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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
ALBERTO TADEU ACAIABA DOS SANTOS
DAS “TREVAS” À LUZ DE FIBONACCI:
Uma visão histórica.
SÃO PAULO
2009
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
ALBERTO TADEU ACAIABA DOS SANTOS
DAS “TREVAS” À LUZ DE FIBONACCI:
Uma visão histórica.
Dissertação apresentada à Banca
Examinadora da Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, como exigência parcial
para obtenção do título de MESTRE EM
HISTÓRIA DA CIÊNCIA, sob a orientação do
Prof. Dr. Ubiratan D’Ambrosio.
São Paulo
2009
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Banca Examinadora
____________________________________
____________________________________
____________________________________
A
utorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total
ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: __________________________ Local e Data: ______________
4
Santos, Alberto Tadeu Acaiaba dos
Das “trevas” a luz de Fibonacci: uma visão histórica.
Dissertação de Mestrado – pontifícia Universidade
católica de São Paulo. Mestrado em História da Ciência.
1. História da Ciência - 2. História da Matemática - 3.
Números hindu-arábicos - 4. Fibonacci. I. Título.
5
Dedico este trabalho à memória ancestral de meus antepassados que de reis
e rainhas além mar, tornaram-se escravos no novo mundo. Mas, não
perderam a nobreza no sangue e a liberdade na alma.
A minha esposa, Heloisa, por toda a força, o incentivo e amor. Aos meus
filhos Jéssica e Guilherme pelo bom humor nos momentos difíceis.
A “Bábà mi Ode”, (Meu Pai caçador), meu orixá que comanda meu Ori
(Cabeça), por toda energia positiva que me tem passado, através de sua força
ancestral, divinizada e pura.
Ao grande mestre Ubiratan D’Ambrosio pelo carinho, respeito e paciência,
aos meus irmãos, Acrísio, Angelina, Ana Lucia, Arlete e em especial ao meu
grande mentor e exemplo, meu irmão professor Aloísio por sempre me direcionar
mesmo à distância.
“ÈMI OMO ÒRÌSÀ, KI TÈMI È MÒN”
“EU SOU FILHO DE ORIXÁ, QUE ME GUIA E PROTEJE”
6
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, aquele que tudo sabe. Ao Professor Doutor Ubiratan
D’Ambrosio, meu orientador, meu mestre pela confiança e carinho demonstrados
ao longo desta caminhada. Ao Professor Doutor Sidnei Barreto Nogueira pelo
apoio, respeito e valiosa colaboração. A Professora Doutora Ana Maria Haddad
Baptista pelas valiosas informações e orientações quando eu ainda nem ao
menos era aluno do programa de mestrado em História da Ciência.
A Professora Doutora Lílian Al-Chueyr Pereira Martins pelas valiosas
observações e sugestões no meu exame de qualificação.
Ao Professor Doutor Adilson de Morais por ter aceitado prontamente o
convite para compor a minha banca de defesa e as suas sugestões, críticas
construtivas e valiosas observações feitas durante o exame de qualificação. Ao
Professor Arnaldo Aragão dos Santos pela ajuda preciosa em um momento difícil.
Aos demais Professores do programa em estudos pós-graduados em História da
Ciência, colegas de estudos (créditos) e a todos que direta ou indiretamente
colaboraram na execução deste trabalho. À
Coordenação de Aperfeiçoamento de
Pessoal de Nível Superior (CAPES), por me conceder a bolsa de estudos e
assim, dar-me tranqüilidade para me dedicar ao projeto de dissertação.
A invenção da Matemática é acessível a todo indivíduo e a importância dessa invenção
depende do contexto social, político, econômico e ideológico.
(Ubiratan D’Ambrósio)
7
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO..............................................................................................
1.1 Apresentação ............................................................................. 13
1.2 Objetivos..................................................................................... 22
1.3 Justificativas para a escolha do tema...................................... 23
1.4 Metodologia................................................................................ 24
1.5 Conteúdo do Trabalho............................................................... 25
2 A MATEMÁTICA ÁRABE.............................................................................
2.1 A Matemática no mundo Árabe................................................. 26
2.2 A Casa da Sabedoria ................................................................ 28
2.3 A Matemática de Al-Khowarizmi........................................................30
2.4 A Matemática de Omar Kayan............................................................37
2.5 Os Números hindu-arábicos..............................................................38
3 O LEGADO MEDIEVAL................................................................................
3.1 A Matemática na Europa Medieval .................................................. 45
3.2 A contribuição de Gerbert Au'rillac..................................................49
3.3 O Comércio e a Matemática Comercial...............................................60
3.4 O Pensamento de Santo Tomás de Aquino......................................68
4 PESQUISA E DISCUSSÃO..........................................................................
4.1 Leonardo de Pisa ............................................................................ 73
4.2 Líber Abacci,o livro........................................................................... 75
4.3Alguns problemas do livro..................................................................77
4.4 Outras obras de Fibonacci................................................................. 86
5 CONSIDERAÇÕES SOBRE A OBRA...................................................... 90
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS...................................................................... 91
7
REFERÊNCIAS ........................................................................................ 95
8
RESUMO
A colaboração de Leonardo de Pisa para a matemática comercial do século XIII, a
partir da publicação do Líber Abacci e a divulgação dos números hindu - arábicos
na Europa, em substituição aos números romanos, passou a facilitar assim as
transações comercial entre os povos após a abertura dos portos. Desse modo,
analisamos, por meio deste trabalho, a importância da publicação do Livro de
Leonardo de Pisa, principalmente o aspecto relativo à matemática comercial, a
aplicabilidade dos métodos de conversão desenvolvidos por ele e o momento
sócio-político que favoreceram seu sucesso e o reconhecimento do seu
brilhantismo em uma época marcada por um longo período de ostracismo. A
finalidade desta dissertação é a análise da importância da publicação do livro, o
porquê do sucesso de seu sucesso e, apesar de alguns problemas, até mesmo
para sua época, ou seja, o fato de a obra ser considerada de pouco uso, pôde
sustentar-se durante a turbulência do período. Para isto, analisaram-se os
problemas do livro como fonte primária (edição digitalizada) e como subsídios
teóricos optamos por adotar a obra História da matemática de Carl B. Boyer,
amparada nas obras teóricas de Dirk Struik,Rubens Gouvêa Lintz,Ubiratan
D’Ambrosio,Bertran Russell,Quanto ao momento social e filosófico, esse foi
embasado nos escritos de Santo Thomás de Aquino que teve grande influência
neste período da Europa. Trata-se de um trabalho relevante para os estudos da
História da matemática porque podemos verificar que Ciência e História têm
estado, ao longo dos anos, estritamente ligadas. descobertas são amparadas ou
refutadas na, com e por meio dessa inter-relação, formando assim algumas das
questões basilares em História da Ciência, ou seja, a de que devemos refletir
sobre o passado e não olhá-lo com uma visão anacrônica, pois assim poderemos
entender questões e momentos. Ao analisar o livro de Leonardo de Pisa,
pretende-se mostrar que a ciência está amparada no momento histórico e que se
Fibonacci obteve sucesso onde outros ,se não fracassaram, não brilharam tanto,
isto se deve ao momento contextual geral da época. Todavia, a História não é
descontinuada como pensam alguns, assim como nada surge em um passe de
mágica, há um elo que une as idéias e realizações para a introdução dos números
hindu-arábicos na Europa , há um momento social que determina sua aceitação
9
ou não, e, principalmente, há a mente fértil de Fibonacci que soube relacionar as
situações vigentes e obter êxito onde outros falharam , dando assim uma luz ao
fim do túnel para um período, considerado por alguns até os dias de hoje, como
um período de trevas no campo cientifico.
Palavras-chave: Fibonacci, Números hindu-arábicos, Matemática Comercial, Líber
Abacci
10
ABSTRACT
The contribution of Leonardo de Pisa for the commercial mathematics of
XIII century, from the publication of the Líber Abacci and the spreading of the
hindu – arabian numbers in the Europe in substitution to the Roman numbers, thus
facilitating the commercial transactions between the peoples after the opening of
the ports. We will analyze the importance of the Pisa’s Leonardo de Pisa Book
publication, mainly the relative aspect the commercial mathematics, the
applicability of the methods of conversion developed by it, the social political
moment that had favored its success and the recognition of its excellence at a time
marked for a long period of ostracism. The aim of this dissertation is the analysis
of the importance of the publication of the book; why of the success of the same
and, although some problems even though it’s time to be considered of little use
the workmanship if supported during the turbulence of the period. For this he will
be analyzed the problems of the book as primary source (digitalized edition) and
will have theoretical subsidies from the workmanship History of the mathematics of
Carl B. Boyer and will be supported in the theoretical workmanships of Dirk Struik,
Rubens Gouvêa Lintz, Ubiratan D’ Ambrosio, Russell, the social moment and
philosophical Thomas will be based in the writings of Santo Tomás de Aquino who
had great influence in this period of the Europe.
This project is excellent for the studies of the Mathematics History because
we can verify that Science and History are strict on throughout the times,
discoveries are supported or refuted, thus forming some of the fundamental
questions in history of Science, of that we must reflect on the past, not to look at it
with an anachronistic vision, therefore thus we will be able to understand
questions and moments. When analyzing the Pisa’s Leonardo book, I intend to
show that science is supported at the historical moment and that if Fibonacci got
success where others if had not failed, had not shown in such a way, this if must to
the general contextual moment of the time. But history is not discontinued as they
think, as well as nothing appears for one passes of magician, has a link that they
join the ideas and accomplishments for the introduction hindu-arabic numbers in
the Europe, has a social moment that determines its acceptance or and mainly it
does not have the fertile mind of Fibonacci that knew to lancer the effective
situations and assim to get success where others had failed, thus giving a light in
11
12
the tunnel’s end for a period of considered by some until the present as one period
of darkness’s in the scientific field.
Keywords: Fibonacci, Numbers hindu-arabic, Commercial Mathematics, Líber
Abacci
INTRODUÇÃO
No prefácio de seu livro As Palavras e as coisas Michel Foucault
argumenta que: “buscar a episteme de determinada época significa buscar a
ordem intrínseca, a lógica interna que permite a emergência dos saberes”.
1
Para entendermos o grau de importância da Obra de Fibonacci, devemos
nos concentrar em dois períodos da Matemática, ou em dois momentos que
definiram condições de possibilidade de todo saber gerando um campo fértil para
a germinação do conhecimento científico e humano.
Um deles é a Matemática árabe do século IX. Após um grande período
estagnado a partir de meados do século VIII, os árabes passaram a se interessar
pela cultura em geral, isto é, os conquistadores árabes, considerados mais
avançados intelectualmente para o período, ou melhor, dizendo, com um
conhecimento diferenciado para a época foram em busca de mais saberes e seus
muitos fazeres. Foi à época das grandes traduções para o árabe de diversos
livros entre eles o clássico, Os Elementos, escrito por Euclídes.
Devemos salientar, entretanto que, para a escrita dos nomes árabes
ligados a História Geral e História da Matemática, optou-se pela manutenção da
escrita árabe, o que justifica- se pelo fato de seguirmos a maioria dos autores que
referenciaram os nosso estudos.
Outro fator de que podemos considerar como relevante foi à criação da
Casa da Sabedoria
pelo Califa Al-Mamum.
2
Toda a criação científica era estudada
neste local, principalmente a dos povos considerados mais avançados
culturalmente para a época, como a Síria e o Egito e a Pérsia. Destacamos
também a cidade de Alexandria com sua monumental biblioteca e museu,
considerada como um importante pólo de cultura de sua época.
13
1
Michel Foucault, As palavras e as coisas. (São Paulo : Martins Fontes, 1992), apud Eduardo Yuji
Yamamoto . Cultura popular, saber e diversidade:prelúdio para uma genealogia da Comunicação Popular
(dissertação mestrado do programa Comunicação da Faculdade de Arquitetura, Artes e Comunicação, Unesp-
Bauru /SP).
2
O califa al-Mamum, que sucedeu a seu pai, al-Rasid, governou até 833. Fundou uma espécie de academia,
Bayt al-Hikma, a Casa da Sabedoria, cuja principal função era a tradução, pelos sábios, dos textos gregos e
indianos. http://www.malhatlantica.pt/mathis/Arabes/arabes.htm acessado em 12/07/2009
14
Na área de Matemática e Astronomia destacamos Mohammed ibu-Musa al-
Khowarizmi (780 – 850 aproximadamente). Foi um dos estudiosos da Casa da
Sabedoria e um dos personagens de destaque na História da Matemática.
Atribuímos a ele a menção do termo Algarismo usado até nossos dias para definir
numeral.
Al-Khowarizmi escreveu além de outras obras, o livro De
numero hindorum
3
(Sobre a arte Hindú de calcular). Possivelmente tenha sido
influenciado pelas traduções para o árabe do conhecimento Hindú, o que
provocou a falsa idéia de que o sistema de numeração foi desenvolvido pelos
árabes.
Segundo Boyer (A History of Mathematics, Carl B.Boyer ,John Wiley &
Sons,INC.1994)
“Nessa obra, baseada provavelmente numa tradução árabe de Brahma
Gupta, Al-Khowarizmi deu uma exposição tão completa dos numerais
hindus que provavelmente foi o responsável pela impressão muito
difundida, mas falsa de que nosso sistema de numeração é de origem
árabe.”
4
Por meio do livro Al-kitãb al muhtasar fi hisãb al-jabr wa´l muqabalah, de Al-
Khowarizmi, o termo Álgebra foi originado. Não se sabe ao certo o que significam
as palavras al-jabr e muqabalah, contudo a interpretação delas é apresenta por
Boyer:
“A palavra al-jabr presumivelmente significa algo como” restauração “ou”
completação “e parece referir-se à transposição de termos subtraídos para
o outro lado da equação, a palavra muqabalah, ao que se diz, refere-se à
‘redução” ou “equilíbrio” – isto é, ao cancelamento de termos semelhantes
em lados opostos da equação.”
5
Os Historiadores da Ciência tem demonstrado através de vários estudos o
quão é perigoso às questões relacionadas a juízo de valor. Porém, como
podemos citar Al-Khowarizmi sem enaltecer a sua genialidade?
3
www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/al-kowarizmi.html (acessado em 09/08/2009, 23h04min)
4
Carl Benjamin Boyer, História da matemática (São Paulo: Edgard Blücher, 1994), 166.
5
Ibid.,167.
15
Sendo assim, meus mestres que me perdoem. Pois ele foi (segundo
diversos estudos e citações) um grande matemático, com importantes
contribuições, inclusive para a adoção dos números hindu-arábicos. Estes
números já eram de conhecimento dos povos Hindús, mas, ganharam
notoriedade através do brilhantismo de Al-Khowarizmi.
Os algarísmos ou dígitos são símbolos usados na representação de
números inteiros ou reais em sistemas numerais posicionais.São chamados ainda
de Algarismos árabes romanizados ou ainda algarismos hindu-arábicos e tem a
seguinte formatação: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.
Um segundo período começa em meados de 940 -1003, isto é, se
pudéssemos dividir a História e o tempo. Um período que não estava preparado
para a Matemática, e o desenvolvimento científico.Segundo o que Tertuliano
escreveu: “A pesquisa científica se tornara supérflua desde que fora recebido o
Evangelho de Jesus Cristo no período.”
6
Este cenário foi mantido por mais de
dois séculos, mantendo a sombra do período nada produtivo para as ciências
matemáticas.
“(...) nada de erudito podia ser ouvido na Europa ,a não ser a pena do
venerável Beda (673-735)escrevendo sobre a matemática necessária para
o calendário eclesiástico,ou sobre a representação dos números por meio
de dedos.”
7
Pouca matemática considerada realmente importante foi produzida na
Europa durante um longo período. Até que, esta modificação se deu por aquele
que viria a se tornar o Papa Silvestre II. Silvestre II, (c. 950 – 12 de maio, 1003),
nome de batismo Gerbert d'Aurillac, foi papa de 2 de Abril de 999 até sua
morte.Sucedeu Gregório V e seu sucessor foi João XVII. Gerbert nasceu em
Auvergne, foi educado nos estudos teológicos no mosteiro de Saint-Géraud de
Aurillac.Passou a acompanhar o duque da Espanha, estabelecendo-se na
Península Ibérica, aprofundando assim graças aos contatos com a Ciência árabe,
a própria cultura no campo filosófico e matemático. Foi um dos primeiros e
principais divulgadores dos numerais hindu-arábicos na Europa cristã.
6
Tertuliano,apud Johannes Quasten, Patrología ( Madrid: BAC, 1962),46.
7
Boyer, 170.
16
Lecionou por alguns anos em Roma, depois em Reims (972), onde por
uma década desenvolveu a parte mais produtiva e interessante de sua obra
didática e cultural. Foi considerado como o inventor do primeiro relógio mecânico
do qual temos notícia. O fato de seu talento não ser devidamente reconhecido se
deu, entre outros fatores, pela turbulência da época. Onde a barbárie imperava
em diversos setores das cidades-estado .
Devemos considerar também a forma elementar como a Matemática era
tratada e mesmo assim, a partir deste nível,era possível deteriorar-se ainda mais
a Matemática,através da herança deixada por Boécio
8
e seus discípulos(que eram
meros seguidores de traduções e tratados criados dentro do monastério).Temos
ainda,a edição de livros considerados de nível inferior com o Origens ou
Etimologia de Isidoro de Sevilha(570 – 636)
9
,sendo um dos vinte livros deste
apenas um resumo da “Obra” de Boécio.
Quando consideramos que Isidoro foi considerado um dos homens mais
cultos de seu tempo, podemos entender o lamento de alguns contemporâneos
seus : ” O estudo das letras está morto entre nós”.
10
“ Esta,foi de fato a idade das trevas na idade média para o estudo das
ciências matemáticas, mas não deveríamos cometer o erro de supor que
fosse a idade média como um todo.”
11
Entretanto,a Europa não esta preparada para o desenvolvimento da
Matemática que era o ponto mais alto da cultura árabe e os europeus mal podiam
entender os tratados árabes.
Era a época do ponto forte da cultura mulçumana, e segundo Struik ,”não
se pode absorver a Ciência do vizinho sem conhecer a sua língua”.
12
Os
muçulmanos já tinham se apercebido disto no século IX, mas somente no início
do século XII os europeus conseguem romper a barreira da língua árabe.
8
Ibid., 171.
9
Ibid.
10
Ibid., 172.
11
Ibid., 167.
12
Dirk J. Struik, História concisa das matemáticas. Trad. de João Cosme Santos.(Lisboa: Gradiva, 1989).
17
No começo do século XII nenhum europeu pretendia ser matemático ou
astrônomo verdadeiro sem um bom conhecimento da língua árabe; e a Europa
durante a primeira metade do século XII, não podia se orgulhar de nenhum
matemático que não fosse mouro, judeu ou grego...
13
Além disso, entre tantas escrituras de valor duvidoso e os esforços
deixados por Silvestre II surge no final deste século na Itália cristã um matemático
original e talentoso para os padrões da época.
Chamava-se Leonardo de Pisa ou Leonardo Fibonacci, como ficou
conhecido após a sua morte.
Foi considerado por “alguns” como o primeiro grande matemático europeu
depois da decadência helênica .Conhecido pela descoberta ou propagação da da
Seqüência de Fibonacci,porquê não possuimos referencia a esta sequencia antes
dos seus escritos.E, pelo seu papel na introdução dos algarismos hindu-Arábicos
na Europa,mas precisamente nas províncias itálianas , em um primeiro momento.
Fato este se deve, em parte, pela profissão de seu pai, um mercador, que
por meio da abertura dos portos negociava com toda a costa
africana(príncipalmente o norte da África).
Assim, Leonardo teve contato com a Matemática árabe que influenciou
todo o seu trabalho,estudou com um professor mulçumano e viajou pelo
egito,Síria e Grécia. Era ,pois natural que Leonardo conhecesse a fundo os
métodos algébricos árabes,inclusive e felizmente, os números hindu-arábicos .
Aprendeu as técnicas de conversão de moedas, importantíssimas para o
comércio entre os povos e escreveu o Líber Abacci entre outras obras.
Mas esta, em especial, é tratada por nós como objeto de estudo,acabada
em 1202 .O livro descreve o “Zero” como um algarismo .É um tratado sobre
métodos algébricos usando os números hindu-arábicos,que já haviam chegado na
Europa através de Silvestre II e foram pouco aproveitados apesar dos esforços do
mesmo e do momento conturbado.
13
Boyer, 171.
18
O livro inicia com uma idéia quase moderna de saber, mas com grande
toque do pensar medieval, descreve os nove números indianos e o novo
algarismo Zephirum em árabe.Transcreve métodos para o cálculo de raízes e
muitos problemas sobre transações comerciais.Entendemos ser esta uma das
causas principais do sucesso do livro,que usava um sistema de frações para
calcular câmbio e moedas.Devemos abrir um parênteses para tratarmos com um
pouco mais de cuidado as questões referêntes ao algarísmo zero.Mas,é
claro,sem nos aprofundarmos no tema,afinal somente este algarímo já seria tema
de teses e dissertações,dada a abrangencia de obras sobre o mesmo.
Não sabemos ao certo se o Zero surgiu em conjunto com os outros
algarísmos Hindús.Porém, sabemos da sua importância na Matemática
posicional,tento em vista que foi através de sua consolidação que o sistema de
numeração para os números inteiros foi se completando,combinando princípios
básicos de outros sistemas antigos de númeração,como,base decimal,sistema
posicional e uma forma cifrada para cada um dos dez numerais.Este fato foi
enfatizado por Fibonacci, que descreve as quatro operações com o “novo”
sistema inclusive tratando o Zero como um número.
Um dos problemas que está nas páginas deste livro é o famoso problema
dos pares de coelhos, paria coniculorum, que apresentamos a seguir:
_Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos férteis em
um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente
fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste
par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre à produção de um par
e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.
Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês
existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos
jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém
nascido.
19
Tal processo continua através dos diversos meses até completar um ano,
mas também se pode perceber que a seqüência numérica, conhecida como a
seqüência de Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês:
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...}
Esta seqüência é largamente usada hoje em dia para controle populacional
e métodos computacionais, além de que, para os antigos era sinônimo de belo e
simétrico. Também é conhecida como número áureo ou número de ouro, com
presença garantida em grandes obras (Pathernom, As Pirâmides...) da
Antiguidade.
20
1.1 Apresentação
O título desta dissertação, DAS “TREVAS” A LUZ DE FIBONACCI: UMA
VISÃO HISTÓRICA, em alguns momentos pode parecer um título enigmático.
Porém, tentarei nestas poucas linhas apresentar as minhas pretensões em
relação a esta dissertação.
O tema central deste trabalho de pesquisa é a publicação do Líber Abacci
de Leonardo Fibonacci. Um paralelo entre o sucesso do livro e o momento, social,
histórico e filosófico da época da publicação se faz necessário. Deste modo
estaremos assim verificando que as ciências não estão desvinculadas dos
eventos sociais, e que, não basta apenas o reconhecimento da academia. É
preciso que o momento seja propicio para o sucesso de determinada idéia,
experimento ou experimentação. Este trabalho será apresentado em três
momentos, ou, capítulos e as devidas considerações sobre a pesquisa.
Primeiramente será abordada a Matemática árabe. Devemos entender ou
considerar que, a Matemática árabe não é somente a Matemática feita pelo povo
árabe. Consideramos a Matemática árabe a Matemática escrita em língua árabe,
mesmo que, o seu autor ou divulgador não seja árabe por nascimento.
O mundo árabe se encontrava em termos matemáticos à frente do ocidente.
A Casa da Sabedoria foi um dos pólos de propagação do saber científico
medieval – lembrando que o sentido de ciências no mundo medieval não era o
mesmo que temos nos dias atuais – com um acervo fabuloso para a época e
pesquisadores que contribuíram para o desenvolvimento de diversas artes.
Al-khowarismi foi um destes pesquisadores, escreveu o seu livro sobre
álgebra enquanto esteve a serviço da Casa da sabedoria. Também ajudou a
propagar os números hindu-Arábicos, inclusive o “novo” algarismo denominado
Zephrium, conhecido entre nós como Zero.
Em um segundo momento será abordado o legado medieval, onde Gerbert
Au’rillac que mais tarde se tornará o Papa Silvestre II, será um dos maiores
incentivadores do saber matemático.
Desta forma, também será importante a análise do momento social. Como
a expansão do feudalismo, a imposição das teologias por parte do clero, aonde,
segundo as doutrinas, o conhecimento viria somente de Deus.
21
Todo esse contexto aliado às idéias de Santo Agostinho, não favoreceram
as produções daquele que é considerado um dos mais produtivos pensadores da
idade média.
Quase três séculos após, um novo momento eclodia na Europa medieval.
Era um momento de efervescência comercial, portos estavam se abrindo as
nações amigas e a província de Pisa era um dos principais entrepostos nesta rota
comercial. Neste contexto surge Leonardo Fibonacci, que, após contato com a
cultura árabe escreve seu mais comentado livro, intitulado Líber Abacci.
O livro continha problemas de câmbio, conversões de moedas e heranças,
mesmo assim, foi considerado um sucesso e trouxe reconhecimento a Leonardo.
Por fim, temos as considerações acerca da pesquisa e as hipóteses levantadas
na dissertação.
22
1.2 Objetivo
Esse estudo tem como objetivo inicial analisar a publicação do Líber Abacci
de Leonardo Fibonacci, publicado na província italiana de Pisa em 1206.
Pretendemos assim, verificar até que ponto o livro de Leonardo Fibonacci foi
importante para a matemática no período da publicação.
Se o livro obteve aceitação ou não, por aqueles que tinham acesso à
publicação. Também se o livro foi pouco ou muito estudado, e conseqüentemente
os problemas contidos no livro eram relevantes ou não para o período e
trataremos também de questões referentes à originalidade ou não da obra e da
introdução dos números hindu–arábicos nas províncias européias.
23
1.3 Justificativas para a escolha do Tema
Este projeto é relevante para os estudos da História da Matemática porque
podemos verificar que Ciência e História estão estritamente ligadas ao longo dos
tempos, descobertas são amparadas ou refutadas, formando assim algumas das
questões basilares em História das Ciência,a de que devemos refletir sobre o
passado,não olhá-lo com uma visão anacrônica,pois assim poderemos entender
questões e momentos.
No curso de graduação ,no módulo sobre História da Matemática,apesar
dos esforços e excelente didática do professor,uma sensação de vazio sempre
povoava meus pensamentos.Parecia que esta lacuna jamais seria preenchida.No
curso de especialização tive outro módulo sobre História da Matemática,que,na
realidade, foi o que me motivou na escolha do meu projeto de dissertação. O
modo como a disciplina foi desenvolvida foi muito além de apenas citações e
datas como as contidas nos boxes dos livros didáticos,que ao meu ver é um modo
desesperado e pouco frutífero de tentar propagar a história.Nestes boxes as
contribuições dos matemáticos é apresentada como em um passe de
mágica,descontinuadas,algumas vezes fantasiosas e desconexas.Discutia com
alguns colegas de profissão a respeito destas situações ,entretanto os mesmos
não se mostravam empolgados com os meus posicionamentos.Estava disposto a
pesquisar,duvidar,tentar entender e esta nova postura me levou ao mestrado.Mas
porquê não cursar Educação Matemática e sim História da Ciência?
Entendo esta questão da seguinte forma: O conhecimento não se dá de
forma isolada e entendê-lo também não deve ser de forma isolada. “(...)entender
a aventura da espécie humana na busca de conhecimentos e na adoção de
comportamentos(...)”
14
14
U. D´Ambrosio, Etnomatematica (Bologna: Pitágoras Editrice, 2002), 17.
24
1.4 Metodologia
Utilizamos como referencial metodológico em fonte primária à obra
digitalizada
15
Líber Abacci. Privilegiamos em nossa pesquisa sobre a obra
métodos envolvendo problemas de conversão de moedas e enfatizando a
Matemática Comercial. Usaremos também como fontes secundárias às
referências de Rubens Gouvêa Lintz, Carl Benjamin Boyer, Dirk Struik e Ubiratan
D’Ambrosio.
A pesquisa em fonte secundária - História da Matemática - foi dividida em
dois eixos: o primeiro teve como finalidade o levantamento de elementos
históricos sobre a História da Matemática e, o segundo, teve como objetivo a
análise do momento em que os fatos ocorreram, tendo em vista que os autores
em questão privilegiam as questões sociais em suas produções bibliográficas.
Os manuscritos e mapas usados neste trabalho servirão para ilustrar a produção
do pensamento no período estudado. O embasamento teórico filosófico será dado
através das obras de Santo Tomás de Aquino (São Tomás de Aquino, em
algumas publicações mais recentes) e a sua visão do saber medieval e reflexões
sobre as atividades de tradução que eram intensas em uma época considerada
de “trevas”.
Temos consciência de que não conseguiremos abarcar todas as questões
referentes ao tema. Porém, espero estar colaborando de forma relevante para os
estudos em História da Ciência.
15
Digitized for Microsoft Corporation by The Internet Archive in 2007.From University of Californian
Libraries
25
1.5 Conteúdo do Trabalho
No capítulo sobre a Matemática árabe aborda-se a Matemática escrita em
árabe e não somente a Matemática feita pelos árabes. Também nos chama a
atenção que, no período em questão, para se produzir matemática de valor
relevante devia-se conhecer a língua árabe. Estaremos verificando a importância
da casa da sabedoria de onde surgiu um dos mais brilhantes e produtivos
matemáticos de sua época de nome Al-Khowarizmi. A contribuição de Omar
Kayan também será estudada, pois através destes subsídios poderemos entender
o porquê da importância dos números hindu-Arábicos.
No capítulo posterior será estudado o legado medieval, onde o momento social da
época leia - se Feudalismo, será analisado.
O momento político, e os autores que também tentaram introduzir os
números hindu-arábicos na Europa e não obtiveram o mesmo sucesso que
Fibonacci, em especial Gerbert Au’rilacc, que posteriormente foi elevado à
condição de Papa com o nome de Silvestre II.
O momento filosófico será analisado através das obras de santo Tomás de
Aquino, considerado por alguns o mais sábio dos santos e o mais santo dos
sábios. No terceiro e último capítulo, pesquisa e discussão, abordaremos
Leonardo de Pisa, vida e obra, analisaremos seu livro Líber Abacci, alguns
problemas do livro, a relevância de alguns problemas e a simplicidade de outros.
Outras obras do autor também serão citadas de forma abreviada, tendo em vista
não fazerem parte de nosso estudo central.
Em nossas considerações finais tentaremos responder as hipóteses
levantadas. Estudaremos algumas verdades e mitos sobre a figura de Fibonacci e
do seu livro. O porquê do seu sucesso onde outros aparentemente falharam, a
forma como alguns autores intitulam Fibonacci como o precursor dos números
hindu-arábicos na Europa medieval.
26
2 A MATEMÁTICA ÁRABE
2.1 A Matemática no mundo árabe
Quando nos referimos à Matemática árabe estamos querendo nos referir à
Matemática escrita em língua árabe. A influência mulçumana na Matemática se
deu a partir do declínio da Matemática grega, e da expansão comercial e da
assimilação de culturas nas regiões conquistadas ou onde os mesmos mantinham
estreito comércio. Principalmente nas rotas comerciais entre o mediterrâneo e o
oriente.
Entretanto, voltemos um pouco no tempo para entendermos a expansão
mulçumana. Precisamente no ano de 622 quando o profeta Maomé
16
fundador do
Islamismo foge para Meca. Esta fuga se dá por conta de seus adversários
políticos, religiosos, principalmente religiosos. Pois, Maomé pregava o
monoteísmo e as revelações que ele dizia ser enviadas pelo anjo Gabriel. Na
cidade de Medina, Maomé se une a diversas tribos nômades e bárbaras e
aproximadamente em 630 regressa e conquista Meca impondo assim
islamismo
17
. Com a morte de Maomé, seus sucessores através de uma
desenfreada guerra santa tentam a todo custo dominar e expandir seus territórios
a fim de difundir cada vez mais o Islamismo.
Não sabemos ao certo se foi deste modo que a cultura árabe se expandiu.
Mas, provavelmente, esta fusão de culturas, assimilações e divulgações entre
conquistados e conquistadores fizeram com que se formasse uma relação
intercultural. Este fato provavelmente teria acontecido no caso da conquista da
Síria, que possuía uma tradição científica e de tradução de clássicos gregos e
também da pérsia com sua tradição em astronomia.
Quando o árabe passou a ser a língua oficial de todo o Império Islâmico
através do califa Al-Mansur
18
em 762 transferindo a sua capital para a nova
16
Não é considerado pelos muçulmanos como um ser divino, mas sim, um ser humano; contudo, entre os
fiéis, ele é visto como um dos mais perfeitos seres humanos
17
Islã( الإسلام, al-Islām) é uma religião monoteísta que surgiu na Península Arábica no século VII, baseada
nos ensinamentos religiosos do profeta Maomé (Muhammad) e numa escritura sagrada, o Alcorão. A religião
é conhecida ainda por islamismo.
18
Abu Ja'far Abdallah ibn Muhammad al-Mansur (712 – 775; em árabe: ابو جعفر عبداللﻩ ابن محمد
المنصور) foi o segundo califa abássida. Reinou de 754 a 775. Em 762 fundou a nova residência imperial e a
cidade palaciana de Madinat as-Salam, que com o tempo se converteria na capital imperial Bagdá.
27
capital criada por ele de nome Bagdad. As ciências naturais e a Matemática
obtiveram um grande incentivo tanto por parte do califa Al-Mansur e também dos
califas Harun Al-rashid
19
e al-Ma'mun, sem exageros a cidade se tornou uma nova
Alexandria
20
·. Muitos dos trabalhos que posteriormente foram traduzidos para o
árabe, somente puderam ser feitos por conta destes califas, amantes da cultura e
importantes incentivadores. Este fato se deu no intuito de propagar a cultura
árabe pelo mundo. Assim, grandes trabalhos foram traduzidos para o árabe
dentre eles o Almagesto
21
de Ptolomeu
22
Os Elementos de Euclides.
Durante tempos um grande número de estudiosos se juntou a estes califas
que eram considerados verdadeiros mecenas
23
.
E assim, inúmeros tratados, estudos e obras completas não se perderam
com o tempo, graças aos esforços e principalmente visão destes homens. Este
censo de futuro e preservação da cultura árabe se mostra claramente com a
criação da Casa da Sabedoria.
19
Harun al-Rashid ibn Mohamed al-Mahdi ibn al-Mansur al-Abasi (763 - 809)
Califa persa nascido em Rayy, Pérsia, próximo da atual Teerã, capital do Irã. Em seu califado se deu o
apogeu da dinastia abássida e cuja opulência de sua corte foi imortalizada num dos livros mais conhecidos da
literatura árabe, As mil e uma noites.
20
Considera-se que tenha sido fundada no início do século III a.C., durante o reinado de Ptolomeu II do
Egito, após seu pai ter construído o Templo das Musas (Museum). Sua organização inicial é atribuída a
Demétrio de Falero. Uma nova biblioteca foi inaugurada em 2003 próxima ao sítio da antiga.Estima-se que a
biblioteca tenha armazenado mais de 400.000 rolos de papiro, podendo ter chegado a 1.000.000. Foi
destruída parcialmente inúmeras vezes, até que em 646 d.C. foi destruída completamente num incêndio
acidental (acreditou-se durante toda a Idade Média que tal incêndio houvesse sido causado pelos árabes).
21
Almagesto, palavra árabe que significa "O Maior", é o título de um tratado de Astronomia escrito no século
II pelo astrônomo Claudius Ptolomaeus de Alexandria, Egito. A obra, uma coleção de 13 livros, contém o
mais completo catálogo de estrelas (cerca de mil) da Antiguidade e foi utilizado amplamente pelos árabes e
europeus até a alta Idade Média. Descrevia também o geocentrismo e o movimento aparente das estrelas.
Tinha o título original de "A Coleção Matemática", no entanto, ficou conhecida por "O Grande Astrônomo",
de onde vem o seu título final.
22
Claudius Ptolemaeus (em grego: Κλαύδιος Πτολεµαος; cerca de 83 – 161 d.C.), em português dito
Cláudio Ptolomeu ou Ptolemeu, foi um estudioso grego que viveu durante o período helenista, provavelmente
em Alexandria, na então província romana do Egipto. Ele é reconhecido pelos seus trabalhos em matemática,
astrologia, astronomia, geografia e cartografia. Realizou também trabalhos importantes em óptica e teoria
musical.
23
Mecenas (Caius Maecenas) foi um cidadão romano da época imperial. Foi um político, estadista e patrono
das letras. Administrou a fortuna da sua família que era rica (entre 74 a.C. e 64 a.C.) .Foi um conselheiro
hábil e de confiança de César Octaviano (Augustus). Este Imperador fez-se muitas vezes representar por
Maecenas como seu tribuno, orador, patrono e amigo pessoal para várias missões políticas. Mais tarde
aposentou-se e devotou todos os seus esforços a seu círculo literário famoso, que incluíu Horácio, Virgilio, e
Propertius, patrocinando-os com amizade, bens materiais e proteção política. Aos seus protegidos mostrou
ser um amigo e um patrono eficiente e generoso.Na atualidade seu nome é o símbolo do patronato rico,
generoso das artes. Assim o nome Mecenas tornou-se de nome próprio em nome comum. Assim hoje em dia
um mecenas é uma pessoa que patrocina as artes, a ciência ou o ensino, muitas vezes com benefícios fiscais.
28
2.2 A Casa da Sabedoria
Abdallah, ou Al-Ma'mun, não tinha sido indicado como sucessor do
califado, e sim seu irmão Mohammad, conhecido como Al-Amin. Cedo, os dois
irmãos se desentenderam e Al-Ma'mun se apoderou do califado em 813 d.C.
Como seus antecessores, ele tentou incorporar os xiitas
24
em seu governo, mas
em todo o período de seu califado se viu às voltas com os distúrbios entre xiitas e
antixiitas
25
. Parecia que ele caminhava para a desintegração que já se fazia sentir
desde alguns anos.
Há, no entanto, duas grandes inovações que são devidas a Al-Ma'mun e
que inquestionavelmente mudaram os rumos da História islâmica. A primeira foi
uma verdadeira revolução na área militar, iniciada por seu irmão, Al-Mu'tasim.
As revoltas constantes e a profunda divisão da sociedade islâmica
convenceram Al-Ma'mun de que ele necessitava de uma força militar que fosse
leal somente a ele. Assim, seu irmão, que mais tarde se tornaria califa (833 d.C),
reuniu uma força militar composta de escravos, chamados de
mamelucos
26
.
Muitos dos mamelucos eram turcos de origem, e excelentes cavaleiros, mas
também havia os de origem bérbere
27
. Durante o califado de Al-Wathiq
·,
o
exército, que era composto essencialmente de persas e árabes, tinha sido
completamente substituído pelo exército mameluco.
A constituição desse exército e a troca de Bagdá por Samarra provocaram
24
Os xiitas (em árabe العربية, Shiat Ali, "partido de Ali") são o segundo maior ramo de crentes do Islão,
constituindo 16% do total dos muçulmanos (o maior ramo é o dos muçulmanos sunitas, que são 84% da
totalidade dos muçulmanos).Os xiitas consideram Ali, o genro e primo do profeta Maomé, como o seu
sucessor e olham com indiferença os três restantes dos quatro califas que o sucederam.
25
Os sunitas (ﺔّﻨﺳ) formam o maior ramo do Islam, ao qual no ano de 2006 pertenciam 84% do total dos
muçulmanos. A maioria dos sunitas acredita que o nome deriva da palavra Suna (Sunna), que se refere aos
preceitos estabelecidos no século VIII baseados nos ensinamentos de Maomé e dos quatro califas ortodoxos.
Alguns afirmam porém que o termo deriva de uma palavra que significa "um caminho moderado", referindo-
se à ideia de que o sunismo toma uma posição mais neutra do que aquelas que têm sido percebidas como
mais extremadas, como é o caso dos xiitas e dos caridjitas.
26
Os mamelucos (da palavra árabe مملوك, plural: مماليك ) eram escravos que geralmente serviam a seus amos
como pajens ou criados domésticos, e eventualmente eram usados como soldados pelos califas muçulmanos e
pelo Império Otomano para os seus exércitos e que em algumas situações também no Egito detiveram o
poder.
27
Os berberes (que chamam a si próprios Imazighen, ou seja, "homens livres", singular Amazigh) são um
conjunto de povos do Norte de África que falam línguas berberes, da família de línguas afro-asiáticas.
Estima-se que existam entre 38 e 45 milhões de pessoas que falam estas línguas, principalmente em
Marrocos e Argélia, mas também fazendo parte deste grupo os tuaregues, predominantemente nómades do
Sahara.
29
um profundo ressentimento entre os muçulmanos e iria dividir irreparavelmente os
vínculos entre o califado e o povo islâmico. Também um novo grupo étnico era
introduzido no mundo islâmico, os mamelucos, que, mais tarde, iriam
desempenhar um papel fundamental nas disputas de poder durante o Islam
medieval. Mais importante, Al-Ma'mun, ao patrocinar o ensino do grego, do
sânscrito e do árabe, mudava assim, o perfil cultural e intelectual do Islam.
Ele adotou uma posição teológica radical, chamada
mu'tazilismo, que era
olhada como algo meio herético pelos muçulmanos mais ortodoxos. No entanto, o
mu'tazilismo tinha como uma de suas crenças básicas, a idéia de que os
muçulmanos deveriam obedecer a um único governante. A fim de facilitar os
ensinamentos mu'tazilitas, Al-Ma'mun criou uma universidade, e a Casa da
Sabedoria (
Baitul Hiqma).
Al–Mamum buscava o conhecimento onde ele estivesse. Cercou-se de
eruditos de todos os campos, contribuiu para o enriquecimento da biblioteca da
Casa da Sabedoria com obras universais e não somente mulçumanas.
“(...) diz se que o califa teve um sonho em que apareceu Aristóteles, e em
conseqüência Al-Mamum decidiu mandar fazer versões de todas as obras árabes que
conseguissem deitar as mãos (...)”
28
Tinha interesse em especial na medicina e assim recrutou grandes
médicos que haviam sido formados na universidade de Jandaisapor. Um destes
médicos obteve grande destaque. Seu nome era Hunain ibn Ishaq, foi
responsável pelo progresso na área médica. Hunain criou a padronização de uma
linguagem científica. Provavelmente graças as suas pesquisas, a Casa da
Sabedoria foi um dos primeiros nichos científicos a traduzir o juramento de
Hipócrates
29
e produziu uma cultura progressista e de alto nível por quase dois
séculos. ”Era uma época quando o resto da Europa estava mergulhado no mais
sombrio barbarismo”, declara Gustave Le Bon
30
em Psicologia das Massas,
acrescentando ainda, “Bagdá e córdoba, as duas grandes cidades onde o Islam
28
Boyer, 155.
29
Hipócrates (em grego, πποκράτης) — (Cós, 460–Tessália, 377 a.C.) é considerado por muitos uma das
figuras mais importantes da história da saúde, frequentemente considerado "pai da medicina". Hipócrates era
um asclepíade, isto é, membro de uma família que durante várias gerações praticara os cuidados em saúde.
30
Gustave Le Bon (7 de maio de 1841—13 de dezembro de 1931) foi um psicólogo social, sociólogo e físico
amador francês. Foi o autor de várias obras nas quais expôs teorias de características nacionais, estudos
racias, comportamento de manada e psicologia de massas.
30
predominava, eram centros de civilização que iluminavam todo o mundo com a
luz de seu brilhantismo”. Expressão está carregada de juízo de valor, fato
considerado temeroso para os Historiadores da ciência.
Mas, em relação à contribuição no campo matemático podemos considerar
que, Leonardo Fibonacci bebeu da fonte produtiva de um dos primeiros
matemáticos a trabalhar na Casa da Sabedoria. Seu nome, Abu Abdullah
Mohammed bem Musa Al-Khowarizmi
·,
cuja grafia adotada por mim devido a maior
freqüência com que aparece será esta, (Al - Khowarizmi) Mas não deixando de
ressaltar as demais adotadas em outras literaturas
31
O nome de Al - Khowarizmi
circula com facilidade entre os matemáticos de épocas posteriores, e até hoje
figura nos boxes e notas de livros didáticos de Matemática quando querem se
referir à História da Matemática árabe.
2.3 A Matemática de Al-Khowarizmi
Não sabemos muito sobre a vida deste estudioso das artes matemáticas,
entretanto, conhecemos as suas contribuições para a Matemática. Podemos
afirmar, não com muita certeza que nasceu por volta de 780 em khiva, hoje
Uzbequistão. Concluímos isto através de seu nome, cujo significado é:
Mohammed, pai de Abdullah e filho de Moisés, de khowaresm.
Tal interpretação nos indica que ele ou sua família eram originários desta região
próximo da Pérsia e atual Uzbequistão.
31
al-Khuwarizmi al-Magusi (ca780-ca859), al-Karizmi, Citado por Ubiratan D’Ambrosio, notas de aula
(Ubiratan D'Ambrosio ubi@pucsp.br HM Lote n.3
)
Figura 1
Um selo emitido em 6 de setembro de 1983 na União Soviética, comemora o 1200º aniversário de
Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī
Como já foi mencionado a Casa da Sabedoria se empenhou muito nas
grandes traduções universais,ao que tudo indica, nas traduções para o árabe das
ciências gregas, hindus, persas. O livro de Al-Khowarizmi mais famoso, e que o
elevou ao grau de grande matemático e eternizou seu nome é o Kitab Al
Mukhtassar Fi Hissab Al Jabr Wal Mukabala (livro do cálculo Algébrico e
confrontação), que não somente deu o nome de Álgebra a esta Ciência, em seu
significado moderno, mas abriu uma nova era da Matemática,pois grande
soluções foram alcançadas por ele através de sua Álgebra.
Al-Khowarizmi, em suas pesquisas, estabeleceu seis tipos de equações
algébricas que ele mesmo solucionou em seu livro.O nome de Al-Khawarizmi, em
espanhol, guarismo, que ao passar para o francês se tornou logarithme, deu
origem ao termo moderno Logaritmos.
31
Compreendemos que, a álgebra de Al-khowarizmi em alguns aspectos se
mostra de um nível mais elementar. Alguns problemas contidos em sua obra não
possuem a sincopação contidas na obra do grego Diofanto e nos estudos de
Brahmagputa.Destacamos também o fato de que, sua álgebra é expressa
inteiramente em palavras, inclusive os números.Al-khowarizmi resolvia as
equações de segundo grau de uma forma muito parecida com o modo de
resolução desenvolvido pelos Babilônicos,também só considerava as soluções
positivas. Mas algo o distingue dos Babilônicos, este reconhece o fato de
existirem duas soluções embora geralmente, mesmo no caso de serem ambas
32
positivas, considere apenas uma. Porém, apresentava demonstrações
geométricas para todas as suas resoluções.
Para representar as variáveis usava certas palavras,como podemos
observar na tabela abaixo:
Variáveis • Palavras
x coisa
constante número
X2 mal
Um problema contido na primeira parte do seu livro pode demonstrar bem o
uso somente das palavras em seus enunciados:
• “Dividi dez em duas partes e multipliquei uma pela outra, o resultado foi
vinte e um”.
Mesmo com este modo peculiar de descrever seus problemas a sua álgebra
está mais próxima da álgebra elementar de nossos dias, pois seu livro não se
ocupa de problemas difíceis. Mas,contém uma exposição direta para resolução de
equações de uma forma direta e clara, partindo da premissa a conclusão de forma
sistemática.
Ao que tudo indica,Al-Khowarizmi foi um dos primeiros a descrever a
álgebra do modo como foi descrito,destacou pontos importantes em que nem
Diofante nem Bramahgupta se destacaram.
Mas,mesmo reconhecendo a sua importância para os estudos das
euqações,fato este que não podemos negar.Devemos procurar nos cercar de
cuidados antes de nos “apaixonarmos” por certos rótulos . Isto porquê usar
termos como paternidade,pioneirismo,...etc,por meio de uma pesquisa
historiográfica pode ser um tanto temeroso.
33
Boyer em determinado momento demonstra uma paixão pelo rótulo e
escreve o seguinte;”(...)Diofante é as vezes chamado de “Pai da álgebra”,mas
este título pertence a Al-khowarizmi(...)”.
32
.Em outro momento reforça seu juizo de
valor e escreve,(...)Al-khowarizmi merece ser chamado “o Pai da álgebra”(...)
33
.
Em outro momento Boyer ,ou para ser mais exato,logo em seguida a
afirmação “apaixonada” de paternidade ,relembra os cuidados que devemos ter
com tal afirmação:
“(...), no entanto nenhum ramo da matemática aparece já maduro, e não
podemos deixar de perguntar de onde veio à inspiração para a álgebra
árabe (...)”
34
Posteriormente Abu Kamil Shuja Ibn Aslam
35
, usou as anotações de Al
Khowarizmi, devido ao grau de importancia de seu livro e quantidade de soluções
para diversas equações. Al-Khowarizmi é mencionado até nossos dias, nos
cursos de História da Matemática nos cursos de graduação e pós graduação
.Também em curiosidades sobre a Matemática e em pequenas introduções em
livros de nível fundamental e médio como forma de explicar um pouco da História
da Matemática para estes alunos.
32
Boyer, 157
33
Ibidem
34
Ibidem
35
Abu Kamil Ibn Aslam Shujā ibn Muhammad ibn Shujā (c. 850 - c. 930) (árabe: ابو كامل), foi um egípcio
muçulmano e matemático durante a chamada era de ouro islâmica. Ele também era conhecido como al-Hasib
al-Misri, literalmente, "O Egípcio calculadora" Ao contrário dos muitos
polímatas desta época,
nomeadamente ,al-Khowarizmi,
al-Kindi, Ibn al-Haytham (Alhacen no Ocidente), al-Biruni, Ibn Sina
(Avicenna) e Ibn Rushd (Averróis),Abu Kamil era um especialista . Seu domínio foi a Álgebra Seu livro
sobre as coisas raras na arte do cálculo tratava os sistemas de equações cujas soluções são números inteiros
ou frações e também Combinatória Este trabalho levou a uma investigação posterior sobre os
números reais,
soluções de
polinômios, e encontrar raízes diversas. Ele também foi um dos primeiros a tratar números
irracionais como objetos algébricos, e aceitar números irracionais (muitas vezes sob a forma de uma raiz
quadrada, raiz cúbica ou raiz quarta), como soluções para equações quadráticas ou como coeficientes de uma
equação. Resolveu também equações simultâneas com três variáveis desconhecidas.
Figura 2
Kitab Al Mukhtassar Fi Hissab Al Jabr Wal Mukabala
Tempos depois, outros matemáticos do oriente muçulmano aumentaram o
número de equações de seis para vinte.Para todas as equações acharam
soluções fundamentadas em sólidas demonstrações geométricas.
Devem-se também a Al-Khowarizmi um tratado de geometria, tábuas
astronômicas e outros trabalhos em geografia, como os exemplos existentes em
seu livro Suratul Ardh (imagem da Terra).
Al-Khowarizmi foi um dos astrônomos que participaram da operação
Geodésica ,uma das mais delicadas de sua época; a medição do comprimento de
um grau terrestre. Este fato ocorreu no século IX, o objetivo era determinar
partindo da suposição de que a terra era redonda, o tamanho da terra e da sua
circunferência. A operação realizada na planície ao norte do Eufrates e também
perto da cidade de Palmira, indicou 91.176 metros como comprimento de um grau
do meridiano. Um resultado extremamente acurado, pois excede o comprimento
real do grau nesse lugar de apenas 877 metros.
34
Al-Khowarizmi se destacou em suas pesquisas e em seus
resultados,sendo considerado uma das maiores capacidades científicas do Islam.
Figura 3
Folha de rosto do livro The Algebra of Mohammed ben Musa (1831) de Frederic Rosen
35
Figura 4
Página sobre equação do 2ºgrau, Kitab Al Mukhtassar Fi Hissab Al Jabr Wal Mukabala
A versão original da Álgebra de Al-Khowarizmi encontra-se perdida,mas
por meio de traduções chegou à Espanha, por volta do século XII em latim.
Não sabemos ao certo se Leonardo Fibonacci obteve seu primeiro contato com os
números hindu - arábicos por meio da obra de Al- Khowarizmi ou por meio de
suas viagens a costa africana.Estas viagens ocorriam porquê seu pai era
mercador naquele continente.Mas,certamente sabemos que Fibonacci teve
contato com a obra de Al-Khowarizmi e os nove “simbolos” indianos para
representar os algarismos e um círculo para representar o zero.A princípio o zero
não teve o seu real valor avaliado,pois, somente quase um século depois da obra
Líber Abacci de Fibonacci percebeu-se o valor do zero com característica
36
37
posicional.Estudaremos posteriormente algumas características importantes do
algarísmo Zero.Contudo,sem aprofundarmo-nos nestas questões,pois,o algarísmo
Zero em si já possui vasta bibliografia.
2.4 A Matemática de Omar Kayan
Um homem mais conhecido no ocidente por seu talento poético,por meio
de sua obra Rubayat. Tornou-se um clássico da literatura mundial
aproximadamente em 1839 pela tradução feita por Edward Fritzgerald. Influenciou
no conceito europeu sobre a poesia e literatura persas com suas mensagens
místicas e filosóficas de profunda complexidade. Nascido Ghiyath al-Din Abul
Fatah Umar Ibn Ibrahim al-Khayyam, em 1044, em Nishapur, uma cidade persa,
Omar Kayan foi também um famoso matemático. Contribuiu dentre outras coisas
para a classificação das equações algébricas, sendo fundamental para o
progresso da álgebra como uma ciência. Em sua álgebra foi além do que Al-
Khowarizmi, pois incluiu equações do terceiro grau. Da mesma forma, sua obra
sobre a teoria das linhas paralelas foi importante para a geometria. Suas
contribuições no campo da astronomia também foram muito relevantes.
Um dos maiores legados de Kayan neste campo de conhecimento é um
calendário solar bastante preciso para a sua época e também, pelos recursos
disponíveis para tal feito. O calendário de Kayan era muito mais preciso do que o
calendário gregoriano, usado na maior parte do mundo: o dele apresenta um erro
de um dia em 3770 anos, enquanto que o gregoriano tem um erro de um dia em
3330 anos. Kayan mediu a extensão de um ano em 365, 24219858156 dias.
Embora o calendário tenha sido abolido depois da morte de Malik Shah, em 1092,
no entanto, ele ainda é utilizado em algumas partes do Irã e do Afeganistão.
Passou a maior parte de sua vida nos centros intelectuais persas, como
Samarcanda
36
e Bucara
37
, e gozou da simpatia dos sultões seljúcidas
38
que
governavam a região.
36
É uma das mais antigas cidades do mundo, tendo sido fundada, aproximadamente, em 700 a.C.. Foi
conquistada por Alexandre, o Grande em 329 a.C. e era o centro político do Império Timúrida e a capital
mais opulenta da Ásia Central. A cidade era dominada pela gigantesca cúpula de sua mesquita. Os
monumentos a Tamerlão eram cobertos de azulejos de ouro, lápis-lazúli e alabastro.
37
Bucara (em uzbeque Buxoro, em cirílico Бухоро) é a quinta cidade mais povoada do Uzbequistão e capital
da região Bucara (Bukhoro Wiloyati).Tem uma população de 237,900 (censos de 1999), maioritariamente
38
Sendo assim, Kayan contribuiu de forma significativa para o
desenvolvimento da Matemática árabe, com pesquisas importantes, no campo da
geometria e também, com relevantes demonstrações algébricas. Nas palavras de
Boyer:
“Quem quer que imagine que a álgebra é um artifício para achar
quantidades desconhecidas pensou em vão. Não se deve dar atenção ao
fato da álgebra e da geometria serem diferentes na aparência. As álgebras
são fatos geométricos que são provados.”
39
2.5 Os Números hindu-arábicos
Os algarismos hindu-Arábicos são as formas de simbolismo mais
comumente usadas para representar os números. A maioria das literaturas sobre
o tema afirma que foram introduzidos na Europa por Fibonacci.Um estudioso das
artes matemáticas, filho de um mercador italiano que comercializava com a costa
africana .
Fibonacci estudou no oriente durante as viagens de seu Pai para
comercializar especiarias.Posteriormente, fez inúmeras viagens sozinho a costa
africana, aprofundado assim seu conhecimento matemático, escreveu no seu
livro Líber Abacci os conhecimentos que adquiriu no Oriente.
Entretanto, a História da Ciência por diversas vezes tem demonstrato o
quanto devemos ser cautelosos com a idéia de paternalismo ou pioneirismo .Em
se tratando da História da Matemática não poderia ser diferente. Pois,nada no
campo científico acontece como em um passe de mágica.
Estudos mais aprofundados demonstram que Fibonacci não foi o primeiro a
introduzir os números hindu - árabicos na Europa medieval.
tajiques de língua persa. Bucara e Samarcanda são os dois principais centros da cultura e história Tajiki-
Persa.
38
Os turcos seljúcidas eram uma tribo de nómades conduzidos por um homem chamado Seljuque que se
instalaram perto de Bucara (agora no Uzbequistão) no final dos anos 900. Alguns desses guerreiros partiram
a seguir para a conquista de novas terras mais para o ocidente.Em 1071, Alp Arslan conduziu os seus homens
para a Arménia, onde foi atacado por um exército bizantino sob o comando do imperador Romano IV
Diógenes, o que se provou fatal para os Bizantinos. Os turcos fingiram fugir, cercaram os inimigos e
derrotaram-nos, capturando o imperador que acabou por ser libertado com pagamento de resgate.A batalha
acabou com o poderio bizantino na Ásia Menor e os seljúcidas avançaram e fundaram o que viria a ser o
Império Turco. Em 1078 tomaram Jerusalém. A reação da cristandade à tomada de Jerusalém deu origem às
Cruzadas
39
Boyer, 165.
39
(...) Autores de várias classes sociais ajudaram a popularizar o"algorismo
“,(...) Alexandre de Villedieu (viveu por volta de 1225),(...) John de Halifax
(cerca de 1200-1256),conhecido como Sacrobosco,(...) o terceiro era
Leonardo de Pisa (...)”
40
.
Gerbert d'Aurillac, graças aos contatos com a Ciência árabe, a própria
cultura no campo filosófico e matemático, pois era um religioso,de cultura
primorosa,fato que mais tarde impulssionou a ascensão na igreja a condição de
Papa(Silvestre II). Foi um dos primeiros divulgadores dos numerais hindu-
arábicos na Europa cristã. Mas não podemos também afirmar que foi o
primeiro,pois devido à turbulência do período nada podemos afirmar sobre este
fato,ou seja,não importa quem foi o primeiro e sim a importancia do fato.Assim os
números hindu-arábicos vieram gradativamente substituindo os números
romanos,que de certa maneira facilitou e impulsionou a Matemática comercial ,a
conversão de moedas e as questões relativas a heranças familiares e dotes
matrimoniais.Devemos salientar ainda que, os algarismos hindu-arábicos não
foram adotados em Portugal nem na península ibérica de imediato.
Na Idade Média, como podemos ver nas figuras, o sistema de numeração
arábico era grafado nesta sequência:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, o. Podemos também
observar que o símbolo "o" tratava-se de pequeno círculo.
Atualmente o sistema de numeração arábico consiste dos símbolos abaixo:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
que são derivados da versão ainda hoje usada no mundo muçulmano:
٩, ٨, ٧, ٦, ٥, ٤, ٣, ٢, ١, ٠
40
Boyer, 172.
Figura 5
Figura da grafia manuscrita com o correto sequenciamento e formato dos algarismos arábicos na
página de título do livro " Libro Intitulado Arithmetica Practica " por Juan de Yciar, matemático e
calígrafo Basco, Saragossa 1549
40
Figura 6
Representação dos algarismos em diferentes épocas
41
Figura 7
Filippo Calandri, De Arithmetica, Florença: Lorenzo Morgiani e Johannes Petri, 1 de Janeiro, 1491-
92. Página 145 com a terminologia "Numeri in abaco scribendi" referindo-se aos algarismos
arábicos.
42
Na figura abaixo alguns algarismos, desde os usados pelos indianos da
época de Brahmagupta, passando pelos algarismos usados pelos povos árabes e
chegando aos algarismos que usamos no Mundo Cristão.
Lendo de baixo para cima, temos:
• Algarismos Devanagari da época de Brahmagupta
• Algarismos Devanagari primitivo, anterior a Brahmagupta.
• Algarismos árabes de c. 800 dC
• Algarismos árabes atuais.
• Letras árabes eventualmente usadas como algarismos.
• Algarismos hindu-arábicos medievais.
• hindu-arábico atual.
Figura 8
Tabela de algarísmos, desde os usados pelos indianos da época de Brahmagupta, passando
pelos algarismos usados pelos povos árabes e chegando aos algarismos que usamos no Mundo
Cristão.
Como citamos anteriormente ,a praticidade das operações usando os
números hindu-arábicos foi um dos fatores fundamentais para a aceitação do
sistema na europa.Fato este que,aliado a nova condição do comércio,onde,a
conversão de moedas era considerada muito importante,porquê cada província
ou feldo possuia a sua própria moeda. Ao analisamos e comparamos o sistema
Árabe com o sistema Romano percebemos quão devem ter sido difícíceis as
transações comerciais com o sistema romano.
43
A praticidade da conversão de moedas usando o novo sistema.A regra da
falsa posição e a regra de três,geradas pelo novo sistema foram tão importantes
que renderam uma estátua a Fibonacci na cidade de Pisa e um opulento
Mausoléu.
Mas, vejamos um pouco sobre o sistema romano para efeito de
comparação. O sistema de numeração romana desenvolveu-se na Roma Antiga e
foi utilizado em todo o seu Império. Neste sistema as cifras se escrevem com
determinadas letras, que representam os números. As letras são sempre
maiúsculas, já que no alfabeto romano não existem as minúsculas.As letras são I,
V, X, L, C, D e M.As equivalências dos númerais romanos com o sistema decimal
são as seguintes:
Decimal Romana
1 I
2 II
3 III
4 IV
5 V
6 VI
7 VII
8 VIII
9 IX
10 X
44
45
3 O LEGADO MEDIEVAL
3.1 A Matemática na Europa Medieval
Quando nos referimos à Idade Média na Europa, devemos tomar muitos
cuidados a respeito das generalidades e formadores de opinião.
Não podemos seguir o mesmo viés de alguns historiadores de rotular a Idade
Média de um período negro e de retrocesso intelectual,científico e cultural. Por
vários séculos este período foi pejorativamente rotulado de “Idade das Trevas.”
No entanto podemos perceber uma tendência por parte dos historiadores de rever
conceitos sobre este período.É claro que neste período estava a razão a serviço
da fé.
O conhecimento foi monopolizado pela igreja católica de tal forma que toda
a produção intelectual do período, a manutenção dos conceitos e propagação das
idéias e doutrinas deveriam ter a chancela da igreja .
“(...) o papel desempenhado pela igreja católica naquele período no que se
refere à produção, veiculação e manutenção das idéias e saberes (...)
domínio das habilidades de leitura e escrita tornou-se praticamente restrito
ao clero (...)”
41
Este tipo de monopólio basicamente determinou quais conhecimentos
deveriam ser transmitidos ou reproduzidos. Criaram-se assim os manuais de
estudo que nada mais era do que um estudo dos saberes já produzidos. Alguns
destes manuais restringiam-se em traduções parciais de textos já existentes em
que se exaltavam os conhecimentos das artes liberais e situações práticas de
arquitetura.
Dentre alguns autores que se destacaram no período medieval, temos
Boécio
42
e Cassiodoro estes autores com seus trabalhos exaltaram os interesses
41
Arlete de Jesus Brito, revista brasileira de história da matemática, FESTSCHRIFT Ubiratan D’Ambrosio
(São Paulo: FAPESP, 2007).
42
Anício Mânlio Torquato Severino Boécio (em latim Anicius Manlius Torquatus Severinus Boethius, Roma,
c. 475 a 480 — Pavia, 524), mais conhecido simplesmente por Boécio, foi um filósofo, estadista e teólogo
romano que se notabilizou pela sua tradução e comentário do Isagoge de Porfírio, obra que se transformou
num dos textos mais influentes da Filosofia medieval europeia. Traduziu, comentou ou resumiu, entre outras
46
da igreja e o tipo de conhecimento que a mesma desejava ou não propagar.
Boécio tem as bases de seu pensamento em um único fato essencial: que o
mosteiro (e não a corte) seria "o lugar" da cultura e do estudo. Seu lema seria:
fidem, si poteris, rationemque cojunge, "conjuga a fé e a razão", conselho com
que encerra uma carta endereçada ao Papa João I. À primeira vista, nada de
novo. A novidade, porém, está em que esse propósito tenha sido assumido
explicitamente, programaticamente: aquilo que antes podia ser unicamente uma
atitude fática tornava-se agora um princípio.Quanto a Cassiodoro, funda o
mosteiro de Vivarium que marca ,pelo menos oficialmente,o início dos mosteiros
como centros de estudo e do trabalho dos copistas. Em seu livro Instituições, o
próprio Cassiodoro descreve seu mosteiro e incentiva o trabalho dos copistas.
O pensamento de Santo Agostinho através de suas escrituras determina:
“(...) Tudo o que se conhece com a mente, e não o que se percebe pelos
sentidos, está com Deus. Atrevo-me ainda a dizer mais (...) quem se
entrega á percepção das coisas sensíveis, não apenas está separado de
Deus, mas também de si mesmo (I, 2,5) (...) Esta disciplina [matemática] é
a mesma lei de Deus que, sempre permanecendo fixa e inabalável Nele,
de certo modo se imprime nas almas dos sábios, de modo que tanto
melhor sabem viver e com tanta maior elevação quanto mais perfeitamente
a contemplam com a sua inteligência e a guardam com sua vida.”
43
A Matemática na Idade Média, seguindo uma tradição que vem desde os
pitagóricos
44
, era composta pela aritmética, música, geometria e astronomia,
conjunto de matérias denominadas por quadrivium, mas que nas obras de
Cassiodoro e Isidoro era denominada de “Matemática”.
A aritmética e a música seriam o estudo das quantidades discretas,
enquanto a geometria e astronomia seriam o estudo das grandezas contínuas. A
Matemática medieval é assim caracterizada, pela releitura e união de fragmentos
obras dos clássicos gregos, para além do Isagoge de Porfírio e do Organon de Aristóteles, vários tratados
sobre matemática, lógica e teologia. Notabilizou-se também como um dos teóricos da música da antiguidade
clássica greco-latina, escrevendo a obra De institutione musica, também aparentemente com base em antigos
escritos gregos.
43
Arlete de Jesus Brito, O quadrivium na obra de Isidoro de Sevilha (tese de doutorado, Universidade
Estadual de Campinas. Faculdade de Educação, 1999).
44
Essa divisão já se encontrava no tratado sobre a harmonia do pitagóricos Ar quitas de Talento (c.400 a.C.)
(c.f. Nicômano, livro I)
47
da Matemática grega e aspectos simbólicos relacionados às necessidades de
trabalho e sobrevivência. Estas necessidades seriam, de modo geral, vinculadas
as formas de comercialização de mercadorias e circulação de moedas. Outros
fatores relevantes para a formação da Matemática medieval seriam as questões e
aplicações práticas sobre a contagem do tempo, as questões que envolvem
administração de bens e cálculo de heranças. Contudo continuava sendo uma
“Ciência” Doutrinal, onde, os interesses religiosos sobressaiam em todos os
aspectos. O divino e celestial sobrepunha com o lógico, o racional.
Este fato também era facilmente detectado no pensamento de Santo Agostinho,
que vinha assim a colaborar com os interesses diretos da igreja.
45
“(...) Assim, esta matemática medieval se formou a partir da releitura que a
sociedade ocidental da Idade Média fez de fragmentos da Matemática
grega, releitura esta, muitas vezes revestidas de aspectos simbólicos e
realizadas a partir das necessidades. Relacionadas tanto ás especulações
metafísicas quanto ás questões de trabalho e de sobrevivência (...)”
46
Na idade Média, a aritmética ocupava um lugar de primazia entre as
disciplinas do quadrivium. Tal primazia estava embasada na crença dos primeiros
pitagóricos de que ela seria necessária aos termos geométricos tais como
triângulo, quadrilátero, etc, que possuem os números implicados em suas
concepções.
Entendemos também que as razões harmônicas da musica são aritméticas;
e que o movimento dos astros formaria figuras governadas por quantidades.
Segundo neopitagórico Nicômaco de Gerasa
47
(séc I), a aritmética seria:
45
Este fato é muito bem descrito no excelente artigo de Arlete A. de Jesus Brito, professora do departamento
de educação da Unesp - Rio Claro. O artigo em questão foi um convite da Revista Brasileira de História da
Matemática e faz parte da linda e justa homenagem aos setenta e cinco anos do professor Ubiratan
D’Ambrósio em seu “FESTSCHRIFT
· UBIRATAN D’AMBROSIO-DEZEMBRO/(2007)
”.
46
Arlete de Jesus Brito, revista brasileira de história da matemática, FESTSCHRIFT UBIRATAN D’AMBROSIO,
FAPESP 2007.
47
Nicômaco nasceu aproximadamente no ano 60, em Gerasa, era um dos membros da Escola Pitagórica e
veio a falecer aproximadamente no ano 120. Não era considerado muito habilidoso com a matemática,
portanto ocupava-se apenas com as propriedades elementares dos números. Para ele os números tinham
qualidades, eram melhores ou piores, mais jovens ou mais velhos.
48
“(...) a ciência naturalmente prioritária, mais honrosa, mais venerável e
mãe e enfermeira das demais (...). Tudo o que tem sido arranjado no
universo por um método sistemático parece, tanto em suas partes como no
todo, ter sido ordenado de acordo com o número, pelo pensamento e
mente daquele que criou todas as coisas.”
48
A idéia Pitagórica de que todo o universo teria sido arranjado segundo um
princípio numérico vai ao encontro da passagem da Bíblia na qual se afirma que
“tudo foi criado em medida, número e peso” (Bíblia, Sabedoria. 11, 21.), o que
teria levado Santo Agostinho e muitos teólogos medievais após ele, a adotarem
tal crença acerca da formação do universo. Outro exemplo que mostraria a
relação entre números e o milagre da obra divina seria, segundo aqueles
teólogos, a criação do mundo em seis dias, uma vez que seis é o primeiro número
perfeito. Matematicamente, número perfeito é aquele cuja soma de seus divisores
próprios é igual ele mesmo, por exemplo: 6=1+2+3. Cassiodoro (IV, 585) e Boécio
(I, 19) dissertaram sobre a importância metafísica deste número, enquanto
Agostinho afirmava que:
“Toda esta narração tem um objetivo: A perfeição do número seis, que é
um mesmo dia repetido seis vezes, completando-se a criação em seis
dias. E isto não porque Deus tivesse necessidade do tempo, como se não
pudesse criar simultaneamente todas as coisas, Ele que haveria de formar
depois com movimentos congruentes o tempo, mas porque o número seis
significa a perfeição das obras”.
49
Assim, podemos perceber porque para muitos estudiosos a Europa no
medievo pouco produziu ou pouco progrediu. Enquanto disponíveis seus livros, foi
Aristóteles aceito como autoridade e um estudioso respeitado.
Esta aceitação se manteve até quando as suas obras completas deixaram
de ser lidas ou se perderam, e apenas breves comentários passaram a ser
estudados, sendo o mais popular deles o tratado de lógica.
48
Arlete de Jesus Brito, revista brasileira de história da matemática, FESTSCHRIFT UBIRATAN D’AMBROSIO,
FAPESP 2007.
49
Santo Agostinho, A cidade de Deus, vol. 1(Petrópolis: Vozes, 2007), 325.
49
Neste panorama o pensamento de Agostinho exerceu grande influência,
combinando a filosofia de Platão com as Epístolas de São Paulo, formando assim
a grande síntese do pensamento cristão sobre o conhecimento.
Portanto, o motivo pessoal do pecado individual da salvação ou da
danação, como a perspectiva de um fim catastrófico do mundo próximo da
segunda vinda de Cristo a terra, substituíram o brilhante espírito grego em relação
à família e ao estado. ”Discutir a natureza da terra não nos auxilia em nossa
esperança de vida futura (...) perderam de vista o seu tentando medir a terra.”
50
Mas nem tudo se perdeu por completo, pois com a chegada do
conhecimento da cultura árabe na Europa. Um caminho formado por nichos de
conhecimentos foi se estabelecendo. Em Constantinopla o império Bizantino
favoreceu a arte e a literatura nos séculos IX e X, colecionando e resgatando
vários manuscritos gregos. Sal ermo forma uma escola especializada em
medicina. E o estímulo dos sábios por Carlos Mágno e Alfredo melhora o ensino.
No norte, a tal que as escolas passam a adquirir a forma de universidades. Um
espaço de construção dos saberes e preservação do mesmo. Agindo de certa
forma como mediador político entre a igreja e a sociedade.
3.2 A Contribuição de Gerbert Au’rillac
Neste panorama mais propício do conhecimento, uma verdadeira
revivescência, se assim podemos chamar, aconteceu. Houve incentivos nas artes
liberais, e assim, reviveram-se os estudos de Direito em Bolonha e logo se
juntaram a Medicina e a Filosofia. E como citamos anteriormente, formando as
primeiras universidades que, merecem maior atenção em um momento posterior.
50
Ambrósio de Milão (Trier, Alemanha 340 - 4 de abril de 397), conhecido como Santo Ambrósio, foi bispo
da atual Arquidiocese de Milão, e é considerado um dos Padres e Doutores da Igreja. Foi ele quem ministrou
o batismo de Santo Agostinho É considerado um dos quatro máximos doutores da Igreja, aprendeu de
Orígenes a conhecer e a comentar a Bíblia.
Os escritos de Ambrósio são considerados atuais e a Igreja em várias épocas tem recorrido a eles. As suas
obras são citadas em documentos doutrinais e pontifícios até hoje. Pio XII escora-se em Ambrósio na sua
Encíclica Sacra Virginitas, de 25 de março de 1954, citando todas as obras do santo sobre o assunto. Bento
XVI discorrendo sobre ele diz que Ambrósio: "Trouxe para o ambiente latino a meditação das Escrituras,
iniciando no Ociente a prática da lectio divina, que orientou a sua pregação e os seus escritos, que brotam
precisamente da escuta (...) da Palavra de Deus. (...) Com ele os catecúmenos aprendiam primeiro a arte de
viver bem para preparar-se depois para os grandes mistérios de Cristo e sua pregação partia da leitura dos
Livros Sagrados, para viver de conformidade com a revelação divina."
50
Mas, tratemos das questões referentes à contribuição de Gerbert, (c. 950 – 12 de
maio, 1003, nome de batismo Gerbert d'Aurillac), em seu tempo a Europa não
estava preparada para o desenvolvimento matemático. Era o ponto alto da cultura
muçulmana, mas os estudiosos latinos mal podiam entender os tratados sobre
este assunto. Felizmente, Gerbert era um erudito, assim como um de seus
antecessores Silvestre I
51
, do qual não foi sucessor imediato como poderia
parecer para o leitor mais desatento. Ocupava-se da política tanto leiga quanto
eclesiástica e era um estudioso atento. Gerbert, nasceu em Auvergne, França,
provavelmente perto da cidade francesa de Au'rillac. Suas origens certamente não
sabemos, mas podemos considerar serem provavelmente humildes. Foi educado
e encaminhado aos estudos teológicos no mosteiro de Saint-Géraud de Aurillac,
próximo de onde morava, onde viveu e estudou para uma carreira sólida na
igreja.
52
O abade do local era um homem instruído e corajoso, que assegurava que
seus alunos estudassem os clássicos “pagãos” assim como os textos religiosos
exigidos. E Gerbert logo cedo aprendeu grego e Latim, e os clássicos de Platão e
Virgílio. Boyer em seus estudos afirma que, Gerbert ao acompanhar o Duque da
Espanha, Borelli, estabeleceu-se na Península Ibérica,onde pôde aprofundar-se
em diversos estudos.
Também , graças aos contatos com a ciência árabe, enriqueceu a própria
cultura no campo filosófico e matemático. Boyer afirma que, Gerbert deve ter
passado algum tempo na abadia de Santa Maria de Ripolli, para aprender as
coisas que fez.Afirmação esta, compartilhada com outros historiadores da
Matemática.
53
A abadia de Santa Maria de Ripolli era considerada a jóia da Catalúnia. Um
centro da vida religiosa e intelectual no século IX pela sua biblioteca. Continha
51
Silvestre I foi Papa entre 31 de Janeiro de 314 até 31 de dezembro de 335, durante o reinado do imperador
romano Constantino I, que instaurou o cristianismo como religião do Estado.A sua autoridade foi eclipsada
pela de Constantino, e não assistiu ao sínodo de Arles (314) nem ao Concílio de Niceia (325), convocados
pelo imperador. Não obstante foi durante o seu pontificado que a autoridade da Igreja foi estabelecida e se
construíram os primeiros monumentos cristãos, como a Igreja do Santo Sepulcro em Jerusalém, e as
primitivas basílicas de Roma (São João de Latrão e São Pedro), bem como das igrejas dos Santos Apóstolos e
de Santa Sofia em Constantinopla.
52
http://mathdl.maa.org/mathDL/46/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1187 Acesso
em 12/05/2008
53
Dirk J. Struik, História concisa das matemáticas. Trad. de João Cosme Santos. (Lisboa: Gradiva, 1989);
Rubens G. Lintz, História da matemática, vol. II, coleção CLE, Fapesp.
51
muitos livros litúrgicos, incluindo exemplos bonitos de caligrafia, textos Visigóticos
(um manuscrito do século IX descreve como computar a data de Easter
54
),
incluindo traduções árabes de Arithmetica de Boécio.
Durante o século X, quando Gerbert estava em Ripolli, os monges de já
traduziam trabalhos árabes para o latim. E assim, Gerbert novamente teve o
acesso a muitas idéias e que ajudaram ainda mais em sua formação.
Gerbert surpreendia a todos com a sua inteligência e tal fato não foi diferente com
o Papa João XIII e, mais tarde, o mesmo fato ocorreu com o imperador romano
Otto, eles puderam conhecer seu conhecimento da Ciência e da Matemática.
Figura 8
Selo comemorativo,homenagem a Gerbert Au’rillac
54
A data em que é comemorada a Páscoa varia porque, segundo ficou decidido no Conselho de Nicea de 325
d.C, a Páscoa seria comemorada no primeiro domingo após a primeira lua cheia que ocorresse a partir de 21
de março, data do primeiro equinócio do ano. Mas o que vem a ser equinócio? É a data em que à noite e o dia
têm a mesma duração da noite em toda a Terra. Há dois equinócios por ano: o segundo ocorre em 23 de
setembro.
52
Este fato se deu pelo alto grau de erudição de Gerbert, que era proficiente
em dois assuntos que podem bem ter impressionado e surpreendido tanto o
Imperador quanto o Papa - o uso do astrolábio, e o cálculo com numerais hindu-
árabicos. Ambos os assuntos, eram conhecidos aos eruditos orientais no século
X, e foram transmitidos ao oeste da Europa através dos monastérios espanhóis.
O astrolábio era um dispositivo astronômico muito conhecido; seu uso foi descrito
em diversos originais de sua época.
Um destes originais, o Sententiae Astrolabii, foi traduzido no século X do
árabe para o latim por Lupitus de Barcelona. Sugeriu-se que o manuscrito original
fosse de fato o trabalho de Al-Khowarizmi.
Em todo caso, supomos que havia uma cópia deste manuscrito na
biblioteca do monastério em Ripolli durante os anos em que Gerbert esteve por lá.
Entretanto, trata-se de mera suposição. Tendo em vista, não termos encontrado
nenhum documento que ateste tal suposição.
Gerbert descreveu em seu livro intitulado Geometria, como usar um
Astrolábio para encontrar a altura de um triângulo, um uso longe de seus usos
astronômicos pretendidos. Mais tarde, quando foi indicado professor da escola da
catedral em Reis, ensinou as doutrinas da igreja, e usou dispositivos pedagógicos
tais como o astrolábio para ensinar a matemática e a sua relação entre a música
e à astronomia. Onde por uma década desenvolveu a parte mais produtiva e
interessante de sua obra didática e cultural.
Figura 9
Manuscrito Sententiae Astrolabii
O conhecimento de Gerbert era considerado acima da média, inovador e
diferente, para a época. Alguns povos o acusaram de pacto com o sobrenatural,
ou mesmo o uso de meios demoníacos para resolver os problemas matemáticos.
William de Malmesbury
·,
historiador inglês, escrevendo cem anos mais tarde,
indica que Gerbert estudou a astrologia com os árabes e aprendeu artes mágicas
com eles.
53
54
Figura 10
Catedral de Rheins
Uma das lendas que circulam sobre Gerbert e os seus saberes
matemáticos é a de ele poderia voar. Atribuíam também, a precisão dada
por Gerbert às respostas matemáticas a uma senhora bruxa. Esta senhora
havia construído uma cabeça falante, enorme, que lhe dava as respostas
aos problemas da Matemática.
Figura 11
Relação de Gerbert e o Ocultismo
Foi um dos primeiros divulgadores dos numerais hindu-arábicos na Europa
cristã que temos notícia. Também, foi considerado como o inventor do primeiro
relógio mecânico do qual se tem registro. Não encontramos referências a este
dispositivo antes de Gerbert. Gerbert planejou um novo tipo de ábaco, se não
novo, pelo menos, diferente. Poderia ser usado para calcular com os numerais
Hindús.
55
O instrumento de Gerbert era composto de uma placa lisa com colunas,
correspondendo no nosso sistema atual as, unidades, dezenas, centenas, e
assim por diante. Presume-se que Gerbert possa ter sido um dos primeiros
estudiosos a usar o ábaco.
Figura 12
Representação do uso do astrolábio e um Abacísta
Gerbert atuou também como conselheiro do arcebispo Adalberon.Sendo
assim, deteve influencia na política francesa, favorecendo a ascensão ao trono de
Hugo Capeto
55
.
55
Hugo Capeto (938 — 24 de Outubro de 996) foi rei dos francos de 987 a 996, o fundador da dinastia
capetiana. Era filho de Hugo, o Grande, duque dos francos.Em 987, Hugo Capeto, então duque dos francos,
tornou Paris a principal cidade do país e o poderio do ducado estendeu-se gradativamente por toda a França.
56
57
Após à morte de Adalberon (989) seguiu-se um período agitado e
turbulento para Gerbert.Foi indicado para a sucessão de Adalberon,e, por desejo
do próprio rei Hugo viu-se preterido por Arnulfo. Tempos depois,Arnulfo foi
deposto e assim, Gerbert foi nomeado Arcebispo (991)em seu lugar.Em uma
eleição considerada ilegal, Gerbert também foi deposto em 995.
Ameaçado,refugiou-se então na Alemanha, protegido pelo imperador Otto III ,
que, havia sido seu discípulo em Roma. Gerbert, foi levado por Otto III para ser
seu conselheiro na Itália.Sendo assim, ascendeu rapidamente na hierárquia da
igreja católica.Primeiramente,foi nomeado arcebispo de Ravena (998), e depois,
com a morte de Gregório V, foi elevado a condição de Papa (999).Como Sumo
Pontífice,passou a ser chamado de Papa Silvestre II. Gerbert tinha idéias
diferenciadas e projetos reformadores.Além de que,seus laços de amizade com o
imperador Otto III ,estabeleceu uma convivência pacífica e de colaboração entre
império e papado denominada Renovatio imperii.
Mas, a população romana, não compartilhava com as inovações do
imperador Otto III e do Papa Silvestre II. Em suma, ambos foram expulsos da
cidade em fevereiro de 1001. Silvestre ,pôde voltar a Roma alguns meses depois,
mas, totalmente desmotivado,toda sua vontade reformadora desaparecera. Enfim,
Gerbert era verdadeiramente um erudito, seus estudos na Espanha foram
importantes às idéias matemáticas. Tinha conhecimentos dos eruditos latinos,
árabes, indianos, e judaicos.
Figura 13
Mausoléu de Gerbert
Au’rillac
58
Figura 14
Página de instruções do uso do ábaco.
(Joseph Gerbert Albanel, ou Sylvestre II et le siécle de fer Paris 1868.).
59
60
3.3 O Comércio e a Matemática Comercial
Para entendermos o comércio no Medievo e a Matemática aplicada neste
período devemos entender a diversidade e complexidade do mesmo. As invasões
germânicas e a progressiva ruralização do Império Romano a partir dos séculos
IV e V transformaram o comércio europeu numa atividade econômica secundária
em relação à agricultura.
Nessa época de inicio da Idade Média, o comércio era realizado por
mercadores "sírios", designação que incluía todos aqueles provenientes da parte
oriental do antigo Império Romano que ia da Grécia ao Egito, incluindo os judeus.
Esses mercadores comercializavam produtos exóticos de luxo, como especiarias,
perfumes, tecidos finos, couros trabalhados, papiros, azeite, tâmaras e figos. O
comércio regional na Europa Medieval deu origem aos portus localizados ao
longo das vias fluviais. Os portus eram utilizados com intensidade, pelo fato das
vias fluviais serem mais rápidas e seguras que as péssimas e mal-conservadas
estradas. Outro evento comercial desenvolvido na idade média foi às "feiras", que
eram encontros periódicos de produtores e mercadores realizados numa data fixa
a cada ano. "A feira junto à abadia de Saint Denis realizava-se em outubro, após
a vindima
56
'' (Georges Duby)
57
. A atividade comercial era vista com desconfiança,
apesar de ser reconhecida como importante e necessária para os reis, os nobres
e o povo em geral. Nos períodos do ano em que as estradas se tornavam
intransitáveis devido à chuva ou à neve, os mercadores procuravam parar no
cruzamento de grandes rotas em portos fluviais ou marítimos, ou junto a uma
antiga cidade ou castelo fortificado. Essa permanência logo fazia surgir um bairro
mercantil ou manufatureiro – o burgo - ao lado do castelo feudal ou da catedral. A
princípio, o burgo era apenas” um emaranhado de vielas, cloacas e pocilgas “
58
,
espremido entre muralhas e portões que se fechavam à noite.
Nele concentravam-se mercadores e artesãos dos diversos ofícios, o que
incentivava as trocas com as aldeias dos camponeses visto que os centros
urbanos necessitavam de matérias primas e de alimentos.
56
Vindima designa, tradicionalmente, a colheita, a apanha da uva. Designa, por extensão, período dos
trabalhos intensos da colheita e destinação das uvas, e o início do fabrico do vinho.
57
Georges Duby, O tempo das catedrais: A arte e a sociedade 980-1420(Lisboa:Nova História),126
58
Ibid, 130.
Os burgos, nascidos próximos aos domínios castelos ou catedrais, não
tardaram em procurar se libertar do jugo dos senhores feudais. Para obter esta
autonomia necessitavam da compra da Carta de Franquia
59
, mediante uma
indenização paga ao conde ou barão. Surgia assim à comuna
60
, no inicio baseada
em princípios de lealdade e igualdade entre seus habitantes. As comunas
estabeleciam um sensível contraste com a sociedade rural, em que prevalecia a
rígida hierarquia social entre senhores e servos. As cidades aumentaram aos
poucos sua penetração no campo, incentivando o desbravamento de novas terras
de cultivo em torno delas e atraindo camponeses e artesãos. Atraiam também
outros elementos de várias localidades, entre eles, da nobreza e monges fugidos
dos mosteiros. Para os camponeses, a cidade significava a liberdade, pois a
servidão não existia no solo urbano. No início, de um simples local de trocas
improvisado, surge um mercado, as cidades foram se transformando em centros
manufatureiros especializados. Eram manufaturados diversos utensílios, como
por exemplo, artesanato de lã, linho, tapetes, couraças, elmos, vestuário, vitrais
para as catedrais, etc. As regiões mais fortemente urbanizadas eram as ligadas
às grandes rotas comerciais da Europa Medieval e localizadas em zonas de
grande produção agrícola. As províncias italianas, além de desenvolverem o
comércio internacional de artigos de luxo, criaram uma forte indústria têxtil e naval
(trabalhos em madeira para cascos, mastros, velas, cordames). Outros fatores
que devemos destacar foram às atividades bancárias e de seguros marítimos.
Nas cidades, a produção era realizada pelos artesãos que se reuniam em
corporações de oficio. Em cada corporação existiam os mestres, os oficiais e os
aprendizes de determinada profissão, que fabricavam e comercializavam os
artigos necessários ao consumo da cidade e das propriedades senhoriais
vizinhas. Cada mestre tinha um numero variável de aprendizes e o número de
mestres guardava certa proporção com as necessidades da comunidade.
As corporações de oficio atuavam na defesa de seus membros e através
de regulamentos controlavam os preços mínimos e máximos, a venda e a
qualidade dos produtos, o número de trabalhadores e o horário de trabalho,
impedindo invenções isoladas, concorrência entre seus membros e produtos de
61
59
Conjunto de liberdades e direitos obtidos pelos habitantes de uma cidade junto ao poder local.
60
A palavra comuna, na Idade Média, é a designação para a cidade que se tornava emancipada pela obtenção
de carta de autonomia fornecida pelo seu suserano
62
cidades vizinhas. Nas principais províncias da Itália e dos Países baixos os
mestres e os mercadores das grandes corporações de oficio ou "artes maiores”
(lãs, sedas, peles, remédios) se transformaram numa elite econômica e política -
a alta burguesia - que se sobrepunha aos membros das “artes menores”
(chapeleiros, ferreiros, carpinteiros, curtidores, pequenos negociantes e lojistas) -
a pequena burguesia - e à massa de trabalhadores urbanos assalariados, sem
proteção das corporações de ofício.
A alta burguesia se tornou proprietária de companhias de comercio,
bancos, lojas, navios, terrenos urbanos, instalações industriais e de entrepostos
para armazenagem de mercadorias orientais e das demais regiões da Europa
dominando um mercado cada vez mais amplo. Devido ao controle das atividades
bancárias do comércio internacional e da produção de determinados artigos
essenciais como o sal, essa burguesia acumulou grandes lucros, dando origem
ao capital mercantil.
Os empresários e mercadores apoderam-se do governo das cidades,
usando-o para adquirir privilégios e fazer leis em seu benefício. “Como exemplo,
podemos citar as grandes famílias burguesas que dominaram as províncias
italianas, organizadas como repúblicas independentes ou comunas: os Médicis,
em Florença, os Sforza, em Milão, etc”.
A burguesia das cidades procurou se integrar ao mundo rural e feudal,
adquirindo terras e palácios, casando-se com membros da aristocracia,
comprando títulos de nobreza, aceitando cargos e participando das cortes dos
reis, que pouco a pouco foram recuperando o poder político. A Igreja cristã, que
antes do século XI via com maus olhos as atividades mercantis e ensinava "ser
difícil não pecar quando se tem por profissão comprar e vender”. Para a Igreja
cristã, o homem tinha um destino espiritual, outra vida após a morte, seja no céu
ou no inferno. Por isso, na Terra, ele deveria preocupar-se exclusivamente com
sua salvação. A missão da Igreja era ajudá-lo nessa tarefa. Para ajudar a
salvação do homem, a Igreja condenava o comércio que visava lucros. Pois,
segundo os ensinamentos da Igreja, os bens materiais foram dados ao homem
como meios para facilitar sua salvação e não para seu enriquecimento. A
finalidade do trabalho não era, portanto, o enriquecimento.
63
Assim, cada um deveria ficar na posição em que se encontrava e não
desejar ser mais do que era ao nascer. Mas, com a intensidade das atividades
comerciais a igreja passou a reconhecer a utilidade dos mercadores e banqueiros,
tornando-se mais tolerante e aceitando, como legítimo, o direito de lucrar e de
cobrar juros devido às dificuldades e riscos enfrentados na profissão. Como todo
homem medieval, o burguês estava impregnado de profunda fé, observando os
dias religiosos e participando de cerimônias solenes. Na Itália, era comum se
destinar parte dos lucros de uma sociedade comercial a Deus, com doações em
dinheiro para a Igreja e para os pobres, "representantes" de Deus na terra. A
burguesia e o alto clero foram responsáveis pelo embelezamento das cidades,
com construção de pontes, monumentos, palácios e catedrais, incentivando e
protegendo artistas e literatos. As catedrais góticas, edificadas como penitência e
garantia de salvação da alma, se tornaram símbolo e orgulho da população, local
de festas religiosas e ponto de encontro dos cidadãos para suas assembléias.
A partir do século XII as mudanças na sociedade medieval foram
evidentes. Nas palavras de Duby:
"Graças a sua nova agricultura, à abundância de braços para o trabalho e
para a guerra, ao comércio e as suas cidades, a Europa cristã tornara-se
uma comunidade de homens e de negócios, unidos por uma fé vista
igualmente com fervor e com o pragmatismo necessário para não estorvar
os negócios”.
61
As mudanças ocorridas com a expansão islâmica e abertura dos portos as
nações amigas, as novas exigências do conhecimento humano e os novos
desafios decorrentes da realidade do período. Estes fatos servirão de impulso
para o processo de formação das monarquias nacionais. Permitiu também a
instituição de impostos, moedas e exército a nível nacional.
Percebemos assim a importância do Líber Abacci, um livro que
erroneamente é traduzido como o livro do ábaco por alguns. Mas que na verdade
é um livro sobre cálculos que podiam ser usados em diversas transações
comerciais, conversão de moedas, cálculos de heranças e um tratado
61
Francisco C.Teixeira Silva, Sociedade Feudal. (São Paulo: Brasiliense, 1984), 38.
64
interessante sobre as frações. Ao relatar traços do panorama da época,
pretendemos entender um pouco as facilidades ou obstáculos que o período
ofereceu à Matemática comercial. A divulgação do sistema arábico, as facilidades
que o “novo” sistema apresentava e indagarmos se realmente o período
favoreceu as idéias de Fibonacci, ou, as idéias por ele emprestadas do mundo
Islâmico. Provavelmente, este conhecimento veio de tratados e manuscritos mais
antigos, de certo temos que, tal fato não desmerece estas contribuições. Muitos
viajantes desejavam obter mercadorias além do território dominado pela
cristandade.
Estas mercadorias eram raras na Europa e eram conhecidas por
especiarias
62
, vindos dos mais distantes pontos do oriente. Porém, estas
mercadorias tinham um alto valor e os comerciantes italianos as traziam
juntamente com informações importantes sobre o outro continente.
Estas informações causavam certo furor no imaginário das pessoas por
causa das fantásticas narrativas por parte daqueles que regressavam. Foi talvez
por um destes motivos que Fibonacci foi estudar com professores árabes e viajar
posteriormente para o continente africano. Além de que, seu pai era um mercador
bastante ativo no comércio com o continente africano. Sendo assim, o material e
o imaginário caminhavam lado a lado, do mesmo modo que o amor e ódio, as
mudanças e resistências da igreja, que de certo modo contribuíram para o infeliz
e errôneo título de era das trevas atribuído ao período.
Neste momento do trabalho, julgamos interessante o uso de alguns mapas
de rotas comerciais e invasões. O propósito básico do uso dos mapas é ampliar o
entendimento acerca do tema. Tendo em vista que, as imagens possuem
linguagem própria.
Mas como podemos demonstrar os mapas comerciais sem mencionarmos
as cruzadas?Propositadamente não mencionamos o movimento das cruzadas
anteriormente, porque pretendíamos dar certo destaque ao movimento. Mas, sem
nos aprofundarmos no tema. O século XIII foi considerado o século das Cruzadas.
62
O termo especiaria, designou diversos produtos de origem vegetal flor, fruto, semente, casca, caule, raiz),
de aroma e/ou sabor acentuados. Isso se deve à presença de óleos essenciais.Além de utilizadas na culinária,
com fins de tempero e de conservação de alimentos, as especiarias eram utilizadas ainda na preparação de
óleos, ungüentos, cosméticos, incensos e medicamentos.
Neste período elas ocorreram com maior intensidade, eram defendidas
pelo Papado. Qualquer movimento militar incentivado pelo clero chama-se
cruzada.As cruzadas partiam da Europa Ocidental e tinham como objetivo
dominar a Palestina ,Terra Santa, (nome pelo qual os cristãos denominavam a
Palestina) e a cidade de Jerusalém.
Estes movimentos estenderam-se entre os séculos XI e XIII, época em que
a Palestina estava sob controle dos turcos muçulmanos. Essas expedições foram
mais um exemplo da influência da Igreja. Embora, também tenham sido
influenciadas pelo interesse em dominar as rotas comerciais do oriente, existentes
ao longo da costa africana.
Figura 15.
Foi respondendo "Deus o quer" que a multidão reunida em Clermont no dia 27 de novembro de
1095 acolheu o sermão do Papa Urbano II em favor da guerra santa destinada a libertar o
sepulcro de Cristo do controle dos "infiéis".
65
Figura 16
Expansão comercial devido às cruzadas.
66
Figura 17.
Reinos dominantes, devido às cruzadas
67
68
3.4 O pensamento de Santo Tomás de Aquino
Para entendermos o porquê da aceitação das idéias de Fibonacci e a sua
contribuição para o pensamento medieval, sobretudo, a Matemática comercial,
devemos também olhar para outros aspectos. Dentre eles, a postura adotada pela
igreja em relação ao comércio e temos também o efervescente momento filosófico
através do pensamento de inegável valor intelectual de pensadores como Roger
Bacon (1215-1294), Guilherme de Ockham (1285/90-1349), Tomás de Aquino
(1225-1274), Alberto Magno (1193-1280). Nas palavras de Terezinha Oliveira:
“(...) Estes autores se dedicaram à investigação da natureza, da natureza
das coisas, valorizaram a importância das investigações empíricas e
compreenderam que, para tratar das ciências naturais, era preciso a
experiência e o conhecimento de outras autoridades além das sagradas,
como Aristóteles (...)”
63
Como tomaremos por base filosófica deste trabalho as questões
relacionadas a Santo Tomás, não será preciso prolongar-nos a respeito dos
demais pensadores. Entretanto, não nos esquivaremos da real importância do
pensamento dos mesmos, para o segundo aspecto de suma importância no
medievo, que foi a criação das Universidades, como um espaço novo de
construção e de preservação dos saberes.
Segundo Terezinha Oliveira a criação das Universidades pode assim ser
vista por este ângulo:
“(...) É a resposta dos homens medievais às novas exigências históricas.
Consideraremos a universidade como um patrimônio histórico, portanto,
como uma instituição cuja preservação e recordação são necessárias.
Ressalte-se que não estamos falando apenas da sua preservação
material, mas também da retomada do seu sentido original. ”
64
·.
63
Terezinha Oliveira, “Origem e memória das universidades medievais: a preservação de uma instituição
educacional” (Tese de Doutorado, Universidade Estadual de Maringá, 1997), ___.
64
Terezinha Oliveira, “Origem e memória das universidades medievais”, Belo Horizonte: varia História 23,
nº 37 (Jan /Jun 2007): 113-129.
69
Ao considerarmos os aspectos apresentados por Terezinha Oliveira,
compreenderemos a importância da criação das Universidades, o sentido do
momento social, e a visão que ela nos remete ao imprimir o caráter de
universalidade ao saber e ao agir dos homens. Esta visão nos permite a
compreensão desta instituição, Universidade, como espaço do saber universal,
mediado pelas relações do poder político, a visão, permissão ou a chancela do
clero. Santo Tomás de Aquino proporcionou o debate teórico, o questionamento
dos saberes e agir dos homens, tornando-se assim, até de uma forma romântica
”o mais sábio dos Teólogos e o mais teólogo dos sábios”.
65
Devemos tratar a instituição Universidade como um grande patrimônio
histórico e principalmente social. Pois assim, conseguiremos ver “luz” onde outros
erroneamente diziam haver somente “trevas”, juntamente com traduções de
caráter duvidoso e que, os teóricos medievais eram apenas representantes das
idéias e vontades do clero e do papado. Santo Tomás é um exemplo de que nem
tudo ocorreu deste modo, ou seja, de total obediência.
Além disso, outras instituições surgiram no medievo que constituíram a base da
sociedade burguesa e dominante. Como a monarquia constitucional, que durante
séculos foi à forma de governo de nações européias onde reis e imperadores
expandiam cada vez mais seu poder e que subsiste ainda nos dias atuais entre
algumas nações.
66
Outro exemplo de instituição medieval ainda existente é o júri, isto para não
mencionarmos os bancos, os juros e a carta de crédito. Estes exemplos
demonstram com clareza a produção intelectual do período e a nada influencia
das universidades no desenvolvimento do pensamento. Tal fato nos remete ao
renascimento ou as ”luzes” como alguns assim preferem.
Após essas considerações sobre o legado histórico dessas instituições,
trataremos das suas origens para que possamos compreender sua importância na
construção de nossas identidades sociais.
Os homens dessa época, como os de qualquer outra, erigiram suas
instituições para responder às questões que se colocavam no momento, ou seja,
materializaram seus ideais em instituições para produzirem soluções para suas
65
Frei Carlos Josaphat, Tomás de Aquino e a Nova Era do Espírito (São Paulo, Loyola, 1998)
66
Terezinha Oliveira, (Org.) Antiguidade e Medievo. Olhares Histórico-Filosóficos da Educação (Maringá:
Maringá, 2008), 112.
70
vidas e traçarem seus caminhos. Na análise das origens das universidades na
Idade Média, dois fatos históricos se destacam. O primeiro diz respeito ao conflito
político entre os poderes laico e eclesiástico. O segundo liga-se à disseminação
do pensamento aristotélico no Ocidente através de pensadores como Santo
Tomás.
Estudiosos afirmam que, diversos acontecimentos interferiram e
estimularam o nascimento dessas instituições. Podemos citar o “renascimento”
das cidades, o desenvolvimento das corporações de ofícios, o florescimento do
comércio, o aparecimento da figura do mercador. Oliveira afirma o seguinte sobre
este fato:
“Existem análises que vinculam as universidades medievais às escolas árabes;
(...) poderiam ter nascido no século XIII, o século das corporações de ofício. (...) Contudo,
a disputa pelo poder entre a realeza e o papado, que reivindicavam o governo da
sociedade, influenciou sobremaneira o surgimento das universidades.
67
No início do século XIII, o Papa e os príncipes encaravam essas
instituições como importantes pontos de apoio político e cultural. Em função disso,
editaram leis e bulas com o objetivo de instituí-las, protegê-las e nelas
intervir, tanto no ensino como nas relações entre estudantes e mestres e entre
estes e a comunidade. As principais universidades do século XIII, Paris e
Bolonha, foram criadas por essas autoridades a fim de suprirem os seus
interesses pessoais.
A influência de Tomás de Aquino no panorama intelectual da época pode
ser visto através de escritos de especialistas em Santo Tomas. José Geraldo
Vidigal de Carvalho afirma que: “(...) O conhecimento, ensinava Tomás, tem a
primazia sobre a ação, pois nada pode ser amado se não for conhecido primeiro
(...)”
68
A suma Teológica é um dos principais escritos de Santo Tomás. Trata-se
da natureza de Deus e das questões morais. Uma base de doutrinas e dogmas do
catolicismo. Contemporâneos de Santo, estudiosos, filósofos entre outros,
exaltam o saber de Santo Tomás sobre “As coisas da natureza de Deus”.
67
Ibid.
68
Côn. José Geraldo Vidigal de Carvalho, Professor no Seminário de Mariana – MG.
O Papa Pio XI demonstra toda sua admiração aos escritos de santo Tomás
em várias oportunidades. “A Suma Teológica é o céu visto da terra"
69
,em outra
ocasião afirma,"A todos quantos agora sentem sede da verdade, dizemos-lhes:
ide a Tomás de Aquino”
Figura 18
Página da Suma Teológica
69
Papa Pio XI, in: Alocução de 12 de dezembro de 1924 no colégio Angelicum de Roma .
http://sumateologica.permanencia.org.br/ (acessado em 3 de junho de 2007).
71
72
Para se entender Santo Tomás,devemos ver alguns dos seus escritos.
Vejamos algumas sentenças da Suma Teológica a respeito das questões
relacionadas a razão e a natureza:
70
1. A razão reproduz a natureza.
Ratio imitatur naturam (I, 60,5.).
2. A causa e a raiz do bem humano é a razão.
Causa et radix humani boni est ratio (I-II, 66,1).
3. "Natureza" procede de nascer.
Natura a nascendo est dictum et sumptum (III, 2,1).
4. A reta ordem das coisas coincide com a ordem da natureza; pois as coisas
naturais se ordenam a seu fim sem qualquer desvio.
Rectus ordo rerum convenit cum ordine naturae; nam res naturales ordinantur in
suum finem absque errore (CG 3,26).
5. O intelecto é naturalmente apto a entender tudo o que há na natureza das
coisas.
Intellectus... natus est omnia quae sunt in rerum natura intelligere (CG 3,59.)
6. Os princípios da razão são os mesmos que estruturam a natureza.
Principia... rationis sunt ea quae sunt secundum naturam (II-II,154,12).
Segundo Lintz
·,
em linhas gerais, a filosofia de Santo Tomás pode ser
classificada como um realismo moderado. Santo Tomás assume a existência da
natureza como uma realidade independente de nós e de outro lado à existência
das idéias e conceitos. Para Santo Tomás a intuição dos fatos é o início de todo
conhecimento.
70
Jean Lauand. Razão, Natureza e Graça -Tomás de Aquino em Sentenças.
http://www.hottopos.com/mp3/sentom.htm (acessado em 10/05/2009).
73
Lintz diz ainda que: “(...) Santo Tomás se baseia pesadamente no
pensamento Aristotélico dando a ele, entretanto, uma forma pessoal e brilhante
adaptado à Teologia como o fim do último conhecimento superior (...)”
71
Este modo de pensar de santo Tomás, de que, razão e natureza estão
intimamente relacionados é marcante para o período. Faz-nos indagar inclusive,
se, Santo Tomás fosse nascido nos tempos de Gerbert, este não colheria os
louros da introdução dos números Hindu-arábicos na Europa medieval?Deixo a
questão ao leitor.
71
Ibid. 252.
4. PESQUISA E DISCUSSÃO
4.1 Leonardo de Pisa
Figura 19
Não existem imagens de Leonardo de Pisa da sua época, assim tanto as gravuras, como a estátua, situada em
Pisa, são puras recreações.
72
A Matemática européia ganhou um novo impulso ou um fôlego renovado a
partir da metade do século XII após a chegada de manuscritos e traduções da
Matemática islâmica. Nessa época, um dos personagens de destaque foi
Leonardo de Pisa (1180 – 1250 aproximadamente) e seu livro mais famoso é o
Líber Abacci (Livro do ábaco). Porém não se trata de nenhum estudo sobre o
ábaco e sim um trabalho sobre métodos e problemas algébricos. Fibonacci
divulga o sistema de numeração Hindu-arábico na Europa e aborda diversos
problemas em sua Obra. Leonardo obteve uma educação privilegiada para a
época. Podemos verificar este fato através dos seus escritos.
72
http://www.malhatlantica.pt/mathis/europa/Medieval/fibocacci/Fibonacci.htm
74
Lintz comenta este fato da seguinte forma: “(...) seu pai possuía uma
posição de destaque (...) o jovem Leonardo foi educado no sistema árabe que
então dominava toda a região (...)
” 73
A importância de Leonardo para os estudos da matemática comercial foi
reconhecida na sua cidade natal que, em 1240. A cidade de Pisa lhe concede
uma remuneração anual vitalícia, como agradecimento aos serviços prestados à
comunidade; assim como uma homenagem, na corte do Imperador Frederico
II...
Homenagem esta que, é citada em várias biografias sobre Leonardo.
Figura 20
Remuneração anual atribuída a Leonardo pela cidade de Pisa
4.2 Líber Abacci, o livro.
Leonardo Fibonacci inicia seu livro Líber Abacci com a seguinte
apresentação: “Ci sono nove figure degli indiani: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Con queste
nove figure, e con il símbolo 0, Che gli arabi chiamano zephiro, qualsiasi numero
può essere scritto, come dimostreremo. “
74
Líber Abacci foi escrito por Fibonacci em 1202. Conhecemos este trabalho
a partir de uma segunda versão de 1228 e versões digitalizadas posteriormente.
Leonardo Fibonacci nasceu em Pisa, aproximadamente em 1170. Na época de
seu nascimento a cidade de Pisa era um importante centro comercial italiano,
assim como Gênova e Veneza.
75
(Acesso em 23/04/2008)
73
Ibid., 57.
74
Leonardo Fibonacci, Líber Abacci, inizio del primo capitolo
75
Howard Eves, Introdução à História da Matemática (Campinas: Unicamp, 2002), 292.
75
76
O pai de Leonardo ocupou o lugar de chefe de um entreposto, no norte da
costa da África (Bugia, atualmente Bejaia na Argélia), foi ali que Leonardo iniciou
os seus estudos de Matemática com professores islâmicos.
Leonardo também teve contato com procedimentos matemáticos orientais
demonstrando a influência de Al-khowarizmi e Abu Kâmil.
76
Leonardo usou os métodos de Al-Khowarizmi para resolver equações
quadráticas. Dele obteve problemas literais, o qual se encontra em manuscritos
arábicos descobertos por ele durante as inúmeras viagens ao Oriente. A maioria
dos problemas, porém, são de sua própria idealização e mostra a sua habilidade
criativa.
Tempos depois, Leonardo viajou pelo Mediterrâneo (Egito, Síria, Grécia,
Sicília, Provença), encontrando-se com outros estudiosos islâmicos. Em cada um
dos locais que visitava ia adquirindo, assim, mais conhecimento matemático do
mundo árabe. Leonardo assinava também com outros nomes, por vezes,
Leonardo Bigollho, que significa em toscano, viajante.
Provavelmente atribuído ao seu "prazer" por viajar. Em outras vezes assinava
com o nome de fillius Bonacci (fillho de Bonnacio, o seu pai chamava-se,
provavelmente, Guilielmo Bonnacci).
O livro contém não apenas as regras para cálculo com os numerais Hindu-
arábicos. Existem também diversos problemas, que incluem questões, certamente
úteis ao mercado que estava se formando ou se fortalecendo. Dentre as questões
do livro podemos destacar o cálculo de juros, conversões monetárias, cálculo de
medidas. Leonardo recorre a diversos algoritmos e
métodos para solução de diversos problemas, entre eles o método da falsa
posição e a resolução de equações quadráticas.
Líber Abacci está dividido em 15 capítulos, alguns com assuntos que para
os nossos dias podem parecer triviais, mas que, eram úteis para o momento em
que foram apresentados. Temos também outros problemas considerados atuais
ou mais badalados, como o conhecido problema dos coelhos. Alguns autores que
escrevem sobre História da Matemática comentam sobre a obra de Leonardo,
alguns de forma mais amena, outros nem tanto.
76
Ibid.
77
Portanto, entender o valor da obra de Leonardo significa se despir de
qualquer anacronismo, ou seja, não olhar o passado com os olhos do presente.
Somente deste modo poderemos compreender ou tentar perceber a importância
de Leonardo para a Matemática comercial no medievo.
Boyer comenta que:
“(...) O Líber Abacci não é uma leitura interessante para o leitor moderno
(...) demora-se em problemas com transações comerciais, usando um
complicado sistema de frações para calcular câmbios (...), além disso, ha
numerosos problemas desinteressantes (...)”
77
Entretanto, Eves demonstra um entusiasmo maior ao comentar sobre o
Líber Abacci. Eves comenta o seguinte:
“(...) O matemático mais talentoso da Idade média (...). O livro ilustra com
profusão e defende com energia a notação Indo-arábica
78
(...) uma farta
coleção de problemas, que serviu de manancial para autores de textos
(...)”
79
4.3 Alguns problemas do livro
As fontes com que Leonardo se apoiou para escrever o Líber Abacci
certamente são do mundo. Acreditamos que, durante as suas muitas viagens o
material para escrever o livro foi recolhido. Em linhas gerais o Líber Abacci
contém não só as regras para o cálculo segundo os novos numerais Hindu-
arábicos, mas também numerosos problemas de vários gêneros. Alguns
problemas de natureza prática, como é o caso do cálculo dos lucros, conversão
de moedas, e mensuração. Temos também uma limitada quantidade de teoria,
tais como, métodos para somar séries e justificações geométricas de fórmulas
quadráticas. Fibonacci apresenta assim, diversos problemas, ao longo dos quinze
capítulos. Estaremos apresentando todos os capítulos e acerca do que se referem
e posteriormente alguns problemas ilustrativos, que julgamos interessantes.
77
Boyer, 173.
78
Notação do autor, diferente da usada por nós ao longo do trabalho, Hindu-arábica.
79
Eves, 293
78
O livro divide-se naturalmente em três partes. A primeira trata da aritmética
que envolve os sete primeiros capítulos. O capítulo 1 trata-se da leitura e escrita
dos números no sistema hindu-arábico. Inclusive, com uma breve apresentação
sobre estes números. “De cognitione novem figurarum indorum et qualiter cum
eis omnis numerus scribatur; et qui numeri, et qualiter retineri debeant in manibus,
et de introductionibus abbaci”.
80
Fibonacci afirma que: “(...) As nove figuras dos hindús são 9, 8, 7, 6, 5, 4,
3, 1. Com estas nove, e com o símbolo 0, que os árabes chamam zephirum,
podem se escrever todos os números, (...)”
81
O capítulo 2 é sobre métodos de Multiplicação usando números inteiros,
“De multiplicatione integrorum numerorum”. O capítulo 3 é sobre métodos de
adição usando números inteiros, ”De additione ipsorum”.O capítulo 4 é sobre
métodos de extração do menor número pelo maior (subtração), ”De extractione
minorum numerum ex maioribus”.O capítulo 5 é sobre métodos Divisão de
números inteiros, ”De divisione integrarum numerorum per íntegros.” O capítulo 6
é sobre métodos Multiplicação de números inteiros por frações, “De
multiplicatione integrarum numerorum cum ruptis atque ruptorum sine sanis”.O
capítulo 7 é sobre métodos Adição, subtração e divisão de frações, “De additione
ac extractione et divisione numerorum integrarum cum ruptis atque partium
numerorum in singulis partis reductione.” O capítulo 8 é sobre métodos Aquisição
e venda de mercadorias e similares, “De emptione et venditione rerum venalium et
similium.” O capítulo 9 é sobre métodos de comércio, “De baractis rerum venalium
et de emptione bolsonalie et quibusdam regulis similibus.”
A partir do décimo capítulo trataremos dos problemas mais conhecidos de
Leonardo. Entendemos que estes problemas são os mais conhecidos, devido às
várias “versões”, ou, adaptações ao longo dos tempos. Também, a partir do
décimo capítulo podemos perceber que, o próprio Leonardo “aprendeu” estes
problemas com outros matemáticos ou “copiou e modificou” de escrituras
anteriores a sua obra. Vejamos do que se trata nestes capítulos a seguir:
O capítulo 10 é sobre métodos de Regra das companhias, “De societatibus
factis inter consócios.”
80
Líber Abacci, Leonardo de Pisa, versão digitalizada, página introdutória,
http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=630&bodyId=1003.
(acesso em 16/08/2008).
81
http://www.malhatlantica.pt/mathis/europa/Medieval/fibocacci/Fibonacci.htm (acesso em 16/08/2008).
79
Problema
Dois homens juntos fazem uma companhia na qual o primeiro põe, na dita
sociedade, 18 dinheiros, e o outro põem, nessa mesma companhia, 25 dinheiros,
e a companhia faz um lucro de 7 dinheiros, e procura-se quanto é que, cada um
dos dois, terá dos 7 dinheiros.
82
O capítulo 11 é sobre métodos envolvendo Liga de moedas e conversão de
moedas, “De consolamine monetarum atque eorum regulis que ad consolamen
pertinent.”
Problema - Sobre uma vendedora que compra maçãs e pêras
Uma vendedora compra sete maçãs por 1 denário, e vende 6 por 1 denário, e
compra 8 pêras por 1 denário, e vende 9 por 1 denário. Investiu 10 denários, e o
lucro é 1 denário. Procura-se, quanto é que ela investiu em maçãs e em pêras.
83
Problema - Sobre o trabalho de um homem numa certa tarefa.
Um certo homem recebe 7 besantes num mês pelo seu trabalho, e se alguma
parte do tempo ele não trabalhar, paga de volta 4 besantes por mês; fica durante
um mês, uns dias trabalha, outros dias não; assim ele tem 1 besantes de quando
trabalha, descontando o que não trabalha. Procura-se, quantos dias do mês
trabalhou, e quantos não trabalhou.
Nota: O mês é considerado de 30 dias
84
O capítulo 12 é sobre métodos de solução de problemas diversos, “De
solutionibus multarum positarum questionum quas erraticas appellamus.”
Encontramos em diversas fontes problemas semelhantes ao usados por
Leonardo em épocas posteriores e anteriores. Neste capítulo também
encontramos, aquele que sem nenhuma dúvida é o problema mais conhecido de
Leonardo.
82
L.E. Sigler, Fibonacci's Líber Abaci - A translation into morden English of Leonardo Pisano's Book of
Calculation (Speinger-Verlag New-York, Inc., New-York,2002).
83
Ibid.
84
Maryvonne Spiesser, (2006). Le compendy de la praticque des nombres, une arithmetique du XVe siecle a
mi-chemin entre theorie et pratique comerciale (http://www.dma.ens.fr/culturemath/histoire des
maths/htm/Spiesser_Compendy/Spiesser_Compendy.pdf)
80
Aquele pelo qual Leonardo é citado na maioria das fontes, “O problema dos
coelhos”
85
,citado na parte sete,deste mesmo capítulo,no problema de número 18.
Problema 18
Quantos pares de coelhos são criados por um par num ano?
Certo homem tem um par de coelhos em um determinado local cercado, e quer-
se saber quantos são criados por esse par num ano, quando é natural que eles
gerem num mês outro par, e no segundo mês, os que nasceram, geram também.
Resposta:
A solução dá origem à seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
(Fibonacci omitiu o primeiro termo), na qual cada número, da seqüência, é igual à
soma dos dois que o precedem.
Esta seqüência foi denominada de seqüência de Fibonacci no século XIX,
pelo matemático francês Edouard Lucas
86
, e a partir daí encontraram-se inúmeras
relações destes números com a natureza, levando os matemáticos e cientistas a
investigá-la.
Problema
Há dois homens que tencionam fazer uma longa viajem, e um irá a 20 milhas por
dia. O outro irá, respeitosamente, 1 milha no primeiro dia, 2 no segundo, 3 no
terceiro, e sempre assim, mais uma milha por dia até que se encontrem. Procura-
se, durante quantos dias o primeiro é perseguido.
87
Problema
Também é proposto que um homem vá por dia 21 milhas, e o outro vá,
respeitosamente, aumentando um número ímpar de milhas, começando por um, e
com números ímpares consecutivos.
88
Problema
Há sete velhas mulheres na estrada para Roma; cada mulher tem sete mulas;
cada mula carrega sete sacos; cada saco contém sete pães;
85
http://www.malhatlantica.pt/mathis/europa/Medieval/fibocacci/Fibonacci.htm (acesso em 16/08/2008)
86
François Édouard Anatole Lucas (Amiens, 4 de Abril de 1842 — 3 de Outubro de 1891) foi um
matemático francês.Foi o criador do interessante jogo matemático intitulado de Torre de Hanoi.
87
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fibonacci/web3.htm
88
Victor Katz, A History of Mathematics, an introduction (HarperCollins Publishers, 1993).
81
e com cada pão estavam sete facas; e cada faca está colocada em sete bainhas;
quantos há ao todo na estrada para Roma?
Este problema envolve uma progressão geométrica de razão, sete.
Aparece em diversas versões, eis a sua versão, numa rima inglesa infantil datada
do século XVIII.
89
As I was going to St. Ives,
I met a man with seven wives;
Every wife had seven sacks,
Every sack had seven cats,
Every cat had seven kits.
Kits, cats, sacks, and wives,
How many were going to St. Ives?
A caminho de St. Ives,
encontrei um homem com sete Esposas.
Cada Esposa tinha sete Sacos,
Cada Saco tinha sete Gatos,
Cada Gato tinha sete Gatinhos,
Gatinhos, Gatos, Sacos e Esposas,
Quantos iam a caminho de St. Ives?
89
St. Ives é uma pequena cidade inglesa perto de Cambridge que deve o seu nome a Santo Ivo, bispo persa
que morreu na localidade por volta de 600.
Figura 21
Variação da fábula A caminho de St. Ives
Este problema também aparece no papiro de Rhind
90
(Egipto, século XVI
a.C.), no problema de número 79
90
O papiro de Rhind está escrito em hierático, da direita para a esquerda, tem 32 cm de largura por 513 cm
de comprimento. É datado de cerca de 1650 a.C., embora no texto seja referido que foi copiado de um
manuscrito, de cerca de, 200 anos antes. O papiro tem o nome do escocês Alexander Henry Rhind que o
comprou, por volta de 1850, em Luxor, no Egipto. É também designado por papiro de Ahmes, o escriba
egípcio que o copiou. Encontra-se atualmente no Museu Britânico.
82
FIGURA 22
Página do Papiro de Hind.
Pode-se inventar um problema à volta dos dados fornecidos no papiro, foi o
que fez o matemático norueguês, Oystein Ore, “traduzindo-o” da seguinte forma:
“Um homem tinha sete casas, cada casa tinha sete gatos,
para cada gato havia sete ratos, para cada gato havia sete espigas de
trigo, e cada espiga tinha sete medidas de grão.
Quantas coisas ele possuía, casas, gatos, ratos espigas e medidas de
grão?”
91
83
91
Variação da fábula (problema), a caminho de Saint Yves, feito pelo matemático norueguês, Oystein Ore.,
http://www.malhatlantica.pt/mathis/Problemas/Ives/Ives.htm acessado em 16/04/2009.
No tratado chinês Manual aritmético do mestre Sun Zi
92
do século III,
aparece o seguinte problema, semelhante ao anterior. Mas, onde a razão é 9:
Figura 23
Variação Chinesa do Problema a caminho de Saint Yves
Vemos 9 aterros; cada aterro tem 9 árvores, cada árvore tem 9 ramos, cada ramo
tem 9 ninhos, cada ninho tem 9 pássaros, cada pássaro tem 9 filhotes, cada
filhote tem 9 penas, cada pena tem 9 cores. Quantos há de cada?
Podemos perceber através destes exemplos que, Leonardo teve contato
com diversas culturas ao longo do seu aprendizado.
O capítulo 13 é sobre métodos da regra da falsa posição, “De regula
elcatayam qualiter per ipsam fere omnes erratices questiones solvantur.” Neste
capítulo Leonardo resolve um grande número de problemas, alguns já resolvidos,
por outros métodos, em capítulos anteriores, pelo método da falsa posição.
Problema - sobre dois pássaros
Dois pássaros começam a voar do topo de duas torres a 50 “pés” de distância,
uma tem 30 “pés” de altura, a outra “40 pés” de altura, começando ao mesmo
tempo e voando à mesma velocidade. Chegam ao centro de uma fonte entre as
84
92
O livro do Mestre Sun foi escrito por Sun Zi, provavelmente, entre 280 d.C. a 483 d.C. À exceção do nome,
praticamente, mais nada se sabe sobre o autor do livro, a não ser que não deveria ter qualquer tipo de cargo
político, nem deveria ter um estatuto social elevado.
85
duas torres ao mesmo tempo. A que distância está a fonte de cada uma das
torres?
93
Este é um típico problema envolvendo o teorema de Ptágoras,mas que, foi
resolvido por Leonardo pela regra da falsa posição.
O capítulo 14 é sobre métodos envolvendo cálculo de raízes quadradas e
raízes cúbicas, ”De reperiendi radicibus quadratis et cubitis ex multiplicatione et
divisione seu extractione earum in se et de tractatu binomiorum et recisorum et
eorum radicum.”
O capítulo 15 é sobre métodos envolvendo a regra da proporção
geométrica e questões de álgebra e almucabala, “De regulis proportionibus
geometrie pertinentibus: de questionibus aliebre et amulchabale.”
94
Este capítulo está dividido em três partes,da seguinte forma:
A primeira parte -trata sobre proporções de três e quatro quantidades;a
segunda parte trata de métodos sobre a solução de certos problemas
geométricos; por fim, a terceira parte – trata sobre o método de álgebra e
almuchabala. É nesta terceira parte que Leonardo de Pisa discute a resolução de
"equações do segundo grau".
Apresentaremos alguns destes problemas:
Problema
Também há uma coluna que tem 11 pés de comprimento e 22 pés de perímetro
[de forma cilíndrica] que é lançada para a referida cisterna, (...)
Problema
Também na mesma cisterna é lançada uma pedra [esférica] com um perímetro de
44 pés (...)
Problema
Certo homem construiu um palácio, e para proteger a sua riqueza construiu um
armário com 4 triângulos. Cada lado tinha de comprimento 36 palmos, e a sua
base tinha 36 palmos, e deu a três mestres a pintura do armário.
93
David M Burton, The history of Mathematics – An introduction, (Wm. C. Brown Publishers 1991).
94
Álgebra e almucabala são palavras que correspondem às técnicas de transposição (al-jabr) e de redução (al
muqabala
), respectivamente, da resolução de equações.
86
O primeiro dos quais pintou a sua parte, nomeadamente a terceira parte,
começando pela parte de cima do armário e acabando numa linha paralela à base
do armário; o segundo empenhou-se na pintura da sua terça parte depois do
primeiro; o terceiro pintou o restante. Procura-se, quanto cada um pintou da linha
ascendente do triângulo, quando é proposto que cada um pinte a terça parte do
triângulo.
95
Leonardo demonstra domínio da Álgebra islâmica. Este domínio ele mostra
ao resolver equações quadráticas. Esta sua obra não continha nenhum progresso
em relação aos trabalhos dos matemáticos islâmicos. Um dos principais valores
deste trabalho foi que proporcionaram a Europa uma introdução e compreensão
sobre diversos temas matemáticos. Seus escritos foram um valioso recurso para
uma grande variedade de métodos para resolver problemas matemáticos.
Podemos até considerar que, propiciaram o ponto de partida para muitos dos
avanços que tem sido ultimamente feitos no campo matemático
Enfim, como o leitor pode constatar o livro Líber Abacci apresenta
problemas de diversos graus de dificuldade e de interesse. Mas, o momento
propício foi fundamental para o seu “sucesso”.
4.4 Outras obras de Fibonacci
Compreendemos que se, por um lado o Líber Abacci não apresenta
“novidades” em relação aos trabalhos dos matemáticos islâmicos. Por outro lado,
Leonardo deu contribuições originais para a Matemática Isto ocorreu num
pequeníssimo trabalho, o Líber quadratorum (ou o Livro dos quadrados), o qual
apareceu em 1225. O Líber quadratorum é um livro sobre teoria dos números.
Neste pequeno trabalho Leonardo se inspira nos escritos de Diophantos. E
discute resoluções envolvendo números racionais em várias equações
envolvendo quadrados. O livro tem sua origem associada a uma questão
colocada a Leonardo pelo Mestre João de Palermo
96
.
95
L.E. Sigler, Fibonacci's Líber Abaci - A translation into morden English of Leonardo Pisano's Book of
Calculation, Speinger-Verlag (New-York, Inc., New-York,2002).
96
João de Palermo parece ser originário da Sicília. Matemático, ele tinha o título de "filósofo da corte" e
exercia as funções cartoriais, junto ao Imperador.
A questão era a seguinte: "(...) encontrar um quadrado de um número em
relação ao qual, quando cinco lhe é adicionado ou subtraído, obtem-se sempre
um quadrado de um número (...).”
97
Leonardo respondeu a questão corretamente e assim, o Mestre João de
Palermo atestou seus conhecimentos. "(...) viu, sob reflexão, que esta solução ela
mesma e muitas outras têm origem nos quadrados e nos números, os quais
recaem entre os quadrados (...).”
98
No que respeito à teoria dos números apresentada no Líber quadratorum,
não se tem conhecimento até o momento de nenhuma das teorias de Leonardo
até séculos mais tarde. Quando a Arithetica de Diophantos foi novamente
estudada na Europa, vários séculos mais tarde.
Figura 24
Página do livro Líber quadratorum
97
http://www.malhatlantica.pt/mathis/europa/Medieval/fibocacci/Liberaba. (acesso em 10/08/2009)
98
Citado em: http://www.hottopos.com/collat6/roshdi1.htm (acesso em 15/06/2009).
87
88
Em 1220 apareceu a Practica geometriae, uma coleção de material sobre
geometria e trigonometria, numa abordagem hábil feita com rigor euclidiano,
contendo entre outras coisas, uma prova de que as medianas de um triângulo se
dividem na razão de dois para um e um análogo tridimensional do Teorema de
Pitágoras.
Figura 25
Página do livro Practica geometriae
O Manuscrito intitulado Flos foi escrito em 1225 por Fibonacci. Neste
manuscrito Fibonacci apresenta as soluções de três problemas que lhe tinham
sido colocados por João de Palermo, um membro da corte do Imperador
Frederico II.
Figura 26
Excerto da Primeira página de Flos (Biblioteca Ambrosiana de Milão)
O primeiro problema corresponde em linguagem algébrica atual, a
determinar um número quadrado x
2
tal que se tenha simultaneamente:
x
2
+ 5 = y
2
e x
2
- 5 = z
2
Em que y
2
e z
2
são dois números quadrados.
O segundo problema consiste em encontrar um número x tal que:
x
3
+ 2x
3
+ 10x = 20
O terceiro problema tem o seguinte enunciado: Três homens têm em
comum uma soma de dinheiro, da qual a metade era do primeiro, a terça parte do
segundo e a sexta parte do terceiro. Cada um tirou dinheiro ao acaso até que não
sobrou nenhum dinheiro. O primeiro homem devolveu ½ do que tinha tirado, o
89
90
segundo 1/3 e o terceiro 1/6. Quando o dinheiro, agora num monte, foi dividido
igualmente pelos homens, cada um ficou com o que tinha direito. Quanto dinheiro
é que cada homem tirou?
99
5 CONSIDERAÇÕES SOBRE A OBRA
Traduzido, algumas vezes, de forma equivocada, como o Livro do Ábaco, é
comum que se seja tentado em alguns momentos a pensar tratar-se tal obra de
um compêndio de regras de utilização do “ábaco”.
A finalidade, porém, do livro de Leonardo é introduzir o sistema decimal,
os algarismos hindu-arábicos e as novas técnicas da Álgebra entre os
comerciantes da Europa, favorecendo assim as transações comerciais. Cremos
através dos nossos estudos que houve um grande impacto desta publicação no
pensamento matemático europeu no medievo.
Embora, não se tratando de uma obra verdadeiramente original, mas sim,
da compilação de ensinamento dos matemáticos árabes, e manuscritos que
Leonardo teve contato durante suas viagens à costa africana. É preciso que
sejam destacadas as aplicações comerciais contidas no livro.
A Álgebra contida no Líber Abacci é, contudo, ainda nitidamente retórica.
Ela não incorpora, neste sentido, os avanços conferidos na segunda metade do
século anterior por Bhaskara. Deve-se, entretanto, a Fibonacci uma contribuição
significativa no simbolismo algébrico.
A multiplicidade de cópias tiradas deu a publicação uma influência até
então poucas vezes vista em outra obra de Matemática. Sua importância deve-se,
em grande parte, à sua ampla circulação e à conseqüente influência exercida.
Dessa forma, podemos considerar que embora não seja um livro original,
em alguns momentos abordando a Matemática na sua forma mais simples. O
referido livro se constitui certamente, em um precioso salto para iniciarmos um
estudo mais formalizado acerca da Matemática Comercial na Idade Média.
Dentro deste quadro, ainda que aceitássemos que o livro trata-se “apenas” de
compilações sobre estudos anteriores, restaria, ainda assim, o reconhecimento de
99
citado em http://cedar.evansville.edu/~ck6/bstud/fibo.(html).acessado em 09/08/2009
91
que ele, no campo da História da Matemática, já nos trouxe muitas contribuições,
apesar do período conturbado de sua publicação.
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Quando iniciamos uma pesquisa e pretendemos apresentá-la a uma
comunidade, muitas vezes, não sabemos os recursos que teremos que percorrer
para realizá-la.
Á medida que os estudos vão se desenvolvendo deparamo-nos com
fatores alheios ao planejamento inicial. Novos rumos e inquietações surgem no
decorrer da pesquisa e, em cada etapa superada percebemos que há limitações
em relação ao tempo para a conclusão do trabalho. Algumas indagações são
deixadas em aberto, para serem exploradas em ocasiões futuras.
Ao iniciamos esta pesquisa, algumas direções a seguir já estavam
estabelecidas. Sabíamos que iríamos realizar um estudo sobre a publicação do
Líber Abacci, de autoria de Leonardo de Pisa, e a sua contribuição para a
divulgação dos números hindu-arábicos no medievo europeu.
Porém, à medida que a pesquisa foi se desenvolvendo, surgiu à
necessidade de verificarmos a o porquê de Leonardo ser considerado o precursor
dos números Hindu-arábicos na Europa Medieval.
Diversos questionamentos nos levaram a realizar pesquisa sobre séculos
anteriores em busca de outras referências a cerca dos números hindu-arábicos na
Europa Medieval. Devido a esta necessidade, tivemos a oportunidade de entrar
em contato com diversas publicações sobre a História da Matemática. Assim,
pudemos concluir que outros estudiosos antes de Fibonacci, tiveram contato com
os referidos números. Iniciamos nossa pesquisa por meio da realização de
estudos sobre a Matemática árabe a partir da fundação da cidade de Meca, pelo
profeta Maomé.
Consideramos este fato relevante para a posterior criação da Casa da
Sabedoria pelo Califa Al-Mamum. Pudemos constatar que, através do incentivo
do Califado para as pesquisas na Casa da Sabedoria, um importante salto cultural
foi possível na cultura árabe. Através destes incentivos, talentosos pesquisadores
escreveram tratados sobre Matemática, além de outras artes liberais (leia-se
trivium e quadrivium).
92
A impressão que tivemos foi que na Casa da Sabedoria, os números hindu-
arábicos foram profundamente estudados; verificamos tal fato através dos escritos
de Al-Khowarizmi.
Também percebemos que Al-Khowarizmi obteve este conhecimento devido
ao seu contato com escritos indianos existem fragmentos e citações sobre os
nove dígitos antes da álgebra de Al-Khowarizmi.
Na verdade, não sabemos ao certo quando apareceram as primeiras
citações sobre estes números. Cremos, entretanto, que tal questionamento
merece estudos mais direcionados em um trabalho futuro. A atribuição do nome
de Fibonacci como sendo o personagem que introduziu os números hindu-
arábicos na Europa e o possível pioneirismo do fato, se deve á pesquisas “pouco”
aprofundadas ou, até mesmo, um pseudocomodismo por parte dos autores de
livros didáticos. Pois, ao inserir (tal afirmação) nos Boxes sobre História da
Matemática nos livros didáticos, apenas reproduzem um conceito sem ao menos
constatar sua veracidade. Não pretendemos com esta afirmação criar algum
desconforto ou mesmo juízo de valor a respeito destes autores. Mas sim, tentar
mostrar o quanto é temerosa (tal pratica), uma analise mais detalhada sobre os
números hindu-arábicos nos mostra que, Gerbert Au´rillac havia feito pesquisas
sobre o assunto quase dois séculos antes de Fibonacci.
Mas quando realizamos uma comparação entre vários livros e artigos sobre
Fibonacci, a grande maioria atribui a ele o pioneirismo sobre esta utilização.
Percebemos assim, que esta atribuição ocorreu por conta do momento
conturbado em que Gerbert viveu aliado á visão dogmática e filosófica da Igreja
Católica. Podemos entender essa afirmação se considerarmos que santo
Agostinho era o “principal” filosofo do clero, contemporâneo de Gerbert e um
fervoroso defensor das idéias platonistas. Para Agostinho o conhecimento é
concebido através das escrituras sagradas e Deus é o centro de todas as coisas.
Santo Agostinho ao escrever “As confissões” permite sugerir um pensamento que
era grego, ou seja, Agostinho é um leitor da filosofia grega e faz uma releitura do
pensamento grego, reinterpretando-o sob a luz do cristianismo. Agostinho é um
neoplatônico, isto é, não segue um platonismo puro e apresenta uma
reinterpretarão de Platão. Santo Agostinho não nasceu católico tornou-se
posteriormente, já que sua religião era maniqueísta.
93
Todavia, quando Fibonacci escreveu o seu livro o momento social era
plenamente favorável aos seus escritos. Além de que os problemas contidos no
livro tinham importantes aplicações á matemática comercial na época.
A oportunidade de observar estas transformações ocorreu por motivo das
investigações que fizemos em busca de inserções históricas em livros sobre
historia geral e filosofia, além de pesquisas em teses e dissertações acerca do
Medievo Europeu. Notamos nestas observações que, anos antes da publicação
do Líber Abbaci, a Europa vivia um momento voltado ao comercio em trono dos
vilarejos. Temos também as cruzadas, a abertura dos portos e as constantes
viagens dos comerciantes europeus á Costa Africana. Estes foram fatores
relevantes para o “sucesso” do livro de Fibonacci.
Com este estudo, percebemos que a Igreja posicionava-se de forma mais
amena em relação ao conhecimento por parte daqueles que não pertenciam ao
clero. Entretanto, algumas características se mantiveram entre um momento e
outro, A igreja ainda possuía o conhecimento formal em quase sua totalidade. Já
os filósofos contemporâneos a Fibonacci, tinham outra visão em relação ao
conhecimento. Santo Tomás de Aquino foi um desses pensadores, que, apesar
de clérico, adotara o pensamento aristotélico e era erudito e incentivador do
conhecimento por parte do homem, através das observações da natureza.
Fibonacci descreveu os nove algarismos inclusive o zero, mas não se
atentou á principal característica que era sua aplicação posicional. Este
entendimento se deu quase dois séculos depois da publicação do livro.
Descobrimos que o livro “funcionou” quase como um manual para os
comerciantes da época, visto que continha problemas envolvendo frações que
facilitaram a conversão de moedas e negociações, por isso largamente aceito
pelas comerciantes. Este reconhecimento da obra elevou Fibonacci á condição de
um dos mais talentosos matemáticos do período. Agraciado com diversos
convites e honrarias na corte italiana inclusive com uma pensão vitalícia pelos
seus serviços prestados á Cidade de Pisa.
Diversos autores apresentaram Fibonacci como o precursor dos números
Hindús na Europa, mas a grande maioria o reconhece pela á famosa seqüência
que leva seu nome e também pela a solução dos problemas dos coelhos.
Não estávamos defendendo uma visão de que devamos abolir todos os
“Boxes” de livros didáticos sobre Fibonacci, ou até mesmo refutar as citações a
94
sua seqüência, até porque um leitor mais interessado poderá se aprofundar neste
assunto. Gostaríamos sim, que a visão de pioneirismo fosse “Abrandando”,
fazendo assim com que o leitor indagasse sobre as suas descobertas e não
somente aceitasse os fatos como imutáveis ou sem questionamentos.
Com este estudo, conhecemos mais profundamente a obra de Fibonacci, o
momento histórico e filosófico em que se deu a referida publicação. Alem disso,
alguns aspectos históricos puderam ser em partes, esclarecidos. Como, por
exemplo, as questões relacionadas á introdução dos números Hindu-Arábicos na
Europa.
Por fim, gostaria de dizer que nos deparamos com alguns empecilhos que
limitaram esta pesquisa. Um dos maiores obstáculos encontrados foi à dificuldade
em obter manuscritos medievais que poderiam enriquecer nossas analises com
novos dados. Apesar disso, a pequena amostra dos manuscritos utilizados,
possibilitou-nos conhecer um pouco mais da obra de Leonardo e algumas
transformações ocorridas entre o período da criação da Casa da Sabedoria e a
publicação do Líber Abacci.
Haveria a necessidade de se explorar um número maior de manuscritos e
outras obras sobre Historia da Matemática e Filosofia Medieval, para que
pudéssemos realizar conjecturas a respeito das semelhanças e divergências nos
escritos de Gerbert e Fibonacci. Além do que um paralelo mais aprofundado entre
Santo Agostinho e Tomas de Aquino nos mostraram ser relevante em pesquisas
futuras.
Outra dificuldade foi com relação ao prazo para a elaboração da
dissertação, pois concluirmos que vinte e quatro meses é um prazo curto para
realizarmos um estudo mais aprofundado. As análises dos textos sobre Historia
da Matemática e Filosofia e verificação de manuscritos requer um tempo maior
para serem analisados para que assim, ás idéias sejam amadurecidas e
realizadas.
95
7 REFERÊNCIAS
Asger, Aaboe. Episódios da história antiga da Matemática. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática, 1984.
Bardin, Laurence. Análise de conteúdo. Lisboa: Edições 70, 1977.
Baroni, Rosa L. S. & Nobre, Sergio. A pesquisa em história da matemática e suas
relações com a educação matemática. In: BICUDO, M. A. V. org.
Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas. São
Paulo: UNESP, 1999.
Baumgart, J. K., Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula:
Álgebra, Trad. Hygino H. Domingues, 2
a
ed. São Paulo: Atual Editora,
1993.
Bekken, Otto B. Equações de Ahmes até Abel. Rio de janeiro: Universidade Santa
Úrsula – GEPEM, 1994.
Benjamin, Walter. Obras escolhidas: magia e técnica, arte e política. Trad. Sergio
Paulo Rouanet. 2
a
ed. São Paulo: Brasiliense, 1986.
Boyer, Carl Benjamin. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1994.
Boyer, C. B. & MERZBACH, U. C. A history of mathematics. 2. ed. New York:
John Wiley &Sons, 1989.
Brito, Arlete de Jesus.”Matemática na Idade Média: Entre o místico e o científico”
In: Festschrift Ubiratan D’Ambrosio. Nobre S.org. Revista Brasileira de
História da Matemática, São Paulo: FAPESP, (2007)127-141.
Brolezzi, A. C. “O acesso à história da matemática pelo professor de matemática,”
In Educação Matemática Pesquisa 2, nº 2 (2000) 35-50.
Caraça, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. 2
a
ed. Lisboa:
Gradativa, 1998.
Carvalho, F. et al. “Por que Bhaskara?” História & educação matemática 2, nº 2 (
jun./dez. 2001, jan./dez. 2002).
Chervel, André. “História das disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de
pesquisa,” In Teoria e educação, nº 2, Porto Alegre: Pannonica, 1990.
Choquet, Gustave. “Las nuevas matematicas y la eñsenanza,” In Fehr, Howard F.
org. Educacion matematica en las Americas. Bogota, 1961.
D´Ambrosio, U. Etnomatematica. Vol. 1. Bologna: Pitágoras Editrice, 2002.
D´Ambrosio, U. Globalização e Multiculturalismo. Vol. 11. Blumenau: FURB, 1996.
D´Ambrosio, U. Educação Matemática. Da teoria á prática. Campinas: papirus,
1996.
96
D´Ambrosio, U. Transdiciplinariedade. São Paulo: Palas Athena, 1997. 174 p.
D´Ambrosio, U. Etnomatemática. Ele entre as tradições e a modernidade. Vol.1.
Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2001.
D´Ambrosio, U. Ethnomathematics. The art or technique of explaining and
knowing. Las Cruces: ISGEm/NMSU, 1998.
Davis, H. T. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula:
computação, Trad. Hygino H. Domingues, 2
a
Ed. São Paulo. Atual Editora,
1993.
Domingues, Hygino H. Síntese da história das equações algébricas. Rio Preto:
SBEM, 2000.
Durozol, Gérard & Roussel, André. Dicionário de filosofia. Campinas: Papirus,
1993.
Eves, H. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Geometria,
Tradução: Hygino H. Domingues, 2
a
ed. São Paulo. Atual Editora, 1993.
Fernandez, B. O mundo dos números, Trad. Alexandre Emilio, Lisboa: Instituto
Piaget, 2004.
Fernandes, Dicesar L. Fragmentos de uma teia Geométrica. Campinas: IMECC-
Unicamp, 2005.
Fernandes, Dicesar L. Deus e os Homens e o conceito dos Números. Campinas:
IMEEC-Unicamp, 2005.
Foucault, Michel. Ditos e Escritos II: arqueologia das ciências e história dos
sistemas de pensamento. 2ª ed. Rio de Janeiro: forense universitária,
2005.
Foucault, Michel. As palavras e as coisas. São Paulo: Martins Fontes, 1992.
Silva, Francisco C.Teixeira. Sociedade Feudal. São Paulo: Brasiliense, (1984). 38.
Garbi, G. G. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron Books do
Brasil, 1997.
Garbi, G. G. A Rainha das Ciências: São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006.
Jameson, Fredric. Pós-modernismo: a lógica cultura do capitalismo tardio. São
Paulo: Editora Ática, 2002.
Lintz, Rubens G. História da matemática. Vol. 1.coleção CLE,Fapesp.
97
Lintz, Rubens G. História da matemática, Vol. 2. coleção CLE,Fapesp.
Miguel, Antonio & Miorim, Maria Ângela. História na educação matemática:
propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2004.
Miorim, Maria Ângela. Introdução à história da educação matemática. São Paulo:
Atual, 1998.
Nunes, Pedro. Libro de álgebra en arithmetica y geometria. Vol.6. Lisboa:
Imprensa Nacional de Lisboa,1950.
Oliveira, Terezinha. “Agostinho e a Educação Cristã: um olhar da História da
Educação.” Notandum seis, nº17(jul- dez 2008): 05-12.
Oliveira, Terezinha. “O ensino da caridade: uma virtude para o bem comum sob o
olhar de Tomás de Aquino (1516-5477).” Notandum seis, nº18 (2008): 67-
80.
Oliveira, Terezinha. ”Os mosteiros e a institucionalização do ensino na Alta Idade
Média: uma análise da história da educação.” Série-Estudos- UCDB 25
(2008): 207-218.
Oliveira, Terezinha. “Origem e Memória das Universidades Medievais: a
preservação de uma instituição educacional.” Varia História 23, (2007):
113-129.
Oliveira, Terezinha. “Apogeu e crise de uma época: as universidades medievais.”
Educere et Educare 1,nº 1(2006): 26-36.
Pisano, Leonardo. Líber Abacci. Enciclopédia Britannica (). from Encyclopædia
Britannica On-line.(1999)
Quasten, Johannes. Patrología. Madrid: BAC, (1962): 45-46.
Struik, Dirk J. História concisa das matemáticas. Tradução de João Cosme
Santos. Editora Gradiva, 1989.
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