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Programa de P´os Gradua¸c˜ao em Modelagem Computacional
An´alise de sensibilidade topol´ogica em modelos
constitutivos multi-escalas
Por
Sebasti´an Miguel Giusti
PETR
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OPOLIS, RJ - BRASIL
ABRIL DE 2009
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AN
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ALISE DE SENSIBILIDADE TOPOL
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OGICA EM MODELOS
CONSTITUTIVOS MULTI-ESCALAS
Sebasti´an Miguel Giusti
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAC¸
˜
AO DE FORMAC¸
˜
AO
DE RECURSOS HUMANOS DO LABORAT
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ORIO NACIONAL DE COMPUTAC¸
˜
AO
CIENT
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IFICA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESS
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ARIOS PARA OBTENC¸
˜
AO
DO GRAU DE DOUTOR EM MODELAGEM COMPUTACIONAL.
DOUTOR EM CI
ˆ
ENCIAS
Aprovado por:
Prof. Antonio Andr´e Novotny, DSc. (PRESIDENTE)
Eduardo Alberto de Souza Neto, PhD.
Jan Sokolowski, PhD.
Eduardo Alberto Fancello, DSc.
Gustavo Alberto Perla Menzala, PhD.
Abimael Fernando Dourado Loula, DSc.
PETR
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OPOLIS, RJ - BRASIL
ABRIL DE 2009
GIUSTI, SEBASTI
´
AN MIGUEL
G538a An´alise de sensibilidade topol´ogica em modelos constitutivos multi-escalas /
Sebasti´an Miguel Giusti. Petrop´olis, RJ. : Laborat´orio Nacional de Computa¸c˜ao
Cient´ıfica, 2009.
xxiii, 176 p. : il.; 29 cm
Orientadore(s): Antonio Andr´e Novotny e Eduardo Alberto de Souza Neto
Tese (D.Sc.) – Laborat´orio Nacional de Computa¸c˜ao Cient´ıfica, 2009.
1. Equa¸c˜oes diferenciais parciais. 2. Derivada topol´ogica. 3. Modelagem
Multi-escala. I. Antonio Andr´e Novotny II. Eduardo Alberto de Souza Neto III.
MCT/LNCC IV. T´ıtulo
CDD – 515.353
“I have no special talents. I am only
passionately curious”
Albert Einstein (1879-1955)
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vi
Para Ale
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Pref´acio
Este trabalho de doutorado resume as minhas atividades de pesquisa dos quatro
anos de participa¸c˜ao no programa de p´os-gradua¸c˜ao do Laborat´orio Nacional de Com-
puta¸c˜ao Cient´ıfica do Minist´erio da Ciˆencia e Tecnologia da Rep´ublica Federativa do
Brasil. A miss˜ao principal do curso de p´os-gradua¸c˜ao ´e aperfei¸coar profissionais na ´area da
modelagem computacional, sendo a forma¸c˜ao multidisciplinar fornecida pela institui¸c˜ao a
caracter´ıstica principal do mencionado programa. Participar deste curso n˜ao foi uma tarefa
f´acil, mais ainda para uma pessoa com forma¸c˜ao em engenharia civil n˜ao muito habituada
com o rigor matem´atico necess´ario para encarar um tema t˜ao desafiador como o proposto.
Quanto a minhas pesquisas, sempre tive um grande interesse nas ciˆencias mecˆanicas o que
´e refletido a longo de todo o presente estudo. Este trabalho ´e o resultado de um esfor¸co
pessoal muito grande e espero, ansiosamente, poder transmitir de uma maneira agrad´avel
todos os conhecimentos adquiridos neste per´ıodo.
Gostaria de aproveitar este espa¸co para os agradecimentos, come¸cando por meus
pais Alberto e Adriana, os quais sempre me apoiaram incondicionalmente em todas as
minhas iniciativas e cuja ajuda teve um car´ater fundamental para finalizar este trabalho.
A minha irm˜a Anal´ıa, pela irreverˆencia, perspic´acia e alegria que norteiam sua vida.
Agrade¸co aos meus orientadores, pelos valiosos ensinamentos, perseveran¸ca, infinita
paciˆencia, sincera amizade e resp eito com que foi conduzido meu trabalho ao longo destes
quatro anos. Ao professor Antˆonio Andr´e Novotny, por ter-me acolhido como orientando,
pelo apoio no desenvolvimento deste trabalho, pelas valiosas discuss˜oes, generosidade,
confian¸ca, moral, ´etica, humildade e disciplina mostrada nestes anos de conv´ıvio. Por
essas raz˜oes ´e dif´ıcil enumerar todas as palavras necess´arias para demonstrar porque minha
rela¸c˜ao com Andr´e transcendeu notavelmente as barreiras do ˆambito profissional, chegando
a ser um grande amigo. Agrade¸co enormemente ao professor Eduardo Alberto de Souza
Neto por ter aceitado trabalhar comigo num tema t˜ao grato e, por sua vez, desafiador.
Em especial, agrade¸co-lhe pela generosidade, confian¸ca e alegria com que transmite sua
experiˆencia e conhecimento.
Aos professores Ra´ul Antonino Feij´oo e Edgardo Aliano Taroco, agrade¸co a disponi-
bilidade, confian¸ca e amizade com que compartilham seus conhecimentos e experiˆencias
com as novas gera¸c˜oes. Em especial, por serem exemplos de luta e perseveran¸ca, e pela
forma respeitosa e infal´ıvel com que contribu´ıram a minha forma¸c˜ao com suas adequadas
observa¸c˜oes.
Ao LNCC agrade¸co-lhe por ter-me aceitado no seu programa de p´os-gradua¸c˜ao, pela
confian¸ca e respeito dos seus funcion´arios, pela liberdade e gratos momentos vivenciados.
A CAPES pelo apoio financeiro as minhas pesquisas, outorgado atrav´es da bolsa de
Doutorado.
Agrade¸co, tamb´em, aos professores do LNCC pela dedica¸c˜ao e ensinamentos trans-
mitidos nas aulas. Em particular aos professores Abimael Fernando Dourado Loula,
Gustavo Alberto Perla Menzala e Cl´audio Padra, que acompanharam desde o in´ıcio meu
desenvolvimento profissional, pela disponibilidade e adequadas observa¸c˜oes dentro e fora
das salas de aula.
Destaco a disponibilidade dos professores Jan Sokolowski e Eduardo Alberto Fancello
para participar da banca de avalia¸c˜ao deste trabalho, raz˜ao pela qual sou muito grato.
Agrade¸co ao professor Mario Alberto Nieto, pois sendo ainda aluno do curso de
engenharia civil na Facultad Regional C´ordoba da Universidad Tecnol´ogica Nacional,
convidou-me a participar do seu grupo de pesquisa em mecˆanica estrutural no ano 2003,
ix
fato que possibilitou meu primeiro contato com o mundo da ciˆencia e motivou-me a
trabalhar em desenvolvimento cient´ıfico. Em particular, agrade¸co ao engenheiro Javier
Eduardo Salomone pela sua generosa amizade e, em especial, pela orienta¸c˜ao durante
os meus primeiros passos como estagi´ario no grupo de pesquisa em inform´atica para
engenharia (CIII). Neste contexto destaco a uma pessoa muito importante do grupo:
ao doutor Juan Jos´e Lopensino, por sua sincera amizade e permanente motiva¸c˜ao e,
especialmente, por ter-me vinculado ao LNCC atrav´es do professor Andr´e Novotny.
Durante a minha estadia em Petr´opolis, tive a sorte de conhecer um grupo de pessoas
que contribuiu de maneira significativa na minha forma¸c˜ao tanto profissional com pessoal.
Agrade¸co a Ignacio Larrabide, Gianina Ciccimarra, Pablo Blanco, Mariela Castellote,
Sebasti´an Arias e Gabriela Arce Cardosa pela generosidade, ajuda, apoio e compreens˜ao
com que conduzem suas vidas; fatores que forneceram as bases de uma sincera amizade que
n˜ao reconhece distˆancia nem barreiras. Quero expressar, tamb´em, meu reconhecimento
e gratid˜ao aos meus amigos da p´os-gradua¸c˜ao do LNCC: Jairo Rocha de Faria, Cl´audia
Adam Ramos, Marcelo Miranda Barros, Riedson Baptista, Carlos Magno Martins Cosme
e Diogo Marinho Almeida, pelos agrad´aveis momentos vivenciados.
Tamb´em gostaria de agradecer a Gustavo Colazo, Gustavo Mauhum, Pablo Persello,
Diego Carranza, Maximiliano Castro, Pablo Hern´andez, Federico Marti, Juan Martinez e
Guillermo Mosconi pela paciˆencia e amizade de tantos anos.
Pe¸co desculpas se esqueci de algu´em, mas s˜ao tantas as pessoas que, direta ou
indiretamente, apoiaram-me e participaram desta aventura que nesta hora de escrever os
agradecimentos, com certeza, cometo o erro de n˜ao agradecer a todas elas.
Finalmente, anseio dedicar este trabalho a Mar´ıa Alejandra Asensio, incondicional
companheira cuja inspira¸c˜ao, apoio e ajuda foi determinante nesta etapa da minha vida.
Sebasti
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an Miguel Giusti
Abril 2009, Petr
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opolis - RJ
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Resumo da tese submetida `a Coordena¸c˜ao de P´os-Gradua¸c˜ao do Laborat´orio Nacional de
Computa¸c˜ao Cient´ıfica - LNCC/MCT como parte dos requisitos necess´arios para obten¸c˜ao
do grau de Doutor em Ciˆencias
AN
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ALISE DE SENSIBILIDADE TOPOL
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OGICA EM MODELOS
CONSTITUTIVOS MULTI-ESCALAS
Sebasti´an Miguel Giusti
Abril/2009
Orientadores: Antonio Andr´e Novotny, Orientador
Eduardo Alberto de Souza Neto, Co-Orientador
O presente trabalho tem como prop´osito principal desenvolver a an´alise de sensibilidade
topol´ogica em modelos constitutivos multi-escala. Neste sentido, utilizando o Princ´ıpio de
Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel e o conceito de m´edia volum´etrica, foi estabelecida
uma formula¸c˜ao variacional para derivar uma elegante estrutura axiom´atica de modelos
constitutivos multi-escala deste tipo, permitindo escrever as equa¸c˜oes de equil´ıbrio na
micro-escala de maneira rigorosa atrav´es de uma clara identifica¸c˜ao dos espa¸cos envolvidos.
Com essa formula¸c˜ao, obteve-se uma estrutura adequada para o desenvolvimento da an´alise
de sensibilidade top ol´ogica de modelos constitutivos multi-escala. De fato, como resultado
fundamental dessa an´alise, foi identificado um camp o tensorial que representa a derivada
topol´ogica do tensor constitutivo macrosc´opico quando ´e introduzida uma perturba¸c˜ao
singular na micro-escala. As componentes do mencionado campo tensorial dependem
apenas das solu¸c˜oes dos problemas variacionais canˆonicos associados ao dom´ınio original
n˜ao perturbado. Cabe mencionar que atrav´es desse resultado, ´e poss´ıvel escrever de
forma expl´ıcita a expans˜ao assint´otica topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico,
permitindo obter rapidamente a derivada topol´ogica para uma vasta classe de funcionais de
forma. Em particular, neste trabalho s˜ao tratados dois problemas cl´assicos da modelagem
computacional: condu¸c˜ao estacion´aria de calor e elasticidade linear. Assim, inicialmente
´e desenvolvida a modelagem constitutiva multi-escala de cada um dos problemas ora
mencionados. Em seguida, considerando que a micro-estrutura sofre uma perturba¸c˜ao
singular caracterizada pela nuclea¸c˜ao de uma inclus˜ao circular composta de material com
propriedades f´ısicas distintas do meio, s˜ao calculadas as respectivas derivadas topol´ogicas.
Finalmente, s˜ao realizados diversos experimentos num´ericos mostrando algumas das di-
ferentes maneiras poss´ıveis de utiliza¸c˜ao do tensor de sensibilidade topol´ogica no projeto
e/ou otimiza¸c˜ao de micro-estruturas especializadas, o que demonstra o car´ater fundamen-
tal dos resultados desenvolvidos neste trabalho para a modelagem computacional.
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Abstract of a Thesis Submitted to LNCC/MCT as a partial fulfilment of the requirements
for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
TOPOLOGICAL SENSITIVITY ANALYSIS IN CONSTITUTIVE
MULTI-SCALE MODELS
Sebasti´an Miguel Giusti
April/2009
Advisors: Antonio Andr´e Novotny, Thesis Advisor
Eduardo Alberto de Souza Neto, Thesis Co-Advisor
The purpose of the present work is to carry out a topological sensitivity analysis in constitu-
tive multi-scale models. By making use of the Hill-Mandel Principle of Macro-Homogeneity
and the concept of volume average, a variational formulation was established to derive a
clearly structured axiomatic framework for constitutive multi-scale models of the present
type, allowing the equilibrium equations at the micro-scale to be rigorously written through
the clear identification of the functional spaces involved. This formulation lead to a
structure that is particularly well-suited for the development of topological sensitivity
analyses of constitutive multi-scale models of the present type. As a fundamental result
of the topological sensitivity analyses carried out, tensorial fields were identified that
represent the topological derivative of the macroscopic constitutive tensor when a singular
perturbation is introduced at the micro-scale. The components of such tensorial fields
depend on the solution of the canonical variational problems associated to the original
unperturbed domain. It is worth emphasising that this result allows the topological
asymptotic expansion of the macroscopic constitutive operator to be written explicitly
which, in turn, makes it possible to get promptly the topological derivative for a vast class
of shape functionals. In particular, in this thesis, two classical computational modelling
problems are addressed within the proposed framework: stationary heat conduction and
linear elasticity. Multi-scale constitutive models for both problems are firstly derived.
Then, the corresponding topological derivatives are obtained by considering the micro-
structure to suffer a singular perturbation characterised by the nucleation of a circular
inclusion made of a material with physical properties different from those of the medium.
Finally, several numerical experiments are performed which show some of the different
possible manners of using the topological sensitivity tensor in the project/optimisation
of specialised micro-structures. These demonstrate the fundamental nature of the results
obtained in this work for use in the computational modelling context.
xiii
Sum´ario
Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
Tabela de s´ımbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
1. Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Modelagem multi-escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Derivada topol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Apresenta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Modelagem multi-escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Homogeneiza¸c˜ao e campos de temperatura microsc´opicos . . . . . . 13
2.1.2 Equil´ıbrio t´ermico do elemento de volume representativo . . . . . . . 15
2.1.3 Fluxo de calor homogeneizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4 Princ´ıpio de macro-homogeneidade de Hill-Mandel . . . . . . . . . . 17
2.1.5 Formula¸c˜ao do problema de equil´ıbrio t´ermico . . . . . . . . . . . . 19
2.1.6 Classes de modelos multi-escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.7 Tensor de condutividade t´ermica homogeneizado . . . . . . . . . . . 28
2.1.8 Implementa¸c˜ao computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.9 Experimentos num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 An´alise de sensibilidade topol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Obten¸c˜ao da derivada topol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.2 Interpreta¸c˜ao dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.3 Resultados num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Coment´arios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3. Elasticidade linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1 Modelagem multi-escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.1 Homogeneiza¸c˜ao e campos de deslocamentos microsc´opicos . . . . . 85
3.1.2 Equil´ıbrio mecˆanico do elemento de volume representativo . . . . . . 88
3.1.3 Tens˜ao homogeneizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.4 Princ´ıpio de macro-homogeneidade de Hill-Mandel . . . . . . . . . . 90
3.1.5 Formula¸c˜ao do problema de equil´ıbrio mecˆanico . . . . . . . . . . . 91
3.1.6 Classes de modelos multi-escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1.7 Tensor de elasticidade homogeneizado . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.1.8 Implementa¸c˜ao computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
xv
3.1.9 Experimentos num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.2 An´alise de sensibilidade topol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2.1 Obten¸c˜ao da derivada topol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2.2 Interpreta¸c˜ao dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.2.3 Experimentos num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.3 Coment´arios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4. Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.1 Contribui¸c˜oes deste trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2 Problemas em aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.3 Indicadores acadˆemicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A. An´alise assint´otica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.1 Condu¸c˜ao estacion´aria de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.2 Elasticidade linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B. Estimativas de convergˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B.1 Condu¸c˜ao estacion´aria de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B.2 Elasticidade linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
C. Opera¸c˜oes b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
C.1
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Algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
C.2 Opera¸c˜oes de deferencia¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
C.3 Opera¸c˜oes integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Referˆencias bibliogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
xvi
Lista de Figuras
2.1 macro-escala cont´ınua com a micro-escala local . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 geometrias do EVR peri´odico - c´elulas quadradas e hexagonais. . . . . . . . . 23
2.3 geometrias discretas para os EVR peri´odicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 exemplo 1 - EVR estudados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 exemplo 1 - compara¸c˜ao dos resultados com os modelos te´oricos. . . . . . . . . 38
2.6 exemplo 2 - geometria do EVR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 exemplo 2 - resultados e compara¸c˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8 exemplo 3 - geometrias dos EVRs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.9 exemplo 3 - resultados e compara¸c˜ao com os dados experimentais. . . . . . . . 43
2.10 exemplo 4 - geometria do EVR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.11 micro-estrutura perturbada com uma inclus˜ao I
ε
. . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.12 EVR de an´alise e malha para o estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.13 verifica¸c˜ao de convergˆencia da derivada topol´ogica num´erica. . . . . . . . . . . 55
2.14 exemplo 1 - EVR utilizado no estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.15 exemplo 1 - caso A: componentes do tensor D
T µ
para γ = 0.1. . . . . . . . . . 58
2.16 exemplo 1 - caso B: componentes do tensor D
T µ
para γ = 10.0. . . . . . . . . 59
2.17 exemplo 1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.18 exemplo 1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.19 exemplo 1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.20 exemplo 1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.21 exemplo 2 - geometria do EVR de an´alise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.22 exemplo 2 - componentes do tensor D
T µ
para γ → 0. . . . . . . . . . . . . . . 62
2.23 exemplo 2 - componentes do tensor D
T µ
para γ → ∞. . . . . . . . . . . . . . 63
2.24 exemplo 2 - tendˆencia do campo (D
T µ
)
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.25 exemplo 3 - geometria do EVR de an´alise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.26 exemplo 3 - componentes do tensor D
T µ
para γ → 0. . . . . . . . . . . . . . . 65
2.27 exemplo 3 - componentes do tensor D
T µ
para γ → ∞. . . . . . . . . . . . . . 66
2.28 exemplo 3 - tendˆencia da componente (D
T µ
)
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
xvii
2.29 exemplo 4 - geometria do EVR de an´alise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.30 exemplo 4 - configura¸c˜ao das perturba¸c˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.31 exemplo 4 - fun¸c˜ao χ
ε
(y) para o modelo de flutua¸c˜ao peri´odica. . . . . . . . . 70
2.32 exemplo 5 - geometria do EVR de an´alise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.33 exemplo 5 - dom´ınios topologicamente perturbado em cada itera¸c˜ao. . . . . . 72
2.34 exemplo 5 - evolu¸c˜ao da fun¸c˜ao κ na simula¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.35 exemplo 6 - dom´ınios de an´alise para os casos de estudo. . . . . . . . . . . . . 75
2.36 exemplo 6 - campo D
T
µ
ψ para os casos de estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.37 exemplo 6 - tendˆencia mostrada pelo campo D
T
µ
ψ. . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.38 exemplo 7 - geometria do EVR objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.39 exemplo 7 - dom´ınios de an´alise para os casos de estudo. . . . . . . . . . . . . 78
2.40 exemplo 7 - evolu¸c˜ao da topologia no processo de otimiza¸c˜ao - caso A. . . . . 79
2.41 exemplo 7 - evolu¸c˜ao da topologia no processo de otimiza¸c˜ao - caso B. . . . . 79
2.42 exemplo 7 - topologias obtidas na itera¸c˜ao j = 130. . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.43 exemplo 7 - evolu¸c˜ao do valor relativo da fun¸c˜ao custo. . . . . . . . . . . . . . 80
3.1 macro-escala cont´ınua com micro-escala local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 separa¸c˜ao aditiva do campo de deslocamento microsc´opico. . . . . . . . . . . 86
3.3 geometrias do EVR peri´odico - c´elulas quadradas e hexagonais. . . . . . . . . 96
3.4 geometrias discretas para os EVR peri´odicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5 exemplo 1 - geometria dos EVRs estudados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.6 exemplo 1 - resultados e compara¸c˜ao com os modelos te´oricos. . . . . . . . . . 112
3.7 exemplo 2 - geometria do EVR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.8 exemplo 2 - resultados e compara¸c˜ao com os modelos te´oricos. . . . . . . . . . 115
3.9 exemplo 3 - geometrias dos EVRs estudados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.10 exemplo 3 - resultados e compara¸c˜ao com dados experimentais. . . . . . . . . 117
3.11 exemplo 4 - geometria do EVR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.12 exemplo 4- resultados obtidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.13 exemplo 5 - geometria do EVR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.14 micro-estrutura perturbada com uma inclus˜ao I
ε
. . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.15 verifica¸c˜ao num´erica - EVR e malha de elementos finitos. . . . . . . . . . . . . 131
xviii
3.16 verifica¸c˜ao de convergˆencia da derivada topol´ogica num´erica. . . . . . . . . . . 132
3.17 exemplo 1 - EVR utilizado no estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.18 exemplo 1 - caso A: componentes do tensor D
T µ
para γ = 0.1. . . . . . . . . . 136
3.19 exemplo 1 - caso B: componentes do tensor D
T µ
para γ = 10.0. . . . . . . . . 137
3.20 ex.1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.21 ex.1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.22 ex.1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.23 ex.1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.24 ex.1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.25 ex.1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.26 ex.1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.27 ex.1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.28 ex.1 - EVR perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.29 exemplo 2 - geometria do EVR de an´alise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.30 exemplo 2 - caso A: componentes do tensor D
T µ
para γ → 0. . . . . . . . . . . 142
3.31 exemplo 2 - caso B: componentes do tensor D
T µ
para γ → ∞. . . . . . . . . . 143
3.32 exemplo 2 - tendˆencia do campo (D
T µ
)
1111
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.33 exemplo 3 - geometria do EVR de an´alise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.34 exemplo 3 - configura¸c˜ao das perturba¸c˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.35 exemplo 3 - fun¸c˜ao ζ
ε
(y) para o modelo peri´odico. . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.36 exemplo 4 - geometria do EVR de an´alise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.37 exemplo 4 - dom´ınios topologicamente perturbado em cada itera¸c˜ao. . . . . . 150
3.38 exemplo 4 - evolu¸c˜ao da fun¸c˜ao ξ na simula¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.39 exemplo 5 - dom´ınios de an´alise para os casos de estudo. . . . . . . . . . . . . 153
3.40 exemplo 5 - campo D
T
para os casos de estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.41 exemplo 5 - tendˆencia do campo D
T
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.42 exemplo 6 - geometria do dom´ınio de an´alise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.43 exemplo 6 - evolu¸c˜ao da topolog´ıa no processo de otimiza¸c˜ao. . . . . . . . . . 156
3.44 exemplo 6 - resultados obtidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.45 exemplo 6 - evolu¸c˜ao do valor relativo da fun¸c˜ao custo. . . . . . . . . . . . . . 157
A.1 dom´ınio infinito com inclus˜ao circular I
ε
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
xix
xx
Lista de Tabelas
2.1 exemplo 3 - propriedades f´ısicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 exemplo 3 - resposta constitutiva macrosc´opica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 exemplo 4 - resposta constitutiva macrosc´opica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1 exemplo 1 - propriedades f´ısicas dos materiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2 exemplo 2 - propriedades f´ısicas dos materiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3 exemplo 3 - propriedades f´ısicas dos constituintes do material composto. . . . 116
3.4 exemplo 3 - resposta constitutiva macrosc´opica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
xxi
xxii
Tabela de s´ımbolos
· produto escalar.
⊗ produto tensorial.
produto tensorial de trans-
forma¸c˜ao.
⊗
s
parte sim´etrica do produto
tensorial.
v, u, λ, k escalares.
x, n, v, ν vetores.
I, K, P tensores de segunda ordem.
I, K, P tensores de terceira ordem.
I, K, P tensores de quarta ordem.
I, K, P matrizes.
F
T
transposta da matriz F.
F
−1
inversa da matriz F.
J
(·)
(ξ) funcional de forma definido
no dom´ınio (·) avaliado em ξ.
ψ(·) funcional de forma definido
no dom´ınio (·).
∅ conjunto vazio.
e
i
i-´esimo vetor ortonormal da
base do espa¸co Euclideano.
Ω, ω dom´ınios de forma arbitr´aria.
∂Ω, ∂ω contorno de Ω e ω, respecti-
vamente.
dV, dS elementos diferenciais de vo-
lume e superficie, respectiva-
mente.
EVR Elemento de Volume Repre-
sentativo.
V
µ
, V
m
µ
, V
i
µ
Volume total, da matriz e da
inclus˜ao do EVR.
Ω
µ
dom´ınio do EVR.
∂Ω
µ
contorno de Ω
µ
.
(·) fecho do conjunto (·).
n
espa¸co real de dimens˜ao n.
N conjunto dos n´umeros natu-
rais.
H
n
(Ω) espa¸co de Hilbert de ordem
n no dom´ınio Ω.
ε → a ε tende ao valor a.
lim
ε→a
limite quando ε tende ao
valor a.
o(·) operador que contem ele-
mentos de maior ordem que
(·).
O(·) operador que contem ele-
mentos da mesma ordem
que (·).
tr(·) tra¸co de (·).
(·)|
ξ
(·) avaliado em ξ.
|(·)| m´odulo de (·), valor abso-
luto.
(·)
S
norma de (·) no espa¸co S.
|
(
·
)
|
S
semi norma de (
·
) no espa¸co
S.
[[(·)]] salto de (·) atrav´es do con-
torno da inclus˜ao, i.e. [[η]] =
η|
m
− η|
i
.
∂(·)
∂ξ
derivada parcial de (·) com
rela¸c˜ao a ξ.
d(·)
dξ
derivada total de (·) com
rela¸c˜ao a ξ.
div(·) divergˆencia de (·).
∇(·) gradiente de (·).
∇
s
(·) parte sim´etrica do gradiente
de (·).
∆(·) Laplaceano de (·).
∂J
Ω
(ξ)
∂ξ
; η
derivada Fr´echet do fun-
cional J
Ω
(ξ) avaliado em ξ
na dire¸c˜ao η.
D
T
ψ Derivada topol´ogica do fun-
cional ψ.
xxiii
xxiv
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao
Em diversos ˆambitos da ciˆencia existe a necessidade de conhecer de uma forma
suficientemente precisa a resp osta constitutiva de um corp o submetido a um determinado
estado de excita¸c˜ao. Inicialmente essa quest˜ao foi adequadamente respondida atrav´es das
chamadas teorias constitutivas fenomenol´ogicas, nas quais a resposta constitutiva pode ser
estimada a partir do estudo do comportamento de certas vari´aveis internas de interesse,
dependendo de cada problema. No entanto, com o avan¸co da tecnologia e a maior demanda
de conhecimento sobre comportamento de materiais, vindas principalmente das ind ´ustrias
metal-mecˆanica, qu´ımica, eletrˆonica, aeroespacial e civil, entre outras; essa quest˜ao inicial
passou a ser dif´ıcil ou mesmo imposs´ıvel de ser respondida utilizando apenas as teorias
fenomenol´ogicas. Dessa necessidade foram desenvolvidas nas ´ultimas d´ecadas as chamadas
teorias multi-escala, onde a resposta constitutiva do material ´e obtida a partir da an´alise
em diferentes escalas de comprimento e/ou tempo. Atrav´es da abordagem multi-escala ´e
poss´ıvel transferir informa¸c˜ao do comportamento da constitui¸c˜ao intr´ınseca do material
(micro-estrutura) do n´ıvel atˆomico, se for necess´ario, at´e o n´ıvel do corpo macro-cont´ınuo,
obtendo-se, como conseq¨uˆencia, estimativas muito precisas da resposta constitutiva do
material estudado. Tais avan¸cos na compreens˜ao do comportamento constitutivo dos
materiais permitiram ir muito al´em da modelagem. De fato, passou-se inclusive a utilizar
a modelagem constitutiva multi-escala no projeto da micro-estrutura de um material de
modo a obter um comportamento macrosc´opico desejado. Para compreender melhor o
impacto desses avan¸cos, como exemplo pode-se mencionar o caso dos materiais biol´ogicos,
que possuem uma micro-estrutura quase imposs´ıvel de ser reproduzida artificialmente, mas
sua resposta constitutiva macrosc´opica, para alguns casos de interesse pr´atico, pode ser
bem determinada. Uma vez conhecida a resposta constitutiva macrosc´opica, poder-se-ia
desenhar um material sint´etico que reproduza, com um n´ıvel de precis˜ao adequado, a
mesma resposta constitutiva macrosc´opica do material biol´ogico. Uma situa¸c˜ao em que
este tipo de aplica¸c˜ao traria benef´ıcios imediatos ´e na ´area m´edica, em particular no
desenvolvimento de pr´oteses. De fato, uns dos maiores problemas que limitam a vida ´util
das pr´oteses para ossos ´e a degrada¸c˜ao da regi˜ao de contato (interface) entre o material
artificial (pr´otese) e o biol´ogico (osso). Especialistas da ´area acreditam que a solu¸c˜ao ´e
construir as pr´oteses com um material artificial cuja micro-estrutura favore¸ca a deposi¸c˜ao
e reten¸c˜ao das c´elulas biol´ogicas dos ossos no interior do material, permitindo (num prazo
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao
de tempo completamente aceit´avel) a assimila¸c˜ao completa da pr´otese pelo osso, gerando
como conseq¨uˆencia uma melhora substancial na qualidade de vida das pessoas que utilizam
estas pr´oteses.
Retomando a discuss˜ao levantada anteriormente, cabe mencionar que pesquisadores
da ´area da mecˆanica computacional tˆem investido muito tempo e esfor¸co no desenvolvi-
mento de diversas t´ecnicas computacionais para s´ınteses de microestruturas. Importantes
contribui¸c˜oes nesse sentido foram alcan¸cadas nos trabalhos de Sigmund (1994) [111], Fon-
seca (1997) [39], Silva et al. (1997) [112], Kikuchi et al. (1998) [63], Silva et al. (1998)
[113], Silva et al. (1999) [114], Yin et al. (2000) [135], Hyun & Torquato (2001) [59] e
Torquato et al. (2002) [128]. As principais id´eias e contribui¸c˜oes desses trabalhos podem
ser achadas no livro de Torquato (2005) [127]. Para os avan¸cos mais recentemente podem
ser citados, por exemplo, os trabalhos de Guest & Prevost (2006) [46] e Challis et al. (2008)
[28]. A caracter´ıstica principal desses trabalhos ´e a utiliza¸c˜ao de procedimentos de homo-
geneiza¸c˜ao peri´odica multi-escala conjuntamente com t´ecnicas de otimiza¸c˜ao baseadas em
m´etodos relaxados, onde as mudan¸cas na micro-estrutura s˜ao conduzidas pela sensibilidade
do problema `as varia¸c˜oes de um campo de densidade fict´ıcia.
No entanto, uma quest˜ao fundamental que permanece ainda em aberto ´e como de-
terminar a sensibilidade topol´ogica do operador que caracteriza a resposta constitutiva
macrosc´opica quando uma perturba¸c˜ao singular ´e introduzida na micro-estrutura. Neste
contexto, uma forma bastante geral de abordar o problema ´e utilizando o conceito de
derivada topol´ogica, que representa a sensibilidade topol´ogica de um dado funcional de
forma quando perturba¸c˜oes singulares (tipicamente furos) s˜ao introduzidas no dom´ınio
de defini¸c˜ao do problema. A an´alise de sensibilidade topol´ogica foi rigorosamente intro-
duzida no final de d´ecada passada no trabalho de Sokolowski &
˙
Zochowski (1999) [116],
e tem-se mostrado como uma poderosa ferramenta na resolu¸c˜ao de diversos problemas
como por exemplo: otimiza¸c˜ao topol´ogica, problemas inversos e processamento de imagens
(restaura¸c˜ao e segmenta¸c˜ao). Cabe mencionar que, desde a publica¸c˜ao do artigo ora citado
at´e o presente trabalho, n˜ao se encontra na literatura o c´alculo da derivada topol´ogica no
contexto de modelos multi-escala. Sendo assim, al´em de ser um tema em aberto, nunca
antes reportado na literatura, a an´alise de sensibilidade topol´ogica de modelos constitu-
tivos multi-escala desenvolvida neste trabalho conduz a um resultado te´orico fundamental,
com potenciais aplica¸c˜oes sobretudo na s´ıntese de microestruturas especializadas. Antes
de discutir os objetivos deste trabalho, a serem apresentados na Se¸c˜ao 1.3, uma breve re-
senha hist´orica destas duas grandes ´areas (modelagem multi-escala e derivada topol´ogica)
s˜ao apresentadas nas Se¸c˜oes 1.1 e 1.2. Em ambas as se¸c˜oes s˜ao salientados os trabalhos
pioneiros e as mais recentes aplica¸c˜oes dessas ´areas do conhecimento.
1.1 Modelagem multi-escala
Durante os ´ultimos anos, a modelagem constitutiva de s´olidos por meios de teo-
rias de m´ultiplas escalas se tornou um assunto de pesquisa intensiva dentro dos grupos
de mecˆanica aplicada e computacional. O interesse crescente na modelagem de s´olidos
levando em conta informa¸c˜ao de v´arias escalas ´e orientado principalmente pela demanda
2
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao
atual por modelos constitutivos mais precisos, pois as teorias constitutivas fenomenol´ogicas
convencionais parecem estar atingindo o limite da capacidade descritivo-preditiva. Nas
duas d´ecadas anteriores, o uso pr´atico de teorias constitutivas de s´olidos tem passado
gradualmente de disciplinas de engenharia tradicionais a aplica¸c˜oes mais exigentes que re-
querem a descri¸c˜ao do comportamento constitutivo de materiais que apresentam hist´oricos
de deforma¸c˜ao complexos. Freq¨uentemente, a modelagem de tais fenˆomenos por meio de
teorias puramente macrosc´opicos resulta em discrepˆancias significativas entre a resposta
constitutiva estimada e a observada. Essa diferen¸ca, por´em, pode aumentar dramatica-
mente com a complexidade do material. Em tais casos, o desenvolvimento e uso de teorias
multi-escala parece ser uma alternativa muito promissora aos modelos fenomenol´ogicos
cl´assicos, fornecendo descri¸c˜oes mais real´ısticas da resposta constitutiva. O interesse em
abordagens multi-escalas na modelagem computacional ´e evidente pelo n´umero crescente
de artigos em peri´odicos especializados no tema, por exemplo, Hori & Nemat-Nasser (1999)
[57], Michel et al. (1999) [81], Nemat-Nasser (1999) [88], Miehe (2002) [82], Miehe & Koch
(2002) [83], Clayton & McDowell (2003) [29], Ibrahimbegovi´c & Markoviˇc (2003) [60],
Kouznetsova et al. (2004) [65], Matsui et al. (2004) [78], como tamb´em as conferˆencias e
simp´osios nos principais congressos e eventos cient´ıficos mundiais, por exemplos, Owen &
O˜nate (2005) [98], Sadowski (2005) [105], Tvergaard (2006) [131], Eberhard (2006) [34] e
Schrefler & Perego (2008) [110].
A origem das teorias de homogeneiza¸c˜ao multi-escala situa-se na d´ecada dos 70.
Desenvolvida, simultaneamente, por Sanchez-Palencia na Fran¸ca e Bakhvalov na R´ussia.
Ambos focaram seus trabalhos na modelagem matem´atica de meios heterogˆeneos com
distribui¸c˜ao peri´odica da micro-estrutura do material. Em particular, Sanchez-Palencia
trabalhou no problema de propaga¸c˜ao de ondas num meio heterogˆeneo (Sanchez-Palencia
(1971) [107] e Sanchez-Palencia (1974) [108]). Uma revis˜ao detalhada dos avan¸cos da
teoria de homogeneiza¸c˜ao peri´odica durante as d´ecadas de 70 e 80 podem ser encontrada
em diversos livros, por exemplo, Bensoussan et al. (1978) [17], Sanchez-Palencia (1980)
[109], Lions (1981) [73] e Bakhvalov & Panasenko (1989) [14]; e mais recentemente em
Markov (2000) [76] e B¨ohm (2004) [18].
Das diferentes metodologias existentes na literatura
1
, no desenvolvimento deste tra-
balho ser´a utilizada uma modelagem constitutiva multi-escala constru´ıda a partir de for-
mula¸c˜oes variacionais e baseada nos conceitos da m´edia volum´etrica de campos micro-
estruturais sobre um elemento de volume representativo (EVR)
2
. Dentre os principais
trabalhos que empregaram essa metodologia, publicados em peri´odicos, destacam-se, en-
tre outros, Michel et al. (1999) [81], Nemat-Nasser (1999) [88], Miehe & Koch (2002) [83]
e Terada et al. (2003) [124]. No entanto, teorias multi-escalas deste tipo s˜ao apresentadas
freq¨uentemente de uma maneira ad-hoc, o que dificulta a distin¸c˜ao entre as hip´oteses
b´asicas de cada modelo e as conseq¨uˆencias destas sobre a teoria resultante. Neste sentido,
no trabalho de de Souza Neto & Feij´oo (2006) [32] foi apresentada uma completa descri¸c˜ao
1
Para uma descri¸c˜ao detalhada das diferentes t´ecnicas existentes, veja B¨ohm (2004) [18].
2
No trabalho de Ostoja-Starzewski (2006) [96], apresenta-se uma discuss˜ao detalhada acerca da validade
f´ısica deste tipo de representa¸c˜ao para micro-estruturas de materiais.
3
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao
das bases variacionais (cinem´aticas) necess´arias para a constru¸c˜ao axiom´atica de modelos
multi-escala deste tipo, onde os princ´ıpios b´asicos utilizados, no contexto da mecˆanica de
s´olidos, s˜ao: (i) equil´ıbrio do EVR; (ii) Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel
(Hill (1965) [53] e Mandel (1971) [75]); (iii) m´edia volum´etrica dos tensores de deforma¸c˜ao
e tens˜ao; (iv) suposi¸c˜ao de que o espa¸co das flutua¸c˜oes de deslocamento cinematica-
mente admiss´ıveis no EVR ´e um subespa¸co do espa¸co da m´ınima restri¸c˜ao cinem´atica
sobre as flutua¸c˜oes de deslocamento compat´ıveis com a hip´otese da m´edia volum´etrica
de deforma¸c˜ao microsc´opica. Considerando esta estrutura variacional, qualquer classe de
modelo constitutivo est´a completamente definida pela escolha do espa¸co dos deslocamen-
tos virtuais do EVR (incluindo as restri¸c˜oes cinem´aticas assumidas para o EVR). Neste
contexto, a forma variacional do Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel de-
sempenha um papel crucial, pois permite que o sistema de cargas externas do EVR (for¸cas
de corpo e campos de tra¸c˜oes externas) seja enxergado como meras rea¸c˜oes `as restri¸c˜oes
cinem´aticas prescritas no EVR. Com esta modelagem, classicamente deriva-se quatro mod-
elos multi-escalas, quais sejam: (a) modelo de Taylor, mais conhecido na literatura como
regra da mistura; (b) modelo de deslocamento linear no contorno do EVR; (c) modelo
de flutua¸c˜ao de deslocamento peri´odica no contorno do EVR; e (d) modelo da m´ınima
restri¸c˜ao cinem´atica. Al´em disso, esta t´ecnica permite obter uma express˜ao fechada do
operador constitutivo homogeneizado, atrav´es da resolu¸c˜ao de um sistema canˆonico de
equa¸c˜oes variacionais no n´ıvel microsc´opico. Essa representa¸c˜ao da resposta constitu-
tiva macrosc´opica geralmente ´e aplic´avel a problemas nos quais a resposta constitutiva
micro-estrutural ´e descrita por teorias baseadas em vari´aveis internas (fenomenol´ogicas).
Permitindo que uma micro-estrutura constitu´ıda por materiais descritos a partir dessas
teorias gerem uma resposta constitutiva macrosc´opica dificilmente reproduz´ıvel por teorias
convencionais baseadas na fenomenologia do material macrosc´opico. Al´em do mais, esta
metodologia tamb´em ´e aplic´avel a problemas nos quais as vari´aveis internas microsc´opicas
evoluem no tempo, sendo necess´ario aproximar a evolu¸c˜ao temporal por algum esquema de
integra¸c˜ao num´erica incremental, como as proposta por Miehe et al. (1999) [84] e Giusti
et al. (2009) [43], entre outros.
Cabe mencionar que esta modelagem constitutiva multi-escala foi estendida para
problemas de grandes deforma¸c˜oes e grandes deslocamentos em de Souza Neto & Feij´oo
(2008) [33], onde ´e mostrado que a m´edia volum´etrica do tensor tens˜ao de Cauchy sobre
a configura¸c˜ao deformada do EVR ´e mecanicamente equivalente `a m´edia volum´etrica do
primeiro tensor tens˜ao de Piola-Kirchhoff sobre a configura¸c˜ao de referˆencia, ou seja, as
m´edias volum´etricas material ou espacial do tensor tens˜ao resultam em modelos macrosc´o-
picos idˆenticos
3
. Finalmente, em Speirs et al. (2008) [121], esta t´ecnica foi aplicada com
sucesso na modelagem constitutiva do tecido da parede arterial do sistema cardiovascular
humano. Nesse mesmo trabalho s˜ao comparados os resultados da modelagem discutida
anteriormente com resultados pr´evios da modelagem computacional cl´assica do tecido
arterial, veja Holzapfel et al. (2000) [56], Humphrey (2003) [58] e Holzapfel (2004) [55].
3
Esta equivalˆencia mecˆanica ´e estritamente v´alida apenas para os modelos de deforma¸c˜ao homogˆenea
do EVR, deslocamento linear no contorno do EVR e flutua¸c˜ao peri´odica de deslocamento no contorno do
EVR. Entretanto, n˜ao ´e v´alida em geral para o modelo da m´ınima restri¸c˜ao cinem´atica no EVR.
4
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao
1.2 Derivada topol´ogica
A expans˜ao assint´otica topol´ogica permite quantificar a sensibilidade de um dado
funcional de forma em rela¸c˜ao a uma perturba¸c˜ao infinitesimal na topologia do dom´ınio de
defini¸c˜ao do problema. O principal termo dessa expans˜ao, denominado derivada topol´ogica,
depende apenas da solu¸c˜ao do problema definido no dom´ınio n˜ao perturbado. Assim, a
an´alise de sensibilidade topol´ogica, associada de maneira geral a uma perturba¸c˜ao singu-
lar introduzida em um ponto arbitr´ario do dom´ınio, pode ser obtida atrav´es de fun¸c˜oes
calculadas sobre o dom´ınio original. Mais precisamente, considere uma fun¸c˜ao de forma
ψ possuindo a regularidade necess´aria de modo que admita a seguinte expans˜ao
ψ (ε) = ψ (0) + f (ε) D
T
ψ + o (f (ε)) , (1.1)
onde ψ (0) ´e a fun¸c˜ao de forma associada ao dom´ınio original e ψ (ε) denota a fun¸c˜ao de
forma associada ao dom´ınio topologicamente perturbado, sendo ε um parˆametro pequeno.
Al´em do mais, f (ε) ´e uma fun¸c˜ao regularizadora tal que f (ε) → 0, com ε → 0
+
, e o (f (ε))
denota os termos de maior ordem que f (ε), tal que:
o (f (ε))
f (ε)
→
ε→0
0. (1.2)
Assim, a eq.(1.1) ´e denominada expans˜ao assint´otica topol´ogica, sendo que o termo
D
T
ψ ´e definido como a derivada topol´ogica de primeira ordem da fun¸c˜ao de forma ψ.
Observa-se ainda que D
T
ψ pode ser interpretado como uma corre¸c˜ao de primeira ordem
da fun¸c˜ao de forma ψ (0) para obter ψ (ε). Das defini¸c˜oes anteriores e, particularmente,
da eq.(1.1) tem-se que a defini¸c˜ao cl´assica da derivada topol´ogica ´e dada por
D
T
ψ = lim
ε→0
ψ (ε) − ψ (0)
f (ε)
. (1.3)
No entanto, desde que a expans˜ao assint´otica topol´ogica (1.1) satisfa¸ca certas pro-
priedades, uma defini¸c˜ao alternativa da derivada topol´ogica pode ser escrita da seguinte
maneira (Novotny (2003) [90])
D
T
ψ = lim
ε→0
1
f
(ε)
d
dε
ψ (ε) , (1.4)
onde a derivada do funcional ψ (ε) em rela¸c˜ao ao parˆametro ε po de ser interpretada como
a an´alise de sensibilidade `a mudan¸ca de forma cl´assica, para o caso particular em que a
perturba¸c˜ao singular sofre uma expans˜ao uniforme.
Historicamente, o conceito de derivada topol´ogica foi rigorosamente definido pela
primeira vez em Sokolowski &
˙
Zochowski (1999) [116], considerando dom´ınios topologica-
mente perturbados mediante a introdu¸c˜ao de furos com condi¸c˜ao de contorno de Neumann
homogˆenea em sua fronteira. Ainda no mesmo ano, em Sokolowski &
˙
Zochowski (1999)
[117] ´e apresentado o c´alculo da derivada topol´ogica para a equa¸c˜ao de Laplace tridimen-
sional. No ano seguinte, no trabalho de C´ea et al. (2000) [26], esse conceito foi estendido
5
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao
para dom´ınios perturbados com furos com condi¸c˜ao de contorno de Dirichlet prescrita em
sua fronteira. No ano seguinte foi proposta em Garreau et al. (2001) [40] uma t´ecnica para
o c´alculo da derivada topol´ogica, denominada domain truncation method. Esse m´etodo
foi ent˜ao estendido para furos de forma arbitr´aria no trabalho de Guillaume & Sid Idris
(2002) [47]. Mais tarde, em Novotny et al. (2003) [92] foi proposta uma defini¸c˜ao al-
ternativa para a derivada topol´ogica que permitiu estabelecer a rela¸c˜ao estrita entre os
conceitos de an´alise de sensibilidade topol´ogica e an´alise de sensibilidade `a mudan¸ca de
forma, o que resultou em um novo m´etodo de c´alculo da derivada topol´ogica denominado
topological-shape sensitivity method, cujos resultados preliminares foram apresentados um
ano antes em Novotny et al. (2002) [91]. Ainda em 2003, em Feij´oo et al. (2003) [38]
foi apresentada uma an´alise comparativa entre o topological-shape sensitivity method e
o domain truncation method. No trabalho de Nazarov & Sokolowski (2003) [86] foram
utilizados os m´etodos mached e compound na constru¸c˜ao das expans˜oes assint´oticas de
funcionais de volume e superf´ıcie.
No trabalho de Lewinski & Sokolowski (2003) [72] foi estudado o problema de
varia¸c˜ao da energia de deforma¸c˜ao devido ao surgimento de pequenas cavidades em s´olidos
el´asticos, obtendo com a derivada topol´ogica os mesmos resultados fornecidos por Maz’ya
et al. (1991) [80] e p or Nemat-Nasser & Hori (1993) [89], para furo el´ıptico no
2
e cavi-
dade esf´erica no
3
. Ainda no mesmo ano, em Samet et al. (2003) [106] foi considerada a
equa¸c˜ao de Helmholtz com condi¸c˜ao de contorno de Dirichlet homogˆenea na fronteira do
furo; em Sokolowski (2003) [115] foram apresentadas novas condi¸c˜oes de otimalidade para
uma classe de problemas em otimiza¸c˜ao de forma e topol´ogica; Novotny (2003) [90] defende
a primeira tese de doutorado na ´area e, logo em seguida, Amstutz (2003) [3] defende a
segunda.
No ano seguinte em Guillaume & Sid Idris (2004) [48] a an´alise de sensibilidade
topol´ogica foi realizada para a equa¸c˜ao de Stokes considerando funcionais de forma gerais
e furos de forma arbitr´aria e em Burger et al. (2004) [22] a derivada topol´ogica foi utilizada
para obter a inicializa¸c˜ao de m´etodos level-sets. No trabalho de Nazarov & Sokolowski
(2004) [87] foi calculada a expans˜ao assint´otica da solu¸c˜ao e do funcional energia cor-
respondente ao problema de Poisson para uma perturba¸c˜ao associada `a forma¸c˜ao de um
ligamento. Em Feij´oo (2004) [37] a derivada topol´ogica foi calculada para o problema de
Helmholtz em um meio infinito, sendo o resultado empregado na resolu¸c˜ao do problema
inverso do espalhamento.
O primeiro resultado em an´alise de sensibilidade topol´ogica para um caso n˜ao-linear
foi obtido em Amstutz (2005) [4], onde a derivada topol´ogica foi calculada para o pro-
blema de Navier-Stokes considerando uma condi¸c˜ao de n˜ao deslizamento no contorno de
um obst´aculo de forma arbitr´aria. No trabalho de Amstutz et al. (2005) [8] o gradiente
topol´ogico foi aplicado no problema de identifica¸c˜ao de trincas em um dom´ınio bidimen-
sional, considerando a equa¸c˜ao de Laplace e o crit´erio de Khon-Vogelius como fun¸c˜ao custo,
Khon & Vogelius (1987) [64]. Em Sokolowski &
˙
Zochowski (2005) [119] foi calculada a
derivada topol´ogica para problemas de contato, e para problemas com obst´aculos em
Sokolowski &
˙
Zochowski (2005) [120]. No trabalho de Hinterm¨uller (2005) [54] a derivada
6
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao
topol´ogica foi utilizada conjuntamente com m´etodos level-sets no desenvolvimento de al-
goritmos eficientes de otimiza¸c˜ao. Em Novotny et al. (2005) [93] o topological-shape
sensitivity method foi aplicado para o c´alculo da derivada topol´ogica no problema flex˜ao
el´astica linear de placas de Kirchhoff. No trabalho de Masmoudi et al. (2005) [77] foi
estuda a sensibilidade topol´ogica para a equa¸c˜ao de Maxwell tridimensional quando o
dom´ınio ´e perturbado com a introdu¸c˜ao de um pequeno objeto diel´etrico ou met´alico,
sendo mostradas algumas aplica¸c˜oes no problema inverso de identifica¸c˜ao de propriedades
eletromagn´eticas.
A quest˜ao da utiliza¸c˜ao da derivada topol´ogica conjuntamente com o m´etodo de
level-set ´e retomada no trabalho de Amstutz & Andr¨a (2006) [7], onde foi desenvolvido
um novo algoritmo de evolu¸c˜ao baseado na derivada topol´ogica. Nos trabalhos de Guzina &
Bonnet (2006) [50] e Bonnet (2006) [20] a derivada topol´ogica foi calculada no problema de
ac´ustica respectivamente no dom´ınio da freq¨uˆencia e do tempo, permitindo sua aplica¸c˜ao
no problema inverso do espalhamento. A determina¸c˜ao da derivada topol´ogica em alguns
problemas n˜ao lineares ´e retomada no ano 2006 em Amstutz (2006) [6].
No ano seguinte, Larrabide (2007) [70] defende sua tese de doutorado aplicando a
derivada topol´ogica no contexto de restaura¸c˜ao e segmenta¸c˜ao de imagens m´edicas. Ainda
nesse per´ıodo s˜ao publicados trˆes artigos na ´area de processamento de imagens, Auroux
et al. (2007) [11], Belaid et al. (2008) [15] e Larrabide et al. (2008) [71]. No trabalho de
Guzina & Chikichev (2007) [51] foi apresentada uma aplica¸c˜ao da derivada topol´ogica em
diagn´osticos m´edicos, sobretudo na identifica¸c˜ao de cˆancer de mama. Em Novotny et al.
(2007) [94] foi apresentado o c´alculo da derivada topol´ogica no problema de elasticidade
linear tridimensional, que possibilitou a otimiza¸c˜ao topol´ogica de estruturas tridimen-
sionais. Nos trabalhos Rocha de Faria (2007) [30] e Rocha de Faria et al. (2007) [31]
foi considerado mais um termo na expans˜ao assint´otica topol´ogica, denominado derivada
topol´ogica de segunda ordem, que permitiu obter estimativas mais precisas para o valor
da fun¸c˜ao custo e melhores dire¸c˜oes de descida em problemas de otimiza¸c˜ao. Finalmente,
em Giusti et al. (2008) [45] ´e proposto um m´etodo de otimiza¸c˜ao topol´ogica capaz de pˆor
e retirar material simultaneamente em cada passo do processo de otimiza¸c˜ao, permitindo
obter configura¸c˜oes sub-´otimas com desempenho superior `aquelas obtidas simplesmente
retirando material.
1.3 Objetivos
Da breve descri¸c˜ao apresentada nas se¸c˜oes anteriores, observa-se que a estrutura
variacional na qual a teoria multi-escala est´a fundada fornece um ferramental adequado
para o uso conjunto com os conceitos da an´alise de sensibilidade topol´ogica (derivada
topol´ogica), destacando-se, em particular, a clara identifica¸c˜ao dos espa¸cos utilizados na
modelagem. Assim sendo, o objetivo principal deste trabalho ´e desenvolver a an´alise de
sensibilidade topol´ogica em modelos constitutivos multi-escala, visando obter a sensibili-
dade topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico quando uma perturba¸c˜ao singular
´e introduzida na micro-escala. Ressalta-se que o enfoque do mencionado estudo ´e essen-
cialmente te´orico, no entanto s˜ao realizados diversos experimentos num´ericos com o
7
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao
objetivo de avaliar o potencial da formula¸c˜ao e das ferramentas desenvolvidas neste tra-
balho, sobretudo no projeto de micro-estruturas especializadas.
Como produto final da an´alise de sensibilidade topol´ogica de modelos constitutivos
multi-escala, obter-se-´a a forma expl´ıcita da derivada topol´ogica, cujo formato final ´e
notavelmente simples e depende apenas da solu¸c˜ao do sistema canˆonico de equa¸c˜oes varia-
cionais associadas ao EVR n˜ao perturbado. Em particular, a derivada topol´ogica resulta
em um campo tensorial que representa a sensibilidade topol´ogica do operador constitu-
tivo macrosc´opico quando uma perturba¸c˜ao singular ´e introduzida na micro-escala. Al´em
do mais, ser´a mostrado que a derivada topol´ogica pode ser potencialmente utilizada em
aplica¸c˜oes de interesse pr´atico como, por exemplo, na s´ıntese e projeto ´otimo de micro-
estruturas para satisfazer um comportamento macrosc´opico espec´ıfico. No entanto, os
conceitos da an´alise de sensibilidade topol´ogica e, em particular, da derivada topol´ogica
s˜ao bem mais amplos, pois a metodologia aqui desenvolvida pode ser aplicada a problemas
inversos e na modelagem de fenˆomenos f´ısicos que experimentam altera¸c˜oes na configura¸c˜ao
do dom´ınio da micro-escala.
Finalmente, cabe ainda mencionar que, levando em conta a detalhada an´alise bib-
liogr´afica apresentada na Se¸c˜ao 1.2, ´e poss´ıvel afirmar que a an´alise de sensibilidade
topol´ogica na modelagem constitutiva multi-escala ´e um tema que permanece em aberto
at´e o presente trabalho.
1.4 Apresenta¸c˜ao
Lembrando o mencionado nas se¸c˜oes anteriores, neste trabalho ´e desenvolvida a
an´alise de sensibilidade topol´ogica em modelos constitutivos multi-escala visando obter a
sensibilidade topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico quando uma perturba¸c˜ao
singular ´e introduzida na micro-escala. Assim sendo, a estrutura do presente trabalho ´e a
seguinte:
Cap´ıtulo 2: neste cap´ıtulo ´e estudada a an´alise de sensibilidade topol´ogica em mod-
elos constitutivos multi-escala para o problema de condu¸c˜ao estacion´aria linear de
calor em micro-estruturas constitu´ıdas por materiais isotr´opicos. Com esse objetivo,
na Se¸c˜ao 2.1 ´e descrita detalhadamente a modelagem constitutiva multi-escala em-
pregada. Na Se¸c˜ao 2.2, ´e apresentado o c´alculo da derivada topol´ogica para esta
classe de problemas. Encerrando o cap´ıtulo, na Se¸c˜ao 2.3 s˜ao realizados alguns
coment´arios finais acerca dos resultados apresentados nas se¸c˜oes anteriores.
Cap´ıtulo 3: nesta parte do trabalho ´e estudada a an´alise de sensibilidade topol´ogica
em modelos constitutivos multi-escala para o problema de elasticidade linear em
micro-estruturas constitu´ıdas por materiais isotr´opicos. Inicialmente, na Se¸c˜ao 3.1
´e mostrada detalhadamente a modelagem constitutiva multi-escala para esta classe
de problema. Na Se¸c˜ao 3.2, ´e apresentado o c´alculo da derivada topol´ogica. A
fim de encerrar o cap´ıtulo, na Se¸c˜ao 3.3 s˜ao apresentados alguns coment´arios finais
pertinentes.
8
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao e Motiva¸c˜ao
Cap´ıtulo 4: embora cada cap´ıtulo tenha suas pr´oprias conclus˜oes, aqui ser˜ao apre-
sentadas as conclus˜oes finais de car´ater global sobre este trabalho. Salientando as
principais contribui¸c˜oes e colocando alguns dos temas em aberto que ser˜ao objeto
de futuros trabalhos.
Cabe mencionar que na introdu¸c˜ao dos Cap´ıtulos 2 e 3 ´e apresentada em forma
detalhada a organiza¸c˜ao interna de cada um deles, a fim se facilitar a leitura dos menciona-
dos cap´ıtulos. Finalmente, objetivando deixar este trabalho auto-contido, s˜ao apresentados
trˆes apˆendices: (i) Apˆendice A, reservado para mostrar as expans˜oes assint´oticas utilizadas
na an´alise desenvolvida nas Se¸c˜oes 2.2 e 3.2; (ii) Apˆendice B, aqui s˜ao apresentadas de
uma maneira simples as estimativas de convergˆencia utilizadas, tamb´em, nas se¸c˜oes men-
cionadas anteriormente; e (iii) Apˆendice C, onde s˜ao mostradas algumas rela¸c˜oes b´asicas
da ´algebra tensorial, utilizadas ao longo de todo o trabalho.
9
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Cap´ıtulo 2
Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
A condutividade t´ermica macrosc´opica (ou efetiva) dos materiais ´e uma propriedade
f´ısica de suma importˆancia no projeto de componentes mecˆanicos, t´ermicos e eletrˆonicos
para um n´umero vasto de aplica¸c˜oes na ind´ustria civil, aeroespacial, biom´edica, nuclear e
eletrˆonica. Em muitas circunstˆancias, esta propriedade condiciona o projeto do com-
ponente e qualquer melhora no desempenho s´o pode ser alcan¸cada por meio de mu-
dan¸cas sa- tisfat´orias no comportamento da condutividade t´ermica dos materiais ado-
tados. Neste contexto, a habilidade para predizer com precis˜ao a condutividade t´ermica
macrosc´opica das propriedades micro-estruturais correspondentes ´e essencial na an´alise,
projeto e otimiza¸c˜ao do meio heterogˆeneo subjacente. A fim de estimar a condutivi-
dade t´ermica efetiva, diferentes m´etodos foram propostos e investigados, entre outros, por
Germain et al. (1983) [42], Auriault (1993) [9], Auriault & Royer (1993) [10], Ostoja-
Starzewski & Schulte (1996) [97], Yin et al. (2005) [134], Wang et al. (2006) [133] e
Jiang & Sousa (2007) [61]. Neste caso, a sensibilidade da condutividade t´ermica efetiva `a
mudan¸cas topol´ogicas na microestrutura ´e de crucial imp ortˆancia, e seu c´alculo ´e uns dos
objetivos deste trabalho.
Este cap´ıtulo prop˜oe uma express˜ao anal´ıtica geral para a sensibilidade do tensor
bi-dimensional de condutividade t´ermica macrosc´opica quando mudan¸cas topol´ogicas s˜ao
introduzidas na microestrutura. A condutividade macrosc´opica ´e estimada empregando
uma teoria constitutiva multi-escala baseada na t´ecnica de homogeneiza¸c˜ao para o pro-
blema de condu¸c˜ao estacion´aria de calor onde, seguindo as id´eias apresentadas por Ger-
main et al. (1983) [42], o gradiente t´ermico macrosc´opico e o vetor de fluxo de calor em
cada ponto do macro-cont´ınuo s˜ao definidos como a m´edia volum´etrica das contrapartes
microsc´opicas sobre o Elemento de Volume Representativo (EVR) do material associ-
ado com aquele ponto. Neste contexto, a condutividade t´ermica efetiva estimada para
uma dada microestrutura depende da escolha das restri¸c˜oes impostas sob os campos de
temperatura admiss´ıveis do EVR, e os limites inferiores e superiores estabelecidos por
Ostoja-Starzewski & Schulte (1996) [97] podem ser obtidos mediante escolhas adequadas
das restri¸c˜oes t´ermicas a serem impostas. Dentro deste contexto de homogeneiza¸c˜ao,
assume-se que a cl´assica lei de Fourier ´e v´alida na escala de referˆencia da microestrutura.
Conseq¨uentemente, o tamanho m´ınimo do EVR que pode ser considerado deve ser tal que
esta suposi¸c˜ao ainda forne¸ca uma descri¸c˜ao adequada da condu¸c˜ao estacion´aria de calor.
11
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
A sensibilidade proposta ´e caracterizada atrav´es de um campo tensorial sim´etrico de se-
gunda ordem sobre o EVR que mede como a condutividade macrosc´opica muda quando
uma inclus˜ao ´e introduzida na micro-escala. Al´em do mais, a sensibilidade topol´ogica
obtida depende apenas da solu¸c˜ao do sistema canˆonico de equa¸c˜oes variacionais sobre o
dom´ınio original (n˜ao perturbado). A f´ormula anal´ıtica ´e derivada usando os conceitos
de expans˜ao assint´otica topol´ogica e derivada topol´ogica, dentro da teoria constitutiva
multi-escala adotada. Estes conceitos matem´aticos permitem o c´alculo da sensibilidade de
um determinado funcional de forma com rela¸c˜ao a perturba¸c˜oes infinitesimais no dom´ınio,
como aqueles produzidos pela inser¸c˜ao de furos, inclus˜oes ou termos fontes. O uso de
tais conceitos no contexto da mecˆanica dos s´olidos, otimiza¸c˜ao topol´ogica de estruturas e
problemas inversos pode ser encontrado na breve resenha hist´orica apresentada na Se¸c˜ao
1.2.
Este cap´ıtulo est´a dividido essencialmente em trˆes partes. A Se¸c˜ao 2.1 descreve
detalhadamente a modelagem constitutiva multi-escala adotada na estima¸c˜ao do tensor
bi-dimensional de condutividade t´ermica macrosc´opico. O desenvolvimento da an´alise de
sensibilidade topol´ogica em materiais isotr´opicos ´e apresentado na Se¸c˜ao 2.2. Aqui ´e obtido
o principal resultado te´orico desde cap´ıtulo – uma f´ormula fechada da sensibilidade da
resposta constitutiva macrosc´opica (condutividade t´ermica) para perturba¸c˜oes topol´ogicas
micro-estruturais. As aplica¸c˜oes dos resultados obtidos s˜ao mostradas no final da Se¸c˜ao
2.2.3, atrav´es de alguns exemplos num´ericos de interesse aos objetivos deste trabalho. A
fim de encerrar o cap´ıtulo, coment´arios adicionais s˜ao apresentados na Se¸c˜ao 2.3.
2.1 Modelagem multi-escala
Nesta se¸c˜ao ´e apresentado o desenvolvimento da formula¸c˜ao variacional de uma
fam´ılia de modelos constitutivos multi-escala para o problema de condu¸c˜ao estacion´aria
de calor, seguindo a metodologia proposta por Germain et al. (1983) [42] e a teoria
apresentada, entre outros, por Suquet (1987) [123], Michel et al. (1999) [81] e Miehe et al.
(1999)[84] no contexto dos problemas da mecˆanica dos s´olidos. Estes modelos multi-escala
s˜ao constru´ıdos sob a hip´otese de que um campo macrosc´opico associado a qualquer ponto
material x do dom´ınio cont´ınuo Ω ´e a m´edia volum´etrica da sua contraparte microsc´opica
sobre a micro-c´elula local, chamada de EVR, veja Fig.2.1. Para uma descri¸c˜ao adequada
do modelo multi-escala ´e necess´ario que o comprimento caracter´ıstico do EVR, l
µ
, seja
muito menor que o comprimento caracter´ıstico da macro-escala, l. Geralmente, o dom´ınio
do EVR, representado por Ω
µ
⊂
N
, ´e constitu´ıdo por uma parte denominada matriz,
denotada como Ω
m
µ
, e outra denominada inclus˜ao
1
, denotada como Ω
i
µ
, veja Fig. 2.1.
Baseado no anterior, tem-se as seguintes defini¸c˜oes para os dom´ınios de an´alise:
Ω
µ
= Ω
m
µ
∪ Ω
i
µ
; ∂Ω
m
µ
= ∂Ω
µ
∪ ∂Ω
i
µ
, (2.1)
1
No caso que o EVR possua vazios (Ω
v
µ
) a an´alise ´e totalmente an´aloga ao apresentado nesta se¸c˜ao.
12
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
onde Ω
i
µ
denota o fecho do conjunto Ω
i
µ
. Por simplicidade, somente ser˜ao consideradas
micro-c´elulas nas quais as inclus˜oes n˜ao interceptam o contorno do EVR, ou seja
∂Ω
µ
∩ Ω
i
µ
= ∅. (2.2)
Com a caracteriza¸c˜ao geom´etrica do dom´ınio do EVR apresentada anteriormente,
tem-se que as normais unit´arias a cada contorno ∂Ω
m
µ
e ∂Ω
i
µ
podem ser definidas como
n := n|
∂Ω
m
µ
e n|
∂Ω
i
µ
:= −n. (2.3)
x
y
l
l
<< l
m
macro-escala
micro-escala
Figura 2.1: macro-escala cont´ınua com a micro-escala local
2.1.1 Homogeneiza¸c˜ao e campos de temperatura microsc´opicos
Segundo dito no in´ıcio da se¸c˜ao, o estudo dos modelos constitutivos multi-escala
do ponto de vista de sua formula¸c˜ao variacional inicia assumindo que o gradiente da
temperatura ∇u num ponto x da macro-escala cont´ınua ´e a m´edia volum´etrica do gradiente
t´ermico da micro-escala, ∇u
µ
, sobre o EVR associado ao ponto x. Assim sendo, tem-se
que
∇u (x) =
1
V
µ
Ω
µ
∇u
µ
(y) dV, (2.4)
onde u
µ
(y) ´e o campo de temperatura na micro-escala associada a cada ponto y do EVR.
O processo definido pela eq.(2.4), que toma um campo definido sobre o EVR, neste caso
∇u
µ
(y), e o mapeia numa quantidade definida na macro-escala, neste caso ∇u (x), ´e
conhecido como homogeneiza¸c˜ao.
Decomposi¸c˜ao aditiva da temperatura microsc´opica. Sem perda de generalidade,
qualquer campo de temperatura microsc´opico u
µ
pode ser decomposto numa soma
u
µ
(y) = u (x) + ¯u (y) + ˜u
µ
(y) , (2.5)
13
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
de um campo de temperatura constante dada pela temperatura macrosc´opica u (x) no
ponto x associado com o EVR, um campo associado ao gradiente de temperatura ho-
mogˆeneo
¯u (y) := ∇u (x) · y (2.6)
que varia linearmente em y e um campo de flutua¸c˜oes de temperatura ˜u
µ
(y). Baseado
na decomposi¸c˜ao aditiva mostrada na eq.(2.5), o gradiente da temperatura microsc´opica
pode ser escrito como:
∇u
µ
(y) = ∇u (x) + ∇˜u
µ
(y) , (2.7)
onde se tem uma parte homogˆenea (constante em y) coincidente com o gradiente de
temperatura macrosc´opica, e um gradiente da flutua¸c˜ao microsc´opica da temperatura,
que geralmente varia com y. Cabe mencionar que, baseado na defini¸c˜ao do operador
gradiente, a aplica¸c˜ao ∇u
µ
(y) ´e da seguinte forma
∇u
µ
(y) :=
∂
∂y
u
µ
(y) . (2.8)
Utilizando o teorema da divergˆencia, a homogeneiza¸c˜ao do gradiente de temperatura mi-
crosc´opico mostrado na eq.(2.4) pode ser escrita alternativamente como
∇u =
1
V
µ
∂Ω
µ
u
µ
ndS ∀y ∈ ∂Ω
µ
. (2.9)
Empregando o processo de homogeneiza¸c˜ao definido ao in´ıcio da se¸c˜ao, tem-se que a
temperatura macrosc´opica associada ao ponto material x satisfaz
u (x) =
1
V
µ
Ω
µ
u
µ
(y) dV. (2.10)
Introduzindo a decomposi¸c˜ao eq.(2.5) na express˜ao anterior, o campo de flutua¸c˜oes de
temperatura microsc´opicas deve satisfazer
Ω
µ
˜u
µ
(y) dV = −
Ω
µ
∇u (x) · ydV. (2.11)
Observa¸c˜ao 1. Sem perda de generalidade, pode-se posicionar a origem do sistema de
coordenadas no centr´oide do EVR (centro geom´etrico). Assim, a restri¸c˜ao sobre o campo
de flutua¸c˜oes de temperatura ˜u
µ
, eq.(2.11), fica
Ω
µ
˜u
µ
(y) dV = 0. (2.12)
M´ınima restri¸c˜ao t´ermica no EVR. Devido ao processo de homogeneiza¸c˜ao definido
anteriormente na eq.(2.4), todo campo admiss´ıvel de temperatura deve satisfazer as re-
stri¸c˜oes estabelecidas pelas eqs.(2.4) e (2.10). Rigorosamente, pode-se dizer que a condi¸c˜ao
necess´aria para que um campo de temperatura u
µ
seja termicamente admiss´ıvel ´e
u
µ
∈ K
µ
⊂ K
∗
µ
, (2.13)
14
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
onde K
µ
´e o conjunto das temperaturas admiss´ıveis no EVR e K
∗
µ
´e o conjunto da m´ınima
restri¸c˜ao t´ermica admiss´ıvel para os campos de temperaturas na micro-escala, definido
como
K
∗
µ
:=
v ∈ H
1
(Ω
µ
) :
Ω
µ
vdV = V
µ
u,
∂Ω
µ
vndS = V
µ
∇u, [[v]] = 0 sobre ∂Ω
i
µ
, (2.14)
lembrando que [[v]] denota o salto da fun¸c˜ao v atrav´es da interface entre a matriz e a
inclus˜ao ∂Ω
i
µ
:
[[(·)]] := (·)|
m
− (·)|
i
, (2.15)
com (·) |
m
associado `a matriz Ω
m
µ
e (·) |
i
associado `a inclus˜ao Ω
i
µ
. Levando em conta a
decomposi¸c˜ao mostrada na eq.(2.7), observa-se que da homogeneiza¸c˜ao do gradiente de
temperatura microsc´opico tem-se
V
µ
∇u =
Ω
µ
∇u
µ
dV =
Ω
µ
(∇u + ∇˜u
µ
) dV = V
µ
∇u +
Ω
µ
∇˜u
µ
dV,
⇒
Ω
µ
∇˜u
µ
dV =
∂Ω
µ
˜u
µ
ndS = 0. (2.16)
Assim, a restri¸c˜ao imposta sobre o campo de temperatura microsc´opica (2.13) ´e equiva-
lente a requerer que a flutua¸c˜ao da temperatura microsc´opica ˜u
µ
(y) perten¸ca ao espa¸co
vetorial das flutua¸c˜oes de temperatura termicamente admiss´ıveis
˜
K
µ
, que por sua vez ´e
um subespa¸co do espa¸co vetorial da m´ınima restri¸c˜ao t´ermica admiss´ıvel dos campos de
flutua¸c˜oes de temperatura
˜
K
∗
µ
, ou seja, ˜u
µ
deve satisfazer
˜u
µ
∈
˜
K
µ
⊂
˜
K
∗
µ
, (2.17)
sendo que o espa¸co
˜
K
∗
µ
´e definido como,
˜
K
∗
µ
:=
v ∈ H
1
(Ω
µ
) :
Ω
µ
vdV = −∇u ·
Ω
µ
ydV,
∂Ω
µ
vndS = 0, [[v]] = 0 sobre ∂Ω
i
µ
.
(2.18)
Tendo, portanto, definido o espa¸co
˜
K
∗
µ
, o conjunto da m´ınima restri¸c˜ao t´ermica admiss´ıvel
dos campos de temperatura na micro-escala, alternativamente, pode ser escrito como
K
∗
µ
:=
v ∈ H
1
(Ω
µ
) : v = u + ∇u · y + ˜v, ˜v ∈
˜
K
∗
µ
. (2.19)
Ent˜ao, para uma dada temperatura macrosc´opica u(x) e seu gradiente no p onto x, ∇u(x),
o conjunto K
∗
µ
´e uma transla¸c˜ao do espa¸co
˜
K
∗
µ
.
2.1.2 Equil´ıbrio t´ermico do elemento de volume representativo
Assumindo que o EVR esta sujeito a fontes internas de calor b
µ
= b
µ
(y) em Ω
µ
e a um fluxo externo de calor g
µ
= g
µ
(y) atuando sobre o contorno exterior ∂Ω
µ
, em
analogia com o Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais da mecˆanica dos s´olidos, tem-se que o
15
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
EVR est´a em equil´ıbrio se e somente se o campo vetorial q
µ
em Ω
µ
satisfaz a seguinte
equa¸c˜ao variacional cl´assica para o problema de difus˜ao estacion´aria de calor
Ω
µ
q
µ
· ∇ηdV +
Ω
µ
b
µ
ηdV −
∂Ω
µ
g
µ
ηdS = 0 ∀η ∈ V
µ
, (2.20)
onde o espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis de temperatura sobre o EVR, denotado por V
µ
, ´e
definido como,
V
µ
:=
η ∈ H
1
(Ω
µ
) : η = v
1
− v
2
, ∀v
1
, v
2
∈ K
µ
. (2.21)
Da defini¸c˜ao apresentada acima e da mostrada para o conjunto K
µ
, ´e simples ver
que, em forma geral, o espa¸co das flutua¸c˜oes virtuais de temperatura coincide com o espa¸co
das flutua¸c˜oes admiss´ıveis de temperatura,
V
µ
=
˜
K
µ
. (2.22)
Para um campo vetorial q
µ
suficientemente regular no dom´ınio Ω
µ
, o problema local
de equil´ıbrio associado `a equa¸c˜ao variacional (2.20) pode ser escrito como,
divq
µ
= b
µ
em Ω
µ
q
µ
· n = g
µ
sobre ∂Ω
µ
[[q
µ
]] · n = 0 sobre ∂Ω
i
µ
. (2.23)
2.1.3 Fluxo de calor homogeneizado
De maneira similar ao mostrado inicialmente nesta se¸c˜ao, eqs.(2.4) e (2.10), ´e necess´ario
estabelecer a rela¸c˜ao entre o fluxo de calor na micro-escala q
µ
(y) e o fluxo de calor asso-
ciado ao ponto x da macro-escala q (x). Referida associa¸c˜ao ´e feita pelo mesmo princ´ıpio
de homogeneiza¸c˜ao mostrado na Se¸c˜ao 2.1.1, assim sendo o vetor fluxo de calor homo-
geneizado q (x) ´e obtido como,
q (x) =
1
V
µ
Ω
µ
q
µ
(y) dV. (2.24)
Da express˜ao anterior ´e importante observar que o EVR ´e descrito como um cont´ınuo,
ent˜ao ´e necess´ario que o EVR seja suficientemente extenso para que uma representa¸c˜ao
cont´ınua fa¸ca sentido. Agora, empregando a seguinte rela¸c˜ao integro-tensorial,
Ω
(∇r) wdV =
∂Ω
r (w · n) dS −
Ω
rdiv (w) dV, (2.25)
na express˜ao (2.24), adotando w = q
µ
, r = y ⇒ ∇r = I, tem-se que,
q (x) =
1
V
µ
∂Ω
µ
(q
µ
·n)ydS −
Ω
µ
(divq
µ
)ydV +
∂Ω
i
µ
[[q
µ
]] · n
ydS
. (2.26)
Utilizando a formula¸c˜ao forte do problema dada pela eq.(2.23) na express˜ao acima,
16
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
tem-se a seguinte express˜ao para o fluxo de calor homogeneizado
q (x) =
1
V
µ
∂Ω
µ
g
µ
ydS −
Ω
µ
b
µ
ydV
, (2.27)
que representa o processo de homogeneiza¸c˜ao do fluxo de calor exclusivamente em termos
das fontes internas de calor e do fluxo externo atuantes sobre o EVR.
2.1.4 Princ´ıpio de macro-homogeneidade de Hill-Mandel
Baseados em argumentos f´ısicos Hill (1965) [53] e Mandel (1971) [75]; estabeleceram,
no contexto da mecˆanica de s´olidos, que “a potˆencia das tens˜oes macrosc´opicas deve ser
igual `a m´edia volum´etrica da potˆencia das tens˜oes microsc´opicas sobre o EVR associado a
esse ponto, para qualquer movimento cinematicamente admiss´ıvel do EVR”. No contexto
da modelagem desenvolvida aqui, assumimos que a rela¸c˜ao an´aloga
q · ∇δu =
1
V
µ
Ω
µ
q
µ
· ∇δu
µ
dV, (2.28)
deve ser satisfeita para todo campo de temperatura microsc´opico admiss´ıvel δu
µ
∈ K
µ
, ou
seja,
∇δu
µ
= ∇δu + ∇δ˜u
µ
∀δ˜u
µ
∈ V
µ
. (2.29)
Com o Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel estabelecido acima, pode-
se escrever a seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 1. O Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel ´e satisfeito se e
somente se os trabalhos virtuais do fluxo externo, g
µ
, e da fonte interna de calor, b
µ
, do
EVR s˜ao nulos. Assim, o Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel ´e equivalente
`as seguintes equa¸c˜oes variacionais:
∂Ω
µ
g
µ
ηdS = 0 e
Ω
µ
b
µ
ηdV = 0 ∀η ∈ V
µ
. (2.30)
Prova. Introduzindo a decomposi¸c˜ao aditiva do campo de temperatura microsc´opica em
(2.28), tem-se que
1
V
µ
Ω
µ
q
µ
· ∇δu
µ
dV =
1
V
µ
Ω
µ
q
µ
· (∇δu + ∇δ˜u
µ
) dV
= q · ∇δu +
1
V
µ
Ω
µ
q
µ
· ∇δ˜u
µ
dV. (2.31)
Ent˜ao a identidade (2.28) ´e satisfeita se e somente se,
Ω
µ
q
µ
· ∇δ˜u
µ
dV = 0 ∀δ˜u
µ
∈ V
µ
. (2.32)
17
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Integrando por partes a express˜ao acima, obt´em-se
Ω
µ
q
µ
·∇δ˜u
µ
dV =
∂Ω
µ
q
µ
·n
δ˜u
µ
dS −
Ω
µ
(divq
µ
)δ˜u
µ
dV +
∂Ω
i
µ
([[q
µ
]] ·n)δ˜u
µ
dS. (2.33)
Levando em conta a forma forte do equil´ıbrio no EVR, dada pela eq.(2.23), a express˜ao
acima fica
Ω
µ
q
µ
· ∇δ˜u
µ
dV =
∂Ω
µ
g
µ
δ˜u
µ
dS −
Ω
µ
b
µ
δ˜u
µ
dV ∀δ˜u
µ
∈ V
µ
. (2.34)
Da express˜ao acima segue que o Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel ´e
equivalente `a seguinte equa¸c˜ao variacional,
∂Ω
µ
g
µ
δ˜u
µ
dS −
Ω
µ
b
µ
δ˜u
µ
dV = 0 ∀δ˜u
µ
∈ V
µ
. (2.35)
Mas, como V
µ
tem a estrutura de um espa¸co vetorial (veja as eqs.(2.19) e (2.21)), a equa¸c˜ao
variacional acima ´e satisfeita se e somente se cada uma das integrais ´e nula individualmente.
Observa¸c˜ao 2. A equa¸c˜ao (2.30) estabelece que o Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de
Hill-Mandel ´e equivalente a requerer que o fluxo externo g
µ
e a fonte interna de calor b
µ
do EVR sejam puramente reativas. Isto ´e, o fluxo externo g
µ
e a fonte interna de calor b
µ
do EVR s˜ao rea¸c˜oes `as restri¸c˜oes t´ermicas (envolvidas na escolha do espa¸co V
µ
) impostas
ao EVR e n˜ao podem ser prescritas independentemente. Assim, g
µ
e b
µ
pertencem ao
complemento ortogonal do espa¸co V
µ
, ou seja
(g
µ
e b
µ
) ∈ V
⊥
µ
. (2.36)
Ent˜ao, uma vez que o espa¸co V
µ
´e escolhido, de forma autom´atica se tem definido o espa¸co
ao qual g
µ
e b
µ
pertencem.
Observa¸c˜ao 3. A equa¸c˜ao (2.28) ´e uma varia¸c˜ao do mostrado por Germain et al. (1983)
[42]; que postulou a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia de micro-macro dissipa¸c˜ao,
q ·
∇u
u
=
1
V
µ
Ω
µ
q
µ
·
∇u
µ
u
µ
dV, (2.37)
como a contraparte em condu¸c˜ao de calor do Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-
Mandel, originalmente desenvolvido na ´area de mecˆanica. Observa-se, no entanto, que
o uso da eq.(2.28) pode ser justificado da seguinte maneira. Inicialmente, tem-se que o
requisito b´asico de dissipa¸c˜ao t´ermica positiva na macro-escala, imposta pela segunda lei
da termodinˆamica, ´e expressa como
−q ·
∇u
u
≥ 0. (2.38)
18
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Analogamente, na micro-escala, a desigualdade
−q
µ
·
∇u
µ
u
µ
≥ 0, (2.39)
deve ser satisfeita pontualmente. De fato, se (2.39) ´e satisfeita pontualmente no EVR,
ent˜ao, trivialmente, desde que u
µ
´e positiva
2
,
−q
µ
· ∇u
µ
≥ 0 ∀y ∈ Ω
µ
. (2.40)
O uso da eq.(2.28) e do resultado acima asseguram, por sua vez, que
−q · ∇u ≥ 0, (2.41)
de modo que a desigualdade (2.38) ´e satisfeita no correspondente ponto do macro-cont´ınuo.
Em resumo, se a dissipa¸c˜ao positiva ´e assegurada pontualmente no n´ıvel do EVR, ent˜ao a
vers˜ao (2.28) do Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel para o problema de
condu¸c˜ao de calor assegura dissipa¸c˜ao positiva no n´ıvel macrosc´opico.
2.1.5 Formula¸c˜ao do problema de equil´ıbrio t´ermico
Outro componente essencial na defini¸c˜ao da modelagem constitutiva multi-escala
discutida nesta se¸c˜ao ´e a caracteriza¸c˜ao constitutiva dos materiais que comp˜oem o EVR.
Sendo que o objetivo principal ´e mostrar detalhadamente a modelagem constitutiva multi-
escala utilizada na an´alise de sensibilidade topol´ogica a ser desenvolvida na Se¸c˜ao 2.2, o
foco aqui ´e apresentar modelos constitutivos baseados em teorias dissipativas fenomenol´o-
gicas ao n´ıvel microsc´opico. Assim sendo e restrito a uma teoria constitutiva puramente
local, os axiomas do Determinismo Constitutivo e A¸c˜oes Locais, Truesdell (1969) [129];
estabelecem que em forma geral, o vetor fluxo de calor q em qualquer ponto x do cont´ınuo
´e unicamente determinado pela temperatura u nesse ponto x. Assim, existe um funcional
constitutivo F tal que
q (x) = F (∇u (x)) ∀x ∈
¯
Ω. (2.42)
Da mesma maneira que no caso macrosc´opico e considerando que na micro-escala
s˜ao v´alidas as leis da teoria do cont´ınuo, o fluxo de calor microsc´opico no EVR, q
µ
, satisfaz
a seguinte rela¸c˜ao
q
µ
(y) = F
µ
(∇u
µ
(y)) ∀y ∈ Ω
µ
, (2.43)
onde F
µ
´e o funcional constitutivo microsc´opico.
Para o caso particular de um material linear, o funcional constitutivo F
µ
assume a
forma cl´assica,
F
µ
(∇u
µ
(y)) = −K
µ
∇u
µ
(y) ∀y ∈ Ω
µ
, (2.44)
2
Para esta classe de modelos multi-escala, a n´ıvel microsc´opico ´e mantida a hip´otese cl´assica de que a
temp eratura est´a suficientemente longe do zero absoluto, tal que a modelagem matem´atica do problema
f´ısico fa¸ca sentido.
19
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
onde o tensor de condutividade t´ermica (de segunda ordem) K
µ
(y) satisfaz
K
µ
(y) =
K
m
µ
(y) se y ∈ Ω
m
µ
K
i
µ
(y) se y ∈ Ω
i
µ
, (2.45)
sendo K
m
µ
(y) e K
i
µ
(y) os tensores de condutividade t´ermica que caracterizam os compor-
tamentos constitutivos dos materiais dos dom´ınios Ω
m
µ
e Ω
i
µ
, respectivamente.
Para a descri¸c˜ao do EVR, neste trabalho ser˜ao considerados materiais cuja resposta
constitutiva microsc´opica satisfa¸ca a rela¸c˜ao constitutiva (2.44). Assim, o fluxo de calor
microsc´opico pode ser decomposto aditivamente como
q
µ
= ¯q
µ
+
˜
q
µ
, (2.46)
sendo ¯q
µ
o fluxo de calor microsc´opico induzido pelo gradiente t´ermico macrosc´opico ∇u
e
˜
q
µ
´e a flutua¸c˜ao do fluxo de calor microsc´opico associado `a flutua¸c˜ao de temperatura
microsc´opica ˜u
µ
.
Em vista da condi¸c˜ao estabelecida pelo Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-
Mandel (2.30) e levando em conta a decomposi¸c˜ao do fluxo de calor microsc´opico (2.46), a
forma fraca do problema de equil´ıbrio t´ermico na vari´avel ˜u
µ
pode ser escrita como: para
um dado gradiente de temperatura macrosc´opica ∇u, encontre o campo de flutua¸c˜ao de
temperatura microsc´opica ˜u
µ
∈
˜
K
µ
, tal que
Ω
µ
˜
q
µ
· ∇ηdV = −
Ω
µ
¯q
µ
· ∇ηdV ∀η ∈ V
µ
, com
˜
q
µ
= −K
µ
∇˜u
µ
. (2.47)
Empregando integra¸c˜ao por partes e levando em conta que n|
m
= −n|
i
sobre ∂Ω
i
µ
,
a forma de equil´ıbrio apresentada acima pode ser escrita alternativamente como
∂Ω
i
µ
[[
˜
q
µ
]] · n + [[¯q
µ
]] · n
ηdS −
Ω
µ
(div
˜
q
µ
)ηdV = 0 ∀η ∈ V
µ
. (2.48)
Finalmente a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange associada ao problema variacional (2.47)
resulta no problema de valor no contorno de achar o campo de flutua¸c˜oes de temperatura
˜u
µ
, tal que
−div
˜
q
µ
= 0 em Ω
µ
˜
q
µ
= −K
µ
∇˜u
µ
em Ω
µ
Ω
µ
˜u
µ
dV = −∇u ·
Ω
µ
ydV
∂Ω
µ
˜u
µ
ndS = 0
[[˜u
µ
]] = 0 sobre ∂Ω
i
µ
[[
˜
q
µ
]] · n = −[[¯q
µ
]] · n sobre ∂Ω
i
µ
. (2.49)
Observa¸c˜ao 4. Se o dom´ınio Ω
µ
tiver mais de uma inclus˜ao, o dom´ınio Ω
i
µ
´e definido
como,
Ω
i
µ
=
M
∪
j=1
Ω
i
µ
j
, (2.50)
onde Ω
i
µ
j
´e o dom´ınio da j-´esima inclus˜ao e M ´e a quantidade total de inclus˜oes no EVR.
20
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Assim, as condi¸c˜oes da equa¸c˜ao diferencial (2.49) sobre o dom´ınio Ω
i
µ
devem ser satisfeitas
em cada sub-dom´ınio Ω
i
µ
j
e as condi¸c˜oes impostas sobre o contorno ∂Ω
i
µ
devem ser v´alidas
sobre cada contorno ∂Ω
i
µ
j
.
Observa¸c˜ao 5. Levando em conta o discutido na Observa¸c˜ao 1, a solu¸c˜ao do problema
anterior pode ser obtida como uma soma
˜u
µ
= ˜v
µ
+ c
µ
, (2.51)
de uma flutua¸c˜ao de temperatura ˜v
µ
, solu¸c˜ao do problema (2.49) satisfazendo a restri¸c˜ao
(2.12), e uma constante c
µ
. Integrando no dom´ınio Ω
µ
a express˜ao (2.51) e levando em
conta a restri¸c˜ao (2.11) no dom´ınio Ω
µ
, a constante c
µ
´e obtida como
c
µ
= −
1
V
µ
∇u ·
Ω
µ
ydV. (2.52)
Observa¸c˜ao 6. A condi¸c˜ao (2.49)
4
est´a naturalmente satisfeita devido `a escolha feita para
o espa¸co
˜
K
µ
de acordo com (2.18). Tamb´em observa-se que, trivialmente, o valor m´edio do
lado direito de (2.49)
6
desaparece. Ent˜ao de (2.49)
3
e do Lema de Lax-Milgram, levando
em conta a observa¸c˜ao anterior, tem-se que existe uma ´unica solu¸c˜ao para o problema
(2.47).
2.1.6 Classes de modelos multi-escala
Como foi mostrado no in´ıcio desta se¸c˜ao, o conjunto K
µ
e o espa¸co
˜
K
µ
estabelecem
as m´ınimas restri¸c˜oes t´ermicas sobre os campos de temperatura microsc´opicos u
µ
e ˜u
µ
,
respectivamente, para que o conceito da macro-homogeneiza¸c˜ao seja v´alido. No entanto,
o espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis V
µ
, em geral, est´a contido no espa¸co
˜
K
∗
µ
o que permite
obter diferentes modelos constitutivos multi-escala. Cabe mencionar que cada modelo
difere um do outro somente pela escolha feita para o espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis
V
µ
⊂
˜
K
∗
µ
. Considerando, portanto, a estrutura variacional apresentada anteriormente,
nesta se¸c˜ao ser˜ao obtidos quatro classes de modelos constitutivos multi-escala. Esses
quatro modelos s˜ao comumente conhecidos como:
(a) Modelo de Taylor ou de gradiente homogˆeneo de temperatura no EVR;
(b) Modelo de temperatura linear no contorno do EVR;
(c) Modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de temperatura no contorno do EVR;
(d) Modelo de fluxo uniforme no contorno do EVR, ou da m´ınima restri¸c˜ao t´ermica.
2.1.6.1 Modelo de Taylor
O modelo de Taylor se baseia em adotar para o espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis, o
espa¸co identicamente nulo, ou seja,
V
µ
= V
T
µ
:= {0}, (2.53)
21
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
conseq¨uentemente a restri¸c˜ao t´ermica sobre o EVR ´e dada por,
˜u
µ
(y) = 0, ∀y ∈ Ω
µ
. (2.54)
Esta escolha do espa¸co implica que o campo de temperatura microsc´opica ´e linear
na vari´avel y,
u
µ
(y) = u (x) + ∇u (x) · y, ∀y ∈ Ω
µ
, (2.55)
e o gradiente t´ermico ´e homogˆeneo em todo o EVR,
∇u
µ
(y) = ∇u (x) , ∀y ∈ Ω
µ
, (2.56)
al´em disso, coincide com o gradiente de temperatura macrosc´opico correspondente ao
ponto x do corpo Ω.
Portanto, para este modelo, a fonte interna de calor b
µ
e o fluxo externo de calor g
µ
,
s˜ao rea¸c˜oes a serem determinadas, pois o espa¸co ortogonal
V
T
µ
⊥
pode ser qualquer um
que tenha a regularidade suficiente no dom´ınio de an´alise.
Com o resultado estabelecido em (2.56), o funcional constitutivo que define o fluxo
de calor na micro-escala, eq.(2.43), satisfaz
q
µ
(y) = −K
µ
∇u
µ
(y) = −K
µ
∇u (x) = ¯q
µ
∀y ∈ Ω
µ
. (2.57)
Portanto, o fluxo de calor homogeneizado (2.24) para o modelo de Taylor pode-se
escrever como,
q (x) =
1
V
µ
Ω
m
µ
dV ¯q
µ
|
m
+
1
V
µ
Ω
i
µ
dV ¯q
µ
|
i
= v
m
¯q
µ
|
m
+ v
i
¯q
µ
|
i
, (2.58)
onde ¯q
µ
|
m
e ¯q
µ
|
i
s˜ao os fluxos de calor (uniformes) resultantes na matriz e na inclus˜ao do
EVR, respectivamente; e a fra¸c˜ao de volume da matriz e da inclus˜ao s˜ao dados por
v
m
:=
V
m
µ
V
µ
e v
i
:=
V
i
µ
V
µ
. (2.59)
Logo, considerando m´ultiplas inclus˜oes, por exemplo, M inclus˜oes disjuntas, e supondo
que a resposta constitutiva de cada subdom´ınio j pode ser modelada por um tensor de
segunda ordem da forma K
µ
j
independente de y, a express˜ao (2.58) pode ser escrita da
seguinte forma,
q (x) = v
m
¯q
µ
|
m
+
M
j=1
v
j
¯q
µ
|
j
, (2.60)
sendo v
j
a fra¸c˜ao de volume da j−´esima inclus˜ao e ¯q
µ
|
j
= −K
µ
j
∇u o fluxo de calor
microsc´opico induzido pelo gradiente t´ermico macrosc´opico correspondente `a fase j. Isto
´e, o fluxo de calor macrosc´opico, para o modelo de Taylor dado pela eq. (2.60), ´e a m´edia
ponderada dos fluxos de calor atuantes nas diferentes fases s´olidas do EVR. Esta regra ´e
comumente conhecida como regra da mistura.
22
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
2.1.6.2 Modelo de temperatura linear no contorno do EVR
Esta classe de modelo ´e derivada assumindo que no contorno do EVR a flutua¸c˜ao
de temperatura microsc´opica ´e nula. Assim, o espa¸co V
µ
´e definido como,
V
µ
= V
L
µ
:=
˜u
µ
∈
˜
K
∗
µ
: ˜u
µ
(y) = 0, ∀y ∈ ∂Ω
µ
. (2.61)
Com esta escolha para o espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis, observa-se que a temper-
atura no contorno do EVR varia linearmente com y, ou seja,
u
µ
(y) = u (x) + ¯u
µ
(y) , ∀y ∈ ∂Ω
µ
. (2.62)
Da mesma forma que ocorre no modelo de Taylor, o fluxo de calor externo g
µ
pertence
ao espa¸co das fun¸c˜oes suficientemente regulares no contorno ∂Ω
µ
e deve ser determinado
atrav´es de um c´alculo a posteriori. Devido `a defini¸c˜ao do espa¸co V
L
µ
, as ´unicas fontes
internas de calor que satisfazem a equa¸c˜ao variacional (2.30)
2
s˜ao as identicamente nulas,
ou seja,
b
µ
(y) = 0 ∀y ∈ Ω
µ
. (2.63)
2.1.6.3 Modelo de fluctua¸c˜ao peri´odica de temperatura no contorno do EVR
Esta classe de modelos constitutivos ´e apropriada para representar o comportamento
de materiais com microestrutura peri´odica, Michel et al. (1999) [81]. Para que essa
representa¸c˜ao peri´odica fa¸ca sentido, ´e necess´ario que o contorno do EVR esteja composto
por N pares de conjuntos iguais de lados
∂Ω
µ
=
N
∪
j=1
(Γ
+
j
, Γ
−
j
), (2.64)
tais que, cada ponto y
+
∈ Γ
+
j
tenha seu correspondente y
−
∈ Γ
−
j
, e que as normais aos
lados do contorno (Γ
+
j
, Γ
−
j
) nos pontos (y
+
, y
−
) satisfa¸cam
n
+
j
= −n
−
j
. (2.65)
Os exemplos t´ıpicos de formas para os contornos de EVR peri´odicos s˜ao as quadradas,
retangulares e hexagonais, veja Fig. 2.2.
Figura 2.2: geometrias do EVR peri´odico - c´elulas quadradas e hexagonais.
23
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Levando em conta as considera¸c˜oes geom´etricas estabelecidas acima, o espa¸co V
µ
para o modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de temperatura no contorno do EVR ´e definido
como,
V
µ
= V
P
µ
:=
˜u
µ
∈
˜
K
∗
µ
: ˜u
µ
y
+
= ˜u
µ
y
−
∀ par
y
+
, y
−
∈ ∂Ω
µ
. (2.66)
Com a defini¸c˜ao do espa¸co V
P
µ
apresentada anteriormente, ´e simples verificar que
a condi¸c˜ao dada pela eq.(2.22) ´e satisfeita. De fato, basta constatar que ´e cumprida
a condi¸c˜ao dada pela eq.(2.18). Ent˜ao, tendo assumido a parti¸c˜ao geom´etrica para o
contorno do EVR, a restri¸c˜ao para o espa¸co
˜
K
µ
pode ser escrita como
∂Ω
µ
˜u
µ
ndS =
N
j=0
Γ
+
j
˜u
µ
y
+
n
+
j
dS +
Γ
−
j
˜u
µ
y
−
n
−
j
dS
=
N
j=0
Γ
+
j
˜u
µ
y
+
n
+
j
dS −
Γ
+
j
˜u
µ
y
+
n
+
j
dS
= 0. (2.67)
Recordando que o fluxo externo de calor g
µ
aplicado ao contorno do EVR ´e ortogonal
ao espa¸co V
P
µ
, ou seja g
µ
∈
V
P
µ
⊥
, para satisfazer a equa¸c˜ao variacional
∂Ω
µ
g
µ
ηdS = 0 ∀η ∈ V
P
µ
, (2.68)
´e necess´ario que o fluxo externo de calor seja anti-peri´odico no contorno ∂Ω
µ
, ou seja
g
µ
y
+
= −g
µ
y
−
∀ par
y
+
, y
−
∈ ∂Ω
µ
. (2.69)
Finalmente, as fontes internas de calor ortogonais ao espa¸co V
P
µ
s˜ao, da mesma
maneira que no caso anterior, as identicamente nulas,
b
µ
(y) = 0 ∀y ∈ Ω
µ
. (2.70)
2.1.6.4 Modelo de fluxo uniforme no contorno do EVR
Para este ´ultimo modelo, a escolha feita para o espa¸co V
µ
´e a de m´ınima restri¸c˜ao
t´ermica no EVR. Assim, o espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis de flutua¸c˜oes de temperatura
´e dado por
V
µ
= V
M
µ
:=
˜
K
∗
µ
. (2.71)
Da mesma forma que nos modelos apresentados nas duas se¸c˜oes anteriores, as fontes
internas de calor que satisfazem a equa¸c˜ao variacional (2.30)
2
s˜ao as identicamente nulas,
ou seja,
b
µ
(y) = 0 ∀y ∈ Ω
µ
. (2.72)
Para um modelo constitutivo baseado na m´ınima restri¸c˜ao t´ermica no EVR, o fluxo
externo de calor compat´ıvel ´e dado por
g
µ
(y) = q (x) · n (y) ∀y ∈ ∂Ω
µ
, (2.73)
24
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
isto significa que o fluxo externo de calor ´e uniforme no contorno do EVR. A validade da
express˜ao (2.73) pode ser demonstrada. De fato,
Proposi¸c˜ao 2. Para um modelo constitutivo multi-escala baseado na m´ınima restri¸c˜ao
t´ermica no EVR, tem-se como conseq¨uˆencia que o fluxo externo de calor satisfaz a seguinte
igualdade
g
µ
(y) = q (x) · n (y) ∀y ∈ ∂Ω
µ
, (2.74)
onde q (x) ´e o fluxo de calor macrosc´opico associado ao ponto x do dom´ınio Ω.
Prova. Em forma geral, ´e poss´ıvel escrever o fluxo de calor no contorno como,
g
µ
(y) = q
µ
(y) · n (y) ∀y ∈ ∂Ω
µ
, (2.75)
mas, segundo o Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel o fluxo de calor no
contorno deve satisfazer
∂Ω
µ
g
µ
(y) ηdS =
∂Ω
µ
q
µ
· n
ηdS = 0 ∀η ∈ V
M
µ
. (2.76)
Da mesma forma que o apresentado na Se¸c˜ao 2.1.1 (eq.(2.5)), o fluxo de calor no EVR
pode ser decomposto em uma soma
q
µ
(y) =
¯
q
µ
(y) +
˜
q
µ
(y) , (2.77)
de uma parcela constante em y, por hip´otese
¯
q
µ
, e uma flutua¸c˜ao no fluxo t´ermico mi-
crosc´opico,
˜
q
µ
(y), tal que
∂Ω
µ
(
˜
q
µ
· n)ndS =
∂Ω
µ
˜q
n
µ
ndS = 0, (2.78)
onde ˜q
n
µ
´e a componente normal da flutua¸c˜ao do fluxo microsc´opico de calor, dada por
˜
q
µ
· n = ˜q
n
µ
. (2.79)
Por outro lado, associado ao fluxo de calor q
µ
(y), ´e poss´ıvel definir o vetor ψ como
ψ :=
∂Ω
µ
q
n
µ
ndS, (2.80)
onde q
n
µ
´e a componente normal do fluxo de calor microsc´opico, ou seja q
n
µ
= g
µ
. Intro-
duzindo a decomposi¸c˜ao aditiva para o fluxo de calor na defini¸c˜ao dada acima para o vetor
ψ, tem-se que
ψ =
∂Ω
µ
[(
¯
q
µ
+
˜
q
µ
) · n]ndS
=
∂Ω
µ
(n ⊗ n)dS ¯q
µ
+
∂Ω
µ
˜q
n
µ
ndS. (2.81)
25
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Lembrando a defini¸c˜ao do escalar ˜q
n
µ
, a express˜ao acima pode ser escrita como
ψ = R¯q
µ
, (2.82)
onde o tensor de segunda ordem R ´e definido da seguinte forma
R :=
∂Ω
µ
n ⊗ ndS , (2.83)
e depende exclusivamente da geometria do contorno do EVR. Sendo que o tensor R ´e in-
vert´ıvel para todo contorno fechado ∂Ω
µ
, a decomposi¸c˜ao aditiva apresentada na eq.(2.77)
´e de fato poss´ıvel com
¯q
µ
= R
−1
ψ ⇒
˜
q
µ
(y) = q
µ
(y) −
¯
q
µ
. (2.84)
Considere agora o campo escalar
η
∗
:= ˜q
n
µ
, (2.85)
com a defini¸c˜ao acima, ´e simples observar que η
∗
∈ V
M
µ
. Ent˜ao introduzindo a decom-
posi¸c˜ao aditiva do fluxo de calor e o campo escalar η
∗
na condi¸c˜ao de ortogonalidade dada
pela eq.(2.76), tem-se
∂Ω
µ
(q
µ
· n)η
∗
dS = ¯q
µ
·
∂Ω
µ
η
∗
ndS +
∂Ω
µ
(
˜
q
µ
· n)η
∗
dS
=
∂Ω
µ
(˜
q
n
µ
)
2
dS
= 0
⇒
˜
q
n
µ
= 0
. (2.86)
Do resultado obtido acima, segue que
˜
q
µ
(y) · n(y) = 0 ∀y ∈ ∂Ω
µ
. (2.87)
Finalmente, fica demonstrado que o fluxo de calor no contorno do EVR, para o modelo
que est´a sendo estudado, ´e constante
g
µ
(y) = q
µ
(y) · n (y) = ¯q
µ
· n (y) ∀y ∈ ∂Ω
µ
. (2.88)
Para completar a prova, considere a defini¸c˜ao da homogeneiza¸c˜ao feita na Se¸c˜ao 2.1.1 para
o fluxo de calor em termo das fontes internas e do fluxo externo no contorno, dada pela
seguinte express˜ao
q (x) =
1
V
µ
∂Ω
µ
g
µ
ydS −
Ω
µ
b
µ
ydV
. (2.89)
Levando em conta que a fonte interna de calor b
µ
´e nula e o resultado (2.88), o fluxo de
calor macrosc´opico ´e dado por
q (x) =
1
V
µ
∂Ω
µ
(¯q
µ
· n)ydS
=
1
V
µ
∂Ω
µ
(y ⊗ n)dS
¯q
µ
= I¯q
µ
= ¯q
µ
, (2.90)
26
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
o que encerra a prova da proposi¸c˜ao.
Note que com a presente constru¸c˜ao variacional do modelo da m´ınima restri¸c˜ao
t´ermica, a condi¸c˜ao de fluxo externo dada pela eq.(2.73) ´e uma conseq¨uˆencia da escolha
feita para o espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis V
M
µ
e n˜ao pode ser imposta a priori. Devido
`a condi¸c˜ao estabelecida em (2.73) este modelo ´e conhecido como de fluxo uniforme no
contorno.
Observa¸c˜ao 7. Os espa¸cos que definen os modelos desenvolvidos nas se¸c˜oes anteriores
s˜ao apresentados de maneira resumida no quadro abaixo
(a) Modelo de Taylor
V
T
µ
:= {0}.
(b) Modelo de temperatura linear no contorno
V
L
µ
:=
˜u
µ
∈
˜
K
∗
µ
: ˜u
µ
(y) = 0 ∀y ∈ ∂Ω
µ
.
(c) Modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de temperatura no contorno
V
P
µ
:=
˜u
µ
∈
˜
K
∗
µ
: ˜u
µ
y
+
= ˜u
µ
y
−
∀par
y
+
, y
−
∈ ∂Ω
µ
.
(d) Modelo de fluxo uniforme no contorno
V
M
µ
:=
˜
K
∗
µ
.
Um fato importante que deve ser notado ´e que os modelos ora apresentados diferem entre
eles somente pela escolha feita para o espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis V
µ
⊂
˜
K
∗
µ
. Do
quadro acima ´e simples ver a seguinte rela¸c˜ao entre os espa¸cos propostos para os modelos
obtidos,
V
T
µ
⊂ V
L
µ
⊂ V
P
µ
⊂ V
M
µ
. (2.91)
Da´ı segue que o modelo de Taylor e do fluxo exterior uniforme no contorno fornecem
os limites superiores e inferiores, respectivamente, para todas as poss´ıveis escolhas das
restri¸c˜oes t´ermicas para o espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis.
Observa¸c˜ao 8. Nos modelos constitutivos multi-escala apresentados anteriormente, foi
provado que, exceto no modelo de Taylor, as fontes internas de calor compat´ıveis com a
modelagem proposta s˜ao necessariamente nula, b
µ
(y) = 0 ∀y ∈ Ω
µ
. Ent˜ao, introduzindo
esse resultado em (2.27), tem-se que o fluxo t´ermico homogeneizado pode ser obtido a
partir do fluxo externo de calor g
µ
como
q (x) =
1
V
µ
∂Ω
µ
g
µ
ydS. (2.92)
A express˜ao mostrada anteriormente possui a vantagem de ser muito simples, o que torna
f´acil sua implementa¸c˜ao computacional. No caso de modelo de Taylor, o fluxo de calor
macrosc´opico ´e calculado diretamente com a eq.(2.58).
27
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
2.1.7 Tensor de condutividade t´ermica homogeneizado
No desenvolvimento dos modelos constitutivos multi-escala, baseados na m´edia volu-
m´etrica de campos definidos ao n´ıvel microsc´opicos, uns dos principais objetivos ´e obter a
resposta constitutiva do EVR considerado. Portanto, o prop´osito principal desta se¸c˜ao ´e
apresentar a deriva¸c˜ao do tensor de condutividade t´ermica macrosc´opico, empregando as
t´ecnicas multi-escala apresentadas nas se¸c˜oes anteriores.
Repetindo, por conveniˆencia, a forma fraca do problema de equil´ıbrio t´ermico mostra-
do anteriormente, tem-se o seguinte problema variacional: dado o gradiente de temper-
atura macrosc´opica ∇u, encontre o campo de flutua¸c˜ao de temperatura microsc´opica
˜u
µ
∈
˜
K
µ
, tal que
−
Ω
µ
K
µ
∇˜u
µ
· ∇ηdV =
Ω
µ
K
µ
∇u · ∇ηdV ∀η ∈ V
µ
. (2.93)
Como o problema em estudo ´e linear, o tensor de condutividade t´ermica macrosc´opico
pode ser obtido atrav´es de uma superposi¸c˜ao linear de problemas associados com as com-
ponentes cartesianas do gradiente de temperatura macrosc´opico. Este procedimento ´e
completamente an´alogo ao proposto por Michel et al. (1999) [81], no contexto da mecˆanica
dos s´olidos. Deste modo, o gradiente da temperatura macrosc´opica ´e escrito em termos
de suas componentes cartesianas da forma
∇u = (∇u)
i
e
i
, (2.94)
onde os escalares (∇u)
i
s˜ao as componentes do gradiente da temperatura macrosc´opica
na base definida pelos vetores e
i
, dadas por (∇u)
i
= ∇u · e
i
. Devido `a linearidade do
problema (2.93) a flutua¸c˜ao da temperatura microsc´opica ˜u
µ
pode-ser constru´ıda como
uma combina¸c˜ao linear das componentes do gradiente da temperatura macrosc´opica da
seguinte forma
˜u
µ
= (∇u)
i
˜u
µ
i
, (2.95)
sendo os campos escalares ˜u
µ
i
chamados de flutua¸c˜oes tangenciais de temperatura. Cada
˜u
µ
i
representa a derivada do campo de flutua¸c˜ao de temperatura do EVR em rela¸c˜ao `a
componente do gradiente de temperatura macrosc´opica na dire¸c˜ao do elemento da base
e
i
. Ent˜ao, substituindo a express˜ao acima no funcional (2.93) tem-se
−
Ω
µ
K
µ
(∇u)
i
∇˜u
µ
i
· ∇ηdV =
Ω
µ
K
µ
(∇u)
i
e
i
· ∇ηdV ∀η ∈ V
µ
,
−
Ω
µ
K
µ
∇˜u
µ
i
· ∇ηdV =
Ω
µ
K
µ
e
i
· ∇ηdV ∀η ∈ V
µ
. (2.96)
com i = 1, 2 para o caso bidimensional. Assim, os escalares ˜u
µ
i
que geram a base da com-
bina¸c˜ao linear (2.95) s˜ao obtidos da resolu¸c˜ao do sistema canˆonico de equa¸c˜oes variacionais
(2.96).
Ao n´ıvel macrosc´opico, a lei de Fourier estipula que o fluxo de temperatura associado
28
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
ao ponto x satisfaz
q (x) = −K∇u (x) , (2.97)
onde K ´e o tensor de condutividade t´ermica homogeneizado que caracteriza a resposta
constitutiva correspondente ao ponto material do macro-cont´ınuo x. Em vista da defini¸c˜ao
(2.24) e da lei de Fourier ao n´ıvel microsc´opico, eq.(2.44), a equa¸c˜ao anterior ´e equivalente
a
K∇u =
1
V
µ
Ω
µ
K
µ
∇u
µ
dV. (2.98)
Empregando a decomposi¸c˜ao aditiva para o campo de temperatura u
µ
e a express˜ao
(2.95), o funcional mostrado acima pode ser escrito como,
K∇u =
1
V
µ
Ω
µ
K
µ
∇udV +
1
V
µ
Ω
µ
K
µ
∇˜u
µ
dV
= K
T
∇u +
1
V
µ
Ω
µ
K
µ
∇˜u
µ
i
dV
(∇u)
i
, (2.99)
onde K
T
´e o tensor constitutivo homogeneizado associado ao modelo de Taylor, sendo
dado pela seguinte express˜ao,
K
T
=
1
V
µ
Ω
µ
K
µ
dV. (2.100)
Agora, note que a aplica¸c˜ao tensorial K
µ
∇˜u
µ
i
pode ser escrita em termos da suas
componentes como:
K
µ
∇˜u
µ
i
= (K
µ
)
jk
(e
j
⊗ e
k
) (∇˜u
µ
i
)
k
e
k
= (K
µ
)
jk
(∇˜u
µ
i
)
k
e
j
, (2.101)
e substituindo-a na eq.(2.99) tem-se,
K∇u = K
T
∇u +
1
V
µ
Ω
µ
(K
µ
)
jl
(∇˜u
µ
i
)
l
e
j
dV
∇u · e
i
= K
T
∇u +
˜
K∇u, (2.102)
onde o tensor constitutivo homogeneizado associado `a parcela de flutua¸c˜ao
˜
K ´e obtido
como:
˜
K =
1
V
µ
Ω
µ
(K
µ
)
ik
∇˜u
µ
j
k
dV
e
i
⊗ e
j
. (2.103)
Finalmente, a forma fechada do tensor constitutivo homogeneizado K ´e dada por
K = K
T
+
˜
K. (2.104)
Observa¸c˜ao 9. O tensor de condutividade t´ermica homogeneizado pode ser obtido como
a soma de duas contribui¸c˜oes: (i) a m´edia volum´etrica K
T
do tensor de condutividade
t´ermica microsc´opico, e (ii) a contribui¸c˜ao da parcela de flutua¸c˜ao
˜
K que depende somente
da flutua¸c˜ao tangencial ˜u
µ
i
que, por sua vez, depende da escolha do espa¸co V
µ
. Ambas as
contribui¸c˜oes s˜ao independentes do gradiente de temperatura macrosc´opico. Note que para
o modelo de Taylor ˜u
µ
i
= 0 para qualquer dire¸c˜ao i, ent˜ao tem-se que
˜
K = 0 e K = K
T
.
29
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
2.1.8 Implementa¸c˜ao computacional
Esta se¸c˜ao fornece uma breve descri¸c˜ao da implementa¸c˜ao computacional da mod-
elagem constitutiva multi-escala discutida nas se¸c˜oes anteriores, no contexto das aprox-
ima¸c˜oes por elementos finitos. Em particular, trata-se de forma detalhada a constru¸c˜ao das
vers˜oes discretas dos espa¸cos das varia¸c˜oes admiss´ıveis para as flutua¸c˜oes de temperatura
microsc´opica para os diferentes modelos apresentados na Se¸c˜ao 2.1.6. Encerrando a se¸c˜ao,
discutem-se brevemente alguns aspectos computacionais.
2.1.8.1 Discretiza¸c˜ao por elementos finitos
Segundo mostrado anteriormente na Se¸c˜ao 2.1.5, a forma fraca do problema de
equil´ıbrio t´ermico ´e dada pela seguinte equa¸c˜ao variacional: encontre o campo ˜u
µ
∈
˜
K
µ
,
tal que
Ω
µ
K
µ
∇(u + ∇u · y + ˜u
µ
) · ∇ηdV = 0 ∀η ∈ V
µ
⊂
˜
K
∗
µ
. (2.105)
De maneira geral, o campo de flutua¸c˜oes de temperatura ˜u
µ
e as varia¸c˜oes admiss´ıveis
η podem ser aproximadas, para uma malha de elementos finitos com N n´os, por uma
combina¸c˜ao lineal do tipo
˜u
µ
=
N
j=1
˜u
j
µ
ψ
j
e η =
N
j=1
η
j
ψ
j
, (2.106)
onde ˜u
j
µ
e η
j
s˜ao, respectivamente, os valores nodais do campo de flutua¸c˜oes de temperatura
e das varia¸c˜oes admiss´ıveis, e ψ
j
s˜ao as cl´assicas fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao globais. Com a
discretiza¸c˜ao proposta acima para os campos microsc´opicos ˜u
µ
e η, a express˜ao (2.105)
pode ser escrita em forma discreta como
Ω
µ
DB(¯u
hp
+
˜
u
hp
) · Bη
hp
dV = 0 ∀η
hp
∈
˜
K
hp
µ
⊂
˜
K
µ
, (2.107)
onde D denota a matriz da resposta constitutiva no dom´ınio do EVR, a matriz B cont´em
as derivadas cartesianas das fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao ψ
j
,
˜
u
hp
∈
˜
K
hp
µ
´e o vetor associado aos
valores nodais da flutua¸c˜ao de temperatura microsc´opica (sendo que
˜
K
hp
µ
´e a vers˜ao discreta
do espa¸co
˜
K
µ
associada `a aproxima¸c˜ao adotada), o vetor ¯u
hp
cont´em o produto (∇u ·y)|
j
avaliado em cada n´o j da malha de elementos finitos e η
hp
´e o vetor que possui os valores
nodais associados `as varia¸c˜oes admiss´ıveis. Aqui os ´ındices h ∈ (0, 1] ⊂ e p ∈ N denotam
a dependˆencia da aproxima¸c˜ao com os parˆametros h, que define o tamanho caracter´ıstico
dos elementos finitos, e p associado `a ordem polinomial das fun¸c˜oes que geram a base da
aproxima¸c˜ao (2.106). Finalmente, a solu¸c˜ao por elementos finitos do problema (2.105)
consiste em resolver o seguinte sistema alg´ebrico de equa¸c˜oes
(f
hp
+ K
hp
˜
u
hp
) · η
hp
= 0 ∀η
hp
∈
˜
K
hp
µ
⊂
˜
K
µ
, (2.108)
30
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
para o vetor de inc´ognitas nodais generalizado
˜
u
hp
, onde f
hp
e K
hp
s˜ao, respectivamente,
o vetor de carregamento nodal generalizado e a matriz de rigidez global, dados por
K
hp
=
Ω
µ
B
T
DBdV e f
hp
= K
hp
¯u
hp
. (2.109)
No caso do modelo de temperatura linear no contorno do EVR, desenvolvido na
Se¸c˜ao 2.1.6.2, a solu¸c˜ao do problema (2.105) segue o caminho cl´assico dos problemas
lineares de condu¸c˜ao estacion´aria de calor. Basta apenas prescrever o valor zero aos graus
de lib erdade associados `as flutua¸c˜oes de temperatura no contorno. No entanto, para
os modelos de flutua¸c˜ao peri´odica de temperatura (Se¸c˜ao 2.1.6.3) e da m´ınima restri¸c˜ao
t´ermica (Se¸c˜ao 2.1.6.4), as condi¸c˜oes de contorno no EVR s˜ao n˜ao convencionais. A
principal diferen¸ca reside na gera¸c˜ao do espa¸co discreto para as flutua¸c˜oes de temperatura
admiss´ıveis e virtuais, cujas restri¸c˜oes n˜ao s˜ao descritas de uma forma local. Em seguida,
portanto, ´e brevemente descrita a constru¸c˜ao do espa¸co de elementos finitos, colocando
em evidˆencia as condi¸c˜oes de contorno em termos dos graus de liberdade nodais para os
modelos mencionados anteriormente.
Modelo de temperatura linear no contorno. Como mencionado anteriormente, o
modelo de flutua¸c˜ao de temperatura nula no contorno n˜ao requer coment´arios adicionais,
pois pode ser implementado seguindo o caminho cl´assico dos problemas de difus˜ao esta-
cion´aria de calor. No entanto, em seguida ´e apresentada uma breve discuss˜ao acerca
de uma implementa¸c˜ao computacional alternativa para esta classe de modelos, seguindo
uma estrutura similar `a que ser´a empregada na implementa¸c˜ao dos modelos de flutua¸c˜ao
peri´odica de temperatura no contorno do EVR e da m´ınima restri¸c˜ao t´ermica. Considere,
ent˜ao, que o espa¸co discreto
˜
K
hp
µ
das flutua¸c˜oes de temperatura admiss´ıveis pode ser
definido como
˜
K
hp
µ
:=
v = (v
i
|v
b
)
T
: v
b
= 0
, (2.110)
onde v
i
, v
b
denotam os vetores contendo, respectivamente, os graus de liberdade interiores
e do contorno do EVR. Dividindo, portanto, a matriz K
hp
e os vetores f
hp
,
˜
u
hp
e η
hp
da
mesma forma que v, tem-se que a equa¸c˜ao (2.108) pode ser escrita como
f
i
hp
f
b
hp
+
k
ii
hp
k
ib
hp
k
bi
hp
k
bb
hp
˜
u
i
hp
˜
u
b
hp
·
η
i
hp
η
b
hp
= 0 ∀η
i
hp
, η
b
hp
. (2.111)
Introduzindo a restri¸c˜ao do espa¸co discreto
˜
K
hp
µ
sobre os graus de liberdade do contorno
do EVR, a express˜ao acima se reduz a
f
i
hp
+ k
ii
hp
˜
u
i
hp
· η
i
hp
= 0 ∀η
i
hp
. (2.112)
Levando em conta a arbitrariedade de η
i
hp
, a equa¸c˜ao discreta do equil´ıbrio para os graus
de liberdade interiores ´e dada pelo seguinte sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas para o vetor
˜
u
i
hp
k
ii
hp
˜
u
i
hp
= −f
i
hp
. (2.113)
31
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Como mencionado, o sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas anterior fornece a solu¸c˜ao associada
aos graus de liberdade interiores do EVR. Levando em conta, portanto, a decomposi¸c˜ao
e restri¸c˜ao mostrada na defini¸c˜ao do espa¸co discreto
˜
K
hp
µ
, eq.(2.110), o vetor flutua¸c˜ao de
temperatura microsc´opica
˜
u
hp
´e dado por
˜
u
hp
= (
˜
u
i
hp
| 0)
T
. (2.114)
Modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de temperatura no contorno. Para o modelo de
flutua¸c˜ao peri´odica de temperatura no contorno, a geometria do EVR deve respeitar as
restri¸c˜oes previstas na Se¸c˜ao 2.1.6.3. Neste caso, ´e conveniente assumir
3
que cada n´o do
contorno i
+
, com coordenada y
+
i
, tem um par i
−
, com coordenada y
−
i
, como mostrado
na Fig.2.3. Com as condi¸c˜oes mencionadas anteriormente, o espa¸co discreto
˜
K
hp
µ
das
flutua¸c˜oes de temperatura admiss´ıveis pode ser definido como
˜
K
hp
µ
:=
v = (v
i
|v
+
|v
−
)
T
: v
+
= v
−
, (2.115)
onde v
i
, v
+
e v
−
denotam os vetores contendo, respectivamente, os graus de liberdade
interiores do EVR e das partes Γ
+
e Γ
−
do contorno do EVR, ou seja,
Γ
+
∪ Γ
−
= ∂Ω
µ
, Γ
+
=
N
∪
j=1
Γ
+
j
e Γ
−
=
N
∪
j=1
Γ
−
j
. (2.116)
Figura 2.3: geometrias discretas para os EVR peri´odicos.
Ao dividir f
hp
, k
hp
,
˜
u
hp
e η
hp
na mesma forma que v e levando em conta a defini¸c˜ao
(2.115), lembrando que
˜
u
hp
e η
hp
pertencem ao espa¸co
˜
K
hp
µ
, a express˜ao (2.108) assume a
forma
f
i
hp
f
+
hp
f
−
hp
+
k
ii
hp
k
i+
hp
k
i−
hp
k
+i
hp
k
++
hp
k
+−
hp
k
−i
hp
k
−+
hp
k
−−
hp
˜
u
i
hp
˜
u
+
hp
˜
u
+
hp
·
η
i
hp
η
+
hp
η
+
hp
= 0 ∀η
i
hp
, η
+
hp
. (2.117)
Considerando a repeti¸c˜ao de
˜
u
+
hp
e η
+
hp
nos vetores dos graus de liberdade nodais, a equa¸c˜ao
3
Esta hip´otese n˜ao ´e necess´aria, mas simplifica consideravelmente a implementa¸c˜ao computacional do
mo delo utilizando o m´etodo dos elementos finitos.
32
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
discreta do equil´ıbrio (2.117) se reduz `a seguinte forma
f
i
hp
f
+
hp
+ f
−
hp
+
k
ii
hp
k
i+
hp
+ k
i−
hp
k
+i
hp
+ k
−i
hp
k
++
hp
+ k
−+
hp
+ k
+−
hp
+ k
−−
hp
˜
u
i
hp
˜
u
+
hp
·
η
i
hp
η
+
hp
= 0 ∀η
i
hp
, η
+
hp
,
(2.118)
que, em vista da arbitrariedade de η
i
hp
e η
+
hp
, tem-se o seguinte sistema linear de equa¸c˜oes
alg´ebricas para os vetores
˜
u
i
hp
e
˜
u
+
hp
,
k
ii
hp
k
i+
hp
+ k
i−
hp
k
+i
hp
+ k
−i
hp
k
++
hp
+ k
−+
hp
+ k
+−
hp
+ k
−−
hp
˜
u
i
hp
˜
u
+
hp
= −
f
i
hp
f
+
hp
+ f
−
hp
. (2.119)
Finalmente, com a solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas anterior e levando em conta
a decomposi¸c˜ao apresentada na defini¸c˜ao do espa¸co discreto
˜
K
hp
µ
, eq.(2.115), o vetor flu-
tua¸c˜ao de temperatura microsc´opica
˜
u
hp
´e dado por
˜
u
hp
= (
˜
u
i
hp
|
˜
u
+
hp
|
˜
u
+
hp
)
T
. (2.120)
Modelo de fluxo uniforme no contorno do EVR. Para este modelo ´e seguido
um procedimento completamente an´alogo ao anterior, visando obter o conjunto final de
equa¸c˜oes alg´ebricas de elementos finitos sob a hip´otese de m´ınima restri¸c˜ao t´ermica (fluxo
uniforme no contorno do EVR). Para come¸car, considere a seguinte defini¸c˜ao da contra-
parte discreta do espa¸co das flutua¸c˜oes de temperatura admiss´ıveis e virtuais (2.18):
˜
K
hp
µ
:=
v = (v
i
|v
b
)
T
:
∂Ω
h
µ
(ϕ
b
· v
b
)nd∂Ω
µ
= 0
, (2.121)
onde v
i
e v
b
s˜ao os vetores que contˆem os graus de liberdade interiores e do contorno,
respectivamente, e ϕ
b
´e o vetor das fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao globais associadas unicamente
com os n´os do contorno do EVR discretizado. Do espa¸co mostrado em (2.121), ´e simples
ver que a restri¸c˜ao integral sobre v
b
pode ser escrita equivalentemente em forma matricial
como
Cv
b
= 0, (2.122)
sendo C a matriz de restri¸c˜ao sobre os graus de liberdade do contorno do EVR. Para um
EVR discretizado com k n´os interiores e m n´os no contorno, no caso bidimensional v
b
´e
um vetor de dimens˜ao m e C ´e uma matriz de dimens˜ao 2 × m dada por
C =
∂Ω
h
µ
ϕ
k+1
n
1
d∂Ω
µ
···
∂Ω
h
µ
ϕ
k+m
n
1
d∂Ω
µ
∂Ω
h
µ
ϕ
k+1
n
2
d∂Ω
µ
···
∂Ω
h
µ
ϕ
k+m
n
2
d∂Ω
µ
, (2.123)
com n
1
e n
2
denotando as componentes do campo vetorial n, normal ao contorno ∂Ω
µ
,
associadas `a base global ortonormal {e
1
, e
2
} e ϕ
j
, j = 1, ··· , m, s˜ao as fun¸c˜oes de forma
globais associadas aos n´os do contorno. Neste caso, a equa¸c˜ao (2.122) fornece duas re-
stri¸c˜oes lineares sobre a quantidade total dos m graus de liberdade no contorno discreto
do EVR. Para EVR tridimensionais, as dimens˜oes do vetor v
b
e das matriz C s˜ao, respec-
33
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
tivamente, m e 3 × m. No contexto usual de elementos finitos, em vez de utilizar fun¸c˜oes
de forma globais, a matriz C ´e obtida da montagem de matrizes elementares que em duas
dimens˜oes, para um elemento e com g n´os na intersec¸c˜ao Γ
(e)
do contorno do elemento
com o contorno do EVR, ´e da forma
C
(e)
=
Γ
(e)
ϕ
(e)
1
n
1
d∂Ω
µ
···
Γ
(e)
ϕ
(e)
g
n
1
d∂Ω
µ
Γ
(e)
ϕ
(e)
1
n
2
d∂Ω
µ
···
Γ
(e)
ϕ
(e)
g
n
2
d∂Ω
µ
, (2.124)
na express˜ao acima foi assumido que os n´os do elemento e que est˜ao em Γ
(e)
s˜ao localmente
numerados de 1 a g e ϕ
(e)
j
, j = 1, ··· , g, s˜ao as fun¸c˜oes de forma locais associadas ao n´o
j. Por exemplo, as matrizes para os elementos triangulares convencionais com trˆes e seis
n´os, tendo um ´unico lado reto de comprimento l
(e)
e, no caso do elemento triangular de
seis n´os, trˆes n´os igualmente espa¸cados intersectando o contorno do EVR, s˜ao dadas por
C
(e)
T 3
=
l
(e)
2
n
1
n
1
n
2
n
2
, C
(e)
T 6
=
l
(e)
6
n
1
4n
1
n
1
n
2
4n
2
n
2
. (2.125)
A fim de lidar com a restri¸c˜ao (2.122) sobre o espa¸co discreto das flutua¸c˜oes admiss´ıveis e
virtuais de temperatura ´e conveniente dividir v
b
como
v
b
= (v
f
|v
d
|v
p
)
T
, (2.126)
onde os sub-´ındices f, d e p denotam, respectivamente, os graus de liberdade livres, depen-
dentes e prescritos no contorno discreto do EVR. Conseq¨uentemente, a matriz de restri¸c˜ao
global ´e particionada como
C =
C
f
C
d
C
p
, (2.127)
tal que a equa¸c˜ao da restri¸c˜ao integral (2.122) fica
C
f
C
d
C
p
v
f
v
d
v
p
= 0. (2.128)
O problema de equil´ıbrio discreto (2.108) ´e totalmente determinado a menos de um cons-
tante. Portanto, ´e necess´ario prescrever graus de liberdade para tornar o problema (2.108)
bem posto. Trivialmente, sem perda de generalidade, ´e prescrito
v
p
= 0, (2.129)
onde v
p
cont´em um grau de liberdade convenientemente escolhido. Assim, a equa¸c˜ao de
restri¸c˜ao se reduz a
C
f
C
d
v
f
v
d
= 0. (2.130)
Em duas dimens˜oes, o resultado anterior representa duas equa¸c˜oes escalares envolvendo
m −1 vari´aveis, e no caso tridimensional s˜ao trˆes equa¸c˜oes escalares com m −1 vari´aveis.
34
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Finalmente, o vetor v
d
pode ser escrito em termos de v
f
como
v
d
= Rv
f
, (2.131)
onde
R = −(C
d
)
−1
C
f
. (2.132)
Note que os graus de liberdade dependentes (correspondentes a v
d
) devem ser escolhidos
tal que a matriz C
d
seja invers´ıvel. Levando em conta as considera¸c˜oes anteriores, o espa¸co
discreto (2.121) pode ser redefinido como
˜
K
hp
µ
:=
v = (v
i
|v
f
|v
d
)
T
: v
d
= Rv
f
, (2.133)
que, por conveniˆencia, cont´em apenas os graus de liberdade n˜ao prescritos. A equa¸c˜ao de
elementos finitos (2.108) para o modelo da m´ınima restri¸c˜ao t´ermica ´e obtida, analoga-
mente a (2.117), dividindo os vetores e matrizes de acordo com a parti¸c˜ao mostrada ante-
riormente e levando em conta (2.133). Assim, o sistema de equa¸c˜oes fica
f
i
hp
f
f
hp
f
d
hp
+
k
ii
hp
k
if
hp
k
id
hp
k
fi
hp
k
ff
hp
k
fd
hp
k
di
hp
k
df
hp
k
dd
hp
˜
u
i
hp
˜
u
f
hp
R
˜
u
f
hp
·
η
i
hp
η
f
hp
Rη
f
hp
= 0 ∀η
i
hp
, η
f
hp
. (2.134)
Finalmente, em vista da arbitrariedade de η
i
hp
e η
f
hp
, o sistema anterior pode ser
reduzido, levando em conta apenas para as vari´aveis independentes, no seguinte sistema
linear de equa¸c˜oes alg´ebricas para os vetores
˜
u
i
hp
e
˜
u
f
hp
k
ii
hp
k
if
hp
+ k
id
hp
R
k
fi
hp
+ R
T
k
di
hp
k
ff
hp
+ k
fd
hp
R + R
T
k
df
hp
+ R
T
k
dd
hp
R
˜
u
i
hp
˜
u
f
hp
= −
f
i
hp
f
f
hp
+ R
T
f
d
hp
. (2.135)
Com a solu¸c˜ao associada aos graus de liberdade interiores e livres, obtidos do sistema
de equa¸c˜oes alg´ebricas anterior, e a decomposi¸c˜ao proposta em (2.121) e (2.133), o vetor
flutua¸c˜ao de temperatura microsc´opica
˜
u
hp
pode ser constru´ıdo, finalmente, como
˜
u
hp
= (
˜
u
i
hp
|
˜
u
f
hp
|R
˜
u
f
hp
| 0)
T
. (2.136)
2.1.8.2 Aspectos computacionais
A resolu¸c˜ao num´erico-computacional dos modelos constitutivos multi-escala apre-
sentados na Se¸c˜ao 2.1.6 n˜ao segue o caminho cl´assico do m´etodo dos elementos finitos,
devido ao fato de ter que impor as restri¸c˜oes t´ermicas do espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis
V
µ
em sua vers˜ao discreta V
hp
µ
(ou
˜
K
hp
µ
). Portanto, n˜ao ´e poss´ıvel utilizar os c´odigos de
programas de elementos finitos usuais (ou comerciais, se for o caso). Este fato motivou o
desenvolvimento da t´ecnica de implementa¸c˜ao computacional – no contexto dos elementos
finitos – apresentada anteriormente na Se¸c˜ao 2.1.8.1.
Visando utilizar os espa¸cos usuais para as fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao de elementos
finitos, na se¸c˜ao anterior foi proposta uma t´ecnica que introduz as restri¸c˜oes dos espa¸cos
35
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
discretos na pr´opria constru¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas. Com isso, ´e poss´ıvel
utilizar os espa¸cos de elementos finitos convencionais nesta t´ecnica de modelagem consti-
tutiva multi-escala. No entanto, esta forma de construir os espa¸cos discretos de elementos
finitos leva um esfor¸co computacional a mais na identifica¸c˜ao dos graus de liberdade que
permitem a separa¸c˜ao da matriz de rigidez global K
hp
e o vetor de carregamentos nodais
generalizados f
hp
, nas sub-matrizes e sub-vetores necess´arios para re-escrever o sistema de
equa¸c˜oes alg´ebricas. Como os graus de liberdade que devem ser identificados variam para
cada modelo multi-escala, em seguida ´e mostrado um breve resumo:
Modelo de temperatura linear no contorno: interiores (i) e no contorno (b);
Modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de temperatura no contorno: interiores (i) e nas partes
Γ
+
e Γ
−
do contorno (+ e −);
Modelo de fluxo uniforme no contorno: interiores (i) e no contorno (f – livres, d –
dependentes e p – prescritos).
No entanto, existem outras maneiras para colocar o problema no contexto tradicional
dos elementos finitos. Estas outras possibilidades de introduzir as restri¸c˜oes dos espa¸cos
das varia¸c˜oes admiss´ıveis no problema s˜ao as seguintes:
Uso de multiplicadores de Lagrange.
Modifica¸c˜ao da matriz de rigidez global introduzindo as restri¸c˜oes com a mesma
t´ecnica empregada na coloca¸c˜ao de condi¸c˜oes de contorno n˜ao locais.
Por quest˜oes que excedem o objetivo deste trabalho, as alternativas mencionadas
anteriormente para a introdu¸c˜ao das restri¸c˜oes dos espa¸cos no problema n˜ao s˜ao aqui
desenvolvidas. Finalmente, cabe mencionar que toda a implementa¸c˜ao computacional
do m´etodo dos elementos finitos, necess´aria para o desenvolvimento deste trabalho foi
realizada em MatLab .
2.1.9 Experimentos num´ericos
Empregando a implementa¸c˜ao computacional associada `a modelagem constitutiva
multi-escala proposta neste cap´ıtulo e discutida na se¸c˜ao anterior, agora s˜ao apresentados
alguns exemplos num´ericos acerca da aplica¸c˜ao desta classe de modelos. Em particular,
atrav´es de exemplos simples procura-se mostrar as vantagens desta modelagem em rela¸c˜ao
aos modelos constitutivos cl´assicos encontrados na literatura.
2.1.9.1 Exemplo 1
A fim de testar os limites preditivos (superior e inferior) da modelagem multi-escala
proposta, neste primeiro exemplo ´e feita uma compara¸c˜ao entre os resultados obtidos da
modelagem mostrada na Se¸c˜ao 2.1 e modelos cl´assicos da literatura. Os modelos te´oricos
empregados nesta compara¸c˜ao s˜ao comumente conhecidos como mo delo Voigt-Reuss, Voigt
(1889) [132] e Reuss (1929) [103]. Esses modelos foram desenvolvidos para determinar a
36
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
condutividade t´ermica efetiva de um meio composto por uma matriz com inclus˜oes em
forma de camadas cont´ınuas de material, alinhadas de forma paralela ou perpendicular `a
dire¸c˜ao do fluxo de calor. Ent˜ao, para os modelos mencionados anteriormente, a condu-
tividade t´ermica efetiva do meio k
e
´e obtida analiticamente como
Modelo de V oigt ⇒ k
e
=
N
j=1
f
j
k
j
, (2.137)
Modelo de Reuss ⇒
1
k
e
=
N
j=1
f
j
k
j
, (2.138)
onde k
j
e f
j
s˜ao, respectivamente, o coeficiente de condutividade t´ermica e a fra¸c˜ao de
volume associados ao material da fase j–´esima do dom´ınio, tal que, na ausˆencia de vazios,
N
j=1
f
j
= 1.
Tomando como referˆencia para a dire¸c˜ao do fluxo de calor o eixo horizontal, os
EVRs utilizados para o desenvolvimento deste primeiro exemplo est˜ao caracterizados por
uma micro c´elula quadrada de dimens˜oes unit´arias, com camadas de largura vari´avel e
de material com condutividade t´ermica k
i
inseridos numa matriz caracterizada com uma
condutividade t´ermica k
m
, como mostrado na Fig. 2.4.
(a) Modelo de Voigt. (b) Modelo de Reuss.
Figura 2.4: exemplo 1 - EVR estudados.
A discretiza¸c˜ao do dom´ınio de an´alise ´e feita utilizando uma malha uniforme de
elementos finitos triangulares lineares (3 n´os por elemento) com uma quantidade de n´os
e elementos, respectivamente, da ordem de 1.17 × 10
4
e 2.3 × 10
4
. Para a caracteriza¸c˜ao
dos materiais da matriz e inclus˜ao foi empregada uma rela¸c˜ao entre seus coeficientes de
condutividade t´ermica de k
m
/k
i
= 20.0. Na Fig.2.5 s˜ao mostrados os resultados obtidos
com a modelagem proposta para cada modelo constitutivo apresentado na Se¸c˜ao 2.1.6, e
a compara¸c˜ao com os modelos te´oricos mencionados anteriormente.
37
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
Voigt
Taylor
Linear
Periódico
Uniforme
(a) Modelo de Voigt.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
Reuss
Taylor
Linear
Periódico
Uniforme
(b) Modelo de Reuss.
Figura 2.5: exemplo 1 - compara¸c˜ao dos resultados com os modelos te´oricos.
Dos resultados mostrados na Fig.2.5, observa-se que a modelagem constitutiva multi-
escala desenvolvida neste capitulo captura o comportamento dos modelos te´oricos, eqs.(2.137)
e (2.138), sem ter que impor a priori, na formula¸c˜ao do modelo, a forma e distribui¸c˜ao do
material de condutividade k
i
(inclus˜ao–camada) na matriz.
Observa¸c˜ao 10. Segundo mostrado na Fig.2.5 o modelo de Taylor (regra da mistura)
estabelece o limite superior para todos os poss´ıveis modelos constitutivos multi-escala deste
tipo, verificando-se o estabelecido na Se¸c˜ao 2.1.6.1. No entanto, o modelo de Taylor ´e
de pouca utilidade pr´atica uma vez que conduz a uma sobreestima¸c˜ao da condutividade
t´ermica macrosc´opica efetiva. Ostoja-Starzewski & Schulte (1996) [97] mostraram que
os modelos associados `as condi¸c˜oes de contorno no EVR de temperatura linear e fluxo
uniforme fornecem, respectivamente, melhores limites superiores e inferiores para o ten-
sor de condutividade t´ermica macrosc´opico e, como tal, fornece uma estimativa ´util da
propriedade global do material. De fato, atrav´es dos resultados apresentados na Fig.2.5
38
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
- uma vez desconsiderado o modelo de Taylor - observa-se claramente que o modelo de
temperatura linear e do fluxo uniforme no contorno do EVR fornecem os limites superior
e inferior para a condutividade t´ermica efetiva do meio.
2.1.9.2 Exemplo 2
Neste segundo exemplo ´e obtido o coeficiente de condutividade t´ermica efetivo k
e
para uma microestrutura quadrada de dimens˜oes unit´arias, caracterizada por uma matriz
de condutividade t´ermica k
m
na qual est˜ao inseridas inclus˜oes circulares de condutividade
t´ermica k
i
distribu´ıdas de forma aleat´oria no dom´ınio de an´alise, como mostrado na Fig.
2.6.
Figura 2.6: exemplo 2 - geometria do EVR
Os resultados obtidos, para as diferentes classes de modelos constitutivos multi-
escala, s˜ao comparados com o modelo cl´assico de Maxwell-Eucken (ME1), Eucken (1940)
[36], Maxwell (1954) [79], Buonanno & Carotenuto (2000) [21], Rocha & Cruz (2001)
[104]. Esse modelo te´orico foi desenvolvido para estimar a condutividade t´ermica efetiva
do meio assumindo que na matriz existem pequenos discos de material k
i
(diferente de
k
m
) que est˜ao suficientemente longe um do outro, tal que a distor¸c˜ao local do campo de
temperatura na vizinhan¸ca do disco n˜ao ´e afetada pela presen¸ca das outras inclus˜oes. A
condutividade t´ermica efetiva do meio ´e ent˜ao estimada como
Modelo M E1 ⇒ k
e
=
f
m
k
m
+ f
i
k
i
3k
m
2k
m
+k
i
f
m
+ f
i
3k
m
2k
m
+k
i
, (2.139)
onde, da mesma forma que no exemplo anterior, f
m
e f
i
representam as fra¸c˜oes de volume
do material da matriz e das inclus˜oes, respectivamente, tal que, na ausˆencia de vazios,
devem satisfazer a rela¸c˜ao f
m
+ f
i
= 1.
Para a resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes variacionais (2.96) ´e empregado o m´etodo de elementos
finitos com a implementa¸c˜ao discutida na Se¸c˜ao 2.1.8.1. Assim, o tensor de condutividade
t´ermica homogeneizado K ´e obtido segundo mostrado na Se¸c˜ao 2.1.7. Para efeito da
39
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
compara¸c˜ao, o coeficiente de condutividade t´ermica efetivo k
e
´e definido como
Modelo M ulti − escala ⇒ k
e
:=
1
n
l
1
(K) =
1
n
p=n
p=1
λ
p
, (2.140)
onde n ´e a dimens˜ao do espa¸co Euclidiano (n = 2 para o caso bidimensional), l
1
(·) ´e o
primeiro invariante do tensor (·) e λ
p
s˜ao os autovalores do tensor K. A discretiza¸c˜ao do
dom´ınio de an´alise ´e feita utilizando uma malha uniforme de elementos finitos triangulares
lineares com uma quantidade de n´os da ordem de 1.17 × 10
4
e elementos da ordem de
2.3 × 10
4
. Para a caracteriza¸c˜ao dos materiais da matriz e inclus˜ao foi empregada uma
rela¸c˜ao entre seus coeficientes de condutividade t´ermica de k
m
/k
i
= 20.0. Finalmente, na
Fig.2.7, ´e mostrada a compara¸c˜ao entre o modelo cl´assico de Maxwell-Euken e os modelos
multi-escala desenvolvidos.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
ME1
Taylor
Linear
Periódico
Uniforme
Figura 2.7: exemplo 2 - resultados e compara¸c˜oes.
Observa¸c˜ao 11. A principal desvantagem do modelo de Maxwell-Euken ´e que n˜ao leva
em conta o efeito da proximidade entre as inclus˜oes. Como conseq¨uˆencia, esse modelo
´e v´alido para baixas fra¸c˜oes de volume f
i
. Quando o valor de f
i
aumenta, a capacidade
preditiva do modelo diminui, sobreestimando a condutividade t´ermica do meio. Por outro
lado, a modelagem multi-escala proposta leva em conta a influˆencia entre as inclus˜oes
ao estimar a condutividade t´ermica efetiva, o que explica a discrepˆancia nos resultados
obtidos, como ´e poss´ıvel observar na Fig. 2.7.
2.1.9.3 Exemplo 3
Com o intuito de testar as capacidades preditivas da modelagem constitutiva apre-
sentada nas se¸c˜oes anteriores, neste exemplo prop˜oe-se confrontar a t´ecnica computacional
apresentada nas se¸c˜oes anteriores com dados experimentais obtidos com experiˆencias em
laborat´orio. Com esse objetivo, s˜ao utilizados como referˆencia os resultados experimentais
40
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
apresentados por Carson et al. (2004) [24]. Nesse trabalho os autores obtˆem em laborat´orio
o coeficiente de condutividade t´ermica efetivo k
e
de um material an´alogo a um material
pseudo-poroso para v´arias fra¸c˜oes de vazios. Esta t´ecnica de valida¸c˜ao de modelos com-
putacionais, em particular o teste dos limites preditivos (superior e inferior) obtidos, com
dados experimentais ´e amplamente utilizada na literatura para esta classe de aplica¸c˜oes,
como pode ser visto, por exemplo, em Carson et al. (2005) [25], Yin et al. (2005) [134]
e Kumlutas & Tavman (2006) [67]. A micro-c´elula de an´alise est´a composta por uma
matriz de gel com inclus˜oes de expanded polystyrene (SPE) simulando, respectivamente, a
fra¸c˜ao s´olida e os vazios do material real. As propriedades f´ısicas dos materiais utilizados
na modelagem computacional s˜ao mostrados na Tabela 2.1 (Carson et al. (2004) [24]).
Na simula¸c˜ao num´erica s˜ao estudados trˆes EVRs quadrados de tamanho unit´arios com
diferentes quantidades e distribui¸c˜oes das inclus˜oes para v´arias fra¸c˜oes de volume:
Caso A: uma ´unica inclus˜ao centrada de raio r vari´avel (Fig.2.8(a)) no dom´ınio Ω
µ
,
discretizado com uma malha uniforme de elementos finitos triangulares lineares com
um total de 11767 n´os e 23132 elementos.
Caso B: 8 inclus˜oes de raio vari´avel r , distribu´ıdas de forma aleat´oria no dom´ınio Ω
µ
(Fig.2.8(b)), discretizado com uma malha de elementos finitos uniforme possuindo
47994 elementos triangulares lineares e 24284 n´os.
Caso C: 31 inclus˜oes de raio r vari´avel, distribu´ıdas de forma aleat´oria no dom´ınio Ω
µ
(Fig.2.8(c)), discretizado com uma malha de elementos finitos uniforme possuindo
23722 elementos triangulares lineares e 12062 n´os.
k (W m
−1
K
−1
) ρ (kg m
−3
) c (kJ kg
−1
K
−1
)
Guar gel 0.600 ± 2% 1010 ± 1% 4.15 ± 0.5%
Expanded polystyrene 0.035 ± 3% 35.4 ± 0.6% 1.006 ± 0.5%
Tabela 2.1: exemplo 3 - propriedades f´ısicas.
(a) Caso A. (b) Caso B. (c) Caso C.
Figura 2.8: exemplo 3 - geometrias dos EVRs.
Para a obten¸c˜ao do coeficiente de condutividade t´ermica efetivo ´e empregado o
mesmo procedimento descrito no exemplo anterior, no qual o valor do parˆametro efetivo
41
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
k
e
´e obtido da express˜ao (2.140) utilizando o desenvolvimento apresentado na Se¸c˜ao 2.1.7.
Na Tabela 2.2 s˜ao apresentados os tensores constitutivos homogeneizados para uma deter-
minada fra¸c˜ao de volume de inclus˜oes f
i
, obtido para cada um dos modelos constitutivos
multi-escala identificados como: Taylor–T , Linear–L, Peri´odico–P e M´ınima restri¸c˜ao
t´ermica–M.
K
T
=
9.95 0
0 9.95
K
L
=
7.48 0
0 7.48
K
P
=
7.03 0
0 7.03
K
M
=
6.77 0
0 6.77
(a) Caso A. f
i
≈ 0.50.
K
T
=
9.44 0
0 9.44
K
L
=
6.76 0.02
0.02 7.02
K
P
=
6.34 0.09
0.09 6.88
K
M
=
6.27 0.03
0.03 6.64
(b) Caso B. f
i
≈ 0.48.
K
T
=
9.28 0
0 9.28
K
L
=
6.75 0.01
0.01 6.62
K
P
=
6.67 0.01
0.01 6.57
K
M
=
6.60 0
0 6.46
(c) Caso C. f
i
≈ 0.49.
Tabela 2.2: exemplo 3 - resposta constitutiva macrosc´opica.
Finalmente, na Fig.2.9 s˜ao mostrados os resultados obtidos para os Casos A, B e C,
e a compara¸c˜ao com os dados experimentais.
Conjuntodedados1
Conjuntodedados2
Conjuntodedados3
DadosEsperimentais
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60
Taylor
Linear
Periódico
Uniforme
(a) Caso A.
42
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Conjuntodedados1
Conjuntodedados2
Conjuntodedados3
DadosEsperimentais
Taylor
Linear
Periódico
Uniforme
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60
(b) Caso B.
Conjuntodedados1
Conjuntodedados2
Conjuntodedados3
DadosEsperimentais
Taylor
Linear
Periódico
Uniforme
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60
(c) Caso C.
Figura 2.9: exemplo 3 - resultados e compara¸c˜ao com os dados experimentais.
Desta compara¸c˜ao (Fig.2.9), observar-se que os dados experimentais est˜ao contidos
entre os limites superior e inferior fornecidos pelos modelos constitutivos multi-escala
mostrados neste trabalho. Sendo assim, ´e poss´ıvel afirmar que esta classe de modelos
fornece uma estimativa adequada e ´util da resposta constitutiva efetiva (macrosc´opica) de
um material real, evidenciando a capacidade preditiva dos modelos multi-escalas.
Observa¸c˜ao 12. : Segundo mostrado na Fig.2.9, n˜ao existe uma varia¸c˜ao relativa impor-
tante do coeficiente de condutividade t´ermica efetivo entre os diferentes EVRs estudados
(Casos A, B e C). Portanto ´e poss´ıvel afirmar que a resposta constitutiva efetiva k
e
´e
43
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
mais sens´ıvel `a varia¸c˜ao da fra¸c˜ao de volume f
i
e da rela¸c˜ao k
m
/k
i
que da pr´opria dis-
tribui¸c˜ao espacial das inclus˜oes; sempre que as inclus˜oes n˜ao estejam alinhadas numa
dire¸c˜ao preferencial, introduzindo uma ortotropia na resposta constitutiva macrosc´opica
da micro-c´elula.
2.1.9.4 Exemplo 4
Em situa¸c˜oes mais gerais que aquelas apresentadas nos exemplos anteriores, n˜ao ´e
poss´ıvel caracterizar o comportamento de um dado material atrav´es de um ´unico parˆametro
efetivo. Necessita-se, de fato, obter o tensor constitutivo macrosc´opico a partir da micro-
estrutura que caracteriza a composi¸c˜ao interna do material. Neste ´ultimo exemplo, por-
tanto, ser´a mostrado que atrav´es da modelagem constitutiva multi-escala adotada ´e poss´ıvel
obter computacionalmente o tensor de condutividade t´ermica homogeneizado K que car-
acteriza a resposta constitutiva macrosc´opica associada a uma dada micro-estrutura do
EVR.
A microestructura estudada est´a caracterizada por um dom´ınio quadrado de di-
mens˜oes unit´arias composto por um material de condutividade t´ermica k
m
(matriz) na
qual est˜ao inseridas uma inclus˜ao circular, com condutividade k
i
, centrada no ponto (0.19,
0.11) de raio r = 0.12 e uma inclus˜ao el´ıptica, tamb´em com condutividade k
i
, centrada
no ponto de coordenadas cartesianas (0.69, 0.67), com o semi-eixo maior de comprimento
a = 0.25 orientado na dire¸c˜ao horizontal e o semi-eixo menor de comprimento b = 0.10,
segundo mostrado na Fig.2.10. Para a caracteriza¸c˜ao dos materiais utilizados na simula¸c˜ao
foi empregado uma rela¸c˜ao k
m
/k
i
= 20.0. Na resolu¸c˜ao num´erica foi utilizada uma malha
com 11816 n´os e 23230 elementos finitos triangulares lineares. O tensor constitutivo ´e
obtido empregando a metodologia mostrada na Se¸c˜ao 2.1.7. Os resultados s˜ao apresenta-
dos na Fig.2.10.
Figura 2.10: exemplo 4 - geometria do EVR.
K
T
=
18.310 0
0 18.310
,
K
L
=
17.818 0.038
0.038 15.799
,
K
P
=
17.736 0.001
0.001 15.392
,
K
M
=
17.622 0.054
0.054 14.886
.
Observa¸c˜ao 13. Devido `a simetria do tensor constitutivo homogeneizado K, a m´axima
anisotropia poss´ıvel ´e uma ortotropia nas dire¸c˜oes principais do tensor K, ou seja, nas
dire¸c˜oes dos autovetores associados aos autovalores λ
i
.
44
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
2.2 An´alise de sensibilidade topol´ogica
Como mencionado no in´ıcio do cap´ıtulo, para estabelecer a sensibilidade da resposta
constitutiva macrosc´opica em rela¸c˜ao a uma perturba¸c˜ao singular na micro-estrutura do
EVR ser˜ao utilizados os conceitos da an´alise de sensibilidade topol´ogica propostos, en-
tre outros, por Sokolowski &
˙
Zochowski (1999) [116], C´ea et al. (2000) [26], Novotny
(2003) [90] e Novotny et al. (2003) [92]. Esta expans˜ao assint´otica topol´ogica estabelece
a sensibilidade de um funcional de forma em rela¸c˜ao a uma perturba¸c˜ao infinitesimal
na topologia do dom´ınio de defini¸c˜ao do problema. O principal termo dessa expans˜ao ´e a
chamada derivada topol´ogica, cujo c´alculo ´e uns dos principais objetivos deste trabalho. De
fato, nesta se¸c˜ao ´e apresentado o desenvolvimento matem´atico e o c´alculo da mencionada
derivada topol´ogica para o modelo constitutivo multi-escala de condu¸c˜ao estacion´aria de
calor em materiais com comportamento isotr´opico ao n´ıvel microsc´opico. Em particular,
objetiva-se obter a expans˜ao assint´otica topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico
quando ´e introduzida uma pequena inclus˜ao circular na micro-escala representada pelo
EVR, ou seja,
q
ε
· ∇u = q · ∇u +
1
V
µ
f (ε) D
T
ψ + o (f (ε)) . (2.141)
Sendo assim, lembrando que o EVR ´e representado por Ω
µ
= Ω
m
µ
∪Ω
i
µ
, primeiramente
´e introduzido um furo circular H
ε
de raio ε centrado no ponto arbitr´ario ˆy ∈ Ω
µ
da matriz
com coeficiente de condutividade t´ermica k; em seguida, insere-se uma inclus˜ao I
ε
com
coeficiente de condutividade t´ermica γk, onde γ representa o contraste, de mo do a ocupar
o vazio ora produzido. Logo, o dom´ınio top ologicamente perturbado ´e definido como
Ω
µ
ε
=
Ω
µ
\H
ε
∪ I
ε
(ver Fig.2.11). Cabe ainda definir a normal unit´aria ao contorno da
inclus˜ao como n|
∂I
ε
:= −n.
y
^
x
e
n
y
^
Figura 2.11: micro-estrutura perturbada com uma inclus˜ao I
ε
.
Al´em do mais, o Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel estabelece que
a energia t´ermica espec´ıfica macrosc´opica avaliada no ponto x ∈ Ω deve ser igual `a m´edia
volum´etrica da energia t´ermica microsc´opica associada ao correspondente EVR nesse ponto
para toda temperatura admiss´ıvel, ou seja,
q · ∇u =
1
V
µ
Ω
µ
q
µ
· ∇u
µ
dV e q
ε
· ∇u =
1
V
µ
Ω
µ
ε
q
µ
ε
· ∇u
µ
ε
dV, (2.142)
onde u
µ
satisfaz a representa¸c˜ao em decomposi¸c˜ao aditiva mostrada em (2.5), ou seja, u
µ
=
u + ∇u · y + ˜u
µ
, sendo ˜u
µ
solu¸c˜ao do problema variacional (2.47) e, de forma an´aloga ao
45
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
apresentado na Se¸c˜ao 2.1, o fluxo de calor associado ao dom´ınio perturbado Ω
µ
ε
, q
µ
ε
(y),
´e definido como,
q
µ
ε
= −k
∗
µ
∇u
µ
ε
, (2.143)
logo, para γ ∈ [0, ∞), a condutividade t´ermica k
∗
µ
= k
∗
µ
(y) ´e tal que
k
∗
µ
=
k
µ
∀y ∈ Ω
µ
\H
ε
γk
µ
∀y ∈ I
ε
. (2.144)
Al´em do mais, a temperatura microsc´opica u
µ
ε
∈ K
µ
ε
:= {v ∈ K
µ
: [[v]] = 0 sobre ∂I
ε
},
associada ao dom´ınio perturbado Ω
µ
ε
, admite a seguinte representa¸c˜ao
u
µ
ε
= u + ∇u · y + ˜u
µ
ε
⇒ ∇u
µ
ε
= ∇u + ∇˜u
µ
ε
, (2.145)
sendo ˜u
µ
ε
o campo de flutua¸c˜ao de temperatura microsc´opica associada ao dom´ınio Ω
µ
ε
,
solu¸c˜ao do problema variacional: encontre o campo de flutua¸c˜ao de temperatura mi-
crosc´opica ˜u
µ
ε
∈
˜
K
µ
ε
:=
v ∈
˜
K
µ
: [[v ]] = 0 sobre ∂I
ε
, tal que
Ω
µ
ε
k
∗
µ
∇˜u
µ
ε
·∇η
ε
dV = −
Ω
µ
ε
k
∗
µ
∇u·∇η
ε
dV ∀η
ε
∈ V
µ
ε
:= {ξ ∈ V
µ
: [[ξ]] = 0 sobre ∂I
ε
}.
(2.146)
A forma forte associada ao problema variacional (2.146) ´e obtida analogamente `a
eq.(2.49) considerando as condi¸c˜oes de salto sobre a fronteira da perturba¸c˜ao I
ε
. Assim,
a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange associada a eq.(2.146) resulta no seguinte problema de valor
no contorno: encontre ˜u
µ
ε
, tal que
−k
µ
∆˜u
µ
ε
= 0 em Ω
µ
\H
ε
−γk
µ
∆˜u
µ
ε
= 0 em I
ε
Ω
µ
ε
˜u
µ
ε
dV = −∇u ·
Ω
µ
ε
ydV
∂Ω
µ
˜u
µ
ε
ndS = 0
[[˜u
µ
ε
]] = 0 sobre ∂Ω
i
µ
∪ ∂I
ε
k
∗
µ
∂ ˜u
µ
ε
∂n
= −[[¯q
∗
µ
]] · n sobre ∂Ω
i
µ
∪ ∂I
ε
, (2.147)
sendo ¯q
∗
µ
o fluxo de calor microsc´opico induzido pelo gradiente de temperatura macrosc´opico
∇u associado `a micro-estrutura perturbada Ω
µ
ε
, ou seja, ¯q
∗
µ
= −k
∗
µ
∇u.
Observa¸c˜ao 14. Mais uma vez (veja Observa¸c˜ao 6, pag.21), a condi¸c˜ao (2.147)
4
est´a
naturalmente satisfeita pela escolha feita para o espa¸co V
µ
ε
, compat´ıvel com a escolha
para V
µ
. Al´em disso, desde que o termo do lado direito de (2.147)
6
tem m´edia nula, e
do Lema de Lax-Milgram, tem-se que existe uma ´unica solu¸c˜ao para o problema (2.146).
Finalmente, da coercividade do lado esquerdo de (2.47) e (2.146), tem-se que a seguinte
estimativa ´e satisfeita para o caso bi-dimensional analisado (veja Se¸c˜ao B.1 do apˆendice
B),
˜u
µ
ε
− ˜u
µ
V
µ
ε
= O(ε). (2.148)
Introduzindo a seguinte nota¸c˜ao para a energia t´ermica microsc´opica associada ao
46
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
dom´ınio perturbado
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
Ω
µ
ε
q
µ
ε
· ∇u
µ
ε
dV, (2.149)
observa-se que a derivada de J
Ω
µ
ε
em rela¸c˜ao a u
µ
ε
na dire¸c˜ao δ˜u
µ
ε
∈ V
µ
ε
, onde δ˜u
µ
ε
´e
a flutua¸c˜ao de temperatura virtual microsc´opica, permite estabelecer a seguinte condi¸c˜ao
de m´ınima energia
∂J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
)
∂u
µ
ε
, δ˜u
µ
ε
= 0 ∀δ˜u
µ
ε
∈ V
µ
ε
⇒
Ω
µ
ε
q
µ
ε
· ∇δ˜u
µ
ε
dV = 0 ∀δ˜u
µ
ε
∈ V
µ
ε
.
(2.150)
Empregando a representa¸c˜ao da temperatura u
µ
ε
dada pela eq.(2.145) e o conceito
da homogeneiza¸c˜ao do fluxo de calor, tem-se
Ω
µ
ε
q
µ
ε
· [∇(δu
µ
ε
) − ∇(δu)] dV =
Ω
µ
ε
q
µ
ε
· ∇(δu
µ
ε
) dV − V
µ
q
ε
· ∇(δu) , (2.151)
substituindo o resultado acima na express˜ao (2.150), chega-se a
Ω
µ
ε
q
µ
ε
· ∇(δu
µ
ε
) dV − V
µ
q
ε
· ∇(δu) = 0
⇒ q
ε
· ∇(δu) =
1
V
µ
Ω
µ
ε
q
µ
ε
· ∇(δu
µ
ε
) dV. (2.152)
Observa¸c˜ao 15. Do resultado anterior segue que a m´ınima energia do EVR, na sua
configura¸c˜ao perturbada, est´a associada com a energia espec´ıfica virtual avaliada no ponto
material x. Sendo assim, a eq.(2.152) define o operador constitutivo macrosc´opico pertur-
bado representado por q
ε
(x). Ent˜ao, a expans˜ao (2.141) fornece, de fato, a sensibilidade
topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico quando a microestrutura ´e perturbada de
forma n˜ao suave com a introdu¸c˜ao de uma inclus˜ao I
ε
.
2.2.1 Obten¸c˜ao da derivada topol´ogica
A derivada topol´ogica ´e obtida a partir da an´alise assint´otica de funcionais que
dependem tanto expl´ıcita quanto implicitamente do dom´ınio Ω
µ
ε
, sendo que essa ´ultima
dependˆencia vem do fato que a flutua¸c˜ao de temperatura microsc´opica ˜u
µ
ε
´e solu¸c˜ao do
problema variacional associado ao EVR perturbado, eq.(2.146). Este fato conduz a alguns
problemas t´ecnicos que vˆem sendo gradativamente resolvidos. De fato, diversas metodolo-
gias de c´alculo da derivada topol´ogica tˆem sido apresentadas na literatura, dentre outras
pode-se mencionar: material derivative method: Sokolowski &
˙
Zochowski (1999) [116], do-
main truncation method: Garreau et al. (2001) [40] e topological-shape sensitivity method:
Novotny et al. (2003) [92]. Em particular, dos m´etodos existentes na literatura para o
c´alculo da derivada topol´ogica, neste trabalho ser´a utilizado o proposto por Novotny no seu
trabalho de doutorado, Novotny (2003) [90], cuja express˜ao para a derivada topol´ogica foi
apresentada na se¸c˜ao introdut´oria deste trabalho na eq.(1.4). Atrav´es dessa abordagem, a
an´alise de sensibilidade `a mudan¸ca de forma deve ser desenvolvida para o caso particular
em que a perturba¸c˜ao singular sofre uma expans˜ao uniforme. Nesse contexto, pode-se
47
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
definir um campo de velocidade de mudan¸ca de forma suficientemente regular v ∈ Ω
µ
ε
,
com a caracter´ıstica particular de ser nulo no contorno do dom´ınio da matriz, v = 0 sobre
∂Ω
m
µ
, e possuir, no contorno da perturba¸c˜ao singular, uma dire¸c˜ao contr´aria ao vetor nor-
mal definido nesse contorno, ou seja, v = −n sobre ∂I
ε
. Em seguida, na Proposi¸c˜ao 1, ´e
apresentado o c´alculo da derivada do funcional de forma J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
), definido na eq.(2.149),
em rela¸c˜ao ao parˆametro ε.
Proposi¸c˜ao 1. Seja J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) o funcional definido em (2.149). Ent˜ao a derivada do
funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) com rela¸c˜ao ao parˆametro ε ´e escrita como
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
∂Ω
µ
Σ
µ
ε
n·vdS−
Ω
µ
ε
divΣ
µ
ε
·vdV +
∂Ω
i
µ
[[Σ
µ
ε
]]n·vdS +
∂I
ε
[[Σ
µ
ε
]]n·vdS,
(2.153)
onde v ´e o campo de velocidade de mudan¸ca de forma definido em Ω
µ
ε
e Σ
µ
ε
´e a gener-
aliza¸c˜ao do cl´assico tensor momento-energia de Eshelby (1975) [35] no EVR, que para o
caso de an´alise ´e dado por
Σ
µ
ε
:= −k
∗
µ
|∇u
µ
ε
|
2
I − 2 (∇˜u
µ
ε
⊗ ∇u
µ
ε
)
. (2.154)
Prova. Estabelecendo uma analogia com a Mecˆanica do Cont´ınuo, Gurtin (1981) [49], a
derivada do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) em rela¸c˜ao ao parˆametro ε pode ser obtida utilizado o
teorema de transporte de Raynolds. Assim sendo, tem-se que
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) = −
Ω
µ
ε
k
∗
µ
d
dε
|∇u
µ
ε
|
2
+ |∇u
µ
ε
|
2
divv
dV. (2.155)
Empregando o conceito de derivada material de campos espaciais, Gurtin (1981) [49], o
primeiro termo da integral acima ´e dado por:
d
dε
|∇u
µ
ε
|
2
= 2∇u
µ
ε
· (∇u
µ
ε
)
·
, (2.156)
onde (·)
·
´e a derivada material (total) do camp o (·) em rela¸c˜ao ao parˆametro ε. Utilizando
a decomposi¸c˜ao aditiva do campo de temperatura u
µ
ε
dada pela eq.(2.145), a derivada
material do gradiente t´ermico no EVR perturbado ´e obtido como,
∇u
µ
ε
= ∇u + ∇˜u
µ
ε
⇒ (∇u
µ
ε
)
·
= (∇˜u
µ
ε
)
·
= ∇
˙
˜u
µ
ε
− (∇v)
T
∇˜u
µ
ε
, (2.157)
e introduzindo o resultado anterior na express˜ao (2.156), tem-se que
d
dε
|∇u
µ
ε
|
2
= 2
∇u · ∇
˙
˜u
µ
ε
+ ∇˜u
µ
ε
· ∇
˙
˜u
µ
ε
− (∇˜u
µ
ε
⊗ ∇u + ∇˜u
µ
ε
⊗ ∇˜u
µ
ε
) · ∇v
. (2.158)
Substituindo (2.158) em (2.155) e empregando a defini¸c˜ao do divv = I · ∇v,
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) = −
Ω
µ
ε
2k
∗
µ
∇u · ∇
˙
˜u
µ
ε
+ ∇˜u
µ
ε
· ∇
˙
˜u
µ
ε
− (∇˜u
µ
ε
⊗ ∇u + ∇˜u
µ
ε
⊗ ∇˜u
µ
ε
) · ∇v
+
k
∗
µ
|∇u|
2
+ 2∇u · ∇˜u
µ
ε
+ |∇˜u
µ
ε
|
2
I · ∇vdV. (2.159)
48
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Observa-se, no entanto, que
˙
˜u
µ
ε
∈ V
µ
ε
. Assim, os dois primeiros termos da integral acima
satisfazem a equa¸c˜ao de estado (2.146), ou seja
Ω
µ
ε
k
∗
µ
∇u · ∇
˙
˜u
µ
ε
+ ∇˜u
µ
ε
· ∇
˙
˜u
µ
ε
dV = 0 ∀
˙
˜u
µ
ε
∈ V
µ
ε
. (2.160)
Portanto a derivada do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) em rela¸c˜ao ao parˆametro ε ´e dada por,
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) = −
Ω
µ
ε
k
∗
µ
|∇u
µ
ε
|
2
I − 2 (∇˜u
µ
ε
⊗ ∇u
µ
ε
)
· ∇vdV. (2.161)
Finalmente, levando em conta a defini¸c˜ao do vetor normal n e utilizando o teorema da
divergˆencia, a express˜ao acima pode ser escrita como,
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) = −
∂Ω
µ
k
∗
µ
|∇u
µ
ε
|
2
I − 2 (∇˜u
µ
ε
⊗ ∇u
µ
ε
)
n · vdS
+
Ω
µ
ε
div
k
∗
µ
|∇u
µ
ε
|
2
I − 2 (∇˜u
µ
ε
⊗ ∇u
µ
ε
)
· vdV
−
∂Ω
i
µ
[[k
∗
µ
|∇u
µ
ε
|
2
I − 2 (∇˜u
µ
ε
⊗ ∇u
µ
ε
)
]]n · vdS
−
∂I
ε
[[k
∗
µ
|∇u
µ
ε
|
2
I − 2 (∇˜u
µ
ε
⊗ ∇u
µ
ε
)
]]n · vdS, (2.162)
onde ´e poss´ıvel identificar o tensor Σ
µ
ε
definido em (2.154).
Proposi¸c˜ao 2. Seja Σ
µ
ε
o tensor momento-energia generalizado de Eshelby no EVR
definido em (2.154). Ent˜ao, o campo Σ
µ
ε
possui divergˆencia nula em Ω
µ
ε
, ou seja
divΣ
µ
ε
= 0. (2.163)
Prova. Considerando a defini¸c˜ao mostrada na eq.(2.154) e as opera¸c˜oes apresentadas no
Apˆendice C, a divergˆencia do tensor Σ
µ
ε
´e obtida como
divΣ
µ
ε
= −div
k
∗
µ
|∇u
µ
ε
|
2
I − 2 (∇˜u
µ
ε
⊗ ∇u
µ
ε
)
= −2k
∗
µ
(∇∇u
µ
ε
) ∇u
µ
ε
+ 2k
∗
µ
[∇˜u
µ
ε
∆u
µ
ε
+ (∇∇˜u
µ
ε
) ∇u
µ
ε
]
= 2k
∗
µ
(∇˜u
µ
ε
∆u
µ
ε
) . (2.164)
Levando em conta a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange (2.147)
1
, observa-se que a divergˆencia de
Σ
µ
ε
de fato ´e nula.
Considerando os resultados mostrados anteriormente, eq.(2.153) e eq.(2.163), a ex-
press˜ao da an´alise de sensibilidade do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) pode ser escrita em termos de
integrais de contorno da seguinte maneira,
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
∂Ω
µ
Σ
µ
ε
n · vdS +
∂Ω
i
µ
[[Σ
µ
ε
]]n · vdS +
∂I
ε
[[Σ
µ
ε
]]n · vdS. (2.165)
Introduzindo a defini¸c˜ao do campo de velocidade de mudan¸ca de forma v em (2.165),
49
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
a derivada do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) em rela¸c˜ao ao parˆametro ε ´e dada finalmente por:
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) = −
∂I
ε
[[Σ
µ
ε
]]n · ndS. (2.166)
Desse ´ultimo resultado observa-se que a an´alise de sensibilidade `a mudan¸ca de forma
do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) depende apenas do salto fluxo normal do tensor de Eshelby atrav´es
do contorno da perturba¸c˜ao ∂I
ε
.
Observa¸c˜ao 16. No contexto da modelagem constitutiva multi-escala, tem-se que no mo-
delo de Taylor o espa¸co das varia¸c˜oes cinematicamente admiss´ıveis V
µ
´e o espa¸co nulo.
Conseq¨uentemente, as flutua¸c˜oes de temperatura microsc´opicas s˜ao nulas, ou seja
V
µ
= V
T
µ
= {0} ⇒ ˜u
µ
ε
= 0 e ∇u
µ
ε
(y) = ∇u (x) . (2.167)
Assim, o gradiente de temperatura microsc´opica ´e uniforme no dom´ınio Ω
µ
ε
. Considerando
o resultado anterior na defini¸c˜ao do tensor momento-energia generalizado de Eshelby,
eq.(2.154), tem-se
Σ
µ
ε
= −k
∗
µ
|∇u|
2
I, (2.168)
introduzindo esse resultado na derivada do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
), eq.(2.166), tem-se que
no caso particular do modelo de Taylor a sensibilidade do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) pode ser
escrita como
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
∂I
ε
[[k
∗
µ
|∇u|
2
]]n · ndS
= 2πεk
µ
(1 − γ) |∇u|
2
. (2.169)
Substituindo o resultado anterior na defini¸c˜ao da derivada topol´ogica e identificando a
fun¸c˜ao f (ε) como a medida da perturba¸c˜ao I
ε
,
f (ε) = πε
2
⇒ f
(ε) = 2πε, (2.170)
a derivada topol´ogica associada ao modelo de Taylor ´e obtida trivialmente como
D
T
T
ψ = k
µ
(1 − γ) |∇u|
2
. (2.171)
Nos outros modelos constitutivos multi-escala o espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis
para as flutua¸c˜oes de temperatura microsc´opicas ´e n˜ao trivial. Necessita-se, portanto,
levar em conta que ˜u
µ
ε
´e solu¸c˜ao do problema variacional (2.146). Assim, adotando-se um
sistema de coordenadas curvil´ıneo definido no contorno ∂I
ε
caracterizado pelos vetores
ortonormais n e t, o fluxo do tensor de Eshelby na dire¸c˜ao normal resulta em
Σ
µ
ε
n · n = −k
∗
µ
|∇u|
2
+2
∂˜u
µ
ε
∂t
(∇u · t) −
∂˜u
µ
ε
∂n
2
+
∂˜u
µ
ε
∂t
2
. (2.172)
Por outro lado, observa-se que as condi¸c˜oes de continuidade da flutua¸c˜ao de tem-
50
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
peratura ˜u
µ
ε
no contorno ∂I
ε
resultam nas seguintes rela¸c˜oes,
[[˜u
µ
ε
]]|
∂I
ε
= 0 ⇒
∂˜u
µ
ε
∂t
m
−
∂˜u
µ
ε
∂t
i
= 0, (2.173)
∂˜u
µ
ε
∂n
m
− γ
∂˜u
µ
ε
∂n
i
= −(1 − γ) ∇u · n (2.174)
⇒
∂˜u
µ
ε
∂n
m
= −(1 − γ) ∇u · n + γ
∂˜u
µ
ε
∂n
i
. (2.175)
Com as rela¸c˜oes mostradas acima e a defini¸c˜ao do parˆametro k
∗
µ
, tem-se que no
contorno da perturba¸c˜ao s˜ao satisfeitas as seguintes igualdades,
k
∗
µ
|∇u|
2
= k
µ
(1 − γ) (∇u ⊗ ∇u) · I, (2.176)
k
∗
µ
∂˜u
µ
ε
∂t
2
= k
µ
(1 − γ) (∇˜u
µ
ε
|
i
⊗ ∇˜u
µ
ε
|
i
) · (t ⊗ t), (2.177)
k
∗
µ
∂˜u
µ
ε
∂n
2
= k
µ
(1 − γ) [(1 − γ) (∇u ⊗ ∇u) − 2γ (∇u ⊗
s
∇˜u
µ
ε
|
i
)
−γ (∇˜u
µ
ε
|
i
⊗ ∇˜u
µ
ε
|
i
)] · (n ⊗ n), (2.178)
k
∗
µ
∂˜u
µ
ε
∂t
(∇u · t)
= k
µ
(1 − γ) (∇u ⊗
s
∇˜u
µ
ε
|
i
) · (t ⊗ t). (2.179)
Utilizando os resultados anteriores e levando em conta a igualdade tensorial t ⊗ t =
I − n ⊗ n, munido da representa¸c˜ao (2.145)
2
, o salto do fluxo do tensor de Eshelby na
dire¸c˜ao normal atrav´es do contorno da perturba¸c˜ao pode ser escrito em termos da solu¸c˜ao
no interior da inclus˜ao I
ε
, da seguinte maneira:
[[Σ
µ
ε
]]n · n = −k
µ
(1 − γ) (∇u
µ
ε
|
i
⊗ ∇u
µ
ε
|
i
) · [I − (1 − γ) (n ⊗ n)] . (2.180)
Para resolver a integral no contorno da perturba¸c˜ao I
ε
dada pela eq.(2.166) ´e
necess´ario conhecer o comportamento da solu¸c˜ao interior ˜u
µ
ε
|
i
em rela¸c˜ao ao parˆametro
ε. Ent˜ao, utilizando-se a an´alise assint´otica cl´assica (ver eq.(A.14), Apˆendice A), o campo
de flutua¸c˜ao de temperatura microsc´opica no interior da perturba¸c˜ao ´e dado por
˜u
µ
ε
(y) |
i
= ˜u
µ
(y) +
1 − γ
1 + γ
[∇u + ∇˜u
µ
(ˆy)] · (y − ˆy) + o (ε) ∀y ∈ I
ε
, (2.181)
sendo ˜u
µ
(y) ´e a solu¸c˜ao do problema no dom´ınio n˜ao perturbado, ∇˜u
µ
(ˆy) ´e o gradiente
da solu¸c˜ao no dom´ınio n˜ao perturbado avaliado no ponto ˆy. Assim, tem-se a seguinte
expans˜ao para o gradiente do campo de flutua¸c˜ao de temperatura em I
ε
,
∇˜u
µ
ε
(y) |
i
= ∇˜u
µ
(y) +
1 − γ
1 + γ
[∇u + ∇˜u
µ
(ˆy)] + O(ε) , (2.182)
com O(ε) denotando os termos de maior ordem em ε, tal que O(ε) → 0 quando ε → 0.
No entanto, expandindo a solu¸c˜ao ˜u
µ
(y) em s´erie de Taylor em torno ao ponto ˆy,
o gradiente ∇˜u
µ
(y) pode ser escrito, assumindo regularidade suficiente de ˜u
µ
em I
ε
, da
51
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
seguinte maneira,
∇˜u
µ
(y) = ∇˜u
µ
(ˆy) + D (∇˜u
µ
(ξ)) (y − ˆy)
= ∇˜u
µ
(ˆy) − εD (∇˜u
µ
(ξ)) n, (2.183)
com ξ ∈ (y, ˆy) e foi empregada a igualdade (y − ˆy) = −εn ∀y ∈ ∂I
ε
. Finalmente,
introduzindo o resultado anterior em (2.182) e levando em conta (2.145)
2
, a expans˜ao
assint´otica para o gradiente t´ermico no interior da perturba¸c˜ao pode ser escrita em termos
da solu¸c˜ao no dom´ınio n˜ao perturbado avaliado no ponto ˆy como
∇u
µ
ε
(y) |
i
=
2
1 + γ
∇u
µ
(ˆy) + O(ε) . (2.184)
Assim, considerando esse resultado no salto do fluxo normal do tensor de Eshelby
no contorno da inclus˜ao I
ε
, eq.(2.180), e empregando o teorema da localiza¸c˜ao, pode-se
resolver intrinsecamente a integral sobre ∂I
ε
que aparece na eq.(2.166), o que resulta em
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) = 4k
µ
1 − γ
(1 + γ)
2
(∇u
µ
(ˆy) ⊗ ∇u
µ
(ˆy)) ·
∂I
ε
[I − (1 − γ) (n ⊗ n)] dS + o (ε)
= 4k
µ
1 − γ
(1 + γ)
2
(∇u
µ
(ˆy) ⊗ ∇u
µ
(ˆy)) · [2πεI−πε (1 − γ) I] + o (ε)
= 4πεk
µ
1 − γ
1 + γ
(∇u
µ
(ˆy) ⊗ ∇u
µ
(ˆy)) · I + o(ε). (2.185)
Substituindo a derivada do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) em rela¸c˜ao ao parˆametro ε em (1.4)
pode-se identificar a fun¸c˜ao f (ε) da mesma forma que em (2.170). De fato,
f (ε) = πε
2
⇒ f
(ε) = 2 πε. (2.186)
Finalmente, tomando o limite ε → 0, a derivada topol´ogica resulta em uma fun¸c˜ao
escalar que depende apenas da solu¸c˜ao u
µ
associada ao dom´ınio original Ω
µ
(n˜ao pertur-
bado), ou seja,
D
T
ψ (ˆy) = 2k
µ
1 − γ
1 + γ
|∇u
µ
(ˆy) |
2
∀ˆy ∈ Ω
µ
. (2.187)
Observa¸c˜ao 17. Como era esperado, a express˜ao final da derivada topol´ogica para mod-
elos constitutivos multi-escala (2.187) coincide com o resultado cl´assico associado ao pro-
blema de Poisson, Novotny et al. (2003) [92], Amstutz (2006) [5] e Rocha de faria et
al. (2007) [31]. No entanto, ser´a mostrado mais adiante que atrav´es da eq.(2.187) ´e
poss´ıvel identificar um tensor de segunda ordem que representa a sensibilidade topol´ogica
do operador constitutivo macrosc´opico quando ´e introduzida uma pequena inclus˜ao circular
no EVR.
Como mencionado no in´ıcio deste trabalho, a derivada topol´ogica fornece a sensi-
bilidade do problema ao introduzir uma perturba¸c˜ao n˜ao suave no dom´ınio de an´alise
quando ε → 0. Visando, portanto, corroborar numericamente o resultado (2.187) obtido
52
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
analiticamente, define-se a fun¸c˜ao d
T
ψ
ε
como
d
T
ψ
ε
:=
ψ (ε) − ψ (0)
f (ε)
⇒ lim
ε→0
d
T
ψ
ε
= D
T
ψ. (2.188)
Se para um dado EVR calcularam-se as fun¸c˜oes ψ (0) e ψ (ε) para uma seq¨uˆencia de
perturba¸c˜oes circulares de raios ε decrescentes, a utiliza¸c˜ao da f´ormula (2.188)
1
propor-
cionar´a uma aproxima¸c˜ao assint´otica para o valor anal´ıtico da derivada topol´ogica (2.187).
Os valores da fun¸c˜ao ψ s˜ao computados numericamente empregando o m´etodo dos elemen-
tos finitos para a resolu¸c˜ao do problema de condu¸c˜ao estacion´aria de calor, no contexto da
modelagem constitutiva multi-escala, mostrada na Se¸c˜ao 2.1.8.1. O EVR utilizado para
o desenvolvimento desta verifica¸c˜ao num´erica est´a caracterizado por uma micro-c´elula
quadrada de dimens˜oes unit´arias, com uma inclus˜ao circular de raio 0.1 centrada no ponto
de coordenadas cartesianas (0.35, 0.75), com a origem do sistema de coordenadas posi-
cionado no canto inferior esquerdo, ver Fig.2.12(a). O material da matriz ´e caracterizado
pelo coeficiente de condutividade t´ermica k
m
= 2 e o material da inclus˜ao por k
i
= γk
m
. O
estudo ´e feito introduzindo uma perturba¸c˜ao circular de material γk
µ
(ˆy), para dois valores
do parˆametro γ diferentes, centrada no ponto de coordenadas cartesianas ˆy = (0.5, 0.5) e
de raio ε vari´avel dado por
ε ∈ { 0.005, 0.010, 0.020, 0.040, 0.080, 0.160}. (2.189)
A discretiza¸c˜ao do dom´ınio de an´alise ´e feita utilizando elementos triangulares
isoparam´etricos quadr´aticos. A malha de elementos finitos foi gerada tal que:
Contorno exterior: 20 elementos em cada linha.
Inclus˜ao (centrada em (0.35, 0.75)): 30 elementos no contorno.
Perturba¸c˜oes (centradas em (0.5, 0.5)): 60 elementos em cada contorno.
Gerando um total de 13353 n´os e 6636 elementos, como mostrado na Fig.2.12(b).
y
^
e
(a) EVR estudado (b) Malha de elementos finitos
Figura 2.12: EVR de an´alise e malha para o estudo.
53
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Segundo o conceito de modelagem constitutiva multi-escala, o EVR mostrado an-
teriormente representa a microestrutura do ponto material x da macro-escala. Assim,
para o desenvolvimento do estudo foi admitido que o mencionado ponto tem associado o
seguinte gradiente de temperatura macrosc´opico,
∇u (x) = {1, 2}
T
. (2.190)
Na verifica¸c˜ao num´erica apresentada nas figuras seguintes, foram estudados os trˆes
modelos constitutivos multi-escala cl´assicos apresentados na se¸c˜ao 2.1.6, para diferentes
valores do parˆametro γ, quais sejam:
(a) Modelo de temp eratura linear no contorno do EVR-L.
(b) Modelo de flutua¸c˜ao de temperatura peri´odica no contorno do EVR-P.
(c) Modelo da m´ınima restri¸c˜ao t´ermica ou fluxo uniforme no contorno do EVR-M.
O modelo de Taylor (ou da regra da mistura) apresentado na Se¸c˜ao 2.1.6.1 possui
solu¸c˜ao trivial, n˜ao sendo, portanto, considerado na an´alise.
Na Fig.2.13 ´e mostrada a compara¸c˜ao entre os resultados obtidos para os diferen-
tes modelos constitutivos multi-escala (exceto o modelo de Taylor) para cada valor do
parˆametro γ estudado. Observa-se ainda que, para todos os modelos estudados, os valores
calculados computacionalmente da fun¸c˜ao d
T
ψ
ε
convergem para o resultado anal´ıtico da
derivada topol´ogica D
T
ψ, o que corrobora o resultado (2.187).
16,2
16,3
16,4
16,5
16,6
16,7
16,8
16,9
17,0
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225
(a) γ = 0.1
54
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
-16,8
-16,7
-16,6
-16,5
-16,4
-16,3
-16,2
-16,1
-16,0
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225
(b) γ = 10.0
Figura 2.13: verifica¸c˜ao de convergˆencia da derivada topol´ogica num´erica.
Observa¸c˜ao 18. Da Fig.2.13 observa-se claramente que cada um dos modelos constitu-
tivos multi-escala estudados apresenta uma ass´ıntota D
T
ψ pr´opria, associada ao valor do
parˆametro γ adotado.
2.2.2 Interpreta¸c˜ao dos resultados
Esta se¸c˜ao ´e dedicada a mostrar o procedimento de an´alise que permite obter, a
partir da forma escalar da derivada topol´ogica calculada na se¸c˜ao anterior, a expans˜ao
assint´otica topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico. Lembrando mais uma vez
que a mencionada expans˜ao constitui uns dos principais resultados deste trabalho.
Levando em conta o resultado da an´alise assint´otica topol´ogica mostrado anterior-
mente, eq. (2.187), a expans˜ao (2.141) p ode ser escrita explicitamente como
q
ε
· ∇u = q · ∇u + 2v(ε)k
µ
1 − γ
1 + γ
|∇u
µ
|
2
+ o(v(ε)), (2.191)
onde v(ε) := πε
2
/V
µ
´e a fra¸c˜ao de volume da perturba¸c˜ao I
ε
.
Utilizando os mesmos argumentos apresentados na Se¸c˜ao 2.1.7, ou seja, a partir
das eqs.(2.94) e (2.95), o gradiente t´ermico microsc´opico ∇u
µ
pode ser escrito como uma
combina¸c˜ao linear das componentes do gradiente da temperatura macrosc´opica da seguinte
forma,
∇u
µ
= (∇u)
i
(e
i
+ ∇˜u
µ
i
) = (∇u)
i
∇u
µ
i
⇒ ∇u
µ
i
:= e
i
+ ∇˜u
µ
i
, (2.192)
lembrando que as fun¸c˜oes ˜u
µ
i
s˜ao as solu¸c˜oes do conjunto de problemas variacionais (2.96).
Sendo assim, a derivada topol´ogica D
T
ψ pode ser reescrita como segue,
D
T
ψ = D
T µ
∇u · ∇u, (2.193)
55
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
onde D
T µ
´e um tensor de segunda ordem sim´etrico, cujas componentes s˜ao dadas por,
D
T µ
= 2k
µ
1 − γ
1 + γ
∇u
µ
i
· ∇u
µ
j
e
i
⊗ e
j
. (2.194)
No entanto, levando em conta a rela¸c˜ao constitutiva linear para o fluxo t´ermico
macrosc´opico, tem-se que
q = −K∇u e q
ε
= −K
ε
∇u, (2.195)
onde K e K
ε
s˜ao os tensores constitutivos homogeneizados resp ectivamente associados
aos dom´ınios Ω
µ
e Ω
µ
ε
. Substituindo a express˜ao da derivada topol´ogica (2.193) em
(2.191) e rearranjando os termos, tem-se que a expans˜ao assint´otica topol´ogica do tensor
constitutivo macrosc´opico ´e dada por
K
ε
= K − v(ε)D
T µ
+ o (v(ε)) . (2.196)
Observa¸c˜ao 19. A derivada topol´ogica D
T
ψ, dada por um campo escalar definido no
EVR n˜ao perturbado, depende do gradiente da temperatura macrosc´opica atrav´es da fun¸c˜ao
u
µ
= u + ∇u · y + ˜u
µ
, sendo ˜u
µ
solu¸c˜ao do problema variacional (2.47). Por outro
lado, do resultado (2.196) observa-se que o conceito da derivada topol´ogica no contexto
de modelagem constitutiva multi-escala resulta em um campo tensorial D
T
µ
, da mesma
ordem que o operador constitutivo macrosc´opico, que representa a sensibilidade topol´ogica
do operador constitutivo macrosc´opico, cujas componentes s˜ao dadas pelo gradiente das
solu¸c˜oes do conjunto de equa¸c˜oes variacionais (2.96) associadas ao dom´ınio original n˜ao
perturbado. Al´em do mais, referidos problemas variacionais n˜ao dependem do gradiente
de temperatura macrosc´opico.
Observa¸c˜ao 20. Da express˜ao final do tensor derivada topol´ogica, eq.(2.194), ´e poss´ıvel
analisar os casos limites do parˆametro γ: (i) o primeiro caso ´e quando a inclus˜ao torna-se
um isolante t´ermico ideal (γ → 0), e (ii) no outro limite (γ → ∞) a inclus˜ao resulta num
condutor t´ermico ideal. As express˜oes da derivada topol´ogica para os casos mencionados
anteriormente s˜ao:
Isolante t´ermico ideal (γ → 0):
D
T µ
= 2k
µ
∇u
µ
i
· ∇u
µ
j
e
i
⊗ e
j
, (2.197)
Condutor t´ermico ideal (γ → ∞):
D
T µ
= −2k
µ
∇u
µ
i
· ∇u
µ
j
e
i
⊗ e
j
. (2.198)
Em ressumo, a express˜ao (2.197) fornece a sensibilidade topol´ogica do operador constitu-
tivo macrosc´opico quando no EVR ´e introduzido um furo
4
; e a express˜ao (2.198) representa
a sensibilidade topol´ogica `a nuclea¸c˜ao de um condutor t´ermico ideal no dom´ınio do EVR .
4
O furo introduzido no dom´ınio ´e considerado um isolante t´ermico ideal, desde que n˜ao sejam conside-
rados os efeitos de transferˆencia de calor atrav´es da sua fronteira.
56
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Do desenvolvimento apresentado anteriormente, em particular da eq.(2.196), conclui-
se que o tensor D
T µ
cont´em todas as informa¸c˜oes a priori necess´arias para perturbar o
dom´ınio original do EVR, representado por Ω
µ
, de maneira a obter uma varia¸c˜ao desejada
no tensor constitutivo homogeneizado K
ε
.
2.2.3 Resultados num´ericos
Segundo mencionado no in´ıcio, um dos objetivos secund´arios deste trabalho ´e desen-
volver uma metodologia aplic´avel no projeto e/ou otimiza¸c˜ao de microestruturas, baseada
na informa¸c˜ao fornecida pela derivada topol´ogica. Portanto, nesta se¸c˜ao s˜ao mostrados al-
guns exemplos ilustrativos para demonstrar a potencialidade das ferramentas apresentadas
neste cap´ıtulo no projeto e/ou otimiza¸c˜ao microestrutural. Cada um dos seguintes exemp-
los foi constru´ıdo visando mostrar as caracter´ısticas e/ou propriedades do tensor D
T µ
. Nos
exemplos 1 a 3 ´e realizado um estudo qualitativo das propriedades das componentes do
tensor D
T µ
para distintos EVR. Nos exemplos 4 e 5 ´e apresentado um procedimento para
tornar isotr´opica uma microestrutura que inicialmente possui uma resposta constitutiva
anisotr´opica. Nos exemplos 6 e 7, mostra-se uma t´ecnica de an´alise que fornece as bases
para um procedimento geral para o projeto de microestruturas especializadas. Assim, a
estrutura dos exemplos ´e a seguinte: (i) obter o tensor constitutivo homogeneizado K e o
tensor de sensibilidade topol´ogica D
T µ
, (ii) perturbar o EVR (baseando-se na informa¸c˜ao
fornecida pelo tensor D
T µ
) e (iii) obter o tensor constitutivo homogeneizado perturbado
K
ε
. Cabe mencionar que o tensor constitutivo macrosc´opico ´e calculado empregando a
metodologia proposta por Giusti et al. (2007) [44] e descrita em detalhe na Se¸c˜ao 2.1.7.
2.2.3.1 Exemplo 1
O EVR utilizado neste primeiro exemplo est´a caracterizado por uma micro c´elula
quadrada de ´area unit´aria, com um poro circular de raio 0.15 centrado no ponto (0.5, 0.5),
ver Fig.2.14. O material da matriz ´e caracterizado pelo coeficiente de condutividade
t´ermica k = 2.0. A discretiza¸c˜ao por elementos finitos utilizada na an´alise num´erica est´a
constitu´ıda por uma malha uniforme de 21246 elementos triangulares lineares gerando um
total de 10870 n´os.
Figura 2.14: exemplo 1 - EVR utilizado no estudo.
57
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Os tensores constitutivos homogeneizados K associados ao EVR ora descrito, para
cada modelo multi-escala, s˜ao os seguintes:
K
T
=
1.859 0
0 1.859
, K
L
=
1.738 0
0 1.738
, K
P
=
1.736 0
0 1.736
, K
M
=
1.734 0
0 1.734
.
Neste exemplo prop˜oe-se estudar a sensibilidade da micro c´elula `a introdu¸c˜ao de
uma inclus˜ao circular cuja propriedade de condutividade t´ermica ´e definida atrav´es do
parˆametro γ = 0.1 (menos condutor – Caso A) e γ = 10.0 (mais condutor – Caso B).
Assim sendo, na Fig.2.15(Caso A) e 2.16(Caso B) s˜ao mostradas as componentes do tensor
de sensibilidade topol´ogica D
T µ
para os modelos constitutivos multi-escala:
Modelo de temperatura linear no contorno do EVR;
Modelo de flutua¸c˜ao de temperatura peri´odica no contorno do EVR;
Modelo da m´ınima restri¸c˜ao t´ermica.
No caso do modelo de Taylor (ou da regra da mistura), como as componentes do
tensor D
T µ
s˜ao constantes, n˜ao s˜ao aqui apresentadas.
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(a) Modelo linear: (D
T µ
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-2.0330E+000
-2.7106E+000
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-4.0658E+000
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(b) Modelo linear: (D
T µ
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(c) Modelo linear: (D
T µ
)
22
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(d) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
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-2.7268E+000
-3.4084E+000
-4.0901E+000
-4.7718E+000
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(e) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
12
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4.8925E+000
4.1989E+000
3.5053E+000
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1.4244E+000
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(f) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
22
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(g) Modelo uniforme: (D
T µ
)
11
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-1.5400E-004
-6.9421E-001
-1.3883E+000
-2.0823E+000
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(h) Modelo uniforme: (D
T µ
)
12
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(i) Modelo uniforme: (D
T µ
)
22
Figura 2.15: exemplo 1 - caso A: componentes do tensor D
T µ
para γ = 0.1.
58
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
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(a) Modelo linear: (D
T µ
)
11
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(b) Modelo linear: (D
T µ
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12
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(c) Modelo linear: (D
T µ
)
22
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-6.2361E+000
-6.9265E+000
-7.6170E+000
-8.3075E+000
-8.9980E+000
-9.6884E+000
-1.0379E+001
-1.1069E+001
(d) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
11
Field:TD12
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Node:4542
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Node:2874
Palette:
5.4534E+000
4.7718E+000
4.0901E+000
3.4084E+000
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2.0451E+000
1.3635E+000
6.8181E-001
1.5200E-004
-6.8151E-001
-1.3632E+000
-2.0448E+000
-2.7265E+000
-3.4081E+000
-4.0898E+000
-4.7715E+000
-5.4531E+000
(e) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
12
Field:TD22
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-3.7162E-002
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-1.1135E+001
(f) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
22
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Palette:
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(g) Modelo uniforme: (D
T µ
)
11
Field:TD12
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Node:4542
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5.5526E+000
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4.1645E+000
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2.7764E+000
2.0823E+000
1.3883E+000
6.9421E-001
1.5400E-004
-6.9390E-001
-1.3879E+000
-2.0820E+000
-2.7761E+000
-3.4701E+000
-4.1642E+000
-4.8582E+000
-5.5523E+000
(h) Modelo uniforme: (D
T µ
)
12
Field:TD22
Max.:-3.84E-002
Node:3399
Min.:-1.12E+001
Node:3483
Palette:
-3.8404E-002
-7.3681E-001
-1.4352E+000
-2.1336E+000
-2.8320E+000
-3.5304E+000
-4.2288E+000
-4.9272E+000
-5.6257E+000
-6.3241E+000
-7.0225E+000
-7.7209E+000
-8.4193E+000
-9.1177E+000
-9.8161E+000
-1.0514E+001
-1.1213E+001
(i) Modelo uniforme: (D
T µ
)
22
Figura 2.16: exemplo 1 - caso B: componentes do tensor D
T µ
para γ = 10.0.
Note-se que no Caso A ou Caso B, embora o valor num´erico dos campos mostrados
para cada modelo multi-escala sejam diferentes, qualitativamente n˜ao se observa uma
diferen¸ca apreci´avel da sensibilidade topol´ogica entre os diferentes modelos. Assim, nas
Fig.2.15 e Fig.2.16 ´e poss´ıvel inferir que a dire¸c˜ao onde as componentes do tensor D
T µ
s˜ao mais sens´ıveis coincide com: (i) as dire¸c˜oes dos vetores e
1
e e
2
, que definem a base do
sistema de coordenadas globais no EVR, no caso das componentes (D
T µ
)
11
e (D
T µ
)
22
; e (ii)
uma inclina¸c˜ao aproximada de 45
◦
em rela¸c˜ao aos vetores e
1
e e
2
, no caso da componente
(D
T µ
)
12
. No entanto, existe uma diferen¸ca conceitual importante entre a an´alise do Caso
A e do Caso B, que ser´a discutida posteriormente.
Empregando as informa¸c˜oes fornecidas pelo tensor de sensibilidade topol´ogica D
T µ
,
o EVR ser´a perturbado com a introdu¸c˜ao de inclus˜oes circulares de raio 0.045 e material
γk da seguinte maneira: da express˜ao (2.196) tem-se que uma estimativa de primeira
ordem da resposta constitutiva macrosc´opica associada ao dom´ınio perturbado, pode ser
escrita como
K
ε
≈ K − v(ε)D
T µ
, (2.199)
e considerando, por exemplo, a componente (K)
11
, observa-se que para produzir uma
diminui¸c˜ao significativa do valor dessa componente temos que procurar os pontos onde o
campo (D
T µ
)
11
atinge o maior valor positivo. Portanto, o campo mencionado anterior-
mente fornece um indicador de onde as perturba¸c˜oes devem ser introduzidas. No caso das
59
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
outras componentes a an´alise ´e totalmente an´aloga. Neste ponto ´e conveniente retomar
a discuss˜ao levantada no final do par´agrafo anterior com respeito `a diferen¸ca na an´alise
dos Casos A e B. Essa diferen¸ca decorre do fato de que o valor do parˆametro γ define
se o material da perturba¸c˜ao ´e mais ou menos condutor que o material da matriz. Ou
seja, para valores de γ < 1 a perturba¸c˜ao em forma de disco circular ´e menos condutora
que o material da matriz e, no caso contr´ario, para γ > 1 o material da inclus˜ao tem
uma condutividade t´ermica maior que a matriz. Portanto, tomando novamente o caso
da componente (K)
11
, tem-se que para produzir uma diminui¸c˜ao significativa do valor
dessa componente, introduzindo uma inclus˜ao de material com γ < 1, o procedimento ´e
como mencionado anteriormente. Por outro lado, no caso γ > 1, n˜ao ´e poss´ıvel produzir
uma diminui¸c˜ao no valor da componente, pois o campo (D
T µ
)
11
´e negativo no dom´ınio.
Assim, nesse caso, uma inclus˜ao com γ > 1 s´o pode produzir um incremento no valor da
componente analisada.
Nas Fig.2.17 at´e Fig.2.20 s˜ao mostradas as diferentes posi¸c˜oes das perturba¸c˜oes
colocadas e do lado das mencionadas figuras, est˜ao indicadas as respostas constitutivas
homogeneizadas, obtidas para cada modelo constitutivo multi-escala.
Figura 2.17: exemplo 1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
K
L
ε
=
1.659 0
0 1.726
K
L
ε
=
1.810 0
0 1.749
K
P
ε
=
1.656 0
0 1.725
K
P
ε
=
1.810 0
0 1.747
K
M
ε
=
1.654 0
0 1.722
K
M
ε
=
1.809 0
0 1.746
Figura 2.18: exemplo 1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
K
L
ε
=
1.726 0
0 1.659
K
L
ε
=
1.749 0
0 1.810
K
P
ε
=
1.725 0
0 1.656
K
P
ε
=
1.747 0
0 1.810
K
M
ε
=
1.723 0
0 1.654
K
M
ε
=
1.746 0
0 1.809
60
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Figura 2.19: exemplo 1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
K
L
ε
=
1.693 0.032
0.032 1.693
K
L
ε
=
1.779 −0.03
−0.03 1.779
K
P
ε
=
1.691 0.032
0.032 1.691
K
P
ε
=
1.778 −0.03
−0.03 1.778
K
M
ε
=
1.689 0.033
0.033 1.689
K
M
ε
=
1.777 −0.03
−0.03 1.777
Figura 2.20: exemplo 1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
K
L
ε
=
1.693 −0.03
−0.03 1.693
K
L
ε
=
1.779 0.030
0.030 1.779
K
P
ε
=
1.691 −0.03
−0.03 1.691
K
P
ε
=
1.778 0.030
0.030 1.778
K
M
ε
=
1.689 −0.03
−0.03 1.689
K
M
ε
=
1.777 0.031
0.031 1.777
Levando em conta o valor da componente (K
ε
)
11
, note-se que introduzindo per-
turba¸c˜oes segundo a dire¸c˜ao e
2
(Fig.2.17), tem-se, para o modelo de temperatura linear
no contorno, uma varia¸c˜ao aproximada do 4, 54% (Caso A) e 3, 98% (Caso B) com rela¸c˜ao
ao valor inicial da mesma componente, sendo que as outras componentes apresentam uma
varia¸c˜ao do 0, 69% (Caso A) e 0, 63% (Caso B) com rela¸c˜ao ao seu valor original. No caso
dos outros modelos multi-escala e das outras posi¸c˜oes das perturba¸c˜oes, os resultados en-
contrados s˜ao an´alogos aos apresentados anteriormente. A an´alise pr´evia permite concluir
que introduzindo perturba¸c˜oes no EVR, utilizando como indicador da posi¸c˜ao o campo
D
T µ
, tem-se efetivamente uma varia¸c˜ao significativa da componente estudada e as outras
componentes apresentam uma varia¸c˜ao de uma ordem de magnitude menor. Finalmente,
cabe mencionar que os resultados da an´alise computacional mostrados acima corroboram
a discuss˜ao apresentada no in´ıcio do exemplo.
2.2.3.2 Exemplo 2
Neste exemplo ser´a estudado o tensor D
T µ
para os casos limites do parˆametro γ
mostrados nas eqs.(2.197) e (2.198). Assim, o EVR utilizado na an´alise ´e dado por um
dom´ınio quadrado de dimens˜oes unit´arias com material caracterizado pelo coeficiente de
condutividade t´ermica k = 1.0, no qual est˜ao inseridos oito poros de raio vari´avel dis-
tribu´ıdos aleatoriamente no dom´ınio, veja Fig.2.21. A discretiza¸c˜ao por elementos finitos
utilizada na an´alise num´erica est´a constitu´ıda por uma malha uniforme de 20410 elementos
triangulares lineares gerando um total de 10561 n´os.
61
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Figura 2.21: exemplo 2 - geometria do EVR de an´alise.
Utilizando o mesmo procedimento que no exemplo anterior, os tensores constitutivos
homogeneizados K para cada modelo multi-escala s˜ao os seguintes:
K
L
=
0.803 0
0 0.808
, K
P
=
0.800 0
0 0.807
, K
M
=
0.799 0
0 0.805
.
Nas Figs.2.22 (γ → 0) e 2.23 (γ → ∞) s˜ao apresentados as componentes do tensor
de sensibilidade topol´ogico D
T µ
para cada modelo constitutivo multi-escala,
Field:TD11
Max.:6.77E+000
Node:5492
Min.:4.19E-002
Node:6363
Palette:
6.7695E+000
6.3491E+000
5.9286E+000
5.5081E+000
5.0876E+000
4.6671E+000
4.2467E+000
3.8262E+000
3.4057E+000
2.9853E+000
2.5648E+000
2.1443E+000
1.7238E+000
1.3034E+000
8.8288E-001
4.6241E-001
4.1930E-002
(a) Modelo linear: (D
T µ
)
11
Field:TD12
Max.:3.25E+000
Node:7084
Min.:-3.07E+000
Node:6351
Palette:
3.2509E+000
2.8561E+000
2.4613E+000
2.0665E+000
1.6717E+000
1.2769E+000
8.8214E-001
4.8735E-001
9.2552E-002
-3.0224E-001
-6.9703E-001
-1.0918E+000
-1.4866E+000
-1.8814E+000
-2.2762E+000
-2.6710E+000
-3.0658E+000
(b) Modelo linear: (D
T µ
)
12
Field:TD22
Max.:6.93E+000
Node:6683
Min.:3.97E-002
Node:7466
Palette:
6.9261E+000
6.4957E+000
6.0653E+000
5.6349E+000
5.2045E+000
4.7741E+000
4.3437E+000
3.9133E+000
3.4829E+000
3.0525E+000
2.6221E+000
2.1917E+000
1.7613E+000
1.3309E+000
9.0052E-001
4.7012E-001
3.9719E-002
(c) Modelo linear: (D
T µ
)
22
Field:TD11
Max.:7.02E+000
Node:623
Min.:4.16E-002
Node:5754
Palette:
7.0217E+000
6.5855E+000
6.1492E+000
5.7130E+000
5.2767E+000
4.8405E+000
4.4042E+000
3.9679E+000
3.5317E+000
3.0954E+000
2.6592E+000
2.2229E+000
1.7867E+000
1.3504E+000
9.1415E-001
4.7790E-001
4.1641E-002
(d) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
11
Field:TD12
Max.:3.21E+000
Node:5614
Min.:-3.14E+000
Node:6351
Palette:
3.2144E+000
2.8173E+000
2.4202E+000
2.0231E+000
1.6260E+000
1.2289E+000
8.3178E-001
4.3467E-001
3.7571E-002
-3.5953E-001
-7.5663E-001
-1.1537E+000
-1.5508E+000
-1.9479E+000
-2.3450E+000
-2.7421E+000
-3.1392E+000
(e) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
12
Field:TD22
Max.:6.99E+000
Node:6683
Min.:3.96E-002
Node:4774
Palette:
6.9951E+000
6.5604E+000
6.1257E+000
5.6910E+000
5.2563E+000
4.8215E+000
4.3868E+000
3.9521E+000
3.5174E+000
3.0827E+000
2.6479E+000
2.2132E+000
1.7785E+000
1.3437E+000
9.0906E-001
4.7434E-001
3.9623E-002
(f) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
22
Field:TD11
Max.:7.40E+000
Node:7466
Min.:4.06E-002
Node:6363
Palette:
7.4053E+000
6.9450E+000
6.4847E+000
6.0244E+000
5.5641E+000
5.1038E+000
4.6435E+000
4.1832E+000
3.7229E+000
3.2626E+000
2.8023E+000
2.3421E+000
1.8818E+000
1.4215E+000
9.6121E-001
5.0092E-001
4.0637E-002
(g) Modelo uniforme: (D
T µ
)
11
Field:TD12
Max.:3.37E+000
Node:5614
Min.:-3.22E+000
Node:7858
Palette:
3.3750E+000
2.9630E+000
2.5510E+000
2.1390E+000
1.7269E+000
1.3149E+000
9.0291E-001
4.9089E-001
7.8868E-002
-3.3315E-001
-7.4517E-001
-1.1572E+000
-1.5692E+000
-1.9812E+000
-2.3933E+000
-2.8053E+000
-3.2173E+000
(h) Modelo uniforme: (D
T µ
)
12
Field:TD22
Max.:6.78E+000
Node:3096
Min.:5.24E-002
Node:10146
Palette:
6.7844E+000
6.3637E+000
5.9429E+000
5.5222E+000
5.1014E+000
4.6807E+000
4.2599E+000
3.8391E+000
3.4184E+000
2.9976E+000
2.5769E+000
2.1561E+000
1.7354E+000
1.3146E+000
8.9390E-001
4.7314E-001
5.2384E-002
(i) Modelo uniforme: (D
T µ
)
22
Figura 2.22: exemplo 2 - componentes do tensor D
T µ
para γ → 0.
62
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Field:TD11
Max.:-4.19E-002
Node:6363
Min.:-6.77E+000
Node:5492
Palette:
-4.1930E-002
-4.6241E-001
-8.8288E-001
-1.3034E+000
-1.7238E+000
-2.1443E+000
-2.5648E+000
-2.9853E+000
-3.4057E+000
-3.8262E+000
-4.2467E+000
-4.6672E+000
-5.0876E+000
-5.5081E+000
-5.9286E+000
-6.3491E+000
-6.7696E+000
(a) Modelo linear: (D
T µ
)
11
Field:TD12
Max.:3.07E+000
Node:6351
Min.:-3.25E+000
Node:7084
Palette:
3.0658E+000
2.6710E+000
2.2762E+000
1.8814E+000
1.4866E+000
1.0918E+000
6.9703E-001
3.0224E-001
-9.2552E-002
-4.8735E-001
-8.8214E-001
-1.2769E+000
-1.6717E+000
-2.0665E+000
-2.4613E+000
-2.8561E+000
-3.2509E+000
(b) Modelo linear: (D
T µ
)
12
Field:TD22
Max.:-3.97E-002
Node:7466
Min.:-6.93E+000
Node:6683
Palette:
-3.9719E-002
-4.7012E-001
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-6.4957E+000
-6.9262E+000
(c) Modelo linear: (D
T µ
)
22
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(d) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
11
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(e) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
12
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(f) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
22
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(g) Modelo uniforme: (D
T µ
)
11
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-9.0291E-001
-1.3149E+000
-1.7269E+000
-2.1390E+000
-2.5510E+000
-2.9630E+000
-3.3750E+000
(h) Modelo uniforme: (D
T µ
)
12
Field:TD22
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-5.2384E-002
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-3.8391E+000
-4.2599E+000
-4.6806E+000
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-5.5222E+000
-5.9429E+000
-6.3637E+000
-6.7844E+000
(i) Modelo uniforme: (D
T µ
)
22
Figura 2.23: exemplo 2 - componentes do tensor D
T µ
para γ → ∞.
Empregando o mesmo procedimento de an´alise mostrado no exemplo anterior, ´e
estudado o comportamento da componente (D
T µ
)
11
, e sua conseq¨uˆencia na componente
(K)
11
da resposta constitutiva macrosc´opica, para as duas situa¸c˜oes limites do parˆametro
γ apresentadas ao in´ıcio, uma vez que os resultados obtidos da an´alise para essa com-
ponente s˜ao trivialmente estendidos para as outras. Segundo o mostrado nas Fig.2.22 e
Fig.2.23, qualitativamente n˜ao existe uma diferen¸ca apreci´avel nos resultados obtidos para
os diferentes modelos constitutivos multi-escala. Ent˜ao, na an´alise seguinte ser´a utilizado
como referˆencia o modelo de temperatura linear no contorno. Portanto, tomando o caso
γ → 0 (Fig.2.22) ´e poss´ıvel perceber que o campo de sensibilidade topol´ogica mostra uma
tendˆencia a coalescer os poros, criando canais de isolamento t´ermico alinhados na dire¸c˜ao
e
2
(regi˜oes mais escuras), produzindo uma queda da condutividade t´ermica na dire¸c˜ao e
1
(Fig.2.24(b)). No entanto, no caso γ → ∞ (Fig.2.23) a tendˆencia mostrada pelo campo
de sensibilidade topol´ogica ´e de unir os p oros, na dire¸c˜ao e
2
, atrav´es de um condutor
t´ermico ideal – regi˜oes mais claras – a fim de aumentar o valor de (K)
11
(Fig.2.24(c)).
Pelo contr´ario, as cores escuras na Fig.2.23(a) indicam regi˜oes de baixa sensibilidade `a
introdu¸c˜ao de um condutor t´ermico ideal em forma de disco. Uma an´alise similar pode
ser feita com respeito `as regi˜oes de cor clara da Fig.2.22(a) quanto `a introdu¸c˜ao de furos.
63
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
(a) Original (b) Caso γ → 0 (c) Caso γ → ∞
Figura 2.24: exemplo 2 - tendˆencia do campo (D
T µ
)
11
.
Finalmente ´e importante destacar que, embora as regi˜oes de maior sensibilidade
para os casos γ → 0 e γ → ∞ sejam as mesmas, pois a diferen¸ca entre as eqs.(2.197) e
(2.198) ´e uma troca do sinal, o conceito f´ısico para a an´alise da sensibilidade topol´ogica ´e
muito diferente em cada caso, o que justifica plenamente a apresenta¸c˜ao das duas situa¸c˜oes
limites para o valor de γ.
2.2.3.3 Exemplo 3
A micro-c´elula usada no desenvolvimento deste exemplo ´e caracterizada atrav´es
de um dom´ınio quadrado de ´area unit´aria na qual est˜ao inseridas 31 inclus˜oes de raio
r = 0.05, distribu´ıdas aleatoriamente no EVR, como mostrado na Fig.2.25. A matriz est´a
constitu´ıda por um material de condutividade t´ermica k
m
= 1.00 e o material que carac-
teriza as inclus˜oes possui uma condutividade t´ermica de k
i
= 0.50. Na an´alise num´erica
foi utilizada uma discretiza¸c˜ao por elementos finitos composta por uma malha uniforme
de 23104 elementos triangulares lineares tal que a quantidade total de n´os gerados foi de
11753.
Figura 2.25: exemplo 3 - geometria do EVR de an´alise.
O EVR descrito anteriormente gera, para cada modelo multi-escala, a seguinte re-
sposta constitutiva macrosc´opica:
K
L
=
0.8909 0
0 0.8929
, K
P
=
0.8906 0
0 0.8926
, K
M
=
0.8902 0
0 0.8922
.
64
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Neste exemplo prop˜oe-se estudar a sensibilidade da micro-c´elula para os casos limites
do parˆametro γ mostrados na Observa¸c˜ao 20. Embora este exemplo seja similar ao ante-
rior, a id´eia principal aqui ´e mostrar como as presen¸cas das inclus˜oes de material k
i
afetam
o campo de sensibilidade topol´ogica da micro-c´elula e sua posterior resposta constitutiva
macrosc´opica, para as situa¸c˜oes antes mencionadas. Assim sendo, nas Figs.2.26 (γ → 0) e
2.27 (γ → ∞) s˜ao mostradas as componentes do tensor D
T µ
para cada modelo constitutivo
multi-escala. No caso do modelo de Taylor (ou da regra da mistura) as componentes do
tensor de sensibilidade top ol´ogica D
T µ
s˜ao constantes, por isso n˜ao s˜ao aqui apresentadas.
Field:TD11
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9.4836E-001
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(a) Modelo linear: (D
T µ
)
11
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2.9324E-002
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-7.5997E-001
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-1.0231E+000
(b) Modelo linear: (D
T µ
)
12
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1.3261E+000
1.1855E+000
1.0450E+000
9.0441E-001
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(c) Modelo linear: (D
T µ
)
22
Field:TD11
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(d) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
11
Field:TD12
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-1.0236E+000
(e) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
12
Field:TD22
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2.1720E+000
2.0311E+000
1.8903E+000
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9.0438E-001
7.6353E-001
(f) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
22
Field:TD11
Max.:3.62E+000
Node:3597
Min.:9.68E-001
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9.6800E-001
Palette:
(g) Modelo uniforme: (D
T µ
)
11
Field:TD12
Max.:1.08E+000
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Node:5327
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1.0762E+000
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2.2739E-002
-1.0895E-001
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(h) Modelo uniforme: (D
T µ
)
12
Field:TD22
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1.9940E+000
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1.1091E+000
9.3215E-001
7.5516E-001
(i) Modelo uniforme: (D
T µ
)
22
Figura 2.26: exemplo 3 - componentes do tensor D
T µ
para γ → 0.
65
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Field:TD11
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-1.8450E+000
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-2.2036E+000
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-2.5622E+000
-2.7416E+000
-2.9209E+000
-3.1002E+000
-3.2795E+000
-3.4588E+000
-3.6382E+000
(a) Modelo linear: (D
T µ
)
11
Field:TD12
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Node:5327
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3.6532E-001
2.3377E-001
1.0222E-001
-2.9324E-002
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-2.9242E-001
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-5.5552E-001
-6.8707E-001
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-1.0817E+000
(b) Modelo linear: (D
T µ
)
12
Field:TD22
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Node:3597
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-2.3099E+000
-2.4505E+000
-2.5910E+000
-2.7316E+000
-2.8721E+000
-3.0127E+000
(c) Modelo linear: (D
T µ
)
22
Field:TD11
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-2.9417E+000
-3.1066E+000
-3.2716E+000
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-3.6015E+000
(d) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
11
Field:TD12
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1.0236E+000
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1.0917E-001
-2.146E-002
-1.5209E-001
-2.8273E-001
-4.1336E-001
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-6.7463E-001
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-1.0665E+000
(e) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
12
Field:TD22
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-1.4677E+000
-1.6086E+000
-1.7494E+000
-1.8903E+000
-2.0311E+000
-2.1720E+000
-2.3128E+000
-2.4537E+000
-2.5945E+000
-2.7353E+000
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-3.0170E+000
(f) Modelo p eri´odico: (D
T µ
)
22
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(g) Modelo uniforme: (D
T µ
)
11
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(h) Modelo uniforme: (D
T µ
)
12
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-2.7020E+000
-2.8789E+000
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-3.2329E+000
-3.4099E+000
-3.5869E+000
(i) Modelo uniforme: (D
T µ
)
22
Figura 2.27: exemplo 3 - componentes do tensor D
T µ
para γ → ∞.
Analisando o caso γ → 0 (Fig.2.26) ´e razo´avel inferir que o campo de sensibilidade
topol´ogica apresenta uma tendˆencia `a nuclea¸c˜ao de furos no espa¸co entre duas inclus˜oes
alinhadas numa dire¸c˜ao preferencial (regi˜oes de cor escura). Tomando, por exemplo, a
dire¸c˜ao do vetor e
2
e introduzindo furos segundo o discutido anteriormente, obter-se-ia
uma queda da condutividade t´ermica associada `a dire¸c˜ao e
1
. A an´alise para as outras
dire¸c˜oes ´e totalmente an´aloga `a apresentada antes. No caso γ → ∞ (Fig.2.27) a an´alise
´e semelhante ao caso da nuclea¸c˜ao de furos, uma vez que as regi˜oes claras mostram a
tendˆencia `a introdu¸c˜ao de um condutor ideal no lugar entre inclus˜oes alinhadas numa
dire¸c˜ao preferencial. Novamente, tomando a dire¸c˜ao do vetor e
2
como exemplo e nucleando
condutores t´ermicos ideais segundo o discutido anteriormente, obter-se-ia um incremento
da condutividade t´ermica associada `a dire¸c˜ao e
1
. Finalmente, na Fig.2.28 ´e mostrada
esquematicamente a tendˆencia apresentada pelo campo de sensibilidade topol´ogica do
tensor D
T µ
discutida anteriormente.
66
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
(a) Caso γ → 0 (b) Caso γ → ∞
Figura 2.28: exemplo 3 - tendˆencia da componente (D
T µ
)
11
.
2.2.3.4 Exemplo 4
Seja um EVR quadrado de dimens˜oes unit´arias com dois poros circulares de raio
r = 0.05, com centro nas coordenadas (1/2, 1/3) e (1/2, 2/3), veja Fig.2.29, e coeficiente de
condutividade t´ermica k = 20.0. A discretiza¸c˜ao por elementos finitos utilizada na an´alise
num´erica possui uma malha uniforme com 22686 elementos triangulares isoparam´etricos
quadr´aticos gerando um total de 45833 n´os.
Figura 2.29: exemplo 4 - geometria do EVR de an´alise.
Da descri¸c˜ao da micro-c´elula mostrada anteriormente, tem-se que os tensores con-
stitutivos homogeneizados K associados a cada modelo multi-escala s˜ao os seguintes:
K
L
=
19.3681 0
0 19.3966
, K
P
=
19.3656 0
0 19.3964
, K
M
=
19.3654 0
0 19.3941
.
Segundo mencionado no in´ıcio da Se¸c˜ao 2.2.3, o intuito deste exemplo ´e mostrar um
procedimento de an´alise que permite tornar isotr´opica uma resposta constitutiva inicial-
mente anisotr´opica, introduzindo perturba¸c˜oes circulares. Em particular, neste exemplo a
resposta constitutiva inicial do EVR ´e ortotr´opica e como p erturba¸c˜oes ser˜ao empregados
furos circulares.
Uma resposta constitutiva, no contexto do problema abordado neste cap´ıtulo, pode
ser chamada de isotr´opica quando os autovalores do tensor de condutividade t´ermica s˜ao
iguais. Esta caracteriza¸c˜ao atrav´es dos autovalores ser´a muito importante na an´alise desen-
67
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
volvida neste trabalho. Assim sendo, os autovalores λ
ε
do tensor de condutividade t´ermica
macrosc´opica K
ε
, associados ao dom´ınio perturbado, s˜ao obtidos da seguinte express˜ao
λ
ε
1,2
=
1
2
trK
ε
±
2K
D
ε
· K
D
ε
, (2.200)
onde K
D
ε
´e a parte desviadora do tensor K
ε
, dada por
K
D
ε
= K
ε
−
1
2
(trK
ε
) I. (2.201)
Note-se da eq.(2.200) que a diferen¸ca entre os autovalores λ
ε
1
e λ
ε
2
ser´a m´ınima
quando o produto
K
D
ε
· K
D
ε
seja m´ınimo. Visando, portanto, procurar os pontos y ∈ Ω
µ
onde introduzir as perturba¸c˜oes que minimizam a distˆancia entre λ
ε
1
e λ
ε
2
, define-se a
fun¸c˜ao escalar χ
ε
(y) como
χ
ε
(y) := K
D
ε
· K
D
ε
⇒ (λ
ε
1
− λ
ε
2
)
2
→
χ
ε
(y)→0
0. (2.202)
A dependˆencia de χ
ε
(y) com o parˆametro ε decorre do fato da presen¸ca da fun¸c˜ao
v(ε) na estimativa da resposta constitutiva macrosc´opica associada ao dom´ınio pertur-
bado K
ε
, ou seja, para calcular a fun¸c˜ao χ
ε
(y) ´e necess´ario fornecer a fra¸c˜ao de volume
perturbado com a qual se deseja minimizar a distˆancia entre os autovalores λ
ε
1
e λ
ε
2
.
No desenvolvimento do exemplo, o tensor K
ε
ser´a calculado empregando a estimativa de
primeira ordem na fra¸c˜ao de volume apresentada na eq.(2.199).
Baseado no discutido anteriormente, o procedimento de an´alise ´e o seguinte: em-
pregando as informa¸c˜oes fornecidas pelo tensor de sensibilidade topol´ogica D
T µ
, o EVR
ser´a perturbado com a introdu¸c˜ao de furos circulares onde a fun¸c˜ao χ
ε
(y) atinja seu valor
m´ınimo. Assim sendo, neste exemplo ser˜ao exploradas as 3 situa¸c˜oes de configura¸c˜oes de
perturba¸c˜oes seguintes:
Caso A: 4 furos de raio 0.01 ⇒ v(ε) = 4π(0.01)
2
≈ 0.001256;
Caso B: 2 furos de raio 0.05/
√
2 ⇒ v(ε) = 2π(0.05/
√
2)
2
≈ 0.007854;
Caso C: 2 furos de raio 0.05 ⇒ v(ε) = 2π(0.05)
2
≈ 0.015708.
Na Fig.2.30 s˜ao mostradas as microestruturas perturbadas, segundo o procedimento
antes mencionado, sendo poss´ıvel observar as posi¸c˜oes dos furos para cada modelo consti-
tutivo multi-escala. Em seguida, a Tabela 2.3 mostra a resposta constitutiva macrosc´opica
associada a cada microestrutura apresentada na Fig.2.30.
68
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
(a) Modelo linear: caso A (b) Modelo linear: caso B (c) Modelo linear: caso C
(d) Modelo peri´odico: caso A (e) Modelo peri´odico: caso B (f) Modelo peri´odico: caso C
(g) Modelo uniforme: caso A (h) Modelo uniforme: caso B (i) Modelo uniforme: caso C
Figura 2.30: exemplo 4 - configura¸c˜ao das perturba¸c˜oes.
K
L
ε
=
19.3332 0
0 19.3337
K
P
ε
=
19.3316 0
0 19.3320
K
M
ε
=
19.3303 0
0 19.3308
(a) Caso A.
K
L
ε
=
19.0843 0
0 19.0823
K
P
ε
=
19.0835 0
0 19.0737
K
M
ε
=
19.0763 0
0 19.0736
(b) Caso B.
K
L
ε
=
18.7963 0
0 18.7737
K
P
ε
=
18.7930 0
0 18.7685
K
M
ε
=
18.7882 0
0 18.7653
(c) Caso C.
Tabela 2.3: exemplo 4 - resposta constitutiva macrosc´opica.
Levando em considera¸c˜ao a diferen¸ca inicial entre os autovalores do tensor K, tem-
se, dos resultados mostrados na Tabela 2.3, para o Caso A uma queda de duas ordens de
grandeza desse valor, j´a no Caso B a diferen¸ca dos autovalores desce somente uma ordem,
e finalmente no Caso C essa diferen¸ca preserva a ordem de grandeza, mas houve uma
69
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
diminui¸c˜ao no seu valor.
Dos resultados mostrados anteriormente, observa-se que quanto menor o tamanho
da perturba¸c˜ao introduzida, menor a distˆancia entre os autovalores do tensor de condu-
tividade t´ermica macrosc´opica associado ao dom´ınio do EVR perturbado K
ε
. Acredita-se
que esse comportamento decorre de dois fatos: (i) a an´alise de sensibilidade topol´ogica
´e desenvolvida para perturba¸c˜oes infinitesimais, mas na pr´atica ´e necess´ario introduzir
perturba¸c˜oes finitas, portanto, ´e poss´ıvel que a estimativa de primeira ordem – na fra¸c˜ao
de volume – fornecida pelo tensor D
T µ
n˜ao seja totalmente adequada para tamanhos de
perturba¸c˜oes (furos) importantes; e (ii) o c´alculo da resposta constitutiva macrosc´opica
´e realizado atrav´es da solu¸c˜ao de um sistema de equa¸c˜oes variacionais levando em conta
a topologia completa do problema, portanto, quanto maior o tamanho das perturba¸c˜oes
(furos) introduzidas, maior a intera¸c˜ao entre elas, afetando de forma mais significativa a
resposta macrosc´opica final. Em particular, nas figuras associadas ao Caso C (Figs.2.30(c),
2.30(f) e 2.30(i)) ´e mostrada em linha tracejada o que po deria ser considerado, para este
caso em particular, como a posi¸c˜ao ´otima das perturba¸c˜oes de raio 0.05, mostrando que a
estimativa de primeira ordem fornecida pela derivada topol´ogica ´e suficiente para deter-
minar com certo n´ıvel de precis˜ao onde devem ser introduzidos os furos. Neste sentido, e
retomando a discuss˜ao iniciada no par´agrafo anterior, nota-se que a maior distˆancia entre
os autovalores associados ao tensor K
ε
corresponde ao Caso C, cujo comportamento foi
anteriormente analisado, mas aqui se deseja refor¸car que a resposta constitutiva homo-
geneizada ´e muito sens´ıvel `a posi¸c˜ao das perturba¸c˜oes.
Finalmente, observa-se ainda que, os resultados obtidos n˜ao apresentam uma diferen¸ca
apreci´avel entre os diferentes modelos constitutivos multi-escala. Sendo assim, na Fig.2.31
s˜ao apresentadas as isofaixas da fun¸c˜ao χ
ε
(y) associadas ao modelo de flutua¸c˜ao peri´odica
de temperatura no contorno do EVR, para os trˆes casos estudados. Percebe-se claramente
a posi¸c˜ao onde devem ser colocados os furos, o que mostra a qualidade da informa¸c˜ao
obtida com o procedimento apresentado neste exemplo.
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8.126150E-004
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(a) Caso A
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2.000110E-006
1.750123E-006
1.500137E-006
1.250151E-006
1.000164E-006
7.501781E-007
5.001918E-007
2.502055E-007
2.191883E-010
(b) Caso B
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1.687509E-003
1.500011E-003
1.312512E-003
1.125013E-003
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7.500160E-004
5.625173E-004
3.750186E-004
1.875200E-004
2.129219E-008
(c) Caso C
Figura 2.31: exemplo 4 - fun¸c˜ao χ
ε
(y) para o modelo de flutua¸c˜ao peri´odica.
2.2.3.5 Exemplo 5
Como uma extens˜ao dos conceitos introduzidos no exemplo anterior, agora ser´a
estudada uma micro-estrutura com resposta constitutiva anisotr´opica e ser˜ao simulados
os trˆes primeiros passos de um processo de otimiza¸c˜ao, cujo objetivo ´e tornar isotr´opica
essa resposta constitutiva. O EVR estudado est´a caracterizado por um quadrado unit´ario
70
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
com trˆes poros de raio r = 0.05, com centro nas coordenadas (11/20, 1/5); (3/4, 3/5)
e (9/20, 17/20) (considerando que a origem do sistema de coordenadas cartesianas est´a
posicionada no canto inferior esquerdo do EVR), como mostrado na Fig.2.32, e o material
da matriz possui um coeficiente de condutividade t´ermica k = 20.0. Para a solu¸c˜ao
computacional foi empregada uma discretiza¸c˜ao uniforme por elementos finitos com 22533
elementos triangulares isoparam´etricos quadr´aticos com um total de 45557 n´os.
Figura 2.32: exemplo 5 - geometria do EVR de an´alise.
Segundo mostrado nos exemplos anteriores, os resultados obtidos para cada modelo
constitutivo multi-escala n˜ao apresentam uma varia¸c˜ao apreci´avel, portanto, neste exem-
plo somente ser´a estudado o modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de temperatura no contorno.
Contudo, o tensor constitutivo homogeneizado e os autovalores associados `a micro-c´elula
descrita anteriormente, s˜ao
K
P
=
19.0638 8.3 × 10
−4
8.3 ×10
−4
19.0938
, ⇒
λ
1
= 19.06382702
λ
2
= 19.09382512
.
Empregando os conceitos relativos `a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao χ
ε
(y) estabelecida no exem-
plo anterior, eq.(2.202), ser˜ao simulados trˆes passos de um processo de otimiza¸c˜ao, onde
cada passo tem as seguintes etapas: (i) calcular a fun¸c˜ao χ
ε
(y) associada ao EVR da
itera¸c˜ao; (ii) perturbar o dom´ınio do EVR introduzindo furos nos pontos onde a fun¸c˜ao
χ
ε
(y) atinja os m´ınimos valores. Adicionalmente, a fra¸c˜ao de volume a ser retirada em
cada passo ser´a constante no valor de v(ε) = π(0.02)
2
≈ 0.001256, obtendo-se no final da
simula¸c˜ao do processo iterativo um volume s´olido de |Ω
m
µ
ε
| = 0.99623. Al´em do mais, ser˜ao
exploraras trˆes situa¸c˜oes para a configura¸c˜ao da quantidade de material a ser retirado em
cada itera¸c˜ao:
Caso A: 1 furo de raio 0.02;
Caso B: 2 furos de raio 0.02/
√
2 ≈ 0.014142;
Caso C: 4 furos de raio 0.01.
Nas figuras seguintes s˜ao mostrados os resultados obtidos em cada itera¸c˜ao para
cada caso dos mencionados anteriormente.
71
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
(a) Caso A – itera¸c˜ao 1 (b) Caso A – itera¸c˜ao 2 (c) Caso A – itera¸c˜ao 3
(d) Caso B – itera¸c˜ao 1 (e) Caso B – itera¸c˜ao 2 (f) Caso B – itera¸c˜ao 3
(g) Caso C – itera¸c˜ao 1 (h) Caso C – itera¸c˜ao 2 (i) Caso C – itera¸c˜ao 3
Figura 2.33: exemplo 5 - dom´ınios topologicamente perturbado em cada itera¸c˜ao.
A resposta constitutiva macrosc´opica obtida ao final da simula¸c˜ao do processo ite-
rativo ´e apresentada no que segue:
Caso A:
K
P
ε
=
18.934486 −8.8 × 10
−6
−8.8 ×10
−6
18.934500
, ⇒
λ
ε
1
= 18.93448
λ
ε
2
= 18.93450
;
Caso B:
K
P
ε
=
18.934700 −2.6 × 10
−6
−2.6 ×10
−6
18.934699
, ⇒
λ
ε
1
= 18.934699
λ
ε
2
= 18.934705
;
Caso C:
K
P
ε
=
18.934970 7.7 ×10
−6
7.7 ×10
−6
18.934930
, ⇒
λ
ε
1
= 18.93492
λ
ε
2
= 18.93497
.
Para avaliar o desemp enho da metodologia proposta neste exemplo, defini-se a
72
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
fun¸c˜ao
κ :=
λ
ε
1
− λ
ε
2
max
i∈{1,2}
λ
ε
i
, (2.203)
como uma medida de distˆancia relativa, atrav´es dos autovalores, entre a resposta consti-
tutiva atual do EVR e a resposta desejada (isotr´opica para este exemplo). Assim sendo,
da defini¸c˜ao estabelecida acima, segue que a fun¸c˜ao κ possui a seguinte propriedade
κ → 0, ⇒ K
P
ε
→ k
P
ε
I. (2.204)
A avalia¸c˜ao da fun¸c˜ao κ para cada caso estudado ao longo do processo de otimiza¸c˜ao
´e apresentada na Fig.2.34. Note que, aqui e no exemplo anterior, o objetivo est´a focado
no tipo de resposta macrosc´opica obtida do EVR e n˜ao no valor num´erico que caracteriza
essa resposta, ou seja, procura-se uma microestrutura que possua uma resposta constitu-
tiva final do tipo k
P
ε
I, sem ser muito relevante, por enquanto, o valor de condutividade
t´ermica k
P
ε
. Entretanto, dos resultados anteriores ressalta-se que o valor da condutividade
t´ermica global ´e menor que a inicial, esse comportamento (estudado em detalhe nos ex-
emplos 1 e 2, veja Se¸c˜oes 2.2.3.1 e 2.2.3.2) decorre do fato de ter empregado furos como
perturba¸c˜oes. Para produzir o efeito contr´ario, ou seja, para obter uma condutividade
t´ermica macrosc´opica maior que a inicial, poder-se-ia utilizar como perturba¸c˜ao inclus˜oes
com condutividade t´ermica maior que a da matriz.
0,0000
0,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,0010
0,0012
0,0014
0,0016
0 1 2 3
CasoA
CasoB
CasoC
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
2 3
Figura 2.34: exemplo 5 - evolu¸c˜ao da fun¸c˜ao κ na simula¸c˜ao.
Finalmente, observa-se que, embora a quantidade de furos introduzidos no processo
iterativo seja diferente para cada caso, as respostas constitutivas finais, obtidas da sim-
ula¸c˜ao do processo de otimiza¸c˜ao, s˜ao similares. Portanto, a quantidade e o tamanho dos
furos a serem introduzidos em cada passo do processo de otimiza¸c˜ao deve ser considerada
uma vari´avel de projeto, ou seja, tem-se liberdade para escolher o tamanho e quantidade
de perturba¸c˜oes, mas a t´ecnica aqui apresentada fornece as posi¸c˜oes onde elas devem ser
colocadas no EVR.
73
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
2.2.3.6 Exemplo 6
Neste exemplo ser´a apresentada uma metodologia de an´alise para ser utilizada no
projeto e/ou otimiza¸c˜ao de microestruturas. Com esse objetivo e considerando uma re-
sposta constitutiva macrosc´opica desejada, caracterizada atrav´es tensor de condutividade
t´ermica K
, defini-se o funcional de forma ψ(ε), associado ao dom´ınio perturbado Ω
µ
ε
,
como:
ψ(ε) := K
ε
− K
2
⇒ ψ(0) = K − K
2
, (2.205)
onde K e K
ε
denotam, respectivamente, as respostas constitutivas homogeneizadas asso-
ciadas aos dom´ınios Ω
µ
(n˜ao perturbado) e Ω
µ
ε
(perturbado). Al´em do mais, assume-se
que a norma euclidiana de um tensor ´e definida, atrav´es do produto escalar, como
A :=
√
A · A, (2.206)
sendo A um tensor arbitr´ario de segunda ordem.
Considerando a expans˜ao assint´otica da resposta constitutiva macrosc´opica K
ε
apre-
sentada na eq.(2.196), tem-se que a expans˜ao assint´otica topol´ogica do funcional de forma
ψ(ε) pode ser escrita como
K
ε
− K
2
= K − K
2
− 2v(ε)D
T µ
· (K − K
) + o(v(ε)), (2.207)
onde o campo escalar 2D
T µ
·(K−K
) ´e reconhecido como a derivada topol´ogica asso ciada
ao funcional ψ, ou seja,
D
T µ
ψ := 2D
T µ
· (K − K
). (2.208)
Observa-se da express˜ao anterior que, para obter uma resposta constitutiva K
a
partir de uma resposta inicial K, devem ser introduzidas perturba¸c˜oes singulares nos
pontos onde o campo de sensibilidade topol´ogica D
T µ
ψ atinja seus valores m´aximos. Em
resumo, dado inicialmente um tensor de condutividade t´ermica macrosc´opico desejado
K
e uma micro-estrutura com resposta constitutiva homogeneizada K, com dom´ınio
denotado por Ω
µ
, o mencionado campo escalar D
T µ
ψ mede a sensibilidade topol´ogica `a
introdu¸c˜ao de uma perturba¸c˜ao singular no dom´ınio Ω
µ
, que minimize (ou maximize) a
diferen¸ca entre as resposta constitutivas K e K
. Al´em do mais, observa–se que a derivada
topol´ogica D
T µ
ψ nem sempre ´e positiva, pois seu sinal prov´em do tensor D
T µ
(atrav´es
do valor do parˆametro γ) e da diferen¸ca entre K e K
(atrelado `a resposta constitutiva
inicial do EVR).
Para exemplificar o discutido anteriormente, agora ser´a estudado o caso particular
de um EVR quadrado de dimens˜oes unit´arias com um volume de s´olido de |Ω
m
µ
| ≈ 0.9562
e material caracterizado pelo coeficiente de condutividade t´ermica k = 2.0. Na simula¸c˜ao
num´erica s˜ao estudadas duas distribui¸c˜oes de vazios diferentes para o mesmo volume s´olido:
Caso A: um ´unico poro centrado de raio r ≈ 0.118 (Fig.2.35(a)) no dom´ınio Ω
µ
, dis-
cretizado com uma malha uniforme de elementos finitos triangulares isoparam´etricos
quadr´aticos com um total de 44478 n´os e 22002 elementos.
74
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Caso B: 4 poros de raio r ≈ 0.059 centrados nas coordenadas cartesianas (1/4, 1/4);
(1/4, 3/4); (3/4, 1/4) e (3/4, 3/4), considerando que a origem do sistema de coorde-
nadas cartesianas est´a posicionada no canto inferior esquerdo do EVR (Fig.2.35(b)).
Na discretiza¸c˜ao foi utilizada uma malha uniforme de elementos finitos triangulares
isoparam´etricos quadr´aticos com um total de 44693 n´os e 22074 elementos.
Para as duas situa¸c˜oes de an´alise mencionada anteriormente, a resposta constitutiva
homogeneizada ´e isotr´opica, cujos tensores de condutividade t´ermica s˜ao os seguintes:
K
A
=
1.8321 0.0
0.0 1.8321
e K
B
=
1.8321 0.0
0.0 1.8321
. (2.209)
Como tensor de condutividade t´ermica objetivo, adota-se uma resposta constitu-
tiva ortotr´opica como a mostrada no exemplo 1 desta se¸c˜ao, para o modelo de flutua¸c˜ao
peri´odica de temperatura no contorno com γ = 0.10 (veja Fig.2.17) aqui repetida por
conveniˆencia:
K
=
1.656 0.0
0.0 1.725
. (2.210)
(a) Caso A. (b) Caso B.
Figura 2.35: exemplo 6 - dom´ınios de an´alise para os casos de estudo.
O procedimento de an´alise proposto neste exemplo pode ser resumido nas seguintes
etapas: (i) dado um EVR, obter a resposta constitutiva homogeneizada K; (ii) c´alculo
do tensor de sensibilidade top ol´ogica D
T µ
, associado ao dom´ınio Ω
µ
do EVR; e (iii) con-
stru¸c˜ao do campo escalar D
T µ
ψ com a express˜ao (2.208) e a resposta desejada K
ora
apresentada. Pelas mesmas quest˜oes mencionadas no exemplo anterior, agora ser´a es-
tudado somente o modelo constitutivo multi-escala associado a flutua¸c˜oes peri´odicas de
temperatura no contorno do EVR. Assim sendo, na Fig.2.36 s˜ao mostrados os campos de
sensibilidade topol´ogica D
T µ
ψ para os Casos A e B, respectivamente.
75
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Field:DtField
Max.:5.193677E+000
Node:14948
Min.:1.958974E+000
Node:12446
Palette:
4.500000E+000
4.341186E+000
4.182372E+000
4.023558E+000
3.864743E+000
3.705929E+000
3.547115E+000
3.388301E+000
3.229487E+000
3.070673E+000
2.911859E+000
2.753045E+000
2.594230E+000
2.435416E+000
2.276602E+000
2.117788E+000
1.958974E+000
(a) Caso A.
Field:DtField
Max.:5.195118E+000
Node:20108
Min.:1.958677E+000
Node:3226
Palette:
4.500000E+000
4.341167E+000
4.182335E+000
4.023502E+000
3.864669E+000
3.705837E+000
3.547004E+000
3.388171E+000
3.229338E+000
3.070506E+000
2.911673E+000
2.752840E+000
2.594008E+000
2.435175E+000
2.276342E+000
2.117510E+000
1.958677E+000
(b) Caso B.
Figura 2.36: exemplo 6 - campo D
T
µ
ψ para os casos de estudo.
Observa-se da figura anterior que, para cada caso estudado, os m´aximos do campo
de sensibilidade topol´ogica D
T µ
ψ ocorrem no contorno do poro preexistente. Indicando
uma tendˆencia a mudar de forma do furo circular para um furo el´ıptico, minimizando a
diferen¸ca entre as resposta K e K
. Essa tendˆencia ´e mostrada na Fig.2.37.
(a) Caso A. (b) Caso B.
Figura 2.37: exemplo 6 - tendˆencia mostrada pelo campo D
T
µ
ψ.
Finalmente, cabe mencionar que, a metodologia apresentada neste exemplo ´e fact´ıvel
de ser utilizada no projeto ou otimiza¸c˜ao de micro-estruturas, pois a derivada topol´ogica
do funcional ψ, mostrada na eq.(2.208), pode ser utilizada como dire¸c˜ao de descida de um
algoritmo de otimiza¸c˜ao. De fato, prop˜oe-se a seguinte estrutura para um algoritmo que
minimize a distˆancia entre as respostas constitutivas macrosc´opicas K e K
:
76
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Descri¸c˜ao completa do dom´ınio inicial do EVR Ω
µ
, a resposta constitutiva
macrosc´opica desejada K
, o valor do parˆametro γ, o n´umero m´aximo de itera¸c˜oes
N e uma tolerˆancia tol.
Calcule os valores iniciais (itera¸c˜ao j = 0) da resposta constitutiva macrosc´opica
K, o tensor de sensibilidade topol´ogica D
T µ
e a derivada topol´ogica D
T µ
ψ.
Enquanto
D
j
T µ
ψ
> tol e j ≤ N, fa¸ca:
- Calcule K
j
, D
j
T µ
e D
j
T µ
ψ no dom´ınio Ω
j
µ
.
- Altere o dom´ınio atual Ω
j
µ
introduzindo perturba¸c˜oes, de acordo com o valor do
parˆametro γ, nos pontos onde D
j
T µ
ψ atinge os m´aximos valores.
- Atualize Ω
j+1
µ
= Ω
j
µ
e j ← j + 1.
Assegure que K
j
≈ K
.
Algoritmo A: otimiza¸c˜ao topol´ogica de micro-estruturas especializadas em condu¸c˜ao
estacion´aria de calor.
2.2.3.7 Exemplo 7
Encerrando esta s´erie de exemplos acerca do uso da expans˜ao assint´otica do ope-
rador constitutivo macrosc´opico no projeto e/ou otimiza¸c˜ao de micro estruturas, agora
ser´a apresentado um exemplo de aplica¸c˜ao do algoritmo proposto no exemplo anterior
(Algoritmo A). Levando em conta o discutido nos exemplos anteriores, agora somente ser´a
estudado o modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de temperatura no contorno do EVR.
A resposta constitutiva objetivo foi obtida de maneira sint´etica atrav´es da an´alise
de uma microestrutura caracterizada por um quadrado de dimens˜oes unit´arias com con-
dutividade t´ermica k
m
= 2.0, no qual est´a inserida uma faixa de material menos condutor
( k
i
= 1.0 ) com uma largura do 10% do tamanho do lado do EVR, como mostrado
na Fig.2.38. Do lado da mencionada figura ´e apresentado o tensor constitutivo homo-
geneizado, evidentemente ortotr´opico.
Figura 2.38: exemplo 7 - geometria do EVR objetivo.
⇒ K
=
1.818 0.0
0.0 1.900
77
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Como ponto de partida do algoritmo, ser˜ao estudadas duas topologias iniciais con-
stitu´ıdas por uma micro c´elula quadrada unit´aria na qual est˜ao inseridas inclus˜oes com a
mesma fra¸c˜ao de volume e materiais que o EVR descrito anteriormente. Em particular, o
volume de inclus˜ao utilizado nesses dois casos ´e distribu´ıdo no dom´ınio da seguinte forma:
Caso A: uma ´unica inclus˜ao circular centrada de raio r ≈ 0.1784 (Fig.2.39(a)) no
dom´ınio Ω
µ
, discretizado com uma malha uniforme de elementos finitos triangulares
lineares com um total de 11733 n´os e 23064 elementos.
Caso B: duas inclus˜oes circulares de raio r ≈ 0.1261 centradas em (1/4, 1/2) e
(3/4, 1/2), considerando que a origem do sistema de coordenadas cartesianas est´a
posicionada no canto inferior esquerdo do EVR (Fig.2.39(b)). Na discretiza¸c˜ao foi
utilizada uma malha uniforme de elementos finitos triangulares lineares com um total
de 11736 n´os e 23070 elementos.
(a) Caso A. (b) Caso B.
Figura 2.39: exemplo 7 - dom´ınios de an´alise para os casos de estudo.
As respostas constitutivas homogeneizadas para os dois casos apresentados ante-
riormente s˜ao os seguintes:
K
A
=
1.871 0.0
0.0 1.871
e K
B
=
1.876 0.0
0.0 1.860
. (2.211)
Nas Fig.2.40 (Caso A) e Fig.2.41 (Caso B) s˜ao mostradas as topologias obtidas para
alguns passos intermedi´arios do algoritmo de otimiza¸c˜ao apresentado no exemplo anterior
(Algoritmo A), correspondentes `as itera¸c˜oes j ∈ {30, 60, 90}.
78
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
(a) Itera¸c˜ao 30. (b) Itera¸c˜ao 60. (c) Itera¸c˜ao 90.
Figura 2.40: exemplo 7 - evolu¸c˜ao da topologia no processo de otimiza¸c˜ao - caso A.
(a) Itera¸c˜ao 30. (b) Itera¸c˜ao 60. (c) Itera¸c˜ao 90.
Figura 2.41: exemplo 7 - evolu¸c˜ao da topologia no processo de otimiza¸c˜ao - caso B.
As topologias obtidas no final de processo de otimiza¸c˜ao, itera¸c˜ao j = 130, s˜ao
apresentadas na Fig.2.42. Observando-se que, embora o exemplo seja simples, a qualidade
dos resultados obtidos s˜ao totalmente satisfat´orios com a aproxima¸c˜ao proposta e para a
discretiza¸c˜ao utilizada.
(a) Caso A. (b) Caso B.
Figura 2.42: exemplo 7 - topologias obtidas na itera¸c˜ao j = 130.
A diferen¸ca nos resultados pode ser explicada pelo fato de ter utilizado na an´alise
o modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de temperatura no contorno. Pois com esse modelo ´e
poss´ıvel tomar como janela de referˆencia para o EVR somente um quarto da microestru-
tura obtida para o caso B. Nessa situa¸c˜ao, obter-se-ia um resultado totalmente an´alogo
79
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
ao conseguido para o caso A. A mudan¸ca na janela de referˆencia discutida anteriormente
´e mostrada em linha tracejada na Fig.2.42(b). Cabe mencionar ainda que a metodologia
proposta foi capaz de recuperar a microestrutura cuja resposta constitutiva macrosc´opica
associada ´e dada pelo tensor K
, partindo de uma resposta isotr´opica (Caso A) e or-
totr´opica na dire¸c˜ao contr´aria (Caso B). Para finalizar, na Fig.2.43 ´e mostrada a evolu¸c˜ao
do valor relativo da fun¸c˜ao ψ(ε), eq.(2.205), ao longo do processo de projeto microestru-
tural para as duas condi¸c˜oes iniciais estudadas.
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
CasoB
Caso A
Figura 2.43: exemplo 7 - evolu¸c˜ao do valor relativo da fun¸c˜ao custo.
2.3 Coment´arios adicionais
Neste Cap´ıtulo foram apresentadas as equa¸c˜oes e estrutura variacional da mo de-
lagem constitutiva multi-escala para o fenˆomeno de condu¸c˜ao estacion´aria de calor. Partin-
do de um princ´ıpio de equil´ıbrio e assumindo que o gradiente de temperatura macrosc´opico
e o fluxo de calor s˜ao definidos como a m´edia volum´etrica de suas contrapartes mi-
crosc´opicas sobre um Elemento de Volume Representativo do material, foi poss´ıvel derivar
de maneira axiom´atica uma fam´ılia de modelos constitutivos multi-escala. A estrutura
variacional desta modelagem permite distinguir claramente as hip´oteses b´asicas das suas
conseq¨uˆencias. Adicionalmente, foi apresentada de forma detalhada a discretiza¸c˜ao e im-
plementa¸c˜ao computacional pelo m´etodo dos elementos finitos da modelagem proposta
neste trabalho.
Em seguida, foi utilizada a an´alise de sensibilidade topol´ogica no c´alculo da derivada
topol´ogica para os modelos constitutivos multi-escala mencionados anteriormente. Esta
modelagem multi-escala ´e particularmente apropriada porque permite uma clara iden-
tifica¸c˜ao dos espa¸cos envolvidos. Sendo poss´ıvel calcular de forma expl´ıcita a derivada
topol´ogica associada `a energia espec´ıfica macrosc´opica. Como resultado fundamental
deste trabalho foi identificado um tensor sim´etrico de segunda ordem, cujas componentes
80
Cap´ıtulo 2. Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
dependem dos gradientes das solu¸c˜oes dos problemas variacionais canˆonicos associados
ao dom´ınio original n˜ao perturbado. O mencionado tensor representa a sensibilidade
topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico quando ´e introduzida uma pequena
inclus˜ao circular na micro-escala.
Visando mostrar as caracter´ısticas e propriedades contidas no tensor de sensibili-
dade topol´ogica, os resultados te´oricos foram aplicados no desenvolvimento de exemplos
computacionais. Cada um deles foi concebido para mostrar diferentes caracter´ısticas da in-
forma¸c˜ao fornecida pelo tensor ora mencionado. Os resultados num´ericos apresentados na
Se¸c˜ao 2.2.3 s˜ao bastante satisfat´orios, evidenciando assim as potencialidades de aplica¸c˜ao
do resultado obtido no desenvolvimento de novos m´etodos de s´ıntese de microestruturas.
Por ´ultimo, cabe ainda observar que o resultado apresentado neste cap´ıtulo pode
ser estendido, tal como est´a, para aplica¸c˜oes no contexto de problemas de escoamento,
desde que as equa¸c˜oes cl´assicas associadas a esses problemas possuem a mesma estrutura
matem´atica que o problema estudado aqui.
81
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Cap´ıtulo 3
Elasticidade linear
Materiais composto tornaram-se uma das classes mais importantes de materiais da
engenharia. O comportamento mecˆanico macrosc´opico deles ´e de suma importˆancia no pro-
jeto de componentes estruturais para um vasto n´umero de aplica¸c˜oes nas ind´ustrias civil,
mecˆanica, aeroespacial, biom´edica e nuclear. De forma geral, pode-se afirmar que um dos
grandes desafios da ciˆencia dos materiais ´e como melhorar as propriedades macrosc´opicas
dos materiais por meio de mudan¸cas de forma e/ou topologia ao n´ıvel micro-estrutural.
Por exemplo, mudan¸cas na forma das inclus˜oes de grafito em uma matriz de fundi¸c˜ao
f´errea podem produzir mudan¸cas importantes nas propriedades macrosc´opicas deste ma-
terial. Assim sendo, a habilidade de predizer com precis˜ao o comportamento mecˆanico
macrosc´opico, como tamb´em sua sensibilidade a mudan¸cas micro-estruturais, torna-se
essencial na an´alise, projeto e otimiza¸c˜ao de materiais heterogˆeneos. Neste contexto, cabe
citar os trabalhos de, por exemplo, Almgreen (1985) [1] e Lakes (1987a) [68], nos quais
foi utilizada com ˆexito uma t´ecnica baseada em m´etodos relaxados no projeto topol´ogico
de uma micro-estrutura que reproduz a n´ıvel macrosc´opico um coeficiente de Poisson
negativo. Este tipo de abordagem baseia-se na utiliza¸c˜ao de um material descrito atrav´es
de um campo de densidade fict´ıcio e imita, em um sentido regularizado, a introdu¸c˜ao
de mudan¸cas topol´ogica micro-estruturais localizadas (furos) onde a densidade artificial
esteja suficientemente perto de zero (por exemplo, veja os trabalhos pioneiros de Bendsøe
& Kikuchi (1988) [16] e
˙
Zochowski (1988) [136]).
Em contraste com as abordagens via m´etodos regularizados, este cap´ıtulo prop˜oe
uma express˜ao anal´ıtica geral para a sensibilidade do tensor bi-dimensional de elasticidade
macrosc´opico quando mudan¸cas topol´ogicas s˜ao introduzidas na micro-estrutura do mate-
rial subjacente. A resposta el´astica macrosc´opica ´e estimada por meio de uma teoria consti-
tutiva multi-escala baseada na t´ecnica de homogeneiza¸c˜ao para o problema de elasticidade.
Seguindo as id´eias apresentadas por Germain et al. (1983) [42] e Michel et al. (1999) [81],
os tensores tens˜ao e deforma¸c˜ao macrosc´opica em cada ponto do macro-cont´ınuo est˜ao
definidos como as m´edias volum´etricas das contrapartes microsc´opicas sobre o Elemento
de Volume Representativo (EVR) do material associado com aquele ponto. Assim, a re-
sposta el´astica efetiva estimada para uma determinada micro-estrutura depende da escolha
das restri¸c˜oes cinem´aticas impostas sobre os campos de deslocamentos cinematicamente
admiss´ıveis no EVR. Cabe mencionar que o tamanho m´ınimo do EVR considerado deve ser
83
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
tal que as leis da teoria do cont´ınuo forne¸cam uma descri¸c˜ao adequada do comportamento
el´astico do corpo microsc´opico. A sensibilidade proposta ´e um campo tensorial sim´etrico
de quarta ordem sobre o EVR que mede como a resposta constitutiva el´astica macrosc´opica
muda quando uma pequena inclus˜ao circular ´e introduzida na micro-escala. Destaca-se que
a sensibilidade topol´ogica obtida depende apenas da solu¸c˜ao de um conjunto de equa¸c˜oes
variacionais sobre o dom´ınio original (n˜ao perturbado). Esta f´ormula anal´ıtica ´e derivada
usando os conceitos de expans˜ao assint´otica topol´ogica e derivada topol´ogica (Sokolowski &
˙
Zochowski (1999) [116] e C´ea et al. (2000) [26]) no contexto da formula¸c˜ao variacional da
teoria multi-escala adotada. As no¸c˜oes matem´aticas de expans˜ao assint´otica topol´ogica e
da derivada topol´ogica permitem o c´alculo da sensibilidade de um determinado funcional
de forma com rela¸c˜ao a perturba¸c˜oes infinitesimais no dom´ınio, como aqueles produzidos
pela inser¸c˜ao de furos, inclus˜oes ou termos fontes. O uso de tais conceitos no contexto da
mecˆanica dos s´olidos, otimiza¸c˜ao top ol´ogica de estruturas e problemas inversos podem ser
encontrados na breve resenha hist´orica apresentada na Se¸c˜ao 1.2.
Este cap´ıtulo est´a dividido fundamentalmente em trˆes partes. A Se¸c˜ao 3.1 descreve
detalhadamente a modelagem constitutiva multi-escala adotada na estima¸c˜ao do tensor
bi-dimensional de elasticidade macrosc´opico. O principal resultado te´orico deste cap´ıtulo
´e obtido na Se¸c˜ao 3.2, onde ´e apresentado o desenvolvimento da an´alise de sensibilidade
topol´ogica para o problema multi-escala de elasticidade linear com o EVR constitu´ıdo
por materiais isotr´opicos. Como resultado da an´alise, obter-se-´a a forma fechada da
sensibilidade da resposta constitutiva macrosc´opica (resposta el´astica) para perturba¸c˜oes
topol´ogicas micro-estruturais. As aplica¸c˜oes dos resultados obtidos s˜ao apresentadas no fi-
nal da Se¸c˜ao 3.2, p or meio de exemplos num´ericos de interesse aos objetivos deste trabalho.
Encerrando o cap´ıtulo, na Se¸c˜ao 3.3 s˜ao apresentadas algumas considera¸c˜oes finais.
3.1 Modelagem multi-escala
Este se¸c˜ao descreve a formula¸c˜ao variacional multi-escala para o problema cl´assico de
elasticidade linear, que permite estimar o tensor de elasticidade macrosc´opica atrav´es da
descri¸c˜ao da geometria e propriedades el´asticas de um Elemento de Volume Representativo
local do material. Esta modelagem constitutiva multi-escala segue a metodologia proposta
por Germain et al. (1983) [42], e a teoria desenvolvida, entre outros, por Suquet (1987)
[123], Michel et al. (1999) [81] e Miehe et al. (1999)[84], e cuja estrutura variacional ´e
descrita detalhadamente em de Souza Neto & Feij´oo (2006) [32].
A c´elula microsc´opica, representada p or Ω
µ
⊂
N
, ´e definida baseando-se no conceito
de Elemento de Volume Representativo (EVR). Assim, cada ponto material x do macro-
cont´ınuo, representado por Ω, tem associado um EVR (caracterizado pela coordenada
y). Al´em do mais, para que o modelo multi-escala esteja bem definido ´e necess´ario que o
comprimento caracter´ıstico do EVR, l
µ
, seja muito menor que o comprimento caracter´ıstico
da macro-escala, l. Em forma geral, pode-se considerar que o EVR ´e constitu´ıdo por
uma parte denominada matriz, representada por Ω
m
µ
, na qual est˜ao inseridas inclus˜oes de
84
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
diferentes materiais
1
, representadas por Ω
i
µ
. Baseado no exposto anteriormente, tem-se as
seguintes defini¸c˜oes para os dom´ınios de an´alise:
Ω
µ
= Ω
m
µ
∪ Ω
i
µ
; ∂Ω
m
µ
= ∂Ω
µ
∪ ∂Ω
i
µ
, (3.1)
onde Ω
i
µ
denota o fecho do conjunto Ω
i
µ
. Por simplicidade, somente ser˜ao consideradas
micro-c´elulas nas quais as inclus˜oes n˜ao interceptam o contorno do EVR, ou seja
∂Ω
µ
∩ Ω
i
µ
= ∅. (3.2)
As caracter´ısticas geom´etricas da modelagem multi-escala, descritas anteriormente,
s˜ao apresentadas na Fig.3.1. Cabe ainda definir as normais unit´arias a cada contorno ∂Ω
m
µ
e ∂Ω
i
µ
da seguinte forma
n := n|
∂Ω
m
µ
e n|
∂Ω
i
µ
:= −n. (3.3)
x
y
l
l
<< l
m
macro-escala
micro-escala
Figura 3.1: macro-escala cont´ınua com micro-escala local.
3.1.1 Homogeneiza¸c˜ao e campos de deslocamentos microsc´opicos
A modelagem constitutiva multi-escala empregada neste trabalho baseia-se no con-
ceito da homogeneiza¸c˜ao de campos definidos na micro escala. Assim, os campos macrosc´o-
picos associados ao ponto material x s˜ao obtidos como a m´edia volum´etrica sobre o EVR
de suas contrapartes a n´ıvel microsc´opico. Portanto, a deforma¸c˜ao macrosc´opica E satisfaz
E =
1
V
µ
Ω
µ
E
µ
dV, (3.4)
onde E
µ
denota o tensor deforma¸c˜ao microsc´opica associado a cada ponto y do EVR. O
processo definido pela eq.(3.4), que toma um campo definido sobre o EVR, neste caso
E
µ
, e o mapeia numa quantidade definida na macro-escala, neste caso E, ´e chamado de
homogeneiza¸c˜ao.
1
No caso que o EVR possua vazios (Ω
v
µ
) a an´alise ´e totalmente an´aloga ao apresentado nesta se¸c˜ao.
85
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Decomposi¸c˜ao aditiva do campo de deslocamento microsc´opico. Sem perda de
generalidade, o campo de deslocamento microsc´opico u
µ
pode ser decomposto numa soma
u
µ
(y) = u (x) + ¯u
µ
(y) +
˜
u
µ
(y) , (3.5)
de um deslocamento constante (r´ıgido) coincidente com o deslocamento macrosc´opico u (x)
associado ao ponto x, um campo associado `a deforma¸c˜ao macrosc´opica E
¯u
µ
(y) := Ey, (3.6)
que varia linearmente com a coordenada y, e num campo de flutua¸c˜ao de deslocamento
˜
u
µ
(y). Uma representa¸c˜ao geom´etrica da decomposi¸c˜ao apresentada anteriormente pode
ser observada na Fig.3.2. Assumindo para o EVR uma cinem´atica de pequenas de-
EVRdeformado
homogeneamente
Figura 3.2: separa¸c˜ao aditiva do campo de deslocamento microsc´opico.
forma¸c˜oes e pequenos deslocamentos, a deforma¸c˜ao microsc´opica E
µ
do EVR satisfaz
E
µ
= ∇
s
u
µ
. (3.7)
Levando em conta a decomposi¸c˜ao (3.5), a deforma¸c˜ao microsc´opica po de ser escrita como:
∇
s
u
µ
(y) = E + ∇
s
˜
u
µ
(y) ⇒ E
µ
= E +
˜
E
µ
, (3.8)
onde se tem uma parte homogˆenea (uniforme no EVR) dada pela deforma¸c˜ao macrosc´opica
E, e um campo
˜
E
µ
correspondente a uma flutua¸c˜ao de deforma¸c˜ao microsc´opica sobre o
valor homogeneizado (m´edio):
˜
E
µ
= ∇
s
˜
u
µ
. (3.9)
Cabe mencionar que, baseado na defini¸c˜ao do operador gradiente, a aplica¸c˜ao ∇
s
u
µ
(y) cor-
responde `a parte sim´etrica do gradiente do campo de deslocamento microsc´opico ∇u
µ
(y) ,
dado por
∇u
µ
(y) :=
∂
∂y
u
µ
(y) . (3.10)
86
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Empregando a hip´otese cinem´atica associada ao campo E
µ
, eq. (3.7), e o teorema da
divergˆencia, a homogeneiza¸c˜ao do campo de deforma¸c˜ao microsc´opica apresentada na
eq.(3.4) pode ser escrita, equivalentemente, como
E =
1
V
µ
∂Ω
µ
u
µ
⊗
s
ndS ∀y ∈ ∂Ω
µ
. (3.11)
De maneira semelhante `a mostrada anteriormente, o deslocamento macrosc´opico ´e obtido,
atrav´es da homogeneiza¸c˜ao, como sendo
u (x) =
1
V
µ
Ω
µ
u
µ
(y) dV. (3.12)
Note que, introduzindo a decomposi¸c˜ao dada pela eq.(3.5) na express˜ao anterior, para que
a homogeneiza¸c˜ao do campo de deslocamento permane¸ca v´alida, o campo de flutua¸c˜oes
de deslocamento deve satisfazer
Ω
µ
˜
u
µ
(y) dV = −E
Ω
µ
ydV. (3.13)
Observa¸c˜ao 21. Sem perda de generalidade, pode-se posicionar a origem do sistema de
coordenadas no centr´oide do EVR (centro geom´etrico). Assim, a restri¸c˜ao sobre o campo
de flutua¸c˜oes de deslocamento
˜
u
µ
, eq.(3.13), fica
Ω
µ
˜
u
µ
(y) dV = 0. (3.14)
M´ınima restri¸c˜ao cinem´atica no EVR. Os conceitos de homogeneiza¸c˜ao discutidos
anteriormente junto com a decomposi¸c˜ao aditiva dos campos microsc´opicos, eqs. (3.5)
e (3.8), naturalmente estabelecem restri¸c˜oes sobre os poss´ıveis campos de deslocamentos
u
µ
(y) no EVR. Portanto, a condi¸c˜ao necess´aria para que o campo de deslocamento seja
cinematicamente admiss´ıvel na modelagem proposta ´e
u
µ
∈ K
µ
⊂ K
∗
µ
, (3.15)
sendo que K
∗
µ
´e denominado de conjunto da m´ınima restri¸c˜ao cinematicamente admiss´ıvel
para os campos de deslocamentos no EVR, ou seja, ´e o conjunto mais geral dos poss´ıveis
campos de deslo camento microsc´opicos compat´ıveis com a homogeneiza¸c˜ao dos campos de
deforma¸c˜ao e deslocamento. Assim, o conjunto K
∗
µ
pode ser definido como
K
∗
µ
:=
v ∈
H
1
(Ω
µ
)
2
:
Ω
µ
vdV = V
µ
u,
∂Ω
µ
v ⊗
s
ndS = V
µ
E, [[v]] = 0 sobre ∂Ω
i
µ
,
(3.16)
sendo n o vetor normal unit´ario saliente ao contorno ∂Ω
µ
e lembrando que a opera¸c˜ao [[v]]
denota o salto da fun¸c˜ao v atrav´es da interface entre a matriz e a inclus˜ao ∂Ω
i
µ
:
[[(·)]] := (·)|
m
− (·)|
i
, (3.17)
87
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
com (·) |
m
associado `a matriz Ω
m
µ
e (·) |
i
associado `a inclus˜ao Ω
i
µ
. Levando em conta
a decomposi¸c˜ao dada pela eq.(3.8), observa-se que da homogeneiza¸c˜ao da deforma¸c˜ao,
eq.(3.4), tem-se
V
µ
E =
Ω
µ
E
µ
dV =
Ω
µ
E +
˜
E
µ
dV = V
µ
E +
Ω
µ
˜
E
µ
dV
⇒
Ω
µ
˜
E
µ
dV =
Ω
µ
∇
s
˜
u
µ
dV =
∂Ω
µ
˜
u
µ
⊗
s
ndS = 0. (3.18)
Em vista da decomposi¸c˜ao (3.5), a restri¸c˜ao (3.15) pode ser equivalentemente escrita
requerendo que o campo de flutua¸c˜ao de deslocamento
˜
u
µ
(y) perten¸ca ao espa¸co vetorial
das flutua¸c˜oes de deslo camento cinematicamente admiss´ıveis
˜
K
µ
, que por sua vez ´e um sub-
espa¸co do espa¸co vetorial da m´ınima restri¸c˜ao cinematicamente admiss´ıvel das flutua¸c˜oes
de deslocamento
˜
K
∗
µ
, ou seja
˜
u
µ
∈
˜
K
µ
⊂
˜
K
∗
µ
, (3.19)
onde o espa¸co
˜
K
∗
µ
´e definido, analogamente a (3.16), como
˜
K
∗
µ
:=
v ∈
H
1
(Ω
µ
)
2
:
Ω
µ
vdV = −E
Ω
µ
ydV ,
∂Ω
µ
v ⊗
s
ndS = 0, [[v]] = 0 sobre ∂Ω
i
µ
.
(3.20)
Assim, levando em conta as defini¸c˜oes apresentadas anteriormente, tem-se que o conjunto
K
∗
µ
pode ser escrito equivalentemente da seguinte forma,
K
∗
µ
:=
v ∈
H
1
(Ω
µ
)
2
: v = u + Ey +
˜
v,
˜
v ∈
˜
K
∗
µ
. (3.21)
Ent˜ao, dado um deslocamento macrosc´opico u(x) e deforma¸c˜ao macrosc´opica E, ambos
associados ao ponto x do macro-cont´ınuo, o conjunto K
∗
µ
´e uma transla¸c˜ao do espa¸co
˜
K
∗
µ
.
3.1.2 Equil´ıbrio mecˆanico do elemento de volume representativo
Considerando que o EVR est´a sujeito a for¸cas de corpo b
µ
= b
µ
(y) em Ω
µ
e a
uma tra¸c˜ao externa
g
µ
=
g
µ
(
y
) atuando sobre o contorno exterior
∂
Ω
µ
, o
Princ´ıpio dos
Trabalhos Virtuais estabelece que o EVR esteja em equil´ıbrio se e somente se o campo de
tens˜ao T
µ
em Ω
µ
satisfaz a equa¸c˜ao variacional cl´assica do problema de elasticidade:
Ω
µ
T
µ
· ∇
s
ηdV +
Ω
µ
b
µ
· ηdV −
∂Ω
µ
g
µ
· ηdS = 0 ∀η ∈ V
µ
, (3.22)
onde o espa¸co dos deslocamentos virtuais cinematicamente admiss´ıveis no EVR, denotado
por V
µ
, ´e definido como,
V
µ
:=
η ∈
H
1
(Ω
µ
)
2
: η = v
1
− v
2
; ∀v
1
, v
2
∈ K
µ
. (3.23)
Trivialmente, com a defini¸c˜ao estabelecida acima e levando em conta o conjunto
K
µ
, tem-se, em forma geral, que o espa¸co dos deslocamentos virtuais cinematicamente
88
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
admiss´ıveis coincide com o espa¸co das flutua¸c˜oes de deslocamento cinematicamente ad-
miss´ıveis,
V
µ
=
˜
K
µ
. (3.24)
Finalmente, para um campo tensorial T
µ
suficientemente regular no dom´ınio Ω
µ
, o
problema local de equil´ıbrio associado `a equa¸c˜ao variacional (3.22) ´e dado por
divT
µ
= b
µ
em Ω
µ
T
µ
n = g
µ
sobre ∂Ω
µ
[[T
µ
]]n = 0 sobre ∂Ω
i
µ
. (3.25)
3.1.3 Tens˜ao homogeneizada
Uma das hip´oteses mais importantes da teoria constitutiva multi-escala discutida
nesta se¸c˜ao ´e que, de maneira semelhante `a eq.(3.4), o tensor tens˜ao macrosc´opico asso-
ciado ao ponto x do macro-cont´ınuo ´e definido atrav´es do conceito da homogeneiza¸c˜ao
do campo tensorial de tens˜ao microsc´opica T
µ
que atua no EVR. Assim sendo, a tens˜ao
macrosc´opica T ´e obtida como,
T(x) =
1
V
µ
Ω
µ
T
µ
(y)dV. (3.26)
Note-se que na express˜ao anterior o EVR ´e descrito como um cont´ınuo, ent˜ao ´e
necess´ario que o EVR seja suficientemente grande para que esta representa¸c˜ao seja con-
sistente. Em seguida, usando a rela¸c˜ao integro - tensorial
Ω
S(∇r)
T
dV =
∂Ω
(Sn) ⊗ rdS −
Ω
(divS) ⊗ rdV, (3.27)
na express˜ao (3.26), adotando S = T
µ
, r = y ⇒ ∇r = I, tem-se que,
T(x) =
1
V
µ
∂Ω
µ
(T
µ
n) ⊗ ydS −
Ω
µ
(divT
µ
) ⊗ ydV +
∂Ω
i
µ
([[T
µ
]]n) ⊗ ydS
, (3.28)
ou equivalentemente, em vista da simetria do tensor T, como
T(x) =
1
V
µ
∂Ω
µ
(T
µ
n) ⊗
s
ydS −
Ω
µ
(divT
µ
) ⊗
s
ydV +
∂Ω
i
µ
([[T
µ
]]n) ⊗
s
ydS
. (3.29)
Empregando a eq.(3.25), tem-se que a tens˜ao homogeneizada pode ser escrita como
T(x) =
1
V
µ
∂Ω
µ
g
µ
⊗
s
ydS −
Ω
µ
b
µ
⊗
s
ydV
. (3.30)
Finalmente, cabe mencionar que a express˜ao anterior representa o processo de ho-
mogeneiza¸c˜ao da tens˜ao exclusivamente em termos das for¸cas de corpo e tra¸c˜ao externa
atuantes sobre o EVR.
89
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
3.1.4 Princ´ıpio de macro-homogeneidade de Hill-Mandel
Baseados em argumentos f´ısicos Hill (1965) [53] e Mandel (1971) [75]; estabeleceram
que “a potˆencia das tens˜oes macrosc´opicas em qualquer ponto arbitr´ario do macro-cont´ınuo
deve ser igual `a m´edia volum´etrica da potˆencia das tens˜oes microsc´opicas sobre o EVR
associado a esse ponto para qualquer movimento cinematicamente admiss´ıvel do EVR”.
Em outras palavras, no contexto do problema estudado aqui, tem-se que para qualquer
estado do EVR caracterizado por meio do campo de tens˜ao microsc´opica T
µ
em equil´ıbrio,
a identidade
T · δE =
1
V
µ
Ω
µ
T
µ
· δE
µ
dV, (3.31)
deve ser satisfeita para qualquer campo de deforma¸c˜ao microsc´opica cinematicamente ad-
miss´ıvel. Dentro do presente contexto, um campo de deforma¸c˜ao microsc´opica ´e chamado
de cinematicamente admiss´ıvel se, veja eq.(3.8),
δE
µ
= δE + ∇
s
δ
˜
u
µ
∀δ
˜
u
µ
∈ V
µ
. (3.32)
Com o Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel apresentado acima, pode-
se escrever a seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 3. O Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel ´e satisfeito se e
somente se o trabalho virtual das tra¸c˜oes externas g
µ
e do campo das for¸cas de corpo
b
µ
no EVR s˜ao nulos. Assim, o Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel ´e
equivalente `as seguintes equa¸c˜oes variacionais:
Ω
µ
b
µ
· ηdV = 0 e
∂Ω
µ
g
µ
· ηdS = 0 ∀η ∈ V
µ
. (3.33)
Prova. Introduzindo a decomposi¸c˜ao aditiva do campo de deforma¸c˜ao microsc´opica,
eq.(3.8), em (3.31), tem-se que
1
V
µ
Ω
µ
T
µ
· δE
µ
dV =
1
V
µ
Ω
µ
T
µ
· (δE + ∇
s
δ
˜
u
µ
) dV
= T · δE +
1
V
µ
Ω
µ
T
µ
· ∇
s
δ
˜
u
µ
dV. (3.34)
Ent˜ao, comparando o resultado acima com (3.31), observa-se que o Princ´ıpio de Macro-
Homogeneidade de Hill-Mandel ´e satisfeito se e somente se,
Ω
µ
T
µ
· ∇
s
δ
˜
u
µ
dV = 0 ∀δ
˜
u
µ
∈ V
µ
. (3.35)
Empregando integra¸c˜ao por partes na express˜ao acima, obt´em-se
Ω
µ
T
µ
·∇
s
δ
˜
u
µ
dV =
∂Ω
µ
(T
µ
n)·δ
˜
u
µ
dS−
Ω
µ
(divT
µ
)·δ
˜
u
µ
dV +
∂Ω
i
µ
[[T
µ
]]n·δ
˜
u
µ
dS. (3.36)
90
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Levando em considera¸c˜ao a eq.(3.25) a express˜ao anterior fica da forma,
Ω
µ
T
µ
· ∇
s
δ
˜
u
µ
dV =
∂Ω
µ
g
µ
· δ
˜
u
µ
dS −
Ω
µ
b
µ
· δ
˜
u
µ
dV ∀δ
˜
u
µ
∈ V
µ
. (3.37)
Da express˜ao acima segue que o Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel ´e
equivalente `a seguinte equa¸c˜ao variacional
∂Ω
µ
g
µ
· δ
˜
u
µ
dS −
Ω
µ
b
µ
· δ
˜
u
µ
dV = 0 ∀δ
˜
u
µ
∈ V
µ
. (3.38)
No entanto, desde que V
µ
possui a estrutura de um espa¸co vetorial (veja eqs. (3.20) e
(3.23)), a equa¸c˜ao variacional mostrada acima ´e satisfeita se e somente se cada uma das
integrais ´e nula individualmente.
Observa¸c˜ao 22. O Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel desempenha, por-
tanto, um papel fundamental no desenvolvimento de modelos constitutivos multiescala,
estabelecendo que a tra¸c˜ao externa g
µ
e as for¸cas de corpo b
µ
s˜ao rea¸c˜oes `as restri¸c˜oes
cinem´aticas impostas sobre o campo de deslocamento do EVR, associadas `a escolha do
espa¸co V
µ
. Conseq ¨uentemente, g
µ
e b
µ
n˜ao podem ser prescritas independentemente,
pois pertencem ao complemento ortogonal do espa¸co V
µ
, ou seja
(g
µ
e b
µ
) ∈ V
⊥
µ
. (3.39)
Portanto, uma vez que o espa¸co V
µ
´e escolhido, tem-se definido de forma autom´atica o
espa¸co ao qual g
µ
e b
µ
pertencem.
3.1.5 Formula¸c˜ao do problema de equil´ıbrio mecˆanico
Outro componente essencial na defini¸c˜ao da modelagem constitutiva multi-escala
discutida nesta se¸c˜ao ´e a caracteriza¸c˜ao constitutiva dos materiais que comp˜oem o EVR.
Sendo que o objetivo principal ´e mostrar detalhadamente a modelagem constitutiva multi-
escala utilizada na an´alise de sensibilidade topol´ogica a ser desenvolvida na Se¸c˜ao 3.2, o
foco aqui ´e estudar modelos constitutivos baseados em teorias fenomenol´ogicas ao n´ıvel
microsc´opico. Assim sendo e restrito a uma teoria constitutiva puramente local, os axiomas
do Determinismo Constitutivo e A¸c˜oes Locais, Truesdell (1969) [129]; estabelecem que o
tensor tens˜ao T em qualquer ponto x do cont´ınuo ´e unicamente determinado pelo tensor
deforma¸c˜ao E nesse ponto x. Quer dizer que existe um funcional constitutivo sim´etrico
F tal que
T (x) = F (E (x)) ∀x ∈ Ω. (3.40)
Da mesma maneira que no caso macrosc´opico e considerando que na micro-escala
s˜ao v´alidas as leis da teoria do cont´ınuo, a tens˜ao microsc´opica no EVR T
µ
, em forma
geral, satisfaz a seguinte rela¸c˜ao
T
µ
(y) = F
µ
(E
µ
(y)) ∀y ∈ Ω
µ
, (3.41)
91
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
onde F
µ
´e o funcional constitutivo microsc´opico associado ao dom´ınio Ω
µ
.
Para o caso particular de um material el´astico linear, o funcional constitutivo F
µ
assume a forma cl´assica,
F
µ
(E
µ
) = C
µ
E
µ
∀y ∈ Ω
µ
, (3.42)
onde o tensor de elasticidade (de quarta ordem) C
µ
= C
T
µ
satisfaz
C
µ
= C
µ
(y) =
C
m
µ
se y ∈ Ω
m
µ
C
i
µ
se y ∈ Ω
i
µ
, (3.43)
com C
m
µ
e C
i
µ
denotando os tensores constitutivos el´asticos associados `a matriz e inclus˜ao,
respectivamente, tal que no caso, mais particular ainda, de um material isotr´opico e ho-
mogˆeneo s˜ao representados por:
C
m
µ
=
E
m
1 − ν
2
m
[(1 − ν
m
) I + ν
m
(I ⊗ I)] , C
i
µ
=
E
i
1 − ν
2
i
[(1 − ν
i
) I + ν
i
(I ⊗ I)] , (3.44)
sendo E
m
e E
i
os m´odulos de Young da matriz e inclus˜ao, respectivamente, e ν
m
e ν
i
os
correspondentes coeficientes de Poisson.
Para o desenvolvimento deste trabalho, ser˜ao considerados apenas materiais com
resposta constitutiva como a mostrada na equa¸c˜ao (3.42). Em vista da linearidade de
(3.42) e da decomposi¸c˜ao aditiva do campo de deforma¸c˜ao microsc´opica (3.8), o campo de
tens˜ao microsc´opica T
µ
pode ser escrito como uma soma
T
µ
=
¯
T
µ
+
˜
T
µ
, (3.45)
de um tensor
¯
T
µ
que representa a tens˜ao microsc´opica induzida pela deforma¸c˜ao macrosc´o-
pica E – associada ao campo de deslocamento ¯u (y) – e um tensor
˜
T
µ
que caracteriza as
flutua¸c˜oes de tens˜ao microsc´opicas associadas ao campo de flutua¸c˜ao de deslocamento
microsc´opico
˜
u
µ
(y).
Introduzindo a decomposi¸c˜ao aditiva do campo de tens˜ao microsc´opica (3.45) no
funcional (3.22) e levando em conta o estabelecido pelo Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade
de Hill-Mandel, eq. (3.33), tem-se que a forma fraca do problema de equil´ıbrio na vari´avel
˜
u
µ
pode ser escrito como: dada uma deforma¸c˜ao macrosc´opica E, encontre o campo de
flutua¸c˜ao de deslocamento
˜
u
µ
∈
˜
K
µ
, tal que
Ω
µ
˜
T
µ
· ∇
s
ηdV = −
Ω
µ
¯
T
µ
· ∇
s
ηdV ∀η ∈ V
µ
, com
˜
T
µ
= C
µ
∇
s
˜
u
µ
. (3.46)
Empregando integra¸c˜ao por partes e levando em conta que n|
m
= −n|
i
sobre ∂Ω
i
µ
,
tem-se que a express˜ao acima ´e escrita equivalentemente como,
∂Ω
i
µ
[[
˜
T
µ
]]n + [[
¯
T
µ
]]n
· ηdS −
Ω
µ
div
˜
T
µ
· ηdV = 0 ∀η ∈ V
µ
. (3.47)
Finalmente a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange associada ao problema variacional (3.46)
resulta no seguinte problema de valor no contorno: encontre o campo de flutua¸c˜ao de
92
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
deslocamento
˜
u
µ
, tal que
div
˜
T
µ
= 0 em Ω
µ
˜
T
µ
= C
µ
∇
s
˜
u
µ
em Ω
µ
∂Ω
µ
˜
u
µ
⊗
s
ndS = 0
Ω
µ
˜
u
µ
dV = −E
Ω
µ
ydV
[[
˜
u
µ
]] = 0 sobre ∂Ω
i
µ
[[
˜
T
µ
]]n = −[[
¯
T
µ
]]n sobre ∂Ω
i
µ
. (3.48)
Observa¸c˜ao 23. Se o EVR, representado por Ω
µ
, tiver M inclus˜oes, o dom´ınio Ω
i
µ
´e
definido como,
Ω
i
µ
=
M
∪
j=1
Ω
i
µ
j
, (3.49)
onde Ω
i
µ
j
´e o dom´ınio da j-´esima inclus˜ao no EVR. Nesse caso, as condi¸c˜oes impostas pela
equa¸c˜ao diferencial (3.48) devem ser satisfeitas em cada subdom´ınio Ω
i
µ
j
e as condi¸c˜oes
(3.48)
5,6
devem ser v´alidas sobre cada contorno ∂Ω
i
µ
j
.
Observa¸c˜ao 24. Levando em conta o discutido na Observa¸c˜ao 21 (pag. 87), a solu¸c˜ao
do problema de valor de contorno anterior pode ser constru´ıda como uma soma
˜
u
µ
=
˜
v
µ
+ c
µ
, (3.50)
de uma flutua¸c˜ao de deslocamento
˜
v
µ
, solu¸c˜ao do problema (3.48) satisfazendo a restri¸c˜ao
(3.14), e um vetor constante c
µ
. Integrando no dom´ınio Ω
µ
a decomposi¸c˜ao anterior e em
vista de (3.13), o vetor constante c
µ
´e obtido como
c
µ
= −
1
V
µ
E
Ω
µ
ydV. (3.51)
Observa¸c˜ao 25. A condi¸c˜ao (3.48)
3
est´a naturalmente atendida como conseq¨uˆemcia da
escolha do espa¸co
˜
K
µ
de acordo com (3.20). Tamb´em observa-se que, trivialmente, o
valor m´edio do lado direito de (3.48)
6
´e nulo. Portanto, levando em conta a observa¸c˜ao
anterior, de (3.48)
4
e do Lema de Lax-Milgram, tem-se que existe uma solu¸c˜ao ´unica para
o problema (3.46).
3.1.6 Classes de modelos multi-escala
Como foi mostrado no in´ıcio desta se¸c˜ao, o conjunto K
µ
e o espa¸co
˜
K
µ
estabelecem as
m´ınimas restri¸c˜oes cinem´aticas sobre os campos de deslocamentos microsc´opicos u
µ
e
˜
u
µ
,
respectivamente, para que o conceito da macro-homogeneiza¸c˜ao seja v´alido. No entanto, o
espa¸co das varia¸c˜oes cinematicamente admiss´ıveis V
µ
, em geral, est´a contido no espa¸co
˜
K
∗
µ
o que permite obter diferentes modelos constitutivos multi-escala. Cabe mencionar que
cada modelo difere um do outro somente pela escolha feita para o espa¸co das varia¸c˜oes
cinematicamente admiss´ıveis V
µ
⊂
˜
K
∗
µ
. Assim, no que segue s˜ao mostrados os quatro
modelos constitutivos multi-escala cl´assicos, comumente conhecidos como:
93
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
(a) Modelo de Taylor ou de deforma¸c˜ao homogˆenea no EVR;
(b) Modelo de deslocamento linear no contorno do EVR;
(c) Modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de deslocamento no contorno do EVR;
(d) Modelo de tra¸c˜ao uniforme no contorno do EVR, ou da m´ınima restri¸c˜ao cinem´atica.
3.1.6.1 Modelo de Taylor ou de deforma¸c˜ao homogˆenea no EVR
Esta classe de modelo ´e obtida escolhendo como espa¸co das varia¸c˜oes cinematica-
mente admiss´ıveis o espa¸co identicamente nulo, ou seja,
V
µ
= V
T
µ
:= {0}. (3.52)
Conseq¨uentemente, a solu¸c˜ao do problema variacional (3.46) ´e a trivial,
˜
u
µ
= 0. A
deforma¸c˜ao microsc´opica, portanto, ´e homogˆenea no EVR e coincide com a deforma¸c˜ao
macrosc´opica correspondente ao ponto material x do macro-cont´ınuo Ω,
E
µ
= E ∀y ∈ Ω
µ
. (3.53)
Al´em disso, com a escolha feita para o espa¸co V
µ
, o campo de deslocamento mi-
crosc´opico no dom´ınio do EVR ´e linear na vari´avel y, ou seja
u
µ
(y) = u (x) + ¯u
µ
(y) ∀y ∈ Ω
µ
. (3.54)
Levando em conta a cinem´atica do modelo, eq.(3.52), as for¸cas de corpo e tra¸c˜oes
externas reativas no EVR, (g
µ
, b
µ
) ∈
V
T
µ
⊥
, podem ser fun¸c˜oes arbitr´arias com a re-
gularidade suficiente no dom´ınio de an´alise. Assim, as for¸cas de corpo e tra¸c˜oes externas
podem ser determinadas num c´alculo a posteriori.
Introduzindo o resultado (3.53) em (3.42), a resposta constitutiva microsc´opica que
caracteriza o campo de tens˜ao microsc´opica T
µ
satisfaz
T
µ
= C
µ
E
µ
= C
µ
E =
¯
T
µ
∀y ∈ Ω
µ
.
Como mostrado acima, para este modelo a resp osta constitutiva microsc´opica ´e
independente da coordenada y. Ent˜ao, a tens˜ao homogeneizada (3.26) pode ser escrita
como
T(x) =
1
V
µ
Ω
m
µ
dV
¯
T
µ
|
m
+
1
V
µ
Ω
i
µ
dV
¯
T
µ
|
i
=
V
m
µ
V
µ
¯
T
µ
|
m
+
V
i
µ
V
µ
¯
T
µ
|
i
, (3.55)
onde
¯
T
µ
|
m
e
¯
T
µ
|
i
s˜ao os tensores tens˜ao microsc´opicas induzidas (uniformes) na matriz e
inclus˜ao, respectivamente. Da mesma forma que em (3.49), se o EVR tiver M inclus˜oes
disjuntas e supondo que cada subdom´ınio Ω
i
µ
j
possui uma resposta constitutiva carac-
terizada atrav´es de um tensor de quarta ordem C
µ
j
independente da coordenada y, a
94
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
express˜ao acima ´e reescrita da seguinte forma
T(x) = v
m
¯
T
µ
|
m
+
M
j=1
v
j
¯
T
µ
|
j
, (3.56)
com
¯
T
µ
|
j
= C
µ
j
E denotando a tens˜ao microsc´opica induzida correspondente `a fase j; e
v
m
e v
j
as fra¸c˜oes de volume da matriz e da j-´esima inclus˜ao, respectivamente, definidas
como
v
m
:=
V
m
µ
V
µ
e v
j
:=
V
j
µ
V
µ
. (3.57)
Ent˜ao, nesta classe de modelo, a tens˜ao macrosc´opica associada ao ponto x nada
mais ´e que a m´edia ponderada da tens˜ao induzida atuando nas diferentes fases s´olidas do
EVR. Este resultado ´e comumente conhecido na literatura como a regra da mistura.
3.1.6.2 Modelo de deslocamento linear no contorno do EVR
Para este modelo prop˜oe-se que o deslocamento microsc´opico u
µ
no contorno do
EVR varie linearmente na vari´avel y, ou seja,
u
µ
(y) = u (x) + ¯u
µ
(y) ∀y ∈ ∂Ω
µ
. (3.58)
Assim, o espa¸co V
µ
para o modelo de flutua¸c˜ao de temperatura nula no contorno do
EVR, que satisfaz a proposta mostrada previamente, ´e definido como
V
µ
= V
L
µ
:=
˜
u
µ
∈
˜
K
∗
µ
:
˜
u
µ
(y) = 0 ∀y ∈ ∂Ω
µ
. (3.59)
Neste modelo, a ´unica poss´ıvel for¸ca de corp o reativa em Ω
µ
– ortogonal a V
L
µ
– ´e a
identicamente nula,
b
µ
(y) = 0 ∀y ∈ Ω
µ
. (3.60)
Quer dizer que s´o um campo de for¸ca de corpo microsc´opica igual a zero ´e compat´ıvel
com esta classe de modelo, ou seja, que satisfaz a equa¸c˜ao variacional (3.33)
1
. No entanto,
a tra¸c˜ao externa reativa resultante da condi¸c˜ao de ortogonalidade (3.33)
2
, g
µ
∈
V
L
µ
⊥
,
pode ser qualquer fun¸c˜ao com a regularidade suficiente no contorno ∂Ω
µ
, plaus´ıvel de ser
obtida atrav´es de um c´alculo a posteriori.
3.1.6.3 Modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de deslocamento no contorno do EVR
Esta classe de modelo constitutivo baseia-se em considerar uma distribui¸c˜ao peri´odica
do EVR na micro-escala, Michel et al. (1999) [81], tornando-o apropriado na modelagem
de muitos materiais da engenharia. Assim, para que essa representa¸c˜ao peri´odica seja con-
sistente, ´e necess´ario que o contorno do EVR esteja composto por N pares de conjuntos
iguais de lados
∂Ω
µ
=
N
∪
j=1
(Γ
+
j
, Γ
−
j
), (3.61)
95
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
tais que, cada ponto y
+
∈ Γ
+
j
possua seu correspondente y
−
∈ Γ
−
j
, e que as normais aos
lados do contorno (Γ
+
j
, Γ
−
j
) nos pontos (y
+
, y
−
) satisfa¸cam
n
+
j
= −n
−
j
. (3.62)
Os exemplos mais comuns de formas para os EVR peri´odicos s˜ao as quadradas,
retangulares e hexagonais, veja Fig. 3.3.
Figura 3.3: geometrias do EVR peri´odico - c´elulas quadradas e hexagonais.
Ent˜ao, com as considera¸c˜oes geom´etricas estabelecidas acima, o espa¸co V
µ
para o
modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de deslocamento no contorno do EVR ´e definido por
V
µ
= V
P
µ
:=
˜
u
µ
∈
˜
K
∗
µ
:
˜
u
µ
(y
+
) =
˜
u
µ
(y
−
) ∀ par (y
+
, y
−
) ∈ ∂Ω
µ
. (3.63)
Levando em conta a defini¸c˜ao do espa¸co V
P
µ
apresentada anteriormente, ´e simples
verificar que a condi¸c˜ao dada pela eq.(3.24) ´e satisfeita. De fato, basta constatar que ´e
cumprida a condi¸c˜ao dada pela eq.(3.20). Ent˜ao, tendo assumido a parti¸c˜ao geom´etrica
para o contorno do EVR, a restri¸c˜ao para o espa¸co
˜
K
µ
pode ser escrita como
∂Ω
µ
˜
u
µ
⊗
s
ndS =
N
j=0
Γ
+
j
˜
u
µ
(y
+
) ⊗
s
n
+
j
dS +
Γ
−
j
˜
u
µ
(y
−
) ⊗
s
n
−
j
dS
=
N
j=0
Γ
+
j
˜
u
µ
(y
+
) ⊗
s
n
+
j
dS −
Γ
+
j
˜
u
µ
(y
−
) ⊗
s
n
+
j
dS
= 0. (3.64)
Da mesma maneira que no modelo anterior, observa-se que somente o campo de
for¸cas de corpo nulo ´e ortogonal ao espa¸co escolhido para as flutua¸c˜oes virtuais de deslo-
camento, ou seja,
b
µ
(y) = 0 ∀y ∈ Ω
µ
. (3.65)
Por outro lado, o campo de tra¸c˜oes externas aplicado ao contorno ∂Ω
µ
e ortogonal a
V
P
µ
(a fim de satisfazer a restri¸c˜ao (3.33)
2
) deve necessariamente ser um campo de tra¸c˜ao
anti-peri´odica em ∂Ω
µ
, ou seja, g
µ
satisfaz
g
µ
(y
+
) = −g
µ
(y
−
) ∀ par (y
+
, y
−
) ∈ ∂Ω
µ
. (3.66)
96
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
3.1.6.4 Modelo de tra¸c˜ao uniforme no contorno do EVR
Esta classe de modelo ´e constru´ıda sob a hip´otese da m´ınima restri¸c˜ao cinem´atica no
EVR. Portanto, a escolha feita para o espa¸co das varia¸c˜oes cinematicamente admiss´ıveis
´e definida como
V
µ
= V
M
µ
:=
˜
K
∗
µ
. (3.67)
Mais uma vez, apenas o campo de for¸cas de corpo nulo satisfazem a condi¸c˜ao de
ortogonalidade (3.33) com o espa¸co V
M
µ
, ou seja,
b
µ
(y) = 0 ∀y ∈ Ω
µ
. (3.68)
No caso da tra¸c˜ao externa ortogonal ao espa¸co das flutua¸c˜oes de deslocamentos
virtuais cinematicamente admiss´ıveis, pode-se mostrar que satisfaz a condi¸c˜ao de tra¸c˜ao
uniforme no contorno do EVR:
g
µ
(y) = T
µ
n (y) = Tn (y) ∀y ∈ ∂Ω
µ
, (3.69)
onde T ´e o tensor tens˜ao macrosc´opica (3.26) associado ao ponto x do macro-cont´ınuo.
Isto quer dizer que a tra¸c˜ao externa compat´ıvel com o modelo aqui apresentado ´e uniforme
no contorno do EVR. A validade da express˜ao anterior pode ser demonstrada. De fato:
Proposi¸c˜ao 4. Sob a hip´otese da m´ınima restri¸c˜ao cinem´atica no EVR, tem-se como
conseq¨uˆencia neste modelo constitutivo multi-escala que a tra¸c˜ao externa satisfaz a seguinte
identidade
g
µ
(y) = Tn (y) ∀y ∈ ∂Ω
µ
, (3.70)
onde T ´e o tensor tens˜ao macrosc´opica associado ao ponto x do macro-cont´ınuo.
Prova. Inicialmente observa-se que a tra¸c˜ao externa pode ser escrita, como
g
µ
(y) = T
µ
n (y) ∀y ∈ ∂Ω
µ
, (3.71)
mas, de forma que qualquer g
µ
(y) perten¸ca ao espa¸co ortogonal V
M
µ
, tem-se
∂Ω
µ
g
µ
· ηdS =
∂Ω
µ
T
µ
n · ηdS
=
∂Ω
µ
T
µ
· (η ⊗
s
n)dS = 0 ∀η ∈ V
M
µ
. (3.72)
Empregando a t´ecnica de decomposi¸c˜ao de campos microsc´opicos, a tens˜ao microsc´opica
no EVR pode ser escrita, em hip´otese, como uma soma
T
µ
=
¯
T
µ
+
˜
T
µ
, (3.73)
de uma parcela constante em y,
¯
T
µ
, e uma flutua¸c˜ao de tens˜ao microsc´opica
˜
T
µ
tal que,
97
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
no caso bi-dimensional
2
,
∂Ω
µ
˜
T
µ
n
(n ⊗ n) +
˜
T
µ
s
(t ⊗
s
n)
dS = 0, (3.74)
onde
˜
T
µ
n
e
˜
T
µ
s
s˜ao, respectivamente, a componente normal e cisalhante do tensor
˜
T
µ
na
base local ortonormal orientada nas dire¸c˜oes dos vetores normal e tangencial (n, t) definida
no contorno ∂Ω
µ
,
˜
T
µ
n
:=
˜
T
µ
· (n ⊗ n),
˜
T
µ
s
:=
˜
T
µ
· (t ⊗
s
n). (3.75)
Por outro lado, associado ao campo de tens˜ao arbitr´ario T
µ
, ´e poss´ıvel definir o tensor de
segunda ordem Ψ como
Ψ :=
∂Ω
µ
[T
µ
n
(n ⊗ n) + T
µ
s
(t ⊗
s
n)] dS, (3.76)
onde T
µ
n
e T
µ
s
s˜ao, resp ectivamente, a componente normal e cisalhante do tensor T
µ
rela-
tiva `a base (n, t). Introduzindo a decomposi¸c˜ao aditiva do campo de tens˜ao microsc´opica
na defini¸c˜ao estabelecida anteriormente para o tensor Ψ, tem-se
Ψ =
∂Ω
µ
¯
T
µ
n
+
˜
T
µ
n
(n ⊗ n) +
¯
T
µ
s
+
˜
T
µ
s
(t ⊗
s
n)
dS
=
∂Ω
µ
¯
T
µ
· (n ⊗ n)
(n ⊗ n) +
¯
T
µ
· (t ⊗
s
n)
(t ⊗
s
n)
dS
+
∂Ω
µ
˜
T
µ
n
(n ⊗ n) +
˜
T
µ
s
(t ⊗
s
n)
dS
=
∂Ω
µ
(n ⊗ n ⊗ n ⊗ n + t ⊗
s
n ⊗ t ⊗
s
n) dS
¯
T
µ
+
∂Ω
µ
˜
T
µ
n
(n ⊗ n) +
˜
T
µ
s
(t ⊗
s
n)
dS. (3.77)
Lembrando a defini¸c˜ao dos escalares
˜
T
µ
n
e
˜
T
µ
s
, a express˜ao anterior pode ser escrita como
Ψ = R
¯
T
µ
, (3.78)
onde o tensor de quarta ordem R ´e definido como
R :=
∂Ω
µ
(n ⊗ n ⊗ n ⊗ n + t ⊗
s
n ⊗ t ⊗
s
n) dS, (3.79)
e depende exclusivamente da geometria do contorno do EVR. Sendo que o tensor R ´e
invert´ıvel para qualquer contorno fechado ∂Ω
µ
, a decomposi¸c˜ao aditiva apresentada na
eq.(3.73) ´e de fato poss´ıvel pois
¯
T
µ
= R
−1
Ψ, ⇒
˜
T
µ
= T
µ
−
¯
T
µ
. (3.80)
2
Por simplicidade, a prova ´e focada no caso bi-dimensional. Para o caso tri-dimensional o procedimento
´e totalmente an´alogo.
98
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Considere agora o campo vetorial
η
∗
:=
˜
T
µ
n
n +
˜
T
µ
s
t, (3.81)
da defini¸c˜ao anterior ´e simples observar que η
∗
∈ V
M
µ
. Ent˜ao, levando em conta a decom-
posi¸c˜ao aditiva do campo de tens˜ao e o campo η
∗
na condi¸c˜ao de ortogonalidade dada
pela eq.(3.33), tem-se
∂Ω
µ
T
µ
· (η
∗
⊗
s
n)dS =
¯
T
µ
·
∂Ω
µ
η
∗
⊗
s
ndS +
∂Ω
µ
˜
T
µ
· (η
∗
⊗
s
n)dS
=
∂Ω
µ
˜
T
2
µ
n
dS +
∂Ω
µ
˜
T
2
µ
s
dS = 0. (3.82)
A identidade anterior implica em
˜
T
µ
n
=
˜
T
µ
s
= 0 ∀y ∈ ∂Ω
µ
. (3.83)
Finalmente, foi provado que a tra¸c˜ao externa no contorno do EVR para o presente modelo
´e constante e dada por
g
µ
(y) = T
µ
n (y) =
¯
T
µ
n (y) ∀y ∈ ∂Ω
µ
. (3.84)
Para completar a prova, considere a defini¸c˜ao da homogeneiza¸c˜ao mostrada em (3.30) em
termos da tra¸c˜ao externa e das for¸cas de corpo,
T =
1
V
µ
∂Ω
µ
g
µ
⊗
s
ydS −
Ω
µ
b
µ
⊗
s
ydV
, (3.85)
levando em conta que as for¸cas de corpo s˜ao nulas e em vista do resultado (3.84) a tens˜ao
macrosc´opica pode ser escrita como
T =
1
V
µ
∂Ω
µ
¯
T
µ
n ⊗
s
ydS
=
1
V
µ
¯
T
µ
∂Ω
µ
n ⊗
s
ydS
=
¯
T
µ
I =
¯
T
µ
, (3.86)
o que encerra a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao.
Note que na presente formula¸c˜ao variacional do modelo de m´ınima restri¸c˜ao cinem´atica,
a restri¸c˜ao sobre a tra¸c˜ao externa mostrada na eq.(3.69) ´e uma conseq¨uˆencia da escolha
feita para o espa¸co V
M
µ
e n˜ao pode ser imposta a priori. Devido `a condi¸c˜ao estabelecida na
eq.(3.69) esta classe de modelo ´e conhecido como modelo de tra¸c˜ao uniforme no contorno.
Observa¸c˜ao 26. Os modelos desenvolvidos nas se¸c˜oes anteriores s˜ao apresentados de
maneira resumida no quadro abaixo:
99
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
(a) Modelo de Taylor
V
T
µ
:= {0}.
(b) Modelo de deslocamento linear no contorno
V
L
µ
:=
˜
u
µ
∈
˜
K
∗
µ
:
˜
u
µ
(y) = 0, ∀y ∈ ∂Ω
µ
.
(c) Modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de deslocamento no contorno
V
P
µ
:=
˜
u
µ
∈
˜
K
∗
µ
:
˜
u
µ
y
+
=
˜
u
µ
y
−
, ∀par
y
+
, y
−
∈ ∂Ω
µ
.
(d) Modelo de tra¸c˜ao externa uniforme no contorno
V
M
µ
:=
˜
K
∗
µ
.
Um fato importante que deve ser notado ´e que os modelos ora apresentados diferem entre
si pela escolha feita para o espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis V
µ
⊂
˜
K
∗
µ
. Do quadro acima
´e simples ver a seguinte rela¸c˜ao entre os espa¸cos propostos para os modelos obtidos,
V
T
µ
⊂ V
L
µ
⊂ V
P
µ
⊂ V
M
µ
. (3.87)
Da´ı segue que o modelo de Taylor e da tra¸c˜ao externa uniforme no contorno fornecem os
limites superior e inferior, respectivamente, para todas as poss´ıveis escolhas das restri¸c˜oes
cinem´aticas para o espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis.
Observa¸c˜ao 27. Nos modelos constitutivos multi-escala apresentados anteriormente, foi
provado que, exceto no modelo de Taylor, as for¸cas de corpo no EVR, compat´ıveis com a
modelagem proposta, s˜ao necessariamente nula, ou seja, b
µ
(y) = 0. Portanto, a tens˜ao
homogeneizada (3.30) ´e obtida a partir da tra¸c˜ao externa g
µ
como
T(x) =
1
V
µ
∂Ω
µ
g
µ
⊗
s
ydS. (3.88)
Note-se a simplicidade da express˜ao final para a tens˜ao homogeneizada, o que torna f´acil
sua implementa¸c˜ao computacional. No caso do modelo de Taylor, a tens˜ao macrosc´opica
´e calculada diretamente empregando a eq.(3.56).
3.1.7 Tensor de elasticidade homogeneizado
Na modelagem multi-escala proposta nas se¸c˜oes anteriores foi mostrado como uti-
lizar a informa¸c˜ao da macro-escala, neste caso a deforma¸c˜ao macrosc´opica E, para obter
o campo de deslocamento microsc´opico u
µ
– utilizando o que foi chamado de campo de
flutua¸c˜oes de deslocamento microsc´opico
˜
u
µ
, solu¸c˜ao do problema (3.46) ou (3.48). No en-
tanto, esta metodologia n˜ao fica restrita ao c´alculo do campo de deslocamento microsc´opico
e pode ser estendida visando obter a resposta constitutiva macrosc´opica do EVR, inde-
pendentemente da deforma¸c˜ao macrosc´opica associada ao ponto material x. Portanto,
100
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
nesta se¸c˜ao ´e apresentada uma formula¸c˜ao que permite obter o tensor de elasticidade
macrosc´opico empregando os mesmos conceitos da t´ecnica de modelagem multi-escala
discutida anteriormente.
Introduzindo a cinem´atica do modelo de elasticidade linear (3.7) e levando em conta
a rela¸c˜ao constitutiva (3.42), a equa¸c˜ao variacional (3.46) pode ser escrita equivalentemente
como
Ω
µ
C
µ
∇
s
˜
u
µ
· ∇
s
ηdV = −
Ω
µ
C
µ
E · ∇
s
ηdV ∀η ∈ V
µ
. (3.89)
Devido `a linearidade do problema (3.89) a flutua¸c˜ao do deslocamento microsc´opico
˜
u
µ
pode ser constru´ıda a partir de uma combina¸c˜ao linear das componentes cartesianas da
deforma¸c˜ao macrosc´opica, como sugerido por Michel et al. (1999) [81], da seguinte forma
˜
u
µ
= (E)
ij
˜
u
µ
ij
, (3.90)
sendo
˜
u
µ
ij
, com i, j = 1..2, os campos vetoriais conhecidos como flutua¸c˜oes tangenci-
ais de deslocamento e os escalares (E)
ij
s˜ao as componentes cartesianas da deforma¸c˜ao
macrosc´opica, dadas por (E)
ij
= E·(e
i
⊗e
j
). Cada
˜
u
µ
ij
representa a derivada do campo de
flutua¸c˜oes de deslocamento do EVR em rela¸c˜ao `a componente da deforma¸c˜ao macrosc´opica
na dire¸c˜ao do elemento da base e
i
. Por outro lado, a deforma¸c˜ao macrosc´opica pode ser
escrita em suas componentes cartesianas da seguinte forma
E = (E)
ij
(e
i
⊗ e
j
). (3.91)
Ent˜ao, substituindo a express˜ao anterior e a decomposi¸c˜ao (3.90) no funcional (3.89)
tem-se
(E)
ij
Ω
µ
C
µ
∇
s
˜
u
µ
ij
· ∇
s
ηdV
= −(E)
ij
Ω
µ
C
µ
(e
i
⊗ e
j
) · ∇
s
ηdV
∀η ∈ V
µ
,
(3.92)
o que resulta no seguinte conjunto de problemas variacionais: encontre
˜
u
µ
ij
∈
˜
K
µ
(para
i, j = 1, 2 no caso bidimensional), tal que
Ω
µ
C
µ
∇
s
˜
u
µ
ij
· ∇
s
ηdV = −
Ω
µ
C
µ
(e
i
⊗ e
j
) · ∇
s
ηdV ∀η ∈ V
µ
. (3.93)
Assim, as fun¸c˜oes vetoriais
˜
u
µ
ij
que geram a base da combina¸c˜ao linear (3.90) s˜ao
obtidas da resolu¸c˜ao do sistema canˆonico de equa¸c˜oes variacionais (3.93).
Por outro lado, levando em conta a separa¸c˜ao aditiva do campo de tens˜ao mi-
crosc´opica (3.45) e a rela¸c˜ao constitutiva (3.42), o tensor tens˜ao macrosc´opico pode ser
escrito como
T =
1
V
µ
Ω
µ
C
µ
EdV +
1
V
µ
Ω
µ
C
µ
˜
E
µ
dV. (3.94)
Empregando a express˜ao (3.90), o funcional mostrado acima fica da seguinte maneira,
T = C
T
E +
1
V
µ
Ω
µ
C
µ
˜
E
µ
ij
dV
(E)
ij
, (3.95)
101
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
sendo
˜
E
µ
ij
a flutua¸c˜ao de deforma¸c˜ao associada `as flutua¸c˜oes tangenciais de deslocamento
˜
u
µ
ij
e C
T
denota o tensor constitutivo homogeneizado asso ciado ao modelo de Taylor
definido da seguinte forma,
C
T
:=
1
V
µ
Ω
µ
C
µ
dV. (3.96)
Mas, note que a aplica¸c˜ao tensorial C
µ
˜
E
µ
ij
pode ser escrita como
C
µ
˜
E
µ
ij
= (C
µ
)
klpq
(
˜
E
µ
ij
)
pq
(e
k
⊗ e
l
) , (3.97)
e substituindo em (3.95) tem-se que o tensor tens˜ao macrosc´opica pode ser re-escrito como
uma soma da forma,
T = C
T
E +
1
V
µ
Ω
µ
(C
µ
)
klpq
(
˜
E
µ
ij
)
pq
(e
k
⊗ e
l
) dV
E · (e
i
⊗ e
j
)
= C
T
E +
˜
CE, (3.98)
onde o tensor constitutivo homogeneizado associado `a parcela de flutua¸c˜ao
˜
C ´e definido
como
˜
C =
1
V
µ
Ω
µ
(C
µ
)
ijpq
(
˜
E
µ
kl
)
pq
dV
(e
i
⊗ e
j
⊗ e
k
⊗ e
l
) (3.99)
=
1
V
µ
Ω
µ
(
˜
T
µ
kl
)
ij
dV
(e
i
⊗ e
j
⊗ e
k
⊗ e
l
) . (3.100)
Finalmente, como o problema em estudo ´e linear, a tens˜ao macrosc´opica T pode
ser representada atrav´es de uma rela¸c˜ao constitutiva linear similar `a mostrada em (3.42)
e caracterizada pelo tensor constitutivo homogeneizado de quarta ordem C, ou seja,
T = CE. (3.101)
Da compara¸c˜ao dos resultados anteriores, tem-se que o mencionado tensor constitu-
tivo macrosc´opico C est´a representado pela soma das contribui¸c˜oes da parcela associada
`a m´edia volum´etrica do tensor de elasticidade microsc´opico C
µ
e da parcela associada `a
flutua¸c˜ao de deforma¸c˜ao microsc´opica
˜
C, ou seja,
C = C
T
+
˜
C. (3.102)
Note que somente a contribui¸c˜ao de
˜
C depende da escolha para o espa¸co V
µ
, atrav´es
das flutua¸c˜oes tangenciais de deslocamento
˜
u
µ
ij
. Cabe mencionar ainda que ambas as
contribui¸c˜oes s˜ao independentes da deforma¸c˜ao macrosc´opica. Obviamente, no caso do
modelo de Taylor (onde
˜
u
µ
ij
= 0 para qualquer dire¸c˜ao ij)
˜
C = 0 e a resposta constitutiva
macrosc´opica ´e dada somente em termos da parcela associada `a m´edia volum´etrica da
resposta constitutiva microsc´opica, ou seja, C = C
T
.
Observa¸c˜ao 28. Como mencionado no in´ıcio da se¸c˜ao, o tensor constitutivo homo-
102
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
geneizado C ´e, portanto, completamente determinado pelas caracter´ısticas do EVR atrav´es
das solu¸c˜oes
˜
u
µ
ij
do conjunto de problemas variacionais (3.93), n˜ao dependendo da de-
forma¸c˜ao macrosc´opica.
Observa¸c˜ao 29. Considerando a propriedade de simetria dos tensores de deforma¸c˜ao
e tens˜ao macrosc´opica, tem-se que o n´umero de coeficientes el´asticos independentes do
tensor de elasticidade homogeneizado C, ´e reduzido, no caso bidimensional, a 6. Assim,
a equa¸c˜ao constitutiva (3.101) pode ser escrita em forma matricial como
(T)
11
(T)
22
(T)
12
=
(C)
1111
(C)
1122
(C)
1112
(C)
2222
(C)
2212
sim. (C)
1212
(E)
11
(E)
22
2(E)
12
, (3.103)
onde o fator de 2 multiplicando o termo associado ao efeito de cisalhamento no tensor
deforma¸c˜ao decorre do fato que a componente generalizada de tens˜ao, em vista das pro-
priedades de simetria ora mencionada, ´e escrita como
(T)
ij
= (C)
ij11
(E)
11
+ (C)
ij12
(E)
12
+ (C)
ij21
(E)
21
+ (C)
ij22
(E)
22
= (C)
ij11
(E)
11
+ 2(C)
ij12
(E)
12
+ (C)
ij22
(E)
22
. (3.104)
Cabe mencionar ainda que a forma matricial da tens˜ao macrosc´opica, mostrada na eq.(3.103),
permite escrever a resposta constitutiva C (tensor de quarta ordem) como uma matriz
sim´etrica de 3 × 3 elementos, como:
C =
(C)
1111
(C)
1122
(C)
1112
(C)
2222
(C)
2212
sim. (C)
1212
=
C
11
C
12
C
13
C
22
C
23
sim. C
33
. (3.105)
Essa representa¸c˜ao matricial facilita consideravelmente a implementa¸c˜ao computacional
da modelagem constitutiva multi-escala adotada neste trabalho.
3.1.8 Implementa¸c˜ao computacional
Complementando a modelagem constitutiva multi-escala discutida nas se¸c˜oes an-
teriores e descrita no contexto de um s´olido cont´ınuo, nesta se¸c˜ao ´e apresentada uma
breve descri¸c˜ao sobre a implementa¸c˜ao computacional dos modelos propostos. Em outras
palavras, trata-se de forma detalhada a constru¸c˜ao das vers˜oes discretas dos espa¸cos das
varia¸c˜oes cinematicamente admiss´ıveis para as flutua¸c˜oes de deslocamento microsc´opico
para os diferentes modelos apresentados na Se¸c˜ao 3.1.6, no contexto das aproxima¸c˜oes por
elementos finitos. Encerrando a se¸c˜ao, discutem-se brevemente alguns aspectos computa-
cionais.
103
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
3.1.8.1 Discretiza¸c˜ao por elementos finitos
Segundo mostrado anteriormente na Se¸c˜ao 3.1.5, a forma fraca do problema de
equil´ıbrio ´e dada pela seguinte equa¸c˜ao variacional: encontre o campo
˜
u
µ
∈
˜
K
µ
, tal que
Ω
µ
C
µ
∇
s
(u + ¯u
µ
+
˜
u
µ
) · ∇
s
ηdV = 0 ∀η ∈ V
µ
⊂
˜
K
∗
µ
. (3.106)
De maneira geral, as componentes do camp o de flutua¸c˜oes de deslocamento mi-
crosc´opico
˜
u
µ
e das varia¸c˜oes admiss´ıveis η podem ser aproximadas, para uma malha de
elementos finitos com N n´os, p or uma combina¸c˜ao lineal do tipo
(
˜
u
µ
)
k
=
N
j=1
˜
u
j
µ
k
ψ
j
e (η)
k
=
N
j=1
η
j
k
ψ
j
, (3.107)
onde (
˜
u
j
µ
)
k
e (η
j
)
k
, com k = 1..2 no caso bi-dimensional, s˜ao, respectivamente, os val-
ores nodais das componentes do campo de flutua¸c˜oes de deslocamento e das varia¸c˜oes
cinematicamente admiss´ıveis e ψ
j
denota as cl´assicas fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao globais para
cada componente k. Com a discretiza¸c˜ao proposta acima para as componentes dos campos
microsc´opicos
˜
u
µ
e η, a express˜ao (3.106) pode ser escrita em forma discreta como
Ω
µ
DB(¯u
hp
+
˜
u
hp
) · Bη
hp
dV = 0 ∀η
hp
∈
˜
K
hp
µ
⊂
˜
K
µ
, (3.108)
com D denotando a matriz da resposta constitutiva no dom´ınio do EVR, a matriz B
cont´em as derivadas cartesianas das fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao ψ
j
para cada componente k,
˜
u
hp
∈
˜
K
hp
µ
´e o vetor associado aos valores nodais da flutua¸c˜ao de deslocamento microsc´opico
(sendo que
˜
K
hp
µ
´e vers˜ao discreta do espa¸co
˜
K
µ
associada `a aproxima¸c˜ao proposta), o vetor
¯u
hp
cont´em o produto (Ey)|
j
avaliado em cada n´o j da malha de elementos finitos e η
hp
´e
o vetor que possui os valores nodais associados `as varia¸c˜oes cinematicamente admiss´ıveis.
Aqui os ´ındices h ∈ (0, 1] ⊂ e p ∈ N denotam a dependˆencia da aproxima¸c˜ao com os
parˆametros h, que define o tamanho caracter´ıstico dos elementos finitos, e p associado `a
ordem polinomial das fun¸c˜oes que geram a base da aproxima¸c˜ao (3.107). Finalmente, a
solu¸c˜ao por elementos finitos do problema (3.106) consiste em resolver o seguinte sistema
alg´ebrico de equa¸c˜oes
(f
hp
+ K
hp
˜
u
hp
) · η
hp
= 0 ∀η
hp
∈
˜
K
hp
µ
⊂
˜
K
µ
, (3.109)
para o vetor de inc´ognitas nodais generalizado
˜
u
hp
, onde f
hp
e K
hp
s˜ao, respectivamente,
o vetor de carregamento nodal generalizado e a matriz de rigidez global, dados por
K
hp
=
Ω
µ
B
T
DBdV e f
hp
= K
hp
¯u
hp
. (3.110)
No caso do modelo de deslocamento linear no contorno do EVR, desenvolvido na
Se¸c˜ao 3.1.6.2, a solu¸c˜ao do problema (3.106) segue o caminho cl´assico dos problemas de
elasticidade linear. Basta apenas prescrever o valor zero aos graus de liberdade associa-
104
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
dos `as flutua¸c˜oes de deslocamento no contorno. No entanto, para os modelos de flutua¸c˜ao
peri´odica de deslocamento (Se¸c˜ao 3.1.6.3) e da m´ınima restri¸c˜ao cinem´atica (Se¸c˜ao 3.1.6.4),
as condi¸c˜oes de contorno no EVR s˜ao n˜ao locais. A principal diferen¸ca reside na gera¸c˜ao do
espa¸co discreto para as flutua¸c˜oes de deslocamento admiss´ıveis e virtuais, cujas restri¸c˜oes
s˜ao descritas de forma n˜ao convencional. Em seguida, portanto, ´e brevemente descrita a
discretiza¸c˜ao do espa¸co de elementos finitos, colocando em evidˆencia as condi¸c˜oes de con-
torno em termos dos graus de liberdade nodais para os modelos analisados anteriormente.
Modelo de deslocamento linear no contorno. Como mencionado anteriormente, o
modelo de flutua¸c˜ao de deslocamento nula no contorno n˜ao requer coment´arios adicionais,
pois pode ser implementado seguindo o caminho cl´assico dos problemas de elasticidade
linear. Em seguida, portanto, ´e apresentada uma breve discuss˜ao acerca da implementa¸c˜ao
computacional alternativa para esta classe de modelos, seguindo uma estrutura similar `a
que ser´a empregada na implementa¸c˜ao dos modelos de flutua¸c˜ao peri´odica de deslocamento
no contorno do EVR e da m´ınima restri¸c˜ao cinem´atica. Considere, ent˜ao, que o espa¸co
discreto
˜
K
hp
µ
das flutua¸c˜oes de deslocamento admiss´ıveis pode ser definido como
˜
K
hp
µ
:=
v = (v
i
|v
b
)
T
: v
b
= 0
, (3.111)
onde v
i
, v
b
denotam os vetores contendo, respectivamente, os graus de liberdade interiores
e do contorno do EVR. Dividindo, portanto, a matriz K
hp
e os vetores f
hp
,
˜
u
hp
e η
hp
da
mesma forma que v, tem-se que a equa¸c˜ao (3.109) pode ser escrita como
f
i
hp
f
b
hp
+
k
ii
hp
k
ib
hp
k
bi
hp
k
bb
hp
˜
u
i
hp
˜
u
b
hp
·
η
i
hp
η
b
hp
= 0 ∀η
i
hp
, η
b
hp
. (3.112)
Introduzindo a restri¸c˜ao do espa¸co discreto
˜
K
hp
µ
sobre os graus de liberdade do contorno
do EVR, a express˜ao acima se reduz a
f
i
hp
+ k
ii
hp
˜
u
i
hp
· η
i
hp
= 0 ∀η
i
hp
. (3.113)
Levando em conta a arbitrariedade de η
i
hp
, a equa¸c˜ao discreta do equil´ıbrio para os graus
de liberdade interiores ´e dada pelo seguinte sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas para o vetor
˜
u
i
hp
k
ii
hp
˜
u
i
hp
= −f
i
hp
. (3.114)
Como mencionado, o sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas anterior fornece a solu¸c˜ao associada
aos graus de liberdade interiores do EVR. Levando em conta, portanto, a decomposi¸c˜ao
e restri¸c˜ao mostrada na defini¸c˜ao do espa¸co discreto
˜
K
hp
µ
, eq.(3.111), o vetor flutua¸c˜ao de
deslocamento microsc´opico
˜
u
hp
´e dado por
˜
u
hp
= (
˜
u
i
hp
| 0)
T
. (3.115)
Modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de deslocamento no contorno. Para o modelo de
flutua¸c˜ao peri´odica de deslocamento no contorno, a geometria do EVR deve respeitar as
105
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
restri¸c˜oes previstas na Se¸c˜ao 3.1.6.3. Neste caso, ´e conveniente assumir
3
que cada n´o do
contorno i
+
, com coordenada y
+
i
, tem um par i
−
, com coordenada y
−
i
, como mostrado
na Fig.3.4. Com as condi¸c˜oes mencionadas anteriormente, o espa¸co discreto
˜
K
hp
µ
das
flutua¸c˜oes de deslocamento cinematicamente admiss´ıveis pode ser definido como
˜
K
hp
µ
:=
v = (v
i
|v
+
|v
−
)
T
: v
+
= v
−
, (3.116)
onde v
i
, v
+
e v
−
denotam os vetores contendo, respectivamente, os graus de liberdade
interiores do EVR e das partes Γ
+
e Γ
−
do contorno do EVR, ou seja,
Γ
+
=
N
∪
j=1
Γ
+
j
e Γ
−
=
N
∪
j=1
Γ
−
j
, tal que Γ
+
∪ Γ
−
= ∂Ω
µ
. (3.117)
Figura 3.4: geometrias discretas para os EVR peri´odicos.
Ao dividir f
hp
, k
hp
,
˜
u
hp
e η
hp
na mesma forma que v e levando em conta a defini¸c˜ao
(3.116), lembrando que
˜
u
hp
e η
hp
pertencem ao espa¸co
˜
K
hp
µ
, a express˜ao (3.109) assume a
forma
f
i
hp
f
+
hp
f
−
hp
+
k
ii
hp
k
i+
hp
k
i−
hp
k
+i
hp
k
++
hp
k
+−
hp
k
−i
hp
k
−+
hp
k
−−
hp
˜
u
i
hp
˜
u
+
hp
˜
u
+
hp
·
η
i
hp
η
+
hp
η
+
hp
= 0 ∀η
i
hp
, η
+
hp
. (3.118)
Considerando a repeti¸c˜ao de
˜
u
+
hp
e η
+
hp
nos vetores dos graus de liberdade nodais, a equa¸c˜ao
discreta do equil´ıbrio (3.118) se reduz `a seguinte forma
f
i
hp
f
+
hp
+ f
−
hp
+
k
ii
hp
k
i+
hp
+ k
i−
hp
k
+i
hp
+ k
−i
hp
k
++
hp
+ k
−+
hp
+ k
+−
hp
+ k
−−
hp
˜
u
i
hp
˜
u
+
hp
·
η
i
hp
η
+
hp
= 0 ∀η
i
hp
, η
+
hp
,
(3.119)
que, em vista da arbitrariedade de η
i
hp
e η
+
hp
, tem-se o seguinte sistema linear de equa¸c˜oes
alg´ebricas para os vetores
˜
u
i
hp
e
˜
u
+
hp
,
k
ii
hp
k
i+
hp
+ k
i−
hp
k
+i
hp
+ k
−i
hp
k
++
hp
+ k
−+
hp
+ k
+−
hp
+ k
−−
hp
˜
u
i
hp
˜
u
+
hp
= −
f
i
hp
f
+
hp
+ f
−
hp
. (3.120)
Finalmente, com a solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas anterior e levando em conta
3
Esta hip´otese n˜ao ´e necess´aria, mas simplifica consideravelmente a implementa¸c˜ao do modelo com
elementos finitos.
106
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
a decomposi¸c˜ao apresentada na defini¸c˜ao do espa¸co discreto
˜
K
hp
µ
, eq.(3.116), o vetor flu-
tua¸c˜ao de deslocamento microsc´opico
˜
u
hp
´e dado por
˜
u
hp
= (
˜
u
i
hp
|
˜
u
+
hp
|
˜
u
+
hp
)
T
. (3.121)
Modelo de tra¸c˜ao uniforme no contorno do EVR. Para este modelo ´e seguido
um procedimento completamente an´alogo ao anterior, visando obter o conjunto final de
equa¸c˜oes alg´ebricas de elementos finitos sob a hip´otese de m´ınima restri¸c˜ao cinem´atica
(tra¸c˜ao uniforme no contorno do EVR). Para come¸car, considere a seguinte defini¸c˜ao da
contraparte discreta do espa¸co das flutua¸c˜oes de deslocamento admiss´ıveis e virtuais:
˜
K
hp
µ
:=
v = (v
i
|v
b
)
T
:
∂Ω
h
µ
(Φ
b
v
b
) ⊗
s
nd∂Ω
µ
= 0
, (3.122)
sendo v
b
´e o vetor que cont´em os graus de liberdade do contorno e Φ
b
a matriz das
fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao globais associadas unicamente com os n´os do contorno do EVR
discretizado. Do espa¸co mostrado em (3.122), ´e simples ver que a restri¸c˜ao integral sobre
v
b
pode ser escrita equivalentemente em forma matricial como
Cv
b
= 0, (3.123)
onde C ´e a matriz de restri¸c˜ao sobre os graus de lib erdade do contorno do EVR. Para um
EVR discretizado com k n´os interiores e m n´os no contorno, no caso bidimensional v
b
´e
um vetor de dimens˜ao 2m e C ´e uma matriz de dimens˜ao 3 × 2m dada por
C =
∂Ω
h
µ
Φ
k+1
n
1
d∂Ω
µ
0 ···
∂Ω
h
µ
Φ
k+m
n
1
d∂Ω
µ
0
0
∂Ω
h
µ
Φ
k+1
n
2
d∂Ω
µ
··· 0
∂Ω
h
µ
Φ
k+m
n
2
d∂Ω
µ
∂Ω
h
µ
Φ
k+1
n
2
d∂Ω
µ
∂Ω
h
µ
Φ
k+1
n
1
d∂Ω
µ
···
∂Ω
h
µ
Φ
k+m
n
2
d∂Ω
µ
∂Ω
h
µ
Φ
k+m
n
1
d∂Ω
µ
,
(3.124)
note que n
1
e n
2
denotam as componentes do campo vetorial n, normal ao contorno
∂Ω
µ
, associadas `a base global ortonormal {e
1
, e
2
} e Φ
j
, j = 1, ··· , m, s˜ao as fun¸c˜oes
de forma globais associadas aos n´os do contorno. Neste caso, a equa¸c˜ao (3.123) fornece
trˆes restri¸c˜oes lineares sobre a quantidade total dos 2m graus de liberdade no contorno
discreto do EVR. Para EVR tridimensionais, as dimens˜oes do vetor v
b
e das matriz C s˜ao,
respectivamente, 3m e 6 ×3m. No contexto usual de elementos finitos, em vez de utilizar
fun¸c˜oes de forma globais, a matriz C ´e obtida da montagem de matrizes elementares que
em duas dimens˜oes, para um elemento e com p n´os na intersec¸c˜ao Γ
(e)
do contorno do
elemento com o contorno do EVR, ´e da forma
C
(e)
=
Γ
(e)
Φ
(e)
1
n
1
d∂Ω
µ
0 ···
Γ
(e)
Φ
(e)
p
n
1
d∂Ω
µ
0
0
Γ
(e)
Φ
(e)
1
n
2
d∂Ω
µ
··· 0
Γ
(e)
Φ
(e)
p
n
2
d∂Ω
µ
Γ
(e)
Φ
(e)
1
n
2
d∂Ω
µ
Γ
(e)
Φ
(e)
1
n
1
d∂Ω
µ
···
Γ
(e)
Φ
(e)
p
n
2
d∂Ω
µ
Γ
(e)
Φ
(e)
p
n
1
d∂Ω
µ
,
(3.125)
107
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
na express˜ao anterior foi assumido que os n´os do elemento e que est˜ao em Γ
(e)
s˜ao local-
mente numerados de 1 a p e Φ
(e)
j
, j = 1, ··· , p, s˜ao as fun¸c˜oes de forma locais associadas
ao n´o j. Por exemplo, as matrizes para os elementos triangulares convencionais com trˆes
e seis n´os, tendo um ´unico lado reto de comprimento l
(e)
e, no caso do elemento triangular
de seis n´os, trˆes n´os igualmente espa¸cados intersectando o contorno do EVR, s˜ao dadas
por
C
(e)
T 3
=
l
(e)
2
n
1
0 n
1
0
0 n
2
0 n
2
1
2
n
2
1
2
n
1
1
2
n
2
1
2
n
1
, C
(e)
T 6
=
l
(e)
6
n
1
0 4n
1
0 n
1
0
0 n
2
0 4n
2
0 n
2
1
2
n
2
1
2
n
1
2n
2
2n
1
1
2
n
2
1
2
n
1
.
(3.126)
A fim de lidar com a restri¸c˜ao (3.123) sobre o espa¸co discreto das flutua¸c˜oes admiss´ıveis e
virtuais de deslocamento ´e conveniente dividir v
b
como
v
b
= (v
f
|v
d
|v
p
)
T
, (3.127)
onde os sub-´ındices f, d e p denotam, respectivamente, os graus de liberdade livres, depen-
dentes e prescritos no contorno discreto do EVR. Conseq¨uentemente, a matriz de restri¸c˜ao
global ´e particionada como
C =
C
f
C
d
C
p
, (3.128)
tal que a equa¸c˜ao da restri¸c˜ao integral (3.123) fica
C
f
C
d
C
p
v
f
v
d
v
p
= 0. (3.129)
O problema de equil´ıbrio discreto (3.109) ´e totalmente determinado a menos de uma
constante. Portanto, ´e necess´ario prescrever graus de liberdade para tornar o problema
(3.109) bem posto. Trivialmente, sem perda de generalidade, ´e prescrito
v
p
= 0, (3.130)
onde, no caso bi e tridimensional, v
p
cont´em trˆes e seis graus de lib erdade, respectivamente,
convenientemente escolhidos. Assim, a equa¸c˜ao de restri¸c˜ao se reduz a
C
f
C
d
v
f
v
d
= 0. (3.131)
Em duas dimens˜oes, o resultado anterior representa trˆes equa¸c˜oes escalares envolvendo
2m−3 vari´aveis, e no caso tridimensional s˜ao seis equa¸c˜oes escalares com 3m−6 vari´aveis.
Finalmente, o vetor v
d
pode ser escrito em termos de v
f
como
v
d
= Rv
f
, com R = −(C
d
)
−1
C
f
. (3.132)
108
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Note que os graus de liberdade dependentes (correspondentes a v
d
) devem ser escolhidos
tal que a matriz C
d
seja invers´ıvel. Levando em conta as considera¸c˜oes anteriores, o espa¸co
discreto (3.122) pode ser redefinido como
˜
K
hp
µ
:=
v = (v
i
|v
f
|v
d
)
T
: v
d
= Rv
f
, (3.133)
que, por conveniˆencia, cont´em apenas os graus de liberdade n˜ao prescritos. A equa¸c˜ao
de elementos finitos (3.109) para o modelo da m´ınima restri¸c˜ao cinem´atica ´e obtida,
analogamente a (3.118), dividindo os vetores e matrizes de acordo com a parti¸c˜ao mostrada
anteriormente e levando em conta (3.133). Assim, o sistema de equa¸c˜oes fica
f
i
hp
f
f
hp
f
d
hp
+
k
ii
hp
k
if
hp
k
id
hp
k
fi
hp
k
ff
hp
k
fd
hp
k
di
hp
k
df
hp
k
dd
hp
˜
u
i
hp
˜
u
f
hp
R
˜
u
f
hp
·
η
i
hp
η
f
hp
Rη
f
hp
= 0 ∀η
i
hp
, η
f
hp
, (3.134)
que finalmente, em vista da arbitrariedade de η
i
hp
e η
f
hp
, ´e reduzido no seguinte sistema
linear de equa¸c˜oes alg´ebricas para os vetores
˜
u
i
hp
e
˜
u
f
hp
k
ii
hp
k
if
hp
+ k
id
hp
R
k
fi
hp
+ R
T
k
di
hp
k
ff
hp
+ k
fd
hp
R + R
T
k
df
hp
+ R
T
k
dd
hp
R
˜
u
i
hp
˜
u
f
hp
= −
f
i
hp
f
f
hp
+ R
T
f
d
hp
. (3.135)
Com a solu¸c˜ao associada aos graus de liberdade interiores e livres, obtidos do sistema
de equa¸c˜oes alg´ebricas anterior, e a decomposi¸c˜ao proposta em (3.122) e (3.133), o vetor
flutua¸c˜ao de deslocamento microsc´opico
˜
u
hp
pode ser constru´ıdo, finalmente, como
˜
u
hp
= (
˜
u
i
hp
|
˜
u
f
hp
|R
˜
u
f
hp
| 0)
T
. (3.136)
3.1.8.2 Aspectos computacionais
A resolu¸c˜ao num´erico-computacional dos modelos constitutivos multi-escala apresen-
tados na Se¸c˜ao 3.1.6 n˜ao segue o caminho cl´assico do m´etodo dos elementos finitos, devido
ao fato de ter que impor as restri¸c˜oes cinem´aticas do espa¸co das varia¸c˜oes admiss´ıveis
V
µ
em sua vers˜ao discreta V
hp
µ
(ou
˜
K
hp
µ
). Portanto, n˜ao ´e poss´ıvel utilizar os c´odigos de
programas de elementos finitos usuais (ou comerciais, se for o caso). Este fato motivou o
desenvolvimento da t´ecnica de implementa¸c˜ao computacional – no contexto dos elementos
finitos – apresentada na se¸c˜ao anterior.
Visando utilizar os espa¸cos usuais para as fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao de elementos
finitos, na se¸c˜ao anterior foi proposta uma t´ecnica que introduz as restri¸c˜oes dos espa¸cos
discretos na pr´opria constru¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas. Com isso, ´e poss´ıvel
utilizar os espa¸cos de elementos finitos convencionais nesta t´ecnica de modelagem consti-
tutiva multi-escala. No entanto, esta forma de construir os espa¸cos discretos de elementos
finitos leva um esfor¸co computacional a mais na identifica¸c˜ao dos graus de liberdade que
permitem a separa¸c˜ao da matriz de rigidez global K
hp
e o vetor de carregamentos nodais
generalizados f
hp
, nas sub-matrizes e sub-vetores necess´arios para re-escrever o sistema de
equa¸c˜oes alg´ebricas. Como os graus de liberdade que devem ser identificados variam para
109
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
cada modelo multi-escala, em seguida ´e mostrado um breve resumo:
Modelo de deslocamento linear no contorno: interiores (i) e no contorno (b);
Modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de deslo camento no contorno: interiores (i) e nas
partes Γ
+
e Γ
−
do contorno (+ e −);
Modelo de tra¸c˜ao uniforme no contorno: interiores (i) e no contorno (f – livres, d –
dependentes e p – prescritos).
No entanto, existem outras maneiras para colocar o problema no contexto tradicional
dos elementos finitos. Estas outras possibilidades de introduzir as restri¸c˜oes dos espa¸cos
das varia¸c˜oes admiss´ıveis no problema s˜ao as seguintes:
Uso de multiplicadores de Lagrange.
Modifica¸c˜ao da matriz de rigidez global introduzindo as restri¸c˜oes com a mesma
t´ecnica empregada na coloca¸c˜ao de condi¸c˜oes de contorno n˜ao locais.
Por quest˜oes que excedem o objetivo deste trabalho, as alternativas mencionadas
anteriormente para a introdu¸c˜ao das restri¸c˜oes dos espa¸cos no problema n˜ao s˜ao aqui
desenvolvidas. Finalmente, cabe mencionar que toda a implementa¸c˜ao computacional
do m´etodo dos elementos finitos, necess´aria para o desenvolvimento deste trabalho foi
realizada em MatLab .
3.1.9 Experimentos num´ericos
Empregando a implementa¸c˜ao computacional associada `a modelagem constitutiva
multi-escala proposta neste cap´ıtulo e discutida na se¸c˜ao anterior, agora s˜ao apresentados
um conjunto de exemplos num´ericos acerca da aplica¸c˜ao desta classe de mo delos. Em
particular, atrav´es de exemplos simples procura-se mostrar as vantagens desta modelagem
em rela¸c˜ao aos modelos constitutivos cl´assicos encontrados na literatura.
3.1.9.1 Exemplo 1
Na literatura especializada na modelagem de materiais compostos, existem limites
te´oricos (superior e inferior) para os parˆametros el´asticos efetivos macrosc´opicos de uma
determinada microestrutura. Em particular, para um material composto por uma matriz
na qual est˜ao inseridas fibras alinhadas numa dire¸c˜ao preferencial, os limites superior e
inferior s˜ao comumente conhecidos como limites de Voigt-Reuss, Voigt (1889) [132] e Reuss
(1929) [103]. Assim, o modelo de Voigt foi desenvolvido levando em conta que as fibras
est˜ao posicionadas de forma paralela `a dire¸c˜ao da deforma¸c˜ao e quando as fibras est˜ao
perpendiculares `a mencionada dire¸c˜ao se obt´em o modelo de Reuss. Alternativamente,
os modelos de Voigt e Reuss s˜ao chamados, respectivamente, de m´edias de deforma¸c˜ao
110
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
uniforme e de tens˜ao uniforme (isostrain e isostress). Ent˜ao, para os modelos mencionados
anteriormente, o parˆametro el´astico efetivo do meio M
e
´e obtido como
Modelo de V oigt ⇒ M
e
=
N
j=1
f
j
M
j
, (3.137)
Modelo de Reuss ⇒
1
M
e
=
N
j=1
f
j
M
j
, (3.138)
onde M
j
e f
j
s˜ao, respectivamente, o parˆametro el´astico e a fra¸c˜ao de volume de cada
uma das N fases do meio tal que, na ausˆencia de vazios,
N
j=1
f
j
= 1. Matematica-
mente o parˆametro el´astico M, nas express˜oes acima, pode ser qualquer m´odulo: m´odulo
volum´etrico, m´odulo cisalhante, m´odulo de Young, etc. No entanto, na literatura especial-
izada em parˆametros el´asticos efetivos ´e recomendado empregar os modelos de Voigt-Reuss
somente no m´odulo cisalhante µ e no m´odulo volum´etrico K e, ent˜ao, obter os outros
m´odulos ou parˆametros el´asticos efetivos, como por exemplo o m´odulo de Young E ou
coeficiente de Poisson ν, empregando as rela¸c˜oes usuais da elasticidade linear. Para uma
discuss˜ao mais detalhada acerca desses aspectos pode-se mencionar os livros de Avserth
et al. (2005) [12] e Canuta (2006) [23]. As mencionadas rela¸c˜oes da elasticidade linear
podem ser escritas como:
K =
E
1 − 2ν
e µ =
E
2(1 + ν)
. (3.139)
Assim sendo, neste primeiro exemplo ser˜ao comparados os modelos (3.137) e (3.138)
com o modelagem constitutiva multi-escala adotada neste cap´ıtulo. Tomando como re-
ferˆencia para a dire¸c˜ao principal de deforma¸c˜ao o eixo horizontal, os EVRs usados na
an´alise num´erica s˜ao caracterizados atrav´es de uma micro-c´elula quadrada de tamanho
unit´ario, com camadas de material de largura vari´avel chamadas de fibras e inseridas
numa matriz de um material diferente, como mostrado na Fig.3.5. Na Tabela 3.1 s˜ao
apresentados os parˆametros el´asticos que caracterizam os materiais utilizados na mode-
lagem computacional, esses valores foram obtidos de Poniznik et al. (2008) [101] aonde os
autores estudam os parˆametros el´asticos efetivos de um composto metal-cerˆamico.
Material E (GPa) ν µ (GPa) K (GPa)
Matriz Met´alica (m) Alumina - Al
2
O
3
390 0.20 162, 5 216, 7
Fibras (f) Cobre - Cu 110 0.35 40, 7 122, 2
Tabela 3.1: exemplo 1 - propriedades f´ısicas dos materiais.
A malha de elementos finitos utilizada na discretiza¸c˜ao do dom´ınio de an´alise cont´em
elementos triangulares lineares (3 n´os por elemento) da ordem de 2, 3 × 10
4
, distribu´ıdos
uniformemente no dom´ınio com um total de n´os da ordem de 1, 17 × 10
4
.
111
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
(a) Modelo de Voigt. (b) Modelo de Reuss.
Figura 3.5: exemplo 1 - geometria dos EVRs estudados.
Levando em conta a discuss˜ao anterior, acerca do uso dos modelos de Voigt-Reuss,
na Fig.3.6 s˜ao apresentados os resultados da an´alise computacional e a compara¸c˜ao com
os modelos te´oricos mostrados nas eqs.(3.137) e (3.138). Nessa figura est´a sendo apresen-
tada no eixo das ordenadas a rela¸c˜ao entre o parˆametro efetivo e sua contraparte el´astica
associada ao material da matriz, e no eixo das abscissas ´e colocada a fra¸c˜ao de volume das
fibras f
f
.
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Taylor
Linear
Periódico
Uniforme
Voigt
(a) Modelo de Voigt - m´odulo de Young.
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Taylor
Linear
Periódico
Uniforme
Reuss
(b) Modelo de Reuss - m´odulo de Young.
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Taylor
Linear
Periodico
Uniforme
Voigt
(c) Modelo de Voigt - coeficiente de Poisson.
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Taylor
Linear
Periodico
Uniforme
Reuss
(d) Modelo de Reuss - coeficiente de Poisson.
Figura 3.6: exemplo 1 - resultados e compara¸c˜ao com os modelos te´oricos.
Dos resultados mostrados anteriormente, observa-se que a modelagem constitutiva
multi-escala adotada neste cap´ıtulo captura adequadamente o comportamento do m´odulo
112
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
de Young efetivo dos modelos te´oricos, eqs.(3.137) e (3.138), sem ter que impor a priori, na
formula¸c˜ao do modelo, a forma e distribui¸c˜ao das fibras na matriz. No entanto, note-se que
para o coeficiente de Poisson efetivo as diferen¸cas entre a modelagem constitutiva multi-
escala e os modelos te´oricos de Voigt-Reuss s˜ao apreci´aveis, mas ´e importante lembrar que
os modelos de Voigt-Reuss fornecem os limites superiores e inferiores para o mencionado
parˆametro e da Figs.3.6(c) e 3.6(d), observa-se que nenhum dos modelos multi-escala
ultrapassas esses limites.
Observa¸c˜ao 30. Para uma discuss˜ao e an´alise mais detalhada acerca do comportamento
e validade dos modelos de Voigt-Reuss para estimar o coeficiente de Poisson efetivo do
meio, pode-se citar os livros de Markov (2000) [76], Avserth et al. (2005) [12], Canuta
(2006) [23] e o trabalho de Poniznik et al. (2008) [101].
3.1.9.2 Exemplo 2
Na modelagem de materiais comp´ositos ´e de interesse o estudo de materiais cu-
jas micro-estruturas s˜ao refor¸cadas com inclus˜oes circulares de material com uma rigidez
maior que a da matriz. Portanto, neste segundo exemplo ´e estudada uma micro-estrutura
quadrada de dimens˜oes unit´arias constitu´ıda por uma matriz na qual est˜ao inseridas 8 in-
clus˜oes circulares de raio vari´avel distribu´ıdas aleatoriamente no dom´ınio da micro-c´elula,
Fig.3.7. Para esta classe de micro-estruturas foi desenvolvido pelos pesquisadores Hashin e
Shtrikman, Hashin & Shtrikman (1963) [52], uma solu¸c˜ao exata para os limites superior e
inferior do m´odulo volum´etrico K e do m´odulo cisalhante µ. Esse modelo foi desenvolvido
sob a hip´otese de que uma matriz ´e preenchida por um conjunto de esferas, tal que a re-
sposta constitutiva macrosc´opica da mistura descrita anteriormente seja isotr´opica. Ent˜ao,
quando a micro-c´elula ´e caracterizada por uma mistura de dois constituintes (matriz e
inclus˜ao), os limites de Hashin-Shtrikman s˜ao dados por
K
HS
= K
m
+ f
i
1
K
i
− K
m
+
3f
m
3K
m
+ 4µ
m
−1
, (3.140)
µ
HS
= µ
m
+ f
i
1
µ
i
− µ
m
+
6f
m
(K
m
+ 2µ
m
)
5µ
m
(3K
m
+ 4µ
m
)
−1
, (3.141)
onde os sub-´ındices m e i denotam o parˆametro associado `a matriz ou inclus˜ao, respecti-
vamente. Os limites superiores e inferiores s˜ao obtidos das express˜oes anteriores intercam-
biando os ´ındices da matriz e inclus˜ao. Em particular, as fra¸c˜oes de volume satisfazem,
na ausˆencia de vazios, a rela¸c˜ao f
m
+ f
i
= 1.
113
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Figura 3.7: exemplo 2 - geometria do EVR.
De forma similar ao tratado no exemplo anterior para os limites de Voigt-Reuss,
uma vez que os parˆametros efetivos do meio s˜ao obtidos com as express˜oes (3.140) e
(3.141), os limites para o m´odulo de Young e o coeficiente de Poisson podem ser calcula-
dos empregando as rela¸c˜oes usuais da elasticidade linear mostradas na eq.(3.139). Cabe
mencionar ainda que para o caso particular do coeficiente de Poisson efetivo as observa¸c˜oes
feitas no exemplo anterior permanecem v´alidas para o presente estudo (veja Avserth et
al. (2005) [12] e Canuta (2006) [23]). Para caracterizar os materiais que comp˜oem a
matriz e as inclus˜oes, s˜ao utilizados os parˆametros el´asticos apresentados na Tabela 3.2.
Esses parˆametros foram obtidos de B¨ohm et al. (2002) [19], aonde os autores estudam a
resposta efetiva, em termos dos parˆametros el´asticos, de uma matriz met´alica refor¸cada
com inclus˜oes esf´ericas. Na discretiza¸c˜ao do dom´ınio de an´alise foram empregados 22400
elementos finitos triangulares lineares (3 n´os por elementos) distribu´ıdos uniformemente
no dom´ınio com um total de 11401 n´os.
E (GPa) ν σ
y
(MPa) σ
f
(MPa)
Matriz met´alica (A12618-T4) 70 0.30 184 −
Inclus˜oes de refor¸co (SiC) 450 0.17 − 1.0
Tabela 3.2: exemplo 2 - propriedades f´ısicas dos materiais.
Cabe mencionar que a resposta constitutiva macrosc´opica do EVR apresentado an-
teriormente pode n˜ao ser totalmente isotr´opica para alguma das fra¸c˜oes de volume de
inclus˜ao analisadas. Assim, para possibilitar a compara¸c˜ao desejada com o modelo te´orico,
os m´odulos volum´etrico efetivo K
e
e cisalhante efetivo µ
e
, associados `a modelagem consti-
tutiva multi-escala estudada nesta se¸c˜ao, s˜ao obtidos como a m´edia desses parˆametros efe-
tivos nas duas dire¸c˜oes ortogonais do sistema de coordenadas cartesiano, ou seja, admite-se
que a resposta constitutiva macrosc´opica possa ser levemente ortotr´opica. Ent˜ao, e em
vista do coment´ario anterior, na Fig.3.8 s˜ao apresentados os resultados obtidos para cada
modelo multi-escala e a compara¸c˜ao com os limites de Hashin-Shtrikman. Em particular,
no eixo das ordenadas est´a sendo desenhado a rela¸c˜ao entre o parˆametro efetivo e sua
contraparte el´astica associada ao material da matriz e no eixo das abscissas ´e colocada a
fra¸c˜ao de volume das inclus˜oes f
i
.
114
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Taylor
Linear
Periodico
Uniforme
Hashin-Shtrikman
(a) M´odulo de Young.
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Taylor
Linear
Periodico
Uniforme
Hashin-Shtrikman
(b) Coeficiente de Poisson.
Figura 3.8: exemplo 2 - resultados e compara¸c˜ao com os modelos te´oricos.
Observa-se ainda na Fig.3.8 que, para o valor efetivo do M´odulo de Young, existe uma
pequena diferen¸ca (no limite inferior) entre os resultados da modelagem constitutiva multi-
escala apresentada nesta se¸c˜ao e a estimativa calculada pelo modelo de Hashin-Shtrikman.
Essa diferen¸ca pode ser explicada pelo fato de que a resposta constitutiva macrosc´opica
do EVR n˜ao ´e totalmente isotr´opica, portanto a hip´otese sob a qual foi constru´ıdo o
modelo te´orico n˜ao ´e satisfeita num sentido estrito. Quanto ao limite superior, o resultado
obtido ´e o esperado, pois o modelo de Taylor gera a resposta mais r´ıgida poss´ıvel para
este tipo de material (veja na Se¸c˜ao 3.1.6 as caracter´ısticas do modelo baseado na regra
da mistura). Quanto `a resposta efetiva obtida para o coeficiente de Poisson, observa-se
que os modelos constitutivos multi-escala ultrapassam os limites te´oricos, pois a resposta
constitutiva macrosc´opica n˜ao ´e estritamente isotr´opica. Assim, as hip´oteses do modelo
te´orico n˜ao s˜ao totalmente satisfeitas, gerando, portanto, as discrepˆancias nos resultados
apresentados na Fig.3.8(b). Para uma discuss˜ao mais detalhada acerca do comportamento
e validade desta classe de modelos te´oricos na estimativa do coeficiente de Poisson efetivo
do meio, pode-se mencionar os livros de Markov (2000) [76], Avserth et al. (2005) [12] e
Canuta (2006) [23].
3.1.9.3 Exemplo 3
Na modelagem computacional do comportamento constitutivo de materiais, uma
das quest˜oes mais importante ´e a qualidade dos resultados num´ericos obtidos com uma
t´ecnica determinada. Assim, visando demonstrar as capacidades preditivas da mo delagem
constitutiva multi-escala empregada neste trabalho, agora se prop˜oe comparar os valores
do m´odulo de Young obtidos em experiˆencias de laborat´orio com a t´ecnica computacional
mencionada anteriormente. Portanto, ser˜ao utilizados como referˆencias os valores experi-
mentais apresentados por Pabst et al. (2005) [99] (Tabela 3.3), no qual os autores obtˆem em
laborat´orio o valor do m´odulo de Young efetivo de um material composto metal-cerˆamico
para v´arias fra¸c˜oes de volume de inclus˜oes cerˆamicas. Em particular, o material estudado
pelos autores em laborat´orio possui uma matriz densa de alumina (porosidade inferior a
3%) com inclus˜oes de zircˆonia.
Na simula¸c˜ao num´erica ser˜ao estudados trˆes EVRs quadrados de tamanho unit´arios
com diferentes quantidades e distribui¸c˜oes das inclus˜oes, para v´arias fra¸c˜oes de volume:
115
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
E (GPa) G (GPa) K (GPa) ρ (g cm
−3
)
Matriz met´alica (m) Alumina - Al
2
O
3
400 ± 2% 163 ± 1% 247 ± 1% 4.0 ± 1%
Inclus˜oes (i) Zirconia - Y
2
O
3
210 ± 4% 80 ± 2% 184 ± 2% 6.1 ± 0.6%
Tabela 3.3: exemplo 3 - propriedades f´ısicas dos constituintes do material composto.
Caso A: uma ´unica inclus˜ao centrada de raio r vari´avel (Fig.3.9(a)) no dom´ınio Ω
µ
,
discretizado com uma malha uniforme de elementos finitos triangulares lineares (3
n´os por elemento) com um total de 11730 n´os e 23058 elementos.
Caso B: 8 inclus˜oes de raio vari´avel r , distribu´ıdas de forma aleat´oria no dom´ınio Ω
µ
(Fig.3.9(b)), discretizado com uma malha de elementos finitos uniforme possuindo
22400 elementos triangulares lineares (3 n´os por elemento) e 11401 n´os.
Caso C: 31 inclus˜oes de raio r vari´avel, distribu´ıdas de forma aleat´oria no dom´ınio Ω
µ
(Fig.3.9(c)), discretizado com uma malha de elementos finitos uniforme possuindo
23722 elementos triangulares lineares (3 n´os por elemento) e 12062 n´os.
Na determina¸c˜ao do m´odulo de Young efetivo ser´a utilizado o mesmo procedimento
descrito no exemplo anterior, onde o valor do parˆametro efetivo E
e
´e obtido empregando o
desenvolvimento apresentado na Se¸c˜ao 3.1.7. Logo, na Fig.3.10 s˜ao mostrados os resultados
obtidos para os Casos A, B e C, e a compara¸c˜ao com os dados experimentais. Cabe
mencionar que para uma detalhada descri¸c˜ao do procedimento utilizado para mensurar o
parˆametro efetivo em laborat´orio o leitor se deve referir a Pabst et al. (2005) [99].
(a) Caso A. (b) Caso B. (c) Caso C.
Figura 3.9: exemplo 3 - geometrias dos EVRs estudados.
116
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Taylor
Linear
Periódico
Uniforme
Dadosexperimentais
(a) Caso A.
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Taylor
Linear
Periódico
Uniforme
Dadosexperimentais
(b) Caso B.
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Taylor
Linear
Periódico
Uniforme
Dadosexperimentais
(c) Caso C.
Figura 3.10: exemplo 3 - resultados e compara¸c˜ao com dados experimentais.
117
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Da compara¸c˜ao apresentada anteriormente na Fig.3.10, observa-se que os dados
experimentais est˜ao contidos dentro dos limites superior e inferior fornecidos pela mod-
elagem multi-escala adotada neste trabalho. Em particular, observa-se que o modelo de
deslocamento linear no contorno fornece a melhor aproxima¸c˜ao entre os diferentes mod-
elos constitutivos multi-escala e as medidas obtidas experimentalmente. Sendo assim, ´e
poss´ıvel afirmar que esta classe de modelos fornece uma estimativa adequada e ´util da re-
sposta constitutiva efetiva (macrosc´opica) de um material real, evidenciando a capacidade
preditiva dos modelos multi-escalas.
Observa¸c˜ao 31. Embora a diferen¸ca entre os diferentes modelos constitutivos multi-escala
seja apreci´avel, n˜ao existe uma varia¸c˜ao relativa importante dos resultados entre os dife-
rentes EVR analisados (Caso A, B e C). O que permite afirmar que a resposta constitutiva
macrosc´opica ´e mais sens´ıvel `a varia¸c˜ao da fra¸c˜ao de volume f
i
que da pr´opria distribui¸c˜ao
espacial das inclus˜oes; sempre que as inclus˜oes n˜ao estejam alinhadas numa dire¸c˜ao pref-
erencial, introduzindo uma ortotropia na resposta macrosc´opica da microc´elula.
3.1.9.4 Exemplo 4
Existem materiais compostos com propriedade macrosc´opicas muito particulares
como ´e o caso do coeficiente de Poisson negativo. Esse tipo de propriedade ´e obtido de
conforma¸c˜oes micro-estruturais muito complexas e tem sido objeto de muitas pesquisas na
´area da ciˆencia dos materiais, como pode ser visto, por exemplos, nos trabalhos pioneiros
de Almgreen (1985) [1], Lakes (1987a) [68], Lakes (1987b) [69] e Prall & Lakes (1997)
[102]. Cabe mencionar que cada um dos materiais constituintes dessas micro-estruturas
pode ser modelado atrav´es de materiais el´asticos e isotr´opicos (com coeficientes de Poisson
positivos), sendo que somente no n´ıvel macrosc´opico exibem essa caracter´ıstica particular.
Assim sendo, neste exemplo apresenta-se o estudo de uma micro-c´elula caracterizada p or
um quadrado unit´ario e constitu´ıda por uma matriz refor¸cada com uma inclus˜ao com
forma de estrela com cantos re-entrantes (Theocaris et al. (1997) [125]), como mostrado
nas Figs.3.11(a) e 3.11(b). O objetivo do estudo ´e mostrar a varia¸c˜ao do coeficiente de
Poisson efetivo (macrosc´opico) em rela¸c˜ao aos m´odulos de Young da matriz e da inclus˜ao,
respectivamente, para os modelos constitutivos multi-escala apresentados na Se¸c˜ao 3.1.7.
(a) Distribui¸c˜ao peri´odica do EVR. (b) Geometria do estudo.
Figura 3.11: exemplo 4 - geometria do EVR.
118
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
O estudo ´e conduzido para uma matriz cujo material ´e caracterizado por um m´odulo
de Young E
m
= 100.0 GPa e um coeficiente de Poisson ν
m
= 0.3. Para o material da
inclus˜ao – refor¸co do material composto – ser´a considerado um coeficiente de Poisson
ν
i
= 0.3 e diferentes valores para o m´odulo de Young, variando desde E
i
= 1.0 GPa at´e
E
i
= 1.0 × 10
5
GPa. O dom´ınio do EVR apresentado anteriormente foi discretizado com
22168 elementos finitos triangulares lineares (3 n´os por elemento) distribu´ıdos uniforme-
mente, gerando um total de 11285 n´os. Na determina¸c˜ao do coeficiente de Poisson efetivo
ν
e
foi utilizado o mesmo procedimento que nos exemplos anteriores, ou seja, partindo
do comportamento macrosc´opico, o coeficiente de Poisson efetivo ´e obtido utilizando as
rela¸c˜oes usuais da elasticidade linear. A varia¸c˜ao do referido valor efetivo ν
e
em rela¸c˜ao
ao cociente E
i
/E
m
´e apresentado na Fig.3.12.
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Taylor
Linear
Periódico
Uniforme
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,25
0,30
0,35
Figura 3.12: exemplo 4- resultados obtidos.
Observa-se, pelos resultados apresentados anteriormente, que o coeficiente de Poisson
macrosc´opico permanece positivo para uma rela¸c˜ao E
i
/E
m
< 50. Acima desse limite
esse parˆametro fica negativo para os modelos de flutua¸c˜ao peri´odica de deslocamento e
deslocamento linear no contorno do EVR. No entanto, para o modelo de tra¸c˜ao uniforme no
contorno, o valor de ν
e
´e sempre positivo, tendendo assintoticamente a um valor constante.
Para o modelo de Taylor (regra da mistura) o valor efetivo do coeficiente de Poisson ´e um
119
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
valor constante igual a 0.3. No caso do modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de deslocamento
no contorno do EVR, resultados similares aos mostrados na Fig.3.12 s˜ao encontrados na
literatura especializada, como pode ser visto em Theocaris et al. (1997) [125].
3.1.9.5 Exemplo 5
Os exemplos apresentados anteriormente foram desenvolvidos para mostrar diferen-
tes aspectos no uso da modelagem constitutiva multi-escala adotada neste trabalho. Mas,
em situa¸c˜oes mais gerais da modelagem computacional, nem sempre ´e poss´ıvel simular
o comportamento constitutivo de um material atrav´es de seus parˆametros efetivos. De
fato, necessita-se do tensor el´astico homogeneizado que representa a resposta constitu-
tiva macrosc´opica da micro-estrutura do material estudado. Por essa raz˜ao, neste ´ultimo
exemplo ser´a mostrado que atrav´es da modelagem constitutiva multi-escala adotada neste
trabalho ´e poss´ıvel obter o tensor el´astico homogeneizado C, que caracteriza a resposta
constitutiva macrosc´opica de uma dada micro-estrutura do EVR, necess´ario na modelagem
ao n´ıvel macrosc´opico do material estudado.
A micro-estrutura analisada ´e dada por um dom´ınio quadrado de dimens˜oes unit´arias
constitu´ıda por uma matriz na qual est˜ao inseridas uma inclus˜ao circular de raio r = 0.12,
centrada no ponto de coordenadas (0.19, 0.11), tomando como origem do sistema o canto
inferior esquerdo, e uma inclus˜ao el´ıptica centrada no ponto de coordenadas cartesianas
(0.69, 0.67), com o semi-eixo maior de comprimento a = 0.25 orientado na dire¸c˜ao hor-
izontal e o semi-eixo menor de comprimento b = 0.10, segundo mostrado na Fig.3.13.
Na simula¸c˜ao computacional foram utilizados para caracterizar os materiais da matriz e
inclus˜oes, os seguintes parˆametros: (i) m´odulo de Young: matriz: E
m
= 100.0 GPa, in-
clus˜oes: E
i
= 5.0 GPa; (ii) coeficiente de Poisson: matriz: ν
m
= 0.3, inclus˜oes ν
m
= 0.17.
Na resolu¸c˜ao num´erica foi utilizada uma malha de elementos finitos uniforme com 11816
n´os e 23230 elementos triangulares lineares (3 n´os por elemento). Os resultados s˜ao apre-
sentados na Fig.3.13.
Figura 3.13: exemplo 5 - geometria do EVR.
C
T
=
100.576 30.113 0
30.113 100.576 0
0 0 35.231
,
C
L
=
94.700 24.163 −0.154
24.163 78.698 −0.217
−0.154 −0.217 31.116
,
C
P
=
93.789 24.203 0.003
24.203 75.099 0.010
0.003 0.010 29.298
,
C
M
=
91.801 24.014 −0.033
24.014 65.520 0.564
−0.033 0.564 26.293
.
120
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
3.2 An´alise de sensibilidade topol´ogica
Como mencionado no in´ıcio do cap´ıtulo, para estabelecer a sensibilidade da resposta
constitutiva macrosc´opica em rela¸c˜ao a uma perturba¸c˜ao singular na micro-estrutura do
EVR ser˜ao utilizados os conceitos da an´alise de sensibilidade topol´ogica propostos, entre
outros, por Sokolowski &
˙
Zochowski (1999) [116], C´ea et al. (2000) [26] e Novotny et al.
(2003) [92]. Esta expans˜ao assint´otica topol´ogica fornece a sensibilidade de um funcional
de forma em rela¸c˜ao a uma perturba¸c˜ao infinitesimal, caracterizada por um parˆametro
ε, na topologia do dom´ınio de defini¸c˜ao do problema. O principal termo dessa expans˜ao
´e a chamada derivada topol´ogica, cujo c´alculo ´e uns dos principais objetivos deste tra-
balho. De fato, nesta se¸c˜ao ´e apresentado o desenvolvimento matem´atico e o c´alculo da
mencionada derivada topol´ogica para o modelo constitutivo multi-escala de elasticidade
linear em materiais com comportamento isotr´opico ao n´ıvel microsc´opico. Em particular,
objetiva-se obter a expans˜ao assint´otica topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico
quando ´e introduzida uma pequena inclus˜ao circular na micro-escala (representada pelo
EVR), ou seja, prop˜oe-se estudar a seguinte expans˜ao assint´otica
T
ε
· E = T · E +
1
V
µ
f (ε) D
T
ψ + o (f (ε)) . (3.142)
Sendo assim e lembrando que o EVR ´e representado por Ω
µ
= Ω
m
µ
∪Ω
i
µ
, inicialmente
´e introduzido um furo circular H
ε
de raio ε centrado no ponto arbitr´ario ˆy ∈ Ω
µ
da matriz;
em seguida, insere-se uma inclus˜ao I
ε
, com propriedades f´ısicas diferentes `as da matriz,
de modo a ocupar o vazio ora produzido. Logo, o dom´ınio topologicamente perturbado ´e
definido como Ω
µ
ε
=
Ω
µ
\H
ε
∪ I
ε
(ver Fig.3.14). Cabe ainda definir a normal unit´aria
ao contorno da inclus˜ao como n|
∂I
ε
:= −n.
y
^
x
^
e
n
y
^
Figura 3.14: micro-estrutura perturbada com uma inclus˜ao I
ε
.
Al´em do mais, o Princ´ıpio de Hill-Mandel de Macro-Homogeneidade estabelece que
a energia el´astica espec´ıfica macrosc´opica avaliada no ponto x ∈ Ω deve ser igual `a m´edia
volum´etrica da energia el´astica microsc´opica associada ao correspondente EVR, ou seja,
T · E =
1
V
µ
Ω
µ
T
µ
· E
µ
dV e T
ε
· E =
1
V
µ
Ω
µ
ε
T
µ
ε
· E
µ
ε
dV, (3.143)
onde de forma an´aloga ao apresentado na Se¸c˜ao 3.1, a tens˜ao microsc´opica T
µ
ε
associada
ao dom´ınio perturbado Ω
µ
ε
´e dada por,
T
µ
ε
= C
∗
µ
E
µ
ε
, (3.144)
121
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
sendo C
∗
µ
= C
∗
µ
(y) o tensor de elasticidade (de quarta ordem) tal que, para γ ∈
+
,
C
∗
µ
=
C
µ
∀y ∈ Ω
µ
\H
ε
γC
µ
∀y ∈ I
ε
. (3.145)
Al´em do mais, o deslocamento microsc´opico u
µ
ε
∈ K
µ
ε
:= {v ∈ K
µ
: [[v]] = 0 sobre ∂I
ε
},
associado ao dom´ınio perturbado Ω
µ
ε
, ´e decomposto aditivamente como
u
µ
ε
(y) = u (x) + ¯u (y) +
˜
u
µ
ε
(y) , (3.146)
sendo
˜
u
µ
ε
o campo de flutua¸c˜ao de deslocamento microsc´opico associado ao dom´ınio Ω
µ
ε
.
No entanto, assumindo a mesma cinem´atica apresentada em (3.7) para o campo de de-
forma¸c˜oes microsc´opicas E
µ
ε
e levando em conta as eqs.(3.144) e (3.146), os tensores
tens˜ao e deforma¸c˜ao microsc´opicas associadas ao dom´ınio perturbado e denotados respec-
tivamente por T
µ
ε
e E
µ
ε
, podem ser escritos como
E
µ
ε
= E +
˜
E
µ
ε
e T
µ
ε
=
¯
T
∗
µ
+
˜
T
µ
ε
, (3.147)
com
¯
T
∗
µ
denotando a tens˜ao microsc´opica induzida pela deforma¸c˜ao macrosc´opica E asso-
ciada `a micro-estrutura perturbada Ω
µ
ε
, ou seja,
¯
T
∗
µ
= C
∗
µ
E.
Em virtude da decomposi¸c˜ao aditiva para o campo de tens˜ao T
µ
ε
, apresentada em
(3.147)
2
, tem-se que o problema de equil´ıbrio no dom´ınio Ω
µ
ε
´e escrito como: encontre o
campo de flutua¸c˜ao de deslocamento microsc´opico
˜
u
µ
ε
∈
˜
K
µ
ε
, tal que
Ω
µ
ε
˜
T
µ
ε
· ∇
s
η
ε
dV = −
Ω
µ
ε
¯
T
∗
µ
· ∇
s
η
ε
dV ∀η
ε
∈ V
µ
ε
com
˜
T
µ
ε
= C
∗
µ
∇
s
˜
u
µ
ε
, (3.148)
sendo que os espa¸cos das flutua¸c˜oes e as varia¸c˜oes de deslocamento cinematicamente ad-
miss´ıveis, associados ao dom´ınio topologicamente p erturbado, s˜ao definidos como
˜
K
µ
ε
:=
v ∈
˜
K
µ
: [[v]] = 0 sobre ∂I
ε
e V
µ
ε
:= {ξ ∈ V
µ
: [[ξ]] = 0 sobre ∂I
ε
}. (3.149)
Assim, a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange associada ao problema variacional (3.148) re-
sulta no seguinte problema de valor no contorno: encontre
˜
u
µ
ε
, tal que
div
˜
T
µ
ε
= 0 em Ω
µ
\H
ε
div
˜
T
µ
ε
= 0 em I
ε
˜
T
µ
ε
= C
∗
µ
∇
s
˜
u
µ
ε
em Ω
µ
ε
∂Ω
µ
˜
u
µ
ε
⊗
s
ndS = 0
Ω
µ
ε
˜
u
µ
ε
dV = −E
Ω
µ
ε
ydV
[[
˜
u
µ
ε
]] = 0 sobre ∂Ω
i
µ
∪ ∂I
ε
[[
˜
T
µ
ε
]]n = −[[
¯
T
∗
µ
]]n sobre ∂Ω
i
µ
∪ ∂I
ε
. (3.150)
Observa¸c˜ao 32. Mais uma vez (veja Observa¸c˜ao 25, pag.93), a condi¸c˜ao (3.150)
4
est´a
naturalmente satisfeita pela escolha feita para o espa¸co V
µ
ε
, compat´ıvel com a escolha
122
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
para V
µ
. Al´em disso, desde que o termo do lado direito de (3.150)
7
tem m´edia nula, e
do Lema de Lax-Milgram, tem-se que existe uma ´unica solu¸c˜ao para o problema (3.148).
Finalmente, da coercividade do lado esquerdo de (3.46) e (3.148), tem-se que a seguinte
estimativa ´e satisfeita para o caso bi-dimensional analisado (veja Se¸c˜ao B.2 do apˆendice
B),
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
V
µ
ε
= O(ε). (3.151)
Introduzindo a seguinte nota¸c˜ao para a energia el´astica microsc´opica associada ao
dom´ınio perturbado Ω
µ
ε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
Ω
µ
ε
T
µ
ε
· E
µ
ε
dV, (3.152)
observa-se que a derivada do funcional J
Ω
µ
ε
em rela¸c˜ao a u
µ
ε
na dire¸c˜ao δ
˜
u
µ
ε
∈ V
µ
ε
,
onde δ
˜
u
µ
ε
´e definida como uma flutua¸c˜ao de deslocamento virtual microsc´opico, permite
estabelecer a seguinte condi¸c˜ao de m´ınima energia
∂J
Ω
µ
ε
∂u
µ
ε
, δ
˜
u
µ
ε
= 0 ∀δ
˜
u
µ
ε
∈ V
µ
ε
⇒
Ω
µ
ε
T
µ
ε
· ∇
s
δ
˜
u
µ
ε
dV = 0 ∀δ
˜
u
µ
ε
∈ V
µ
ε
.
(3.153)
Empregando a representa¸c˜ao do deslocamento u
µ
ε
dada pela eq.(3.146) e o conceito
da homogeneiza¸c˜ao do campo de tens˜ao, tem-se
Ω
µ
ε
T
µ
ε
· [∇
s
(δu
µ
ε
) − ∇
s
(δu)] dV =
Ω
µ
ε
T
µ
ε
· ∇
s
(δu
µ
ε
) dV − V
µ
T
ε
· E, (3.154)
substituindo o resultado acima na express˜ao (3.153), chega-se a
Ω
µ
ε
T
µ
ε
· ∇
s
(δu
µ
ε
) dV − V
µ
T
ε
· δE = 0
⇒ T
ε
· δE =
1
V
µ
Ω
µ
ε
T
µ
ε
· δE
µ
ε
dV. (3.155)
Observa¸c˜ao 33. Do resultado anterior segue que a m´ınima energia el´astica do EVR,
na sua configura¸c˜ao perturbada, est´a associada com a energia espec´ıfica virtual avaliada
no ponto material x. Sendo assim, a eq.(3.155) define o operador constitutivo pertur-
bado representado por T
ε
(x). Ent˜ao, a expans˜ao (3.142) fornece, de fato, a sensibilidade
topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico quando a microestrutura ´e perturbada de
forma n˜ao suave com a introdu¸c˜ao de uma inclus˜ao I
ε
.
3.2.1 Obten¸c˜ao da derivada topol´ogica
A fun¸c˜ao chamada de derivada topol´ogica ´e obtida a partir da an´alise assint´otica
de funcionais que dependem tanto expl´ıcita quanto implicitamente do dom´ınio Ω
µ
ε
, sendo
que essa ´ultima dependˆencia decorre do fato que a flutua¸c˜ao de deslocamento microsc´opico
˜
u
µ
ε
´e solu¸c˜ao do problema variacional associado ao EVR perturbado eq.(3.148). Este
fato conduz a alguns problemas t´ecnicos que vˆem sendo gradativamente resolvidos. De
fato, diversas metodologias de c´alculo da derivada topol´ogica tˆem sido apresentadas na
literatura, dentre outros podemos mencionar: material derivative method: Sokolowski &
123
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
˙
Zochowski (1999) [116], domain truncation method: Garreau et al. (2001) [40] e topological-
shape sensitivity method: Novotny et al. (2003) [92]. Em particular, dos m´etodos ora
citados para o c´alculo da derivada topol´ogica neste trabalho ser´a utilizado o proposto por
Novotny no seu trabalho de doutorado, Novotny (2003) [90], cuja express˜ao para a derivada
topol´ogica foi apresentada na se¸c˜ao introdut´oria deste trabalho na eq.(1.4). Atrav´es dessa
abordagem, a an´alise de sensibilidade `a mudan¸ca de forma deve ser desenvolvida para
o caso particular em que a perturba¸c˜ao singular sofre uma expans˜ao uniforme. Nesse
contexto, pode-se definir um campo de velocidade de mudan¸ca de forma suficientemente
regular v ∈ Ω
µ
ε
, com a caracter´ıstica particular de ser nulo no contorno exterior do
dom´ınio da matriz, v = 0 sobre ∂Ω
m
µ
, e possuir, no contorno da perturba¸c˜ao singular,
uma dire¸c˜ao contr´aria ao vetor normal definido nesse contorno, ou seja, v = −n sobre
∂I
ε
. Em seguida, na Proposi¸c˜ao 3, ´e apresentado o c´alculo da derivada do funcional de
forma J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
), definido na eq.(3.152), em rela¸c˜ao ao parˆametro ε.
Proposi¸c˜ao 3. Seja J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) o funcional definido em (3.152). Ent˜ao, a derivada do
funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) com rela¸c˜ao ao parˆametro ε ´e dada por
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
Ω
µ
ε
Σ
µ
ε
· ∇vdV, (3.156)
onde v ´e o campo de velocidade de mudan¸ca de forma definido em Ω
µ
ε
e Σ
µ
ε
denota a
generaliza¸c˜ao do cl´assico tensor momento-energia de Eshelby (1975) [35] no EVR, que
neste caso em particular ´e dado por:
Σ
µ
ε
= (T
µ
ε
· E
µ
ε
)I−2(∇
˜
u
µ
ε
)
T
T
µ
ε
. (3.157)
Prova. Do teorema de transporte de Reynolds e da defini¸c˜ao (3.152) para o funcional
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
), obtemos a seguinte identidade
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
Ω
µ
ε
d
dε
(T
µ
ε
· E
µ
ε
) + T
µ
ε
· E
µ
ε
divv
dV. (3.158)
Empregando o conceito de derivada material de campos espaciais, Gurtin (1981) [49], ´e
poss´ıvel calcular o primeiro termo da integral acima, que fica dado por:
d
dε
(T
µ
ε
· E
µ
ε
) = 2T
µ
ε
·
˙
E
µ
ε
, (3.159)
onde
·
(·) denota a derivada material (total) do campo (·) com rela¸c˜ao ao parˆametro ε.
Utilizando a decomposi¸c˜ao aditiva do campo de deslocamento u
µ
ε
, dada pela eq.(3.146),
a derivada material da deforma¸c˜ao no EVR ´e obtida da seguinte forma,
E
µ
ε
= E +
˜
E
µ
ε
⇒
˙
E
µ
ε
=
˙
˜
E
µ
ε
= ∇
s
˙
˜
u
µ
ε
− (∇
˜
u
µ
ε
∇v)
s
, (3.160)
e introduzindo o resultado anterior na express˜ao (3.159), tem-se que
d
dε
(T
µ
ε
· E
µ
ε
) = 2T
µ
ε
· ∇
s
˙
˜
u
µ
ε
− 2T
µ
ε
· (∇
˜
u
µ
ε
∇v)
s
. (3.161)
124
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Substituindo o resultado (3.161) em (3.158) e empregando a defini¸c˜ao do divv = I · ∇v,
tem-se que a derivada do funciona J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) pode ser escrita como
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
Ω
µ
ε
2T
µ
ε
· ∇
s
˙
˜
u
µ
ε
− 2T
µ
ε
· (∇
˜
u
µ
ε
∇v)
s
+ (T
µ
ε
· E
µ
ε
)I · ∇v
dV.
(3.162)
No entanto, observa-se que da defini¸c˜ao do espa¸co das varia¸c˜oes cinematicamente ad-
miss´ıveis para as flutua¸c˜oes de deslocamento, tem-se que
˙
˜
u
µ
ε
∈ V
µ
ε
. Assim, o primeiro
termo da integral acima satisfaz a equa¸c˜ao de estado (3.148), ou seja,
Ω
µ
ε
T
µ
ε
· ∇
s
˙
˜
u
µ
ε
dV = 0 ∀
˙
˜
u
µ
ε
∈ V
µ
ε
. (3.163)
Finalmente a derivada do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) em rela¸c˜ao ao parˆametro ε ´e dada por,
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
Ω
µ
ε
[(T
µ
ε
· E
µ
ε
)I−2(∇
˜
u
µ
ε
)
T
T
µ
ε
] · ∇vdV, (3.164)
onde ´e poss´ıvel identificar o tensor Σ
µ
ε
dado por (3.157).
Proposi¸c˜ao 4. Seja J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) o funcional definido em (3.152). Ent˜ao, a derivada do
funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) com rela¸c˜ao ao parˆametro ε pode ser escrita como
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
∂Ω
µ
Σ
µ
ε
n · vdS +
∂Ω
i
µ
[[Σ
µ
ε
]]n · vdS +
∂I
ε
[[Σ
µ
ε
]]n · vdS, (3.165)
sendo v o campo de velocidade de mudan¸ca de forma e Σ
µ
ε
o tensor definido na eq.(3.157).
Prova. Calculando a derivada do funcional J
Ω
µ
ε
com rela¸c˜ao ao parˆametro pequeno ε
usando a vers˜ao do teorema de transporte de Reynols escrita em termos de integrais de
contorno, tem-se que a sensibilidade `a mudan¸ca de forma do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
), pode
ser obtida como
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
Ω
µ
ε
∂
∂ε
(T
µ
ε
· E
µ
ε
) dV +
∂Ω
µ
(T
µ
ε
· E
µ
ε
) n · vdS
+
∂Ω
i
µ
[[T
µ
ε
· E
µ
ε
]]n · vdS +
∂I
ε
[[T
µ
ε
· E
µ
ε
]]n · vdS. (3.166)
Empregando os conceitos da derivada espacial e levando em conta a eq.(3.144), tem-se que
o primeiro termo da express˜ao acima pode ser escrito como
∂
∂ε
(T
µ
ε
· E
µ
ε
) = 2T
µ
ε
· E
µ
ε
, (3.167)
onde (·)
denota a derivada espacial (parcial) do campo (·) em rela¸c˜ao ao parˆametro ε.
Utilizando a decomposi¸c˜ao aditiva do campo de deslocamento u
µ
ε
, a derivada espacial da
deforma¸c˜ao microsc´opica no EVR ´e dada por,
E
µ
ε
=
˜
E
µ
ε
= ∇
s
˜
u
µ
ε
= ∇
s
(
˙
˜
u
µ
ε
− ∇
˜
u
µ
ε
v). (3.168)
125
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Introduzindo o resultado anterior na express˜ao (3.167), tem-se que
∂
∂ε
(T
µ
ε
· E
µ
ε
) = 2T
µ
ε
· ∇
s
˙
˜
u
µ
ε
− 2T
µ
ε
· ∇
s
(∇
˜
u
µ
ε
v). (3.169)
Com o resultado anterior, a sensibilidade do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) fica da seguinte maneira
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
Ω
µ
ε
2T
µ
ε
· ∇
s
˙
˜
u
µ
ε
− 2T
µ
ε
· ∇
s
(∇
˜
u
µ
ε
v)
dV +
∂Ω
µ
(T
µ
ε
· E
µ
ε
) n · vdS
+
∂Ω
i
µ
[[T
µ
ε
· E
µ
ε
]]n · vdS +
∂I
ε
[[T
µ
ε
· E
µ
ε
]]n · vdS. (3.170)
Observa-se, no entanto que
˙
˜
u
µ
ε
∈ V
µ
ε
. Assim, o primeiro termo da integral acima satisfaz
a equa¸c˜ao de estado (3.148), ou seja,
Ω
µ
ε
T
µ
ε
· ∇
s
˙
˜
u
µ
ε
dV = 0 ∀
˙
˜
u
µ
ε
∈ V
µ
ε
. (3.171)
Logo, a derivada do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) em rela¸c˜ao ao parˆametro ε ´e dada por,
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) = −2
Ω
µ
ε
T
µ
ε
· ∇
s
(∇˜u
µ
ε
v)dV +
∂Ω
µ
(T
µ
ε
· E
µ
ε
) n · vdS
+
∂Ω
i
µ
[[T
µ
ε
· E
µ
ε
]]n · vdS +
∂I
ε
[[T
µ
ε
· E
µ
ε
]]n · vdS. (3.172)
Introduzindo a rela¸c˜ao tensorial
div
T
T
µ
ε
∇
˜
u
µ
ε
v
= T
µ
ε
· ∇
s
(∇
˜
u
µ
ε
v) + divT
µ
ε
· ∇
˜
u
µ
ε
v, (3.173)
e empregando o teorema da divergˆencia, a sensibilidade do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) fica
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) = 2
Ω
µ
ε
divT
µ
ε
· ∇
˜
u
µ
ε
vdV +
∂Ω
µ
(T
µ
ε
· E
µ
ε
)I − 2(∇
˜
u
µ
ε
)
T
T
µ
ε
n · vdS
+
∂Ω
i
µ
[[(T
µ
ε
· E
µ
ε
)I − 2(∇
˜
u
µ
ε
)
T
T
µ
ε
]]n · vdS
+
∂I
ε
[[(T
µ
ε
· E
µ
ε
)I − 2(∇
˜
u
µ
ε
)
T
T
µ
ε
]]n · vdS. (3.174)
Finalmente, uma vez que o campo de tens˜ao T
µ
ε
est´a em equil´ıbrio no EVR, da equa¸c˜ao
de Euler-Lagrange (3.150), observa-se que divT
µ
ε
= 0 no dom´ınio Ω
µ
ε
, assim a express˜ao
acima pode ser escrita como:
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
∂Ω
µ
(T
µ
ε
· E
µ
ε
)I − 2(∇
˜
u
µ
ε
)
T
T
µ
ε
n · vdS
+
∂Ω
i
µ
[[(T
µ
ε
· E
µ
ε
)I − 2(∇
˜
u
µ
ε
)
T
T
µ
ε
]]n · vdS
+
∂I
ε
[[(T
µ
ε
· E
µ
ε
)I − 2(∇
˜
u
µ
ε
)
T
T
µ
ε
]]n · vdS, (3.175)
onde ´e poss´ıvel novamente identificar o tensor Σ
µ
ε
dado por (3.157).
126
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Corol´ario 1. Empregando o teorema de divergˆencia, a express˜ao (3.156) pode ser escrita
da seguinte forma
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) =
∂Ω
µ
Σ
µ
ε
n · vdS +
∂Ω
i
µ
[[Σ
µ
ε
]]n · vdS +
∂I
ε
[[Σ
µ
ε
]]n · vdS
−
Ω
µ
ε
divΣ
µ
ε
· vdV. (3.176)
Mas, desde que as express˜oes da sensibilidade do funcional J
Ω
µ
ε
, eqs.(3.165) e (3.176),
s˜ao equivalentes para todo campo de velocidade de mudan¸ca de forma v em Ω
µ
ε
, conclui-se
que
Ω
µ
ε
divΣ
µ
ε
· vdV = 0 ∀v ∈ Ω
µ
ε
⇒ divΣ
µ
ε
= 0 em Ω
µ
ε
, (3.177)
ou seja, o campo tensorial de Eshelby Σ
µ
ε
possui divergˆencia nula no dom´ınio Ω
µ
ε
.
Finalmente, introduzindo a defini¸c˜ao do campo de velocidade de mudan¸ca de forma
v em (3.176), a derivada do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) em rela¸c˜ao ao parˆametro ε ´e dada por:
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) = −
∂I
ε
[[Σ
µ
ε
]]n · ndS. (3.178)
Desse ´ultimo resultado observa-se que a an´alise de sensibilidade `a mudan¸ca de forma,
em rela¸c˜ao a uma expans˜ao uniforme da inclus˜ao I
ε
, do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) depende
apenas do salto do fluxo normal do tensor de Eshelby atrav´es do contorno da perturba¸c˜ao
∂I
ε
.
Observa¸c˜ao 34. Dentre os modelos constitutivos multi-escala apresentados na se¸c˜ao ante-
rior, tem-se que no modelo de Taylor o espa¸co das varia¸c˜oes cinematicamente admiss´ıveis
V
µ
´e o espa¸co nulo. Conseq¨uentemente, as flutua¸c˜oes de deslocamento microsc´opico s˜ao
nulas, ou seja,
V
µ
ε
= V
T
µ
ε
= {0} ⇒
˜
u
µ
ε
= 0 ⇒ E
µ
ε
= E (x) . (3.179)
Do resultado anterior segue que a deforma¸c˜ao microsc´opica ´e uniforme no dom´ınio Ω
µ
ε
.
Portanto, introduzindo a restri¸c˜ao anterior na defini¸c˜ao (3.157) do tensor momento-
energia generalizado de Eshelby, tem-se
Σ
µ
ε
= (
¯
T
∗
µ
· E)I. (3.180)
Com esse resultado e a express˜ao (3.178), a derivada do funcional J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) em rela¸c˜ao
ao parˆametro ε ´e dada, simplesmente, por
d
dε
J
Ω
µ
ε
(u
µ
ε
) = −
∂I
ε
[[
¯
T
∗
µ
· E]]n · ndS
= −2πε(1 − γ)(
¯
T
µ
· E). (3.181)
Substituindo os resultados anteriores na defini¸c˜ao da derivada topol´ogica e identificando a
fun¸c˜ao f(ε) como a medida da perturba¸c˜ao I
ε
,
f(ε) = πε
2
, (3.182)
127
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
a derivada topol´ogica associada ao modelo de Taylor ´e obtida trivialmente como
D
T
T
ψ = −(1 − γ)
¯
T
µ
· E. (3.183)
Contrariamente ao apresentado na observa¸c˜ao anterior, nos outros modelos con-
stitutivos multi-escala o espa¸co das varia¸c˜oes cinematicamente admiss´ıveis ´e n˜ao trivial.
Necessita-se, portanto, levar em conta que o campo de flutua¸c˜oes de deslocamento
˜
u
µ
ε
´e solu¸c˜ao do problema variacional (3.148). Assim, para obter uma forma expl´ıcita do
integrando da express˜ao (3.178) considera-se agora um sistema de coordenadas curvil´ıneo
n–t definido no contorno ∂I
ε
, caracterizado pelos vetores ortonormais n e t. Com esse
sistema ´e poss´ıvel decompor o tensor tens˜ao T
µ
ε
(u
µ
ε
) e o tensor deforma¸c˜ao E
µ
ε
(u
µ
ε
) no
contorno ∂I
ε
como segue
T
µ
ε
|
∂I
ε
= T
nn
µ
ε
(n ⊗ n) + T
nt
µ
ε
(n ⊗ t) + T
tn
µ
ε
(t ⊗ n) + T
tt
µ
ε
(t ⊗ t) ,
E
µ
ε
|
∂I
ε
= E
nn
µ
ε
(n ⊗ n) + E
nt
µ
ε
(n ⊗ t) + E
tn
µ
ε
(t ⊗ n) + E
tt
µ
ε
(t ⊗ t) .
(3.184)
Entretanto, observa-se que da condi¸c˜ao de Neumann no contorno da inclus˜ao ∂I
ε
,
eq. (3.150)
7
, tem-se que
[[
˜
T
µ
ε
]]n|
∂I
ε
= −[[
¯
T
∗
µ
]]n ⇒ [[T
µ
ε
]]n|
∂I
ε
= 0, (3.185)
de modo que com a decomposi¸c˜ao (3.184)
1
obt´em-se as seguintes rela¸c˜oes de continuidade
para as componentes do tensor T
µ
ε
|
∂I
ε
[[T
µ
ε
]]n|
∂I
ε
= [[T
nn
µ
ε
]]n + [[T
tn
µ
ε
]]t = 0 ⇒ T
nn
µ
ε
|
m
= T
nn
µ
ε
|
i
e T
tn
µ
ε
|
m
= T
tn
µ
ε
|
i
sobre ∂I
ε
.
(3.186)
Da mesma forma que na eq.(3.184) o campo de flutua¸c˜ao de deslocamento
˜
u
µ
ε
admite
a seguinte decomposi¸c˜ao no contorno da inclus˜ao ∂I
ε
˜
u
µ
ε
|
∂I
ε
= ˜u
n
µ
ε
n + ˜u
t
µ
ε
t. (3.187)
Portanto, a condi¸c˜ao de continuidade (3.150)
6
implica em
[[
˜
u
µ
ε
]] = 0 ⇒
∂
˜
u
µ
ε
∂t
m
=
∂
˜
u
µ
ε
∂t
i
sobre ∂I
ε
. (3.188)
Alternativamente, a condi¸c˜ao acima pode ser escrita em termos das componentes,
na base n–t, do tensor flutua¸c˜ao de deforma¸c˜ao microsc´opica
˜
E
µ
ε
, como segue
˜
E
tt
µ
ε
|
m
=
˜
E
tt
µ
ε
|
i
, (3.189)
mas, observa-se ainda que, da decomposi¸c˜ao aditiva do campo de deforma¸c˜ao microsc´opica
E
µ
ε
, eq. (3.147)
1
, tem-se
E
tt
µ
ε
|
m
= E
tt
µ
ε
|
i
. (3.190)
Levando em conta as decomposi¸c˜oes (3.184) e (3.187) e as condi¸c˜oes de continuidade
mostradas nas eqs.(3.186), (3.188) e (3.190), o salto do fluxo normal do tensor de Eshelby
128
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
atrav´es do contorno da inclus˜ao ∂I
ε
, pode ser escrito como
[[Σ
µ
ε
]]n · n =
T
tt
µ
ε
E
tt
µ
ε
|
i
−
˜
E
nn
µ
ε
T
nn
µ
ε
|
i
−
∂˜u
t
µ
ε
∂n
T
tn
µ
ε
|
i
. (3.191)
Por outro lado, observa-se que empregando a rela¸c˜ao constitutiva (3.144) e levando
em conta que o salto da tens˜ao induzida no contorno da perturba¸c˜ao ´e dado trivialmente
por
¯
T
∗
µ
= (1 −γ)
¯
T
µ
, os termos associados ao operador de salto na direita da express˜ao
acima satisfazem
T
tt
µ
ε
=
1 − γ
γ
T
tt
µ
ε
|
i
− νT
nn
µ
ε
|
i
, (3.192)
˜
E
nn
µ
ε
= −
1 − ν
2
E
1 − γ
γ
T
nn
µ
ε
|
i
, (3.193)
∂˜u
t
µ
ε
∂n
= −2
1 + ν
E
1 − γ
γ
T
tn
µ
ε
|
i
. (3.194)
Introduzindo, portanto, os resultados mostrados acima e levando em conta (3.147)
2
junto com (3.144), o salto do fluxo normal do tensor de Eshelby atrav´es do contorno da
perturba¸c˜ao, ∂I
ε
, pode ser escrito em termos da solu¸c˜ao no interior da perturba¸c˜ao I
ε
da
seguinte maneira
[[Σ
µ
ε
]]n · n =
1 − γ
γ
2
E
T
tt
µ
ε
|
i
− νT
nn
µ
ε
|
i
2
+ γ(1 − ν
2
)T
nn
µ
ε
|
2
i
+ 2γ(1 + ν)T
tn
µ
ε
|
2
i
. (3.195)
Para resolver a integral no contorno da perturba¸c˜ao ∂I
ε
´e necess´ario conhecer o
comportamento do campo de tens˜ao microsc´opica no interior da perturba¸c˜ao T
µ
ε
|
i
em
rela¸c˜ao ao parˆametro ε. Ent˜ao, empregando a an´alise assint´otica cl´assica a distribui¸c˜ao
do campo de tens˜ao microsc´opica no contorno da perturba¸c˜ao I
ε
(segundo mostrado na
Se¸c˜ao A.2 do Apˆendice A) ´e escrita da seguinte forma
T
µ
ε
|
∂I
ε
= L
¯
T
µ
+ S
˜
T
µ
+ O(ε), (3.196)
com O(ε) denotando os termos maior ordem em ε, tal que O(ε) → 0 quando ε → 0, e L e
S denotam os tensores sim´etricos e isotr´opicos de quarta ordem dados por
L =
γ(1 − γ)
1 + αγ
1 + α
1 − γ
I +
β − α
2(1 + βγ)
(I ⊗ I)
, (3.197)
S =
γ
(1 + αγ)(1 + ν)
4I +
β(1 + αγ)
1 + βγ
− 2
(I ⊗ I)
, (3.198)
sendo que as constantes α e β s˜ao definidas como
β :=
1 + ν
1 − ν
e α :=
3 − ν
1 + ν
. (3.199)
Com a distribui¸c˜ao de tens˜oes no contorno da inclus˜ao, mostradas na eq.(3.196),
´e poss´ıvel calcular a derivada topol´ogica avaliando analiticamente a integral de contorno
(3.178). De fato:
∂I
ε
[[Σ
µ
ε
]]n · ndS =
2πε
E
1 − γ
1 + αγ
4T
µ
· T
µ
+
γ(α − 2β) − 1
1 + βγ
(trT
µ
)
2
+ o(ε). (3.200)
129
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Substituindo o resultado obtido anteriormente na defini¸c˜ao alternativa de derivada
topol´ogica, mostrada na eq.(1.4), pode-se identificar a fun¸c˜ao f(ε) da mesma forma que
em (3.182). De fato,
f (ε) = πε
2
⇒ f
(ε) = 2 πε. (3.201)
Finalmente, tomando o limite ε → 0, a derivada topol´ogica resulta em uma fun¸c˜ao
escalar que depende apenas da solu¸c˜ao u
µ
associada ao dom´ınio original Ω
µ
(n˜ao pertur-
bado), ou seja,
D
T
ψ(ˆy) = −HT
µ
· T
µ
∀ˆy ∈ Ω
µ
, (3.202)
onde o tensor sim´etrico e isotr´opico de quarta ordem H ´e definido como
H :=
1
E
1 − γ
1 + αγ
4I +
γ(α − 2β) − 1
1 + βγ
(I ⊗ I)
. (3.203)
Observa¸c˜ao 35. Como era esperado, a express˜ao final da derivada topol´ogica para mod-
elos constitutivos multi-escala (3.202) coincide com o resultado cl´assico associado ao pro-
blema de elasticidade bidimensional para quando a perturba¸c˜ao ´e caracterizada por uma
inclus˜ao circular, Giusti et al. (2008) [45]. No entanto, ser´a mostrado mais adiante que
atrav´es da eq.(3.202) ´e poss´ıvel identificar um tensor de quarta ordem que representa a
sensibilidade topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico quando ´e introduzido uma
pequena inclus˜ao circular no EVR.
Como mencionado no in´ıcio deste trabalho, a derivada topol´ogica fornece a sensi-
bilidade do problema ao introduzir uma perturba¸c˜ao n˜ao suave no dom´ınio de an´alise
quando ε → 0. Visando, portanto, corroborar numericamente o resultado (3.202) obtido
analiticamente, define-se a fun¸c˜ao d
T
ψ
ε
como
d
T
ψ
ε
:=
ψ (ε) − ψ (0)
f (ε)
⇒ lim
ε→0
d
T
ψ
ε
= D
T
ψ. (3.204)
Se para um dado EVR calcula-se as fun¸c˜oes ψ (0) e ψ (ε) para uma seq¨uˆencia de in-
clus˜oes de raios ε decrescentes, a utiliza¸c˜ao da f´ormula (3.204)
1
fornecer´a uma aproxima¸c˜ao
assint´otica para o valor anal´ıtico da derivada topol´ogica (3.202). Os valores da fun¸c˜ao ψ s˜ao
computados numericamente empregando o m´etodo dos elementos finitos para a resolu¸c˜ao
do problema de elasticidade linear, no contexto da modelagem constitutiva multi-escala,
mostrado na Se¸c˜ao 3.1.8.1. O EVR utilizado para o desenvolvimento desta verifica¸c˜ao
num´erica est´a caracterizado por uma matriz quadrada de dimens˜oes unit´arias, com uma
inclus˜ao circular de raio 0.1 centrada no ponto (0.35, 0.75) – com a origem do sistema de
coordenadas cartesianas localizada no canto inferior esquerdo do EVR, ver Fig.3.15(a). O
estudo ´e feito introduzindo uma perturba¸c˜ao circular, com propriedades f´ısicas similares
`a da inclus˜ao preexistente, centrada em ˆy = (0.5, 0.5) e com o raio ε vari´avel dado por
ε ∈ { 0.005, 0.010, 0.020, 0.040, 0.080, 0.160}. (3.205)
A discretiza¸c˜ao do dom´ınio de an´alise ´e feita utilizando elementos finitos triangulares
isoparam´etricos quadr´aticos. A malha de elementos finitos foi gerada com a seguinte regra:
130
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Contorno exterior: 20 elementos em cada linha.
Inclus˜ao (centrada em (0.35, 0.75)): 30 elementos no contorno.
Perturba¸c˜oes (centradas em (0.5, 0.5)): 60 elementos em cada contorno.
Gerando um total de 13353 n´os e 6636 elementos, como mostrado na Fig.3.15(b).
y
^
e
(a) Dom´ınio. (b) Malha.
Figura 3.15: verifica¸c˜ao num´erica - EVR e malha de elementos finitos.
Baseado no conceito de modelagem constitutiva multi-escala, o EVR mostrado an-
teriormente representa a microestrutura do ponto material x da macro-escala. Assim,
para o desenvolvimento do estudo foi admitido que o mencionado ponto tem associado a
seguinte deforma¸c˜ao macrosc´opica,
E =
1.00 0.05
0.05 2.00
. (3.206)
Na defini¸c˜ao dos materiais que caracterizam a matriz, inclus˜ao preexistente e per-
turba¸c˜ao, foram estudadas duas situa¸c˜oes para diferentes valores do coeficiente de Poisson,
com um contraste γ = 0.10 no m´odulo de Young:
Caso A: E
m
= 50.0, ν
m
= 1/3, E
i
= 5.0 e ν
i
= 1/3.
Caso B: E
m
= 50.0, ν
m
= 1/5, E
i
= 5.0 e ν
i
= 1/5.
Em cada um dos casos apresentados anteriormente, a verifica¸c˜ao num´erica desen-
volvida atende aos seguintes modelos constitutivos multi-escala:
(a) Modelo de deslo camento linear no contorno (Se¸c˜ao 3.1.6.2);
(b) Modelo de flutua¸c˜ao de deslocamento peri´odica no contorno (Se¸c˜ao 3.1.6.3);
(c) Modelo de tra¸c˜ao uniforme no contorno (Se¸c˜ao 3.1.6.4).
O modelo de Taylor (ou da regra da mistura) da Se¸c˜ao 3.1.6.1, possui solu¸c˜ao trivial,
n˜ao sendo, portanto, considerado na an´alise. Os resultados da an´alise detalhada anteri-
ormente s˜ao apresentados na Fig.3.16, na qual ´e mostrado o valor anal´ıtico da derivada
131
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
topol´ogica D
T
ψ(ˆy) e a aproxima¸c˜ao num´erica d
T
ψ
ε
para cada valor de ε em cada modelo
constitutivo multi-escala considerado. A convergˆencia da derivada topol´ogica num´erica
para o correspondente valor anal´ıtico ´e ´obvia em todos os casos analisados.
690,0
695,0
700,0
705,0
710,0
715,0
720,0
0 25 50 75 100 125 150 175 200
(a) Caso A.
536,0
538,0
540,0
542,0
544,0
546,0
548,0
550,0
552,0
0 25 50 75 100 125 150 175 200
(b) Caso B.
Figura 3.16: verifica¸c˜ao de convergˆencia da derivada topol´ogica num´erica.
Observa¸c˜ao 36. Da Fig.3.16 observa-se claramente que cada um dos modelos consti-
tutivos multi-escala estudados apresenta uma ass´ıntota D
T
ψ pr´opria, associada com as
diferentes propriedades dos materiais utilizados na simula¸c˜ao (Caso A e Caso B).
3.2.2 Interpreta¸c˜ao dos resultados
A seguir ser´a apresentada a metodologia de an´alise para obter a partir da forma es-
calar da derivada topol´ogica calculada na se¸c˜ao anterior, a expans˜ao assint´otica topol´ogica
do operador constitutivo macrosc´opico. Cabe lembrar que a mencionada expans˜ao consti-
tui uns dos principais resultados deste trabalho. Levando em conta, portanto, o resultado
132
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
da an´alise assint´otica topol´ogica apresentada na anteriormente na eq.(3.202), a expans˜ao
assint´otica (3.142) pode ser escrita explicitamente como
T
ε
· E = T · E − v(ε)HT
µ
· T
µ
+ o(v(ε)), (3.207)
onde v(ε) = πε
2
/V
µ
´e a fra¸c˜ao de volume da inclus˜ao I
ε
.
Empregando argumentos similares aos utilizados na Se¸c˜ao 3.1.7, ou seja, a partir das
eqs.(3.90) e (3.91), a deforma¸c˜ao microsc´opica E
µ
pode ser escrita como uma combina¸c˜ao
linear das componentes da deforma¸c˜ao macrosc´opica da seguinte forma,
E
µ
= (E)
ij
e
i
⊗ e
j
+
˜
E
µ
ij
= (E)
ij
E
µ
ij
⇒ E
µ
ij
:= e
i
⊗ e
j
+ ∇
s
˜
u
µ
ij
, (3.208)
lembrando que as fun¸c˜oes
˜
u
µ
ij
s˜ao as solu¸c˜oes do conjunto de problemas variacionais
(3.93). Empregando o resultado mostrado acima ´e poss´ıvel escrever a tens˜ao microsc´opica
T
µ
como
T
µ
= (E)
ij
C
µ
E
µ
ij
= (T
µ
ij
⊗ e
i
⊗ e
j
)E, (3.209)
com T
µ
ij
denotando o tensor tens˜ao microsc´opica associada a cada flutua¸c˜ao de desloca-
mento microsc´opico
˜
u
µ
ij
. Sendo assim, a derivada topol´ogica D
T
ψ pode ser reescrita da
seguinte forma,
D
T
ψ = −D
T µ
E · E, (3.210)
onde D
T µ
´e um tensor sim´etrico de quarta ordem, cujas componentes s˜ao dadas por,
D
T µ
= HT
µ
ij
· T
µ
kl
(e
i
⊗ e
j
⊗ e
k
⊗ e
l
). (3.211)
No entanto, sendo que foi assumida uma rela¸c˜ao constitutiva linear para a tens˜ao
da macro-escala, tem-se que
T = CE e T
ε
= C
ε
E, (3.212)
onde C e C
ε
denotam os tensores constitutivos homogeneizados associados aos dom´ınios
Ω
µ
e Ω
µ
ε
, respectivamente. Introduzindo a express˜ao da derivada topol´ogica (3.210) em
(3.207) e rearranjando os termos, tem-se que a expans˜ao assint´otica topol´ogica do tensor
constitutivo macrosc´opico pode ser escrita como
C
ε
= C − v(ε)D
T µ
+ o(v(ε)). (3.213)
Observa¸c˜ao 37. A derivada topol´ogica D
T
ψ, dada por um campo escalar definido no EVR
n˜ao perturbado, depende da deforma¸c˜ao macrosc´opica atrav´es da fun¸c˜ao u
µ
= u+Ey+
˜
u
µ
,
sendo
˜
u
µ
solu¸c˜ao do problema variacional (3.46). Por outro lado, do resultado (3.213)
observa-se que o conceito da derivada topol´ogica no contexto de modelagem constitutiva
multi-escala resulta em um campo tensorial D
T
µ
, que representa a sensibilidade topol´ogica
do operador constitutivo macrosc´opico, cujas componentes s˜ao dadas pela tens˜ao asso-
ciada `as solu¸c˜oes do conjunto de equa¸c˜oes variacionais (3.93) no dom´ınio original n˜ao
perturbado. Al´em do mais, referidos problemas variacionais n˜ao dependem da deforma¸c˜ao
macrosc´opica.
133
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Observa¸c˜ao 38. O tensor derivada topol´ogica D
T µ
, apresentado na eq.(3.211), possui
uma dependˆencia expl´ıcita com o contraste γ, atrav´es do tensor H, o que permite analisar
os casos limites para esse parˆametro, quais sejam: (i) no primeiro caso tem-se que a
inclus˜ao degenera para um vazio (γ → 0), e (ii) no outro extremo (γ → ∞) a perturba¸c˜ao
torna-se uma inclus˜ao r´ıgida. As express˜oes do tensor D
T µ
para os dois casos mencionados
anteriormente s˜ao:
furo (γ → 0):
D
T µ
= HT
µ
ij
· T
µ
kl
(e
i
⊗ e
j
⊗ e
k
⊗ e
l
), com H =
1
E
[4I − (I ⊗ I)] , (3.214)
inclus˜ao r´ıgida (γ → ∞):
D
T µ
= HT
µ
ij
·T
µ
kl
(e
i
⊗e
j
⊗e
k
⊗e
l
), com H = −
1
Eα
4I +
α − 2β
β
(I ⊗ I)
. (3.215)
Em resumo, a express˜ao (3.214) representa a sensibilidade topol´ogica do operador consti-
tutivo macrosc´opico quando no EVR ´e introduzido um furo; e a express˜ao (3.215) fornece
a sensibilidade topol´ogica `a nuclea¸c˜ao de uma inclus˜ao r´ıgida no dom´ınio do EVR.
Observa¸c˜ao 39. Da express˜ao (3.213), observa-se que o tensor de sensibilidade topol´ogica
D
T µ
preserva as propriedades de simetria do tensor constitutivo C. Portanto, em vista do
discutido na Observa¸c˜ao 29 (pag.103), o tensor de quarta ordem D
T µ
admite a seguinte
representa¸c˜ao matricial
D
T
µ
=
(D
T
µ
)
1111
(D
T
µ
)
1122
(D
T
µ
)
1112
(D
T
µ
)
2222
(D
T
µ
)
2212
sim. (D
T
µ
)
1212
=
(D
T
µ
)
11
(D
T
µ
)
12
(D
T
µ
)
13
(D
T
µ
)
22
(D
T
µ
)
23
sim. (D
T
µ
)
33
. (3.216)
Al´em do mais, da representa¸c˜ao matricial mostrada anteriormente, o problema de obter
um tensor de quarta ordem fica reduzido a ter que calcular as 6 componentes (D
T
µ
)
ij
, com
i, j = 1, 2, 3.
Do desenvolvimento apresentado anteriormente, em particular da eq.(3.213), conclui-
se que o tensor D
T µ
cont´em todas as informa¸c˜oes a priori necess´arias para perturbar o
dom´ınio original do EVR, representado por Ω
µ
, de maneira a obter uma varia¸c˜ao desejada
do tensor constitutivo homogeneizado C
ε
.
3.2.3 Experimentos num´ericos
Segundo mencionado no in´ıcio, um dos objetivos secund´arios deste trabalho ´e desen-
volver uma metodologia aplic´avel no projeto e/ou otimiza¸c˜ao de microestruturas, baseada
na informa¸c˜ao fornecida pela derivada topol´ogica. Portanto, nesta se¸c˜ao s˜ao mostrados
alguns exemplos ilustrativos, visando demonstrar a potencialidade das ferramentas apre-
sentadas neste cap´ıtulo no projeto e/ou otimiza¸c˜ao microestrutural. Cada um dos seguin-
tes exemplos foi constru´ıdo objetivando mostrar as caracter´ısticas e/ou propriedades do
tensor derivada topol´ogica D
T µ
. Nos exemplos 1 e 2 ´e realizado um estudo qualitativo das
propriedades das componentes do tensor D
T µ
para diferentes EVR. No exemplo 3 e 4 ´e
134
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
apresentado um procedimento para tornar isotr´opica uma microestrutura que inicialmente
possui uma resposta constitutiva anisotr´opica. Por ´ultimo, nos exemplos 5 e 6 ´e mostrado
um procedimento de an´alise, utilizando a expans˜ao assint´otica (3.213), que fornece as
bases para uma metodologia geral de projeto de microestruturas.
3.2.3.1 Exemplo 1
O EVR utilizado neste primeiro exemplo est´a caracterizado por uma micro c´elula
quadrada de dimens˜oes unit´arias com um poro circular de raio 0.15 centrado no ponto
(0.5, 0.5), ver Fig.3.17. O material da matriz ´e caracterizado pelo m´odulo de Young
E = 210.0 MPa e coeficiente de Poisson ν = 1/3. A discretiza¸c˜ao por elementos finitos
utilizada na an´alise num´erica est´a constitu´ıda por uma malha uniforme de 21356 elementos
triangulares lineares com um total de 10925 n´os.
Figura 3.17: exemplo 1 - EVR utilizado no estudo.
Os tensores constitutivos homogeneizados C associados ao EVR ora descrito, para
cada modelo multi-escala, s˜ao os seguintes:
C
L
=
194.13 62.85 0
62.85. 194.13 0
0 0 65.13
, C
P
=
193.67 62.91 0
62.19 193.67 0
0 0 62.73
e C
M
=
188.56 67.49 0
67.49 188.56 0
0 0 61.36
.
Neste exemplo prop˜oe-se estudar a sensibilidade da micro c´elula `a introdu¸c˜ao de
uma inclus˜ao circular cuja resposta constitutiva el´astica ´e definida atrav´es do parˆametro
γ = 0.1 (menos r´ıgida – Caso A) e γ = 10.0 (mais r´ıgida – Caso B). Assim sendo, nas
Fig.3.18 (Caso A) e Fig.3.19 (Caso B) s˜ao mostrada as componentes do tensor D
T µ
para
os modelos constitutivos multi-escala:
Modelo de deslocamento linear no contorno do EVR - L;
Modelo de flutua¸c˜ao de deslocamento peri´odica no contorno do EVR - P;
Modelo de m´ınima restri¸c˜ao cinem´atica - M.
No caso do modelo de Taylor (ou da regra da mistura), as componentes do tensor
D
T µ
s˜ao constantes e por isso n˜ao s˜ao aqui apresentadas.
135
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Field:TDT11
Max.:2.96E+003
Node:5701
Min.:1.10E+001
Node:5562
Palette:
2.9573E+003
2.7732E+003
2.5890E+003
2.4049E+003
2.2207E+003
2.0366E+003
1.8524E+003
1.6683E+003
1.4841E+003
1.3000E+003
1.1159E+003
9.3171E+002
7.4757E+002
5.6342E+002
3.7927E+002
1.9513E+002
1.0980E+001
(a) Modelo linear: (D
T µ
)
1111
Field:TDT11
Max.:3.01E+003
Node:5701
Min.:9.18E+000
Node:5562
Palette:
3.0141E+003
2.8263E+003
2.6385E+003
2.4507E+003
2.2629E+003
2.0751E+003
1.8873E+003
1.6995E+003
1.5117E+003
1.3239E+003
1.1360E+003
9.4823E+002
7.6042E+002
5.7261E+002
3.8481E+002
1.9699E+002
9.1793E+000
(b) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1111
Field:TDT11
Max.:4.00E+003
Node:5701
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Node:3348
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3.9997E+003
3.7499E+003
3.5001E+003
3.2503E+003
3.0005E+003
2.7507E+003
2.5009E+003
2.2511E+003
2.0014E+003
1.7516E+003
1.5018E+003
1.2520E+003
1.0022E+003
7.5240E+002
5.0261E+002
2.5282E+002
3.0303E+000
(c) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1111
Field:TDT12
Max.:7.68E+002
Node:7281
Min.:7.71E+001
Node:5738
Palette:
7.6794E+002
7.2476E+002
6.8158E+002
6.3840E+002
5.9522E+002
5.5205E+002
5.0887E+002
4.6569E+002
4.2251E+002
3.7933E+002
3.3615E+002
2.9297E+002
2.4980E+002
2.0662E+002
1.6344E+002
1.2026E+002
7.7082E+001
(d) Modelo linear: (D
T µ
)
1122
Field:TDT12
Max.:7.84E+002
Node:7281
Min.:4.24E+001
Node:1
Palette:
7.8378E+002
7.3744E+002
6.9111E+002
6.4478E+002
5.9844E+002
5.5211E+002
5.0578E+002
4.5944E+002
4.1311E+002
3.6678E+002
3.2045E+002
2.7411E+002
2.2778E+002
1.8145E+002
1.3511E+002
8.8781E+001
4.2448E+001
(e) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1122
Field:TDT12
Max.:8.20E+002
Node:7281
Min.:-3.86E+002
Node:5562
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8.2036E+002
7.4498E+002
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5.9420E+002
5.1882E+002
4.4343E+002
3.6805E+002
2.9266E+002
2.1728E+002
1.4189E+002
6.6507E+001
-8.8791E+000
-8.4264E+001
-1.5965E+002
-2.3503E+002
-3.1042E+002
-3.8581E+002
(f) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1122
Field:TDT13
Max.:8.53E+002
Node:2812
Min.:-8.61E+002
Node:4040
Palette:
8.5281E+002
7.4572E+002
6.3863E+002
5.3154E+002
4.2445E+002
3.1736E+002
2.1026E+002
1.0317E+002
-3.9182E+000
-1.1101E+002
-2.1810E+002
-3.2519E+002
-4.3228E+002
-5.3938E+002
-6.4647E+002
-7.5356E+002
-8.6065E+002
(g) Modelo linear: (D
T µ
)
1112
Field:TDT13
Max.:1.00E+003
Node:2812
Min.:-1.01E+003
Node:4040
Palette:
1.0003E+003
8.7467E+002
7.4905E+002
6.2343E+002
4.9781E+002
3.7219E+002
2.4658E+002
1.2096E+002
-4.6620E+000
-1.3028E+002
-2.5590E+002
-3.8152E+002
-5.0714E+002
-6.3276E+002
-7.5838E+002
-8.8400E+002
-1.0096E+003
(h) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1112
Field:TDT13
Max.:1.18E+003
Node:2812
Min.:-1.19E+003
Node:4040
Palette:
1.1825E+003
1.0339E+003
8.8537E+002
7.3682E+002
5.8828E+002
4.3973E+002
2.9118E+002
1.4264E+002
-5.9100E+000
-1.5446E+002
-3.0300E+002
-4.5155E+002
-6.0010E+002
-7.4864E+002
-8.9719E+002
-1.0457E+003
-1.1943E+003
(i) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1112
Field:TDT22
Max.:2.97E+003
Node:5562
Min.:1.13E+001
Node:5701
Palette:
2.9728E+003
2.7877E+003
2.6026E+003
2.4175E+003
2.2324E+003
2.0473E+003
1.8622E+003
1.6771E+003
1.4921E+003
1.3070E+003
1.1219E+003
9.3678E+002
7.5169E+002
5.6660E+002
3.8150E+002
1.9641E+002
1.1319E+001
(j) Modelo linear: (D
T µ
)
2222
Field:TDT22
Max.:3.03E+003
Node:5562
Min.:9.49E+000
Node:5701
Palette:
3.0299E+003
2.8411E+003
2.6523E+003
2.4635E+003
2.2748E+003
2.0860E+003
1.8972E+003
1.7084E+003
1.5197E+003
1.3309E+003
1.1421E+003
9.5336E+002
7.6459E+002
5.7581E+002
3.8704E+002
1.9827E+002
9.4957E+000
(k) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
2222
Field:TDT22
Max.:4.02E+003
Node:5562
Min.:3.07E+000
Node:5587
Palette:
4.0218E+003
3.7706E+003
3.5195E+003
3.2683E+003
3.0171E+003
2.7659E+003
2.5148E+003
2.2636E+003
2.0124E+003
1.7613E+003
1.5101E+003
1.2589E+003
1.0077E+003
7.5658E+002
5.0541E+002
2.5422E+002
3.0675E+000
(l) Modelo uniforme: (D
T µ
)
2222
Field:TDT23
Max.:8.94E+002
Node:6425
Min.:-9.19E+002
Node:4837
Palette:
8.9374E+002
7.8042E+002
6.6710E+002
5.5377E+002
4.4045E+002
3.2713E+002
2.1380E+002
1.0048E+002
-1.2841E+001
-1.2616E+002
-2.3949E+002
-3.5281E+002
-4.6613E+002
-5.7945E+002
-6.9278E+002
-8.0610E+002
-9.1942E+002
(m) Modelo linear: (D
T µ
)
2212
Field:TDT23
Max.:1.05E+003
Node:6425
Min.:-1.08E+003
Node:4837
Palette:
1.0507E+003
9.1747E+002
7.8422E+002
6.5098E+002
5.1773E+002
3.8448E+002
2.5123E+002
1.1798E+002
-1.5267E+001
-1.4852E+002
-2.8176E+002
-4.1501E+002
-5.4826E+002
-6.8151E+002
-8.1476E+002
-9.4801E+002
-1.0813E+003
(n) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
2212
Field:TDT23
Max.:1.27E+003
Node:6425
Min.:-1.30E+003
Node:4837
Palette:
1.2662E+003
1.1056E+003
9.4490E+002
7.8424E+002
6.2357E+002
4.6291E+002
3.0224E+002
1.4158E+002
-1.9084E+001
-1.7975E+002
-3.4041E+002
-5.0108E+002
-6.6174E+002
-8.2241E+002
-9.8307E+002
-1.1437E+003
-1.3044E+003
(o) Modelo uniforme: (D
T µ
)
2212
Field:TDT33
Max.:6.89E+002
Node:7281
Min.:9.64E+000
Node:3351
Palette:
6.8901E+002
6.4655E+002
6.0409E+002
5.6163E+002
5.1917E+002
4.7671E+002
4.3424E+002
3.9178E+002
3.4932E+002
3.0686E+002
2.6440E+002
2.2194E+002
1.7948E+002
1.3702E+002
9.4560E+001
5.2099E+001
9.6382E+000
(p) Modelo linear: (D
T µ
)
1212
Field:TDT33
Max.:9.25E+002
Node:7281
Min.:1.32E+001
Node:3351
Palette:
9.2512E+002
8.6813E+002
8.1114E+002
7.5414E+002
6.9715E+002
6.4016E+002
5.8316E+002
5.2617E+002
4.6918E+002
4.1218E+002
3.5519E+002
2.9820E+002
2.4120E+002
1.8421E+002
1.2722E+002
7.0227E+001
1.3234E+001
(q) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1212
Field:TDT33
Max.:1.07E+003
Node:7281
Min.:1.54E+001
Node:3351
Palette:
1.0660E+003
1.0003E+003
9.3467E+002
8.6900E+002
8.0334E+002
7.3768E+002
6.7201E+002
6.0635E+002
5.4069E+002
4.7502E+002
4.0936E+002
3.4370E+002
2.7803E+002
2.1237E+002
1.4670E+002
8.1042E+001
1.5378E+001
(r) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1212
Figura 3.18: exemplo 1 - caso A: componentes do tensor D
T µ
para γ = 0.1.
136
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Field:TDT11
Max.:-6.27E+000
Node:5562
Min.:-1.69E+003
Node:5701
Palette:
-6.2744E+000
-1.1150E+002
-2.1673E+002
-3.2195E+002
-4.2718E+002
-5.3241E+002
-6.3763E+002
-7.4286E+002
-8.4809E+002
-9.5331E+002
-1.0585E+003
-1.1638E+003
-1.2690E+003
-1.3742E+003
-1.4794E+003
-1.5847E+003
-1.6899E+003
(a) Modelo linear: (D
T µ
)
1111
Field:TDT11
Max.:-5.24E+000
Node:5562
Min.:-1.72E+003
Node:5701
Palette:
-5.2453E+000
-1.1256E+002
-2.1988E+002
-3.2720E+002
-4.3452E+002
-5.4184E+002
-6.4916E+002
-7.5648E+002
-8.6380E+002
-9.7112E+002
-1.0784E+003
-1.1858E+003
-1.2931E+003
-1.4004E+003
-1.5077E+003
-1.6150E+003
-1.7224E+003
(b) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1111
Field:TDT11
Max.:-1.73E+000
Node:3348
Min.:-2.28E+003
Node:5701
Palette:
-1.7316E+000
-1.4447E+002
-2.8721E+002
-4.2994E+002
-5.7268E+002
-7.1542E+002
-8.5816E+002
-1.0009E+003
-1.1436E+003
-1.2864E+003
-1.4291E+003
-1.5718E+003
-1.7146E+003
-1.8573E+003
-2.0001E+003
-2.1428E+003
-2.2855E+003
(c) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1111
Field:TDT12
Max.:-4.40E+001
Node:5738
Min.:-4.39E+002
Node:7281
Palette:
-4.4047E+001
-6.8720E+001
-9.3394E+001
-1.1807E+002
-1.4274E+002
-1.6741E+002
-1.9209E+002
-2.1676E+002
-2.4143E+002
-2.6611E+002
-2.9078E+002
-3.1545E+002
-3.4013E+002
-3.6480E+002
-3.8947E+002
-4.1415E+002
-4.3882E+002
(d) Modelo linear: (D
T µ
)
1122
Field:TDT12
Max.:-2.42E+001
Node:1
Min.:-4.48E+002
Node:7281
Palette:
-2.4256E+001
-5.0732E+001
-7.7208E+001
-1.0368E+002
-1.3016E+002
-1.5664E+002
-1.8311E+002
-2.0959E+002
-2.3606E+002
-2.6254E+002
-2.8902E+002
-3.1549E+002
-3.4197E+002
-3.6844E+002
-3.9492E+002
-4.2140E+002
-4.4787E+002
(e) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1122
Field:TDT12
Max.:2.20E+002
Node:5562
Min.:-4.69E+002
Node:7281
Palette:
2.2046E+002
1.7738E+002
1.3431E+002
9.1228E+001
4.8151E+001
5.0736E+000
-3.8004E+001
-8.1081E+001
-1.2416E+002
-1.6724E+002
-2.1031E+002
-2.5339E+002
-2.9647E+002
-3.3955E+002
-3.8262E+002
-4.2570E+002
-4.6878E+002
(f) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1122
Field:TDT13
Max.:4.92E+002
Node:4040
Min.:-4.87E+002
Node:2812
Palette:
4.9180E+002
4.3060E+002
3.6941E+002
3.0821E+002
2.4702E+002
1.8582E+002
1.2463E+002
6.3434E+001
2.2389E+000
-5.8956E+001
-1.2015E+002
-1.8135E+002
-2.4254E+002
-3.0374E+002
-3.6493E+002
-4.2613E+002
-4.8732E+002
(g) Modelo linear: (D
T µ
)
1112
Field:TDT13
Max.:5.77E+002
Node:4040
Min.:-5.72E+002
Node:2812
Palette:
5.7692E+002
5.0514E+002
4.3336E+002
3.6158E+002
2.8979E+002
2.1801E+002
1.4623E+002
7.4446E+001
2.6640E+000
-6.9118E+001
-1.4090E+002
-2.1268E+002
-2.8447E+002
-3.5625E+002
-4.2803E+002
-4.9981E+002
-5.7160E+002
(h) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1112
Field:TDT13
Max.:6.82E+002
Node:4040
Min.:-6.76E+002
Node:2812
Palette:
6.8245E+002
5.9756E+002
5.1268E+002
4.2780E+002
3.4291E+002
2.5803E+002
1.7314E+002
8.8261E+001
3.3772E+000
-8.1507E+001
-1.6639E+002
-2.5127E+002
-3.3616E+002
-4.2104E+002
-5.0593E+002
-5.9081E+002
-6.7569E+002
(i) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1112
Field:TDT22
Max.:-6.47E+000
Node:5701
Min.:-1.70E+003
Node:5562
Palette:
-6.4682E+000
-1.1223E+002
-2.1800E+002
-3.2377E+002
-4.2954E+002
-5.3530E+002
-6.4107E+002
-7.4684E+002
-8.5260E+002
-9.5837E+002
-1.0641E+003
-1.1699E+003
-1.2757E+003
-1.3814E+003
-1.4872E+003
-1.5930E+003
-1.6987E+003
(j) Modelo linear: (D
T µ
)
2222
Field:TDT22
Max.:-5.43E+000
Node:5701
Min.:-1.73E+003
Node:5562
Palette:
-5.4261E+000
-1.1330E+002
-2.2117E+002
-3.2904E+002
-4.3691E+002
-5.4478E+002
-6.5265E+002
-7.6052E+002
-8.6839E+002
-9.7626E+002
-1.0841E+003
-1.1920E+003
-1.2999E+003
-1.4077E+003
-1.5156E+003
-1.6235E+003
-1.7313E+003
(k) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
2222
Field:TDT22
Max.:-1.75E+000
Node:5587
Min.:-2.30E+003
Node:5562
Palette:
-1.7528E+000
-1.4528E+002
-2.8880E+002
-4.3233E+002
-5.7586E+002
-7.1938E+002
-8.6291E+002
-1.0064E+003
-1.1500E+003
-1.2935E+003
-1.4370E+003
-1.5805E+003
-1.7241E+003
-1.8676E+003
-2.0111E+003
-2.1546E+003
-2.2982E+003
(l) Modelo uniforme: (D
T µ
)
2222
Field:TDT23
Max.:5.25E+002
Node:4837
Min.:-5.11E+002
Node:6425
Palette:
5.2538E+002
4.6063E+002
3.9587E+002
3.3112E+002
2.6636E+002
2.0160E+002
1.3685E+002
7.2093E+001
7.3375E+000
-5.7418E+001
-1.2217E+002
-1.8693E+002
-2.5169E+002
-3.1644E+002
-3.8120E+002
-4.4595E+002
-5.1071E+002
(m) Modelo linear: (D
T µ
)
2212
Field:TDT23
Max.:6.18E+002
Node:4837
Min.:-6.00E+002
Node:6425
Palette:
6.1786E+002
5.41724E+002
4.6558E+002
3.8943E+002
3.1329E+002
2.3715E+002
1.6101E+002
8.4866E+001
8.7243E+000
-6.7418E+001
-1.4356E+002
-2.1970E+002
-2.9584E+002
-3.7199E+002
-4.4813E+002
-5.2427E+002
-6.0041E+002
(n) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
2212
Field:TDT23
Max.:7.45E+002
Node:4837
Min.:-7.23E+002
Node:6425
Palette:
7.4537E+002
6.5356E+002
5.6176E+002
4.6995E+002
3.7814E+002
2.8633E+002
1.9452E+002
1.0271E+002
1.0905E+001
-8.0903E+001
-1.7271E+002
-2.6452E+002
-3.5633E+002
-4.4814E+002
-5.3995E+002
-6.3175E+002
-7.2356E+002
(o) Modelo uniforme: (D
T µ
)
2212
Field:TDT33
Max.:-5.51E+000
Node:3351
Min.:-3.94E+002
Node:7281
Palette:
-5.5075E+000
-2.9772E+001
-5.4034E+001
-7.8297E+001
-1.0256E+002
-1.2682E+002
-1.5109E+002
-1.7535E+002
-1.9961E+002
-2.2388E+002
-2.4814E+002
-2.7240E+002
-2.9667E+002
-3.2093E+002
-3.4519E+002
-3.6946E+002
-3.9372E+002
(p) Modelo linear: (D
T µ
)
1212
Field:TDT33
Max.:-7.56E+000
Node:3351
Min.:-5.27E+002
Node:7281
Palette:
-7.5622E+000
-4.0130E+001
-7.2697E+001
-1.0526E+002
-1.3783E+002
-1.7040E+002
-2.0297E+002
-2.3553E+002
-2.6810E+002
-3.0067E+002
-3.3324E+002
-3.6580E+002
-3.9837E+002
-4.3094E+002
-4.6351E+002
-4.9607E+002
-5.2864E+002
(q) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1212
Field:TDT33
Max.:-8.79E+000
Node:3351
Min.:-6.09E+002
Node:7281
Palette:
-8.7876E+000
-4.6310E+001
-8.3831E+001
-1.2135E+002
-1.5887E+002
-1.9640E+002
-2.3392E+002
-2.7144E+002
-3.0896E+002
-3.4648E+002
-3.8401E+002
-4.2153E+002
-4.5905E+002
-4.9657E+002
-5.3409E+002
-5.7162E+002
-6.0914E+002
(r) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1212
Figura 3.19: exemplo 1 - caso B: componentes do tensor D
T µ
para γ = 10.0.
137
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Inicialmente, note-se que tanto no Caso A ou Caso B n˜ao se observa uma diferen¸ca
qualitativa apreci´avel da sensibilidade topol´ogica entre os diferentes modelos. Assim, das
Fig.3.18 e Fig.3.19, inferi-se que a dire¸c˜ao onde as componentes do tensor D
T µ
s˜ao mais
sens´ıveis coincide com: (i) as dire¸c˜oes dos vetores e
1
e e
2
, que definem o sistema de
coordenadas globais no EVR, no caso das componentes (D
T µ
)
1111
e (D
T µ
)
2222
; (ii) uma
inclina¸c˜ao aproximada de 45
◦
em rela¸c˜ao aos vetores e
1
e e
2
, no caso das componentes
(D
T µ
)
1122
e (D
T µ
)
1212
; e (iii) uma inclina¸c˜ao aproximada de 22.5
◦
em rela¸c˜ao ao vetor
e
2
no caso da componente (D
T µ
)
1112
e em rela¸c˜ao ao vetor e
1
no caso da componente
(D
T µ
)
2212
. No entanto, existe uma diferen¸ca conceitual importante entre a an´alise do
Caso A e do Caso B, que ser´a discutida posteriormente.
Utilizando as informa¸c˜oes fornecidas pelo tensor de sensibilidade topol´ogica D
T µ
, o
EVR ser´a perturbado com a introdu¸c˜ao de inclus˜oes circulares de raio 0.03 constitu´ıdas
pelo material mencionado anteriormente, da maneira seguinte: na se¸c˜ao anterior foi provado
que uma estimativa de primeira ordem, na fra¸c˜ao de volume perturbado, da resposta con-
stitutiva macrosc´opica associada ao dom´ınio perturbado, pode ser escrita como
C
ε
≈ C − v(ε)D
T µ
, (3.217)
e considerando, por exemplo, a componente (C)
1111
, observa-se que para produzir uma
diminui¸c˜ao significativa no seu valor temos que procurar os pontos onde o campo (D
T µ
)
1111
atinge o maior valor positivo. Portanto, o campo mencionado anteriormente fornece um
indicador de onde devem ser introduzidas as perturba¸c˜oes. No caso das outras compo-
nentes a an´alise ´e totalmente an´aloga. No entanto, e retomando a discuss˜ao levantada ao
in´ıcio do par´agrafo, cabe mencionar que existe uma diferen¸ca importante na an´alise dos
Casos A e B. De fato, o valor do parˆametro γ define se a perturba¸c˜ao possui uma rigidez
menor ou maior que o material onde est´a sendo inserida. Portanto, para um valor de γ < 1
a perturba¸c˜ao introduzida ´e menos r´ıgida que o material da matriz e, no caso contr´ario,
para γ > 1 o material da inclus˜ao tem uma rigidez maior que a matriz.
Assim, analisando novamente a componente (C)
1111
, tem-se que para produzir uma
diminui¸c˜ao significativa do seu valor, introduzindo uma inclus˜ao circular de material com
γ < 1, o procedimento ´e como mencionado anteriormente. Mas, no caso γ > 1 n˜ao
´e poss´ıvel produzir uma diminui¸c˜ao no valor da comp onente (C)
1111
, pois o valor do
campo (D
T µ
)
1111
´e negativo em todo o dom´ınio. Assim, nessa situa¸c˜ao, uma inclus˜ao com
material caracterizado pelo parˆametro γ > 1 s´o pode produzir um incremento no valor
da componente analisada. Mais uma vez, a an´alise das outras componentes ´e totalmente
an´aloga.
Nas Fig.3.20 at´e Fig.3.28 s˜ao mostradas as diferentes posi¸c˜oes das perturba¸c˜oes
colocadas e do lado das mencionadas figuras, est˜ao indicadas as respostas constitutivas
homogeneizadas, obtidas para cada modelo constitutivo multi-escala.
138
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Figura 3.20: ex.1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
C
L
ε
=
187.83 61.24 0
61.24 193.66 0
0 0 64.18
C
L
ε
=
197.79 63.77 0
63.77 194.41 0
0 0 65.63
C
P
ε
=
187.29 61.28 0
61.28 193.20 0
0 0 61.44
C
P
ε
=
197.37 63.83 0
63.83 193.95 0
0 0 63.40
C
M
ε
=
180.80 66.40 0
66.40 188.31 0
0 0 59.88
C
M
ε
=
192.98 68.07 0
68.07 188.72 0
0 0 62.12
Figura 3.21: ex.1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
C
L
ε
=
193.67 61.24 0
61.24 187.82 0
0 0 64.18
C
L
ε
=
194.41 63.76 0
63.76 197.78 0
0 0 65.63
C
P
ε
=
193.20 61.28 0
61.28 187.26 0
0 0 61.44
C
P
ε
=
193.95 63.83 0
63.83 197.36 0
0 0 63.40
C
M
ε
=
188.32 66.40 0
66.40 180.77 0
0 0 59.88
C
M
ε
=
188.73 68.07 0
68.07 192.97 0
0 0 61.12
Figura 3.22: ex.1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
C
L
ε
=
190.83 61.33 −1.48
61.33 190.83 −1.48
−1.48 −1.48 64.17
C
L
ε
=
196.01 63.77 0.86
63.77 196.0 0.86
0.86 0.86 65.70
C
P
ε
=
190.28 61.36 −1.70
61.36 190.27 −1.70
−1.70 −1.70 61.51
C
P
ε
=
195.57 63.84 0.97
63.83 195.57 0.97
0.97 0.97 63.45
C
M
ε
=
184.43 66.44 −1.84
66.44 184.42 −1.83
−1.84 −1.83 60.00
C
M
ε
=
190.83 68.16 1.04
68.16 190.82 1.04
1.04 1.04 62.15
Figura 3.23: ex.1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
C
L
ε
=
190.82 61.32 1.49
61.32 190.81 1.49
1.49 1.49 64.17
C
L
ε
=
196.01 63.77 −0.86
63.77 196.0 −0.86
−0.86 −0.86 65.70
C
P
ε
=
190.27 61.35 1.70
61.35 190.26 1.70
1.70 1.70 61.50
C
P
ε
=
195.57 63.83 −0.97
63.83 195.57 −0.97
−0.97 −0.97 63.45
C
M
ε
=
184.42 66.43 1.84
66.43 184.41 1.84
1.84 1.84 60.00
C
M
ε
=
190.82 68.16 −1.04
68.16 190.82 −1.04
−1.04 −1.04 62.15
139
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Figura 3.24: ex.1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
C
L
ε
=
192.87 61.28 1.04
61.28 188.71 1.04
1.04 1.04 64.18
C
L
ε
=
194.85 63.76 −0.57
63.76 197.23 −0.62
−0.57 −0.62 65.66
C
P
ε
=
192.36 61.31 1.21
61.31 188.15 1.20
1.21 1.20 61.48
C
P
ε
=
194.40 63.83 −0.66
63.83 196.80 −0.71
−0.66 −0.71 63.42
C
M
ε
=
187.11 66.42 1.36
66.42 181.85 1.27
1.36 1.27 59.95
C
M
ε
=
189.35 68.11 −0.72
68.11 192.30 −0.76
−0.72 −0.76 62.13
Figura 3.25: ex.1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
C
L
ε
=
188.73 61.29 1.04
61.29 192.87 1.04
1.04 1.04 64.18
C
L
ε
=
197.25 63.76 −0.63
63.76 194.85 −0.57
−0.63 −0.57 65.66
C
P
ε
=
188.17 61.32 1.20
61.32 192.36 1.20
1.20 1.20 61.48
C
P
ε
=
196.82 63.83 −0.72
63.83 194.40 −0.66
−0.72 −0.66 63.42
C
M
ε
=
181.88 66.43 1.27
66.43 187.11 1.36
1.27 1.36 59.96
C
M
ε
=
192.32 68.11 −0.77
68.11 189.35 −0.72
−0.72 −0.72 62.13
Figura 3.26: ex.1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
C
L
ε
=
188.71 61.28 −1.04
61.28 192.87 −1.04
−1.04 −1.04 64.18
C
L
ε
=
197.26 63.77 0.63
63.76 194.85 0.58
0.63 0.57 65.66
C
P
ε
=
188.15 61.31 −1.20
61.31 192.36 −1.20
−1.20 −1.20 61.48
C
P
ε
=
196.83 63.83 0.72
63.83 194.40 0.66
0.72 0.66 63.42
C
M
ε
=
181.85 66.42 −1.27
66.42 187.11 −1.36
−1.27 −1.36 59.95
C
M
ε
=
192.33 68.11 0.77
68.11 189.35 0.72
0.77 0.72 62.13
Figura 3.27: ex.1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
C
L
ε
=
192.87 61.28 −1.04
61.28 188.71 −1.04
−1.04 −1.04 64.18
C
L
ε
=
194.85 63.76 0.57
63.76 197.23 0.62
0.57 0.62 65.66
C
P
ε
=
192.36 61.31 −1.21
61.31 188.14 −1.21
−1.21 −1.21 61.48
C
P
ε
=
194.40 63.83 0.66
63.83 196.80 0.71
0.66 0.71 63.42
C
M
ε
=
187.11 66.42 −1.36
66.42 181.85 −1.27
−1.36 −1.27 59.95
C
M
ε
=
189.35 68.11 0.72
68.11 192.30 0.76
0.72 0.76 62.13
140
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Figura 3.28: ex.1 - EVR perturbado
Caso A: γ = 0.10 Caso B: γ = 10.0
C
L
ε
=
187.68 59.82 0.004
59.82 187.68 0.006
0.004 0.006 63.19
C
L
ε
=
197.94 64.70 0.001
64.70 197.93 0.001
0.001 0.001 66.26
C
P
ε
=
187.08 59.84 0.005
59.84 187.07 0.007
0.005 0.007 60.23
C
P
ε
=
197.54 64.78 0.002
64.78 197.53 0.002
0.002 0.002 64.15
C
M
ε
=
180.49 65.41 0.006
65.41 180.48 0.008
0.006 0.008 58.59
C
M
ε
=
193.15 68.85 0.002
68.85 193.15 0.002
0.002 0.002 62.93
Considerando na an´alise, mais uma vez, a componente (C
ε
)
1111
, note-se que intro-
duzindo perturba¸c˜oes segundo a dire¸c˜ao do vetor e
2
(Fig.3.20), tem-se para o modelo de
deslocamento linear no contorno, uma varia¸c˜ao aproximada do 3,24% (Caso A) e 1,88 %
(Caso B) com rela¸c˜ao ao valor inicial da mesma componente, sendo que a componente
(C
ε
)
2222
apresenta uma varia¸c˜ao do 0,24% (Caso A) e 0,14% (Caso B), e as outras com-
ponentes apresentam uma varia¸c˜ao m´edia do 2% (Caso A) e 1,01%(Caso B) com rela¸c˜ao
ao seu valor original. No caso dos outros modelos multi-escala e das outras posi¸c˜oes das
perturba¸c˜oes, os resultados encontrados s˜ao an´alogos aos apresentados anteriormente. A
an´alise pr´evia permite concluir que introduzindo perturba¸c˜oes no EVR, utilizando como
indicador da posi¸c˜ao o campo D
T µ
, tem-se efetivamente uma varia¸c˜ao significativa da com-
ponente estudada. Finalmente, cabe mencionar que os resultados da an´alise computacional
mostrados acima corroboram a discuss˜ao apresentada no in´ıcio do exemplo.
3.2.3.2 Exemplo 2
Neste exemplo ser´a estudado o tensor D
T µ
para os casos limites do parˆametro
γ mostrados nas eqs.(3.214) e (3.215). O EVR utilizado na an´alise ´e dado por um
dom´ınio quadrado de dimens˜oes unit´arias com material caracterizado pelo m´odulo de
Young E = 210.0 MPa e coeficiente de Poisson ν = 1/3, no qual est˜ao inserido oito poros
de raio vari´avel distribu´ıdos aleatoriamente no dom´ınio, veja Fig.3.29. A discretiza¸c˜ao por
elementos finitos utilizada na an´alise num´erica est´a constitu´ıda por uma malha uniforme
de 20410 elementos triangulares lineares gerando um total de 10561 n´os.
Figura 3.29: exemplo 2 - geometria do EVR de an´alise.
141
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Field:TDT11
Max.:3.78E+003
Node:5492
Min.:8.29E+000
Node:4291
Palette:
3.7805E+003
3.5447E+003
3.3090E+003
3.0732E+003
2.8374E+003
2.6017E+003
2.3659E+003
2.1302E+003
1.8944E+003
1.6586E+003
1.4229E+003
1.1871E+003
9.5134E+002
7.1558E+002
4.7982E+002
2.4406E+002
8.2948E+000
(a) Modelo linear: (D
T µ
)
1111
Field:TDT11
Max.:3.89E+003
Node:5492
Min.:6.34E+000
Node:4291
Palette:
3.8924E+003
3.6495E+003
3.4066E+003
3.1637E+003
2.9209E+003
2.6780E+003
2.4351E+003
2.1922E+003
1.9493E+003
1.7065E+003
1.4636E+003
1.2207E+003
9.7785E+002
7.3497E+002
4.9209E+002
2.4922E+002
6.3419E+000
(b) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1111
Field:TDT11
Max.:4.43E+003
Node:7325
Min.:7.44E+000
Node:4291
Palette:
4.4286E+003
4.1523E+003
3.8760E+003
3.5997E+003
3.3233E+003
3.0470E+003
2.7707E+003
2.4943E+003
2.2180E+003
1.9417E+003
1.6654E+003
1.3891E+003
1.1127E+003
8.3642E+002
5.6009E+002
2.8376E+002
7.4397E+000
(c) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1111
Field:TDT12
Max.:9.11E+002
Node:7084
Min.:-1.17E+002
Node:3296
Palette:
9.1097E+002
8.4671E+002
7.8245E+002
7.1820E+002
6.5394E+002
5.8968E+002
5.2543E+002
4.6117E+002
3.9691E+002
3.3266E+002
2.6840E+002
2.0414E+002
1.3989E+002
7.5632E+001
1.1375E+001
-5.2881E+001
-1.1714E+002
(d) Modelo linear: (D
T µ
)
1122
Field:TDT12
Max.:9.38E+002
Node:5614
Min.:-9.87E+001
Node:3296
Palette:
9.3803E+002
8.7324E+002
8.0845E+002
7.4365E+002
6.7886E+002
6.1407E+002
5.4927E+002
4.8448E+002
4.1969E+002
3.5489E+002
2.9010E+002
2.2531E+002
1.6051E+002
9.5722E+001
3.0929E+001
-3.3864E+001
-9.8658E+001
(e) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1122
Field:TDT12
Max.:1.13E+003
Node:6645
Min.:-4.49E+002
Node:7325
Palette:
1.1331E+003
1.0342E+003
9.3525E+002
8.3633E+002
7.3741E+002
6.3849E+002
5.3957E+002
4.4065E+002
3.4173E+002
2.4281E+002
1.4389E+002
4.4976E+001
-5.3943E+001
-1.5286E+002
-2.5178E+002
-3.5070E+002
-4.4962E+002
(f) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1122
Field:TDT13
Max.:1.26E+003
Node:7084
Min.:-1.23E+003
Node:6584
Palette:
1.2635E+003
1.1077E+003
9.5188E+002
7.9606E+002
6.4023E+002
4.8441E+002
3.2859E+002
1.7277E+002
1.6944E+001
-1.3888E+002
-2.9470E+002
-4.5052E+002
-6.0634E+002
-7.6217E+002
-9.1799E+002
-1.0738E+003
-1.2296E+003
(g) Modelo linear: (D
T µ
)
1112
Field:TDT13
Max.:1.43E+003
Node:6911
Min.:-1.37E+003
Node:4536
1.4282E+003
1.2534E+003
1.0787E+003
9.0394E+002
7.2919E+002
5.5444E+002
3.7969E+002
2.0494E+002
3.0193E+001
-1.4455E+002
-3.1930E+002
-4.9405E+002
-6.6880E+002
-8.4355E+002
-1.0183E+003
Palette:
-1.1930E+003
-1.3678E+003
(h) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1112
Field:TDT13
Max.:1.98E+003
Node:6911
Min.:-1.58E+003
Node:4536
Palette:
1.9822E+003
1.7595E+003
1.5368E+003
1.3140E+003
1.0913E+003
8.6860E+002
6.4587E+002
4.2315E+002
2.0042E+002
-2.2301E+001
-2.4503E+002
-4.6775E+002
-6.9047E+002
-9.1320E+002
-1.1359E+003
-1.3586E+003
-1.5814E+003
(i) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1112
Field:TDT22
Max.:4.23E+003
Node:3096
Min.:1.29E+001
Node:6159
Palette:
4.2338E+003
3.9700E+003
3.7062E+003
3.4424E+003
3.1786E+003
2.9148E+003
2.6510E+003
2.3872E+003
2.1234E+003
1.8595E+003
1.5957E+003
1.3319E+003
1.0681E+003
8.0435E+002
5.4055E+002
2.7675E+002
1.2945E+001
(j) Modelo linear: (D
T µ
)
2222
Field:TDT22
Max.:4.20E+003
Node:3096
Min.:1.06E+001
Node:5492
Palette:
4.2002E+003
3.9383E+003
3.6765E+003
3.4146E+003
3.1528E+003
2.8909E+003
2.6291E+003
2.3672E+003
2.1054E+003
1.8435E+003
1.5817E+003
1.3198E+003
1.0580E+003
7.9616E+002
5.3431E+002
2.7247E+002
1.0620E+001
(k) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
2222
Field:TDT22
Max.:4.52E+003
Node:5876
Min.:4.55E+000
Node:5492
Palette:
4.5173E+003
4.2353E+003
3.9532E+003
3.6712E+003
3.3891E+003
3.1071E+003
2.8250E+003
2.5430E+003
2.2609E+003
1.9789E+003
1.6968E+003
1.4148E+003
1.1327E+003
8.5070E+002
5.6865E+002
2.8660E+002
4.5550E+000
(l) Modelo uniforme: (D
T µ
)
2222
Field:TDT23
Max.:1.20E+003
Node:3920
Min.:-1.18E+003
Node:2612
Palette:
1.2007E+003
1.0517E+003
9.0265E+002
7.5365E+002
6.0464E+002
4.5564E+002
3.0664E+002
1.5763E+002
8.6300E+000
-1.4037E+002
-2.8938E+002
-4.3838E+002
-5.8738E+002
-7.3639E+002
-8.8539E+002
-1.0344E+003
-1.1834E+003
(m) Modelo linear: (D
T µ
)
2212
Field:TDT23
Max.:1.21E+003
Min.:-1.27E+003
1.2132E+003
1.0579E+003
9.0267E+002
7.4742E+002
5.9217E+002
4.3692E+002
2.8167E+002
1.2642E+002
-2.8826E+001
-1.8408E+002
-3.3933E+002
Node:6216
Node:5400
Palette:
-4.9458E+002
-6.4983E+002
-8.0508E+002
-9.6033E+002
-1.1156E+003
-1.2708E+003
(n) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
2212
Field:TDT23
Max.:1.50E+003
Node:5614
Min.:-1.66E+003
Node:7410
Palette:
1.5036E+003
1.3059E+003
1.1082E+003
9.1045E+002
7.1273E+002
5.1502E+002
3.1730E+002
1.1958E+002
-7.8140E+001
-2.7586E+002
-4.7358E+002
-6.7130E+002
-8.6901E+002
-1.0667E+003
-1.2644E+003
-1.4622E+003
-1.6599E+003
(o) Modelo uniforme: (D
T µ
)
2212
Field:TDT33
Max.:1.10E+003
Node:7084
Min.:1.82E+001
Node:7466
Palette:
1.1001E+003
1.0325E+003
9.6486E+002
8.9724E+002
8.2962E+002
7.6200E+002
6.9438E+002
6.2676E+002
5.5915E+002
4.9153E+002
4.2391E+002
3.5629E+002
2.8867E+002
2.2105E+002
1.5343E+002
8.5816E+001
1.8198E+001
(p) Modelo linear: (D
T µ
)
1212
Field:TDT33
Max.:1.19E+003
Node:5614
Min.:3.52E+001
Node:4291
Palette:
1.1935E+003
1.1211E+003
1.0487E+003
9.7630E+002
9.0390E+002
8.3151E+002
7.5911E+002
6.8672E+002
6.1433E+002
5.4193E+002
4.6954E+002
3.9715E+002
3.2475E+002
2.5236E+002
1.7997E+002
1.0757E+002
3.5179E+001
(q) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1212
Field:TDT33
Max.:1.44E+003
Node:6645
Min.:3.02E+001
Node:7192
Palette:
1.4378E+003
1.3498E+003
1.2618E+003
1.1739E+003
1.0859E+003
9.9792E+002
9.0995E+002
8.2197E+002
7.3400E+002
6.4603E+002
5.5805E+002
4.7008E+002
3.8211E+002
2.9413E+002
2.0616E+002
1.1819E+002
3.0213E+001
(r) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1212
Figura 3.30: exemplo 2 - caso A: componentes do tensor D
T µ
para γ → 0.
142
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Field:TDT11
Max.:-4.15E+000
Node:4291
Min.:-1.89E+003
Node:5492
Palette:
-4.1474E+000
-1.2203E+002
-2.3991E+002
-3.5779E+002
-4.7567E+002
-5.9355E+002
-7.1143E+002
-8.2932E+002
-9.4772E+002
-1.0651E+003
-1.1830E+003
-1.3008E+003
-1.4187E+003
-1.5366E+003
-1.6545E+003
-1.7724E+003
-1.8902E+003
(a) Modelo linear: (D
T µ
)
1111
Field:TDT11
Max.:-3.17E+000
Node:4291
Min.:-1.95E+003
Node:5492
Palette:
-3.1709E+000
-1.2461E+002
-2.4605E+002
-3.6748E+002
-4.8892E+002
-6.1036E+002
-7.3180E+002
-8.5324E+002
-9.7468E+002
-1.0961E+003
-1.2175E+003
-1.3390E+003
-1.4604E+003
-1.5819E+003
-1.7033E+003
-1.8247E+003
-1.9462E+003
(b) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1111
Field:TDT11
Max.:-3.72E+000
Node:4291
Min.:-2.21E+003
Node:7325
Palette:
-3.7199E+000
-1.4188E+002
-2.8005E+002
-4.1821E+002
-5.5637E+002
-6.9453E+002
-8.3270E+002
-9.7086E+002
-1.1090E+003
-1.2472E+003
-1.3853E+003
-1.5235E+003
-1.6617E+003
-1.7998E+003
-1.9380E+003
-2.0762E+003
-2.2143E+003
(c) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1111
Field:TDT12
Max.:5.86E+001
Node:3296
Min.:-4.55E+002
Node:7084
Palette:
5.8569E+001
2.6441E+001
-5.6876E+000
-3.7816E+001
-6.9944E+001
-1.0207E+002
-1.3420E+002
-1.6633E+002
-1.9846E+002
-2.3059E+002
-2.6271E+002
-2.9484E+002
-3.2697E+002
-3.5910E+002
-3.9123E+002
-4.2336E+002
-4.5548E+002
(d) Modelo linear: (D
T µ
)
1122
Field:TDT12
Max.:4.93E+001
Node:3296
Min.:-4.69E+002
Node:5614
Palette:
4.9329E+001
1.6932E+001
-1.5464E+001
-4.7861E+001
-8.0257E+001
-1.1265E+002
-1.4505E+002
-1.7745E+002
-2.0984E+002
-2.4224E+002
-2.7464E+002
-3.0703E+002
-3.3943E+002
-3.7183E+002
-4.0422E+002
-4.3662E+002
-4.6902E+002
(e) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1122
Field:TDT12
Max.:2.22E+002
Node:7325
Min.:-5.66E+002
Node:6645
Palette:
2.2481E+002
1.7535E+002
1.2589E+002
7.6431E+001
2.6972E+001
-2.2488E+001
-7.1947E+001
-1.2141E+002
-1.7087E+002
-2.2033E+002
-2.6979E+002
-3.1924E+002
-3.6870E+002
-4.1816E+002
-4.6762E+002
-5.1708E+002
-5.6654E+002
(f) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1122
Field:TDT13
Max.:6.15E+002
Node:6584
Min.:-6.32E+002
Node:7084
Palette:
6.1482E+002
5.3691E+002
4.5899E+002
3.8108E+002
3.0317E+002
2.2526E+002
1.4735E+002
6.9439E+001
-8.4721E+000
-8.6383E+001
-1.6429E+002
-2.4221E+002
-3.2012E+002
-3.9803E+002
-4.7594E+002
-5.5385E+002
-6.3176E+002
(g) Modelo linear: (D
T µ
)
1112
Field:TDT13
Max.:6.84E+002
Node:4536
Min.:-7.14E+002
Node:6911
Palette:
6.8390E+002
5.9652E+002
5.0915E+002
4.2178E+002
3.3440E+002
2.4703E+002
1.5965E+002
7.2278E+001
-1.5090E+001
-1.0247E+002
-1.8985E+002
-2.7722E+002
-3.6459E+002
-4.5197E+002
-5.3934E+002
-6.2672E+002
-7.1409E+002
(h) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1112
Field:TDT13
Max.:7.91E+002
Node:4536
Min.:-9.91E+002
Node:6911
Palette:
7.9069E+002
6.7932E+002
5.6796E+002
4.5660E+002
3.4524E+002
2.3387E+002
1.2251E+002
1.1151E+001
-1.0021E+002
-2.1157E+002
-3.2294E+002
-4.3430E+002
-5.4566E+002
-6.5702E+002
-7.6838E+002
-8.7974E+002
-9.9111E+002
(i) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1112
Field:TDT22
Max.:-6.47E+000
Node:6159
Min.:-2.12E+003
Node:3096
Palette:
-6.4726E+000
-1.3837E+002
-2.7027E+002
-4.0217E+002
-5.3407E+002
-6.6598E+002
-7.9788E+002
-9.2978E+002
-1.0617E+003
-1.1936E+003
-1.3255E+003
-1.4574E+003
-1.5893E+003
-1.7212E+003
-1.8531E+003
-1.9850E+003
-2.1169E+003
(j) Modelo linear: (D
T µ
)
2222
Field:TDT22
Max.:-5.31E+000
Node:5492
Min.:-2.10E+003
Node:3096
Palette:
-5.3099E+000
-1.3623E+002
-2.6716E+002
-3.9808E+002
-5.2900E+002
-6.5993E+002
-7.9085E+002
-9.2177E+002
-1.0527E+003
-1.1836E+003
-1.3145E+003
-1.4455E+003
-1.5764E+003
-1.7073E+003
-1.8382E+003
-1.9692E+003
-2.1001E+003
(k) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
2222
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(l) Modelo uniforme: (D
T µ
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2222
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(m) Modelo linear: (D
T µ
)
2212
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(n) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
2212
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3.9070E+001
-5.9789E+001
-1.5865E+002
-2.5751E+002
-3.5637E+002
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(o) Modelo uniforme: (D
T µ
)
2212
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Node:7466
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-9.0988E+000
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-2.7957E+002
-3.1338E+002
-3.4719E+002
-3.8100E+002
-4.1481E+002
-4.4862E+002
-4.8243E+002
-5.1624E+002
-5.5005E+002
(p) Modelo linear: (D
T µ
)
1212
Field:TDT33
Max.:-1.76E+001
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Node:5614
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-8.9983E+001
-1.2618E+002
-1.6238E+002
-1.9857E+002
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-2.7097E+002
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-3.4336E+002
-3.7956E+002
-4.1575E+002
-4.5195E+002
-4.8815E+002
-5.2434E+002
-5.6054E+002
-5.9674E+002
(q) Modelo peri´odico: (D
T µ
)
1212
Field:TDT33
Max.:-1.51E+001
Node:7192
Min.:-7.19E+002
Node:6645
Palette:
-1.5106E+001
-5.9093E+001
-1.0308E+002
-1.4707E+002
-1.9105E+002
-2.3504E+002
-2.7903E+002
-3.23012E+002
-3.6700E+002
-4.1099E+002
-4.5497E+002
-4.9896E+002
-5.4295E+002
-5.8693E+002
-6.3092E+002
-6.7491E+002
-7.1890E+002
(r) Modelo uniforme: (D
T µ
)
1212
Figura 3.31: exemplo 2 - caso B: componentes do tensor D
T µ
para γ → ∞.
143
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
O EVR descrito ao in´ıcio, fornece ao n´ıvel macrosc´opico os seguintes tensores con-
stitutivos homogeneizados C (para cada modelo multi-escala):
C
L
=
174.25 55.92 −0.22
55.92. 176.80 0.03
−0.22 0.03 57.74
, C
P
=
173.55 55.95 −0.12
55.95 175.96 −0.22
−0.12 −0.22 55.63
e C
M
=
171.46 58.16 −0.37
58.16 170.55 0.30
−0.37 0.30 54.18
.
Nas Figs.3.30 (γ → 0) e 3.31 (γ → ∞) s˜ao apresentados as componentes do tensor
de sensibilidade topol´ogico D
T µ
para cada modelo constitutivo multi-escala. Utilizando
o mesmo procedimento de an´alise mostrado no exemplo anterior, agora ser´a estudado o
comportamento da componente (D
T µ
)
1111
, e sua conseq¨uˆencia na componente (C)
1111
da
resposta constitutiva macrosc´opica, para as duas situa¸c˜oes limites do parˆametro γ apre-
sentadas ao in´ıcio, uma vez que os resultados obtidos da an´alise para essa componente s˜ao
trivialmente estendidos para as outras. Segundo o mostrado nas Fig.3.30 e Fig.3.31, qual-
itativamente n˜ao existe uma diferen¸ca apreci´avel nos resultados obtidos para os diferentes
modelos constitutivos multi-escala. Assim sendo, na an´alise seguinte ser´a utilizado como
referˆencia o modelo de deslocamento linear no contorno. Considerando, portanto, o caso
do parˆametro γ → 0 (Fig.3.30(a)), percebe-se que a sensibilidade topol´ogica apresenta
uma tendˆencia a coalecer os poros, criando bandas de rigidez nula alinhadas na dire¸c˜ao do
vetor e
2
(regi˜oes mais escuras), gerando uma disminui¸c˜ao da resposta el´astica associada `a
dire¸c˜ao do vetor e
1
(Fig.3.32(b)). Por outro lado, no caso do parˆametro γ → ∞ (Fig.3.31)
a tendˆencia mostrada pelo campo de sensibilidade topol´ogica ´e de vincular os poros, na
dire¸c˜ao do vetor e
2
, atrav´es de uma inclus˜ao r´ıgida (regi˜oes mais claras) com o objetivo
de aumentar o valor da componente (C)
1111
(Fig.3.32(c)).
(a) Original (b) Caso γ → 0 (c) Caso γ → ∞
Figura 3.32: exemplo 2 - tendˆencia do campo (D
T µ
)
1111
.
Cabe mencionar ainda que, embora a tendˆencia mostrada pela sensibilidade topol´ogica
para os casos γ → 0 e γ → ∞ seja a mesma, existe uma diferen¸ca conceitual muito im-
portante entre ambos os casos de an´alise, o que justifica plenamente a apresenta¸c˜ao das
duas situa¸c˜oes limites para o valor do parˆametro γ.
3.2.3.3 Exemplo 3
Considere um EVR quadrado de dimens˜oes unit´arias com dois poros circulares de
raio r = 0.05, centrados nas coordenadas (1/2, 1/3) e (1/2, 2/3) – considerando que a
origem do sistema de coordenadas cartesianas est´a posicionada no canto inferior esquerdo
do EVR, como pode ser visto na Fig.3.33. O material utilizado na an´alise est´a caracte-
144
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
rizado atrav´es do M´odulo de Young E = 50.0 MPa e coeficiente de Poisson ν = 0.3.
Complementando a descri¸c˜ao da micro-c´elula utilizada neste exemplo, cabe mencionar
que na discretiza¸c˜ao por elementos finitos foi utilizada uma malha uniforme com 22686
elementos triangulares quadr´aticos isoparam´etricos, gerando um total de 45833 n´os.
Figura 3.33: exemplo 3 - geometria do EVR de an´alise.
A micro-c´elula descrita anteriormente fornece ao n´ıvel macrosc´opico a seguinte re-
posta constitutiva, para cada um dos modelos multi-escala estudado:
C
L
=
52.47 15.77 0.0
15.77 52.63 0.0
0.0 0 .0 18.31
, C
P
=
52.46 15.77 0.0
15.77 52.61 0.0
0.0 0.0 18.27
e C
M
=
52.43 15.82 0.0
15.82 52.53 0.0
0.0 0.0 18.25
.
Como mencionado ao in´ıcio desta se¸c˜ao, neste exemplo prop˜oe-se mostrar um pro-
cedimento de an´alise que permite tornar isotr´opica uma resposta constitutiva inicialmente
anisotr´opica, introduzindo furos (perturba¸c˜oes) circulares. Com esse objetivo, considere
inicialmente a seguinte decomposi¸c˜ao do tensor de elasticidade macrosc´opico associado ao
dom´ınio perturbado C
ε
(Banckus (1970) [13], Spenser (1970) [122] e Ting & He (2006)
[126]):
C
ε
= C
iso
ε
+ Z
ε
, (3.218)
onde C
iso
ε
´e a parte isotr´opica do tensor C
ε
e Z
ε
´e o tensor de quarta ordem sim´etrico
complemento ortogonal de C
iso
ε
(Gazis et al. (1963) [41] e Tu (1968) [130]). Note-se da
express˜ao (3.218) que a diferen¸ca entre C
ε
e C
iso
ε
ser´a m´ınima quando Z
ε
→ O. Visando,
portanto, procurar os pontos y ∈ Ω
µ
onde introduzir as perturba¸c˜oes que minimizam a
diferen¸ca entre C
ε
e C
iso
ε
, define-se a fun¸c˜ao escalar ζ
ε
(y) como:
ζ
ε
(y) := Z
ε
· Z
ε
⇒
C
ε
− C
iso
ε
2
→
ζ
ε
(y)→0
0, (3.219)
onde (·) denota a cl´assica norma euclidiana para tensores de quarta ordem.
A dependˆencia da fun¸c˜ao ζ
ε
(y) com o parˆametro ε decorre do fato da presen¸ca da
fun¸c˜ao v(ε) na estimativa da resposta constitutiva macrosc´opica associada ao dom´ınio
perturbado C
ε
, ou seja, para calcular a fun¸c˜ao ζ
ε
(y) ´e necess´ario fornecer a fra¸c˜ao de
volume perturbado com a qual se deseja minimizar a distˆancia entre os tensores C
ε
e C
iso
ε
.
145
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Al´em do mais, o tensor C
ε
ser´a calculado atrav´es da estimativa de primeira ordem na
fra¸c˜ao de volume perturbado apresentada na eq.(3.217).
Baseado no discutido anteriormente, o procedimento de an´alise ´e o seguinte: em-
pregando as informa¸c˜oes fornecidas pelo tensor de sensibilidade topol´ogica D
T µ
, o EVR
ser´a perturbado com a introdu¸c˜ao de furos circulares onde a fun¸c˜ao ζ
ε
(y) atinja seu valor
m´ınimo. Assim sendo, neste exemplo ser˜ao exploradas as seguintes 3 situa¸c˜oes de con-
figura¸c˜oes de perturba¸c˜oes:
Caso A: 4 furos de raio 0.01 ⇒ v(ε) = 4π(0.01)
2
≈ 0.001256;
Caso B: 2 furos de raio 0.05/
√
2 ⇒ v(ε) = 2π(0.05/
√
2)
2
≈ 0.007854;
Caso C: 2 furos de raio 0.05 ⇒ v(ε) = 2π(0.05)
2
≈ 0.015708.
Em seguida, na Fig.3.34 s˜ao mostradas as microestruturas perturbadas, segundo o
procedimento ora descrito, onde se observam as posi¸c˜oes dos furos para cada modelo con-
stitutivo multi-escala. Logo, a Tabela 3.4 apresenta a resposta constitutiva homogeneizada
associada a cada microestrutura das apresentadas na Fig.3.34.
(a) Modelo linear: caso A (b) Modelo linear: caso B (c) Modelo linear: caso C
(d) Modelo peri´odico: caso A (e) Modelo peri´odico: caso B (f) Modelo peri´odico: caso C
(g) Modelo uniforme: caso A (h) Modelo uniforme: caso B (i) Modelo uniforme: caso C
Figura 3.34: exemplo 3 - configura¸c˜ao das perturba¸c˜oes.
146
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
C
L
ε
=
52.3762 15.6843 −0.0017
15.6843 52.3848 0.0003
−0.0017 0.0003 18.1972
C
P
ε
=
52.3719 15.6837 −0.002
15.6837 52.3760 0.0004
−0.002 0.0004 18.1514
C
M
ε
=
52.3057 15.7477 0.0001
15.7477 52.3085 0.0
0.0001 0.0 18.1513
(a) Caso A.
C
L
ε
=
51.4815 15.4377 0.0
15.4377 51.4290 0.0
0.0 0.0 17.9286
C
P
ε
=
51.5337 15.3792 0.0
15.4792 51.2370 0.0
0.0 0.0 17.7375
C
M
ε
=
51.2395 15.5456 0.0
15.5456 51.2566 0.0
0.0 0.0 17.8362
(b) Caso B.
C
L
ε
=
50.1642 15.2883 −0.0003
15.2883 50.0289 0.0002
−0.0003 0.0002 17.655
C
P
ε
=
50.1435 15.2852 −0.0004
15.2852 50.0114 0.0002
−0.0004 0.0002 17.5624
C
M
ε
=
49.8573 15.5182 −0.0007
15.5182 49.7767 0.0004
−0.0007 0.0004 17.5384
(c) Caso C.
Tabela 3.4: exemplo 3 - resposta constitutiva macrosc´opica.
Levando em considera¸c˜ao a resposta constitutiva inicial C, tem-se dos resultados
mostrados na Tabela 3.4, para o Caso A, uma queda de duas ordens de grandeza na
diferen¸ca entre os valores (C
ε
)
1111
e (C
ε
)
2222
, j´a no Caso B a diferen¸ca entre os mencionados
valores desce somente uma ordem, e finalmente no Caso C essa diferen¸ca preserva a mesma
ordem de grandeza inicial, mas houve uma diminui¸c˜ao no seu valor. Al´em do mais, as
outras componentes preservam sua ordem de grandeza.
Dos resultados mostrados anteriormente, observa-se que quanto menor o tamanho
da perturba¸c˜ao introduzida, menor a distˆancia entre a resposta constitutiva inicial e uma
resposta do tipo isotr´opica do tensor de elasticidade macrosc´opica associado ao dom´ınio
do EVR perturbado C
ε
. Acredita-se que esse comportamento decorre de dois fatos: (i) a
an´alise de sensibilidade topol´ogica ´e desenvolvida para perturba¸c˜oes infinitesimais, mas na
pr´atica ´e necess´ario introduzir perturba¸c˜oes finitas, portanto, ´e poss´ıvel que a estimativa
de primeira ordem – na fra¸c˜ao de volume – fornecida pelo tensor D
T µ
n˜ao seja totalmente
adequada para tamanhos de perturba¸c˜oes (furos) importantes; e (ii) o c´alculo da resposta
constitutiva macrosc´opica ´e realizado atrav´es da solu¸c˜ao de um sistema de equa¸c˜oes varia-
cionais levando em conta a topologia completa do problema, p ortanto, quanto maior o
tamanho das perturba¸c˜oes (furos) introduzidas, maior a intera¸c˜ao entre elas, afetando de
forma mais significativa a resposta macrosc´opica final. Em particular, nas figuras associ-
adas ao Caso C (Figs.3.34(c), 3.34(f) e 3.34(i)) ´e mostrada em linha tracejada o que poderia
ser considerado, para este caso em particular, de posi¸c˜ao ´otima das perturba¸c˜oes de raio
0.05, mostrando que a estimativa de primeira ordem fornecida pela derivada topol´ogica
´e suficiente para determinar com certo n´ıvel de precis˜ao onde devem ser introduzidos
os furos. Cabe mencionar que a maior distˆancia entre a resposta constitutiva inicial e
a procurada (isotr´opica) corresponde ao Caso C, cujo comportamento foi anteriormente
analisado, mas aqui se deseja refor¸car que a resposta constitutiva homogeneizada ´e muito
sens´ıvel `a posi¸c˜ao das perturba¸c˜oes.
Finalmente, observa-se ainda que, os resultados obtidos n˜ao apresentam uma diferen-
¸ca apreci´avel entre os diferentes modelos constitutivos multi-escala. Portanto, na Fig.3.35
s˜ao apresentadas as isofaixas da fun¸c˜ao ζ
ε
(y) associadas ao modelo de flutua¸c˜ao peri´odica
de deslocamento no contorno do EVR, para os trˆes casos estudados. Percebe-se claramente
a posi¸c˜ao onde devem ser colocados os furos, o que mostra a qualidade da informa¸c˜ao
obtida com o procedimento apresentado neste exemplo.
147
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Field:Field-0.02
Max.:1.5158E+000
Node:22411
Min.:1.9971E-004
Node:29365
Palette:
2.500000E-002
2.344998E-002
2.189996E-002
2.034994E-002
1.879993E-002
1.724991E-002
1.569989E-002
1.414987E-002
1.259985E-002
1.104983E-002
9.499816E-003
7.949798E-003
6.399779E-003
4.849761E-003
3.299742E-003
1.749724E-003
1.997057E-004
(a) Caso A
Field:Field-0.05
Max.:5.0447E+001
Node:22411
Min.:1.0685E-008
Node:38961
Palette:
8.000000E-004
7.500007E-004
7.000013E-004
6.500020E-004
6.000027E-004
5.500033E-004
5.000040E-004
4.500047E-004
4.000053E-004
3.500060E-004
3.000067E-004
2.500073E-004
2.000080E-004
1.500087E-004
1.000093E-004
5.001002E-005
1.068528E-008
(b) Caso B
Field:Field-0.07
Max.:1.9893E+002
Node:13931
Min.:6.5455E-006
Node:13585
Palette:
1.000000E-001
9.375041E-002
8.750082E-002
8.125123E-002
7.500164E-002
6.875205E-002
6.250245E-002
5.625286E-002
5.000327E-002
4.375368E-002
3.750409E-002
3.125450E-002
2.500491E-002
1.875532E-002
1.250573E-002
6.256136E-003
6.545501E-006
(c) Caso C
Figura 3.35: exemplo 3 - fun¸c˜ao ζ
ε
(y) para o modelo peri´odico.
3.2.3.4 Exemplo 4
Baseado nos conceitos introduzidos no exemplo anterior, agora ser´a estudada uma
micro-estrutura com resposta constitutiva anisotr´opica e ser˜ao simulados os quatro primei-
ros passos de um processo de otimiza¸c˜ao, com o objetivo de tornar isotr´opica a resposta
constitutiva do EVR analisado. Portanto, a micro-c´elula estudada est´a caracterizada por
um quadrado unit´ario com trˆes poros de raio r = 0.05, com centro nas coordenadas
(11/20,1/5); (3/4,3/5) e (9/20,17/20) (considerando que a origem do sistema de coor-
denadas cartesianas est´a posicionada no canto inferior esquerdo do EVR), como pode
ser visto na Fig.3.36. O material do EVR est´a definido atrav´es do M´odulo de Young
E = 210.0 MPa e coeficiente de Poisson ν = 1/3. Na resolu¸c˜ao computacional foi empre-
gada uma discretiza¸c˜ao uniforme por elementos finitos com 22533 elementos triangulares
isoparam´etricos quadr´aticos com um total de 45557 n´os.
Figura 3.36: exemplo 4 - geometria do EVR de an´alise.
Nos exemplos anteriores foi mostrado que os resultados obtidos n˜ao variam aprecia-
velmente com os diferentes modelos constitutivos multi-escala, portanto, neste exemplo
somente ser´a estudado o modelo de flutua¸c˜ao peri´odica de deslocamento no contorno.
Pois esse modelo ´e o mais estudado – e desenvolvido – na literatura especializada. Assim,
a resposta constitutiva homogeneizada do EVR estudado ´e dada por:
C
P
=
219.9712 73.4158 −0.1666
73.4158 220.6337 0.1768
−0.1666 0.1768 73.4065
.
148
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
Considerando a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao ζ
ε
(y) mostrada na eq.(3.219), ser˜ao simulados
quatro passos de um processo de otimiza¸c˜ao, onde cada passo tem as seguintes etapas: (i)
calcular a fun¸c˜ao ζ
ε
(y) associada ao EVR da itera¸c˜ao; (ii) perturbar o dom´ınio do EVR
introduzindo furos nos pontos onde a fun¸c˜ao ζ
ε
(y) seja m´ınima. Em particular, a fra¸c˜ao de
volume a ser retirada em cada passo ´e constante no valor de v(ε) = π(0.02)
2
≈ 0.001256,
obtendo-se ao final do processo iterativo um volume s´olido de |Ω
m
µ
ε
| = 0.99623. Al´em do
mais, ser˜ao exploraras trˆes situa¸c˜oes para a configura¸c˜ao da quantidade de material a ser
retirado em cada itera¸c˜ao:
Caso A: 1 furo de raio 0.02;
Caso B: 2 furos de raio 0.02/
√
2 ≈ 0.014142;
Caso C: 4 furos de raio 0.01.
A resposta constitutiva macrosc´opica obtida ao final da simula¸c˜ao descrita anterior-
mente ´e apresentada no que segue:
Caso A:
C
P
ε
=
217.2772 72.0516 −0.009
72.0516 217.2738 0.0042
−0.009 0.0042 71.9479
;
Caso B:
C
P
ε
=
217.1674 72.1851 −0.0022
72.1851 217.1707 0.0002
−0.0022 0.0002 72.1204
;
Caso C:
C
P
ε
=
217.2912 72.1089 0.0063
72.1089 217.2908 −0.006
0.0063 −0.006 71.9797
.
As topologias obtidas em cada itera¸c˜ao para cada caso dos mencionados anterior-
mente s˜ao mostrados nas Figs.3.37. Para avaliar o desempenho da metodologia proposta
neste exemplo, defini-se a fun¸c˜ao
ξ :=
(C
P
ε
)
1111
− (C
P
ε
)
2222
+ (C
P
ε
)
1112
+ (C
P
ε
)
2212
max
i∈{1,2}
(C
P
ε
)
iiii
, (3.220)
como uma medida de distˆancia relativa entre a resposta constitutiva atual do EVR e a
resposta desejada (isotr´opica para este exemplo). Assim sendo, da defini¸c˜ao estabelecida
acima, segue que a fun¸c˜ao ξ possui a seguinte propriedade
ξ → 0 ⇒ C
P
ε
→ 2µ
P
ε
I + λ
P
ε
(I ⊗ I). (3.221)
149
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
(a) Caso A – itera¸c˜ao 1 (b) Caso B – itera¸c˜ao 1 (c) Caso C – itera¸c˜ao 1
(d) Caso A – itera¸c˜ao 2 (e) Caso B – itera¸c˜ao 2 (f) Caso C – itera¸c˜ao 2
(g) Caso A – itera¸c˜ao 3 (h) Caso B – itera¸c˜ao 3 (i) Caso C – itera¸c˜ao 3
(j) Caso A – itera¸c˜ao 4 (k) Caso B – itera¸c˜ao 4 (l) Caso C – itera¸c˜ao 4
Figura 3.37: exemplo 4 - dom´ınios topologicamente perturbado em cada itera¸c˜ao.
A avalia¸c˜ao da fun¸c˜ao ξ para cada caso estudado ao longo da simula¸c˜ao do processo
de otimiza¸c˜ao ´e apresentada na Fig.3.38. Note-se que, aqui e no exemplo anterior, o
objetivo est´a focado no tipo de resposta macrosc´opica obtida do EVR e n˜ao no valor
num´erico das constantes el´asticas que caracteriza essa resposta, ou seja, procura-se uma
microestrutura que possua uma resposta constitutiva final do tipo (3.221)
2
, sem ser muito
relevante, por enquanto, o valor das constantes de Lam´e µ
P
ε
e λ
P
ε
. Entretanto, dos resulta-
dos anteriores observa-se que o valor da resposta constitutiva macrosc´opica ´e menor que a
150
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
inicial, esse comportamento (estudado em detalhe nos exemplos 1 e 2, veja Se¸c˜oes 3.2.3.1 e
3.2.3.2) decorre do fato de ter empregado furos como perturba¸c˜oes. Para produzir o efeito
contr´ario, poder-se-ia utilizar como perturba¸c˜ao inclus˜oes de material mais r´ıgido que a
matriz.
0,00000
0,00025
0,00050
0,00075
0,00100
0,00125
0,00150
0,00175
0,00200
0,00225
0,00250
0,00275
0,00300
0,00325
01234
Caso A
CasoB
CasoC
Figura 3.38: exemplo 4 - evolu¸c˜ao da fun¸c˜ao ξ na simula¸c˜ao.
Finalmente, observa-se que, embora a quantidade de furos introduzidos no processo
iterativo seja diferente para cada caso, as respostas constitutivas finais, obtidas da simu-
la¸c˜ao do processo de otimiza¸c˜ao, s˜ao similares. Portanto, a quantidade e o tamanho
dos furos a serem introduzidos em cada passo do processo devem ser considerados uma
vari´avel de projeto, ou seja, tem-se liberdade para escolher o tamanho e quantidade de
perturba¸c˜oes, mas a t´ecnica aqui apresentada fornece as posi¸c˜oes onde elas devem ser
colocadas no EVR.
3.2.3.5 Exemplo 5
Neste exemplo ser´a apresentada uma metodologia de an´alise para ser utilizada no
projeto e/ou otimiza¸c˜ao de microestruturas. Com esse objetivo e considerando uma res-
posta constitutiva macrosc´opica desejada, caracterizada atrav´es tensor el´astico C
, defini-
se o funcional de forma ψ(ε), associado ao dom´ınio perturbado Ω
µ
ε
, como:
ψ(ε) := C
ε
− C
2
⇒ ψ(0) = C − C
2
, (3.222)
onde C e C
ε
denotam, respectivamente, as respostas constitutivas homogeneizadas asso-
ciadas aos dom´ınios Ω
µ
(n˜ao perturbado) e Ω
µ
ε
(perturbado). Al´em do mais, assumi-se
que a norma euclidiana de um tensor ´e definida, atrav´es do produto escalar, como
A :=
√
A·A, (3.223)
sendo A um tensor arbitr´ario de quarta ordem.
Considerando a expans˜ao assint´otica da resposta constitutiva macrosc´opica C
ε
apre-
151
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
sentada na eq.(3.213), tem-se que a expans˜ao assint´otica topol´ogica do funcional ψ(ε) p ode
ser escrita como
C
ε
− C
2
= C − C
2
− 2v(ε)D
T µ
· (C − C
) + o(v(ε)), (3.224)
onde o campo escalar 2D
T µ
·(C −C
) ´e reconhecido como a derivada topol´ogica associada
ao funcional ψ, ou seja,
D
T µ
ψ := 2D
T µ
· (C − C
). (3.225)
Observa-se da express˜ao anterior que, para obter uma resposta constitutiva C
a
partir de uma resposta inicial C, devem ser introduzidas perturba¸c˜oes singulares nos pon-
tos onde o camp o de sensibilidade topol´ogica D
T µ
ψ atinja seus valores m´aximos. Em
resumo, dado inicialmente um tensor de elasticidade macrosc´opico desejado C
e uma
micro-estrutura com resposta constitutiva homogeneizada C, com dom´ınio denotado por
Ω
µ
, o mencionado campo escalar D
T µ
ψ mede a sensibilidade topol´ogica `a introdu¸c˜ao de
uma perturba¸c˜ao singular no dom´ınio Ω
µ
, que minimize (ou maximize) a diferen¸ca entre as
resposta constitutivas C e C
. Al´em do mais, note-se que a derivada topol´ogica D
T µ
ψ nem
sempre ´e positiva, pois seu sinal prov´em do tensor D
T µ
(atrav´es do valor do parˆametro γ)
e da diferen¸ca entre os tensores C e C
(atrelado `a resposta constitutiva inicial do EVR).
Para exemplificar o discutido anteriormente, agora ser´a estudado o caso particular
de um EVR quadrado de dimens˜oes unit´arias com um volume de s´olido de |Ω
m
µ
| ≈ 0.9562
e material caracterizado pelo m´odulo de Young E = 210.0 M P a e coeficiente de Poisson
ν = 1/3. Na simula¸c˜ao num´erica s˜ao estudadas duas distribui¸c˜oes de vazios diferentes para
o mesmo volume s´olido:
Caso A: um ´unico poro centrado de raio r ≈ 0.118 (Fig.3.39(a)) no dom´ınio Ω
µ
, dis-
cretizado com uma malha uniforme de elementos finitos isoparam´etricos quadr´aticos
com um total de 44478 n´os e 22002 elementos.
Caso B: 4 poros de raio r ≈ 0.059 centrados nas coordenadas cartesianas (1/4, 1/4);
(1/4, 3/4); (3/4, 1/4) e (3/4, 3/4), considerando que a origem do sistema de coorde-
nadas cartesianas est´a posicionada no canto inferior esquerdo do EVR (Fig.3.39(b)).
Na discretiza¸c˜ao foi utilizada uma malha uniforme de elementos finitos isoparam´etricos
quadr´aticos com um total de 44693 n´os e 22074 elementos.
Para as duas situa¸c˜oes de an´alise mencionadas anteriormente, a resposta constitutiva
homogeneizada ´e isotr´opica, cujos tensores el´asticos s˜ao os seguintes:
C
A
=
208.239 68.684 0.0
68.684 208.239 0.0
0.0 0.0 68.613
e C
B
=
208.240 68.683 0.0
68.683 208.240 0.0
0.0 0.0 68.615
. (3.226)
Como tensor de condutividade t´ermica objetivo, adota-se uma resposta constitu-
tiva ortotr´opica como a mostrada no exemplo 1 desta se¸c˜ao, para o modelo de flutua¸c˜ao
peri´odica de deslocamento no contorno do EVR com γ = 0.10 (veja Fig.3.20), aqui repetida
152
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
por conveniˆencia:
C
=
187.29 61.28 0.0
61.28 193.20 0.0
0.0 0.0 61.44
. (3.227)
(a) Caso A. (b) Caso B.
Figura 3.39: exemplo 5 - dom´ınios de an´alise para os casos de estudo.
O procedimento de an´alise proposto neste exemplo pode ser resumido nas seguintes
etapas: (i) dado um EVR, obter a resposta constitutiva homogeneizada C; (ii) calcular o
tensor de sensibilidade topol´ogica D
T µ
, asso ciado ao dom´ınio Ω
µ
do EVR; e (iii) construir
o campo escalar D
T µ
ψ com a express˜ao (3.225) e a resposta desejada C
ora apresentada.
Pelas mesmas quest˜oes mencionadas no exemplo anterior, agora ser´a estudado somente
o modelo constitutivo multi-escala associado a flutua¸c˜oes peri´odicas de deslocamento no
contorno do EVR. Assim sendo, na Fig.3.40 s˜ao mostrados os campos de sensibilidade
topol´ogica D
T µ
ψ para os Casos A e B, respectivamente.
Field:DtField
Max.:1.947104E+005
Node:14948
Min.:4.966033E+004
Node:9630
Palette:
1.300000E+005
1.249788E+005
1.199575E+005
1.149363E+005
1.099151E+005
1.048939E+005
9.987262E+004
9.485139E+004
8.983017E+004
8.480894E+004
7.978771E+004
7.476648E+004
6.974525E+004
6.472402E+004
5.970279E+004
5.468156E+004
4.966033E+004
(a) Caso A.
Field:DtField
Max.:1.957076E+005
Node:5787
Min.:4.965997E+004
Node:31356
Palette:
1.300000E+005
1.249787E+005
1.199575E+005
1.149362E+005
1.099150E+005
1.048937E+005
9.987249E+004
9.485124E+004
8.982998E+004
8.480873E+004
7.978748E+004
7.476623E+004
6.974498E+004
6.472373E+004
5.970247E+004
5.468122E+004
4.965997E+004
(b) Caso B.
Figura 3.40: exemplo 5 - campo D
T
para os casos de estudo.
Observa-se da figura anterior que, para cada caso estudado, os m´aximos do campo
de sensibilidade topol´ogica D
T µ
ψ ocorrem no contorno dos poros preexistentes. Indicando
uma tendˆencia a mudar de forma do furo circular para um furo el´ıptico, minimizando a
distˆancia entre as resposta C e C
. Essa tendˆencia ´e mostrada na Fig.3.41.
153
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
(a) Caso A. (b) Caso B.
Figura 3.41: exemplo 5 - tendˆencia do campo D
T
.
Finalmente, cabe mencionar que, a metodologia apresentada neste exemplo ´e fact´ıvel
de ser utilizada no projeto ou otimiza¸c˜ao de micro-estruturas, pois a derivada topol´ogica
do funcional ψ, mostrada na eq.(3.225), pode ser utilizada como dire¸c˜ao de descida de um
algoritmo de otimiza¸c˜ao. De fato, prop˜oe-se a seguinte estrutura para um algoritmo que
minimize a distˆancia entre as respostas constitutivas macrosc´opicas C e C
:
Descri¸c˜ao completa do dom´ınio inicial do EVR Ω
µ
, a resposta constitutiva
macrosc´opica desejada C
, o valor do parˆametro γ, o n´umero m´aximo de itera¸c˜oes
N e uma tolerˆancia tol.
Calcule os valores iniciais (itera¸c˜ao j = 0) da resposta constitutiva macrosc´opica
C, o tensor de sensibilidade topol´ogica D
T µ
e a derivada topol´ogica D
T µ
ψ.
Enquanto
D
j
T µ
ψ
> tol e j ≤ N, fa¸ca:
- Calcule C
j
, D
j
T µ
e D
j
T µ
ψ no dom´ınio Ω
j
µ
.
- Altere o dom´ınio atual Ω
j
µ
introduzindo perturba¸c˜oes, de acordo com o valor do
parˆametro γ, nos pontos onde D
j
T µ
ψ atinge os m´aximos valores.
- Atualize Ω
j+1
µ
= Ω
j
µ
e j ← j + 1.
Assegure que C
j
≈ C
.
Algoritmo B: otimiza¸c˜ao topol´ogica de micro-estruturas especializadas em elasticidade
linear.
3.2.3.6 Exemplo 6
Como ´ultimo exemplo do presente cap´ıtulo, prop˜oe-se utilizar a metodologia desen-
volvida no exemplo anterior para desenhar uma microestrutura que a n´ıvel macrosc´opico
apresente um coeficiente de Poisson negativo. Visando cumprir esse objetivo ser´a em-
pregado o algoritmo proposto anteriormente (algoritmo B), fazendo uso da expans˜ao
assint´otica topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico mostrada na eq.(3.213). Da
mesma forma que no exemplo anterior, somente ser´a estudado o modelo de flutua¸c˜ao
peri´odica de deslocamento no contorno do EVR.
154
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
A resposta constitutiva objetivo utilizada na an´alise foi obtida da Se¸c˜ao 3.1.9.4 (pag.
118) para quando o coeficiente de Poisson macrosc´opico atinge um valor pr´oximo a −0.15,
para o modelo ora mencionado, veja Fig.3.12. Assim sendo, o tensor el´astico objetivo C
´e dado por
C
=
11.5403 −1.748 0.0
−1.748 11.5403 0.0
0.0 0.0 0.792
⇒
E
≈ 11.275MP a
ν
≈ −0.152
. (3.228)
Como condi¸c˜ao inicial para o algoritmo ser´a utilizada uma microestrutura caracteri-
zada por um quadrado de dimens˜oes unit´arias com uma inclus˜ao circular de raio r = 0.15
centrada no dom´ınio. Os valores do m´odulo de Young da matriz e da inclus˜ao utilizados na
simula¸c˜ao foram de E
m
= 1.0 MP a e E
i
= 250.0 MP a, respectivamente. O coeficiente de
Poisson para ambos os materiais ´e positivo e igual a ν = 0.3. A geometria do EVR, descrito
anteriormente, e a resposta constitutiva homogeneizada s˜ao mostrados na Fig.3.42. Cabe
mencionar que esses valores para os parˆametros dos materiais se correspondem com os
utilizados para obter a resposta constitutiva desejada C
, ver Se¸c˜ao 3.1.9.4. O dom´ınio de
an´alise foi discretizado utilizando uma malha uniforme com 22568 elementos triangulares
lineares (3 n´os por elementos), gerando um total de 11485 n´os.
Figura 3.42: exemplo 6 - geometria do dom´ınio de an´alise.
⇒ C =
1.2275 0.3672 0.0
0.3672 1.2275 0.0
0.0 0.0 0.4255
Na Fig.3.43 s˜ao mostradas as topologias obtidas para alguns passos intermedi´arios do
algoritmo de otimiza¸c˜ao apresentado no exemplo anterior (Algoritmo B), correspondentes
`as itera¸c˜oes j ∈ {30, 60, 90}.
155
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
(a) Itera¸c˜ao 30. (b) Itera¸c˜ao 60. (c) Itera¸c˜ao 90.
Figura 3.43: exemplo 6 - evolu¸c˜ao da topolog´ıa no processo de otimiza¸c˜ao.
A topologia final obtida na itera¸c˜ao j = 120 ´e apresentada na Fig.3.44. Ainda na
mesma figura, mostra-se como ficaria constitu´ıdo o material desenhado neste exemplo,
atrav´es da distribui¸c˜ao peri´odica do EVR.
(a) Topologia obtida. (b) Distribui¸c˜ao peri´odica do EVR.
Figura 3.44: exemplo 6 - resultados obtidos.
Em seguida ´e apresentada a resposta constitutiva homogeneizada associada ao resul-
tado mostrado na Fig.3.44(a). Na Fig.3.45 mostra-se a evolu¸c˜ao do valor relativo da fun¸c˜ao
ψ(ε), eq.(3.222), para a simula¸c˜ao apresentada neste exemplo. Cabe ainda mencionar que
os resultados obtidos com o algoritmo proposto neste exemplo s˜ao muito satisfat´orios. De
fato, observa-se que a diferen¸ca entre os valores desejados e os obtidos no final da simula¸c˜ao
´e da ordem do 4 %.
C =
11.302 −1.252 0.0
−1.252 11.302 0.0
0.0 0.0 0.605
⇒
E ≈ 11.164MP a
ν ≈ −0.111
. (3.229)
156
Cap´ıtulo 3. Elasticidade linear
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 20 40 60 80 100 120
Figura 3.45: exemplo 6 - evolu¸c˜ao do valor relativo da fun¸c˜ao custo.
3.3 Coment´arios adicionais
Neste Cap´ıtulo foram apresentadas as equa¸c˜oes e estrutura variacional da mo de-
lagem constitutiva multi-escala para s´olidos el´asticos. Partindo de um princ´ıpio de equil´ı-
brio e assumindo que os tensores deforma¸c˜ao e tens˜ao macrosc´opica s˜ao definidos como
a m´edia volum´etrica de suas contrapartes microsc´opicas sobre um Elemento de Volume
Representativo do material, foi poss´ıvel derivar de maneira axiom´atica uma fam´ılia de
modelos constitutivos multi-escala. De fato, a estrutura variacional desenvolvida permitiu
distinguir claramente as hip´oteses b´asicas das suas conseq¨uˆencias. Adicionalmente, foi
apresentada de forma detalhada a discretiza¸c˜ao e implementa¸c˜ao computacional, pelo
m´etodo dos elementos finitos, da modelagem utilizada neste trabalho.
Em seguida, foi utilizada a an´alise de sensibilidade topol´ogica no c´alculo da derivada
topol´ogica para os modelos constitutivos multi-escala mencionados anteriormente. A mo-
delagem multi-escala ´e particulamente apropriada porque permite uma clara identifica¸c˜ao
dos espa¸cos envolvidos. Sendo poss´ıvel calcular de forma expl´ıcita a derivada topol´ogica
associada `a energia espec´ıfica macrosc´opica. Como resultado fundamental deste trabalho
foi identificado um tensor sim´etrico de quarta ordem, cujas componentes dependem das
solu¸c˜oes dos problemas variacionais canˆonicos associados ao dom´ınio original n˜ao per-
turbado. Esse tensor, representa a sensibilidade topol´ogica do operador constitutivo
macrosc´opico quando ´e introduzida uma pequena inclus˜ao circular na micro-escala.
Finalmente, visando mostrar as caracter´ısticas e propriedades contidas no tensor
de sensibilidade topol´ogica, os resultados te´oricos foram aplicados no desenvolvimento de
seis exemplos computacionais. Cada um desses exemplos foi concebido para mostrar dife-
rentes caracter´ısticas da informa¸c˜ao fornecida pelo tensor mencionado anteriormente. Os
resultados num´ericos apresentados na Se¸c˜ao 3.2.3 s˜ao bastante satisfat´orios, evidenciando
assim as potencialidades de aplica¸c˜ao do resultado obtido no desenvolvimento de novos
m´etodos de s´ıntese de microestruturas.
157
Cap´ıtulo 4. Conclus˜oes
Cap´ıtulo 4
Conclus˜oes
O presente trabalho teve como prop´osito principal desenvolver a an´alise de sensibil-
idade topol´ogica em modelos constitutivos multi-escala, cuja motiva¸c˜ao reside na neces-
sidade de estabelecer uma rela¸c˜ao estrita e rigorosa entre as mudan¸cas na conforma¸c˜ao
interna de um material (micro-estrutura) e suas conseq¨uˆencias na resposta constitutiva
macrosc´opica. Em particular, utilizaram-se as metodologias usuais de modelagem multi-
escala conjuntamente com os conceitos da an´alise de sensibilidade topol´ogica. Neste sen-
tido, considerando o Princ´ıpio de Macro-Homogeneidade de Hill-Mandel e o conceito de
m´edia volum´etrica, foi estabelecida uma formula¸c˜ao variacional que conduz a uma axi-
omatiza¸c˜ao da modelagem constitutiva multi-escala adotada, permitindo, por sua vez,
escrever as equa¸c˜oes de equil´ıbrio na micro-escala de maneira rigorosa atrav´es de uma
clara identifica¸c˜ao dos espa¸cos envolvidos. Dessa forma, obteve-se uma estrutura ade-
quada para o desenvolvimento da an´alise de sensibilidade topol´ogica de modelos cons-
titutivos multi-escala. Particularmente, neste trabalho foram tratados dois problemas
cl´assicos da modelagem computacional: condu¸c˜ao estacion´aria de calor e elasticidade li-
near. Inicialmente foi desenvolvida a modelagem constitutiva multi-escala de cada um
dos problemas ora mencionados. Em seguida, considerando que a micro-estrutura sofre
uma perturba¸c˜ao singular caracterizada pela nuclea¸c˜ao de uma inclus˜ao circular composta
de material com propriedades f´ısicas distintas do meio, foram calculadas as respectivas
derivadas topol´ogicas. Neste cap´ıtulo, portanto, apresentam-se as contribui¸c˜oes do pre-
sente trabalho para a modelagem computacional, bem como uma breve discuss˜ao dos
resultados principais e apontam-se alguns problemas em aberto a serem estudados no
futuro. Encerrando o cap´ıtulo, mostram-se alguns indicadores acadˆemicos associados ao
presente estudo.
4.1 Contribui¸c˜oes deste trabalho
As principais contribui¸c˜oes deste trabalho foram apresentadas nos Cap´ıtulos 2 e 3,
onde foi obtida a derivada topol´ogica dos modelos constitutivos multi-escala associados aos
problemas bidimensionais de condu¸c˜ao estacion´aria de calor e elasticidade linear, respec-
tivamente. Para o c´alculo da derivada topol´ogica se utilizou o topological-shape sensitivity
method, empregando o ferramental matem´atico da an´alise de sensibilidade `a mudan¸ca de
159
Cap´ıtulo 4. Conclus˜oes
forma para o caso particular em que a perturba¸c˜ao singular sofre uma expans˜ao uniforme.
A utiliza¸c˜ao conjunta dos conceitos da modelagem constitutiva multi-escala e an´alise de
sensibilidade topol´ogica permitiu obter a derivada topol´ogica para os modelos ora men-
cionados. Como resultado fundamental dessa an´alise, foi identificado um campo tensorial
da mesma ordem que o operador constitutivo macrosc´opico, que representa a sensibilidade
topol´ogica do tensor constitutivo macrosc´opico quando ´e introduzida uma perturba¸c˜ao
singular na micro-escala, caracterizada pela nuclea¸c˜ao de uma inclus˜ao circular composta
de material com propriedades f´ısicas diferentes do meio. As componentes do mencionado
campo tensorial dependem apenas das solu¸c˜oes dos problemas variacionais canˆonicos asso-
ciados ao dom´ınio original n˜ao perturbado. Al´em do mais, foram mostrados os casos
limites da express˜ao final do tensor de sensibilidade topol´ogica, atrav´es do estudo do con-
traste caracterizado pelo parˆametro γ. Em seguida, desenvolveram-se diversos exemplos
num´ericos ilustrativos, visando mostrar as caracter´ısticas e/ou propriedades do tensor de
sensibilidade topol´ogica. Nesses exemplos, foram apresentadas trˆes diferentes formas de
utiliza¸c˜ao dos resultados obtidos:
1. An´alise das componentes do tensor de sensibilidade topol´ogica;
2. An´alise atrav´es dos invariantes do tensor de sensibilidade topol´ogica;
3. An´alise e proposta de um algoritmo para projeto e/ou otimiza¸c˜ao de micro-estruturas,
considerando uma medida de distˆancia entre uma dada resposta constitutiva e outra
desejada (ou prescrita).
Embora os exemplos computacionais sejam simples, os resultados num´ericos obti-
dos s˜ao bastante satisfat´orios e de baixo custo computacional. De fato, o maior custo
computacional est´a na resolu¸c˜ao do sistema canˆonico de equa¸c˜oes variacionais no dom´ınio
original (n˜ao perturbado), uma vez que o tensor de sensibilidade topol´ogica ´e obtido
apenas do p´os-processamento das solu¸c˜oes desses problemas. Deste modo, atrav´es dos
exemplos de aplica¸c˜ao ora mencionados, pode-se inferir que os resultados deste trabalho
constituem uma poderosa ferramenta com potencial aplica¸c˜ao tanto no projeto e/ou
otimiza¸c˜ao topol´ogica de micro-estruturas especializadas, quanto no estudo de problemas
inversos e de modelagem mecˆanica, ampliando as possibilidades de aplica¸c˜ao da metodolo-
gia aqui desenvolvida.
Ressalta-se a importˆancia do resultado obtido neste trabalho (campo tensorial de
sensibilidade topol´ogica), uma vez que permite escrever de maneira expl´ıcita a expans˜ao
assint´otica topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico, contribuindo de maneira
significativa na modelagem de fenˆomenos f´ısicos que ocorrem a diferentes escalas. Cabe
ainda mencionar que atrav´es da an´alise aqui desenvolvida ´e poss´ıvel obter rapidamente a
derivada topol´ogica para uma vasta classe de funcionais de forma. De fato, nos exemplos
6 e 5 apresentados nas Se¸c˜oes 2.2.3 e 3.2.3, respectivamente, mostra-se como utilizar essa
informa¸c˜ao para obter a derivada topol´ogica de um funcional de forma dado, simplesmente
substituindo a expans˜ao assint´otica topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico e
coletando os termos em potˆencia de ε.
160
Cap´ıtulo 4. Conclus˜oes
Finalmente, encerrando esta se¸c˜ao, s˜ao enumerados os objetivos gerais alcan¸cados
neste trabalho:
i) constru¸c˜ao variacional consistente dos modelos constitutivos multi-escala para os
problemas de condu¸c˜ao estacion´aria de calor e elasticidade linear;
ii) implementa¸c˜ao computacional dos diferentes modelos constitutivos multi-escala e de-
senvolvimento de exemplos num´ericos de aplica¸c˜ao;
iii) desenvolvimento da an´alise de sensibilidade topol´ogica e c´alculo da derivada topol´ogica
em modelos constitutivos multi-escala;
iv) interpreta¸c˜ao dos resultados obtidos, que resultou na defini¸c˜ao da expans˜ao assint´otica
topol´ogica do operador constitutivo macrosc´opico, atrav´es da utiliza¸c˜ao do tensor de
sensibilidade topol´ogica;
v) an´alise dos resultados atrav´es do estudo dos valores limites do contraste γ;
vi) implementa¸c˜ao computacional e estudo dos resultados obtidos, atrav´es de exemplos
num´ericos;
vii) proposta de um algoritmo de otimiza¸c˜ao topol´ogica de micro-estruturas especial-
izadas.
4.2 Problemas em aberto
Os desenvolvimentos te´oricos e aplica¸c˜oes pr´aticas apresentadas neste trabalho de
maneira alguma esgotam o uso da an´alise de sensibilidade topol´ogica na modelagem cons-
titutiva multi-escala. De fato, o presente estudo ´e pioneiro no c´alculo e uso da derivada
topol´ogica em tais modelos, o que permite afirmar que existem ainda muitos trabalhos
(tanto te´oricos quanto pr´aticos) a serem desenvolvidos em futuras pesquisas. Em seguida,
apresenta-se uma lista de alguns dos poss´ıveis novos temas de estudos:
Explorar de maneira mais adequada as informa¸c˜oes contidas no tensor de sensibili-
dade topol´ogica, em particular estudar em detalhe os invariantes desse tensor.
Estender para problemas tridimensionais os resultados apresentados nas Se¸c˜oes 2.2
e 3.2.
Construir funcionais de forma que representem caracter´ısticas particulares de uma
resposta constitutiva macrosc´opica desejada e determinar sua derivada topol´ogica.
C´alculo da derivada topol´ogica em modelos constitutivos multi-escala associados a
problemas n˜ao-lineares e/ou com restri¸c˜oes mais gerais, como por exemplo o pro-
blema de micro-estruturas fraturadas com contato na regi˜ao de fratura.
Obter a derivada topol´ogica em modelos constitutivos multi-escala para perturba¸c˜oes
singulares com forma arbitr´aria no EVR.
161
Cap´ıtulo 4. Conclus˜oes
Aplicar a an´alise de sensibilidade topol´ogica de ordem superior em modelos consti-
tutivos multi-escala.
Desenvolver algoritmos para o projeto e/ou otimiza¸c˜ao micro estrutural mais gerais
e eficientes que o proposto neste trabalho, com por exemplo, utilizando as t´ecnicas
de level-set.
4.3 Indicadores acadˆemicos
Para finalizar este cap´ıtulo, apresenta-se nesta se¸c˜ao uma lista completa da produ¸c˜ao
cient´ıfica do autor. Em seguida, mostram-se as publica¸c˜oes em jornais internacionais
indexados estritamente vinculadas a este trabalho:
S.M. Giusti, A.A. Novotny, E.A. de Souza Neto e R.A. Feij´oo. Sensitivity of the
macroscopic thermal conductivity tensor to topological microstructural changes.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198(5-8):727-739, 2009.
S.M. Giusti, A.A. Novotny, E.A. de Souza Neto e R.A. Feij´oo. Sensitivity of the
macroscopic elasticity tensor to topological microstructural changes. Journal of the
Mechanics and Physics of Solids, 57(3):555-570, 2009.
No entanto, este trabalho foi desenvolvido durante os quatro anos de participa¸c˜ao
no programa de p´os-gradua¸c˜ao em modelagem computacional do Laborat´orio Nacional de
Computa¸c˜ao Cient´ıfica do Minist´erio da Ciˆencia e Tecnologia. Durante esse per´ıodo foi
necess´ario estudar as duas grandes ´areas de conhecimento que fazem parte deste trabalho:
an´alise de sensibilidade topol´ogica e modelagem constitutiva multi-escala. Decorrente
desses estudos obteve-se a produ¸c˜ao cient´ıfica apresentada a continua¸c˜ao:
S.M. Giusti, A.A. Novotny e C. Padra. Topological sensitivity analysis for inclusion
in a two-dimensional linear elasticity. Engineering Analysis with Boundary Elements,
38(11):926-935, 2008.
S.M. Giusti, P.J. Blanco, E.A. de Souza Neto e R.A. Feij´oo. An assessment of
the Gurson yield criterion by a computational multi-scale approach. Engineering
Computations, 26(3):281–301, 2009.
S.M. Giusti, A.A. Novotny e J. Sokolowski. Topological derivative for steady-state
orthotropic heat diffusion problem. Structural and Multidisciplinary Optimization,
to appears, 2009.
Como resumo, cabe ainda mencionar que durante os quatro anos de participa¸c˜ao
no programa de doutorado do LNCC/MCT a produ¸c˜ao cient´ıfica do autor deste trabalho
totaliza, al´em dos 5 artigos em jornais internacionais indexados; 8 participa¸c˜oes em con-
gressos nacionais e internacionais e 4 relat´orios internos de pesquisa.
162
Apˆendice A
An´alise assint´otica
Neste apˆendice s˜ao apresentadas as expans˜oes assint´oticas das solu¸c˜oes associadas
aos dom´ınios topologicamente perturbados considerados no calculo da derivada topol´ogica
mostrado nas Se¸c˜oes 2.2 e 3.2. De fato, a forma expl´ıcita das mencionadas expans˜oes
assint´oticas tˆem um papel importante na metodologia utilizada, nas se¸c˜oes ora mencionas,
na passagem do limite ε → 0 na eq.(2.166) e eq.(3.178). Na Se¸c˜ao A.1 ´e considerado o
problema de condu¸c˜ao estacion´aria de calor e na Se¸c˜ao A.2 ´e estudado o problema de
elasticidade linear isotr´opica.
A.1 Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Nesta se¸c˜ao ´e mostrado o c´alculo da expans˜ao assint´otica utilizada na an´alise de
sensibilidade topol´ogica desenvolvida na Se¸c˜ao 2.2. Considerando que ˜u
µ
e ˜u
µ
ε
s˜ao as
solu¸c˜oes dos problemas de valor no contorno apresentados nas eqs.(2.49) e (2.147), respec-
tivamente, ent˜ao prop˜oe-se a seguinte expans˜ao assint´otica para a solu¸c˜ao do problema
associado ao dom´ınio topologicamente perturbado Ω
µ
ε
,
˜u
µ
ε
(y) = ˜u
µ
(y) + ˜w
µ
ε
(y/ε) + ˜v
µ
ε
(y) . (A.1)
Assumindo que a solu¸c˜ao ˜u
µ
(y) possui a regularidade necess´aria no dom´ınio Ω
µ
, tal
que uma expanss˜ao em s´erie de Taylor em torno do ponto ˆy fa¸ca sentido, tem-se que sua
derivada normal no contorno ∂I
ε
pode ser escrita como
∂
∂n
˜u
µ
(y)
∂I
ε
= ∇˜u
µ
(ˆy) · n − εD(∇˜u
µ
(ξ)) (n)
2
, (A.2)
onde ξ ´e um ponto entre y e ˆy, e D(∇˜u
µ
(ξ)) representa a derivada de ordem superior
de ∇˜u
µ
(ξ) avaliada no ponto ξ. Agora, introduzindo a mudan¸ca de vari´avel y = εz e
levando em conta que (y − ˆy) = −εn ∀y ∈ ∂I
ε
, tem-se que a fun¸c˜ao ˜w
µ
ε
(z) da eq.(A.1)
´e definida como a solu¸c˜ao do seguinte problema exterior: encontre a fun¸c˜ao ˜w
µ
ε
, tal que
Apˆendice A. An´alise assint´otica
seja satisfeita a seguinte equa¸c˜ao diferencial
−k
µ
∆ ˜w
µ
ε
= 0 em
2
\H
1
−γk
µ
∆ ˜w
µ
ε
= 0 em I
1
˜w
µ
ε
→ 0 no ∞
˜w
µ
ε
|
m
− ˜w
µ
ε
|
i
= 0 sobre ∂I
1
∂ ˜w
µ
ε
∂n
m
− γ
∂ ˜w
µ
ε
∂n
i
= −ε (1 − γ) (∇u + ∇˜u
µ
(ˆy)) · n sobre ∂I
1
. (A.3)
Devido `a discrepˆancia introduzida pelo termo εD(∇˜u
µ
(ξ)) (n)
2
sobre ∂I
ε
e pela
fun¸c˜ao ˜w
µ
ε
sobre os contornos ∂Ω
µ
e ∂Ω
i
µ
, pede-se que o termo remanescente ˜v
µ
ε
(y)
compense essas discrepˆancias. Portanto, defini-se ˜v
µ
ε
(y) como a solu¸c˜ao do seguinte
problema de valor de contorno: encontre a fun¸c˜ao ˜v
µ
ε
, tal que
−k
µ
∆˜v
µ
ε
= 0 em Ω
µ
\H
ε
−γk
µ
∆˜v
µ
ε
= 0 em I
ε
∂Ω
µ
˜v
µ
ε
ndS = −
∂Ω
µ
˜w
µ
ε
ndS
Ω
µ
ε
˜v
µ
ε
dV = −
Ω
µ
ε
˜w
µ
ε
dV
˜v
µ
ε
|
m
− ˜v
µ
ε
|
i
= 0 sobre ∂Ω
i
µ
∪ ∂I
ε
∂˜v
µ
ε
∂n
m
− γ
∂˜v
µ
ε
∂n
i
= −
∂ ˜w
µ
ε
∂n
m
− γ
∂ ˜w
µ
ε
∂n
i
sobre ∂Ω
i
µ
∂˜v
µ
ε
∂n
m
− γ
∂˜v
µ
ε
∂n
i
= ε (1 − γ) D
2
˜u
µ
(ξ) (n)
2
sobre ∂I
ε
. (A.4)
Observa-se que o problema (A.3) pode ser resolvido explicitamente utilizando se-
para¸c˜ao de vari´aveis e fazendo um desenvolvimento em s´erie de Fourier da solu¸c˜ao ˜w
µ
ε
.
De fato, as solu¸c˜oes associadas `a matriz Ω
µ
\H
ε
e inclus˜ao I
ε
s˜ao, respectivamente, dadas
por
˜w
µ
ε
(y) |
Ω
µ
\H
ε
=
1 − γ
1 + γ
ε
2
y − ˆy
2
(∇u + ∇˜u
µ
(ˆy)) · (y − ˆy) , (A.5)
˜w
µ
ε
(y) |
I
ε
=
1 − γ
1 + γ
(∇u + ∇˜u
µ
(ˆy)) · (y − ˆy) . (A.6)
No entanto, para caracterizar completamente a expans˜ao da solu¸c˜ao ˜u
µ
ε
proposta
na eq. (A.1), tem-se, no caso do termo remanscente ˜v
µ
ε
, a seguinte estimativa:
Proposi¸c˜ao 5. Seja ˜v
µ
ε
solu¸c˜ao do problema de valor de contorno (A.4). Ent˜ao existe
uma constante C, independente do parˆametro ε, tal que
|˜v
µ
ε
|
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤ Cε
2
. (A.7)
Prova. Considerando a fun¸c˜ao ˜w
µ
ε
mostrada nas eqs.(A.5) e (A.6), observa-se que
∂Ω
µ
˜w
µ
ε
ndS = ε
2
s(y), (A.8)
k
µ
∂ ˜w
µ
ε
∂n
m
− γk
µ
∂ ˜w
µ
ε
∂n
i
= ε
2
h(y), (A.9)
εk
µ
(1 − γ) D
2
˜u
µ
(ξ) (n)
2
= εp(y), (A.10)
164
Apˆendice A. An´alise assint´otica
onde as fun¸c˜oes s(y), h(y) e p(y) s˜ao independentes de ε. Assim, tem-se o seguinte
problema auxiliar de valor no contorno: encontre a fun¸c˜ao ϕ
µ
ε
, tal que
−k
µ
∆ϕ
µ
ε
= 0 em Ω
µ
\H
ε
−γk
µ
∆ϕ
µ
ε
= 0 em I
ε
∂Ω
µ
ϕ
µ
ε
ndS = εs(y)
Ω
µ
ε
ϕ
µ
ε
dV = 0
ϕ
µ
ε
|
m
− ϕ
µ
ε
|
i
= 0 sobre ∂Ω
i
µ
∪ ∂I
ε
k
µ
∂ϕ
µ
ε
∂n
m
− γk
µ
∂ϕ
µ
ε
∂n
i
= εh(y) sobre ∂Ω
i
µ
k
µ
∂ϕ
µ
ε
∂n
m
− γk
µ
∂ϕ
µ
ε
∂n
i
= p(y) sobre ∂I
ε
. (A.11)
Como o problema acima ´e bem posto, ent˜ao existe uma constante C, independente de
ε, tal que (Cedio-Fengya et al. (1998) [27], Kozlov et al. (1999) [66] e Ammari & Kang
(2004) [2]):
|ϕ
µ
ε
|
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤ Cε. (A.12)
Logo, da linearidade do problema (A.4) observa-se que ˜v
µ
ε
= εϕ
µ
ε
, o que conclui a prova.
Observa¸c˜ao 40. Para garantir que os problemas definidos no dom´ınio perturbado Ω
µ
ε
estejam bem postos, nos sistemas definidos pelas equa¸c˜oes (A.4) e (A.11) deveria ser
acrescentado a condi¸c˜ao de contorno associada ao espa¸co V
µ
ε
, de acordo com a escolha de
cada modelo constitutivo multi-escala.
Finalmente, com os resultados mostrados nas eqs.(A.5) e (A.6) e da proposi¸c˜ao
acima, eq.(A.7), tem-se a seguinte expans˜ao assint´otica na vizinhan¸ca da inclus˜ao I
ε
da
solu¸c˜ao ˜u
µ
ε
do problema apresentado na eq.(2.147):
˜u
µ
ε
(y) |
Ω
µ
\H
ε
= ˜u
µ
(y) +
1 − γ
1 + γ
ε
2
y − ˆy
2
[∇u + ∇˜u
µ
(ˆy)] · (y − ˆy) + ˜v
µ
ε
(y) , (A.13)
˜u
µ
ε
(y) |
I
ε
= ˜u
µ
(y) +
1 − γ
1 + γ
[∇u + ∇˜u
µ
(ˆy)] · (y − ˆy) + ˜v
µ
ε
(y) . (A.14)
A.2 Elasticidade linear
No c´alculo da derivada topol´ogica apresentada na Se¸c˜ao 3.2 foi empregada a ex-
pans˜ao assint´otica da distribui¸c˜ao de tens˜ao microsc´opica no contorno da perturba¸c˜ao
circular de raio ε, denotada por I
ε
. Sendo que a tens˜ao microsc´opica est´a constituida
pela soma de uma tens˜ao microsc´opica induzida pela deforma¸c˜ao macrosc´opica E (inde-
pendente do parˆametro ε) e uma flutua¸c˜ao de tens˜ao microsc´opica – veja eq.(3.45) – esta
se¸c˜ao, portanto, ´e dedicada a mostrar a deriva¸c˜ao da expans˜ao assint´otica para o campo
de flutua¸c˜ao de tens˜ao associada ao dom´ınio perturbado Ω
µ
ε
. Assim sendo, prop˜oe-se
165
Apˆendice A. An´alise assint´otica
a seguinte expans˜ao assint´otica para a solu¸c˜ao do problema definido na eq.(3.150), veja
Sokolowski &
˙
Zochowski (1999) [116],
˜
T
µ
ε
=
˜
T
∞
µ
ε
+ o(ε), (A.15)
onde
˜
T
∞
µ
ε
denota a solu¸c˜ao do sistema el´astico (3.150) no dom´ınio infinito
2
\H
ε
∪ I
ε
,
tal que o campo de tens˜ao
˜
T
∞
µ
ε
tende a um valor constante (independente do parˆametro
ε) quando y → ∞. Ent˜ao, o mencionado problema no dom´ınio infinito pode ser escrito
como: encontre o campo de tens˜ao
˜
T
∞
µ
ε
tal que
div
˜
T
∞
µ
ε
= 0 em
2
\H
ε
div
˜
T
∞
µ
ε
= 0 em I
ε
˜
T
∞
µ
ε
→
˜
T
µ
no
∞
[[
˜
T
∞
µ
ε
]]n = −[[
¯
T
µ
]]n sobre ∂I
ε
, (A.16)
sendo que n denota o vetor normal saliente ao contorno ∂I
ε
,
˜
T
µ
´e a solu¸c˜ao do problema
n˜ao perturbado dado pela eq.(3.48) e
¯
T
µ
representa a tens˜ao microsc´opica induzida pela
deforma¸c˜ao macrosc´opica E, definida na eq.(3.45).
Observa-se que o problema no dom´ınio infinito (A.16) pode ser resolvido explicita-
mente utilizando separa¸c˜ao de vari´aveis, por exemplo, empregando as metodologias de-
senvolvidas nos trabalhos de Obert (1967) [95] e Little (1973) [74]. De fato, considerando
um sistema de coordenadas polares (r, θ) centrado no ponto ˆy (centro da inclus˜ao I
ε
)
e alinhado com as dire¸c˜oes principais do tensor
˜
T
µ
associado ao dom´ınio original Ω
µ
(o ˆangulo θ ´e medido em rela¸c˜ao a uma das dire¸c˜oes principais de
˜
T
µ
, veja Fig.A.1), as
componentes no sistema de coordenadas ora mencionado da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial
parcial (A.16) s˜ao dadas por:
Solu¸c˜ao exterior (r ≥ ε)
(
˜
T
∞
µ
ε
)
rr
=
¯
S
1
1+βγ
ε
2
r
2
+
¯
D
1
1+αγ
ε
2
r
2
4 − 3
ε
2
r
2
cos 2(θ + ϕ)
+
˜
S
1 −
1−γ
1+βγ
ε
2
r
2
+
˜
D
1 −
1−γ
1+αγ
ε
2
r
2
4 − 3
ε
2
r
2
cos 2θ,
(
˜
T
∞
µ
ε
)
θθ
= −
¯
S
1
1+βγ
ε
2
r
2
+
¯
D
3
1+αγ
ε
4
r
4
cos 2(θ + ϕ)
+
˜
S
1 +
1−γ
1+βγ
ε
2
r
2
−
˜
D
1 + 3
1−γ
1+αγ
ε
4
r
4
cos 2θ,
(
˜
T
∞
µ
ε
)
θr
=
¯
D
1
1+αγ
ε
2
r
2
2 − 3
ε
2
r
2
sin 2(θ + ϕ)
−
˜
D
1 +
1−γ
1+αγ
ε
2
r
2
2 − 3
ε
2
r
2
cos 2θ.
(A.17)
Solu¸c˜ao interior (0 < r < ε)
(
˜
T
∞
µ
ε
)
rr
= −
βγ
1+βγ
¯
S −
2
1+ν
m
˜
S
−
αγ
1+αγ
¯
D cos 2(θ + ϕ) −
4
3−ν
m
˜
D cos 2θ
,
(
˜
T
∞
µ
ε
)
θθ
= −
βγ
1+βγ
¯
S −
2
1+ν
m
˜
S
+
αγ
1+αγ
¯
D cos 2(θ + ϕ) −
4
3−ν
m
˜
D cos 2θ
,
(
˜
T
∞
µ
ε
)
θr
=
αγ
1+αγ
¯
D sin 2(θ + ϕ) −
4
3−ν
m
˜
D sin 2θ
.
(A.18)
166
Apˆendice A. An´alise assint´otica
Sendo que n˜ao necessariamente as dire¸c˜oes principais dos tensores
¯
T
µ
e
˜
T
µ
coin-
cidem, nas express˜oes acima ϕ indica o ˆangulo existente entre as mencionadas dire¸c˜oes
principais, veja Fig.A.1. Al´em do mais, os escalares
¯
S,
˜
S,
¯
D e
˜
D denotam
¯
S = −(1 − γ)
¯σ
µ
1
+ ¯σ
µ
2
2
,
˜
S =
˜σ
µ
1
+ ˜σ
µ
2
2
, (A.19)
¯
D = −(1 − γ)
¯σ
µ
1
− ¯σ
µ
2
2
,
˜
D =
˜σ
µ
1
− ˜σ
µ
2
2
, (A.20)
onde ¯σ
µ
1,2
e ˜σ
µ
1,2
s˜ao as tens˜oes principais, associadas aos tensores
¯
T
µ
e
˜
T
µ
, respectiva-
mente, no dom´ınio n˜ao perturbado Ω
µ
, avaliadas no ponto ˆy ∈ Ω
µ
. Al´em do mais, as
constantes α e β em (A.17) e (A.18) dependem apenas do coeficiente de Poisson da matriz
ν
m
e s˜ao dadas por
α =
3 − ν
m
1 + ν
m
e β =
1 + ν
m
1 − ν
m
. (A.21)
Figura A.1: dom´ınio infinito com inclus˜ao circular I
ε
.
167
Apˆendice B. Estimativas de convergˆencia
Apˆendice B
Estimativas de convergˆencia
Nas Se¸c˜oes 2.2 e 3.2 do presente trabalho foram apresentadas as estimativas de
convergˆencia da diferen¸ca entre as solu¸c˜oes dos problemas associados aos dom´ınios per-
turbado e n˜ao perturbado para ambos os problemas abordados: condu¸c˜ao estacion´aria
do calor e elasticidade linear. Embora, esses resultados apare¸cam freq¨uentemente na lite-
ratura especializada (veja, por exemplo, os trabalhos de Sokolowski &
˙
Zochowski (2001)
[118], Ammari & Kang (2004) [2] e Amstutz (2006) [5]), achou-se adequado mostrar neste
apˆendice, em linhas gerais, os passos mais importantes para provar essas estimativas. Em
seguida, portanto, na Se¸c˜ao B.1, trata-se o problema de condu¸c˜ao estacion´aria do calor e,
logo, na Se¸c˜ao B.2 o problema de elasticidade linear.
B.1 Condu¸c˜ao estacion´aria de calor
Como mencionado ao in´ıcio do apˆendice, nesta se¸c˜ao ´e abordado o problema de
condu¸c˜ao estacion´aria do calor e ser˜ao mostrados formalmente os passos mais importantes
para provar a estimativa de convergˆencia mostrada na Se¸c˜ao 2.2 (Observa¸c˜ao 14, pag.
46). Inicialmente come¸caremos lembrado que o dom´ınio topologicamente perturbado Ω
µ
ε
´e definido como Ω
µ
ε
= (Ω
µ
\H
ε
) ∪ I
ε
, sendo H
ε
um furo de raio ε centrado no ponto
ˆy ∈ Ω
µ
e I
ε
representa uma inclus˜ao de material diferente ao do meio, ocupando o espa¸co
deixado pelo furo denotado por H
ε
. Logo, considerando que as fun¸c˜oes ˜u
µ
e ˜u
µ
ε
s˜ao
as solu¸c˜oes dos problemas variacionais associados, respectivamente, aos dom´ınios original
(n˜ao perturbado) eq.(2.47) e perturbado eq.(2.146), tem-se que os mencionados problemas
podem ser escritos, respectivamente, em forma compacta como:
a(˜u
µ
, η) = l(η) ∀η ∈ V
µ
e a
ε
(˜u
µ
ε
, η
ε
) = l
ε
(η
ε
) ∀η
ε
∈ V
µ
ε
, (B.1)
onde a(·, ·) e a
ε
(·, ·) s˜ao formas bi-lineares, sim´etricas, cont´ınuas e coercivas, e l(·) e l
ε
(·) s˜ao
formas lineares e cont´ınuas. O sub-´ındice ε nas express˜oes anteriores denota a dependˆencia
com o parˆametro ε. Para o problema analisado, as formas bi-lineares e lineares mostradas
anteriormente s˜ao definidas da seguinte maneira:
a(˜u
µ
, η) :=
Ω
µ
k
µ
∇˜u
µ
· ∇ηdV, l(η) := −
Ω
µ
k
µ
∇u · ∇ηdV ; (B.2)
169
Apˆendice B. Estimativas de convergˆencia
a
ε
(˜u
µ
ε
, η
ε
) :=
Ω
µ
ε
k
∗
µ
∇˜u
µ
ε
· ∇η
ε
dV, l
ε
(η
ε
) := −
Ω
µ
ε
k
∗
µ
∇u · ∇η
ε
dV. (B.3)
Agora, tomando em particular, η
ε
= (˜u
µ
ε
− ˜u
µ
) ∈ V
µ
ε
e da coercividade da forma
bi-linear a
ε
(·, ·), tem-se que existe uma constante positiva α tal que
α ˜u
µ
ε
− ˜u
µ
2
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤ a
ε
(˜u
µ
ε
− ˜u
µ
, ˜u
µ
ε
− ˜u
µ
), (B.4)
levando em conta a linearidade de a
ε
(·, ·), chega-se a
α ˜u
µ
ε
− ˜u
µ
2
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤ a
ε
(˜u
µ
ε
, ˜u
µ
ε
− ˜u
µ
) − a
ε
(˜u
µ
, ˜u
µ
ε
− ˜u
µ
), (B.5)
utilizando a eq.(B.1)
2
e das defini¸c˜oes dadas nas eq.(B.2) e eq.(B.3), a express˜ao acima
pode ser escrita como
α ˜u
µ
ε
− ˜u
µ
2
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤ l
ε
(˜u
µ
ε
− ˜u
µ
) − a
ε
(˜u
µ
, ˜u
µ
ε
− ˜u
µ
) + l(˜u
µ
ε
− ˜u
µ
)
−l(˜u
µ
ε
− ˜u
µ
) (B.6)
= a(˜u
µ
, ˜u
µ
ε
− ˜u
µ
) − a
ε
(˜u
µ
, ˜u
µ
ε
− ˜u
µ
)
+
I
ε
(1 − γ)k
µ
∇u · ∇(˜u
µ
ε
− ˜u
µ
)dV (B.7)
=
I
ε
(1 − γ)k
µ
∇˜u
µ
· ∇(˜u
µ
ε
− ˜u
µ
)dV
+
I
ε
(1 − γ)k
µ
∇u · ∇(˜u
µ
ε
− ˜u
µ
)dV (B.8)
=
I
ε
(1 − γ) (k
µ
∇˜u
µ
+ k
µ
∇u) · ∇(˜u
µ
ε
− ˜u
µ
)dV. (B.9)
Lembrando que ∇u
µ
= ∇˜u
µ
+ ∇u e aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwartz
na express˜ao anterior, tem-se
α ˜u
µ
ε
− ˜u
µ
2
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤ |1 − γ|k
µ
∇u
µ
L
2
(I
ε
)
|˜u
µ
ε
− ˜u
µ
|
H
1
(I
ε
)
(B.10)
≤ |1 − γ|k
µ
∇u
µ
L
2
(I
ε
)
˜u
µ
ε
− ˜u
µ
H
1
(I
ε
)
(B.11)
≤ |1 − γ|k
µ
∇u
µ
L
2
(I
ε
)
˜u
µ
ε
− ˜u
µ
H
1
(Ω
µ
ε
)
. (B.12)
Da desigualdade acima, tem-se o seguinte resultado
α ˜u
µ
ε
− ˜u
µ
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤ |1 − γ|k
µ
∇u
µ
L
2
(I
ε
)
. (B.13)
Sendo que ∇u
µ
´e regular em I
ε
e n˜ao depende do parˆametro ε, da defini¸c˜ao da
norma no espa¸co L
2
(I
ε
) segue que
∇u
µ
L
2
(I
ε
)
=
I
ε
|∇u
µ
|
2
dV
1
2
(B.14)
≤ max
y∈I
ε
|∇u
µ
|
√
π ε. (B.15)
170
Apˆendice B. Estimativas de convergˆencia
Finalmente, introduzindo o resultado anterior na eq.(B.13) segue a seguinte estima-
tiva:
˜u
µ
ε
− ˜u
µ
H
1
(Ω
µ
ε
)
= O(ε). (B.16)
B.2 Elasticidade linear
Na dedu¸c˜ao do problema de equil´ıbrio mecˆanico da Se¸c˜ao 3.2, foi mostrado na Ob-
serva¸c˜ao 32 (pag. 122) a estimativa de convergˆencia entre
˜
u
µ
e
˜
u
µ
ε
, solu¸c˜oes dos problemas
associados aos dom´ınio original (n˜ao perturbado) e perturbado, respectivamente. Assim
sendo, nesta se¸c˜ao ser˜ao apresentados de maneira formal os conceitos mais importantes
e necess´arios para provar a mencionada estimativa. Com esse objetivo, come¸caremos
escrevendo em forma compacta os problemas variacionais associados aos dom´ınios n˜ao
perturbado e perturbado mostrados nas eq.(3.46) e eq.(3.148), ent˜ao tem-se
a(
˜
u
µ
, η) = l(η) ∀η ∈ V
µ
e a
ε
(
˜
u
µ
ε
, η
ε
) = l
ε
(η
ε
) ∀η
ε
∈ V
µ
ε
, (B.17)
onde a(·, ·) e a
ε
(·, ·) denotam formas bi-lineares, sim´etricas, cont´ınuas e coercivas, e l(·) e
l
ε
(·) s˜ao formas lineares e cont´ınuas. O sub-´ındice ε nas express˜oes anteriores ´e utilizado
para denotar a dependˆencia com o parˆametro ε. Para o problema de elasticidade linear, as
formas bi-lineares e lineares mostradas anteriormente s˜ao definidas da seguinte maneira:
a(
˜
u
µ
, η) :=
Ω
µ
˜
T
µ
· ∇
s
ηdV, l(η) := −
Ω
µ
¯
T
µ
· ∇
s
ηdV ; (B.18)
a
ε
(
˜
u
µ
ε
, η
ε
) :=
Ω
µ
ε
˜
T
µ
ε
· ∇
s
η
ε
dV, l
ε
(η
ε
) := −
Ω
µ
ε
¯
T
∗
µ
· ∇
s
η
ε
dV. (B.19)
onde as flutua¸c˜oes de tens˜ao microsc´opica
˜
T
µ
e
˜
T
µ
ε
s˜ao dadas, respectivamente, por
˜
T
µ
= C
µ
∇
s
˜
u
µ
e
˜
T
µ
ε
= C
∗
µ
∇
s
˜
u
µ
ε
.
Logo, da coercividade da forma bi-linear a
ε
(·, ·) e considerando, em particular, o
elemento η
ε
= (
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
) ∈ V
µ
ε
, tem-se que existe uma constante positiva β tal que
β
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
2
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤ a
ε
(
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
,
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
), (B.20)
aproveitando a bi-linearidade da forma a
ε
(·, ·), a express˜ao anterior pode ser escrita como
β
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
2
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤ a
ε
(
˜
u
µ
ε
,
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
) − a
ε
(
˜
u
µ
,
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
), (B.21)
utilizando a equa¸c˜ao de estado (B.17)
2
e levando em conta as defini¸c˜oes estabelecidas nas
eq.(B.18) e eq.(B.19), da express˜ao acima tem-se
β
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
2
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤ l
ε
(
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
) − a
ε
(
˜
u
µ
,
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
) + l(
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
)
−l(
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
) (B.22)
= a(
˜
u
µ
,
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
) − a
ε
(
˜
u
µ
,
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
)
+
I
ε
(1 − γ)
¯
T
µ
· ∇
s
(
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
)dV (B.23)
171
Apˆendice B. Estimativas de convergˆencia
β
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
2
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤
I
ε
(1 − γ)
˜
T
µ
· ∇
s
(
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
)dV
+
I
ε
(1 − γ)
¯
T
µ
· ∇
s
(
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
)dV (B.24)
=
I
ε
(1 − γ)(
˜
T
µ
+
¯
T
µ
) · ∇
s
(
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
)dV. (B.25)
Lembrando que T
µ
=
˜
T
µ
+
¯
T
µ
e utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwartz na
express˜ao anterior, tem-se
β
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
2
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤ |1 − γ|T
µ
L
2
(I
ε
)
|
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
|
H
1
(I
ε
)
(B.26)
≤ |1 − γ|T
µ
L
2
(I
ε
)
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
H
1
(I
ε
)
(B.27)
≤ |1 − γ|T
µ
L
2
(I
ε
)
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
H
1
(Ω
µ
ε
)
. (B.28)
Assim, a desigualdade anterior ´e equivalente ao seguinte resultado
β
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
H
1
(Ω
µ
ε
)
≤ |1 − γ|T
µ
L
2
(I
ε
)
. (B.29)
Como o campo de tens˜ao microsc´opica T
µ
no interior da inclus˜ao I
ε
´e regular e n˜ao
depende do parˆametro ε, da defini¸c˜ao da norma no espa¸co L
2
(I
ε
) segue que
T
µ
L
2
(I
ε
)
=
I
ε
|T
µ
|
2
dV
1
2
(B.30)
≤ max
y∈I
ε
|T
µ
|
√
π ε. (B.31)
Finalmente, introduzindo o resultado anterior na eq.(B.29), segue a seguinte esti-
mativa
˜
u
µ
ε
−
˜
u
µ
H
1
(Ω
µ
ε
)
= O(ε). (B.32)
172
Apˆendice C
Opera¸c˜oes b´asicas
Este ´ultimo apˆendice dedica-se a apresentar algumas opera¸c˜oes b´asicas de ´algebra
tensorial e deriva¸c˜ao, utilizadas ao longo do presente trabalho. Em particular, na Se¸c˜ao C.1
tratam-se opera¸c˜oes b´asicas de ´algebra tensorial, na Se¸c˜ao C.2 s˜ao mostrados os principais
resultados associados aos operadores de diferencia¸c˜ao gradiente e divergente, e na Se¸c˜ao
C.3 retoma-se a ´algebra tensorial vinculada com operadores de diferencia¸c˜ao atrav´es de
rela¸c˜oes integrais. Cabe mencionar que o intuito deste apˆendice ´e mostrar resultados
associados `as ´areas ora mencionadas, para uma revis˜ao detalhada das opera¸c˜oes aqui
apresentada, recomenda-se consultar a literatura consagrada da ´area como, por exemplo,
o livro de Gurtin (1981) [49].
C.1
´
Algebra tensorial
Visando facilitar o entendimento das opera¸c˜oes realizadas em todo o texto do pre-
sente estudo, em seguida, s˜ao apresentadas algumas opera¸c˜oes b´asicas da ´algebra tensorial.
Cabe aclarar que nesta se¸c˜ao ser´a utilizado Lin para denotar o conjunto de todos os ten-
sores de segunda ordem. Assim, considerando que a, b, c, e d s˜ao vetores e A, B e C s˜ao
tensores de segunda ordem, tem-se as seguintes identidades:
a · b = b
T
a, (C.1)
a · Ab = A
T
a · b, (C.2)
A · (BC) = (B
T
A) · C = (AC
T
) · B, (C.3)
tr(A) = A ·I, (C.4)
tr(AB) = A ·B, (C.5)
(a ⊗ b)c = (c · b)a, (C.6)
(a ⊗ b)
T
= (b ⊗ a), (C.7)
(a ⊗ b)(c ⊗ d) = (b · c )(a ⊗ d), (C.8)
(a ⊗ b) · (c ⊗ d) = (a · c)(b · d), (C.9)
tr(a ⊗ b) = a · b, (C.10)
a · Ab = A·(a ⊗ b), (C.11)
Apˆendice C. Opera¸c˜oes b´asicas
A(a ⊗ b) = (Aa) ⊗ b, (C.12)
(a ⊗ b)A = a ⊗ (A
T
b), (C.13)
onde I denota o tensor identidade de segunda ordem, tal que IA = A ∀A ∈ Lin.
No caso particular das opera¸c˜oes vinculadas com tensores de quarta ordem, podem
ser citados os trabalhos de Del Piero (1979) [100] e, mais recentemente, Jog (2006) [62]
e Moakher (2008) [85]. Considerando, portanto, que a e b s˜ao vetores e A, B, C e D
tensores de segunda ordem, as seguintes identidades s˜ao v´alidas:
(A ⊗ B)C = (B · C)A, (C.14)
(A B)C = ACB
T
, (C.15)
(A ⊗ B)(C ⊗ D) = (B · C)(A ⊗ D), (C.16)
(A B)(C D) = (AC) (BD), (C.17)
(A I)B = AB, (C.18)
(I A
T
)B = BA, (C.19)
(A B)(a ⊗ b) = (Aa ⊗ Bb). (C.20)
Sendo que os tensores de quarta ordem s˜ao definidos como transforma¸c˜oes lineares
que mapeiam elementos do conjunto Lin no mesmo conjunto Lin, tem-se que os tensores
de quarta ordem: nulo (O), identidade (I), transposi¸c˜ao (T), simetriza¸c˜ao (S) e anti-
simetriza¸c˜ao (W) podem ser definidos como:
OA = O ∀A ∈ Lin, (C.21)
IA = A ∀A ∈ Lin, (C.22)
TA = A
T
∀A ∈ Lin, (C.23)
SA =
1
2
(A + A
T
) ∀A ∈ Lin, (C.24)
WA =
1
2
(A − A
T
) ∀A ∈ Lin, (C.25)
sendo O o tensor nulo de segunda ordem, tal que OA = O ∀A ∈ Lin.
Finalmente, pode-se demonstrar facilmente que os tensores definidos anteriormente
possuem as seguintes propriedades:
SS = S, (C.26)
WW = W, (C.27)
SW = WS = O, (C.28)
TW = WT = −W, (C.29)
I = I I, (C.30)
I = S + W, (C.31)
TT = I, (C.32)
T(A B) = (B A)T. (C.33)
174
Apˆendice C. Opera¸c˜oes b´asicas
C.2 Opera¸c˜oes de deferencia¸c˜ao
Nesta se¸c˜ao s˜ao mostrados alguns resultados b´asicos associados aos operadores dife-
renciais gradiente e divergente. Portanto, considere aos campos ϕ, u, v, T e U suficien-
temente regulares, sendo ϕ escalar; u e v vetoriais; T e U tensoriais, ent˜ao s˜ao v´alidas as
identidades:
∇(ϕu) = ϕ∇u + u ⊗ ∇ϕ, (C.34)
div(ϕu) = ϕdivu + u · ∇ϕ, (C.35)
∇(u · v) = (∇u)
T
v + (∇v)
T
u, (C.36)
div(u ⊗ v) = udivv + (∇u)v, (C.37)
div(T
T
u) = divT · u + T · ∇u, (C.38)
div(ϕT) = ϕdivT + T∇ϕ, (C.39)
div(∇u
T
) = ∇(divu), (C.40)
∇(T · U) = (∇T)
T
U + (∇U)
T
T, (C.41)
div(TU) = (∇T)U + TdivU. (C.42)
C.3 Opera¸c˜oes integrais
No desenvolvimento do presente estudo, foram utilizados resultados da ´algebra ten-
sorial envolvendo operadores integrais. Assim sendo, o intuito desta se¸c˜ao ´e apresentar
os principais resultados associado a este tipo de opera¸c˜oes. Come¸caremos mostrando os
resultados cl´assicos do teorema da divergˆencia. Portanto, considerando que os campos ϕ,
u e T s˜ao suficientemente regulares no dom´ınio Ω de contorno suave denotado por ∂Ω, e
sendo ϕ escalar, u vetorial e T tensorial, ent˜ao s˜ao v´alidas as identidades:
∂Ω
ϕndS =
Ω
∇ϕdV, (C.43)
∂Ω
u · ndS =
Ω
div(u)dV, (C.44)
∂Ω
TndS =
Ω
div(T)dV, (C.45)
sendo n o vetor normal unit´ario saliente ao contorno ∂Ω.
Levando em conta os resultados mostrados anteriormente, junto com as opera¸c˜oes
apresentadas nas Se¸c˜oes C.1 e C.2, tem-se que as seguintes igualdades associadas a ope-
radores integrais no dom´ınio Ω s˜ao satisfeitas:
∂Ω
u ⊗ ndS =
Ω
∇udV, (C.46)
∂Ω
Tn ⊗ udS =
Ω
div(T) ⊗ u + T(∇u)
T
dV, (C.47)
∂Ω
Tn · udS =
Ω
[u · div(T) + T · ∇u] dV, (C.48)
∂Ω
v(u · n)dS =
Ω
[vdiv(u) + (∇v)u] dV. (C.49)
175
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] R.F. Almgreen. An isotropic three-dimensional structure with Poisson’s ratio -1.
Journal of Elasticity, 15(4):427–430, 1985.
[2] H. Ammari and H. Kang. Reconstruction of small inhomogeneities from boundary
measurements. Lectures Notes in Mathematics vol. 1846. Springer-Verlag, Berlin,
2004.
[3] S. Amstutz. Aspects th´eoriques et num´eriques en optimisation de forme topologique.
Phd thesis, Institut National des Sciences Appliqu´ees de Toulouse, France, 2003.
[4] S. Amstutz. The topological asymptotic for the Navier-Stokes equations. ESAIM:
Control, Optimisation and Calculus of Variations, 11(3):401–425, 2005.
[5] S. Amstutz. Sensitivity analysis with respect to a local perturbation of the material
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