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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE: um estudo ecológico do saber e
do didático
Chang Kuo Rodrigues
São Paulo
2009
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18
Chang Kuo Rodrigues
O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE: um estudo ecológico do saber e
do didático
Tese apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo, como requisito parcial para a
obtenção do título de Doutor em Educação
Matemática.
Orientadora: Professora Doutora Cileda Queiroz e Silva Coutinho
São Paulo
2009
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Ficha Catalográfica
20
Chang Kuo Rodrigues
O teorema central do limite:
um estudo ecológico do saber e do didático
Trabalho apresentado à Banca
examinadora do Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo.
_______
Professora Doutora Cileda Queiroz e Silva Coutinho (Orientadora) (PUC-SP
Professora Doutora Celi Aparecida Espasandi Lopes (UNICSUL)
Professora Doutora Maria Lúcia L. WODEWOTZKI (Unesp-RioClaro)
Professor Doutor Benedito Antonio da Silva (PUC-SP)
Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva (PUC-SP)
São Paulo, ___ de ________________ de 2009
21
Dedico este trabalho às minhas quatro
filhas: Samantha, Amanda, Paula e
Roberta.
22
AGRADECIMENTOS
À minha orientadora, Professora Doutora Cileda Queiroz e Silva Coutinho, pelas
incansáveis vezes de atenção disponíveis a mim, tornando possível a realização
deste trabalho.
Aos membros convidados da Banca Examinadora: Professora Doutora Celi,
Professora Doutora Maria Lúcia, Professor Doutor Benedito e Professora Doutora
Maria José, pela disponibilidade da partilha deste momento.
Ao Colégio Cristo Redentor, que participou com incentivos moral e material.
Aos meus colegas que me acompanharam durante toda essa longa jornada.
Aos meus amigos e amigas que estiveram sempre comigo, seja na presença, seja
nas palavras, pois, mesmo sem ter conhecimento, me ajudaram a superar
obstáculos e enfrentar novos desafios.
À toda minha família, especialmente ao Tuca, por ter compreendido minhas
ausências.
Às minhas filhas e netas pelos momentos em que tiveram que ouvir tantos “nãos”
por estar ocupada neste trabalho, mas que sirva de exemplo de que essa mãe e
essa avó, jamais foi, é ou será vencedora e, sim, guerreira, mesmo perdendo muitas
lutas, mas que a palavra “desistir” não faz parte da vida.
23
Só há um meio de resgatar a nossa
dignidade, intelectualidade ou a riqueza
que existe dentro de nós: é reconhecer a
superioridade dos humildes.
24
RESUMO
O presente trabalho refere-se à construção das ideias e dos conceitos matemáticos
e/ou estatísticos em torno do Teorema Central do Limite para os Licenciandos de
Matemática. O cerne da investigação limita-se à importância do teorema na
Inferência Estatística e à sua compreensão pelos futuros profissionais que atuarão
na Educação Básica. Nesse sentido, optamos por revisar algumas bibliografias que
têm relação com o processo de ensino e de aprendizagem do teorema e
enfatizamos sua importância na pratica do dia a dia do professor de Matemática. O
quadro teórico incide sobre as teorias da Didática da Matemática, particularmente, a
Teoria da Transposição Didática (CHEVALLARD, 1985), munido de uma abordagem
ecológica sob o ponto de vista do saber e do didático (ARTAUD, 1998). Optamos por
procedimentos metodológicos voltados para o design didático (ARTIGUE, 2009), de
cunho qualitativo e, cujos pressupostos estão aliados à Engenharia Didática
(ARTIGUE, 1988). Os sujeitos dessa investigação são os licenciandos que já
predispunham de conhecimentos sobre a Estatística Básica e, a partir de uma
análise prévia sobre que tipos de conhecimento eles já detinham sobre o tema,
apresentamos algumas atividades no contexto de uma situação-problema pertinente
ao cotidiano dos professores de Matemática. A análise desses resultados nos
propiciou interrelacionar as problemáticas existentes na disciplina de Matemática
com alunos da Educação Básica, envolvendo assim, a literacia estatística. Após a
realização dessas atividades, ocorreu também um diálogo, com discussões acerca
do tema, o que nos permitiu analisar como foram construídos as ideias e os
conceitos no entorno do Teorema Central do Limite, de modo que sua compreensão
fosse o principal alvo para os licenciandos. Além disso, analisamos alguns livros-
texto do ensino superior, à luz da Teoria Antropológica do Didático (CHEVALLARD,
1996, 1999), o que também nos indicou que saberes são indispensáveis de modo
que o teorema “viva”, já que a abordagem é sob o ponto de vista ecológico do saber
e do didático. Por outro lado, detectamos que tipos de limitações, ou restrições,
existem nas obras consultadas, interferindo assim, a elaboração das atividades por
parte do professor. Portanto, a nossa investigação reitera a importância do ensino e
da aprendizagem da Estatística nas diversas aplicações na formação dos futuros
25
professores de Matemática num mundo ditado pelos avanços tecnológicos, que
interferem diretamente na leitura de informações que recebemos a todo instante.
Palavras-chave: Teorema Central do Limite. Ensino de Estatística. Inferência
Estatística.
26
ABSTRACT
This paper refers to the building of mathematical and/or statistical ideas and concepts
around Central Limit Theorem for Mathematics graduates.The investigation focuses
the importance of the theorem in Statistics Inference and its comprehension by the
professionals to be, who will act in Basic Education. Therefore, we chose to research
some books related to the teaching and learning process of the theorem and
emphasised its importance on the Mathematics teacher daily practice. The theoretical
approach is about Mathematics Teaching theories, particularly the Theory of Didactic
Transposition ( CHEVALLARD, 1985), with an echological approach under the
knowlwdge and teaching point of view ( ARTAUD, 1998). We chose methodological
procedures directed to the didactic design (ARTIGUE, 2009), with qualitative nature,
and whose assumptions are linked to Teaching Engineering (ARTIGUE, 1988). The
subjects of this investigation are the graduates who had some knowledge about
Basic Statistics and, from a previous analysis about the kind of knowledge they had
about the theme, we presented some activities in a problem-situation context
connected to the Mathematics teachers’ daily practice. The analysis of these results
allowed us to relate the existing problems between the subject and the students from
Basic Education, which involved statistics literacy. After these activities, there was a
dialogue, with discussions about the theme, allowing us to analyse how the ideas
and concepts around the Central Limit Theorem were built, being its comprehension
the main aim for the graduates. Besides that, we analysed some textbooks for higher
education, based on the Anthropological Theory of Didactic (CHEVALLARD, 1996,
1999), which also showed us the essential knowledge for the theorem to “live”,
because the approach is under the knowledge and teaching echological point of
view. On the other hand, we detected what kind of limitations, or restrictions, exist in
the books analysed, interfering in the elaboration of the activities by the teacher.
Thus, our investigation reaffirms the importance of teaching and learning Statistics in
the various applications for the Mathematics teachers to be formation in a world
controlled by the technological advances, which interfere directly on the
understanding of the information we receive every moment.
27
Keywords: Central Limit Theorem. Statistics Teaching. Statistics Inference
28
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 A Ideia de Uma Distribuição Amostral ...........................................
69
FIGURA 2
O Gráfico para Distribuição Normal para X e
X
................
86
FIGURA 3 A Distribuição de Observação ......................................................
89
FIGURA 4
Distribuição Uniforme com 300 Repetições α = 2,9 e β = 5,39 ....
90
FIGURA 5
Distribuição Logonormal com 300 Repetições α = 0 e β = 1 .......
90
FIGURA 6 Distribuição Bimodal com 300 Repetições ...................................
91
FIGURA 7 Distribuição Exponencial com 300 Repetições ............................
91
FIGURA 8 Tabela da Distribuição da Variável Y ...........................................
93
FIGURA 9
Distribuição de Y e
Y
...................................................................
93
FIGURA 10 A Distribuição de Observação ......................................................
96
FIGURA 11
A distribuição exata (tracejada) e a aproximação Normal a partir
do Teorema Central do Limite (contínua) para o tempo médio
necessário para manutenção de um ar-condicionado .................
97
FIGURA 12 As porções sombreadas são iguais à probabili
dade de uma
média amostral inferior a 19,8 ou superior a 20,2 ........................
100
FIGURA 13 Determinação da área sombreada da distribuição amostral ........
103
FIGURA 14 Distribuição de Pesos de homens ................................................
105
FIGURA 15 Distribuição de Médias Amostrais de 36 homens ........................
106
FIGURA 16
Distribuições: Populacional, da Amostra, Amostral Observada e
Amostral Teórica ..........................................................................
110
29
LISTA DE TABELAS
TABELA 1
Atividades nos Livros-Texto ..............................................................
82
TABELA 2
Índice de Autoestima da Situação-
Problema Proposta aos
Licenciandos ....................................................................................
122
TABELA 3
Atividade realizada por BM para o item 7 ........................................
133
30
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1
Denominação dos Livros-Texto .....................................................
81
QUADRO 2
Definição do Teorema Central do Limite nos Livros-Texto ...........
108
31
LISTA DE ESQUEMAS
ESQUEMA 1
Dinâmica da Pesquisa-
Ação de Nossa Investigação, com Base
em Thiollent (1986) .....................................................................
51
ESQUEMA 2
Esboço de um Ecossistema para o Teorema Central do Limite..
58
ESQUEMA 3
Cadeia Elementar Simples para o Teorema Central do
Limite............................................................................................
61
ESQUEMA 4
Esquema de Redes Tróficas em um Ecossistema Mostrando a
Partilha entre Dois Ecossistemas: o Teorema Central do Limite
Enquanto Objeto Matemático e Objeto da Estatística ................
62
ESQUEMA 5
Ecossistema do Teorema Central do Limite ...............................
70
ESQUEMA 6
Representação de um Ecossistema Sob o Ponto de Vista do
Didático .......................................................................................
74
ESQUEMA 7
Estrutura ecológica para o Teorema Central do Limite no livro-
texto A1 .......................................................................................
84
ESQUEMA 8
Ecossistema da Atividade Proposta por A1 no Contexto
Matemático e Estatístico .............................................................
87
ESQUEMA 9
Ecossistema para o Teorema Central do Limite na Atividade
(c).................................................................................................
101
32
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .........................................................................................
17
2 UMA INVESTIGAÇÃO MOTIVADA PELA EXPERIÊNCIA .....................
21
3 REVISÃO DA LITERATURA ...................................................................
27
3.1 O Teorema Central do Limite Sob Ótica da Educação .......................
27
3.2 Um Breve Cenário Histórico do Teorema Central do Limite...............
35
4 PROCEDIMENTOS E REFERENCIAIS METODOLÓGICOS..................
43
4.1 A Análise dos Livros-Texto e a Teoria Antropológica do Didático....
47
4.2 As Atividades Didáticas e os Licenciandos ........................................
48
4.3 A Pesquisa e a Prática: o Design Didático...........................................
52
5 QUADRO TEÓRICO DA INVESTIGAÇÃO .............................................
54
5.1 A Problemática Ecológica sob o Ponto de Vista do Saber ................
55
5.1.1 A Noção de Ecossistema .......................................................................
55
5.1.2 Abordagem Ecológica do Saber: O Teorema Central do Limite.........
57
5.2 Abordagem Ecológica do Didático........................................................
71
5.3 Literacia Estatística.................................................................................
75
6 A PESQUISA ...........................................................................................
80
6.1 O Teorema Central do Limite e os Livros-Texto .................................
81
6.1.1 Análise Quantitativa dos Livros-Texto .................................................
82
6.1.2 Apresentação e Análise de Atividade no Livro-Texto ........................
83
6.1.2.1
Atividades do Livro-Lexto A1 ................................................................
83
6.1.2.2
Atividades do Livro-Lexto A2 ................................................................
90
6.1.2.3
Atividades do Livro-Lexto A3 ................................................................
92
6.1.2.4
Atividades do Livro-Lexto A4 ................................................................
95
6.1.2.5
Atividades do Livro-Lexto A5 ................................................................
95
6.1.2.6
Atividades do Livro-Lexto A6 ................................................................
98
6.1.2.7
Atividades do Livro-Lexto A7 ................................................................
104
6.1.3 Definição do Teorema Central do Limite nos Livros-Texto................
107
6.2 A Análise da Investigaç
ão Sob o Ponto de Vista Ecológico do
Didático: o Teorema Central do Limite e os Licenciandos ................
112
6.2.1 As Atividades com os Licenciandos ....................................................
113
33
6.2.2 A Primeira Atividade com os Licenciandos .........................................
114
6.2.3 Noções Preliminares das Atividades ...................................................
118
6.2.4 Análise das Atividades 2 e 3 .................................................................
124
6.3 O Diálogo: Intervenções Controladas no Design Didático ................
136
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS .....................................................................
145
REFERÊNCIAS .....................................................................................................
148
APÊNDICE ............................................................................................................
155
ANEXOS ...............................................................................................................
180
17
1 INTRODUÇÃO
O presente trabalho surgiu a partir da motivação e curiosidade por um olhar
mais atento sobre o Ensino da Estatística nos cursos superiores, particularmente, no
Curso de Licenciatura em Matemática. O foco está direcionado aos futuros
professores, porque acreditamos que a mudança aqui proposta se inicia na
Educação Básica, segmento em que eles atuarão.
A problemática existente na formação dos professores de Matemática em
Estatística, em especial, no estudo da Inferência Estatística, muitas vezes fica a
desejar, já que esse ramo da Estatística não é direcionado explicitamente para a
Educação Básica. No entanto, a maioria das pesquisas existentes nos meios de
comunicação se faz por amostras, que são partes de uma população. Por isso, não
podemos ignorar a relevância social que há por trás do estudo da Inferência
Estatística.
Diante desse cenário, os sujeitos de nossa pesquisa são os licenciandos em
Matemática, tendo em vista que serão os futuros profissionais da Educação. Dessa
forma, entendemos que eles devem ter o conhecimento da importância do Teorema
Central do Limite. Isso nos reporta a compreender como se estabelecem as ideias
matemáticas e estatísticas no entorno do teorema de modo que haja a consolidação
da aprendizagem por parte deles. Para tal, usaremos uma estrutura ecológica do
saber e do didático para o tema de nosso estudo.
Destacamos que o nosso trabalho não está voltado para a demonstração do
teorema, mas, sim, essencialmente, para a construção de ideias que surgem a partir
de atividades propostas aos licenciandos. Deve-se esclarecer aqui que não se
pretende propor o ensino do teorema na Educação Básica, pois entendemos que os
professores é quem devem ter esse conhecimento de modo a garantir seus
argumentos quando postos em questionamentos na prática. São eles que devem
compreender os contextos e as análises de dados, sabendo que um
aprofundamento já seria no campo da Inferência Estatística. Em analogia, um
professor precisa conhecer estruturas algébricas para compreender a álgebra
ensinada na Educação Básica, sem a necessidade de ensinar essas estruturas aos
alunos.
18
Por conseguinte, a problemática de nossa investigação incide sobre a
compreensão da importância do Teorema Central do Limite, sob o ponto de vista
ecológico do saber e do didático, a partir de questões como: Por que determinados
saberes/conhecimentos deixaram de ser abordados no ensino do Teorema
Central do Limite, mas ainda assim ele “sobrevive”? Que saberes são
indispensáveis de modo que permite o teorema “viver”? Que relações diretas
ou indiretas existem entre o teorema e a construção de saberes estatísticos
nas aulas de Estatística? Essas questões surgiram quando nos deparamos com o
trabalho de Artaud (1998), sobre a ecologia das organizações matemáticas e
didáticas no estudo da Álgebra, o que nos permitiu fundamentar a nossa
investigação no estudo do teorema com os licenciandos da Matemática.
Este trabalho foi dividido em cinco capítulos. No primeiro, expomos as
motivações que foram responsáveis pelas primeiras ideias acerca da investigação
nesse campo do conhecimento e suas implicações sob as dimensões sociais,
educacionais e profissionais.
No segundo capítulo, intitulado Teorema Central do Limite sob a ótica da
Educação, tratamos da revisão da literatura, dividida em duas partes: a primeira
refere-se a comentários sobre alguns artigos, devidamente selecionados, providos
do enfoque de ensino e de aprendizagem do teorema. Optamos pela expressão:
‘processo de ensino e de aprendizagem’, por entender que existe um amplo campo
de variáveis associado a essa dinâmica, tendo em vista que a intenção de um
sujeito, no caso o(a) professor(a), ao elaborar uma situação de ensino, nem sempre
atinge seu objetivo com aquele a quem deseja ensinar, ou seja, apesar de o aluno
fazer parte do processo de aprendizagem, não significa necessariamente que ele
aprende. Na segunda etapa, optamos por um breve esboço histórico de como o
teorema surgiu, partindo daqueles que foram os primeiros interessados, fato esse
gerado pela curiosidade em conhecer os fenômenos da natureza.
Vale ressaltar que a nossa investigação não está voltada especificamente
para a parte histórica. Por isso, achamos interessante nos limitarmos a uma breve
exposição de como as ideias acerca do Teorema Central do Limite surgiram no final
do século XVIII, culminando em sua formalização, na estrutura matemática, fato que
ocorreu somente na primeira metade do século XX.
Os procedimentos metodológicos da pesquisa, devidamente fundamentados,
farão parte do terceiro capítulo, em que apresentaremos a nossa opção pelo
19
entrelaçamento da teoria e da prática, de modo que efetivamente haja a interação
entre elas, formando, assim, um design para o nosso trabalho. Essa metodologia
segue a proposta de Artigue (2009). Apesar de ser um estudo recente, segue os
progressos que vêm ocorrendo nas pesquisas em Educação Matemática, ao tratar
do design didático aliado à Engenharia Didática (ARTIGUE, 1988) e à Teoria
Antropológica do Didático (CHEVALLARD, 1996, 1999). Vale ressaltar que a Teoria
Antropológica do Didático, sob a perspectiva ecológica do saber e do didático, foi
decisiva na análise dos resultados deste trabalho.
Uma das potencialidades dessa metodologia, o design didático, incide sobre a
forma como a construção das teorias pode causar impactos na prática,
proporcionando-nos uma atitude reflexiva diante da nossa proposta didática. Além
disso, identificamos como atores desse trabalho todos aqueles que efetivamente
estavam envolvidos na dinâmica do design, ou seja, os pesquisadores e os
pesquisandos e, a partir disso, nos foi possível, também, aliar alguns fundamentos
da pesquisa-ação de Thiollent (1986). A sua pertinência se deve ao fato de que em,
certas etapas da pesquisa, um dos pesquisadores atuou também como professor.
A construção do nosso quadro teórico nos motivou buscar a problemática
ecológica existente no saber e no didático (ARTAUD, 1998) à luz da Teoria
Antropológica do Didático proposta por Chevallard (1985). Fazemos, também,
referência à importância da literacia estatística. Nesse caso, mesmo reconhecendo
que a autora traduz literacy para letramento na Língua Portuguesa, a nossa opção
foi a de manter essa expressão que, segundo Soares (2005, p. 36), “[...] designa o
estado ou condição daquele que é literate, daquele que não só sabe ler e escrever,
mas também faz uso competente e frequente da leitura e escrita”.
No quinto e último capítulo, associamos o nosso quadro teórico com as
atividades que foram realizadas com licenciandos de Matemática. Como a nossa
investigação é provida de caráter qualitativo, o grupo participante era composto por
quatro licenciandos, o que nos permitiu observar e analisar os fenômenos didáticos
que constituíram o corpus pelo qual responderíamos nossa questão de pesquisa.
Todas as atividades foram anexadas no final do trabalho, incluindo a
demonstração do Teorema Central do Limite, mesmo entendendo que não foi foco
de nossa investigação. Acreditamos que seja importante conhecer a evolução dos
procedimentos específicos no modelo matemático.
20
Por fim, desejamos que este trabalho se constitua em uma pequena
contribuição para a Educação Estatística, com ênfase na Inferência Estatística, a
qual, nas palavras de Salsburg (2009, p. 11), configura-se em “um dos usos da
estatística mais amplamente apreciados tem sido a pesquisa por amostragem.”
21
2 UMA INVESTIGAÇÃO MOTIVADA PELA EXPERIÊNCIA
O estudo da Estatística tem sido foco de muitas discussões na Educação
Matemática. Esse fato é fortemente evidenciado desde as séries iniciais da
Educação Básica, a partir da proposta do currículo de Matemática previsto nos
Parâmetros Curriculares Nacionais (1998). Quatro blocos sustentam os PCN de
Matemática: Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e
Tratamento de Informação e, nesse contexto, o grande desafio é “o de identificar,
dentro de cada um desses vastos campos que conceitos, procedimentos e atitudes
são socialmente relevantes.” (BRASIL, 1998, p. 49)
Um dos aspectos inovadores desse documento surge com a inclusão do
bloco Tratamento de Informação, uma consequência do desenvolvimento social,
regida pelos avanços tecnológicos, que gerou demanda para uma mudança
curricular. Isso nos reporta a compreender como tratar os dados, que são
transformados em informações ao recebermos, seja por meio de estatísticas, tabelas
ou gráficos. Então, na Educação Básica, qual será o ponto de vista do professor de
Matemática em relação a esse bloco? A partir de trabalhos realizados com
professores de Matemática
1
, durante catorze anos, nos foi possível constatar vários
obstáculos, quando o assunto a ser tratado era Estatística – ao menos no início da
implementação dos PCN, no final da década de 90. Um dos agravantes era que, se
algum tema tivesse de ser “sacrificado”, seria essa disciplina ou algum tópico
relacionado a ela.
Alguns motivos que levaram os professores a optarem por essa atitude
podem estar atrelados às suas próprias crenças, adquiridas ao longo de sua
formação, pois a própria disciplina Estatística nem sempre foi ou é parte do currículo
no curso de Licenciatura. Por exemplo, em alguns cursos de Licenciatura Plena em
Matemática no início dos anos 80, como o Centro de Ensino Unificado de Brasília,
conhecido na época como CEUB e hoje, como UniCEUB, em sua grade curricular, a
1
Desde 1995, a autora, Chang Kuo Rodrigues, coordena um grupo de professores de Matemática da
Educação Básica de uma escola privada de Juiz de Fora. E, sistematicamente, as reuniões
pedagógicas constituíam-se de estudos de grupo voltados para discussão da prática. Quando era
necessário, Rodrigues buscava teorias pedagógicas ou específicas, da Matemática, de forma que
esses encontros tornaram-se uma pequena contribuição na formação continuada do profissional.
22
disciplina de Estatística não constava, conforme podemos constatar o histórico
curricular no anexo 1.
No trabalho realizado com os professores da Educação Básica descritos
acima, durante a discussão dos elementos norteadores presentes nos documentos
oficiais, no final da década de 90, constatamos que a maioria do grupo deles,
professores
2
de Matemática de nossa escola, obteve sua formação docente no
período que corresponde ao final da década de 70 e início de 80. Dessa forma,
podemos dizer que o desconhecimento do saber estatístico foi um dos componentes
que gerou motivação, no sentido de promover um círculo de estudos sobre as novas
propostas apresentadas pelo MEC (Ministério da Educação), sob um olhar mais
atento para o bloco Tratamento de Informações.
Nessa mesma direção, porém atuando em outro nível de estudo, o referido
trabalho nos permitiu outros pontos de vista com relação à Estatística pelo fato de
que o trabalho também realizou-se em quatro cursos distintos do Ensino Superior:
Estatística para os cursos de Ciências Biológicas, Geografia, Tecnologia em
Marketing e Ciências com Habilitação em Matemática
3
.
Dessa forma, a motivação inicial para realização dessa pesquisa partiu de um
trabalho que tratou de um mesmo tema sob cinco perspectivas distintas, o que nos
permitiu uma visão mais ampla do que vem a ser Estatística no sentido global e
específico, devido às particularidades exigidas em cada área. Havia um eixo comum
em termos de tópicos, tais quais as medidas de tendência central, de dispersão e
análise exploratória de dados, na teoria das probabilidades e na Inferência
Estatística.
No entanto, as particularidades do ensino de Estatística incidiam no contexto
da necessidade de cada área: no Curso de Ciências Biológicas, o interesse está
voltado para questões relativas aos temas sobre saúde, sistemas ecológicos, entre
outros; no Curso de Geografia, a Estatística, particularmente a Descritiva, ao
trabalhar com recenseamento da população, entre outros, favorece abordagens de
2
Esse grupo era composto por 14 de professores de Matemática, de uma escola particular de Juiz de
Fora. A formação desse grupo surgiu a partir do evento promovido pelo Sindicato dos
Estabelecimentos Particulares de Ensino de Juiz de Fora-MG (SINEPE-JF), convidando alguns
autores dos PCN para um encontro com os professores da cidade, no ano de 1997. Posteriormente,
sob a coordenação da autora deste trabalho, iniciaram-se encontros semanais para reflexão e
discussão sobre o texto.
3
Neste período, além de coordenar o grupo de professores da Educação Básica de uma escola
privada, a autora lecionava também em Instituições de Curso Superior como professora da disciplina
Estatística.
23
cunho geopolítico; na Tecnologia em Marketing, são abordados anúncios do dia a
dia que aparecem nos meios de comunicação ou a forma como os números definem
as tomadas de decisão, como, por exemplo, no momento da escolha de algum
produto; no curso de Licenciatura de Matemática, a abordagem deve contemplar
dois aspectos: os objetos matemáticos utilizados na Estatística e suas
comprovações e, por outro, sua aplicação em situações hipoteticamente reais; e, por
fim, na formação continuada dos professores que atuavam na Educação Básica.
Por isso, a relevância acadêmica desta pesquisa justifica-se por dois
aspectos. O primeiro está relacionado ao licenciando de Matemática, pois é ele ou
ela que estará atuando no ensino da Estatística na Educação Básica. E, além disso,
ele(ela) é um(a) adulto(a) que tem suas próprias crenças ao fazer leitura de dados.
Holmes (2000) cita dois parágrafos do National Curriculum in Mathematics entre as
décadas de 80 e 90 sobre o ensino de Estatística:
'775: Estatística não é apenas um jogo de técnicas, mas sim uma atitude
mental de tratamento de dados. Em particular, reconhece a incerteza e a
variabilidade num conjunto de informações. Torna a pessoa apta a tomar de
decisões em situações de incerteza.
'781: Numeracia estatística exige um sentido para os números: apreciando
os níveis de precisão, o bom senso de fazer estimativas, uma abordagem
de senso comum nos dados com suporte em um argumento, a tomada de
consciência de uma variedade de interpretações de números e uma
judiciosa compreensão dos conceitos amplamente utilizados como médias e
porcentagens. Tudo isso são partes do cotidiano. (HOLMES, 2000, p. 51)
(Tradução nossa; Grifo nosso).
4
O segundo é referente à importância que exercerá o papel de professor no
‘processo de ensino e de aprendizagem’ de Estatística, pois muitas vezes e, na
maioria dos Cursos Superiores, fica a cargo do professor de Matemática a
responsabilidade de mediar esse tema com os alunos.
Nesse sentido, o cenário no Brasil não é diferente do apresentado pelo
National Curriculum in Mathematics, como podemos constatar nos Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (1998), no bloco de conteúdo
nomeado de Tratamento de Informação, cuja finalidade é abordar os conteúdos da
4
'775 Statistics is not just a set of techniques; it is an attitude of mind in approaching data. In particular
it acknowledges the fact of uncertainty and variability in data collection. It enables people to make
decisions in the face of this uncertainty.
'781 Statistical numeracy requires a feel for numbers, an appreciation of levels of accuracy, the
making of sensible estimates, a common-sense approach to data in supporting an argument, the
awareness of the variety of interpretation of figures and a judicious understanding of widely used
concepts such as mean and percentages. All these are part of everyday living. (Texto original)
24
Estatística, Probabilidade e Combinatória. Notamos no texto desse documento uma
vontade explícita de ressaltar a importância de uma leitura real da sociedade. A
própria etimologia da palavra informação não se limita apenas a sua apropriação
cumulativa, posto que o propósito dirige-se para o sujeito que, acima de tudo, tem a
possibilidade de mudar a realidade no qual está inserido. Mudar a realidade pode
ser um tanto paradoxal, pois questões como ‘a favor de quem?’; ‘para qual
objetivo?’, são básicas e devem ser trabalhadas com afinco. Afinal, teoricamente,
todos almejam por uma sociedade mais justa.
Diante desses fatos, o escopo deste trabalho é investigar como os
licenciandos de Matemática constroem as ideias e os conceitos que estão no
entorno do Teorema Central do Limite. Entendemos as ‘ideias’ como conceitos
intuitivos que surgem a partir da vivência e crença do sujeito e por ‘conceito’, tal
como Artigue (1990) o define quando estuda a evolução do tratamento de um
determinado saber, partindo de um contexto que diz respeito a este saber, mesmo
na elaboração de situações artificiais, porém hipoteticamente reais, que podem
ocorrer no cotidiano da sala de aula.
Reforçando o fato de que a Estatística tem seu papel fundamental na leitura
de mundo e, portanto, engendra facilmente situações-problema reais para a sala de
aula, faz-se imprescindível preocupar-se com a forma como essa área do
conhecimento irá ser abordada pelos futuros professores. E, nessa direção,
Contreras (2002) reforça que:
[...], a responsabilidade profissional dos professores é estarem
suficientemente conectados com suas comunidades para entender suas
demandas e compreender os interesses de seus alunos, mas distantes o
suficiente para poderem cultivar nos seus alunos o distanciamento crítico
necessário que lhes permita reconsiderar estes interesses e demandas
frente a outros com os quais entram em conflito. (CONTRERAS, 2002, p.
203)
Esse distanciamento entre os sujeitos, professor e alunos, estabelece um
compromisso com valores educativos, isto é, as interpretações de dados estatísticos
não são impostos, mas, sim, administrados por cada um, com autonomia, para
reflexão e discussão. Diante desse contexto, na formação do professor pressupõe-
se o entrelaçar-se entre a prática e a teoria, administrando os conflitos, de modo que
a criticidade seja alvo de reflexão e, sobretudo, em ação: a literacia estatística. Isso
justifica os sujeitos de nossa investigação que são os licenciandos em Matemática.
25
Ademais, temos ainda outra relação a analisar: o sujeito professor e a área do
conhecimento a ser abordada, a Estatística, pois Besson (1995) nos alerta que:
[...] se as estatísticas fossem apenas um reflexo (concepção fotográfica),
disporiam de um critério de verdade (a exatidão). Não é este o caso: elas
não provêm da denotação, mas da conotação, pois é o contexto, o
contorno, que determina seu sentido.
De fato, o estatístico não escolhe seus índices. A realidade lhe aparece
então pré-modelada pelas categorias já existentes na representação ou na
prática individual, social, administrativa. (BESSON, 1995, p. 52)
A concepção do profissional e sua criticidade tornar-se-ão de extrema
importância na abordagem da Estatística: os obstáculos não se restringem apenas
ao modo de mediar a construção do conhecimento estatístico com os alunos. A
reciprocidade de uma realidade a ser reconstruída requer a superação de conflitos
diante da diversidade cultural de cada um. Entende-se que a análise exploratória de
dados é uma forma de se olhar para um conjunto de dados de forma crítica, pois não
se limita a algoritmos e procedimentos, indo até a construção de significados dos
resultados produzidos dentro de um determinado contexto.
Entretanto, muitas vezes os resultados analisados, para um subconjunto de
dados, são inferidos para o conjunto total (população). Isso reforça a importância do
Teorema Central do Limite para alunos da Licenciatura em Matemática, pois
contribuirá na construção da rede de conhecimentos que favorecem o exercício da
consciência crítica naqueles que estarão atuando com a Educação Básica.
O Teorema Central do Limite garante que a série constituída pelo conjunto
das médias amostrais converge para a média da população, desde que o tamanho
das amostras, n, seja significativamente grande para que tal fato aconteça. A
relevância dos conhecimentos prévios sobre os conceitos de variáveis aleatórias
discretas e contínuas, média, variabilidade, noções sobre os erros estatísticos, é de
natureza extremamente importante para a compreensão desse teorema. Todas
essas noções deveriam fazer parte do conteúdo a ser desenvolvido na disciplina
Estatística dos cursos de Licenciatura em Matemática. No entanto, nos cursos com
os quais temos convivido em nossa prática docente, a abordagem, quando era feita,
o era de forma tecnicista, ou seja, limitando-se à aplicação de fórmulas.
Assim, a partir de uma motivação proveniente da prática aliada à força
tecnológica do mundo contemporâneo, passamos a repensar sobre como podemos
interferir na formação dos futuros professores. Mais precisamente, como se
26
constroem os conhecimentos, no nosso caso, o Teorema Central do Limite, com
aqueles que irão atuar na Educação Básica?
O nosso trabalho segue essa direção e, para tentar responder a esta e a
outras questões já citadas, inicialmente exporemos alguns trabalhos que foram
realizados nesse campo, bem como apresentaremos um breve cenário histórico do
teorema, como será vista no próximo capítulo.
27
3 REVISÃO DA LITERATURA
Neste capítulo apresentaremos uma revisão da literatura que empreendemos
com o objetivo de averiguar como o nosso tema de investigação se coloca frente a
outras pesquisas relacionadas.
A revisão bibliográfica a seguir foi dividida em duas partes. Na primeira,
buscamos responder às seguintes questões: no campo da Educação Matemática,
quais trabalhos abordam o Teorema Central do Limite? Quais deles discutem a
abordagem do teorema em cursos de Licenciatura em Matemática? Quais trabalhos
surgerem o teorema associado ao processo de ensino e de aprendizagem?
Na segunda parte, relatamos uma breve leitura histórica da origem e do
desenvolvimento do referido teorema, desde as suas primeiras ideias até à sua
formulação teórica rigorosa, baseado nos trabalhos de Paulauskas (2006), Mether
(2003), Fischer (2000), Cam (1986), Gnedenko e Kolmogorov (1954), além de
alguns historiadores matemáticos como Cajori (2007), Eves (1997), Struik (1987) e
Rodriguez (1989). Entendemos que a leitura histórica nos proporcionará importantes
elementos para a compreensão do Teorema Central do Limite.
3.1 O Teorema Central do Limite Sob Ótica da Educação
Partimos da constatação de que o ensino de estatística tem sido um dos
temas de pesquisas na Educação Matemática nos últimos dez anos, o que fez
emergir uma nova linha de pesquisa, a Educação Estatística. As publicações
5
mais
recentes sobre o ensino do Teorema Central do Limite podem ser encontradas em
revistas e jornais eletrônicos como Journal of Statistics Education e Statistics
Education Research Journal (SERJ), entre outros. Outras contribuições de natureza
investigativa são apresentadas em eventos internacionais e nacionais, como, por
exemplo, International Conference on Teaching Statistics (ICOTS), .Congress of the
European Society for Research in Mathematics Education (CERME), Congreso
5
Procuramos citar os eventos que possuem Grupos de Trabalho (GT) em Educação Estatística.
28
Iberoamericano de Educación Matemática (CIBEM), International Congress on
Mathematical Education (ICME), Conferência Interamericana de Educação
Matemática (CIAEM), Seminário Internacional de Pesquisas em Educação
Matemática (SIPEM), Simpósio Internacional de Pesquisas em Educação
Matemática (SIPEMAT), Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM), entre
outros.
Iniciamos nossa revisão com o trabalho de Glencross (1986), publicado nos
anais do ICOTS-2, cujo objetivo foi apresentar a importância do Teorema Central do
Limite no ensino da Estatística e discriminar algumas atividades que podem
favorecer a aprendizagem do mesmo. A metodologia utilizada por ele é a pesquisa
de fonte bibliográfica com ênfase na epistemologia do teorema.
Esse artigo pode ser considerado o marco inicial do estudo do Teorema
Central do Limite na Educação Estatística, pois nele encontramos algumas
questões didáticas que foram expostas de forma a chamar atenção para alguns
princípios de aprendizagem no seu estudo. Segundo o autor:
Para estudantes de um curso introdutório de estatística, incluindo inferência
estatística, o Teorema Central do Limite é explicitamente uma situação sine
qua non. Contudo, embora o teorema possa ser visto como base
fundamental da inferência estatística, experiências registraram que muitos
estudantes, durante vários anos, tiveram muitas dificuldades em
compreendê-lo e, além disso, o conceito geral de uma distribuição de
amostras teóricas pode ser demasiadamente abstrato para ser amplamente
apreciada num primeiro contato. Mesmo alunos com bases matemáticas
bem consolidadas, aqueles que apreciam a demonstração do teorema,
pode vir a ter dificuldades de compreensão em seu significado.
(GLENCROSS, 1986, p. 92) (Tradução nossa)
6
Nesse contexto, o autor busca entender as dificuldades presentes no cenário
em que ocorre o ensino do Teorema Central do Limite para estudantes universitários
a partir da teoria de Skemp (1971). Essa teoria é um modelo para aprendizagem no
desenvolvimento das teorias matemáticas, no qual se estabelecem com dois
princípios:
6
"For students taking an introductory statistics course which includes inferential statistics, the Central
Limit Theorem is clearly a sine qua non. However, although this theorem may be regarded as the
cornerstone of statistical inference, it has been the writer’s experience over a number of years that
many students find it difficult to understand and that the general concept of a theoretical sampling
distribution may be too abstract to be fully appreciated when first met. Even students with a good
mathematical background, who can appreciate a proof of the theorem, may have difficulty
understanding its significance.” (Texto original)
29
• O princípio da variabilidade perceptiva, posteriormente chamado de
“multiple embodiment”
7
, que, sob o nosso contexto, significa que “abstrair
uma estrutura matemática, efetivamente, encontra inúmeras situações
diferentes para perceber suas propriedades puramente estruturais”
(SKEMP, 1971, p. 32);
• O segundo é o princípio da variabilidade matemática baseado em Dienes
(1963, p. 156), para quem “[...] como todo conceito matemático envolve
variáveis essenciais, todas essas variáveis matemáticas precisam ser
transformadas se o objetivo é alcançar a generalidade do conceito
matematico”
8
. Apesar de o autor tratar da construção de conceito,
devemos considerar as variáveis aleatórias no caso do teorema em
estudo, considerando-se o nosso contexto.
Sob esse aspecto, Glencross (1986), tal como Skemp (1971), defende a idéia
de que quem mais precisa conhecer cada um desses princípios é o próprio
professor. E, nesse sentido, o autor estende esse princípio, para os professores, em
três: deve estar provido de coleções de exemplos adequados para o conceito; deve
garantir que o conceito seja conhecido em inúmeras diferentes situações; deve
alegar que todas as variáveis envolvidas no conceito são aleatórias.
Glencross (1986) esclarece que, se o professor faz uso desses três
elementos básicos, quando explicitados, servem como ponto de partida para nortear
as atividades voltadas para aprendizagem dos alunos.
Um outro aspecto do artigo a ser destacado é quando o autor afirma que os
membros do Joint Education Committee of the Royal Statistical Society e o Institute
of Statisticians têm notado críticas dos estatísticos em relação ao ensino nesse nível,
pois, em particular, muitas vezes, os próprios professores desse segmento ignoram
as situações práticas em prol do excesso de manipulação formal dos objetos
matemáticos.
As atividades propostas são de diferentes tipos de distribuições para a
abordagem do Teorema Central do Limite, que faz uso de tecnologias para gerar
7
Optamos por não traduzir essa expressão por entender que na Psicologia da Educação Matemática
tem sido um termo bastante usado entre os pesquisadores. Mas, a título de entendimento, mesmo de
maneira superficial, poderia ser traduzida como “personificações múltiplas”.
8
Tradução nossa. No original: “As every mathematical concept involves essential variable, all these
mathematical variables need to be varied if full generality of the mathematical concept is to be
achieved.” (DIENES, 1963, p. 156).
30
números aleatórios. O cerne de seu trabalho está na aplicação do teorema que, sob
o ponto de vista didático, é a primeira etapa para compreendê-lo. Por exemplo,
situações-problema que podem ocorrer no dia a dia, constatados ao serem
realizados pelos alunos, antes da formalização do conceito do teorema.
O segundo trabalho que encontramos sobre o tema foi publicado nos anais do
ICOTS-7 por Alvorado e Batanero (2006). Os autores propõem analisar a atividade
do professor quando está planejando a aula ao tratar-se do conceito do Teorema
Central do Limite para engenheiros; abordar diferentes situações em que o teorema
pode ser apresentado como proposta didática para seu ensino; apresentar sua
abordagem histórica no sentido de favorecer a aprendizagem dos alunos; conhecer
as formas de apresentação verbal, simbólica e gráfica do teorema a partir de análise
de livros-texto de Estatística para o curso de Engenharia.
A metodologia dessa pesquisa deu-se a partir de uma proposta didática em
que incorporou simulações com materiais manipuláveis e o uso do software @Risk,
um programa da Microsoft Excel. E o trabalho, de um modo geral, propôs um
método didático para melhorar o ensino de Estatística para engenheiros.
Para os autores, o planejamento do ensino está baseado no conhecimento
matemático sobre o teorema. A partir do modelo teórico de Godino (2002) para
análise de livros-texto usados no curso introdutório de Estatística para Engenharia,
eles buscaram diagnosticar elementos que permitiram a abordagem do Teorema
Central do Limite, tal como o conjunto de problemas que deram origem ao teorema;
as representações verbal, simbólica e gráfica usadas pelos alunos na resolução
desses problemas e nos diferentes objetos matemáticos envolvidos; os
procedimentos usados por diferentes autores para resolver os problemas que
envolvem o teorema; as propriedades dos objetos matemáticos usados nesses
procedimentos; e, por fim, nos argumentos usados para justificar as soluções dos
problemas. Foram analisados16 livros-texto indicados para o curso de Engenharia,
na Universidade de Granada.
Apesar da pesquisa ainda estar em vias de experimentação, os autores
puderam constatar nesse artigo que, mesmo que o Teorema Central do Limite seja
reconhecido como uma ferramenta fundamental para Inferência Estatística, as
leituras prévias dos estudantes e o tempo disponível de ensino não são suficientes
para prestar-lhe devida atenção. Em geral, há dificuldade de compreensão quando é
apresentada uma demonstração formal de algumas formulações do teorema até
31
mesmo por alunos da pós-graduação em curso. E, além disso, verificaram que vale
a pena dispor de algumas aulas para investigar o significado do teorema por meio de
programas gráficos computacionais dinâmicos.
A investigação de Lundsford, Rowell e Goodson-Espy (2006) envolveu, como
sujeitos de pesquisa dois grupos distintos, um composto por estudantes da disciplina
de Introdução à Probabilidade e outro da Introdução à Estatística, com o objetivo de
averiguar certos tipos de “erros” que podem ocorrer durante o aprendizado da
distribuição de média amostral e da aplicação do Teorema Central do Limite.
Esse trabalho refere-se a uma pesquisa realizada em salas de aula com
alunos, do curso de Matemática de pós-cálculo, de duas disciplinas: Math300
Introdução à Probabilidade e Math400, Introdução à Estatística Matemática. A
maioria dos alunos de Math300 é da área das ciências da computação e de
Math400, da área de Matemática (bacharelado ou licenciatura). Os autores
analisaram o desenvolvimento de conceitos sobre distribuição de média de amostras
e do Teorema Central do Limite, a partir dos mesmos instrumentos para os dois
grupos, por simulações computacionais. Todos os alunos submeteram-se às fases
de pré-teste e pós-teste, o que possibilitou o confronto entre as análises dessas
fases.
Algumas conclusões a que os autores chegaram com relação às habilidades
específicas de interpretação gráfica, comparação, raciocínio sobre distribuições
amostrais, foram: as apresentações gráficas de conceitos pela simulação
computacional não são suficientes para desenvolver as habilidades; os
conhecimentos prévios sobre o centro, a forma e a dispersão das variáveis numa
distribuição amostral não implica, necessariamente, que os alunos tenham
habilidades de aplicá-los para resolver os problemas computacionais; houve fortes
indícios, durante as atividades, de que a maioria dos estudantes não
compreenderam completamente o Teorema Central do Limite, pois não
reconheceram o quão rápido uma distribuição amostral torna-se unimodal à medida
que aumenta o tamanho n de amostras; muitos alunos tiveram dificuldades para
reconhecer variabilidade graficamente e computacionalmente, e isso pode ser
atribuído ao fato de não serem capazes de identificar graficamente o efeito do desvio
padrão sobre a forma da curva normal, ou de distinguir entre os conceitos de
variabilidade e de frequência; conceitos como distribuições de probabilidade,
32
especialmente distribuições amostrais e o Teorema Central do Limite, foram difíceis
de entendimento para todos os alunos.
Porém, em geral, os alunos da turma Math300 apresentaram respostas
positivas ao realizar as atividades e simulações, reconhecendo a contribuição do
ambiente computacional para o processo de aprendizagem.
A partir dos procedimentos metodológicos da pesquisa-ação, os resultados
observados proporcionaram, aos autores, sugestões de algumas ações que
poderiam contribuir para aprendizagem desses temas. Eles propuseram explorar
melhor as habilidades de raciocínio gráfico por meio de atividades e exercícios que
permitiram aos alunos explorar e estimar parâmetros, como a forma, média e
dispersão das distribuições em situações-problemas; explorar melhor a
compreensão de variáveis aleatórias e suas distribuições pelo uso da simulação
como uma ferramenta de atividades e exercícios durante todo o período do curso; e,
particularmente, continuar a utilização das atividades de Distribuições Amostrais
(Sampling Distributions) no sentido de clarear os conceitos entre o valor esperado e
variância da distribuição amostral para médias amostrais no Teorema Central do
Limite.
Por fim, Lundsford, Rowell e Goodson-Espy (2006) enfatizam a importância
de promover pesquisas em sala de aula, no intuito de melhorar o ensino e também
desenvolver técnicas de avaliação com o propósito de obter informações
quantitativas no que concerne à compreensão de conceitos por parte dos alunos.
Além desses três artigos, existem outros trabalhos nos quais o teorema não é
o objeto matemático principal, mas há consenso entre os autores de que o teorema
é um dos mais importantes para Inferência Estatística. Como exemplo, o artigo de
David (2003), cuja publicação foi significativa para os nossos estudos, pois sua
abordagem também faz o uso da história da Estatística na sala de aula, como forma
de motivar os alunos, na perspectiva da didática da matemática, particularmente, a
educação estatística, mesmo o teorema não sendo abordado de forma explícita.
A tese de doutorado de Méndez (1991) estuda os sistemas de crenças dos
alunos veteranos e principiantes do curso de Doutorado em Estatística e Economia,
sobre os aspectos fundamentais do Teorema Central do Limite. Ele classificou os
erros mais comuns e observou o alcance dessas crenças, por parte dos alunos
novatos, refletidas pelas representações dos veteranos. Isso comprova a
33
complexidade na construção de significados para conceitos quando passa por
crenças de uns para outros.
A partir da análise de dez livros-texto, Méndez (1991) constatou quatro
premissas fundamentais para a compreensão do Teorema Central do Limite:
i) A média da distribuição amostral é igual a média da população, na
medida em que o tamanho da amostra aumenta, tendendo ao infinito.
ii) A variância da distribuição amostral é menor que a da população.
iii) A forma da distribuição amostral tende a ser normal na medida em que
aumenta o tamanho da amostra, isto é, aproximadamente normal,
independentemente da forma da distribuição da população.
iv) A forma da distribuição amostral cresce em altura e decresce em
dispersão conforme se aumenta o tamanho da amostra.
A partir das premissas acima, Méndez (1991) trabalhou com textos escritos
pelos alunos veteranos, verificando seus conhecimentos sobre a representação de
um conjunto de conhecimentos implícitos acerca do Teorema Central do Limite. E,
por meio do mapa conceitual, definiu dois níveis de compreensão. No primeiro nível,
reconheceu as habilidades e os conhecimentos exigidos para resolver as atividades
propostas pelos livros-texto. O segundo nível diz respeito a outras áreas do
conhecimento que, geralmente, não estão nos livros-texto.
Os dois níveis de compreensão, oriundos do resultado da análise de duas
tarefas realizadas na primeira fase da pesquisa, suscitaram o raciocínio em relação
aos conceitos que exigem diferentes níveis de interpretação. A primeira tarefa
constituiu-se de um teste contendo questões clássicas de múltiplas escolhas
extraídas de livros-texto, previamente analisadas pelo investigador; a segunda tarefa
revelou várias situações diferentes, porque direcionava recolher as declarações e
procedimentos que usaram nas terminologias específicas adquiridas por cada um
dos sujeitos participantes, providos de suas crenças.
Para a segunda fase, realizaram entrevistas com os alunos que haviam
participado da primeira, o que permitiu dividir em três grupos de sujeitos, os
principiantes que tinham algum estudo prévio de Estatística; os que não tinham e
estudantes de doutorado em Estatística e Economia. O objetivo geral da
investigação foi observar como eles compreendem ou não o Teorema Central do
34
Limite e, em particular, observar suas compreensões a partir das quatro premissas
anteriormente citadas.
Em síntese, Méndez (1991) concluiu que os estudantes de doutorado
mostraram uma boa compreensão do teorema e de seus elementos implícitos, mas
o discurso foi excessivamente formal. Já para os demais grupos, faltavam-lhes
habilidade em expressar-se intuitivamente, pois suas explicações eram formais e, a
partir disso, constataram compreensão superficial sobre o teorema. Em todos os
grupos, a maioria dos participantes usaram os dados sem considerar a população na
qual foram extraídas as amostras e, também, não levaram em conta o tamanho das
amostras.
Tomando como base essas conclusões, o autor recomenda que um curso
introdutório de Estatística deve levar em conta a natureza dos recursos de
aprendizagem para conceitos e procedimentos que se deseja ensinar. Méndez
(1991) ainda recomenda o uso de dados que propiciam aos alunos observar os
aspectos principais do Teorema Central do Limite; a utilização de materiais
concretos, como, por exemplo, simulações por meio de lançamento de dados para
criar representações nos processos de extração das amostrais e a distribuição
amostral das médias, bem como organizar simulações quando o tamanho da
amostra for suficientemente grande. Destaca, ainda, a importância de que o
professor seja consciente dos diversos níveis de compreensão que se distinguem
entre os alunos, propondo que a compreensão intuitiva deve anteceder o
pensamento formalizado do teorema. Por fim, faz uma crítica aos livros-texto
analisados, pois lhe foi possível constatar uma supervalorização quanto aos
aspectos quantitativos em detrimento dos qualitativos. Consequentemente, os
alunos acabam por usar linguagem formal sem compreender efetivamente o
conceito do teorema.
Um outro trabalho que cita a importância do Teorema Central do Limite,
embora não seja o tema central da pesquisa, é a tese de Tauber (2001), porque ela
dá ênfase ao teoerema a partir da importância da distribuição normal na Estatística:
A distribuição normal desempenha um papel muito particular no estudo da
inferência, porque o teorema central do limite permite a aplicação dos
métodos de inferência, sem preocupar-se pela forma concreta da
distribuição da população, sempre que o tamanho da amostra for
suficientemente grande. (TAUBER, 2001, p. 14) (Grifo nosso)
35
Os resultados obtidos nessas leituras nos permitiram reforçar a problemática
do nosso trabalho. Contudo, parece não haver ainda uma abordagem do teorema
sob a perspectiva ecológica na Didática da Matemática, nos dando, assim, o poder
de atribuir caráter inédito para a nossa pesquisa.
3.2 Um Breve Cenário Histórico do Teorema Central do Limite
Cajori (2007), Struik (1992), Eves (1997), Rodriguez (1989), Mether (2003) e
Fischer (2000) são alguns historiadores que fizeram do século XVIII a era da
Matemática Ilustrada, devido à influência do modelo vigente: o Iluminismo. Nesse
contexto, deu-se o desenvolvimento das ideias que fundamentaram a formulação do
Teorema Central do Limite.
A evolução desse teorema está estreitamente relacionada ao
desenvolvimento das ideias da probabilidade, como observa Coutinho (1996):
A noção de acaso data da História Antiga, tendo sua origem ligada aos
jogos de azar, notadamente na civilização egípcia, primeira dinastia, 3500
a.C., certamente com um aspecto lúdico. O desenvolvimento, porém, das
idéias que formam a base do desenvolvimento da probabilidade ocorreu
bem mais tarde, com Jérôme Cardan (De Ludo Aleae), Galileu (Sulla
Scoperta dei Dadi) e Fra Luca dal Borgo, que em sua obra publicada em
1494 e intitulada Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et
Proportionalita, enuncia o problema mais tarde resolvido por Blaise Pascal
(1623 – 1662) e Pierre de Fermat (1601 – 1665), a quem podemos, de certa
forma, atribuir a origem da concepção de Probabilidade. (COUTINHO, 1996,
p. 12)
Dessa forma, podemos destacar Jacob Bernoulli (1654-1705) que iniciou o
enfoque frequentista de probabilidade, isto é, aproximou a probabilidade de um
evento observando a frequencia de ocorrência quando um experimento é repetido
um grande número de vezes. Mas foi Laplace (1749-1827) que, em suas
investigações sobre Astronomia, “[...] provou que as velocidades médias ou as
distâncias médias dos planetas são invariáveis, ou meramente sujeitas a pequenas
mudanças periódicas” (CAJORI, 2007, p. 347). A partir daí, ele passou a interpretar
as pequenas mudanças periódicas como pequenos “erros” que deram origem às
distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias independentes.
36
O método desenvolvido por Laplace, conforme se encontra no apêndice A,
deu origem às primeiras ideias acerca do Teorema Central do Limite e esse feito o
levou a ser considerado o seu “criador”. Um outro trabalho importante realizado por
ele, principalmente para Estatística, foi a obra l’Essai Philosophique sur les
Probabilités, publicada em 1814, em que fez a primeira tentativa de axiomatização
da Teoria das Probabilidades e, ainda, explorou a natureza da teoria probabilística
do acaso (COUTINHO, 2001). Nesse mesmo trabalho, Laplace usou a propriedade
relativa à soma de variáveis aleatórias como sendo base para a demonstração
9
do
Teorema Central do Limite e, além disso, trabalhou com a função característica,
conforme apêndice B, numa distribuição de probabilidades. Apesar do caráter
dedutivo, Laplace não tinha intenção de estudar o teorema em si, mas utilizá-lo
apenas como técnica para a teoria das probabilidades. Apesar do caráter dedutivo,
Laplace não tinha intenção de estudar o teorema em si, mas utilizá-lo apenas como
técnica, ou seja, um procedimento para o cálculo de probabilidades e consolidar sua
teoria.
Nos estudos de Blaiotta e Delieutraz (2004, p. 2), é atribuída a Polya a
utilização do termo “central” nesse teorema, pois significa ‘de importância central’ na
teoria das probabilidades, tendo em vista que o Teorema Central do Limite é, muitas
vezes, implicitamente, aplicado em situações reais. Por exemplo, como bem
descreveu Laplace, ao considerar o erro total como a soma de numerosos erros
essencialmente muito pequenos, devido a causas independentes, essas
distribuições de erros são normais. Isso ocorre em muitas situações realizadas,
como na Astronomia, nas pequenas variações de temperatura, nas correntes
irregulares de ar, entre outros.
Fischer (2000) afirma que, de todas as contribuições para a compreensão da
demonstração do teorema, no século XIX, a de Poisson (1781-1840) pode ser
considerada aquela que mais desenvolveu conceitos que cercam a formulação do
teorema. Poisson publicou dois artigos, um em 1824 e outro em 1829, levantando
questões para serem discutidas sobre o teorema. Sua ideia era a de que todo
procedimento do mundo físico fosse governado por leis matemáticas distintas.
Nesse contexto, ele tentou apresentar uma análise matemática um pouco mais
9
Segundo Balacheff (2004), a demonstração é a pedra angular do pensamento matemático, do
raciocínio dedutivo, o qual tem sua base teórica no processo de provar por meio de códigos e de
formalidades.
37
detalhada do que aquela apresentada por Laplace. Ele considerou dois aspectos:
apresentou uma demonstração para uma variável contínua, a partir das ideias
iniciais sobre variáveis aleatórias; e discutiu a validade do Teorema Central do
Limite.
Esse tratamento inicial, dado por Poisson ao teorema, fundamenta-se a partir
da condição de que as variáveis devem ser identicamente distribuídas: primeiro pela
soma delas e, em seguida, por uma combinação linear de seus elementos. Dessa
forma, generaliza a demonstração da soma de variáveis aleatórias para diferentes
distribuições, conforme se pode comprovar no apêndice D.
As transições entre os séculos XVIII e XIX, e os séculos XIX e XX, foram
marcadas pelos esforços e dedicação por parte dos matemáticos no sentido de
construir fundamentação lógico-dedutiva para as questões “abertas” que, inclusive,
ainda existem na atualidade, como, por exemplo, a Hipótese de Riemann que,
segundo Devlin (2004, p. 15), “é o único problema de Hilbert de 1900 que continua
sem solução”. Segundo Boyer (1974):
No Congresso de Paris de 1900, Hilbert, renomado professor em Göttingen,
apresentou uma exposição em que tentou, com base nas tendências da
pesquisa matemática no fim do glorioso século dezenove, predizer a direção
de progressos futuros. Isso ele fez propondo vinte e três problemas que ele
acreditava estariam ou deveriram estar entre os que ocupariam a atenção
dos matemáticos no século vinte. (BOYER, 1974, p, 443)
Esses problemas propostos por Hilbert contribuíram para que o rigor
matemático ocupasse o centro da atenção daqueles que estavam no meio
acadêmico. Para Eves (1997, p. 463), foi nesse contexto que surgiu a distinção entre
matemática “pura” e “aplicada”. A primeira foi destinada aos especialistas cujos
interesses estavam voltados para os objetos matemáticos em si; já a segunda
priorizou o estudo de suas aplicações. Esse argumento é questionado por Bruter
(1998) quando diz:
[...] no plano do conhecimento matemático, o matemático aplicado nem
sempre produz resultados significativos, o mesmo acontencendo, é claro,
com o matemático puro, quer por não ter tido ainda a sorte de ser tocado
pela graça, quer porque lhe falta a prática profunda da disciplina na qual
opera o seu modelo, e que lhe permitiria vislumbrar propriedades
interessantes, originais: tendo adivinhado a sua presença, fá-las-ia surgir do
modelo, descobrindo assim talvez propriedades matemática novas.
(BRUTER, 1998, p. 20)
38
No entanto, a teoria das probabilidades, no século XIX, foi considerada mais
como ‘senso comum’ do que uma teoria advinda da Matemática. Não tardaria para
que alguns matemáticos investissem em demonstrar o teorema, conforme era
exigido pela comunidade, tais como Bessel (1784-1846), Dirichlet (1805-1859),
Cauchy e Ellis (1814-1890). Esses estudiosos trabalharam, por meio de várias
tentativas, a primeira versão do Teorema Central do Limite que foi formulada por
Laplace (vide apêndice E).
No entanto, até então, segundo Hald (1998, p. 402), as tentativas não foram
satisfatórias sob três aspectos: (i) o teorema não havia sido monstrado para
distribuições infinitas; (ii) não havia condições explícitas, em termos de momentos
(apêndice C), sobre as quais o teorema é consolidado; (iii) não havia conhecimento
na época sobre a razão de convergência.
Nas palavras de Lakatos (1978, p. 177), nesse período, “eles não sabiam que
após o descobrimento de um contra-exemplo eles não tinham que analisar sua prova
cuidadosamente e tentar encontrar o lema oculto.”
Outros grandes personagens da história da Matemática também contribuíram
diretamente para o desenvolvimento do teorema e, dentre eles, podemos destacar a
família Bernoulli, Bayes (1702-1761), DeMoivre (1667-1754) e Taylor (1685-1731)
10
.
Mas os três itens apontados por Hald (1998) foram resolvidos por
matemáticos russos, entre 1870 e 1910. Destacam-se Chebyshev (1821-1894),
Markov (1856-1922) e Liapounov (1857-1918).
A publicação do artigo de Chebyshev é, tradicionalmente, considerada o início
das demonstrações com rigor para o teorema. Apesar de a demonstração estar
incompleta, Chebyshev usou o ‘método dos momentos’, conforme apêndice C. Mais
tarde, seu trabalho recebeu a contribuição de Markov, que também trabalhou
arduamente para obter a generalização do método de momentos após a prova de
Liapounov. Ele finalmente foi bem sucedido em 1913, quando apresentou um artigo
que continha uma demonstração do Teorema Central do Limite. Mais detalhes
encontram-se no apêndice F.
Liapounov e Markov foram alunos de Chebyshev. Liapounov queria introduzir
provas rigorosas para teoria das probabilidades e foi bem sucedido em seu intento.
Ele não recorreu ao ‘método de momentos’, mas seguiu a idéia de Laplace, fazendo
10
Não temos a intenção de elencar todos os matemáticos que contribuíram para a História da
Estatística, mas apenas citar alguns.
39
o uso das funções características. Liapounov publicou, em 1901, uma demonstração
que é considerada a “primeira” constituída de rigor para o teorema, porém ainda
incompleta.
De acordo com Mether (2003), Lindeberg (1876-1932) chega a iniciar a
demonstração, finalizando com as condições necessária e suficiente de Lévy (1838-
1910) e Feller (1906-1970) para o Teorema Central do Limite. Contudo, o teorema
recebe uma demonstração elementar por meio da publicação de Lindeberg em
1922, cujo argumento era simples e aplicável para os valores do plano euclidiano
(CAM, 1986), pois considerava as variáveis x
i
,
como variáveis aleatórias
independentes com expectância zero e variância σ
i
2
igual a um
,
isto é, segundo
Gnedenko e Kolmogorov (1954, p. 90), “seja s
n
o desvio padrão da soma S,
s
n
2
=
∑
σ
2
1
. Se 0xE
s
1
n
i
s
x
2
i
2
n
→
Ι
∑
ε>
, então,
( )
1,0N
s
S
n
→
”, em geral, conhecida
como a “condição de Lindeberg”. Entretanto, essa condição permaneceu inalterada
até a primeira metade do século XX, isto é, até o período anterior à publicação de
Trotter sobre o teorema, em 1959. Para Paulauskas (2006), o trabalho de Trotter
apresentava duas vantagens: foi escrito em inglês e a demonstração apresentada foi
muito clara. Isso chamou atenção dos pesquisadores — o que fez ressurgir a
condição de Lindeberg —, cujos interesses estavam voltados para os teoremas
sobre limites nos espaços de dimensões infinitas.
Atualmente a condição de Lindeberg ainda é usada na maioria dos casos de
convergência para uma distribuição normal e, também, para variáveis aleatórias que
não são distribuídas identicamente. As variáveis aleatórias identicamente
distribuídas também são conhecidas como uniformemente distribuídas que, segundo
Meyer (1983):
(a) Uma variável aleatória uniformemente distribuída tem uma função
densidade de probabilidade que é constante sobre o intervalo de
confiança. A fim de satisfazer à condição.
∫
+∞
∞−
= 1dx)x(f
, essa
constante deve ser igual ao inverso do comprimento do intervalo.
(b) Uma variável aleatória uniformemente distribuída representa o análogo
contínuo dos resultados igualmente prováveis, no seguinte sentido:
Para qualquer subintervalo [c, d], onde a ≤ c ≤ d ≤ b, P(c ≤ X ≤ d) é a
mesma para todos os subintervalos que tenham o mesmo comprimento
[...], isto é, depende unicamente do comprimento do intervalo e não da
posição desse intervalo.
(c) Agora podemos tornar mais precisa a noção intuitva de escolher ao
acaso um ponto P, em um intervalo [a, b]. Por isto simplesmente
40
queremos dizer que a coordenada x do ponto escolhido, digamos X, é
uniformente distribuída sobre [a, b]. (MEYER, 1983, p. 90)
A condição de Lindeberg fundamenta-se em dois pontos: (i) pode ser
aplicada, em geral, em diversos contextos; (ii) considera a razão de convergência
como o menor valor.
As evidências confirmaram que sua demonstração foi provida de rigor
matemático, entretanto, sob condições suficientes. Faltavam-lhe ainda as condições
necessárias para consolidar a demonstração do Teorema Central do Limite. Como
Poisson mostrou em 1824, a aproximação de uma distribuição assimétrica para
normal nem sempre é de variáveis independentes. Essa lacuna foi parcialmente
preenchida por Lévy e Feller em 1935 e 1937, respectivamente.
Lévy demonstrou a condição de Lindeberg em 1925, aplicando funções
características. Para Cam (1986), ele transformou o trabalho de Lindeberg em
simples e sofisticado para a época. Entre 1925 e 1930, publicou vários artigos sobre
o teorema, dando ênfase às funções características em suas demonstrações.
Porém, após 1930, ele evitou o uso dessas funções e, no seu artigo de 1935, não
fez nenhum uso das funções características no todo. Esse mesmo trabalho de Lévy
foi apresentado somente poucos meses depois de Feller, e, apesar de terem tratado
da mesma questão em ambos os artigos, eles negaram qualquer contato anterior
sobre o assunto. Lévy provou vários itens relacionados ao Teorema Central do
Limite: (i) anunciou as condições necessária e suficiente para convergência de
somas normalizadas de variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas para uma distribuição normal; (ii) apresentou condições necessária e
suficiente para o caso geral de somatórios independentes; (iii) tentou dar condições
necessária e suficiente para variáveis dependentes.
Havia, no entanto, alguns problemas com as demonstrações de Lévy. As
condições necessária e suficiente para o caso de distribuições marginais de
probabilidade não eram satisfatórias o bastante e não se fez um teste padrão com
rigor. É chamada de distribuição de probabilidade marginal para o caso de variáveis
discretas e, se contínuo, é chamada de função densidade de probabilidade marginal.
Para Meyer (1983, p. 116), “a cada variável aleatória bidimensional (X, Y) associa-se
a duas variáveis aleatórias unidimensionais, a saber, X e Y, individualmente. Isto é,
pode-se estar interessado na distribuição de probabilidade de X ou na distribuição
de probabilidade de Y”.
41
Lévy provou as condições necessária e suficiente para casos gerais de
variáveis aleatórias independentes corretamente, mas sua demonstração dependia
do lema fundamental, que ainda não havia sido provado. E esse lema é, segundo
Mether (2003, p. 21), “Se a soma S = X + Y de duas variáveis aleatórias
independentes (X e Y) tem uma distribuição normal, então X e Y são distribuições
normais”.
Toda prova de Lévy dependia desse lema, no entanto não foi satisfatória na
época em que teve a oportunidade de ser apresentada. No ano seguinte, 1936,
Cramér provou o lema (como um teorema). Com ajuda desse mesmo teorema, a
utilização de somas normalizadas poderia ser apresentada para validar os teoremas
de Lévy e Feller, pois, assim, seriam aplicáveis para casos gerais. Tanto Feller
quanto Lévy retornaram e aperfeiçoaram seus trabalhos em 1937, após os
resultados apresentados por Cramér. Cam (1986, p. 90) afirma que “o Teorema
Central do Limite foi então provado nas condições necessária e suficiente” . Assim,
foi satisfeita a demonstração do teorema tal qual se conhece nos dias atuais (vide
apêndice G).
Em suma, a história do Teorema Central do Limite iniciou a partir da
discussão sobre a necessidade de aproximação das somas dos erros de uma
distribuição, sendo Laplace o precursor desse processo, no século XVIII, que só se
concluiu em meados do século XX, ou seja, precisou-se de mais de 200 anos para a
realização da demonstração do teorema. Esse longo percurso mostra a
complexidade do tema e a necessidade de desenvolvimento de um conhecimento
matemático preciso para sua correta e completa demonstração.
Portanto, conforme exposto, na primeira parte nos foi possível constatar que
os estudos que têm como foco o Teorema Central do Limite ainda são bastante
escassos, principalmente quando comparados com outros temas da Educação
Estatística, o que confere relevância de nossa investigação.
Já para a segunda parte da revisão da literatura, uma abordagem histórica,
mesmo que superficial, nos reporta a uma visão de como o teorema surgiu, os
obstáculos pelos quais os matemáticos se depararam e, por fim, a justificativa sobre
a importância dele como objeto de estudo de nossa pesquisa. Além disso, no
contexto do processo de ensino e de aprendizagem, Kline (1976) confirma que:
[...] Podemos dar aos estudantes as abordagens certas, e eles as
compreenderão. Pode-se contestar esse argumento dizendo que os maiores
42
matemáticos procuraram realmente construir os fundamentos lógicos para
as várias questões, mas malograram durante séculos. O malogro deles
deve servir como prova de que as abordagens lógicas não são fáceis de
apreender. Pode-se resumir a história e evitar muitos dos esforços
desperdiçados e armadilhas, mas não se pode eliminá-las. (KLINE, 1976, p.
60)
E, assim, justificamos nossa opção por não ter detalhado a demonstração do
Teorema Central do Limite, uma vez que a delimitação do nosso tema se refere à
abordagem didática. Porém, os diversos passos para a construção dessa
demonstração podem ser encontrados nos apêndices de A a G.
43
4 PROCEDIMENTOS E REFERENCIAIS METODOLÓGICOS
A partir da revisão da literatura, averiguamos algumas lacunas existentes
sobre o Teorema Central do Limite quanto à abordagem que lhe é dada, atualmente,
nos cursos de Licenciatura. Podemos apontar como um dos motivos a falta de
ênfase, ao menos nos livros-texto, quanto à demonstração do teorema, assim como
a ausência de citações a uma abordagem histórica sobre o seu surgimento, mesmo
que os autores afirmem sua importância ao tratarem de Inferência Estatística. Além
disso, as aplicações são diretas, em situações-problema que nem sempre estão
direcionadas para o teorema em si, mas, sim, subjacente aos problemas.
Para realizar a nossa investigação, optamos pela abordagem de Artaud
(1998) quanto à problemática ecológica do objeto, o que nos permitiu questionar o
real, isto é, “o que existe? Por que existe?” Ou então, o que não existe? Poderia
existir? Sobre quais condições?, que, em síntese, no contexto do Teorema Central
do Limite, constitui-se a problemática de nossa investigação:
Por que determinados saberes/conhecimentos deixaram de ser abordados no
ensino do Teorema Central do Limite, mas ainda assim ele “sobrevive”? Que
saberes são indispensáveis para o teorema “viver”? Que relações diretas ou
indiretas existem entre o teorema e a construção de saberes estatísticos nas
aulas de Estatística?
O aprofundamento sobre a relevância ecológica atribuída à problemática
desse estudo será abordada no capítulo relativo ao quadro teórico. Por enquanto,
nos restringimos a expor os procedimentos metodológicos que nortearam a nossa
investigação.
Para Artigue (1995), a engenharia didática é um método de investigação que
se caracteriza, fundamentalmente, por um esquema experimental, cuja base está
nas realizações didáticas que ocorrem na sala de aula, envolvendo, assim, da
concepção à análise de sequências didáticas. Mas, com as avaliações que ocorrem
internacionalmente com alunos, como, por exemplo, o programa PISA (Programme
for International Stutdents Assessement), sob responsabilidade da OECD
(Organisations for Economic Co-operation and Development), a tendência das
44
pesquisas didáticas nos reporta a seguir o desenvolvimento da própria Matemática
na nossa sociedade.
Pela “medida” do letramento matemático dos estudantes e das
competências que devem proporcionar, estas avaliações questionam de
fora a eficiência dos nossos sistemas educacionais tornando mais visível no
cenário internacional os sucessos, mas também as limitações e falhas, e
conduz para a questão de pesquisa educacional sobre seu potencial para
informar e guiar decisões e normas curriculares.
11
(ARTIGUE, 2009, p.1-2)
Assim, podemos dizer que o design didático nos permite reconhecer as
intervenções controladas, exercendo, segundo a mesma autora, um papel essencial
no sentido de como a teoria e a prática podem ser efetivamente úteis. O termo
“letramento foi escolhido para refletir a amplitude dos conhecimentos, habilidades e
competências que estão sendo avaliados” (BRASIL, 2009). E o letramento em
Matemática é avaliado sob três dimensões: conceitual, procedimental e
interdiciplinar.
Sob a dimensão conceitual, o letramento matemático recebe uma abordagem
mais ampla, destacando-se, em primeiro lugar, os conceitos relativos à estimativa,
mudança e crescimento; espaço e forma; raciocínio lógico; incerteza e dependências
e relações; em segundo, conceitos matemáticos contidos no currículo, como, por
exemplo, as relações numéricas, álgebra e geometria.
A dimensão procedimental, em linhas gerais, refere-se às competências e às
habilidades que o estudante deve desenvolver de modo que saiba resolver
problemas a partir da escolha de estratégias, que são divididas em três classes: a
primeira diz respeito às operações simples; a segunda, ao reconhecimento em
estabelecer as interrelações entre os diferentes modelos matemáticos para
resolução de problemas; e, por fim, a terceira classe dispõe da prática do raciocínio
matemático em estabelecer generalizações e exercer a descoberta.
A terceira dimensão do letramento matemático, a interdisciplinar, consiste na
resolução de problemas em todas as vertentes da ciência ou do cotidiano,
entendendo que a Matemática não é uma disciplina isolada das demais, isto é, em
oposição à visão fragmentada do conhecimento.
11
Texto original: “Through the “measure” of students’ mathematical literacy and competences that
they pretend to provide, these evaluations question from the outside the efficiency of our educational
systems, make more visible on the international scene successes but also limitations and failures, and
lead to question educational research about its potential for informing and guiding curricular decisions
and policies.” (Trad. COUTINHO, Cileda de Queiroz e Silva; SILVA, Maria José Ferreira da)
45
A pertinência do letramento matemático na nossa investigação é tocante a
dois aspectos, a saber: aos licenciandos em Matemática e à literacia estatística. Em
decorrência disso, optamos pela metodologia do design didático, pois Artigue (2009)
acredita que a associação entre essa metodologia, a Teoria das Situações Didática
(BROUSSEAU, 1996) e a Teoria Antropológica do Didático (CHEVALLARD, 1996,
1999) será extremamente apropriada, pois pode dar suporte reflexiva ao design
didático
Com relação à TSD (Teoria das Situações Didáticas), a engenharia didática
tem seus termos bem definidos quanto à intervenção controlada, pois é baseada em
sua teoria e, para Artigue (2009), vale apontar algumas características da TSD, pois
afeta o ponto de vista do design. Em primeiro lugar, o objeto da TSD é a situação em
si e, quanto à aprendizagem, depende da abordagem em que se dão as situações
que ocorrem na sala de aula; em segundo, há ênfase na epistemologia do
conhecimento, o que significa uma análise mais específica das situações, tendo em
vista que o aspecto positivo é o de despertar o conhecimento matemático visado;
terceiro, a influência do milleu na situação e na interação dos estudantes como
forma de “assegurar uma adaptação adidática produtiva” (ARTIGUE, 2009, p. 5); em
quarto, o conhecimento matemático se distingue na ação, na formulação e na
validação; e, em quinto lugar, o papel do professor como ator, desde a organização
das relação didáticas e adidáticas até o encaminhamento do processo de devolução
e institucionalização. Para Brousseau (1996), é de responsabilidade do professor
porque:
O matemático não comunica seus resultados tal como os obteve, mas os
reorganiza, lhes dá forma mais geral possível; realiza uma “didática prática”
que consiste em dar ao saber uma forma comunicável, descontextualizada,
despersonalizada, fora de um contexto temporal.
O professor realiza primeiro o trabalho inverso ao do cientista, uma
recontextualização do saber: procura situações que dêem sentido aos
conhecimentos que devem ser ensinados. Porém, se a fase de
personificação funcionou bem, quando o aluno respondeu às situações
propostas não sabia que o que “produziu”, é um conhecimento que poderá
utilizar em outras ocasiões. Para transformar suas respostas e seus
conhecimentos em saber deverá, com a ajuda do professor, re-
despersonalizar e re-descontextualizar o saber que produziu, para poder
reconhecer no que fez algo que tenha caráter universal, um conhecimento
cultural reutilizável. (BROUSSEAU, 1996, p. 48)
No entanto, Artigue (2009) afirma que há limitação no papel do professor,
mesmo durante sua participação no processo de devolução e institucionalização,
46
considerando-se que, se essa estrutura pode ser associada ao design e à
engenharia didática, pode enriquecer as sucessivas fases de análise a priori e a
posteriori. A partir do design didático, pode-se garantir a internalização do processo
em estudo, sem excluir as ferramentas metodológicas.
Um outro aspecto a ser considerado é o da Teoria Antropológica do Didático e
o design didático. Segundo Artigue (2009, p. 8), “a escala de níveis de co-
determinação didática certamente pode ajudar a fazer um design didático sensível
aos diferentes tipos de limitações a que as ações didáticas são submetidas, do nível
da civilização ao nível do sujeito”
12
. Assim, como um dos procedimentos
metodológicos de nossa investigação foi a análise das atividades que aplicam o
Teorema Central do Limite em alguns livros-texto do Ensino Superior, conciliar a
TAD e o design didático nos permitiu entrelaçar a pesquisa e a prática. O fator
positivo do design didático é que pode tornar as questões ecológicas visíveis e
possíveis de serem organizadas para seu estudo.
Os procedimentos metodológicos foram divididos em três partes. A primeira é
a análise dos livros-texto à luz da Teoria Antropológica do Didático. A segunda parte
diz respeito às atividades realizadas com os quatro licenciandos, seguindo um
estudo qualitativo sobre como eles construíram as ideias em torno do teorema de
modo que conseguissem atingir a consolidação do saber enquanto objeto de estudo.
Para tal, foi apresentada uma série de atividades, cada qual constituindo-se numa
sequência didática de forma a dar contorno ao ecossistema do saber e do didático,
conforme será abordado no quadro teórico de nosso trabalho.
Na terceira parte, optamos por interagir com os alunos a partir de um diálogo
sobre as atividades realizadas, cujo instrumento utilizado foi gravação oral e,
posteriormente, transcritas. Nesse momento, a pesquisadora atuou como
professora, recorrendo, assim, a alguns fundamentos da pesquisa e da ação,
seguindo a proposta da intervenção controlada ou não, no contexto do design
didático de Artigue (2009). Isso confirmou uma investigação qualitativa que, durante
os diálogos, nos permitiu averiguar a literacia (ou letramento em) estatística.
Vejamos cada fase dos procedimentos metodológicos que nortearam a pesquisa.
12
Texto original: “The scale of levels of didactic codetermination certainly can help to make didactical
design sensitive to the different kinds of constraints to which didactical action is submitted, from the
civilization level to the subject level.” (Trad
.
COUTINHO, Cileda de Queiroz e Silva; SILVA, Maria José
Ferreira da)
47
4.1 A Análise dos Livros-Texto e a Teoria Antropológica do Didático
Nos estudos de Almouloud (2007, p. 113), “a problemática antropológica
amplia o campo de análise e permite abordar os problemas que se criam entre os
diferentes objetos do saber a ensinar.” Nessa perspectiva, tentaremos buscar uma
estrutura hierárquica, estabelecendo as interrelações entre os objetos, do ponto de
vista antropológico, de modo que nos permita identificar e analisar as estruturas
ecológicas dos objetos relacionados com o Teorema Central do Limite. E, para tal,
iniciamos com as justificativas que nos levaram a escolher determinados livros-texto,
para, em seguida, apresentar uma atividade de cada um deles e, finalmente, expor
como o teorema é definido por eles.
Entendemos que uma das atividades do professor é a de elaborar suas aulas
a partir de bibliografias que o levam a refletir sobre as etapas didáticas com as quais
irá se deparar. Portanto, a nossa escolha pelos livros-texto deve-se a alguns
critérios:
•
Levar em consideração a experiência dos autores no ramo da Estatística.
•
Pertencer, seja como bibliografia básica, seja como complementar, a
algumas ementas de cursos de Licenciatura em Matemática.
•
Ter edições mais recentes.
A partir da Teoria da Transposição Didática (CHEVALLARD, 1985) e suas
vertentes, faremos uma abordagem antropológica para as atividades realizadas, que
servirão como modelo para análise dos livros-texto e do desenvolvimento das
atividades, reforçando a questão ecológica.
Retomando o que Chevallard (1996) afirma, a teoria antropológica do
conhecimento ou antropologia cognitiva provém das primeiras formulações sobre a
teoria da transposição didática, a partir de três elementos: o objeto, as pessoas e as
instituições. O autor alega que o objeto de estudo tem seu destaque no sentido de
que ocupa uma posição privilegiada, e isso lhe é atribuído por ser um material de
base para investigação. Assim, a praxeologia (ou organização) da ecologia do objeto
matemático de estudo, o Teorema Central do Limite, é de duas espécies: a
48
matemática e a didática, o que reforça a estrutura do primeiro procedimento
metodológico.
Segundo Chevallard (1996), a teoria (
Θ
) é o nível superior de justificativa-
explicação-produção e nem sempre está presente numa atividade. No entanto,
podemos dizer que essa atividade, por si, encarrega-se por pertencer a uma
organização praxeológica pontual e global, ou seja, quando a praxeologia relaciona
uma única atividade T ao complexo: tarefa, técnica, tecnologia e teoria (T,
τ
,
θ
,
Θ
),
refere-se ao pontual. E, por outro lado, amplia a teoria para outras organizações
praxeológicas regionais, cujo conjunto se constitui no complexo global.
A técnica não se restringe apenas a um modo de ser realizado. Em
contrapartida, alguns conceitos devem ser do conhecimento do estudante para que
se possa aplicar a técnica. A tecnologia (
θ
) existe para justificar e explicar as
técnicas (
τ
), e a teoria (
Θ
) é a justificativa da justificativa, isto é, a tecnologia da
tecnologia.
O desenvolvimento das praxeologias proporcionou o design didático numa
forma própria e única para cada etapa, isto é, sucessivamente, pois nos permitiu a
análise pontual para a local e a regional.
4.2 As Atividades Didáticas e os Licenciandos
A segunda parte dos procedimentos metodológicos constitui-se de uma série
de atividades que permitiram aos quatro licenciandos construírem a definição do
Teorema Central do Limite, para, consequentemente, poderem atingir à
compreensão do conhecimento. Para elaboração das atividades, utilizamos um
exemplo, cujos dados coletados foram realizados por uma pesquisa
13
que mensurou
o índice de autoestima de alunos do Ensino Fundamental, particularmente do 6º ano.
13
A pesquisa foi de Iniciação Científica e contou com a participação dos alunos da Licenciatura em
Matemática, Andréa Stambassi Souza e Vanderson Damasceno Ribeiro, sob a orientação da autora
deste trabalho. Como os dados coletados não foram analisados estatisticamente, pareceu oportuno
lhes dar um tratamento estatístico apropriado. Isso fez com que contemplassem as duas dimensões
desta pesquisa: o Teorema Central do Limite e outros objetos estatísticos numa situação-problema
em que representa um tema pertinente e real para alunos da Licenciatura em Matemática.
49
Além de desenvolver, analisar e avaliar uma proposta de ensino centrada nos
principais conceitos ligados ao teorema, buscamos identificar e compreender
argumentos e procedimentos utilizados por alunos do curso de Licenciatura em
Matemática. Essa situação pode ser evidenciada na descrição de quando eles
trabalharam num cenário de aprendizagem privilegiado por situações-problema, em
que os objetos estatísticos puderam surgir a partir de ideias advindas das
concepções espontâneas, seguindo definição de Artigue (1990). Isso quer dizer que
a intenção foi a de fazer com que diversas ideias de objetos matemáticos e/ou
estatísticos pudessem emergir antes que sua definição fosse oficialmente
apresentada.
Para que isso ocorresse, caracterizamos o nosso trabalho, propondo uma
investigação qualitativa, e contamos, inicialmente, com apenas quatro licenciandos
do Curso de Licenciatura em Matemática, de um Centro de Ensino da cidade de Juiz
de Fora, Minas Gerais. Os participantes da pesquisa já se encontravam no último
ano do curso e, diante disso, a nossa investigação ocorreu durante as aulas de
Estatística, dirigida especialmente para eles, o que nos proporcionou observações
mais pontuais durante as discussões sobre essa disciplina. Assim, pudemos exercer
a pequisa e a prática conforme a proposta do design didático. Além disso, nos foi
possível também extrair alguns fundamentos téoricos da metodologia da pesquisa-
ação, cujos atores são todos os que participaram da pesquisa. Segundo Thiollent
(1986),
[...] a pesquisa-ação pode ser vista como modo de conceber e de organizar
uma pesquisa social de finalidade prática e que esteja de acordo com as
exigências próprias da ação e da participação dos atores da situação
observada. Neste processo, a metodologia desempenha um papel de
“bússola” na atividade dos pesquisadores, esclarecendo cada uma das suas
decisões por meio de alguns princípios de cientificidade. (THIOLLENT,
1986, p. 26)
No desenvolvimento dessa metodologia, os pesquisadores recorrem a
métodos e técnicas de grupos para lidar com a dimensão coletiva e interativa da
investigação, bem como técnicas de registro, de processamento e de exposição de
resultados. Por isso, um outro instrumento também utilizado foi o de discussão sobre
as atividades realizadas e devidamente registradas por meio de gravação de vozes,
que representará a terceira parte dos procedimentos metodológicos. Assim,
garantimos o anonimato, sem expor os licenciandos em nenhuma situação de
50
constrangimento pessoal. Por meio de um termo de compromisso
14
, os licenciandos
aceitaram participar da pesquisa voluntariamente, e o seu desligamento independeu
da época em que se encontrava a investigação, seguindo sempre o desejo de
participação de cada um.
Segundo Thiollent (1986),
os objetivos de conhecimento potencialmente
alcançáveis em pesquisa-ação são:
a) A coleta de informação original acerca de situações de atores em
movimento.
b) A concretização de conhecimentos teóricos, obtida de modo dialogado
na relação entre pesquisadores e membros representativos das
situações ou problemas investigados.
c) A comparação das representações próprias aos vários interlocutores,
com aspecto de cotejo entre saber formal e informal acerca da
resolução das categorias de problemas.
d) A produção de guias ou de regras práticas para resolver os problemas
e planejar as correspondentes ações.
e) Os ensinamentos positivos ou negativos quanto à conduta da ação e
condições de êxito.
f) Possíveis generalizações estabelecidas a partir de várias pesquisas
semelhantes e com o aprimoramento da experiência dos
pesquisadores.
(THIOLLENT, 1986, p. 41)
A partir do design didático, cuja proposta incide sobre as relações produtivas
entre pesquisa e prática, podemos sintetizar os seis itens expostos por Thiollent
(1996) nas ações como: reconhecer o objeto de estudo mediante os participantes (a)
e (b); analisar os impactos oriundos das respostas intuitivas e formais (c); orientar
como forma de devolução para reflexão e discussão dos resultados de êxito ou
“fracasso”
15
(d) e (e); e, por fim, reconstruir, a partir dos aspectos de êxitos e
“fracassos” (f). Entendemos que essa dinâmica representa um ciclo, nem sempre
hierárquico, mas que, didaticamente, parece ser, do ponto de vista de interação, o
pesquisador com os pesquisandos. Assim podemos sintetizar esses procedimentos
conforme o esquema 1:
14
Anexo 8.
15
A palavra “fracasso” não tem conotação negativa, por isso está colocada entre aspas, pois
entendemos que seria no caso de respostas de não êxito.
51
A fase de reconhecer pode ser considerada a exploratória, pois consiste em
estabelecer um primeiro diagnóstico da situação, dos conhecimentos prévios que os
estudantes têm sobre o Teorema Central do Limite, sem interferência do
pesquisador. O sentido de analisar está associado ao fato de comparar uma
resposta com outra e observar como as ideias surgem e são concernentes aos
objetos estatísticos e, eventualmente, associá-los aos objetos matemáticos. Em
seguida, vem a fase de orientar, que diz respeito às interferências que podem
ocorrer durante o diálogo com os estudantes, em se tratando das etapas em que foi
possível estruturar as ideias para dar um contorno ao teorema. E, finalmente,
reconstruir significa que, apesar de haver uma definição própria para o teorema,
entendemos, tal como Chevallard e Joshua (1991), que o saber é reconhecido para
ser produzido. A reconstrução se refere à produção do conceito que os licenciandos
tiveram quando lançaram suas ideias acerca do teorema. Esse ciclo pode ser
retomado a partir de respostas que porventura possam levá-los ao insucesso.
Consequentemente, pode haver a reconstrução da definição e, assim, iniciar
um outro nível, obedecendo às mesmas etapas, mas, sobretudo, mais consistente
que a anterior para a consolidação do saber.
RECONHECER
ANALISAR
ORIENTAR
RECONSTRUIR
PESQUISA
-
AÇÃO
P
E
S
Q
U
I
A
Ç
Ã
O
Esquema 1
-
Dinâmica da pesquisa
-
ação de nossa investigação,
com base em Thiollent (1986).
Fonte: Dados da pesquisa.
52
4.3 A Pesquisa e a Prática: o Design Didático
Partindo do princípio da participação, verifica-se em que condições os atores,
pesquisador e licenciandos, deverão atuar na investigação. Assim, Thiollent (1986)
sugere os seguintes passos para concretização da investigação:
a)
Análise e delimitação da situação inicial;
b)
Delineamento da situação final, em função de critérios de
desejabilidade e de factabilidade;
c)
Identificação de todos os problemas a serem resolvidos para permitir a
passagem de (a) e (b);
d)
Planejamento das ações correspondentes;
e)
Execução e avaliação das ações.
(THIOLLENT, 1986, p. 53)
As intervenções controladas ocorreram também durante as atividades, mas,
efetivamente, aconteceram claramente durante o diálogo entre a pesquisadora e os
licenciandos. Nesse contexto, a literacia estatística ficou em evidência a partir do
pensamento estatístico (WILD; PFANNKUCH, 1999), cujo termo pressupõe leituras
no sentido vago e intuitivo, as quais, em grande parte, não são examinadas
acirradamente. Pode-se dizer que o pensamento estatístico é uma forma de senso
comum, isto é, passível de entendimento a partir do momento em que é visível. Em
contrapartida, sua ausência é, ao menos, aparentemente óbvia para uns, porque, de
acordo com Wild e Pfannkuch (1999), tem sido muito mais produto da experiência
vivida e intuição do que produto instrucional formal transmitida pelas gerações
passadas. Portanto, as situações com que nos deparamos nos proporcionou
momentos de reflexão e discussão, o que interferiu, mesmo que indiretamente,
numa orientação em torno das ideias estatísticas que surgiram nas atividades
propostas.
Desse modo, quando afirmamos que o objetivo de nosso estudo foi o de
desenvolver, analisar, avaliar e reconstruir para uma proposta de ensino centrada
nas principais ideias e conceitos ligados ao Teorema Central do Limite, significa
dizer que tivemos um olhar voltado para ações dos alunos à medida que eles
expressavam os objetos matemáticos implícitos nos objetos estatísticos. Buscamos,
portanto, a análise e a compreensão dos procedimentos e argumentos que cada um
se fez valer em cada situação. Podemos também dizer que, nesse ponto, se
53
estabeleceu uma relação produtiva entre a pesquisa e a prática pela reflexão sobre
todas as propostas apresentadas na nossa investigação.
No próximo capítulo exploraremos mais detalhadamente o quadro teórico que
norteou todo o nosso trabalho.
54
5 QUADRO TEÓRICO DA INVESTIGAÇÃO
Neste capítulo vamos apresentar as teorias da Didática da Matemática que
utilizamos no desenvolvimento desta pesquisa. Para que efetivamente haja o
engendramento entre o objeto estatístico e matemático de nosso estudo, no caso o
Teorema Central do Limite, e a compreensão de como as ideias podem surgir
durante uma sequência didática sobre o tema, optamos por uma abordagem sob o
ponto de vista ecológico do saber e do didático.
Diante desse contexto, dividimos o quadro teórico segundo três pontos de
vista. O primeiro trata-se do objeto do saber, o Teorema Central do Limite, numa
abordagem ecológica; o segundo, especificamente, o ponto de vista do didático; e, o
terceiro, no que se refere à aplicabilidade do teorema no nosso entorno, isto é, as
implicações do teorema na literacia estatística.
Na primeira parte, visamos o objeto, o teorema em questão, sob o ponto de
vista ecológico do saber, isto é, quais são os elementos matemáticos e estatísticos
indispensáveis para a compreensão do Teorema Central do Limite? Quais os
dispensáveis que permitiram sua “sobrevivência” até nos dias de hoje?
E, em seguida, na segunda parte, sob o ponto de vista ecológico do didático,
tratamos do processo de ensino e de aprendizagem, já que podemos afirmar que a
dificuldade, em certas ocasiões, é potencializada pelo fato de o professor de
Matemática, responsável pelo ensino desse conteúdo na Educação Básica e no
Ensino Superior, segundo Shulman (1986), precisa ter mais conhecimentos
específico e didático do conteúdo, justificando, assim, o nosso trabalho com os
licenciandos em Matemática. Partimos da hipótese de que a compreensão do
Teorema Central do Limite, na transição entre a Descritiva e a Inferencial, deve
estabelecer os níveis de ensino, segundo a Teoria da Transposição Didática.
E, na terceira parte, trataremos de expor algumas ideias a respeito da literacia
estatística no intuito de poder apresentar uma relação direta ou indireta entre o
teorema e a proposta nessa vertente.
55
5.1 A Problemática Ecológica sob o Ponto de Vista do Saber
Sob o ponto de vista ecológica do saber, entendemos que a problemática
deve envolver uma abordagem antropológica do objeto, no caso, o Teorema Central
do Limite, nos possibilitando retomar a nossa questão de cunho ecológico de nossa
investigação:
Por que determinados saberes/conhecimentos deixaram de ser abordados no
ensino do Teorema Central do Limite, mas ainda assim ele “sobrevive”? Que
saberes são indispensáveis para teorema “viver”? Que relações diretas ou
indiretas existem entre o teorema e a construção de saberes estatísticos nas
aulas de Estatística?
Para aprofundarmos um pouco mais a relevância ecológica atribuída à
problemática desse estudo, faremos um breve esboço sobre o que vem a ser uma
estrutura ecológica a partir de um ecossistema.
5.1.1 A Noção de Ecossistema
A criação da palavra ecologia veio de Haeckel, em 1866. Ele definiu
“ecologia” como a ciência que engloba todas as relações dos organismos com o
mundo exterior que os envolve, incluindo suas condições de existência, isto é, as
relações extrínsecas e intrínsecas dos organismos com o meio, formando uma
estrutura ecológica chamada de ecossistema.
Segundo Dajoz (2005, p. 244), ecossistema é “um conjunto de elementos em
interação uns com os outros, formando um todo coerente e ordenado. É um sistema
hierarquizado no qual os próprios elementos constitutivos são subsistemas
estruturados.”
Para Dajoz (2005), o termo biocenose é atribuído ao conjunto de espécies
que ocupam e partilham um mesmo meio, bem delimitado, no qual foram reunidas
de maneira fortuita. Esses conjuntos de espécies coexistem regularmente e de forma
56
previsível. São também as mesmas que podem manter, entre si, relações que
resultam em uma verdadeira coevolução. Em outras palavras, as diversas espécies
não são independentes: os elementos do ecossistema são interdependentes, porque
mantêm entre si relações múltiplas, coerentes e ordenadas, formando, assim, um
conjunto, em geral, estável e autônomo.
O trabalho de Artaud (1998) identifica quatro tipos de ecossistema para o
saber matemático:
[...] ecossistema do saber, no qual se produz a matemática; ecossistema
didático escolar, no qual se estuda a matemática; ecossistema profissional,
onde utilizam a matemática para concretizar algumas tarefas; ecossistema
noosferiano, enfim, em que a matemática é manipulada para fins de
transposição. (ARTAUD, 1998, p. 4)
Por conseguinte, nessa estrutura, reconhecemos os ecossistemas que
abarcam o Teorema Central do Limite: (i) quanto às condições e motivações que
permitiram a produção do teorema; (ii) quanto ao estudo do teorema no sistema
escolar; (iii) quanto ao estudo do teorema para a construção da literacia estatística
no cotidiano profissional e pessoal; (iv) quanto ao estudo do teorema no processo de
ensino e de aprendizagem.
O item (i) refere-se ao da revisão da literatura, em que foi possível traçar um
breve esboço histórico e epistemológico sobre as condições do desenvolvimento do
Teorema Central do Limite, desde as primeiras ideias até a forma como é conhecida
nos dias de hoje. Os itens (ii), (iii) e (iv) fazem parte dos resultados da pesquisa,
portanto, objetos de estudo no capítulo ulterior.
Contudo, para se ter uma ideia da estrutura ecológica do teorema como
objeto do saber, entendemos que um ecossistema tem caráter paradoxal devido à
dependência e independência em relação a outros ecossistemas. A dependência
nos proporciona uma visão global do nosso estudo, e a independência nos permite
distinguir o surgimento de objetos do saber a partir das diferentes tarefas que
requerem a instrumentalização dos mesmos. Assim, para o Teorema Central do
Limite, podemos dizer que a dependência global pode ser representada pela
importância que a maioria dos autores dos livros-texto atribuem ao teorema, pela
aplicação na Inferência Estatística e pelos objetos matemáticos e estatísticos que
são indispensáveis para seu estudo – como, por exemplo, a definição da curva
57
normal. Para a independência do ecossistema do teorema, exemplificamos a partir
de sua abordagem histórica e epistemológica, tal qual como foi apresentada.
Vale ressaltar que os objetos do saber e os objetos didáticos estão
associados, desde que as organizações do saber iniciaram suas existências para
pessoas ou instituições, a partir do processo de estudo.
5.1.2 Abordagem Ecológica do Saber: O Teorema Central do Limite
Para iniciarmos a apresentação do ecossistema do teorema, faz-se
necessário explicitar a sua definição. Segundo Guimarães e Cabral (1997), o
Teorema Central do Limite,
[...], no domínio da Estatística, constitui um dos desenvolvimentos teóricos
mais notáveis, com inúmeras aplicações — permite, em particular, fazer
progressos significativos na caracterização de distribuições por
amostragem. De uma forma extremamente simplificada, o teorema pode ser
enunciado nos seguintes termos:
Sejam X
1
, ..., X
N
variáveis aleatórias independentes com a mesma
distribuição, que se admite ter variância finita (quase todas as distribuições
com interesse prático têm variância finita, pelo que esta condição não é
particularmente restritiva). Qualquer que seja a forma da distribuição destas
variáveis, se o valor N (sic) for suficientemente grande, a variável soma
segue aproximadamente uma distribuição Normal.
Esta distribuição é inteiramente especificada através do valor esperado e da
variância de S, que são dados por
µ
= N.
µ
x
(sic)
σ
s
² = N.σ
x
2
(sic)
onde µ
x
e σ
x
2
, representam o valor esperado e a variância das variáveis X
n
. ,
(GUIMARÃES; CABRAL, 1997, p. 240)
Para a definição que os autores apresentam, vale ressaltar que
consideramos, em geral, N, (maiúsculo), para representar o tamanho da população,
e o n minúsculo para amostras, fato este não exposto por eles. Assim, o resultado
dessa definição pode ser interpretado da seguinte forma: para qualquer população
com variância finita, a distribuição da média amostral calculada com base numa
amostra simples tende para uma distribuição normal à medida que a dimensão da
amostra cresce. Como a média amostral é dada pelo produto entre a variável soma
∑
=
=
N
n
n
XS
1
58
(S) pelo coeficiente k =
N
1
, então a distribuição da soma se aproxima de uma
distribuição normal. E, para que tal fato aconteça, é preciso que satisfaça a duas
condições:
1ª) Se S é variável aleatória, então k.S também é variável aleatória;
2ª) Se S ~ N (
µ
,
σ
²), então k.S ~ N(k
µ
, k²
σ
²).
Satisfeitas as duas condições acima, tem-se que o mesmo sucederá à
distribuição da média amostral.
A seguir, apresentamos um esquema que pode representar um primeiro
esboço de um ecossistema associado ao Teorema Central do Limite:
DADOS COLETADOS
TEORIA DAS
PROBABILIDADES/
DISTRIBUIÇÃO DE
PROBABILIDADES
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS
AMOSTRAGEM
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
TOMADA DE DECISÕES
Esquema 2: Esboço de um ecossistema para o Teorema Central do Limite.
Fonte: Dados da pesquisa.
TCL
59
O esquema 2 retrata um primeiro esboço de ecossistema para o Teorema
Central do Limite a partir dos dados coletados. É a parte inicial do tratamento
estatístico a ser realizado para seguir uma estrutura ecológica. A análise exploratória
dos dados, neste caso, os procedimentos, envolve as medidas de posição central e
de variabilidade, culminando nas técnicas estatísticas que podem permitir a
construção de efeitos conclusivos por meio das representações gráficas. Em
seguida, os dados incidem nos fundamentos da Teoria das Probalidades e, quando
na forma de distribuição de probabilidades, seguem para as técnicas da
Amostragem. Essas técnicas permitem aplicação do Teorema Central do Limite,
constituindo-se o fundamento para Inferência Estatística.
Podemos dizer que a biocenose do teorema é o conjunto de saberes
indispensáveis que o faz existir na estrutura do conhecimento estatístico. Mas quais
são esses saberes? Quais os objetos matemáticos indispensáveis para
compreensão do Teorema Central do Limite? E os "dispensáveis", isto é, os
que não estão aparentes, de modo que, assim mesmo, o teorema sobreviva no
meio biótico?
Artaud (1998) parte do questionamento ecológico da teoria da transposição
didática. O termo ‘transposição didática’ é atribuída a Chevallard (1991, p. 39)
quando afirma que “um conteúdo do saber, que é destinado ao saber a ser
ensinado, sofre um conjunto de alterações no sentido de adaptar com mais
eficiência seu lugar entre os objetos da educação. Esse ‘trabalho’ que acontece com
o saber a ser ensinado é chamado de transposição didática.”
16
Nesse sentido, os objetos matemáticos utilizados no teorema estão contidos
na organização matemática, que depende de três condições fundamentais para sua
existência. Na primeira condição, o objeto matemático ensinado deve ser compatível
com seu meio social, neste caso, a Matemática que os licenciandos têm durante o
curso.
Na segunda, as ideias matemáticas que estão em torno do teorema devem
respeitar a sequência didática em relação ao tempo didático, isto é, sob o ponto de
vista do ensino. Chevallard, Bosch e Gastón (2001, p. 122) propõem “[...] a
reconstrução das obras matemáticas selecionadas no currículo como obras que
16
“Un contenu de savoir ayant été designé comme savoir à enseigner subit dès lors un ensemble de
transformations adaptatives qui vont le rendre apte à prendre place parmi les objets d’enseignement.
Le ‘travail’ qui d’un objet de savoir à enseigner fait un objet d’enseignement est appelé la transposition
didactique.” (CHEVALLARD, 1991, p. 39) (Tradução nossa)
60
devem ser estudadas, e não só ensinadas.”, respeitando assim a sequenciação e a
temporalização didática. De fato, esse estudo se desenvolve, tendo como pano de
fundo os cursos de Licenciatura em Matemática, porque se pressupõe que os alunos
já devem ter cursado disciplinas que dizem respeito aos objetos matemáticos
necessários para o estudo do Teorema Central do Limite, tais como noção de limite,
derivada, integral e variável aleatória. São satisfeitas, assim, as duas primeiras
condições.
A terceira condição, que será explorada ainda neste capítulo, diz respeito às
relações institucionais entre a posição do professor e a posição do aluno. Em termos
de Chevallard (1996), a palavra objeto é entendida em seu sentido amplo, isto é,
todos os elementos da didática podem ser chamados de objetos, da mesma forma
como atribui o significado a “instituições”. Então, essas relações institucionais
estabelecem-se a partir do meio, pois será ele que permitirá “uma série de questões
‘ecológicas’ para que uma situação didática possa, não apenas existir, mas continuar
a existir: para que possa funcionar.” (CHEVALLARD, 1996, p. 134).
A questão ecológica inicial do Teorema Central do Limite diz respeito à
identificação dos objetos indispensáveis de forma que o teorema permaneça vivo.
Para que isso ocorra, como alega Dajoz (2005), faz-se necessário conhecer a
estrutura trófica
17
das biocenoses, isto é, os elementos que se interrelacionam para
nutrir os ‘tecidos’ do objeto ecológico. A formação dessa estrutura é derivada do
resultado de uma cadeia alimentar. Por exemplo, uma “cadeia alimentar” simples
para o teorema poderia ser representado assim:
17
Segundo Dajoz (2005), a estrutura trófica constitui-se nos elementos que estão presentes na
cadeia alimentar e estabelece as relações de natureza alimentar que se mantêm entre si, ou seja, nos
elementos imprescindíveis que mantém existência ecológica do objeto de estudo.
61
O esquema 3 apresenta uma cadeia elementar simples e nos conduz a duas
ideias essenciais do teorema, a Amostragem e a Lei dos Grandes Números, já que
“a inferência estatística usa dados amostrais para tirar conclusões sobre a
população inteira” (MOORE, 2005, p. 216). Por exemplo, ao estimar a renda média
de famílias que moram num determinado bairro da cidade de Juiz de Fora-MG,
quanto maior for o número de observações da amostra aleatória, mais preciso será o
procedimento estatístico. Entendemos então que nesse exemplo foi aplicada a Lei
dos Grandes Números.
Apesar da simplicidade dessa cadeia, nem todas as pessoas sabem que, por
trás das informações, como, por exemplo, o caso da renda média das famílias,
existe uma teia de complexidade que envolve objetos e modelos matemáticos de tal
forma que a validação da afirmativa tem respaldo científico.
Nessa direção, uma forma de representar a estrutura ecológica do teorema é
fazê-lo pertencer, simultaneamente, a duas cadeias alimentares, formando, assim,
redes tróficas de razoável complexidade. A importância dessa estrutura complexa é
o resultado que se conhece sobre o teorema, e é a partir daí que, supostamente, o
Teorema Central do Limite atinge um nível estável na estrutura ecológica do saber.
Vejamos um esquema de duas redes tróficas no ecossistema do Teorema Central
do Limite, na partilha entre os ecossistemas do modelo matemático e da estatística,
conforme o esquema 4.
Esquema 3
-
Cadeia elementar simples para o Teorema Central do Limite.
Fonte: Dados da pesquisa.
INFERÊNCIA
ESTATÍSTICA
TEOREMA
CENTRAL DO
LIMITE
Informações
sobre
POPULAÇÃO
AMOSTRAS
62
Esquema 4
-
Esquema de redes tróficas em um ecossistema mostrando a
partilha
entre dois ecossistemas: o Teorema Central do Limite enquanto objeto matemático e
objeto da estatística.
Fonte: Dados da pesquisa.
ECOSSISTEMA DO OBJETO
MATEMÁTICO
ECOSSISTEMA DO OBJETO
ESTATÍSTICO
AMOSTRAGEM
TEOREMA CENTRAL
DO LIMITE
VARIÁVEL ALEATÓRIA
DISCRETA CONTÍNUA
POPULAÇÃO
MÉDIA VARIÂNCIA
AMOSTRAS ALEATORIA
SIMPLES (AAS)
VARIÁVEIS
ESTATÍSTICAS
DISTRIBUIÇÃO
AMOSTRAL PARA UMA
MÉDIA AMOSTRAL
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
DISCRETA CONTÍNUA
ALEATORIEDADE
FUNÇÃO
VARIÁVEIS
SEQUÊNCIA
TEORIA DAS
PROBABILIDADES
I
II
III
I
II
III
CONTEXTO MATEMÁTICO
CONTEXTO ESTATÍSTICO
63
Os itens (I), (II) e (III) correspondem respectivamente aos níveis dos
“consumidores”: primário, secundário e terciário. Esse esquema apresenta o
Teorema Central do Limite “alimentando” e “sendo alimentado” por dois
ecossistemas distintos: matemático e o estatístico.
As biocenoses dos ecossistemas apresentadas reiteram as interdependências
entre os elementos que fazem parte da estrutura. Essa analogia com as redes
tróficas permite buscar fatores que determinam estabilidade das comunidades
ecológicas do saber. No nosso caso, elas determinam a estabiidade das
comunidades ecológicas do Teorema Central do Limite. Segundo Dajoz (2005),
existe uma forte tendência de proporcionalidade direta entre o que tange à
complexidade dessas comunidades e à estabilidade das mesmas, e “muitos
ecólogos buscam os fatores que determinam a estabilidade das comunidades, e
procuram saber particularmente se as comunidades complexas são mais estáveis do
que as comunidades simples” (DAJOZ, 2005, p. 251).
Diante disso, criamos a hipótese de que o teorema sobrevive pela
aplicabilidade tanto como objeto matemático quanto estatístico.
Seguindo o esquema 3, a interrelação entre dois ecossistemas pode ser
declarada quando autores, como Wonnacott e Wonnacott (1991), apresentam o
Teorema Central do Limite, dividindo-o em três pontos-chave: (i) é um teorema, deve
ser demonstrado a partir de duas hipóteses: a primeira é quanto à independência
das variáveis aleatórias e a segunda é que estas variáveis tenham variância finita;
(ii) é um teorema limite, portanto significa que sua conclusão foi cuidadosamente
estabelecida na forma de um limite: a probabilidade que uma realização da variável
centrada reduzida
18
, z =
n
)X(
σ
µ−
, – isto é, a variável reduzida, z, é obtida pela média
das amostras (
x
), pela média da população (
µ
), pelo desvio padrão da população (
σ
)
e, por fim, pelo tamanho da amostra selecionado (n
)
–
que
pertença a um dado
intervalo que converge para o limite da probabilidade, em que a variável normal
centrada reduzida z pertença a esse intervalo; e, finalmente, o terceiro: (iii) é um
18
Segundo Magalhães e Lima (2002, p. 184), “[...] as probabilidades para o modelo Normal são
calculadas com o auxílio de tabelas. Para se evitar a multiplicação desnecessárias de tabelas para
cada par de valores (µ, σ²), utiliza-se uma transformação que conduz sempre ao cálculo de
probabilidades com uma variável de parâmetros (0, 1), isto é, média 0 e variância 1.” E essa variável
é a centrada reduzida, valor de z.
64
teorema central, no sentido que descreve como a média amostral,
x
,
que
se
concentra em torno de seu valor central,
µ
, a média da população.
Para conhecermos a estrutura trófica do Teorema Central do Limite, alguns
objetos matemáticos e estatísticos são imprescindíveis, pois estabelecem relações
entre si na cadeia alimentar para manter ‘vivo’ o teorema. A primeira hipótese se
refere à independência das variáveis aleatórias. Vejamos quais são os elementos
que “alimentam” essa primeira hipótese.
•
Amostras Aleatórias Simples
O ponto de partida para a exposição de amostras aleatórias simples é a
distinção entre população e amostra. Entende-se por população um grupo inteiro de
indivíduos sobre os quais desejamos obter informações; amostra é a parte dessa
população que efetivamente examinamos com objetivo de reunir informações.
A extração de uma determinada amostra requer procedimentos apropriados
de tal forma que permita reproduzir as mesmas características da população e, para
isso, existem métodos de amostragem. Eles podem ser aleatórios ou não.
O pesquisador tem como principal preocupação verificar se os elementos da
amostra são suficientemente representativos de toda a população, de modo
a permitir generalizações precisas sobre aquela população. A fim de fazer
essas inferências, o pesquisador escolhe um método adequado de
amostragem que permita que cada elemento da população tenha a mesma
chance de ser incluído na amostra. Se todo elemento da população tem
igual chance de escolha, estamos pondo em prática um método de
amostragem aleatório, caso contrário, o método de amostragem é não
aleatório. (LEVIN; FOX, 2004, p. 178)
Uma amostra aleatória simples pode ser com reposição, caso uma unidade
possa ser sorteada mais de uma vez, e sem reposição, se a unidade sorteada for
removida da população. Para autores como Bussab e Morettin (2003, p. 262), do
ponto de vista da quantidade de informação contida na amostra, o procedimento
sem reposição é mais adequado. Contudo, a amostragem com reposição pode
simplificar o tratamento teórico, pois a independência entre as unidades
selecionadas facilita o desenvolvimento das propriedades dos estimadores que
serão considerados.
Nos casos para os quais a população seja muito grande e diversificada,
existem procedimentos para construção de amostras (não aleatórias), tais como
amostras intencionais, por cotas ou por julgamento.
65
A extração de elementos para amostras aleatórias simples exige técnicas
específicas de forma que contemplem a metodologia da pesquisa em questão. Levin
e Fox (2004, p. 180) afirmam que “todos os métodos de amostragem aleatória não
são mais do que variações do processo de amostragem aleatória simples”.
•
O tamanho das amostras
Para o Teorema Central do Limite ainda tem a questão do tamanho da
amostra. Mas quão grande deve ser uma amostra para que o teorema seja
aplicado?
Alguns autores, como Stevenson (2001) e Mann (2006), adotam amostras a
partir de 30 (elementos) e, utilizando o Teorema Central do Limite, inferem que a
média das amostras tende a ser a da população. Mas, por outro lado, existem outras
obras em que esse número é reduzido para 25, o tamanho mínimo de amostras, por
exemplo, a obra de Witte e Witte (2005).
Diante dessa indefinição, qual deve ser o tamanho da amostra para que se
aplique o teorema? Nesse contexto, optamos por citar Triola (1999):
Se a população original é em si normalmente distribuída, então as médias
de amostras de qualquer tamanho serão normalmente distribuídas. Se a
população original não é em si normalmente distribuída, então dizemos que
a média de amostras de tamanhos n > 30 tem uma distribuição que é
aproximada por uma distribuição normal. A condição de que o tamanho da
amostra seja n > 30 é comumente usada como uma diretriz, mas não é
possível identificar um tamanho amostral mínimo específico que seja
suficiente para todos os casos. O tamanho amostral mínimo, na verdade,
depende de como a distribuição populacional se afasta de uma distribuição
normal. Tamanhos amostrais de 15 a 30 são adequados se a população
parece ter uma distribuição que não se afasta muito da normal, mas
algumas outras populações têm distribuições que são extremamente
distantes da normal, e então tamanhos amostrais de 50, ou mesmo 100,
podem ser necessários. Utilizamos o critério simplificado de n > 30 como
justificativa para tratar a distribuição das médias amostrais como uma
distribuição normal. (TRIOLA, 1999, p. 246)
De acordo com a citação, o tamanho das amostras estabelece uma relação
direta com a população, por isso o caráter relativista em contraposição a um critério
simplificado como por conveniência para n > 30. Nem sempre é possível conhecer a
população a não ser que sua natureza seja apresentada e, diante disso, deve-se
levar em consideração que não há um número ideal para o tamanho da amostra,
mas, sim, um modo simplificado, contemplando as propostas de atividades de
ensino que aparecem nos textos. Portanto, parece senso comum, ou por
66
conveniência, a adoção de amostras de 30 ou mais médias amostrais para aplicação
do teorema.
Um outro aspecto a ser considerado é o fator de proporcionalidade de uma
amostra em relação à população. Como nos casos acima, há também o senso
comum, ou por conveniência, sobre o tamanho da proporção de uma determinada
população quando se deseja examinar um item. Portanto, surge a necessidade de
uma referência para delimitar um percentual mínimo de modo que a amostra seja
significativa. Geralmente é considerada uma amostra superior ou igual a 5% da
população como aquela que é significativa. Segundo Stevenson (2001):
Se o tamanho da amostra é pequeno em relação ao da população, a não-
reposição do item examinado terá efeito desprezível nas probabilidades dos
itens restantes, e a amostragem sem reposição não causará dificuldades
sérias. Por outro lado, amostras relativamente grandes tendem a distorcer
as probabilidades dos itens restantes no caso de amostragem sem
reposição. Uma regra prática geralmente aceita é fazer a reposição quando
o tamanho da amostra excede 5% do tamanho da população.
(STEVENSON, 2001, p. 159)
Assim, o tamanho das amostras constitui também elemento indispensável na
estrutura ecológica do Teorema Central do Limite.
•
Variáveis Estatísticas
Variável estatística é a característica que se quer observar em um conjunto de
dados, averiguando se é qualitativo ou quantitativo. Para Graham (2006):
[...] Palavras como “quantos” e “menos” referem-se às medidas discretas,
separada, itens contáveis e, por outro lado, “quanto” e “menos” referem-se a
algo que não pode ser contado, tais como quantidade de água, fatia de torta
e, assim por diante. Para distinguir esses termos, utiliza-se na estatística
“discreta” e contínua”, respectivamente. (GRAHAM, 2006, p. 10)
19
(Tradução nossa)
Por conseguinte, tratamos de variáveis estatísticas discreta e contínua. Na
língua portuguesa, os vocábulos “fewer” e “less” significam “menos”. Porém, na
Língua Inglesa, "fewer" é uma forma usada para substantivos contáveis e "less" para
substantivos incontáveis, o que justifica a relação entre os elementos representados
pela variável discreta e pela variável contínua, conforme exposto no texto.
19
“[...]. Words like “how many” and “fewer” refer to measures of discrete, separate, countable items,
whereas “how much” and “less” refer to something that cannot be counted out, such as amount of
water, size of slice of a pie, and so on. The terms used in statistics to make this distinction are
“discrete” and “continuous”, respectively.” (GRAHAM, 2006, p. 10)
67
•
Variáveis Aleatórias
Triola (1999, p. 93) define “uma variável aleatória é uma variável (geralmente
representada por X) que tem um valor numérico único (determinado aleatoriamente)
para cada resultado de um experimento”. Por exemplo, consideremos o experimento
de observar a pontuação dos alunos, por turma, na 5ª Série, ou 6º ano, do Ensino
Fundamental, obtida a partir de instrumento de mensuração do índice de autoestima.
Podemos associar, a cada turma, o valor X que indica a média aritmética dos pontos
dos alunos daquela turma.
Dessa forma, se a escolha da turma em questão for feita por um sorteio
aleatório (experimento aleatório), então se pode dizer que X é uma variável aleatória.
Meyer (1983) apresenta variáveis aleatórias a partir de situações de
experimentação, como, por exemplo, “atribuir o valor um às peças perfeitas e o valor
zero às defeituosas” de um determinado objeto. Como definição, o autor apresenta:
“seja
ε
um experimento e S um espaço amostral associado ao experimento. Uma
função X, que associe a cada elemento s
∈
S um número real, X(s), é denominada
variável aleatória”. (MEYER, 1983, p. 66)
O modelo matemático que descreve uma variável aleatória é de uma função,
pois associa cada um dos eventos resultantes de uma experiência aleatória a um
número real, seja esse número definido em um conjunto enumerável ou não
enumerável. Observa-se que as duas definições apresentadas são equivalentes.
•
Distribuição de Probabilidades
De acordo com Levin e Fox (2004, p. 145), “uma distribuição de
probabilidades é diretamente análoga a uma distribuição de frequências, com a
única diferença de que se baseia na teoria (teoria das probabilidades) e não no que
se observa no mundo real (dados empíricos)”. Matematicamente, podemos
descrever uma distribuição de probabilidades como uma função P, denominada
função de probabilidade, para os casos de variável aleatória discreta ou contínua:
a) P(X = x
i
) = p(x
i
) = p
i
, i = 1, 2, ... para o caso da variável discreta;
b) f é uma função contínua de probabilidade ou função densidade de
probabilidade para uma variável aleatória contínua X. Satisfazem-se duas
condições: (i) f(x)
≥
0, para todo x
∈
(–
∞
,
∞
); e, (ii)
1dx)x(f
=
∫
+∞
∞−
.
68
•
Distribuições Amostrais
Para Moore (2005, p. 219), “a distribuição amostral de uma estatística
20
é uma
distribuição dos valores assumidos pela estatística em todas as amostras possíveis
de mesmo tamanho de uma mesma população”. Por exemplo, podemos simular a
medida das alturas de 1000 estudantes de escola pública, na faixa etária de 9 a 11
anos, e extrairmos, aleatoriamente, várias amostras de 10 crianças, obtendo, assim,
uma distribuição de amostras dessa população. Daí, podemos dizer que as amostras
foram extraídas a partir de um número fixo de ensaios e as informações obtidas
sobre a média das alturas das amostras será uma aproximação da distribuição
amostral, ou uma estatística da amostra apresentada. Um dos modelos para
obtenção dessas distribuições pode ser representado pela Teoria das
Probabilidades.
•
Distribuição Amostral de uma Média Amostral
A distribuição amostral de uma média amostral retrata os diversos valores que
essa mesma média pode assumir de uma única população. E, além disso, Mann
(2006, p. 295) garante que também ocorre da mesma forma para a probabilidade de
cada uma delas, isto é, das médias amostrais. As implicações dessa definição são
fundamentais para Inferência Estatística:
• A média de estatística
X
é sempre igual à média µ da população. Ou
seja, a distribuição amostral de
X
tem seu centro em µ. [...]
• [...] Se observações individuais têm desvio padrão σ, então, as médias
amostrais
X
de amostras de tamanho N têm desvio padrão
N/σ
. [...]
(MOORE, 2005, p. 221)
Consequentemente, a distribuição de médias amostrais é menos dispersa,
uma vez que
σ≤
σ
N
, pois N
≥
1. Se a distribuição da população segue uma
distribuição normal, então ocorrerá o mesmo para a média amostral, conforme figura
1:
20
Chama-se ‘estatística’ uma característica da amostra. Por exemplo, a média da amostra, a
variância da amostra, o menor valor da amostra, entre outros.
69
Observe o exemplo apresentado por Moore (2005, p. 219), figura 1, na
mensuração dos limiares de odor de DMS de adultos individuais, em que os valores
seguem a distribuição normal com média
µ
= 25 microgramas por litro e desvio
padrão
σ
= 7 microgramas por litro. Ao selecionar amostras de tamanho 10 dessa
população, os valores da média amostral
X
encontrados variam para as amostras,
pelo fato de que o desvio-padrão da amostra também diminui, contribuindo, assim,
para que os valores estejam mais em torno da média amostral. Esse resultado torna
os valores das médias das amostras bem próximos do parâmetro verdadeiro da
média da população,
µ
.
O ecossistema do Teorema Central do Limite foi construído a partir desses
objetos estatísticos abordados, o que permite a sua “sobrevivência” na Inferência
Estatística. A cadeia alimentar para o teorema, em síntese, pode ser representado
pelo esquema 5:
Figura 1
–
A ideia de uma distribuição amostral.
Fonte: MOORE, 2005, p. 220
70
Observando o esquema 5, percebemos que o Teorema Central é “alimentado”
pelos elementos externos que são constituídos por elementos endógenos,
indispensáveis para que o teorema sobreviva neste habitat e chegue à Inferência
Estatística.
Borovcnik (2005) declara que uma forma dos erros de hipóteses elementares
da física manifesta-se por um exemplo concreto do Teorema Central do Limite. Isso
porque o teorema estabelece a restrição de que uma distribuição de variáveis
aleatórias independentes tende a uma distribuição normal, conforme já citado
anteriormente. Em termos de uma distribuição normal, e quando a variação decresce
à medida que aumenta o número de provas (por meio da raiz quadrada do número
dessas provas), a aleatoriedade serve como um dos principais elementos de vários
procedimentos estatísticos.
Diante desses resultados, a definição do Teorema Central do Limite, formado
a partir de uma estrutura de rede trófica que alimenta dois ecossistemas do teorema,
pode ser classificada como o matemático e o estatístico, representando, portanto,
AMOSTRA ALEATÓRIA SIMPLES
TAMANHO DAS AMOSTRAS
VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS
DISTRIBU
IÇÃO DE PROBABILIDADES
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
AMOSTRAGEM
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
VARIÁVEIS
FUNÇÃO
INFERÊNCIA
ESTATÍSTICA
TEOREMA
CENTRAL
DO LIMITE
Esquema 5: Ecossistema do Teorema Central do Limite
Fonte: Dados da pesquisa
71
uma abordagem sob o ponto de vista ecológico do saber. A seguir, apresentaremos
o quadro teórico que servirá como fundamento para a análise dos resultados de
nossa investigação, cuja vertente também é de cunho ecológico, mas com ênfase no
didático.
5.2 Abordagem Ecológica do Didático
O nosso estudo visa diminuir o distanciamento entre o saber e a didática,
valorizando o processo de ensino e de aprendizagem, por meio de questionamento
ecológico que permite a aproximação do didata. Retoma, dessa forma, a abordagem
de Artaud (1998) quanto à problemática ecológica do objeto sobre a forma de
questionar o real, isto é, “o que existe? Por que existe?” Ou então, o que não existe?
Poderia existir? Sobre quais condições? Por outro lado, a partir de um conjunto de
condições, quais objetos são obrigados a viver ou, em contrapartida, quais são
impedidos de viver nessas condições? Aparentemente essas questões parecem ser
triviais, entretanto, no âmbito do didata, pode permitir o domínio da realidade dos
objetos que desejamos estudar e, no caso, de todos os objetos que se
interrelacionam no processo de estudo, como os alunos, os professores, as
intituições e o saber a ser ensinado.
Existe também, assim como a abordagem ecológica do saber, uma
organização própria para o estudo ecológico dos objetos didáticos, que, amiúde,
podem ser os objetivos, métodos, estratégias de avaliação, isto é, os elementos que
constituem os processos de ensino e de aprendizagem do teorema.
Dessa forma, fundamentamo-nos na teoria da Transposição Didática
(CHEVALLARD, 1985, 1991), porque podemos identificar os conjuntos de condições
que permitem aos matemáticos existirem no sistema didático.
A idéia da transposição didática foi introduzida no início da década de 80, por
Chevallard (1985). Nessa época, ela foi entendida intuitivamente “como o trabalho
de adaptação, transformação do saber em objeto de ensino, em função do lugar, do
público e das finalidades didáticas a que se propõe” (D’AMORE, 2007, p. 224).
72
O funcionamento didático depende de como o professor irá conduzir cada
fase da aula, porque a recontextualização do saber propicia novas criações
didáticas, conforme afimam Joshua e Dupin (1993):
[...] as transformações que excedem o único conhecimento do texto para
cobrir o aumento das características de uma situação didática é
inevitavelmente uma certa medida. Desta forma, as transformações são
viáveis? Na verdade, a questão já é a única transformação do texto de
conhecimento. De fato, as restrições sobre a aplicação específica que
conduziram à identificação dos itens de educação, uma vez feito, eles
podem realmente "viver" de forma sustentável no sistema educativo
concreto. Em particular, é necessário que a integração possa ser feita com
os antigos elementos que não foram modificados.
O estudo da transposição didática estende então na viabilidade de um
determinado objeto de ensino. Não há dúvida de que um conhecimento
detalhado dessas condições seria de grande ajuda para definir o leque de
possibilidades no ensino da ciência, e as esperanças para evitar a
decepção e perda de energia correspondente. Um verdadeiro conhecimento
ecológico é necessária [...]. (JOSHUA; DUPIN,1993, p. 202-203) (Tradução
nossa)
21
Seguindo essa abordagem, o que de fato faz o professor, o saber a ser
ensinado e o aluno “sobreviver” no âmbito acadêmico? Quais as relações
instituicionais que permitem essa “sobrevivência”? Como impedir a perda de
“energias” que existem nas relações estabelecidas entre os sujeitos no habitat?
Assim, a transposição didática consistiria, sob o ponto de vista do professor, em
construir suas próprias aulas, as quais são apresentadas pelas orientações
curriculares, tais como os PCN, pelos programas das disciplinas (saber a ensinar),
para adaptá-los à própria classe, aos alunos e efetivar os objetivos buscados. Em
outras palavras, a transposição didática consiste em extrair um elemento de saber
do seu contexto (universitário, social etc.) para recontextualizá-lo no ambiente
sempre singular, sempre único, da própria classe (D’AMORE, 2007, p. 226).
21
“[…] des transformations qui dépassent la seule structuration du texte des savoirs pour s’étendre à
plusiurs des caractéristiques d’une situation didactique sont inévitablement d’une cetaine ampleur.
Sont-elles alors viables? A vrai dire, la question se pose déjà pour les modifications du seul texte du
savoir. En effet, les contraintes qui pèsent sur la transposition ne se limitent pas à celles qui
concernent la proposition d’objets à enseigner. L’élaboration d’une transposition particulière
conduisant à la determination d’objets d’enseignements une fois réalisée, encore faut-il que ces
derniers puissant réellement “vivre”, de façon durable, dans le système d’enseignement concret. Il est
nécessaire en particulier que l’intégration puisse se faire avec les éléments anciens qui n’ont pas été
modifiés.
L’étude de la transposition didactique s’étend alors à celle des conditions de la viabilité de tel ou tel
objet d’enseignement. Nul doute qu’une connaissance precise de ces conditions serait d’un grand
secours pour delimiter le champ des possibles en didactique des sciences, et pour éviter les espoirs
déçus et la perte d’énergie correpondante. Une véritable écologie des savoirs s’avère nécessaire, [...].
(JOSHUA; DUPIN,1993, p. 202-203)
73
Essa recontextualização do saber, num ambiente próprio, estabelece um
conjunto de elementos didáticos que Chevallard (1985) admite que toda atividade
humana pode ser descrita como um modelo. Ele considera que o matemático e o
didático são inseparáveis, inaugurando, assim, a Teoria Antropológica do Didático .
Na abordagem antropológica, Chevallard (1996, p. 127) afirma que “para
começar, são necessários três elementos primitivos (outros virão acrescentar-se-
lhes subsequentemente): os objetos O, as pessoas X, as instituições I.” Em termos
gerais, no sentido semântico, o autor considera objetos todos os elementos de uma
situação didática e, em particular, as pessoas X e as instituições I também os são.
Neste contexto, o Teorema Central do Limite é um objeto (matemático e estatístico),
a Instituição, o curso de Licenciatura em Matemática e as pessoas, os alunos e os
professores.
[...] Conhecer um objecto O, no sentido da teoria apresentada (e não no
sentido das diversas instituições que ela deve permitir-nos estudar) é – tanto
para uma pessoa como para uma instituição – ter uma relação com O. A
pessoa X (ou a instituição I) conhece O se existir R(X,O) (respectivamente,
R
I
(O)). Podemos dizer que um objecto existe se for conhecido por pelo
menos uma pessoa ou uma instituição (poderá mesmo existir apenas – o
que constitui um caso limite – para essa pessoa ou para essa instituição).
Um objecto só existe porque é objecto de conhecimento. (CHEVALLARD,
1996, p. 128)
Nesses termos, podemos dizer que o autor acaba por traçar um quadro
conceitual antropológico do conhecimento ou uma antropologia cognitiva. E, a partir
dessas noções, podemos pensar o objeto de maneira mais precisa, o real, isto é, o
Teorema Central do Limite. A estrutura ecológica do didático pode ser representada
pelo esquema 5:
74
Observando o esquema 6, podemos dizer que é um ecossistema básico para
as relações existentes entre a instituição (I), as pessoas (X
1
e X
2
) e o objeto do
conhecimento (O), o Teorema Central do Limite. A instituição e as pessoas
estabelecem relações interdependentes, pois, por parte do professor (X
1
), ele é um
componente da instituição; já o aluno (X
2
), mesmo mantendo essa característica de
interdependência, fez uma ‘escolha’ para que isso ocorresse.
Por outro lado, no âmbito da instituição, existe o curso de Licenciatura em
Matemática (I
1
) que segue as orientações curriculares (I
2
), e tem-se um dos
programas da disciplina (I
3
), que é intrínseco a ele, pois há o objeto do
conhecimento: o Teorema Central do Limite (O). O objeto do conhecimento (O)
‘sofre’ transformações a partir das circunstâncias em que o X
1
elabora suas
atividades, seguindo as relações estabelecidas entre as instituições, o objeto do
saber (O) e as condições em que se encontra o aluno, X
2
.
Observamos que há interdependência entre os dois ecossistemas ― do saber
e do didático ―, e a “sobrevivência” do teorema está dependente das
transformações, ou melhor, das retroalimentações que ocorrem durante todo o
processo didático.
Contudo, para ‘fechar’ ao menos essa abordagem, existe um elemento
imprescindível nos dois ecossistemas, que é a interrelação entre os sujeitos e o
objeto do saber. Então, partimos dos seguintes questionamentos: como os sujeitos
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
INSTITUIÇÃO
PROFESSORES
ORIENTAÇÕES
CURRICULARES
PESSOAS
ALUNOS
TEOREMA
CENTRAL
DO LIMITE
Esquema 6: Representação de um ecossistema sob o ponto de vista do didático.
Fonte: Dados da pesquisa
75
entendem o teorema na aplicação de problemas de situações, hipoteticamente,
reais? Que tipo de interpretação eles atribuem aos dados quando os objetos
estatísticos partem da construção do conhecimento para a compreensão do
teorema? Quais são os argumentos usados pelos estudantes ao avaliar criticamente
os dados? Essas são algumas questões que podem ser respondidas ao tratarmos
da literacia estatística.
5.3 Literacia Estatística
Retomando o que foi exposto no início dessa investigação, optamos pela
expressão ‘literacia’ ao invés de “letramento” (SOARES, 2005), por entender que
estaremos mais próximos da comunidade da Educação Estatística, principalmente
no que diz respeito aos últimos eventos internacionais, como, por exemplo, o
ICOTS-7, em que esse termo foi significativamente mencionado.
Gal (2002) chama atenção da necessidade de estarmos concentrados na
questão da literacia, em particular, dos adultos. O autor revela o primeiro passo para
entendermos o que vem a ser literacia estatística por meio de questões em que ela
pode ser definida. A proposta de seu trabalho está aquém do que ocorre na sala de
aula, conforme ele mesmo afirma:
[...], o termo ‘literacia estatística’ refere-se amplamente a dois componentes
correlatos, primeiramente (a) habilidades das pessoas em interpretar e
avaliar criticamente informação estatística, argumentos de dados
relacionados, ou fenômenos estocásticos, os quais podem ser encontrados
em vários contextos; e quando destaca (b) habilidades em discutir ou
comunicar suas reações para cada informação estatística, tais maneiras
compreendem o significado dessas informações, suas opiniões sobre a
implicação das mesmas, ou seus pontos de vista no que concerne à
aceitação das conclusões apresentadas. (GAL, 2002, p. 2-3) (Tradução
nossa).
22
22
“[...], the term “statistical literacy” refers broadly to two interrelated components, primarily (a)
people’s ability to interpret and critically evaluate statistical information, data-related arguments, or
stochastic phenomena, which they may encounter in diverse contexts, and when relevant (b) their
ability to discuss or communicate their reactions to such statistical information, such as their
understanding of the meaning of the information, their opinions about the implications of this
information, or their concerns regarding the acceptability of given conclusions.”
76
A dinâmica da literacia estatística envolve, claramente, dois elementos
cognitivos fundamentais para compreensão de como é sua estrutura, sua natureza:
o pensamento e o raciocínio estatístico. Porém, Silva (2007, p. 25-26) alerta que,
para “além dos elementos cognitivos, há os elementos de disposição: postura crítica,
atitudes e crenças”, tão importantes quanto outros. A reunião desses componentes,
mais o modelo ativo de questões contextualizadas, levam o indivíduo a desenvolver
a literacia estatística.
Segundo o mesmo autor (GAL, 2002), para compreender e interpretar dados,
também é necessário que o indivíduo se aproprie de habilidades específicas, tais
como as de literacia, do conhecimento matemático e o conhecimento do contexto.
Com relação às habilidades da literacia, ele revê as bases do conhecimento
estatístico que se manifestam pelas mensagens produzidas nos textos escritos ou
orais, nas informações gráficas ou nas tabelas. Os produtores dessas mensagens
possuem características próprias, podendo induzir o leitor ou o ouvinte a inferir sob
apenas um ponto de vista. Daí a necessidade de leitura criítica por parte do(a)
leitor(a), pois ele, ou ela, não deve se restringir sob um ponto de vista, mas, sim,
pensar as diferentes formas que uma determinada informação pode conter,
principalmente, nas ‘entrelinhas’ dos dados ou dos textos, ou das tabelas, ou dos
gráficos.
Portanto, é relevante o conhecimento básico sobre os objetos estatísticos
pertencentes a esse ramo da Ciência, pois é composto por conceitos e
procedimentos elementares, além das técnicas matemáticas. Scheaffer, Watkins e
Landwehr (1998) pesquisaram diversos currículos de Estatística na Educação
Básica e descobriram quais são os principais aspectos de seu ensino que deveriam
ser abordados na vida acadêmica. Eles apontaram para os seguintes tópicos dessa
área, a serem trabalhados nesse segmento de ensino, o Ensino Superior: senso
numérico; compreensão de variáveis; interpretação de tabelas e gráficos; aspectos
de planejamento de pesquisa ou experimento; processos de análise de dados;
relação entre probabilidade e estatística; raciocínio inferencial.
Esses itens servem de tentativa para acelerar o processo de desenvolvimento
da habilidade em literacia estatística e dizem respeito à formação do indivíduo para a
leitura de mundo, que está impregnado de informações estatísticas.
Garfield e Ben-Zvir (2007) afirmam que o raciocínio estatístico é o modo pelo
qual as pessoas raciocinam as ideias estatísticas, produzindo significado para elas.
77
Essa habilidade pode estabelecer conexões entre um conceito e outro, como, por
exemplo, a ideia de centro e dispersão, ou pode também combinar ideias sobre
dados e chances, conforme alegam os mesmos autores.
Para Moore (2005, p. xxiii), “a estatística utiliza dados para se adquirir insight
e para se chegar a conclusões”. Afirma ainda que os “dados são números dentro de
um contexto”. Nesse sentido, apresenta o seguinte exemplo:
O número 4,8, por exemplo, não carrega nenhuma informação sozinho. Mas
se ouvirmos que o filho recém-nascido de uma amiga pesava 4,8
quilogramas ao nascer, vamos parabenizá-la pelo tamanho saudável do
bebê. O contexto situa o nosso conhecimento prévio e nos permite fazer
julgamentos. Sabemos que um bebê que pesa 4,8 quilogramas é bem
grande e que é improvável que um bebê humano pese 4,8 gramas ou 4,8
toneladas. O contexto faz com que o número seja informativo. (MOORE,
2005, p. xxiii).
Ou seja, o contexto é um componente fundamental do pensamento
estatístico. Mas, além dos contextos nos quais os dados estatísticos estão inseridos,
Wild e Pfannkuch (1999) defendem o fato de que esse tipo de pensamento é similar
ao de um indivíduo envolvido numa indagação ou em processo de pesquisa. Assim,
em situações de pesquisa, quando o sujeito se envolve em algum tipo de
questionamento – neste caso, necessariamente exige um contexto –, estará
pensando estatisticamente.
Os mesmos autores ainda alegam que “[...] uma solução para um problema
real baseado no conhecimento requer melhor compreensão de como se trabalha um
sistema e, talvez também, como reagirá às mudanças, às concepções iniciais, aos
posicionamentos de seu entorno”. (WILD; PFANNKUCH, 1999, p. 225) (Tradução
nossa)
23
. Isso significa que é necessário conhecer a realidade que nos cerca e, daí,
participar também como sujeitos de transformação, porque, diante do
posicionamento de cada um, há o desenvolvimento da literacia estatística.
Garfield e Ben-Zvi (2007) sintetizam a distinção entre literacia, raciocínio e
pensamento estatístico dizendo que, apesar de pertencerem a uma mesma área,
existe certa hierarquia que se constitui a partir da literacia como base para o
raciocínio e o pensamento estatístico. E, além disso, eles sublinham que o raciocínio
estatístico significa compreender, ser capaz de explicar processos estatísticos e
23
“[…]. A knowledge-based solution to the real problem requires better understanding of how a
system works and perhaps also how it will react to changes to input streams, settings or environment.”
(WILD; PFANNKUCH, 1999, p. 225)
78
interpretar os resultados, isto é, seria uma forma de como desencadear os modelos
mentais que estão estruturados para cada situação. Já o pensamento seria a forma
como irá estruturar a situação em si, o que inclui o como e o porquê usar,
particularmente, um método, uma medida, um esboço ou modelo estatístico. E, por
fim, a literacia constitui-se na união entre o raciocínio e o pensamento estatístico
aliados ao fato de que o sujeito precisa de pensar, raciocionar criticamente para agir
e, talvez, transformar a realidade concreta de seu entorno.
As três dimensões até aqui apresentadas, a abordagem ecológica do saber, a
ecologia do didata e a literacia estatística, nos propiciaram estabelecer o nosso
quadro teórico com a finalidade de fundamentar essa investigação.
E, diante da problemática ecológica proposta por Artaud (1998), neste caso, o
Teorema Central do Limite sob o ponto de vista ecológico do saber e do didático,
partimos do pressuposto de que seus fundamentos nos permitirão subsídios para
analisarmos as atividades propostas aos alunos. O primeiro é o saber em si; saber a
ser ensinado, que sofre transformações por parte do professor em situações, como o
estudo do teorema em diferentes livros-texto e sua escolha, tendo em mente os
sujeitos que estarão predispostos a ‘receber’ tal saber, no caso, o teorema. Uma de
suas tarefas é o de transformar o saber científico em saber a ser ensinado, mas, até
aí, nada se pode afirmar que este saber será aprendido pelo aluno. A estrutura
ecológica que abarca o teorema nos dá a ideia de como o teorema ‘sobrevive’ nos
dias de hoje, particularmente, nos cursos de Licenciatura em Matemática e, de certa
forma, constatamos que a demonstração não é privilegiada pela maioria dos livros-
texto consultados.
O segundo quadro teórico, a Teoria Antropológica do Didático, nos reporta a
entender a estrutura interna que nos permite conhecer o ‘como’ ocorre a
sequenciação e a temporalização didática, consistituindo-se também de um
ecossistema do didático. E, por fim, o terceiro, a literacia estatística, nos apresenta o
contorno didático para análise de nossa investigação, pois, quando ela recebe um
tratamento de interrelação com os dois primeiros quadros teóricos, reforça a
relevância de nossa investigação no âmbito individual e social, consolidando, assim,
a metodologia de nossa pesquisa, o design didático.
O próximo capítulo será a pesquisa em si, devidamente fundamentada pelo
quadro teórico exposto, além da apresentação de algumas atividades realizadas
pelos licenciandos que, possivelmente, atuarão como professores da Educação
79
Básica no futuro não muito distante. Deixamos claro que, em momento algum, o
nosso trabalho esteve voltado para uma pesquisa quantitativa, mesmo precisando
de usar meios que requerem dados quantitativos para compreensão dos objetos
estatísticos diretamente associados ao Teorema Central do Limite. Portanto, vale
reforçar que o cunho de nossa investigação é qualitativa.
80
6 A PESQUISA
Vamos retomar a nossa questão de pesquisa:
Por que determinados saberes/conhecimentos deixaram de ser
abordados no ensino do Teorema Central do Limite, mas ainda assim ele
“sobrevive”? Que saberes são indispensáveis para o teorema “viver”? Que
relações diretas ou indiretas existem entre o teorema e a construção de
saberes estatísticos nas aulas de Estatística?
Para tentar responder a essas questões, seguindo a metodologia adotada,
dividimos este capítulo em três partes, com a opção de atender às três questões
expostas. A primeira refere-se ao estudo dos livros-texto analisados, somente nos
itens que dizem respeito ao teorema, apresentação e análise praxeológica de alguns
problemas propostos neles e a apresentação de como o teorema é definido em cada
livro. Partindo dessa dinâmica, parece-nos bastante oportuno abordarmos, ao menos
em parte, os saberes/conhecimentos que deixaram de ser abordados no ensino
do Teorema Central do Limite, mas que, ainda assim, lhe permitem
sobreviver”, já que é fundamental para Inferência Estatística.
A segunda parte corresponde às atividades realizadas com os licenciandos,
expondo a forma como foi conduzida e os diferentes tipos de abordagem que cada
um dos quatro sujeitos da pesquisa apresentou em suas respostas. Essas atividades
foram apresentadas de tal forma que fossem sustentadas pelo nosso quadro teórico.
À luz do design didático, reconhecemos os tipos saberes que são indispensáveis
para o teorema “viver”, pois os estudantes atingiram a compreensão do teorema e
de sua definição na construção de ideias e conceitos estatísticos.
E, por fim, a terceira parte consititui-se de um diálogo realizado entre o
professor-pesquisador e os licenciandos, cujos procedimentos metodológicos
seguiram as intervenções controladas e devidamente refletidas entre o grupo. Dessa
forma, nos foi possível, efetivamente, atender a terceira questão ecológica de nossa
investigação: estabelecer relações diretas ou indiretas que existem entre o
teorema e a construção de saberes estatísticos nas aulas de Estatística.
81
6.1 O Teorema Central do Limite e os Livros-Texto
A relevância da análise dos livros-texto quanto à abordagem do Teorema
Central do Limite é apontado por Almouloud (2007), que afirma:
A praxeologia associada a um saber é a junção de dois blocos: saber-fazer
(técnico/prático) e saber (tecnológico/teórico), cuja ecologia refere-se às
condições de sua construção e vida nas instituições de ensino que a
produzem, utilizam ou transpõem. (ALMOULOUD, 2007, p. 123)
Chevallard (1999) define as praxeologias (ou organizações) em duas
espécies: as matemáticas e as didáticas. A primeira refere-se ao saber matemático
na realidade matemática, podendo ser construída para ser desenvolvida na sala de
aula; já a segunda diz respeito ao modo como se realiza essa construção. Portanto,
baseados nessa justificativa, optamos por analisar alguns livros-texto, seguindo os
pressupostos já apresentados no capítulo referente aos procedimentos
metodológicos.
Denominamos A1 referente aos autores 1, A2, à 2 e assim por diante até a 7ª
obra, conforme o quadro abaixo:
DENOMINAÇÃO
AUTORES
A1 Bussab e Morettin (2003)
A2 Farias, Soares e César (2003)
A3 Guimarães e Cabral (1997)
A4 Levin e Fox (2004)
A5 Moore (2005)
A6 Stevenson (2001)
A7 Triola (1999)
Quadro 1: Denominação dos Livros-Texto.
Fonte: Dados da pesquisa.
Para apresentação desse estudo, vale, preliminarmente, esclarecermos
alguns itens sobre o Teorema Central do Limite, pois, nos livros-texto consultados,
deparamo-nos com a seguinte questão: dizemos “Teorema do Limite Central” ou
“Teorema Central do Limite”? Ambas as expressões são conhecidas, ao menos na
Língua Portuguesa, mas as obras divergem quanto a esse tratamento. Farias,
82
Soares e César (2003, p. 140) consideram que “alguns textos referem-se
erroneamente ao Teorema do Limite Central, pois o que é central é o teorema, e não
o limite”. Assim, optamos por Teorema Central do Limite ao invés de Teorema do
Limite Central. Outro item a ser destacado é com relação à estrutura dessas obras,
já que nenhuma delas demonstra o teorema efetivamente, com exceção de A3, que
apresenta algumas demonstrações mais próximas do que vem a ser o Teorema
Central do Limite. Além disso, a maioria se limita primeiramente a defini-lo para, em
seguida, apresentar alguns exemplos e, por fim, algumas aplicações.
6.1.1 Análise Quantitativa dos Livros-Texto
Anterior à análise das atividades dos livros-texto, vale apresentar a
quantidade de atividades existentes em cada livro e as características dessas
atividades. Assim, nos foi possível constatar atividades com contexto matemático,
exigindo aplicação de técnicas, e outros com contexto do cotidiano, mesmo que
hipoteticamente reais. Além disso, incluímos nesse rol alguns exemplos e exercícios
sobre distribuição amostral de médias e de proporção, tendo em vista que abordam
também o teorema. Não foram incluídos exercícios complementares, pois continham
atividades mais genéricas, cuja aplicação não estava diretamente associada ao
teorema. Embora isso possa consistir em uma articulação implícita, optamos por não
abordá-la porque não é o foco de nosso estudo.
TABELA 1
Atividades nos Livros-Texto
Quantidade de atividades de
aplicação do Teorema Central Do
Limite
Denominação
Contexto
matemático
Contexto
cotidiano
Total
A1 2 8 10
A2 0 0 0
A3 4 3 7
A4 0 0 0
A5 0 5 5
A6 10 12 22
A7 0 23 23
Fonte: Dados da pesquisa.
83
A partir da tabela 1, podemos observar que A2 e A4 não apresentam
atividades específicas para o Teorema Central do Limite, apesar de apresentarem
de forma implícita sua aplicação. Eles distinguem-se pelo fato de A2 apresentar
definição e a representação gráfica de como “ocorre” o teorema, isto é, conforme se
aumenta o tamanho das amostras de médias amostrais, mas não constatamos
nenhum exemplo específico de aplicação para o teorema. Em contrapartida, A4 não
menciona sequer o teorema, porém deixa implícita a utilização do teorema em outros
problemas, como no tópico “estimação” ao tratar-se de “intervalos de confiança”.
Porém, como o nosso interesse está diretamente relacionado ao teorema, optamos
por não apresentar esse tipo de atividade, embora tais noções também façam parte
de um ecossistema que contém o Teorema Central do Limite.
6.1.2 Apresentação e Análise de Atividade no Livro-Texto
De acordo com a Teoria Antropológica do Didático (CHEVALLARD, 1999), as
noções de tarefa, técnica, tecnologia e teoria permitem que as práticas sejam
modeladas de forma a dar contorno às atividades em geral. Segundo Silva (2007, p.
68), “para a análise de uma praxis, o saber-fazer, a teoria revela o estudo das
tarefas propostas pelos livros bem como as técnicas apresentadas para a solução
das tarefas”, e, posteriormente, obtém-se o discurso teórico-tecnológico, justificando
a praxis, ao analisar o logos. Essa dinâmica, associada ao enfoque ecológico, será a
base de nossa reflexão das atividades selecionadas.
Ao selecionar as atividades, optamos por escolher duas atividades dos livros-
texto que contenham a aplicação do teorema, sendo um com contexto matemático e
outro, contexto cotidiano.
6.1.2.1 Atividades do livro-texto A1
A estrutura ecológica de A1, para o Teorema Central do Limite, parte do ramo
da Inferência Estatística. Podemos descrevê-la da seguinte forma:
84
Em linhas gerais, o livro-texto A1 parte da definição de população e amostra,
seguindo para amostragens aleatórias simples. Depois, aborda as distribuições
amostrais para, enfim, tratar das distribuições amostrais para médias. Além disso,
expõe graficamente a variação das distribuições para médias de amostras de
números diferentes. Vejamos as duas atividades apresentadas por A1:
•
Contexto Matemático
A atividade no contexto matemático encontra-se na parte de “problemas”
(BUSSAB; MORETTIN, 2003, p. 274), conforme segue o enunciado:
População e
Amostra
Amostragem
Aleatória Simples
Distribuições
Amostrais
Distribuição
Amostral da Média
Teorema Central
do Limite
Esquema 7
–
Estrutura ecológica para o Teorema Central
do Limite no livro-texto A1.
Fonte: Dados da pesquisa.
85
Uma v.a. X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10.
(a) Qual a P(90 < X < 110)?
(b) Se
X
for a média de uma amostra de 16 elementos retirados dessa
população, calcule P(90 <
X
< 110)?
(c) Represente, num único gráfico, as distribuições de X e
X
.
(d)
Que tamanho deveria ter a amostra para que P(90 <
X
< 110) = 0,95?
Na Teoria Antropológica do Didático, chamamos cada item dessa atividade de
tarefas, pois pressupõe um verbo, uma ação a ser realizada, portanto a tarefa (T) (a)
é: pede-se ‘qual a P(
90 < X < 110)’
, ou seja, os estudantes que estão familiarizados
com as simbologias e o tema interpretariam que é para calcular (T) a probabilidade
de que as variáveis se encontrem entre 90 e 110, de uma distribuição normal,
quando a média da população é 100 e o desvio padrão, 10, cuja representação é
N(100, 100), isto é, média 100 e variância 100. A utilização das técnicas (
τ
) para
execução da tarefa (T) pressupõe que sejam encontrados os valores reduzidos, z,
padrão, já que a distribuição é normal:
1
10
10090
1
−=
−
=
σ
µ−
=
i
x
z
(1)
1
10
100110
2
=
−
=
σ
µ−
=
i
x
z
(2)
Isso se justifica porque uma distribuição normal é similar à distribuição normal
reduzida, pois a distribuição real pode ser reduzida para o caso de Z ~ N(0, 1), isto
é, média zero e variância 1; por isso há necessidade de calcular os valores de z
(escores reduzidos). Essa parte corresponde à tecnologia (θ), já que estamos
justificando a técnica. Por isso,
P(90 < X < 110) = P (–1 < z < 1) = 0,6826,
(3)
conforme a tabela da distribuição normal padrão. A resposta para a tarefa (T) do
item (a) é 0,6826. Para justificar a tecnologia, culminaria na teoria (Θ), conforme toda
a descrição feita até então. Porém, vale ressaltar que essa tarefa constitui-se de
86
contexto matemático, sem aplicação no cotidiano, é uma atividade pontual, sem a
possibilidade de estender para uma análise regional.
No item (b) a tarefa é similar ao do item (a), porém cria-se uma situação em
que a média, 100, não é mais de uma população, percebe-se uma sequência de
tarefas que, gradativamente, vão construindo a ideia do Teorema Central do Limite.
Portanto, resolvendo o item (b), tem-se que o desvio padrão da amostra de 16
elementos tende a ser menor que o da população:
5,2
16
10
==
σ
=σ
n
x
(4)
E os escores reduzidos serão:
4
5,2
10090
1
−=
−
=
σ
−
=
x
i
xx
z
e
4
5,2
100110
2
=
−
=
σ
−
=
x
i
xx
z
(5)
Os escores são aparentemente números que tendem à probabilidade
compreendida entre – 4 e 4, é muito próximo de 1,00. A praxeologia dessa atividade
é similar ao do (a).
Para realização do item (c), devemos partir da representação gráfica. Assim,
podemos construir para X e
X
:
Conforme podemos observar, o gráfico para a distribuição normal tem a
probabilidade 0,6826, cuja área está representada pelo hachurado. Para a
distribuição da amostra de 16 elementos da população, a área do retângulo não se
constitui como curva, destacando que sua probabilidade é 1,00.
Para o item (d), a sequência das tarefas exige o raciocínio matemático
reverso. Isto é, dada a probabilidade, pede-se para encontrar
(tarefa) o tamanho da
1
-1
Distribuição Normal para X
Distribuição Normal para
X
Figura 2 – O gráfico para distribuição normal para X e
X
.
Fonte: Dados da pesquisa.
87
população. Seja P(90 <
X
< 110) = 0,95, sendo que a probabilidade é de uma
amostra. Assim, podemos utilizar a técnica de encontrar os valores reduzidos, ou os
escores reduzidos z, quando a probabilidade é 0,95. Nesse caso, o z = ± 1,96, a
partir da tabela da Distribuição Normal Padrão. E, para calcular o tamanho da
amostra, tem-se que:
n
nn
x
z ∴
−
=−∴
σ
µ
−
=
10
10090
96,1 = 4.
(6)
Como a aplicação para a verificação do Teorema Central do Limite pode se
efetivar como também pode causar confrontos entre a aplicação e os conceitos
espontâneos que poderiam surgir por parte dos alunos, a sequência de tarefas
proposta privilegia, efetivamente, os conceitos e ideias mais técnicas abstratas para
o teorema. No entanto, reconhecemos a aplicação do contexto matemático, exigindo
habilidades que requerem conceitos específicos já adquiridos. Numa abordagem
ecológica, podemos elaborar um ecossistema que requer objetos matemáticos e
estatísticos:
OBJETOS
MATEMÁTICOS
O
BJETOS
ESTATÍSTICOS
CONCEITO DE
DIVISÃO
CONCEITO
DE ÁREA
DISTRIBUIÇÃO
NORMAL
MÉDI
A; VARIÂNCIA;
DESVIO PADRÃO
CONCEITO DE
PROBABILIDADE
TEOREMA CENTRAL
DO LIMITE
Esquema 8
–
Ecossistema da atividade proposta por A1
no contexto matemático e estatístico.
Fonte: Dados da pesquisa.
88
Na abordagem ecológica do saber, constatamos que o teorema atende a dois
ecossistemas simultaneamente, observando os saberes imprescindíveis para que o
saber “sobreviva”.
• Contexto Cotidiano
O enunciado para um contexto cotidiano em que se aplica o Teorema Central
do Limite nos permitiu escolher o seguinte:
A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg. Se a distribuição X dos pesos
dos usuários for suposta N(70, 100): (a) Qual a probabilidade de sete passageiros
ultrapassarem esse limite? (b) E seis passageiros? (FARIAS; SOARES; CÉSAR,
2003, p. 275)
Para resolver essa tarefa (T), que também é a de calcular a probabilidade, no
caso do item (a), as técnicas (
τ
), que também podem se chamar os modos de fazer,
requerem os mesmos procedimentos que a atividade anterior, porém traz um
contexto consigo, que é a capacidade máxima que um elevador pode suportar. No
entanto, para o item (a), deseja-se verificar a probabilidade de sete passageiros
ultrapassarem o limite de 500 kg. Portanto, deve-se calcular a probabilidade para
P(X ≥ 500).
Vejamos a atividade acima: o contexto apresenta um elevador que suporta no
máximo 500 kg. Para interpretar a distribuição da variável aleatória X, dos pesos dos
usuários, tem-se que os pesos dos indivíduos são independentes. Além disso, a
representação N(70, 100) deve ser algo já conhecido pelo estudante, já que se
estima que a média da amostra é 70 e a variância 100 de uma distribuição normal.
Então, a técnica utilizada seria, em primeiro lugar, encontrar o “peso” total dos
7 indivíduos e, como a média amostral de um indivíduo é 70 kg, tem-se que a média
amostral para os sete indivíduos seria aproximadamente de
X
= 7 x 70 = 490.
Deseja-se, portanto, calcular a área que corresponde P(X > 500). E, para encontrar
o valor reduzido de X = 500, tem-se que:
89
1
10
490500
z
=
−
=
.
(7)
A área normal reduzida equivalente a probabilidade superior a 500 kg será:
Assim, o modelo real pode ser reduzida para o modelo padrão:
P(X > 500) = P (z > 1) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587 ou 15,87%.
(8)
Portanto, encontra-se o valor aproximado do escore reduzido para 7 pessoas,
cuja probabilidade é de 15,87%, respondendo ao item (a).
Essa atividade envolve os dois tipos de organização praxeológica: a local, que
é específica na aplicação da técnica para realização da tarefa, justificado e explicado
por uma tecnologia, cuja justificação é o próprio teorema; e global, pois envolve
outros conceitos matemático e estatístico (como, por exemplo, o conceito de divisão,
média, variância, desvio padrão, função da curva normal e a teoria das
probabilidades). O ecossistema que pode representar essa atividade é bastante
similar ao anterior, porém destacamos o contexto pelo qual foi apresentado. O que
significa que, além das técnicas que envolvem objetos matemáticos e estatísticos,
existe também a parte reflexiva sobre o resultado em si. Isto é, a probabilidade,
15,87%, de sete pessoas ultrapassarem o limite de peso do elevador é significativa,
já que há variação entre os pesos (massas) das pessoas.
Mesmo uma situação hipotética, mas que poderia ser real, permite ao aluno
imaginar que decisão tomaria se deparasse com esse tipo problema ou até como
analogia para outras situações. Isso torna mais interessante a aplicação do objeto
do saber: o Teorema Central do Limite.
Figura 3
-
A d
istribuição de observação.
Fonte: Dados da pesquisa.
1
90
6.1.2.2 Atividades do livro-texto A2
Nessa obra, os autores apresentam o comportamento das curvas normais nos
gráficos, de acordo com o número de observações de amostrais extraídas de uma
população, sem mencionar contexto cotidiano para tal, conforme as figuras abaixo:
Figura 4 – Distribuição uniforme com 300 repetições α
αα
α = 2,9 e β
ββ
β = 5,39
Fonte: FA
RIAS; SOARES; CÉSAR, 2003, p. 140.
Figura 5 – Distribuição logonormal com 300 repetições α
αα
α = 0 e β
ββ
β = 1
Fonte: FARIAS; SOARES; CÉSAR, 2003, p. 140.
91
Figura 6
–
Distribuição bimodal com 300 repetições
Fonte: FARIAS; SOARES; CÉSAR, 2003, p. 141.
Figura 7
–
Distribuição exponencial com 300 repetições
Fonte: FARIAS; SOARES; CÉSAR, 2003, p. 141.
92
Os autores apresentam quatro tipos de distribuições: uniforme, logonormal,
bimodal e exponencial, de modo que o leitor possa compreender que, de acordo
com o número de observações, a distribuição da
X
,
média da amostra, estará
centrada na média da população,
µ
, não importando que tipo é a distribuição, ou
seja, simétrica ou não. Além disso, não apresentam nenhuma aplicação direta sobre
o Teorema Central do Limite, impossibilitando-nos uma análise ecológica do saber
com mais afinco, pois não há aprofundamento sobre o tema. A aplicação será
subjacente a outros temas da Inferência Estatística.
6.1.2.3 Atividades do livro-texto A3
Os autores desse livro-texto exploram, além do conceito do Teorema Central
do Limite, a utlização de softwares para gerar números aleatórios, no sentido de
enfatizar os diferentes tipos de distribuição, simétricas ou não, dependendo do
número de amostras. Vale a aplicação do teorema na mesma proporção em que se
aumenta o número dessas amostras.
•
Contexto matemático
O enunciado é o seguinte:
Na figura 8.1 apresenta-se a distribuição da variável Y, tal como se encontra definida
na tabela, bme como as distribuições da média amostral
Y
(para N = 5, 10, 20, 50,
100 e admitindo que as amostras são aleatórias simples)
Interessante notar que os autores designam o N, em maiúsculo, para o
número de amostras, fato este não encontrado em outros livros-texto da nossa
investigação. Vejamos a figura representada pela tabela:
93
Quanto aos gráficos, são apresentados conforme a figura abaixo:
Os autores fazem os comentários sobre os objetos estatísticos sem
mencionar no contexto cotidiano. Entretanto, posteriormente, citam que é um
exemplo para o caso de uma situação real. Alguns comentários que eles fazem
sobre o exemplo merecem atenção: apresentam os histogramas, em que “a barra
Figura 8
–
Tabe
la da distribuição da variável Y
Fonte: GUIMARÃES; CABRAL, 1997, p. 240.
Figura 9 – Distribuição de Y e
Y
Fonte: GUIMARÃES; CABRAL, 1997, p. 241.
94
correspondente a Y = 0 cobre os valores de Y = – 0,5 até Y = 0,5”. Por outro lado,
“enquanto que a barra correspondente a Y = 1 cobre os valores de Y = 0,5 até Y =
1,5.”; alerta para às ordenadas dos diagramas, pois a intenção era de que as áreas
dos diferentes diagramas fossem todas idênticas, à altura de cada barra foi atribuído
o valor que resultou de dividir a função probabilidade pela largura da barra; e, por
último, alegam que a distribuição Y é discreta e também é uma distribuição de média
amostral e afirmam que a distribuição normal é uma boa aproximação da distribuição
de média amostral para n
≥
50.
Tal qual o exemplo do livro-texto anterior, A2, os autores alegam que, se n é
suficientemente “grande”, portanto, pode-se dizer uma “boa aproximação normal”.
Da forma como foi exposta neste exemplo, essa alegação nos restringe em relação
à análise ecológica do saber. Portanto, vejamos a próxima atividade de A3, que é
num contexto cotidiano.
•
Contexto cotidiano
Vejamos o enunciado exposto pelos autores:
Um elevador de acesso a um grupo de galerias de uma mina tem capacidade
nominal de 3800 kg. Os mineiros que usam regularmente o elevador são 650 e têm
pesos que seguem uma distribuição com valor esperado de 75 kg e desvio padrão
de 8 kg. Calcule a probabilidade de ser excedida a capacidade nominal do elevador
quando nele se encontrarem 50 mineiros. (GUIMARÃES; CABRAL, 1997, p. 261)
A atividade selecionada de A3 é similar à A1, o que dispensa sua análise. As
diferenças estão na quantidade que suportam, em peso (massa), o elevador e o
local em que ocorre o contexto. A escolha desse problema foi também intencional,
pois chamamos atenção para os tipos de contextos que as obras apresentam, isto é,
algumas vezes, as ideias e os problemas são basicamente os mesmos.
95
6.1.2.4 Atividades do livro-texto A4
Levin e Fox (2004) não apresentam a definição do Teorema Central do Limite
nem exemplos ou exercícios de aplicação diretas, tanto para o contexto matemático
como para o contexto cotidiano. Entretanto, a partir da definição das distribuições
amostrais para as médias na forma de curva normal, encontramos indícios para que
as ideias do teorema possam surgir sem necessariamente mencioná-lo.
Mais adiante, ao apresentarmos a definição que cada livro-texto atribui ao
Teorema Central do Limite, analisaremos com mais detalhes a ausência explícita do
teorema nessa obra. Portanto, a escolha dela também foi intencional, tendo em vista
que são autores renomados no campo da Estatística e que possuem várias obras
nesse ramo da Ciência.
6.1.2.5 Atividades do livro-texto A5
O livro-texto A5 não apresenta atividade com contexto matemático, no
entanto, apesar de apresentar apenas cinco atividades com aplicação do teorema,
percebe-se que explora o tema ao longo do texto em sua obra, enfatizando sempre
que é pelo “efeito” do Teorema Central do Limite que se pode aplicar determinadas
situações-problema. Por isso, optamos a escolha de uma atividade para análise,
pois irá confrontar com alguns conceitos da Estatística. Vejamos:
O tempo X que um técnico necessita para fazer manutenção preventiva em um
aparelho de ar-condicionado é regido pela distribuição exponencial, cuja curva de
densidade aparece na figura 5. O tempo médio é
µ
= 1 hora e o desvio padrão é
σ
=
1 hora. Sua empresa utiliza 70 dessas unidades. Qual é a probabilidade de que seu
tempo médio de manutenção exceda 50 minutos? (MOORE, 2005, p. 224-225)
96
A figura 10 é a seguinte:
Moore (2005, p. 225) expõe inicialmente o seguinte: “O terorema central do
limite afirma que a média amostral
x
(em horas) gastas trabalhando em 70 unidades
tem aproximadamente a distribuição normal com média igual à média populacional
µ
= 1 hora de desvio padrão”:
≅=
σ
70
1
n
0,12 hora
(9)
Quando o autor apresenta esse resultado, não fica claro o que significa “0,12
hora”, mas é o desvio padrão da amostra de 70 unidades. Como exemplo resolvido,
entendemos que, apesar do destaque ao teorema, talvez exista ênfase para a
técnica, sem tecnologia. Logo em seguida diz: “a distribuição
x
é, portanto,
aproximadamente N(1; 0,12)”. E, neste caso, difere da representação já apresentada
anteriormente pelo A1, em que N(
µ
,
σ
²) significa a representação da média e da
variância, enquanto para A5 é a média e o desvio padrão. Em seguida apresenta a
curva Normal de linha contínua e a tracejada a distribuição exata, conforme a figura
11:
Figura 10: A distribuição de observação.
Fonte: MOORE, 2005, p. 224.
97
E o autor justifica: “como 50 minutos são 50/60 de uma hora, a probabilidade
que queremos é P(
x
> 0,83). Um cálculo de distribuição Normal fornece que essa
probabilidade é 0,9222. Essa é a área à direita de 0,83 sob a curva Normal contínua”
na Figura 11.
O autor explica a técnica (
τ
) para a tarefa (T), mas não justifica como
encontrou a área que corresponde à região desejada, quando menciona “um cálculo
de distribuição normal”, resultando na probabilidade 0,9222. Assim, comprometeu a
tecnologia (
θ
). Em seguida, ele esclarece que, utilizando “mais matemática,
poderíamos, a partir distribuição exponencial, achar a curva de densidade real de
x
para 70 observações.” Depois explica que a curva é a que está tracejada conforme a
figura 11, alegando que se pode observar que a curva Normal contínua é uma boa
aproximação. Portanto, “a aproximação Normal do teorema central do limite está
apenas afastada por cerca de 0,07”.
Observamos que, apesar de o autor não priorizar as técnicas, existe uma
estrutura ecológica para a resolução proposta por Moore nessa atividade. Quando
afirma que “a curva Normal contínua é uma boa aproximação”, efetivamente, ele
opera a tecnologia da tecnologia, isto é, apresenta a teoria (
Θ
) da tarefa (T). Outro
item interessante a ser ressaltado, neste caso, é de que não há uma organização
praxeológica local, mas, sim, um conjunto de organizações praxeológicas regionais,
Figura 11
–
A distribuição exata (tracejada) e a aproximação Normal a
partir do Teorema Central do Limite (contínua) para o tempo médio
necessário para manutenção de um ar-condicionado.
Fonte: MOORE, 2005, p. 225.
98
consitituindo-se, assim, numa organização praxeológica global. Isso é justificado
pela série de técnicas (identificar as subunidades da hora e encontrar o valor do
desvio padrão da amostra para 70 unidades, por exemplo), teconologias (as
explicações e justificativas em relação às técnicas utilizadas) e teoria (justificativa da
justificativa) ao realizar a tarefa.
6.1.2.6 Atividades do livro-texto A6
Este livro-texto foi selecionado a partir dos critérios expostos nos
procedimentos metodológicos, porém um detalhe deve ser esclarecido. Apesar de o
ano da edição não ser recente, verificamos alguns itens interessantes a comentar
sobre o teorema, além do caráter eclético da obra, pois seu título é específico para
curso de Administração.
Um dos pontos interessantes notados por nós foi uma das afirmações do
autor: “em sentido estrito, o Teorema Central do Limite só se aplica a médias
amostrais.” (STEVENSON, 1981, p.182) (Grifo nosso). Esse tipo de aplicação não foi
explorado explicitamente em outras obras. Vejamos as atividades desta obra.
•
Contexto matemático
O seu enunciado é:
Uma população muito grande tem média 20,0 e desvio padrão 1,4. Extrai-se uma
amostra de 49 observações. Responda: (a) Qual a média da distribuição amostral?
(b) Qual o desvio padrão da distribuição amostral? (c) Qual a percentagem das
possíveis médias amostrais que diferirão por mais de 0,2 da média da população?
(STEVENSON, 1981, p. 182-182)
Essa atividade foi extraída do primeiro exemplo após a definição do teorema,
o que nos foi bastante oportuno averiguar que, de certa forma, a metodologia do
livro privilegia as técnicas em detrimento das situações-problema do cotidiano. Uma
99
característica também comum em outras obras que apresentam atividades em
ambos contextos: matemático e cotidiano.
Para a resolução, o autor parte do pressuposto de que, se o tamanho da
amostra é superior a 30, n > 30, pode-se supor “normal a distribuição amostral”.
Nesse caso, a abordagem do tamanho da amostra a ser considerado já havia sido
“estipulado” anteriormente, como por conveniência. E, assim, para responder ao item
(a), chega-se à conclusão de que “ a média da distribuição amostral é sempre igual à
média da população. Logo,
0,20=µ
x
.” (STEVENSON, 1981, p. 183). A tarefa (T) foi
a de encontrar a média da distribuição amostral; a técnica (
τ
) refere-se ao resultado
que o conceito do Teorema Central do Limite garante, o que justifica a técnica, que é
a tecnologia (
θ
). Já a teoria (
Θ
) é o próprio conceito do teorema, portanto a
praxeologia é local, não estendendo para regional.
Para responder ao item (b), o autor aplica diretamente a fórmula do desvio
padrão da distribuição amostral:
2,0
7
4,1
49
4,1
===
σ
=σ
n
x
x
(10)
Nota-se que privilegia a técnica do fazer, pois não justifica por que é
necessário o desvio padrão da distribuição amostral ser menor do que o da
população. Outro item que nos chamou atenção foi em relação à notação que atribui
para o desvio padrão da amostra e o desvio padrão da população,
x
σ
e
x
σ
,
respectivamente, pois, em geral, o da população não há o “índice” com x.
O item (c) exige um pouco mais de detalhes, principalmente com os objetos
matemáticos, como, por exemplo, o conceito de área e a ideia do que vem a ser
“diferir por mais de 0,2 da média populacional”, a partir da ilustração do gráfico que
está representada na figura 12. No entanto, apresenta os cálculos para encontrar os
valores reduzidos, z:
x
σ+=
−
1
2,0
202,20
proporção: 0,1587
x
σ−=
−
1
2,0
208,19
proporção: 0,1587
Total: 0,3174
(11)
100
Em seguida, apresenta a ilustração:
A realização dessa atividade requer algumas habilidades que nem sempre
são tão praticadas assim, como, por exemplo, o que significa diferir por mais de 0,2
da média da população, conforme já havíamos dito. Para que o estudante entenda
essa linguagem, ele ou ela precisa estar familiarizado(a) que, nesse contexto,
significa diferir abaixo e acima da média populacional em 0,2, isto é, representam as
áreas que residem nas caudas da curva Normal, cujas referências são os valores
menores que 19,8 ou maiores que 20,2. Se não fosse a ilustração, talvez o
estudante demorasse mais tempo para chegar à estratégia a ser utilizada. Isso faz
parte da técnica (
τ
) da praxeologia dessa atividade.
Além disso, a apresentação do valor do escore reduzido não está claro, pois a
notação, +1
x
σ
, que significa mais um do desvio padrão da distribuição amostral,
não é frequentemente utilizada em outros livros-texto. Em seguida, indica a
proporção de 0,1587 e também para –1
x
σ
, com o mesmo valor, para finalmente
apresentar o total. Didaticamente, a resolução parece mais uma forma de
“adivinhação” do que uma sequência didática, contrapondo, assim, a proposta da
construção dos conceitos por parte do estudante, no entorno do teorema.
Evidentemente, a representação gráfica foi fundamental para compreensão da
resolução proposta pelo autor, mas, ainda assim, não permite a evolução das ideias
matemáticas e estatísticas presentes na atividade.
Uma estrutura ecológica dessa atividade, somente para o item (c), seguindo a
evolução dos saberes, poderia ser descrita conforme o esquema 9:
Figura 12
–
As porções sombreadas são iguais à pr
obabilidade de
uma média amostral inferior a 19,8 ou superior a 20,2
Fonte: STEVENSON, 1987, p. 183
101
À esquerda, estão os objetos matemáticos necessários para realização da
atividade, e os da direita, os da Estatística, o que mostra a necessidade dos saberes
que são imprescindíveis para que o teorema “sobreviva”, mesmo no contexto
matemático da questão, isto é, com aplicação de técnicas (
τ
), nem sempre
devidamente justificado, isto é, desprovido da tecnologia (
θ
), segundo a resolução do
livro-texto A6.
•
MÉDIA DA POPULAÇÃO
• MÉDIA DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL
•
DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO
• DESVIO PADRÃO DA DISTRIBUIÇÃO
AMOSTRAL
•
VALOR PADRÃO REDUZIDO OU O
ESCORE REDUZIDO
•
CONCEITO DE PROPORÇÃO NA
TABELA DA CURVA NORMAL
•
CONCEITO DE
ÁREA
•
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
• DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
•
OPERAÇÕES
NUMÉRICAS
•
REPRESENTA
ÇÃO GRÁFICA
•
CONCEITO DE PROPORÇÃO E PROBABILIDADE
TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
Esquema 9
–
Ecossistema
para o Teorema Central do Limite na
atividade (c).
Fonte: Dados da pesquisa.
102
•
Contexto cotidiano
Ainda nessa obra, A6, optamos também por expor um exemplo, no sentido de
analisarmos a estrutura ecológica da atividade proposta.
Um fabricante de baterias alega que seu artigo de primeira categoria tem uma vida
esperada (média) de 50 meses. Sabe-se que o desvio padrão correspondente é de 4
meses. Que percentagem de amostras de 36 observações acusará vida média no
intervalo de 1 mês em torno de 50 meses, adimitindo ser a verdadeira vida média
das baterias? Qual será a resposta para uma amostra de 64 observações?
(STEVENSON, 1981, p. 183-184)
Vejamos como o autor expõe a sua resolução.
Ele estabelece um diálogo com o leitor para explicar a tarefa:
Sabemos que, como n > 30, a distribuição de médias amostrais será
aproximadamente normal, com média igual à média populacional e desvio
padrão igual ao desvio padrão populacional dividido pela raiz quadrada do
tamanho da amostra.
(STEVENSON, 2001, p. 183)
Nesse item, o autor apresenta a técnica (
τ
) para a tarefa (T). E continua: A
figura 7 “ilustra a probabilidade desconhecida. A resolução envolve a determinação
do número de desvios padrões que 49 e 51 meses distam da média” e, assim, o
autor sugere consultar a tabela de áreas sob a curva normal padronizada,
dispensando, assim, aplicação do modelo matemático para o cálculo da área, e
obtendo as probabilidades desejadas. Nesse caso, podemos dizer que a técnica (
τ
)
para tarefa (T) foi substituída pela justificativa de que já existe uma tabela em que
foram calculados os valores das áreas que correspondem às probabilidades
desejadas, por meio do escore reduzido, variando de 0 a 3 e, a área, de 0 a 0,5, que
também é chamada de Tabela da Curva Normal Padronizada. Por outro lado, exige
outras técnicas (
τ
), como, por exemplo, o cálculo do desvio padrão da distribuição
amostral:
103
===σ=
≅==σ=
=
σ
=σ
0,50
8
4
64
4
64; n Para
0,67
6
4
36
4
36; n Para
n
x
x
x
x
(11)
Em seguida, determina a diferença em relação ao valor esperado, isto é, o
escore reduzido para cada uma das variáveis que distam da média: x
1
= 49 e
x
2
= 51, sendo que estes valores são expressos por:
x
parâmetroaestatístic
z
σ
−
=
(12)
Assim, fica explicada e justificada a técnica (
τ
):
Para n = 36: z
1
= – 1,5
x
σ
e z
2
= 1,5
x
σ
;
Para n = 64: z
1
= – 2,0
x
σ
e z
2
= 2,0
x
σ
;
(13)
Enfim, para a determinação das áreas, por meio da tabela da curva Normal
padronizada, tem-se que:
Para n = 36, P(49 <
x
< 51) = P(– 1,5 <
x
< 1,5) = 0,8644;
Para n = 64, P(49 <
x
< 51) = P(– 2,0 <
x
< 2,0) = 0,9546.
(14)
Percebe-se que há também preocupação do autor em justificar esses
resultados (tecnologia,
θ
), quando afirma que:
FIGURA 13
–
Determinação da área sombreada da distribuição
amostral.
Fonte: STEVENSON, 2001, p. 184.
104
Note-se que, mesmo permanecendo constante o intervalo de 49 a 51, as
respostas para as amostras de tamanhos 36 e 64 são diferentes. A
probabilidade de obter uma média amostral no intervalo dado é maior para
amostras de 64 observações do que para amostras de 36 observações,
devido ao fato de o desvio padrão da distribuição amostral decrescer
quando n aumenta. (STEVENSON, 1981, p. 184)
A conclusão deixa implícita a aplicação do Teorema Central do Limite. No
entanto, podemos dizer que essa atividade contemplou o complexo praxeológico (T /
τ
/
θ
/
Θ
), pois, para atingir as organizações regionais ao redor de uma teoria, exigiu-
se também a combinação entre as organizações locais e pontuais sob a forma (T
i
/
τ
i
/
θ
/
Θ
) que “centradas sobre uma tecnologia,
θ
, determinada e depois em
organizações regionais (T
ij
/
τ
ij
/
θ
/
Θ
) formadas ao redor de uma teoria
Θ
”.
(CHEVALLARD, 1999, p. 228), constituiui-se, portanto, uma organização global.
A estrutura ecológica para esse caso é similar aos anteriores.
6.1.2.7 Atividades do livro-texto A7
No último livro-texto analisado, A7, não há nenhuma atividade contendo
somente contexto matemático. Portanto nos restringimos a analisar apenas uma
atividade com contexto cotidiano conforme feito anteriormente com outras obras.
Vejamos seu enunciado:
Na engenharia humana e no projeto de produtos, frequentemente é importante
considerar os pesos das pessoas, de modo que não haja sobrecarga em aviões ou
elevadores, as cadeiras não se quebrem, e não ocorram outros acontecimentos
perigosos ou embaraçosos. Dado que a população de homens tem pesos
distribuídos normalmente com média de 173 lb e desvio padrão de 30 lb (com base
em dados do National Health Survey dos EUA), determine a probabilidade de que:
(a) um homem escolhido aleatoriamente pese mais de 180 lb; (b) em 36 homens
escolhidos aleatoriamente, o peso médio seja superior a 180 lb.
24
(TRIOLA, 1999, p.
129)
24
Uma libra (massa) corresponde aproximadamente a 0,4536 kg.
105
Esse exemplo, exposto por Triola (1999, p. 129), apresenta dois itens para
serem solucionados e comparados. O item (a) refere-se à massa de um homem,
escolhido aleatoriamente e, portanto, não constitui numa amostra. Calculando o
valor padronizado ou o escore reduzido, já que foi afirmado que os pesos (massas)
são “distribuidos normalmente”, podemos entender que se trata de uma distribuição
de curva Normal. Assim:
σ
µ
−
=
x
z = 0,23
(15)
Ele também recorre à tabela da curva Normal padrão para encontrar a área
que corresponde a 0,4090, isto é, P(x > 180)
≅
P(z > 0,23) = 0,5 – 0,0910 = 0,4090.
Portanto, a probabilidade de o homem pesar mais de 180 lb é 0,4090 e a
representação gráfica dada por:
Para o item (b), o autor indica que “utilize o teorema central do limite (porque
estamos lidando agora com a média para um grupo de 36 valores, e não um valor
individual).” Em seguida, ele justifica que agora se trata de uma distribuição de
médias amostrais, daí a necessidade de utilizar os parâmetros
x
µ
(média das
médias amostrais) e
x
σ
(desvio padrão da amostra), que são:
x
µ
=
µ
= 173
(16)
x
σ
= 5
36
30
n
==
σ
(17)
Figura 14: Distribuição de pesos de homens.
Fonte: TRIOLA, 1999, p. 130(a).
106
E, para determinar a área sombreada conforme a figura 14, deve-se calcular o
valor padronizado z, ou o escore reduzido, incidindo a utilização da tabela da curva
Normal padrão. Então,
x
x
z
σ
µ
−
=
= 40,1
5
7
36
30
173180
==
−
(18)
E, a partir da figura 15, a representação gráfica da área indicada é
0,5–0,4192=0,0808, que é a probabilidade de os 36 homens terem peso (massa)
médio superior a 180 lbs.
O autor ainda justifica que “há uma probabilidade de 0,4090 de um homem
pesar mais de 180 lb, mas a probabilidade de 36 homens terem peso médio superior
a 180 lb é de apenas 0,0808.” Essa conclusão se dá, ao menos intuitivamente, pois
é muito mais fácil um único indivíduo se afastar da média, do que um grupo de 36
indivíduos. “Um peso extremo entre os 36 perderá seu impacto quando considerado
em conjunto com os outros 35 pesos.” (TRIOLA, 1999, p. 129).
Analisando essa atividade sob o ponto de vista praxeológico, não há muita
ênfase na técnica, o que, no entanto, não significa que não há utilização. O autor
opta por utilizar mais a retórica do que símbolos, em comparação às outras
atividades analisadas. Também não há ênfase, por parte do autor, em representar o
modelo matemático para indicar as áreas que correspondem às probabilidades
encontradas, tendo em vista que todos os problemas são contextualizados para o
Figura 15
–
Distribuição de médias amostrais de 36 homens.
Fonte: TRIOLA, 1999, p. 130(b).
107
cotidiano, isto é, ele simula situações hipotéticas reais para que haja aplicação do
Teorema Central do Limite.
Entretanto, para análise praxeológica, podemos dizer que a tarefa T exigiu
técnicas
τ
(o que se deseja calcular), justificadas por uma tecnologia
θ
, quando é ou
não caso de aplicação do Teorema Central do Limite. Para justificar a tecnologia,
tem-se a teoria
Θ
, principalmente quando isso ocorre para comparar os casos: ao
aplicar o teorema (b) e não aplicar, (a).
Diante desses resultados, percebemos que cada obra tem suas próprias
características ao tratar-se do Teorema Central do Limite. Com exceção de A4,
todos outros apresentam uma definição para o teorema. Vejamos como eles
abordam no próximo subitem.
6.1.3 Definição do Teorema Central do Limite nos Livros-Texto.
De acordo com as análises das atividades dos sete livros-texto, nos foi
possível apontar algumas características próprias de cada obra. As mesmas
ocasionalmente são exitosas, mas apresentam também restrições que podem servir
como entraves no processo de aprendizagem. Em contrapartida, determinadas
restrições ou limitações enriquecem o design didático, pois servem como
ferramentas excelentes para reflexão e discussão entre especialistas, professores e
alunos.
Entretanto, alguns pontos comuns nos foi possível identificar. Todos os livros-
texto apresentam primeiramente a definição do teorema, não incorrendo em sua
demonstração e, em seguida, algumas aplicações sob forma de problemas de
contexto matemático e/ou do cotidiano, reforçando as ideias em torno do Teorema
Central do Limite. Segundo Bussab e Morettin (2003, p. 273), “a demonstração
completa desse teorema exigiria recursos dos quais não dispomos, portanto não
será dada, mas o importante é sabermos como esse resultado pode ser usado.”
Diante do que constatamos na análise dos livros-texto e a afirmativas desses
autores, podemos dizer que um dos saberes dispensáveis do Teorema Central do
Limite, no processo de ensino e de aprendizagem, é a demonstração de como se
chega a esse resultado, porém defendemos que o contexto histórico deveria ser
108
enfatizado, principalmente porque, na nossa investigação, os atores são os
licenciandos em Matemática.
Essa abordagem nos proporcionou o ponto de vista do professor ao elaborar
suas atividades didáticas, ao tratar-se do teorema. Tauber (2001, p. 69) interpreta
essa dinâmica como um “significado institucional de referência”, pois serve como
base de seleção de objetos significativos que estão de acordo com o enfoque para a
construção de uma sequência didática. Por isso achamos interessante apresentar
como o teorema é definido pelos autores, pois todos alegam sua extrema
importância, com exceção de A4, porque não o menciona. Assim, vejamos como
cada um deles define o Teorema Central do Limite:
(continua)
OBRA DEFINIÇÃO DO TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
A1
Teorema: Para amostras aleatórias simples (X
1
,..., X
n
), retiradas de uma população
com média
µ
e variância
σ
² finita, a distribuição amostral da média
X
aproxima-se,
para n grande, de uma distribuição normal, com média
µ
e variância
σ
²/n. (p. 273-
274)
A2
Para uma distribuição não-normal com média µ e desvio padrão
σ
, a distribuição da
média amostral
X
para amostras de tamanho n suficientemente grande é
aproximadamente normal com média
µ
e desvio padrão
n
σ
, isto é:
)1;0(~
/
N
n
X
σ
µ
−
. (p. 139-141)
A3
Sejam X
1
... X
n
variáveis aleatórias independentes com a mesma distribuição, que se
admite ter variância finita (quase todas as distribuições com interesse prático têm
variância finita, pelo que esta condição não é particularmente restritiva). Qualquer que
seja a forma da distribuição destas variáveis, se o valor N for suficientemente grande,
a variável soma
∑
=
=
N
n
n
XS
1
segue aproximadamente uma distribuição Normal. Esta
distribuição é inteiramente especificada através do valor esperado e da variância de
S, que são dados por
XS
N
µµ
.=
e
22
.
XS
N
σσ
=
, onde
X
µ
e
2
X
σ
, representam
o valor esperado e a variância das variáveis X
n
. (p. 241)
A4
NÃO DEFINE O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
A5
Extraia uma AAS, amostra aleatória simples, de tamanho n de qualquer população
com média µ e desvio padrão finito σ. Quando n é grande, a distribuição amostral da
média amostral
x
é aproximadamente Normal:
x
é aproximadamente N
σ
µ
n
,
. (p. 223)
109
(conclusão)
A6
1. Se a população sob amostragem tem distribuição normal, a distribuição das médias
amostrais também será normal para todos os tamanhos de amostra.
2. Se a população básica é não-normal, a distribuição de médias amostrais será
aproximadamente normal para grandes amostras. (p. 181-182)
A7
Dado:
1. A variável aleatória x tem distribuição (que pode ser normal, ou não), com média
µ
e desvio-padrão
σ
.
2. Amostras de tamanho n são extraídas aleatoriamente dessa população.
Conclusões:
1. Na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição das médias
amostrais
x
tende para uma distribuição normal.
2. A média das médias amostrais será a média populacional
µ
.
3. O desvio-padrão das médias amostrais será
n/
σ
.(p.129)
QUADRO 2- Definição do Teorema Central do Limite nos livros-texto.
Fonte: Dados da pesquisa.
De acordo com o Quadro 2, pode-se notar que as definições acerca do
Teorema Central do Limite são bastante similares. Em síntese, dada uma
distribuição de variáreis aleatórias de distribuição Normal ou não, pode-se afirmar
que, na medida em que aumenta o tamanho das amostras, a média das médias
amostrais será a média da população; e, o desvio padrão, das médias amostrais,
será
n/
σ
.
A comparação entre esses livros-texto sobre a definição do teorema pode ser
sintetizada da seguinte forma: A1 e A2 distinguem-se no tipo de distribuição de
amostras, isto é, se é, inicialmente, Normal ou não, tendo em vista que a primeira
obra não especifica o tipo, e a segunda chama atenção para distribuições não-
Normais. A4 não apresenta definição, mas mostra o comportamento pela
representação gráfica, conforme a figura 16.
110
FIGURA 16 - Distribuições: populacional, da amostra, amostral observada e amostral teórica
Fonte: LEVIN; FOX, 2004, p. 188.
Vejamos como os autores interpretam esses gráficos que dizem respeito ao
Teorema Central do Limite, mas sem mencioná-lo:
[...] a variabilidade de uma distribuição amostral é sempre menor do que a
variabilidade em toda a população ou em qualquer uma das amostras. A
figura (10a) mostra a distribuição populacional de chamadas interurbanas,
com média (µ) de 99,75 (em geral não dispomos dessa informação). A
distribuição é assimétrica à direita: mais famílias despendem menos tempo
do que a média de 99,75 minutos em uma chamada interurbana, mas
algumas, na cauda direita, parecem não querer largar o telefone. A figura
(10b) mostra a distribuição das durações de chamadas em uma
determinada amostra de 200 residências. Note que ela tem forma
semelhante à distribuição da população, com média aproximadamente igual
(
X
= 102). A figura (10c) mostra a distribuição amostral de médias (as
médias de 100 amostras do excêntrico). Ela se afigura razoavelmente
normal, e não assimétrica, tem média (100,4) quase igual à média da
população e menos variabilidade, seja em relação à distribuição
populacional em (10a) ou em (10b), o que se pode ver comparando os
valores da reta-base. Se o pesquisador tivesse continuado a extrair
amostras de 200 residências, o gráfico das médias dessas amostras se
assemelharia a uma curva normal, conforme mostra a figura (10d). Essa é a
verdadeira distribuição amostral. (LEVIN; FOX, 2004, p. 187) (Grifo nosso)
111
Apesar de A4 não ter definido e nem mencionado o Teorema Central do
Limite, apresenta uma situação em que parte do princípio de uma situação
hipoteticamente real, de tempo médio mensal de duração de chamadas
interurbanas, considerando-a como uma população de residências, de média 99,75
minutos de duração e, neste caso, a curva é assimétrica à direita, conforme mostra a
figura 16(a). Na figura 16(b), é uma distribuição de amostra de 200 residências, com
média aproximada de 102 minutos. A diferença entre as situações 16(a) e 16(b) está
no fato de que o primeiro trata de população e o segundo, de uma amostra da
população de 200 residências. Agora, na figura 16(c), não é nem a população e nem
uma amostra de um determinado número de residências, mas sim de uma
distribuição de médias de duração de interurbanos com número de 100 dessas
amostras. O gráfico, neste caso, já possui uma tendência à normalização quanto a
sua curva. E, por fim, o gráfico 16(d) simula o comportamento do gráfico para 200
amostras de distribuições de médias amostrais de aspecto similar ao de um número
infinito de residências.
Ora, o que está implícito é o próprio Teorema Central do Limite, tendo em
vista que sua definição garante que a média da distribuições de médias amostrais
tende a ser a média da população. Para o desvio padrão, os autores afirmam que
“variabilidade” tende a ser sempre menor quando é extraída de distribuições de
médias amostrais.
Os livros-texto A5 e A6 seguem a mesma linha que A1. Já A3 e A7 são mais
detalhistas; a primeira não especifica o tipo de distribuição, apesar de ser mais
específico nos modelos matemáticos; a obra A7 alerta para o fato de que a
distribuição pode ser normal ou não, contanto que o tamanho da amostra seja
suficientemente grande.
Além das definições apresentadas, vale ressaltar o aspecto didático na obra
(A5) de Moore. A justificativa para tal se deve ao fato de que o objeto matemático,
Teorema Central do Limite, não se esgota em um tópico, mas se projeta ao longo do
livro-texto, sendo referido em diversos itens que dizem respeito à Inferência
Estatística. Como, por exemplo, nas distribuições amostrais, quando se aplica,
explorando dados para inferência; na inferência sobre uma média populacional; e
em situações-problema para duas médias. O extraordinário de sua obra reside no
fato de o autor sempre reportar-se ao teorema, chamando a atenção para sua
importância e aplicabilidade, fato este não constatado em outras obras.
112
De modo geral, “o Teorema Central do Limite nos permite usar cálculos de
probabilidades Normais para responder perguntas acerca de médias amostrais de
muitas observações, mesmo quando a distribuição populacional não seja Normal”
(MOORE, 2005, p. 224). Esse fato confere porque quanto mais uma distribuição
estiver afastada da normal, maior deve ser o tamanho da amostra.
6.2 A Análise da Investigação Sob o Ponto de Vista Ecológico do Didático: o
Teorema Central do Limite e os Licenciandos
Segundo Almouloud (2007, p. 123), “as organizações matemáticas referem-se
à realidade matemática que se pode construir em uma sala de aula”. Nesse
contexto, a definição do teorema diz respeito ao planejamento do(a) professor(a),
incidindo na construção de ideias e conceitos sobre o teorema, que será
reconstruído pelos estudantes. Consequentemente, a maneira de como a definição
chegará a eles sofrerá interferências no reconstruir, culminando, portanto, na
praxeologia didática do Teorema Central do Limite.
Nos capítulos anteriores, constatamos a importância do Teorema Central do
Limite e suas implicações de ordem histórica e de aplicabilidade, que podem
contribuir para o processo de ensino e de aprendizagem no curso de Licenciatura
em Matemática. Contudo, algumas limitações verificadas nos livros-texto, no estudo
praxelógico das atividades relativas ao teorema, nos levam a “ressignificar” a prática
em sala de aula, como professores e pesquisadores.
Tais limitações, na verdade, fomentaram o nosso interesse em compreender
como as ideias e os conceitos, acerca do teorema, podem ser construídos a partir de
situações-problema, que dizem respeito ao cotidiano da prática do ensino e da
aprendizagem em Matemática na sala de aula, no nível de Educação Básica.
Entretanto, inicialmente, foi preciso buscar que tipo de saberes já estavam
apropriados por eles, os licenciandos, em relação à Estatística Básica
25
. E, para
realização desse trabalho, partimos do desejo de avaliar as atividades propostas na
pesquisa descrita, buscando aprofundar o conhecimento dos alunos sobre a
25
Entendemos por “Estatística Básica” os temas que dizem respeito à Estatística Descritiva e à
Teoria das Probabilidades.
113
importância do teorema na aplicação de situações-problema do cotidiano, que
muitas vezes estão evidenciadas nos meios de comunicação. Reforçando a proposta
de nossa investigação, seguimos uma metodologia de ensino em que privilegiamos
a compreensão das ideias de quando e para quê a utilização do Teorema Central do
Limite.
6.2.1 As Atividades com os Licenciandos
Para a realização de nossa investigação, caracterizamos o nosso trabalho,
propondo um procedimento metodológico qualitativo, reiterando a estrutura do
design didático. Contamos, inicialmente, com apenas quatro licenciandos do Curso
de Licenciatura em Matemática, de um Centro de Ensino da cidade de Juiz de Fora,
Minas Gerais.
Para a mobilização das ideias e dos conceitos estatísticos, precisamos nos
situar na teoria dos campos conceituais de Vergnaud (1996, p. 155), que prima em
“fornecer um quadro coerente e alguns princípios de base para o estudo do
desenvolvimento e da aprendizagem das competências complexas, nomeadamente
daquelas que relevam das ciências e das técnicas”. É uma abordagem que favorece
os objetivos da pesquisa pelo fato de que o ensino do teorema requer,
principalmente, sob o ponto de vista didático do mesmo, favorecer o processo de
aprendizagem dos licenciandos.
Um outro aspecto a ser considerado por essa teoria é o que diz respeito ao
quadro que nos permite “compreender as filiações e as rupturas entre
conhecimentos” (VERGNAUD, 1996, p. 155). Valemo-nos do sentido proposto por
Vergnaud (1996), que expressa o termo conhecimento tanto para o saber fazer
quanto para o saber expresso. Essa abordagem destaca-se pela atenção que atribui
à aprendizagem dos adultos, o que particularmente nos interessa, já que os sujeitos
da pesquisa são os licenciandos.
Desse modo, quando dizemos que o objetivo de nosso estudo é desenvolver,
analisar, avaliar e reconstruir, numa proposta de ensino, as principais ideias e
conceitos ligados ao Teorema Central do Limite, significa desenvolver (ou criar) um
olhar voltado para ações dos alunos à medida que eles expressam os objetos
114
matemáticos implícitos nos conceitos estatísticos. Buscamos, portanto, a análise e a
compreensão dos procedimentos e argumentos de que cada um se fez valer em
cada situação.
A seguir, apresentaremos as sequências didáticas que nos proporcionaram a
realização dessa investigação.
6.2.2 A Primeira Atividade com os Licenciandos
De acordo com os princípios expostos, a elaboração das atividades permitiu
surgir as ideias e os conceitos da Estatística Descritiva, tais como as medidas de
tendência central e outras advindas da variabilidade de diferentes conjuntos de
dados. Isso favoreceu o surgimento de conceitos espontâneos dos alunos sobre o
tema, fato que, consequentemente, nos propiciou melhor compreensão de como
ocorre aquisição e internalização significativa no tocante às ideias e aos conceitos
estatísticos.
Conforme já citado anteriormente, contamos com quatro licenciandos
26
como
sujeitos da pesquisa. Para conhecer a experiência que cada um tinha com a
Estatística, foi realizada uma etapa exclusiva a fim de que eles dialogassem e
manifestassem os conhecimentos relacionados à análise exploratória de dados e às
ideias acerca do teorema. Para tal, utilizamos um questionário aberto, cujas
perguntas enfatizavam as ideias estatísticas necessárias para a estrutura ecológica
do Teorema Central do Limite sob o ponto de vista de objeto do saber.
Para Artigue (1988), uma investigação prima por registrar as manifestações
que revelam as ações e seus possíveis problemas que podem ocorrer no sistema de
ensino. Nessa perspectiva, surgem questões, tais como: de que forma os alunos de
um curso de Licenciatura em Matemática se apropriam das ideias do conceito do
Teorema Central de Limite? Pode ser por meio de um contexto relacionado com a
26
O período corresponde ao 2º semestre de 2007. Devido à mudança de programa, havia alunos que
cursavam vários períodos simultaneamente, por isso não houve demanda na disciplina, já que outras
disciplinas estavam em curso. Apenas três alunos estavam cursando regularmente a grade curricular
proposta desde ingresso dos mesmos, isto é, o sétimo período do curso de Licenciatura desse Centro
de Ensino, correspondendo ao penúltimo semestre do curso.
115
prática do professor de Matemática em sala de aula? Quais invariantes operatórios
são construídos por eles para caracterização do Teorema Central do Limite?
Para Brousseau (1996, p. 67), “o que o aluno tem em sua memória parece ser
o objetivo final da atividade de ensino”. Seguindo esse pressuposto, nos propomos a
conhecer os saberes prévios que os sujeitos possuem em relação às ideias sobre o
Teorema Central do Limite. Para isso, estabelecemos algumas perguntas de tal
forma que nos proporcionou algumas considerações para elaboração de outras
atividades. Vejamos como ocorreu a primeira atividade de nossa investigação, no
intuito de reconhecer os conhecimentos prévios de cada um dos licenciandos.
•
ATIVIDADE 1: Responda às perguntas a seguir:
OBJETIVOS: Conhecer os elementos estatísticos que os alunos da Licenciatura
possuem.
1) O que você entende por variável ou variáveis?
2) O que você entende por aleatoriedade?
3) E independência de dois ou mais eventos?
4) Para você, a variável aleatória tem alguma relação com função matemática?
5) Elabore uma definição para variável aleatória e variáveis aleatórias
independentes.
Essa atividade
27
foi realizada a partir de um questionário de cinco perguntas
abertas, com a finalidade de averiguar que ideias e conceitos acerca do teorema nos
permitiriam auxiliar para a compreensão do teorema. No sentido de preservar a
identidade dos estudantes, os chamaremos pelas letras: AO, BM, CA e FA.
(continua)
1) O que você entende por variável ou variáveis? Essa pergunta relaciona-se
diretamente com as idéias algébricas que estão subjacentes ao teorema. As
respostas foram as seguintes:
AO: Aquilo que não é constante, como, por exemplo, avaliar o grau de autoestima
de alunos da 5ª Série. Os resultados obtidos são as variáveis.
BM: Possibilidade de que algo ocorre varie, ou seja, não ser um resultado
constante.
CA: Valores que quero obter.
27
As respostas dessa atividade encontram-se, na íntegra, no anexo 2.
116
(conclusão)
FA: Variável é a incógnita, ou seja, o que eu quero achar. As variáveis podem
assumir infinitos valores.
A partir dessas respostas, podemos concluir que AO tem a concepção
formada do que vem a ser variável no contexto matemático, mesmo não sabendo
previamente o objetivo dessa pergunta. O estudante BM tem as mesmas
concepções que AO, apesar de a resposta ser um pouco diferente. Já CA deixa a
resposta um tanto vaga, não nos permitindo auferir sobre aquilo que se entende por
variáveis. O estudante FA chama de variável o mesmo que incógnita, apesar de
reconhecer como aquela que pode assumir infinitos valores.
2) O que você entende por aleatoriedade? A proposta dessa pergunta foi a de
buscar ideias no entorno dos eventos não-tendenciosos, sendo, portanto, um item
bastante importante na análise estatística. As respostas foram as seguintes:
AO: Algo que não se pode prever como, por exemplo, retirar uma bola
aleatoriamente de uma urna, numeradas de um a cem.
BM: Algo que ocorra ao acaso.
AC: Não ter uma ordem para escolher alguma coisa, tomar algo ao acaso.
FA: Aleatoriedade é o acaso. Num evento aleatório, não há escolha e sim a
ocorrência é o acaso.
Com exceção do estudante AO, todos associaram diretamente aleatoriedade
com o acaso. No entanto, com outras palavras, AO também atribuiu para o acaso.
Vale ainda ressaltar que AC registrou que se toma “algo ao acaso”, alegando que
“aleatoriedade significa não ter uma ordem de escolha”. Ele recorreu diretamente à
ideia de ordenação, fato esse que confirmou restrição quanto à sua afirmativa.
(continua)
3) E independência de dois ou mais eventos? A seguir, as respostas:
AO: Quando um evento não depende da outra para ser estudado.
BM: É quando a ocorrência do evento não depende das dos demais.
CA: É quando dois ou mais eventos podem ser ‘definidas’ sem levar em
consideração outro, ou melhor, podemos analisá-lo sem nos preocupar com
outro.
117
(conclusão)
FA: Independência de dois eventos ocorre quando um não depende do outro para
ser analisado.
Nesse estágio, pressupôs-se que os estudantes já conheciam o conceito de
probabilidade e, portanto, poderiam concluir sobre o significado de eventos. Por isso,
foi conveniente apresentar uma sequência de questionamentos que os levassem à
definição do Teorema Central do Limite. Talvez, por esse motivo, todos chegaram a
uma mesma conclusão.
4) Para você, a variável aleatória tem alguma relação com função matemática?
AO: Sim.
BM: Sim.
CA: Não, pois a variável aleatória poderá assumir infinitos valores em um intervalo
finito, além de não seguir uma ‘lei’ (ordem).
FA: Sim, pois, assim como na função matemática, a variável aleatória pode
assumir infinitos valores e está associada a outra variável.
Os dois primeiros estudantes apenas concordaram que existe relação entre a
variável aleatória e a função matemática. Os outros dois divergiram em suas
respostas. CA confirma o significado de variável, mas confronta com a definição de
função matemática. Já FA responde que sim, justificando sua resposta de acordo
com as ideias de função matemática, tendo em vista que a pergunta foi um tanto
ampla.
(continua)
5) Em caso afirmativo ao item anterior, elabore um ‘conceito’ para variável aleatória
e variáveis aleatórias independentes.
AO: Variável aleatória é aquela que os valores estão em função da aleatoriedade,
ou seja, à medida que varia a amostra, variam-se os dados correspondentes.
Variáveis aleatórias independentes têm o mesmo conceito anterior, porém, de
forma independente uma da outra.”
BM: Variável aleatória
→
Um experimento ocorre ao acaso.
Variáveis aleatórias independentes
→
Um experimento que não depende dos
demais.”
118
(conclusão)
CA: NÃO RESPONDEU.
FA: Variável aleatória
→
as variáveis aleatórias podem assumir infinitos valores
em um intervalo.
Variáveis aleatórias independentes
→
podem assumir infinitos valores, porém
sem depender do valor da outra variável.
O estudante CA não respondeu, sendo coerente com sua resposta anterior.
AO se depara com a ideia de que a variável estabelece uma relação com
aleatoriedade, surgindo, assim, uma função matemática. BM confirma dando a
justificativa baseada no que respondeu anteriormente, e FA responde de forma
similar.
Isso nos permitiu confirmar que a estrutura do questionário foi uma tentativa
de dar um contorno ecológico aos saberes envolvidos com o Teorema Central do
Limite. Os conceitos surgiram de forma natural, mesmo reconhecendo que as
respostas sofreram influências do aprendizado matemático, tendo em vista que
foram adquiridos ao longo da formação básica de cada um dos estudantes que
participaram dessa atividade.
As atividades posteriores foram baseadas na situação-problema relacionada à
autoestima dos alunos em Matemática, da 5ª Série, ou 6º ano, do Ensino
Fundamental. E, para conhecer um pouco sobre os dados coletados, pois estes
serão trabalhados para a construção do conceito do Teorema Central do Limite,
vamos esclarecer alguns itens pertinentes à Educação Matemática Emocional.
6.2.3 Noções Preliminares das Atividades
Para nos situarmos das atividades propostas aos licenciandos, partimos de
uma situação-problema no contexto real com o qual a maioria dos professores se
depara, é o confronto com a autoestima dos alunos, da Educação Básica, com a
Matemática, porque frequentemente os “pequenos” se sentem “incapazes” de
compreender essa disciplina, seja por crença extremamente arraigada na nossa
cultura, seja por “fracassos” que tenham enfrentado, entre outros fatores.
119
Diante das respostas obtidas pelos licenciandos, nos foi possível explorar a
literacia estatística, nem sempre explicitamente, mas subjacente às suas respostas.
Os dados da situação-problema, conforme já citados anteriormente, foram extraídos
de uma pesquisa de Iniciação Científica que envolveu mensuração de atitude, que “é
uma organização duradoura de crenças e cognições em geral, dotada de carga
afetiva pró ou contra um objeto definido, que predispõe a uma ação coerente com as
cognições e objetos relativos a este objeto” (BUNCHAFT; CAVAS, 2002, p. 105),
neste caso, a disciplina Matemática como elemento definido.
Daí a relevância da seguinte indagação como contexto para a nossa atividade
com os licenciandos: por que a autoestima dos alunos é tão baixa em relação à
disciplina de Matemática? É uma questão bastante discutida, mas que ainda persiste
na reflexão entre educadores matemáticos. De acordo com Chacón (2003), a
autoestima de cada sujeito é um dos componentes responsáveis pelo desempenho
no processo de aprendizagem.
A pertinência desse assunto para os licenciandos é corroborada por Charnay
(1996, p. 37), quando afirma que a relação entre a situação-problema e os alunos
deve atender aos seguintes requisitos: uma atividade deve propor um verdadeiro
problema por resolver para o aluno, isto é, deve ser compreendido por eles; deve
permitir ao aluno que utilize os conhecimentos anteriores; mas, por outro lado, deve
oferecer oportunidades de modo que o aluno vá além daquilo que já se conhece, isto
é, um movimento de superação a partir do momento em que seus conhecimentos
anteriores são gradativamente transformados, surgindo novos objetos do saber; por
fim, o ideal é que a validação não seja produzida pelo professor, mas da própria
situação em que o protagonista é o aluno e, no nosso caso, os licenciandos.
Por outro lado, como a nossa investigação está sob o jugo da Didática da
Matemática, de acordo com Almouloud (2007, p. 34), “uma situação didática se
caracteriza pelo jogo de interações do aluno com os problemas colocados pelo
professor”, o que contempla as diretrizes dessa pesquisa. Assim, o desenvolvimento
das atividades propostas será do próprio estudante em testemunhar ou vivenciar a
construção de ideias e conceitos na dinâmica da teoria das situações didáticas.
Assim, portanto, estaremos efetivamente tentando reponder à problemática
ecológica do objeto existente, o Terorema Central do Limite, que, segundo Artaud
(1998), é uma forma de questionar o real: o que existe e por que existe? É nessa
direção que conduzimos nossa pesquisa, dando oportunidade para o aluno se
120
expressar, descentralizando do professor a fala e o desenvolvimento de modos de
pensar sobre o conteúdo estatístico em estudo. Por isso, optamos por recorrer a
uma diversidade de situações dentro de um mesmo contexto, uma vez que é por
meio de situações e de problemas a resolver que um conceito adquire sentido para o
sujeito. Contudo, haverá também interferências controladas, por parte dos
pesquisadores, pois, como já exposto, o professor também terá sua atuação como
pesquisador, fundamentado nos pressupostos da pesquisa-ação de Thiollent (1986).
De modo geral e de acordo com a Atividade 1, podemos afirmar que nenhum
deles questiona sobre o significado de variável, especificamente, tal como foi
proposto, com exceção de AO, que apresentou alguns exemplos. Esse fato pode ser
atribuído à ausência de comunicação que, supostamente, deveria ocorrer durante as
aulas de Matemática na formação do indivíduo.
De fato, Medeiros (2005) confirma:
O recurso quase exclusivo às técnicas algébricas, cujo objetivo em
Matemática é o de reduzir a linguagem, economizá-la, impede a construção
da generalização e das abstrações matemáticas pelo aluno. A abstração é
algo a ser atingido no ensino da Matemática. O uso precoce e exclusivo de
tais técnicas, porém, induz comumente o aluno ao automatismo segundo as
regras de um jogo, com a não compreensão das operações efetuadas sobre
os números e a não apreensão dos significados matemáticos presentes que
se pretende resolver. (MEDEIROS, 2005, p. 20)
A sequência de respostas obtidas nos proporcionou a análise dos
constrangimentos sob três dimensões a serem consideradas: epistemológica,
cognitiva e didática. Para Artigue (1996), a distinção das três dimensões é:
- a dimensão epistemológica associada às características do saber em
jogo;
- a dimensão cognitiva associada às características cognitivas do público
ao qual se dirige o ensino;
- a dimensão didática associada às características do funcionamento do
sistema de ensino.
[...] O ensino habitual está centrado no funcionamento do quadro algébrico.
Parece, por isso, bastante natural procurá-lo, tendo em conta o objeto
preciso da investigação: estudar a viabilidade de uma abordagem
epistemologicamente mais satisfatória, os constrangimentos que se opõem
à extensão do ensino a outros quadros. (ARTIGUE, 1996, p. 200)
Nessa perspectiva, podemos citar os constrangimentos que se opõem à
extensão do quadro conceitual do Teorema Central do Limite:
121
- Na esfera epistemológica: a complexidade do teorema frente aos
obstáculos que surgiram ao longo da história da Matemática, desde
seu nascimento e desenvolvimento até tal como é efetivamente sua
ação no processo da transposição didática nos dias de hoje;
- Na esfera cognitiva: a mobilização entre os quadros algébricos e
geométricos, considerando a complexidade da demonstração
algébrica. Além disso, o tratamento do teorema é comumente feito pela
definição e, em seguida, a passagem para representação gráfica,
sendo, portanto, para o nosso caso, um tratamento qualitativo para o
teorema;
- Na esfera didática: a concentração dos esforços por parte do professor,
de orientar o aluno pelos meios que favoreçam aprendizagem, porém
nem sempre passíveis de sucesso. Dessa forma, fica instaurado o
caráter de estudo qualitativo.
Nesse sentido, podemos afirmar, de acordo com as respostas registradas,
que as três esferas citadas acima foram contempladas.
Historicamente, a disciplina Matemática é temida por muitos estudantes da
Educação Básica, pois é reconhecida como aquela que mais retém os alunos nas
séries em que estudam. Nessa direção e voltando ao nosso contexto da situação-
problema proposta, vejamos os dados relativos ao índice de autoestima que os
alunos, da 5ª Série, ou 6º ano, têm com a Matemática, para que os licenciandos, os
futuros professores da Educação Básica, estejam familiarizados com crenças e
atitudes no processo de ensino e de aprendizagem, que fazem parte do cotidiano
dos professores de Matemática. Dessa forma, podemos favorecer os licenciandos a
exercer a criatividade para elaboração de estratégias na construção das ideias e dos
conceitos estatísticos pertinentes ao teorema em estudo. E, nesse sentido, podemos
dizer que:
A estratégia é um elemento essencial para o planejamento de um trabalho
quantitativo simples, tanto para a elaboração de um projeto, a definição de
hipóteses e de variáveis, como para a escolha dos sujeitos e para o
processo de coleta de dados. Vemos o pensamento analítico como uma
atitude estatística, ou melhor, uma atitude crítica do estudante, não apenas
em relação às técnicas, com ou sem informática, mas principalmente em
relação aos resultados obtidos no contexto em que os dados se encontram
inseridos (social, comunitário, político, ambiental etc.). WODEWOTZKI;
JACOBINI, 2004, p. 234-235)
122
Assim, a partir da escolha da estratégia utilizada para os dados quantitativos
pela situação-problema, viabilizamos um sentido duplo, em termos de estratégia,
para a nossa pesquisa, isto é, por um lado, há o ensino e toda a estrutura que o
envolve; por outro, ressaltamos a importância de favorecer a aprendizagem dos
licenciandos, ao propormos os dados referentes à autoestima dos alunos da 5ª Série
do Ensino Fundamental, ou 6º ano. Além disso, estaremos, implicitamente,
estimulando o espírito científico, por meio de questionamentos que porventura
possam surgir durante as atividades.
A mensuração do índice de autoestima proposta na situação-problema foi
realizada a partir das respostas de vinte problemas básicos de algoritmo
28
. Para
estabelecer as pontuações, o critério adaptado seguiu os procedimentos que
Chacón (2003, p. 214) empregou em sua pesquisa, usando os métodos estatísticos
para mensuração, o modelo teórico de Likert:
A Escala de Likert é composta, em sua forma final, por vinte e cinco
afirmativas favoráveis e desfavoráveis ao objeto atitudinal, seguidas de
alternativas, como por exemplo: concordo plenamente, concordo, não tenho
opinião, discordo, e discordo plenamente. (BUNCHAFT; CAVAS, 2002, p.
107)
Para as vinte questões adaptadas de Chacón (2003), conforme o anexo 3, as
alternativas são divididas em: ‘estou seguro que está correto’, ‘acredito que está
correto’, ‘aposto 50% que está correto’, ‘acredito que está incorreto’, e ‘estou seguro
que está incorreto’. A pontuação segue a condição de que “cada alternativa terá um
peso de acordo com o índice de intensidade de favorabilidade ou desfavorabilidade”
(CHACÓN, 2003, p. 109). Normalmente os pesos mais altos são diretamente
proporcionais à favorabilidade, conforme segue tabela 2:
28
Veja anexo 3.
RESPOSTA PONTUAÇÃO
Estou seguro que está correto
4
Acredito que está correto
3
Aposto 50% que está correto
2
Acredito que está incorreto
1
Estou seguro que está incorreto
0
Fonte: Dados da pesquisa de Iniciação Científica realizada no CES/JF.
TABELA 2
Índice de autoestima da situação
-
problema proposta aos licenciandos
123
A semissoma das pontuações será a nota global do aluno (da 5ª Série, ou 6ª
ano). A faixa de índice de autoestima possível é de 0 a 40 pontos, cujos dados
coletados serão apresentados, na atividade 2, aos sujeitos da pesquisa, os
licenciandos.
Ao expor as atividades a eles, um outro aspecto foi discutido e estreitamente
relacionado às crenças e mitos em torno da Matemática. Isso diz respeito ao que
influencia diretamente a dimensão emocional de cada criança em relação a essa
disciplina.
[...] acreditamos que o estilo matemático está relacionado com as emoções.
Hoje, há um crescimento da consciência coletiva sobre a necessidade de
desentranhar os aspectos emocionais do conhecimento, nos quais
possivelmente há que se buscar a raiz de muitos fracassos de nossa vida
intelectual e, em particular, de nossa educação.
Se fizéssemos um estudo das palavras utilizadas nas discussões dos
professores e dos pesquisadores sobre os fatores de aprendizagem,
“afetividade” e “motivação” encabeçariam a lista. Esse fato deixa claro que,
no âmbito do ensino, reconhece-se a grande influência que as variáveis
afetivas exercem na construção do conhecimento dos estudantes. No
entanto, na pesquisa escolar, a aprendizagem foi medida pelas conquistas
acadêmicas nos aspectos cognitivos. (CHACÓN, 2003, p. 13)
Para a leitura e análise dos dados, foi necessário reconhecer que objetos
estatísticos essenciais para essa etapa ― a tabulação; o cálculo da média e sua
interpretação; e a questão da variabilidade ― permeiam distintamente, por meio de
pontuações, em cada turma de 5
a
Série, ou 6º ano (instituições pública e particular).
A partir das medidas calculadas e interpretadas, verificamos a importância das
medidas descritivas, incidindo nas idéias do Teorema Central do Limite.
Nesse sentido, a pesquisa de Méndez (1991) identifica quatro propriedades
básicas para a compreensão do teorema:
1) A média da distribuição amostral é igual à média da população e igual à
média de uma amostra quando o tamanho da amostra tende ao infinito;
2) A variância da distribuição amostral é menor do que a variância da
população (N > 1);
3) A forma da distribuição amostral tende a ser aproximadamente normal à
medida que se aumenta o tamanho da amostra, independentemente à
forma da distribuição da população, isto é, normal ou não;
124
4) A forma da distribuição amostral cresce na altura e decresce na dispersão
à medida que o tamanho amostral cresce.
Essas propriedades servirão como base para constituir o pensamento
estatístico por meio das ideias construídas acerca do Teorema Central do Limite, por
parte dos licenciandos. É uma área da nossa investigação que diz respeito à
amostragem, aleatoriedade e métodos estocásticos. E, para finalizar, elaboramos
uma parte específica para que os licenciandos percebam o comportamento do
teorema, produzindo uma definição “particular”, construída por cada um dos
licenciandos, a partir de suas próprias conclusões vivenciadas pelas atividades
propostas.
6.2.4 Análise das Atividades 2 e 3
Para realização das atividades 1 e 2, não foi possível contar com um dos
participantes, CM. Foi-nos permitido analisar apenas três tipos de respostas.
ATIVIDADE 2: Observe os dados
29
referentes ao índice de autoestima, variando de
0 a 40, em relação à Matemática, de alunos da 5ª série, ou 6º ano, do Ensino
Fundamental de escolas particular e pública:
Objetivos:
- Identificar e interpretar medidas de tendência central;
- Reconhecer a variabilidade num conjunto de dados e interpretá-la.
A partir dos dados, que está variando de 0 a 40, em que 40 corresponde ao
maior índice, e zero, ao mais baixo, de alunos da 5ª Série, ou 6º ano, do Ensino
Fundamental, de Instituições Pública e Privada, escolha uma turma de cada tipo de
instituição e responda às questões abaixo:
29
Anexo 4.
125
1) Determine a média dos valores observados em cada uma das turmas
escolhidas. O valor encontrado é um bom representante do conjunto de dados?
Justifique.
2) Determine o intervalo limitado por [
x
– s;
x
+ s]. Qual a proporção de elementos
observados nesse intervalo, em cada um dos casos?
Vejamos como cada um respondeu a esses itens:
RESPOSTA DE AO PARA ATIVIDADE 2:
30
1) Turma escolhida: 5B – Rede particular:
x
= 30,68 e
x
~
= 32,75
5B – Rede pública
x
= 22,35 e
x
~
= 22,25
A média encontrada na 5B (particular) não é bem representativa; já que, no
total de 31 alunos, 20 alunos estão acima da média, por isto, há uma discrepância
de dados visto que a menor nota da turma é 15,5.
Na rede pública, a média é representativa na pesquisa visto que a medida de
tendência central aproxima do valor central do rol.
2)
Particular:
5A [28,01965; 39,76295] Proporção:
23
17
= 73,92404%
5B [24,69193; 36,66287] Proporção:
31
21
= 67,74193%
5C [27,51467; 34,77113] Proporção:
28
16
= 57,14285%
5D [20,40617; 37,17083] Proporção:
26
17
= 65,38461%
5E [18,34834; 40,29446] Proporção:
14
11
= 78,57142%
Pública:
5A [9,35293; 26,01067] Proporção:
22
16
= 72,72727%
5B [13,16677; 31,54283] Proporção:
31
18
= 58,06451%
5C [14,99624; 29,94116] Proporção:
32
20
= 62,5%
5D [9,80303; 23,95897] Proporção:
21
13
= 61,90476%
5E [10,24619; 26,18721] Proporção:
30
22
= 73,33333%
30
Anexo 5.
126
RESPOSTA DE BM PARA ATIVIDADE 2
31
:
1) Turma escolhida: 5D (particular):
79
,
28
x
=
5D (pública):
88
,
16
x
=
Analisando os dados, vemos uma amplitude grande (na escola particular o
maior valor é 40 e o menor, 9; na pública, a maior é 30,5 e a menor 5).
Isto pode deslocar a média e fazer com que ela não seja representativa. É
preciso analisar juntamente com outras medidas de tendência central, como por
exemplo a mediana.
Na escola particular, a turma tem
79
,
28
x
=
e
5,30x
~
=
. Na escola pública:
88
,
16
x
=
e
0,17x
~
=
.
Notamos que os valores estão próximos, logo podemos considerar que a
média é representativa nos dois casos.
2) 5D: particular: [20,40617; 37,17083] Proporção:
26
17
= 65,3846%
5D: pública: : [9,80303; 23,95897] Proporção:
21
13
= 61,90476%
RESPOSTA DE FA PARA ATIVIDADE 2
32
:
1) As turmas escolhidas foram 5C particular e 5C pública. A turma 5C particular
apresentou
x
de 31,14, enquanto a 5C da pública apresentou
x
de 22,97. As
médias encontradas estão representando bem o conjunto de dados, uma vez que
não fugiu muito do valor da mediana de cada turma, que foi no 5C, particular, 31 e
na pública, 23.
2) Particular: 5C [27,51467; 34,77113] Proporção:
28
16
= 57,14285%
Pública: 5C [14,99624; 29,94116] Proporção:
32
20
= 62,5%
Analisando as respostas de AO, BM e FA, nos foi possível constatar que AO
não distinguiu a média da mediana verbalmente, indicando, apenas, simbolicamente,
31
Anexo 6.
32
Anexo 7.
127
o que não nos permitiu identificar se realmente conhece e distingue efetivamente as
medidas centrais. Por outro lado, após a escolha das turmas, pública e privada, na
questão 2, apresentou os intervalos da diferença e soma entre a média e desvio
padrão de cada turma, pela apresentação da proporção existente em cada um deles,
isto é, não selecionou apenas uma turma para cada instituição, mas fez para todos.
Sua conclusão foi a de que a média do índice de autoestima dos alunos da escola
particular, para a turma escolhida, não foi representativa, a partir da leitura sobre a
amplitude total, isto é, reconhecida como discrepância entre as medidas; já a média
da escola pública foi representativa. Essa análise feita por AO parece ter sido
influenciada pela variabilidade que ocorre na distribuição de dados. Por outro lado,
percebemos que AO esteve mais atento às técnicas (
τ
) que deveriam ser aplicadas
na atividade proposta, o que, no entanto, não ocorreu a justificativa para as mesmas,
isto é, houve a ausência da tecnologia (
θ
).
No caso da atividade de BM, averiguamos que, além de utilizar as técnicas (
τ
)
no sentido de encontrar os valores de medida central, como a média e a mediana,
ocorreu a tecnologia (
θ
) por meio da justificativa de que existem outras medidas de
tendência central, chamando atenção para leitura conjunta entre a média e a
mediana. O item 2 da atividade 2 foi resolvido apenas para as turmas que BM
escolheu. Não incorreu numa análise mais aprofundada da questão.
O estudante FA respondeu similarmente à BM no tocante à primeira questão.
Aplicou as técnicas (
τ
) necessárias para o cálculo da média e mediana e, além
disso, explicou e justificou que as medidas estão bem próximas nos dois casos. Na
segunda questão, fez também apenas para o intervalo das turmas escolhidas.
Diante desses resultados, percebemos como o enunciado interfere na
execução da tarefa. No item dois da Atividade 2, foram solicitados apenas o intervalo
e a proporção dos índices de autoestima existente neles, entre a diferença e soma
da média e do desvio padrão. Nenhum dos três manifestou interesse em justificar os
intervalos, até mesmo porque não estava explícito. Portanto, essa análise não
apenas nos proporciou uma reflexão sobre a importância de elaborarmos uma
atividade com mais clareza, sem criar expectativas do que os alunos poderiam ter
respondido, mas também nos indicou uma limitação para a nossa investigação.
128
ATIVIDADE 3:
Objetivos:
- Construir o significado de aleatoriedade e amostragem;
- Conhecer o método estocástico para construir uma distribuição de
amostras aleatórias;
- Desenvolver habilidades para interpretação de gráficos estatísticos;
- Analisar os resultados obtidos de média e desvio padrão;
- Obter os valores de média e desvio padrão para um conjunto de dados
e comparar esses resultados com os obtidos anteriormente;
- Construir outros bancos de dados;
- Construir novos gráficos e comparar com os já construídos;
- Reconstruir uma definição para o Teorema Central do Limite.
Siga as instruções e responda ao que se pede:
1) Determine a média,
x
, e o desvio padrão, s, para os dados da Instituição
Pública e Instituição Particular.
2) Sorteie 20 elementos aleatórios de cada instituição e calcular a média,
x
, e o
desvio padrão, s. Repita o processo 30 vezes.
3) Construa um banco de dados com todos os resultados obtidos, isto é, reúna
todos os dados do grupo.
4) Construa um gráfico que represente as médias observadas. Faça o mesmo para
os valores de s, desvio padrão. O que você observa?
5) Determine a média dos valores obtidos em cada item (coluna) do banco de
dados do item anterior, (4). O que você observa? Compare com o obtido no item
1.
6) Considere um novo banco de dados construído com os resultados dos demais
colegas. O que você observa a partir dos resultados obtidos para média e
desvio padrão?
7) Construa o gráfico desse novo banco de dados, isto é, do item 6, e determine a
média e o desvio padrão.
8) Compare com o obtido no item 4. O que você observa?
129
A realização dessa atividade contou com uso de Microsoft EXCEL e do
software SPSS de posse dos participantes, para análise estatística.
RESPOSTAS DE AO PARA ATIVIDADE 3
33
:
(continua)
1) Determine a média,
x
, e o desvio padrão, s, para os dados da Instituição Pública
e Instituição Particular.
Resposta: Para o número total de 136 alunos da instituição pública, a média do nível
de autoestima é 19,8676 e desvio padrão, 8,32. E, para 122 alunos da instituição
particular, tem-se que a média do nível de autoestima é 30,832 e o desvio padrão,
6,96.
2) Sorteie 20 elementos aleatórios de cada instituição e calcular a média,
x
, e o
desvio padrão, s. Repita o processo 30 vezes.
Resposta: Pelos dados aleatórios extraídos do EXCEL, a partir da amplitude total de
cada uma das instituições, nos foi possível anotar as seguintes médias e seus
respectivos desvios padrão, conforme anexo.
3) Construa um banco de dados com todos os resultados obtidos, isto é, reúna todos
os dados do grupo.
Resposta: Construído no EXCEL.
4) Construa um gráfico que represente as médias observadas. Faça o mesmo para
os valores de s, desvio padrão. O que você observa?
Resposta: Analisando as médias das 30 amostras aleatórias entre as escolas
pública e particular, foi possível observar que há maior variação nas médias da
escola pública, enquanto na escola particular os valores estão mais próximos.
Quanto aos gráficos dos desvios-padrão entre as escolas pública e particular, são
bem similares.
5) Determine a média dos valores obtidos em cada item (coluna) do banco de dados
do item anterior, (4). O que você observa? Compare com o obtido no item 1.
33
A atividade 3 do licenciando AO se encontra em sua íntegra no anexo 8.
130
(conclusão)
Resposta: A média das médias da escola pública foi de 20,24, enquanto a da escola
particular foi de 22,09. Já o desvio padrão das médias da escola pública foi 2,74 e
da escola particular, 2,35. Neste sentido, podemos concluir descritivamente que a
média das médias da escola particular é mais representativa, já que o coeficiente de
variação é de 0,1064 e o da escola particular, 0,1354, apesar de que a média em
ambos casos seja significativas.
6) Considere um novo banco de dados construído com os resultados dos demais
colegas. O que você observa a partir dos resultados obtidos para média e desvio
padrão?
Resposta: Foi possível observar que os valores foram bem próximos daqueles
encontrados anteriormente.
7) Construa o gráfico desse novo banco de dados, isto é, do item 6, e determine a
média e o desvio padrão.
Resposta: Os gráficos construídos para este item foram realizados no programa
SPSS, cujas médias e desvios padrão das escolas pública e particular estão no
anexo. Foi possível observar a média das médias e o desvio padrão das amostras,
realizada no Excel: Escola Pública: Média das médias 19,8565 e desvio padrão das
amostras: 2,257985; Escola Particular: média das médias: 22,47733 e desvio
padrão, 2,061976
8) Compare com o obtido no item 4. O que você observa?
Resposta: Comparando as médias das escolas pública e particular, neste caso com
os dados aleatórios, 600 variáveis, das 30 amostras, para escola pública, cuja média
foi 19,59 e o desvio padrão, 10,41, e o mesmo número de variáveis para escola
particular, cuja média foi 22,09 e o desvio padrão, 10,16, foi possível constatar que
as médias têm seus valores bem próximos enquanto os desvios padrões diferem-se
entre si, sendo que os das amostras são bem menores que os da população.
Analisando as respostas de AO, percebemos que o estudante executou a
tarefa (T) conforme uma sequência didática, indo além das técnicas (
τ
) ao solicitar
softwares, tais como EXCEL e SPSS, para facilitar os cálculos e gerar os gráficos. A
131
organização de como AO executou a tarefa (T) também nos chamou atenção, pois
foi construindo, passo a passo, as tarefas de modo que suas conclusões foram
plausíveis de entendimento. Quanto à tecnologia (
θ
), podemos dizer que AO
explicou e justificou no item (8), quando concluiu que os valores das médias das
amostras é bem próxima da população aleatória construída no item (2) para os dois
tipos, público e particular. Um fato extraordinário nos chamou atenção: a
constatação, de AO, de que o desvio padrão das médias das amostras é bem menor
que a média da população. Tal constatação resultou na justificativa da justificativa,
isto é, culminou na teoria (
Θ
), mesmo não registrando como o Teorema Central do
Limite, o que deixou para uma outra etapa da investigação em que ocorreu uma
discussão acerca das atividades realizadas.
Vejamos como BM executou a atividade 3:
RESPOSTAS DE BM PARA ATIVIDADE 3
34
:
(continua)
1) Determine a média,
x
, e o desvio padrão, s, para os dados da Instituição Pública
e Instituição Particular.
Resposta: Pública:
x
= 19,8676 e
σ
= 8,3209.
2) Sorteie 20 elementos aleatórios de cada instituição e calcular a média,
x
, e o
desvio padrão, s. Repita o processo 30 vezes.
Resposta: Anexo, resolvido no programa SPSS.
3) Construa um banco de dados com todos os resultados obtidos, isto é, reúna todos
os dados do grupo.
Resposta: em branco.
4) Construa um gráfico que represente as médias observadas. Faça o mesmo para
os valores de s, desvio padrão. O que você observa?
Resposta: As amostras foram de tamanhos 5, 10, 20, 25 e 30. À medida que o
tamanho da amostra aumenta, o gráfico vai aproximando da curva normal.
34
A atividade 3 foi realizado no programa SPSS, cujo relatório se encontra no anexo 9.
132
(conclusão)
5) Determine a média dos valores obtidos em cada item (coluna) do banco de dados
do item anterior, (4). O que você observa? Compare com o obtido no item 1.
Resposta: À medida que aumentamos o tamanho da amostra, a média vai se
aproximando da média da população e o desvio padrão vai diminuindo.
6) Considere um novo banco de dados construído com os resultados dos demais
colegas. O que você observa a partir dos resultados obtidos para média e desvio
padrão?
Resposta: Os outros chegaram à mesma conclusão.
7) Construa o gráfico desse novo banco de dados, isto é, do item 6, e determine a
média e o desvio padrão.
Resposta: deixou em branco.
8) Compare com o obtido no item 4. O que você observa?
Resposta: O teorema central do limite.
BM efetivou a atividade por meio do software SPSS, não dispôs do EXCEL.
Os relatórios gerados pelo programa foram devidamente escaneados e anexados
neste trabalho (anexo 10). Quanto às respostas de BM, no item 1, ele descreveu
apenas os resultados da média e desvio padrão para escola pública. Para escola
particular, o relatório também foi realizado, mas não indicado, porém foi apresentada
também a representação das duas distribuições, da escola pública e da escola
particular, ordenada em ramo e folha e em Box-Plot. O que não foi descrito na
atividade foram os dados da escola particular. Então, dos 122 alunos que passaram
pelo teste, o valor da média do índice de autoestima foi de 30,8320 e o desvio
padrão, 6,96. No item 2, BM deixa indicado um relatório extraído do SPSS, sem
indicar os números aleatórios e nem explicitar como encontrou esses dados. Para o
item 3, não indicou como reuniu todos os dados aleatórios, mas faz relação com o
item 4, já que a opção de BM foi a de selecionar diferentes números das amostras
para as médias. Isto é, ele optou por escolher tamanhos de amostras diferentes e
observar o comportamento dos respectivos gráficos para os tamanhos de 5, 10, 20,
133
25 e 30. Nesse caso, concordamos com Chevallard, Bosh e Gascón (2001), quando
afirmam:
O momento do primeiro encontro faz referência aos objetos matemáticos
que constituem um tipo de problema; o momento exploratório, relaciona um
determinado tipo de problema com a construção de uma técnica adequada
para abordá-los; o momento do trabalho da técnica se refere ao domínio,
precisão e nova criação de técnicas matemáticas; o momento tecnológico-
teórico faz referência, como seu nome indica, aos dois níveis de justificativa
da prática matemática; e os momentos institucionalização e avaliação se
referem, finalmente, à obra matemática em seu conjunto. (CHEVALLARD;
BOSCH; GASCÓN, 2001, p. 276)
Assim, podemos dizer que, quanto ao trabalho da técnica (
τ
), BM pareceu ser
criativo, já que conhecia alguns procedimentos sobre Inferência Estatística. Além
disso, os mesmos autores reiteram que “essa descrição subjaz um princípio
democratizador” (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001, p. 276). Outro fato que
nos chamou atenção nas atividades realizadas por BM foi, talvez, um “não se
importar” muito com as justificativas. Há ênfase para técnica, mas a tecnologia, de
certa forma, ficou comprometida. Por isso, será relatado posteriormente como
ocorreu o diálogo no final de todas as atividades entre todos os sujeitos envolvidos
na investigação: os pesquisadores, particularmente o professor-pesquisador, e os
licenciandos.
Para o item 5, BM responde, antecipadamente, o mesmo que esperava para o
item 8. Já no item 8, faz menção ao teorema. No item 6, comenta que sua resposta é
igual à dos outros. Contudo, no item 7, a tarefa foi realizada no SPSS, somente para
os dados da escola pública, cujos relatórios se encontram nos anexos. Porém,
vejamos agora as médias e os desvios padrões encontrados para os diferentes
tamanhos de amostras, conforme a tabela abaixo:
Tamanho das
amostras das
médias
Média Desvio Padrão
n = 5 18,70 1,58
n = 10 19,9 1,28
n = 20 19,71 1,28
n = 25 19,80 1,60
n = 30 19,73 1,53
TABELA 3
Atividade realizada por BM para o item 7.
Fonte: Dados da pesquisa.
134
Para BM ter concluído que a média das amostras é igual ao da população
inicial e o desvio padrão é menor, à medida que aumenta o tamanho da amostra,
vale retomar o valor numérico da média de índice de autoestima de todos os 136
alunos da escola pública, que foi 19, 8676 e o desvio padrão, 8,32. Esses dados
proporcionaram a BM chegar à conclusão de que tratava-se do Teorema Central do
Limite sem recorrer aos dados aleatórios, como um todo, conforme AO tinha
realizado.
Por fim, a resposta de FA:
RESPOSTAS DE FA PARA ATIVIDADE 3
35
:
(continua)
1) Determine a média,
x
, e o desvio padrão, s, para os dados da Instituição Pública
e Instituição Particular.
Resposta: Particular:
x
= 30,36 e
σ
= 6,06497.
2) Sorteie 20 elementos aleatórios de cada instituição e calcular a média,
x
, e o
desvio padrão, s. Repita o processo 30 vezes.
Resposta: Em branco.
3) Construa um banco de dados com todos os resultados obtidos, isto é, reúna todos
os dados do grupo.
Resposta: Em branco.
4) Construa um gráfico que represente as médias observadas. Faça o mesmo para
os valores de s, desvio padrão. O que você observa?
Resposta: Construímos um gráfico para um tamanho de amostra de 5, 10, 20, 25 e
30 e, daí, observamos que, quanto maior o tamanho da amostra, mais a curva se
aproxima da normal.
5) Determine a média dos valores obtidos em cada item (coluna) do banco de dados
do item anterior, (4). O que você observa? Compare com o obtido no item 1.
35
As respostas, na íntegra, encontram-se no anexo 10.
135
(conclusão)
Resposta: Quando vamos aumentando o tamanho da amostra, mais a média se
aproxima da média da população e, ao contrário, o desvio padrão vai diminuindo.
6) Considere um novo banco de dados construído com os resultados dos demais
colegas. O que você observa a partir dos resultados obtidos para média e desvio
padrão?
Resposta: Em branco
7) Construa o gráfico desse novo banco de dados, isto é, do item 6, e determine a
média e o desvio padrão.
Resposta: Em branco.
8) Compare com o obtido no item 4. O que você observa?
Resposta: Em branco.
Analisando a resposta de FA, ela parece ter sido realizada
concomitantemente com BM, já que os itens 2, 3, 6, 7 e 8 foram deixados em
branco. E, além disso, FA registrou no item 1 o que BM não tinha feito, que é o
registro da média dos dados iniciais na Atividade 3, para a escola particular com
relação à média do índice de autoestima dos 122 alunos, conforme o material
coletado
36
de BM. Outro fato que reitera essa afirmativa foi a técnica utilizada para o
item 4, pois FA seguiu da mesma forma, diferindo de AO, ou seja, ele atribuiu
tamanhos de amostras diferentes para as médias dos números aleatórios no que
concerne aos índices de autoestima.
Contudo, percebemos algumas diferenças quanto às justificativas, pois a
resposta do item 5 foi bem similar, apresentando características de como as técnicas
(
τ
) utilizadas foram gradativamente levando à conclusão final, expressa somente
oralmente para o item 8, pois FA deixa em branco, mas fala sobre sua conclusão, na
próxima etapa de nossa investigação.
A partir dos dados registrados dos três licenciandos AO, BM e FA, podemos
dizer que, de certa forma, essa análise atendeu a nossa hipótese, ao menos em
parte, já que essa investigação não foi de cunho quantitativo, e, sim, qualitativo.
36
Anexo 9.
136
Dessa maneira, poderíamos chegar à reconstrução do que vem a ser o conceito do
Teorema Central do Limite.
Diante dos resultados obtidos das atividades realizadas, dizemos que a
estrutura ecológica do saber e do didático foi contemplada, no sentido de que
delimitamos os saberes indispensáveis para se chegar à definição do teorema. Outro
item a ser destacado se refere aos saberes que efetivamente estão subjacentes aos
objetos matemáticos e estatísticos, que nem sempre são explicitados. No entanto,
significa que são elementos que permitem a “sobrevivência” do teorema em si,
enquanto objeto do saber. Como exemplos, temos a leitura gráfica, a construção das
ideias em relação à variabilidade de uma distribuição de dados, a centralidade da
variável em jogo, entre outros.
Em contrapartida, os saberes “dispensáveis” pertinentes ao teorema, nos dias
atuais, também foram constatados, porque não comprometeram a compreensão do
mesmo. E um dos elementos do saber é precisamente a demonstração matemática
do teorema durante o desenvolvimento dos saberes que estão no entorno dele. Isso
não significa que podemos desvincular sua importância, principalmente sua
abordagem histórica, já que devemos justificar por meio de argumentos plausíveis a
necessidade de seu surgimento e do porquê de sua importância fundamental na
Inferência Estatística. Para compreendermos a aplicabilidade do teorema nesse
ramo da Estatística, precisamos nos recorrer a interferências, controladas ou não, no
sentido de perceber a literacia estatística, por parte dos licenciandos.
6.3 O Diálogo: Intervenções Controladas no Design Didático
Os mesmos procedimentos de análise nos permitiram conduzir uma
sequência de diálogos para perceber o reconhecer, analisar, orientar e reconstruir,
conforme o esquema construído a partir dos fundamentos da pesquisa-ação de
Thiollent (1986). Esclarecemos que os diálogos foram divididos em duas etapas. A
primeira diz respeito à atividade um. Posteriormente, ocorreram intervenções para as
atividades 2 e 3. Para a realização do diálogo, podemos caracterizar a primeira
etapa como o do reconhecer os objetos matemáticos e estatísticos que estariam
envolvidos. A segunda, a prática propriamente dita. Exporemos alguns diálogos que
137
ocorreram no segundo momento de nossa investigação, após as atividades
realizadas. Chamaremos o professor-pesquisador de PE, e os licenciandos mantêm
as mesmas nomeações anteriormente mencionadas. Os registros abaixo
correspondem à transcrição da gravação ocorrida durante a discussão.
PE: O que vocês acharam das atividades?
AO: Achei interessante, mas bastante cansativo quando tive que achar os números
aleatórios.
BM: Eu, particularmente, segui o programa de SPSS e o próprio programa gerou os
resultados.
FA: Eu aproveitei os dados de BM e realizei as minhas tarefas.
AO: Tive mais trabalho, porque optei por usar EXCEL e SPSS, simultaneamente.
Esse primeiro diálogo diz respeito à atividade como um todo. Vejamos como
seguimos:
PE: Independentemente de ser trabalhoso ou não, o que vocês perceberam que
sempre aparece para ser calculado?
AO: A média e o desvio padrão.
BM: É mesmo...
FA: Também observei isso!
É interessante notar que os licenciandos observaram as presenças da média
e do desvio padrão, o que não significa que tenham percebido as suas devidas
importâncias para o teorema. Por conseguinte, entendemos o quanto é importante a
Inferência Estatística, mas, no nosso caso, o Teorema Central do Limite serve como
base para inúmeros trabalhos que envolvem distribuição de probabilidades e curva
Normal. E uma das grandes vantagens de se trabalhar com o teorema é que uma
“[...] distribuição pode ser aproximada normal de probabilidade sem importar a
origem dos dados iniciais. A distribuição normal de probabilidade equivale à função
erro de Laplace.” (SALSBURG, 2009, p. 80-81).
Essa vantagem ainda é corroborada pelo número de parâmetros a ser
considerado, isto é, precisa-se conhecer apenas a média, não necessariamente a da
138
população, mas ao menos de um número significativo de amostras, e do desvio
padrão, que também pode ser desconhecido, a partir do momento em que são
consideradas as proporções. Ou seja, basta trabalhar com dois parâmetros da
Estatística: a média e o desvio padrão das amostras, conquanto o número de
amostras seja significativo. Em geral, isso simplifica o trabalho dos estatísticos, e,
além disso, suas implicações estendem para importantes testes que sustentam as
pesquisas quantitativas em diversas áreas do conhecimento.
Para que os licenciandos compreendessem, efetivamente, as vantagens de
se trabalhar com poucos parâmetros, foi preciso a intervenção do professor-
pesquisador:
PE: A grande vantagem de trabalhar com esses dois parâmetros, a média e o desvio
padrão, é que podemos tirar algumas conclusões, sem estender para outros tipos de
parâmetros, tais como os quartis, outras medidas de dispersão, assimetria ou o grau
de curtose. Assim, estaremos simplificando o modo de como podemos tirar algumas
conclusões. Então, o que vocês podem concluir a partir das médias e dos desvios
padrões dos dados apresentados, isto é, dos 132 alunos da escola pública e dos
122 alunos da particular?
Após essa intervenção, BM foi o primeiro a desejar manifestar sua opinião:
BM: A média dos alunos da escola pública é bem menor que o da escola particular.
Parece que a autoestima dos alunos em relação à Matemática é mais baixa quanto
menor o nível econômico, é isso?
AO: Pode ser, mas acho que temos que observar alguns dados individuais, já que a
média leva em conta todos os valores, inclusive os extremos.
FA: Mesmo levando em conta todos os valores, não podemos desprezar esse
parâmetro, pois nas atividades seguintes, com os números aleatórios, observamos
que acontece a mesma coisa.
Nessa etapa do diálogo, podemos perceber que os licenciandos
“ultrapassam” os conhecimentos específicos do teorema e estendem para uma
leitura mais crítica dos dados. Inclusive AO alerta para o fato de que nem sempre a
139
média é a melhor medida central a ser considerada, chamando atenção para os
valores extremos.
Vejamos como eles continuam essa discussão:
AO: Outro dado que observei foi de que a maior média das turmas da escola pública
consegue ser menor que a menor média da escola particular, vocês observaram
isso?
BM: Eu não tinha observado isso!
PE: Então, parece que isso faz sentido do porquê dessa atividade para vocês, afinal,
vocês estarão atuando tanto na escola pública como na escola particular. Essa baixa
autoestima dos alunos da escola pública com relação à disciplina Matemática poderá
ser revertida se vocês atuarem de forma que rompa com os mitos e as crenças
existentes em torno da Matemática, não é? Mas agora vamos voltar para o nosso
foco. O que vocês observaram quando verificaram que o desvio padrão das
amostras é menor que o desvio padrão da população, ao menos AO, fez amostras
aleatórias para 600 alunos da escola pública e 600 para alunos da particular, não
foi?
Apesar da importância sobre a leitura dos dados, nesse instante, o objetivo
estava centrado no número de vezes em que as amostras aleatórias foram geradas.
Ulteriormente, no seu devido tempo, essa questão será retomada.
FA: Todos que foram construídos a partir de amostras foram menores até que os
dados originais. Mesmo fazendo com tamanho de amostras diferentes.
BM: Isso realmente aconteceu.
AO: Então eu perdi tempo construindo todas as 30 amostras de 20 elementos
aleatórios?
PE: Claro que não! Foi, inclusive muito interessante, já que você optou por extrair
todos do EXCEL. Assim, nos foi possível inclusive discutir sobre isso! Mas o que
será que está por “trás” disso? Isto é, de quais objetos matemáticos e estatísticos
vocês precisam para que isso ocorra?
140
A construção de dados aleatórios foi bastante providencial, porque permitiu
que os alunos percebessem como o teorema faz sentido na medida em que se
aumenta o número de amostras. Em seguida, o pesquisador-professor indagou
sobre que tipos de saberes estão implícitos nas atividades propostas. Vejamos o que
eles falaram:
BM: A partir dos dados coletados, extraímos a média e o desvio padrão de cada
instituição. Depois atribuímos o tamanho das amostras extraídas aleatoriamente a
partir das 30 amostras de 20 elementos cada. Os objetos matemáticos eu não sei,
mas os estatísticos tem a ver com a média, o desvio padrão e o tamanho da
amostra.
FA: Não seria o objeto matemático a divisão que faríamos quando desejamos
encontrar o desvio padrão da amostra? Por que precisávamos exatamente dos três
dados que BM falou?
AO: A manipulação no EXCEL e no SPSS também podem ser considerados objetos
matemáticos e estatísticos?
PE: FA e BM, vocês podem responder para AO sua pergunta?
BM: Acho que sim, neste caso vejo apenas objetos estatísticos, tais como média e o
desvio padrão. Ainda bem que FA falou da idéia do quociente como objeto
matemático. Interessante como tudo tem matemática.
Durante essa discussão, podemos auferir que os conhecimentos prévios
emergem a partir da própria experiência em saber-fazer de cada um. A indagação,
por parte do professor-pesquisador, de quais objetos matemáticos e/ou estatísticos
podem ser apontados a partir das atividades realizadas representa uma intervenção
controlada, isto é, uma orientação dentro de um contexto pelo qual o pesquisador
deseja fazer com que os alunos reconstruam seus próprios conhecimentos.
Nessa abordagem, os licenciandos ainda não tinham esgotado todos os
objetos matemáticos observados, já que ficaram um pouco “inseguros” quanto aos
elementos que poderiam ser apontados.
141
FA: Mas quando escolhemos um determinado item a ser resolvido no software, não
estamos escolhendo, de certo modo, uma função matemática?
PE: Isso mesmo! Os objetos matemáticos, principalmente, nem sempre estão
explícitos. Muitas vezes aparecem, mas não no primeiro nível, eles são subjacentes
ao que desejam encontrar. Agora, qual foi a conclusão unânime entre vocês, sobre a
atividade 3?
AO: Eu entendi que mesmo não sendo simétrico, se aumentarmos o tamanho da
amostra, a média vai ser cada vez mais próxima da média da população e o desvio
padrão é sempre menor que o da população. Mas sempre cai numa curva normal?
FA: Tudo indica que sim!
Nesse ponto podemos dizer que chegamos à definição do Teorema Central
do Limite, construída a partir de uma situação-problema, inicialmente apresentada
com um número limitado de observações. O pensamento e o raciocínio estatístico
estão presentes na leitura já que eles chegam a conclusões acerca do
comportamento dos números calculados, para a média e para o desvio padrão.
No entanto, a representação gráfica também foi uma forte aliada para a
compreensão do teorema.
BM: Pelo experimento de AO, parece que sim. Cada vez que aumentamos o
tamanho da amostra, os histogramas que construímos no SPSS indicou que seria
normal.
PE: Vamos dizer que aproximadamente normal, tudo bem? Mas será que existe um
modelo matemático que descreva esse comportamento?
BM: É o teorema central do limite! Eu já tinha estudado isso antes.
AO: Eu não sabia que era um teorema.
FA: E eu não sabia que tinha um modelo que fizesse que tal coisa acontecesse!
A partir dos histogramas gerados pelos dados das amostras, eles chegaram à
definição do teorema, cada um a seu modo, mostrando-nos o quanto são diferentes
as percepções que cada um tem sobre as ideias e os conceitos no entorno de um
teorema. A conclusão de que um teorema gera um comportamento “padrão”, causa,
muitas vezes, surpresa aos alunos. Contudo, nos atentamos para o contexto em si,
142
de uma situação que ocorre no dia a dia dos professores de Matemática. A
autoestima dos alunos acaba por interferir na aprendizagem nessa disciplina. São
reflexões pertinentes para licenciandos em Matemática, pois farão parte de sua
realidade quando estiverem em exercício do magistério.
A interação entre um tema fundamental para a Inferência Estatística e a
prática de sala de aula causa também motivação para todos os sujeitos envolvidos.
Assim, para encerrar o diálogo, o desfecho foi sintetizar os objetos matemáticos e
estatísticos que estiveram presentes no estudo do Teorema Central do Limite.
PE: Então, tudo que realizamos foi para chegar a essa conclusão: existe um modelo
matemático chamado o Teorema Central do Limite, pois, a partir desse teorema,
podemos dizer que, mesmo que uma curva seja assimétrica, se aumentarmos o
tamanho das amostras, a curva tenderá cada vez mais aproximar-se da curva
Normal. E, segundo os autores de livros-texto, trabalhar com curva Normal tem suas
vantagens, principalmente porque precisamos de usar apenas dois parâmetros: a
média e o desvio padrão. Infelizmente, a demonstração desse teorema demandará
muito tempo e, além disso, é bastante complexo, não desmerecendo habilidade de
vocês com os objetos matemáticos, mas, por enquanto, não é o nosso foco de
estudo, e sim, as implicações que esse teorema tem no dia a dia. Vocês poderiam
citar outros exemplos?
AO: Deve ter bastante exemplos. Mas agora nada me vem em mente.
FA: Todas as distribuições que podem ser reduzidas a uma curva normal, acho que
aplicamos o teorema, não é?
BM: Deve ter um monte de exemplos, mas podemos ficar por aqui, não?
PE: Tudo bem. Mas deixo como lição de casa uma reflexão sobre aplicação do
teorema, tudo bem?
Para o encerramento da discussão, foi preciso um elo para que os
licenciandos pudessem pensar sobre que tipos de situações-exemplo poderiam estar
associados ao teorema. A partir da análise dessa discussão, parece que o nosso
propósito foi atingido, mesmo considerando tão poucas observações. Porém, a ideia
central era que eles percebessem o quanto era necessária a existência do teorema,
principalmente na Inferência Estatística.
143
Outro aspecto relevante foi a abordagem ecológica subjacente nos diálogos,
pois, de posse do fazer-produzir, eles se apropriaram do saber por diferentes
técnicas (
τ
), contemplando as justificativas e explicações acerca do que entenderam,
tendo em vista que, durante as atividades, nem sempre foi possível detectar nos
registros escritos. Isso porque, nas discussões, os insights
37
ocorreram mais
naturalmentel, após as atividades realizadas.
Outro fator que podemos destacar é o que diz respeito à literacia estatística,
reiterando Scheaffer, Watkins e Landwehr (1998), que apontam os elementos que
devem ser explorados no ensino de Estatística: senso numérico; compreensão de
variáveis; interpretação de tabelas e gráficos; aspectos de planejamento de pesquisa
ou experimento; processos de análise de dados; relação entre probabilidade e
estatística; raciocínio inferencial. E, dentro dessa abordagem, chamamos atenção
para literacia estatística, que se fez presente durante todos os argumentos utilizados
pelos licenciandos durante as atividades. Segundo Walmann (1993), a literacia
estatística é uma:
[...] habilidade para compreender e avaliar criticamente os resultados
estatísticos que permeiam as informações do nosso dia a dia – em conjunto
com a habilidade de apreciar as contribuições que o pensamento estatístico
nos proporciona a tomar decisões e agir nas dimensões públicas e privadas,
profissionais e pessoais. (WALMANN, 1993, p. 1) (Tradução nossa)
38
Um outro ponto que não deve ser despercebido, já que o nosso trabalho está
direcionado aos licenciandos de Matemática, é no tocante à formação do professor.
O contexto no qual as atividades 2 e 3 foram elaboradas tem relação direta com
essa linha de pesquisa, que é o da formação continuada dos professores, apesar de
não haver ênfase para tal, até mesmo porque o nosso objetivo está bem delimitado
numa abordagem ecológica do saber e do didático. Em contrapartida, a autoestima
dos alunos da 5ª Série, ou 6º ano, do Ensino Fundamental, nos propiciou alguns
momentos de reflexão sobre esse assunto. Assim, segundo Chevallard, Bosch e
Gascón (2001):
37
Entendemos como insight a habilidade de discernir sobre o assunto a ser abordado.
38
“Statistical Literacy” is the ability to understand and critically evaluate statistical results that
permeate our daily lives – coupled with the ability to appreciate the contributions that statistical
thinking can make in public and private, professional and personal decisions.” (WALMANN, 1993, p.
1).
144
[...]: não há momentos “nobres” e momentos “menos nobres”, como também
não há momentos “mais matemáticos” e momentos “mais didáticos”. O
episódio da aula de prática e os comentários didáticos subsequentes
evidenciam a importância crucial de um dos momentos mais
desprestigiados – o momento do trabalho da técnica – e a necessidade de
que essa dimensão do processo de estudo seja aceito nos dispostivos
didáticos escolares. (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001, p. 276)
Portanto, todo momento foi privilegiado, sem diminuir ou aumentar outro, mas,
desde já, ressaltamos a importância de focar o objeto do nosso tema, Teorema
Central do Limite, e suas abordagens ecológicas tanto para o saber em si, quanto
para o didático.
Para finalizar, talvez não seja de grande pretensão de nossa parte achar que
esse trabalho vem preencher as lacunas existentes sobre a Inferência Estatística,
muito pelo contrário: talvez seja uma forma de chamarmos atenção para que,
efetivamente, os estudantes de pós-graduação, pesquisadores e outros interessados
tenham um olhar mais atento para essa linha de pesquisa, que é a Educação
Estatística, um campo que emerge da Educação Matemática como meio de
estimular mais pesquisas.
145
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Essa investigação surgiu a partir do desejo de conhecer um pouco mais sobre
as questões que envolvem o Ensino da Estatística para os futuros professores de
Matemática e, particularmente, de um objeto que atendesse tanto ao aspecto
matemático quanto ao estatístico. O Teorema Central do Limite foi o tema
providencial para a nossa escolha, por fazer parte da Inferência Estatística. Esse
teorema é abordado, na maioria dos livros-texto para o Ensino Superior,
normalmente com um comentário breve, porém são feitas afirmações do quanto o
aprendizado dele é fundamental, sem que se esclareça o porquê de ser tão
importante.
Deparamo-nos com diversos obstáculos, o que nos permitiu reconhecer o
quanto somos limitados diante das intenções iniciais. Para conseguir realizar esse
trabalho, iniciamos com quatro licenciandos, mas apenas três chegaram ao final de
nossa investigação. Muitas vezes não contamos com esses percalços, entretanto, na
realidade, eles existem e devemos saber como superar as nossas próprias
limitações para atingir, ao menos, o caminho que nos projetamos para tal.
Entendemos o quanto é importante a Estatística no mundo atual,
extremamente influenciada por meios de comunicação e tecnologia de última
geração. De fato, não há como acompanhar os avanços tecnológicos num mundo
ditado por uma gama de informações, que podem gerar até mesmo o sentimento de
insegurança por parte de quem procura mais e mais informações. Portanto, seria
pretensão de nossa parte finalizar as discussões aqui explicitadas, já que devemos
entender que este trabalho deve servir como mais um meio de sensibilizar a classe
de educadores matemáticos que lidam com o Ensino da Estatística no Ensino
Superior e, em especial, os que fazem parte da formação dos futuros professores de
Matemática que estarão atuando na Educação Básica. É um ciclo que não permite
um início e não há um ponto final. Deve ser trabalhada, ininterruptamente, a
importância da Estatística como leitura de mundo, na formação dos professores, no
ato de inferir sobre as informações e saber efetivamente como os dados foram
trabalhados até chegar ao conhecimento de todos.
Nesse contexto, não há como desconsiderar a importância desse objeto do
saber como modelo matemático para explicar fenômenos da natureza, das Ciências
146
Sociais, das Ciências Biológicas, entre outras ciências. Apesar de o foco de nossa
investigação ter sido no processo de ensino e de aprendizagem do teorema, vale
ressaltar que é a partir da Educação que podemos acreditar numa mudança de
paradigma, rompendo, assim, com crenças arraigadas de que a Matemática, e
consequentemente, a Estatística, serve apenas para um pequeno grupo. Muito pelo
contrário, o enfoque desse tema na Educação visa efetivamente à possibilidade de
ampliar o conhecimento dos futuros professores, no sentido de que mudar significa,
metaforicamente, despir de todo o pré-conceito e se permitir aceitar suas próprias
limitações e desejar buscar meios que possam ser superados mediante o processo
de estudo (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001), a serviço do futuro, isto é,
daqueles ou daquelas que estão diante das carteiras, sedentos pelo saber. É claro
que a realidade não é bem assim. Existem outras variáveis a serem consideradas,
tais como indisciplina, desmotivação, a desvalorização do professor como
profissional, a estrutura particular de cada instituição de ensino, entre outras.
Todavia, devemos acreditar ser um ponto de partida, mesmo com todos esses
obstáculos.
Como a linha de nossa pesquisa está voltada para Educação Matemática, em
particular, a Educação Estatística, não foi dada ênfase na demonstração do
teorema. Isso é reforçado até mesmo na revisão da literatura e no estudo
praxeológico dos livros-texto consultados. São poucos os casos em que há
demonstração efetiva do teorema, até mesmo porque a sua demonstração só foi
efetivamente concretizada no meio da turbulência, na primeira metade do século XX,
entre as duas Grandes Guerras Mundiais. Segundo Salsburg (2009, p. 84), “por volta
de 1934, o(s) teorema(s) central(ais) do limite não era(m) mais conjectura. Tudo que
se tinha a fazer era provar que as condições de Lindeberg-Lévy
39
se mantinham.
Então o teorema central do limite se sustenta, [...]”. Além disso, outros métodos
foram inseridos de modo a simplificar os procedimentos utilizados em termos de ser
definido tal como é apresentado nos livros-texto atualmente. Para os interessados na
demonstração do teorema, sugerimos conhecer as condições de Lindeberg-Lévy,
conforme anexamos neste trabalho.
39
“Jarl Waldemar Lindeberg, da Finlândia e Paul Lévy, da França, descobriram de modo
independente, um conjunto de condições sobrepostas necessárias para a conjectura se tornasse
verdadeira”, e, neste caso, a conjectura central do limite passaria a ser o teorema central do limite.
(SALSBURG, 2009, p. 84).
147
Outro fato importante a ser destacado é o da literacia estatística, pois ela tem
sido alvo de muitas discussões recentemente na Educação Estatística. Como
precursores dessa temática, têm-se os trabalhos de Iddo Gal, Joan Garfield, Robert
delMas, Rosemary Callingham, Jane Watson, Katherine Walmann e outros mais que
podemos encontrar, principalmente nos artigos publicados do SERJ e nos encontros
internacionais referentes à Educação Estatística, tal como o ICOTS.
Portanto, as habilidades específicas da literacia estatística não podem ser
desconsideradas, mas sim trabalhadas, principalmente no âmbito educacional,
porque não devemos esquecer que, de certa forma, os educadores são também
formadores de opinião. E, para que efetivamente tenhamos em mente pessoas que
podem pensar e agir criticamente, devemos estar cientes das contribuições que a
literacia estatística apresenta para a nossa classe de profissionais.
Nessa perspectiva, esperamos que este trabalho seja apenas um ponto de
partida para outros que poderão iniciar no campo da Educação Estatística, no
âmbito de incrementar as pesquisas voltadas para Inferência Estatística,
principalmente no tocante aos elementos que dizem respeito ao processo de estudo,
culminando no processo de ensino e de aprendizagem nos diferentes níveis de
ensino. A pesquisa em si limitou-se à abordagem ecológica do saber e do didático,
cujo objeto foram o Teorema Central do Limite e os sujeitos da pesquisa, os
licenciandos e os pesquisadores, inclusive o professor-pesquisador, já que nos
fundamentamos na metodologia da pesquisa-ação, apresentando um design didático
para a estrutura desta tese. E, assim, esperamos que este trabalho seja uma
contribuição, mesmo que ínfima, no campo da Educação Estatística, para os futuros
pesquisadores que desejarem dar continuidade nesta linha de pesquisa em
diferentes enfoques.
148
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155
APÊNDICE
156
APÊNDICE A - Método de Laplace para Teorema Central do Limite
No trabalho publicado em 1785, Laplace chamou atenção para a soma dos
erros de uma distribuição. Isto é, anunciou que um erro poderia assumir qualquer
valor entre –1 e 1 com igual probabilidade. Já para a soma dos erros de duas
distribuições, seria para todos os valores entre –2n e 2n, isto é, –2n, –2n + 2, ..., –2,
0, 2, ..., 2n – 2, 2n, de probabilidades que correspondem aos coeficientes binomiais
(1+1)
2n
.
Ele apresentou um binômio simples, pois estava ‘definindo’ a função
característica, cujo termo médio do binômio é y
n
(FISCHER, 2000), e também é o
termo independente e
it 40
do desenvolvimento binomial (e
it
+ e
–it
)
2n
. Se multiplicar por
dt e integrar de 0 a
π
, a expressão será igual a
π
y
n
. Então, tem-se que:
.dt)ee(y
it
it
n
−
π
+
π
=
∫
0
1
(1)
Partindo de que (e
it
+ e
–it
) = 2cos t,
41
tem-se a fórmula:
.dttcosy
n
n
n
2
0
2
2
∫
π
π
=
(2)
O ponto chave dessa questão foi Laplace ter notado que poderia estender
essa idéia para encontrar o termo médio para o trinômio (1 + 1 + 1)
2n
, para o
quadrinômio (1 + 1 + 1 + 1)
2n
e assim por diante. Cada um desses polinômios
corresponde a ter erros entre seus termos (por exemplo, –1, 0, 1 para o caso do
trinômio). Sua generalização permite que os erros sejam os valores entre
(–m + 1, ..., –1, 0, 1, ..., m – 1, m),
(3)
40
Lembrando que a função geradora exponencial para (1, 1, 1, ...) é
e
x
= 1 + x +
...,
!r
x
...
!
x
!
x
r
++++
32
32
e nesta expansão o coeficiente de x
r
/r! é igual a 1, para todo r, esta é a função geradora exponencial
da seqüência a
r
= 1, para todo r = 0, 1, 2, ...
41
“(e
it
+ e
–it
) = 2cos t, porque é uma função cosseno hiperbólica, cujo domínio é o conjunto de todos
os números reais e a imagem é o conjunto de todos os números no intervalo [1, +∞)”. (LEITHOLD,
1994, p. 515)
157
no caso de polinômio de ordem m. Substituindo o emésimo-nomial 1 por s com e
it
por s (e s é a soma dos erros), obtém-se:
(e
imt
+ e
i(m–1)t
+ ... + 1 + ... + e
i(–m+1)t
+ e
–imt
)
2n
(5)
Os parênteses podem ser novamente simplificados por cossenos e assim,
+
∑
=
n
k
tkcos
1
21
.
(6)
A probabilidade para cada termo é igual a (2m + 1)
–1
, então, multiplicando o
resultado por (2m + 1)
–1
e, cujas funções características são:
ψ(t) = E(e
itx
).
(7)
Para o primeiro caso, erros –1 e 1 é ψ(t) =
2
1
(e
it
+ e
–it
). E, no caso geral:
ψ
(t) =
+
+
∑
=
n
k
tkcos
m
1
21
12
1
(8)
Agora, novamente usando a função característica para calcular as
probabilidades para s
n
= 0 (onde s
n
é a soma dos
n
possíveis erros) pela fórmula:
( )
∫
∑
π
=
π
+
+π
=Ψ
π
==
0
1
0
21
12
11
0 dttkcos
m
dt)t()s(P
n
m
k
n
n
.
(9)
Dessa forma, Laplace desenvolveu fórmula acima e, em seguida, concluiu
que a aproximação seria então:
( )
12
3
0
+π
≈=
mnm
)s(P
n
.
(10)
Sob o ponto de vista do TCL, Laplace chegou a este resultado em 1785.
Apesar de estar bastante perto do resultado do TCL, ele restringiu a prova apenas
para P(s
n
= 0), não expandindo o resultado para qualquer outro valor de s
n
. Contudo,
foi ele mesmo quem deu continuidade a este resultado em 1810, quando afirmou ter
obtido uma generalização para TCL. No trabalho publicado em 1820, Laplace
158
começa por provar o teorema para algumas distribuições de probabilidades, no caso,
para as distribuições discretas e contínuas. Mether (2003) apresenta apenas os
resultados obtidos por Laplace para o caso de uma distribuição discreta arbitrária.
Admitindo que se tenha uma variável aleatória discreta
x
que toma os
valores –m, –m + 1, ..., m – 1, m, com probabilidades correspondentes a p
–m
, p
–m+1
,
..., p
m+1
, p
m
. Considerando que
s,t
isxitx
dxe.e δ=
π
∫
π
π−
−
1
, obtém-se:
∫
π
π−
−
ψ
π
== dt)t(e)js(P
nijt
n
2
1
(11)
Neste caso a função característica é:
∑
−=
=ψ
m
mk
ikt
k
ep)t(
. Inserindo a função
característica em (11) e, expandindo o resultado para e
ikt
, tem-se que:
∫
∑∑
π
π−
−=−=
−
+−+
π
== dt...kp
t
kpite)js(P
n
m
mk
k
m
mk
k
ijt
n
2
2
2
1
2
1
(12)
Aproximando a expressão dentro dos parênteses, particularmente o logaritmo
natural, ocorre
+µ+−µ=
+−+=ψ
∑∑∑
−=−=−=
m
mk
xk
t
x
n
m
mk
k
t
m
mk
k
n
...tkpitn...kpkpitlnnln
22
2
1
2
2
2
2
22
1
(13)
Neste caso,
µ
x
é o valor esperado de x. Foi utilizada a série de Taylor para o
logaritmo natural:
...xx)xln( +−=+
2
2
1
1
. A variância para x pode ser descrita por
∑
−=
µ−=σ
m
mk
xkx
kp
222
. A partir de (13) e simplificando toda a expressão:
∫
π
π−
+σ−µ+−
π
== dt...)tnitnijtexp()js(P
xxn
22
2
1
2
1
. Em vez disso, pelo cálculo de
P(s
n
– n
µ
x
= s), tem-se que:
P(s
n
– n
µ
x
= s) =
∫∫
π
π−
π
π−
σ
+σ−
σ
−
π
=+σ−−
π
= dt
n
is
tn
n
s
expdt...)tnistexp(
x
x
x
x
2
2
2
2
2
22
2
1
2
2
1
2
1
2
1
=
159
=
dt
n
is
zexp
n
s
exp
n
x
n
n
x
x
x
σ
+−
σ
−
ππ
∫
σπ
σπ−
2
2
2
2
1
2
2
1
(14)
admitindo que s é o de maior ordem de
n
, tem-se que:
P(s
n
– n
µ
x
= s) =
σ
−
σπ
2
2
2
2
1
x
x
n
s
exp
.
(15)
Isso mostra que s
n
– n
µ
x
é assintótica e aproxima da distribuição normal
N(0,n
σ
x
2
). Laplace também observou que se
m
é parte da fórmula somente pela
µ
x
e
σ
x
, o resultado pode ser válido para uma distribuição discreta com os valores
tendendo ao infinito, desde que a média
µ
x
e o desvio padrão
σ
x
, na distribuição,
sejam conhecidos. Segundo o mesmo autor, para o caso contínuo, Laplace
desenvolveu a demonstração de modo similar ao da discreta (METHER, 2003).
160
APÊNDICE B - FUNÇÃO CARACTERÍSTICA
De acordo com James (2006), Se
X
e
Y
são variáveis aleatórias em (
Ω
, A, P),
então
Z = X + iY
é chamada uma
variável aleatória complexa
. Notemos que Z é uma
função definida em
Ω
e que assume valores complexos, com
Z(ω
) =
X
(
ω
) +
iY
(
ω
)
para
ω
∈
Ω
. A
esperança EZ
é definida pela linearidade,
EX = EX + iEY
, se
EX
e
EY
são finitas.
A fórmula de Euler consiste de e
ix
= cos x + i sen x, x
∈
IR, em que a variável
aleatória complexa e
iX
= cos
X
+ i sen
X
sempre possui esperança finita, para toda
variável aleatória
X
, pois as variáveis aleatórias cos
X
e sen
X
são limitadas. Assim,
a esperança na definição seguinte é finita e pode-se garantir que a função
característica está bem definida.
Definição:
Seja
X
uma variável aleatória. A
função característica
de
X
é a função
ϕ
(
t
) =
ϕ
X
(
t
) =
Ee
it X
(1)
e define-se
Ee
it X
=
E
cos (
tX
) +
iE
sen(
tX
),
t
∈
IR.
(2)
Propriedades:
i. A função característica é limitada por 1 : |
ϕ
X
(
t
) |
≤
1,
∀
t
∈
IR.
ii. A função característica assume o valor 1 no ponto 0:
ϕ
X
(0) = 1.
iii.
)t(
X
ϕ
=
ϕ
X
(–
t
), onde
c
é o complexo conjugado de c.
iv.
ϕ
X
é uniformemente contínua na reta.
v. Se
X
e
Y
são independentes, então
ϕ
X + Y
(
t
) =
ϕ
X
(
t
).
ϕ
Y
(
t
)
∀
t
∈
IR.
vi. A função característica de uma variável aleatória
X
determina a função de
distribuição de
X.
vii. A variável aleatória
X
tem distribuição simétrica em torno de zero se, e
somente se,
ϕ
X
(
t
) é real para todo
t
. (Por definição,
X
tem distribuição
simétrica em torno de zero se P(
X
≤
x
) = P(
X
≥
–
x
),
∀
x
∈
IR. Às vezes
dizemos neste caso que
X
é simétrica em torno de zero.)
161
APÊNDICE C - Função geratriz de momentos
Meyer (1983) chama de função geratriz de momentos da seguinte forma: Seja
X, uma variável aleatória discreta, com distribuição de probabilidade p(x
i
) = P(X = x
i
),
i = 1, 2, ..., A função M
X
, denominada função geratriz de momentos de X, é definida
por:
∑
∞
=
=
1j
)
j
x(p
tx
e)t(
X
M
j
.
(1)
Se X for uma variável aleatória contínua com função densidade de
probabilidade, chama-se de função geratriz de momentos por:
∫
∞
∞
−
= ).x(d)x(fe)t(M
tx
X
(2)
Em qualquer dos casos, o discreto ou o contínuo, M
x
(t) é apenas o valor
esperado de e
tX
. Por isso, pode-se combinar as expressões e escrever:
)
tX
e(E)t(
X
M =
.
(3)
162
APÊNDICE D - ARTIGO DE POISSON
Seja uma variável aleatória Y
i
no intervalo [a, b] com densidade contínua f
1
(y)
= F’
i
(y), o qual F
i
(y) = P(Y
i
≤
y). Seja
α
≤
x
i
≤
β
, (
αδ
= a e
βδ
= b) uma variável
aleatória discreta, e
δ
um intervalo pequeno e estabelece que:
i
x
p
= f(x
i
δ
)
δ
, x
i
=
α
,
α
+ 1, ...,
β
.
(1)
A função característica para x
i
é:
δδ==θψ
∑∑
βδ
αδ=δ
δδ
βδ
δ=
i
i
i
i
i
x
x)/t(i
ii
x
itx
xy
e)x(fep)(
(2)
.
Estabelecendo t =
θ
.
δ
no membro direito da igualdade (3) tende a:
( )
∫
θ
=θψ
b
yi
y
dye)y(f
i
1
.
(3)
Assim, deseja-se encontrar a distribuição de probabilidade para soma:
s
n
= Y
1
+...+ Y
n
,
(4)
conforme segue:
P(
δΣ
x
i
=
δ
s) =
∏
∫
=
ψ
π
n
i
x
b
its
dt))y((e
i
1
1
2
1
.
(5)
Daqui em diante, Poisson continuou e, finalmente, alcançou o seguinte resultado:
P(c –
ε
≤
s
n
≤
c +
ε
) =
( )
θ
εθ
π
σθ−
∞
∞−
=
θ
∫
∏
∫
sen
e.dye)y(f
i
n
i
b
yi
i
1
1
1
(6)
Poisson não conseguiu condições de modo a restringir demonstração do
teorema com rigor para a fórmula geral, mas examinou a validade para um caso
específico: n = 1. Assim, substituindo em (6), escreve-se:
163
P(c –
ε
≤
Y
1
≤
c +
ε
) =
( )
(
)
( )
∫ ∫
∞
∞−
−θ
θ
θ
εθ
π
b
cyi
dyyfd
sen
e
1
1
1
(7)
Com o auxílio da fórmula:
ε+ε−∉
ε+ε−∈
=
π
∫
∞
[c,]cy se 1,-
[c,]c y se
,
dx
x
senkx
1
2
0
(8)
E, a partir de (8), chega-se no resultado final:
P(c –
ε
, c +
ε
) =
∫
ε
ε−
dy)y(f
1
,
(9)
o que conclui a demonstração de Poisson.
Em síntese, Mether (2003) descreve a versão de Poisson para o TCL da
seguinte forma: Seja Y
1
,..., Y
2
variáveis aleatórias independentes com função
densidade desaparecendo além do intervalo fixado [a, b]. Se para os valores
absolutos P
j
das funções características de Y
i
(
ψ
j
(
θ
) = p
j
.
j
kp
e
), então existe uma
função r(
α
) independente de j e 0
≤
r(
α
)
≤
1 para todo
α
≠
0 tal que p
j
≤
r(
α
). Logo,
para valores arbitrários
γ
e
γ
’ tem-se que:
( )
∫
∑
∑
γ
γ
−
π
≈
γ≤
−
≤γ
'
u
i
ii
due'
)Y(Var
EYY
P
2
1
2
.
(10)
Assim, a aproximação é tanto melhor quanto n maior e, a diferença entre o
membro esquerdo e o direito vem a ser ‘infinitamente pequeno’ com n tendendo ao
infinito.
164
APÊNDICE E - PRIMEIRA VERSÃO DO TEOREMA CENTRAL DO
LIMITE
Bessel (1784-1846), Dirichlet (1805-1859), Cauchy e Ellis (1814-1890) são
alguns exemplos daqueles que trabalharam, por meio de várias tentativas, a primeira
versão do TCL de Laplace com ‘rigor matemático’.
Dirichlet e Bessel seguiram fielmente cada etapa da demonstração de
Laplace e de Poisson, acrescentando o ‘fator de descontinuidade’ em seus
trabalhos. Com isso, viabilizaram a equação de Poisson:
P(c –
ε
≤
s
n
≤
c +
ε
) =
(
)
θ
εθ
sen
e.dye)y(f
π
1
σθ
i
n
1i
b
1
y
θ
i
i
−
∞
∞−
=
∫
∏
∫
,
(1)
da demonstração de Poisson para um valor de n, o qual Poisson não o tinha feito.
Segundo Mether (2003), o fator de descontinuidade de Dirichlet é descrito
como:
(
)
∫
∞
<
>
=
π
0
1
1
10
2
k
k
,
,
xdxcos
x
kxsen
.
(2)
Foi com essa fórmula que viabilizaram a fórmula de Poisson, conforme
descrita anteriormente, para um valor de n arbitrário. Bessel também chamou
atenção de que Poisson, que de certa forma, atribuiu um fator de descontinuidade,
ou seja, para n = 1. Mas apenas para esse caso.
Além disso, Dirichlet tentou estimar os erros de aproximação, porém sem
sucesso. Mas fez algo diferente: estimou erros para aproximações não-
probabilísticos e, em seguida, apresentou algumas técnicas que poderiam ser
aplicadas tanto na teoria das probabilidades quanto para o que chamavam de
matemática ‘pura’.
Cajori (2007) afirma que Cauchy é considerado como o primeiro matemático a
dar um tratamento à teoria das probabilidades com rigor. Cauchy observou a
demonstração do TCL, comparando com as anteriores. Primeiro encontrou um limite
165
máximo da diferença entre o valor exato e a aproximação. Em seguida, especificou
condições para que esse limite tendesse a zero.
Cauchy apresentou, no seu trabalho, as variáveis aleatórias independentes
distribuídas identicamente: y
1
,..., y
n
, com densidade simétrica f(y) no intervalo finito
[–a, a], variância
σ
² > 0 e uma função característica
Ψ
(
θ
). Ele considerou a média da
distribuição como:
1
11
==
∑∑
==
n
i
i
n
i
iin
w.ywz
(3)
Seguindo procedimento de Poisson, obteve:
P = P(–h < z
n
< h) =
( ) ( )
( )
∫
∞
θ
θ
θ
θωΨθωΨ
π
0
2
d
hsen
...,
n
.
(4)
Assim, Cauchy tentou encontrar um limite máximo para |P –
Φ
| e, em
condições específicas, para este limite quando tende a zero.
No desenvolvimento de sua demonstração, ele dividiu o intervalo em três
partes:
P –
Φ
= (P – P
k
) + (P
k
–
Φ
k
) + (
Φ
k
–
Φ
),
(5)
em que foi feito um estudo de cada parte separadamente, obtendo:
|
Φ
k
–
Φ
| =
( )
2
22
2
2222
122
/k
k
/
e
k
d
hsen
e
β−
∞
θβ−
β
π
<θ
θ
θ
π
∫
π
2
(6)
|P
k
– P| =
( )
2
222
2
2222
122
/k
k
/
e
k
d
hsen
e
γβ−
∞
γθβ−
γβ
π
<θ
θ
θ
π
∫
,
(7)
onde
γ
=
222
1
1
))w(max(k
j
σ+
.
(8)
Para última parte, Cauchy anunciou que:
166
|P
k
–
Φ
k
| =
( )
++
π
α
<θ
θ
θ
−
π
∫
θβ−γθβ−
3
1
3
322
22
0
2
2222
hkkh
lnd
hsen
)ee(
k
/
(9)
em que,
α
= max
−
σ+
βσ
β
322
24
2422
2242
8
1
1
))
j
w(max(k
))
j
w(max(k
j
e,e
))w(max(ak
(10)
Daí, Cauchy finalmente concluiu que se k é escolhido de n
1/2
< k < n
3/4
, então
as três partes tendem para zero quando n tende a infinito. E, assim, P
→
Φ
.
167
APÊNDICE F - CHEBYSHEV (1821-1894), MARKOV (1856-1922) E
LIAPOUNOV (1857-1918)
Chebyshev (1821-1894), Markov (1856-1922) e Liapounov (1857-1918),
segundo Senata (1984), são considerados aqueles que contribuíram
significativamente para o desenvolvimento da demonstração do TCL.
A publicação do artigo de Chebyshev é, geralmente, considerada o início das
provas com rigor para o TCL. Senata (1984) afirma que ele prosseguiu da seguinte
forma:
Seja z
1
, z
2
, ..., variáveis aleatórias independentes que é descrita por probabilidades
densas. Se (i) E (z
i
) = 0 para todo i e, (ii) |E(z
i
k
)|
≤
C,
∀
i, k
≥
2, onde C é uma
constante independente de i e k, então, como n
→
∞
,
∫
−
π
→
<<
't
t
x
n
n
dxe't
B
s
tP
2
2
1
2
1
,
(1)
onde
s
n
=
∑
=
n
i
i
z
1
e B
n
2
=
∑
=
n
i
i
)zvar(
1
.
(2)
Chebyshev usou o ‘método dos momentos’, que foi por ele mesmo
desenvolvido anteriormente. Mais tarde, o seu trabalhou recebeu a contribuição de
Markov que declarou: Uma condição necessária e suficiente a ser acrescida, em
ordem, para que o teorema se faça de modo correto é o seguinte: (iii)
n
B
n
2
é
uniformemente tendendo a zero; (iii.a) E(z
n
2
) também tende a zero quando n tende
ao infinito.
Markov trabalhou arduamente para obter a generalização do método de
momentos após a prova de Liapounov. Ele finalmente foi bem sucedido em 1913,
168
quando apresentou um artigo que continha uma prova rigorosa sobre TCL,
superando a condição de Liapounov.
Liapounov não recorreu ao método de momentos, mas seguiu a idéia de
Laplace, fazendo o uso das funções características. A demonstração de Liapounov
foi publicada em 1901 e é considerada a ‘primeira’ demonstração do TCL. A seguir,
um breve comentário declarado por Liapounov segundo Uspensky (1937):
“Sejam x
1
, ..., x
n
variáveis aleatórias independentes providas das seguintes
propriedades: E(x
i
) = 0 para todo i; E|x
i
|
k
≤
∞
,
∀
i, k
≥
2. Se existe um
δ
> 0 tal que
0
2
1
2
→
∞→
δ+
=
δ+
∑
n
n
n
i
i
B
xE
.
(4)
Então,
∫
∞−
−
π
→
<
t
u
n
n
duet
B
s
P
2
2
1
2
1
.”
(5)
Após essa parte, Liapounov segue a demonstração de Laplace, usando
funções características. Nessa demonstração, entretanto, ele usa um lema
fundamental que é a chave da simplicidade e rigor, simultaneamente, de seu
trabalho. Isto é, seja s
n
uma variável dependente na integral n, com média 0 e
variância 1. Se sua função característica é:
)e(E)t(
tis
n
n
=Ψ
e converge para
2
2
t
e
−
(função característica da distribuição normal) uniformemente num intervalo finito
qualquer (–k, k), então, a função distribuição tende uniformemente para
Φ
(t) para
todo valor t. (METHER, 2003)
Liapounov não distingue explicitamente o lema fundamental de sua
demonstração, mas está implicitamente contido no contexto do desenvolvimento de
seu trabalho.
169
APÊNDICE G - DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA CENTRAL DO
LIMITE
I - PRELIMINARES PARA DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
James (2006) segue o problema central do limite como a convergência de
uma distribuição de somas normais normalizadas,
)S(Var
ESS
n
nn
−
(1)
para a distribuição normal padrão, N(0, 1). Neste caso, "supõe-se que todas as
variâncias sejam finitas e que pelo menos uma delas seja estritamente positiva".
Uma questão pode ser levantada: quais as condições para os quais
→
−
D
n
nn
)S(Var
ESS
N(0, 1)?
(2)
Para responder esta questão deve-se supor que as variáveis sejam
independentes e identicamente distribuídas. Se isso ocorre e possui a média µ e
variância
2
k
σ
, em que 0 < σ
2
< ∞, então,
→
−
D
n
nσ
µnS
N(0, 1).
(3)
James (2006) define o teorema (Teorema Central do Limite de Lindeberg)
apresentando as condições gerais para validade da convergência normal:
Teorema Central do Limite de Lindeberg: Sejam X
1
, ..., X
n
variáveis aleatórias
independentes tais que EX
n
= µ
x
e Var X
n
=
2
n
σ
, onde 0 <
2
n
σ
< ∞ e
pelos menos um
2
n
σ
> 0. Sejam F
n
=
n
X
F
,
S
n
= X
1
+ ... + X
n
e s
n
=
2
n
2
1n
σ...σ)S(Var ++=
Então para que
170
N(0,1)
s
ESS
D
n
nn
→
−
, quando n → ∞
é suficiente que a seguinte condição, chamada condição de Lindeberg esteja
satisfeita:
( )
0)x(dFµx
s
1
lim ,0ε
n
1k
s
ε
µ
x
k
2
k
2
n
n
nk
=−>∀
∑
∫
=
>−
∞→
.
(JAMES, 2006, p. 266).
Isto significa que se a condição de Lindeberg está satisfeita, vale a
convergência normal.
O autor pondera algumas observações que são bastante pertinentes para
antes da demonstração do teorema:
1)
nk
s
εµ
x
>−
∫ é uma integração realizada em
{x :
x –
µ
k
>
ε
s
n
} = (–
∞
,
µ
k
–
ε
s
n
) U (
µ
k
+
ε
s, +
∞
),
(4)
lembrando que os extremos não estão incluídos na região de integração;
2) Se X
k
for discreta, com função probabilidade p
k
(x
i
), então
∑
>−
>−
−=−
∫
nk
nk
s
εµ
x:i
ik
2
kk
2
k
s
εµ
x
)x(p)
µ
x()x(dF)
µ
x(
(5)
e, caso x
k
for contínua, a função densidade f
k
(x) é
∫∫∫
∞+
+
−
∞−
−+−=−
>−
nx
nx
n
sε
k
µx
sεµ
k
2
k
sεµ
k
2
kk
2
k
)x(f)µx()x(f)µx()x(dF)µx(
(6)
3) A representação da variância é:
∫∫∫
≤−>−
−+−=−=
nknk
sεµx
k
2
k
sεµx
k
2
kk
2
k
2
k
)x(dF)µx()x(dF)µx()x(dF)µx(σ
(7)
de modo que a condição de Lindeberg pode ser escrita a partir de
2
n
s =
2
1
σ
+ ... +
2
n
σ :
( )
1)x(dFµx
s
1
lim ,0ε
n
1k
sεµx
k
2
k
2
n
n
nk
→−>∀
∑
∫
=
≤−
∞→
(8)
quando n
→ ∞.
171
4) Na condição de Lindeberg, as parcelas
n
xk
s
µ
x −
da soma
s
ESS
n
nn
−
são
uniformemente pequenas para
n
grande. James (2006) apresenta um exemplo
como conseqüência dessa condição:
0
s
σ
max
2
n
2
k
nk1
→
≤≤
quando n → ∞,
(9)
isto é, para
n
grande, as variâncias das parcelas são uniformemente pequenas em
relação à variância da soma. Portanto,
( ) ( )
( )
( )
∫∫
∫∫
>−
=
≤−
>−≤−
−∑+−≤
≤−+−=
njnk
nknk
sεµx
j
2
j
n
1j
2
n
sεµx
k
2
k
2
n
2
2
n
sεµx
k
2
k
2
n
sεµx
k
2
k
2
n
2
n
2
k
)x(dFµx
s
1
)x(dFµxsε
s
1
)x(dFµx
s
1
)x(dFµx
s
1
s
σ
(10)
Como o último termo não depende de
k
, pois ε
2
está na primeira parcela, tem-
se que:
∫
>−
=
≤≤
−∑+≤
nk
sεµx
k
2
k
n
1k
2
n
2
2
n
2
k
nk1
)x(dF)µx(
s
1
ε
s
σ
max ,
(11)
e converge para ε
2
, pela condição de Lindeberg. Como isso vale para todo ε > 0, o
max
(
)
2
n
2
n
s/σ → 0.
(12)
O autor ainda ressalta que o significado dessa condição implica que as
parcelas
n
xk
s
µ
x −
possuem variâncias uniformemente pequenas quando
n
é grande,
ou seja, nenhuma parcela tem muito peso para a soma
n
nn
s
ESS −
. Esta alegação
nos reporta a aceitar, intuitivamente, a afirmação: “a soma de um grande número de
pequenas quantidades independentes e de média zero, tem aproximadamente a
distribuição normal” (JAMES, 2006, p.268).
5) A condição de Lindeberg é formalmente mais forte que a condição sobre o
máximo das variâncias. Pois
172
∫
−∑=
=
)x(dF)µx(s
2
k
n
1k
2
n
e,
(13)
pela condição de Lindeberg, quando
n
é grande, é pequena a parte da variância
da soma devida às "caudas" das X
k
situadas a mais de ε desvios-padrão s
n
das
suas respectivas médias µ
k
.
6) Com a existência da condição sobre o máximo, a condição de Lindeberg torna-
se necessária para a validade do TCL.
7) A recíproca para o Teorema de Lindeberg deve-se a Feller:
se X
1
, X
2
, ... são
independentes com variâncias finitas
2
1
σ
,
2
2
σ
, ..., se pelo menos um
2
n
σ
> 0 e se
2
n
2
k
nk1
s
σ
max
≤≤
→
0 quando n
→
∞
, então a condição de Lindeberg é conseqüência da
convergência normal.
De posse destas observações e anterior à demonstração do TCL, vejamos
os seguintes:
Corolário 1
: Se X
1
, X
2
, ... são variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas com EX
n
=
µ
e Var X
n
=
σ
2
, onde 0 <
σ
2
<
∞
, então
)1,0(N
nσ
µnS
D
n
→
−
quando n
→
∞.
(14)
Demonstração:
Pela condição de Lindeberg:
22
n
σns = e, para ε > 0,
∫
≤−
=
−
∑
nεσµx
k
2
n
1k
2
)x(dF)
µ
x(
σ
n
1
=
∫
≤−
=
−
∑
nεσµx
1
2
n
1k
2
)x(dF)
µ
x(
σ
1
(15)
já que são identicamente distribuídas. Assim,
∫∫
∞
∞−
∞→
≤−
=
− →−
∑
)x(dF)
µ
x(
σ
1
)x(dF)
µ
x(
σ
1
1
2
2
n
nεσµx
1
2
n
1k
2
=
2
2
σ
σ
= 1,
(16)
pois a convergência decorre da definição da integral imprópria de Riemann-Stieltjes.
(JAMES, 2006, p. 269-270)
173
Este corolário baseia-se da condição de Lindeberg para k = 1, pois as
variáveis são independentes e identicamente distribuídas. James (2006) recorre ao
Teorema de Liapounov para o segundo corolário, para o caso das variáveis X
n
possuírem momentos finitos de ordem maior que 2. Isto é, o teorema vale para a
convergência normal se a soma dos momentos centrais absolutos de ordem 2 + δ é
assintoticamente pequena em relação à
δ2
n
s
+
.
Corolário 2
:
(Teorema Central do Limite de Liapounov).
Sejam X
1
, X
2
, ... são
variáveis aleatórias independentes tais que EX
n
=
µ
n
e Var X
n
=
σ
n
2
<
∞
, com pelo
menos um
σ
n
2
> 0. Seja s
n
2
= Var S
n
=
σ
1
2
+ ... +
σ
n
2
. Se existir
δ
> 0 tal que
0
µ
XE
s
1
n
δ2
kk
n
1k
δ2
n
→−
∑
∞→
+
=
+
quando n
→
∞,
(16)
então
)1,0(N
s
ESS
D
n
nn
→
−
.
(17)
Demonstração:
Supondo a condição de Liapounov satisfeita, verificamos a
condição de Lindeberg: para ε > 0, se
x – µ
k
> εs
n
então
( )
1
sε
µx
δ
n
δ
δ
k
>
−
de modo que
≤−
∑
∫
>−
=
)x(dF)
µ
x(
s
1
nk
sεµx
k
2
k
n
1k
2
n
≤
−
−∑
∫
>−
=
)x(dF
sε
µx
.)µx(
s
1
nk
sεµx
k
δ
n
δ
δ
k
2
k
n
1k
2
n
≤−
∑
≤
∫
>−
+
=
+
)x(dF
µ
x
s
ε
1
nk
sεµx
k
2δ
k
n
1k
2δ
n
δ
δ2
kk
n
1k
2δ
n
δ
-
k
n
1k
2δ
n
δ
µ
XE
s
ε
1
µ
-x
s
ε
1
+
=
+
∞
∞
=
+
−
∑
=
∑
∫
→ 0 quando n → ∞.
(18)
Após a prova do segundo corolário, James (2006) apresenta um exemplo
como forma de enfatizar que o valor exato da variância não tem importância, mas
174
sim, a ordem de s
n
2
. Desta forma, ele utiliza o lema abaixo para tratar da ordem de
séries do tipo
λ
n∑ .
Lema 1:
Para λ > 0,
1
λ
1
k
n
1
λ
n
1k
1
λ
+
→
∑
=
+
quando n → ∞,
(19)
de maneira que
λ
n
1k
k
=
∑
é da ordem de
1
λ
n
+
.
Demonstração:
Como
λλ
k
x
≤
se k–1 ≤ x ≤ k e
λλ
x
k
≤
se k ≤ x ≤ k + 1, assim,
segue-se que:
dxx
k
1k
λ
∫
−
≤ dxk
k
1k
λ
∫
−
=
λ
k
= dxk
1k
k
λ
∫
+
≤ dxx
1k
k
λ
∫
+
.
(20)
Somando os valores de k de 1 até n tem-se:
∫
n
0
λ
dxx ≤
λ
n
1k
k
=
∑
≤
∫
+1n
1
λ
dxx .
(21)
Portanto,
1
λ
n
1λ
+
+
≤
λ
n
1k
k
=
∑
≤
( )
1
λ
11n
1λ
+
−+
+
≤
( )
1
λ
1n
1λ
+
+
+
,
(22)
Ou seja,
1
λ
1
+
≤
λ
n
1k
1λ
k
n
1
=
+
∑
≤
1
λ
1
+
.
1λ
n
1n
+
+
.
(23)
Como
1λ
n
1n
+
+
→ 1 quando n → ∞, o lema está provado. (JAMES, 2006, p.271).
175
II - PROVA DO TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
A partir da condição do teorema de Lindeberg:
( )
0)x(dF
µ
x
s
1
lim ,0
ε
n
1k
sε µx
k
2
k
2
n
n
nk
=−>∀
∑
∫
=
>−
∞→
,
(24)
e, iniciando a prova ao mostrar que as funções características das somas parciais
padronizadas convergem para a função característica da N(0, 1), para todo
t
∈IR,
tem-se que: (JAMES, 2006)
( )
=
−
ia)indepedênc (por
)t(δ
n
s
n
ES
n
S
2
2
t
n
s
k
µ
k
X
eeE
n
n
1k
it
−
∞→
=
→=
∏
−
(I)
(25)
Ao fixar um valor
t
real e recorrendo à Fórmula de Taylor aplicada à função g(x)= e
itx
em duas situações, a saber:
e
itx
= 1 + itx + θ
1
(x)
2
xt
22
, para θ
1
(x)≤ 1
(26)
e
e
itx
= 1 + itx – θ
1
(x)
2
xt
22
+ θ
2
(x)
6
xt
33
, para θ
2
(x)≤ 1
(27)
Considerando ε > 0 e usando a primeira Fórmula de Taylor para x> ε e a
segunda para x≤ ε, escreve-se que
e
itx
de forma generalizada como:
e
itx
= 1 + itx –
2
xt
22
+
ε
r (x), onde
ε
r (x) =
( )
≤
>+
ε
x se ,)x(
θ
ε
x se ,)x(
θ
1
6
xt
2
2
xt
1
33
22
,
(28)
Portanto,
E
exp
∫
=
−
=
−
)x(dF
s
µ
x
itexp
s
µ
X
it
k
n
k
n
kk
176
= =
−
+
−
−
−
+ )x(dF
s
µ
x
r
s
µ
x
E
2
t
s
µ
x
it1
k
n
k
ε
2
n
k
2
n
k
(29)
= por linearidade =
+
−
−
++
−
−
−
+=
∫
>−
)x(dF
s
µ
x
s
µ
x
θ
1
2
t
s
µ
X
E
2
t
s
µ
X
itE1
k
2
n
k
sεµx
n
k
1
2
2
n
kk
2
n
kk
nk
∫
≤−
−
−
+
nk
k
sεµx
3
n
k
n
k
2
3
)x(dF
s
µ
x
s
µ
x
θ
6
t
(30)
Como
EX
k
=
µ
k
e
Var X
k
=
σ
k
2
, tem-se que
E
k,n
2
n
2
k
2
n
kk
e
s2
σt
1
s
µX
itexp +−=
−
,
(31)
já que θ
1
(x)≤ 1 e θ
2
(x)≤ 1, o resto
e
n,k
satisfaz a:
∫∫
≤−>−
−
+
−
≤
nknk
sεµx
k
2
n
k
3
sεµx
k
2
n
k
2
k,n
)x(dF
s
µ
x
.
ε
6
t
)x(dF
s
µ
x
te
≤
( ) ( )
∫∫
∞
∞−>−
−+−≤ )x(dFµx
s6
tε
)x(dFµx
s
t
k
2
k
2
n
3
sεµx
k
2
k
2
n
2
nk
.
(32)
Desta forma,
( )
∑
∫
∑
=
>−
=
+−≤
n
1k
2
n
3
sεµx
k
2
k
2
n
2
n
1k
k,n
s6
tε
)x(dFµx
s
t
e
nk
(33)
Pela condição de Lindeberg, a primeira parcela do termo à direita tende a
zero quando n → ∞. Desta forma, para
n
suficientemente grande,
3
tε
e
3
n
1k
k,n
≤
∑
=
.
(34)
177
Escolhendo uma seqüência de ε's que converge para zero, se
m
1
ε
= , existe
n
m
tal que para
n
≥
n
m
tal que:
3
tε
e
3
n
1k
k,n
≤
∑
=
,
(35)
em que os restos
e
n,k
são os determinados pela fórmula baseada em
m
1
ε
= . Assim,
existe uma seqüência
n
1
<
n
2
< ... de inteiros positivos tal que
3
tε
e
3
n
1k
k,n
≤
∑
=
, para
n
m
≤
n
<
n
m+1
, onde os valores são também baseados pelo fato de
m
1
ε
= . Vale
lembrar que o valor de ε que determina o resto
e
n,k
depende da posição de
n
em
relação aos
n
m
.
Então,
0e
n
1k
k,n
→
∑
=
quando n → ∞. (II)
(36)
Lembrando que a função característica, (I), é representado por
( )
=
−
ia)indepedênc (por
)t(δ
n
s
n
ES
n
S
2
2
t
n
s
k
µ
k
X
eeE
n
n
1k
it
−
∞→
=
→
∏
−
(37)
e, substituindo (II) em (I), tem-se que:
( )
)t(δ
n
s
n
ES
n
S −
=
∏
=
+−
n
1k
k,n
2
n
2
k
2
e
s2
σt
1
(38)
com os valores de
e
n,k
satisfazendo (II).
Para provar que o termo à direita converge para
2
2
t
e
−
, recorre-se ao lema
dos números complexos que generaliza o resultado já utilizado para provar o
Teorema Central do Limite no vaso de variáveis independentes e identicamente
distribuídas, de que
c
n
→
c
implica que
c
n
n
e
n
c
1 →
+ .
178
Para finalizar a prova do TCL, considerando o segundo lema, e segundo
James (2006):
Lema 2
:
Sejam c
n,k
números complexos tais que
cc
n
1k
k,n
→
∑
=
quando n → ∞.
Se
0cmax
k,nnk1
→
≤≤
quando n
→
∞
(39)
e
∞<≤
∑
=
Mc
n
1k
k,n
(40)
onde M é uma constante que não depende de n, então
( )
c
n
1k
k,n
ec1 →+
∏
=
quando n
→
∞
.
(41)
Demonstração:
Para dar seguimento da prova da condição de Lindeberg e provido do
segundo lema, sejam:
k,n
2
n
2
k
2
k,n
e
s2
σ
t
c +
−=
e c =
2
t
2
−
, por (II), tem-se que:
(42)
2
t
e
2
t
c
2
n
n
1k
k,n
2
n
1k
k,n
→+≤
∞→
==
∑∑
,
(43)
o que significa que
∑
=
n
1k
k,n
c é uniformemente limitado, ou seja, existe
M
< ∞ tal que
∀
n
, ≤
∑
=
n
1k
k,n
c
M
. Antes de aplicar o lema, segue a verificação da condição de
máximo:
179
∑
=
≤≤≤≤≤≤≤≤
+≤+≤
n
1k
k,n
2
n
2
k
nk1
2
k,n
nk1
2
n
2
k
2
nk1
k,n
nk1
e
s
σ
max
2
t
emax
s2
σ
t
maxcmax ,
(44)
com o segundo termo tendendo a zero por (II). Como a condição de Lindeberg
implica que
0
s
σ
max
2
n
2
k
nk1
→
≤≤
, a demonstração está terminada.
180
ANEXOS
181
ANEXO 1 – Currículo de Licenciatura em Ciências no ano de 1983
182
ANEXO 2 – Primeira atividade com os licenciandos
• RESPOSTA DE AO
183
• RESPOSTA DE BM
184
• RESPOSTA DE CA
185
• RESPOSTA DE FA
186
ANEXO 3 – Questionário realizado na situação-problema
apresentado aos licenciandos
5
a
Série do Ensino
Fundamental
Responda às questões e, em seguida, avalie sua resposta.
Resposta
Estou
seguro
de que
está
correto
Acredito
que está
correto
Aposto
50%
que
está
correto
Acredito
que está
incorreto
Estou
seguro
de que
está
incorreto
Pontuação
(Espaço
exclusivo dos
pesquisadores)
Exemplo: 6 x 4
24 X
1. Hoje Carolina completa 9
anos. Será que ela já viveu
3.000 dias de vida?
2. Dona Maria saiu de casa com uma
certa quantia na bolsa.
Ela gastou 17 reais no supermercado
e, no caminho de volta, retirou 45
reais em uma caixa eletrônica. Se ela
chegou em casa com 52 reais, com quanto saiu?
3. Qual destes decimais é maior?
1,7 0,46 1,0 1,56
4. Agora responda:
2,4 tem quantos décimos a menos que 3?
5. Responda:
Quantos gramas são 0,5 Kg?
6. O feirante comprou um saco com 3 Kg de feijão.
Ele vai vender sacos de 0,5 Kg de feijão. Quantos
sacos de 0,5 Kg ele pode fazer com a quantidade
que tem?
7. Imagine que 1 Kg de carne custe R$ 8,00.
Quanto você pagará se comprar 3,5 Kg de carne?
8. Quantas latas de água de 8 litros são
necessárias para encher uma caixa d’água na qual
cabem 296 litros?
9. Seu Luiz é caminhoneiro. Ele leva cargas de
uma cidade para outra. Ele acabou de fazer uma
viagem do Rio de Janeiro a Salvador em 4 dias,
percorrendo a mesma distância cada dia. Quantos
quilômetros seu Luiz rodou por dia?
10. Uma escola tem 630 alunos.1/3
deles está na 5ª série. Quantos são
esses alunos?
11. Em uma padaria, o preço da
pizza
inteira é R$16,00. Mas, se
você quiser, pode comprar fatias
de
pizza, pagando um preço
promocional. Cada pizza é dividida em 8 partes
iguais. Qual o preço de 1/8 (um oitavo) de uma
pizza?
E o de 3 fatias dessa pizza?
187
5
a
Série do Ensino
Fundamental (cont.)
Resposta
Estou
seguro
de que
está
correto
Acredito
que está
correto
Aposto
50%
que
está
correto
Acredito
que está
incorreto
Estou
seguro
de que
está
incorreto
Pontuação
(Espaço
exclusivo dos
pesquisadores)
12. Uma lojinha tinha um estoque de 1850 toalhas
e não conseguia vendê-las. Então, numa terça-
feira,o gerente reduziu o preço delas em 50%.
Nesse dia, vendeu 418 toalhas. A notícia se
espalhou e, no dia seguinte, ele vendeu outras
837. Após essas vendas, quantas toalhas
sobraram no estoque da loja?
13. Faça esta multiplicação.
Verá um resultado surpreendente.
123456789 x 9 =
14. Thiago e sua família viajaram e, para evitar
problemas, ele fechou o registro de entrada de
água de sua casa. Nisso, a caixa da descarga do
banheiro começou a vazar, perdendo 9 litros de
água por hora. Antes de começar o vazamento, a
caixa d'água continha 774 litros de água. Em
quantas horas ela estará vazia?
15. Mauro tem 1,27 m de altura.
Crescendo mais 5 centímetros, que
altura ele terá? Depois disso, quanto
faltará para Mauro ter 1,4 m de
altura?
16. Para ir ao trabalho, Carlos gasta R$ 1,30 no
ônibus. No trabalho, ele paga R$ 4,80 pelo almoço
e, à tarde, ainda gasta R$ 2,50 em um lanche.
Depois, ele volta para casa, gastando de ônibus o
mesmo que na ida. Quanto ele gasta no total?
17. No sítio de seu Paulo, o galinheiro
tem forma quadrada e seus lados medem
11 m. Quantos metros de tela ele gastou
para fazer a cerca do galinheiro?
18. Seu Orlando faz cálculos porque
vai cercar o muro do terreno ao lado.
Ao todo, quantos metros de muro
serão construídos se os lados
medem: 15,65m; 5,10m; 6,35m; 8,70m; 12,30m?
19. O comprimento de um retângulo é o dobro de
sua largura. Seu perímetro é de 30
cm. Quanto mede o lado menor
desse retângulo? Ajuda: esse lado
menor mede menos de 7 cm.
20. Que dia da semana é hoje?
Agora descubra, sem olhar no
calendário, que dia da semana
será daqui a 32 dias.
188
ANEXO 4 – Dados do enunciado da atividade 2 para os licenciandos
Escola
Particular:
Turma 5 A
Turma 5 B
Turma 5 C
Turma 5 D
Turma 5 E
Alunos: Notas:
Alunos: Notas:
Alunos: Notas:
Alunos: Notas:
Alunos: Notas:
1 40
1 38,5
1 37
1 40
1 40
2 40
2 37,5
2 36,5
2 40
2 40
3 39,5
3 36,5
3 36
3 39,5
3 40
4 39,5
4 35,5
4 35
4 38,5
4 39,5
5 38
5 35
5 35
5 38
5 38
6 38
6 35
6 33,5
6 38
6 36,5
7 38
7 35
7 33
7 34
7 32
8 37,5
8 35
8 33
8 32
8 31,5
9 37
9 34
9 32,5
9 32
9 26,5
10 37
10 34
10 32,5
10 31,5
10 25
11 36,5
11 34
11 32,5
11 31
11 22,5
12 36
12 34
12 32
12 31
12 17,5
13 36
13 33,5
13 31,5
13 30,5
13 17
14 35,5
14 33
14 31
14 30
14 4,5
15 35
15 33
15 31
15 29
16 34,5
16 32,5
16 30,5
16 28,5
17 30,5
17 32
17 30,5
17 27
18 28,5
18 31,5
18 30
18 26
19 28,5
19 31
19 30
19 26
20 25
20 30,5
20 29
20 23
21 24,5
21 38,5
21 28
21 23
22 24,5
22 27,5
22 27,5
22 22,5
23 20
23 27
23 27
23 22,5
24 27
24 36,5
24 14
25 24,5
25 26
25 12
26 23,5
26 26
26 9
27 23,5
27 25,5
28 23,5
28 23,5
29 21,5
30 18
31 15,5
Média da
turma
33,89
Média da
turma
30,68
Média da
turma
31,14
Média da
turma
28,79
Média da
turma
29,32
189
Escola
Pública:
Turma 5 A
Turma 5 B
Turma 5 C
Turma 5 D
Turma 5 E
Alunos: Notas:
Alunos:
Notas:
Alunos:
Notas:
Alunos:
Notas:
Alunos:
Notas:
1 34
1 38
1 37,5
1 30,5
1 30
2 33
2 36
2 34,5
2 27
2 29
3 30
3 34
3 33
3 25
3 28
4 25
4 34
4 31
4 24
4 26
5 24
5 33,5
5 31
5 22,5
5 26
6 23,5
6 32,5
6 31
6 21,5
6 25,5
7 23,5
7 32
7 29,5
7 20,5
7 25
8 21,5
8 30,5
8 28
8 19
8 23
9 20
9 30
9 28
9 18,5
9 22
10 18,5
10 29
10 27,5
10 17,5
10 21,5
11 16,5
11 28
11 26
11 16,5
11 21,5
12 16
12 26,5
12 25
12 16,5
12 21,5
13 14,5
13 25,5
13 24
13 16,5
13 21,5
14 13,5
14 23,5
14 23,5
14 15
14 21,5
15 12,5
15 23
15 23
15 14,5
15 21,5
16 11
16 21,5
16 23
16 14
16 20,5
17 11,5
17 21
17 22,5
17 11,5
17 20
18 9,5
18 19,5
18 22
18 7,5
18 17,5
19 9,5
19 19
19 21
19 6
19 17,5
20 9
20 19
20 20
20 5,5
20 17
21 8,5
21 16,5
21 20
21 5
21 16
22 4
22 16
22 19
22 15,5
23 15,5
23 18,5
23 13,5
24 14
24 17,5
24 13
25 13,5
25 17
25 11,5
26 13
26 16,5
26 9
27 13
27 14
27 7,5
28 12,5
28 12,5
28 4,5
29 11,5
29 12,5
29 0
30 10
30 12
30 0
31 1,5
31 11,5
32 7
Média da
turma
17,68
Média
da
turma
22,35
Média
da
turma
22,97
Média
da
turma
16,88
Média
da
turma
18,22
190
ANEXO 5 – Resposta de AO para atividade 2
191
ANEXO 6 - Resposta de BM para atividade 2
192
ANEXO 7 - Resposta de FA para atividade 2
193
ANEXO 8 – Atividade 3 realizada por AO
194
195
ATIVIDADE 3 – ITEM 3: Dados realizados por AO no
Excel
:
ATIVIDADE 3 – ITEM 4: GRÁFICOS REALIZADOS POR AO:
Escola Pública:
x
20,49
20,28
18,55
19,46
22,96
19,78
20,97 18,58 21,33 18,92
S 10,31
9,45 9,71 12,23
9,40 11,25
8,89 11,14 11,10 12,45
x
15,12 21,58 19,45 14,17 23,74 20,85 18,94 17,90 23,27 22,00
S
11,09 11,03 10,38 10,09 9,78 10,62 7,79 10,31 12,68 11,32
x
23,13 19,49 23,42 22,49 20,35 21,04 23,36 12,31 20,92 22,46
S 10,46 11,12 9,69 10,10 10,02 9,03 11,83 9,24 11,05 10,94
Escola Particular:
x
21,72
24,91
21,64
22,80
21,25
20,77
22,54 24,86 24,88 20,48
S
10,89
9,27 10,66
9,83 10,62
10,93
10,24 8,31 10,95 10,19
x
24,33 16,63 24,66 21,64 18,79 22,22 20,82 22,92 17,28 27,30
S 11,46 9,27 8,43 9,85 11,65 8,33 9,89 9,64 9,33 8,72
x
21,31
21,06 23,05 22,73 25,59 21,92 21,30 20,53 19,64 23,03
S 10,15 10,05 12,30 10,36 9,38 10,81 11,36 10,25 10,13 9,65
GRÁFICO 1:
Médias das 30 amostras da Escola Pública
Fonte: Gráfico elaborado no EXCEL por AO.
0
5
10
15
20
25
0 10 20 30 40
196
GRÁFICO 2:
Médias das 30 amostras da Escola Particular
Fonte: Gráfico elaborado no EXCEL, por AO.
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35
GRÁFICO 3:
Desvios-padrão das 30 amostras da Escola Pública.
Fonte: Gráfico elaborado no EXCEL, por AO.
GRÁFICO 4:
Desvios-padrão das 30 amostras da Escola Particular.
Fonte: Gráfico elaborado no EXCEL, por AO.
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35
197
ATIVIDADE 3 – ITEM 7: GRÁFICOS REALIZADOS POR AO:
Transforms: natural log
Standardized Observed Value
210-1-2-3-4
Deviation from Normal
1,0
,5
0,0
-,5
-1,0
-1,5
GRÁFICO 5:
Distribuição das médias de dados de 60 observações da Escola Pública por AO.
Fonte: Gráfico elaborado por AO com utilização de EXCEL e SPSS.
Detrended Normal Q-Q Plot of média das amostras esc part
Transforms: natural log
Standardized Observed Value
3210-1-2-3
Deviation from Normal
,4
,2
0,0
-,2
-,4
-,6
-,8
GRÁFICO 6:
Distribuição das médias de dados de 60 observações da Escola Particular por AO.
Fonte: Gráfico elaborado por AO com utilização de EXCEL e SPSS.
198
ANEXO 9 - Atividade 3 realizada por BM
199
200
201
202
203
ESCOLA PARTICULAR
204
205
206
207
208
GRÁFICO 1
209
GRÁFICO 2
210
GRÁFICO 3
211
GRÁFICO 4
212
GRÁFICO 5
213
ANEXO 10 - Atividade 3 realizada por FA
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