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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CONSTRUÇÃO CIVIL
“CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO, CÁLCULO E DETALHAMENTO DE
VIGAS PRÉ-FABRICADAS PROTENDIDAS COM ADERÊNCIA INICIAL EM
PAVIMENTOS DE EDIFICAÇÕES”
THIAGO BINDILATTI INFORSATO
SÃO CARLOS
2009
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CONSTRUÇÃO CIVIL
“CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO, CÁLCULO E DETALHAMENTO DE
VIGAS PRÉ-FABRICADAS PROTENDIDAS COM ADERÊNCIA INICIAL EM
PAVIMENTOS DE EDIFICAÇÕES”
THIAGO BINDILATTI INFORSATO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós
Graduação em Construção Civil da Universidade
Federal de São Carlos, como parte dos requisitos
para obtenção do título de Mestre em Construção
Civil.
Área de Concentração: Sistemas Construtivos de
Edificações.
Orientador: Prof. Dr. Roberto Chust Carvalho.
São Carlos
2009
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Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da
Biblioteca Comunitária da UFSCar
I43cs
Inforsato, Thiago Bindilatti.
Considerações sobre o projeto, cálculo e detalhamento de
vigas pré-fabricadas protendidas com aderência inicial em
pavimentos de edificações / Thiago Bindilatti Inforsato. --
São Carlos : UFSCar, 2009.
234 f.
Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São
Carlos, 2009.
1. Concreto protendido. 2. Concreto pré-moldado. 3.
Projeto estrutural. 4. Detalhamento construtivo. 5.
Pavimentos de edificações. I. Título.
CDD: 624.183412 (20
a
)
À meu pai Aparecido, à
minha mãe Ivanira e à
minha noiva Thais, dedico
este trabalho, com todo
amor e carinho.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter me dado a oportunidade de vencer mais esta etapa em minha vida,
sem a sua ajuda e presença, nada conseguiria fazer.
A minha noiva Thais, pela sua paciência nos momentos difíceis e a compreensão,
entendo que estes sacrifícios valeram a pena, além de me apoiar com muito amor.
Aos meus pais Aparecido e Ivanira, que sempre me apoiaram e me deram suporte
necessário para seguir o meu caminho.
Ao meu orientador e grande amigo Roberto Chust Carvalho, exemplo de
profissional e de pessoa, pelo indispensável apoio e dedicação, durante esse período.
Aos professores Marcelo de Araújo Ferreira e Rodrigo Gustavo Delalibera, pelas
suas preciosas sugestões e correções no exame de qualificação.
Aos professores Reginaldo Carneiro da Silva e Rodrigo Gustavo Delalibera, por
terem participado do exame final, colaborando ainda mais para o aperfeiçoamento deste
trabalho.
A todos os integrantes da CTC – Projetos e Consultorias, engenheiro Francisco,
arquiteto Jorge, engenheiro Bernardus, estagiário em engenharia civil Henrique, pelas suas
colaborações, incentivo e apoio.
A todos os amigos mestrandos que iniciaram comigo no ano de 2007, o meu mais
sincero carinho pelos momentos inesquecíveis que passamos juntos, em especial ao meu
amigo Andrey.
i
RESUMO
INFORSATO, T. B. Considerações sobre o projeto, cálculo e detalhamento de
vigas pré-fabricadas protendidas com aderência inicial em pavimentos de edificações.
234f. Dissertação (Mestrado em construção civil) – Universidade Federal de São Carlos. São
Carlos. 2009.
Este trabalho mostra um roteiro para determinar e detalhar as armaduras
longitudinal e transversal de vigas pré-tracionadas com seção composta. Todos os
procedimentos são feitos de maneira que atenda a todas as prescrições das normas NBR
6118:2003 e NBR 9062:2006. Apresentam-se como podem ser feitas as verificações do
estado limite último assim como em serviço de fissuração e determinando se há necessidade
do isolamento das cordoalhas. As perdas de protensão são consideradas levando-se em conta a
idade dos concretos constituintes da seção na época em que cada etapa é executada e o
procedimento de perdas progressivas. As hipóteses adotadas para o cálculo como seção
composta e respectiva armadura de costura são detalhadas. Mostra-se como pode ser feito o
detalhamento da armadura transversal com especial cuidado para a extremidade da peça onde
é comum o uso de dente Gerber. Quatro exemplos numéricos são resolvidos mostrando como
o roteiro recomendado permite ao projetista perceber logo a melhor solução, inclusive da
necessidade do uso de protensão junto a borda superior. Pelos resultados obtidos nos
exemplos percebe-se: a vantagem do uso da seção em forma de I; que a ligação semi-rígida
tem pequena eficiência mesmo com grande quantidade de armadura negativa, devido a
existência do dente Gerber; que considerando o efeito da protensão faz com que a armadura
de cisalhamento necessária seja a mínima. Finalmente pode-se concluir que nos diversos
exemplos a situação determinante para a obtenção da armadura longitudinal foi a em serviço
com a descompressão.
Palavras-chaves: pré-tração; pré-moldado, projeto, detalhamento, pavimento de
edificações.
ii
ABSTRACT
INFORSATO, T. B. Considerations on the design, calculation and detailing of
precast beams prestressing with pre-tensioning on buildings floors. 234f. Dissertação
(Mestrado em construção civil) – Universidade Federal de São Carlos. São Carlos. 2009.
This work shows a calculation sequence to determine and detail the longitudinal
and transverse reinforcement of prestesses beams with pre-composed section. All procedures
are done in a way that meets all the requirements of NBR6118: 2003 and 9062:2006 Code. It
shows how the checks can be made of the ultimate state limit and the cracking service state
and determining whether there is need for the isolation of the strand. The prestesses loss are
considered taking into account the age of the constituents of the concrete section at the time
when each step is performed and the procedure for progressive loss. The assumptions adopted
for the calculation as composite section and the respective transverse reinforcement are
detailing. It can be done as the detailing of transverse reinforcement with special care for the
end of the piece where it is common the use of dapped-end. Four numerical examples are
solved showing how the recommended calculation sequence allows the designer immediately
realize the best solution, including the need for the use of prestressed strand along the top
edge. The results obtained in the examples it can be seen: the advantage of using the section I-
beam, the semi-rigid connection has a limited efficiency even with large amounts of negative
reinforcement, because the existence of the dapped-end, that considering the effect of
prestressing causes the shear reinforcement required is minimal. Finally we can conclude that
in several instances the situation critical for obtaining the longitudinal reinforcement was in
service with the decompression.
Keywords: pre-tensioning, precast beam, design, detailing, floor buildings.
iii
ÍNDICE
RESUMO _____________________________________________________________i
ABSTRACT __________________________________________________________ ii
ÍNDICE _____________________________________________________________iii
LISTA DE FIGURAS __________________________________________________vi
LISTA DE TABELAS __________________________________________________ix
LISTA DE GRÁFICOS _________________________________________________xi
1. INTRODUÇÃO __________________________________________________ 1
1.1. USO DA PRÉ-TRAÇÃO EM VIGAS_______________________________ 2
1.2. OBJETIVO ____________________________________________________ 5
1.3. JUSTIFICATIVA _______________________________________________ 5
1.4. MÉTODO _____________________________________________________ 6
1.5. APRESENTAÇÃO DA DISSERTAÇÃO____________________________ 6
2. PROJETO ______________________________________________________ 8
2.1. INTRODUÇÃO_________________________________________________ 8
2.2. SISTEMA ESTRUTURAL ______________________________________ 10
2.3. LANÇAMENTO DA ESTRUTURA_______________________________ 14
3. CÁLCULO DE CONSOLO E DENTE GERBER ______________________ 22
3.1. INTRODUÇÃO________________________________________________ 22
3.2. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ___________________________________ 22
3.3. CONSOLO CURTO E CONSOLO MUITO CURTO ________________ 24
3.4. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL ____________________________ 25
3.5. MECANISMO DE RUPTURA ___________________________________ 25
3.6. RECOMENDAÇÕES NBR 9062:2006 _____________________________ 29
4. PERDAS DE PROTENSÃO _______________________________________ 37
4.1. INTRODUÇÃO________________________________________________ 37
iv
4.2. PERDAS INICIAIS ____________________________________________ 38
4.2.1. ACOMODAÇÃO DA ANCORAGEM_________________________________ 38
4.2.2. RELAXAÇÃO DA ARMADURA ____________________________________ 38
4.2.3. DEFORMAÇÃO IMEDIATA DO CONCRETO _________________________ 39
4.3. PERDAS AO LONGO DO TEMPO _______________________________ 39
4.3.1. PERDA POR RETRAÇÃO DO CONCRETO ___________________________ 41
4.3.2. PERDA POR FLUÊNCIA DO CONCRETO ____________________________ 45
4.3.3. PERDA POR RELAXAÇÃO DA ARMADURA_________________________ 50
4.3.4. PERDAS AO LONGO DO TEMPO CONSIDERANDO AS PERDAS
PROGRESSIVAS 51
5. CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL ______________________ 55
5.1. INTRODUÇÃO________________________________________________ 55
5.2. SEÇÃO COMPOSTA___________________________________________ 56
5.3. TENSÕES NA ARMADURA ATIVA______________________________ 58
5.4. CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGAS SOB
FLEXÃO SIMPLES ___________________________________________________________ 61
5.4.1. EQUACIONAMENTO _____________________________________________ 61
5.5. FÓRMULAS ADIMENSIONAIS E TABELA PARA
DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES ___________________________ 64
6. CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL _______________________ 67
6.1. INTRODUÇÃO________________________________________________ 67
6.2. INCLINAÇÃO DA DIAGONAL DE COMPRESSÃO________________ 67
6.3. EXPRESSÕES A EMPREGAR O CÁLCULO E VERIFICAÇÃO DO
CISALHAMENTO. ____________________________________________________________ 70
6.3.1. VERIFICAÇÃO DA BIELA DE CONCRETO (MODELO II =30º) _________ 70
6.3.2. CÁLCULO DA ARMADURA (MODELO I =45º) ______________________ 71
6.3.3. FORÇA CORTANTE RESISTIDA PARA UMA DETERMINADA
QUANTIDADE DE ARMADURA TRANSVERSAL _______________________________________ 74
6.3.4. DESLOCAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (MODELO II
=30
0
) 75
7. LIGAÇÕES SEMI-RÍGIDAS ______________________________________ 77
7.1. INTRODUÇÃO________________________________________________ 77
7.2. LIGAÇÕES VIGA-PILAR ______________________________________ 77
v
7.3. FATOR DE RESTRIÇÃO À ROTAÇÃO __________________________ 78
7.4. CLASSIFICAÇÃO DAS LIGAÇÕES VIGA-PILAR _________________ 79
7.5. DETERMINAÇÃO TEÓRICA DA RELAÇÃO MOMENTO-ROTAÇÃO.
82
7.6. MÉTODO BEAM-LINE ________________________________________ 85
8. EXEMPLOS NUMÉRICOS _______________________________________ 87
8.1. EXEMPLO 01 _________________________________________________ 87
8.2. EXEMPLO 02 ________________________________________________ 153
8.3. EXEMPLO 03 ________________________________________________ 158
8.4. EXEMPLO 04 ________________________________________________ 188
9. CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES _______________________ 227
9.1. ROTEIRO DE DIMENSIONAMENTO E MODELOS DE CÁLCULO
APLICADOS 227
9.2. CONDIÇÕES DETERMINANTES PARA O CÁLCULO DA ARMADURA
LONGITUDINAL ____________________________________________________________ 228
9.3. INFLUÊNCIA DA CONSIDERAÇÃO DAS PERDAS DE PROTENSÃO
229
9.4. CISALHAMENTO ____________________________________________ 229
9.5. ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO __________________________ 230
9.6. COMPARAÇÃO ENTRE AS DIVERSAS SOLUÇÕES _____________ 230
9.7. SUGESTÕES_________________________________________________ 231
10. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ______________________________ 232
ANEXO A____________________________________________________________ I
vi
LISTA DE FIGURAS
Figura 1-1: Esquema de uma pista de protensão com aderência inicial [VERÍSSIMO 1998]. ______________ 3
Figura 1-2: Peças com aderência inicial com aderência em todo o comprimento (peça 1) e com trechos (s para
uma armadura) sem aderência (peça 2).________________________________________________________ 4
Figura 2-1: Estrutura em forma de esqueleto em concreto pré-moldado (Shimoneck). ___________________ 12
Figura 2-2: Estrutura aporticada em concreto pré-moldado com fechamento lateral em painéis (Shimoneck). 13
Figura 2-3: Estrutura interna em forma de esqueleto e externa e painéis auto-portante. _________________ 14
Figura 2-4: Seção transversal de laje alveolar de concreto protendido. Detalhe do rejuntamento entre dois
painéis. ________________________________________________________________________________ 15
Figura 2-5: Recortes permitidos em laje alveolares desde que seja previsto reforço ou apoio._____________ 17
Figura 2-6: Paginação de laje alveolar._______________________________________________________ 18
Figura 2-7: Perspectiva de uma laje duplo T.___________________________________________________ 19
Figura 2-8: Paginação de laje alveolar formado pórticos em uma direção (medidas em mm)._____________ 20
Figura 3-1: Ruptura por tração na flexão (MACHADO 1998). _____________________________________ 26
Figura 3-2: Ruptura por compressão na flexão (MACHADO 1998)._________________________________ 26
Figura 3-3: Ruptura por fendilhamento diagonal (MACHADO 1998). _______________________________ 27
Figura 3-4: Ruptura por cisalhamento (MACHADO 1998).________________________________________ 27
Figura 3-5: Ruptura por fendilhamento da ancoragem (MACHADO 1998). ___________________________ 28
Figura 3-6: Ruptura por esmagamento localizado do concreto sob placa de apoio (MACHADO 1998). _____ 28
Figura 3-7: Ruptura por insuficiência de altura na região da placa de apoio (MACHADO 1998). _________ 28
Figura 3-8: Armadura típica de um consolo curto [NBR 9062:2006].________________________________ 31
Figura 3-9: Detalhe do posicionamento do tirante ao longo da altura do consolo.______________________ 32
Figura 3-10: Detalhe do posicionamento da armadura de costura [NBR 9062:2006]. ___________________ 33
Figura 3-11: Detalhe sobre armadura de suspensão [NBR 9062:2006]. ______________________________ 34
Figura 3-12: Modelos em consolos tipo Gerber [NBR 9062:2006] __________________________________ 35
Figura 3-13: Detalhe de armadura em consolo tipo Gerber [NBR 9062:2006]. ________________________ 35
Figura 3-14: Detalhe da armadura em apoio sem recorte. ________________________________________ 36
Figura 4-1: Variação de β
s
(t) (Figura A.3 NBR6118:2003). _______________________________________ 43
Figura 4-2: Variação de ε
ccf
(t). (Figura A.1 NBR 6118:2003). _____________________________________ 48
Figura 4-3: Variação de β
f
(t). (Figura A.2 NBR 6118:2003). ______________________________________ 49
Figura 4-4: Conceito de prismas equivalentes em uma seção transversal plana (SILVA 2003). ____________ 54
Figura 5-1: Seção transversal da viga pré-fabricada com as etapas seguidas para execução de uma estrutura
com pórticos com ligações semi-rígidas._______________________________________________________ 57
Figura 5-2: Deformação da seção após protensão. ______________________________________________ 59
Figura 5-3: Deformação da seção após peso próprio. ____________________________________________ 59
Figura 5-4: Deformação da seção após peso próprio e protensão. __________________________________ 59
Figura 5-5: Seção transversal no estados limites de descompressão e limite ultimo. ____________________ 60
Figura 5-6: Viga de seção retangular e diagramas de deformações e tensões na seção solicitada pelo momento
de cálculo M
d
. ___________________________________________________________________________ 62
vii
Figura 5-7: Relação entre a posição da linha neutra e a altura útil. _________________________________ 64
Figura 6-1: Pontos para análise das tensões principais de uma viga, simplesmente apoiada sob carregamento
uniforme. _______________________________________________________________________________ 68
Figura 6-2: Cálculo das tensões principais nos pontos 1 e 2 usando o círculo de Mohr (Notar que para o caso
do ponto 1 a aresta A fica representada pelo ponto no circulo de Mohr com coordenadas σ e -τ para a aresta B
a ordena 0 (σ
y
=0) e τ, enquanto para o ponto 2 a aresta A fica representada pelo ponto no circulo de Mohr
com coordenadas σ=0 e -τ para a aresta B a ordena 0 (σ
y
=0) e τ. __________________________________ 68
Figura 6-3: Estado plano de tensões e direções principais. ________________________________________ 69
Figura 6-4: A
sw
em um trecho s da peça. ______________________________________________________ 73
Figura 7-1: Fator de restrição à rotação. (NBR 9062:2006). ______________________________________ 79
Figura 7-2: Classificação de ligações resistentes a flexão como rígidas, semi-rígidas ou articuladas, segundo o
Manual de Ligações Estruturais da FIB (draft 2003). ____________________________________________ 80
Figura 7-3: Ligação considerada como semi-rígida segundo o Manual de Ligações da FIB (draft 2003).____ 80
Figura 7-4: Sistema de classificação para ligação semi-rígida em estruturas Pré-Moldadas [FERREIRA et al.
(2002)]. ________________________________________________________________________________ 81
Figura 7-5: Relação momento-rotação na ligação viga-pilar (NBR 9062:2006). _______________________ 83
Figura 7-6: Regiões de distúrbio na extremidade de ligação viga-pilar. [FERREIRA et al. (2003)]. ________ 85
Figura 7-7: Variações na consideração do comprimento de embutimento l
e
. [FERREIRA et al. (2003)]._____ 85
Figura 7-8: Reta Beam-Line com a curva Momento-rotação da ligação [FERREIRA (1999)]. ____________ 86
Figura 8-1: Planta do pavimento e elevação da viga VR01 (unidades em cm). _________________________ 87
Figura 8-2: Seções transversais da viga VR01 (unidades em cm). ___________________________________ 88
Figura 8-3: Esquema estrutural da laje e da viga VR01 (unidades em cm). ___________________________ 91
Figura 8-4: Geometria do consolo para apoio da viga VR01 (unidades em cm).________________________ 92
Figura 8-5: Cálculo de bf da seção composta. __________________________________________________ 93
Figura 8-6: Seção transversal composta com a redução da capa devido ao módulo de elasticidade dos concretos
(unidades em cm). ________________________________________________________________________ 94
Figura 8-7: Posição do cabo representante (unidades em cm). _____________________________________ 99
Figura 8-8: Seção 01 e 02 para a determinação dos coeficientes de fluência e retração (unidades em cm). _ 102
Figura 8-9: Esquema para o cálculo da força F
t
de tração na seção transversal.______________________ 116
Figura 8-10: Seção transversal com a indicação das forças internas (unidades em cm). ________________ 123
Figura 8-11: Variação linear do efeito da protensão na viga pré-moldada. __________________________ 132
Figura 8-12: Posicionamento das armaduras de cisalhamento.____________________________________ 137
Figura 8-13: Modelo biela-tirante para consolo curto (Figura 7.6 NBR 9062:2006).___________________ 137
Figura 8-14: Consolo e elastômero com medidas preliminares. ___________________________________ 138
Figura 8-15: Distancia d’ com tirante em duas camadas horizontais soldadas. _______________________ 139
Figura 8-16: Geometria para o dimensionamento do consolo (unidades em cm). ______________________ 141
Figura 8-17: Mecanismo para o cálculo da armadura do tirante. __________________________________ 143
Figura 8-18: Geometria para o dimensionamento do dente Gerber (unidades em cm).__________________ 145
Figura 8-19: Mecanismo para o cálculo da armadura do tirante. __________________________________ 147
Figura 8-20: Forma da viga VR01, exemplo 01.________________________________________________ 150
viii
Figura 8-21: Armação da viga VR01, exemplo 01.______________________________________________ 151
Figura 8-22: Forma e armação do consolo, exemplo 01._________________________________________ 152
Figura 8-23: Características geométricas na região da ligação (unidades em mm).____________________ 153
Figura 8-24: Posicionamento da armadura de ligação.__________________________________________ 158
Figura 8-25: Interação Beam-line e rigidez secante. ____________________________________________ 163
Figura 8-26: Esquema para o cálculo da força F
t
de tração na seção transversal._____________________ 173
Figura 8-27: Seção transversal com a indicação das forças internas (unidades em cm). ________________ 178
Figura 8-28: Forma da viga VR01, exemplo 03.________________________________________________ 186
Figura 8-29: Armação da viga VR01, exemplo 03.______________________________________________ 187
Figura 8-30: Seções transversais da viga VR01 (unidades em cm). _________________________________ 188
Figura 8-31: Seção 01 e 02 para a determinação dos coeficientes de fluência e retração (unidades em cm). 194
Figura 8-32: Esquema para o cálculo da força F
t
de tração na seção transversal._____________________ 204
Figura 8-33: Seção transversal com a indicação das forças internas (unidades em cm). ________________ 210
Figura 8-34: Detalhe da armadura em consolo tipo Gerber (Figura 7.11 NBR 9062:2006). _____________ 218
Figura 8-35: Distância mínima para preenchimento do perfil I. ___________________________________ 219
Figura 8-36: Forma da viga VR01, exemplo 04.________________________________________________ 224
Figura 8-37: Armação da viga VR01, exemplo 04.______________________________________________ 225
Figura 8-38: Armação da viga VR01, exemplo 04.______________________________________________ 226
Figura 10-1: Tela do programa de cálculo dos coeficientes de fluência e retração. _______________________I
Figura 10-2: Tela do programa de cálculo dos coeficientes de fluência e retração. ______________________ V
ix
LISTA DE TABELAS
Tabela 4-1: Valores numéricos usuais para determinação da fluência e da retração (Tabela A.1 NBR
6118:2003). ........................................................................................................................................................... 42
Tabela 4-2:Valores da fluência e retração em função da velocidade de endurecimento do cimento (Tabela A.2
NBR 6118:2003)....................................................................................................................................................45
Tabela 4-3: Valores característicos superiores da deformação especifica de retração ε
cs
(t
∞
,t
0
) e do coeficiente de
fluência
(t
∞
,t
0
). (Tabela 8.1 NBR 6118:2003)...................................................................................................... 46
Tabela 4-4: Valores de Ψ
1000
, em porcentagem (Tabela NBR 6118:2003). .......................................................... 51
Tabela 5-1: Tensão no aço σ
sd
(MPa). .................................................................................................................. 61
Tabela 5-2: Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares. ......................................... 66
Tabela 8-1: Seqüência de intervalos entre as etapas, ações atuantes, seções e perdas consideradas.................. 89
Tabela 8-2: Intensidade de carregamento do peso próprio. ................................................................................. 92
Tabela 8-3: Intensidade de carregamento na laje.................................................................................................92
Tabela 8-4: Momentos máximos no meio do vão. ................................................................................................. 93
Tabela 8-5: Características geométricas da seção pré-moldada..........................................................................93
Tabela 8-6: Características geométricas da seção composta............................................................................... 95
Tabela 8-7: Idade do concreto para a seção 01 e 02 .......................................................................................... 103
Tabela 8-8: Coeficientes de fluência para a seção 01, 02 e final........................................................................ 103
Tabela 8-9: Valores dos momentos fletores em vazio para décimo de vão......................................................... 114
Tabela 8-10: Valores das tensões da borda inferior e superior em décimo de vão. ........................................... 115
Tabela 8-11: Valores dos momentos fletores seção composta para décimo de vão............................................ 117
Tabela 8-12: Resumo das deformações imediatas. ............................................................................................. 129
Tabela 8-13: Coeficientes de fluência para a seção 01, 02 e final...................................................................... 130
Tabela 8-14: Resultado final da flecha no tempo infinito. .................................................................................. 130
Tabela 8-15: Carregamentos distribuídos na viga.............................................................................................. 138
Tabela 8-16: Momentos máximos no meio do vão. ............................................................................................. 154
Tabela 8-17: Parâmetros necessários para determinação da inércia no estádio I homogeneizada...................154
Tabela 8-18: Parâmetros determinados considerando a região da extremidade da viga................................... 155
Tabela 8-19: Parâmetros necessários para determinação da inércia no estádio I homogeneizada como seção T.
............................................................................................................................................................................. 156
Tabela 8-20: Parâmetros necessários para determinação da inércia no estádio I homogeneizada...................159
Tabela 8-21: Parâmetros determinados considerando a região da extremidade da viga................................... 160
Tabela 8-22: Parâmetros necessários para determinação da inércia no estádio I homogeneizada como seção T.
............................................................................................................................................................................. 161
Tabela 8-23: Momentos máximos no meio do vão. ............................................................................................. 164
Tabela 8-24: Valores dos momentos fletores em vazio para décimo de vão.......................................................171
Tabela 8-25: Valores das tensões da borda inferior e superior em décimo de vão. ........................................... 172
Tabela 8-26: Valores dos momentos fletores seção composta para décimo de vão............................................ 173
x
Tabela 8-27: Resumo das deformações imediatas. ............................................................................................. 184
Tabela 8-28: Coeficientes de fluência para a seção 01, 02 e final...................................................................... 185
Tabela 8-29: Resultado final da flecha no tempo infinito. .................................................................................. 185
Tabela 8-30: Intensidade de carregamento do peso próprio. ............................................................................. 188
Tabela 8-31: Intensidade de carregamento na laje............................................................................................. 188
Tabela 8-32: Momentos máximos no meio do vão. ............................................................................................. 189
Tabela 8-33: Características geométricas da seção pré-moldada...................................................................... 189
Tabela 8-34: Características geométricas da seção composta........................................................................... 190
Tabela 8-35: Idade do concreto para a seção 01 e 02........................................................................................ 195
Tabela 8-36: Coeficientes de fluência para a seção 01, 02 e final...................................................................... 195
Tabela 8-37: Valores dos momentos fletores em vazio para décimo de vão.......................................................202
Tabela 8-38: Valores das tensões da borda inferior e superior em décimo de vão. ........................................... 202
Tabela 8-39: Valores dos momentos fletores seção composta para décimo de vão............................................ 205
Tabela 8-40: Resumo das deformações imediatas .............................................................................................. 216
Tabela 8-41: Coeficientes de fluência para a seção 01, 02 e final...................................................................... 217
Tabela 8-42: Resultado final da flecha no tempo infinito. .................................................................................. 217
Tabela 9-1: Números de cabos necessários em função da estimativa da perda de protensão............................ 229
Tabela 9-2: Características e resultados obtidos nos diversos exemplos numéricos.......................................... 231
xi
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 8-1: Tensões na borda inferior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos.__________ 119
Gráfico 8-2: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos. _________ 119
Gráfico 8-3: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos. _________ 121
Gráfico 8-4: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos. _________ 121
Gráfico 8-5: Tensões na borda inferior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos.__________ 175
Gráfico 8-6: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos. _________ 175
Gráfico 8-7: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos. _________ 177
Gráfico 8-8: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos. _________ 177
Gráfico 8-9: Tensões na borda inferior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos.__________ 207
Gráfico 8-10: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos. ________ 207
Gráfico 8-11: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos. ________ 209
Gráfico 8-12: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos. ________ 209
Capítulo 1 - Introdução
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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Estruturas de pré-moldadas usando protensão estão cada vez mais sendo utilizadas
no Brasil nas ultimas décadas como sistema construtivo. Este fato pode ser comprovado pelo
grande numero de obras civis como silos e tanques, passando por viadutos e pontes e edifícios
de concreto moldado no local e também pré-fabricado.
Nas estruturas de concreto pré-fabricado, destacam-se as vigas protendidas com
aderência inicial, o uso deste elemento tem sido cada vez mais intenso, pois consegue aliar
economia e velocidade de execução. É muito comum a produção desse elemento em grande
quantidade, usando pista de protensão situadas em fabricas, este procedimento permite a
reutilização de formas, automação, velocidade e simplicidade na montagem da armadura
desses elementos, a mão de obra utilizada é reduzida e constituída de funcionários
especializados que trabalham sobre condições climáticas favoráveis (barracões cobertos, etc.)
O grande controle de insumos utilizados (cimento, areia, pedra, aço, etc) permite
além de uma boa qualidade de execução um processo rápido de fabricação que pode chegar a
uma produção de 100 m lineares a cada três dias, o transporte e montagem desses elementos
são técnicas já dominadas nas fabricas nacional de forma que há uma tendência em emprego
generalizado deste tipo de vigas nas estruturas pré-fabricadas.
Em elementos fletidos de concreto armado a armadura longitudinal é
simplesmente colocada no interior do elemento, desta forma para que comece a trabalhar é
necessário retirar o escoramento, mobilizando o concreto que ao se deformar mobiliza a
armadura, pois os dois estão ligados por aderência. Por isso a armadura das estruturas de
concreto armado é chamada de armadura passiva. Já no concreto protendido a armadura
recebe uma tensão de tração antes que haja aderência com o concreto, por isso é denominada
armadura ativa. Após a aderência com o concreto essa tensão de tração aplicada no aço
transmite um tensão normal ao plano longitudinal do elemento.
A norma NBR 6118:2003 trás como definição clássica de concreto protendido
“Aquele nos quais parte das armaduras é previamente alongada por equipamentos especiais
de protensão com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e
os deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta
resistência no estado limite último (ELU)”. Segundo HANAI (2005) pode ser encarada como
Capítulo 1 - Introdução
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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uma “forma artificial de se criar reações permanentes ás ações que sejam adversas ao uso de
uma estrutura”. Pode-se dizer ainda que protensão é um artifício que consiste em introduzir
em uma estrutura um estado prévio de tensões capaz de melhorar sua resistência ou seu
comportamento, sob diversas condições de cargas.
Historicamente Eugéne Freyssinet é considerado o criador do sistema de
protensão no concreto, mas ele não foi o primeiro engenheiro a fazer estruturas de concreto
protendido, o início pode ser considerado ao engenheiro americano P.A Jackson (1872), que
patenteou um sistema de passar as hastes de laço de ferro através dos blocos e de apertá-los
com porcas. Entretanto pode-se afirmar que Freyssinet usou a propriedade de protensão de
maneira correta, logo após a Segunda Guerra Mundial, ele construiu seis pontes de concreto
protendido sobre o rio Marne, a Pont de Luzancy.
Os estudos anteriores de Freyssinet esbarravam na impossibilidade de se garantir
tensões de compressão permanente no concreto. Somente por volta de 1928, é que foi possível
entender que seria necessário o uso de aços que permitiriam grandes deformações de
estiramento, de sorte que mesmo perdessem parte do estiramento ao longo do tempo, ainda
sim transferiram esforços de compressão para o concreto.
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A definição de concreto protendido com aderência inicial dada pela A NBR
6118:2003 é: “Concreto protendido em que o pré-alongamento da armadura ativa é feito
utilizando-se apoios independentes do elemento estrutural, antes do lançamento do concreto,
sendo a ligação da armadura de protensão com os referidos apoios desfeita após o
endurecimento do concreto; a ancoragem no concreto realiza-se só por aderência”.
A protensão com aderência inicial consiste basicamente no estiramento do cabo
antes do contato com o concreto, este sistema é de grande utilização em fábricas do concreto
pré-moldado.
A quantidade de equipamentos e materiais envolvidos no processo construtivos,
bem como a necessidade de um concreto de melhor qualidade, motiva a construção de peças
em um canteiro de obras apropriado, onde é possível executar as protensões e processar a curo
do concreto em condições favoráveis com rigoroso controle tecnológico.
Capítulo 1 - Introdução
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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É utilizada uma pista, denominada pista de protensão, que em geral tem 100 a 200
m de comprimento. Na suas extremidades estão localizadas as cabeceiras onde em um dos
lados é chamado de ancoragem morta, onde são fixados os cabos por meio de cunha e porta
cunha, na outra extremidade os cabos são tracionados com macacos de protensão e ancorando
com o mesmo sistema da cabeceira oposta. A Figura 1-1 apresenta um esquema típico de pista
de protensão.
Figura 1-1: Esquema de uma pista de protensão com aderência inicial [VERÍSSIMO 1998].
Uma característica desse sistema é a utilização de cabos na posição reta, paralela a
pista de protensão, com o auxilio de macacos hidráulicos, que se apóiam em blocos na
cabaceira da pista. Após estiramento dos cabos e a concretagem, quando atingindo o f
cjk
informado pelo projetista, esses cabos são cortados ou desprotendidos aplicando assim
efetivamente a protensão no elemento, que é dada apenas pelo atrito entre as cordoalhas e
com concreto.
A utilização da protensão em pré-moldados, associada com concretos de alta
resistência, traz uma séria de benefícios que são citadas por VERÍSSIMO E JUNIOR (1998):
A protensão permite que, no caso de peças fletidas, toda a seção da peça
trabalhe sob compressão, de forma que o aproveitamento da capacidade resistente da seção é
muito maior do que nas peças de concreto armado, esse fato associado ao f
ck
alto permite
produzir peças mais esbeltas, consequentemente mais leves, o que possibilita também grandes
comprimentos para vencer grandes vãos;
O concreto com f
ck
alto atinge resistência suficiente para suportar a protensão
logo nas primeiras idades, com pouco tempo de cura, acelerando o processo de produção nas
fábricas;
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Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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Concretos com f
ck
alto sofrem menos retração, menos deformação, e como
conseqüência apresentam menos fissuras que os concretos comuns;
A força de protensão mantém as eventuais fissuras fechadas, garantindo uma
melhor proteção das armaduras contra corrosão, no caso de uma solicitação incidental maior
que a prevista no projeto, cessada a carga as fissuras formadas se fecham sob a ação da
protensão.
Uma das características importantes da pré-tração é que a armadura longitudinal
acaba se constituindo de cordoalhas retas, ou seja, paralelas a pista de protensão. Assim, se a
armadura é calculada para evitar o momento no meio do vão da peça, isto implica que no
apoio pode-se provocar uma tração desnecessária na borda superior da viga. Um exemplo
deste é visto Figura 1-2. Ao se fazer a protensão de duas cordoalhas o momento atuante ao
longo da peça (sem considerar perdas) é igual a M
p
=2.F.e (ver Figura 1-2 a1,a2 e a3). Assim,
se o meio do vão este momento combate o momento atuante na peça, no apoio (Figura 1-2 a3)
provoca traço na boda superior. Uma forma de evitar isto, pode-se colocar, antes da
concretagem, tubos de plástico (fazendo o papel de bainhas) envolvendo a armadura em um
pequeno trecho (no caso o treco s da Figura 1-2) em uma armadura, junto ao apoio, fazendo
com que o momento de protensão fique com o aspecto apresentado em 1-2 b2, e o diagrama
final apresente valores máximos de mesma ordem de grandeza tanto no meio do vão quanto
no apoio (M
be
). É o que se designa por isolamento de cabos.
Figura 1-2: Peças com aderência inicial com aderência em todo o comprimento (peça 1) e com
trechos (s para uma armadura) sem aderência (peça 2).
Capítulo 1 - Introdução
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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A possibilidade da ocorrência da tração na fibra superior da peça quando se faz a
efetivação da protensão pode ocorrer neste sistema e, portanto torna-se indispensável fazer
esta verificação no cálculo ou até projetor cabos de protensão junto a face superior da peça.
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Estabelecer conjunto de procedimentos visando concepção do sistema estrutural
de vigas em concreto protendido com aderência inicial e seção composta e o
dimensionamento, detalhamento das armaduras longitudinal e transversal.
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O grande aumento de fábricas que utilizam o sistema de protensão para confecção
de seus elementos tem-se tornado cada vez mais evidente. Hoje o mercado exige obras cada
vez mais limpas, racionalizada e com prazo de entrega o mais enxuto possível. Essas
características são de grande aplicabilidade no sistema pré-fabricado.
Para agilidade e praticidade da obra, quanto mais padronizada e com menos
elementos possíveis, a velocidade de montagem pode ser reduzida. Quando reduzimos os
elementos, isto implica aumento do comprimento, mas que por sua vez no caso de vigas
poderemos atingir vãos maiores, que é uma característica do sistema protendido. Essas peças
consequentemente terão maiores volumes e peso para transporte e montagem necessitando de
equipamentos específicos.
Na Europa o sistema de pré-fabricado é bastante utilizado, pois tem uma
vantagem de inúmeros equipamentos para transporte e montagem disponíveis no mercado,
além do seu custo/hora inferior comparado com o Brasil. Mas o agendamento com as
empresas de locação esse problema pode ser minimizado.
Com a escassez de bibliografias disponíveis no mercado sobre o tema, pretende-se
esclarecer as etapas envolvidas visando o dia-dia do engenheiro civil.
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Para atingir o objetivo desejado foram pesquisadas e reunidas informações sobre o
tema, estudadas as teorias relacionadas e feito análises racionais e dedutivas. Através da
resolução de exemplos práticos, consolidaram-se os conhecimentos necessários para um
entendimento mais claro do assunto e facilitando a sua aplicação.
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A ordem e os conteúdos dos capítulos que constitui a presente dissertação versam
sobre:
Capítulo 1 – Introdução: Relata sobre os tipos de protensão, os objetivos da
dissertação, e por ultimo a metodologia empregada.
Capítulo 2 – Projeto: Apresentação dos sistemas estruturais utilizando o pré-
fabricado, comentando sobre a concepção do projeto estrutural.
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber:: Apresenta as principais
recomendações da NBR 9062:2006 para o dimensionamento de consolo e dente Gerber.
Capítulo 4 – Perdas de protensão: Apresenta as principais perdas de protensão
iniciais e ao longo do tempo e as perdas progressivas.
Capítulo 5 – Cálculo da amadura longitudinal: Principais etapas para o
dimensionamento da armadura longitudinal utilizando o sistema de protensão com aderência
inicial.
Capítulo 6 – Cálculo da amadura transversal: Utiliza-se o efeito da protensão para
determinar a armadura transversal.
Capítulo 7 – Ligação semi-rígida. Trata-se das definições e classificações de
ligação entre viga e pilar.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos: No exemplo 01 é dimensionada uma viga bi-
articulada de pavimento com protensão com aderência inicial comumente encontrada em
edificações das escolas do FDE (Fundo para Desenvolvimento da Educação). Também se
determina a ligação de apoio do dente Gerber e consolo. No exemplo 02 é calculado a
Capítulo 1 - Introdução
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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porcentagem de engastamento do exemplo 01 utilizando como armadura negativa de ligação
320mm. No exemplo 03 é calculada a viga do exemplo 01 com a armadura negativa de
ligação 525mm, a partir da porcentagem de engastamento é determinada a armadura
longitudinal. Para o exemplo 04 foi alterado o perfil do exemplo 01 de seção retangular para
um perfil I e novamente calculando as armaduras longitudinais e transversais, além de todas
as verificações no ELU e ELS.
Capítulo 9 – Considerações finais e sugestões: São apresentadas algumas
considerações gerais, cumprimento dos objetivos e sugestões para os trabalhos futuros.
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Neste capitulo é apresentado algumas diretrizes para o lançamento de estrutura em
concreto pré-moldado e alguns sistemas estruturais em estruturas pré-moldadas.
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Para um melhor aproveitamento do concreto pré-moldado os engenheiros devem
considerar as possibilidades e as restrições que permitem a sua utilização, visando desde a
produção, transporte e montagem dos elementos. É desejável estabelecer uma equipe de
projetos compatibilizando todos os subsistemas envolvidos minimizando assim as possíveis
interferências. Em fase de projetos os custos de uma revisão é muito menor comparado com o
custo de um “retrabalho” na obra.
Entende-se por lançamento de uma estrutura a escolha dos diversos elementos que
a compõem e a disposição deles em planta determinando assim vãos e dimensões dos
elementos. Nas estruturas de concreto pré-moldado é sempre importante no lançamento
analisar a possibilidade da padronização dos elementos já utilizados. Idealiza-se assim desde o
começo o processo de produção em fabrica que quanto menos variedade existirem permite
uma melhor produtividade.
No sistema tradicional o lançamento da estrutura é feito partir de um projeto
básico de arquitetura e neste caso o arquiteto não se preocupa muito com o esquema estrutural
ficando para análise do projetista estrutural a definição do mesmo. Já para o caso de pré-
fabricado é desejável que a concepção do projeto inicial de arquitetura, já seja voltada para
uma solução em pré-moldado aproveitando dessa maneira as vantagens oferecidas por esse
sistema, como por exemplo, vencer grandes vãos. Mais detalhes sobre lançamento são
apresentados no item 2.3.
Na estrutura pré-moldada como qualquer outra é importante atender as
verificações de seguranças descrita na NBR 8681:2003 “Ações e segurança nas estruturas –
Procedimento”. Atendendo as seguintes condições:
Estado limite de uma estrutura: Estados a partir dos quais a estrutura
apresenta desempenho inadequado às finalidades de construção.
Capítulo 2 – Projeto
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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Estado limite último (ELU): Estados que, pela simples ocorrência,
determinam a paralisação, no todo ou em parte, do uso da construção.
Estado limite de serviço (ELS): Estados que, por sua ocorrência, repetição ou
duração, causam efeitos estruturais que não respeitam as condições especificadas para o uso
normal da construção, ou que são indícios de comprometimento da durabilidade da estrutura.
O Manual de Sistemas Pré-fabricado de Concreto (ACKER (2002)), destaca cinco
princípios básicos de projeto:
Respeito à filosofia especifica do projeto: Utilizar um sistema de
contraventamento próprio; utilizar grandes vãos; assegurar a integridade estrutural.
Usar soluções padronizadas sempre que possível: Modulação de projeto;
padronização de produtos entre fabricantes; padronização interna para detalhes construtivos e
padronização de procedimentos para produção e ou montagem.
Os detalhes devem ser simples: simplificar ao máximo os detalhes mas
garantido a sua eficiência.
Considerar as tolerâncias dimensionais: Possibilidade de tolerância de
absorção nas ligações; necessidade de almofadas de apoio; conseqüências causadas por
curvatura e diferenças em curvaturas; tolerância de movimentação, causada por retração,
expansão térmica, etc.
Obter vantagem do processo de industrialização: a pré-tração permite a
produção de elementos em longas pistas de protensão; a padronização de componentes e de
detalhes típicos garante a padronização do processo; a posição adequada dos detalhes;
simplicidade na descrição do projeto ajuda a evitar erros; modificações imprevistas no projeto
prejudicam o planejamento da produção.
Seguindo as mesmas características o Precast Concrete Institute (PCI) apresenta
quinze recomendações gerais para um projeto em estrutura pré-moldada:
Maximizar a repetição e a modulação de dimensões no layout da planta e nas
dimensões dos elementos.
Usar sempre que possível viga bi-articulada.
Capítulo 2 – Projeto
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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Padronizar tamanhos e a localização das aberturas nos produtos.
Utilizar elementos de tamanhos padronizados e disponíveis na região.
Minimizar o número de elementos com diferentes tipos e tamanhos.
Minimizar o número de configurações das armaduras em um mesmo tipo de
elemento.
Minimizar o número de diferentes tipos de ligações.
Especificar os tipos de ligações que são preferidas pelos fabricantes locais.
Considerar os tamanhos e pesos dos produtos para evitar custos excessivos
associados com a produção, transporte e montagem de peças com excesso de peso e tamanho.
Utilizar protensão nos elementos pré-moldados quando os vãos forem longos,
quando a altura do elemento deve ser minimizada ou quando o maior grau de controle de
fissuração for desejado.
Evitar o projeto dos elementos e ligações que requerem habilidades de
acabamento e tolerâncias próximas, que não são obtidas sob condições normais de operações
de produção e montagem.
Evitar especificar condições em excesso além do necessário para o projeto de
concretagem, tensões permitidas, curvaturas permitidas, flechas, e cobrimento da armadura,
ligações embutidas e tipos de componentes na ligação.
Utilizar painéis externos como elementos estruturais e/ou paredes de
cisalhamento sempre que possível.
Contatar produtores locais o mais rápido possível durante os estágios de
desenvolvimento do projeto para assistência nas questões anteriores.
Maximizar o uso de formas nos produtos arquitetônicos.
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Cada material ou sistema construtivo tem suas próprias características as quais, de
forma maior ou menor influenciam o sistema estrutural, o comprimento do vão, a altura da
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edificação, os sistemas de contraventamento, etc. Isso também ocorre no caso dos sistemas
construtivos em concreto pré-moldado, não apenas em comparação com as estruturas de aço,
de madeira e de alvenaria, mas também em relação ao concreto moldado no local.
Teoricamente, todas as juntas e ligações entre os elementos pré-moldados deveriam ser
executadas de modo que a estrutura pré-moldada tivesse novamente o mesmo conceito
monolítico de uma estrutura moldada no local. Todavia, esta pode se tornar uma solução mais
cara e trabalhosa, onde muitas das vantagens da pré-moldagem podem ser perdidas.
Para que todas as vantagens do concreto pré-moldado sejam potencializadas, a
estrutura deve ser concebida de acordo com uma filosofia específica do projeto: grandes vãos,
um conceito apropriado para estabilidade, detalhes simples, etc. Os projetistas devem, desde o
início do projeto, considerar as possibilidades, as restrições e as vantagens do concreto pré-
moldado, seu detalhamento, produção, transporte, montagem e os estados limites em serviço
antes de finalizar um projeto de uma estrutura pré-moldada.
Segundo ACKER (2002) em estruturas pré-moldadas, aparentemente existem
números de soluções técnicas para as suas construções, entretanto, todos esses fazem parte de
um numero limitado de sistemas estruturais básicos, onde os princípios de projetos são
semelhantes. Os tipos mais comuns de sistemas estruturais de concreto pré-moldados são:
Estruturas aporticadas, consistindo de pilares e vigas de fechamento, que são
utilizadas para construções industriais, armazéns, construções comerciais, etc.
Estruturas em esqueleto, consistindo de pilares, vigas e lajes, para edificações
de alturas médias e baixas, e com um número pequeno de paredes de contraventamento para
estruturas altas. As estruturas em esqueletos são utilizadas principalmente para construções de
escritórios, escolas, hospitais, estacionamentos, etc.
Estruturas em painéis estruturais, consistindo de componentes de painéis
portantes verticais e de painéis de lajes, as quais são usadas extensivamente para a construção
de casas e apartamentos, hotéis, escolas, etc.
Estruturas para pisos, consistindo de vários tipos de elementos de laje
montados para formar uma estrutura do piso capaz de distribuir a carga concentrada e
transferir as forças horizontais para os sistemas de contraventamento. Os pisos pré-moldados
são muito usados em conjunto com todos os tipos de sistemas construtivos e materiais.
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Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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Sistemas para fachadas, consistindo de painéis maciços ou painéis sanduíche,
com ou sem função estrutural. Apresentam-se em todos os tipos de formato e execuções,
desde o simples fechamento até os mais requintados painéis em concreto arquitetônico para
escritórios e fachadas importantes.
Sistemas celulares, consistindo de células de concreto pré-moldado e, algumas
vezes, utilizados para blocos de banheiros, cozinhas, garagens, etc
A Figura 2-1 mostra um sistema constituído de pilares e vigas de fechamento, que
são utilizados para as construções industriais, armazéns, construções comerciais, escolas, etc.
Figura 2-1: Estrutura em forma de esqueleto em concreto pré-moldado (Shimoneck).
O sistema aporticado permite grande mobilidade da arquitetura tendo o seu espaço
interno bastante amplo, esse sistema consiste em pilares e vigas lineares. Pode ser aplicado
fechamento lateral em placas pré-moldadas, como mostra a Figura 2-2.
Capítulo 2 – Projeto
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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Figura 2-2: Estrutura aporticada em concreto pré-moldado com fechamento lateral em painéis
(Shimoneck).
Em relação a cobertura quando se utiliza telha W esse sistema é classificado como
“pesado”, já na utilização de cobertura metálica esse sistema é chamado de “leve”. Em
estrutura pré-moldada recebe bem esses dois tipos de cobertura cabendo uma analise
especifica para cada situação.
Outro sistema estrutural é quando se tem estrutura interna em esqueleto (pilares e
vigas) e a parte o fechamento externo é feito com paredes auto-portante. Na Figura 2-3 esta
apresentada uma edificação com fechamento em laje duplo T e a cobertura em telha W.
Capítulo 2 – Projeto
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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Figura 2-3: Estrutura interna em forma de esqueleto e externa e painéis auto-portante.
Existem também sistemas estruturais para edifícios de múltiplos pavimentos. Que
pode ser usado paredes auto-potantes em suas fachadas, além da função arquitetônica essas
paredes podem resistir tanto ao esforço vertical quanto ao horizontal.
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Para edificações usuais comerciais e residenciais as estruturas moldadas no local
usando lajes maciças em concreto armado têm os vãos limitados principalmente pela sua
capacidade resistente. Assim, lajes maciças com vãos superiores a 5m costumam consumir
uma quantidade de concreto grande apesar da região comprimida da seção transversal (região
acima da linha neutra). Assim os pavimentos moldados no local precisam nestas situações
empregar sistemas de lajes nervuradas em concreto armado.
Com o avanço nos estudo das lajes e aprimoramento dos cálculos através de
ensaios, esses vãos foram sendo aumentados como também a sobrecarga suportada. Assim, de
acordo FILHO e CARVALHO (2006) para as lajes maciças, como já foi escrito, não é
recomendado vão maiores do que 5m, já para as nervuradas treliçadas o vão pode variar de 5
e 7m, para as vigotas pré-moldadas que utilizam protensão o vão pode chegar por volta de
10m (Catálogos técnicos TATU). Nesse sistema citados a sobrecarga não elevada e
dependendo do vão é necessária a utilização de escoras.
Capítulo 2 – Projeto
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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O sistema de lajes de piso com lajes alveolares é que teve um maior sucesso de
mercado da construção civil. De fácil instalação, pode atingir grandes vãos, facilitando o
layout e otimizando a estrutura, seja ela moldada no local, metálica ou de elementos
reticulados de pré-fabricado.
A grande eficiência estrutural das lajes alveolares e consequentemente, seu menor
custo, são alcançados quanto maior a padronização e racionalização do projeto. O processo de
fabricação é totalmente industrializado, por isso qualquer intervenção manual, seja de recorte
ou reforço dos alvéolos da laje eleva o seu custo, diminuindo sua característica industrial.
As lajes alveolares (que são pré-moldadas e protendidas) com altura de 20 cm
podem vencer vãos de 4 a 12m com a sobrecarga variando de 3000 kg/m² a 150 kg/m² e a laje
de 26,5 cm de pode vencer vãos de 5 a 14,5m com sobrecarga de 2600 kg/m² a 150 kg/m²
(Manual MUNTE). A capacidade de suportar grandes sobrecargas e a não necessidade de
utilização de escoramento são umas das suas principais características. As relações vão /
altura desta laje é da ordem de 50. Os painéis têm dimensões de 1,20m ou 1,25m dependendo
do fabricante. O transporte e montagem podem ser feitos de forma simples e rápida utilizando
os equipamentos necessários como carretas e guindaste.
Percebe-se assim que a laje pré-fabricada permite em princípio o uso de maiores
vãos que as lajes usuais moldadas no local. A Figura 2-4 apresenta um seção típica de laje
alveolar.
Figura 2-4: Seção transversal de laje alveolar de concreto protendido. Detalhe do rejuntamento
entre dois painéis.
O posicionamento das lajes alveolares é um dos aspectos importante para o
lançamento de uma estrutura pré-moldada, pois garante a viabilidade econômica. A laje
alveolar pode ser cortada longitudinalmente para corrigir a modulação, mas isto não é viável
pela geração de entulhos na fábrica e um prejuízo para o empreendedor uma vez que no
orçamento a laje é considerada inteiriça.
Capítulo 2 – Projeto
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
16
As lajes devem ser posicionadas lado a lado, caso a modulação da laje não esteja
no modulo de 1,20 ou 1,25m dependendo do fabricante, o ideal seria apenas um o recorte de
uma laje para acertar o módulo.
Até o largura (faixa) de 25 cm pode-se executar uma faixa de concretagem in-loco
no momento da concretagem do capeamento. A faixa de 25 cm é determinada pela largura de
30 cm da tábua padrão (comumente encontradas em madeireiras).
No processo executivo da laje alveolar já é considerado a folga para a montagem,
portanto não se tem a necessidade de prever a folga em projeto. Nos recortes juntos aos
pilares é necessária a previsão de 1 cm de folga. Quando se tem um recorte que não necessita
de reforço sendo assim o mais simples e econômico, é recomendado que seja feito no alvéolo,
que para a laje de 20 cm esse recorte é de 20 cm e para a laje de 26,5 cm esse recorte é de 25
cm.
Além das orientações citadas a cima, o Manual MUNTE traz mais algumas
recomendações para a paginação de lajes alveolares:
A primeira laje deve estar encostada na fachada.
Não é permitida a instalação lado a lado de lajes cortadas longitudinalmente
Não é permitida a instalação de shafts ao lado de lajes cortadas
longitudinalmente.
Deve ser verificado o máximo recorte junto ao pilar.
O máximo recorte permitido na laje alveolar citado no ultimo item é limitação
para que exista a necessidade ou não de um complemento para o apoio da laje. A Figura 2-5
apresenta esses limites para as lajes de 20 e 26,5 cm.
Capítulo 2 – Projeto
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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Figura 2-5: Recortes permitidos em laje alveolares desde que seja previsto reforço ou apoio.
Outro aspecto que torna o posicionamento das lajes importante é que comparado
com os outros elementos como viga e pilar a laje alveolar apresenta um menor custo. A Figura
2-6 mostra um exemplo de paginação de laje alveolar.
Capítulo 2 – Projeto
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
18
Figura 2-6: Paginação de laje alveolar.
A utilização da laje alveolar é feita normalmente com a colocação de uma capa de
concreto moldada no local que permite um solidarização da laje com as vigas e faz com que a
viga que a recebe tenha um aumento de seção. Esse acréscimo é caracterizado como seção
composta (mais detalhes sobre seção composta ver item 4.2).
Outra laje que apresenta grande capacidade de suportar sobrecargas e vencer
grandes vãos é a laje duplo T, mas esta em desuso por tem uma relação vão / altura no ordem
30 e como a sua parte inferior é no formato de duplo T, geralmente não é de grande
aceitabilidade dos arquiteto recomendando assim a utilização de forros falsos acarretando
assim custos extras. A Figura 2-7 mostra uma perspectiva de uma laje TT.
Capítulo 2 – Projeto
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
19
Figura 2-7: Perspectiva de uma laje duplo T.
Para o lançamento das vigas o módulo básico é de 3m para seu vão, para um
melhor aproveitamento do transporte das peças não necessitando transporte especial é
sugerido peças com o máximo de 12 metros de comprimento.
É comum em estruturas pré-moldadas lançamento das vigas somente em uma
direção essa direção é perpendicular ao sentido da laje (vigas que apóiam as lajes), formando
assim pórticos. A Figura 2-8 mostra a paginação de laje alveolar formando pórticos em só
uma direção, esse conceito é de bastante aplicados nas escolas do FDE – Fundação de
Desenvolvimento de Ensino. É importante observar principalmente em edifícios acima de 3
andares se essa estrutura esta sendo travada na outra direção, já que os pórticos estão sendo
formados apenas por pilares e as lajes.
Capítulo 2 – Projeto
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
20
Figura 2-8: Paginação de laje alveolar formado pórticos em uma direção (medidas em mm).
Outra solução para o contraventamento da estrutura é a utilização de núcleos
rígidos, caixa de escada e caixa de elevador e também a utilização de placas de fachada, ou
mesmo pilar-parede.
O lançamento dos pilares está basicamente ligado ao lançamento dos outros dois
elementos citados acima e com a disposição da arquitetura. Os seus eixos devem dispor em
função da paginação das lajes. É comum uma dimensão do pilar seja a mesma utilizada para a
largura da viga, facilitando assim a fabricação dos apoios das vigas como, por exemplo, os
consolos.
No caso das seções dos pilares é comum tentar usar o formato quadrado que
facilita o detalhamento, transporte e montagem. Quando a altura do prédio e os esforços
laterais começam a ser significativas usa-se a seção retangular considerando que a dimensão
com maior comprimento fique no sentido das vigas principais (de suporte das lajes) formando
pórtico (pilares e vigas). Em algumas situações prevê-se um espaço vazio no interior do pilar
que permite a passagem de instalações.
Capítulo 2 – Projeto
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
21
No caso das vigas costuma-se complementar a seção pré-fabricada com uma capa
de concreto que trabalha como seção composta a partir do endurecimento do seu concreto.
Assim, a viga, em geral, tem no início uma seção, chamada aqui de seção pré-fabricada e a
partir de uma etapa da obra trabalha como composta. No caso da seção pré-moldada a melhor
geometria pode ser obtida por meio do coeficiente de Guyon.
Segundo MADARÁS (1993) a seção ideal para o concreto protendido é aquela
que para uma mesma área A tem-se o maior módulo de resistência W.
A seção retangular apresenta:
hbA e
6
6
1
6
1
2
h
A
W
hAhbW
, tanto para a tensão superior e
também a inferior. Mas
k
A
W
, distância nuclear,
infsup
kk
.
A seção ideal, mais eficiente, é aquela que apresenta
h
kk
infsup
a maior possível
(pois com a força de protensão, vai dar somente tensões de compressão).
Chama-se rendimento de uma seção a relação:
R Rendimento
infsup
h
kk
, assim:
1
infsup
h
kk
R , sendo
A
W
k
sup
sup
e
A
W
k
inf
inf
.
hA
y
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y
I
hA
WW
h
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W
A
W
R
is
infsup
inf
sup
isisis
si
yyA
I
R
hAyy
ysyiI
hAyy
yIyI
R
(Rendimento de Guyon).
Embora a seção I se apresenta mais vantajosa, sob o ponto de vista estrutural, que
a retangular para edificações de escolas, ou mesmos centros comerciais o aspecto estético
conta muito, Desta forma é muito comum que o projeto de arquitetura imponha a forma
retangular como solução obrigatória.
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
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G
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B
B
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Apresentam-se os principais mecanismos de ruptura dos consolos e as
recomendações da NBR 9062:2006 e NRB 6118:2003 para o seu dimensionamento.
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Do ponto de vista do comportamento estrutural, o que diferencia a estrutura pré-
moldada de uma estrutura moldado no local, basicamente são as ligações. Quando se deseja
conhecer o comportamento de um sistema estrutural em pré-moldado é de extrema
importância conhecer suas ligações.
Geralmente nas ligações é onde se tem comportamento complexo, pois tem-se
concentrações de tensões que podem ou não mobilizar deslocamentos e esforços decorrentes
dos elementos ligados por ela, definindo assim a distribuição dos esforços os longo da
estrutura. O êxito do desempenho de um sistema estrutural está relacionado com o
desempenho das ligações.
Não existem ligações perfeitamente articuladas ou rígidas em estrutura, pois uma
ligação rotulada pode possuir certa resistência à flexão e as ligações consideradas rígidas
podem apresentar certa deformação à flexão e ao cisalhamento, sendo assim as ligações
possuem certa deformabilidade, o que se denomina ligações semi-rígidas.
Os consolos têm grande aplicabilidade nas estruturas pré-moldadas, sendo
classificados como consolos curtos e muito curtos, o que diferencia essa classificação é
basicamente o mecanismo de ruptura observado nos ensaios.
Para um melhor entendimento nos modelos para o cálculo de consolo e dente
Gerber, recomenda-se a bibliografia de SILVA E GIONGO (2000).
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As principais diferenças na analise da estrutura de concreto pré-moldado e
moldado no local esta relacionados com a presença de ligações e das situações transitórias que
estarão submetidos os elementos pré-moldados.
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
23
De acordo com a dificuldade de execução, custo e comportamento estrutural, as
ligações vigas-pilar podem ser realizadas de diferentes maneiras. Em relação aos pilares, as
ligações viga-pilar pré-moldadas, de uma maneira geral, podem ser:
Ligação da extremidade da viga ou ligação viga-pilar: ocorre quando o pilar é
contínuo e os componentes são conectados a ele.
Ligação de “topo”: ocorre quando o pilar é descontinuo, em termos
construtivos, e os componentes horizontais são contínuos ou separados por ligação.
É necessário que todas as ligações atendam as condições de serviço e último. Para
a fabricação de uma edificação pré-moldada a união dos elementos deve atender a
estabilidade global da estrutura. Após a montagem, as ligações irão influenciar na composição
do modelo estrutural, sendo suas características e comportamentos de fundamental
importância para o desempenho da estrutura. Os projetistas devem compreender a influência
das ligações no fluxo de forças horizontais e verticais ao longo da estrutura para que seja
possível a elaboração de um projeto adequado, permitindo que a estrutura tenha um
comportamento eficiente quando solicitada.
De acordo com o manual PCI (2001), os principais critérios de projeto para as
ligações estruturais são: resistência, rigidez, ductilidade, resistência ao fogo, durabilidade e
facilidade de construir (construtibilidade).
Segundo o manual FIB (2003), a filosofia de projeto para as ligações pré-modadas
deve levar em conta os requisitos do desempenho estrutural e o método construtivo. As
praticas construtivas na fábrica influência o projeto de ligação. Assim, a filosofia de projeto
depende de vários fatores:
A estabilidade da estrutura. Estrutura aporticadas não contraventadas e
estruturas em esqueleto requerem fundações resistentes a flexão, o que não ocorre nos casos
das estruturas contraventadas e estruturas em painéis estruturais nas duas direções.
O arranjo estrutural do pórtico. O numero e posições disponíveis para os
pilares, paredes, núcleos e outros elementos de contraventamento podem determinar o projeto
das ligações.
A continuidade (flexão) nas extremidades de vigas e lajes. Elementos em
balanço sempre requerem resistência à flexão nas ligações (ou de outro modo, continuidade
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
24
de vigas), o que não ocorre no caso das vigas simplesmente apoiadas. Estruturas não
contraventadas, podem ser projetadas usando ligações rígidas (ou semi-rígidas).
É importante prever a proteção contra fogo para apoios e armaduras.
A aparência das ligações e minimização das regiões estruturais. As ligações
escondidas (embutidas) devem ser projetadas dentro das dimensões dos elementos, enquanto
que as ligações aparentes não precisam.
A acessibilidade do canteiro pode influenciar o projeto estrutural e, portanto,
influenciar o projeto de ligação.
A escolha do método construtivo para execução das juntas, isto é:
preenchimento com graute; uso de chumbadores; ligações por meio de solda; e o tipo de apoio
a ser utilizado.
A capacidade da fábrica para estocagem e movimentação interna.
A escolha do sistema da ligação deve ser compatível com o projeto do sistema
estrutural, e consistente em toda a edificação. Em uma situação ideal somente uma tipologia
de ligação deve ser usada em um edifício.
Para que seja garantida a segurança da ligação é importante que sua execução
tenha cuidados, evitando possíveis falhas e um controle rígido de qualidade.
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A separação entre consolos curtos e consolos muito curtos é diferenciado
principalmente pelo mecanismo de ruptura observado nos ensaios. Os principais modelos para
análise do comportamento dos consolos são: biela e tirante e atrito-cisalhamento.
Tem-se como definição clássica o consolo curto de concreto armado é um
elemento estrutural em balanço com carga vertical, eventualmente acompanhada de carga
horizontal, geralmente quase concentrada, aplicada a uma distancia de a da seção de
engastamento tal que
1/2 ≤ a/d ≤ 1, sendo d a altura útil. Os consolos muito curto tem a
relação de
a/d ≤ 1/2.
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
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Segundo MACHADO (1998), as hipóteses básicas da resistência dos materiais
não se aplicam as vigas curtas de concreto armado, que são os consolos curtos, comprovado
experimentalmente, portanto a verificação da capacidade resistente ou de dimensionamento de
um consolo curto não pode ser feito por meio da analise de seções como nas vigas, pois não é
válida a hipótese da manutenção das seções planas.
As regras de projeto de consolos curtos têm que levar em conta estudos
experimentais específicos para esses elementos, analisados com um todo, identificando os
locais, forma e mecanismo prováveis de ruptura.
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Segundo MACHADO (1998) os mecanismos de ruptura devem ser prevenidos no
projeto através de uma formulação apropriada a ser empregada diretamente nos cálculos de
verificação e dimensionamento.
1. Ruptura por flexão: consiste no esmagamento do concreto no canto inferior do
consolo junto ao pilar, devido a forte compressão inclinada. O esmagamento do
concreto pode ocorrer após o escoamento da armadura principal, ou antes, do
escoamento.
2.
Ruptura por tração na flexão: uma fissura principal de flexão, na seção de
engastamento, tem a sua abertura progressivamente aumentada com o escoamento da
armadura até a ruptura por compressão do concreto. Essa ruptura ocorre em peça com
baixas taxas da armadura principal. O consolo sofre uma rotação em torno de algum
eixo dentro do pilar junto ao engastamento e inferior do consolo (Figura 3-1).
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
26
Figura 3-1: Ruptura por tração na flexão (MACHADO 1998).
3. Ruptura por compressão na flexão: algumas fissuras de flexão se abrem e antes de se
atingir o escoamento da armadura principal e o aumento das abertura das fissuras,
ocorre o esmagamento do concreto. Esta ruptura ocorre com baixíssimas rotações do
consolo (Figura 3-2).
Figura 3-2: Ruptura por compressão na flexão (MACHADO 1998).
4. Ruptura por fendilhamento diagonal (fendilhamento da biela): inicialmente
desenvolve-se uma fissura típica de flexão e a seguir o fendilhamento inclinado da
biela, seguido de uma ruptura
cisalhamento-compressão. A trinca principal, que define
a ruptura, ocorre ao longo de uma linha que se estende desde o canto da placa de apoio
menos afastado do pilar até a junção da face inferior do consolo com a face de pilar
(Figura 3-3).
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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Figura 3-3: Ruptura por fendilhamento diagonal (MACHADO 1998).
5. Ruptura por cisalhamento: este tipo de ruptura é caracterizado pelo aparecimento de
um conjunto de pequenas trincas ao longo do plano de interface entre o consolo e o
pilar (engastamento). A ruptura final ocorre por cisalhamento ao longo desta placa
“enfraquecido” e é típica para os consolos com valores baixos da relação
a/d (consolos
muito curtos)(Figura 3-4).
Figura 3-4: Ruptura por cisalhamento (MACHADO 1998).
6. Ruptura por fendilhamento na ancoragem: devida a ancoragem deficiente da
armadura principal na extremidade do consolo, na região sob a placa de apoio.
Exemplo: barras dobradas na vertical com grande curvatura, com a carga aplicada
após a curva (Figura 3-5).
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
28
Figura 3-5: Ruptura por fendilhamento da ancoragem (MACHADO 1998).
7. Ruptura por esmagamento localizado do concreto sob placa de apoio, para tensões de
contato elevadas (Figura 3-6).
Figura 3-6: Ruptura por esmagamento localizado do concreto sob placa de apoio (MACHADO
1998).
8. Ruptura por insuficiência de altura na região da placa de apoio, em consolos com
seção variável, especialmente os que são carregados também por força horizontais
(Figura 3-7).
Figura 3-7: Ruptura por insuficiência de altura na região da placa de apoio (MACHADO 1998).
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0
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Esta é a norma brasileira de estruturas pré-moldadas, na qual se encontram
recomendações e diretrizes exigíveis para projeto, execução e controle dos consolos curtos.
Como define a norma, consolo curto são elementos especiais de ligação que são
utilizados para compor um conjunto estrutural a partir de seus elementos, com a finalidade de
transmitir os esforços solicitantes, em todas as fases de utilização, dentro das condições de
projeto, mantendo as condições de durabilidade ao longo da vida útil da estrutura.
Com relação aos critérios de segurança, os valores característicos, valores de
cálculo, coeficientes de minoração e de majoração a serem adotados por meio de consolos de
concreto, multiplicando-se o coeficiente de majoração por outro fator
n
obtém-se para:
Peças pré-fabricadas:
n
=1,0 quando a carga permanente for preponderante;
n
=1,1 em caso contrário.
Peças pré-moldadas:
n
= 1,1 quando a carga permanente for preponderante;
n
=1,2 em caso contrário.
Um ponto muito importante a ser ressalvado, é a ocorrência de força horizontal
nos consolos curtos. Essas forças quando aplicadas podem minorar significativamente a
resistência dos consolos. Portanto, deve ser tomada atenção especial no cálculo dos consolos
quando submetidos a essas forças, principalmente quando houver ação devida à variação
volumétrica das estruturas ligadas ao consolo. A força horizontal H
d
pode ser estimada quando
houver ausência de impedimento ao movimento horizontal, através da força vertical V
d
como
segue:
H
d
= 0.8 V
d
para juntas a seco;
H
d
= 0,5 V
d
para elemento assentado com argamassa;
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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H
d
= 0,16 V
d
para almofadas revestidas de plástico politetrafluoretiline (PTFE);
H
d
= 0,25 V
d
para apoios realizados entre chapas metálicas não soldadas;
H
d
= 0,4 V
d
para apoios realizados entre concreto e chapas metálicas.
Para a concretagem no local, ligação por meio de solda ou apoio com graute, é
obrigatório o estudo detalhado do valor da força horizontal aplicada na ligação.
Para o cálculo dos consolos curtos existem algumas definições a serem seguidas,
tais como:
Para o intervalo 0,5 < a/d < 1,0, são considerados consolos curtos e o
dimensionamento se faz segundo o modelo matemático de uma treliça de duas barras, uma
tracionada ou tirante e outra comprimida ou biela. Para o intervalo a/d < 0,5, são considerados
consolos muito curtos e devem ser dimensionados através da modelagem matemática de atrito
e cisalhamento. Já para intervalos a/d > 1,0, os elementos são considerados vigas em balanço,
pois obedecem a hipótese de manutenção das seções planas;
Despreza-se o eventual efeito favorável de cargas horizontais que comprimam
o plano de ligação entre o consolo e o elemento de sustentação, e, além disso, considera-se
que o efeito de cargas horizontais que tracionem o plano de ligação entre o consolo e o
elemento de sustentação seja absorvido integralmente pelo tirante;
A Figura 3-8 apresenta as principais armaduras construtivas de consolo curto.
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
31
Figura 3-8: Armadura típica de um consolo curto [NBR 9062:2006].
A norma propõe também algumas recomendações para as disposições construtivas
desses elementos. A altura da face externa h
1
não deve ser menor que a metade da altura do
consolo no engastamento (h), assim:
2/
1
hh
( 3.1)
À distância a
2
da face externa da almofada de apoio (neoprene) à face externa do
consolo é diferenciada pelos tipos de tirantes e diâmetros de barras utilizadas para composição
da armadura, sendo:
Para ancoragem por barra transversal soldada com mesmo diâmetro dos
tirantes.
ca
2
( 3.2)
Para ancoragem por laço horizontal ou vertical (<20mm):
mmca
mmca
20 para ,0,5
20 para ,5,3
2
2
( 3.3)
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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Para a armadura do tirante ancorado por alças horizontais, seguem as seguintes
prescrições:
mm 25
toengastamen do seção na consolo do dimensãomenor da
8
1
d
15
oEspaçament
Para as armaduras do tirante ancorados por barra transversal soldada, segue as
seguintes prescrições:
mm 25
toengastamen do seção na consolo do dimensãomenor da
6
1
d
25
oEspaçament
A solda deve seguir o disposto na NBR 6118:2003. Recomenda-se que para
diâmetros de barras superiores a 20 mm, a solda deve ser realizada através de solda de topo
com eletrodo. Em caso de barra tracionada e havendo preponderância de carga acidental, a
resistência deve ser reduzida em 20%. Na Figura 3-8, mostra um exemplo deste tipo de solda.
Os aços utilizados para os tirantes, não devem ser aços encruados a frio e com teor
de carbono maior que 0,55%. Além disso, os tirantes devem ser localizados no quinto da
altura do consolo junto à borda tracionada do consolo, como mostra a Figura 3-9.
Figura 3-9: Detalhe do posicionamento do tirante ao longo da altura do consolo.
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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Para as armaduras de costura, segue as seguintes prescrições:
toengastamen do seção na consolo do dimensãomenor da
15
1
a distância
20
toengastamen no (d) útil altura da
5
1
oEspaçament cm
Para consolos com
0
4 aad
, substitui-se a armadura de costura por armadura
de pele com taxa
002,0
min,
db
A
s
por face, como mostra a Figura 3-10.
Figura 3-10: Detalhe do posicionamento da armadura de costura [NBR 9062:2006].
Para o tirante dos consolos curtos, a norma admite que a armadura total do tirante
seja;
yd
d
svtirs
f
H
AA
,
( 3.4)
Onde:
yd
d
sv
f
F
d
a
A
1,0
( 3.5)
Já a armadura de costura, é adequada distribuí-la em (2/3)d, adjacente ao tirante e
não adotar f
yd
>435 MPa. A armadura total deve ser:

dAsA
sv
t
s
/4,0/
cos
( 3.6)
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
34
Durante o dimensionamento do consolo, deve ser verificada a tensão da biela de
compressão, que não pode ultrapassar f
cd
para carga direta e 0,85f
cd
para carga indireta. A
Figura 3-11 apresenta a duas situações de carregamentos (carga direta e carga indireta).
Figura 3-11: Detalhe sobre armadura de suspensão [NBR 9062:2006].
Dente Gerber
Dentes de apoio são elementos de apoio na extremidade de vigas, placas ou
painéis, cuja altura é menor que a altura do elemento a ser apoiado e que podem ser
assemelhados a consolos. Para o dimensionamento permite-se assemelhar o dente de apoio a
um consolo.
Para dentes de apoio assemelhados a consolos curtos com 0,5 < a/d ≤ 1,0, as
dimensões e inclinação da biela de compressão são supostas variáveis e são determinadas
segundo a Figura 3-12.
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
35
Figura 3-12: Modelos em consolos tipo Gerber [NBR 9062:2006]
O início da ancoragem do tirante na viga é suposto distante do primeiro estribo de
(
d
vig
– d) aplicando-se o disposto na NBR 6118 para a condição de má aderência (ver Figura
3-13).
Figura 3-13: Detalhe de armadura em consolo tipo Gerber [NBR 9062:2006].
Capítulo 3 – Cálculo de consolo e dente Gerber
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
36
São sempre necessários estribos horizontais ancorados na face externa do dente e
penetrando 1,5 vezes o comprimento de ancoragem no interior da viga. São necessários
estribos verticais no dente (aplicam-se os mesmos valores estabelecidos para os consolos).
Ainda é importante destacar a armadura de suspensão, deve existir armadura de
suspensão capaz de resistir à totalidade das cargas verticais aplicadas no dente (
F
d
) com
tensão
f
yd
. Esta tensão não pode superar a 435 MPa.
A armadura deve ser disposta concentrada na extremidade da viga adjacente ao
dente de apoio, na forma de estribos fechados que envolvam a armadura longitudinal da viga,
conforme Figura 3-13. Se forem utilizadas barras verticais adequadamente ancoradas nas suas
extremidades e protegidas do risco de fendilhamento do concreto nas suas dobras, estas não
podem absorver mais que 0,4
F
d
.
A tensão de compressão na biela não pode ultrapassar o disposto na NBR
6118:2003 para a verificação da compressão da diagonal do concreto, para inclinações da
biela até 45º. Para maiores inclinações, o valor limite da tensão de compressão é de 0.85
f
cd
.
As ligações por meio de apoios nas extremidades sem recortes de vigas, na falta
de cálculo mais rigoroso ou de comprovação experimental conclusiva, permitem-se calcular a
armadura principal (tirante) do apoio nas extremidades de vigas pré-moldadas, obedecidas as
disposições construtivas pertinentes, aos consolos, pela expressão:
yd
ddsd
f
HFA
1
2,1
( 3.7)
Nas mesmas condições (ver Figura 3-14), permite-se determinar a armadura de
costura horizontal e vertical, respectivamente
A
sh
e A
sv
, pela expressão:
yddsvsh
fFAA 8/
( 3.8)
Figura 3-14: Detalhe da armadura em apoio sem recorte.
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
37
4
4
.
.
P
P
E
E
R
R
D
D
A
A
S
S
D
D
E
E
P
P
R
R
O
O
T
T
E
E
N
N
S
S
Ã
Ã
O
O
Neste capítulo o estudo das perdas é abordado visando demonstrar o efeito isolado
de diversos fenômenos que afetam a protensão nas estruturas de concreto. A formulação
apresentada segue a prescrição da norma brasileira NBR 6118:2003.
4
4
.
.
1
1
.
.
I
I
N
N
T
T
R
R
O
O
D
D
U
U
Ç
Ç
Ã
Ã
O
O
A protensão introduz na peça uma força inicial N
p
que está diretamente
relacionada com o alongamento ocorrido na armadura ativa. O acionamento dos macacos, a
liberação dos cabos e a transferência da força de protensão, entre outros fatores, originam uma
série de efeitos que conduzem a uma diminuição da força de protensão. Dessa forma, têm-se
as chamadas perdas de protensão.
Durante o cálculo de uma peça protendida, pode-se estimar as perdas de
protensão. De posse dessa estimativa das perdas é possível determinar uma sobretensão que
deve ser aplicada a peça, tal que, após as perdas, a força de protensão efetivamente atuante a
força calculada, suficiente para neutralizar, em parte ou no todo, os esforços de tração
provocados pelas cargas de utilização.
Dentre os diversos fatores que influenciam na força de protensão inicialmente
aplicada, alguns são responsáveis por perdas de protensão iniciais e outros por perdas
progressivas que se desenvolvem ao longo da vida útil da estrutura. Sob condições normais,
as perdas tendem a se estabilizar depois de certo período.
Os fatores que provocam perdas iniciais, isto é, os que ocorrem durante a
operação de protensão e após a transferência de protensão:
Acomodação da ancoragem;
Relaxação da armadura durante a cura do concreto;
Deformação imediata do concreto (no instante da transferência de protensão);
Os fatores que provocam perdas progressivas, isto é, os que ocorrem ao longo do
tempo, após os termino da operação de protensão, com o cabo já ancorado no concreto são:
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
38
Retração do concreto;
Fluência do concreto;
Relaxação do aço de protensão.
4
4
.
.
2
2
.
.
P
P
E
E
R
R
D
D
A
A
S
S
I
I
N
N
I
I
C
C
I
I
A
A
I
I
S
S
As perdas iniciais de protensão como já descrito resultam: a) acomodação da
ancoragem após a distensão da armadura de protensão, b) relaxação da armadura durante o
período de cura do concreto e c) do encurtamento elástico da seção de concreto no ato de
transferência da protensão. Nos subitens seguintes descreve-se o procedimento do cálculo das
perdas iniciais.
4
4
.
.
2
2
.
.
1
1
.
.
A
A
C
C
O
O
M
M
O
O
D
D
A
A
Ç
Ç
Ã
Ã
O
O
D
D
A
A
A
A
N
N
C
C
O
O
R
R
A
A
G
G
E
E
M
M
Quando se efetiva a ancoragem de um cabo há sempre um pequeno retrocesso no
cabo que estava esticado, provocando uma queda de tensão no mesmo. Como no caso da pré-
tração a operação de estiramento do aço é feita antes da concretagem, todos os cabos estão
submetidos a lei de Hooke e vale a expressão:
p
E
L
( 4.1)
Com
- retrocesso da ancoragem
- perda por deformação imediata do concreto
L – Comprimento da pista de protensão
E
pc
– Módulo de elasticidade da cordoalha de protensão
4
4
.
.
2
2
.
.
2
2
.
.
R
R
E
E
L
L
A
A
X
X
A
A
Ç
Ç
Ã
Ã
O
O
D
D
A
A
A
A
R
R
M
M
A
A
D
D
U
U
R
R
A
A
No caso de pré-tração entre o período do estiramento da armadura e a cura do
concreto até que possa ser feita a transferência de protensão há uma perda de protensão
devido a relaxação da armadura, cujo procedimento de cálculo e discutido no item 4.3.3.
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
39
4
4
.
.
2
2
.
.
3
3
.
.
D
D
E
E
F
F
O
O
R
R
M
M
A
A
Ç
Ç
Ã
Ã
O
O
I
I
M
M
E
E
D
D
I
I
A
A
T
T
A
A
D
D
O
O
C
C
O
O
N
N
C
C
R
R
E
E
T
T
O
O
No caso da pré-tração os cabos são tencionados de uma só vez e aplicados
simultaneamente na peça provocando uma perda que depende do momento de peso próprio
M
g1
e da relação
c
p
E
E
. A expressão para o cálculo desta perda é dada por:
I
eM
I
eN
A
N
gpp
p
1
2
.
( 4.2)
Com
p
N
: Força de protensão total atuando na peça.;
A: Área da seção transversal do concreto;
I: Inércia da seção transversal de concreto.
4
4
.
.
3
3
.
.
P
P
E
E
R
R
D
D
A
A
S
S
A
A
O
O
L
L
O
O
N
N
G
G
O
O
D
D
O
O
T
T
E
E
M
M
P
P
O
O
As perdas progressivas decorrem da natureza intrínseca dos materiais aço e
concreto e são em função de uma diminuição de volume de concreto, decorrente dos
fenômenos de retração e deformação lenta. São devidas também à fluência do aço, à qual
corresponde uma relaxação, isto é, perda de tensão.
A armadura de protensão adquire a maior parte de seu esforço a partir de seu
estiramento que é mantido através da sua ancoragem à estrutura de concreto ou através a
aderência à mesma (armadura/estrutura de concreto). Assim, se a estrutura de concreto se
deforma (se encurta no caso), ao longo do tempo, parte do estiramento da armadura
desaparecerá, ou seja, haverá uma perda de protensão da armadura. Estas perdas se dão,
portanto, devido à retração e à fluência do concreto. Já quando a armadura é estirada e
mantida desta forma há uma tendência da tensão da mesma diminuir com o tempo o que
caracteriza a perda de tensão por relaxação do aço.
Conceituando de forma simplista a retração é a variação volumétrica que o
concreto sofre depois de endurecido. Na verdade a retração começa ocorrer logo após o
lançamento do concreto, porém para determinar a perda causada na armadura só interessa a
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
40
parte do fenômeno que ocorre depois da atuação da protensão. De uma maneira geral, a
retração é função principalmente a saída da água que não reage com o cimento (água em
excesso). Desta forma pode-se perceber que, além do tempo, as variáveis que interferirão no
processo são a temperatura e umidade do ambiente, além da espessura da peça e a quantidade
de água (em geral avaliada pela plasticidade do concreto). Lembrar que todo concreto é
poroso, porém há também outras propriedades tais como a comunicação entre os poros que
afetariam a questão da permeabilidade e, portanto, da saída da água. Assim, da forma como é
definida a retração ela não depende da introdução de ações o fenômeno ocorre mesmo que o
concreto esteja com estado de tensão nulo. Notar, porém, que a armadura existente na peça de
concreto armado ou protendido impede a retração livre da peça embora na maioria das vezes
este efeito seja desprezado. Assim, quando se considera a retração ocorrendo sem que haja
impedimento às deformações provocadas diz-se tratar de retração livre e são estes valores
que, em geral, as experiências apresentam chamando-se a atenção que, na prática, é
praticamente impossível isto ocorrer.
A fluência, como a retração, depende também do movimento da água, só que
associada a um carregamento aplicado. Assim, é influenciada por tensões capilares que
ocorrem no interior da massa de concreto que é composto de material sólido, gasoso, líquido e
gel. A não linearidade da relação tensão-deformação no concreto, especialmente a níveis de
tensão maiores que 30 a 40% da tensão última, mostra claramente a contribuição das
microfissuras da zona de transição à fluência. O aumento na deformação por fluência, que
ocorre invariavelmente quando o concreto é exposto simultaneamente a condições de
secagem, é causado por microfissuração adicional na zona de transição devida à retração por
secagem.
A ocorrência de uma resposta elástica retardada no agregado é ainda outra causa
da fluência no concreto. Uma vez que a pasta de cimento e o agregado estão aderidos, a
tensão na primeira diminui gradualmente à medida que a carga é transferida para o último,
que deforma elasticamente com o aumento da transferência de carga. Assim, a deformação
elástica retardada no agregado contribui para a fluência total.
Assim como no caso da retração livre a fluência pura é aquela devida a uma ação
introduzida no tempo t
0
e mantida constante ao longo do tempo. Notar porém que a protensão
devido à própria perda por fluência e à retração acaba diminuindo ao longo do tempo, assim a
fluência em peças protendidas não é a pura embora os valores desta podem ser considerados
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
41
a favor da segurança, pois são maiores que a relativa à fluência não pura. Outro detalhe
importante é que as ações que provocam a fluência tem caráter permanente, ou seja, as ações
acidentais têm curta duração e não provocariam deformação ao longo do tempo.
Quando a armadura é estirada surge a tensão de protensão que com o tempo irá
caindo pela propriedade da relaxação do material. Se o alongamento for mantido constante
ter-se-á a relaxação pura que como no caso da fluência é maior da que ocorre com a variável.
A perda por relaxação depende fundamentalmente da tensão em que está estirada a armadura,
porém assim como no caso da fluência decresce devido às outras perdas e inclusive a própria.
Sendo assim, na prática sempre haverá uma perda menor que a devida à relaxação pura.
Por último, como todas as perdas dependem de deformação do concreto e do aço a
aderência entre eles tem muita importância e, por exemplo, no caso de cordoalhas engraxadas
as perdas seriam calculadas para a seção da ancoragem e a favor da segurança consideradas a
mesma para as demais seções.
Nos itens seguintes serão discriminadas as expressões que permitem calcular as
perdas devidas à retração, fluência do concreto e a relaxação da armadura.
4
4
.
.
3
3
.
.
1
1
.
.
P
P
E
E
R
R
D
D
A
A
P
P
O
O
R
R
R
R
E
E
T
T
R
R
A
A
Ç
Ç
Ã
Ã
O
O
D
D
O
O
C
C
O
O
N
N
C
C
R
R
E
E
T
T
O
O
Imaginando inicialmente que se tem a retração livre e desta forma o encurtamento
que o concreto de uma seção estudada será igual a
c,c
(t
0
,) e que havendo a aderência entre o
concreto e a armadura (
p
=
cs
(t, t
0
)) corresponderá a um encurtamento na armadura e assim
uma perda de tensão dada por:
pcssp
Etttt
),(),(
00,
( 4.3)
O valor da retração do concreto depende da umidade relativa do ambiente, da
consistência do concreto no lançamento e da espessura fictícia da peça.
Entre os instantes t
0
e t, a retração é dada pelos valores da expressão abaixo.
)()(),(
00
tttt
sscscs
( 4.4)
Onde:
sscs 21
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
42
cs
é o valor final da retração;
s1
coeficiente que dependente da umidade relativa do ambiente e da consistência
do concreto (Tabela 4-1);
s2
: coeficiente dependente da espessura fictícia da peça.
fic
s
h38,20
2h 33
fic
2
( 4.5)
Onde;
h
fic
: espessura fictícia definida adiante e empregada nesta fórmula em centímetros;
s
(t) ou
s
(t
0
): coeficiente relativo á retração, no instante t ou t
0
(Figura 4-1);
t: idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias (a idade fictícia será
definida também);
t
0
: idade fictícia do concreto no instante em que o efeito da retração na peça
começa a ser considerado, em dias.
Tabela 4-1: Valores numéricos usuais para determinação da fluência e da retração (Tabela A.1
NBR 6118:2003).
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
43
A espessura fictícia do elemento dada pela seguinte expressão:
ar
c
fic
u
A
h
2
( 4.6)
Onde;
γ: depende da umidade relativa do ambiente
A
c
: área da seção transversal da peça;
u
ar
: é a parte do perimetro externo da seção transversal em contato com o ar.
Figura 4-1: Variação de β
s
(t) (Figura A.3 NBR6118:2003).
Os valores de
s
podem ser calculados de forma analítica pela expressão retirada
da norma:
E
t
D
t
C
t
t
B
t
A
t
t
s
100100100
100100100
)(
23
23
( 4.7)
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
44
Onde;
8,03958488169
;8,649658575
;7,408,85,2
;8,4220282116
;40
234
23
3
23
hhhhE
hhhD
hhC
hhhB
A
h é a espessura fictícia em metros; para valores de h fora do intervalo (0,05 ≤ h ≤
1,6), adotam-se os extremos correspondestes;
t é o tempo, em dias (t ≥ 3)
Para cálculo dos diversos valores envolvidos é preciso considerar a idade fictícia
, t
ef
em dias, quando o endurecimento se faz à temperatura ambiente de 20°C e, nos demais
casos, quando não houver cura a vapor, a idade a considerar é a idade fictícia dada por:
i
ief
i
t
T
t
,
30
10
( 4.8)
Onde;
t é a idade ficticia, em dias;
α é o coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do cimento; na falta
de dados experiemtais permite-se o emprego dos valores constantes (Tabela 4-2).
T
i
é a temperatura média diária do ambiente, T
i
, pode ser admitida constantes.
Δt
et,i
é o período, em dias, durante o qual a temperatura média diária do ambiente,
T
i
, pode ser admitida constante.
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
45
Tabela 4-2:Valores da fluência e retração em função da velocidade de endurecimento do cimento
(Tabela A.2 NBR 6118:2003).
No caso de existir cura a vapor, o que é comum é fabricas de pré-moldado, em
CARVALHO (2009), apresenta como pode ser calculada.
4
4
.
.
3
3
.
.
2
2
.
.
P
P
E
E
R
R
D
D
A
A
P
P
O
O
R
R
F
F
L
L
U
U
Ê
Ê
N
N
C
C
I
I
A
A
D
D
O
O
C
C
O
O
N
N
C
C
R
R
E
E
T
T
O
O
Da mesma forma que o efeito da retração, supõe-se inicialmente que se tem
fluência pura e desta forma o encurtamento do concreto de uma seção estudada será igual a
c,c
(t
0
,) e que havendo a aderência entre o concreto e a armadura (
p
=
c,c
(t, t
0
))
corresponderá a um encurtamento na armadura e assim uma perda de tensão dada por:
finalmentecomEtt
E
tt
Etttt
aindaouEtttt
p
c
cgp
cp
pccp
pcccp
,).,(),(
e ,).,(),(
; ,).,(),(
00,
00,0,
0,0,
cgppcp
tttt
).,(.),(
00,
( 4.9)
A tensão
cgp
é a tensão que ocorre no concreto no nível do centro de gravidade
da armadura de protensão e devido a ação das cargas permanentes inclusive a protensão sendo
dada pela expressão:
e
I
MM
I
eN
A
N
ggp
c
p
cgp
21
2
.
( 4.10)
Onde;
N
p
: força de protensão total;
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
46
I: inércia da seção transversal;
e: excentricidade dos cabos de protensão.
M
g
: carregamentos permanentes.
Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais do coeficiente
de fluência (t
∞
,t
0
) e da deformação especifica de retração ε
cs
(t
∞
,t
0
) do concreto, submetido a
tensões menores que 0,5 f
c
quando do primeiro carregamento, podem ser obtidos, por
interpolação linear, a partir da Tabela 4-3.
Tabela 4-3: Valores característicos superiores da deformação especifica de retração ε
cs
(t
∞
,t
0
) e do
coeficiente de fluência (t
∞
,t
0
). (Tabela 8.1 NBR 6118:2003).
O valor da fluência pode ser avaliado de forma mais precisa como está
apresentado a seguir. A deformação por fluência do concreto (ε
cc
) compõe-se de duas partes,
uma rápida e outra lenta. A fluência rápida (ε
cca
) é irreversível e ocorre durante as primeiras
24 horas após a aplicação da carga que a originou. A fluência lenta é por sua vez composta
por duas outras parcelas: a deformação lenta irreversível (ε
ccf
) e a deformação lenta reversível
(ε
ccd
).
dfa
cccctotcc
ccdccfccacc
)1(
,
( 4.11)
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
47
Onde;
φ
a
é o coeficiente de deformação rápida;
φ
f
é o coeficiente de deformação lenta irreversível;
φ
d
é o coeficiente de deformação lenta reversível.
Para o cálculo dos efeitos da fluência, quando as tensões no concreto são as de
serviço, admitem-se as seguintes hipóteses:
a)
A deformação por fluência ε
cc
varia linearmente com a tensão aplicada;
b)
Para acréscimos de tensão aplicados em instantes distintos, os
respectivos efeitos de fluência se superpõem;
c)
A fluência rápida produz deformações constantes ao longo do tempo; os
valores do coeficiente φ
a
são função da relação entre a resistência do
concreto no momento da aplicação da carga e a sua resistência final;
d) O coeficiente de deformação lenta reversível φ
d
depende apenas da
duração do carregamento; o seu valor final e o seu desenvolvimento ao
longo do tempo são independentes da idade do concreto no momento da
aplicação da carga;
e)
O coeficiente de deformação lenta irreversível φ
d
depende de:
- umidade relativa do ambiente;
- consistência do concreto no lançamento;
- espessura fictícia da peça h
fic
;
- idade t
0
no instante da aplicação da carga;
- idade fictícia do concreto no instante considerado (t).
f)
Para o mesmo concreto, as curvas de deformação lenta irreversível em
função do tempo, correspondentes a diferentes idades do concreto no
momento do carregamento, são obtidas, umas em relação às outras, por
deslocamento paralelo ao eixo das deformações conforme a Figura 5.2.
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
48
Figura 4-2: Variação de ε
ccf
(t). (Figura A.1 NBR 6118:2003).
Assim o valor deformação especifica total do concreto é dada:
),(),(
0
28
0
tt
E
tt
c
c
ccfccdccacc
( 4.12)
Com E
c28
calculado, para j = 28 dias, pela expressão: E
ci,28
= 5600 f
ck
1/2
.
O coeficiente de fluência φ(t,t
0
), valido também para a tração é dado por:
ddfffa
tttt
)()(),(
00
( 4.13)
Onde;
t é a idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias;
t
0
é a idade fictícia do concreto aos ser feito o carregamento único, em dias;
φ
a
é o coeficiente de fluência rápida, determinado pela expressão;
)(
)(
18,0
0
tf
tf
c
c
a
( 4.14)
Onde;
)(
)(
0
tf
tf
c
c
é a função do crescimento da resistência do concreto com a idade;
ccf 21
.
é o valor final do coeficiente de deformação lenta irreversível;
c1
é o coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente U, em
porcentagem, e da consistência do concreto dado pela Tabela 4-2;
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
49
c2
é o coeficiente dependente da espessura fictícia h
fic
da peça.
fic
fic
c
h
h
20
42
2
( 4.15)
Onde;
h
fic
é a espessura fictícia em centímetro;
β
f
(t) ou β
f
(t
0
) é o coeficiente relativo a deformação lenta irreversível, função da
idade do concreto (Figura 4-3);
φ
d∞
é o valor final do coeficiente de deformação lenta reversível que é
considerado igual a 0,4;
β
d
(t) é o coeficiente relativo a deformação lenta reversível função do tempo (t-t
0
)
decorrido após o carregamento.
70
20
)(
0
0
tt
tt
t
d
( 4.16)
Figura 4-3: Variação de β
f
(t). (Figura A.2 NBR 6118:2003).
Os valores de
f
podem ser calculados de forma analítica pela expressão retirada
da norma:
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
50
DCtt
BAtt
t
f
2
2
)(
( 4.17)
Onde;
;193135343319167579
;183109013200
;2332343060768
;11358835042
23
23
23
23
hhhD
hhhC
hhhB
hhhA
h é a espessura fictícia em metros; para valores de h fora do intervalo (0,05 ≤ h ≤
1,6), adotam-se os extremos correspondestes;
t é o tempo, em dias (t ≥ 3)
4
4
.
.
3
3
.
.
3
3
.
.
P
P
E
E
R
R
D
D
A
A
P
P
O
O
R
R
R
R
E
E
L
L
A
A
X
X
A
A
Ç
Ç
Ã
Ã
O
O
D
D
A
A
A
A
R
R
M
M
A
A
D
D
U
U
R
R
A
A
A intensidade da relaxação pura do aço (deformação constante) é determinada
pelo coeficiente (t, t
0
) definido por:
(t, to) =
pi
pr
tt
)t(t,
),(
o
0
( 4.18)
Onde;

pr
(t,t
0
) é a perda de tensão por relaxação pura desde o instante t
0
do estiramento
até o instante t considerado.
pi
: tensão da armadura de protensão no instante de seu estiramento
Os valores médios de relaxação, medidos após 1000 h à temperatura constante de
20ºC para as perdas de tensão referidas a valores básicos da tensão inicial de 50% a 80% da
resistência característica f
ptk
(Ψ
1000
) estão reproduzidos na Tabela 4-4.
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
51
Tabela 4-4: Valores de Ψ
1000
, em porcentagem (Tabela NBR 6118:2003).
Os valores correspondentes a tempos diferentes de 1000 h, sempre a 20ºC, podem
ser determinados a partir da seguinte expressão, onde o tempo deve ser expresso em dias:
15,0
0
10000
67,41
),(
tt
tt
( 4.19)
Para tensões inferiores a 0,5 f
ptk
, admite-se que não haja perda de tensão por
relaxação.
Para tensões intermediárias entre os valores fixados na Tabela 4-4, pode ser feita
interpolação linear.
Pode-se considerar que para o tempo infinito o valor de (t, t
0
) é dado por (t
∞
,
t
0
)≈2,50
1000
.
4
4
.
.
3
3
.
.
4
4
.
.
P
P
E
E
R
R
D
D
A
A
S
S
A
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L
O
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C
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I
D
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A
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O
G
G
R
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E
E
S
S
S
S
I
I
V
V
A
A
S
S
Os valores parciais e totais das perdas progressivas de protensão, decorrentes da
retração e fluência do concreto e da relaxação do aço de protensão, devem ser determinados
levando-se em conta a interação dessas causas, podendo ser utilizados os processos indicados
em a, b e c. Nesses processos admite-se que exista aderência entre a armadura e o concreto e
que a peça permaneça no estádio 1.
a)
Método simplificado para o caso de fases únicas de operação
Este caso é aplicável quando são satisfeitas as condições seguintes:
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
52
A concretagem da peça, bem como a protensão, são executadas cada uma delas
em fases suficientemente próximas para que se desprezem os efeitos recíprocos de uma
fase sobre a outra;
Os cabos possuem entre si afastamentos suficientemente pequenos em relação
à altura da seção da peça, de modo que seus efeitos possam ser supostos equivalentes ao
de um único cabo, com seção transversal de área igual à soma das áreas das seções dos
cabos componentes, situado na posição da resultante dos esforços neles atuantes (cabo
resultante).
Nesse caso, admite-se que no tempo t as deformações progressivas do concreto e
do aço de protensão, na posição do cabo resultante, sejam dadas por:
ppcp
cpgpcppcs
p
ttttEtt
tt

),(),(),(
),(
0000,0
0
( 4.20)
po
),(
+ )t(t,
p
op
p
po
pt
E
tt
E
( 4.21)
),( +
),(
+ )t(t,
cs
28
o
28
,
o
ci
oc
c
ci
gpoc
ct
tt
E
tt
E
( 4.22)
Onde;
c,pog
: tensão no concreto devida à protensão e à carga permanente;
(t,t
0
): coeficiente de fluência do concreto no instante t para protensão e carga
permanente aplicadas no instante t
0
;
po
: tensão na armadura ativa devida à protensão e à carga permanente mobilizada
no instante t
0
;
(t,t
0
): coeficiente de fluência do aço = - ln [ 1 - (t, t
0
)];
cs
(t,t
0
): retração no instante t, descontada a retração ocorrida até o instante t
0
;
(t,t
0
): coeficiente de relaxação do aço no instante t para protensão e carga
permanente mobilizada no instante t
0
;
c
= 1 + 0,5 (t, t
0
)
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
53
p
= 1 + (t, t
0
)

c
(t,t
0
): variação da tensão do concreto adjacente ao cabo resultante entre t
0
e t;

p
(t,t
0
): variação da tensão no aço de protensão entre t
0
e t;
p
: taxa geométrica da armadura de protensão = A
p
/A
c
;
= 1 +
2
p
e
. A
c
/ I
c
e
p
: excentricidade do cabo resultante em relação ao baricentro da seção do
concreto;
A
p
: área da seção transversal do cabo resultante;
A
c
: área da seção transversal do concreto;
I
c
: momento central de inércia na seção do concreto;
p
=
28ci
p
E
E
b)
Processo aproximado
Este processo substitui o anterior desde que satisfeitas as mesmas condições de
aplicação e a retração não difira mais de 25% do valor de [-8x10
-5
φ(t
∞
,t
0
)].
Para os aços de relaxação normal (RN) (em porcentagem).


gpoc
p
p
p
tt
tt
,
57,1
0
0
0
3),(
47
1,18
),(
( 4.23)
Para os aços de relaxação baixa (RB) (em porcentagem)


gpoc
p
p
p
tt
tt
,
07,1
0
0
0
3),(
7,18
4,7
),(
( 4.24)
c) Método geral de cálculo
Quando as ações permanentes (carga permanente ou protensão) são aplicadas
parceladamente em idades diferentes, é preciso considerar a fluência de cada uma das
camadas de concreto e a relaxação de cada cabo, separadamente. Permitem-se as substituições
das seções transversais compostas de diferentes camadas por prismas equivalentes que se
Capítulo 4 – Perdas de protensão
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
54
comportam como camadas discretas. Permite-se a consideração isolada da relaxação de cada
cabo independentemente da aplicação posterior de outros esforços permanentes.
Em SILVA (2003), o método dos prismas equivalentes utiliza a propriedade que
permite analisar uma seção sujeita à flexão composta substituindo-a por dois prismas
posicionados nos seus pares de pontos conjugados. Dessa forma, a análise de seções do tipo
apresentado na Figura 4-4 conduz a um sistema de equações lineares desacopladas entre si,
facilitando a obtenção dos resultados finais. Para um melhor aprofundamento neste assunto,
recomenda-se SILVA (2003).
Figura 4-4: Conceito de prismas equivalentes em uma seção transversal plana (SILVA 2003).
Capítulo 5 – Cálculo da armadura longitudinal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
55
5
5
.
.
C
C
Á
Á
L
L
C
C
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L
L
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G
G
I
I
T
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I
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N
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A
L
L
Este capítulo apresenta os critérios de cálculo da armadura longitudinal para se
garantir a segurança tanto no estado limite ultimo quanto de serviço.
5
5
.
.
1
1
.
.
I
I
N
N
T
T
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O
D
D
U
U
Ç
Ç
Ã
Ã
O
O
Quando se calcula uma peça de concreto armado ou protendido, deve-se garantir a
segurança no estado limite último assim como verificar as condições de serviço então além
das verificações no estado limite último é preciso verificar a estrutura em seu funcionamento,
ou seja, em serviço ou uso.
Essas verificações correspondem aos estados limites de serviço de fissuração e
deformação excessiva. Não basta uma estrutura ter segurança à ruptura é preciso que funcione
adequadamente e que tenha durabilidade compatível ao que foi projetada.
A fissuração excessiva de uma peça em concreto protendido pode comprometer
significativamente sua durabilidade. Embora não seja a única causa, ou condição necessária,
pode-se dizer que, quando de sua ocorrência, há grande risco de haver uma degradação rápida
do concreto superficial e da armadura. Outros fatores, como: porosidade do concreto,
cobrimento insuficiente da armadura, presença de agentes agressivos etc., contribuem ou
podem ser determinantes na durabilidade da estrutura. Examinados esses fatores, o projetista
deve evitar que a peça sofra fissuração excessiva, devida à flexão, detalhando adequadamente
a armadura na seção transversal e, se for o caso, aumentando a sua quantidade.
Assim, em relação à questão de fissuração, em geral, deseja-se evitar situações em
que a fissuração do concreto possa causar uma diminuição na vida útil da estrutura. O uso de
fator água cimento (A/C) adequado, resistência mínima do concreto e cobrimentos mínimos
adequados para armadura também fazem parte das prescrições de se evitar a corrosão da
armadura e, portanto a diminuição da vida útil da estrutura. Portanto, a adoção de resistência
mínima de concreto, cobrimento mínimo para armadura e verificação de estados de fissuração
se complementam dando condição, junto com as boas técnicas de confecção da estrutura, que
haja garantia de uma vida útil mínima. A questão do estado limite de deformação excessivo
está ligada realmente as questões de estética e funcionamento adequado.
Capítulo 5 – Cálculo da armadura longitudinal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
56
Deformação excessiva em um piso pode ser uma questão estética para quem
consegue perceber este defeito, mas pode ser no caso de piso industrial, uma impossibilidade
de se montar máquinas que toleram um pequeno desnivelamento entre seus apoios. Também
uma peça de telha W pode ao longo do tempo perder sua declividade de forma que acumule
água. Finalmente, embora tenha se colocado como verificação dos estados limites de serviço,
os estados limites podem também, no caso de concreto protendido os relativos a fissuração,
serem usados como procedimentos de dimensionamento da armadura longitudinal.
Já o dimensionamento no estádio limite último de colapso em concreto protendido
pouco difere do efetuado em peças de concreto armado. As hipóteses que uma seção
transversal deve obedecer tanto em concreto armado quanto em protendido estão descritas no
item 17.2.2 da norma NBR 6118:2003.
As estruturas em concreto protendido mais que as em concreto armado
apresentam uma gama de soluções em maior número para um mesmo problema. Só o fato de
se poderem mesclar as armaduras passivas e ativas já conduz a pelo menos duas famílias de
soluções. O controle da fissuração do concreto através da introdução de esforços de
compressão irá criar as diversas matrizes de soluções possíveis na família protendida com ou
sem armadura passiva.
5
5
.
.
2
2
.
.
S
S
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E
Ç
Ç
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O
C
C
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O
M
M
P
P
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O
S
S
T
T
A
A
Os elementos pré-fabricados apresentam fases distintas de características
geométricas e de carregamentos. Quando o elemento pré-fabricado acaba de ser produzido em
uma fabricá, por exemplo, a seção transversal ali apresentada é caracterizada como seção em
vazio, ou seja, somente a seção do pré-moldado, já quando esta mesma viga é transportada e
posicionada no seu lugar definitivo, onde receberá o carregamento de laje alveolar e esta laje
posteriormente receberá uma capa de concreto, podemos dizer que esta nova seção transversal
é chamada como seção composta.
Estas diferentes fases de carregamento e geometria das seções poderão ser
consideradas no dimensionamento do pré-moldado. A Figura 5-1 apresenta as principais fases
de uma viga com seção composta.
Capítulo 5 – Cálculo da armadura longitudinal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
57
Figura 5-1: Seção transversal da viga pré-fabricada com as etapas seguidas para execução de
uma estrutura com pórticos com ligações semi-rígidas.
A primeira etapa corresponde a seção da viga pré-moldada. A segunda refere-se
ao transporte, posicionando a viga no seu lugar definitivo. A colocação das lajes alveolares
corresponde a terceira etapa. A quarta etapa é o posicionamento das armaduras de ligação, o
projetista define se existe a necessidade de concretagem da ligação neste momento ou
somente na etapa seguinte (critérios de cálculo). A quinta etapa é a concretagem da capa,
solidarizando a ligação. Por ultimo a sexta etapa é a seção composta final.
O critério de cálculo citado acima referente a quarta etapa, é a definição do
projetista se a capa de concreto entrará como carga, sendo estes esforços mobilizados pela
armadura longitudinal e com o esquema estático bi-articulado. Caso opte pela concretagem da
ligação, quando a carga da capa entrar este esforço será resistido pela armadura longitudinal e
pela ligação.
Com a aplicação da capa de concreto além da formação da seção composta é
possível que a laje seja calculada como continua para os carregamentos após o endurecimento
da capa de concreto.
Capítulo 5 – Cálculo da armadura longitudinal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
58
5
5
.
.
3
3
.
.
T
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E
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N
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Õ
Õ
E
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S
S
N
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A
A
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A
D
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U
R
R
A
A
A
A
T
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I
I
V
V
A
A
Como já enunciado toda estrutura, inclusive as de concreto protendido, precisam
além de ser garantido ao colapso com uma margem de segurança, funcionar adequadamente
em serviço (estados limites em serviço). Assim, para as peças fletidas em protendido é sempre
possível resolver o problema de estados limites de duas maneiras. A primeira pressupõe que a
condição de colapso é a que conduz à maior quantidade de armadura longitudinal e, desta
forma, dimensiona-se, a armadura no estádio III e verifica-se a condição de fissuração com o
número de cabos já determinado. No segundo raciocínio considera-se que a condição de
utilização de fissuração é a mais desfavorável e através da limitação das tensões normais na
seção transversal, determina-se o número de cabos necessários em serviço verificando-se, em
seguida o estado limite último.
Considerando o primeiro caso, o problema que se deve resolver é o seguinte:
Dada a seção transversal, a posição do centro de gravidade da armadura de protensão (quando
não conhecido será arbitrado), as características dos materiais (aço e concreto), momentos
atuantes, qual deve ser a seção de armadura longitudinal de protensão que satisfaça à ruptura.
Considerando o esforço de protensão como interno, a questão pode ser tratada como de flexão
simples e o efeito de protensão entra só no equilíbrio do momento fletor. Trata-se de um
procedimento aproximado, porém adotado largamente na prática.
Para utilizar este procedimento é necessário conhecer o valor da tensão na
armadura (σ
pd
) na configuração do estado limite último sendo necessário fazer uma análise
cuidadosa do que ocorre. Imaginando uma seção transversal retangular como a apresentada na
Figura 5-2 e considerando inicialmente o efeito apenas da força de protensão F
p
. Nesta
situação a seção transversal sofre dois efeitos: um encurtamento 1 devido o efeito do normal
F
p
e uma rotação , devido força de protensão atuando com uma excentricidade de e
p
que
causará as deformações 2 e 3 (fibra superior e junto a armadura de protensão) (Figura 5-2)
Devido a ação do peso próprio (Figura 5-3) haverá uma rotação (contrária ao efeito da
protensão) causando os deslocamentos 4 e 5. Na Figura 5-3 os dois efeitos são
considerados resultando nos deslocamentos 6 e 7 que corresponderão as deformações
específicos
c
e
cp,p+g1
. Na figura em questão considerou-se que as deformações específicas
são de encurtamentos, mas poderiam, por exemplo, na fibra superior ocorrer um pequeno
alongamento sem que houvesse fissuração no concreto.
Capítulo 5 – Cálculo da armadura longitudinal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
59
Figura 5-2: Deformação da seção após protensão.
Figura 5-3: Deformação da seção após peso próprio.
Figura 5-4: Deformação da seção após peso próprio e protensão.
Após a execução da protensão e havendo igualdade entre deformação específica
do concreto com o da armadura e considerando a atuação do momento último uma seção até
encontrar uma situação de equilíbrio passará pelo o estado limite de descompressão (Figura
5-5) como sendo aquele em que um ou mais pontos a tensão no concreto é nula e no restante
da seção não haverá tensão de tração.
Capítulo 5 – Cálculo da armadura longitudinal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
60
Figura 5-5: Seção transversal no estados limites de descompressão e limite ultimo.
Assim a deformação que armadura sofrerá até chegar no estado limite último em
equilíbrio será, neste caso, composta de três parcelas: a) a distensão provocado pelo macaco já
descontadas todas as perdas ou não (o que for mais desfavorável), b) a movimentação do
concreto (já aderente a armadura) até que a tensão na fibra inferior, próxima a armadura ativa
(a menos da distância d’ no mesmo nível da armadura) seja nula
7
e 3) a deformação
correspondente a
s
necessária para haver equilíbrio.
Finalmente pode-se dizer que a tensão na armadura de protensão depende da
efetivação da protensão (pré-alongamento)
p
, a deformação para chegar-se ao estado de
descompressão
7
(
cp,p+g1
)
e a deformação que ocorre depois desta que é designada aqui
simplesmente por
s
, que deve ser menor que 1% (evitar a deformação excessiva da armadura
depois de estar em contato com o concreto ou aberturas de fissuras muito grandes).
O valor de
7
pode ser obtido pela expressão:
7
=
cp,p+g1
=
cc
pg1
c
2
pp
c
p
E
1
.
I
e.M
I
e.N
A
N
( 5.1)
Onde:
N
p
é o esforço normal de protensão na seção
M
g1
– momento devido a ação do peso próprio na seção
e
p
– excentricidade da armadura ativa
I
c
, E
c
– momentos de inércia da seção e módulo de elasticidade do concreto
respectivamente.
Capítulo 5 – Cálculo da armadura longitudinal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
61
Esta parcela de deformação será diferente se a protensão não for suficiente para
mobilizar todo o peso próprio da viga, mas por ser pequena e não ter a quantidade final de
cabos, costuma ser desprezada nos cálculos usuais.
Para trabalhar com os aços de protensão vamos usar os resultados da publicação
de VASCONCELOS (1980) dada na Tabela 5-1.
Cabe ainda ressaltar que a segurança à ruína deve existir mesmo na consideração
mais desfavorável e, portanto é preciso analisar a seção sob a ação do maior dos esforços
atuantes e com a menor força de protensão, ou seja, após todas as perdas (no tempo
“infinito”), não se esquecendo, porém, de verificar outras situações que não esta (situação em
vazio, por exemplo).
Tabela 5-1: Tensão no aço σ
sd
(MPa).
(%o)
5,25 6,794 7,438 8,167 9,000 9,962 10,00 12,50 15,00 17,5
CP175
1025 1264 1316 1344 1365 1368 1368 1378 1388 1397
CP190
1025 1314 1411 1459 1482 1486 1486 1496 1507 1517
(%o)
20,00 22,50 25,00 27,5 30,00 32,50 35,00 37,50 40,00
CP175
1407 1416 1426 1436 1445 1455 1464 14,74 1484
CP190
1527 1538 15,48 1559 1569 1579 1590 1600 1611
5
5
.
.
4
4
.
.
C
C
Á
Á
L
L
C
C
U
U
L
L
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O
D
D
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M
A
A
D
D
U
U
R
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N
G
G
I
I
T
T
U
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D
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I
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M
M
V
V
I
I
G
G
A
A
S
S
S
S
O
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B
B
F
F
L
L
E
E
X
X
Ã
Ã
O
O
S
S
I
I
M
M
P
P
L
L
E
E
S
S
O cálculo da quantidade de armadura longitudinal de armaduras passivas ou
ativas, para seções transversais retangulares, conhecidos a resistência do concreto (f
ck
),
largura da seção (
b
w
), altura útil (d) e tipo de aço (f
yd
e
yd
) é feito, de maneira simples, a
partir do equilíbrio das forças atuantes na seção. Será estudada inicialmente a flexão normal
pura e simples, que é representada pelos domínios 2, 3, 4 e 4a.
5
5
.
.
4
4
.
.
1
1
.
.
E
E
Q
Q
U
U
A
A
C
C
I
I
O
O
N
N
A
A
M
M
E
E
N
N
T
T
O
O
Seja o seguinte problema: conhecidos f
ck
, b
w
, d, tipo de aço (f
yd
e
yd
) e M
d
(M
d
= 1,4M), determinar a área da armadura longitudinal necessária (A
s
) para que uma viga
de concreto armado e seção transversal retangular resista ao momento de cálculo (Figura 5-6).
Capítulo 5 – Cálculo da armadura longitudinal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
62
Figura 5-6: Viga de seção retangular e diagramas de deformações e tensões na seção solicitada
pelo momento de cálculo M
d
.
a) Equilíbrio da seção:
Equilíbrio das forças atuantes normais a seção transversal: como não há força
normal externa, a força atuante no concreto (F
c
) deve ser igual a força atuante na armadura
(F
s
).
cscs
FFFFF
00
( 5.2)
Equilíbrio dos momentos: o momento das forças internas em relação a qualquer
ponto (no caso, em relação ao C.G. da armadura) deve ser igual ao momento externo de
cálculo:
zFMMM
cdd
.
( 5.3)
De ( 5.2) e ( 5.3).
zFM
cd
.
( 5.4)
b)
Posição da linha neutra (x):
Conhecendo-se a posição da linha neutra é possível saber o domínio em que a
peça está trabalhando e calcular a resultante das tensões de compressão no concreto (F
c
) e o
braço de alavanca (z).

xbfF
wcdc
8,085,0
xdz 4,0 (braço de alavanca).
Colocando
F
c
e z na equação ( 5.3), tem-se:
Capítulo 5 – Cálculo da armadura longitudinal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
63


xdxfbxdxbfzFM
cdwwcdcd
4,068,04,08,085,0
ou ainda,
cdwd
fbxdxM
2
272,068,0
( 5.5)
Resolvendo a equação ( 5.5) obtém-se
x, o qual define a posição da linha neutra,
que é fundamental para a solução do problema proposto. Nota-se que a variação de
x não é
linear com o esforço solicitante
M
d
, mas segue um polinômio do segundo grau.
c)
Cálculo da área necessária de armadura (A
s
)
Com o valor de x determinado acima é possível encontrar
A
s
. A força na armadura
(
F
s
) vem do produto da área de aço (A
s
) pela tensão atuante no aço (f
s
).
Da equação ( 5.4) tem-se
sss
d
AfF
z
M
resultando
pd
d
s
fz
M
A
( 5.6)
O valor de f
pd
é obtido a partir de
t
com
t
=
p
+
s
+
7
, sendo o valor de
7
desprezado, pois este valor é pequeno para a se determiná-lo o valor é necessário conhecer a
quantidade de cabos antes do dimensionamento. O valor de
p
a ser empregado deverá ser o
correspondente ao tempo infinito quando se tratar de combinação de todas as ações e no
tempo zero quando se verificar o estado limite último logo após a protensão.
d)
Verificação do domínio em que a peça atingirá o estado limite último
Obtido o valor de
x que define a posição (altura) da linha neutra, é possível
verificar em que domínio a peça atingirá o estado limite último que é muito importante para o
caso de concreto armado, o caso de peças em concreto protendido interessa apenas para o
cálculo do valor de s deformação que ocorre no aço de protensão após a neutralização. Na
flexão simples, que é o que está aqui sendo considerados, os domínios possíveis são o 2, o 3 e
o 4. No início do domínio 2 tem-se
c
= 0, e no final do domínio 4 tem-se
s
= 0, que são as
piores situações que podem ocorrer. No primeiro caso o concreto não contribui na resistência
e no segundo o aço de protensão trabalha apenas com o pré-alongamento.
Capítulo 5 – Cálculo da armadura longitudinal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
64
Relação entre deformações: como as seções permanecem planas após a
deformação, por semelhança dos triângulos
ABC e ADE do diagrama de deformações (Figura
5-7) é possível obter a relação entre a posição da linha neutra (
x) e a altura útil (d):
sc
c
scc
d
xdx
( 5.7)
Figura 5-7: Relação entre a posição da linha neutra e a altura útil.
Posição da linha neutra: no limite do domínio 2 e em todo o 3 tem-se a
deformação específica do concreto
c
= 3,5‰ (0,0035); colocando esse valor na equação ( 5.7)
resulta:
s
d
x
0035,0
0035,0
Concluindo-se que para uma seção conhecida a posição da linha neutra depende
apenas do tipo de aço.
5
5
.
.
5
5
.
.
F
F
Ó
Ó
R
R
M
M
U
U
L
L
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B
B
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Ç
Õ
Õ
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S
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A
A
N
N
G
G
U
U
L
L
A
A
R
R
E
E
S
S
Segundo CARVALHO et al (2007) sempre que possível é conveniente trabalhar
com fórmulas adimensionais, pois isto facilita o emprego de diversos sistemas de unidades e
permite a utilização de tabelas e gráficos de modo mais racional. Na forma adimensional, as
equações ficam:
a)
Equação de M
d
( 5.5)
Dividindo ambos os membros da equação de M
d
( 5.5) por
cdw
fdb
2
tem-se:
2
2
2
2
2
.272,0.68,0
..
.)..272,0..68,0(
..
d
x
d
x
fdb
fbxdx
fdb
M
cdw
cdw
cdw
d
Capítulo 5 – Cálculo da armadura longitudinal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
65
Chamando
KMD
fdb
M
cdw
d
..
2
e KX
d
x
a equação acima fica:
2
).(272,0).(68,0 KXKXKMD
( 5.8)
A equação ( 5.8) contém apenas termos adimensionais, e KX só pode variar de 0 a
1 (x = 0 e x = d):
x = 0 (início do domínio 2)
00 KMD
d
x
KX
x = d (fim do domínio 4)
408,01 KMD
d
x
KX
b)
Expressão que fornece o braço de alavanca )4,0( z xdz
Dividindo os dois termos por d resulta:
d
x
d
xd
d
z
4,01
4,0
Chamando
KZ
d
z
e lembrando que
d
x
KX , da equação anterior obtém-se KZ:
KXKZ
4,01
( 5.9)
c)
Expressão para o cálculo da armadura
dKZz
fz
M
A
s
d
s
)( como e,
, resulta:
s
d
s
fdKZ
M
A
)(
( 5.10)
d)
Equação que relaciona as deformações com a altura da linha neutra ( 5.7)
sc
c
d
x
e, como
KX
d
x
resulta:
sc
c
KX
( 5.11)
Capítulo 5 – Cálculo da armadura longitudinal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
66
Como KX só admite valores de 0 a 1, pode-se construir a Tabela 5-2 em que a
cada
KX arbitrado entre 0 e 1 corresponde: um valor de KMD, calculado pela equação ( 5.8);
um valor de
KZ calculado pela equação ( 5.9); obtem-se
c
(EC), o valor de
s
(ES) pela
equação ( 5.11). É importante destacar que conhecido o par de deformações (
c
;
s
) conhece-
se o domínio em que a peça está trabalhando. Na Tabela 5-2, por praticidade, foram dados
valores a
KMD e calculados os demais, mantidos os limites de validade para KX.
Tabela 5-2: Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares.
KMD KX KZ EC
ES KMD KX KZ EC ES
0,0100 0,0148 0,9941 0,1502 10,0000 0,2050 0,3506 0,8597 3,5000 6,4814
0,0200 0,0298 0,9881 0,3068 10,0000 0,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971
0,0300 0,0449 0,9820 0,4704 10,0000 0,2150 0,3714 0,8515 3,5000 5,9255
0,0400 0,0603 0,9759 0,6414 10,0000 0,2200 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658
0,0500 0,0758 0,9697 0,8205 10,0000 0,2250 0,3925 0,8430 3,5000 5,4170
0,0550 0,0836 0,9665 0,9133 10,0000 0,2300 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785
0,0600 0,0916 0,9634 1,0083 10,0000 0,2350 0,4143 0,8343 3,5000 4,9496
0,0650 0,0995 0,9602 1,1056 10,0000 0,2400 0,4253 0,8299 3,5000 4,7297
0,0700 0,1076 0,9570 1,2054 10,0000 0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 4,5181
0,0750 0,1156 0,9537 1,3077 10,0000 0,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4,3144
0,0800 0,1238 0,9505 1,4126 10,0000 0,2550 0,4594 0,8162 3,5000 4,1181
0,0850 0,1320 0,9472 1,5203 10,0000 0,2600 0,4711 0,8115 3,5000 3,9287
0,0900 0,1403 0,9439 1,6308 10,0000 0,2650 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459
0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,0000 0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3,5691
0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,0000 0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981
0,1050 0,1654 0,9339 1,9810 10,0000 0,2800 0,5199 0,7921 3,5000 3,2324
0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,0000 0,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3,0719
0,1150 0,1824 0,9270 2,2314 10,0000 0,2900 0,5455 0,7818 3,5000 2,9162
0,1200 0,1911 0,9236 2,3621 10,0000 0,2950 0,5586 0,7765 3,5000 2,7649
0,1250 0,1998 0,9201 2,4967 10,0000 0,3000 0,5721 0,7712 3,5000 2,6179
0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,0000 0,3050 0,5858 0,7657 3,5000 2,4748
0,1350 0,2175 0,9130 2,7786 10,0000 0,3100 0,5998 0,7601 3,5000 2,3355
0,1400 0,2264 0,9094 2,9263 10,0000 0,3150 0,6141 0,7544 3,5000 2,1997
0,1450 0,2354 0,9058 3,0787 10,0000 0,3200 0,6287 0,7485 3,5000 2,0672
0,1500 0,2445 0,9022 3,2363 10,0000 0,3300 0,6590 0,7364 3,5000 1,8100
0,1550 0,2536 0,8985 3,3391 10,0000 0,3400 0,6910 0,7236 3,5000 1,5652
0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104 0,3500 0,7249 0,7100 3,5000 1,3283
0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531 0,3600 0,7612 0,6955 3,5000 1,0983
0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222 0,3700 0,8003 0,6799 3,5000 0,8732
0,1750 0,2913 0,8835 3,5000 8,5154 0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,6506
0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8,3106
0,1850 0,3106 0,8757 3,5000 7,7662
0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7,4204
0,1950 0,3305 0,8678 3,5000 7,0919
0,2000 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793
Capítulo 6 – Cálculo da armadura transversal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
67
6
6
.
.
C
C
Á
Á
L
L
C
C
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U
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L
O
O
D
D
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N
N
S
S
V
V
E
E
R
R
S
S
A
A
L
L
Neste capitulo o estudo da armadura transversal é discutido considerando o efeito
da protensão na viga pré-fabricada. A formulação apresentada segue a prescrição da norma
brasileira NBR 6118:2003.
6
6
.
.
1
1
.
.
I
I
N
N
T
T
R
R
O
O
D
D
U
U
Ç
Ç
Ã
Ã
O
O
O cisalhamento em peças protendidas pode ser analisado da mesma forma que em
peças de concreto armado bastando considerar dois efeitos: a parcela de força normal que a
protensão introduz e, quando os cabos são curvos, o efeito da força cortante oriunda da
protensão. No caso da pré-tração basta considerar o efeito do normal, pois os cabos são retos.
A norma NBR 6118:2003 prevê que o cálculo e verificações de cisalhamento podem ser feitas
com analogia com modelos de treliça considerando duas situações, modelo tipo I e o modelo
tipo II. No caso do modelo I a inclinação da biela é de 45º enquanto no modelo II pode variar
de 30 a 45º. Desta forma é preciso antes de tudo definir qual o modelo é mais preciso para
fazer as análises de peças protendida.
6
6
.
.
2
2
.
.
I
I
N
N
C
C
L
L
I
I
N
N
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E
C
C
O
O
M
M
P
P
R
R
E
E
S
S
S
S
Ã
Ã
O
O
Como mostrado em CARVALHO e FILHO (2007) pode-se fazer uma análise da
fissuração provocada por tensões normal e tangencial na alma de uma viga de concreto
usando os princípios da resistência dos materiais e considerando o círculo de Mohr.
Seja uma viga fletida de concreto armado como a da Figura 6-1, pode-se
calcular as tensões principais de tração e compressão (
1
e
2
respectivamente) em pontos da
alma em função do momento fletor e cortante atuante na seção. Lembra-se que em vigas é
comum desprezar o valor da tensão vertical (
y
) que é considerada nula.
Imagina-se agora que se deseja obter as tensões principais em dois pontos: um na
região comprimida (ponto 1), e outro na linha neutra (ponto 2).
Capítulo 6 – Cálculo da armadura transversal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
68
Figura 6-1: Pontos para análise das tensões principais de uma viga, simplesmente apoiada sob
carregamento uniforme.
Desses pontos retiram-se dois elementos infinitesimais, em que atuam tensões
normais e tangenciais ; pelo círculo de Mohr encontram-se as tensões principais
1
e
2
e
suas inclinações em relação ao eixo da viga, ver Figura 6-2.
Figura 6-2: Cálculo das tensões principais nos pontos 1 e 2 usando o círculo de Mohr (Notar que
para o caso do ponto 1 a aresta A fica representada pelo ponto no circulo de Mohr com
coordenadas σ e -τ para a aresta B a ordena 0 (σ
y
=0) e τ, enquanto para o ponto 2 a aresta A
fica representada pelo ponto no circulo de Mohr com coordenadas σ=0 e -τ para a aresta B a
ordena 0 (σ
y
=0) e τ.
Como pode ser visto na Figura 6-2, para pontos situados no cg (pontos do tipo 2)
só há tensão de cisalhamento e, portanto a tensão principal de tração ocorrerá a 45
o
. Já para os
pontos do tipo 1, onde há compressão (abaixo da linha neutra seria tração), a tensão principal
ocorrerá com um angulo inferior a 45
o
. Isto já indica que a introdução da força de protensão
que causará tensões normais de compressão ira afetar a inclinação da fissura, mesmo no cg da
Capítulo 6 – Cálculo da armadura transversal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
69
viga. Observe-se que está aqui sendo usada a convenção, para concreto armado e protendido,
em que as tensões de compressão são positivas e as de tração são negativas.
Para um estado duplo de tensões em vigas (Figura 6-3), segundo Mohr, as tensões
principais podem ser determinadas analiticamente pelas expressões:
2
2
1
22
xy
yxyx
( 6.1)
2
2
2
22
xy
yxyx
( 6.2)
A direção (inclinação) de
1
em relação ao eixo x é dada por:
yx
xy
tg
2
2
( 6.3)
Figura 6-3: Estado plano de tensões e direções principais.
Como em vigas pode-se fazer
0
y
(só existem valores de tensões normais
verticais apreciáveis onde atuam cargas externas de alta intensidade), e também fazendo
xy
, as equações acima ficam:
2
2
1
22
xx
( 6.4)
2
2
2
22
xx
( 6.5)
x
tg
2
2
( 6.6)
Na linha neutra e abaixo, o concreto não contribui na resistência às tensões
normais de tração, que são equilibradas apenas pela armadura longitudinal, e portanto 0
x
,
que nas equações anteriores resulta:
2
1
2
2
2tg
o
902
o
45
Capítulo 6 – Cálculo da armadura transversal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
70
Deste raciocínio anterior pode-se dizer que em vigas de concreto armado a fissura
“potencial”, ou seja aquela em que se inicia fissuração do concreto devido a uma tração
diagonal, deve ter uma inclinação de 45º e no caso de concreto protendido (o ponto analisado
esta solicitado a tensão de cisalhamento e compressão devido a protensão) a fissura terá
inclinação menor que 45º. Desta forma neste trabalho e a favor da segurança usa-se o modelo
I para o cálculo da armadura transversal, mas considerando o efeito da descompressão na
seção e para a verificação da biela usa-se o modelo II com ângulo da biela de 30º
.
6
6
.
.
3
3
.
.
E
E
X
X
P
P
R
R
E
E
S
S
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Õ
Õ
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H
H
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M
M
E
E
N
N
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T
O
O
.
.
Usando as publicações de CARVALHO (2007 e 2009) (onde são encontradas as
deduções das expressões) e o texto da Norma NBR 6118:2003 pode-se montar o formulário:
6
6
.
.
3
3
.
.
1
1
.
.
V
V
E
E
R
R
I
I
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F
I
I
C
C
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Ç
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B
B
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(
(
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M
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D
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E
L
L
O
O
I
I
I
I
=
=
3
3
0
0
º
º
)
)
O valor limite do cortante é dado por:
cotcot54,0
2
22
sendbfV
wcdvRd
( 6.7)
Com:
: inclinação com o eixo longitudinal da armadura transversal (no caso de estribos
verticais
=90º)
: inclinação com o eixo longitudinal do eixo da biela de concreto (no caso em
questão
=30º)
Com:
250
1
2
ck
v
f
e com f
ck
em MPa
Substituindo os valores dos ângulos chega-se a:
dbfV
wcdvrd
2
23,0
( 6.8)
Capítulo 6 – Cálculo da armadura transversal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
71
6
6
.
.
3
3
.
.
2
2
.
.
C
C
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Á
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L
C
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A
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(
(
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D
D
E
E
L
L
O
O
I
I
=
=
4
4
5
5
º
º
)
)
O cálculo da armadura de uma seção pode ser feita através de:
swc3RdSd
VVVV
( 6.9)
Em que:
V
Sd
– força cortante solicitante de cálculo, na seção;
V
Rd3
– V
c
+ V
sw
, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal;
V
c
– parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça;
V
sw
–
parcela de força cortante resistida pela armadura transversal, de acordo com os
modelos I ou II.
Na região dos apoios, os cálculos devem considerar a força cortante agente na
face dos mesmos, considerando as reduções prescritas no item 17.4.1.2.1 da norma para
cargas próximas aos apoios.
As expressões anteriores possibilitam verificar, conhecida a taxa de armadura
transversal, se o esforço em uma seção será ou não inferior ao permitido por norma, ou ao
necessário para o funcionamento com segurança. Assim, bastará considerar, nas expressões
anteriores, o sinal de igualdade para determinar, por exemplo, a armadura transversal em uma
determinada seção. Essas verificações podem ser escritas, também, em termos de tensões.
Para o cálculo da armadura transversal, a parcela da força cortante (V
SW
) a ser
absorvida pela armadura, a partir da equação ( 6.9), pode ser escrita por:
cRdsw
VVV
3
( 6.10)
Sendo que a força cortante resistente de cálculo V
Rd3
dever ser no mínimo igual à
força cortante solicitante de cálculo V
Sd
(
Sd3Rd
VV
), e, assim,
cSdsw
VVV
( 6.11)
Portanto, a parcela da força cortante a ser resistida por armadura transversal é a
diferença entre a força cortante solicitante de cálculo e a parcela de força cortante absorvida
por mecanismos complementares ao de treliça, ou seja, a parcela resistida pelo concreto
Capítulo 6 – Cálculo da armadura transversal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
72
íntegro entre as fissuras. O valor de V
c
é obtido para diversas situações de solicitações; no
caso de flexão simples e flexo-tração com a linha neutra cortando a seção, vale:
dbfV
wctdc
6,0
( 6.12)
Em que:
ckck
c
mct
c
ck
ctd
ff
ff
f
3/23/2
,inf,
15,0
4,1
3,07,0
7,0
(valor de cálculo da
resistência à tração do concreto);
d – altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de
gravidade da armadura de tração;
b
w
menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d.
A força cortante resistida pela armadura transversal em certa seção é dada por:
)cos(9,0
senfd
s
A
V
ywd
sw
sw
( 6.13)
Em que:
s
espaçamento entre elementos da armadura transversal A
SW
, medido segundo o eixo
longitudinal da peça;
f
ywd
tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor f
yd
no caso de estribos e a
70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos,
valores superiores a 435 MPa;
ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do
elemento estrutural, podendo-se tomar 45
90.
No caso de estribos verticais, que é o usualmente empregado, a equação ( 6.13)
torna-se:
ywd
sw
sw
fd
s
A
V
9,0
( 6.14)
Capítulo 6 – Cálculo da armadura transversal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
73
As expressões ( 6.11), ( 6.13), ( 6.14) podem ser escritas em termos de tensões e
taxa de armadura transversal. Dividindo ambos os membros da equação ( 6.11) por
db
w
resulta:
db
V
db
V
db
V
w
c
w
Sd
w
sw
cSdsw
( 6.15)
A porcentagem volumétrica de armadura
,sw
, é definida pela expressão( 6.16)
observando-se que
send (Ver Figura 6-4):
sensb
A
sensb
A
sdb
A
concretodevolume
acodevolume
w
sw
w
sw
w
sw
sw
,
( 6.16)
Figura 6-4: A
sw
em um trecho s da peça.
Verifica-se que a porcentagem volumétrica é numericamente igual à porcentagem
geométrica.
A expressão ( 6.13) pode ser colocada em função da taxa de armadura transversal
,sw
. (ver equação ( 6.16)), dividindo os dois termos por (
sendb
w
):
)cos(9,0
senfd
ssendb
A
sendb
V
ywd
w
sw
w
sw
E assim:
)cos(9,0
1
senfsendb
V
sensb
A
ywdw
sw
w
sw
Mas como
,sw
w
sw
sensb
A
, e
sw
w
sw
db
V
, resulta:
Capítulo 6 – Cálculo da armadura transversal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
74
)cos(
1
11,1
)cos(9,0
1
,
sensenfsensenf
ywd
sw
ywd
swsw
( 6.17)
No caso de estribos verticais (
=90) resulta:
ywd
sw
sw
f
11,1
90,
( 6.18)
6
6
.
.
3
3
.
.
3
3
.
.
F
F
O
O
R
R
Ç
Ç
A
A
C
C
O
O
R
R
T
T
A
A
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N
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E
E
R
R
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S
S
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S
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I
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P
A
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A
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M
A
A
D
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T
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M
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A
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D
D
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A
Q
Q
U
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A
A
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A
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D
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M
A
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A
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T
R
R
A
A
N
N
S
S
V
V
E
E
R
R
S
S
A
A
L
L
Conhecida a quantidade de armadura transversal em uma viga (área A
sw
e
espaçamento s) e a resistência característica do concreto à compressão, é possível encontrar a
força cortante resistida pela viga. Das equações ( 6.11) e ( 6.13) é possível escrever, trocando
V
Sd
por V
Rd
:
)cos(9,0
senfd
s
A
VVV
ywd
sw
swcRd
cywd
sw
Rd
Vsenfd
s
A
V
)cos(9,0
Com
dbfV
wctdc
6,0 , conforme equação ( 6.12), e dividindo os dois termos
da equação acima por (
sendb
w
) tem-se:
sen
f
senfd
sensdb
A
sendb
V
ctd
ywd
w
sw
w
Rd
6,0
)cos(9,0
Como
,sw
w
sw
sensb
A
:
sen
f
senf
sendb
V
ctd
ywdsw
w
Rd
6,0
)cos(9,0
,
Capítulo 6 – Cálculo da armadura transversal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
75
A força cortante resistente é encontrada dividindo a de cálculo pelo coeficiente
1,4:
4,1
6,0
)cos(9,0
,
sendb
sen
f
senfV
wctd
ywdswR
db
fsensenf
V
w
ctdywdsw
R
4,111,1
6.011,1)cos(
,
Colocando
ck
ctd
ff
3/2
15,0 , tem-se:
ck
ywdswwR
fsensenfdbV
3/2
,
10,0)cos(644,0
( 6.19)
Para f
ywd
e f
ck
em MPa, b
w
e d em metros, resulta, finalmente, para V
R
em kN:
ck
ywdswwR
fsensenfdbV
3/2
,
10,0)cos(644
( 6.20)
E, para estribos verticais:
ck
ywdswwR
ffdbV
3/2
90,
10,0644
( 6.21)
6
6
.
.
3
3
.
.
4
4
.
.
D
D
E
E
S
S
L
L
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O
C
C
A
A
M
M
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(
(
M
M
O
O
D
D
E
E
L
L
O
O
I
I
I
I
=
=
3
3
0
0
0
0
)
)
O deslocamento do diagrama de momentos fletores, de acordo com o modelo II,
mantidas as mesmas condições estabelecidas para o modelo I, será (item 17.4.2.3c da norma):
)45º a inclinados (estribos d0,2
geral) (caso d0,5
)cot(cot5,0
da
( 6.22)
Em que é a inclinação das diagonais de compressão (bielas), variando entre 30
o
e 45
o
.
Capítulo 6 – Cálculo da armadura transversal
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
76
Considerando novamente estribos verticais, resulta para a
:
dda
5,0cot5,0
( 6.23)
Capítulo 7 – Ligações semi-rígidas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
77
7
7
.
.
L
L
I
I
G
G
A
A
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Ç
Õ
Õ
E
E
S
S
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S
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M
M
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I
-
-
R
R
Í
Í
G
G
I
I
D
D
A
A
S
S
Nas estruturas pré-moldadas para que se obtenha uma eficiência maior quanto a
resistência as esforços laterais costuma-se considerar dispositivos de ligações entre os
elementos pré-fabricados (geralmente pilar-viga) que conferem aos elementos da estrutura
uma capacidade de transmissão de momentos fletores. A este tipo de ligações denomina-se
semi-rígidas, pois a mesma tem o comportamento intermediário entre a ligação que não
impede rotação relativa (elementos pinados) e a de ligação rígida ou continua (ligações de
estruturas moldadas no local). Neste capitulo procura-se mostrar como pode ser considerado
no cálculo este tipo de ligação.
7
7
.
.
1
1
.
.
I
I
N
N
T
T
R
R
O
O
D
D
U
U
Ç
Ç
Ã
Ã
O
O
Umas das principais diferenças na análise das estruturas de concreto pré-moldado
e moldado no local estão relacionadas com a presença de ligações e das situações transitórias
que estarão submetidos os elementos pré-moldados.
Quando se diz que as ligações possuem um comportamento semi-rígido, tem-se
em mente um comportamento intermediário, em termos de flexão entre as articulações e o
engastamento perfeito, tendendo a aproximar de uma das duas situações em função da
flexibilidade das ligações.
Segundo FERREIRA (1999), a considerações da deformabilidade das ligações nas
extremidades dos elementos da estrutura, promove uma modificação na rigidez dos
elementos, gerando uma redistribuição dos esforços e deslocamentos ao longo de toda a
estrutura.
7
7
.
.
2
2
.
.
L
L
I
I
G
G
A
A
Ç
Ç
Õ
Õ
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V
I
I
G
G
A
A
-
-
P
P
I
I
L
L
A
A
R
R
Em CATOIA (2007), uma ligação deve possuir bom desempenho de resistência,
rigidez e ductilidade. A resistência de uma ligação será determinada pela resistência de cada
elemento que a compõe, a rigidez a flexão de uma ligação esta relacionada com o momento
fletor resistido por ela e a rotação ocorrida entre a viga e o pilar.
Capítulo 7 – Ligações semi-rígidas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
78
Segundo HANAI (2005), a ductilidade está relacionada com a capacidade do
material ou da estrutura de sofrer deformações plásticas significativas antes da ruptura.
Quando o material ou a estrutura possui pouco ou nenhuma ductilidade, é qualificado como
frágil.
Uma ligação deve ser responsável pela transferência de esforços e quando
corresponder a uma ligação resistente a flexão pode auxiliar na estabilidade global da
estrutura.
De acordo com a norma NBR 9062:2006, as ligações podem ser consideradas
como dispositivos utilizados para compor um conjunto estrutural, sendo destinadas a
transmitir os esforços solicitantes nas varias fases de utilização, considerando as condições de
projeto e preservando as condições de durabilidade em toda a vida útil da estrutura.
A execução das ligações corresponde a uma das atividades mais difíceis e caras na
produção de estruturas pré-moldadas. Dessa forma, a escolha da ligação afeta o tempo de
execução da mesma e o custo da construção, pois as facilidades na execução das ligações
permitem uma redução no tempo de utilização de equipamentos para a montagem e com isso,
uma redução de custos.
As ligações dos elementos pré-moldados podem ser realizadas através de
diferentes dispositivos mecânicos como: chumbadores, solda e transpasse de armadura com
preenchimento de graute ou concreto.
Em FERREIRA (1999), as ligações correspondem a região de descontinuidade
que podem ou não mobilizar deslocamentos e esforços proveniente dos elementos por elas
ligados, permitindo um redistribuição desses esforços ao longo da estrutura, influenciando no
comportamento da mesma. Como as ligações se encontram em regiões criticas é necessária a
utilização de ligações resistentes e que possuam rigidez e ductilidade, de forma a aproximar as
estruturas pré-moldadas de estrutura moldadas no local.
7
7
.
.
3
3
.
.
F
F
A
A
T
T
O
O
R
R
D
D
E
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À
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T
T
A
A
Ç
Ç
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Ã
O
O
De acordo com a norma NBR 9062:2006, o fator de restrição à rotação
R
define
a rigidez relativa de cada ligação da extremidade do elemento conectado, sendo calculado da
seguinte forma:
Capítulo 7 – Ligações semi-rígidas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
79

2
1
sec
sec
3
1
1
ef
R
LR
EI
( 7.1)
Onde:
(EI)
sec
: Rigidez secante da viga;
L
ef
: Vão efetivo entre apoios, distancia entre centros de giros nos apoios;
R
sec
: Rigidez secante ao momento fletor da ligação viga-pilar.
De acordo com a mesma norma, o fator de restrição à rotação pode ser
interpretado como a relação da rotação
1
da extremidade do elemento em relação à rotação
combinada
2
do elemento e da ligação devido ao momento da extremidade (Figura 7-1).
Figura 7-1: Fator de restrição à rotação. (NBR 9062:2006).
7
7
.
.
4
4
.
.
C
C
L
L
A
A
S
S
S
S
I
I
F
F
I
I
C
C
A
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Õ
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S
V
V
I
I
G
G
A
A
-
-
P
P
I
I
L
L
A
A
R
R
De acordo com o Manual de Ligações Estruturais da FIB (draft 2003), as ligações
em estruturas pré-moldadas de concreto podem ser classificadas de acordo com o grau de
engastamento como: rígida, semi-rígidas ou articuladas, conforme pode ser observado na
Figura 7-2. Tais ligações estão descritas a seguir:
Ligação rígida: possui elevada capacidade de restringir as rotações relativas
entre a viga e o pilar.
Ligação articulada: corresponde aquela que não possui capacidade de restrição
as rotações relativas entre a viga e o pilar.
Capítulo 7 – Ligações semi-rígidas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
80
Ligação semi-rígida: corresponde aquela que desempenha comportamento
intermediário ao das ligações rígidas e articuladas, ou seja, uma ligação semi-rígida
apresenta um engastamento parcial que pode estar próximo da situação engastada ou da
situação articulada.
Figura 7-2: Classificação de ligações resistentes a flexão como rígidas, semi-rígidas ou
articuladas, segundo o Manual de Ligações Estruturais da FIB (draft 2003).
Um exemplo de ligação semi-rígida corresponde a uma ligação com pino e
armadura de continuidade passante no pilar contínuo, tendo o preenchimento de graute
(argamassa que possui consistência fluida, dispensando o adensamento, atinge altas
resistências iniciais e finais e apresenta expansão controlada) no local para a ligação negativa,
que pode ser observada na Figura 7-3.
Figura 7-3: Ligação considerada como semi-rígida segundo o Manual de Ligações da FIB (draft
2003).
Capítulo 7 – Ligações semi-rígidas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
81
Segundo FERREIRA et al. (2002), foi proposta uma classificação para as ligações
viga-pilar, com a identificação de cinco zonas, sendo as ligações semi-rígidas subdivididas em
três zonas de projeto. As zonas identificadas por essa classificação correspondem a:
Zona I: Ligação articulada com o fator de restrição 0 <
R
<0,14.
Zona II: Ligação semi-rígida com baixa resistência e fator de restrição
0,14<
R
<0,4.
Zona II: Ligação semi-rígida com média resistência e fator de restrição
0,4<
R
<67.
Zona II: Ligação semi-rígida com alta resistência e fator de restrição
0,67<
R
<0,9
Ligação rígida com fator de restrição
R
>0,9.
As zonas podem ser observadas Figura 7-4.
Figura 7-4: Sistema de classificação para ligação semi-rígida em estruturas Pré-Moldadas
[FERREIRA et al. (2002)].
Capítulo 7 – Ligações semi-rígidas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
82
7
7
.
.
5
5
.
.
D
D
E
E
T
T
E
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R
R
M
M
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-
-
R
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A
Ç
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O
O
.
.
A rigidez de uma ligação esta relacionada com o momento fletor resistido por ela
e a rotação relativa viga-pilar causada por esse momento. Dessa forma, a rigidez de uma
ligação pode ser obtida pelo gradiente da curva momento-rotação.
Entretanto, para a obtenção da rigidez a flexão de ligação entre elementos pré-
moldados é necessária a realização de ensaios experimentais, pois diferentemente das
estruturas de concreto armado, o pré-moldado não possui modelos analíticos consagrados pela
literatura para obtenção da relação momento-rotação nas ligações viga-pilar.
Devido a complexidade do comportamento da ligação, é difícil o desenvolvimento
de equações que representem o comportamento semi-rígido das ligações pré-moldadas.
A rigidez secante de uma ligação correspondente a relação entre o momento fletor
e a rotação relativa viga-pilar no inicio do escoamento da armadura de continuidade. Assim, a
rigidez secante pode ser determinada através da seguinte expressão:
c
RC
M
R
sec
( 7.2)
Onde:
M
RC
: momento resistente da ligação no limite do escoamento da armadura
tracionada;
C
: rotação relativa viga-pilar devida ao momento M
RC
;
R
sec
: rigidez secante.
Com a curva momento-rotação pode-se determinar a rigidez de uma ligação.
Através da obtenção do momento de escoamento da armadura (M
y
= M
RC
), traça-se a reta
secante a curva momento-rotação da ligação a origem do gráfico ao ponto correspondente ao
M
y
. Desde que M≤M
y
, a rigidez secante será a mínima rigidez possível no projeto para a
ligação ao longo da vida útil da estrutura.
Capítulo 7 – Ligações semi-rígidas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
83
Figura 7-5: Relação momento-rotação na ligação viga-pilar (NBR 9062:2006).
Em geral, a relação momento-rotação em uma ligação viga-pilar em concreto pré-
moldado apresenta um comportamento não linear, mesmo antes da primeira plastificação da
ligação. Entretanto, a linearização da relação momento-rotação pode ser feita por meio da
consideração da rigidez secante.
FERREIRA et al. (2002), propôs que a rigidez secante a flexão negativa, para as
ligações com armadura de continuidade, pode ser obtida pela expressão:
1
2
sec
9,0
IIcs
p
s
e
C
y
IE
l
dAsE
l
M
R
( 7.3)
Sendo:
dfAM
yksy
9,0 e
e
s
yk
p
IIcs
y
C
l
dE
f
l
IE
M
( 7.4)
Onde:
l
p
: comprimento da região da ligação;
l
e
: comprimento de embutimento dentro do pilar;
d: altura efetiva na extremidade da viga;
E
s
: módulo de elasticidade do aço;
III: momento de inércia da seção homogeneizada fissurada no estádio II;
E
cs
: módulo secante do concreto, equivalente a E
cs
= 0,85 E
c
;
Capítulo 7 – Ligações semi-rígidas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
84
A
s
: área de armadura negativa passante no pilar.
De acordo com FERREIRA
el al. (2003), a expressão geral que representa o
desenvolvimento da relação momento-rotação para 0 ≤ M ≤ M
y
.
5,0
y
e
s
s
p
eqc
M
M
l
dE
l
IE
M
( 7.5)
Onde:
I
eq
: corresponde ao momento de inércia equivalente da ligação, dado por:
II
a
r
I
a
r
eq
I
M
M
I
M
M
I
33
1
( 7.6)
Sendo:
M
r
: momento de fissuração;
M
a
: momento atuante;
σ
s
: corresponde a tensão na armadura obtida pela seguinte expressão:
eqs
s
zA
M
( 7.7)
Onde:
5,05,0
1
3
1
y
II
y
Ieq
M
M
x
M
M
xdz
( 7.8)
Sendo:
x
I
: posição da linha neutra no estádio I;
x
II
: posição da linha neutra no estádio II;
z
eq
: z intermediário entre o estádio I e II.
O comprimento l
p
depende da altura da viga, da posição do centro de rotação na
ligação e do caminho das forças internas na extremidade da viga (Figura 7-6). Para ligação
Capítulo 7 – Ligações semi-rígidas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
85
típicas o comprimento l
p
pode ser obtido pelo comprimento do consolo somado a altura útil na
extremidade da viga sobre o apoio.
Figura 7-6: Regiões de distúrbio na extremidade de ligação viga-pilar. [FERREIRA et al.
(2003)].
A consideração do comprimento de embutimento l
e
difere para pilares com
ligação em apenas um lado e para pilares com ligações nos dois lados. Devido a este fator, em
geral ligações viga-pilar centrais tendem a ser mais rígidas do que ligações viga-pilar de
canto. Por outro lado, ligações centrais com momentos negativos em ambos os lados
conduzem a uma rigidez maior do que ligações centrais com momentos reversos (negativo de
um lado e positivo do outro) causados por ações laterais na estrutura. (Figura 7-7).
Figura 7-7: Variações na consideração do comprimento de embutimento l
e
. [FERREIRA et al.
(2003)].
7
7
.
.
6
6
.
.
M
M
É
É
T
T
O
O
D
D
O
O
B
B
E
E
A
A
M
M
-
-
L
L
I
I
N
N
E
E
A reta determinada Beam-Line, é obtida através da determinação de dois pontos,
que ligam as situações de engastamento perfeito e de articulação perfeita nas extremidades da
viga.
Capítulo 7 – Ligações semi-rígidas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
86
A situação de engastamento perfeito corresponde aquela em que não há rotação na
ligação com a extremidade da viga qualquer que seja o momento fletor resistido pela ligação.
A situação de articulação perfeita corresponde aquela em que a ligação não é capaz de resistir
aos momentos fletores ficando suscetível ao giro. A ligação semi-rígida por sua vez, possui
um comportamento intermediário as ligações descritas, ao mesmo tempo em que resiste a uma
parcela dos momentos fletores também permite certa rotação entre a viga e o pilar.
Assim, a reta
Beam-Line, pode ser traçada através da união entre o ponto
correspondente ao momento de engastamento perfeito (M
p
), na situação de engastamento
perfeito e o ponto correspondente ano momento nulo, com a rotação de uma rótula perfeita
(
rot
), na situação de articulação perfeita. A determinação da reta Beam-Line pode ser
observada na Figura 7-8.
Figura 7-8: Reta Beam-Line com a curva Momento-rotação da ligação [FERREIRA (1999)].
O ponto E da reta Beam-Line corresponde ao ponto onde existe a
compatibilização entre o giro da extremidade da viga com o giro relativo entre a viga e o
pilar. A ligação deve ser capaz de suportar pelo menos o momento correspondente ao ponto E
indicado. Com a determinação da reta
Beam-Line é possível identificar o local da ruptura, se a
ruptura ocorreu na ligação ou na viga.
Se para uma determinada ligação viga-pilar semi-rígida for constatado que a
ruptura da ligação ocorreu antes de alcançar o ponto E, pode-se dizer que a ruptura ocorreu na
ligação e não na viga, caso contrário, sendo constatado que a ligação rompeu após ter
alcançado ponto E, pode-se dizer que a ruptura ocorreu na viga.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
87
8
8
.
.
E
E
X
X
E
E
M
M
P
P
L
L
O
O
S
S
N
N
U
U
M
M
É
É
R
R
I
I
C
C
O
O
S
S
Este capítulo apresenta uma serie de exemplos em que trechos de projeto são
feitos analiticamente e descritos para que fique claro ao leitor um possível procedimento ou
roteiro de cálculo.
8
8
.
.
1
1
.
.
E
E
X
X
E
E
M
M
P
P
L
L
O
O
0
0
1
1
Exemplo 7.1: Calcular a viga VR01 da escola do tipo FDE – Fundação para o
Desenvolvimento da Educação (Figura 8-1), considerando CAA II (protensão limitada).
Materiais: armadura ativa cordoalha de Ф½” (A
p
= 0,987 cm
2
) CP 190RB; armadura frouxa
CA-50; concreto pré-moldado, f
cjk
: 25MPa, f
ck
: 40MPa; concreto moldado no local (capa), f
ck
:
30MPa. Carregamentos: g
1
– peso próprio 25 kN/m
3
; g
2
– laje alveolar: 2,25 kN/m
2
(h = 15
cm); g
3
– capa: 25 kN/m
3
(h = 5 cm); g
4
– alvenaria: 18 kN/m
3
(h = 2,20 m e largura de 15
cm); g
5
– revestimento: 0,80 kN/m
2
; q – acidental: 3,00 kN/m
2
. Considerar a solução sem a
continuidade da laje alveolar e da viga.
Figura 8-1: Planta do pavimento e elevação da viga VR01 (unidades em cm).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
88
A Figura 8-2 mostra as duas seções transversais da viga VR01 a primeira constitui
apenas do elemento pré-moldado e a segunda a seção composta devido a aplicação da capa de
concreto.
Figura 8-2: Seções transversais da viga VR01 (unidades em cm).
Para a resolução é utilizada a seqüência dos intervalos entre as fases de
carregamentos descritas na Tabela 8-1.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
89
Tabela 8-1: Seqüência de intervalos entre as etapas, ações atuantes, seções e perdas
consideradas.
FASE TEMPO AÇÃO SEÇÃO PERDAS
1
t
0
= 0; t = 24 horas p
Deformação
ancoragem;
Relaxação da
armadura;
Deformação
imediata.
2
t
0
= 1; t = dias
p+g
1
Retração;
Fluência do
concreto;
Relaxação da
armadura.
3
t
0
= 15; t = dias
p+g
1
+g
2
Retração;
Fluência do
concreto;
Relaxação da
armadura.
4
t
0
= 30; t = dias
p+g
1
+g
2
+g
3
Retração;
Fluência do
concreto;
Relaxação da
armadura.
5
t
0
= 45; t = dias
p+g
1
+g
2
+g
3
+g
4
Retração;
Fluência do
concreto;
Relaxação da
armadura.
6
t
0
= 60; t = dias
p+g
1
+g
2
+g
3
+g
4
+g
5
Retração;
Fluência do
concreto;
Relaxação da
armadura.
7
t
0
= 75; t = ∞ dias p+g
1
+g
2
+g
3
+g
4
+g
5
+q
Retração;
Fluência do
concreto;
Relaxação da
armadura.
Roteiro de cálculo.
É proposto um roteiro para o dimensionamento de viga protendida com a
aderência inicial, a seqüência das etapas são definidas abaixo. As tabelas citadas encontram-se
na NBR 6118:2003. Considera-se tensão normal de tração com o sinal negativo.
1º Definição da classificação do ambiente em relação a sua agressividade de
acordo com a
Tabela 6.1 – Classes de agressividade ambiental.
2º Com a CAA definida através
Tabela 13.3 – Exigências de durabilidade
relacionadas a fissuração e a proteção da armadura, em função das classes de agressividade
ambiental
e o tipo de protensão defini-se qual o nível de protensão a ser aplicada. Para o caso
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
90
de pré-tração quando se tem CAA I deve-se verificar em serviço apenas a abertura de fissuras
com limite wk≤0,2 mm para a combinação freqüente (
1
), este tipo de protensão é
classificada como parcial. Já para a CAA II a protensão é classificada como limitada, que em
serviço deve atender o estado de formação de fissuras para a combinação freqüente (
1
) com
o limite de
mctctk
ff
,inf.
7,0
e o estado de descompressão cujo um ou mais ponto da sessão
transversal a tensão normal é nula (
0
) não havendo tração no restante da seção, essa
verificação é feita para combinação quase permanente (
2
). Finalmente tem-se a protensão
completa que é para a CAA III e IV que em serviço deve ser verificado o estado de formação
de fissuras para a combinação rara, em que toda a carga acidental deve ser considerada com o
limite de
mctctk
ff
,inf.
7,0 e o estado de descompressão
0
com a combinação
freqüente(
1
).
3º Os coeficientes
1
e
2
são obtidos através da Tabela 11.2 – Valores do
coeficiente γ
f2
classificados de acordo com a ocupação do edifício.
4º Detalham-se os carregamentos atuantes no elemento e as suas datas respectivas
de carregamento.
5º Estima-se uma perda de protensão e determina-se a armadura no tempo infinito
através da verificação da fissuração para a borda inferior.
6º Verifica-se em vazio com a armadura encontrada no item 5º se a tensão na fibra
superior esta dentro do limite. Caso o limite seja ultrapassado é possível a colocação de
cordoalhas na fibra superior, limitando a tensão de tração na mesma.
7º Com esta armadura encontrada através da estimativa inicial, detalha-se os
cabos na seção e calcula-se as perdas diferidas considerando as datas dos carregamentos
determinadas no item 4.
8º Com a tensão final correta no cabo de protensão (tensão calculada
considerando as perdas) verifica-se novamente a condição de fissuração no tempo infinito.
9º Com a armadura definida para o tempo infinito, verifica-se a peça em vazio
(verificação de ruptura simplificada) e a necessidade de isolamento de cabos na borda
inferior.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
91
10º Verifica-se se a armadura dimensionada em serviço é suficiente para atender a
condição do ELU. Caso não seja pode-se completar com armadura frouxa.
11º Verifica-se a deformação excessiva com o cálculo estimado das flechas.
Resolução:
1. Carregamentos:
É preciso determinar as ações que atuam na viga VR01. Considera-se que neste
caso que as lajes a laje e a viga não são contínuas. Os esquemas estruturais tanto da laje
alveolar quanto da viga estão na Figura 8-3.
Figura 8-3: Esquema estrutural da laje e da viga VR01 (unidades em cm).
Para se determinar o comprimento (l) de face a face externa da viga é considerada
a folga de 1 cm para cada lado. Sabendo a distância entre os eixos de pilar (1080 cm) e a
dimensão do pilar (60 cm) tem-se:
mcml 18,10 1018)130(21080
O comprimento efetivo de cálculo (l
ef
) refere-se à distância entre chumbadores
dos consolos, em geral quando se tem o consolo embutido a altura do consolo corresponde a
metade da altura da viga, ou seja,
cm
h
45
2
. Para o dimensionamento do consolo é
desejável que a inclinação da biela de compressão esteja em torno de 45º, com isso adota-se
para o comprimento do consolo a mesma distância determinada para a altura, ou seja, 45 cm.
Considerando-se que a posição do chumbador esteja no centro do consolo é
possível determinar o vão efetivo de cálculo para o dimensionamento da viga. (ver Figura
8-4).
mcml
ef
75,9 975)5,21(21018
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
92
Figura 8-4: Geometria do consolo para apoio da viga VR01 (unidades em cm).
Cálculo da ação na viga devido ao peso próprio. (Tabela 8-2).
Tabela 8-2: Intensidade de carregamento do peso próprio.
Descrição Área (m
2
)
(kN/m
3
)
Intensidade (kN/m)
g
1
– Peso próprio 0,30 x 0,90 = 0,27 25 6,75
g
4
– Alvenaria 0,15 x 2,20 = 0,33 18 5,94
Determinação das contribuições de ações na viga devido às cargas na laje. (Tabela
8-3)
Tabela 8-3: Intensidade de carregamento na laje.
Descrição
Intensidade
(kN/m
2
)
Vão de contribuição (m).
Ação na viga
(kN/m).
g
2
– Laje Alveolar 2,25 7,20 16,20
g
3
– Capa (esp = 5 cm) 0,05 x 25 = 1,25 7,20 9,00
g
5
– Revestimento 0,80 7,20 5,76
q – Acidental 3,0 7,20 21,60
A Tabela 8-4 apresenta os diversos momentos fletores (neste caso o máximo na
viga) que atuam no meio do vão, considerando a viga bi-apoiada, tem-se:
8
2
lp
M
, onde:
M – Momento solicitante;
p – ação atuante;
l – comprimento efetivo da viga (vão).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
93
Tabela 8-4: Momentos máximos no meio do vão.
Descrição
Intensidade
(kN/m)
Vão (m)
Momento máximo
(kN.m)
g
1
– Peso próprio 6,75 9,75 80,21
g
2
– Laje Alveolar 16,20 9,75 192,50
g
3
– Capa 9,00 9,75 106,95
g
4
– Alvenaria 5,94 9,75 70,58
g
5
– Revestimento 5,76 9,75 68,45
q – Acidental 21,60 9,75 256,67
2. Características geométricas:
A Tabela 8-5 mostra as características geométricas da seção pré-moldada,
conhecida também como seção em vazio.
Tabela 8-5: Características geométricas da seção pré-moldada.
Seção Área (m
2
)
27,090,030,0
y
cg
(m)
45,0
2
90,0
2
h
I (m
4
)
2
33
1082,1
12
90,0.30,0
12
.
hb
W
i
= W
s
(m
3
)
2
223
1005,4
6
90,030,0
6
.
2
.12
.
hb
h
hb
y
I
cg
Para a seção composta deve-se calcular a largura colaborante
b
f
. Que contribuía na
flexão. (Figura 8-5)
a
b
b
.1,0
.5,0
2
1
a
b
b
.1,0
4
3
la
Viga simplesmente apoiada
mbb 975,075,910,0
31
mbbbb
wf
25,2975,0975,030,0
31
Figura 8-5: Cálculo de bf da seção composta.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
94
Como tem-se resistências de concreto (f
ck
) diferentes entre a capa e o pré-moldado
é proposto, uma redução de
b
f
, levando em consideração os módulos de elasticidade dos
concretos. A Figura 8-6 mostra as seções sem considerar a redução da capa e considerando a
redução da capa. Vale lembrar que tem-se o apoio de 7 cm de cada lado para a laje alveolar,
esse espaço
p também é reduzido.
87,0
405600.85,0
305600.85,0
viga
capa
E
E
r
mb
f
96,125,287,0
mp 14,016,087,0
Figura 8-6: Seção transversal composta com a redução da capa devido ao módulo de elasticidade
dos concretos (unidades em cm).
A Tabela 8-6 mostra o cálculo das características geométricas da seção composta
final (redução da capa de concreto) em relação as origem das coordenadas xy.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
95
Tabela 8-6: Características geométricas da seção composta.
Seção Área (m
2
)
389,005,096,115,014,090,030,0
y
cg
(m)
05,096,115,014,090,030,0
075,105,096,1975,015,014,045,090,030,0
,
.
i
icgi
A
yA
636,0
.
,
i
icgi
A
yA
I
comp
(m
4
)
22
3
1
1076,290,030,0)45,0636,0(
12
90,030,0
I
32
3
2
1045,215,014,0)975,0636,0(
12
15,014,0
I
22
3
3
1089,105,096,1)075,1636,0(
12
05,096,1
I
2
321
1089,4
IIII
T
y
i
= y
cg
(m)
636,0
y
s
(m)
464,0636,010,1
i
yh
W
i,comp
(m
3
)
2
2
1069,7
636,0
1089,4
x
y
I
i
W
s,comp
(m
3
)
1
2
1005,1
464,0
1089,4
x
y
I
s
3. Tipo de protensão
Aqui é interessante olhar a questão da classe de agressividade ambiental (CAA),
segundo a tabela 13.3 da NBR 6118:2004 para o caso de pré-tração quando se tem CAA I
deve-se verificar em serviço apenas a abertura de fissuras com limite w
k
≤0,2 mm para a
combinação freqüente (
1
), este tipo de protensão é classificada como parcial. Já para a CAA
II a protensão é classificada como limitada, que em serviço deve atender o estado de formação
de fissuras para a combinação freqüente (
1
) com o limite de
mctctk
ff
,inf.
7,0
e o estado de
descompressão cujo um ou mais pontos da sessão transversal a tensão normal é nula
0
não havendo tração no restante da seção, essa verificação é feita para combinação quase
permanente (
2
). Finalmente tem-se a protensão completa que é para a CAA III e IV que em
serviço deve ser verificado o estado de formação de fissuras para a combinação rara , em que
toda a carga acidental deve ser considerada com o limite de
mctctk
ff
,inf.
7,0
e o estado de
descompressão
0
com a combinação freqüente(
1
).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
96
Lembrando que para o exemplo numérico tem-se a CCA II, portanto, protensão
limitada, com isso verifica-se em serviço as seguintes condições:
ELS. – F Estado limite de serviço para a formação de fissuras com a
combinação freqüente (
1
) e com o limite da resistência a tração de
3
2
,inf.
21,07,0
ckmctctk
fff .
ELS. – D
Estado limite de descompressão com a combinação quase
permanente (
2
) com o limite de tensão 0
.
Como se trata de um edifício público, para as verificações de serviço tem-se os
coeficientes
1
=0,6 (combinação freqüente) e
2
=0,4 (combinação quase permanente).
4. Tensão inicial nos cabos.
Na pré-tração os limites máximos para tensão inicial são:
MPa , f,
MPa , f,
σ
pyk
ptk
pi
14531710850850
14631900770770
Considera-se assim o valor de
2
301451453 kN/cm, MPaσ
pi
5. Estimativa do número de cabos no tempo infinito usando a consideração de
fissuração.
Escolhe-se aqui a condição de verificação em serviço para se pré-dimensionar a
área de aço A
p
, para isso adota-se uma perda da ordem de 20% no tempo infinito.
2
,,
24,11680,03,14580,0 kN/cm
iptp
Estado limite de formação de fissuras:
inf.
,
1
,
54321
ctk
compi
q
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
f
W
M
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
Onde:
232
3
2
inf.
/ 2456 456,24021,021,0 mkNMPaff
ckctk
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
97
Considerando o uso das unidades para as duas verificações em serviço:
Força de protensão em kN;
Área de aço de protensão em cm
2
;
Características geométricas de seção transversal em metro;
Tensões = kN/m
2
;
Momento fletor em kN.m.
2456
1069,7
67,2566,0
1069,7
03,139
1005,4
66,379
1005,4
40,024,116
27,0
24,116
2222
pp
i
AA
2
80,6 cmA
p
Estado limite de descompressão:
0
,
2
,
54321
compi
q
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
M
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
0
1069,7
67,2564,0
1069,7
03,139
1005,4
66,379
1005,4
40,024,116
27,0
24,116
2222
pp
i
AxA
2
93,7 cmA
p
Considerando cordoalha de 12,7 mm com uma seção media de 0,987 cm
2
tem-se:
03,8
987,0
93,7
p
A , considera-se o próximo valor par inteiro, portanto, tem-se 10
cordoalhas de 12,7 mm com A
p
=9,87 cm
2
. Sugere-se aqui um numero par de cordoalhas, pois
nas vigas pré-moldada é de grande utilidade o uso de chumbadores nos apoios posicionados
nos eixos das peças, sendo que uma cordoalha no eixo da peça poderia causar interferência.
6. Estimativa do numero de cabos no tempo zero (verificação de ruptura
simplificada).
Com A
p
calculado no tempo infinito pode-se verificar se a tensão de tração na
fibra superior está dentro de limite. Segundo o item 17.2.4.3.2 na NBR 6118:2003, permite
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
98
que no ato da protensão que a tensão máxima de tração do concreto não deva ultrapassar 1,2
vez a resistência a tração
mct
f
,
correspondente ao valor f
ckj
especificado.
A solução proposta é a verificação da tensão já supondo a utilização de
cordoalhas na fibra superior (A
p
'). Devido os bancos de protensão das fabricas é recomendado
que esta cordoalha na fibra superior não seja maior que dois 12,7 mm.
Da mesma maneira estimando uma perda inicial de 2,5%, tem-se:
2
,0,
/ 67,141975,030,145975,0 cmkN
iptp
Com
ppp
AN
tem-se:
mct
s
g
s
pptpptp
s
pptpptp
f
W
M
W
eA
A
A
W
eA
A
A
,
1
supeior Cabo
0,0,
inferior Cabo
0,0,
sup
.2,1
'''

mct
s
g
s
p
ptp
s
p
ptp
f
W
M
W
e
A
A
W
e
A
A
,
1
0,0,sup
.2,1
'
1
´.
1
.
Onde:
1,2 f
ct,m
=1,2.0,3.
32
25 =3,078 MPa = 3078 kN/m
2
.
3078
2
1005,4
21,80
2
1005,4
40,0
27,0
1
67,141
2
1005,4
40,0
27,0
1
87,967,141 ´
sup
p
A
2
86,1´ cmA
p
, consideram-se duas cordoalhas de 12,7 mm com A
p´
= 1,974 cm
2
.
7. Cabo representante para cálculo das perdas de protensão.
Como se tem uma estimativa de 10 cabos na fibra inferior será considerado 6
cabos na primeira camada a 4,5 cm da parte inferior da viga e a segunda camada a 8,5 cm com
quatro cordoalhas, sendo então necessário determinar a posição do cabo representante, o
cálculo abaixo esta cotado da face inferior da viga.
cm
A
yA
y
i
icgi
represcg
10,6
987,04987,06
50,8987,0450,4987,06
.
,
.,
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
99
A Figura 8-7 mostra o posicionamento dos cabos que serão utilizados para os
cálculos das perdas.
Figura 8-7: Posição do cabo representante (unidades em cm).
8. Cálculo das perdas de protensão.
Com o número e posição dos cabos definidos, calcula-se as perdas levando em
consideração as fases distintas de carregamentos e considerando também a seção simples e a
seção composta de concreto.
O cálculo das perdas de protensão está de acordo com as etapas apresentadas na
Tabela 8-1, os momentos solicitantes máximos estão calculados na Tabela 8-4 e as
propriedades geométricas das seções estão nas Tabela 8-5 e Tabela 8-6.
Neste caso é importante salientar que se tem o cuidado de realizar o cálculo das
perdas para uma camada de cabo representante na fibra inferior e outra para a fibra superior
separadamente.
Segundo Vasconcelos (1980) o erro que se comete em
p
não se considerando
a influência recíproca dos dois cabos representantes, atinge no máximo 8%, o que é
perfeitamente aceitável em face da incerteza dos dados que conduzem à determinação dos
valores de ε
cs,
e φ
.
Perdas iniciais
mkNM
cmkN
diat
g
p
. 21,80
/ 30,145
0 t; 1
1
2
0
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
100
Deformação por ancoragem
Considerando uma pista de protensão de comprimento l=100 m e uma
acomodação da cunha Δl de 0,6 cm tem-se:
p
ancor
E
l
l
2
4
20,1
100
102006,0
kN/cm
ancor
Relaxação da armadura
Para o cálculo da perda por relaxação da armadura deve-se descontar a perda
ocorrida pela ancoragem da armadura.
2
/ 10,14420,130,145 cmkN
pi
i
pr
tt
),(
0
15,0
0
10000
67,41
),(
tt
tt
76,0
190
10,144
R
Para cordoalha de baixa relaxação e com 76% da resistência a tração, na tabela 8.3
da norma NBR 6118:2004 calcula-se através de interpolação o valor para Ψ
1000
= 3,10 em
porcentagem.
772,1
67,41
01
10,3
67,41
)0,1(
15,015,0
0
1000
tt
2
/ 55,210,144
100
772,1
cmkN
pr
Perda por deformação imediata do concreto
Como se tem o sistema de pré-tração com aderência inicial, isso implica que a
tensão que atua na deformação imediata do concreto nesta fase é o valor inicial (σ
p
)
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
101
descontadas as duas perdas calculadas anteriormente, pois no momento dos cortes dos cabos
(ou desprotensão da pista) é que efetivamente a tensão das cordoalhas é transferida para a
peça.. Neste caso consideram-se as perdas para os cabos junto a face superior e inferior
separadamente.
cmecmA
cmecmA
pp
pp
40´; 974,1987,02´
9,38; 870,9987,010
2
2
2
/ 5,141)55,220,1(30,145)( cmkN
pracorappi
sup,,sup,
inf,,inf,
gpocpcg
gpocpcg
Considerando-se:
kNcmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
69,43140,055,141974,1389,055,141870,9
´´
48,167655,141974,155,141870,9
´
sup,inf,
sup,inf,
2
2
sup,,
1
sup,,
2
2
inf,,
1
inf,,
/ 73,151540,0
1082,1
21,8069,431
27,0
48,1676
´
/ 69,13721389,0
1082,1
21,8069,431
27,0
48,1676
mkN
e
I
MM
A
N
mkN
e
I
MM
A
N
gpoc
p
gpp
gpoc
gpoc
p
gpp
gpoc
14,7
28000
200000
ci
p
p
E
E
MPaxfxE
cjci
280002556005600
2
sup,,sup,
2
inf,,inf,
/ 08,1)15,0(14,7
/ 80,937,114,7
cmkN
cmkN
gpocpcg
gpocpcg
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
102
Então, a tensão final considerando as perdas da primeira fase é:
2
1sup,,
sup, 1sup,,
2
1inf,,
inf, 1inf,,
/ 63,142)08,1(55,220,130,145
/ 75,13180,955,220,130,145
cmkN
cmkN
diap
cgprancorpdiap
diap
cgprancorpdiap
Até esse instante as perdas calculadas foram de 9,33% para os cabos na borda
inferior e de 1,84% para os cabos da borda superior.
Perdas diferidas
Para se determinar os coeficientes de fluência e retração é utilizada uma planilha
feita pelo autor, no programa Excel. No anexo A deste trabalho estão inseridas as etapas de
cálculo detalhadas passo a passo que foram consideradas. Para melhor clareza do leitor é
mostrado os cálculos para duas situações. (dois tipos diferentes de concreto).
Como se tem dois tipos de concreto distintos, um com cimento tipo ARI para a
seção pré-moldada e outro cimento tipo CPII para a capa, é proposto a determinação de dois
coeficientes de fluência, um para cada seção e o coeficiente de fluência final é a media
ponderada das duas seções. A Figura 8-8 mostra as duas seções consideradas para a
determinação do coeficiente de fluência.
Figura 8-8: Seção 01 e 02 para a determinação dos coeficientes de fluência e retração (unidades
em cm).
Para a seção 01 o coeficiente de fluência é determinado com os seguintes dados:
área de concreto A
c
= 30 x 90 = 2700 cm
2
, perímetro da seção em contado com o ar (U
ar
) = 30
+ 90 + 90 = 210 cm, umidade relativa do ar em 70%, temperatura média 20ºC, abatimento do
concreto (slump) 9 cm e cimento tipo ARI.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
103
Enquanto que para a seção 02 o coeficiente de fluência é determinado com os
seguintes dados: A
c
= 225 x 5 + 15 x 16 = 1365 cm
2
, perímetro da seção em contado com o ar
(U
ar
) = 225 cm, umidade relativa do ar em 70%, temperatura média 20ºC, abatimento do
concreto (slump) 9 cm e cimento tipo CPII.
Os valores calculados para os coeficientes de fluência têm como t
0
no instante do
carregamento e t o infinito, considerado aqui como 10000 dias. A Tabela 8-7 apresenta as
idades (t
0
) para as duas seções 01 e 02.
Tabela 8-7: Idade do concreto para a seção 01 e 02
Ação
Idade (t
0
) do concreto
da seção 01
Idade (t
0
)do concreto
da seção 02
Protensão 1 --
Peso próprio da viga 1 --
Peso próprio da laje 15 --
Execução da capa 30 1
Execução da alvenaria 45 15
Execução do revestimento 60 30
Atuação da carga acidental 75 45
Perda de protensão 75 45
A Tabela 8-8 apresenta finalmente os valores dos coeficientes de fluência para a
seção 01, seção 02 e o coeficiente final para o cálculo das perdas diferidas.
Tabela 8-8: Coeficientes de fluência para a seção 01, 02 e final.
Ação
t
0
seção 01
Coeficiente
seção 01
t
0
seção 02
Coeficiente
seção 02
Coeficiente
final
Protensão 1 3,304 -- -- 3,304
Peso próprio da viga 1 3,304 -- -- 3,304
Peso próprio da laje 15 2,225 -- -- 2,225
Execução da capa 30 1,940 1 3,783 2,559
Execução da alvenaria 45 1,777 15 2,539 2,033
Execução do revestimento 60 1,660 30 2,150 1,825
Atuação da carga acidental 75 1,568 45 1,933 1,691
Perda de protensão 75 1,568 45 1,933 1,691
O coeficiente
final é obtido pela média ponderada das áreas com os respectivos
coeficientes de fluência.
0201
02020101
AA
AA
final
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
104
Perda por fluência
A perda por fluência é calculada segundo a recomendação de NAWY (1996),
considerando os carregamentos com suas respectivas datas de atuação (data real de
carregamento).
sup,0p,),(sup,,
inf,0,),(inf,,
0
0
gcttpcp
gpcttpcp
, onde:






`
´,
2
`
5
4
´,
`
3
2
´
`
1´
1
sup,,
,
2
5
4
,
3
2
1
1
inf,,
.
..
.
..
D
q
comp
comppq
C
i
i
comp
comppgi
B
i
i
pgi
A
p
gpp
pcp
D
q
comp
comppq
C
i
i
comp
comppgi
B
i
i
pgi
A
p
gpp
pcp
I
eM
I
eM
I
eM
e
I
MM
A
N
I
eM
I
eM
I
eM
e
I
MM
A
N
Para melhor clareza nos cálculos a expressão acima é escrita da seguinte maneira:


````
sup,,
inf,,
DCBA
DCBA
pcp
pcp
Considerando-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
22,39340,063,142974,1389,075,131870,9
92,158163,142974,175,131870,9
´sup,´inf,
sup,´inf,
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
105
Com isso, tem-se:
2
2
1
1
/ 30,41462304,3389,0
1082,1
21,8022,393
27,0
92,1581
mkN
e
I
MM
A
N
A
p
gpp

2
2
3
2
/ 23,15004
1082,1
389,0559,295,106225,250,192
.
mkN
I
eM
B
i
i
pgi
2
2
5
4
,
/ 16,3156
1089,4
575,0825,145,68033,258,70
.
mkN
I
eM
C
i
i
comp
comppgi
2
2
,
2
/ 44,2041691,1
1089,4
575,067,256
4,0
.
mkN
I
eM
D
q
comp
comppq
65,5
35418
200000
405600
p
ci
p
p
E
E
E

2
inf,,
2
inf,,
/ 01,12
/ 66,12012144,204116,315623,1500430,4146265,5
cmkN
mkN
cp
cp
2
2
1
1
/ 33,3371304,3400,0
1082,1
21,8022,393
27,0
92,1581
´´
mkN
e
I
MM
A
N
A
p
gpp

2
2
3
2
´
/ 52,15428
1082,1
400,0559,295,106225,250,192
.
mkN
I
eM
B
i
i
pgi
2
2
5
4
´,
/ 64,1174
1089,4
214,0825,145,68033,258,70
.
mkN
I
eM
C
i
i
comp
comppgi
2
2
`,
2
/ 77,759691,1
1089,4
214,067,256
4,0
.
mkN
I
eM
D
q
comp
comppq
65,5
35418
200000
405600
p
ci
p
p
E
E
E
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
106

2
sup,,
2
sup,,
/ 90,7
/ 54,7905277,75964,117452,1542833,337165,5
cmkN
mkN
cp
cp
Perda por retração do concreto
Para a determinação do coeficiente de retração até a colocação da capa não há
dúvida que a seção e geometria a considerar é a da viga pré-moldada. Quando se coloca a
capa a geometria seria facilmente calculada, mas já teria dois concretos. Poderia-se neste caso
determinar uma retração para a seção 01 e outra para a seção 02 (com perímetro só da parte de
cima) e faria-se uma composição entre os dois coeficientes de retração. Contudo a parte
superior poderá trabalhar como impermeabilizada. Como a protensão está praticamente
atuando na seção 01, simplificadamente considera-se apenas a primeira seção para o cálculo
do coeficiente de retração que deverá estar a favor da segurança.
O coeficiente de retração para a seção 01 é determinado com os seguintes dados:
área de concreto A
c
= 30 x 90 = 2700 cm
2
, perímetro da seção em contado com o ar (U
ar
) = 30
+ 90 + 90 = 210 cm, umidade relativa do ar em 70%, temperatura média 20ºC, abatimento do
concreto (slump) 9 cm e cimento tipo ARI, t
0
= 1 e t = 10000 dias.
4
)1,10000(
1060,2
244
),(,
/ 20,5100,21060,2
0
cmkNE
pttsp
Relaxação da armadura
),(
00,
tt
prp
)],(1ln[),(
00
tttt
10000
50,2),(
tt
75,0
190
63,142
69,0
190
75,131
sup
inf
R
R
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
107
Para cordoalha de baixa relaxação e com 69% da resistência a tração, na tabela 8.3
da norma NBR 6118:2003 determina-se através de interpolação o valor para Ψ
1000
= 2,38 em
porcentagem, e para 75% da resistência a tração tem-se Ψ
1000
= 3,00 em porcentagem.
50,700,350,250,2)1,(
95,538,250,250,2)1,(
1000sup
1000inf
2
supsup
2
infinf
1080,7]
100
50,7
1ln[])1,(1ln[)1,(
1013,6]
100
95,5
1ln[])1,(1ln[)1,(
22
supsup,0sup,,
22
infinf,0inf,,
/ 12,111080,763,142)1,(
/ 08,81013,675,131)1,(
cmkN
cmkN
prp
prp
Simultaneidades das perdas
A equação para o cálculo das perdas é dada pela expressão abaixo. A parcela
referente o numerador já foi calculada nas etapas anteriores, restando agora o cálculo do
denominador.
ppcp
cpgpcppcs
p
ttttEtt
tt

),(),(),(
),(
0000,0
0
08,11080,71
),(1
06,11013,61
),(1
2
sup,
sup0sup,
2
inf,
inf0inf,
xp
p
p
p
tt
tt
65,2304,35,01
),(5,01
0
c
c
tt
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
108
37,3
1082,1
27,0
40,01
´1
24,3
1082,1
27,0
389,01
1
2
2
sup
2
sup
2
2
inf
2
inf
c
c
p
c
c
p
I
A
e
I
A
e
3
1039,4
2700
974,1870,9
c
p
p
A
A
Com isso tem-se:
2
3
sup
2
3
inf
/ 88,18
1039,437,365,565,208,1
12,1190,720,5
)1,(
/ 84,19
1039,424,365,565,206,1
08,801,1220,5
)1,(
cmkN
cmkN
p
p
Então chega-se a tensão final nos cabos consideradas todas as perdas.
2
)(sup,,
sup,)(sup,,
2
)(inf,,
inf,)(inf,,
/ 75,12388,1863,142
/ 91,11184,1975,131
cmkN
cmkN
p
ppp
p
ppp
Portanto chega-se a uma perda de 22,98% para os cabos da borda inferior e
14,85% para os cabos da borda superior, comparado com a tensão inicial σ
p
.
9. Verificação da fissuração
Após os cálculos das perdas de protensão no tempo infinito, é possível fazer a
verificações das tensões, lembrando que o tipo de protensão aplicada neste exemplo é a
protensão limitada.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
109
Considerando-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
96,33140,075,123974,1389,091,111870,9
83,134875,123974,191,111870,9
´sup,´inf,
sup,´inf,
Estado limite de formação de fissuras, combinação freqüente (
1
= 0,6).
Limites:
Compressão
σ = 0,7 f
ck
= 0,7 x 40000 = 28000 kN/m
2
.
Tração
σ = 0,3 f
ctk,inf
= 0,21x
32
40 = 2,456 MPa = 2456 kN/m
2
.
-2456 kN/m
2
< σ < 28000 kN/m
2
Borda inferior
Situação momento máximo.
compi
q
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
M
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
,
1
,
54321
2
2222
/ 29,7
1069,7
67,2566,0
1069,7
03,139
1005,4
66,379
1005,4
96,331
27,0
83,1348
mkN
i
Situação momento mínimo
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
,
54321
2
222
/ 2009
1069,7
03,139
1005,4
66,379
1005,4
96,331
27,0
83,1348
mkN
xxx
i
Borda superior
Para se verificar a tensão na borda superior é necessário determinar a distancia y
ts
na seção composta que seja a mesmo ponto de verificação da seção pré-moldada, ou seja, a
distância do centro de gravidade até a borda superior da seção pré-moldada.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
110
myhy
compgcpréts
264,0636,090,0
,
Com isso o modulo resistente é dado por:
31
2
1085,1
264,0
1089,4
m
y
I
W
ts
comp
ts
Situação momento máximo.
ts
q
ts
gg
s
ggg
s
pp
s
W
M
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
154321
2
1122
/ 7757
1085,1
67,2566,0
1085,1
03,139
1005,4
66,379
1005,4
96,331
27,0
83,1348
mkN
s
Situação momento mínimo
ts
gg
s
ggg
s
pp
s
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
54321
2
122
/ 6925
1085,1
03,139
1005,4
66,379
1005,4
96,331
27,0
83,1348
mkN
s
Como os valores máximos e mínimos estão dentro do limite a verificação do
estado limite de formação de fissuras esta atendida.
Estado limite de descompressão, combinação quase permanente (
2
= 0,4).
Limites:
Compressão
σ = 0,7 f
ck
= 0,7 x 40000 = 28000 kN/m
2
.
Tração
σ = 0
0 kN/m
2
< σ < 28000 kN/m
2
Borda inferior
Situação momento máximo.
compi
q
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
xM
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
,
2
,
54321
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
111
2
2222
/ 674
1069,7
67,2564,0
1069,7
03,139
1005,4
66,379
1005,4
96,331
27,0
83,1348
mkN
i
Situação momento mínimo
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
,
54321
2
222
/ 2009
1069,7
03,139
1005,4
66,379
1005,4
96,331
27,0
83,1348
mkN
i
Borda superior
Situação momento máximo.
ts
q
ts
gg
s
ggg
s
pp
s
W
xM
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
254321
2
1122
/ 7480
1085,1
67,2564,0
1085,1
03,139
1005,4
66,379
1005,4
96,331
27,0
83,1348
mkN
s
Situação momento mínimo
ts
gg
s
ggg
s
pp
s
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
54321
2
122
/ 6925
1085,1
03,139
1005,4
66,379
1005,4
96,331
27,0
83,1348
mkN
s
Como os valores máximos e mínimos estão dentro do limite a verificação do
estado limite de descompressão atendida.
No dimensionamento deste exemplo a solução inicialmente considerada atendeu
as verificações em serviço, em geral a situação mais desfavorável é a tensão na borda inferior
na verificação do estado limite de descompressão. Caso essa verificação não fosse atendida,
existem basicamente duas novas soluções a serem aplicadas a primeira seria o aumento da
armadura ativa na borda inferior e a segunda o aumento da altura da seção pré-moldada de
concreto.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
112
Quando se aumenta a armadura ativa na fibra inferior, é coerente imaginar que a
tensão de tração na fibra superior também aumente, ou seja, como as peças protendidas
sempre estão trabalhando dentro de limites não se deve apenas solucionar um problema sem
verificar o que a nova solução acarretaria para as demais verificações do elemento.
Já a segunda solução apresentada pode ser não viável devido a concepção
arquitetônica uma vez que já foi limitado o pé-direito do pavimento por exemplo.
Com as tensões verificadas, no momento do dimensionamento do estado limite
ultimo se a armadura A
p
calculada for maior que a armadura dimensionada para a verificação
de fissuração, o que se pode fazer é substituir essa diferença de armadura equivalente por
armadura frouxa, finalizando assim o dimensionamento da armadura longitudinal.
10. Comprimento de transferência da armadura ativa
Para cordoalhas de três e sete fios o comprimento de ancoragem básico e obtido
por:
bpd
pyd
bp
f
f
l
36
7
, com
bpd
f deve ser calculado, considerando a idade do concreto
na data de protensão para o cálculo do comprimento de transferência e aos 28 dias para o
cálculo do comprimento de ancoragem.
O cálculo do comprimento necessário para transferir, por aderência, a totalidade
da força de protensão ao fio, no interior da massa de concreto, deve simultaneamente
considerar:
a) Se no ato da protensão, a liberação do dispositivo de tração é gradual. Nesse
caso, o comprimento de transferência deve ser calculado para cordoalhas de três a sete fios
por:
pyd
pi
bpbpt
f
ll
5,0
b) Se no ato da protensão a liberação não é gradual. Nesse caso os valores
calculados em a) devem ser multiplicados por 1,25. Sendo assim tem-se:
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
113
bpd
pi
pyd
pi
bpd
pyd
bpt
fff
f
l
36
5,3
36
7
5,0
ctdbpd
ff
21
fios sete e trêsde cordoalhas ,21
1
aderência boa de situação ,01
2
2
3
2
3
2
/ 12825,0 2825,1
4,1
2521,0
4,1
21,0
cmkNMPa
f
f
cjk
ctd
Lembrando que σ
pi
no ato da protensão (após as perdas imediatas) é de 131,75
kN/cm
2
para as cordoalhas da borda inferior e de 142,63 kN/cm
2
para as cordoalhas da borda
superior.
cm
f
l
cm
f
l
bpd
pi
bpt
bpd
pi
bpt
43,114
1539,036
63,14227,15,3
36
5,3
70,105
1539,036
75,13127,15,3
36
5,3
sup,
sup,
inf,
inf,
Como em geral nas fabricas de pré-moldado não se utiliza o sistema de
desprotensão gradual, adota-se aqui o coeficiente de 1,25, portanto, l
bpt,inf
≈ 132 cm e l
bpt,sup
≈
143 cm.
Em uma peça pré-fabricada também é importante saber a partir de distancia da
extremidade da peça pode-se considerar o esforço de protensão atuando em toda a seção. A
este comprimento dá-se o nome de distância de regularização (
p
).

bpt
2
bpt
2
p
0,6h


cm
cm
1241430,609
1191320,609
2
2
supp,
2
2
infp,
, assim l
p,inf
= l
bpt,inf
= 132 cm e l
p,sup
= l
bpt,sup
= 143 cm.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
114
11. Verificação de ruptura no tempo zero (verificação de ruptura simplificada).
Nos cálculos das perdas de protensão a primeira fase (1 dia) corresponde ao
momento de aplicação efetiva da protensão na viga pré-moldada, portanto, esta tensão na
cordoalha que é utilizada para a verificação em vazio. Em vazio é a expressão dada para
quando se tem no elemento pré-moldado a atuação somente do peso próprio e da protensão.
Todo o cálculo foi feito para os esforços máximos, ou seja, para a seção do meio
do vão chamada aqui como seção S
5
, embora essa seção seja a mais desfavorável para as
verificações em serviço e o estado limite ultimo, para a verificação em vazio essa seção esta
contra a segurança, pois no meio do vão, o momento máximo do peso próprio alivia a tensão
de tração na borda superior e simultaneamente alivia o excesso de compressão na borda
inferior.
Para uma melhor análise é recomendado nesta etapa a verificação em décimo de
vão, como o carregamento da protensão e do peso próprio do elemento pré-moldado. O
momento em décimo de vão é determinado da seguinte maneira:
22
2
ss
s
pxplx
M , com a variação de s entre 1 e 5 e o carregamento de p=6,75
kN/m. obteve-se os resultados apresentado na Tabela 8-9.
Tabela 8-9: Valores dos momentos fletores em vazio para décimo de vão.
Seção S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
M
s
(kN.m)
28,88 51,53 67,38 77,00 80,21
Considerando-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
22,39340,063,142974,1389,075,131870,9
92,158163,142974,175,131870,9
´sup,´inf,
sup,´inf,
Borda inferior
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
A
N
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
115
Borda superior
s
s
s
pp
s
W
M
W
M
A
N
A Tabela 8-10 apresenta os valores das tensões na borda inferior e superior
variando o momento em décimo de vão apresentados na Tabela 8-9
Tabela 8-10: Valores das tensões da borda inferior e superior em décimo de vão.
Seção S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
σ
i
(kN/m
2
)
14855 14300 13904 13666 13587
σ
s
(kN/m
2
)
-3137 -2582 -2186 -1948 -1869
Os limites para este instante é:
Compressão
σ = 0,7 f
ckj
= 0,7 x 25000 = 17500 kN/m
2
.
Tração
σ = 1,2 x 0,3 f
ct,m
= 1,20 x 0,3 x
3
2
25 = 3,078 MPa = 3078 kN/m
2
.
-3078 kN/m
2
< σ < 17500 kN/m
2
O limite de tensão na borda inferior esta verificado em todas as seções, enquanto
que a tensão na borda superior esta ultrapassando o limite entre as seções S
1
e S
2
, o que
implica a necessidade de uma analise mais detalhada considerando o comprimento de
transferência de protensão dos cabos.
Nesta etapa determina-se o momento mínimo necessário para que a tensão de
tração fique abaixo do permitido.
mkNM
mkN
M
f
W
M
W
M
A
N
s
mct
s
s
s
pp
s
. 27,31
/ 3078
1005,41005,4
22,393
27,0
92,1581
20,1
min
2
2
min
2
,
Com o valor do momento mínimo é possível determinar o comprimento
necessário requerido, ou seja, região em que não pode atuar todo o esforço de protensão.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
116
2
75,6
2
75,975,6
27,31
22
2
2
min
ss
ss
xx
pxplx
M
A expressão é uma equação de segundo grau, cuja solução tem duas raízes.
Resolvendo a equação, tem-se x
1
= 1,06 m que é a distância requerida.
Com o valor do comprimento requerido verifica-se se o mesmo é superior ao
comprimento de transferência. Quando o comprimento requerido é inferior ao comprimento
de transferência não é necessário isolar-se cabos. Caso contrário usa-se a expressão de tensão
para calcular a quantidade de cabos a serem isolados considerando-se uma quantidade fixa de
cabos superiores ou não..
Na situação em questão como o comprimento requerido (1,06 m) é inferior ao de
transferência (1,32 m) não há necessidade de se isolar nenhum cabo.
Agora, porém é preciso calcular a armadura passiva que ira controlar a fissuração
na borda superior. Como são conhecidas as tensões na borda inferior e superior pode-se obter
a posição da linha neutra e assim calcular a resultante de tração na seção. A seção mais
desfavorável para essa situação esta entre a seção S
1
e S
2
, a favor da segurança o
dimensionamento é feito para a seção S
1
.
Figura 8-9: Esquema para o cálculo da força F
t
de tração na seção transversal.
mx
h
x
is
s
157,090,0
148553137
3137
O valor de força de tração, como pode se deduzir a partir da Figura 8-9 é dado
por:
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
117
kN
x
bF
st
88,73
2
157,0
30,03137
2
..
A norma NBR 6118:2003 estabelece que a tensão da armadura neste caso seja de
25 kN/cm
2
.
2
96,2
25
88,73
25
´ cm
F
A
t
s
, não considerando a armadura de protensão pode-se
adotar 410 mm (A
s
= 3,2 cm
2
). Considerando a armadura de protensão tem-se cordoalha
212,7 mm (1,974 cm
2
) e 28 mm (1,0 cm
2
) de armadura passiva.
12. Verificação das tensões em décimo de vão no tempo infinito
Geralmente a verificação da tensão em décimo de vão é mais importante na
situação em vazio, pois tem-se nesta fase toda a protensão atuante e apenas o carregamento do
peso próprio, mas de qualquer maneira pode-se determinar o valor das tensão em décimo da
vão para o tempo infinito, assim os resultados calculados podem apresentar com mais clareza
o comportamento da viga pré-moldada.
Com os carregamentos apresentados nas Tabela 8-2 e Tabela 8-3 podem-se
calcular os momentos em décimo de vão. Considerando os três primeiros carregamentos
(g
1
+g
2
+g
3
) como p
1
o terceiro e quarto (g
4
+g
5
) como p
2
e o sexto (q) como p
3
, é calculado os
momentos fletores e apresentado na Tabela 8-11.
Tabela 8-11: Valores dos momentos fletores seção composta para décimo de vão.
S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
M
1
(kN.m)
136,88 242,98 318,91 364,47 379,66
M
2
(kN.m)
50,05 88,98 116,78 133,47 139,03
M
3
(kN.m)
92,40 164,27 215,60 246,40 256,67
Considerando-se:
31232
´sup,´inf,
sup,´inf,
1085,1 ;10697 ;1005,4 ; 27,0
96,33140,075,123974,1389,091,111870,9
83,134875,123974,191,111870,9
mW,WmWWmA
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
ts
-
i,compsi
p
ppipppipp
p
pippipp
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
118
Estado limite de formação de fissuras, combinação freqüente (
1
= 0,6).
Limites:
Compressão
σ = 0,7 f
ck
= 0,7 x 40000 = 28000 kN/m
2
.
Tração
σ = 0,3 f
ctk,inf
= 0,21x
3
2
40 = 2,456 MPa = 2456 kN/m
2
.
-2456 kN/m
2
< σ < 28000 kN/m
2
Borda inferior
Situação momento máximo.
compi
s
compi
s
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,31
,
,2,1
Situação momento mínimo
compi
s
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,2,1
Borda superior
Situação momento máximo.
ts
s
ts
s
s
s
s
pp
s
W
M
W
M
W
M
W
M
A
N
,31,2,1
Situação momento mínimo
tss
s
s
pp
s
W
M
W
M
W
M
A
N
2
,1
O Gráfico 8-1 apresenta os valores das tensões em décimo de vão da borda
inferior para o estado limite de formação de fissuras (ELS-F).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
119
0
2000
4000
6000
8000
10000
Tensão - kN/m²
Seções
ELS-F - Borda Inferior
Mom. máx
Mom. min
Mom. máx
8446 4754 2117 535 7
Mom. min
9167 6036 3799 2457 2010
S1 S2 S3 S4 S5
Gráfico 8-1: Tensões na borda inferior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos.
O Gráfico 8-2 apresenta os valores das tensões em décimo de vão da borda
inferior para o estado limite de formação de fissuras (ELS-F).
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
Tensão - kN/m²
Seções
ELS-F - Borda Superior
Mom. máx
Mom. min
Mom. máx
744 3812 6004 7319 7757
Mom. min
444 3280 5305 6520 6925
S1 S2 S3 S4 S5
Gráfico 8-2: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos.
Como os valores máximos e mínimos estão dentro do limite a verificação do
estado limite de formação de fissuras esta atendida.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
120
Estado limite de descompressão, combinação quase permanente (
2
= 0,4).
Limites:
Compressão
σ = 0,7 f
ck
= 0,7 x 40000 = 28000 kN/m
2
.
Tração
σ = 0
0 kN/m
2
< σ < 28000 kN/m
2
Borda inferior
Situação momento máximo.
compi
s
compi
s
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,32
,
,2,1
Situação momento mínimo
compi
s
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,2,1
Borda superior
Situação momento máximo.
comps
s
comps
s
s
s
s
pp
s
W
M
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,32
,
,2,1
Situação momento mínimo
comps
s
s
s
s
pp
s
W
M
W
M
W
M
A
N
,
2
,1
O Gráfico 8-3 apresenta os valores das tensões em décimo de vão da borda
inferior para o estado limite de descompressão (ELS-D).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
121
0
2000
4000
6000
8000
10000
Tensão - kN/m²
Seções
ELS-D - Borda Inferior
Mom. máx
Mom. min
Mom. máx
8686 5181 2678 1176 675
Mom. min
9167 6036 3799 2457 2010
S1 S2 S3 S4 S5
Gráfico 8-3: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos.
O Gráfico 8-3 apresenta os valores das tensões em décimo de vão da borda
superior para o estado limite de descompressão (ELS-D).
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
Tensão - kN/m²
Seções
ELS-D - Borda Superior
Mom. máx
Mom. min
Mom. máx
644 3635 5771 7053 7480
Mom. min
444 3280 5305 6520 6925
S1 S2 S3 S4 S5
Gráfico 8-4: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos.
Como os valores máximos e mínimos estão dentro do limite a verificação do
estado limite de formação de descompressão esta atendida.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
122
13. Cálculo de A
P
no tempo infinito.
Considerando os coeficientes de 1,30 para os elementos pré-fabricados, tem-se:
mkNM
MMMMMMM
d
qgggggd
. 23,1058)67,25645,6858,7095,106(4,1)50,19221,80(3,1
)(4,1)(3,1
54321
Supondo que a linha neutra esta passando na capa (seção retangular), de acordo
com CARVALHO e FIGUEIREDO (2005) determinou-se o valor do KMD da seguinte
maneira:
0203,0
4,1
30000
039,125,2
23,1058
2
2
cdw
d
fdb
M
KMD
Como o valor de KMD, e através da tabela 3.1 de CARVALHO e FIGUEIREDO
(2005), obteve-se o valor de kx, kz e ε
s
.
‰10 ;9879,0 ;0304,0
s
kzkx
Como o valor de kx é possível verificar a posição da linha neutra.
cmhcmmdkxx
f
516,30316,0039,1.0304,0.
(altura da capa). Portanto
a hipótese adotada é valida, ou seja, a linha neutra esta na mesa e a seção é retangular.
Com a tensão no cabo no tempo infinito de σ
p,inf
= 111,91 kN/cm
2
= 1119,1 MPa
determina-se o pré-alongamento da armadura ativa de acordo com a Tabela 5-1, e o valor é de
ε
p
= 5,75‰. Com isso tem-se
‰75,1575,510
psp
. Com ε
p
na mesma Tabela 5-1 tem-se σ
sd
=
1510,0 MPa, com isso tem-se:
2
83,6
0,151039,19879,0
23,1058
..
cm
dkz
M
A
sd
d
p
Como para a verificação da fissuração foram necessárias 9,87 cm
2
de armadura
ativa, que é maior do que a calculada para o estado limite último, isso implica que a
verificação já esta atendida, sendo assim encerra-se o dimensionamento da armadura
longitudinal atendendo todas as verificações recomendas.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
123
Outra maneira bastante comum na prática é conhecida a armadura longitudinal
calcular o momento máximo resistente da seção.
Inicialmente determina-se a posição da linha neutra (LN) a partir do equilíbrio das
forças atuantes na seção transversal (Figura 8-10).
Figura 8-10: Seção transversal com a indicação das forças internas (unidades em cm).
Como não há força externa e a força atuante no concreto (F
c
), deve ser igual a
força atuante na armadura (F
t
).
tc
FF , ou seja,

pdpwcd
fAxbf
8,085,0.
Para uma primeira tentativa impõe que a viga esta trabalhando no domínio 2 e que
a posição da linha neutra esteja na altura da capa, assim a expressão da linha neutra é dado
por:
cdf
pdp
fb
fA
x
68,0
A tensão no aço é determinada da mesma maneira apresentada anteriormente,
portanto:
f
hcmmx
73,4 1073,4
4,1
30000
25,268,0
1,15087,9
2
, portanto a linha neutra
esta passando pela capa.
Com a posição da linha neutra é possível identificar o domínio de deformação que
esta situada a viga em estudo. Para que a viga se encontre no domínio 2 a posição da linha
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
124
neutra LN deve estar entre zero e um determinado valor obtido através das deformações do
concreto e do aço.
cmmdx
sc
c
93,26 2693,0039,1
105,3
5,3
2
Como a posição da linha neutra esta a 4,73 cm pode-se dizer que a mesma
encontra-se no domínio 2. Com o isso o momento resistente é dado por:

xdxbfzFM
wcdcrest
4,08,085,0 , assim tem-se:
mkNM
rest
. 15811073,44,0039,11073,48,025,2
4,1
30000
85,0
22
Como o momento atuante é menor que o momento resistente a armadura
dimensionada para a fissuração é suficiente para atender o estado limite ultimo (ELU).
14. Armadura de pele (na região tracionada).
Como a altura total da viga é maior que 60 cm, é necessária colocação em cada
face, na região tracionada da viga, de uma armadura de pele.
2
,
70,29030
100
10,0
%10,0 cmhbA
wpeles
(em cada face, na região
tracionada).
A armadura de pele é recomendada para evitar fissuras e, portanto, deveria ser
empregada para a condição em serviço, porém, simplificadamente será usada a condição de
estado limite último. Lembrando que a linha neutra LN calculado no item anterior é de 26,93
cm, com isso tem-se:
cmcmxh 07,6393,2690
, portanto, a armadura de pele deve ser
distribuída na região tracionada até uma altura aproximada de 63 cm.
15. Estimativa de flecha
As flechas são calculadas para cada etapa, como o dimensionamento foi feito para
protensão limitada implicando que para a combinação quase permanente com a verificação do
estado limite de descompressão (Ψ
2
= 0,4) não pode existir tração na peça, isso implica que
até a ocorrência deste tipo de carregamento o momento de fissuração (M
r
)seria maior que o
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
125
momento atuante, sendo assim a viga trabalha no estádio I. Porem há de se considerar que
eventualmente na vida da estrutura poderá ocorrer outras combinações de ações. Assim,
poderia haver fissuração do concreto, por exemplo, para a combinação rara, porem como se
trata de concreto protendido imagina-se que ao se verificar o estado de deformação para a
combinação quase permanente basta verificar o nível de tensão nesta situação, pois mesmo
que já tivesse ocorrido a fissuração do concreto devido a existência da protensão não haveria
o efeito nocivo da mesma (fissuração).
Momento de fissuração é determinado para duas situações, a primeira é com a
ação do peso próprio e a protensão após ocorrida as perdas imediatas e a segunda e no tempo
infinito onde já decorreram todas as perdas devido a protensão e tem-se a seção composta.
Momento de fissuração após as perdas imediatas
pi
p
ctr
Mw
A
N
fM
; onde:
= 1,2 para seção T ou duplo TT e 1,5 para seção retangular
ct
f = é a resistência a tração do concreto, no caso de determinação do momento
de fissuração para o estado limite de deformação excessiva
mctct
ff
,
.
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
22,39340,063,142974,1389,075,131870,9
97,157763,142974,175,131870,9
´sup,´inf,
sup,´inf,
2
3
2
3
2
,
/ 2565 565,2253,03,0 mkNMPaff
ckjmct
mkNxM
r
. 74,78522,3931005,4
27,0
97,1577
25655,1
2
Neste instante o momento atuante é devido ao peso próprio, com isso tem-se:
kNm
lp
M
g
21,80
8
75,975,6
8
22
1
1
, que é menor que o momento de
fissuração.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
126
Momento de fissuração no tempo infinito
pi
p
compictr
Mw
A
N
wfM
,
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
96,33140,075,123974,1389,091,111870,9
83,134875,123974,191,111870,9
´sup,´inf,
sup,´inf,
232
3
2
,
/ 3509 509,3403,03,0 mkNMPaff
ckmct
mkNxM
r
. 09,85896,3311005,4
27,0
83,1348
1069,735092,1
22
No tempo infinito o momento atuante para verificação de deformação excessiva é
dado para a combinação quase permanente, como os valores dos carregamento dados na
Tabela 8-4, tem-se:
kNm
lp
M
qggggg
23,621
8
75,928,52
8
22
54321
2
, que é menor que o
momento de fissuração.
Flechas devidas aos carregamentos g
1
a g
5
e q.
Fase 01: Peso próprio (g
1
).
mkNgp / 75,6
1
mmm
IE
lp
a
c
g
83,11083,1
1082,1108,23384
75,975,65
384
5
3
26
44
1
Onde:
MPafE
cjc
2380025.5600.85,0.5600.85,0
Fase 02: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
).
mkNgp / 20,16
2
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
127
mmm
IE
lp
a
c
g
60,31060,3
1082,11002,29384
75,920,165
384
5
3
26
44
2
Para a segunda fase com 15 dias o concreto tem resistência de β
1
.f
ck
.

929,0
15
28
120,0exp
28
1exp
2/12/1
1
t
s
Onde:
s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI.
Assim:
MPafE
ckc
2901640.929,0.5600.85,0.5600.85,0
1
Fase 03: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
) + Capa (g
3
).
mkNgp / 00,9
3
mmm
IE
lp
a
c
g
93,11093,1
1082,1101,30384
75,900,95
384
5
3
26
44
3
Onde:
MPafE
ckc
3010440.5600.85,0.5600.85,0
Fase 04: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
) + Capa (g
3
) + Alvenaria (g
4
).
mkNgp / 94,5
4
mmm
IE
lp
a
c
g
48,01075,4
1089,4.101,30384
75,994,55
384
5
4
26
44
4
Onde:
MPafE
ckc
3010440.5600.85,0.5600.85,0
Fase 05: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
) + Capa (g
3
) + Alvenaria (g
4
) +
Revestimento (g
5
).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
128
mkNgp / 76,5
5
mmm
IE
lp
a
c
g
46,01060,4
1089,4101,30384
75,976,55
384
5
4
26
44
5
Onde:
MPafE
ckc
3010440.5600.85,0.5600.85,0
Fase 06: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
) + Capa (g
3
) + Alvenaria (g
4
) +
Revestimento (g
5
)+ Acidental (q).
Considerando o coeficiente de ponderação Ψ
2
= 0,4
mkNqp / 60,21
mmm
IE
lp
a
c
q
69,01090,6
1089,4101,30384
75,94,060,215
384
5
4
26
44
2
Onde:
MPafE
ckc
3010440.5600.85,0.5600.85,0
Contra flechas devidas momento de protensão
Após 24 horas da fabricação da viga, a protensão foi aplicada com os cortes dos
cabos e inicia-se também uma perda de protensão, com isso analisa-se a contra flecha e a sua
diminuição da seguinte forma.
A tensão inicial do cabo é dada por:
MPa
pracorappi
55,141)55,220,1(3,145)(
Com isso tem-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
70,43140,055,141974,1389,055,141870,9
52,167655,141974,155,141870,9
´sup,´inf,
sup,´inf,
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
129
mmm
IE
lM
a
c
p
p
71,91071,9
1082,11002,298
75,970,431
8
3
26
2
2
A perda de protensão também implica em uma perda da contra flecha.
IE
lM
a
MMM
c
p
p
ptptp
..8
.
2
0,,
Com a tensão no tempo infinito no cabo de protensão de σ
pi,inf
= 111,91 MPa e
σ
pi,sup
= 123,75 MPa, tem-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
96,33140,075,123974,1389,091,111870,9
83,134875,123974,191,111870,9
´sup,´inf,
sup,´inf,

mmm
IE
lM
a
c
p
p
16,21016,2
1082,1101,308
75,996,33170,431
8
3
26
2
2
A Tabela 8-12 apresenta o resumo das flechas imediatas.
Tabela 8-12: Resumo das deformações imediatas.
Fase Ação Seção Flecha imediata (mm)
1
Protensão Pré-fabricada -9,71
1
Peso próprio da viga Pré-fabricada 1,83
2
Peso próprio da laje Pré-fabricada 3,60
3
Execução da capa Pré-fabricada 1,93
4
Execução da alvenaria Composta 0,48
5
Execução do revestimento Composta 0,46
6
Atuação da carga acidental Composta 0,69
7
Perda de protensão Pré-fabricada 2,16
Valores do coeficiente de fluência.
O coeficiente de fluência já foi determinado e apresentado na Tabela 8-8 para a
determinação das perdas por fluência. A Tabela 8-13 reapresenta os valores dos coeficientes
de fluência.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
130
Tabela 8-13: Coeficientes de fluência para a seção 01, 02 e final.
Ação
t
0
seção 01
Coeficiente
seção 01
t
0
seção 02
Coeficiente
seção 02
Coeficiente
final
Protensão 1 3,304 -- -- 3,304
Peso próprio da viga 1 3,304 -- -- 3,304
Peso próprio da laje 15 2,225 -- -- 2,225
Execução da capa 30 1,940 1 3,783 2,559
Execução da alvenaria 45 1,777 15 2,539 2,033
Execução do revestimento 60 1,660 30 2,150 1,825
Atuação da carga acidental 75 1,568 45 1,933 1,691
Perda de protensão 75 1,568 45 1,933 1,691
A Tabela 8-14 apresenta os valores finais das flechas considerando a protensão e
os carregamentos.
Tabela 8-14: Resultado final da flecha no tempo infinito.
Fase
Flecha
imediata
Coeficiente
φ
final
Coeficiente
1+ φ
final
Flecha
t
∞
Soma
1
-9,71 3,304 4,304 -41,79 -41,79
1
1,83 3,304 4,304 7,88 -33,91
2
3,60 2,225 3,225 11,61 -22,30
3
1,93 2,559 3,559 6,87 -15,43
4
0,48 2,033 3,033 1,46 -13,97
5
0,46 1,825 2,825 1,30 -12,67
6
0,69 1,691 2,691 1,86 -10,81
7
2,16 1,691/2=0,846 1,846 3,99 -6,82
Com limite de
mm
l
00,39
250
9750
250
16. Armadura transversal
A protensão longitudinal introduz nas peças de concreto tensões de compressão
que contribuem na redução das tensões principais de tração (que ficam mais inclinadas com
relação ao eixo de peça), de modo que as fissuras de cisalhamento configuram-se com menor
inclinação do que em caso de concreto armado.
Aplica-se o modelo de cálculo I para determinação da armadura transversal.
Cálculo de V
sd
.
Prescrições da NBR 6118:2003, item 17.4.1.2.1, para o cálculo da armadura
transversal no trecho junto ao apoio, no caso de apoio direto (carga e reação em faces opostas,
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
131
comprimindo-as). A força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no
trecho entre o apoio e a seção situada à distancia de d/2 da face de apoio, constante e igual à
desta seção.
Para o cálculo das ações atuantes são considerados os carregamentos apresentados
na Tabela 8-2 e Tabela 8-3.

xp
lp
V
x
2
kNxp
lp
V
gg
14,13245,095,22
2
75,995,22
3,1
2
3,1
21
1
kNxp
lp
V
qggg
05,26245,030,42
2
75,930,42
4,1
2
4,1
543
2
kNVVV
sd
19,39405,26214,132
21
Verificação do esmagamento da biela de concreto
kNsenV
sendbfV
Rd
wcdvRd
8,1410)30cot90(cot30839,030,0
4,1
40000
84,054,0
cotcot54,0
2
2
2
22
, com:
84,0
250
40
1
250
1
2
ck
v
f
Portanto,
2Rdsd
VV , e não há perigo de esmagamento do concreto das bielas.
Cálculo de V
c
.
Para o cálculo da armadura transversal (em forma de estribos) usa-se o modelo I
da NBR 6118:2003 na flexo-compressão e considera-se que a seção resistente seja a da viga
pré-fabricada (retangular de 30x90 cm). Assim tem-se:
0
,
0
0
21
c
máxsd
cc
V
M
M
VV
, com
kNdbfV
wctdc
89,264839,030,017546,06,0
0
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
132
232
3/2
inf,
/ 1754 754,14015,0
4,1
3,07,0
mkNMPa
f
f
f
ck
c
ctk
ctd
Considerando o efeito da protensão tem-se:


p
M
ppp
i
qgfpp
eN
A
w
NNM
0
Como demonstrando no item anterior a protensão necessita de um comprimento
de 132 cm para transferir a totalidade da carga de protensão na peça pré-fabricada, de acordo
com a norma esse efeito varia linearmente, com isso através da Figura 8-11 pode-se calcular o
valor da tensão na seção em análise (x = 45 cm).
Figura 8-11: Variação linear do efeito da protensão na viga pré-moldada.
2
/ 15,38
132
91,111
45
cmkNx
x
, analogamente cálcula-se a tensão na cordoalha
da borda superior.
2
/ 77,41
143
91,111
45
cmkNx
x
, finalmente considerando:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppppppp
p
ppppp
42,11340,077,41974,1389,015,38870,9
99,458974,177,41870,915,38
´sup,´inf,
´sup,inf,

kNmM 90,15242,1139,0
27,0
1005,4
099,4589,0
2
0
Cálculo de M
sd,máx
na seção em análise:

22
2
xpxlp
M
x
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
133
kNmM
xpxlp
M
gggg
45,62
2
45,075,22
2
45,075,995,22
3,1
22
3,1
2
1
2
2121
1
kNmM
xpxlp
M
qgggqggg
91,123
2
45,030,42
2
45,075,930,42
4,1
22
4,1
2
2
2
543543
2
kNmMMM
máxsd
36,18691,12345,62
21,
0
2 22,482
36,186
90,152
189,264
cc
VkNV
, portanto, kNV
c
22,482
Cálculo da armadura transversal
Para o cálculo da armadura transversal, a parcela da força cortante (V
sw
) a ser
absorvida pela armadura, pode ser escrita por:
cRdsw
VVV
3
, sendo que a força cortante resistente de cálculo V
Rd3
deve ser no
mínimo igual a força cortante solicitante de cálculo V
sd
(V
Rd3
=V
sd
).
kNVVVVV
csdcRdsw
03,8822,48219,394
3
o sinal negativo significa
que apenas o concreto é suficiente para resistir aos esforços de cisalhamento e, portanto, a
armadura transversal será apenas construtiva, obedecendo aos valores mínimos indicados pela
norma.
Armadura mínima
Para garantir ductilidade à ruína por cisalhamento a armadura transversal deve ser
suficiente para suportar o esforço de tração resistido pelo concreto na alma, antes da formação
de fissuras de cisalhamento.
Segundo o item 17.4.1.1.1 da NBR 6118:2003, a armadura transversal mínima
deve ser constituída por estribos, com taxa geométrica:
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
134
ywk
mct
w
sw
sw
f
f
sensb
A
,
, ou seja,
sensb
f
f
A
w
ywk
mct
sw
,
2,0, com:
MPaff
ckmct
509,34030,03,0
32
3
2
,
mcmsenA
sw
/ 21,49010030
500
509,3
2,0
2
, considerando-se estribos com 4
ramos de 6,3 mm, o espaçamento s é dado por:
cmm
A
A
s
sw
s
30 30,0
21,4
32,04
O espaçamento máximo entre estribos, na direção longitudinal da viga. Deve ser
suficiente para a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento.
Para que não ocorra ruptura por cisalhamento nas seções entre os estribos, o
espaçamento máximo deve atender as seguintes condições:
;2003,067,0
;3006,067,0
2
2
mmdsVV
mmdsVV
máxRdsd
máxRdsd
Sendo assim, tem-se:
24,0
02,1631
19,394
2
Rd
sd
V
V
, portanto adota-se 6,3 mm com 4 ramos a cada 30 cm.
17. Armadura necessária para ancoragem da diagonal de compressão
Força necessária para ancorar a diagonal de compressão em apoios extremos
(considerando modelo II com = 30º):
máxsd
l
s
V
d
a
R
,

87,090cot30cot5,0cotcot5,0
d
a
l
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
135
kNR
s
94,34219,39487,0
Considerando o efeito da normal de protensão (x=22,50 cm) das cordoalhas na
borda inferior (N
p
=188,22 kN)
mmcm
f
R
A
yd
s
cals
162 55,3
15,1
50
22,18894,342
2
,
Comprimento de ancoragem das barras no apoio
Na ancoragem da armadura de tração nos apoios extremos com momentos
negativos ou nulos, as barras dessas armaduras, no caso com ganchos semicirculares (r = 2,5
, raio de curvatura interno do gancho de uma barra de diâmetro ), deverão ser ancoradas a
partir da face do apoio, com comprimentos iguais ou superiores ao maior dos seguintes
valores:
2
,
,,
,
,
47,5 0,20
55,3
06,447,07,0 cmA
AA
A
ll
efs
efsefs
calcs
bnecb
O valor de l
b
é encontrado através da seguinte equação:
cmmm
f
f
l
bd
yd
b
06,44 62,440
947,315,1
500
4
16
4
Sendo f
bd
:
MPaff
ctdbd
946,3754,10,10,125,2321
1 = 2,25 (CA-50 para barra usual, nervurada, de alta aderência);
2 = 1,0 (situação de boa aderência);
3 = 1,0 ( = 20 mm < 32 mm)
MPa
f
f
ck
ctd
754,14015,0
4,1
21,0
3
2
3
2
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
136
18. Seção composta
Segundo o item 6.3 da NBR 9062:2006 o cálculo deve levar em conta as tensões
existentes na parte pré-moldada da peça antes do endurecimento do concreto aplicado na
segunda etapa, as propriedades mecânicas do concreto pré-moldado e do concreto moldado
posteriormente, a redistribuição de esforços decorrentes da retração e da fluência e a
incidência dessas ações sobre o esforço de deslizamento das superfícies em contato.
Na falta de cálculo mais rigoroso, permite-se calcular a peça como composta,
como peça monolítica se a tensão de aderência de cálculo
sd
satisfazer as seguintes
condições:
cdctdc
syd
ssd
ff
sb
Af
25,0
, onde:
ba
F
v
md
sd
, com a
v
a distância entre os pontos de momento nulo e máximo,
respectivamente e b a largura da interface (0,16m ver Figura 8-6). Como se tem um sistema
com a viga bi-apoiada a
v
é dado por
2/l
, ou seja, m
l
a
v
88,4
2
75,9
2
.
kN
dkz
M
F
d
md
98,1030
039,19879,0
23,1058
2
/ 42,1320
16,088,4
98,1030
mkN
sd
Considerando que a superfície de ligação seja intencionalmente rugosa com no
mínimo 0,5 cm, a tabela 5 da NBR 9062:2006 fornece os valores de máximos 9,0
s
e
6,0
c
. Considerando a mesma armadura dimensionada para o cisalhamento, com apenas
dois ramos de 6,3 mm (ver Figura 8-12) fazendo a ligação entre a viga de pré-moldada e a
capa de concreto, tem-se:
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
137
Figura 8-12: Posicionamento das armaduras de cisalhamento.
22
/ 86,7142
4,1
40000
25,0/ 14,1574175460,0
30,016,015,1
32,0250
9,0
25,0
mkNmkN
ff
sb
Af
sd
cdctdc
syd
ssd
Com estas verificações atendidas pode-se considerar com uma seção monolítica
para o estado limite ultimo.
19. Dimensionamento do consolo
O dimensionamento do consolo e dente Gerber é desenvolvido de acordo como o
modelo biela-tirante proposto pela NBR 9062:2006 (Figura 8-13).
Figura 8-13: Modelo biela-tirante para consolo curto (Figura 7.6 NBR 9062:2006).
Na Figura 8-14 apresentam-se as variáveis que estão calculadas nas etapas do
dimensionamento.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
138
Figura 8-14: Consolo e elastômero com medidas preliminares.
Ações atuantes
A Tabela 8-15 apresenta as ações atuantes na viga para o carregamento da força
vertical no consolo.
Tabela 8-15: Carregamentos distribuídos na viga.
Descrição
Intensidade
(kN/m)
g
1
– Peso próprio 6,75
g
2
– Laje Alveolar 16,20
g
3
– Capa 9,00
g
4
– Alvenaria 5,94
g
5
– Revestimento 5,76
q – Acidental 21,60
Reação no ELU.
Os critérios adotados quanto a segurança em ligações por meio de consolos de
concreto estabelecidos na NBR 6118:2004 e NBR 8681:2004 alem dos usuais deve ser
multiplicados pelo coeficiente de 1,1 segundo o item 7.3.1.1 da NBR 9062:2006 (elemento
pré-moldado e a carga permanente é predominante).
kNV
d
27,489)30,424,195,223,1(
2
75,9
1,1
Devem ser adicionadas ao cálculo dos consolos as ações horizontais atuantes, ou
as componentes horizontais de força provenientes de consolos inclinados, levando em conta a
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
139
rugosidade entre as superfícies de contato. Na falta de um cálculo rigoroso, permite-se adotar
para as ações horizontais uma fração das ações verticais.
dd
VH 16,0 , para almofadas de elastômero.
kNH
d
28,7827,48916,0
Armadura do tirante
O tipo de armadura é horizontal com solda, com o diâmetro = 2 cm e com o
cobrimento de 2 cm (menor possível). A partir dessa escolha pode-se determinar o valor de a
2
(distância da face externa da almofado de apoio a face externa do consolo).
cmca 422
2
Uma vez atribuído o diâmetro da armadura do tirante, o cobrimento e atribuindo-
se também o numero de camadas, pode-se determinar o valor de d’ e conseqüentemente o
valor de d. (Figura 8-15).
Figura 8-15: Distancia d’ com tirante em duas camadas horizontais soldadas.
Uma camada:
2
'
cd
Duas camadas:
22
3
'
v
d
cd
Onde;
d
v
= distancia mínima na vertical entre duas barras.
Considerando-se duas camadas e a distancia vertical (d
v
) entre as barras de 2 cm
(1 diâmetro), tem-se:
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
140
cm
d
cd
v
6
2
2
2
23
2
22
3
'
Elastômero
Para se determinar a largura do elastômero (j), é considerada a mesma distancia a
2
para cada lado, com isso tem-se:
cmabj 2242302
2
Onde;
b – é a largura da viga.
j – largura do elastômero.
A partir do valor de j e considerando um tensão admissível de 7 MPa para o
elastômero (se fretado pode chegar a 11 MPa) obtém-se o comprimento mínimo do
elastômero.
cm
j
V
i
mim
66,20
7,022
09,318
7,0
, adota-se i = 25 cm.
Onde;
V – é o valor da reação em serviço
kNV 09,318
2
75,9
25,65
Geometria do consolo
Após os valores determinados e calculados acima é possível estabelecer a
geometria do consolo. Considerando a espessura do elastômero (g) de 1 cm e com a altura da
viga, pode-se determinar a altura (m) do consolo.
cmg
h
m
viga
441
2
90
2
À distância a (ponto de aplicação da carga até a face interna do consolo) é dada
pela seguinte expressão:
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
141
cma
i
na
máx
5,284
2
25
45
2
2
, considera-se a = 23 cm.
A seguir na Figura 8-16 é apresentada a geometria do consolo utilizada para a sua
classificação e dimensionamento das armaduras e a verificação de tensão de compressão da
biela de concreto.
Figura 8-16: Geometria para o dimensionamento do consolo (unidades em cm).
Valor da relação a/d.
61,0
38
23
d
a
, classificado como consolo curto (0,5<a/d<1).
Valor de k.
cmdgtgk 12,1)61.(16,0)'.(
Onde;
16,0
27,489
28,78
d
d
V
H
tg
Valor do segmento
AB .
cmkacnAB 88,16)12,12322(45)(
Como se tem H
d
≠ 0, valor do comprimento da biela no plano horizontal do tirante
é de:
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
142
cmBCAB 76,3388,162
Inclinação da biela
º85,4293,0
2245
38
cn
d
tg
Tensão na biela (para consolo curto).
2
2
2
,
/ 14243
22,03376,0)85,42(
27,489
)(
mkN
sen
xjACsen
V
d
bielac
2
,
/28571
4,1
40000
4,1
mkN
f
f
ck
bielac
Como
bielacbielac
f
,,
, a tensão de compressão na biela esta verificada.
Pode se observar uma diferença grande na tensão de cálculo com a máxima
resistida, se ocorrer o colapso se dará possivelmente por escoamento da armadura do tirante.
Um valor mais conservador para verificar a tensão seria 0,85f
cd
, visto que há
alguma fissuração no concreto a onde a biela se forma.
Cálculo da armadura do tirante
Para os consolos curtos, admite-se que a armadura total do tirante:
yd
d
svtirs
f
H
AA
,
Onde;
yd
d
sv
f
V
d
a
A
1,0
2
,
74,9
50
28,7815,1
50
27,48915,1
38,0
23,0
1,0 cmA
tirs
Utiliza-se a primeira camada com = 20 mm e a segunda camada com = 16 mm
(A
s,tir
= 2x3,15 + 2x2,0 = 10,3 cm
2
).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
143
A Figura 8-17 apresenta o esquema mecanismo de biela e tirante, sendo possível
determinar o valor da força no tirante através da somatória do momento em relação ao ponto
A.
Figura 8-17: Mecanismo para o cálculo da armadura do tirante.
2
,
,
94,828,78
38,0
01,006,038,0
27,489
38,0
23,0
50
15,1
'1
)'(...
0)'(..0
cmA
H
d
gdd
V
d
a
f
A
gddHaVdfA
gddHaVdfM
tirs
dd
yd
tirs
ddyds
ddtA
A armadura do tirante calculada com a primeira expressão apresenta pequena
variação comparada com o valor calculado com o equilíbrio das forças.
Cálculo da armadura de costura
A armadura de costura deve ser distribuída em 2/3d adjacentes ao tirante.

dAsA
vs
t
s
/4,0/
cos
Onde;
ds
3
2
, portanto:
2
93,7
50
27,48915,1
38,0
23,0
1,0 cm
x
A
vs
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
144
 
2
cos
12,293,7.
3
2
.4,0
3
2
4,0
/
3
2
4,0/4,0/
cmAAA
dAdAdAsA
svss
vssvs
t
s
2
12,2 cmA
s
, adotam-se ganchos horizontais com 8.00 mm com 2 ramos em 3
camadas na faixa de (2/3)d = 25,33 cm a cada 8 cm.
Outra interpretação do texto da norma está em se considerar a armadura de costura
como sendo 0,4 da do tirante e ainda que a mesma deva ser colocada ao longo do espaço de
2/3 de d. Desta forma resultaria no seguinte valor:
2
17,393,74,04,0 cmAA
stirantes
Esta armadura estará distribuída em 2/3 de d desta forma tem-se
mcmsA
s
/ 51,12
38,0
3
2
17,3
/
2
Resultando ao se usar estribos de 8 mm em um espaçamento de:
ms 079,0
51,12
2,50
Assim devem ser usados 5 estribos de = 8 mm a cada 7,5 cm.
Armadura transversal
Os estribos verticais são considerados os valores mínimos para vigas
estabelecidos pela NBR 6118:2003.
c
s
ywk
ctm
mínsw
A
A
f
f
.2,0
,
Considerando que o concreto tenha f
ck
= 40 MPa e a armadura transversal seja
composta somente por estribos verticais ( = 90) de aço CA-50 (f
ywk
= 500 MPa) o valor da
taxa geométrica mínima será:
0014,0
500
40.3,0
.2,0
32
90,
sw
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
145
2
90,
85,144300014,0. cmAA
csws
, adotam-se estribos verticais com 6.3
mm com 2 ramos em 3 camadas, espaçados aproximadamente a cada 15 cm.
20. Dimensionamento dente Gerber
Permite-se assemelhar o dente de apoio a um consolo, sendo assim algumas
características e hipóteses já foram determinadas com o desenvolvimento do cálculo do
consolo. A Figura 8-18 apresenta a geometria do dente Gerber para o dimensionamento.
Figura 8-18: Geometria para o dimensionamento do dente Gerber (unidades em cm).
À distância a é definida pela expressão abaixo.
cmfana
consdent
2312345
, onde:
f = folga entre o consolo e o dente Gerber.
Valor de t (definir)
O valor t é corresponde a ¼ da altura útil da viga para a distribuição da armadura
de suspensão.
cmt
d
t
viga
97,20
4
9,83
4
, considera-se t = 20 cm.
Valor da relação a/d
59,0
39
23
d
a
, classificado como consolo curto (0,5<a/d<1).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
146
Valor de k (o mesmo significado que o usado no consolo)
cmdgtgk 12,1)61.(16,0)'.(
Onde;
16,0
27,489
28,78
d
d
V
H
tg
Valor do segmento
AB .
cmkacnAB 88,16)12,12322(45)(
Como se tem H
d
≠ 0, valor do comprimento da biela no plano horizontal do tirante
é de:
cmBCAB 76,3388,162
Inclinação da biela
º89,4918,1
2
20
22322,1
245
2
t
cak
cd
tg
Tensão na biela (para consolo curto).
2
2
2
,
/ 11262
22,03376,0)89,49(
27,489
)(
mkN
sen
xjACsen
V
d
bielac
Com a inclinação da biela é maior que 45º a tensão limite é 0,85 f
cd
.
2
,
/24285
4,1
40000
.85,0
4,1
.85,0 mkN
f
f
ck
bielac
Como
bielacbielac
f
,,
, a tensão de compressão na biela esta verificada.
Da mesma maneira para o cálculo do consolo pode se observar uma diferença
grande na tensão de cálculo com a máxima resistida, se ocorrer o colapso se dará
possivelmente por escoamento da armadura do tirante.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
147
Cálculo da armadura do tirante
Para os consolos curtos, admite-se que a armadura total do tirante:
yd
d
svtirs
f
H
AA
,
Onde;
yd
d
sv
f
V
d
a
A
1,0
2
,
56,9
50
28,7815,1
50
27,48915,1
39,0
23,0
1,0 cmA
tirs
Utiliza-se a primeira camada com = 20 mm e a segunda camada com = 16 mm
(A
s,tir
= 2x3,15 + 2x2,0 = 10,3 cm
2
)
A Figura 8-19 apresenta o esquema mecanismo de biela e tirante, sendo possível
determinar o valor da força no tirante através da somatória do momento em relação ao ponto
C.
Figura 8-19: Mecanismo para o cálculo da armadura do tirante.
2
,
,
76,1228,78
39,0
01,006,039,0
27,489
39,0
10,002,023,0
50
15,1
'1
)'().(..
0)'(..0
cmA
H
d
gdd
V
d
tca
f
A
gddHtcaVdfA
gddHaVdfM
tirs
dd
yd
tirs
ddyds
ddtC
A armadura do tirante calculada com a primeira expressão apresenta uma variação
considerável comparada com o valor calculado com o equilíbrio das forças. O que ocorreu
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
148
aqui é que se considerou o ponto C posicionado no centro da armadura de suspensão,
enquanto a norma 9062:2006 o faz na face do dente.
Cálculo da armadura de costura
A armadura de costura deve ser distribuída em 2/3d adjacentes ao tirante.

dAsA
vs
t
s
/4,0/
cos
Onde;
ds
3
2
, portanto:
2
76,7
50
27,48915,1
39,0
23,0
1,0 cmA
vs
 
2
cos
07,276,7.
3
2
.4,0
3
2
4,0
/
3
2
4,0/4,0/
cmAAA
dAdAdAsA
svss
vssvs
t
s
2
07,2 cmA
s
, adotam-se estribos horizontais com 8.00 mm com 2 ramos em 3
camadas na faixa de (2/3)d = 25,33 cm a cada 8 cm.
Outra interpretação do texto da norma está em se considerar a armadura de costura
como sendo 0,4 da do tirante e ainda que a mesma deve ser colocada ao longo do espaço de
2/3 de d. Desta forma resultaria no seguinte valor:
2
10,376,74,04,0 cmAA
stirantes
Esta armadura estará distribuída em 2/3 de
d desta forma tem-se:
mcmsA
s
/ 24,12
38,0
3
2
10,3
/
2
Resultando ao se usar estribos de 8 mm em um espaçamento de:
ms 082,0
79,12
2,50
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
149
Assim devem ser usados 5 estribos de = 8mm a cada 7,5 cm.
Armadura transversal
Os estribos verticais são considerados os valores mínimos para vigas
estabelecidos pela NBR 6118:2004.
c
s
ywk
ctm
mínsw
A
A
f
f
.2,0
,
Considerando que o concreto tenha f
ck
= 40 MPa e a armadura transversal seja
composta somente por estribos verticais ( = 90) de aço CA-50 (f
ywk
= 500 MPa) o valor da
taxa geométrica mínima será:
0014,0
500
40.3,0
.2,0
3
2
90,
sw
2
90,
89,145300014,0. cmAA
csws
, adotam-se estribos verticais com 6.3
mm com 2 ramos em 3 camadas, espaçados aproximadamente a cada 15 cm.
Armadura de suspensão
Deve existir armadura de suspensão capaz de resistir a totalidade das cargas
verticais aplicadas no dente Gerber com tensão f
yd
.
2
,
25,11
50
27,489.15,1
cm
f
V
A
yd
d
susps
Considerando-se um espaçamento de 5 cm entre as barras verticais em um total de
20 cm tem-se 5 arranjos e considerando 4 ramos, pode-se calcular o diâmetro mínimo da
armadura.
2
,
563,0
45
25,11
cm
ramosverticaisbarras
A
susps
mim
, adota-se 10 mm.
21. Detalhamento da viga pré-moldada e consolo.
A Figura 8-20, Figura 8-21 e Figura 8-22 apresentam todo o detalhamento
resultante dos cálculos apresentados anteriormente para o exemplo 01.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
150
Figura 8-20: Forma da viga VR01, exemplo 01.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
151
Figura 8-21: Armação da viga VR01, exemplo 01.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
152
Figura 8-22: Forma e armação do consolo, exemplo 01.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
153
8
8
.
.
2
2
.
.
E
E
X
X
E
E
M
M
P
P
L
L
O
O
0
0
2
2
Exemplo 7.2: Calcular a porcentagem de engastamento do exemplo 01
considerando como armadura de ligação 320 mm. Discutir a possibilidade de redução da
armadura longitudinal, decorrente da ligação semi-rígida.
1. Características geométricas da região da ligação
A Figura 8-23 apresenta as características geométricas da região da ligação.
Figura 8-23: Características geométricas na região da ligação (unidades em mm).
O comprimento da região da ligação l
p
indicado na Figura 8-23 é determinado
com a seguinte expressão:
cm
l
h
l
cons
p
5,67
2
45
2
90
22
2. Carregamentos atuantes
A ligação começa a funcionar depois do endurecimento da capa de concreto,
sendo assim, somente as cargas atuantes após o capeamento poderá ser consideradas nos
cálculos, a Tabela 8-16 apresenta as cargas e o momento máximo atuantes nesta fase.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
154
Tabela 8-16: Momentos máximos no meio do vão.
Descrição
Intensidade
(kN/m)
Vão (m)
Momento máximo
(kN.m)
g
4
– Alvenaria 5,94 9,75 70,58
g
5
– Revestimento 5,76 9,75 68,45
q – Acidental 21,60 9,75 256,67
Para um carregamento total de 33,30 kN/m e um vão efetivo de 9,75 m, pode-se
determinar o momento elástico da viga pré-moldada, determinando assim o momento
negativo máximo, ou seja, momento de engastamento perfeito.
mkN
lp
M
ext
. 80,263
12
75,930,33
12
22
Para uma primeira tentativa, adota-se um fator de restrição ao giro (
R
) de 0,16 o
que implica a 22% de engastamento. Sendo assim o momento na extremidade pode ser
corrigido.
mkNMM
R
R
engext
. 62,58
16,02
16,03
80,263
2
.3
3. Determinação do momento de fissuração para a região da ligação.
Determina-se o momento de fissuração considerando a região da ligação entre a
viga e o pilar.
mkNcmkN
y
If
M
cct
r
.82,77.45,7782
125,32
65301024565,1
34
Como o momento de fissuração é maior que o momento atuante na extremidade
da viga considerando 22% de engastamento a o momento equivalente corresponde ao
momento de inércia no estádio I. A Tabela 8-17 mostra os dados necessários para a
determinação do momento de inércia no estádio I considerando a presença de armadura.
Tabela 8-17: Parâmetros necessários para determinação da inércia no estádio I homogeneizada.
b
w
(cm)
h
(cm)
d
(cm)
A
s´
(cm
2
)
f
ck
(MPa)
E
s
(MPa)
e
30 65 60 9,45 40 2,10.10
5
6,976
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
155
A relação entre os módulos de elasticidade do aço e o concreto:
976,6
40560085,0
210000
cs
s
e
E
E
Área seção homogeneizada

2
20061976,645,965301 cmAhbA
eswh
Centro de gravidade
 
cm
A
dA
h
b
y
h
esw
h
27,33
2006
601976,645,9
2
65
301
2
22
Momento de inércia a flexão


45
2
2
3
2
2
3
1028,76027,331976,645,9
2
65
27,336530
12
6530
1
212
cmI
dyA
h
yhb
hb
I
h
heshw
w
h
4. Determinação do fator de restrição
R
considerando o E.L.U
Para a determinação do fator de restrição
R
são necessários alguns parâmetros
considerando a região da ligação. Estes parâmetros estão ilustrados na Tabela 8-18.
Tabela 8-18: Parâmetros determinados considerando a região da extremidade da viga.
I
I, ext
(mm
4
)
l
p
(mm)
l
e
(mm)
E
s
(kN/mm
2
)
A
s´
(cm
2
)
d
(mm)
E
ct
(kN/mm
2
)
E
cs
(kN/mm
2
)
L
(mm)
7,28.10
9
675 550 210 9,45 600 35,4 30,1 9750
Com estes parâmetros determina-se a rigidez secante da ligação utilizada para o
cálculo de
R
.
rad
mmkN
IE
l
dAE
l
R
Ics
p
ss
e
.
1059,8
1028,71,30
675
6001045,92109,0
550
9,0
7
1
922
1
2
sec
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
156
Para a seção no meio do vão, como no exemplo 01 foi considera o tipo de
protensão como limitada e o sistema estático como bi-articulado, foi apresentado nos cálculos
que o momento de fissuração não foi atingido, como neste exemplo tem-se uma pequena
porcentagem de engastamento, isso reforça ainda mais que o momento atuante no meio do
vão não atingirá o momento de fissuração, fazendo com que a viga trabalhe no estádio I.
Lembrando que no meio do vão tem-se com a contribuição da capa de concreto
uma seção T. A Tabela 8-19 mostra os parâmetros considerados para o cálculo do momento
de inércia homogeneizado como seção T.
Tabela 8-19: Parâmetros necessários para determinação da inércia no estádio I homogeneizada
como seção T.
b
w
(cm)
h
(cm)
b
f
(cm)
h
f
(cm)
d
(cm)
A
p
(cm
2
)
f
ck
(MPa)
E
p
(MPa)
e
30 110 225 5 103,9 9,87 40 2,00.10
5
6,643
A relação entre os módulos de elasticidade do aço e o concreto:
643,6
40560085,0
200000
cs
p
e
E
E
Área seção homogeneizada

2
43301643,687,911030530225
1
cmA
AhbhbbA
h
epwfwfh
Centro de gravidade


 
cmy
A
dA
h
b
h
bb
y
h
h
epw
f
wf
h
81,43
4330
9,1031643,687,9
2
110
30
2
5
30225
1
22
22
2
2
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
157
Momento de inércia a flexão






46
2
22
33
2
2
2
3
3
1061,59,10381,431643,687,9
2
110
81,4311030
2
5
81,43530225
12
11030
12
530225
1
221212
cm
I
dyA
h
yhb
h
yhbb
hb
hbb
I
h
hephw
f
hfwf
w
fwf
h
Com a determinação dos momentos inércia da extremidade e do meio do vão,
calcula-se o momento de inércia equivalente da viga.
410109
,,
1014,41061,57,01028,73,07,03,0 mmIII
vãoextvigaeq
Desta forma é possível a determinação do fator de restrição
R
da seguinte
maneira:

16,0
1075,91059,8
1014,44,353
1
3
1
1
37
10
1
sec
sec
LR
EI
R
O fator de restrição ao giro foi o mesmo arbitrado no inicio do exercício,
consequentemente a porcentagem de engastamento (22%) é a mesma, com isso pode-se
determinar o momento corrigido no meio do vão a partir do momento elástico da seguinte
maneira:
mkNM
lp
MM
vãocorr
R
R
R
R
elasvãovãocorr
. 08,337
16,02
16,00,36
24
75,93,33
2
0,36
242
0,36
2
,
2
,,
Para a situação bi-articulada o momento isostático é de 395,69 kN.m, o que
mostra-se bem próximo do valor considerando a ligação com 320 mm, o que provavelmente
não teria grande significado de redução de armadura longitudinal da viga em estudo.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
158
8
8
.
.
3
3
.
.
E
E
X
X
E
E
M
M
P
P
L
L
O
O
0
0
3
3
Exemplo 7.3: Calcular a armadura longitudinal e a deformação da viga do
exemplo 01 considerando ligação semi-rígida. Esta ligação é feita com de 525 mm.
Considerando as mesmas características geométricas da região da ligação apresentadas no
exemplo 02.
Resolução.
Para se iniciar o cálculo da armadura longitudinal deve-se primeiro determinar o
quanto de redução do momento fletor no meio do vão é mobilizado através da armadura de
ligação que esta sendo considerada. Com esta porcentagem de engastamento determinada é
possível calcular o momento solicitando para o dimensionamento da armadura longitudinal da
viga pré-moldada.
1. Posicionamento da armadura de ligação.
A armadura de ligação esta posicionada em duas camadas (Figura 8-24). A
primeira encontra-se a 2,5 cm da face superior da capa de concreto como a quantidade de 3
barras e a segunda camada está 7,0 cm.
Figura 8-24: Posicionamento da armadura de ligação.
Determina-se o centro de gravidade da armadura de ligação a partir da face
superior da capa de concreto:
cm
A
yA
y
i
icgi
represcg
8,3
0,520,53
0,70,525,20,53
.
,
.,
Para uma primeira tentativa, adota-se um fator de restrição ao giro (
R
) de 0,26 o
que resulta aproximadamente 34% de engastamento. Sendo assim o momento na extremidade
pode ser corrigido.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
159
mkNMM
R
R
engext
. 05,91
26,02
26,03
80,263
2
.3
2. Determinação do momento de fissuração para a região da ligação
Como o momento de fissuração calculado anteriormente é de 77,82 kN.m, que é
maior que o momento atuante, deve-se calcular a inércia equivalente da extremidade, para
isso são necessárias a inércia do estádio I e também do estádio II. A Tabela 8-20 mostra os
dados necessários para a determinação do momento de inércia no estádio I e II.
Tabela 8-20: Parâmetros necessários para determinação da inércia no estádio I homogeneizada.
b
w
(cm)
h
(cm)
d
(cm)
A
s´
(cm
2
)
f
ck
(MPa)
E
s
(MPa)
e
30 65 61,2 25,0 40 2,10.10
5
6,976
A relação entre os módulos de elasticidade do aço e o concreto:
976,6
40560085,0
210000
cs
s
e
E
E
Área seção homogeneizada

2
20991976,62565301 cmAhbA
eswh
Centro de gravidade
 
cm
A
dA
h
b
y
h
esw
h
54,34
2099
2,611976,625
2
65
301
2
22
Momento de inércia a flexão


45
2
2
3
2
2
3
1001,82,6154,341976,625
2
65
54,346530
12
6530
1
212
cmI
dyA
h
yhb
hb
I
h
heshw
w
h
Para o cálculo do momento de inércia no estádio II puro é necessário conhecer a
posição x da linha neutra, obtida tornando o momento estático da seção homogeneizada igual
a zero. O cálculo de x pode ser encontrado em CARVALHO (2007).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
160
Posição da linha neutra.
cm
b
a
w
15
2
30
2
1
2
2
4,17425976,6 cmAa
se
3
3
3,1067325976,62,61 cmAda
se

cm
cm
a
aaaa
x
II
11,33
49,21
152
3,106731544,1744,174
2
4
2
1
31
2
22
A raiz que tem significado físico é
cmx
II
49,21
. É possível, agora, calcular o
momento de inércia da seção no estádio II puro.
 
45
2
3
2
3
0,
1074,32,6149,2125976,6
3
49,2130
3
cmdxA
xb
I
IIse
IIw
IIx
Determina-se agora o momento de inércia equivalente da extremidade da viga.
455
3
5
3
33
1041,61074,3
05,91
82,77
11001,8
05,91
82,77
1
cmI
I
M
M
I
M
M
I
m
II
a
R
I
a
R
m
3. Determinação do fator de restrição
R
considerando o E.L.U
Para a determinação do fator de restrição
R
são necessários alguns parâmetros
considerando a região da ligação. Estes parâmetros estão ilustrados na Tabela 8-18.
Tabela 8-21: Parâmetros determinados considerando a região da extremidade da viga.
I
II, ext
(mm
4
)
l
p
(mm)
l
e
(mm)
E
s
(kN/mm
2
)
A
s´
(cm
2
)
d
(mm)
E
ct
(kN/mm
2
)
E
cs
(kN/mm
2
)
L
(mm)
6,41.10
9
675 550 210 25,0 612 35,4 30,1 9750
Com estes parâmetros determina-se a rigidez secante da ligação utilizada para o
cálculo de
R
.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
161
rad
mmkN
IE
l
dAE
l
R
IIcs
p
ss
e
.
1051,1
1041,61,30
675
61210252109,0
550
9,0
8
1
922
1
2
sec
Para a seção do meio do vão são feitas as mesmas considerações escritas
anteriormente, ou seja, devido ao tipo de protensão escolhida impõe para a combinação quase
permanente que a tensão de tração na borda inferior seja maior que zero o que para a condição
de serviço não permite que o momento de fissuração seja atingido, com isso determina-se a
inércia homogeneizada no estádio I considerando seção T. Já imaginado que a armadura da
ligação possa ter uma boa contribuição de engastamento, é reduzido em uma cordoalha na
armadura longitudinal. (Baseado no exemplo 01 que tem o esquema estático bi-articulado).
A Tabela 8-19 mostra os parâmetros considerados para o cálculo do momento de
inércia homogeneizado como seção T.
Tabela 8-22: Parâmetros necessários para determinação da inércia no estádio I homogeneizada
como seção T.
b
w
(cm)
h
(cm)
b
f
(cm)
h
f
(cm)
d
(cm)
A
p
(cm
2
)
f
ck
(MPa)
E
p
(MPa)
e
30 110 225 5 103,9 8,883 40 2,00.10
5
6,643
A relação entre os módulos de elasticidade do aço e o concreto:
643,6
40560085,0
200000
cs
p
e
E
E
Área seção homogeneizada

2
43251643,6883,811030530225
1
cmA
AhbhbbA
h
epwfwfh
Centro de gravidade


 
cmy
A
dA
h
b
h
bb
y
h
h
epw
f
wf
h
73,43
4330
9,1031643,6883,8
2
110
30
2
5
30225
1
22
22
2
2
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
162
Momento de inércia a flexão






46
2
22
33
2
2
2
3
3
1059,59,10373,431643,68,883
2
110
73,4311030
2
5
73,43530225
12
11030
12
530225
1
221212
cm
I
dyA
h
yhb
h
yhbb
hb
hbb
I
h
hep
hw
f
hfwf
w
fwf
h
Com isso tem-se:
410109
,,
1010,41059,57,01041,63,07,03,0 mmIII
vãoextvigaeq
Desta forma é possível a determinação do fator de restrição
R
da seguinte
maneira:

25,0
1075,91051,1
1010,44,353
1
3
1
1
38
10
1
sec
sec
LR
EI
R
A restrição os giro é praticamente a mesma considerada no inicio do exercício.
Com isso determinação a porcentagem de engastamento.
%3,33
25,02
25,03
2
.3
R
R
eng
ext
M
M
Através deste engastamento é possível determinar o momento corrigido no meio
do vão, cujo valor é utilizado para o dimensionamento da armadura longitudinal.
33,2
2425,02
25,00,36
24
2
0,36
242
0,36
22
,
2
,,
lplp
M
lp
MM
vãocorr
R
R
R
R
elasvãovãocorr
4. Ductilidade da ligação – método Beam-Line
Este critério serve somente para verificar a ductilidade da ligação, ou seja, se
houver ruptura da viga que jamais aconteça na ligação, que por ser uma “região de
descontinuidade” a ruptura seria frágil o que para concreto armado seria o mesmo que
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
163
trabalhar no domínio 4 e 5 dos domínios de deformação; e isso não é seguro pois a estrutura
pode ruir sem aviso. Então, para garantir boa ductilidade, é bom que o momento de
escoamento da ligação seja maior que o momento solicitante, em outras palavras a reta Beam-
Line define uma região definida pelos pontos de momento de engastamento perfeito (giro
zero) e rótula perfeita (momento zero) dentro da qual o momento de plastificação
(escoamento da armadura negativa) não pode estar. Então, para se ter uma ligação com boa
ductilidade, o momento de escoamento (M
y
) deve estar sempre acima da reta beam-line.
Segundo JEREMIAS (2007) a reta beam-line pode ser analisada com as variáveis.
Reta Beam-Line:
mkN
lp
M
r
. 79,263
12
75,93,33
12
22
rad
IE
lp
IIcs
máx
1067,6
1041,6101,3024
75,93,33
24
3
36
33
Diagrama Beam-Line da rigidez secante:
mkNdAfM
sydy
. 69,598612,00,25
15,1
50
9,09,0
rad
R
M
y
y
1096,3
1051,1
69,598
3
5
sec
Figura 8-25: Interação Beam-line e rigidez secante.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
164
5. Carregamentos
A Tabela 8-23 apresenta os diversos momentos fletores (neste caso o máximo na
viga) que atuam no meio do vão, considerando a viga bi-apoiada, para os carregamentos g
1
, g
2
e g
3
e com ligação semi-rígida para os carregamentos g
4
, g
5
e q.
8
2
lp
M
(bi-apoiado) e
33,2
24
2
lp
M (ligação semi-rígida), onde:
M – Momento solicitante;
p – ação atuante;
l – comprimento efetivo da viga (vão).
Tabela 8-23: Momentos máximos no meio do vão.
Descrição
Intensidade
(kN/m)
Vão (m)
Momento máximo
(kN.m)
g
1
– Peso próprio 6,75 9,75 80,21
g
2
– Laje Alveolar 16,20 9,75 192,50
g
3
– Capa 9,00 9,75 106,95
g
4
– Alvenaria 5,94 9,75 54,82
g
5
– Revestimento 5,76 9,75 53,16
q – Acidental 21,60 9,75 199,35
6. Estimativa do número de cabos no tempo infinito usando a consideração de
fissuração.
Escolhe-se aqui a condição de verificação em serviço para se pré-dimensionar a
área de aço A
p
, para isso adota-se uma perda da ordem de 20% no tempo infinito.
2
,,
24,11680,03,14580,0 kN/cm
iptp
Estado limite de formação de fissuras:
inf.
,
1
,
54321
ctk
compi
q
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
f
W
xM
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
Onde:
232
3
2
inf.
/ 2456 456,24021,021,0 mkNMPaff
ckctk
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
165
Considerando o uso das unidades para as duas verificações em serviço:
Força de protensão em kN;
Área de aço de protensão em cm
2
;
Características geométricas de seção transversal em metro;
Tensões = kN/m
2
;
Momento fletor em kN.m.
2456
1069,7
35,1996,0
1069,7
98,107
1005,4
66,379
1005,4
40,024,116
27,0
24,116
2222
xxxx
AA
pp
i
2
26,6 cmA
p
Estado limite de descompressão:
0
,
2
,
54321
compi
q
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
xM
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
0
1069,7
35,1994,0
1069,7
98,107
1005,4
66,379
1005,4
40,024,116
27,0
24,116
2222
xxxx
AxA
pp
i
2
48,7 cmA
p
Considerando cordoalha de 12,7 mm com uma seção media de 0,987 cm
2
tem-se:
57,7
987,0
48,7
p
A , considera-se o próximo valor par inteiro, portanto, tem-se 8
cordoalhas de 12,7 mm com A
p
=9,87 cm
2
. Como base na estimativa do numero de cabos em
vazio do exemplo 01 foram necessárias duas cordoalhas na fibra superior. Estas cordoalhas
como se sabe provocam tensão de tração na borda inferior, com isso é conveniente partindo
da experiência adquirida do exemplo 01, aumentar a cordoalha inicialmente estimada.
Especialmente neste exemplo são utilizadas nove cordoalhas na fibra inferior, isto é possível
desde que no detalhamento executivo da peça seja bem ilustrado o posicionamento do
chumbador fora do eixo.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
166
7. Estimativa do numero de cabos no tempo zero (verificação de ruptura
simplificada).
Estimativa das cordoalhas na fibra superior, limitando a mesma em no máximo
duas cordoalhas 12,7 mm.
Da mesma maneira estimando uma perda inicial de 2,5%, tem-se:
2
,0,
/ 67,141975,030,145975,0 cmkN
iptp
Com
ppp
AN
tem-se:
mct
s
g
s
pptpptp
s
pptpptp
f
W
M
W
eA
A
A
W
eA
A
A
,
1
supeior Cabo
0,0,
inferior Cabo
0,0,
sup
.2,1
'''

mct
s
g
s
p
ptp
s
p
ptp
f
W
M
W
e
A
A
W
e
A
A
,
1
0,0,sup
.2,1
'
1
´.
1
.
Onde:
1,2 f
ct,m
=1,2.0,3.
3
2
25 =3,078 MPa = 3078 kN/m
2
.
3078
2
1005,4
21,80
2
1005,4
40,0
27,0
1
67,141
2
1005,4
40,0
27,0
1
883,867,141 ´
sup
xxx
p
A
2
17,1´ cmA
p
, consideram-se duas cordoalhas de 12,7 mm com A
p
= 1,974 cm
2
.
8. Cabo representante para cálculo das perdas de protensão.
Como se tem uma estimativa de 9 cabos na fibra inferior será considerado 6 cabos
na primeira camada a 4,5 cm da parte inferior da viga e a segunda camada a 8,5 cm com 3
cordoalhas, sendo então necessário determinar a posição do cabo representante, o cálculo
abaixo esta cotado da face inferior da viga.
cm
A
yA
y
i
icgi
represcg
8,5
987,03987,06
5,8987,035,4987,06
.
,
.,
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
167
9. Cálculo das perdas de protensão.
As perdas de protensão são calculadas com as mesmas hipóteses explicitadas no
exemplo 01, o que difere é apenas o numero de cabos na borda inferior, que passa de dez
cordoalhas para nove cordoalhas, alterando assim a posição do cabo representante.
Perdas iniciais
Nas perdas iniciais tem-se a consideração basicamente de três perdas, a primeira
perda por deformação da ancoragem é a mesma determinada anteriormente, o mesmo se
aplica para a relaxação da armadura. Essas duas perdas apresentam as mesmas características
e variáveis consideradas para os dois exemplos, consequentemente os mesmo resultados.
mkNM
cmkN
diat
g
p
. 21,80
/ 30,145
0 t; 1
1
2
0
Perda por deformação imediata do concreto
Para a perda por deformação imediata do concreto a mudança esta na seção de
armadura no borda inferior juntamente com a sua excentricidade do cabo representante, a
seguir é mostrado as seções de armadura utilizadas com suas respectivas excentricidades.
cmecmA
cmecmA
pp
pp
40´; 974,1987,02´
2,39; 883,8987,09
2
2
Efetuados os cálculos chega-se a uma tensão no centro de gravidade dos cabos de:
2
sup,,sup,
2
inf,,inf,
/ 66,0)09,0(14,7
/ 69,822,114,7
cmkN
cmkN
gpocpcg
gpocpcg
Então, a tensão final considerando as perdas da primeira fase é:
2
1sup,,
sup, 1sup,,
2
1inf,,
inf, 1inf,,
/ 21,142)66,0(55,220,130,145
/ 86,13269,855,220,130,145
cmkN
cmkN
diap
cgprancorpdiap
diap
cgprancorpdiap
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
168
Até esse instante as perdas calculadas foram de 8,56% para os cabos na borda
inferior e de 2,13% para os cabos da borda superior.
Perdas diferidas
Como as condições de carregamento e de geometria são as mesmas consideradas
para o exemplo 01, aos coeficientes de fluência e retração são os mesmos. Com isso os
procedimentos dos cálculos seguem os mesmos critérios, variando apenas a tensão inicial
desta fase e a quantidade de armadura na borda inferior, como já foi citado, com isso tem-se:
kNmM
xeAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
34,35040,021,142974,1392,086,132883,8
87,146021,142974,186,132883,8
´sup,´inf,
sup,´inf,
Efetuados os cálculos chega-se a um tensão de
p,inf
= 113,92 kN/cm
2
e
p,sup
=
122,59 kN/cm
2
, o que resulta a uma perda de 21,60% e para as cordoalhas da borda inferior e
15,65% para as cordoalhas da borda superior.
10. Verificação da fissuração
Após os cálculos das perdas de protensão no tempo infinito, é possível fazer a
verificações das tensões, lembrando que o tipo de protensão aplicada neste exemplo é a
protensão limitada.
Considerando-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
90,29940,059,122974,1392,092,113883,8
96,125359,122974,192,113883,8
´sup,´inf,
sup,´inf,
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
169
Estado limite de formação de fissuras, combinação freqüente (
1
= 0,6).
Limites:
Compressão
σ = 0,7 f
ck
= 0,7 x 40000 = 28000 kN/m
2
.
Tração
σ = 0,3 f
ctk,inf
= 0,21x
3
2
40 = 2,456 MPa = 2456 kN/m
2
.
-2456 kN/m
2
< σ < 28000 kN/m
2
Borda inferior
Situação momento máximo.
compi
q
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
M
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
,
1
,
54321
2
2222
/ 285
1069,7
35,1996,0
1069,7
98,107
1005,4
66,379
1005,4
90,299
27,0
96,1253
mkN
i
Situação momento mínimo
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
,
54321
2
222
/ 1270
1069,7
98,107
1005,4
66,379
1005,4
90,299
27,0
96,1253
mkN
i
Borda superior
Para se verificar a tensão na borda superior é necessário determinar a distancia y
ts
na seção composta que seja a mesmo ponto de verificação da seção pré-moldada, ou seja, a
distância do centro de gravidade até a borda superior da seção pré-moldada.
myhy
compgcpréts
264,0636,090,0
,
Com isso o modulo resistente é dado por:
31
2
1085,1
264,0
1089,4
m
y
I
W
ts
comp
ts
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
170
Situação momento máximo.
ts
q
ts
gg
s
ggg
s
pp
s
W
M
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
154321
2
1122
/ 7844
1085,1
35,1996,0
1085,1
98,107
1005,4
66,379
1005,4
90,299
27,0
96,1253
mkN
s
Situação momento mínimo
ts
gg
s
ggg
s
pp
s
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
54321
2
122
/ 7197
1085,1
98,107
1005,4
66,379
1005,4
90,299
27,0
96,1253
mkN
s
Como os valores máximos e mínimos estão dentro do limite a verificação do
estado limite de formação de fissuras esta atendida.
Estado limite de descompressão, combinação quase permanente (
2
= 0,4).
Limites:
Compressão
σ = 0,7 f
ck
= 0,7 x 40000 = 28000 kN/m
2
.
Tração
σ = 0
0 kN/m
2
< σ < 28000 kN/m
2
Borda inferior
Situação momento máximo.
compi
q
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
M
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
,
2
,
54321
2
2222
/ 233
1069,7
35,1994,0
1069,7
98,107
1005,4
66,379
1005,4
90,299
27,0
96,1253
mkN
i
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
171
Situação momento mínimo
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
,
54321
2
222
/ 1270
1069,7
98,107
1005,4
66,379
1005,4
90,299
27,0
96,1253
mkN
i
Borda superior
Situação momento máximo.
ts
q
ts
gg
s
ggg
s
pp
s
W
M
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
254321
2
1122
/ 7628
1085,1
35,1994,0
1085,1
98,107
1005,4
66,379
1005,4
90,299
27,0
96,1253
mkN
s
Situação momento mínimo
ts
gg
s
ggg
s
pp
s
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
54321
2
122
/ 7197
1085,1
98,107
1005,4
66,379
1005,4
90,299
27,0
96,1253
mkN
s
Como os valores máximos e mínimos estão dentro do limite a verificação do
estado limite de descompressão está atendida.
11. Verificação de ruptura no tempo zero (verificação de ruptura simplificada).
Determina-se o momento fletor devido ao peso próprio em décimo de vão, como a
seção é a mesma do exemplo 01, os valores dos momentos fletores são os mesmos
reapresentados na Tabela 8-24.
Tabela 8-24: Valores dos momentos fletores em vazio para décimo de vão.
Seção S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
M
s
(kN.m)
28,88 51,53 67,38 77,00 80,21
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
172
Considerando-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
35,35040,021,142974,1392,086,132883,8
92,146021,142974,186,132883,8
´sup,´inf,
sup,´inf,
Borda inferior
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
A
N
Borda superior
s
s
s
pp
s
W
M
W
M
A
N
A Tabela 8-25 apresenta os valores das tensões na borda inferior e superior
variando o momento em décimo de vão apresentados na Tabela 8-24.
Tabela 8-25: Valores das tensões da borda inferior e superior em décimo de vão.
Seção S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
σ
i
(kN/m
2
)
13348 12794 12398 12160 12081
σ
s
(kN/m
2
)
-2527 -1972 -1576 -1339 -1259
Os limites para este instante é:
Compressão
σ = 0,7 f
ckj
= 0,7 x 25000 = 17500 kN/m
2
.
Tração
σ = 1,2 x 0,3 f
ct,m
= 1,20 x 0,3 x
32
25 = 3,078 MPa = 3078 kN/m
2
.
-3078 kN/m
2
< σ < 17500 kN/m
2
Os limites de tensões da borda inferior quanto à da borda superior dentro dos
limites permitidos, porém é necessário dimensionar a armadura que ira controlar as fissuras de
tração da borda superior. A Figura 8-26 apresenta a seção considerada para o
dimensionamento
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
173
Figura 8-26: Esquema para o cálculo da força F
t
de tração na seção transversal.
mx
h
x
is
s
143,090,0
133482527
2527
O valor de força de tração, como pode se deduzir a partir da Figura 8-9 é dado
por:
kN
x
bF
st
20,54
2
143,0
30,02527
2
..
Com a tensão na armadura igual a 25 kN/cm
2
.
2
17,2
25
20,54
25
´ cm
F
A
t
s
, não considerando a armadura de protensão pode-se
adotar 410 mm (A
s
= 3,2 cm
2
). Considerando a armadura tem-se cordoalha 212,7 mm
(1,974 cm
2
) e 28 mm (1,0 cm
2
) de armadura passiva.
12. Verificação das tensões em décimo de vão no tempo infinito
Com os momentos fletores apresentados na Tabela 8-23 podem-se calcular os
momentos em décimo de vão. Considerando os três primeiros carregamentos (g
1
+g
2
+g
3
) como
p
1
o terceiro e quarto (g
4
+g
5
) como p
2
e o sexto (q) como p
3
, são calculados os momentos
fletores e apresentado na Tabela 8-11.
Tabela 8-26: Valores dos momentos fletores seção composta para décimo de vão.
S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
M
1
(kN.m)
136,88 242,98 318,91 364,47 379,66
M
2
(kN.m)
38,87 69,11 90,70 103,66 107,98
M
3
(kN.m)
71,76 127,58 167,45 191,37 199,35
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
174
Considerando-se:
31232
´sup,´inf,
sup,´inf,
1085,1 ;10697 ;1005,4 ; 27,0
90,29940,059,122974,1392,092,113883,8
96,125359,122974,192,113883,8
mW,WmWWmA
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
ts
-
i,compsi
p
ppipppipp
p
pippipp
Estado limite de formação de fissuras, combinação freqüente (
1
= 0,6).
Limites:
Compressão
σ = 0,7 f
ck
= 0,7 x 40000 = 28000 kN/m
2
.
Tração
σ = 0,3 f
ctk,inf
= 0,21x
32
40 = 2,456 MPa = 2456 kN/m
2
.
-2456 kN/m
2
< σ < 28000 kN/m
2
Borda inferior
Situação momento máximo.
compi
s
compi
s
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,31
,
,2,1
Situação momento mínimo
compi
s
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,2,1
Borda superior
Situação momento máximo.
ts
s
ts
s
s
s
s
pp
s
W
M
W
M
W
M
W
M
A
N
,31,2,1
Situação momento mínimo
tss
s
s
pp
s
W
M
W
M
W
M
A
N
2
,1
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
175
O Gráfico 8-5 apresenta os valores das tensões em décimo de vão da borda
inferior para o estado limite de formação de fissuras (ELS-F).
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Tensão - kN/m²
Seções
ELS-F - Borda Inferior
Mom. máx
Mom. min
Mom. máx
7609 4156 1689 209 -285
Mom. min
8169 5151 2995 1702 1271
S1 S2 S3 S4 S5
Gráfico 8-5: Tensões na borda inferior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos.
O Gráfico 8-6 apresenta os valores das tensões em décimo de vão da borda
inferior para o estado limite de formação de fissuras (ELS-F).
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
Tensão - kN/m²
Seções
ELS-F - Borda Superior
Mom. máx
Mom. min
Mom. máx
1057 4026 6147 7420 7844
Mom. min
824 3612 5604 6799 7197
S1 S2 S3 S4 S5
Gráfico 8-6: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
176
Como os valores máximos e mínimos estão dentro do limite a verificação do
estado limite de formação de fissuras esta atendida.
Estado limite de descompressão, combinação quase permanente (
2
= 0,4).
Limites:
Compressão
σ = 0,7 f
ck
= 0,7 x 40000 = 28000 kN/m
2
.
Tração
σ = 0
0 kN/m
2
< σ < 28000 kN/m
2
Borda inferior
Situação momento máximo.
compi
s
compi
s
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,32
,
,2,1
Situação momento mínimo
compi
s
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,2,1
Borda superior
Situação momento máximo.
comps
s
comps
s
s
s
s
pp
s
W
M
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,32
,
,2,1
Situação momento mínimo
comps
s
s
s
s
pp
s
W
M
W
M
W
M
A
N
,
2
,1
O Gráfico 8-7 apresenta os valores das tensões em décimo de vão da borda
inferior para o estado limite de descompressão (ELS-D).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
177
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Tensão - kN/m²
Seções
ELS-D - Borda Inferior
Mom. máx
Mom. min
Mom. máx
7796 4487 2124 707 234
Mom. min
8169 5151 2995 1702 1271
S1 S2 S3 S4 S5
Gráfico 8-7: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos.
O Gráfico 8-8 apresenta os valores das tensões em décimo de vão da borda
superior para o estado limite de descompressão (ELS-D).
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
Tensão - kN/m²
Seções
ELS-D - Borda Superior
Mom. máx
Mom. min
Mom. máx
979 3888 5966 7213 7628
Mom. min
824 3612 5604 6799 7197
S1 S2 S3 S4 S5
Gráfico 8-8: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos.
Como os valores máximos e mínimos estão dentro do limite a verificação do
estado limite de formação de descompressão esta atendida.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
178
13. Cálculo de A
P
e no tempo infinito.
Considerando os coeficientes de 1,30 para os elementos pré-fabricados, tem-se:
mkNM
MMMMMMM
d
qgggggd
. 52,934)35,19916,5382,5495,106(4,1)50,19221,80(3,1
)(4,1)(3,1
54321
Com a tensão no cabo no tempo infinito de σ
p,inf
= 113,91 kN/cm
2
= 1139,1 MPa
determina-se o pré-alongamento da armadura ativa de acordo com a Tabela 5-1, e o valor é de
ε
p
= 5,86‰. Com isso tem-se
‰86,1586,510
psp
. Com ε
p
na mesma Tabela 5-1 tem-se σ
sd
=
1510,4 MPa.
Conhecida a armadura longitudinal calcula-se o momento máximo resistente da
seção. Determina-se a posição da linha neutra (LN) a partir do equilíbrio das forças atuantes
na seção transversal (Figura 8-27).
Figura 8-27: Seção transversal com a indicação das forças internas (unidades em cm).
Como não há força externa e a força atuante no concreto (F
c
), deve ser igual a
força atuante na armadura (F
t
).
tc
FF , ou seja,

pdpwcd
fAxbf
8,085,0
.
Para uma primeira tentativa impõe que a viga esta trabalhando no domínio 2 e que
a posição da linha neutra esteja na altura da capa, assim a expressão da linha neutra é dado
por:
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
179
f
cdf
pdp
hcmm
fb
fA
x
07,4 1007,4
4,1
30000
25,268,0
1,150883,8
68,0
2
, portanto a
linha neutra esta passando pela capa.
Com a posição da linha neutra é possível identificar o domínio de deformação que
esta situada a viga em estudo. Para que a viga se encontre no domínio 2 a posição da linha
neutra LN deve estar entre zero e um determinado valor obtido através das deformações do
concreto e do aço.
cmmdx
sc
c
01,27 2701,0042,1
105,3
5,3
2
Como a posição da linha neutra esta a 4,07 cm pode-se dizer que a mesma
encontra-se no domínio 2. Com o isso o momento resistente é dado por:

xdxbfzFM
wcdcrest
4,08,085,0 , assim tem-se:
mkNM
rest
. 13691007,44,0042,11007,48,025,2
4,1
30000
85,0
22
Como o momento atuante é menor que o momento resistente a armadura
dimensionada para a fissuração é suficiente para atender o estado limite ultimo (ELU),
concluindo, portanto o dimensionamento e as verificações da armadura longitudinal.
14. Armadura de pele (na região tracionada).
Como a altura total da viga é maior que 60 cm, é necessária colocação em cada
face, na região tracionada da viga, de uma armadura de pele.
2
,
70,29030
100
10,0
%10,0 cmhbA
wpeles
(em cada face, na região
tracionada).
A armadura de pele é recomendada para evitar fissuras e, portanto, deveria ser
empregada para a condição em serviço, porém, simplificadamente será usada a condição de
estado limite último. Lembrando que a linha neutra LN calculado no item anterior é de 27,01
cm, com isso tem-se:
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
180
cmcmxh 99,6201,2790 , portanto, a armadura de pele deve ser distribuída
na região tracionada até uma altura aproximada de 63 cm.
15. Estimativa de flecha
Momento de fissuração é determinado para duas situações, a primeira é com a
ação do peso próprio e a protensão após ocorrida as perdas imediatas e a segunda e no tempo
infinito onde já decorreram todas as perdas devido a protensão e tem-se a seção composta.
Momento de fissuração após as perdas iniciais
pi
p
ctr
Mw
A
N
fM
; onde:
= 1,2 para seção T ou duplo TT e 1,5 para seção retangular
ct
f = é a resistência a tração do concreto, no caso de determinação do momento
de fissuração para mo estado limite de deformação excessiva
mctct
ff
,
.
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
35,35040,021,142974,1392,086,132883,8
92,146021,142974,186,132883,8
´sup,´inf,
sup,´inf,
2
3
2
3
2
,
/ 2565 565,2253,03,0 mkNMPaff
ckjmct
mkNM
r
. 91,72535,3501005,4
27,0
92,1460
25655,1
2
Neste instante o momento atuante é devido ao peso próprio, com isso tem-se:
kNm
lp
M
g
21,80
8
75,975,6
8
22
1
1
, que é menor que o momento de
fissuração.
Momento de fissuração no tempo infinito
pi
p
compictr
Mw
A
N
wfM
,
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
181
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
90,29940,059,122974,1392,092,113883,8
96,125359,122974,192,113883,8
´sup,´inf,
sup,´inf,
232
3
2
,
/ 3509 509,3403,03,0 mkNMPaff
ckmct
mkNM
r
. 81,81190,2991005,4
27,0
96,1253
1069,735092,1
22
No tempo infinito o momento atuante para verificação de deformação excessiva é
dado para a combinação quase permanente, como os valores dos carregamentos dados na
Tabela 8-23, tem-se:
kNmM
qggggg
08,567
2
54321
, que é menor que o momento de fissuração.
Flechas devidas aos carregamentos g
1
a g
5
e q.
Fase 01: Peso próprio (g
1
).
mkNgp / 75,6
1
mmm
IE
lp
a
c
g
83,11083,1
1082,1108,23384
75,975,65
384
5
3
26
44
1
Onde:
MPafE
cjc
2380025.5600.85,0.5600.85,0
Fase 02: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
).
mkNgp / 20,16
2
mmm
IE
lp
a
c
g
60,31060,3
1082,11002,29384
75,920,165
384
5
3
26
44
2
Para a segunda fase com 15 dias o concreto tem resistência de β
1
.f
ck
.

929,0
15
28
120,0exp
28
1exp
2/12/1
1
t
s
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
182
Onde:
s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI.
Assim:
MPafE
ckc
2901640.929,0.5600.85,0.5600.85,0
1
Fase 03: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
) + Capa (g
3
).
mkNgp / 00,9
3
mmm
IE
lp
a
c
g
93,11093,1
1082,1101,30384
75,900,95
384
5
3
26
44
3
Onde:
MPafE
ckc
3010440.5600.85,0.5600.85,0
A partir da fase 04 deve-se considerar a correção da flecha no meio do vão devido
a restrição ao giro imposta pela armadura de ligação, esta correção é dada por:
73,0
25,02
25,04,12
2
4,12
,
R
R
ligg
g
a
a
Fase 04: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
) + Capa (g
3
) + Alvenaria (g
4
)..
mkNgp / 94,5
4

mmm
a
a
IE
lp
a
ligg
g
c
g
35,01048,373,0
1089,4.101,30384
75,994,55
384
5
4
26
4
,
4
4
Onde:
MPafE
ckc
3010440.5600.85,0.5600.85,0
Fase 05: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
) + Capa (g
3
) + Alvenaria (g
4
) +
Revestimento (g
5
).
mkNgp / 76,5
5
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
183

mmm
a
a
IE
lp
a
ligg
g
c
g
34,01035,373,0
1089,4101,30384
75,976,55
384
5
4
26
4
,
4
5
Onde:
MPafE
ckc
3010440.5600.85,0.5600.85,0
Fase 06: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
) + Capa (g
3
) + Alvenaria (g
4
) +
Revestimento (g
5
)+ Acidental (q).
Considerando o coeficiente de ponderação Ψ
2
= 0,4
mkNqp / 60,21

mmm
a
a
IE
lp
a
ligg
g
c
q
50,01004,573,0
1089,4101,30384
75,94,060,215
384
5
4
26
4
,
4
2
Onde:
MPafE
ckc
3010440.5600.85,0.5600.85,0
Contra flechas devidas momento de protensão
Após 24 horas da fabricação da viga, a protensão foi aplicada com os cortes dos
cabos e inicia-se também uma perda de protensão, com isso analisa-se a contra flecha e a sua
diminuição da seguinte forma.
A tensão inicial do cabo é dada por:
MPa
pracorappi
55,141)55,220,1(3,145)(
Com isso tem-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
13,38140,055,141974,1392,055,141883,8
81,153655,141974,155,141883,8
´sup,´inf,
sup,´inf,
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
184
mmm
IE
lM
a
c
p
p
57,81057,8
1082,11002,298
75,913,381
8
3
26
2
2
A perda de protensão também implica em uma perda da contra flecha.
IE
lM
a
MMM
c
p
p
ptptp
..8
.
2
0,,
Com a tensão no tempo infinito no cabo de protensão de σ
pi,inf
= 113,92 MPa e
σ
pi,sup
= 122,59 MPa, tem-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
90,29940,059,122974,1392,092,113883,8
96,125359,122974,192,113883,8
´sup,´inf,
sup,´inf,

mmm
IE
lM
a
c
p
p
76,11076,1
1082,1101,308
75,990,29913,381
8
3
26
2
2
A Tabela 8-27 apresenta o resumo das flechas imediatas.
Tabela 8-27: Resumo das deformações imediatas.
Fase Ação Seção Flecha imediata (mm)
1
Protensão Pré-fabricada -8,57
1
Peso próprio da viga Pré-fabricada 1,83
2
Peso próprio da laje Pré-fabricada 3,60
3
Execução da capa Pré-fabricada 1,93
4
Execução da alvenaria Composta 0,35
5
Execução do revestimento Composta 0,34
6
Atuação da carga acidental Composta 0,50
7
Perda de protensão Pré-fabricada 1,76
Valores do coeficiente de fluência.
O coeficiente de fluência já foi determinado e apresentado na Tabela 8-8 para a
determinação das perdas por fluência. A Tabela 8-28 reapresenta os valores dos coeficientes
de fluência.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
185
Tabela 8-28: Coeficientes de fluência para a seção 01, 02 e final.
Ação
t
0
seção 01
Coeficiente
seção 01
t
0
seção 02
Coeficiente
seção 02
Coeficiente
final
Protensão 1 3,304 -- -- 3,304
Peso próprio da viga 1 3,304 -- -- 3,304
Peso próprio da laje 15 2,225 -- -- 2,225
Execução da capa 30 1,940 1 3,783 2,559
Execução da alvenaria 45 1,777 15 2,539 2,033
Execução do revestimento 60 1,660 30 2,150 1,825
Atuação da carga acidental 75 1,568 45 1,933 1,691
Perda de protensão 75 1,568 45 1,933 1,691
A Tabela 8-29 apresenta os valores finais das flechas considerando a protensão e
os carregamentos.
Tabela 8-29: Resultado final da flecha no tempo infinito.
Fase
Flecha
imediata
Coeficiente
φ
final
Coeficiente
1+ φ
final
Flecha
t
∞
Soma
1
-8,57 3,304 4,304 -36,88 -36,88
1
1,83 3,304 4,304 7,88 -29,00
2
3,60 2,225 3,225 11,61 -17,39
3
1,93 2,559 3,559 6,87 -10,52
4
0,35 2,033 3,033 1,06 -9,46
5
0,34 1,825 2,825 0,96 -8,50
6
0,50 1,691 2,691 1,34 -7,16
7
1,76 1,691/2=0,846 1,846 3,25 -3,91
Com limite de
mm
l
00,39
250
9750
250
16. Detalhamento da viga pré-moldada.
A Figura 8-28 e a Figura 8-29 apresentam todo o detalhamento resultante dos
cálculos apresentados anteriormente para o exemplo 03.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
186
Figura 8-28: Forma da viga VR01, exemplo 03.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
187
Figura 8-29: Armação da viga VR01, exemplo 03.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
188
8
8
.
.
4
4
.
.
E
E
X
X
E
E
M
M
P
P
L
L
O
O
0
0
4
4
Exemplo 7.4: Calcular a viga VR01 do exemplo 01, considerando os mesmos
carregamentos e as suas respectivas datas, porém a seção do elemento pré-moldado passa a
ser um perfil I. A Figura 8-30 apresenta as duas seções transversais da viga VR01 a primeira
constitui apenas do elemento pré-moldado e a segunda a seção composta devido a aplicação
da capa de concreto.
Figura 8-30: Seções transversais da viga VR01 (unidades em cm).
Resolução
1. Carregamentos:
A Tabela 8-30 e Tabela 8-31 apresentam os carregamentos considerados, sendo
que há mudança apenas no peso próprio da viga pré-moldada.
Tabela 8-30: Intensidade de carregamento do peso próprio.
Descrição Área (m
2
)
(kN/m
3
)
Intensidade (kN/m)
g
1
– Peso próprio 0,1665 25 4,16
g
4
– Alvenaria 0,15 x 2,20 = 0,33 18 5,94
Tabela 8-31: Intensidade de carregamento na laje.
Descrição
Intensidade
(kN/m
2
)
Vão de contribuição (m).
Ação na viga
(kN/m).
g
2
– Laje Alveolar 2,25 7,20 16,20
g
3
– Capa (esp = 5 cm) 0,05 x 25 = 1,25 7,20 9,00
g
5
– Revestimento 0,80 7,20 5,76
q – Acidental 3,0 7,20 21,60
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
189
A Tabela 8-32 apresenta os diversos momentos fletores (neste caso o máximo na
viga) que atuam no meio do vão, considerando a viga bi-apoiada, tem-se:
Tabela 8-32: Momentos máximos no meio do vão.
Descrição
Intensidade
(kN/m)
Vão (m)
Momento máximo
(kN.m)
g
1
– Peso próprio 4,16 9,75 49,43
g
2
– Laje Alveolar 16,20 9,75 192,50
g
3
– Capa 9,00 9,75 106,95
g
4
– Alvenaria 5,94 9,75 70,58
g
5
– Revestimento 5,76 9,75 68,45
q – Acidental 21,60 9,75 256,67
2. Características geométricas:
A Tabela 8-32 mostra as características geométricas da seção pré-moldada,
conhecida também como seção em vazio..
Tabela 8-33: Características geométricas da seção pré-moldada.
Seção Área
= 0,1665 m
2
y
cg
= 0,464 m
I
= 1,52.10
-2
m
4
W
i
= 3,28.10
-2
m
3
W
s
= 3,49.10
-2
m
3
A partir da mesma mesa colaborante b
f
= 2,25 m a Tabela 8-34 apresenta as
características geométricas da seção composta, lembrando da redução de capa de concreto
para considerar os módulos de elasticidade dos dois concretos.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
190
Tabela 8-34: Características geométricas da seção composta.
Seção Área
= 0,2855 m
2
y
cg
= 0,711 m
I
comp
= 3,99.10
-2
m
4
W
i,comp
= 5,61.10
-2
m
3
W
s,comp
= 1,03.10
-1
m
3
3. Tipo de protensão
O tipo de protensão é mantido o mesmo, protensão limitada, com a tensão inicial
no cabo de
2
301451453 kN/cm, MPaσ
pi
.
4. Estimativa do número de cabos no tempo infinito usando a consideração de
fissuração.
Escolhe-se aqui a condição de verificação em serviço para se pré-dimensionar a
área de aço A
p
, para isso adota-se uma perda da ordem de 20% no tempo infinito.
2
,,
24,11680,03,14580,0 kN/cm
iptp
Estado limite de formação de fissuras:
inf.
,
1
,
54321
ctk
compi
q
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
f
W
xM
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
Onde:
232
3
2
inf.
/ 2456 456,24021,021,0 mkNMPaff
ckctk
Considerando o uso das unidades para as duas verificações em serviço:
Força de protensão em kN;
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
191
Área de aço de protensão em cm
2
;
Características geométricas de seção transversal em metro;
Tensões = kN/m
2
;
Momento fletor em kN.m.
2456
1061,5
67,2566,0
1061,5
03,139
1028,3
88,348
1028,3
40,024,116
1665,0
24,116
2222
pp
i
AA
2
19,6 cmA
p
Estado limite de descompressão:
0
,
2
,
54321
compi
q
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
xM
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
0
1061,5
67,2564,0
1061,5
03,139
1028,3
88,348
1028,3
40,024,116
1665,0
24,116
2222
pp
i
AA
2
90,6 cmA
p
Considerando cordoalha de 12,7 mm com uma seção media de 0,987 cm
2
tem-se:
99,6
987,0
90,6
p
A , considera-se 8 cordoalhas de 12,7 mm com A
p
=7,896 cm
2
.
5. Estimativa do numero de cabos no tempo zero (verificação de ruptura
simplificada).
Verifica-se a necessidade em vazio de cordoalhas na fibra superior, utilizando as
cordoalhas estimadas no item anterior na borda inferior. Estimando uma perda inicial de
2,5%, tem-se:
2
,0,
/ 67,141975,030,145975,0 cmkN
iptp
Com
ppp
AN
tem-se:
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
192
mct
s
g
s
pptpptp
s
pptpptp
f
W
M
W
eA
A
A
W
eA
A
A
,
1
supeior Cabo
0,0,
inferior Cabo
0,0,
sup
.2,1
'''

mct
s
g
s
p
ptp
s
p
ptp
f
W
M
W
e
A
A
W
e
A
A
,
1
0,0,sup
.2,1
'
1
´.
1
.
Onde:
1,2 f
ct,m
=1,2.0,3.
3
2
25
=3,078 MPa = 3078 kN/m
2
.
3078
2
1049,3
43,49
2
1049,3
386,0
1665,0
1
67,141
2
1049,3
409,0
1665,0
1
896,767,141
´
sup
p
A
2
85,0´ cmA
p
, como se trata de uma estimativa adota-se duas cordoalhas de
34.0 mm A
p´
=0,788 cm
2
.
6. Cabo representante para cálculo das perdas de protensão.
Como se tem uma estimativa de 8 cabos na fibra inferior é considerado 6 cabos na
primeira camada a 4,5 cm da parte inferior da viga e a segunda camada a 8,5 cm com duas
cordoalhas.
cm
A
yA
y
i
icgi
represcg
50,5
987,02987,06
5,8987,025,4987,06
.
,
.,
7. Cálculo das perdas de protensão.
As perdas de protensão são determinadas da mesma maneira dos exemplos
anteriores, portanto são apresentados os cálculos das perdas de forma mais resumida ou
apenas os resultados se os cálculos forem exatamente os mesmos.
Perdas iniciais
mkNM
cmkN
diat
g
p
. 43,49
/ 30,145
0 t; 1
1
2
0
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
193
Deformação por ancoragem
2
4
20,1
100
102006,0
kN/cm
ancor
Relaxação da armadura
2
/ 55,210,144
100
772,1
cmkN
pr
Perda por deformação imediata do concreto
As quantidades de armadura ativa para este perfil I na estimativa inicial foi menor,
como os valores apresentados abaixo.
cmecmA
cmecmA
pp
pp
6,38´; 788,0394,02´
9,40; 896,7987,08
2
2
2
/ 55,141)55,220,1(30,145)( cmkN
pracorappi
sup,,sup,
inf,,inf,
gpocpcg
gpocpcg
Considerando-se:
kNcmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
07,414386,055,141788,0409,055,141896,7
´´
19,122955,141788,055,141896,7
´
sup,inf,
sup,inf,
2
2
sup,,
1
sup,,
2
2
inf,,
1
inf,,
/ 14,1850386,0
1052,1
43,4907,414
1665,0
19,1229
´
/ 37,17165409,0
1052,1
43,4907,414
1665,0
19,1229
mkN
e
I
MM
A
N
mkN
e
I
MM
A
N
gpoc
p
gpp
gpoc
gpoc
p
gpp
gpoc
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
194
14,7
28000
200000
ci
p
p
E
E
MPaxfxE
cjci
280002556005600
2
sup,,sup,
2
inf,,inf,
/ 32,1)19,0(14,7
/ 26,1272,114,7
cmkN
cmkN
gpocpcg
gpocpcg
Então, a tensão final considerando as perdas da primeira fase é:
2
1sup,,
sup, 1sup,,
2
1inf,,
inf, 1inf,,
/ 87,142)32,1(55,220,130,145
/ 29,12926,1255,220,130,145
cmkN
cmkN
diap
cgprancorpdiap
diap
cgprancorpdiap
Até esse instante as perdas calculadas foram de 11,02% para os cabos na borda
inferior e de 1,67% para os cabos da borda superior.
Perdas diferidas
A Figura 8-31 apresenta as duas seções que são consideradas para o cálculo dos
coeficientes de fluência e retração.
Figura 8-31: Seção 01 e 02 para a determinação dos coeficientes de fluência e retração (unidades
em cm).
Para a seção 01 o coeficiente de fluência é determinado com os seguintes dados:
área de concreto A
c
= 1665 cm
2
, perímetro da seção em contado com o ar (U
ar
) = 228 cm,
umidade relativa do ar em 70%, temperatura média 20ºC, abatimento do concreto (slump) 9
cm e cimento tipo ARI.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
195
Enquanto que para a seção 02 o coeficiente de fluência é determinado como os
seguintes dados: A
c
= 1365 cm
2
, perímetro da seção em contado com o ar (U
ar
) = 225 cm,
umidade relativa do ar em 70%, temperatura média 20ºC, abatimento do concreto (slump) 9
cm e cimento tipo CPII.
Os valores calculados para os coeficientes de fluência têm como t
0
no instante do
carregamento e t o infinito, considerado aqui como 10000 dias. A Tabela 8-35 apresenta das
idades (t
0
) para as duas seções 01 e 02.
Tabela 8-35: Idade do concreto para a seção 01 e 02
Ação
Idade (t
0
) do concreto
da seção 01
Idade (t
0
)do concreto
da seção 02
Protensão
1 --
Peso próprio da viga
1 --
Peso próprio da laje
15 --
Execução da capa
30 1
Execução da alvenaria
45 15
Execução do revestimento
60 30
Atuação da carga acidental
75 45
Perda de protensão
75 45
A Tabela 8-36 apresenta finalmente os valores dos coeficientes de fluência para a
seção 01, seção 02 e o coeficiente final para o cálculo das perdas diferidas.
Tabela 8-36: Coeficientes de fluência para a seção 01, 02 e final.
Ação
t
0
seção 01
Coeficiente
seção 01
t
0
seção 02
Coeficiente
seção 02
Coeficiente
final
Protensão
1 3,573 -- -- 3,573
Peso próprio da viga
1 3,573 -- -- 3,573
Peso próprio da laje
15 2,295 -- -- 2,295
Execução da capa
30 1,940 1 3,783 2,770
Execução da alvenaria
45 1,740 15 2,539 2,099
Execução do revestimento
60 1,600 30 2,150 1,848
Atuação da carga acidental
75 1,492 45 1,933 1,690
Perda de protensão
75 1,492 45 1,933 1,690
O coeficiente final é obtido pela média ponderada das áreas com os respectivos
coeficientes de fluência.
0201
02020101
AA
AA
final
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
196
Perda por fluência
sup,0p,),(sup,,
inf,0,),(inf,,
0
0
gcttpcp
gpcttpcp
, onde:






`
´,
2
`
5
4
´,
`
3
2
´
`
1´
1
sup,,
,
2
5
4
,
3
2
1
1
inf,,
.
..
.
..
D
q
comp
comppq
C
i
i
comp
comppgi
B
i
i
pgi
A
p
gpp
pcp
D
q
comp
comppq
C
i
i
comp
comppgi
B
i
i
pgi
A
p
gpp
pcp
I
eM
I
eM
I
eM
e
I
MM
A
N
I
eM
I
eM
I
eM
e
I
MM
A
N
Considerando-se:
kNmM
xeAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
08,374386,087,142788,0409,029,129883,8
46,113387,142788,029,129883,8
´sup,´inf,
sup,´inf,
Com isso, tem-se:
65,5
35418
200000
405600
p
ci
p
p
E
E
E
2
inf,,
/ 99,15 cmkN
cp
2
sup,,
/ 57,8 cmkN
cp
Perda por retração do concreto
O coeficiente de retração para a seção 01 é determinado com os seguintes dados:
área de concreto A
c
= 1665 cm
2
, perímetro da seção em contado com o ar (U
ar
) = 228 cm,
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
197
umidade relativa do ar em 70%, temperatura média 20ºC, abatimento do concreto (slump) 9
cm e cimento tipo ARI, t
0
= 1 e t = 10000 dias.
4
)1,10000(
1084,2
244
),(,
/ 68,5100,21084,2
0
cmkNE
pttsp
Relaxação da armadura
),(
00,
tt
prp
)],(1ln[),(
00
tttt
10000
50,2),(
tt
75,0
190
87,142
68,0
190
29,129
sup
inf
R
R
Para cordoalha de baixa relaxação e com 69% da resistência a tração, na tabela 8.3
da norma NBR 6118:2004 determina-se através de interpolação o valor para Ψ
1000
= 2,26 em
porcentagem, e para 75% da resistência a tração tem-se Ψ
1000
= 3,00 em porcentagem.
50,700,350,250,2)1,(
65,526,250,250,2)1,(
1000sup
1000inf
2
supsup
2
infinf
1080,7]
100
50,7
1ln[])1,(1ln[)1,(
1082,5]
100
65,5
1ln[])1,(1ln[)1,(
22
supsup,0sup,,
22
infinf,0inf,,
/ 14,111080,787,142)1,(
/ 52,71082,529,129)1,(
cmkN
cmkN
prp
prp
Simultaneidades das perdas
A equação para os cálculos das perdas é dada pela expressão abaixo. A parcela
referente o numerador já foi calculada nas etapas anteriores, restando agora o cálculo do
denominador.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
198
ppcp
cpgpcppcs
p
ttttEtt
tt

),(),(),(
),(
0000,0
0
08,11080,71
),(1
06,11082,51
),(1
2
sup,
sup0sup,
2
inf,
inf0inf,
p
p
p
p
tt
tt
79,2573,35,01
),(5,01
0
c
c
tt
63,2
1052,1
1665,0
386,01
´1
83,2
1052,1
1665,0
409,01
1
2
2
sup
2
sup
2
2
inf
2
inf
c
c
p
c
c
p
I
A
e
I
A
e
3
1022,5
1665
788,0883,8
c
p
p
A
A
Com isso tem-se:
2
3
sup
2
3
inf
/ 92,19
1022,563,265,579,208,1
14,1157,868,5
)1,(
/ 61,22
1022,583,265,579,206,1
52,799,1568,5
)1,(
cmkN
cmkN
p
p
Então se chega à tensão final nos cabos considerando todas as perdas.
2
)(sup,,
sup,)(sup,,
2
)(inf,,
inf,)(inf,,
/ 95,12292,1987,142
/ 68,10661,2229,129
cmkN
cmkN
p
ppp
p
ppp
Portanto chega-se a um perda de 26,58% para os cabos da borda inferior e 15,40%
para os cabos da borda superior, comparado com a tensão inicial σpi .
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
199
8. Verificação da fissuração
Após os cálculos das perdas de protensão no tempo infinito, é possível fazer a
verificações das tensões.
Considerando-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
11,307386,095,122788,0409,068,106896,7
21,93995,122788,068,106896,7
´sup,´inf,
sup,´inf,
Estado limite de formação de fissuras, combinação freqüente (
1
= 0,6).
Limites:
Compressão
σ = 0,7 f
ck
= 0,7 x 40000 = 28000 kN/m
2
.
Tração
σ = 0,3 f
ctk,inf
= 0,21x
32
40 = 2,456 MPa = 2456 kN/m
2
.
-2456 kN/m
2
< σ < 28000 kN/m
2
Borda inferior
Situação momento máximo.
compi
q
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
M
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
,
1
,
54321
2
2222
/ 855
1061,5
67,2566,0
1061,5
03,139
1028,3
88,348
1028,3
11,307
1665,0
21,939
mkN
i
Situação momento mínimo
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
,
54321
2
222
/ 1889
1061,5
03,139
1028,3
88,348
1028,3
11,307
1665,0
21,939
mkN
i
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
200
Borda superior
Para se verificar a tensão na borda superior é necessário determinar a distancia y
ts
na seção composta que seja a mesmo ponto de verificação da seção pré-moldada, ou seja, a
distância do centro de gravidade até a borda superior da seção pré-moldada.
myhy
compgcpréts
189,0711,090,0
,
Com isso o módulo resistente é dado por:
31
2
1011,2
189,0
1099,3
m
y
I
W
ts
comp
ts
Situação momento máximo.
ts
q
ts
gg
s
ggg
s
pp
s
W
M
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
154321
2
1122
/ 8226
1011,2
67,2566,0
1011,2
03,139
1094,3
88,348
1094,3
11,307
1665,0
21,939
mkN
s
Situação momento mínimo
ts
gg
s
ggg
s
pp
s
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
54321
2
122
/ 7496
1011,2
03,139
1094,3
88,348
1094,3
11,307
1665,0
21,939
mkN
s
Como os valores máximos e mínimos estão dentro dos limites a verificações do
estado limites de formação de fissuras está atendida.
Estado limite de descompressão, combinação quase permanente (
2
= 0,4).
Limites:
Compressão
σ = 0,7 f
ck
= 0,7 x 40000 = 28000 kN/m
2
.
Tração
σ = 0
0 kN/m
2
< σ < 28000 kN/m
2
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
201
Borda inferior
Situação momento máximo.
compi
q
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
xM
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
,
2
,
54321
2
2222
/ 59
1061,5
67,2564,0
1061,5
03,139
1028,3
88,348
1028,3
11,307
1665,0
21,939
mkN
i
Situação momento mínimo
compi
gg
i
ggg
i
pp
i
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
,
54321
2
222
/ 1889
1061,5
03,139
1028,3
88,348
1028,3
11,307
1665,0
21,939
mkN
i
Borda superior
Situação momento máximo.
ts
q
ts
gg
s
ggg
s
pp
s
W
xM
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
254321
2
1122
/ 7983
1011,2
67,2564,0
1011,2
03,139
1061,5
88,348
1061,5
11,307
1665,0
21,939
mkN
s
Situação momento mínimo
ts
gg
s
ggg
s
pp
s
W
MM
W
MMM
W
M
A
N
54321
2
122
/ 7496
1011,2
03,139
1061,5
88,348
1061,5
11,307
1665,0
21,939
mkN
s
Como os valores máximos e mínimos estão dentro do limite a verificação do
estado limite de descompressão atendida.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
202
9. Verificação de ruptura no tempo zero (verificação de ruptura simplificada).
Fazendo-se a análise em décimo de vão é possível determinar a necessidade ou
não de isolamento de cabos na borda inferior. É necessário também verificar o comprimento
de transferência de protensão da armadura ativa, este cálculo esta demonstrado no
dimensionamento da armadura transversal, os valores encontrado são de: l
bpt,inf
= 130 cm e
l
p,sup
= 119 cm.
Sendo
22
2
ss
s
pxplx
M , com a variação de s entre 1 e 5 e o carregamento de
p=4,16 kN/m. obteve-se os resultados apresentado na Tabela 8-37.
Tabela 8-37: Valores dos momentos fletores em vazio para décimo de vão.
Seção S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
M
s
(kN.m)
17,80 31,64 41,52 47,46 49,43
Considerando-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
08,374386,087,142788,0409,099,129896,7
46,113387,142788,029,129896,7
´sup,´inf,
sup,´inf,
Borda inferior
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
A
N
Borda superior
s
s
s
pp
s
W
M
W
M
A
N
A Tabela 8-38 apresenta os valores das tensões na borda inferior e superior
variando o momento em décimo de vão apresentados na Tabela 8-38.
Tabela 8-38: Valores das tensões da borda inferior e superior em décimo de vão.
Seção S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
σ
i
(kN/m
2
)
17670 17248 16946 16766 16705
σ
s
(kN/m
2
)
-3401 -3055 -2721 -2551 -2495
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
203
Os limites para este instante é:
Compressão
σ = 0,7 f
ckj
= 0,7 x 25000 = 17500 kN/m
2
.
Tração
σ = 1,2 x 0,3 f
ct,m
= 1,20 x 0,3 x
32
25 = 3,078 MPa = 3078 kN/m
2
.
-3078 kN/m
2
< σ < 17500 kN/m
2
A borda inferior na seção S
1
esta com a tensão de compressão bem próxima ao do
limite, por sua vez a tensão de tração na borda superior esta maior que a do limite do inicio da
viga pré-moldada até aproximadamente a seção S
2
. Para a borda inferior é necessário o
isolamento de alguns cabos, diminuindo assim a tensão de tração da borda superior e
consequentemente o alivio de compressão na borda inferior. Para se determinar o
comprimento deste isolamento é calculado o momento mínimo necessário para que a tensão
de tração fique abaixo do permitido.
mkNM
mkN
M
f
W
M
W
M
A
N
s
mct
s
s
s
pp
s
. 07,29
/ 3078
1049,31049,3
08,374
1665,0
46,1133
20,1
min
2
2
min
2
,
Com o valor do momento mínimo é possível determinar o comprimento
necessário requerido.
2
16,4
2
75,916,4
07,29
22
2
2
min
ss
ss
xx
pxplx
M
A raiz da equação do segundo grau de interesse é x
1
= 1,75 m que é a distância
requerida. Como a distância requerida é maior que o comprimento de regularização (1,30 m),
isto implica da necessidade de isolar-se aproximadamente 0,45 m (comprimento requerido
menos o comprimento de regularização). Calculado o valor do comprimento do isolamento é
necessário determinar a quantidade de cabos a serem isolados, que pode ser feito fixando as
duas cordoalhas do nível superior e com o limite de tração da borda superior. O momento
fletor considerado para a situação mais desfavorável é o da seção S
1
.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
204
Considerando-se:
kNmAAM
eAeAM
kNAAN
AAN
ppp
pppipppip
ppp
ppippip
46,4388,52386,0788,087,142409,029,129
58,11229,129788,087,14229,129
´´sup,inf,
´sup,inf,
Borda superior
2
2
22
,
2
1,
,
46,7
/ 3078
1049,3
80,17
1049,3
46,4388,52
1665,0
58,11229,129
/3078
cmA
mkN
AA
mkN
W
M
W
M
A
N
p
pp
ss
s
s
s
pp
ss
Para se evitar excentricidade de protensão nos isolamentos dos cabos é
conveniente que os cabos sejam isolados de dois a dois, com isso isola-se duas cordoalhas da
borda inferior com o comprimento de 0,45 m.
Agora, porém é preciso calcular a armadura passiva que ira controlar a fissuração
na borda superior. A seção mais desfavorável para essa situação esta entre a seção S
1
e S
2
, a
favor da segurança o dimensionamento é feito para a seção S
1
.
Figura 8-32: Esquema para o cálculo da força F
t
de tração na seção transversal.
mx
h
x
is
s
145,090,0
176703401
3401
, como a posição de x é inferior a
16 cm o valor de força de tração, como pode se deduzir a partir da Figura 8-32 é dado por:
kN
x
bF
st
97,73
2
145,0
30,03401
2
..
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
205
A norma NBR 6118:2003 estabelece que a tensão da armadura neste caso seja de
25 kN/cm
2
.
2
96,2
25
97,73
25
´ cm
F
A
t
s
, adota-se 410 mm (A
s
= 3,2 cm
2
)
10. Verificação das tensões em décimo de vão no tempo infinito
Com os carregamentos apresentados nas Tabela 8-30 e Tabela 8-31 pode-se
calcular os momentos em décimo de vão. Considerando os três primeiros carregamentos
(g
1
+g
2
+g
3
) como p
1
o terceiro e quarto (g
4
+g
5
) como p
2
e o sexto (q) como p
3
, são calculados
os momentos fletores e apresentado na Tabela 8-39.
Tabela 8-39: Valores dos momentos fletores seção composta para décimo de vão.
S
1
S
2
S
3
S
4
S
5
M
1
(kN.m)
136,88 242,98 318,91 364,47 379,66
M
2
(kN.m)
50,05 88,98 116,78 133,47 139,03
M
3
(kN.m)
92,40 164,27 215,60 246,40 256,67
Considerando-se:
312322
´sup,´inf,
sup,´inf,
1011,2 ;1061,5 ;1049,3;1028,3 ; 1665,0
11,307386,095,122788,0409,068,106896,7
21,93995,122788,068,106896,7
mWWmWWmA
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
ts
-
i,compsi
p
ppipppipp
p
pippipp
Estado limite de formação de fissuras, combinação freqüente (
1
= 0,6).
Limites:
Compressão
σ = 0,7 f
ck
= 0,7 x 40000 = 28000 kN/m
2
.
Tração
σ = 0,3 f
ctk,inf
= 0,21x
32
40 = 2,456 MPa = 2456 kN/m
2
.
-2456 kN/m
2
< σ < 28000 kN/m
2
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
206
Borda inferior
Situação momento máximo.
compi
s
compi
s
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,31
,
,2,1
Situação momento mínimo
compi
s
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,2,1
Borda superior
Situação momento máximo.
ts
s
ts
s
s
s
s
pp
s
W
M
W
M
W
M
W
M
A
N
,31,2,1
Situação momento mínimo
tss
s
s
pp
s
W
M
W
M
W
M
A
N
2
,1
O Gráfico 8-9 apresenta os valores das tensões em décimo de vão da borda
inferior para o estado limite de formação de fissuras (ELS-F).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
207
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Tensão - kN/m²
Seções
ELS-F - Borda Inferior
Mom. máx
Mom. min
Mom. máx
9294 4854 1682 -222 -856
Mom. min
10283 6611 3988 2414 1889
S1 S2 S3 S4 S5
Gráfico 8-9: Tensões na borda inferior em décimo de vão como momentos máximos e mínimos.
O Gráfico 8-10 apresenta os valores das tensões em décimo de vão da borda
inferior para o estado limite de formação de fissuras (ELS-F).
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Tensão - kN/m²
Seções
ELS-F - Borda Superior
Mom. máx
Mom. min
Mom. máx
940 4128 6405 7771 8226
Mom. min
677 3661 5792 7070 7497
S1 S2 S3 S4 S5
Gráfico 8-10: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e
mínimos.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
208
Como os valores máximos e mínimos estão dentro do limite a verificação do
estado limite de formação de fissuras esta atendida.
Estado limite de descompressão, combinação quase permanente (
2
= 0,4).
Limites:
Compressão
σ = 0,7 f
ck
= 0,7 x 40000 = 28000 kN/m
2
.
Tração
σ = 0
0 kN/m
2
< σ < 28000 kN/m
2
Borda inferior
Situação momento máximo.
compi
s
compi
s
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,32
,
,2,1
Situação momento mínimo
compi
s
i
s
i
pp
i
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,2,1
Borda superior
Situação momento máximo.
comps
s
comps
s
s
s
s
pp
s
W
M
W
M
W
M
W
M
A
N
,
,32
,
,2,1
Situação momento mínimo
comps
s
s
s
s
pp
s
W
M
W
M
W
M
A
N
,
2
,1
O Gráfico 8-11 apresenta os valores das tensões em décimo de vão da borda
inferior para o estado limite de descompressão (ELS-D).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
209
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Tensão - kN/m²
Seções
ELS-D - Borda Inferior
Mom. máx
Mom. min
Mom. máx
9624 5439 2450 657 59
Mom. min
10283 6611 3988 2414 1889
S1 S2 S3 S4 S5
Gráfico 8-11: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e
mínimos.
O Gráfico 8-12 apresenta os valores das tensões em décimo de vão da borda
superior para o estado limite de descompressão (ELS-D).
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
Tensão - kN/m²
Seções
ELS-D - Borda Superior
Mom. máx
Mom. min
Mom. máx
852 3972 6200 7538 7983
Mom. min
677 3661 5792 7070 7497
S1 S2 S3 S4 S5
Gráfico 8-12: Tensões na borda superior em décimo de vão como momentos máximos e
mínimos.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
210
Como os valores máximos e mínimos estão dentro do limite a verificação do
estado limite de descompressão esta atendido.
11. Cálculo de A
p
e no tempo infinito.
Considerando os coeficientes de 1,30 para os elementos pré-fabricados, tem-se:
mkNM
MMMMMMM
d
qgggggd
. 22,1018)67,25645,6858,7095,106(4,1)50,19243,49(3,1
)(4,1)(3,1
54321
Com a tensão no cabo no tempo infinito de σ
p,inf
= 106,68 kN/cm
2
= 1066,8 MPa
determina-se o pré-alongamento da armadura ativa de acordo com a Tabela 5-1, e o valor é de
ε
p
= 5,47‰. Com isso tem-se
‰47,1547,510
psp
. Com ε
p
na mesma Tabela 5-1 tem-se σ
sd
=
1508,8 MPa.
Conhecida a armadura longitudinal calcula-se o momento máximo resistente da
seção. Determina-se a posição da linha neutra (LN) a partir do equilíbrio das forças atuantes
na seção transversal (Figura 8-33).
Figura 8-33: Seção transversal com a indicação das forças internas (unidades em cm).
Como não há força externa e a força atuante no concreto (F
c
), deve ser igual a
força atuante na armadura (F
t
).
tc
FF , ou seja,

pdpwcd
fAxbf
8,085,0
.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
211
Para uma primeira tentativa impõe que a viga esta trabalhando no domínio 2 e que
a posição da linha neutra esteja na altura da capa, assim a expressão da linha neutra é dado
por:
f
cdf
pdp
hcmm
fb
fA
x
62,3 1062,3
4,1
30000
25,268,0
1,150896,7
68,0
2
, portanto a
linha neutra esta passando pela capa.
Com a posição da linha neutra é possível identificar o domínio de deformação que
esta situada a viga em estudo. Para que a viga se encontre no domínio 2 a posição da linha
neutra LN deve estar entre zero e um determinado valor obtido através das deformações do
concreto e do aço.
cmmdx
sc
c
09,27 2709,0045,1
105,3
5,3
2
Como a posição da linha neutra esta a 3,62 cm pode-se dizer que a mesma
encontra-se no domínio 2. Com o isso o momento resistente é dado por:

xdxbfzFM
wcdcrest
4,08,085,0 , assim tem-se:
mkNM
rest
. 12231062,34,0045,11062,38,025,2
4,1
30000
85,0
22
Como o momento atuante é menor que o momento resistente a armadura
dimensionada para a fissuração é suficiente para atender o estado limite ultimo (ELU),
concluindo, portanto o dimensionamento e as verificações da armadura longitudinal.
12. Armadura de pele (na região tracionada).
Como a altura total da viga é maior que 60 cm, é necessária colocação em cada
face, na região tracionada da viga, de uma armadura de pele.
2
,
08,19012
100
10,0
%10,0 cmhbA
wpeles
(em cada face, na região
tracionada).
A armadura de pele é recomendada para evitar fissuras e, portanto, deveria ser
empregada para a condição em serviço, porém, simplificadamente será usada a condição de
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
212
estado limite último. Lembrando que a linha neutra LN calculado no item anterior é de 27,09
cm, com isso tem-se:
cmcmxh 91,6209,2790
, portanto, a armadura de pele deve ser distribuída
na região tracionada até uma altura aproximada de 63 cm.
13. Estimativa de flecha
Momento de fissuração é determinado para duas situações, a primeira é com a
ação do peso próprio e a protensão depois de ocorrida as perdas imediatas e a segunda e no
tempo infinito onde já decorreram todas as perdas devido a protensão e tem-se a seção
composta.
Momento de fissuração após as perdas imediatas
pi
p
ctr
Mw
A
N
fM
; onde:
= 1,2 para seção T ou duplo TT e 1,5 para seção retangular
ct
f = é a resistência a tração do concreto, no caso de determinação do momento
de fissuração para mo estado limite de deformação excessiva
mctct
ff
,
.
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
08,374386,087,142788,0409,099,129896,7
46,113387,142788,029,129896,7
´sup,´inf,
sup,´inf,
2
3
2
3
2
,
/ 2565 565,2253,03,0 mkNMPaff
ckjmct
mkNM
r
. 54,72308,3741028,3
1665,0
46,1133
25655,1
2
Neste instante o momento atuante é devido ao peso próprio, com isso tem-se:
kNm
lp
M
g
43,49
8
75,916,4
8
22
1
1
, que é menor que o momento de
fissuração.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
213
Momento de fissuração no tempo infinito
pi
p
compictr
Mw
A
N
wfM
,
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
11,307386,095,122788,0409,068,106896,7
21,93995,122788,068,106896,7
´sup,´inf,
sup,´inf,
232
3
2
,
/ 3509 509,3403,03,0 mkNMPaff
ckmct
mkNM
r
. 35,72811,3071028,3
1665,0
21,939
1061,535092,1
22
No tempo infinito o momento atuante para verificação de deformação excessiva é
dado para a combinação quase permanente, como os valores dos carregamentos dados na
Tabela 8-23, tem-se:
kNmM
qggggg
58,590
2
54321
, que é menor que o momento de fissuração.
Flechas devidas aos carregamentos g
1
a g
5
e q.
Fase 01: Peso próprio (g
1
).
mkNgp / 16,4
1
mmm
IE
lp
a
c
g
35,11035,1
1052,1108,23384
75,916,45
384
5
3
26
44
1
Onde:
MPafE
cjc
2380025.5600.85,0.5600.85,0
Fase 02: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
).
mkNgp / 20,16
2
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
214
mmm
IE
lp
a
c
g
32,41032,4
1052,11002,29384
75,920,165
384
5
3
26
44
2
Para a segunda fase com 15 dias o concreto tem resistência de β
1
.f
ck
.

929,0
15
28
120,0exp
28
1exp
2/12/1
1
t
s
Onde:
s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI.
Assim:
MPafE
ckc
2901640.929,0.5600.85,0.5600.85,0
1
Fase 03: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
) + Capa (g
3
).
mkNgp / 00,9
3
mmm
IE
lp
a
c
g
31,21031,2
1052,1101,30384
75,900,95
384
5
3
26
44
3
Onde:
MPafE
ckc
3010440.5600.85,0.5600.85,0
Fase 04: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
) + Capa (g
3
) + Alvenaria (g
4
)..
mkNgp / 94,5
4
mmm
IE
lp
a
c
g
58,01082,5
1099,3.101,30384
75,994,55
384
5
4
26
44
4
Onde:
MPafE
ckc
3010440.5600.85,0.5600.85,0
Fase 05: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
) + Capa (g
3
) + Alvenaria (g
4
) +
Revestimento (g
5
).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
215
mkNgp / 76,5
5
mmm
IE
lp
a
c
g
56,01064,5
1099,3101,30384
75,976,55
384
5
4
26
44
5
Onde:
MPafE
ckc
3010440.5600.85,0.5600.85,0
Fase 06: Peso próprio (g
1
) + Laje (g
2
) + Capa (g
3
) + Alvenaria (g
4
) +
Revestimento (g
5
)+ Acidental (q).
Considerando o coeficiente de ponderação
2
= 0,4
mkNqp / 60,21
mmm
IE
lp
a
c
q
85,01046,8
1099,3101,30384
75,94,060,215
384
5
4
26
44
2
Onde:
MPafE
ckc
3010440.5600.85,0.5600.85,0
Contra flechas devidas momento de protensão
Após 24 horas da fabricação da viga, a protensão foi aplicada com os cortes dos
cabos e inicia-se também uma perda de protensão, com isso analisa-se a contra flecha e a sua
diminuição da seguinte forma.
A tensão inicial do cabo é dada por:
MPa
pracorappi
55,141)55,220,1(3,145)(
Com isso tem-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
08,414386,055,141788,0409,055,141896,7
22,122955,141788,055,141896,7
´sup,´inf,
sup,´inf,
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
216
mmm
IE
lM
a
c
p
p
15,111011,1
1052,11002,298
75,908,414
8
2
26
2
2
A perda de protensão também implica em uma perda da contra flecha.
IE
lM
a
MMM
c
p
p
ptptp
..8
.
2
0,,
Com a tensão no tempo infinito no cabo de protensão de σ
pi,inf
= 106,98 MPa e
σ
pi,sup
= 122,95 MPa, tem-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
11,307386,095,122788,0409,068,106896,7
21,93995,122788,068,106896,7
´sup,´inf,
sup,´inf,

mmm
IE
lM
a
c
p
p
77,21077,2
1052,1101,308
75,911,30708,414
8
3
26
2
2
A Tabela 8-40 apresenta o resumo das flechas imediatas.
Tabela 8-40: Resumo das deformações imediatas
Fase Ação Seção Flecha imediata (mm)
1
Protensão Pré-fabricada -11,15
1
Peso próprio da viga Pré-fabricada 1,35
2
Peso próprio da laje Pré-fabricada 4,32
3
Execução da capa Pré-fabricada 2,31
4
Execução da alvenaria Composta 0,58
5
Execução do revestimento Composta 0,56
6
Atuação da carga acidental Composta 0,85
7
Perda de protensão Pré-fabricada 2,77
Valores do coeficiente de fluência.
O coeficiente de fluência já foram determinados e apresentados na Tabela 8-36
para a determinação das perdas por fluência. A Tabela 8-41 reapresenta os valores dos
coeficientes de fluência.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
217
Tabela 8-41: Coeficientes de fluência para a seção 01, 02 e final.
Ação
t
0
seção 01
Coeficiente
seção 01
t
0
seção 02
Coeficiente
seção 02
Coeficiente
final
Protensão
1 3,573 -- -- 3,573
Peso próprio da viga
1 3,573 -- -- 3,573
Peso próprio da laje
15 2,295 -- -- 2,295
Execução da capa
30 1,940 1 3,783 2,770
Execução da alvenaria
45 1,740 15 2,539 2,099
Execução do revestimento
60 1,600 30 2,150 1,848
Atuação da carga acidental
75 1,492 45 1,933 1,690
Perda de protensão
75 1,492 45 1,933 1,690
A Tabela 8-42 apresenta os valores finais das flechas considerando a protensão e
os carregamentos.
Tabela 8-42: Resultado final da flecha no tempo infinito.
Fase
Flecha
imediata
Coeficiente
φ
final
Coeficiente
1+ φ
final
Flecha
t
∞
Soma
1
-11,15 3,573 4,573 -50,98 -50,98
1
1,35 3,573 4,573 6,17 -44,81
2
4,32 2,295 3,295 14,23 -30,49
3
2,31 2,770 3,770 8,70 -21,79
4
0,58 2,099 3,099 1,80 -19,99
5
0,56 1,848 2,848 1,00 -18,99
6
0,85 1,690 2,690 2,29 -16,70
7
2,77 1,690/2=0,845 1,845 5,11 -11,59
Com limite de
mm
l
00,39
250
9750
250
14. Armadura transversal
Para a verificação do cisalhamento, é importante observar a extremidade da viga,
como neste exemplo tem-se a ligação bi-articulada com a utilização de dente Gueber, a Figura
8-34 apresenta as recomendações das armaduras do Dente. Pode ser visto que para a
ancoragem da armadura do tirante, é necessária uma distância mínima (l
tir
) de
bviga
ldd
)(.
Determinado e apresentado no exemplo 01 a armadura do tirante de diâmetro maximo é de 20
mm. O que se sugere aqui é o engrossamento da extremidade da viga, ou seja, fazer o
preenchimento do perfil I para a seção retangular de 30 x 90 cm, o preenchimento faz-se
necessário, pois com a seção da alma do perfil I com 12 cm não seria possível o
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
218
posicionamento da armadura do tirante e também a apoio da viga.. A distância do
preenchimento deve ter no mínimo a distância calculada para l
tir
.
Figura 8-34: Detalhe da armadura em consolo tipo Gerber (Figura 7.11 NBR 9062:2006).
Comprimento da ancoragem reto básico (l
b
).
O valor de l
b
é encontrado através da seguinte equação:
cmmm
f
f
l
bd
yd
b
7,78 79,786
763,215,1
500
4
20
4
Sendo f
bd
:
MPaff
ctdbd
763,2754,10,17,025,2321
1 = 2,25 (CA-50 para barra usual, nervurada, de alta aderência);
2 = 0,7 (situação de má aderência);
3 = 1,0 ( = 20 mm < 32 mm)
MPa
f
f
ck
ctd
754,14015,0
4,1
21,0
3
2
3
2
cmlddl
bvigatir
7,1237,784590)(
, portando adota-se um
preenchimento mínimo no perfil I 125 cm (Figura 8-35).
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
219
Figura 8-35: Distância mínima para preenchimento do perfil I.
Aplica-se o modelo de cálculo I para determinação da armadura transversal.
Cálculo de V
sd
.
Primeiramente determina-se a armadura considerando b
w
= 12 cm a um distancia
de 1,70 m do apoio, já se sabe que a armadura dimensionada no exemplo 01 a uma distância
d/2 para a seção 30 x 90 cm, é a armadura mínima.
Para o cálculo das ações atuantes são considerados os carregamentos apresentados
na Tabela 8-30 e Tabela 8-31.

xp
lp
V
x
2
kNxp
lp
V
gg
04,8470,136,20
2
75,936,20
3,1
2
3,1
21
1
kNxp
lp
V
qggg
03,18870,130,42
2
75,930,42
4,1
2
4,1
543
2
kNVVV
sd
07,27203,18804,84
21
Verificação do esmagamento da biela de concreto
kNsenV
sendbfV
Rd
wcdvRd
04,569)30cot90(cot30845,012,0
4,1
40000
84,054,0
cotcot54,0
2
2
2
22
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
220
Com:
84,0
250
40
1
250
1
2
ck
v
f
Portanto,
2Rdsd
VV , e não há perigo de esmagamento do concreto das bielas.
Cálculo de V
c
.
Para o cálculo da armadura transversal (em forma de estribos) usa-se o modelo I
da NBR 6118:2003 na flexo-compressão e considera-se que a seção resistente seja a da viga
pré-fabricada ( considerando a alma de 12 cm, com isso a seção considerada é retangular de
12x90 cm). Assim tem-se:
0
,
0
0
21
c
máxsd
cc
V
M
M
VV
, com
kNdbfV
wctdc
72,106845,012,017546,06,0
0
232
3/2
inf,
/ 1754 754,14015,0
4,1
3,07,0
mkNMPa
f
f
f
ck
c
ctk
ctd
Considerando o efeito da protensão tem-se:


p
M
ppp
i
qgfpp
eN
A
w
NNM
0
Para se considerar o efeito da protensão é necessário a determinação do
comprimento de transferência e regularização do efeito da protensão. Lembrando que σ
pi
no
ato da protensão (após as perdas imediatas) é de 129,29 kN/cm
2
para as cordoalhas da borda
inferior e de 142,87 kN/cm
2
para as cordoalhas da borda superior.
cm
f
l
cm
f
l
bpd
pi
bpt
bpd
pi
bpt
42,79
1539,036
87,14288,05,3
36
5,3
72,103
1539,036
29,12927,15,3
36
5,3
sup,
sup,
inf,
inf,
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
221
Como em geral nas fabricas de pré-moldado não se utiliza o sistema de
desprotensão gradual, adota-se aqui o coeficiente de 1,25, portanto, l
bpt,inf
≈ 130 cm e l
bpt,sup
≈
91 cm.
Em uma peça pré-fabricada também é importante saber a partir de distancia da
extremidade da peça pode-se considerar o esforço de protensão atuando em toda a seção. A
este comprimento dá-se o nome de distância de regularização (
p
).

bpt
2
bpt
2
p
0,6h


cm
cm
105910,609
1191300,609
2
2
supp,
2
2
infp,
, assim l
p,inf
= l
bpt,inf
= 130 cm e l
p,sup
=119
cm.
Como a distância para a determinação do cisalhamento no perfil I é de 170 cm,
isso implica a utilização de toda a parcela do efeito da protensão.
Considerando-se:
kNmM
eAeAM
kNN
AAN
p
ppipppipp
p
pippipp
08,374386,087,142788,0409,099,129896,7
46,113387,142788,029,129896,7
´sup,´inf,
sup,´inf,

kNmM 63,53708,3749,0
1665,0
1028,3
046,11339,0
2
0
Cálculo de M
sd,máx
na seção em análise:

22
2
xpxlp
M
x
kNmM
xpxlp
M
gggg
11,181
2
70,136,20
2
70,175,936,20
3,1
22
3,1
2
1
2
2121
1
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
222
kNmM
xpxlp
M
qgggqggg
21,405
2
70,130,42
2
70,175,930,42
4,1
22
4,1
2
2
2
543543
2
kNmMMM
máxsd
32,58621,40511,181
21,
0
2 24,205
36,582
63,537
172,106
cc
VkNV
, portanto, kNV
c
24,205
Cálculo da armadura transversal
Para o cálculo da armadura transversal, a parcela da força cortante (V
sw
) a ser
absorvida pela armadura, pode ser escrita por:
cRdsw
VVV
3
, sendo que a força cortante resistente de cálculo V
Rd3
deve ser no
mínimo igual a força cortante solicitante de cálculo V
sd
(V
Rd3
=V
sd
).
kNVVVVV
csdcRdsw
83,6624,20507,272
3
Armadura mínima
Segundo o item 17.4.1.1.1 da NBR 6118:2003, a armadura transversal mínima
deve ser constituída por estribos, com taxa geométrica:
ywk
mct
w
sw
sw
f
f
sensb
A
,
, ou seja,
sensb
f
f
A
w
ywk
mct
sw
,
2,0, com:
MPaff
ckmct
509,34030,03,0
32
3
2
,
mcmsenA
sw
/ 68,19010012
500
509,3
2,0
2
, considerando-se estribos com 2
ramos de 6,3 mm, o espaçamento s é dado por:
cmm
A
A
s
sw
s
30 38,0
68,1
32,02
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
223
Para que não ocorra ruptura por cisalhamento nas seções entre os estribos, o
espaçamento máximo deve atender as seguintes condições:
;2003,067,0
;3006,067,0
2
2
mmdsVV
mmdsVV
máxRdsd
máxRdsd
Sendo assim, tem-se:
48,0
04,569
07,272
2
Rd
sd
V
V
, portanto adota-se 6,3 mm com 2 ramos a cada 30 cm.
Cálculo da força cortante resistida pela armadura mínima.
Segundo CARVALHO (2007) a força resistente, correspondente a armadura
mínima é:
3/2
90,
10,0644
ckwdswwR
ffdbV
, com:
3
90,
1077,1
90 3012
32,02
sensensb
A
w
sw
sw
kNV
R
63,1264010,0
15,1
500
1077,1845,012,0644
3/23
Como a força resistente com a armadura mínima é de 126,33 kN que é maior V
sw
= 66,83 kN, é necessário portanto para este exemplo a armadura mínima para as duas seções,
4,21 cm
2
/m para a seção retangular e 1,68 cm
2
/m para o perfil I.
15. Armadura necessária para ancoragem da diagonal de compressão
A armadura para ancoragem da diagonal de compressão é apresentada no exemplo
01, com uma pequena alteração do peso próprio da viga. Este valor de redução do peso
próprio é insuficiente para alterar a quantidade de armadura necessária, sendo assim, pode-se
utilizar a mesma armadura.
16. Detalhamento da viga pré-moldada.
A Figura 8-36, Figura 8-37 e Figura 8-38 apresentam todo o detalhamento
resultante dos cálculos apresentados anteriormente para o exemplo 04.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
224
Figura 8-36: Forma da viga VR01, exemplo 04.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
225
Figura 8-37: Armação da viga VR01, exemplo 04.
Capítulo 8 – Exemplos numéricos
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
226
Figura 8-38: Armação da viga VR01, exemplo 04.
Capítulo 9 – Considerações finais e sugestões
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
227
9
9
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C
C
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N
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S
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I
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U
G
G
E
E
S
S
T
T
Õ
Õ
E
E
S
S
Para ficar mais fácil ao leitor acompanhar este capítulo separam-se as
considerações e as sugestões por tema.
9
9
.
.
1
1
.
.
R
R
O
O
T
T
E
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I
R
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P
L
L
I
I
C
C
A
A
D
D
O
O
S
S
O roteiro escolhido e detalhado neste trabalho para a determinação das armaduras
e verificações pertinentes da viga permite claramente ao projetista entender o funcionamento
da peça e detalhar tanto a armadura longitudinal quanto a transversal.
Fica bem claro que o projetista precisa dominar os conceitos da pré-tração de
forma que consiga aplicar os modelos de cálculo mais adequados. Lembra-se que este
dimensionamento corresponde a um cálculo de armadura longitudinal em que se determinam
os esforços de protensão considerando as perdas progressivas. Assim, pode-se dizer que a
precisão do dimensionamento obtido é bastante razoável. Nota-se também que há uma
quantidade grande de verificações a serem feitas, mostrando a necessidade de se elaborar um
programa ou uma planilha automática que permita ao projetista chegar rapidamente ao
detalhamento final.
Chama-se atenção que foram utilizados diversos conceitos não previstos nas
edições das normas brasileiras como, por exemplo, o efeito de seção composta pode ser usado
integralmente na flexão e parcialmente no cisalhamento. Também por falta de indicação
normativa preferiu-se usar uma combinação de modelo I e II para o cálculo no cisalhamento.
Na medida em que forem desenvolvidos ensaios, estas hipóteses podem ser modificados e os
procedimentos ajustados. No caso do modelo II a grande questão é qual o valor de
(inclinação da biela) que deve ser utilizada. No caso da seção composta haveria a necessidade
fazer mais ensaios, para se conhecer melhor o comportamento próximo ao estado limite
último de cisalhamento e flexão.
Capítulo 9 – Considerações finais e sugestões
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
228
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2
2
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I
T
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I
I
N
N
A
A
L
L
A condição determinante de projeto para o cálculo da armadura longitudinal para
os exemplos 01, 03 e 04. foi a da verificação de fissuração no estado de descompressão. Fica
claro também a necessidade da colocação de armadura de protensão junto a borda superior da
seção inicial (viga na fábrica). Esta condição diz respeito à verificação de ruptura no estado
em vazio.
Mesmo quando se resolveu a viga com uma seção de maior eficiência (Exemplo
04) em que se utilizou uma seção do tipo I, apesar de ter diminuída a armadura de protensão
positiva ainda sim foi necessário usar a armadura de protensão na borda superior.
Para se determinar a melhor forma da seção transversal que resiste à flexão pode-
se usar segundo MADARÁS (1993) o coeficiente de rendimento de Guyon que é dado pela
expressão:
is
yyA
I
R
Aplicando esses coeficientes para a seção retangular (exemplo 01), chega-se a um
rendimento de 0,33 enquanto que a seção I (exemplo 04) o rendimento é de 0,45. Indicando-
se o índice deste coeficiente para escolher um tipo de seção sem precisar calcular a armadura
longitudinal.
Estas duas situações descritas parecem ser típicas da pré-tração e acabam sendo
recorrentes. Assim, aconselha-se usar o coeficiente de rendimento de Guyon como parâmetro
definidor e a condição de fissuração ao estado de descompressão como a determinante da
quantidade de armadura.
Essas sugestões se aplicam às condições ambientais de agressividade (CAA) II, III
e IV em que são necessárias as verificações de tensões. Na CAA I em que exigiria apenas a
protensão parcial a condição determinante para a determinação da armadura longitudinal
passa a ser, possivelmente, a do estado limite ultimo na flexão.
Capítulo 9 – Considerações finais e sugestões
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
229
9
9
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3
3
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T
T
E
E
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N
S
S
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Ã
O
O
A discussão de se usar o cálculo das perdas de forma aproximada ou mais precisa
está sempre presente no meio técnico e acadêmico. Nos exemplos resolvidos acredita-se que
as perdas consideradas de maneira aproximada podem mascarar os resultados principalmente
no que diz respeito às condições de fissuração. Para ilustrar este aspecto calculou-se com os
dados constantes no exemplo 01 duas situações (estimativa 1 e estimativa 2) a quantidade de
armadura longitudinal (considerando sempre dois cabos junto à fibra superior da pré-viga)
usando como condição determinante o limite de descompressão na combinação quase
permanente.
Os resultados obtidos estão indicados na Tabela 9-1, mostrando a grande
variabilidade de solução. Assim, para uma estimativa com pequena perda (estimativa 1) o
número de cabos é 30% inferior ao realmente necessário. Porém ao se fazer uma estimativa
conservadora (estimativa 2) obtêm-se quantidade de cabos 20% superior ao valor necessário
(a solução de 10 cabos), mostrando a importância da precisão do cálculo das perdas neste
exemplo. Nota-se que na estimativa 2 ao verificar a seção em vazio o limite de tração seria
ultrapassado requerendo ainda uma maior quantidade de cabos junto a borda superior.
Tabela 9-1: Números de cabos necessários em função da estimativa da perda de protensão.
Perda cabo
superior
Perda cabo
inferior
Nº de cabos
necessários
Nº. de cabos
estimados / nº. de
cabo calculado
Estimativa 1
10% 15% 7
0,70
Estimativa 2
20% 30% 12 1,20
Situação de
cálculo
15,45% 22,98%
10 1,00
9
9
.
.
4
4
.
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C
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I
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L
L
H
H
A
A
M
M
E
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O
O
Destacam-se os procedimentos aqui usados no cálculo e detalhamento da
armadura de cisalhamento em que procurou-se não fugir das características das peças
protendidas, considerando que as bielas de concreto tem inclinação diferente de 45º e
considerar o efeito benéfico da descompressão do concreto. Como indicação de projetos
sugere-se o uso da região retangular da viga (seção pré-fabricada) para absorver o esforço
Capítulo 9 – Considerações finais e sugestões
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
230
cortante. Com isso consegue um bom aproveitamento da seção e deixando a armadura de
costura para fazer a ligação da capa com a viga pré-moldada melhorando o comportamento da
flexão.
Desta forma foi necessário apenas o uso da armadura mínima na seção retangular
principalmente por causa do efeito de descompressão. Em virtude do uso do dente Gerber,
fez-se o engrossamento da viga I o que contribui bastante para o dimensionamento da
armadura transversal.
9
9
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5
5
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M
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Ç
Ç
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Nos exemplos estudados a situação de deformação excessiva não é limitante,
desta forma o emprego da protensão não resultou em grande vantagem.
9
9
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6
6
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C
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M
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P
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Ç
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S
S
Na prática do dimensionamento de vigas pré-fabricadas o projetista depara-se com
duas soluções características que devem ser devidamente estudadas. A primeira diz respeito a
questão das ligações, no trabalho em questão resolveu-se uma viga típica de edifício escolar
considerando uma ligação do tipo articulado e outra em que é permitido uma continuidade
mesmo que parcial (ligação semi-rígida), trata-se dos exemplos 01 e 03 respectivamente.
Percebe-se pela Tabela 9-2 que não há ganho substancial em economia de armadura
longitudinal, no caso apenas uma cordoalha é eliminado, cerca de 10%. Assim aparentemente
não há vantagem de se fazer ligação semi-rígida, pois cabe ressaltar que na armadura negativa
foi preciso usar 525mm, isto se deve em grande parte pela geometria da extremidade da viga
com dente Gerber. Talvez a única justificativa desta solução seria a melhoria da rigidez a ação
lateral.
Outra variável importante como já ressaltando no inicio deste capítulo é a forma
da seção e o exemplo 04 mostra claramente que já há uma economia maior de armadura
quando se considera a forma da seção em I. Nesta situação há uma economia de 20% da
armadura longitudinal.
Capítulo 9 – Considerações finais e sugestões
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
231
Tabela 9-2: Características e resultados obtidos nos diversos exemplos numéricos.
Perda cabos
inferiores
Perda cabos
superiores
Ação Tipo Seção A
p
A
p´
Iniciais Total
Iniciais Total
Exemplo
01
Simplesmente
apoiado
Retangular
1012,7mm 212,7mm
9,33% 22,98% 1,84% 14,85%
Exemplo
03
Contínua Retangular
912,7mm 212,7mm
8,56% 21,60% 2,13% 15,65%
Exemplo
04
Simplesmente
apoiado
I
812,7mm 2(34,0mm)
11,02% 26,58% 1,67% 15,40%
É importante frisar que a mudança da ligação ou mesmo da forma da seção
influenciam nas perdas de protensão da armadura constituinte, como indica a Tabela 9-2.
Mostrou-se também dos exemplos que a consideração de continuidade, neste caso
específico, em que se tem um dente Gerber acaba não melhorando muito o comportamento da
viga, ou seja, não diminui sensivelmente a armadura de protensão da viga, pois o fator de
restrição da ligação com cinco barras de diâmetro de 25 mm atingiu apenas 33,3% de
engastamento, já com três barras de 20 mm a porcentagem de engastamento foi de 22%. Isto
se dá devido a diminuição da altura da viga junto ao ponto (a região do dente).
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9
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7
7
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Sugere-se para trabalhos futuros que o roteiro de cálculo seja sistematizado
através de planilha eletrônica ou melhor ainda através de um programa de computador que
permiti uma grande velocidade no cálculo, liberando mais tempo para o projetista analisar
eventuais mudanças de projeto ou melhorias possíveis no detalhamento ou sistema estrutural..
Também ficam sugestões para o estudo do funcionamento da seção composta
assim como uma proposta mais clara para o cálculo da armadura transversal.
Outro estudo esclarecedor que pode ser feito está no detalhamento deste sistema
para as outras condições de agressividade.
Com um programa baseado neste roteiro é possível gerar diversas soluções para
outros vãos ou mesmo outras alturas e com outras técnicas, tipo algoritmo genético maximizar
a economia do sistema estrutural, que estará devidamente atendida ao fim dos procedimentos,
pois o modelo é particularmente preciso.
Capítulo 10 – Referências bibliográficas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
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Marcelo de A. Ferreira (ABCP-ABCIC-2004).
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS.
NBR 6118: Projeto de estruturas
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Londrina: UEL: Universidade Estadual de Londrina, 2007. 226p.
CARVALHO, R. C; FILHO. J. R. F.
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Federal de São Carlos. São Carlos.
DEBS. M. K. E.
Concreto pré-moldado: Fundamentos e aplicações. São Carlos: EESC:
Departamento de Engenharia de Estruturas, 2000. 441 p.
FERREIRA, M.A.
Deformabilidade de ligação viga-pilar de concreto pré-moldado. São
Carlos. 232f. Tese (Doutorado em estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos,
Universidade de São Paulo, 1999.
FERREIRA, M.A.; EL DEBS, M.K.; ELLIOTT, K.S.
Modelo Teórico para projeto de
Ligações Semi-Rígidas em Estruturas de Concreto Pré-Moldado. In: IBRACON. Anais
do 44 Congresso Brasileiro do Concreto. Belo Horizonte, MG, 17 a 22 de Agosto, 2002.
FERREIRA, M.A.; EL DEBS, M.K.; ELLIOTT, K.S.
Determinação Teórico-Experimental
da Relação Momento-Rotação e Ligações Viga-Pilar de Estruturas Pré-Moldadas de
Capítulo 10 – Referências bibliográficas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
233
Concreto. In: V Simpósio EPUSP sobre estrutura de concreto. São Paulo, SP, 7 a 10 de
Junho, 2003.
FILHO. J. R. F. CARVALHO, R. C;
Pavimentos de edifícios com lajes maciças. São
Carlos. Departamento de Engenharia Civil. Apostilas, 2006. 39 pág.
HANAI, J. B.
Fundamentos do Concreto Protendido. São Carlos: EESC: Departamento de
Engenharia de Estruturas, 2005. 116 p. Apostila.
JEREMIAS JR., A. C.
Analise da estabilidade da estruturas pré-moldadas de concreto:
influencia das ligações semi-rígidas
. São Carlos. 2007.193f. Dissertação (Mestrado em
Construção Civil). Universidade Federal de São Carlos. 2007.
FIB GUIDE TO GOOD PRATICE.
Structural Connections for Precast Concrete
Buildings. 2003. Commission C6. Prefabrication. Task Group 6.2: Connections.
MACHADO, C.P.
Consolos curtos e muito curtos de concreto armado. São Paulo, 1998.
Tese (Doutorado) – Escola Politécnica, Universidade de São Paulo.
MADARÁS, E.
Curso de concreto protendido. Apostila. Universidade Santa Cecília.
Departamento de Engenharia Civil. Santos, 1993.
MUNTE.
Manual Munte de Projetos Pré-fabricados. 2. ed. São Paulo: Editora Pini.
Ago/2007. 534 p.
NAWY, E. G. P.E.
Prestressed concrete. A Fundamental Approach – Second edition.
Editora: Prentice Hall – New Jersyl, 1996.
PCI DESING HANDBOOKS.
Precast and Prestressed Concrete. Chicago. 6º edição.
2001. 736 p.
SHIMONECK. J. Proprietário do escritório CTC – Projetos e Consultorias S/S. Arquiteto.
SILVA, I. MARTINS.
Análise da redistribuição de esforços em vigas de concreto
protendido com seções composta
. São Paulo, 2003. 72f. Dissertação (Mestre em
engenharia). Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. São Paulo.
SILVA, R. C; GIONGO, J. S.
Modelos de bielas e tirantes aplicados a estruturas de
concreto armado. Publicação EESC-USP. Escola de Engenharia de São Carlos. São Carlos,
SP. 2000.
Capítulo 10 – Referências bibliográficas
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
234
TATU.
Tatu Premoldados. Catálogos técnicos disponíveis no site: http://www.tatu.com.br/.
VASCONCELOS, A. C.
Manual prático para a correta utilização dos aços no concreto
protendido em obediência as normas atualizadas. Livros técnicos e científicos editoria S.
A. Companhia Siderúrgica Belgo-Mineira. Belo Horizonte, 1980.
VERÍSSIMO, G. S; JUNIOR, K. M. L. C.
Concreto protendido – perdas de protensão.
Viçosa: Universidade Federal de Viçosa, 1998. 39p. Apostila.
VERÍSSIMO, G. S; JUNIOR, K. M. L. C.
Concreto protendido – fundamentos básicos.
Viçosa: Universidade Federal de Viçosa, 1998. 72p. Apostila.
Anexo A
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
I
ANEXO A
1. Determinação do coeficiente de fluência e deformação do concreto por
retração.
O cálculo do coeficiente de fluência e deformação do concreto por retração
apresentados no capitulo 4 foram determinados através de uma planilha programada no Excel
(Figura 10-1). Abaixo são apresentadas as etapas dos cálculos para a determinação dos
coeficientes de fluência e retração, para a seção 01 com a idade t
0
de 15 dias do exemplo
numérico 01. As entradas no programa são apresentadas na figura abaixo.
Dados
Area da seção de concreto Ac
2700 cm²
Perimetro da seção em contato com o ar (U
ar
)
210 cm
Ambiente e material
Umida relativa do ar (U)
70 %
Temperatua média (T)
20 graus C
Abtimento do concreto (slamp)
9cm
Tipo do cimento utilizado
3
1 CPIII e IV 2 CPI e II 3 CPV-ARI
Idade do concreto
no inicio do perido considerado (t0)
15
no final do perido considerado (t)
10000
Resultados
Coeficiente de fluência
Ф(t,t0)
2,225
Retração do concreto
ε
cs ( t,t 0 )
-2,44E-04
Figura 10-1: Tela do programa de cálculo dos coeficientes de fluência e retração.
Deformação por retração do concreto
O valor de ε
1s
para U ≤ 90% e abatimento entre 0 e 4 cm são 25% menores e para
abatimento entre 10 cm e 15 cm são 25% maiores.
44
2
4
2
1
1022,310
1590
70
484
70
16,610
1590484
16,6
UU
s
Para U ≤ 90%
45,111
701,08,71,08,7
ee
U
Define-se espessura fictícia como o seguinte valor:
mcm
u
A
h
ar
c
fic
3728,0 28,37
210
27002
45,1
2
Anexo A
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
II
811,0
28,3738,20
28,37233
38,20
233
2
fic
fic
s
h
h
44
21
1061,2811,01022,3
sscs
Com mhh
fic
3728,0
.67,688,03958488169
;42,2558,649658575
;55,377,408,85,2
;03,408,4220282116
;40
234
23
3
23
hhhhE
hhhD
hhC
hhhB
A
Idade fictícia do concreto.
diast
T
t
diast
T
t
ficf
fic
1000010000
30
1020
1
30
10
1515
30
1020
1
30
10
0
0
,
,0
Sendo:

E
t
D
t
C
t
t
B
t
A
t
t
s
100100100
100100100
23
23
, tem-se:


0000,1
67,68
100
10000
42,255
100
10000
55,37
100
10000
100
10000
03,40
100
10000
40
100
10000
0696,0
67,68
100
15
42,255
100
15
55,37
100
15
100
15
03,40
100
15
40
100
15
23
23
.
23
23
.0
ficfs
fics
t
t
A deformação do concreto por retração é dada pela expressão abaixo:



44
15,10000
00
1044,20696,00000,11061,2
)()(),(
cs
sscscs
tttt
Anexo A
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
III
Coeficiente de fluência
A idade fictícia do concreto depende do tipo de cimento, com o cimento ARI o
coeficiente = 3.
diast
T
t
diast
T
t
ficf
fic
3000010000
30
1020
3
30
10
4515
30
1020
3
30
10
0
0
,
,0
O coeficiente φ
a
é função da resistência do concreto no tempo infinito e do tempo
t
0
. Quando a verificação se faz na data t
0
dias tem-se:
9294,0
15
28
120,0exp
28
1exp
2/1
2/1
0
1
t
s
, com:
s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV;
s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II;
s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI.
Se considerar o valor de t=
o valor t/
tenderá a zero e, portanto a expressão
anterior fica:

ss exp01exp
2/1
1
, que resulta em:
CPIII e IV com s = 0,38
4623,138,0exp
1
CPI e II com s = 0,25
2840,125,0exp
1
CPV-ARI com s = 0,20
2214,120,0exp
1
Com isso:
1913,0
2214,1
9294,0
18,0
)(
)(
18,0
0
tf
tf
c
c
a
O valor de φ
1s
para U ≤ 90% e abatimento entre 0 e 4 cm são 25% menores e para
abatimento entre 10 cm e 15 cm são 25% maiores.
Anexo A
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
IV
00,270035,045,4035,045,4
1
U
c
384,1
28,3720
28,3742
20
42
2
fic
fic
c
h
h
768,2384,100,2
21
ccf
4,0
d
998,0
704530000
204530000
70
20
0
0
tt
tt
d
Com mhh
fic
3728,0
;17,11062193135343319167579
;68,580183109013200
;00,7972332343060768
;70,28511358835042
23
23
23
23
hhhD
hhhC
hhhB
hhhA
Sendo:
DCtt
BAtt
t
f
2
2
)(
, tem-se:
9903,0
17,110623000068,58030000
00,7973000070,28530000
)(
3998,0
17,110624568,58045
00,7974570,28545
)(
2
2
,
2
2
,0
ficff
ficf
t
t
O coeficiente de fluência do concreto é dada pela expressão abaixo:


225,2998,04,03998,09903,0768,21913,0
)()(),(
15,10000
00
ddfffa
tttt
Novamente são calculados os coeficientes de fluência e retração, mas desta vez
para a seção 02, com o tipo de cimento CPII. Os dados de entrada do programa estão
apresentados na Figura 10-2.
Anexo A
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
V
Dados
Area da seção de concreto Ac
1365 cm²
Perimetro da seção em contato com o ar (U
ar
)
225 cm
Ambiente e material
Umida relativa do ar (U)
70 %
Temperatua média (T)
20 graus C
Abtimento do concreto (slamp)
9cm
Tipo do cimento utilizado
2
1 CPIII e IV 2 CPI e II 3 CPV-ARI
Idade do concreto
no inicio do perido considerado (t0)
45
no final do perido considerado (t)
10000
Resultados
Coeficiente de fluência
Ф(t,t0)
1,933
Retração do concreto
ε
cs ( t,t 0 )
-2,07E-04
Figura 10-2: Tela do programa de cálculo dos coeficientes de fluência e retração.
Deformação por retração do concreto
O valor de ε
1s
para U ≤ 90% e abatimento entre 0 e 4 cm são 25% menores e para
abatimento entre 10 cm e 15 cm são 25% maiores.
44
2
4
2
1
1022,310
1590
70
484
70
16,610
1590484
16,6
UU
s
Para U ≤ 90%
45,111
701,08,71,08,7
ee
U
Defini-se espessura fictícia como o seguinte valor:
mcm
u
A
h
ar
c
fic
1758,0 58,17
225
13652
45,1
2
927,0
58,1738,20
58,17233
38,20
233
2
fic
fic
s
h
h
44
21
1098,2927,01022,3
sscs
Com mhh
fic
1758,0
Anexo A
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
VI
.32,128,03958488169
;11,988,649658575
;17,397,408,85,2
;80,258,4220282116
;40
234
23
3
23
hhhhE
hhhD
hhC
hhhB
A
Idade fictícia do concreto.
diast
T
t
diast
T
t
ficf
fic
1000010000
30
1020
1
30
10
4545
30
1020
1
30
10
0
0
,
,0
Sendo:

E
t
D
t
C
t
t
B
t
A
t
t
s
100100100
100100100
23
23
, tem-se:


0000,1
32,12
100
10000
11,98
100
10000
17,39
100
10000
100
10000
80,25
100
10000
40
100
10000
3070,0
32,12
100
45
11,98
100
45
17,39
100
45
100
45
80,25
100
45
40
100
45
23
23
.
23
23
.0
ficfs
fics
t
t
A deformação do concreto por retração é dada pela expressão abaixo:



44
15,10000
00
1007,23070,00000,11098,2
)()(),(
cs
sscscs
tttt
Coeficiente de fluência
A idade fictícia do concreto depende do tipo de cimento, com o cimento CPII o
coeficiente = 2.
Anexo A
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
VII
diast
T
t
diast
T
t
ficf
fic
2000010000
30
1020
2
30
10
9045
30
1020
2
30
10
0
0
,
,0
O coeficiente φ
a
é função da resistência do concreto no tempo infinito e do tempo
t
0
. Quando a verificação se faz na data t
0
dias tem-se:
0542,1
45
28
125,0exp
28
1exp
2/1
2/1
0
1
t
s
, com:
s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV;
s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II;
s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI.
Se considerar o valor de t=
o valor t/
tenderá a zero e, portanto a expressão
anterior fica:

ss exp01exp
2/1
1
, que resulta em:
CPIII e IV com s = 0,38
4623,138,0exp
1
CPI e II com s = 0,25
2840,125,0exp
1
CPV-ARI com s = 0,20
2214,120,0exp
1
Com isso:
1431,0
2840,1
0542,1
18,0
)(
)(
18,0
0
tf
tf
c
c
a
O valor de φ
1s
para U ≤ 90% e abatimento entre 0 e 4 cm são 25% menores e para
abatimento entre 10 cm e 15 cm são 25% maiores.
00,270035,045,4035,045,4
1
U
c
585,1
58,1720
58,1742
20
42
2
fic
fic
c
h
h
Anexo A
Thiago Bindilatti Inforsato (2009)
VIII
170,3585,100,2
21
ccf
4,0
d
997,0
709020000
209020000
70
20
0
0
tt
tt
d
Com mhh
fic
1758,0
;38,7200193135343319167579
;99,373183109013200
;25,4552332343060768
;81,20511358835042
23
23
23
23
hhhD
hhhC
hhhB
hhhA
Sendo:
DCtt
BAtt
t
f
2
2
)(
, tem-se:
9917,0
38,72003000099,37330000
25,4553000081,20530000
)(
5531,0
38,72009099,37390
25,4559081,20590
)(
2
2
,
2
2
,0
ficff
ficf
t
t
O coeficiente de fluência do concreto é dado pela expressão abaixo:


933,1997,04,05531,09917,0170,31431,0
)()(),(
45,10000
00
ddfffa
tttt
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