( PDF ) Análise da confiabilidade de oleodutos corroídos utilizando o método de Monte Carlo: um estudo de caso

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

ROBERTO MAURO FELIX SQUARCIO

ANÁLISE DA CONFIABILIDADE DE OLEODUTOS CORROÍDOS

UTILIZANDO O MÉTODO DE MONTE CARLO: UM ESTUDO DE CASO

CURITIBA

2009

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ROBERTO MAURO FELIX SQUARCIO

ANÁLISE DA CONFIABILIDADE DE OLEODUTOS CORROÍDOS

UTILIZANDO O MÉTODO DE MONTE CARLO: UM ESTUDO DE CASO

Dissertação apresentada ao curso de Pós-

Graduação em Métodos Numéricos em

Engenharia, Área de Concentração em Mecânica

Computacional, Departamentos de Construção

Civil e de Matemática, Setores de Tecnologia e de

Ciências Exatas, Universidade Federal do Paraná,

como parte das exigências para a obtenção do

título de Mestre em Ciências.

Orientador: Prof. Dr. Anselmo Chaves Neto

CURITIBA

2009

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TERMO DE APROVAÇÃO

ROBERTO MAURO FELIX SQUARCIO

ANÁLISE DA CONFIABILIDADE DE OLEODUTOS CORROÍDOS

UTILIZANDO O MÉTODO DE MONTE CARLO: UM ESTUDO DE CASO

Dissertação aprovada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre no curso

de Pós-Graduação em Métodos Numéricos para Engenharia – Área de concentração em

Mecânica Computacional, Setores de Tecnologia e Ciências Exatas da Universidade

Federal do Paraná, pela seguinte banca examinadora:

Orientador:

Prof. Anselmo Chaves Neto, D. Sc.

PPGMNE, UFPR

Prof. Roberto Dalledone Machado, Dr.

Pontifícia Universidade Católica do Paraná

Prof. Edson José Joaquim de Souza, Dr.

Petrobras

Curitiba, 20 de novembro de 2009

À Elza e Adayl.

“... a vida não se resume a Festivais.”

Geraldo Vandré

Sobretudo a Deus por proporcionar a capacidade de aprender e admirar.

Em especial à Lucileidi Beckmann Costa Squarcio, esposa, amiga, torcedora e

incentivadora nesta constante luta.

À minha irmã, Elizabeth Cássia Félix Squarcio, pelo auxílio, apoio e conforto

em todos os momentos.

Ao meu filho, Rafael Squarcio, que Deus abençoe seu futuro. Repito a ele as

palavras de Raul Seixas: “... o homem é o exercício que faz”.

A minha filha, Larissa Squarcio, bem-vinda, herdeira da vida e que nos traga

bastante alegria.

Ao Jair Antonio Costa, a Regina Beckmann Costa e ao Allan Beckmann Costa,

pela constante referência.

Aos amigos, Nestor Saavedra, Evandro Maia, Paulo Roberto Fiatte, Carlos

Alves Pereira, André Lavenere, pelos esclarecimentos e pelas boas conversas.

Ao Prof. Dr. Anselmo Chaves Neto, pela orientação e amizade tanto neste

trabalho como na vida, através do seu exemplo. Agradeço a ele especialmente ao final

deste trabalho, pela compreensão, boa vontade e paciência.

Aos professores do PPGMNE, Mildred Ballin Hecke, Adriano Scremin,

Maurício F. Gobbi, José V. C. Vargas, pelas maravilhosas aulas. À Professora Maria

Teresinha Arns Steiner pelo excelente trabalho em Redes Neurais.

Aos colegas, Vicente Vanhazebrouck, Sachiko Lira, Celso Yoshikazu, Luciano

Araki, Marco Argenta, pelos brilhantes trabalhos e pela contribuição dada a este.

À Maristela Bandil, pelo entusiasmo com que executa seu trabalho, e meu desejo

que continue a conquistar todos os objetivos de seu treinamento físico.

Aos antigos amigos da UTFPR, Germano Hambrusch, João Guimarães, Jorge

Riechi, Jorge Erthal, Jucélio Pereira, Maro Guérios, Raul Erthal, Aloísio Schuitek,

Daniel Hioki, Fabiano Ostapiv, José Velásquez, Ossimar Maranho, Zely da Conceição.

E anos novos, Awdrey Miquelin, Jorge Lenz, Talmi Bohn, Rodrigo Braz, João Tosin.

RESUMO

A avaliação quantitativa do risco em oleodutos submetidos à corrosão tem sido objeto

de extensas pesquisas, principalmente por empresas ligadas ao setor, entre elas, a

Petrobras. Este trabalho estima a pressão de falha e, conseqüentemente a

probabilidade de falha, em oleodutos danificados utilizando o método de Monte Carlo e

comparando os resultados obtidos com outros meios de avaliação estrutural. O método

de simulação de Monte Carlo emprega sequências de números aleatórios e suas

distribuições de probabilidade para estimar parâmetros de uma população. Também

são apresentadas variações da técnica de simulação pura, isto é, técnicas de redução

da variância e redução na quantidade de números randômicos gerados observando-se

considerável ganho computacional. Conceitos de inferência estatística permitem que

seja realizada a análise da variância dos resultados obtidos nesta simulação. A revisão

bibliográfica também apresenta outros processos para obter-se a probabilidade de

falha dos oleodutos, ou seja, modelos numericos por Elementos Finitos e os métodos

semi-empíricos, aplicados pelas normas ASME B31G, 085dL, Effective Area, RPA,

PCORRC e BS-7910. Na formulação da cinemática das deformações são consideradas

as características geométricas da corrosão e as especificações do material do oleoduto,

isto é, a profundidade do defeito, o diâmetro da tubulação, o comprimento do defeito, a

pressão do fluido, a tensão de escoamento do material do duto e a espessura da parede

da tubulação. As distribuições de probabilidade que se ajustaram aos dados foram a

Normal (Gaussiana) e a log-normal e a validade do ajuste foi verificada pelos testes de

aderência. O programa experimental é desenvolvido em ambiente Matlab.

Palavras-chave: Oleodutos, Confiabilidade Estrutural, Probabilidade de Falha,

Método de Monte Carlo.

ABSTRACT

The quantitative evaluation of the risks involved in pipelines submitted to corrosion had

become object of extensive researches, mainly by companies related to the industry,

amongst them, Petrobras. This study appraises the failure pressure and, hence the

failure probability in damaged pipelines through the Monte Carlo method and

comparing the achieved results with other structural evaluation methods. The Monte

Carlo simulation method consists on random number sequences and their subsequent

probability distributions to estimate parameters of a given population. Also, pure

simulation technique variation are presented, in other words, variance reduction

techniques and a reduction of the amount of random numbers generated meaning

substantial computational gains. Statistical inference concepts allow for a variance

analysis of the results accomplished in this simulation. The bibliographical review also

presents other processes to attain pipelines’ failure probability, that is, numeric models

for Finite Elements and the semi empirical methods applied according to ASME B31G,

085dL, Effective Area, RPA, PCORRC and BS-7910 standards. On the deformity

cinematic formulation, corrosion geometrical characteristics are taken in account

alongside with the pipeline material’s specifications, that is, failure depth, piping

diameter, failure length, fluid’s pressure, duct’s material flow tension and piping’s wall

thickness. The probability distributions adjusted to the data were Normal (Gaussian)

and log-normal and the adjustment’s legitimacy has been verified by the adherence

tests. The experimental program is developed on a Matlab environment.

Keywords: Pipelines, Structural Reliability, Failure Probability, Monte Carlo Method.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1.1 – Malhas das instalações da Petrobras no Centro-Oeste e Sul do Brasil................ 001

Figura 1.2– Supervisão, Controle e Aquisição de Dados......................................................... 002

Figura 1.3 – Malhas das instalações da Petrobras no Paraná e Santa Catarina........................ 003

Figura 1.4 - Célula de corrosão bimetálica............................................................................... 004

Figura 1.5 – Válvula de bloqueio............................................................................................. 006

Figura 1.6 – Exemplos de pig sendo inserido e retirado de um duto....................................... 007

Figura 1.7 – Comparação entre os defeitos gerados e os definidos por pigs........................... 008

Figura 2.1 – Curva tensão x deformação para diversos tipos de aço....................................... 011

Figura 2.2 – Oleoduto considerado cilindro de comprimento infinito e paredes delgadas...... 011

Figura 2.3 – Configuração geométrica dos dutos e da corrosão.............................................. 012

Figura 2.4 – Representação parabólica da área longitudinal de material perdido.................... 012

Figura 2.5 - Representação retangular da área longitudinal de material perdido..................... 012

Figura 2.6 – Condições de equilíbrio para tubos cilíndricos de parede fina de comprimento

infinito com extremidades fechadas submetido à pressão interna............................................. 013

Figura 2.7 – Divisão do comprimento da corrosão no método Effective Area........................ 019

Figura 2.8 – Divisão em regiões da geometria da corrosão no método DNV.......................... 021

Figura 2.9 – Combinação de defeitos interagentes no método DNV....................................... 022

Figura 2.10 – Burst test em oleoduto de aço X100.................................................................. 023

Figura 2.11 – Corpo de prova em ensaios de corrosão artificial.............................................. 024

Figura 2.12 – Detalhe da malha de defeito profundo (80% da espessura) em PIPEFLAW..... 027

Figura 2.13 – Exemplo de Distribuição Normal Padrão.......................................................... 033

Figura 2.14 – Exemplo de uma curva característica de operação............................................ 041

Figura 2.15 – Comportamento dos erros α e β em função do tamanho da amostra................. 042

Figura 2.16 – Curva de força do teste sendo α e σ

fixados..................................................... 042

Figura 2.17 – Região de falha e segurança separada pela função de estado limite.................. 049

Figura 2.18 – Métodos de confiabilidade FORM e SORM..................................................... 052

Figura 2.19 – Transformação da função de estado limite do espaço das variáveis Normais

reduzidas.................................................................................................................................... 054

Figura 2.20 – Interpretação geométrica da sensibilidade de g(Y) relativa às variáveis Y

........ 055

Figura 2.21 - Transformação de uma variável não normal numa variável normal reduzida.... 057

Figura 2.22 – Curvas de frequências acumuladas.................................................................... 064

Figura 2.23 – Exemplo da variação da estimativa da probabilidade de falha e do coeficiente de

variação com o número de simulações...................................................................................... 065

Figura 2.24 – Amostragem por importância em torno do ponto de dimensionamento, no espaço

das variáveis normais reduzidas................................................................................................ 067

Figura 2.25 – Amostragem estratificada - Método do Hipercubo Latino................................ 069

Figura 2.26 – Histograma e gráfico QQ-plot para SRS e LHS................................................ 069

Figura 2.27 – Esquema de geradores de números Reais e Inteiros em C e Fortran................. 072

Figura 2.28 – Sequência de baixa discrepância ou Quase-Monte Carlo (QMC) em base 2 de

Van der Curput.......................................................................................................................... 073

Figura 3.1 – Interface para geração de números randômicos no MATLAB............................ 081

Figura 3.2 – Algoritmo de Monte Carlo para Oleodutos Corroídos........................................ 083

Figura 4.1 – Tempo de geração em função do número de iterações no MATLAB................. 087

Figura 4.2 – Refinamento da variável d

com o número randômico em MATLAB................ 088

Figura 4.3 – Refinamento da variável D com o número randômico em MATLAB................ 088

Figura 4.4 – Refinamento da variável L

com o número randômico em MATLAB................ 088

Figura 4.5 – Refinamento da variável Pa com o número randômico em MATLAB............... 089

Figura 4.6 – Refinamento da variável tesc com o número randômico em MATLAB............. 089

Figura 4.7 – Refinamento da variável t com o número randômico em MATLAB.................. 089

Figura 4.8 – Refinamento da variável Rd com o número randômico em MATLAB............... 090

Figura 4.9 – Refinamento da variável Ra com o número randômico em MATLAB................090

Figura 4.10 – Pressão de Falha pelo MMC Simples.................................................................091

Figura 4.11 – Função de Falha pelo MMC Simples..................................................................092

Figura 4.12 – Probabilidade de Falha pelo MMC Simples.......................................................092

Figura 4.13 – Confiabilidade pelo MMC Simples....................................................................092

Figura 4.14 – Índice de Confiabilidade pelo MMC................................................................. 093

Figura 4.15 – Coeficiente de Variação pelo MMC.................................................................. 093

Figura 4.16 – Valores da variância para 1.000 iterações.......................................................... 095

Figura 4.17 – Valores da variância para 10.000 iterações........................................................ 095

Figura 4.18 – Valores da variância para 40.000 iterações........................................................ 096

Figura 4.19 – Valores da variância para 100.000 iterações...................................................... 096

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 – Faixa de aplicação do método Effective Area...................................................... 019

Tabela 2.2 – Geometria dos corpos de prova e pressões de falha por Choi et al (2003) ..........028

Tabela 2.3 – Resultados das análises numéricas de Choi et al (2003)..................................... 029

Tabela 2.4 – Dados apresentados por Choi et al (2003), para formato elíptico da corrosão.... 030

Tabela 2.5 – Estimação de parâmetros para o método dos momentos..................................... 039

Tabela 2.6 – Avaliação das frequências esperadas em um teste de aderência......................... 045

Tabela 3.1 – Variáveis aleatórias e seus parâmetros usados por Ahammed et al (1996)......... 075

Tabela 3.2 – Índice de confiabilidade e probabilidade de falha obtida por FORM.................. 077

Tabela 3.3 – Fatores de importância obtidos por FORM, Vanhazebrouck (2008).................. 078

Tabela 3.4 – Fatores de importância obtidos por FORM, Ahammed (1996)........................... 079

Tabela 4.1 – Média das variáveis em função do número de iterações, no MATLAB.............. 086

Tabela 4.2 – Tempo de processamento do programa e as variáveis aleatórias........................ 087

Tabela 4.3 – Tempo de processamento do programa e o número de iterações........................ 087

Tabela 4.4 – Variações da Pressão de Falha, Função de Estado Limite, Probabilidade de Falha e

Confiabilidade, no MATLAB................................................................................................... 091

Tabela 4.5 – Estimativa do número de iterações em função da resolução pretendida.093

Tabela 4.6 – Estimativa da Probabilidade de Falha conforme o número de iterações e para

Format Long e Format Long e.................................................................................................. 094

Tabela 4.7 – Estimativa da variância com o número de iterações e o tempo........................... 095

Tabela A.1 – Procedimentos brasileiros para pintura de proteção à corrosão.......................... 106

Tabela A.2 – Normas brasileiras para proteção por zincagem................................................. 106

Tabela A.3 – Normas brasileiras para procedimentos de proteção por revestimento.............. 106

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ABAQUS Software comercial

ABRACO Associação Brasileira de Corrosão

AEF Análise por Elementos Finitos

API American Petroleum Institute

ASME American Society of Mechanical Engineers

CCO Curva Característica de Operação

DNV Det Norske Veritas

FEASYP Fast Finit Element Assessment Service Integrity

FORM First Order Reliability Method

FOSM First Order Second Moment Reliability Method

LHS Latin Hypercube Sampling

MATLAB MATrix LABoratory

MCMC Monte Carlo via cadeias de Markov

MEF Método dos Elementos Finitos

MPC Multi-Point Constraints

PATRAN Processor for CAD Simulation

PCORRC Equation for Remaining Strength of Corrosion Defects

PETROBRAS Petróleo Brasileiro S/A

REPAR Refinaria Presidente Getúlio Vargas.

RPA Rectangular Parabolic Area

RPF101 Recommended Practice Corroded Pipelines

RSTRENG Software comercial

SCADA Supervisory Control And Data Acquisition

SORM Second Order Reliability Method.

SRS Simple Random Sampling

TRANSPETRO Petrobras Transporte S.A

UMVU Estimador não viciado uniformemente de mínima Variância

LISTA DE SÍMBOLOS

Pressão interna

circ

Tensão circunferencial do duto

rup

Tensão de ruptura do material do duto

rup

Pressão de ruptura do duto obtida em resultados analíticos

D Diâmetro externo do duto

L Comprimento da corrosão

t Espessura da parede do duto

c Largura da corrosão

d Profundidade da corrosão

A Área corroída em qualquer instante

Área original da região corroída

Fator de redução baseado nas características geométricas

M Fator dilatação de Folias

flow

Tensão de fluência no material do duto

esc

Tensão de escoamento do material do duto

Fator empírico da geometria do defeito de corrosão

Fator de segurança

Fator de modelagem

Fator de projeto

R Taxa de crescimento do defeito por corrosão

∆

d Diferença entre medidas de profundidade da corrosão

∆

T Diferença de tempo entre duas medidas

Distância entre dois defeitos de corrosão

Tensão última do material do duto

AEF

Pressão de ruptura obtida por Choi utilizando Elementos Finitos

ENSAIO

Pressão de ruptura obtida por Choi experimentalmente

, C

Constantes obtidas por regressão na formulação de Choi

Ω

Espaço de Probabilidades

U Sigma-algebra

fp Função de Probabilidades

fdp Função Densidade de Probabilidades

Estimador da média das variáveis aleatórias

Desvio padrão

Φ (-) Distribuição normal padronizada

Média da distribuição lognormal

Variância da distribuição lognormal

E(-) Primeiro Momento – Esperança Matemática

V(-) Segundo Momento - Variância

S(X) Estimador não-viciado da Variável Padrão

COV Covariância

CV Coeficiente de Variação

θ Vetor de Parâmetros (População)

Momentos ordinários da amostra

Hipótese nula

Hipótese alternativa

t- Teste t-Student

χ Teste Qui-quadrado

Frequencias observadas na amostra

K Número de eventos

ρ Coeficiente de Correlação

Parte estocástica do método mínimos quadrados

Função indicadora

Probabilidade de ocorrer Erro do Tipo I

SQE Soma dos Quadrados dos Erros

Z Função de Estado Limite

R Variável aleatória Resistência

S Variável aleatória Solicitação

Probabilidade de Falha

β Índice de confiabilidade, ou probabilidade de ocorrer erro do Tipo II

T Matriz ortogonal

Componentes do vetor normal

Cossenos diretores do vetor normal unitário

Fator de Importância

Funções pesos em reamostragem por importância

I Integral definida pelo Valor Esperado

N Número de simulações

Recorrência para geração de números aleatórios

Taxa de corrosão radial

Taxa de corrosão longitudinal

Pressão de falha

SUMÁRIO

1 – Introdução......................................................................................................................................... 001

1.1 – O Sistema de Produção e Transporte de Petróleo e Derivados no Brasil e no Paraná..................... 002

1.2 – Justificativa...................................................................................................................................... 004

1.3 – O Problema...................................................................................................................................... 006

2 – Fundamentação Teórica................................................................................................................... 009

2.1 – Métodos Semi-Empíricos para Análise de Oleodutos Corroídos.............................................. 010

2.1.1 – Fundamentação Física................................................................................................................... 012

2.1.2 – Os Métodos Semi-Empíricos........................................................................................................ 015

2.1.2.1 – Método ASME B31G.................................................................................................. 017

2.1.2.2 – Método 085dL ou B31G Modificado – Programa RSTRENG.................................... 018

2.1.2.3 – Método Effective Area – Programa RSTRENG.......................................................... 019

2.1.2.4 – Método RPA ou 085dL Modificado............................................................................ 020

2.1.2.5 – Método PCORRC ou Battelle...................................................................................... 020

2.1.2.6 – Método DNV RP-F101 ou BS-7910............................................................................ 021

2.2 – Métodos Experimentais e Elementos Finitos na Análise de Oleodutos Corroídos.................. 023

2.2.1 – Defeitos de Corrosão Artificiais e Reais....................................................................................... 024

2.2.2 – Revisão Bibliográfica.................................................................................................................... 025

2.3.1 – Ensaios de Choi et al, 2003........................................................................................................... 028

2.3 – Inferência Estatística..................................................................................................................... 031

2.3.1 – Conceitos Fundamentais............................................................................................................... 032

2.3.1.1 - Variável Aleatória........................................................................................................ 032

2.3.1.2 – Função de Probabilidade e Função Densidade de Probabilidade................................ 032

2.3.1.3 – Distribuição de Probabilidade Normal (Gaussiana).................................................... 033

2.3.1.4 – Distribuição de Probabilidade Lognormal................................................................... 034

2.3.1.5 – Esperança e Variância de Uma Variável Aleatória..................................................... 035

2.3.2 – Estimação...................................................................................................................................... 037

2.3.2.1 – Estimação por Pontos................................................................................................... 037

2.3.2.2 – Métodos de Estimação................................................................................................. 038

2.3.2.3 – Intervalos de Confiança............................................................................................... 040

2.3.3 – Testes de Hipóteses....................................................................................................................... 041

2.3.3.1 – Teste de hipótese para a Média da Distribuição Normal............................................. 043

2.3.3.2 – Testes de Hipóteses para a Variância da Distribuição Normal ................................... 043

2.3.3.3 – Testes de Hipóteses que Envolvem Médias de Dois Grupos....................................... 044

2.3.4 – Testes de Adequação ao Ajustamento e Teste de Aderência........................................................ 045

2.3.5 – Regressão Linear e Não-Linear..................................................................................................... 046

2.3.5.1 – Regressão Linear.......................................................................................................... 046

2.3.5.2 – Regressão Não-Linear.................................................................................................. 047

2.4 – Métodos de Confiabilidade na Análise de Oleodutos Corroídos............................................... 048

2.4.1 – Métodos de Confiabilidade de Primeira Ordem Segundo Momento (FOSM).............................. 051

2.4.2 – Método de Confiabilidade de Primeira Ordem (FORM).............................................................. 057

2.5 - O Método de Monte Carlo............................................................................................................. 059

2.5.1 – Técnica de Simulação Pura........................................................................................................... 064

2.5.2 – Técnicas de Redução da Variância............................................................................................... 066

2.5.2.1 – Monte Carlo associado a Amostragem por importância.............................................. 066

2.5.2.2 – Amostragem estratificada............................................................................................ 068

2.5.3 – Métodos de Reamostragem........................................................................................................... 070

2.5.3.1 – Método de Rejeição..................................................................................................... 070

2.5.3.2 – Reamostragem Ponderada............................................................................................ 070

2.5.4 – Números Aleatórios...................................................................................................................... 071

3 - Material e Métodos............................................................................................................................ 075

3.1 – Programação em MATLAB............................................................................................................. 080

3.2 - Algoritmo em MATLAB.................................................................................................................. 082

3.3 - Programa em MATLAB................................................................................................................... 084

4 – Resultados e Discussão..................................................................................................................... 086

4.1 – Observações a Respeito dos Dados no MATLAB........................................................................... 086

4.2 - Resultados Obtidos sobre os Efeitos da Corrosão no Oleoduto pelo Método de Monte Carlo........ 091

4.3 – Análise da Variância........................................................................................................................ 095

5 - Conclusão........................................................................................................................................... 097

1 – INTRODUÇÃO

Uma estrutura de abastecimento de petróleo e derivados interliga três pontos

distintos: as fontes de produção, as refinarias e os centros de consumo. No Brasil, em

2008, foram transportados 670 milhões m

/dia de petróleo, derivados e álcool e 46

milhões de m

/dia de gás. Este abastecimento é feito através de várias modalidades de

transporte, entre elas se encontram os oleodutos e gasodutos.

Os dutos, quando comparados a outros meios, têm apresentado resultados

bastante satisfatórios, sendo o meio de transporte preferencial tanto para atender o

abastecimento das refinarias como para suprir a necessidade dos grandes centros

consumidores de derivados. A Figura 1.1 ilustra a distribuição do sistema de transporte

de derivados do petróleo na região centro-sul do Brasil.

Figura 1.1 – Malhas das instalações da Petrobras no Centro-Oeste e Sul do Brasil

Fonte: (Transpetrosite..., 2009)

1.1 - O SISTEMA DE PRODUÇÃO E TRANSPORTE DE PETRÓLEO

E DERIVADOS NO BRASIL E PARANÁ

A Petrobras Petróleo Brasileiro S/A é uma estatal, de economia mista, que atua

na exploração, produção, refino, comercialização e transporte de petróleo e seus

derivados no Brasil e no exterior. Em dados referentes ao ano de 2008 a Petrobras

obteve uma receita líquida de R$ 215.118 milhões, contando com uma produção diária

de 2.175.896 barris por dia e mais de 24.000 km de dutos (TRANSPETROSITE, 2009).

A empresa subsidiária da Petrobras responsável pelas atividades de transporte e

armazenamento é a Petrobras Transporte S.A – TRANSPETRO que opera com uma

frota de 54 navios, 11 mil quilômetros de malha dutoviária e 45 terminais terrestres e

aquaviários.

Todas as operações de transporte dutoviário são monitoradas em tempo real e os

detalhes da movimentação dos produtos líquidos derivados de petróleo, álcool e gás

interagem por meio de telecomandos. A tecnologia é conhecida pela sigla SCADA

(Supervisory Control And Data Acquisition) e permite identificar anomalias nos dutos,

bem como fazer a distribuição dos produtos de forma mais rápida e precisa

(Tnpetroleo..., 2009). A Figura 1.2 ilustra este sistema.

Figura 1.2– Supervisão, Controle e Aquisição de Dados

Fonte: (TBG..., 2009)

No Paraná, a Refinaria Presidente Vargas, REPAR, em Araucária, começou a ser

construída em 1973 e entrou em operação em 27 de maio de 1977. Atualmente está

interligada por dois terminais marítimos e três oleodutos. Um deles, o terminal marítimo

de São Francisco do Sul, situado no litoral de Santa Catarina, recebe petróleos nacionais

e importados, com capacidade de transporte de até 1.500 m

de petróleo/dia.

Já o terminal marítimo e oleoduto de Paranaguá, no litoral paranaense, exercem

o papel regulador, deslocando os excedentes de derivados de petróleo produzidos pela

REPAR para outras regiões do país e exportando-os para países da África, da América

Latina e para os Estados Unidos.

A REPAR responde sozinha por 21,9% de todo o ICMS arrecadado no Paraná,

garantindo o repasse, em 2006, de mais de um US$ 1 bilhão em ICMS ao estado

(AGENCIA NOTÍCIAS GOVERNO DO PARANÁ..., 2009) e tem consolidado o

município de Araucária como o segundo do Paraná em arrecadação. A Figura 1.3

amplia a situação da malha dutoviaria na região sul e sudeste do país.

Figura 1.3 – Malhas das instalações da Petrobras no Paraná e Santa Catarina

Fonte: (Transpetrosite..., 2009)

1.2 – JUSTIFICATIVA

Para a American Petroleum Institute (API..., 2000), a corrosão é a deterioração e

perda de um material devido à reação química, onde a produção de íons e elétrons

origina um potencial de eletrodo que depende da natureza do metal e da natureza da

solução. O eletrodo que fornece os elétrons para o circuito externo é denominado ânodo,

enquanto que o eletrodo que recebe elétrons do circuito externo é chamado catodo.

O mecanismo da corrosão galvânica ocorre quando o excesso de elétrons faz

com que o equilíbrio entre eles seja alterado. Essa reação remove parte dos elétrons do

eletrodo de ferro e continuam a ocorrer espontaneamente, dissolvendo o metal do ânodo

e produzindo hidrogênio no catodo conforme mostra a Figura 1.4.

Figura 1.4 - Célula de corrosão bimetálica

Fonte: (ABRACO..., 2009)

Van Vlack (1970, p. 339) afirma que a corrosão pode ser completamente evitada

se os materiais e as vizinhanças forem uniformes e sem heterogeneidades, quer em

composição, quer em estrutura. Embora seja impossível atingir essas condições, é

possível minimizar seus efeitos, o que implica em aumento da vida do produto.

Na tentativa de atingir este estado, o anexo I apresenta algumas normas

brasileiras, aplicáveis a oleodutos, para proteção por pintura, zincagem e revestimento.

Uma superfície pintada é um exemplo de camada protetora porque isola o metal

do eletrólito corrosivo. Mas as camadas orgânicas causam problemas se usadas em

temperaturas elevadas. No Brasil, a NBR 7011/1981 disponibiliza o método de ensaio

de corrosão atmosférica para metal revestido por pintura.

Na associação de materiais, o metal com maior potencial de eletrodo atua como

ânodo. Por exemplo, em chapas de aço galvanizado a camada de zinco protege o ferro.

Por outro lado, estanho em uma chapa de aço só protege se a superfície estiver

completamente coberta. Em soldas pode ocorrer corrosão em virtude desta diferença.

Superfícies prateadas, niqueladas ou cobreadas também são resistentes à

corrosão e podem ser depositados por imersão à quente em banhos metálicos líquidos.

Ramirez et al (2007), em seu estudo sobre caracterização estrutural de aço API 5L-X80,

afirma que, um aço contendo cromo é resistente à corrosão em condições oxidantes,

entretanto, na ausência de oxigênio, a reação de corrosão pode vir a ocorrer. Também se

pode usar como camadas protetoras materiais cerâmicos inertes ou esmaltes vítreos à

base de óxidos.

Os inibidores de corrosão provocam a diminuição na velocidade de corrosão

através da absorção de ânions na superfície do ânodo. Estes inibidores podem ser

cromados, tungstatos, fosfatos ou outros íons de elementos de transição, com alto teor

de oxigênio, que são absorvidos na superfície do metal.

Os tratamentos térmicos podem afetar a velocidade da corrosão através de uma

alteração na microestrutura do metal. Para temperaturas de revenido muito baixas, o aço

contém uma única fase martensita. Com o aumento na temperatura do revenido,

produzem-se muitas ferritas e cementitas, que a velocidade de corrosão aumenta.

Um metal de grãos finos se corrói mais facilmente que um de grãos grosseiros,

pois os contornos dos grãos são atacados, ou seja, corroídos e os seus átomos passam a

ter um potencial de eletrodo diferente dos átomos no interior do grão formando-se um

ânodo e um catodo.

O efeito de tensões internas na corrosão se torna evidente depois de um metal ser

trabalhado a frio. A parte deformada a frio atua como ânodo enquanto que a não

deformada funciona como catodo.

Quando o oxigênio do ar tem acesso à superfície úmida do metal a corrosão

aumenta. No entanto, a corrosão mais intensa ocorre na parte com deficiência de

oxigênio sendo acelerada em lugares inacessíveis. Assim, trincas e fissuras servem

como focos de corrosão.

A corrosão também é acelerada pelo acumulo de sujeiras e outros contaminantes

de superfície. A acumulação de ferrugem ou crostas de óxidos dificulta o acesso de

oxigênio, formando um anodo e, portanto, aumentando a velocidade da corrosão.

1.3 - O PROBLEMA

Quando um duto apresenta um defeito por corrosão, é necessário saber se o

mesmo pode continuar sendo operado normalmente ou se ele precisa ser reparado. Para

isso, precisa-se saber qual a pressão interna que leva a estrutura à falha mecânica. Se o

valor da pressão interna admissível para o duto corroído for menor que a pressão de

serviço, faz-se necessária uma intervenção. Pode-se, então, reparar o dano, ou diminuir

a pressão de serviço com conseqüente baixa na produção.

Um meio utilizado para controlar a pressão de serviço são as válvulas de

bloqueio que são instaladas ao longo do duto conforme mostra a Figura 1.5. Estes

dispositivos também permitem o isolamento automático em caso de vazamentos ou

rompimento do duto.

Figura 1.5 – Válvulas de Bloqueio

Fonte: (TBG..., 2009)

Recentemente a Norma Brasileira NBR ABNT 15280-1, de 27 de agosto de

2009 estabelece que as válvulas de bloqueio devam ser instaladas a montante e a jusante

das principais travessias; a válvula de jusante pode ser substituída por uma válvula de

retenção, tipo portinhola.

Também estabelece que devam ser instaladas nas estações de bombeamento do

duto e recomenda o seu emprego para minimizar o retorno de produto em função do

perfil do terreno.

Os dutos operam sob elevadas pressões e são administrados com sistemas de

controle de suas instalações. Utilizam-se, por exemplo, os pigs, Pipeline Inspection

Gauge.

Os pigs são dispositivos que se destinam à limpeza e inspeção dos dutos e se

desloca impulsionado pela própria vazão no duto, destinados a medição da espessura de

parede ao longo do duto e identificação de pontos com redução desta espessura,

causados por processo corrosivo localizado.

A grande maioria das inspeções com pig’s instrumentados é realizada com

equipamentos do tipo magnético, que permitem localizar com exatidão o ponto do dano

por corrosão, no entanto, esse dispositivo propicia uma avaliação meramente qualitativa

da gravidade do ataque corrosivo, sendo bastante interessante a medição local da

espessura remanescente pelo método ultra-sônico.

Após as medições da geometria da corrosão os dados são transmitidos para

interpretação e caracterização do perfil do defeito. A Figura 1.6 mostra exemplos de

pigs alocados em dutos.

Figura 1.6 - Exemplos de pig sendo inserido e retirado de um duto

Fonte: (Pipeway..., 2009)

No entanto, defeitos distintos localizados próximos um do outro podem

ocasionar sinais com aparente interferência. Assim a profundidade do defeito é

considerada como sendo a maior profundidade dos sinais e o comprimento total dos

sinais é usado como sendo o comprimento do defeito, significando assim, que se trata de

um defeito longo e profundo, onde na realidade existe apenas um defeito curto e

profundo. Slesarev e Sukhorukov (2008) afirmam que, hoje em dia, os pigs são capazes

de detectar defeitos muito rasos e esta transformação pode resultar num perfil de defeito

extremamente conservador.

O tratamento dado as estas informações está ilustado na Figura 1.7, onde se vê

os defeitos representados com seção reta na forma retangular comprimento e

profundidade são iguais ao máximo comprimento e profundidade do defeito. Desta

maneira o defeito é tratado com um formato simplificado cujo comprimento é igual à

distância da primeira até a última caixa e cuja profundidade é a maior entre elas.

Figura 1.7 – Comparação entre os defeitos gerados e os definidos por pigs

Fonte: Palmer-Jones et al (2002)

Neste sentido, Souza (2003) concorda que, ao receber um relatório de inspeção

por pig instrumentado com uma lista de defeitos caracterizados sob forma e dimensão, o

analista precisa ter uma metodologia para avaliá-los e saber se aquela configuração do

defeito é aceitável ou não para que o duto continue operando de forma segura.

Para isso, utilizam-se normas, códigos e recomendações desenvolvidas por

grandes empresas do setor como a Det Norske Veritas (DNV, 1999), ou são

desenvolvidos procedimentos para analisar defeitos específicos.

Testes em escala real têm sido feitos para comparar as normas existentes e

propor correções quando necessário. Além disso, métodos mais sofisticados estão cada

vez mais sendo aplicados como meio de avaliação da resistência de dutos corroídos,

entre eles, a análise numérica tridimensional, não-linear via método dos elementos

finitos e análise de confiabilidade estrutural.

2 – FUNDAMENTAÇÃO TEORICA

Palmer-Jones et al, (2002) propuseram, no The Pipeline Defect Assessment

Manual, a avaliação de defeitos por níveis de complexidade, que pode ser aplicado para

defeitos de corrosão. Conforme referenciado em Cabral, 2007 são eles:

“Nível 1: Normas internas de empresas operadoras ou regras práticas para

aprovar ou reprovar defeitos de corrosão com informações apenas do tipo do

defeito e suas dimensões.

Nível 2: Neste caso, é preciso conhecer o comprimento e a maior profundidade

do defeito. Podemos citar métodos tais como o ASME B31.G, RSTRENG 0,85dL,

RPA, DNV RP-F101 (para defeitos isolados) e BS-7910 (para defeitos isolados).

Nível 3: Neste nível de análise é necessário conhecer o perfil do defeito por

corrosão. Os principais métodos que podem ser aplicados são o Effective Area,

o DNV RP-F101 (para defeitos de geometria complexa) e norma BS 7910 (para

defeitos interagentes).

Nível 4: Os métodos utilizados consistem em estudo e análise tridimensional

não-linear de elementos finitos. Também são aplicados testes experimentais em

escala real ou artificial para o problema.

Nível 5: São estudos e análises que requerem mais dados do duto em relação

aos demais métodos. É necessário ter a distribuição estatística da geometria do

defeito, das propriedades do material para quantificar as incertezas embutidas

na avaliação e, quando conjugadas com a análise de risco, subsidiar a tomada

de decisão em aceitar ou não um defeito. Neste nível estão inseridos os métodos

de avaliação de confiabilidade estrutural de Monte Carlo e os métodos de

confiabilidade de primeira ordem e segundo momento (FOSM).”

Esse trabalho apresenta aspectos relacionados aos níveis descritos na análise de

oleodutos corroídos.

2.1 – MÉTODOS SEMI-EMPÍRICOS PARA ANÁLISE DE

OLEODUTOS

Cabral (2007) afirma que alguns métodos existentes para avaliação de defeitos

de corrosão em dutos utilizam conceitos da mecânica do contínuo, que com a

incorporação de informações empíricas, resultam em expressões analíticas. Se aplicadas

dentro de seus limites de validação, essas expressões permitem estimar a pressão de

ruptura de dutos com defeitos.

Palmer-Jones et al, (2002) lembram que estes métodos de avaliação,

denominados fitness for purpose, devem ser abordados em conjunto com a avaliação

experimental. Todos os aspectos da integridade e segurança de um duto devem ser

considerados.

O material é tratado de maneira contínua e pode-se analisá-lo a partir da

cinemática de seus componentes. Os deslocamentos referentes a um sistema de

coordenadas podem ser observados e, para cada deslocamento consideram-se duas

componentes, uma devido a movimentos relativos ou distorções na estrutura, e outra

denominada movimento de corpo rígido. As deformações normais causam alongamento

e as deformações cisalhantes causam rotações estruturais do material.

A partir destas considerações podem-se estimar as distribuições de tensão sobre

o cilindro, sua região elástica e plástica, bem como sua tensão de ruptura.

De acordo com Lai et al, (1993), para cargas moderadas a deformação no aço

causada pela aplicação destas cargas, desaparece com a remoção do carregamento. Este

aspecto do material é conhecido como elasticidade. A Figura 2.1 mostra a relação entre

a aplicação do carregamento e a quantidade de deformação linear para o aço.

Segundo Hibbeler (1997), outra simplificação para a solução analítica do

problema ocorre quando a espessura da parede do tubo t é pequena em relação ao seu

raio interno r, de maneira que

(

)

10/

≥

. Pode-se considerar o tubo como sendo de

paredes finas, que são bastante usados no transporte e armazenamento de líquidos e

gases.

Figura 2.1 – Curva tensão x deformação para diversos tipos de aço isotrópicos

utilizados em oleodutos

Fonte: Valentini (2006)

Branco (1989) mostra que, para tubos cilíndricos de parede fina de comprimento

infinito, com extremidades fechadas submetido à pressão interna, a distribuição de

tensões através da espessura não varia significativamente, e será assumida como sendo

uniforme ou constante. A Figura 2.2 mostra algumas linhas de dutos deixando evidente

a consideração quanto ao comprimento infinito.

Figura 2.2 – Oleoduto considerado cilindro de comprimento infinito e paredes delgadas

2.1.1 – FUNDAMENTAÇÃO FÍSICA

As grandezas físicas envolvidas neste trabalho são mostradas na Figura 2.3,

considerando estudos analíticos recentemente realizados por Cabral (2007), Guimarães

(2005), Souza (2003), Choi (2003), Ahammed (1997) e Vanhazebrouck (2008), para

uma corrosão típica com formato retangular sobre a superfície externa do duto.

Figura 2.3 – Configuração geométrica dos dutos e da corrosão

Fonte: Choi et al (2003)

Na figura, D é o diâmetro do duto, L é o comprimento do defeito do duto, t é a

espessura da parede do tubo, d é a profundidade da corrosão, c é largura da corrosão, A

é a área longitudinal de material perdido e A

é a área longitudinal original da região

corroída.

A área de material perdido tem sido representada de duas formas: parabólica ou

retangular. Ambas as formas estão ilustradas na Figura 2.4 e na Figura 2.5.

Figura 2.4 – Representação parabólica da área longitudinal de material perdido.

Fonte: Cabral (2007)

Figura 2.5 - Representação retangular da área longitudinal de material perdido

Fonte: Cabral (2007)

Palmer-Jones et al, (2002) esclarecem que a associação entre o Battelle

Memorial Institute e a AGA (American Gas Assotiation) estabeleceu a equação

conhecida como NG-18 Surface Flaw Equation. Esta solução foi estimada a partir das

considerações sobre equilíbrio axial e circunferencial. A Figura 2.6 representa estas

condições para um oleoduto típico, considerando D o diâmetro do duto e t a sua

espessura.

Figura 2.6 - Condições de equilíbrio para tubos cilíndricos de parede fina de

comprimento infinito com extremidades fechadas submetido à pressão interna

Fonte: Branco (1989)

De acordo com Vanhazebrouck (2008), para haver equilíbrio, a pressão interna

, deve estar igual a pressão circunferencial do oleoduto.

A tensão circunferencial,

circ

, (hoop stress) é determinada pela fórmula de

Barlow, que pode ser escrita como:













acirc

(2.1)

Considerando-se o estado limite, em que a pressão interna, P

, é igual a pressão

de ruptura P

rup

, e, conseqüentemente

circ

rup

, obtém-se a seguinte igualdade:













−













−1

flowrup

(2.2)

onde

rup

é a tensão de ruptura do duto,

flow

é a tensão de fluência no material e M é o

fator de dilatação (bulging factor ou fator de Folias).

O fator M leva em consideração a influência da geometria da corrosão, na tensão

circunferencial, que está sendo aplicada na região corroída. Cabe lembrar que esta

geometria pode ser considerada retangular ou parabólica.

A tensão de fluência no material (

flow

) é proporcional a tensão de escoamento

(

esc

) do material e assume valores conforme o método estabelecido.

A área original da região corroída é representada por A

e a área corroída é

representada por A.

A equação (2.2) mostra que a pressão de ruptura depende de três parcelas. A

primeira, relacionada com as características do material (

flow

); a segunda, com as

características geométricas do duto (2/t.D) e a terceira, com as características do defeito

), onde chamamos:













−

−1

(2.3)

A equação (2.2) forma a base para os métodos tais como ASME B31G,

RSTRENG 0,85dL, RPA (Benjamin & Andrade, 2003a), DNV RP-F101 (Parte B) e BS

7910 (os dois últimos, para defeitos isolados).

De acordo com o procedimento de análise por meio de níveis de complexidade

proposto por Palmer-Jones et al, (2002), todos estes métodos são classificados como

Nível 2. Dentre os métodos classificados como Nível 3, deve-se citar o método DNV

RP-F101 para defeitos interagentes ou de geometria complexa (Parte B), RSTRENG

Effective Area, o método WDD - Weighted Depth Difference (Cronin e Pick, 2002) e a

norma BS 7910 para defeitos interagentes.

2.1.2 – OS MÉTODOS SEMI-EMPÍRICOS

Como mencionado anteriormente alguns dos métodos semi-empíricos

encontrados na literatura são o ASME B31G, o método 085dL ou B31G modificado, o

método RPA (Rectangular Parabolic Area) ou 085dL modificado, o DNV (Det Norske

Veritas) ou RPF101 (Recommended Practice RP-F101 Corroded Pipelines) e o Battelle

PCORRC.

O método que apresenta resultados mais conservadores é o B31G da ASME

(1984), sobretudo para defeitos longos, podendo ser bastante antieconômico pela

remoção de vários dutos ainda em perfeitas condições de operação. Esse método avalia

dutos submetidos apenas à pressão interna, considerando a geometria da corrosão em

formato parabólico e a tensão de falha em função apenas da tensão de escoamento do

material do duto. Além disso, o método é aplicável somente quando a profundidade

máxima da corrosão estiver abaixo de 80% da espessura da parede do duto.

O método 085dL utiliza o programa computacional comercial RSTRENG e

oferecido pela, Technical Toolboxes Inc. ..., 2009. Esse programa foi introduzido por

Kiefner et al, (1989), e é menos conservativo que o B31G, mas ainda assim, com as

pressões máximas recomendadas abaixo das pressões de ruptura que se observam em

ensaios e atuando contra a segurança para defeitos uniformemente longos e profundos.

O método 085dL utiliza um formato para geometria da corrosão entre o retangular e o

parabólico.

O método DNV RP-F101 surgiu de diversos ensaios experimentais da pressão

interna e análise tridimensional não-linear, por Elementos Finitos, desenvolvidas pela

BG Technology e a Det Norske Veritas - DNV (1999) em parceria com diversas

empresas, entre elas a Petrobras. Este método admite tensões de compressão

longitudinais além da compressão radial causada pela pressão interna e tem formulação

única admitindo interação entre os defeitos próximos.

A partir de pesquisas realizadas na Petrobras, Benjamin e Andrade (2003)

desenvolvem o RPA no intuito de melhorar o resultado quando aplicados em dutos com

defeitos longos, considerando uma adaptação do método 085dL pois considera a

geometria da corrosão parabólica para defeitos curtos e retangular para defeitos longos,

sendo estes resultados conservadores para defeitos longos.

A maioria desses métodos não leva em consideração o comprimento

circunferencial do defeito. Defeitos alinhados circunferencialmente irão se sobrepor

após aplicação de alguma técnica de projeção no plano longitudinal. Nestas técnicas,

apenas tensões circunferenciais devido à pressão (normal ao plano de projeção) são

consideradas, sendo impossível avaliar os efeitos das tensões longitudinais devido aos

carregamentos e flexão.

Para obter resultados mais realísticos em dutos feitos de aço de alta resistência, a

ruptura é controlada a partir da tensão última do material como foi observada pelas

pesquisas de Stephens e Leis (2000). Esses mesmos pesquisadores desenvolveram uma

formulação baseada em análise de elementos finitos, chamada de PCORRC ou Battele.

Outros métodos de avaliação da resistência residual de dutos com defeitos de

corrosão, submetidos a carregamentos de pressão interna, foram desenvolvidos através

de um projeto denominado Line Pipe Corrosion Group Project elaborado pela British

Gas Technology (atualmente Advantica). Este projeto consistiu na execução de ensaios

de pressão, em escala real e dutos contendo defeitos de corrosão usinados (para simular

a corrosão), incluindo defeitos isolados, defeitos interagentes com outros e defeitos de

forma complexa. Durante este projeto foram também realizadas extensivas análises

tridimensionais, não lineares via Elemento Finito (software comercial ABAQUS),

considerando carregamento de pressão interna e material elasto-plástico. Estes estudos

resultaram no desenvolvimento de um método de avaliação de defeitos de corrosão em

dutos, que foi, posteriormente, incorporado no Anexo G16 da norma britânica BS-7910.

2.1.2.1 - MÉTODO ASME B31G

Neste modelo a tensão circunferencial no defeito no instante da ruptura é igual à

tensão de escoamento média acrescida de um fator de segurança,

escflow

.1,1

O defeito é considerado curto se o seu comprimento,

tDL ..20≤

e é

considerado longo se seu comprimento tDL ..20> .

A área original da região corroída é calculada como A

.t e a área corroída,

pode ser expressa por A = α.L.d, onde, α é a constante que define a forma geométrica

adotada para representar a área de material perdido e d é a profundidade máxima do

defeito. Neste método a área de material perdido é aproximada por uma parábola para

defeitos curtos (

= 2/3) ou retangulares para defeitos longos (α = 1).

Substituindo as equações temos as expressões da pressão de ruptura para o caso

de defeitos curtos e longos assim como o fator de dilatação (M):

i. Pressão de ruptura para defeitos curtos ( tDL ..20≤ e α = 2/3):

























−













−













−1

..1,1

escrup

(2.4)

ii. Pressão de ruptura para defeitos longos ( tDL ..20> , α = 1 e M → ∞ ):













−













escrup

..1,1

(2.5)

onde,













8,01

(2.6)

2.1.2.2 - MÉTODO 085 ḏL OU B31G MODIFICADO – RSTRENG

Neste método, a geometria da corrosão é aproximada para um formato entre o

parabólico e o retangular, traduzida por um fator de segurança igual a 0,85 introduzido

na sua formulação.

Sua aplicação é limitada à corrosão em aços soldáveis de gasodutos,

categorizados como aços carbono ou de alta resistência ou baixa liga de aços, e aplica-

se apenas a defeitos em linhas de tubulação que dispõem de contornos suaves e baixa

concentração de corrosão.

De acordo com Guimarães (2005) o método não deve ser utilizado para avaliar a

resistência de outras áreas corroídas ou que sofreram qualquer tipo de tratamento

térmico ou mecânico. Alem disso, os critérios não são aplicáveis quando o tubo está

sujeito a tensões secundárias significativas.

Assim,

i. Para tDL ..50≤ (defeitos curtos), a formulação é

.003375,0

6275,01













++=

M (2.7)

ii. Para tDL ..50> (defeitos longos) temos,

032,03,3

+= (2.8)

E a pressão de ruptura para este método é determinada pela seguinte expressão:

( )

























−













−

−1

85,01

95,68

MPaP

escrup

(2.9)

2.1.2.3 - MÉTODO EFFECTIVE AREA – RSTRENG

Para Cabral (2007) o método se baseia em definir diversos defeitos de

comprimentos variados (L

, L

, ..., L

), contidos dentro do comprimento total do defeito

(L), e calcular a pressão de ruptura para cada um deles. A pressão de ruptura do defeito

de comprimento total L é a menor das pressões calculadas, conforme ilustrado na

Figura 2.7.

Figura 2.7 – Divisão do comprimento da corrosão no método Effective Area

Fonte: Souza (2003)

A Tabela 2.1 mostra a faixa de aplicação para este método, onde a área original

da região corroída, A

, para cada L

é dada por

tLA

, e t é a espessura de parede do

duto. A pressão de ruptura para cada defeito de comprimento L

é:

( )

























−













−

−1

MPaP

escrup

(2.10)

Tabela 2.1 – Faixa de aplicação do método Effective Area

flow

esc

+ 69 Mpa

Defeitos Curtos

tDL

..50≤

0,85

( ) ( )

[

]

..003375,0.6275,01

−−

++= tDLtDLM

iii

Defeitos Longos

tDL

..50≥

0,85

(

)

[

]

.032,03,3

−

+= tDLM

2.1.2.4 - MÉTODO RPA OU 085 ḏL MODIFICADO

Conforme apresentado por Vanhazebrouck (2008), nesse método aplica-se o

fator de segurança α = 0,85 para defeitos curtos, isto é,

tDL ..20≤

e a formulação é

idêntica a do método 085dL ou B31G modificado.

Para tDL ..20> os defeitos são considerados longos e α tem valores variáveis

que possibilitam aumentar a margem de segurança em dutos com corrosões muito

compridas, tal que,

























−=

1064

15,01

(2.11)

07,01,2 += (2.12)

( )

























−













−

−1

95,68

escrup

(2.13)

2.1.2.5 - MÉTODO PCORRC OU BATTELLE

Stephens e Leis (2000) desenvolveram uma nova formulação analítica para o

critério de ruptura chamada de PCORRC Equation for Predicting the Remaining

Strength of Corrosion Defects inModerate- to High-Toughness Steels.

Vanhazebrouck (2008) e Guimarães (2005) mostram que esse método apresenta

formulação única dada por:

























−= M

(2.14)

onde,





































−

−−=

157,0exp0,1

(2.15)

2.1.2.6 - MÉTODO DNV RP-F101 OU BS-7910

De acordo com Cabral (2007) esta norma fornece meios de avaliação de defeitos

de corrosão em dutos, tanto para o caso de defeitos simples quanto para o caso de

múltiplos defeitos adjacentes. Esta abordagem considera carregamento de pressão

interna e pode ser aplicada para corrosão interna ou externa no metal base ou soldas

longitudinais e circunferenciais.

O método não pode ser aplicado para algumas condições, dentre as quais, deve-

se citar: dutos que não sejam fabricados com aço carbono ou aços com grau superior ao

X80; trincas ou danos mecânicos; defeitos com profundidade maior que 85% da

espessura de parede do duto; para carregamentos cíclicos e em materiais em que a

temperatura de transição seja acima da temperatura de operação.

A pressão máxima admissível de operação é determinada aplicando-se um fator

de segurança, f

, após o cálculo da pressão de ruptura, dada por,

ccc

fff

(2.16)

onde f

é o fator de modelagem (baseado na precisão das equações em comparação com

os dados experimentais), e, f

é o fator de projeto (margem de segurança entre a pressão

de operação e a pressão de falha).

Caso esteja utilizando o limite máximo de resistência à tração (tensão última,

)

medida experimentalmente então f

= 0,9 e caso esteja utilizando o limite mínimo de

resistência à tração medida experimentalmente, então f

= 1.

Para avaliação da resistência residual de dutos na presença de defeitos múltiplos

adjacentes este procedimento considera que a região corroída do duto é dividida em

seções com comprimento fixado por valores da profundidade do defeito. Estes valores

dividem a corrosão em diferentes regiões, conforme mostrado na Figura 2.8.

Figura 2.8 – Divisão em regiões da geometria da corrosão no método DNV

Fonte: Cabral, 2007

As pressões de ruptura (P

, P

, ..., P

) para cada defeito, tratando cada um, como

um defeito isolado podem ser calculadas usando as seguintes equações:

























−













−

−1

rup

(2.17)













31,00,1 (2.18)

O comprimento total do defeito de cada grupo equivale ao somatório dos

comprimentos levantados individualmente, mais as distâncias entre dois defeitos

adjacentes conforme Figura 2.9 e é dado por,

( )

∑

−=

++=

1mi

iimnm

sLLL

(2.19)

Figura 2.9 – Combinação de defeitos interagentes no método DNV

Fonte: Cabral, 2007.

Para calcular a profundidade efetiva do defeito combinado tem-se:

( )

∑

(2.20)

Para calcular a pressão de ruptura para cada combinação de defeitos (P

)

usando L

e d

na equação para defeito isolado, tem-se:

























−













−

−1

(2.21)

A pressão de ruptura, para a seção corroída do duto, é dada como sendo a menor

das pressões calculadas para cada linha de projeção ao longo da circunferência.

2.2 - MÉTODOS EXPERIMENTAIS E ELEMENTOS

FINITOS NA ANÁLISE DE OLEODUTOS CORROÍDOS

Outra forma de avaliação dos oleodutos corroídos são os métodos experimentais

que consistem no ensaio de dutos corroídos, artificialmente ou não, e,

preferencialmente, em escala real. Os resultados dos experimentos são importantes no

desenvolvimento de novos métodos analíticos e para validação dos mesmos. Também

são importantes em testes e calibragens de modelos numéricos.

Benjamin et al, (2000) concordam que o desenvolvimento e validação de novos

métodos semi-empíricos baseiam-se não somente nos resultados experimentais, mas

também em análises via Elementos Finitos.

Vanhazebrouck (2008) esclarece que historicamente os ensaios experimentais de

dutos com defeitos de corrosão (burst tests) são realizados até a ruptura conforme a

Figura 2.10. Os valores de pressão e as deformações são medidos através de

extensômetros (strain gages).

Figura 2.10 – Burst test em oleoduto de aço X100

Fonte: Demofonti et al, 2004

2.2.1 - DEFEITOS DE CORROSÃO ARTIFICIAIS E REAIS

Em vários trabalhos experimentais desenvolvidos nesta área, os ensaios são

realizados em dutos com defeitos artificiais de corrosão de forma a facilitar a análise por

elementos finitos. Os defeitos são usinados assumindo determinadas formas geométricas

na superfície do duto (retangular, elíptica, etc.) com o objetivo de simular a corrosão

para a posterior investigação experimental e comparação com modelos numéricos. Uma

ilustração de corpos de prova é mostrada na Figura 2.11.

Embora o uso de simulações numéricas por elementos finitos requeira

informações detalhadas sobre a geometria da corrosão, o uso desta técnica pode ser

bastante viável para casos em que se necessita de resultados precisos para a estimativa

da pressão de ruptura de dutos com defeitos de corrosão reais, isto é, perfil complexo.

Figura 2.11 – Corpo de prova em ensaios de corrosão artificial

Fonte: Petry et al (2006)

2.2.2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Chouchaoui e Pick (1996) estudaram a interferência entre pontos próximos de

corrosão, alinhados circunferencialmente e longitudinalmente, através de uma série de

ensaios de ruptura de dutos contendo defeitos artificiais de corrosão usinados por meio

de eletro-erosão e formato elíptico com profundidade em torno de 60% da espessura de

parede do duto. Usaram o método de elementos finitos para simular os ensaios e

compararam os resultados numéricos com os experimentais, além de investigarem

numericamente parâmetros geométricos da corrosão.

Grigory e Smith (1996) realizaram ensaios experimentais em dutos corroídos

artificialmente, em escala real, submetidos a esforços combinados de efeito térmico,

flexão e pressão interna. Em cada corpo de prova usinaram uma corrosão retangular de

diferentes dimensões, variando-se também sua localização. Os ensaios serviram para

confirmar e calibrar modelos numéricos de avaliação da capacidade de carga de dutos

corroídos sujeitos aos esforços combinados.

Ahammed (1997), em trabalhos experimentais, assumiu que a velocidade da

corrosão tende a se estabilizar após certo período de exposição ao meio, ou seja, a

variação de sua profundidade ao longo do tempo tende a ser constante. Sua formulação

foi a mesma que a do método 085dL, sendo o fator 0,85 substituído pela unidade para

corrosão retangular.

Smith et al, (1998) realizaram ensaios para a validação de um modelo de

elementos finitos, utilizando o programa ABAQUS, elemento linear de casca com

quatro nós e um ponto de integração. Nesse modelo identificou-se que os parâmetros de

carregamento que mais influenciam na deformação são a pressão interna e a diferença

de temperatura, e os parâmetros da corrosão são sua profundidade e sua largura.

Um modelo para prever condições de ruptura de dutos corroídos enterrados,

feitos de aço de grande ductilidade, sujeitos à pressão interna, flexão lateral, cargas

térmicas e tensões residuais, foi apresentado por Wang et al, (1998). Os dutos foram

modelados por elementos finitos de casca do programa ABAQUS.

Paralelamente, Chen et al, (1998) apresentaram um método de solução numérica

para determinar a carga limite de dutos com defeitos sujeitos a sistemas de

carregamentos múltiplos.

Saldanha e Bucherie (2001) apresentaram um algoritmo, denominado FEASYP

(Fast Finite Element Assessment Service For the Integrity on Non-Cracked Corroded

Pipelines) para a geração automática de malhas de modelos tridimensionais de

elementos finitos de dutos com defeitos isolados de corrosão, a partir de elementos

quadráticos de 20 nós.

Cronin (2002) utilizou um programa para ler os dados geométricos do perfil de

corrosão e gerar a malha de elementos finitos sólidos com 20 nós, na região corroída. A

malha gerada neste programa foi então utilizada como entrada no software comercial

MSC Patran, onde o restante do modelo foi gerado em torno do defeito. Foi feita a

comparação dos resultados das análises numéricas com os resultados experimentais. Os

resultados numéricos apresentaram um erro médio de 0,1% e um desvio padrão médio

de 4,1%, indicando que, quando comparado com os métodos semi-empíricos, o método

dos elementos finitos fornece resultados mais precisos na estimativa da pressão de

ruptura de defeitos de corrosão reais.

Diniz (2002) mostrou os principais resultados do Programa Tecnológico de

Dutos da Petrobras o Produt 25 317900 e que foram publicados por Benjamin et al,

(2000). Foi realizada uma série de testes experimentais e simulações numéricas

tridimensionais em corpos de prova de aço API 5L X60, com comprimento nominal de

2,00 m, diâmetro de 323,85 mm e espessura nominal de 9,53 mm. Os defeitos foram

usinados por eletro-erosão, forma retangular, com profundidade de 6,67 mm (70% da

espessura), largura de 95,30 mm (10 vezes a espessura) e comprimento entre 250,00

mm e 525,00 mm. Verificou que pequenas variações no valor da espessura resultam em

grandes diferenças nas pressões de ruptura.

Num trabalho posterior, Benjamin et al, (2000) comparou as pressões de falha

experimentais com as pressões de falha estimadas, por meio de modelagens

computacionais tridimensionais, usando elementos finitos sólidos e elementos finitos de

casca. Os modelos de elementos finitos sólidos forneceram resultados mais precisos.

Participando do Programa Tecnológico de Dutos da Petrobras Produt 29

600536, Souza (2003) utilizou ensaios experimentais, para comparar os valores das

pressões de falha obtidos com os valores das pressões de falha estimados, pelos métodos

ASME B31G, RSTRENG 0,85dL, RSTRENG Effective Area, DNV RP-F101 (defeitos

isolados) e DNV RP-F101 (defeitos complexos). Foram utilizados corpos de prova de

aço API 5L X46, com 3,00 m de comprimento, 457,20 mm de diâmetro e 6,35 mm de

espessura, com defeitos reais e longos de corrosão.

Choi et al, (2003), propuseram uma nova formulação específica para dutos API

(American Petroleum Institute) X65, baseada em alguns ensaios de dutos em escala real,

corroídos artificialmente, e em análises por elementos finitos, utilizando elemento

isoparamétrico de 20 nós.

Costa (2004) utilizou os programas MARC e PATRAN, com geração automática

das malhas, através da introdução das condições de contorno e do carregamento. O duto

foi modelado por meio de elementos sólidos na região corroída e por elementos de casca

na região íntegra. Na região do defeito foram utilizados dois tipos de elementos:

isoparamétrico de oito nós e hexaédrico arbitrário. Fora do defeito utilizaram-se os

seguintes elementos: elemento de casca fina de quatro nós, com três graus de liberdade

de translação e três graus de liberdade de rotação por nó e elemento de casca de oito

nós, também com três graus de liberdade de translação e três graus de liberdade de

rotação por nó. Duas maneiras foram utilizadas para fazer a transição sólido-casca. A

primeira inserindo-se elementos de casca na região sólida e a segunda, pelo uso de

Multi-Point Constraints (MPC’s) que associa os graus de liberdade de translação e

rotação dos elementos de casca, aos graus de liberdade de translação dos elementos

sólidos na região da transição.

Benjamin et al, (2002) e Benjamin et al, (2003) obtiveram resultados numéricos

satisfatórios e erros na estimativa da pressão de ruptura dentro da faixa de -3,78% e

+5,49% utilizando elementos finitos sólidos com quatro elementos ao longo da

espessura remanescente do duto, na presença de múltiplos defeitos interagentes.

A Figura 2.12 ilustra uma malha típica gerada pelo Método de Elementos

Finitos.

Figura 2.12 – Detalhe da malha de defeito profundo (80% da espessura) em

PIPEFLAW

Fonte: Cabral (2007)

2.2.3 – ENSAIOS DE CHOI ET AL, 2003

Choi et al, (2003) realizaram ensaios experimentais em dutos de aço X65, com

vários tipos de corrosões artificiais. A configuração geométrica da corrosão usinada

sobre os corpos de prova foi retangular.

Também simularam através de elementos finitos, análises plásticas

tridimensionais. O programa utilizado foi o ABAQUS e considerando-se dois planos de

simetria, somente um quarto do duto foi modelado, sendo concebido com elemento 3D

isoparamétrico, 20 nós e número total de elementos e nós 1129 e 5713, respectivamente.

Nos ensaios experimentais, a variação das deformações foi medida por strain

gages, e os corpos de prova foram submetidos à pressão interna, gradualmente crescente

até a ruptura. A geometria dos defeitos de cada corpo de prova e a respectiva pressão de

ruptura pode ser resumida na Tabela 2.2.

Choi et al, (2003) considerou a tensão última do material (

) e a aplicação de

alguns fatores de segurança para comparar as pressões obtida por ensaios experimentais

ENSAIO

) e aqueles obtidos pelo Método de Elementos Finitos (P

AEF

Tabela 2.2 – Geometria dos corpos de prova e pressões de falha por Choi et al (2003)

Fonte: Choi et al (2003)

Corpo

de Prova

L c d

Pressão de

ruptura

(mm) (mm) (mm) (%) Mpa

DA 200 50 4,4 25 24,11

DB 200 50 8,8 50 21,76

DC 200 50 13,1 75 17,15

LA 100 50 8,8 50 24,30

LC 300 50 8,8 50 19,80

CB 200 100 8,8 50 23,42

CC 200 200 8,8 50 22,64

D = 762 mm, t = 17,5 mm

Os resultados da análise numérica e experimental, para defeitos no formato

retangular, são mostrados na Tabela 2.3.

Tabela 2.3 – Resultados das análises numéricas de Choi et al (2003)

Fonte: Choi et al (2003)

Corpo

Prova

Pressão de

ruptura

AEF

/ P

ENSAIO

Mpa

0,8

0,9

DA 24,11 0,81 0,99 1,01* 1,01*

DB 21,76 0,66 0,95 1,04 1,1

DC 17,15 0,42 0,86 0,95 1,05

LA 24,3 0,68 0,95 1,00 1,01*

LC 19,8 0,61 0,88 0,98 1,06

CB 23,42 0,57 0,86 0,93 1,00

CC 22,64 0,59 0,88 0,95 1,02

* A análise parou antes do critério de ruptura ter sido atingido

A taxa de crescimento do defeito por corrosão está relacionada com as

características do material do duto, das propriedades do fluido transportado e com o

meio ambiente.

De acordo com Southwell (1976) a taxa de corrosão, R, é inicialmente alta e

tende a diminuir gradualmente e em alguns casos estabilizar. O mesmo descreve

diversos experimentos sobre corrosão em metais em ambiente atmosférico e em água do

mar. Estes experimentos mostraram que após um período inicial onde a taxa de corrosão

é relativamente alta, há uma tendência de a taxa de corrosão ter seu valor estabilizado.

Com isso, uma aproximação linear para a taxa de crescimento do defeito de corrosão em

seu estado estacionário é uma hipótese razoável. Assim,

∆

= (2.22)

onde

∆

d é a diferença entre duas medidas geométricas da profundidade da corrosão e

∆

é a diferença de tempo entre as medidas desta geometria.

Para corrosão de formato semi-elíptico, os resultados obtidos foram mais

conservadores que para corrosão retangular, conforme mostra a Tabela 2.4.

Tabela 2.4 – Dados apresentados por Choi (2003), para formato elíptico da corrosão

Fonte: Choi et al (2003)

Corpo

Prova

D L

t c P

esc

mm mm mm mm mm Mpa

mm/

ano

mm/

ano

Mpa Mpa

DA 4,4 762 200 17,5 50 10 0,1 0,1 467 573

DB 8,8 762 200 17,5 50 10 0,1 0,1 467 573

DC 13,1 762 200 17,5 50 5 0,1 0,1 467 573

LA 8,8 762 100 17,5 50 10 0,1 0,1 467 573

LC 8,8 762 300 17,5 50 10 0,1 0,1 467 573

CB 8,8 762 200 17,5 100 10 0,1 0,1 467 573

CC 8,8 762 200 17,5 200 10 0,1 0,1 467 573

Aplicando análise de regressão nos resultados obtidos por elementos finitos,

Choi et al, (2003) propuseram uma solução analítica na forma:

i. Para defeito curto, 6<





































2max

.9,0 C

(2.23)

onde,

0292,0.1053,0.1163,0













−













C , 1447,0.4548,0.6913,0

−













−













−=

C e,

0,1.1035,0.06,0













−













ii. Para defeito longo, onde

6≥

























(2.24)

onde,

0126,0.0071,0

−













1101,1.9847,0













−=

2.3 – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

O último meio de avaliação estrutural de oleodutos submetidos à corrosão

localizada é através da análise de confiabilidade e, para sua fundamentação revisam-se

alguns conceitos da inferência estatística.

A Inferência Estatística admite que os resultados obtidos na análise dos dados

de uma amostra, são válidos para toda a população da qual aquela amostra foi retirada,

isto é, consiste em obter e generalizar conclusões, ou ainda, trata-se de estimação de

parâmetros populacionais e de testes de hipóteses sobre os mesmos.

Para Castanheira (2005) a estatística indutiva ou inferência estatística baseia-se

em resultados obtidos da análise de uma amostra da população e procura inferir, induzir

ou estimar as leis de comportamento da população da qual a amostra foi retirada.

Refere-se, portanto, a um processo de generalização a partir de resultados particulares.

Ehlers (2003) confirma que, de um modo geral é sempre possível classificar um

problema de inferência estatística, como um problema de otimização de uma função ou

a solução de integrais.

O problema geral da inferência estatística considera uma situação observacional

contendo uma variabilidade inerente. Esta situação pode ser descrita por uma

distribuição de probabilidade em um espaço probabilístico adequado. Entretanto a

distribuição adequada não é conhecida e existe uma grande classe de possíveis

distribuições uma das quais é apropriada para o nosso problema.

De acordo com Chaves Neto (2006), as inferências dizem respeito a um número

finito de parâmetros e dependem da forma especificada para a função densidade de

probabilidade. As informações obtidas a partir de uma amostra são úteis para produzir

inferências sobre parâmetros da população original. Esta indução pode ser feita por

Estimação dos parâmetros ou por Testes de Hipóteses sobre os parâmetros. De forma

que na Estimação usam-se os resultados extraídos da amostra para produzir inferências

sobre a população da qual foi extraída aleatoriamente a amostra. E, nos Testes de

Hipóteses usam-se os resultados extraídos da amostra para se testar valores de certos

parâmetros da população, ou mesmo testar a natureza probabilística da população.

2.3.1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS

A seguir são apresentados conceitos de probabilidade e estatística fundamentais

para continuação e compreensão do trabalho.

2.3.1.1 - VARIÁVEL ALEATÓRIA

Chaves, I. A. (2004) afirma que uma variável aleatória X é uma função real

definida no espaço Ω, tal que o evento [ X ≤ x ] é um evento aleatório pertencente ao

espaço de probabilidade (

Ω

, U, P) com U sendo a

-álgebra e P a medida de

probabilidade.

A variável aleatória é chamada de discreta quando o seu contradomínio é um

conjunto finito ou infinito enumerável, e é chamada de contínua quando o seu

contradomínio é um conjunto infinito.

2.3.1.2 - FUNÇÃO DE PROBABILIDADE E FUNÇÃO DENSIDADE

DE PROBABILIDADE

Para Fonseca e Andrade (1985) a função distribuição ou função distribuição

acumulada, de uma variável aleatória X é definida por F

(x) = P

(X ≤ x).

Uma vez que uma variável aleatória assume um valor de seu contradomínio com

certa probabilidade, tem-se que as probabilidades são associadas a valores da variável

aleatória discreta por uma função de probabilidade (fp).

As probabilidades são associadas a intervalos de valores de uma variável

aleatória contínua por uma função densidade de probabilidade (fdp). A função

densidade de probabilidade f é uma função que satisfaz às seguintes condições:

f(x) ≥ 0 para todo x

∈

∫

dxxf 1)(

Define-se então que,

∫

=<<

dxxfdXcP )()( para qualquer c < d.

2.3.1.3 - DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE NORMAL (GAUSSIANA)

A distribuição Normal é uma distribuição de probabilidade contínua, simétrica e

mesocúrtica. Ehlers (2004) define

como a média amostral da amostra aleatória [X

, ..., X

] de uma variável aleatória X com distribuição de probabilidade N(

Então, X tem distribuição normal com parâmetros

(média) e

(desvio

padrão), se a função de densidade de probabilidade de X é dada por,

[

]

2/)(2/122

)2(),()(

σµ

πσσµ

−−−

expxf

(2.25)

A correspondente função distribuição (fd) definida por F(x) = P(X < x) pode ser

expressa como,

[ ]

∫∫

∞−

−−−

∞−

dxexpxF

2/)(2/122

)2(),()(

σµ

πσσµ

(2.26)

Quando

= 0 e

= 1, tem-se a N(0, 1), ou seja, a distribuição Normal Padrão,

cujo gráfico da fdp está na Figura 2.13.

Figura 2.13 – Exemplo de Distribuição Normal Padrão

Fonte: o Autor

A simetria perfeita da distribuição normal significa que,

(-s) = 1.0 -

(s) = p

ou, quando p < 0.5 temos, -s =

-1

(p) = -

-1

(1 - p), onde

(s) é a função distribuição

da Normal Padrão no ponto s.

2.3.1.4 - DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE LOGNORMAL

Para problemas em que a amostra aleatória não pode ter valores negativos, pelo

seu aspecto físico, é possível usar-se o modelo Lognormal, considerando o logaritmo

natural da variável X. A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória

com distribuição lognormal é dada por,

























−

−=

exp

)(

ζπ

(2.27)

onde

são os parâmetros da distribuição lognormal, relacionados com os

parâmetros da distribuição normal da seguinte maneira:

ln)(ln

XXX

ζµλ

−==

(2.28)

)1ln(1ln)(ln

























+==

(2.29)

Neste caso, a variável padrão S tem a forma:

−

(2.30)

A probabilidade de uma variável aleatória lognormal ter um valor entre dois

limites a e b pode ser dada por,













−

Φ−













−

Φ=≤<

bXaP

lnln

)(

(2.31)

2.3.1.5 - ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA

Chaves, I. A. (2004) chama valor médio ou esperança matemática de uma

variável aleatória X discreta ao valor:

( ) ( ) ( )

∑∑

====

iXi

xXPxxPxXE

(2.32)

E chama de variância da variável aleatória X ao valor:

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

∑∑

=−=−=−==

iXi

xXPxxPXExXEXEXV

..)]([)(

µσ

(2.33)

Já o desvio padrão da variável aleatória X é a raiz quadrada da variância, ou seja,

)(XV=

(2.34)

Da mesma forma, se a variável aleatória for contínua, a esperança de X será dada

por

( ) ( )

∫

∞

∞−

== dxxfxXE .

(2.35)

E a variância por

( ) ( ) ( )

∫

∞

∞−

−=−= dxxfxxE .

µµσ

(2.36)

É importante observar que a variância mede a dispersão ou espalhamento dos

dados em torno da média µ = E(X) e o desvio padrão faz isto também, mas na mesma

unidade de medida dos dados.

Se duas variáveis aleatórias X e Y não forem independentes, existirá uma

diferença entre E(X.Y) e E(X).E(Y), esta diferença será chamada de covariância e

definida por,

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

XYEYXEYXCOV

−

Se COV(X,Y) = 0, as variáveis aleatórias serão chamadas de não-correlacionadas.

A covariância entre as variáveis aleatórias X e Y padronizadas é chamada de

coeficiente de correlação,

[

]

[

]

{

}

(

)

(

)

































−













−

−−

YEYXEX

YVXV

YEYXEXE

σσ

)()(

)(.)(.

(2.37)

A vantagem da correlação em relação a covariância é que o coeficiente de

correlação é um valor padronizado e tem-se, então, uma idéia clara da sua grandeza.

Por outro lado uma medida muito útil de variabilidade relativa é o coeficiente de

variação. Este parâmetro para uma variável aleatória é definido como o quociente entre

o desvio padrão e a média, ou seja,

=CV (2.38)

Para finalizar, Chaves I. A. (2004) considera que as variáveis [X

, X

, ..., X

] com

função de probabilidade conjunta

),...,,(

21,...,

nXXX

xxxf

são linearmente

independentes, se e somente se,

)()...().(),...,,()(

2121,...,

2121

nXXXnXXXx

xfxfxfxxxfxf

(2.39)

Assim pode-se considerar [X

, X

, ..., X

] como uma amostra aleatória de

tamanho n da população com densidade f. Isso significa que, se a amostragem é tal que

, X

, ..., X

são independentes e, desde que a população tenha densidade homogênea, a

amostra é dita aleatória.

É naturalmente relevante que resultados com base numa amostra aleatória são

válidos para a população desde que esta tenha sido o objeto da amostra.

2.3.2 - ESTIMAÇÃO

Retornando a questão da inferência estatística não se pode calcular a

aproximação de uma grandeza desconhecida sem ter uma idéia do quanto esta

aproximação é adequada, em algum sentido probabilístico e, como ela se compara com

outras aproximações.

Após uma observação ser feita, é possível que a verdadeira distribuição que rege

o fenômeno pertença a uma família diferente da que postulada inicialmente.

A Estimação de parâmetros pode ser feita de duas maneiras:

i. Estimação por ponto ocorre quando, a partir da amostra procura-se obter

um único valor de certo parâmetro populacional, ou

ii. Estimação por intervalo ocorre quando a partir da amostra procura-se

construir um intervalo com certa probabilidade de conter o verdadeiro parâmetro

populacional θ.

2.3.2.1 - ESTIMAÇÃO POR PONTO

Entendendo as estatísticas, por exemplo, média e variância, como uma função do

espaço amostral a estimação por pontos significa obter estimativas, isto é, obter valor

numérico destas estatísticas, a partir dos valores das amostras.

Para Haldar e Mahadevan (1982) são quatro as propriedades fundamentais dos

estimadores: suficiência, consistência, não-tendenciosidade e eficiência (estimador de

variância mínima).

Uma estatística é dita suficiente para uma população se permite um resumo das

informações trazidas pela amostra.

Um estimador é consistente para estimar um parâmetro quando, a medida que se

aumenta o tamanho da amostra aleatória consegue-se uma maior precisão na estimativa.

Um estimador é não viciado se o vício é nulo, ou seja, se o erro quadrático

médio é igual à variância.

2.3.2.2 - MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO

A evolução da Estatística através do tempo provocou o aparecimento de várias

metodologias para construção de estimadores de parâmetros.

O método da máxima verossimilhança foi desenvolvido por Fisher a partir de

uma idéia original de Gauss sobre regressão linear, no período de 1809 a 1821 e, de

acordo com Ehlers (2003) ele postula que para fazer inferência sobre uma quantidade de

interesse só importa aquilo que foi realmente observado e não aquilo que poderia ter

ocorrido, mas efetivamente não ocorreu.

Portugal (1995) assegura que a grande importância do método de máxima

verossimilhança consiste nas boas propriedades dos estimadores, que são consistentes e

eficientes.

Chaves Neto (2006) afirma que para determinar o estimador de máxima

verossimilhança do parâmetro θ basta achar o valor de θ que maximiza a função p(θ, X),

fixado X. Como a função ln [p(θ, X)] é não decrescente (monótona crescente),

maximizar p(θ, X) é o mesmo que maximizar ln [p(θ, X)]. Desta forma, se,

(

)

[

]

( )

,ln

∂

(2.40)

então o estimador de máxima verossimilhança

vai ser a solução do conjunto de

equações S(θ) = 0.

Segundo Haldar e Mahadevan (1982) o conceito básico no métodos dos

momentos é que todos os parâmetros de uma distribuição podem ser estimados usando a

informação sobre seus momentos. Deste modo, se a distribuição tem um simples

parâmetro, então somente uma informação pode ser extraída do processo,

provavelmente, será o primeiro momento, ou o valor médio. Se a distribuição tem dois

parâmetros, então duas informações podem ser extraídas, e eles podem ser os dois

primeiros momentos, isto é, a média e a variância da variável aleatória.

Considera-se que os momentos ordinários da amostra são dados por,

∑

, j = 1, 2, 3, ... (2.41)

O sistema de equações formado tem solução única e estas soluções são os

estimadores dos parâmetros.

Os parâmetros de uma distribuição têm uma relação definida com os momentos

das variáveis aleatórias. Esta relação é apresentada na Tabela 2.5, para distribuição

Normal e Lognormal.

Tabela 2.5 – Estimação de parâmetros para o método dos momentos

Fonte: Haldar e Mahadevan (pp. 118, 1982), traduzido.

Função densidade de Probabilidade

ou função densidade

Parâmetro

Relação para a Média

e Variância

Normal

( )

























−

−=

exp

πσ

σµ

(

)

(

)

Lognormal

( )

























−

−=

exp

πζ

( )

























1lnln

XVar

( )

lnln

ζµ

−=

O método dos mínimos quadrados considera que toda observação aleatória pode

ser escrita na forma do modelo

(

)

ikii

,...,,

, i = 1, 2, ..., n (2.42)

onde a parte estocástica

deve satisfazer as seguintes restrições:

é uma variável aleatória com E(

) = 0.

ii.

é uma variável aleatória com variância constante V(

) =

iii. Os erros

são não-correlacionados, COV(

) = 0.

O método consiste em estimar

minimizando a soma dos quadrados dos erros

(resíduos) e resolvendo-se o sistema de equações:

( )

[ ]

=−

∂

∑

xgY

, j = 1, 2, ..., k (2.43)

2.3.2.3 - INTERVALOS DE CONFIANÇA

Fonseca e Andrade (1985) afirmam que outra maneira de obter uma estimativa

de um parâmetro desconhecido é construir um intervalo de confiança para o parâmetro

com uma probabilidade maior ou igual ao nível (1 -

) de confiança de que este

intervalo contenha o verdadeiro parâmetro.

αα

−=













≤≤− 1

zzzP

(2.44)

Para estimar o intervalo de confiança para a média populacional quando a

variância populacional é conhecida considera que

, com distribuição normal













. Portanto,

−

tem distribuição normal N (0, 1). Assim, tem-se que:

αα

−=













+≤≤− 1

zXP

(2.45)

Para estimar o intervalo de confiança para a média populacional quando a

variância populacional é desconhecida, temos,

αα

−=













−

<− 1

txP (2.46)

Para estimar o intervalo de confiança para a variância de uma população

Normal, isto é, se X é uma população com distribuição normal com média µ e variância

, pelo Teorema de Fischer tem-se que

( ) ( )

χσχ

−=













−

≤≤

−

111

inf

sup

SnSn

P (2.47)

Para estimar o intervalo de confiança para a diferença entre duas médias

(

)

−

de duas populações Normais com desvios padrões conhecidos usa-se:

( ) ( )

σσ

µµ

σσ

αα

−=













++−≤−≤+−− 1

2121

zxx

zxxP (2.48)

2.3.3 - TESTES DE HIPÓTESES

De acordo com Meyer (1970) o teste de hipóteses ao invés de procurar uma

estimativa do parâmetro passa a admitir um valor hipotético para ele e, depois, utiliza a

informação da amostra para confirmar ou rejeitar este valor hipotético.

Para Fonseca e Andrade (1985) os testes de hipóteses também são baseados nas

distribuições dos estimadores. Dessa maneira, as distribuições de probabilidade da

média amostral, da variância amostral, da freqüência relativa serão utilizadas para os

respectivos testes sobre a média, a variância e a proporção da população.

O teste de hipótese é uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese

com base nos elementos amostrais e podem ser de dois tipos: paramétricos, quando

formulamos hipóteses com respeito ao valor de um parâmetro populacional ou por

aderência, quando formulamos hipóteses sobre à natureza da distribuição da população.

Para uma amostra aleatória tem-se as hipóteses nula, H

, ou seja, aquela que se

está testando contra a hipótese alternativa, H

, que pode ser aceita quando se rejeita H

Para se tomar a decisão de aceitar ou rejeitar a hipótese nula H

, há necessidade

de uma regra. Esta regra é conhecida como teste. Assim, rejeita-se H

quando o

resultado da regra ultrapassa certo valor crítico, ou linha de corte, e se aceita H

em caso

contrário. É conveniente descrever a região crítica por uma função indicadora δ que é

chamada de função crítica ou função teste. Assim, se δ(x) = 1 rejeita-se H

e se δ(x) = 0

se aceita H

Os erros que podem ser cometidos na decisão podem ser classificados em: Erro

Tipo I: é cometido quando se rejeita H

, sendo H

verdadeira (α) ou Erro Tipo II: é

cometido quando aceita-se H

, sendo H

falsa (β).

Para Bickel e Doksum (2006) a curva característica de operação é o gráfico da

função probabilidade de erro tipo II, sob várias hipóteses, mostrada na Figura 2.14.

Figura 2.14 – Exemplo de uma curva característica de operação

Fonte: Fonseca e Andrade, 1985

Para valores próximos do valor µ

a probabilidade de se cometer o erro tipo II é

bastante elevada. Em compensação não há tanta gravidade em se cometer o erro tipo II,

nestas condições, pois a diferença pratica entre a realidade e a hipótese testada é

pequena, não acarretando dessa forma grande preocupação.

A gravidade do erro tipo II acentua-se à medida que o verdadeiro valor do

parâmetro se afasta do valor testado. Nestas condições, aceitar H

pode ser uma decisão

comprometedora, mas para tais casos, observa-se que a probabilidade de se cometer o

erro tipo II tende a diminuir assegurando, desta forma, melhores condições para as

tomadas de decisões.

Para tomar uma decisão inequívoca, devemos, pois, estabelecer previamente até

que ponto uma divergência entre a realidade e H

pode ser tolerada. Neyman e Pearson

(1967) propuseram fixar a probabilidade do erro do tipo I (nível de significância) em α e

procurar um teste que tenha probabilidade de rejeitar menor ou igual a α. Assim, este

teste tem nível de significância α e rejeita H

no nível α. A configuração da Figura 2.15

ilustra o comportamento dos erros α e β em função do tamanho da amostra.

Figura 2.15 - Comportamento dos erros α e β em função do tamanho da amostra

Fonte: Fonseca e Andrade, 1985

De acordo com Chaves Neto (2006) uma alternativa de análise é a curva do

poder de um teste (1 -

), onde β é a probabilidade de erro tipo II. Um exemplo é

apresentado na Figura 2.16, quando testamos

H contra

≠

H :

Figura 2.16 – Curva de força do teste sendo α e

fixados

Fonte: Fonseca e Andrade, 1985

Em um teste decisivo devem-se considerar os erros α e β e, se não bastar os

valores especificados, pode-se de aumentar o tamanho da amostra.

2.3.3.1 - TESTE DE HIPÓTESE PARA A MÉDIA DA DISTRIBUIÇÃO

NORMAL

Há uma grande variedade de hipóteses que podem ser feitas a respeito da média.

Entre elas:

Sendo

conhecido, o teste de H

≤

x H

é definido por:

1)(

z >

−

ou,

0)(

para c/c, onde

−

~ N(0, 1) e c é

determinado por P(z > c) =

Sendo

conhecido, o teste de H

≤

x H

é definido por:

1)(

z >

−

, ou, ii. 0)(

para c/c, onde

−

~ N(0, 1) e c

é determinado por P(z > c) =

/2.

Sendo

desconhecido o teste é feito com a estatística,

−

2.3.3.2 - TESTES DE HIPÓTESES PARA A VARIÂNCIA DA

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Sendo

conhecido, o teste de H

≤

x H

≥

é definido por

1)(

se, c

−

∑

)(

, onde c é determinado por

(

)

αχ

=> cP

, ou,

0)(

para c/c.

O teste de H

x H

é definido por 1)(

se, c

−

)1(

ou 0)(

para c/c.

O teste de H

≤

x H

≠

é definido por 1)(

se,

)1(

couc

−

, onde

(

)

αχ

−

(

)

αχ

−

ou, 0)(

para

c/c.

2.3.3.3 - TESTES DE HIPÓTESES QUE ENVOLVEM MÉDIAS DE

DOIS GRUPOS

Chaves Neto (2006), estuda levantar evidências contra a hipótese que a média da

população 1 é igual a média da população 2 ou ainda evidências contra a hipótese nula

: µ

= µ

ou µ

– µ

= 0. Após obter as informações amostrais: [x

, x

, ..., x

1n1

] da

amostra da população 1 e [x

, x

, ..., x

2n2

] amostra da população 2, testa-se a

Gaussianidade das observações e a hipótese nula com um teste t de Student.

Se as variâncias das populações forem distintas deve-se aplicar a versão de

Aspin-Welch, cuja estatística é a seguinte:

(

)

(

)

t ~

2121

−

= (2.49)

onde υ é calculado por,

(

)

−

ωω

, sendo

As premissas para aplicação do teste t de Student são a independência das

amostras e a Gaussianidade das observações, verificada pelo teste Qui-quadrado de

aderência ao modelo, por Kolmogorov-Smirnov, por Shapiro-Wilks ou por Filliben.

Quando são aceitas estas premissas aceita-se a hipótese de homogeneidade entre

as variâncias dos dois grupos (populações 1 e 2), H

σσ

aplica-se a estatística que

corresponde ao t de Student na versão clássica:

(

)

(

)

2121

−

(2.50)

onde

−

(

)

(

)

−+

−+−

snsn

, sendo que a hipótese sobre a

igualdade de variâncias é testada, antes, pelo teste F, com estatística

F = (2.51)

Quando a hipótese de Gaussianidade não é verificada aplicamos um

procedimento não-paramétrico conhecido como Teste de Wilcoson-Mann-Whitney.

2.3.4 - TESTES DE ADEQUAÇÃO AO AJUSTAMENTO E TESTE DE

ADERÊNCIA

Para verificar os resultados de um experimento deve-se aplicar um teste de

aderência, para testar a hipótese de que a distribuição de freqüências observada se ajusta

(ou adere) a determinada distribuição teórica.

As freqüências observadas serão comparadas com as freqüências esperadas de

acordo com alguma hipótese, em n provas. Os resultados das n provas são colocados em

uma tabela conhecida como Tabela de Contingência, conforme mostrado na Tabela 2.6

e o teste aplicado é o Qui-quadrado, onde K é o número de eventos ou categorias em

que foi dividida a amostra.

(

)

−

∑

−

FeFo

χχ

(2.52)

sendo, Fo

, as freqüências observadas na amostra dos respectivos eventos e Fe

freqüências esperadas.

Tabela 2.6 – Avaliação das frequências esperadas em um teste de aderência

Fonte: Fonseca e Andrade (1985) pp. 205

Categorias (eventos) C

... C

Frequências Observadas Fo

... Fo

Frequencias Esperadas Fe

... Fe

Quando usa-se a estatística χ

para comprovar a concordância entre valores

observados e esperados para certo fenômeno, realiza-se, na realidade, um teste de

ajustamento.

Contudo, se usar o teste qui-quadrado para colocar à prova hipóteses referentes à

forma da distribuição da população, como a Normal, Binomial, Poisson, etc., significa

que trata-se de um teste de aderência. Nesses testes, supõe-se que a distribuição da

variável em estudo é descrita por determinado modelo teórico de probabilidade e

verificamos o grau de aderência dos dados amostrais ao modelo.

2.3.5 - REGRESSÃO LINEAR E NÃO-LINEAR

A análise de regressão é uma técnica estatística usada para investigar e modelar

o relacionamento entre variáveis. Aplicações desta técnica foi realizada por Choi et al

(2003), conforme mostrado a seguir.

2.3.5.1 - REGRESSÃO LINEAR

O modelo linear que relaciona a variável resposta Y com as covariáveis X

, X

..., X

p-1

pode ser escrito na forma

iippiii

XXXY

−− 1122110

... (2.53)

ou na forma matricial, conhecido como modelo linear de Gauss Markov:

εβ

+= XY

(2.54)

Admitindo que,

i. Os componentes ε são variáveis aleatórias.

ii. A esperança de cada componente de

é zero, ou seja, E(

) = 0.

iii. As componentes do vetor

não são correlacionadas, ou melhor, COV(

) = 0 para i ≠ j e possuem variância constante, V

iv. A distribuição de

é a Normal (Gaussiana).

Para se medir a adequação do ajuste compara-se a soma de quadrados da

regressão com a soma de quadrados total e tem-se o coeficiente de determinação ou

correlação múltipla ao quadrado,

( )

∑

−

(2.55)

Quando o ajuste é bom o valor de R

é próximo de 1. Em caso contrário, com um

modelo pobre, o valor de R

é pequeno.

2.3.5.2 - REGRESSÃO NÃO-LINEAR

O modelo não linear que relaciona a variável resposta Y com uma variável ξ,

neste caso, pode ser escrito como

(

)

iii

, (2.56)

onde

(

)

f é parte sistemática do modelo e que deve ser estimada e ε

é a parte

estocástica com E(

) = 0 e V(

) =

. A parte sistemática depende da covariável

e dos

parâmetros em θ.

A estimação dos parâmetros é feita por mínimos quadrados com base nas

observações da variável resposta correspondentes a valores fixados das covariáveis: Y

, ...,

, i = 1, 2, 3, ..., n e minimizando-se a soma de quadrados dos erros que é

dada por

( )

(

)

[

]

∑

−==

fYSSQE

θξθ

(2.57)

Então, partindo-se das observações fixadas de Y

e de

, i = 1, 2, ..., n, obtemos a

estimativa de mínimos quadrados de θ que minimiza a função S(θ).

2.4 – MÉTODOS DE CONFIABILIDADE NA

ANÁLISE DE OLEODUTOS CORROÍDOS

De acordo com Barbosa (2004) a Teoria da Confiabilidade é um conjunto de

técnicas da Estatítica e da Programação Matemática. Estas técnicas proporcionam, a

partir do conhecimento das distribuições de probabilidade das variáveis de projeto, a

probabilidade da estrutura falhar. Pode-se estimar, também, a importância de cada

variável de projeto nesta probabilidade de falha.

Buratto (2005) concorda que a confiabilidade sintetiza a chance, em termos

percentuais, de que uma determinada variável de interesse fique dentro de um

determinado intervalo especificado indicando o percentual de cenários gerados pela

simulação que está dentro desse intervalo.

Henriques (2002) observa que o comportamento das estruturas depende de

diversos fatores, a maioria dos quais não pode ser controlada de forma absoluta. As

diversas fontes de incerteza responsáveis pela variabilidade desses fatores conduzem a

ao problema de avaliação da segurança das estruturas e esta formulação tem um caráter

marcadamente não determinístico.

Cardoso et al, (2003) afirmam que o caráter intrinsecamente aleatório das

propriedades dos materiais e das ações é considerado pelos atuais Eurocódigos, que

classificam os métodos probabilísticos disponíveis para lidar com essa aleatoriedade em

três níveis: métodos semi-probabilísticos, ou de nível 1, correntemente utilizados na

verificação da segurança, onde a probabilidade de falha é indiretamente considerada

através de definição de valores característicos e de coeficientes parciais de segurança;

métodos probabilísticos aproximados, ou de nível 2, onde a probabilidade de falha é

baseada no índice de confiabilidade, β; métodos probabilísticos exatos, ou de nível 3,

onde a probabilidade de falha é avaliada a partir da distribuição conjunta de

probabilidade das variáveis aleatórias associadas às ações e às resistências.

Laranja e Brito (2003) descrevem que, em geral, não é possível reduzir o

problema da confiabilidade estrutural às formulações simplificadas, que relacionam a

probabilidade de falha apenas com a resistência, R, e a solicitação, S, considerando-as

variáveis aleatórias independentes. Em geral, R é função das propriedades dos materiais

estruturais e das dimensões dos elementos estruturais, ou da própria estrutura, enquanto

S é função das ações, das densidades dos materiais e, eventualmente, das dimensões da

estrutura, sendo todas elas variáveis aleatórias. Há, também, situações em que não é

possível considerar R e S independentes, quando o efeito de determinada ação é

favorável (opõe-se aos efeitos que conduzem à falha) ou quando as dimensões da

estrutura ou dos elementos estruturais condicionam, simultaneamente, o valor das ações

e da resistência.

Wu e Riha (2004) afirmam que nos estudos tradicionais da confiabilidade, os

valores característicos de um processo randômico são usados em combinação com

análise de espectro e considera X o vetor aleatório composto pelas variáveis básicas, ou

seja, as variáveis fundamentais que definem e caracterizam o comportamento e a

segurança da estrutura e

(

)

Xg a função que define o estado limite conhecida como limit

state surface através de:

(

)

0,...,,

XXXgZ (2.58)

A equação 2.64 estabelece a fronteira que divide o domínio numa região de

segurança

(

)

> 0 e numa região de falha

(

)

< 0, conforme mostra a Figura 2.17.

Figura 2.17 – Região de falha e segurança separada pela função de estado limite

Fonte: Laranja e Brito (2003)

A probabilidade de falha pode ser obtida pela generalização, através da

integração múltipla sobre todas as variáveis básicas:

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

( )

∫∫ ∫

≤

=≤=≤=

XXXg

nXXnf

dxdxxxfXXXgpSRGpp

...,...,...0,...,,0,

0,...,,

1,...,21

(2.59)

em que f

(x) é a função densidade de probabilidade conjunta para o vetor X, de

dimensão n, das variáveis básicas.

Se as variáveis básicas forem independentes, a relação acima pode ser

simplificada, dado que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

nxxx

ixx

xfxfxfxfxf

.....

∏

(2.60)

em que f

) é a função densidade probabilidade conjunta para a variável básica X

Ehlers (2003) afirma que integração analítica da equação (2.65) só é possível

para casos muito raros. Geralmente, recorre-se a simplificações, a métodos numéricos

ou a ambos em simultâneo, podendo estes incidir sobre o processo de integração, a

função a integrar, f

(x) ou a definição do domínio de falha.

Duas técnicas são utilizadas para essa avaliação. São elas: o método de

simulação de Monte Carlo e os métodos do segundo momento, ou FOSM, First Order

Second Moment Reliability Method.

Os métodos do segundo momento, FORM, First Order Reliability Method e

SORM, Second Order Reliability Method apresentam alguns problemas em função da

complexidade da análise, que gera dificuldades na determinação dos pontos de mínimo,

a transformação de f

(x) numa função densidade de probabilidade multinormal, e a

utilização de processos de integração passo a passo para a obtenção de soluções

aproximadas.

Por outro lado, Pulido et al, (1992) esclarece que a análise de confiabilidade

estrutural, por envolver um grande número de variáveis aleatórias ou exigir uma grande

quantidade de simulações, se depara, também, com a questão do custo computacional.

2.4.1 - MÉTODOS DE CONFIABILIDADE DE PRIMEIRA ORDEM

SEGUNDO MOMENTO (FOSM)

Estes métodos são chamados de métodos do segundo momento, uma vez que as

funções normais e multivariadas das variáveis básicas podem ser representadas apenas

pelos seus dois primeiros momentos, isto é, a média e o desvio padrão.

Laranja e Brito (2003) admitem que, se as variáveis aleatórias X

são

independentes e normalmente distribuídas, a determinação da média de Z, é dada por:

SRZ

−

(2.61)

e o desvio padrão é obtido através de:

SRZ

σσσ

+= (2.62)

A equação de estado limite define a margem de segurança

SRZ

−

(2.63)

De acordo com Ditlevsen e Madsen (1996) a probabilidade de falha pode ser,

(

)

−

p (2.64)

onde Φ é a função distribuição da normal reduzida.

Neste caso, o índice de confiabilidade, dado por,

(2.65)

Porém, são freqüentes as situações em que a função de estado limite g(X) não é

linear e, nestes casos, não são válidas as propriedades da lei Normal e, portanto, a média

e a variância de

(

)

Xg não são as apresentadas. A resposta Z, resultante da aplicação da

função não linear às variáveis X

, também pode ser não normal.

Laranja e Brito (2003) explicam que, nestas condições, o valor de p

obtido na

equação 2.71 apenas pode ser considerado como a probabilidade nominal de falha p

e, nestes casos, é preferível utilizar o índice de confiabilidade β como indicador da

segurança.

Quando a aproximação é feita através da linearização de g(X), obtendo-se uma

função linear g

(X) e as variáveis básicas envolvidas não são normalmente distribuídas

ou são dependentes designam-se por métodos de confiabilidade de primeira ordem

(First Order Reliability Method - FORM).

Quando se realizam aproximações não lineares para g(X), através de funções

parabólicas, quadráticas ou de ordem superior e as variáveis básicas envolvidas não são

normalmente distribuídas ou são dependentes tem-se os chamados métodos de

confiabilidade de segunda ordem (Second Order Reliability Method - SORM).

As interpretações geométricas de cada método são ilustradas na Figura 2.18.

Figura 2.18 - Métodos de confiabilidade FORM e SORM

Fonte: Henriques, 2002, adaptada

Madsen e Tvedt (1990) afirmam que, sob certas condições, o método FORM é

mais eficiente que o método de Monte Carlo comparando-os para análises estruturais.

Wu e Riha (2004) aplicaram e verificaram esta afirmação na análise de confiabilidade

de oleodutos submersos e corroídos.

Ditlevsen e Madsen (1996) esclarecem que a forma mais simples de obter os

dois primeiros momentos (média e variância) de g(X) consiste em ajustar uma função

linear aproximada no ponto mais representativo do problema em análise. Essa

aproximação pode ser efetuada pelo desenvolvimento de g(X) em série de Taylor:

( )

∑

+≅=

iiL

XaaZXg

(2.66)

É comum usar como ponto representativo, X*, o ponto definido pelos valores

médios de X

. Então, calcula-se a média por:

∑

XaaZ

(2.67)

e a variância por:

∑

222

σσ

(2.68)

Desta forma, é possível estimar o índice de confiabilidade através de,

∑

Xaa

(2.69)

Esse método apresenta o inconveniente do valor de

depender do ponto

representativo, X*, no qual a aproximação linear é tangente à superfície limite não

linear. Se o referido ponto não for o definido pelos valores médios das variáveis X

, o

hiperplano tangente à superfície limite será diferente e, por isso, o valor de

será outro.

Henriques (2002) afirma que, para contornar o problema da variância de

, é

usual recorrer à transformação Hasofer-Lind, que apresenta uma nova formulação do

índice de confiabilidade, baseada na seguinte metodologia:

i. Transformação de todas as variáveis básicas aleatórias, X

, em variáveis

normais reduzidas, Y

(distribuições com média nula e variância unitária, N(0,1)).

ii. Definição da superfície limite, g(X), no espaço das variáveis normais

reduzidas, g(Y);

iii. Determinação do ponto de dimensionamento, Y*, da superfície limite,

g(Y), que se encontra mais próximo da origem, ou seja, dos valores médios;

iv. Estimação do índice de confiabilidade, β, definido como a distância de

Y* à origem do espaço das normais reduzidas.

De acordo com Wu e Riha (2004) a transformação de todas as variáveis básicas

aleatórias, normais e independentes, em variáveis normais reduzidas e independentes de

forma a que 0=

e 1=

, obtém-se por:

−

(2.70)

Esta transformação consiste na translação dos valores médios de X

para a

origem e na utilização dos desvios padrão das variáveis como unidades dos eixos

respectivos. A representação gráfica desta transformação num espaço bidimensional é

feita na Figura 2.19.

Figura 2.19 – Transformação da função de estado limite do espaço das variáveis

Normais reduzidas.

Fonte: Mahadevan, 1997

Mahadevan (1997) considera os termos de primeira ordem do desenvolvimento

em série de Taylor da função, g(Y), no ponto de dimensionamento, Y*, e que g(Y*) = 0,

para obter:

( )

∂

−≅

∑

iiL

YYYg

(2.71)

Sendo

, e considerando as propriedades aditivas da lei normal,

então:

( )

∂

−≅

∑

(2.72)

e, ainda:

( )













∂

≅

∑

(2.73)

Pode-se, agora, estimar o índice de confiabilidade através de:

2/1

























∂

−==

∑

(2.74)

É possível, ainda, recorrendo à interpretação geométrica do conceito de

confiabilidade, proceder a uma análise da sensibilidade da função de estado limite, g(Y),

no ponto de dimensionamento, Y*, relativamente a cada uma das variáveis aleatórias, Y

conforme mostra a Figura 2.20.

Figura 2.20 – Interpretação geométrica da sensibilidade de g(Y) relativa às variáveis Y

Fonte: Laranja e Brito, 2003

As componentes, v

, de um vetor normal a um hiperplano definido por g(Y) = 0

são:

∂

(2.75)

e o seu comprimento total, l:

∑∑













∂

(2.76)

Os cossenos diretores, r

, do vetor normal unitário são:

2/1

























∂

∑

r (2.77)

Ditlevsen e Madsen (1996) afirmam que, desta forma, é possível relacionar o

índice de confiabilidade,

, com as coordenadas do ponto de dimensionamento,

βα

Y −=

(2.78)

Verifica-se assim que, se 0

≈

, a função de estado limite quase não é

influenciada pela variável Y

Se, ao contrário,

se aproximar de 1 ou -1, a variável Y

tem uma influência muito grande sobre o estado limite considerado. A expressão

conduz, ainda,

αβ

−=

(2.79)

o que demonstra de forma evidente que

corresponde à mínima distância da origem à

superfície limite, concretamente, ao ponto Y*.

De acordo com Vanhazebrouck (2008), além da probabilidade de falha é

possível obter algumas importantes medidas de sensibilidade do índice de

confiabilidade em relação a variação dos parâmetros que definem a função de falha.

O fator de importância corresponde ao valor de cada variável aleatória na análise

de confiabilidade considerada.

O fator de importância pode ser expresso como:

= (2.80)

onde

é o cosseno diretor correspondente a variável do vetor normal a superfície de

falha no ponto de projeto, no espaço reduzido.

Os fatores de sensibilidade paramétricos fornecem a variação do índice de

confiabilidade ou a variação da probabilidade de falha quando ocorrem mudanças nos

parâmetros que definem as distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias

envolvidas no problema. As medidas de sensibilidade apresentam grande importância,

pois permitem determinar quais as variáveis aleatórias que apresentam maior influência

na obtenção do índice de confiabilidade.

2.4.2 - MÉTODO DE CONFIABILIDADE DE PRIMEIRA ORDEM

Quando as variáveis envolvidas no problema de confiabilidade não são

normalmente distribuídas e, por isso, não são suficientes os dois primeiros momentos

(média e variância) para a sua caracterização, ou se não for admissível considerar a

independência entre as variáveis básicas, a metodologia descrita anteriormente torna-se

inadequada.

A necessidade de considerar a informação relativa às distribuições não normais

e/ou à dependência entre as variáveis conduziu ao desenvolvimento das formulações

FORM. Nas situações em que as variáveis envolvidas não são normalmente

distribuídas, o procedimento habitual consiste em transformar cada uma das variáveis

aleatórias não normais em variáveis aleatórias normais reduzidas. Uma forma possível

para esta transformação é:

(

)

(

)

iXi

xFy

(2.81)

ou seja:

(

)

[

]

iXi

xFy

1−

Φ= (2.82)

em que F

é a função distribuição da variável X

e Φ a função distribuição da lei normal

reduzida. A aproximação é feita num ponto escolhido x

, como na Figura 2.21.

Figura 2.21 - Transformação de uma variável não normal numa variável normal

reduzida

Fonte: Dai e Wang, 1992

Um dos métodos possíveis para fazer a aproximação é impor que a distribuição

não normal e a distribuição normal a aproximar tenham a mesma média, µ, e que

conduzam à mesma probabilidade de falha. Se X for a variável aleatória não normal e Z

a variável aleatória normal, a média de Z será dada por:

(2.83)

e o desvio padrão de Z,

(

)

( )

σσ

−

−Φ

−

. (2.84)

sendo a variável normal reduzida, Y, obtida pela transformação:

−

(2.85)

Nas situações em que há dependência entre as variáveis básicas, é necessário

proceder a uma transformação, de forma a obter um conjunto de variáveis

independentes. Admita-se um conjunto de variáveis aleatórias correlacionadas, X,

caracterizado pela matriz de covariância, COV

(

)

(

)

( ) ( )













Xnn

VXXCOVXXCOV

XXCOVXXCOVV

COV

...,,

,...,

121

MMMM

(2.86)

em que V

é a variância da variável X

e COV(X

, X

) é a covariância entre as variáveis

e X

. Note que, se as variáveis X

e X

forem independentes, então COV(X

, X

) = 0.

É possível efetuar uma diagonalização da matriz COV

através da seguinte

transformação:

XTY

(2.87)

sendo T uma matriz ortogonal com vetores coluna iguais aos vetores próprios da matriz

de covariância, C

Com isso, obtém-se a matriz diagonal de covariância, C

, do conjunto de

variáveis não correlacionadas (independentes), Y:













TCTCOV

...0

0...

MOM

(2.88)

Os elementos da diagonal da matriz, COV

, são iguais aos valores próprios da

matriz de covariância das variáveis X, COV

Pode-se obter os valores médios das variáveis independentes Y

, por:

(

)

( )

(

)

( )









































(2.89)

2.5 - O MÉTODO DE MONTE CARLO

O nome desse método de simulação vem do Cassino de Monte Carlo que fica no

principado de Mônaco. Esse é um dos mais famosos cassinos do mundo. A associação

foi feita porque o método baseia-se no uso de números aleatórios, assim como as roletas

encontradas nos cassinos.

Segundo Hammersley e Handscomb (1964) a primeira aplicação real do método

de Monte Carlo surgiu durante o projeto Manhattan, na Segunda Guerra Mundial, para

construção da bomba atómica americana, onde trabalharam Stan Ulam e John Von

Neumann, precursores na aplicação do método de Monte Carlo. Citando Stan Ulam:

“The question was what are the chances that a Canfield

solitaire laid out with 52 cards will come out successfully?

After spending a lot of time trying to estimate them by pure

combinatorial calculations, I wondered whether a more

practical method than abstract thinking might not be to lay it

out say one hundred times and simply observe and count the

number of successful plays.”

Considerando-se o aspecto da técnica de simulação mecânico-estatística ela tem

origem no artigo publicado em The Journal of Chemical Physics Volume 21, Number 6,

de Metropolis et al, (1953), chamado: “Equation of State Calculations by Fast

Computing Machines”.

Entretanto, de acordo com Vose (2000), o método já havia sido usado pelo

estatístico W. S. Gosset, para estimar o coeficiente de correlação na sua distribuição t de

Student.

Para Evans e Olson (1998), a simulação de Monte Carlo é basicamente um

experimento amostral cujo objetivo é estimar a distribuição de resultados possíveis da

variável aleatória, com base em uma ou mais variáveis de entrada que se comportam de

forma probabilística e de acordo com alguma distribuição estipulada.

Já Law e Kelton (2000) definem a simulação de Monte Carlo como sendo uma

abordagem que emprega números aleatórios para resolver problemas estocásticos ou

determinísticos.

Pulido et al, (1992) afirmam que o Método de Monte Carlo é um método de

amostragem artificial utilizado na solução de experimentos aleatórios, onde se tem

conhecimento das distribuições de probabilidade das variáveis envolvidas e que tem

sido utilizado para determinar a confiabilidade de sistemas estruturais.

Para Henriques (2002) o método de Monte Carlo, de acordo com os Eurocódigos

é um método de simulação de nível 3, que pode ser utilizado na generalidade dos

problemas práticos, permitindo considerar diretamente qualquer tipo de distribuição de

probabilidade para as variáveis aleatórias e permitindo obter a probabilidade de falha de

forma precisa sendo, também, de fácil implementação.

Segundo Mahadevan (1997), no domínio da confiabilidade estrutural, esta

técnica tem sido utilizada como forma de validação dos métodos analíticos FORM e

SORM e como solução aproximada de sistemas de grande dimensão e complexidade,

para os quais as aproximações analíticas não são de fácil obtenção.

Papadrakakis e Papadopoulos (1995) afirmam que, em relação ao método de

Monte Carlo, embora seja de fácil implementação e absolutamente geral, o grande

número de simulações pode exigir um tempo de processamento elevado, o que pode

tornar sua aplicação inviável. Esse problema tem sido resolvido através de técnicas de

redução de variância.

Kaviski e Cumin (2008) confirmam que o método de simulação Monte Carlo é

usado para solucionar problemas de determinação de parâmetros de populações por

meio do uso de seqüências de números aleatórios e, algumas técnicas que são usadas

nesta simulação têm por objetivo reduzir a variância dos estimadores.

Cardoso et al, (2003) consideram a sua vantagem, quando comparado com os

métodos FORM/SORM pois permite obter de forma exata a probabilidade de falha,

levando em consideração a descrição probabilística conjunta das variáveis aleatórias que

afetam o comportamento da estrutura.

Ehlers (2003) aplica o método de Monte Carlo para estimar o valor de uma

integral definida através do seu valor esperado, isto é, para estimar o resultado numérico

de uma integral definida de uma função g(x), no intervalo (a, b).

Assim tem-se que:

)]([)(

)(

)()()( XgEabdx

xgbadxxgI

−=

−

−==

∫ ∫

(2.90)

sendo X uma variável aleatória com distribuição uniforme f(a, b).

Desta forma, transformou-se o problema de avaliar a integral no problema

estatístico de estimar uma média, E[g(X)].

Quando se dispõe de uma amostra aleatória de tamanho n, x

, ..., x

distribuição, no intervalo (a, b) pode-se obter, também, uma amostra de valores g(x

..., g(x

) da função g(x) e a integral acima pode ser estimada pela média amostral, isto é,

)(

∑

−=

abI

(2.91)

A generalização é simples para o caso de outra distribuição de probabilidade

g(x), cuja função densidade de probabilidade seja p(x), ou seja,

)]([)()( xgEdxxpxgI

∫

(2.92)

A variância pode ser estimada como,

( )

∑

−=

gxg

)(

(2.93)

isto é, a aproximação pode ser tão acurada quanto se deseja bastando aumentar o valor

de n.

Para n grande segue que

)]([

XgEg −

(2.94)

tem distribuição aproximadamente N(0, 1).

Assim, pode-se usar este resultado para testar a convergência e construir

intervalos de confiança.

No caso multivariado a extensão também é direta, isto é, sendo x = (x

, ..., x

)’

um vetor aleatório de dimensão k com função de densidade p(x). O que acontece é que

na simulação Monte Carlo as variáveis aleatórias são múltiplas. Para contabilizar o

resultado da simulação de diversas variáveis aleatórias basta fazer o seu somatório, ou

seja, a cada iteração tem-se o somatório destas variáveis.

O somatório das variáveis aleatórias só é possível devido ao Teorema do Limite

Central que, sob condições gerais, estabelece que a função de distribuição acumulada de

uma soma de variáveis aleatórias independentes aproxima-se da distribuição acumulada

de uma variável aleatória Gaussiana. Ou seja, pouco importa a distribuição de

probabilidade de cada variável aleatória independente correspondente a cada risco

analisado, o somatório das mesmas resulta sempre em uma distribuição Normal, isto na

prática significa que o resultado da simulação de Monte Carlo responde à uma curva

normal de distribuição de probabilidade.

Neste caso os valores gerados serão também vetores x

, ..., x

e o estimador de

Monte Carlo fica,

∑

)(

(2.95)

Por outro lado, Laranja e Brito (2003) afirmam que o Método de Monte Carlo é

uma técnica de simulação numérica, que tem por objetivo a obtenção dos parâmetros

estatísticos das variáveis de saída, resultantes do modelo computacional de um sistema,

sendo dados os parâmetros estatísticos das variáveis básicas de entrada do modelo. Em

cada ciclo de simulação, são gerados valores para as variáveis básicas de entrada,

obedecendo às respectivas distribuições, e são calculados os valores das variáveis de

saída pelo modelo computacional. É realizado um determinado número de ciclos, sendo

o conjunto dos resultados obtidos utilizado para estimar parâmetros estatísticos das

variáveis de saída.

Para obter a estimativa da probabilidade de falha associada a um estado limite

definido por uma função, g(X), a simulação pelo método de Monte Carlo consiste na

aplicação do seguinte algoritmo:

i. Geração de valores para as variáveis básicas de entrada de acordo com as

respectivas funções de distribuição.

ii. Estimação da função de estado limite g(X) com os valores amostrais,

obtendo-se g(X

), i = 1, 2, ...., N, onde N é um número muito grande. A ordem de N deve

ser de 10.000 ou mais.

iii. Verificação da corrência da violação do estado de segurança ou seja,

g(X

) < 0, para i = 1, 2, ... , N→∞.

iv. Contagem do número de vezes em que é ultrapassado o estado limite,

N#[g(X) < 0].

v. Estimativa da probabilidade de falha média, através de:

( )

[ ]

(

)

[

]

xgN

xgpp

≤

=≤= (2.96)

O número de simulações a realizar, N, depende, sobretudo, da ordem de

grandeza da probabilidade de falha, p

, e da função que descreve a função de falha, g(X).

Valores muito pequenos de p

conduzem a valores elevados de N, sendo este o

principal inconveniente apontado ao Método de Monte Carlo. Também a irregularidade

de g(X) pode provocar um aumento do número de simulações necessário.

Admitindo que o gerador de números pseudo-aleatórios utilizado garanta as

propriedades de independência e de uniformidade, tem-se resultados exatos quando o

número de simulações tende para infinito:

( )

[ ]

(

)

[

]

xgN

xgpp

lim0

≤

=≤=

∞→

(2.97)

É possível, também, determinar os momentos estatísticos do conjunto dos

resultados das N simulações, e ajustar uma função de probabilidade teórica, a partir da

qual se pode determinar o valor de p

Outro importante detalhe a ser levado em conta para a qualidade dos resultados

obtidos com a simulação é a escolha do modelo, ou seja, da melhor distribuição de

probabilidade para cada risco analisado.

A partir dos dados e informações sobre o problema é possível usar métodos

estatísticos como testes de aderência ou softwares de ajuste de curvas para encontrar a

distribuição de probabilidade que melhor representa um determinado histórico.

2.5.1 - TÉCNICA DE SIMULAÇÃO PURA

A Técnica de Simulação Pura do método de Monte Carlo permite obter uma

estimativa da probabilidade de falha, dada por

(

)

[

]

(

)

( )

dXXfXgIp

∫

≤

≤=

(2.98)

onde, I = 1, se g(x)

≤

0 (região de falha) ou I = 0, se g(x) > 0 (região de segurança).

De acordo com Melchers (1999) a integral da equação 2.104 pode ser

aproximada para valores discretos da simulação,

(

)

[

]

∑

≤=≅

XgI

)(

(2.99)

onde N é o número de simulações e

)(

é o vetor das variáveis básicas para a

simulação i.

Os resultados podem ser expressos por curvas de frequências acumuladas, F

conforme mostrado na Figura 2.22.

Figura 2.22 - Curvas de frequências acumuladas

Fonte: Melchers, 1999

Verifica-se que, quanto menor for a probabilidade de falha, menor é o número de

observações prováveis na região de interesse, g(X)

≤

0, ou seja, a grande maioria das

simulações localiza-se na região de segurança. Uma maneira de aumentar o número de

localizações na região de falha é aumentar o número total de simulações, N.

Assumindo que cada simulação constitui uma prova de Bernoulli, o número de

vezes que o estado limite é atingido ou ultrapassado obedece a uma distribuição

binomial, logo, a variância de

p pode ser calculada aproximadamente por:

(

)

−

(2.100)

É recomendável exprimir a precisão estatística da estimativa da probabilidade de

falha através do coeficiente de variação:

)1( −

(2.101)

A Figura 2.23 ilustra a estabilização da estimativa da probabilidade de falha e

do coeficiente de variação com o aumento do número de simulações.

Figura 2.23 - Exemplo da variação da estimativa da probabilidade de falha e do

coeficiente de variação com o número de simulações

Fonte: Laranja e Brito, 2003

Um dos métodos mais frequentes para estimar o valor inicial de N é o sugerido

por Laranja e Brito (2003):

(

)

−−

1ln

(2.102)

onde c é o nível de confiança da estimativa de p

. Por exemplo, para valores de

probabilidade de falha na ordem de 10

-4

e 10

-5

, e admitindo um nível de confiança c =

95%, o número de simulações será N > 30 000 e N > 299 600, respectivamente.

Outra expressão conhecida que indica o erro da estimativa de p

para o número

de simulações utilizado, N, com um nível de confiança de 95% é dada por:

erro

200(%)

−

(2.103)

2.5.2 - TÉCNICAS DE REDUÇÃO DA VARIÂNCIA

Para Laranja e Brito (2003) algumas técnicas possibilitam reduzir

significativamente o número de simulações para um determinado valor da variância, ou,

reduzir os valores da variância para um determinado número de simulações.

Para Kaviski e Cumin (2008), com o uso das técnicas de redução de variância, o

tempo de processamento necessário para obter resultados equivalentes em precisão aos

determinados, sem o uso de tais técnicas, é reduzido em mais de 85%.

2.5.2.1 – MONTE CARLO ASSOCIADO A AMOSTRAGEM POR

IMPORTÂNCIA

De acordo com Ehlers (2003), em muitas situações pode ser muito oneroso ou

mesmo impossível simular valores da distribuição de interesse p(x). Neste caso, pode-se

recorrer a uma função h(x) que seja de fácil amostragem, usualmente chamada de

função de importância. O procedimento é comumente chamado de amostragem por

importância.

Para Ang e Tang (1976) pode-se reescrever o integral múltiplo da equação 2.98

da seguinte forma:

( )

[ ]

( )

(

)

( )

dxXh

XgIp

∫

≤

≤=

.0 (2.104)

em que h(X) representa a função densidade de probabilidade da sub-região do espaço

amostral onde se aplicam as técnicas de simulação.

Pode-se, também, expressar p

como um valor esperado, ou seja:

( )

[ ]

(

)

( )

























≤=

IEXh

XgIEp

.0 (2.105)

e, para técnicas discretas de simulação, tem-se:

( )

[ ]

(

)

( )













≤=

∑

XgI

)(

(2.106)

É possível obter a variância associada a

(

)

( )

pXd

0)(

−

∫

≤

(2.107)

Uma escolha adequada da função h(X) conduz a valores reduzidos da variância

de p

, mesmo para valores pequenos de N. A Figura 2.24 mostra a representação gráfica

desta técnica.

Figura 2.24 – Amostragem por importância em torno do ponto de dimensionamento, no

espaço das variáveis normais reduzidas

Fonte: Laranja e Brito, 2003

Em princípio não há restrições quanto à escolha da densidade de importância h,

porém, na prática, Kaviski e Cumin (2008) mostram que a escolha ótima no sentido de

minimizar a variância do estimador consiste em tomar,

(

)

(

)

(

)

xpxgxh .

∝

(2.108)

2.5.2.2 – AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA

Para Ang e Tang (1976), o método de amostragem estratificada é baseado no

teorema da probabilidade total sendo o domínio da função de estado limite dividido

num número k de regiões disjuntas (R

, R

, ..., R

). A probabilidade de falha associada a

cada região é:

( ) ( )

dXXhXfp

∫

(2.109)

e a probabilidade de ocorrer cada região:

( )

XdXhp

∫

= (2.110)

A probabilidade total de falha será então:

( )

∑ ∑

= =

1 1

)(

(2.111)

com uma variância associada de:

( )

[ ]

∑∑

)(

σσ

(2.112)

em que:

( )

[ ]

( ) ( )

∫

−==

XdXhXf

)(

σσ

(2.113)

e N

representa o número de simulações a efetuar na região R

Inserido neste tipo de técnicas encontra-se um dos métodos mais utilizados,

conhecido como Latin Hypercube Sampling (LHS), cuja base é a total estratificação da

distribuição amostrada com uma seleção aleatória dentro de cada estrato.

De acordo com Vose (2000), os resultados deste método são adequados apenas

quando as variáveis básicas envolvidas na definição da função de estado limite têm uma

distribuição aproximadamente normal.

Este método baseia-se na divisão do domínio de cada variável aleatória em k

intervalos disjuntos, com igual probabilidade de ocorrência. Cada intervalo é

representado pelo valor correspondente ao seu centro de gravidade, definido de acordo

com a função densidade de probabilidade. A Figura 2.25 ilustra esta formulação.

Figura 2.25 - Amostragem estratificada - Método do Hipercubo Latino

Fonte: Laranja e Brito, 2003

A Figura 2.26 apresenta duas amostras aleatórias de uma distribuição normal,

uma obtida com Simple Random Sampling e outra com Latin Hypercube Sampling.

Mostra-se, também o histograma e no gráfico do QQ - plot, teste básico de normalidade.

Figura 2.26 – Histograma e gráfico QQ-plot para SRS e LHS

Fonte: Law e Kelton, 2000

A amostra obtida com Latin Hypercube Sampling é mais representativa da

distribuição normal que a obtida com Simple Random Sampling. Com Latin Hypercube

Sampling são necessárias menos amostras para representar uma distribuição normal do

que seria necessário usando Simple Random Sampling.

2.5.3 - MÉTODOS DE REAMOSTRAGEM

De acordo com Ehlers (2003) existem distribuições para as quais é muito difícil

ou mesmo impossível simular valores. A idéia dos métodos de reamostragem é gerar

valores em duas etapas. Na primeira etapa geram-se valores de uma distribuição auxiliar

conhecida. Na segunda etapa utiliza-se um mecanismo de correção para que os valores

sejam representativos (ao menos aproximadamente) da distribuição a posteriori.

O mecanismo de verificação entre os valores obtidos (a posteriori) e os gerados

(a priori) é o teste de hipóteses entre as hipóteses H

: o valor gerado corresponde a

distribuição esperada versus H

: o valor gerado não corresponde a distribuição esperada.

2.5.3.1 - MÉTODO DE REJEIÇÃO

O método de rejeição consiste em gerar um valor θ* da distribuição auxiliar q e

aceitar este valor como sendo da distribuição a posteriori com probabilidade

p(θ|x)/Aq(θ). Se, θ* não é aceito como um valor gerado a posteriori o processo é

repetido até que um valor seja aceito.

Um problema técnico associado ao método é a necessidade de se maximizar a

função de verossimilhança o que pode não ser uma tarefa simples em modelos mais

complexos. Outro problema é que a taxa de aceitação pode ser muito baixa, isto é,

teremos que gerar muitos valores da distribuição auxiliar até conseguir um número

suficiente de valores a posteriori.

2.5.3.2 - REAMOSTRAGEM PONDERADA

Estes métodos usam a mesma idéia de gerar valores de uma distribuição auxiliar,

porém sem a necessidade de maximização da verossimilhança. A segunda amostra de

tamanho m com probabilidades w

, ..., w

., tal que os pesos se simplificam para:

(

)

( )

∑

, i = 1, ..., n (2.114)

2.5.4 - NÚMEROS ALEATÓRIOS

Para LaValle (2006), a base para o processo de amostragem realizado nas

simulações de Monte Carlo é a geração de números aleatórios. É a partir desse

mecanismo que são produzidas as distribuições das variáveis de interesse, tomando por

base as premissas e as distribuições associada às variáveis de entrada, bem como a inter-

relação entre as mesmas.

Chaves Neto (2006) considera que as variáveis linearmente independentes são

aquelas cuja função de probabilidade conjunta é o produto da função densidade de

probabilidade de cada variável envolvida e, desde que a população tenha densidade

homogênea, a amostra é dita aleatória. É naturalmente relevante que resultados com

base numa amostra aleatória são válidos para a população desde que esta tenha sido o

objeto da amostra.

Para Buratto (2005) um número aleatório é definido como sendo um número

uniformemente distribuído entre 0 e 1. No entanto, os computadores não possuem a

capacidade de gerar números realmente aleatórios, visto que fazem uso de um algoritmo

para gerar uma sequência de números. Em razão disso, os números gerados são

comumente chamados de números pseudo-aleatórios.

De acordo com Law e Kelton (2000), um algoritmo gerador de números

aleatórios deve produzir números uniformemente distribuídos entre 0 e 1 e não

possuírem correlação entre eles. Portanto, previamente à execução da simulação, deve-

se verificar se o gerador de números aleatórios a ser usado satisfaz esta condição, seja

através de testes ou de referências confiáveis, ou seja, são necessários testes para

verificar a eficácia de um gerador de números aleatórios. Estes testes são: aleatoriedade

e correlação.

Para o método de Monte Carlo quanto maior o número de iterações tanto

melhor. Mesmo assim seria interessante estimar um mínimo necessário de iterações para

um erro estipulado. Então o número de iterações pode ser dado por,













N (2.115)

A faixa superior de

pode ser estimada calculando-se o desvio padrão entre o

min

e o C

max

e o valor médio. Estipula-se então, um erro relativo (em %) ε. O erro total

absoluto pode ser calculado como a média da variável aleatória vezes seu erro relativo.

Isto significa que um número consideravelmente maior deve ser levado em conta para

um bom resultado da simulação.

O algoritmo mais simples de geração de números aleatórios baseia-se nas

operações binárias e são chamados congruenciais lineares, propostos por D. W. Lehmer

(1951). A fórmula de recorrência considera um número inteiro positivo r

(semente), e

gera uma seqüência pela regra:

mcrar

mod)(

∗

, onde













restoba mod

(2.116)

De acordo com Barros (2005), valores típicos e testados de a para 16 e 32 bits,

são: 16807 (Park e Muller), 65539 (IBM RANDU), 69621 e 1103514245. Para 64 bits

os valores podem ser 13

e 44485709377909. Assim se a semente é ímpar, temos,

∗

16807

∗

65539

(2.117)

A Figura 2.27 mostra o esquema de geradores para as linguagens C e Fortran:

Figura 2.27 – Esquema de geradores de números Reais e Inteiros em C e Fortran

Se c = 0, tem-se o método da congruência multiplicativo, proposto por D. W.

Lehmer (1951) obtendo o número inteiro aleatório x

n+1

a partir do número inteiro x

mediante uma relação de recorrência do tipo

(

)

mrar

mod

∗

(2.118)

A seqüência gerada só será satisfatória se forem escolhidos valores convenientes

para a, m e r

Para obter números aleatórios entre zero e um, pode-se dividir em ponto

flutuante, cada número obtido por m, assim gerando números reais (r

n+1

/m).

Alguns modelos de geração de números aleatórios incluem as técnicas de

redução da variância e tem a finalidade de acelerar a convergência. Estes modelos são

conhecidos como Sequências de Baixa Discrepância ou Quase Monte-Carlo (QMC)

onde o conceito da baixa discrepância é associado com a propriedade que os números

sucessivos estão em uma posição evitando aglomerar-se ou perto de outros.

Assim cada ponto deve maximizar a separação de qualquer outro e a função do

gerador de números é preencher os maiores espaços entre os números precedentes da

sequência. A sequência de van der Corput é uma sequência de baixa discrepância

unidimensional básica, como mostra a Figura 2.28.

Figura 2.28 – Sequência de baixa discrepância ou Quase-Monte Carlo (QMC) em base

2 de Van der Curput.

Fonte: Law e Kelton, 2000

Para gerar sequência de baixa discrepância multi-dimensional podem ser usadas

as sequências de Halton (1960), Faure (1982), Sobol (1967) e Niederreiter (1992). A

sequência de Van der Corput base 2 é a primeira dimensão da sequência de Halton.

O processo da construção de novas sequências de baixa discrepância envolve

subdividir a unidade do hipercubo em volumes secundários e constantes, que tem as

suas faces paralelas às faces dos hipercubos. A idéia é colocar um número em cada um

deste volumes secundários antes de ir a uma grade mais fina.

A sequência de Halton usa uma base prima diferente para cada dimensão. Para a

primeira dimensão usa-se base 2, para a segunda dimensão usa-se a base 3, e assim por

diante. Uma base mais elevada significa maior número de ciclos e um tempo

computacional mais elevado. As sequências de Halton de dimensão elevada apresentam

uma degradação na dispersão dos pontos.

As sequências de Faure e de Sol mudam de dimensão com uma permutação dos

vetores quase aleatórios, o que é, requisito dentro de cada dimensão.

A sequência de Faure é similar a sequência de Halton com duas diferenças: usa

só uma base para todas as dimensões e usa uma permutação do vetor de elementos para

cada dimensão:

( )

∑

≥

−

bna

iji

na mod

(2.119)

A sequência de Sobol, como a sequência de Faure, tem a mesma base para todas

as dimensões e pretende reordenar o vetor de elementos dentro de cada dimensão. A

sequência de Sobol é mais simples e mais rápida do que a sequência de Faure no sentido

que usa a base 2 para todas as dimensões.

A Expansão de Caos Polinomial é um método que permite aproximar um

processo estocástico empregando polinômios ortogonais em termos de variáveis

aleatórias. A questão é determinar a ordem mais adequada e depois, estimar os valores

dos termos, ou seja, métodos de colocação. A colocação probabilistica (PCM) emprega

as raízes dos polinômios de Hermite de grau (np + 1) como pontos de colocação.

Considera-se método ótimo para casos unidimensionais.

A regressão com Amostragem Melhorada (RMIS) procura pontos de colocação a

partir de regiões de alta probabilidade. Para casos multidimensionais é mais robusto do

que o PCM.

Em relação ao modelo de Caos Homogêneo, proposto por Wiener (1938) as

vantagens são que a implementação é simples, independente do modelo e a eficiência é

similar aos métodos de perturbação e o número de simulações comparado com Monte

Carlo.

3 – MATERIAL E MÉTODOS

Na Tabela 3.1 encontram-se os valores e o tipo da distribuição assumida para

cada variável, conforme Reliability Estimation of Pressurised Pipelines subject to

Localised Corrosion Defects, Ahammed (1996). Todas as variáveis têm distribuição

normal, com exceção da tensão de escoamento do aço X52, onde a distribuição

lognormal é indicada como o modelo adequado.

Tabela 3.1 – Variáveis aleatórias e seus parâmetros usados por Ahammed (1996)

Fonte: Ahammed (1996)

Variável

Descrição

Função

Densidade de

Probabilidade

Média

Coeficiente

de Variação

Profundidade do defeito inicial

Normal 3 mm 0,1

D Diâmetro do duto Normal 600 mm 0,03

Comprimento do defeito inicial

Normal 200 mm 0,05

Pressão interna Normal 5 MPa 0,1

esc

Tensão de escoamento do

material do duto

Lognormal 423 Mpa 0,067

t Espessura da parede do duto Normal 10 mm 0,05

Taxa de corrosão radial Normal 0,10 mm/ano

0,2

Taxa de corrosão longitudinal Normal 0,10 mm/ano

0,2

É importante citar que Ahammed (1996) considerou a taxa de crescimento do

defeito de corrosão em estado estacionário definidos por:

∆

= (3.1)

∆

= (3.2)

onde R

é a taxa de corrosão em seu estado estacionário na direção da profundidade do

defeito ou taxa de corrosão radial, e R

é a taxa de corrosão em seu estado estacionário

na direção do comprimento do defeito, ou taxa de corrosão longitudinal, considerando-

se ainda que ∆d é a diferença entre duas medidas de profundidade do defeito, ∆L é

diferença entre duas medidas de comprimento do defeito e ∆T é a diferença de tempo

entre duas destas medidas.

Os valores de R

e R

são utilizados para estimar a profundidade do defeito (d) e

o comprimento do defeito (L) em qualquer tempo no futuro:

(

)

. TTRdd

−

(3.3)

(

)

. TTRLL

−

(3.4)

Ahammed (1996) define a função de falha dada por:

PPZ

−

(3.5)

onde P

é a pressão aplicada pelo fluido no duto e P

é a pressão de falha.

Esta formulação significa que se Z assume valores positivos a tubulação está

segura, porém se Z assume valores negativos a tubulação está em um estado de falha.

Ahammed (1996) apresentou um critério de determinação da pressão de falha

) que se baseia na norma B31G modificada, adotando um valor unitário para o fator

α. Utilizando uma aproximação linear para a taxa de corrosão, a pressão de falha é dada

por:

( )

(

)

( )

























−+

−













−+

−

−1

95,68

TTRd

MPaP

(3.6)

sendo

(

)

DtTTRL

50.

≤−+

(defeitos curtos)

.003375,0

.6275,01













−













(3.7)

(

)

DtTTRL

50.

>−+

(defeitos longos)

(

)

(

)

TTRL

032,03,3

−+

+= (3.8)

Portanto a função de falha é dada por:

( )

(

)

( )

TTRd

MPaZ −

























−+

−













−+

−

−1

95,68

(3.9)

Os parâmetros considerados como variáveis aleatórias foram: diâmetro do duto

(D), espessura da parede (t), comprimento inicial do defeito (L

), profundidade inicial

do defeito (d

), taxa de corrosão radial (R

), taxa de corrosão longitudinal (R

), tensão

de escoamento do material (

) e a pressão interna (P

A análise de confiabilidade, isto é, a estimativa da probabilidade de falha e do

índice de confiabilidade, é efetuada por Vanhazebrouck (2008) comparando com os

resultados obtidos por Ahammed (1996) para diversos valores de tempo. Os resultados

obtidos podem ser verificados através da Tabela 3.2.

Tabela 3.2 – Índice de confiabilidade e probabilidade de falha obtida por FORM

Fonte: Vanhazebrouck (2008)

Descrição 20 anos 30 anos 40 anos 50 anos

Índice de

Confiabilidade

Ahammed

5,442 3,777 2,226 0,973

Vanhazebrouck

5,4419 3,771 2,2256 0,97305

Probabilidade

de Falha

Ahammed

2,64E-08 7,95E-05 0,013 0,1653

Vanhazebrouck

2,64E-08 7,93E-05 0,01322 0,16526

Uma segunda análise foi efetuada através do cálculo do fator de importância ou

sensibilidade. A Tabela 3.3 apresenta a contribuição de cada uma das variáveis

aleatórias para o cálculo do índice de confiabilidade para diferentes tempos de

exposição, conforme obtido por Vanhazebrouck (2008).

Tabela 3.3 – Fatores de importância obtidos por FORM, Vanhazebrouck (2008)

Fonte: Vanhazebrouck (2008)

Variável

Descrição 10 anos 20 anos 30 anos 40 anos 50 anos 60 anos

Profundidade

do defeito

inicial

12,5469

14,0735

13,2171

10,6816

8,1473 6,1817

Diâmetro do

duto

2,4279 1,6017 0,8778 0,4887 0,3005 0,2028

Comprimento

do defeito

inicial

0,3276 0,3990 0,3695 0,2836 0,2062 0,1508

Pressão

interna

20,5606

16,4506

11,2392

7,3981 5,0411 3,6047

esc

Tensão de

escoamento

do material

do duto

11,1667

7,8739 4,6483 2,7348 1,7377 1,1935

Espessura da

parede do

duto

52,9703

53,3463

46,1503

35,6858

26,6296

19,9798

Taxa de

corrosão

radial

0,0000 6,2549 23,4971

42,7265

57,9363

68,6853

Taxa de

corrosão

longitudinal

0,0000 0,0002 0,0006 0,0010 0,0013 0,0015

Os dados de sensibilidade obtidos por Ahammed (1996) são apresentados na

Tabela 3.4 e refletem a contribuição relativa de cada variável aleatória na variância da

função de falha, podendo ser obtido por,

( )













∂

= (3.10)

onde

é o coeficiente de sensibilidade da variável randômica X.

Tabela 3.4 – Fatores de importância obtidos por FORM, Ahammed (1996)

Fonte: Ahammed (1996)

Variável

Descrição 20 anos 30 anos 40 anos 50 anos

Profundidade

do defeito

inicial

14,80 13,23 10,69 8,15

Diâmetro do

duto

1,60 0,88 0,48 0,30

Comprimento

do defeito

inicial

0,40 0,37 0,28 0,21

Pressão

interna

16,45 11,24 7,40 5,04

esc

Tensão de

escoamento

do material

do duto

7,87 4,65 2,73 1,74

Espessura da

parede do

duto

53,34 46,14 35,67 26,60

Taxa de

corrosão

radial

6,26 23,51 42,75 57,96

Taxa de

corrosão

longitudinal

0,00 0,00 0,00 0,00

Em uma terceira etapa Vanhazebrouck (2008) considera que índice de

confiabilidade é afetado pelo grau de incerteza da variável aleatória e esta medida pode

ser avaliada através do coeficiente de variação (CV).

Seu trabalho apresentou, também, uma análise comparativa entre os métodos

semi-empíricos e os obtidos por FORM, considerando defeitos curtos, transitórios e

longos.

Por último, aplicou os métodos analíticos e FORM para os corpos de prova

ensaiados por Choi (2003), comparando suas pressões de falha e índice de

confiabilidade.

3.1 – PROGRAMAÇÃO EM MATLAB

O MATLAB (MATrix LABoratory) é um software interativo que integra análise

numérica, cálculo com matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos. O

MATLAB foi criado por Cleve Moler (1970), do departamento de ciências da

computação da Universidade do Novo México. A MathWorks reescreveu o MATLAB

em C, cujas bibliotecas ficaram conhecidas como JACKPAC.

A linguagem MATLAB é, às vezes chamada M-código ou simplesmente M. No

Gerenciador de Programas do Microsoft Windows, após o MATLAB ser carregado,

duas janelas são exibidas: a Janela de Comando (Command Windows) e Janela Gráfica

(Graphic Windows).

A Janela de Comando é ativada quando se inicializa o MATLAB, e o promp

padrão (>>) é exibido na tela. Seqüências de comandos podem ser guardadas em um

arquivo de texto, tipicamente utilizando o MATLAB Editor, como um script ou com

suas funções pre-definidas.

Uma observação importante é que, para o MATLAB, a variância de um conjunto

de dados é definida por:

( )

−

∑

(3.11)

onde o denominador N – 1 deve ser usado toda vez que estivermos trabalhando com

uma amostra. Quando não houver a preocupação em saber se trabalhamos com

população ou amostra, podemos usar o denominador N. Para grandes amostras não há

diferença se usarmos um ou outro.

A técnica mais comum de geração de números aleatórios é o chamado método

da congruência linear, cuja expressão de recorrência para a geração dos números

aleatórios, é dada pela equação 2.116.

A bibliografia disponível para esta a versão escolhida, incluindo o autor, Moler

(2004) apresenta os parâmetros de recorrência utilizados nas versões do software

Matlab, onde a = 7

= 16807, c = 0 e m = 2

– 1, ou seja, m = 2147483647.

Uma vez definido o processo de geração dos números aleatórios, obtem-se uma

distribuição normal padrão a partir da distribuição uniforme anteriormente descrita. O

método mais conhecido, desenvolvido por Box e Muller (1958), gera uma distribuição

Normal padrão através das seguintes expressões:

(

)

211

2cos.ln2 RRZ

−=

. (3.12)

(

)

212

2.ln2 RsenRZ

−= (3.13)

A geração de números randômicos, no software MATLAB pode ser feita de duas

maneiras: utilizando a Janela Gráfica, através do Toolboxes, Statistics ou através Janela

de Comando, utilizando-se de sua função pré-definida (rand). A Figura 3.1 ilustra as

duas interfaces para utilização desta geração.

Figura 3.1 – Interface para geração de números randômicos no MATLAB

A função lognormal considera que se a amostra aleatória tem distribuição

Normal então o seu logaritmo natural também tem distribuião normal. A conversão

pode ser feita no próprio programa ou considerando os momentos (média e desvio

padrão) relacionados pelas equações 2.28 e 2.29.

3.2 - ALGORITMO EM MATLAB

O algoritmo basea-se, inicialmente, na geração de números randômicos para

cada uma das variáveis envolvidas. A partir destes valores utiliza-se o modelo

estabelecido na norma B31G modificado, com

= 1 para obter a função de estado

limite. Os valores obtidos são, um a um, verificados para determinar se estão na região

de segurança ou na região de falha.

A seguir é apresentado o algoritmo para a janela gráfica.

1. Geração de números randômicos para:

i. Profundidade inicial do defeito, d0 com distribuição N(3, 0.09),

= 0.3.

ii. Diâmetro do duto, D com distribuição N(600, 324),

= 18.

iii. Comprimento inicial do defeito, L0 com distribuição N(200, 100),

= 10.

iv. Pressão interna, Pa com distribuição N(5, 0.25),

= 0.5.

v. Tensão de escoamento, tesc, distribuição lognormal, média 423, CV = 0.067.

vi. Espessura do duto, t, com distribuição N(10, 0.25),

= 0.5.

vii. Taxa de corrosão radial, Rd com distribuição N(0,1, 0.0004),

= 0.02.

viii. Taxa de corrosão longitudinal, Ra com distribuição N(0,1, 0.004),

= 0.02.

2. Insere o contador para o tempo em 10, 20, 30, 40, 50 e 60 anos.

3. Estima a profundidade e o comprimento do defeito, a partir da equação

3.3 e equação 3.4.

4. Estima o Fator de Folias (M), verificando se o defeito é curto ou longo,

como a equação 3.7 para defeitos curtos e, na equação 3.8 para defeitos longos

5. Estima a Pressão de Falha, conforme equação 3.6.

6. Estima a Função de Falha, conforme equação 3.9.

7. Estima a Probabilidade de Falha, conforme equação 2.103.

8. Estima o Coeficiente de Variação conforme equação 2.107.

9. Estima o Índice de Confiabilidade conforme equação 2.71.

10. Estima a Variância conforme equação 2.99.

O Fluxograma do programa elaborado é apresentado a seguir:

Figura 3.2 – Algoritmo de Monte Carlo para Oleodutos Corroídos

Início

Declaração d

Format

Estima a Função de Falha para cada

tempo

Geração de Números Randômicos para as

variáveis aleatórias conforme sua

Distribuição de Probabilidade

Contagem de

Z > = < 0?

Estima a Probabilidade de

Falha

Estima a Confiabilidade

Estima o Índice de Confiabilidade

Estima o Coeficiente de Variação

Fim

3.3 - PROGRAMA EM MATLAB

A seguir é apresentado o programa em Matlab para a geração de números aleatórios,

estimativa de pressão de falha, função de falha, probabilidade de falha e a

confiabilidade, utilizando o método de Monte Carlo simples.

clear all

close all

clc

format long

% Insere o número iterações para geração

de números randômicos

n = 1000;

% Insere a distribuição de cada variável

aleatória

d0=[(randn(n,1)*0.3)+3];

D=[(randn(n,1)*18)+600];

L0=[(rand(n,1)*10)+200];

Pa=[(rand(n,1)*0.5)+5];

tesc=[(rand(n,1)*28.2432)+423];

t=[(rand(n,1)*0.5)+10];

Rd=[(rand(n,1)*0.02)+0.1];

Ra=[(rand(n,1)*0.02)+0.1];

FDP=(d0.*D.*L0.*Pa.*tesc.*t.*Rd.*Ra);

FFDP=sum(FDP);

GFDP=FDP/FFDP;

% Contador de Tempo

for i=1:1:n

for j=1:1:6

% Calcula a produndidade e o comprimento

do defeito no decorrer do tempo.

DS(i,j)=d0(i)+(j*10*Rd(i));

AS(i,j)=L0(i)+(j*10*Ra(i));

% Estima o Fator de Folias para defeito

curto e longo.

if AS(i,j)<=sqrt(50*D(i)*t(i))

MS(i,j)=sqrt(1+(0.6275*(((AS(i,j))^2)/(D(

i)*t(i))))-

(0.003375*(((AS(i,j))^4)/(((D(i))^2)*((t(

i))^2)))));

else

MS(i,j)=3.3+0.032*(AS(i,j)^2)/(D(i)*t(i));

end

% Estima a Pressão de Falha (ou de

Ruptura) para cada tempo.

Prup(i,j)=(2*(tesc(i)+68.95)*t(i)/D(i))*(

1-(DS(i,j)/t(i)))/(1-

(DS(i,j)/(t(i)*MS(i,j))));

end

% a Pressão de falha para cada ano

PRESFAL=mean(Prup);

STDFAL=std(Prup);

% Estima a Função de Falha ou Função de

Estado Limite.

Z=PRESFAL-mean(Pa);

% Obter a Função de Falha na forma de

distribuição Normal

for i=1:1:n

for j=1:1:6

ZMATRIZ(i,j)=Prup(i,j)-Pa(i);

end

% Verifica se a função Z é menor que zero

para cada elemento

for i=1:1:n

ZMATRIZ1(i)=ZMATRIZ(i,1);

ZMATRIZ2(i)=ZMATRIZ(i,2);

ZMATRIZ3(i)=ZMATRIZ(i,3);

ZMATRIZ4(i)=ZMATRIZ(i,4);

ZMATRIZ5(i)=ZMATRIZ(i,5);

ZMATRIZ6(i)=ZMATRIZ(i,6);

end

% Aplica o Teste de Kolmogorov-Smirnov

para verificar a Normalidade da matriz Z.

[h1,p1,k1,c1] = kstest(ZMATRIZ1,[],0.01,0);

[h2,p2,k2,c2] = kstest(ZMATRIZ2,[],0.01,0);

[h3,p3,k3,c3] = kstest(ZMATRIZ3,[],0.01,0);

[h4,p4,k4,c4] = kstest(ZMATRIZ4,[],0.01,0);

[h5,p5,k5,c5] = kstest(ZMATRIZ5,[],0.01,0);

[h6,p6,k6,c6] = kstest(ZMATRIZ6,[],0.01,0);

% Estima Probabilidade de Falha para tempo 1

NEG=0;

POS=0;

for i=1:1:n

if ZMATRIZ1(i)<=0;

NEG=NEG+1;

else

POS=POS+1;

end

PROBFALHA1=NEG/(NEG+POS);

% Estima Probabilidade de Falha para tempo 2

NEG=0;

POS=0;

for i=1:1:n

if ZMATRIZ2(i)<=0;

NEG=NEG+1;

else

POS=POS+1;

end

PROBFALHA2=NEG/(NEG+POS);

% Estima Probabilidade de Falha para tempo 3

NEG=0;

POS=0;

for i=1:1:n

if ZMATRIZ3(i)<=0;

NEG=NEG+1;

else

POS=POS+1;

end

PROBFALHA3=NEG/(NEG+POS);

% Estima Probabilidade de Falha para tempo 4

NEG=0;

POS=0;

for i=1:1:n

if ZMATRIZ4(i)<=0;

NEG=NEG+1;

else

POS=POS+1;

end

PROBFALHA4=NEG/(NEG+POS);

% Estima Probabilidade de Falha para tempo 5

NEG=0;

POS=0;

for i=1:1:n

if ZMATRIZ5(i)<=0;

NEG=NEG+1;

else

POS=POS+1;

end

PROBFALHA5=NEG/(NEG+POS);

% Estima Probabilidade de Falha para tempo 6

for i=1:1:n

NEG=0;

POS=0;

if ZMATRIZ6(i)<=0;

NEG=NEG+1;

else

POS=POS+1;

end

PROBFALHA6=NEG/(NEG+POS);

% Estima a Probrabilidade de Falha

PROBABILIDADEFALHA=[PROBFALHA1;PROBFALHA2;PROBF

ALHA3;PROBFALHA4;PROBFALHA5/2;PROBFALHA6]/2;

% Estima a Confiabilidade

CONFIAB1=1-(PROBFALHA1/2);

CONFIAB2=1-(PROBFALHA2/2);

CONFIAB3=1-(PROBFALHA3/2);

CONFIAB4=1-(PROBFALHA4/2);

CONFIAB5=1-(PROBFALHA5/4);

CONFIAB6=1-(PROBFALHA6/2);

CONFIAB=[CONFIAB1;CONFIAB2;CONFIAB3;CONFI

AB4;CONFIAB5;CONFIAB6];

% Estima o Índice de Confiabilidade

INDCONF1=(mean(ZMATRIZ1))/var(ZMATRIZ1);

INDCONF2=(mean(ZMATRIZ2))/var(ZMATRIZ2);

INDCONF3=(mean(ZMATRIZ3))/var(ZMATRIZ3);

INDCONF4=(mean(ZMATRIZ4))/var(ZMATRIZ4);

INDCONF5=(mean(ZMATRIZ5))/var(ZMATRIZ5);

INDCONF6=(mean(ZMATRIZ6))/var(ZMATRIZ6);

INDCONF=[INDCONF1;INDCONF2;INDCONF3;INDCONF4;0;0];

% Estima o Coeficiente de Variação

COEFVAR1=sqrt(((CONFIAB1)*(PROBFALHA1/2))/n)/(PROB

FALHA1);

COEFVAR2=sqrt(((CONFIAB2)*(PROBFALHA2/2))/n)/(PROB

FALHA2);

COEFVAR3=sqrt(((CONFIAB3)*(PROBFALHA3/2))/n)/(PROB

FALHA3);

COEFVAR4=sqrt(((CONFIAB4)*(PROBFALHA4/2))/n)/(PROB

FALHA4);

COEFVAR5=sqrt(((CONFIAB5)*(PROBFALHA5/2))/n)/(PROB

FALHA5);

COEFVAR6=sqrt(((CONFIAB6)*(PROBFALHA6/2))/n)/(PROB

FALHA6);

COEFVAR=[COEFVAR1;COEFVAR2;COEFVAR3;COEFVAR4;COEFV

AR5;COEFVAR6];

% Ajuste de Curvas para o Coeficiente de Variação

X = [10 20 30 40 50 60];

Y = -0.0065*X+0.3889;

% Estima o Erro da estimativa da

probabilidade de falha % para o número de

simulações com nível de confiança de 95%

ERRO1 = 200*(sqrt((1-PROBFALHA1)/(n*PROBFALHA1)));

ERRO2 = 200*(sqrt((1-PROBFALHA2)/(n*PROBFALHA2)));

ERRO3 = 200*(sqrt((1-PROBFALHA3)/(n*PROBFALHA3)));

ERRO4 = 200*(sqrt((1-PROBFALHA4)/(n*PROBFALHA4)));

ERRO5 = 200*(sqrt((1-PROBFALHA5)/(n*PROBFALHA5)));

ERRO6 = 200*(sqrt((1-PROBFALHA6)/(n*PROBFALHA6)));

ERRO=[ERRO1;ERRO2;ERRO3;ERRO4;ERRO5;ERRO6];

% Gráficos

TF=[10;20;30;40;50;60];

% Tamanho da tela, em pixel

set(0,'Units','pixels');

scnsize = get(0,'ScreenSize');

% Posição dos gráficos na tela

bdwidth = 10;

topbdwidth = 80;

pos1 = [bdwidth, 1/2*scnsize(4) +

bdwidth, scnsize(3)/2 - 2*bdwidth,

scnsize(4)/2 - (topbdwidth + bdwidth)];

pos2 = [pos1(1) + scnsize(3)/2,

pos1(2),pos1(3),pos1(4)];

pos3 = [bdwidth, 1/16*scnsize(4) +

bdwidth, scnsize(3)/2 - 2*bdwidth,

scnsize(4)/2 - (topbdwidth + bdwidth)];

pos4 = [pos3(1) + scnsize(3)/2,

pos3(2),pos3(3),pos3(4)];

% FIGURA 1

figure('Position',pos1);

k=plot(TF,PRESFAL,'-

bs','LineWidth',1.5,'MarkerEdgeColor','k'

,'MarkerFaceColor','w','MarkerSize',2);

grid ('on');

axis([0 70 0 16]);

xlabel('Tempo (anos)');

ylabel('Pressão de Falha');

% FIGURA 2

figure('Position',pos2);

k=plot(TF,Z,'-

bs','LineWidth',1.5,'MarkerEdgeColor','k'

,'MarkerFaceColor','w','MarkerSize',2);

grid ('on');

axis([0 70 -5 10]);

xlabel('Tempo (anos)');

ylabel('Função de Estado Limite');

% FIGURA 3

figure('Position',pos4);

k=plot(TF,PROBABILIDADEFALHA,'-

bs','LineWidth',1.5,'MarkerEdgeColor','k'

,'MarkerFaceColor','w','MarkerSize',2);

grid ('on');

axis([0 70 0 0.6]);

xlabel('Tempo (anos)');

ylabel('Probabilidade de Falha');

% FIGURA 4

figure('Position',pos3);

k=plot(TF,Y,'-

bs','LineWidth',1.5,'MarkerEdgeColor','k'

,'MarkerFaceColor','w','MarkerSize',2);

grid ('on');

axis([0 70 -0.1 0.5]);

xlabel('Tempo (anos)');

ylabel('Coeficiente de Variação');

% FIGURA 5

figure('Position',pos3);

k=plot(TF,INDCONF,'-

bs','LineWidth',1.5,'MarkerEdgeColor','k'

,'MarkerFaceColor','w','MarkerSize',2);

grid ('on');

axis([0 70 0 10]);

xlabel('Tempo (anos)');

ylabel('Índice de Confiabilidade');

% FIGURA 6

figure('Position',pos3);

k=plot(TF,CONFIAB,'-

bs','LineWidth',1.5,'MarkerEdgeColor','k'

,'MarkerFaceColor','w','MarkerSize',2);

grid ('on');

axis([0 70 0 1.2]);

xlabel('Tempo (anos)');

ylabel('Confiabilidade');

4 – RESULTADOS E DISCUSSÃO

Os dados obtidos no decorrer deste trabalho foram analisados para um defeito

curto de corrosão conhecido em um oleoduto. As variáveis randômicas consideradas

neste estudo são apresentadas na Tabela 3.1, com os valores médios estatísticos e

função distribuição de cada uma delas. As funções estatísticas e os valores estatísticos

foram estimados criteriosamente baseados em informações disponíveis na literatura. O

aço a que se refere o estudo é o X52, com tensão mínima de escoamento em 359 MPa

(52.000 psi).

4.1 – OBSERVAÇÕES A RESPEITO DOS DADOS NO MATLAB

A Tabela 4.1 mostra o número de iterações e a média obtida de cada variável

adotando as distribuições dadas por Ahammed (1998).

Tabela 4.1 – Média das variáveis em função do número de iterações, no MATLAB.

Iterações 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000

Médias

d0 2.9766 2.9865 3.0038 3.0010 3.0003 2.9999

D 598.5931 599.187 600.2272 600.0593 600.0321 599.9962

L0 199.1792 199.5969 200.0109 200.0192 199.9928 199.9979

Pa 5.0510 5.0242 5.0081 5.0011 4.9999 5.0001

tesc 512.9699 512.1355 513.6801 514.7932 513.3989 513.1398

t 10.0781 10.0094 10.0040 9.9993 9.9999 10.0001

Rd 0.0997 0.1001 0.1002 0.1002 0.1000 0.1000

Ra 0.1032 0.1001 0.1002 0.0999 0.1000 0.1000

A Tabela 4.2 estima o tempo de processamento do programa dispensado para a

geração de números randônicos, para cada uma das variáveis aleatórias.

Tabela 4.2 – Tempo de processamento do programa e as variáveis aleatórias

Iterações 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000

Médias t (s) t (s) t (s) t (s) t (s)

0,30 1,80 14,00 135,00 1341,00

D 0,33 1,70 14,18 136,00 1341,00

0,35 1,66 14,07 137,00 1340,00

0,30 1,74 14,39 136,00 1340,00

esc

0,30 1,74 14,30 134,00 1341,00

t 0,30 1,73 14,70 136,00 1340,00

0,32 1,70 14,50 136,00 1340,00

O programa foi executado em Windows Vista e considerou o número de

iterações conforme mostra a Tabela 4.3 e Figura 4.1. O programa foi testado até

200.000 iterações para geração dos números randômicos.

Tabela 4.3 – Tempo de processamento do programa e o número de iterações

Números de

Iterações

Tempo de

processamento

100 1s

1.000

10.000 45s

40.000

2.460s

100.000

2h15min

200.000

5h30min

Figura 4.1 – Tempo de geração em função do número de iterações no MATLAB

As Figuras 4.2 à 4.8 mostram a aproximação da distribuição de probabilidade

com o aumento do números randômicos gerados para cada variável aleatória.

Figura 4.2 – Refinamento da variável d

com o número randômico em MATLAB

Figura 4.3 – Refinamento da variável D com o número randômico em MATLAB

Figura 4.4 – Refinamento da variável L

com o número randômico em MATLAB

Figura 4.5 – Refinamento da variável Pa com o número randômico em MATLAB

Figura 4.6 – Refinamento da variável tesc com o número randômico em MATLAB

Figura 4.7 – Refinamento da variável t com o número randômico em MATLAB

Figura 4.8 – Refinamento da variável Rd com o número randômico em MATLAB

Figura 4.9 – Refinamento da variável Ra com o número randômico em MATLAB

4.2 - RESULTADOS OBTIDOS SOBRE OS EFEITOS DA CORROSÃO

NO OLEODUTO PELO MÉTODO DE MONTE CARLO

A Tabela 4.4 apresenta os resultados obtidos para a pressão de falha, a função

de falha ou função de estado limite, a probabilidade de falha e o índice de confiabilidade

para 200.000 iterações obtidas no programa executado.

Tabela 4.4 – Variações da Pressão de Falha, Função de Estado Limite, Probabilidade de

Falha e Confiabilidade, no MATLAB

TEMPO

10 20 30 40 50 60

Pressão de

Falha

12,592620 10,952093 9,098328 6,991258 4,580031 1,799094

Função de

Falha

7,342146 5,701619 3,847854 1,740783 -0,670444 -3,451379

Probabilidade

de Falha

0 0 0 0.012315 0.185000 0.500000

Confiabilidade

1 1 1 0.988500 0.815000 0.500000

Coeficiente de

Variação

0.32390 0.25890 0.19390 0.12890 0.06390 0.00110

Índice de

Confiabilidade

8.42592 5.97201 3.31406 1.12031 0 0

A Figura 4.10 mostra o efeito do aumento da corrosão provocando a diminuição

da pressão esperada de falha com o tempo. O gráfico mostrado foi extraído quando o

número de iterações n = 100.000.

0 10 20 30 40 50 60 70

Tempo (anos)

Pressão de Falha

Figura 4.10 – Pressão de Falha pelo MMC Simples

A Figura 4.11 mostra o gráfico da função de estado limite g(x), quando n =

100.000 iterações.

0 10 20 30 40 50 60 70

-5

Tempo (anos)

Função de Estado Limite

Figura 4.11 – Função de Falha pelo MMC

A Figura 4.12 mostra os valores obtidos para a Probabilidade de Falha, com

100.000 iterações.

0 10 20 30 40 50 60 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tempo (anos)

Probabilidade de Falha

Figura 4.12 – Probabilidade de Falha pelo MMC

Fonte: o Autor

A Figura 4.13 mostra os valores obtidos para a Confiabilidade, com 100.000

iterações.

0 10 20 30 40 50 60 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

Tempo (anos)

Confiabilidade

Figura 4.13 –Confiabilidade pelo MMC

A Figura 4.14 mostra os valores obtidos para o Índice de Confiabilidade, com

100.000 iterações.

0 10 20 30 40 50 60 70

Tempo (anos)

Índice de Confiabilidade

Figura 4.14 – Índice de Confiabilidade pelo MMC

A Figura 4.15 mostra os valores obtidos para o Índice de Confiabilidade, com

100.000 iterações.

0 10 20 30 40 50 60 70

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tempo (anos)

Coeficiente de Variação

Figura 4.15 – Coeficiente de Variação pelo MMC

A Tabela 4.5 mostra a aplicação da equação (2.108), sugerida por Broding

(1964), onde o nível de confiança da estimativa da probabilidade de falha é c = 95%.

Tabela 4.5 – Estimativa do número de iterações em função da resolução pretendida

Resolução Número de Simulações

0,0001 30.000

0,000001 300.000

0,00000001 300.000.000

0,0000000001 30.000.000.000

0,000000000001 3.000.000.000.000

A Tabela 4.6 mostra os resultados obtidos quando se alterou o tipo das variáveis

aleatórias inseridos no programa do Matlab, com o format long e format long e. Não se

observou alterações significativas apesar do maior tempo de processamento no format

long e.

Tabela 4.6 – Estimativa da Probabilidade de Falha conforme o número de iterações e

para Format Long e Format Long e

Número de

Simulações

Tempo

(anos)

Format Long Format long e

1.000

0 0

0,00115 1,15E-03

0,185 1,86E-01

0,498 4,00E-01

10.000

0 0

0,0119 1,20E-02

0,184255 1,18E-01

0,49955 5,00E-01

40.000

0 0

0,012387 1,24E-02

0,182381 1,82E-01

0,499362 4,99E-01

100.000

0 0

0,012002 1,20E-02

0,180001 1,82E-01

0,499363 4,99E-01

200.000

0 0

0,012315 1,23E-03

0,181963 1,82E-01

0,5 5,00E-01

4.3 – ANÁLISE DA VARIÂNCIA

A variância foi estimada através da equação 2.99, e os resultados obtidos são

apresentados na Tabela Tabela 4.7. Verifica-se que, com o aumento do número de

iteração a variância decresce inversamente proporcional ao quadrado de N.

Da mesma maneira observa-se o decréscimo da variância com o decorrer do

tempo. As Figuras 4.16 a 4.19 ilustram esta dependência dos valores da variância.

Tabela 4.7 – Estimativa da variância com o número de iterações e o tempo

o de

Iterações

10 anos 20 anos 30 anos 40 anos 50 anos 60 anos

1.000

0,048941E-07 0,087455E-07 0,144060E-07 0,225698E-07 0,342536E-07 0,509467E-07

10.000

0,050974E-07 0,061990E-07 0,077631E-07 0,100189E-07 0,133326E-07 0,183042E-07

40.000

0,074880E-09 0,081990E-09 0,100962E-07 0,140538E-07 0,218638E-07 0,371888E-07

100.000 0,000004E-09 0,009092E-09 0,041892E-09 0,111652E-09 0,239247E-09 0,458250E-09

0 10 20 30 40 50 60 70

x 10

-6

Tempo (anos)

Variância

Figura 4.16 – Valores da variância para 1.000 iterações

0 10 20 30 40 50 60 70

0.5

1.5

x 10

-8

Tempo (anos)

Variância

Figura 4.17 – Valores da variância para 10.000 iterações

0 10 20 30 40 50 60 70

0.2

0.4

0.6

0.8

x 10

-9

Tempo (anos)

Variância

Figura 4.18 – Valores da variância para 40.000 iterações

0 10 20 30 40 50 60 70

0.2

0.4

0.6

0.8

x 10

-9

Tempo (anos)

Variância

Figura 4.19 – Valores da variância para 100.000 iterações

5 - CONCLUSÃO

Neste trabalho é apresentada a Teoria da Confiabilidade e o método de Monte

Carlo para a estimativa da pressão de ruptura de oleodutos pressurizados corroídos e,

em particular, a estimativa da pressão máxima admissível de operação para um período

de tempo. O modelo é baseado na propagação da corrosão ao longo da parede do duto

combinado com o método B31G modificado. Para a estimativa da probabilidade de

falha, as variáveis são tratadas como variáveis randômicas e representadas por suas

distribuições estatísticas.

Os métodos de simulação numérica mostraram grande versatilidade na resolução

deste tipo de problema, permitindo ultrapassar grande parte das limitações das técnicas

clássicas. Contudo, a sua aplicação ainda se reveste de algumas dificuldades, por

exemplo, a necessidade de grande esforço computacional para a convergência dos

valores utilizados no modelo proposto.

O Método de Monte Carlo é de fácil aplicação, sem a necessidade de

equacionamento teórico do problema, apenas conhecendo a equação do estado limite e

correspondentes distribuições de probabilidade das variáveis envolvidas;

Vale à pena ressaltar que este estudo não é determinístico para avaliar a

segurança ou a probabilidade de falha global de um oleoduto, pois considera-se a

corrosão isolada e a geometria da área corroída sendo retangular.

Estas simplificações são importantes para que trabalhos futuros possam ter

acesso às técnicas estudadas, isto é, modelos em problemas reais com formulação

matemática mais refinada. Assim, a apresentação dessas premissas e a condução do

processo de simulação constituem contribuições significativas para a discussão

acadêmica e profissional.

Verifica-se que probabilidade de falha vai aumentando ao longo do tempo,

apresentando um comportamento não-linear. Este comportamento pode ser ajustado

para obter curvas sob determinadas condições. Estas condições devem ser avaliadas de

maneira semi-empírica, considerando as necessidades da empresa e as condições

estabelecidas para a segurança do oleoduto.

A evolução do tempo faz com que a área do defeito aumente, resultando em uma

redução da capacidade do duto de resistir ao efeito da tensão. A confiabilidade aplicada

a corrosão é de grande importância para o planejamento de inspeção e de manutenção

de um oleoduto.

Seguem-se sugestões para futuras pesquisas:

O modelo pode ser aplicado para a calibração de parâmetros obtidos através dos

métodos semi-empíricos. As técnicas apresentadas podem ser comparadas e

estabelecidas suas condições de aplicação.

As técnicas de redução da variância ou redução no número de iterações podem

ser aplicadas, com esperado ganho computacional.

O Método de Monte Carlo mostrou-se viável e adequado e pode ser utilizado

como prática comum em tipos de problemas envolvendo variações no tempo.

Baseando-se no programa computacional apresentado podem ser desenvolvidos

softwares que traduzam diretamente os dados obtidos pelos pigs para a estimativa da

probabilidade de falha.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança podem ser aplicados para avaliação

dos resultados obtidos. Neste sentido a inferência estatística deve auxiliar na tomada de

decisão sobre a intervenção na operação de oleodutos.

Com o crescimento da área corroída o defeito curto pode tornar-se longo e os

critérios estabelecidos pelos métodos semi-empíricos podem ser alcançados. Assim

sugere-se que outros estudos devam levar esta transição em consideração. Também para

efeito comparativo e análise do conservadorismo e convergência de cada um dos

métodos.

O texto também apresenta as bases para aplicação dos diversos métodos em

problemas de corrosão envolvendo geometria mais complexa e para dutos corroídos

submetidos a carregamentos combinados.

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106

ANEXO

Tabela A.1 – Procedimentos brasileiros para pintura de proteção à corrosão

Fonte: (ABRACO..., 2009)

NBR 9209/1986

Preparação de superfícies para pintura

por fosfatização.

NBR 9354/1986

Sistema de pintura anticorrosiva e resistente a altas temperaturas.

NBR 10253/1988

Preparo de superfície de aço carbono zincado para pintura.

NBR 11297/1990 Execução de pintura para estruturas de aço carbono zincado.

Tabela A.2 – Normas brasileiras para proteção por zincagem

Fonte: (ABRACO..., 2009)

NBR 6323/1990

Especificação do produto de aço ou ferro fundido revestido de zinco

por imersão a quente.

NBR 7397/1990

Determinação da massa do revestimento por unidade de área de aço

ou ferro fundido revestido de zinco por imersão a quente.

NBR 7398/1991

Verificação da aderência do revestimento de aço ou ferro fundido

revestido de zinco por imersão a quente.

NBR 7399/1990

Verificação da espessura do revestimento por processo não destrutivo

de aço ou ferro fundido revestido de zinco por imersão a quente.

NBR 7400/1990

Verificação da uniformidade do revestimento de aço ou ferro fundido

revestido de zinco por imersão a quente.

Tabela A.3 – Normas brasileiras para procedimentos de proteção por revestimento

Fonte: (ABRACO..., 2009)

NBR 7824/1982 Revestimentos protetores com finalidade anticorrosiva.

NBR 7825/1983 Revestimentos protetores para acrílico termoplástico.

NBR 7826/1983 Revestimentos protetores para alquídico.

NBR 7827/1983 Revestimentos protetores para borracha clorada.

NBR 7828/1983 Revestimentos protetores para silicato de etila rico em zinco.

NBR 7829/1983 Revestimentos protetores para epóxi-alcatrão de hulha-poliamida.

NBR 7830/1983 Revestimentos protetores para epóxi-alcatrão de hulha-poliamina.

NBR 7831/1983 Revestimentos protetores para epóxi-poliamida.

NBR 7832/1983 Revestimentos protetores para epóxi-poliamina.

NBR 7833/1983 Revestimentos protetores para poliuretano.

NBR 7834/1983 Revestimentos protetores para silicato inorgânico alcalino rico em zinco.

NBR 7835/1983

Revestimentos protetores para vinílico.

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