linear sujeito à
aceleração do terreno
a qual é escrita na forma:
+ 2
+
2
=
mostrando que para um dado
, a resposta de deslocamento
do sistema, depende só
da freqüência natural
ou do período natural
do sistema e da sua razão de
amortecimento ; escrevendo formalmente
,
,
. Assim, dois sistemas quaisquer que
possuem o mesmo valor de
e terão a mesma resposta ao deslocamento
.
A aceleração do terreno durante um terremoto varia irregularmente a tal ponto que a
possibilidade da solução analítica da equação do movimento deve ser descartada. Portanto,
são necessários métodos numéricos para determinar a resposta da estrutura. [2]
Figura 1.3: Sistema de simples grau de liberdade
1.3.3 Histórico da resposta
Para determinado movimento do terreno
, o deslocamento
de um sistema de um
grau de liberdade depende apenas do período natural de vibração do sistema e da razão de
amortecimento. Na figura 1.4 apresenta-se a resposta ao deslocamento de três diferentes
sistemas por causa da aceleração do terreno registrado na cidade de El Centro. A razão de
amortecimento = 2% é a mesma para os três sistemas, de modo que unicamente são
diferentes os períodos naturais.
Verifica-se que o tempo necessário para que um sistema simples complete um ciclo de
vibração sob terremoto está muito próximo do período natural do sistema. O pico de
deslocamento também é assinalado em cada caso. Observe-se que entre estes três sistemas,
quanto mais longo for o período de vibração, maior é o pico de deformação.
(1.52)
41
Figura 1.4: Resposta ao deslocamento de sistemas simples com (
= 0.5 , = 0.02); (
= 1 , = 0.02) e
(
= 2 , = 0.02) respectivamente para o terremoto “El Centro”.
Na figura 1.5 apresenta-se a resposta de deslocamento de três sistemas para o mesmo
movimento do terreno. Como o período de vibração
é o mesmo para os três sistemas, a
diferença na resposta do deslocamento está associada somente ao seu amortecimento.
42
Figura 1.5: Resposta ao deslocamento de sistemas simples com (
= 2 , = 0.00); (
= 2 , = 0.02) e
(
= 2 , = 0.05) respectivamente para o sismo “El Centro”.
43
Para a implementação da análise, a abordagem usual em engenharia de terremotos esta
baseada no conceito de força estática equivalente
(figura 1.6), em razão de apresentar uma
relação mais ao feitio dos códigos de edificações;
foi definido na equação (1.1), ou seja:
Figura 1.6: Força estática equivalente
=
na qual é a rigidez lateral do sistema (Figura 1.3). Expressando
em termos da massa
, obtém-se:
=
na qual
=
2
.
esta resposta de pseudo-aceleração
do sistema pode ser facilmente calculada em função
do deslocamento
. Para os três sistemas com
= 0,5; 1 e 2 , todos eles com = 0.02,
que são apresentados na figura 1.7.
Multiplicando cada resposta
pela correspondente freqüência angular
2
=
2
2
obtém-
se a resposta de pseudo - aceleração para estes sistemas; eles são apresentados na figura 1.7,
na qual os valores pico são indicados para cada sistema.
Para um pórtico de um andar, os esforços internos, ou seja, força cortante e momento fletor
nos pilares e nas vigas podem ser determinados no tempo por uma análise estática da
estrutura sob a ação de força estática lateral equivalente
. Em particular, a força cortante
na base
, bem como o momento de tombamento na base
, assim se expressa:
=
=
(1.53)
(1.54)
(1.56)
(1.55)
44
Figura 1.7: Resposta de pseudo - aceleração de sistemas simples com (
= 0.5 , = 0.02); (
= 1 , =
0.02) e (
= 2 , = 0.02) respectivamente para o sismo “El centro”.
45
na qual é a altura da massa sobre a base. Tendo-se em conta o expresso em (1.54) estas
relações passam a ser escritas:
=
=
1.3.4 Conceito de espectro de resposta
Ocupa posição de destaque na engenharia de terremotos o chamado espectro de resposta que
proporciona um meio conveniente para sumarizar os picos de resposta para todos os possíveis
sistemas lineares de um grau de liberdade para uma componente particular do movimento do
terreno. Também proporciona uma aproximação prática para as forças laterais requeridas em
códigos de estruturas.
O gráfico dos valores pico da resposta quantitativa como função do período natural de
vibração
do sistema, ou um parâmetro relacionado tal como a freqüência circular
ou
freqüência cíclica
, é chamado de espectro de resposta.
Cada um destes gráficos corresponde a uma fixada razão de amortecimento , e varios desses
gráficos para diferentes valores de amortecimento são incluídos para completar a gama de
valores de amortecimento encontrados em estruturas na prática. Consideram-se os seguintes
picos de resposta.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
O espectro de resposta ao deslocamento é um gráfico de
0
contra
para um valor fixo de
. Para o espectro de resposta a velocidade, tem-se similarmente um gráfico de
0
contra
,
e para o espectro de resposta de aceleração um gráfico de
contra
.
1.3.5 Espectro de resposta ao deslocamento, à pseudo-velocidade e à
pseudo-aceleração
O espectro de deslocamento proporciona toda a informação necessária para o cálculo dos
valores pico de deslocamento e de esforços internos. Todavia são também empregados o
espectro de resposta de pseudo-velocidade e o de pseudo-aceleração, os quais contem
informações que são úteis em outros aspectos relacionados aos códigos de estruturas.
(1.57)
(1.58)
46
Espectro de resposta ao deslocamento
O espectro é desenvolvido para o registro do sismo El Centro, apresentado na primeira das
figuras 1.2. Na figura 1.4 apresenta-se a segunda parte da variação de tempo do deslocamento
induzida pelo movimento do terreno para três sistemas de um grau de liberdade. Para cada
sistema determina-se o valor pico de deslocamento (usualmente, os valores pico ocorrem
durante o movimento do terreno; mas, para sistemas com amortecimentos menores e com
períodos muito longos, a resposta pico pode ocorrer durante a vibração livre, depois de
cessada a movimentação do terreno). O valor de
0
determinado para cada sistema
proporciona um ponto no espectro de resposta ao deslocamento. Repetindo estes cálculos
para uma faixa de valores
e mantendo constante é obtido o espectro de resposta ao
deslocamento apresentado na figura 1.8.
Figura 1.8: Espectro de resposta ao deslocamento = 2%.
Espectro de resposta à pseudo-velocidade
Considerando-se agora uma grandeza relativa à resposta de um sistema de um grau de
liberdade com freqüência natural
e relacionada ao pico de deslocamento
0
assim:
=
(1.59)
47
que tem unidades de velocidade, pode-se explicar o valor pico de energia de deformação
acumulada no sistema durante o terremoto pela expressão:
=
2
2
esta relação pode ser obtido da definição de energia de deformação e utilizando a equação
(1.59) como segue:
=
2
2
=
2
2
=
2
2
=
2
2
o lado direito da equação (1.60) é a energia cinética da massa da estrutura , chamada de
pico relativo à pseudo-velocidade, ou simplesmente pico de pseudo-velocidade. O prefixo
pseudo é usado pelo motivo de não ser igual ao pico de velocidade
0
.
O espectro de resposta à pseudo-velocidade é um gráfico de como função do período
natural de vibração
. Para o tremor do terreno da figura 1.2, o pico de pseudo-velocidade
para um sistema com período natural
pode ser determinado da equação (1.59), e o pico de
deslocamento do mesmo sistema avaliado no espectro de resposta da figura 1.9.
Como exemplo, para o sistema com
= 0,5 e = 2%, = 2,68 ; da equação (1.59),
tem-se =
2 0,5
2,68 = 33,678 /; já agora para o sistema com período natural
= 1
e = 2%, = 5,93 o resultado passa a ser dado por =
2 1
5,93 = 37,26 /; para o
sistema com período natural
= 2 e = 2%, = 7,467 , =
2 2
7,467 =
23,245 /. Estes três valores pico de pseudo-velocidade são apresentados na figura 1.9.
Repetindo os anteriores cálculos para uma gama de valores de
e mantendo constante o
amortecimento = 2% proporciona o espectro de pseudo-velocidade apresentado na figura
1.9.
Espectro de resposta de pseudo-aceleração
Considerando que a grandeza é expressa por:
=
2
tem-se que tem dimensão de aceleração e que está relacionada ao valor pico do cortante na
base
ou o valor pico da força estática equivalente
, segundo o expresso em (1.56), ou
seja:
(1.60)
(1.61)
48
Figura 1.9: Espectro de resposta à pseudo–velocidade = 2%.
=
=
o valor pico do cortante da base pode ser escrito na forma:
=
na qual é o peso da estrutura, e é a aceleração da gravidade. A razão
pode ser
interpretada como o coeficiente do cortante da base ou coeficiente da força lateral, isto é
usado em códigos de estruturas para representar o coeficiente pelo qual o peso estrutural é
multiplicado para se obter o cortante da base. Cabe observar que a força cortante da base é
igual à força de inércia associada à massa . Esta quantidade, definida pela equação (1.61) é
geralmente diferente do pico de aceleração
0
.
O espectro de resposta à pseudo-aceleração é um gráfico de como função do período
natural de vibração
. Para o tremor do terreno da figura 1.2, o pico de pseudo-aceleração
para um sistema com período natural
pode ser determinado com base na equação (1.61), e
também o pico de deslocamento do sistema do espectro da figura 1.8.
Como exemplo, para um sistema com
= 0,5 e = 2%, = 2,68 ; tem-se da equação
(1.61), =
2 0,5
2
2,68 = 1,096 , na qual = 386
2
. Similarmente para um
sistema com
= 1 e = 2%, = 5.93 ; =
2
2
5,93 = 0.606 , e para um
(1.62)
(1.63)
49
sistema com
= 2 e = 2%, = 7.467 ; =
2 2
2
7,467 = 0,191 . Nota-se
que os mesmos valores para são os mesmos valores pico de () representados na figura
1.7. Estes três valores pico das pseudo-acelerações são apresentados na figura 1.10.
Repetindo-se estes cálculos para uma gama de valores de
com = 2% tem-se o espectro
de pseudo-aceleração apresentado na figura 1.10.
Figura 1.10: Espectro de resposta à pseudo–aceleração = 2%
Combinação de Espectros D-V-A
Cada um dos espectros de resposta do deslocamento, pseudo-velocidade e pseudo-aceleração
para um dado tremor do terreno contem a mesma informação. Os três espectros são
simplesmente, diferentes formas de apresentar a resposta estrutural. Conhecendo um dos
espectros, os outros dois podem ser obtidos por operações algébricas usando as equações
(1.59) e (1.61).
A necessidade de ter três espectros é que cada um de eles proporciona direitamente
quantidades fisicamente significativas. O espectro ao deslocamento proporciona o pico de
deslocamento do sistema. O espectro de pseudo-velocidade é relacionado diretamente ao pico
de energia de deformação acumulada no sistema durante o terremoto, equação (1.60). O
espectro de pseudo-aceleração é relacionado diretamente à força estática equivalente e
cortante na base, equação (1.62).
Por outro lado é possível colocar esses três gráficos em uma única figura como proposto
originalmente por Veletsos E N. M. Newmark em 1960 [2].
50
Esta apresentação integrada é possível por causa de que as três quantidades espectrais são
inter-relacionadas pelas equações (1.59) e (1.61), ou seja.
= =
A construção do gráfico com base nos três espectros está feita na escala logarítmica padrão,
sendo a vertical e horizontal e
respectivamente. As duas escalas para e estão
inclinadas a 45° e 45° respectivamente.
Depois que o gráfico tem sido construído, as três respostas espectrais das figuras 1.8, 1.9 e
1.10 podem facilmente ser combinadas num único gráfico. Os pares de dados numéricos para
e
que foram plotados na figura 1.9 na escala linear são replotados na figura 1.11 em
escala logarítmica. Para um dado período natural
, os valores de e podem ser lidos nas
escalas em diagonais. Como exemplo, para
= 2 , na figura 1.11 apresenta-se =
7.467 e = 0.1909 .
Figura 1.11: Combinação do espectro de resposta de para o registro do terremoto “El Centro” com
= 2%.
(1.64)
51
O espectro de resposta deveria abranger uma vasta gama de períodos naturais de vibração
com vários valores de amortecimento, de modo que proporcione o pico de resposta de toda
uma gama de estruturas da prática. A gama do período na figura 1.11 deve ser aumentada
porque edifícios altos e pontes longas, entre outras estruturas, podem ter longos períodos de
vibração e vários valores de amortecimento devem ser incluídos para abranger a gama prática
de = 0 até 20%. A figura 1.12 mostra as curvas do espectro para = 0; 2; 5; 10 e 20%
sobre a gama de período entre 0,02 e 50 .
Figura 1.12: Combinação do espectro de resposta de para o registro de terremoto “El Centro” com
= 0; 2; 5; 10 e 20%.
Construção do Espectro de Resposta
O espectro de resposta para um dado movimento do terreno
pode ser obtido da
seguinte forma: [2]
1. Definir numericamente a aceleração do terreno
, tipicamente, as ordenadas do
movimento do terreno são definidas cada 0,02 .
2. Selecionar o período natural de vibração
e a razão do amortecimento .
3. Calcular a resposta ao deslocamento () causada pelo movimento de terreno
.
4. Determinar
0
, o valor pico de
.
52
5. As ordenadas espectrais são =
0
, =
2
e =
2
2
.
6. Repetir os passos 2 a 5 para uma gama de valores de
e .
7. Apresentar os resultados dos passos 2 a 6 graficamente para produzir três espectros
como nas figuras 1.8, 1.9 e 1.10 ou uma combinação de espectros como na figura
1.12.
Note-se que é requerido um esforço computacional considerável para gerar um espectro de
resposta para um terremoto. A análise dinâmica completa para determinar a variação do
tempo (ou historia) do deslocamento de um sistema simples proporciona dados para um
ponto no espectro correspondente a
e do sistema. Cada curva no espectro de resposta da
figura 1.12 produz dados para 112 valores de
irregularmente espaçados sobre o intervalo
de
= 0,01 até 50 .
1.3.6 Resposta estrutural pico do espectro de resposta
Ao ser avaliado o espectro de resposta para um dado movimento do terreno, o valor máximo
de deslocamento ou de uma força interna pode ser determinado de modo expedito. Agora
todas as respostas de interesse podem ser expressas em termos de , ou e a massa ou as
propriedades de rigidez do sistema. Assim o deslocamento pico do sistema é:
= =
2
=
2
2
e o valor pico da força estática equivalente
é (das equações (1.62) e (1.61))
= =
Figura 1.13: Valor pico da força estática equivalente
(1.65)
(1.66)
53
A análise estática de um pórtico simples sujeito à força lateral
(figura 1.13), proporciona
os esforços internos (ou seja, força cortante e momento fletor em colunas e vigas). Isto
envolve aplicações de procedimentos bem conhecidos da análise estrutural estática. Enfatiza-
se que a análise dinâmica não é requerida além daquilo que é necessário para determinar ()
[2]. Em particular, os valores máximos do cortante e do momento de tombamento na base da
estrutura estão dados por,
= =
=
(1.67)
54
55
Técnica do meio contínuo para cálculo de
edifícios
2.1 Introdução
A abordagem do comportamento de estruturas de edifícios altos é realizada empregando a
técnica do meio contínuo, que tem por base equações regentes apropriadas para os painéis
planos de contraventamento mais usuais; sendo estas equações são de natureza diferencial.
O comportamento de uma estrutura é caracterizado pela movimentação da estrutura
(deslocamentos), deformações e tensões para uma dada condição de carregamento externo,
bem como de sua vinculação.
Considerando as hipóteses adotadas, tem-se, um problema de valor de contorno que pode ser
expresso em função de uma única coordenada que determina a posição de pontos da estrutura
ao longo do seu eixo.
Conhecidas os carregamentos atuantes na estrutura, o problema consiste em determinar os
campos de deslocamento, de tensão e de deformação, grandezas que apresentam uma única
componente em razão da descrição unidimensional.
2.2 Tipos básicos de painéis
2.2.1. Pilares parede
Considera-se como pilares parede os painéis planos sem rigidez transversal, extremadamente
rígidos à força cortante e deformáveis apenas ao momento fletor.
Capítulo
2
56
Ainda é considerado um carregamento externo semelhante ao indicado na figura 2.1, que
consiste num carregamento linear horizontal distribuído segundo a vertical e uma força
concentrada no topo. Considera-se na figura as direções positivas, assim as equações relativas
ao equilíbrio do elemento e da linha elástica são [8]:
Figura 2.1: Carregamento externo no pilar parede, elástica, um elemento isolado e convenção de sinais
=
=
nas quais
,
e
são respectivamente a força cortante, momento fletor e carregamento
horizontal linearmente distribuído. Sabemos da teoria técnica da flexão:
=
na qual,
é o produto de rigidez a flexão do pilar parede e
é a curvatura do eixo, ou seja,
a elástica. Da equação (2.3) obtém-se:
=
.
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
57
Por outro lado, levando-se em conta a equação (2.2), a derivada terceira da deformada se
expressa:
=
2.2.2. Pórtico
Considera-se como pórtico, painéis planos sem rigidez transversal extremadamente rígidos ao
momento fletor e deformáveis apenas à força cortante [8]. Todos os pórticos são admitidos
para possuir rigidez constante ao longo da sua altura .
Na figura 2.2, não estão representadas a elástica e as direções positivas dos esforços
e
que são as mesmas de
e
, como mostrado na figura 2.1. As equações de equilíbrio do
elemento do pórtico são semelhantes às equações (2.1) e (2.2) por independerem do
comportamento elástico da estrutura.
Da mesma forma que para o caso de pilares parede consideram-se as equações relativas ao
equilíbrio do elemento e da linha elástica descrita como [8]:
Figura 2.2: Carregamento externo em pórtico e elástica
=
(2.5)
(2.6)
58
=
nas quais o sub-índice indica se tratar do pórtico. A equação diferencial da linha elástica é
expressa como:
=
na qual
representa a rigidez constante do pórtico à força cortante, suposta constante ao
longo da altura [8].
A deformação do pórtico segundo a equação (2.8) pode ser entendida facilmente
considerando-se um pórtico de pé-direito constante com pilares, de seção transversal igual,
ligados por uma viga infinitamente rígida, como é apresentado na figura 2.3.
Figura 2.3: Pórtico com vigas de =
Desprezando-se as deformações axiais nos pilares, as vigas deslocam-se horizontalmente sem
rotação nos seus extremos. Portanto, os pontos de inflexão da elástica (= 0) estarão
localizados no centro dos vãos dos pilares, pelo qual, os semi-vãos comportam-se como
consolos para os quais se calcula:
2
=
2
3
2
3
=
(2.7)
(2.8)
(2.9)
59
na qual.
= =
24
2
Pode-se confundir a distorção media
com a derivada
(equações (2.9) e (2.8)
respectivamente), esta aproximação é valida quando o pé-direito é pequeno perto da altura
total do pórtico. Demonstra-se que uma equação semelhante à equação (2.9) também
prevalece para os pórticos usuais regulares, em que a rigidez dos pilares não é
exageradamente maior que nas vigas (nos quais seja licito admitirem-se momentos fletores
nulos nos centros dos vãos de vigas e pilares), neste caso obtém-se:
=
12
..
..
..
..
na qual:
= Pé-direito do andar.
= Relação
de tramo de viga ou pilar considerado.
. . = Somatória estendida a todos os nós do andar considerado.
..
= Relação
para o tramo de pilar logo abaixo do nó considerado.
. . = Somatória que se estende aos tramos (1 ou 2) de vigas que concorrem no nó
considerado.
. . = Somatória que se estende aos trechos (2, 3 ou 4) de todas as barras que
concorrem ao nó considerado.
Se o pórtico é regular e possui peças de seção uniforme ao longo da sua altura, o valor de
será aproximadamente constante podendo ser estimado pela equação (2.11). Somente na base
e no topo a suposta rigidez constante
sofrerá uma variação mais sensível. Na base, pela
proximidade do engastamento rígido e no topo, pela falta dos pilares acima dos nós do último
andar. Tais variações locais, ainda não deveram afetar sensivelmente o desempenho total do
painel [8].
2.2.3. Núcleo de seções abertas de parede delgada
São conhecidos com o nome de núcleos de seções abertas de parede delgada os elementos
estruturais de eixo vertical que sejam capazes de resistir apenas torção e flexo-torção, cujos
comportamentos supõem-se obedientes às teorias de Saint Venant e de Vlasov,
respectivamente. Considera-se que todos os núcleos de seções abertas de parede delgada
possuem rigidez constante ao longo da sua altura.
(2.10)
(2.11)
60
Primeiramente, serão considerados casos em que ocorram apenas esforços relacionados à
torção simples, tal como se mostra na figura 2.4, pelo que adotamos as seguintes
considerações para torção livre [7]:
Figura 2.4: Momento de torção
atuante em um núcleo de seção aberta de parede delgada
A seção transversal do painel de seção aberta de parede delgada é constante no eixo .
O momento de torção solicitante
deve ser constante no eixo .
O painel não deve possuir vínculos que impeçam possíveis deslocamentos
longitudinais (empenamento). Em outras palavras: torção livre de Saint Venant.
Admite-se que a torção livre implica a ocorrência de deslocamentos iguais para um mesmo
ponto de coordenadas e em todas as seções ao longo do eixo .
O momento de torção
a uma altura é suposto positivo quando sua direção dado pela
regra da mão direita, for de tração. Para nosso estudo tomamos a equação geral de rotação da
seção transversal por unidade de comprimento, escrita na forma:
=
=
na equação (2.12)
é o giro relativo entre duas seções,
é o momento de torção, e o
modulo de elasticidade transversal do material e
é o momento de inércia a torção.
Para o primeiro caso considerou-se somente efeitos de torção. Agora abordaremos o caso de
seções abertas de parede delgada submetidas a condições de carregamento e de vinculação
que permitam considerar a ocorrência simultânea de esforços de flexão e de torção, ou seja,
flexão não uniforme ou flexo-torção [7]. As hipóteses básicas para a análise de peças
submetidas à flexo-torção são:
(2.12)
61
Após a deformação da barra, a seção transversal deverá projetar-se indeformada no
seu próprio plano
.
A superfície média perpendicular à seção transversal não sofre distorções
5
.
E em concordância a estas hipóteses tem-se a seguinte equação:
=
na qual é a área setorial da seção transversal.
No contexto de flexo-torção diferente da torção livre de Saint Venant, a derivada do ângulo
de rotação não é mais constante. Agora a amplitude do empenamento
irá variar de seção
a seção ao longo do eixo vertical 0, de modo que
será função apenas da ordenada [7].
Com base na Resistência dos Materiais sabe-se que os deslocamentos longitudinais
são
variáveis com relação à coordenada e sua deformação específica em esta direção é dada
por:
=
0
substituindo a equação (2.13) na equação (2.14) obtém-se:
=
=
=
pela lei de Hooke sabe-se que a relação entre tensão e deformação no estado plano de tensões
é escrita da seguinte forma:
=
na qual
e
representam as tensões normais na direção do eixo e da seção do elemento
respectivamente, é o coeficiente de Poisson e é o modulo de elasticidade longitudinal.
Das hipóteses adotadas no caso da seção transversal indeformável no seu próprio plano, tem-
se que
= 0. Portanto, chegam-se às seguintes relações entre as tensões:
=
= 0
=
substituindo a equação (2.17) na equação (2.16) obtém-se:
5
Linha que divide a espessura ao meio, conhecida como linha do esqueleto
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
62
=
1
2
em aplicações praticas, despreza-se o valor de
2
em comparação com a unidade, pelo que:
=
=
É importante ressaltar que na torção livre o termo
é constante, portanto na equação (2.19)
a tensão
resultará nula, fato que está em concordância com as considerações adotadas na
torção livre. Ao não existir resultante de tensão
tem-se um novo esforço solicitante
denominado por Vlassov como Bimomento [7].
Como as tensões normais
variam ao longo do eixo vertical 0
0 de uma seção para
outra, ocorrerão com face ao equilíbrio tensões de cisalhamento
, como está
esquematizado na figura 2.5. Será admitido que está tensão de cisalhamento é uniformemente
distribuída ao longo da espessura da parede da seção transversal [7].
Figura 2.5: Tensões de cisalhamento uniforme na seção aberta de parede delgada
O termo
representa a força resultante das tensões
que atuam no elemento de área
(= ) da seção transversal, assim:
=
=
1
substituindo a equação (2.19) na equação (2.20) obtém-se:
(2.18)
(2.19)
(2.20)
63
=
=
=
1
considerando o equilíbrio do elemento da figura 2.5 na direção longitudinal:
=
=
=
=
1
na qual
=
=
1
, que é denominado de momento estático setorial. Tem-se,
portanto que a equação (2.22) pode-se escrever da seguinte forma:
=
No caso de seções abertas de parede delgada, as tensões de cisalhamento provenientes da
tensão livre
resultam na maioria dos casos muito maiores em comparação às tensões de
flexo-torção
, razão pela qual a equação (2.13) pode permanecer ainda válida. Os valores
de
dão uma considerável contribuição ao surgimento do momento de torção, já que suas
forças elementares
são multiplicadas por uma distância , resultando em valores
maiores quando comparadas com as forças elementares provenientes da torção livre,
conforme se esquematiza na figura 2.5, na qual é o centro de torção [7].
Assim, o momento de torção a flexo-torção representado por
é resultado da multiplicação
das tensões
pela distância :
=
=
substituindo a equação (2.22) na equação (2.24) obtém.se:
=
1
2
1
integrando por partes encontramos o seguinte:
=
2
1
=
2
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
64
na qual
=
2
é o momento de inércia setorial. Portanto, o momento de torção a
flexo-torção
será escrito como:
=
O painel de seção aberta de parede delgada ocorre em geral na forma de seção poligonal ,
ou caixão. Esta parede múltipla será equivalente a duas paredes planas independentes,
segundo os eixos principais
1
e
2
de rigidez
1
e
2
respectivamente, mais uma
rotação de rigidez
e mais uma rotação de rigidez
[8].
2.3 Associação múltipla de pilares parede, pórticos e núcleos de
seções abertas de parede delgada
2.3.1. Convenções e hipóteses
A planta térrea da estrutura de um edifício obtida pela associação múltipla de pilares parede,
pórticos e núcleos de seções abertas de parede delgada é apresentada na figura 2.6. Supõe-se
que os pilares parede e os pórticos são planos, e para o caso de núcleos de seção poligonal (,
ou caixão), a abordagem será feita conforme ao exposto no item de núcleos de seções
abertas de parede delgada.
Ligando os vários painéis, supõe-se existir uma infinidade de diafragmas horizontais rígidos
em seu próprio plano, distribuídos continuamente ao longo do eixo vertical . O
carregamento externo atua em um plano vertical e é constituído por um carregamento
distribuído ao longo da altura do edifício mais uma força concentrada aplicada no topo.
No plano considera-se um vetor unitário horizontal, que caracteriza a direção positiva do
carregamento. Do mesmo modo, para identificar os deslocamentos horizontais positivos de
cada painel e as forças horizontais dos diafragmas sobre cada painel, convenciona-se um
vetor unitário horizontal no plano de cada painel. A posição do carregamento é dada pelas
componentes e do seu vetor unitário e pela distância do plano ao eixo ( é suposta
positiva se for dextrorso ao momento do vetor unitário com relação ao eixo ). A posição de
cada painel é dada pelas componentes
e
e pela distância
do seu plano ao eixo
no caso de pilares parede, e as componentes
e
e pela distância
do seu plano ao eixo
no caso de Pórtico. Os núcleos de seções abertas de parede delgada têm comportamento
independente da sua posição em planta, não precisando defini-los [8].
(2.27)
65
Figura 2.6: Associação múltipla de pilares parede, pórticos e núcleos de seções abertas de parede delgada
(planta térrea)
No plano de cada pórtico ou pilar parede, se usa um sistema local de referência de eixos 1 e
2, como nas figuras 2.1 e 2.2. O eixo 1 de cada painel coincide em direção com o vetor
unitário positivo da figura 2.6. Os carregamentos, os deslocamentos e os esforços internos
nos painéis e núcleos de seções abertas de parede delgada obedecem às convenções de sinais
vinculadas aos respectivos sistemas locais de referência.
No sistema global de referência os deslocamentos dos diafragmas rígidos estão em
função de , e são:
= Deslocamento segundo o eixo .
= Deslocamento segundo o eixo .
= Rotação do diafragma em torno do eixo .
Admite-se que os pórticos, pilares parede e núcleos de seções abertas de parede delgada
sejam perfeitamente engastados nas suas bases.
2.3.2. Equações de equilíbrio
O equilíbrio do diafragma genérico que é admitido a se deslocar sem atrito entre os
diafragmas imediatamente superior e inferior, exige que:
66
+
=
+
=
+
+
+
=
nas quais, é o cortante no nível considerado,
e
os momentos de flexo-torção e de
torção livre, respectivamente dos núcleos de seções abertas de parede delgada.
Em função dos deslocamentos , e dos diafragmas é possível extrair os deslocamentos
do pilar parede, do pórtico e dos núcleos de seções abertas de parede delgada genéricos:
=
+
+
=
+
+
as equações diferenciais de pilares parede, pórticos e dos núcleos de seções abertas de parede
delgada; de acordo com as equações (2.5) e (2.8), passam a ser:
=
+
+
=
+
+
substituindo as equações (2.30) nas equações (2.28), encontra-se que, por exemplo, para a
primeira das equações (2.28):
+
=
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
da mesma forma para a segunda e terceira das equações (2.28) obtém-se:
(2.28)
(2.29)
(2.30)
67
+
+
+
=
+
+
+
+
= Vc
observando-se que existem termos comuns, os quais podem ser substituídos da seguinte
forma:
=
=
=
nas quais, , representas qualquer uma das coordenadas a, b, c; podemos escrever:
+
=
na qual
=
+
=
+
nas quais
e
que representam o produto de rigidez a flexo-torção e torção livre, e que
podem ser sacados das equações (2.12) e (2.27) respectivamente.
2.3.3. Associação contendo unicamente pilares parede
No caso em que a estrutura esteja apenas contraventada por pilares parede, a equação (2.32),
fica:
=
a qual pode ser desacoplada tomando-se um novo sistema de referência mediante uma
translação e um giro. A figura (2.7) apresenta as operações envolvidas.
(2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
68
Figura 2.7: Mudança do sistema de referência.
Da primeira das figuras 2.7, mediante a translação do sistema de referência podem-se anular
os termos
e
que correspondem ao giro acoplado da estrutura; portanto, no novo
sistema de referência tem-se:
=
0
+
0
e com isso resulta:
=
=
0
+
0
= 0
=
=
0
+
0
= 0
resolvendo o sistema das equações (2.36), acha-se o centro 0
, para o qual se anulam os
termos
e
:
0
=
2
0
=
+
2
sendo
0
e
0
origem das coordenadas do novo sistema de referência. Agora, girando
convenientemente o sistema de referência um ângulo do plano em torno do eixo 0
é
possível anular o termo
.
(2.35)
(2.36)
(2.37)
69
Da segunda da figura (2.7), com o sistema rotado os valores de
e
são alterados, mais o
valor
não é alterado. Assim:
=
+
=
+
agora, para o novo sistema de referência obtém-se:
=
=
2
2
+
2
2
= 0
=
2+
2
2= 0
e desta forma obtém-se:
=
1
2
arc tan
2
.
Portanto, a equação fica desacoplada para o novo sistema de referência 0
, podendo-se
escrever:
0 0
0
0
0 0
=
na qual, , e são os deslocamentos segundo o novo sistema de referência.
2.3.4. Associação contendo unicamente pórticos
Para o caso da estrutura contendo unicamente pórticos, procede-se da mesma maneira que no
caso anterior, e assim a equação a desacoplar é:
=
(2.38)
(2.39)
(2.40)
(2.41)
70
e cujo desacoplamento é feito seguindo os mesmos passos do caso anterior, e assim neste
caso só substituímos os termos
por
, nas expressões correspondentes (2.37), (2.39) e
(2.40) resultando na equação:
0 0
0
0
0 0
=
2.3.5. Desacoplamento do caso geral
Para o caso no qual a estrutura esta formada por uma associação múltipla de pórticos, pilares
parede e núcleos de seções abertas de parede delgada; com carregamento no eixo vertical em
qualquer direção, o desacoplamento das equações diferenciais da equação (2.32), já exige de
partida que o sistema de referência inicial seja aquele que desacopla a matriz de pilares
parede
, e dessa forma a equação inicial passa a escrever-se:
0 0
0
0
0 0
+
=
agora, o desacoplamento da equação (2.43) é obtido por meio de uma transformação expressa
por [3]:
=
na qual
=
1
0 0
0
1
0
0 0
1
E a matriz
é tal que suas colunas são os autoversores da matriz formada pelo produto:
as matrizes
e
são simétricas e definidas positivas, ou seja, com autovalores reais e
autovetores ortogonais. A matriz de transformação dada na equação (2.44) é:
(2.42)
(2.43)
(2.44)
(2.45)
(2.46)
71
=
esta equação apresenta as seguintes propriedades:
=
=
na qual
é a matriz identidade e
é uma matriz diagonal cujos elementos são os
autovalores da matriz resultante do produto expresso na equação (2.46). Assim a equação
(2.43) pode ser desacoplada e pode ser escrita como:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+
1
0 0
0
2
0
0 0
3
=
na qual
1
,
2
e
3
, são os autovalores mencionados [5].
2.3.6. Resolução da equação diferencial
Segundo a equação (2.49), observa-se que cada uma das equações envolvidas corresponde a
cada uma das direções do sistema desacoplado, e cada equação diferencial tem a seguinte
forma:
+
=
na qual,
é um escalar que corresponde a cada uma das equações diferenciais (2.49) do
sistema desacoplado. Esta equação diferencial pode ser reescrita da seguinte forma:
+
2
=
na qual
2
= e =
. Para a resolução desta equação diferencial consideram-se a
seguintes condições de contorno:
= 0
= 0
= 0
= 0
=
= 0
sendo que as duas primeiras das equações (2.52) decorrem do engastamento do edifício na
base e a última da ausência de flexão no topo do edifício [8].
(2.47)
(2.48)
(2.49)
(2.50)
(2.51)
(2.52)
72
A integração da equação diferencial (2.51) levando-se em conta as condições de contorno do
edifício (2.52) para os casos de carregamento considerados foram descritas no trabalho de Ivo
R. Coelho [3] e que são convenientemente reescritas neste trabalho.
1. Carregamento concentrado no topo
=
1
+
2
+
3
+
2
na qual
1
=
3
1 +
2
1 +
2
2
=
3
2
1 +
2
3
=
3
1
1 +
2
2. Carregamento constante
=
4
+
5
+
6
+
0
2
2
2
na qual
4
=
0
4
+ 2
2
1 +
2
5
=
0
4
2
1 +
2
6
=
0
4
+
1 +
2
3. Carregamento linear
=
7
+
8
+
9
+
1
6
2
3
2
2
na qual
7
=
1
2
4
4
+
2
1 +
2
8
=
1
2
4
2
2
1 +
2
9
=
1
2
4
2
1 +
2
nessas constantes, os termos
1
,
0
e representam o carregamento linear, o carregamento
constante e a força concentrada no topo do edifício respectivamente, tal como se apresenta na
figura 2.8:
(2.53)
(2.54)
(2.55)
(2.56)
(2.57)
(2.58)
73
Figura 2.8: Carregamento horizontal no edifício genérico
2.3.7. Desacoplamento em casos singulares
Existem casos nos quais o determinante da matriz
= 0, e outros nos quais o determinante
= 0. Os anteriores casos são passíveis de tratamentos similares. No entanto, será tratado
unicamente o caso no qual o determinante
é nulo.
Será considerado o caso no qual se tem apenas um pilar parede com rigidez na direção
paralela ao eixo , e sistema de referência coincidente com o do pilar parede, ou seja,
apenas
diferente de zero.
Assim as matrizes da equação (2.43) são escritas como:
0 0 0
0
0
0 0 0
+
=
com:
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=
(2.59)
74
ou ainda as duas primeiras podem-se escrever como:
=
+
resultando em:
=
1
2
+
.
Portanto,
e
podem ser representados como função de
ficando da seguinte forma:
=
2
+
2
=
2
+
2
desta forma nossa equação diferencial geral para este caso fica definida da seguinte forma:
+
=
na qual
=
+
2
+
2
=
2
+
2
A resolução da equação diferencial (2.61) segue o mesmo procedimento descrito para a
resolução da equação (2.50).
As equações (2.60) permitem mediante simples integração fornecer as componentes do
deslocamento.
O caso com um pilar parede com rigidez na direção 0 é similar ao caso já visto, não
ocorrendo na prática o caso no qual apenas
é diferente de zero.
Outra situação de singularidade é aquela na qual apenas
= 0, este é o caso no qual se tem
unicamente pilares parede na direção paralela ao eixo 0; ou se somente
= 0 produto de
se ter pilares parede somente na direção paralela ao eixo 0. Eliminando-se o deslocamento
na equação diferencial (2.43) obtém-se:
0
0
+
=
(2.60)
(2.61)
(2.62)
(2.63)
75
na qual
=
2
=
=
2
=
=
da mesma forma que para o caso anterior, tem-se uma relação de eliminação:
=
+
O desacoplamento da equação (2.63) é similar que no procedimento dado no item 2.3.5,
apenas reduzindo a ordem das matrizes envolvidas. O deslocamento que foi eliminado na
equação (2.63) obtém-se por integração simples por meio da equação (2.65).
(2.64)
(2.65)
76
77
Aplicabilidade e procedimento do método
3.1. Distribuição da força sísmica na altura
A força cortante sísmica atuante nos diferentes andares de uma edificação pode-se avaliar
supondo um conjunto de forças horizontais atuando sobre cada um dos andares onde as
massas se supõem a estarem concentradas. A força atuante é igual ao peso da massa aí
concentrada,
, multiplicado por um coeficiente proporcional à altura
da massa em
questão sobre o terreno, sem incluir caixas de água ou outros dispositivos do topo [1].
O período fundamental para cada direção da análise será calculada com a seguinte equação:
=
na qual é a altura total do edifício, e,
é um coeficiente sismo-resistente com [1]:
= 35
, para edifícios cujos elementos resistentes a carregamento horizontal na
direção considerada sejam unicamente pórticos.
= 45
, para edifícios de concreto armado cujos elementos resistentes a
carregamento horizontal sejam pórticos e as caixas de ascensores e escadas.
= 60
, para estruturas de alvenaria e para todos os edifícios de concreto
armado cujos elementos resistentes a carregamento horizontal sejam
fundamentalmente pilares parede.
A força cortante total externa na base da estrutura, correspondente à direção considerada, é
determinada pela equação (1.63) convenientemente repetida aqui [1]:
=
Capítulo
3
(3.1)
(3.2)
78
Como foi dito no capítulo 1, a equação (3.2) depende dos parâmetros do período fundamental
e do amortecimento do edifício.
A distribuição da força de terremoto na altura é considerada da seguinte forma: se o período
fundamental
é maior que 0,7 , uma parte da força cortante
, denominada , deverá
aplicar-se como força concentrada no topo do edifício [1]. Esta força será determinada
mediante a equação:
= 0,07
0,15
o restante da força cortante, ou seja,
deverá distribuir-se entre os vários níveis,
incluindo o último nível, de acordo à seguinte equação:
=
=1
na qual
= O peso do nível .
= Altura do nível "" com relação ao nível do terreno.
= Força horizontal concentrada no topo do edifício.
Nesta dissertação a força cortante que atua em cada nível é dada pela seguinte equação:
=
+
a força cortante em cada nível
é suposta atuar no centro de massa do nível respectivo. O
efeito da excentricidade acidental
para cada direção da análise é considerada como 0,05
vezes a dimensão do edifício na direção perpendicular à ação do carregamento considerado.
Portanto, em cada nível, além da força atuante se aplicará o momento acidental denominado
que se calcula como:
= ±
.
É usual supor que as condições mais desfavoráveis obtêm-se considerando as excentricidades
acidentais com o mesmo sinal em todos os níveis. Consideram-se aqui unicamente os
incrementos das forças horizontais e não os decrementos.
A seguir apresentam-se três exemplos aplicando a técnica do meio continuo. Os dois
primeiros são exemplos desenvolvidos por Ivo R. Coelho e Stamato e colocados nesta
dissertação com fines de precisão do método do meio continuo. Estes edifícios foram
calculados para um carregamento externo uniforme, já o terceiro exemplo foi desenvolvido
para propósitos desta dissertação com um carregamento equivalente ao terremoto
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
79
3.2. Exemplo 1
Na figura 3.1 apresenta-se a planta térrea de um edifício conformado pela associação de
pilares parede e pórticos, estudado por Ivo R. Coelho [3], nesta dissertação o exemplo
também foi desenvolvido pelo método dos elementos finitos fazendo-se uso do programa
SAP2000. Um exame da distribuição dos painéis mostra que se trata de um caso não singular.
O edifício é formado por 10 andares e pé direito constante = 3, submetido a um
carregamento uniformemente distribuído na direção no meio do edifício com um valor de
= 1,3
. Os dados dos painéis que conformam o edifício deste exemplo estão sumarizados
nas tabelas 3.1 e 3.2.
Figura 3.1: Planta térrea do edifício conformado pela associação de pilares parede e pórticos (caso não
singular)
Tabela 3.1: Pilares parede do exemplo 1. X1 e Y1 representam as coordenadas do nó inicial do pilar parede. X2
e Y2 representam o nó final da respectiva parede
Pilar
parede
(/
2
)
Num.
anda
Nó Inicial
Nó Final
Espessura
()
X1
Y1
X2
Y2
1
2
3
2000000
2000000
2000000
10
10
10
6
8,5
9
1
0
4
6
11
11
3
0
4
0,25
0,25
0,25
80
Tabela 3.2: Pórticos do exemplo 1. X e Y representam as coordenadas das colunas de cada um dos pórticos.
contem as larguras de seções das vigas. contem os comprimentos de seções das vigas.
Pórtico
(/
2
)
Num.
anda
()
Num.
Col.
Nó coluna
Seção da coluna
X
Y
1
2
3
2000000
2000000
2000000
10
10
10
3
3
3
2
2
2
0;0
0;4
4;4
0;4
4;4
0;4
0,4; 0,4
0,4; 0,4
0,4; 0,4
0,4; 0,4
0,4; 0,4
0,4; 0,4
Na figura 3.2, apresenta-se o deslocamento do pilar parede 2 na sua direção principal e o giro
genérico do diafragma rígido, resultante da análise do edifício pela técnica do meio continuo
(TMC) e também o resultado obtido pelo método dos elementos finitos (MEF).
Na tabela 3.3 são mostrados os resultados do deslocamento das três direções principais. Na
figura 3.2 são mostrados também os resultados obtidos com uma análise por elementos
finitos (matricial). Observa-se que a diferença entre ambos os métodos é muito pequena,
sendo que a maior divergência dos resultados obtidos pela técnica do meio contínuo com
respeito ao método dos elementos finitos está em torno do 6%.
Figura 3.2: Deslocamentos principais do edifício do exemplo 1
81
Tabela 3.3: Deslocamentos e giro do diafragma genérico do exemplo 1
Andar
Técnica do meio contínuo
Método dos elementos finitos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.0004
0.0016
0.0035
0.0061
0.0093
0.0129
0.0169
0.0211
0.0255
0.0300
0
0.0036
0.0129
0.0258
0.0408
0.057
0.0734
0.0897
0.1054
0.1206
0.1354
0
0.0004
0.0016
0.0035
0.0057
0.0083
0.0111
0.0139
0.0167
0.0196
0.0224
0
1.31E-04
5.50E-04
0.0013
0.0024
0.00385
0.00564
0.00773
0.01007
0.01259
0.01521
0
0.0039
0.0134
0.0268
0.0425
0.0596
0.0772
0.0948
0.1120
0.1286
0.1449
0
0.0004
0.0015
0.0032
0.0054
0.0078
0.0104
0.0130
0.0157
0.0184
0.0211
3.3. Exemplo 2
Na figura 3.3 apresenta-se a planta térrea de um edifício de 10 andares com pé direito
constante = 5
, e modulo de elasticidade para todos os elementos estruturais de
420
2
, o qual foi desenvolvido por Stamato [8] nos laboratórios do Departamento de
Engenharia Civil da Universidade de Southamton, Inglaterra, razão pela que as unidades
estão expressas em unidades inglesas. Nesta dissertação o exemplo também foi desenvolvido
pelo método dos elementos finitos fazendo-se uso do programa SAP2000.
Trata-se de um caso singular, já que como se pode observar, o edifício unicamente possui um
pilar parede paralelo na direção , e, além disso, situa-se na origem dos eixos principais de
referência do edifício, por estas razões a resolução deste exemplo pela equação (2.32) não é
possível mais sim pela equação (2.59) na qual apenas o termo
é diferente de zero.
O edifício está submetido a um carregamento horizontal uniformemente distribuído na
direção no meio do edifício com um valor de = 0,2 / . Os dados dos painéis que
conformam o edifício deste exemplo estão sumarizados nas tabelas 3.4 e 3.5.
82
Figura 3.3: Planta térrea do edifício conformado pela associação de pórticos e um pilar parede (caso singular)
Tabela 3.4: Pilar parede do exemplo 2. X1 e Y1 representam as coordenadas do nó inicial do pilar parede. X2 e
Y2 representam o nó final da respectiva parede
Pilar
parede
Nó Inicial
Nó Final
Espessura
()
X1
Y1
X2
Y2
1
0
-2
0
2
0,25
Tabela 3.5: Pórticos do exemplo 2, na qual
contem as larguras de seções das colunas,
contem os
comprimentos de seções das colunas,
contem as larguras de seções das vigas e
contem os comprimentos
de seções das vigas.
Pórtico
Num
Col.
Nó coluna
Seção das colunas
Seção das vigas
X
Y
1
2
3
4
2
2
2
2
10; 10
20; 20
10; 20
10; 20
-5; 5
-5; 5
-5; -5
5; 5
0,75; 0,75
0,75; 0,75
0,75; 0,75
0,75; 0,75
0,75; 0,75
0,75; 0,75
0,75; 0,75
0,75; 0,75
1,25
1,25
1,25
1,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Na figura 3.4 apresenta-se o deslocamento principal do pórtico 1 e giro do diafragma rígido
resultantes da análise do edifício pela técnica do meio continuo (TMC) e também o resultado
obtido pelo método dos elementos finitos (MEF). Pode-se observar que os gráficos de
deslocamentos são muito similares ao ser comparados com os resultantes da aplicação do
método dos elementos finitos (discreto), sendo que a maior divergência relativa dos
83
resultados da técnica do meio contínuo com respeito ao método dos elementos finitos está em
torno de 10% para o deslocamento.
Figura 3.4: Deslocamentos principais do edifício do exemplo 2
3.4. Exemplo 3
Na figura 3.5, apresenta-se a planta de um edifício constituído por pilares paredes, paralelos
aos eixos principais e diagonais; também se apresentam pórticos alinhados aos eixos
principais e diagonais. Outra particularidade é que o edifício apresenta núcleos de seção
aberta de parede delgada (caixa de elevadores e escada) e foi desenhado especificamente para
esta dissertação pelo autor.
Este exemplo foi também desenvolvido pelo método dos elementos finitos fazendo-se uso do
programa SAP2000 e comparado com a técnica do meio contínuo para deslocamentos e giro
nos eixos referidos ao sistema de referencia proposto. É importante levar em conta que para
fines de comparação foi feita uma rotação dos eixos principais encontrados na técnica do
meio contínuo.
84
Figura 3.5: Planta térrea do edifício conformado pela associação de pórticos, pilares parede e núcleos de seção
aberta de parede delgada (caso não singular).
Este exemplo é um caso não singular e será submetido ao carregamento do registro do
terremoto da cidade "El Centro", Califórnia, acontecido o dia 18 de Maio de 1940 [2].
Os dados do edifício são os seguintes:
Comprimento do edifício = 24 .
Largura do edifício = 36 .
Numero de andares = 25.
Altura do edifício = 75 .
Pé direito
= 3 .
Coeficiente sismo resistente = 60
.
Peso de cada andar = 1 /
2
.
Gravidade = 9,81 /
2
.
Modulo de elasticidade = 2.173.706,512
2
.
Razão de amortecimento = 5%.
A direção do carregamento por terremoto foi escolhida pelo autor, assim o carregamento que
atinge ao edifício está atuando no centro geométrico da planta térrea e tem orientação
inclinada tal como é observado na figura 3.5, ingressando a uma distância de 12,5 do eixo
85
pela face principal e saindo a uma distância de 23,5 pela fachada posterior. Na figura 3.6
apresenta-se o carregamento horizontal que atinge ao edifício.
Figura 3.6: Força concentrada no topo e carregamento linear produzidas pelo terremoto.
Primeiramente foi calculado o período fundamental para as duas direções da análise e a força
cortante na base do edifício por meio das equações (3.1) e (3.2) respectivamente. Com esses
dados calculamos a distribuição da força sísmica na altura com as equações (3.3) e (3.4) e por
meio da equação (3.5) calcula-se a força cortante que atinge em cada andar do edifício.
Os dados geométricos dos pórticos e pilares parede que conformam este edifício estão
sumarizados nas tabelas 3.6 e 3.7.
86
Tabela 3.6: Pilar parede do exemplo 3. X1 e Y1 representam as coordenadas do nó inicial do pilar parede. X2 e
Y2 representam o nó final da respectiva parede.
Pilar
parede
Nó Inicial
Nó Final
Espessura
()
X1
Y1
X2
Y2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,0
0,0
36,0
36,0
36,0
6,5
24,5
6,5
24,5
18,0
22,0
0,0
17,8
0,0
10,0
20,0
0,0
0,0
24,0
24,0
0,0
20,3
0,0
0,0
36,0
36,0
36,0
11,5
30,5
12,5
29,5
21,0
18,0
6,2
24,0
4,0
14,0
24,0
0,0
0,0
24,0
24,0
3,7
24,0
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
Tabela 3.7: Pórticos do exemplo 3, na qual
contem as larguras de seções das colunas,
contem os
comprimentos de seções das colunas,
contem as larguras de seções das vigas e
contem os comprimentos
de seções das vigas.
Pór
Num
Col.
Nó coluna
Seção das colunas
Seção das vigas
X
Y
1
2
3
4
5
6
7
8
5
5
5
3
5
3
3
3
9;9;9;9;9
18;18;18;18;18
27;27;27;27;27
0;9;19,65
0;9;18;27;36
0;9;16,35
21,3;27;36
18;27;36
0;6;12;18;24
0;7,15;12;16,85;24
0;6;12;18;24
6;6;6
12;12;12;12;12
18;18;18
8,3;6;2,8
15,7;18;20
0,4;0,4;0,4;0,4;0,4
0,4;2,3;0,4;2,3;0,4
0,4;0,4;0,4;0,4;0,4
0,3;0,6;3,3
0,4;0,6;0,6;0,6;0,4
0,4;0,4;0,3
0,3;0,4;0,4
0,6;0,6;0,3
0,4;0,6;0,6;0,6;0,4
0,4;0,3;0,6;0,3;0,4
0,4;0,6;0,6;0,6;0,4
0,4;0,4;0,3
0,4;0,4;0,4;0,4;0,4
0,3;0,6;3,3
0,6;0,6;0,4
0,3;0,4;0,4
0,5;0,5;0,5;0,5
0,5;0,5;0,5;0,5
0,5;0,5;0,5;0,5
0,5;0,5
0,5;0,5;0,5;0,5
0,5;0,5
0,5;0,5
0,5;0,5
0,2;0,2;0,2;0,2
0,2;0,2;0,2;0,2
0,2;0,2;0,2;0,2
0,2;0,2
0,2;0,2;0,2;0,2
0,2;0,2
0,2;0,2
0,2;0,2
Na figura 3.7 apresentam-se os deslocamentos do edifício nas direções e , assim como o
giro do diafragma genérico. Pode-se observar que os gráficos de deslocamentos são muito
próximos de aqueles obtidos pela aplicação do método dos elementos finitos (discretas),
sendo que a maior divergência relativa dos resultados da técnica do meio contínuo com
respeito ao método dos elementos finitos está em torno de 25% para o deslocamento no eixo
X, 5% para o deslocamento no eixo Y e menos de 1% para o giro. Observou-se também uma
significativa diferencia em tempo de processamento entre ambos os métodos, sendo que a
técnica do meio contínuo obteve os resultados quase instantaneamente, entanto que o método
dos elementos finitos usou vários minutos para apresentar os resultados deste exemplo.
Adicionalmente, o método dos elementos finitos precisou de um tempo significativo para o
ingresso dos dados (desenho geométrico dos elementos estruturais e introdução de
parâmetros dos materiais que conformam o edifício), já a técnica do meio continuo somente
87
precisa o ingresso dos dados de cada painel constituinte do edifício, tal como os mostrados
nas tabelas 3.6 e 3.7.
Figura 3.7: Deslocamentos principais do edifício do exemplo 3
88
Na figura 3.8 apresentam-se os deslocamentos de alguns dos painéis.
Figura 3.8: Deslocamentos do pilar parede 5 e o pórtico 1. Os deslocamentos estão em coordenadas locais
Para completar o presente estudo, torna-se necessário calcular os esforços internos de cada
painel do edifício, ou seja:
1. Carregamento concentrado no topo ().
=
=
2
2
+
3
=
=
3
2
+
3
=
=
2
3
+
3
2. Carregamento uniforme (
).
=
=
2
5
+
6
4
=
=
3
5
+
6
=
=
5
6
+
3
89
3. Carregamento linearmente distribuído (
).
=
=
2
8
+
9
4
=
=
3
8
+
9
+
5
=
=
8
9
+
2
2
2
3
Nas figuras 3.9, 3.10 e 3.11 apresentam-se esforços ao momento fletor e a força cortante de
alguns painéis que conformam o edifício.
Figura 3.9: Momentos fletores dos pilares parede 1 e 10
90
Figura 3.10: Força cortante dos pilares parede 1 e 10
Figura 3.11: Força cortante dos pórticos 1 e 5
91
Conclusões
No presente trabalho foi abordada a modelagem de estruturas de edifícios altos, sujeitos a
carregamentos de terremotos, usando a técnica do meio contínuo, a qual se mostrou bastante
apropriada para seu emprego em fases preliminares de projetos. Foram trabalhadas as
equações constitutivas dos vários tipos usuais de painéis que formam o edifício (pilares
parede, pórticos e núcleos de seções abertas de parede delgada). Foi também utilizado o
problema do desacoplamento das equações resultantes, bem como o tratamento de casos de
arranjo de painéis em planta apresentando singularidades (degeneração). Os resultados da
análise realizada em três exemplos de aplicação foram comparados com os resultantes do
emprego do método dos elementos finitos, observando-se uma boa proximidade entre os
resultados de ambos os métodos. Observou-se também que a técnica do meio contínuo obtém
os resultados em tempos computacionais significativamente menores do que o método dos
elementos finitos, além de ser mais simples no ingresso de dados, e, conseqüentemente,
sujeito a menos erros.
A abordagem do carregamento por terremoto foi feita seguindo procedimentos clássicos por
meio do estudo da resposta de sistema de um grau de liberdade, cuja integração foi trabalhada
pelo método de Newmark. O integrador temporal de Newmark apresenta uma família de
soluções controlada por dois parâmetros ( e ); sendo também estudada a região de
estabilidade. Além disso, foi apresentada uma discussão sobre as técnicas baseadas nos
chamados espectros de resposta.
Finalizando, cumpre assinalar que o presente trabalho apresenta um exercício cuidadoso de
aplicação da técnica do meio contínuo em problemas de solicitação por terremoto, bem como
uma revisão dos critérios da abordagem do carregamento sísmico. Os exemplos de aplicação,
cujos cálculos foram realizados com um algoritmo computacional preparado especialmente
para esse propósito mostram que os objetivos foram atingidos.
Capítulo
4
92
93
Definições para o cálculo da força sísmica
A.1 Período natural de vibração e freqüência natural circular de
vibração
O tempo requerido para que o sistema sem amortecimento complete um ciclo de livre
vibração é conhecido como o período natural de vibração do sistema, que é denotado como
(segundos) e esta relacionada à freqüência natural circular de vibração
(radiais por
segundo) mediante a seguinte equação [2]:
=
2
Na qual
é a expressão dada por:
=
é a rigidez do sistema e a sua massa.
Um sistema executa
1
ciclos num segundo. Esta é a freqüência cíclica de vibração e é
denotada por:
=
1
as unidades de
estão em hertz
[ciclos por segundo (cps)];
é relacionada com
por:
=
2
Apêndice
A
(A.1)
(A.3)
(A.4)
(A.2)
94
A.2 Livre vibração sem amortecimento
A equação que governa o movimento de um sistema simples linear sujeito a uma força
externa é + + =
. Tem-se que
= 0 para a equação diferencial que
governa o sistema de livre vibração para sistemas sem amortecimento
= 0
, portanto a
equação do movimento se expressa como [2]:
+ = 0
A livre vibração é inicializada por perturbação da posição do equilíbrio estático do sistema.
Assim, considera-se que a massa tem o mesmo deslocamento
0
e a mesma velocidade
0
num tempo zero, definido como instante de inicialização do movimento:
=
0
=
0
A solução da equação diferencial (A.4) que é linear, homogênea, de segundo ordem e de
coeficientes constantes sujeita a estas condições iniciais tem a forma de:
=
na qual a constante é desconhecida. Substituindo-se este valor na equação (A.4) obtém-se:
2
+
= 0
o termo exponencial nunca é zero, portanto, a equação característica é:
2
+
= 0
1,2
= ±
Na qual =
1. Portanto, a solução geral da equação (A.4) é:
=
1
1
+
2
2
após substituição nesta equação o termo
1,2
= ±
, obtém-se:
=
1
+
2
(A.4)
(A.5)
95
na qual as constantes
1
e
2
são ainda indeterminadas. Usando o teorema de Moivre
encontra-se:
cos =
+
2
sin =
2
nossa equação fica como:
= cos
+ sin
na qual as constantes e são constantes ainda desconhecidas. Fazendo diferenciação na
equação anterior obtém-se:
=
sin
+
cos
Avaliando estas equações no tempo inicial zero obtêm-se as constantes e em termos do
deslocamento inicial
0
e a velocidade
0
:
0
=
0
=
substituindo os valores encontrados de e na equação
= cos
+ sin
obtém-se [2]:
=
0
cos
+
0
sin
A.3 Livre vibração com amortecimento
Levando-se em conta que
= 0, a equação diferencial que governa a livre vibração de um
sistema com amortecimento fica como:
+ + = 0
dividendo por sua massa obtém-se:
+ 2
+
2
= 0
fazendo uso da equação (A.1) obtém-se a seguinte relação:
(A.6)
(A.7)
(A.8)
96
=
na qual
= 2
é o coeficiente de amortecimento crítico; e é a razão do
amortecimento ou fração de amortecimento crítico. A constante de amortecimento é a
medida de energia dissipada num ciclo de livre vibração ou em um ciclo de vibração
harmônica forçada [2].
(A.9)
97
Seqüência do programa
B.1 Função
Para demonstrar o potencial da técnica do meio contínuo para a análise estrutural de edifícios
altos em etapas preliminares, foi necessário desenvolver um programa e assim podê-lo
comparar com o método de elementos finitos.
O programa correspondente foi desenvolvido no pacote MATLAB R2007a no sistema
operativo de Windows Vista. Basicamente o que o programa realiza é resolver uma estrutura
de um edifício alto para um carregamento de terremoto e obtêm resultados de deslocamentos
na direção , e Giro do edifício. Logo, com esses dados, o programa calcula os esforços
internos dos painéis de interesse.
B.2 Estrutura do programa
O programa foi estruturado da seguinte forma:
Dados globais: Nesta parte introduzimos os dados geométricos básicos do edifício
que afetam a todos os painéis, e também são introduzidos dados analíticos necessários
para a conformação do edifício.
Registro de terremoto: Para poder dar um carregamento de terremoto ao edifício tem-
se que levar em conta um registro de terremoto já acontecido, o qual é tomado como
arquivo e convertido para sua utilização no programa com as unidades convenientes.
Cálculo do deslocamento, pseudo-velocidade e da pseudo-aceleração: Para o cálculo
destes dados fazemos uso do método de Newmark, e seguimos os passos dados na
tabela 1.4, daí com as equações (1.58) encontramos valores de deslocamento,
velocidade e aceleração máximos, e com as equações (1.59) e (1.61) encontramos os
Apêndice
B
98
valores à pseudo-velocidade e pseudo-aceleração respectivamente. É incluído o
espectro de resposta à pseudo-velocidade e pseudo-aceleração por causa de que eles
são muito usados no estudo característico da resposta espectral, construção de
espectros de desenho e relacionados a resultados de dinâmica de estruturas para
códigos de estruturas.
Distribuição da força cortante na altura: Como foi explicado no item 3.1 escolhemos
de acordo as características do edifício, um coeficiente sismorresistente, e com a
equação (3.1) calculamos o período fundamental do edifício e da equação (1.63) ou
(3.2) obtém-se o máximo valor do cortante da base. Com esses dados verificamos a
intensidade da força atingida ao edifício e optamos por distribuir a força em forma
linear mais uma força concentrada no topo do edifício. Nesta etapa é reconhecida a
direção da força aplicada.
Dados de painéis do edifício: Os dados necessários dos painéis que conformam o
edifício são sumarizados em arquivos de texto, os quais serão ingressados no
programa e lidos cela por cela. Esta parte do programa é considerada como ingresso
de dados.
Leitura de dados de entrada para pórtico: Nesta parte do programa são lidos os dados
dos tipos de painéis pórticos e são executadas as operações necessárias para se obter a
matriz [], isto implica calcular as inércias e rigidez de cada coluna e de cada viga do
pórtico , para depois com esses dados e com ajuda da equação (2.11) calcular o valor
de rigidez do pórtico. Com ajuda da equação (2.31) encontramos o valor de cada
termo da matriz [] e no caso de ter painéis de seção aberta de parede delgada no
elemento
terá que ser adicionado o valor de torção pura deste painel, como na
equação (2.33).
Leitura de dados de entrada para pilares parede: Como no item anterior, aqui são
lidos os dados necessários para os painéis pilares parede e são executadas as
operações necessárias para a conformação da matriz []. Com a equação (2.31) é
calculado cada termo da matriz [], e no caso de ter painéis se seção aberta de parede
delgada no elemento
terá que ser adicionado o valor de flexo-torção deste painel,
como indicado na equação (2.33).
Vetor da direção do plano de carregamento: Nesta parte do programa são calculados
os valores dos termos do vetor que multiplica ao cortante da equação (2.32).
Caso singular, quando
= 0 e
= 0: Como foi explicado no item 2.3.7, o
desacoplamento da equação (2.59) tem que ser feita algebricamente, e nesta parte do
programa apresenta-se o procedimento para tal fim. Desta forma, calculamos os
valores dados na equação (2.62) que são necessários para o cálculo dos termos que
contem as equações das constantes de integração da resolução da equação diferencial
99
para cada tipo de carregamento, como é apresentado no item 2.3.6. Com esta
resolução encontramos o deslocamento na direção principal e os restantes
deslocamentos nas direções e são encontradas baseadas na integração da equação
(2.60).
Caso singular, quando
= 0: Da mesma forma que no item anterior, se desacoplou
a equação diferencial algebricamente e encontraram-se os resultados da estrutura
fazendo uso das equações (2.64) e (2.65). É importante indicar que nestes dois casos
foi implementada a resolução de casos singulares.
Cálculo da nova origem do sistema de referência: Voltando para a resolução de
edifícios em casos não singulares e depois de ter todos os termos das matrizes de
e
, assim como o vetor da direção de carregamento, é necessário eliminar os termos
fora da diagonal da matriz
ou a matriz
; para isso encontramos uma nova
origem do sistema de referência com ajuda das equações (2.37).
Cálculo dos valores das matrizes
e
com novo sistema de referência: Nesta
parte do programa são calculados os novos termos das matrizes
e
com respeito
ao novo sistema de referência.
Cálculo do ângulo de rotação do sistema de referência: Para terminar de eliminar os
termos que não se encontram na diagonal da matriz
ou
é necessário fazer um
giro conveniente do sistema de referência, este giro é proporcionado pela equação
(2.39).
Cálculo dos valores das matrizes
e
com o sistema de referência girado: Nesta
parte obtém-se a matriz
ou
diagonalizada.
Cálculo das novas coordenadas do plano de carregamento: Assim como foram
calculados novos termos para as matrizes envolvidas, também são necessários os
cálculos dos novos termos para o vetor de carregamento mediante as equações (2.35)
e (2.38).
Transformação de deslocamentos: A equação (2.43) é desacoplada nesta parte do
programa pelo que vários passos são feitos. Primeiramente, calculamos os termos da
matriz [] da equação (2.45) e depois a matriz [] e [] que contem os autoversores
e autovalores respectivamente. A matriz [] é multiplicada pela matriz [] de
autoversores, obtendo-se a matriz [] (2.47). Levando em conta as propriedades das
equações (2.48) e os autovalores encontrados, temos já todos os termos da equação
(2.49) que representa as três equações diferenciais desacopladas para cada direção e
que tem solução conhecida, como foi visto no item 2.3.6, e adequadamente
implementado no programa.
Deslocamentos: Os resultados obtidos estão na direção do ângulo girado pela equação
(2.39), e, portanto, para poder ser comparado com o método dos elementos finitos é
100
necessário retornar as suas direções de origem, pelo que os resultados são
multiplicados pela inversa da matriz de direção.
Deslocamento dos painéis: Com os deslocamentos encontrados para o edifício pode-
se encontrar os deslocamentos para cada painel com ajuda da equação (2.29).
Esforços internos na estrutura: Como foi explicado no exemplo 3 desta dissertação,
mediante as equações (3.7), (3.8) e (3.9) pode-se encontrar os esforços internos dos
painéis ao momento fletor e à força cortante.
B.3 Dados de entrada
Os dados de entrada para o programa estão divididos em dados gerais que são introduzidos
no próprio programa, e os arquivos de textos para cada tipo de painel que são lidos em forma
separada; assim como também um arquivo de texto que contem o registro de terremoto com
que estamos analisando a estrutura.
B.4 Dados de saída
Os dados de saída são gravados no arquivo uvw.txt. É mostrado nesse arquivo o numero de
andares e os deslocamentos principais do edifício andar por andar. Depois são mostrados os
dados correspondentes aos esforços internos dos painéis de interesse.
B.5 Programa fonte
%% Programa para o cálculo de edifícios pela técnica do meio contínuo
%% submetidos a carregamento por terremoto
% Dados Geométricos
ComEdi = 24; %Comprimento do edifício (m)
LarEdi = 36; %Largura do edifício (m)
AreaEd = ComEdi*LarEdi;
NA = 25; %Número de andares
hi = 3; %Pé direito (m)
ht = NA*hi; %Altura total do edifício (m)
% Dados Analíticos
CT = 60; %coeficiente sismorresistente
Tn1 = ht/CT; %Período fundamental encontrado
pi = 1; %Peso do andar 1tn/m2
pti = AreaEd*pi;%Peso total por andar
W = pti*NA; %Peso total do edifício
g = 9.81; %Gravidade m/seg2
mi = pti/g; %massa do andar
m = mi*NA; %Massa do edifício
At = 0.02; %Variação do tempo seg.
Gama = 0.5;
Beta = 0.16666666;
%% Registro do terremoto
101
Dados = load ('C:\Users\cesare\Documents\carga dinamica\elcentro.txt');
Pace = Dados (:,2); %carregamento em aceleração
P = -Pace*g*m; %carregamento em kip
t = Dados (:,1); %tempo transcorrido em sec.
%% Cálculo do deslocamento, da pseudo-velocidade e da pseudo-aceleração
% Condicoes iniciais
num_pontos = length(P);
T = 0:At:(num_pontos-1)*At;
%Cálculos iniciais
for Eam = [0.05]; %Coeficiente de amortecimento
Tn = 0.01:0.01:3; %Período natural de vibração
num_Tn = length(Tn);
U = zeros(num_Tn, num_pontos);
UU = zeros(num_Tn, num_pontos);
num_pontos = length(P);
for j=1:num_Tn
U(j,1) = 0; %Deslocamento inicial
UU(j,1) = 0; %Velocidade inicial
wn(j) = 2*pi()/Tn(j); %Freqüência natural de vibração
ca(j) = Eam*2*m*wn(j); %Coeficiente de amortecimento
k(j) = 4*pi()*pi()*m./Tn(j)^2; %Rigidez da estrutura,função do Tn
UUU(j,1) = (P(1) - ca(j)*UU(j,1) - k(j)*U(j,1))/m; %Aceleração t=0
Ks(j) = k(j) + (Gama/(Beta*At))*ca(j) + (1/(Beta*At^2))*m;
aN = (1/(Beta*At))*m + (Gama/Beta)*ca(j);
bN = (1/(2*Beta))*m + At*(Gama/(2*Beta)-1)*ca(j);
%Cálculo para cada passo de tempo i
for i=1:num_pontos - 1
DP(j,i) = P(i+1) - P(i);
DPs(j,i) = DP(j,i) + aN*UU(j,i) + bN*UUU(j,i);
DU(j,i) = DPs(j,i)/Ks(j);
DUU(j,i) = (Gama/(Beta.*At))*DU(j,i) - (Gama/Beta)*UU(j,i) +
At*(1-Gama/(2*Beta))*UUU(j,i);
DUUU(j,i) = 1/(Beta*At.^2)*DU(j,i) - 1/(Beta*At)*UU(j,i) -
1/(2*Beta)*UUU(j,i);
U(j,i+1) = U(j,i) + DU(j,i);
UU(j,i+1) = UU(j,i) + DUU(j,i);
UUU(j,i+1) = UUU(j,i) + DUUU(j,i);
end
Dmax(j) = max(abs(U(j,:))); %Deslocamento máximo
PsA(j) = Dmax(j)*(2*pi()/Tn(j))^2/g; %Pseudo-aceleração
end
end
%% Distribuição da força cortante na altura
V_bo = PsA(Tn1*100)/g*W; %Força cortante na base do edifício
Fa = 0;
if Tn1 >= 0.7 %Força no topo do edifício
Fa = 0.07*Tn1*V_bo;
if Fa > 0.15*V_bo
Fa = 0.15*V_bo;
end
end
sum = 0;
102
for j = 1:NA
sum = sum + pti*hi*(j);
end
for i = 1:NA
Fi(i)=pti*hi*(i)/sum*(V_bo-Fa);%Distribuição da força sísmica na altura
Vi(i)=Fi(i) + Fa; %Distribuição da força cortante na altura
end
ViT = Fi(NA); %Cortante no topo (máximo valor do cortante linear)
ViC = Fa; %Cortante constante no edifício
Vx1 = 12.5; Vy1 = 0; %Coordenada do primeiro ponto da direção do terremoto
Vx2 = 23.5; Vy2 = 24; %Coordenada do segundo ponto da direção do terremoto
%% Dados de paineis do edifíco
arquivoW='C:\Users\cesare\Documents\carga
dinamica\matlab\ExemploMuros3.txt';
arquivoP='C:\Users\cesare\Documents\carga
dinamica\matlab\ExemploPortico3.txt';
%% Leitura de dados de entrada para o pórtico
fid = fopen(arquivoP, 'r');
dadosp = textscan(fid, '%d %f %f %d %s %s %s %s %s %s', 'headerlines', 1);
numPorticos = length(dadosp{1}); % obtêm o numero de pórticos
% obtém-se cada coluna do arquivo
IDf = dadosp{1}; %Numero do pórtico
Ef = dadosp{2}; %Módulo de elasticidade do pórtico (Tn/m2)
hf = dadosp{3}; %pé-direito do andar (m)
NC = dadosp{4}; %Número de colunas
%cálculo da matriz do pórticos
Saa = 0; Sab = 0; Sac = 0;
Sbb = 0; Sbc = 0;
Scc = 0;
for i = 1:numPorticos
Xf{i} = cell2mat(textscan(cell2mat(dadosp{5}(i)),'%f;', NC(i) ))';
%vetor de coord x do pórtico i armazenadas na cela i (m)
Yf{i} = cell2mat(textscan(cell2mat(dadosp{6}(i)),'%f;', NC(i) ))';
%vetor de coord y do pórtico i armazenadas na celda i (m)
mf{i} = cell2mat(textscan(cell2mat(dadosp{7}(i)),'%f;', NC(i) ))';
%vetor de larguras das colunas do pórtico i na cela i (m)
nf{i} = cell2mat(textscan(cell2mat(dadosp{8}(i)),'%f;', NC(i) ))';
%vetor de comprimentos das colunas do pórtico i na cela i (m)
mvf{i} = cell2mat(textscan(cell2mat(dadosp{9}(i)),'%f;', NC(i) ))';
%vetor de larguras das vigas do pórtico i na cela i (m)
nvf{i} = cell2mat(textscan(cell2mat(dadosp{10}(i)),'%f;', NC(i) ))';
%vetor de comprimentos das vigas do pórtico i na cela i (m)
for k = 1:NC(i) %Calcula as inércias de cada coluna do pórtico i
Icf{i}(k) = (nf{i}(k)*(mf{i}(k))^3)/12;
%Inércia da coluna k(elemento k do vetor) do pórtico i(cela) (m4)
kcf{i}(k) = Icf{i}(k)/hf(i);
%Rigidez da coluna k(elemento k do vetor) do pórtico i(cela)
end
for j = 1:NC(i)-1
dcf{i}(j) = sqrt((Xf{i}(j+1)-Xf{i}(j))^2+(Yf{i}(j+1)-Yf{i}(j))^2);
%Calcula as distancias entre colunas
103
dvf{i}(j) = dcf{i}(j) - mf{i}(j+1)/2 - mf{i}(j)/2;
%Distancia efetiva da viga j(elem j do vetor) pórtico i
Ivf{i}(j) = (nvf{i}(j)*(mvf{i}(j))^3)/12;
%Inercia da viga j(elem j do vetor) pórtico i(cela)(m4)
kvf{i}(j) = Ivf{i}(j)/dvf{i}(j);
%Rigidez da viga j(elem j do vetor) pórtico i(cela)
end
kna{i}(1) = kcf{i}(1)*kvf{i}(1)/(2*kcf{i}(1) + kvf{i}(1));
%Rigidez concorrente ao primeiro nó
kna{i}(NC(i)) = kcf{i}(NC(i))*kvf{i}(NC(i)-1)/(2*kcf{i}(NC(i)) +
kvf{i}(NC(i)-1)); %Rigidez concorrente ao último nó
for l = 2:NC(i)-1 %Rigidez concorrente aos nós intermédios
kna{i}(l) = kcf{i}(l)*(kvf{i}(l) + kvf{i}(l-1))/(2*kcf{i}(l) +
kvf{i}(l) + kvf{i}(l-1));
end
sf(i) = 0;
for l = 1:NC(i) %soma das contribuições de todos os nós
sf(i) = sf(i) + kna{i}(l);
end
sf(i) = sf(i)* (12*Ef(i)/hf(i)); %Rigidez de cada pórtico
af(i) = (Xf{i}(2) - Xf{i}(1))/dcf{i}(1); %Comp horizontal do pórtico
bf(i) = (Yf{i}(2) - Yf{i}(1))/dcf{i}(1); %Comp vertical do pórtico
cf(i) = Xf{i}(1)*bf(i) - Yf{i}(1)*af(i); %dist do seu plano ao eixo Oz
Saa = Saa + sf(i)*af(i)*bf(i);
Sab = Sab + sf(i)*af(i)*bf(i);
Sac = Sac + sf(i)*af(i)*cf(i);
Sbb = Sbb + sf(i)*bf(i)*bf(i);
Sbc = Sbc + sf(i)*bf(i)*cf(i);
Scc = Scc + sf(i)*cf(i)*cf(i);
end
%% Leitura de dados de entrada para pilares parede
fid = fopen(arquivoW, 'r');
dadosw = textscan(fid, '%d %f %f %f %f %f %f', 'headerlines', 1);
numMuros = length(dadosw{1}); % obtêm o numero de muros
% obtém-se cada coluna do arquivo
IDw = dadosw{1}; %Número de pilar parede
Ew = dadosw{2}; %Módulo de Elasticidade do pilar parede
X1w = dadosw{3}; %Coordenada inicial X1 do pilar parede
Y1w = dadosw{4}; %Coordenada inicial Y1 do pilar parede
X2w = dadosw{5}; %Coordenada final do pilar parede
Y2w = dadosw{6}; %Coordenada final do pilar parede
Es = dadosw{7}; %Espessura do pilar parede
%Cálculo da matriz da pilar parede
Jaa = 0.0; Jab = 0.0; Jac = 0.0;
Jbb = 0.0; Jbc = 0.0;
Jcc = 0.0;
for i = 1:numMuros
lw(i) = sqrt((X2w(i)-X1w(i))^2+(Y2w(i)-Y1w(i))^2);%Comprimento do pilar
Iw(i) = (Es(i)*lw(i)^3)/12; %Momento de inércia do pilar parede
jw(i) = Ew(i)*Iw(i); %Rigidez a flexão do pilar parede
aw(i) = (X2w(i) - X1w(i))/lw(i); %Componente horizontal do pilar
parede
bw(i) = (Y2w(i) - Y1w(i))/lw(i); %Componente vertical do pilar parede
104
cw(i) = X1w(i)*bw(i)-Y1w(i)*aw(i);%Distancia do seu plano ao eixo Oz
Jaa = Jaa + jw(i)*aw(i)*aw(i);
Jab = Jab + jw(i)*aw(i)*bw(i);
Jac = Jac + jw(i)*aw(i)*cw(i);
Jbb = Jbb + jw(i)*bw(i)*bw(i);
Jbc = Jbc + jw(i)*bw(i)*cw(i);
Jcc = Jcc + jw(i)*cw(i)*cw(i);
end
%% Vetor da direção do plano de carregamento
d = sqrt((Vx2 - Vx1)^2 + (Vy1 - Vy2)^2);
a = (Vx2-Vx1)/d;
b = (Vy2-Vy1)/d;
c = b*(Vx1 - Vy1/((Vy1 - Vy2)/(Vx2 - Vx1)));
%% Caso singular quando Jaa=0 e Jcc=0
if Jaa == 0 && Jcc == 0
bet = Sbb + Sab*(Sbc*Sac-Sab*Scc)/(Saa*Scc-Sac^2) +
Sbc*(Sab*Sac-Sbc*Saa)/(Saa*Scc-Sac^2);
gam = b - Sab*(a*Scc-c*Sac)/(Saa*Scc-Sac^2) -
Sbc*(c*Saa-a*Sac)/(Saa*Scc-Sac^2);
Kl = sqrt(bet/Jbb);
VC = ViC*gam;
VT = ViT*gam;
% Constantes do cortante uniforme VC
C1 = -VC/(Jbb*Kl^4)*(Kl*ht + 2*exp(-Kl*ht) -
Kl*ht*exp(-2*Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
C2 = VC/(Jbb*Kl^4)*(exp(-Kl*ht)-Kl*ht*exp(-2*Kl*ht))/(1+exp(-2*Kl*ht));
C3 = VC/(Jbb*Kl^4)*(Kl*ht + exp(-Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
% Constantes do cortante linear VT
C4 = VT/(2*Jbb*Kl^4)*(-Kl*ht - 4*exp(-Kl*ht) +
Kl*ht*exp(-2*Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
C5 = VT/(2*Jbb*Kl^4)*(2*exp(-Kl*ht) -
Kl*ht*exp(-2*Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
C6 = VT/(2*Jbb*Kl^4)*(Kl*ht + 2*exp(-Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
% Calcula a solução em altura
zs = 0:hi:ht;
num_z = length(zs);
for j = 1:num_z
z = zs(j);
phiC = C1 + C2*exp(Kl*z) + C3*exp(-Kl*z) +
VC/(Jbb*Kl^2)*(ht*z-(z^2/2));
phiT = C4 + C5*exp(Kl*z) + C6*exp(-Kl*z) +
VT*z/(6*Jbb*ht*Kl^2)*(3*ht^2-z^2);
v(j) = phiC + phiT;
u(j) = (a*Scc-c*Sac)/(Saa*Scc-Sac^2)*ViC*(ht*z-z^2/2) +
(Sbc*Sac-Sab*Scc)/(Saa*Scc-Sac^2)*v(j);
w(j) = (c*Saa-a*Sac)/(Saa*Scc-Sac^2)*ViC*(ht*z-z^2/2) +
(Sab*Sac-Sbc*Saa)/(Saa*Scc-Sac^2)*v(j);
end
% Gráficos
plot(w,0:hi:ht,'r');
105
hold on;
grid on;
end
%% Caso singular quando unicamente Jaa=0
if Jaa == 0
%Matriz [J]
J = zeros(2,2);
J(1,1) = Jbb; J(1,2) = 0;
J(2,1) = 0; J(2,2) = Jcc;
%Matriz [S]
S = zeros(2,2);
S1bb = (Saa*Sbb - Sab^2)/Saa;
S1bc = (Saa*Sbc - Sab*Sac)/Saa;
S1cc = (Saa*Scc - Sac^2)/Saa;
S(1,1) = S1bb; S(1,2) = S1bc;
S(2,1) = S1bc; S(2,2) = S1cc;
%Vetor de plano de carregamento
b1 = (b*Saa - a*Sab)/Saa;
c1 = (c*Saa - a*Sac)/Saa;
bc = zeros(2,1);
bc(1,1) = b1; bc(2,1) = c1;
TK1 = 1/sqrt(Jbb);
TK2 = 1/sqrt(Jcc);
K = zeros(2,2);
K(1,1) = TK1; K(2,2) = TK2;
[E,A]=eig(K'*S*K);%Autoversores na matriz[E] e autovalores na matriz[A]
T = K*E;
VTs = ViT*T'*bc; %Vetor do cortante linear
VCs = ViC*T'*bc; %Vetor do cortante constante
% Resolução da equação diferencial -u''' + Au' = Vi*
Kls = [(A(1,1))^0.5, (A(2,2))^0.5];
for i = 1:2 % i indica a equação que se esta resolvendo
Kl = Kls(i);
VT = VTs(i);
VC = VCs(i);
% Constantes do cortante uniforme VC
C1 = -VC/Kl^4*(Kl*ht + 2*exp(-Kl*ht) -
Kl*ht*exp(-2*Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
C2 = VC/Kl^4*(exp(-Kl*ht) - Kl*ht*exp(-2*Kl*ht))/(1+exp(-2*Kl*ht));
C3 = VC/Kl^4*(Kl*ht + exp(-Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
% Constantes do cortante linear VT
C4 = VT/(2*Kl^4)*(-Kl*ht - 4*exp(-Kl*ht) +
Kl*ht*exp(-2*Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
C5 = VT/(2*Kl^4)*(2*exp(-Kl*ht) -
Kl*ht*exp(-2*Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
106
C6 = VT/(2*Kl^4)*(Kl*ht + 2*exp(-Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
% Calcula a solução em altura
zs = 0:hi:ht;
num_z = length(zs);
for j = 1:num_z
z = zs(j);
phiC=C1+C2*exp(Kl*z)+C3*exp(-Kl*z)+VC/Kl^2*(ht*z-z^2/2);
phiT=C4+C5*exp(Kl*z)+C6*exp(-Kl*z)+VT*z/(6*Kl^2*ht)*(3*ht^2-
z^2);
phiS(i,j) = phiC + phiT;
end
end
for j = 1:num_z
vw(:,j) = K*E*phiS(:,j);
end
% Gráficos
plot(vw(1,:),0:hi:ht,'r');
hold on;
grid on;
end
%% Cálculo da nova origem do sistema de referência
X0 = (Jaa*Jbc - Jab*Jac)/(Jaa*Jbb - Jab^2);
Y0 = (-Jbb*Jac + Jab*Jbc)/(Jaa*Jbb - Jab^2);
%% Cálculo dos valores das matrizes [J] [S] com novo sistema de referência
%Cálculo de dados da matriz [J]
J1aa = Jaa; J1ab = Jab; J1ac = 0;
J1bb = Jbb; J1bc = 0;
J1cc = 0;
for i=1:numMuros
c1w(i) = cw(i) - X0*bw(i) + Y0*aw(i);
J1cc = J1cc + jw(i)*c1w(i)*c1w(i);
end
J2cc = J1cc;
%Cálculo de dados da matriz [S]
S1aa = Saa; S1ab = Sab; S1ac = 0;
S1bb = Sbb; S1bc = 0;
S1cc = 0;
a1f = af; b1f = bf;
for i=1:numPorticos
c1f(i) = cf(i) - X0*bf(i) + Y0*af(i);
S1ac = S1ac + sf(i)*a1f(i)*c1f(i);
S1bc = S1bc + sf(i)*b1f(i)*c1f(i);
S1cc = S1cc + sf(i)*c1f(i)*c1f(i);
end
%% Cálculo do angulo de rotação do sistema de referencia
phi = 0.5*atan(2*Jab/(Jaa - Jbb));
%% Cálculo dos valores das matrizes [J] e [S] sistema de referencia girado
J2aa = 0;
J2bb = 0;
for i=1:numMuros
107
a2w(i) = aw(i)*cos(phi) + bw(i)*sin(phi);
b2w(i) = -aw(i)*sin(phi) + bw(i)*cos(phi);
J2aa = J2aa + jw(i)*a2w(i)*a2w(i);
J2bb = J2bb + jw(i)*b2w(i)*b2w(i);
end
J = zeros(3,3);
J(1,1) = J2aa; J(2,2) = J2bb; J(3,3) = J2cc;
S2aa = 0; S2ab = 0; S2ac = 0;
S2bb = 0; S2bc = 0;
S2cc = S1cc;
c2f = c1f;
for i=1:numPorticos
a2f(i) = af(i)*cos(phi) + bf(i)*sin(phi);
b2f(i) = -af(i)*sin(phi) + bf(i)*cos(phi);
S2aa = S2aa + sf(i)*a2f(i)*a2f(i);
S2ab = S2ab + sf(i)*a2f(i)*b2f(i);
S2ac = S2ac + sf(i)*a2f(i)*c2f(i);
S2bb = S2bb + sf(i)*b2f(i)*b2f(i);
S2bc = S2bc + sf(i)*b2f(i)*c2f(i);
end
S2ba = S2ab;
S2ca = S2ac;
S2cb = S2bc;
S = zeros(3,3);
S(1,1) = S2aa; S(1,2) = S2ab; S(1,3) = S2ac;
S(2,1) = S2ba; S(2,2) = S2bb; S(2,3) = S2bc;
S(3,1) = S2ca; S(3,2) = S2cb; S(3,3) = S2cc;
%% Cálculo das novas coordenadas do plano de carregamento
c1 = c - X0*b + Y0*a;
a2 = a*cos(phi) + b*sin(phi);
b2 = -a*sin(phi) + b*cos(phi);
c2 = c1;
abc = zeros(3,1);
abc(1,1) = a2; abc(2,1) = b2; abc(3,1) = c2;
%% Transformação de deslocamentos
K = zeros(3,3);
K(1,1) = 1/sqrt(J2aa); K(2,2) = 1/sqrt(J2bb); K(3,3) = 1/sqrt(J2cc);
[E,A] = eig(K'*S*K); %autoversores na matriz[E] e autovalores na matriz[A]
T = K*E;
RD = zeros(3,3);
RD(1,1) = cos(phi); RD(1,2) = -sin(phi);
RD(2,1) = sin(phi); RD(2,2) = cos(phi);
RD(3,3) = 1;
VTs = ViT*T'*abc; %Vetor de cortante linear
VCs = ViC*T'*abc; %Vetor de cortante constante
% Resolução da equação diferencial -u''' + Au' = Vi*
Kls = [(A(1,1))^0.5, (A(2,2))^0.5, (A(3,3))^0.5];
108
for i = 1:3 % i indica a equação que se esta resolvendo
Kl = Kls(i);
VT = VTs(i);
VC = VCs(i);
% Constantes do cortante uniforme VC
C1 = -VC/Kl^4*(Kl*ht + 2*exp(-Kl*ht) -
Kl*ht*exp(-2*Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
C2 = VC/Kl^4*(exp(-Kl*ht) - Kl*ht*exp(-2*Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
C3 = VC/Kl^4*(Kl*ht + exp(-Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
% Constantes do cortante linear VT
C4 = VT/(2*Kl^4)*(-Kl*ht - 4*exp(-Kl*ht) +
Kl*ht*exp(-2*Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
C5 = VT/(2*Kl^4)*(2*exp(-Kl*ht)-Kl*ht*exp(-2*Kl*ht))/(1+exp(-2*Kl*ht));
C6 = VT/(2*Kl^4)*(Kl*ht + 2*exp(-Kl*ht))/(1 + exp(-2*Kl*ht));
% Calcula a solução na altura
zs = 0:hi:ht;
num_z = length(zs);
for j = 1:num_z
z = zs(j);
phiC = C1+C2*exp(Kl*z)+C3*exp(-Kl*z)+VC/Kl^2*(ht*z-z^2/2);
phiT = C4+C5*exp(Kl*z)+C6*exp(-Kl*z)+VT*z/(6*Kl^2*ht)*(3*ht^2-z^2);
phiS(i,j) = phiC + phiT;
% Valores para as derivadas do cortante uniforme VC
phiC1 = Kl*(C2*exp(Kl*z) - C3*exp(-Kl*z) + VC*(ht-z)/Kl^3);
phiC2 = Kl^2*(C2*exp(Kl*z) + C3*exp(-Kl*z) - VC/Kl^4);
phiC3 = Kl^3*(-C2*exp(Kl*z) + C3*exp(-Kl*z));
% Valores para as derivadas do cortante linear VT
phiT1 = Kl*(C5*exp(Kl*z)-C6*exp(-Kl*z)+VT*(ht^2-z^2)/(2*Kl^3*ht));
phiT2 = Kl^2*(C5*exp(Kl*z) + C6*exp(-Kl*z) - VT*z/(Kl^4*ht));
phiT3 = Kl^3*(-C5*exp(Kl*z) + C6*exp(-Kl*z) + VT/(Kl^5*ht));
% Derivadas primeira, segunda e terceira
phiS1(i,j) = phiC1 + phiT1;
phiS2(i,j) = phiC2 + phiT2;
phiS3(i,j) = phiC3 + phiT3;
end
end
for j = 1:num_z
uvwG(:,j) = K*E*phiS(:,j); %Deslocamentos eixos girados
uvw(:,j) = RD*uvwG(:,j); %Deslocamentos eixos principais
% Derivadas primeira, segunda e terceira giradas
uvwG1(:,j) = K*E*phiS1(:,j);
uvwG2(:,j) = K*E*phiS2(:,j);
uvwG3(:,j) = K*E*phiS3(:,j);
% Derivadas primeira, segunda e terceira eixos principais
uvw1(:,j) = RD*uvwG1(:,j);
uvw2(:,j) = RD*uvwG2(:,j);
uvw3(:,j) = RD*uvwG3(:,j);
end
%% Deslocamento dos painéis
for i = 1:numMuros % Cálculo de deslocamentos em pilar parede
for k = 1:num_z
109
uw(i,k) = aw(i)*uvw(1,k) + bw(i)*uvw(2,k) + cw(i)*uvw(3,k);
end
end
for j = 1:numPorticos % Cálculo de deslocamentos em pórticos
for k = 1:num_z
uf(j,k) = af(j)*uvw(1,k) + bf(j)*uvw(2,k) + cf(j)*uvw(3,k);
end
end
%% Esforço na estrutura
for i = 1:numMuros
for k = 1:num_z
uw2(i,k) = aw(i)*uvw2(1,k) + bw(i)*uvw2(2,k) + cw(i)*uvw2(3,k);
%Segunda derivada do deslocamento
Mw(i,k) = jw(i)*uw2(i,k);
%Momento em cada pilar parede
uw3(i,k) = aw(i)*uvw3(1,k) + bw(i)*uvw3(2,k) + cw(i)*uvw3(3,k);
%Terceira derivada do deslocamento
Vw(i,k) = -jw(i)*uw3(i,k);
%Cortante em cada pilar parede
end
end
for j = 1:numPorticos
for k = 1:num_z
uf1(j,k) = af(j)*uvw1(1,k) + bf(j)*uvw1(2,k) + cf(j)*uvw1(3,k);
%Primeira derivada do deslocamento
Vf(j,k) = sf(j)*uf1(j,k);
%Cortante en cada pórtico
end
end
%% Dados de saída
dlmwrite('uvw.txt',uvw);
% Gráficos
num_filas = size(uvw,1);
for i = 1:num_filas
figure;
plot(uvw(i,:),0:hi:ht,'r');
grid on;
end
fclose(fid);
110
111
Referências bibliográficas
[1] C.R.N. “Norma Técnica de Edificaciones E.030” [Comité técnico permanente NTE
E.030 diseño sismorresistente (aprovada 03-04-03) 2002 - Perú]. 2002.
[2] Chopra A.K. “Dynamics of Structures” [Theory and aplications to earthquake
engineering / Anil K. Chopra, (1995); TA654.6.C466]. No. 1. 1995.
[3] Coelho I. R. “Desacoplamento das equações da técnica do meio contínuo:
Análise de estruturas de edifícios altos” [Escola de Engenharia de São Carlos
Departamento de Engenharia de Estruturas – USP 1987]. No. 1 1987.
[4] Enrique Bazán, R. M. “Diseño Sísmico de Edificios” [Editorial Limusa Grupo
Noriega Editores / Balderas 95, Mexico, D.F. 2001] No. 121. 2001.
[5] Laier, J. E. “Complementos de Resistência dos Materiais” [Tensoes e deformações
Teoria de elasticidade / Escola de Engenharia de São Carlos Departamento de
engenharia de estruturas – USP. 2005]. No. 1. 2005.
[6] Meftah, S. A., Tounsi, A. and El Abbas, A. B. Asimplifed approach for
seismic calculation of a tall building brace by shear walls and thin-walled open
section structures. ENGINEERING STRUCTURES 29, 10 (OCT 2007). 2575-2585.
[7] Neto, J. M. “Flexo-torção: Barra com seção transversal aberta de paredes
delgadas” [Escola de Engenharia de São Carlos Departamento de engenharia de
estruturas – USP. 2007]. 2007.
[8] Stamato, M. C. “Associação contínua de painéis de contraventamento” [Publ.
Escola de Engenharia de São Carlos. 1972].
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