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A exigência de que f, s, F, S, A sejam inteiros positivos maiores que 2, restringe
as soluções das equações como segue:
f = 3, 3, 4, 3, 5, 3, 6, 4,
s = 3, 4, 3, 5, 3, 6, 3, 4,
F = 4, 8, 6, 20, 12, ∞, ∞, ∞
S = 4, 6, 8, 12, 20, ∞, ∞, ∞
A = 6, 12, 12, 30, 30, ∞, ∞, ∞
Comentário: Lhuilier dá a definição de poliedros regulares, citando as pro-
priedades destes poliedros pelas quais são dividos, embora não use este termo. É a
partir deste matemático que a hipótese de Euler é então reformulada.
Exercício 4.41. Sabendo que as equações (1) e (2) são verdadeiras, e utilizando a
equação (3), verifique as equações (4), (5) e (6).
Exercício 4.42. Teste as combinações sugeridas por Lhuilier, e verifique se real-
mente serão possíveis somente as combinações propostas por ele.
Lhuilier afirma que existem apenas cinco sólidos regulares, ou seja, somente cinco
poliedros que possuem as características:
• Todas as faces possui o mesmo número de lados,
• Todos os ângulos sólidos possuem o mesmo número de arestas.
Observa também que a esfera pode ser considerada como um poliedro regular,
com um número infinito de faces infinitamente pequenas, que podem estar ligadas
por triângulos seis a seis, ou por hexágonos ligados três a três ou, finalmente, por
quadrados ligados quatro a quatro.