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UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ
Vinício Alvarenga da Fonseca
MELHORIA DO PROCESSAMENTO DE
CELULOSE INDUSTRIAL UTILIZANDO
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS - MEF
Taubaté – SP
2006
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UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ
Vinício Alvarenga da Fonseca
MELHORIA DO PROCESSAMENTO DE
CELULOSE INDUSTRIAL UTILIZANDO O
MÉTODO DE ELEMTNOS FINITOS - MEF
Dissertação apresentada para obtenção do
Certificado de Título de Mestre pelo Curso de
Tecnologia dos Materiais e Processos de
Fabricação do Departamento de Engenharia
Mecânica da Universidade de Taubaté.
Área de Concentração: Tecnologia dos Materiais e
Processos de Fabricação
Orientador: Prof. Dr. Marcos Valério Ribeiro
Taubaté – SP
2006
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Ficha catalográfica elaborada pelo
SIBi – Sistema Integrado de Bibliotecas / UNITAU
F676m Fonseca, Vinício Alvarenga da
Melhoria do processamento de celulose industrial utilizando método de
elementos finitos - MEF / Vinicio Alvarenga da Fonseca. - 2006.
107f. : il.
Dissertação (mestrado) - Universidade de Taubaté, Departamento de
Engenharia Mecânica, 2006.
Orientador: Prof. Dr. Marcos Valério Ribeiro, Departamento de Engenharia
Mecânica.
1. Método de elementos finitos. 2. Celulose. 3. Simulação. I. Título.
VINICIO ALVARENGA DA FONSECA
MELHORIA DO PROCESSAMENTO DE CELULOSE INDUSTRIAL UTILIZANDO O
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS - MEF
Dissertação apresentada para obtenção do Certificado de
Título de Mestre pelo Curso de Tecnologia dos
Materiais e Processos de Fabricação do Departamento
de Engenharia Mecânica da Universidade de Taubaté.
Área de Concentração: Tecnologia dos Materiais e
Processos de Fabricação
Data: 29/09/2006
Resultado: APROVADO
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Ângelo Caporalli Filho
Assinatura.
Prof. Dr. Anselmo Monteiro Ilkiu
Assinatura.
Prof. Dr. Marcos Valério Ribeiro
Assinatura.
Dedico este trabalho
A minha mãe Leni Alvarenga da Fonseca e ao meu pai Benício Pereira da Fonseca, que
além da educação e apoio dado, me deram à oportunidade de escolha em toda minha
vida.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus,
Que me abençoou passo a passo nesta escalada de vitórias, o meu louvor e reconhecimento
eterno. Que sua presença continue marcante em minha vida profissional e pessoal, mostrando-
me o caminho do amor, da fé inabalável e da esperança de dias melhores.
A minha família não bastaria um muito obrigado, não bastaria dizer que não tenho palavras
para agradecer tudo isso. Uma emoção que palavras dificilmente traduziriam.
Agradeço ao Prof. Dr. Marcos Valério Ribeiro, quem em orientou de forma objetiva e sempre
apoio em minhas decisões.
Agradeço ao Dr. Nehemias Lima Lacerda, além de amigo próximo de longa data e colega de
trabalho me deu total apoio neste trabalho, transmitindo conhecimento e sempre mostrando
que não existem limites quando nos dedicamos.
A meus colegas de curso com quem compartilhei conhecimento, alegrias e a amizade.
A Votorantim Celulose e Papel S/A, a qual me possibilitou usar de todos os recursos
disponíveis e imensuráveis.
Enfim a todos que ao logo deste período puderam contribuir de forma direta ou indireta para
meu crescimento profissional e acadêmico.
FONSECA, Vinício Alvarenga. MELHORIA DO PROCESSAMENTO DE
CELULOSE INDUSTRIAL UTILIZANDO MÉTODO DE ELEMENTOS
FINITOS. 2006. 107 f. Dissertação (Mestrado em Tecnologia dos Materiais e
Processos de Fabricação) - Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade de
Taubaté, Taubaté.
RESUMO
A situação proposta trata-se da análise e solução do comportamento dinâmico de
uma máquina para secagem da folha de celulose, onde a estrutura final desta máquina é
composta por várias partes mecânicas com diferentes formas geométricas e de tipos de
materiais. A mesma não apresenta o desempenho esperado em um intervalo de
velocidade devido a excessivas vibrações estruturais, tais vibrações não previstas
resultam no acúmulo de folhas em determinados pontos da estrutura conduzindo a
parada da máquina por completo, ocasionando grandes perdas de produção e elevado
custo de manutenção. Basicamente o comportamento da vibração excessiva observada
na estrutura da máquina sugere o alcance de freqüências de ressonância de partes ou
conjuntos que suportam as roldanas de transporte da folha de celulose. A ressonância
estrutural na máquina é caracterizada pela vibração das roldanas de pressionamento da
folha de celulose e respectivos componentes associados, vigas de apoio, longarinas,
rolos giratórios e suportes. A verificação dos modos de vibração e respectivas
freqüências de ressonância foram obtidas através de cálculo teórico, simulação
computacional e de uma seqüência de ensaios experimentais. A compatibilidade dos
cálculos foi realizada através de medidas experimentais de vibração em locais pré-
determinados. As freqüências medidas e observações das amplitudes de vibração
mostraram coerência com a dinâmica estrutural prevista através da análise teórica e da
simulação computacional.
Palavras-Chaves: Ressonância, vibração, simulação computacional, celulose.
FONSECA, Vinício Alvarenga. IMPROVEMENT BY THE INDUSTRIAL PULP
PROCESS BY USING METHOD OF FINITE ELEMENTS. 2006. 107 f.
Dissertação (Mestrado em Tecnologia dos Materiais e Processos de Fabricação) -
Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade de Taubaté, Taubaté.
ABSTRACT
The proposed situation is treated of the analysis and solution of the dynamic
behavior of a machine for drying of the cellulose leaf, where the final structure of this
machine is composed by several parts mechanics with different geometric forms and of
types of materials. The same doesn't present the expected acting in an interval of speed
due to excessive vibrations structural, such vibrations no foreseen result in the
accumulation of leaves in certain points of the structure driving the stop of the machine
entirely, causing great production losses and high maintenance cost. Basically the
behavior of the excessive vibration observed in the structure of the machine suggests the
reach of frequencies of resonance of parts or groups that support the pulleys of transport
of the cellulose leaf. The structural resonance in the machine is characterized by the
vibration of the pulleys of press of the cellulose leaf and respective associated
components, support beams, longarinas, rotative rolls and supports. The verification of
the vibration manners and respective resonance frequencies were obtained through
theoretical calculation, computational simulation and of a sequence of experimental
rehearsals. The compatibility of the calculations was accomplished through
experimental measures of vibration in pré-certain places. The measured frequencies and
observations of the vibration widths showed coherence with the structural dynamics
foreseen through the theoretical analysis and of the computational simulation.
Key-Words: resonance, vibration, computational simulation, pulp.
Sumário
Resumo 5
Abstract 6
Lista de Tabelas 9
Lista de Figuras 10
1. Introdução 13
1.1 Objetivo 13
2. Revisão da Literatura 17
2.1 Metodologia de Trabalho 17
2.2 Introdução dos Fenômenos Vibratórios 22
2.3 Cargas Estáticas 26
2.4 Cargas Dinâmicas 27
2.5 Tipos de Cargas Dinâmicas e Suas Respostas 29
2.6 Carregamentos Determinísticos 30
2.7 Carregamentos Aleatórios 32
2.8 Graus de Liberdade de um sistema Mecânico 34
2.8.1 Sistemas Contínuos 34
2.8.2 Sistemas Discretos 37
2.9 Modelos Físicos do Problema Dinâmico 39
2.10 Rigidez e Massa no Modelo Dinâmico 40
2.11 Tipos de Vibração – Modelos 43
2.12 Autovalores e Autovetores (Modos de Vibrar) 48
2.13 Análise de Modos e Freqüências Naturais de Vibração 51
2.14 Analise de Vibração Forçada – Resposta Dinâmica 54
3. Procedimento Experimental 55
3.1 Validação Teórica do Modelo Simulado no Código Computacional 56
3.2 Resultados Obtidos na Simulação 63
4. Análise Teórica 65
4.1 Descrição do Modelo 65
5. Resultados Numéricos 71
6. Resultados Teóricos 86
7. Resultados Experimentais 91
8. Resultado Obtido a Recomendações 103
9. Conclusão 106
10. Referências Bibliográficas 107
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Respostas dos Modos de Freqüências Naturais da Viga 63
Tabela 2 – Comparação de Respostas 64
Tabela 3 – Propriedades de Massas dos Componentes Fixos 70
Tabela 4 – Propriedades de Massas dos Componentes Fixos 70
Tabela 5 – Constante Física dos Materiais Construtivos 70
Tabela 6 – Esforços Causado pela Vibração 85
Tabela 7 – Freqüências de Ressonância obtida para cada tipo de Roldana 85
Tabela 8 – Característica das Molas 105
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Equipamento a ser Analisado 16
Figura 2 – Congestionamento das Folhas 16
Figura 3 – Congestionamentos das Folhas na Roldana 16
Figura 4 – Diagrama de corpo livre para um Elemento Finito 24
Figura 5 – Passo principal Efetuados na Análise 25
Figura 6 – Estruturas sob ação de Carregamento Externo Estático 27
Figura 7 – Tipos de Cargas Dinâmicas 31
Figura 8 – Tipos de Cargas e Tensões 33
Figura 9 – Vibração da Barra 35
Figura 10 – Movimento vibratório do elemento diferencia de viga 36
Figura 11 – Estrutura real e os Modelos para estudo dinâmico 39
Figura 12 – Casos exibindo rigidez massa-mola 42
Figura 13 – Estudo das Vibrações de Massa M 45
Figura 14 – Modos de Vibração natural 48
Figura 15 – Viga Modelada no ANSYS 9.0 em dimensões reais 59
Figura 16 – Detalhe dos suportes fixos nas extremidades da viga 59
Figura 17 – Primeiro Modo de Freqüência Natural 60
Figura 18 – Segundo Modo de Freqüência Natural 60
Figura 19 – Terceiro Modo de Freqüência Natural 61
Figura 20 – Quarto Modo de Freqüência Natural 61
Figura 21 – Quinto Modo de Freqüência Natural 62
Figura 22 – Sexto Modo de Freqüência Natural 62
Figura 23 – Características da viga Modelada no ANSYS 63
Figura 24 – Equivalências das Respostas em freqüência 64
Figura 25 – Conjunto estrutural de montagem das vigas e roldanas 65
Figura 26 – Vista superior da estrutura 66
Figura 27 – Detalhamento dos apoios articulados para todas as extremidades 66
Figura 28 – Detalhamento do conjunto de estrutura 67
Figura 29 – Detalhamento dos componentes essências da roldana A 68
Figura 30 – Representação da malha utilizada no modelo completo 69
Figura 31 – Representação da malha utilizada no modelo completo 69
Figura 32 – Análise Estática da estrutura completa 71
Figura 33 – Análise Estática da estrutura completa 72
Figura 34 – Deslocamento 2,5 Hz 73
Figura 35 – Deslocamento 2,75 Hz 73
Figura 36 – Deslocamento 3,0 Hz 74
Figura 37 – Deslocamento 3,25 Hz 74
Figura 38 – Deslocamento 3.50 Hz 75
Figura 39 – Deslocamento 3,75 Hz 75
Figura 40 – Deslocamento 4,0 Hz 76
Figura 41 – Deslocamento 4,25 Hz 76
Figura 42 – Modo 1 de Vibração 6,28 Hz 77
Figura 43 – Modo 2 de Vibração 7,58 Hz 77
Figura 44 – Modo 3 de Vibração 7,64 Hz 78
Figura 45 – Modo 4 de Vibração 8,07 Hz 78
Figura 46 – Modo 5 de Vibração 8,18 Hz 79
Figura 47 – Modo 6 de Vibração 8,29 Hz 79
Figura 48 – Modo 1 de Vibração 3,38 Hz na rolada C 80
Figura 49 –Modo 2 de Vibração 3,80 Hz na rolada B 81
Figura 50 – Modo 3 de Vibração 4,09 Hz na rolada A 81
Figura 51 – Modo de Vibração da estrutura reduzida 82
Figura 52 – A viga proposta (verde) é composta por cantoneiras 83
Figura 53 – A viga proposta (verde) tem seção quadrada com 300mm 83
Figura 54 – Determinação do deslocamento máximo totalizando 450 Kgf 84
Figura 55 – Distribuição de tensão nos elementos da viga de 11.Hz 84
Figura 56 – Diagrama da posição temporal do ponto de impacto 87
Figura 57 – Freqüência de ressonância de rodízio 89
Figura 58 – Força imposta na roldana 90
Figura 59 – Posição dos sensores de vibração na estrutura 91
Figura 60 – Medida de vibração horizontal do ponto 1 92
Figura 61 – Medida de vibração vertical do ponto 1 93
Figura 62 – Medida de vibração horizontal do ponto 2 93
Figura 63 – Medida de vibração vertical do ponto 2 94
Figura 64 – Medida de vibração horizontal do ponto 3 94
Figura 65 – Medida de vibração vertical do ponto 3 95
Figura 66 – Medida de vibração horizontal do ponto 4 95
Figura 67 – Medida de vibração vertical do ponto 4 96
Figura 68 – Medida de vibração horizontal do ponto 5 96
Figura 69 – Medida de vibração vertical do ponto 5 97
Figura 70 – Medida de vibração horizontal do ponto 6 97
Figura 71 – Medida de vibração vertical do ponto 98
Figura 72 – Velocidade de deformação da estrutura versus a freqüência 98
Figura 73 – Velocidade de deformação da estrutura versus a freqüência 99
Figura 74 – Determinação do coeficiente de extensão da mola de fixação 99
Figura 75 – Influencia da constante K da mola 100
Figura 76 – Mola de Tração 105
1 - INTRODUÇÃO
1.1 Objetivo
Usar de ferramentas computacionais, modelos matemáticos e teorias de vibração para
analisar o comportamento dinâmico de uma determinada estrutura e propor soluções em busca
da melhor desempenho.
As oportunidades de melhoria na indústria moderna contam com soluções,
anteriormente disponíveis apenas através de grandes investimentos de recursos humanos e
financeiros.
Graças ao desenvolvimento da tecnologia aeroespacial, tornou-se acessível uma grande
quantidade de informações e ferramentas de engenharia que, a reduzidos custos, podem gerar
soluções de grande valia para as oportunidades industriais, nos mais variados graus de
complexidade.
Com o advento da computação científica, foram desenvolvidos códigos computacionais
comerciais para buscar a solução de problemas de estabilidade estrutural, vibração e
ressonância, a serem aplicadas a projetos de aeronaves, mísseis e foguetes. Estes códigos
contaram com a validação através de exaustivos ensaios experimentais em laboratórios
especializados.
Em todas as áreas da engenharia existe uma tendência no sentido de aperfeiçoar os
projetos estruturais, aumentando a confiabilidade e ao mesmo tempo reduzindo o custo
associado a um determinado produto. Com o crescente desenvolvimento da capacidade
computacional, tem se tornado possível realizar simulações numéricas de modelos cada vez
mais complexos e, conseqüentemente, prever o comportamento de um determinado problema
físico com um maior grau de precisão.
Neste contexto, o Método de Elementos Finitos - MEF representa uma importante
ferramenta na análise estrutural de peças com geometria complexa. O MEF tem como
14
objetivo aproximar uma grandeza contínua, regida por uma equação de governo, através da
discretização do domínio em subdomínios, elementos, conectados por pontos comuns, nós.
Nestes subdomínios, a grandeza contínua é aproximada por polinômios que formam uma base
para a solução global.
Este trabalho apresenta a análise da resistência a carregamentos em estruturas
geometrias complexas, por meio do MEF.
Tanto os códigos computacionais dedicados à estabilidade estrutural quanto à
catalogação internacional da informação, permitiram a realização de pesquisas especializadas
sobre situações equivalentes às experimentadas no equipamento em questão.
Os trabalhos pesquisados contribuíram com a definição das equações características do
processo de vibração do sistema massa-mola-amortecedor, estabelecido pelo conjunto
formado pela roldana com superfície de borracha e respectivas vigas, reforços estruturais e
componentes de apoio.
As soluções computacionais disponíveis no mercado estão configuradas para uma faixa
ampla de situações possíveis. O conjunto de códigos computacionais usados neste trabalho
está agrupado da seguinte forma:
HYPERMESH 7.0 - Código de pré-processamento para modelamento geométrico, geração e
importação de malhas de pacotes comerciais de CAE/CAD.
ANSYS WORKBENCH 9.0 - Código de processamento e pós-processamento que utiliza o
método dos volumes finitos para solução de situações envolvendo equações diferenciais
parciais com condições iniciais e de contorno.
HYPERVIEW 7.0 - Código para visualização científica propiciando ao usuário entendimento
dos resultados obtidos.
GAMBIT 2.2.30 – Código para criação de modelos tridimensionais.
SKF MACHINE ANALYST 3.1.3 – Código para visualização e análise de vibração.
15
Embora a estrutura inteira em questão seja de alto grau de complexidade, a mesma foi
representada apenas através dos componentes onde as freqüências de ressonância pudessem
estar na mesma faixa de operação do referido equipamento.
Estes modelos, tanto teóricos quanto computacionais, contam com o método
experimental para validação dos mesmos, conduzindo desta forma, o presente trabalho a um
resultado que representa a situação real e sua tendência de funcionamento, à medida que a
máquina aumenta sua velocidade de produção.
Medidas experimentais de vibração, através de sensores de vibração, determinaram as
características de amortecimento do sistema em questão, complementando os valores
correspondentes para determinação das equações associadas.
Estas equações diferenciais fornecem, através dos autovetores e os autovalores, a
ocorrência dos modos de vibração e as freqüências associadas dos mesmos, indicando a
tendência da ocorrência de ressonâncias.
O equipamento a ser analisado é dotado de um conjunto de etapas de desaceleração das
folhas de celulose já cortadas, para que estas possam ser embaladas de modo automatizado. É
composta por uma estrutura metálica com vários dispositivos e roldanas encarregadas de
manter as folhas de celulose no mesmo sentido sem sobrepô-las.
A velocidade média de trabalho com que as folhas se deslocam é de 190 metros/minuto.
Em determinadas velocidades de trabalho mais próximas de 180 metros/minuto toda estrutura
tende a vibrar com maior intensidade provocando congestionamento das folhas de celulose
que consequentemente causam a parada da máquina resultando na perda de produção.
O referido processo industrial encontra-se representado na figura 1, indicando como
oportunidade de melhoria, a solução dos congestionamentos de folhas. Estes
congestionamentos apresentam indícios de serem causados pela excessiva vibração observada
16
nas vigas de apoio das roldanas de pressionamento das citadas folhas e em determinadas
velocidades.
Figura 1 - Figura do equipamento a ser analisado
Sentido de deslocamento da folha
Fi
g
uras 2 e 3 - Con
g
estionamen
t
os das folhas nas roldanas ocasionando a
p
arada da Má
q
uina
17
2- REVISÃO DA LITERATURA
2.1 Metodologia de Trabalho
Existem várias formas de utilização de uma estrutura, ou dos componentes mecânicos
em geral, nas quais a hipótese de adotar um simples modelo estático de elementos finitos está
muito longe de representar a realidade do problema de engenharia, resultando em uma
simplificação grosseira e os resultados, inadequados. É o caso de estruturas que estão sujeitas
as solicitações dinâmicas no tempo. Essas solicitações tiram à estrutura da sua condição de
equilíbrio estático, movimentando seus componentes apresentando assim variações
consideráveis de velocidade.
A maioria dos componentes mecânicos está sujeita há cargas que variam com o tempo
e, por tanto, têm características dinâmicas variadas. Assim, as análises dos problemas de
vibração tornam-se importantes em qualquer projeto ou avaliação mecânica, tornando-se vital
o seu entendimento físico e, conseqüentemente, o seu equacionamento. Estão inseridas nesta
classe de problemas: componentes mecânicos, estruturas, máquinas, navios, aviões,
automóveis, turbinas, eixos, e em geral qualquer parte que apresente um desempenho
mecânico.
Os movimentos vibratórios ou oscilatórios presentes nas máquinas, ou são movimentos
essenciais dos quais dependem o próprio funcionamento da máquina, ou são movimentos
perturbadores, isto é, trepidações prejudiciais que necessitamos eliminá-las ou pelo menos
reduzi-las a níveis aceitáveis. Esses níveis aceitáveis normalmente estão associados a questões
de segurança, como, por exemplo, à garantia de que não ocorrerá à falha em um componente
estrutural, ocasionada em alguns casos pelo fenômeno da fadiga, que se manifesta sob a ação
de cargas repetitivas na estrutura. As vibrações estão também associadas à questão de
conforto. (AVELINO; 2005)
18
O número de graus de liberdade de um sistema mecânico que tende a vibrar é o número
de componentes de deslocamento que são requeridos para localizar completamente todas as
massas constituintes do sistema.
Assim em estruturas reais a massa é sempre continuamente distribuída e o sistema é
composto por infinitas massas elementares. Portanto, qualquer estrutura real deve ser
considerada um sistema de infinitos graus de liberdade.
Sabemos que o sucesso obtido na elaboração de um modelo de cálculo está intimamente
relacionado à capacidade de entender a natureza física do fenômeno que pretendemos
representar. A identificação dos pontos relevantes do problema objeto de análise permite-nos
tecer hipóteses sobre o seu comportamento. O modelo físico surge em decorrência dessas
considerações, já o modelo matemático é conseqüência da aplicação de algumas leis ou
relações fundamentais ao modelo físico adotado, em análise dinâmica esse raciocínio é vital.
Quando aplicamos uma força externa em um sistema mecânico perturbando o seu
equilíbrio estável e, em seguida, removemos esta força, o sistema vibra em torno da sua
posição original de equilíbrio. As vibrações que o sistema experimenta após a remoção da
força externa perturbadora são chamadas de vibrações livres, pois não são mantidas por
nenhuma fonte excitadora externa ao sistema. Enfim, o sistema vibra livremente.
Na prática sob condições reais, as vibrações livres de um sistema mecânico não se
mantêm indefinidamente, elas desaparecem após algum tempo. Após alguns ciclos, o
movimento oscilatório tende a se extinguir em decorrência da perda da energia mecânica
devido à presença de resistências internas e externas, representadas pelos atritos internos e nos
suportes. Por tanto, os sistemas mecânicos estão sujeitos ao fenômeno de amortecimento.
Assim, na prática após abandonarmos o sistema, as vibrações serão livres e amortecidas.
Considerando inicialmente a vibração livre, a configuração deformada da estrutura
inteira durante a vibração varia com o tempo. Porém, o perfil deformado assumido na
19
vibração depende da condição inicial imposta no instante em que a força é removida.
Removendo a força perturbadora externa, em cada caso o modo de vibrar será diferente, isto
é, desde que as condições iniciais em que a viga é abandonada variem caso a caso, as
vibrações livres de um mesmo sistema podem assumir diversos perfis deformados diferentes.
(AVELINO; 2005)
Nessas condições surge o conceito de vibrações naturais. O nome natural está
relacionado ao fato de que os modos possíveis de vibrar de uma estrutura e as correspondentes
freqüências de vibração de cada modo dependem somente da natureza do sistema, isto é, dos
parâmetros inerentes a ele, tais como: a distribuição de massa, rigidez da estrutura nos seus
diversos pontos e as condições de apoio. (TIMOSHENKO; 1955)
A mecânica dos meios contínuos tem como preocupação básica o desenvolvimento de
modelos matemáticos que possam representar adequadamente a situação física real de
componentes industriais sujeitos à esforços mecânicos. Em análise estrutural, o objetivo pode
ser a determinação do campo de deslocamentos, as deformações internas ou as tensões
atuantes no sistema devido à aplicação de cargas, além de outros.
Porém, a aplicação de teorias a casos práticos apresenta dificuldades às vezes
intransponíveis. Por exemplo, na análise estrutural, a perfeita representação matemática de
carregamentos, geometria, condições de contorno, comportamento dos materiais etc., em
muitas situações, apresenta-se de forma complexa, havendo, assim, a necessidade de se
introduzir muitas hipóteses simplificadas do problema real, para permitir alguma forma de
modelagem matemática que conduza a soluções mais simples. Por outro lado, engenheiros
têm demonstrado um interesse crescente por estudos mais precisos para a análise de
estruturas. Este interesse vem unido a uma necessidade cada vez maior de se estudar o
comportamento de elementos estruturais complexos, o que conduz a tratamentos analíticos
20
mais elaborados, baseados em teorias gerais, e que são via de regra, de soluções
extremamente difíceis.
Desta forma, engenheiros têm procurado desenvolver e/ou aplicar métodos aproximados
que permitam aplicar os princípios daquelas teorias de forma acessível e precisa. Dentre estes
métodos, os que têm sido mais utilizados são aqueles baseados na divisão do meio contínuo
em partes mais simples como a estrutura, o fluido, o gás, etc.
O Método dos Elementos Finitos - MEF é seguramente o processo que mais tem sido
usado para a discretização de meios contínuos. A sua larga utilização se deve também ao fato
de poder ser aplicado, além dos problemas clássicos da mecânica estrutural elástico-linear
para os quais foi o método inicialmente desenvolvido, como também para problemas não
lineares, estáticos ou dinâmicos, mecânica dos sólidos, mecânica dos fluidos;
eletromagnetismo, transmissão de calor, filtração de meios porosos, campo elétrico e acústica.
Além disso, pode-se afirmar também que o MEF é muito utilizado face à analogia física
direta que se estabelece, com o seu emprego, entre o sistema físico real a estrutura em análise
e o modelo.
As limitações da mente humana são tais que o homem não consegue dominar
completamente o comportamento do complexo mundo que o cerca numa só operação global.
Por isso, uma forma natural de proceder dos engenheiros, cientistas e outros profissionais,
consistem em separar os sistemas em componentes básicos, ou seja, aplicar o processo de
análise do método científico de abordagem de problemas. Com essa operação, tem-se a
oportunidade de estudar o comportamento dos elementos como os mais simples e depois
sintetizar as soluções parciais para o estudo do sistema global. (JUN FONSECA; 2002)
A discretização de sistemas contínuos tem objetivos análogos aos acima descritos, ou
seja, divide-se o domínio também chamado de sistema em componentes cujas soluções são
mais simples e, depois, unem-se as soluções parciais para obter a solução do problema.
21
Em alguns casos essa subdivisão prossegue indefinidamente e o problema só pode ser
definido fazendo-se uso da definição matemática de infinitésimo. Isto conduz a equações
diferenciais, ou expressões equivalentes, com um número infinito de elementos.
Com a evolução dos computadores digitais, os problemas discretos podem ser
resolvidos geralmente sem dificuldades, mesmo que o número de elementos seja muito
elevado. Entretanto, como a capacidade dos computadores é finita, os problemas contínuos só
podem ser resolvidos de forma precisa com o uso da matemática.
A discretização de problemas contínuos tem sido abordada, ao longo dos anos, de forma
diferente por matemáticos e engenheiros. Os matemáticos têm desenvolvido técnicas gerais
aplicáveis diretamente a equações diferenciais que regem o problema, tais como:
aproximações por diferenças finitas, métodos de resíduos ponderados, técnicas aproximadas
para determinar pontos estacionários de funcionais. Os engenheiros procuram abordar
problemas mais intuitivamente, estabelecendo analogias entre os elementos discretos reais e
porções finitas de um domínio contínuo. (JUN FONSECA; 2002)
22
2.2 Introdução ao Estudo dos Fenômenos Vibratórios
Os métodos analíticos clássicos permitiam, a partir da solução das equações
diferenciais, calcular a resposta exata dos deslocamentos, deformações e tensões na estrutura
em todos os seus pontos, isto é, nos seus infinitivos pontos. Porém, essas soluções eram
válidas para um espectro limitado de aplicações. Apenas para sistemas de geometria simples,
com condições de carregamento e apoio muito bem comportados, são obtidas soluções exatas
para os problemas objeto de análise.
Essas dificuldades foram superadas por intermédio das técnicas de discretização de
sistemas contínuos. Ao tratarmos um sistema estrutural como um sistema discreto, calcula-se
somente os deslocamentos de alguns pontos da estrutura, que eram os “nós” do modelo.
Julga-se que o número de pontos discretos escolhidos era suficiente para representar o
deslocamento da estrutura inteira de forma aproximada e, como conseqüência, permitir o
cálculo das deformações e tensões na estrutura.
Entre os nós do modelo estavam os elementos finitos que descreviam trecho a trecho da
estrutura como as cargas caminhavam nela e, como esses elementos se deformavam ao
transportar essas cargas. A partir do conhecimento dos deslocamentos nodais eram calculadas,
por interpolação, os deslocamentos dentro dos elementos e, em seguida, as deformações. A
escolha de um dado tipo de tamanho de elemento finito que descrevia de forma adequada o
comportamento trecho a trecho de uma estrutura dependia do conhecimento da natureza física
do problema que nos propúnhamos a representar, bem como da formulação do elemento finito
escolhido, traduzida pela sua função de interpolação, que interpolava o campo de
deslocamento entre os nós.
Assim, surgiu a idéia que, a partir do entendimento do comportamento de cada
elemento, pudesse entender o funcionamento do conjunto, por mais complexo que pudesse
parecer.
23
Nessa idéia é fundamental o conceito de rigidez. A rigidez da estrutura depende de cada
um de seus elementos. Pode-se avaliar a rigidez da estrutura a partir de cada elemento.
Do ponto de vista prático, os softwares de Elementos Finitos oferecem-nos uma
biblioteca de elementos do programa, contendo diversos elementos, cada qual tentando
representar um diferente comportamento físico conhecido como Mecânica Estrutural (placas,
cascas, membranas, sólidos, vigas, etc.). Esse comportamento é descrito por intermédio de
funções matemáticas que em última análise contabilizam a rigidez daquele elemento
individual.
A forma mais compacta e elegante de representar essas características dos elementos no
computador é por intermédio da álgebra matricial. Sendo assim ocorreu o conceito de matriz
de rigidez de um elemento. Por tanto como a rigidez de uma mola é contabilizada por
intermédio da relação força-deslocamento para a mola, em um elemento finito a idéia é a
mesma, porém em caráter mais amplo, de sorte que os diversos componentes de força e
deslocamentos presentes. Tais forças justificam o equilíbrio de cada elemento do modelo ao
representar o diagrama de corpo livre dele. Essa idéia é relembrada na figura 4, onde a relação
entre forças e deslocamentos nodais no âmbito de um elemento é expressa pela matriz de
rigidez do elemento. (AVELINO; 2005)
24
Figura 4 - Diagrama de corpo livre para um elemento finito. (AVELINO; 2005)
Dispondo da biblioteca de elementos, o analista estrutural constrói um modelo adequado
da estrutura acessando essa biblioteca, desde que conheça como cada elemento trabalha. Ao
representar um determinado comportamento físico por intermédio de um modelo de análise, o
modelo proposto deve representar trecho a trecho o que ocorre na estrutura real. A rigidez de
cada trecho da estrutura é contabilizada pela matriz de rigidez do elemento escolhido para
representá-lo. A figura 5 identifica os passos principais efetuados na análise pelo método dos
elementos finitos. Assim, a partir da matriz de rigidez de cada elemento, o software monta a
matriz de rigidez da estrutura que em última análise contabiliza a rigidez da estrutura inteira.
Esse procedimento de montagem foi conseqüência prática da aplicação das equações de
equilíbrio e contabilidade, no âmbito de cada elemento e para toda estrutura.
25
Figura 5 – Passos principal efetuados na Análise pelo Método dos Elementos Finitos.
(AVELINO; 2005)
A partir do conhecimento das cargas atuantes na estrutura e da sua condição de apoio,
eram determinados os deslocamentos por intermédio da equação matricial (1).
(1)
{f} = [k]. {∆}
Enfim, definida a rigidez da estrutura por intermédio da sua matriz de rigidez [k],
definidas as condições de restrição da estrutura por intermédio das suas condições de apoio,
definido o carregamento atuante por intermédio da matriz {f}, o procedimento de solução
estava encaminhado.
A observação atenta e cuidadosa dos carregamentos atuantes na estrutura nos coloca
diante de novas condições de análise.
26
2.3 Cargas Estáticas
Os carregamentos considerados admitem que as cargas atuantes na estrutura agem
estaticamente. A estrutura é carregada lentamente até atingir a sua carga máxima e para
determinar-se a configuração deformada e as forças internas nos elementos. Assim, as cargas
são aplicadas tão lentamente na estrutura, e geram movimentos tão lentos nela, que em
qualquer instante a resposta pode ser calculada por uma análise estática. As deformações
resultantes na estrutura, associadas às forças aplicadas se desenvolvem também lentamente e
atingem seus valores máximos quando o carregamento externo também for máximo. É
importante notar que embora o carregamento varie com o tempo, em cada instante a resposta
pode ser calculada por intermédio de uma análise estática. É como se a estrutura, até chegar à
carga máxima, percorresse um trajeto que pudesse ser registrado como uma sucessão de
fotografias de problemas estáticos.
Os modelos estáticos de elementos finitos encarregam-se de determinar a resposta
estrutural ao longo de todos os elementos partindo da hipótese de que a condição deformada
era unicamente determinada a partir da contabilização da rigidez da estrutura. A ação das
cargas externas era internamente absorvida pelas forças elásticas que se manifestavam
decorrente da condição deformada da estrutura. Do ponto de vista de energia, a mesma seria
fornecida à estrutura por intermédio do carregamento externo era absorvida unicamente como
energia de deformação.
Há diversas situações práticas em que a hipótese anterior corresponde à situação real de
uso da estrutura. Ela fica submetida à ação de um carregamento que é invariável ao longo do
tempo, ou varia tão lentamente, que em cada instante é correto considera-lo estático, como
indica o exemplo da figura 6.
27
Figura 6 – Estrutura sob ação de Carregamento Externo Estático. (AVELINO; 2005)
2.4 Cargas Dinâmicas
Na prática existem diversas outras condições de utilização de uma estrutura, ou dos
componentes mecânicos em geral, nas quais a hipótese de adotar um simples modelo estático
de elementos finitos está muito longe de representar a realidade do problema de engenharia,
resultando em uma simplificação grosseira e os resultados, inadequados. É o caso das
estruturas que estão sujeitas aos carregamentos que variam com o tempo, chamados de
carregamentos dinâmicos. Esses carregamentos tiram a estrutura da sua condição de equilíbrio
estático. Ela se movimenta e seus componentes apresentam variações consideráveis de
velocidade, estando sujeitos, portanto, a vibrações.
Uma grande quantidade de aplicações em engenharia envolve componentes sujeitos a
essas cargas dinâmicas. Como vemos, sob a ação dessas cargas, as estruturas comportam-se
de modo bastante diferente do comportamento apresentado sob a ação de cargas estáticas. A
natureza das forças que se manifestam ao analisarmos o comportamento de cada trecho da
estrutura sob a ação de cargas dinâmicas merece um cuidadoso estudo. Assim, cargas
dinâmicas ocasionam acelerações nos elementos de uma estrutura, ou na estrutura inteira.
Essas acelerações estão associadas ás variações de velocidade que ocorrem na estrutura.
28
Como os elementos da estrutura têm massa, sob efeitos das acelerações presentes surgirão
forças de inércia nessas massas, de acordo com o princípio fundamental da dinâmica.
Efetuando-se o estudo de um trecho, por intermédio do seu diagrama de corpo livre,
essas forças de inércia que não estavam presentes na análise estática devem ser
contabilizadas. A presença de forças elásticas e forças de inércia geram a presença do
fenômeno de vibrações, que tem importante repercussão na maioria dos projetos mecânicos.
O mecanismo pelo quais os fenômenos das vibrações mecânicas se originam, como
equaciona-lo, será detalhado adiante. Ao estabelecermos os modelos discretizados em
elementos finitos para análise dinâmica, novas considerações devem ser efetuadas.
A maioria dos componentes mecânicos esta sujeita a cargas que variam com o tempo e,
portanto, têm características dinâmicas. Assim, a análise dos problemas de vibração torna-se
importante em qualquer projeto mecânico, tornando-se vital o seu entendimento físico e,
conseqüentemente, o seu equacionamento. Estão inseridos nesta classe de problemas: o
balanceamento de máquinas, vibrações torcionais de eixos, vibrações em componentes de
motores , vibrações em automóveis, vagões, navios, aviões e, em geral, em componentes
mecânicos e estruturas. Os movimentos vibratórios ou oscilatórios presentes nas máquinas, ou
são movimentos essenciais dos quais dependem o próprio funcionamento da máquina, ou são
movimentos perturbadores, isto é, trepidações prejudiciais, que necessitamos eliminá-las ou
pelo menos reduzi-las a níveis aceitáveis. Esses níveis aceitáveis normalmente estão
associados à questão de segurança, como, por exemplo, à garantia de que não ocorrerá falha
em um componente estrutural, ocasionada em alguns pelo fenômeno da fadiga, que se
manifesta sob ação de cargas repetitivas na estrutura. As vibrações estão também associadas à
questão de conforto.
29
Desde que o carregamento atuante na estrutura desempenha papel fundamental na
discussão até aqui efetuada, no item em seguinte faremos algumas considerações a respeito
dos tipos de cargas dinâmicas que serão objetos do nosso interesse. (AVELINO; 2005)
2.5 Tipos de Cargas Dinâmicas e Suas Respostas
As estruturas ou os componentes mecânicos podem estar sujeitos a toda sorte de
carregamentos durante a utilização. O projeto dos componentes deve considerar os
componentes medidos experimentalmente ou baseados em alguma relação empírica. Muitas
vezes, na impossibilidade de prever todos os possíveis carregamentos, surgem os
carregamentos de projeto. O objetivo deles e tentar envelopar as situações mais severas de
utilização da estrutura.
Na definição dos carregamentos de projeto, muitas vezes são idealizados em primeira
instância os máximos carregamentos a que um componente poderia estar sujeito durante a
vida. Usualmente, teste experimental em pistas severas, teste de fadiga em laboratórios,
carregamentos utilizados em componentes semelhantes, etc. São utilizados para auxiliar a
determinação dos carregamentos de projeto. Em alguns casos são efetuadas análises estáticas
com base em carregamentos máximos que a experiência tem demonstrado serem suficientes
para garantir um bom desempenho do produto, isto é, que ele não apresente falhas estruturais.
Porém, esta abordagem merece algumas críticas.
Os carregamentos de projetos baseados em análises estáticas muitas vezes são
conservadores, isto é, resultam em estruturas super-dimensionadas. Além disso, são incapazes
de prever adequadamente o comportamento dinâmico da estrutura, que pode falhar. Justifica-
se, então, a necessidade de se desenvolver muitos projetos segundo uma abordagem
verdadeiramente dinâmica, ou seja, devem-se contabilizar as forças de inércia presentes.
30
Assim, ao analisar ou projetar uma estrutura, é necessário ter uma idéia bastante clara da
natureza e intensidade das cargas aplicadas nela. É de fundamental importância então,
estabelecer a distinção entre carregamentos estáticos e dinâmicos. Além disso, o carregamento
dinâmico apresenta diversas particularidades que afetam a resposta estrutural do componente.
Existem diversos tipos diferentes de cargas dinâmicas, e a estratégia, a abordagem matemática
adequada para estabelecer a solução do problema dinâmico, passa pelo reconhecimento dessas
diferenças em cada aplicação prática. Essas particularidades são apresentadas a seguir, no
qual são introduzidos os conceitos de cargas cíclicas ou periódicas, cargas de impacto e
dinâmico geral. Dentro desta última classificação poderíamos considerar também as cargas
móveis.
Adicionalmente, em cada um dos casos é importante identificar como as informações
relativas aos carregamentos estão disponíveis, o que nos leva a classificá-los quanto ao
conhecimento que temos deles, ou seja, estabelecer a distinção entre o que chamamos de
carregamentos determinísticos e carregamentos aleatórios. (AVELINO; 2005)
2.6 Carregamentos Determinísticos
Cargas Cíclicas ou Periódicas
Repetem-se identicamente em intervalos de tempos iguais, ocasionando vibrações ou
oscilações na estrutura. Estão, portanto, genericamente, incluídas na classificação de
fenômenos periódicos. Cada intervalo de tempo que o fenômeno periódico se repete é
chamado de periódico T. A sucessão de fenômenos que se repetem em um período é chamada
de ciclo, portanto o período T representa a duração de um ciclo. A figura 7.a representa alguns
exemplos de cargas periódicas e o correspondente período T. Note que o gráfico do
carregamento periódico se repete após um período T.
31
Cargas Senoidais
São as cargas periódicas mais simples. A sua variação com o tempo é senoidal ou
também chamado de harmônica, como mostra a figura 7.b É importantíssimo o estudo do
comportamento de uma estrutura diante de um carregamento desse tipo. Qualquer
carregamento periódico e o conseqüente estudo do seu efeito na estrutura podem ser obtidos a
partir da superposição de carregamentos senoidais individuais.
Cargas Não Periódicas
Podem atuar durante um intervalo muito pequeno de tempo; as chamadas cargas
impulsivas ou cargas de impacto, como mostra a figura 7.c. Outros importantes casos são as
cargas de longa duração, também tratadas dentro do conceito de carregamento dinâmico geral,
como mostra a figura 7.d. O conhecimento do carregamento senoidal desempenha também
papel importantíssimo na resolução desta questão.
Figura 7 – Tipos de Cargas Dinâmicas. (AVELINO; 2005)
32
2.7 Carregamentos Aleatórios
Há diversas situações nas quais é impossível prever o valor instantâneo do carregamento
atuante em uma estrutura. Por exemplo, o registro das acelerações que atuam em um
componente durante um teste de campo e repetimos o mesmo teste diversas vezes, é
impossível, ou altamente improvável, que os valores instantâneos das acelerações registradas
experimentalmente coincidam ao comparar dois registros diferentes do mesmo teste. Não
podemos fazer o prognóstico do carregamento atuante num sentido determinístico. São os
casos dos terremotos, ondas oceânicas que solicitam os navios e as plataformas de petróleo
das funções do vento que afetam muitas estruturas e aeronaves, etc.
A observação do fenômeno por um longo tempo permite-nos tirar conclusões a respeito
de a probabilidade do carregamento assumir um dado resultado, e para alguns fenômenos,
identificar uma regularidade estatística. Esses carregamentos são, portanto chamados de
carregamentos aleatórios. A descrição dos fenômenos vibratórios aleatórios normalmente é
efetuada por intermédio da função de densidade espectral.
A abordagem da análise estrutura dinâmica será desenvolvida com a visão
determinística, até porque todos os fenômenos físicos explorados são fundamentais para um
posterior estudo dos fenômenos aleatórios, apenas que suportados por conceitos matemáticos
do estudo de probabilidade.
A resposta dinâmica de um problema estrutural dinâmico determinístico tem como
conseqüência, os deslocamentos, as deformações e as tensões variando com o tempo.
Normalmente, ao equacionar o carregamento atuante para sistemas lineares, é conveniente
separar os componentes estáticos e dinâmicos. O carregamento varia com o tempo da carga
aplicada, em função dos seus diferentes efeitos na estrutura. A partir da obtenção da resposta
de cada um deles, o efeito final na estrutura é obtido pela superposição dos dois efeitos
diferentes. O carregamento estático gera tensões constantes; o carregamento dinâmico gera
33
tensões variáveis com o tempo. Essa informação é importantíssima para o estudo da fadiga,
essa idéia apresentada na figura 8.
Características Essenciais:
O carregamento varia com o tempo;
A presença de força de inércia, a mais importante característica do problema
dinâmico.
Figura 8 – Tipos de Cargas e Tensões. (AVELINO; 2005)
No exemplo (a), o motor desligado é suportado pela viga. A condição se mantém
invariável com o tempo, a carga e a tensão são constantes. Se o motor apresentar
desbalanceamento serão geradas Forças Dinâmicas durante sua operação e o efeito isolado
delas, como mostra o exemplo (b) é introduzir vibrações na viga de apoio. No exemplo (c)
podemos observar que diante das Forças Dinâmicas geradas pela operação resultaram em uma
Carga Alternada na viga que estará sujeita ora a carga de compressão ora a carga de tração.
34
2.8 Graus de Liberdade de Um Sistema Mecânico
Em particular, nas aplicações da mecânica estrutural, os diversos componentes de
deslocamentos presentes e que definiam a condição deformada da estrutura eram tratados a
partir desse conceito. Nas aplicações da análise dinâmica, os deslocamentos variam com o
tempo e com a presença de forças de inércia. Essas particularidades levam-nos a considerar
alguns aspectos adicionais importantes ao definirmos o número de graus de liberdade de
sistema mecânico. De forma semelhante à análise estática, convém distinguir as diferenças
existentes entre sistemas contínuos e sistemas discretos.
2.8.1 Sistemas Contínuos
Todas as massas de um sistema contínuo que é forçado a vibrar, como a barra
representada na figura 9, está sujeita as forças de inércia. Ao focalizarmos apenas a um
elemento de interesse, nós o isolamos do resto do sistema por intermédio do seu diagrama de
corpo livre, representando a força de inércia nessa massa juntamente com os esforços trocados
com o resto da viga. Cada pequena massa dm está sujeita as forças de inércia. Como a
estrutura tem infinitas massas elementar dm, as forças de inércia presente em cada uma delas
devem ser contabilizadas, pois solicitarão a estrutura. Assim, é importante localiza-las. Daí a
importância do conceito de graus de liberdade na abordagem do problema dinâmico.
O pequeno elemento diferencial de comprimento dx e massa dm são localizados pela
coordenada x. Durante o movimento imposto à barra - a vibração forçada - esse elemento se
movimenta, e o afastamento da sua posição de equilíbrio – deslocamento - é dado por v, que
varia com o tempo de forma semelhante, este fenômeno ocorre para as outras massas dm da
barra, e também para a massa M concentrada em sua extremidade. A localização de cada
massa dm e o estudo de seu movimento são efetuados por intermédio do conceito de graus de
liberdade.
35
Fi
g
ura 9 – Vibra
ç
ão da barra.
(
AVELINO
;
2005
)
O número de graus de liberdade de um sistema mecânico é o número de componentes
de deslocamentos que são requeridos para localizar completamente todas as massas
constituintes do sistema.
No exemplo da figura 9 existem infinitos trechos dx e infinitas massas dm, cada uma
localizada pela sua coordenada x. Tem-se, portanto, infinitas posições v e ângulos dados pelas
infinitas coordenadas x, e como conseqüência, infinitos graus de liberdade.
Nas estruturas reais a massa é sempre continuamente distribuída e o sistema é composto
por infinitas massas elementares. Portanto, qualquer estrutura real deve ser considerada um
sistema de infinitos graus de liberdade.
Na figura 10, o movimento vibratório do elemento diferencial de comprimento dx, ou
seja, o seu equilíbrio dinâmico representa o carregamento dinâmico externo F(t) nesse trecho
e as forças que são trocadas com o resto da viga, fazendo um diagrama de corpo livre do
elemento diferencial. Neste caso, a força de inércia estará também presente. É importante
observar que mais um tipo de força está presente. Essas equações envolvem termos
diferenciais e não apenas relações diretas entre grandezas, e são, portanto, equações
diferenciais, e para resolvê-las teremos que executar a um processo de integração.
36
Para exemplos simples desse tipo, a solução da equação diferencial, embora bastante
trabalhosa, é possível por procedimento analítico exato, que em última análise contabiliza o
efeito dos infinitos elementos diferenciais submetidos à ação dinâmica. Em resumo, a partir
do entendimento do comportamento dinâmico de um elemento diferencial, é possível entender
o comportamento dinâmico da viga inteira. No estudo das vibrações mecânicas, a solução
analítica permite determinar a movimento v de cada ponto da viga definido pela coordenada
x, em função do tempo t.
Figura 10 – Movimento vibratório do elemento diferencial da viga. (AVELINO; 2005)
A partir do entendimento do equilíbrio dinâmico de um elemento diferencial da viga,
pode-se entender o comportamento dinâmico da viga inteira, em seus infinitos pontos. Para
cada ponto de coordenada x, pode-se determinar o correspondente deslocamento, velocidade e
aceleração desse ponto ao longo do tempo. A solução analítica deste problema é obtida a
partir da solução da equação diferencial parcial, em que as variáveis são as posições do ponto,
dada por x, e o tempo t. Apenas para alguns sistemas de geometria e carregamento dinâmicos
bem estáveis são disponíveis as soluções exatas.
Essas equações são mais complicadas que aquelas que traduzem o comportamento
estático de sistemas contínuos, pois o deslocamento v, além de depender de x, depende
também do tempo t. São equações diferenciais parciais.
Os métodos analíticos clássicos permitem o cálculo da resposta exata dos
deslocamentos, acelerações e tensões na estrutura em todos os pontos dela ao longo do tempo,
37
isto é, nos seus infinitos pontos para todos os instantes, porém estas soluções são somente
conhecidas para alguns casos, que fogem da maioria das aplicações praticas que encontramos
no dia-a-dia.
Seria interessante desenvolverem-se procedimentos aproximados, que pudessem ser
aplicados em caráter geral, independente da forma de estrutura e da condição de
carregamento, dentro da precisão aceitável do problema de engenharia esse caminho
alternativo aos procedimentos analíticos clássicos e que dera origem ao método dos elementos
finitos nas aplicações da analise estrutural dinâmica.
2.8.2 Sistemas Discretos
O estudo do comportamento dinâmico de um componente mecânico ou estrutura pode
ser efetuado considerando-o um sistema discreto as considerações a respeito da simulação da
estrutura como uma montagem de elementos finitos, ou seja, que tem um comprimento finito,
e não diferencial.
A abordagem dinâmica deve considerar a presença de forças de inércia que se
manifestam nas massas distribuídas na estrutura os modelos discretizados devem considerar,
portanto,as massas da estrutura também. As hipóteses segundo as quais as massas serão
consideradas no modelo discreto afetarão como conseqüência a contabilização das forças de
inércia que são aplicadas nelas, e somente nelas.
A idéia inicial seria considerar a massa total da estrutura somente nos nós do modelo,
como é representado na figura 11 embora na estrutura real essa massa seja distribuída
continuamente, neste modelo à representação da massa é feita de forma discretas nos nós. A
conseqüência é que somente nesses pontos nos nós as forças de inércia serão contabilizadas.
No modelo discretizado na figura 11, não se pretende estudar o comportamento
dinâmico dos infinitos pontos da viga, como no caso contínuo. Estando a viga submetida a um
38
movimento vibratório, em uma primeira instância são calculados somente os deslocamentos,
as velocidades e acelerações de alguns pontos, que são os nós do modelo. Julgamos que o
número de pontos discretos escolhidos é suficiente para representar a configuração deformada
da estrutura inteira em cada instante do seu movimento de forma aproximada.
O modo pelo qual a estrutura se comporta entre os nós do modelo, levando-se em conta
a presença das forças de inércia depende das propriedades atribuídas ao elemento escolhido.
As hipóteses quanto à representação das massas da estrutura podem ser melhoradas, podendo-
se contabilizar também as massas dos elementos finitos que trabalham entre os nós do
modelo. Assim, a partir do conhecimento dos deslocamentos nodais poderemos calcular os
deslocamentos dentro dos elementos. Na abordagem dinâmica essa idéia é expandida: a partir
do conhecimento das acelerações nodais podemos, por interpolação, calcular as acelerações
dentro dos elementos e, como conseqüência, as forças de inércia.
A idéia da discretização de um sistema contínuo para propósitos de resolução dos
problemas dinâmicos está então em primeira instância alicerçada em dois conceitos chaves:
rigidez e inércia. A utilização adequada desses dois conceitos físicos no âmbito da estrutura
permite atender o fenômeno que ocorre em cada grau de liberdade do modelo estrutura sob
ação dinâmica. Este é o primeiro passo para o conseqüente tratamento matemático de
problema dinâmico.
No modelo contínuo a solução é obtida para os infinitos pontos localizados por
intermédio da coordenada x de cada ponto. No modelo discreto, em primeira instância é
determinado o comportamento apenas dos nós do modelo, sendo assim dentro desta primeira
abordagem as massas estão concentradas nos nós.
39
Figura 11 – Estrutura real e os Modelos para estudo dinâmico. AVELINO; 2005.
2.9 Modelo Físico do Problema Dinâmico
O sucesso obtido na elaboração de um modelo de cálculo está intimamente relacionado
à capacidade de entender a natureza física do fenômeno que pretendemos representar. A
identificação dos pontos relevantes do problema objeto de análise permite-nos tecer hipóteses
sobre o seu comportamento. O modelo matemático é conseqüência da aplicação de algumas
leis ou relações fundamentais ao modelo físico adotado. Na análise dinâmica esse raciocínio é
diferente.
Em adição aos conceitos de rigidez estabelecidos no método dos elementos finitos, foi
introduzida no modelo representado na figura 11 a distribuição de massa da estrutura. Ela
representa as propriedades de inércia do sistema, segundo as hipóteses adotadas.
Este é o primeiro passo para o entendimento do fenômeno físico dinâmico que ocorre
em cada ponto discretos do modelo e, como conseqüência, a elaboração do modelo físico
adequado para representá-lo. A aplicação de algumas leis fundamentais pertinentes ao estudo
da dinâmica resulta no modelo matemático dinâmico.
40
2.10 Rigidez e Massa no Modelo Dinâmico
O conceito de rigidez desempenha um papel chave na discretização de problemas
estruturais. O elemento de mola foi o primeiro abordado nas técnicas a respeito do método
dos elementos finitos. A importância do estudo desse elemento se estendeu além da
representação das molas em si como um componente mecânico, como por exemplo, nas
suspensões dos veículos. O seu estudo permitiu estabelecer algumas conclusões gerais em
relação ao significado físico do conceito de rigidez em qualquer modelo de analise.
Para um ponto da estrutura diversos componentes de rigidez, são representadas no caso
mais geral como molas translacionais e rotacionais. Desta forma, o estudo do elemento de
mola é muito mais geral e extrapola o âmbito de uma mola isolada em um modelo de
elementos finitos. Ao estudá-lo, estaremos montando uma base matemática para contabilizar a
rigidez de todos os pontos da estrutura, por intermédio da rigidez atribuída aos pontos nodais.
Poderíamos dizer de forma simplificada que o modelo discretizado da estrutura é um imenso
mar de molas que contabiliza ponto a ponto nodal a rigidez da estrutura.
A figura 12.a representa uma viga, em cujo ponto extremo é aplicada uma força que
provoca nesse ponto um deslocamento. A figura 12.b ilustra a mesma situação, porém com as
possibilidades de aplicação de todos os tipos de esforços que provocam deslocamentos
translacionais. O modelo físico que representa a rigidez em um ponto numa dada direção
considera uma mola que contabiliza essa rigidez por intermédio do coeficiente de rigidez ou
constante elástica da mola.
Considerando que na extremidade da viga da figura 12.c esteja fixado um corpo de
massa M muito maior que a massa própria da viga. Um modelo físico que representa o
comportamento desse ponto da estrutura, no seu movimento horizontal, considera, portanto, a
massa na qual serão contabilizadas as forças de inércia, e a mola, que considera a rigidez por
intermédio da constante elástica k e na qual são contabilizadas as forças elásticas.
41
Por tanto, do ponto de vista físico, o estudo do sistema corpo-mola ou massa-mola
permite-nos entender o que ocorre com o corpo preso à extremidade da viga. Por exemplo,
afastado da posição de equilíbrio, o corpo tenderá a vibrar.
Em uma primeira instância, o estudo do movimento de cada ponto nodal deve
considerar a rigidez desse ponto, e a massa discretizado nele. Ou seja, o modelo discretizado
da estrutura para propósitos da análise dinâmica deve considerar inúmeros sistemas massa-
mola, que contabilizam em cada região da estrutura a rigidez e a massa de forma discretizado.
Evidentemente, os movimentos de cada ponto dotados de rigidez e inércia estão amarrados ou
acoplados uns aos outros.
Assim, ao estudar o comportamento dinâmico de cada grau de liberdade da estrutura é
estudar o sistema massa-mola que o representa. Esta será a base para a montagem do
problema dinâmico de toda a estrutura.
42
Fi
g
ura 12 – Casos exibindo ri
g
idez massa-mola.
(
AVELINO
;
2005
)
Na figura acima em a e b as molas representam a rigidez da viga em sua extremidade
nas direções consideradas. Os coeficientes de rigidez k, expresso pelas constantes elásticas
contabilizam essa rigidez. Em c, quando a massa M é retirada da posição de equilíbrio, ela
tem a tendência de retornar à posição original. Estudo do comportamento dessa massa pode
ser desenvolvido considerando um modelo que incorpora a mola de constante elástica k e a
massa M. Esse modelo permite considerar as forças elásticas e as forças de inércia associadas
43
ao movimento do ponto extremo da estrutura. Em d, é introduzida a idéia que nos diversos
graus de liberdade temos rigidez e massa e, portanto, diversos sistemas massa-mola as
representam.
2.11 Tipos de Vibração – Modelos
Aplicando uma força externa a um sistema mecânico perturbando o seu equilíbrio
estático estável e, em seguida, removemos esta força, como representa a figura 13.a, o sistema
vibra em torno da sua posição original de equilíbrio. As vibrações que o sistema experimenta
após a remoção da força externa perturbadora são chamadas de vibrações livres, pois não são
mantidas por nenhuma fonte excitadora externa ao sistema. Enfim, o sistema vibra livremente.
Na prática, sob condições reais, as vibrações livres de um sistema mecânico não se
mantêm indefinidamente, elas desaparecem após algum tempo. Após alguns ciclos, o
movimento oscilatório tende a se extinguir em decorrência da perda de energia mecânica
devido à presença de resistências internas e externas, representadas pelos atritos internos e nos
suportes. Enfim, os sistemas mecânicos estão sujeitos ao fenômeno de amortecimento. Assim,
na prática, após abandonarmos o sistema, as vibrações serão livres e amortecidas.
Diversos tipos de amortecimento podem estar presentes em um sistema mecânico. Um
caso bastante importante trata-se do chamado amortecimento viscoso. Todos os fluídos
possuem em maior ou menor intensidade a propriedade conhecida como viscosidade. Por
exemplo, quando a superfície do casco de um navio se movimenta na água, origina-se uma
resistência ao movimento do casco, que é chamada de resistência viscosa ou resistência de
atrito.
A figura 13.b representa o movimento de um disco dentro de um líquido. Neste
exemplo, manifestam-se forças de amortecimento viscoso que dificultam o movimento do
disco. É o caso típico de um amortecedor. Da mecânica dos fluídos as forças de
44
amortecimento viscoso são proporcionais à velocidade v com que o corpo se desloca no
fluído, e o se sentido é contrário a ela onde:
Existem outros tipos de forças amortecedoras, como atrito molecular interno, o atrito
seco ou atrito de Coulomb. O amortecimento viscoso, representando pelo amortecedor,
permite obter soluções matemáticas tratáveis. Por outro lado, o tratamento matemático do
atrito de Coulomb é bastante complexo.
Em particular, nas aplicações de vibrações em estruturas, manifesta-se o amortecimento
sólido ou amortecimento estrutural. O efeito dele é retirar energia do sistema. Como via de
regra interessa equacionar a energia perdida por ciclo do movimento oscilatório, considera-se
no estudo das vibrações estruturais um amortecimento viscoso equivalente, que corresponda a
mesma energia dissipada por ciclo que movimento amortecido não viscoso. Isto permitirá
obter soluções tratáveis matematicamente, sem grandes dificuldades. Esses modelos de
sistemas mecânicos amortecidos têm conduzido a resultados adequados nas aplicações
práticas.
Assim, na figura 13.c o sistema de um grau de liberdade representado constitui um
modelo físico que representa a vibração livre amortecida da massa na extremidade da viga. A
massa M do sistema corpo-mola contabiliza a inércia presente. A mola k do sistema
contabiliza a rigidez naquele ponto em que a massa está fixada. O amortecedor c,
simbolicamente ali colocado, representa o mecanismo que permite contabilizar a perda de
energia do sistema em seu movimento vibratório.
Se uma força excitadora externa atuar ao longo do tempo na massa M, como mostra a
figura 13.d, à representação do fenômeno físico pode ser efetuada com o modelo de um grau
de liberdade completo: massa, mola, amortecedor de força externa. Temos então, o
equacionamento das vibrações forçadas da massa M com a presença de amortecimento.
45
O movimento forçado de massa M, segundo a direção horizontal, é representado por um
sistema de um grau de liberdade, considerando a massa ali contabilizada, a rigidez naquele
ponto nessa direção, o amortecimento presente e a força externa que excita a massa.
Se o interesse for a estudar não apenas o movimento da massa na extremidade da viga,
mas o comportamento dinâmico dos diversos pontos discretos do modelo que representam à
estrutura inteira terá um sistema com vários graus de liberdade. Podendo estudar também para
esse sistema as vibrações livres e as vibrações forçadas.
Figura 13 – Estudo das Vibrações de Massa M. (AVELINO; 2005)
O estudo das vibrações de massa M da estrutura, representada por intermédio do sistema
corpo, mola e amortecedor conforme a figura 13, em condições ideais sem a presença de
atritos, a massa acoplada à viga e retirada de sua posição de equilíbrio, apresentaria vibrações
sem perdas de energia. As vibrações se manteriam indefinidamente. Porém, na prática, a
46
energia é dissipada. O amortecimento presente é representado pelo amortecedor c. Se a massa
M está sujeita a uma força excitadora externa, o modelo físico que descreve o comportamento
do ponto extremo da viga considera a massa M, a mola k, o amortecedor c e a força
excitadora externa F(t) variável com o tempo. O estudo do sistema massa-amortecedor e força
permitem equacionar o movimento da massa M na direção horizontal.
Considerando inicialmente a vibração livre, a configuração deformada da estrutura
inteira durante a vibração varia com o tempo. Porém, o perfil deformado assumido na
vibração depende da condição inicial imposta no instante em que força é removida. A figura
14 representa uma viga apoiada nas suas extremidades, em diversas condições iniciais
diferentes de deformação foram impostas. Removendo a força perturbadora externa, em cada
caso o modo de vibrar será diferente, isto é, desde que as condições iniciais em que a viga é
abandonada variem caso a caso, as vibrações livres de um mesmo sistema podem assumir
diversos perfis deformados diferentes.
Nessas condições surge o conceito vibrações naturais. O nome natural está relacionado
ao fato de que os modos possíveis de vibrar de uma estrutura e as correspondentes freqüências
de vibração de cada modo dependem somente da natureza do sistema, isto é, dos parâmetros
inerentes a ele, tais como: a distribuição de massa a rigidez da estrutura nos seus diversos
pontos e as condições de apoio.
É interessante que um sistema discreto com graus de liberdade apresenta n modos
possíveis naturais de vibração e a cada um desses modos associamos uma freqüência de
vibração. Sob condições reais, as vibrações livres de uma estrutura são amortecidas, porque
uma apreciável quantidade de energia é dissipada durante a vibração. Identifica-se também
que a rapidez com essa perda de energia se processa, ou seja, a intensidade do amortecimento
presente depende do modo de vibração. Assim, cada modo natural de vibração tem
amortecimento diferente do outro.
47
Cada intervalo de tempo que o fenômeno periódico se repete é chamado de período (T).
É interessante observar que em muitos casos práticos o período gasto para efetuar uma
vibração ou a oscilação completa é muito pequeno, muito menor que a unidade de tempo mais
utilizada nas aplicações (o segundo s no sistema internacional – SI). Então, é conveniente
muitas vezes, por necessidade de clareza e compreensão física do fenômeno, referir-se ao
número de vibrações ou ciclos que ocorrem na unidade de tempo, por exemplo, quantas
oscilações ocorrem em um segundo. Essa grandeza é denominada freqüência (f) do
movimento oscilatório.
É possível perceber de forma simplificada que o modelo discretizado da estrutura para
propósito dos estudos da análise dinâmica é um imenso mar de molas, massas e
amortecedores que contabilizam ponto a ponto nodal a rigidez da estrutura, a massa associada
e o amortecimento presente sob ação das forças que solicitam a estrutura, deveremos
responder qual é o comportamento dela. Para isso devemos entender o que ocorre em cada nó,
ou mais propriamente, em cada grau de liberdade da estrutura. Seria então desnecessário dizer
que para iniciar qualquer estudo de análise dinâmica é fundamental conhecer com todos os
detalhes o equacionamento do sistema massa, mola, amortecedor e força para o sistema de um
grau de liberdade, pois retrata o que ocorre em cada grau de liberdade da estrutura.
48
Figura 14 – Modos de Vibração Natural. (AVELINO; 2005)
2.12 Autovalores e Autovetores (Modos de Vibrar)
Nos casos mais gerais de aplicação do método dos elementos finitos, que consideram
modelos com um grande número de graus de liberdade, não existem fórmulas explícitas para
cálculo das raízes do polinômio (2):
p(λ)= det ([K]- λ.[M]) (2)
Quando a ordem do polinômio característico é maior que 4.
49
Existem, como alternativas, uma variedade de métodos de solução do problema de
autovalor e autovetor para grandes sistemas e as correspondentes estratégias de
implementação computacional, que estão disponíveis na literatura.
É importante ter em mente que todos esses métodos, em função da limitação
mencionada anteriormente, devem ser iterativos por natureza. Resolvendo iterativamente o
problema (3), estamos de forma equivalente resolvendo as raízes do polinômio p(λ).
[K].{Φ}= λ.[M].{Φ} (3)
Nos problemas de grande porte, o processo iterativo estará presente, mas devido à
dimensão do problema, antes de iniciar a iteração, é costume transformar as matrizes [K] e
[M] em uma forma mais econômica de solução, de modo que a solução do problema de
autovalor e autovetor sejam menos trabalhosas.
Na análise da estruturas pelo método dos elementos finitos é resolvido um sistema de
equações que descreve a resposta dinâmica da estrutura em termos do movimento de um
número finito de nós.
Dois diferentes métodos estão presentes na resolução das equações dinâmicas do
movimento, que são classificados como:
Integração direta, a partir de um procedimento direto de integração passo a passo;
Superposição modal, efetuada a partir da extração dos modos naturais de vibração
da estrutura e respectivas freqüências.
Em uma possível implementação computacional, existe disponível uma variedade de
métodos numéricos que se prestam à extração dos autovalores (freqüências) e autovetores
(modos de vibrar). Os softwares de elementos finitos são usualmente desenvolvidos para
resolver o cálculo de modos e freqüências sem a presença de amortecimento, e utilizam esses
resultados para efetuar a resposta dinâmica na presença de amortecimento. Esta hipótese é
razoável, pois o amortecimento estrutural é normalmente bastante pequeno.
50
Um aspecto que merece observação é o esforço desenvolvido no sentido de implementar
técnicas que resolvam eficientemente os problemas de autovalores e autovetores para sistemas
estruturais de grande dimensão. Os softwares de elementos finitos oferecem uma ou mais
dessas técnicas que recebem o título de métodos de redução dinâmica.
Os modelos em elementos finitos com que trabalhamos no dia-a-dia podem apresentar
milhares de graus de liberdade. Não é viável para esses sistemas extrair todas as freqüências
naturais. É prática comum trabalhar no cálculo da resposta dinâmica com um reduzido
número de freqüências, cobrindo a faixa de freqüências da força de excitação.
Entre os métodos de redução dinâmica, que podem ser aprofundados usando a
implementação computacional do método de elementos finitos, podemos citar: redução
cinemática, síntese modal, iteração simultânea de vetores, iteração por subespaço e método de
Lanczos.
O método de redução cinemática mais popular. A idéia central desse método, é que a
massa da estrutura pode ser considerada concentrada somente em alguns graus de liberdade
determinados, sem afetar substancialmente as freqüências e modos de vibrar que são objetos
de cálculo. Ao colocara massas em alguns graus de liberdade limitados, as equações
dinâmicas são reduzidas, pois só serão contabilizadas forças de inércia onde há massa,
reduzindo, portanto, o tamanho do problema dinâmico, tornando-o menos trabalhoso e com
menos equações. Normalmente os graus de liberdade escolhidos para colocar as massas e
utilizados para cálculo dos modos são chamados de graus de liberdade máster. Os demais
graus de liberdade, colocados fora das equações dinâmicas, são chamados de graus de
liberdade escravos slaves. O movimento desses graus de liberdade está amarrado ou constrito
aos graus masters por meio de equações constraint equation.
Assim, a redução cinemática baseia-se na simples relação estática elástica entre os graus
de liberdade escravos e máster. Essa relação propõe que os graus de liberdade escravos se
51
deslocam guardando a mesma relação estática com os graus de liberdade máster,
independentemente das forças de inércia que são geradas nos graus escravos na realidade. A
redução cinemática é uma maneira de reduzir o tamanho do problema de autovalor. A
precisão do método depende da iniciativa do usuário ao escolher os graus de liberdade máster.
O método de iteração por subespaço tem algumas características semelhantes ao do
método de redução dinâmica. É feita também a iteração de vetores a partir de um proposto
inicialmente, e que seja a melhor alternativa atribuída ao modo de vibrar. Vendo que a partir
de um vetor inicial obtém-se a convergência para um determinado modo de vibrar. No caso da
iteração por subespaço parte-se inicialmente de vários vetores e a convergência é feita
simultaneamente para os diversos modos de vibração desejados.
2.13 Análise de Modos e Freqüências Naturais de Vibração
O controle de vibração em elementos mecânico pode ser abordado em termos de análise
preventiva com base em um critério de ressonância e, posteriormente, na avaliação da
resposta dinâmica par um carregamento dinâmico conhecido.
Ao proceder a análise de modos de freqüências de um componente ou de um sistema
constituído de diversos componentes, os resultados obtidos a partir das suas características
próprias da rigidez e inércia permitem estabelecer quais freqüências de excitação poderiam
ser perigosas na operação do sistema.
Em resumo, deve-se evitar a coincidência entre freqüências de excitação e freqüências
naturais do sistema analisado. Esta situação é bastante clara no caso de sistemas que são
excitadas por carregamentos em que há uma ou algumas freqüências de excitação
predominantes e de considerável energia.
Em geral, para o caso dos componentes mecânicos objetos de análises, a discretização
pelo método dos elementos finitos considera um número bastante grande de graus de
52
liberdade, e são determinadas diversas freqüências naturais e os correspondentes modos de
vibrar.
Os componentes mecânicos em geral são excitados por carregamentos não-uniformes,
que podem ser desde um simples carregamento senoidal a uma excitação de vários
harmônicos. Assim, é praticamente impossível evitar que nenhuma freqüência natural
coincida com nenhuma freqüência de excitação.
Algumas freqüências de excitação em confronto com algumas freqüências naturais da
estrutura tornam-se problemáticas.
Assim, em uma primeira análise, convém ressaltar os seguintes pontos que caracterizam
os problemas vibratórios, e que serviriam como roteiro para tomada de decisões no processo
de análise de resultados:
Excessivas amplitudes de vibração são causas de problemas estruturais;
As amplitudes de vibração tornam-se excessivas paras as freqüências de
ressonância, ou faixas críticas de freqüência. Em adição, deve-se considerar que os
harmônicos mais baixos da excitação são os de maiores amplitudes;
Freqüências críticas ou ressonantes são atingidas quando se igualam a uma das
freqüências naturais da estrutura;
A capacidade de amortecimento limita a amplitude na faixa de ressonância. Em
adição, deve-se considerar que os modos mais altos (de maiores freqüências
naturais) da estrutura são mais amortecidos.
Em função das observações anteriores, a solução conceitual do problema de vibração,
considerando inicialmente a abordagem preventiva, dentro apenas do escopo da análise de
modos e freqüências naturais da estrutura dos componentes ou do conjunto, conduz ao
seguinte critério de ressonância:
53
Deve-se evitar a coincidência entre as freqüências de excitação mais perigosas e as
freqüências naturais;
Em muitos casos práticos estruturais em que a excitação é constituída de diversos
harmônicos, as faixas mais perigosas de operação situam-se entre os primeiros
modos de vibrar de baixa ordem da estrutura de cada um dos componentes
analisados e os harmônicos de mais baixa ordem de excitação. Nos casos mais
gerais, a necessidade de uma análise dinâmica a partir do conhecimento das
excitações pode tornar-se fundamental, transcendendo o escopo de uma análise
meramente preventiva;
Em se tratando de modos de deformação elástica, deve-se manter a freqüência de
excitação em valores baixos, ao comparar com as freqüências naturais, ou seja,
elevar asa freqüências naturais de cada um dos componentes, de modo geral.
Com base nas colocações anteriores, são estabelecidas as condições para efetuar a
análise pelo método dos elementos finitos, que permitiria efetuar as alterações na estrutura
dos componentes analisados, a partir dos resultados de modos e freqüências. Algumas
informações são importantes:
Conhecimento do comportamento estrutural desejado, e formulado por intermédio
de um critério de projeto. É importante estabelecer neste estágio as freqüências que
são consideradas críticas para o componente, estabelecidas a partir do conhecimento
da sua condição de operação e do sistema ao qual agregado;
Conhecimento das propriedades dos materiais constituintes da estrutura do
componente;
Características dos elementos finitos envolvidos na análise.
54
2.14 Análise de Vibrações Forçadas
A partir dos valores determinados de modos e freqüências naturais de vibração do
componente em estudo, e de posse do carregamento medido em testes efetuados em campo ou
formulado pelo critério de projeto, poder-se-ia proceder à análise de vibrações forçadas no
componente, de modo avaliar a sua resposta dinâmica e fornecer subsídios para uma avaliação
da vida em fadiga do componente em estudo, bem como analisar possíveis amplificações
dinâmicas. É importante nesta tarefa:
Definição da excitação no componente objeto de análise na forma de forças
variáveis aplicadas, bem como acelerações ou deslocamentos impostos à estrutura;
Definição do amortecimento presente no sistema para cada modo de vibrar por
intermédio do fator de amortecimento.;
Avaliação da resposta dinâmicas-tensões e deslocamentos.
55
3 – PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
O código computacional utilizado pelo ANSYS usa a técnica baseada em volume de
controle, para converter as equações que governam o fenômeno em estudo em equações
algébricas a serem resolvidas através de métodos numéricos.
A técnica de volume de controle consiste da integração das equações em cada volume,
conduzindo a equações discretas que conservam cada uma das quantidades em cada volume.
Estas equações discretas conduzem a um sistema de equações lineares, cuja única solução é
obtida por meio de métodos numéricos.
Os resultados numéricos obtidos utilizaram elementos tetraédricos com razão de aspecto
global em torno de dezesseis. O número de elementos utilizados foi na faixa de cem mil.
A solução completa para o caso simulado foi alcançada quando os resíduos dos
parâmetros estruturais atingiram valores menores do que 10
-5
.
O objetivo destas simulações foi à obtenção dos modos naturais de vibração das
estruturas consideradas, para verificação da ocorrência de ressonância e determinar os locais e
forma de adoção de solução. Deste modo, a máquina de fabricação de celulose terá sua
operação realizada com sucesso, dentro da faixa de velocidades almejada.
A ocorrência de ressonância no processo de transporte de folhas de celulose deve ser
verificada a partir do modelamento teórico da dinâmica das roldanas que pressionam tais
placas e vigas associadas, durante os respectivos deslocamentos.
A determinação dos modos normais de vibração do conjunto estrutural é salientada na
parte de resultados numéricos. Na secção de resultados teóricos será tratado o modelamento
teórico utilizado como apoio aos resultados numéricos e experimentais. Em resultados
experimentais enfatiza os ensaios e resultados experimentais associados. O resultado obtido
sintetiza os resultados obtidos e propõe a solução a ser adotada.
56
3.1 Validação Teórica do Modelo Simulado no Código Computacional
A base do trabalho presente é utilizar-se da tecnologia computacional especificamente
na área de vibração usando técnicas disponíveis e acessíveis para soluções práticas industriais.
Tal fato só terá validade se toda a teoria aqui mencionada e estudada for comprovada no
modelo computacional que é a ferramenta usada neste trabalho.
A seguir será apresentado um caso de viga simples com três soluções diferentes, mas
com seus resultados bem próximos sendo que em alguns modos idênticos, ou seja,
determinado componente mecânico de dimensões e características conhecidas será analisado
conforme duas literaturas diferentes e independentes no que diz respeito à vibração e no
terceiro momento no modelo computacional.
Descrição das características do componente mecânico e das condições de contorno:
Viga de perfil quadrado não vazada;
Material em Aço Carbono SAE 1045;
Estrutura bi-engastada nas extremidades;
Dimensões em (7,54 x 0,20 x 0,20) metros;
Modulo de Elasticidade: 2x10
11
N/m
2
;
Densidade: 7,87x10
3
Kg/m
3
;
Massa: 2.373,59 kg;
Momento de Inércia: 1,33x10
-4
m
4
;
Massa / Unidade de Comprimento: 314,80 kg/m;
Software ANSY 9.0 – WORKBENCH;
Elementos: Quadratic Hexahedron (melhor aproximação obtida em relação aos
cálculos teóricos);
Quantidade de Elementos usados: 855
57
Primeira Simulação Teórica
Conforme “Dynamic of Structures”; (Hartog; 1956) para determinar os diferentes
modos de vibração natural para vigas bi-engastada temos a seguinte fórmula:
()
4
2
ml
n
ΕΙ
= l
βω
η
()
730,41 defatorumtemospara
=
η
β
η
l
()
996,103 defatorumtemospara
=
η
β
η
l
()
853,72 defatorumtemospara
=
η
β
η
l
()
π
η
ηβ
η
2
12
3
+
> defatorumtemosparal
(4)
Onde:
AngularVelocidade=
ω
VibraçãodeModos=
η
deElasticidadeModuloE =
InérciadeMomentoI =
ocomprimentdeunidadeporMassam =
oCompriment=
l
58
Segunda Simulação Teórica
Conforme “Mechanical Vibrations” (HURTY, 1964) para determinar os diferentes
modos de vibração natural para vigas bi-engastada temos a seguinte fórmula:
()
4
1
l
a
μ
ω
ηη
ΕΙ
=
(
)
(5)
221 defatorumtemospara =a
η
η
(
)
7,612 defatorumtemosparaa =
η
η
(
)
1213 defatorumtemosparaa =
η
η
(
)
2004 defatorumtemosparaa =
η
η
(
)
2,2984 defatorumtemosparaa =
η
η
Onde:
= AngularVelocidade
ω
=
η
VibraçãodeModos
deElasticidadeModuloE
InérciadeMomentoI =
ocomprimentdeunidadeporMassa=
1
=
μ
oComprimentl =
59
Simulação Computacional
Usando o Modelo Computacional criado no ANSYS 9.0 WORKBENCH determinou-se
os seis (06) primeiros modos de vibração natural da viga. As figuras 15 e 16 exibem a viga
modelada, as malhas inseridas e as fixações nas extremidades.
Figura 15 – Viga Modelada no ANSYS 9.0 em dimensões reais e com malha de contorno
Figura 16 – Detalhe dos suportes fixos nas extremidades da viga
60
Figura 17 – Primeiro Modo de Freqüência Natural
A figura 17 representa o Primeiro Modo Natural com frequencia em 19,0Hz.
Figura 18 – Segundo Modo de Freqüência Natural
A figura 18 representa o Segundo Modo Natural com frequência em 52,1Hz.
61
Figura 1
9
–
Terceiro Modo de Freqüência Natural
A figura 19 representa o Terceiro Modo Natural com frequência de 101,4Hz
Fi
g
ura 20 –
Q
uarto Modo de Fre
q
üência Natural
A figura 20 representa o Quarto Modo Natural com frequência de 165,8Hz.
62
Fi
g
ura 21 –
Q
uinto Modo de Fre
q
üência Natural
A figura 21 representa o Quinto Modo Natural com frequência de 244,5Hz
Fi
g
ura 22 – Sexto Modo de Fre
q
üência Natural
A figura 22 representa o Quinto Modo Natural com frequência de 336,6Hz
A figura 23 exibe as condições de contorno da viga modelada no ANSYS 9.0,
informações de massa, dimensões, volume, elementos, nós, etc.
63
Os valores dos Modos de Vibração Natural obtidos servem para nos informar quais as
faixas de trabalho que devem ser evitadas durante a elaboração de um projeto eliminando a
possibilidade de ressonância de componentes mecânicos.
Figura 23 – Características da viga Modelada no ANSYS
3.2 Resultados obtidos na simulação
Usando as duas simulações teóricas iniciais e comparada ao modelo computacional
executado no ANSYS 9.0 temos a seguinte resposta:
Conforme "Dynamic of Structures"
Massa 2.37E+03 w1 114.5 rad/s Modo 1 18.2 Hz
Momento de Inércia 1.33E-04 w2 315.7 rad/s Modo 2 50.2 Hz
Módulo de Elasticidade
w3 619.0 rad/s Modo 3 98.5 2.00E+11 Hz
Comprimento 7.54E+00 w4 1023.2 rad/s Modo 4 162.8 Hz
Massa / Unidade Comprimento
w5 1528.4 rad/s Modo 5 243.3 3.15E+02 Hz
W = Velocidade Angular w6 2134.8 rad/s Modo 6 339.8 Hz
Conforme "Mechanical Vibrations"
Massa 2.37E+03 w1 112.6 rad/s
Modo 1 17.9 Hz
Momento de Inércia 1.33E-04
w2 315.9 rad/s Modo 2 50.3 Hz
Módulo de Elasticidade 2.00E+11 w3 619.5 rad/s Modo 3 98.6 Hz
Comprimento 7.54E+00 w4 1023.9 rad/s Modo 4 163.0 Hz
Modo 5 Massa / Unidade Comprimento 3.15E+02 w5 1526.6 rad/s 243.0 Hz
W = Velocidade Angular w6 2134.8 rad/s Modo 6 339.8 Hz
Tabela 1 – Res
p
osta dos Modos de Fre
q
üências Naturais da Vi
g
a baseando nas Teorias de Vibra
ç
ão
64
Tabela 2 – Com
p
ara
ç
ão da res
p
ostas Teóricas x Modelo Com
p
utacional ANSYS 9.0
Dynamic of
Structures
Mechanical
Vibrations
Modelo
Computacional
Modo Natural 1 18.2 17.9 19.0
Modo Natural 2 50.2 50.3 52.1
Modo Natural 3 98.5 98.6 101.4
Modo Natural 4 162.8 163.0 165.8
Modo Natural 5 243.3 243.0 244.5
Modo Natural 6 339.8 339.8 336.6
0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0 300.0 350.0
Hz
1
2
3
4
5
6
Freqüências
Naturais
"Modos"
Teoria de Vibração x Modelo Computacional
Dynamic of Structres Mechanical Vibrations Modelo Computacional
Figura 24 – Equivalências das Respostas em Freqüências
Diante do que exibido foi possível garantir que a resposta do Modulo Computacional é
equivalente às teorias de vibração ver tabela 2 e figura 24, por tanto sua utilização como
ferramenta de auxilio se torna imprescindível para estruturas com variadas formas
geométricas e de grande porte.
Todo e qualquer Modelo Computacional advém de uma boa base teórica, pois sem ela a
interpretação dos resultados computacionais seria divergente em relação à realidade.
65
4 – ANÁLISE TEÓRICA
4.1 Descrição do Modelo
Para que a solução computacional seja realizada com sucesso é fundamental que a
geometria do equipamento a ser analisada esteja descrita de modo fiel à realidade. Para isso,
construiu-se o modelo tridimensional conforme mostrado na figura 25, que consta da estrutura
que realmente está sujeita à vibração, causada pela passagem das folhas de celulose sob as
roldanas.
Fi
g
ura 25 - Con
j
unto estrutural de monta
g
em das vi
g
as e roldanas
A figura 26 salienta a designação do conjunto de vigas e apoios da estrutura. Sua
contagem e disposição, tudo isso em tamanho natural.
Toda e qualquer avaliação será baseada nesta estrutura e seus respectivos componentes.
66
Figura 26 – Vista superior da estrutura
Viga 5
Vi
g
a 7
Vi
g
a 2
Vi
g
a1
Vi
g
a3
Vi
g
a4
Vi
g
a6
A descrição da estrutura completa na figura 26 exibe a numeração das vigas como
referencia nas análises a seguir.
A figura 27 mostra em maior detalhe a representação das fixações das vigas suporte das
roldanas na estrutura da máquina de fabricação de celulose.
Figura 27 - Detalhamento dos apoios articulados para todas as extremidades de viga
67
A figura 28 apresenta o detalhamento das estruturas articuladas que propiciam o
movimento das roldanas em seus dois graus de liberdade na vertical para cima e para baixo,
salientando os três tipos de roldanas instalados na máquina.
Figura 28 - Detalhamento do conjunto estrutural, indicando os três tipos de roldanas A, B e C
Roldana C
R
oldana B
R
oldana A
Os detalhes construtivos dos componentes estruturais da roldana A são mostrados na
figura 29.
Todos os detalhes são rigorosamente reais, inclusive os materiais usados. Parafusos,
arruelas e molas em dimensões e posições equivalentes na estrutura.
A direção da passagem das folhas de celulose se faz da roldana A passando pela B e por
ultimo a C.
Usando a figura 28 com referência a direção da folha é da direita para esquerda.
As roldanas B e C somente estão presentes na viga 7 conforme figura 26, nas demais
vigas 1, 2, 3, 4, 5 e 6 conforme figura 26 todas as roldanas são unicamente do tipo A.
68
Uma vez que do ponto de vista geométrico toda a estrutura a ser analisada foi
corretamente descrita em suas três dimensões, geraram-se as malhas para obtenção das
características de deslocamento da estrutura sob efeito de cargas externas nas roldanas. Esta
malha é mostrada para o conjunto de vigas através da figura 30 e em detalhe nas estruturas
das roldanas conforme indicada na figura 31.
As malhas exibidas aqui foram inseridas no software HYERMESH 7.0, onde todos os
parâmetros de controle como tamanho, tipo e disposição são cuidadosamente avaliados.
Figura 29 - Detalhamento dos componentes essenciais da roldana A
Mola
Tensionador
Roldana
Estrutura
Fixação
Articulação
Rodízio
Alavanca 1
Alavanca 1
69
Figura 30 - Representação da malha utilizada no modelo completo para obtenção dos modos
naturais de vibração
Figura 31 - Representação da malha utilizada no modelo completo para obtenção dos modos
naturais de vibração dos conjuntos móveis de fixação das folhas de celulose
70
Após a malha que descreve o fenômeno ser transportada para o software ANSYS 9.0,
todas as operações posteriores são por ele executadas. Estas incluem a escolha dos modelos
físicos a serem utilizados, condições de operação, condições de contorno e iniciais, assim
como as propriedades de massa e constantes físicas do material considerado, como mostram
as tabelas 3, 4 e 5.
Especificação Dimensão Massa
Posição Diâmetro Coordenada Eixo Luva Porca Arruela
mm mm kg kg kg kg
1 8,8 16,61 0,0283 0,1295 0,0049 0,0016
0,0049
2 11,9 290,25 0,0982 0,0155 0,0117
0,0119
3 8,8 360,00 0,0414 0,0404 0,0050 0,0029
0,0029
4 8,8 429,60 0,0414 0,0404 0,0050 0,0029
0,0030
Tabela 3 - Propriedades de massas dos componentes fixos do conjunto massa-mola-amortecedor,
com as respectivas dimensões e posições para a definição da dinâmica de vibração localizada
Especificação Dimensão Massa
Orifício Diâmetro / Largura Comprimento Espessura
mm mm mm kg
Rodízio 200,0 50,50 1,5044
Alavanca 1 39,5 445,0 8,65 1,1270
Alavanca 2 39,5 445,0 8,64 1,1283
Tabela 4 - Propriedades de massas dos componentes fixos do conjunto massa-mola-amortecedor,
com as respectivas dimensões para a definição da dinâmica de vibração localizada
Material Constantes Físicas
Densidade Módulo de Elasticidade Coeficiente de Poisson
Kg/m
3
GPa
Aço 7.750 207 0,30
Alumínio 2.643 74 0,33
Poliuretano 1.200 0,0055 0,44
Tabela 5 - Constantes físicas dos materiais construtivos do conjunto estrutural estudado para a definição dos
modelos numéricos e respectivos ensaios computacionais
71
5 - RESULTADOS NUMÉRICOS
As simulações computacionais determinaram as características estáticas e dinâmicas da
estrutura de transporte da folhas de celulose, para o entendimento e busca das causas das
vibrações observadas e possíveis ocorrências de ressonância.
A análise estática demonstrou que a estrutura completa é dotada de rigidez em repouso
de modo que os deslocamentos verticais máximos são 1,2 e 0,9 mm na roldana 7 e nos
reforços estruturais entre vigas, como indicado nas figuras 32 e 33.
Figura 32 - Análise Estática da estrutura completa indicando a ocorrência de deslocamento
máximo de 1,2mm na roldana 7
8 7 6 5 4 3 2 1
72
Figura 33 - Análise Estática da estrutura completa indicando a ocorrência de deslocamento
máximo de 0,9mm nos reforços estruturais entre vigas.
O conjunto de figuras 34 a 41 representa os efeitos de excitação da estrutura completa,
com as roldanas atingindo os degraus de sobreposição das folhas de celulose nas freqüências
de 2,5 a 4,25 Hz. Estes dois extremos da faixa de freqüência foram escolhidos por
representarem as velocidades de produção de 130 a 217 m/min de deslocamento linear da
folha de celulose.
A faixa de velocidade de produção onde ocorre incidência de congestionamento de
folhas está nas vizinhanças de 180 m/min. Desta forma, a faixa escolhida de 130 a 217 m/min
é aquela onde a tendência de ocorrência de altas amplitudes de vibração deverá ocorrer.
As figuras 34 a 41 mostram também que quando a velocidade de impacto é elevada, ou
seja, a viga 1, o deslocamento aumenta à medida que a freqüência de excitação aumenta.
Exceção se faz em torno da freqüência de 3,75 Hz, onde a tendência de maiores amplitudes se
desloca para as vigas centrais, com maiores amplitudes na viga 3 e menores na viga 5.
73
Figura 34 - Deslocamento da estrutura completa através de excitação com freqüência de 2.5 Hz.
Figura 35 - Deslocamento da estrutura completa através de excitação com freqüência de 2.75 Hz.
VIGA 1
74
Figura 36 - Deslocamento da estrutura completa através de excitação com freqüência de 3.0 Hz
Figura 37 - Deslocamento da estrutura completa através de excitação com freqüência de 3.25 Hz
75
Figura 38 - Deslocamento da estrutura completa através de excitação com freqüência de 3.50 Hz
Figura 39 - Deslocamento da estrutura completa através de excitação com freqüência de 3.75 Hz
76
Figura 40 - Deslocamento da estrutura completa através de excitação com freqüência de 4.0 Hz
Figura 41 - Deslocamento da estrutura completa através de excitação com freqüência de 4.25 Hz
77
Os primeiros seis modos normais de vibração do conjunto estrutural encontram-se
representado nas figuras 42 a 47. O primeiro modo apresenta freqüência de ressonância em
6,28 Hz, indicando maiores amplitudes de vibração nas vigas 4 e 5, conforme indicado na
figura 42.
O segundo modo de vibração, mostrado na figura 43 indica a vibração vertical na
Figura 42 - Modo 1 de Vibração da estrutura completa com resposta na freqüência de 6.28 Hz.
freqüência de 7,58 Hz, do conjunto de vigas cujas roldanas são do tipo A em vista lateral.
VIGA 1
Figura 43 - Modo 2 de Vibração da estrutura completa com resposta na freqüência de 7.58 Hz.
78
O terceiro modo mostra a deflexão vertical da viga 1, de acordo com a figura 44, na
freqüência de 7,64 Hz. Este comportamento é deslocado para as vigas 2 e 3, como mostrado
na figura 45, porém na freqüência de 8,07 Hz.
Figura 44 - Modo 3 de Vibração da estrutura completa com resposta na freqüência de 7.64 Hz.
Figura 45 - Modo 4 de Vibração da estrutura completa com resposta na freqüência de 8.07 Hz.
79
Quando a freqüência é de 8,18 Hz a viga que exibe deflexão vertical passa a ser a sexta,
como mostra a figura 46. Ao aumentar a freqüência para 8,29 Hz, a deflexão passa a ser
notada tanto na segunda quanto na quinta vigas, de acordo com a figura 47.
Figura 46 - Modo 5 de Vibração da estrutura completa com resposta na freqüência de 8,18 Hz.
Figura 47 - Modo 6 de Vibração da estrutura completa com resposta na freqüência de 8,29 Hz.
80
O impacto causado pelo degrau de folhas superpostas trata-se de um esforço repetitivo e
de intensidade adequada ao respectivo estudo. Desta forma realizou-se a determinação dos
modos normais de vibração do conjunto formado pelas roldanas de pressionamento das placas
e respectivas estruturas associadas.
As figuras 48 e 49 mostram os resultados obtidos através de tais simulações. A figura 48
indica que a roldana C irá entrar em ressonância, no sentido de articulação do braço de
alavanca, em freqüências de 3,38 Hz. A figura 49 mostra que de maneira semelhante à
roldana B entrará em ressonância na freqüência de 3,80 Hz.
Figura 48 - Modo 1 de Vibração da estrutura formada pelas roldanas com resposta na freqüência
de 3,38 Hz na rolada C.
81
O modo de vibração fundamental da roldana A, ou seja, o movimento de articulação do
braço de alavanca é alcançado em 4,09 Hz, como mostra a figura 50.
Figura 49 - Modo 2 de Vibração da estrutura formada pelas roldanas com resposta na freqüência
de 3,80 Hz na rolada B.
Figura 50 - Modo 3 de Vibração da estrutura formada pelas roldanas com resposta na freqüência
de 4,09 Hz na rolada A.
82
A figura 51 indica os movimentos laterais dos braços de alavanca das roldanas citadas
anteriormente. Estes ocorrem em maiores freqüências na faixa de 64 a 155 Hz. As estruturas
essonância dos conjuntos
estruturais, cuidou-se para que o conjunto viga, roldana e estruturas associadas pudesse ter sua
freqüência de ressonância aumentada. Para isso construiu-se o modelo indicado nas figuras 52
e 53.
O modelo proposto consta de uma estrutura de mesmo comprimento que a viga original,
com maior rigidez e peso completo equivalente, ou seja, o peso da viga, incluído o peso do
conjunto de roldanas e estruturas associadas. O primeiro modo natural da viga proposta
figuras 52 e 53 alcançaram o valor de 11,5 Hz, sendo superior ao modo equivalente da
estrutura original eliminado assim a possibilidade de ressonância.
laterais de apoio exibem modos de vibração na faixa 86 a 211 Hz.
Além do cuidado em se obter as possíveis fontes de r
Figu
ocorrem
ra 51 - Modo de Vibração da estrutura reduzida. Os modos laterais das roldanas A, B e C
em 65, 118 e 155 Hz respectivamente.
83
Figura 52 - A viga proposta (verde) é composta por cantoneiras de 2” ao longo do comprimento e
por cantoneiras de 1” como espaçadores e reforçadores, formando 15 células em cada face.
Figura 53 - A viga proposta (verde) tem seção quadrada com 300 mm de aresta e comprimento
igual à viga original (azul).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
84
O deslocamento máximo de 2,2 mm e a distribuição de tensões são mostrados nas
figuras 54 e 55 respectivamente. O deslocamento máximo está próximo do respectivo valor da
estrutura original. A distribuição de tensões indica a tendência a flambarem das longarinas,
espaçadores e reforçadores.
Figura 54 - Determinação do deslocamento máximo de 2,2 mm da estrutura proposta devido ao
peso próprio em conjunto com as estruturas adicionais das roldanas, totalizando 450 Kgf.
Figura 55 - Distribuição de tensão nos elementos da viga proposta para a determinação da
flambagem das cantoneiras, quando submetida à freqüência de ressonância de 11.5 Hz.
85
O inconveniente desta estrutura é que sua seção transversal é de maior dimensão que a
original. Outras opções estruturais foram ensaiadas com menor sucesso. Chegou-se a simular
um tubo de fibra de carbono de diâmetro 200 mm, sem qualquer ganho significativo no modo
fundamental de vibração.
Quando a rigidez aumenta a freqüência de ressonância aumenta e quando a ma
aumenta, a freqüência de ressonância tende a diminuir. Reforços estruturais devem ser
julgados com cuidado, pois normalmente o ganho em rigidez é compensado pelo aumento
equivalente em massa, ou seja, soluções convencionais poderão resultar em situações
inalteradas, ou ainda pior, agravadas.
A estrutura sugerida é normalmente utilizada em aeronáutica, onde os efeitos de
ressonância podem ser catastróficos.
Determinação dos esforços causados pela vibração nos elementos constitutivos da viga
proposta. A viga foi determinada de modo que a freqüência de ressonância resultante fosse
superior a 50% do valor da viga atualmente em uso.
ssa
Flambagem Resultado
Tensão Solicitante Tensão Admissível
MPa MPa
longarinas 13,10 822
espaçadores 9,90 113
reforçadores 9,90 113
Tabela 6 – Esfor
ç
os causados
p
ela vibra
ç
ão
Roldana Resultado
teórico numérico experimental
Hz Hz Hz
A 3,87 4,09 3,52
B 3,61 3,80 3,32
C 3,22 3,37 2,96
Tabela 7 – Freqüências de Ressonância obtida para cada tipo de Roldana – modo 1
86
6 - RE
s ondas do mar, sendo o degrau de superposição de folhas a frente
de on
(6)
f
i
= V
i
/ λ
i
SULTADOS TEÓRICOS
As folhas de celulose deslocam-se sob as roldanas no processo fabril em estudo
fazendo-se analogia com a
da, pode-se aplicar a equação da continuidade entre dois pontos quaisquer.
Sendo atribuído ao rolo de referência o ponto “o”, com velocidade V
o
e a uma roldana
qualquer o ponto “i”, com velocidade V
i
, tem-se que:
λ
i
= V
i
. L / V
o
onde
λ
i
= Distância entre dois degraus sucessivos sob a roldana “i”
V
i
= Velocidade tangencial da roldana “i”
L = Comprimento de corte da folha de celulose (850 mm)
V
0
= Velocidade tangencial do rolo de referência
Mas:
(7)
onde
f
i
= Freqüência de impacto do degrau na roldana “i”
Aplicando a primeira na segunda relação tem-se:
87
Esta relação mostra que a freqüência de impacto do degrau de sobreposição das folhas
independe da velocidade da roldana “i”, dependendo unicamente da freqüência de produção
de placas, ou seja, é igual à freqüência de corte da guilhotina giratória. No entanto, existe a
difere
impacto dos degraus de sobreposição
das folhas é realizada através do diagrama da posição temporal da frente de onda mostrado no
figura indica a variação da reposição das folhas ao longo do processo
bril.
nça de fase e estas são características ondulatórias.
A representação da característica ondulatória do
56. Este gráfico sob
fa
-0
0.
0.
1.0
1.5
2.
2
3
3
1234567
posição das roldanas ( m )
tempo ( s )
.5
0
0
5
0
.5
.0
.5
Δ
Roldana
Figura 56 - Diagrama da posição temporal do ponto de impacto das oito roldanas na celulose e
respec ).
f
i
= V
o
/L
(8)
tiva variação da superposição das folhas (comprimento Δλ
88
A sobreposição poderá ser negativa nas três primeiras roldanas e positiva nas demais.
Isso s existe uma aceleração nas primeiras roldanas para garantir a sobreposição
das f
a, mola amortecedor formado pela
estrut
nde:
I = Momento de inércia em torno do eixo de articulação do braço da roldana
c = Coeficiente de amortecimento
k = Constante da mola
θ = Deflexão angular do braço da roldana
A solução desta equação leva ao conhecimento da freqüência de ressonância do
conjunto das roldanas, e ainda, apresenta amplificação de amplitude de vibração mostrada na
figura 57.
ignifica que
olhas nas demais. Mas, como demonstrado anteriormente, a freqüência de impacto é
invariável.
Uma vez que o impacto na roldana será transmitido para a estrutura completa da
máquina através das vigas associadas, o sistema mass
ura das roldanas pode ser descrito pela equação diferencial característica:
O
I.d
2
θ/dt
2
+ c.dθ/dt + k.θ = 0
(9)
89
A Freqüência de ressonância de rodízio (ω
r
) que vibra com amplificação (A/A
0
) e razão
de am
2. π.V/λ = 2. π.V
0
/L
0
) (10)
nde V
0
é a velocidade de produção da máquina e L
0
é o comprimento de corte da folha
de celulose.
importância desta representação é a indicação de que quando a freqüência de vibração
coincide com a freqüência de ressonância do conjunto da roldana, esta é amplificada à medida
que se reduz o coeficiente de amortecimento do sistema.
determinação teórica das freqüências de ressonância das roldanas A, B e C foram
4,09 Hz, 3,80 Hz e 3,37 Hz, respectivamente. Quando ocorre a ressonância em cada uma das
ortecimento (n/n
c
), quando excitado pelo impacto com a sobreposição da folha de
celulose com freqüência de:
(ω =
O
A
A
Figura 57 cia de rodízio ( - Freqüência de ressonân
ω
r
).
90
roldanas, a energia de impacto aumenta causando efeitos secundários no conjunto, como
mostrado na figura 58. Este fenômeno é conhecido em aeronáutica como shimmy, causando
forte vibração no trem de pouso da aeronave, devido às imperfeições no pavimento da pista.
celulose é devido à combinação das forças da
mola,
solidários a estes, devido ao degrau de celulose, causado pela sobreposição das
folhas
inhamento da roldana em função da
defor
Figura 58 – Força imposta na roldana
A força que a roldana imprime na folha de
da inércia da massa e do peso do conjunto da alavanca articulada, roldana e demais
componentes
. Os efeitos das forças F
v
e F
h
são aumentados devido à maior pressão da roldana sobre
a celulose causada pelo momento M
h
devido à força F
h
. Passa a existir ainda, um momento de
desalinhamento M
t
devido à força F
t
causado pelo desal
mação desigual da superfície desta (poliuretano), imperfeições do próprio degrau de
celulose e folgas de articulação e eixo da roldana.
91
7 - RESULTADOS EXPERIMENTAIS
O conjunto de informações obtidas através das simulações numéricas propiciou a
scolha de pontos representativos para que pudessem ser medidas as amplitudes de vibração,
través de sensores de velocidade convenientemente colocados. Estas medidas foram
alizadas por uma equipe especializada neste tipo de trabalho utilizando-se de coletores de
ados e sensores de vibração do tipo acelerômetros.
A localização de cada sensor foi escolhida dentro da faixa de freqüências (9 ± 2 Hz) e
stalada nos pontos de maior deslocamento, como indicado na figura 59. Em cada um destes
ontos foram realizadas medidas de vibração na direção horizontal e vertical.
e
a
re
d
in
p
1
2
5
3
4 6
Figura 59 – Posição dos sensores de vibração na estrutura
92
As posições dos sensores de vibração seguem a seguinte seqüência: (1) ponto
interm ediário da viga 5, (3) roldana da viga 7, (4) roldana
da vig
o na viga lateral na fixação da viga 5.
, divididos em
me
ediário da viga 2, (2) ponto interm
a 6, (5) ponto na viga de apoio inferior e (6) fixação da viga 5.
As posições 1 e 2 foram escolhidas devido aos modos de vibração ilustrados
determinados no modelo numérico. Os pontos 3 e 4 dizem respeito às medidas de vibração da
roldana traseira da viga 7 e da viga 6 respectivamente. O ponto 5 refere-se às medidas na
estrutura inferior de apoio. O ponto 6 indica a vibraçã
Foi colocado um sistema de monitoramento a laser para determinação experimental da
freqüência de corte transversal. O resultado obtido durante os ensaios foi de 3,47 Hz.
O conjunto de medidas encontra-se representado nos figuras 60 a 70
dida de vibração horizontal e vertical. Interessante notar que existe uma freqüência típica
de 3,5 Hz, estando próxima da excitação da estrutura através do degrau causado pela
sobreposição das folhas de celulose.
Todos a medições foram analisados no software SKF MACHINE ANALYST 3.1.3.
Figura 60 - Medida de vibração horizontal do ponto 1
93
Figura 61 - Medida de vibração vertical do ponto 1
Figura 62 - Medida de vibração horizontal do ponto 2
94
Figura 63 - Medida de vibração vertical do ponto 2
Figura 64 - Medida de vibração horizontal do ponto 3
95
Figura 65 - Medida de vibração vertical do ponto 3
Figura 66 - Medida de vibração horizontal do ponto 4
96
Fi
g
ura 67 - Medida de vibra
ç
ão vertical do
p
onto 4
Figura 68 - Medida de vibração horizontal do ponto 5
97
Figura 69 - Medida de vibração vertical do ponto 5
Figura 70 - Medida de vibração horizontal do ponto 6
98
Figura 71 - Medida de vibração vertical do ponto 6
Figura 72: Velocidade de deformação da estrutura versus a freqüência.
99
A linha vermelha indica a freqüência de excitação, causada pelo impacto da roldana no
degrau de sobreposição das folhas de celulose.
3
,
38 Hz à 4
,
09 Hz
Figura 73 - Velocidade de deformação da estrutura versus a freqüência
A linha vermelha indica a freqüência de excitação, causada pelo impacto da roldana no
degrau de sobreposição das folhas de celulose.
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0
F ( kgf )
x ( m )
F = K . x
K = 588.2
Figura 74 - Determinação do coeficiente de extensão da mola de fixação das roldanas
sobre a celulose.
100
maiores
tura de
odos
Figura 75 – Influência da constante K da mola na compressão das roldanas nas folhas
De modo geral, as maiores freqüências medidas exibiram também as maiores
velocidades de deslocamento, no entanto, as menores freqüências apresentaram
deflexões nos pontos medidos, indicando maior tendência de ocorrência de ressonância nos
modos mais baixos de vibração.
Os ensaios experimentais determinaram as características de vibração da estru
transporte de folhas de celulose, indicando a correlação entre os valores medidos e os m
normais anteriormente previstos.
Os resultados apresentados demonstram comportamento previsível da estrutura da
máquina secadora, de acordo com as seguintes observações:
O espectro de vibração medido na posição 1, na direção horizontal, acusou
e 6,9 Hz e amplitude de 48,2 mm/s, indicando proximidade com o modo
5 de vibração mostrada na figura 46, no que diz respeito à amplitude de 50,8 Hz,
freqüência d
101
embora esteja 22% abaixo da freqüência de ressonância estimada. Esta aproximação
indica a ocorrência de vibração em 2
o
. harmônico da excitação produzida pelo
degrau de celulose, cujas freqüências são de 3,47 e 3,54 Hz respectivamente, como
mostra o figura 72.
A figura 72 demonstra que as freqüências de oscilação horizontal medidas estão, em
sua maioria, próximas das freqüências de excitação através do degrau de celulose,
para overlap de 0,12 m.
A figura 72 mostra que as freqüências de oscilação horizontal estão no domínio das
primeiras seis harmônicas das freqüências de excitação acima referidas.
A figura 73 mostra que as freqüências de oscilação vertical estão no domínio das
primeiras seis harmônicas das freqüências de excitação acima referidas.
A coincidência entre a freqüência de 6,9 Hz com o 2
o
. harmônico da excitação na
direção vertical indica uma menor resposta da estrutura ao degrau de celulose
devido à maior rigidez nesta direção.
A figura 73 demonstra que as freqüências de oscilação vertical medidas estão, em
sua maioria, próximas das freqüências de excitação através da faca rotativa e do
degrau de celulose, para overlap de 0,12 m.
102
Durante ensaios experimentais verificou-se que excessiva amplitude de vibração ocorria
nas pro
À medid
velocidad foi de 240 m/min.
Este fato é comprovado pela teoria de vibrações de que a medida que a freqüência de
impacto
a sua amp
Para se determinar a freqüência de ressonância do conjunto da roldana A, realizou-se
inicialm
A figura 73 indica que as amplitudes de oscilação vertical medidas no ponto 3 são
sensivelmente inferior ao ponto 4, indicando que rodízios traseiros apresentam
amplitudes menores que rodízios dianteiros.
ximidades da velocidade de produção da máquina extratora de celulose em 180 m/min.
a que a velocidade de produção aumenta, a amplitude de vibração diminui. A
e máxima experimentada
se torna elevada, afastando-se da freqüência de ressonância do componente vibrante,
litude tende a decair.
ente a medida da constante de uma mola típica, extraída do conjunto reserva.
103
8 - RES
A s to de vista numérico, quanto teórico e
experimental indicaram que a vibração excessiva observada durante a operação da máquina
extrat
üência crítica de operação, as roldanas
entram
ndo a uma transmissão maior de esforço à viga que a sustenta.
inuem.
Isso irá ocorrer caso a operação da máquina se torne muito próxima de 6,28 Hz. A velocidade
e 250 m/min máxima da máquina excitará a estrutura com 4,9 Hz.
Ensaios realizados em velocidades até 240 m/min indicaram que a máquina extratora
abalha com vibração reduzida nesta faixa de operação, ou seja, saindo da faixa de
ssonância.
Embora a vibração seja visualmente agressiva quando as vigas estão respondendo às
licitações dos impactos nas roldanas, estas ainda não estão em ressonância. Quando a
ssonância das vigas ocorrerem, as vibrações serão de amplitude ainda maior, podendo se
rnar catastrófico ao citado processo de movimentação das folhas.
Para se liberar a faixa de operação crítica da máquina, deve-se reduzir a constante da
ola, de acordo com a figura 75, ou seja, de 5770 N/m para 2990 N/m. Nesta figura 75 são
ostradas as situações atuais e a situação limite proposta.
ULTADOS OBTIDOS E RECOMENDAÇÕES
eqüência de resultados obtidos tanto do pon
ora em velocidade de produção em torno de 178 m/min (3,49 Hz) está indiretamente
correlacionada com a freqüência de corte transversal da celulose.
Esta freqüência de corte é a mesma freqüência de impacto dos degraus de celulose no
conjunto de roldanas em cada viga. Ocorre que na freq
em ressonância por apresentarem modos de vibração nestas proximidades, como
mostra a tabela 7 na página 85. Durante a execução destes modos, a amplitude de vibração
das molas é aumentada, conduzi
À medida que a velocidade de operação da máquina extratora aumenta e os impactos
nas roldanas afastam-se da freqüência crítica, as amplitudes de vibração das vigas dim
d
tr
re
so
re
to
m
m
104
A curva com amplificação máxima em 178 m/min representa a situação atual e aquela
referente a 130 m/min representa a maior constante de mola possível de ser aplicada à solução
da pre
é a menor quantidade de
energ
vibraç
do automóvel atinge os
obstá
operar a máquina em velocidades de produção maiores que 250 m/min, será
funda
6.
izar materiais de maior resistência
sente oportunidade de melhoria.
Pode-se notar que as velocidades de 189 m/min na curva atual e 135 m/min na curva
referente à mola proposta indicam a mesma amplificação de vibração. A transmissão de
vibração através da mola proposta ainda tem um atenuante que
ia acumulada na mola e, portanto transmitida à estrutura. Esta menor energia é devida à
sua menor constante física e à menor energia de impacto dos degraus de celulose nas
roldanas.
A utilização de uma mola de constante física igual ou menor que 2990 N/m irá propiciar
maior maciez ao movimento das roldanas sobre os degraus de celulose e a transmissão de
ão às vigas será reduzida.
Os ensaios realizados, indicaram que quando a mola entra em ressonância com o
movimento da celulose, a roldana atinge o plano da celulose apenas nas arestas de
superposição de placas, lembrando a situação em que o pneu
culos rebaixados no trânsito. A roda inicialmente desce e daí encontra o ressalto súbito,
tornando os danos à suspensão maiores que se o obstáculo for protuberante.
Para se
mental a troca das vigas atuais. A proposta de viga apresentada consta de uma estrutura
treliçada que entrará em ressonância em torno de 11,5 Hz.
Esta estrutura suportará as cargas estáticas e dinâmicas. A indicação da resistência desta
à flambagem dos componentes encontra-se representada pela tabela
De modo geral, o aumento da velocidade de ressonância da estrutura atual, também
pode ser realizado através da redução da massa dos conjuntos das roldanas. Isso poderá ser
feito através de uma otimização estrutural e ainda se util
105
espec
às roldanas, as quais deverão repousar sobre as placas
de ce
especificado como SAE 1080.
DADOS INICIAIS ATUAL PROPOSTA
ífica, como fibra de carbono, por exemplo. A massa do conjunto das roldanas representa,
atualmente, aproximadamente, a metade da estrutura das vigas completas.
Especial atenção deverá ser dada
lulose, em toda a extensão da banda de rolagem, de modo uniforme, para não serem
induzidos esforços secundários.
O resultado do trabalho resume-se em mudar a faixa crítica de operação da máquina,
efeito este conseguido mudando a constante das molas atuais:
Tabela 8 – Características das Molas
Diâmetro Externo (mm) 41,28 45
Diâmetro do Arame (mm) 4 4
Coeficiente de Rigidez – K – (Kgf/mm) 0,577 0,300
Espiras Totais – Nt 9 12
O material da mola de tração é o fator de grande importância a ser considerado, sendo
Comprimento do Corpo (mm) 36 48
Módulo de Elasticidade (Kgf/cm
2
) 8050 7820
Carga aplicada na Mola (Kgf) 11 11
Figura 76 – Mola de tração proposta
106
9 - CONCLUSÃO
A operação da máquina extratora atualmente apresenta uma faixa crítica de velocidade
em to
e.
O forte impacto das roldanas nos referidos degraus propiciam o desalinhamento das
folhas te
solução para se anular esta faixa crítica de operação é mudá-la para uma região onde
a máq i dução ou aumento de velocidade impossibilita a
produ ão do equipa
forma m el e de maior s dade encontrada alterar a
ssonância do a constante da mola, com isso o am ento
bre as ente na faixa média de trabalho em torno
78 m/min, elimin tionamento das folhas propiciando maior maciez ao
stema.
Para velocidad periores a 250 n será
ecessária açã s roldanas. comendação para o será a
utilização de viga treliçada de maior seção transversal que as correspondentes vigas atuais.
rno de 178 m/min. Nesta faixa existe a ressonância das roldanas que, acoplada ao
movimento das vigas que as suportam, causam a maximização do impacto nos degraus de
sobreposição de folhas de celulos
causando o congestionamento inicialmente apontado neste trabalho, com a conseqüen
parada de produção na máquina.
A
u na não opera, mas esta ação de re
ç mento.
A ais economicamente viáv implici foi
re conjunto mudando somente ortecim
so folhas de celulose foi alterado principalm
1 ando assim o conges
si
operação da máquina extratora a es su m/mi
n o sobre as vigas de montagem da A re tant
107
10 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
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