( PDF ) Análise de soluções por volumes finitos para convecção forçada em canais de trocadores de calor

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PGMEC

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

ESCOLA DE ENGENHARIA

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

ANÁLISE DE SOLUÇÕES POR

VOLUMES FINITOS PARA

CONVECÇÃO FORÇADA EM CANAIS

DE TROCADORES DE CALOR

DIANA NOGUEIRA

SETEMBRO DE 2009

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DIANA NOGUEIRA

ANÁLISE DE SOLUÇÕES POR VOLUMES

FINITOS PARA CONVECÇÃO FORÇADA EM

CANAIS DE TROCADORES DE CALOR

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

graduação em Engenharia Mecânica da UFF

como parte dos requisitos para a obtenção do tí-

tulo de Mestre em Ciências em Engenharia Me-

cânica

Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (PGMEC/UFF)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, SETEMBRO DE 2009

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ANÁLISE DE SOLUÇÕES POR VOLUMES

FINITOS PARA CONVECÇÃO FORÇADA EM

CANAIS DE TROCADORES DE CALOR

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma ﬁnal

pela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:

Leandro Alcoforado Sphaier (Ph.D.)

Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

(Orientador)

Maria Laura Martins Costa (D.Sc.)

Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Leonardo Santos de Brito Alves (Ph.D.)

Instituto Militar de Engenharia – IME

Agradecimentos

Primeiramente, gostaria de manifestar meus sinceros agradecimentos ao meu orien-

tador, o Professor Leandro Alcoforado Sphaier, por sua orientação, suporte e grande

contribuição, sem os quais a realização deste trabalho não teria sido possível.

Gostaria também de agradecer a Professora Maria Laura Martins Costa por seu

incentivo e motivação, desde que ingressei no programa de pós-graduação da Univer-

sidade Federal Fluminense.

Também gostaria de agradecer ao Professor Leonardo Santos de Brito Alves por

aceitar o convite para participar do comitê de julgamento deste trabalho.

Agradeço especialmente ao Rafael, meu marido e companheiro, por seu apoio, pela

compreensão com minha ausência durante os longos períodos de estudos e, por ﬁm,

por sua torcida para que eu obtivesse sucesso neste projeto.

Agradeço a minha família por me proporcionar as bases necessárias para que eu

chegasse até aqui, especialmente aos meus pais.

Aos meus colegas da Universidade Federal Fluminense, Marcos José Moraes e

Gilberto Risi, agradeço pelas varias vezes que abriram mão de seus ﬁns de semana e

feriados para estudarmos.

Resumo

Simulações computacionais têm um papel importante no projeto de trocadores de calor

e o estudo da convecção forçada em canais tem uma série de aplicações tanto em recu-

peradores como em regeneradores. Apesar da relevância para o projeto de trocadores,

a grande maioria de simulações, em geral, são baseadas em formulações simpliﬁca-

das, as quais utilizam valores constantes para o número de Nusselt. O problema é

que esta situação hipotética só é válida em regiões onde o escoamento é termicamente

desenvolvido; no entanto, existem diversas situações onde o escoamento não pode ser

tratado como tal. Neste contexto, o principal objetivo deste trabalho foi estudar a

convecção forçada em canais de placas paralelas sem considerar o escoamento termi-

camente desenvolvido. Para que a análise servisse para recuperadores e regeneradores,

ambos regimes permanente e transiente foram considerados. Para atingir este objetivo,

as equações de transporte foram resolvidas numericamente, utilizando o Método de

Volumes Finitos associado ao Método das Linhas. Grande parte do trabalho desen-

volvido foi focado na análise de diferentes estratégias de solução a ﬁm de determinar

a alternativa mais adequada para o problema. Os resultados obtidos foram suﬁcientes

para gerar uma ferramenta computacional robusta para o cálculo do número de Nusselt

em regiões em desenvolvimento térmico permanente e transiente. Esta ferramenta foi

utilizada para estudar o comportamento de Nusselt para diferentes números de Péclet,

e sua variação com a posição axial e o tempo foram determinadas para condições de

temperatura constante na parede. Os resultados mostraram que, para poder entender

completamente o comportamento de Nusselt em canais de trocadores, ainda existe a

necessidade de investigar o efeito de outras condições de aquecimento. Entretanto,

com a ferramenta computacional desenvolvida neste trabalho, a inclusão de diferentes

condições de aquecimento na parede poderão ser facilmente obtidas.

Palavras-chave: Trocador de Calor, Simulação Numérica, Volumes Finitos, Escoa-

mento Interno

Abstract

Numerical simulations play an important role in heat exchanger design and the study

of forced convection within channels have several applications in recuperators as well

as regenerators. In spite of the relevance of heat exchanger design, the majority of

simulations, in general, are based on simpliﬁed formulations, those of which employ

constant values for the Nusselt number. The problem with this hypothetical situation is

that it is only valid in regions wherein the ﬂow is thermally developed; however, there

are several circumstances under which the ﬂow cannot be treated as such. In this con-

text, the main objective of this work was to study the forced convection within parallel

plates channels without considering thermal development. In order to make the analy-

sis applicable to recuperators and regenerators, both steady-state and transient regimes

were considered. In order to achieve the proposed objective, the transport equations

were numerically solved by employing the Finite Volumes Method associated with the

Method of Lines. For the sake of determining the most adequate implementation alter-

native, a large amount of this work was focused on analyzing different solution stra-

tegies. The obtained results were sufﬁcient for producing a robust computational tool

for calculating Nusselt number in thermally developing regions of steady and transient

ﬂows. This tool was employed for studying the behavior of the Nusselt number for dif-

ferent Péclet numbers and its variation with axial position and time were determined

for isothermal wall conditions. The results showed that, in order to fully understand

the behavior of the Nusselt number in heat exchanger channels, there is still a need

for investigating other wall heating conditions. Nevertheless, with the computational

tool herein developed, the inclusion of different wall heating conditions can be easily

handled.

Key-words: Heat Exchanger, Numerical Simulation, Finite Volumes, Internal Flow

Sumário

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Aplicações de trocadores de calor recuperativos e regenerativos . . . . 2

1.2 Trocadores de calor recuperativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Trocadores de calor regenerativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Tipos de trocadores regenerativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1.1 Regenerador de matriz ﬁxa . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1.2 Regenerador rotativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1.3 Trocadores regenerativos com troca de calor latente . 13

1.4 Objetivo do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Modelagem do transporte em canais de trocadores de calor . . . . . . . 17

2.1.1 Equações de balanço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1.1 Balanço de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1.2 Balanço de momentum linear . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1.3 Simpliﬁcação para desenvolvimento hidrodinâmico . 19

2.1.2 Equações para escoamento em canais de placas paralelas . . . 19

2.2 Coeﬁciente convectivo e temperatura de mistura . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Condição de contorno na parede sólida . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1.1 Temperatura da parede constante . . . . . . . . . . . 21

vii

Sumário viii

2.3.1.2 Fluxo de calor constante . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1.3 Armazenamento de energia na parede sólida . . . . . 22

2.3.2 Condição de contorno na entrada do canal . . . . . . . . . . . . 24

2.3.3 Condição de contorno no centro do canal . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.4 Condição de contorno na saída do canal . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.4.1 Temperatura constante na parede do canal . . . . . . 25

2.3.4.2 Fluxo de calor constante na parede do canal . . . . . 27

2.3.4.3 Armazenamento de energia na parede sólida . . . . . 27

2.3.5 Condição inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Adimensionalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Variáveis adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Adimensionalização das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1 Equação da energia para o ﬂuido . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.2 Condição de contorno na parede . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.2.1 Temperatura constante na parede . . . . . . . . . . . 32

3.3.2.2 Armazenamento na parede . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.3 Condição de contorno na entrada do canal . . . . . . . . . . . . 34

3.3.4 Condição de contorno no centro do canal . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.5 Condição de contorno na saída do canal . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.5.1 Temperatura constante na parede . . . . . . . . . . . 34

3.3.5.2 Armazenamento de energia na parede . . . . . . . . . 35

3.3.6 Condição Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Discretização por Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1 Discretização bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1 Integração das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.2 Aproximação das integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.3 Regras de interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Sumário ix

4.1.4 Regras de interpolação para o acoplamento convecção-difusão 43

4.1.5 Condições de contorno nas coordenadas do MVF . . . . . . . . 45

4.1.5.1 Entrada do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.5.2 Saída do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.5.3 Centro do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.5.4 Parede do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.6 Equação para os volumes internos . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1.7 Equação para os volumes adjacentes ao centro do canal . . . . 49

4.1.8 Equação para os volumes adjacentes à parede do canal . . . . . 49

4.1.9 Equação para os volumes adjacentes à entrada do canal . . . . 49

4.1.10 Equação para os volumes adjacentes à saída do canal . . . . . . 50

4.1.11 Equação para os volumes adjacentes à parede e à entrada do

canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.12 Equação para o volume adjacente ao centro e à entrada do canal 51

4.1.13 Equação para os volumes adjacentes à parede e à saída do canal 51

4.1.14 Equação para o volume adjacente ao centro e à saída do canal . 52

4.1.15 Equações para a temperatura da parede . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Discretização unidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.1 Discretização transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.2 Discretização axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5. Implementação Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1 Soluções com discretização bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.1 Solução transiente: integração numérica . . . . . . . . . . . . . 58

5.1.2 Solução transiente: integração analítica . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.3 Solução em regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Solução permanente com discretização transversal apenas . . . . . . . 66

5.2.1 Solução com integração numérica em ξ . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.2 Solução numérica para Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2.3 Solução analítica com o método do tiro . . . . . . . . . . . . . . 68

Sumário x

5.2.4 Solução analítica para Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Solução com discretização axial apenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.1 Solução com integração numérica em η . . . . . . . . . . . . . 71

5.4 Cálculo de Nusset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5 Comentários ﬁnais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6. Validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.1 Solução analítica para slug-ﬂow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7. Resultados da solução permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.1 Análise de convergência da temperatura no escoamento . . . . . . . . . 82

7.2 Análise de convergência de Nusselt para CDS e HDS . . . . . . . . . . 91

7.2.1 Esquema de diferenças centradas – CDS . . . . . . . . . . . . . 91

7.2.2 Esquema híbrido – HDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.2.3 Análise da solução com Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . 99

7.3 Resultados para a discretização apenas longitudinal . . . . . . . . . . . 104

7.4 Análise da inﬂuência de ξ

max

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.4.1 Resultados com Péclet grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.4.2 Resultados para demais valores de Péclet . . . . . . . . . . . . . 108

7.5 Evolução de Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.6 Veriﬁcação da ordem do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8. Resultados para Regime Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.1 Análise de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.1.1 Número de Nusselt para Péclet grande e ξ

max

= 2 . . . . . . . . 135

8.1.2 Número de Nusselt para Péclet grande e ξ

max

= 1 . . . . . . . . 140

8.1.3 Número de Nusselt para Péclet 10 e ξ

max

= 1 . . . . . . . . . . 144

8.2 Evolução transiente da distribuição espacial de Nusselt . . . . . . . . . 148

9. Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Sumário xi

A. Demais resultados para regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

A.1 Slug-Flow com discretização bidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

A.2 Slug-Flow para Peclet grande com discretização bidirecional . . . . . . 163

A.3 Slug-Flow para Peclet grande com discretização em uma direção . . . 166

A.4 Resultados de temperatura para Péclet grande (CDS) . . . . . . . . . . 168

A.5 Resultados de Temperatura para HDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

B. Resultados de estudo preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Lista de Figuras

1.1 Economia de combustível devido ao preaquecimento do ar para a com-

bustão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Trocador recuperativo tipo duplo tubo. (a) Passse simples com esco-

amento em contra corrente; e (b) passe multiplo com escoamento em

contra corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Regenerador tipo válvula dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Aquecedor de ar regenerativo. Partes Principais: 1 Matriz estacionaria,

2 Proteção rotativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Regenerador rotativo. (a) Tipo disco e cilindro; (b) Arranjo ilustrativo

da matriz e (c) duas formas alternativas de regenerador rotativo tipo

disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Regenerador Rotativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Mini-canal de regeneradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Mini-canal de regeneradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Descrição de uma célula genérica bidimensional pelo metodo de volu-

mes ﬁnitos notação discretizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 mapa computacional das celulas para um mini-canal pelo metodo dos

volumes ﬁnitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1 Domínio computacional para um mini-canal. . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.1 Evolução do número de Nusselt com a posição axial para Pe

= 10 e

Péclet grande (tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2 Evolução do número de Nusselt com a posição axial para Pe

= 1 e

Péclet grande (tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.3 Evolução do número de Nusselt com a posição axial para Pe

= 0.1 e

Péclet grande (tracejado). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

xii

Lista de Figuras xiii

7.4 Evolução de Nusselt com a posição axial: Pe

= 10 (preto), Pe

= 1

(azul), Pe

= 0.1 (vermelho), Péclet grande (tracejado). . . . . . . . . . 114

7.5 Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre

diferentes valores de Péclet (escala menor). . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.6 Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre

diferentes valores de Péclet (escala menor ainda). . . . . . . . . . . . . 115

8.1 Variação transiente de Nusselt para Pe

grande. . . . . . . . . . . . . . 148

8.2 Variação transiente de Nusselt para Pe

= 10. . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.3 Variação transiente de Nusselt para Pe

= 1. . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.4 Variação transiente de Nusselt para Pe

= 0.1. . . . . . . . . . . . . . . 149

Lista de Tabelas

5.1 Transformação das coordenadas cardeais para o domínio computacional. 58

6.1 Número de Nusselt para slug-ﬂow, com Pe

= 10, discretização bidi-

recional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2 Número de Nusselt para slug-ﬂow, com Pe

= 1, discretização bidire-

cional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 Número de Nusselt para slug-ﬂow, com Pe

= 0.1, discretização bidi-

recional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.4 Número de Nusselt para slug-ﬂow, com número de Pe

grande, dis-

cretização em duas direções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.5 Número de Nusselt para slug-ﬂow com número de Pe

grande, discre-

tização em uma direção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.1 Temperatura com Pe

= 10 em η = 0.99 para discretização bidirecional

CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.2 Temperatura com Pe

= 10 em η = 0 para discretização bidirecional

CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3 Temperatura com Pe

= 1 em η = 0.99 para discretização bidirecional

CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.4 Temperatura com Pe

= 1 em η = 0 para discretização bidirecional CDS. 87

7.5 Temperatura com Pe

= 0.1 em η = 0.99 para discretização bidirecio-

nal CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.6 Temperatura com Pe

= 0.1 em η = 0 para discretização bidirecional

CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.7 Número de Nusselt com Pe

= 10 para discretização bidirecional CDS. 92

7.8 Número de Nusselt com Pe

= 1 para discretização bidirecional CDS. 93

7.9 Número de Nusselt com Pe

= 0.1 para discretização bidirecional CDS. 94

7.10 Valores do parâmetro α para o esquema HDS. . . . . . . . . . . . . . . 96

xiv

Lista de Tabelas xv

7.11 Número de Nusselt com Pe

= 10 para discretização bidirecional HDS. 97

7.12 Número de Nusselt com Pe

= 1 para discretização bidirecional HDS. 98

7.13 Número de Nusselt com Pe

grande e discretização bidirecional CDS. 100

7.14 Número de Nusselt com Pe

grande e discretização bidirecional HDS. 101

7.15 Tempo computacional para HDS e CDS para discretização bidirecional

em diferentes malhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.16 Número de Nusselt para Pe

grande e discretização bidirecional UDS. 103

7.17 Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas. . . . . . . . 104

7.18 Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas — solução

analítica com exponenciais de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.19 Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas com Péclet

grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.20 Número de Nusselt com Pe

grande com J = 400. . . . . . . . . . . . . 107

7.21 Número de Nusselt com Pe

grande com J = 800. . . . . . . . . . . . . 107

7.22 Número de Nusselt com Pe

= 10 com ∆ξ = 1/100 e J = 400. . . . . . . 108

7.23 Número de Nusselt com Pe

= 10 com ∆ξ = 1/200 e J = 400. . . . . . . 108

7.24 Número de Nusselt com Pe

= 1 com ∆ξ = 1/100 e J = 400. . . . . . . 109

7.25 Número de Nusselt com Pe

= 1 com ∆ξ = 1/200 e J = 400. . . . . . . 109

7.26 Número de Nusselt com Pe

= 0.1 com ∆ξ = 1/25 e J = 400. . . . . . . 110

7.27 Número de Nusselt com Pe

= 0.1 com ∆ξ = 1/50 e J = 400. . . . . . . 110

7.28 Número de Nusselt com Pe

= 0.1 com ∆ξ = 1/100 e J = 400. . . . . . 110

7.29 Número de Nusselt com Pe

= 0.1 com ∆ξ = 1/200 e J = 400. . . . . . 110

7.30 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Pe

= 10 - CDS. . . 117

7.31 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Pe

= 10 - CDS. . . 118

7.32 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Pe

= 1 - CDS. . . 119

7.33 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Pe

= 1 - CDS. . . 120

7.34 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Pe

= 0.1 - CDS. . 121

7.35 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Pe

= 0.1 - CDS. . 122

7.36 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Pe

= 10 - HDS. . . 123

Lista de Tabelas xvi

7.37 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Pe

= 10 - HDS. . . 124

7.38 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Pe

= 1 - HDS. . . 125

7.39 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Pe

= 1 - HDS. . . 126

7.40 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Peclet grande - CDS. 127

7.41 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Peclet grande - CDS. 128

7.42 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - HDS. 129

7.43 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - HDS. 130

7.44 Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - UDS. 131

7.45 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - UDS. 132

7.46 Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grande com

discretização em uma direção apenas- HDS. . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.1 Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 0.01. . . . . . . . . . . . . . 136

8.2 Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 0.1. . . . . . . . . . . . . . 137

8.3 Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 1. . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.4 Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 10. . . . . . . . . . . . . . . 139

8.5 Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 0.01 com ξ

max

= 1. . . . . . 140

8.6 Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 0.1 com ξ

max

= 1. . . . . . 141

8.7 Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 1 com ξ

max

= 1. . . . . . . 142

8.8 Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 10 com ξ

max

= 1. . . . . . . 143

8.9 Número de Nusselt para Pe

= 10 e τ

∗

= 0.01 com ξ

max

= 1. . . . . . . 144

8.10 Número de Nusselt para Pe

= 10 e τ

∗

= 0.1 com ξ

max

= 1. . . . . . . . 145

8.11 Número de Nusselt para Pe

= 10 e τ

∗

= 1 com ξ

max

= 1. . . . . . . . . 146

8.12 Número de Nusselt para Pe

= 10 e τ

∗

= 10 com ξ

max

= 1. . . . . . . . 147

A.1 Temperaturas para Slug-Flow com Pe

= 10, em η = 0.99, discretiza-

ção bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

A.2 Temperaturas para Slug-Flow com Pe

= 10, em η = 0, discretização

bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Lista de Tabelas xvii

A.3 Temperaturas para Slug-Flow com Pe

= 1, em η = 0.99, discretização

bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

A.4 Temperaturas para Slug-Flow com Pe

= 1, em η = 0, discretização

bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

A.5 Temperaturas para Slug-Flow com Pe

= 0.1 em η = 0.99, discretiza-

ção bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

A.6 Temperaturas para Slug-Flow com Pe

= 0.1, em η = 0, discretização

bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

A.7 Temperaturas para Slug-Flow em com número de Pe

grande, em η =

0.99, discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

A.8 Temperaturas para Slug-Flow com número de Pe

grande, em η = 0,

discretização bidirecional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

A.9 Temperaturas para Slug-Flow com número de Pe

grande, em η =

0.99, discretização em uma direção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

A.10 Temperaturas para Slug-Flow com número de Pe

grande, em η = 0,

discretização em uma direção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A.11 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de Pe

grande, em

η = 0.99, discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A.12 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de Pe

grande, em

η = 0, discretização bidirecional CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

A.13 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com Pe

= 10, em η = 0.99, dis-

cretização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

A.14 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com Pe

= 10, em η = 0, discre-

tização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

A.15 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com Pe

= 1, em η = 0.99, dis-

cretização bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

A.16 Temperaturas para Hagen-Poiseuille com Pe

= 1, em η = 0, discreti-

zação bidirecional, solução HDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

B.1 Valores das efetividades do regenerador rotativo para N

= 3. . . . . . 177

Lista de Tabelas xviii

B.2 Valores das efetividades do regenerador rotativo para N

= 5. . . . . . 177

B.3 Valores das efetividades do regenerador rotativo para N

= 10. . . . . . 177

B.4 Valores das efetividades do regenerador rotativo para N

= 50. . . . . . 178

Nomenclatura

A Área superﬁcial

Calor especiﬁco à pressão constante

Calor especiﬁco da perede sólida

H Distância entre as paredes do canal

h Coeﬁciente de transferência de calor por convecção

I Número de volumes na direção axial

J Número de volumes na direção transversal

k Condutividade térmica

Condutividade térmica de referência

L Dimensão caracteristica na direção x

m Massa e taxa de transferência de massa

p Pressão termodinâmica

P Perímetro do canal

x, y, z Coordenadas cartesianas

t Tempo

Tempo característico de referência

T Temperatura

Temperatura média de mistura

u Velocidade escalar na direção de x

u Velocidade escalar na direção de y

u Velocidade escalar na direção de z

u Velocidade escalar média na direção x

V Volume

W Largura do canal

xix

Nomenclatura xx

Vetores e tensores

n Vetor normal



Fluxo de calor por difusão

v Velocidade

Parâmetros Adimensionais

Bi Número de Biot

Taxa de de capacidade térmica da matriz

C taxa de capacidade térmica do ﬂuido

Fo Número de Fourier

K Fração de área entre a parede sólida e o canal

Número de unidades de transferência

Nu Número de Nusselt

Pe Número de Péclet

∗

Razão entre resistências térmicas de condução transversal

Símbolos Gregos

α Difusividade térmica

δ Espessura da parede sólida

Efetividade para transferência de massa

Efetividade para transferência de entalpia ou energia

η coordenada transversal adimensional

Θ temperatura adimensional

Temperatura adimensional discretizada

µ Viscosidade dinâmica

ν Viscosidade cinemática

ξ coordenada longitudinal adimensional

max

Comprimento adimensional máximo do canal

Nomenclatura xxi

τ tempo adimensional

Φ Função arbitrária

φ Função arbitrária

Subscritos

H Grandeza baseada no espaçamento entre as paredes do canal

in Refere-se a grandeza na entrada do canal

m Refere-se à grandeza média

out Refere-se a grandeza na saída do canal

s Refere-se a superfície sólida

0 Propriedade de referencia

∗ Quantidade adimensional

Capítulo 1

Introdução

O estudo da transferência de calor por convecção forçada em dutos e canais tem uma

série de importantes aplicações em engenharia. Provavelmente a mais importante des-

tas aplicações está relacionada ao projeto de trocadores de calor.

Diferentes tipos de trocadores de calor são utilizados de acordo com o tipo de

aplicação requerida, podendo haver uma grande variedade de opções. No entanto, as

aplicações práticas deste trabalho servirão principalmente para trocadores de contato

indireto onde não há mistura entre as correntes, com destaque para os utilizados com

a ﬁnalidade de recuperação de energia. Mesmo neste grupo restrito, ainda resta uma

variedade signiﬁcativa de trocadores de calor. De uma forma geral, estes podem ser

divididos, de acordo com forma que o calor é trocado, em recuperadores e regenera-

dores [1].

Devido à importância de trocadores de calor para indústria, diversos trabalhos so-

bre a formulação da transferência de calor em trocadores são encontrados na literatura.

Estudos antigos como [2–4] podem ser encontrados. Em especial, o trabalho de Chase

Jr. et al. [5] apresenta uma metodologia analítica simpliﬁcada para o cálculo de Nus-

selt em canais de regeneradores. Alguns estudos um pouco mais recentes são também

encontrados na literatura. Monte [6] estudou a resposta térmica cíclica de trocado-

res regenerativos de matrizes ﬁxas em escoamento contra-corrente. Saastamoinen [7]

estudou a transferência de calor em regeneradores estacionários de correntes cruza-

1. Introdução 2

das. Scofano-Neto e Cotta [8] utilizaram a técnica das equações integrais acopladas

para desenvolver uma formulação para trocadores de calor duplo tubo. Shen e Wo-

rek [9] estudaram o efeito da condução axial na matriz de regeneradores, propondo

em seguida, uma correlação trocadores regenerativos que levasse em consideração a

condução axial [10]. Em [11], os mesmos autores ﬁzeram uma otimização de regene-

radores acordo com a segunda lei da termodinâmica, incluindo os efeitos de condução

na matriz.

1.1 Aplicações de trocadores de calor recuperativos e

regenerativos

O drástico aumento dos preços da energia tornou a recuperação de calor mais atrativa

ao longo das últimas décadas. Os processos industriais são grandes consumidores

de energia e boa parte desta energia é desperdiçada nos gases de exaustão (gases de

combustão) à alta temperatura, na forma de calor. A recuperação do calor através

de trocadores de calor pode aumentar a eﬁciência da planta como um todo e serve

para reduzir a demanda nacional de energia e preservar as reservas de combustíveis

fósseis [12].

Várias aplicações para recuperação de calor podem ser citadas, tais como: a pro-

dução de vidro e cimento, a metalurgia primária e secundária, o processamento de pe-

tróleo, desumidiﬁcadores para aplicações em ar condicionado, processos de separação

criogênica, e em reatores químicos não catalíticos, processo de produção de acetileno

e etileno, motores de turbinas a gás veiculares para transporte primários ( locomotivas,

navios, aviões a turboélice), geração de vapor, etc.

Atualmente, o interesse nos regeneradores do tipo armazenador tem sido renovado

devido às suas aplicações em recuperação de calor, armazenamento de calor e proble-

mas relacionados a energia geral.

O objetivo desta seção é mostrar os vários tipos de regeneradores, os detalhes cons-

trutivos, o projeto térmico e mecânico. Além disso, alguns mecanismos para recupera-

ção de calor industrial e recuperação de calor residual são discutidos.

1. Introdução 3

• Princípio de regeneração

Por muitos anos, o princípio de regeneração tem sido aplicado para a recuperação

de energia, utilizando pré-aquecedores de ar em alto-fornos e geração de vapor.

A regeneração é alcançada forçando a passagem periódica e alternada de uma

corrente quente e uma corrente fria através de uma matriz. Durante o período

de escoamento da corrente quente, a matriz recebe energia dos gases quentes e

durante o escoamento da corrente fria, a matriz transfere a energia para os gases

frios, aquecendo-os. O ﬂuxo das duas correntes pode ser paralelo ou contra

corrente, entretanto, o ﬂuxo contra corrente é preferido por sua maior efetividade

térmica.

• Regeneração em ciclos termodinâmicos

A inclusão de um pré-aquecedor de ar em uma planta de geração de energia a

vapor aumenta a eﬁciência e o desempenho da planta. Regeneradores são usados

como desumidiﬁcadores para aplicações em ar condicionado, processos de se-

paração criogênica, e em reatores químicos não catalíticos, tais como o processo

Wisconsin para a ﬁxação de nitrogênio e processos de pirólise de hidrocarbone-

tos na produção de acetileno e etileno.

• Ciclo de turbina a gás com regeneração

Uma das áreas importantes na aplicação de regeneradores é em motores de tur-

binas a gás veiculares. Em 1950, iniciou-se uma intensa pesquisa sobre plantas

de geração de energia com turbinas a gás, que incluía regeneradores rotativos.

Regeneradores tipo cilindro e disco foram desenvolvidos pela General Motors

e outros fabricantes de motores de turbinas a gás. O programa de desenvolvi-

mento destas máquinas trouxe signiﬁcativos avanços em vários sentidos para a

tecnologia de regeneradores, tais como melhoria dos modelos, das superfícies de

transferência de calor da matriz, do projeto das selagens e dos materiais empre-

gados.

Uma planta simples de turbina a gás consiste apenas de um compressor e uma

1. Introdução 4

câmara de combustão, e a turbina têm a vantagem de ser mais leve e compacta.

Entretanto, é conhecida pelo alto consumo especíﬁco de combustível, quando

comparada com as modernas plantas de geração a vapor e motores de combus-

tão interna. A única melhoria na planta de turbina a gás, que dá um excelente

incremento na eﬁciência térmica da planta, é a adição de um regenerador para

transferir a energia térmica dos gases quentes exaustos da turbina para o ar admi-

tido no compressor, especialmente quando é empregado um conjunto de resfria-

dores intermediários durante a compressão. Esta melhoria resulta em um plano

de economia que é altamente desejável para alguns tipos de transporte primário,

tais como as locomotivas de turbinas a gás, navios com turbina a gás e os aviões

a turboélice.

• Aplicações em recuperação de calor residual

Substanciais ganhos na eﬁciência do combustível podem ser obtidos por recupe-

ração de calor contido nos gases de combustão, por estes três meios: processo

de aquecimento da carga (matéria-prima) , geração de vapor e preaquecimento

do ar para combustão.

O preaquecimento da carga é freqüentemente mais apropriado para fornos com

escoamento continuo contra-corrente. Aplicações para este método são freqüen-

temente limitados pelo grande espaço requerido e pelo alto custo de investi-

mento.

A geração de vapor é um meio efetivo de recuperação de calor quando a demanda

por vapor equivale à disponibilidade dos gases de combustão. Um método típico

de geração de vapor inclui um ciclo simples de recirculação forcada e recupera-

ção do calor dos gases exaustos com um economizador, conjugado ou não com

um superaquecedor.

O preaquecimento do ar para a combustão é o mais adaptável para sistemas de

recuperação de calor, porque requer modiﬁcações mínimas no sistema existente.

Este método aumenta a eﬁciência do sistema, e os preaquecedores do ar frio para

1. Introdução 5

a combustão reduzem a quantidade de combustível requerido.

Na ﬁgura 1.1 a economia teórica de combustível, devido ao preaquecimento do

ar para a combustão, é exibida em função de três parâmetros: temperatura dos

gases exaustos (gases da combustão), temperatura do ar preaquecido para com-

bustão e efetividade do preaquecedor.

Fig. 1.1: Economia de combustível devido ao preaquecimento do ar para a combustão.

1.2 Trocadores de calor recuperativos

O Recuperador é um tipo de trocador de calor de transferência direta onde os dois

ﬂuidos são separados por uma parede condutora, através da qual é feita a transferência

de calor. Os ﬂuidos escoam simultaneamente e permanecem separados. O recuperador

não tem partes móveis. Alguns exemplos de recuperadores de calor são os tubulares,

mostrados na ﬁgura 1.2, os de placas ﬁnas, e trocadores de superfície estendida [13].

Recuperadores de calor são usados quando os gases são limpos e não contaminados.

Os recuperadores têm algumas vantagens, tais como:

1. São de fácil construção.

1. Introdução 6

Fig. 1.2: Trocador recuperativo tipo duplo tubo. (a) Passse simples com escoamento

em contra corrente; e (b) passe multiplo com escoamento em contra corrente.

2. São de natureza estacionária.

3. Tem distribuição de temperatura uniforme e, portanto menor choque térmico.

4. Ausência de problemas de selagem.

Entretanto, seu uso é limitado pela resistência dos materiais à alta temperatura,

devido a radiação dos gases de combustão. Além disso, recuperadores são sujeitos

a degradação no desempenho de recuperação de calor pela sujeira proveniente dos

voláteis e resíduos (pó) gerados na combustão dos gases.

1.3 Trocadores de calor regenerativos

O regenerador consiste em uma matriz, através da qual a corrente quente e a cor-

rente fria escoam periódica e alternadamente. Primeiro o ﬂuido quente cede calor para

o regenerador. Depois, o ﬂuido frio escoa pela matriz através da mesma passagem,

recebendo o calor armazenado. Desta maneira, pela reversão regular, a matriz é alter-

nadamente exposta às correntes quente e fria, e as temperaturas do conjunto e do gás

1. Introdução 7

oscilam com o tempo, na mesma posição. Do ponto de vista da modelagem de transfe-

rência de calor, recuperadores podem ser tratados como estando operando em regime

permanente. Já em regeneradores, por mais que as correntes de processo que passam

pelo mesmo estejam trocando calor em regime permanente, localmente, o regime de

transferência de calor em um regenerador é transiente e periódico, visto que uma cor-

rente passa o calor para a matriz que em seguida passa o calor para a outra corrente na

segunda parte do ciclo.

1.3.1 Tipos de trocadores regenerativos

Visto que a matriz é alternadamente aquecida pelo ﬂuido quente e resfriada pelo ﬂuido

frio, a matriz deve permanecer estacionária e os gases podem passar através dela al-

ternadamente, ou a matriz deve girar entre as passagens dos gases quentes e dos gases

frios. Os regenerados podem ser classiﬁcados de acordo com esta condição em dois

tipos: Regenerador de Matriz Fixa ou Regenerador Rotativo.

1.3.1.1 Regenerador de matriz ﬁxa

O regenerador de matriz ﬁxa, ou tipo armazenador, é um mecanismo de transferência

de calor com escoamento periódico, com matriz de alta capacidade térmica, através

da qual a corrente de ﬂuido quente e a corrente de ﬂuido frio passam alternadamente.

Para alcançar o escoamento contínuo são necessárias pelo menos duas matrizes, como

mostrado na ﬁgura 1.3. O escoamento através das matrizes é controlado por vávulas.

De acordo com o número de matrizes empregadas o regenerador é classiﬁcado como

matriz simples ou matriz de válvula dupla. Inicialmente, enquanto a matriz A é aque-

cida pelo ﬂuido quente a matriz B é resfriada pelo ﬂuido frio. Depois de um intervalo

de tempo, as válvulas são operadas de forma a inverter o escoamento, então o ﬂuido

quente escoa pela matriz B transferindo calor para a mesma, enquanto o ﬂuido frio

escoa pela matriz A e é aquecido. A inversão do processo continua periodicamente.

Alguns exemplos de aplicações de trocadores de calor recuperativos são os preaquece-

dores de ar para combustível de auto-fornos, fornos para a indústria de vidro e fornos

1. Introdução 8

de núcleo aberto.

Fluido!Quente!

Fluido!Frio!

Matriz!

Fluido!Frio!

F1!

e!T

F2!

ʹ!Temperatura!do!Fluido!Frio,!na!entrada!e!na!saída!

Q1!!

e!T

Q2!

ʹ!Temperatura!do!Fluido!Quente,!na!entrada!e!na!saída!

Fig. 1.3: Regenerador tipo válvula dupla.

Abaixo são descritas algumas vantagens dos regeneradores de matriz ﬁxa:

1. Os materiais empregados na matriz não tem expansão térmica, portanto a tensão

térmica é baixa.

2. Este tipo de regenerador é facilmente montado, então os materiais da matriz

podem ser removidos para a limpeza e remontados.

3. Diferentemente dos recuperadores, a sujeira não reduz a capacidade de troca

térmica do regenerador, apenas aumenta a resistência ao escoamento (perda de

carga).

4. Ausência de problemas de selagem.

A maior desvantagem dos regeneradores de matriz ﬁxa é a complexidade e os cus-

tos associados com dispositivo de inversão do processo.

1. Introdução 9

1.3.1.2 Regenerador rotativo

O regenerador rotativo consiste em uma matriz rotativa, através da qual as correntes

de ﬂuido quente e frio escoam continuamente, como mostrado na ﬁgura 1.4. O re-

generador rotativo é também chamado de trocador de calor de escoamento periódico,

visto que uma parte da matriz, por causa da rotação continua é sempre exposta ao

escoamento regular e contínuo das correntes de ﬂuido quente e frio. O principio da

regeneração rotativa é alcançado por dois meios: o escoamento através da matriz é

revertido periodicamente pela rotação da mesma, ou a matriz é mantida estacionária

enquanto os dutos são girados continuamente.

Os regeneradores rotativos de escoamento periódico são caracterizados pelos se-

guintes fatores:

1. São mais compactos.

2. Os poros da matriz promovem uma longa e tortuosa passagem e portanto uma

grande área de contato durante o escoamento dos ﬂuidos.

3. Não há uma separação do escoamento com tubos ou placas, mas um sistema de

selagem para e evitar a mistura das correntes, devido ao diferencial de pressão.

4. A presença de partes móveis, em vez da abertura e fechamento das válvulas

existentes nos regeneradores de matriz ﬁxa.

5. Pode ser obtida alta efetividade, desde que a matriz possa ser aquecida a uma

temperatura próxima da temperatura dos gases de combustão.

6. Para alcançar uma efetividade muito alta, a capacidade térmica da matriz deve

ser grande, comparada à dos ﬂuidos de trabalho. Este requisito restringe o uso

de regeneradores exclusivamente a aplicações gasosas.

7. A selagem entre as correntes fria e quente são um problema. Vazamentos da

corrente fria a alta pressão para a corrente quente a baixa pressão podem ocorrer,

carreando parte do ﬂuido de uma corrente para a outra. Todavia, o problema de

vazamento é menor em desumidiﬁcadores para aplicações em ar condicionado.

1. Introdução 10

Fig. 1.4: Aquecedor de ar regenerativo. Partes Principais: 1 Matriz estacionaria, 2

Proteção rotativa.

8. Aplicação em altas temperaturas para serviços como turbinas a gás, fornos de

fusão e recuperação de calor em plantas de geração de energia a vapor.

9. Aplicações em médias pressões para turbinas a gás, e aplicações em baixas pres-

1. Introdução 11

sões para desumidiﬁcação e recuperação de calor residual.

10. Os regeneradores possuem características de auto-limpeza por causa do esco-

amento das correntes de gases quentes e frios em direções opostas periodica-

mente, através da mesma passagem.

11. Normalmente prevalece à condição de escoamento laminar, devido ao pequeno

diâmetro hidráulico.

Regeneradores rotativos são usados em turbinas a gás, fornos de processo em reﬁ-

narias de petróleo e como desumidﬁcadores em aplicações de ar condicionado.

Os dois tipos mais comuns de regeneradores rotativos são o tipo cilindro e o tipo

disco, como mostrado na ﬁgura 1.5. O regenerador com matriz tipo disco consiste de

placas metálicas ﬁnas, alternadas entre corrugadas e planas, montadas em torno de um

cubo central, ou de material cerâmico prensado em forma de disco. Em circunstân-

cias ideais sem má distribuição, o projeto com disco único é favorecido pelo menor

comprimento da selagem e menor vazamento pela selagem. O regenerador com matriz

tipo cilindro consiste de um material condutor de calor montado na forma de cilindro

oco. Os gases escoam radialmente através do cilindro. Os custos para a fabricação do

regenerador tipo cilindro são muito maiores, comparados ao regenerador tipo disco,

portanto o regenerador tipo cilindro não é utilizado em muitas aplicações.

A Figura 1.6 ilustra esquematicamente um trocador regenerativo. O rotor (ou ma-

triz rotativa) é ciclicamente exposto a duas correntes de processo. Estas correntes

chegam ao regenerador, separadas, através de dois dutos, portanto, dividindo o rege-

nerador em duas seções: uma para a corrente de processo I e a outra para a corrente

II. A matriz é composta por inúmeros mini-canais, paralelos ao eixo de rotação. Desta

forma, uma fração dos canais está exposta à corrente I enquanto a outra é exposta à cor-

rente II. Dependendo da corrente que chega a um canal em um determinado instante,

ele é dito estar no período de operação I ou II. Como a matriz gira constantemente,

a posição de cada canal na roda varia fazendo com que este seja alternado entre os

períodos I e II. Independente do período de operação do ﬂuido no canal, o mesmo é

1. Introdução 12

Fluido!

Frio!

Fluido!

Quente!

Saída!gás!

Resfriado!

Fluxo!Axial!

Fluxo!Radial!

Entrada!

gás!Frio!

Entrada!gás!

Quente!

Saída!gás!

Aquecido!

Saída!gá s!

Aquecido!

Entrada!

gás!

Quente!

Saída!

gás!Frio!

Entrada!

gás!Frio!

Matriz!estacionaria!

Proteção!

Rotativa!

Matriz!!!!!!

Rotativa!

Fig. 1.5: Regenerador rotativo. (a) Tipo disco e cilindro; (b) Arranjo ilustrativo da

matriz e (c) duas formas alternativas de regenerador rotativo tipo disco.

simplesmente referenciado como corrente de processo.

❅

✢

♣ ♣ ♣ ♣

seção I

✟

✟✙

seção II

✟

✟✯

Fig. 1.6: Regenerador Rotativo.

1. Introdução 13

Para simpliﬁcar a análise, a modelagem matemática do problema é feita conside-

rando o transporte de calor (e massa, no caso mais geral) em único canal, o qual é

alternado entre as correntes de processo I e II. Desta forma o canal pode ser analisado

de forma estacionária, desde que um sistema de coordenadas apropriado, ﬁxo a um

canal representativo seja escolhido. O ﬂuido de processo é ar úmido, ou seja, uma

mistura de ar e vapor d’água. As paredes de cada canal (parede sólida, na ﬁgura 2.1)

podem ser compostas por diferentes materiais, dependendo do tipo de trocador. No

caso de trocadores de calor sensível, materiais metálicos e ou cerâmicos são comu-

mente utilizados.

✲

✻

parede sólida

corrente de processo

parede sólida

y = H/2

y = H/2 + δ

Fig. 1.7: Mini-canal de regeneradores.

1.3.1.3 Trocadores regenerativos com troca de calor latente

Um caso especial de trocadores regenerativos é o de dispositivos capazes de proporci-

onar troca de calor sensível e latente entre duas correntes de processo. Estes trocadores

são denominados regeneradores de calor e massa, e tem se mostrado importantes em

diversas aplicações industriais envolvendo desumidiﬁcação e recuperação de energia.

A capacidade de trocar calor latente (associado à transferência de vapor d’água), é re-

sultado da utilização de materiais higroscópicos (adsorventes com alta aﬁnidade com

vapor d’água) na construção destes trocadores, que são comumente encontrados na

forma de rodas entálpicas (possuindo alta velocidade de rotação e baixa quantidade

de material adsorvente), ou rodas dessecantes (com baixa velocidade de rotação e alta

quantidade de adsorvente). Para projetar estes regeneradores de maneira eﬁciente, é

1. Introdução 14

necessário ter-se um bom entendimento da transferência de calor e massa acoplada

que ocorre durante a operação destes dispositivos.

Os mecanismos de transporte presentes em regeneradores de calor e massa, são

complexos, envolvem transferência calor e massa acoplada e adsorção física. Portanto,

vários estudos relacionados à simulação da transferência de calor e massa foram re-

alizados. Entre aplicações de regeneradores na forma de rodas entálpicas, devem-se

mencionar [14–17]. Tratando-se de rodas dessecantes, devem-se mencionar os estu-

dos [18–25]. Embora haja considerável pesquisa dedicada individualmente a rodas

dessecantes e rodas entálpicas, formulações uniﬁcadas válidas para ambos os tipos

de trocadores também foram propostas [26–34]. Apesar do número de formulações

propostas para o estudo da transferência de calor e massa, a grande maioria de estudos

baseia-se em modelos onde o escoamento através dos canais de regeneradores é tratado

de forma global (i.e. utilizando parâmetros concentrados) e coeﬁcientes convectivos

(para transferência de calor e massa

) constantes.

1.4 Objetivo do trabalho

A grande maioria de formulações para trocadores de calor (regenerativos ou recupera-

tivos), sejam estes trocadores de calor sensível apenas ou trocadores de calor sensível

e latente, em geral, são baseadas em formulações globais, utilizando velocidades, tem-

peraturas e concentrações médias na seção transversal ao escoamento. Além disto, os

coeﬁcientes convectivos utilizados são considerados constantes, o que só seria válido

em regiões onde o escoamento é completamente desenvolvido (momentum, tempera-

tura e concentração). Entretanto, existem diversas situações onde o escoamento não

pode ser tratado como completamente desenvolvido, e coeﬁcientes convectivos cons-

tantes não podem ser utilizados.

Em ﬂuidos com número de Prandtl altos (óleos por exemplo) a condição de de-

senvolvimento térmico é diﬁcilmente atingida em trocadores [35]. Em gases, esta

onde naturalmente a transferência de massa (na forma de vapor d’água) só ocorre no caso de rege-

neradores com materiais higroscópicos

1. Introdução 15

condição também não é atingida para baixos números de Reynolds. Desta forma, em

recuperadores, podem existir diversos casos onde coeﬁcientes de transferência de calor

por convecção não devem ser considerados constantes.

Em regeneradores, os ﬂuidos de processo são em geral gases, o que poderia per-

mitir a utilização de coeﬁcientes convectivos constantes, de acordo com a observação

acima, para valores de Reynolds não tão baixos. Todavia, neste tipo de trocadores

considerações adicionais devem ser observadas, sendo estas:

1. Não há uma condição de transferência de calor (e/ou massa) uniforme da parede

dos canais para o escoamento;

2. Regeneradores operam em um regime semi-estácionário, ou seja, periódicos, de

tal forma que haverá sempre uma dependência temporal no problema.

Desta forma, mesmo em trocadores regenerativos operando com valores de Reynolds

não tão baixos, não se deve automaticamente, assumir que a condição de desenvolvi-

mento térmico está satisfeita.

Neste contexto, o objetivo principal deste trabalho é estudar o problema da con-

vecção forçada em canais sem considerar o escoamento termicamente desenvolvido e

considerando regimes transiente e permanente. Para tal, as equações de transporte para

escoamento em dutos necessitam ser resolvidas. A solução do problema será abordada

de maneira numérica utilizando o Método de Volumes Finitos. A ﬁm de determinar

uma solução numérica mais adequada para o problema, grande parte do trabalho será

focada no desenvolvimento e avaliação de diferentes estratégias de soluções numéri-

cas, todas estas utilizando o MFV. Uma vez que diferentes soluções forem testadas,

o comportamento do coeﬁciente de transferência de calor por convecção adimensio-

nal (número de Nusselt) será avaliado para diferentes valores de Prandtl e Reynolds

(para simular a utilização de diferentes ﬂuidos e escoamentos). Ainda, serão consi-

deradas soluções em regime permanente (tendo aplicações em recuperadores) e em

regime transiente (tendo aplicação em regeneradores). Todavia, como gases em geral

são utilizados em regeneradores, apenas os casos relativos a escoamentos com este tipo

de ﬂuido (em geral com valores maiores de Péclet) são analisados.

1. Introdução 16

O desenvolvimento deste trabalho envolverá a produção de uma ferramenta capaz

de determinar a variação espacial e temporal do coeﬁciente de transferência de calor

por convecção em canais de trocadores de calor. Com esta será possível determinar se a

hipótese da utilização de coeﬁcientes convectivos constantes é válida, e em que condi-

ções esta poderia ser considerada. Ainda, esta ferramenta possibilitará, indiretamente,

comparar o impacto da utilização de coeﬁcientes convectivos variáveis e constantes

sobre os valores das efetividades de trocadores de calor.

Deve-se mencionar, que no início do desenvolvimento deste trabalho, um estudo

preliminar [36] que apenas considera a variação dos coeﬁcientes convectivos adimen-

sionais (Nusselt e Sherwood) na região de entrada do escoamento nos canais de um

regenerador de calor e massa foi conduzido.

Os resultados indicaram que a inﬂuência

dos comprimentos de entrada será relevante apenas para razões de aspecto fora do nor-

malmente encontrado em regeneradores rotativos. Todavia, este estudo não é capaz de

determinar se o escoamento é de fato termicamente desenvolvido (e conseqüentemente

se os coeﬁcientes convectivos serão constantes) após a região de entrada, tornando ne-

cessários os desenvolvimentos posteriores feitos nesta dissertação.

Resultados deste estudo podem ser encontrados no apêndice B

Capítulo 2

Formulação do Problema

Neste capítulo são deﬁnidas as hipóteses para o escoamento em canais de trocadores de

calor e a modelagem matemática do problema a partir do balanço de energia e balanço

de momentum. Também neste capítulo, são estabelecidas as condições de contorno e

condição inicial para o problema.

2.1 Modelagem do transporte em canais de trocadores de calor

2.1.1 Equações de balanço

Para a modelagem do problema de escoamento em canais de trocadores de calor, foram

consideradas as hipóteses a seguir:

• O ﬂuido de processo é newtoniano e o escoamento é laminar e incompressível;

• Não há geração de energia ou aquecimento por dissipação viscosa durante o

processo;

• Não há mudança de fase do ﬂuido de processo;

• A transferência de calor por radiação é desprezada;

• A variação de temperatura é tal que variações das propriedades termo-físicas do

2. Formulação do Problema 18

ﬂuido são pequenas. Desta foma, as propriedades termo-físicas serão considera-

das constantes;

• Os ﬂuidos considerados são gases ideais ou líquidos, com propriedades termofí-

sicas constantes;

• O escoamento é hidrodinamicamente desenvolvido

2.1.1.1 Balanço de energia

O balanço de energia, desprezando efeitos da compressibilidade, dissipação viscosa, e

geração de energia é dado por:

ρ c



∂T

∂t

+ v·∇T



+ ∇·



= 0 (2.1)

onde v = (u,v,w).

O ﬂuxo de calor é obtido a partir da Lei de Fourier:



= −k ∇T (2.2)

onde k é a condutividade térmica do ﬂuido. Substituindo, a equação da energia é

escrita na forma:

ρ c



∂T

∂t

+ v·∇T



= ∇·(k ∇T ) (2.3)

2.1.1.2 Balanço de momentum linear

O balanço de momentum linear é dado pelas equações de Navier-Stokes (escritas na

forma vetorial), considerando o escoamento incompressível e com viscosidade dinâ-

mica constante:



∂v

∂t

+ v·∇v



= − ∇p + µ∇

v (2.4)

2. Formulação do Problema 19

2.1.1.3 Simpliﬁcação para desenvolvimento hidrodinâmico

Como o problema envolve o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido em um

duto cilíndrico (de área transversal constante), a velocidade v só tem componente na

direção axial (u), e a equação de momentum é simpliﬁcada, fornecendo:

= µ∇

u, (2.5)

e as demais equações de conservação são simpliﬁcadas para:

∂u

∂x

= 0, (2.6)

ρ c



∂T

∂t

+ u

∂T

∂x



= ∇·(k ∇T ) (2.7)

2.1.2 Equações para escoamento em canais de placas paralelas

A ﬁgura (2.1) ilustra um mini-canal genérico de um trocador de calor, considerando as

hipóteses apresentadas anteriormente, onde o escoamento é simpliﬁcado para canais

de placas paralelas. O canal ilustrado na ﬁgura é simétrico.

✲

✻

parede sólida

corrente de processo

parede sólida

y = H/2

y = H/2 + δ

Fig. 2.1: Mini-canal de regeneradores.

As equações de balanço para o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido em

2. Formulação do Problema 20

coordenadas cartesianas são escritas na forma abaixo:

= µ



∂

∂y

∂

∂z



, (2.8)

ρc



∂T

∂t

+ u

∂T

∂x



∂

∂x



∂T

∂x



∂

∂y



∂T

∂y



∂

∂z



∂T

∂z



(2.9)

Em canais de placas paralelas, não há dependência em z:

= µ

, (2.10)

ρc



∂T

∂t

+ u

∂T

∂x



∂

∂x



∂T

∂x



∂

∂y



∂T

∂y



(2.11)

Considerando a condutividade térmica do ﬂuido constante, a equação (2.11) pode

ser simpliﬁcada para:

∂T

∂t

+ u

∂T

∂x

= α



∂

∂x

∂

∂y



(2.12)

Onde α é a difusividade térmica do ﬂuido.

A solução para a equação de momentum (2.10) é a tradicional forma de Hagen-

Poiseuille, que resulta no perﬁl de velocidade parabólico [37]:



1 −



H/2





, (2.13)

onde a velocidade média na seção transversal é dada por:

u =



u dA =



H/2

u dy (2.14)

2.2 Coeﬁciente convectivo e temperatura de mistura

O ﬂuxo de calor convectivo na interface entre o ﬂuido e a parede dos canais

é escrito

em função da Lei de Resfriamento de Newton:



s→ f

= h(T

− T

) = −



f →s

(2.15)

a seta indica o sentido do ﬂuxo de calor, sendo portanto



s→ f

o ﬂuxo da parede sólida para o ﬂuido.

2. Formulação do Problema 21

onde T

é a temperatura na parede, T

a temperatura média de mistrura e h o coeﬁci-

ente de transferência de calor por convecção, dado por:

h =



∂T

∂y



− T

(2.16)

A temperatura média de mistura para um escoamento incompressível entre placas

planas paralelas é dada por:

u A



T u dA =

u H



H/2

T u dy (2.17)

O número de Nusselt (baseado no diâmetro hidráulico), sendo uma forma adimen-

sional comumente utilizada para o coeﬁciente de transferência de calor por convecção,

é deﬁnido como:

Nu =

2 H h

(2.18)

onde 2 H é o diâmetro hidráulico para canais de placas paralelas.

2.3 Condições de contorno

2.3.1 Condição de contorno na parede sólida

Existem três possibilidades para esta condição de contorno, descritas a seguir.

2.3.1.1 Temperatura da parede constante

A temperatura na parede sólida T

é conhecida e considerada constante para este caso.

T (x, H/2, t) = T

(2.19)

2. Formulação do Problema 22

2.3.1.2 Fluxo de calor constante

O ﬂuxo de calor fornecido para o ﬂuido pelas paredes solidas ,



é conhecido e cons-

tante ao longo do canal.



∂T

∂y



y=H/2



(2.20)

2.3.1.3 Armazenamento de energia na parede sólida

Esta condição de contorno será relevantes para trocadores de calor regenerativos. Nesta,

o ﬂuxo de calor



f →s

deve ser determinado de uma balanço de energia na parede só-

lida.



∂T

∂y



y=H/2

= −



f →s

(2.21)

Balanço de energia na parede sólida

O balanço de energia na parede sólida é feito em um volume inﬁnitesimal, onde a taxa

de calor que entra, menos a taxa de calor que sai, equivale à taxa de variação da energia

do volume considerado, resultando na equação abaixo:

(



−



x+dx

) + dA

(



f →s

) = ρ

∂T

∂t

dV (2.22)

Utilizando uma Série de Taylor, tem-se:

(



−



x+dx

) = −

∂



∂x

dx + · · · (2.23)

onde os termos de ordem superior foram desprezados.

Pela Lei de Fourier:



= −k

∂T

∂x

(2.24)

Sabe-se também que:

dV = A

dx = δW dx (2.25)

= P

dx = 2W dx (2.26)

2. Formulação do Problema 23

onde W é a largura do canal, P

é o perímetro do canal e δ é a espessura da parede do

canal.

Substituindo na equação (2.22), obtém-se a equação da energia para a temperatura

constante na parede:

∂T

∂t

= k

∂

∂x

(



f →s

) (2.27)

Introduzindo a difusividade térmica da parede sólida:

(2.28)

Obtém-se:

∂T

∂t

∂

∂x

δk

(



f →s

) (2.29)

Condição de contorno resultante

Pela equação (2.29), o ﬂuxo de calor



f →s

é dado por:



f →s

δk



∂T

∂t

−

∂

∂x



(2.30)

desta forma



∂T

∂y



y=H/2

= −

δk



∂T

∂t

−

∂

∂x



(2.31)

Reconhecendo que a temperatura do ﬂuido na parede (em y = H/2) tem que ser

igual à temperatura do sólido, tem-se:

∂T

∂y

δk



∂

∂x

−

∂T

∂t



(2.32)

Lembrando que as equações acima são válidas para y = H/2.

2. Formulação do Problema 24

2.3.2 Condição de contorno na entrada do canal

Na entrada do canal a condição de contorno é dada pela temperatura de entrada (T

T (0, y, t) = T

(2.33)

2.3.3 Condição de contorno no centro do canal

Devido a condição de simetria, a derivada da temperatura no centro do canal é nula.



∂T

∂y



y=0

= 0 (2.34)

2.3.4 Condição de contorno na saída do canal

Assumindo que a condição de desenvolvimento térmico é atingida em uma posição

longe da entrada do canal, tem-se:

∂

∂x



T − T

− T



= 0, x > x

, (2.35)

onde x

é o comprimento de entrada térmica, e T

é a temperatura da parede, dada

por:

= T (x, H/2, t) (2.36)

Para a saída do canal, considerando a condição de desenvolvimento térmico, serão

consideradas três possibilidades para as condições de contorno, as quais dependem da

condição de aquecimento na parede dos canais (em y = H/2).

Para obter a condição de contorno na saída do canal, faz-se um balanço de energia

em regime permanente, para depois estender a análise para o regime transiente:

−



f →s

dx = ρ c

u A

(2.37)

Sabe-se que:

= H W (2.38)

2. Formulação do Problema 25

= 2W (2.39)

Substituindo-se na equação (2.37), tem-se:

ρ c

u H W dT

= −



f →s

2W dx (2.40)

Rearrumando:

= −



f →s

ρ c

u H

(2.41)

Introduzindo a difusividade térmica do ﬂuido:

α =

ρ c

(2.42)

Obtém-se a equação:

= −

2α



f →s

u H

(2.43)

2.3.4.1 Temperatura constante na parede do canal

Para a temperatura constante na parede do canal, tem-se:

= T

(2.44)

Considerando a condição de desenvolvimento térmico:

∂

∂x



T − T

− T



= 0, para x > x

(2.45)

resultando em:

∂T

∂x



− T



−



T − T

− T

)



= 0, para x > x

(2.46)

Desta forma, para a região termicamente desenvolvida, tem-se:

∂T

∂x



T − T

− T



, para x > x

(2.47)

2. Formulação do Problema 26

Para temperatura constante na parede, o ﬂuxo de calor na parede é dado por:



f →s

= h (T

− T

) (2.48)

Substituindo na equação (2.43), tem-se:

= −

2αh

u H

− T

), (2.49)

Substituindo na equação (2.47), obtem-se a condição de contorno na saída, para o caso

com temperatura constante na parede do canal:

∂T

∂x

= −

2αh

u H

(T − T

), para x > x

(2.50)

A solução para a equação (2.49) fornece uma exponencial negativa:

(x) − T

= (T

− T

)exp



−

2α

0−x

u H



(2.51)

onde

0−x

é o coeﬁciente de transferência de calor médio da entrada até uma posição

x qualquer. Como

0−x

é constante na região termicamente desenvolvida, ﬁca claro

que, em regime permanente, T

→ T

para x → ∞. Em regime transiente, como ini-

cialmente o ﬂuido encontra-se à mesma temperatura da parede, a condição T

→ T

ocorrerá para valores de x menores que o limite considerado. Em outras palavras, se

for considerado que T

≈ T

para um valor grande de x, o caso mais crítico para esta

aproximação é o regime permanente.

Considerando a aproximação anterior T

≈ T

, a condição na parede pode ser sim-

pliﬁcada para:

∂T

∂x

≈ 0, para x > x

(2.52)

onde o valor para a aproximação será exato para x  x

, ou seja:

∂T

∂x

= 0, para x → ∞ (2.53)

2. Formulação do Problema 27

2.3.4.2 Fluxo de calor constante na parede do canal

Para o ﬂuxo de calor constante na parede do canal (para região termicamente desen-

volvida), tem-se:

− T

= ct e, para x > x

(2.54)

o que implica em:

, para x > x

(2.55)

∂

∂x



T − T

− T





∂T

∂x

−

∂T

∂x



− T

= 0 (2.56)

resultando em:

∂T

∂x

(2.57)

Sabe-se que o ﬂuxo de calor na interface do canal é dado por:

−



f →s



s→ f



(2.58)

Substituindo na equação de balanço de energia para o ﬂuido (2.43), tem-se:

2α



u H

, (2.59)

obtém-se a condição de contorno na saída, para o ﬂuxo de calor constante na parede

do canal:

∂T

∂x

2α



u H

= ct e, para x > x

(2.60)

2.3.4.3 Armazenamento de energia na parede sólida

Para a condição de armazenamento de calor na parede sólida, a condição de saída se

assemelha à condição utilizada para o caso com temperatura constante na parede, con-

tudo, como a temperatura da parede também varia com o escoamento, se aproximando

da temperatura do ﬂuido à medida que x cresce, a consideração de uma derivada axial

nula é mais adequada que no caso com temperatura constante na parede. Todavia, para

2. Formulação do Problema 28

este caso, não existirá uma condição de desenvolvimento térmico, como nos casos tra-

dicionais de ﬂuxo e temperatura constante. Apesar disto, pode-se considerar, para um

valor razoavelmente grande de x, que a derivada axial é desprezível. Ou seja:



∂T

∂x



x  0

≈ 0, (2.61)

A aproximação anterior torna-se exata para o caso assintótico:



∂T

∂x



x → ∞

= 0, (2.62)

2.3.5 Condição inicial

A temperatura inicial é conhecida e constante:

T (x, y,0) = T

(2.63)

Capítulo 3

Adimensionalização

Neste capítulo é feita a adimensionalização das equações obtidas no capítulo anterior,

a ﬁm de facilitar a solução numérica e a analise do problema. Também são adimensi-

onalizadas as condições de contorno e condição inicial. Para isto, previamente, serão

deﬁnidos os parâmetros adimensionais e as variáveis dependentes e independentes uti-

lizadas na adimensionalização das equações.

3.1 Parâmetros adimensionais

O número de Nusselt, baseado no espaçamento entre as placas, é deﬁnido em termos

do coeﬁciente de transferência de calor por convecção (h), e da condutividade térmica

do ﬂuido:

h H

, (3.1)

O número de Fourier é deﬁnido em termos da espessura da principal direção de

condução de calor (H/2), do tempo ﬁnal (t

) e da difusividade térmica do ﬂuido (α):

Fo =

α t

(H/2)

(3.2)

O número de Péclet baseado no espaçamento H, é deﬁnido em termos da veloci-

3. Adimensionalização 30

dade média (

u) e da difusividade térmica do ﬂuido:

u H

(3.3)

O número de Fourier para a parede sólida é similar ao do ﬂuido, porém a espessura

e a difusividade térmica consideradas são as do sólido:

(δ/2)

(3.4)

e o número de Biot é deﬁnido em termos do coeﬁciente de transferência de calor por

convecção, e da espessura e condutividade térmica da parede sólida:

Bi =

h (δ/2)

(3.5)

A fração de área transversal entre a parede sólida e o canal (área de escoamento) é

dada por:

K =

(3.6)

e a razão entre as resistências térmicas de condução na direção transversal é deﬁnida

como:

∗

k (δ/2)

(H/2)

= 2

(3.7)

3.2 Variáveis adimensionais

As variáveis independentes são as dimensões nos eixos longitudinal e transversal e o

tempo:

η =

H/2

, ξ =

, τ =

(3.8)

onde L é escrito em termos do número de Péclet baseado no espaçamento entre as

placas:

L =

, (3.9)

3. Adimensionalização 31

Desta forma as seguintes relações podem ser escritas:

y = η

, x = ξL, t = τ t

(3.10)

A única variável dependente é a temperatura do ﬂuido, adimensionalizada por:

Θ =

T − T

min

max

− T

min

, (3.11)

Consequentemente, e a temperatura média de mistura, e as temperaturas inicial e de

entrada são adimensionalizadas por:

− T

min

max

− T

min

, (3.12)

− T

min

max

− T

min

, (3.13)

− T

min

max

− T

min

, (3.14)

Onde, naturalmente, se a temperatura mínima for T

então Θ

= 0, e se a temperatura

máxima for T

então Θ

= 1, e assim por diante.

Com a adimensionalização utilizada, as seguintes relações podem ser escritas:

T = [Θ (T

max

− T

min

) + T

min

], T

= [Θ

max

− T

min

) + T

min

] (3.15)

Lembrando que T

min

e T

max

são constantes e que a temperatura média T

foi deﬁnida

pela equação (2.17).

3.3 Adimensionalização das equações

Nesta seção as equações governantes, incluindo as condições de contorno são adimen-

sionalizadas.

3.3.1 Equação da energia para o ﬂuido

Substituindo as variáveis dependentes na equação (2.12), tem-se:

3. Adimensionalização 32

∂Θ

∂t

+ u

∂Θ

∂x

= α



∂

∂x

∂

∂y



(3.16)

Em seguida, substituindo as variáveis independentes tem-se a equação de energia

adimensionalizada:

∂Θ

∂τ

+ u

∗

∂Θ

∂ξ

∂

∂ξ

(H/2)

∂

∂η

(3.17)

onde a velocidade adimensional é dada por:

∗



1 − η



, (3.18)

Rearrumando, obtém-se:

(H/2)

α t

∂Θ

∂τ

(H/2)

∗

∂Θ

∂ξ

(H/2)

∂

∂ξ

∂

∂η

(3.19)

Finalmente, introduzindo a deﬁnição dos parâmetros adimensionais chega-se à

forma:

−1

∂Θ

∂τ

∗

∂Θ

∂ξ

= Pe

−2

∂

∂ξ

∂

∂η

(3.20)

3.3.2 Condição de contorno na parede

Este seção descreve as diferentes possibilidades (de acordo com as diferentes condi-

ções de aquecimento) de condição de contorno na parede, isto é, na interface entre o

ﬂuido e a parede dos canais, η = 1.

3.3.2.1 Temperatura constante na parede

Para esta condição de contorno tem-se:

Θ(ξ,1,τ) = Θ

(3.21)

3. Adimensionalização 33

3.3.2.2 Armazenamento na parede

Substituindo as variaveis dependentes na equação (2.32), tem-se:

∂Θ

∂y

δk



∂

∂x

−

∂Θ

∂t



(3.22)

Em seguida, substituindo as variáveis independentes

(H/2)

∂Θ

∂η

δk



∂

∂ξ

−

∂Θ

∂τ



(3.23)

e rearrumando, tem-se:

k (δ/2)

(H/2)

∂Θ

∂η

(δ/2)

∂

∂ξ

−

(δ/2)

∂Θ

∂τ

(3.24)

Introduzindo os parâmetros adimensionais:

k (δ/2)

(H/2)

∂Θ

∂η

−2

∂

∂ξ

− Fo

−1

∂Θ

∂τ

(3.25)

chega-se a forma ﬁnal da condição de contorno para o caso com armazenamento de

energia na parede sólida:

∗

∂Θ

∂η

= K

−2

∂

∂ξ

− Fo

−1

∂Θ

∂τ

(3.26)

lembrando que esta condição de contorno é válida em η = 1. Neste ponto vale comen-

tar a equação anterior. Enquanto o segundo termo do lado direito desta representa o

armazenamento de energia na parede, o primeiro termo representa a condução axial

na parede. Note portanto que para casos com K

−2

∗

 1 a condução na parede

poderia ser desprezada.

3. Adimensionalização 34

3.3.3 Condição de contorno na entrada do canal

Na entrada do canal, conforme já visto, a temperatura é conhecida, e a condição de

contorno adimensionalizada é dada por:

Θ(0,η,τ) = Θ

(3.27)

3.3.4 Condição de contorno no centro do canal

No centro do canal, devido à simetria, a seguinte derivada da temperatura é nula:



∂Θ

∂η



η=0

= 0 (3.28)

3.3.5 Condição de contorno na saída do canal

A condição de contorno na saída do canal dependerá da condição imposta na parede

(η = 1). Independente da condição na saída, uma forma generalizada é utilizada:



∂Θ

∂ξ



= Φ, para ξ > ξ

(3.29)

onde Φ = Φ(η,τ) pode assumir valores diferentes, dependendo da condição imposta na

parede. A seguir os valores de Φ são determinados para as diferentes possibilidades de

aquecimento na parede.

3.3.5.1 Temperatura constante na parede

Para a temperatura constante na parede, a condição de contorno na saída do canal é

dada pela equação (2.50):

∂T

∂x

= −

2αh

∗

(T − T

), para x > x

Introduzindo as variáveis adimensionais na equação (2.50) e rearrumando, obtém-

3. Adimensionalização 35

se:

∆T

∂Θ

∂ξ

− 2L αh (Θ − Θ

)

u H

∆T, para ξ > ξ

(3.30)

e como L é escrito em função do número de Péclet, tem-se

∂Θ

∂ξ

− 2(H/2)Pe

αh (Θ − Θ

)

u H

, para ξ > ξ

(3.31)

Introduzindo a deﬁnição dos número de Nusselt e número de Péclet, obtém-se:

∂Θ

∂ξ

= − 2Nu

(Θ − Θ

), para ξ > ξ

(3.32)

Desta forma:

Φ = − 2 Nu

(Θ − Θ

) (3.33)

Como para x → ∞ a derivada axial tende a zero, de acordo com a equação (2.53),

pode-se escrever:

∂Θ

∂ξ

= 0, para ξ → ∞ (3.34)

ou seja,

Φ = 0, para ξ → ∞ (3.35)

3.3.5.2 Armazenamento de energia na parede

Para a condição de armazenamento de calor na parede, a condição de contorno na

saída do canal é dada pelas equações (2.61, 2.62). Adimensionalizando estas equações,

chega-se a:



∂Θ

∂ξ



ξ> ξ

≈ 0,



∂Θ

∂ξ



ξ→ ∞

= 0, (3.36)

3.3.6 Condição Inicial

A condição inicial também é adimensionalizada, fornecendo:

Θ(ξ,η,0) = Θ

. (3.37)

Capítulo 4

Discretização por Volumes Finitos

A proposta deste trabalho é resolver as equações de transporte deﬁnidas anteriormente,

utilizando o método de volumes ﬁnitos. Para isso, neste capítulo é feita a discretização

bidirecional e unidirecional (transversal e axial) do problema, considerando os regimes

permanente e transiente. Inicialmente as equações são discretizadas para fornecer uma

equação genérica, válida para todos os volumes do canal. Em seguida, a equação é

particularizada para cada volume do canal, considerando suas respectivas condições de

contorno e condição inicial. As formas de aquecimento consideradas são a temperatura

constante e o armazenamento de energia na parede.

O sistema a ser resolvido na forma adimensional, é dado por:

• Equação de energia admensionalizada para o ﬂuido (3.20):

−1

∂Θ

∂τ

∗

∂Θ

∂ξ

= Pe

−2

∂

∂ξ

∂

∂η

• Perﬁl de velocidade do ﬂuido admensionalizado:

∗



1 − η



• Bem como Condições de Contorno e Condições iniciais.

4. Discretização por Volumes Finitos 37

4.1 Discretização bidirecional

A discretização do problema é feita utilizando o método dos volumes ﬁnitos. Para

localização dos volumes na malha, será usado o sistema de coordenadas conforme

indicado na ﬁgura 4.1.

✉

r r

P EW

Fig. 4.1: Descrição de uma célula genérica bidimensional pelo metodo de volumes

ﬁnitos notação discretizada.

Onde:

• P - É o centro do volume analizado, sendo P = P(ξ,η).

• N (Norte) - É o centro do volume imediatamente acima do volume analizado;

• S (Sul) - É o centro do volume imediatamente abaixo do volume analizado;

• E (Leste) - É o centro do volume imediatamente a direita do volume analizado;

• W (Oeste) - É o centro do volume imediatamente a esquerda do volume anali-

zado;

4.1.1 Integração das equações

A equação (3.20) pode ser reescrita na forma conservativa:

−1

∂Θ

∂τ

∂

∂ξ



∗



= Pe

−2

∂

∂ξ

∂

∂η

(4.1)

4. Discretização por Volumes Finitos 38

Integrando no volume, tem-se:





−1

∂Θ

∂τ

∂

∂ξ



∗





dξdη =





−2

∂

∂ξ

∂

∂η



dξdη (4.2)

Onde:

= η

∆η

, η

= η

−

∆η

, ξ

= ξ

∆ξ

, ξ

= ξ

−

∆ξ

(4.3)

4.1.2 Aproximação das integrais

Para aproximar os termos da equação (4.2) avaliados nas faces do volume central, as

seguintes aproximações de segunda ordem são utilizadas:

• Primeiro Termo da Equação

O primeiro termo da equação é escrito na forma:





−1

∂Θ

∂τ



dξdη = Fo

−1

dτ





Θ dξdη



(4.4)

Utilizando uma aproximação de segunda ordem [38]:



Θ dξdη ≈ Θ ∆η∆ξ (4.5)

A equação (4.4) é reescrita na forma:





−1

∂Θ

∂τ



dξdη ≈ Fo

−1

dΘ

dτ

∆η∆ξ (4.6)

• Segundo Termo da Equação

O segundo termo da equação pode ser escrito como:





∂

∂ξ



∗





dξdη =



∗

Θ)



dη =





∗

Θ)



− (u

∗

Θ)





dη (4.7)

4. Discretização por Volumes Finitos 39

Onde:

∗

Θ)



= (u

∗

Θ)

, (u

∗

Θ)



= (u

∗

Θ)

(4.8)

Utilizando uma aproximação de segunda ordem em η:





∗

Θ)



− (u

∗

Θ)





dη ≈



∗

Θ)

− (u

∗

Θ)



∆η (4.9)

A equação (4.7) é reescrita na forma:





∂

∂ξ



∗





dξdη ≈



∗

Θ)

− (u

∗

Θ)



∆η (4.10)

• Terceiro Termo da Equação

O terceiro termo da equação pode ser escrito como:



−2



∂

∂ξ



dξdη = Pe

−2





∂Θ

∂ξ



dη =

= Pe

−2





∂Θ

∂ξ





−



∂Θ

∂ξ







dη (4.11)

Onde:



∂Θ

∂ξ







∂Θ

∂ξ





∂Θ

∂ξ







∂Θ

∂ξ



(4.12)

Utilizando uma aproximação de segunda ordem em η:





∂Θ

∂ξ





−



∂Θ

∂ξ







dη ≈



∂Θ

∂ξ



−



∂Θ

∂ξ





∆η (4.13)

A equação (4.11) é reescrita na forma:



−2



∂

∂ξ



dξdη ≈ Pe

−2

∆η



∂Θ

∂ξ



−



∂Θ

∂ξ





(4.14)

• Quarto Termo da Equação

4. Discretização por Volumes Finitos 40

O quarto termo da equação pode ser escrito como:





∂

∂η



dξdη =





∂

∂η



dηdξ =





∂Θ

∂η



dξ =





∂Θ

∂η





−



∂Θ

∂η







dξ (4.15)

Onde:



∂Θ

∂η







∂Θ

∂η





∂Θ

∂η







∂Θ

∂η



(4.16)

Utilizando uma aproximação de segunda ordem:





∂Θ

∂η





−



∂Θ

∂η







dξ ≈



∂Θ

∂η



−



∂Θ

∂η





∆ξ (4.17)

A equação (4.15) é reescrita na forma:





∂

∂η



dξdη ≈



∂Θ

∂η



−



∂Θ

∂η





∆ξ (4.18)

Substituindo as aproximações para as integrais na equação (4.1):



−1

dΘ

dτ

∆η∆ξ





∆η



∗

Θ)

− (u

∗

Θ)







−2

∆η



∂Θ

∂ξ



−



∂Θ

∂ξ







∆ξ



∂Θ

∂η



−



∂Θ

∂η





(4.19)

e dividindo por ∆ξ∆η tem-se a equação de energia integrada em um volume ﬁnito com

as aproximações integrais substituídas:

−1

dΘ

dτ

2∆ξ



∗

Θ)

− (u

∗

Θ)



= Pe

−2

∆ξ



∂Θ

∂ξ



−



∂Θ

∂ξ





∆η



∂Θ

∂η



−



∂Θ

∂η





(4.20)

4. Discretização por Volumes Finitos 41

Todavia, como a velocidade não varia na direção axial pode-se simpliﬁcar a equação

anterior para:

−1

dΘ

dτ

∗

2∆ξ



− Θ



= Pe

−2

∆ξ



∂Θ

∂ξ



−



∂Θ

∂ξ





∆η



∂Θ

∂η



−



∂Θ

∂η





(4.21)

onde u

∗

é o perﬁl de velocidade discretizado. Esta equação é valida para todos os

pontos do mini-canal, conforme ilustrado na ﬁgura 4.2.

η = 1

η = 0

Fluido

Parede do Canal

· · · · · ·

1 32

54 6

97 8

Fig. 4.2: mapa computacional das celulas para um mini-canal pelo metodo dos volu-

mes ﬁnitos.

Onde os números da ﬁgura representam os seguintes volumes:

• 1 - Volume adjacente à entrada e ao centro do canal;

• 2 - Volumes adjacentes ao centro do canal;

• 3 - Volume adjacente à saída e ao centro do canal;

• 4 - Volumes adjacentes à entrada do canal;

• 5 - Volumes internos do canal;

• 6 - Volumes adjacentes à saída do canal;

• 7 - Volume adjacente à entrada e à interface da parede do canal;

4. Discretização por Volumes Finitos 42

• 8 - Volumes adjacentes à interface da parede do canal;

• 9 - Volume adjacente à saída e à interface da parede do canal;

4.1.3 Regras de interpolação

Para aproximar os termos difusivos (derivadas de segunda ordem) avaliados nas fa-

ces do volume central, as seguintes aproximações centradas de segunda ordem, são

utilizadas:



∂Θ

∂η



≈

− Θ

∆η

(4.22)



∂Θ

∂η



≈

− Θ

∆η

(4.23)



∂Θ

∂ξ



≈

− Θ

∆ξ

(4.24)



∂Θ

∂ξ



≈

− Θ

∆ξ

(4.25)

Para calcular quantidades nas faces do volume ﬁnito em termos de pontos cen-

trais, e vice-versa, também utilizam-se as seguintes regras de interpolação de segunda

ordem:

(f )

≈



(f )

+ (f )



≈



(f )

+ (f )



(4.26)

(f )

≈



(f )

+ (f )



(4.27)

(f )

≈



(f )

+ (f )



(4.28)

(f )

≈



(f )

+ (f )



(4.29)

(f )

≈



(f )

+ (f )



(4.30)

Utilizando as relações anteriores, diferenças atrasadas e avançadas podem ser escritas

4. Discretização por Volumes Finitos 43

para determinar quantidades no contorno em função de pontos internos apenas:

(f )

≈ 2 (f )

− (f )

≈



3(f )

− (f )



(4.31)

(f )

≈ 2 (f )

− (f )

≈



3(f )

− (f )



(4.32)

(f )

≈ 2 (f )

− (f )

≈



3(f )

− (f )



(4.33)

(f )

≈ 2 (f )

− (f )

≈



3(f )

− (f )



(4.34)

Relações para calcular pontos no centro de volumes adjacentes em relação a pontos

no volume considerado também podem ser escritas:

(f )

≈ 2 (f )

− (f )

(4.35)

(f )

≈ 2 (f )

− (f )

(4.36)

(f )

≈ 2 (f )

− (f )

(4.37)

(f )

≈ 2 (f )

− (f )

(4.38)

4.1.4 Regras de interpolação para o acoplamento convecção-difusão

Para aproximar a primeira derivada axial, pode-se utilizar o esquema de diferenças

centradas (CDS):

≈



+ Θ



(4.39)

≈



+ Θ



(4.40)

Todavia, enquanto esta aproximação é bastante apropriada para termos difusivos, ela

pode levar a certas instabilidades numéricas em termos convectivos. Para remediar tal

problema existe a opção de aproximar a derivada convectiva utilizando um esquema

upwind (UDS), que leva em consideração o sentido da velocidade:

≈ Θ

e Θ

≈ Θ

, para u

∗

> 0 (4.41)

≈ Θ

e Θ

≈ Θ

, para u

∗

< 0 (4.42)

4. Discretização por Volumes Finitos 44

Uma desvantagem do esquema acima é que este introduz difusão numérica, levando a

resultados errôneos, especialmente em malhas pouco reﬁnadas. Uma forma de evitar as

instabilidades trazidas pelos esquema CDS e minimizar a difusão numérica introduzida

pelo UDS, é a de combinar as duas aproximações, chegando a um esquema híbrido:

≈ Θ

+ ω



− Θ



(4.43)

≈ Θ

+ ω



− Θ



(4.44)

onde o parâmetro ω dita o tipo de mistura de CDS com UDS utilizada, seguindo a

regra abaixo:

0 ≤ ω ≤ 1/2, para u

∗

> 0 (4.45)

1/2 ≤ ω ≤ 1, para u

∗

< 0 (4.46)

Desta forma, quando ω = 1/2 o esquema CDS é obtido, e quando ω = 0 ou ω = 1 o

esquema upwind é obtido. Como o esquema híbrido é uma combinação de UDS e

CDS a ordem este esquema é superlinear, ou seja, entre 1 e 2.

O parâmetro ω é extraído da solução analítica para o problema linear de difusão-

convecção na direção axial apenas [39]

∗

dΘ

dξ

= Pe

−2

dξ

(4.47)

cuja solução fornece:

Θ = c

+ c

exp



/2(ξ − ξ

)



(4.48)

Com isto, as relações Θ(ξ

) = Θ

, Θ(ξ

) = Θ

e Θ(ξ

) = Θ

levam ao seguinte valor

para o parâmetro ω:

ω =

exp



∗



− 1

exp



∗



− 1

(4.49)

4. Discretização por Volumes Finitos 45

Os limites anteriores são atingidos para u

∗

= 0 (resultando em ω = 1/2) e u

∗

→

±∞ (resultando em ω = 0 para u

∗

> 0 e ω = 1 para u

∗

= 1). Desta forma para valo-

res grandes de u

∗

(onde convecção é predominante) um esquema de diferenças

upwind será utilizado, enquanto para valores pequenos de u

∗

o esquema de di-

ferenças centrais será utilizado. Levando em consideração que u

∗

varia com η, o

parâmetro ω também irá variar verticalmente, contemplando localmente a razão entre

os efeitos convectivos e difusivos.

De uma forma geral a derivada convectiva é escrita como:

∆ξ



∗

Θ)

− (u

∗

Θ)



∗

∆ξ



− Θ



= u

∗

∆Θ

∆ξ

(4.50)

onde ∆Θ

será determinado da aproximação híbrida dada pelas equações (4.43) e

(4.44). Para pontos em volumes fora do contorno em ξ esta aproximação resulta em:

∆Θ

∆ξ

≈

∆ξ



ωΘ

+ (1 − 2 ω)Θ

− (1 − ω) Θ



(4.51)

para volumes adjacentes à entrada ou saída do canal as condições de contorno devem

ser utilizadas.

4.1.5 Condições de contorno nas coordenadas do MVF

4.1.5.1 Entrada do canal

A condição de contorno para a entrada do canal (ξ = 0) é dada pela equação (3.27), a

qual é escrita em termos das coordenadas do MVF como:

= Θ

(4.52)

Utilizando as regras de interpolação a derivada axial na entrada do canal pode ser

escrita em relação à temperatura de entrada:



∂Θ

∂ξ



≈

− Θ

∆ξ

= ≈

− (2Θ

− Θ

)

∆ξ

≈ 2

− Θ

∆ξ

(4.53)

4. Discretização por Volumes Finitos 46

No entanto, para determinar a derivada convectiva, o esquema híbrido UDS-CDS, dado

pela equação (4.43) é utilizado, levando à:

∆Θ

∆ξ

≈

∆ξ



ωΘ

+ (1 − ω) Θ

− Θ



(4.54)

4.1.5.2 Saída do canal

Para especiﬁcar uma condição de contorno para a saída, foi necessário estipular que

esta estivesse localizada a uma posição além da entrada térmica (ou ξ  0 em geral).

Foi visto também que para uma posição suﬁcientemente grande uma condição de de-

rivada nula de temperatura acaba sendo atingida. Para especiﬁcar a saída do canal de

uma maneira geral, é estipulado que a saída estará localizada em uma posição ξ = ξ

max

Naturalmente, este valor deve ser escolhido de forma que a uma variação em ξ

max

não

altere a solução. A condição de contorno em ξ = ξ

max

é dada pela equação (3.29), que

em coordenadas do MVF é:



∂Θ

∂ξ



= Φ

(4.55)

Utilizando a condição de contorno acima, pode-se escrever:

≈ Θ

+ ∆ξΦ

(4.56)

Utilizando as regras de interpolação é possível determinar a temperatura para o

ponto de saída:

≈ 2 Θ

− Θ

≈ 2 Θ

−

(Θ

+ Θ

) =

3Θ

− Θ

(4.57)

Entretanto, a derivada convectiva, é determinada utilizando a equação (4.44), junto

com a condição de contorno acima, levando a:

∆Θ

∆ξ

(1 − ω)(Θ

− Θ

) + ωΦ

(4.58)

Observando a equação acima, ﬁca claro que para posições onde a convecção é domi-

4. Discretização por Volumes Finitos 47

nante (ω ≈ 0) a condição de saída não tem inﬂuência sobre o problema.

4.1.5.3 Centro do canal

No centro do canal (η = 0), devido a condição de simetria, a derivada da temperatura é

nula, conforme equação (3.28), desta forma tem-se:



∂Θ

∂η



= 0 (4.59)

A temperatura na posição central pode ser calculada utilizando as regras de interpola-

ção:

≈ 2 Θ

− Θ

≈ 2 Θ

−

(Θ

+ Θ

) =

3Θ

− Θ

(4.60)

4.1.5.4 Parede do canal

Utilizando as regras de interpolação a derivada transversal na parede pode ser escrita

em relação à temperatura da parede na forma:



∂Θ

∂η



≈

− Θ

∆η

≈

(2Θ

− Θ

) − Θ

∆η

≈ 2

− Θ

∆η

(4.61)

O valor de Θ

irá depender da condição de contorno aplicada na parede sólida. Para

parede isotérmica, tem-se

= Θ

(4.62)

e a equação (4.61) é facilmente modiﬁcada.

Para armazenamento de calor na parede, a derivada da temperatura é dada em fun-

ção da equação de armazenamento de energia na parade admensionalizada, conforme

a equação (3.26), que em termos das coordenadas do MVF é escrita como:



∂Θ

∂η



η=η

∗



−2

∂

∂ξ

− Fo

−1

∂Θ

∂τ



η=η

(4.63)

4. Discretização por Volumes Finitos 48

Integrando em ξ:





∂Θ

∂η



η=η

dξ =

∗



−2



∂Θ

∂ξ



−



∂Θ

∂ξ





− Fo

−1





∂Θ

∂τ



dξ



η=η

(4.64)

e utilizando aproximações de segunda ordem para as integrais:



∂Θ

∂η



∆ξR

∗



−2



∂Θ

∂ξ



−



∂Θ

∂ξ





−

∗



−1



∂Θ

∂τ





(4.65)

Para este caso, a temperatura na coordenada n é uma incógnita, e portanto, modiﬁca-se

a notação da última equação, escrevendo:



∂Θ

∂η



∆ξR

∗



−2



∂Θ

∂ξ



−



∂Θ

∂ξ





−

∗

−1

∂Θ

∂τ

(4.66)

onde Θ

é a incógnita a ser determinada. Introduzindo a equação (4.61) e rearrumando,

chega-se à seguinte equação para Θ

−1

∂Θ

∂τ

= −2 R

∗

− Θ

∆η

−2

∆ξ



∂Θ

∂ξ



−



∂Θ

∂ξ



(4.67)

onde, para determinar as derivadas axiais de Θ

nas faces e e w utiliza-se as regras de

interpolação, e as condições de contorno na entrada e saída, quando necessárias.

4.1.6 Equação para os volumes internos

Os volumes internos do canal são representados pelo número 5 na ﬁgura (4.2). Substi-

tuindo as regras de interpolação na equação (4.21) tem-se a equação discretizada para

os volumes internos do canal:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2

− 2Θ

+ Θ

∆ξ

− 2Θ

+ Θ

∆η

(4.68)

onde ∆Θ

é dado pela equação (4.51), fornencendo:

∆Θ

≈ ω Θ

+ (1 − 2 ω)Θ

− (1 − ω) Θ

(4.69)

4. Discretização por Volumes Finitos 49

4.1.7 Equação para os volumes adjacentes ao centro do canal

Os volumes adjacentes ao centro canal são representados pelo número 2 na ﬁgura 4.2.

Substituindo as regras de interpolação, a condição de contorno e na equação (4.21),

obtém-se a equação discretizada para os volumes adjacentes ao centro do canal:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2

− 2Θ

+ Θ

∆ξ

− Θ

∆η

(4.70)

com ∆Θ

sendo dado pela equação (4.69).

4.1.8 Equação para os volumes adjacentes à parede do canal

São todos os volumes adjacentes à interface entre o ﬂuido e a parede sólida do canal,

e que não estejam na entrada ou na saída do canal, representados pelo número 8 na

ﬁgura 4.2. Para estes volumes, pontos acima de n não estão disponíveis, de modo que

a derivada transversal é dada pela equação (4.61). Utilizando esta relação e as demais

regras de interpolação na equação (4.21) fornece:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2

− 2Θ

+ Θ

∆ξ

2Θ

− 3Θ

− Θ

∆η

(4.71)

onde ∆Θ

é dado pela equação (4.69).

4.1.9 Equação para os volumes adjacentes à entrada do canal

Os volumes adjacentes à entrada do canal são todos os volumes representados pelo

número 4 na ﬁgura 4.2. Substituindo as regras de interpolação e a condição de contorno

(4.53) na equação (4.21), chega-se à equação discretizada para os volumes da entrada

do canal:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2

+ 2Θ

− 3Θ

∆ξ

− 2Θ

+ Θ

∆η

(4.72)

4. Discretização por Volumes Finitos 50

onde ∆Θ

é dado pela equação (4.54), que fornece:

∆Θ

= ω Θ

+ (1 − ω) Θ

− Θ

(4.73)

4.1.10 Equação para os volumes adjacentes à saída do canal

Os volumes adjacentes à saída do canal são todos os volumes representados pelo nú-

mero 6 na ﬁgura 4.2. Para estes volumes, pontos à direita de e não estão disponíveis, e

portanto a equação (4.21) é escrita utilizando as regras de interpolação apenas para as

faces n, s e w:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2



∆ξ



∂Θ

∂ξ



−

− Θ

∆ξ



− 2Θ

+ Θ

∆η

(4.74)

A condição de contorno (4.55) é substituída, resultando em:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2



∆ξ

−

− Θ

∆ξ



− 2Θ

+ Θ

∆η

(4.75)

onde ∆Θ

é dado pela equação (4.58), resultando em:

∆Θ

= (1 − ω)(Θ

− Θ

) + ωΦ

∆ξ (4.76)

4.1.11 Equação para os volumes adjacentes à parede e à entrada do canal

O volume adjacente à interface da parede e à entrada do canal é volume representado

pelo número 7 mostrado na ﬁgura 4.2. Tomando a equação (4.21) e substituindo as

regras de interpolação para as faces e e s obtém-se:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2

∆ξ



− Θ

∆ξ

−



∂Θ

∂ξ





∆η



∂Θ

∂η



−

− Θ

∆η



(4.77)

4. Discretização por Volumes Finitos 51

Substituindo as equações das condições de contorno (4.53) e (4.61) obtém-se a equação

discretizada para o volume adjacente à interface da parede e à entrada do canal:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2

− 3Θ

+ 2Θ

∆ξ

2Θ

− 3Θ

− Θ

∆η

(4.78)

onde ∆Θ

é dado pela equação (4.73).

4.1.12 Equação para o volume adjacente ao centro e à entrada do canal

O volume adjacente ao centro e à entrada do canal é o volume 1, mostrado na ﬁgura

4.2. Utilizando a equação (4.21) com as regras de interpolação substituídas apenas

para as faces e e n obtém-se:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2

∆ξ



− Θ

∆ξ

−



∂Θ

∂ξ





∆η



− Θ

∆η

−



∂Θ

∂η





(4.79)

Substituindo as condições de contorno (4.53) e (4.59), tem-se a equação discretizada

para o volume adjacente ao centro e à entrada do canal:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2

+ 2Θ

− 3Θ

∆ξ

− Θ

∆η

(4.80)

onde ∆Θ

é dado pela equação (4.73).

4.1.13 Equação para os volumes adjacentes à parede e à saída do canal

O volume adjacente à parede e à saída do canal é o volume 9 mostrado na ﬁgura 4.2.

Tomando a equação (4.21) com as regras de interpolação substituídas apenas para as

faces w e s chega-se a:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2

∆ξ



∂Θ

∂ξ



−

− Θ

∆ξ



∆η



∂Θ

∂η



−

− Θ

∆η



(4.81)

4. Discretização por Volumes Finitos 52

Substituindo as equações das condições de contorno (4.55) e (4.61) obtém-se a equação

discretizada para o volume adjacente à interface da parede e à saída do canal:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2



∆ξ

−

− Θ

∆ξ



2Θ

− 3Θ

− Θ

∆η

(4.82)

onde ∆Θ

é dado pela equação (4.76).

4.1.14 Equação para o volume adjacente ao centro e à saída do canal

O volume adjacente ao centro e à saída do canal é dado pelo volume 3 mostrado na

ﬁgura 4.2. Utilizando a equação (4.21) substituindo as regras de interpolação apenas

para as faces w e n chega-se a:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2

∆ξ



∂Θ

∂ξ



−

− Θ

∆ξ



∆η



− Θ

∆η

−



∂Θ

∂η





(4.83)

Substituindo as condições de contorno (4.55) e (4.59), tem-se a equação discreti-

zada para os volumes adjacentes ao centro e à saída do canal:

−1

dΘ

dτ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2



∆ξ

−

− Θ

∆ξ



− Θ

∆η

(4.84)

onde ∆Θ

é dado pela equação (4.76).

4.1.15 Equações para a temperatura da parede

Para a condição de temperatura constante na parede Θ

é sempre conhecido, sendo

dado por pela condição de contorno (4.62). Agora, quando há armazenamento de

energia na parede, Θ

irá variar, e a equação (4.67) é utilizada. Para volumes que

não envolvam a entrada ou saída do canal, a equação para a temperatura da parede é

dada por:

−1

dΘ

dτ

= −2 R

∗

− Θ

∆η

−2

∆ξ

(

− 2Θ

+ Θ

)

(4.85)

4. Discretização por Volumes Finitos 53

Para volumes adjacentes à entrada do canal, a equação para a temperatura da parede

é dada pela interpolação (4.61), fornecendo:

−1

dΘ

dτ

= −2 R

∗

− Θ

∆η

−2

∆ξ

(

− 3Θ

+ 2Θ

)

(4.86)

Para volumes da parede adjacentes à saída do canal, utiliza-se uma condição de

contorno de derivada nula que resulta em:

−1

dΘ

dτ

= −2 R

∗

− Θ

∆η

−2

∆ξ

(

− Θ

)

(4.87)

4.2 Discretização unidirecional

4.2.1 Discretização transversal

Se apenas a direção transversal (η) for discretizada, as equações resultantes são bem

mais simples, como apresentado nesta seção. A equação (3.20) é integrada em um

volume de controle de altura ∆η:

−1

∂

∂τ



Θ dη +

∂

∂ξ



∗

Θ) dη = Pe

−2

∂

∂ξ



Θ dη +



∂Θ

∂η





. (4.88)

Então, utilizando as aproximações para integrais e regras de interpolação de segunda

ordem, como discutido na discretização bidirecional, chega-se à seguinte equação:

−1

∂Θ

∂τ

∗

∂Θ

∂ξ

= Pe

−2

∂

∂ξ

− 2Θ

+ Θ

∆η

, (4.89)

válida para volumes não conectados com o contorno em η (isto é, o centro do canal e

a parede). Para o volume adjacente ao centro do canal (η = 0), tem-se:

−1

∂Θ

∂τ

∗

∂Θ

∂ξ

= Pe

−2

∂

∂ξ

− Θ

∆η

, (4.90)

4. Discretização por Volumes Finitos 54

enquanto para o volume adjacente à parede (η = 1), têm-se:

−1

∂Θ

∂τ

∗

∂Θ

∂ξ

= Pe

−2

∂

∂ξ

2Θ

− 3Θ

+ Θ

∆η

, (4.91)

A condição inicial é dada por:

(ξ,0) = Θ

(4.92)

e as condições de contorno são dadas por:

(0,τ) = Θ



∂Θ

∂ξ



ξ=ξ

max

= Φ (4.93)

Para regime permanente, as três equações anteriores tomam a seguinte forma:

∗



= Pe

−2



− 2Θ

+ Θ

∆η

, (4.94)

∗



= Pe

−2



− Θ

∆η

, (4.95)

∗



= Pe

−2



2Θ

− 3Θ

+ Θ

∆η

(4.96)

onde Θ



e Θ



representam as derivadas dΘ/dξ e d

Θ/dξ

. A condição de contorno de

armazenamento de energia na parede é uma condição transiente, portanto, para regime

permanente considera-se apenas a condição de temperatura constante na parede, onde

= Θ

4.2.2 Discretização axial

Se apenas a direção axial (ξ) for discretizada, as equações resultantes são bem mais

simples. A equação (3.20) é integrada em um volume de controle de altura ∆ξ:

−1

∂

∂τ



Θ dξ +



∗





= Pe

−2



∂Θ

∂ξ





∂

∂η



Θ dξ (4.97)

4. Discretização por Volumes Finitos 55

Em seguida, utilizando as aproximações para integrais e regras de interpolação de se-

gunda ordem, como discutido na discretização bidirecional, chega-se à equação:

−1

∂Θ

∂τ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2

− 2Θ

+ Θ

∆ξ

∂

∂η

, (4.98)

∆Θ

= α Θ

+ (1 − 2 α)Θ

− (1 − α) Θ

(4.99)

válida para volumes não conectados com o contorno em ξ (isto é, a entrada e a saída).

Para o volume adjacente à entrada do canal (ξ = 0), tem-se:

−1

∂Θ

∂τ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2

+ 2Θ

− 3Θ

∆ξ

∂

∂η

, (4.100)

∆Θ

= α Θ

+ (1 − α) Θ

− Θ

(4.101)

enquanto para o volume adjacente à saída (ξ = ξ

max

), têm-se:

−1

∂Θ

∂τ

∗

∆Θ

∆ξ

= Pe

−2



∆ξ

−

− Θ

∆ξ



∂

∂η

, (4.102)

∆Θ

= (1 − α)(Θ

− Θ

) + αΦ

∆ξ (4.103)

A condição inicial é dada por:

(η,0) = Θ

(4.104)

e as condições de contorno são dadas por:



∂Θ

∂η



η=0

= 0, Θ

(1,τ) = Θ

(4.105)

Para temperatura constante na parede, Θ

é conhecida. Todavia, para armazena-

mento de energia na parede a temperatura na parede deve ser calculada das equações

4. Discretização por Volumes Finitos 56

discretizadas para a parede:

−1

∂Θ

∂τ

= −R

∗



∂Θ

∂η



η=1

−2

∆ξ

(

− 2Θ

+ Θ

)

(4.106)

−1

∂Θ

∂τ

= −R

∗



∂Θ

∂η



η=1

−2

∆ξ

(

− 3Θ

+ 2Θ

)

(4.107)

−1

∂Θ

∂τ

= −R

∗



∂Θ

∂η



η=1

−2

∆ξ

(

− Θ

)

(4.108)

válidas para volumes internos (não adjacentes à entrada e saída), volumes na entrada,

e volumes na saída, respectivamente.

Para regime permanente apenas a condição de temperatura constante na parede é

considerada e as equações discretizadas para o ﬂuido tomam a seguinte forma:

∗

αΘ

+ (1 − 2 α)Θ

− (1 − α) Θ

∆ξ

= Pe

−2

− 2Θ

+ Θ

∆ξ

+ Θ



, (4.109)

∗

αΘ

+ (1 − α) Θ

− Θ

∆ξ

= Pe

−2

+ 2Θ

− 3Θ

∆ξ

+ Θ



, (4.110)

∗

(1 − α)(Θ

− Θ

)

∆ξ

+ α

∗

= Pe

−2



∆ξ

−

− Θ

∆ξ



+ Θ



, (4.111)

onde Θ



representa a derivada d

Θ/dη

Capítulo 5

Implementação Computacional

Este capítulo apresenta diferentes implementações computacionais, a ﬁm de determi-

nar a melhor alternativa para resolver o problema. Neste capítulo as variáveis discretas

são denotadas com acento circunﬂexo, como por exemplo

Θ e

5.1 Soluções com discretização bidirecional

Utilizando as equações discretizadas do capítulo anterior, esta seção mostra a imple-

mentação computacional para a solução do problema utilizando o Método dos Volumes

Finitos em ambas as direções. Para poder transcrever as equações na forma apresen-

tada no capítulo anterior para um formato passível de implementação computacional

deﬁne-se um domínio computacional, baseado em um parâmetro k que numera dentro

do domínio físico como mostrado na ﬁgura 5.1

Para transformar a notação das equações discretizadas em termos das coordena-

das multi-dimensionais cardeais (N , S, E e W ), deﬁne-se, de acordo com o domínio

computacional, regras de mapeamento, apresentadas na tabela 5.1. A primeira coluna

indica o ponto nas coordenadas cardeais, a segunda indica a posição em termos das

coordenadas no domínio físico e a terceira representa a relação entre os índices i e j

do domínio físico com o índice k do domínio computacional. A última coluna indica a

posição relativa, no domínio computacional, de um ponto cardeal em termos do ponto

5. Implementação Computacional 58

η = 1

η = 0

Parede do Canal

· · · · · ·

1 Ii

(j − 1)I + i(j − 1)I + 1 j I

I J(J − 1)I + 1 (J − 1)I + i

Fig. 5.1: Domínio computacional para um mini-canal.

central P. Com base nestas regras, as seções seguintes apresentam a implementação

computacional utilizada para o problema em regime transiente e permanente, com di-

ferentes metodologias de solução.

Tab. 5.1: Transformação das coordenadas cardeais para o domínio computacional.

ponto (ξ,η) k(i , j ) k(k

)

P (ξ

,η

) (j − 1)I + i k

N (ξ

,η

j +1

) (j − 1)I + i + I k + I

S (ξ

,η

j −1

) (j − 1)I + i − I k − I

E (ξ

i+1

,η

) (j − 1)I + i + 1 k + 1

W (ξ

i−1

,η

) (j − 1)I + i − 1 k − 1

5.1.1 Solução transiente: integração numérica

O sistema de equações discretizadas para todos os volumes ﬁnitos no ﬂuido pode ser

escrito em forma compacta como:

−1

dτ

= F

(τ), para k = 1,2,..., K (5.1)

onde K = I J é o número de volumes utilizados no domínio do ﬂuido. Para situações

onde for necessário determinar a temperatura da parede, inclui-se no sistema anterior,

5. Implementação Computacional 59

mais um conjunto de equações discretizadas:

−1

dτ

= F

(τ), para k = K + 1, K + 2,.. . , K + I (5.2)

de modo que as equações para a temperatura da parede são numeradas com k > K para

facilitar a implementação computacional. As condições iniciais para o sistema anterior

são dadas por:

(τ = 0) = Θ

para k = 1,2,..., K + I (5.3)

As funções de discretização, F

(τ), que carregam toda informação sobre a discre-

tização, são dadas por:

• para k = 1 (entrada/centro do canal):

(τ) = −

∗

+ (1 − α)

− Θ

2∆ξ

− 3

+ 2Θ

∆ξ

−

∆η

, (5.4)

• para 1 < k < I (centro do canal):

(τ) = −

∗

+ (1 − 2α)

− (1 − α)

2∆ξ

− 2

∆ξ

−

∆η

, (5.5)

• para k = I (saída/centro do canal):

(τ) = −

∗

(1 − α)(

−

)

2∆ξ

−

∆ξ

−

∆η

, (5.6)

• para k = (j − 1) I + 1 e 1 < j < J (entrada do canal):

(τ) = −

∗

+ (1 − α)

− Θ

2∆ξ

− 3

+ 2Θ

∆ξ

− 2

∆η

, (5.7)

5. Implementação Computacional 60

• para k = j I e 1 < j < J (saída do canal):

(τ) = −

∗

(1 − α)(

−

)

2∆ξ

−

∆ξ

− 2

∆η

, (5.8)

• para k = (J − 1) I + 1 (entrada/parede do canal):

(τ) = −

∗

+ (1 − α)

− Θ

2∆ξ

− 3

+ 2Θ

∆ξ

− 3

∆η

, (5.9)

• para k = (J − 1) I + i e 1 < I < I (parede do canal):

(τ) = −

∗

+ (1 − 2α)

− (1 − α)

2∆ξ

− 2

∆ξ

− 3

∆η

, (5.10)

• para k = I J (saída/parede do canal):

(τ) = −

∗

(1 − α)(

−

)

2∆ξ

−

∆ξ

2Θ

− 3

∆η

, (5.11)

• para todas as demais combinações k = (J − 1) I + i (volumes internos):

(τ) = −

∗

+ (1 − 2α)

− (1 − α)

2∆ξ

− 2

∆ξ

− 2

∆η

. (5.12)

As equações anteriores referem-se a pontos no domínio ﬂuido. Para os pontos

relativos às temperaturas da parede as funções de discretização são dadas por:

• para k = I J + 1 (parede na entrada):

(τ) = −2 R

∗

−

∆η

+ K

− 3

+ 2Θ

∆ξ

(5.13)

5. Implementação Computacional 61

• para I J + i , 1 < i < I (volumes internos na parede ):

(τ) = −2 R

∗

−

∆η

+ K

− 2

∆ξ

(5.14)

• para k = I J + I (parede na saída):

(τ) = −2 R

∗

−

∆η

− K

−

∆ξ

(5.15)

onde ∆ξ = ξ

max

/I e ∆η = 1/J.

A solução do sistema diferencial ordinário dado pelas equações (5.1), (5.2) e (5.3)

pode então ser obtida através de integração numérica. Para tal, a rotina de solução nu-

mérica de sistemas de equações diferenciais ordinárias NDSolve do programa Mathe-

matica é utilizada.

5.1.2 Solução transiente: integração analítica

Uma solução alternativa para o sistema de equações (5.1, 5.2, 5.3) pode ser feita uti-

lizando integração analítica. Para tal, escreve-se o sistema de equações diferenciais

ordinárias na forma:

−1



(τ) =

K +I



l=1

k,l

(τ) +

, para k = 1,2,..., K + I , (5.16)

onde:











Fo, para 1 ≤ k ≤ K

, para K + 1 ≤ k ≤ K + I

(5.17)

e os coeﬁcientes

k,l

são deﬁnidos abaixo:

5. Implementação Computacional 62

• para k = 1 (entrada/centro do canal):

k,k

= −

∗

(1 − α

)

2∆ξ

−

∆ξ

−

∆η

, (5.18)

k,k+1

= −

∗

2∆ξ

∆ξ

k,k+I

∆η

, (5.19)

∗

2∆ξ

2Θ

∆ξ

, (5.20)

• para 1 < k < I (centro do canal):

k,k

= −

∗

(1 − 2α)

2∆ξ

−

∆ξ

−

∆η

, (5.21)

k,k+1

= −

∗

2∆ξ

∆ξ

, (5.22)

k,k−1

∗

1 − α

2∆ξ

∆ξ

, (5.23)

k,k+I

∆η

= 0, (5.24)

• for k = I (saída/centro do canal):

k,k

= −

∗

1 − α

2∆ξ

−

∆ξ

−

∆η

k,k+1

= 0, (5.25)

k,k−1

∗

1 − α

2∆ξ

∆ξ

k,k+I

∆η

= 0, (5.26)

• para k = (j + 1) I + 1 e 1 < j < J (entrada do canal):

k,k

= −

∗

1 − α

2∆ξ

−

∆ξ

−

∆η

k,k−1

= 0, (5.27)

k,k+1

= −

∗

2∆ξ

∆ξ

k,k−I

∆η

, (5.28)

k,k+I

∆η

∗

2∆ξ

2Θ

∆ξ

, (5.29)

5. Implementação Computacional 63

• para k = j I e 1 < j < J (saída do canal):

k,k

= −

∗

1 − α

2∆ξ

−

∆ξ

−

∆η

, (5.30)

k,k−1

∗

1 − α

2∆ξ

∆ξ

k,k+1

= 0, (5.31)

k,k−I

∆η

k,k+I

∆η

= 0, (5.32)

• para k = (J − 1) I + 1 (entrada/parede do canal):

k,k

= −

∗

1 − α

2∆ξ

−

∆ξ

−

∆η

k,k−1

= 0, (5.33)

k,k+1

= −

∗

2∆ξ

∆ξ

k,k−I

∆η

, (5.34)

k,k+I

∆η

∗

2∆ξ

2Θ

∆ξ

, (5.35)

• para k = (J − 1) I + i e 1 < I < I (parede do canal):

k,k

= −

∗

1 − 2α

2∆ξ

−

∆ξ

−

∆η

, (5.36)

k,k−1

∗

1 − α

2∆ξ

∆ξ

, (5.37)

k,k+1

= −

∗

2∆ξ

∆ξ

k,k−I

∆η

, (5.38)

k,k+I

∆η

= 0, (5.39)

• para k = I J (saída/parede do canal):

k,k

= −

∗

1 − α

2∆ξ

−

∆ξ

−

∆η

, (5.40)

k,k−1

∗

1 − α

2∆ξ

∆ξ

k,k−I

∆η

, (5.41)

k,k+I

∆η

= 0, (5.42)

5. Implementação Computacional 64

• e para qualquer outra combinação k = (j + 1) I + i (volumes internos):

k,k

= −

∗

1 − 2α

2∆ξ

−

∆ξ

−

∆η

, (5.43)

k,k−1

∗

1 − α

2∆ξ

∆ξ

, (5.44)

k,k+1

= −

∗

2∆ξ

∆ξ

, (5.45)

k,k−I

∆η

k,k+I

∆η

, (5.46)

= 0, (5.47)

Para os pontos relativos às temperaturas da parede os coeﬁcientes

M e

b são dados por:

• para k = I J + 1 (parede na entrada):

k,k

= −

∗

∆η

−

∆ξ

k,k+1

∆ξ

, (5.48)

k,k−I

∗

∆η

∆ξ

, (5.49)

• para I J + i , 1 < i < I (volumes internos na parede ):

k,k

= −

∗

∆η

−

∆ξ

k,k−1

∆ξ

, (5.50)

k,k+1

∆ξ

k,k−I

∗

∆η

= 0 (5.51)

• para k = I J + I (parede na saída):

k,k

= −

∗

∆η

−

∆ξ

k,k−1

∆ξ

, (5.52)

k,k−I

∗

∆η

= 0 (5.53)

Os demais coeﬁcientes

k,l

são nulos.

5. Implementação Computacional 65

Para proceder com a integração analítica, o sistema (5.16) é escrito na forma veto-

rial abaixo:



(τ) =

Θ(τ) +

b, (5.54)

onde

M e

b são dados por:

M = F

b = F

b (5.55)

e o tensor F é uma matriz diagonal contendo os números de Fourier:

k,l

= Foδ

k,l

para 0 ≤ k ≤ K , (5.56)

k,l

= Fo

k,l

para K + 1 ≤ k ≤ K + I . (5.57)

onde δ

k,l

é o Delta de Kronecker.

Uma solução analítica para este sistema pode ser escrita na forma:

Θ(τ) =



−1



−

−1

b, com

C =

C (τ) = exp(

M τ), (5.58)

onde

C é uma exponencial matricial [40]. Os coeﬁcientes

são os valores discretos

da condição inicial, dados pela equação (5.3).

5.1.3 Solução em regime permanente

Para regime permanente, o sistema (5.16) é reduzido à forma mais simples:

K +I



l=1

k,l

(τ) +

= 0, para k = 1,2, .. . ,K + I , (5.59)

o qual é escrito em forma vetorial como:

Θ +

b = 0, (5.60)

5. Implementação Computacional 66

Como para regime permanente a única condição de aquecimento na parede é a de

temperatura constante a matriz

M é simpliﬁcada pois os elementos relativos às tempe-

raturas da parede são dados:

k,l

= δ

k,l

para k > K . (5.61)

O sistema algébrico (5.60) é resolvido numericamente utilizando a função Linear-

Solve do programa Mathematica, onde a matriz

M é deﬁnida como uma matriz esparsa

utilizando a função SparseArray. Uma solução direta, em função da inversa da matriz

M, também pode ser escrita na forma:

Θ(τ) = −

−1

b. (5.62)

Todavia, esta solução também necessitaria de um procedimento numérico para inverter

a matriz.

5.2 Solução permanente com discretização transversal apenas

Para as soluções em regime permanente a condição de contorno na parede é sempre de

temperatura constante, portanto, valerá sempre a relação:

= Θ

(5.63)

5.2.1 Solução com integração numérica em ξ

Uma solução alternativa para o problema em regime permanente pode ser implemen-

tada utilizado discretização apenas na direção η. Discretizando em apenas uma dire-

ção, há uma relação direta entre as coordenadas cardinais e o índice j , utilizado para

esta direção. Desta forma o sistema discretizado é escrito a partir das equações (4.93),

5. Implementação Computacional 67

(4.94), (4.95) e (4.96) abaixo:

−Pe

−2

dξ

∗

dξ

= F

(ξ),

(0) = Θ



dξ



ξ=ξ

max

= Φ

, (5.64)

Para j = 1,2,.. . , J. As funções de discretização F , para este caso, são dadas por:

• para j = 1 (volume adjacente ao centro do canal):

(ξ) =

j +1

−

∆η

, (5.65)

• para 1 < j < J (volumes internos):

(ξ) =

j +1

− 2

j −1

∆η

, (5.66)

• para j = J (volume adjacente à parede do canal):

(ξ) =

2Θ

− 3

j −1

∆η

, (5.67)

Este sistema é resolvido numericamente usando a rotina NDSolve do software Mathe-

matica.

5.2.2 Solução numérica para Péclet grande

Para casos com número de Péclet grande, o sistema anterior (5.64) é simpliﬁcado pela

eliminação do termo envolvendo a segunda derivada. Considerando estes casos, a

equação discretizada para todos os volumes é escrita na forma compacta:

dξ

∗

(ξ), for j = 1,2,... , J

(0) = Θ

, (5.68)

o termo Φ

foi incluído aqui seguindo a notação do capítulo anterior; todavia, como também des-

crito anteriormente, este foi aproximado por zero para as soluções numéricas aqui implementadas.

5. Implementação Computacional 68

Este problema de valor inicial é resolvido numericamente usando a rotina NDSolve do

software Mathematica.

5.2.3 Solução analítica com o método do tiro

Há outras soluções alternativas para o problema, como por exemplo a solução palo

método do tiro, mostrada abaixo.

As equações do sistema (5.64) podem ser escritas na forma matricial:



(ξ) − B



(ξ) − D

Θ(ξ) = − g ,

Θ(0) = Θ



(ξ

max

) = Φ

, (5.69)

onde o vetor independente g é dado por:

g =



0,0,..., 0, 2Θ

/∆η



, (5.70)

o vetor

é dado por



,Θ

,...,Θ

,Θ



, (5.71)

e as matrizes B e D são dadas por:

j,k

∗

j,k

, D

j,k

= −

∆η

j,k

(5.72)

onde A

j,k

são os coeﬁcientes de uma matriz tri-diagonal, dados por:

• para j = 1 (centro do canal):

j,j

= −1, A

j,j +1

= 1, (5.73)

5. Implementação Computacional 69

• para 1 < j < J (volumes internos):

j,j −1

= 1 A

j,j

= −2, A

j,j +1

= 1, (5.74)

• para j = J (parede do canal):

j,j −1

= 1 A

j,j

= −3, (5.75)

e os coeﬁcientes remanescentes são zero. Os coeﬁcientes

∗

representam o perﬁl de

velocidade discretizado, sendo dados por:

∗



1 − η



, com η



j −



∆η. (5.76)

O problema de valor de contorno pode ser convertido para um problema de valor

inicial de primeira ordem se as condições de contorno em ξ

max

forem substituídas por

uma condição inicial e uma nova variável for introduzida:



(0) = p,



(ξ) =

φ(ξ), (5.77)

produzindo:

dξ



























B D

I 0



























−





















(5.78)

onde I é a matriz identidade, e 0 é a matriz zero. Introduzindo a matriz Q:

Q =







B D

I 0







, (5.79)

uma solução analítica para as temperaturas discretizadas pode ser obtida em termos de

5. Implementação Computacional 70

uma matriz exponencial:





















= C





















− Q

−1





















, com C = exp



Q ξ



(5.80)

Com a forma analítica anterior, o Método do Tiro é utilizado para o calcular iterati-

vamente o valor apropriado de p que satisfaça a condição de contorno em ξ = ξ

max

dado pela equação (5.69). O Método do Tiro é implementado utilizando a função Fin-

dRoot do software Mathematica, que consiste em uma rotina para resolver sistemas

de equações algébricas lineares e não lineares (que neste caso utiliza o Método de

Newton-Raphson para sistemas de equações algébricas).

5.2.4 Solução analítica para Péclet grande

A ﬁm de obter uma solução analítica para o sistema discretizado, a equação (5.68) é

escrita na forma matricial, como mostrado abaixo:



(ξ) =

Θ(ξ) +

g , (5.81)

Θ(0) = Θ

, (5.82)

onde o vetor independente g é dado por:

g =



0,0,..., 0, 4Θ

/(∆η

∗

)



, (5.83)

e os coeﬁcientes de

Q são dados por:

• para j = 1 (entrada/centro do canal):

j,j

= −

∗

∆η

j,j +1

∗

∆η

, (5.84)

5. Implementação Computacional 71

• para 1 < j < J (entrada do canal):

j,j −1

∗

∆η

j,j

= −

∗

∆η

j,j +1

∗

∆η

, (5.85)

• para j = J (entrada/parede do canal):

j,j −1

∗

∆η

j,j

= −

∗

∆η

, (5.86)

E os coeﬁcientes restantes de

j,k

são zero.

A solução analítica para a temperatura adimensional nos pontos discretos, pode ser

escrita da seguinte forma:

Θ(ξ) =

C Θ

−1

g , com

C = exp



Q ξ



. (5.87)

5.3 Solução com discretização axial apenas

5.3.1 Solução com integração numérica em η

Outra solução para o problema em regime permanente pode ser implementada utilizado

discretização apenas na direção ξ. Discretizando em apenas ξ há uma relação direta

entre as coordenadas cardinais e o índice i , fazendo com que o sistema discretizado,

obtido a partir das equações (4.98; 4.100; 4.102 e 4.105), seja escrito na forma

dη

= F

(η), (5.88)



dη



η=0

= 0,

(1) = Θ

, (5.89)

Para i = 1,2,... , I . As funções de discretização F , para este caso, são dadas por:

• para i = 1 (entrada/centro do canal):

(η) =

∗

i+1

+ (1 − α)

− Θ

∆ξ

−

i+1

+ 2Θ

− 3

∆ξ

(5.90)

5. Implementação Computacional 72

• para 1 < i < I (centro do canal):

(η) =

∗

i+1

+ (1 − 2 α)

− (1 − α)

i−1

∆ξ

−

i+1

− 2

i−1

∆ξ

(5.91)

• para i = I (saída/centro do canal):

(η) =

∗

(1 − α)(

−

i−1

)

∆ξ

+ α

∗

− Pe

−2



∆ξ

−

i−1

∆ξ



(5.92)

onde u

∗

é função de η. Este sistema é resolvido numericamente utilizando a função

NDSolve do Mathematica. O parâmetro α, como dado pela equação (4.49) também

dependerá de η, pois u

∗

depende de η. Isto impossibilita uma solução analítica deste

sistema, como feito nas outras soluções fornecidas até agora. Ainda, mesmo com uma

solução numérica, ao utilizar o valor de α dado por esta equação, a solução computa-

cional torna-se bem mais complicada, devido ao auto custo computacional necessário

para avaliar exponenciais.

5.4 Cálculo de Nusset

Usando as soluções encontradas, o número de Nusselt é calculado pela equação

4(∂Θ/∂η)

η=1

−



∗

Θ dη

, (5.93)

onde as derivada e integrais são calculadas numericamente. As derivadas são calcu-

ladas interpolando as soluções obtidas com a função Interpolation do Mathematica

(utilizando interpolações lineares) e diferenciando analiticamente os resultados obti-

dos com a função D. Todas integrações numéricas são feitas utilizando a função NIn-

tegrate.

5. Implementação Computacional 73

5.5 Comentários ﬁnais

Como comentários ﬁnais deve-se dizer que, para todos os casos de soluções apresen-

tadas, soluções simpliﬁcadas para slug-ﬂow podem ser obtidas para velocidade u

∗

= 1,

pois para o caso com escoamento slug-ﬂow a velocidade é igual a média.

Capítulo 6

Validação

O objetivo deste capítulo é veriﬁcar que a solução calculada pelo algoritmo numérico

converge para o valor dado pela solução analítica.

6.1 Solução analítica para slug-ﬂow

Para situações onde o escoamento é do tipo slug-ﬂow, soluções analíticas para o pro-

blema em regime permanente podem ser encontradas, como descrito em [41]. Para o

caso com valores grandes de Péclet, o campo de temperatura adimensional pode ser

calculado analiticamente por:

Θ(ξ, η) = Θ

∞



n=1

exp



−2µ



(η)

N(µ

)

(6.1)

onde as autofunções Y

e os autovalores µ

, assim como a norma N(µ

), são dados

por:

(η) = cos(µ

η), (6.2)



n −



π, para n = 1,2,3,... (6.3)

N(µ

) =



(η) dη =

. (6.4)

6. Validação 75

e os coeﬁcientes

são calculados de:



(Θ

− Θ

(η) dη, (6.5)

Já para outros valores de Péclet, a solução é dada por:

Θ(ξ, η) = Θ

(η) +

∞



n=0

∗

(ξ)Y

(η)

N(µ

)

, (6.6)

onde as funções

∗

(ξ) são deﬁnidas por:

∗

(ξ) =

exp





4β

cosh(β

(ξ

max

− ξ)) + Pe

sinh(β

(ξ

max

− ξ))

4β

cosh(β

max

) + Pe

sinh(β

max

)

(6.7)

e os coeﬁcientes β

são dados por:



+ 16µ

(6.8)

6.2 Resultados

A primeira coluna das tabelas indica o número de volumes em que o canal foi divi-

dido em cada uma das direções (ξ e η) para compor a malha necessária para obter a

convergência. O grau de convergência é mensurado em termos de número de dígitos

convergidos, ou seja, quando os resultados não variam mais até n digitos diz-se ter n

digitos convergidos. Esta comparação é feita considerando o reﬁnamento da malha em

I e em J . A solução completamente convergida foi calculada pela solução analítica an-

teriormente descrita e foi incluída como resultado exato para comparação. As tabelas

6.1 e 6.2 e 6.3 mostram os valores de Nusselt obtidos para slug-ﬂow, para diferentes

números de Péclet (Pe

= 10, Pe

= 1 e Pe

= 0.1).

A tabela 6.4 mostra os valores de Nusselt obtidos para slug-ﬂow, para número

de Péclet grande. Comparando os valores de Nusselt obtidos para número de Péclet

grande e número Pe

= 10 é possivel observar que o comportamento das soluções é

6. Validação 76

Tab. 6.1: Número de Nusselt para slug-ﬂow, com Pe

= 10, discretização bidirecional.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 144.614 113.466 -23.2099 9.83306

12 25 299.720 229.898 -70.0798 9.85179

12 50 598.030 454.055 -159.489 9.86067

12 100 1194.67 902.511 -337.928 9.86513

12 200 2387.08 1799.00 -694.682 9.86960

12 400 4773.64 3593.01 -1407.94 9.86960

25 12 140.616 79.3671 11.0194 9.85949

25 25 289.916 146.083 10.9712 9.86455

25 50 577.146 275.382 10.9624 9.86706

25 100 1151.69 534.677 10.9603 9.86834

25 200 2300.00 1053.50 10.9598 9.86960

25 400 4598.28 2091.69 10.9597 9.86960

50 12 134.770 44.5090 10.8198 9.86677

50 25 272.773 42.8670 10.7881 9.86806

50 50 538.332 41.0815 10.7817 9.86882

50 100 1069.81 39.9545 10.7802 9.86924

50 200 2132.99 39.3385 10.7798 9.86960

50 400 4258.85 39.0187 10.7797 9.86960

100 12 128.980 37.5839 10.7749 9.86909

100 25 246.909 1.62527 10.7453 9.86918

100 50 470.410 -72.1648 10.7392 9.86938

100 100 918.199 -216.200 10.7378 9.86949

100 200 1814.98 -500.757 10.7374 9.86960

100 400 3609.37 -1067.70 10.7373 9.86960

200 12 126.856 46.5914 10.7623 9.86979

200 25 221.883 38.4751 10.7332 9.86951

200 50 375.093 33.5345 10.7273 9.86954

200 100 672.631 32.4336 10.7258 9.86957

200 200 1270.65 32.4396 10.7255 9.86960

200 400 2470.75 32.5771 10.7254 9.86960

400 12 127.669 47.1367 10.7591 9.86998

400 25 214.309 39.4662 10.7302 9.86961

400 50 298.072 35.7842 10.7242 9.86959

400 100 382.843 35.1938 10.7228 9.86959

400 200 528.749 35.0944 10.7224 9.86960

400 400 830.244 35.0712 10.7223 9.86960

800 12 128.793 47.2297 10.7582 9.87003

800 25 219.733 39.3946 10.7294 9.86963

800 50 294.869 35.7538 10.7235 9.86960

800 100 259.234 35.1931 10.7220 9.86961

800 200 26.8611 35.0915 10.7217 9.86960

800 400 -473.831 35.0680 10.7216 9.86960

1600 12 129.372 47.2498 10.7580 9.87005

1600 25 224.467 39.3541 10.7292 9.86964

1600 50 320.136 35.7211 10.7233 9.86961

1600 100 353.901 35.1755 10.7218 9.86961

1600 200 311.740 35.0756 10.7215 9.86960

1600 400 273.757 35.0524 10.7214 9.86960

exata 267.383 35.0385 10.7213 9.86960

6. Validação 77

Tab. 6.2: Número de Nusselt para slug-ﬂow, com Pe

= 1, discretização bidirecional.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 145.868 126.595 35.106 10.3237

12 25 300.286 238.568 6.00708 10.3083

12 50 596.650 448.451 -52.9306 10.3053

12 100 1189.43 868.720 -167.625 10.3046

12 200 2375.14 1710.78 -394.107 10.3045

12 400 4746.74 3396.01 -845.314 10.3044

25 12 145.627 125.128 42.9731 10.3399

25 25 297.025 213.950 36.6179 10.3238

25 50 582.802 341.543 33.4288 10.3205

25 100 1151.79 576.749 32.7729 10.3197

25 200 2289.91 1048.73 32.6544 10.3196

25 400 4566.93 1998.52 32.6289 10.3195

50 12 145.715 126.447 43.3002 10.3433

50 25 296.023 211.825 36.3833 10.3270

50 50 570.839 282.865 33.1725 10.3237

50 100 1100.19 305.040 32.6639 10.3229

50 200 2148.96 295.649 32.5736 10.3227

50 400 4247.24 282.969 32.5527 10.3227

100 12 145.832 127.653 43.4034 10.3442

100 25 296.423 218.791 36.3752 10.3278

100 50 567.219 299.010 33.1692 10.3245

100 100 1055.20 274.021 32.6809 10.3237

100 200 1954.31 39.1622 32.5918 10.3235

100 400 3715.45 -489.800 32.5712 10.3234

200 12 145.909 128.121 43.4276 10.3444

200 25 296.974 222.296 36.3634 10.3280

200 50 569.074 317.830 33.1587 10.3247

200 100 1043.83 351.482 32.6787 10.3239

200 200 1798.21 301.340 32.5905 10.3237

200 400 3032.83 253.257 32.5700 10.3236

400 12 145.951 128.207 43.4336 10.3444

400 25 297.332 222.898 36.3598 10.3281

400 50 571.365 320.542 33.1555 10.3247

400 100 1052.75 358.556 32.6778 10.3239

400 200 1775.45 312.456 32.5898 10.3237

400 400 2585.90 273.140 32.5694 10.3237

800 12 145.972 128.229 43.4351 10.3444

800 25 297.520 223.048 36.3589 10.3281

800 50 572.771 321.210 33.1547 10.3248

800 100 1061.96 360.085 32.6776 10.3239

800 200 1818.64 313.304 32.5897 10.3237

800 400 2637.25 273.517 32.5692 10.3237

1600 12 145.980 128.234 43.4354 10.3444

1600 25 297.600 223.086 36.3586 10.3281

1600 50 573.388 321.376 33.1545 10.3248

1600 100 1066.49 360.451 32.6775 10.3239

1600 200 1848.64 313.380 32.5896 10.3237

1600 400 2800.77 273.375 32.5692 10.3237

exata 2559.61 264.323 32.5625 10.3237

6. Validação 78

Tab. 6.3: Número de Nusselt para slug-ﬂow, com Pe

= 0.1, discretização bidirecional.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 147.891 145.804 127.603 60.4202

12 25 306.429 296.270 218.315 49.0775

12 50 609.300 566.739 303.887 43.9027

12 100 1208.440 1047.380 303.579 43.1463

12 200 2394.700 1901.140 135.953 43.0066

12 400 4759.160 3536.830 -249.111 42.9741

25 12 147.898 145.874 127.914 60.7168

25 25 306.482 296.806 220.587 49.4300

25 50 609.514 569.179 315.764 44.1403

25 100 1207.610 1044.400 351.967 43.3594

25 200 2376.980 1774.220 309.567 43.2163

25 400 4664.900 2833.960 272.922 43.1830

50 12 147.901 145.909 127.970 60.7831

50 25 306.512 297.104 220.968 49.5074

50 50 609.715 571.220 317.404 44.1917

50 100 1208.470 1054.740 355.283 43.4060

50 200 2374.490 1785.040 309.601 43.2622

50 400 4601.490 2554.190 270.711 43.2288

100 12 147.903 145.925 127.984 60.7997

100 25 306.528 297.254 221.064 49.5267

100 50 609.837 572.353 317.828 44.2044

100 100 1209.280 1062.570 356.235 43.4176

100 200 2378.020 1829.010 309.981 43.2737

100 400 4593.370 2697.330 270.659 43.2402

200 12 147.904 145.931 127.988 60.8039

200 25 306.537 297.305 221.088 49.5315

200 50 609.904 572.754 317.933 44.2076

200 100 1209.770 1065.520 356.466 43.4205

200 200 2381.300 1848.740 310.021 43.2765

200 400 4608.300 2808.970 270.554 43.2431

400 12 147.904 145.932 127.989 60.8049

400 25 306.541 297.315 221.094 49.5327

400 50 609.937 572.831 317.960 44.2084

400 100 1210.040 1066.070 356.523 43.4212

400 200 2383.270 1852.230 310.027 43.2772

400 400 4621.530 2826.350 270.522 43.2438

800 12 147.904 145.932 127.989 60.8052

800 25 306.543 297.318 221.095 49.5330

800 50 609.954 572.850 317.966 44.2086

800 100 1210.17 1066.21 356.538 43.4214

800 200 2384.29 1853.11 310.028 43.2774

800 400 4629.11 2830.66 270.514 43.2440

1600 12 147.905 145.932 127.989 60.8052

1600 25 306.544 297.319 221.095 49.5331

1600 50 609.961 572.855 317.968 44.2086

1600 100 1210.22 1066.24 356.541 43.4215

1600 200 2384.71 1853.32 310.029 43.2775

1600 400 4632.38 2831.74 270.512 43.2440

exata 25478.1 2556.15 261.653 43.2331

6. Validação 79

muito semelhante e os resultados estão muito próximos, exceto na região da entrada do

canal (ξ = 0.001 e ξ = 0.01). Na saída do canal (ξ = 1) os resultados obtidos para Péclet

grande e Pe

= 10 são iguais a solução exata com 6 digitos. Observa-se também que

os valores de Nusselt para Péclet grande são menores que os valores encontrados para

= 10 e também são menores que os resultados encontrados para os demais valores

de Péclet estudados.

Com base nos resultados é possível observar que para o cáculo dos valores de

Nusselt para escoamento slug-ﬂow a convergencia melhora a medida em que aumenta

o valor de Péclet.

A tabela 6.5 mostra os valores de Nusselt obtidos para slug-ﬂow, para número de

Péclet grande com discretização em uma direção apenas. Os resultados mostram que

os valores do número de Nusselt obtidos com número de Péclet grande para discre-

tização em uma direção apenas e discretização em duas direções também são muito

semelhantes.

6. Validação 80

Tab. 6.4: Número de Nusselt para slug-ﬂow, com número de Pe

grande, discretização

em duas direções.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 144.631 113.452 -27.0209 9.80314

12 25 299.849 230.746 -76.2482 9.83730

12 50 598.367 456.493 -170.360 9.85340

12 100 1195.410 908.081 -358.299 9.86149

12 200 2388.640 1810.81 -734.116 9.86960

12 400 4776.840 3617.29 -1485.51 9.86960

25 12 140.351 76.1515 10.3346 9.84637

25 25 289.937 144.225 10.3168 9.85823

25 50 577.681 275.824 10.3132 9.86389

25 100 1153.210 539.407 10.3124 9.86675

25 200 2303.480 1066.610 10.3121 9.86960

25 400 4605.670 2121.460 10.3121 9.86960

50 12 132.804 28.6382 10.1253 9.85949

50 25 271.374 27.2600 10.1152 9.86455

50 50 538.117 26.4724 10.1131 9.86706

50 100 1071.760 26.0465 10.1125 9.86834

50 200 2138.450 25.8261 10.1124 9.86960

50 400 4273.270 25.7141 10.1124 9.86960

100 12 120.257 4.6605 10.0700 9.86504

100 25 237.229 -35.790 10.0612 9.86723

100 50 462.927 -110.712 10.0593 9.86840

100 100 914.906 -258.774 10.0588 9.86901

100 200 1818.700 -553.969 10.0587 9.86960

100 400 3627.480 -1143.75 10.0587 9.86960

200 12 102.931 20.4474 10.0546 9.86761

200 25 180.788 19.0001 10.0462 9.86846

200 50 331.837 18.8493 10.0443 9.86902

200 100 635.789 18.8800 10.0439 9.86931

200 200 1244.870 18.9179 10.0438 9.86960

200 400 2463.470 18.9419 10.0437 9.86960

400 12 86.4928 20.0732 10.0507 9.86885

400 25 106.103 19.3482 10.0423 9.86906

400 50 142.241 19.2416 10.0405 9.86932

400 100 219.119 19.2173 10.0400 9.86946

400 200 376.358 19.2113 10.0399 9.86960

400 400 692.820 19.2098 10.0399 9.86960

800 12 80.5174 19.7942 10.0497 9.86945

800 25 52.1268 19.1775 10.0413 9.86935

800 50 -15.6181 19.0792 10.0395 9.86946

800 100 -143.748 19.0565 10.0391 9.86953

800 200 -393.184 19.0510 10.0390 9.86960

800 400 -887.971 19.0496 10.0389 9.86960

1600 12 82.8151 19.7178 10.0494 9.86975

1600 25 67.9506 19.1286 10.0411 9.86950

1600 50 58.3883 19.0328 10.0393 9.86954

1600 100 56.1435 19.0106 10.0388 9.86957

1600 200 55.7555 19.0052 10.0387 9.86960

1600 400 55.7203 19.0038 10.0387 9.86960

exata 53.1445 18.9877 10.0386 9.86960

6. Validação 81

Tab. 6.5: Número de Nusselt para slug-ﬂow com número de Pe

grande, discretização

em uma direção.

I ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

3 25.5106 20.6058 10.2319 9.81047

5 38.7817 22.1256 10.1079 9.87219

10 58.7782 19.7022 10.0587 9.87496

20 59.5184 19.1415 10.0441 9.87161

40 54.2935 19.0251 10.0400 9.87016

80 53.4099 18.9970 10.0390 9.86975

100 53.3129 18.9936 10.0389 9.86977

200 53.1862 18.9892 10.0387 9.86964

250 53.1710 18.9886 10.0386 9.86963

300 53.1629 18.9884 10.0386 9.86962

400 53.1549 18.9881 10.0386 9.86962

500 53.1511 18.9879 10.0386 9.86961

600 53.1491 18.9879 10.0386 9.86961

700 53.1478 18.9878 10.0386 9.86961

800 53.1471 18.9878 10.0386 9.86961

900 53.1465 18.9878 10.0386 9.86961

1000 53.1461 18.9877 10.0386 9.86960

1100 53.1458 18.9877 10.0386 9.86961

1200 53.1456 18.9877 10.0386 9.86961

1300 53.1454 18.9877 10.0386 9.86961

1400 53.1454 18.9877 10.0386 9.86960

1500 53.1452 18.9877 10.0386 9.86961

1600 53.1451 18.9877 10.0386 9.86960

1700 53.1450 18.9877 10.0386 9.86960

1800 53.1450 18.9877 10.0386 9.86960

1900 53.1449 18.9877 10.0386 9.86961

2000 53.1449 18.9877 10.0386 9.86960

2100 53.1449 18.9877 10.0386 9.86960

2200 53.1448 18.9877 10.0386 9.86960

2300 53.1448 18.9877 10.0386 9.86960

2400 53.1448 18.9877 10.0386 9.86960

2500 53.1447 18.9877 10.0386 9.86960

2600 53.1447 18.9877 10.0386 9.86960

2800

53.1447 18.9877 10.0386 9.86960

3000 53.1446 18.9877 10.0386 9.86960

3200 53.1446 18.9877 10.0386 9.86960

3400 53.1446 18.9877 10.0386 9.86960

3600 53.1446 18.9877 10.0386 9.86960

3800 53.1446 18.9877 10.0386 9.86960

4000 53.1446 18.9877 10.0386 9.86960

4200 53.1446 18.9877 10.0386 9.86960

4400 53.1445 18.9877 10.0386 9.86960

4600 53.1445 18.9877 10.0386 9.86960

4800 53.1445 18.9877 10.0386 9.86960

exata 53.1445 18.9877 10.0386 9.86960

Capítulo 7

Resultados da solução permanente

Neste capítulo são calculados os valores de temperatura e Nusselt para o escoamento

tipo Hagen-Poiseuille para regime permanente por diferentes metodos de solução com

o objetivo de veriﬁcar a solução desenvolvida e determinar o melhor método a ser uti-

lizado para calcular a transferência de calor. Isto também servirá como indicação de

qual metodologia será mais apropriada para executar a solução transiente. Para tal,

também são apresentadas algumas soluções alternativas para o problema. O resultados

apresentados são calculados para diferentes números de Péclet, com discretização bidi-

recional e em uma direção apenas, para diferentes posições de ξ e η, variando também

o comprimento máximo do canal.

7.1 Análise de convergência da temperatura no escoamento

A primeira análise feita tem o objetivo de estudar o comportamento da convergência

em diferentes posições (longitudinais e axiais) no escoamento. Para fazer esta aná-

lise, o campo de temperatura adimensional é calculado utilizando diferentes malhas

para diferentes combinações de ξ e η. Para estas comparações iniciais o esquema de

diferenças centradas (CDS) é utilizado. As tabelas 7.1 e 7.2 mostram os valores de

temperaturas adimensionalizadas obtidos para o número de Péclet Pe

= 10 e valo-

res de η = 0.99 e η = 0, respectivamente. Em geral, a convergência é pior próximo à

7. Resultados da solução permanente 83

entrada do canal.

Tab. 7.1: Temperatura com Pe

= 10 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS.

I J

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.323176 0.231609 -0.0286699 0.000438061

12 25 0.603197 0.424877 -0.0712198 0.000436693

12 50 0.964517 0.674406 -0.1259220 0.000436375

12 100 1.157220 0.807494 -0.1550900 0.000436294

12 200 0.964511 0.674353 -0.1259860 0.000436273

12 400 0.964511 0.674350 -0.1259890 0.000436268

25 12 0.312743 0.153380 0.0135170 0.000499288

25 25 0.581386 0.261229 0.0135101 0.000497713

25 50 0.928118 0.401261 0.0135076 0.000497349

25 100 1.113050 0.475969 0.0135069 0.000497257

25 200 0.928068 0.400869 0.0135067 0.000497234

25 400 0.928065 0.400849 0.0135067 0.000497228

50 12 0.297607 0.0758945 0.0134219 0.000524156

50 25 0.544776 0.0721540 0.0134174 0.000522515

50 50 0.864004 0.0693143 0.0134154 0.000522137

50 100 1.034250 0.0677701 0.0134147 0.000522041

50 200 0.863634 0.0672255 0.0134145 0.000522018

50 400 0.863616 0.0671204 0.0134145 0.000522012

100 12 0.282343 0.06151090 0.0134099 0.000532669

100 25 0.491201 0.00117281 0.0134054 0.000531031

100 50 0.757633 -0.0800874 0.0134034 0.000530651

100 100 0.899224 -0.1242440 0.0134027 0.000530555

100 200 0.755200 -0.0857729 0.0134026 0.000530531

100 400 0.755075 -0.0860622 0.0134025 0.000530525

200 12 0.276496 0.0839658 0.0134067 0.000535098

200 25 0.440418 0.0710265 0.0134023 0.000533471

200 50 0.617270 0.0652269 0.0134003 0.000533093

200 100 0.704079 0.0646110 0.0133996 0.000532997

200 200 0.604448 0.0646999 0.0133995 0.000532973

200 400 0.603746 0.0646958 0.0133994 0.000532967

400 12 0.278670 0.0856408 0.0134059 0.000535733

400 25 0.425533 0.0735890 0.0134016 0.000534113

400 50 0.512223 0.0689084 0.0133996 0.000533735

400 100 0.513095 0.0681638 0.0133989 0.000533640

400 200 0.470897 0.0680051 0.0133988 0.000533616

400 400 0.468134 0.0679660 0.0133987 0.000533610

800 12 0.281781 0.0859627 0.0134057 0.000535894

800 25 0.437144 0.0736990 0.0134014 0.000534276

800 50 0.512622 0.0690283 0.0133994 0.000533898

800 100 0.462171 0.0682963 0.0133988 0.000533803

800 200 0.455905 0.0681376 0.0133986 0.000533779

800 400 0.450467 0.0680984 0.0133985 0.000533773

1600 12 0.283396 0.0860365 0.0134057 0.000535935

1600 25 0.447126 0.0736903 0.0134014 0.000534317

1600 50 0.549417 0.0690210 0.0133994 0.000533939

1600 100 0.526569 0.0682997 0.0133987 0.000533844

1600 200 0.497948 0.0681423 0.0133985 0.000533820

1600 400 0.493368 0.0681035 0.0133985 0.000533814

7. Resultados da solução permanente 84

Tab. 7.2: Temperatura com Pe

= 10 em η = 0 para discretização bidirecional CDS.

I J

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.999830 0.996447 0.831760 0.0383709

12 25 0.999767 0.995850 0.828237 0.0382961

12 50 0.999753 0.995718 0.827449 0.0382793

12 100 0.999750 0.995686 0.827251 0.0382751

12 200 0.999749 0.995678 0.827202 0.0382740

12 400 0.999749 0.995676 0.827190 0.0382738

25 12 1.00036 1.00068 0.838349 0.0366945

25 25 1.00034 1.00042 0.834674 0.0366167

25 50 1.00034 1.00036 0.833848 0.0365991

25 100 1.00033 1.00035 0.833641 0.0365947

25 200 1.00033 1.00035 0.833589 0.0365936

25 400 1.00033 1.00035 0.833576 0.0365934

50 12 0.999981 0.997867 0.843198 0.0363713

50 25 0.999974 0.997690 0.839494 0.0362925

50 50 0.999972 0.997655 0.838660 0.0362747

50 100 0.999972 0.997646 0.838452 0.0362702

50 200 0.999972 0.997644 0.838400 0.0362691

50 400 0.999972 0.997644 0.838387 0.0362688

100 12 0.999818 0.996717 0.844694 0.0363031

100 25 0.999805 0.996512 0.840989 0.0362241

100 50 0.999803 0.996470 0.840154 0.0362063

100 100 0.999802 0.996460 0.839945 0.0362018

100 200 0.999802 0.996457 0.839893 0.0362007

100 400 0.999802 0.996456 0.839880 0.0362004

200 12 0.999766 0.996405 0.845106 0.0362878

200 25 0.999751 0.996190 0.841402 0.0362089

200 50 0.999748 0.996145 0.840568 0.0361910

200 100 0.999748 0.996134 0.840359 0.0361865

200 200 0.999747 0.996132 0.840307 0.0361854

200 400 0.999747 0.996131 0.840294 0.0361851

400 12 0.999745 0.996341 0.845212 0.0362842

400 25 0.999729 0.996124 0.841509 0.0362052

400 50 0.999726 0.996079 0.840675 0.0361874

400 100 0.999725 0.996068 0.840466 0.0361829

400 200 0.999725 0.996065 0.840414 0.0361818

400 400 0.999725 0.996065 0.840401 0.0361815

800 12 0.999736 0.996325 0.845239 0.0362833

800 25 0.999719 0.996108 0.841536 0.0362043

800 50 0.999716 0.996063 0.840702 0.0361865

800 100 0.999715 0.996052 0.840493 0.0361820

800 200 0.999715 0.996049 0.840441 0.0361809

800 400 0.999715 0.996048 0.840428 0.0361806

1600 12 0.999732 0.996321 0.845246 0.0362830

1600 25 0.999715 0.996104 0.841543 0.0362041

1600 50 0.999712 0.996059 0.840709 0.0361862

1600 100 0.999711 0.996047 0.840500 0.0361818

1600 200 0.999711 0.996045 0.840448 0.0361806

1600 400 0.999711 0.996044 0.840435 0.0361804

A tabela 7.1 mostra resultados atípicos em relação aos demais resultados na região

próxima a entrada do canal, nas posições de ξ = 0.001 e ξ = 0.01, onde os valores da

7. Resultados da solução permanente 85

temperatura aumentam com J = 100 e depois diminuem, voltando a convergir. Além

disso, é observado que os valores da temperatura ﬁcam negativos com I = 100 e voltam

a convergir com I = 200. Este comportamento atípico é explicado pela descontinuidade

da condição de contorno da entrada do canal, onde a temperatura dá um salto do valor

na parede para o valor do esocoamento não em contato com a mesma.

As tabelas 7.3 e 7.4 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obti-

dos para o número de Péclet Pe

= 1 e valores de η = 0.99 e η = 0, respectivamente. Na

tabela 7.3, os resultados apresentam o mesmo comportamento atípico apresentado na

tabela 7.1, onde os valores da temperatura aumentam e em seguida diminuem, voltando

a convergir normalmente. Na tabela 7.4, os resultados mostram boa convergência, já

na entrada do canal, mesmo com malha grosseira (12× 12) apresentando 4 dígitos con-

vergidos.

As tabelas 7.5 e 7.6 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas obti-

dos para o número de Péclet Pe

= 0.1 e valores de η = 0.99 e η = 0, respectivamente.

Na tabela 7.5, os resultados apresentam comportamento atípico nas mesmas regiões

que os resultados da tabela 7.1 e também em uma região mais afastada da entrada

(ξ = 0.1), onde os valores da temperatura aumentam e em seguida diminuem, voltando

a convergir normalmente. Na tabela 7.6, os resultados estão todos convergidos já na

entrada do canal com malha grosseira (12 × 12), com 6 dígitos. No entanto, é possível

veriﬁcar que quase não houve variação dos valores da temperatura em relação a tem-

peratura na entrada do canal. Isto ocorre porque para valores de Péclet muito baixos

a difusão axial é predominante em relação a difusão transversal, fazendo com que a

informação sobre a temperatura da parede (θ

= 0) diﬁcilmente chegue à região central

do escoamento.

Comparando os resultados de temperatura obtidos, de modo geral, a convergencia é

melhor na saída do canal e é melhor em η = 0 do que em η = 0.99, quando comparados

em relação as posições (ξ e η). Analisando os resultados em relação aos diferentes

números de Péclet considerados, os resultados obtidos para Pe

= 10 apresentaram

melhor convergencia em η = 0.99. No entanto, para valores de Péclet pequenos (Pe

7. Resultados da solução permanente 86

Tab. 7.3: Temperatura com Pe

= 1 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS.

I J

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.328403 0.278602 0.0661544 0.00926535

12 25 0.608794 0.475051 0.0215595 0.00924187

12 50 0.969774 0.721531 -0.0388090 0.00923675

12 100 1.162170 0.851866 -0.0716990 0.00923548

12 200 0.969338 0.717657 -0.0439599 0.00923516

12 400 0.969316 0.717457 -0.0442216 0.00923508

25 12 0.327880 0.275611 0.0809299 0.00932989

25 25 0.602574 0.429835 0.0698129 0.00930596

25 50 0.949850 0.573377 0.0651523 0.00930075

25 100 1.133100 0.634967 0.0642780 0.00929945

25 200 0.947282 0.553310 0.0640965 0.00929913

25 400 0.947134 0.552161 0.0640520 0.00929904

50 12 0.328102 0.278734 0.0816273 0.00934419

50 25 0.600781 0.426912 0.0696434 0.00932017

50 50 0.933970 0.500145 0.0649598 0.00931494

50 100 1.100660 0.474989 0.0642133 0.00931364

50 200 0.925744 0.449345 0.0640533 0.00931332

50 400 0.925108 0.445563 0.0640139 0.00931323

100 12 0.328384 0.281519 0.0818415 0.00934775

100 25 0.601619 0.440310 0.0696842 0.00932372

100 50 0.929809 0.525291 0.0650009 0.00931848

100 100 1.079530 0.480136 0.0642715 0.00931718

100 200 0.919134 0.471878 0.0641135 0.00931685

100 400 0.917555 0.466378 0.0640745 0.00931677

200 12 0.328566 0.282596 0.0818923 0.00934864

200 25 0.602703 0.446962 0.0696794 0.00932460

200 50 0.932631 0.550929 0.0649968 0.00931937

200 100 1.077710 0.528387 0.0642747 0.00931806

200 200 0.930019 0.500130 0.0641176 0.00931774

200 400 0.927696 0.495539 0.0640788 0.00931766

400 12 0.328665 0.282796 0.0819048 0.00934886

400 25 0.603401 0.448110 0.0696773 0.00932482

400 50 0.935809 0.554710 0.0649950 0.00931959

400 100 1.083780 0.533887 0.0642748 0.00931829

400 200 0.938562 0.504720 0.0641180 0.00931796

400 400 0.935035 0.500129 0.0640793 0.00931788

800 12 0.328714 0.282846 0.0819079 0.00934892

800 25 0.603768 0.448396 0.0696767 0.00932488

800 50 0.937728 0.555642 0.0649945 0.00931964

800 100 1.088770 0.535168 0.0642748 0.00931834

800 200 0.940172 0.505923 0.0641181 0.00931802

800 400 0.936399 0.501339 0.0640794 0.00931793

1600 12 0.328734 0.282859 0.0819087 0.00934893

1600 25 0.603922 0.448468 0.0696766 0.00932489

1600 50 0.938567 0.555874 0.0649943 0.00931966

1600 100 1.091120 0.535482 0.0642748 0.00931835

1600 200 0.940069 0.506228 0.0641181 0.00931803

1600 400 0.936649 0.501647 0.0640794 0.00931795

0.1) a convergencia é melhor em η = 0, isto também pode ser pelo fato de que nos casos

com valores de Péclet pequenos, o problema é predominado pela difusão axial.

7. Resultados da solução permanente 87

Tab. 7.4: Temperatura com Pe

= 1 em η = 0 para discretização bidirecional CDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.999417 0.994141 0.938956 0.561877

12 25 0.999411 0.994079 0.938334 0.562242

12 50 0.999410 0.994066 0.938196 0.562323

12 100 0.999409 0.994062 0.938162 0.562344

12 200 0.999409 0.994062 0.938154 0.562349

12 400 0.999409 0.994061 0.938152 0.562350

25 12 0.999412 0.994090 0.938840 0.561569

25 25 0.999406 0.994028 0.938220 0.561934

25 50 0.999405 0.994015 0.938084 0.562016

25 100 0.999404 0.994011 0.938050 0.562037

25 200 0.999404 0.994011 0.938041 0.562042

25 400 0.999404 0.994010 0.938039 0.562043

50 12 0.999409 0.994061 0.938826 0.561501

50 25 0.999403 0.994000 0.938207 0.561866

50 50 0.999402 0.993986 0.938071 0.561948

50 100 0.999401 0.993983 0.938037 0.561968

50 200 0.999401 0.993982 0.938028 0.561973

50 400 0.999401 0.993982 0.938026 0.561974

100 12 0.999408 0.994047 0.938823 0.561483

100 25 0.999401 0.993985 0.938204 0.561849

100 50 0.999400 0.993972 0.938068 0.561930

100 100 0.999400 0.993968 0.938034 0.561951

100 200 0.999400 0.993968 0.938025 0.561956

100 400 0.999400 0.993967 0.938023 0.561957

200 12 0.999407 0.994042 0.938822 0.561479

200 25 0.999401 0.993980 0.938203 0.561844

200 50 0.999399 0.993967 0.938067 0.561926

200 100 0.999399 0.993963 0.938033 0.561946

200 200 0.999399 0.993963 0.938024 0.561952

200 400 0.999399 0.993962 0.938022 0.561953

400 12 0.999406 0.994041 0.938821 0.561478

400 25 0.999400 0.993979 0.938203 0.561843

400 50 0.999399 0.993966 0.938067 0.561925

400 100 0.999399 0.993962 0.938033 0.561945

400 200 0.999398 0.993962 0.938024 0.561951

400 400 0.999398 0.993961 0.938022 0.561952

800 12 0.999406 0.994041 0.938821 0.561478

800 25 0.999400 0.993979 0.938203 0.561843

800 50 0.999399 0.993966 0.938067 0.561925

800 100 0.999398 0.993962 0.938033 0.561945

800 200 0.999398 0.993961 0.938024 0.561950

800 400 0.999398 0.993961 0.938022 0.561952

1600 12 0.999406 0.994041 0.938821 0.561478

1600 25 0.999400 0.993979 0.938203 0.561843

1600 50 0.999399 0.993966 0.938067 0.561925

1600 100 0.999398 0.993962 0.938033 0.561945

1600 200 0.999398 0.993961 0.938024 0.561950

1600 400 0.999398 0.993961 0.938022 0.561951

7. Resultados da solução permanente 88

Tab. 7.5: Temperatura com Pe

= 0.1 em η = 0.99 para discretização bidirecional CDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.333797 0.328796 0.285552 0.1328770

12 25 0.622661 0.602193 0.445861 0.1096510

12 50 0.992757 0.930493 0.539035 0.1007040

12 100 1.187090 1.077690 0.503526 0.0993483

12 200 0.991782 0.921234 0.487887 0.0990530

12 400 0.991585 0.919438 0.482703 0.0989800

25 12 0.333813 0.328959 0.286265 0.1335310

25 25 0.622763 0.603235 0.450189 0.1103820

25 50 0.993072 0.934014 0.555371 0.1012470

25 100 1.187070 1.079690 0.534002 0.0998569

25 200 0.993257 0.933995 0.504835 0.0995552

25 400 0.992941 0.931328 0.500235 0.0994807

50 12 0.333822 0.329039 0.286393 0.1336770

50 25 0.622822 0.603812 0.450917 0.1105430

50 50 0.993348 0.936814 0.557685 0.1013660

50 100 1.187630 1.085910 0.537011 0.0999687

50 200 0.994088 0.939793 0.507792 0.0996656

50 400 0.993557 0.936020 0.503202 0.0995908

100 12 0.333826 0.329078 0.286426 0.1337140

100 25 0.622853 0.604101 0.451100 0.1105830

100 50 0.993516 0.938351 0.558281 0.1013950

100 100 1.188070 1.090060 0.537823 0.0999965

100 200 0.994253 0.940411 0.508567 0.0996930

100 400 0.993655 0.936767 0.503983 0.0996181

200 12 0.333828 0.329091 0.286434 0.1337230

200 25 0.622870 0.604200 0.451146 0.1105930

200 50 0.993606 0.938894 0.55842 0.1014030

200 100 1.188320 1.091580 0.538024 0.1000030

200 200 0.994240 0.940321 0.508763 0.0996999

200 400 0.993671 0.936925 0.504181 0.0996250

400 12 0.333829 0.329094 0.286436 0.1337250

400 25 0.622878 0.604220 0.451157 0.1105950

400 50 0.993651 0.938999 0.558466 0.1014050

400 100 1.188460 1.091870 0.538074 0.1000050

400 200 0.994210 0.940325 0.508812 0.0997016

400 400 0.993675 0.936964 0.504231 0.0996267

800 12 0.333830 0.329094 0.286436 0.133726

800 25 0.622882 0.604225 0.451160 0.110596

800 50 0.993674 0.939025 0.558476 0.101405

800 100 1.18852 1.09194 0.538086 0.100006

800 200 0.994192 0.940326 0.508824 0.0997020

800 400 0.993676 0.936974 0.504243 0.0996271

1600 12 0.333830 0.329095 0.286436 0.133726

1600 25 0.622883 0.604226 0.451161 0.110596

1600 50 0.993683 0.939032 0.558478 0.101405

1600 100 1.18855 1.09196 0.538089 0.100006

1600 200 0.994184 0.940327 0.508828 0.0997022

1600 400

7. Resultados da solução permanente 89

Tab. 7.6: Temperatura com Pe

= 0.1 em η = 0 para discretização bidirecional CDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

12 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

12 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

12 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

12 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

12 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

25 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

25 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

25 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

25 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

25 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

25 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

50 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

50 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

50 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

50 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

50 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

50 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

100 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

100 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

100 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

100 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

100 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

100 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

200 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

200 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

200 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

200 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

200 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

200 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

400 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

400 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

400 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

400 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

400 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

400 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

800 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

800 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

800 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

800 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

800 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

800 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

1600 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

1600 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

1600 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

1600 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

1600 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

1600 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

7. Resultados da solução permanente 90

Com o objetivo de veriﬁcação e comparação de resultados, os campos de tempera-

tura para o escoamento tipo slug-ﬂow também foram calculados, e encontram-se nos

apêndices A.1, A.2 e A.3. Os resultados mostram que a convergência das soluções para

os dois tipos de escoamento é muito semelhante, em relação ao número de Péclet, em

relação as diferentes posições no escoamento (dadas pelos valores de ξ e η) e também

em relação as malhas utilizadas; todavia a convergência dos campos de temperatura é,

em geral, um pouco melhor para o escoamento slug-ﬂow. O mesmo o comportamento

atípico apresentado em alguns casos da solução com escoamento Hagen-Poiseuille

(anteriormente mencionado) foram obtidos para o caso com slug-ﬂow para os mesmos

números de Péclet, mesmas posições e mesmas malhas. Algumas poucas exceções fo-

ram observadas como é o caso da tabela A.2, com número de Péclet Pe

= 10 em η = 0,

onde os resultados apresentaram comportamento atípico para slug-ﬂow em posições e

malhas ligeiramente diferentes dos apresentados para Hagen-Poiseuille.

Comparando os valores de θ obtidos para slug-ﬂow e Hagen-Poiseuille, é possível

observar algumas diferenças na distribuição de temperatura para os diferentes tipos

de escoamentos. As temperaturas para o escoamento Hagen-Poiseuille, de modo ge-

ral, são ligeiramente maiores que os valores de temperatura para slug-ﬂow na saída do

canal. Este resultado está associado à diferença nos perﬁs de velocidade para os dois

tipos de escoamento. Com o perﬁl de escoamento reto do slug-ﬂow haverá maior trans-

ferência de calor junto a parede, fazendo com que a temperatura caia mais rapidamente

com a posição axial (ξ), resultando em menores temperaturas na saída.

7. Resultados da solução permanente 91

7.2 Análise de convergência de Nusselt para CDS e HDS

O objetivo desta seção é comparar os resultados das soluções com a discretização

baseada no esquema de diferenças centradas (CDS) com a discretização baseada no

esquema de diferenças híbrido (HDS), para o cálculo do número de Nusselt com o

escoamento Hagen-Poiseuille.

7.2.1 Esquema de diferenças centradas – CDS

Esta seção apresenta os resultados para a solução em regime permanente, utilizando

discretização em duas direções, considerando a condição de contorno de temperatura

constante na parede do canal. O esquema de discretização baseado em diferenças cen-

tradas para o termo convectivo (CDS) foi utilizado. O número de Nusselt foi calculado

para diferentes posições e diferentes valores de número de Péclet.

As tabelas 7.7, 7.8 e 7.9 mostram os valores de Nusselt, para diferentes números de

Péclet (Pe

= 10, Pe

= 1 e Pe

= 0.1). Os resultados apresentam um comportamento

atípico na região da entrada do canal (ξ = 0.01), onde resultados começam a apresen-

tar convergência, porém quando a malha é reﬁnada para I = 100 os resultados ﬁcam

negativos e voltam a convergir ao reﬁnar a malha para I = 200. Este comportamento é

observado para número de Pe

= 1 e Pe

= 10.

Comparando os resultados em diferentes posições axiais, veriﬁca-se que a conver-

gência é muito pior nas posições próximas da entrada do canal (pequenos valores de ξ).

Além disso, a redução do número de Péclet diminui a convergência, como observado

na tabela 7.9 e 7.8. Para menores valores de Péclet (Pe

= 0.1 e Pe

= 1), nenhum

dígito apresenta convergência, mesmo para malha mais reﬁnada utilizada, próximo à

entrada do canal (ξ = 0.001).

7. Resultados da solução permanente 92

Tab. 7.7: Número de Nusselt com Pe

= 10 para discretização bidirecional CDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 142.762 107.173 -20.8444 7.73673

12 25 297.397 219.275 -57.1762 7.75869

12 50 594.589 434.854 -126.822 7.76699

12 100 1188.880 866.008 -266.010 7.77077

12 200 2377.440 1728.32 -544.336 7.77431

12 400 4754.480 3452.93 -1100.96 7.77433

25 12 138.154 70.5440 8.25530 7.77968

25 25 286.594 133.459 8.25791 7.79041

25 50 571.951 255.049 8.25796 7.79382

25 100 1142.620 498.577 8.25787 7.79521

25 200 2283.950 985.823 8.25783 7.79638

25 400 4566.560 1960.41 8.25782 7.79640

50 12 131.320 33.5192 8.16864 7.77186

50 25 268.013 32.1138 8.17273 7.77924

50 50 530.943 30.9288 8.17298 7.78115

50 100 1056.990 30.2176 8.17295 7.78184

50 200 2109.230 29.8355 8.17293 7.78225

50 400 4213.780 29.6383 8.17293 7.78226

100 12 124.318 26.3604 8.15113 7.75112

100 25 240.174 -7.20932 8.15516 7.75768

100 50 460.594 -74.3350 8.15541 7.75912

100 100 902.173 -205.750 8.15538 7.75952

100 200 1786.320 -465.961 8.15536 7.75971

100 400 3555.260 -984.789 8.15535 7.75973

200 12 121.577 37.0201 8.14622 7.73862

200 25 213.013 30.6256 8.15028 7.74506

200 50 362.802 26.9930 8.15054 7.74637

200 100 655.213 26.2346 8.15051 7.74670

200 200 1242.910 26.2734 8.15049 7.74680

200 400 2421.900 26.3936 8.15049 7.74682

400 12 122.538 37.7968 8.14498 7.73378

400 25 204.593 31.9331 8.14906 7.74022

400 50 283.688 29.2716 8.14932 7.74150

400 100 365.713 28.8534 8.14929 7.74181

400 200 508.964 28.7825 8.14927 7.74189

400 400 804.824 28.7659 8.14926 7.74191

800 12 123.951 37.9440 8.14467 7.73227

800 25 210.603 31.9672 8.14875 7.73872

800 50 280.516 29.3177 8.14901 7.73999

800 100 242.552 28.9124 8.14898 7.74029

800 200 14.2330 28.8384 8.14897 7.74037

800 400 -475.662 28.8212 8.14896 7.74039

1600 12 124.687 37.9775 8.14459 7.73185

1600 25 215.905 31.9558 8.14868 7.73829

1600 50 307.048 29.3076 8.14894 7.73957

1600 100 338.681 28.9122 8.14891 7.73987

1600 200 298.107 28.8392 8.14889 7.73995

1600 400 261.858 28.8221 8.14888 7.73996

7. Resultados da solução permanente 93

Tab. 7.8: Número de Nusselt com Pe

= 1 para discretização bidirecional CDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 144.438 123.545 30.9689 8.45042

12 25 298.694 233.484 4.57372 8.43917

12 50 594.554 439.571 -48.4931 8.43693

12 100 1186.24 852.247 -151.747 8.43643

12 200 2369.72 1679.08 -355.683 8.43637

12 400 4736.78 3333.82 -762.009 8.43634

25 12 144.190 122.079 38.4667 8.46242

25 25 295.355 208.840 32.7172 8.45054

25 50 580.491 333.474 29.8808 8.44809

25 100 1148.14 563.546 29.2981 8.44750

25 200 2283.56 1025.35 29.1925 8.44737

25 400 4555.12 1954.67 29.1697 8.44734

50 12 144.287 123.483 38.7984 8.46474

50 25 294.343 206.831 32.5424 8.45274

50 50 568.416 275.704 29.6815 8.45025

50 100 1096.25 296.966 29.2280 8.44964

50 200 2142.07 287.711 29.1471 8.44949

50 400 4234.42 275.353 29.1283 8.44946

100 12 144.413 124.753 38.9017 8.46529

100 25 294.764 213.912 32.5456 8.45326

100 50 564.791 291.872 29.6871 8.45076

100 100 1051.16 266.854 29.2510 8.45015

100 200 1947.31 37.1027 29.1711 8.44999

100 400 3702.74 -479.736 29.1525 8.44996

200 12 144.495 125.246 38.9261 8.46542

200 25 295.336 217.470 32.5376 8.45338

200 50 566.692 310.593 29.6798 8.45088

200 100 1039.82 343.126 29.2509 8.45027

200 200 1791.34 294.025 29.1718 8.45012

200 400 3021.41 247.072 29.1533 8.45008

400 12 144.540 125.338 38.9321 8.46545

400 25 295.707 218.081 32.5350 8.45341

400 50 569.023 313.298 29.6775 8.45091

400 100 1048.82 350.119 29.2505 8.45030

400 200 1768.74 304.978 29.1716 8.45015

400 400 2575.70 266.582 29.1532 8.45011

800 12 144.562 125.361 38.9336 8.46546

800 25 295.902 218.234 32.5343 8.45342

800 50 570.452 313.963 29.6769 8.45092

800 100 1058.09 351.632 29.2504 8.45030

800 200 1812.00 305.826 29.1716 8.45015

800 400 2627.15 266.967 29.1532 8.45011

1600 12 144.572 125.366 38.9340 8.46546

1600 25 295.984 218.272 32.5342 8.45342

1600 50 571.079 314.129 29.6767 8.45092

1600 100 1062.65 351.995 29.2504 8.45031

1600 200 1842.04 305.906 29.1716 8.45015

1600 400 2790.44 266.832 29.1532 8.45012

7. Resultados da solução permanente 94

Tab. 7.9: Número de Nusselt com Pe

= 0.1 para discretização bidirecional CDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 146.666 144.444 125.215 57.0132

12 25 305.317 294.738 214.366 46.1014

12 50 608.178 564.566 298.058 41.2032

12 100 1207.17 1043.77 297.429 40.4846

12 200 2393.08 1894.82 133.074 40.3514

12 400 4756.75 3525.30 -244.069 40.3204

25 12 146.674 144.518 125.538 57.3048

25 25 305.371 295.289 216.654 46.4417

25 50 608.396 567.046 309.837 41.4341

25 100 1206.34 1040.86 345.046 40.6923

25 200 2375.35 1768.21 303.355 40.5558

25 400 4662.39 2824.14 267.417 40.5241

50 12 146.678 144.554 125.595 57.3701

50 25 305.402 295.595 217.038 46.5165

50 50 608.599 569.112 311.466 41.4841

50 100 1207.21 1051.27 348.321 40.7378

50 200 2372.87 1779.14 303.409 40.6007

50 400 4598.96 2545.35 265.268 40.5688

100 12 146.679 144.571 125.610 57.3864

100 25 305.419 295.748 217.135 46.5351

100 50 608.724 570.258 311.887 41.4965

100 100 1208.02 1059.13 349.261 40.7491

100 200 2376.42 1823.14 303.787 40.6118

100 400 4590.87 2688.30 265.222 40.5799

200 12 146.680 144.577 125.614 57.3904

200 25 305.428 295.801 217.159 46.5398

200 50 608.791 570.663 311.992 41.4996

200 100 1208.52 1062.09 349.489 40.7520

200 200 2379.72 1842.86 303.827 40.6146

200 400 4605.83 2799.73 265.120 40.5827

400 12 146.681 144.578 125.614 57.3915

400 25 305.432 295.811 217.165 46.5409

400 50 608.825 570.741 312.018 41.5003

400 100 1208.79 1062.65 349.546 40.7527

400 200 2381.70 1846.36 303.833 40.6153

400 400 4619.08 2817.09 265.089 40.5834

800 12 146.681 144.579 125.615 57.3917

800 25 305.434 295.814 217.166 46.5412

800 50 608.842 570.761 312.025 41.5005

800 100 1208.92 1062.78 349.560 40.7529

800 200 2382.71 1847.23 303.835 40.6155

800 400 4626.68 2821.39 265.081 40.5835

1600 12 146.681 144.579 125.615 57.3918

1600 25 305.435 295.815 217.167 46.5413

1600 50 608.849 570.766 312.026 41.5006

1600 100 1208.97 1062.82 349.564 40.7529

1600 200 2383.14 1847.45 303.835 40.6155

1600 400

7. Resultados da solução permanente 95

Comparando os resultados obtidos nesta seção com os obtidos na validação com o

escoamento slug-ﬂow (tabelas 6.1 , 6.2 e 6.3), observa-se que a convergência é melhor

para slug-ﬂow. Para este tipo simpliﬁcado de escoamento é obtida uma convergência

com seis dígitos, com malhas relativamente grosseiras, na posição ξ = 1, para valores

de Pe

= 1 e Pe

= 10. Já para o escoamento do tipo Hagen-Poiseuille, é necessário

um reﬁnamento muito maior da malha para obter a mesma precisão obtida em posições

similares para slug-ﬂow. De fato, para o escoamento do tipo Hagen-Poiseuille, em

nenhum caso foi obtida a convergência com seis dígitos. Entretanto, para posições

próximas da entrada do canal e para número de Péclet Pe

= 0.1, não foi observada

convergência superior para o escoamento slug-ﬂow.

Comparando os valores de número de Nusselt obtidos para os dois de tipos de

escoamento é possível observar que o comportamento das soluções é muito semelhante

e os resultados estão muito próximos, sendo que os valores do número de Nusselt para

slug-ﬂow são um pouco maiores que os valores obtidos para Hagen-Poiseuille. Este

resultado pode estar associado à diferença dos perﬁs de velocidade para os dois tipos

de escoamento, onde o perﬁl de velocidade reto do slug-ﬂow contribui para a melhor

transferência de calor junto a parede, conforme mencionado anteriormente.

7. Resultados da solução permanente 96

7.2.2 Esquema híbrido – HDS

Esta seção apresenta os resultados para a solução HDS em regime permanente, dis-

cretizada em duas direções, com o objetivo de comparar os resultados obtidos para

solução numérica CDS desenvolvida, considerando a condição de contorno de tempe-

ratura constante na parede do canal.

Antes de apresentar resultados calculados com o esquema de diferenças híbrido

HDS (combinação de diferenças centradas e upwind) valores do parâmetro ω em fun-

ção do número de Péclet são avaliados e mostrados na tabela 7.10.

Tab. 7.10: Valores do parâmetro α para o esquema HDS.

∗

0 0.1 0.5 1.0 1.5 2.0 5.0 10

ω 0.5000 0.4994 0.4844 0.4378 0.3630 0.2689 0.0019 0.0000

Como pode-se observar desta tabela, para valores de Péclet ≤ 0.1 os valores de ω

(ω ≈ 0.5) estarão resultando num esquema praticamente apenas CDS. Portanto, resul-

tados para HDS com Péclet igual a 0.1 não serão apresentados, pois estes levariam a

praticamente aos mesmos resultados calculados com o esquema CDS. Para Pe

= 10

pode-se dizer que o esquema é praticamente UDS, todavia, como perto da parede a ve-

locidade cai para zero, nestas posições a difusão é dominante e o esquema aproxima-se

do CDS.

O número de Nusselt foi calculado para diferentes posições longitudinais (ξ =

0.001, 0.01, 0.1 e 1) variando o valor de número de Péclet (Pe

= 10 e Pe

= 1).

A critério de veriﬁcação, valores de Nusselt com Pe

= 0.1 foram também calculados

com o esquema HDS, todavia, como esperado os mesmos resultados obtidos com o

esquema CDS foram obtidos. As tabelas 7.11 e 7.12 mostram os valores de Nusselt

obtidos para diferentes números de Péclet.

Comparando os valores de Nusselt obtidos

para os dois esquemas, CDS E HDS, é possível observar que o comportamento das so-

luções é muito semelhante e os resultados estão muito próximos, sendo que em alguns

casos os resultados são exatamente iguais para os dois esquemas, tanto para Pe

= 10

Valores para as temperaturas adimensionais em diferentes posições no escoamento também foram

calculados pelo esquema HDS, e são apresentadas no apêndice A.5.

7. Resultados da solução permanente 97

quanto para Pe

= 1.

Tab. 7.11: Número de Nusselt com Pe

= 10 para discretização bidirecional HDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 143.068 109.340 -22.8937 7.61721

12 25 298.060 223.938 -61.9008 7.63479

12 50 595.937 444.315 -136.672 7.64027

12 100 1191.60 885.064 -286.103 7.64245

12 200 2382.90 1766.57 -584.909 7.64430

12 400 4765.42 3529.56 -1182.50 7.64432

25 12 138.430 71.6251 8.44427 7.67078

25 25 287.207 135.776 8.44838 7.68227

25 50 573.213 259.762 8.44861 7.68532

25 100 1145.18 508.091 8.44852 7.68638

25 200 2289.10 1004.94 8.44848 7.68714

25 400 4576.91 1998.74 8.44847 7.68716

50 12 131.489 33.6142 8.29824 7.70338

50 25 268.412 32.1817 8.30302 7.71196

50 50 531.786 30.9765 8.30332 7.71398

50 100 1058.73 30.2558 8.30328 7.71459

50 200 2112.74 29.8691 8.30325 7.71492

50 400 4220.85 29.6696 8.30324 7.71494

100 12 124.380 26.4031 8.22668 7.71720

100 25 240.359 -7.31182 8.23106 7.72452

100 50 460.996 -74.7231 8.23133 7.72608

100 100 903.017 -206.685 8.23129 7.72650

100 200 1788.05 -467.977 8.23127 7.72667

100 400 3558.76 -988.958 8.23126 7.72669

200 12 121.570 37.2120 8.18668 7.72266

200 25 213.081 30.7628 8.19092 7.72951

200 50 362.942 27.1298 8.19118 7.73089

200 100 655.497 26.3749 8.19115 7.73124

200 200 1243.49 26.4146 8.19113 7.73134

200 400 2423.09 26.5349 8.19112 7.73136

400 12 122.520 37.9217 8.16586 7.72603

400 25 204.615 32.0247 8.17002 7.73268

400 50 283.736 29.3654 8.17028 7.73400

400 100 365.772 28.9489 8.17025 7.73432

400 200 509.053 28.8783 8.17023 7.73441

400 400 804.979 28.8616 8.17022 7.73443

800 12 123.952 38.0151 8.15527 7.72842

800 25 210.616 32.0195 8.15939 7.73497

800 50 280.542 29.3711 8.15965 7.73626

800 100 242.573 28.9667 8.15962 7.73657

800 200 14.2337 28.8928 8.15960 7.73665

800 400 -475.701 28.8756 8.15959 7.73667

1600 12 124.698 38.0153 8.14993 7.72992

1600 25 215.922 31.9836 8.15403 7.73642

1600 50 307.066 29.3359 8.15429 7.73770

1600 100 338.698 28.9409 8.15426 7.73801

1600 200 298.123 28.8679 8.15425 7.73808

1600 400 261.874 28.8509 8.15424 7.73810

7. Resultados da solução permanente 98

Tab. 7.12: Número de Nusselt com Pe

= 1 para discretização bidirecional HDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 144.439 123.549 30.9700 8.44801

12 25 298.695 233.491 4.57483 8.43679

12 50 594.556 439.585 -48.4919 8.43456

12 100 1186.24 852.274 -151.746 8.43406

12 200 2369.73 1679.14 -355.682 8.43400

12 400 4736.80 3333.92 -762.007 8.43397

25 12 144.190 122.080 38.4660 8.46127

25 25 295.355 208.843 32.7168 8.44941

25 50 580.492 333.478 29.8806 8.44697

25 100 1148.14 563.554 29.2979 8.44638

25 200 2283.57 1025.37 29.1923 8.44625

25 400 4555.13 1954.70 29.1695 8.44621

50 12 144.287 123.483 38.7978 8.46416

50 25 294.343 206.832 32.5420 8.45217

50 50 568.417 275.706 29.6813 8.44969

50 100 1096.25 296.967 29.2278 8.44908

50 200 2142.08 287.712 29.1469 8.44893

50 400 4234.42 275.354 29.1281 8.44889

100 12 144.413 124.754 38.9014 8.46500

100 25 294.765 213.913 32.5454 8.45297

100 50 564.792 291.872 29.6870 8.45048

100 100 1051.16 266.854 29.2508 8.44987

100 200 1947.31 37.1027 29.1709 8.44971

100 400 3702.74 -479.736 29.1524 8.44967

200 12 144.495 125.246 38.9260 8.46528

200 25 295.336 217.470 32.5375 8.45324

200 50 566.692 310.593 29.6797 8.45074

200 100 1039.82 343.126 29.2508 8.45013

200 200 1791.34 294.025 29.1717 8.44997

200 400 3021.41 247.072 29.1532 8.44994

400 12 144.540 125.338 38.9321 8.46538

400 25 295.707 218.081 32.5349 8.45334

400 50 569.023 313.298 29.6775 8.45084

400 100 1048.82 350.119 29.2505 8.45023

400 200 1768.74 304.978 29.1716 8.45008

400 400 2575.70 266.582 29.1532 8.45004

800 12 144.562 125.361 38.9336 8.46543

800 25 295.902 218.234 32.5343 8.45339

800 50 570.452 313.963 29.6769 8.45089

800 100 1058.09 351.632 29.2504 8.45027

800 200 1812.00 305.826 29.1715 8.45012

800 400 2627.15 266.967 29.1532 8.45008

1600 12 144.572 125.366 38.9340 8.46545

1600 25 295.984 218.272 32.5341 8.45341

1600 50 571.079 314.129 29.6767 8.45090

1600 100 1062.65 351.995 29.2504 8.45029

1600 200 1842.04 305.906 29.1715 8.45014

1600 400 2790.44 266.832 29.1532 8.45010

7. Resultados da solução permanente 99

Os resultados apresentados mostram que a convergência das soluções para os dois

esquemas é muito semelhante em relação ao número de Péclet, em relação às coorde-

nadas (ξ e η) e em relação as malhas utilizadas. O mesmo o comportamento atípico

apresentado em alguns casos da solução para CDS foram obtidos para HDS, para os

mesmos números de Péclet, mesmas coordenadas e mesmas malhas.

Os resultados mostram que aparentemente a convergência para CDS é melhor do

que para HDS. É muito provável que a ordem do erro esteja inﬂuenciando na con-

vergência, visto que para CDS o erro é da ordem de ∆ξ

enquanto que para UDS

(diferença avançada ou atrasada) o erro é da ordem de ∆ξ. Porém, o tempo computaci-

onal também deve ser comparado. Tal comparação é apresentada no ﬁnal desta seção,

na tabela 7.15.

7.2.3 Análise da solução com Péclet grande

Com o objetivo de veriﬁcar importância da difusão axial, a solução com Pe → ∞ é

calculada. As soluções com discretização bidirecional CDS e HDS são utilizadas. As

tabelas 7.13 e 7.14 mostram os valores de Nusselt obtidos para diferentes malhas para

a discretização CDS e HDS, respectivamente. Como pode-se observar, os resultados

obtidos são muito semelhantes aos resultados obtidos para a solução com número de

= 10. O mesmo o comportamento atípico apresentado em alguns casos da solução

para número de Pe

= 10 foram obtidos também para a solução com número de Péclet

grande, nas mesmas coordenadas e nas mesmas malhas, tanto para a discretização CDS

quanto para HDS.

Valores para a temperatura adimensional também foram calculados com a discre-

tização CDS, em diferentes posições, e são apresentados no apêndice A.4, mostrando

um comportamento, em geral, similar ao de Nusselt. Comparando os valores de tem-

peratura obtidos para número de Péclet grande e número Pe

= 10, é possível observar

que o comportamento das soluções é muito semelhante e os resultados estão muito

próximos.

7. Resultados da solução permanente 100

Tab. 7.13: Número de Nusselt com Pe

grande e discretização bidirecional CDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 142.783 107.121 -23.9407 7.48260

12 25 297.551 220.177 -61.7740 7.51716

12 50 594.989 437.504 -134.483 7.52975

12 100 1189.770 872.107 -279.890 7.53541

12 200 2379.300 1741.290 -570.701 7.54066

12 400 4758.280 3479.630 -1152.32 7.54069

25 12 137.816 66.6339 7.74537 7.50868

25 25 286.610 131.117 7.75708 7.52968

25 50 572.583 255.190 7.75905 7.53602

25 100 1144.440 503.336 7.75945 7.53855

25 200 2288.130 999.622 7.75954 7.54066

25 400 4575.430 1992.190 7.75956 7.54069

50 12 128.642 14.1349 7.65403 7.51766

50 25 266.067 13.9271 7.66508 7.53398

50 50 530.244 13.8901 7.66698 7.53817

50 100 1058.530 13.8821 7.66738 7.53963

50 200 2115.060 13.8803 7.66747 7.54066

50 400 4228.120 13.8799 7.66749 7.54069

100 12 111.802 -13.5763 7.62853 7.52162

100 25 227.498 -48.8065 7.63942 7.53588

100 50 450.116 -115.994 7.64129 7.53912

100 100 895.337 -250.266 7.64170 7.54010

100 200 1785.770 -518.788 7.64178 7.54066

100 400 3566.590 -1055.83 7.64180 7.54069

200 12 83.4941 11.9306 7.62141 7.52349

200 25 160.456 12.0700 7.63224 7.53677

200 50 309.350 12.0930 7.63411 7.53957

200 100 607.277 12.0969 7.63451 7.54032

200 200 1203.150 12.0976 7.63459 7.54066

200 400 2394.900 12.0978 7.63462 7.54069

400 12 44.2133 12.0230 7.61958 7.52440

400 25 62.4122 12.0846 7.63039 7.53721

400 50 100.5570 12.0921 7.63226 7.53978

400 100 177.4140 12.0931 7.63266 7.54043

400 200 331.2370 12.0932 7.63274 7.54066

400 400 638.9060 12.0932 7.63277 7.54069

800 12 13.0182 11.9694 7.61912 7.52485

800 25 -21.8185 12.0281 7.62993 7.53742

800 50 -82.0234 12.0353 7.63180 7.53989

800 100 -201.189 12.0362 7.63220 7.54048

800 200 -439.274 12.0363 7.63228 7.54066

800 400 -915.396 12.0364 7.63230 7.54069

1600 12 25.4184 11.9540 7.61900 7.52507

1600 25 25.1331 12.0119 7.62981 7.53753

1600 50 25.3401 12.0190 7.63168 7.53994

1600 100 25.3787 12.0199 7.63208 7.54051

1600 200 25.3846 12.0201 7.63216 7.54066

1600 400 25.3855 12.0201 7.63218 7.54069

7. Resultados da solução permanente 101

Tab. 7.14: Número de Nusselt com Pe

grande e discretização bidirecional HDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 143.211 110.202 -27.5848 7.50786

12 25 298.477 226.828 -69.8078 7.52929

12 50 596.872 451.013 -150.950 7.53582

12 100 1193.56 899.327 -313.222 7.53845

12 200 2386.92 1795.94 -637.760 7.54066

12 400 4773.55 3589.12 -1286.84 7.54069

25 12 138.356 68.7065 7.90618 7.51766

25 25 287.804 135.733 7.91869 7.53398

25 50 575.033 264.703 7.92070 7.53817

25 100 1149.40 522.642 7.92109 7.53963

25 200 2298.11 1038.52 7.92118 7.54066

25 400 4595.46 2070.25 7.92120 7.54069

50 12 129.202 13.7268 7.75764 7.52162

50 25 267.387 13.5027 7.76894 7.53588

50 50 533.029 13.4629 7.77081 7.53912

50 100 1064.24 13.4545 7.77119 7.54010

50 200 2126.65 13.4526 7.77128 7.54066

50 400 4251.41 13.4521 7.77130 7.54069

100 12 112.199 -14.8794 7.68727 7.52349

100 25 228.677 -51.0801 7.69821 7.53677

100 50 452.808 -120.100 7.70006 7.53957

100 100 901.056 -258.033 7.70044 7.54032

100 200 1797.53 -533.873 7.70053 7.54066

100 400 3590.47 -1085.55 7.70055 7.54069

200 12 83.3424 12.1301 7.65258 7.52440

200 25 160.904 12.2729 7.66342 7.53721

200 50 310.973 12.2993 7.66527 7.53978

200 100 611.260 12.3037 7.66566 7.54043

200 200 1211.86 12.3045 7.66574 7.54066

200 400 2413.05 12.3047 7.66576 7.54069

400 12 42.9604 12.1550 7.63559 7.52485

400 25 61.3214 12.2264 7.64641 7.53742

400 50 99.7686 12.2352 7.64826 7.53989

400 100 177.260 12.2363 7.64866 7.54048

400 200 332.358 12.2365 7.64874 7.54066

400 400 642.579 12.2365 7.64876 7.54069

800 12 10.8804 12.0560 7.62723 7.52507

800 25 -24.0756 12.1199 7.63804 7.53753

800 50 -84.7076 12.1278 7.63990 7.53994

800 100 -204.673 12.1288 7.64030 7.54051

800 200 -444.349 12.1290 7.64038 7.54066

800 400 -923.650 12.1290 7.64040 7.54069

1600 12 26.2917 12.0029 7.62308 7.52519

1600 25 25.1710 12.0636 7.63389 7.53758

1600 50 25.3752 12.0710 7.63575 7.53997

1600 100 25.4206 12.0720 7.63615 7.54052

1600 200 25.4277 12.0721 7.63624 7.54066

1600 400

7. Resultados da solução permanente 102

Comparando os valores de apresentados para o número de Nusselt, observa-se que

o caso com Péclet grande aproxima-se de Pe

= 10, em posições longe da entrada do

canal. Os resultados são notavelmente diferentes próximo a entrada do canal; porém,

os valores de Nusselt são sempre maiores para o caso com Pe

= 10. Este fenômeno,

novamente, deve-se ao fato de haver mais difusão axial em Pe

= 10 (de fato, para a

aproximação com Péclet grande não existe difusão axial).

Para completar a comparação dos esquemas HDS e CDS, o tempo computacional

(em segundos) associado à solução do problema para diferentes malhas e diferentes

valores de Péclet é apresentado na tabela 7.15. Como pode ser observado, o tempo

computacional com o esquema HDS é notadamente menor do que com o esquema

CDS, principalmente para Pe

= 1, onde o tempo computacional gasto para HDS é

menos que a metade do CDS.

Tab. 7.15: Tempo computacional para HDS e CDS para discretização bidirecional em

diferentes malhas.

→ ∞ Pe

= 10 Pe

= 1 Pe

= 1/10

I J CDS HDS CDS HDS CDS HDS CDS HDS

50 50 8 6 9 8 9 6 6 6

200 25 35 23 42 35 43 35 25 25

100 50 37 25 38 33 39 25 26 25

50 100 38 25 42 36 43 25 25 25

25 200 39 26 55 49 49 25 26 25

400 25 161 91 231 194 229 105 108 103

200 50 172 112 206 168 204 101 104 101

100 100 186 120 214 181 211 105 110 107

50 200 186 125 246 215 245 114 108 111

25 400 196 124 294 261 255 108 120 114

400 50 920 599 1003 878 1052 470 506 472

200 100 791 561 1001 886 995 480 504 488

100 200 955 601 1080 919 1183 527 546 524

50 400 1027 659 1100 928 1095 458 454 457

200 200 4113 2947 4361 2965 4437 2276 2394 2360

Também foram calculados os resultados com a discretização baseada exclusiva-

mente no esquema UDS (diferença avançada ou atrasada) para comparação com os

resultados obtidos anteriormente. Estes resultados estão na tabela 7.16. Os resultados

não mostraram diferenças signiﬁcativas em relação aos demais resultados obtidos com

valores de Péclet grande.

7. Resultados da solução permanente 103

Tab. 7.16: Número de Nusselt para Pe

grande e discretização bidirecional UDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 143.211 110.202 -27.5848 7.50786

12 25 298.477 226.828 -69.8078 7.52929

12 50 596.872 451.013 -150.950 7.53582

12 100 1193.56 899.327 -313.222 7.53845

12 200 2386.92 1795.94 -637.760 7.54066

12 400 4773.55 3589.12 -1286.84 7.54069

25 12 138.356 68.7065 7.90618 7.51766

25 25 287.804 135.733 7.91869 7.53398

25 50 575.033 264.703 7.92070 7.53817

25 100 1149.40 522.642 7.92109 7.53963

25 200 2298.11 1038.52 7.92118 7.54066

25 400 4595.46 2070.25 7.92120 7.54069

50 12 129.202 13.7268 7.75764 7.52162

50 25 267.387 13.5027 7.76894 7.53588

50 50 533.029 13.4629 7.77081 7.53912

50 100 1064.24 13.4545 7.77119 7.54010

50 200 2126.65 13.4526 7.77128 7.54066

50 400 4251.41 13.4521 7.77130 7.54069

100 12 112.199 -14.8794 7.68727 7.52349

100 25 228.677 -51.0801 7.69821 7.53677

100 50 452.808 -120.100 7.70006 7.53957

100 100 901.056 -258.033 7.70044 7.54032

100 200 1797.53 -533.873 7.70053 7.54066

100 400 3590.47 -1085.55 7.70055 7.54069

200 12 83.3424 12.1301 7.65258 7.52440

200 25 160.904 12.2729 7.66342 7.53721

200 50 310.973 12.2993 7.66527 7.53978

200 100 611.260 12.3037 7.66566 7.54043

200 200 1211.86 12.3045 7.66574 7.54066

200 400 2413.05 12.3047 7.66576 7.54069

400 12 42.9604 12.1550 7.63559 7.52485

400 25 61.3214 12.2264 7.64641 7.53742

400 50 99.7686 12.2352 7.64826 7.53989

400 100 177.260 12.2363 7.64866 7.54048

400 200 332.358 12.2365 7.64874 7.54066

400 400 642.579 12.2365 7.64876 7.54069

800 12 10.8804 12.056 7.62723 7.52507

800 25 -24.0756 12.1199 7.63804 7.53753

800 50 -84.7076 12.1278 7.63990 7.53994

800 100 -204.673 12.1288 7.64030 7.54051

800 200 -444.349 12.1290 7.64038 7.54066

800 400 -923.650 12.1290 7.64040 7.54069

1600 12 26.2917 12.0029 7.62308 7.52519

1600 25 25.1710 12.0636 7.63389 7.53758

1600 50 25.3752 12.0710 7.63575 7.53997

1600 100 25.4206 12.0720 7.63615 7.54052

1600 200 25.4277 12.0721 7.63624 7.54066

1600 400 25.4287 12.0721 7.63626 7.54069

7. Resultados da solução permanente 104

7.3 Resultados para a discretização apenas longitudinal

Esta seção apresenta os resultados para a solução em regime permanente utilizando

discretização em apenas uma direção, com o objetivo de testar um forma alternativa de

resolver o problema, considerando a condição de contorno de temperatura constante na

parede do canal. O numero de Nusselt é calculado para diferentes posições axiais (ξ)

e diferentes valores de número de Péclet. A tabela 7.17 mostra os valores de Nusselt

obtidos para diferentes números de Péclet (Pe

= 10, Pe

= 1 e Pe

= 0.1). A primeira

coluna das tabelas indicam o número de volumes em que o canal foi dividido. Como

mostram os resultados a solução numérica falha para número de Péclet maiores.

Tab. 7.17: Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas.

I ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

= 10

3 erro de solução

= 1

3 35.7757 34.8488 27.0978 9.05009

6 72.5352 67.9371 37.3617 8.52423

12 144.574 125.368 38.9341 8.46468

15 erro de solução

= 0.1

3 35.8745 35.8198 35.3016 32.8593

6 73.0238 72.6188 68.8247 52.0686

12 146.681 144.579 125.615 57.3918

25 305.435 295.815 217.167 46.5413

50 608.851 570.767 312.027 41.5006

100 1208.99 1062.83 349.565 40.7529

200 erro de solução

Com o objetivo de contornar as diﬁculdades numéricas encontradas na solução

cujos resultados foram apresentados anteriormente (tabela 7.17), os resultados foram

recalculados utilizando uma rota alternativa. A solução analítica envolvendo expo-

nenciais de matrizes, dada pelas equações 5.80, junto com o método do tiro foram

utilizados para obter os valores de Nusselt. Os resultados são apresentados na tabela

7.18. Como pode-se observar, com esta alternativa, é possível obter resultados para

casos anteriormente inviáveis. Esta tabela também apresenta as colunas SWP e MWP.

Estes valores representam o número de casas decimais necessárias para executar a so-

lução. MWP é valor utilizado para o cálculo das matrizes exponenciais e SWP é o

7. Resultados da solução permanente 105

valor utilizado para o método do tiro.

Tab. 7.18: Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas — solução ana-

lítica com exponenciais de matrizes.

I SWP MWP ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

= 10

3 16 45 34.8909 27.3693 8.27696 7.45751

6 16 75 67.8090 36.7766 8.11875 7.69144

12 16 80 erro de solução

= 1

3 16 16 35.7757 34.8488 27.0978 9.05009

6 16 16 72.5352 67.9371 37.3617 8.52423

12 16 16 144.574 125.368 38.9341 8.45597

25 16 30 296.005 218.285 32.5341 8.45334

– – – erro de solução

= 0.1

3 16 16 35.8745 35.8198 35.3016 32.8593

6 16 16 73.0238 72.6188 68.8247 52.0686

12 16 16 146.681 144.579 125.615 57.3918

25 16 16 305.435 295.815 217.167 46.5413

50 16 16 608.851 570.767 312.027 41.5006

– – – erro de solução

Em seguida, as soluções para o caso aproximado sem difusão axial, representando

os casos com valores grandes de Péclet são apresentados. A tabela 7.19 mostra os va-

lores de Nusselt obtidos para diferentes malhas transversais calculados em diferentes

posições axiais. Os resultados mostram que os valores de Nusselt obtidos com número

de Péclet grande com discretização em apenas uma direção são muito próximos dos re-

sultados obtidos com discretização em duas direções. Para este caso, como o problema

é reduzido a um problema de valor inicial, a solução numérica é realizada sem nenhum

problema, podendo facilmente serem calculados valores de Nusselt para malhas muito

reﬁnadas.

7. Resultados da solução permanente 106

Tab. 7.19: Número de Nusselt para discretização longitudinal apenas com Péclet

grande.

I ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

3 22.7720 14.1417 7.53344 7.36294

5 29.7022 12.0181 7.61568 7.49827

10 24.5340 12.0401 7.63233 7.53491

20 24.7082 12.0206 7.63279 7.53989

40 24.6923 12.0160 7.63239 7.54058

80 24.6892 12.0149 7.63222 7.54068

100 24.6888 12.0147 7.63225 7.54074

120 24.6886 12.0147 7.63220 7.54071

140 24.6884 12.0146 7.63217 7.54069

160 24.6884 12.0146 7.63217 7.54069

180 24.6884 12.0146 7.63216 7.54069

200 24.6883 12.0146 7.63217 7.54070

250 24.6883 12.0145 7.63216 7.54071

300 24.6883 12.0145 7.63216 7.54071

350 24.6882 12.0145 7.63216 7.54070

400 24.6882 12.0145 7.63216 7.54070

450 24.6882 12.0145 7.63216 7.54070

500 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070

600 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070

700 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070

800 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070

900 24.6882 12.0145 7.63215 7.54071

1000 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070

1500 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070

2000 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070

2500 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070

7. Resultados da solução permanente 107

7.4 Análise da inﬂuência de ξ

max

O objetivo desta seção é veriﬁcar a inﬂuência do comprimento máximo do canal (ξ

max

)

nos valores de Nusselt. São apresentados resultados calculados com discretização bidi-

recional baseada no esquema de diferenças híbrido HDS para o cálculo do número de

Nusselt. Os casos com a aproximação de Péclet grande são calculados com a solução

com discretização longitudinal apenas.

7.4.1 Resultados com Péclet grande

Os valores de Nusselt obtidos para número de Péclet grande para diferentes valores

de ξ

max

= (1 2, 4, 8) são apresentados nas tabelas 7.20 e 7.21. Como o desempenho

da solução unidirecional foi muito superior para este caso, apenas esta alternativa foi

utilizada para estes resultados. Comprando os valores apresentados é possível obser-

var que o valor de ξ

max

não inﬂuencia os valores de Nusselt, tanto na entrada quanto

na saída do canal. Para a malha com 400 divisões longitudinais percebe-se alguma

ﬂutuação para ξ > 1; todavia, estas desaparecem quando a malha é reﬁnada para 800,

conﬁrmando o que o aumento de ξ

max

além de ξ = 1 não inﬂuencia a solução para

este caso. Isto também conﬁrma o fato que para este caso, o desenvolvimento térmico

é atingido para ξ

max

≈ 1.

Tab. 7.20: Número de Nusselt com Pe

grande com J = 400.

max

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2 ξ = 4 ξ = 8

1 24.6882 12.0145 7.63214 7.54069 — — —

2 24.6882 12.0145 7.63214 7.54069 7.54069 — —

4 24.6882 12.0145 7.63214 7.54069 7.54069 7.53692 —

8 24.6882 12.0145 7.63214 7.54069 7.54069 7.50788 7.54070

Tab. 7.21: Número de Nusselt com Pe

grande com J = 800.

max

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2 ξ = 4 ξ = 8

1 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070 — — —

2 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070 7.54070 — —

4 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070 7.54070 7.54070 —

8 24.6882 12.0145 7.63215 7.54070 7.54070 7.54070 7.54070

7. Resultados da solução permanente 108

7.4.2 Resultados para demais valores de Péclet

As tabelas 7.22 e 7.23 mostram os valores de Nusselt obtidos para número de Pe

= 10

para diferentes valores de ξ

max

. Para calcular os resultados para valores de Péclet iguais

a 10 e menores, a solução com discretização bidirecional foi utilizada. Os resultados

para número de Pe

= 10 apresentam um comportamento parecido ao observado para

Péclet grande, com o valor de ξ

max

(acima de 1) tendo pouca inﬂuência sobre os valores

de Nusselt. Como para estes casos soluções com discretização axial foram utilizadas,

naturalmente o aumento do valor de ξ

max

inﬂuencia a necessidade de reﬁnamento da

malha para obtenção da convergência. Em outras palavras, quando o valor de ξ

max

dobrado, é necessário o dobro do número de volumes para obter a mesma convergência

e os mesmos valores, ou valores muito próximos, para Nusselt. Devido a este fato, os

resultados para diferentes valores de ξ

max

foram apresentados ﬁxando-se o tamanho

do espaçamento da malha axial ∆ξ = ξ

max

/I .

Tab. 7.22: Número de Nusselt com Pe

= 10 com ∆ξ = 1/100 e J = 400.

max

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2 ξ = 4 ξ = 8

1 3558.76 -988.958 8.23126 7.72669 — — —

2 3558.76 -988.958 8.23126 7.56840 7.72669 — —

4 3558.76 -988.958 8.23126 7.56840 7.56840 7.72669 —

Tab. 7.23: Número de Nusselt com Pe

= 10 com ∆ξ = 1/200 e J = 400.

max

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2 ξ = 4 ξ = 8

1 2423.09 26.5349 8.19112 7.73136 — — —

2 2423.09 26.5349 8.19112 7.56884 7.73136 — —

4 2423.09 26.5349 8.19112 7.56884 7.56884 7.73136 —

Analisando os valores de Nusselt para posições ξ ≥ 1 percebe-se que, similar ao

caso com Péclet grande, que o desenvolvimento térmico também é atingido para ξ

max

≈

1, onde os valores de Nusselt não mudam para ξ > 1. Entretanto, o valor na saída do

canal (onde a condição de contorno de derivada nula é aplicada) é sempre um pouco

diferente dos valores anteriores. Isto mostra que a condição de contorno na saída

mascara o resultado dos valores de Nusselt nesta posição. Desta forma, para obter

o resultado em uma determinada posição ξ, o ideal é calcular os valores de Nusselt

7. Resultados da solução permanente 109

também em uma posição a frente, ou seja um ξ

max

maior, para minimizar a inﬂuencia

da condição de contorno na saída do canal.

As tabelas 7.24 e 7.25 mostram os valores de Nusselt obtidos para número de

= 1 para diferentes valores de ξ

max

. Diferente do que foi observado para os casos

anteriores, os valores de Nusselt são alterados para valores ξ

max

> 1. Todavia, esta

alteração é cada vez menor, mostrando que haverá um valor de ξ

max

não muito maior

que ξ = 1 acima do qual não haverá mais mudanças nos valores de Nusselt. Outra ob-

servação que pode ser feita é que o valor de ξ

max

tem mais inﬂuência sobre os valores

de Nusselt calculados em posições próximas à saída do canal. Desta forma, para cal-

cular valores de Nusselt próximos à entrada do canal, valores de ξ

max

não tão elevados

poderão ser utilizados.

Tab. 7.24: Número de Nusselt com Pe

= 1 com ∆ξ = 1/100 e J = 400.

max

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2 ξ = 4 ξ = 8

1 3702.74 -479.736 29.1524 8.44967 — — —

2 3703.03 -480.127 29.3415 8.26176 8.06121 — —

4 3703.04 -480.144 29.3498 8.25709 7.93031 8.04556 —

8 3703.04 -480.144 29.3498 8.25708 7.92976 7.91624 8.04553

Tab. 7.25: Número de Nusselt com Pe

= 1 com ∆ξ = 1/200 e J = 400.

max

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2 ξ = 4 ξ = 8

1 3021.41 247.072 29.1532 8.44994 — — —

2 3021.65 247.262 29.3423 8.26180 8.06136

4 3021.66 247.271 29.3506 8.25712 7.93044 8.04571 —

Finalmente, as tabelas de 7.26 até 7.29 mostram os valores de Nusselt obtidos para

número de Pe

= 0.1 para diferentes valores de ξ

max

. De maneira similar ao observado

para valores de Pe

= 1, o valor de ξ

max

inﬂuencia os valores de Nusselt. Entretanto,

para estes casos, esta inﬂuência é muito maior, mostrando que o valor adequado de

max

que deve ser utilizado para calcular o Nusselt será muito maior que ξ = 1. Da

mesma forma, o escoamento só atingirá o desenvolvimento térmico para valores de

max

notavelmente superiores à unidade.

7. Resultados da solução permanente 110

Tab. 7.26: Número de Nusselt com Pe

= 0.1 com ∆ξ = 1/25 e J = 400.

max

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2 ξ = 4 ξ = 8 ξ = 16 ξ = 32

1 4662.39 2824.14 267.417 40.5241 — — — — —

2 4662.50 2824.77 267.297 29.4560 21.1022 — — — —

4 4662.68 2825.88 268.176 28.4050 16.3414 12.1468 — — —

8 4662.89 2827.13 269.327 29.2117 16.7101 10.8357 8.87788 — —

16 4662.98 2827.71 269.868 29.7118 17.1834 11.2207 8.75216 8.16318 —

32 4662.99 2827.76 269.919 29.7606 17.232 11.2683 8.79449 8.14524 8.11000

Tab. 7.27: Número de Nusselt com Pe

= 0.1 com ∆ξ = 1/50 e J = 400.

max

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2 ξ = 4 ξ = 8 ξ = 16

1 4598.96 2545.35 265.268 40.5688 — — — —

2 4599.07 2545.91 265.143 29.4559 21.1077 — — —-

4 4599.25 2546.91 266.013 28.4050 16.3413 12.1475 — —

8 4599.45 2548.03 267.155 29.2116 16.7101 10.8356 8.87795 —

16 4599.55 2548.55 267.691 29.7117 17.1834 11.2207 8.75215 8.16318

Tab. 7.28: Número de Nusselt com Pe

= 0.1 com ∆ξ = 1/100 e J = 400.

max

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2 ξ = 4 ξ = 8

1 4590.87 2688.30 265.222 40.5799 — — —

2 4590.98 2688.90 265.096 29.4559 21.1091 — —

4 4591.16 2689.95 265.966 28.4049 16.3413 12.1477 —

8 4591.37 2691.14 267.108 29.2116 16.7101 10.8356 8.87796

Tab. 7.29: Número de Nusselt com Pe

= 0.1 com ∆ξ = 1/200 e J = 400.

max

ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2 ξ = 4 ξ = 8

1 4605.83 2799.73 265.120 40.5827 — — —

2 4605.94 2800.35 264.994 29.4559 21.1095 — —

7. Resultados da solução permanente 111

7.5 Evolução de Nusselt

O objetivo desta seção é comparar graﬁcamente os resultados obtidos para Nusselt, cal-

culados com diferentes números de Péclet. São apresentados gráﬁcos com resultados

calculados com discretização bidirecional baseada no esquema de diferenças híbrido

HDS. Para calcular os resultados para valores de Péclet igual a 10 e menores, a so-

lução com discretização bidirecional foi utilizada. Os casos com a aproximação de

Péclet grande são calculados com a solução com discretização longitudinal apenas.

No ﬁgura 7.1 é apresentada a evolução dos números de Nusselt obtidos para nú-

mero de Péclet grande e Pe

= 10, utilizando o valor de ξ

max

= 1.1 para para Pe

= 10.

Analisando os valores de Nusselt percebe-se que o desenvolvimento térmico é atingido

para ξ

max

≈ 0.3, onde os valores de Nusselt praticamente não mudam para ξ > 0.3, tanto

para número de Péclet grande quanto para Pe

= 10. O gráﬁco também mostra como

a escolha de ξ

max

= 1 é adequada para a solução.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fig. 7.1: Evolução do número de Nusselt com a posição axial para Pe

= 10 e Péclet

grande (tracejado).

No gráﬁco da ﬁgura 7.2 é apresentada a evolução dos números de Nusselt obtidos

para número de Péclet grande e Pe

= 1. Para a solução com Pe

= 1 foi utilizado um

valor de ξ

max

= 2.5. Diferente do que foi observado para o caso anterior, os valores de

A solução utilizada para Péclet grande não requer a escolha de um valor para ξ

max

7. Resultados da solução permanente 112

Nusselt são alterados para valores ξ > 1. No entanto, esta alteração é cada vez menor,

aproximando-se do desenvolvimento térmico, o qual aparenta, graﬁcamente, ser atin-

gido e torno de ξ = 2. A curva dos resultados para número de Pe

= 1 aproxima-se

da curva para Péclet grande, somente com o valor de ξ

max

(acima de 1). Comparando

os gráﬁcos para Pe

= 10 e Pe

= 1, observa-se que a redução do número de Péclet

requer um comprimento maior do canal para que o desenvolvimento térmico seja atin-

gido. Além disso, observa-se uma diferença signiﬁcativa dos valores do número de

Nusselt nas posições junto à entrada do canal (ξ

max

≤ 1).

0.5

1.0

1.5

2.0

Fig. 7.2: Evolução do número de Nusselt com a posição axial para Pe

= 1 e Péclet

grande (tracejado).

Na ﬁgura 7.3 é apresentada a evolução do número de Nusselt obtido para Pe

= 0.1,

juntamente com o resultado anterior para Péclet grande. Utilizou-se o valore de ξ

max

9 para calcular a solução com Péclet pequeno. Conforme esperado, de maneira similar

ao observado para valores de Pe

= 1, o valor de ξ

max

inﬂuencia os valores de Nusselt.

Entretanto, para estes casos, a inﬂuência é muito maior, mostrando a necessidade um

valor de ξ

max

bem maior que ξ = 2 para calcular o Nusselt. Mesmo para valores de

max

= 8, apesar de estar próximo do desenvolvimento térmico, os valores Nusselt

ainda apresentam uma pequena variação com ξ para Pe

= 0.1.

Nos gráﬁcos de 7.4 até 7.6 é apresentada a evolução dos números de Nusselt ob-

7. Resultados da solução permanente 113

Fig. 7.3: Evolução do número de Nusselt com a posição axial para Pe

= 0.1 e Péclet

grande (tracejado).

tidos para diferentes números de Péclet, sendo: Pe

= 10 (preto), Pe

= 1 (azul),

= 0.1 (vermelho), Péclet grande (tracejado). Nestes gráﬁcos a escala do valor de

Nusselt varia de modo a facilitar a visualização e a comparação dos valores de Nusselt

para os diferentes números de Péclet. Como já observado nos gráﬁcos anteriores, a po-

sição axial no canal não inﬂuencia nos resultados do número Nusselt para valores de

≥ 10, sendo o valor de ξ

max

≈ 1 suﬁciente para atingir o desenvolvimento térmico.

Já para valores de Péclet pequenos a inﬂuencia é ainda grande, sendo necessário um

canal notavelmente maior para atingir o desenvolvimento térmico. Os gráﬁcos apre-

sentados nesta seção ilustram de forma clara o que foi mostrado nas tabelas da seção

anterior, ratiﬁcando alguns comentários apresentados anteriormente.

7. Resultados da solução permanente 114

Fig. 7.4: Evolução de Nusselt com a posição axial: Pe

= 10 (preto), Pe

= 1 (azul),

= 0.1 (vermelho), Péclet grande (tracejado).

Fig. 7.5: Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre dife-

rentes valores de Péclet (escala menor).

7. Resultados da solução permanente 115

Fig. 7.6: Evolução do número de Nusselt com a posição axial: comparação entre dife-

rentes valores de Péclet (escala menor ainda).

7. Resultados da solução permanente 116

7.6 Veriﬁcação da ordem do erro

O objetivo desta seção é comparar o erro percentual dos resultados obtidos nas se-

ções anteriores, com diferentes métodos de discretização, para diferentes posições e

diferentes valores de número de Péclet. Para comparação foram calculados os erros

considerendo o reﬁnamento da malha em J e também o erro considerando o reﬁna-

mento da malha em I . Naturalmente, como não há solução exata, o erro calculado

toma como valor “exato” o valor mais próximo do convergido. O erro global é cal-

culando tomando-se o melhor valor obtido (com a malha mais reﬁnada, tanto em I

quanto em J ). O erro local compara a evolução do erro em cada conjunto de malhas

(ﬁxando-se I ou J ).

As tabelas de 7.30 até 7.35 mostram os erros percentuais para os valores de Nus-

selt obitidos com a discretização baseada no método de diferenção centradas - CDS,

com números de Péclet (Pe

= 10, Pe

= 1 e Pe

= 0.1). As tabelas de 7.36 até 7.39

mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos com a discretização

baseada no método hibrido - HDS, com números de Péclet (Pe

= 10, Pe

= 1). As ta-

belas de 7.40 até 7.43 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obitidos

com a discretização baseada nos métodos CDS e HDS, com número de Péclet grande.

Já as tabelas 7.44 e 7.45 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt obi-

tidos com a discretização baseada no método UDS, com número de Péclet grande.

E ﬁnalmente a tabela 7.46 mostram os erros percentuais para os valores de Nusselt

obitidos com a discretização em apenas uma direção, baseada no método HDS, com

número de Péclet grande.

7. Resultados da solução permanente 117

Tab. 7.30: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Pe

= 10 - CDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 45.48 97.00 271.84 96.90 355.79 98.11 0.04 0.48

12 25 13.57 93.74 660.79 93.65 801.64 94.81 0.24 0.20

12 50 127.07 87.49 1408.75 87.41 1656.31 88.48 0.35 0.09

12 100 354.02 74.99 2904.67 74.92 3364.37 75.84 0.40 0.05

12 200 807.91 50.00 5896.51 49.95 6779.89 50.56 0.44 0.00

12 400 1715.67 0.00 11880.15 0.00 13610.57 0.00 0.44 0.00

25 12 47.24 96.97 144.76 96.40 1.31 0.03 0.51 0.21

25 25 9.45 93.72 363.04 93.19 1.34 0.00 0.65 0.08

25 50 118.42 87.48 784.91 86.99 1.34 0.00 0.70 0.03

25 100 336.35 74.98 1629.84 74.57 1.34 0.00 0.71 0.02

25 200 772.21 49.99 3320.37 49.71 1.34 0.00 0.73 0.00

25 400 1643.91 0.00 6701.76 0.00 1.34 0.00 0.73 0.00

50 12 49.85 96.88 16.30 13.09 0.24 0.05 0.41 0.13

50 25 2.35 93.64 11.42 8.35 0.29 0.00 0.51 0.04

50 50 102.76 87.40 7.31 4.35 0.30 0.00 0.53 0.01

50 100 303.65 74.92 4.84 1.95 0.30 0.00 0.54 0.01

50 200 705.49 49.94 3.52 0.67 0.30 0.00 0.55 0.00

50 400 1509.19 0.00 2.83 0.00 0.30 0.00 0.55 0.00

100 12 52.52 96.50 8.54 102.68 0.03 0.05 0.14 0.11

100 25 8.28 93.24 125.01 99.27 0.08 0.00 0.23 0.03

100 50 75.89 87.04 357.91 92.45 0.08 0.00 0.25 0.01

100 100 244.53 74.62 813.86 79.11 0.08 0.00 0.25 0.00

100 200 582.17 49.76 1716.68 52.68 0.08 0.00 0.26 0.00

100 400 1257.71 0.00 3516.78 0.00 0.08 0.00 0.26 0.00

200 12 53.57 94.98 28.44 40.26 0.03 0.05 0.02 0.11

200 25 18.65 91.20 6.26 16.03 0.02 0.00 0.07 0.02

200 50 38.55 85.02 6.35 2.27 0.02 0.00 0.08 0.01

200 100 150.22 72.95 8.98 0.60 0.02 0.00 0.09 0.00

200 200 374.65 48.68 8.84 0.46 0.02 0.00 0.09 0.00

200 400 824.89 0.00 8.43 0.00 0.02 0.00 0.09 0.00

400 12 53.20 84.77 31.14 31.39 0.05 0.05 0.08 0.11

400 25 21.87 74.58 10.79 11.01 0.00 0.00 0.00 0.02

400 50 8.34 64.75 1.56 1.76 0.01 0.00 0.02 0.01

400 100 39.66 54.56 0.11 0.30 0.01 0.00 0.02 0.00

400 200 94.37 36.76 0.14 0.06 0.00 0.00 0.02 0.00

400 400 207.35 0.00 0.19 0.00 0.00 0.00 0.03 0.00

800 12 52.66 126.06 31.65 31.65 0.05 0.05 0.10 0.10

800 25 19.57 144.28 10.91 10.92 0.00 0.00 0.02 0.02

800 50 7.13 158.97 1.72 1.72 0.00 0.00 0.00 0.01

800 100 7.37 150.99 0.31 0.32 0.00 0.00 0.00 0.00

800 200 94.56 102.99 0.06 0.06 0.00 0.00 0.01 0.00

800 400 281.65 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00

1600 12 52.38 52.38 31.77 31.77 0.05 0.05 0.10 0.10

1600 25 17.55 17.55 10.87 10.87 0.00 0.00 0.02 0.02

1600 50 17.26 17.26 1.68 1.68 0.00 0.00 0.01 0.01

1600 100 29.34 29.34 0.31 0.31 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 200 13.84 13.84 0.06 0.06 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 118

Tab. 7.31: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Pe

= 10 - CDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 45.48 14.50 271.84 182.20 355.79 355.93 0.04 0.06

25 12 47.24 10.80 144.76 85.75 1.31 1.36 0.51 0.62

50 12 49.85 5.32 16.30 11.74 0.24 0.30 0.41 0.52

100 12 52.52 0.30 8.54 30.59 0.03 0.08 0.14 0.25

200 12 53.57 2.49 28.44 2.52 0.03 0.02 0.02 0.09

400 12 53.20 1.72 31.14 0.48 0.05 0.00 0.08 0.02

800 12 52.66 0.59 31.65 0.09 0.05 0.00 0.10 0.01

1600 12 52.38 0.00 31.77 0.00 0.05 0.00 0.10 0.00

12 25 13.57 37.74 660.79 586.18 801.64 801.66 0.24 0.26

25 25 9.45 32.74 363.04 317.64 1.34 1.34 0.65 0.67

50 25 2.35 24.13 11.42 0.49 0.29 0.30 0.51 0.53

100 25 8.28 11.24 125.01 122.56 0.08 0.08 0.23 0.25

200 25 18.65 1.34 6.26 4.16 0.02 0.02 0.07 0.09

400 25 21.87 5.24 10.79 0.07 0.00 0.00 0.00 0.02

800 25 19.57 2.46 10.91 0.04 0.00 0.00 0.02 0.01

1600 25 17.55 0.00 10.87 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00

12 50 127.07 93.65 1408.75 1383.76 1656.31 1656.30 0.35 0.35

25 50 118.42 86.27 784.91 770.25 1.34 1.34 0.70 0.70

50 50 102.76 72.92 7.31 5.53 0.30 0.30 0.53 0.54

100 50 75.89 50.01 357.91 353.64 0.08 0.08 0.25 0.25

200 50 38.55 18.16 6.35 7.90 0.02 0.02 0.08 0.09

400 50 8.34 7.61 1.56 0.12 0.01 0.00 0.02 0.02

800 50 7.13 8.64 1.72 0.03 0.00 0.00 0.00 0.01

1600 50 17.26 0.00 1.68 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00

12 100 354.02 251.03 2904.67 2895.30 3364.37 3364.36 0.40 0.40

25 100 336.35 237.37 1629.84 1624.45 1.34 1.34 0.71 0.71

50 100 303.65 212.09 4.84 4.52 0.30 0.30 0.54 0.54

100 100 244.53 166.38 813.86 811.64 0.08 0.08 0.25 0.25

200 100 150.22 93.46 8.98 9.26 0.02 0.02 0.09 0.09

400 100 39.66 7.98 0.11 0.20 0.01 0.00 0.02 0.03

800 100 7.37 28.38 0.31 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01

1600 100 29.34 0.00 0.31 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12 200 807.91 697.51 5896.51 5892.95 6779.89 6779.88 0.44 0.44

25 200 772.21 666.15 3320.37 3318.34 1.34 1.34 0.73 0.73

50 200 705.49 607.54 3.52 3.45 0.30 0.30 0.55 0.55

100 200 582.17 499.22 1716.68 1715.72 0.08 0.08 0.26 0.26

200 200 374.65 316.93 8.84 8.90 0.02 0.02 0.09 0.09

400 200 94.37 70.73 0.14 0.20 0.00 0.00 0.02 0.03

800 200 94.56 95.23 0.06 0.00 0.00 0.00 0.01 0.01

1600 200 13.84 0.00 0.06 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12 400 1715.67 1715.67 11880.15 11880.15 13610.57 13610.57 0.44 0.44

25 400 1643.91 1643.91 6701.76 6701.76 1.34 1.34 0.73 0.73

50 400 1509.19 1509.19 2.83 2.83 0.30 0.30 0.55 0.55

100 400 1257.71 1257.71 3516.78 3516.78 0.08 0.08 0.26 0.26

200 400 824.89 824.89 8.43 8.43 0.02 0.02 0.09 0.09

400 400 207.35 207.35 0.19 0.19 0.00 0.00 0.03 0.03

800 400 281.65 281.65 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.01

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 119

Tab. 7.32: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Pe

= 1 - CDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 94.82 96.95 53.70 96.29 6.23 104.06 0.00 0.17

12 25 89.30 93.69 12.50 93.00 84.31 100.60 0.13 0.03

12 50 78.69 87.45 64.74 86.81 266.34 93.64 0.16 0.01

12 100 57.49 74.96 219.39 74.44 620.52 80.09 0.16 0.00

12 200 15.08 49.97 529.26 49.63 1320.05 53.32 0.16 0.00

12 400 69.75 0.00 1149.41 0.00 2713.81 0.00 0.16 0.00

25 12 94.83 96.83 54.25 93.75 31.95 31.87 0.15 0.18

25 25 89.42 93.52 21.73 89.32 12.23 12.16 0.00 0.04

25 50 79.20 87.26 24.98 82.94 2.50 2.44 0.02 0.01

25 100 58.85 74.79 111.20 71.17 0.50 0.44 0.03 0.00

25 200 18.16 49.87 284.27 47.54 0.13 0.08 0.03 0.00

25 400 63.24 0.00 632.55 0.00 0.06 0.00 0.03 0.00

50 12 94.83 96.59 53.72 55.15 33.08 33.20 0.17 0.18

50 25 89.45 93.05 22.49 24.89 11.63 11.72 0.03 0.04

50 50 79.63 86.58 3.32 0.13 1.81 1.90 0.00 0.01

50 100 60.71 74.11 11.29 7.85 0.26 0.34 0.01 0.00

50 200 23.24 49.41 7.82 4.49 0.02 0.06 0.01 0.00

50 400 51.75 0.00 3.19 0.00 0.09 0.00 0.01 0.00

100 12 94.82 96.10 53.25 126.00 33.44 33.44 0.18 0.18

100 25 89.44 92.04 19.83 144.59 11.64 11.64 0.04 0.04

100 50 79.76 84.75 9.38 160.84 1.83 1.83 0.01 0.01

100 100 62.33 71.61 0.01 155.63 0.34 0.34 0.00 0.00

100 200 30.21 47.41 86.10 107.73 0.06 0.06 0.00 0.00

100 400 32.69 0.00 279.79 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

200 12 94.82 95.22 53.06 49.31 33.52 33.52 0.18 0.18

200 25 89.42 90.23 18.50 11.98 11.61 11.61 0.04 0.04

200 50 79.69 81.24 16.40 25.71 1.81 1.81 0.01 0.01

200 100 62.74 65.58 28.59 38.88 0.34 0.33 0.00 0.00

200 200 35.80 40.71 10.19 19.00 0.06 0.06 0.00 0.00

200 400 8.28 0.00 7.41 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

400 12 94.82 94.39 53.03 52.98 33.54 33.54 0.18 0.18

400 25 89.40 88.52 18.27 18.19 11.60 11.60 0.04 0.04

400 50 79.61 77.91 17.41 17.52 1.80 1.80 0.01 0.01

400 100 62.41 59.28 31.21 31.34 0.33 0.33 0.00 0.00

400 200 36.61 31.33 14.30 14.40 0.06 0.06 0.00 0.00

400 400 7.70 0.00 0.09 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

800 12 94.82 94.50 53.02 53.04 33.55 33.55 0.18 0.18

800 25 89.40 88.74 18.21 18.25 11.60 11.60 0.04 0.04

800 50 79.56 78.29 17.66 17.60 1.80 1.80 0.01 0.01

800 100 62.08 59.72 31.78 31.71 0.33 0.33 0.00 0.00

800 200 35.06 31.03 14.61 14.56 0.06 0.06 0.00 0.00

800 400 5.85 0.00 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 12 94.82 94.82 53.02 53.02 33.55 33.55 0.18 0.18

1600 25 89.39 89.39 18.20 18.20 11.60 11.60 0.04 0.04

1600 50 79.53 79.53 17.73 17.73 1.80 1.80 0.01 0.01

1600 100 61.92 61.92 31.92 31.92 0.33 0.33 0.00 0.00

1600 200 33.99 33.99 14.64 14.64 0.06 0.06 0.00 0.00

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 120

Tab. 7.33: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Pe

= 1 - CDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 94.82 0.09 53.70 1.45 6.23 20.46 0.00 0.18

25 12 94.83 0.26 54.25 2.62 31.95 1.20 0.15 0.04

50 12 94.83 0.20 53.72 1.50 33.08 0.35 0.17 0.01

100 12 94.82 0.11 53.25 0.49 33.44 0.08 0.18 0.00

200 12 94.82 0.05 53.06 0.10 33.52 0.02 0.18 0.00

400 12 94.82 0.02 53.03 0.02 33.54 0.00 0.18 0.00

800 12 94.82 0.01 53.02 0.00 33.55 0.00 0.18 0.00

1600 12 94.82 0.00 53.02 0.00 33.55 0.00 0.18 0.00

12 25 89.30 0.92 12.50 6.97 84.31 85.94 0.13 0.17

25 25 89.42 0.21 21.73 4.32 12.23 0.56 0.00 0.03

50 25 89.45 0.55 22.49 5.24 11.63 0.03 0.03 0.01

100 25 89.44 0.41 19.83 2.00 11.64 0.04 0.04 0.00

200 25 89.42 0.22 18.50 0.37 11.61 0.01 0.04 0.00

400 25 89.40 0.09 18.27 0.09 11.60 0.00 0.04 0.00

800 25 89.40 0.03 18.21 0.02 11.60 0.00 0.04 0.00

1600 25 89.39 0.00 18.20 0.00 11.60 0.00 0.04 0.00

12 50 78.69 4.11 64.74 39.93 266.34 263.40 0.16 0.17

25 50 79.20 1.65 24.98 6.16 2.50 0.69 0.02 0.03

50 50 79.63 0.47 3.32 12.23 1.81 0.02 0.00 0.01

100 50 79.76 1.10 9.38 7.09 1.83 0.04 0.01 0.00

200 50 79.69 0.77 16.40 1.13 1.81 0.01 0.01 0.00

400 50 79.61 0.36 17.41 0.26 1.80 0.00 0.01 0.00

800 50 79.56 0.11 17.66 0.05 1.80 0.00 0.01 0.00

1600 50 79.53 0.00 17.73 0.00 1.80 0.00 0.01 0.00

12 100 57.49 11.63 219.39 142.12 620.52 618.79 0.16 0.16

25 100 58.85 8.04 111.20 60.10 0.50 0.16 0.03 0.03

50 100 60.71 3.16 11.29 15.63 0.26 0.08 0.01 0.01

100 100 62.33 1.08 0.01 24.19 0.34 0.00 0.00 0.00

200 100 62.74 2.15 28.59 2.52 0.34 0.00 0.00 0.00

400 100 62.41 1.30 31.21 0.53 0.33 0.00 0.00 0.00

800 100 62.08 0.43 31.78 0.10 0.33 0.00 0.00 0.00

1600 100 61.92 0.00 31.92 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00

12 200 15.08 28.65 529.26 448.89 1320.05 1319.28 0.16 0.16

25 200 18.16 23.97 284.27 235.18 0.13 0.07 0.03 0.03

50 200 23.24 16.29 7.82 5.95 0.02 0.08 0.01 0.01

100 200 30.21 5.71 86.10 87.87 0.06 0.00 0.00 0.00

200 200 35.80 2.75 10.19 3.88 0.06 0.00 0.00 0.00

400 200 36.61 3.98 14.30 0.30 0.06 0.00 0.00 0.00

800 200 35.06 1.63 14.61 0.03 0.06 0.00 0.00 0.00

1600 200 33.99 0.00 14.64 0.00 0.06 0.00 0.00 0.00

12 400 69.75 69.75 1149.41 1149.41 2713.81 2713.81 0.16 0.16

25 400 63.24 63.24 632.55 632.55 0.06 0.06 0.03 0.03

50 400 51.75 51.75 3.19 3.19 0.09 0.09 0.01 0.01

100 400 32.69 32.69 279.79 279.79 0.00 0.00 0.00 0.00

200 400 8.28 8.28 7.41 7.41 0.00 0.00 0.00 0.00

400 400 7.70 7.70 0.09 0.09 0.00 0.00 0.00 0.00

800 400 5.85 5.85 0.05 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 121

Tab. 7.34: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Pe

= 0.1 - CDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 93.85 96.92 92.18 95.90 58.79 151.30 40.37 41.40

12 25 87.19 93.58 84.05 91.64 29.45 187.83 13.51 14.34

12 50 74.48 87.21 69.44 83.99 1.90 222.12 1.45 2.19

12 100 49.35 74.62 43.50 70.39 2.11 221.86 0.32 0.41

12 200 0.42 49.69 2.56 46.25 56.20 154.52 0.65 0.08

12 400 99.60 0.00 90.82 0.00 180.33 0.00 0.73 0.00

25 12 93.85 96.85 92.18 94.88 58.68 53.06 41.09 41.41

25 25 87.19 93.45 84.02 89.54 28.69 18.98 14.34 14.60

25 50 74.47 86.95 69.31 79.92 1.98 15.86 2.02 2.25

25 100 49.38 74.13 43.66 63.14 13.56 29.03 0.19 0.42

25 200 0.33 49.05 4.29 37.39 0.16 13.44 0.15 0.08

25 400 95.64 0.00 52.87 0.00 11.99 0.00 0.23 0.00

50 12 93.85 96.81 92.18 94.32 58.66 52.65 41.25 41.41

50 25 87.18 93.36 84.00 88.39 28.57 18.18 14.53 14.66

50 50 74.46 86.77 69.19 77.64 2.51 17.42 2.14 2.26

50 100 49.34 73.75 43.10 58.70 14.64 31.31 0.30 0.42

50 200 0.43 48.40 3.70 30.10 0.14 14.38 0.04 0.08

50 400 92.98 0.00 37.78 0.00 12.69 0.00 0.11 0.00

100 12 93.85 96.80 92.17 94.62 58.66 52.64 41.29 41.42

100 25 87.18 93.35 83.99 89.00 28.54 18.13 14.57 14.68

100 50 74.46 86.74 69.13 78.79 2.65 17.59 2.17 2.26

100 100 49.31 73.69 42.67 60.60 14.95 31.69 0.33 0.42

100 200 0.28 48.24 1.32 32.18 0.02 14.54 0.01 0.08

100 400 92.64 0.00 45.51 0.00 12.71 0.00 0.09 0.00

200 12 93.85 96.82 92.17 94.84 58.66 52.62 41.30 41.42

200 25 87.18 93.37 83.99 89.43 28.53 18.09 14.59 14.68

200 50 74.45 86.78 69.11 79.62 2.68 17.68 2.18 2.26

200 100 49.29 73.76 42.51 62.06 15.03 31.82 0.34 0.42

200 200 0.14 48.33 0.25 34.18 0.00 14.60 0.00 0.08

200 400 93.27 0.00 51.55 0.00 12.74 0.00 0.08 0.00

400 12 93.85 96.82 92.17 94.87 58.66 52.61 41.30 41.42

400 25 87.18 93.39 83.99 89.50 28.53 18.08 14.59 14.68

400 50 74.45 86.82 69.11 79.74 2.69 17.70 2.18 2.26

400 100 49.28 73.83 42.48 62.28 15.04 31.86 0.34 0.42

400 200 0.06 48.44 0.06 34.46 0.00 14.62 0.00 0.08

400 400 93.82 0.00 52.49 0.00 12.75 0.00 0.08 0.00

800 12 93.85 96.83 92.17 94.88 58.66 52.61 41.30 41.42

800 25 87.18 93.40 83.99 89.52 28.53 18.08 14.59 14.68

800 50 74.45 86.84 69.11 79.77 2.70 17.71 2.18 2.26

800 100 49.27 73.87 42.47 62.33 15.05 31.87 0.34 0.42

800 200 0.02 48.50 0.01 34.53 0.00 14.62 0.00 0.08

800 400 94.14 0.00 52.72 0.00 12.75 0.00 0.08 0.00

1600 12 93.85 93.85 92.17 92.17 58.66 58.66 41.31 41.31

1600 25 87.18 87.18 83.99 83.99 28.52 28.52 14.59 14.59

1600 50 74.45 74.45 69.11 69.11 2.70 2.70 2.18 2.18

1600 100 49.27 49.27 42.47 42.47 15.05 15.05 0.34 0.34

1600 200 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 122

Tab. 7.35: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Pe

= 0.1 - CDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 96.83 0.01 94.88 0.09 52.76 0.32 40.48 0.66

25 12 96.83 0.00 94.88 0.04 52.64 0.06 41.20 0.15

50 12 96.83 0.00 94.88 0.02 52.62 0.02 41.36 0.04

100 12 96.83 0.00 94.88 0.01 52.61 0.00 41.40 0.01

200 12 96.83 0.00 94.88 0.00 52.61 0.00 41.41 0.00

400 12 96.83 0.00 94.88 0.00 52.61 0.00 41.42 0.00

800 12 96.83 0.00 94.88 0.00 52.61 0.00 41.42 0.00

1600 12 96.83 0.00 94.88 0.00 52.61 0.00 41.42 0.00

12 25 93.40 0.04 89.55 0.36 19.13 1.29 13.60 0.95

25 25 93.40 0.02 89.53 0.18 18.27 0.24 14.43 0.21

50 25 93.40 0.01 89.52 0.07 18.12 0.06 14.62 0.05

100 25 93.40 0.01 89.52 0.02 18.09 0.01 14.67 0.01

200 25 93.40 0.00 89.52 0.00 18.08 0.00 14.68 0.00

400 25 93.40 0.00 89.52 0.00 18.08 0.00 14.68 0.00

800 25 93.40 0.00 89.52 0.00 18.08 0.00 14.68 0.00

1600 25 93.40 0.00 89.52 0.00 18.08 0.00 14.68 0.00

12 50 86.85 0.11 79.99 1.09 12.44 4.48 1.53 0.72

25 50 86.85 0.07 79.90 0.65 16.88 0.70 2.10 0.16

50 50 86.85 0.04 79.83 0.29 17.50 0.18 2.22 0.04

100 50 86.84 0.02 79.79 0.09 17.66 0.04 2.25 0.01

200 50 86.84 0.01 79.77 0.02 17.70 0.01 2.26 0.00

400 50 86.84 0.00 79.77 0.00 17.71 0.00 2.26 0.00

800 50 86.84 0.00 79.77 0.00 17.71 0.00 2.26 0.00

1600 50 86.84 0.00 79.77 0.00 17.71 0.00 2.26 0.00

12 100 73.91 0.15 63.01 1.79 12.20 14.91 0.24 0.66

25 100 73.93 0.22 63.11 2.07 30.17 1.29 0.27 0.15

50 100 73.91 0.15 62.74 1.09 31.40 0.36 0.38 0.04

100 100 73.89 0.08 62.46 0.35 31.76 0.09 0.41 0.01

200 100 73.88 0.04 62.36 0.07 31.84 0.02 0.42 0.00

400 100 73.87 0.01 62.34 0.02 31.86 0.01 0.42 0.00

800 100 73.87 0.00 62.33 0.00 31.87 0.00 0.42 0.00

1600 100 73.87 0.00 62.33 0.00 31.87 0.00 0.42 0.00

12 200 48.28 0.42 32.84 2.56 49.80 56.20 0.57 0.65

25 200 48.66 0.33 37.33 4.29 14.44 0.16 0.07 0.15

50 200 48.71 0.43 36.94 3.70 14.46 0.14 0.04 0.04

100 200 48.64 0.28 35.38 1.32 14.60 0.02 0.07 0.01

200 200 48.57 0.14 34.68 0.25 14.62 0.00 0.08 0.00

400 200 48.52 0.06 34.56 0.06 14.62 0.00 0.08 0.00

800 200 48.50 0.02 34.53 0.01 14.62 0.00 0.08 0.00

1600 200 48.49 0.00 34.52 0.00 14.62 0.00 0.08 0.00

12 400 2.81 2.81 24.95 24.95 192.07 192.07 0.65 0.65

25 400 0.77 0.77 0.10 0.10 0.88 0.88 0.15 0.15

50 400 0.60 0.60 9.78 9.78 0.07 0.07 0.04 0.04

100 400 0.77 0.77 4.72 4.72 0.05 0.05 0.01 0.01

200 400 0.45 0.45 0.77 0.77 0.01 0.01 0.00 0.00

400 400 0.16 0.16 0.15 0.15 0.00 0.00 0.00 0.00

800 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 400

7. Resultados da solução permanente 123

Tab. 7.36: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Pe

= 10 - HDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 45.37 97.00 278.98 96.90 380.76 98.06 1.56 0.35

12 25 13.82 93.75 676.19 93.66 859.12 94.77 1.34 0.12

12 50 127.57 87.49 1440.04 87.41 1776.09 88.44 1.26 0.05

12 100 355.03 74.99 2967.72 74.92 3608.64 75.81 1.24 0.02

12 200 809.94 50.00 6023.10 49.95 7273.07 50.54 1.21 0.00

12 400 1719.74 0.00 12133.80 0.00 14601.66 0.00 1.21 0.00

25 12 47.14 96.98 148.26 96.42 3.56 0.05 0.87 0.21

25 25 9.67 93.72 370.61 93.21 3.61 0.00 0.72 0.06

25 50 118.89 87.48 800.36 87.00 3.61 0.00 0.68 0.02

25 100 337.30 74.98 1661.09 74.58 3.61 0.00 0.67 0.01

25 200 774.12 49.99 3383.22 49.72 3.61 0.00 0.66 0.00

25 400 1647.75 0.00 6827.83 0.00 3.61 0.00 0.66 0.00

50 12 49.79 96.88 16.51 13.30 1.77 0.06 0.45 0.15

50 25 2.50 93.64 11.54 8.47 1.82 0.00 0.34 0.04

50 50 103.07 87.40 7.37 4.40 1.83 0.00 0.31 0.01

50 100 304.29 74.92 4.87 1.98 1.83 0.00 0.30 0.00

50 200 706.78 49.95 3.53 0.67 1.83 0.00 0.30 0.00

50 400 1511.79 0.00 2.84 0.00 1.83 0.00 0.30 0.00

100 12 52.50 96.50 8.48 102.67 0.89 0.06 0.27 0.12

100 25 8.22 93.25 125.34 99.26 0.94 0.00 0.18 0.03

100 50 76.04 87.05 359.00 92.44 0.95 0.00 0.16 0.01

100 100 244.83 74.63 816.39 79.10 0.94 0.00 0.15 0.00

100 200 582.79 49.76 1722.05 52.68 0.94 0.00 0.15 0.00

100 400 1258.96 0.00 3527.82 0.00 0.94 0.00 0.15 0.00

200 12 53.58 94.98 28.98 40.24 0.40 0.05 0.20 0.11

200 25 18.63 91.21 6.63 15.93 0.45 0.00 0.11 0.02

200 50 38.59 85.02 5.97 2.24 0.45 0.00 0.09 0.01

200 100 150.31 72.95 8.58 0.60 0.45 0.00 0.09 0.00

200 200 374.84 48.68 8.44 0.45 0.45 0.00 0.09 0.00

200 400 825.29 0.00 8.03 0.00 0.45 0.00 0.09 0.00

400 12 53.21 84.78 31.44 31.39 0.14 0.05 0.16 0.11

400 25 21.87 74.58 11.00 10.96 0.19 0.00 0.07 0.02

400 50 8.35 64.75 1.78 1.75 0.20 0.00 0.05 0.01

400 100 39.67 54.56 0.34 0.30 0.20 0.00 0.05 0.00

400 200 94.39 36.76 0.09 0.06 0.20 0.00 0.05 0.00

400 400 207.39 0.00 0.04 0.00 0.20 0.00 0.05 0.00

800 12 52.67 126.06 31.76 31.65 0.01 0.05 0.13 0.11

800 25 19.57 144.27 10.98 10.89 0.06 0.00 0.04 0.02

800 50 7.13 158.97 1.80 1.72 0.07 0.00 0.02 0.01

800 100 7.37 150.99 0.40 0.32 0.07 0.00 0.02 0.00

800 200 94.56 102.99 0.15 0.06 0.07 0.00 0.02 0.00

800 400 281.65 0.00 0.09 0.00 0.07 0.00 0.02 0.00

1600 12 52.38 52.38 31.76 31.76 0.05 0.05 0.11 0.11

1600 25 17.55 17.55 10.86 10.86 0.00 0.00 0.02 0.02

1600 50 17.26 17.26 1.68 1.68 0.00 0.00 0.01 0.01

1600 100 29.34 29.34 0.31 0.31 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 200 13.84 13.84 0.06 0.06 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 124

Tab. 7.37: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Pe

= 10 - HDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 45.37 14.73 278.98 187.62 380.76 380.91 1.56 1.46

25 12 47.14 11.01 148.26 88.41 3.56 3.61 0.87 0.77

50 12 49.79 5.45 16.51 11.58 1.77 1.82 0.45 0.34

100 12 52.50 0.26 8.48 30.55 0.89 0.94 0.27 0.16

200 12 53.58 2.51 28.98 2.11 0.40 0.45 0.20 0.09

400 12 53.21 1.75 31.44 0.25 0.14 0.20 0.16 0.05

800 12 52.67 0.60 31.76 0.00 0.01 0.07 0.13 0.02

1600 12 52.38 0.00 31.76 0.00 0.05 0.00 0.11 0.00

12 25 13.82 38.04 676.19 600.17 859.12 859.14 1.34 1.31

25 25 9.67 33.01 370.61 324.52 3.61 3.61 0.72 0.70

50 25 2.50 24.31 11.54 0.62 1.82 1.83 0.34 0.32

100 25 8.22 11.32 125.34 122.86 0.94 0.94 0.18 0.15

200 25 18.63 1.32 6.63 3.82 0.45 0.45 0.11 0.09

400 25 21.87 5.24 11.00 0.13 0.19 0.20 0.07 0.05

800 25 19.57 2.46 10.98 0.11 0.06 0.07 0.04 0.02

1600 25 17.55 0.00 10.86 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00

12 50 127.57 94.07 1440.04 1414.58 1776.09 1776.07 1.26 1.26

25 50 118.89 86.67 800.36 785.47 3.61 3.61 0.68 0.68

50 50 103.07 73.18 7.37 5.59 1.83 1.83 0.31 0.31

100 50 76.04 50.13 359.00 354.72 0.95 0.94 0.16 0.15

200 50 38.59 18.20 5.97 7.52 0.45 0.45 0.09 0.09

400 50 8.35 7.60 1.78 0.10 0.20 0.20 0.05 0.05

800 50 7.13 8.64 1.80 0.12 0.07 0.07 0.02 0.02

1600 50 17.26 0.00 1.68 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00

12 100 355.03 251.82 2967.72 2958.18 3608.64 3608.63 1.24 1.23

25 100 337.30 238.11 1661.09 1655.62 3.61 3.61 0.67 0.67

50 100 304.29 212.59 4.87 4.54 1.83 1.83 0.30 0.30

100 100 244.83 166.61 816.39 814.16 0.94 0.94 0.15 0.15

200 100 150.31 93.53 8.58 8.87 0.45 0.45 0.09 0.09

400 100 39.67 7.99 0.34 0.03 0.20 0.20 0.05 0.05

800 100 7.37 28.38 0.40 0.09 0.07 0.07 0.02 0.02

1600 100 29.34 0.00 0.31 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12 200 809.94 699.30 6023.10 6019.50 7273.07 7273.06 1.21 1.21

25 200 774.12 667.84 3383.22 3381.17 3.61 3.61 0.66 0.66

50 200 706.78 608.68 3.53 3.47 1.83 1.83 0.30 0.30

100 200 582.79 499.77 1722.05 1721.10 0.94 0.94 0.15 0.15

200 200 374.84 317.11 8.44 8.50 0.45 0.45 0.09 0.09

400 200 94.39 70.75 0.09 0.04 0.20 0.20 0.05 0.05

800 200 94.56 95.23 0.15 0.09 0.07 0.07 0.02 0.02

1600 200 13.84 0.00 0.06 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12 400 1719.74 1719.74 12133.80 12133.80 14601.66 14601.66 1.21 1.21

25 400 1647.75 1647.75 6827.83 6827.83 3.61 3.61 0.66 0.66

50 400 1511.79 1511.79 2.84 2.84 1.83 1.83 0.30 0.30

100 400 1258.96 1258.96 3527.82 3527.82 0.94 0.94 0.15 0.15

200 400 825.29 825.29 8.03 8.03 0.45 0.45 0.09 0.09

400 400 207.39 207.39 0.04 0.04 0.20 0.20 0.05 0.05

800 400 281.65 281.65 0.09 0.09 0.07 0.07 0.02 0.02

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 125

Tab. 7.38: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Pe

= 1 - HDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 94.82 96.95 53.70 96.29 6.23 104.06 0.02 0.17

12 25 89.30 93.69 12.50 93.00 84.31 100.60 0.16 0.03

12 50 78.69 87.45 64.74 86.81 266.33 93.64 0.18 0.01

12 100 57.49 74.96 219.40 74.44 620.51 80.09 0.19 0.00

12 200 15.08 49.97 529.29 49.63 1320.04 53.32 0.19 0.00

12 400 69.75 0.00 1149.45 0.00 2713.80 0.00 0.19 0.00

25 12 94.83 96.83 54.25 93.75 31.94 31.87 0.13 0.18

25 25 89.42 93.52 21.73 89.32 12.22 12.16 0.01 0.04

25 50 79.20 87.26 24.98 82.94 2.50 2.44 0.04 0.01

25 100 58.85 74.79 111.20 71.17 0.50 0.44 0.04 0.00

25 200 18.16 49.87 284.28 47.54 0.13 0.08 0.05 0.00

25 400 63.24 0.00 632.56 0.00 0.06 0.00 0.05 0.00

50 12 94.83 96.59 53.72 55.15 33.08 33.20 0.17 0.18

50 25 89.45 93.05 22.49 24.89 11.62 11.72 0.02 0.04

50 50 79.63 86.58 3.33 0.13 1.81 1.90 0.00 0.01

50 100 60.71 74.11 11.29 7.85 0.26 0.34 0.01 0.00

50 200 23.24 49.41 7.83 4.49 0.02 0.06 0.01 0.00

50 400 51.75 0.00 3.19 0.00 0.09 0.00 0.01 0.00

100 12 94.82 96.10 53.25 126.00 33.44 33.44 0.18 0.18

100 25 89.44 92.04 19.83 144.59 11.64 11.64 0.03 0.04

100 50 79.76 84.75 9.38 160.84 1.83 1.83 0.00 0.01

100 100 62.33 71.61 0.01 155.63 0.33 0.34 0.00 0.00

100 200 30.21 47.41 86.10 107.73 0.06 0.06 0.00 0.00

100 400 32.69 0.00 279.79 0.00 0.00 0.00 0.01 0.00

200 12 94.82 95.22 53.06 49.31 33.52 33.52 0.18 0.18

200 25 89.42 90.23 18.50 11.98 11.61 11.61 0.04 0.04

200 50 79.69 81.24 16.40 25.71 1.81 1.81 0.01 0.01

200 100 62.74 65.58 28.59 38.88 0.33 0.33 0.00 0.00

200 200 35.80 40.71 10.19 19.00 0.06 0.06 0.00 0.00

200 400 8.28 0.00 7.41 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

400 12 94.82 94.39 53.03 52.98 33.54 33.54 0.18 0.18

400 25 89.40 88.52 18.27 18.19 11.60 11.60 0.04 0.04

400 50 79.61 77.91 17.41 17.52 1.80 1.80 0.01 0.01

400 100 62.41 59.28 31.21 31.34 0.33 0.33 0.00 0.00

400 200 36.61 31.33 14.30 14.40 0.06 0.06 0.00 0.00

400 400 7.70 0.00 0.09 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

800 12 94.82 94.50 53.02 53.04 33.55 33.55 0.18 0.18

800 25 89.40 88.74 18.21 18.25 11.60 11.60 0.04 0.04

800 50 79.56 78.29 17.66 17.60 1.80 1.80 0.01 0.01

800 100 62.08 59.72 31.78 31.71 0.33 0.33 0.00 0.00

800 200 35.06 31.03 14.61 14.56 0.06 0.06 0.00 0.00

800 400 5.85 0.00 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 12 94.82 94.82 53.02 53.02 33.55 33.55 0.18 0.18

1600 25 89.39 89.39 18.20 18.20 11.60 11.60 0.04 0.04

1600 50 79.53 79.53 17.73 17.73 1.80 1.80 0.01 0.01

1600 100 61.92 61.92 31.92 31.92 0.33 0.33 0.00 0.00

1600 200 33.99 33.99 14.64 14.64 0.06 0.06 0.00 0.00

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 126

Tab. 7.39: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Pe

= 1 - HDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 94.82 0.09 53.70 1.45 6.23 20.46 0.02 0.21

25 12 94.83 0.26 54.25 2.62 31.94 1.20 0.13 0.05

50 12 94.83 0.20 53.72 1.50 33.08 0.35 0.17 0.02

100 12 94.82 0.11 53.25 0.49 33.44 0.08 0.18 0.01

200 12 94.82 0.05 53.06 0.10 33.52 0.02 0.18 0.00

400 12 94.82 0.02 53.03 0.02 33.54 0.00 0.18 0.00

800 12 94.82 0.01 53.02 0.00 33.55 0.00 0.18 0.00

1600 12 94.82 0.00 53.02 0.00 33.55 0.00 0.18 0.00

12 25 89.30 0.92 12.50 6.97 84.31 85.94 0.16 0.20

25 25 89.42 0.21 21.73 4.32 12.22 0.56 0.01 0.05

50 25 89.45 0.55 22.49 5.24 11.62 0.02 0.02 0.01

100 25 89.44 0.41 19.83 2.00 11.64 0.03 0.03 0.01

200 25 89.42 0.22 18.50 0.37 11.61 0.01 0.04 0.00

400 25 89.40 0.09 18.27 0.09 11.60 0.00 0.04 0.00

800 25 89.40 0.03 18.21 0.02 11.60 0.00 0.04 0.00

1600 25 89.39 0.00 18.20 0.00 11.60 0.00 0.04 0.00

12 50 78.69 4.11 64.74 39.94 266.33 263.40 0.18 0.19

25 50 79.20 1.65 24.98 6.16 2.50 0.69 0.04 0.05

50 50 79.63 0.47 3.33 12.23 1.81 0.02 0.00 0.01

100 50 79.76 1.10 9.38 7.09 1.83 0.03 0.00 0.00

200 50 79.69 0.77 16.40 1.13 1.81 0.01 0.01 0.00

400 50 79.61 0.36 17.41 0.26 1.80 0.00 0.01 0.00

800 50 79.56 0.11 17.66 0.05 1.80 0.00 0.01 0.00

1600 50 79.53 0.00 17.73 0.00 1.80 0.00 0.01 0.00

12 100 57.49 11.63 219.40 142.13 620.51 618.78 0.19 0.19

25 100 58.85 8.04 111.20 60.10 0.50 0.16 0.04 0.05

50 100 60.71 3.16 11.29 15.63 0.26 0.08 0.01 0.01

100 100 62.33 1.08 0.01 24.19 0.33 0.00 0.00 0.00

200 100 62.74 2.15 28.59 2.52 0.33 0.00 0.00 0.00

400 100 62.41 1.30 31.21 0.53 0.33 0.00 0.00 0.00

800 100 62.08 0.43 31.78 0.10 0.33 0.00 0.00 0.00

1600 100 61.92 0.00 31.92 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00

12 200 15.08 28.65 529.29 448.91 1320.04 1319.28 0.19 0.19

25 200 18.16 23.97 284.28 235.19 0.13 0.07 0.05 0.05

50 200 23.24 16.29 7.83 5.95 0.02 0.08 0.01 0.01

100 200 30.21 5.71 86.10 87.87 0.06 0.00 0.00 0.01

200 200 35.80 2.75 10.19 3.88 0.06 0.00 0.00 0.00

400 200 36.61 3.98 14.30 0.30 0.06 0.00 0.00 0.00

800 200 35.06 1.63 14.61 0.03 0.06 0.00 0.00 0.00

1600 200 33.99 0.00 14.64 0.00 0.06 0.00 0.00 0.00

12 400 69.75 69.75 1149.45 1149.45 2713.80 2713.80 0.19 0.19

25 400 63.24 63.24 632.56 632.56 0.06 0.06 0.05 0.05

50 400 51.75 51.75 3.19 3.19 0.09 0.09 0.01 0.01

100 400 32.69 32.69 279.79 279.79 0.00 0.00 0.01 0.01

200 400 8.28 8.28 7.41 7.41 0.00 0.00 0.00 0.00

400 400 7.70 7.70 0.09 0.09 0.00 0.00 0.00 0.00

800 400 5.85 5.85 0.05 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 127

Tab. 7.40: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Peclet grande - CDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 462.46 97.00 791.18 96.92 413.68 97.92 0.77 0.77

12 25 1072.13 93.75 1731.74 93.67 909.39 94.64 0.31 0.31

12 50 2243.81 87.50 3539.77 87.43 1862.05 88.33 0.15 0.15

12 100 4586.81 75.00 7155.41 74.94 3767.24 75.71 0.07 0.07

12 200 9272.67 50.00 14386.49 49.96 7577.56 50.47 0.00 0.00

12 400 18644.09 0.00 28848.43 0.00 15198.18 0.00 0.00 0.00

25 12 442.89 96.99 454.35 96.66 1.48 0.18 0.42 0.42

25 25 1029.03 93.74 990.81 93.42 1.64 0.03 0.15 0.15

25 50 2155.55 87.49 2023.03 87.19 1.66 0.01 0.06 0.06

25 100 4408.24 74.99 4087.45 74.73 1.67 0.00 0.03 0.03

25 200 8913.53 49.99 8216.25 49.82 1.67 0.00 0.00 0.00

25 400 17923.79 0.00 16473.82 0.00 1.67 0.00 0.00 0.00

50 12 406.75 96.96 17.59 1.84 0.29 0.18 0.31 0.31

50 25 948.11 93.71 15.87 0.34 0.43 0.03 0.09 0.09

50 50 1988.77 87.46 15.56 0.07 0.46 0.01 0.03 0.03

50 100 4069.82 74.96 15.49 0.02 0.46 0.00 0.01 0.01

50 200 8231.76 49.98 15.48 0.00 0.46 0.00 0.00 0.00

50 400 16555.65 0.00 15.47 0.00 0.46 0.00 0.00 0.00

100 12 340.42 96.87 212.95 98.71 0.05 0.17 0.25 0.25

100 25 796.17 93.62 506.04 95.38 0.09 0.03 0.06 0.06

100 50 1673.12 87.38 1065.00 89.01 0.12 0.01 0.02 0.02

100 100 3426.96 74.90 2182.06 76.30 0.12 0.00 0.01 0.01

100 200 6934.61 49.93 4416.00 50.86 0.13 0.00 0.00 0.00

100 400 13949.71 0.00 8883.87 0.00 0.13 0.00 0.00 0.00

200 12 228.90 96.51 0.74 1.38 0.14 0.17 0.23 0.23

200 25 532.08 93.30 0.42 0.23 0.00 0.03 0.05 0.05

200 50 1118.61 87.08 0.61 0.04 0.03 0.01 0.01 0.01

200 100 2292.22 74.64 0.64 0.01 0.03 0.00 0.00 0.00

200 200 4639.52 49.76 0.64 0.00 0.03 0.00 0.00 0.00

200 400 9334.13 0.00 0.65 0.00 0.03 0.00 0.00 0.00

400 12 74.17 93.08 0.02 0.58 0.17 0.17 0.22 0.22

400 25 145.86 90.23 0.54 0.07 0.02 0.03 0.05 0.05

400 50 296.12 84.26 0.60 0.01 0.00 0.01 0.01 0.01

400 100 598.88 72.23 0.61 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00

400 200 1204.83 48.16 0.61 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00

400 400 2416.81 0.00 0.61 0.00 0.01 0.00 0.00 0.00

800 12 48.72 101.42 0.42 0.56 0.17 0.17 0.21 0.21

800 25 185.95 97.62 0.07 0.07 0.03 0.03 0.04 0.04

800 50 423.11 91.04 0.13 0.01 0.00 0.01 0.01 0.01

800 100 892.54 78.02 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

800 200 1830.41 52.01 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

800 400 3705.98 0.00 0.14 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 12 0.13 0.13 0.55 0.55 0.17 0.17 0.21 0.21

1600 25 0.99 0.99 0.07 0.07 0.03 0.03 0.04 0.04

1600 50 0.18 0.18 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

1600 100 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 200 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 128

Tab. 7.41: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Peclet grande - CDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 462.46 461.73 791.18 796.11 413.68 414.22 0.77 0.56

25 12 442.89 442.19 454.35 457.42 1.48 1.66 0.42 0.22

50 12 406.75 406.10 17.59 18.24 0.29 0.46 0.31 0.10

100 12 340.42 339.85 212.95 213.57 0.05 0.13 0.25 0.05

200 12 228.90 228.48 0.74 0.20 0.14 0.03 0.23 0.02

400 12 74.17 73.94 0.02 0.58 0.17 0.01 0.22 0.01

800 12 48.72 48.78 0.42 0.13 0.17 0.00 0.21 0.00

1600 12 0.13 0.00 0.55 0.00 0.17 0.00 0.21 0.00

12 25 1072.13 1083.90 1731.74 1732.99 909.39 909.64 0.31 0.27

25 25 1029.03 1040.37 990.81 991.56 1.64 1.67 0.15 0.10

50 25 948.11 958.63 15.87 15.94 0.43 0.46 0.09 0.05

100 25 796.17 805.17 506.04 506.32 0.09 0.13 0.06 0.02

200 25 532.08 538.43 0.42 0.48 0.00 0.03 0.05 0.01

400 25 145.86 148.33 0.54 0.61 0.02 0.01 0.05 0.00

800 25 185.95 186.81 0.07 0.13 0.03 0.00 0.04 0.00

1600 25 0.99 0.00 0.07 0.00 0.03 0.00 0.04 0.00

12 50 2243.81 2248.01 3539.77 3540.10 1862.05 1862.17 0.15 0.14

25 50 2155.55 2159.59 2023.03 2023.22 1.66 1.67 0.06 0.05

50 50 1988.77 1992.51 15.56 15.57 0.46 0.46 0.03 0.02

100 50 1673.12 1676.30 1065.00 1065.09 0.12 0.13 0.02 0.01

200 50 1118.61 1120.79 0.61 0.62 0.03 0.03 0.01 0.00

400 50 296.12 296.83 0.60 0.61 0.00 0.01 0.01 0.00

800 50 423.11 423.69 0.13 0.14 0.00 0.00 0.01 0.00

1600 50 0.18 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00

12 100 4586.81 4588.07 7155.41 7155.53 3767.24 3767.28 0.07 0.07

25 100 4408.24 4409.45 4087.45 4087.52 1.67 1.67 0.03 0.03

50 100 4069.82 4070.94 15.49 15.49 0.46 0.46 0.01 0.01

100 100 3426.96 3427.91 2182.06 2182.10 0.12 0.13 0.01 0.01

200 100 2292.22 2292.86 0.64 0.64 0.03 0.03 0.00 0.00

400 100 598.88 599.07 0.61 0.61 0.01 0.01 0.00 0.00

800 100 892.54 892.75 0.13 0.14 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 100 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12 200 9272.67 9273.01 14386.49 14386.49 7577.56 7577.58 0.00 0.00

25 200 8913.53 8913.85 8216.25 8216.25 1.67 1.67 0.00 0.00

50 200 8231.76 8232.06 15.48 15.48 0.46 0.46 0.00 0.00

100 200 6934.61 6934.86 4416.00 4416.00 0.13 0.13 0.00 0.00

200 200 4639.52 4639.68 0.64 0.64 0.03 0.03 0.00 0.00

400 200 1204.83 1204.87 0.61 0.61 0.01 0.01 0.00 0.00

800 200 1830.41 1830.47 0.13 0.13 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 200 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12 400 18644.09 18644.09 28848.43 28848.43 15198.18 15198.18 0.00 0.00

25 400 17923.79 17923.79 16473.82 16473.82 1.67 1.67 0.00 0.00

50 400 16555.65 16555.65 15.47 15.47 0.46 0.46 0.00 0.00

100 400 13949.71 13949.71 8883.87 8883.87 0.13 0.13 0.00 0.00

200 400 9334.13 9334.13 0.65 0.65 0.03 0.03 0.00 0.00

400 400 2416.81 2416.81 0.61 0.61 0.01 0.01 0.00 0.00

800 400 3705.98 3705.98 0.14 0.14 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 129

Tab. 7.42: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - HDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 463.21 97.00 812.87 96.93 461.24 97.86 0.43 0.44

12 25 1073.83 93.75 1778.94 93.68 1014.16 94.58 0.15 0.15

12 50 2247.33 87.50 3635.99 87.43 2076.76 88.27 0.06 0.06

12 100 4593.94 75.00 7349.63 74.94 4201.78 75.66 0.03 0.03

12 200 9287.09 50.00 14776.78 49.96 8451.75 50.44 0.00 0.00

12 400 18673.03 0.00 29630.70 0.00 16951.75 0.00 0.00 0.00

25 12 444.12 96.99 469.13 96.68 3.53 0.19 0.31 0.31

25 25 1031.85 93.74 1024.35 93.44 3.70 0.03 0.09 0.09

25 50 2161.44 87.49 2092.68 87.21 3.73 0.01 0.03 0.03

25 100 4420.27 74.99 4229.34 74.75 3.73 0.00 0.01 0.01

25 200 8937.82 49.99 8502.65 49.84 3.73 0.00 0.00 0.00

25 400 17972.65 0.00 17049.05 0.00 3.73 0.00 0.00 0.00

50 12 408.12 96.96 13.71 2.04 1.59 0.18 0.25 0.25

50 25 951.56 93.71 11.85 0.38 1.74 0.03 0.06 0.06

50 50 1996.25 87.46 11.52 0.08 1.76 0.01 0.02 0.02

50 100 4085.36 74.97 11.45 0.02 1.77 0.00 0.01 0.01

50 200 8263.52 49.98 11.44 0.00 1.77 0.00 0.00 0.00

50 400 16619.60 0.00 11.43 0.00 1.77 0.00 0.00 0.00

100 12 341.25 96.88 223.25 98.63 0.67 0.17 0.23 0.23

100 25 799.32 93.63 523.13 95.29 0.81 0.03 0.05 0.05

100 50 1680.77 87.39 1094.86 88.94 0.84 0.01 0.01 0.01

100 100 3443.60 74.90 2237.43 76.23 0.84 0.00 0.00 0.00

100 200 6969.18 49.94 4522.37 50.82 0.84 0.00 0.00 0.00

100 400 14020.31 0.00 9092.22 0.00 0.84 0.00 0.00 0.00

200 12 227.76 96.55 0.48 1.42 0.21 0.17 0.22 0.22

200 25 532.79 93.33 1.66 0.26 0.36 0.03 0.05 0.05

200 50 1122.97 87.11 1.88 0.04 0.38 0.01 0.01 0.01

200 100 2303.91 74.67 1.92 0.01 0.39 0.00 0.00 0.00

200 200 4665.90 49.78 1.93 0.00 0.39 0.00 0.00 0.00

200 400 9389.85 0.00 1.93 0.00 0.39 0.00 0.00 0.00

400 12 68.95 93.31 0.69 0.67 0.01 0.17 0.21 0.21

400 25 141.16 90.46 1.28 0.08 0.13 0.03 0.04 0.04

400 50 292.36 84.47 1.35 0.01 0.16 0.01 0.01 0.01

400 100 597.11 72.41 1.36 0.00 0.16 0.00 0.00 0.00

400 200 1207.07 48.28 1.36 0.00 0.16 0.00 0.00 0.00

400 400 2427.08 0.00 1.36 0.00 0.16 0.00 0.00 0.00

800 12 57.21 101.18 0.13 0.60 0.12 0.17 0.21 0.21

800 25 194.68 97.39 0.40 0.08 0.02 0.03 0.04 0.04

800 50 433.13 90.83 0.46 0.01 0.05 0.01 0.01 0.01

800 100 904.92 77.84 0.47 0.00 0.05 0.00 0.00 0.00

800 200 1847.50 51.89 0.47 0.00 0.05 0.00 0.00 0.00

800 400 3732.46 0.00 0.47 0.00 0.05 0.00 0.00 0.00

1600 12 3.40 3.40 0.57 0.57 0.17 0.17 0.21 0.21

1600 25 1.01 1.01 0.07 0.07 0.03 0.03 0.04 0.04

1600 50 0.21 0.21 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

1600 100 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 200 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 130

Tab. 7.43: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - HDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 115.50 444.70 808.58 818.13 461.04 461.86 0.44 0.23

25 12 114.98 426.23 466.46 472.42 3.48 3.71 0.31 0.10

50 12 113.99 391.42 13.17 14.36 1.53 1.77 0.25 0.05

100 12 112.15 326.75 222.68 223.97 0.61 0.84 0.23 0.02

200 12 109.02 216.99 0.01 1.06 0.16 0.39 0.22 0.01

400 12 104.65 63.40 0.21 1.27 0.06 0.16 0.21 0.00

800 12 101.18 58.62 0.60 0.44 0.17 0.05 0.21 0.00

1600 12 102.85 0.00 1.04 0.00 0.23 0.00 0.21 0.00

12 25 132.31 1085.80 1770.13 1780.27 1013.67 1014.45 0.15 0.11

25 25 131.16 1043.40 1019.08 1025.15 3.64 3.73 0.09 0.05

50 25 128.95 962.28 11.33 11.93 1.68 1.77 0.06 0.02

100 25 124.76 808.49 521.14 523.42 0.76 0.84 0.05 0.01

200 25 117.42 539.24 1.19 1.73 0.30 0.39 0.05 0.00

400 25 106.64 143.62 0.80 1.35 0.08 0.16 0.04 0.00

800 25 97.39 195.65 0.08 0.47 0.03 0.05 0.04 0.00

1600 25 102.73 0.00 0.54 0.00 0.09 0.00 0.04 0.00

12 50 164.62 2252.19 3618.47 3636.34 2075.68 2076.89 0.06 0.06

25 50 162.26 2166.12 2082.40 2092.88 3.67 3.73 0.03 0.02

50 50 157.71 2000.59 11.00 11.53 1.71 1.77 0.02 0.01

100 50 149.02 1684.45 1090.19 1094.95 0.78 0.84 0.01 0.01

200 50 133.67 1125.50 1.40 1.89 0.33 0.39 0.01 0.00

400 50 110.80 293.17 0.88 1.36 0.10 0.16 0.01 0.00

800 50 90.83 433.82 0.01 0.47 0.01 0.05 0.01 0.00

1600 50 102.75 0.00 0.48 0.00 0.06 0.00 0.01 0.00

12 100 229.22 4595.25 7314.68 7349.69 4199.55 4201.83 0.03 0.03

25 100 224.44 4421.53 4209.03 4229.37 3.67 3.73 0.01 0.01

50 100 215.22 4086.53 10.93 11.45 1.71 1.77 0.01 0.01

100 100 197.55 3444.59 2227.41 2237.45 0.79 0.84 0.00 0.00

200 100 166.18 2304.59 1.44 1.92 0.33 0.39 0.00 0.00

400 100 119.19 597.31 0.88 1.36 0.11 0.16 0.00 0.00

800 100 77.84 905.15 0.00 0.47 0.00 0.05 0.00 0.00

1600 100 102.75 0.00 0.47 0.00 0.06 0.00 0.00 0.00

12 200 358.42 9287.09 14706.99 14776.78 8447.21 8451.75 0.00 0.00

25 200 348.81 8937.82 8462.29 8502.65 3.67 3.73 0.00 0.00

50 200 330.24 8263.52 10.91 11.44 1.71 1.77 0.00 0.00

100 200 294.61 6969.18 4501.62 4522.37 0.79 0.84 0.00 0.00

200 200 231.20 4665.90 1.45 1.93 0.33 0.39 0.00 0.00

400 200 135.98 1207.07 0.89 1.36 0.11 0.16 0.00 0.00

800 200 51.89 1847.50 0.00 0.47 0.00 0.05 0.00 0.00

1600 200 102.75 0.00 0.47 0.00 0.05 0.00 0.00 0.00

12 400 616.81 616.81 29491.23 29491.23 16942.57 16942.57 0.00 0.00

25 400 597.53 597.53 16968.60 16968.60 3.68 3.68 0.00 0.00

50 400 560.28 560.28 10.91 10.91 1.71 1.71 0.00 0.00

100 400 488.73 488.73 9050.04 9050.04 0.79 0.79 0.00 0.00

200 400 361.25 361.25 1.45 1.45 0.33 0.33 0.00 0.00

400 400 169.57 169.57 0.89 0.89 0.11 0.11 0.00 0.00

800 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 131

Tab. 7.44: Erro Percentual em J para número de Nusselt com Péclet grende - UDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 463.19 97.00 812.87 96.93 461.23 97.86 0.44 0.44

12 25 1073.78 93.75 1778.94 93.68 1014.16 94.58 0.15 0.15

12 50 2247.24 87.50 3635.99 87.43 2076.75 88.27 0.06 0.06

12 100 4593.75 75.00 7349.63 74.94 4201.77 75.66 0.03 0.03

12 200 9286.72 50.00 14776.78 49.96 8451.73 50.44 0.00 0.00

12 400 18672.29 0.00 29630.70 0.00 16951.70 0.00 0.00 0.00

25 12 444.09 96.99 469.13 96.68 3.53 0.19 0.31 0.31

25 25 1031.81 93.74 1024.35 93.44 3.70 0.03 0.09 0.09

25 50 2161.35 87.49 2092.68 87.21 3.72 0.01 0.03 0.03

25 100 4420.09 74.99 4229.34 74.75 3.73 0.00 0.01 0.01

25 200 8937.47 49.99 8502.65 49.84 3.73 0.00 0.00 0.00

25 400 17971.94 0.00 17049.05 0.00 3.73 0.00 0.00 0.00

50 12 408.10 96.96 13.71 2.04 1.59 0.18 0.25 0.25

50 25 951.52 93.71 11.85 0.38 1.74 0.03 0.06 0.06

50 50 1996.17 87.46 11.52 0.08 1.76 0.01 0.02 0.02

50 100 4085.19 74.97 11.45 0.02 1.77 0.00 0.01 0.01

50 200 8263.19 49.98 11.44 0.00 1.77 0.00 0.00 0.00

50 400 16618.94 0.00 11.43 0.00 1.77 0.00 0.00 0.00

100 12 341.23 96.88 223.25 98.63 0.67 0.17 0.23 0.23

100 25 799.29 93.63 523.13 95.29 0.81 0.03 0.05 0.05

100 50 1680.70 87.39 1094.86 88.94 0.84 0.01 0.01 0.01

100 100 3443.46 74.90 2237.43 76.23 0.84 0.00 0.00 0.00

100 200 6968.90 49.94 4522.37 50.82 0.84 0.00 0.00 0.00

100 400 14019.75 0.00 9092.22 0.00 0.84 0.00 0.00 0.00

200 12 227.75 96.55 0.48 1.42 0.21 0.17 0.22 0.22

200 25 532.77 93.33 1.66 0.26 0.36 0.03 0.05 0.05

200 50 1122.92 87.11 1.88 0.04 0.38 0.01 0.01 0.01

200 100 2303.82 74.67 1.92 0.01 0.39 0.00 0.00 0.00

200 200 4665.72 49.78 1.93 0.00 0.39 0.00 0.00 0.00

200 400 9389.47 0.00 1.93 0.00 0.39 0.00 0.00 0.00

400 12 68.94 93.31 0.69 0.67 0.01 0.17 0.21 0.21

400 25 141.15 90.46 1.28 0.08 0.13 0.03 0.04 0.04

400 50 292.35 84.47 1.35 0.01 0.16 0.01 0.01 0.01

400 100 597.09 72.41 1.36 0.00 0.16 0.00 0.00 0.00

400 200 1207.02 48.28 1.36 0.00 0.16 0.00 0.00 0.00

400 400 2426.98 0.00 1.36 0.00 0.16 0.00 0.00 0.00

800 12 57.21 101.18 0.13 0.60 0.12 0.17 0.21 0.21

800 25 194.68 97.39 0.40 0.08 0.02 0.03 0.04 0.04

800 50 433.12 90.83 0.46 0.01 0.05 0.01 0.01 0.01

800 100 904.89 77.84 0.47 0.00 0.05 0.00 0.00 0.00

800 200 1847.43 51.89 0.47 0.00 0.05 0.00 0.00 0.00

800 400 3732.31 0.00 0.47 0.00 0.05 0.00 0.00 0.00

1600 12 3.39 3.39 0.57 0.57 0.17 0.17 0.21 0.21

1600 25 1.01 1.01 0.07 0.07 0.03 0.03 0.04 0.04

1600 50 0.21 0.21 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01

1600 100 0.03 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 200 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 132

Tab. 7.45: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grende - UDS.

ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001 ξ = 0.001

ERRO % ERRO % ERRO % ERRO %

I J global local global local global local global local

12 12 463.19 444.70 812.87 818.13 461.23 461.86 0.44 0.23

25 12 444.09 426.23 469.13 472.42 3.53 3.71 0.31 0.10

50 12 408.10 391.42 13.71 14.36 1.59 1.77 0.25 0.05

100 12 341.23 326.75 223.25 223.97 0.67 0.84 0.23 0.02

200 12 227.75 216.99 0.48 1.06 0.21 0.39 0.22 0.01

400 12 68.94 63.40 0.69 1.27 0.01 0.16 0.21 0.00

800 12 57.21 58.62 0.13 0.44 0.12 0.05 0.21 0.00

1600 12 3.39 0.00 0.57 0.00 0.17 0.00 0.21 0.00

12 25 1073.78 1085.80 1778.94 1780.27 1014.16 1014.45 0.15 0.11

25 25 1031.81 1043.40 1024.35 1025.15 3.70 3.73 0.09 0.05

50 25 951.52 962.28 11.85 11.93 1.74 1.77 0.06 0.02

100 25 799.29 808.49 523.13 523.42 0.81 0.84 0.05 0.01

200 25 532.77 539.24 1.66 1.73 0.36 0.39 0.05 0.00

400 25 141.15 143.62 1.28 1.35 0.13 0.16 0.04 0.00

800 25 194.68 195.65 0.40 0.47 0.02 0.05 0.04 0.00

1600 25 1.01 0.00 0.07 0.00 0.03 0.00 0.04 0.00

12 50 2247.24 2252.19 3635.99 3636.34 2076.75 2076.89 0.06 0.06

25 50 2161.35 2166.12 2092.68 2092.88 3.72 3.73 0.03 0.02

50 50 1996.17 2000.59 11.52 11.53 1.76 1.77 0.02 0.01

100 50 1680.70 1684.45 1094.86 1094.95 0.84 0.84 0.01 0.01

200 50 1122.92 1125.50 1.88 1.89 0.38 0.39 0.01 0.00

400 50 292.35 293.17 1.35 1.36 0.16 0.16 0.01 0.00

800 50 433.12 433.82 0.46 0.47 0.05 0.05 0.01 0.00

1600 50 0.21 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00 0.01 0.00

12 100 4593.75 4595.25 7349.63 7349.69 4201.77 4201.83 0.03 0.03

25 100 4420.09 4421.53 4229.34 4229.37 3.73 3.73 0.01 0.01

50 100 4085.19 4086.53 11.45 11.45 1.77 1.77 0.01 0.01

100 100 3443.46 3444.59 2237.43 2237.45 0.84 0.84 0.00 0.00

200 100 2303.82 2304.59 1.92 1.92 0.39 0.39 0.00 0.00

400 100 597.09 597.31 1.36 1.36 0.16 0.16 0.00 0.00

800 100 904.89 905.15 0.47 0.47 0.05 0.05 0.00 0.00

1600 100 0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12 200 9286.72 9287.09 14776.78 14776.78 8451.73 8451.75 0.00 0.00

25 200 8937.47 8937.82 8502.65 8502.65 3.73 3.73 0.00 0.00

50 200 8263.19 8263.52 11.44 11.44 1.77 1.77 0.00 0.00

100 200 6968.90 6969.18 4522.37 4522.37 0.84 0.84 0.00 0.00

200 200 4665.72 4665.90 1.93 1.93 0.39 0.39 0.00 0.00

400 200 1207.02 1207.07 1.36 1.36 0.16 0.16 0.00 0.00

800 200 1847.43 1847.50 0.47 0.47 0.05 0.05 0.00 0.00

1600 200 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12 400 18672.29 18672.29 29630.70 29630.70 16951.70 16951.70 0.00 0.00

25 400 17971.94 17971.94 17049.05 17049.05 3.73 3.73 0.00 0.00

50 400 16618.94 16618.94 11.43 11.43 1.77 1.77 0.00 0.00

100 400 14019.75 14019.75 9092.22 9092.22 0.84 0.84 0.00 0.00

200 400 9389.47 9389.47 1.93 1.93 0.39 0.39 0.00 0.00

400 400 2426.98 2426.98 1.36 1.36 0.16 0.16 0.00 0.00

800 400 3732.31 3732.31 0.47 0.47 0.05 0.05 0.00 0.00

1600 400 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7. Resultados da solução permanente 133

Tab. 7.46: Erro Percentual em I para número de Nusselt com Péclet grande com dis-

cretização em uma direção apenas- HDS.

ERRO REAL %

I ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

3 7.76 17.71 1.29 2.36

5 20.31 0.03 0.22 0.56

10 0.62 0.21 0.00 0.08

20 0.08 0.05 0.01 0.01

40 0.02 0.01 0.00 0.00

80 0.00 0.00 0.00 0.00

100 0.00 0.00 0.00 0.00

120 0.00 0.00 0.00 0.00

140 0.00 0.00 0.00 0.00

160 0.00 0.00 0.00 0.00

180 0.00 0.00 0.00 0.00

200 0.00 0.00 0.00 0.00

250 0.00 0.00 0.00 0.00

300 0.00 0.00 0.00 0.00

350 0.00 0.00 0.00 0.00

400 0.00 0.00 0.00 0.00

450 0.00 0.00 0.00 0.00

500 0.00 0.00 0.00 0.00

600 0.00 0.00 0.00 0.00

700 0.00 0.00 0.00 0.00

800

0.00 0.00 0.00 0.00

Capítulo 8

Resultados para Regime Transiente

Este capítulo apresenta resultados do número de Nusselt para o regime transiente. Va-

lores em diferentes posições e tempos são calculados e apresentados, inicialmente, em

tabelas, para analisar a convergência das soluções e determinar as malhas mais ade-

quadas para cada caso. A solução HDS (com discretização bidirecional) foi escolhida

devido ao menor custo computacional. Mesmo assim, cada um dos casos transientes

calculados requer um tempo de computação uma ordem de grandeza acima do gasto

para um caso de regime permanente equivalente (mesma malha e mesmo Péclet). Além

disto, o tempo computacional investido nas soluções permanentes também foi consi-

derável. Devido as estes fatores, apenas os casos com temperatura constante na pa-

rede foram calculados. Para os casos com temperatura constante na parede o número

de Fourier pode ser incorporado ao tempo adimensional, deﬁnindo uma nova variável

∗

= τFo. Desta forma os resultados podem ser analisados em função de τ

∗

ao invés de

τ e o efeito do número de Fourier estaria automaticamente incorporado aos resultados.

Portanto, todos os resultados transientes são apresentados em termos de τ

∗

134

8. Resultados para Regime Transiente 135

8.1 Análise de convergência

8.1.1 Número de Nusselt para Péclet grande e ξ

max

= 2

As tabelas de 8.1 até 8.4 apresentam os valores calculados para o número de Nusselt

em diferentes posições de ξ e diferentes tempos (τ

∗

= 0.01,0.1,1,10) utilizando diver-

sas malhas, para o caso com Péclet grande, utilizando ξ

max

= 2. Os resultados mostram

que, em geral, a mesma tendência observada para as soluções permanentes se repetem

aqui, com a convergência sendo pior em posições próximas à entrada do canal. Entre-

tanto, agora há um efeito adicional: a convergência é também pior para tempos mais

curtos. As tabelas apresentam posições (longe da entrada) onde, principalmente para

tempos mais curtos, não existe transferência de calor. Nestas posições o cálculo do

número de Nusselt gera erros numéricos; porém o valor exato para o Nusselt não é

bem deﬁnido pois este eqüivaleria a calcular a razão entre dois zeros. Para resolver o

problema atribui-se o valor nulo para Nusselt em regiões onde não há transferência de

calor. Esta escolha esta de acordo com o comportamento do Nusselt, pois este tende a

zero a medida que se aproxima-se da região sem transferência de calor. Isto pode ser

claramente observado nos gráﬁcos no ﬁnal deste capítulo.

8. Resultados para Regime Transiente 136

Tab. 8.1: Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 0.01.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2

12 12 146.809 145.711 235.557 0.123486 0.000000

12 25 306.292 303.913 498.653 0.0967044 0.000000

12 50 612.785 607.947 1004.02 0.0941777 0.000000

12 100 1225.67 1215.91 2014.47 0.0941515 0.000000

12 200 2451.40 2431.81 4035.26 0.142685 ERRO

12 400 4902.80 4863.55 8076.67 0.21938 ERRO

25 12 146.455 141.126 190.304 0.000000 0.000000

25 25 305.524 293.976 400.372 0.000000 0.000000

25 50 611.222 587.732 803.985 0.000000 0.000000

25 100 1222.52 1175.15 1611.04 0.000000 0.000000

25 200 2445.07 2349.96 3225.07 ERRO ERRO

25 400 4890.11 4699.50 6453.02 ERRO ERRO

50 12 145.127 119.245 0.671390 0.000000 0.000000

50 25 302.641 246.480 0.760498 0.000000 0.000000

50 50 605.354 491.059 0.779693 0.000000 0.000000

50 100 1210.68 980.157 0.783964 0.000000 0.000000

50 200 2421.28 1958.32 0.784884 ERRO ERRO

50 400 4842.46 3914.64 0.785087 ERRO ERRO

100 12 140.302 10.6652 0.577069 0.000000 0.000000

100 25 292.120 10.5428 0.617776 0.000000 0.000000

100 50 583.903 10.5187 0.629075 0.000000 0.000000

100 100 1167.38 10.5139 0.631975 0.000000 0.000000

100 200 2334.28 10.5128 0.632635 ERRO ERRO

100 400 4876.87 9.91855 0.011872 ERRO ERRO

200 12 125.021 -134.028 0.02846260 0.000000 0.000000

200 25 258.542 -302.458 0.00909083 0.000000 0.000000

200 50 515.231 -626.141 0.01020310 0.000000 0.000000

200 100 1028.55 -1273.53 0.00714442 0.000000 0.000000

200 200 2055.15 -2568.34 0.01366060 ERRO ERRO

200 400 4108.34 -5157.96 -0.00228826 ERRO ERRO

400 12 89.3282 0.467197 0.000000 0.000000 0.000000

400 25 178.665 1.10113 0.000000 0.000000 0.000000

400 50 350.758 1.23530 0.000000 0.000000 0.000000

400 100 694.987 1.26223 0.000000 0.000000 0.000000

400 200 1383.45 1.26779 ERRO ERRO ERRO

400 400 2760.36 1.26901 ERRO ERRO ERRO

800 12 38.2695 0.429905 0.000000 0.000000 0.000000

800 25 59.2454 0.444452 0.000000 0.000000 0.000000

1600 12 2.82568 0.10175 0.000000 0.000000 0.000000

8. Resultados para Regime Transiente 137

Tab. 8.2: Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 0.1.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2

12 12 146.120 138.443 -58.6168 3.20561 -0.545651

12 25 304.802 288.193 -137.009 3.27796 1.35982

12 50 609.755 575.993 -287.699 3.29169 0.525253

12 100 1219.56 1151.50 -589.079 3.29473 0.792128

12 200 2439.14 2302.49 -1191.84 3.29542 ERRO

12 400 4878.22 4604.41 -2397.38 3.29537 ERRO

25 12 144.142 117.613 -91.2382 0.478727 0.000000

25 25 300.501 242.937 -205.575 0.488348 0.000000

25 50 600.996 483.832 -425.500 0.565440 0.000000

25 100 1201.89 965.560 -865.384 0.475902 0.000000

25 200 2403.64 1928.99 -1745.16 ERRO ERRO

25 400 4807.07 3855.82 -3504.75 ERRO ERRO

50 12 139.273 73.2941 4.96474 0.000000 0.000000

50 25 289.828 145.949 5.04668 0.000000 0.000000

50 50 579.184 285.723 5.06141 0.000000 0.000000

50 100 1157.81 565.264 5.06459 0.000000 0.000000

50 200 2315.00 1124.34 5.06533 ERRO ERRO

50 400 4629.38 2242.48 5.06550 ERRO ERRO

100 12 129.501 13.4621 3.33672 0.000000 0.000000

100 25 268.080 13.2502 3.41033 0.000000 0.000000

100 50 534.476 13.2126 3.42420 0.000000 0.000000

100 100 1067.20 13.2047 3.42726 0.000000 0.000000

100 200 2132.60 13.2029 3.42796 ERRO ERRO

100 400 4263.40 13.2025 3.42813 ERRO ERRO

200 12 112.224 -15.2632 1.90107 0.000000 0.000000

200 25 228.747 -51.6969 1.94683 0.000000 0.000000

200 50 452.961 -121.187 1.95619 0.000000 0.000000

200 100 901.376 -260.065 1.95828 0.000000 0.000000

200 200 1798.19 -537.798 1.95876 ERRO ERRO

200 400 3591.79 -1093.26 1.95887 ERRO ERRO

400 12 83.3421 12.0794 0.850070 0.000000 0.000000

400 25 160.905 12.2281 0.858976 0.000000 0.000000

400 50 310.976 12.2556 0.861960 0.000000 0.000000

400 100 611.267 12.2603 0.862666 0.000000 0.000000

400 200 1211.87 12.2611 0.862817 ERRO ERRO

400 400 2413.08 12.2613 0.862852 ERRO ERRO

800 12 42.9604 12.1482 0.279718 0.000000 0.000000

800 25 61.3214 12.2209 0.265442 0.000000 0.000000

1600 12 10.8804 12.0554 0.0637647 0.000000 0.000000

8. Resultados para Regime Transiente 138

Tab. 8.3: Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 1.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2

12 12 145.376 131.248 -15.381 7.08807 9.96236

12 25 303.192 272.639 -43.7871 7.11093 9.21549

12 50 606.483 544.379 -98.3457 7.11525 8.98337

12 100 1212.96 1087.78 -207.447 7.11621 7.95748

12 200 2425.89 2174.55 -425.645 7.11642 8.63361

12 400 4851.68 4348.02 -862.042 7.11648 8.6314

25 12 143.026 108.470 -22.2014 6.62691 43.0894

25 25 298.072 223.046 -58.0687 6.65851 20.4034

25 50 596.046 443.294 -126.999 6.66447 16.5387

25 100 1191.90 883.739 -264.848 6.66583 9.83527

25 200 2383.55 1764.60 -540.543 6.66614 13.9505

25 400 4766.83 3526.31 -1091.93 6.66623 14.8736

50 12 138.356 68.7065 7.90617 5.85298 -0.06

50 25 287.804 135.733 7.91869 5.89624 ERRO

50 50 575.033 264.703 7.92069 5.90445 ERRO

50 100 1149.40 522.642 7.92108 5.90632 ERRO

50 200 2298.09 1038.51 7.92117 5.90675 ERRO

50 400 4595.46 2070.25 7.92119 5.90688 ERRO

100 12 129.202 13.7268 7.75764 4.6738 0.000000

100 25 267.387 13.5027 7.76894 4.72735 0.000000

100 50 533.029 13.4629 7.77081 4.73765 0.000000

100 100 1064.24 13.4545 7.77119 4.73998 ERRO

100 200 2126.64 13.4526 7.77128 4.74053 ERRO

100 400 4251.41 13.4521 7.77130 4.73755 ERRO

200 12 112.199 -14.8794 7.68727 3.16711 0.000000

200 25 228.677 -51.0801 7.69821 3.21946 0.000000

200 50 452.808 -120.100 7.70006 3.2298 0.000000

200 100 901.056 -258.033 7.70045 3.28313 0.000000

200 200 1797.53 -533.875 7.70053 3.23265 ERRO

200 400 3590.47 -1085.55 7.70055 3.23226 ERRO

400 12 83.3424 12.1301 7.65258 1.66551 0.000000

400 25 160.904 12.2729 7.66342 1.69843 0.000000

400 50 310.973 12.2993 7.66527 1.70526 0.000000

400 100 611.260 12.3037 7.66565 1.70590 0.000000

400 200 1211.86 12.3045 7.66574 2.21727 ERRO

400 400 2413.05 12.3047 7.66576 1.70921 ERRO

800 12 42.9604 12.1550 7.63559 0.756369 0.000000

800 25 61.3214 12.2264 7.64641 4.84818 0.000000

1600 12 10.8804 12.056 7.62723 9.03929 0.000000

8. Resultados para Regime Transiente 139

Tab. 8.4: Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 10.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 2

12 12 145.374 131.236 -15.3217 7.52443 7.4826

12 25 303.189 272.612 -43.6597 7.53758 7.51716

12 50 606.477 544.325 -98.0869 7.54003 7.52975

12 100 1212.95 1087.67 -206.926 7.54058 7.5352

12 200 2425.87 2174.32 -424.599 7.54070 7.54066

12 400 4851.64 4347.58 -859.944 7.54074 7.54069

25 12 143.026 108.470 -22.1952 7.52438 7.50868

25 25 298.072 223.045 -58.0557 7.53753 7.52968

25 50 596.046 443.292 -126.973 7.53998 7.53602

25 100 1191.90 883.734 -264.796 7.54054 7.53697

25 200 2383.55 1764.59 -540.438 7.54066 7.54066

25 400 4766.83 3526.29 -1091.72 7.54069 7.54069

50 12 138.356 68.7065 7.90618 7.52438 7.51766

50 25 287.804 135.733 7.91869 7.53753 7.53398

50 50 575.033 264.703 7.92070 7.53998 7.53817

50 100 1149.40 522.642 7.92109 7.54054 7.54544

50 200 2298.09 1038.51 7.92118 7.54066 7.54066

50 400 4595.46 2070.25 7.92120 7.54069 7.54069

100 12 129.202 13.7268 7.75764 7.52438 7.52162

100 25 267.387 13.5027 7.76894 7.53753 7.53588

100 50 533.029 13.4629 7.77081 7.53998 7.53912

100 100 1064.24 13.4545 7.77119 7.54054 7.54289

100 200 2126.64 13.4526 7.77128 7.54066 7.54066

100 400 4251.41 13.4521 7.77130 7.54069 7.540690

200 12 112.199 -14.8794 7.68727 7.52438 7.52349

200 25 228.677 -51.0801 7.69821 7.53753 7.53677

200 50 452.808 -120.100 7.70006 7.53998 7.53957

200 100 901.056 -258.033 7.70044 7.54054 7.54169

200 200 1797.53 -533.875 7.70053 7.54066 7.54066

200 400 3590.47 -1085.55 7.70055 7.54069 7.54069

400 12 83.3424 12.1301 7.65258 7.52438 7.52440

400 25 160.904 12.2729 7.66342 7.53753 7.53721

400 50 310.973 12.2993 7.66527 7.53998 7.53978

400 100 611.260 12.3037 7.66565 7.54054 7.54110

400 200 1211.86 12.3045 7.66574 7.54066 7.54066

400 400 2413.05 12.3047 7.66576 7.54069 7.54069

800 12 42.9604 12.1550 7.63559 7.52438 7.52485

800 25 61.3214 12.2264 7.64641 7.53753 7.53742

1600 12 10.8804 12.056 7.62723 7.52438 7.52507

8. Resultados para Regime Transiente 140

8.1.2 Número de Nusselt para Péclet grande e ξ

max

= 1

As tabelas de 8.5 até 8.8 apresentam os valores calculados para o número de Nusselt

em diferentes posições ξ e diferentes tempos (τ

∗

= 0.01,0.1,1,10) utilizando diversas

malhas, para o caso com Péclet grande, utilizando ξ

max

= 1.

Tab. 8.5: Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 0.01 com ξ

max

= 1.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 146.490 141.621 188.612 0.000000

12 25 305.601 295.048 396.755 0.000000

12 50 611.380 589.913 796.671 0.000000

12 100 1222.83 1179.55 1596.33 0.000000

12 200 2445.71 2358.79 3195.58 ERRO

12 400 4891.39 4717.21 6393.96 ERRO

25 12 145.127 119.245 0.67139 0.000000

25 25 302.641 246.480 0.760498 0.000000

25 50 605.354 491.059 0.779693 0.000000

25 100 1210.68 980.157 0.783964 0.000000

25 200 2421.28 1958.32 0.784884 ERRO

25 400 4842.46 3914.64 0.785087 ERRO

50 12 140.302 10.6652 0.577069 0.000000

50 25 292.12 10.5428 0.617776 0.000000

50 50 583.903 10.5187 0.629075 0.000000

50 100 1167.38 10.5139 0.631975 0.000000

50 200 2334.28 10.5128 0.632634 ERRO

50 400 4668.07 10.5126 0.632696 ERRO

200 12 89.3282 0.467197 0.000000 0.000000

200 25 178.665 1.10113 0.000000 0.000000

200 50 350.758 1.2353 0.000000 0.000000

200 100 694.987 1.26223 0.000000 0.000000

200 200 1383.45 1.26779 ERRO ERRO

200 400 2760.36 1.26901 ERRO ERRO

400 12 38.2695 0.429905 0.000000 0.000000

400 25 59.2454 0.444452 0.000000 0.000000

400 50 101.17 0.450525 0.000000 0.000000

400 100 185.372 0.45245 0.000000 0.000000

800 12 2.82568 0.101750 0.000000 0.000000

800 25 -31.5621 0.0533346 0.00000 0.000000

800 50 -93.782 0.0490972 0.000000 0.000000

1600 12 19.5390 0.015766 0.000000 0.000000

1600 25 20.3105 0.00234701 0.000000 0.000000

8. Resultados para Regime Transiente 141

Tab. 8.6: Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 0.1 com ξ

max

= 1.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 144.317 119.406 -111.015 0.717806

12 25 300.884 246.841 -248.472 0.724995

12 50 601.776 491.789 -512.863 0.723766

12 100 1203.46 981.622 -1041.69 0.700985

12 200 2406.80 1961.26 -2099.37 0.665786

12 400 4813.41 3920.50 -4214.76 0.926832

25 12 139.273 73.2941 4.96474 0.000000

25 25 289.828 145.949 5.04668 0.000000

25 50 579.184 285.723 5.06141 0.000000

25 100 1157.81 565.264 5.06459 0.000000

25 200 2315.00 1124.34 5.06533 ERRO

25 400

4629.38 2242.48 5.06550 ERRO

50 12 129.501 13.4621 3.33672 0.000000

50 25 268.080 13.2502 3.41033 0.000000

50 50 534.476 13.2126 3.4242 0.000000

50 100 1067.20 13.2047 3.42726 0.000000

50 200 2132.60 13.2029 3.42796 ERRO

50 400 4263.40 13.2025 3.42813 ERRO

200 12 83.3421 12.0794 0.850070 0.000000

200 25 160.905 12.2281 0.858976 0.000000

200 50 310.976 12.2556 0.861960 0.000000

200 100 611.267 12.2603 0.862666 0.000000

200 200 1211.87 12.2611 0.862817 ERRO

200 400 2413.08 12.2613 0.862851 ERRO

400 12 42.9604 12.1482 0.279718 0.000000

400 25 61.3214 12.2209 0.265442 0.000000

400 50 99.7685 12.2300 0.264197 0.000000

400 100 177.260 12.2312 0.263970 0.000000

800 12 10.8804 12.0554 0.0637647 0.000000

800 25 -24.0756 12.1196 0.0491908 0.000000

800 50 -84.7076 12.1275 0.0475619 0.000000

1600 12 26.2917 12.0029 0.0100628 0.000000

1600 25 25.1710 12.0636 0.00441478 0.000000

8. Resultados para Regime Transiente 142

Tab. 8.7: Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 1 com ξ

max

= 1.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 143.211 110.203 -27.5936 6.47887

12 25 298.477 226.829 -69.8263 6.53724

12 50 596.872 451.016 -150.987 6.55542

12 100 1193.57 899.334 -313.296 6.56287

12 200 2386.9 1795.94 -637.909 6.56918

12 400 4773.56 3589.14 -1287.14 6.56926

25 12 138.356 68.7065 7.90617 5.72723

25 25 287.804 135.733 7.91869 5.78796

25 50 575.033 264.703 7.92069 5.80429

25 100 1149.4 522.642 7.92108 5.81003

25 200 2298.09 1038.51 7.92117 5.81464

25 400

4595.46 2070.25 7.92119 5.81476

50 12 129.202 13.7268 7.75764 4.59051

50 25 267.387 13.5027 7.76894 4.65532

50 50 533.029 13.4629 7.77081 4.67114

50 100 1064.24 13.4545 7.77119 4.69416

50 200 2126.64 13.4526 7.77128 4.67964

50 400 4251.41 13.4521 7.7713 4.67998

200 12 83.3424 12.1301 7.65258 1.64546

200 25 160.904 12.2729 7.66342 1.68135

200 50 310.973 12.2993 7.66527 1.68967

200 100 611.260 12.3037 7.66565 1.69853

200 200 1211.86 12.3045 7.66574 1.82281

200 400 2413.05 12.3047 7.66576 1.69384

400 12 42.9604 12.155 7.63559 0.7685

400 25 61.3214 12.2264 7.64641 ERRO

400 50 99.7686 12.2352 7.64826 ERRO

400 100 177.26 12.2363 7.64865 ERRO

800 12 10.8804 12.0560 7.62723 ERRO

800 25 -24.0756 12.1199 7.63804 0.00000

800 50 -84.7076 12.1278 7.6399 ERRO

1600 12 26.2917 12.0029 7.62308 -0.06015

1600 25 25.1710 12.0636 7.63389 ERRO

8. Resultados para Regime Transiente 143

Tab. 8.8: Número de Nusselt para Pe

grande e τ

∗

= 10 com ξ

max

= 1.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 143.211 110.202 -27.5848 7.50786

12 25 298.477 226.828 -69.8078 7.52929

12 50 596.872 451.013 -150.95 7.53582

12 100 1193.56 899.328 -313.222 7.53846

12 200 2386.90 1795.93 -637.76 7.54066

12 400 4773.55 3589.12 -1286.84 7.54069

25 12 138.356 68.7065 7.90618 7.51766

25 25 287.804 135.733 7.91869 7.53398

25 50 575.033 264.703 7.92070 7.53817

25 100 1149.40 522.642 7.92109 7.53958

25 200 2298.09 1038.51 7.92118 7.54066

25 400

4595.46 2070.25 7.92120 7.54069

50 12 129.202 13.7268 7.75764 7.52162

50 25 267.387 13.5027 7.76894 7.53588

50 50 533.029 13.4629 7.77081 7.53912

50 100 1064.24 13.4545 7.77119 7.54008

50 200 2126.64 13.4526 7.77128 7.54066

50 400 4251.41 13.4521 7.77130 7.54069

200 12 83.3424 12.1301 7.65258 7.52440

200 25 160.904 12.2729 7.66342 7.53721

200 50 310.973 12.2993 7.66527 7.53978

200 100 611.260 12.3037 7.66565 7.54034

200 200 1211.86 12.3045 7.66574 7.54066

200 400 2413.05 12.3047 7.66576 7.54069

400 12 42.9604 12.155 7.63559 7.52485

400 25 61.3214 12.2264 7.64641 7.53742

400 50 99.7686 12.2352 7.64826 7.53989

400 100 177.26 12.2363 7.64865 7.54081

800 12 10.8804 12.0560 7.62723 7.52507

800 25 -24.0756 12.1199 7.63804 7.53753

800 50 -84.7076 12.1278 7.6399 7.53994

1600 12 26.2917 12.0029 7.62308 7.52519

1600 25 25.1710 12.0636 7.63389 7.53758

8. Resultados para Regime Transiente 144

8.1.3 Número de Nusselt para Péclet 10 e ξ

max

= 1

As tabelas de 8.9 até 8.12 apresentam os valores calculado para o número de Nusselt

em diferentes posições ξ e diferentes tempos (τ

∗

= 0.01,0.1,1,10) utilizando diversas

malhas, para o caso com Pe

= 10, utilizando ξ

max

= 1.

Tab. 8.9: Número de Nusselt para Pe

= 10 e τ

∗

= 0.01 com ξ

max

= 1.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 146.392 140.480 206.095 0.000000

12 25 305.314 291.683 442.235 ERRO

12 50 610.738 582.349 895.279 ERRO

12 100 1221.49 1163.65 1800.65 ERRO

12 200 2442.93 2326.24 3611.04 ERRO

12 400 4885.82 4651.41 7231.52 ERRO

25 12 144.455 113.022 4.02497 0.000000

25 25 300.552 224.379 4.10936 0.000000

25 50 600.587 439.078 4.15317 ERRO

25 100 1200.60 869.002 4.16097 ERRO

25 200 2400.61 1729.17 4.16215 ERRO

25 400 4800.61 3449.65 4.16236 ERRO

50 12 138.072 46.6545 -16.9799 0.000000

50 25 283.197 44.6367 -15.9002 0.000000

50 50 562.241 42.4754 -15.8535 ERRO

50 100 1120.52 41.1443 -15.8406 ERRO

50 200 2237.20 40.4232 -15.8359 ERRO

50 400 4470.67 40.0498 -15.8346 ERRO

100 12 128.456 30.4826 0.450009 0.000000

100 25 249.151 -23.2386 0.500491 0.000000

100 50 478.668 -131.598 0.512441 ERRO

100 100 938.467 -343.858 0.514922 ERRO

100 200 1859.09 -764.172 0.515409 ERRO

100 400 3701.01 -1602.24 0.516901 ERRO

200 12 124.763 46.3542 0.914592 0.000000

200 25 219.291 36.9209 0.954889 0.000000

200 50 374.030 31.4225 0.967025 ERRO

200 100 676.099 30.2809 0.969210 ERRO

200 200 1283.20 30.3454 0.969994 ERRO

200 400 2501.16 30.5309 0.948303 ERRO

400 12 125.523 47.3436 1.11033 0.000000

400 25 210.168 38.7832 1.15137 0.000000

400 50 291.714 34.7945 1.16246 ERRO

400 100 376.260 34.1742 1.16701 ERRO

400 200 523.922 34.0700 1.16082 ERRO

800 12 126.906 47.595 1.4824 ERRO

800 25 216.194 38.8588 1.52701 ERRO

1600 12 127.641 47.6965 1.91184 ERRO

8. Resultados para Regime Transiente 145

Tab. 8.10: Número de Nusselt para Pe

= 10 e τ

∗

= 0.1 com ξ

max

= 1.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 143.931 116.309 -68.7992 1.03353

12 25 299.936 239.017 -163.125 1.03612

12 50 599.760 474.980 -344.059 1.03543

12 100 1199.31 946.898 -705.702 1.00734

12 200 2398.39 1890.74 -1428.87 1.10466

12 400 4796.48 3778.40 -2875.15 0.796429

25 12 138.908 74.1654 6.96433 ERRO

25 25 288.255 141.092 7.01787 ERRO

25 50 575.354 270.431 7.02700 ERRO

25 100 1149.51 529.479 7.02875 ERRO

25 200 2297.79 1047.78 7.02910 ERRO

25 400 4594.35 2084.47 7.02918 ERRO

50 12 131.750 34.1029 6.34931 ERRO

50 25 268.983 32.6391 6.40702 ERRO

50 50 532.950 31.4031 6.41685 ERRO

50 100 1061.08 30.6636 6.41883 ERRO

50 200 2117.47 30.2667 6.41926 ERRO

50 400 4230.34 30.0619 6.41936 ERRO

100 12 124.555 26.5699 6.01842 ERRO

100 25 240.729 -7.80524 6.07524 ERRO

100 50 461.733 -76.5509 6.08503 ERRO

100 100 904.492 -211.127 6.08704 ERRO

100 200 1791.00 -477.595 6.08749 ERRO

100 400 3564.66 -1008.90 6.08759 ERRO

200 12 121.707 37.5063 5.83758 ERRO

200 25 213.345 30.9553 5.89347 ERRO

200 50 363.413 27.2616 5.90314 ERRO

200 100 656.372 26.4942 5.90514 ERRO

200 200 1245.17 26.5345 5.90559 ERRO

200 400 2426.40 26.6570 5.90569 ERRO

400 12 122.641 38.1925 5.74581 ERRO

400 25 204.839 32.2095 5.80096 ERRO

400 50 284.058 29.5089 5.81052 ERRO

400 100 366.196 29.0860 5.81250 ERRO

400 200 509.654 29.0143 5.81295 ERRO

800 12 124.066 38.2707 5.70051 ERRO

800 25 210.833 32.1903 5.7552 ERRO

1600 12 124.809 38.2628 5.6782 ERRO

8. Resultados para Regime Transiente 146

Tab. 8.11: Número de Nusselt para Pe

= 10 e τ

∗

= 1 com ξ

max

= 1.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 143.068 109.342 -22.9104 6.97235

12 25 298.060 223.942 -61.9373 7.01331

12 50 595.939 444.324 -136.746 7.02606

12 100 1191.60 885.082 -286.253 7.03115

12 200 2382.90 1766.61 -585.211 7.03546

12 400 4765.43 3529.63 -1183.10 7.03552

25 12 138.430 71.6253 8.44397 6.78643

25 25 287.207 135.777 8.44810 6.82078

25 50 573.213 259.763 8.44833 6.8299

25 100 1145.18 508.092 8.44824 6.83294

25 200 2289.09 1004.94 8.44820 6.83537

25 400 4576.91 1998.74 8.44818 6.83542

50 12 131.489 33.6142 8.29811 6.58400

50 25 268.412 32.1817 8.30290 6.61525

50 50 531.786 30.9765 8.30320 6.62253

50 100 1058.73 30.2558 8.30316 6.62453

50 200 2112.74 29.8691 8.30313 6.62619

50 400 4220.85 29.6696 8.30312 6.62605

100 12 124.380 26.4031 8.22662 6.39981

100 25 240.359 -7.31182 8.23100 6.43004

100 50 460.996 -74.7231 8.23127 6.43640

100 100 903.017 -206.685 8.23123 6.44053

100 200 1788.05 -467.975 8.23121 6.44149

100 400 3558.76 -988.959 8.23120 6.43886

200 12 121.570 37.2120 8.18665 6.27196

200 25 213.081 30.7628 8.19088 6.30230

200 50 362.942 27.1298 8.19115 6.30925

200 100 655.497 26.3749 8.19112 6.31063

200 200 1243.48 26.4146 8.19110 6.31026

200 400 2423.08 26.5349 8.19109 6.31033

400 12 122.520 37.9217 8.16583 6.20154

400 25 204.615 32.0247 8.16999 6.23237

400 50 283.736 29.3654 8.17025 6.23806

400 100 365.772 28.9489 8.17022 6.23973

400 200 509.053 28.8783 8.17020 6.24007

800 12 123.952 38.0151 8.15525 6.16722

800 25 210.616 32.0195 8.15937 6.19791

1600 12 124.698 38.0153 8.14991 6.15095

8. Resultados para Regime Transiente 147

Tab. 8.12: Número de Nusselt para Pe

= 10 e τ

∗

= 10 com ξ

max

= 1.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 143.068 109.340 -22.8937 7.61721

12 25 298.060 223.938 -61.9008 7.63479

12 50 595.937 444.315 -136.672 7.64027

12 100 1191.60 885.064 -286.103 7.64246

12 200 2382.90 1766.57 -584.909 7.64430

12 400 4765.42 3529.56 -1182.50 7.64432

25 12 138.430 71.6251 8.44427 7.67078

25 25 287.207 135.776 8.44838 7.68227

25 50 573.213 259.762 8.44861 7.68532

25 100 1145.18 508.091 8.44852 7.68635

25 200 2289.09 1004.94 8.44848 7.68714

25 400 4576.91 1998.74 8.44847 7.68716

50 12 131.489 33.6142 8.29824 7.70338

50 25 268.412 32.1817 8.30302 7.71196

50 50 531.786 30.9765 8.30332 7.71398

50 100 1058.73 30.2558 8.30328 7.71457

50 200 2112.74 29.8691 8.30325 7.71492

50 400 4220.85 29.6696 8.30324 7.71494

100 12 124.380 26.4031 8.22668 7.7172

100 25 240.359 -7.31182 8.23106 7.72452

100 50 460.996 -74.7231 8.23133 7.72608

100 100 903.017 -206.685 8.23129 7.72643

100 200 1788.05 -467.975 8.23127 7.72667

100 400 3558.76 -988.958 8.23126 7.72669

200 12 121.570 37.2120 8.18668 7.72266

200 25 213.081 30.7628 8.19092 7.72951

200 50 362.942 27.1298 8.19118 7.73089

200 100 655.497 26.3749 8.19115 7.73141

200 200 1243.48 26.4146 8.19113 7.73134

200 400 2423.08 26.5349 8.19112 7.73136

400 12 122.520 37.9217 8.16586 7.72603

400 25 204.615 32.0247 8.17002 7.73268

400 50 283.736 29.3654 8.17028 7.73400

400 100 365.772 28.9489 8.17025 7.73437

400 200 509.053 28.8783 8.17023 7.73441

800 12 123.952 38.0151 8.15527 7.72842

800 25 210.616 32.0195 8.15939 7.73497

1600 12 124.698 38.0153 8.14993 7.72992

8. Resultados para Regime Transiente 148

8.2 Evolução transiente da distribuição espacial de Nusselt

Esta seção tem o objetivo de analisar o comportamento transiente para os diferentes

números de Nusselt. As ﬁguras de 8.1até 8.4 mostram a evolução de Nusselt para

diferentes valores de número de Péclet e diferentes tempos (τ

∗

= 0.01,0.1, 1, 10), para

diferentes tamanhos de canal (ξ

max

= 1,2, 10).

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Τ  0.05

Τ  0.1

Τ  0.5

Τ  1.0

Τ 

Fig. 8.1: Variação transiente de Nusselt para Pe

grande.

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Τ  0.05

Τ  0.1

Τ  0.5

Τ  1.0

Τ 

Fig. 8.2: Variação transiente de Nusselt para Pe

= 10.

Comparando a evolução do número de Nusselt com Péclet grande e com Pe

= 10,

ambos em regime transiente, observa-se que apesar do comportamento em regime per-

manente ser próximo, o comportamento transiente é bastante diferente. Para valores

muito pequenos de τ

∗

(0.05 e 0.1), o número de Nusselt atinge a região onde não há

8. Resultados para Regime Transiente 149

0.5

1.0

1.5

2.0

Τ  0.05

Τ  0.1

Τ  0.5

Τ  1.0

Τ 

Fig. 8.3: Variação transiente de Nusselt para Pe

= 1.

Τ  0.05

Τ  0.1

Τ  0.5

Τ  1.0

Τ 

Fig. 8.4: Variação transiente de Nusselt para Pe

= 0.1.

transferencia de calor

logo no início do canal. Observa-se também nos resultados uma

semelhança entre Pe

= 10 e Péclet grande, onde os valores de Nusselt transientes são

sempre menores que os valores atingidos em regime permanente. Todavia, compa-

rando a evolução do número de Nusselt para Pe

= 1 Pe

= 0.1 este comportamento se

inverte, e os valores de Nusselt obtidos para regime transiente são maiores que os va-

lores obtidos para regime permanente. Os resultados também mostram que, à medida

que o número de Péclet é reduzido, os valores de Nusselt atingem mais rapidamente

o desenvolvimento térmico. Isto pode ser observado pelos gráﬁcos, onde curvas para

= 1 e Pe

= 0.1 om τ

∗

= 1 e τ

∗

= 0.1 estão praticamente sobrepostas às curvas

ou seja, onde o número de Nusselt é nulo.

8. Resultados para Regime Transiente 150

para o regime permanente (τ

∗

inﬁnito).

Também observa-se que para valores de Pe

= 0.1 a independência em relação

à posição do canal (ξ) é atingida antes do regime permanente. Isto pode ser visto

observando as curvas para Pe

= 0.1 e notando que em todos os tempos a derivada em

relação à ξ é aparentemente nula próximo à saída. O mesmo não ocorre para Pe

= 1

e para nenhum outro caso de Péclet.

Capítulo 9

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Apêndice A

Demais resultados para regime permanente

A.1 Slug-Flow com discretização bidirecional

Nesta seção são apresentados os resultados para a temperatura adimensionalizada para

o escoamento tipo Slug-ﬂow com diferentes valores para número de Péclet, usando a

discretização bidirecional, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ) e

diferentes posições para a coordenada transversal η.

As tabelas A.1 e A.2 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas ob-

tidos para Slug-ﬂow, para número de Péclet Pe

= 10 e valores de η = 0 e η = 0.99.

As tabelas A.3 e A.4 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas ob-

tidos para Slug-ﬂow, para número de Péclet Pe

= 1 e valores de η = 0 e η = 0.99.

As tabelas A.5 e A.6 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas ob-

tidos para Slug-ﬂow, para número de Péclet Pe

= 0.1 e valores de η = 0 e η = 0.99.

156

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 157

Tab. A.1: Temperaturas para Slug-Flow com Pe

= 10, em η = 0.99, discretização bi-

direcional.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.323506 0.234550 -0.0246250 0.000191525

12 25 0.603496 0.427536 -0.067577 0.000190531

12 50 0.964798 0.676910 -0.122477 0.000190308

12 100 1.157490 0.809920 -0.151740 0.000190253

12 200 0.964780 0.676752 -0.122669 0.000190239

12 400 0.964779 0.676744 -0.122678 0.000190236

25 12 0.313819 0.161820 0.0143742 0.000218889

25 25 0.582364 0.268895 0.0142953 0.000217770

25 50 0.929028 0.408400 0.0142799 0.000217520

25 100 1.113920 0.482830 0.0142761 0.000217457

25 200 0.928929 0.407633 0.0142752 0.000217442

25 400 0.928924 0.407594 0.0142749 0.000217438

50 12 0.300328 0.0923806 0.0141140 0.000230015

50 25 0.547375 0.0877456 0.0140552 0.000228845

50 50 0.866393 0.0836811 0.0140429 0.000228584

50 100 1.036510 0.0814039 0.0140398 0.000228519

50 200 0.865849 0.0805958 0.0140391 0.000228502

50 400 0.865822 0.0804405 0.0140389 0.000228498

100 12 0.287448 0.0795208 0.0140549 0.000234249

100 25 0.497030 0.0193569 0.0139987 0.000233060

100 50 0.763064 -0.0632814 0.0139869 0.000232795

100 100 0.904254 -0.1084400 0.0139839 0.000232728

100 200 0.760073 -0.07034220 0.0139832 0.000232712

100 400 0.759919 -0.07070180 0.0139830 0.000232708

200 12 0.282922 0.0973508 0.0140382 0.000235622

200 25 0.450401 0.0817739 0.0139828 0.000234427

200 50 0.627618 0.0743719 0.0139710 0.000234160

200 100 0.713525 0.0734473 0.0139681 0.000234094

200 200 0.613442 0.0734997 0.0139674 0.000234077

200 400 0.612662 0.0734838 0.0139672 0.000234073

400 12 0.284838 0.0984785 0.0140339 0.000236019

400 25 0.437251 0.0835771 0.0139787 0.000234823

400 50 0.527126 0.0775711 0.0139670 0.000234556

400 100 0.527153 0.0766086 0.0139641 0.000234489

400 200 0.484009 0.0764050 0.0139634 0.000234473

400 400 0.481107 0.0763547 0.0139632 0.000234468

800 12 0.287375 0.0986767 0.0140328 0.000236127

800 25 0.447776 0.0834937 0.0139776 0.000234930

800 50 0.527411 0.0775398 0.0139659 0.000234663

800 100 0.477041 0.0766073 0.0139631 0.000234596

800 200 0.469591 0.0764062 0.0139623 0.000234580

800 400 0.464023 0.0763566 0.0139622 0.000234575

1600 12 0.288678 0.0987204 0.0140325 0.000236155

1600 25 0.456693 0.0834350 0.0139774 0.000234958

1600 50 0.561951 0.0774923 0.0139657 0.000234691

1600 100 0.538682 0.0765753 0.0139628 0.000234624

1600 200 0.509260 0.0763764 0.0139621 0.000234607

1600 400 0.504563 0.0763273 0.0139619 0.000234603

exata 0.511806 0.0762989 0.0139618 0.000234611

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 158

Tab. A.2: Temperaturas para Slug-Flow com Pe

= 10, em η = 0, discretização bidire-

cional.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.999368 0.991733 0.781316 0.0168394

12 25 0.999313 0.991209 0.778264 0.0167870

12 50 0.999301 0.991093 0.777581 0.0167752

12 100 0.999298 0.991064 0.777410 0.0167723

12 200 0.999297 0.991057 0.777367 0.0167715

12 400 0.999297 0.991055 0.777356 0.0167713

25 12 1.00004 0.997061 0.785136 0.0154258

25 25 1.00003 0.996824 0.781935 0.0153743

25 50 1.00002 0.996775 0.781215 0.0153627

25 100 1.00002 0.996763 0.781036 0.0153598

25 200 1.00002 0.996760 0.780991 0.0153591

25 400 1.00002 0.996759 0.780979 0.0153589

50 12 0.999689 0.994283 0.788608 0.0151086

50 25 0.999678 0.994101 0.785369 0.0150574

50 50 0.999676 0.994064 0.784641 0.0150459

50 100 0.999676 0.994054 0.784459 0.0150430

50 200 0.999676 0.994052 0.784414 0.0150423

50 400 0.999676 0.994051 0.784402 0.0150421

100 12 0.999507 0.992955 0.789553 0.0150293

100 25 0.999492 0.992749 0.786305 0.0149781

100 50 0.999489 0.992705 0.785575 0.0149667

100 100 0.999489 0.992694 0.785392 0.0149638

100 200 0.999488 0.992692 0.785347 0.0149631

100 400 0.999488 0.992691 0.785335 0.0149629

200 12 0.999440 0.992560 0.789803 0.0150095

200 25 0.999423 0.992346 0.786553 0.0149583

200 50 0.999420 0.992300 0.785822 0.0149469

200 100 0.999419 0.992289 0.785639 0.0149440

200 200 0.999419 0.992286 0.785594 0.0149433

200 400 0.999419 0.992285 0.785582 0.0149431

400 12 0.999409 0.992481 0.789866 0.0150046

400 25 0.999392 0.992266 0.786616 0.0149534

400 50 0.999389 0.992220 0.785885 0.0149419

400 100 0.999388 0.992208 0.785702 0.0149390

400 200 0.999388 0.992205 0.785656 0.0149383

400 400 0.999387 0.992205 0.785645 0.0149381

800 12 0.999395 0.992462 0.789882 0.0150033

800 25 0.999378 0.992246 0.786631 0.0149522

800 50 0.999374 0.992200 0.785901 0.0149407

800 100 0.999373 0.992188 0.785718 0.0149378

800 200 0.999373 0.992185 0.785672 0.0149371

800 400 0.999373 0.992185 0.785661 0.0149369

1600 12 0.999390 0.992457 0.789886 0.0150030

1600 25 0.999372 0.992241 0.786635 0.0149518

1600 50 0.999368 0.992195 0.785904 0.0149404

1600 100 0.999368 0.992183 0.785722 0.0149375

1600 200 0.999367 0.992180 0.785676 0.0149368

1600 400 0.999367 0.992180 0.785665 0.0149366

exata 0.999366 0.992178 0.785662 0.0149364

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 159

Tab. A.3: Temperaturas para Slug-Flow com Pe

= 1, em η = 0.99, discretização bidi-

recional.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.328472 0.279226 0.0678804 0.00918419

12 25 0.608877 0.475796 0.0232298 0.00915747

12 50 0.969852 0.722234 -0.0372672 0.00915172

12 100 1.162240 0.852516 -0.0702377 0.00915029

12 200 0.969408 0.718286 -0.0425278 0.00914993

12 400 0.969385 0.718082 -0.0427951 0.00914985

25 12 0.327963 0.276324 0.0822786 0.00925074

25 25 0.602716 0.430995 0.0708876 0.00922343

25 50 0.950006 0.574643 0.0660971 0.00921756

25 100 1.133250 0.636129 0.0651981 0.00921610

25 200 0.947417 0.554411 0.0650115 0.00921574

25 400 0.947268 0.553253 0.0649659 0.00921565

50 12 0.328182 0.279391 0.0829426 0.00926561

50 25 0.600947 0.428127 0.0706704 0.00923818

50 50 0.934207 0.501750 0.0658633 0.00923228

50 100 1.100890 0.476537 0.0650969 0.00923082

50 200 0.925958 0.450784 0.0649327 0.00923045

50 400 0.925320 0.446987 0.0648922 0.00923036

100 12 0.328458 0.282116 0.0831471 0.00926934

100 25 0.601778 0.441380 0.0706977 0.00924188

100 50 0.930076 0.526735 0.0658936 0.00923597

100 100 1.079830 0.481584 0.0651454 0.00923451

100 200 0.919402 0.473215 0.0649834 0.00923414

100 400 0.917822 0.467702 0.0649434 0.00923405

200 12 0.328636 0.283170 0.0831956 0.00927027

200 25 0.602852 0.447956 0.0706895 0.00924280

200 50 0.932885 0.552208 0.0658867 0.00923690

200 100 1.078020 0.529622 0.0651460 0.00923543

200 200 0.930283 0.501286 0.0649850 0.00923507

200 400 0.927958 0.496683 0.0649453 0.00923498

400 12 0.328733 0.283366 0.0832075 0.00927051

400 25 0.603541 0.449091 0.0706865 0.00924304

400 50 0.936044 0.555963 0.0658842 0.00923713

400 100 1.084060 0.535091 0.0651455 0.00923566

400 200 0.938801 0.505850 0.0649848 0.00923530

400 400 0.935272 0.501247 0.0649451 0.00923521

800 12 0.328781 0.283415 0.0832105 0.00927057

800 25 0.603904 0.449374 0.0706857 0.00924309

800 50 0.937952 0.556889 0.0658835 0.00923719

800 100 1.089030 0.536365 0.0651454 0.00923572

800 200 0.940396 0.507047 0.0649847 0.00923536

800 400 0.936622 0.502451 0.0649450 0.00923526

1600 12 0.328801 0.283427 0.0832112 0.00927058

1600 25 0.604056 0.449445 0.0706855 0.00924311

1600 50 0.938785 0.557120 0.0658833 0.00923720

1600 100 1.091380 0.536678 0.0651453 0.00923574

1600 200 0.940287 0.507351 0.0649847 0.00923537

1600 400 0.936867 0.502758 0.0649450 0.00923528

exata 0.936781 0.501235 0.0649318 0.00923525

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 160

Tab. A.4: Temperaturas para Slug-Flow com Pe

= 1, em η = 0, discretização bidire-

cional.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.999360 0.993582 0.934157 0.550016

12 25 0.999355 0.993524 0.933573 0.550323

12 50 0.999353 0.993512 0.933445 0.550392

12 100 0.999353 0.993509 0.933413 0.550409

12 200 0.999353 0.993508 0.933405 0.550414

12 400 0.999353 0.993508 0.933403 0.550415

25 12 0.999357 0.993549 0.934113 0.549682

25 25 0.999351 0.993492 0.933532 0.549989

25 50 0.999350 0.993479 0.933403 0.550057

25 100 0.999350 0.993476 0.933372 0.550075

25 200 0.999350 0.993475 0.933364 0.550079

25 400 0.999350 0.993475 0.933362 0.550080

50 12 0.999355 0.993529 0.934112 0.549606

50 25 0.999349 0.993472 0.933531 0.549913

50 50 0.999348 0.993459 0.933403 0.549982

50 100 0.999348 0.993456 0.933371 0.550000

50 200 0.999348 0.993455 0.933363 0.550004

50 400 0.999348 0.993455 0.933361 0.550005

100 12 0.999354 0.993519 0.934112 0.549588

100 25 0.999348 0.993462 0.933531 0.549895

100 50 0.999347 0.993449 0.933403 0.549964

100 100 0.999347 0.993446 0.933371 0.549981

100 200 0.999347 0.993445 0.933363 0.549985

100 400 0.999347 0.993445 0.933361 0.549986

200 12 0.999353 0.993516 0.934112 0.549583

200 25 0.999348 0.993458 0.933531 0.549890

200 50 0.999346 0.993445 0.933403 0.549959

200 100 0.999346 0.993442 0.933371 0.549976

200 200 0.999346 0.993441 0.933363 0.549980

200 400 0.999346 0.993441 0.933361 0.549981

400 12 0.999353 0.993515 0.934112 0.549582

400 25 0.999347 0.993457 0.933531 0.549889

400 50 0.999346 0.993445 0.933403 0.549958

400 100 0.999346 0.993441 0.933371 0.549975

400 200 0.999346 0.993441 0.933363 0.549979

400 400 0.999346 0.993440 0.933361 0.549980

800 12 0.999353 0.993515 0.934112 0.549581

800 25 0.999347 0.993457 0.933531 0.549888

800 50 0.999346 0.993444 0.933403 0.549957

800 100 0.999346 0.993441 0.933371 0.549975

800 200 0.999346 0.993440 0.933363 0.549979

800 400 0.999346 0.993440 0.933361 0.549980

1600 12 0.999353 0.993515 0.934112 0.549581

1600 25 0.999347 0.993457 0.933531 0.549888

1600 50 0.999346 0.993444 0.933403 0.549957

1600 100 0.999346 0.993441 0.933371 0.549975

1600 200 0.999345 0.993440 0.933363 0.549979

1600 400 0.999345 0.993440 0.933361 0.549980

exata 0.999345 0.993440 0.933360 0.549980

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 161

Tab. A.5: Temperaturas para Slug-Flow com Pe

= 0.1 em η = 0.99, discretização bi-

direcional.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.333798 0.328802 0.285600 0.1329640

12 25 0.622662 0.602208 0.445957 0.1097210

12 50 0.992759 0.930519 0.539164 0.1007590

12 100 1.18709 1.07772 0.503654 0.0994011

12 200 0.991784 0.921260 0.488005 0.0991053

12 400 0.991587 0.919464 0.482820 0.0990323

25 12 0.333814 0.328965 0.286312 0.1336180

25 25 0.622765 0.603249 0.450279 0.1104520

25 50 0.993074 0.934038 0.555489 0.1013020

25 100 1.18707 1.07972 0.534116 0.0999101

25 200 0.993260 0.934019 0.504942 0.0996079

25 400 0.992943 0.931353 0.500341 0.0995333

50 12 0.333822 0.329045 0.286440 0.1337640

50 25 0.622823 0.603825 0.451006 0.1106130

50 50 0.993351 0.936836 0.557802 0.1014210

50 100 1.18763 1.08593 0.537123 0.1000220

50 200 0.994091 0.939815 0.507897 0.0997184

50 400 0.993559 0.936042 0.503306 0.0996435

100 12 0.333826 0.329084 0.286472 0.1338010

100 25 0.622855 0.604113 0.451190 0.1106530

100 50 0.993518 0.938373 0.558398 0.1014510

100 100 1.18807 1.09008 0.537935 0.1000500

100 200 0.994256 0.940432 0.508672 0.0997459

100 400 0.993657 0.936788 0.504087 0.0996709

200 12 0.333829 0.329097 0.286480 0.1338100

200 25 0.622871 0.604213 0.451235 0.1106630

200 50 0.993608 0.938915 0.558546 0.1014580

200 100 1.18832 1.09161 0.538135 0.1000570

200 200 0.994242 0.940342 0.508868 0.0997528

200 400 0.993674 0.936946 0.504284 0.0996777

400 12 0.333830 0.329099 0.286482 0.1338120

400 25 0.622879 0.604232 0.451247 0.1106650

400 50 0.993654 0.939020 0.558583 0.1014600

400 100 1.18846 1.09190 0.538185 0.1000580

400 200 0.994213 0.940346 0.508917 0.0997545

400 400 0.993678 0.936985 0.504334 0.0996795

800 12 0.333830 0.329100 0.286482 0.133813

800 25 0.622883 0.604237 0.451250 0.110666

800 50 0.993676 0.939046 0.558593 0.101461

800 100 1.18853 1.09197 0.538198 0.100059

800 200 0.994194 0.940347 0.508929 0.0997549

800 400 0.993679 0.936995 0.504346 0.0996799

1600 12 0.333830 0.329100 0.286482 0.133813

1600 25 0.622885 0.604238 0.451250 0.110666

1600 50 0.993685 0.939053 0.558595 0.101461

1600 100 1.18855 1.09199 0.538201 0.100059

1600 200 0.994186 0.940348 0.508932 0.099755

1600 400 0.993679 0.936997 0.504349 0.099680

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 162

Tab. A.6: Temperaturas para Slug-Flow com Pe

= 0.1, em η = 0, discretização bidi-

recional.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

12 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

12 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

12 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

12 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

12 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

25 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

25 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

25 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

25 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

25 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

25 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

50 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

50 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

50 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

50 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

50 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

50 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

100 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

100 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

100 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

100 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

100 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

100 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

200 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

200 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

200 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

200 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

200 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

200 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

400 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

400 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

400 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

400 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

400 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

400 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

800 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

800 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

800 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

800 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

800 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

800 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

1600 12 1.00000 1.00000 1.00000 0.999999

1600 25 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

1600 50 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

1600 100 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

1600 200 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

1600 400 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 163

A.2 Slug-Flow para Peclet grande com discretização bidirecional

Nesta seção são apresentados os resultados para a temperatura adimensionalizada para

o escoamento tipo Slug-ﬂow com valores de Péclet grande, usando a discretização bidi-

recional, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e diferentes posições

para a coordenada transversal η.

As tabelas A.7 e A.8 mostram os valores de Temperaturas adimensionalizadas ob-

tidos para Slug-ﬂow, para número de Péclet grande e valores de η = 0 e η = 0.99.

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 164

Tab. A.7: Temperaturas para Slug-Flow em com número de Pe

grande, em η = 0.99,

discretização bidirecional.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.323310 0.232798 -0.0275879 0.000100969

12 25 0.603315 0.425916 -0.0703548 0.000100338

12 50 0.964625 0.675363 -0.1251620 0.000100198

12 100 1.157330 0.808410 -0.1543790 0.000100162

12 200 0.964613 0.675255 -0.1252930 0.000100154

12 400 0.964613 0.675250 -0.1252990 0.000100151

25 12 0.312641 0.152567 0.0128519 0.000121234

25 25 0.581277 0.260366 0.0128139 0.000120493

25 50 0.928009 0.400386 0.0128059 0.000120328

25 100 1.112940 0.475091 0.0128039 0.000120287

25 200 0.927957 0.399990 0.0128034 0.000120276

25 400 0.927955 0.399970 0.0128033 0.000120274

50 12 0.294682 0.0586520 0.0125790 0.000132028

50 25 0.541948 0.0555483 0.0125509 0.000131229

50 50 0.861380 0.0538815 0.0125447 0.000131050

50 100 1.031750 0.0530558 0.0125432 0.000131006

50 200 0.861184 0.0527710 0.0125428 0.000130995

50 400 0.861174 0.0527154 0.0125427 0.000130992

100 12 0.266001 0.0136333 0.0125058 0.000138169

100 25 0.472670 -0.0491604 0.0124794 0.000137338

100 50 0.740429 -0.1266640 0.0124737 0.000137153

100 100 0.883252 -0.1679020 0.0124723 0.000137107

100 200 0.739705 -0.1283290 0.0124719 0.000137095

100 400 0.739668 -0.1284130 0.0124718 0.000137092

200 12 0.227724 0.0429532 0.0124853 0.000141474

200 25 0.362644 0.0402603 0.0124594 0.000140627

200 50 0.538675 0.0400324 0.0124538 0.000140437

200 100 0.632514 0.0401008 0.0124524 0.000140390

200 200 0.536185 0.0401397 0.0124520 0.000140378

200 400 0.536060 0.0401456 0.0124519 0.000140375

400 12 0.192438 0.0421483 0.0124800 0.000143191

400 25 0.222490 0.0406611 0.0124543 0.000142335

400 50 0.259645 0.0404276 0.0124487 0.000142144

400 100 0.278877 0.0403726 0.0124473 0.000142096

400 200 0.252293 0.0403590 0.0124469 0.000142084

400 400 0.251922 0.0403556 0.0124468 0.000142081

800 12 0.179991 0.0415851 0.0124787 0.000144067

800 25 0.124563 0.0402956 0.0124530 0.000143206

800 50 0.0368335 0.0400784 0.0124474 0.000143014

800 100 -0.0119355 0.0400268 0.0124460 0.000142966

800 200 0.0222429 0.0400141 0.0124456 0.000142954

800 400 0.0215038 0.0400109 0.0124455 0.000142951

1600 12 0.185005 0.0414301 0.0124784 0.000144509

1600 25 0.153065 0.0401910 0.0124527 0.000143646

1600 50 0.136309 0.0399786 0.0124470 0.000143454

1600 100 0.133101 0.0399281 0.0124456 0.000143406

1600 200 0.132530 0.0399155 0.0124453 0.000143394

1600 400 0.132380 0.0399124 0.0124452 0.000143391

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 165

Tab. A.8: Temperaturas para Slug-Flow com número de Pe

grande, em η = 0, discre-

tização bidirecional.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.999659 0.994059 0.765126 0.0108836

12 25 0.999582 0.993336 0.761624 0.0108420

12 50 0.999565 0.993175 0.760838 0.0108326

12 100 0.999561 0.993135 0.760641 0.0108303

12 200 0.999560 0.993125 0.760592 0.0108297

12 400 0.999559 0.993122 0.760580 0.0108296

25 12 1.00175 1.01070 0.769355 0.00959247

25 25 1.00171 1.01031 0.765493 0.00955231

25 50 1.00171 1.01023 0.764623 0.00954331

25 100 1.00171 1.01021 0.764405 0.00954106

25 200 1.00171 1.01020 0.764351 0.00954049

25 400 1.00170 1.01020 0.764337 0.00954035

50 12 1.00118 1.00731 0.775222 0.00930439

50 25 1.00124 1.00746 0.771141 0.00926459

50 50 1.00125 1.00751 0.770221 0.00925567

50 100 1.00125 1.00752 0.769990 0.00925344

50 200 1.00125 1.00752 0.769933 0.00925288

50 400 1.00125 1.00753 0.769918 0.00925274

100 12 0.999909 1.00154 0.777069 0.00923249

100 25 0.999931 1.00167 0.772905 0.00919278

100 50 0.999936 1.00171 0.771965 0.00918387

100 100 0.999937 1.00172 0.771730 0.00918165

100 200 0.999938 1.00172 0.771671 0.00918109

100 400 0.999938 1.00172 0.771657 0.00918095

200 12 0.999960 1.00020 0.777592 0.00921452

200 25 0.999954 1.00023 0.773403 0.00917483

200 50 0.999952 1.00024 0.772458 0.00916593

200 100 0.999951 1.00025 0.772221 0.00916371

200 200 0.999951 1.00025 0.772162 0.00916315

200 400 0.999951 1.00025 0.772147 0.00916302

400 12 1.00000 1.00002 0.777727 0.00921003

400 25 1.00000 1.00002 0.773532 0.00917034

400 50 1.00000 1.00002 0.772585 0.00916145

400 100 1.00000 1.00002 0.772348 0.00915923

400 200 1.00000 1.00002 0.772289 0.00915867

400 400 1.00000 1.00002 0.772274 0.00915853

800 12 1.00000 1.00001 0.777761 0.00920891

800 25 1.00000 1.00000 0.773564 0.00916922

800 50 1.00000 1.00000 0.772617 0.00916033

800 100 1.00000 1.00000 0.772380 0.00915810

800 200 1.00000 1.00000 0.772321 0.00915755

800 400 1.00000 1.00000 0.772306 0.00915741

1600 12 1.00000 1.00001 0.777770 0.00920863

1600 25 1.00000 1.00000 0.773572 0.00916894

1600 50 1.00000 1.00000 0.772625 0.00916005

1600 100 1.00000 1.00000 0.772388 0.00915782

1600 200 1.00000 1.00000 0.772329 0.00915727

1600 400 1.00000 1.00000 0.772314 0.00915713

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 166

A.3 Slug-Flow para Peclet grande com discretização em uma

direção

Nesta seção são apresentados os resultados para a temperatura adimensionalizada para

o escoamento tipo Slug-ﬂow com valores de Péclet grande, usando a discretização

em uma direção apenas, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e

diferentes posições para a coordenada transversal η.

As tabelas A.9 e A.10 mostram os valores de temperatura obtidos para Slug-Flow,

para número de Péclet grande.

Tab. A.9: Temperaturas para Slug-Flow com número de Pe

grande, em η = 0.99, dis-

cretização em uma direção.

I ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

3 0.0578972 0.0432279 0.0129178 0.000160839

5 0.0907101 0.0465760 0.0125846 0.000149776

10 0.139480 0.0414004 0.0124781 0.000145303

20 0.141326 0.0402177 0.0124537 0.000144204

40 0.128886 0.0399728 0.0124476 0.000143929

80 0.125849 0.0398845 0.0124451 0.000143850

100 0.125761 0.0398818 0.0124451 0.000143844

120 0.125790 0.0398827 0.0124452 0.000143841

140 0.125840 0.0398842 0.0124452 0.000143840

160 0.125772 0.0398821 0.0124452 0.000143838

180 0.125684 0.0398793 0.0124451 0.000143836

200 0.125665 0.0398786 0.0124451 0.000143835

250 0.125716 0.0398803 0.0124451 0.000143835

300 0.125647 0.0398781 0.0124451 0.000143833

350 0.125675 0.0398790 0.0124451 0.000143833

400 0.125641 0.0398779 0.0124451 0.000143833

500 0.125638 0.0398778 0.0124451 0.000143833

600 0.125636 0.0398777 0.0124451 0.000143832

700 0.125636 0.0398777 0.0124451 0.000143832

800 0.125635 0.0398777 0.0124451 0.000143832

900 0.125635 0.0398777 0.0124451 0.000143832

1000 0.125634 0.0398777 0.0124451 0.000143832

1100 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832

1200 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832

1300 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832

1400 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832

1500 0.125634 0.0398776 0.0124451 0.000143832

1600 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832

1700 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832

1800 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832

1900 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832

2000 0.125633 0.0398776 0.0124451 0.000143832

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 167

Tab. A.10: Temperaturas para Slug-Flow com número de Pe

grande, em η = 0, dis-

cretização em uma direção.

I ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

3 1.000150 1.00990 0.852989 0.01134460

5 1.00000 1.00076 0.802948 0.00991931

10 1.00000 1.00002 0.780156 0.00934493

20 1.00000 0.999999 0.774285 0.00920383

40 1.00000 0.999999 0.772806 0.00916871

80 1.00000 0.999999 0.772435 0.00915992

100 1.00000 0.999999 0.772391 0.00915889

120 1.00000 0.999999 0.772367 0.00915831

140 1.00000 0.999999 0.772352 0.00915797

160 1.00000 0.999999 0.772342 0.00915775

180 1.00000 0.999999 0.772336 0.00915759

200 1.00000 0.999999 0.772331 0.00915748

250 1.00000 0.999999 0.772324 0.00915731

300 1.00000 0.999999 0.772320 0.00915721

350 1.00000 0.999999 0.772318 0.00915717

400 1.00000 0.999999 0.772317 0.00915713

500 1.00000 0.999999 0.772315 0.00915709

600 1.00000 0.999999 0.772314 0.00915707

700 1.00000 0.999999 0.772313 0.00915705

800 1.00000 0.999999 0.772313 0.00915704

900 1.00000 0.999999 0.772313 0.00915703

1000 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915704

1100 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915703

1200 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915703

1300 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915701

1400 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702

1500 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702

1600 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702

1700 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702

1800 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702

1900 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702

2000 1.00000 0.999999 0.772312 0.00915702

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 168

A.4 Resultados de temperatura para Péclet grande (CDS)

Nesta seção são apresentados os resultados para a temperatura adimensionalizada para

o escoamento tipo Hagen-Poiseuille com número de Péclet grande, usando a discre-

tização bidirecional CDS, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e

diferentes posições para a coordenada transversal η.

As tabelas A.11 e A.12 mostram os valores de Temperaturas adimensionalizadas

obtidos para Hagen-Poiseuille, para número de Péclet grande e valores de η = 0 e

η = 0.99.

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 169

Tab. A.11: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de Pe

grande, em η =

0.99, discretização bidirecional CDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.322946 0.229554 -0.0318745 0.000295746

12 25 0.602985 0.422978 -0.0742265 0.000294880

12 50 0.964313 0.672586 -0.1288330 0.000294668

12 100 1.157020 0.805712 -0.1579550 0.000294613

12 200 0.964313 0.672584 -0.1288350 0.000294599

12 400 0.964313 0.672584 -0.1288350 0.000294595

25 12 0.311277 0.141916 0.0121157 0.000343813

25 25 0.580048 0.250763 0.0121258 0.000342851

25 50 0.926854 0.391363 0.0121271 0.000342615

25 100 1.111820 0.466357 0.0121273 0.000342553

25 200 0.926853 0.391356 0.0121273 0.000342538

25 400 0.926853 0.391355 0.0121274 0.000342534

50 12 0.290205 0.0323090 0.0119729 0.000368822

50 25 0.537927 0.0318852 0.0119825 0.000367813

50 50 0.857639 0.0318125 0.0119838 0.000367565

50 100 1.028160 0.0317970 0.0119840 0.000367500

50 200 0.857635 0.0317933 0.0119841 0.000367484

50 400 0.857635 0.0317924 0.0119841 0.000367480

100 12 0.252235 -0.0244231 0.0119323 0.000382413

100 25 0.460259 -0.0831922 0.0119417 0.000381381

100 50 0.729009 -0.1583010 0.0119430 0.000381127

100 100 0.872358 -0.1983240 0.0119432 0.000381061

100 200 0.728996 -0.1583300 0.0119433 0.000381044

100 400 0.728995 -0.1583310 0.0119433 0.000381040

200 12 0.189405 0.0274512 0.0119208 0.000389530

200 25 0.327293 0.0276882 0.0119301 0.000388487

200 50 0.506508 0.0277182 0.0119315 0.000388230

200 100 0.602151 0.0277217 0.0119317 0.000388163

200 200 0.506463 0.0277224 0.0119318 0.000388146

200 400 0.506461 0.0277225 0.0119318 0.000388142

400 12 0.103442 0.0276068 0.0119179 0.000393175

400 25 0.135514 0.0276999 0.0119272 0.000392126

400 50 0.181119 0.0277061 0.0119285 0.000391867

400 100 0.205647 0.0277058 0.0119287 0.000391800

400 200 0.180981 0.0277056 0.0119288 0.000391783

400 400 0.180975 0.0277056 0.0119288 0.000391779

800 12 0.0359742 0.0274793 0.0119171 0.000395020

800 25 -0.0272886 0.0275678 0.0119264 0.000393968

800 50 -0.0999449 0.0275736 0.0119277 0.000393709

800 100 -0.138257 0.0275734 0.0119280 0.000393641

800 200 -0.100229 0.0275732 0.0119280 0.000393624

800 400

1600 12 0.0627006 0.0274428 0.0119169 0.000395948

1600 25 0.0620691 0.0275300 0.0119262 0.000394895

1600 50 0.0623053 0.0275357 0.0119275 0.000394635

1600 100

1600 200

1600 400

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 170

Tab. A.12: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com número de Pe

grande, em η = 0,

discretização bidirecional CDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.999909 0.996912 0.815561 0.0301440

12 25 0.999823 0.996111 0.811611 0.0300770

12 50 0.999804 0.995933 0.810725 0.0300620

12 100 0.999800 0.995889 0.810504 0.0300582

12 200 0.999799 0.995878 0.810448 0.0300573

12 400 0.999798 0.995875 0.810435 0.0300570

25 12 1.00138 1.00856 0.818938 0.0283127

25 25 1.00133 1.00808 0.814663 0.0282445

25 50 1.00132 1.00798 0.813698 0.0282292

25 100 1.00132 1.00795 0.813457 0.0282254

25 200 1.00132 1.00795 0.813396 0.0282244

25 400 1.00132 1.00795 0.813381 0.0282242

50 12 1.00090 1.00563 0.823537 0.0278990

50 25 1.00095 1.00569 0.819056 0.0278306

50 50 1.00096 1.00572 0.818043 0.0278152

50 100 1.00097 1.00573 0.817789 0.0278113

50 200 1.00097 1.00573 0.817726 0.0278104

50 400 1.00097 1.00574 0.817710 0.0278101

100 12 0.999938 1.00122 0.824959 0.0277954

100 25 0.999971 1.00131 0.820402 0.0277270

100 50 0.999978 1.00135 0.819371 0.0277116

100 100 0.999980 1.00136 0.819113 0.0277077

100 200 0.999980 1.00136 0.819049 0.0277068

100 400 0.999980 1.00136 0.819033 0.0277065

200 12 0.999967 1.00019 0.825359 0.0277695

200 25 0.999965 1.00021 0.820779 0.0277011

200 50 0.999962 1.00022 0.819744 0.0276857

200 100 0.999962 1.00022 0.819484 0.0276818

200 200 0.999961 1.00023 0.819419 0.0276809

200 400 0.999961 1.00023 0.819403 0.0276806

400 12 1.00001 1.00003 0.825463 0.0277631

400 25 1.00001 1.00002 0.820877 0.0276946

400 50 1.00001 1.00002 0.819840 0.0276792

400 100 1.00001 1.00002 0.819580 0.0276754

400 200 1.00001 1.00002 0.819515 0.0276744

400 200 1.00001 1.00002 0.819499 0.0276742

800 12 1.00000 1.00002 0.825489 0.0277615

800 25 1.00000 1.00000 0.820902 0.0276930

800 50 1.00000 1.00000 0.819864 0.0276776

800 100 1.00000 1.00000 0.819604 0.0276737

800 200 1.00000 1.00000 0.819539 0.0276728

800 400

1600 12 0.999999 1.00002 0.825495 0.0277611

1600 25 0.999999 1.00000 0.820908 0.0276926

1600 50 0.999999 0.999999 0.819870 0.0276772

1600 100

1600 200

1600 400

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 171

A.5 Resultados de Temperatura para HDS

Nesta seção são apresentados os resultados para a temperatura adimensionalizada para

o escoamento tipo Hagen-Poiseuille com número de Péclet grande, usando a discre-

tização bidirecional HDS, para diferentes posições da coordenada longitudinal (ξ ) e

diferentes posições para a coordenada transversal η.

As tabelas A.13 e A.14 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas

obtidos para Hagen-Poiseuille, para número de Péclet Pe

= 10 e valores de η = 0.99 e

η = 0 As tabelas A.15 e A.16 mostram os valores de temperaturas adimensionalizadas

obtidos para Hagen-Poiseuille, para número de Péclet Pe

= 1 e valores de η = 0.99

e η = 0. Os resultados calculados para Pe

são idênticos aos calculados utilizando a

solução CDS e portanto não são apresentados.

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 172

Tab. A.13: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com Pe

= 10, em η = 0.99, discreti-

zação bidirecional, solução HDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.323120 0.231113 -0.0294420 0.000693614

12 25 0.603141 0.424378 -0.0719938 0.000692248

12 50 0.964461 0.673907 -0.126697 0.000691912

12 100 1.15717 0.806995 -0.155864 0.000691824

12 200 0.964455 0.673854 -0.126760 0.000691802

12 400 0.964455 0.673851 -0.126763 0.000691796

25 12 0.312650 0.152664 0.0136122 0.000629350

25 25 0.581291 0.260503 0.0136065 0.000627835

25 50 0.928024 0.400533 0.0136040 0.000627473

25 100 1.11295 0.475241 0.0136032 0.000627380

25 200 0.927973 0.400140 0.0136030 0.000627356

25 400 0.927970 0.400121 0.0136029 0.000627350

50 12 0.297475 0.0751927 0.0135955 0.000590325

50 25 0.544641 0.0714306 0.0135916 0.000588736

50 50 0.863866 0.0685816 0.0135895 0.000588362

50 100 1.034110 0.0670363 0.0135888 0.000588267

50 200 0.863497 0.0664915 0.0135886 0.000588243

50 400 0.863478 0.0663865 0.0135885 0.000588237

100 12 0.282186 0.0613421 0.0135392 0.000566098

100 25 0.491055 0.000991529 0.0135351 0.000564489

100 50 0.757480 -0.0802790 0.0135330 0.000564112

100 100 0.899070 -0.124437 0.0135324 0.000564016

100 200 0.755046 -0.0859661 0.0135322 0.000563992

100 400 0.754921 -0.0862555 0.0135322 0.000563986

200 12 0.276332 0.0843161 0.0134829 0.000551954

200 25 0.440303 0.0712923 0.0134788 0.000550341

200 50 0.617144 0.0655010 0.0134767 0.000549964

200 100 0.703950 0.0648880 0.0134761 0.000549868

200 200 0.604318 0.0649771 0.0134759 0.000549845

200 400 0.603616 0.0649730 0.0134759 0.000549839

400 12 0.278564 0.0858978 0.0134470 0.000544210

400 25 0.425463 0.0737901 0.0134428 0.000542596

400 50 0.512158 0.0691156 0.0134408 0.000542219

400 100 0.513023 0.0683722 0.0134401 0.000542123

400 200 0.470825 0.0682136 0.0134400 0.000542100

400 400 0.468061 0.0681744 0.0134399 0.000542094

800 12 0.281758 0.0861150 0.0134270 0.000540147

800 25 0.437130 0.0738186 0.0134228 0.000538531

800 50 0.512615 0.0691507 0.0134208 0.000538154

800 100 0.462161 0.0684194 0.0134201 0.000538059

800 200 0.455895 0.0682606 0.0134200 0.000538035

800 400 0.450457 0.0682214 0.0134199 0.000538029

1600 12 0.283414 0.0861188 0.0134165 0.000538065

1600 25 0.447150 0.0737549 0.0134123 0.000536448

1600 50 0.549441 0.0690869 0.0134102 0.000536071

1600 100 0.526594 0.0683658 0.0134096 0.000535976

1600 200 0.497973 0.0682085 0.0134094 0.000535952

1600 400 0.493394 0.0681697 0.0134094 0.000535946

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 173

Tab. A.14: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com Pe

= 10, em η = 0, discretização

bidirecional, solução HDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.997187 0.972497 0.772749 0.0550133

12 25 0.997120 0.971870 0.769541 0.0549405

12 50 0.997105 0.971731 0.768824 0.0549241

12 100 0.997102 0.971697 0.768645 0.0549200

12 200 0.997101 0.971688 0.768600 0.0549189

12 400 0.997101 0.971686 0.768589 0.0549187

25 12 0.998613 0.985825 0.817369 0.0454781

25 25 0.998562 0.985333 0.814066 0.0454002

25 50 0.998551 0.985227 0.813325 0.0453826

25 100 0.998548 0.985201 0.813140 0.0453781

25 200 0.998547 0.985195 0.813094 0.0453770

25 400 0.998547 0.985193 0.813082 0.0453768

50 12 0.999268 0.992079 0.834814 0.0410239

50 25 0.999237 0.991753 0.831371 0.0409450

50 50 0.999230 0.991684 0.830598 0.0409272

50 100 0.999229 0.991667 0.830405 0.0409227

50 200 0.999228 0.991663 0.830357 0.0409216

50 400 0.999228 0.991662 0.830345 0.0409213

100 12 0.999517 0.994555 0.841436 0.0387067

100 25 0.999494 0.994296 0.837888 0.0386278

100 50 0.999489 0.994242 0.837089 0.0386099

100 100 0.999488 0.994228 0.836890 0.0386055

100 200 0.999487 0.994225 0.836840 0.0386043

100 400 0.999487 0.994224 0.836827 0.0386041

200 12 0.999630 0.995553 0.843778 0.0375099

200 25 0.999610 0.995320 0.840159 0.0374310

200 50 0.999606 0.995271 0.839345 0.0374132

200 100 0.999605 0.995259 0.839141 0.0374087

200 200 0.999605 0.995256 0.839090 0.0374076

200 400 0.999605 0.995255 0.839077 0.0374073

400 12 0.999684 0.995956 0.844635 0.0369004

400 25 0.999666 0.995732 0.840976 0.0368215

400 50 0.999662 0.995685 0.840152 0.0368037

400 100 0.999661 0.995674 0.839946 0.0367992

400 200 0.999661 0.995671 0.839894 0.0367981

400 400 0.999661 0.995670 0.839881 0.0367978

800 12 0.999710 0.996143 0.844974 0.0365927

800 25 0.999692 0.995922 0.841293 0.0365138

800 50 0.999689 0.995876 0.840464 0.0364959

800 100 0.999688 0.995865 0.840257 0.0364915

800 200 0.999688 0.995862 0.840205 0.0364903

800 400 0.999688 0.995862 0.840192 0.0364901

1600 12 0.999722 0.996233 0.845119 0.0364381

1600 25 0.999705 0.996013 0.841428 0.0363592

1600 50 0.999701 0.995968 0.840596 0.0363413

1600 100 0.999700 0.995957 0.840388 0.0363368

1600 200 0.999700 0.995954 0.840336 0.0363357

1600 400 0.999700 0.995953 0.840323 0.0363354

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 174

Tab. A.15: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com Pe

= 1, em η = 0.99, discretiza-

ção bidirecional, solução HDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.328403 0.278602 0.0661569 0.00928047

12 25 0.608794 0.475051 0.0215620 0.00925702

12 50 0.969774 0.721531 -0.0388066 0.00925191

12 100 1.162170 0.851865 -0.0716965 0.00925064

12 200 0.969338 0.717657 -0.0439574 0.00925032

12 400 0.969316 0.717456 -0.0442191 0.00925024

25 12 0.327880 0.275611 0.0809322 0.00933745

25 25 0.602574 0.429835 0.0698152 0.00931353

25 50 0.949850 0.573377 0.0651547 0.00930832

25 100 1.1331 0.634967 0.0642804 0.00930702

25 200 0.947282 0.553310 0.0640989 0.00930670

25 400 0.947134 0.552161 0.0640544 0.00930662

50 12 0.328102 0.278734 0.0816287 0.00934804

50 25 0.600781 0.426912 0.0696448 0.00932403

50 50 0.933970 0.500145 0.0649612 0.00931880

50 100 1.10066 0.474989 0.0642148 0.00931750

50 200 0.925744 0.449345 0.0640548 0.00931717

50 400 0.925108 0.445563 0.0640153 0.00931709

100 12 0.328384 0.281519 0.0818423 0.00934969

100 25 0.601619 0.440310 0.0696850 0.00932566

100 50 0.929809 0.525291 0.0650017 0.00932043

100 100 1.079530 0.480136 0.0642723 0.00931913

100 200 0.919134 0.471878 0.0641143 0.00931880

100 400 0.917555 0.466378 0.0640753 0.00931872

200 12 0.328566 0.282596 0.0818927 0.00934962

200 25 0.602703 0.446962 0.0696798 0.00932558

200 50 0.932631 0.550929 0.0649972 0.00932035

200 100 1.07771 0.528387 0.0642751 0.00931904

200 200 0.930019 0.500130 0.0641180 0.00931872

200 400 0.927696 0.495539 0.0640793 0.00931864

400 12 0.328665 0.282796 0.0819050 0.00934935

400 25 0.603401 0.448110 0.0696775 0.00932531

400 50 0.935809 0.554710 0.0649952 0.00932008

400 100 1.08378 0.533887 0.0642750 0.00931878

400 200 0.938562 0.504720 0.0641182 0.00931845

400 400 0.935035 0.500129 0.0640795 0.00931837

800 12 0.328714 0.282846 0.0819080 0.00934916

800 25 0.603768 0.448396 0.0696768 0.00932512

800 50 0.937728 0.555642 0.0649946 0.00931989

800 100 1.08877 0.535168 0.0642749 0.00931859

800 200 0.940172 0.505923 0.0641182 0.00931826

800 400 0.936399 0.501339 0.0640795 0.00931818

1600 12 0.328734 0.282859 0.0819087 0.00934906

1600 25 0.603922 0.448468 0.0696766 0.00932501

1600 50 0.938567 0.555874 0.0649944 0.00931978

1600 100 1.09112 0.535482 0.0642748 0.00931848

1600 200 0.940069 0.506229 0.0641182 0.00931815

1600 400 0.936649 0.501647 0.0640795 0.00931807

Apêndice A. Demais resultados para regime permanente 175

Tab. A.16: Temperaturas para Hagen-Poiseuille com Pe

= 1, em η = 0, discretização

bidirecional, solução HDS.

I J ξ = 0.001 ξ = 0.01 ξ = 0.1 ξ = 1

12 12 0.999413 0.994107 0.938944 0.562974

12 25 0.999407 0.994045 0.938321 0.563342

12 50 0.999406 0.994031 0.938184 0.563424

12 100 0.999406 0.994028 0.938150 0.563445

12 200 0.999405 0.994027 0.938142 0.563450

12 400 0.999405 0.994027 0.938139 0.563451

25 12 0.999410 0.994075 0.938877 0.562117

25 25 0.999404 0.994014 0.938258 0.562484

25 50 0.999403 0.994000 0.938121 0.562566

25 100 0.999402 0.993997 0.938087 0.562586

25 200 0.999402 0.993996 0.938079 0.562591

25 400 0.999402 0.993996 0.938077 0.562593

50 12 0.999408 0.994056 0.938852 0.561779

50 25 0.999402 0.993995 0.938234 0.562145

50 50 0.999401 0.993981 0.938097 0.562227

50 100 0.999400 0.993978 0.938063 0.562247

50 200 0.999400 0.993977 0.938055 0.562253

50 400 0.999400 0.993977 0.938053 0.562254

100 12 0.999407 0.994046 0.938838 0.561624

100 25 0.999401 0.993984 0.938219 0.561989

100 50 0.999400 0.993971 0.938083 0.562071

100 100 0.999399 0.993968 0.938049 0.562092

100 200 0.999399 0.993967 0.938040 0.562097

100 400 0.999399 0.993966 0.938038 0.562098

200 12 0.999407 0.994042 0.938830 0.561550

200 25 0.999400 0.993981 0.938211 0.561915

200 50 0.999399 0.993967 0.938075 0.561997

200 100 0.999399 0.993964 0.938041 0.562017

200 400 0.999399 0.993963 0.938030 0.562024

400 12 0.999406 0.994041 0.938826 0.561513

400 25 0.999400 0.993908 0.938207 0.561879

400 50 0.999399 0.993966 0.938071 0.561960

400 100 0.999398 0.993963 0.938037 0.561981

400 200 0.999398 0.993962 0.938028 0.561986

400 400 0.999398 0.993962 0.938026 0.561987

800 12 0.999406 0.994041 0.938823 0.561495

800 25 0.999400 0.993979 0.938205 0.561861

800 50 0.999399 0.993966 0.938069 0.561942

800 100 0.999398 0.993962 0.938035 0.561963

800 200 0.999398 0.993962 0.938026 0.561968

800 400 0.999398 0.993961 0.938024 0.561969

1600 12 0.999406 0.994041 0.938822 0.561487

1600 25 0.999400 0.993979 0.938204 0.561852

1600 50 0.999399 0.993966 0.938068 0.561934

1600 100 0.999398 0.993962 0.938034 0.561954

1600 200 0.999398 0.993961 0.938025 0.561959

1600 400 0.999398 0.993961 0.938023 0.561960

Apêndice B

Resultados de estudo preliminar

Neste apêndice, os resultados do estudo preliminar desenvolvido em [36] são exibidos.

Como mencionado, é pouco provável que o complexo processo de transferência

de calor e massa acoplado nos mini-canais de regeneradores, resulte em coeﬁcientes

convectivos constantes. Desta forma, uma formulação que aborde o problema de trans-

porte nos canais localmente torna-se necessária para obter-se resultados mais acurados

para simulações em regeneradores de calor e massa. Como o parâmetro de maior inte-

resse prático em regeneradores é a medida de sua eﬁciência, a inﬂuência da utilização

de coeﬁcientes variáveis sobre a eﬁciência foi investigada.

A eﬁciência de regeneradores é medida por meio de duas efetividades, para trans-

ferência de massa e para transferência de entalpia (ou energia), respectivamente deﬁ-

nidas por:

min

out ,I

−

out ,I I

in,I

−

in,I I

min

out ,I

−

out ,I I

in,I

−

in,I I

(B.1)

Onde a barra indica a média no tempo dentro de cada processo e o til representa

propriedades (entalpia no caso) em base seca.

Os resultados apresentados consistem em valores das efetividades do regenerador

rotativo para diferentes valores de unidades de transferência (utilizando N

igual para

transferência de calor e massa) e da razão de taxas de capacidades térmicas C

∗

. Os re-

sultados utilizando coeﬁcientes convectivos constantes (resultando em N

constante)

são comparados, com os valores de N

calculados com a equação abaixo:

tu,x

= N



−1

∗

RePr



−1/2

(B.2)

Onde a razão de aspecto entre o diâmetro hidráulico de um canal e seu comprimento

176

Apêndice B. Resultados de estudo preliminar 177

∗

= 1 C

∗

= 2 C

∗

= 5 C

∗

= 10

0,000 0,0981 0,3126 0,2904 0,4490 0,6218 0,6661 0,7146 0,7261

0,001 0,0981 0,3126 0,2904 0,4490 0,6218 0,6661 0,7146 0,7261

0,010 0,1005 0,3140 0,2947 0,4510 0,6222 0,6652 0,7118 0,7229

0,100 0,1427 0,3387 0,3676 0,4878 0,6218 0,6473 0,6664 0,6735

Tab. B.1: Valores das efetividades do regenerador rotativo para N

= 3.

∗

= 1 C

∗

= 2 C

∗

= 5 C

∗

= 10

0,000 0,0873 0,3328 0,2836 0,4733 0,6812 0,7342 0,7935 0,8069

0,001 0,0873 0,3328 0,2836 0,4733 0,6812 0,7342 0,7935 0,8069

0,010 0,0896 0,3342 0,2883 0,4755 0,6818 0,7330 0,7897 0,8024

0,100 0,1338 0,3575 0,3721 0,5142 0,6759 0,7014 0,7148 0,7216

Tab. B.2: Valores das efetividades do regenerador rotativo para N

= 5.

é gradativamente variada.

Os resultados obtidos são apresentados nas tabelas seguintes. A tabela B.1 apre-

senta os resultados para N

= 3, e as seguintes, para os demais valores do número de

unidades de transferência utilizados (N

= 5,10 e 50).

A análise dos resultados obtidos nas simulações mostra que houve grande variação

das efetividades quando foi utilizado valor de K

= 0,1 na formulação, o qual cor-

responde a uma situação exagerada de razão de aspecto comparado aos valores reais

encontrados em regeneradores. Entretanto os valores simulados para K

= 0,01 mos-

traram alguma mudança. Levando em consideração que estes são resultados de um

estudo preliminar, existe necessidade de uma investigação mais extensiva. Em rela-

ção aos valores obtidos para K

= 0,001, estes apresentaram os mesmos valores que os

obtidos sem considerar a variação dos coeﬁcientes (correspondentes ao valor K

= 0).

∗

= 1 C

∗

= 2 C

∗

= 5 C

∗

= 10

0,000 0,0768 0,3531 0,2784 0,4960 0,7438 0.8017 0,8721 0,8847

0,001 0,0768 0,3531 0,2784 0,4960 0,7438 0,8017 0,8721 0,8847

0,010 0,0793 0,3546 0,2832 0,4985 0,7444 0,8004 0,8677 0,8794

0,100 0,1256 0,3783 0,3786 0,5436 0,7344 0,7542 0,7538 0,7558

Tab. B.3: Valores das efetividades do regenerador rotativo para N

= 10.

Apêndice B. Resultados de estudo preliminar 178

∗

= 1 C

∗

= 2 C

∗

= 5 C

∗

= 10

0,000 0,0701 0,3758 0,2936 0,5266 0,8334 0,8853 0,9632 0,9691

0,001 0,0701 0,3758 0,2936 0,5266 0,8334 0,8853 0,9632 0,9691

0,010 0,0728 0,3776 0,2989 0,5302 0,8318 0,8839 0,9587 0,9641

0,100 0,1234 0,4133 0,4165 0,6817 0,7337 0,8845 0,6883 0,7989

Tab. B.4: Valores das efetividades do regenerador rotativo para N

= 50.

Isto se deve ao fato de, durante as simulações, o valor utilizado para os coeﬁcientes

convectivos em cada ponto da malha computacional ser o valor local. Nestes casos,

menores , o comprimento de entrada (térmica e hidrodinâmica) é menor que o es-

paçamento utilizado para a malha computacional e, portanto, o algoritmo calcula os

coeﬁcientes como sendo constantes (referentes à região completamente desenvolvida)

no domínio inteiro. Para evitar isto, um valor médio local pode ser utilizado para cada

ponto da malha computacional.

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