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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
Otimização de Estruturas de Materiais
Compósitos Laminados, Baseada em
Confiabilidade, Utilizando Algoritmos
Genéticos e Redes Neurais Artificiais
por
Paulo André Menezes Lopes
Tese Apresentada para Obtenção do
Título de Doutor em Engenharia
Porto Alegre, setembro de 2009.
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Paulo André Menezes Lopes
Otimização de Estruturas de Materiais
Compósitos Laminados, Baseada em
Confiabilidade, Utilizando Algoritmos
Genéticos e Redes Neurais Artificiais
Tese submetida ao corpo docente do
Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Civil da Escola de Engenharia da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
como parte dos requisitos para a obtenção
do título de Doutor em Engenharia.
Orientação:Prof. Armando Miguel Awruch.
Co-orientação: Prof. Herbert Martins
Gomes.
Porto Alegre, setembro de 2009.
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Esta Tese de Doutorado foi julgada adequada para a obtenção do título de Doutor em Engenharia
e aprovada em sua forma final pelo orientador e pelo Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Civil, Área de Concentração : Estruturas.
__________________________________________
Orientador: Prof. Dr. Armando Miguel Awruch
__________________________________________
Co-Orientador: Prof. Dr. Herbert Martins Gomes
__________________________________________
Coordenador do PPGEC: Prof. Dr. Luiz Carlos Pinto da Silva Filho.
Banca Examinadora :
• Prof. Dr. Domingos Alves Rade (Faculdade de Engenharia Mecânica ⁄ Universidade Federal de
Uberlândia – Uberlândia - MG)
• Prof. Dr. Leonardo Dagnino Chiwiacowsky (Universidade do Vale do Rio dos Sinos, Centro de
Ciências Exatas e Tecnológicas – São Leopoldo - RS).
• Prof. Dr. Ruy Carlos Ramos de Menezes (Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Escola
de Engenharia, Departamento de Engenharia Civil – Porto Alegre – RS)
Porto Alegre, setembro de 2009.
Dedico este trabalho a
meus pais e à minha irmã.
ii
AGRADECIMENTOS
Ao orientador, Prof. Armando M. Awruch, pelas valiosas sugestões e por ter acreditado
no meu potencial para realizar este trabalho. Ao co-orientador, Prof. Herbert M. Gomes, pela
ajuda diária em transpor todas as dificuldades e pelo enorme incentivo.
Aos meus pais e minha irmã, pelo apoio emocional e carinho dispensado durante toda
minha caminhada.
A todos que de forma direta ou indireta contribuíram para e realização deste trabalho.
iii
SUMÁRIO
AGRADECIMENTOS ..................................................................................................... ii
SUMÁRIO ....................................................................................................................... iii
LISTA DE TABELAS.................................................................................................... vii
LISTA DE FIGURAS ..................................................................................................... ix
LISTA DE SÍMBOLOS ................................................................................................ xiii
RESUMO..................................................................................................................... xviii
ABSTRACT .................................................................................................................. xix
CAPÍTULO 1 .................................................................................................................. 20
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 20
1.1 Objetivos, justificativas e organização do trabalho. ......................................... 21
CAPÍTULO 2 .................................................................................................................. 26
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................. 26
2.1 Materiais compósitos laminados ....................................................................... 26
2.2 Confiabilidade de materiais compósitos laminados .......................................... 26
2.3 Otimização de materiais compósitos laminados com restrição de confiabilidade28
2.4 Redes neurais artificiais em problemas de engenharia ..................................... 32
2.4.1 Redes neurais na mecânica estrutural. ....................................................... 33
CAPÍTULO 3 .................................................................................................................. 37
3. MATERIAIS COMPÓSITOS LAMINADOS E ELEMENTO FINITO UTILIZADO
37
3.1 Introdução ......................................................................................................... 37
3.2 Compósitos laminados ...................................................................................... 38
3.2.1 Lâmina ortotrópica .................................................................................... 39
3.2.2 Seqüência de lâminas ................................................................................. 40
3.2.3 Relações de tensão-deformação ................................................................. 42
3.3 Critério de falha para laminados. ...................................................................... 45
3.3.1 Critérios de falha de resistência para compósitos laminados .................... 47
3.3.1.1 Teoria de falha da máxima tensão ...................................................... 47
3.3.1.2 Teoria de falha da máxima deformação ............................................. 48
3.3.1.3 Teoria de falha de Tsai-Hill. .............................................................. 49
3.3.1.4 Teoria de falha de Tsai-Wu ................................................................ 50
iv
3.3.2 Comparação entre resultados experimentais e as teorias de falha ............. 51
3.4 Elemento finito empregado na análise estrutural .............................................. 54
3.4.1 Elemento triangular plano para cascas e placas ......................................... 54
3.4.2 Elemento triangular plano para placas e cascas de compósito laminado .. 54
3.4.3 Exemplos numéricos de validação do elemento - Análise de tensões. ...... 56
3.4.3.1 Análise linear de tensões em placa apoiada submetida à carga de pressão
57
3.4.3.2 Análise não-linear de tensões em placa engastada submetida à carga de
pressão 58
CAPÍTULO 4 .................................................................................................................. 63
4. CONFIABILIDADE EM ESTRUTURAS DE MATERIAIS COMPÓSITOS ....... 63
4.1 Introdução ......................................................................................................... 63
4.2 Análise de confiabilidade de lâminas de materiais compósitos unidirecionais 63
4.2.1 Método de simulação de Monte Carlo ....................................................... 64
4.2.1.1 Geração de amostras para simulação ................................................. 66
4.2.1.2 Variáveis antitéticas ........................................................................... 67
4.2.2 Método de simulação de Monte Carlo com amostragem por importância 68
4.2.3 First order reliability method (FORM) ..................................................... 69
4.2.1.3 Algoritmo de Rackwitz –Fiessler ....................................................... 70
4.3 Análise de confiabilidade de laminados de materiais compósitos unidirecionais72
4.3.1 FORM aplicado para sistemas em série. ................................................... 76
4.4 Exemplo numéricos .......................................................................................... 77
4.4.1 Análise da confiabilidade de lâminas de materiais compósitos unidirecionais
78
4.2.1.4 Confiabilidade no estado uniaxial de tensão ...................................... 78
4.2.1.5 Confiabilidade no estado plano de tensões ........................................ 80
4.4.1.1 Efeito da variação do ângulo de orientação das fibras ....................... 82
4.4.1.2 Efeito de correlação entre as resistências e tensões aplicadas ........... 84
4.4.2 Análise da confiabilidade de laminados de materiais compósitos ............ 85
CAPÍTULO 5 .................................................................................................................. 88
5. OTIMIZAÇÃO BASEADA EM CONFIABILIDADE COM A.G. ........................ 88
5.1 Introdução ......................................................................................................... 88
5.2 Processo de otimização via algoritmos genéticos ............................................. 88
v
5.3 Operadores genéticos utilizados ....................................................................... 92
5.4 Exemplo numéricos .......................................................................................... 95
5.4.1 Projeto ótimo, com restrição de confiabilidade, de uma coluna metálica . 95
5.4.2 Otimização, sem restrição, de laminados de materiais compósitos ........... 99
5.4.2.1 Otimização do ângulo de orientação das fibras sob condições determinísticas
100
5.3.2.2 Otimização do ângulo de orientação das fibras sob condições probabilísticas
............................................................................................................................ 101
5.4.3 Otimização de placas de laminados de compósitos com restrição de confiabilidade
102
5.4.3.1 Resultados para tensões locais calculadas por expressão analítica .. 105
5.4.3.2 Resultados obtidos com tensões locais calculadas por elemento finito
triangular plano para cascas e placas .................................................................. 111
CAPÍTULO 6 ................................................................................................................ 116
6. R.N.A. PARA ACELERAÇÃO DA OTIMIZAÇÃO DE COMPÓSITOS COM A.G.
116
6.1 Introdução ....................................................................................................... 116
6.2 Redes neurais artificiais .................................................................................. 116
6.3 Rede neural perceptron de multicamada (RNPM) .......................................... 117
6.4 Redes neurais com funções de base radial (RNBR) ....................................... 120
6.4.1 Projeto de uma rede generalizada com funções de base radial ................ 123
6.5 Geração de amostras para treinamento da rede neural artificial ..................... 126
6.6 Resultados numéricos ..................................................................................... 127
6.6.1 EXEMPLO 1 ........................................................................................... 127
6.6.1.1 Primeiro caso – carga uniaxial ......................................................... 128
6.6.1.2 Segundo caso – Carregamento Biaxial ............................................. 130
6.6.1.3 Terceiro caso – cargas axiais e momentos ....................................... 131
6.6.2 EXEMPLO 2 – Casca semi-cilíndrica compósita com carga de pressão135
6.6.3 EXEMPLO 3 - Otimização de placas de laminados de compósitos com restrição de
confiabilidade ......................................................................................................... 138
6.6.4 EXEMPLO 4 – Otimização baseada em confiabilidade da orientação de lâminas de
estrutura compósita com comportamento não linear .............................................. 139
6.6.4.1 Análise utilizando o método dos elementos finitos .......................... 140
vi
6.6.4.2 Análise utilizando Redes Neurais Artificiais ................................... 142
6.6.4.3 Comparação de tempos de Processamento ....................................... 145
CAPÍTULO 7 ................................................................................................................ 146
7.1 CONCLUSÕES ................................................................................................. 146
7.2 Sugestões para trabalhos futuros .................................................................... 147
CAPÍTULO 8. ............................................................................................................... 149
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. .................................................................. 149
vii
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Propriedades mecânicas de lâminas de compósitos laminados (Jones, 1998).
......................................................................................................................................... 42
Tabela 3.2 – Propriedades do Material. ........................................................................... 58
Tabela 3.3 – Tensões no ponto próximo ao centro da placa para faces superior e inferior.58
Tabela 3.4 – Propriedades do material e dados geométricos. .......................................... 60
Tabela 4.1 - Valores Médios da Resistência do Material Usado (MPa). ......................... 78
Tabela 4.2 - Parâmetros do material (unidade: MPa). ..................................................... 86
Tabela 4.3 - Parâmetros das Tensões (unidade: GPa). .................................................... 86
Tabela 5.3 - Variáveis de projeto. .................................................................................... 95
Tabela 5.4 - Parâmetros estatísticos das variáveis aleatórias. ......................................... 96
Tabela 5.5 - Dados de entrada do programa de Algoritmos Genéticos............................99
Tabela 5.6 - Comparação de resultados para os valores do vetor de projeto ótimo (d) e custo
mínimo do perfil T. .......................................................................................................... 97
Tabela 5.7 - Médias e coeficiente de variação das resistências do Grafite/Epóxi (T300/5208)
(MPa). ............................................................................................................................ 100
Tabela 5.8 - Médias e desvios padrões das tensões aplicadas no plano do laminado (GPa).
....................................................................................................................................... 100
Tabela 5.9 - Propriedades mecânicas determinísticas do material. ............................... 103
Tabela 5.10 - Propriedades estatísticas das variáveis aleatórias. ................................... 103
Tabela 5.11 - Dados de entrada do programa de Algoritmos Genéticos. ...................... 104
Tabela 5.12 - Resultados da otimização das espessuras do laminado (Monte Carlo). .. 106
Tabela 5.13 - Resultados da otimização das espessuras do laminado (Monte Carlo com
amostragem por importância). ....................................................................................... 107
Tabela 5.14 - Resultados da otimização das espessuras do laminado (FORM para sistemas em
série). ............................................................................................................................. 109
Tabela 5.15 - Resultados da otimização das espessuras do laminado (FORM). ........... 110
Tabela 5.16 - Diferenças relativas para a espessura total do laminado (h
t
). .................. 111
Tabela 5.17 - Resultados da otimização das espessuras do laminado (FORM para sistemas em
série). ............................................................................................................................. 113
Tabela 5.18 - Resultados da otimização das espessuras do laminado (FORM). ........... 114
Tabela 5.19 - Diferenças relativas para a espessura total do laminado (h
t
). .................. 114
viii
Tabela 6.1 – Propriedades mecânicas e resistências do Vidro – Epóxi. ........................ 128
Tabela 6.2 – Tempo de processamento usando elementos finitos e redes neurais. ....... 129
Tabela 6.3 - Resultados dos tempos de processamento usando elementos finitos e redes neurais
artificiais RNBR (carregamento biaxial). ...................................................................... 130
Tabela 6.4 - Parâmetros estatísticos das variáveis aleatórias. ....................................... 132
Tabela 6.5 - Comparação dos valores do tempo de processamento para diversos métodos usando
redes neurais e elementos finitos para o cálculo da confiabilidade de um laminado compósito
com cargas axiais e momento. ....................................................................................... 134
Tabela 6.6 – Parâmetros estatísticos para as variáveis aleatórias. ................................. 136
Tabela 6.7 - Comparação dos valores do tempo de processamento para diversos métodos usando
redes neurais e elementos finitos para o cálculo da confiabilidade de uma casca semi-cilíndrica
com carregamento de pressão na superfície. ................................................................. 137
Tabela 6.8 - Comparação dos valores do tempo de processamento usando redes neurais ou
elementos finitos para otimização da espessura total do exemplo do item 5.3.3. ......... 138
Tabela 6.9 - Erros relativos em % usando redes neurais ou elementos finitos para otimização da
espessura total do exemplo do item 5.3.3. ..................................................................... 139
Tabela 6.10 – Parâmetros do algoritmo genético. ......................................................... 140
Tabela 6.11 – Comparação dos tempos de processamento para otimização dos ângulos das
lâminas usando o método dos elementos finitos e Redes Neurais Artificiais. .............. 145
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 - Fluxograma geral do processo de otimização. ............................................. 25
Figura 3.1 – Propriedades elásticas de uma lâmina de compósito. ................................. 39
Figura 3.2 – Sistema de coordenadas para uma lâmina unidirecional............................. 47
Figura 3.3 – Comparação entre dados experimentais e critério de falha da máxima tensão –
adaptado de (Kaw, 2006). ................................................................................................ 52
Figura 3.4 – Comparação entre dados experimentais e critério de falha da máxima deformação –
adaptado de (Kaw, 2006). ................................................................................................ 52
Figura 3.5 – Comparação entre dados experimentais e critério de falha de .................... 53
Tsai-Hill – adaptado de (Kaw, 2006). ............................................................................. 53
Figura 3.6 – Comparação entre dados experimentais e critério de falha de .................... 53
Tsai-Wu – adaptado de (Kaw, 2006). .............................................................................. 53
Figura 3.7 - Graus de liberdade do elemento triangular plano para placa e casca. ......... 55
Figura 3.8 – Malha de elementos finitos para placa retangular simplesmente apoiada. . 57
Figura 3.9 – Tensões nas faces superior e inferior da placa. ........................................... 59
Figura 3.10 – Malha de elementos finitos e indicação do ponto de integração onde são
comparadas as tensões calculadas. .................................................................................. 60
Figura 3.11 – Curva tensão Sx – nível de carga para faces superior e inferior do laminado no
primeiro ponto de integração do elemento 1. .................................................................. 61
Figura 3.12 – Curva tensão Sy – nível de carga para faces superior e inferior do laminado no
primeiro ponto de integração do elemento 1. .................................................................. 61
Figura 3.13 – Curva tensão Sxy – nível de carga para faces superior e inferior do laminado no
primeiro ponto de integração do elemento 1. .................................................................. 62
Figura 4.1 - Sistema laminado. ........................................................................................ 73
Figura 4.2 - FORM aplicado para múltiplas funções de estado limite – adaptado de Miki (1997).
......................................................................................................................................... 77
Figura 4.3 - Efeito do coeficiente de variação da tensão de tração em condição uniaxial de carga.
......................................................................................................................................... 79
Figura 4.4 - Efeito do coeficiente de variação da tensão de corte em condição uniaxial de carga.
......................................................................................................................................... 79
Figura 4.5 - Efeito dos Valores Médios de
1
S e
6
S . ......................................................... 80
Figura 4.6 - Efeito do Coeficiente de Variação de
1
S . .................................................... 81
x
Figura 4.7 - Efeito do Coeficiente de Variação de
6
S . .................................................... 81
Figura 4.8 - Efeito do desvio padrão do ângulo de orientação das fibras sobre condição de
carregamento de tração uniaxial 0)(
1
=SCV . .................................................................... 82
Figura 4.9 - Efeito do desvio padrão do ângulo de orientação das fibras sobre condição de
carregamento de tração uniaxial 6.0)(
1
=SCV . ................................................................. 82
Figura 4.10 - Efeito do desvio padrão do ângulo de orientação das fibras sobre condição corte
puro. ................................................................................................................................. 83
Figura 4.11 - Efeito da variação do ângulo de orientação sobre um estado plano de tensões (
1
S
variável). .......................................................................................................................... 84
Figura 4.12 - Efeito da variação do ângulo de orientação sobre um estado plano de tensões (S
6
variável). .......................................................................................................................... 84
Figura 4.13 - Efeito do coeficiente de correlação entre as tensões de tração e corte (estado plano
de tensões). ...................................................................................................................... 85
Figura 4.14 - Configuração dos laminados multiaxiais. .................................................. 86
Figura 5.1 - Estrutura básica do AG (Gomes, 2001). ...................................................... 89
Figura 5.5 - Comparação entre os índices de confiabilidade para os casos analisados. .. 98
Figura 5.6 - Comparação entre os custos mínimos da coluna de aço considerada em função dos
índices de confiabilidade. ................................................................................................ 99
Figura 5.7 - Ângulo de orientação ótimo de laminados multiaxiais em condições determinísticas.
....................................................................................................................................... 100
Figura 5.8 - Ângulo de orientação ótimo de laminados multiaxiais em condições probabilísticas.
....................................................................................................................................... 101
Figura 5.9 - Desenho esquemático do laminado utilizado nas otimizações. ................. 102
Figura 5.10 - Esquema de aplicação das cargas no laminado. ...................................... 103
Figura 5.11 - Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do número de
gerações (Monte Carlo). ................................................................................................ 105
Figura 5.12 - Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função do
número de gerações (Monte Carlo). .............................................................................. 106
Figura 5.13 - Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do número de
gerações (Monte Carlo com amostragem por importância). ......................................... 107
Figura 5.14 - Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função do
número de gerações (Monte Carlo com amostragem por importância). ....................... 107
xi
Figura 5.15 - Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do número de
gerações (FORM para sistemas em série). .................................................................... 108
Figura 5.16 - Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função do
número de gerações (FORM para sistemas em série). .................................................. 108
Figura 5.17 - Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do número de
gerações (FORM). ......................................................................................................... 109
Figura 5.18 - Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função do
número de gerações (FORM). ....................................................................................... 110
Figura 5.19 - Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do número de
gerações (FORM para sistemas em série). .................................................................... 112
Figura 5.20 - Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função do
número de gerações (FORM para sistemas em série). .................................................. 112
Figura 5.21 - Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do número de
gerações (FORM). ......................................................................................................... 113
Figura 5.22 - Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função do
número de gerações (FORM). ....................................................................................... 114
Figura 6.1 Neurônio, a unidade de processamento neural mais simples. ...................... 117
Figura 6.2 - Arquitetura genérica de uma RNPM 3:3:2 – retirado de Gomes (2001). .. 120
Figura 6.3 - Esquema geral de um neurônio de base radial. .......................................... 121
Figura 6.4 - Esquema geral de uma rede neural de base radial – retirado de Gomes (2001).
....................................................................................................................................... 122
Figura 6.5 - Esquema de geração do conjunto de amostras para treinamento da rede neural
artificial. ......................................................................................................................... 127
Figura 6.6 – Probabilidade de falha do laminado com carga uniaxial de tração N
1
. ..... 128
Figura 6.7 - Comparação dos custos computacionais para P
f
< 0,5 (carga uniaxial). .. 129
Figura 6.8 – Probabilidade de falha para o compósito laminado sob condições de carregamento
biaxial. ........................................................................................................................... 130
Figura 6.9 – Comparação dos tempos de processamento para probabilidades de falha P
f
< 0,8
(carregamento biaxial). .................................................................................................. 131
Figura 6.10 - Treinamento da RNPM. (a) Correlação entre os valores de Tsai-Wu usando RNPM
e elementos finitos, (b) Erro quadrático médio durante o processo de aprendizagem. . 133
Figura 6.11 - Treinamento da RNBR. (a) Correlação entre os valores de Tsai-Wu usando RNBR
e elementos finitos, (b) Erro quadrático médio durante o processo de aprendizagem. . 133
xii
Figura 6.12 - Geometria e Condições de Contorno da casca de compósito com carga de pressão.
....................................................................................................................................... 135
Figura 6.13 - Curva carga – deslocamento, não linear, no centro da estrutura para uma casca semi
– cilíndrica com 12,6 mm de espessura. ........................................................................ 136
Figura 6.14 – Histórico do índice de confiabilidade do melhor indivíduo e da média dos
indivíduos durante as gerações (elementos finitos). ...................................................... 141
Figura 6.15 – Histórico dos ângulos das lâminas do melhor indivíduo durante as iterações
(elementos finitos). ........................................................................................................ 141
Figura 6.16 – Histórico do índice de confiabilidade do melhor indivíduo e da média dos
indivíduos durante as iterações (Rede de Base Radial). ................................................ 143
Figura 6.17 – Histórico dos ângulos das lâminas do melhor indivíduo durante as iterações (Rede
de Base Radial). ............................................................................................................. 143
Figura 6.18 – Histórico do índice de confiabilidade do melhor indivíduo e da média dos
indivíduos durante as iterações (Rede Perceptron). ....................................................... 144
Figura 6.19 – Histórico dos ângulos das lâminas do melhor indivíduo durante as iterações (Rede
Perceptron). .................................................................................................................... 144
xiii
LISTA DE SÍMBOLOS
Letras romanas minúsculas.
(.)f
x
função de densidade de probabilidade conjunta.
F função de ativação.
)x(f
ixi
função de densidade de probabilidade marginal.
)(f
k
x
W
função de distribuição de probabilidade conjunta de
amostragem.
)(f x
X
função de distribuição de probabilidade conjunta original das
variáveis aleatórias.
)x(g
função de estado limite.
h espessura total do laminado.
h(.) espessura da cada lâmina.
i entrada de um neurônio.
lim
inf
limite inferior da variável de projeto.
lim
sup
limite superior da variável de projeto.
)(m
i
U
função de estado limite linearizada.
n
número de lâminas do laminado.
n
f
número de pontos no domínio de falha.
n
s
número de simulações.
n
v
número de variáveis.
o
pk
saída desejada do neurônio.
t espessura de cada lâmina.
i
u
variáveis normais padronizadas.
x direção paralela as fibras do laminado.
x
pi
amostra de entrada para treinamento.
y direção perpendicular as fibras do laminado.
y
pi
saída do neurônio.
xiv
Letras romanas maiúsculas.
'
C
matriz constitutiva da lâmina do material compósito nas
direções dos eixos locais do laminado.
C
matriz constitutiva da lâmina do material compósito.
C
ij
matriz de constante ortotrópicas.
CV[ ] coeficiente de variação da variável aleatória.
E erro quadrático médio do sistema.
E módulo de elasticidade.
E[ ] média da variável aleatória.
E
1
módulo de elasticidade na direção das fibras do material
compósito.
E
2
módulo de elasticidade perpendicular a direção das fibras do
material compósito.
E
f
módulo de elasticidade das fibras do material compósito.
E
m
módulo de elasticidade da matriz do material compósito.
E
p
erro quadrático para cada padrão entrada-saída.
)x(F
ixi
função de probabilidade acumulada marginal.
xy
F
parâmetro do critério de Tsai-Wu.
{
}
)1( −∆+
∆+
itt
tt
F
vetor de forças nodais equivalentes.
1
xi
F
−
função inversa acumulada da variável aleatória i.
Fpen fator de penalização.
G função de base radial.
G
f
módulo de cisalhamento das fibras do material compósito.
G
m
módulo de cisalhamento da matriz do material compósito.
)(H U
função de estado limite linearizada.
)](g[I X
função indicadora.
[
]
L
t
t
K
matriz de rigidez linear.
[
]
NL
t
t
K
matriz de rigidez não-linear.
)X(M
função margem de segurança.
M
1
momento em torno do eixo 2-2.
xv
N
1
carga normal atuando na direção 1-1.
N
12
carga de corte atuando no plano 12.
N
2
carga normal atuando na direção 2-2.
NET combinação linear.
P número de padrões de treinamento.
f
P
probabilidade de falha.
{
}
P
tt ∆+
vetor de cargas externas.
f
^
P
probabilidade de falha estimada.
Pen penalização aplicada na função de custo.
i
Q
matriz de rigidez do grupo i de lâminas.
C
x
R
resistência a compressão na direção x.
C
y
R
resistência a compressão na direção y.
T
x
R
resistência a tração na direção x.
T
y
R
resistência a tração na direção y.
xy
R
resistência ao cisalhamento no plano xy.
Resolução resolução das soluções.
ult
C
x
S )(
tensão longitudinal última de compressão na direção x.
ult
C
y
S )(
tensão longitudinal última de compressão na direção y.
ult
T
x
S )(
tensão longitudinal última de tração na direção x.
ult
T
y
S )(
tensão longitudinal última de tração na direção y.
ultxy
S )(
tensão última de cisalhamento no plano x-y.
S
1
tensão longitudinal atuando na direção 1.
S
2
tensão longitudinal atuando na direção 2.
S
6
tensão de cisalhamento atuando no plano 1-2.
SD[ ] desvio padrão da variável aleatória.
S
x
tensão longitudinal atuando na direção x.
S
xy
tensão de cisalhamento atuando no plano x-y.
S
y
tensão longitudinal atuando na direção y.
T
matriz de rotação.
xvi
T
p
tempo de processamento.
*
U
ponto de projeto.
U
variáveis aleatórias uniformemente distribuídas no intervalo
[0,1].
V
f
fração de volume das fibras do material compósito.
V
m
fração de volume da matriz do material compósito.
w
0
peso sináptico da camada de saída.
w
pi
pesos sinápticos.
x direção paralela às fibras do laminado.
X
variáveis aleatórias geradas com função de distribuição de
probabilidades requeridas.
X
vetor de variáveis aleatórias.
X
1
direção paralela às fibras do material compósito.
X
2
direção perpendicular às fibras do material compósito.
Z
variáveis gaussianas padrões não correlacionadas.
Letras gregas minúsculas
α
parâmetro de momento.
β
índice de confiabilidade.
req
β
índice de confiabilidade requerido pelo sistema.
ultxy
)(
γ
deformação última de cisalhamento no plano x-y.
xy
γ
deformação de cisalhamento no plano x-y.
γ
deformações causadas pelas tensões de cisalhamento.
λ parâmetro de regularização.
Pf
^
δ
coeficiente de variação da probabilidade de falha.
δ deformação total.
δ
f
deformação das fibras do material compósito.
δ
m
deformação da matriz do material compósito.
y
ε
deformação longitudinal na direção y.
ult
C
x
)(
ε
deformação longitudinal última de compressão na direção x.
ult
C
y
)(
ε
deformação longitudinal última de compressão na direção y.
xvii
ult
T
x
)(
ε
deformação longitudinal última de tração na direção x.
ult
T
y
)(
ε
deformação longitudinal última de tração na direção y.
x
ε
deformação longitudinal na direção x.
ε
deformações causadas pelas tensões normais.
θ ângulo de orientação das fibras.
M
µ
média da função margem de segurança
)X(M
.
i
υ
razão de disposição das fibras.
η taxa de aprendizagem.
ρ peso específico do material.
ρ
f
peso específico das fibras do material compósito.
ρ
m
peso específico da matriz do material compósito
ρ
x
coeficientes de correlação.
σ tensões normais atuando no laminado.
M
σ
desvio padrão da função margem de segurança
)X(M
.
Pf
^
σ
desvio padrão da probabilidade de falha.
τ tensões de cisalhamento atuando no laminado.
υ
12
coeficiente de Poisson.
)(
1
U
−
φ
inversa da distribuição acumulada da função Gaussiana
padrão.
xviii
RESUMO
Lopes, P. A. M., Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada
em Confiabilidade, Utilizando Algoritmos Genéticos e Redes Neurais Artificiais. Tese
(Doutorado em Engenharia Civil) - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, UFRGS,
Porto Alegre, 147p., 2009.
A resistência e a rigidez de materiais compósitos variam consideravelmente devido a mudanças
no tipo de material, espessura das camadas, ângulo de orientação das fibras e seqüência das
lâminas. O projeto de uma estrutura ótima pode ser obtido dada uma determinada condição de
carga. Vários métodos de otimização determinísticos foram desenvolvidos para tratar esse
problema. Algumas vezes a orientação ótima das fibras muda quando as condições de carga
variam e o desempenho da estrutura é altamente afetado pelas variáveis de projeto e condições
de carregamento. Dessa forma, a otimização deste tipo de estrutura utilizando a confiabilidade
como restrição é um importante problema a ser tratado. Este trabalho trata do problema da
otimização de estruturas de materiais compósitos laminados com restrição de confiabilidade
utilizando algoritmos genéticos e redes neurais. A análise da estrutura é feita via elementos
finitos e as tensões na direção dos eixos principais de cada lâmina são utilizadas para o cálculo
do índice de confiabilidade da estrutura, sendo a função de estado limite o critério de Tsai-Wu
para falha de materiais compósitos laminados. A análise de confiabilidade é feita através de um
dos seguintes métodos: FORM com um ponto de linearização, FORM para sistemas em série,
Monte Carlo Direto e Monte Carlo com Amostragem por Importância. O processo de otimização
via Algoritmos Genéticos (com suas fases de geração, seleção e cruzamento dos indivíduos da
população), é usado em conjunto com os métodos de determinação do índice de confiabilidade e
análises por elementos finitos. Isto gera um alto custo computacional, o qual é contornado
utilizando-se Redes Neurais do tipo Perceptron e Base Radial, treinadas para substituir a análise
via elementos finitos, diminuindo consideravelmente o tempo de processamento. É mostrado por
meio de diversos exemplos que esta metodologia pode ser usada sem perda de precisão e com
economia de tempo de processamento até mesmo em exemplos fortemente não lineares.
Palavras–chave: Materiais Compósitos, Confiabilidade, Algoritmos Genéticos, Elementos
Finitos, Redes Neurais Artificiais.
xix
ABSTRACT
Lopes, P. A. M., Reliability based design optimization of composite structures using genetic
algorithms and artificial neural networks. Tese (Doutorado em Engenharia Civil)- Programa
de Pós-Graduação em Engenharia Civil, UFRGS, Porto Alegre, 147p., 2009.
Strength and stiffness of composite materials vary considerable due to changes in the
material to be used, the thickness of each layer, the fiber orientation angles and the stacking
sequence. The optimum structural design may be obtained for a specific load condition. Several
optimization criteria were been developed to treat that problem. Sometimes the optimal fiber
orientation angles are highly dependent on the load conditions and the structural performance is
also influenced by the design variables and acting loads. Thus, structural optimization using a
reliability index as a constraint is an important problem to be analyzed. This work deals with the
problem of reliability based optimization of laminated composite structures, using genetic
algorithms and neural networks. The analysis of the structure is carried out by finite elements
and the stress in the direction of the principal axes of each lamina are used to the calculation of
the reliability index of the structure, where the limit state function is the Tsai-Wu criterion
assuming first ply failure. The reliability analyses are accomplished through one of the following
methods: FORM with one linearization point, FORM for in-series systems, Direct Monte Carlo
and Monte Carlo with Importance Sampling. The optimization process through Genetic
Algorithms (with its phases of generation, selection and crossover of the individuals of the
population), is used jointly with the reliability evaluation methods and analysis by finite
elements. This leads to high computational costs, which are overcome using trained Neural
Networks of the type Perceptron and Radial Base to substitute the analysis with finite elements,
reducing considerably the processing time. Several examples are used to show that this
methodology can be used without loss of accuracy and with large computational timesaving
even for strongly non-linear problems.
Keywords: Composite Materials, Reliability, Genetic Algorithms, Finite Elements, Artificial
Neural Networks.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
20
CAPÍTULO 1
1. INTRODUÇÃO
Um dos principais objetivos de um projetista estrutural é obter o melhor projeto
utilizando a menor quantidade de recursos possível. A medida da qualidade de um projeto
estrutural depende da relação existente entre a sua aplicação, seja ela relacionada a
requisitos de rigidez ou resistência, e os recursos utilizados, medidos em termos de peso
e/ou custo. Dessa forma, o melhor projeto geralmente significa aquele de menor custo/peso
com determinadas restrições de rigidez ou resistência, ou mesmo que possua a máxima
rigidez ou resistência que pode ser atingida com os recursos disponíveis.
Nas últimas décadas, a otimização matemática, a qual trata da maximização ou
minimização de uma função de custo com funções de restrição, despontou como uma
poderosa ferramenta para análise estrutural, substituindo a forma clássica e dispendiosa da
tentativa e erro. No início da década de 90 surgiram os primeiros trabalhos aplicando tais
ferramentas em estruturas de materiais compósitos, entre os quais podemos citar: Murotsu
et al. (1994), Conceição et al. (1996), Kogiso et al. (1997), Mahadevan & Liu (1998),
Kogiso et al. (1998), Todoroki & Sasai (1999), Richard & Perreux (2000), Conceição
(2001) e Conceição & Hoffbauer (2009).
O uso de materiais compósitos no projeto estrutural ganhou popularidade nas
últimas três décadas, devido a várias vantagens que estes materiais têm em relação aos
materiais clássicos, tais como alumínio, aço e outras ligas metálicas. Dentre essas
vantagens se podem destacar: suas altas razões rigidez/peso e resistência/peso, excelente
resistência à corrosão, baixa expansão térmica, bom desempenho em fadiga e tolerância a
dano, facilidade de transporte e manuseio, baixo consumo de energia na fabricação do
material e da estrutura em si. Todas essas características têm difundido o uso deste tipo de
material e daí a necessidade de analisar de forma adequada seu complexo comportamento.
O projeto ótimo de estruturas de materiais compósitos tem sido realizado
principalmente através de processos determinísticos, nos quais as resistências e os
carregamentos são considerados livres de incertezas Tsai (1987) e Park (1982). Por outro
lado, sabe-se que, devido à natureza anisotrópica do material compósito, o comportamento
da estrutura é altamente sensível a variações no carregamento e nas resistências. É
necessário destacar que os defeitos originados inevitavelmente nos processos tecnológicos
de fabricação tornam aleatória a variação dos parâmetros relacionados às resistências,
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
21
tornando o problema estocástico. Considerações similares podem ser feitas em relação às
características aleatórias das ações externas e efeitos ambientais (cargas e efeitos higro-
térmicos).
Na engenharia estrutural o projeto de estruturas utiliza o conceito básico de que a
resistência de um componente ou de um conjunto de componentes deve, no mínimo,
satisfazer os efeitos das cargas ou combinações de cargas aplicadas. Se o carregamento e a
resistência são tratados como variáveis aleatórias, então a tarefa principal do projetista é
assegurar que a resistência superará as solicitações durante a vida útil da estrutura.
Entretanto, devido à natureza aleatória do problema, esta condição não pode ser garantida
de forma absoluta. Em vez disso, afirmações só podem ser feitas em termos da
probabilidade de que um determinado critério de segurança seja atingido. Em termos de
engenharia, este enfoque probabilístico é definido como confiabilidade. Uma forma
alternativa de encarar o problema é considerar o desempenho insatisfatório do sistema.
Neste caso, a probabilidade de falha pode ser calculada, e o termo risco pode ser associado
a esta condição da estrutura. Dessa forma, risco e confiabilidade são considerados termos
complementares.
Verifica-se que os resultados obtidos para o projeto ótimo de uma estrutura de
material compósito laminado são bem diferentes quando se usa uma abordagem
determinística ou probabilística. Neste trabalho, o processo de otimização possui como
restrição ou função de custo, o índice de confiabilidade da estrutura. O cálculo deste índice
é feito através de métodos tais como: Monte Carlo Direto, Monte Carlo com Amostragem
por Importância, FORM (First Order Reliability Method) com um ponto de linearização e
FORM aplicado para sistemas em série. O critério de falha adotado neste trabalho é o
critério de falha de resistência de Tsai-Wu aplicado para cada uma das lâminas do
laminado. Utiliza-se ainda o critério de first ply failure (falha da primeira lâmina), ou seja,
a falha do laminado acontece quando uma de suas lâminas não satisfaz o critério de Tsai-
Wu.
1.1 Objetivos, justificativas e organização do trabalho.
O objetivo desse trabalho é utilizar ferramentas de inteligência artificial atuais e
eficazes (Algoritmos Genéticos (AGs) e Redes Neurais Artificiais (RNAs)) no processo de
otimização de estruturas de materiais compósitos laminados, onde a confiabilidade atua
como função de custo ou restrição.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
22
A otimização baseada em confiabilidade de materiais compósitos laminados ainda é
um assunto relativamente recente e diferentes técnicas analíticas e numéricas têm sido
utilizadas para tornar os modelos mais próximos das situações reais. Por outro lado, o alto
custo computacional do processo é um problema que ainda necessita do desenvolvimento
de ferramentas matemáticas para ser tratado com eficiência.
A utilização de AGs no lugar de métodos clássicos de otimização, baseados em
gradientes, justifica-se para o caso de materiais compósitos laminados devido a duas
razões. Primeiramente os métodos clássicos podem ser aplicados para tratar estruturas
convencionais, cujas variáveis de projeto são contínuas. No entanto, devido a questões de
manufatura, algumas das variáveis envolvidas no dimensionamento de materiais
compósitos podem assumir apenas valores discretos. Além disso, os métodos matemáticos
baseados em gradientes são mais apropriados para busca de soluções ótimas em espaços de
resposta suaves e contínuos, o que também não ocorre nos problemas envolvendo
compósitos laminados. Os AGs se baseiam nos mecanismos da evolução natural. Sua
implementação mostra-se bastante adequada com relação às exigências elencadas acima,
porém surgem outros problemas, sobretudo o alto custo computacional do processo.
O tempo de processamento é um dos principais problemas enfrentados quando se
trabalha com otimização utilizando AG. Esse problema é ainda mais grave quando a
restrição é a confiabilidade, o que implica um aumento significativo do número de análises
da estrutura através do programa de elementos finitos. Dessa forma, justifica-se a aplicação
de RNAs para simular a resposta (valor da função de estado limite) do programa de
elementos finitos e diminuir o alto custo computacional.
Por outro lado, este trabalho pode ser considerado uma seqüência natural das teses e
dissertações desenvolvidas no PPGEC ⁄ UFRGS (Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Sul). Duarte (2002)
desenvolveu um elemento finito isoparamétrico hexaédrico de oito nós, com apenas um
ponto de integração (e o correspondente controle do travamento volumétrico e de
cisalhamento) aplicado para materiais homogêneos. Andrade (2005) aplicou o mesmo
elemento na análise estática e dinâmica de placas e cascas de materiais compósitos
laminados. Almeida (2006) utilizou o elemento DKT para otimização de placas e cascas de
materiais compósitos laminados. Gomes (2001) e Boésio (2002) aplicaram os Métodos de
Monte Carlo e FORM, no primeiro caso em estruturas de concreto armado, e no segundo,
na análise da vida útil devido à fadiga de veículos comerciais do tipo “ônibus” trafegando
em estradas com irregularidades. No que diz respeito ao uso de redes neurais para
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
23
aceleração do processo de otimização, bons resultados foram obtidos por Gomes (2001) e
Gomes e Awruch (2004) utilizando Redes Neurais Artificiais do tipo Perceptron e Base
Radial.
Esta tese não tem a pretensão de esgotar o tema, mas sim de dar os primeiros passos
para a integração de todas estas ferramentas no projeto de estruturas reais de materiais
compósitos, bem como levantar importantes questões que podem ser discutidas em
trabalhos futuros.
A figura 1.1 apresenta um fluxograma geral do processo de otimização a ser
implementado neste trabalho. Acompanhando o fluxograma, os passos para a obtenção da
solução ótima podem ser listados da seguinte forma:
Passo 1 - Geração da população inicial (de forma aleatória) de indivíduos. No caso
específico deste trabalho um indivíduo representa uma determinada configuração do
laminado.
Passo 2 – Verificar a variabilidade da população, através de medidas estatísticas
tais como média e desvio padrão dos indivíduos. Caso a variabilidade esteja dentro dos
limites pré-estabelecidos ir para o passo 6, senão ir para o passo 3 (na primeira iteração o
algoritmo passa direto para o passo 3).
Passo 3 - Calcular o índice de confiabilidade
β
para cada indivíduo da população.
Nesta etapa podem ser escolhidos os métodos de análise de confiabilidade FORM com um
ponto de linearização, FORM para sistemas em série, Monte Carlo Direto e Monte Carlo
com Amostragem por Importância.
Durante o processo, independentemente do método utilizado, é necessário verificar
se a função de estado limite está na zona de segurança ou de falha. Neste trabalho a função
de estado limite é representada pelo critério de ruptura de Tsai-Wu, sendo necessário
conhecer as tensões atuando nos eixos locais do laminado.
As tensões nos eixos locais podem ser calculadas utilizando funções explícitas,
programas de elementos finitos ou uma rede neural treinada. As funções explícitas têm a
vantagem de ter um baixo custo computacional, porém limitam-se à análise de estruturas
com forma geométrica e carregamentos simples (como placas com cargas distribuídas). O
uso de um programa de elementos finitos torna possível a análise de estruturas com
qualquer formato e carregamentos genéricos, porém pode gerar um custo computacional
muito alto, principalmente quando a análise de confiabilidade é feita através de métodos de
simulação (Monte Carlo). O uso de redes neurais treinadas pode unir as características de
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
24
generalidade dos elementos finitos com o baixo custo computacional das funções explícitas
e a aplicação de tal ferramenta é um dos principais objetivos deste trabalho.
Passo 4 – Depois de calculado o índice de confiabilidade,
β
é comparado com um
índice de confiabilidade requerido
req
β
, estabelecido na entrada de dados do programa.
Caso
req
β β
≤
aplica-se uma penalidade na função de custo, senão a função de custo é
calculada de forma ponderada em relação ao valor obtido para
β
.
Passo 5 – Com base na função de custo de cada indivíduo da população,
selecionam-se os melhores para gerar a próxima população (através do processo de
crossover) e volta-se para o passo 2.
Passo 6 – Fim do processo de otimização.
A seguir apresenta-se a estrutura dos capítulos envolvidos neste trabalho.
O capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica dos trabalhos realizados por outros
pesquisadores, nas áreas de confiabilidade de materiais compósitos laminados, otimização
via algoritmos genéticos e aceleração de análise estrutural usando redes neurais treinadas.
O capítulo 3 descreve brevemente aspectos relativos ao material compósito
considerado, bem como o elemento finito proposto para a análise estrutural. São
apresentados, também neste capítulo, alguns resultados de análise estrutural obtidos pelo
programa de elementos finitos em questão.
O capítulo 4 apresenta os métodos utilizados para o cálculo da confiabilidade da
estrutura de compósito laminado, bem como exemplos que comprovam suas eficácias.
O capítulo 5 apresenta o método de otimização baseado em AG bem como
exemplos de aplicação em estruturas de materiais compósitos, considerando o índice de
confiabilidade como restrição.
O capítulo 6 apresenta os aspectos teóricos das redes neurais utilizadas para a
aceleração da análise estrutural, bem como os resultados da aplicação das mesmas em
problemas de otimização de compósitos com restrição de confiabilidade.
O capítulo 7 apresenta as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.
Por fim, o capítulo 8 traz as referências bibliográficas utilizadas.
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
25
Figura 1.1 - Fluxograma geral do processo de otimização.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
26
CAPÍTULO 2
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 Materiais compósitos laminados
A bibliografia sobre a mecânica dos materiais compósitos e a análise de
estruturas de materiais laminados é muito extensa, abordando uma variedade enorme de
áreas, e isto se deve fundamentalmente às vantagens que este tipo de material oferece
nos diversos campos da engenharia, assim como em outras áreas (medicina, confecção
de artigos esportivos, etc.). Devido à grande quantidade de artigos em periódicos e
eventos, destacam-se aqui apenas alguns importantes livros que tratam dos materiais
compósitos, tais como: Jones (1998), Vinson & Sierakowski (1987), Tsai & Han
(1980), Gürdal, Haftka & Hajela (1999), Middleton (1990), Schwartz (1984) e Daniel &
Ishai (1994).
2.2 Confiabilidade de materiais compósitos laminados
A teoria e os métodos para a análise da confiabilidade estrutural se
desenvolveram extensamente nas últimas três décadas. Estes avanços teóricos,
vinculados a uma quantificação mais precisa das incertezas associadas às cargas e às
resistências das estruturas, têm estimulado o interesse no tratamento probabilístico das
mesmas. Ainda que grandes avanços do ponto de vista computacional tenham ocorrido,
permanecem alguns obstáculos em implementações práticas. Uma enorme quantidade
de trabalhos tem sido publicada em periódicos durante as últimas três décadas. Dentre
os livros texto sobre o tema pode-se citar: Ang &
Tang (1975), Elishakoff (1984),
Ghanem & Spanos (1991), Melchers (1990), Thoft – Christensen & Murotsu (1986),
Heldar & Mahadevan (2000), Sundararajan (1995) , Kleiber & Hien (1992), entre
outros.
Miki et al. (1990) utilizaram o método AFOSM (Advanced First Order Second
Moment) para estimar a confiabilidade de lâminas de materiais compósitos, sendo a
função de estado limite o critério de ruptura de Tsai-Wu. Neste trabalho também foram
determinados os ângulos de orientação das fibras que conduziam à maior confiabilidade,
para diversos estados de tensão plana. Ficou demonstrada também a superioridade do
27
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
método AFOSM sobre o FOSM (First Order Second Moment), o qual tende a
superestimar o índice de confiabilidade
β
e é dependente da função de estado limite
utilizada.
Murotsu et al. (1994) obtiveram o projeto ótimo de estruturas de materiais
compósitos laminados, sob condições probabilísticas de carregamento e propriedades do
material. Com a finalidade de estimar a probabilidade de falha do sistema, formado por
todas as lâminas do laminado, Murotsu utilizou o método mutiple-checkpoint para tratar
o problema da existência de múltiplas funções de estado limite.
O problema de
otimização foi definido para calcular o número de lâminas, orientação das fibras e
relação entre as espessuras de cada lâmina, tendo como restrição o índice de
confiabilidade. A função de estado limite utilizada em cada lâmina foi o critério de
ruptura de Tsai-Wu.
Yushanov & Bogdanovich (1998) desenvolveram um processo analítico,
baseado na teoria dos processos estocásticos, para o cálculo da confiabilidade de
estruturas de materiais compósitos laminados. O cálculo da probabilidade de falha foi
feito utilizando a teoria das raras passagens do campo vetorial aleatório de deformações
além da zona de deformações permitidas. Os resultados foram comparados com o
método de Monte Carlo e ficou demonstrada sua eficácia e considerável ganho em
termos de esforço computacional. Entretanto, as expressões desenvolvidas só podem ser
aplicadas para casos de carregamentos atuando no plano do laminado.
Kam & Chang (1997) calcularam índices de confiabilidade para laminados de
materiais compósitos utilizando, como funções de estado limite, os critérios de ruptura
de Tsai-Wu, via FORM, e da Máxima Tensão, via integração direta. Os resultados
foram comparados com experimentos que obtiveram a carga de ruptura para a condição
de first – ply failure, ou seja, quando a primeira falha em qualquer uma das camadas do
laminado é considerada a falha de toda a estrutura.
Lin (2000b) utilizou o método de Monte Carlo na obtenção do índice de
confiabilidade de placas de materiais compósitos sujeitas a flambagem. A análise
estrutural foi feita utilizando elementos finitos estocásticos. Os resultados obtidos foram
comparados com experimentos.
Lin (2000a) obteve o índice de confiabilidade de placas de materiais compósitos
carregadas transversalmente com várias configurações de camadas e ângulos de
orientação, utilizando várias funções de estado limite tais como: Tsai-Wu, Máxima
Tensão, Hoffman e Tsai - Hill. Os métodos utilizados para o cálculo da confiabilidade
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
28
foram Monte Carlo, método
β
e FOSM. Os resultados obtidos foram comparados com
experimentos.
Frangopol & Recek (2003) utilizaram o método de Monte Carlo para calcular a
confiabilidade de placas sujeitas a um estado plano de tensões, sendo o critério de
ruptura considerado o de Tsai-Wu. Neste trabalho são apresentadas as diferenças de
comportamento, no que diz respeito ao índice de confiabilidade, quando são
acrescentadas lâminas ao laminado da placa de compósito.
Onkar et al. (2005) calcularam o índice de confiabilidade para laminados de
materiais compósitos sujeitos a cargas e propriedades mecânicas randômicas. Os
critérios de falha utilizados foram os de Tsai-Wu e Hoffman. O índice de confiabilidade
foi calculado de duas formas: 1) soluções analíticas para a carga de falha foram obtidas
usando a teoria de placas de Kirchhoff-Love; 2) soluções para a carga de falha através
de elementos finitos estocásticos baseados na teoria layer-wise para placas.
2.3 Otimização de materiais compósitos laminados com restrição de
confiabilidade
O processo de otimização do projeto estrutural, incluindo diversos tipos de
critérios para atingir este objetivo, é uma tarefa particularmente complicada. Existem
basicamente duas alternativas gerais para os problemas de otimização. A primeira são
os métodos baseados no cálculo de gradientes das funções envolvidas (geralmente
referenciados como programação matemática), tendo o cálculo da sensibilidade o maior
custo computacional; a outra alternativa consiste na aplicação de métodos de otimização
baseados na análise combinatória e numa procura probabilística do extremo da função
objetivo, comumente chamadas de estratégias estocásticas. A segunda alternativa
apresenta algumas vantagens sobre a primeira, no sentido que não precisa de
informações sobre gradientes, evitando o custoso processo da análise de sensibilidade.
Os métodos de otimização baseados na análise combinatória resultam mais robustos e
apresentam um comportamento global superior em relação aos métodos de programação
matemática. Entretanto, sua convergência para o extremo global é mais lenta. Existem
numerosos periódicos dedicados ao tema de otimização, e em particular a otimização de
projetos estruturais. Por esta razão serão aqui mencionados apenas alguns livros texto
que abordam este tema. Entre os textos que abordam o problema de otimização
estrutural usando métodos de programação matemática, podem-se destacar os de
Vanderplaats (1984), Arora (1989), Bendsoe (1995), Banichuk (1990) e Haftka &
29
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Gürdal (1992). Algoritmos de procura direta probabilística com estratégias evolutivas
podem ser encontrados nos textos de Goldberg (1989), Davis (1991) e Holland (1975),
embora nenhum deles tenha como objetivo aplicações à Mecânica Estrutural.
No Centro de Mecânica Aplicada Computacional (CEMACOM), do Programa
de Pós-Graduação em Engenharia Civil (PPGEC), têm sido realizadas algumas
dissertações de mestrado e teses de doutorado envolvendo temas relativos a Materiais
Compósitos, tais como as de Marques S.P.C. (1994), Marques D.C.S.C. (1994), Oliveira
(2001) e Andrade (2005), a confiabilidade estrutural nas teses de Gomes (2001) e
Boésio (2002) e a otimização estrutural nas teses de Muñoz-Rojas (2003), Boésio
(2002) e na dissertação de Almeida (2006).
A seguir serão citados apenas alguns trabalhos que tratam da otimização
estrutural com restrições de confiabilidade, uma vez que a bibliografia nesta área é
extensa.
Thanedar & Kodiyalam (1992) otimizaram problemas estruturais simples, nos
quais o índice de confiabilidade, calculado através dos métodos clássicos de Monte
Carlo e FORM, foi considerado uma restrição do sistema. O problema de otimização foi
resolvido utilizando o método NLP (nonlinear programming problem).
Chen & Duan (1994) resolveram o problema da otimização de treliças planas e
espaciais com restrição de confiabilidade. Neste trabalho as cargas atuantes nas treliças
foram consideradas variáveis aleatórias correlacionadas. O problema foi resolvido
utilizando um método misto e o índice de confiabilidade foi obtido através do método
FOSM.
Reddy et al. (1994) desenvolveram um método para o cálculo do índice de
confiabilidade, chamado de SIA (Safety Index Approach), o qual, comparado com
métodos clássicos, diminui o número de chamadas da função de estado limite e dos
gradientes, diminuindo o custo computacional, que é um dos empecilhos no campo da
otimização estrutural com restrição de confiabilidade.
Enevoldsen & Sorensen (1994) apresentaram soluções de otimização com
restrição de confiabilidade para problemas estruturais mais complexos, incluindo
sistemas em série e também a inclusão de elementos finitos para a análise da estrutura.
Wang & Grandhi (1995) desenvolveram um método para a estimativa do índice
de confiabilidade expandindo as funções de estado limite em temos de variáveis de
projeto intermediárias. Foram analisadas estruturas de treliças, pórticos e placas, com a
finalidade de demonstrar a diminuição do custo computacional.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
30
Stocki et al. (2001) desenvolveram dois métodos de otimização discreta
chamados: método de transformação e método de numeração controlada. Foi
demonstrada, através da análise de treliças, a diminuição no custo computacional do
processo de otimização com restrição de confiabilidade em comparação com métodos
clássicos.
Lee et al. (2002) compararam a eficiência entre os métodos MPFP (most
probable failure point) e MPTP (minimum performance target point), que estimam o
valor do índice de confiabilidade da estrutura. Utilizando exemplos de análise de
estruturas de treliças e vigas, mostraram que o método MPTP diminui os problemas de
convergência na procura do ponto mais provável de falha, presente no MPFP, reduzindo
dessa forma o esforço computacional.
Dimou & Koumousis (2003) utilizaram um algoritmo genético com tamanho de
população calibrado, no qual a co-evolução das diferentes populações utilizadas é
controlada na fase de reprodução, com base em dados estatísticos de cada população. O
método foi aplicado para a otimização com restrição de confiabilidade de treliças e
revelou-se robusto e mais rápido do que os algoritmos genéticos clássicos.
Cheng et al. (2006) aplicaram a técnica da programação seqüencial aproximada
(SAP) para os problemas de confiabilidade estrutural com restrições de confiabilidade.
Foi utilizada uma técnica para aproximar o índice de confiabilidade, baseada em uma
expansão linear em série de Taylor, com o objetivo de diminuir o custo computacional.
Vários exemplos são apresentados para comprovar a eficiência do método proposto e
seu alto desempenho computacional.
Em seguida citaremos trabalhos na área de otimização, com restrição de
confiabilidade, aplicados especificamente para o caso de materiais compósitos.
Wetherhold (1981) e Maekawa & Fjuii (1982) publicaram os primeiros trabalhos
analisando a confiabilidade de compósitos laminados usando um critério de falha
macroscópico e dados estatísticos sobre a variação das resistências ao longo das
direções principais do material.
Conceição et al. (1996) realizaram a otimização baseada em confiabilidade de
materiais compósitos utilizando as teorias de first ply failure e last ply failure (na qual
um modelo de degradação foi aplicado às propriedades mecânicas e à variação das
cargas devido à ruptura da matriz do compósito). A análise estrutural foi realizada
através do método dos elementos finitos, utilizando o elemento de casca isoparamétrico
degenerado.
31
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Kogiso et al. (1997) trataram do problema da otimização do ângulo de
orientação das fibras de placas simétricas de laminados compósitos sujeitas a
flambagem com restrição de confiabilidade. A confiabilidade foi calculada modelando a
falha por flambagem como um sistema em série. Através de exemplos numéricos ficou
demonstrada a diferença entre a otimização determinística e a probabilística.
Mahadevan & Liu (1998) propuseram um procedimento para a otimização de
compósitos laminados com restrições de confiabilidade. O problema foi formulado para
considerar a minimização do peso do laminado (função objetivo). O método FORM
(First Order Reliability Method) foi utilizado para calcular a confiabilidade de cada
lâmina e do laminado como um todo, utilizando modelos de sistemas em série. O
critério de Tsai-Wu foi utilizado como função de estado limite para cada lâmina do
material. A otimização foi realizada através de um algoritmo de programação seqüencial
quadrática (SQP) .
Kogiso et al. (1998) analisaram o efeito da correlação entre as variáveis
aleatórias no problema de otimização com confiabilidade de placas de compósitos
sujeitas a flambagem. Através de exemplos numéricos ficou demonstrado que a
correlação afeta de maneira considerável o projeto de tais estruturas sujeitas a carga de
flambagem e que a não consideração da correlação conduz a soluções piores do que as
obtidas através de condições determinísticas.
Todoroki & Sasai (1999) utilizaram algoritmos genéticos com recessive – gene-
like – repair como ferramenta para a otimização das seqüências de lâminas de cilindros
sujeitos a falha por flambagem. Os resultados foram comparados com os obtidos através
do método de penalidade (penalty method) e ficou demonstrada a superioridade dos
algoritmos genéticos inclusive no que diz respeito a custo computacional.
Richard & Perreux (2000) estudaram o problema da otimização com restrição de
confiabilidade de materiais compósitos, usando um critério de falha baseado em
considerações termodinâmicas e levando em consideração incertezas estatísticas no
cálculo da probabilidade de falha de estrutura.
Conceição (2001) utilizou algoritmos genéticos para otimizar estruturas de
materiais compósitos com restrições de confiabilidade e comportamento não-linear
geométrico.
Conceição & Hoffbauer (2009) utilizaram um algoritmo alternativo RDO
(Robust Design Optimization) em substituição aos clássicos algoritmos RBDO
(Reliability Based Design Optimization) e aplicaram na solução de um problema de uma
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
32
casca cilíndrica de material compósito formada por várias lâminas. O objetivo era
determinar, dado um valor de confiabilidade, a configuração ótima dos ângulos de
orientação de cada lâmina.
2.4 Redes neurais artificiais em problemas de engenharia
O cérebro humano é a mais sofisticada rede neural biológica e é freqüentemente
muito mais eficiente, adaptável e tolerante que os computadores convencionais nos
campos do reconhecimento, controle e aprendizado. Embora a velocidade de
processamento de neurônios biológicos seja muito mais lenta que a dos computadores
digitais, o seu poder de processamento paralelo massivo supera a sua deficiência de
velocidade (Beale & Jackson, 1990).
O desenvolvimento de redes neurais artificiais (RNA) foi inspirado na
Neurociência, ou seja, a ciência que estuda o cérebro, os neurônios biológicos e as
sinapses. As RNA pretendem imitar o comportamento biológico do aprendizado e dos
processos de tomada de decisão, sem entretanto tentar ser realista do ponto de vista
biológico. Redes Neurais Artificiais representam modelos simplificados do cérebro
humano e podem ser usadas para resolver problemas nos quais métodos convencionais
aplicados a computadores encontram dificuldades.
Houve um crescente interesse em RNA durante anos recentes. A primeira onda
de interesse emergiu depois da introdução de neurônios simplificados por McCulloch e
Pitts (1943). Estes neurônios foram apresentados como modelos de neurônios
biológicos e também como componentes conceituais para circuitos que poderiam
executar certas tarefas computacionais. Depois da publicação do livro Perceptrons, em
1969, escrito por Minsky e Papert (1969), no qual foi descrita a ineficiência dos
perceptrons em alguns problemas, foram poucos os pesquisadores que continuaram com
trabalhos nesse campo. O interesse voltou após a descoberta das redes de retro-
propagação (back-propagation) e o desenvolvimento de novos algoritmos de
treinamento e de implementações físicas (hardwares) para aplicações com redes
neurais.
RNA podem se caracterizadas como modelos computacionais baseados no
processamento distribuído em paralelo com propriedades particulares como a habilidade
de aprender, generalizar, classificar e de organizar dados. Há vários modelos de RNA
desenvolvidos para diversas tarefas computacionais específicas. Em princípio, eles
33
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
podem ser divididos em dois grupos, modelos de redes de treinamento supervisionado e
modelos de rede de treinamento não supervisionado. Eles podem ter uma arquitetura de
alimentação à frente (feedforward), recorrentes ou realimentadas (feedback), ou uma
combinação de ambas. Uma rede de arquitetura de alimentação à frente tem uma
estrutura de camadas onde as unidades em cada camada recebem as entradas da(s)
camada(s) prévia(s) e envia suas saídas para a(s) camada(s) subseqüente(s). As redes
com arquitetura de realimentação têm laços de realimentação entre unidades de camadas
não necessariamente subseqüentes. Em redes de realimentação a direção do fluxo de
dados viaja através da cadeia não necessariamente em um único sentido. Isto significa
que a saída de uma unidade pode ser a entrada de outras unidades da cadeia. O
treinamento supervisionado conta com a disponibilidade da resposta conhecida a priori
(a saída desejada da rede), para cada entrada do conjunto de treinamento. Portanto, a
rede é treinada utilizando dados de entrada e os correspondentes dados de saída
fornecidos por um supervisor externo. As redes neurais de retro-propagação (back-
propagation) e as redes neurais de propagação em sentido contrário
(counterpropagation) são exemplo de redes com treinamento supervisionado e que têm
arquiteturas de alimentação à frente. De forma diferente, no treinamento não
supervisionado, a rede neural forma a sua própria classificação dos dados de
treinamento. Assim, uma unidade de saída é treinada para responder padrões de
estímulos contidos nos dados de entrada para os quais a rede desenvolveu sua própria
representação. Redes não supervisionadas freqüentemente têm uma arquitetura
recorrente e são exemplos desse tipo de redes as Redes de Kohonen (Kohonen, 1984),
as redes da Teoria de Ressonância Adaptável (ART – Adaptative Resonant Theory )
Grossberg (1987), as redes de Hopfield (1982) e as Redes de Recozimento de Campo
Médio (MFA – Mean Field Annealing) Peterson & Soderberg (1987).
2.4.1 Redes neurais na mecânica estrutural.
A aplicação de RNA na Mecânica Estrutural ganhou interesse nos anos recentes.
Os modelos de RNA adotados para Mecânica Estrutural podem ter diferentes
arquiteturas ou podem possuir diferentes padrões de conectividade. RNA têm sido
usadas como ferramenta computacional em várias áreas da Mecânica Estrutural, entre
elas, identificação, avaliação, otimização, análise e projeto. A seguir serão descritas
algumas aplicações das RNA na mecânica estrutural.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
34
Hajela & Berke (1991 e 1992) exploraram a aplicação de redes de retro-
propagação no dimensionamento e na análise estrutural. Foi dada ênfase ao uso das
redes neurais para representar as relações de força-deslocamento usadas na
determinação da resposta de deslocamentos ou tensões em análises estruturais estáticas.
A análise foi usada no dimensionamento do peso mínimo de sistemas estruturais com
restrições de projeto especificadas.
Mukherjee & Deshpande (1995a e 1995b) estudaram a aplicação de redes
neurais no projeto preliminar de estruturas. A aplicação de RNA no projeto de uma viga
de único vão de concreto armado foi explorada. As entradas da rede consistiam no vão
da viga, tipo de aço escolhido, tipo de concreto e carga aplicada. As saídas eram a área
de aço tracionado, largura e profundidade da viga, custo da viga por metro e sua
capacidade portante a flexão.
VanLuchene & Sun (1990) aplicaram uma rede com alimentação à frente
(feedforward) na simulação da análise estrutural de uma placa retangular simplesmente
apoiada. O objetivo era predizer a localização e a magnitude do momento máximo na
placa quando sujeita a uma carga concentrada. As entradas da rede incluíam quatro
quantidades: as dimensões da placa nas direções x-y e as coordenadas x-y dos pontos
onde a carga era aplicada. As saídas consistiam em seis quantidades: a localização e o
valor do máximo momento à flexão em ambas as direções.
Shieh (1994b) usou uma combinação de RNA com um modelo computacional
baseado no Método dos Mínimos Quadrados em um procedimento de reanálise
estrutural. O modelo substituiu completamente o módulo de reanálise estrutural via
elementos finitos e os cálculos foram feitos num ambiente de Processamento
Massivamente Paralelo (PMP). O modelo foi testado para a obtenção de peso mínimo
de estruturas de treliças. O mesmo autor fez outro estudo (Shieh, 1994a) onde substituiu
o método dos gradientes conjugados pré-condicionado baseado na solução de sistemas
de equações lineares por uma rede neural treinada. O modelo foi formulado em uma
máquina em ambiente de Processamento Massivamente Paralelo e obteve relativo
sucesso.
Conforme mencionado anteriormente, o uso de algoritmos genéticos para
otimização, em conjunto com métodos de obtenção do índice de confiabilidade e
elementos finitos para análise estrutural conduz a um alto custo computacional. Neste
trabalho, sugere-se o uso de redes neurais treinadas com a finalidade de substituir a
35
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
análise via elementos finitos, diminuindo dessa forma, o custo computacional total. Na
literatura existem alguns autores que já utilizaram esta técnica em vários trabalhos.
Lou & Perez (1995) usaram o modelo de rede neural de Hopfield em conjunto
com o sistema de memória associativa bidirecional (BAM) como alternativa aos
métodos clássicos de análise estrutural.
Jenkins (1999) desenvolveu uma rede neural treinada, com retro-propagação de
erro, para realizar a re-análise de estruturas. Mudanças de projeto na geometria,
propriedades do material, topologia, cargas aplicadas e apoios conduziram a bons
resultados sem a necessidade da análise total da estrutura, o que levou a um ganho
significativo em termos de custo computacional.
Reich & Barai (2000) desenvolveram uma metodologia para modelar redes
neurais com a finalidade de representar relações funcionais de dados empíricos de
engenharia. Foram utilizadas redes multicamada do tipo perceptron.
Papadrakakis & Lagaros (2004) melhoraram a performance de redes neurais
usando uma função de ativação adaptativa com parâmetros ajustados durante o processo
de treinamento. A rede resultante foi aplicada em problemas de otimização estrutural.
Elhew et al. (2006) desenvolveram redes neurais para substituir a análise
estrutural via elementos finitos, com o objetivo de acelerar a obtenção da confiabilidade
da estrutura. Foram usados métodos clássicos para a obtenção do índice de
confiabilidade (FORM e Monte Carlo) e apresentados exemplos que comprovaram a
eficiência da rede, tanto em precisão quanto em tempo de processamento.
Haj-Ali & Kim (2007) desenvolveram redes neurais para simular um modelo
constitutivo não linear de compósito polimérico reforçado por fibras (FPR). A rede foi
treinada utilizando dados experimentais obtidos de ensaios de tração e compressão e
cisalhamento puro.
Chau (2007) e Cheng & Li (2008) aplicaram redes neurais para simular a função
de estado limite, evitando o custoso processo de análise via elementos finitos, em
problemas de otimização com restrição de confiabilidade. O problema de otimização foi
tratado com o uso de algoritmos genéticos e ficou demonstrado, através de exemplos
estruturais e não estruturais, o ganho significativo de desempenho computacional
quando estas duas ferramentas são conjugadas para tratar esse tipo de problema.
Gudur & Dixit (2008) desenvolveram uma rede neural de base radial para
substituir a análise via elementos finitos para a análise de problemas de cold flat
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
36
rolling, diminuindo sensivelmente o tempo de processamento e possibilitando o
controle em tempo real do processo.
No Centro de Mecânica Aplicada Computacional (CEMACOM), do Programa
de Pós-Graduação em Engenharia Civil (PPGEC), a tese de Gomes (2001) aplicou redes
neurais multicamada do tipo perceptron e redes de base radial para acelerar o processo
do cálculo do índice de confiabilidade de estruturas de concreto armado.
37
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
CAPÍTULO 3
3. MATERIAIS COMPÓSITOS LAMINADOS E ELEMENTO
FINITO UTILIZADO
3.1 Introdução
O objetivo deste capítulo é apresentar um breve resumo sobre o modelo de
material compósito utilizado neste trabalho, bem como o elemento finito que foi
escolhido para a análise estrutural. Primeiramente são apresentadas definições gerais, a
nomenclatura utilizada, bem como a matriz constitutiva do material compósito
laminado. Posteriormente, são discutidos os critérios de falha mais comuns e o critério
de falha adotado neste trabalho. No final são apresentadas, de forma resumida, as
equações do elemento DKT e exemplos mostrando a eficiência do mesmo na análise
estrutural.
Materiais compósitos são confeccionados a partir de dois ou mais materiais,
comumente referidos como constituintes. Dependendo da forma como se arranjam os
constituintes, o compósito resultante pode ter características combinadas ou
substancialmente diferentes destes. Algumas vezes, as propriedades do compósito
podem até serem superiores a de seus constituintes individualmente.
A eficiência dos materiais compostos e suas inúmeras vantagens como, por
exemplo, suas altas razões rigidez/peso e resistência/peso, excelente resistência à
corrosão, baixa expansão térmica, bom desempenho em fadiga e tolerância a dano,
facilidade de transporte e manuseio, baixo consumo de energia na fabricação do
material e da estrutura em si, têm difundido seu uso e daí a necessidade de analisar-se
de forma eficiente seu complexo comportamento.
A classificação mais tradicional (Jones, 1988) para os materiais compósitos
inclui quatro tipos: os compósitos particulados, os compósitos floculados, os
compósitos reforçados por fibras e os compósitos laminados. A última forma de
compósito, os laminados, é formada pela união de lâminas finas - compostas por um
material denominado matriz, geralmente menos resistente - reforçadas por fibras, mais
resistentes. Este tipo de compósito é o mais usado em estruturas de alto desempenho,
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
38
sendo o material utilizado nas análises que seguem, por isso será abordado diretamente,
deixando os demais de lado.
3.2 Compósitos laminados
A evolução tecnológica de materiais estruturais tem sido governada pela
pesquisa por um material que tenha uma alta relação resistência-peso, um custo de
fabricação baixo e uma melhor durabilidade. Estruturas mais elaboradas, tais como
aquelas usadas em espaçonaves, aeronaves de alta velocidade e embarcações,
necessitam destas características. Recentemente, diferentes tipos de materiais
compósitos têm sido desenvolvidos buscando atingir a excelência quanto à rigidez e
resistência, tolerância ao dano, resposta à fadiga e resistência a corrosão. Compósitos
laminados têm demanda crescente, já que podem suprir quase todos estes requerimentos
particulares.
Laminado é um tipo de material compósito formado a partir da união de várias
lâminas, que por sua vez, originam-se da imersão de fibras de alta resistência numa
matriz, geralmente menos resistente. Estes materiais estão encontrando um número
grande de aplicações no projeto de estruturas, especialmente aquelas que exigem pouco
peso e requerimentos rigorosos quanto à rigidez e resistência. Pode-se comparar o
Módulo Elástico do Grafite/Epóxi, que é aproximadamente E = 70 GPa, com o Módulo
do Alumínio, que é de E = 73 GPa. Entretanto, o peso específico do Grafite/Epóxi é
aproximadamente de
ρ
= 15 KN/m³ e o do Alumínio de
ρ
= 26 K N/m³, chegando
numa relação entre E/
ρ
para o compósito de 4,7 x 10
6
e para o Alumínio de 2,8 x 10
6
,
mostrando que o compósito tem esta relação 1,7 vezes maior; ou seja, quando se avalia
resistência acoplada ao peso, os laminados ficam ainda mais atraentes (Jones, 1998).
As propriedades das lâminas dos materiais laminados (resistência, rigidez,
condutibilidade térmica) dependem da forma dos reforços nos mesmos. A inclinação
das fibras num laminado introduz uma dependência direcional para a maioria das
propriedades, e materiais que possuem esta dependência são chamados de anisotrópicos.
Um caso especial de anisotropia é a existência de dois planos de simetria mutuamente
perpendiculares, sendo que tais materiais são chamados de ortotrópicos, e suas
propriedades são definidas no plano da lâmina em duas direções – ao longo das fibras e
na direção perpendicular à orientação das mesmas.
39
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
3.2.1 Lâmina ortotrópica
Um exemplo típico de material ortotrópico são os compósitos reforçados por
fibras, nos quais a porção que caracteriza a matriz do material e que engloba as fibras é
geralmente isotrópica, o mesmo acontecendo com as fibras, que têm muito mais rigidez
do que a matriz. Entretanto, quando ambas são combinadas, as propriedades do
compósito passam a ser anisotrópicas.
Na figura 3.1 é mostrada uma lâmina isoladamente (reforçada por fibras), que
pode ser carregada ao longo das fibras (X
1
) ou na direção transversal às fibras (X
2
). Se o
mesmo carregamento aplicado na direção X
1
primeiramente, for depois aplicado na
direção X
2
, observa-se que a deformação ao longo das fibras é menor do que a
deformação na direção perpendicular às fibras. As propriedades de rigidez de um
laminado na direção da fibra (E
f
, G
f
, V
f
) são muito mais próximas da rigidez da fibra, já
a rigidez na direção perpendicular às fibras (E
m
, G
m
, V
m
) é governada pela rigidez da
matriz, sendo E, G e V o módulo de elasticidade longitudinal, módulo de elasticidade ao
cisalhamento e a fração de volume, respectivamente.
Figura 3.1 – Propriedades elásticas de uma lâmina de compósito.
Uma das maneiras para estimar as propriedades de um material compósito é através da
soma das propriedades de seus constituintes ponderadas por seus respectivos volumes.
Este método é comumente chamado de Regra das Misturas (Rule of Mixtures), e
emprega a fração de volume dos constituintes para estimar as propriedades do
compósito. Por exemplo, um laminado reforçado com fibras que tem uma fração de
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
40
volume de fibras (V
f
) e uma fração de volume da matriz (V
m
), deve satisfazer a seguinte
expressão, admitindo-se que não haja vazios (Jones, 1998):
f m
V V 1
+ =
.
(3.1)
Baseado na regra das misturas, a massa específica
ρ
é estimada a partir das
propriedades dos constituintes,
f
ρ
e
m
ρ
(Jones, 1998):
(
)
(
)
f f m m f f m f m f f m
V V V 1 V V
ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
= + = + − = + −
.
(3.2)
O Módulo de Elasticidade longitudinal E
1
do compósito pode ser calculado
também através dos módulos de seus constituintes
f
E
e
m
E , usando a mesma regra:
(
)
1 f f m m m f f m
E E V E V E V E E
= + = + −
.
(3.3)
Como se pode observar, para as propriedades longitudinais (ao longo das fibras),
este procedimento é equivalente ao de duas molas conectadas em paralelo, sendo que a
deformação total
(
)
δ
do compósito é igual tanto para as fibras quanto para a matriz.
f m
δ δ δ
= =
.
(3.4)
Já para as propriedades perpendiculares à direção das fibras, o cálculo requer um
modelo mais sofisticado. Entretanto, boas estimativas para o Módulo de Elasticidade
Transversal E
2
são obtidas pela modelagem das fibras e da matriz como duas molas
conectadas em série (Jones, 1998):
f m f
m
2
2 f m f m m f
V E E
V
1
E
E E E V E V E
= + ⇒ =
+
.
(3.5)
3.2.2 Seqüência de lâminas
Anteriormente foi discutido o comportamento de cada lâmina separadamente,
mas o objetivo principal do estudo é a análise das lâminas unidas (stacking sequence). A
orientação das fibras na seqüência de lâminas é medida em relação ao eixo de referência
do laminado. Quando a orientação segue o sentido horário é considerada positiva. Uma
listagem da seqüência de orientações padrão para um laminado começa da lâmina
superior para a lâmina inferior. Tendo um laminado com n lâminas, cada uma feita do
mesmo material compósito e com a mesma espessura t, começando com a lâmina do
topo com a orientação
1
θ
, o laminado é representado por:
41
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
[
]
1 2 n
/ / /
θ θ θ
L
.
(3.6)
A espessura total do laminado é:
h n t
= ⋅
.
(3.7)
Quando a orientação de uma lâmina coincide com a dos eixos de referência do
laminado,
°
=
0
θ
ou
°
=
90
θ
, estas lâminas são chamadas de lâminas orientadas
segundo os eixos do laminado (on-axis layer).
Quando várias lâminas com a mesma orientação existem em um laminado, é
comum que este grupo seja representado pelo seu ângulo particular, juntamente com o
número de repetições subscrito a ele. Por exemplo, o laminado
[
]
242
45,45,0
−
tem no
topo duas lâminas orientadas ao longo do seu eixo, seguidas por quatro orientadas a 45°
(horário) e mais duas com orientação de –45° (anti-horário). Quando se tem um grupo
de lâminas repetidas, o número de repetições é subscrito a este grupo colocado entre
parênteses. Para o laminado
(
)
[
]
2
3
222
0/90/45/0/0 , têm-se inserido entre as duas
lâminas do topo e as duas da base ( com inclinação 0°), o grupo 90/45/0
22
repetido
três vezes.
Um laminado é dito simétrico se a orientação das fibras nas lâminas da metade
inferior é uma imagem especular em relação às lâminas da metade superior, por
exemplo,
[
]
T
45/30/0/45/45/0/30/45
−
−
(o sub-índice T foi usado para designar que
foi escrita toda a seqüência de lâminas do laminado), e como este laminado é simétrico,
pode-se representar só a parte superior com
[
]
S
45/0/30/45
−
.
Laminados que têm orientações alternando com 0° e 90° são chamados de
laminados com fibras em cruz segundo os eixos (cross-ply). Por exemplo,
[
]
S
0/90
2
é
um cross-ply, embora suas primeiras duas lâminas não alternem, sendo da mesma
orientação (90°). Um outro caso especial é quando se tem todas as lâminas do laminado
com o mesmo ângulo, somente mudando o sinal
(
)
α
θ
±
=
, sendo chamado de laminado
com fibras em ângulo (angle-ply). Por exemplo, um laminado simétrico com angle-ply
30°, pode ser representado por
[
]
S
30/30/30/30
−
−
ou
[
]
S
2
30± .
A Tabela 3.1 mostra as propriedades mecânicas de compósitos laminados,
normalmente utilizados em estruturas, tendo também a fração do volume que é ocupado
por fibras (V
f
).
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
42
Tabela 3.1 – Propriedades mecânicas de lâminas de compósitos laminados (Jones,
1998).
Material Constituintes
E
1
(GPa)
E
2
(GPa)
G
12
(GPa)
ν
12
V
f
T300/5208 Grafite/Epóxi 181 10,30 7,17 0,28 0,70
AS4/3501 Grafite/Epóxi 138 8,96 7,10 0,30 0,66
B(4)/5505 Boro/Epóxi 204 18,50 5,59 0,23 0,50
Kevlar49/Ep Aramida/Epóxi 76 5,50 2,30 0,34 0,60
Scotchply1002 Vidro/Epóxi 38,6 8,27 4,14 0,26 0,45
3.2.3 Relações de tensão-deformação
Para uma lâmina ortotrópica, as relações de tensão-deformação
(
)
εσ
C= nas
direções principais do material são dadas pela seguinte equação matricial com nove
constantes independentes:
=
12
13
23
3
2
1
66
55
44
333231
232221
131211
12
13
23
3
2
1
C00000
0C0000
00C000
000CCC
000CCC
000CCC
γ
γ
γ
ε
ε
ε
τ
τ
τ
σ
σ
σ
(3.8)
As expressões para as constantes C
ij
em termos das constantes ortotrópicas, E
1
,
E
2
, E
3
, G
12
, G
23
, G
31
, ν
12
, ν
21
, ν
13
, ν
31
, ν
23
e ν
32
, são as seguintes (Jones, 1998):
(
)
(
)
(
)
1 23 32 1 21 23 31 1 31 23 32
11 12 13
E 1 E E
C ,C ,C ;
ν ν ν ν ν ν ν ν
∆ ∆ ∆
− + +
= = =
(3.9-3.11)
(
)
(
)
(
)
2 12 13 32 2 13 31 2 32 12 31
21 22 23
E E 1 E
C ,C ,C ;
ν ν ν ν ν ν ν ν
∆ ∆ ∆
+ − +
= = =
(3.12-3.14)
(
)
(
)
(
)
3 13 12 23 3 23 13 21 3 12 21
31 32 33
E E E 1
C ,C ,C ;
ν ν ν ν ν ν ν ν
∆ ∆ ∆
+ + −
= = =
(3.15-3.17)
onde
43
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
12 21 13 31 23 32 12 23 31 13 21 32
1
∆ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν
= − − − − −
(3.18)
e
44 23 55 13 66 12
C G , C G , C G .
= = =
(3.19-3.21)
Pode-se observar que existem três módulos de elasticidade longitudinais, três
módulos de cisalhamento e seis coeficientes de Poisson, dando um total de doze
constantes. Entretanto, somente nove são independentes. Três relações adicionais são
dadas abaixo, mostrando a dependência entre os coeficientes de Poisson:
31 13 23 32
21 12
2 1 3 1 2 3
, , .
E E E E E E
ν ν ν ν
ν ν
= = =
(3.22-3.24)
Como foi comentado anteriormente, estas relações são válidas para as direções
principais da lâmina em questão, sendo que para ter estas relações na direção dos eixos
do laminado deve-se fazer uma rotação da matriz
C (que é um tensor de quarta ordem),
através da seguinte equação:
t
C' T CT ,
= (3.25)
onde
−
−−
−
=
cs
sc
sccscs
cscs
cssc
0000
0000
00022
000100
000
000
22
22
22
T
(3.26)
sendo,
θ
cos
=
c ,
θ
sen
=
s e
θ
o ângulo que as fibras formam com o eixo do laminado.
Depois de efetuar as operações necessárias, a matriz C’, que vem dada por:
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
55 56
65 66
C' C' C' C' 0 0
C' C' C' C' 0 0
C' C' C' C' 0 0
C' .
C' C' C' C' 0 0
0 0 0 0 C' C'
0 0 0 0 C' C'
=
(3.27)
Expressando cada um dos termos não-nulos acima em função da matriz
constitutiva inicial
C e dos co-senos e senos (c e s), obtém-se:
(
)
4 4 2 2
11 11 22 12 21 44
C' c C s C c s C C 4C ,
= + + + +
(3.28)
(
)
4 4 2 2
12 12 21 11 22 44
C' c C s C c s C C 4C ,
= + + + −
(3.29)
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
44
2 2
13 13 23
C' c C s C ,
= +
(3.30)
(
)
(
)
3 3
14 11 12 44 21 22 44
C' c s C C 2C cs C C 2C ,
= − − + − +
(3.31)
(
)
4 4 2 2
21 21 12 11 22 44
C' c C s C c s C C 4C ,
= + + + −
(3.32)
(
)
4 4 2 2
22 22 11 12 21 44
C' c C s C c s C C 4C ,
= + + + +
(3.33)
2 2
23 23 13
C' c C s C ,
= +
(3.34)
(
)
(
)
3 3
24 21 22 44 11 12 44
C' c s C C 2C cs C C 2C ,
= − + + − −
(3.35)
2 2
31 31 32
C' c C s C ,
= +
(3.36)
2 2
32 32 31
C' c C s C ,
= +
(3.37)
33 33
C' C ,
=
(3.38)
(
)
34 31 32
C' cs C C ,
= −
(3.39)
(
)
(
)
3 3
41 11 21 44 12 22 44
C' c s C C 2C cs C C 2C ,
= − − + − +
(3.40)
(
)
(
)
3 3
42 12 22 44 11 21 44
C' c s C C 2C cs C C 2C ,
= − + + − −
(3.41)
(
)
43 13 23
C' cs C C ,
= −
(3.42)
(
)
2 2 4 4
44 11 21 12 22 44 44 44
C' c s C C C C 2C c C s C ,
= − − + − + +
(3.43)
2 2
55 55 66
C' c C s C ,
= +
(3.44)
(
)
56 55 66
C' cs C C ,
= −
(3.45)
(
)
65 55 66
C' cs C C ,
= −
(3.46)
2 2
66 66 55
C' c C s C .
= +
(3.47)
Esta matriz constitutiva (C’) é utilizada para o cálculo da matriz de rigidez por
elemento, dentro da análise via elementos finitos.
Cabe aqui salientar que estas relações de tensão e deformação não incluem os
efeitos higrotérmicos que geram tensões e deformações na lâmina. Os materiais
compósitos são geralmente produzidos em altas temperaturas e depois resfriados até
atingirem a temperatura ambiente. Para compósitos com matriz polimérica, esta
variação de temperatura fica em torno de 200
o
C a 300
o
C, sendo que para compósitos
com matriz de cerâmica esta variação pode chegar a 1000
o
C. Devido à diferença entre
os valores dos coeficientes de expansão térmica da matriz e das fibras, surgem tensões
residuais quando a lâmina é resfriada. Além disso, o processo de resfriamento induz
45
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
deformações na lâmina. Por outro lado, muitos materiais poliméricos que formam a
matriz da lâmina podem absorver ou perder umidade. Esta mudança de umidade leva a
uma expansão ou contração do material, gerando tensões e deformações semelhantes
àquelas causadas pelas variações de temperatura (Kaw, 2006).
Neste trabalho não são consideradas tensões e deformações causadas pelos
efeitos higrotérmicos. Embora estes efeitos tornem o modelo estrutural mais realista, o
objetivo principal desta tese é criar uma nova ferramenta para otimização de materiais
compósitos com restrições de confiabilidade incorporando algoritmos genéticos e redes
neurais. A inclusão dos efeitos higrotérmicos pode ser feita posteriormente em trabalhos
futuros.
3.3 Critério de falha para laminados.
Um laminado irá falhar devido ao crescimento de cargas mecânicas ou térmicas.
A falha do laminado, entretanto, pode não ser catastrófica. É possível que algumas das
lâminas inicialmente falhem (first ply load) e que o compósito continue a suportar mais
cargas até que todas as lâminas falhem (last ply load). Mesmo as lâminas com falha
podem contribuir para a rigidez e resistência do laminado. A degradação das
propriedades de rigidez e resistência de cada lâmina depende da filosofia adotada pelo
projetista.
Neste trabalho, a falha do compósito é baseada na falha da primeira lâmina (first
ply failure), uma vez que este critério é o mais utilizado pelos autores, justificado pela
possibilidade de detecção e reparação ou troca de componentes da estrutura antes que a
mesma falhe por completo (Kaw, 2006).
O projeto de uma estrutura depende do critério de falha considerado. No
presente trabalho, serão analisados critérios de falha de resistência de um laminado
sujeito a carregamento estático. No entanto, podem-se citar outros fatores no projeto
mecânico, tais como (Kaw,2006):
• Efeitos ambientais de longo tempo – Levam em consideração os efeitos
de longo tempo da temperatura, umidade, atmosfera corrosiva e outros
fatores ambientais sobre os compósitos. Tais fatores podem diminuir a
adesão entre os materiais das fibras e da matriz, bem como modificar as
propriedades mecânicas dos mesmos.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
46
• Tensões interlaminares – Devido às diferenças entre os módulos de
elasticidade e os ângulos de orientação das fibras das camadas de um
compósito laminado, são geradas tensões interlaminares. Estas tensões,
que são normais ao plano do laminado e de cisalhamento, podem ser
suficientemente grandes para causar a delaminação (descolamento) entre
as lâminas. Eventualmente o processo de delaminação pode ser o critério
de falha dominante para e estrutura.
• Resistência ao impacto – A resistência de materiais compósitos ao
impacto é importante em problemas de projéteis atingindo aeronaves ou
mesmo em um amortecedor de um veículo trafegando sobre uma pista
irregular. A resistência ao impacto depende de vários fatores, tais como:
material do sistema, resistência entre as lâminas, seqüência de disposição
das lâminas, natureza do impacto (velocidade, massa e tamanho do
objeto impactante). O impacto reduz a resistência do laminado e também
inicia o processo de delaminação.
• Resistência à fratura – Nos compósitos, os mecanismos de fratura são
complicados. As trincas podem crescer localizadas nas fibras, matriz,
entre fibra e matriz e entre as lâminas. Mecânica da fratura em
compósitos ainda é um assunto aberto porque existem vários
mecanismos de falha e o desenvolvimento de um critério uniforme
parece quase impossível.
• Resistência à Fadiga – Com o passar do tempo as estruturas ficam
sujeitas a carregamentos cíclicos, tais como as cargas de sustentação
atuando na asa de um avião. Esta carga cíclica enfraquece o material e
confere ao mesmo tempo uma vida finita. Parâmetros de fadiga para
materiais compósitos são obtidos usando, por exemplo, dados relativos a
tensões de pico atuantes durante o carregamento, como uma função do
número de ciclos. O pico de tensões é então comparado com a resistência
estática da estrutura. Se esses picos de tensão são consideravelmente
menores do que a resistência última do compósito, a fadiga não
influencia no projeto da estrutura.
• Características não-mecânicas – Também são importantes no projeto
de estruturas de materiais compósitos. Dentre elas pode-se citar:
47
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
1
2
x
y
θ
Direção da fibra
S
2
S
6
S
1
resistência ao fogo, condutividade térmica e elétrica, potencial de
reciclagem, interferência eletromagnética, etc.
3.3.1 Critérios de falha de resistência para compósitos laminados
Em um laminado, a resistência está relacionada com a resistência de cada lâmina
(first ply load). As teorias de falha são geralmente baseadas nas resistências aos esforços
normais e de cisalhamento de uma lâmina unidirecional.
No caso de uma lâmina unidirecional, o material possui dois eixos, sendo um
paralelo as fibras (eixo x) e outro perpendicular às mesmas (eixo y), conforme é
ilustrado na figura 3.2. Dessa forma, surgem quatro parâmetros normais de resistência,
um para tração e outro para compressão em cada um dos dois eixos do material. O
quinto parâmetro de resistência é a resistência ao cisalhamento.
Dessa forma, as teorias de falha resumem-se a achar as tensões nos eixos locais
e então compará-las com os cinco parâmetros de resistência da lâmina unidirecional.
Figura 3.2 – Sistema de coordenadas para uma lâmina unidirecional.
3.3.1.1 Teoria de falha da máxima tensão
Conhecidas as tensões nos eixos locais da lâmina
),,(
xyyx
SSS
, a mesma é
considerada em estado de falha se:
ult
T
xxult
C
x
SSS )()( <<−
, ou (3.48)
ult
T
yyult
C
y
SSS )()( <<−
, ou (3.49)
ultxyxyultxy
SSS
)()( <<−
, (3.50)
onde
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
48
ult
T
x
S )(
= tensão longitudinal última de tração na direção x.
ult
C
x
S
)(
= tensão longitudinal última de compressão na direção x.
ult
T
y
S )(
= tensão longitudinal última de tração na direção y.
ult
C
y
S )(
= tensão longitudinal última de compressão na direção y.
ultxy
S
)(
= tensão última de cisalhamento no plano x-y.
Os cinco parâmetros de resistência são tratados como números positivos e as
tensões normais são positivas se de tração e negativas se de compressão.
Cada componente de tensão é comparada com a correspondente resistência;
dessa forma as tensões não interagem umas com as outras.
3.3.1.2 Teoria de falha da máxima deformação
Conhecidas as deformações nos eixos locais da lâmina
),,(
xyyx
γεε
, a mesma é
considerada em estado de falha se:
ult
T
xxult
C
x
)()(
εεε
<<−
, ou (3.51)
ult
T
yyult
C
y
)()(
εεε
<<−
, ou (3.52)
ultxyxyultxy
)()(
γγγ
<<−
, (3.53)
onde
ult
T
x
)(
ε
= deformação longitudinal última de tração na direção x.
ult
C
x
)(
ε
= deformação longitudinal última de compressão na direção x.
ult
T
y
)(
ε
= deformação longitudinal última de tração na direção y.
ult
C
y
)(
ε
= deformação longitudinal última de compressão na direção y.
ultxy
)(
γ
= deformação última de cisalhamento no plano x-y.
As deformações últimas podem ser determinadas a partir das resistências últimas
e dos módulos de elasticidade, assumindo uma relação linear entre tensão e deformação
até a falha. A teoria de falha da máxima deformação é semelhante ao critério de falha da
máxima tensão no sentido de que não há interação entre os componentes de deformação.
Entretanto, as duas teorias apresentam resultados diferentes devido ao fato de que as
deformações locais na lâmina incluem o efeito de Poisson.
49
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
3.3.1.3 Teoria de falha de Tsai-Hill.
É baseada no critério da energia de distorção (critério de von Mises) para
materiais isotrópicos. A energia de distorção é uma parcela da energia de deformação de
um corpo. A energia de deformação consiste de duas parcelas; uma delas relacionada à
mudança de volume do corpo, chamada de energia de dilatação, e outra ligada a
mudanças na forma do corpo, chamada de energia de distorção. O material é
considerado em estado de falha quando a energia de distorção é maior do que a energia
de distorção do material na condição de falha. Baseado neste critério, Tsai (Tsai, 1968)
propôs a seguinte condição de falha para a lâmina unidirecional submetida a um estado
plano de tensões:
122)()(
2
63
2
31
2
32
<+−+++
xyyxyx
SGSSGSGGSGG
, (3.54)
onde
−=
22
1
])[(
1
])[(
2
2
1
ult
T
xult
T
y
SS
G ; (3.55)
=
2
2
])[(
1
2
1
ult
T
x
S
G
; (3.56)
=
2
3
])[(
1
2
1
ult
T
x
S
G
; (3.57)
=
2
6
])[(
1
2
1
ultxy
S
G . (3.58)
Usando as equações (3.55-3.58) em conjunto com (3.54) chega-se à seguinte
expressão reduzida do critério de falha de Tsai-Hill para uma lâmina unidirecional:
1
)()()()(
22
2
2
<
+
+
−
ultxy
xy
ult
T
y
y
ult
T
x
yx
ult
T
x
x
S
S
S
S
S
SS
S
S
. (3.59)
Diferentemente dos critérios de máxima tensão e máxima deformação, o
critério de Tsai-Hill leva em consideração interações entre três componentes de
resistência (
ult
T
x
S
)(
,
ult
T
y
S )(
e
ultxy
S )(
), entretanto não é feita distinção entre as
resistências últimas de compressão e de tração. Tal fato pode resultar em uma carga de
falha subestimada, uma vez que a resistência última de tração é geralmente
consideravelmente menor do que a de compressão.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
50
3.3.1.4 Teoria de falha de Tsai-Wu
É baseada na teoria de falha da energia total de deformação de Beltrami. Tsai &
Wu, 1971 aplicaram esta teoria de falha para uma lâmina de material compósito em
estado plano de tensões. A falha da lâmina é atingida se a condição:
12
12
2
66
2
22
2
11621
<++++++
yxxyyxxyyx
SSHSHSHSHSHSHSH
(3.60)
é violada, onde
ult
C
xult
T
x
SS
H
)(
1
)(
1
1
−=
; (3.61)
ult
C
xult
T
x
SS
H
)()(
1
11
=
; (3.62)
ult
C
yult
T
y
SS
H
)(
1
)(
1
2
−=
; (3.63)
ult
C
yult
T
y
SS
H
)()(
1
22
=
; (3.64)
0
6
=H ; (3.65)
2
66
)(
1
ultxy
S
H =
. (3.66)
A única componente que não pode ser determinada diretamente a partir dos
cinco parâmetros de resistência é
12
H . Esta componente é determinada
experimentalmente e pode assumir valores diversos dependendo do tipo de experimento
realizado:
2
12
)(2
1
ult
T
x
S
H −=
, Tsai-Hill (Hill,1950) ; (3.67)
ult
C
xult
T
x
SS
H
)()(2
1
12
−=
, Hoffman (Hoffman,1967) ; (3.68)
ult
C
yult
T
yult
C
xult
T
x
SSSS
H
)()()()(
1
2
1
12
−= , Mises-Hencky (Tsai,1980). (3.69)
Neste trabalho adotaremos o valor de
12
H conforme apresentado na equação
(3.69).
51
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
3.3.2 Comparação entre resultados experimentais e as teorias de falha
Tsai (1980) comparou os resultados de várias teorias de falha com alguns
resultados experimentais. Ele considerou uma lâmina submetida a um carregamento
uniaxial na direção 1. As tensões de falha foram obtidas experimentalmente para
condições de tração e compressão utilizando vários ângulos de orientação para as fibras.
Após determinar as tensões e deformações locais, as quatro teorias de falha
foram aplicadas para determinar a carga última em função do ângulo de orientação das
fibras.
As comparações para os quatro critérios de falha são mostradas nas figuras 3.3 a
3.6. As seguintes observações podem ser feitas:
• As diferenças entre os critérios de máxima tensão e máxima deformação
em relação aos dados experimentais são bem pronunciadas.
• Os critérios de Tsai-Hill e Tsai-Wu apresentam uma boa compatibilidade
com os resultados experimentais.
• A variação de resistência da lâmina em função do ângulo de orientação
das fibras é suave nas teorias de Tsai-Hill e Tsai-Wu, possuindo
variações bruscas nas teorias de máxima tensão e máxima deformação,
as quais correspondem às mudanças nos modos de falha presentes nestes
critérios.
Com base nestes resultados experimentais e no fato que a maioria dos autores
adota o critério de Tsai-Wu para determinar a falha do material compósito laminado,
este foi o critério escolhido nas análises de confiabilidade realizadas em capítulos
posteriores.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
52
Figura 3.3 – Comparação entre dados experimentais e critério de falha da máxima tensão
– adaptado de (Kaw, 2006).
Figura 3.4 – Comparação entre dados experimentais e critério de falha da máxima
deformação – adaptado de (Kaw, 2006).
53
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Figura 3.5 – Comparação entre dados experimentais e critério de falha de
Tsai-Hill – adaptado de (Kaw, 2006).
Figura 3.6 – Comparação entre dados experimentais e critério de falha de
Tsai-Wu – adaptado de (Kaw, 2006).
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
54
3.4 Elemento finito empregado na análise estrutural
Não é o objetivo principal desta tese apresentar novidades no campo do
desenvolvimento de elementos finitos para a análise de estruturas de materiais
compósitos laminados. Dessa forma, é apresentado resumidamente o elemento utilizado
bem como exemplos que comprovam a sua eficiência.
3.4.1 Elemento triangular plano para cascas e placas
A formulação deste elemento consiste em sobrepor um elemento de placa fina a
um elemento de estado plano de tensões (desconsiderando deformações por corte
transversal). Adicionalmente são introduzidos termos para que o acoplamento entre
efeitos de membrana e flexão, presentes no caso de laminados não-simétricos, possa ser
considerado.
Problemas que envolvam rotações e deslocamentos finitos podem ser tratados
graças à formulação Lagrangeana atualizada adotada para o elemento (Bathe & Ho,
1981). Nestas situações emprega-se uma solução incremental-iterativa utilizando o
Método do Controle por Deslocamentos Generalizados (MCDG) (Yang & Shieh, 1990).
Maiores detalhes sobre a formulação deste elemento podem ser encontrados em
(Almeida, 2006).
3.4.2 Elemento triangular plano para placas e cascas de compósito laminado
Descrevem-se a seguir, em maiores detalhes, o elemento supra mencionado. Sua
formulação é baseada no elemento triangular de estado plano de tensões Constant Stress
Triangular Element (CST) e no elemento triangular para placas finas Discret Kirchhoff
Triangular Element (DKT) (Bathe et al. 1980). O comportamento do elemento segue a
teoria clássica de laminados (TCL) que adota as seguintes considerações (Daniel &
Ishai, 1994):
a) Cada lâmina é quase-homogênea e ortotrópica;
b) O laminado é delgado se comparado às suas dimensões laterais e suas
lâminas estão sob estado plano de tensões;
55
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
c) Os deslocamentos são pequenos se comparados à espessura do laminado,
consideração essa válida para teoria com linearidade geométrica;
d) Os deslocamentos são contínuos no laminado;
e) Deslocamentos no plano variam linearmente ao longo da espessura do
laminado;
f) Deformações transversais por cisalhamento são ignoradas. Essa consideração
e a anterior implicam que linhas retas normais ao plano médio continuam
retas e normais a este após a deformação;
g) As relações deformação-deslocamento e tensão-deformação são lineares;
h) Distâncias normais ao plano médio permanecem constantes, ou seja, a
deformação normal na direção perpendicular ao plano médio
Z
ε
é ignorada.
O elemento triangular possui três nós, localizados em seus vértices. A cada nó
são atribuídos seis graus de liberdade (gdl), totalizando 18 gdl por elemento. Dois
deslocamentos no plano e uma rotação, perpendicular ao plano médio do elemento,
formam os gdl de membrana. Os gdl de flexão são constituídos pelo deslocamento
perpendicular ao plano e as duas rotações no plano, conforme pode ser verificado na
figura 3.7.
Figura 3.7 - Graus de liberdade do elemento triangular plano para placa e casca.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
56
Baseado no princípio dos trabalhos virtuais pode-se estabelecer uma expressão,
no contexto de uma análise incremental-iterativa pelo MEF, da seguinte forma:
(
)
{
}
{
}
{
}
t t ( i ) t t t t ( i 1 )
t L t NL t t
K K U P F
∆ ∆
∆
∆
+ + −
+
+ = −
(3.70)
sendo
t
t L
K
e
t
t NL
K
respectivamente as matrizes de rigidez linear e não-linear no
instante t. O vetor de incremento de deslocamentos é dado por
{
}
)(i
U∆ , enquanto
{
}
P
tt ∆+
e
{
}
)1( −∆+
∆+
itt
tt
F
são o vetor de cargas externas e o vetor de forças nodais equivalentes
devidas às forças internas no instante tt
∆
+
, sendo este último oriundo da iteração
anterior. Cada um dos termos da equação (3.70) é apresentado em maiores detalhes em
Almeida (2006).
3.4.3 Exemplos numéricos de validação do elemento - Análise de tensões.
Para o cálculo da confiabilidade da estrutura de compósito laminado é
necessário avaliar o critério de falha de Tsai-Wu e verificar se a estrutura encontra-se ou
não na zona de segurança. O conhecimento adequado das tensões atuando nos eixos
locais do laminado é fundamental para que os resultados sejam precisos. Dessa forma,
serão apresentados dois exemplos do cálculo de tensões utilizando o elemento finito em
questão, tendo como objetivo a validação do mesmo. Para tanto são abordados dois
exemplos simples, mas que ilustram satisfatoriamente o funcionamento da ferramenta
desenvolvida em (Almeida, 2006). Em ambos os casos as estruturas consistem em
placas submetidas a carregamento de pressão transversal, sendo o primeiro um caso de
análise linear e o segundo mais sofisticado, levando-se em conta os efeitos de não
linearidade geométrica.
Dada a dificuldade em se encontrar referência na literatura para comparação dos
resultados, os problemas foram tratados também no programa ABAQUS (2004),
servindo essa solução para a validação da análise executada. A modelagem da estrutura
no programa comercial também se deu por um elemento finito de casca triangular, que
utiliza a mesma teoria do elemento utilizado neste trabalho. São utilizadas as mesmas
malhas e as tensões são comparadas diretamente nos pontos de integração. Assim se
57
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
evita as possíveis diferenças decorrentes do emprego de diferentes métodos de
suavização, utilizados para extrapolar os valores dessas variáveis para os nós da malha.
3.4.3.1 Análise linear de tensões em placa apoiada submetida à carga de pressão
Neste primeiro exemplo a placa retangular simplesmente apoiada apresentada na
figura 3.8 é submetida a um carregamento de pressão uniforme na sua superfície. A
partir da análise linear dos deslocamentos são calculadas as tensões na face superior e
inferior das lâminas em cada um dos três pontos de integração de todos os elementos.
Figura 3.8 – Malha de elementos finitos para placa retangular simplesmente apoiada.
As propriedades do material constituinte das lâminas estão definidas na tabela
3.2. O exemplo considera um laminado de 4 camadas com a seqüência de laminação
]45[
2
±
e uma espessura total de 0,508mm. Toda extensão da placa foi modelada, pois o
material não apresenta planos de simetria. A malha utilizada é de (4 X 6) X 2 elementos.
As bordas têm as translações restritas e os giros livres enquanto o carregamento é de
10
-3
MPa.
Ao se comparar o resultado das componentes de tensões obtidas pelas duas
soluções, não foram encontradas diferenças superiores a 0,1%. Tendo em vista a
impossibilidade de apresentar o enorme número de dados que foram comparados (3
componentes de tensão x 4 lâminas x 2 faces x 3 pontos de integração x 48 elementos =
3560 valores), resume-se a apresentação aos valores obtidos para a face superior e
inferior da laminado no ponto indicado pela figura 3.8, através da tabela 3.3.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
58
Tabela 3.2 – Propriedades do Material.
1
E
132,4
×
10
3
MPa
2
E
10,75
×
10
3
MPa
12
G
5,65
×
10
3
MPa
12
ν
0,24
ala
t
min
1,27
×
10
-
4
m
Tabela 3.3 – Tensões no ponto próximo ao centro da placa para faces superior e inferior.
Face superior Face inferior
Componente (MPa) S
x
S
y
S
xy
S
x
S
y
S
xy
Elemento triangular plano -80,22 -10,09
-3,76 80,25 9,75 -2,91
ABAQUS -80,22 -10,09
-3,76 80,25 9,75 -2,91
Na figura 3.9 são apresentadas as distribuições de tensão nas faces inferior e
superior da placa. Essas são originadas de um processo de suavização que extrapola o
valor das componentes dos pontos de integração dos elementos para os nós da malha. O
deslocamento vertical máximo da placa para esse exemplo é de 17,24 mm.
3.4.3.2 Análise não-linear de tensões em placa engastada submetida à carga de
pressão
Nesse exemplo são apresentados os resultados da análise de tensões de uma placa
quadrada (de lado a e espessura h) laminada submetida a um carregamento de pressão
uniformemente distribuído. O laminado é formado por duas camadas [90,0], fabricadas
em grafite/epoxy e tem todas suas bordas engastadas. As propriedades do material e a
geometria da placa estão definidas na Tabela 3.4.
Paulo André Menezes Lopes – (
Figura 3.9
–
) – Tese –
Porto Alegre (PPGEC
–
Tensões nas faces superior e inferior da placa.
59
Porto Alegre (PPGEC
/UFRGS)-2009
Tensões nas faces superior e inferior da placa.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Tabela 3.4
Aqui t
ambém são considerados os efeitos de não
obtenção dos deslocamentos, o que se reflete diretamente nas tensões calculadas para as
sucessivas configurações deformadas obtidas a cada passo do método de
modelagem utilizad
a é uma malha de (10 x 10) x 2 elementos, conforme se observa na
figura 3.10
. Nessa figura também está indicado o primeiro ponto de integração do
elemento 1, local onde serão comparadas as tensões obtidas pelo programa utilizado e
pela referência.
Figura 3.10 –
Malha de elementos finitos e indicação do ponto de integração onde são
comparadas as tensões calculadas.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Tabela 3.4
–
Propriedades do material e dados geométricos.
1
E
1,38
×
10
5
MPa
2
E
9,65
×
10
3
MPa
12
G
4,83
×
10
3
MPa
12
ν
0,30
a 0,23 m
h 1 mm
ambém são considerados os efeitos de não
-
linearidade geométrica na
obtenção dos deslocamentos, o que se reflete diretamente nas tensões calculadas para as
sucessivas configurações deformadas obtidas a cada passo do método de
a é uma malha de (10 x 10) x 2 elementos, conforme se observa na
. Nessa figura também está indicado o primeiro ponto de integração do
elemento 1, local onde serão comparadas as tensões obtidas pelo programa utilizado e
Malha de elementos finitos e indicação do ponto de integração onde são
comparadas as tensões calculadas.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
60
Propriedades do material e dados geométricos.
linearidade geométrica na
obtenção dos deslocamentos, o que se reflete diretamente nas tensões calculadas para as
sucessivas configurações deformadas obtidas a cada passo do método de
resolução. A
a é uma malha de (10 x 10) x 2 elementos, conforme se observa na
. Nessa figura também está indicado o primeiro ponto de integração do
elemento 1, local onde serão comparadas as tensões obtidas pelo programa utilizado e
Malha de elementos finitos e indicação do ponto de integração onde são
Paulo André Menezes Lopes – (
Nas figuras 3.11, 3.12
e 3.1
principais do material para a face superior e inferior no ponto indicado anteriormente.
Como o método de re
solução é diferente em cada programa, as tensões são calculadas
para configurações deformad
curvas. A análise é realizada até uma pressão máxima de 9x10
alcançado quando o nível de carga é igual a 1,0.
Figura 3.11 –
Curva tensão S
laminado no primeiro ponto de integração do elemento 1.
Figura 3.12 –
Curva tensão Sy
laminado no primeiro ponto de integração do elemento 1.
) – Tese –
Porto Alegre (PPGEC
e 3.1
3
são apresentadas a evolução das tensões segundo os eixos
principais do material para a face superior e inferior no ponto indicado anteriormente.
solução é diferente em cada programa, as tensões são calculadas
para configurações deformad
as distintas e por isso só podem ser comparadas através de
curvas. A análise é realizada até uma pressão máxima de 9x10
-3
Pa, sendo esse valor
alcançado quando o nível de carga é igual a 1,0.
Curva tensão S
x –
nível de carga para faces superior e inferior do
laminado no primeiro ponto de integração do elemento 1.
Curva tensão Sy
–
nível de carga para faces superior e inferior do
laminado no primeiro ponto de integração do elemento 1.
61
Porto Alegre (PPGEC
/UFRGS)-2009
são apresentadas a evolução das tensões segundo os eixos
principais do material para a face superior e inferior no ponto indicado anteriormente.
solução é diferente em cada programa, as tensões são calculadas
as distintas e por isso só podem ser comparadas através de
Pa, sendo esse valor
nível de carga para faces superior e inferior do
laminado no primeiro ponto de integração do elemento 1.
nível de carga para faces superior e inferior do
laminado no primeiro ponto de integração do elemento 1.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Figura 3.13 –
Curva tensão Sxy
laminado no primeiro ponto de integração do elemento 1.
Fica comprovado que o elemento em questão aproxima de forma satisfatória os
resultados de tensões nos eixos locais das
linear ou não –
linear geométrica. Portanto, fica validado o seu uso em conjunto com o
critério de ruptura de Tsai
-
zona de falha.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Curva tensão Sxy
–
nível de carga para faces superior e inferior do
laminado no primeiro ponto de integração do elemento 1.
Fica comprovado que o elemento em questão aproxima de forma satisfatória os
resultados de tensões nos eixos locais das
lâminas, independentemente da análise ser
linear geométrica. Portanto, fica validado o seu uso em conjunto com o
-
Wu a fim de verificar se o laminado encontra
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
62
nível de carga para faces superior e inferior do
laminado no primeiro ponto de integração do elemento 1.
Fica comprovado que o elemento em questão aproxima de forma satisfatória os
lâminas, independentemente da análise ser
linear geométrica. Portanto, fica validado o seu uso em conjunto com o
Wu a fim de verificar se o laminado encontra
-se ou não na
63
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
CAPÍTULO 4
4. CONFIABILIDADE EM ESTRUTURAS DE MATERIAIS
COMPÓSITOS
4.1 Introdução
Neste capítulo serão apresentados os métodos empregados para a determinação
do índice de confiabilidade das estruturas de materiais compósitos laminados analisadas
neste trabalho.
Serão tratados os métodos de simulação de Monte Carlo com e sem amostragem
por importância e o método de primeira ordem FORM (First Order Reliability Method)
com um ponto de linearização, bem como o aplicado para sistemas em série.
4.2 Análise de confiabilidade de lâminas de materiais compósitos unidirecionais
Existem diversos métodos para calcular o índice de confiabilidade de sistemas
estruturais, entre os quais se podem destacar o Método de Simulação de Monte Carlo
com ou sem amostragem por importância e FORM (First Order Reliability Method).
Enquanto o Método de Monte Carlo está baseado na simulação de amostras geradas
aleatoriamente seguindo-se uma dada distribuição de probabilidade, verificando se a
mesma está na zona de segurança ou de falha (cujas fronteiras são definidas pela função
de estado limite), os métodos FORM conduzem a formulações matematicamente
elegantes que requerem saber
“a priori” a definição de uma função de falha e que seja
diferenciável. Ambos os métodos exigem o correto conhecimento das médias,
variâncias e tipo de distribuição das variáveis aleatórias.
A função de estado limite de materiais compósitos unidirecionais pode ser
escrita como:
1 2 n
M( ) g( x ,x ,...,x ) 0 ,
= ≤
X
(4.1)
onde
M
representa a margem de segurança e
X
o vetor das n variáveis aleatórias que
afetam a resistência do material.
0
≤
M significa falha e 0
>
M que o material está no
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
64
domínio de segurança (Ang & Tang, 1975). A probabilidade de falha pode ser calculada
usando a função de densidade de probabilidade conjunta
1 2
( , ,..., )
x n
f x x x
:
f x 1 2 n 1 2 n
D
P f ( x ,x ,...,x ) dx dx ...dx ;
= ⋅⋅⋅
∫∫ ∫
(4.2)
onde D é a região onde
0
≤
M .
4.2.1 Método de simulação de Monte Carlo
Dado um conjunto de n variáveis aleatórias
{
}
n
xxx ,...,,
21
=Χ , cada uma delas
completamente caracterizada pela sua respectiva função densidade de probabilidade
marginal (FDP)
( )
Xi i
f x
e respectiva função distribuição acumulada marginal (FPA)
( )
Xi i
F x
, então a probabilidade de falha, associada a uma função de estado limite
( )
g
X
que define uma região de falha e outra de segurança, pode ser calculada por:
{ }
[
]
f
/ g( ) 0
P f ( )d I g( ) f ( )d
≤
= = ⋅
∫ ∫
X X
X X X
X X X X X
,
(4.3)
onde
)(X
X
f é a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis, e
[
]
)(XgI é
uma função indicadora, definida por:
[ ]
1 se g( ) 0;
I g( )
0 se g( ) 0 .
≤
=
>
X
X
X
(4.4)
Com o uso da função indicadora é possível calcular a integral da equação (4.3)
sobre todo domínio e não só na região de falha. Além disso, o resultado da equação
(4.3) representa o valor esperado (valor médio) da função indicadora. Dessa, forma a
probabilidade de falha pode ser estimada através da seguinte expressão:
ns
j
f
j
1
ˆ
P I g( ) ,
ns
=
∑
X
(4.5)
65
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
onde ns é o número de simulações e
j
X
é o j-ésimo vetor de amostras simulado
contendo as n variáveis e
ˆ
f
P
é o valor esperado da probabilidade de falha.
O
[ ]
∑
ns
j
j
gI )(X representa o número de simulações que caíram na região de falha
( nf ) e a equação (4.5) pode ser reescrita da seguinte forma:
f
nf
ˆ
P .
ns
=
(4.6)
Obviamente, a precisão da estimativa de
^
f
P depende do número de simulações
(ns) realizadas. Para uma pequena probabilidade de falha e/ou um pequeno número de
simulações, a estimativa de
ˆ
f
P
dada pela equação (4.6) pode acarretar um considerável
erro. A precisão da equação (4.6) pode ser estudada de diversas formas. Uma delas é
calcular a variância ou o coeficiente de variação da probabilidade de falha estimada (
f
p
ˆ
δ
), que pode ser calculada assumindo que cada simulação se constitua em um
processo de Bernoulli. Portanto, o número de falhas em ns simulações pode ser
considerado seguindo uma distribuição Binomial. Assim, o desvio padrão pode ser
avaliado aproximadamente por:
(
)
f
f f
P
ˆ ˆ
1 P P
ˆ
.
ns
σ
−
=
(4.7)
Para a avaliação da precisão estatística do estimador da probabilidade de falha, o
respectivo coeficiente de variação é uma boa medida. Ele é definido como (Haldar &
Mahadevan, 2000):
(
)
ˆ
1ˆ
ˆ
ˆ ˆ
f
f
f
P
p
f f
P
P ns P
σ
δ
−
= =
⋅
(4.8)
Valores da ordem de 0,05 para o coeficiente de variação conduzem a uma
indicação de que o valor médio de P
f
está estimando de forma adequada a
probabilidade de falha.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
66
A equação (4.8) mostra que a estimativa do coeficiente de variação depende da
probabilidade de falha estimada. Nos problemas tratados neste trabalho, a probabilidade
de falha avaliada encontra-se geralmente menor do que 10
-5
, o que conduz a um número
médio de 10
6
simulações para atingir uma precisão satisfatória. Desta forma, o custo
computacional torna-se muito alto, existindo técnicas que podem reduzir
substancialmente o número de simulações necessárias, algumas das quais serão
abordadas a seguir.
4.2.1.1 Geração de amostras para simulação
Para a geração das amostras utilizadas na simulação direta de Monte Carlo,
emprega-se a técnica da transformação inversa. Basicamente é necessário conhecer a
função de probabilidade acumulada marginal inversa de cada uma das variáveis
envolvidas no problema
1
( )
i
X i
F x
−
e, caso haja correlação entre as mesmas, a matriz de
coeficientes de correlação
x
ρ
.
Começa-se por gerar um número de variáveis aleatórias uniformemente
distribuídas no intervalo de [0,1] igual ao número de simulações pelo número de
variáveis básicas a serem geradas
)*(
vs
nn designadas por
j
U , onde
j
U representa o
vetor da j-ésima simulação contendo os valores das i variáveis básicas.
Variáveis gaussianas padrões não correlacionadas são geradas a partir do vetor
de números aleatórios uniformemente distribuídos, utilizando a inversa da distribuição
acumulada da função Gaussiana padrão )(
1 j
U
−
φ
, de acordo com a relação abaixo:
.
φ
−
=
j 1 j
Z (U )
(4.9)
Caso as variáveis apresentem correlação, é utilizada a decomposição de
Cholesky e a correlação é aplicada às variáveis Gaussianas padrão não correlacionadas,
obtendo-se as variáveis Gaussianas padrão correlacionadas
´j
Z
(Haldar & Mahadevan,
2000).
Então, as variáveis aleatórias geradas com função de distribuição de
probabilidades requeridas são dadas por:
67
Paulo André Menezes Lopes – ([email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
)(
´1 j
x
j
i
F ZX
−
=
(4.10)
onde
1−
i
x
F
é a inversa da função distribuição acumulada marginal da variável aleatória i e
j
X
é o vetor das variáveis aleatórias básicas para a j-ésima simulação.
4.2.1.2 Variáveis antitéticas
A técnica das variáveis antitéticas é empregada para a redução da variância da
estimativa da probabilidade de falha na Simulação Direta de Monte Carlo, diminuindo
assim o número de simulações necessário para obter-se uma probabilidade de falha com
determinada precisão. Uma correlação negativa é induzida entre diferentes ciclos de
simulação de forma a diminuir a variância do estimador da média da probabilidade de
falha. Se
u
é um vetor de números aleatórios uniformemente distribuídos entre [0,1] (de
dimensão n) e é utilizado num primeiro estágio para gerar amostras das variáveis no
espaço real
X
e calcular uma estimativa da probabilidade de falha
u
f
P
ˆ
, então o vetor de
mesma dimensão com valores 1-
u
pode ser usado para gerar novas amostras
negativamente correlacionadas e assim se ter uma estimativa da probabilidade de falha
1
f
ˆ
P
−
u
(Ang & Tang, 1975). Portanto, após 2n simulações, a estimativa da probabilidade
de falha pode ser calculada como:
1
f f
f
ˆ ˆ
P P
ˆ
P ,
2
−
+
=
u u
(4.11)
cuja variância é:
1
f f
f
2 2 1
ˆ ˆ
f f
P P
2
ˆ
P
ˆ ˆ
2Cov( P ,P )
.
4
σ σ
σ
−
−
+ +
=
u u
u u
(4.12)
A covariância entre as duas estimativas da probabilidade de falha (
1
f f
ˆ ˆ
Cov( P ,P ) 0
−
<
u u
) certamente será negativa, uma vez que assim o é a covariância entre
os vetores aleatórios (
Cov( ,1 ) 0
− <
u u
), reduzindo assim a variância na estimativa da
probabilidade de falha.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
68
4.2.2 Método de simulação de Monte Carlo com amostragem por importância
Com o objetivo de diminuir o número de simulações para a redução do
coeficiente de variação do estimador da probabilidade de falha dada pela equação (4.8),
pode-se utilizar a técnica de Amostragem por Importância. Dessa forma a equação (4.3)
pode ser reescrita da seguinte forma:
( )
[ ( )]. . ( ) ,
( )
k
f
k
f
P I g f d
f
=
∫
X
W
W
X
X
X X X
X
(4.13)
onde
)(X
X
f é a função densidade de probabilidade conjunta original das variáveis
aleatórias e
)(X
W
k
f é a função densidade de probabilidade conjunta de amostragem,
sendo k um índice para diferenciar diversas funções de amostragem utilizadas. Esta
distribuição deve ser escolhida criteriosamente de forma a trazer as simulações para
próximo da superfície de falha
(fronteira). Existem várias técnicas que têm como
finalidade última obter a função de amostragem mais adequada. Neste trabalho será
utilizado o conceito de IFM- point (Iterative Fast Monte Carlo point; Bucher et al.
(1988)). Este método utiliza apenas uma função de amostragem, criteriosamente
posicionada no “centro de massa ponderado” dos pontos de uma simulação pertencentes
ao domínio de falha e com uma matriz de correlação representativa destes pontos, é
possível obter-se reduções significativas na variância do estimador da probabilidade de
falha (Gomes (2001)).
O coeficiente de variação da probabilidade de falha pode ser calculado de uma
maneira semelhante à utilizada para Monte Carlo Direto, sendo uma indicação do grau
de aproximação do estimador da probabilidade de falha. O limite de 5% para o
coeficiente de variação da probabilidade de falha pode ser utilizado como critério de
parada para as simulações com amostragem por importância adaptativa.
Para a geração das amostras
X
tem-se um procedimento idêntico ao de simulação
direta de Monte Carlo, lembrando-se que as amostras são geradas a partir da função de
amostragem e não da função original (Gomes, 2001).
69
Paulo André Menezes Lopes – (
[email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
4.2.3 First order reliability method (FORM)
A integração da equação (4.2) é difícil quando se trata com várias variáveis
aleatórias, caso do presente estudo. Além disso, a função
( )
x
f
X
geralmente não é
conhecida se não houver dados estatísticos suficientes. Dessa forma, para obter um
índice de confiabilidade
β
costuma-se usar o primeiro e o segundo momentos (média e
variância) da margem de segurança M de equação (4.1).
Quando a função M é linear e as variáveis aleatórias são independentes e
normalmente distribuídas, o índice de confiabilidade
β
pode ser definido como:
,
M
M
µ
β
σ
=
(4.14)
onde
M
µ
e
M
σ
representam respectivamente a média e o desvio padrão da função M.
Quando a margem de segurança é não-linear, os valores aproximados de
M
µ
e
M
σ
são
obtidos pela linearização da função M através da expansão da função em série de Taylor
truncada no termo linear. O ponto no qual é feito o desenvolvimento da série de Taylor
afeta os valores de
M
µ
e
M
σ
.
O método conhecido como FOSM (First – Order Second – Moment) utiliza as
médias das variáveis aleatórias para desenvolver a série de Taylor, o valor de
β
pode ser
obtido analiticamente, porém seu valor tende a ficar superestimado (Ang & Tang,
1975). Além disso, o método FOSM fornece um valor para o índice de confiabilidade
que depende da expressão matemática utilizada para representar a função margem de
segurança
M
, mesmo que as expressões para a margem de segurança forneçam valores
idênticos. Dessa forma, um método que obtém o mesmo valor de
β
,
independentemente da função utilizada para calcular a margem de segurança foi
proposto por Hasofer-Lind (Haldar & Mahadevan, 2000), e é conhecido como AFOSM
(Advanced First-Order Second – Moment). No caso de variáveis aleatórias
independentes, as variáveis aleatórias
x
são transformadas em variáveis normais
padronizadas
i
u
fazendo-se:
1
( ) ,
i
i X i
u F x
−
= Φ
(4.15)
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
70
onde
( )
i
X i
F x
e
1−
Φ
são respectivamente a função de distribuição de probabilidade
acumulada e a inversa da função de distribuição normal padrão da variável
i
x
. Dessa
forma, a margem de segurança no espaço real
X
é transformada para o espaço
Gaussiano padrão
U
:
( ) ( ( )) ( ) ,
H M T M
≈ =
U U X
(4.16)
onde T é a transformação entre variáveis não correlacionadas normais padrão para
variáveis no espaço real. A linearização da função de estado limite é feita em um ponto
*
U
que tenha a menor distância entre a superfície de falha
( ) 0
H
=
U
e a origem do
espaço
U
. O ponto
*
U
é chamado de ponto de projeto e
β
é calculado como a distância
entre a origem e este ponto.
* * 1 2
min( ) .
T
β
= ⋅U U
(4.17)
A procura pelo ponto de projeto é, portanto, um problema de otimização do tipo:
1
* *
2
( )
.
( ) 0
T
Minimizar f
com a restrição H
= ⋅
=
U U
U
(4.18)
4.2.1.3 Algoritmo de Rackwitz –Fiessler
Para resolver o problema da equação (4.18) utiliza-se o algoritmo proposto por
Rackwitz – Fiessler (1978), que pode ser descrito da seguinte forma:
Passo 1: Definir a função que representa a margem de segurança
M
.
Passo 2: Assumir valores iniciais para o ponto de projeto
*
i
x
i=1,2,...,n, e calcular o
correspondente valor da função M (considera-se aqui, como partida para o processo
71
Paulo André Menezes Lopes – (
[email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
iterativo, os valores inicias do ponto de projeto, admitido como sendo as médias das
variáveis de projeto).
Passo 3: Calcular a média e o desvio padrão, no ponto de projeto, da distribuição
normal equivalente para variáveis que não têm distribuição normal. As coordenadas do
ponto de projeto no espaço normal padrão são:
*
*
.
i
i
N
i X
i
N
X
x
u
µ
σ
−
=
Passo 4: Calcular as derivadas parciais
i
M
x
∂
∂
no ponto de projeto
*
i
x
.
Passo 5: Calcular as derivadas parciais
i
M
u
∂
∂
no espaço normal padrão equivalente,
usando a regra da cadeia:
.
i
N
i
X
i i i i
x
M M M
u x u x
σ
∂
∂ ∂ ∂
= ⋅ = ⋅
∂ ∂ ∂ ∂
Passo 6: Calcular um novo valor para o ponto de projeto
*
i
u
no espaço normal padrão
equivalente através da seguinte expressão:
* * * * *
1
2
*
1
( ) ( ) ( ) .
( )
t
i k i k i k i k i k
i k
u M u u M u M u
M u
+
= ∇ − ∇
∇
Passo 7: Calcular a distância deste novo ponto até a origem e estimar novo índice de
confiabilidade
* 2
1
( ) .
n
i
i
u
β
=
=
∑
Passo 8: Verificar a convergência de
β
para um determinado valor de tolerância pré-
determinado.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
72
Passo 9: Calcular os valores do ponto de projeto no espaço original fazendo:
* *
.
i i
N N
i X X i
x u
µ σ
= + ⋅
Passo 10: Calcular o valor de
M
para o novo ponto de projeto e verificar o critério de
convergência para M.
Passo 11: Se ambos os critérios de convergência dos passos 8 e 10 forem satisfeitos,
deve-se parar o algoritmo. Senão, repetir os passos de 3 a 11.
No algoritmo acima descrito, todas as variáveis do espaço original são
assumidas como não correlacionadas. Caso exista correlação entre as mesmas calcula-
se, via decomposição de Cholesky, uma matriz de covariância que transforma as
variáveis correlacionadas em não-correlacionadas (Ang & Tang, 1975 e Haldar &
Mahadevan, 2000).
4.3 Análise de confiabilidade de laminados de materiais compósitos
unidirecionais
Considerando uma placa fina de material compósito unidirecional (fibras
orientadas em somente uma direção), submetidao a um estado plano de tensões,
conforme figura 3.2 e substituindo a equação (3.60), que representa o critério de falha
de Tsai-Wu, na equação (4.1), a margem de segurança
M
toma a seguinte forma:
2
2
xy
i
i
T C T C 2
y
i ult i ult i ult i ult xy ult
i x
xy y x
T C T C
x ult x ult y ult y ult
S
S1 1
S
(S ) (S ) (S ) (S ) (S )
M 1 ,
2F S S
(S ) (S ) (S ) (S )
=
− + + +
= −
∑
(4.19)
sendo -1/2 o valor adotado para o parâmetro
xy
F
, de acordo com a equação (3.69).
A fim de atingir suas especificações de projeto, os materiais compósitos
laminados são compostos pela junção de várias lâminas de compósitos com diferentes
ângulos de
orientação das fibras, espessuras e materiais, conforme mostra a figura 4.1.
73
Paulo André Menezes Lopes – (
[email protected]) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
A placa está submetida a um estado plano de tensões
1
S ,
2
S e
6
S , onde os
subscritos 1, 2 e 6 representam o eixo principal da placa, o eixo perpendicular ao eixo 1
e o corte com relação aos eixos 1-2, respectivamente. As lâminas do laminado são
divididas em N grupos, de acordo com a orientação de suas fibras. Cada grupo de
lâminas tem o seu próprio ângulo de orientação das fibras
( 1,2,... )
i
i N
θ
= e razão de
disposição das fibras ),...2,1( Ni
i
=
υ
, definida como a razão entre a soma das espessuras
de todas as lâminas com o mesmo ângulo de orientação e a espessura total do laminado.
Figura 4.1 - Sistema laminado.
A distribuição de tensões no laminado é expressa como:
1 1
2 2
1
6 6
.
i
N
i i
i
i
S S
S S
S S
ν
=
=
∑
(4.20)
onde
i
S
1
,
i
S
2
e
i
S
3
são as tensões no grupo i de lâminas com a mesma orientação das
fibras, as quais podem ser calculadas como:
1 1
2 2
6 6
.
i
i i
i
S
S Q
S
ε
ε
ε
=
(4.21)
onde
1
ε
,
2
ε
e
6
ε
representam as deformações correspondentes a
1
S ,
2
S e
6
S
respectivamente.
i
Q é a matriz de rigidez do grupo i de lâminas e é construída como
segue:
11 12 16
12 22 26
16 26 66
,
i i i
i i i i
i i i
Q Q Q
Q Q Q Q
Q Q Q
=
(4.22)
onde
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
74
;42
2
1
,42
2
1
,4cos
,4cos
,4cos2cos
,4cos2cos
3226
3216
3566
3412
32122
32111
iii
iii
ii
ii
iii
iii
senUsenUQ
senUsenUQ
UUQ
UUQ
UUUQ
UUUQ
θθ
θθ
θ
θ
θθ
θ
θ
−=
+=
−=
−=
+−=
+
+
=
(4.23)
);42(
8
1
),46(
8
1
),42(
8
1
),(
2
1
),4233(
8
1
661222115
661222114
661222113
22112
661222111
qqqqU
qqqqU
qqqqU
qqU
qqqqU
+−+=
−++=
−−+=
−=
+++=
(4.24)
11
22
12
66
,
1
,
1
,
1 1
;
xi
xi yi
yi
xi yi
yi yi
xi xi
xi yi xi yi
xyi
E
q
E
q
E
E
q
q E
ν ν
ν ν
ν
ν
ν ν ν ν
=
−
=
−
= =
− −
=
(4.25)
onde os subscritos
i
x ,
i
y e
i
s indicam os eixos paralelos às fibras , perpendiculares e na
direção do corte do grupo i de lâminas, conforme figura 3.2;
i
θ
representa os ângulos
entre as fibras das lâminas e a direção 1,
xi
E e
yi
E
são os módulos de elasticidade
longitudinais nas direções x e y,
xyi
E
é o módulo de elasticidade transversal no plano x-
y e
xi
ν
,
yi
ν
são os coeficientes de Poisson nas direções x e y.
Substituindo a equação (4.21) na equação (4.20) e isolando as deformações
1
ε
,
2
ε
e
6
ε
tem-se :
75
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
1
1 1
2 2
1
6 6
.
N
i i
i
S
Q S
S
ε
ε ν
ε
−
=
=
∑
(4.26)
Então, as tensões no grupo i de lâminas são obtidas substituindo a equação
(4.26) em (4.21):
1
1 1
2 2
1
6 6
.
i
N
i i i i
i
i
S S
S Q Q S
S S
ν
−
=
=
∑
(4.27)
As tensões nos eixos 1-2 são então rotacionadas para os eixos
i
x ,
i
y
utilizando a
matriz de rotação:
2 2
1
2
2
2 2
6
2
2 ,
xi i
xi i
si i
S m n mn S
S n m mn S
S mn mn m n S
= −
− −
(4.28)
onde
i
m
θ
cos= e
i
senn
θ
= .
Utilizando o critério de ruptura de Tsai-Wu para definir a função de estado
limite do grupo i de lâminas tem-se:
2
2
xy
T C T C 2
y
ult ult ult ult xy ult
*
x
x y y x
T C T C
x ult x ult y ult y ult
S
S
1 1
S
(S ) (S ) (S ) (S ) (S )
M 1 ,
2F S S
(S ) (S ) (S ) (S )
i
k
k
i
k k k k i
i
k i
i i i i
i i i i
=
− + + +
= −
∑
(4.29)
onde
*
xiyi
F
é assumido como -1/2 (Gürdal et al.,1999).
Neste trabalho, o cálculo da confiabilidade da equação (4.29) é realizado
utilizando os métodos, anteriormente descritos, de Monte Carlo, Monte Carlo com
amostragem por importância e FORM, assumindo que todo laminado colapsa quando
uma de suas lâminas falha (first ply failure). Este comportamento é típico de sistemas
com diversas funções de falha em série. Portanto, com o objetivo de avaliar a precisão
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
76
dos resultados obtidos pelo método FORM clássico, também foi utilizado o método de
FORM aplicado para sistemas em série, o qual está descrito a seguir.
4.3.1 FORM aplicado para sistemas em série.
A resistência do laminado é modelada como um sistema em série, ou seja, é
considerado que a falha de qualquer lâmina causa a falha de todo o laminado.
Conseqüentemente, a probabilidade de falha
f
P
é dada por:
1
0 ,
N
f i
i
P P M
=
= ≤
U
(4.30)
onde N é o número de lâminas. O vetor de variáveis aleatórias contendo as tensões,
resistências e outras propriedades do material,
1 2
( , ,..., )
T
n
x x x
=X
, é transformado para o
espaço padrão
1 2
( , ,..., )
T
n
u u u
=U
usando a transformação de Rossenblatt (Ang & Tang
(1975)). As funções de estado limite no espaço
U
são representadas por
( ) ( 1,2,..., )
i
h i N
=U , correspondendo às funções de estado limite da equação (4.29).
Conforme é mostrado na figura 4.2, o contorno entre a região de falha e de segurança
para o laminado consiste de múltiplas superfícies de estado limite:
( ) 0 ( 1,2,..., )
i
h i N
= =U . A utilização de FORM com apenas um ponto de linearização
pode não conduzir a resultados satisfatórios, uma vez que utiliza apenas um ponto de
linearização pertencente a uma das superfícies de estado limite. Utiliza-se então um
algoritmo que apropriadamente seleciona múltiplos pontos nos contornos (Murotsu et al.,
1994). Baseado nestes pontos, o método “de checagem múltipla de pontos” (Murotsu et
al., 1994) é aplicado para calcular a probabilidade de falha do laminado. As funções de
estado limite são linearizadas nos pontos
B
N selecionados,
B
N
UUU ,...,,
21
, conforme
ilustrado na figura 4.2:
( )
1
( )
( ) .( ) ( 1,2,..., ) ,
i
n
k i
i
i j j B
j
j
h
m U U U i N
U
=
=
∂
= − =
∂
∑
U U
U
(4.31)
77
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
onde
T
n
iiii
UUU ),...,,(
21
=U e
)(
)(
U
ik
h
é a função de estado limite calculada no ponto
selecionado
i
U . A probabilidade de falha do sistema
f
P
, definida pela equação (4.30) é
aproximada usando as funções de estado limite linearizadas
( ) ( 1,2,..., )
i B
m i N
=U :
1
( ) 0 .
B
N
f i
i
P P m
=
≈ ≤
U
U
(4.32)
O índice de confiabilidade
β
é definido utilizando a probabilidade de falha
estimada na equação (4.32):
1
(1 ) .
f
P
β
−
= Φ −
(4.33)
Figura 4.2 - FORM aplicado para múltiplas funções de estado limite – adaptado de Miki
(1997).
4.4 Exemplo numéricos
A seguir serão apresentadas algumas simulações numéricas do cálculo do índice
de confiabilidade a fim de que fique demonstrada a eficiência e precisão dos métodos
anteriormente descritos.
Primeiramente serão tratados problemas envolvendo apenas uma lâmina, onde
foi aplicado o método FORM. Em seguida é apresentada a comparação dos índices de
confiabilidade para laminados constituídos por várias lâminas. Nestes casos, se utilizou
os métodos de Monte Carlo Direto, Monte Carlo com amostragem por importância,
FORM e FORM para sistemas em série.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
78
4.4.1 Análise da confiabilidade de lâminas de materiais compósitos unidirecionais
Nos exemplos apresentados a seguir, o material compósito utilizado é o
Grafite/Epoxy (T300/5208) e é assumido que suas resistências tenham uma distribuição
de probabilidades do tipo Normal. A tabela 4.1 apresenta os valores médios das
resistências ao longo da direção das fibras. Todos os coeficientes de variação CV
(relação entre desvio padrão e média dos valores)
são assumidos como 0,1 (Miki et al.,
1990).
Tabela 4.1 - Valores Médios da Resistência do Material Usado (MPa).
Material Tipo
T
x
R
C
x
R
T
y
R
C
y
R
xy
R
T300/5208
Grafite/Epoxy
1500
1500
40 246
68
As tensões aplicadas
1
S ,
2
S e
6
S também foram consideradas normalmente
distribuídas e os valores médios e coeficientes de variação foram apropriadamente
escolhidos para cada simulação. Os valores dos coeficientes de variação estão
compreendidos na faixa de 0 a 0,6.
Com exceção da última simulação, é considerado que todas as variáveis são não-
correlacionadas
.
4.2.1.4 Confiabilidade no estado uniaxial de tensão
Efeito do Valor Médio de Tensões
Um aumento dos valores médios das tensões uniaxiais de tração, compressão e
corte leva a uma redução do índice de confiabilidade (
β
). O ângulo de orientação das
fibras (
θ
) que produz a máxima confiabilidade é 0
o
para tensões uniaxiais de tração e
compressão (ver figura 4.3) e 45
o
para corte puro (ver figura 4.4). Como pode ser
observado na figura 4.3, os valores do índice de confiabilidade não foram estimados
para ângulos de orientação das fibras inferiores a 3
o
, uma vez que estes ultrapassaram o
limite máximo para o valor de
β
utilizado no programa de confiabilidade.
79
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Efeito da Variação das Tensões
A figura 4.3 mostra os efeitos do coeficiente de variação (CV) para tensão
uniaxial de tração e a figura 4.4 mostra o efeito de CV para a situação de corte puro.
Verifica-se que o índice de confiabilidade diminui com o aumento de CV. Pode-se
observar ainda que, nos dois casos apresentados nas figuras 4.3 e 4.4, o ângulo de
orientação das fibras que produz o maior índice de confiabilidade não é afetado pela
variação de CV.
Figura 4.3 - Efeito do coeficiente de variação da tensão de tração em condição uniaxial
de carga.
Figura 4.4 - Efeito do coeficiente de variação da tensão de corte em condição uniaxial
de carga.
0
1
2
3
4
5
6
0
0,5
1
1,5
2
2
,
5
3
3,5
4
4,5
5
Ângulo de orientação (graus)
Índice de confiabilidade
CV =0.0
CV=0.2
CV=0.4
CV=0.6
0)(,0)(
0)(,0)(
6.0)(
62
62
1
==
==
=
SCVSCV
SS
GPaS
µµ
µ
1
S
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
40 42 44 46 48 50 52 54
Ângulo de orientação (graus)
Índice de confiabilidade
CV=0
CV=0.2
CV=0.4
CV=0.6
0)(,0)(
0)(,0)(
18.0)(
21
21
6
==
==
=
SCVSCV
GPaSGPaS
GPaS
µµ
µ
6
S
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
80
4.2.1.5 Confiabilidade no estado plano de tensões
Efeito do Valor Médio de Tensões
A figura 4.5 mostra a relação entre o índice de confiabilidade (
β
) e o ângulo de
orientação das fibras (
θ
) sobre condição de tensão de tração ao longo do eixo 1 (
1
S ) e
tensão de corte (
6
S ). Os valores médios das tensões
1
S e
6
S foram considerados
respectivamente 0,3 e 0,25 GPa (tensões de referência). O efeito de
6
S é reduzido
quando
1
S aumenta e vice-versa. A linha azul ( ) mostra a condição de tensões de
referência e a máxima confiabilidade é obtida para aproximadamente
o
30=
θ
. As linhas
finas mostram os resultados para o valor médio da tensão
1
S
sendo aumentado e
diminuído de 10%. Resumindo, o ângulo de orientação das fibras que produz a máxima
confiabilidade aumenta com uma diminuição do valor médio de
1
S e diminui quando o
valor médio de
1
S aumenta.
As linhas tracejadas mostram os resultados para o valor médio da tensão de corte
6
S sendo aumentada e diminuída em 10%. O índice de confiabilidade diminui quando o
valor médio de
6
S aumenta e o ângulo de orientação das fibras que produz a máxima
confiabilidade diminui com uma redução do valor médio de
6
S .
Figura 4.5 - Efeito dos Valores Médios de
1
S e
6
S .
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
25 27 29 31 33 35 37
Ângulo de orientação (graus)
Ìndice de Confiabilidade
Referência
S1 Média=+10%
S1 Média=-10%
S6 Média=+10%
S6 Média=-10%
81
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Efeito da Variação das Tensões
A figura 4.6 mostra a relação entre o índice de confiabilidade (
β
) e o ângulo de
orientação das fibras (
θ
) sobre condição de tensão de tração ao longo do eixo 1 (
1
S ) e
tensão de corte (
6
S ) e o efeito do coeficiente de variação (CV) atuando em
1
S . O índice
de confiabilidade diminui com um aumento de CV e o ângulo de orientação das fibras
que produz o maior
β
muda muito pouco. A figura 4.7 mostra o efeito do CV aplicado
na tensão de corte
6
S . Novamente, o índice de confiabilidade diminui com um aumento
de CV, entretanto o ângulo de orientação das fibras que produz a máxima confiabilidade
muda significativamente.
Figura 4.6 - Efeito do Coeficiente de Variação de
1
S .
Figura 4.7 - Efeito do Coeficiente de Variação de
6
S .
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
25 27 29 31 33 35 37
Ângulo de Orientação (graus)
Índice de Confiabilidade
CV=0.0
CV=0.2
CV=0.4
CV=0.6
0)(,25.0)(
0)(,0)(
3.0)(
66
22
1
==
==
=
SCVGPaS
SCVGPaS
GPaS
µ
µ
µ
1
S
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
25 27 29 31 33 35 37
Ângulo de Orientação (graus)
Índice de Confiabilidade
CV=0.0
CV=0.2
CV=0.4
CV=0.6
0)(,30.0)(
0)(,0)(
25.0)(
11
22
6
==
==
=
SCVGPaS
SCVGPaS
GPaS
µ
µ
µ
6
S
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
82
4.4.1.1 Efeito da variação do ângulo de orientação das fibras
Nas seções anteriores o ângulo de orientação das fibras foi tratado como uma
variável determinística. Aqui ele passa a ser considerado como uma variável aleatória.
Os efeitos da variação do ângulo de orientação das fibras sobre uma condição de
carregamento de tração uniaxial são apresentados nas figuras 4.8 e 4.9. A figura 4.8
exibe o caso onde o CV (coeficiente de variação) da tensão aplicada é zero, enquanto
que a figura 4.9 considera um CV de 0,6. Em ambos os casos, o desvio padrão (SD) do
ângulo de orientação das fibras varia de 0 a 3 graus.
Figura 4.8 - Efeito do desvio padrão do ângulo de orientação das fibras sobre condição
de carregamento de tração uniaxial 0)(
1
=SCV .
Figura 4.9 - Efeito do desvio padrão do ângulo de orientação das fibras sobre condição
de carregamento de tração uniaxial
6.0)(
1
=SCV .
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
Ângulo de Orientação (graus)
Índice de Confiabilidade
SD= 0
SD=1
SD=2
SD=3
0)(,0)(
0)(,0)(
0)(,6.0)(
66
22
11
==
==
=
=
SCVGPaS
SCVGPaS
SCVGPaS
µ
µ
µ
em graus
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5
Ângulo de Orientação (graus)
Índice de Confiabilidade
SD= 0
SD=1
SD=2
SD=3
em graus
0)(,0)(
0)(,0)(
6.0)(,6.0)(
66
22
11
==
==
=
=
SCVGPaS
SCVGPaS
SCVGPaS
µ
µ
µ
83
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Pode-se observar que quanto maior a variação do ângulo de orientação das fibras
menor é o índice de confiabilidade obtido e que a redução deste índice é menor quanto
maior for o desvio padrão (SD) do ângulo de orientação. Comparando as figuras 4.8 e
4.9, observa-se que quanto maior o CV de
1
S
menor é a variação da confiabilidade e,
portanto, a precisão do ângulo de orientação, no processo de fabricação, torna-se menos
rigorosa para tensões com grande variabilidade.
O efeito da variação do ângulo de orientação em uma condição de tensão pura de
corte é mostrado na fig. 4.10. Percebe-se que o valor máximo de confiabilidade não é
alterado pela variação do ângulo de orientação para os casos da tensão
6
S ser tratada
com CV=0 ou CV=0,6. Isso significa que a precisão na fabricação do ângulo de
orientação das fibras não é fundamental neste caso, supondo que os ângulo de
orientação estejam normalmente distribuídos.
Figura 4.10 - Efeito do desvio padrão do ângulo de orientação das fibras sobre condição
corte puro.
O efeito da variação do ângulo de orientação para uma condição geral de tensões
planas é apresentado nas figuras 4.11 e 4.12. Os valores médios das tensões de tração e
corte foram consideradas respectivamente 0,3 e 0,25 GPa. A figura 4.11 apresenta o
caso da variação da tensão de tração. Percebe-se que o índice de confiabilidade decresce
consideravelmente com um aumento da variação dos ângulos de orientação, quando as
variações das tensões aplicadas são pequenas. As variações de confiabilidade são
pequenas quando as tensões aplicadas possuem alto valor de coeficiente de variação.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
40 42 44 46 48 50 52 54 56
Ângulo de Orientação (graus)
Índice de Confiabilidade
SD=3 CV=0
SD=3 CV=0.6
SD=0 CV=0
SD=0 CV=0.6
GPaS
SCVGPaS
SCVGPaS
18.0)(
0)(,0)(
0)(,0.0)(
6
22
11
=
==
=
=
µ
µ
µ
6
S
em graus
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
84
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
25 27 29 31 33 35 37
Ângulo de orientação (em graus)
Índice de Confiabilidade
CV=0.0 SD=0
CV=0.6 SD=0
CV=0.0 SD=3
CV=0.6 SD=3
6
S
graus
0)(,30.0)(
0)(,0)(
25.0)(
11
22
6
==
==
=
SCVGPaS
SCVGPaS
GPaS
µ
µ
µ
Fenômeno semelhante ocorre para o caso da variação da tensão de corte, conforme
figura 4.12.
Figura 4.11 - Efeito da variação do ângulo de orientação sobre um estado plano de
tensões (
1
S
variável).
Figura 4.12 - Efeito da variação do ângulo de orientação sobre um estado plano de
tensões (S
6
variável).
4.4.1.2 Efeito de correlação entre as resistências e tensões aplicadas
Foi assumido que as resistências e as tensões aplicadas não possuem correlação.
Entre as resistências, embora exista certa correlação devido à dependência entre a
resistência em uma determinada direção e a interface entre as fibras e a matriz do
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
25 27 29 31 33 35 37
Ângulo de Orientação (graus)
Índice de Confiabilidade
CV=0.0 SD=0
CV=0.6 SD=0
CV=0.0 SD=3
CV=0.6 SD=3
0)(,25.0)(
0)(,0)(
3.0)(
66
22
1
==
==
=
SCVGPaS
SCVGPaS
GPaS
µ
µ
µ
1
S
graus
85
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
material compósito, é experimentalmente difícil obter estes dados e tais coeficientes de
correlação ainda não estão disponíveis na literatura.
O coeficiente de correlação entre a resistência de tração e de corte, no estado
plano de tensões, foi obtido através de soluções numéricas e o efeito deste coeficiente
sobre o índice de confiabilidade não se mostrou relevante (Miki et al., 1990).
O efeito do coeficiente de correlação entre as tensões aplicadas é apresentado na
figura 4.13. Pode-se observar que o maior coeficiente de correlação positivo produz a
maior confiabilidade, enquanto que o maior coeficiente de correlação negativo produz a
menor confiabilidade. Observa-se também que o ângulo de orientação das fibras que
produz a maior confiabilidade muda com uma variação do coeficiente de correlação,
mas essa variação só torna-se considerável para grandes valores de coeficiente de
correlação.
Figura 4.13 - Efeito do coeficiente de correlação entre as tensões de tração e corte
(estado plano de tensões).
4.4.2 Análise da confiabilidade de laminados de materiais compósitos
O próximo exemplo trata do cálculo do índice de confiabilidade (
β
) de um
laminado de material compósito constituído por várias lâminas. O objetivo é verificar a
precisão dos diversos métodos de confiabilidade anteriormente expostos, comparando-
os com o resultados obtidos por Miki et al. (1997) .
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
25 27 29 31 33 35 37
Ângulo de Orientação (em graus)
Índice de Confiabilidade
CC=0.0
CC= +0.5
CC=+0.99
CC=-0.5
CC=-0.99
2.0)(,25.0)(
0)(,0)(
2.0)(,3.0)(
66
22
11
=
==
==
==
=
=
==
==
==
=
=
==
=
=
==
=
SCVGPaS
SCVGPaS
SCVGPaS
µ
µ
µ
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
86
O material utilizado nos cálculos é o grafite/epóxi (T300/5208). As médias e os
coeficientes de variação das resistências estão listados na tabela 4.2. As médias e os
desvios padrões das tensões
1
S ,
2
S e
6
S
são apresentados na tabela 4.3. As tensões
aplicadas e as resistências do laminado são consideradas descorrelacionadas e com
distribuição de probabilidade normal.
Tabela 4.2 - Parâmetros do material (unidade: MPa).
Material
)(
T
x
RE
)(
C
x
RE
)(
T
y
RE
)(
C
y
RE
)(
xy
RE
CV
T300/5208
Grafite/Epóxi
1500 1500 40 246 68 0,1
Tabela 4.3 - Parâmetros das Tensões (unidade: GPa).
)(
1
SE )(
2
SE
)(
6
SE
)(
1
SSD )(
2
SSD
)(
6
SSD
0,1 -0,1~ 0,1 0 0,03 0,03 0
Figura 4.14 - Configuração dos laminados multiaxiais.
Laminados biaxiais
s
]/[
θθ
−+ com )(
6
SCV = 0 foram utilizados nas simulações.
A figura 4.15a apresenta uma comparação entre os resultados obtidos por Miki et al.
(1997), FORM com um ponto de linearização, FORM para sistemas em série, Monte
Carlo Direto e Monte Carlo com Amostragem por Importância. A figura (4.15b)
apresenta os respectivos ângulos de orientação das fibras. Pode-se observar que os
índices de confiabilidade obtidos por todos os métodos seguem a mesma tendência dos
resultados apresentados por Miki et al. (1997), apresentando uma precisão satisfatória.
87
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Figura 4.15a. Validação dos Métodos de confiabilidade aplicados em laminados de
materiais compósitos.
Figura 4.15b. Variação do ângulo de orientação das fibras.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Í
ndice de confiabilidade
Variação de S2
Monte Carlo
Monte Carlo Amostragem importância
Form
Form série
Miki et al.
E(S1)=0,1GPa
SD(S1)=0,03
SD(S2)=0,03
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Variação de S2
Ângulo de orientação
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88
CAPÍTULO 5
5. OTIMIZAÇÃO BASEADA EM CONFIABILIDADE COM A.G.
5.1 Introdução
Neste capítulo serão apresentados os algoritmos utilizados na otimização de
laminados de materiais compósitos com restrições de confiabilidade. O processo de
otimização é feito utilizando algoritmos genéticos (AGs). AGs são algoritmos de
procura baseados nos conceitos da seleção natural e na sobrevivência do indivíduo mais
apto. O projeto da seqüência ótima de lâminas em laminados de materiais compósitos é
um problema de mínimo global e devido as suas características de procura os AGs se
mostram superiores aos métodos determinísticos de otimização, os quais muitas vezes
convergem para soluções que representam um mínimo local (Goldberg, 1989). Além
disso, em projetos comerciais desse tipo de estrutura, os ângulos de orientação das
fibras, a quantidade e a espessura das camadas são variáveis discretas, fato esse que
corrobora para a utilização de AGs, visto que esta ferramenta computacional é indicada
para problemas envolvendo estes tipos de variáveis. Uma breve descrição dos AGs é
apresentada, bem como alguns exemplos de validação, em problemas estruturais e
envolvendo laminados de matérias compósitos.
5.2 Processo de otimização via algoritmos genéticos
Os algoritmos genéticos foram concebidos por John Holland na década de 70
(Holland, 1975). Sua popularização deu-se mais tarde por Goldberg, aluno de Holland,
através de seus trabalhos voltados ao campo da engenharia ou mesmo abordando temas
teóricos sobre o assunto (Goldberg, 1989).
Conforme a definição de Goldberg, AGs são “métodos de busca baseados na
mecânica da seleção natural e na genética natural”. Quando uma população de
organismos vivos evolui por sucessivas gerações, as características úteis para a
sobrevivência tendem a serem transmitidas ao longo do tempo. Isso ocorre porque os
indivíduos que as possuem têm mais chances de sobreviverem e se reproduzirem,
originando descendentes com características semelhantes ou mesmo superiores às suas.
São em estruturas biológicas denominadas cromossomos que estão armazenadas, na
89
Paulo André Menezes Lopes – (
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forma de genes, as informações determinantes das características de cada indivíduo. Os
processos de reprodução ocorrem através da mecânica da genética natural, baseados em
operações onde é realizada mescla de informação genética entre os cromossomos
pertencentes a dois indivíduos, além de eventuais modificações sobre alguns genes.
Essas operações são realizadas de forma aleatória, porém estruturada, resultando na
evolução das espécies.
Os AGs imitam o processo natural, na forma de um sistema artificial, por meio
de operações que se equivalem aos mecanismos genéticos da natureza. Seu elemento
principal é o indivíduo ou organismo, que representa uma solução possível no espaço de
resposta (conjunto de todas as soluções possíveis). Ele é constituído por um ou mais
cromossomos, que por sua vez são formados por vários genes, como ilustra a figura 5.1.
A representação desses cromossomos se dá através de strings (conjunto de dados
concatenados), nas quais cada dado representa um gene. Como na natureza, os genes
contêm informações que determinam as características do indivíduo, estando nesse caso
codificadas por meio de números binários ou outros alfabetos mais complexos. Cada
gene do cromossomo representa uma variável de otimização, cujos valores possíveis são
determinados pela codificação empregada no processo.
Figura 5.1 - Estrutura básica do AG. Adaptado de Gomes, 2001.
Em cada passo ou geração do algoritmo existe um grupo de indivíduos que
forma uma população. Os componentes da geração inicial normalmente são criados de
forma aleatória, sem utilizar nenhuma informação sobre o problema a ser tratado. Após
a primeira, cada geração é formada por alguns indivíduos presentes na anterior e por
filhos gerados a partir desses. A seleção dos componentes das sucessivas populações é
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
90
baseada na aptidão, sendo escolhidos dentre os pré-existentes e os recém criados,
utilizando como critério o princípio da sobrevivência do mais apto (método da roleta).
A aptidão também determina as chances de participação do indivíduo num processo de
reprodução para criação de um filho. As duas etapas mencionadas, envolvendo a
formação da população de filhos e a formação da geração seguinte a partir da existente e
dos filhos criados, compõem o mecanismo básico do AG. Elas tem como pré-requisito o
valor da aptidão de cada indivíduo, cuja avaliação é de fundamental importância para o
bom funcionamento do algoritmo, sendo normalmente derivado de uma função objetivo
que traduz o alvo da otimização. Essa função tem como variáveis as características
relevantes no problema, sejam elas desejáveis ou não. Sua função é equivalente à
mensuração da adaptação de um organismo vivo a um ambiente natural.
Como ocorre na natureza, a evolução das populações se dá pela procriação dos
organismos que as compõem. Nos AGs o processo de reprodução é constituído
basicamente por três fases. Na primeira é selecionado dentre os indivíduos da população
existente o par de pais que participarão da geração do novo filho. Essa seleção é
realizada por um mecanismo probabilístico, onde os mais aptos têm maiores chances de
serem escolhidos. Uma vez definidos os participantes, procede-se a segunda fase, onde
um organismo filho é gerado pela aplicação do operador de recombinação. Sua atuação
consiste em mesclar informação genética dos cromossomos dos pais para formar um
novo indivíduo. Desse processo resulta um filho que tem características semelhantes às
dos pais e provavelmente apresenta boa aptidão, já que seus genitores foram escolhidos
com base nesse aspecto. Existem muitas formas de programar o operador de
recombinação, devendo ser estudado para cada aplicação o método mais eficiente.
A última fase da reprodução ocorre após a obtenção do filho, que é então
submetido a operações de mutação. Essas operações consistem na introdução de nova
informação genética nos cromossomos, tendo como objetivo auxiliar o algoritmo na
produção de indivíduos mais aptos. Sua atuação se dá pela modificação de genes através
da substituição do valor original por outro utilizado na codificação da variável. Isso não
acontece sempre, mais sim segundo uma probabilidade de ocorrência, que pode ser
maior ou menor para cada problema. Os genes a serem modificados ou mesmo o novo
valor atribuído a eles é determinado de forma aleatória, o que torna esses mecanismos
responsáveis pela capacidade exploratória do AG. Outra função da mutação é a
prevenção contra a perda de informação genética decorrente da uniformização da
população na fase final da otimização.
91
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Os AGs têm muitas vantagens em relação aos métodos determinísticos de
otimização. A primeira delas é a característica intrínseca de lidar com variáveis
discretas. Isso é extremamente interessante nos problemas de engenharia, pois na prática
se trabalha com um número restrito de opções disponíveis no mercado ou com
padronização da fabricação. Os métodos tradicionais empregam variáveis contínuas,
que no final do processo têm que ser arredondadas para os valores praticáveis e assim,
normalmente, acabam perdendo a qualidade alcançada. Outro aspecto de fundamental
importância no AG é a forma como são avaliadas as soluções. Em vez de utilizarem
derivadas ou gradientes, como ocorre nos algoritmos de otimização clássicos, os AGs
trabalham com funções objetivo baseadas em dados simples dos indivíduos. Essa
característica torna o método indicado para problemas que envolvam funções
descontínuas, uma vez que as técnicas baseadas em gradientes são incapazes de tratar
esses casos. Além disso, diferentemente dos métodos de otimização tradicionais, que
realizam a busca focando em uma única solução por vez, se deslocando de um ponto
para outro no espaço de resposta, os AGs trabalham com uma população de indivíduos a
cada geração. Com isso o algoritmo é capaz de explorar simultaneamente diferentes
áreas do espaço de resposta, mantendo a busca em regiões prósperas já identificadas
enquanto procura por outras. Tal capacidade é decorrente da forma como a posição dos
novos pontos de avaliação é determinada. Devido a mecanismos probabilísticos como a
mutação, os pontos se deslocam facilmente, varrendo todas as regiões,
independentemente das características do espaço de resposta. Assim, mantendo vários
pontos de busca previne-se a convergência a mínimos locais, por parte dos métodos
baseados em gradientes, quando o ponto de partida é mal escolhido. Todos esses
aspectos resultam num aumento das chances de se encontrar a solução ótima ou outras
com qualidade semelhante, mesmo nos problemas que apresentam os espaços de
resposta mais adversos.
Embora as operações de seleção, recombinação e mutação sejam suficientes para
a realização da otimização por AG, existem outros operadores que também podem
compor a reprodução. Eles foram desenvolvidos em vários trabalhos (Nagendra et al.,
1993 e Todoroki & Haftka, 1998), todos com o objetivo de melhorar o desempenho do
algoritmo. Dentre os mais utilizados para a otimização de compósitos estão os
operadores de permutação (gene-swap), de adição ou subtração de camadas (stack
addition e stack deletion) e de reparo (repair operator). Todas essas formas de
aprimoramento dos AG são de fundamental importância para sua viabilização, pois uma
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
92
das características mais problemáticas do método é o alto custo computacional das
análises de possíveis soluções. Em muitos problemas as análises necessárias são
bastante complexas, envolvendo métodos numéricos que consomem muito esforço
computacional. No caso específico do problema de otimização de estruturas de
compósitos laminados baseada em confiabilidade, para cada indivíduo da população
deve ser avaliada sua confiabilidade, utilizando um programa de elementos finitos. O
cálculo da confiabilidade de forma isolada, devido à pequena probabilidade de falha
requerida, já causa por si só um grande esforço computacional, principalmente quando
se utilizam métodos de simulação, tais como Monte Carlo ou Monte Carlo com
amostragem por importância. Dessa forma, o custo computacional final pode tornar-se
muito alto. O desenvolvimento de novas técnicas e operadores que melhoram o
desempenho dos AGs, juntamente com um aumento da capacidade de processamento
proporcionada pelos computadores mais modernos e outras ferramentas heurísticas,
como por exemplo, Redes Neurais Treinadas, torna a utilização dos AGs cada vez mais
interessante.
5.3 Operadores genéticos utilizados
As variáveis de projeto utilizadas nas otimizações foram os ângulos de
orientação das fibras e as espessuras das lâminas do laminado de material compósito.
Cada variável de projeto possui um valor decimal chamado de fenótipo e um
valor binário correspondente chamado de genótipo. A tabela 5.1 apresenta exemplos
genéricos de variáveis de projeto e seus respectivos genótipos e fenótipos.
Tabela 5.1 – Exemplos de fenótipos e genótipos de variáveis de projeto.
Variável
Fenótipo
Genótipo
1
15
01111
2
9
01001
3
7
00111
Na tabela 5.2 são listadas os dados de entrada do programa de AG.
93
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Tabela 5.2 - Dados de entrada do programa de AG.
maxpop Número de indivíduos de cada população
nger Número de gerações
pc Probabilidade de cruzamento
pm Probabilidade de mutação
tol Critério de parada (desvio padrão dos indivíduos da população)
nvar Número de variáveis de projeto
Lim
inf
Limite inferior das variáveis de projeto (m)
Lim
sup
Limite superior das variáveis de projeto (m)
n Número de bits de cada variável de projeto
Uma vez definida a população inicial, são aplicados operadores genéticos em
todos os indivíduos, com o objetivo de gerar a próxima geração, conforme ilustra a
figura 5.2. Durante a aplicação dos operadores genéticos não existe interação entre a
geração T e T+1 e o tamanho das populações permanece inalterado.
Figura 5.2 Esquema de aplicação dos operadores genéticos.
Os três operadores genéticos (reprodução, crossover e mutação) dependem de
escolhas aleatórias, fato esse que caracteriza o AG como um método de otimização
probabilístico.
Os indivíduos são escolhidos para reprodução através de um sistema de roleta
(roulette wheel), contendo setores com pesos proporcionais ao valor da função de custo
de cada um (Goldberg, 1989).
Geração T
Geração T+1
Reprodução,
Crossover e
Mutação
1
2
3
.
.
.
maxpop-1
maxpop
1
2
3
.
.
.
maxpop-1
maxpop
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
94
Após escolhidos os indivíduos é realizado o cruzamento. Primeiramente é
decidido se irá ocorrer cruzamento ou não, baseado na probabilidade de cruzamento
(pc). Mesmo que não ocorra, o indivíduo ainda pode ter seu genótipo modificado devido
à probabilidade de mutação (pm). Se o cruzamento ocorre é gerado de forma aleatória
uma posição de corte. A posição de corte é um número inteiro compreendido entre [1 ,
número de bits(n) -1]. Após o cruzamento, os filhos gerados ainda têm a possibilidade
de sofrer alteração devido à probabilidade de mutação (pm). A figura 5.3 ilustra o
processo de cruzamento.
Figura 5.3 Processo de cruzamento para geração de indivíduos da próxima
geração.
Ocorrendo a mutação é calculada, de forma aleatória, a posição onde ocorrerá a
troca do material genético no cromossomo (bit 0 passa para 1, ou vice versa). A figura
5.4 ilustra o processo de mutação em um indivíduo.
posição de corte
posição de corte
Pai 1
01111
Pai 2
01001
Cruzamento
(crossover)
Filho 1
01101
Filho 2
01011
Indivíduo sem
mutação
01111
posição de mutação
Indivíduo após
mutação
01011
Mutação
95
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Figura 5.4 Exemplo da aplicação do operador genético de mutação.
A geração das populações encerra quando é atingido o número máximo de
gerações (nger), ou quando o desvio padrão dos indivíduos que compõem a população
for menor do que uma determinada tolerância (tol).
5.4 Exemplo numéricos
5.4.1 Projeto ótimo, com restrição de confiabilidade, de uma coluna metálica
Com o objetivo de validar o procedimento desenvolvido para a otimização de
estruturas de materiais compósitos utilizando AGs, com restrição de confiabilidade,
primeiramente foi analisado o problema do projeto de uma coluna de metal com
formato T (Cheng, 2006). O objetivo do exemplo é determinar as dimensões da coluna
(b, d e h) que produzem o menor custo (c(d)) e atingem um nível mínimo de
confiabilidade pré-estabelecido (
esp
β
), seguindo o algoritmo abaixo:
Determinar b, d e h
tal que ( ) m
sujeito .
esp
c ínimo
β β
→
≥
d
As dimensões da seção transversal são tratadas como variáveis aleatórias
enquanto que seus valores médios são tratados como variáveis de projeto. A função de
custo tem a seguinte forma:
( ) 5 .
c bd h
= +
d
(5.1)
As variáveis de projeto são listadas na tabela 5.3. O vetor de variáveis aleatórias
independentes é definido como
(
)
EFHDBPPPF
S
,,,,,,,,
0321
=X , com características
estocásticas apresentadas na tabela 5.4.
Tabela 5.3 - Variáveis de projeto.
Variável
Símbolo
Média da largura da alma
b (mm)
Média da espessura da alma
d (mm)
Média da altura do perfil de aço
h (mm)
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
96
A função de estado limite (falha da coluna à flambagem), em termos das
variáveis aleatórias
X
, das dimensões da coluna (b, d, h) e das funções auxiliares
321
,,,, PPPFA
biSS
+
++
++
++
+=
==
=
εµµ
é definida como:
−
−−
−
⋅
⋅⋅
⋅+
++
+−
−−
−=
==
=
F
F
A
FFG
b
b
sS
s
ε
ε
µ
0
1
)( Xd,
(5.2)
onde
2
2
1
2
2 ,
,
1
,
2
.
S
S
i
b
A BD
BDH
BDH
E
L
µ
µ
π µ
ε
=
=
=
=
As médias da largura e da espessura da alma tem os limites inferiores 200 mm e
10 mm e os limites superiores 400 mm e 30 mm, respectivamente. O intervalo (100
mm, 500 mm) define a altura média do perfil T. O comprimento L do perfil é assumido
como sendo de 7500 mm.
Tabela 5.4 - Parâmetros estatísticos das variáveis aleatórias.
Variável Símbolo Distribuição Média / Desvio Padrão
Tensão de escoamento
S
F
Lognormal 400/35 (MPa)
Peso próprio
1
P
Normal 500.000/50.000 (N)
Carga variável
2
P
Gumbel 600.000/90.000 (N)
Carga variável
3
P
Gumbel 600.000/90.000 (N)
Largura do Flange
B
Lognormal b/3 (mm)
Espessura do Flange
D
Lognormal d/2 (mm)
Altura do perfil
H
Lognormal h/5 (mm)
Deflexão inicial
0
F
Normal 30/10 (mm)
Módulo de elasticidade
E
Weibull 21.000/4200 (MPa)
Os parâmetros utilizados pelo programa da AG estão listados na tabela 5.5.
97
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Tabela 5.5 - Dados de entrada do programa de Algoritmos Genéticos.
Número de indivíduos de cada população
100
Número de gerações
100
Probabilidade de cruzamento
100%
Probabilidade de mutação
1%
Critério de parada (desvio padrão dos indivíduos da população)
1,00e-05
Número de variáveis de projeto
3
Limite inferior da variável de projeto b
100 (mm)
Limite superior das variáveil de projeto b
500(mm)
Limite inferior da variável de projeto d
10(mm)
Limite superior das variáveil de projeto d
35(mm)
Limite inferior da variável de projeto h
50(mm)
Limite superior das variáveil de projeto h
250(mm)
Número de bits de cada variável de projeto
16
A tabela 5.6 apresenta uma comparação entre os resultados obtidos por Kuschel
e Rackwitz (1997), Cheng (2006) e o presente método de otimização utilizando
algoritmos genéticos.
res
β
representa o índice de confiabilidade atingido pelas três
formas de solução adotadas.
Tabela 5.6 - Comparação de resultados para os valores do vetor de projeto ótimo (d) e
custo mínimo do perfil T.
esp
β
Método
Vetor de projeto otimizado Custo
mínimo
res
β
b(mm) d(mm) h(mm)
3,132 Kuschel e Rackwitz 200,00 17,50 100,00 4000,00 3,13217
Cheng 200,09 17,50 100,00 4000,84 3,13311
AGs (este trabalho) 200,78 17,53 100,00 4019,60 3,16750
7,427 Kuschel e Rackwitz 216,67 30,00 100,00 7000,00 7,42624
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
98
Cheng 216,71 30,00 100,01 7001,37 7,42731
AGs (este trabalho) 220,39 29,61 100,00 7025,3 7,43680
9,605 Kuschel e Rackwitz 316,67 30,00 100,00 10000,00 9,60397
Cheng 316,86 29,99 100,08 10002,82 9,60508
AGs (este trabalho) 320,00 29,68 106,27 10031,00 9,59920
11,065 Kuschel e Rackwitz 400,00 30,00 200,00 13000,00 11,0645
Cheng 399,98 29,97 207,33 13024,25 11,0653
AGs (este trabalho) 400,00 30,00 184,71 12942,00 11,0580
As figuras 5.5 e 5.6 apresentam, respectivamente, uma comparação entre os
resultados obtidos para os índices de confiabilidade e custo mínimo da coluna de aço
considerada, para cada um dos casos analisados (quatro valores de
res
β
). Pode-se
perceber que todos os métodos de otimização conduzem para resultados semelhantes.
Figura 5.5 - Comparação entre os índices de confiabilidade para os casos analisados.
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4
Índice de confiabilidade
Casos analisados
Kuschel e Rackwitz (1997) Cheng (2006) AG + FORM
99
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Figura 5.6 - Comparação entre os custos mínimos da coluna de aço considerada em
função dos índices de confiabilidade.
5.4.2 Otimização, sem restrição, de laminados de materiais compósitos
Nos exemplos apresentados a seguir são tratados problemas de otimização do
ângulo de orientação das fibras de estruturas de laminados de materiais compósitos.
Inicialmente são apresentados os resultados de otimização (maximização)
determinística, onde a função de custo é a razão de resistência (strength ratio) (Tsai &
Hahn, 1980), definida como a razão entre o máximo carregamento suportado pelo
laminado e o carregamento aplicado, e o problema não possui restrições. A seguir, são
apresentados casos de otimização (maximização), sem restrição, onde a função de custo
é o próprio índice de confiabilidade. Em ambos os casos é considerado que as
espessuras das camadas (ply ratios) são constantes e iguais. As soluções obtidas em
ambos os casos são comparadas com as obtidas por Miki et al. (1997).
O material utilizado nos cálculos é o Grafite/Epóxi (T300/5208). As variáveis
aleatórias consideradas são as resistências do material e as tensões aplicadas, sendo
todas descorrelacionadas e com distribuição de probabilidade normal. Na tabela 5.7
estão listadas as médias e os coeficientes de variação das resistências do material,
enquanto que na tabela 5.8 são apresentadas as médias e os desvios padrões das tensões
atuando no plano do laminado.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0 2 4 6 8 10 12
Custo mínimo
Índices de confiabilidade
Kuschel e Rackwitz (1997) Cheng (2006) AG + FORM
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
100
Tabela 5.7 - Médias e coeficiente de variação das resistências do Grafite/Epóxi
(T300/5208) (MPa).
Material
E
)(
T
x
R
E
)(
C
x
R
E
)(
T
y
R
E
E
)(
xy
R
CV
T300/5208 Grafite/Epóxi
1500
1500
40
246
68
0,1
Tabela 5.8 - Médias e desvios padrões das tensões aplicadas no plano do
laminado (GPa).
E )(
1
S
E )(
2
S
E )(
6
S
SD )(
1
S SD )(
2
S
SD
0,1
-0,1 ~ 0,1
0
0,03
0,03
0 ~ 0.031
5.4.2.1 Otimização do ângulo de orientação das fibras sob condições
determinísticas
São considerados laminados biaxiais
s
]/[
θθ
−+ , triaxiais
s
o
]//0[
θθ
−+ e tetra
axiais
s
o
]90///0[
0
θθ
−+ . É admitido um estado plano de tensões, conforme figura 3.2,
com GPaS 1,0
1
=
, 0
6
=S e
2
S variando de
0,1 a 0,1
GPa
−
. A figura 5.7 apresenta os
resultados do ângulo de orientação ótimo das fibras para os laminados biaxiais, tri axiais
e tetra axiais, respectivamente, em condições determinísticas. Conforme antes
mencionado, a função de custo considerada é a razão de resistência (stength ratio) e não
há restrições. Os resultados são comparados com os obtidos por Miki et al. (1997).
Figura 5.7 - Ângulo de orientação ótimo de laminados multiaxiais em condições
determinísticas.
)(
C
y
R
)(
6
S
0
30
60
90
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10
Ângulo Ótimo (graus)
E[S2] GPa
Tetraaxial
(Miki)
Biaxial (Miki)
Triaxial (Miki)
Biaxial (AGs)
S1=0,1 GPa
S6=0
101
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
5.3.2.2 Otimização do ângulo de orientação das fibras sob condições probabilísticas
O problema de otimização no qual a função de custo é o índice de confiabilidade
consiste em determinar os ângulos de orientação ótimos que levam à máxima
confiabilidade do sistema. Ou seja:
i
o 0
i
Determinar ( 1,2,..., )
tal que máximo
sujeito -90 90 .
i N
θ
β
θ
=
→
≤ ≤
(5.3)
São considerados laminados biaxiais
s
]/[
θθ
−+ , tri axiais
s
o
]//0[
θθ
−+ e tetra
axiais
s
o
]90///0[
0
θθ
−+ e é assumido 0][
6
=SSD . A figura 5.8 apresenta os resultados
para o ângulo de orientação ótimo das fibras para os laminados multiaxiais, em
condições probabilísticas. As variáveis aleatórias são as mesmas apresentadas nas
tabelas 5.7 e 5.8. Os resultados são comparados com os obtidos por Miki et al. (1997).
Em todos os casos utilizou-se FORM para sistemas em série para a obtenção do índice
de confiabilidade.
Figura 5.8 - Ângulo de orientação ótimo de laminados multiaxiais em condições
probabilísticas.
Duas considerações podem ser feitas com relação aos problemas tratados.
Primeiramente, com exceção da otimização do laminado tetra axial, os resultados
mostram uma boa concordância com aqueles apresentados por Miki et al. (1997) , o
0
30
60
90
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1
Ângulo Ótimo (graus)
E[S2] (GPa)
Biaxial (Miki)
Triaxial (Miki)
Tetraaxial (Miki)
Biaxial (AGs)
Triaxial (AGs)
Tetraxial (AGs)
E[S1]=0,1 GPa SD[S1]=0,03 GPa
SD[S
2]=0,03 GPa
E[S
6]=0 SD[S6]=0
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
102
qual usa técnicas clássicas de otimização baseadas em gradientes. Observa-se ainda que
os ângulos de orientação ótimos obtidos nos processos determinísticos e probabilísticos
são muito diferentes. Pode-se observar que, de uma forma geral, os valores ótimos dos
ângulos aumentam quando as tensões aplicadas são tratadas como variáveis aleatórias.
Isto significa que os laminados otimizados aproximam-se de placas quase isotrópicas,
Jones (1998), quando sob condições probabilísticas.
5.4.3 Otimização de placas de laminados de compósitos com restrição de
confiabilidade
Os exemplos apresentados a seguir tratam da otimização das espessuras das
lâminas ( ),...,2,1( Nih
i
= ), sendo N o número de lâminas do laminado, de uma placa de
material compósito, com comportamento linear geométrico. Em todos os casos a função
de custo utilizada é a espessura total do laminado (
t
h ) e a restrição é o índice de
confiabilidade requerido pelo sistema (
req
β
), o qual é definido pelo usuário. O problema
de otimização assume a seguinte forma:
(5.4)
Os resultados apresentados a seguir consideram um laminado composto por 4
lâminas ( 4
=
N ), com ângulos de orientação constantes em cada lâmina e seguindo a
seguinte distribuição [0
0
,45
0
,45
0
,0
0
], conforme figura 5.9.
Figura 5.9 - Desenho esquemático do laminado utilizado nas otimizações.
O material utilizado foi o Grafite/Epóxi (T300/5208). A tabela 5.9 apresenta as
propriedades mecânicas determinísticas do material em questão. Neste exemplo são
req
t
i
restrição com
mínimahquetal
)N,...,2,1i(hDeterminar
ββ
=
→
=
0
1
0
=
θ
0
4
0=
θ
0
2
45=
θ
0
3
45
=
θ
t
h
h
i
103
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
consideradas 9 variáveis aleatórias, sendo 4 cargas (
1221
,, NNN e
1
M ), dispostas
conforme figura 5.10, e 5 resistências (
C
y
T
y
C
x
T
x
RRRR ,,,
e
xy
R
). As propriedades
estatísticas das variáveis aleatórias estão listadas na tabela 5.10.
Figura 5.10 - Esquema de aplicação das cargas no laminado.
Tabela 5.9 - Propriedades mecânicas determinísticas do material.
Material E1 E2 E12
12
ν
T300/5208 Grafite/Epóxi
181 GPa
10,30 GPa
40
0,28
Tabela 5.10 - Propriedades estatísticas das variáveis aleatórias.
N
o
Símbolo
Unidade
Média
C.V.
Tipo de Distribuição
1
N
1
KN/m 100,0 0,20 Lognormal
2
N
2
KN/m 200,0 0,20 Lognormal
3
N
12
KN/m 40,0 0,20 Lognormal
4
M
1
N.m/m 0,1 0,20 Lognormal
5
T
x
R
MPa 1500,0 0,20
Lognormal
6
C
x
R
MPa 1500,0 0,20
Lognormal
7
T
y
R
MPa 40,0 0,20
Lognormal
8
C
y
R
MPa 246,0 0,20
Lognormal
9
xy
R
MPa 68,0 0,20
Lognormal
y
1
2
Direção das fibras
x
θ
N
1
N
2
N
12
N
12
M
1
Plano Médio
do laminado (z = 0)
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
104
Em todos os resultados é adotado como valor do índice de confiabilidade
requerido
3,0
req
β
=
. A otimização é realizada através de AGs, cujos dados de entrada
estão listados na tabela 5.11. O índice de confiabilidade foi calculado por cada um dos
métodos descritos no capítulo 4 (Monte Carlo, Monte Carlo com amostragem por
importância, FORM e FORM para sistemas em série). A função de estado limite
considerada foi o critério de ruptura de Tsai-Wu, já apresentado no capítulo 3, e o
cálculo das tensões nos eixos locais do laminado foi feito utilizando a teoria clássica de
placas de compósitos através de uma solução fechada, conforme formulação
apresentada na seção 4.3, e através de um programa de elementos finitos que utiliza o
elemento triangular plano para placas e cascas, descrito no capítulo 3.
Tabela 5.11 - Dados de entrada do programa de Algoritmos Genéticos.
Número de indivíduos de cada população
30
Número de gerações
30
Probabilidade de cruzamento
100%
Probabilidade de mutação
1%
Critério de parada (desvio padrão dos indivíduos da população)
1,00e-05
Número de variáveis de projeto
4 (espessuras)
Limite inferior das variáveis de projeto (m)
0,5e-03
Limite superior das variáveis de projeto (m)
3,0e-03
Número de bits de cada variável de projeto
16
A resolução das possíveis soluções é calculada através da seguinte expressão:
sup inf
lim lim
Resolução ,
2 1
n
−
=
−
(5.5)
onde n é o número de bits assumido para cada variável de projeto.
A função de custo é a soma das espessuras da cada lâmina e o fator de
penalização (Fpen) adotado foi de 100000,00. O código apresentado na equação (5.6)
mostra como é feita a penalização da função de custo, em função do índice de
confiabilidade calculado (
β
), para cada indivíduo da população.
Paulo André Menezes Lopes – (
onde
4,1i,)i(h =
representam as
5.4.3.1 Resultados para
tensões locais calculadas
A)
Índice de Confiabilidade calculado por Monte Carlo.
As figuras 5.11 e 5.12
total do laminado respectivamente, em função do número de gerações.
Figura 5.11 -
Evolução das espessuras das
número de gerações (Monte Carlo).
deFunção
SeFim
Pen
Senão
Pen
Se
req
≠
β
β
) – Tese –
Porto Alegre (PPGEC
representam as
respectivas
espessuras das lâminas do laminado.
tensões locais calculadas
por
expressão analítica
Índice de Confiabilidade calculado por Monte Carlo.
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
total do laminado respectivamente, em função do número de gerações.
Evolução das espessuras das
lâminas do melhor indivíduo em função do
número de gerações (Monte Carlo).
1
(*))4(h)3(h)2(h)1(h(1(
1
custo
0.0
Pen
)(*Fpen
Pen
então
2
req
++++
=
=
−=
ββ
105
Porto Alegre (PPGEC
/UFRGS)-2009
(5.6)
espessuras das lâminas do laminado.
expressão analítica
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
lâminas do melhor indivíduo em função do
)Pen
1
+
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Figura 5.12 -
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
do número de gerações (Monte Carlo).
Tabela 5.12 -
Resultados da otimização das espessuras do
Índice de confiabilidade do laminado
Tempo total de otimização (%)
Tempo total de otimização (s)
O tempo total de
otimização é calculado como uma porcentagem da otimização
utilizando o método de Monte Carlo
confiabilidade,
quando a função de estado limite é avaliada através de uma solução
fechada.
B)
Índice de Confiabilidade cal
importância
As figuras 5.13 e 5.14
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
total do laminado,
respectivamente, em função do número de gerações.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
do número de gerações (Monte Carlo).
Resultados da otimização das espessuras do
laminado (Monte
Carlo).
h1(m)
2,39e-03
h2(m)
1,58e-03
h3(m)
2,74e-03
h4(m)
9,37e-04
ht(m)
7,66e-03
Índice de confiabilidade do laminado
3,000
Tempo total de otimização (%)
100,00
Tempo total de otimização (s)
34824,62
= 9,67 h
otimização é calculado como uma porcentagem da otimização
utilizando o método de Monte Carlo
,
aplicado aqui para calcular o índice de
quando a função de estado limite é avaliada através de uma solução
Índice de Confiabilidade cal
culado por Monte Carlo com amostragem por
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
respectivamente, em função do número de gerações.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
106
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
laminado (Monte
= 9,67 h
otimização é calculado como uma porcentagem da otimização
aplicado aqui para calcular o índice de
quando a função de estado limite é avaliada através de uma solução
culado por Monte Carlo com amostragem por
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
Paulo André Menezes Lopes – (
Figura 5.13 -
Evolução das espessuras das
número de gerações (Monte Carlo com amostragem por importância).
Figura 5.14 -
Evolução da espessura total do laminado
do número de gerações (Monte Carlo com amostragem por importânc
Tabela 5.13 -
Resultados da otimização das espessuras do laminado (Monte
Carlo com amostragem por importância).
) – Tese –
Porto Alegre (PPGEC
Evolução das espessuras das
lâminas do melhor indivíduo em função do
número de gerações (Monte Carlo com amostragem por importância).
Evolução da espessura total do laminado
do melhor indivíduo em função
do número de gerações (Monte Carlo com amostragem por importânc
Resultados da otimização das espessuras do laminado (Monte
Carlo com amostragem por importância).
h1(m)
2,12e-03
h2(m)
2,87e-03
h3(m)
1,50e-03
107
Porto Alegre (PPGEC
/UFRGS)-2009
lâminas do melhor indivíduo em função do
número de gerações (Monte Carlo com amostragem por importância).
do melhor indivíduo em função
do número de gerações (Monte Carlo com amostragem por importânc
ia).
Resultados da otimização das espessuras do laminado (Monte
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Índice de confiabilidade do laminado
Tempo total
Tempo total de otimização (s)
C)
Índice de Confiabilidade calculado por FORM para sistemas em série
As figuras 5.15 e 5.16
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
total do laminado respectivamente, em função do número de gerações.
Figura 5.15 -
Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do
número de gerações (FORM para sistemas em
Figura 5.16 -
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
do número de gerações (FORM para sistemas em série).
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
h4(m)
9,50e-04
ht(m)
7,30e-03
Índice de confiabilidade do laminado
2,981
Tempo total
de otimização (%)
30,12
Tempo total de otimização (s)
10447,39
= 2,90 h
Índice de Confiabilidade calculado por FORM para sistemas em série
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
total do laminado respectivamente, em função do número de gerações.
Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do
número de gerações (FORM para sistemas em
série).
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
do número de gerações (FORM para sistemas em série).
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
108
= 2,90 h
Índice de Confiabilidade calculado por FORM para sistemas em série
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
do número de gerações (FORM para sistemas em série).
Paulo André Menezes Lopes – (
Tabela 5.14 -
Resultados da otimização das espessuras do laminado (
Índice de confiabilidade do laminado
Tempo total de otimização (%)
Tempo total de otimização (s)
D)
Índice de Confiabilidade calculado por FORM
As figuras 5.17 e 5.18
total do laminado respectivamente, em função do número de gerações.
Figura 5.17 -
Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do
) – Tese –
Porto Alegre (PPGEC
Resultados da otimização das espessuras do laminado (
sistemas em série).
h1(m)
2,12e-03
h2(m)
2,87e-03
h3(m)
1,49e-03
h4(m)
9,50e-04
ht(m)
7,42e-03
Índice de confiabilidade do laminado
2,978
Tempo total de otimização (%)
5,94
Tempo total de otimização (s)
1912,57
= 0,53h
Índice de Confiabilidade calculado por FORM
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
total do laminado respectivamente, em função do número de gerações.
Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do
número de gerações (FORM).
109
Porto Alegre (PPGEC
/UFRGS)-2009
Resultados da otimização das espessuras do laminado (
FORM para
= 0,53h
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Figura 5.18 -
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
Tabela 5.15 -
Resultados da otimização das espessuras do laminado (
Índice de confiabilidade do laminado
Tempo total de otimização (%)
Tempo total de otimização (s)
Com base
nestes resultados, pode
Independente
confiabilidade, os resultados obtidos para a espessura total do laminado
(h
t
) são muito próximos. A tabela 5.1
considerando a solução de Monte Carlo como referência.
Os te
mpos totais de otimização são, como já previsto em função da
pequena probabilidade de falha, consideravelmente maiores para os
resultados obtidos com métodos de simulação (Monte Carlo e Monte
Carlo A.I).
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
do número de gerações (FORM).
Resultados da otimização das espessuras do laminado (
h1(m)
2,12e-03
h2(m)
2,87e-03
h3(m)
1,49e-03
h4(m)
9,50e-04
ht(m)
7,42e-03
Índice de confiabilidade do laminado
2,978
Tempo total de otimização (%)
0,67
Tempo total de otimização (s)
233,67
= 3,9 min
nestes resultados, pode
-se
elencar as seguintes considerações:
Independente
mente
do método utilizado para o cálculo do índice de
confiabilidade, os resultados obtidos para a espessura total do laminado
) são muito próximos. A tabela 5.1
6
apresenta as diferenças relativas,
considerando a solução de Monte Carlo como referência.
mpos totais de otimização são, como já previsto em função da
pequena probabilidade de falha, consideravelmente maiores para os
resultados obtidos com métodos de simulação (Monte Carlo e Monte
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
110
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
Resultados da otimização das espessuras do laminado (
FORM).
= 3,9 min
elencar as seguintes considerações:
do método utilizado para o cálculo do índice de
confiabilidade, os resultados obtidos para a espessura total do laminado
apresenta as diferenças relativas,
mpos totais de otimização são, como já previsto em função da
pequena probabilidade de falha, consideravelmente maiores para os
resultados obtidos com métodos de simulação (Monte Carlo e Monte
111
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Com exceção dos resultados obtidos com Monte Carlo, pode-se observar
uma variação nas espessuras ótimas h
2
e h
3
. Estas variações na solução
ótima podem indicar a presença de mínimos locais que fornecem índices
de confiabilidade muito próximos. Tal fato só acentua a importância da
utilização de AGs, devido a sua capacidade de varrer todo o espaço de
soluções possíveis.
Tabela 5.16 - Diferenças relativas para a espessura total do laminado (h
t
).
Método
Diferença relativa (%)
Monte Carlo
0
Monte Carlo A.I
4,31
FORM série
3,13
FORM
3,13
5.4.3.2 Resultados obtidos com tensões locais calculadas por elemento finito
triangular plano para cascas e placas
Devido ao alto custo computacional para a realização da otimização utilizando
AGs em conjunto com elementos finitos (para avaliação da função de estado limite),
nesta seção serão apresentados somente os resultados obtidos com FORM e FORM para
sistemas em série. O capítulo 6 apresenta alguns exemplos de otimização utilizando
Monte Carlo e Monte Carlo A.I, sendo o programa de elementos finitos simulado por
redes neurais, o que diminui sensivelmente o tempo de processamento.
A) Índice de Confiabilidade calculado por FORM para sistemas em série
As figuras 5.19 e 5.20 apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
total do laminado respectivamente, em função do número de gerações.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Figura 5.19 -
Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do
número de gerações (FORM para sistem
Figura 5.20 -
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
do número de gerações (FORM para sistemas em série).
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do
número de gerações (FORM para sistem
as em série).
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
do número de gerações (FORM para sistemas em série).
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
112
Evolução das espessuras das lâminas do melhor indivíduo em função do
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
do número de gerações (FORM para sistemas em série).
Paulo André Menezes Lopes – (
Tabela 5.17 -
Resultados da otimização das espessuras do laminado (
Índice de confiabilidade do laminado
Tempo total de otimização (%)
Tempo total de otimização (s)
B)
Índice de Confiabilidade calculado por FORM
As figuras 5.21 e 5.22
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
total do laminado respectivamente, em função do número de gerações.
Figura 5.21 -
Evolução das espessuras das lâminas do
) – Tese –
Porto Alegre (PPGEC
Resultados da otimização das espessuras do laminado (
sistemas em série).
h1(m)
2,39e-03
h2(m)
1,58e-03
h3(m)
2,74e-03
h4(m)
9,40e-04
ht(m)
7.65e-03
Índice de confiabilidade do laminado
2,999
Tempo total de otimização (%)
37,36
Tempo total de otimização (s)
13010,48
= 3,61h
Índice de Confiabilidade calculado por FORM
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
total do laminado respectivamente, em função do número de gerações.
Evolução das espessuras das lâminas do
melhor indivíduo em função do
número de gerações (FORM).
113
Porto Alegre (PPGEC
/UFRGS)-2009
Resultados da otimização das espessuras do laminado (
FORM para
= 3,61h
apresentam a evolução das espessuras ótimas e da espessura
melhor indivíduo em função do
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Figura 5.22 -
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
Tabela 5.18 -
Resultados da otimização das espessuras do laminado (
Índice de confiabilidade do laminado
Tempo total de otimização (%)
Tempo total de otimização (s)
A tabela 5.19
apresenta as diferenças relativas,
Carlo com função explícita como referência.
Tabela 5.19 -
Diferenças relativas para a espessura total do laminado (h
FORM série + Finitos
FORM + Finitos
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
do número de gerações (FORM).
Resultados da otimização das espessuras do laminado (
h1(m)
2,39e-03
h2(m)
1,58e-03
h3(m)
2,74e-03
h4(m)
9,40e-04
ht(m)
7.65e-03
Índice de confiabilidade do laminado
2,995
Tempo total de otimização (%)
3,54
Tempo total de otimização (s)
1232,79 = 0,34h
apresenta as diferenças relativas,
considerando a solução de Monte
Carlo com função explícita como referência.
Diferenças relativas para a espessura total do laminado (h
Método
Diferença relativa (%)
FORM série + Finitos
0,13
FORM + Finitos
0,13
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
114
Evolução da espessura total do laminado do melhor indivíduo em função
Resultados da otimização das espessuras do laminado (
FORM).
considerando a solução de Monte
Diferenças relativas para a espessura total do laminado (h
t
).
115
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Os resultados evidenciam que a otimização da espessura total do laminado
utilizando elementos finitos apresenta resultados muito próximos daqueles nos quais se
usou função explícita. Entretanto, o tempo de processamento é sensivelmente maior na
otimização via elementos finitos.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
116
CAPÍTULO 6
6. R.N.A. PARA ACELERAÇÃO DA OTIMIZAÇÃO DE
COMPÓSITOS COM A.G.
6.1 Introdução
O objetivo deste capítulo é apresentar exemplos, nos quais o tempo de
processamento da otimização de laminados de materiais compósitos com restrição de
confiabilidade é reduzido através da utilização de Redes Neurais Artificiais Treinadas
(RNAT). As RNAT substituem a análise por elementos finitos (FEA), diminuindo
sensivelmente o custo computacional para a obtenção do índice de confiabilidade da
estrutura. Inicialmente é feita uma rápida revisão sobre RNAT, dando especial ênfase
para as Redes Neurais Perceptron e de Base Radial, as quais são utilizadas neste
trabalho. Posteriormente, exemplos de aplicação de RNAT na substituição da FEA são
apresentados e comparados com resultados da literatura.
6.2 Redes neurais artificiais
Não há um conceito universalmente aceito sobre a definição de redes neurais
artificiais. De acordo com Haykin (1994), uma rede neural é um processador
distribuído, massivamente paralelo que tem a capacidade natural de adquirir
conhecimento experimental e torná-lo disponível para uso. Elas lembram o cérebro em
dois aspectos:
• As redes neurais, através do processo de aprendizado, adquirem
conhecimento;
• As conexões inter-neurônios, conhecidas como pesos sinápticos, são
usadas para guardar o conhecimento.
De acordo com Nigrin (1993), a rede neural é um circuito composto de um
grande número de elementos de processamento simples. Cada elemento opera somente
localmente sua informação recebida. Além do mais, cada elemento opera
117
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
assincronamente. Portanto, não há um tempo de processamento para o sistema em geral
(o tempo do sistema não depende do tempo das unidades).
As redes neurais são compostas de muito processadores simples (unidades), cada
uma tendo uma pequena porção de memória. Os canais de comunicação (conexões), os
quais usualmente transportam dados numéricos, estão inter-conectados de várias
maneiras possíveis, ligando as unidades. As unidades somente operam sobre seus dados
de entrada recebidos através das conexões.
Existem muitos modelos de RNA, desenvolvidos para tarefas computacionais
específicas. Estes modelos podem ser divididos em dois grupos: os com ou sem
treinamento supervisionado. Neste trabalho, são utilizadas Redes Neurais Perceptron de
Multicamada e Redes Neurais de Base Radial. Ambas possuem treinamento
supervisionado, arquitetura feed-forward (Haykin, 1994) e têm sido largamente
utilizadas como aproximações universais para funções desconhecidas com várias
variáveis de entrada e saída. As redes neurais aprendem através dos exemplos e exibem
alguma capacidade de generalização além dos dados de treinamento.
6.3 Rede neural perceptron de multicamada (RNPM)
Para a RNPM, a unidade de processamento mais simples é representada por um
único neurônio, conforme indicado na figura 6.1.
Figura 6.1 Neurônio, a unidade de processamento neural mais simples.
O neurônio é a unidade mais básica de uma rede neural e, como uma unidade de
processamento, irá receber entradas (
i
x ) através das conexões dos axônios. Então,
algum processamento será feito aos dados de entrada para obter o dado de saída. Esta
transformação é feita em dois estágios. Primeiro, usualmente é empregada uma
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
118
combinação linear com todos os dados de entrada para obter um escalar, chamado de
NET. Os coeficientes da transformação linear são chamados de “pesos”, definidos como
i
w . Num segundo estágio, é usada uma transformação não-linear (ou linear) com o
escalar NET. A função não-linear é geralmente chamada de “função de ativação” e
denotada como f. Como no comportamento dos neurônios naturais, a função de ativação
irá decidir quando, como e se o neurônio irá disparar a saída (i). Como indicado na
figura 6.1, há uma entrada com um valor constante ( 1
0
+=x ) e seu respectivo peso (
0
w
), o qual está relacionado com um parâmetro na função de ativação chamado de limiar.
Por conveniência, o limiar foi considerado como uma incógnita na equação a qual
fornece a correspondente saída. O limiar define uma translação no eixo
x
na função de
ativação original. Resumidamente, todo processo pode ser escrito como (Haykin, 1994):
==
∑
=
n
0k
kk
xwf)NET(fi
(6.1)
Esta unidade de processamento unitária pode ser conectada a outras para gerar a
Rede Neural Perceptron, figura 6.2. As formas como os neurônios são conectados e as
formas como eles operam são muito diferentes, originando uma grande variedade de
arquiteturas de rede. A maioria das RNAs possui alguma forma de treinamento, onde os
pesos das conexões são ajustados, baseados nos dados de treinamento. Uma RNPM
geral consiste de várias camadas totalmente conectadas, ou seja, todos neurônios
pertencentes a uma camada estão conectados com as camadas anterior e posterior. Esta
arquitetura é indicada pelo número do vetor de entrada, seguido pelo número de
neurônios em cada camada (exemplificando, 1:12:1 indica uma rede com um vetor de
entrada seguido por uma camada escondida com 12 neurônios e uma camada de saída
com um neurônio). O número de camadas escondidas e o número de neurônios nestas
camadas dependem da complexidade do sistema que está sendo modelado. Para um
sistema mais complexo é necessário um maior número de unidades nas camadas
escondidas. Na prática, o número ótimo de unidades escondidas é determinado por
tentativa e erro. Existem diversos tipos de função de ativação. Neste trabalho, a função
tangente hiperbólica (f(x)=tanh(x)) é utilizada nas camadas escondidas e uma função de
ativação linear é usada na camada de saída.
119
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
No processo de treinamento da rede neural, para um determinado padrão de
entrada x
pi
(onde p faz referência ao padrão e i significa um neurônio de entrada), os
ajustes nos pesos (w
pi
) tem lugar nas ligações (sinapses) da rede neural, com o objetivo
de obter a saída desejada o
pk
ou, no caso deste trabalho, o valor da função de estado
limite para esta amostra específica, y
pk
(onde o índice p faz referência ao padrão e k
significa uma saída do neurônio). Para cada padrão entrada-saída, o quadrado do erro
pode ser escrito como:
( )
2
1
,
2
p pk pk
k
E y o= −
∑
(6.2)
onde k é o número de neurônios na camada de saída. Portanto, o erro médio do sistema
é dado por:
1
,
2
p
p
E E
p
=
∑
(6.3)
onde P é o número de padrões de treinamento. Implementando um algoritmo para
minimizar a função de erro, os pesos podem ser calculados e uma função de estado
limite aproximada pode ser obtida.
O algoritmo de retro-propagação, apresentado por Haykin (1994), é usado para
ajustar os diferentes pesos, bem como as derivadas de
pk
o
com respeito aos dados de
entrada que serão utilizadas na análise de confiabilidade da estrutura. Maiores detalhes
sobre o uso de RNPM podem ser encontrados em Haykin (1994). Uma vez que este
primeiro ajuste é realizado, a rede analisa outro par
pi
x
e
po
y
, e novamente ajusta os
pesos para essa nova amostra. De um modo similar, o processo continua até que todos
os pares entrada-saída sejam considerados. Uma vez finalizado este processo a rede terá
um conjunto de pesos sinápticos estabilizados e que satisfazem todos os pares entrada-
saída com um erro médio menor do que uma determinada tolerância (10
-3
). Mais
detalhes podem ser encontrados em Gomes & Awruch (2004). Durante o processo de
aprendizagem, alguns parâmetros, tais como: arquitetura de rede, taxa de aprendizagem
η
, função de ativação e parâmetro de momento
α
devem ser apropriadamente
informados. A arquitetura, que depende da complexidade do problema, é selecionada
por tentativa e erro; a taxa de aprendizagem é considerada
0.1
η
=
, parâmetro de
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
momento
0.4
α
=
e uma arquitetura de 10:10:1 foi adotada para todos exemplos aqui
considerados.
Figura 6.2 -
Arquitetura genérica de uma RNPM
6.4
Redes neurais com funções de base radial (RNBR)
O projeto de uma rede neural pode ser visto como um problema de adaptação
(aproximação) de hipersuperfícies em um espaço multidimensional. Assim, o
aprendizado da rede é e
multidimensional que melhor se ajustam aos dados de treinamento. De forma
correspondente, a generalização pode ser entendida como o uso da superfície
multidimensional ajustada para a interpolação (ou
ou teste. Tal ponto de vista na verdade é a motivação que está por trás do método das
funções de base radial de forma que ele r
interpolação em espaços multidimensionais.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
e uma arquitetura de 10:10:1 foi adotada para todos exemplos aqui
Arquitetura genérica de uma RNPM
3:3:2 –
retirado de Gomes (2001)
Redes neurais com funções de base radial (RNBR)
O projeto de uma rede neural pode ser visto como um problema de adaptação
(aproximação) de hipersuperfícies em um espaço multidimensional. Assim, o
aprendizado da rede é e
quivalente a encontrar as características da superfície
multidimensional que melhor se ajustam aos dados de treinamento. De forma
correspondente, a generalização pode ser entendida como o uso da superfície
multidimensional ajustada para a interpolação (ou
extrapolação) de dados de validação
ou teste. Tal ponto de vista na verdade é a motivação que está por trás do método das
funções de base radial de forma que ele r
emete a
trabalhos tradicionais de pesquisa de
interpolação em espaços multidimensionais.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
120
e uma arquitetura de 10:10:1 foi adotada para todos exemplos aqui
retirado de Gomes (2001)
.
O projeto de uma rede neural pode ser visto como um problema de adaptação
(aproximação) de hipersuperfícies em um espaço multidimensional. Assim, o
quivalente a encontrar as características da superfície
multidimensional que melhor se ajustam aos dados de treinamento. De forma
correspondente, a generalização pode ser entendida como o uso da superfície
extrapolação) de dados de validação
ou teste. Tal ponto de vista na verdade é a motivação que está por trás do método das
trabalhos tradicionais de pesquisa de
121
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
A construção de redes neurais com funções de base radial na sua forma mais
básica envolve apenas três camadas, as quais são inteiramente diferentes entre si. A
camada de entrada é composta por neurônios de entrada (sensores). A segunda camada é
uma camada escondida de dimensão suficiente e que serve para propósitos diferentes
que daqueles presentes nas redes mais comuns como as de percéptrons multicamada.
Esta camada é composta por modelos de neurônios diferentes dos usualmente
empregados. Na figura 6.3 é apresentado um esquema de um neurônio com função de
base radial, na sua forma mais simples.
Figura 6.3 - Esquema geral de um neurônio de base radial.
Assim como nos neurônios das redes percéptrons, o neurônio com função de
base radial recebe o vetor de entrada
n
xxx ,...,,
21
=x pelos seus axônios, os quais não
possuem pesos sinápticos como nos percéptrons. No corpo do neurônio é então
calculada a norma Euclidiana da distância entre o vetor de entrada e o centro fixo t do
neurônio. Então este resultado é multiplicado pelo limiar b o qual tem valor de entrada
constante e igual a +1. O valor do limiar b permite que a sensibilidade do neurônio seja
ajustada de forma que responda a vetores de entrada que estejam mais ou menos
distantes de seu centro, possibilitando que outros neurônios com centros próximos
àquele também respondam aos vetores de entrada. O produto resultante é passado por
uma função não linear de base radial G (função de ativação) para então resultar na saída
a, de forma que a saída tem valor máximo quando o vetor de entrada for igual ao centro
do neurônio. Todo o processo pode ser resumido como se segue:
(
)
.
q G b
= − ⋅
X t
(6.4)
Devido ao fato de se utilizar funções de ativação não lineares, a transformação
do espaço de entrada para o espaço das unidades escondidas é dita do tipo não linear.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Figura 6.4 -
Esquema geral de uma rede neural de base radial
A terceira camada é a camada de saída e fornece a resposta da rede aos padrões
apresentados à mesma. A transformação do espaço das unidades escondidas para o
espaço das unidades de saída é dita do tipo linear uma vez que esta camada é composta
por neur
ônios que possuem função de ativação do tipo linear. Assim como as redes
neurais do tipo percéptrons, largamente utilizada, nesta camada cada neurônio possui
associado aos seus axônios tanto pesos sinápticos quanto limiares. Assim, a camada de
saída apenas
soma ponderadamente as saídas da camada anterior escondida, formada
por funções de bases radiais, pelos pesos sinápticos correspondentes e fornece o valor
da saída. Na figura 6.4 é mostrada uma arquitetura geral de uma rede com função de
base radial para
um vetor de entrada de dimensão
camada escondida com m
camada de saída com o
neurônios do tipo lineares.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
Esquema geral de uma rede neural de base radial
–
retirado de Gomes
(2001).
A terceira camada é a camada de saída e fornece a resposta da rede aos padrões
apresentados à mesma. A transformação do espaço das unidades escondidas para o
espaço das unidades de saída é dita do tipo linear uma vez que esta camada é composta
ônios que possuem função de ativação do tipo linear. Assim como as redes
neurais do tipo percéptrons, largamente utilizada, nesta camada cada neurônio possui
associado aos seus axônios tanto pesos sinápticos quanto limiares. Assim, a camada de
soma ponderadamente as saídas da camada anterior escondida, formada
por funções de bases radiais, pelos pesos sinápticos correspondentes e fornece o valor
da saída. Na figura 6.4 é mostrada uma arquitetura geral de uma rede com função de
um vetor de entrada de dimensão
n e p
amostras de treinamento, uma
neurônios com função de base radial, sendo
neurônios do tipo lineares.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
122
retirado de Gomes
A terceira camada é a camada de saída e fornece a resposta da rede aos padrões
apresentados à mesma. A transformação do espaço das unidades escondidas para o
espaço das unidades de saída é dita do tipo linear uma vez que esta camada é composta
ônios que possuem função de ativação do tipo linear. Assim como as redes
neurais do tipo percéptrons, largamente utilizada, nesta camada cada neurônio possui
associado aos seus axônios tanto pesos sinápticos quanto limiares. Assim, a camada de
soma ponderadamente as saídas da camada anterior escondida, formada
por funções de bases radiais, pelos pesos sinápticos correspondentes e fornece o valor
da saída. Na figura 6.4 é mostrada uma arquitetura geral de uma rede com função de
amostras de treinamento, uma
neurônios com função de base radial, sendo
nm ≤
, e uma
123
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
6.4.1 Projeto de uma rede generalizada com funções de base radial
Dado um conjunto de N diferentes pontos
{
}
/ 1,2,...,
p
i
i N
∈ℜ =x
que
representam os valores de entrada e um correspondente número de N números reais
{
}
/ 1, 2,...,
o
i
d i N
∈ℜ =
que representam as saídas desejadas, constituindo uma amostra
de treinamento, então com uma rede com funções de base radial é possível encontrar
uma função
:
p o
F
ℜ → ℜ
, tal que satisfaça a seguinte condição de interpolação:
( ) 1,2,... .
i
F para i N
= =x d
(6.5)
A solução da equação anterior utilizando as funções de Green como funções de
base remetem às “redes de regularização” que constituem uma classe de redes com
funções de base radial cuja camada escondida contém um número de neurônios igual ao
número N de pontos da amostra, centrados cada um em cada amostra
i
x . Este tipo de
solução é quase sempre evitado, pois é proibitivamente dispendioso para implementar
em termos computacionais para o caso de grandes valores de N.
Utilizando a técnica padrão variacional do Método de Galerkin, uma solução
aproximada )(
*
xF pode se encontrada para contornar a solução regularizada,
anteriormente mencionada. De acordo com esta técnica, a solução aproximada é
expandida em termos de uma base finita, como descrito a seguir:
*
1
( ) ( ) ,
M
i i
i
F w
ϕ
=
=
∑
x x
(6.6)
onde
{
}
( ) / 1, 2,...,
i
i M
ϕ
=x
é um novo conjunto de funções de base que se assume, sem
perda de generalidade, que sejam linearmente independentes. Tipicamente o número de
funções de base é menor que o número de pontos da amostra ( NM
≤
) e os
i
w
constituem um novo conjunto de pesos. Por motivos que serão óbvios mais tarde, as
funções de base não lineares
i
ϕ
devem atender a certa condição. A propriedade a que
deve obedecer a função de base radial é aquela definida pelo enunciado a seguir
(Gomes, 2001):
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
124
Sejam
N
x,...,x,x
21
pontos distintos em
p
ℜ . Então, a matriz de interpolação
Φ
, N por
N, cujos elementos são
(
)
ij j i
G
ϕ
= −
x t
, sendo G uma função de base radial, deverá
ser positiva definida.
Funções que satisfazem tal condição e que são geralmente empregadas em redes
na forma de funções de base radial são citadas a seguir (Gomes, 2001):
• Função multi quadrática inversa
1
2
2 2
1
( ) , 0 0 ;
( )
G r para c e r
r c
= > ≥
+
(6.7)
• Função spline de placa fina
2
( ) ( ) ln( ), 0 0 ;
G r pr pr para p e r
= > ≥
(6.8)
e
4
( ) ( ) ln( ), 0 0 ;
G r qr qr para q e r
= > ≥
(6.9)
• Função Gaussiana
2
2
( ) exp , 0 0 .
2
r
G r para e r
σ
σ
= − > ≥
(6.10)
Assim, utilizando-se alguma das funções de base radial anteriormente
enunciada, pode-se escrever que:
(
)
( ) 1,2,..., ,
i i
G para i M
ϕ
= − =x x t
(6.11)
onde o conjunto de centros
{
}
/ 1,2,...,
i
i M
=t
devem ser determinados. Esta escolha
particular para o centro das funções de base radial
t
deve ser tal que garanta a obtenção
dos dados originais das amostras, no caso em que M=N, fazendo-se:
1,2,..., ,
i i
para i M
= =t x
(6.12)
onde o conjunto de centros
{
}
Mit
i
,...,2,1/ = devem ser determinados. Esta escolha
particular para o centro das funções de base radial deve ser tal que garanta que no caso
em que M=N, fazendo-se
125
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
1, 2,..., ,
i i
para i M
= =t x
(6.13)
ao menos a solução pontual será obtida. Pode-se então re-definir )(
*
xF como sendo
(Gomes, 2001):
( )
*
1 1
( ) ( ) .
M M
i i i i i
i i
F w G w G
= =
= = −
∑ ∑
x x t x t
(6.14)
Então se tem que determinar o novo conjunto de pesos
{
}
/ 1,2,...,
i
w i M
=
de
forma a minimizar uma função de custo , definida por :
( )
2
2
* *
1 1
( ) ,
M M
i j i i
i j
F w G
ζ λ
= =
= − − +
∑ ∑
d x t PF
(6.15)
onde P é um operador diferencial invariante tanto a rotações quanto a translações. A
solução do problema de minimização sem restrições anteriormente definido pode ser
obtido chegando-se à seguinte equação que minimiza a função custo:
(
)
0
T T
λ
+ =
G G G W G d
(6.16)
onde,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
M
M
N N N M
G G G
G G G
G G G
=
L
L
M M O M
L
x t x t x t
x t x t x t
G
x t x t x t
(6.17)
e
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
0
1 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
,
( , ) ( , ) ( , )
M
M
N N N M
G G G
G G G
G G G
=
L
L
M M O M
L
t t t t t t
t t t t t t
G
t t t t t t
(6.18)
com
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
126
[
]
1 2
, ,...,
T
M
w w w=W
(6.19)
e
[
]
1 2
, ,..., ,
T
N
=
d d d d
(6.20)
sendo
λ
o parâmetro de regularização. Note-se que quando o parâmetro de
regularização aproxima-se de zero, o vetor de pesos
w
converge para a solução de
norma mínima (pseudo-inversa) do problema de aproximação pelos mínimos quadrados
do sistema de equações sobredeterminado, assim:
0 ,
para
λ
+
= =
w G d
(6.21)
onde a pseudo-inversa da matriz G, é definida como:
(
)
1
.
T T
−
+
=
G G G G
(6.22)
Note-se que no vetor
w
devem estar incluídos os pesos sinápticos da camada de
saída bem como seus limiares. Nos algoritmos implementados neste trabalho, um
neurônio de base radial é adicionado por vez na camada escondida. O neurônio
adicionado é centrado na amostra do vetor de entrada que produz maior erro quadrático
médio na saída. O erro quadrático é monitorado até atingir certa tolerância assim como
o número máximo de neurônios da camada escondida (que no máximo tem a dimensão
da amostra – solução regularizada) quando então para-se o processo e é dito que a rede
está treinada.
6.5 Geração de amostras para treinamento da rede neural artificial
Para gerar as amostras de treinamento para e rede neural artificial,
primeiramente é realizada uma procura em direções aleatórias (no espaço padrão não-
correlacionado) por pontos no entorno da função de estado limite, de forma que
( ) 0
H
=
U
. Uma vez que esses pontos são encontrados, os valores médios das funções
de distribuição das variáveis aleatórias são deslocados com a finalidade de obter
127
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
amostras (usando Monte Carlo) próximas a vizinhança da região de falha/segurança.
Um outro conjunto de amostras aleatórias centrado nos valores médios das variáveis
aleatórias é adicionado ao conjunto original de amostras de forma a proporcionar um
melhor comportamento da função de estado limite simulada em pontos que estão longe
da região de falha. Isto é particularmente importante se um método baseado em
derivadas, tal como FORM, é utilizado. A figura 6.5 mostra esquematicamente como
essas amostras são geradas no espaço Gaussiano padrão não-correlacionado, para uma
função de estado limite de duas variáveis aleatórias. Neste trabalho, o número de
direções aleatórias de procura é três vezes o número de variáveis aleatórias.
Figura 6.5 - Esquema de geração do conjunto de amostras para treinamento da rede
neural artificial.
6.6 Resultados numéricos
6.6.1 EXEMPLO 1
Nos exemplos apresentados a seguir as simulações foram realizadas usando o
material compósito vidro-epóxi, cujas propriedades mecânicas e de resistência estão
listadas na tabela 6.1. Estas variáveis foram inicialmente tratadas como determinísticas.
O laminado é formado por duas lâminas, com ângulos de orientação 0
o
e 90
0
1
u
2
u
Direções de procura
aleatórias
Amostras aleatórias
centradas nas médias
Amostras aleatórias próximas a
H(U)=0
Falha
Segurança
1
( ) 0
H
=
U
2
( ) 0
H
=
U
3
( ) 0
H
=
U
4
( ) 0
H
=
U
5
( ) 0
H
=
U
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
128
respectivamente. Três casos de carregamento são analisados: tração axial, tração biaxial
e múltiplas cargas. Um modelo de elementos finitos com uma malha regular de 200
elementos triangulares foi utilizado para determinar as tensões locais nos eixos
principais do laminado.
Tabela 6.1 – Propriedades mecânicas e resistências do Vidro – Epóxi.
E
1
(GPa)
E
2
(GPa)
12
ν
21
ν
G
12
(GPa)
t
x
R
(MPa)
c
x
R
(MPa)
t
y
R
(MPa)
t
y
R
(MPa)
xy
R
(MPa)
55 18 0.25 0.08 8 1500 -1250 50 -200 100
6.6.1.1 Primeiro caso – carga uniaxial
Uma carga aleatória de tração N
1
, atuando no plano do laminado, com
distribuição de probabilidade lognormal e coeficiente de variação de 20 % é considerada
(Frangopol e Recek, 2003). Os resultados da probabilidade de falha P
f
,calculadas
usando elementos finitos e uma RNBR (com uma arquitetura 1:13:1) são apresentados
na figura 6.6. Com o objetivo de verificar a precisão dos resultados de P
f
também são
feitas comparações com os resultados obtidos por Frangopol e Recek (2003).
Figura 6.6 – Probabilidade de falha do laminado com carga uniaxial de tração N
1
.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 100 200 300 400 500 600
Probabilidade de Falha
Valor Médio de N1 E(N1) em KN/m
Elementos Finitos
Frangopol & Recek
(2003)
RNBR
129
Paulo André Menezes Lopes – (
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Resultados para o tempo de processamento T
p
usando elementos finitos e redes
neurais estão listados na tabela 6.2. Os valores de T
p
são apresentados como uma
porcentagem do maior tempo de processamento de todas as simulações. O tempo de
processamento usando RNBR para o cálculo de P
f
, inclui o tempo de treinamento, o
qual é feito utilizando elementos finitos.
Tabela 6.2 – Tempo de processamento usando elementos finitos e redes neurais.
Média N
x
(KN/m)
P
f
Elementos
Finitos
P
f
RNBR
T
p
Elementos
Finitos
T
p
RNBR
192.984 0,065 0,0460 100 0,75
243.717 0,223 0,1898 12,99 0,46
284.056 0,500 0,4817 3,98 0,43
323.154 0,750 0,8133 1,33 0,39
396.586 0,960 0,9500 0,33 0,40
420.998 0,970 0,9700 0,33 0,40
493.364 0,990 1,0000 0,33 0,40
Os resultados evidenciam que o uso de RNBR reduz consideravelmente o custo
computacional para o cálculo da probabilidade de falha, especialmente nos caso em que
P
f
é menor do que 0.5.
Figura 6.7 - Comparação dos custos computacionais para P
f
< 0,5 (carga uniaxial).
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
190 210 230 250 270 290
% Tempo de Processamento
Valor Médio de N1 E(N1) em KN/m
Elementos
Finitos
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
130
6.6.1.2 Segundo caso – Carregamento Biaxial
Uma carga aleatória N
2
atuando perpendicularmente a direção da carga N
1
é
agora adicionada. A distribuição de probabilidade, valor médio E(N
2
) e o coeficiente de
variação são os mesmos consideradas para N
1
do primeiro exemplo. Uma rede RNBR,
com a mesma arquitetura usada no exemplo 1 é treinada para este caso. Figura 6.8
apresenta os resultados da probabilidade de falha P
f
calculada usando elementos finitos
e RNBR. Os resultados obtidos por Frangopol e Recek (2003) são utilizados para
comparação. A tabela 6.3 apresenta o tempo de processamento T
p
usando elementos
finitos e RNBR.
Figura 6.8 – Probabilidade de falha para o compósito laminado sob condições de
carregamento biaxial.
Tabela 6.3 - Resultados dos tempos de processamento usando elementos finitos e redes
neurais artificiais RNBR (carregamento biaxial).
Média
N
1
=N
2
(kN/m)
P
f
Elementos
Finitos
P
f
RNBR
T
p
Elementos
Finitos
T
p
RNBR
199,524 0,036 0,010 100 1,73
251,559 0,336 0,354 7,32 0,36
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
100 200 300 400 500 600
Probabilidade de Falha
Valores Médios de N1 e N2 em KN/m
Elementos
Finitos
RNBR
Frangopol &
Recek (2003)
131
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
300,541 0,765 0,720 1,32 0,40
349,293 0,970 1,000 0,33 0,40
402,107 0,990 1,000 0,33 0,40
449,601 1,000 1,000 0,33 0,40
500,270 1,000 1,000 0,33 0,40
549,87 1,000 1,000 0,33 0,40
Novamente, fica evidente que há uma drástica redução no tempo de
processamento quando se usa redes neurais artificiais para pequenos valores de P
f
.
Comparações do tempo de processamento entre ambos os métodos, para P
f
< 0,8 são
apresentadas na figura 6.9.
Figura 6.9 – Comparação dos tempos de processamento para probabilidades de falha
P
f
< 0,8 (carregamento biaxial).
6.6.1.3 Terceiro caso – cargas axiais e momentos
Nesta simulação, 12 variáveis aleatórias são consideradas. Cargas aleatórias N
1
,
N
2
, N
12
, M
1
são aplicadas em um laminado de material compósito composto por 4
lâminas, com espessuras h
1
, h
2
, h
3
, h
4
e ângulos de orientação
1
θ
,
2
θ
,
3
θ
,
4
θ
respectivamente. As espessuras são consideradas não-correlacionadas e com
distribuição de probabilidade Log-Normal, enquanto que os ângulos de orientação
também são não correlacionados, porém com distribuição de probabilidade Normal. As
propriedades mecânicas e as resistências do material são consideradas variáveis
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
150 200 250 300 350
% Tempo de Processamento
Valor Médio de N1 e N2 em KN/m
Elementos Finitos
RNBR
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
132
determinísticas relacionadas ao Vidro/Epóxi, conforme tabela 6.1. Os parâmetros
estatísticos das variáveis aleatórias estão listados na tabela 6.4, onde CV significa
coeficiente de variação. A probabilidade de falha é calculada para uma função de estado
limite onde o critério de Tsai-Wu para falha da primeira lâmina é considerado.
Tabela 6.4 - Parâmetros estatísticos das variáveis aleatórias.
Variáveis
Aleatórias
Unidade
µ
CV Tipo de
Distribuição
N
x
kN/m 10 0.2 Log-Normal
N
y
kN/m 20 0.2 Log-Normal
N
xy
kN/m 40 0.2 Log-Normal
M
x
N/m 0.1 0.2 Log-Normal
1
θ
grau 0 2 Normal
2
θ
grau 45 2 Normal
3
θ
grau 45 2 Normal
4
θ
grau 0 2 Normal
1
h
m 0.001 0.01 Log-Normal
2
h
m 0.001 0.01 Log-Normal
3
h
m 0.001 0.01 Log-Normal
4
h
m 0.001 0.01 Log-Normal
As figuras 6.10 e 6.11 apresentam as correlações entre os valores calculados de
Tsai-Wu usando RNPM (com uma arquitetura de 12:10:10:1), RNBR (com uma
arquitetura 12:128:1) e elementos finitos (foram utilizadas 131 amostras com 12
variáveis aleatórias). As figuras 6.10 e 6.11 também mostram o erro quadrático médio
durante o processo de treinamento, para ambos os tipos de redes neurais. O coeficiente
de correlação é expresso como R
2
nos gráficos. Fica claro que a RNBR apresenta uma
melhor correlação, uma vez que necessita de um menor número de iterações durante o
processo de aprendizagem do que a tradicional RNPM.
133
Paulo André Menezes Lopes – (
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(a) (b)
Figura 6.10 - Treinamento da RNPM. (a) Correlação entre os valores de Tsai-Wu
usando RNPM e elementos finitos, (b) Erro quadrático médio durante o processo de
aprendizagem.
(a) (b)
Figura 6.11 - Treinamento da RNBR. (a) Correlação entre os valores de Tsai-Wu
usando RNBR e elementos finitos, (b) Erro quadrático médio durante o processo de
aprendizagem.
A tabela 6.5 apresenta os resultados dos tempos de processamento e índices de
confiabilidade atingidos, usando os métodos anteriormente descritos.
emulated MLP for 131 samples of random variables
y = 0.9748x + 0.0285
R
2
= 0.995
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2
2.5
Finite Elements
MPN
1.0E-04
1.0E-03
1.0E-02
1.0E-01
1.0E+00
0 200 400 600
800
Iterations
Mean Square Erro r
y = x - 2E-06
R
2
= 1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Finite Elements
R adial B asis Network
1.00E-06
1.00E-04
1.00E-02
1.00E+00
1.00E+02
0 20 40 60 80 100 120 140
Iterations
Mean Square Error
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
134
Tabela 6.5 - Comparação dos valores do tempo de processamento para diversos
métodos usando redes neurais e elementos finitos para o cálculo da confiabilidade de
um laminado compósito com cargas axiais e momento.
Método
Tempo de
Processamento
Relativo
Número de
Simulações
(NS)
Número
de
Pontos
de Falha
(NF)
Probabilidade
de Falha (Pf)
Coeficiente
de Variação
(Pf)
Índice de
Confiabilidade
(
β
)
MC 1,000E+00 5900 375 6,36E-02 5,00E-02 1,526
MC-AI 3,082E-01 1800 - 6,65E-02 4,85E-02 1,503
FORM 1,885E-02 112 - 5,20E-02 - 1,625
FORM Série 1,107E-01 672 - 5,21E-02 - 1,625
RNBR treinamento 1,567E-01
MC + RNBR 1,573E-01 10000 640 6,40E-02 3,82E-02 1,522
MC-AI+ RNBR 6,101E-04 1800 - 6,70E-02 4,95E-02 1,498
FORM+ RNBR 1,778E-04 56 - 6,02E-02 - 1,553
FORM Série + RNBR 2,229E-03 56 - 6,02E-02 - 1,553
RNPM treinamento 1,471E-01
MC+ RNPM 4,688E-04 10000 610 6,10E-02 3,92E-02 1,546
MC-AI + RNPM 1,573E-04 1900 - 6,08E-02 4,97E-02 1,548
FORM + RNPM 1,577E-01 84 - 6,29E-02 - 1,531
FORM Série +RNPM 2,232E-03 1800 - 1,29E-01 - 1,147
Legenda :
MC : Monte Carlo.
MC – AI : Monte Carlo com Amostragem por Importância.
RNBR : Rede Neural de Base Radial.
RNPM : Rede Neural Percéptron Multicamada.
Fica clara a vantagem do uso de redes neurais para o cálculo do índice de
confiabilidade, mesmo considerando o tempo de treinamento da rede. A precisão dos
resultados também é satisfatória do ponto de vista de engenharia (é assumido como
índice de confiabilidade padrão o método de Monte Carlo em conjunto com elementos
finitos), fato esse comprovado pelos resultados obtidos usando Monte Carlo e elementos
finitos e Monte Carlo e RNBR. Os resultados mostram ainda que, como esperado, a
RNBR treinada apresenta melhores resultados do que a RNPM treinada, uma vez que a
correlação entre os valores de Tsai-Wu obtidos com elementos finitos e RNBR foram
superiores.
135
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
6.6.2 EXEMPLO 2 – Casca semi-cilíndrica compósita com carga de pressão
Neste exemplo, o índice de confiabilidade é calculado usando um modelo de
elementos finitos de uma casca semi-cilíndrica com comportamento não linear
geométrico. É aplicada uma carga de pressão P=250000 Pa ao longo da superfície
externa da estrutura. As dimensões e as condições de contorno estão indicadas na figura
6.12, Almeida (2006).
Figura 6.12 - Geometria e Condições de Contorno da casca de compósito com carga de
pressão.
A espessura do laminado é de 12,6 mm, sendo composto por 28 lâminas com
ângulos de orientação
0 0 0 0 0
4 4 2
s
90 , 45 ,90 , 45 ,90
m m
orientados com relação a direção
longitudinal da casca. O material considerado é o vidro-epóxi, com propriedades
mecânicas E
1
=39GPa, E
2
=8,6GPa, E
12
=3,8GPa e
12
ν
= 0,28 e resistências
t
x
R
= 1080
MPa,
c
x
R
= 620 MPa,
t
y
R
= 39 MPa,
c
y
R
= 128 MPa,
xy
R
= 89MPa. A função de estado
limite é o critério de Tsai-Wu. Uma típica curva carga – deslocamento no centro da
estrutura, usando valores determinísticos, está indicada na figura 6.13.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
136
Figura 6.13 - Curva carga – deslocamento, não linear, no centro da estrutura para uma
casca semi – cilíndrica com 12,6 mm de espessura.
São consideradas 5 variáveis aleatórias para este exemplo, conforme está
indicado na tabela 6.5, onde
µ
representa o valor médio e CV é o coeficiente de
variação.
Tabela 6.6 – Parâmetros estatísticos para as variáveis aleatórias.
Variável
Aleatória
Unidade
µ
CV Distribuição
de
Probabilidade
t
x
R
Pa 1,08x10
9
0,2 Log-Normal
c
x
R
Pa 6,2x10
8
0,2 Log-Normal
t
y
R
Pa 3,9x10
7
0,2 Log-Normal
c
y
R
Pa 1,28x10
8
0,2 Log-Normal
xy
R
Pa 8,9x10
7
0,2 Log-Normal
Os resultados para diferentes formas de calcular o índice de confiabilidade estão
indicados na tabela 6.6.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.000 0.010 0.020 0.030
Fator de carga
Deslocamento central (m)
137
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Tabela 6.7 - Comparação dos valores do tempo de processamento para diversos
métodos usando redes neurais e elementos finitos para o cálculo da confiabilidade de
uma casca semi-cilíndrica com carregamento de pressão na superfície.
Método
Tempo de
Processamento
Relativo
Número de
Simulações
(NS)
Número
de
Pontos
de
Falha
(NF)
Probabilidade
de Falha (Pf)
Coeficiente
de Variação
(Pf)
Índice de
Confiabilidade
(
β
)
MC-AI 1,000E+00 15250 - 1,9570E-02 5,00E-02 2,063
FORM 2,000E-02 28 - 2,5820E-02 1,946
FORM Série 8,100E-02 120 - 2,5820E-02 - 1,946
RNBR
treinamento
3,2E-02
MC + RNBR 2,940E-01 21500 399 1,8560E-02 4,9600E-02 2,084
MC-AI+ RNBR 1,580E-01 14500 - 1,9650E-02 4,9370E-02 2,061
FORM+ RNBR 1,000E-03 147 - 1,6650E-02 - 2,128
FORM Série +
RNBR
3,000E-03 315 - 1,6710E-02 - 2,127
RNPM
treinamento
3,000E-02
MC+ RNPM 2,050E-01 17500 398 2,2740E-02 4,9550E-02 2,000
MC-AI + RNPM 1,060E-01 118500 - 2,0710E-02 4,973E-02 2,039
FORM + RNPM 3,000E-03 350 - 2,0870E-02 - 2,036
FORM Série
+RNPM
9,000E-03 1750 - 2,0870E-02 - 2,036
Neste exemplo, Monte Carlo usando elementos finitos para análise da função de
estado limite não foi utilizado, uma vez que o custo computacional é muito alto. O
mesmo conjunto de amostras foi usado para treinar ambas as redes neurais (RNBR e
RNPM). O número de amostras geradas foi de 500, seguindo a metodologia apresentada
no item 6.5. Pode ser observado na tabela 6.7 que o melhores resultados são obtidos por
MC-AI com uma RNBR treinada, quando comparados com MC-AI com elementos
finitos (referência para as comparações). Provavelmente melhores resultados podem ser
obtidos pela RNBR se mais amostras forem utilizadas para o treinamento da rede.
Considerando o tempo de processamento para o cálculo da confiabilidade, um redução
drástica foi obtida usando qualquer uma das redes treinadas. Esta redução é da ordem de
80% para MC-AI + RNBR e 87% para MC-AI + RNPM, sendo que, independente do
método usado para análise de confiabilidade, a maior parte deste tempo foi gasto na
geração das amostras para treinamento (onde o programa de elementos finitos é
utilizado).
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
138
6.6.3 EXEMPLO 3 - Otimização de placas de laminados de compósitos com
restrição de confiabilidade
Nesta seção são apresentados os resultados obtidos pelas redes neurais RNBR e
RNPM no problema de otimização, com restrição de confiabilidade, apresentado no
capítulo 5, seção 5.3.3. O procedimento usado aqui foi o de treinar as redes de forma
que elas, a partir de uma determinada configuração do laminado (um indivíduo da
população dos AGs), fornecessem diretamente o índice de confiabilidade. Esta forma de
treinamento difere da apresentada nas seções 6.6.1 e 6.6.2, onde a rede treinada
substituía o programa de elementos finitos e fornecia como resultado o valor da função
de estado limite para cada indivíduo da população. O índice de confiabilidade usado
para treinamento foi calculado usando FORM (sendo o valor da função de estado limite
obtido pelo programa de elementos finitos). Utilizaram-se 300 amostras, obtidas
conforme seção 6.5, e as arquiteturas de rede foram: RNBR (4:300:1) e RNPM
(4:10:10:10:1). A tabela 6.8 compara o custo computacional usando redes ou elementos
finitos. O tempo de processamento de referência considerado é o do método FORM
para sistemas em série usando elementos finitos para avaliação da função de estado
limite. A tabela 6.9 apresenta os erros relativos, tomando como referência a solução
com FORM e elementos finitos.
Tabela 6.8 - Comparação dos valores do tempo de processamento usando redes neurais
ou elementos finitos para otimização da espessura total do exemplo do item 5.3.3.
Método
Tempo de
processamento
(s)
Tempo de
Processamento
Relativo
h1 h2 h3 h4 ht
(
β
)
FORM Série
13010,48 1,000E+00 2,390E-03 1,580E-03 2,740E-03 9,400E-04 7,650E-03 2,999
FORM
1232,79 9,475E-02 2,390E-03 1,580E-03 2,740E-03 9,400E-04 7,650E-03 2,995
RNBR -
treinamento
329,43 2,500E-02
RNBR -
simulação
0,440 3,381E-05 2,377E-02 1,576E-02 2,724E-02 9,075E-04 7,585E-01 3,000
RNPM -
treinamento
294,25
2,260E-02
RNPM -
simulação
0,300 2,305E-05 2,390E-02 1,541E-02 2,745E-02 9,319E-04 7,608E-01 3,000
139
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Tabela 6.9 - Erros relativos em % usando redes neurais ou elementos finitos para
otimização da espessura total do exemplo do item 5.3.3.
Método H1 H2 H3 H4 Ht
RNBR - simulação
0,544
0,253
0,584
3,510
0,850
RNPM - simulação
0,000
2,468
0,182
0,862
0,549
Os resultados mostram uma drástica redução do tempo de processamento
quando a otimização é realizada utilizando redes. Os erros relativos são pequenos, não
ultrapassando 3,51% (espessura H4 utilizando RNBR).
6.6.4 EXEMPLO 4 – Otimização baseada em confiabilidade da orientação de
lâminas de estrutura compósita com comportamento não linear
Neste exemplo, a estrutura da casca cilíndrica de 28 camadas, analisada
anteriormente frente à probabilidade de falha por ruptura (função de estado limite
superfície de Tsai-Wu), será otimizada. Nesta otimização, parâmetros anteriormente
assumidos, como por exemplo simetria da disposição dos laminados, possibilidade de
ocorrência de no máximo quatro laminados contíguos de mesma orientação, serão
também assumidos. Também serão assumidas as mesmas variáveis aleatórias
anteriormente indicadas, quais sejam, os cinco parâmetros da superfície de ruptura de
Tsai-Wu (5 variáveis aleatórias). Neste caso tem-se um problema de otimização com 7
variáveis (devido à simetria e à variação das lâminas duas a duas). Por motivos práticos
construtivos, assumiu-se que o espaço de procura que estas variáveis de projeto
poderiam ter seriam: -45
o
, 0
0
, 45
o
e 90
o
. Desta forma, utilizando-se o algoritmo genético
aqui descrito, definiu-se uma quantidade de bits por variável de projeto igual a 2, de
forma que para as orientações pode-se ter a codificação binária 00, 01, 10, 11
correspondente aos ângulos anteriormente indicados. Isto totaliza 4
7
=16384
combinações de ângulos para a construção da estrutura. Caso o número de orientações
não fosse uma potência de 2, poderia-se trabalhar facilmente com uma lista de
orientações com codificação binária que gere combinação superior ao tamanho da lista,
preenchendo-se o resto da lista com a mesma orientação da última lâmina da lista.
Neste exemplo, como visto anteriormente, o índice de confiabilidade da
estrutura frente à chance de vir a sofrer ruptura é de β=2,063, índice este, calculado e
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
140
confirmado pelos mais diversos métodos de avaliação de confiabilidade. A configuração
do laminado neste caso é
0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
s
90 ,90 , 45 ,90 ,90 , 45 ,90
± ±
.
6.6.4.1 Análise utilizando o método dos elementos finitos
Devido ao tempo de processamento requerido para as análises partiu-se para a
otimização dos ângulos impondo-se um índice de confiabilidade para a estrutura de
β=5,0, utilizando-se FORM como método de avaliação de confiabilidade. A malha de
elementos finitos assim como os parâmetros para a análise não linear são os mesmos
utilizados anteriormente. Os parâmetros utilizados pelo algoritmo genético de
otimização são os indicados na tabela 6.10:
Tabela 6.10 – Parâmetros do algoritmo genético.
No. de Variáveis de projeto (n) 7
Valores discretos das variáveis de projeto -45
o
, 0
0
, 45
o
e 90
o
No. de Bits por variável de projeto (b) 2
Probabilidade de Mutação (p
M
) 1%
Probabilidade de Crossover (p
c
) 90%
Tamanho da população (npop) 300
No. máximo de gerações (ngen) 100
Função de Custo a ser maximizada (f)
1/(1 5 )
f c
β
= + −
Critério de parada pelo Coeficiente de
Variação
da função de Custo CV=
/
f f
σ µ
5%
Coeficiente de penalização c 100
Os resultados obtidos utilizando-se como função de estado limite análises feitas
em elementos finitos, são os indicados abaixo:
141
Paulo André Menezes Lopes – (
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Figura 6.14 – Histórico do índice de confiabilidade do melhor indivíduo e da média dos
indivíduos durante as gerações (elementos finitos).
Figura 6.15 – Histórico dos ângulos das lâminas do melhor indivíduo durante as
iterações (elementos finitos).
A melhor combinação de ângulos que fornece índice de confiabilidade mais
próximo do valor desejado é
0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2
s
90 ,0 ,90 ,45 ,45 ,45 ,90
, cujo valor do índice
confiabilidade avaliado foi de β=4,792. Obviamente, neste caso em que se tem variáveis
de projeto discretas (não podendo assumir qualquer valor), os índices de confiabilidade
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
4.00E+00
5.00E+00
0 20 40 60 80 100
Índice de Confiabilidade
(Beta)
Gerações
Melhor valor
Média da geração
-4.50E+01
0.00E+00
4.50E+01
9.00E+01
0 20 40 60 80 100
Variáveis de Projeto
(Ângulo Graus)
Gerações
teta1
teta2
teta3
teta4
teta5
teta6
teta7
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
142
correspondentes não poderão assumir qualquer valor, sendo o resultado da otimização
uma combinação de ângulos que mais se aproxima do valor de confiabilidade colocado
como restrição. Percebe-se assim que foi possível, mantendo a mesma quantidade de
lâminas da estrutura, apenas alterando a orientação das mesmas, aumentar a
confiabilidade do projeto anteriormente de β=2,063 para β=4,792, situação esta bastante
desejável, visto que não há aumentos de custo da produção deste novo laminado.
6.6.4.2 Análise utilizando Redes Neurais Artificiais
Para este exemplo, diferentemente do exemplo anterior que apenas analisava a
confiabilidade, optou-se por treinar a rede neural não para substituir a análise de
elementos finitos completa (valor mais desfavorável da função de Tsai-Wu em um
ponto de integração qualquer da estrutura). A rede neural foi treinada para substituir
toda a análise de confiabilidade. Assim, para uma dada combinação de ângulos das
lâminas, a Rede Neural será treinada para indicar qual o índice de confiabilidade
correspondente. Desta forma, a arquitetura da rede neural utilizada possui 7 entradas
(ângulos dos laminados) na camada de entrada e 1 saída (índice de confiabilidade). No
caso de Redes Perceptron uma arquitetura do tipo (7:10:10:10:1) foi suficiente para o
aprendizado. No caso das Redes Artificiais de Base Radial uma arquitetura do tipo
(7:120:1) foi suficiente. Os parâmetros utilizados nas redes neurais, tais como taxa de
aprendizado, tolerância para convergência, tipos de função de ativação, momentum, etc.
foram os mesmos utilizados nos exemplos anteriores, apenas alterando-se a arquitetura
das redes.
O treinamento escolhido foi o da geração de 150 amostras uniformemente
distribuídas ao longo do espaço de procura (total de 16384 combinações). Para cada
uma das 150 amostras (combinações de ângulos) foi calculado o índice de
confiabilidade utilizando-se o método FORM. Esta é a fase mais demorada na análise
com as redes neurais visto que análises completas em elementos finitos são necessárias
para a geração das amostras de treinamento. As amostras assim geradas foram então
utilizadas para treinamento das redes e, posteriormente, o algoritmo genético foi
utilizado para otimizar os ângulos das camadas utilizando-se destas redes neurais
treinadas. Resultados referentes aos históricos de otimização por algoritmos genéticos
utilizando redes neurais treinadas são apresentados abaixo:
143
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
Figura 6.16 – Histórico do índice de confiabilidade do melhor indivíduo e da média dos
indivíduos durante as iterações (Rede de Base Radial).
Figura 6.17 – Histórico dos ângulos das lâminas do melhor indivíduo durante as
iterações (Rede de Base Radial).
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
4.00E+00
5.00E+00
0 20 40 60 80 100
Ínidice de Confiabilidade
(Beta)
Gerações
Melhor valor
Média da geração
-45
0
45
90
0 20 40 60 80 100
Variáveis de Projeto
(Ângulo Graus)
Gerações
teta1
teta2
teta3
teta4
teta5
teta6
teta7
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
144
Figura 6.18 – Histórico do índice de confiabilidade do melhor indivíduo e da média dos
indivíduos durante as iterações (Rede Perceptron).
Figura 6.19 – Histórico dos ângulos das lâminas do melhor indivíduo durante as
iterações (Rede Perceptron).
Com ambas as redes, o valor ótimo de combinação de ângulos foi exatamente o
mesmo encontrado com a otimização utilizando-se o método dos elementos finitos, ou
seja,
0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2
s
90 ,0 ,90 ,45 ,45 ,45 ,90
cujo valor do índice confiabilidade avaliado é de
β=4,791. Uma pequena diferença do índice de confiabilidade com redes neurais para o
0.00E+00
1.00E+00
2.00E+00
3.00E+00
4.00E+00
5.00E+00
0 20 40 60 80 100
Índice de Confiabilidade
(Beta)
Gerações
Melhor valor
Média da geração
-4.50E+01
0.00E+00
4.50E+01
9.00E+01
0 20 40 60 80 100
Variáveis de Projeto
(Ângulo Graus)
Gerações
teta1
teta2
teta3
teta4
teta5
teta6
teta7
145
Paulo André Menezes Lopes – (
paulo_andreml@yahoo.com.br) – Tese – Porto Alegre (PPGEC/UFRGS)-2009
valor exato pode ser explicado por uma falta de ajuste perfeito da rede neural com os
dados de treinamento.
6.6.4.3 Comparação de tempos de Processamento
A tabela 6.11 mostra os tempos de processamento e valores obtidos para as
otimizações utilizando-se análises por elementos finitos e Redes Neurais Artificiais.
Tabela 6.11 – Comparação dos tempos de processamento para otimização dos ângulos
das lâminas usando o método dos elementos finitos e Redes Neurais Artificiais.
Método
Tempo de
Processamento
(s)
Tempo de
Processamento
Relativo
1
θ
(
o
)
2
θ
(
o
)
3
θ
(
o
)
4
θ
(
o
)
5
θ
(
o
)
6
θ
(
o
)
7
θ
(
o
)
(
β
)
Genéticos+FORM+MEF
62203,128
1,00E+00 90 0 90 45 45 45 90 4,792
RNBR –
treinamento
(150 amostras)
6510,234
1,05E-01
Genéticos+FORM+RNBR
20,215
3,25E-04 90 0 90 45 45 45 90 4,790
RNPM –
treinamento
(150 amostras)
7410,375
1,19E-01
Genéticos+FORM+RNPM
14,524
2,33E-04 90 0 90 45 45 45 90 4,791
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
146
CAPÍTULO 7
Neste capítulo serão apresentadas as conclusões para este trabalho, juntamente
com algumas sugestões para futuras pesquisas que possam dar continuidade neste
campo de estudo.
7.1 CONCLUSÕES
Como principais conclusões obtidas neste trabalho, pode-se citar:
• Todos os métodos usados para determinar o índice de confiabilidade da estrutura
obtiveram resultados semelhantes. Os resultados obtidos com os métodos de
simulação de Monte Carlo serviram para validar o uso de FORM e FORM para
sistemas em série. O alto custo computacional dos métodos de simulação, tornou
inviável a utilização dos mesmos nos problemas de otimização com AGs e função
de estado limite avaliada por elementos finitos.
• Os AGs mostraram-se eficazes para obter as soluções ótimas de vários problemas
envolvendo materiais compósitos laminados, com ou sem restrição de
confiabilidade. Pode-se destacar a sua capacidade de procura pelo mínimo global,
sem depender do cálculo de gradientes, possibilitando o trabalho com variáveis de
projeto discretas. No caso específico de otimização com restrição de
confiabilidade, os AGs mostraram-se capazes de tratar de forma eficaz um
problema envolvendo uma função altamente não linear.
• As RNAs foram utilizadas com sucesso para diminuir o custo computacional do
processo de otimização. Tanto em exemplos nos quais as RNAs simulavam o
programa de elementos finitos para obter o valor da função de estado limite,
quanto nos casos em que foram treinadas para calcular de forma direta o índice de
confiabilidade, os resultados apresentaram erros relativos pequenos e drástica
diminuição do custo computacional.
• As RNAs conseguiram simular tanto problemas lineares quanto aqueles nos quais
havia a consideração da não-linearidade geométrica.
147
Paulo André Menezes Lopes – (
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• Com relação ao tipo de RNA utilizada, podemos concluir que os dois tipos de
rede (RNBR e RNPM) tiveram desempenho satisfatório e muito semelhante.
• Foi possível criar um pacote para o projeto de estruturas de materiais compósitos
que agrega várias ferramentas (AGs + métodos para cálculo de confiabilidade +
RNAs) e obtiveram-se bons resultados.
7.2 Sugestões para trabalhos futuros
Como sugestão para trabalhos futuros que possam vir a dar prosseguimento a
este tema de pesquisa pode-se citar os seguintes itens:
• Inserir outras funções de falha usuais para materiais compósitos tais como:
máxima deformação, máxima tensão, Tsai-Hill, Hoffman. Levar em consideração
os efeitos higrotérmicos e falha por delaminação.
• Utilizar elementos finitos que possibilitem a avaliação mais precisa dos efeitos de
corte.
• Obter dados estatísticos, através de experimentos, relativos a propriedades
mecânicas, resistências, carregamento, espessuras e ângulo de orientação das
fibras.
• Avaliar o índice de confiabilidade através do método SORM.
• Incorporar campos estocásticos no modelo de elementos finitos.
• Usar o pacote desenvolvido para projetar estruturas mais complexas e usadas em
aplicações práticas.
• Aumentar a eficiência dos AGs, incorporando novas técnicas que diminuem o
custo computacional.
• Usar redes de computadores com processamento em paralelo para acelerar o
processo de otimização.
• Melhorar o processo de treinamento das RNAs, desenvolvendo novas técnicas
para geração das amostras, que produzam ao mesmo tempo resultados eficientes e
sejam mais enxutas.
• Pesquisar novas arquiteturas de rede e métodos heurísticos.
Otimização de Estruturas de Materiais Compósitos Laminados, Baseada em Confiabilidade, utilizando A.G. e R.N.A.
148
• Utilização de métodos híbridos no processo de otimização, conjugando métodos
determinísticos com probabilísticos.
149
Paulo André Menezes Lopes – (
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CAPÍTULO 8.
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