( PDF ) Relação entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a supercorda

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IFT

Instituto de F´ısica Te´orica

Universidade Estadual Paulista

TESE DE DOUTORAMENTO IFT–T.001/05

Rela¸c˜ao entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores

puros para a supercorda

D´afni Fernanda Zenedin Marchioro

Orientador

Prof. Dr. Nathan J. Berkovits

Mar¸co de 2005

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Agradecimentos

Em primeiro lugar, gostaria de agradecer a Daniel Luiz Nedel, n˜ao apenas por

completar minha vida sendo meu marido, mas por tamb´em ser meu melhor amigo e meu

companheiro cient´ıﬁco. Gostaria de agradecˆe-lo pela compreens˜ao, carinho, paciˆencia e

pelas discuss˜oes que ajudaram a completar minha forma¸c˜ao como f´ısica e como pessoa.

Por tudo isto, posso dizer que nunca vou esquecˆe-lo.

T˜ao importante quanto o Daniel ´e a minha fam´ılia, Val´eria, Maur´ıcio, C´arile e

Helena. Sou eternamente grata aos meus pais, Maur´ıcio e Val´eria, que souberam respeitar

as diferen¸cas de suas trˆes ﬁlhas e prepar´a-las para o mundo, com muito amor, apoio e

democracia. Tamb´em devo gratid˜ao `as minhas irm˜as, C´arile e Helena, duas pessoas

maravilhosas que me ﬁzeram perceber que ´e poss´ıvel amar indiv´ıduos t˜ao diferentes de

n´os mesmos.

Aos meus av´os, Erna e Alide, que ajudaram a formar a pessoa que sou hoje; aos

meus padrinhos, Angela e Aldecir, pela torcida e pelo apoio; a todos meus tios e primos

das duas fam´ılias (Zenedin e Marchioro), que sempre foram a minha grande fam´ılia.

A fam´ılia Nedel, Aid´ee, Claudia, Lucio, Felipe, Beatriz e Isabela, por terem me

acolhido t˜ao bem nesta minha nova fam´ılia.

Ao Nathan, pela orienta¸c˜ao, discuss˜oes e oportunidades.

Ao Doﬀ, amigo sempre presente e companheiro da padaria.

Aos amigos da Federal, Ana Am´elia, Sandro e Benvenho, que continuaram a

manter contato e que permanecem grandes amigos.

Aos amigos da Mal´aquia, pelas portas sempre abertas, pelas conversas e baladas.

Aos amigos Gadelha, Ricardo, Di, M´arcia e Babi, pela amizade, preocupa¸c˜ao,

carinho e por serem legais como vocˆes s˜ao!

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Ao Maurizio, pela cuidadosa leitura da tese e pela amizade.

Aos amigos da sala 10, Marijana e Te´oﬁlo, pelo intercˆambio de culturas e pela

convivˆencia agrad´avel.

A Arlene Cristina, amiga verdadeira e pessoa de quem sinto falta. Pelo compan-

heirismo, pela torcida e por toda ajuda nestes 4 anos.

Erica, pessoa doce e ´unica, pela amizade e apoio.

Aos amigos da rep´ublica da Arruda Alvim, Cris, Marcel, Baretta, pela con-

vivˆencia, amizade e apoio.

A Olivera Miˇskovi´c, por estar longe e ainda assim ser uma excelente amiga!

Valeu por todos os conselhos, discuss˜oes e apoio!

Aos membros do grupo de cordas do IFT, Carlos Mafra, Vladimir Pershin, Oscar

Bedoya, Brenno Vallilo, Luciano Barosi, pela amizade e discuss˜oes de f´ısica.

A comunidade IFT (alunos, professores e funcion´arios), por ter me acolhido.

A Fapesp, pelo apoio ﬁnanceiro.

iii

Resumo

Nesta tese, mostramos a equivalˆencia dos formalismos de Green-Schwarz e de

espinores puros para a supercorda. Partindo da a¸c˜ao de Green-Schwarz no semi-gauge

de cone de luz e adicionando graus de liberdade fermiˆonicos, relacionamos os operadores

BRST do formalismo de espinores puros e de Green-Schwarz no semi-gauge de cone de

luz atrav´es de transforma¸c˜oes de similaridade, indicando a equivalˆencia das respectivas

cohomologias. Esta prova de equivalˆencia ´e uma generaliza¸c˜ao do procedimento usado

para relacionar a superpart´ıcula de Brink-Schwarz e a superpart´ıcula do formalismo de

espinores puros.

Palavras Chaves:

Supercorda; formalismo de Green-Schwarz; BRST; espinores puros.

Areas do conhecimento:

F´ısica de Part´ıculas Elementares e Teoria de Campos

iii

Abstract

In this thesis, we have shown the equivalence of the Green-Schwarz and pure

spinor formalisms for the superstring. Starting from the Green-Schwarz action in the

semi-light-cone gauge with additional fermionic degrees of freedom, we have related the

BRST operator of pure spinor formalism to the semi-light-cone Green-Schwarz operator

through similarity transformations, indicating the equivalence of the cohomologies. This

equivalence proof is a generalization of the procedure used to relate the Brink-Schwarz

and pure spinor’s superparticle.

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Quantiza¸c˜ao BRST 5

2.1 Quantiza¸c˜ao de Dirac .............................. 6

2.2 Quantiza¸c˜ao BRST ............................... 8

2.2.1 Simetria BRST ............................. 8

2.2.2 Quantiza¸c˜ao BRST ........................... 10

2.3 Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica ..................... 11

2.3.1

Algebra de Virasoro .......................... 12

2.3.2 Operadores de v´ertice ......................... 15

2.3.3 Quantiza¸c˜ao BRST ........................... 17

3 Part´ıcula 24

3.1 Part´ıcula relativ´ıstica de spin 1/2 ....................... 25

3.2 Superpart´ıcula de Brink-Schwarz ....................... 27

3.3 Superpart´ıcula de Brink-Schwarz no semi-gauge de cone de luz ....... 31

3.4 Quantiza¸c˜ao covariante da superpart´ıcula ................... 33

3.4.1 Descri¸c˜ao no super-espa¸co de super Maxwell em D =10 ...... 33

3.4.2 Quantiza¸c˜ao covariante da superpart´ıcula ............... 35

4 Supercorda 39

4.1 Supercorda RNS ................................ 40

4.2 Supercorda de Green-Schwarz ......................... 45

ii Conte´udo

4.2.1 Supercorda de Green-Schwarz no semi-gauge de cone de luz ..... 51

4.3 Quantiza¸c˜ao covariante da supercorda ..................... 52

4.3.1 Supercorda no formalismo de espinores puros ............. 53

4.3.2 Parametriza¸c˜ao do espinor puro e constru¸c˜ao dos geradores de Lorentz 54

4.3.3 Operadores de v´ertice em espinores puros ............... 57

4.3.4 Compara¸c˜ao entre os m´etodos BRST usual e de espinores puros . . 59

5 Equivalˆencia 61

5.1 Equivalˆencia entre a a¸c˜ao de Brink-Schwarz e de espinores puros para a

superpart´ıcula .................................. 62

5.2 Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para

a supercorda ................................... 69

6 Conclus˜oes e Perspectivas 81

A Matrizes gama em dez dimens˜oes 84

B Resolu¸c˜ao do v´ınculo de espinor puro 87

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

Uma das teorias mais promissoras de gravita¸c˜ao quˆantica ´e a teoria de cordas [1, 2].

Seus ingredientes b´asicos s˜ao objetos extensos unidimensionais (cordas) que podem estar

deﬁnidos em 26 (corda bosˆonica) ou em dez dimens˜oes espa¸co-temporais (supercordas). A

corda bosˆonica descreve apenas graus de liberdade bosˆonicos, e apresenta em seu espectro

uma part´ıcula vetorial n˜ao-massiva identiﬁcada com o f´oton (corda aberta) e um tensor

sim´etrico de dois ´ındices identiﬁcado como sendo o gr´aviton (corda fechada), entre outras.

No entanto, tamb´em apresenta uma part´ıcula de massa negativa em seu espectro, ou seja,

um t´aquion. Por esta raz˜ao, ´e uma teoria inconsistente, a menos que seja poss´ıvel eliminar

este grau de liberdade problem´atico.

Isto ´e poss´ıvel quando construimos uma teoria de cordas que possui supersimetria.

Esta teoria ´e chamada de teoria de supercorda. Como supersimetria ´e uma simetria

que relaciona graus de liberdade bosˆonicos e fermiˆonicos, no espectro da supercorda

tamb´em aparecer˜ao, al´em das part´ıculas citadas acima, part´ıculas com mesma massa mas

com spin semi-inteiro. Por exemplo, no espectro da supercorda teremos uma part´ıcula

fermiˆonica sem massa que chamamos de fotino (o parceiro supersim´etrico do f´oton) e

part´ıculas n˜ao-massivas representadas por um campo de Rarita-Schwinger, que s˜ao con-

hecidas como gravitinos (parceiros supersim´etricos do gr´aviton). Por descrever mat´eria,

al´em das part´ıculas de intera¸c˜ao, a teoria de supercorda se mostrou uma teoria muito mais

interessante que a teoria da corda bosˆonica. Al´em disto, os graus de liberdade taquiˆonicos

n˜ao aparecem nestas teorias, ou podem ser eliminados consistentemente.

Existem cinco teorias de supercordas consistentes, todas relacionadas por uma rede de

dualidades [3]: tipo I, tipo IIA, tipo IIB, heter´otica E

× E

e heter´otica SO(32). Estas

cinco teorias s˜ao descritas por dois formalismos padr˜ao [1]: o formalismo de Ramond-

Neveu-Schwarz (RNS) e o formalismo de Green-Schwarz (GS). A formula¸c˜ao RNS possui

supersimetria manifesta na folha de mundo, mas n˜ao no espa¸co-tempo. A supersime-

tria no espa¸co-tempo s´o´e poss´ıvel ser veriﬁcada depois de efetuarmos a proje¸c˜ao GSO

(Gliozzi-Scherk-Olive) [4] que, a princ´ıpio, serviria para eliminar o t´aquion de um dos

setores da teoria mas que, por conseq¨uˆencia, torna o espectro supersim´etrico no espa¸co-

tempo. O fato deste formalismo n˜ao apresentar supersimetria manifesta no espa¸co-tempo

traz diﬁculdades nos c´alculos de amplitudes de espalhamento envolvendo f´ermions. Os op-

eradores de v´ertice fermiˆonicos s˜ao muito complicados, tornando c´alculos expl´ıcitos uma

tarefa ´ardua. Por sua vez, c´alculos envolvendo b´osons n˜ao apresentam tais diﬁculdades.

Uma formula¸c˜ao com supersimetria manifesta no espa¸co-tempo seria desej´avel para

contornar esse problema. Esta formula¸c˜ao j´a existe - o formalismo de Green-Schwarz. A

a¸c˜ao neste formalismo ´e invariante por uma simetria fermiˆonica conhecida por simetria

kappa, necess´aria para garantir unitariedade da teoria. Outro exemplo de modelo que

apresenta tal simetria ´e a superpart´ıcula de Brink-Schwarz [5], que ´e o modo zero da

supercorda aberta. Tal simetria ´e gerada pelas oito componentes de primeira classe do

v´ınculo fermiˆonico d

; as outras oito componentes s˜ao de segunda classe.

De modo a fazer a quantiza¸c˜ao covariante da teoria, ´e necess´ario que exista um proced-

imento que separe esses dois tipos de v´ınculos covariantemente. No entanto, tentativas de

ﬁxar covariantemente a simetria kappa n˜ao obtiveram sucesso. Tamb´em foi proposto por

Siegel um modelo com a¸c˜ao quadr´atica nos f´ermions e um novo conjunto de v´ınculos de

primeira classe, de modo a resolver o problema da simetria kappa [6]. Tal procedimento

obteve sucesso no caso da superpart´ıcula [7], mas um conjunto de v´ınculos de primeira

classe que fechasse a ´algebra no n´ıvel quˆantico e que reproduzisse o espectro correto n˜ao

pˆode ser encontrado. Outra forma de quantizar a supercorda ´e trabalhar no semi-gauge

de cone de luz [8], que consiste em ﬁxar apenas a simetria kappa. No entanto, tamb´em

esta abordagem se mostrou inconsistente.

Por outro lado, quantizar a a¸c˜ao GS no gauge de cone de luz ´e uma via poss´ıvel. No

entanto, pela falta de covariˆancia manifesta, amplitudes de espalhamento s˜ao dif´ıceis de

calcular; de fato, apenas amplitudes de quatro pontos no n´ıvel de ´arvore e em um loop

foram calculadas explicitamente [9]. Al´em disto, estes c´alculos s´o podem ser feitos em

backgrounds que permitam o gauge de cone de luz.

Em 2000, um novo formalismo para a supercorda foi proposto: o formalismo de es-

pinores puros [10]. Neste formalismo, a a¸c˜ao para os f´ermions ´e quadr´atica e a super-

simetria ´e manifesta no espa¸co-tempo. Quantiza¸c˜ao covariante ´e poss´ıvel usando um

operador BRST Q =



dzλ

, sendo λ

um espinor puro, ou seja, que satisfaz a rela¸c˜ao

(λγ

λ) = 0. Gra¸cas a esta rela¸c˜ao, o operador BRST ´e nilpotente. O c´alculo de am-

plitudes de espalhamento se beneﬁcia da supersimetria manifesta no espa¸co-tempo e da

covariˆancia de Lorentz, sendo mais simples que nos outros dois formalismos [10, 11]. No

entanto, a origem do operador BRST e da condi¸c˜ao de espinor puro ´eumt´opico n˜ao com-

preendido dentro do formalismo pelo fato de, no m´etodo BRST usual [12], n˜ao existirem

fantasmas (ghosts) restritos a v´ınculos.

Nesta tese, mostraremos que ´e poss´ıvel derivar o operador BRST e a condi¸c˜ao de

espinor puro partindo da a¸c˜ao de Green-Schwarz. A abordagem usada (em analogia ao

que foi feito para a superpart´ıcula [13]) consiste em partir da a¸c˜ao de GS no semi-gauge de

cone de luz com vari´aveis fermiˆonicas adicionais e, por equivalˆencia das cohomologias das

cargas BRST, chegar `aa¸c˜ao do formalismo de espinores puros junto com Q e(λγ

λ)=0

[14]. Este procedimento, na verdade, mostra a equivalˆencia dos dois formalismos, fato j´a

mostrado no caso de RNS e de espinores puros [15].

A tese est´a dividida da seguinte forma: no cap´ıtulo 2 apresentaremos uma breve

descri¸c˜ao da quantiza¸c˜ao BRST e sua aplica¸c˜ao no caso da corda bosˆonica. No cap´ıtulo 3,

revisaremos a part´ıcula relativ´ıstica de spin 1/2 [16], modelo que apresenta analogia com

RNS por apresentar supersimetria apenas na linha de mundo. Al´em disto, falaremos da

superpart´ıcula de Brink-Schwarz que, por apresentar simetria kappa e supersimetria no

espa¸co-tempo, ´e modelo an´alogo `a supercorda de Green-Schwarz. Falaremos tamb´em de

sua quantiza¸c˜ao no gauge de cone de luz, no semi-gauge de cone de luz e no formalismo

de espinores puros [17]. No cap´ıtulo 4 apresentaremos uma revis˜ao do formalismo RNS

edeGSnogauge de cone de luz. Al´em disto, quantiza¸c˜ao de GS no semi-gauge de cone

de luz e quantiza¸c˜ao covariante da supercorda tamb´em ser˜ao discutidas. A equivalˆencia

entre a superpart´ıcula de Brink-Schwarz e a superpart´ıcula de espinores puros ´et´opico do

cap´ıtulo 5, bem como a equivalˆencia entre os formalismos de GS e espinores puros para a

supercorda [14]. Finalmente, o cap´ıtulo 6 apresenta conclus˜oes e perspectivas.

Cap´ıtulo 2

Quantiza¸c˜ao BRST

Existem v´arios m´etodos para quantizar teorias de gauge, que s˜ao por excelˆencia sistemas

vinculados. Neste cap´ıtulo, iremos mencionar dois deles: a quantiza¸c˜ao de Dirac e a

quantiza¸c˜ao BRST.

A quantiza¸c˜ao de Dirac, em poucas palavras, consiste em manter todos os graus de

liberdade do sistema cl´assico, inclusive os que s˜ao puro gauge, e promovˆe-los a operadores

[18]. De forma a remover os estados que n˜ao s˜ao f´ısicos, imp˜oe-se que os estados f´ısicos

devem ser aniquilados por operadores que s˜ao os an´alogos quˆanticos dos v´ınculos de

primeira classe. No entanto, este procedimento n˜ao ´e mais v´alido quando a invariˆancia

de gauge do sistema ´e quebrada, ou seja, na presen¸ca de anomalias. Neste caso, condi¸c˜oes

extras devem ser impostas.

Om´etodo BRST (Becchi, Rouet, Stora, Tyutin) [12] pode ser aplicado tanto a teorias

simples, como a part´ıcula relativ´ıstica, quanto a sistemas mais complicados, como as teo-

rias de supercordas. Assim como a quantiza¸c˜ao de Dirac, o m´etodo preserva a covariˆancia

de Lorentz das teorias ao qual ´e aplicado. Os estados f´ısicos s˜ao determinados como sendo

aqueles que s˜ao aniquilados por um operador nilpotente constru´ıdo a partir dos v´ınculos

de primeira classe. Esta condi¸c˜ao tamb´em garante que os estados f´ısicos s˜ao invariantes

de gauge.Om´etodo BRST pode ainda ser consistente quando aplicado a teorias com

anomalias e, por este motivo, j´a apresenta uma vantagem sobre a quantiza¸c˜ao de Dirac.

6 2.1. Quantiza¸c˜ao de Dirac

Com o intuito de justiﬁcar a eﬁciˆencia do m´etodo BRST, apresentaremos uma breve

explica¸c˜ao da quantiza¸c˜ao de Dirac na se¸c˜ao 2.1. As outras se¸c˜oes ser˜ao dedicadas `a

quantiza¸c˜ao BRST e `a aplica¸c˜ao do m´etodo `a corda bosˆonica.

2.1 Quantiza¸c˜ao de Dirac

Como mencionado na introdu¸c˜ao, na quantiza¸c˜ao de Dirac mant´em-se todas as vari´aveis

do sistema inclusive os v´ınculos de primeira classe, ou seja, n˜ao ser´a feita ﬁxa¸c˜ao de gauge.

Por este motivo, o espa¸co de representa¸c˜ao do m´etodo de Dirac carrega informa¸c˜oes que

n˜ao s˜ao f´ısicas.

E necess´ario impor uma condi¸c˜ao para selecionar os graus de liberdade

f´ısicos. Esta condi¸c˜ao deve ser tal que enfatize a invariˆancia de gauge da teoria no n´ıvel

quˆantico. Isto leva `a imposi¸c˜ao

|ψ =0, (2.1)

sendo

os equivalentes quˆanticos dos v´ınculos de primeira classe. No entanto, quando

a invariˆancia de gauge n˜ao ´e preservada no n´ıvel quˆantico a teoria apresenta anomalias e

a aplica¸c˜ao do m´etodo de Dirac neste caso n˜ao ´et˜ao imediata. Os v´ınculos de primeira

classe G

satisfazem classicamente a seguinte ´algebra:

} = C

, (2.2)

sendo C

as fun¸c˜oes de estrutura. Se a rela¸c˜ao acima ´e preservada quanticamente, ou

seja,

[

]=i

, (2.3)

ent˜ao a equa¸c˜ao (2.1) ´e automaticamente satisfeita:

[

] |ψ =0. (2.4)

2.1. Quantiza¸c˜ao de Dirac 7

Contudo, esta ´algebra pode ser modiﬁcada no n´ıvel quˆantico, ou seja, as fun¸c˜oes de

estrutura podem adquirir corre¸c˜oes em :

[

]=i

+ 

. (2.5)

Se isto acontece, vemos que, para satisfazer o requerimento que os estados f´ısicos sejam

invariantes de gauge, devemos impor uma condi¸c˜ao extra:

|ψ =0. (2.6)

Esta condi¸c˜ao n˜ao tem an´alogo cl´assico e restringe ainda mais o sub-espa¸co f´ısico. Quando

= 0, os operadores quˆanticos

deixam de ser v´ınculos de primeira classe e, por-

tanto, n˜ao s˜ao mais geradores das simetrias de gauge. Por este motivo, a invariˆancia de

gauge ´e quebrada

e o operador

´e chamado de anomalia. Se a invariˆancia de gauge ´e

quebrada no n´ıvel quˆantico, n˜ao faz sentido procurar por estados invariantes de gauge.H´a

a necessidade de um tratamento mais cuidadoso do que simplesmente postular a equa¸c˜ao

(2.1).

Outra inconsistˆencia que pode surgir quando a teoria apresenta anomalias vem da

evolu¸c˜ao dinˆamica do sistema. Classicamente,

} = V

, (2.7)

sendo H

a hamiltoniana canˆonica do sistema, que tamb´em ´e uma fun¸c˜ao de primeira

classe, e a quantidade V

pode ser interpretada como fun¸c˜oes de estrutura. No caso de

uma teoria anˆomala, a ´algebra acima seria modiﬁcada da seguinte forma:

]=i

+ 

, (2.8)

sendo

a chamada anomalia. A conseq¨uˆencia da equa¸c˜ao acima ´e que um estado f´ısico

seria mapeado em outro estado que n˜ao ´e invariante de

gauge

8 2.2. Quantiza¸c˜ao BRST

No caso da quantiza¸c˜ao BRST, mesmo quando

n˜ao s˜ao nulos, a quantiza¸c˜ao

pode ser consistente. Isto quer dizer que pode n˜ao ser correto levar em conta os graus de

liberdade esp´urios sem introduzir os fantasmas, seus parceiros na quantiza¸c˜ao BRST [18].

2.2 Quantiza¸c˜ao BRST

Nesta se¸c˜ao vamos apresentar como se constr´oi o operador BRST e a quantiza¸c˜ao propri-

amente dita.

2.2.1 Simetria BRST

O primeiro passo para a constru¸c˜ao do operador BRST ´e tornar a teoria invariante pela

simetria BRST. Isto se faz da seguinte forma:

1. Primeiro, devemos estender o espa¸co de fase da teoria considerando os multipli-

cadores de Lagrange associados aos v´ınculos de primeira classe e seus momentos

canˆonicos conjugados como vari´aveis canˆonicas:

{λ

,π

} = δ

. (2.9)

Os momentos conjugados tamb´em ser˜ao considerados como v´ınculos de primeira

classe de modo a n˜ao modiﬁcar a teoria original. Portanto, o conjunto de v´ınculos

de primeira classe ´e

=(G

,π

) . (2.10)

2. Depois disso, introduzimos um par canˆonico de fantasmas para cada v´ınculo de

primeira classe C

. Os conjugados canˆonicos aos fantasmas ser˜ao os antifantasmas:

{η

, P

} = {P

,η

} = δ

, (2.11)

2.2. Quantiza¸c˜ao BRST 9

sendo P

os antifantasmas e η

os fantasmas. Impomos que os fantasmas e antifantasmas

comutem com o resto das vari´aveis.

Vamos tamb´em deﬁnir o operador n´umero de fantasma

como

U =



, (2.12)

sendo que os autovalores de U s˜ao inteiros entre 0 e n, com n sendo a dimens˜ao da ´algebra

de Lie deﬁnida pelos v´ınculos de primeira classe.

Constr´oi-se o operador BRST impondo que ele gere as transforma¸c˜oes de gauge asso-

ciadas aos v´ınculos de primeira classe em ordem mais baixa numa expans˜ao em s´erie de

fantasmas. Al´em disso, ele deve ter n´umero de fantasma igual a um, ser real e nilpotente.

Com estes requerimentos, temos que o operador BRST ´e, em primeira instˆancia,

Q = η

+ termos de ordem superior . (2.13)

Os termos de ordem superior s˜ao encontrados fazendo uso da propriedade de nilpotˆencia

do operador BRST:

Q = η

+ η

(1)A

+ ... (2.14)

sendo

(1)A

= −

, (2.15)

e f

s˜ao as fun¸c˜oes de estrutura da ´algebra que os v´ınculos de primeira classe satisfazem.

Sabendo que os v´ınculos satisfazem a seguinte ´algebra

} = f

, (2.16)

e usando a identidade de Jacobi para as fun¸c˜oes de estrutura,

10 2.2. Quantiza¸c˜ao BRST

+ f

=0, (2.17)

calculamos Q

a partir de (2.14), e o resultado ´e que o operador BRST ´e nilpotente, ou

seja, Q

= 0. Agora que temos a forma geral para o operador BRST, podemos proceder

`a quantiza¸c˜ao.

2.2.2 Quantiza¸c˜ao BRST

Come¸camos o processo de quantiza¸c˜ao identiﬁcando quem s˜ao os estados invariantes pela

simetria BRST. Seja C

o espa¸co de Hilbert dos estados de n´umero de fantasma U = k.

Um estado |χ ´e invariante por BRST se

Q |χ =0. (2.18)

Podemos construir estados invariantes pela simetria BRST que tenham a seguinte forma:

|ψ =

Q |χ+ |ψ



 , (2.19)

com o estado |ψ



 satisfazendo a condi¸c˜ao (2.18). No entanto, os estados

Q |χ s˜ao ortog-

onais a todos os outros estados. Estes estados s˜ao chamados de estados nulos

ou exatos.

Dois estados que diferem por um estado nulo ter˜ao os mesmos produtos internos com

todos os estados invariantes por BRST, e portanto s˜ao indisting¨u´ıveis. As classes de

equivalˆencia das solu¸c˜oes de (2.18) de n´umero de fantasma k, com duas solu¸c˜oes consider-

adas equivalentes como em (2.19), formam o k-´esimo grupo de cohomologia da ´algebra de

Lie G, H

(G), e estas classes de equivalˆencia s˜ao chamadas de classes de cohomologia.Em

outras palavras, o grupo de cohomologia H

(G)´e igual ao espa¸co de estados invariantes

pela ´algebra de Lie G com n´umero de fantasma k.

Os estados BRST-invariantes com n´umero de fantasma zero tˆem uma propriedade

interessante; aplicando

Q a estes estados, temos que

2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica 11

Q |χ =ˆη

|χ , (2.20)

pois, pela forma do operador BRST, podemos ver que apenas o primeiro termo sobrevive,

pois o antifantasma aniquila o estado de n´umero de fantasma zero. Se este estado ´e

invariante pela simetria BRST, ent˜ao

|χ =0, (2.21)

pois ˆη

n˜ao aniquila o estado |χ. Ou seja, estes estados s˜ao invariantes por BRST se,

e somente se, eles forem invariantes por transforma¸c˜oes de gauge. Por outro lado, os

estados com n´umero de fantasma zero n˜ao podem ser escritos como |χ = Q |λ, pois n˜ao

h´a estados com n´umero de fantasma -1. Desta forma, estes estados formam classes de

cohomologia de n´umero de fantasma zero, ao mesmo tempo em que s˜ao invariantes de

gauge. Vamos tom´a-los como sendo os estados f´ısicos da teoria.

Portanto, as condi¸c˜oes para encontrar os estados f´ısicos do sistema s˜ao:

1. ter n´umero de fantasma zero;

2. e ser aniquilado por

Q |χ =0. (2.22)

A discuss˜ao que foi feita at´e aqui vale para ´algebras de Lie ﬁnitas. Esta discuss˜ao

tamb´em vale para ´algebras com dimens˜ao inﬁnita com algumas modiﬁca¸c˜oes. Isto ser´a

visto na pr´oxima se¸c˜ao, onde vamos tratar da quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica.

2.3 Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica

No caso da corda bosˆonica, a ´algebra de Lie ´ea´algebra de Virasoro, que tem dimens˜ao

inﬁnita. O m´etodo BRST como foi apresentado anteriormente pode ser usado neste

12 2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica

caso, no entanto com algumas diferen¸cas. A condi¸c˜ao de nilpotˆencia do operador BRST

pode n˜ao ser v´alida por causa da presen¸ca de anomalias; portanto, devemos ser mais

cuidadosos. Al´em disto, o operador n´umero de fantasma U recebe uma corre¸c˜ao devido

ao ordenamento normal. Por este motivo, ´e leviano aﬁrmar que os estados f´ısicos s˜ao

classes de cohomologia de n´umero de fantasma zero, pois o n´umero de fantasma dos

estados f´ısicos depender´a da constante de ordenamento normal e, portanto, depender´ado

sistema f´ısico que estamos considerando [1].

Nesta se¸c˜ao, primeiro vamos apresentar uma revis˜ao da ´algebra conforme e de oper-

adores de v´ertice no caso da corda para, em seguida, apresentarmos a quantiza¸c˜ao BRST

da teoria.

2.3.1

Algebra de Virasoro

No caso da corda bosˆonica, o tensor de energia momento ´e dado por,

(z)=−

: ∂X

∂X

: , (2.23)

sendo m o´ındice do espa¸co-tempo, z = exp(−iσ

+ σ

)(σ

, σ

: coordenadas da folha de

mundo) e : : signiﬁca ordenamento normal. Podemos escrever T

(z) em termos de uma

expans˜ao de Laurent:

(z)=

∞



a=−∞

a+2

. (2.24)

Os coeﬁcientes de Laurent s˜ao os geradores da ´algebra de Virasoro; eles podem ser escritos

em termos de integrais de contorno:



2πiz

a+2

(z) . (2.25)

No caso da corda fechada, temos tamb´em a contribui¸c˜ao anti-holom´orﬁca do tensor de

energia-momento. A ´algebra de Virasoro ´e dada por

2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica 13

]=(a − b)L

a+b

− a)δ

a,−b

, (2.26)

sendo c a carga central

da ´algebra. Para calcular a ´algebra, ´e necess´ario usar o OPE

(Operator Product Expansion) dos campos X

(y)X

(z) −→ −η

log | y − z |

, (2.27)

e a express˜ao dos L

’s em termos de integrais de contorno. A derivada de X

, ∂X

´e holom´orﬁca (s´o depende de z), e tamb´em pode ser escrita em termos de expans˜oes de

Laurent:

∂X

(z)=−i

∞



a=−∞

a+1

, (2.28)

e equivalentemente, podemos escrever os α

em termos de ∂X



2π

∂X

(z) . (2.29)

Usando o OPE de X

com X

, temos as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao dos α

[α

,α

]=aδ

a,−b

. (2.30)

Finalmente, podemos expressar os L

em termos dos α

∞



a=−∞

: α

a−b

: . (2.31)

Uma deﬁni¸c˜ao importante ´e a de campos prim´arios

. Para uma transforma¸c˜ao conforme

z −→ f (z), campos prim´arios s˜ao tensores que se transformam como

O(z) −→



∂f

∂z



O(f(z)) . (2.32)

14 2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica

sendo p o peso conforme do campo prim´ario O. Tamb´em podemos escrever a deﬁni¸c˜ao

de um campo prim´ario em termos de seu OPE com o tensor de energia momento:

T (y)O(z) −→

(y − z)

O(z)+

y − z

∂O(z) . (2.33)

Os estados f´ısicos da corda ser˜ao estados de peso mais alto na ´algebra de Virasoro.

Para deﬁnir o que ´e um estado de peso mais alto na ´algebra de Virasoro, consideremos

um estado |p, criado por um campo prim´ario φ(z) de peso p:

|p = φ(0) |0 . (2.34)

Ele ´e um estado de peso mais alto da ´algebra se [19]

|p = p |p ,L

|p =0,a>0 . (2.35)

Para o caso da corda veremos mais adiante que invariˆancia por transforma¸c˜oes BRST

implica que os estados f´ısicos tˆem peso conforme p = 1 e que a segunda condi¸c˜ao ´ev´alida

para a ≥ 1.

Na constru¸c˜ao do operador BRST, vamos introduzir um par canˆonico de fantasmas

(b, c), que tamb´em podemos escrever em termos de expans˜oes de Laurent,

b(z)=

∞



a=−∞

a+2

,c(z)=

∞



a=−∞

a−1

} = δ

a,−d

. (2.36)

Para encontrar as rela¸c˜oes de anticomuta¸c˜ao acima, utilizamos o OPE

b(y)c(z) −→

y − z

. (2.37)

O tensor de energia-momento para os fantasmas ´e escrito como

2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica 15

=: (∂b)c : −2∂(: bc :) , (2.38)

que tem carga central c = −26.

2.3.2 Operadores de v´ertice

Nesta subse¸c˜ao, vamos introduzir o conceito de operador de v´ertice. Em teoria de campos

conforme em duas dimens˜oes, h´a um mapeamento entre o espa¸co dos estados da teoria e

o conjunto dos operadores locais. Isto ´e poss´ıvel quando quantizamos a teoria de campos

conforme num c´ırculo. Considere um cilindro semi-inﬁnito na coordenada w, sendo

w = σ

+ iσ

, 0 ≤ Re w ≤ 2π,

w ∼ w +2π, Im w ≤ 0 , (2.39)

Este semicilindro pode ser mapeado num disco unit´ario quando usamos a coordenada

z = exp(−iw), como mostra a ﬁgura a seguir:

16 2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica

phys>

= −τ

0<σ< 2

τ i τ

τ −iσ

phys

(0)

= ez

Figura 2.1: O mapeamento do cilindro no plano complexo. As linhas de τ constante

formam c´ırculos concˆentricos ao redor da origem no plano z complexo enquanto que linhas

de σ constante correspondem `as linhas emergindo das dire¸c˜oes radiais a partir da origem.

O estado f´ısico de chegada |phys no passado inﬁnito da folha de mundo (τ = −∞)

corresponde `a inser¸c˜ao de um operador de v´ertice V

phys

(z) na origem z =0.

Na coordenada z,opontoImw →−∞´e mapeado na origem. No cilindro, este

ponto especiﬁca um estado inicial |A, que no disco unit´ario ´e mapeado na origem como

o operador local A, conhecido como operador de v´ertice.

No caso da corda bosˆonica, a correspondˆencia operador local  estado ´e vista da

seguinte forma: queremos identiﬁcar qual o estado que corresponde ao operador unit´ario

1. Dentro de um contorno Q, e sem nenhum operador na origem, as integrais de contorno

que deﬁnem α

e˜α

para a ≥ 0n˜ao tˆem nenhum p´olo e portanto se anulam. Disto

conclu´ımos que estes modos aniquilam o operador 1, que pode ser identiﬁcado com o

estado de v´acuo

2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica 17

1 = |0; 0 . (2.40)

Agora, fazendo o mesmo para Q = α

−a

contornando o operador unit´ario podemos calcular,

para a ≥ 1,

−a



2π

−a

∂X

(z) →

(a − 1)!

∂

(0) , (2.41)

e, portanto,

−a

|1

∼

(a − 1)!

∂

(0) . (2.42)

Logo, qualquer estado pode ser obtido a partir de 1 atuando com os operadores da ex-

press˜ao acima.

Outra caracter´ıstica do estado de v´acuo |0; 0 ´e que ele ´e aniquilado pelos modos L

, L

e L

−1

. Estes trˆes geradores formam uma representa¸c˜ao da ´algebra SL(2, R), e portanto, o

estado de v´acuo ´e SL(2, R)-invariante. Al´em disto, o estado 0; 0|, que ´e identiﬁcado com

o operador unit´ario em z = ∞, tamb´em ´e SL(2, R)-invariante. Desta forma, os elementos

de matriz da teoria conforme s˜ao invariantes por transforma¸c˜oes geradas por SL(2, R).

2.3.3 Quantiza¸c˜ao BRST

O procedimento que vamos usar para construir o operador BRST ´e um pouco diferente do

apresentado na subse¸c˜ao (2.2.1). O primeiro passo da se¸c˜ao (2.2.1) n˜ao ser´a apresentado

aqui pelo seguinte motivo: seguindo o formalismo de integrais de trajet´oria, temos a a¸c˜ao

original, uma a¸c˜ao para os campos fantasmas e uma a¸c˜ao com o termo de ﬁxa¸c˜ao de

gauge.Naa¸c˜ao com o termo de ﬁxa¸c˜ao de gauge da m´etrica da folha de mundo g

αβ

temos um multiplicador de Lagrange B, que aqui ser´a integrado. Assim, a transforma¸c˜ao

para b, que deveria ser δb = B ´e substitu´ıda pela transforma¸c˜ao δb = i(T

+ T

), onde

foi usada a equa¸c˜ao de movimento de g

αβ

para substituir B [2]. Portanto, o v´ınculo de

18 2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica

primeira classe, no nosso caso, ´e apenas o gerador da ´algebra de Virasoro. No segundo

passo, devemos introduzir um par canˆonico de fantasmas para cada v´ınculo de primeira

classe, ou seja, o par de fantasmas (b, c) associado ao tensor de energia-momento.

Partiremos das transforma¸c˜oes BRST para a corda, visto que basta saber as trans-

forma¸c˜oes de gauge dos campos e fantasmas para ent˜ao escrevˆe-las:

δX

= i(c∂ +˜c

∂)X

δb = i(T

+ T

) ,δ

b = i(



) ,

δc = i(c∂ +˜c

∂)c, δ˜c = i(c∂ +˜c

∂)˜c, (2.43)

sendo  o parˆametro da transforma¸c˜ao, c o fantasma holom´orﬁco, b o antifantasma

holom´orﬁco e as quantidades com til s˜ao os an´alogos anti-holom´orﬁcos. Usando o teorema

de Noether, calculamos a corrente BRST,

= cT

: cT

∂

c = cT

+:bc∂c :+

∂

c, (2.44)

e an´alogo para



. Esta corrente tem a forma do operador BRST (2.14), notando que

o segundo termo da equa¸c˜ao acima est´a associado com o segundo termo que aparece em

(2.14), e o ´ultimo termo ´e uma derivada total e s´o foi somado para garantir que j

seja

um tensor por transforma¸c˜oes conformes. O operador BRST propriamente dito ´e

Q =

2πi



(dzj

− d¯z



) , (2.45)

e em termos dos modos dos fantasmas,

Q =

∞



a=−∞

−a

+˜c



−a

)

∞



a,d=−∞

(a − d):(c

−a−d

+˜c

˜c

−a−d

):+A(c

+˜c

) , (2.46)

2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica 19

Na equa¸c˜ao (2.46), A ´e uma constante de ordenamento normal, que pode ser calculada

da seguinte forma: sabendo que

{Q, b

} = L

+ L

, (2.47)

sendo



n∈Z

(a + d):b

a−d

: , (2.48)

ent˜ao

{Q, b

} = L

+ L

, (2.49)

e, portanto, A = −1.

Existe uma anomalia na simetria de gauge quando a carga central do setor de mat´eria,

, tem valor diferente de 26

∗

. Neste caso, o operador BRST n˜ao ´e mais nilpotente. Para

veriﬁcar isto, calculamos o OPE da corrente j

com ela mesma:

(y)j

(z) −→ −

− 18

2(y − z)

c∂c(z) −

− 18

4(y − z)

c∂

c(z) −

− 26

12(y − z)

c∂

c(z) . (2.50)

Da integral de contorno, vemos que o p´olo simples se anula apenas quando c

=26e,

neste caso, {Q, Q} =0.

Ser´a´util tamb´em introduzirmos o operador n´umero de fantasma. A corrente de

n´umero de fantasma ´e dada por

U = − : bc : , (2.51)

e o operador n´umero de fantasma ´e escrito no sistema de coordenadas do cilindro da

seguinte forma

∗

A carga do setor de mat´eria est´a relacionada com a dimens˜ao do espa¸co-tempo: c

= D.

20 2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica

= −

2πi

2π



dwU

∞



a=1

−a

− b

−a

)+c

−

. (2.52)

Na passagem para o sistema de coordenadas do plano complexo (z = e

−iw

), temos

(∂

w)U

(w)=j

(z) −

, (2.53)

mostrando que a corrente de n´umero de fantasma n˜ao ´e um tensor por transforma¸c˜oes

conformes. Neste caso, q

tem valor 3/2. O operador n´umero de fantasma no sistema de

coordenadas do plano complexo ´e escrito como

≡

2πi



dzU

= N

+ q

. (2.54)

On´umero de fantasma dos estados ´e convencionalmente deﬁnido por N

(sistema de

coordenadas do cilindro), e Q

est´a relacionado com o n´umero de fantasma dos operadores

de v´ertice [2].

Agora, vamos fazer uma discuss˜ao sobre o espectro da corda. Come¸cando pelos fan-

tasmas, a escolha natural para o estado de v´acuo ´e o estado SL(2, R)-invariante, |0

.No

entanto, temos que

|0

=0,n≥ 2 ,

|0

=0,n≥−1 , (2.55)

ou seja, os modos c

, c

e c

−1

n˜ao aniquilam |0

. Portanto, temos quatro escolhas

diferentes para o v´acuo dos fantasmas: |0

, c

|0

, c

|0

e c

−1

|0

. Em termos de

operadores, estes estados s˜ao escritos como

2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica 21

|0

−→ 1 ,

|0

−→ c,

|0

−→ c∂c,

−1

|0

−→ c∂c∂

c. (2.56)

No entanto, c

|0

(ou equivalentemente, seu parceiro degenerado c

|0

)´e o estado de

energia m´ınima ou estado de peso mais alto para o sistema (b, c). Portanto, os estados

f´ısicos ter˜ao a forma geral

|{n}; k

⊗ c

|0

−→ cV , (2.57)

sendo que {n} denota o n´ıvel do estado, k ´e o momento e V ´e o operador de v´ertice

constru´ıdo a partir de X

e suas derivadas. Note que os estados f´ısicos tˆem n´umero de

fantasma igual a 1. Voltando ao v´acuo do fantasma, o adjunto do estado c

|0

´e

|0

)

†

= 0|

−1

, (2.58)

pois

0 | 0

=0, mas 0|

−1

|0

=1. (2.59)

Esta normaliza¸c˜ao ´e uma conseq¨uˆencia dos modos zero do fantasma c, devido `an˜ao

conserva¸c˜ao da corrente de n´umero de fantasma no n´ıvel quˆantico [20]. Escrita em termos

de operadores, esta normaliza¸c˜ao ´e c∂c∂

c =1.

Aplicando a condi¸c˜ao de que o estado f´ısico deve ser aniquilado pelo operador BRST

num estado geral do tipo

|ψ = A

mn...

−1

...|0; k⊗c

|0

, (2.60)

22 2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica

temos

Q |ψ =



2πi



: cT

∂



|ψ =



∞



−∞

−a

− δ

a,0

)



|ψ =0. (2.61)

Para a>0, c

|0

= 0, e metade das condi¸c˜oes para invariˆancia BRST j´a est˜ao garan-

tidas. Agora, para termos um estado BRST-invariante ´e necess´ario que

− 1) |ψ =0,

|ψ =0, para a ≥ 1 . (2.62)

A primeira equa¸c˜ao ´e a condi¸c˜ao de camada de massa; al´em disto, esta equa¸c˜ao nos diz

que o operador de v´ertice que cria o estado |ψ a partir do estado c

|0

⊗|0; 0

deve

ter peso conforme igual a 1. As duas equa¸c˜oes juntas nos dizem que os estados f´ısicos s˜ao

campos prim´arios de peso conforme um.

Vamos agora analisar os dois primeiros n´ıveis do espectro. No n´ıvel n = 0, o operador

de v´ertice ´e dado por

V = e

ik·X

−→ |0; k . (2.63)

Das condi¸c˜oes que vimos acima, V deve ter peso conforme igual a 1. Do OPE do tensor

energia-momento com V , o peso conforme deste operador de v´ertice ´e h =

. Como

= −M

,ent˜ao a massa deste estado ´e dada por

=1=−

−→ M

= −1/2 , (2.64)

e este estado representa um t´aquion. Para compara¸c˜ao posterior, notamos que os estados

constru´ıdos com os outros poss´ıveis v´acuos para os fantasmas, ou seja,

2.3. Quantiza¸c˜ao BRST da corda bosˆonica 23

|0; k⊗|0

−→ 1 ,

|0; k⊗c

|0

−→ c∂ce

ik·X

|0; k⊗c

−1

|0

−→ c∂c∂

c, (2.65)

representam, respectivamente, o fantasma, o parceiro degenerado do t´aquion (o qual va-

mos chamar de modo geral de anticampo)eoantifantasma. Estes estados aparecem na

quantiza¸c˜ao via formalismo de anticampo [21]. Para uma boa revis˜ao sobre o assunto, ver

[22].

No pr´oximo n´ıvel, n = 1, o operador de v´ertice ´e

V = ζ

∂X

ik·X

. (2.66)

Pela imposi¸c˜ao que o operador de v´ertice tem peso conforme igual a 1, temos

h =1+

=1−→ k

=0, (2.67)

indicando que o estado tem massa zero. E pela imposi¸c˜ao de que V seja um campo

prim´ario (ou seja, que seu OPE com o tensor de energia-momento seja da forma (2.33))

temos a condi¸c˜ao de transversalidade ζ ·k = 0. Este ´e o estado que representa o f´oton em

D = 26.

Cap´ıtulo 3

Part´ıcula

Neste cap´ıtulo, apresentaremos trˆes extens˜oes da part´ıcula relativ´ıstica, todas apresen-

tando supersimetria: part´ıcula de spin 1/2, superpart´ıcula de Brink-Schwarz e super-

part´ıcula do formalismo de espinores puros.

A part´ıcula de spin 1/2 ´e constru´ıda a partir da a¸c˜ao da part´ıcula relativ´ıstica adicio-

nando uma vari´avel anticomutante, que far´a o papel do grau de liberdade de spin;´eum

exemplo de modelo que apresenta supersimetria, por´em na linha de mundo.

A constru¸c˜ao de um modelo com supersimetria manifesta no espa¸co-tempo leva `aa¸c˜ao

da superpart´ıcula de Brink-Schwarz, que ´e uma generaliza¸c˜ao supersim´etrica da part´ıcula.

Al´em de ser supersim´etrica no espa¸co-tempo e ser invariante por reparametriza¸c˜ao, esta

a¸c˜ao possui uma simetria fermiˆonica, a simetria kappa, que ´e necess´aria por quest˜oes de

unitariedade. No entanto, dos dezesseis v´ınculos da simetria kappa, oito s˜ao de primeira

classe e oito s˜ao de segunda classe. Para quantizar a teoria, precisamos impor uma ﬁxa¸c˜ao

de gauge de modo a separar estes dois tipos de v´ınculos. Uma ﬁxa¸c˜ao de gauge que

preserve a invariˆancia de Lorentz manifesta da teoria parece n˜ao ser poss´ıvel, impedindo

que a teoria seja quantizada covariantemente.

O problema da quantiza¸c˜ao covariante da superpart´ıcula ´e solucionado quando se tra-

balha com a superpart´ıcula no formalismo de espinores puros. A a¸c˜ao deste modelo ´e uma

a¸c˜ao quadr´atica nas vari´aveis fermiˆonicas, e sua quantiza¸c˜ao atrav´es do m´etodo BRST

3.1. Part

Icula relativ

Istica de spin 1/2 25

inclui dois novos ingredientes: uma carga BRST que inclui apenas o v´ınculo da simetria

kappa, e um fantasma bosˆonico espinorial chamado de espinor puro, que ´e vinculado a

satisfazer uma condi¸c˜ao extra, chamada de condi¸c˜ao de espinor puro.

3.1 Part´ıcula relativ´ıstica de spin 1/2

Aa¸c˜ao que descreve uma part´ıcula relativ´ıstica de spin 1/2 ´e dada por

S =



dτ

(˙x

˙x

+ i

) , (3.1)

sendo M a massa da part´ıcula, x

as coordenadas da part´ıcula no espa¸co-tempo e ψ

um vetor de Lorentz anticomutante, relacionado ao grau de liberdade de spin. Para ver

que esta a¸c˜ao descreve uma part´ıcula com spin 1/2, temos que construir os geradores de

Lorentz desta a¸c˜ao. Das transforma¸c˜oes de Lorentz das vari´aveis x

e ψ

=Λ

,δ

=Λ

, (3.2)

podemos construir os geradores de Lorentz M

, usando o teorema de Noether:

= M(˙x

+ iψ

) . (3.3)

Acima, o primeiro termo corresponde `a contribui¸c˜ao de momento angular, e o segundo

termo `a contribui¸c˜ao de spin. Por exemplo, se estamos trabalhando em quatro dimens˜oes

espa¸co-temporais, o vetor de spin ´e dado por

→

ψ ×

→

ψ, (3.4)

isto ´e,

→

= iM(ψ

,ψ

). Da quantiza¸c˜ao de (3.1),

, ˙x

i

, {ψ

,ψ

} = −



, (3.5)

26 3.1. Part

Icula relativ

Istica de spin 1/2

temos que

]=i

abc

, |

→

3

. (3.6)

sendo que a, b, c variam de 1 a 3.

Aa¸c˜ao (3.1) ´e um exemplo de a¸c˜ao supersim´etrica na linha de mundo, o que pode ser

visto usando as seguintes transforma¸c˜oes (com α sendo um parˆametro anticomutante):

δx

= iαψ

,δψ

= α ˙x

. (3.7)

Variando a a¸c˜ao com rela¸c˜ao a esta simetria, temos

δS =



dτ

δ(˙x

+ i

)



dτ



iα

dτ

(˙x

)



=0, (3.8)

indicando que, de fato, a a¸c˜ao ´e supersim´etrica. Fazendo o comutador de duas trans-

forma¸c˜oes de supersimetria consecutivas das vari´aveis x

e ψ

, encontramos

(δ

− δ

= δ

(iα

) − δ

(iα

)=−2iα

˙x

= δ

(δ

− δ

)ψ

= δ

(α

˙x

) − δ

(α

˙x

)=−2iα

= δ

, (3.9)

sendo

= −iΛ˙x

,δ

= −iΛ

, (3.10)

as invariˆancias de transla¸c˜ao das vari´aveis x

e ψ

,eΛ=2α

um parˆametro comutante.

Esta ´ea´algebra de supersimetria em D = 1, ou seja, na linha de mundo. No entanto,

n˜ao h´a supersimetria no espa¸co-tempo; a vari´avel anticomutante ψ

n˜ao ´e um espinor de

Lorentz, e sim um vetor. N˜ao h´a a interpreta¸c˜ao de que, para cada grau de liberdade

3.2. Superpart

Icula de Brink-Schwarz 27

bosˆonico no espa¸co-tempo, h´a um grau de liberdade fermiˆonico, que s˜ao seus parceiros

supersim´etricos. Tal fato tem analogia em supercordas, no formalismo de Ramond-Neveu-

Schwarz, que apresenta supersimetria manifesta na folha de mundo, mas n˜ao no espa¸co-

tempo; a supersimetria no espa¸co-tempo ´e veriﬁcada indiretamente.

Para implementar supersimetria no espa¸co-tempo, ´e necess´ario construir uma a¸c˜ao

que envolva espinores no espa¸co-tempo, e que a ´algebra de supersimetria seja satisfeita.

Tal modelo existe - a superpart´ıcula de Brink-Schwarz - descrita na pr´oxima se¸c˜ao.

3.2 Superpart´ıcula de Brink-Schwarz

Aa¸c˜ao para a superpart´ıcula de Brink-Schwarz em dez dimens˜oes espa¸co-temporais ´e

descrita por

∗

S =



dτ



˙x

−

(

θγ

θ)P

+ eP



, (3.11)

sendo P

o momento canˆonico conjugado a x

, e o multiplicador de Lagrange associado

ao v´ınculo bosˆonico P

= 0 (condi¸c˜ao de camada de massa) e θ

s˜ao espinores de

Majorana-Weyl. As matrizes gama γ

αβ

s˜ao matrizes sim´etricas 16 × 16 que satisfazem

αβ

n)βλ

=2η

, e a conven¸c˜ao de m´etrica ´e tal que η

= diag(−1, 1, 1,...). A a¸c˜ao

(3.11) ´e invariante de Lorentz e supersim´etrica no espa¸co-tempo, como pode ser veriﬁcado

usando as transforma¸c˜oes dos campos

δθ

= 

,δx

(θγ

) ,δP

= δe =0. (3.12)

Esta a¸c˜ao para a superpart´ıcula n˜ao ´ea´unica a¸c˜ao que pode ser constru´ıda com as

quantidades invariantes por supersimetria

e(˙x

−

(

θγ

θ)); no entanto, ´e a mais

simples que pode ser constru´ıda, e tamb´em a generaliza¸c˜ao mais direta para a a¸c˜ao da

part´ıcula relativ´ıstica [1].

∗

Esta a¸c˜ao ´ev´alida para qualquer dimens˜ao; no entanto, para fazer contato com a teoria de supercor-

das, escolhemos D=10.

28 3.2. Superpart

Icula de Brink-Schwarz

Al´em de ser supersim´etrica e invariante de Lorentz, a a¸c˜ao (3.11) apresenta uma

simetria fermiˆonica local denominada simetria kappa

, representada pelas transforma¸c˜oes

δθ

= P

(γ

κ)

,δx

= −

(θγ

δθ) ,δP

=0,δe= i

. (3.13)

Acima, κ

´e o parˆametro da transforma¸c˜ao fermiˆonica e ´e um espinor com quiralidade

†

oposta a θ

. Esta simetria tem um papel importante na teoria: ela ´e respons´avel por

eliminar os estados de norma negativa; portanto, garante que a teoria seja unit´aria. No

entanto, trabalhar com ela tamb´em impede que a teoria seja quantizada covariantemente.

Podemos deﬁnir o v´ınculo associado `a simetria kappa da seguinte maneira:

= p

+2P

(γ

θ)

. (3.14)

Calculando a ´algebra que os v´ınculos acima satisfazem atrav´es de parˆenteses de Poisson,

temos (sendo {p

,θ

} = δ

)

} =4P

αβ

. (3.15)

Do m´etodo de Dirac de sistemas vinculados [23], o c´alculo da ´algebra dos v´ınculos nos

diz que papel estas quantidades representam na teoria: se os parˆenteses de Poisson de

um v´ınculo com todos os outros v´ınculos resulta em zero ou em outro v´ınculo, dizemos

que ele ´e uma quantidade de primeira classe

e, portanto, est´a relacionado `as simetrias de

gauge da a¸c˜ao; caso contr´ario, ele ´e uma quantidade de segunda classe

e est´a relacionado

a graus de liberdade esp´urios da teoria. No caso acima, sabendo que o v´ınculo bosˆonico

´e P

= 0, as rela¸c˜oes (3.15) nos dizem que, dos 16 v´ınculos fermiˆonicos d

, oito s˜ao

de primeira classe e oito s˜ao de segunda classe. Portanto, apenas oito das quantidades d

est˜ao relacionadas ao gerador das simetrias kappa.

†

Em dez dimens˜oes, n˜ao h´a um tensor totalmente antissim´etrico que possa levantar e abaixar ´ındices

espinoriais; portanto, n˜ao h´a uma rela¸c˜ao entre espinores quirais e anti-quirais.

3.2. Superpart

Icula de Brink-Schwarz 29

Para quantizar esta teoria covariantemente (por exemplo, usando quantiza¸c˜ao BRST),

´e necess´ario que exista uma forma de separar covariantemente os v´ınculos de primeira

classe dos v´ınculos de segunda classe. No entanto, isto parece n˜ao ser poss´ıvel; v´arias

tentativas de atingir este objetivo n˜ao obtiveram sucesso. N˜ao sendo poss´ıvel separar os

v´ınculos de primeira e segunda classe covariantemente, resta a alternativa de quantizar a

teoria utilizando uma condi¸c˜ao de gauge que quebre a invariˆancia de Lorentz manifesta.

A condi¸c˜ao de gauge mais utilizada com este ﬁm ´eogauge de cone de luz

= P

τ, (γ

θ)

=0. (3.16)

sendo γ

= γ

±γ

. A primeira condi¸c˜ao ﬁxa as reparametriza¸c˜oes associadas ao v´ınculo

= 0, e a segunda condi¸c˜ao ﬁxa a simetria kappa.

A escolha de gauge (γ

θ)

= 0 vem do fato que, para qualquer θ

,´e poss´ıvel fazer

uma transforma¸c˜ao kappa θ



= θ

+δθ

tal que (γ



)

= 0. Isto pode ser visto primeiro

lembrando que P

= 0, de forma que um referencial poss´ıvel ´e P

= P, P

=0.

Usando a nota¸c˜ao de cone de luz P

= P

±P

, temos que P

−

= P

= 0, e a transforma¸c˜ao

de θ

´e dada por

δθ

= −

(γ

−

κ)

. (3.17)

O espinor θ

pode ser escrito como

= −

(γ

−

θ)

−

(γ

−

θ)

, (3.18)

e, se escolhermos o parˆametro da transforma¸c˜ao κ

= −

(γ

θ)

,ent˜ao



= −

(γ

−

θ)

, (3.19)

e, portanto, (



)

=0.

30 3.2. Superpart

Icula de Brink-Schwarz

Da imposi¸c˜ao da condi¸c˜ao (γ

θ)

= 0, oito componentes do espinor θ

s˜ao eliminadas,

e ﬁcamos com um espinor de SO(8), representado por S



(γ

−

θ)

, com a variando

de 1 a 8. Seguindo com o m´etodo de Dirac, ou seja, construindo os parˆenteses de Dirac

para os campos S

, temos que estes espinores satisfazem

} = δ

, (3.20)

e em analogia com o que sabemos de ´algebras de Cliﬀord,

√

´e uma vers˜ao espinorial

das matrizes de Pauli SO(8):

a ˙a

+ σ

b ˙a

=2δ

˙a

. (3.21)

com i, ˙a variando de 1 a 8. Isto tamb´em pode ser visto da seguinte forma: se deﬁnirmos a

atua¸c˜ao de S

sobre estados bosˆonicos |i e sobre estados espinoriais anti-quirais |˙a como

|˙a =

√

a ˙a

|i ,

|i =

√

a ˙a

|˙a , (3.22)

ent˜ao

+ S

) |i =

√

b ˙a

|˙a + S

a ˙a

|˙a)

(σ

b ˙a

a ˙a

|j + σ

a ˙a

b ˙a

|j)

= δ

|i . (3.23)

Assim sendo, os estados f´ısicos da superpart´ıcula s˜ao representados por um vetor de SO(8)

n˜ao-massivo |i e um espinor anti-quiral de SO(8) n˜ao massivo |˙a, ou seja, o espectro de

super Yang-Mills em dez dimens˜oes.

3.3. Superpart

Icula de Brink-Schwarz no semi-gauge de cone de luz 31

3.3 Superpart´ıcula de Brink-Schwarz no semi-gauge

de cone de luz

Fixando apenas a simetria kappa local, ou seja, impondo apenas a condi¸c˜ao (γ

θ)

=0,

que ´e chamado semi-gauge de cone de luz e assumindo que P

=0,aa¸c˜ao toma a forma

S =



dτ



˙x

+ eP



, (3.24)

Novamente, a quantiza¸c˜ao canˆonica da a¸c˜ao acima implica que {S

} = δ

e, portanto,

√

´e uma vers˜ao espinorial das matrizes de Pauli SO(8). Agora s´o restou a simetria

bosˆonica gerada pelo v´ınculo da camada de massa P

= 0, e seguindo o m´etodo BRST,

podemos ﬁxar esta simetria acrescentando um par de fantasmas (b, c)naa¸c˜ao e escolhendo

o multiplicador de Lagrange e = −1/2. Desta maneira, a a¸c˜ao ´e escrita como

S =



dτ



˙x

−

+ i ˙cb



, (3.25)

e a carga BRST tem a forma

Q = cP

, (3.26)

que apresenta esta forma simples pois a simetria kappa local j´a foi ﬁxada.

Geradores da simetria de Lorentz podem ser constru´ıdos para (3.25), apesar da a¸c˜ao

n˜ao ser manifestamente invariante:

+−

= −ix

−

+ ix

−

= −ix

+ ix

i−

= −ix

−

+ ix

−

(Sσ

)

˙a

(Sσ

)

˙a

= −ix

+ ix

−

(Sσ

S) . (3.27)

32 3.3. Superpart

Icula de Brink-Schwarz no semi-gauge de cone de luz

Estes geradores s˜ao constru´ıdos de forma usual: sabendo como os vetores e espinores se

transformam por Lorentz, usamos o teorema de Noether para encontrar o gerador. Mas

isto n˜ao funciona quando queremos construir N

i−

. A transforma¸c˜ao de Lorentz para o

espinor θ

gerada por a

µν

´e proporcional a a

µν

(γ

µν

θ)

. Tal transforma¸c˜ao preserva

(γ

θ)

= 0 para todos os geradores, exceto N

i−

Para contornar o problema exposto acima, devemos compensar as transforma¸c˜oes

kappa de tal forma que a condi¸c˜ao (γ

θ)

= 0 seja restaurada, e ´e por este motivo que

i−

tem uma forma mais complicada. Este problema tamb´em ocorre quando trabalhamos

com a a¸c˜ao de Green-Schwarz para a supercorda no gauge de cone de luz [1]: ao tentar

construir os geradores de Lorentz, veriﬁcamos que N

i−

n˜ao preserva a condi¸c˜ao (γ

θ)

0. Levando em conta este fato, veriﬁcamos que o campo fermiˆonico S

deve se transformar

como

δS

= −

i−

a ˙a

(Sσ

)

˙a

, (3.28)

garantindo que a ´algebra dos geradores seja a ´algebra correta. Na verdade, no caso de

i−

com ele mesmo a ´algebra s´o fecha a menos de uma transforma¸c˜ao BRST, como pode

ser veriﬁcado usando os comutadores [P

]=−iη

e {S

} = δ

i−

j−



Q, −

b(Sσ

)

˙a

(Sσ

)

˙a

)



. (3.29)

Esta se¸c˜ao ser´a importante para a generaliza¸c˜ao do caso em que estamos interessados,

que ´eaa¸c˜ao de Brink-Schwarz no semi-gauge de cone de luz com vari´aveis fermiˆonicas

adicionais. A partir de tal a¸c˜ao, chegaremos `aa¸c˜ao de espinores puros para a super-

part´ıcula, usando argumentos de equivalˆencia entre as cohomologias das cargas BRST

das duas teorias.

3.4. Quantiza¸c˜ao covariante da superpart

Icula 33

3.4 Quantiza¸c˜ao covariante da superpart´ıcula

Usando o formalismo de espinores puros ´e poss´ıvel quantizar a superpart´ıcula covariante-

mente e obter o espectro de Super Yang-Mills em D=10. Os ingredientes principais do

formalismo s˜ao a carga BRST Q = λ

, sendo d

os v´ınculos da simetria kappa e λ

fantasma associado ao v´ınculo fermiˆonico. Este fantasma ´eumespinor puro bosˆonico, ou

seja, (λγ

λ)=0.

E esta condi¸c˜ao que garante que Q ser´a nilpotente, como exigido pelo

formalismo BRST.

Por simplicidade, mostraremos que a quantiza¸c˜ao covariante da superpart´ıcula leva

`as equa¸c˜oes de movimento e invariˆancias de gauge da teoria de super Maxwell em 10

dimens˜oes. Antes, ´e´util apresentar a descri¸c˜ao no super espa¸co para tal teoria.

3.4.1 Descri¸c˜ao no super-espa¸co de super Maxwell em D =10

A teoria de super Maxwell em D =10´e descrita, basicamente, por um campo vetorial

de SO(9, 1) a

(x), que representa o f´oton, e um campo espinorial de Lorentz χ

(x),

representando o fotino, cujas equa¸c˜oes de movimento seguem:

∂

=0,∂

(γ

χ)

=0. (3.30)

Estes campos tˆem as seguintes transforma¸c˜oes de gauge:

δa

= ∂

s, δχ

=0, (3.31)

Tamb´em ´e poss´ıvel descrever super Maxwell em dez dimens˜oes espa¸co-temporais on

shell utilizando o formalismo de supercampos. Esta descri¸c˜ao se d´a atrav´es de um super-

campo espinorial A

(x, θ), o qual cont´em os campos do f´oton e do fotino [24]. Ele satisfaz

as seguintes equa¸c˜oes de movimento no super-espa¸co:

αβ

mnpqr

)=0, (3.32)

34 3.4. Quantiza¸c˜ao covariante da superpart

Icula

sendo γ

αβ

mnpqr

o produto de cinco matrizes gama (deﬁnidas anteriormente) e D

a derivada

supersim´etrica deﬁnida por:

∂

∂θ

(γ

θ)

∂

. (3.33)

O supercampo A

(x, θ) se transforma da seguinte maneira por transforma¸c˜oes de gauge:

δA

= D

Λ , (3.34)

sendo Λ(x, θ) um supercampo escalar qualquer, cuja componente mais baixa ´e o parˆametro

da transforma¸c˜ao de gauge usual s(x). O supercampo A

pode ser escrito em componentes

na forma geral abaixo:

(x, θ)=f

(x)+f

αβ

(x)θ

+ f

αβγ

(x)θ

+ ... (3.35)

Para mostrar que A

descreve super Maxwell on shell, usa-se o fato que um bi-espinor

sim´etrico em D=10 pode ser decomposto como

αβ

= γ

αβ

+ γ

mnpqr

αβ

mnpqr

, (3.36)

ou seja, este pode ser escrito em termos de um vetor g

e uma cinco-forma g

mnpqr

.Da

mesma maneira, um bi-espinor antissim´etrico pode ser escrito em termos de uma trˆes-

forma:

αβ

= γ

mnp

αβ

mnp

. (3.37)

Portanto, a componente f

αβ

(x)deA

(x, θ)´e escrita em termos de um vetor (γ

αβ

(x)),

uma trˆes-forma (γ

mnp

αβ

mnp

(x)) e uma cinco-forma (γ

mnpqr

αβ

mnpqr

(x)). Pode-se escolher uma

forma para o supercampo escalar Λ(x, θ), relacionado ao parˆametro das transforma¸c˜oes

de gauge, de tal maneira que se possa descartar algumas componentes de A

. Escolhendo

3.4. Quantiza¸c˜ao covariante da superpart

Icula 35

Λ(x, θ)=s(x)+h

(x)θ

+ j

αβ

(x)θ

, (3.38)

usa-se a componente h

(x) para descartar a componente mais baixa de A

, ou seja,

(x) = 0, e a componente j

αβ

(x) para eliminar a parte de trˆes-forma de D

(x) |

θ=0

ou seja, a

mnp

(x). Usando a equa¸c˜ao de movimento (3.32), vemos que a parte de cinco-

forma de D

(x) |

θ=0

, a

mnpqr

(x) deve ser zero. Escrevendo f

αβγ

(x) como

αβγ

(x) ≈ (γ

mnp

)

αλ

(x)(γ

mnp

)

βγ

, (3.39)

e escrevendo todas as componentes mais altas de A

(x, θ) em termos de a

(x)eχ

(x),

temos

(x, θ)=

(γ

θ)

(x)+

(θγ

mnp

θ)(γ

mnp

)

αβ

(x)+... , (3.40)

sendo a

(x) um vetor de SO(9, 1) relacionado ao campo do f´oton, χ

(x) um espinor de

SO(9, 1) relacionado ao fotino e os termos remanescentes s˜ao fun¸c˜oes das derivadas espa¸co-

temporais de a

(x)eχ

(x). Ainda existe uma simetria de gauge residual relacionada com

a componente mais baixa de Λ(x, θ), s(x), que ´e o parˆametro de gauge das transforma¸c˜oes

dos campos de super Maxwell (3.31). Tamb´em as equa¸c˜oes de movimento (3.30) s˜ao

reproduzidas a partir de (3.32) com a forma acima para A

(x, θ).

Com o conhecimento das equa¸c˜oes de movimento e transforma¸c˜oes de gauge dos cam-

pos de super Maxwell, procede-se `a quantiza¸c˜ao da superpart´ıcula via formalismo de

espinores puros.

3.4.2 Quantiza¸c˜ao covariante da superpart´ıcula

Nesta subse¸c˜ao, mostraremos como quantizar a superpart´ıcula usando o formalismo de

espinores puros [17]. Partimos da a¸c˜ao

36 3.4. Quantiza¸c˜ao covariante da superpart

Icula

S =



dτ



˙x

−

+ i



, (3.41)

sendo w

o momento conjugado a λ

. Temos que a fun¸c˜ao de onda mais geral constru´ıda

a partir de (x

,θ

,λ

) e que seja invariante de Lorentz ´e dada por

Ψ(x, θ, λ)=C(x, θ)+λ

(x, θ)+(λγ

mnpqr

λ)A

∗

mnpqr

(x, θ)+λ

∗

αβγ

(x, θ)+... ,

(3.42)

sendo que C(x, θ), A

(x, θ), A

∗

mnpqr

(x, θ), C

∗

αβγ

(x, θ)s˜ao supercampos e ... inclui super-

campos com potˆencias maiores do que trˆes em λ

. O supercampo C(x, θ) tem n´umero de

fantasma igual a zero e cont´em o fantasma espa¸co-temporal, o supercampo A

(x, θ) tem

n´umero de fantasma igual a um e cont´em os campos de super Yang-Mills, o supercampo

∗

mnpqr

(x, θ) tem n´umero de fantasma dois e cont´em o anticampos de super Yang-Mills

e, ﬁnalmente, C

∗

αβγ

(x, θ) tem n´umero de fantasma trˆes e cont´em o antifantasma espa¸co-

temporal.

E poss´ıvel mostrar que supercampos com n´umero de fantasma maior do que

trˆes ter˜ao cohomologia trivial.

Aplicando a carga BRST Q = λ

nesta fun¸c˜ao de onda, temos

QΨ=−iλ

C − iλ

+ ... , (3.43)

e exigindo que QΨ = 0, ou seja, que os estados f´ısicos sejam aniquilados por Q, temos

que o supercampo A

(x, θ) satisfaz a equa¸c˜ao de movimento

=0. (3.44)

No entanto, λ

´e proporcional a (λγ

mnpqr

λ)γ

αβ

mnpqr

, e isto implica que

(Dγ

mnpqr

A)=0, (3.45)

que ´e a equa¸c˜ao de movimento de super Maxwell (3.32).

3.4. Quantiza¸c˜ao covariante da superpart

Icula 37

As transforma¸c˜oes de gauge dos campos podem ser obtidas sabendo que

δΨ=QΩ , (3.46)

sendo Ω o parˆametro de gauge. Se deﬁnimos Ω como sendo

Ω=iΛ+λ

+ ... , (3.47)

temos que A

(x, θ) se tranforma como

δA

= D

Λ , (3.48)

que s˜ao as transforma¸c˜oes de gauge de super Maxwell (3.34). Portanto, A

(x, θ) cont´em

os graus de liberdade on shell do f´oton e do fotino que, como mostrado anteriormente,

satisfazem as equa¸c˜oes de movimento e invariˆancias de gauge

∂

= γ

αβ

∂

=0,δa

= ∂

s. (3.49)

No formalismo de anticampos, as equa¸c˜oes de movimento dos campos correspondem `as

invariˆancias de gauge dos anticampos.

Ef´acil ver que os anticampos correspondentes est˜ao

na cohomologia de Q, e que satisfazem as seguintes equa¸c˜oes de movimento e invariˆancias

de gauge:

∂

∗m

=0,δa

∗m

= ∂

(∂

− ∂

) ,δχ

∗

= γ

αβ

∂

, (3.50)

sendo s

e κ

parˆametros de gauge. Os anticampos a

∗m

e χ

∗

aparecem como campos

componentes no supercampo A

∗

mnpqr

. O procedimento para obter as equa¸c˜oes de movi-

mento e as invariˆancias de gauge ´e o mesmo mostrado anteriormente: usando QΨ=0

e δΨ=QΩ, obt´em-se as equa¸c˜oes de movimento e as invariˆancias de gauge linearizadas

(3.50). Tamb´em ´e necess´ario escolher o supercampo W

de tal maneira a obter a seguinte

forma para A

∗

mnpqr

38 3.4. Quantiza¸c˜ao covariante da superpart

Icula

∗

mnpqr

=(θγ

[mnp

θ)(θγ

qr]

)

∗

(x)+(θγ

[mnp

θ)(θγ

qr]s

θ)a

∗s

(x)+... , (3.51)

sendo que (...) envolve termos com ordem maior em θ e que dependem de derivadas de

∗m

e χ

∗

Al´em destes campos e anticampos, est˜ao na cohomologia de Q o fantasma e antifan-

tasma de super Maxwell. O fantasma c(x)´e a componente θ = 0 do supercampo C(x, θ),

e o antifantasma c

∗

(x)´e encontrado na componente (θ)

do supercampo C

∗

αβγ

(x, θ).

Como mencionado anteriormente, ´e poss´ıvel mostrar que estes campos e anticampos

s˜ao os ´unicos que aparecem na cohomologia de Q, pois na expans˜ao de Ψ(x, θ, λ)os

supercampos com n´umero de fantasma maior do que trˆes tˆem cohomologia trivial.

Portanto, foi mostrado que o formalismo de espinores puros fornece o espectro correto

para a superpart´ıcula, neste caso, a vers˜ao linearizada de super Yang-Mills, que ´e a teoria

de super Maxwell.

Cap´ıtulo 4

Supercorda

Dentre os formalismos padr˜ao mais utilizados para descrever a supercorda est˜ao o for-

malismo de Ramond-Neveu-Schwarz (RNS) e o formalismo de Green-Schwarz (GS). No

entanto, tanto um formalismo como o outro possui caracter´ısticas indesej´aveis para a

quantiza¸c˜ao da supercorda.

O formalismo RNS possui supersimetria na folha de mundo, e a constata¸c˜ao de que ´e

uma teoria supersim´etrica no espa¸co-tempo se faz de maneira indireta, atrav´es da proje¸c˜ao

GSO. Por causa desta falta de supersimetria manifesta no espa¸co-tempo, o c´alculo de

amplitudes de espalhamento envolvendo f´ermions ´e uma tarefa ´ardua, devido `a forma dos

operadores de v´ertice fermiˆonicos.

A supercorda de Green-Schwarz apresenta supersimetria manifesta no espa¸co-tempo,

e seria o formalismo natural para c´alculos em supercordas. No entanto, devido `a simetria

kappa, quantiza¸c˜ao covariante neste formalismo n˜ao tem se mostrado poss´ıvel. A alter-

nativa para este problema ´e trabalhar no gauge de cone de luz. Neste gauge,c´alculos de

amplitudes de espalhamento s˜ao dif´ıceis devido `a falta da covariˆancia manifesta. De fato,

apenas amplitudes de quatro pontos no n´ıvel de ´arvore e a um loop foram calculadas.

Al´em disso, s´o´e poss´ıvel trabalhar com backgrounds em que esta escolha de gauge seja

permitida.

A quantiza¸c˜ao covariante da supercorda ´e poss´ıvel utilizando o formalismo de espinores

40 4.1. Supercorda RNS

puros. Este formalismo consiste numa a¸c˜ao quadr´atica, e os estados f´ısicos s˜ao deﬁnidos

como sendo aqueles pertencentes `a cohomologia do operador BRST Q =



dzλ

, sendo

um espinor puro deﬁnido pela restri¸c˜ao (λγ

λ) = 0, com m = 0 at´e9.

Neste cap´ıtulo ser´a apresentada uma revis˜ao da supercorda RNS, e suas caracter´ısticas

b´asicas. Tamb´em falaremos sobre a supercorda de Green-Schwarz, sua ﬁxa¸c˜ao no gauge

de cone de luz e semi-gauge de cone de luz. Por ﬁm, a supercorda no formalismo de

espinores puros tamb´em ser´a discutida.

4.1 Supercorda RNS

A supercorda RNS (Ramond-Neveu-Schwarz) ´e descrita pela a¸c˜ao

S =

4π





∂X

+ ψ

∂ψ



∂





, (4.1)

sendo X

as coordenadas do espa¸co-tempo e um escalar na folha de mundo, ψ



vetores de SO(9, 1) anticomutantes e m varia de1a9. Asvari´aveis z e¯z s˜ao coordenadas

complexas que parametrizam a folha de mundo, e a m´etrica ´e η

z¯z

=2,η

= η

¯z¯z

=0.

Aqui, temos uma analogia com a part´ıcula relativ´ıstica de spin 1/2: a a¸c˜ao (4.1) tem

supersimetria manifesta na folha de mundo, mas n˜ao no espa¸co-tempo, pois os campos



n˜ao s˜ao espinores no espa¸co-tempo. A supersimetria em dez dimens˜oes s´o

´e veriﬁcada depois de se efetuar a proje¸c˜ao GSO (Gliozzi-Scherk-Olive), sobre a qual

falaremos um pouco no decorrer da se¸c˜ao.

A formula¸c˜ao RNS ´e uma teoria superconforme na folha de mundo que possui os

seguintes geradores:

T = −

∂X

−

∂ψ

G = iψ

∂X

, (4.2)

4.1. Supercorda RNS 41

e express˜oes an´alogas para o setor anti-holom´orﬁco.

Ef´acil veriﬁcar que satisfazem a

´algebra superconforme com carga central c = 15 na folha de mundo (com D sendo a

dimens˜ao do espa¸co-tempo):

T (y)T (z) −→

4(y − z)

2T (z)

(y − z)

∂T(z)

y − z

T (y)G(z) −→

3G(z)

2(y − z)

∂G(z)

y − z

G(y)G(z) −→

(y − z)

2T (z)

y − z

. (4.3)

Acima, usamos os OPE’s dos campos X

e ψ

(y, ¯y)X

(z, ¯z) −→ −η

log | y − z |

(y)ψ

(z) −→

y − z

. (4.4)

Estamos interessados em estudar o espectro da supercorda, e para isto, come¸caremos

pela corda fechada. Em coordenadas cil´ındricas, a a¸c˜ao fermiˆonica

4π



w(ψ

∂

¯w



∂



) , (4.5)

deve ser invariante sob w −→ w +2π (periodicidade). Respeitando esta condi¸c˜ao e a

invariˆancia de Lorentz, as duas poss´ıveis condi¸c˜oes de periodicidade para os f´ermions s˜ao:

Ramond : ψ

(w +2π)=+ψ

(w) ,

Neveu − Schwarz : ψ

(w +2π)=−ψ

(w) , (4.6)

e de forma an´aloga para



. Os campos X

tamb´em devem ser peri´odicos. A supercor-

rente G deve ter a mesma condi¸c˜ao de periodicidade escolhida para o campo ψ

(setor

holom´orﬁco). Assim, dadas as condi¸c˜oes de contorno, existem quatro diferentes tipos de

42 4.1. Supercorda RNS

supercorda fechada que podemos construir, cada uma com um espa¸co de Hilbert diferente:

NS-NS, NS-R, R-NS e R-R.

Vamos escrever os campos fermiˆonicos em termos de modos de Fourier:

(w)=i

−1/2



r∈Z+θ

exp(irw) ,



(¯w)=i

1/2



r∈Z+



exp(−ir ¯w) . (4.7)

Acima, θ e

θ s˜ao iguais a zero no setor R e iguais a 1/2 no setor NS. Podemos substituir

exp(−iw) −→ z (e analogamente para ¯w), e portanto devemos transformar os campos da

seguinte forma

(z)=(∂

1/2

(w)=i

1/2

−1/2

(w) . (4.8)

Assim, podemos expressar os campos ψ



em termos de z e¯z e escrever suas expans˜oes

de Laurent:

(z)=



r∈Z+θ

r+1/2



(¯z)=



r∈Z+



¯z

r+1/2

. (4.9)

No caso bosˆonico, temos

∂X

(z)=−i

∞



a=−∞

a+1

∂X

(¯z)=−i

∞



a=−∞

α

¯z

a+1

, (4.10)

sendo que α

= α

= p

na corda fechada e α

=2p

no caso da corda aberta, e p

´e o momento do centro de massa da corda. A quantiza¸c˜ao canˆonica fornece as seguintes

rela¸c˜oes:

4.1. Supercorda RNS 43

[α

,α

]=[α

, α

]=aη

a,−b

{ψ

,ψ

} = {



} = η

r,−s

. (4.11)

Para a corda aberta, as condi¸c˜oes de contorno para os f´ermions (respeitando o requer-

imento que o termo de superf´ıcie se anule) s˜ao as seguintes:

(0,σ

) = exp(2πiθ)



(0,σ

) ,

(π, σ

) = exp(2πiθ



)



(π, σ

) , (4.12)

sendo que θ e θ



assumem os valores de 0 e 1/2, correspondendo aos setores R e NS.

Considerando apenas um conjunto de osciladores, o espectro do setor NS ´e obtido

da seguinte forma: como n˜ao h´a o modo r =0,ov´acuo ´e deﬁnido como aquele que ´e

aniquilado por todos os modos com r>0,

|0

= 0 para r>0 , (4.13)

e o espectro ´e constru´ıdo atrav´es da a¸c˜ao dos operadores de cria¸c˜ao (r<0).

J´a no caso do setor R, o v´acuo ´e degenerado devido aos modos ψ

que satisfazem a

´algebra de matrizes gama de Dirac, com

∼

√

2ψ

. (4.14)

Como {ψ

,ψ

} = 0 para r = 0, os operadores ψ

levam estados de v´acuo em estados

de v´acuo. Eles formam uma representa¸c˜ao das matrizes gama de Dirac, que no caso de

D = 10, tem dimens˜ao igual a 32. Esta representa¸c˜ao se reduz a duas representa¸c˜oes de

Weyl inequivalentes 16+16’, que possuem autovalores diferentes com rela¸c˜ao `a matriz

, deﬁnida por

44 4.1. Supercorda RNS

=Γ

...Γ

. (4.15)

Como Γ

comuta com todos os Γ

, ou seja, os ψ

, seria interessante construir um

operador com esta propriedade para todo o espectro da corda, ou seja, para os ψ

com

r = 0. Primeiro , vamos escrever os geradores de Lorentz:

= −



r∈Z+θ

[ψ

,ψ

−r

] , (4.16)

e deﬁnir

= i

α,0

2α,2α+1

, (4.17)

com α variando de 0 a 4. Finalmente, deﬁnimos a seguinte quantidade:

F =



α=0

, (4.18)

que ´e chamado de n´umero de f´ermion da folha de mundo. Com F construimos o operador

que queremos, exp(πiF), que ser´a usado como projetor na chamada proje¸c˜ao GSO.

Com rela¸c˜ao ao espectro das diferentes cordas que podem ser constru´ıdas, comentare-

mos apenas o caso da corda aberta. Ap´os a inclus˜ao de fantasmas superconformes

((b, c) −→ anticomutantes, (β,γ) −→ comutantes), temos uma teoria com carga cen-

tral igual a zero. Procedendo `a quantiza¸c˜ao desta teoria, no caso da corda aberta, temos

que no setor NS o estado de mais baixa energia ´eumt´aquion, que possui autovalor igual

a -1 com rela¸c˜ao ao operador exp(πiF). O primeiro estado excitado ´e uma representa¸c˜ao

vetorial n˜ao massiva do grupo SO(8), com autovalor +1 com rela¸c˜ao a exp(πiF). No

setor R, o estado de mais baixa energia ´e a representa¸c˜ao que vimos anteriormente, 32

= 16+16’, que, ap´os usarmos a equa¸c˜ao de Dirac, ﬁca sendo apenas 8+8’. A repre-

senta¸c˜ao 8 tem autovalor +1 com rela¸c˜ao a exp(πiF)e8’ tem autovalor -1. Tamb´em s˜ao

representa¸c˜oes n˜ao massivas.

4.2. Supercorda de Green-Schwarz 45

De forma a obter uma teoria de corda aberta consistente, escolhe-se como sendo estados

f´ısicos aqueles estados que possuem autovalor +1 perante o operador exp(πiF); esta ´ea

chamada proje¸c˜ao GSO. Desta forma, eliminamos o t´aquion do setor NS. Fazendo este

procedimento para todo o espectro, como conseq¨uˆencia a supersimetria no espa¸co-tempo

´e veriﬁcada. Por exemplo, para os modos n˜ao massivos, temos oito estados bosˆonicos do

setor NS e oito estados fermiˆonicos do setor R

∗

Oc´alculo de amplitudes de espalhamento envolvendo f´ermions (que vem do setor R)

neste formalismo ´e uma tarefa ´ardua justamente pela falta de supersimetria manifesta no

espa¸co-tempo. Os operadores de v´ertice fermiˆonicos s˜ao muito complicados, tornando os

c´alculos expl´ıcitos muito dif´ıceis de serem feitos. J´a o setor NS ´e bem compreendido. Por

estes motivos ´e que seria interessante trabalhar com uma teoria que tivesse supersimetria

manifesta no espa¸co-tempo, o que acontece com a supercorda de Green-Schwarz. No

entanto, esta formula¸c˜ao tamb´em apresenta diﬁculdades, como ser´a visto na pr´oxima

se¸c˜ao.

4.2 Supercorda de Green-Schwarz

Aa¸c˜ao de Green-Schwarz para a supercorda pode ser escrita como

S =





∂X

−

∂X

(θγ

∂θ) −

(θγ

∂θ)(θγ

∂θ) + termos anti-holom´orﬁcos



(4.19)

sendo X

um vetor de SO(9, 1) e escalar na folha de mundo, e θ

um espinor de Lorentz

no espa¸co-tempo e um escalar na folha de mundo. As conven¸c˜oes das matrizes γ

αβ

eda

m´etrica no espa¸co-tempo s˜ao v´alidas aqui. Vamos trabalhar s´o com o setor holom´orﬁco

da a¸c˜ao pois o que acontece no setor anti-holom´orﬁco ´e an´alogo. De modo a garantir a

∗

A proje¸c˜ao GSO, como apresentada, ´e um procedimento ad hoc. No entanto, veriﬁca-se que a fun¸c˜ao

parti¸c˜ao s´o´e invariante modular ap´os se efetuar a proje¸c˜ao GSO [2]. Portanto, esta proje¸c˜ao ´e necess´aria

para consistˆencia da teoria.

46 4.2. Supercorda de Green-Schwarz

unitariedade da teoria, a a¸c˜ao possui invariˆancia kappa, que elimina os estados de norma

negativa. Seus geradores est˜ao relacionados aos v´ınculos

= p

+(θγ

)

(2∂X

+(θγ

∂θ)) . (4.20)

A´algebra que estes v´ınculos obedecem ´e representada pelos seguintes OPE’s:

(y)d

(z) −→

4γ

αβ

y − z

, (4.21)

sendo

= ∂X

− (θγ

∂θ) , (4.22)

e os OPE’s fundamentais utilizados nestes c´alculos s˜ao:

(y)p

(z) −→

y − z

, (4.23)

(y, ¯y)X

(z, ¯z) −→

log | y − z |

. (4.24)

Aa¸c˜ao (4.19) tamb´em ´e invariante por reparametriza¸c˜oes, e o v´ınculo de Virasoro ´e

T =Π

=0. (4.25)

Com esta informa¸c˜ao, podemos analisar a equa¸c˜ao (4.21): ela nos diz que, como Π

0, metade dos v´ınculos d

s˜ao de primeira classe e a outra metade ´e de segunda classe.

Comparando com o caso da superpart´ıcula, tamb´em aqui n˜ao ´e poss´ıvel separar estes

v´ınculos de forma covariante, e os mesmos problemas que apareceram no caso da su-

perpart´ıcula aparecem aqui. A alternativa continua sendo ﬁxar as simetrias de gauge

utilizando condi¸c˜oes de gauge que n˜ao preservam a invariˆancia de Lorentz, como ´e o caso

do gauge de cone de luz.

Impondo as condi¸c˜oes do

gauge

de cone de luz:

4.2. Supercorda de Green-Schwarz 47

(z, ¯z)=x

+ p

τ, (γ

θ)

=0, (4.26)

sendo x

e p

coordenada e momento do centro de massa da corda, a a¸c˜ao se reduz a

S =





∂X

(θγ

−

∂θ)







∂X

∂S



, (4.27)

sendo S



∂X

(γ

−

θ)

um espinor de SO(8). A quantiza¸c˜ao covariante da a¸c˜ao implica

(y)S

(z) −→

y − z

. (4.28)

As equa¸c˜oes de movimento que vem da a¸c˜ao (4.27) s˜ao as seguintes:

∂

∂X

(z, ¯z)=0,

∂S

(z)=0. (4.29)

Como vamos trabalhar com a supercorda aberta, as condi¸c˜oes de contorno para os campos,

neste caso, ser˜ao:

∂X

em z =¯z,

(z)=

(¯z)emz =¯z, (4.30)

sendo S

o campo fermiˆonico anti-holom´orﬁco. A condi¸c˜ao de igualar na fronteira os

campos fermiˆonicos holom´orﬁco e anti-holom´orﬁco reduz a supersimetria da teoria de

N = 2 para N = 1 de modo a preservar sua consistˆencia. Podemos expressar os campos

∂X

e S

em termos de suas expans˜oes em s´eries de Laurent:

48 4.2. Supercorda de Green-Schwarz

∂X

(z)=−

√

∞



m=−∞

m+1

(z)=

∞



m=−∞

a,m

m+1/2

, (4.31)

Usando (4.28), vemos que os modos S

a,m

obedecem `a´algebra:

a,m

b,n

} = δ

m,−n

. (4.32)

Em particular, os modos zero S

a,0

s˜ao uma vers˜ao espinorial das matrizes de Pauli de

SO(8) σ

a ˙a

, introduzidas no cap´ıtulo 3. Portanto, a ´algebra dos modos zero S

a,0

pode

ser representada num espa¸co vetorial 8

+ 8

da mesma forma como foi feito para a

superpart´ıcula, ou seja,

a,0

|i =

√

a ˙a

|˙a ,

a,0

|˙a =

√

a ˙a

|i , (4.33)

Este ´e o multipleto completo obtido nas duas constru¸c˜oes separadas do formalismo RNS:

temos oito estados fermiˆonicos e oito estados bosˆonicos, que correspondem precisamente

ao espectro da superpart´ıcula, ou seja, teoria de super Yang-Mills em D=10. Para obter

os estados excitados da supercorda aberta, atua-se com os operadores de cria¸c˜ao α

−m

a,−m

sobre os estados de v´acuo |i e |˙a.

H´a uma maneira de relacionar as a¸c˜oes no cone de luz dos formalismos de Green-

Schwarz e RNS, mostrando sua equivalˆencia quando se trabalha nesta escolha de gauge

[1]. Escrevendo a a¸c˜ao de RNS no cone de luz como

S =

4π



z(∂X

∂X

+Ψ

∂

) , (4.34)

4.2. Supercorda de Green-Schwarz 49

sendo que o ´ındice α est´a relacionado `as vari´aveis z e¯z, e as matrizes σ

s˜ao deﬁnidas

como

⎛

⎝

⎞

⎠

,σ

¯z

⎛

⎝

⎞

⎠

, (4.35)

eΨ

´e escrito em termos de ψ



como

⎛

⎝



⎞

⎠

. (4.36)

Vamos relacionar a a¸c˜ao RNS no gauge de cone de luz com a a¸c˜ao de Green-Schwarz no

gauge de cone de luz, escrita na seguinte forma:

S =

2π



z(∂X

∂X

+ S

∂

) , (4.37)

sendo

⎛

⎝

⎞

⎠

. (4.38)

Note que, no caso de Green-Schwarz, S

pertence `a representa¸c˜ao 8

de SO(8) e no caso

RNS, ψ

pertence `a representa¸c˜ao 8

As duas descri¸c˜oes no gauge de cone de luz ser˜ao relacionadas bosonizando os f´ermions

e, depois, fermionizando-os. Primeiro, introduzimos quatro escalares reais:



αβ

∂

=Ψ



αβ

∂

=Ψ



αβ

∂

=Ψ



αβ

∂

=Ψ

, (4.39)

e depois recombinamos os escalares em novos campos:

50 4.2. Supercorda de Green-Schwarz

(φ

+ φ

) ,

(φ

+ φ

− φ

) ,

(φ

− φ

+ φ

− φ

) ,

(φ

− φ

+ φ

) . (4.40)

Por ﬁm, vamos fermionizar estes campos introduzindo f´ermions de Majorana S

como

abaixo:



αβ

∂

= S



αβ

∂

= S



αβ

∂

= S



αβ

∂

= S

. (4.41)

Estas manipula¸c˜oes s˜ao poss´ıveis devido a uma caracter´ıstica do grupo SO(8), chamada

trialidade. Esta simetria extra do grupo SO(8) permite relacionar as representa¸c˜oes es-

pinoriais 8

e 8

com as representa¸c˜oes vetoriais 8

Oc´alculo de amplitudes de espalhamento neste formalismo no gauge de cone de luz

tamb´em enfrenta problemas, devido `a falta de covariˆancia manifesta (Lorentz), visto que

esta escolha de gauge n˜ao ´e covariante. Apenas amplitudes de quatro pontos em n´ıvel de

´arvore e a um loop foram calculadas. Al´em disto, este c´alculo s´o´e poss´ıvel em backgrounds

em que o gauge de cone de luz ´e permitido. Por este motivo, este formalismo n˜ao ´e muito

utilizado para estes ﬁns, em favor do formalismo RNS, que tamb´em tem diﬁculdades, mas

´e mais trat´avel.

4.2. Supercorda de Green-Schwarz 51

4.2.1 Supercorda de Green-Schwarz no semi-gauge de cone de

luz

A supercorda de Green-Schwarz tamb´em pode ser quantizada no semi-gauge de cone de

luz, que signiﬁca ﬁxar apenas a simetria fermiˆonica local kappa impondo (γ

θ)

=0.

Neste gauge,aa¸c˜ao de Green-Schwarz para a supercorda ´e escrita como

S =





∂X

∂S

+ termos anti-holom´orﬁcos



, (4.42)

e, novamente, S



∂X

(γ

−

θ)

´e um espinor quiral de SO(8). H´a ainda uma simetria

local bosˆonica gerada pelo tensor de energia momento

= −∂X

−

∂X

+ ∂X

∂X

−

∂S

∂

(log ∂X

) . (4.43)

Acima, o termo

∂

(log ∂X

) vem da ﬁxa¸c˜ao de gauge n˜ao covariante, e ´e necess´ario

tanto para invariˆancia conforme quanto para invariˆancia de Lorentz quˆantica. Usando os

OPE’s de X

e S

, veriﬁca-se que T

tem carga central c = 26, que ´e compensada com

a inclus˜ao dos fantasmas, totalizando uma carga central igual a zero. O operador BRST

´e constru´ıdo de forma usual:

Q =



dz(cT

+ bc∂c) , (4.44)

sendo (b, c) o par de fantasmas fermiˆonicos. A a¸c˜ao, incluindo os fantasmas, toma a forma

S =





∂X

∂S

+ b

∂c + termos anti-holom´orﬁcos



. (4.45)

A constru¸c˜ao de geradores de Lorentz para a a¸c˜ao (4.45) tamb´em ter´a as mesmas

complica¸c˜oes observadas no caso da superpart´ıcula no semi-gauge de cone de luz: o gerador

i−

n˜ao preserva a condi¸c˜ao de gauge (γ

θ)

= 0 e, portanto, sua constru¸c˜ao implica em

compensar as transforma¸c˜oes kappa para restaurar a condi¸c˜ao de gauge. Por este motivo,

52 4.3. Quantiza¸c˜ao covariante da supercorda

a forma de N

i−

´e mais complicada do que seria no caso em que se tem simetria de Lorentz

manifesta. Os outros geradores, por preservarem (γ

θ)

=0,tˆem a forma usual:

= −X

∂X

+ X

∂X

−

(Sσ

S) ,

+−

= −

∂X

−

∂X

= −X

∂X

+ X

∂X

i−

= −X

∂X

−

+ X

−

∂X

−

(Sσ

)

˙a

(Sσ

)

˙a

∂X

2∂X

, (4.46)

Como no caso da superpart´ıcula, a ´algebra dos geradores ´ea´algebra de Lorentz, exceto

pelo comutador de N

i−

com ele mesmo:





dyN

i−

(y),



dzN

j−

(z)









−

b(Sσ

)

˙a

(Sσ

)

˙a

(∂X

)



(z)



, (4.47)

indicando que a ´algebra fecha a menos de uma transforma¸c˜ao BRST.

4.3 Quantiza¸c˜ao covariante da supercorda

Desde que foi constatado o problema da quantiza¸c˜ao covariante da supercorda de Green-

Schwarz, v´arias tentativas de resolver o problema foram feitas. Uma tentativa que vale

a pena mencionar ´e o trabalho de Siegel [6], que em 1986 sugeriu a seguinte a¸c˜ao para a

supercorda:

S =





∂X

+ p

∂θ



, (4.48)

sendo que o ´ındice espinorial α vai de 1 a 16, e o momento conjugado a θ

, p

,´e tratado

como um campo independente. Ele tamb´em substituiu os v´ınculos da simetria kappa d

por um conjunto de v´ınculos de primeira classe e segunda classe constru´ıdos a partir dos

objetos supersim´etricos Π

, d

e ∂θ

.Al´em disto, n˜ao ´e exigido que d

se anule, como ´e

o caso quando a teoria apresenta v´ınculos. Este conjunto de v´ınculos inclui

4.3. Quantiza¸c˜ao covariante da supercorda 53

A = −

− d

∂θ

=Π

(γ

mnp

= d

(γ

mnp

)

αβ

. (4.49)

Acima, A ´eov´ınculo de Virasoro, B

´e o gerador da simetria kappa e C

mnp

seria a parte

dos v´ınculos de segunda classe que aparece em Green-Schwarz. Este procedimento tamb´em

foi aplicado `a superpart´ıcula, com um certo sucesso [7]; no entanto, para a supercorda

um conjunto de v´ınculos de primeira classe que fechasse a ´algebra no n´ıvel quˆantico e que

reproduzisse o espectro correto n˜ao pˆode ser encontrado.

Outra tentativa de se quantizar a supercorda covariantemente foi feito por Carlip e

Kallosh et al [8]. Nesta tentativa, a supercorda de Green-Schwarz foi quantizada usando-

se o semi-gauge de cone de luz. Esta tentativa tamb´em se mostrou infrut´ıfera devido a

problemas com o propagador dos f´ermions.

Em 2000, um novo formalismo com supersimetria manifesta para a supercorda surgiu,

chamado de formalismo de espinores puros [10]. Este formalismo apresenta uma a¸c˜ao

quadr´atica e novos ingredientes que permitem quantizar a a¸c˜ao covariantemente e obter

o espectro correto para a supercorda. Este ´e o assunto da pr´oxima subse¸c˜ao.

4.3.1 Supercorda no formalismo de espinores puros

A quantiza¸c˜ao covariante da supercorda com supersimetria e simetria de Lorentz mani-

festas pode ser feita a partir da seguinte a¸c˜ao

S =





∂X

+ p

∂θ

+ f

+ termos anti-holom´orﬁcos



, (4.50)

sendo p

o momento conjugado do espinor de Lorentz θ

e f

um multiplicador de La-

grange que imp˜oeov´ınculo fermiˆonico (4.20). Usando o m´etodo BRST, a a¸c˜ao pode ser

54 4.3. Quantiza¸c˜ao covariante da supercorda

ﬁxada introduzindo-se um par de fantasmas espinoriais bosˆonicos (λ

) e escolhendo

=0:

S =





∂X

+ p

∂θ

∂λ

+ termos anti-holom´orﬁcos



. (4.51)

O fantasma λ

´e um espinor puro, ou seja, λ

αβ

=0,ew

´e seu momento conjugado.

O operador BRST, neste formalismo, ´e

Q =



dzλ

, (4.52)

que ´e nilpotente gra¸cas a (λγ

λ) = 0. O fato do fantasma λ

obedecer a um v´ınculo ´e

algo que n˜ao aparece no m´etodo BRST usual; no entanto, ´e poss´ıvel derivar esta condi¸c˜ao

e o operador BRST (4.52) a partir da a¸c˜ao de Green-Schwarz no semi-gauge de cone de

luz com vari´aveis fermiˆonicas adicionais. Isto ser´a mostrado no cap´ıtulo 5.

4.3.2 Parametriza¸c˜ao do espinor puro e constru¸c˜ao dos ger-

adores de Lorentz

De forma a construir a parte dos fantasmas N

dos geradores de Lorentz, primeiro temos

que resolver o v´ınculo do espinor puro λ

αβ

= 0. Para isto, vamos parametrizar λ

em termos de representa¸c˜oes do subgrupo U(5) de SO(10):

= e

,λ

= u

,λ

= −

−s



abcde

, (4.53)

sendo que a, b, c, d, e variam de1a5,u

= −u

s˜ao dez vari´aveis independentes. O

espinor λ

est´a escrito em termos das representa¸c˜oes 1

5/2

, 10

1/2

−3/2

de SU(5)

U(1)

maneira de se obter estas representa¸c˜oes ´e escrever um espinor SO(10) usando a nota¸c˜ao

[±±±±±], sendo que espinores de Weyl e anti-Weyl tem n´umero ´ımpar e par, respec-

tivamente, de sinais +. No caso de λ

, que ´e um espinor de Weyl, λ

´e a representa¸c˜ao

com cinco sinais +,

a representa¸c˜ao com trˆes sinais + e

a representa¸c˜ao com um

4.3. Quantiza¸c˜ao covariante da supercorda 55

sinal +. Como λ

depende de u

e s, temos ent˜ao 11 componentes independentes, que ´e

on´umero de componentes independentes de um espinor puro.

Aa¸c˜ao para os fantasmas, escrita em termos dos campos que parametrizam λ

,´e dada

por





∂t∂s −

∂u



, (4.54)

sendo t e v

os momentos conjugados a s e u

, respectivamente; eles s˜ao os campos que

parametrizam w

na nota¸c˜ao U(5). A ´algebra destes campos, em termos de OPE’s, ´ea

seguinte:

t(y)s(z) −→ log(y − z) ,

(y)u

(z) −→

y − z

. (4.55)

A parte de fantasmas dos geradores de Lorentz N

tamb´em pode ser colocada na

nota¸c˜ao U(5). Eles s˜ao constru´ıdos a partir dos campos (s, t)e(u

N =

√



∂t −

∂s



= u

−

= e

−s



2∂u

− u

∂t − 2u

∂s + u

−



. (4.56)

As componentes U(5) de N

(N,N

) se transformam de acordo com as rep-

resenta¸c˜oes (1

, 24

, 10

−2

)deSU(5)

U(1)

, respectivamente. Os geradores (4.56) devem

satisfazer os seguintes OPE’s:

56 4.3. Quantiza¸c˜ao covariante da supercorda

(y)λ

(z) −→

(γ

)

(z)

2(y − z)

(y)N

(z) −→

m[l

k]n

− η

n[l

k]m

(z)

y − z

−

3(η

− η

)

(y − z)

, (4.57)

o que de fato acontece. Portanto, n˜ao ´e necess´ario trabalhar com a nota¸c˜ao U(5), visto

que os OPE’s que envolvem λ

e N

s˜ao SO(10) covariantes.

O tensor de energia-momento para as vari´aveis fantasma ´e dado por

∂u

+ ∂t∂s + ∂

s, (4.58)

sendo que o termo ∂

s ´e inclu´ıdo para que os geradores de Lorentz N

sejam tensores na

´algebra conforme. Este tensor tem carga central +22 (que ´e cancelada pela carga central

-22 do setor de mat´eria da teoria) e pode ser escrito de forma covariante como

−

− ∂J , (4.59)

sendo que J ´e escrito em termos dos campos U(5):

J =

+ ∂t +3∂s . (4.60)

J n˜ao tem p´olos com N

, e satisfaz os seguintes OPE’s:

J(y)J(z) −→

−4

(y − z)

J(y)λ

(z) −→

y − z

. (4.61)

O operador



J pode ser identiﬁcado como o operador de n´umero de fantasma, e ent˜ao

tem n´umero de fantasma um.

4.3. Quantiza¸c˜ao covariante da supercorda 57

4.3.3 Operadores de v´ertice em espinores puros

No formalismo de espinores puros, os estados f´ısicos da supercorda s˜ao identiﬁcados como

estados de n´umero de fantasma um na cohomologia do operador BRST

Q =



dzλ

(z)d

(z) , (4.62)

sendo que λ

deve satisfazer (λγ

λ) = 0, ou seja, ele ´e um espinor puro. Esta condi¸c˜ao

tamb´em implica que w

, o momento conjugado a λ

,s´o pode aparecer em combina¸c˜oes

que s˜ao invariantes pela transforma¸c˜ao de gauge abaixo:

δw

=(γ

λ)

. (4.63)

sendo Λ

um parˆametro de gauge arbitr´ario. Ent˜ao w

s´o aparece nas seguintes com-

bina¸c˜oes:

:(wγ

λ):,

J =: w

: , (4.64)

sendo N

e J deﬁnidos explicitamente em termos dos campos U(5) como na se¸c˜ao

anterior. Os operadores de v´ertice da supercorda aberta s˜ao constru´ıdos como uma com-

bina¸c˜ao arbitr´aria de [x

,θ

,λ

,J], que tˆem n´umero de fantasma um e peso

conforme n a momento zero. No caso, n est´a relacionado com o n´umero do estado, ou

seja, (massa)

= n/2.

No caso do estado que tem (massa)

= 0, ou seja, n = 0, o operador de v´ertice mais

geral que pode ser constru´ıdo ´e

U = λ

(x, θ) , (4.65)

sendo A

um supercampo espinorial. Em analogia com a superpart´ıcula, se fazemos

=0e

δU

Ω obtemos as equa¸c˜oes de movimento de super Maxwell

αβ

mnpqr

58 4.3. Quantiza¸c˜ao covariante da supercorda

e suas invariˆancias de gauge δA

= D

Ω. O operador de v´ertice para o pr´oximo estado,

ou seja, n = 1 e (massa)

=1/2, foi constru´ıdo em [25], e segue as id´eias b´asicas da

constru¸c˜ao do operador de v´ertice para o estado fundamental.

Para calcular amplitudes de espalhamento, tamb´em ´e necess´ario ter operadores de

v´ertice na forma integrada



dzV , sendo que V ´e geralmente obtido a partir do operador

de v´ertice n˜ao integrado U, por anticomuta¸c˜ao de U com o fantasma b.H´a tamb´em uma

forma alternativa de se obter V a partir da rela¸c˜ao [26]

[Q, V ]=∂U . (4.66)

Usando a rela¸c˜ao acima, o operador de v´ertice para o n´ıvel n˜ao massivo da supercorda ´e

encontrado [10]:

V = ∂θ

(x, θ)+Π

(x, θ)+d

(x, θ)+

(x, θ) , (4.67)

sendo

αβ

− ∂

) ,

= ∂

(γ

)

, (4.68)

as intensidades de campo (ﬁeld strenghts) que podem ser constru´ıdas a partir de A

c´alculo de QV = ∂U fornece

QV = ∂(λ

)+λ

∂θ

(−D

− D

+ γ

αβ

)+λ

− ∂

− γ

mαβ

)

+ λ



−D

(γ

)



, (4.69)

e para que QV = ∂U = ∂(λ

), as seguintes equa¸c˜oes devem ser satisfeitas pelos campos:

4.3. Quantiza¸c˜ao covariante da supercorda 59

−D

− D

+ γ

αβ

=0,

− ∂

− γ

mαβ

=0,

−D

(γ

)

=0,

(γ

)

=0, (4.70)

que s˜ao as equa¸c˜oes de movimento de super Maxwell da subse¸c˜ao (1.3.1). A ´ultima

equa¸c˜ao de (4.70) vem da imposi¸c˜ao da equa¸c˜ao anterior, visto que

(λγ

λ)∂

=0. (4.71)

Amplitudes de espalhamento no n´ıvel de ´arvore podem ser calculadas neste formalismo

deﬁnindo uma medida apropriada [10]. A generaliza¸c˜ao destes c´alculos para v´arios loops

pode ser encontrada em [11].

4.3.4 Compara¸c˜ao entre os m´etodos BRST usual e de espinores

puros

Nesta subse¸c˜ao, vamos discutir as diferen¸cas e semelhan¸cas entre o m´etodo BRST usual

eom´etodo BRST em espinores puros no contexto da supercorda.

De in´ıcio, podemos constatar que a constru¸c˜ao do operador BRST no formalismo de

espinores puros n˜ao segue os procedimentos apresentados na se¸c˜ao (2.2). Este operador ´e

apenas Q =



dzλ

, ou seja, n˜ao aparecem os fantasmas (b, c) relacionados ao tensor de

energia-momento, como esperar´ıamos se estiv´essemos trabalhando com o m´etodo BRST

usual. A constru¸c˜ao leva em conta todas as componentes de d

,n˜ao apenas a parte de

primeira classe; al´em disto, n˜ao requeremos que d

se anule, como acontece no m´etodo de

Dirac.

Uma das caracter´ısticas mais importantes do formalismo ´e que o fantasma λ

deve

obedecer a condi¸c˜ao de espinor puro, (λγ

λ) = 0, de forma que o operador BRST seja

60 4.3. Quantiza¸c˜ao covariante da supercorda

nilpotente. Este fato n˜ao tem an´alogo no m´etodo BRST usual. Esta condi¸c˜ao tamb´em

restringe em que combina¸c˜oes o momento conjugado a λ

pode aparecer, como vimos na

se¸c˜ao anterior.

Em espinores puros, deﬁnimos os estados f´ısicos como estados de n´umero de fantasma

um na cohomologia do operador Q =



dzλ

, assim como no m´etodo BRST usual

para a corda bosˆonica os estados f´ısicos s˜ao aqueles que tem n´umero de fantasma um na

cohomologia do operador BRST. A partir da imposi¸c˜ao que o operador de v´ertice deve

ser invariante por BRST, encontramos as equa¸c˜oes de movimento. Este fato ´e an´alogo ao

que encontramos no caso da corda bosˆonica, no cap´ıtulo 2.

No c´alculo de amplitudes de espalhamento, ´e necess´ario usar a seguinte prescri¸c˜ao para

calcular as fun¸c˜oes de correla¸c˜ao, de forma a obter um resultado n˜ao nulo [10][11]:

(λγ

θ)(λγ

θ)(θγ

mnp

θ) =1. (4.72)

Esta prescri¸c˜ao est´a relacionada com os modos zero dos campos λ

e θ

. Da mesma forma,

uma prescri¸c˜ao para os modos zero do fantasma c aparece no c´alculo de amplitudes para

a corda bosˆonica:

c∂c∂

c =1. (4.73)

Obviamente, existem diferen¸cas e semelhan¸cas entre os dois m´etodos, mas o mais

importante ´e que ambos descrevem corretamente os estados f´ısicos da supercorda. No

entanto, como j´a foi mencionado anteriormente, o formalismo de espinores puros tem uma

vantagem em rela¸c˜ao aos formalismos de supercorda existentes: o c´alculo de amplitudes

de espalhamento pode ser feito covariantemente, sem as complica¸c˜oes que aparecem em

RNS e GS [11].

Cap´ıtulo 5

Equivalˆencia

Como mencionado nos cap´ıtulos anteriores, o formalismo que permite quantizar covari-

antemente a supercorda com supersimetria manifesta ´e o formalismo de espinores puros.

Seus ingredientes b´asicos s˜ao uma a¸c˜ao quadr´atica para os f´ermions, o operador BRST

Q =



dzλ

e o fantasma espinorial bosˆonico λ

que ´e vinculado a obedecer a condi¸c˜ao

de espinor puro (λγ

λ) = 0. No entanto, no m´etodo BRST padr˜ao os fantasmas n˜ao

obedecem a condi¸c˜oes de v´ınculo como no caso do formalismo de espinores puros. Esta

peculiaridade do formalismo de espinores puros ainda n˜ao ´e completamente bem enten-

dida, mas ´e poss´ıvel derivar a condi¸c˜ao de espinores puroseooperador BRST partindo

da a¸c˜ao de Green-Schwarz no semi-gauge de cone de luz com vari´aveis fermiˆonicas adi-

cionais atrav´es da equivalˆencia das cohomologias dos operadores BRST desta a¸c˜aoeade

espinores puros [14].

Neste cap´ıtulo, ser˜ao apresentados os procedimentos usados para mostrar a equivalˆencia

do formalismo de espinores puros e de Green-Schwarz para a supercorda. Mas antes ´e

instrutivo mostrar esta equivalˆencia no caso da superpart´ıcula [13], partindo da a¸c˜ao de

Brink-Schwarz no semi-

gauge

de cone de luz.

5.1. Equivalˆencia entre a a¸c˜ao de Brink-Schwarz e de espinores puros para a

superpart

Icula

5.1 Equivalˆencia entre a a¸c˜ao de Brink-Schwarz e de

espinores puros para a superpart´ıcula

Para mostrar a equivalˆencia entre as a¸c˜oes de Brink-Schwarz e espinores puros, come¸camos

comaa¸c˜ao de Brink-Schwarz no semi-gauge de cone de luz, e adicionamos um par de

vari´aveis fermiˆonicas (p

,θ

) que n˜ao est˜ao relacionadas ao espinor S

, e deﬁnimos

= p

+2P

(γ

θ)

, (5.1)

que satisfazem os parˆenteses de Poisson

} =4P

αβ

. (5.2)

Agora, constru´ımos a quantidade



= d

(γ

√

, (5.3)

que s˜ao v´ınculos de primeira classe, como ´e poss´ıvel ver pela ´algebra que obedecem:

{



} =

αβ

. (5.4)

Aa¸c˜ao da superpart´ıcula no semi-gauge de cone de luz com as novas vari´aveis e v´ınculos

´e escrita como

S =



dτ



˙x

+ eP

+ i

+ f





, (5.5)

sendo f

multiplicadores de Lagrange fermiˆonicos que est˜ao relacionados ao v´ınculo (5.3).

Para retornar `aa¸c˜ao original no semi-gauge de cone de luz, usa-se



para escolher θ

=0.

Tendo apenas v´ınculos de primeira classe na teoria, a constru¸c˜ao do operador BRST se

faz da maneira usual. A a¸c˜ao, depois de ﬁxada pelos fantasmas, toma a forma

5.1. Equivalˆencia entre a a¸c˜ao de Brink-Schwarz e de espinores puros para a

superpart

Icula 63

S =



dτ



˙x

−

+ i



w

+ i ˙cb



, (5.6)

sendo que foi escolhido e = −1/2ef

= 0; o operador BRST, na nota¸c˜ao SO(8), ´e escrito

como



Q =



√



˙a

−

(Sσ



λ)

√

+ c



−4P

−



−



˙a



˙a

b. (5.7)

Note que ´e poss´ıvel reescalonar os fantasmas (b, c) por fatores de P

b −→

,c−→ cP

, (5.8)

de tal forma que o fantasma c apareceria multiplicando P

no operador BRST



No entanto, para a generaliza¸c˜ao para a supercorda do procedimento apresentado nesta

se¸c˜ao, ´e conveniente trabalhar com o operador BRST da equa¸c˜ao (5.7).

Os geradores de Lorentz, como nos casos anteriores, s˜ao constru´ıdos sabendo como

os campos se transformam por transforma¸c˜oes de Lorentz. Por exemplo, um vetor e um

espinor de Lorentz tˆem as seguintes transforma¸c˜oes

δX

= a

,δθ

(γ

θ)

. (5.9)

sendo a

os parˆametros da transforma¸c˜ao. Ent˜ao, a constru¸c˜ao dos geradores se faz

usando o teorema de Noether. Isto funciona para as componentes N

+−

, N

e N

, porque a transforma¸c˜ao δθ

(γ

θ)

preserva (γ

θ)

= 0. Como no caso de

i−

isto n˜ao acontece, alguns campos devem se transformar de forma diferente da usual

para que preservem a condi¸c˜ao do semi-gauge de cone de luz. Os campos S

, b e c se

transformam da seguinte forma por rota¸c˜oes de N

i−

5.1. Equivalˆencia entre a a¸c˜ao de Brink-Schwarz e de espinores puros para a

superpart

Icula

δS

= −

i−

a ˙a

(Sσ

)

˙a

i−

b(σ



λ)

√

δb = −

i−

δc = −

i−

(Sσ



λ)

√

i−

. (5.10)

Sabendo estas transforma¸c˜oes, o procedimento para construir N

i−

´e o mesmo usado para

construir as outras componentes. Os geradores de Lorentz s˜ao

+−

= −ix

−

+ ix

−

+ θ

− θ

˙a



w

−



˙a

w

˙a

− 2bc ,

= −ix

+ ix

− (pσ

θ)+(wσ



λ) ,

= −ix

+ ix

(θσ

p)+

(θ¯σ

p)+

(



λσ

w)+

(



λ¯σ

w) −

(Sσ

S) ,

i−

= −ix

−

+ ix

−

b(Sσ



λ)

√

−

(Sσ

)

˙a

(Sσ

)

˙a

+(θσ

p)+(



λσ

w) −

2bcP

. (5.11)

Eles obedecem `a´algebra de Lorentz, exceto pelo comutador de N

i−

com ele mesmo, que

fecha a ´algebra a menos de uma transforma¸c˜ao BRST em estados na camada de massa:

i−

j−





Q, −

b(Sσ

)

˙a

(Sσ

)

˙a



. (5.12)

A constru¸c˜ao dos geradores de Lorentz mostra que, apesar da condi¸c˜ao (γ

θ)

= 0 quebrar

a invariˆancia de Lorentz manifesta da teoria, esta ainda continua sendo invariante.

Agora vamos mostrar que a cohomologia do operador BRST



Q ´e equivalente `a coho-

mologia do operador BRST de espinores puros com a condi¸c˜ao (λγ

λ) = 0. Para mostrar

a equivalˆencia das cohomologias de



Q e Q = λ

com λ

sendo um espinor puro, primeiro

vamos mostrar que a cohomologia de



Q ´e equivalente `a cohomologia do operador BRST





+ λ

˙a



˙a

, (5.13)

5.1. Equivalˆencia entre a a¸c˜ao de Brink-Schwarz e de espinores puros para a

superpart

Icula 65

num espa¸co de Hilbert independente dos fantasmas (b, c), e λ

˙a

deve obedecer λ

˙a

=0.

Para isto, vamos supor que um estado V est´a na cohomologia de Q



;ent˜ao V ´e aniquilado

pelo operador





˙a



˙a

, (5.14)

a menos de termos proporcionais a



˙a



˙a

, ou seja,



V =



˙a



˙a

W, (5.15)

para algum estado W. O operador Q



´e nilpotente a menos de termos proporcionais a



˙a



˙a



)



˙a



˙a

. (5.16)

A equa¸c˜ao acima e (5.15) implicam que



W =

, (5.17)

que por sua vez implica que o estado



V = V +2cW ´e aniquilado por



V = Q



V −2cQ



W +



4cP



V −





˙a



˙a



2cW



˙a



˙a

W − 4c







4cP



V −



˙a



˙a

W =0. (5.18)

Al´em disto, se o estado V ´e BRST-trivial a menos de termos proporcionais a



˙a



˙a

V = Q



Ω+



˙a



˙a

Y, (5.19)

para quaisquer estados Y eΩ,ent˜ao o estado



V = V +2cW =



Q(Ω − 2cY ) tamb´em ´e

BRST-trivial. Portanto, qualquer estado na cohomologia de Q



est´a na cohomologia de

Q, num espa¸co de Hilbert independente de (b, c).

5.1. Equivalˆencia entre a a¸c˜ao de Brink-Schwarz e de espinores puros para a

superpart

Icula

Para mostrar que qualquer estado na cohomologia de



Q est´a na cohomologia de Q



vamos supor um estado



V que est´a na cohomologia de



Q;al´em disto, o fantasma b ´e

escolhido para aniquilar o v´acuo. Portanto, um estado geral que est´a na cohomologia de



Q pode ser escrito como



V = V + cW , (5.20)

para quaisquer estados V e W .Ent˜ao



QV =



˙a



˙a

W, (5.21)

implica que Q



V = 0 no espa¸co de Hilbert reduzido (ou seja, independente de (b, c) e onde

˙a

= 0). E se



V ´e um estado BRST-trivial com rela¸c˜ao a



Q, ou seja,



V =



QΛ , (5.22)

para Λ = Ω + cY ,ent˜ao

V =



QΩ −



˙a



˙a

Y, (5.23)

ou seja, V = Q



Ω no espa¸co de Hilbert reduzido. Portanto, as cohomologias de



Q e Q



s˜ao equivalentes.

Agora, ser´a mostrado que a cohomologia da carga Q



´e equivalente `a cohomologia do

operador BRST de espinores puros Q = λ

num espa¸co de Hilbert independente de

, e onde λ

´e um espinor puro. Para isto, vamos deﬁnir um espinor antiquiral r

˙a

que

satisfaz r

˙a

=1er

˙a

= 0. Usando este espinor, podemos separar os campos S



seguinte maneira:

= S

+ S



, (5.24)

5.1. Equivalˆencia entre a a¸c˜ao de Brink-Schwarz e de espinores puros para a

superpart

Icula 67

sendo

(σ

λ)

(Sσ

r) ,

(σ

(Sσ

λ) ,



(σ

λ)

(



λσ

r) ,



(σ

(



λσ

λ) , (5.25)

Tamb´em precisamos exigir que os estados f´ısicos s´o dependam de r

˙a

na combina¸c˜ao

(σ

λ)

. Isto ´e necess´ario porque se os estados pudessem depender arbitrariamente

de r

˙a

, a cohomologia se tornaria trivial ap´os sua inclus˜ao; por exemplo, QV = 0 implica

que Q(θ

˙a

V )=V .

Os campos deﬁnidos em (5.25) obedecem `as seguintes rela¸c˜oes de anticomuta¸c˜ao:

} =

(σ

λ)

(σ

} = {S

} =0. (5.26)

O operador BRST Q



, em termos destes novos campos, ´e escrito como





√



√

+ λ

˙a

−

2(S

λ)P

√

. (5.27)

Vamos fazer uma transforma¸c˜ao de similaridade em Q



−→ e

−

√



√

= λ

˙a



√

, (5.28)

onde usamos

5.1. Equivalˆencia entre a a¸c˜ao de Brink-Schwarz e de espinores puros para a

superpart

Icula

−A

= Q +[Q, A]+

[Q, [Q, A]] +

[Q, [Q, [Q, A]]] + ... (5.29)

E pode-se ver que Q



= λ



√

, sendo λ

um espinor puro deﬁnido como

[λ

˙a

,λ

]=[λ

˙a



] . (5.30)

Pelo argumento quarteto para



, w

, S

e S

, temos que estados do tipo

F = f



√

,G= gS

√

, (5.31)

s˜ao BRST-triviais com rela¸c˜ao a Q



pois

F = Q







,G= Q





w



. (5.32)

J´a estados do tipo

H = hw

,J= jS

, (5.33)

n˜ao est˜ao na cohomologia de Q



pois



H =2hS

√

=0,Q



J =2j



√

=0. (5.34)

Portanto, as cohomologias de Q



e Q = λ

s˜ao equivalentes num espa¸co de Hilbert

independente de



, w

, S

e S

, sendo λ

um espinor puro.

Finalmente, a a¸c˜ao de Brink-Schwarz para a superpart´ıcula ´e equivalente `aa¸c˜ao

S =



dτ



˙x

−

+ i



, (5.35)

junto com o operador BRST Q = λ

e(λγ

λ) = 0, a condi¸c˜ao de espinor puro. Apesar

desta deriva¸c˜ao da equivalˆencia entre a superpart´ıcula de Brink-Schwarz e a superpart´ıcula

do formalismo de espinores puros n˜ao ser invariante de Lorentz manifesta, o resultado ﬁnal

5.2. Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a

supercorda 69

´e manifestamente covariante. Usando procedimento an´alogo, mostraremos, na pr´oxima

se¸c˜ao, que a a¸c˜ao de Green-Schwarz para a supercorda ´e equivalente `aa¸c˜ao de espinores

puros para a supercorda.

5.2 Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz

e espinores puros para a supercorda

A demonstra¸c˜ao da equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros

para a supercorda segue procedimento an´alogo ao apresentado na se¸c˜ao anterior. Primeiro,

partimos da a¸c˜ao de Green-Schwarz no semi-gauge de cone de luz, e incluimos um par

de vari´aveis fermiˆonicas (p

,θ

), sendo p

o momento conjugado ao espinor de SO(9, 1)

. Este par de vari´aveis fermiˆonicas n˜ao est´a relacionado a S

.Aa¸c˜ao, com as novas

vari´aveis, ´e

S =





∂X

∂S

+ p

∂θ



. (5.36)

Feito isto, deﬁnimos

= p

+(θγ

)

(2∂X

+(θγ

∂θ)) , (5.37)

que satisfazem a ´algebra

(y)d

(z) −→

4γ

αβ

y − z

. (5.38)

A partir de d

, construimos as quantidades



, que s˜ao os geradores da nova invariˆancia

de gauge decorrente da inclus˜ao das vari´aveis (θ

). Escrevendo



em nota¸c˜ao SO(8),

temos

5.2. Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a

supercorda



= d

+2S

√



˙a

= d

˙a

−

2Π

(Sσ

)

˙a

√

(Sσ

S)(¯σ

∂θ)

˙a

4Π

−

4∂

˙a

2∂Π

∂θ

˙a

(Π

)

, (5.39)

sendo que a, ˙a variam de 1 a 8, Π

,Π

eΠ

−

s˜ao componentes de Π

a ˙a

b ˙a

+ σ

a ˙a

b ˙a

=2δ

(σ

a ˙a

b ˙a

− σ

a ˙a

b ˙a

) ,

¯σ

˙a

(σ

a ˙a

− σ

a ˙a

) , (5.40)

s˜ao matrizes de Dirac 8 × 8 que aparecem em γ

αβ

quando escrita na forma de bloco:

αβ

⎛

⎝

0 σ

a ˙a

⎞

⎠

. (5.41)

A constru¸c˜ao do v´ınculo



s´opˆode ser feita na nota¸c˜ao SO(8); no entanto, como ﬁcar´a

claro no ﬁm da demonstra¸c˜ao, o resultado ﬁnal ser´a invariante de Lorentz. A ´algebra de

primeira classe ´e dada por



˙a

(y)



(z) −→



T (z)δ

˙a

y − z



˙a

(y)



(z) −→ regular ,



(y)



(z) −→ regular , (5.42)

sendo



T = −4Π

−

∂θ

√

−

8Π

(Sσ

∂θ)

(Π

)

3/2

−

∂S

4Π

4(Sσ

∂θ)(Sσ

∂θ)

(Π

)

−

16∂

˙c

∂θ

˙c

(Π

)

−

2∂

(log Π

)

, (5.43)

5.2. Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a

supercorda 71

que tamb´em ´e uma quantidade de primeira classe:



T (y)



T (z) −→ regular ,



T (y)



˙a

(z) −→ regular ,



T (y)



(z) −→ regular . (5.44)

Os seguintes OPE’s foram usados nestes c´alculos:

(y)d

(z) −→ −

4δ

y − z

(y)d

˙a

(z) −→

4σ

a ˙a

y − z

˙a

(y)d

(z) −→ −

4δ

˙a

−

y − z

(y)Π

(z) −→ regular ,

(y)Π

−

(z) −→

4∂θ

y − z

(y)Π

(z) −→

2(σ

∂θ)

y − z

˙a

(y)Π

(z) −→

4∂θ

˙a

y − z

˙a

(y)Π

−

(z) −→ regular ,

˙a

(y)Π

(z) −→

2(σ

∂θ)

˙a

y − z

. (5.45)

Como o sistema s´o apresenta v´ınculos de primeira classe, podemos proceder com o

m´etodo BRST padr˜ao. A a¸c˜ao deve incluir fantasmas anticomutantes para o v´ınculo



T e

fantasmas comutantes para



˙a

S =





∂X

∂S

+ p

∂θ

∂



w

+ b

∂c



, (5.46)

sendo (b, c) o par de fantasmas anticomutantes para o v´ınculo bosˆonico



T ,e(



, w

par de fantasmas espinoriais comutantes para os v´ınculos fermiˆonicos



˙a

. Note que

n˜ao h´a restri¸c˜oes sobre o fantasma



. O operador BRST, escrito em nota¸c˜ao SO(8), ´e

5.2. Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a

supercorda



Q =







T +



˙a



˙a



−



˙a



˙a



. (5.47)

Como no caso da superpart´ıcula, podemos reescalonar os fantasmas b e c da seguinte

forma:

b −→

,c−→ cΠ

. (5.48)

Fazendo esta redeﬁni¸c˜ao, c multiplicaria o tensor de energia momento usual no operador

BRST. Este procedimento pode ser feito, no n´ıvel quˆantico, da seguinte forma:



Q −→ e

− dzbc log Π



+ dzbc log Π



dz(cT

+ bc∂c + ...) , (5.49)

sendo



dz(cT

+ bc∂c) o operador BRST que aparece no cap´ıtulo 4 para a a¸c˜ao de

Green-Schwarz no semi-gauge de cone de luz, e (...)s˜ao termos que envolvem as vari´aveis

(θ

)e(



, w

). No entanto, para mostrar a equivalˆencia entre



Q e o operador BRST

de espinores puros, ´e mais conveniente n˜ao reescalonar b e c, deixando



Q na forma da

equa¸c˜ao (5.47).

O tensor de energia-momento usual pode ser obtido fazendo

T =







bΠ

− w

∂θ



=Π

−

∂S

− d

∂θ

− w

∂



− b∂c −

∂

(log Π

) . (5.50)

Portanto, a quantidade

bΠ

− w

∂θ

faz o papel do fantasma b usual. Novamente, o

termo −

∂

(log Π

) que aparece acima ´e necess´ario para manter as invariˆancias conforme

e de Lorentz no n´ıvel quˆantico

∗

. Usando os OPE’s de X

, S

e (5.45), ´ef´acil veriﬁcar

que T tem carga central igual a zero.

∗

Muitos artigos discutem anomalias da supercorda de GS no semi-gauge de cone de luz [27]. No

entanto, n˜ao encontramos artigos que discutam este assunto usando o m´etodo BRST.

5.2. Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a

supercorda 73

Apesar da quebra da invariˆancia de Lorentz manifesta pela imposi¸c˜ao da condi¸c˜ao

de gauge (γ

θ)

=0,aa¸c˜ao (5.46) ainda tem simetria de Lorentz. Como nos casos

anteriores, os geradores de Lorentz N

, N

+−

e N

s˜ao constru´ıdos de maneira canˆonica,

exceto por N

i−

que, se considerarmos as transforma¸c˜oes usuais de S

, b e c,n˜ao preservar´a

a condi¸c˜ao do semi-gauge de cone de luz. Portanto, estes campos devem transformar-se

por N

i−

como

δS

i−

a ˙a

(Sσ

)

˙a

−

i−

−

i−

a ˙a

(Sσ

)

˙a

(Sσ

∂θ)

(Π

)

3/2

i−

(Sσ

∂θ)

(Π

)

3/2

i−

(σ

∂

θ)

(Π

)

3/2

−

i−

(σ

∂θ)

∂Π

(Π

)

5/2

i−

b(σ

λ)

√

−

i−

bc(σ

∂θ)

(Π

)

3/2

δb =

i−

b(Sσ

∂θ)

(Π

)

3/2

−

i−

bΠ

δc = −

i−

(Sσ

λ)

√

−

i−

c(Sσ

∂θ)

(Π

)

3/2

i−

cΠ

, (5.51)

e a parte holom´orﬁca dos geradores de Lorentz ´e dada por

= −X

∂X

+ X

∂X

(



λσ

w)+

(



λ¯σ

w)+

(θσ

p)+

(θ¯σ

p) −

(Sσ

S) ,

+−

= −

∂X

−

∂X



w

−



˙a

w

˙a

−

˙a

− bc ,

= −X

∂X

+ X

∂X

+(wσ



λ) − (pσ

θ) ,

i−

= −X

∂X

−

+ X

−

∂X

−

(Sσ

)

˙a

(Sσ

)

˙a

2Π

(Sσ

)

˙a

(Sσ

)

˙a

(Sσ

∂θ)

3(Π

)

3/2

2(∂Sσ

∂θ)

(Π

)

3/2

−

2(Sσ

∂θ)∂Π

(Π

)

5/2

b(Sσ



λ)

√

2bc(Sσ

∂θ)

(Π

)

3/2

−

2bcΠ



λσ

w)+(θσ

p) . (5.52)

Novamente, eles obedecem `a´algebra de Lorentz exceto pelo comutador de N

i−

com ele

mesmo, que fecha a ´algebra a menos de uma transforma¸c˜ao de gauge em estados na

camada de massa:

5.2. Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a

supercorda





dyN

i−

(y),



dzN

j−

(z)











−

b(Sσ

)

˙a

(Sσ

)

˙a

4Π



(z)



. (5.53)

Para come¸car a mostrar que o espectro f´ısico determinado pelos estados na cohomologia



Q ´e o mesmo que o espectro determinado pelo operador BRST de espinores puros,

primeiro vamos mostrar que a cohomologia do operador



Q ´e equivalente `a cohomologia

do operador





dz(



+ λ

˙a



˙a

) , (5.54)

sendo que λ

˙a

satisfaz a condi¸c˜ao λ

˙a

= 0. Esta equivalˆencia ´e mostrada num espa¸co de

Hilbert independente dos fantasmas (b, c). Para isto, vamos supor um estado V que est´a

na cohomologia de Q



. Este estado ´e aniquilado pelo operador





dz(



˙a



˙a

) , (5.55)

a menos de termos proporcionais a



˙a



˙a

ou suas derivadas, isto ´e,



V =

∞



n=0

∂

(



˙a



˙a

(n)

, (5.56)

para algum W

(n)

com n variando de 0 a ∞. Tamb´em ´e necess´ario supor que V n˜ao tem

p´olos com o v´ınculo λ

˙a

, ou seja, este estado s´o depende de w

˙a

em combina¸c˜oes que

comutem com o v´ınculo imposto a λ

˙a

. Novamente, em analogia com a superpart´ıcula, Q



ser´a nilpotente a menos de um termo proporcional a



˙a



˙a



)





T (



˙a



˙a

)

, (5.57)

Da´ı segue que podemos saber como Q



atua em W

(n)



(n)





T (y)V (z)

(y − z)

. (5.58)

Usando as informa¸c˜oes acima, veriﬁca-se que o estado

5.2. Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a

supercorda 75



V = V +2

∞



n=0

(∂

c)W

(n)

(5.59)

´e aniquilado por



Q, ou seja, est´a na cohomologia de



Q. Da mesma forma, se um estado

V ´e BRST-trivial a menos de termos do tipo ∂

(



˙a



˙a

V = Q



Ω+

∞



n=0

∂

(



˙a



˙a

(n)

, (5.60)

para algum Y

(n)

,ent˜ao



V tamb´em ´e BRST-trivial com rela¸c˜ao a



V = V +2

∞



n=0

(∂

c)W

(n)





Ω − 2

∞



n=0

(∂

c)Y

(n)



. (5.61)

Desta forma mostrou-se que qualquer estado na cohomologia de Q



est´a na cohomologia



Q num espa¸co de Hilbert independente dos fantasmas (b, c) e onde λ

˙a

=0.

Para mostrar que qualquer estado que est´a na cohomologia de



Q est´a na cohomologia

de Q



, primeiro ´e necess´ario notar que qualquer estado



V com n´umero de fantasma um e

que est´a na cohomologia de



Q com P

n˜ao nulo pode ser escrito como



V = V + cW , (5.62)

para quaisquer V e W independentes de (b, c). Pode-se mostrar isto lembrando que,

no gauge de cone luz, a invariˆancia gerada pelos v´ınculos



T e



´e usada para eliminar

vari´aveis da teoria, exceto X

, S

e o modo zero de X

. Assim, o operador de v´ertice

integrado no gauge cone de luz depende apenas destas vari´aveis, ou seja,



dzV



dzV

) . (5.63)

Usando a constru¸c˜ao DDF (Del Giudice, Di Vecchia e Fubini)

†

, podemos deﬁnir um

operador de v´ertice que seja invariante BRST

†

A constru¸c˜ao DDF [28] consiste, em poucas palavras, na constru¸c˜ao de operadores que comutam com

os operadores de Virasoro e que, quando aplicados sucessivamente no estado de v´acuo, fornecem todos

os poss´ıveis estados f´ısicos. Est˜ao em correspondˆencia um a um com os modos transversos dos campos.

5.2. Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a

supercorda



dzV

DDF

,θ

) ,

tal que V

DDF

coincida com V

quando ∂X

= θ

= 0. Como



dzV

DDF

´e invariante

BRST, ent˜ao



DDF

= ∂



V, (5.64)

para algum



V . Da forma do operador BRST



Q, concluimos que



V =



+ cW , (5.65)

sendo V

e W os p´olos duplos provenientes do OPE de





T com V

DDF

, respectivamente.

E como

∂(



V )=



DDF

=0, (5.66)

en˜ao h´a campos da folha de mundo constantes, isto implica que



V = 0. Portanto,



V =



+ cW ´e um operador de v´ertice de n´umero de fantasma um que est´ana

cohomologia BRST, e que representa o estado no cone de luz



dzV



Q(V + cW ) = 0, isto implica que Q



V =



˙a



˙a

W , e portanto Q



V = 0 no espa¸co

de Hilbert reduzido. Por outro lado, se



V =



QΛ, sendo

Λ=Ω+cY ,

ent˜ao isto implica que V = Q



Ω −



˙a



˙a

Y ,eV = Q



Ω no espa¸co de Hilbert reduzido.

Portanto, as cohomologias de



Q e Q



s˜ao equivalentes para estados com momento n˜ao

nulo P

‡

A prova da equivalˆencia n˜ao vale para estados com momento nulo pois estes estados n˜ao podem ser

descritos por operadores de v´ertice no cone de luz.

5.2. Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a

supercorda 77

Para completar a demonstra¸c˜ao, ´e necess´ario mostrar a equivalˆencia entre as coho-

mologias de Q



e do operador BRST do formalismo de espinores puros Q =



dz λ

com a condi¸c˜ao (λγ

λ) = 0. Para isto, ´e conveniente deﬁnir um espinor antiquiral r

˙a

que

satisfaz r

˙a

=1er

˙a

= 0. Novamente, como na superpart´ıcula, os estados f´ısicos s´o

poder˜ao depender de r

˙a

na combina¸c˜ao (σ

(σ

λ)

, de forma que a cohomologia n˜ao se

torne trivial.

Podemos separar os campos S



da seguinte forma

= S

+ S



, (5.67)

sendo

(σ

λ)

(Sσ

r) ,

(σ

(Sσ

λ) ,



(σ

λ)

(



λσ

r) ,



(σ

(



λσ

λ) . (5.68)

Estes campos tˆem os seguintes OPE’s n˜ao nulos:

(y)S

(z) −→

(σ

λ)

(σ

2(y − z)

(y)S

(z)=S

(y)S

(z) −→ regular . (5.69)

Escrevendo Q



explicitamente em termos dos novos campos, temos

5.2. Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a

supercorda





dz(λ

˙a



˙a



)



dz(λ

˙a

−

2Π

λ)

√

−

2:S

: λ

˙a

∂θ

˙a

λ)(S

∂θ)

−

4∂

˙a

2∂Π

∂θ

˙a

(Π

)



√



√

) , (5.70)

sendo que : : denota ordenamento normal, isto ´e,

: S

(z):≡



(y)S

(z)

y − z

. (5.71)

Vamos fazer uma s´erie de transforma¸c˜oes de similaridade em Q



para deix´a-lo numa

forma adequada para mostrar a equivalˆencia. A primeira transforma¸c˜ao ´e



→ e

−A



= Q



A =



√

, (5.72)

onde usamos novamente

−A

= B +[B,A]+

[B,[B, A]] +

[B,[B, [B, A]]] + ... (5.73)

O operador BRST resultante Q



´e





dz(λ

˙a

−

2:S

: λ

˙a

∂θ

˙a

4(∂θ

˙a

)(∂λ

)

−

2∂Π

∂θ

˙a

(Π

)



√

) . (5.74)

Uma segunda transforma¸c˜ao de similaridade ´e feita, agora em Q



5.2. Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a

supercorda 79



→ e

−A



= Q



A =





−

∂Π

2Π

: S

: log Π

4(∂θ

˙a

)(∂θ

)



. (5.75)

E por ﬁm obtemos a forma desejada, o operador transformado Q





dz(λ

˙a



) . (5.76)

Em Q



,o´ultimo termo vem de uma s´erie de potˆencias em Π



√



1 −

log Π



log Π



−



log Π



+ ...





√

exp



−

log Π





√

exp(log(Π

)

−1/2

)=2



. (5.77)

Podemos escrever Q



como





dz(λ



) , (5.78)

sendo λ

um espinor puro deﬁnido por

[λ

˙a

,λ

]=[λ

˙a



] . (5.79)

Pelo argumento quarteto para S



e seus momentos conjugados S

e w

, temos que

estados do tipo

F =

∞



n=0

(n)

∂



,G=

∞



n=0

(n)

∂

, (5.80)

s˜ao BRST-triviais com rela¸c˜ao a Q



pois

5.2. Equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores puros para a

supercorda





∞



n=0

(n)

∂



∞



n=0

(n)

∂







−

∞



n=0

(n)

∂

w



∞



n=0

(n)

∂

. (5.81)

sendo f

(n)

e g

(n)

constantes. J´a estados do tipo

H =

∞



n=0

(n)

∂

w

,J=

∞



n=0

(n)

∂

, (5.82)

n˜ao est˜ao na cohomologia de Q



, pois n˜ao s˜ao aniquilados pelo operador BRST:





∞



n=0

(n)

∂

w



= −2

∞



n=0

(n)

∂

=0,





∞



n=0

(n)

∂



∞



n=0

(n)

∂



=0, (5.83)

com h

(n)

e j

(n)

sendo constantes. Portanto, a cohomologia de Q



= Q +2



dzλ

´e equivalente `a cohomologia de Q =



dzλ

num espa¸co de Hilbert independente de



e seus momentos conjugados S

e w

. Para concluir, foi mostrado que a a¸c˜ao de

Green-Schwarz para a supercorda ´e equivalente `aa¸c˜ao do formalismo de espinores puros

S =





∂X

+ p

∂θ

∂λ

+ anti-holomorphic terms



, (5.84)

junto com o operador BRST Q =



dzλ

,eλ

´e um espinor puro. Como no caso da

superpart´ıcula, a deriva¸c˜ao do operador BRST e da condi¸c˜ao de espinor puro a partir da

supercorda de Green-Schwarz n˜ao ´e um procedimento em que a invariˆancia de Lorentz ´e

manifesta, mas o resultado ﬁnal (5.84) ´e covariante manifesto.

Cap´ıtulo 6

Conclus˜oes e Perspectivas

Nesta tese, mostramos a equivalˆencia entre os formalismos de Green-Schwarz e espinores

puros para a supercorda. Derivamos o operador BRST Q =



dzλ

eov´ınculo de

espinor puro (λγ

λ) = 0 a partir da a¸c˜ao de Green-Schwarz no semi-gauge de cone de luz

com vari´aveis fermiˆonicas adicionais, usando argumentos de equivalˆencia de cohomologia

dos operadores BRST. Os resultados foram publicados em [14].

No entanto, ainda n˜ao temos uma explica¸c˜ao de como funciona, a partir de primeiros

princ´ıpios, a quantiza¸c˜ao BRST no formalismo de espinores puros. A rela¸c˜ao de equivalˆencia

citada no par´agrafo anterior n˜ao explica a quantiza¸c˜ao em si, mas apenas mostra como

podemos derivar o operador BRST e a condi¸c˜ao de espinor puro.

Podemos especular o que seriam explica¸c˜oes poss´ıveis para a quantiza¸c˜ao neste for-

malismo. Por exemplo, duas caracter´ısticas deste formalismo que n˜ao est˜ao presentes no

m´etodo BRST usual s˜ao:

• o fato dos v´ınculos n˜ao se anularem por imposi¸c˜ao;

• ov´ınculo (λγ

λ) = 0 sobre o fantasma bosˆonico λ

Em sistemas vinculados, sabemos que os v´ınculos aparecem no c´alculo dos momentos

canˆonicos (v´ınculos prim´arios) ou na imposi¸c˜ao de consistˆencia temporal dos v´ınculos

prim´arios (v´ınculos secund´arios). Por exemplo, no primeiro caso temos que o momento

canˆonico de um sistema vinculado p depende das vari´aveis do espa¸co de fase; as equa¸c˜oes

que relacionam p e as outras vari´aveis ´e que s˜ao chamadas de v´ınculos:

φ = p − f(p, q)=0, (6.1)

e a rela¸c˜ao acima mostra que eles s˜ao vinculados a se anular. Os v´ınculos deﬁnem uma

superf´ıcie no espa¸co de fase, a chamada superf´ıcie vincular. Esta superf´ıcie ´e importante

na determina¸c˜ao dos estados f´ısicos: estes s˜ao fun¸c˜oes nesta superf´ıcie que s˜ao invariantes

de gauge, ou seja, comutam com os v´ınculos de primeira classe.

Voltando `a primeira caracter´ıstica do formalismo de espinores puros, podemos nos

perguntar como os estados f´ısicos s˜ao deﬁnidos neste caso, pois n˜ao existe mais uma

superf´ıcie vincular; al´em disto, d

cont´em n˜ao apenas quantidades de primeira classe, mas

tamb´em de segunda classe. Lembramos que na constru¸c˜ao do operador BRST, apenas

v´ınculos de primeira classe s˜ao permitidos; por este motivo, h´a uma equivalˆencia clara

entre a quantiza¸c˜ao de Dirac e a quantiza¸c˜ao BRST. Com base neste fato, outra pergunta

pode ser levantada: que tipo de condi¸c˜ao no formalismo de espinores puros faria o papel

dos an´alogos quˆanticos dos v´ınculos de primeira classe na quantiza¸c˜ao de Dirac?

Pelo que foi apresentado nos cap´ıtulos 3 e 4, sabemos que este formalismo realmente

descreve os estados f´ısicos da superpart´ıcula e da supercorda; portanto, existe uma forma

de separar estados f´ısicos de n˜ao f´ısicos. Este mecanismo pode ser uma uni˜ao das duas

caracter´ısticas acima: apesar de d

n˜ao deﬁnir uma superf´ıcie vincular, a condi¸c˜ao de

espinor puro (λγ

λ) = 0 pode ser o candidato natural a desempenhar este papel. Neste

caso, a diferen¸ca entre v´ınculos de primeira e segunda classe pode n˜ao ser relevante. Por

este motivo, seria importante estudar as propriedades geom´etricas dos espinores puros

e como a condi¸c˜ao de espinor puro deve ser interpretada no espa¸co de fase da teoria.

Uma compreens˜ao mais profunda destes aspectos j´a seria um passo adiante dentro do

formalismo.

Outro problema a ser atacado fazendo uso das ferramentas apresentadas nesta tese

´e o de mostrar a equivalˆencia entre a formula¸c˜ao padr˜ao da supermembrana em onze

dimens˜oes e a formula¸c˜ao constru´ıda em termos de espinores puros [29]. A supermem-

brana ´e um objeto de interesse para teorias de grande uniﬁca¸c˜ao pois acredita-se que ela

tenha propriedades relacionadas `a teoria M [30], que ´e uma teoria em onze dimens˜oes

espa¸co-temporais cuja existˆencia se faria sentir no setor n˜ao-perturbativo das teorias de

supercordas em dez dimens˜oes atrav´es de dualidades [3][31].

Apˆendice A

Matrizes gama em dez dimens˜oes

Em D =(9, 1), temos dez matrizes reais 32 × 32 Γ

, que forma a representa¸c˜ao das

matrizes gama de Dirac nesta dimens˜ao espa¸co-temporal. Estas matrizes podem ser

expressas como

⎛

⎝

0(σ

)

(˜σ

)

βγ

⎞

⎠

, (A.1)

sendo σ

=(I,σ

,χ)e˜σ

=(−I,σ

,χ), I ´e a identidade 16 × 16, σ

s˜ao 8 matrizes

sim´etricas de Dirac 16×16 com elementos fora da diagonal para D =(8, 0), e χ = σ

...σ

ou seja, a matriz de quiralidade para D =(8, 0). Tamb´em devemos deﬁnir a matriz de

conjuga¸c˜ao de carga C:

C =

⎛

⎝

0 c

⎞

⎠

, (A.2)

sendo que as matrizes c

e c

s˜ao numericamente iguais a I

16×16

e −I

16×16

, respectiva-

mente e, portanto, um espinor da forma λ

´e quiral e um espinor da forma 

´e antiquiral.

Nas a¸c˜oes escritas em termos de matrizes gama 32 × 32, o termo que aparece ´e CΓ

que, por c´alculo direto, fornece

CΓ

⎛

⎝

(˜σ

)

αβ

0 −(σ

)

β ˙α

⎞

⎠

≡

⎛

⎝

αβ

0(γ

)

βα

⎞

⎠

, (A.3)

onde foi usado

(Γ

)

⎛

⎝

0(˜σ

m,T

)

(σ

m,T

)

˙αβ

⎞

⎠

. (A.4)

Nesta tese, usamos apenas as matrizes 16 × 16 sim´etricas γ

αβ

=˜σ

αβ

e γ

˙α

= −σ

˙α

omitimos os pontos porque em dez dimens˜oes n˜ao ´e poss´ıvel abaixar e levantar ´ındices

espinoriais, pois a matriz de conjuga¸c˜ao de carga s´o tem componentes n˜ao nulas fora da

diagonal.

As matrizes γ

αβ

e γ

obedecem `as seguintes rela¸c˜oes:

αβ

n)βγ

=2η

m(αβ

γ)δ

=0. (A.5)

A forma expl´ıcita das matrizes gama utilizadas aqui ´e

αβ

⎛

⎝

⎞

⎠

,γ

0 αβ

⎛

⎝

−10

0 −1

⎞

⎠

αβ

⎛

⎝

0 −1

⎞

⎠

,γ

9 αβ

⎛

⎝

0 −1

⎞

⎠

αβ

⎛

⎝

0 σ

˙aa

a ˙a

⎞

⎠

,γ

iαβ

⎛

⎝

0 σ

˙aa

a ˙a

⎞

⎠

, (A.6)

Deﬁnindo

= γ

± γ

, (A.7)

temos tamb´em as matrizes na nota¸c˜ao de cone de luz:

+ αβ

⎛

⎝

0 −2

⎞

⎠

,γ

− αβ

⎛

⎝

−20

⎞

⎠

αβ

⎛

⎝

⎞

⎠

,γ

−

αβ

⎛

⎝

⎞

⎠

+ αβ

⎛

⎝

0 −2

⎞

⎠

,γ

− αβ

⎛

⎝

−20

⎞

⎠

αβ

⎛

⎝

⎞

⎠

,γ

αβ

−

⎛

⎝

⎞

⎠

. (A.8)

Apˆendice B

Resolu¸c˜ao do v´ınculo de espinor puro

Para resolver o v´ınculo de espinor puro λ

αβ

= 0 ou equivalentemente λ

(CΓ

)λ =0

[10], primeiro vamos combinar as dez matrizes de Dirac Γ

em termos de cinco operadores

de aniquila¸c˜ao a

e cinco operadores de cria¸c˜ao a

= a

†

, com i = 1 at´e 5 [32]:

(Γ

+ iΓ

) ,a

(Γ

+ iΓ

) ,...a

(Γ

− Γ

) ,

(Γ

− iΓ

) ,a

(Γ

− iΓ

) ,...a

(Γ

+Γ

) . (B.1)

Estes operadores satisfazem {a

} = δ

.Ent˜ao, deﬁnimos o v´acuo |0 como sendo

aniquilado pelos a

: a

|0 = 0. Atuando com os operadores a

obtemos 32 estados |A

com A = 1 at´e 32. Tamb´em introduzimos o estado 0| com 0|a

= 0, e atuando com os

operadores a

temos os 32 estados B|. Escolhemos os estados B| = |A

†

, logo B|A =

. A matriz de conjuga¸c˜ao de carga, deﬁnida no apˆendice A, ´e dada por

C = −Γ

=(a

− a

)(a

− a

) ...(a

− a

) . (B.2)

O espinor quiral λ pode ser expandido como

|λ = λ

|0 +



ijklm

|0 , (B.3)

e suas dezesseis componentes n˜ao nulas s˜ao dadas por

= 0|λ ,λ

0|a

|λ ,



ijklm

0|a

|λ . (B.4)

Agora estamos prontos para resolver o v´ınculo de espinor puro, que consiste nas 10

condi¸c˜oes abaixo:

λ|Ca

|λ =0,

λ|Ca

|λ =0. (B.5)

Antes, notemos que A|C |B =0seA

†

B ´e proporcional a a

pois 0|C =

0|a

. Se colocarmos todos os a

em A| `a direita de C, obtemos 0|CA

†

B |0,e

isto s´on˜ao se anula uma vez que todos os a

combinem com os a

de 0|C. Segue ent˜ao

que 0|Ca

|0 =1.

Para o primeiro conjunto de v´ınculos, temos

λ|Ca

|λ = λ

0|Ca

|λ+

0|a

|λ+



ijklm

0|a

|λ . (B.6)

Do primeiro termo, temos

0|Ca

|λ =



ijklm

0|Ca

|0



ijklm



nmlkj

= λ

. (B.7)

Como a

C = −Ca

e a

C = −Ca

, o segundo e terceiro termos fornecem

0|a

|λ =



nijkl



ijklm

0|a

|λ = λ

. (B.8)

Como (B.6) deve ser zero, temos que

2λ



abcde

=0, (B.9)

que ´e resolvido se

= −

−s



abcde

, (B.10)

com λ

= e

e λ

= u

. O segundo conjunto de v´ınculos tamb´em ´e satisfeito pela solu¸c˜ao

acima. Esta ´e a parametriza¸c˜ao de λ

que se encontra na se¸c˜ao (2.3).

Bibliograﬁa

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