( PDF ) Análise de estabilidade transitória na otimização de sistemas elétricos de potência

Download PDF

ads:

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

ANÁLISE DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA NA

OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

ROBERVAL MADEIRA DA SILVA

ORIENTADOR: IVAN MARQUES DE TOLEDO CAMARGO

CO-ORIENTADORA: ALESSANDRA MACEDO DE SOUZA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

EM ENGENHARIA ELÉTRICA

BRASILIA/DF: 07 DE DEZEMBRO DE 2009

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

ANÁLISE DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA NA

OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

ROBERVAL MADEIRA DA SILVA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA ELÉTRICA DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM

ENGENHARIA ELÉTRICA.

APROVADA POR:

________________________________________________

Prof. Ivan Marques de Toledo Camargo, UnB, Dr.

(Orientador)

________________________________________________

Prof. Francisco Damasceno Freitas, UnB, Dr.

(Examinador interno)

________________________________________________

Eng. João Odilon Freitas e Silva, Dr.

(Examinador externo)

BRASILIA/DF: 07 DE DEZEMBRO DE 2009

ads:

iii

FICHA CATALOGRÁFICA

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

Silva, R. M. (2009). Análise de Estabilidade Transitória na Otimização de Sistemas

Elétricos de Potência. Dissertação de Mestrado em Engenharia Elétrica, Publicação

PPGENE.DM-405/09, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade de Brasília,

Brasília, DF, 83p.

CESSÃO DE DIREITOS

NOME DO AUTOR: ROBERVAL MADEIRA DA SILVA

TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Análise de Estabilidade Transitória na

Otimização de Sistemas Elétricos de Potência

GRAU / ANO: Mestre / 2009

É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação

de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e

científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação

de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor.

_____________________________________

Roberval Madeira da Silva

Faculdade de Tecnologia – Departamento de Engenharia Elétrica

70910-900 – Cx. Postal 04591 – Brasília – DF – Brasil

SILVA, ROBERVAL MADEIRA DA

Análise de Estabilidade Transitória na Otimização de Sistemas Elétricos de

Potência. [Distrito Federal] 2009.

xix, 83p., 297 mm (ENE/FT/UnB, Mestre, Engenharia Elétrica).

Dissertação de Mestrado.

Universidade de Brasília – Faculdade de Tecnologia.

Departamento de Engenharia Elétrica.

1. Fluxo de Potência Ótimo 2. Estabilidade Transitória

3. Método de Euler 4. Ângulo no Centro de Inércia

I. ENE/FT/UnB

II.

ítulo (série)

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à minha esposa, por seu amor, companheirismo e

incentivo, que estiveram sempre presentes em nosso relacionamento.

AGRADECIMENTOS

Para que este projeto se tornasse realidade, foi de fundamental importância o apoio

daqueles aos quais agradeço neste momento.

À Deus, pelas bênçãos que tem me concedido ao longo de minha vida e trajetória

profissional.

Ao Prof. Ivan Marques de Toledo Camargo, orientador desta dissertação, pelo seu

pronto atendimento quando da substituição da Prof. Alessandra. Agradeço em especial

seus ensinamentos e competência técnica.

À Prof. Alessandra Macedo de Souza, pelos ensinamentos transmitidos ao longo do

período em que estive sob sua orientação.

À minha esposa, por seu incentivo e apoio, sem os quais não teria conseguido concluir

este trabalho.

Ao ONS, na pessoa de João Odilon Freitas e Silva, pelo apoio e liberação para

realização do curso de mestrado.

Ao Eng. Carlos Antônio da Silva Rita, pelos valiosos ensinamentos em programação

computacional.

Ao Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade de Brasília, pelo privilégio

de desenvolver esta pesquisa e pelo apoio financeiro na participação do VIII CLAGTEE.

A todas as pessoas que, de alguma forma, me ajudaram direta ou indiretamente.

ANÁLISE DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA NA OTIMIZAÇÃO

DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA

Autor: Roberval Madeira da Silva

Orientador: Ivan Marques de Toledo Camargo

Co-Orientadora: Alessandra Macedo de Souza

Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da Universidade de Brasília.

Brasília/DF, 07 de dezembro de 2009.

RESUMO

Esta dissertação apresenta uma metodologia para associação de estudos de estabilidade

transitória de ângulo de rotor com estudos de otimização de sistemas elétricos de potência.

Nesta metodologia, são alterados, nas restrições do Fluxo de Potência Ótimo (FPO), os

limites de potência ativa do(s) gerador(es) previamente identificado(s) através do cálculo

da diferença angular entre cada gerador e o Centro de Inércia (CI), na condição pré-

perturbação.

O FPO é utilizado para calcular o despacho que resulte no menor valor de perdas

elétricas na transmissão, do ponto de vista estático. Em seguida, são realizadas diversas

simulações de estabilidade transitória, avaliando o comportamento dos ângulos de rotor

frente aos critérios de segurança dinâmica estabelecidos. Caso os critérios de segurança

sejam violados, será necessário repetir a execução do FPO até que seja encontrado um

ponto de operação que atenda aos critérios do FPO e aos critérios de segurança dinâmica.

Com o cálculo da diferença angular entre os geradores e o CI, a repetição do FPO deixa

de utilizar o método de “tentativa e erro”, uma vez que é possível estabelecer o sentido da

variação na potência ativa do(s) gerador(es) mais crítico(s). Os geradores que possuem

maior defasagem angular em relação ao CI terão seu despacho de potência ativa restringido

a valores próximos ao seu limite inferior, nas situações em que o ângulo do gerador for

maior que o ângulo do CI, ou ao seu limite superior (ângulo do gerador menor que o

ângulo do CI). Esta metodologia foi testada em uma rede de 9 barras e em um sistema real

de 41 barras.

vii

TRANSITORY STABILITY ANALYSIS IN THE ELECTRIC POWER

SYSTEM OPTIMIZATION

Author: Roberval Madeira da Silva

Advisor: Ivan Marques de Toledo Camargo

Co-Advisor: Alessandra Macedo de Souza

Electrical Engineering Graduation Program at the Univesity of Brasília.

Brasília/DF – Brazil: December 7th - 2009.

ABSTRACT

This dissertation presents a methodology to associate angle transitory stability analysis

with electric power system optimization studies. Whenever dynamic security criteria are

violated in a pre-disturbance condition, the active power generation capacity constraints

are modified in the optimal power flow (OPF) for generators previously selected. The

selection is based on the calculation of the angular displacement between each generator

and the Inertial Center (IC).

The OPF is used for dispatch calculation which results in lowest transmission losses,

concerning the static point of view. Then, several transitory stability simulations are

accomplished to evaluate the rotor's angle behavior in relation to established dynamic

security criteria. In the occurrence of security criteria violations, a new optimal dispatch is

calculated, and the process is repeated until reaching an operation point with no violations.

Once the presented methodology makes use of angular displacement calculations to

select which generators are candidates to solve the security problem, the usual empiric

check-and-bound methods are not utilized. The method presented in this work allows to

identifying the generators with greater angular displacements, choosing them and changing

their active power constraint. The constraint is changed to a value close to the generator’s

lower limit of generation capacity if the generator's angle is larger than the IC's angle. On

the contrary, the generator's active power constraint is changed to its upper generation

capacity limit. The methodology was tested with a 9-bus network and a real 41-bus

system.

viii

Sumário

1 INTRODUÇÃO 1

1.1 INTRODUÇÃO GERAL 1

1.2 MOTIVAÇÃO 2

1.3 OBJETIVO 4

1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 7

2 O FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 8

2.1 O PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 8

2.2 O MÉTODO PRIMAL-DUAL BARREIRA LOGARÍTMICA 11

2.3 PROBLEMAS NÃO LINEARES 17

3 O PROBLEMA DA ESTABILIDADE 19

3.1 DEFINIÇÕES DE ESTABILIDADE 19

3.2 O MODELO DA MÁQUINA SÍNCRONA 21

3.3 O ÂNGULO DE CARGA DA MÁQUINA SÍNCRONA E A EQUA-

ÇÃO SWING 24

3.4 O MODELO CLÁSSICO EM UM SISTEMA MULTIMÁQUINAS 30

3.5 CÁLCULOS PRELIMINARES PARA ESTUDOS DE ESTABILIDA-

DE TRANSITÓRIA 32

3.6 O MÉTODO DE EULER MODIFICADO 35

3.7 O CENTRO DE INÉRCIA DO SISTEMA 38

4 RESULTADOS DA APLICAÇÃO DA METODOLOGIA DE

ANÁLISE TRANSITÓRIA NA OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS

ELÉTRICOS 39

4.1 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL 39

4.2 VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA DE ANÁLISE DE ESTABILIDA-

DE TRANSITÓRIA NO SISTEMA DE 9 BARRAS 41

4.3 APLICAÇÃO DA METODOLOGIA DE ANÁLISE DE ESTABILIDA-

DE TRANSITÓRIA NA OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS

UTILIZANDO O SISTEMA DE 9 BARRAS 44

4.3.1 Solução do sistema de 9 barras pelo fluxo de potência ótimo 45

4.3.2 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 9 barras 47

4.3.3 Execução do FPO para o sistema de 9 barras com elevação

da geração da máquina 2 51

4.3.4 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 9 barras

com elevação da geração da máquina 2 52

4.4 APLICAÇÃO DA METODOLOGIA DE ANÁLISE DE ESTABILIDA-

DE TRANSITÓRIA NA OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS

UTILIZANDO O SISTEMA DE 41 BARRAS 54

4.4.1 Solução do sistema de 41 barras pelo fluxo de potência ótimo 56

4.4.2 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 41 barras 59

4.4.3 Execução do FPO para o sistema de 41 barras com elevação da

geração da máquina 6 62

4.4.4 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 41 barras

com elevação da geração da máquina 6 64

4.4.5 Execução do FPO para o sistema de 41 barras com elevação da

geração das máquinas 6 e 7 65

4.4.6 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 41 barras

com elevação da geração das máquinas 6 e 7 67

4.4.7 Execução do FPO para o sistema de 41 barras com elevação

da geração da máquina 7 e geração máxima na máquina 6 68

4.4.8 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 41 barras

com elevação da geração da máquina 7 e geração máxima na

máquina 6 70

4.4.9 Execução do FPO para o sistema de 41 barras com geração

máxima nas máquinas 6 e 7 71

4.4.10 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 41 barras

com geração máxima nas máquinas 6 e 7 73

5 CONCLUSÕES GERAIS E SUGESTÕES PARA TRABALHOS

FUTUROS 77

5.1 CONCLUSÕES GERAIS 77

5.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 78

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 80

Lista de Tabelas

4.1 Dados de transformadores e linhas de transmissão para o sistema de 9

barras 42

4.2 Dados de geradores para o sistema de 9 barras 43

4.3 Solução do FPO para o sistema de 9 barras 46

4.4 Diferença de ângulo de rotor entre os geradores e o centro de inércia para

o sistema de 9 barras 49

4.5 Solução do FPO para o sistema de 9 barras com elevação da geração da

máquina 2 51

4.6 Geração no sistema de 9 barras na primeira (insegura) e na última

(segura) solução 54

4.7 Perdas no sistema de 9 barras na primeira (insegura) e na última

(segura) solução 54

4.8 Dados dos geradores para o sistema de 41 barras 55

4.9 Solução do FPO para o sistema de 41 barras 58

4.10 Diferença de ângulo de rotor entre os geradores e o centro de inércia para

o sistema de 41 barras 61

4.11 Solução do FPO para o sistema de 41 barras com elevação da geração da

máquina 6 63

4.12 Diferença de ângulo de rotor entre os geradores e o centro de inércia com

elevação da geração da máquina 6 65

4.13 Solução do FPO para o sistema de 41 barras com elevação da geração das

máquinas 6 e 7 66

4.14 Diferença de ângulo de rotor entre os geradores e o centro de inércia com

elevação da geração das máquinas 6 e 7 68

4.15 Solução do FPO para o sistema de 41 barras com elevação da geração da

máquina 7 e geração máxima na máquina 6 69

xii

4.16 Diferença de ângulo de rotor entre os geradores e o centro de inércia com

elevação da geração da máquina 7 e geração máxima na máquina 6 71

4.17 Solução do FPO para o sistema de 41 barras com geração máxima nas

máquinas 6 e 7 72

4.18 Geração no sistema de 41 barras na primeira (insegura) e na última

(segura) solução 75

4.19 Perdas no sistema de 41 barras na primeira (insegura) e na última

(segura) solução 75

xiii

Lista de Figuras

1.1 Ilustração da metodologia proposta 6

2.1 Exemplo de função côncava e função convexa 18

2.2 Exemplo de função nem convexa nem côncava 18

3.1 Classificação de estabilidade de sistemas de potência 20

3.2 Circuito equivalente da máquina síncrona no modelo clássico 22

3.3 Diagrama fasorial da máquina síncrona no modelo clássico 23

3.4 Referência fixa e rotativa para posição do rotor 26

3.5 Variação de P

com δ 29

3.6 Representação do gerador para cálculo do

3.7 Representação gráfica do método de Euler modificado 36

4.1 Sistema clássico de nove barras e três geradores 42

4.2 Comportamento dos ângulos de rotor para o sistema de 9 barras 44

4.3 Comportamento dos ângulos de rotor para o sistema de 9 barras

considerando curto-circuito trifásico na linha 5-7 48

4.4 Comportamento dos ângulos de rotor para o sistema de 9 barras

considerando curto-circuito trifásico na linha 4-5 49

4.5 Comportamento dos ângulos de rotor para o sistema de 9 barras

considerando curto-circuito trifásico na linha 4-5, com elevação da

geração da máquina 2 52

4.6 Comportamento dos ângulos de rotor entre as máquinas 1e 3

considerando curto-circuito trifásico nas linhas 4-6, 7-5, 6-9, 7-8 e 8-9,

com elevação da geração da máquina 2 53

4.7 Sistema equivalente de 41 barras e 13 geradores 55

xiv

4.8 Diferença angular entre as máquinas 1 e 6 considerando curto-circuito

monofásico na linha 19-20 60

4.9 Diferença angular entre as máquinas 1 e 6 considerando curto-circuito

monofásico na linha 19-20 e elevação da geração da máquina 6 64

4.10 Diferença angular entre as máquinas 1 e 6 considerando curto-circuito

monofásico na linha 19-20 e elevação da geração das máquinas 6 e 7 67

4.11 Diferença angular entre as máquinas 1 e 6 considerando curto-circuito

monofásico na linha 19-20, elevação da geração da máquina 7 e geração

máxima na máquina 6 70

4.12 Diferença angular entre as máquinas 1 e 6 e entre as máquinas 1 e 10

considerando curto-circuito monofásico na linha 19-20 e geração

máxima nas máquinas 6 e 7 73

4.13 Comportamento dos ângulos de rotor entre as máquinas 1 e 10

considerando curto-circuito monofásico nas linhas 20-22, 23-24, 27-30,

32-36, 35-36, 36-37 e 38-39 74

LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES

CI Centro de Inércia

FPO Fluxo de Potência Ótimo

SEP Sistemas Elétricos de Potência

SEB Sistema Elétrico Brasileiro

DE Despacho Econômico

MA57 Técnica de esparsidade elaborada pelo Grupo de Algoritmos

Numéricos do Laboratório Harwell do United Kingdom Atomic

Energy Authority

H Constante de Inércia

Anarede Programa de Análise de Redes – CEPEL

PlotCepel Programa de Plotagem gráfica – CEPEL

CEPEL Centro de Pesquisas em Energia Elétrica – ELETROBRÁS

UFJF Universidade Federal de Juiz de Fora

UnB Universidade de Brasília

FEUP Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers

CLAGTEE Congresso Latino-Americano de Geração e Transmissão de Energia

Elétrica

k e m Nós (barras) conectados diretamente por um ou mais ramos

NL Número total de linhas de transmissão

V e

Vetores da magnitude e fase da tensão, respectivamente

t Tap dos transformadores, tempo (variável independente)

Q Potência reativa em geral, podendo ser identificada pelo subíndice

P Potência ativa em geral, podendo ser identificada pelo subíndice

Fluxo de potência ativa no ramo entre os nós k e m

xvi

Tap do transformador j

Módulo da tensão no nó k

(V,

, t) Função perdas de potência ativa na transmissão

Ω

Conjunto de barras vizinhas à barra k

PeP Potências ativas, geradas e consumidas, respectivamente

Condutância da linha de transmissão

Susceptância da linha de transmissão

Susceptância shunt da linha de transmissão

min

Q Limite mínimo de potência reativa gerada

max

Q Limite máximo de potência reativa gerada

min

P Limite mínimo de potência ativa gerada

max

P Limite máximo de potência ativa gerada

min

V Limite mínimo das magnitudes das tensões

max

V Limite máximo das magnitudes das tensões

min

Limite mínimo dos taps dos transformadores

max

Limite máximo dos taps dos transformadores

max

ativo

F Limite de fluxo de potência ativa nas linhas de transmissão

g(x) Vetor das equações de balanço da rede elétrica

h(x) Vetor das inequações funcionais da rede elétrica

maxmin

xex Vetores dos limites das variáveis de controle e de estado do

problema

maxmin

heh Vetores dos limites das restrições funcionais h(x)

Vetores das variáveis de folga

xvii

Vetores das variáveis de excesso

Parâmetro de barreira

4321

,,,,

ππππλ

Vetores multiplicadores de Lagrange

),,,(

ππλ

Matriz Hessiana

)()( xgxJ

∇=

Matriz Jacobiana, dada pela derivada das restrições de igualdade em

relação as variáveis do problema

)(xh

∇

Matriz Jacobiana, dada pela derivada das restrições funcionais em

relação as variáveis do problema

I Matriz identidade

−

Força eletromotriz da máquina i

−

Tensão nos terminais da máquina

Resistência de armadura

Reatância transitória de eixo direto do enrolamento do estator

−

Corrente elétrica fornecida pela máquina i

Soma algébrica de todos os torques (N.m)

Aceleração angular mecânica (rad/s

)

Momento de inércia (kg.m

)

Ângulo elétrico do rotor

Ângulo mecânico do rotor

Número de pólos da máquina

Frequência

rpm

Rotação por minuto

Velocidade angular

xviii

Ângulo de torque (posição do rotor com relação à uma referência

rotativa)

Velocidade angular nominal

Aceleração angular mecânica

Soma algébrica de todos os torques atuantes no rotor (torque líquido)

BASE

Torque base

BASE

Potência base

BASE

Velocidade angular base

Número pi = 3.1415926535...

Torque mecânico proveniente da turbina, podendo ser identificada

pelo subíndice

Torque elétrico fornecido pelo gerador, podendo ser identificada

pelo subíndice

Potência mecânica proveniente da turbina, podendo ser identificada

pelo subíndice

Potência elétrica fornecida pelo gerador, podendo ser identificada

pelo subíndice

Potência máxima fornecida pelo gerador, podendo ser identificada

pelo subíndice

Admitância de barra, podendo ser identificada pelo subíndice

Condutância de barra, podendo ser identificada pelo subíndice

Susceptância de barra, podendo ser identificada pelo subíndice

Submatriz admitância considerando apenas os nós que possuem

gerador conectado

ou Y

Submatriz admitância considerando as ligações entre os nós que

possuem gerador conectado aos nós que não possuem gerador

conectado

xix

Submatriz admitância considerando apenas os nós que não possuem

gerador conectado

Variável genérica dependente numa equação diferencial, podendo

ser identificada pelo subíndice

Ângulo no Centro de Inércia

Capítulo 1 INTRODUÇÃO

1.1 INTRODUÇÃO GERAL

Em Sistemas Elétricos de Potência (SEP) de grande porte, como o Sistema Elétrico

Brasileiro (SEB), a operação é efetuada para que o atendimento às cargas ocorra de forma

econômica e segura, respeitando as diversas restrições energéticas e elétricas que possam

existir. Entenda-se por restrições energéticas como sendo o controle de reservatórios e a

limitação na capacidade de geração das usinas, entre outras. As restrições elétricas

referem-se a limites físicos em equipamentos e limites de segurança dinâmicos para

intercâmbios entre regiões, entre outras.

Para atendimento a essas restrições, é necessário que o sistema elétrico seja

constantemente avaliado por meio de resultados de simulações. Com esta finalidade, são

utilizadas ferramentas para análise estática (fluxo de potência) e análise de estabilidade

transitória (transitórios eletromecânicos). Na análise estática é avaliado se o ponto de

operação definido atende às restrições de carregamento em equipamentos, bem como aos

limites de intercâmbio (definidos nos estudos de análise de estabilidade transitória) e ao

controle de tensão. Na análise de estabilidade transitória são definidos os limites de

intercâmbio entre regiões, para os quais o sistema deve permanecer estável diante de

determinados eventos, a exemplo dos curtos-circuitos com desligamento de linhas de

transmissão.

Outra ferramenta que tem sido importante nas últimas décadas é o Fluxo de Potência

Ótimo (FPO), pela qual objetiva-se determinar um ponto de operação que atenda à

determinada função objetivo, podendo ser esta função objetivo: mínimo custo de geração,

mínimas perdas elétricas na transmissão, máxima transferência de energia, entre outros. O

ponto de operação definido pelo FPO deve ainda atender a um determinado grupo de

restrições, podendo ser: limite mínimo e máximo de tensão, limite mínimo e máximo de

geração de potência ativa, limite máximo de fluxo em determinados equipamentos. O FPO

é capaz de garantir um ponto de operação que seja seguro do ponto de vista estático, ou

seja, sem que haja violação de limites físicos ou restrições operativas.

As empresas responsáveis pela operação dos sistemas elétricos buscam coordenar e

controlar a operação dos sistemas de geração e transmissão de energia elétrica,

assegurando a otimização econômica. Nesta situação, o FPO torna-se uma ferramenta

fundamental para se decidir o despacho final e o ponto de operação do sistema. No entanto,

como mencionado anteriormente, o FPO garante o atendimento às restrições de segurança

estática. Por outro lado, apenas com a utilização do FPO, não é possível assegurar que o

sistema seja estável quando submetido a determinadas contingências [Alam, 2006].

A estabilidade de um sistema de potência está ligada ao comportamento dinâmico das

máquinas síncronas após a ocorrência de uma perturbação (evento). Se a perturbação não

envolver qualquer mudança na configuração do sistema, as máquinas deverão voltar ao

mesmo estado de operação inicial em um tempo finito após a extinção da perturbação.

Porém, se houver qualquer mudança na configuração do sistema, tais como alteração na

carga, geração, linhas de transmissão, etc., haverá um desequilíbrio entre a geração e a

carga. Consequentemente, as máquinas deverão estabelecer-se em um novo ponto de

operação. Em qualquer caso, todas as máquinas síncronas interligadas deverão permanecer

em sincronismo se o sistema for estável.

1.2 MOTIVAÇÃO

A utilização do FPO associada a estudos de estabilidade transitória, é cada vez mais

frequente [Alam, 2006] [Hakim, 2009] [Gan, 2000] e [Valenzuela, 2004]. Esta associação

tem como objetivo maximizar o aproveitamento das condições energéticas sazonais nos

sistemas, possibilitando que o sistema possa suportar dinamicamente as possíveis

contingências.

As primeiras propostas para inclusão de restrições de estabilidade transitória na formulação

de FPO foram apresentadas em [Scala, 1998] e [Gan, 1998]. Em [Tuglie, 2000] avalia-se a

aplicação de FPO com restrições de estabilidade transitória para avaliar dinamicamente a

capacidade de transferência de energia.

O SEB pode ser considerado um bom exemplo para este tipo de análise, por ser um sistema

hidrotérmico de grande porte, atualmente com cerca de 103.000 MW de potência instalada.

É predominantemente hidroelétrico, com mais de 80% de sua capacidade total advinda de

geração hidráulica. Devido à magnitude deste sistema interligado e à existência de

restrições físicas associadas à transmissão de energia elétrica por longas distâncias, o SEB

foi dividido em quatro subsistemas interligados por uma extensa rede de transmissão,

sendo eles: Sul, Sudeste/Centro-Oeste, Nordeste e Norte [Monteiro, 2009].

Para que se possa aproveitar ao máximo as sazonalidades intrínsecas ao SEB, a

programação da operação é efetuada de forma a obter a máxima transferência de energia

das regiões que estiverem em seu período úmido, ou seja, elevadas afluências aos

reservatórios das usinas hidroelétricas, para as regiões que estiverem no período seco,

mantendo assim um controle adequado dos reservatórios.

Uma vez atendidas as restrições energéticas, é importante que a operação praticada resulte

também na minimização das perdas elétricas na transmissão, o que certamente contribuirá

para um melhor aproveitamento dos recursos hidrotérmicos. Para este objetivo, o FPO

apresenta-se como importante ferramenta, uma vez que pode definir o despacho que

minimize as perdas na transmissão e ainda atenda as restrições eletro-energéticas, do ponto

de vista estático.

Para se garantir também um ponto de operação seguro do ponto de vista de estabilidade

transitória, é que se pretende inserir a análise de estabilidade transitória a partir do

resultado do estudo de FPO.

Neste trabalho será estudado o problema de estabilidade transitória de ângulo de rotor, ou

seja, estabilidade a grandes perturbações. Para tanto, será necessária a resolução da

equação

swing

das máquinas síncronas, a qual define o comportamento do ângulo de rotor.

Existem diversos métodos de solução da equação

swing

, como, por exemplo, a expansão

da série de Taylor [Haque, 1988] ou ainda a regra trapezoidal [Alam, 2006]. Utiliza-se,

neste trabalho, o método de Euler modificado por se tratar de um método de fácil

implementação e adequado ao problema estudado [Mota, 2006].

Uma das formas de garantir a estabilidade do sistema é definindo um limite para a variação

angular das máquinas do sistema em relação ao ângulo de uma máquina tomada como

referência [Fontoura, 2006]. Analogamente, pode-se usar também o Centro de Inércia (CI)

do sistema como referência, sendo esta prática mais freqüente na literatura [Gan, 2000]

[Yuan, 2003] e [Gan, 2003].

Outra questão importante é a estratégia a ser adotada caso o ponto de operação, definido

pelo FPO, não atenda aos critérios de estabilidade quando da aplicação de perturbações.

Nestas situações, considerando que a topologia do sistema em estudo não será alterada de

forma a garantir a estabilidade, entende-se que a geração das máquinas síncronas deve ser

modificada, para garantir um ponto de operação que seja seguro em perturbações. Em

geral, utiliza-se do procedimento de tentativa e erro, associado à experiência dos analistas

para definir quais geradores terão sua geração alterada [Alam, 2006], [Hakim, 2009] e

[Gan, 2000].

1.3 OBJETIVO

O objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de uma metodologia para realimentação do

FPO, nas situações em que o sistema não atenda aos critérios de estabilidade,

determinando o sentido de variação da potência ativa para o(s) gerador(es) considerado(s)

mais crítico(s).

Para identificação do(s) gerador(es) mais crítico(s), será calculada a diferença angular de

cada um dos geradores para o CI, na condição de regime permanente (pré-perturbação)

definida pelo FPO. Aquele(s) gerador(es) que estiver(em) “mais afastado(s)” (do ponto de

vista angular) do CI terá(ão) seu despacho de potência ativa restringido a valores próximos

ao seu limite inferior (ângulo do rotor do gerador maior que o ângulo do centro de inércia)

ou a valores próximos ao seu limite superior (ângulo do rotor do gerador menor que o

ângulo do centro de inércia).

A estabilidade é avaliada pela variação angular de cada gerador com todos os demais

geradores do sistema. Para que o caso seja aprovado (sistema estável) todos os geradores

deverão permanecer em sincronismo e as variações angulares entre as máquinas deverão

ficar restritas a um determinado valor máximo. Uma vez que não é possível prever as

contingências às quais o sistema estará submetido, será utilizada a análise de

multicontingências, proposta por [Bruno, 2002] e [Yuan, 2003], na qual simula-se diversas

perturbações possíveis, sendo que o sistema deverá suportar a todas individualmente.

Para alteração dos limites de potência ativa dos geradores selecionados, propõe-se utilizar

como critério a modificação do limite inferior ou superior, a depender da diferença angular

entre a máquina e o CI, em 50% da diferença entre o limite máximo e o limite mínimo do

gerador. Exemplificando, caso a metodologia indique necessidade de elevar a geração de

potência ativa do gerador

, o novo valor de potência mínima, na restrição do FPO, será:













−

minmax

minmin

originalPoriginalP

antigoPnovoP

. Caso o resultado indique um

novoP

min

maior que

max

, o

novoP

min

assumirá o valor de

max

De forma análoga, caso seja necessário reduzir a geração de potência ativa do gerador

, o

novo valor de potência máxima, na restrição do FPO, será:













−

−=

minmax

maxmax

originalPoriginalP

antigoPnovoP

. Caso o resultado indique um

novoP

max

menor que

min

, o

novoP

max

assumirá o valor de

min

A formulação proposta para alteração dos limites mínimo e máximo, e a referência de 50%

da diferença entre o limite máximo e o limite mínimo do gerador, utilizadas neste trabalho,

foram definidas de forma arbitrária, podendo ser alteradas em trabalhos futuros.

Desta forma, a proposta de investigação é composta das seguintes etapas, ilustradas pela

Figura 1.1:

•

Primeiramente, executa-se o FPO, cuja função objetivo é minimizar as perdas

elétricas na transmissão, considerando as diversas restrições estáticas existentes, e

já apresentadas anteriormente.

•

Para o ponto de operação definido, executam-se várias simulações de estabilidade

transitória, verificando se o sistema mantém-se estável e atendendo aos critérios de

segurança de estabilidade definidos, quando submetido às diversas perturbações

possíveis.

•

Caso um ou mais critérios sejam violados, as restrições de potência ativa nos

geradores identificados pela metodologia desenvolvida são alteradas no problema

do FPO.

•

Este procedimento é repetido até que não haja violações dos critérios de segurança.

Neste ponto, o despacho final (seguro) foi encontrado.

Fig. 1.1 – Ilustração da metodologia proposta

A metodologia apresentada foi testada, através de estudos de caso, em um sistema fictício

de 9 barras e 3 geradores, apresentado em [Anderson, 2003] e em um sistema real de 41

barras e 13 geradores, representando a interligação entre as regiões Norte e

Sudeste/Centro-Oeste do SEB.

Caso Base

FPO

Despacho

Ótimo

Avaliação de

Estabilidade

Transitória

Seguro?

FIM

Método de

redespacho

Não

Sim

1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

O trabalho está organizado na forma a seguir:

O capítulo 2 apresenta uma breve descrição da utilização do FPO e do método de solução

utilizado.

No capítulo 3 será abordada a representação da máquina síncrona nos estudos de

estabilidade transitória, com atenção para o controle do ângulo de rotor. Ainda neste

capítulo será apresentado o problema de estabilidade transitória e a resolução das equações

diferenciais no domínio do tempo.

No capítulo 4 serão apresentados os resultados das simulações efetuadas em um sistema

fictício de 9 barras e no sistema real de 41 barras.

O capítulo 5 traz as conclusões finais do trabalho juntamente com suas principais

contribuições. Sugestões para trabalhos futuros são também apresentadas.

Capítulo 2 O FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO

Para implementação da metodologia proposta foi utilizado o problema de FPO na forma

estudada e implementada em [Souza, 2005]. A programação do FPO não foi refeita ou

alterada neste trabalho, tendo sido utilizada como ferramenta no desenvolvimento da

metodologia proposta.

Neste capítulo serão apresentados o desenvolvimento do modelo do problema de FPO e o

método primal-dual barreira logarítmica aplicado à solução deste problema.

2.1

O PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO

O Fluxo de Potência Ótimo é uma ferramenta para análise de SEP. Está em

desenvolvimento desde a década de 60, onde teve a sua origem. O FPO surgiu a partir do

problema de Despacho Econômico (DE), originalmente utilizado em concessionárias de

eletricidade, fornecendo como resultado a potência gerada pelas unidades geradoras para

atender a demanda total do sistema ao menor custo [Souza, 2005].

O problema de FPO marcou o fim do período clássico do DE. O problema de DE passou a

ser um caso particular do problema de FPO e um novo modelo passou a ser considerado,

onde acrescentaram-se restrições físicas e operacionais do sistema elétrico. As restrições

adicionadas ao modelo inicial foram: equações de balanço da rede elétrica e limites de

geração de potência reativa, de fluxo de potência em linhas de transmissão, de tensão, de

taps de transformadores, entre outras.

O modelo inicial, que possuía somente restrições lineares, passou a conter restrições

funcionais não-lineares. Aumentando, desta forma, o nível de dificuldade na solução do

problema. O FPO ajusta de forma ótima as variáveis de controle e de estado do sistema e,

simultaneamente, resolve o problema de fluxo de potência, que é formado pelas equações

de balanço da rede elétrica.

Em muitos modelos de FPO, a função objetivo custo na geração de potência foi mantida,

porém, em outros modelos outras funções foram consideradas como, por exemplo, a

função perdas de potência ativa no sistema de transmissão, o qual foi considerado neste

trabalho, conforme apresentado em (2.1).

max

min

max

min

max

ativokm

max

min

max

min

NL)m,k(

ttt

dortransformadetapdeLimite

VVV

:tensãodeLimite

F)t,,V(F

:otransmissãnaativofluxodeLimite

P)t,,V(PP

:ativapotênciadegeraçãonaLimite

Q)t,,V(QQ

:reativapotênciadegeraçãonaLimite

0)t,,V(Q

0)t,,V(P

:elétricosistemadobalançodeEquações

:asujeito

)t,,V(fMinimizar

≤≤

≤θ

≤θ≤

=θ∆



∈

onde:

k e m - nós (barras) conectados diretamente por um ou mais ramos.

NL - número total de linhas de transmissão.

Ve θ - vetores da magnitude e fase da tensão, respectivamente.

t - tap dos transformadores.

- potência reativa no gerador k.

- potência ativa no gerador k.

(2.1)

- fluxo de potência ativa no ramo entre os nós k e m.

- tap do transformador j.

- módulo da tensão no nó k.

max

min

QeQ

- limites mínimos e máximos da potência reativa gerada.

max

min

PeP

- limites mínimos e máximos da potência ativa gerada.

max

min

VeV

- limites mínimos e máximos das magnitudes das tensões.

max

min

tet

- limites mínimos e máximos dos taps dos transformadores.

max

ativo

- limite de fluxo de potência ativa nas linhas de transmissão.

(V, θ, t) - função perdas de potência ativa na transmissão dada por:

)cosVV2VV(g)t,,V(f

θ−+=θ

(2.2)

•

As equações de balanço do sistema elétrico são dadas por:

Potência ativa para as barras de carga e de controle de reativo:

;)t,,V(PPP)t,,V(P



θ−−=θ∆

Ω∈

(2.3)

onde:

)senbcosg(V)Vt(g)Vt()t,,V(P

θ+θ−=θ

Ω

- conjunto de barras vizinhas à barra k.

PeP

- potências ativas, geradas e consumidas, respectivamente.

, b

- condutância e a susceptância da linha, respectivamente.

Potência reativa para as barras de carga:

;)t,,V(QQQ)t,,V(Q



θ−−=θ∆

Ω∈

(2.4)

onde:

)sengcosb(V)Vt()bb()Vt()t,,V(Q

θ−θ++−=θ

QeQ

- potências reativas, geradas e consumidas, respectivamente.

•

Limite na geração de potência reativa para as barras de controle de reativo e barras

de geração:

)sengcosb(V)Vt(

)bb()Vt()t,,V(Q

kmkmkmkmmk

kmkm

θ−θ+



+−=θ

Ω∈

(2.5)

onde:

- susceptância shunt da linha.

•

Limite na geração de potência ativa para as barras de geração:



θ+θ−=θ

Ω∈m

kmkmkmkmmkkm

)senbcosg(V)Vt(g)Vt()t,,V(P

(2.6)

•

Limite de fluxo de potência ativa na transmissão:

)senbcosg(V)Vt(g)Vt()t,,V(F

θ+θ−=θ

(2.7)

Em termos gerais, o problema de FPO é definido como sendo não-linear, não-convexo e de

grande porte, possuindo um grande número de variáveis e restrições. Essa característica

torna o FPO um desafio para pesquisadores desta área, como mencionado em [Stott, 1980].

Muitas técnicas de otimização são encontradas na literatura com o objetivo de resolver o

problema de FPO [Momoh, 1994]. Na próxima seção será apresentado o método de pontos

interiores – primal-dual barreira logarítmica –utilizado na solução do Problema (2.1).

2.2

O MÉTODO PRIMAL-DUAL BARREIRA LOGARÍTMICA

Entre as diversas técnicas existentes para a resolução do problema de FPO, o método

desenvolvido em [Souza, 2005] e utilizado neste trabalho foi o primal-dual barreira

logarítmica, o qual será tratado a seguir.

Com o objetivo de simplificar o modelo matemático, o método será apresentado partindo

de um modelo geral de um problema de programação não-linear. Considere o seguinte

problema de otimização generalizado:

maxmin

xxx

h)x(hh

0)x(g

:asujeito

)x(fMinimizar

≤≤

(2.8)

onde:

f(x) - função escalar, a qual representa o desempenho do sistema.

g(x) - vetor das equações de balanço da rede elétrica, onde n > m.

h(x) - vetor das inequações funcionais da rede elétrica.

maxmin

xex - vetores dos limites das variáveis de controle e de estado do problema.

maxmin

heh - vetores dos limites das restrições funcionais h(x).

No método primal-dual barreira logarítmica as restrições de desigualdade canalizadas são

representadas como duas restrições de desigualdade. Nessas restrições são inseridas

variáveis de folga ou excesso, transformando-as em igualdades. Desse modo, (2.8) pode

ser reescrito como:

0s,s,s,s

xsx

hs)x(h

0)x(g

:asujeito

)x(fMinimizar

4321

min

max

min

max

≥

=−

(2.9)

onde:

- vetores das variáveis de folga.

- vetores das variáveis de excesso.

As variáveis de folga ou excesso devem ser estritamente positivas, pois são incorporadas à

função objetivo por meio da função barreira logarítmica apresentada em [Frisch, 1955], a

qual é dada por:

0x,x,xln)x(B

>ℜ∈



−=

(2.10)

e de um parâmetro de barreira

Dessa forma, (2.10) pode ser reescrito como:

min

max

min

max

xsx

hs)x(h

0)x(g

:asujeito

)slnslnslnsln()x(fMinimizar

=−



µ−

====

(2.11)

onde  é o parâmetro de barreira, o qual tende a zero durante o processo iterativo, ou seja,

→µ>>µ>µ

∞



Associa-se ao Problema (2.11) a função Lagrangiana, que é dada por:

)xsx(

)hs)x(h(

)x(g

)slnslnslnsln()x(fL

min

max

min

max

−−π+

+−+π+

+−−π+

+−+π+

+λ+



µ−=

====

(2.12)

onde:

4321

,,,,

ππππλ

- vetores multiplicadores de Lagrange.

As condições necessárias de primeira-ordem são aplicadas em (2.12), gerando um sistema

de equações não-lineares dado por:

=∇

→

0)x(h)x(h)x(g)x(f

43x

=π+π+∇π+∇π+∇λ+∇ (2.13)

0L =∇

→

0)x(g

(2.14)

=∇

→

(

)

0hs)x(h

max

=−+

(2.15)

=∇

→

(

)

0hs)x(h

min

=−−

(2.16)

=∇

→

(

)

0xsx

max

=−+ (2.17)

=∇

→

(

)

0xsx

min

=−−

(2.18)

=∇

→

(

)

0eS

=π+µ−

−

(2.19)

=∇

→

(

)

0eS

=π−µ−

−

(2.20)

=∇

→

(

)

0eS

=π+µ−

−

(2.21)

=∇

→

(

)

0eS

=π−µ−

−

(2.22)

onde:

;













= 

4321

S,S,S,S - matrizes diagonais cujos elementos são:

s,s,s,s

−−−−

respectivamente.

O sistema de Equações não-lineares de (2.13) a (2.22) é resolvido pelo método de Newton.

Esse método utiliza a expansão em série de Taylor até primeira-ordem das equações do

sistema, gerando um sistema do tipo Ax = b; onde as direções de busca

(

)

43214321

s,s,s,s,,,,,,x ∆∆∆∆π∆π∆π∆π∆λ∆∆ são utilizadas na atualização das

variáveis. Dessa forma, tem-se o seguinte sistema de equações:

0))x(h())x(h(

))x(g(x))x(h)x(h)x(g)x(f(L

432

xxx

=π∆+π∆+π∆∇+π∆∇+

λ∆∇+∆∇π+∇π+∇λ+∇+∇

(2.23)

0x)x(gL

=∆∇+∇

(2.24)

0sx)x(hL

=∆+∆∇+∇

(2.25)

0sx)x(hL

=∆−∆∇+∇

(2.26)

0sxL

=∆+∆+∇

(2.27)

0sxL

=∆−∆+∇

(2.28)

0sSL

=π∆+∆µ+∇

−

(2.29)

0sSL

=π∆−∆µ+∇

−

(2.30)

0sSL

=π∆+∆µ+∇

−

(2.31)

0sSL

=π∆−∆µ+∇

−

(2.32)

Reescrevendo as Equações de (2.23) a (2.32) na forma matricial, tem-se o seguinte

sistema:













∇

−=













∆

π∆

λ∆

∆













µ−

−

−∇

∇

∇∇ππλ

−

S000I00000

0S000I0000

00S000I000

000S000I00

I00000000I

0I0000000I

00I000000)x(h

000I00000)x(h

000000000)x(J

0000II)x(h)x(h)x(J),,,x(W

xx21

(2.33)

onde:

)x(h)x(h)x(g)x(f),,,x(W

∇π+∇π+∇λ+∇=ππλ

- matriz Hessiana.

)x(g)x(J

∇=

- matriz Jacobiana, dada pela derivada das restrições de igualdade em

relação as variáveis do problema.

)x(h

∇

- matriz Jacobiana, dada pela derivada das restrições funcionais em relação as

variáveis do problema.

I - matriz identidade.

Com o objetivo de detalhar mais a matriz Hessiana da Lagrangiana dada em (2.33), as

submatrizes

),,,x(W

ππλ

e J(x) serão escritas em termos das variáveis do problema de

FPO visto em (2.1):













∂

θ∂∂

∂

∂∂

∂

∂θ∂

∂

θ∂

∂

∂θ∂

∂

∂∂

∂

θ∂∂

∂

=ππλθ

222

),,,t,,V(W

(2.34)













∂

∆∂

∂

∆∂

θ∂

∆∂

θ∂

∆∂

∂

∆∂

∂

∆∂

=θ

)t,,V(J

(2.35)

A matriz Hessiana da Lagrangiana do Sistema (2.33) é esparsa e simétrica de posição e

valor. Essas características foram exploradas no processo de solução do sistema. Uma

técnica de esparsidade elaborada pelo Grupo de Algoritmos Numéricos do Laboratório

Harwell do United Kingdom Atomic Energy Authority foi utilizada. Esta técnica usa uma

variante da eliminação de Gauss e é conhecida como MA57. A sub-rotina MA57 necessita,

como informação, somente os valores não-nulos da matriz triangular superior (ou inferior).

Com isso, economiza-se memória e tempo de processamento, uma vez que o número de

elementos a serem calculados e armazenados é bem menor. O problema de FPO foi

implementado em Linguagem C++ e a sub-rotina MA57 em Fortran, logo, realizou-se um

link entre essas duas linguagens. A matriz Hessiana da Lagrangiana é formada por

submatrizes de fácil implementação, tais como: as matrizes identidades e as referentes às

variáveis de folga e de excesso. Devido ao fato dessas matrizes possuírem somente

elementos na diagonal principal, isto se torna um atrativo na implementação do algoritmo.

O método primal-dual barreira logarítmica, por acrescentar novas variáveis ao problema –

variáveis de folga e de excesso –, torna a dimensão da matriz Hessiana da Lagrangiana

consideravelmente grande quando comparada a outros métodos. A dimensão dessa matriz

para o problema de FPO é igual a:

Dimensão = 6.(número de barras do sistema) +

5.(número de barras do tipo controle de reativo) +

2.(número de barras de carga) + (2.36)

8.(número de barras de geração) +

5.(número de

taps

variáveis) +

2.(número de restrições de fluxo de potência ativa na transmissão) – 1

2.3 PROBLEMAS NÃO LINEARES

Em geral, os problemas (2.1) ou (2.11) representam um problema de otimização com

restrições não lineares [Momoh, 1950]. Quando a função objetivo é convexa ou côncava e

todas as restrições são expressas como equações lineares, o espaço de solução é também

convexo ou côncavo e o ótimo global pode ser determinado usando métodos numéricos.

Nestes casos, o ótimo local é necessariamente o ótimo global [Geidl, 2007]. A Figura 2.1

ilustra uma função côncava, na qual pode ser identificado o máximo da função (ótimo

global), e outra função convexa, na qual pode ser identificado o mínimo da função (ótimo

global).

Fig. 2.1 – Exemplo de função côncava e função convexa

Quando a função objetivo é do tipo nem convexa nem côncava, e as restrições não são

lineares, o espaço de solução deixa de ser convexo (ou côncavo). Os métodos numéricos

podem ser utilizados, assim como na situação anterior, mas o resultado não representa,

necessariamente, o ótimo global. Dependendo da estimativa inicial, a solução do problema

poderá ser apenas o ótimo local. A Figura 2.2 ilustra uma função do tipo nem convexa nem

côncava.

Fig. 2.2 – Exemplo de função nem convexa nem côncava

f(x)

Capítulo 3 O PROBLEMA DA ESTABILIDADE

Conforme apresentado no Capítulo 1, a estabilidade de qualquer sistema de potência

dependerá do comportamento dinâmico das máquinas síncronas após a ocorrência de

alguma perturbação, ou seja, de sua capacidade em se manter em sincronismo em

condições transitórias.

Neste capítulo apresentaremos uma revisão sobre o problema da estabilidade no sistema de

geração e transmissão, com enfoque para a estabilidade transitória de ângulo de rotor. Para

tanto, serão abordadas a modelagem das máquinas síncronas em simulações de estabilidade

transitória, o efeito da variação de ângulo de carga do gerador na estabilidade do sistema, a

equação diferencial que determina o comportamento do ângulo de carga (equação

swing

) e

o método de Euler para sua solução. Trataremos também sobre o Centro de Inércia de um

sistema elétrico e a modelagem dos equipamentos deste sistema.

3.1 DEFINIÇÕES DE ESTABILIDADE

O termo ‘‘estabilidade de sistemas de potência’’ é aplicável a sistemas de potência em

corrente alternada para denotar uma condição em que as várias máquinas síncronas do

sistema permanecem mutuamente em sincronismo. ‘‘Instabilidade’’, por outro lado, denota

uma condição que envolve perda de sincronismo [Mata, 2005].

Em [Kundur, 1994] o autor apresenta uma classificação do problema de estabilidade em

categorias, conforme pode ser observado na Figura 3.1. A classificação da estabilidade

facilita sua análise, bem como a determinação dos fatores que contribuem para uma

possível instabilidade, além da definição dos métodos de solução.

Fig. 3.1 – Classificação de estabilidade de sistemas de potência

Conforme apresentado na Figura 3.1, dois tipos de estudos de estabilidade estão presentes

na literatura: Estabilidade Dinâmica e Estabilidade Transitória.

Estabilidade Transitória refere-se aos fenômenos que se seguem à ocorrência de uma

grande e súbita perturbação em um sistema de potência, a exemplo dos curtos-circuitos e

perdas de grandes geradores, sendo sua solução obtida no domínio do tempo. O período de

tempo sob estudo pode variar de uma fração de segundo, quando a estabilidade da primeira

oscilação é determinada, para períodos superiores a 10 segundos, nos casos em que a

estabilidade para múltiplas oscilações deve ser examinada.

O termo ‘‘Estabilidade Dinâmica’’ é empregado para descrever a resposta de um sistema a

pequenas perturbações, a exemplos das variações de carga, ou a controles automáticos mal

ajustados, sendo geralmente provocada pela existência de um modo de oscilação instável

associado a algum elemento de controle. O problema pode ser resolvido tanto no domínio

do tempo quanto no domínio da frequência.

Nos estudos de estabilidade dinâmica, as equações do sistema são linearizadas em torno de

um ponto de operação estável, e o modelo matemático utilizado é um conjunto de equações

diferenciais lineares, descrito na equação a seguir.

xAx

•

(3.1)

Estabilidade de

Sistemas de Potência

Estabilidade de

Freqüência

Estabilidade de

Ângulo de rotor

Estabilidade de

Tensão

Estabilidade a

pequenos

sinais

(dinâmica)

Estabilidade a

grandes sinais

(transitória)

Estabilidade a

pequenos

sinais

(dinâmica)

Estabilidade a

grandes sinais

(transitória)

As técnicas de análise empregadas neste caso são as de sistemas lineares. A análise está

diretamente associada ao estudo dos autovalores da matriz de transição de estados em

(3.1). Nesse tipo de estudo, o interesse recai no comportamento do sistema ao longo do

tempo e, portanto, a influência de reguladores deve ser levada em consideração, uma vez

que a ação dos reguladores é eficaz após alguns segundos.

Nos estudos de estabilidade transitória, as não-linearidades inerentes aos sistemas de

potência, em especial na relação potência-ângulo, não podem ser desprezadas, e o modelo

matemático utilizado neste estudo é um conjunto de equações diferenciais não-lineares.

Neste trabalho o foco será a estabilidade transitória de ângulo de rotor, a qual depende

fortemente do ponto de operação inicial (regime permanente) e da severidade da

perturbação aplicada [Kundur, 1994].

Pode-se entender a estabilidade de um sistema como uma condição de equilíbrio entre

forças opostas. As máquinas síncronas interconectadas mantêm-se sincronizadas através de

forças denominadas “forças restauradoras”. No estado de regime permanente existe um

equilíbrio entre o torque mecânico motriz e o torque de carga elétrica em cada máquina,

fazendo com que a velocidade do rotor permaneça constante. Se o sistema é perturbado,

esse equilíbrio se desfaz, resultando em aceleração ou desaceleração dos rotores das

máquinas [Kundur, 1994].

A preocupação primordial nos estudos de estabilidade transitória é a verificação da

manutenção do sincronismo entre as máquinas num curto período de tempo após a

ocorrência do distúrbio, durante o qual, a ação dos controladores não causa efeitos

significativos no comportamento do sistema.

3.2 O MODELO DA MÁQUINA SÍNCRONA

Durante o período transitório, o sistema “visto” pela máquina síncrona é modificado por

variação de suas grandezas, tais como [Mota, 2006]: tensão terminal, impedância “vista”

pela máquina, ângulo de torque, freqüência, etc.

Consequentemente, haverá variação da potência de saída da máquina, acarretando um

desequilíbrio entre os torques mecânico e elétrico, dando origem às oscilações na máquina.

Até que a variação da velocidade seja sentida e corrigida pela turbina (regulador de

velocidade), a variação da potência de saída será compensada pela energia armazenada nas

partes girantes da máquina, podendo ocorrer perda de estabilidade.

Quando um gerador síncrono perde o sincronismo do resto do sistema, o seu rotor gira

numa velocidade maior (ou menor) da que é necessária para gerar energia na frequência do

sistema. O desacoplamento entre a velocidade do campo do estator de uma máquina, que

possui uma freqüência de rotação imposta pelos outros geradores do sistema, e a

velocidade do campo do seu rotor resulta em grandes flutuações na potência de saída desta

máquina, nas correntes e nas tensões, fazendo com que o sistema de proteção isole a

máquina do resto do sistema. A perda de sincronismo pode ocorrer entre um gerador e o

resto do sistema ou entre grupos de geradores. Neste último caso, o sincronismo poderá ser

mantido nos sistemas isolados, formados por grupos de máquinas.

Para representação da máquina síncrona no estudo de estabilidade transitória será adotado,

neste trabalho, o denominado “modelo clássico”, no qual a máquina é modelada através de

uma fonte de tensão atrás da reatância transitória. Essa tensão é constante em módulo,

porém varia sua posição angular. Este modelo despreza o efeito da saliência e considera o

fluxo concatenado no campo como uma constante, produzindo, desta forma, uma

modelagem conservativa [Mota, 2006]. As Figuras 3.2 e 3.3 ilustram o modelo clássico.

Fig. 3.2 – Circuito equivalente da máquina síncrona no modelo clássico

E’

x’

Fig. 3.3 – Diagrama fasorial da máquina síncrona no modelo clássico

A força Eletromotriz (E

’

), cujo módulo é considerado constante, é obtida através das

condições de pré-defeito do sistema [Ferreira, 1995]:

IXjIrVE

−−−−

...

(3.2)

onde:

−

- Força eletromotriz da máquina

−

- Tensão nos terminais da máquina

- Resistência de armadura

- Reatância transitória de eixo direto do enrolamento do estator

−

- Corrente elétrica fornecida pela máquina

A corrente

−

é função da potência fornecida pelo gerador

−

∗

−

= (3.3)

Para o modelo clássico assumem-se as seguintes simplificações [Anderson, 2003]:

•

Potência mecânica de entrada permanece constante durante o período transitório.

•

O amortecimento é desprezado.

•

A máquina síncrona é representada (eletricamente) como uma fonte de tensão

constante atrás de uma reatância transitória.

jx’

E’

Ref

•

O ângulo mecânico do rotor das máquinas síncronas coincide com o ângulo de fase

elétrico da tensão atrás da reatância transitória.

O modelo clássico deve ser utilizado para estudos de estabilidade em sistemas de potência

apenas no período de tempo durante o qual a resposta dinâmica do sistema é largamente

dependente da energia cinética armazenada nas massas rotativas [Anderson, 2003]. Para

um sistema de potência realístico, esse modelo é válido quando o tempo de simulação é

pequeno e o regulador de tensão lento. Ainda assim, este modelo é bastante utilizado,

devido sua facilidade de implementação e economia de tempo de processamento. Além

disto, os resultados obtidos podem ser considerados coerentes, de forma qualitativa, com

os obtidos com modelos mais completos.

Esse modelo é conhecido como modelo de 2ª ordem por existir apenas uma equação

diferencial de 2ª ordem associada à equação mecânica da máquina [Mota, 2006].

3.3 O ÂNGULO DE CARGA DA MÁQUINA SÍNCRONA E A EQUAÇÃO SWING

Voltando ao modelo de 2ª ordem, e considerando a tensão terminal como referência, isto é,



0∠=

−

, a tensão interna da máquina será

∠=

−

EE , que pode ser determinada a

partir das condições iniciais, ou seja, neste trabalho o ponto de operação definido no FPO.

Durante o regime transitório, o módulo de

E’

é mantido constante, enquanto o ângulo entre

a posição do rotor e a referência (ângulo de carga) varia de acordo com a equação de

oscilação da máquina (equação

swing

) [Mota, 2006].

A resolução da equação

swing

– diferencial de segunda ordem – determinará o

deslocamento angular entre duas máquinas, ao longo do período transitório. Para estudos

de estabilidade transitória, o ângulo de carga é a melhor grandeza para ser avaliada, uma

vez que seu comportamento é determinante para que as máquinas síncronas mantenham-se

em sincronismo.

Considere o modelo clássico de uma máquina contra um barramento infinito.

A partir da lei da mecânica, relacionada com massas girantes, tem-se a expressão do torque

líquido que atua no rotor:

(3.4)

onde:

- Soma algébrica de todos os torques (N.m)

- Aceleração angular mecânica (rad/s

)

- Momento de inércia (kg.m

)

Da teoria de máquinas síncronas, o ângulo elétrico

, medido com relação a uma

referência fixa, é relacionado com o ângulo mecânico do rotor,

, pela equação (3.5):

θθ

(3.5)

onde:

- número de polos da máquina

- ângulo elétrico do rotor

- ângulo mecânico do rotor













602

rpmp

(3.6)

onde:

f - frequência

rpm - rotação por minuto

Combinando as equações (3.5) e (3.6) temos que:

rpm

θθ

= (3.7)

No entanto, em estudos de estabilidade, não é conveniente medir o deslocamento angular

em relação a uma referência fixa, mas sim a uma referência rotativa, a exemplo da

diferença angular entre duas máquinas síncronas. A Figura 3.4 ilustra a posição do rotor na

referência rotativa.

Fig. 3.4 – Referência fixa e rotativa para posição do rotor

Na referência rotativa, a velocidade angular é dada por:

−==

(3.8)

onde:

- velocidade angular

- ângulo de torque (posição do rotor com relação à uma referência rotativa)

- velocidade angular nominal

A aceleração angular é dada por:

θδ

== (3.9)

onde:

- aceleração angular mecânica

Associando as equações (3.4) e (3.7), temos a nova equação que define o Torque Líquido:

Referência fixa

Referência rotativa

Posição do rotor

60 dt

rpm

(3.10)

onde:

T - soma algébrica de todos os torques atuantes no rotor (torque líquido)

Usualmente, a representação do torque é feita em p.u. (por unidade). Sabendo que o torque

base é definido como sendo o torque necessário para produzir a potência nominal da

máquina na velocidade mecânica nominal, ou seja:

BASE

= (3.11)

rpm

BASE

πω

= (3.12)

onde:

BASE

T - torque base

BASE

P - potência base

BASE

- velocidade angular base

Temos que o torque líquido (em p.u.) será dado por:

)60(.

)(..2

.).(

rpmI

upT

BASEBASE

δπ

== (3.13)

onde:

- número pi = 3.1415926535...

Neste momento, é conveniente introduzirmos uma nova variável, denominada constante de

inércia (H), definida como sendo a energia cinética em MW.s ou MJ à velocidade nominal,

armazenada nas partes girantes, por MVA (nominal da máquina). H é dado em

MW.s/MVA, em MJ/MVA ou apenas em segundos (s). Como H exprime uma energia

armazenada em p.u. de potência, esse valor não varia muito de uma máquina para outra,

quando expressa nos valores de potência nominal das máquinas.

Por definição, H é dado por:

BASE

rpm

)

..2

.(.

= (3.14)

Substituindo (3.14) em (3.13), temos que:

. dt

(3.15)

O torque líquido atuante no rotor é dado pela diferença entre o torque mecânico

proveniente da turbina e o torque elétrico fornecido pelo gerador.

eml

TTT −= (3.16)

onde:

T - torque mecânico proveniente da turbina

T - torque elétrico fornecido pelo gerador

Por convenção, T

positivo acelera a máquina e T

positivo desacelera a máquina. Então, a

equação swing pode ser escrita, a partir da equação (3.15), da seguinte forma:

).(

−=

πδ

(3.17)

Em p.u., e na velocidade angular síncrona, torque e potência são iguais, e para pequenas

variações na velocidade angular, a equação swing da máquina síncrona pode ser escrita em

função da potência:

).(

−=

ωδ

(3.18)

onde:

P - potência mecânica proveniente da turbina

P - potência elétrica fornecida pelo gerador

Uma vez que, para o modelo clássico de máquina síncrona, adotado neste trabalho, os

efeitos da turbina e do regulador de velocidade não são levados em conta, a potência

mecânica será mantida constante – e igual ao valor da potência elétrica no ponto de

operação pré-perturbação – durante todo o período transitório.

Desprezando a resistência de armadura, a potência elétrica será dada por:

δδ

senPsen

== .

(3.19)

onde:

- potência máxima fornecida pelo gerador

A variação de P

com

é mostrada na Figura 3.5 a seguir.

Fig. 3.5 – Variação de P

com δ

A partir da equação (3.19) e da figura 3.5 pode-se observar o acoplamento existente entre a

potência de saída da máquina síncrona e o ângulo de carga. Teoricamente, a máxima

potência de saída da máquina é obtida quando o ângulo de carga for igual a π/2.

Conforme apresentado anteriormente, a estabilidade transitória é dependente das condições

iniciais do sistema. Isto quer dizer que, defasagem angular elevada entre as diversas

máquinas síncronas do sistema, em regime permanente, poderá contribuir para a perda de

sincronismo entre estas máquinas.

Como poderá ser observado no capítulo 4 deste trabalho, a medida adotada para garantir

que o sistema, quando apresentado comportamento instável no período transitório, passe a

ser estável, será a alteração nas limitações de potência ativa gerada por algumas máquinas

síncronas. A partir do controle da potência gerada, consegue-se aumentar ou reduzir o

ângulo de carga da máquina síncrona, em regime permanente (ver equação 3.19), fazendo

com que esta “se aproxime” do centro de inércia e, por conseqüência, das demais

máquinas, ou seja, reduzindo a defasagem angular entre elas.

É importante lembrar que, para o modelo clássico, adotado neste trabalho, a tensão interna

da máquina síncrona mantém-se constante durante o período transitório.

3.4 O MODELO CLÁSSICO EM UM SISTEMA MULTIMÁQUINAS

As simplificações consideradas para o modelo de uma máquina contra um barramento

infinito (item 3.2) permanecem válidas para o sistema multimáquinas.

Assim como no sistema de uma máquina, as tensões internas

−

são determinadas nas

condições de regime permanente e mantidas constantes durante o período transitório. Neste

trabalho, as tensões terminais

−

foram obtidas pelo ponto de operação definido pelo FPO,

enquanto as correntes

−

e as tensões internas

−

foram calculadas através das equações

(3.3) e (3.2), respectivamente.

A matriz admitância para um sistema de n geradores, vista a partir do terminal destes

geradores é definida por [Anderson, 2003]:

−−−

= EYI . (3.20)

Onde

−

é formada pelos elementos diagonais

−

e pelos elementos fora da diagonal

−

Por definição:

iiiiiiii

jBGYY +=∠=

−

(3.21)

é a soma de todas admitâncias conectadas ao nó

ijijijij

jBGYY +=∠=

−

(3.22)

é o negativo da admitância entre o nó

e o nó

A potência injetada na rede através do nó

, ou seja, a potência de saída da máquina

, é

dada por:

∗

−−

ℜ=

IEeP

(3.23)

Desta forma, para o sistema multimáquinas, a equação (3.19) passa a ser:



≠

+−+=

jiijijjiiiiei

YEEGEP

)cos(

δδθ

i = 1, 2,......, n



≠

−+−+=

jiijjiijjiiiiei

GsenBEEGEP

)]cos()([

δδδδ

i = 1, 2,......, n (3.24)

A equação swing (3.18) passa a ser definida por:

])cos(.[



≠

+−−−=

jiijijjiiiim

YEEGEP

Hdt

δδθ

ωδ

(3.25)

Conforme descrito anteriormente, em regime permanente (antes da perturbação), a

potência mecânica P

é considerada como igual à potência elétrica P

, ou seja:



≠

+−+=

jiijijjiiiimi

YEEGEP

00000

)cos(

δδθ

(3.26)

O subscrito 0 é utilizado para representar as condições de regime permanente.

Para um sistema multimáquinas, haverá um grupo de equações (3.25) a serem resolvidas.

Por se tratarem de equações não lineares, a obtenção dos valores dos

ao longo do

período transitório deverá ser efetuado por integração numérica. A bibliografia [Anderson,

2003] apresenta alguns métodos computacionais para solução de equações diferenciais.

Neste trabalho utilizaremos o método de Euler modificado, apresentado em [Mota, 2006] e

detalhado no item 3.6 deste trabalho, dado a sua facilidade de implementação

computacional e precisão nos resultados.

3.5 CÁLCULOS PRELIMINARES PARA ESTUDOS DE ESTABILIDADE

TRANSITÓRIA

Nos estudos de estabilidade angular transitória devem ser considerados os seguintes passos

preliminares [Anderson, 2003]:

Conversão de todos os dados para uma mesma base:

Todos os dados do sistema devem ser convertidos para uma base comum. A base de

100MVA é comumente utilizada, sendo esta adotada neste trabalho.

Conversão das cargas para o modelo de impedância ou admitância constante:

Os dados necessários para esta etapa são obtidos do estudo de fluxo de carga (ou FPO). Se

uma determinada barra de carga possui uma tensão

−

, potência ativa

−

, potência

reativa

−

e corrente

−

fluindo através de uma admitância

BjGY

−−−

+= , então:

)()]([

LLL

BjGVBjGVVIVjQP

−−−−

∗

−−

∗

−−

−=−==+ (3.27)

A admitância equivalente na barra de carga é dada por:

)/(/

LLLL

VQjVPY −=

−

(3.28)

Cálculo da tensão interna em regime permanente:

As tensões internas dos geradores

0ii

∠ são calculadas a partir do ponto de operação

definido pelo FPO, utilizando as equações de fluxo de carga. Os ângulos internos, em

regime permanente, são obtidos através da tensão das barras terminais dos geradores

∠

, utilizando esta tensão terminal como referência, conforme Figura 3.6.

Fig. 3.6 – Representação do gerador para cálculo do

Definindo

jIII +=

−

, e utilizando a relação

∗

−−

=+ IVjQP , temos que

VjQPjIII

/)(

−=+=

−

. Dado que

−−

+=∠ IjxVE

, temos que:

)/()/(

'''

VPxjVQxVE

++=∠

(3.29)

O ângulo inicial

é, então, calculado adicionando o ângulo

da tensão terminal de

regime permanente ao ângulo

’

, ou seja:

αδδ

(3.30)

Cálculo das matrizes admitância:

A matriz admitância

−

deverá ser calculada para cada condição da rede (pré-falta, durante

a falta e pós-falta), em função das modificações na admitância da rede, seja a inclusão de

uma nova admitância para a terra (curto-circuito) ou pela abertura de uma linha de

transmissão (eliminação da falta). Para tanto, os seguintes passos são necessários:

x’

∠

•

As cargas deverão estar convertidas para admitância constante.

•

A reatância transitória de cada gerador será adicionada à reatância do respectivo

transformador elevador. Com esta medida é possível evitar o procedimento de

criação de nós fictícios, o que aumentaria a dimensão da matriz admitância no

número de geradores representados na rede.

•

Todos os demais elementos de impedância são convertidos para admitância.

Redução das matrizes admitância às barras dos geradores:

A admitância apresentada em (3.25) refere-se à admitância entre os nós de cada dois

geradores. Uma vez que as barras dos geradores não estão, necessariamente, conectadas

fisicamente, será necessário reduzir a matriz

−

, para cada condição da rede (pré-falta,

durante a falta e pós-falta), às barras dos geradores. Desta forma, a matriz

−

será reduzida

da dimensão

número de barras

para a dimensão

número de geradores

A redução da matriz

−

pode ser efetuada a partir de operações matriciais, lembrando que,

à exceção dos nós dos geradores, todos os demais nós possuem injeção de corrente igual a

zero.

Dado que

YVI

, onde













−−=

I , as matrizes

podem ser representadas da seguinte

forma:













−−













−−−−=













−−

rrrn

nrnnn

YYI

(3.31)

onde o subscrito

refere-se aos nós dos geradores e o subscrito

refere-se aos demais nós.

Desta forma, a submatriz

possui dimensão (

x 1) e a submatriz

possui dimensão (

x 1).

Expandindo (3.31),

rnrnnnn

VYVYI

rrrnrn

VYVY

Eliminando

temos:

nrnrrnrnnn

VYYYYI

)(

−

−=

(3.32)

A matriz )(

rnrrnrnn

YYYY

−

é o resultado da redução da matriz

−

e, como já foi dito, possui

dimensão (

), onde

é o número de geradores da rede.

3.6 O MÉTODO DE EULER MODIFICADO

Após os cálculos iniciais, apresentados no item 3.5 anterior, deve-se proceder a resolução

das equações diferenciais (3.25) que determinam o comportamento da diferença de ângulo

de rotor entre as diversas máquinas síncronas.

Para este trabalho, foi escolhido o método de Euler modificado, que apresenta fácil

implementação computacional e precisão nos resultados, considerando os modelos aqui

utilizados. A seguir apresenta-se a explanação do método de Euler original, evoluindo para

o método de Euler modificado [Mota, 2006].

Método de Euler:

Dada uma equação diferencial de primeira ordem ),(

ytf

, onde

é o tempo (variável

independente) e

, a variável genérica dependente. A solução será da forma

y=g(t,c)

, onde

é uma constante determinada pelas condições iniciais [Stagg, 1968].

Parte-se do princípio de que, desde que se tenha uma curva suave e contínua, pequenos

segmentos podem ser considerados como linhas retas.

Para um ponto inicial (

) na curva, uma variação de

pode ser calculada por:

y ∆=∆

onde

é a declevidade da curva em (

), e pode ser obtida por

substituição de (

) na equação diferencial ),(

ytf

, e

∆

é a variação do tempo

(intervalo de integração). Então, t

yy ∆+=

Logo, partindo de um valor inicial (

), vários valores de

podem ser calculados:

yy ∆+=

, t

yy ∆+=

e assim por diante.

Método de Euler modificado:

No método de Euler,

, calculado no início do intervalo, permanece constante durante

todo o intervalo.

Um melhoramento pode ser obtido calculando-se um novo valor de

no fim do

intervalo e considerando a média dos dois para o cálculo de

, como segue:

ttt

∆













∆+

)(

)()(

(3.33)

e assim por diante, conforme ilustrado na Figura 3.7 a seguir.

Fig. 3.7 – Representação gráfica do método de Euler modificado













)0(

),( ctgy

)0(

Solução da equação

swing

A equação diferencial de segunda ordem (3.18) ).(

−=

ωδ

pode ser desdobrada

em duas equações diferenciais de primeira ordem, que são resolvidas pelo método de Euler

modificado, conforme segue:

)(

ωω

−=

(3.34)

[ ]

)(

tPP

−=

(3.35)

onde:

- freqüência nominal

Aplicando o método de Euler,

ttt

∆+=

∆+

)(

)1(

)(

δδ

, com

)(

calculado em (3.34)

ttt

∆+=

∆+

)(

)1(

)(

ωω

, com

)(

calculado em (3.35)

sendo

(t)

conhecidos inicialmente.

Agora,

)(

∆+

)(

∆+

serão calculados em (3.36) e (3.37), usando

)1(

)(

tt ∆+

)1(

)(

tt ∆+

já

calculados anteriormente.

Finalmente, usando Euler modificado,

ttt

∆













∆+

)()(

δδ

(3.36)

ttt

∆













∆+

)()(

ωω

(3.37)

3.7 O CENTRO DE INÉRCIA DO SISTEMA

A distância do ângulo de rotor de determinada máquina síncrona para o centro de inércia

do sistema pode influenciar na estabilidade ou instabilidade transitória do sistema

[Chattopadhyay, 2000].

Em algumas bibliografias [Hakim, 2009], [Gan, 2000] o centro de inércia é utilizado como

referência rotativa para avaliar o deslocamento angular das máquinas. Alguns autores

incluem o centro de inércia como restrição no problema de FPO, limitando, desta forma, a

defasagem angular das máquinas para o referido centro de inércia.

Para um sistema com

geradores com ângulos de rotor

, e constante de inércia

, a

posição angular do centro de inércia

é definida como:



























(3.38)

Uma vez que não se pode afirmar, com certeza, a partir de qual valor de diferença angular

entre as máquinas síncronas e o centro de inércia o sistema passaria de estável para

instável, optou-se, neste trabalho, pela não utilização desta restrição no problema de FPO.

O centro de inércia será utilizado como referência para definir, em caso de instabilidade,

quais serão os geradores candidatos a terem suas limitações no despacho de potência ativa

alterados na nova execução do FPO.

Capítulo 4 RESULTADOS DA APLICAÇÃO DA METODOLOGIA

DE ANÁLISE TRANSITÓRIA NA OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS

ELÉTRICOS

Neste capítulo serão apresentados os resultados obtidos na aplicação dos estudos de FPO

complementados com estudos de estabilidade transitória angular. Inicialmente, será

apresentada a implementação computacional do método. Em seguida será efetuada a

validação da ferramenta implementada para simulação de estabilidade transitória,

utilizando o sistema clássico de 9 barras para, finalmente, apresentar os resultados obtidos

na aplicação da metodologia nos sistemas de 9 e de 41 barras. Para ambos os sistemas

observa-se a coerência na utilização do CI como referência para determinação dos

geradores que terão seu despacho de potência ativa alterado, objetivando obter um ponto

de operação que seja estável diante de perturbações.

4.1 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

Para aplicação da metodologia definida neste trabalho foram utilizados dois ambientes de

simulação, sendo um para a análise de FPO e outro para a análise de estabilidade

transitória, conforme será apresentado a seguir.

Para a análise de FPO foi utilizado um programa implementado em [Souza, 2005],

utilizando linguagem C++, o qual não sofreu alterações neste trabalho.

A seguir tem-se uma breve descrição das sub-rotinas implementadas para solução do

problema de FPO.

Leitura de Dados

– são sub-rotinas responsáveis pela leitura dos dados de barra, de linhas

e dos limites das variáveis do sistema elétrico.

Inicia Variáveis

– são sub-rotinas que inicializam as variáveis utilizadas pelo método

primal-dual barreira logarítmica, como o vetor s, os multiplicadores de Lagrange





, o

parâmetro de barreira



e parâmetro de atualização



Topologia da Rede

– descreve as ligações existentes entre as barras do sistema. É de

fundamental importância para a construção do vetor gradiente e da matriz Hessiana da

Lagrangiana.

Constrói Sistema

– constrói o vetor gradiente e a matriz Hessiana da Lagrangiana para o

sistema. A matriz Hessiana da Lagrangiana é construída de forma vetorial.

MA57

– sub-rotina em Fortran responsável pela solução do sistema de equações. Para esta

sub-rotina, enviam-se os seguintes dados: vetor gradiente, matriz Hessiana da Lagrangiana

em formato vetorial, vetores que indicam a linha e a coluna de cada elemento na matriz, a

dimensão da matriz e o número de elementos não-nulos. Essa sub-rotina utiliza somente a

diagonal principal e a matriz triangular superior da matriz Hessiana da Lagrangiana.

Atualização das Variáveis

– com a solução do sistema e calculado os passos primais e

duais, atualiza-se todas as variáveis do problema de otimização.

Saída

– gera o arquivo de saída que contém os resultados obtidos pelo programa, ou seja,

os valores de tensão, fluxos e geração.

A implementação computacional do programa de estabilidade transitória foi efetuada nas

linguagens C++ e Matlab. Apresenta-se a seguir uma breve descrição das principais sub-

rotinas implementadas.

Leitura de Dados

– são sub-rotinas responsáveis pela leitura dos dados de barra, de linhas,

do ponto de operação definido no FPO e dos eventos relacionados à perturbação a ser

aplicada.

Operações com a matriz admitância

– nestas sub-rotinas são construídas as matrizes

admitâncias para as condições pré, durante e pós-perturbação. Também são efetuadas as

operações de redução destas matrizes aos nós dos geradores.

Cálculo das variáveis dos geradores

– são efetuados os cálculos necessários para

determinação do módulo e fase da tensão interna do gerador, em regime permanente. A

fase da tensão interna será o ângulo de rotor (

). Nestas sub-rotinas também é calculado o

ângulo no centro de inércia, bem como a diferença angular de cada máquina para o referido

centro de inércia.

Resolução da equação swing

– utilizando o método de Euler modificado é resolvida a

equação

swing

ao longo do período de simulação transitória.

Saída

– gera o arquivo de saída, com o comportamento da diferença de ângulo de rotor

entre cada duas máquinas do sistema, para ser visualizado com a utilização do programa

Plot Cepel [Cepel, 2009].

4.2 VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA DE ANÁLISE DE ESTABILIDADE

TRANSITÓRIA NO SISTEMA DE 9 BARRAS

Em [Anderson, 2003] tem-se um sistema de nove barras e três geradores, utilizado pelos

autores para estudos do problema de estabilidade transitória. Neste sistema, a

representação dos elementos (geradores, linhas de transmissão e cargas) foi efetuada na

mesma forma apresentada no capítulo 3 deste trabalho. O diagrama do sistema está

apresentado na Figura 4.1 a seguir [Neto, 2009].

Fig. 4.1 – Sistema clássico de nove barras e três geradores

Na Tabela 4.1 estão apresentados os dados de transformadores, linhas de transmissão e

elementos

shunt

, enquanto na Tabela 4.2 podem ser encontrados os dados dos geradores

representados no sistema.

Tabela 4.1 – Dados de transformadores e linhas de transmissão para o sistema de 9 barras

Impedância

[pu]

Admitância

Equipamento

Nº

barras

terminais

R X G [pu]

B [Mvar]

1-4 0 0.1184

0 -8.4459

2-7 0 0.1823

0 -5.4855

Transformadores

3-9 0 0.2399

0 -4.1684

4-5 0.0100

0.0850

1.3652

-11.6041

4-6 0.0170

0.0920

1.9422

-10.5107

5-7 0.0320

0.1610

1.1876

-5.9751

6-9 0.0390

0.1700

1.2820

-5.5882

7-8 0.0085

0.0720

1.6171

-13.6980

Linhas de

transmissão

8-9 0.0119

0.1008

1.1551

-9.7843

5-0 1.2610

-0.2634

6-0 0.8777

-0.0346

8-0 0.9690

-0.1601

4-0 0.1670

7-0 0.2275

Admitâncias

Shunt

9-0 0.2835

Tabela 4.2 – Dados de geradores para o sistema de 9 barras

Dados Gerador 1 Gerador 2 Gerador 3

Tipo Hidroelétrica Termoelétrica Termoelétrica

Potência Nominal [MVA] 247.5 192.0 128.0

Tensão [kV] 16.5 18.0 13.8

x’d [pu] 0.0608 0.1198 0.1813

H [s] 23.64 6.40 3.01

Uma vez que o ponto de operação apresentado em [Anderson, 2003] não foi definido por

um estudo de FPO, mas sim por um fluxo de potência convencional, foi necessário realizar

também a simulação de fluxo de potência, objetivando obter o mesmo ponto de operação

da bibliografia. Para este fim, foi utilizado o software Anarede (Programa de Análise de

Redes) [Cepel, 2009a]. Na Figura 4.1 podem ser observados os valores de tensão nos nós

(módulo e fase) e geração nas máquinas síncronas para o ponto de operação definido no

fluxo de potência convencional.

De posse dos dados do sistema de 9 barras, apresentados nas Tabelas 4.1 e 4.2, procedeu-

se a modelagem deste sistema no programa de análise de estabilidade transitória,

considerando o ponto de operação apresentado na Figura 4.1. Em seguida foi efetuada a

simulação de estabilidade transitória, aplicando, como perturbação, um curto-circuito

trifásico na linha de transmissão entre as barras 5 e 7, nas proximidades da barra 7. O

curto-circuito foi aplicado após 200ms de simulação, ou seja, em

t =

0.200s, e eliminado

após 5 ciclos (

= 0.283s) pela abertura da linha 5-7.

Como resultado da simulação de estabilidade transitória obteve-se o comportamento da

diferença entre o ângulo de rotor das máquinas 2 e 3, adotando a máquina 1 como

referência rotativa, ou seja, (

) e (

), conforme apresentado na Figura 4.2.

18,

27,

36,

45,

54,

63,

72,

81,

90,

0, 0,4 0,8 1,2 1,6 2,

Delta (barra_2 - barra_1)

Delta (barra_3 - barra_1)

Fig. 4.2 – Comportamento dos ângulos de rotor para o sistema de 9 barras

A Figura 4.2 apresenta comportamento idêntico ao apresentado na bibliografia [Anderson,

2003] para as diferenças de ângulo de rotor. Desta forma, foi possível concluir pelo

sucesso na implementação do programa para simulação de estabilidade transitória,

validando a ferramenta.

4.3 APLICAÇÃO DA METODOLOGIA DE ANÁLISE DE ESTABILIDADE

TRANSITÓRIA NA OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS

UTILIZANDO O SISTEMA DE 9 BARRAS

O sistema de 9 barras, utilizado neste trabalho, foi escolhido para validar a ferramenta para

simulação de estabilidade transitória, conforme apresentado no item 4.2, e também para

aplicação da metodologia definida neste trabalho. Os dados do sistema são aqueles

apresentados nas Tabelas 4.1 e 4.2. O ponto de operação inicial está apresentado na Figura

4.1.

A metodologia será aplicada obedecendo as seguintes etapas, já apresentadas no capítulo 1:

•

Execução do FPO, considerando as restrições estáticas (limites de tensão e

geração).

•

Para o ponto de operação definido pelo FPO, executa-se a simulação de

estabilidade transitória, verificando se o sistema atende aos critérios de segurança

dinâmica estabelecidos.

•

Caso o sistema não atenda aos critérios de estabilidade, as restrições de potência

ativa gerada são alteradas no problema do FPO, estabelecendo assim um ponto de

operação seguro do ponto de vista dinâmico.

A seguir serão detalhadas cada uma destas etapas.

4.3.1 Solução do sistema de 9 barras pelo fluxo de potência ótimo

O problema de FPO para o sistema de 9 barras será conforme apresentado a seguir:

Minimizar



∈

−+

NLmk

kmmkmkkm

VVVVg

),(

)cos2(

sujeito a: (4.1)

28.10

92.10

47.20

1.19.0

≤≤

=∆

∆

A função objetivo representa o somatório das perdas de potência ativa nas linhas de

transmissão do sistema. Para a barra de carga, têm-se duas equações de igualdade – que

são as equações de balanço da rede

(

)

QeP ∆∆ .

Para as barras de geração, tem-se a restrição canalizada de geração de potência ativa

(

)

P ,

sendo que, o limite máximo considerado refere-se à capacidade nominal de cada gerador.

Os limites estão apresentados em p.u., na base 100MVA.

Todas as tensões

(

)

V são canalizadas, possuindo limite mínimo de 0.9 p.u. e máximo de

1.1 p.u, na base de cada nível de tensão do sistema.

A Tabela 4.3 apresenta a solução do FPO.

Tabela 4.3 – Solução do FPO para o sistema de 9 barras

Barra Tipo V(pu) 

(MW)

(Mvar) P

(MW)

(Mvar)

1 referência

0.9002 0.0 243.9 -13.0 0.0 0.0

2 geração 1.0561 -18.6 39.7 54.4 0.0 0.0

3 geração 1.0497 -17.8 39.3 38.8 0.0 0.0

4 carga 0.9218 -9.7 0.0 0.0 0.0 0.0

5 carga 0.9251 -17.7 0.0 0.0 125.0 50.0

6 carga 0.9399 -16.5 0.0 0.0 90.0 30.0

7 carga 1.0241 -19.9 0.0 0.0 0.0 0.0

8 carga 1.0132 -21.8 0.0 0.0 100.0 35.0

9 carga 1.0283 -19.1 0.0 0.0 0.0 0.0

onde:

: Potência ativa gerada (em MW)

: Potência reativa gerada (em Mvar)

: Potência ativa consumida (em MW)

: Potência reativa consumida (em Mvar)

referência: barra swing, slack ou V. Possui o módulo e fase da tensão constantes. Na

entrada de dados do sistema utiliza-se o código “2” para representar este tipo de barra.

geração: barra de geração ou PV. Possui geração de potência ativa e módulo de tensão

constantes. Na entrada de dados do sistema utiliza-se o código “ 1” para representar este

tipo de barra. Para que esta máquina tenha sua geração alterada quando submetida ao FPO,

o código representativo deverá ser alterado para “ -1”.

carga: barra de carga ou PQ. Possui geração de potência ativa e reativa constantes. Na

entrada de dados do sistema utiliza-se o código “0” para representar este tipo de barra.

Como pode-se observar na Tabela 4.3, para minimizar a função objetivo foi elevada a

geração do gerador 1, reduzindo nos geradores 2 e 3, uma vez que, conforme Figura 4.1, a

geração original era de 71.6MW, 163MW e 85MW, para os geradores 1, 2 e 3,

respectivamente.

Apesar da barra 1 ser a barra de referência, o módulo da tensão não é mantido em 1.000

p.u., uma vez que, na implementação do FPO, as variáveis de tensão foram mantidas livres

para todas as barras, respeitando apenas aos limites estabelecidos na lista de restrições.

A etapa seguinte será a simulação de estabilidade transitória, para avaliar se o sistema

atende aos critérios de estabilidade.

4.3.2 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 9 barras

Dado o sistema de 9 barras, no ponto de operação definido pelo FPO (Tabela 4.3) foi

repetida a simulação do item 4.2, ou seja, um curto-circuito trifásico, na linha de

transmissão entre as barras 5 e 7, nas proximidades da barra 7. O curto-circuito foi

aplicado após 200ms de simulação, ou seja, em t = 0.200s, e eliminado após 5 ciclos (t =

0.283s) pela abertura da linha 5-7.

Para que o ponto de operação seja aprovado, ou seja, considerar que o sistema suporta a

perturbação aplicada, deverão ser atendidos os seguintes critérios dinâmicos de segurança:

• Cada um dos geradores deverá manter-se em sincronismo com os demais. Para

considerar que o gerador se manteve em sincronismo, a diferença de ângulo de

rotor entre este e os demais geradores não poderá apresentar crescimento

ininterrupto, ou seja, deverá oscilar em torno de um ponto.

• O módulo da diferença angular máxima entre cada dois geradores não deverá ser

superior a 90 graus. Este critério é baseado na teoria de transferência de potência,

apresentada no capítulo 3 deste trabalho (ver Figura 3.5 e equação 3.19).

Conforme apresentado no capítulo 3, este trabalho considera o modelo clássico para a

máquina síncrona, o qual despreza o efeito do amortecimento. Desta forma, nas situações

em que não houver perda de sincronismo, é esperado que os ângulos de rotor apresentem

comportamento oscilatório.

Como resultado da simulação de estabilidade transitória obteve-se o comportamento da

diferença entre o ângulo de rotor de cada duas máquinas, ou seja, (

), (

) e (

conforme apresentado na Figura 4.3.

-8,5

4,3

17,

29,8

42,5

0, 0,4 0,8 1,2 1,6 2,

Tempo [s]

Delta (barra_1 - barra_2)

Delta (barra_1 - barra_3)

Delta (barra_2 - barra_3)

Fig. 4.3 – Comportamento dos ângulos de rotor para o sistema de 9 barras considerando

curto-circuito trifásico na linha 5-7

Como pode ser observado, no ponto de operação definido pelo FPO, os geradores mantém-

se em sincronismo. A diferença de ângulo de rotor não supera, em módulo, o limite de 90

graus estabelecido.

Desta forma, pode-se considerar que, para a perturbação aplicada, o ponto de operação

definido pelo FPO é seguro. No entanto, deve-se avaliar se o sistema suporta, além da

perturbação aplicada, outros eventos. Procede-se, a seguir, a simulação de um curto-

circuito trifásico, na linha de transmissão entre as barras 4 e 5, nas proximidades da barra

4. O curto-circuito foi aplicado após 200ms de simulação, ou seja, em t = 0.200s, e

eliminado após 5 ciclos (t = 0.283s) pela abertura da linha 4-5.

Como resultado da simulação de estabilidade transitória obteve-se o comportamento da

diferença entre o ângulo de rotor de cada duas máquinas, ou seja, (

), (

) e (

conforme apresentado na Figura 4.4.

-48

736

1521

2306

3090

0, 0,4 0,8 1,2 1,6 2,

Tempo [s]

Delta (barra_1 - barra_2)

Delta (barra_1 - barra_3)

Delta (barra_2 - barra_3)

Fig. 4.4 – Comportamento dos ângulos de rotor para o sistema de 9 barras considerando

curto-circuito trifásico na linha 4-5

Como pode ser observado, para aplicação do curto-circuito na linha 4-5, o gerador 1 perde

sincronismo dos geradores 2 e 3, embora os geradores 2 e 3 mantenham sincronismo entre

si. Uma vez que o sistema está sujeito a curtos-circuitos em qualquer uma de suas linhas de

transmissão, o sistema deve suportar, de forma não simultânea, a aplicação de curto-

circuito em todas as linhas de transmissão. Desta forma, o ponto de operação não pode ser

considerado como seguro, por não suportar a perturbação simulada.

Para garantir que o sistema seja seguro, a metodologia definida neste trabalho estabelece

que as restrições de potência ativa das máquinas síncronas devem ser alteradas. Para

definir qual gerador será submetido a esta etapa, utilizaremos o conceito do centro de

inércia, através do qual observaremos qual gerador está mais afastado do centro de inércia.

A Tabela 4.4 apresenta a diferença angular entre cada gerador e o centro de inércia. Como

pode-se observar, o gerador 2 é o mais afastado do CI, seguido pelo gerador 3.

Tabela 4.4 – Diferença de ângulo de rotor entre os geradores e o centro de inércia para o

sistema de 9 barras

Diferença de ângulo entre gerador e CI [graus] Ângulo no CI

[graus]

Gerador 1 Gerador 2 Gerador 3

3.02 7.45 -19.3 -17.4

A metodologia apresentada neste trabalho propõe alterar os limites de potência gerada para

as máquinas mais afastadas do CI, neste caso, a máquina 2 e efetuar novamente a

simulação de FPO.

Uma vez que a diferença de ângulo da máquina 2 para o CI foi negativa, pode-se concluir

que o ângulo desta máquina é, numericamente, inferior ao ângulo no CI. Tomando como

base a teoria apresentada no capítulo 3 (Figura 3.3), para elevarmos o ângulo de rotor da

máquina 2 será necessário elevarmos a corrente de saída do gerador. Para tanto será

elevada a geração de potência ativa da máquina 2, por meio da elevação de seu limite

mínimo de potência ativa na restrição do FPO e calculado um novo ponto de operação do

sistema.

De acordo com a proposta deste trabalho para alteração dos limites na formulação do FPO,

conforme apresentado no capítulo 1, o novo valor de potência mínima na restrição do FPO,

para o gerador 2, seria:

originalPoriginalP

antigoPnovoP 96.0

092.1

min

max

min













−













−

Conforme apresentado no capítulo 2, o método primal-dual barreira logarítmica utiliza-se

dos parâmetros de barreira para converter restrições de desigualdade em restrições de

igualdade. Com isto, utilizando-se este método em particular, podem ocorrer situações em

que o ponto de operação não atenda a um ou mais limites de potência, o que aconteceu,

neste caso, com a máquina 2.

Para garantir o aumento na geração da máquina 2 optou-se, então, por retirar a máquina da

formulação do FPO e manter a geração constante e igual ao novo valor de potência mínima

calculado na formulação proposta, ou seja, 0.96pu (96MW). Caso este valor não seja

suficiente para garantir a estabilidade do sistema, a geração desta ou de outra máquina, será

novamente alterada, mantendo a mesma formulação.

Para que a geração desta máquina não seja alterada durante a execução do FPO, basta

alterar o código identificador de “ -1”para “ 1” na entrada de dados.

4.3.3 Execução do FPO para o sistema de 9 barras com elevação da geração da

máquina 2

Mantendo fixa a geração do gerador 2, o problema de FPO para o sistema de 9 barras passa

a ser da seguinte forma:

Minimizar



∈

−+

NLmk

kmmkmkkm

VVVVg

),(

)cos2(

sujeito a: (4.2)

28.125.0

47.21.0

1.19.0

≤≤

=∆

∆

A Tabela 4.5 apresenta a nova solução do FPO.

Tabela 4.5 – Solução do FPO para o sistema de 9 barras com elevação da geração da

máquina 2

Barra Tipo V(pu) 

(MW)

(Mvar) P

(MW)

(Mvar)

1 referência

0.9933 0.0 183.7 17.0 0.0 0.0

2 geração 1.0118 -5.7 96.0 10.7 0.0 0.0

3 geração 1.0147 -9.1 38.6 2.4 0.0 0.0

4 carga 0.9892 -6.2 0.0 0.0 0.0 0.0

5 carga 0.9672 -11.2 0.0 0.0 125.0 50.0

6 carga 0.9823 -10.7 0.0 0.0 90.0 30.0

7 carga 1.0069 -9.1 0.0 0.0 0.0 0.0

8 carga 0.9966 -12.0 0.0 0.0 100.0 35.0

9 carga 1.0136 -10.3 0.0 0.0 0.0 0.0

Como pode-se observar na Tabela 4.5, a nova execução do FPO resultou em redução na

geração da máquina 1. O FPO efetuou também uma pequena elevação na geração da

máquina 3. Ressalta-se que a máquina 2 teve sua geração fixada em 96MW.

A etapa seguinte será repetir a simulação de estabilidade transitória, para avaliar se o

sistema é ou não estável.

4.3.4 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 9 barras com elevação

da geração da máquina 2

Considerando o novo ponto de operação definido pelo FPO, foi repetida a simulação de

curto-circuito trifásico, na linha de transmissão entre as barras 4 e 5, nas proximidades da

barra 4.

Como resultado da simulação de estabilidade transitória obteve-se o comportamento da

diferença entre o ângulo de rotor de cada duas máquinas, ou seja, (

), (

) e (

conforme apresentado na Figura 4.5.

-24,4

0,4

25,1

49,8

74,5

0, 0,4 0,8 1,2 1,6 2,

Tempo [s]

Delta (barra_1 - barra_2)

Delta (barra_1 - barra_3)

Delta (barra_2 - barra_3)

Fig. 4.5 – Comportamento dos ângulos de rotor para o sistema de 9 barras considerando

curto-circuito trifásico na linha 4-5, com elevação da geração da máquina 2

Como pode ser observado, no novo ponto de operação definido pelo FPO, os geradores

mantém-se em sincronismo. A diferença de ângulo de rotor não supera, em módulo, o

limite de 90 graus estabelecido. Desta forma, pode-se considerar que, para a perturbação

aplicada, o novo ponto de operação é seguro.

Assim como efetuado para o ponto de operação anterior, faz-se necessário avaliar se o

sistema atende aos critérios de estabilidade para perturbações nas demais linhas de

transmissão. Desta forma, foram simulados curtos-circuitos em todas as outras linhas de

transmissão do sistema, sendo elas: 4-6, 7-5, 6-9, 7-8 e 8-9. Para todas estas perturbações,

os geradores mantiveram-se em sincronismo e não violaram o limite de 90 graus, em

módulo, estabelecido para este trabalho. A título de ilustração apresentam-se, na Figura

4.6, o comportamento da diferença de ângulo de rotor entre as máquinas 1 e 2, para as

perturbações descritas.

-28,4

-10,3

7,8

26,

44,1

0, 0,4 0,8 1,2 1,6 2,

Tempo [s]

LT 4-6

LT 7-5

LT 6-9

LT 7-8

LT 8-9

Fig. 4.6 – Comportamento dos ângulos de rotor entre as máquinas 1 e 2 considerando

curto-circuito trifásico nas linhas 4-6, 7-5, 6-9, 7-8 e 8-9, com elevação da geração da

máquina 2

As simulações efetuadas para o sistema de 9 barras comprovam a eficiência da

metodologia adotada, onde foi observado:

•

A execução do FPO, observando apenas a capacidade máxima de geração para cada

máquina resultou em um ponto de operação inseguro, uma vez que houve perda de

sincronismo para o curto-circuito na linha 4-5.

•

A monitoração da diferença angular para o CI identificou a necessidade de elevar a

geração de potência ativa da máquina 2.

•

A execução do FPO, considerando nova restrição de potência ativa para a máquina

2, resultou em um novo ponto de operação, o qual atendeu aos critérios

estabelecidos neste trabalho, ou seja, o novo ponto de operação é seguro.

A Tabela 4.6 apresenta os valores de potência ativa gerada por máquina na primeira

solução (caso inseguro) e na última solução (caso seguro) do FPO, enquanto a Tabela 4.7

apresenta os valores de perdas elétricas totais na transmissão para estes dois casos.

Tabela 4.6 – Geração no sistema de 9 barras na primeira (insegura) e na última (segura)

solução

Potência Gerada (MW)

Gerador

Caso inseguro Caso seguro

1 243.9 183.7

2 39.7 96.0

3 39.3 38.6

Tabela 4.7 – Perdas no sistema de 9 barras na primeira (insegura) e na última (segura)

solução

Perdas (MW)

Caso inseguro Caso seguro

7.77 3.29

Pela tabela 4.7 observa-se que as perdas no caso denominado como seguro foram menores

que no primeiro caso. Este resultado é justificado pela não-linearidade e não-convexidade

da função objetivo e das restrições, conforme apresentado no capítulo 2.

4.4 APLICAÇÃO DA METODOLOGIA DE ANÁLISE DE ESTABILIDADE

TRANSITÓRIA NA OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS

UTILIZANDO O SISTEMA DE 41 BARRAS

A metodologia apresentada neste trabalho mostrou-se eficiente quando utilizada no sistema

fictício de 9 barras. No entanto, para comprovar sua efetividade, faz-se necessária a

utilização de sistemas de maior porte. Por este motivo, as avaliações efetuadas para o

sistema fictício serão agora repetidas no sistema de 41 barras e 13 geradores, representando

a interligação entre as regiões Norte e Sudeste/Centro-Oeste do SEB, conforme Figura 4.7

a seguir.

Fig. 4.7 – Sistema equivalente de 41 barras e 13 geradores

Na Tabela 4.8 estão apresentados os dados dos geradores representados no sistema.

Tabela 4.8 – Dados dos geradores para o sistema de 41 barras

Geradores

Número

Nome

Potência Nominal

[MVA]

Tensão

[kV]

x’d

[pu]

[s]

Tucuruí – Grupo 1

(Geradores 1, 3, 5, 7 e 9)

1750 13.8 13.998 0.0833

Tucuruí – Grupo 2

(Geradores 2 e 6)

700 13.8 9.332 0.1250

Tucuruí – Grupo 3

(Geradores 4 e 8)

700 13.8 9.332 0.1250

Tucuruí – Grupo 4

(Geradores 13, 15 e 16)

1110 13.8 12.00 0.1000

Tucuruí – Grupo 5

(Geradores 14, 17 e 20)

1110 13.8 12.00 0.1000

6 Lajeado 540 13.8 9.192 0.1167

7 Peixe Angical 332 13.8 5.612 0.1750

8 Serra da Mesa 431 15.0 5.500 0.2890

9 Emborcação 1192 16.5 9.444 0.1600

10 Nova Ponte 510 13.8 14.73 0.1000

11 São Simão 1120 16.5 24.91 0.0625

12 Itumbiara 1900 13.8 21.55 0.0520

13 Marimbondo 1488 13.8 40.40 0.0412

Para o sistema de 41 barras e 13 geradores, será novamente utilizada a metodologia

desenvolvida neste trabalho, ou seja:

•

Execução do FPO, considerando as restrições estáticas (limites de tensão e

geração).

•

Para o ponto de operação definido pelo FPO, executam-se diversas simulações de

estabilidade transitória, verificando se o sistema mantém-se estável e atendendo aos

critérios de segurança dinâmica estabelecidos.

•

Caso o sistema não atenda aos critérios de estabilidade, as restrições de potência

ativa gerada são alteradas no problema do FPO, estabelecendo assim um ponto de

operação seguro do ponto de vista dinâmico.

A seguir serão detalhadas cada uma destas etapas.

4.4.1 Solução do sistema de 41 barras pelo fluxo de potência ótimo

O problema de FPO para o sistema de 41 barras será conforme apresentado a seguir:

Minimizar



∈

−+

NLmk

kmmkmkkm

VVVVg

),(

)cos2(

sujeito a: (4.3)

49.180.8

90.100.1

12.120.7

10.530.3

19.160.7

31.408.1

32.30.0

40.50.0

11.105.7

0.77.4

50.177.4

1.19.0

≤≤

=∆

∆

A função objetivo representa o somatório das perdas de potência ativa nas linhas de

transmissão do sistema. Para a barra de carga, têm-se duas equações de igualdade – que

são as equações de balanço da rede

(

)

QeP ∆∆ .

Para as barras de geração, tem-se a restrição canalizada de geração de potência ativa

(

)

P ,

sendo que, o limite máximo considerado refere-se à capacidade nominal de cada gerador.

Para limite mínimo foi utilizada a geração mínima de cada usina definida por sua curva de

capabilidade [ONS, 2009]. Os limites estão apresentados em p.u., na base 100MVA.

Todas as tensões

(

)

V são canalizadas, possuindo limite mínimo de 0.9 p.u. e máximo de

1.1 p.u, na base de cada nível de tensão do sistema.

A Tabela 4.9 apresenta a solução do FPO.

Tabela 4.9 – Solução do FPO para o sistema de 41 barras

Barra Tipo V(pu) 

(MW)

(Mvar) P

(MW)

(Mvar)

1 referência

0.9819 0.0 857.0 -195.7 0.00 0.00

2 geração 0.9886 -1.6 678.9 -176.3 0.00 0.00

3 geração 0.9886 -1.6 678.9 -176.3 0.00 0.00

4 geração 0.9912 0.1 1050.6 -162.7 0.00 0.00

5 geração 0.9603 0.9 1104.8 -353.2 0.00 0.00

6 geração 0.9829 -16.2 15.0 -168.6 0.00 0.00

7 geração 0.9575 -6.0 325.4 -197.8 0.00 0.00

8 geração 1.0020 -15.1 108.2 -186.7 0.00 0.00

9 geração 0.9604 -7.8 846.7 -438.1 0.00 0.00

10 geração 0.9868 -10.1 383.8 150.0 0.00 0.00

11 geração 0.9007 4.8 1116.1 -397.9 0.00 0.00

12 geração 1.0081 1.2 1873.9 194.5 0.00 0.00

13 geração 0.9844 -2.9 880.0 -434.2 0.00 0.00

14 carga 1.0736 -7.6 0.00 0.00 181.00 13.00

15 carga 1.0775 -8.3 0.00 0.00 0.00 0.00

16 carga 1.0932 -16.5 0.00 0.00 0.00 0.00

17 carga 1.0191 -16.4 0.00 0.00 0.00 0.00

18 carga 1.0513 -19.5 0.00 0.00 1853.00 216.00

19 carga 1.0881 -13.0 0.00 0.00 271.00 161.00

20 carga 1.0934 -17.8 0.00 0.00 0.00 0.00

21 carga 1.0914 -17.7 0.00 0.00 203.00 4.00

22 carga 1.0506 -22.9 0.00 0.00 1731.00 94.00

23 carga 1.0918 -13.4 0.00 0.00 102.00 -92.00

24 carga 1.0999 -16.6 0.00 0.00 -36.00 -27.00

25 carga 1.0988 -16.5 0.00 0.00 102.00 -9.00

26 carga 1.0999 -16.4 0.00 0.00 0.00 0.00

27 carga 1.0966 -16.2 0.00 0.00 0.00 0.00

28 carga 1.0907 -15.9 0.00 0.00 0.00 0.00

29 carga 1.0349 -12.5 0.00 0.00 32.00 -8.00

30 carga 1.0942 -16.7 0.00 0.00 300.00 -26.00

31 carga 1.0973 -16.5 0.00 0.00 31.00 100.00

32 carga 1.0918 -16.5 0.00 0.00 780.00 274.00

33 carga 1.0911 -16.2 0.00 0.00 0.00 0.00

34 carga 1.0837 -15.4 0.00 0.00 158.00 -69.00

35 carga 1.0564 -12.4 0.00 0.00 460.00 61.00

36 carga 1.0538 -6.6 0.00 0.00 445.00 -27.00

37 carga 1.0361 -14.0 0.00 0.00 1042.00 -235.00

38 carga 0.9981 -17.6 0.00 0.00 970.00 -9.00

39 carga 0.9985 -2.4 0.00 0.00 0.00 0.00

40 carga 1.0217 -6.9 0.00 0.00 1481.00 -585.00

41 carga 0.9906 -2.4 0.00 0.00 -312.00 169.00

A etapa seguinte será a simulação de estabilidade transitória, para avaliar se o sistema

atende aos critérios de estabilidade.

4.4.2 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 41 barras

Dado o sistema de 41 barras, no ponto de operação definido pelo FPO (Tabela 4.9) foi

efetuada a simulação de um curto-circuito monofásico, na linha de transmissão entre as

barras 19 e 20, nas proximidades da barra 19. O curto-circuito foi aplicado após 200ms de

simulação, ou seja, em t = 0.200s, e eliminado após 100ms (t = 0.300s) pela abertura da

linha 19-20. Para representar o curto-circuito monofásico foi inserido um reator de 4.0p.u.,

representando a potência de curto-circuito monofásica do barramento 19 [ONS, 2008].

Para que o ponto de operação seja aprovado, ou seja, considerar que o sistema suporta a

perturbação aplicada, novamente deverão ser atendidos os seguintes critérios dinâmicos de

segurança:

•

Cada um dos geradores deverá manter-se em sincronismo com os demais. Para

considerar que o gerador se manteve em sincronismo, a diferença de ângulo de

rotor entre este e os demais geradores não poderá apresentar crescimento

ininterrupto, ou seja, deverá oscilar em torno de um ponto.

•

O módulo da diferença angular máxima entre cada dois geradores não deverá ser

superior a 90 graus. Este critério é baseado na teoria de transferência de potência,

apresentada no capítulo 3 deste trabalho (ver Figura 3.5 e equação 3.19).

Conforme apresentado no capítulo 3, este trabalho considera o modelo clássico para a

máquina síncrona, o qual despreza o efeito do amortecimento. Desta forma, nas situações

em que não houver perda de sincronismo, é esperado que os ângulos de rotor apresentem

comportamento oscilatório.

Como resultado da simulação de estabilidade transitória foi monitorado o comportamento

da diferença entre o ângulo de rotor de cada duas máquinas, ou seja, (

), (

) , ... ,

(

), (

) , ... , (

), ... , (

). Dado a grande quantidade de

diferenças angulares monitoradas (78) apresentaremos, ao longo deste capítulo, apenas

aquelas mais relevantes.

Para a simulação tratada neste item, apresenta-se na Figura 4.8 o comportamento da

diferença angular entre as máquinas 1 e 6.

961

1850

2740

3630

0, 0,4 0,8 1,2 1,6 2,

Tempo [s]

Delta (barra_1 - barra_6)

Fig. 4.8 – Diferença angular entre as máquinas 1 e 6 considerando curto-circuito

monofásico na linha 19-20

Como pode ser observado, para aplicação do curto-circuito na linha 19-20, o gerador 1

perde sincronismo com o gerador 6, o mesmo acontecendo para outros geradores do

sistema. Desta forma, o ponto de operação não pode ser considerado como seguro, por não

suportar a perturbação simulada.

Para garantir que o sistema seja seguro, a metodologia definida neste trabalho estabelece

que as restrições de geração pelas máquinas síncronas devem ser alteradas. Para definir

qual gerador será submetido a esta etapa, utilizaremos novamente o conceito do centro de

inércia, através do qual observaremos qual gerador está mais afastado do centro de inércia.

A Tabela 4.10 apresenta a diferença angular entre cada gerador e o centro de inércia. Como

pode-se observar, o gerador 6 é o mais afastado do CI.

Tabela 4.10 – Diferença de ângulo de rotor entre os geradores e o centro de inércia para o

sistema de 41 barras

Diferença de ângulo entre gerador e CI [graus] Ângulo

no CI

[graus]

Gerador 1 Gerador 2 Gerador 3 Gerador 4 Gerador 5

18.11 8.63 8.63 14.18 25.62

Gerador 6 Gerador 7 Gerador 8 Gerador 9 Gerador 10

-52.89 0.94 -19.15 34.94 -29.28

Gerador 11 Gerador 12

Gerador 13

37.99

17.87 4.26 -16.26

A metodologia apresentada neste trabalho propõe alterar os limites de potência gerada para

as máquinas mais afastadas do CI, neste caso, a máquina 6, e efetuar novamente a

simulação de FPO.

Uma vez que a diferença de ângulo da máquina 6 para o CI foi negativa, pode-se concluir

que o ângulo desta máquina é, numericamente, inferior ao ângulo no CI. Tomando como

base a teoria apresentada no capítulo 3 (Figura 3.3), para elevarmos o ângulo de rotor da

máquina 6 será necessário elevarmos a corrente de saída do gerador. Para tanto será

elevada a geração de potência ativa da máquina 6.

Assim como para o sistema de 9 barras, e de acordo com a proposta deste trabalho para

alteração dos limites na formulação do FPO, conforme apresentado no capítulo 1, o novo

valor de potência mínima na restrição do FPO, para o gerador 6, seria:

originalPoriginalP

antigoPnovoP

70.2

040.5

min

max

min













−













−

+= .

Utilizando-se da mesma estratégia, ou seja, para garantir o aumento na geração da máquina

6, optou-se por retirar a máquina da formulação do FPO e manter sua geração constante e

igual ao valor calculado na formulação proposta, ou seja, 2.70p.u. (270MW). Caso este

valor não seja suficiente para garantir a estabilidade do sistema, a geração desta ou de outra

máquina, será novamente alterada, mantendo a mesma formulação.

Para que a geração desta máquina não seja alterada durante a execução do FPO, foi

alterado o código identificador de “ -1”para “ 1” na entrada de dados.

4.4.3 Execução do FPO para o sistema de 41 barras com elevação da geração da

máquina 6

Mantendo fixa a geração do gerador 6, o problema de FPO (4.3) para o sistema de 41

barras, será alterado pela exclusão das restrições de potência ativa para o gerador 6.

A Tabela 4.11 apresenta a nova solução do FPO.

Tabela 4.11 – Solução do FPO para o sistema de 41 barras com elevação da geração da

máquina 6

Barra Tipo V(pu) 

(MW)

(Mvar) P

(MW)

(Mvar)

1 referência

0.9500 0.0 935.4 -271.9 0.00 0.00

2 geração 0.9666 -2.3 700.0 -207.5 0.00 0.00

3 geração 0.9667 -2.3 699.9 -207.0 0.00 0.00

4 geração 0.9980 -0.8 1097.8 -89.1 0.00 0.00

5 geração 0.9980 -0.8 1097.8 -89.1 0.00 0.00

6 geração 0.9564 -13.1 270.0 -170.5 0.00 0.00

7 geração 0.9501 -20.5 -17.1 (*) -199.9 0.00 0.00

8 geração 0.9733 -14.3 408.8 -189.2 0.00 0.00

9 geração 0.9502 -14.4 681.3 -330.5 0.00 0.00

10 geração 0.9508 -15.9 377.3 74.2 0.00 0.00

11 geração 0.9503 -0.6 1012.6 -24.3 0.00 0.00

12 geração 0.9503 -7.3 1189.2 -222.7 0.00 0.00

13 geração 0.9514 -1.2 1470.0 -491.7 0.00 0.00

14 carga 1.0572 -8.8 0.00 0.00 181.00 13.00

15 carga 1.0743 -9.6 0.00 0.00 0.00 0.00

16 carga 1.0724 -18.5 0.00 0.00 0.00 0.00

17 carga 0.9957 -16.5 0.00 0.00 0.00 0.00

18 carga 1.0423 -20.9 0.00 0.00 1853.00 216.00

19 carga 1.0739 -14.6 0.00 0.00 271.00 161.00

20 carga 1.0763 -19.8 0.00 0.00 0.00 0.00

21 carga 1.0741 -19.8 0.00 0.00 203.00 4.00

22 carga 1.0330 -25.2 0.00 0.00 1731.00 94.00

23 carga 1.0770 -15.2 0.00 0.00 102.00 -92.00

24 carga 1.0812 -18.8 0.00 0.00 -36.00 -27.00

25 carga 1.0787 -19.0 0.00 0.00 102.00 -9.00

26 carga 1.0779 -19.4 0.00 0.00 0.00 0.00

27 carga 1.0739 -19.6 0.00 0.00 0.00 0.00

28 carga 1.0686 -19.6 0.00 0.00 0.00 0.00

29 carga 1.0222 -20.2 0.00 0.00 32.00 -8.00

30 carga 1.0709 -20.0 0.00 0.00 300.00 -26.00

31 carga 1.0734 -19.6 0.00 0.00 31.00 100.00

32 carga 1.0671 -20.3 0.00 0.00 780.00 274.00

33 carga 1.0670 -20.2 0.00 0.00 0.00 0.00

34 carga 1.0607 -20.1 0.00 0.00 158.00 -69.00

35 carga 1.0341 -18.3 0.00 0.00 460.00 61.00

36 carga 1.0205 -12.7 0.00 0.00 445.00 -27.00

37 carga 1.0109 -20.0 0.00 0.00 1042.00 -235.00

38 carga 0.9795 -23.3 0.00 0.00 970.00 -9.00

39 carga 1.0065 -6.7 0.00 0.00 0.00 0.00

40 carga 0.9997 -8.2 0.00 0.00 1481.00 -585.00

41 carga 0.9883 -5.6 0.00 0.00 -312.00 169.00

(*) Observa-se que a geração estabelecida pelo FPO, para a máquina 7, foi inferior ao seu

limite mínimo. Isto deve-se à característica do método primal-dual barreira logarítmica,

conforme já mencionado no item 4.3.2. A máquina 7 teve sua geração modificada para

0MW.

A etapa seguinte será repetir a simulação de estabilidade transitória, para avaliar se o

sistema é ou não estável.

4.4.4 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 41 barras com

elevação da geração da máquina 6

Considerando o novo ponto de operação definido pelo FPO, foi repetida a simulação de

curto-circuito monofásico, na linha de transmissão entre as barras 19 e 20, nas

proximidades da barra 19.

Para a simulação tratada neste item, apresenta-se na Figura 4.9 o comportamento da

diferença angular entre as máquinas 1 e 6.

5,4E+1

6,4E+3

1,3E+4

1,9E+4

2,5E+4

0, 1, 2, 3,01 4,01 5,01

Tempo [s]

Delta (barra_1 - barra_6)

Fig. 4.9 – Diferença angular entre as máquinas 1 e 6 considerando curto-circuito

monofásico na linha 19-20 e elevação da geração da máquina 6

Como pode ser observado, este novo ponto de operação também não pode ser considerado

como seguro, por não suportar a perturbação simulada.

Utilizando novamente a metodologia definida neste trabalho deve-se observar qual gerador

está mais afastado do centro de inércia.

A Tabela 4.12 apresenta a diferença angular entre cada gerador e o centro de inércia. Como

pode-se observar, o gerador 7 é, agora, o mais afastado do CI.

Tabela 4.12 – Diferença de ângulo de rotor entre os geradores e o centro de inércia com

elevação da geração da máquina 6

Diferença de ângulo entre gerador e CI [graus] Ângulo

no CI

[graus]

Gerador 1 Gerador 2 Gerador 3 Gerador 4 Gerador 5

27.50 13.22 13.19 12.82 12.82

Gerador 6 Gerador 7 Gerador 8 Gerador 9 Gerador 10

-26.13 -60.45 20.19 19.84 -31.62

Gerador 11 Gerador 12

Gerador 13

36.81

-1.88 -5.96 2.76

Assim como efetuado para a máquina 6, para garantir o aumento na geração da máquina 7,

optou-se por retirar a máquina da formulação do FPO e manter sua geração constante e

igual ao valor calculado na formulação proposta,

originalPoriginalP

antigoPnovoP

66.1

032.3

min

max

min













−













−

+= , ou seja,

166MW. Caso este valor não seja suficiente para garantir a estabilidade do sistema, a

geração desta ou de outra máquina será novamente alterada, mantendo a mesma

formulação.

Para que a geração desta máquina não seja alterada durante a execução do FPO, foi

alterado o código identificador de “ -1”para “ 1” na entrada de dados.

4.4.5 Execução do FPO para o sistema de 41 barras com elevação da geração das

máquinas 6 e 7

Mantendo fixa a geração dos geradores 6 e 7, o problema de FPO (4.4) para o sistema de

41 barras, será alterado pela exclusão das restrições de potência ativa para o gerador 7.

A Tabela 4.13 apresenta a nova solução do FPO.

Tabela 4.13 – Solução do FPO para o sistema de 41 barras com elevação da geração das

máquinas 6 e 7

Barra Tipo V(pu) 

(MW)

(Mvar) P

(MW)

(Mvar)

1 referência

0.9601 0.0 695.4 -320.1 0.00 0.00

2 geração 0.9822 -0.1 698.0 -189.6 0.00 0.00

3 geração 0.9791 -0.1 698.9 -208.5 0.00 0.00

4 geração 0.9896 1.8 1086.5 -191.4 0.00 0.00

5 geração 0.9896 1.8 1086.5 -191.4 0.00 0.00

6 geração 0.9806 -8.8 270.0 -161.3 0.00 0.00

7 geração 0.9784 -9.6 166.0 -187.9 0.00 0.00

8 geração 1.0014 -13.6 82.0 -176.7 0.00 0.00

9 geração 0.9620 -6.8 649.9 -360.8 0.00 0.00

10 geração 0.9771 -6.6 480.7 147.5 0.00 0.00

11 geração 0.9604 7.4 1082.5 -30.6 0.00 0.00

12 geração 0.9600 4.2 1786.9 -171.2 0.00 0.00

13 geração 0.9601 3.3 1134.8 -555.7 0.00 0.00

14 carga 1.0697 -6.4 0.00 0.00 181.00 13.00

15 carga 1.0810 -6.9 0.00 0.00 0.00 0.00

16 carga 1.0926 -13.9 0.00 0.00 0.00 0.00

17 carga 1.0169 -12.0 0.00 0.00 0.00 0.00

18 carga 1.0523 -18.1 0.00 0.00 1853.00 216.00

19 carga 1.0884 -11.4 0.00 0.00 271.00 161.00

20 carga 1.0933 -16.0 0.00 0.00 0.00 0.00

21 carga 1.0912 -15.9 0.00 0.00 203.00 4.00

22 carga 1.0504 -21.1 0.00 0.00 1731.00 94.00

23 carga 1.0920 -11.8 0.00 0.00 102.00 -92.00

24 carga 1.0997 -14.6 0.00 0.00 -36.00 -27.00

25 carga 1.0984 -14.4 0.00 0.00 102.00 -9.00

26 carga 1.0987 -14.5 0.00 0.00 0.00 0.00

27 carga 1.0954 -14.5 0.00 0.00 0.00 0.00

28 carga 1.0905 -14.3 0.00 0.00 0.00 0.00

29 carga 1.0458 -12.8 0.00 0.00 32.00 -8.00

30 carga 1.0916 -14.8 0.00 0.00 300.00 -26.00

31 carga 1.0942 -14.6 0.00 0.00 31.00 100.00

32 carga 1.0864 -14.5 0.00 0.00 780.00 274.00

33 carga 1.0864 -14.3 0.00 0.00 0.00 0.00

34 carga 1.0779 -13.5 0.00 0.00 158.00 -69.00

35 carga 1.0489 -10.4 0.00 0.00 460.00 61.00

36 carga 1.0318 -3.7 0.00 0.00 445.00 -27.00

37 carga 1.0273 -11.5 0.00 0.00 1042.00 -235.00

38 carga 0.9955 -14.8 0.00 0.00 970.00 -9.00

39 carga 1.0184 1.1 0.00 0.00 0.00 0.00

40 carga 1.0102 -2.0 0.00 0.00 1481.00 -585.00

41 carga 0.9995 1.5 0.00 0.00 -312.00 169.00

A etapa seguinte será repetir novamente a simulação de estabilidade transitória, para

avaliar se o sistema é ou não estável.

4.4.6 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 41 barras com

elevação da geração das máquinas 6 e 7

Considerando o novo ponto de operação definido pelo FPO, foi repetida a simulação de

curto-circuito monofásico, na linha de transmissão entre as barras 19 e 20, nas

proximidades da barra 19.

Para a simulação tratada neste item, apresenta-se na Figura 4.10 o comportamento da

diferença angular entre as máquinas 1 e 6.

4,6E+1

4,3E+3

8,6E+3

1,3E+4

1,7E+4

0, 1, 2, 3,01 4,01 5,01

Tempo [s]

Delta (barra_1 - barra_6)

Fig. 4.10 – Diferença angular entre as máquinas 1 e 6 considerando curto-circuito

monofásico na linha 19-20 e elevação da geração das máquinas 6 e 7

Como pode ser observado, este novo ponto de operação também não pode ser considerado

como seguro, por não suportar, novamente, a perturbação simulada.

Pela metodologia apresentada, deve-se observar novamente a diferença de ângulo de rotor

de cada máquina para o centro de inércia, conforme apresentado na Tabela 4.14.

Tabela 4.14 – Diferença de ângulo de rotor entre os geradores e o centro de inércia com

elevação de geração das máquinas 6 e 7

Diferença de ângulo entre gerador e CI [graus]

Ângulo

no CI

[graus]

Gerador 1 Gerador 2 Gerador 3 Gerador 4 Gerador 5

16.96 7.98 9.23 13.84 13.84

Gerador 6 Gerador 7 Gerador 8 Gerador 9 Gerador 10

-28.66 -26.82 -19.93 22.60 -25.07

Gerador 11 Gerador 12

Gerador 13

42.06

2.22 10.28 -4.79

Da Tabela 4.14 observa-se que o gerador 6 apresenta novamente a maior diferença de

ângulo de rotor para o centro de inércia.

Novamente, para garantir o aumento na geração da máquina 6, sua geração será mantida

constante e igual ao valor calculado na formulação proposta,

originalPoriginalP

antigoPnovoP

40.5

040.5

70.2

min

max

min













−













−

+= , ou

seja, 540MW. Caso este valor não seja suficiente para garantir a estabilidade do sistema, a

geração de outra máquina, será novamente alterada, mantendo a mesma formulação.

4.4.7 Execução do FPO para o sistema de 41 barras com elevação da geração da

máquina 7 e geração máxima na máquina 6

A Tabela 4.15 apresenta a nova solução do FPO, considerando a elevação de geração da

máquina 7 e geração máxima na máquina 6.

Tabela 4.15 – Solução do FPO para o sistema de 41 barras com elevação da geração da

máquina 7 e geração máxima na máquina 6

Barra Tipo V(pu) 

(MW)

(Mvar) P

(MW)

(Mvar)

1 referência

0.9517 0.0 1173.2 -190.0 0.00 0.00

2 geração 0.9680 -5.3 623.6 -175.9 0.00 0.00

3 geração 0.9770 -4.7 698.9 -114.1 0.00 0.00

4 geração 0.9505 -6.9 712.8 -336.1 0.00 0.00

5 geração 0.9505 -6.9 712.8 -336.1 0.00 0.00

6 geração 0.9998 -6.6 540.0 -70.7 0.00 0.00

7 geração 0.9935 -12.9 166.0 -168.1 0.00 0.00

8 geração 1.0014 -16.7 90.5 -188.4 0.00 0.00

9 geração 1.0241 -10.0 658.4 78.1 0.00 0.00

10 geração 0.9500 -9.4 467.6 -41.4 0.00 0.00

11 geração 0.9505 5.1 1071.9 -64.3 0.00 0.00

12 geração 0.9501 1.7 1799.7 -275.5 0.00 0.00

13 geração 0.9518 1.6 1204.2 -561.0 0.00 0.00

14 carga 1.0519 -11.1 0.00 0.00 181.00 13.00

15 carga 1.0572 -13.0 0.00 0.00 0.00 0.00

16 carga 1.0920 -16.8 0.00 0.00 0.00 0.00

17 carga 1.0211 -13.0 0.00 0.00 0.00 0.00

18 carga 1.0272 -24.2 0.00 0.00 1853.00 216.00

19 carga 1.0735 -16.3 0.00 0.00 271.00 161.00

20 carga 1.0819 -20.5 0.00 0.00 0.00 0.00

21 carga 1.0807 -20.2 0.00 0.00 203.00 4.00

22 carga 1.0393 -25.6 0.00 0.00 1731.00 94.00

23 carga 1.0780 -16.6 0.00 0.00 102.00 -92.00

24 carga 1.0938 -18.5 0.00 0.00 -36.00 -27.00

25 carga 1.0965 -17.8 0.00 0.00 102.00 -9.00

26 carga 1.0991 -17.8 0.00 0.00 0.00 0.00

27 carga 1.0968 -17.7 0.00 0.00 0.00 0.00

28 carga 1.0924 -17.6 0.00 0.00 0.00 0.00

29 carga 1.0531 -16.1 0.00 0.00 32.00 -8.00

30 carga 1.0946 -18.0 0.00 0.00 300.00 -26.00

31 carga 1.0970 -17.8 0.00 0.00 31.00 100.00

32 carga 1.0914 -17.7 0.00 0.00 780.00 274.00

33 carga 1.0928 -17.4 0.00 0.00 0.00 0.00

34 carga 1.0897 -16.5 0.00 0.00 158.00 -69.00

35 carga 1.0701 -13.3 0.00 0.00 460.00 61.00

36 carga 1.0303 -6.3 0.00 0.00 445.00 -27.00

37 carga 1.0332 -14.3 0.00 0.00 1042.00 -235.00

38 carga 0.9982 -17.5 0.00 0.00 970.00 -9.00

39 carga 1.0116 -1.3 0.00 0.00 0.00 0.00

40 carga 1.0034 -4.1 0.00 0.00 1481.00 -585.00

41 carga 0.9927 -0.7 0.00 0.00 -312.00 169.00

A etapa seguinte será repetir novamente a simulação de estabilidade transitória, para

avaliar a estabilidade do sistema.

4.4.8 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 41 barras com

elevação da geração da máquina 7 e geração máxima na máquina 6

Considerando o novo ponto de operação definido pelo FPO, foi repetida a simulação de

curto-circuito monofásico, na linha de transmissão entre as barras 19 e 20, nas

proximidades da barra 19.

Para a simulação tratada neste item, apresenta-se na Figura 4.11 o comportamento da

diferença angular entre as máquinas 1 e 6.

3,8E+1

6,1E+3

1,2E+4

1,8E+4

2,4E+4

0, 0,6 1,2 1,81 2,41 3,01

Tempo [s]

Delta (barra_1 - barra_6)

Fig. 4.11 – Diferença angular entre as máquinas 1 e 6 considerando curto-circuito

monofásico na linha 19-20, elevação da geração da máquina 7 e geração máxima na

máquina 6

Como pode ser observado, este novo ponto de operação também não pode ser considerado

como seguro, por não suportar, novamente, a perturbação simulada.

Pela metodologia apresentada, deve-se observar novamente a diferença de ângulo de rotor

de cada máquina para o centro de inércia, conforme apresentado na Tabela 4.16.

Tabela 4.16 – Diferença de ângulo de rotor entre os geradores e o centro de inércia com

elevação da geração na máquina 7 e geração máxima na máquina 6

Diferença de ângulo entre gerador e CI [graus]

Ângulo

no CI

[graus]

Gerador 1 Gerador 2 Gerador 3 Gerador 4 Gerador 5

26.39 2.97 3.31 5.43 5.43

Gerador 6 Gerador 7 Gerador 8 Gerador 9 Gerador 10

-11.26 -29.31 -26.05 -7.16 -20.02

Gerador 11 Gerador 12

Gerador 13

39.11

3.82 13.53 -1.19

Da Tabela 4.16 observa-se que o gerador 7 apresenta novamente a maior diferença de

ângulo de rotor para o centro de inércia.

Novamente, para garantir o aumento na geração da máquina 7, sua geração será mantida

constante e igual ao valor calculado na formulação proposta,

originalPoriginalP

antigoPnovoP

32.3

032.3

66.1

min

max

min













−













−

+= , ou

seja, 332MW. Caso este valor não seja suficiente para garantir a estabilidade do sistema, a

geração desta ou de outra máquina, será novamente alterada, mantendo a mesma

formulação.

4.4.9 Execução do FPO para o sistema de 41 barras com geração máxima nas

máquinas 6 e 7

A Tabela 4.17 apresenta a nova solução do FPO, considerando geração máxima nas

máquinas 6 e 7.

Tabela 4.17 – Solução do FPO para o sistema de 41 barras com geração máxima nas

máquinas 6 e 7

Barra Tipo V(pu) 

(MW)

(Mvar) P

(MW)

(Mvar)

1 referência

0.9505 0.0 508.5 -394.6 0.00 0.00

2 geração 0.9796 1.6 699.8 -207.1 0.00 0.00

3 geração 0.9830 1.5 695.9 -186.9 0.00 0.00

4 geração 0.9870 -0.2 706.4 -270.0 0.00 0.00

5 geração 0.9870 -0.2 706.8 -270.0 0.00 0.00

6 geração 1.0141 4.5 540.0 -38.6 0.00 0.00

7 geração 0.9831 4.7 332.0 -157.5 0.00 0.00

8 geração 0.9968 -0.9 315.4 -171.0 0.00 0.00

9 geração 0.9513 4.7 591.9 -322.3 0.00 0.00

10 geração 0.9510 6.0 495.5 93.1 0.00 0.00

11 geração 0.9501 22.7 1130.0 15.9 0.00 0.00

12 geração 0.9504 17.4 1766.3 -105.6 0.00 0.00

13 geração 0.9501 20.9 1442.6 -483.2 0.00 0.00

14 carga 1.0700 -4.7 0.00 0.00 181.00 13.00

15 carga 1.0829 -5.9 0.00 0.00 0.00 0.00

16 carga 1.0949 -5.5 0.00 0.00 0.00 0.00

17 carga 1.0283 -1.8 0.00 0.00 0.00 0.00

18 carga 1.0538 -16.8 0.00 0.00 1853.00 216.00

19 carga 1.0913 -8.0 0.00 0.00 271.00 161.00

20 carga 1.0942 -11.2 0.00 0.00 0.00 0.00

21 carga 1.0908 -10.7 0.00 0.00 203.00 4.00

22 carga 1.0504 -16.1 0.00 0.00 1731.00 94.00

23 carga 1.0943 -8.1 0.00 0.00 102.00 -92.00

24 carga 1.1000 -8.1 0.00 0.00 -36.00 -27.00

25 carga 1.0980 -6.5 0.00 0.00 102.00 -9.00

26 carga 1.0976 -5.7 0.00 0.00 0.00 0.00

27 carga 1.0943 -5.4 0.00 0.00 0.00 0.00

28 carga 1.0894 -5.0 0.00 0.00 0.00 0.00

29 carga 1.0444 -1.6 0.00 0.00 32.00 -8.00

30 carga 1.0887 -5.2 0.00 0.00 300.00 -26.00

31 carga 1.0907 -4.8 0.00 0.00 31.00 100.00

32 carga 1.0798 -4.3 0.00 0.00 780.00 274.00

33 carga 1.0798 -4.1 0.00 0.00 0.00 0.00

34 carga 1.0676 -2.7 0.00 0.00 158.00 -69.00

35 carga 1.0339 1.4 0.00 0.00 460.00 61.00

36 carga 1.0167 9.4 0.00 0.00 445.00 -27.00

37 carga 1.0093 0.7 0.00 0.00 1042.00 -235.00

38 carga 0.9761 -2.3 0.00 0.00 970.00 -9.00

39 carga 1.0035 15.9 0.00 0.00 0.00 0.00

40 carga 0.9975 14.0 0.00 0.00 1481.00 -585.00

41 carga 0.9855 16.8 0.00 0.00 -312.00 169.00

A etapa seguinte será repetir novamente a simulação de estabilidade transitória, para

avaliar a estabilidade do sistema.

4.4.10 Simulação de estabilidade transitória para o sistema de 41 barras com geração

máxima nas máquinas 6 e 7

Considerando o novo ponto de operação definido pelo FPO, foi repetida a simulação de

curto-circuito monofásico, na linha de transmissão entre as barras 19 e 20, nas

proximidades da barra 19.

Para a simulação tratada neste item, apresenta-se na Figura 4.12 o comportamento da

diferença angular entre as máquinas 1 e 6 e entre as máquinas 1 e 10.

-20

0, 0,6 1,2 1,81 2,41 3,01

Tempo [s]

Delta (barra_1 - barra_6)

Delta (barra_1 - barra_10)

Fig. 4.12 – Diferença angular entre as máquinas 1 e 6 e entre as máquinas 1 e 10

considerando curto-circuito monofásico na linha 19-20 e geração máxima nas máquinas 6 e

Como pode ser observado, no novo ponto de operação definido pelo FPO, os geradores

mantém-se em sincronismo. A diferença de ângulo de rotor não supera, em módulo, o

limite de 90 graus estabelecido. Cumpre destacar que as diferenças angulares entre os

demais geradores mantiveram-se dentro dos critérios de segurança.

Desta forma, pode-se considerar que, para a perturbação aplicada, o novo ponto de

operação é seguro.

Faz-se necessário, então, avaliar se o sistema atende aos critérios de estabilidade para

perturbações nas demais linhas de transmissão. Desta forma, foram simulados curtos-

circuitos em outras linhas de transmissão do sistema, sendo elas: 20-22, 23-24, 27-30, 32-

36, 35-36, 36-37 e 38-39. Para todas estas perturbações, os geradores mantiveram-se em

sincronismo e não violaram o limite de 90 graus, em módulo, estabelecido para este

trabalho. A título de ilustração apresentam-se, na Figura 4.13, o comportamento da

diferença de ângulo de rotor entre as máquinas 1 e 10 para as perturbações descritas.

-20

0, 0,6 1,2 1,81 2,41 3,01

Tempo [s]

LT 19-20

LT 20-22

LT 23-24

LT 27-30

LT 32-36

LT 35-36

LT 36-37

LT 39-38

Fig. 4.13 – Comportamento dos ângulos de rotor entre as máquinas 1 e 10 considerando

curto-circuito monofásico nas linhas 20-22, 23-24, 27-30, 32-36, 35-36, 36-37 e 38-39 e

geração máxima nas máquinas 6 e 7

Em função da maior complexidade do sistema de 41 barras, quando comparado com o

sistema de 9 barras, a metodologia aplicada exigiu um maior número de simulações, onde

cada etapa foi executada cinco vezes até que fosse encontrado o ponto de operação

considerado como seguro.

Ainda assim, as simulações efetuadas para o sistema de 41 barras comprovam a eficiência

da metodologia adotada, onde novamente foi observado:

•

A execução do FPO, observando apenas a capacidade máxima de geração para cada

máquina resultou em um ponto de operação inseguro, uma vez que houve perda de

sincronismo para o curto-circuito na linha 19-20.

•

A monitoração da diferença angular para o CI identificou a necessidade de elevar a

geração de potência ativa das máquina 6 e 7.

•

A execução do FPO, considerando nova restrição de potência ativa para as

máquinas 6 e 7, resultou em um novo ponto de operação, o qual atendeu aos

critérios estabelecidos neste trabalho, ou seja, o novo ponto de operação é seguro.

A Tabela 4.18 apresenta os valores de potência ativa gerada por máquina na primeira

solução (caso inseguro) e na última solução (caso seguro) do FPO, enquanto a Tabela 4.19

apresenta os valores de perdas elétricas totais na transmissão para estes dois casos.

Tabela 4.18 – Geração no sistema de 41 barras na primeira (insegura) e na última (segura)

solução

Potência Gerada (MW)

Gerador

Caso inseguro Caso seguro

1 857.0 508.5

2 678.9 699.8

3 678.9 695.9

4 1050.6 706.4

5 1104.8 706.8

6 15.0 540.0

7 325.4 330.0

8 108.2 315.4

9 846.7 591.9

10 383.8 495.5

11 1116.1 1130.0

12 1873.9 1766.3

13 880.0 1442.6

Tabela 4.19 – Perdas no sistema de 41 barras na primeira (insegura) e na última (segura)

solução

Perdas (MW)

Caso inseguro Caso seguro

125.85 135.22

Pela tabela 4.19 observa-se que foi possível garantir um ponto de operação seguro com

pequeno incremento nas perdas totais.

Apesar das simplificações intrínsecas ao modelo clássico para representação da máquina

síncrona, sua utilização permite avaliar, satisfatoriamente, o comportamento do sistema no

problema de estabilidade transitória.

Capítulo 5 CONCLUSÕES GERAIS E SUGESTÕES PARA

TRABALHOS FUTUROS

5.1 CONCLUSÕES GERAIS

Esta dissertação apresentou uma metodologia para associação de estudos de estabilidade

transitória angular aos estudos de fluxo de potência ótimo. O estudo foi aplicado a dois

sistemas distintos: Um sistema de 9 barras e 3 geradores, clássico em estudos de

estabilidade, apresentado na bibliografia [Anderson, 2003] e um sistema de 41 barras e 13

geradores, representando a interligação em 500kV entre as regiões Norte e Sudeste/Centro-

Oeste do Sistema Elétrico Brasileiro, construído a partir de dados reais do sistema.

Com a evolução do problema de FPO, alguns autores incluíram restrições de segurança

dinâmica à formulação do FPO, a exemplo da máxima abertura angular entre máquinas e o

centro de inércia do sistema, para garantir que o ponto de operação definido pelo FPO seja

seguro diante de perturbações no sistema. Neste trabalho optou-se por acompanhar o

comportamento da diferença angular entre pares de máquinas, observando se os critérios

de segurança dinâmica estabelecidos seriam violados.

Um dos problemas na associação de estudos de estabilidade transitória aos estudos de FPO

é a definição do melhor despacho de potência ativa que atenda às restrições estáticas e

dinâmicas. Neste trabalho foi apresentada a metodologia de utilização do centro de inércia

para definir os geradores candidatos a terem sua geração de potência ativa alterada.

Monitorando a diferença angular entre cada gerador e o centro de inércia, ainda na

condição de pré-perturbação, ou seja, no ponto de operação definido pelo FPO, pode-se

observar quais geradores estão “ mais afastados” do centro de inércia, sendo aqueles com

maior defasagem angular.

Ao executar as simulações de estabilidade transitória foi possível observar que, via de

regra, a perda de sincronismo envolveu os geradores com maior defasagem angular para o

centro de inércia. De acordo com a metodologia proposta, estes geradores tiveram sua

geração alterada, no sentido de aproximá-los do centro de inércia. Em seguida foi repetida

a análise, incluindo nova execução do FPO e, para este novo ponto de operação, nova

execução das simulações de estabilidade transitória.

Com a utilização desta metodologia foi possível encontrar um ponto de operação definido

pelo FPO que suportasse, sem violação dos critérios de segurança, as perturbações

aplicadas na simulação de estabilidade transitória. Para o sistema de 9 barras, foram

necessários dois ciclos envolvendo FPO e estabilidade transitória. Para o sistema de 41

barras este ciclo foi executado cinco vezes, dada a maior complexidade do sistema.

Com os resultados obtidos conclui-se pela eficácia da metodologia proposta, através da

qual foi possível identificar facilmente os geradores que deveriam ter sua geração alterada

de forma a garantir um ponto de operação que atendesse a função objetivo e restrições

estáticas do FPO, bem como os critérios de segurança definidos para a simulação de

estabilidade transitória.

5.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Os problemas de FPO e de estabilidade transitória vêm sendo estudados em larga escala,

por diversos autores, podendo ser encontradas diversas contribuições para evolução do

assunto. Exemplo destas contribuições, a metodologia apresentada nesta dissertação não

esgota a possibilidade de evolução do tema.

Por se tratar de programas distintos, as alterações no programa de FPO, da geração de

potência ativa dos geradores identificados pela simulação de estabilidade transitória, foram

efetuadas de forma manual. Para evolução do tema, considera-se importante a fusão das

ferramentas de FPO e estabilidade transitória em uma única ferramenta, a qual possibilite,

de forma automática, a identificação do atendimento aos critérios de segurança, os

geradores candidatos a terem sua geração alterada e a implementação desta alteração no

problema de FPO, repetindo o processo até que se encontre o ponto de operação seguro,

isto facilitado pela metodologia de seleção dos geradores, desenvolvida neste trabalho.

Outro avanço está na própria representação da máquina síncrona e na relação custo x

benefício de se detalhar melhor a máquina. Alguns autores consideram que a representação

do fluxo no enrolamento de campo proporciona uma melhor avaliação do fenômeno de

estabilidade. Comprovou-se neste trabalho que o modelo clássico apresenta facilidade de

uso e garante resultados satisfatórios para as análises propostas.

Quanto à ferramenta de FPO utilizada, é interessante repetir o problema com a utilização

de outros métodos, avaliando os resultados obtidos no FPO, em função da não-linearidade

e não-convexidade do problema. Sugere-se ainda avaliar, em outros métodos, o

comportamento das variáveis frente às restrições estabelecidas, face ao comportamento

verificado no método primal-dual barreira logarítmica, pelo qual algumas restrições de

desigualdade não foram atendidas.

Referências Bibliográficas

[Alam, 2006]. A. Alam e E. B. Makram, “ Transient Stability Constrained Optimal Power

Flow”, Power Engineering Society General Meeting, 2006. IEEE.

[Mota, 2006]. W. S. Mota, Simulação de Transitórios Eletromecânicos em Sistemas de

Potência, 1ª.edição. Campina Grande: EPGRAF, 2006, p. 1-22.

[Hakim, 2009] . L. Hakim, J. Kubokawa, Y. Yuan, T. Mitani, Y. Zoka, N. Yorino, Y. Niwa,

K. Shimomura e A. Takeuchi, “ A Study on the Effect of Generation shedding to Total

Transfer Capability by Means of Transient Stability Constrained Optimal Power Flow”,

IEEE Transactions on Power Systems, vol.24, no. 1, 2009.

[Gan, 2000]. D. Gan, R. J. Thoms, R. D. Zimmerman, “ Stability-Constrained Optimal

Power Flow”, IEEE Transactions on Power Systems, vol.15, no. 2, 2000.

[Valenzuela, 2004]. J. Valenzuela, S. Mark. Halpin, C. S. Park, “ Including Stability

Constraints in Optimal Dispatch Algorithms”, Power Systems Conference and Exposition,

2004. vol. 2, pp. 971-976, Oct. 2004.

[Scala, 1998]. M. La Scala, M. Trovato, C. Antonelli, “ On-line dynamic preventive

control: An algorithm for transient security dispatch,” IEEE Transactions on Power

Systems, vol. 13, no. 2, pp. 601–610, May 1998.

[Gan, 1998]. D. Gan, R. J. Thomas, R. D. Zimmerman, “ A transient stability constrained

optimal power flow,” Proc. Bulk Power System Dynamics and Control IV—Restructuring,

Santorini, Greece, Aug. 24–28, 1998.

[Tuglie, 2000]. E. De Tuglie, M. Dicorato, M. La Scala, P. Scarpellini, “ A static

optimization approach to assess dynamic available transfer capability,” IEEE Transactions

on Power Systems, vol. 15, no. 3, pp. 1069–1076, Aug. 2000.

[Monteiro, 2009]. P. A. G. Monteiro, “ Identificação de modos dominantes em um sistema

elétrico de potência de grande porte considerando informações de locais que simulam

unidades de medição fasorial”. Dissertação de mestrado, UnB - Brasília, 2009.

[Haque, 1988]. M. H. Haque, A. H. M. A. Rahim, “ An efficient method of identifying

coherent generators using taylor series expansion”, IEEE Transactions on Power Systems,

vol. 3, pp. 1112-1118, Aug. 1988.

[Fontoura, 2006]. R. M. Fontoura, “ Inclusão de restrições dinâmicas na análise de fluxo de

potência ótimo”. Dissertação de mestrado, UFJF – Juiz de Fora, 2006.

[Yuan, 2003]. Y. Yuan, J. Kubokawa, H, Sasaki, “ A solution of optimal power flow with

multicontingency transient stability constraints”, IEEE Transactions on Power Systems,

vol. 18, no. 3, Aug. 2003.

[Gan, 2003]. D. Gan, D. Chattopadhyay, X. Luo, “ Stability constraints OPF: New results”,

System Theory, Proceedings of the 35

Southastern Symposium, 16-18, Mar. 2003.

[Bruno, 2002]. S. Bruno, E. De Tuglie, and M. La Scala, “ Transient security dispatch for

the concurrent optimization of plural postulated contingencies,” IEEE Transactions on

Power Systems, vol. 17, no. 3, pp. 707–714, Aug. 2002.

[Anderson, 2003]. P. M. Anderson, A. A. Fouad, Power System Control and Stability, 2a.

edição, IEEE Power Engineering Series, p. 13-45, 2003.

[Souza, 2005]. A. M. Souza. “ Estudos de Casos em Sistemas de Energia Elétrica por meio

do Fluxo de Potência Ótimo e da Análise de Sensibilidade”. São Carlos, SP. Tese de

Doutorado, 2005.

[Stott, 1980]. B. Stott, O. Alsac, J. L. Marinho. The Optimal Power Problem. In Electric

Power Problems: The Mathematical Challenge, A.M.Erisman et Al (editors). SIAM, p.

327-351, 1980.

[Momoh, 1994]. J. A. Momoh, S. X. Guo, E. C. Ogbuobiri, R. Adapa. “ The Quadratic

Interior Point Method Solving Power System Optimization Problems”, IEEE Transactions

on Power Systems, v. 9, n. 3, p. 1327-1336, Aug. 1994.

[Frisch, 1955]. K. R. Frisch, K.R.. The Logarithmic Potential Method of Convex

Programming, Memorandum, University Institute of Economics, Oslo, Norway, 1955.

[Momoh, 1950]. J. A. Momoh, Electric Power System Applications of Optimization, 2a.

edição, p. 234, 1950.

[Geidl, 2007]. M. Geidl. “ Integrated Modeling and Optimization of Multi-Carrier Energy

Systems”. ETH Zurich. Tese de Doutorado, 2007.

[Mata, 2005]. C. G. Mata, “ Uma contribuição na análise da estabilidade transitória dos

sistemas elétricos de distribuição na presença de geração distribuída”. Dissertação de

mestrado, UFJF – Juiz de Fora, 2005.

[Kundur, 1994]. Kundur; P. Power System Stability and Control. Power System

Engineering. Mc-Graw Hill, 1994.

[Ferreira, 1995]. C. M. B. M. Ferreira, “ Análise de estabilidade transitória de um sistema

de energia elétrica – Método das áreas iguais generalizado”. Dissertação de mestrado,

FEUP – Porto, 1995.

[Stagg, 1968]. G. W. Stagg, A. H. El-Abiad, Computer methods in power system analysis.

Mc-Graw Hill, 1968.

[Chattopadhyay, 2000]. D. Chattopadhyay, D. Gan , “ Dispatch optimization incorporating

transient and voltage stability constraints,” in Proc. 2000 IEEE Power Engineering Society

Summer Meeting, pp. 516-521.

[Stevenson, 1986]. W. D. Stevenson. Elements of Power system analysis. McGraw-Hill,

1986.

[Silva, 2005]. R. M. Silva, A. L. Araujo. Jr. “ Efeito da modelagem dinâmica de sistemas de

distribuição para estudos em sistemas de transmissão”. XI ERIAC - Encuentro Regional

Iberoamericano del CIGRÉ, 22 a 26 de maio de 2005.

[Cepel, 2009]. CEPEL. PlotCepel: Programa de plotagem gráfica. V4.7.1 edition, 2009.

[Neto, 2009]. C. A. S. Neto, M. T. Schilling, J. C. S. Souza, “ Melhorando a segurança de

sistemas de potência com a utilização de metaheurísticas”. VIII CLAGTEE – Congresso

Latino-Americano de Geração e Transmissão de Energia Elétrica, 18 a 22 de outubro de

2009.

[Cepel, 2009a]. CEPEL. Anarede: Programa de análise de redes. V9.5.2 edition, 2009.

[ONS, 2009]. Operador Nacional do Sistema Elétrico. Dados de máquinas síncronas para

estudos de transitórios eletromecânicos – Junho 2009.

[ONS, 2008]. Operador Nacional do Sistema Elétrico. ONS RE-3/134/2008 – Reatores

equivalentes nas barras do SIN para simulação de curto circuito monofásico em estudos de

transitórios eletromecânicos – Dezembro 2008/2010. Agosto 2008.

Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
 
Milhares de Livros para Download:
 
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas

Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
 
 