ads:
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE
DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO
ANÁLISE DE MEDIDAS DE DESEMPENHO DE ATIVOS DE RISCO:
UM ESTUDO DOS ÍNDICES DE POTENCIAL DE INVESTIMENTO, SHARPE E
SHARPE GENERALIZADO
Claudinei de Paula Santos
Prof. Dr. José de Oliveira Siqueira
SÃO PAULO
2008
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
II
Profa. Dra. Suely Vilela
Reitor da Universidade de São Paulo
Prof. Dr. Carlos Roberto Azzoni
Diretor da Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade
Prof. Dr. Isak Kruglianskas
Chefe do Departamento de Administração
Prof. Dr. Lindolfo Galvão de Albuquerque
Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Administração
ads:
III
CLAUDINEI DE PAULA SANTOS
ANÁLISE DE MEDIDAS DE DESEMPENHO DE ATIVOS DE RISCO:
UM ESTUDO DOS ÍNDICES DE POTENCIAL DE INVESTIMENTO, SHARPE E
SHARPE GENERALIZADO
Dissertação apresentada ao
Departamento de Administração da
Faculdade de Economia, Administração e
Contabilidade da Universidade de São
Paulo como requisito para a obtenção do
título de Mestre em Administração de
Empresas.
Orientador: Prof. Dr. José de Oliveira Siqueira
SÃO PAULO
2008
IV
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Seção de Processamento Técnico do SBD/FEA/USP
Santos, Claudinei de Paula
Análise de medidas de desempenho de ativos de risco : um estudo
dos índices de potencial de investimento, sharpe e sharpe generalizado
/ Claudinei de Paula Santos. -- São Paulo, 2008.
130 p.
Dissertação (Mestrado) – Universidade de São Paulo, 2008
Bibliografia.
1. Investimentos 2. Investimentos – Análise 3. Análise de risco
I. Universidade de São Paulo. Faculdade de Economia, Administração
V
AGRADECIMENTOS
“Você não pode ensinar nada a um homem; você pode apenas ajudá-lo a
encontrar a resposta dentro dele mesmo.” (Galileu Galilei)
“Os que decidem sobre o amanhã devem avaliar o impacto no futuro.”
(Jacques Costeau)
“Deus nos fez perfeitos e não escolhe os capacitados, capacita os
escolhidos.” (Albert Einstein)
A Deus, pela vida, beleza e perfeição de sua criação; por todo cuidado que tem
demonstrado ao longo de minha existência, pelas pessoas que me apresentou e
conviveram comigo, algumas por breve instantes, outras por tempos mais longos,
todas de grande importância no ensinamento da vida, e pelas oportunidades e
caminhos que me permitiu trilhar, garantindo a cada passo a construção de um
sonho.
Aos meus pais, José Francisco de P. Santos e Zilá de Souza P. Santos, que
dedicaram suas vidas ao bem estar dos filhos, e que desde cedo me ensinaram a
importância da educação e do conhecimento, fornecendo os melhores recursos
possíveis e oportunidades necessárias para que me tornasse uma pessoa melhor.
Ao meu orientador, Professor Dr. José de Oliveira Siqueira, a quem devo a
oportunidade concedida e a quem aprendi a ouvir e respeitar pela honestidade,
compreensão e exemplo de conduta acadêmica, pela empolgação e seriedade com
que trata a orientação e pelo vasto conhecimento que possui na área de finanças
quantitativas.
VI
Ao Prof. Dr. José Roberto Securato pelo exemplo de profissional do ensino,
comprometido com o aprendizado, e a quem devo grande parte de meu interesse
pela área de finanças e pelo conhecimento adquirido na área.
À Mara R. Maehara, minha namorada, pelo apoio, dedicação e paciência nos
diferentes momentos vividos durante o mestrado, e por respeitar e incentivar que
persiga meus sonhos.
Aos docentes da FEA, que formam essa instituição reconhecida, sempre
comprometidos com a geração e disseminação de conhecimento de qualidade, com
o qual pude contar no desenvolvimento desse trabalho. Aos funcionários da PPGA e
da biblioteca, muito colaborativos em todos os momentos em que os procurei com
alguma necessidade.
Aos amigos da USP, em especial ao Marcelo M. Taddeo que teve enorme paciência
em me ouvir, discutir, revisar e corrigir dúvidas matemáticas enfrentadas durante a
elaboração da dissertação, e a Carla Michele, que comprometeu muitos de seus
momentos de descanso para me ajudar na revisão e formatação desse trabalho.
Aos profissionais do LABFIN sempre dispostos a me atender e fornecer todas as
informações solicitadas, e a minha amiga Stella Fontes da Agência Estado, que
revisou o trabalho fornecendo sugestões importantes quanto à forma de escrita.
VII
RESUMO
A dissertação aborda e compara as características dos índices de Sharpe (SR) e
suas variantes,
c
SR
e
d
SR
, Sharpe generalizado (
GSR
) e potencial de investimento
(IP), sendo os índices
GSR
e IP associados a alguma função de utilidade. Pelo fato
de o
GSR
e o IP serem idênticos, testes empíricos foram realizados entre
c
SR
e o
GSR
. Ambos foram avaliados teoricamente sob dois aspectos, o que definimos de
análise retrospectiva, i.e., análise de séries de log-retornos mensais observados, e a
análise prospectiva, i.e., séries a ocorrer. No âmbito prospectivo, ex ante facto, o
c
SR
(índice de Sharpe com variável de estado normal) e o
d
SR
(índice de Sharpe
com variável de estado lognormal), por estarem associados à função de utilidade
quadrática, apresentam distorções como o ponto bliss e o agente econômico “bomba
de dinheiro”. O mesmo ocorre no âmbito retrospectivo, ex post facto, com o
GSR
(potencial de desempenho de ativos de risco para indivíduos com função de utilidade
HARA) quando o coeficiente de aversão ao risco é igual a um negativo,
1
γ
= −
. No
entanto, o
GSR
pode ser associado a funções de utilidade diferentes da quadrática
evitando seus efeitos indesejáveis. Sob a suposição de movimento browniano
geométrico (MBG) e da utilidade HARA para o preço mensal ajustado de ações
brasileiras e americanas e para pontos mensais de índices brasileiros e americanos,
entre janeiro de 2000 e março de 2008, obtivemos os seguintes resultados: (1) o
índice
GSR
para utilidade quadrática apresentou elevada correlação com o
c
SR
; (2)
a menor correlação de
GSR
com
c
SR
ocorreu para utilidade logarítmica; (3) para a
utilidade exponencial, o
GSR
apresenta elevado grau de correlação com o
c
SR
.
Os resultados mostraram que o
GSR
com utilidade exponencial é o índice que
menos se aproxima do comportamento do
GSR
com utilidade quadrática. Sabendo-
se das distorções da utilidade quadrática, a adoção do
GSR
com
1
γ
=
parece mais
adequado para a classificação de ativos de risco.
Palavras-chave: Investimentos, finanças, risco, índice de Sharpe, índice potencial
de investimento, índice de Sharpe generalizado, teoria da utilidade, função de
utilidade, fator de desconto estocástico, bandas do índice de Sharpe, precificação,
preço do risco.
VIII
ABSTRACT
This master dissertation studies and compares the characteristics of Sharpe ratio
and its variants,
c
SR
and
d
SR
, generalized Sharpe ratio (
GSR
) and investment
potential (IP), both
GSR
and IP associated to any utility function. By the fact that
GSR
and IP are identical indexes, empiric tests were conducted between
c
SR
and
GSR
. The indexes were evaluated theoretically under two different aspects:
retrospective analysis, i.e., analyze the observed monthly log-returns, and
prospective analysis, i.e., series to occur. Under prospective view, ex ante facto,
c
SR
(Sharpe ratio with normal state variable) and
d
SR
(Sharpe ratio with lognormal state
variable), for being associated to the quadratic utility function, show the inherent
problems to utility functions such as the bliss point and the pump money economic
agent. The same happens in a retrospective view, ex post facto, with the
GSR
(performance potential with HARA utility function family) when the risk aversion
coefficient equals minus one,
1
γ
= −
. Therefore, the
GSR
can be associated to
different utility functions avoiding the undesirable effects. Under the GBM (geometric
Brownian motion) condition and HARA utility function for the Brazilian and American
adjusted monthly stock prices and indexes monthly points during January 2000 and
March 2008, we reached the following: (1) results indicate that
GSR
for quadratic
utility has high correlation level with
c
SR
; (2) while the logarithmic utility showed
lowest correlation level between
GSR
and
c
SR
; (3) exponential utilities showed a
high level of correlation between
GSR
and
c
SR
.
The results showed that
GSR
with exponential utility kept the biggest behavior
difference for the
GSR
with quadratic utility. Based on the knowing problems of the
quadratic utility,
GSR
with
1
γ
=
seems to be a better index choice for risk assets
classification.
Keywords: Investment, finance, risk, Sharpe ratio, investment potential, generalized
Sharpe ratio, utility theory, utility function, stochastic discount factor, Sharpe ratio
bounds, pricing, market price of risk.
SUMÁRIO
FICHA CATALOGRÁFICA ....................................................................................... IV
1
INTRODUÇÃO .................................................................................................. 20
1.1
Situação Problema .................................................................................... 23
1.2
Justificativa do Tema ................................................................................ 24
1.3
Objetivo ...................................................................................................... 24
1.4
Método ........................................................................................................ 25
1.5
Descrição dos Capítulos ........................................................................... 25
2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ......................................................................... 27
2.1
Teoria da Utilidade .................................................................................... 29
1.1.1
Função de utilidade ............................................................................... 31
1.1.2
Coeficiente de aversão ao risco ............................................................ 34
1.1.3
Aversão a risco absoluta constante (CARA) ......................................... 35
1.1.4
Aversão a risco relativa constante (CRRA) ........................................... 37
1.1.5
Aversão ao risco absoluto hiperbólico (HARA) ..................................... 39
1.1.1
Utilidade quadrática .............................................................................. 41
1.1.2
Maximização da utilidade esperada ...................................................... 43
1.1.2.1
Maximização para a função de utilidade CRRA ............................. 44
1.1.3
Calculando a utilidade esperada em termos monetários ...................... 46
1.1.4
Inverso da função utilidade ................................................................... 48
1.1.4.1
Inverso da esperança da função de utilidade HARA ...................... 48
1.1.5
Investimento ótimo para função de utilidade HARA .............................. 49
2.1.1.1
Calculando a riqueza final do investidor com utilidade quadrática
. 52
1.1.5.1
Utilidade quadrática como uma aproximação da utilidade CRRA .. 56
2.2
Índices de Avaliação de Desempenho ..................................................... 57
10
2.2.1
Índice de Sharpe ................................................................................... 57
2.2.1.1
Índice de Sharpe Ajustado (SRA) ................................................... 61
2.2.1.2
Índice de Sharpe em função do horizonte de investimento ............ 67
2.2.2
Índice de Potencial de Investimento ..................................................... 74
2.2.2.1
Potencial de investimento em termos de índice de Sharpe ............ 76
2.2.3
Análise qualitativa ................................................................................. 78
2.2.3.1
Análise qualitativa do
( )
d
SR T
......................................................... 78
2.2.3.2
Análise qualitativa do
( )
c
SR T
......................................................... 80
2.2.4
Análise quantitativa (elasticidade) ......................................................... 82
2.2.4.1
Análise quantitativa do
( )
d
SR T
....................................................... 83
2.2.4.2
Análise quantitativa do
(
)
c
SR T
...................................................... 87
2.2.5
Bandas de Good-deal ........................................................................... 89
2.2.5.1
Modelo baseado no consumo ........................................................ 90
2.2.5.2
Bandas de Good Deal para preços de ativos em mercado
incompleto ..................................................................................................... 94
2.3
Generalização do índice de Sharpe ......................................................... 98
3
METODOLOGIA .............................................................................................. 102
3.1
Método de Pesquisa ................................................................................ 102
3.2
Qualidade dos Dados .............................................................................. 102
4
DISCUSSÃO ................................................................................................... 104
4.1
Hipóteses ................................................................................................. 104
4.2
Interpretação dos Índices ....................................................................... 104
5
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................ 118
5.1
Sobre os resultados alcançados............................................................ 118
5.2
Limitações e sugestões de pesquisa .................................................... 119
6
REFERÊNCIAS ............................................................................................... 120
7
APÊNDICE ...................................................................................................... 124
11
7.1
Apêndice I – Apêndice de Provas .......................................................... 124
7.1.1
Prova 4 – Investimento ótimo para utilidade HARA ............................ 124
7.2
Apêndice II - Rotina de cálculo da distribuição empírica .................... 127
7.3
Apêndice III – Rotina de Cálculo dos GSRs e
c
SR
................................ 128
12
LISTA DE SÍMBOLOS E ACRÔNIMOS
Símbolos:
↵
Fim de demonstração
≡
Por definição
Acrônimos:
EC – Equivalente certo
γ
- Coeficiente de aversão ao risco base (relativo)
γ
- Coeficiente de aversão ao risco local (relativo)
( )
a V
- Coeficiente de aversão ao risco absoluto
α
- Parcela de capital inicial investido em ativo de risco
*
α
-
α
ótimo
MPR – Preço pelo risco de mercado
SR – Índice de Sharpe
A
SR
- Índice de Sharpe ajustado (utilidade quadrática truncada)
C
SR
- Variante de SR para logaritmo dos preços (composição contínua)
d
SR
- Variante de SR para preços (composição discreta)
MBG – Movimento browniano geométrico
t
B
- Preço de um ativo livre de risco com taxa de juros nominal
f
r
CPO – Condição de primeira ordem
IP – Índice potencial de investimento
GSR – Índice de Sharpe generalizado
13
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Indivíduo em relação ao risco ................................................................ 34
Quadro 2 – Coeficientes de aversão ao risco ........................................................... 35
14
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Coeficientes de Aversão à Risco ............................................................ 40
Tabela 2 – Ativos e Excessos de Retornos .............................................................. 59
Tabela 3 – Exemplo de Ativo e risco com Excesso de Retorno ............................... 62
Tabela 4 – Decomposição do Excesso de Retorno .................................................. 63
Tabela 5 – Tabela Comparativa: SR padrão com SR ajustado ................................ 66
Tabela 6 – Análise qualitativa dos índices
( )
d
SR T
e
( )
c
SR T
.................................. 107
Tabela 7 – Análise quantitativa dos índices
( )
d
SR T
e
( )
c
SR T
................................ 108
Tabela 8 – Análise de ações americanas: preço mensal ajustado (jan/2000 –
mar/2008) ............................................................................................................... 110
Tabela 9 – Ordenação das ações americanas ....................................................... 111
Tabela 10 – Análise de ações brasileiras ............................................................... 112
Tabela 11 – Ordenação das ações brasileiras ....................................................... 113
Tabela 12 – Análise de índices ............................................................................... 113
Tabela 13 – Ordenação dos índices ....................................................................... 114
Tabela 14 – Correlação entre
GSR
e
c
SR
.............................................................. 114
Tabela 15 – Resultados do teste de normalidade de Kolmogorov-Smirnov ........... 116
Tabela 16 – Correlações de Spearman entre os p-values do teste Kolmogorov-
Smirnov e os índices de desempenho .................................................................... 116
15
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 – Representação de função de utilidade côncava e crescente ................. 32
Gráfico 2 – Evolução de resultados utilizando utilidade esperada ............................ 33
Gráfico 3 - Função de Utilidade
( )
aV
U V e
−
= −
, com
0,5
a
=
...................................... 37
Gráfico 4 - Função de Utilidade
1
( )
1
V
U V
γ
γ
γ
−
=
−
com
0,5
γ
=
. ..................................... 38
Gráfico 5 - Função Utilidade
(
)
1
,
( )
1
V
V V
U V
γ
γ
γ
−
+
=
−
, com
0,5
γ
=
. ............................... 40
Gráfico 6 – Utilidade Quadrática ............................................................................... 41
Gráfico 7 – Equivalente certo da Riqueza ................................................................ 47
Gráfico 8 – Função inversa da Utilidade ................................................................... 49
Gráfico 9 – Utilidade Quadrática Truncada .............................................................. 64
Gráfico 10 –
d
SR
em função do horizonte de investimento,
( )
d
SR T
.......................... 72
Gráfico 11 –
c
SR
em função do horizonte de investimento,
( )
c
SR T
.......................... 72
Gráfico 12 – Comparação do comportamento entre
( )
c
SR T
e
( )
d
SR T
..................... 73
Gráfico 13 – Gráfico da derivada de
( )
d
SR T
em relação à
T
. ................................. 74
Gráfico 14 - Elasticidade de
( )
d
SR T
em relação ao log-retorno
ν
............................ 83
Gráfico 15 – Elasticidade de
( )
d
SR T
em relação à volatilidade ................................ 85
Gráfico 16 – Elasticidade de
( )
d
SR T
em relação ao horizonte
T
............................ 86
Gráfico 17 – Elasticidade de
( )
c
SR T
em relação ao log-retorno
ν
.......................... 88
Gráfico 18 – Fronteiras do preço de opção como função do preço de ação ............ 98
16
LISTA DE EQUAÇÕES
Equação 1- Coeficiente de Aversão ao Risco .......................................................... 34
Equação 2 – Relação do coeficiente de aversão ao risco relativo local e absoluto .. 35
Equação 3 – Função CRRA para
1
γ
→
................................................................... 38
Equação 4 – Aversão ao risco absoluto para a função CRRA em
1
γ
→
................. 39
Equação 5 – Coeficiente de aversão ao risco para função HARA ............................ 40
Equação 6 – Função de utilidade quadrática............................................................ 41
Equação 7– Composição da riqueza do investidor ................................................... 43
Equação 8 – Maximização da utilidade HARA ......................................................... 44
Equação 9 – Inverso da função utilidade .................................................................. 48
Equação 10 – Relação carteira de risco escolhida por unidade de tolerância de risco
................................................................................................................................. 50
Equação 11 – Equivalente certo, IP ......................................................................... 52
Equação 12 – Índice potencial de investimento (IP) ................................................. 52
Equação 13 – Investimento ótimo em função da tolerância de risco para quadrática
................................................................................................................................. 54
Equação 14 – Investimento ótimo ............................................................................ 54
Equação 15 – Aversão ao risco local para utilidade CRRA ...................................... 56
Equação 16 – Índice de Sharpe ............................................................................... 58
Equação 17 – Cálculo do
SR
para o ativo A e B ...................................................... 59
Equação 18 – Índices de Sharpe .............................................................................. 67
Equação 19 – Derivada de
( )
d
SR T
em
T
................................................................ 73
Equação 20 – Índice de potencial de investimento ................................................... 75
Equação 21 -
IP
γ
como função de
MPR
................................................................. 77
Equação 22 – Riqueza terminal do investidor ........................................................ 124
17
LISTA DE EXEMPLOS
Exemplo 1 –
bliss
V
como Função
safe
V
........................................................................ 42
Exemplo 2 – Maximização de riqueza ...................................................................... 44
Exemplo 3 – Cálculo da riqueza em termos monetários .......................................... 46
Exemplo 4 – Índice de Sharpe .................................................................................. 59
Exemplo 5 – Índice de Sharpe ajustado ................................................................... 62
Exemplo 6 – Simulações com o SR e o SRA ........................................................... 65
18
LISTA DE PROVAS
Prova 1 – Função CRRA para
1
γ
→
........................................................................ 38
Prova 2 – Relação da utilidade HARA com utilidade quadrática .............................. 42
Prova 3 – Inverso da utilidade HARA ....................................................................... 48
Prova 4 – Investimento ótimo para HARA encontra-se no Apêndice I ..................... 49
Prova 5 – Comparação com a Utilidade Quadrática ................................................. 56
Prova 6 – SR em função do horizonte de investimento
T
........................................ 67
19
LISTA DE APÊNDICES
7.1
Apêndice I – Apêndice de Provas ................................................................ 124
7.2
Apêndice II - Rotina de cálculo da distribuição empírica .............................. 127
7.3
Apêndice III – Rotina de Cálculo dos GSRs e
c
SR
...................................... 128
20
1 INTRODUÇÃO
O mercado financeiro, que é constituído por um conjunto de instituições que
viabilizam a transferência de recursos ofertados a tomadores de recursos, é um
componente estratégico no desenvolvimento econômico do país. No Brasil, o
mercado financeiro sofreu grandes mudanças a partir da década de 60, isso devido
às inovações ocorridas na época como a lei de capitais estrangeiros, a correção
monetária, a criação do banco central, a lei de mercado de capitais, os auditores
independentes, entre outros. Na década seguinte, presenciou-se grande expansão
da bolsa (1971), a regulamentação dos consórcios, a criação do Sistema Especial
de Liquidação e de Custódia - SELIC, da Comissão de Valores Mobiliários - CVM
(1976), e a nova lei da sociedade por ações. Na década de 80 ocorre a
regulamentação do mercado de futuro e opções, e a criação dos clubes de
investimentos. Finalmente, na década de 90, reflexo da necessidade de se
modernizar o país, surgiram novas alterações no mercado financeiro, entre elas o
código de defesa do consumidor, a regulamentação dos fundos de privatização, e o
surgimento da Bolsa de Mercadorias & Futuros - BM&F.
Esse desenvolvimento do mercado financeiro fez com que um dos principais
obstáculos ao crescimento da economia brasileira, isto é, falta de capital para
financiar a expansão das empresas, pudesse ser mais bem administrado. A Bolsa
de Valores de São Paulo – Bovespa, é um dos responsáveis por essa dinâmica, e
tem desempenhado um papel fundamental nesse equilíbrio entre poupadores
(superavitários) e as instituições carentes de recursos. Portanto, a bolsa de valores,
com sua capacidade de aproximar empresas e investidores, é um instrumento de
desenvolvimento dos países capitalistas.
Um setor financeiro sólido é, portanto de fundamental importância para o bom
desempenho da economia dado que tem papel crucial na intermediação financeira
21
podendo possibilitar um rápido crescimento econômico. Anne O. Krueger
1
comenta
em sua palestra realizada no 3º Congresso Internacional de Derivativos e Mercado
Financeiro, que o sistema financeiro, por ter como funções principais possibilitar que
a poupança daqueles com poucas oportunidades de investimento seja utilizada por
aqueles com oportunidades altamente produtivas, traz benefícios para ambas as
partes envolvidas no processo criando oportunidades compensadoras de
investimento, possibilitando maior acúmulo de capital na economia resultando em
crescimento econômico mais rápido, beneficiando por fim a sociedade como um
todo.
O Brasil está passando por esse processo de amadurecimento econômico-financeiro
e como conseqüência temos visto uma acentuada expansão das bolsas de valores
de São Paulo, Bovespa e de Mercadorias & Futuros, BM&F, bolsas essas que em 8
de maio de 2008 receberam aprovação da Bovespa Holding para integrarem suas
atividades e em 9 de julho do mesmo ano o Conselho Administrativo de Defesa
Econômica (CADE) reitera essa posição sem restrições, surgindo então a terceira
maior Bolsa do Mundo em valor de mercado, a BM&FBovespa S.A.
Nos últimos anos, no Brasil, o movimento financeiro na Bovespa cresceu em ritmo
acentuado, superando a média diária de um bilhão de dólares em negócios. O valor
das empresas listadas em bolsa cresceu 76% em 2004. O volume de contratos
futuros de ações na BM&F também atingiu patamares elevados de crescimento.
Nesse contexto, muitas empresas têm captado recursos por meio do lançamento de
ações (IPO – Initial Public Offering). Outro fenômeno atrelado as bolsas é que um
número bastante elevado de pessoas investiu em ações, isto é, as pessoas físicas
em 2006 já respondiam por 25% dos negócios. Tudo isso nos leva a concluir que as
bolsas se tornaram um instrumento eficaz de financiamento para as empresas.
Com o aumento de demanda das pessoas físicas por oportunidades de investimento
de risco, os fundos de investimento se multiplicaram e com eles a necessidade de se
poder avaliar, tanto o desempenho dos fundos como o desempenho dos
1
Ph.D. em Economia pela Universidade de Wisconsin, professora emérita de Humanidade e Ciências
na Universidade de Stanford. Foi diretora-gerente adjunta do FMI de 2001 a 2006.
22
administradores. Nesse contexto, o estudo de índices de desempenho de ativos de
risco passa a ser de grande importância.
Desde os avanços da moderna teoria de carteira apresentada por Markowitz em
1952, diversos índices de avaliação de desempenho de investimento foram criados e
passaram a ser adotados pelo mercado como balizadores na classificação das
diversas possibilidades de aplicação, auxiliando no processo de tomada de decisão
do investidor.
Entre os índices, o mais utilizado é o índice de Sharpe (1966), que classifica o
investimento estabelecendo uma relação entre o excesso de retorno da alternativa
de investimento analisado pela sua volatilidade (risk-adjusted performance).
Entretanto, existem muitos outros índices de avaliação de desempenho, cada um
com características específicas. Entre eles, o índice potencial de investimento (IP),
que por utilizar o equivalente certo do excesso de retorno do investimento, faz uso
da função de utilidade do investidor, adicionando nova informação a um índice de
desempenho.
A incorporação de diferentes funções de utilidade ao índice IP também é
implementada no SR dando origem ao GSR. Esse índice, concebido originalmente
por Hodges (1998), classifica o ativo de risco pelo aspecto prospectivo, atribuindo a
série dos retornos um comportamento que segue o movimento Browniano
geométrico (MBG). Novos desenvolvimentos desse índice são feitos por Cerny
(2004) que remove a limitação do GSR ampliando as possibilidades de funções de
utilidade associadas, mas agora no âmbito retrospectivo e para mercado incompleto.
Seguindo a análise prospectiva, baseado na mesma premissa de que as séries se
comportam segundo o MBG, o IP para diferentes horizontes de investimento é
apresentado por Cerny (2004) para mercado completo.
A idéia de que os índices de medida de desempenho de ativos de risco repercutem
de diferentes formas para indivíduos diferentes é o que motiva a incorporação da
função de utilidade do investidor aos índices, na realidade o que se deseja é a
representação da satisfação que o prêmio pelo risco que o ativo em questão traz ao
23
investidor. O índice de Sharpe tem naturalmente incorporado a função de utilidade
quadrática e, portanto apresenta características dessa função que são, em certas
condições, inapropriadas do ponto de vista financeiro. Dado o fato de que o GSR
pode assumir diferentes funções de utilidade e de que ele prima por uma melhor
avaliação do potencial do investimento uma vez que é sensível a momentos da
distribuição do excesso de log-retorno que não somente média e variância, temos
por hipótese que o GSR associado à utilidade quadrática apresenta elevada
correlação com a variante do SR no âmbito retrospectivo, o
c
SR
, devido a relação já
mencionada do SR a mesma função de utilidade e que o GSR associado à utilidade
logarítmica apresenta a menor correlação com o
c
SR
uma vez que indivíduos com
essa utilidade são indivíduos que assumem mais riscos, levando a indicação desse
índice, GSR(1), como o mais adequado na avaliação de desempenho de ativos de
risco.
1.1 Situação Problema
Diversas são as questões a respeito de qual o melhor método para avaliação do
desempenho retrospectivo dos fundos de investimento. De acordo com Knight &
Satchell (2002, p.2), com a grande expansão dos fundos, os investidores passaram
a questionar o desempenho dos investimentos com o intuito de melhor avaliar seus
gestores e assim justificar as taxas e despesas pagas a eles pelo desempenho
apresentado.
Existem vários fatores que afetam o desempenho dos gestores de fundos, como por
exemplo, o conflito de agência, custos, taxas, entre outros.
Apesar de todo o conhecimento aplicado na gestão de investimentos por parte dos
administradores, como menciona Oda (2006, p.25):
A falácia da administração profissional: a Fundamentação Teórica apresenta diversas
pesquisas que concluem que a maior parte dos administradores de recursos não é capaz
de vencer benchmarks que poderiam ser facilmente replicáveis por investidores comuns,
sem necessidade de gestão especializada.
24
Essas questões mostram a importância do estudo dos índices de desempenho de
ativos de risco. Um melhor domínio de suas características, como se comportam e
qual a influência que diferentes condições exercem sobre eles, possibilita uma
utilização mais adequada dos índices permitindo uma melhor escolha de
investimento.
1.2 Justificativa do Tema
O mercado financeiro brasileiro tem apresentado, nos últimos anos, acentuada
expansão e conseqüente modernização. Como reflexo, há o surgimento de novos e
mais sofisticados produtos financeiros. Dado a incompletude em que se encontrava
o mercado brasileiro, instituições como Bovespa e BM&F, agora BM&FBovespa
S.A., ganharam enorme importância como reguladores e catalisadores de negócios.
Com o aumento da participação das bolsas no mercado, surgem novas
possibilidades de investimento, até como necessidade dos investidores, jurídicos e
físicos, que buscavam oportunidades mais rentáveis de aplicação de seus recursos.
Ações, fundos de investimento, entre outros, se tornaram cada vez mais populares.
Nesse cenário, parâmetros de avaliação de desempenho passam a ser importantes,
pois baseados neles, o investidor pode ter fundamento para suas escolhas de
investimento. Existem diferentes parâmetros a serem levados em consideração na
avaliação de um potencial candidato ao investimento, os índices de desempenho
são parâmetros de grande relevância, e no caso do índice de Sharpe, relacionam o
excesso de retorno obtido por um determinado ativo de risco pela sua volatilidade,
ou seja, qual o retorno acima do retorno livre de risco por unidade de risco. Esses
índices indicam ao investidor, de forma comparativa, qual o ativo ou gestor mais
eficiente, permitindo a maximização do retorno de seus investimentos.
1.3 Objetivo
Esse trabalho tem como objetivo comparar no âmbito retrospectivo os índices de
Sharpe generalizado (GSR) e o índice de Sharpe para taxas de retorno em
25
composição contínua
c
SR
. Esse estudo se baseia em uma revisão teórica dos
índices, comprovação de suas relações com funções de utilidade e o relacionamento
teórico entre eles. Ainda na revisão teórica é feita uma análise do índice de Sharpe
no âmbito prospectivo, mostrando seu comportamento futuro com diferentes
horizontes de investimento. Como resultado dessa revisão, apresentamos um
resumo das limitações e características dos índices estudados. Por fim, de maneira
empírica, testamos os índices GSR e
c
SR
para séries de diferentes ativos de risco
buscando identificar suas diferenças, tanto para o mercado brasileiro quanto o
mercado americano, classificando-os através desses índices para diferentes funções
de utilidade.
1.4 Método
O estudo adota método de pesquisa quantitativo, realizando revisão dos conceitos e
apresentando proposições relevantes a partir desses. São descritos os métodos de
relacionamento entre os índices e suas associações com diferentes funções de
utilidade. Por se tratar de um estudo quantitativo de cunho financeiro, através de
simulações computacionais, é feita a ordenação de ativos de risco ações e índices
baseada nos índices de avaliação de desempenho GSR e
c
SR
mostrando seus
diferentes comportamentos.
Sempre que necessário, serão apresentados as formas de cálculo adotadas nas
simulações e as rotinas dos softwares utilizadas.
1.5 Descrição dos Capítulos
No capítulo 2 é apresentada a fundamentação teórica. Inicia-se com a apresentação
da teoria da utilidade, conceitos de aversão ao risco e as diferentes funções para
cada perfil de decisor abordando problemas de otimização da riqueza em função da
utilidade e algumas relações entre elas. Seguindo, apresentamos os índices de
26
Sharpe, Sharpe uniperiódico, potencial de investimento e Sharpe generalizado,
abordando suas características, relações e restrições. Nesse ponto, discute-se a
necessidade de novas restrições para que o índice de Sharpe possa estar atrelado a
funções de utilidade diferentes da utilidade quadrática e o GSR atrelado a funções
de utilidade diferentes da CARA. Seguindo essa linha, a restrição abordada é a
apresentada por Cochrane (2000), desenvolvida a partir dos trabalhos de Hansen &
Jagannathan (1990), de fronteira de variância mínima. Por fim apresentamos os
índices de Sharpe generalizados demonstrados por Cerny (2004).
No capítulo 3 são apresentados os métodos de pesquisa utilizados e discutimos os
cuidados tomados com a seleção das séries utilizadas nas simulações.
No capítulo 4, fundamentados na revisão teórica, expomos as hipótese de
comportamento dos índices associados às características das funções de utilidade e
discutimos os resultados teóricos e empíricos obtidos, mostrando as vantagens e
desvantagens dos diferentes índices. Apresentamos também os resultados obtidos
das simulações feitas com os índices apresentados no capítulo 2, das séries de
retorno dos ativos de risco ações e índices, portanto, uma análise retrospectiva. As
comparações têm como objetivo principal confrontar a ordenação apresentada pelo
índice
c
SR
e o índices de Sharpe generalizado observando os comportamentos para
cada perfil de aversão ao risco do decisor.
No capítulo 5 apresentamos as considerações finais.
27
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
”Eu seria um mendigo nas ruas com uma caneca de
lata se os mercados fossem eficientes.”
Warren Buffett (Revista Exame, 2007, p.139).
No processo de análise de investimentos, o tomador de decisão procura fazer a
escolha do investimento mais adequado, otimizando o retorno de sua aplicação.
Para Gitman (1985, p.11), “o objetivo principal do administrador é desenvolver e
alocar recursos eficientemente no longo prazo, de modo a maximizar o valor da
firma e conseqüentemente a riqueza de seus proprietários”. Portanto, é importante, a
utilização de métodos de avaliação do investimento capazes de permitir uma boa
percepção da alternativa de investimento mais favorável.
Quando se trata da escolha de uma oportunidade de aplicação para remunerar o
capital, o primeiro aspecto a ser levado em consideração na avaliação de
desempenho de fundos de investimentos é a rentabilidade. No entanto, a teoria de
carteira mostrou a importância na compreensão do risco na avaliação de
investimentos. Markowitz percebeu que se a rentabilidade fosse o único parâmetro
de avaliação de investimento, todos estariam aplicando seus recursos financeiros
nas opções de maior retorno. Este fato não se comprova na prática, até porque
prevalece a idéia de nunca depositar todos os ovos na mesma cesta, o que se pode
interpretar como se o investidor reconhecesse um risco intrínseco ao investimento e,
portanto, tivesse preferência por diversificar sua aplicação, destinando parte de seus
recursos a alternativa de investimento cuja rentabilidade pode até ser menor, desde
que sinta que está se protegendo da incerteza do mercado, mitigando seu risco.
Surge então, a moderna teoria de carteira que visa aperfeiçoar os retornos levando
em consideração a relação retorno - risco.
Siqueira (1999, p.64) apresenta os conceitos de mercado completo e mercado
eficiente. Considera-se o mercado completo quando qualquer padrão de retornos
28
pode ser reproduzido, isso ocorre sempre que o número de ativos financeiros
linearmente independentes for igual ao número de estados da natureza. Já o
mercado eficiente é definido como um mercado no qual toda a informação se reflete
instantaneamente nos preços dos valores mobiliários.
Knight & Satchell (2002, p.2) afirmam que a administração de fundos apresenta duas
técnicas diferentes de gestão: a passiva e a ativa. O gerenciamento passivo da
carteira, também conhecido como estratégia de comprar e reter consiste
basicamente em manter a carteira praticamente inalterada por todo o período de
vida. Isso reflete a visão de que o mercado é eficiente e de que a expectativa dos
investidores é homogênea. Portanto, se o mercado é eficiente, não se podem
realizar ganhos maiores que os do mercado. E mais, se as expectativas são
homogêneas, os gestores dos fundos não podem tirar proveito de qualquer diferença
das expectativas de mercado com relação ao retorno e risco. Já na gestão ativa, a
administração assume que os mercados não são eficientes todo o tempo e que os
investidores apresentam expectativas diferentes com relação ao risco e retorno e,
portanto, que é possível obter melhor resultado que o mercado. Ou seja, pode-se
superar o mercado.
Essa otimização no desempenho exige uma boa gestão de fatores como seleção de
ativos e timing de mercado. Na seleção, o objetivo é escolher investimentos que
podem apresentar bons retornos com relação à carteira de referência (benchmark).
Já o timing visa tentar estimar os retornos futuros da carteira benchmark.
Dentro desse contexto, o investidor deve decidir sobre sua carteira entre um grande
número de classes, como títulos de dívida (Bonds), ações, fundos, entre outros.
Essa escolha representa uma importante decisão uma vez que não somente domina
o desempenho da maioria das carteiras, mas também é componente decisivo na
variabilidade do retorno (Sharpe, 1992).
De acordo com Cerny (2004), um profissional de Finanças se depara
constantemente com o dilema da escolha de investimento baseado na relação risco
– retorno, uma vez que o risco, como menciona Gollier (1999), está em toda a parte
e é fator relevante no processo de tomada de decisão. Encontrar o ponto mais
29
adequado para essa relação é o que diversas ferramentas de análise
fundamentadas em cálculo e probabilidade tentam prover.
Securato (2007, p.48) enfatiza a preocupação do investidor com relação aos
diferentes tipos de risco a que estão sujeitos os ativos, riscos estes que são,
basicamente, o risco sistemático ou conjuntural e o risco não sistemático ou próprio.
Entende-se por risco sistemático o risco do sistema econômico, político e social, e
por risco próprio o risco intrínseco ao ativo, gerado por fatos que atingem
diretamente o ativo em questão.
Hull (1973) afirma que o tomador de decisão em seu processo de avaliação de
negócios passa essencialmente por três estágios:
• Primeiro identifica as alternativas disponíveis;
• Estima as conseqüências de cada alternativa;
• Escolhe a conseqüência que lhe é preferível.
Entre os critérios de avaliação do investimento preferível estão à utilização da
utilidade esperada do retorno (função utilidade do investidor) e alguns índices, entre
eles, o índice de Sharpe (SR), que avalia o retorno em relação ao risco incorporando
assim os dois primeiros momentos da distribuição dos retornos, (não levando em
consideração, por exemplo, a possibilidade de análise por parte do investidor da
assimetria da distribuição).
2.1 Teoria da Utilidade
A idéia de utilidade surgiu com a proposta do utilitarismo
2
de que a sociedade
deveria gerar a satisfação do maior número possível de pessoas, portanto, suas
2
A doutrina utilitarista, filosoficamente a maior quantidade de bem-estar” (princípio do bem-estar
máximo). Ao contrário do egoísmo, tem como premissa o fato de que devemos considerar o bem-
estar de todos e não o bem estar de uma única pessoa. Jeremy Bentham (1748-1832) e John Stuart
Mill (1806-1873) sistematizaram o princípio da utilidade, e conseguiram aplicá-lo de forma concretas
no sistema político, legislação, Justiça, política econômica, liberdade sexual, emancipação das
mulheres, etc.
30
utilidades deveriam ser otimizadas. Deste ponto em diante, o conceito de utilidade
passou a ser estudado e aplicado por diferentes áreas do conhecimento humano.
Entende-se por utilidade, em Economia, a medida da relativa satisfação (felicidade
ou alegria) obtida quando do consumo de diferentes tipos de bens e serviços. Essa
medida busca permitir que se compreenda o comportamento econômico dos
consumidores, que não enxergam seus investimentos somente pelo valor objetivo do
mesmo e sim pela sua utilidade, a satisfação que essa atitude infere ao consumidor.
A idéia apresentada por Daniel Bernoulli
3
de que o agente em situação de risco
busca maximizar o valor esperado da utilidade de sua riqueza deu origem à teoria da
utilidade esperada de John Von Neumann
4
e Oskar Morgenstern
5
. Atualmente, a
teoria da utilidade, devido ao reconhecimento do risco na explicação da decisão
individual, tem tido grande peso em macroeconomia, pois somente quando se leva
em consideração a influência da incerteza no processo de decisão é que se pode
entender o padrão de escolha de consumo, de investimento e de trabalho.
Desta maneira, constata-se que a teoria de utilidade é um importante instrumento
para definir a ordenação percebida por um indivíduo para um grupo de
possibilidades de investimento, ou seja, na visão do investidor, qual é a mais e a
menos preferível entre as possibilidades de investimento. No entanto, como afirma
Gollier (1999, p.5), a dificuldade de se obter a função de utilidade dos indivíduos
tomadores de decisão racionais, para diferentes níveis de risco, faz com que se
adotem funções que permitam uma fácil aproximação média-variância, possibilitando
que esses diferentes níveis de risco possam ser facilmente analisados.
3
Daniel Bernoulli (Groinen, 8 de fevereiro de 1700 - Basiléia, 17 de março de 1782), matemático
holandês, membro de uma família de talentosos matemáticos, físicos e filósofos. Reconhecido por
trabalhos em matemática e mecânica, especialmente a mecânica de fluidos, e pelo pioneirismo em
probabilidade e estatística.
4
John von Neumann (28 de dembro de 13 – 8 de feveiro de 1957), matemático húngaro de origem
judaica, naturalizado norte-americano nos anos 30. Reconhecido por contribuições em Teoria dos
Conjuntos, Análise funcional, Teoria ergótica, Mecânica Quântica, Ciência da computação, Economia,
Teoria dos jogos, Estatística e muitas outras áreas da Matemática.
5
Oskar Morgenstern (Görlitz, Alemanha, 24 de janeiro de 1902 - Princeton, E.U.A., 26 de julho de
1977), economista austríaco considerado um dos fundadores da Teoria dos jogos ao lado de John
von Neumann.
31
A teoria da utilidade pode ser uma ferramenta de apoio a decisão sob incerteza.
Para isso, é preciso adotar a função de preferência que permita avaliar o nível de
satisfação do decisor que toma esse risco, e assim, definir qual é a decisão que
aperfeiçoa essa satisfação.
Cerny (2004) relata que na avaliação de um fluxo de caixa com risco, o decisor se
baseia em três premissas:
• O investidor prefere mais a menos;
• O desvio positivo sobre a riqueza média não pode compensar na mesma
amplitude um provável desvio negativo de mesma ordem;
• A distribuição arriscada de riqueza é avaliada pelo equivalente certo de sua
utilidade esperada.
1.1.1 Função de utilidade
Dado que, de acordo com Hirshleifer & Hirshleifer (1997, p.70), utilidade “é a variável
cuja magnitude relativa indica a direção da preferência”, possibilitando assim que se
compreendam as escolhas feitas pelo tomador de decisão, a função de utilidade é a
função que descreve esse comportamento, ou melhor, a função que indica o grau de
satisfação do indivíduo para determinada situação de risco.
32
Utilidade da
riqueza
U(V)
Função de utilidade
crescente e
côncava
Riqueza
V
inferior
V
0
V
superior
U(V
0
)
U(V
superior
)
U(V
inferior
)
Gráfico 1 – Representação de função de utilidade côncava e crescente
Fonte: adaptado de Cerny (2004, p.56)
Como mostra o gráfico 1, para uma variação de riqueza de mesma amplitude sobre
a riqueza média
0
V
, obtemos variações de utilidade com amplitudes diferentes.
Um acréscimo na riqueza sobre a riqueza média gera um aumento em sua utilidade
menor que uma redução sobre a riqueza média de mesma amplitude. Esta
característica captura a “aversão ao risco” do investidor.
A maneira com a qual a distribuição de risco da riqueza é avaliada é por meio do
equivalente certo (EC).
33
Utilidade da
riqueza
Riqueza
Equivalente
Certo
Esperança
da utilidade
Gráfico 2 – Evolução de resultados utilizando utilidade esperada
Fonte: adaptado de Cerny (2004, p.56)
No gráfico 2, a distribuição da riqueza é dada pelas linhas tracejadas originadas no
eixo da riqueza. Assim, cada uma delas corresponde a um nível de riqueza. Cada
linha tracejada possui uma probabilidade de êxito, indicada pelas barras verticais,
que traz um correspondente valor no eixo vertical mostrando a distribuição da
utilidade da riqueza.
Apesar das linhas tracejadas originadas no eixo horizontal estarem dispostas de
maneira simétrica, os correspondentes valores do eixo vertical são assimétricos,
com variações menores conforme aumento da riqueza, demonstrando que o
investidor dá mais ênfase às perdas do que aos ganhos.
Calculando o valor esperado da utilidade que corresponde ao valor médio no eixo
vertical, obtemos, no eixo horizontal, a equivalente certo da riqueza, indicada no
gráfico pela seta em negrito. Importante notar que está abaixo do nível médio da
riqueza (linha tracejada central no eixo da riqueza) com risco, e essa diferença é
definida como “prêmio pelo risco”.
Prêmio pelo risco = riqueza média – equivalente certo
34
Esse prêmio nada mais é do que uma compensação ao investidor avesso ao risco
para que se sinta convencido a assumir ativos com risco.
1.1.2 Coeficiente de aversão ao risco
Bekman & Costa Neto (2002, p.69) mencionam que este coeficiente indica qual é o
comportamento do decisor, com referência a valores monetários, frente a situações
de risco. O coeficiente pode assumir valor positivo, negativo ou nulo.
Um coeficiente positivo indica agente decisório avesso ao risco. Já o coeficiente
negativo, indivíduo propenso ao risco, e o coeficiente nulo, que pode ser obtido a
partir de uma função de utilidade linear, indiferença ao risco.
Quadro 1 – Indivíduo em relação ao risco
Indivíduo avesso ao risco
Indivíduo propenso ao risco
Indivíduo indiferente ao risco
Fonte: Elaborado pelo autor
Ainda, de acordo com Bekman & Costa Neto (2002, p.69), o coeficiente de aversão
ao risco é uma grandeza muito útil no estudo dos modelos de utilidade. O coeficiente
é dado pela expressão,
Equação 1- Coeficiente de Aversão ao Risco
"( )
( )
'( )
u x
a x
u x
= −
Sendo que
"( )
u x
e
'( )
u x
correspondem as derivadas segunda e primeira,
respectivamente, da função de utilidade
( )
u x
.
0a
>
0a
<
0a
=
35
Cerny (2004, p.57) inova em seu texto definindo diferentes coeficientes de aversão
ao risco. Estabelece
( )
a V
como coeficiente de aversão ao risco absoluto, introduz o
conceito de aversão ao risco base relativo, representado por
γ
, e a aversão ao risco
relativo local, representada por
γ
.
A aversão ao risco local descreve a atitude do investidor para pequenos riscos
simétricos, enquanto a aversão ao risco base representa o investidor que toma
riscos assimétricos com pequeno valor inferior e alto valor superior. O coeficiente de
aversão ao risco absoluto não considera limitações quanto a simetria ou assimetria
da atitude do investidor bem como suas amplitudes, ou seja, é um coeficiente geral
da função de utilidade.
Quadro 2 – Coeficientes de aversão ao risco
Coeficiente de aversão ao risco base (relativo)
Coeficiente de aversão ao risco local (relativo)
Coeficiente de aversão ao risco absoluto
Fonte: Elaborado pelo autor
O coeficiente de aversão ao risco relativo local tem uma relação direta com o
coeficiente de aversão ao risco absoluto, sendo proporcional ao valor da riqueza
empregada, como mostra a expressão abaixo:
Equação 2 – Relação do coeficiente de aversão ao risco relativo local e absoluto
( ) ( )
V Va V
γ
=
1.1.3 Aversão a risco absoluta constante (CARA)
Cerny (2004, p.57) mostra que pelo fato de avaliarmos a distribuição de riqueza com
relação ao nível riqueza inicial
0
V
, deve-se examinar a relação:
γ
γ
( )a V
0
[ ( )]
( )
E U V
U V
36
( )
0
0
( )
( )
U V
f V V
U V
= −
Assumindo a riqueza inicial
0
V
é uma riqueza livre de risco, podemos escrever a
relação como,
Uma função de utilidade que pode capturar a relação com a origem
0
V
para todo
V
,
0
V
e independentemente do ponto de origem é:
função de utilidade.
Derivando ambos os lados da expressão acima teremos que,
0
0
'( )
'( )
( )
U V
f V V
U V
= −
Analisando no ponto
0
V V
=
,
0
0
'( )
'(0)
( )
U V
f
U V
=
o que significa que
0
0
'( )
( )
U V
U V
, é constante para qualquer
0
V
.
Integrando
0
0
'( )
( )
U V
U V
com relação à
0
V
, uma vez que
( )
( )
(
)
( )
0
0 1
0 0
'
ln
U V
d
U V c
dV U V
= =
e
portanto
( )
( )
0 0 1 0
0
ln
d
U V dV c dV
dV
=
∫ ∫
, chegamos em
(
)
0 1 0 2
ln | |
U V c V c
= +
, sendo
assim
1 0
( )
c V
U V Ce
=
, e na condição
0
C
<
e
1
0
c
<
,
( )
U V
é crescente e côncava,
resultando em uma função de utilidade exponencial negativa.
Deste modo, uma função de utilidade que atende as exigências, crescente e
côncava, é a função exponencial. Embora nem todas as funções exponenciais sejam
crescentes e côncavas, é fácil verificar que a função
( )
aV
U V e
−
= −
, com
0
a
>
atende
as exigências.
Como mencionado, o coeficiente
a
é chamado coeficiente de aversão ao risco
absoluto
6
, e a função de utilidade exponencial negativa descrita acima, de utilidade
de aversão a risco absoluta constante (CARA).
6
Coeficiente de aversão ao risco absoluto não considera limitações quanto à assimetria da atitude do
investidor bem como suas amplitudes, ou seja, é um coeficiente geral da função de utilidade.
0
( )
( )
U V
E
U V
37
Gráfico 3 - Função de Utilidade
( )
aV
U V e
−
= −
, com
0,5
a
=
Fonte: Elaborado pelo autor
O gráfico 3 descreve o comportamento de um indivíduo avesso ao risco, uma vez
que apresenta
0
a
>
. Pelo fato da função estabelecer uma relação com a variação da
riqueza absoluta e pela reação ser constante com relação à origem escolhida,
0
V
,
refletindo em um coeficiente de risco constante, dá-se a classificação de absoluta
constante.
1.1.4 Aversão a risco relativa constante (CRRA)
Uma função de utilidade com a característica de resposta constante à mudança
relativa de riqueza
0
V
V
, de tal forma que:
deve ser da forma
1
( )
1
V
U V
γ
γ
γ
−
=
−
, com
0
γ
>
e
1
γ
≠
.
Essa função recebe o nome de utilidade de aversão ao risco relativa constante,
CRRA.
2
4
6
8
10
V
0.2
0.4
0.6
0.8
1
U
@
V
D
0 0
( )
( )
U V V
f
U V V
=
38
Gráfico 4 - Função de Utilidade
1
( )
1
V
U V
γ
γ
γ
−
=
−
com
0,5
γ
=
.
Fonte: Elaborado pelo autor.
O parâmetro
γ
é o coeficiente da aversão relativa ao risco (local). Note que, como
definido anteriormente, a função de utilidade CRRA não está bem definida em
1
γ
=
.
No entanto podemos estendê-la em
1
γ
=
por meio do limite abaixo:
Equação 3 – Função CRRA para
1
γ
→
( )
1
1
1
lim ln
1
V
V
γ
γ
γ
−
→
−
=
−
Prova 1 – Função CRRA para
1
γ
→
Usando a identidade
(
)
(
)
exp ln
V V
=
, elevando ambos os lados desta expressão por
(
)
1
γ
−
e aplicando o
1
lim
γ
→
teremos:
(
)
(
)
(
)
(1 )
exp 1 ln V V
γ
γ
−
− =
( )
(
)
(
)
(
)
1
1 1
exp 1 ln
lim lim
1 1
V
V
γ
γ γ
γ
γ γ
−
→ →
−
= −
− −
Logo, fazendo
1
γ
→
separadamente no numerador e no denominador, veremos que
ambos convergem para zero de modo que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Portanto, derivando o numerador e o denominador com relação à
γ
, teremos que o
limite desejado é igual a:
(
)
(
)
1
ln exp (1 )ln
lim
1
V V
γ
γ
→
− −
−
, e, portanto,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
lim ln exp 1 ln ln
V V V
γ
γ
→
− =
.
2
4
6
8
10
V
1
2
3
4
5
6
U
@
V
D
39
Para o caso em que
(
)
( ) ln
u V V
=
, temos que as derivadas primeira e segunda são
dadas por
1
'( )u V
V
=
e
2
1
''( )u V
V
=
, de modo que o coeficiente de aversão ao risco
absoluto fica dado por:
Equação 4 – Aversão ao risco absoluto para a função CRRA em
1
γ
→
1
( )a V
V
=
Finalmente, fazendo
(
)
(
)
V Va V
γ
=
, chegamos a
1
γ
=
.
Portanto, podemos afirmar que nas proximidades de
1
γ
=
a função de utilidade
CRRA apresenta
( )
V
γ γ
=
, ou seja, para a função de utilidade CRRA, os coeficientes
de aversão ao risco relativo local e base são iguais.
Devemos observar que os resultados obtidos acima valem de modo geral, isto é,
para qualquer
γ
. De fato, dada a função de utilidade CRRA
1
1
( )
1
V
u V
γ
γ
γ
−
−
=
−
, e
derivando-a em relação à
γ
temos que,
(
)
1
' ( )
1
V
u V V
γ
γ
γ
γ
γ
−
−
−
= =
−
e
( )
( )
1
1
" ( )u V V
V
γ
γ
γ
γ
γ
− +
+
= − = −
,
de modo que
( )
1
1
" ( )
( )
' ( )
u V
V
a V V
u V
V
γ
γ
γ
γ
γ γ
−
+
= − = =
, e utilizando a igualdade
( ) ( )
V Va V
γ
=
chegamos a
( ) ( )
V a V
γ γ
= =
.
↵
1.1.5 Aversão ao risco absoluto hiperbólico (HARA)
A função de utilidade HARA pode ser vista como a utilidade CRRA de um investidor
que recebe uma riqueza adicional livre de risco
V
fazendo com que a utilidade se
torne:
40
Equação 5 – Função de utilidade HARA
(
)
1
,
( )
1
V
V V
U V
γ
γ
γ
−
+
=
−
Gráfico 5 - Função Utilidade
(
)
1
,
( )
1
V
V V
U V
γ
γ
γ
−
+
=
−
, com
0,5
γ
=
.
Fonte: Elaborado pelo autor.
O coeficiente de aversão a risco relativo local da utilidade HARA passa a ser:
Equação 5 – Coeficiente de aversão ao risco para função HARA
Portanto, quanto maior a riqueza livre de risco adicional
V
recebida pelo investidor,
menor seu coeficiente de aversão ao risco (Cerny 2004, p.58).
Percebe-se que a função de utilidade CRRA é um caso especial da função de
utilidade HARA, obtida tomando-se
V
igual a zero.
Resumindo, temos os seguintes coeficientes de aversão ao risco:
Tabela 1 – Coeficientes de Aversão à Risco
CARA
CRRA
HARA
Fonte: Elaborado pelo autor.
-2
2
4
6
8
10
V
1
2
3
4
5
6
7
U
@
V
D
,
,
''
1
'
( )
( ) 1
( )
V
V
Vu V
V V
V
u V V V V
γ
γ
γ γ γ
−
= = = +
+
( ) ( )V Va V
γ
=
( )V
γ
γ
=
1
( ) 1
V
V
V
γ γ
−
= +
41
1.1.1 Utilidade quadrática
A função de utilidade quadrática pode ser descrita da seguinte forma:
Equação 6 – Função de utilidade quadrática
( ) ( )
2
1
2
bliss
U V V V= − −
graficamente temos:
U(V)
V
V
bliss
0
2
bliss
V
2
1
2
bliss
V
−
0
Gráfico 6 – Utilidade Quadrática
Fonte: adaptado de Cerny (2004, p. 69)
Como mostra o gráfico 6, na função de utilidade quadrática, acima do ponto V
bliss
7
,
onde temos o máximo da função, que nesse caso representa a máxima satisfação
do investidor, a função passa a ser decrescente. Em termos de teoria da utilidade,
isso representa um problema, pois indica que o investidor passa a ter menor
satisfação com maior riqueza, o que contradiz a premissa da teoria.
Portanto, toda a utilidade quadrática tem um ponto, conhecido como ponto bliss ou
ponto de máxima satisfação, além do qual a utilidade decresce com o aumento da
7
Bliss é traduzido como felicidade, assim, entende-se por ponto V
bliss
como o ponto da curva em que
a riqueza proporciona o máximo de felicidade para o indivíduo.
42
riqueza. Entretanto, adotando-se um V
bliss
suficientemente grande, pode-se evitar
que alguém atinja o declínio da função de utilidade, o que evitaria esse problema.
Cerny (2004, p. 66), diz que
Soluções de forma fechada para problemas de investimento ótimo
são mais esperança que regra. A utilidade quadrática é o único caso
que pode ser resolvido de forma fechada de maneira geral quando
os mercados são incompletos. Ela também é importante por outra
razão: seu equivalente certo é facilmente associável a amplamente
utilizada medida de desempenho, o índice de Sharpe.
Vale a ressalva de que as propriedades positivas apresentadas por Cerny para a
utilidade quadrática não eliminam o grande ponto desfavorável dessa função que é o
fato de não ser crescente para todos os níveis de riqueza.
A função de utilidade quadrática é um caso particular da função de utilidade HARA.
Prova 2 – Relação da utilidade HARA com utilidade quadrática
Sabemos que a função de utilidade HARA é dada por:
na condição
1
γ
= −
e
bliss
V V
= −
,
teremos que a função de utilidade HARA será:
( )
( )
(
)
( )
1 1
1 1
bliss
V V
U V
− −
− +
=
− −
( )
( )
( )
2
2
1
2 2
bliss
bliss
V V
U V V V
− +
= = − −
↵
Exemplo 1 –
bliss
V
como Função
safe
V
8
(adaptado de Cerny 2004, p.67)
Assumindo o coeficiente de aversão ao risco da função de utilidade HARA:
8
V
Safe
é a riqueza aplicada em ativo livre de risco.
1
,
( )
( )
1
V
V V
U V
γ
γ
γ
−
+
=
−
43
1
1
safe
V
V
γ γ
−
≡ +
mantendo a condição
1
γ
= −
e
bliss
V V
= −
teremos,
1
1 1
bliss
safe
V
V
γ
−
−
= − +
e
1
1
bliss
safe
V
V
γ
−
= −
assim,
quando
2
bliss safe
V V
=
, teremos
1
2
1 1
safe
safe
V
V
γ
−
= − =
e
safe
V
quando
1, 2
bliss safe
V V
=
teremos
1
1, 2
1 5
safe
safe
V
V
γ
−
= − =
.
Portanto, com apenas um aumento de 20% em
bliss
V
obtemos um
5
γ
=
.
1.1.2 Maximização da utilidade esperada
A maximização da utilidade esperada é uma forma de se obter a melhor composição
de ativos por parte do investidor. Estabelecendo os seguintes parâmetros a um
investidor:
f
R
o retorno associado a um ativo livre de risco,
R
o retorno associado a
um ativo com risco,
α
a parcela do capital inicial investido no ativo de risco,
y
uma
receita fixa do investidor e
0
V
sua riqueza inicial, podemos dizer que a riqueza do
investidor no final de um período arbitrário é dada por:
Equação 7– Composição da riqueza do investidor
(
)
0 0
( ) 1
f
V V R V R y
α α α
= + − +
Ou seja, a riqueza do investidor ao final de um período arbitrário é igual à soma da
parcela investida no ativo de risco capitalizado de acordo com a taxa de retorno
associada a este ativo no período considerado, da parcela alocada em um ativo livre
de risco capitalizada de acordo com a taxa livre de risco para o período e,
finalmente, da receita fixa que o investidor possui associada ao período em questão.
44
1.1.2.1 Maximização para a função de utilidade CRRA
Imaginando dois cenários com
R
’s diferentes, uma situação de alta R
up
, e uma de
baixa, R
down
(duas possibilidades de retorno) e definindo
P
como a probabilidade de
ocorrência teremos:
Equação 8 – Maximização da utilidade HARA
( )
( )
(
)
( )
(
)
1
1
max max 1
1 1
up
down
V
V
E U V P P
γ
γ
α α
α
α
α
γ γ
−
−
= + −
− −
Para encontrar o ponto de máximo da função deriva-se a expressão acima com
relação a
α
igualando-a a zero. Desta forma, obtém-se o que se chama de condição
de primeira ordem (CPO), resultando no
*
α
, ou seja, a parcela ótima de capital
inicial a ser investida em ativo de risco.
Exemplo 2 – Maximização de riqueza
(adaptado de Cerny 2004, p.59)
Um investidor com riqueza inicial V
0
de $1.000.000 e receita de $200.000 deseja
definir qual a quantia ótima
*
α
de recursos que deve ser aplicado em ativo de risco
dado que o mercado oferece um retorno R
up
de 1,2 e um retorno R
down
de 0,9,
ambos com probabilidade 0,5 de ocorrerem, e um retorno livre de risco R
f
de 1,02.
Dado que
(
)
0 0
( ) 1
f
V V R V R y
α α α
= + − +
, podemos calcular
( )
V
α
para as duas
possibilidades de retorno, R
up
e R
down
.
(
)
(
)
1.000.000 1, 2 1, 02 1 200.000
up
V
α α α
= + − +
1.220.000 180.000
α
= −
(
)
(
)
1.000.000 0,9 1, 02 1 200.000
down
V
α α α
= + − +
1.220.000 120.000
α
= −
Aplicando os resultados na expressão abaixo:
45
( )
( )
(
)
( )
(
)
1
1
max max 1
1 1
up
down
V
V
E U V P P
γ
γ
α α
α
α
α
γ γ
−
−
= + −
− −
( )
( )
(
)
(
)
1
1
max max 0,5 0,5
1 1
up
down
V
V
E U V
γ
γ
α α
α
α
α
γ γ
−
−
= +
− −
( )
( )
1 1
1
18 12
1 1
1.220.000
122 122
max max 0,5 0,5
2 1 1
E U V
γ γ
γ
α α
α α
α
γ γ
− −
−
+ +
= +
− −
Para encontramos o ponto de máximo dessa expressão devemos derivá-la em
relação a
α
e igualá-la a zero (CPO). Assim,
18 18 12 12
1 * 1 * 0
122 122 122 122
γ γ
α α
− −
+ − + =
18 12
1,5 1 * 1 *
122 122
γ γ
α α
− −
+ = −
( )
1
18 12
1,5 1 * 1 *
122 122
γ
γ
α α
−
−
+ = −
( )
( )
1
1
1
1 1,5
61
*
6
1 1,5
γ
γ
α
−
−
−
=
+
.
Fazendo o coeficiente de aversão ao risco base relativo igual a cinco, isto é
5
γ
=
,
teremos:
* 0,3323
α
=
Portanto, no cenário de mercado descrito, um investidor com o perfil considerado
tem sua utilidade maximizada com a aplicação de 33,23% de sua riqueza em ativos
de risco.
Se utilizarmos então o
*
α
encontrado podemos calcular o utilidade máxima desse
indivíduo para esse investimento.
( )
( )
4 4
4
18 12
1 0,3323 1 0,3323
1.220.000
122 122
*
4 2 2
E U V
α
− −
−
+ +
= +
−
46
(
)
(
)
25
* 1,1104 10
E U V
α
−
= − ×
.
Assim, no final do período, a riqueza do investidor poderá tanto assumir o valor
(
)
( *) 1.220.000 0, 3323 180.000
up
V
α
= +
( *) 1.279.814
up
V
α
=
quanto o valor
(
)
( *) 1.220.000 0, 3323 120.000
down
V
α
= +
( *) 1.180.124
down
V
α
=
1.1.3 Calculando a utilidade esperada em termos monetários
No cenário do exemplo anterior vimos como um investidor pode encontrar o
*
α
que
permite a otimização da utilidade de sua riqueza. No entanto, o investidor não busca
o retorno de seu investimento em termos de utilidade esperada, mas em termos de
riqueza gerada.
Exemplo 3 – Cálculo da riqueza em termos monetários
Consideremos uma riqueza V, com a seguinte distribuição:
•
V = V
up
, com probabilidade ½
•
V = V
down
, com probabilidade ½
A esperança da utilidade é dada por,
Graficamente teríamos o seguinte:
1 1
[ ( )] ( ) ( )
2
2
up down
E U V U V U V= +
47
Utilidade da
riqueza
U(V)
Riqueza (
V
)
V
inferior
Vcerto
V
superior
E[U(V)
U(V
superior
)
U(V
inferior
)
Gráfico 7 – Equivalente certo da Riqueza
Fonte: adaptado de Cerny (2004, p.61)
Para descrever o nível de utilidade em termos monetários, traçamos uma reta
partindo da esperança da utilidade no eixo vertical. No ponto de intersecção com a
função de utilidade, fazemos a projeção sobre o eixo horizontal resultando no o que
se define por equivalente certo da variável aleatória da riqueza.
Portanto, partindo do fato de que a esperança da utilidade para um investimento
ótimo de determinado investidor seja:
(
)
(
)
25
* 1.110.397 10
E U V
α
−
= − ×
Para se calcular o EC (V
certo
), uma vez que se trata de um investidor com uma
função de utilidade CRRA, devemos igualar a função de utilidade com o valor da
utilidade esperada, portanto;
(
)
25
1.110.397 10
certo
U V
−
= − ×
4
25
1.110.397 10
4
certo
V
−
−
= − ×
−
4 25
4.411.588 10
certo
V
− −
= ×
48
( )
1
25
4
4.411.588 10
certo
V
−
−
= ×
1.224.942
certo
V =
Esse é o EC, a riqueza obtida, equivalente ao valor de utilidade esperada pelo
investidor.
1.1.4 Inverso da função utilidade
Como mostrado no exemplo anterior, para se calcular o EC (V
certo
), precisamos
utilizar o inverso da esperança da função de utilidade.
1.1.4.1 Inverso da esperança da função de utilidade HARA
No caso da utilidade HARA, o inverso da função é:
Equação 9 – Inverso da função utilidade
Prova 3 – Inverso da utilidade HARA
Dado a utilidade HARA,
( )
(
)
1
1
V V
U V u
γ
γ
−
+
=
−
Temos então que:
(
)
( )
1
1
V V u
γ
γ
−
+ = −
, de modo que,
( )
1
1
1V V u
γ
γ
−
+ = −
, portanto,
( )
1
1
1
V u V
γ
γ
−
= − −
.
1
( ) ( [ ( ( ))])
certo
V U E U V
α α
−
=
49
Denotando a inversa da função de utilidade por
1
U
−
, para a utilidade HARA, teremos
que
( ) ( )
1
1
1
1
U u u V
γ
γ
−
−
= − −
, que pode ser escrita como
( ) ( )
(
)
(
)
1
certo
V U E U V
α α
−
=
.
Graficamente, o inverso da função de utilidade é representado pela rotação da
função original.
Gráfico 8 – Função inversa da Utilidade
Fonte: adaptado de Cerny (2004, p.62)
1.1.5 Investimento ótimo para função de utilidade HARA
Cerny (2004, p.62) trabalhando com a questão que trata como nível de riqueza livre
de risco afeta a decisão de investimento de um investidor com utilidade HARA,
apresenta um índice de medida de desempenho que relaciona o EC a riqueza livre
de risco, surgindo então dessa análise o índice IP.
Prova 4 – Investimento ótimo para HARA encontra-se no Apêndice I
( )
( )
( )
1
1
, , ,
1
1
safe
V
E U V E X
γ
γ
γ γ γ γ γ γ
γ
α γ γα
γ
−
−
= +
−
50
Para
1
γ
=
teremos
, ,1
γ γ γ
γα α
=
onde
,1
γ
α
pode ser interpretado como a escolha da
carteira de risco por unidade de tolerância de risco local. Podemos propor que,
,1 ,
γ γ γ
α γα
=
onde
,
γ γ
α
é a carteira escolhida para o investidor CRRA com aversão relativa ao
risco base
γ
.
Portanto, a carteira escolhida pelo investidor HARA tem dois componentes
Equação 10 – Relação carteira de risco escolhida por unidade de tolerância de risco
, ,1
1
γ γ γ
α α
γ
=
onde:
1
γ
é interpretado como a tolerância local ao risco e
,1
γ
α
é a escolha de portfólio por unidade de tolerância de risco local.
O que o investidor HARA avalia a carteira escolhida pelo investidor CRRA por
unidade de tolerância local de risco e ajusta a carteira para acomodar sua aversão
ao risco (Cerny, 2004, p.56).
HARA:
, ,1
1
γ γ γ
α α
γ
=
CRRA:
,1 ,
γ γ γ
α γα
=
Podemos dizer genericamente que
, ,
γ γ γ γ
γ
α α
γ
=
.
O indivíduo HARA avalia sua carteira como uma fração da carteira CRRA baseado
na relação da aversão ao risco base pela aversão ao risco local.
51
O equivalente certo da utilidade HARA é obtido através da expressão demonstrada
na prova 4.
( )
( )
( )
1
1
, , ,
1
1
safe
V
E U V E X
γ
γ
γ γ γ γ γ γ
γ
α γ γα
γ
−
−
= +
−
Como o equivalente certo do investimento é dado pela função inversa da utilidade
esperada
(
)
(
)
(
)
(
)
1
, , ,
certo
V U E U V
γ γ γ γ γ γ
α α
−
=
e para a função de utilidade HARA
( ) ( )
1
1
1
1
U u u V
γ
γ
−
−
= − −
teremos que:
( ) ( )
1
1
1
, , ,
1
1
safe
certo
V
V U E X
γ
γ
γ γ γ γ γ γ
γ
α γ γα
γ
−
−
−
= +
−
assim
( ) ( )
( )
1
1
1
1
, , ,
1
1
1
safe
certo
V
V E X V
γ
γ
γ
γ γ γ γ γ γ
γ
α γ γα γ
γ
−
−
−
= + − −
−
portanto
( ) ( )
( )
1
1
1
, , ,
1 1
1
1
certo safe
V V E X V
γ
γ
γ γ γ γ γ γ
α γ γα γ
γ γ
−
−
= + − −
−
resultando em
( ) ( )
( )
1
1
1
, , ,
1
certo safe
V V E X V
γ
γ
γ γ γ γ γ γ
α γ γα
γ
−
−
= + −
agora, dividindo ambos os lados da expressão acima pela riqueza livre de risco
safe
V
teremos:
(
)
( )
( )
1
1
1
, ,
,
1
certo
safe safe
V
V
E X
V V
γ
γ
γ γ γ γ
γ γ
α
γ γα
γ
−
−
= + −
e através da definição
1
1
safe
V
V
γ γ
−
≡ +
obtemos
1
safe
V
V
γ
γ
= −
e chegamos a:
(
)
( )
( )
1
1
1
, ,
,
1
1
certo
safe
V
E X
V
γ
γ
γ γ γ γ
γ γ
α
γ
γ γα
γ γ
−
−
= + − −
.
Para
1
γ
=
podemos escrever:
52
Equação 11 – Equivalente certo, IP
(
)
( )
( )
1
1
1
,1 ,1
,1
1
certo
safe
V
E X
V
γ
γ
γ γ
γ
α
γ γα γ
−
−
− = + −
substituindo na expressão genérica,
(
)
(
)
, , ,1 ,1
1
1 1
certo certo
safe safe
V V
V V
γ γ γ γ γ γ
α α
γ
− = −
A expressão
(
)
, ,
1
certo
safe
V
V
γ γ γ γ
α
−
mostra a relação do equivalente certo da função de
utilidade e a riqueza livre de risco, ou seja, qual é o percentual de equivalente certo
por riqueza livre de risco.
Essa medida é definida de potencial de investimento (
IP
). Como o equivalente certo
é função dos coeficientes de riscos relativos local e base,
γ
e
γ
, o índice
IP
será:
Equação 12 – Índice potencial de investimento (IP)
( )
(
)
, ,
, ,
, 1
certo
safe
V
IP X
V
γ γ γ γ
γ γ γ γ
α
α
= −
2.1.1.1 Calculando a riqueza final do investidor com utilidade quadrática
Como mostrado anteriormente, a riqueza terminal é dada por:
(
)
(
)
(
)
0
1
f
V V R y X
α α
= + +
onde
(
)
0 f
V R y
+
é a riqueza livre de risco
safe
V
,
X
o excesso de retorno e
α
a
proporção do investimento de risco em
safe
V
.
Maximizando a utilidade esperada quadrática temos:
( ) ( )
2
1
2
bliss
E U V E V V
= − −
53
assim,
( ) ( )
( )
2
1
1
2
bliss safe
E U V E V V X
α
= − − +
, isolando
safe
V
e assumindo os
parâmetros
1
γ
= −
e
bliss
V V
= −
teremos que:
( )
( )
( )
2
2
1, 1, 1,
1
1
2
bliss
safe
safe
V
E U V V E X
V
γ γ γ
α α
− − −
= − − +
ou ainda
( )
( )
( )
2
2 1
1, 1, 1,
1
2
safe
E U V V E X
γ γ γ
α γ α
−
− − −
= − −
.
Aplicando a definição de
γ
(coeficiente de aversão ao risco local),
1
1
Bliss
safe
V
V
γ
−
≡ −
,
teremos que:
( )
( )
( )
2
2
1, 1, 1,
1
1
2
bliss
safe
safe
V
E U V V E X
V
γ γ γ
α α
− − −
= − − +
( )
2
2 1
1,
1
2
safe
V E X
γ
γ α
−
−
= − −
Calculando o equivalente certo
1
U
−
chegamos a:
(
)
( )
( )
1
2
2
1, 1,
1,
1
1 1 1
certo
safe
V
E X
V
γ γ
γ
α
γα
γ
− −
−
− = − −
Da equação 12 temos que o potencial de investimento pode ser dado por:
( )
(
)
, ,1
,1
1
, 1
certo
safe
V
IP X
V
γ γ γ
γ γ
α
α
γ
= −
e na condição
1
γ
= −
e
bliss
V V
= −
,
( )
(
)
( )
(
)
1
2
2
1,1 1,1
1 1,1 1,1
1
, 1 1 1
certo
safe
V
IP X E X
V
α
α γα
γ
− −
− − −
= − = − −
54
A melhor decisão (ótima)
(
)
1,1
α
−
, obtida pela maximização da expressão acima,
representa o investimento ótimo por unidade de tolerância de risco local. Para níveis
de tolerância diferente de 1, a carteira ótima é dada por:
Equação 13 – Investimento ótimo em função da tolerância de risco para quadrática
1, 1,1
1
γ
α α
γ
− −
=
O percentual de acréscimo em equivalente certo pelo investimento de risco é
novamente diretamente proporcional à tolerância de risco local do investidor.
(
)
( )
1, 1,
1 1,1
1
1 ,
certo
safe
V
IP X
V
γ γ
α
α
γ
− −
− −
− =
Para definir o investimento ótimo para um investidor com aversão a risco unitária,
tem-se que otimizar o
IP
. Sendo,
( )
(
)
( )
(
)
1
2
2
1,1 1,1
1 1,1 1,1
1
, 1 1 1
certo
safe
V
IP X E X
V
α
α γα
γ
− −
− − −
= − = − −
a maximização se dá com
( )
(
)
1
2
2
max 1 1E X
α
α
− −
que equivale a resolver
( )
(
)
1
2
2
min 1E X
α
α
−
que por sua vez é equivalente a maximizar a utilidade quadrática normalizada
(
)
1
bliss
V
=
.
( ) ( )
2
min min 1u E X
α α
α α
= −
Equação 14 – Investimento ótimo
expandindo temos:
( ) ( )
2
1 2u E X X
α α α
= − +
55
(
)
[
]
2 2
1 2
u E X E X
α α α
= − +
Retirando
α
do operador esperança, e aplicando a CPO temos:
(
)
[
]
2
' 2 2 0
u E X E X
α α
= − + =
Portanto o
1,1
*
α
−
será:
[
]
1,1
*
2
E X
E X
α
−
=
substituindo na expressão de máximo
IP
teremos:
( )
[ ]
( )
1
2
2
1
2
1 1
E X
IP X
E X
−
= − −
( )
[ ]
( )
2
2
1
2
1
E X E X
IP X
E X
−
−
= −
( )
[ ]
1
2
1
V X
IP X
E X
−
= −
A utilidade quadrática otimizada admite uma solução geral fechada. O resultado
acima mostra o investimento potencial (IP) máximo e
[
]
*
1,1
2
E X
E X
α
−
=
representando uma carteira ótima por unidade de tolerância de risco local.
Para aversão ao risco local diferente de 1, temos da utilidade HARA:
(
)
( )
,
,
,
max
1
1
certo
safe
V
IP X
V
γ γ
γ γ
γ γ
α
γ
α
γ
− =
resultando em
(
)
( )
1,
1,
1,
1
max
1
1
certo
safe
V
IP X
V
γ
γ
γ
α
α
γ
−
−
−
−
− =
56
1.1.5.1 Utilidade quadrática como uma aproximação da utilidade CRRA
Se o investimento de risco é relativamente pequeno, a riqueza resultante não irá
partir da riqueza livre de risco
safe
V
. Nessas circunstâncias, pode-se aproximar a
utilidade CRRA da utilidade quadrática em torno da riqueza livre de risco
safe
V
através da expansão de segunda ordem de Taylor em torno de
safe
V
.
Prova 5 – Comparação com a Utilidade Quadrática
Fazendo uma comparação com a utilidade quadrática
( ) ( )
2
1
2
bliss
U V V V= − −
teremos:
safe
bliss safe
V
V V
γ
− = − −
1
1
bliss safe
V V
γ
= +
.
Podemos perceber então na aproximação quadrática o mesmo coeficiente de
aversão ao risco local em V
Safe
e na função de utilidade CRRA:
Equação 15 – Aversão ao risco local para utilidade CRRA
1
1
V
γ
γ
−
=
−
1
1
safe
V
γ
γ
−
−
1
2 2
( ) ( ) (( ) )
2
safe safe safe safe safe
V V V V V V o V V
γ γ
γ
− − −
+ − − − + −
1
1
V
γ
γ
−
≈
−
1
1
2
( ) ( )
1 2
safe
safe safe safe safe
V
V V V V V V
γ
γ γ
γ
γ
−
− − −
+ − − −
−
1
1
V
γ
γ
−
≈
−
1
2
2
2 2
( ) ( )
2 ( 1)
safe safe
safe safe safe
V V
V V V V V
γ
γ
γ γ γ
− −
− − − + −
−
1
1
V
γ
γ
−
≈
−
1
2
2
safe
safe safe
V
V V V c
γ
γ
γ
− −
− − − +
1
1
Bliss
safe
V
V
γ γ
−
= − =
57
A utilidade original e a aproximação quadrática dividem o valor das duas primeiras
derivadas de V
Safe
. Portanto, também dividem o valor de aversão ao risco local em
V
Safe
. Isto nos mostra que podemos esperar que as decisões de carteira por unidade
de tolerância ao risco local são similares.
O mesmo ocorre com o aumento percentual do equivalente certo (EC) por unidade
de tolerância ao risco, ou seja, espera-se que o
IP
γ
e o IP
-1
sejam semelhantes.
A utilidade HARA com aversão ao risco local
γ
pode ser aproximada pela utilidade
quadrática com aversão ao risco local
γ
.
* *
,1 1,1
γ
α α
−
≈
enquanto
*
,1
γ
α
é pequeno (Cerny 2004, p.70).
2.2 Índices de Avaliação de Desempenho
Oda (2006, p.71) comenta que o primeiro conceito utilizado para a avaliação de
desempenho de fundos foi a rentabilidade. No entanto, a teoria de portfólios
apresentou a importância do risco para essa avaliação, o que fez da escolha
baseada somente na maximização do retorno esperado insuficiente para a avaliação
de desempenho.
2.2.1 Índice de Sharpe
O índice de Sharpe (1966) é comumente utilizado pelo mercado como forma de
indicar o excesso de retorno por unidade de risco. É dado pela expressão:
58
Equação 16 – Índice de Sharpe
( )
(
)
(
)
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
, ,
,
,
f
t t r t t
SR t t
t t
µ
σ
−
=
Onde:
µ
é o retorno esperado do ativo de risco em um intervalo de tempo determinado;
f
r
é a taxa livre de risco representativa desse mesmo intervalo;
σ
o desvio padrão do retorno do ativo de risco para o intervalo
O índice de Sharpe consiste em um índice que mede o prêmio por unidade de risco
(Sharpe, 1966). Oda (2006, p.74) menciona o índice de Sharpe como prêmio por
variabilidade, tomando como referência a linha de mercado de capital (LMC). Sharpe
(1998, p.844) define índice de Sharpe ou taxa de prêmio de variabilidade como uma
medida de desempenho ajustada ao risco que usa o benchmark baseado na LMC ex
post facto. Este índice mede o excesso de log-retorno relativo ao risco total da
carteira, onde o risco total é o desvio-padrão dos retornos da carteira.
Devido a sua relação com a utilidade quadrática, o índice apresenta algumas
limitações, não sendo uma medida adequada de prêmio pelo risco para algumas
condições de investimento. Como mencionado anteriormente, a utilidade quadrática,
devido ao ponto de máxima satisfação, ponto bliss, pune o investidor com riqueza
superior a esse ponto.
Essa característica é facilmente detectável em situações nas quais a distribuição dos
retornos apresenta grande assimetria, como no exemplo a seguir.
Nesse trabalho usaremos a nomenclatura adotada por Cerny chamando a relação
apresentada na equação 16 de MPR, assim:
f
r
MPR
µ
σ
−
=
.
59
Exemplo 4 – Índice de Sharpe
(adaptado de Cerny 2004, p.71)
Dados dois ativos A e B com os seguintes excessos de retorno:
Tabela 2 – Ativos e Excessos de Retornos
Probabilidade 1/6 1/2 1/3
Excesso retorno ativo A -1% 1% 2%
Excesso retorno ativo B -1% 1% 11%
Fonte: Cerny (2004, p.71)
Os resultados do ativo B não são piores que do ativo A em qualquer estado, no
entanto, poder-se-ia esperar que o índice de Sharpe (SR) de B apresentasse melhor
desempenho que o índice de Sharpe (SR) de A.
Calculando os
SR
s temos:
Equação 17 – Cálculo do
SR
para o ativo A e B
Ativo A:
Ativo B:
Surpreendentemente, pela medida de
SR
, o ativo B parece menos atrativo que o
ativo A, pois , o que parece ser incoerente.
1 1 1
[ ] 1. 1. 2. 1
6 2 3
A
E X
= − + + =
2 2 2 2
1 1 1
[ ] ( 1) . 1 . 2 . 2
6 2 3
A
E X
= − + + =
2 2 2
[ ] ( [ ]) 1
A
X A A
E X E X
σ
= − =
[ ]
1
( ) 1
1
A
A
A
X
E X
SR X
σ
= = =
1 1 1
[ ] 1. 1. 11. 4
6 2 3
B
E X
= − + + =
2 2 2 2
1 1 1
[ ] ( 1) . 1 . 11 . 41
6 2 3
B
E X
= − + + =
2 2 2 2
[ ] ( [ ]) 41 4 25
B
X B B
E X E X
σ
= − = − =
[ ]
4
( ) 0,8
5
B
B
B
X
E X
SR X
σ
= = =
( ) ( )
B A
SR X SR X
<
60
A punição imposta pelo ponto bliss não ocorre se
(
)
*
1,
bliss
V V
γ
α
−
≤
, ou seja,
[ ]
1
2
1
safe bliss
E X
V X V
E X
γ
−
+ ≤
. Dividindo a expressão por
safe
V
temos:
[
]
1 1
2
1
E X
X
E X
γ γ
− −
+ ≤
.
Como deve ser positivo, chegamos a .
Se chamarmos o maior valor possível do excesso de retorno de
max
x
, e o menor
valor de
min
x
, podemos fazer a seguinte consideração:
, se , e
, se
Examinando os ativos A e B do exemplo 4 sob essa condição, temos:
onde
1, 2 2
≤
satisfaz a condição e
4,11 41
≤
viola a condição.
O que indica que a riqueza ótima no mercado A não supera o ponto bliss, o que
acontece com o mercado B. Isso explica porque A tem um
SR
maior do que B.
Podemos concluir que para
(
)
*
1,
bliss
V V
γ
α
−
<
, o índice de Sharpe é uma medida
aceitável de prêmio por risco. Quando o excesso de retorno não obedece a essa
condição, a esperança da utilidade quadrática irá subestimar o valor real do
investimento do indivíduo que prefere mais a menos.
γ
2
[ ] [ ]
E X X E X
≤
2
min
[ ] [ ]
E X x E X
≥
[ ] 0
E X
<
2
max
[ ] [ ]
E X x E X
≤
[ ] 0
E X
>
2
max
[ ] [ ]
A A A
E X x E X
≤
61
2.2.1.1 Índice de Sharpe Ajustado (SRA)
Uma alternativa para enfrentar esse problema é o índice de Sharpe ajustado. Esse
índice visa corrigir a distorção gerada pela função de utilidade quadrática na
condição em que o excesso de retorno
X
viola a seguinte condição:
[ ]
2
E X
X
E X
>
[
]
[
]
(
)
[ ]
[ ]
2 2 2
2
E X E X E X
X E X
E X
+ −
>
[
]
[ ]
[ ]
2
1
V X
X E X
E X
> +
Portanto, o investidor terá maior utilidade esperada se deixar de lado parte de sua
riqueza quando os retornos o colocarem acima do ponto bliss, isto é, desconsiderar
o excedente da riqueza que faz com que ultrapasse o ponto de máxima satisfação
da função de utilidade.
Dado
cap
X
o excesso de retorno. Suponha que o investidor separe a parte do
excesso de retorno que supera o valor
cap
X
. Temos: .
Aplicando o
A
SR
temos:
( )
2
2
cap
cap
A
cap
E X
SR
E X E X
=
−
e
Caso a condição para o ponto bliss seja violada, um
cap
x
um pouco menor elevará o
índice de Sharpe, pois estamos acima do nível de riqueza onde a função de utilidade
quadrática passa a ser decrescente. Portanto, o investidor deve parar de aplicar sua
riqueza na condição .
Separando o excesso de retorno original
X
em duas partes, tem-se que:
max( )
cap cap
x X
=
2
[ ] [ ]
cap cap cap
x E X E X≤
2
[ ] [ ]
cap cap cap
x E X E X=
62
é o excedente de riqueza que deve ser retirada do excesso de retorno
para que não se viole a condição de máximo
SR
. O
cap
X
é a parte pura do
SR
e o
(
)
cap
X X−
a parte pura da arbitragem.
Exemplo 5 – Índice de Sharpe ajustado
Considerando um ativo de risco com o seguinte excesso de retorno:
Tabela 3 – Exemplo de Ativo e risco com Excesso de Retorno
-25% -15% -5% 5% 15% 25% 35%
0,01 0,04 0,25 0,40 0,25 0,04 0,01
Fonte: Cerny (2004, p.74)
Calculando o SR e o SRA desse ativo e também decompor o excesso de retorno em
SR puro e arbitragem pura.
[
]
25 0, 01 15 0, 04 5 0, 25 5 0, 4 15 0, 25 25 0, 04 35 0, 01 5
, 0
E X = − × − × − × + × + × + × + × =
2 2 2 2 2 2 2 2
25 0, 01 15 0, 04 5 0, 25 5 0, 4 15 0, 25 25 0, 04 35 0,01 1
25, 0
E X
= × + × + × + × + × + × + × =
( )
2
5
0,5
125 5
SR X = =
−
resulta em
5,35 125
≤
, o que viola a condição. Portanto, o SR é
menos influenciado pelo nível de riqueza acima do ponto bliss.
Para calcular o SR ajustado precisamos primeiramente calcular . Para isso
vamos estimar que o
cap
X
ocorre abaixo de 25%.
25 0, 01 15 0, 04 5 0, 25 5 0, 4 15 0, 25 0, 04 0, 01 3,65 0
, 05
cap cap cap cap
E X x x x
= − × − × − × + × + × + × + × = + ×
2 2 2 2 2 2 2 2 2
25 0, 01 15 0,04 5 0,25 5 0,4 15 0, 25 0, 04 0,01 87, 75
0,05
cap cap cap cap
E X x x x
= × + × + × + × + × + × + × = + ×
( )
cap cap
X X X X
= + −
( ) 0
cap
X X
− >
x
( )
P X x
=
2
max
[ ] [ ]
E X x E X
≤
[ ]
cap
E X
63
Como queremos estabelecer a condição , tem-se que:
Isso nos leva a conclusão de que qualquer retorno acima de 24,041% estará acima
do ponto bliss .
Chamando , temos:
( )
( )
( )
2
2
cap
A cap
cap cap
E X
SR X SR X
E X E X
= =
−
portanto,
( )
( )
2
cap
A
cap cap cap
E X
SR X
x E X E X
=
−
( )
1
1
A
cap
cap
SR X
x
E X
=
−
como,
3,65 0, 05
cap cap
E X x
= + ×
3,65 24, 041 0,05
cap
E X
= + ×
4,852
cap
E X
=
assim,
( )
1
24,041
1
4,852
A
SR X =
−
resultando em
(
)
0, 503
A
SR X =
.
Tabela 4 – Decomposição do Excesso de Retorno
-25% -15% -5% 5% 15% 24,04% 24,04%
0% 0% 0% 0% 0% 0,96% 10,96%
-25% -15% -5% 5% 15% 25% 35%
0,01 0,04 0,25 0,40 0,25 0,04 0,01
Fonte: Cerny (2004, p.74)
2
[ ] [ ]
cap cap cap
x E X E X=
2
(3,65 .0, 05) 87,75 .0, 05
cap cap cap
x x x+ = +
87,75
24,041
3, 65
cap
x = =
( ) ( )
A cap
SR X SR X
=
cap
X
cap
X X
−
x
( )
P X x
=
64
Nota-se que , isto é,
0,503 0,500
>
. Essa separação do valor de
excesso de retorno, que faz com que o investidor tenha riqueza acima do ponto
bliss. Isto equivale a truncar a função de utilidade quadrática como mostrado no
gráfico abaixo:
U(V)
V
V
b
liss
0
2
bliss
V
2
1
2
bliss
V
−
0
Gráfico 9 – Utilidade Quadrática Truncada
Fonte: adaptado de Cerny (2004, p. 76)
Para determinar quanta riqueza foi colocada de lado na aplicação de um ativo de
risco, calculamos a parte arbitrária de risco ajustado , que corresponde ao
excesso de retorno truncado no ponto
cap
x
.
.
Resolvendo para
cap
x
e usando a expressão
(
)
(
)
V Va V
γ
=
teremos:
1 , 1 ,1
1 1
cap
A A
x
γ
γα α
− −
= =
onde
1 ,1
A
α
−
é interpretado como uma carteira arbitragem-ajustada ponderado por
unidade de tolerância ao risco local.
( ) ( )
A
SR X SR X
>
1 ,
A
γ
α
−
1 ,
(1 )
safe A cap bliss
V x V
γ
α
−
+ =
65
No exemplo 5 obtivemos valores muito próximos para o índice de Sharpe puro e o
ajustado. Em termos de decisão de investimento os resultados
*
1,1
1
0, 25
α
−
=
e
*
1 ,1
1
0, 2404
A
α
−
=
. Em termos de índice de premio pelo risco,
(
)
0, 5
SR X =
e
(
)
0, 503
A
SR X =
.
Para melhor entender a real importância de se adotar a medida de desempenho SR
ou SRA, segue exemplo com algumas simulações.
Exemplo 6 – Simulações com o SR e o SRA
Imaginando que um investidor tenha escolhido uma opção européia de compra
(call), com maturidade para um ano. Percebe-se que quando o preço da opção é
muito baixo, o retorno da opção será fortemente assimétrico em direção aos valores
altos e será proporcionalmente elevado, o que provavelmente violará a condição do
ponto bliss.
Considerando uma gama de valores para o preço da opção, o mais alto calculado
através de Black-Scholes, considerado como referencia para o valor justo. O menor
valor será (-10%) do valor justo e os demais (10%), (50%), (75%) e (90%) do mesmo
valor.
Calculando os valores de SR e
α
puros e ajustados como demonstrados no
Apêndice II, para os retornos anuais da série Nikkei 225 do período de 1960-2000,
foram obtidos os seguintes dados apresentados na tabela a seguir:
66
Tabela 5 – Tabela Comparativa: SR padrão com SR ajustado
Preço da opção
-0,0048
Arbitragem
0,0048 0,0241 0,0361 0,0433
0,0481
Valor BS
-0,0158 0,0150 0,0632 0,0800 0,0838 0,0832
-0,9804 0,0458 0,0895 0,0933 0,0900 0,0872
0,645 0,574 0,432 0,344 0,291 0,256
0,698 0,612 0,447 0,350 0,293 0,257
0,716 0,462 0,352 0,294 0,257
Fonte: adaptado de Cerny (2004, p. 78)
Consideramos o valor obtido através da fórmula de Black-Scholes como o valor justo
da opção. Observando a coluna do valor de BS justo, os índices de Sharpe padrão e
ajustado quase não apresentam diferença. Já na segunda coluna, a opção tem um
preço bem inferior ao justo, e nesse caso, o SR padrão já não serve como
referência, pois diverge muito do SR ajustado, não representando o real potencial de
investimento do projeto.
O índice de Sharpe necessita de alguns cuidados. A utilização do SR ao invés do
SRA pode levar a um
α
subestimado, o que nos leva a investir menos dinheiro do
que deveríamos, não utilizando o potencial de investimento do investimento.
Podemos notar isso na segunda coluna da tabela onde o
1,1
α
−
é de 0,0150 e
1 ,1
A
α
−
é
de 0,0458 , ou seja, três vezes maior. Essa escolha de portfólio subestimada se
reflete numa redução de SRA de 0,716 para 0,612.
Outro cuidado com o SR é que ele penaliza altos retornos. Ainda na segunda
coluna,
(
)
1,1
SR
α
−
é de 0,574, entretanto, decompondo a riqueza gerada pelo
investimento
1,1
α
−
de 0,015 em SR puro e arbitragem pura, perceberemos que o
(
)
1,1
A
SR
α
−
é de 0,612 que mostra a penalização imposta por SR puro, subestimando
investimentos com retornos positivamente assimétricos, nos levando a escolha
menos lucrativas.
1,1
α
−
1 ,1
A
α
−
1,1
( )
SR
α
−
1,1
( )
A
SR
α
−
1 ,1
( )
A A
SR
α
−
+∞
67
2.2.1.2 Índice de Sharpe em função do horizonte de investimento
Lin & Chou em seu artigo (2003, p.84-89), mostram que para retornos
independentes identicamente distribuídos (IID), o índice de Sharpe calculado em
função de um horizonte de investimento T varia, apresentando comportamento
inicialmente crescente durante o primeiro intervalo do horizonte de investimento,
entrando em queda após atingir seu valor máximo.
Adotando
t
P
como o preço do ativo de risco que obedece a um movimento
browniano geométrico (MBG) chega-se ao índice de Sharpe em função do horizonte
de investimento
T
. Assim o
( )
SR T
é dado pelas expressões:
Equação 18 – Índices de Sharpe
2
2
2
1 1 exp( )
( )
1
f
r T
d
T
e T
SR T
e
σ
ν
σ
α
β
− + −
− − −
= =
−
, dado
d
T
X
, i.e., para preços,
f
r
µ
>
,
0
α
>
e
0
β
>
.
( )
f
c
r
SR T T
ν
σ
−
=
, dado
c
T
X
, i.e., para o logaritmo dos preços e
f
r
ν
>
.
Sendo
2
2
σ
µ ν
= +
.
Para preço temos que
2
2
f
r
MPR
σ
ν
α
σ σ
+ −
= =
, podemos escrever que:
( )
2
c
SR T MPR T
σ
= −
.
Prova 6 – SR em função do horizonte de investimento
T
.
Prova 6 – Índice de Sharpe em função do horizonte de investimento
68
Supondo que
{
}
, ~
t
P t R MBG
+
∈
na medida de probabilidade objetiva. Então se tem
que para um modelo do processo estocástico de um ativo de risco (e.g. ação sem
dividendos) com log-retornos IID:
t dt t t
t
t t
P P dP
dt dW
P P
µ σ
+
−
= = +
ou
ln
t t
d P dt dW
ν σ
= +
sendo que
2
2
σ
µ ν
= +
.
A solução das equações diferenciais estocásticas é dada por:
.
Portanto, conforme Luenberger (1996, p. 310) temos:
Seja
o preço de um ativo livre de risco com taxa de juros nominal
dado pela
equação diferencial determinística
t
t
t
dB
r dt
B
=
, então
sendo que
.
Define taxa de retorno excedente de um período equivalente em tempo contínuo
como
t
t
t
dB
r dt
B
=
(Cerny 2004, p. 233).
Define-se excesso de taxa de retorno composta continuamente como:
( )
( )
( )
2 2
2 2
0 0 0
exp lognormal exp ; exp 2 exp 1
2 2
t t
P P t W P t P t t
σ σ
ν σ ν ν σ
= + + + −
∼
0
ln
t
P
E t
P
ν
=
[ ]
2
0
ln ln
t
t
P
V V P t
P
σ
= =
2
0
1 exp 1
2
t
P
E t
P
σ
ν
− = + −
( )
( )
2
2
0 0
1 exp 2 exp 1
2
t t
P P
V V t t
P P
σ
ν σ
− = = + −
t
B
f
r
(
)
0
exp
t f
B B r t
=
( )
0
1 exp 1
t
f
B
r t
B
− = −
69
0 0
ln ln
c
t t
t
P B
X
P B
= −
,
0
c
t
X
>
.
Define-se excesso de taxa de retorno composta discretamente como:
SR no mundo do logaritmo do preço
Define-se o índice
de Sharpe com composição contínua em função do horizonte de
investimento
T
,
( )
c
SR T
, da seguinte forma:
( )
( )
0 0
2
0
ln ln
ln
T T
c
T f
f
c
c
T
T
P B
E
E X r t
r
P B
SR T t
t
V X
P
V
P
ν
ν
σ
σ
−
−
−
≡ = = =
.
Portanto, o
( )
c
SR T
depende da raiz do horizonte de investimento
T
.
SR no mundo do preço
Define-se o índice de Sharpe com composição discreta em função do horizonte de
investimento
T
,
( )
d
SR T
, da seguinte forma:
0 0 0 0
1 1
d
t t t t
t
P B P B
X
P B P B
= − − − = −
70
Portanto, o
( )
d
SR T
depende do horizonte de investimento
T
.
O
( )
SR T
, conforme prova 6, apresenta características distintas em função da
composição da série de preços dos ativos resultando em
(
)
d
SR T
e
(
)
c
SR T
.
Se trabalharmos com o logaritmo dos preços, isto é, com
c
T
X
, equivale supor que as
séries de retorno obedecem a uma composição contínua resultando no
(
)
c
SR T
.
Para preços, isto é, com
d
T
X
, obtemos o
(
)
d
SR T
. Ambos os índices, tanto para
composição contínua como discreta sofrem influência do horizonte de investimento,
não permanecendo constantes ao longo do horizonte
T
. Em ambos os índices
crescem com o aumento do horizonte de investimento. No entanto o
(
)
d
SR T
atinge
um valor máximo decaindo em seguida. Goetzmann, Ingersoll e outros (2000, p.15)
comentam que o aumento de
T
equivale ao aumento do prêmio e da variância (não
do desvio-padrão) proporcionalmente. Portanto, o
(
)
d
SR T
, para
T
’s elevados,
apresenta comportamento financeiramente inconsistente, possivelmente pela
influência da utilidade quadrática que começa a penalizar investimento acima do
ponto bliss.
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0
2
2
2
2
2
exp exp
2
exp exp 1
2
1 exp
2
exp 1
d
T
d
d
T
T T
T
f
f
E X
SR T
V X
P B
E
P B
P
V
P
T r T
T T
r T
T
σ
ν
σ
ν σ
σ
ν
σ
≡
−
=
+ −
=
+ −
− − + −
=
−
71
(Cerny 2004, p.133) afirma que em um modelo com retornos IID, a média e a
variância de log-retornos cresce linearmente com o horizonte de tempo. Isso é
conhecido como lei de linearidade para média e variância. Portanto, se a variância
dos retornos cresce linearmente com o tempo, o desvio-padrão ou volatilidade tem
que crescer proporcionalmente a raiz quadrada do tempo.
Outro aspecto importante é o fato de que para retornos de composição diária temos
que
0 0
ln 1
t t
P P
P P
≈ −
, isto é, os retornos diários são tão pequenos que podemos remover
o operador logarítmico, ou seja, a composição contínua é equivalente a composição
discreta. No entanto, períodos pequenos promovem retornos não IID.
Econometricamente, Knight & Satchell (2002, p.90) mostram que preço log-normal,
com exceção de períodos de turbulência, é uma premissa razoável para índices de
desempenho de ações em mercados líquidos sobre períodos mensais e parece
também merecer crédito para preços de carteira de mercado.
Sabemos que uma boa medida para garantir a condição IID dos retornos é trabalhar
com retornos de períodos no mínimo mensais. Isso limita o uso do
(
)
c
SR T
. No
entanto, o
(
)
d
SR T
é financeiramente inconsistente para horizontes elevados, o que
nos leva a um impasse sobre o uso desses índices.
Assim, temos um trade-off entre assumir preços log-normais, composição contínua,
e freqüências diárias, que não garantem a condição IID, ou utilizar um índice que é
financeiramente inconsistente.
Assumindo os seguintes parâmetros (a.a. útil):
•
Taxa livre de risco
f
r
= 12%
•
Log-retorno esperado
ˆ
ν
= 20%
•
Volatilidade
ˆ
σ
= 30%
72
Teremos a seguinte representação gráfica de
( )
d
SR T
:
Gráfico 10 –
d
SR
em função do horizonte de investimento,
( )
d
SR T
Fonte: Elaborado pelo Autor
Verifica-se, portanto, a existência de um instante
T
de horizonte de investimento
onde o valor do índice de Sharpe é máximo, decaindo em seguida.
Gráfico 11 –
c
SR
em função do horizonte de investimento,
( )
c
SR T
Fonte: Elaborado pelo Autor
Na representação gráfica de
( )
c
SR T
acima, o índice é crescente para o aumento de
T
,
o que faz sentido,
pois o prêmio pelo risco deve aumentar com o aumento do
horizonte de investimento que pode ser interpretado como risco pela incerteza
futura.
2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
T
H
a n o
L
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
0 . 6
S R d
H
T
L
2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
T
H
a n o
L
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
S R c
H
T
L
73
Comparando os dois índices verificamos que o
( )
c
SR T
cresce mais lentamente que o
( )
d
SR T
até determinado
T
, representando que o horizonte de investimento para
preços com composição discreta paga maior prêmio pelo risco do que preços com
composição contínua. Esse cenário se inverte quando
T
ultrapassa o ponto de
máximo de
( )
c
SR T
ou quando o índice passa a ser penalizado pela utilidade
quadrática.
Gráfico 12 – Comparação do comportamento entre
( )
c
SR T
e
( )
d
SR T
Fonte: Elaborado pelo Autor
Para definirmos o instante
T
em que
( )
d
SR T
atinge o valor máximo aplicamos a
CPO (condição de primeira ordem) na expressão de
( )
d
SR T
.
1 exp( )
( )
d
T
SR T
α
β
− −
=
Equação 19 – Derivada de
( )
d
SR T
em
T
( )
( )
( )
2
2
2
2
3
2
2 2 2
2
3
2
( 2 2 ) 2 2 2
'( )
2
1
f
f
T
r T
r T
f f
T
d
T
e e r e r
e
SR T
e
σ
ν
σ
σ
ν
σ
σ ν σ ν σ
+
+
− +
− + − + − + − +
=
−
2 4 6 8 10 12 14
T
H
ano
L
0.2
0.4
0.6
0.8
1
SRc
H
T
L
e SRd
H
T
L
74
( )
(
)
2
2
2 2
3
2 2
'( )
2
T
T T
d
e e e
SR T
σ α
σ α
σ α α σ
β
−
− − + +
=
(
)
(
)
2 2
2
2 2
3
2
'( )
2
T T
T T
d
e e e e
SR T
σ α σ α
σ α
σ α σ
β
− −
− − − +
=
(
)
(
)
2 2
2
2
3
2
'( )
2
T T
T T
d
e e e e
SR T
σ α σ α
σ α
σ α
β
− −
− − − −
=
Gráfico 13 – Gráfico da derivada de
( )
d
SR T
em relação à
T
.
Fonte: Elaborado pelo autor
Para os parâmetros definidos anteriormente, obtemos um
( )
d
SR T
de 0,624 em 6,332
anos, ou seja, com um horizonte de investimento em torno de seis anos e quatro
meses.
2.2.2 Índice de Potencial de Investimento
Investimento potencial é um índice de desempenho que avalia a variação percentual
do equivalente certo da função de utilidade do investidor pela riqueza livre de risco.
20 40 60 80 100
T
H
ano
L
-0.01
0.01
0.02
SRd '
H
T
L
Derivada de SRd
H
T
L
75
Equação 20 – Índice de potencial de investimento
( )
(
)
, ,
, ,
, 1
certo
safe
V
IP X
V
γ γ γ γ
γ γ γ γ
α
α
= −
Podemos dizer que esse índice expressa a variação porcentual do equivalente certo
da função de utilidade do investidor com relação à riqueza livre de risco.
Define-se investimento potencial
IP
γ
como o porcentual (taxa) de crescimento do
equivalente certo por unidade de tolerância de risco local:
( )
(
)
,1 ,1
,1
, 1
certo
safe
V
IP X
V
γ γ
γ γ
α
α
= −
Assumindo como investimento potencial máximo associado com o ativo de
risco, temos
( ) max ( , )
IP X IP X
γ γ
α
α
≡
.
Do crescimento percentual do equivalente certo do investidor HARA, o investimento
de risco apresenta dois componentes distintos,
(
)
( )
,
, ,
max
1
1
certo
safe
V
IP X
V
γ γ
γ γ γ γ
α
γ
α
γ
− =
onde o termo a esquerda representa o crescimento percentual máximo em
equivalente certo,
1
γ
a tolerância de risco local e
(
)
IP X
γ
, o investimento potencial
base.
Uma parte é o máximo investimento potencial base do ativo de risco, que somente
depende da aversão ao risco base e a distribuição dos retornos. A outra é a
tolerância ao risco local, o qual determina com que extensão o investidor é apto a se
beneficiar do potencial de investimento do seguro de risco, isto é, um
γ
maior gera
um menor benefício ao investidor em termos de equivalente certo.
É importante observar que o excesso de retornos simetricamente distribuídos
oferece prêmios de risco relativamente pequenos.
( )IP X
γ
76
2.2.2.1 Potencial de investimento em termos de índice de Sharpe
Como mostrado, ativos com o mesmo valor de
[ ]
(
)
2
2
1
E X
E X
−
levarão à mesma
evolução da esperança da utilidade quadrática.
Substituindo a esperança do excesso de retorno por
[
]
X
E X
µ
=
e a variância do
excesso de retorno
[ ]
(
)
2
2 2
X
E X E X
σ
= −
, teremos:
[ ]
(
)
[ ]
(
)
[ ]
( )
[ ]
( )
2
2
2
2 2
2
2
1
E X E X
E X
E X
E X E X E X
−
− =
− +
[ ]
(
)
2
2
2 2
2
1
X
X X
E X
E X
σ
σ µ
− =
+
[ ]
(
)
[ ]
( )
2
1
2
2
2
1
1 1
1
X
X
E X
MPR X
E X
µ
σ
−
− = = +
+
Podemos verificar que o equivalente certo da riqueza depende do retorno do risco
através de
X
X
µ
σ
, relação essa conhecida como MPR, preço pelo risco.
[ ]
(
)
( )
2
2
2
1
1
1
E X
E X
MPR
− =
+
Como para a utilidade quadrática,
(
)
( )
1,
1, 1,
1
max
1
1
certo
safe
V
IP X
V
γ
γ γ
α
α
γ
−
− −
−
− =
( )
[ ]
( )
1
2
2
1
2
1 1
E X
IP X
E X
−
= − −
, então temos que:
77
( )
[ ]
( )
1,
1
2
2
1, 1,
2
max
1
1 1 1
certo
safe
V
E X
V
E X
γ
α γ γ
α
γ
−
− −
− = − −
( )
( )
1,
1
2
1, 1,
2
max
1 1
1 1
1
certo
safe
V
V
MPR
γ
α γ γ
α
γ
−
− −
− = −
+
(
)
[ ]
( )
1,
1
1, 1,
2
2
max
1
1 1 1
certo
safe
V
MPR X
V
γ
α γ γ
α
γ
−
−
− −
− = − +
O índice de Sharpe está ligado à utilidade quadrática, existe uma relação entre a
utilidade quadrática máxima e o índice de Sharpe:
( ) ( )
1
2
1
1 1
IP X MPR
−
−
= − +
,
sendo
X
X
MPR
µ
σ
=
e
X
o excesso de retorno.
Expandindo
( )
( )
1
2
2
1f MPR MPR
−
= +
por Taylor em torno de zero temos:
( )
1
2
2
(0) 1 0 1
f
−
= + =
( )
( )
2
3
2
2
1 1
'
2
1
f MPR
MPR
= −
+
( )
3
2
1 1 1
'(0)
2 2
1 0
f
= − = −
+
Portanto podemos aproximar IP como:
( )
( )
2 2
1
1
1 1
2
IP X MPR o MPR
−
= − + +
Equação 21 -
IP
γ
como função de
MPR
( )
( )
2 2
1
1
2
IP X MPR o MPR
−
= +
( )
2
1
1
2
IP X MPR
−
≈
78
2.2.3 Análise qualitativa
A análise qualitativa tem por objetivo a compreensão do sinal das derivadas parciais
dos índices de avaliação de desempenho, ou seja, como reagem com relação à
variação dos parâmetros que os compõem.
2.2.3.1 Análise qualitativa do
( )
d
SR T
Sabemos que,
2
2
1 exp
2
( )
1
f
d
T
r T
SR T
e
σ
σ
ν
− − + −
=
−
.
Chamando
2
2
f
r
σ
α ν
= + −
e
2
1
T
e
σ
β
= −
podemos escrever
( )
d
SR T
como:
1 exp( )
( )
d
T
SR T
α
β
− −
=
•
Derivando
( )
d
SR T
em relação à
ν
teremos:
2
2
exp
2
( )
1
f
d
T
T r T
SR T
e
σ
σ
ν
ν
− − +
∂
=
∂
−
( ) exp( )
d
SR T T T
α
ν
β
∂ −
=
∂
A derivada parcial não está definida para
0
T
=
. Sendo as exponenciais e
T
estritamente positivos, podemos dizer que
( )
0
d
SR T
ν
∂
>
∂
,
o que indica que o
( )
d
SR T
cresce com o aumento de
ν
. Financeiramente podemos dizer que a elevação do
excesso de log-retorno implica um maior
( )
d
SR T
, o que representa dizer que o
aumento de
ν
melhora o prêmio pelo risco, ceteris paribus (c.p.).
•
Derivando
( )
d
SR T
em relação à
σ
teremos:
79
( )
( )
( )
2
2
2
2
1 3
2
2 2
3
2
2
( )
1
f
f
T
T T
r T
r T
d
T
e e e e T
SR T
e
σ
ν σ ν
σ
σ
σ
σ
− + +
− +
− +
∂
= −
∂
− +
( )
( )
2
2
2
3
2
( )
2
1
d
T
T T
T
SR T T
e e e
e
σ α
α σ
σ
σ
σ
−
−
∂
= − − +
∂
−
( )
2
2
3
( )
2
d
T
T T
SR T T
e e e
σ α
α σ
σ
σ
β
−
−
∂
= − − +
∂
2 2
3
( ) exp( ) 2exp( ) exp( ) exp( )
d
SR T T T T T
T
α σ α σ
σ
σ
β
∂ − − − +
= −
∂
(
)
2 2
3
exp( ) 1 2exp( ) exp( )
( )
d
T T T
SR T
T
α σ σ
σ
σ
β
− − +
∂
= −
∂
Novamente a derivada parcial não está definida para
0
T
=
. Sendo as exponenciais
e
T
positivos, podemos dizer que
( )
0
d
SR T
σ
∂
<
∂
, na condição
2 2
exp( ) exp( ) 2exp( ) exp( )
T T T T
α σ σ α
− + > −
, isto é,
2
exp( ) exp( ) 2
T T
σ α
− + >
, o que
indica que o
( )
d
SR T
apresenta uma relação negativa com relação à
σ
, que do ponto
de vista financeiro parece coerente. O prêmio pelo risco diminui com o aumento da
volatilidade.
•
Analisando o comportamento de
( )
d
SR T
em função do horizonte de
investimento
( )
d
SR T
T
∂
∂
temos:
( )
( )
( )
2
2
2
2
3
2
2 2 2
2
3
2
( 2 2 ) 2 2 2
'( )
2
1
f
f
T
r T
r T
f f
T
d
T
e e r e r
e
SR T
e
σ
ν
σ
σ
ν
σ
σ ν σ ν σ
+
+
− +
− + − + − + − +
=
−
( )
(
)
2
2
2 2
3
2 2
'( )
2
T
T T
d
e e e
SR T
σ α
σ α
σ α α σ
β
−
− − + +
=
80
(
)
(
)
2 2
2
2
3
2
'( )
2
T T
T T
d
e e e e
SR T
σ α σ α
σ α
σ α
β
− −
− − − −
=
Sendo as funções exponenciais e a
2
σ
positivas, na condição de
0
T
>
, teremos que
( )
d
SR T
T
∂
∂
só será positivo se
( )
( ) ( )
2
2
3
2
2 2
2 2 2 2 2
f
f
T
r T
r T
f f
e r e e r
σ
ν
σ
ν σ ν σ
+
+
− + > + − +
ou
ainda se
(
)
(
)
(
)
2 2 2 3 2
2 exp ( 1) exp (2 )
T T T T
α σ σ ασ α σ
+ > − + −
.
Como vimos anteriormente, a representação gráfica de
( )
d
SR T
em função do
horizonte de investimento
T
apresenta um comportamento inicial crescente, atinge
um ponto de máximo e depois decresce. O ponto de máximo ocorre em um
*
T
onde
(
)
(
)
(
)
2 2 2 3 2
2 exp ( 1) exp (2 )
T T T T
α σ σ ασ α σ
+ = − + −
.
Portanto para
*
T T
<
temos
( )
0
d
SR T
T
>
∂
, o que é financeiramente coerente, pois com
o aumento da incerteza de tempo futuro, espera-se maior prêmio. Acima de
*
T
temos
( )
0
d
SR T
T
<
∂
, o que contradiz o bom senso fazendo desse índice um indicador
ruim com essa restrição. Portanto, esse índice deve ser descartado para análise de
desempenho de ativos com risco.
2.2.3.2 Análise qualitativa do
( )
c
SR T
Sabemos que,
( )
f
c
r
SR T T
ν
σ
−
=
.
Temos que para preço
2
2
f
r
MPR
σ
ν
α
σ σ
+ −
= =
, logo podemos escrever que:
( )
2
c
SR T MPR T
σ
= −
81
Portanto, para um horizonte de investimento unitário,
1
T
=
, podemos dizer que o
índice de Sharpe de composição contínua é o preço pelo risco do ativo descontado a
metade de seu parâmetro de volatilidade.
( )
1
2
c
SR MPR
σ
= −
•
Derivando
(
)
c
SR T
em relação à
ν
teremos:
( )
c
SR T T
ν σ
∂
=
∂
portanto
( )
0
c
SR T
ν
∂
>
∂
indicando que o aumento do log-retorno gera uma resposta crescente por parte de
( )
c
SR T
∂
, c.p., isto é, o prêmio pelo risco aumenta com a elevação do retorno.
•
Derivando
(
)
c
SR T
em relação à
σ
teremos:
(
)
2
( )
c
f
r
SR T
T
ν
σ σ
−
∂
= −
∂
( ) 1
2
c
SR T MPR
T
σ σ
= − = − −
e considerando um excesso de log-retorno positivo, podemos então dizer que
( )
0
c
SR T
σ
∂
<
∂
, que equivale a dizer que o aumento da volatilidade dos log-retornos
reduz o prêmio pelo risco.
•
Derivando
(
)
c
SR T
em relação à
T
teremos:
( )
2
c
f
r
SR T
T
T
ν
σ
−
=
∂
( )
1 2
2
4
c
MPR
SR T
T
T
σ
−
= =
Na condição em que o log-retorno do ativo é superior a taxa livre de risco teremos
que
( )
0
c
SR T
T
>
∂
para todo
T
o que, em termos financeiros, pelo fato de não
apresentar restrição quanto a
T
, faz do
(
)
c
SR T
um índice em função do horizonte
82
de investimento mais coerente do que o
( )
d
SR T
. Notar que ex ante facto, como
mostrado anteriormente, exige-se que
f
v r
>
.
2.2.4 Análise quantitativa (elasticidade)
A elasticidade representa o grau de sensibilidade de uma variável dependente
(exemplo, a oferta ou a procura de um bem) frente a mudanças em outras variáveis
que a determinam (exemplo, o preço de mercado), permanecendo constantes as
demais variáveis, c.p.
%
( , )
%
x
Elasticidade x y
y
∆
=
∆
(
)
( )
ln
( , )
ln
x
x y
Elasticidade x y
y y x
∂
∂
= =
∂ ∂
Supondo a relação do exemplo descrito, entre preço (P) e quantidade (Q), temos
cinco casos de elasticidade:
•
0
Elasticidade
=
: Perfeitamente rígida. Qualquer variação de P não terá
qualquer efeito em Q.
•
1
Elasticidade
<
: Rígida. A variação proporcional em Q é menor do que a
variação proporcional em P.
•
1
Elasticidade
=
: Elasticidade unitária. A variação proporcional de uma variável
é igual à variação proporcional de outra variável.
•
1
Elasticidade
>
: Elástica. A variação proporcional em Q é maior do que a
variação proporcional em P.
•
Elasticidade
= ∞
: Perfeitamente elástica. A variação em P é zero, portanto a
elasticidade é infinita.
83
2.2.4.1 Análise quantitativa do
( )
d
SR T
•
Dado
( )
d
SR T
ν
η
a elasticidade (sensibilidade) do índice de Sharpe de
composição discreta com relação à
ν
,
( )
( )
( )
d
d
d
SR T
SR T
SR T
ν
ν
η
ν
∂
∂
=
portanto
2
2
( )
f
f
r T
d
T
r T
Te
SR T
e e
σ
ν
ν
ν
η
+
=
−
2
2
1
f
r T
T
e
σ
ν
ν
+ −
=
−
1
T
T
e
α
ν
=
−
Mantendo os dados:
•
Taxa livre de risco
f
r
= 12%
•
Volatilidade
ˆ
σ
= 30%
•
Horizontes de investimento de
1, 10, 50
T T T
= = =
Gráfico 14 - Elasticidade de
( )
d
SR T
em relação ao log-retorno
ν
Fonte: Elaborado pelo autor
84
Graficamente
( )
d
SR T
ν
η
apresenta um comportamento decrescente com o aumento
do log-retorno
ν
. O que percebemos é que o índice é pouco elástico para log-
retornos muito pequenos, aumentando sua elasticidade gradativamente com o
aumento de
ν
.
O decaimento da curva é mais acentuado para horizontes de
investimento maiores fazendo com que mude do estado de grande rigidez para
muito elástico, isto é, a de
ν
passa a impactar muito pouco no índice.
Percebemos então que log-retornos maiores tem menor influência sobre a variação
do índice do que os menores, e que com o aumento do horizonte de investimento,
esses valores de log-retorno diminuem, isto é, a mudança de estado da curva de
rígida para elástica ocorre com valores de log-retorno menores para horizontes
maiores. Em resumo, o índice é mais sensível as variações do log-retorno para
valores pequenos ficando menos sensível para valores maiores, e a influência do
horizonte de investimento é de que quanto maior
T
, menor o valor de
ν
em que
ocorre essa transição.
•
Avaliando a elasticidade de
( )
d
SR T
com relação à volatilidade temos:
( )
( )
( )
d
d
d
SR T
SR T
SR T
σ
σ
η
σ
∂
∂
=
( )
( )
2
2
2
2
3
2
2
2
2
( )
1
f
f
f
T
r T
r T
d
T
T
r T
e e e
T
SR T
e
e e
σ
ν
σ
σ
σ
σ
ν
σ
η
+
+
+
− +
=
−
− +
(
)
(
)
( )
(
)
2 2
2
2
( )
f f
f
f
f
r T r T
r T
d
r T
r T
e e e
T
SR T
e e
σ α σ
α
σ
σ
η
β
+ + +
+
− +
=
− +
(
)
( )
2
2
2
1 2
( )
1
T
T
d
T
e e
T
SR T
e
α σ
σ
α
σ
σ
η
β
+
− +
=
− +
85
Ainda com os dados:
•
Taxa livre de risco
f
r
= 12%
•
Volatilidade
ˆ
σ
= 30%
Horizontes de investimento de
1, 10, 50
T T T
= = =
Gráfico 15 – Elasticidade de
( )
d
SR T
em relação à volatilidade
Fonte: Elaborado pelo autor
Temos graficamente que o
( )
d
SR T
σ
η
apresenta variação percentual negativa com
relação ao incremento da volatilidade para
1
T
=
. O mesmo comportamento ocorre
para
10
T
=
para volatilidade até aproximadamente 0.3, deste ponto em diante
vemos que a curva passa a ser crescente. Com
50
T
=
a curva apresenta
comportamento crescente para qualquer valor de volatilidade. Percebemos que para
1
T
=
e
10
T
=
a curvas são bastante elásticas, indicando que para pequenos
horizontes de investimento, a variação da volatilidade tem pouca influência sobre a
variação do índice, mesmo porque, para esses horizontes, o comportamento é
negativo, isto é, a variação positiva da volatilidade gera uma variação negativa no
índice, fato que corresponde ao esperado financeiramente. No entanto, para
volatilidades maiores, no caso de
10
T
=
e para
50
T
=
, o incremento de volatilidade
promove um incremento no índice, e o comportamento passa a apresentar
considerável rigidez, isto é, pequenas variações de volatilidade promovem grande
variação do índice.
86
•
Avaliando a elasticidade de
( )
d
SR T
em função do horizonte de investimento,
( )
( )
( )
d
d
d
T
SR T
T
SR T
SR T
T
η
∂
∂
=
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
3
2
2 2 2
2
2 2 2
( )
2 1
f
f
f
T
r T
r T
f f
d
T
T
r T
T
e e r e r
SR T
e e e
σ
ν
σ
σ
ν
σ
ν σ ν σ ν σ
η
+
+
+
− + − + − + − +
=
− +
( )
( )
( )
(
)
2
2
3
2
2 2
2 2
( )
2
f
f
f
f
T
r T
r T
d
r T
r T
T
e e e
SR T
e e
σ
ν
σ
α
ν σ α σ α
η
β
+
+
+
− − + +
=
+
( ) ( )
( )
2
2 2
3
2
2
2
( )
2 1
f f
f
f
T
r T r T
r T
d
r T
T
T
e e e e
SR T
e e
σ
ν
σ σ
α
ν σ α
η
β
+
+ +
+ + −
=
+
Gráfico 16 – Elasticidade de
( )
d
SR T
em relação ao horizonte
T
Fonte: Elaborado pelo autor
5 10 15 20
T
H
ano
L
-0.01
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Eta
@
SR
H
T
L
D
87
O
( )
d
T
SR T
η
decai em resposta ao incremento do horizonte de investimento. Existe
um ponto do horizonte onde o índice é indiferente ao
T
, esse ponto deve
corresponder ao ponto de máximo da curva do índice,
*
T
.
A partir desse ponto, o
índice passa a decrescer. O que fica claro é que para
T
menor que
*
T
a curva
apresenta grande rigidez, o que indica que a variação do horizonte impõe grande
influência no crescimento do índice, no entanto, a partir do
*
T
, a curva passa a ser
bastante elástica, mostrando que grande variação no valor do horizonte de
investimento gera variação menor no índice. Financeiramente, esse comportamento
é contrário ao que se espera de um índice que deve incorporar ao prêmio o risco, e
nesse caso, o risco é maior para horizontes maiores.
2.2.4.2 Análise quantitativa do
(
)
c
SR T
•
Avaliando a elasticidade de
(
)
c
SR T
em função de
ν
,
( )
( )
( )
c
c
c
SR T
SR T
SR T
ν
ν
η
ν
∂
∂
=
( )
c
f
T
SR T
r
T
ν
σ
η
ν
σν
=
−
( )
c
f
SR T
r
ν
ν
η
ν
=
−
2
2
( )
2
c
SR T
ν
ν
η
α σ
=
−
( )
( )
1
c
c
SR T
SR
ν
ν
σ
η
=
88
Percebemos então que o
( )
c
SR T
ν
η
não depende do horizonte de investimento e que
existe uma descontinuidade na função para
f
r
ν
=
. Para
f
r
ν
>
teremos que
( ) 1
c
SR T
ν
η
>
.
Gráfico 17 – Elasticidade de
( )
c
SR T
em relação ao log-retorno
ν
Fonte: Elaborado pelo autor
Para
f
r
ν
>
a curva apresenta mudança de rígida para elástica com o aumento de
log-retorno, i.e., o índice apresenta grande sensibilidade a variação de log-retornos
para excessos pequenos e pouca sensibilidade para variação de log-retornos de
excesso elevados.
O
( )
c
SR T
σ
η
apresenta elasticidade unitária negativa.
( )
( ) 1
( )
c
c
c
SR T
SR T
SR T
σ
σ
η
σ
∂
∂
= = −
Isto índica que se a volatilidade aumentar 1% de seu valor, o
c
SR
diminui 1%.
O
( )
c
T
SR T
η
apresenta elasticidade
1
2
, isto é, pouca elasticidade.
( )
1
( )
( )
2
c
c
c
T
SR T
T
SR T
SR T
T
η
∂
∂
= =
0.125 0.15 0.175 0.225 0.25 0.275 0.3
Log
−
retorno
2.5
5
7.5
10
12.5
15
Eta
H
ni
L
89
Portanto, se o horizonte de investimento
T
aumentar 1% de seu valor, o
c
SR
aumenta 0,5%.
2.2.5 Bandas de Good-deal
As teorias de precificação de ativos tentam avaliar os preços ou valores de
pagamentos incertos. Cochrane (2001, p.XIII) ressalta o fato de baixos preços
resultarem em altas taxas de retorno, o que explicaria porque alguns ativos pagam
maiores taxas médias de retorno que outros.
Dois fatores são relevantes na avaliação de um ativo, o prazo e o risco de
pagamento. O efeito prazo não apresenta grande dificuldade para ser incorporado,
no entanto, correções para o risco são determinantes para a apuração do valor do
ativo. A remuneração real de um ativo é, portanto composta de uma taxa de
interesse (juros) e um prêmio pelo risco, risco esse relativo à incerteza. Assim,
podemos dizer que o preço é igual ao pagamento esperado descontado.
Existem duas formas de abordagem dessa questão, que Cochrane (2001, p.XIV)
coloca como:
•
Precificação absoluta: nesse caso a precificação do ativo é obtida através de
análises fundamentais de risco macroeconômico, modelos de consumo,
equilíbrio, etc., quando se utiliza a teoria de apreçamento de ativos
positivamente, buscando uma explicação econômica para o porquê dos
preços serem o que são.
•
Precificação relativa: nesse caso, avalia-se o valor do ativo baseando-se em
preços dados por alguns outros ativos. A origem dos preços desses ativos
não é levada em consideração.
Dependendo do ativo em questão e do propósito da precificação, pode-se calcular o
preço de um ativo através da escolha de quanto do preço será dependente do
componente absoluto e quanto do componente relativo.
90
Na prática, quase nenhum ativo tem seu preço calculado baseado somente em uma
das abordagens, por exemplo, o CAPM, embora apresente abordagem absoluta,
quando usado, determina o preço do ativo relativo ao mercado ou outro fator de
risco, sem questionar como foi determinado o prêmio pelo fator de risco ou os betas.
Resumindo o apreçamento de ativos em duas equações;
1 1
( , )
t t t
p E m x
+ +
=
1
( , )
t
m f dados parâmetros
+
=
Onde:
t
p
= preço do ativo,
1
t
x
+
= pagamento do ativo,
1
t
m
+
= fator de desconto estocástico.
A grande vantagem do método de avaliação pelo desconto é sua simplicidade uma
vez que reúne teorias sobre ações, bonds, e opções em uma só, olhando para todas
elas como se fossem casos especiais da mesma teoria.
2.2.5.1 Modelo baseado no consumo
Uma importante questão para o investidor é definir o quanto de sua riqueza deve
poupar, deve consumir e qual carteira de ativos manter. Para isso, é importante
atender ao equilíbrio entre a perda de utilidade marginal de consumir menos e
comprar um pouco mais de ativos e o ganho de utilidade marginal de obter um
pouco mais de dividendos sobre ativos no futuro.
Caso os dividendos e o preço dos ativos não satisfaçam essa relação, o investidor
deve alterar o ponto de equilíbrio comprando ou vendendo ativos.
91
Portanto, o preço do ativo deve ser igual ao valor descontado esperado dos
dividendos, utilizando-se para isso a utilidade marginal do investidor.
A taxa de juros se relaciona com o crescimento da utilidade marginal esperada e,
portanto com a esperança de consumo. Num cenário de elevada taxa de juros real,
é mais coerente comprar ativos e deixar para consumir amanhã. A alta de taxa de
juros está diretamente associada à expectativa de crescimento de consumo.
Como mencionado anteriormente, o ponto mais relevante e difícil do apreçamento
de ativo é a correção de risco dos preços de ativos. Os preços devem ser
influenciados pela covariância dos payoffs com a utilidade marginal e, portanto pela
covariância entre payoffs e consumo.
Para Cochrane (2001, p.5), um determinado ativo que apresente resultados ruins, é
menos desejável em um cenário econômico de recessão do que em um cenário
econômico favorável, isso devido à sensação do investidor de estar pobre e
consumindo pouco na recessão contra a sensação de riqueza e mais consumo no
cenário favorável. Como resultado, um ativo apresentará pior valor de venda na
recessão como reflexo de um desconto pelo risco, risco esse que é função da
covariância.
E a maneira de se medir como o individuo se sente é através da utilidade marginal e
não através do consumo. Importante frisar que o consumo é baixo quando a
utilidade marginal é alta. O consumo também é baixo e a utilidade marginal é alta
quando outros ativos do investidor apresentam resultados ruins, assim deve-se
verificar que os preços serão baixos para ativos que covariem positivamente com
carteiras de mercado.
Dado um payoff
1
t
x
+
em um instante
t
. Supondo a compra de uma ação hoje, o
payoff no período seguinte é o preço da ação mais dividendo, ou seja,
1 1 1
t t t
x p d
+ + +
= +
92
Sendo
1
t
x
+
uma variável aleatória, portanto o investidor não sabe exatamente quanto
ganhará sobre o investimento. No entanto, pode obter a probabilidade de diferentes
resultados.
Importante observar que payoff
1
t
x
+
não é lucro ou retorno, é simplesmente o valor
do investimento no instante
1
t
+
.
Chamando de
t
c
o consumo no instante
t
, podemos modelar através da função de
utilidade, fundamentada no desejo do investidor e nos valores de consumo atual e
futuro, que:
1 1
( , ) ( ) [ ( )]
t t t t t
U c c u c E u c
β
+ +
= +
Para a utilidade
1
( )
1
t
t
c
u c
γ
γ
−
=
−
temos a idéia fundamental de que o investidor deseja
mais consumo ao invés de apostar em informações intermediárias como média e
variância dos retornos de uma carteira.
Embora o investidor não saiba qual o nível de consumo ele terá amanhã (riqueza),
dado que
1
t
c
+
é uma variável aleatória, uma função de utilidade crescente reflete o
desejo por consumir mais, e o fato de ser côncava mostra o valor de declínio
marginal par um aumento de consumo, ou seja, um consumo maior satisfaz menos
que o consumo inicial.
Essa característica pode ser traduzida em impaciência e aversão ao risco do
investidor, que são conseqüências do risco e do tempo de maturação.
O fator
β
, também chamado de fator de desconto subjetivo, captura a impaciência.
Assumindo que o investidor pode comprar ou vender livremente o valor que quiser
do payoff
1
t
x
+
a um preço
t
p
. Denominando o nível de consumo original de
e
e a
quantia de ativo escolhido para venda de
ξ
, queremos determinar o quanto o
investidor irá comprar ou vender.
93
Portanto, o problema é
(
)
(
)
1
max
t t t
u c E u c
ξ
β
+
+
Sendo
t t t
c e p
ξ
= −
e
1 1 1
t t t
c e x
ξ
+ + +
= −
Inserindo as restrições na expressão acima e aplicando a CPO teremos,
1 1
'( ) [ '( ) ] 0
t t t t t
u c p E u c x
β
+ +
− + =
1 1
[ '( ) ] '( )
t t t t t
E u c x u c p
β
+ +
=
1
1
'( )
'( )
t
t t t
t
u c
p E x
u c
β
+
+
=
Que é o modelo básico baseado em consumo. O consumidor compra mais ou
menos ativos até atingir essa condição de primeira ordem.
O termo
'( )
t t
p u c
é a perda em utilidade se o investidor comprar outra unidade de
ativo, e
[
]
1 1
'( )
t t t
E u c x
β
+ +
é o aumento em utilidade que o investidor obtém de um
payoff extra em
1
t
+
.
Portanto, o equilíbrio entre o ganho marginal e a perda marginal é o que limita se o
investidor continua comprando ou vendendo ativos.
Assim, a equação de precificação básica fundamentada em consumo é:
( )
p E mx
=
1
'( )
'( )
t
t
u c
m
u c
β
+
=
Onde
1
t
m
+
é o fator de desconto estocástico.
94
Não havendo incerteza, o fator risco desaparece permanecendo somente o fator
tempo, assim pode-se expressar os preços através do valor presente padrão,
1
1
t t
f
p x
R
+
=
, onde
Rf
é a taxa livre de risco bruta. O termo
1
Rf
é um fator de
desconto em condição de certeza.
Ativos de risco têm preços inferiores que os ativos equivalentes livres de risco,
portanto são freqüentemente precificados utilizando-se um fator de desconto de
risco ajustado.
Dado um ativo de risco
i
e um fator de desconto ajustado
1
R
,
1
1
( )
t t
i i
i
p E x
R
+
=
Portanto, pode-se incorporar toda a correção de risco através de um simples fator de
desconto estocástico
1
t
m
+
.
Esse fator também é chamado de taxa marginal de
substituição,
1
t
m
+
é a taxa com a qual o investidor está disposto a substituir o
consumo no instante
1
t
+
pelo consumo no instante
t
. Também é conhecida como
mudança de medida ou densidade do estado-preço.
2.2.5.2 Bandas de Good Deal para preços de ativos em mercado incompleto
Freqüentemente se busca definir o valor de pagamento do fluxo de um ativo de risco
baseado no preço de outro ativo ao invés de explorar por completo os modelos
econômicos. Entretanto, a impossibilidade de se encontrar uma carteira replicante
inviabiliza esse procedimento.
O artigo de Cochrane e Saá-Requejo (2000, p.80) busca encontrar o valor do ativo
estabelecendo, através da imposição de restrições econômicas fracas, bandas que
assumem que o investidor prefere adquirir ativos com high Sharpe ratio (alto SR),
isto é, Good Deal, com oportunidades de arbitragem.
95
Uma questão importante em economia financeira é como definir o valor de um payoff
incerto. Em muitas situações econômicas e financeiras um preço relativo é
apropriado. Nesses casos o único interesse é o valor de um payoff específico,
permitindo então que adotemos o preço de outros ativos sem questionar seus
fundamentos econômicos.
O preço de opções é um caso clássico. Neste queremos saber o valor de uma opção
dado o preço de uma determinada ação. A teoria de Black-Scholes-Merton (1973) é
um grande sucesso nessa abordagem, mesmo que o payoff da opção seja muito
diferente do payoff de uma ação ou bond. Mesmo assim, o modelo mostrou como
negociações dinâmicas contínuas podem completar o mercado. Portanto, o payoff
de opções pode ser replicado perfeitamente em negociações contínuas de ações e
bonds. Devido a essa característica, o método relativo é utilizado em muitas
aplicações econômicas e financeiras, como em valor de opções reais em
investimentos irreversíveis.
A teoria de apreçamento de arbitragem de Ross (1976) tenta determinar a taxa de
retorno esperada de uma carteira “fator”, sem assumir preferências. Mesmo a teoria
do Capital Asset Pricing Model (CAPM) é tipicamente aplicada, de certa forma,
desde a determinação de retornos esperados de ativos, carteiras, ou projetos de
investimento, tomando o retorno esperado de mercado. A abordagem relativa é,
apropriadamente, usada para muitas aplicações de teoria de apreçamento de ativos
aplicado a finanças corporativas. Por exemplo, a análise dos retornos de seguros
para determinar o custo de capital de um projeto específico.
Cochrane e Saá-Requejo (2000, p.80), na busca desenvolver técnica que não utilize
o método relativo, para isso desenvolvem as bandas de Good Deal para preços de
ativos em mercado incompleto, usando um pouco de economia, de conceitos de
não-arbitragem e lei de argumento de único preço, como restrição para o leque de
valores de payoff de risco.
96
A idéia inicial foi a de desenvolver um trabalho para período único, na tentativa de
compreender mais sobre o valor do focus payoff,
1
c
t
x
+
, assumindo o valor
t
P
de um
conjunto de basis payoffs ou ativos de hedging
1
t
X
+
.
O fator de desconto ou taxa de crescimento de utilidade marginal
1
t
m
+
gera um valor
de
t
p
de algum payoff
1
t
x
+
por:
( )
p E mx
=
O valor de payoff e o fator de desconto podem ser reais ou nominais. A existência do
fator de desconto ou utilidade marginal é equivalente a lei de único preço em que
duas maneiras de construção do mesmo payoff têm o mesmo valor. Portanto, se o
payoff foco
c
x
pode ser perfeitamente replicado através dos basis payoffs
X
do
ativo, temos informação suficiente para determinar exatamente seu valor. Quando a
replicação não é perfeita, entretanto, a existência de um fator de desconto ou lei de
único preço não diz nada sobre o valor do ativo foco, se fazendo necessária mais
restrição de fator de desconto.
Quanto mais o fator de desconto for restringido, mais se pode aprender sobre o valor
do ativo. O objetivo é que o fator de desconto precifique o conjunto de ativos base,
que não seja negativo, e que imponha um limite superior na volatilidade. Portanto, a
fronteira inferior de good-deal é:
{ }
min ( )
c
m
C E mx
=
Sujeito a:
( )
( ); 0;
f
h
P E mX m m
R
σ
= ≥ ≤
Onde:
C
é a fronteira inferior do good-deal;
m
é o fator de desconto;
c
x
é o payoff foco a ser encontrado, exemplo:
max( , 0)
c
T
x S K= −
para uma opção
de call;
97
P
e
X
são o preço e os payoffs dos ativos base (vetor), exemplo: ações e bonds;
h
é o limite de volatilidade pré-especificada;
Rf
é a taxa de juros livre de risco;
E
e
σ
são média e variância condicionais;
C
corresponde a fronteira superior.
Importante observar que “valor” é interpretado como quanto um determinado
investidor com utilidade marginal crescente estaria disposto a pagar por uma
quantia marginal de payoff.
Portanto as restrições impostas são as seguintes:
•
( )
P E mX
=
, enfatiza a idéia de preço relativo tomada do preço dos ativos
base. Os preços desses ativos são utilizados para se definir o fator de
desconto, e não o contrário.
•
0
m
≥
, é uma restrição clássica e fraca da utilidade marginal.
A inovação de Cochrane & Saá-Requejo está na restrição de volatilidade,
( )
f
h
m
R
σ
≤
; pretendem que seja similar a restrição fraca da utilidade, uma consideração natural
quando a ausência de arbitragem não fornece resposta satisfatória.
Catalão e Yoshino (2006) discutem a questão da restrição da variância para o
desconto estocástico e comentam que desde a identificação do US Equity Premium
Puzzle & Low Interest Rate Puzzle, que consistem no fato de se verificar que o
prêmio de risco das ações norte-americanas era superior ao valor que se esperaria
baseado em teorias do ciclo econômico e do fato de que a taxa de juros livre de
risco desse mercado deveria ser bem menor do que a taxa observada, isso porque
na tentativa de se justificar o US Equity Premium Puzzle, a função de utilidade
adotada foi a CRRA que apontava um coeficiente de aversão ao risco muito alto,
acima do sugerido pelas teorias. Nesse artigo, Catalão e Yoshino, baseados no
m
98
trabalho de Cochrane e Hansen (1992) que mostraram que o fator de desconto
estocástico do payoff da ação deve obedecer a uma condição de variância mínima,
assim, um fator de desconto estocástico
m
é
válido, para um dado valor médio
[
]
E m
, pode-se atribuir um desvio-padrão mínimo de modo a gerar uma fronteira de
variância mínima no espaço
[
]
[
]
,
E m m
σ
, que é a fronteira de Hansen-
Jagannathan para o fator de desconto estocástico.
Gráfico 18 – Fronteiras do preço de opção como função do preço de ação
Fonte: Cochrane & Saá-Requejo (2000, p.84)
2.3 Generalização do índice de Sharpe
Sabemos que o investimento de risco por unidade de tolerância
,1
γ
α
apresenta
pouca variação para
γ
muito grande. Analogamente,
IP
γ
parece atingir um nível de
estabilidade com
γ
→ ∞
.
Denotando o valor do investimento de risco ótimo por unidade de tolerância de risco
local para grandes valores de aversão ao risco base dada por
*
,1
α
+∞
, temos que:
99
* *
,1 ,1
lim
γ
γ
α α
+∞
→+∞
=
Esse limite existe e é finito na ausência de arbitragem, e é obtido da maximização da
utilidade exponencial negativa com o coeficiente de aversão ao risco absoluto
unitário (Cerny 2004, p.80).
*
,1
arg min
X
E e
α
α
α
−
+∞
=
Denotando
IP
∞
como,
lim
IP IP
γ
γ
∞
→+∞
=
então
*
,1
ln
X
IP E e
α
+∞
−
∞
= −
.
Portanto a carteira ótima de um investidor com utilidade exponencial negativa e
aversão ao risco absoluto
a
é idêntica a carteira de um investidor com utilidade
HARA e
γ
→ ∞
.
Sabemos que o investimento ótimo para um indivíduo com utilidade quadrática
normalizada é
( ) ( )
2
min min 1u E X
α α
α α
= −
. O
MRP
pode ser estendido para a
família de funções de utilidade HARA,
( )
2
2
1
1 1MPR IP
−
−
+ = −
para diferentes valores de
γ
.
Em seu artigo, Cerny (2004, p.3) enfatiza o fato de o índice de Sharpe não ser uma
boa medida de prêmio por risco devido a sua relação com a utilidade quadrática que
pune riquezas superiores ao ponto bliss. Por esse motivo, para se obter fronteiras de
preços significativas baseadas no SR se faz necessário corrigir essa anomalia. Essa
correção é feita com o uso da utilidade quadrática truncada, o que nos leva ao SRA
(Arbitrage-Adjusted Sharpe Ratio). Cerny afirma que o conjunto de good-deals de
Cochrane & Saá-Requejo é simplesmente o conjunto de excesso de retorno com
alto SRA.
Cerny ainda questiona a possibilidade da utilização de outra função de utilidade, e
para isso se faz necessário determinar o correspondente índice de Sharpe
100
generalizado (GSR) e calcular a restrição do fator de desconto estocástico
correspondente ao GSR. Baseado em Cochrane & Saá-Requejo, Cerny adota como
precificação de equilíbrio a condição:
(
)
2
A
Var m h
≤
Onde
m
é o desconto estocástico e
A
h
a fronteira superior de
A
SR
.
Como restrições para o fator de desconto estocástico de diferentes utilidades, Cerny
(2004, p.4) apresenta:
•
Utilidade quadrática truncada:
2 2 2
1 ( ) 1
A A
h base E m h
+ ≤ ≤ +
•
Utilidade exponencial negativa (CARA):
[ ]
2 2
1 1
( ) ln
2 2
E E
h base E m m h
≤ ≤
•
Utilidade CRRA
0 1
γ
< ≠
, e utilidade truncada CRRA
0
γ
<
:
( ) ( )
2 2
1
1 1
1
2 2
2 2
1 ( ) 1h base E m h
γ γ
γ
γ γ
γ γ
− −
−
+ ≤ ≤ +
•
Utilidade logarítmica
1
γ
=
:
(
)
[
]
(
)
2 2
1 1
ln 1 ( ) 2 ln 1
h base E m h
+ ≤ − ≤ +
onde
0
m
>
é a mudança de medida,
A
h
é o índice de Sharpe ajustado para
arbitragem,
E
h
e
h
γ
são os GSRs gerados para utilidades CARA e CRRA
respectivamente. O atributo “base” se refere ao ativo base, isto é, sem ativo foco.
Cerny (2004, p.5) deriva as expressões que permitem calcular o GSR para um vetor
arbitrário de excesso de retorno
X
. Para a família CRRA temos:
( ) ( )
(
)
2
1
1
2
max 1 1
h X E X
γ
γ
γ
γ
λ
λ
−
−
= + −
para
0 1
γ
< <
,
( ) ( )
(
)
2
1
1
2
min 1 1
h X E X
γ
γ
γ
γ
λ
λ
−
−
= + −
para
1
γ
>
,
( ) ( )
(
)
2
1
1
2
min max 1 ,0 1
h X E X
γ
γ
γ
γ
λ
λ
−
−
= + −
para
0
γ
<
,
101
( )
( )
2 max ln 1
2
1
E X
h X e
λ
λ
γ
+
= −
para
1
γ
=
.
Para se chegar a SRA basta calcular
1
h
−
em
( ) ( )
(
)
2
1
1
2
min max 1 , 0 1
h X E X
γ
γ
γ
γ
λ
λ
−
−
= + −
e para se obter o índice de Sharpe padrão (MPR) basta remover a maximização, isto
é, fazer
( ) ( )
(
)
1
1
2
min 1 1
h X E X
γ
γ
λ
λ
−
−
= + −
.
Através da equação 11 da página 53, resultado do desenvolvimento do investimento
ótimo para a função de utilidade HARA, Cerny (2004, p. 82) define os mesmos
índices anteriores chamando-os de
IP
γ
:
( )
(
)
1
1
1
min 1 1
IP E X
γ
γ
γ
α
γ α
−
−
= + −
para
1
γ
>
,
( )
(
)
1
1
1
max 1 1
IP E X
γ
γ
γ
α
γ α
−
−
= + −
para
0 1
γ
< <
,
( )
(
)
1
exp max ln 1IP E X
γ
γ
α
α
−
= +
para
1
γ
=
,
( )
(
)
1
1
1
min 1 1
IP E X
γ
γ
γ
α
γ α
−
−
= + −
para
0
γ
<
,
( )
(
)
1
1
1
min max 1 , 0 1
A
IP E X
γ
γ
γ
α
γ α
−
−
= + −
para
0
γ
<
.
De onde percebemos que
( )
h X
γ
é equivalente a
IP
γ
. Portanto, utilizando métodos
diferentes, otimização do IP para a família HARA e restrição de volatilidade para o
fator de desconto estocástico e família CRRA, Cerny chega aos mesmos resultados
de otimização dos índices.
102
3 METODOLOGIA
3.1 Método de Pesquisa
A pesquisa adota inicialmente uma revisão teórica dos índices de Sharpe e suas
variantes, do GSR e do potencial de investimento, avaliando-os com relação ao
horizonte de investimento. Fundamentado na revisão teórica, aplicamos os índices
GSR
e
c
SR
às séries de excesso de log-retorno de ativos de risco ações Americanas
e Brasileiras e índices para o período de Janeiro de 2000 a Março de 2008. Essas
séries foram obtidas de preços mensais ajustados obtidos através da ferramenta
Economática. Foram adotadas como taxa livre de risco do mercado Brasileiro a taxa
DI e para o mercado Americano o T-bill . O
GSR
foi calculado para diferentes
funções de utilidade.
Através dos índices calculados foram feitas as ordenações decrescentes dos ativos
e a avaliação das correlações de Spearman entre o
c
SR
e
os diferentes
GSR
s
buscando confrontar a teoria apresentada com o comportamento prático dos índices.
Complementando essa análise foram comparadas as correlações entre os índices e
o grau de normalidade das séries de excesso de log-retorno obtido através do teste
de Kolmogorov-Smirnov.
3.2 Qualidade dos Dados
Para a avaliação dos índices de desempenho, alguns cuidados foram tomados com
relação à escolha das séries históricas dos retornos. Ativos como ações podem ser
considerados como ativos de risco não administrados, no entanto, fundos de
investimentos possuem administração profissional que tem como objetivo vencer o
benchmark. Como sabemos os fundos podem ser administrados de maneira ativa ou
passiva, na ativa a composição do fundo é trocada sempre que o administrador
103
considerar necessário, mas mesmo no passivo, embora o tipo de ativo que compõe
o fundo não seja substituído, existe a possibilidade de alteração em suas
participações na carteira, alterando de alguma forma a composição final. Devido a
essa característica, escolheu-se tratar dados de ativos de risco como ações e
índices por apresentarem um cenário de condições mais estáveis.
Outro cuidado tomado foi a de se utilizar séries de ciclos mensais por possibilitar a
suposição de que essas séries apresentam condição de independência. Com isso
pretendeu-se ter séries desmemoriadas.
Os índices
( )
c
SR T
e GSR foram calculados computacionalmente para o logaritmo
dos preços. Para o GSR os coeficientes de aversão ao risco adotados foram
1,1, 2,5
γ
= −
e
15
cobrindo, portanto as utilidades quadrática ajustada, logarítmica e
exponencial.
Utilizamos durante o trabalho os seguintes softwares: Office 2007, EndNote 9,
Matlab 7.0.1, Mathematica 5.2, MathType 5 e 6, Eviews 5.0 e SPSS 13.0.
104
4 DISCUSSÃO
4.1 Hipóteses
Devido ao fato de o índice de Sharpe apresentar uma grande aproximação à função
de utilidade quadrática e de essa função apresentar comportamento contraditório
quando a riqueza supera o valor de utilidade máxima penalizando riquezas
elevadas, o SR pode não permitir que o investidor otimize seu investimento, fato
esse mostrado através do SRA que melhora os resultados truncando a função de
utilidade quadrática em seu valor máximo. O GSR, por incorporar outras funções de
utilidade, possibilita uma melhor avaliação do desempenho do ativo de risco
permitindo a utilização de todo o potencial do investimento e conseqüentemente é
capaz de otimizar a riqueza do investidor. A hipótese testada é a de que o GSR
quando associado à utilidade quadrática apresenta comportamento muito próximo
ao
c
SR
, o que corrobora a premissa de que o SR tem fortes ligações com essa
utilidade, já o GSR com utilidade logarítmica tem pouca correlação com o
c
SR
, o que
faz desse índice uma boa medida de desempenho de ativos de risco, pois corrige as
distorções apresentadas pelo
c
SR
.
4.2 Interpretação dos Índices
O índice de Sharpe padrão é um índice que relaciona o prêmio pelo risco de um
ativo. Para Cerny esse índice mede o “preço de mercado do risco (market price of
risk – MPR)”. O índice de Sharpe apresenta os problemas inerentes à função de
utilidade quadrática, entre eles características de decisor conhecido como “bomba
de dinheiro (pump Money)”, que tem comportamento de mercado não racional, isto
é, o indivíduo com essa utilidade adquire ativo por um valor maior do que o valor que
adota para a venda desse mesmo ativo. Outro problema é o fato de a função
apresentar um ponto de máximo, ou seja, a partir de uma riqueza que corresponda
105
ao ponto de máximo da utilidade, ela passa a ser decrescente implicando em afirmar
que uma riqueza maior traz ao indivíduo menor satisfação, o que é contraditório com
as premissas da teoria da utilidade. Em ambiente retrospectivo, essa característica
traz limitação ao índice na classificação de ativos de risco com assimetria positiva.
Uma forma de amenizar a distorção gerada pela utilidade quadrática é truncar a
função em seu ponto de máximo. O desenvolvimento desse método é apresentado
por Cerny recebendo o nome de índice de Sharpe ajustado (SRA), que na prática
significa identificar qual é a riqueza que corresponde ao máximo da utilidade e tratar
o excedente da riqueza com o mesmo nível de utilidade máxima encontrada. O SRA
restringe os efeitos negativos da utilidade quadrática reduzindo o problema de
avaliação de séries de ativos com forte assimetria positiva.
Quanto a aspectos temporais, os índices foram analisados sob dois aspectos
diferentes, comportamento retrospectivo através de séries realizadas, e o
comportamento prospectivo, através de séries a ocorrer.
O índice de Sharpe prospectivo foi estudado para a condição da série de retornos do
ativo de risco obedecendo a um MBG do preço e do logaritmo do preço. Para o
processo estocástico do preço, definiu-se o
( )
d
SR T
, índice de Sharpe de
composição discreta, que é calculado através de
d
T
X
que é a variável de estado para
composição discreta definida como taxa de retorno composta discretamente
0 0
d
T T
T
P B
X
P B
≡ −
. O
( )
d
SR T
apresentou comportamento financeiramente incoerente
uma vez que apresenta grande sensibilidade ao log-retorno para pequenos
horizontes de investimento, atribuindo a esse parâmetro elevado peso no
componente de risco do índice, mas a partir de um horizonte relativamente curto, em
nossa simulação um pouco maior que seis anos, o índice inverte sua posição com
relação às incertezas inerentes a um elevado horizonte de investimento, indicando
um baixo valor para o prêmio pelo risco.
Já quando adotamos o logaritmo do preço para o processo estocástico,
encontramos outra derivação do índice de Sharpe denominado
( )
c
SR T
, índice de
106
Sharpe uniperiódico de composição contínua, definido através da variável de estado
para composição contínua
c
T
X
, definida como taxa de retorno composta
continuamente
0 0
ln ln
c
T T
T
P B
X
P B
≡ −
. Essa variante do índice de Sharpe se comporta
de forma financeiramente coerente, isto é, o índice que indica o prêmio pelo risco
cresce para horizontes de investimento maiores indicando que a incerteza futura
está incorporada no prêmio.
Pensando em termos de investimento chegamos à afirmação feita por Cerny (2004,
p.80) de que um investidor HARA com
1
γ
=
, utilidade logarítmica, é muito mais
agressivo que investidores com
1
γ
>
, utilidade exponencial, quando os retornos são
fortemente assimétricos para valores altos. A grande mudança na decisão da
carteira ocorre em torno de
1
γ
=
, enquanto para
15
γ
>
todas as decisões de
carteiras são virtualmente idênticas. A análise de sensibilidade mostrou a pouca
influência sobre o indicador da variação dos coeficientes de aversão ao risco das
utilidades exponenciais. A capacidade do índice GSR de responder a assimetria
positiva dos retornos é um grande diferencial com relação ao SR padrão que é
incapaz de assimilar tal informação.
Em termo retrospectivo, como mostrado na fundamentação teórica, o índice
potencial de investimento apresenta uma indicação de valor da riqueza do indivíduo
a ser investida em determinado ativo de risco maior do que o SR, sugerindo a
possibilidade de que o índice possa explorar melhor o potencial do investimento, o
que não ocorre com o SR devido à utilidade quadrática, subestimando o mesmo
investimento.
Nas tabelas 6 e 7 foram resumidos os resultados obtidos das análises qualitativas e
quantitativas, respectivamente, dos índices em âmbito prospectivo.
Os parâmetros utilizados foram:
•
2
2
σ
ν µ
= −
o log-retorno,
•
f
r
taxa livre de risco composta continuamente,
107
•
α
é dado pela relação
2
2
f
r
σ
ν
+ −
,
•
β
é dado pela relação
2
1
T
e
σ
−
, e
•
MRP
é calculado como
f
r
µ
σ
−
.
Tabela 6 – Análise qualitativa dos índices
( )
d
SR T
e
( )
c
SR T
índice
Análise
qualitativa
Restrição Comentários
( )
d
SR T
( )
0
d
SR T
ν
∂
>
∂
sem restrição
( )
d
SR T
cresce
com o aumento
de log-retorno.
( )
0
d
SR T
σ
∂
<
∂
2
exp( ) exp( ) 2
T T
σ α
− + >
( )
d
SR T
decresce com o
aumento de
volatilidade.
( )
0
d
SR T
T
>
∂
(
)
(
)
(
)
2 2 2 3 2
2 exp ( 1) exp (2 )
T T T T
α σ σ ασ α σ
+ > − + −
( )
d
SR T
cresce
para
*
T T
<
, e
diminui para
*
T T
>
.
( )
c
SR T
( )
0
c
SR T
ν
∂
>
∂
sem restrição
( )
c
SR T
cresce
com o aumento
de log-retorno.
( )
0
c
SR T
σ
∂
<
∂
f
r
ν
>
( )
c
SR T
decresce com o
aumento de
volatilidade dada
a restrição.
( )
0
c
SR T
T
>
∂
f
r
ν
>
( )
c
SR T
cresce
com o aumento
de
T
dada a
restrição.
Fonte: Elaborado pelo autor
108
Tabela 7 – Análise quantitativa dos índices
( )
d
SR T
e
( )
c
SR T
Eta Comentários
( )
1
d
T
T
SR T
e
α
ν
ν
η
=
−
1
Elasticidade
<
. Índice muito
sensível as variações de pequenos
log-retornos com redução da
sensibilidade para valores maiores
de log-retorno.
(
)
( )
2
2
2
1 2
( )
1
T
T
d
T
e e
T
SR T
e
α σ
σ
α
σ
σ
η
β
+
− +
=
− +
1
Elasticidade
>
. Índice pouco
sensível a variação de volatilidade
para horizontes pequenos.
Sensibilidade aumenta para
horizonte maior.
( ) ( )
( )
2
2 2
3
2
2
2
( )
2 1
f f
f
f
T
r T r T
r T
d
r T
T
T
e e e e
SR T
e e
σ
ν
σ σ
α
ν σ α
η
β
+
+ +
+ + −
=
+
Índice muito sensível ao horizonte
de investimento para
*
T T
<
. Para
*
T T
>
índice pouco sensível ao
horizonte.
2
2
( )
2
c
SR T
ν
ν
η
α σ
=
−
Descontinuidade para excesso de
retorno nulo. Para excesso positivo,
índice inicia com grande
sensibilidade a variação do log-
retorno reduzindo sua sensibilidade
para log-retornos maiores.
1
( )
2
c
T
SR T
η
=
Rígida. Sensibilidade do índice a
variação de
T
. Variação unitária de
T
impõe o dobro da variação no
índice.
( ) 1
c
SR T
σ
η
= −
Elasticidade unitária negativa.
Variação proporcional da
volatilidade gera a mesma variação
proporcional negativa no índice. .
Fonte: Elaborado pelo autor
O índice de Sharpe generalizado (GSR) retrospectivo surge do trabalho de
Cochrane e Saá-Requejo (2000) que através da medida de prêmio pelo risco de um
investimento, SR, estabelecem as fronteiras de no good deal para mercados
109
incompletos. Como mencionamos anteriormente, o
c
SR
, por se basear somente na
média e desvio-padrão, é incapaz de prover uma classificação satisfatória de ativos
de risco com distribuição não normal. Em seu trabalho, Hodges (1998) desenvolve o
GSR prospectivo para uma função de utilidade exponencial negativa e com a
premissa de que os retornos obedecem um MBG, no entanto esse desenvolvimento
também apresenta limitações para outras utilidades e para retornos com distribuição
diferente da distribuição normal. Cochrane, influenciado pelos trabalhos de Hansen e
Jagannathan (1990), apresenta derivação da fronteira de variância mínima para o
fator de desconto estocástico na tentativa de explicar questões de US Equity
Premium Puzzle & Low Interest Rate Puzzle. A partir dessa restrição, Cerny
desenvolve os índices GSR para diferentes funções de utilidade, mas agora no
âmbito retrospectivo e para mercado completo.
Iniciamos, portanto a comparação dos índices
IP
e GSR retrospectivos, pois
possibilitam a comparação em mesma condição de mercado adotando as mesmas
funções de utilidade, o que garantiria consistência nos resultados. Entretanto, para a
família HARA, os índices são semelhantes, portanto temos um único índice de
desempenho de ativos de risco. Sendo assim, testamos o GSR da família HARA
para diferentes coeficientes de aversão ao risco e comparamos com o
c
SR
avaliando
as correlações entre eles.
Usamos para a comparação desses índices, séries dos seguintes ativos de risco:
ações e índices. Utilizamos séries mensais de log-retorno, uma vez que queríamos
garantir NID, e adotamos o período de janeiro de 2000 a março de 2008. Esse
período foi escolhido para que tivéssemos um bom número de elementos,
garantindo consistência nos resultados, e também devido ao fato de ser um período
de razoável estabilidade econômica brasileira e mundial, o que nos permite inferir a
condição ceteris paribus para fatores macroeconômicos. Outros cuidados foram
tomados como adotar valores ajustados do preço das ações.
As análises a seguir adotaram o mesmo horizonte de investimento com o valor de
1
T
=
. Os índices de desempenho de ativos de risco
GSR
e
c
SR
foram testados
para ações e índices.
110
Os resultados apresentados na tabela abaixo correspondem ao cálculo dos índices
para diferentes coeficientes de aversão ao risco de ações americanas negociadas
na NYSE e NASDAQ.
Tabela 8 – Análise de ações americanas: preço mensal ajustado (jan/2000 – mar/2008)
Fonte: Elaborado pelo autor
c
SR
GSR(-1)
GSR(1)
GSR(2)
GSR(5)
GSR(15)
Ford -0,2431
1,0294
0,3213
0,1914
0,2422
0,2430
Citigroup -0,2319
1,0268
0,2480
0,1874
0,2360
0,2363
GE -0,2168
1,0235
0,2171
0,1755
0,2208
0,2210
DuPont -0,2013
1,0203
0,2056
0,1644
0,2060
0,2058
Dell -0,1756
1,0154
0,3446
0,1410
0,1774
0,1777
Cisco -0,1681
1,0142
0,2531
0,1396
0,1743
0,1739
Msoft -0,1630
1,0133
0,2492
0,1316
0,1652
0,1654
Intel -0,1567
1,0123
0,1833
0,1320
0,1642
0,1637
Merrill -0,1386
1,0097
0,1424
0,1136
0,1418
0,1416
Alcoa -0,1201
1,0073
0,1223
0,0977
0,1221
0,1220
W Mutual -0,1160
1,0068
0,4665
0,0943
0,1180
0,1180
BK America -0,0813
1,0033
0,0828
0,0661
0,0826
0,0825
Boeing -0,0751
1,0028
0,0767
0,0619
0,0771
0,0769
Cape Fear Bank -0,0696
1,0024
0,1366
0,0564
0,0704
0,0704
Cheesecake Factory
-0,0683
1,0024
0,1424
0,0553
0,0691
0,0691
Micro Systems -0,0333
1,0006
0,1013
0,0271
0,0338
0,0338
Apple 0,0263
1,0003
0,4389
0,0209
0,0262
0,0262
Diodes Incorporated 0,0158
1,0001
0,3771
0,0127
0,0159
0,0159
BE Aerospace 0,0052
1,0000
0,1867
0,0041
0,0052
0,0000
111
Ordenando-se os ativos, do maior para o menor, pelos diferentes índices obtivemos
os resultados apresentados na tabela a seguir:
Tabela 9 – Ordenação das ações americanas
c
SR
GSR (-1) GSR (1) GSR (2) GSR (5) e (15)
Apple Ford W Mutual Ford Ford
Diodes Incorporated Citigroup Apple Citigroup Citigroup
BE Aerospace GE Diodes Incorporated GE GE
Micro Systems DuPont Dell DuPont DuPont
Cheesecake Factory
Dell Ford Dell Dell
Cape Fear Bank Cisco Cisco Cisco Cisco
Boeing Msoft Msoft Intel Msoft
BK America Intel Citigroup Msoft Intel
W Mutual Merrill GE Merrill Merrill
Alcoa Alcoa DuPont Alcoa Alcoa
Merrill W Mutual BE Aerospace W Mutual W Mutual
Intel BK America Intel BK America BK America
Msoft Boeing Merrill Boeing Boeing
Cisco Cheesecake Factory
Cheesecake Factory
Cape Fear Bank Cape Fear Bank
Dell Cape Fear Bank Cape Fear Bank Cheesecake Factory
Cheesecake Factory
DuPont Micro Systems Alcoa Micro Systems Micro Systems
GE Apple Micro Systems Apple Apple
Citigroup Diodes Incorporated BK America Diodes Incorporated Diodes Incorporated
Ford BE Aerospace Boeing BE Aerospace BE Aerospace
Fonte: Elaborado pelo autor
112
Os resultados apresentados na tabela abaixo se referem aos cálculos dos índices
para ações negociadas na BOVESPA.
Tabela 10 – Análise de ações brasileiras
Fonte: Elaborado pelo autor
c
SR
GSR(-1)
GSR(1)
GSR(2)
GSR(5)
GSR(15)
VCP PN -0,3581
1,0628
0,3561
0,2889
0,3676
0,3685
Aracruz PNB -0,2885
1,0412
0,2944
0,2372
0,2989
0,2989
Sadia 0,2499
1,0313
0,2643
0,2029
0,2554
0,2555
CSN ON 0,2286
1,0261
0,3778
0,1803
0,2279
0,2285
Vale ON 0,1945
1,0189
0,2121
0,1572
0,1974
0,1975
Vale PNA 0,1804
1,0163
0,1901
0,1472
0,1843
0,1842
Bradesco 0,1595
1,0128
0,4004
0,1463
0,1799
0,1786
Aracruz ON 0,1597
1,0128
0,1835
0,1309
0,1637
0,1636
Itaú S/A 0,1603
1,0130
0,1585
0,1278
0,1607
0,1610
Petrobras ON 0,1562
1,0123
0,1652
0,1275
0,1595
0,1593
Petrobras PN 0,1220
1,0075
0,1407
0,0988
0,1236
0,1236
Gerdau -0,0587
1,0017
0,4744
0,0490
0,0608
0,0606
Vale Rio Doce 0,0423
1,0009
0,3807
0,0333
0,0418
0,0419
113
Ordenando-se as ações pelos diferentes índices obtivemos os seguintes resultado:
Tabela 11 – Ordenação das ações brasileiras
c
SR
Gama (-1) Gama (1) Gama (2) Gama (5) e (15)
Sadia VCP PN Gerdau VCP PN VCP PN
CSN ON Aracruz PNB Bradesco Aracruz PNB Aracruz PNB
Vale ON Sadia Vale Rio Doce Sadia Sadia
Vale PNA CSN ON CSN ON CSN ON CSN ON
Itaú S/A Vale ON VCP PN Vale ON Vale ON
Aracruz ON Vale PNA Aracruz PNB Vale PNA Vale PNA
Bradesco Itaú S/A Sadia Bradesco Bradesco
Petrobras ON Aracruz ON Vale ON Aracruz ON Aracruz ON
Petrobras PN Bradesco Vale PNA Itaú S/A Itaú S/A
Vale Rio Doce Petrobras ON Aracruz ON Petrobras ON Petrobras ON
Gerdau Petrobras PN Petrobras ON Petrobras PN Petrobras PN
Aracruz PNB Gerdau Itaú S/A Gerdau Gerdau
VCP PN Vale Rio Doce Petrobras PN Vale Rio Doce Vale Rio Doce
Fonte: Elaborado pelo autor
Os resultados apresentados na tabela abaixo se referem aos índices.
Tabela 12 – Análise de índices
Fonte: Elaborado pelo autor
c
SR
GSR(-1)
GSR(1)
GSR(2)
GSR(5)
GSR(15)
IBRX-50 -4,5683
1,1400
0,5108
0,7668
1,4667
5,2747
S&P500 -0,3441
1,0581
0,3606
0,2908
0,3668
0,3662
DJI -0,3005
1,0446
0,3111
0,2509
0,3160
0,3157
Nasdaq -0,2353
1,0276
0,2462
0,1969
0,2464
0,2459
NYSE C 0,0697
1,0025
0,0695
0,0558
0,0698
0,0699
Ibovespa 0,0037
1,0000
0,0037
0,0030
0,0037
0,0037
114
Ordenando-os temos:
Tabela 13 – Ordenação dos índices
c
SR
Gama (-1) Gama (1) Gama (2) Gama (5, 15)
NYSE C IBRX-50 IBRX-50 IBRX-50 IBRX-50
Ibovespa S&P500 S&P500 S&P500 S&P500
Nasdaq DJI DJI DJI DJI
DJI Nasdaq Nasdaq Nasdaq Nasdaq
S&P500 NYSE C NYSE C NYSE C NYSE C
IBRX-50 Ibovespa Ibovespa Ibovespa Ibovespa
Fonte: Elaborado pelo autor
Tanto no mercado brasileiro quanto no americano de risco o
c
SR
apresentou valores
negativos, o que levanta a questão da interpretação de um índice que mede o preço
do risco. Quando positivo entendemos que existe um prêmio pelo risco que se corre
em um ativo de risco, no entanto quando negativo o conceito fica confuso, deixa-se
de ter um prêmio pelo risco para uma penalidade pelo risco. Como inicialmente
queríamos entender a correlação do índice GSR com o
c
SR
, tivemos que isolar
somente os resultados positivos. As correlações obtidas foram às seguintes:
Tabela 14 – Correlação entre
GSR
e
c
SR
Fonte: Elaborado pelo autor
Como podemos perceber, o GSR para utilidade quadrática apresentou a maior
correlação com o
c
SR
. As utilidades exponenciais, embora menores, também
apresentaram elevada correlação, e essa correlação cresce com o aumento do
Correlação de
Spearman
GSR(-1)
0,991
GSR(1) 0,643
GSR(2) 0,964
GSR(5) 0,964
GSR(15)
0,964
115
coeficiente de aversão ao risco, já na correlação de Spearman as utilidades
exponenciais não apresentaram variação com a alteração do coeficiente de aversão
ao risco. A utilidade logarítmica, que corresponde ao investidor mais agressivo, o
que aceita maior risco, foi quem apresentou a menor correlação com o
c
SR
.
Com relação às ordenações obtidas, os indivíduos com utilidade exponenciais
apresentaram ordenações semelhantes, com pequenas alterações para coeficientes
de aversão ao risco igual a 2, isso porque indivíduos com esse nível de aversão
corre mais risco que os indivíduos com valores maiores de aversão, aceitando ativos
que os outros rejeitam. Valores maiores de aversão não geraram alteração na
ordenação dos ativos, o que era de se esperar, pois a análise de sensibilidade
mostrou que os coeficientes de aversão ao risco das utilidades exponenciais têm
pouca influência sobre o indicador. Indivíduos com utilidade quadrática apresentam
comportamento muito semelhante aos indivíduos com utilidade exponencial,
apresentando pouca diferença em sua ordenação, já o indivíduo de utilidade
logarítmica apresentou ordenação completamente diferente, o que é de se esperar,
pois como já mencionado, em termos de investimento um investidor HARA com
utilidade logarítmica é muito mais agressivo que investidores utilidade exponencial,
quando os retornos são fortemente assimétricos para valores altos. A ordenação
pelo MPR ficou prejudicada, pois boa parte dos ativos resultou em valores negativos
para esse índice.
Testamos a normalidade da distribuição dos retornos a fim de identificar o
comportamento dos índices para distribuições não normais. Para isso utilizamos o
teste de Kolmogorov-Smirnov para a hipótese de normalidade, e os resultados
obtidos foram os seguintes:
116
Tabela 15 – Resultados do teste de normalidade de Kolmogorov-Smirnov
Fonte: Elaborado pelo autor
Como o p-value de todos os ativos foi superior a 0,05, a hipótese de normalidade
não foi rejeitada para nenhum deles.
As correlações das normalidades das distribuições com os índices foram os
seguinte:
Tabela 16 – Correlações de Spearman entre os p-values do teste Kolmogorov-Smirnov e os
índices de desempenho
c
SR
GSR(-1)
GSR(1) GSR(2) GSR(5) GSR(15)
Correlação
0,025 -0,274 -0,026 -0,271 -0,272 -0,272
Fonte: Elaborado pelo autor
Ações brasileiras
P
-
value
Amostra
Ações americanas
P
-
value
Amostra
VCP PN 0,06 62
Ford 0,05 98
Aracruz PNB 0,06 62
Citigroup 0,08 98
Sadia 0,08 62
GE 0,09 98
CSN ON 0,06 62
DuPont 0,08 98
Vale ON 0,06 62
Dell 0,11 98
Vale PNA 0,06 62
Cisco 0,13 98
Bradesco 0,30 62
Msoft 0,12 98
Aracruz ON 0,07 62
Intel 0,14 98
Itaú S/A 0,08 62
Merrill 0,05 98
Petrobras ON 0,06 62
Alcoa 0,05 98
Petrobras PN 0,06 62
W Mutual 0,16 98
Gerdau 0,17 62
BK America 0,08 98
Vale Rio Doce 0,16 62
Boeing 0,07 98
Cape Fear Bank 0,10 98
Índices
P
-
value
Amostra
Cheesecake Factory
0,10 98
IBRX-50 0,07 98
Micro Systems 0,13 98
S&P500 0,08 98
Apple 0,10 98
DJI 0,06 98
Diodes Incorporated 0,10 98
Nasdaq 0,12 98
BE Aerospace 0,13 98
NYSE C 0,07 98
Ibovespa 0,06 98
117
Os resultados mostram que os índices
c
SR
e GSR(1) são pouco correlacionados
com a normalidade da distribuição dos log-retornos, i.e., são menos sensíveis a
condição de não normalidade da distribuições, já os demais GSRs, referentes as
utilidades quadráticas e exponenciais, apresentaram correlação negativa com o p-
value do teste de normalidade das distribuições, i.e., são sensíveis a não
normalidade das distribuições dos log-retornos mensais.
Esse resultado não é o esperado, pois o GSR(-1) que é equivalente ao
c
SR
, deveria
ter o mesmo comportamento do
c
SR
. No entanto, espera-se que o índice de
desempenho de ativos de risco GSR seja sensível a distribuições de log-retorno
assimétricas, o que poderia explicar o comportamento encontrado em GSR(-1).
118
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
5.1 Sobre os resultados alcançados
O objetivo principal desse trabalho foi analisar o comportamento dos índices de
Sharpe generalizado e do
c
SR
. Essa tarefa foi realizada através de vasta revisão da
literatura e artigos publicados sobre o assunto.
Foi dada especial atenção as análises qualitativas e de sensibilidade desses índices
frente aos diferentes parâmetros dos quais são compostos. Ficou claro o problema
apresentado pelo índice de Sharpe uniperiódico de composição discreta para
diferentes horizontes de investimento.
O índice GSR se mostrou melhor quanto à indicação de potencial do investimento
em mercado incompleto. Por utilizar o EC, incorpora informação de diferentes
funções de utilidade, amenizando o problema gerado pela utilidade quadrática, entre
eles, não apresenta distorção de classificação de ativos de risco com retornos com
assimetria para valores altos.
O GSR foi utilizado como correção do SR para outras funções de utilidade a fim de
podermos comparar, de maneira consistente, os índices estudados.
O trabalho foi complementado pelas simulações dos índices
c
SR
e GSR
retrospectivos para séries dos ativos de risco ações e índices demonstrando que
apresentam alta correlação na leitura das séries de log-retorno desses ativos de
risco. Constatou-se também menor correlação quando se associa ao índices GSR a
utilidade logarítmica.
119
5.2 Limitações e sugestões de pesquisa
No estudo dos índices IP, GSR e
c
SR
ficaram evidenciadas as limitações do
c
SR
,
tanto no âmbito retrospectivo quanto prospectivo. Os estudos no âmbito
retrospectivo levou-nos a unificação dos índices IP e GSR, mostrando que são
índices equivalentes, embora tenham origens diferentes. As simulações desses
índices mostraram obtidos por premissas distintas. As análises estatísticas desses
índices mostraram comportamentos diferentes do GSR em relação aos do
c
SR
,
coerentes com a teoria.
O índice de desempenho de Michael Stutzer baseado na teoria de Large Deviations
pode ser incluído na comparação em estudos futuros.
Estudos mais aprofundados das séries e a adoção de séries de outros ativos e
períodos específicos, visando entender melhor suas distribuições, podem revelar
novas associações e comportamentos desses índices, permitindo a especificação da
utilização adequada de cada um deles.
120
6 REFERÊNCIAS
Bao, Y. and A. Ullah (2006). Moments of the estimated Sharpe ratio when the
observations are not IID. International Review of Economics and Finance (3): 49-56.
Bekman, O. R. and P. L. O. C. Neto (2002). Análise Estatística da Decisão. São
Paulo, Editora Edgard Blücher Ltda.
Broadie, M. and J. B. Detemple (2004). Option Pricing: Valuation Models and
Applications. Management Science 50(9): 1145-1177.
Catalão, A. B. and J. A. Yoshino (2006). Fator de desconto estocástico no mercado
acionário brasileiro. Estudos Econômicos, 36(3).
Cerný, A. (2004). Mathematical Techniques in Finance - Tools for Incomplete
Markets. Princeton, Princeton University Press.
Cerný, A. (2004). Generalised Sharpe Ratios and Assets Pricing in Incomplete
Markets. Tanaka Business School, Imperial College London.
Cerný, A. and S. D. Hodges (2000). The Theory of Good-Deal Pricing in Financial
Markets. 1
st
World Congress of Bachelier Finance Society.
Cochrane, J. H. and J. Saá-Requejo (2000). "Beyond Arbitrage: Good-Deal Asset
Price Bounds in Incomplete Markets." The Journal of Political Economy , Vol.
108(No.1): pp. 79-119.
Dias, P. (2007). Quer ser rico como ele? Revista Exame: 138-139.
Dowd, K. (1999). AValue at Risk Approach to Risk-Return Analysis. Journal of
Portfolio Management , 25(4): 60-7.
Edwin J. Elton and M. J.Gruber (1981). Modern Portfolio Theory and Investment
Analysis, John Wiley & Sons, Inc.
121
Friedman, M. and L. J. Savage (1952). The Expected - Utility Hypothesis and the
Measurability of Utility. The Journal of Political Economy, 60( 6): 463-474.
Goetzmann, W., J. Ingersoll, et al. (2000). Sharpening Sharpe Ratios. Artigo em
preparação.
Gollier, C. (1999). The Economics of Risk and Time, University of Toulouse.
Grinold, R. C. (1999). Mean-Variance and Scenario-Based Approaches to Portfolio
Selection. Journal of Portfolio Management 25(2): 10.
Hansen, L. P. and R. Jagannathan (1990). Implications of Security Market Data for
Models of Dynamic Economies. National Bureau of Economic Research(N
o
89).
Height, G. T. and S. O. Morrel (1997). The analysis of portfolio management
performance, MacGraw - Hill.
Hodges, S. D. (1998). A Generalization of the Sharpe Ratio and its Applications to
Valuation Bounds and Risk Measures, FORC, University of Warwick: 18.
Hull, J., P. G. Moore, et al. (1973). Utility and its Measurement. Journal of the Royal
Statistical Society 136(2): 226-247.
Jobson, J. D. and B. M. Korkie (1981). Performance Hypothesis Testing with the
Sharpe and Treynor Measures. The Journal of Finance 36(4): 889-908.
Jonathan E. Ingersoll, J. (1987). Theory of financial decision Making, Rowman &
Littlefield Publishers, Inc.
Klebaner, F. C. (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. London,
Imperial College Press.
122
Knight, J. and S. Satchell (2002). Performance Measurement in Finance, Butterworth
- Heinemann Finance.
Knight, J. and S. Satchell (2005). A Re-Examination of Sharpe's Ratio for Log-
Normal Prices. Applied Mathematical Finance 12(1): 87-100.
Lin, M.-C. and P.-H. Chou (2003). The Pitfall of Using Sharpe Ratio. Finance
Letters(1): 84-89.
Lo, A. W. (2002). The statistics of Sharpe ratios. Financial Analysts Journal 58(4): 36.
Luenberger, D. G. (1998). Investment Science. New York, Oxford University Press,
Inc.
Machina, M. J. (1982). Expected Utility Analisys without the Independence Axiom.
Econometrica Vol. 50(No. 2): 277-324.
Merton, R. C. (1990). Continuous - Time finance, Blackwell Publishing.
Mikosch, T. (1998). Elementary Stochastic Calculus with Finance in View, World
Scientific.
Miller, R. E. and A. K. Gehr (1978). Sample Size Bias and Sharpe's Performance
Measure: A Note. The Journal of Financial and Quantitative Analysis 13(5): 943-946.
Oda, A. L. (2006). Desempenho de Fundos de Ações. São Paulo, Saint Paul Editora
Ltda.
Pestana, D. D. and S. F. Velosa (2006). Introdução à Probabilidade e à Estatística,
Fundação Calouste Gulbenkian.
Securato, J. R. (2007). Decisões Financeiras em Condições de Risco. São Paulo,
Saint Paul Editora Ltda.
123
Sharpe, W. F., G. J. Alexander, et al. (1999). Investments. New Jersey, Prentice Hall,
Inc.
Siqueira, J. O. (1999). Determinação Entrópica do Preço Racional da Opção
Européia Simples Ordinária sobre Ação e Bond: uma Aplicação da Teoria da
Informação em Finanças em Condição de Incerteza. Tese de doutorado, PPGA-
FEA. São Paulo, Universidade de São Paulo.
Wilmott, P. (2003). Paul Wilmott on Quantitative finance, John Wiley & Sons, Ltd.
124
7 APÊNDICE
7.1 Apêndice I – Apêndice de Provas
7.1.1 Prova 4 – Investimento ótimo para utilidade HARA
Definindo
safe
V
como a riqueza livre de risco do final do período,
0safe f
V R V y
≡ +
.
Como vimos, a riqueza terminal do investidor é dada por:
(
)
0 0
ˆ
( ) 1
f
V V R V R y
α α α
= + − +
(
)
0
ˆ
( )
f safe
V V R R V
α α
= − +
Chamando o excedente de retorno de
X
,
ˆ
f
X R R
≡ −
Substituindo
X
na expressão
( )
V
α
teremos,
fazendo
0
safe
V
V
α
α
=
, que pode ser interpretado como a parcela investida no ativo de
risco relativamente à riqueza livre de risco
safe
V
, podemos, através da definição de
chegar a seguinte expressão:
Portanto, a riqueza terminal do investidor pode ser dada por:
Equação 22 – Riqueza terminal do investidor
0
( )
safe
V V X V
α
α
=
+
0
( ) 1
safe
safe
V X
V V
V
α
α
= +
0 0
0safe f
V V
V R V y
α
α
α
= =
+
( ) (1 )
safe
V V X
α
α
=
+
125
como a utilidade HARA é dada por
( )
( )
( )
(
)
1
,
1
V
V V
U V
γ
γ
α
α
γ
−
+
=
−
,
onde
γ
é o índice
de aversão ao risco base, teremos substituindo
(
)
V
α
que:
para calcularmos o coeficiente de aversão ao risco local, definimos
γ
, o coeficiente
de aversão ao risco local relativo, em função de
safe
V
.
1
1
safe
V
V
γ γ
−
≡ +
Fazendo
V
como função de
γ
teremos que:
portanto,
.
assim, calculando a utilidade esperada para a função de utilidade HARA temos que:
1
,
( (1 ))
( ( ))
1
safe
V
V V X
U V
γ
γ
α
α
γ
−
+ +
=
−
1
( )
1
safe safe
V V V X
γ
α
γ
−
+ +
=
−
1
1
( )
1
safe safe
safe safe safe
safe safe safe
V V
V
V V V X
V V V
γ
α
γ
−
= + +
−
1
1
( )
1
safe safe safe
safe
V
V V V X
V
γ
α
γ
−
= + +
−
1
1
[ ( 1 )]
1
safe
safe
V
V X
V
γ
α
γ
−
= + +
−
1
1
( 1 )
1
safe
safe
V
V
X
V
γ
γ
α
γ
−
−
= + +
−
1
safe
V
V
γ
γ
= −
1
1
,
( ( )) ( 1 1 )
1
safe
V
U V X
γ
γ
γ γ
γ
α α
γ γ
−
−
= − + +
−
1
1
,
( ( )) ( )
1
safe
V
U V X
γ
γ
γ γ
γ
α α
γ γ
−
−
= +
−
126
onde se percebe que para determinar
α
, segundo o critério de otimização de
utilidade esperada, depende-se dos valores tanto da aversão ao risco local quanto
da aversão ao risco base. Como a fração
1
1
safe
V
γ
γ
−
−
não é uma variável aleatória, ela
pode ser retirada de dentro do operador esperança,
isolando o fator
1
γ
da utilidade esperada, temos:
para
1
γ
=
teremos
, ,1
γ γ γ
γα α
=
onde
,1
γ
α
pode ser interpretado como a escolha de
portfólio de risco por unidade de tolerância de risco local. Também temos que
,1 ,
γ γ γ
α γα
=
onde
,
γ γ
α
é o portfólio escolhido para o investidor CRRA com aversão
relativa ao risco base
γ
.
↵
1
1
, , ,
( ( )) ( )
1
safe
V
E U V E X
γ
γ
γ γ γ γ γ γ
γ
α α
γ γ
−
−
= +
−
1
1
, , ,
( ( )) ( )
1
safe
V
E U V E X
γ
γ
γ γ γ γ γ γ
γ
α α
γ γ
−
−
= +
−
1
1
, , ,
1
( ( )) ( )
1
safe
V
E U V E X
γ
γ
γ γ γ γ γ γ
γ
α γ γα
γ
−
−
= +
−
127
7.2 Apêndice II - Rotina de cálculo da distribuição empírica
Elaborado pelo Autor
% Rotina de cálculo de frequência relativa
% Vetor de retornos r
ret=xlsread('Teste.xls','a3:a100');
% Quantidade de retornos do vetor r
N = length(ret);
% Largura, largura (bin) h
%h = 0.05;
% Menor retorno a, maior retorno b
a = min(ret);
b = max(ret);
% Valores inteiros mais próximos M
% Quantidade de classes
%M = floor((b-a)/h)+1;
%M = floor(log2(N))+1;
%h = (b-a)/M;
M = floor((b-a)/0.05)+1;
h = 0.05;
% Vetor coluna de zeros
v = zeros(M,1);
for t = 1:1:N
if(ret(t) == b)
v(M) = v(M) + 1;
else
aux = (floor((ret(t)-a)/h))+1; % acumulado
v(aux) = v(aux) + 1;
end
end
XDistr = (v/sum(v))'; % vetor de probabilidade
%construçao do XDistr
for t = 1:1:N
if (ret(t) == b)
XDistr1(t)=XDistr(M);
else
aux = (floor((ret(t)-a)/h))+1; % acumulado
XDistr1(t)=XDistr(aux);
end
end
%f;
hist(ret);
128
7.3 Apêndice III – Rotina de Cálculo dos GSRs e
c
SR
Elaborado pelo Autor
%Programa principal
%Simulação dos GSR(S)
%Utilidades da família CRRA
%********%
% Início %
%********%
%SR para gama=1
function crra
% Entrada de dados: Séries
% Precos=xlsread('Ativos.xls',1);
% ret=xlsread('Dados.xls',1);
% rrf=xlsread('Dados.xls',2);
% x=ret-rf;
X=xlsread('teste.xls','AI3:AN64');
F=xlsread('Freqrel.xls','A1:A62');
% F = XDistr;
% X = [a:h:b];
minlambda=-10;
maxlambda=10;
for ii = 1 : 6
% Funcao1:GSR para 0<gama<1
gama=0.5;
% funcao1=@(lambda)(-(mean((1+lambda.*X(:,ii)).^(1-gama))));
funcao1=@(lambda)(-(F'*((1+lambda.*X(:,ii)).^(1-gama))));
max21=fminbnd(funcao1,minlambda,maxlambda);
L21=max21
gsr21=(((mean((1+max21.*X(:,ii)).^(1-gama)))^(2*gama/(1-gama)))-1)^0.5
% Funcao2:GSR para gama>1, utilidade exponencial
gama=5;
funcao2=@(lambda)(F'*((1+lambda.*X(:,ii)).^(1-gama)));
min22=fminbnd(funcao2,minlambda,maxlambda);
L22=min22
gsr22=(((mean((1+min22.*X(:,ii)).^(1-gama)))^(2*gama/(1-gama)))-1)^0.5
% Funcao2a:GSR para gama>1, utilidade exponencial
gama=2;
funcao2a=@(lambda)(F'*((1+lambda.*X(:,ii)).^(1-gama)));
min22a=fminbnd(funcao2a,minlambda,maxlambda);
L22a=min22a
gsr22a=(((mean((1+min22.*X(:,ii)).^(1-gama)))^(2*gama/(1-gama)))-1)^0.5
% Funcao2b:GSR para gama>1, utilidade exponencial
gama=15;
funcao2b=@(lambda)(F'*((1+lambda.*X(:,ii)).^(1-gama)));
min22b=fminbnd(funcao2b,minlambda,maxlambda);
L22b=min22b
gsr22b=(((mean((1+min22b.*X(:,ii)).^(1-gama)))^(2*gama/(1-gama)))-)^0.5
% Funcao3:GSR para gama<0, utilidade quadrática (gama=-1)
gama=-1;
funcao3=@(lambda)(F'*(max((1+lambda.*X(:,ii)).^(1-gama),0)));
129
min23=fminbnd(funcao3,minlambda,maxlambda);
L23=min23
gsr23=((mean(max((1+min23.*X(:,ii)).^(1-gama),0)))^(2*gama/(1-
gama)))^0.5
% Funcao4:GSR para gama=1, utilidade logarítmica
gama=1;
funcao4=@(lambda)(-(F'*(log(1+lambda.*X(:,ii)))));
max24=fminbnd(funcao4,minlambda,maxlambda);
L24=max24
gsr24=(exp(2*mean(log(1+max24.*X(:,ii))))-1)^0.5
% Função5:Índice de Sharpe definido como X/Vol.
sr=(mean(X(:,ii))/std(X(:,ii)))
% Vetor de resultados
% LR = vetor de resultados de L (lambdas)
LR21(ii)=L21;
LR22(ii)=L22;
LR22a(ii)=L22a;
LR22b(ii)=L22b;
LR23(ii)=L23;
LR24(ii)=L24;
% GSRR = vetor de resultados de GSR
GSRR21(ii)=gsr21;
GSRR22(ii)=gsr22;
GSRR22a(ii)=gsr22a;
GSRR22b(ii)=gsr22b;
GSRR23(ii)=gsr23;
GSRR24(ii)=gsr24;
% SRR = vetor de resultados de SR
SRR(ii)=sr
end
disp('
___________________________________________________________________________
___________________________________________ ');
for ii = 1 : 6
disp(' Gama 0.5 -1 1
2 5 15 ');
disp(' ');
disp(sprintf(' Lambda %6.4f %6.4f %6.4f
%6.4f %6.4f
%6.4f',LR21(ii),LR23(ii),LR24(ii),LR22a(ii),LR22(ii),LR22b(ii)'));
disp(' ');
disp(sprintf(' GSR %6.4f %6.4f %6.4f
%6.4f %6.4f
%6.4f',GSRR21(ii),GSRR23(ii),GSRR24(ii),GSRR22a(ii),GSRR22(ii),GSRR22b(ii)'
));
disp(' ');
disp(sprintf(' SR %6.4f' ,SRR(ii)'));
130
disp('
___________________________________________________________________________
____________________________________________ ');
disp(' ');
disp(' ');
end
end
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
