ads:
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Departamento de Física
Campus de Rio Claro
Entropia de Tsallis e sua aplicação em ações da Bolsa de
Valores
Edilson Fernandes de Souza
Orientador: Prof. Dr. José Roberto Campanha
Rio Claro
S.P. Brasil
2009
Dissertação de Mestrado
elaborado junto ao
Programa de Pós-
Graduação em Física –
Área de Concentração em
Física Aplicada.
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
ii
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Programa de Pós – Graduação em Física
Campus de Rio Claro
Entropia de Tsallis e sua aplicação em ações da Bolsa de
Valores
Edilson Fernandes de Souza
Orientador: Prof. Dr. José Roberto Campanha
______________________________________
Prof. Dr. José Roberto Campanha - Orientador
IGCE/RC
________________________
Prof. Dr. Edson Denis Leonel
IGCE/RC
__________________________
Prof. Dr. Camilo Rodrigues Neto
EACH/USP/São Paulo (SP)
Rio Claro
S.P. Brasil
2009
ads:
iii
Agradecimentos
Gostaria primeiramente de agradecer a Deus por me amparar nos momentos
difíceis, me dar força interior para superar as dificuldades, mostrar os caminhos nas
horas incertas, me suprir em todas as minhas necessidades, estar comigo nos
momentos de conquista, alegria, felicidade e, por estar comigo todos os segundos
da minha vida.
Ao meu pai, minha mãe e meu irmão, pelo amor, carinho, incentivo, paciência,
pela sólida formação dada até minha juventude, que me proporcionou a
continuidade nos estudos até a chegada a este mestrado, meus eternos
agradecimentos.
Ao Prof. Dr. Hari Mohan Gupta, pela paciência, amizade e carinho que teve
por mim, por ter me orientado até a sua morte, e infelizmente não estará presente
fisicamente, somente em nossos corações na defesa.
Ao Prof. Dr. José Roberto Campanha, meu orientador, por ter-me recebido
como seu aluno, pela paciência, amizade, incentivo, e atenção dispensada para a
elaboração e desenvolvimento deste trabalho.
Ao Prof. Dr. Edson Denis Leonel que se mostrou um grande amigo e um
excelente professor, pois sempre me ajudou e me incentivou.
A todos os docentes e funcionários do Departamento de Física, pela forma
carinhosa, gentil com que sempre me trataram, e pela atenção que me deram nos
momentos difíceis.
A Fernanda Ceccato pelo amor e carinho, por ter me apoiado, ter tido
paciência e nunca ter deixado de acreditar e incentivar.
Ao Sr. Luiz Antônio Pinto, meu gerente, que fez com que eu conseguisse
conciliar o estudo com o trabalho, além de me incentivar e acreditar.
iv
Ao amigo Otávio Augusto de Barros que incentivou e ajudou nos momentos
difíceis.
Ao amigo Silas Alexandre Vitone, que mesmo estando na Austrália jamais
deixou de acreditar que eu conseguiria.
Aos meus amigos, que são muitos e não conseguiria citar todos, que me
ajudaram, apoiaram e incentivaram, agradeço a todos.
A Kassima e o Gabriel, esposa e filho do Campanha, que me acolheram muito
bem, nas idas a Campos do Jordão.
A BOVESPA pela forma gentil com que nos atendeu por e-mail fornecendo os
dados para a realização deste projeto.
Por fim, a outras pessoas que, direta ou indiretamente, contribuíram com este
trabalho e aqui não são mencionadas, ficam meus agradecimentos.
v
“Quando se sonha sozinho
é apenas um sonho.
Quando se sonha junto
é o começo da realidade.”
Miguel de Cervantes
vi
Sumário
Índice vii
Resumo ix
Abstract x
Lista de Figuras xi
Capítulo 1: Introdução 13
Capítulo 2: Mercado Financeiro e Mercado de Ações 20
Capítulo 3: Distribuições de Probabilidade utilizadas em Sistemas
Complexos 32
Capítulo 4: Termodinâmica não-extensiva 44
Capítulo 5: Modelo Proposto e Resultados 52
Capítulo 6: Conclusões 65
Bibliografia 66
Apêndice A: Programa Anexo
vii
Índice
Capítulo 1 13
Introdução 13
1.1. Método Científico 13
1.2. Mercado Acionário 15
1.3. Definições de Retorno de Preços 16
1.4. Objetivos do Trabalho 17
Capítulo 2 20
Mercado Financeiro e Mercado de Ações 20
2.1. Sistemas Complexos 20
2.2. Complexidade do sistema financeiro 21
2.3. Desenvolvimento do mercado financeiro 22
2.4. Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (Ibovespa) 24
2.4.1. A fusão entre BM&F E IBOVESPA 27
2.5. Mercado Acionário e seus modelos 27
2.6. Hipótese do Mercado Eficiente (HME) 29
Capítulo 3 32
Distribuições de Probabilidade utilizadas em Sistemas Complexos 32
3.1. Distribuição do tipo Normal ou Gaussiana 32
3.2. Distribuição do tipo Lei de Potência 35
3.3. Distribuição do tipo Lévy 37
3.4. Distribuição do tipo Mandelbrot 38
3.5. Distribuição do tipo Tsallis 39
viii
3.6. Outras distribuições 40
3.6.1. Distribuição do tipo Log – Normal 40
3.6.2. Distribuição do tipo Lei de Potência Gradualmente Truncada 42
Capítulo 4 44
Termodinâmica não-extensiva 44
4.1. Entropia de Boltzman-Gibbs 44
4.2. Aditividade e Extensividade 45
4.3. Distribuição de probabilidade associada à entropia de
Boltzman-Gibbs 46
4.4. Entropia de Tsallis 47
4.5. Distribuição de probabilidade associada à entropia de Tsallis 48
4.6. Relação entre as distribuições do tipo Tsallis e Mandelbrot 50
Capítulo 5 52
Modelo Proposto e Resultados 52
5.1. Modelo proposto 52
5.2. Aplicação do modelo as ações do Banco do Brasil 55
5.3. Aplicação do modelo as ações da Vale 57
5.4. Aplicação do modelo as ações da Votorantin Celulose e Papel 59
5.5. Outras aplicações 62
Capítulo 6 65
Conclusões 65
ix
Resumo
O objetivo do nosso trabalho é a aplicação de um modelo estendido da
distribuição do tipo Tsallis e sua aplicação em ações da Bolsa de Valores de São
Paulo. Em nosso caso procuramos ações de diferentes setores da nossa economia.
Escolhemos então uma ação do setor bancário (Banco do Brasil), do setor de
mineração (Vale) e por último uma ação do setor de papel e celulose (Votorantim
Celulose e Papel).
Na distribuição do tipo Tsallis o índice entrópico
q
possui um valor constante,
em nosso modelo, propomos que ele seja um função exponencialmente decrescente
da variável que descreve o tamanho do sistema sendo considerado. Em nosso caso
(ações), a variável em consideração é o retorno clássico.
Observamos que na maioria dos casos tratados, não houve necessidade do
modelo estendido, mas em um caso foi necessário o uso deste para encontrarmos o
melhor ajuste para a distribuição de probabilidade.
x
Abstract
The objective of our work is the application of an extended version of Tsallis-
type distribution and its application in the shares of stock exchange of São Paulo. In
our case seek shares of different sectors of our economy. Then choose an action of
the banking sector (Banco do Brasil), of the mining sector (Vale) and finally an action
in the sector of paper and cellulose (Votorantim Celulose e Papel).
Tsallis type distribution of the entropy index
q
has a constant value in our
model, we propose that it is an exponentially decreasing function of the variable that
describes the size of the system being considered. In our case (stock), the variable
account is the classic back.
We observed that in most cases, there was no need for the extended model,
but in one case it was necessary to use this to find the best fit for the distribution of
probability.
xi
Lista de Figuras
Figura 1: Distribuição do tipo Normal ou Gaussiana
Figura 2: Média e Desvio Padrão na Distribuição Normal (curva A: média = 0 e
desvio padrão = 1; curva B: média = 2 e desvio padrão = 1; curva C: média = 5 e
desvio padrão = 3)
Figura 3: Distribuição do tipo lei de potência com
2.5
e
5
10c
Figura 4: Exemplos de gráficos de distribuições do tipo lei de potência
Figura 5: Distribuição do tipo log-normal com <lnx> = 0 e σ = 1
Figura 6: Ilustra a utilização de parâmetros (modelo proposto) no ajuste de uma
curva.
Figura 7: Logaritmo do número de vezes (freqüência) que a ação teve uma
determinada variação pela variação percentual multiplicado por 10
3
(bbas3)
Figura 8: Logaritmo do número de vezes (freqüência) que a ação teve uma
determinada variação pela variação percentual multiplicado por 10
3
(vale5)
Figura 9: Logaritmo do número de vezes (freqüência) que a ação teve uma
determinada variação pela variação percentual multiplicado por 10
3
(vcpa4)
Figura 10: Densidade de freqüência vs. vazão de água
xii
Figura 11: Densidade de freqüência vs. precipitação pluviométrica
Figura 12: Densidade de freqüência vs. manchas solares por mês
13
Capítulo 1
Introdução
1.1. O Método Científico
A física procura entender as leis da natureza muitas vezes exprimindo essas
leis de forma matemática. Muitos foram os sistemas analisados com grande
sucesso. Como exemplos podemos citar o eletromagnetismo, a mecânica quântica,
a relatividade etc. Mas existem sistemas, denominados sistemas complexos tais
como: a internet, o cérebro, a bolsa de valores e outros, cuja formulação matemática
está ainda em sua fase inicial. A habilidade em lidar com modelos matemáticos, fez
com que o físico tivesse maior facilidade em lidar com os assim denominados
sistemas complexos. Surge então a grande pergunta: a física pode estudar ou criar
modelos que descrevam as oscilações de uma bolsa de valores? A palavra
descrever poderia assemelhar-se com previsão, e esta desempenha um papel
crucial. Ingenuamente poderia-se pensar que o significado da palavra previsão é
bastante evidente e nenhuma explicação é necessária. Na realidade, o seu
significado mudou já no passado e ainda está mudando (Parisi, 2002).
Sabemos também que trabalhar com ativos financeiros envolve quantidades
que variam de maneira complexa. Os sistemas que o físico modela variam, podendo
ir desde sistemas simples como moléculas em um gás, ou a dinâmica das estrelas
de uma galáxia, como também a interação de agentes financeiros no pregão da
bolsa de valores vendendo e comprando ações.
14
As qualidades peculiares inerente aos físicos vêm atraindo o interesse de
empresas da área financeira. Essa tendência iniciou-se através de Isaac Newton,
quando já consagrado pela proposição das leis do movimento e da gravitação
universal, ele foi nomeado superintendente da Casa da Moeda Inglesa, participando
do processo de reforma monetária daquele ano. Mas Newton não obteve sucesso no
mercado acionário, pois perdeu sua fortuna em decorrência da primeira grande
queda (crash) do mercado inglês, em 1720, que ficou conhecido como o estouro da
South Sea Buble. Em decorrência desse fato, Newton observou: “consigo calcular o
movimento dos corpos celestiais, mas não a loucura das pessoas” (Ronan, 1987;
Westfall, 1995)
Transcorridos 280 anos após a morte de Newton, com grandes avanços, a
física moderna, tenta uma maneira capaz de quantificar o grau de insanidade e
ganância das pessoas. O sucesso dessa empreitada ainda não é certo, mas
grandes instituições financeiras perceberam que prestar atenção no que os físicos
têm a dizer pode ser um negócio recompensador, não objetivando apenas o lucro e
sim como forma de prevenção, para que aconteça a diminuição da possibilidade dos
investidores acabarem como o físico inglês, que teve suas economias pulverizadas
devido aos caprichos impiedosos do mercado.
Surge nos anos 90 uma nova disciplina, apelidada de “econofísica”, por
analogia com a biofísica e a geofísica. O que influenciou esse surgimento foi que os
físicos perceberam que certos sistemas complexos obedeciam a leis de potências,
algo já descoberto por Pareto (Pareto, 1896).
Essa nova área propõe leis probabilísticas para entender os movimentos do
mercado financeiro, considerando fatores gerais que influenciam o comportamento
dos indivíduos que nele atuam. Aplicam-se essas idéias ao estudar mecanismos que
levam a formação de bolhas especulativas e quedas violentas dos mercados. Esses
fenômenos podem ser tratados em analogia com os chamados fenômenos críticos
da física, nos quais os elementos de um sistema subitamente começam a
apresentar correlações entre seu comportamento. Um exemplo desse fenômeno é o
que acontece com as moléculas de água quando a temperatura crítica de transição
do estado líquido para gasoso é ultrapassada.
Igualmente ao fenômeno físico, acontece com os agentes financeiros que se
estimulados por condições econômicas externas, passam a se comportar de
maneira cooperativa, onde em um ambiente de extremo otimismo, o aumento nos
15
ganhos de determinada ação pode influenciar vários investidores a acumular cada
vez mais frações desses papéis, mesmo não havendo fundamentos econômicos que
justifique tanta alta, o que gera a formação de uma bolha especulativa.
Pode ocorrer o inverso, quando algum fato novo traz grande pessimismo ao
mercado, acarreta a venda rápida de papéis pelos investidores, devido à queda
brusca no valor de suas ações, estabelecendo assim, um “crash”.
A contribuição que a econofísica visa realizar aos administradores financeiros
é quantificar embora de forma probabilística, o risco de suas aplicações.
Esse tipo de análise com certeza terá grande relevância para que seja
possível entender melhor o comportamento econômico, que envolve diversos
fatores, como os emocionais, políticos, climáticos etc.
1.2. Mercado Acionário
O bom andamento do sistema monetário de uma nação está relacionado ao
bem estar de sua população. Se o papel moeda for o único ativo financeiro esta
nação apresenta um sistema financeiro um tanto quanto primitivo. As instituições
financeiras fazem com que a moeda e outros ativos financeiros tenham fluência.
Estas são especializadas em investimentos, poupança, estabelecem o contato entre
os emprestadores e tomadores de recursos, provendo diferentes ativos financeiros
para tal.
O mercado acionário é um segmento destinado a negociação de ações, que
são emitidas por companhias. Este surge após o mercado de crédito se mostrar
insuficiente para garantir fluxos de recursos em condições adequadas para a
atividade produtiva. As companhias, tanto nacionais como estrangeiras, captam
recursos através das bolsas de valores, vendendo participações ao público, com a
emissão de ações. É a forma mais barata para uma empresa captar recursos.
Os participantes do mercado de ações são divididos em dois grupos:
- investidores institucionais;
- investidores individuais.
Os investidores institucionais são aqueles que reúnem recursos de grupos de
pessoas ou instituições, além de terem suas atividades amplamente reguladas por
16
leis e sob controle governamental. Já os investidores individuais são aqueles que
atuam diretamente no mercado, e toma para si todos os riscos do investimento.
O valor de uma ação na bolsa depende exclusivamente da oferta e demanda
(condições de mercado), e são originados pela situação econômica do país, da
empresa, e de outros fatores (Lourenço, 1999).
A ação é um título nominativo negociável e representa uma fração do capital
social de uma empresa. As ações podem ser:
- Ordinárias (ON), que concedem o poder de voto nas assembléias
deliberativas da companhia, para quem as possuem;
- Preferências (PN), que oferecem às pessoas que as possuem prioridades na
distribuição de dividendos, fixo ou mínimo, e no reembolso do capital.
1.3. Definições de Retorno de Preços
A escala de preço a ser utilizada é um dos principais problemas para a
realização de análises empíricas e teóricas dos dados financeiros. Como tratamos
de preços e índices relacionados à moeda, verificamos que estes possuem
flutuações no tempo que são inerentes ao processo econômico. O crescimento da
economia ou até mesmo o seu recesso, são alguns fatores que podem alterar a
unidade monetária analisada, devida a globalização ou inflação, por exemplo.
É possível escolher entre muitas definições de variáveis estocásticas para
analisar o mercado. Considerando V(t) o valor de um índice ou o preço de um ativo e
M(t) a variável que descreve a mudança de preços, flutuação de preços ou retorno,
as escolhas mais utilizadas são:
a variação direta dos preços dos índices ou dos ativos, M
1
(t). Porém,
mudanças que normalmente acontecem no longo prazo, como inflação e
ajuste de mercado, afetam o retorno consideravelmente:
1
;M t V t t V t
a variação deflacionada dos preços dos índices, M
2
(t), ou seja, usa-se um
fator D(t) para descontar a inflação do período. Com essa aproximação, os
(1.1)
17
preços passam a refletir apenas a variação de seu valor intrínseco. Existem
muitos órgãos que utilizam diferentes metodologias para o cálculo da inflação,
fornecendo valores diferentes para D(t), uma das desvantagens dessa
definição:
2
;M t V t t V t D t
o chamado retorno clássico M
3
(t). Tem a vantagem de fornecer o prejuízo
percentual ou lucro, informação mais adequada para os investidores, pois
fornece o retorno do investimento relativo ao capital empregado:
1
3
;
V t t V t M t
Mt
V t V t
o retorno logarítmico dos preços M
4
(t). Fornece a medida em escala
logarítmica da variação percentual dos preços:
4
ln ln ln .
V t t
M t V t t V t
Vt
Para dados de alta freqüência, as definições M
3
(t) e M
4
(t) fornecem resultados
equivalentes. De (1.1) e (1.2), as definições M
1
(t) e M
2
(t) também fornecem
resultados muito próximos para curtos períodos de tempo ou em períodos longos, se
a inflação não for muito grande, pois temos D(t)
≅
1.
1.4. Objetivos do Trabalho
Um importante problema na gestão de recursos é o conhecimento da
estatística da distribuição de uma variável. Por exemplo, o valor de uma ação ou de
um derivativo tem grande importância na economia, logo nos preços dos seus
agregados como nos fundos de ações e nos fundos de pensões, refletindo na
(1.2)
(1.3)
(1.4)
18
qualidade de vida da população. Então conhecermos a estatística da ação tem
implicações financeiras e sociais.
Por outro lado, o valor das ações varia de uma forma bastante complexa,
dependendo de inúmeros fatores, tais como a especulação, as expectativas
políticas, a economia etc.
Uma importante propriedade desse sistema é o escalonamento da lei de
potência, que é observado em muitos sistemas desse tipo. Em geral, a lei de
potência existe na parte central da distribuição.
Em todo sistema real estão presentes interações de longo alcance e efeitos
de memória, que são importantes para uma distribuição estatística, incluindo o
sistema social e econômico. A termodinâmica deu uma base microscópica para a lei
de potência considerando interações de longo alcance e efeitos de memória (Tsallis,
1988).
Mantega e Stanley (Mantega e Stanley, 1994) introduziram a distribuição do
tipo Lévy truncada (Lévy, 1937). Nesse modelo a distribuição de probabilidade é
cortada bruscamente para zero num certo valor crítico. Já Gupta e Campanha
(Gupta e Campanha, 1999) propuseram a distribuição do tipo Lévy gradualmente
truncada, onde o corte da distribuição de probabilidade é gradual, depois de um
valor crítico.
Geralmente, para descrevermos as distribuições dos sistemas reais utilizamos
a distribuição normal. Quando, porém estamos interessados em distribuições de
valores extremos, algumas outras distribuições tais como Wakely, Gumbel,
exponencial, Log-Normal, são utilizadas, válidas apenas em determinados
intervalos.
No presente trabalho, propomos haver um amortecimento em interações de
longo alcance com o aumento da variação do valor das ações. Este procedimento
evita o fato da variância infinita. Finalmente, apresentamos uma distribuição
estatística generalizada baseada sobre este conceito. Essa distribuição pode ser
usada para calcular uma função de distribuição de probabilidade e a probabilidade
acumulada, em qualquer intervalo da variação do preço das ações (Gupta e
Campanha, 2008).
No capítulo 2 veremos como funciona o mercado financeiro e o mercado de
ações. O capítulo 3 está destinado a uma breve descrição relativa ás principais
distribuições de probabilidade de grande importância para o tema proposto. O
19
capítulo 4 fará um breve resumo da termodinâmica não extensiva. No capítulo 5
apresentaremos o modelo proposto e os resultados para algumas firmas brasileiras
como Banco do Brasil, Vale e Votorantim Celulose e Papel com os preços das ações
variando com intervalo de um minuto (alta freqüência) e aplicaremos o modelo
proposto apresentado neste capítulo. O capítulo 6 descreverá as conclusões do
trabalho.
20
Capítulo 2
Mercado Financeiro e Mercado de Ações
2.1. Sistemas Complexos
Um sistema dinâmico pode se caracterizar por ser regular ou caótico, porém,
esses são extremos de um espectro. Entre a ordem monótona de um pêndulo
simples e o caos frenético das partículas de um gás há uma fronteira que abriga
outra classe de sistemas, os chamados sistemas complexos (Parisi, 2002).
Um é sistema dito ser um sistema complexo quando suas propriedades não
são uma consequência natural de seus elementos constituintes vistos isoladamente.
As propriedades emergentes de um sistema complexo decorrem em grande parte da
relação não-linear entre as partes. O comportamento deste é coletivo, emerge da
contribuição de todos os seus componentes ao mesmo tempo, pois suas partes
estão correlacionadas entre si, e a influência de cada componente se propaga aos
demais mesmo a longa distância. Não se pode dar maior importância às menores
escalas de distância em detrimento das maiores. Todas as escalas são igualmente
determinantes em seu comportamento global. Essa característica dificulta descrever
esses fenômenos. Por isso, a simulação em computador é praticamente a única
ferramenta disponível para seu estudo. Do mesmo modo, não devemos confundir o
complicado com o complexo.
A simulação computacional trata os sistemas complexos como modelos de
muitos “agentes” (denominação genérica para os indivíduos de uma população,
firmas em uma economia de mercado etc) que evoluem sob influência mútua,
21
segundo as regras de cada modelo. Essas regras são, em geral, muito simplificadas
em comparação à realidade que inspira o próprio modelo. Por exemplo, o gracioso,
porém complexo, “balé” de um cardume de peixes poderia ser modelado a partir de
instruções simples, do tipo “cada peixe se orienta por aquele que está perto dele”.
Os padrões que aparecem nos Sistemas Complexos são muitas vezes auto-
similares numa ampla faixa de escalas, implicando no que denominamos de
invariância de escala (não possuem uma escala característica) e no surgimento de
uma lei de potência para o comportamento das propriedades desses sistemas. O
aparecimento desse tipo de lei é ainda objeto de estudo.
2.2. Complexidade do sistema financeiro
O fato do estudo da economia ser realizado de maneira qualitativa ou semi-
quantitativa, e devido aos inúmeros fatores que a influenciam fazem com que ela
seja um exemplo do que denominamos sistemas complexos. Pode-se dizer que um
sistema é tão mais complexo quanto maior for a quantidade de informação
necessária para descrevê-lo. O estudo da economia então envolve fatores que
interligados entre si, como a psicologia, o desenvolvimento tecnológico, o clima etc,
que não são possíveis de serem descritos por um conjunto simples de equações.
Em meados do século XX, alguns temas da área econômica e financeira
despertaram interesse de grandes estudiosos da Física Estatística, como o
desenvolvimento, a dinâmica e o crescimento de empresas (Thaler, 1993) e o
comportamento estatístico da evolução dos preços das ações da bolsa de valores.
Mandelbrot (Mandelbrot, 1963) demonstra que os logaritmos da variação dos
preços de determinados derivativos (algodão) obedecem a uma lei de distribuição do
tipo lei de potência. Gupta e Campanha (Gupta e Campanha, 2002) concluíram que
os preços de mercado possuem propriedades fractais e que sua distribuição
obedece a uma lei de potência gradualmente truncada.
22
2.3. Desenvolvimento do mercado financeiro
O sistema monetário contribui para o desenvolvimento de um país. Basta
observarmos que, em um país economicamente desenvolvido há inúmeros ativos
financeiros (Arthur, 1999), e onde a sociedade não gira em torno apenas do papel
moeda.
Para que ocorra o intercambio entre emprestadores e tomadores de recursos
(independentemente do ativo financeiro), existem as instituições financeiras, que
propiciam a fluidez dos diversos ativos negociados.
A nação que apresentar um bom desenvolvimento do mercado acionário só
terá benefícios, pois ocorrerá a geração de empregos e grande expansão do setor
privado, pois esse repassará seus recursos aos setores menos favorecidos. Uma
das principais formas de repasse são as ações.
Representando uma parcela do capital social de uma empresa, as ações são
títulos nominativos negociáveis. O detentor desses títulos possui por sua vez uma
parte do capital de uma empresa, tornando-se sócio dela. Dentro do conjunto de
ações ocorre uma divisão, onde aquele detentor que possuir o direito de voto nas
assembléias cuja finalidade é decidir sobre algum fator da companhia, será
possuidor de ações ordinárias. Já aquele que possui preferência no tocante à
distribuição dos resultados, ou no caso de possível liquidação da companhia será
possuidor de ações preferenciais e não terá o direito a voto.
O valor das ações varia de acordo com sua “classificação”, pelo fato das
empresas no final de cada exercício dividir seus lucros entre os acionistas, essa
divisão é denominada dividendos, que é estabelecido no estatuto social da empresa
e será de no mínimo 25% do total do lucro liquido ajustado. Caso o dividendo não
seja estabelecido no estatuto da companhia, aquele que possuir ações preferenciais,
como o próprio nome diz, terá direito a 10% a mais nos dividendos do que aquele
que possuir ações ordinárias.
Investidores são pessoas ou instituições que aplicam recursos com objetivo
de alcançar ganhos, na maioria das vezes a médio e longo prazo. Para que ocorra o
investimento em ações, se faz necessário procurar uma corretora de valores, que
são intermediários financeiros, constituídos por profissionais que analisam o
mercado, informando sua real situação, obtendo-se os melhores resultados.
23
Através dos investimentos no mercado e da compra e venda das ações, é
estabelecido o fluxo de oferta e procura, e conseqüentemente, o preço adequado da
ação. O que vem a interferir é a maior ou menor oferta ou procura de determinada
ação, influenciando o processo de desvalorização da ação em questão. Outro fator
que se relaciona com o preço das ações, são as especulações futuras da empresa
emissora de tal ação. Essas especulações são criadas através de notícias sobre o
mercado no qual a empresa atua e até mesmo com a divulgação do balanço da
empresa, entre outros aspectos.
É através da variação do preço da ação durante um determinado período de
tempo que determinamos se este valor está em alta ou em baixa. Basta relacionar o
último preço negociado da ação e o seu preço de fechamento no dia anterior. Está
em alta a ação cujo último preço negociado for superior ao preço de fechamento do
dia anterior, caso contrária estará em baixa.
A bolsa de valores é o local onde são realizadas as negociações de compra e
venda de títulos e valores mobiliários de forma transparente. Tem como fundamento
a preservação de padrões éticos de negociação, organizando-se através de
associações civis, sem fins lucrativos e cuja criação visa o interesse público,
atuando conjuntamente com a Comissão de Valores Mobiliários – CVM, fiscalizando
o mercado, através de seus membros e sociedades corretoras.
O mundo das finanças, devido á globalização, fez com que o mercado
financeiro atuasse 24 horas por dia em todo o mundo, o que acarretou seu enorme
crescimento, ocorrendo grandes movimentações de dinheiro, ativos e mercadorias.
Na década de 80, iniciam-se as negociações de ativos financeiros de maneira
eletrônica, onde os dados poderiam ser visualizados rapidamente, pois as pessoas
que queriam comprar ou vender determinado ativo financeiro, a partir daquele
momento, têm acesso ao seu preço, pelo fato de ser armazenado eletronicamente.
Uma das características marcantes do mercado financeiro é a sua
complexidade. As regras que o norteiam são estáveis, pelo fato de ocorrer constante
monitoramento da evolução do preço do ativo em determinado tempo, e do volume e
número de transações dos ativos financeiros. É através desses dados monitorados
que se torna possível o desenvolvimento de modelos para que seja testada sua
validade.
24
2.4. Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (Ibovespa)
Para que seja possível a definição do Ibovespa, é necessário destacar alguns
aspectos. Para que ocorra a composição do índice, são escolhidas ações, que farão
parte de um grupo, na qual será realizado o investimento teórico representado pelo
índice. Esse conjunto de elementos é denominado carteira teórica.
Com finalidade de indicar o comportamento do mercado acionário de forma
global, é utilizado o índice de valores, que irá indicar o desempenho de uma carteira
teórica de ações. Assim, indicará se em um determinado período de tempo as ações
do mercado sofreram valorização ou desvalorização, estes cálculos são realizados
pelas Bolsas de Valores ou por instituições financeiras.
Esse índice é importante pelo fato dos administradores de recursos,
corretoras de valores, instituições financeiras, investidores e indivíduos em geral, o
utilizam para obterem informações acerca do mercado acionário. O índice é medido
através de “pontos”. Esse por sua vez representa um valor absoluto, servindo de
instrumento de comparação, demonstrando a variação do valor de uma carteira de
ativos durante um período de tempo. A variação dos pontos do índice representa a
rentabilidade. Para que se chegue ao resultado é necessário dividir o valor do índice
em uma determinada data pelo valor do índice na data de referência passada,
subtrai-se 1 do resultado obtido nessa operação e multiplica–se o resultado por 100
para se obter a rentabilidade em termo porcentuais da carteira.
Para que sejam realizadas as negociações em torno do mercado acionário, é
necessário um recinto, ocupado pelos operadores, que recebem ordem dos
investidores, por intermédio de uma corretora credenciada, se deve ou não realizar
os negócios em questão. Esse espaço é denominado pregão, que pode ser um
recinto físico (viva – voz) ou eletrônico, via terminais.
As corretoras de valores que intercedem nas negociações, visando à
preservação de seus clientes, estando habilitadas a negociar valores mobiliários no
pregão físico ou eletrônico, são instituições financeiras, de compra e venda
devidamente credenciada pelo Banco Central e pela Comissão de Valores
Mobiliários.
Após a exposição desses aspectos, chega-se no fato em questão, o
Ibovespa. Sua grande importância se dá pelo fato de ser o melhor indicador de
desempenho médio das cotações das ações brasileiras no mercado. Ele retrata o
25
comportamento dos mais relevantes papéis negociados na Bolsa de valores de São
Paulo (Bovespa), e além do mais, possui credibilidade, pois desde sua
implementação em 2 de janeiro de 1969 não sofreu nenhuma alteração
metodológica.
A participação de cada ação na carteira teórica reflete diretamente na
representatividade de títulos no mercado à vista, em termo de número de negócios e
volume financeiro, que é ajustada ao tamanho da amostra.
ii
n
IN
NV
Onde:
IN
: índice de negociação;
i
n
: número de negócios com ação “
i
” no mercado à vista;
N
: número total de negócios no mercado à vista da Bovespa;
i
: volume financeiro gerado pelos negócios com a ação “
i
” no mercado à
vista;
V
: volume financeiro total do mercado à vista Bovespa
As ações que fazem parte dessa carteira possuem grande representatividade,
pois correspondem a mais de 80% do número de negócios e do volume financeiro
negociados no mercado à vista. Assim se metade dessas ações estiver subindo, o
mercado, medido pelo índice Bovespa, está em alta, e se estiver caindo, está em
baixa, ou seja, a bolsa fechou em “alta” quando o índice de fechamento de
determinado pregão é superior ao índice de fechamento do pregão anterior.
Analogamente para quando a bolsa fecha em “baixa” ou “estável”.
A Bovespa não fixa limite de alta para os índices que calcula e nem há limite
de baixa para um índice, ou seja, os preços das ações podem subir ilimitadamente,
porém mais importante do que o nível de alta do índice é a tendência de alta dos
preços sinalizada pelo mercado. No entanto, a Bolsa adota para o índice Bovespa
um mecanismo chamado de “interruptor de circuitos” (“circuit breaker”), que consiste
na interrupção das negociações quando o Ibovespa atinge um determinado
percentual de queda. O mecanismo de “circuit breaker” tem como objetivo amenizar
(2.1)
26
quedas. Este parâmetro foi determinado de acordo com a volatilidade histórica do
índice.
O “circuit breaker” é ativado tomando por base o valor de fechamento do
Ibovespa do dia anterior, da seguinte maneira:
- interrupção de meia hora para uma queda de 10% no índice;
- interrupção adicional de uma hora se o índice cair mais 5% após a
reabertura dos negócios (completando uma queda de 15%).
É importante deixar claro que a Bovespa assegura um período de 30 minutos
de negociação no final da sessão regular, de modo a possibilitar que os
compradores e vendedores ajustem suas posições.
A apuração do índice Bovespa é o somatório dos pesos (quantidade teórica
da ação multiplicada pelo último preço da mesma) das ações integrantes de sua
carteira teórica. Assim sendo, pode ser apurado por meio da seguinte fórmula:
,,
1
n
t i t i t
i
Ibovespa PQ
Onde:
t
Ibovespa
= índice Bovespa no instante t;
n = número total de ações componentes da carteira teórica;
,it
P
= último preço da ação “i” no instante t;
,it
Q
= quantidade teórica da ação “i” na carteira no instante t.
Para que uma empresa possa fazer parte da Bovespa, esta empresa tem que
ser uma companhia aberta, ou seja, que promove a colocação de valores mobiliários
em bolsas de valores ou no mercado de balcão. São considerados valores
mobiliários: ações, debêntures, bônus de subscrição e notas promissórias para a
distribuição pública.
A Bovespa dispõe de um sistema de negociação que permite que se enviem
ordens de compra e venda de ações através da internet que se chama Home
Broker, onde, para se obter esse sistema é necessário ser cliente de uma corretora
da Bovespa, ou uma corretora associada.
(2.2)
27
A Petrobrás, a Vale, a Telemar, a Eletrobrás, a Brasil Telecom Participações,
a Embratel, o Globo Cabo e o Bradesco, são as empresas mais negociadas e de
maior peso no índice.
Além do Ibovespa, o mercado paulista de ações conta com outros índices, de
menor visibilidade na mídia, mas importantes no trabalho dos analistas que é o IBrX
– Índice Brasil, que é um índice de preços que mede o retorno de uma carteira
composta por 100 ações selecionadas entre as mais negociadas na Bovespa, em
termos de números de negócios e volume financeiro. Mais recentemente foi criado o
índice IBrX – 50, cuja carteira é composta por 50 ações.
2.4.1. A fusão entre BM&F E IBOVESPA
A BM&FBOVESPA S.A. - Bolsa de Valores, Mercadorias e Futuros foi criada
em 2008 com a integração entre Bolsa de Mercadorias & Futuros (BM&F) e Bolsa de
Valores de São Paulo (BOVESPA). Juntas, as companhias formam a terceira maior
bolsa do mundo em valor de mercado, a segunda das Américas e a líder no
continente latino-americano. A nova bolsa oferece para negociação ações, títulos,
contratos referenciados em ativos financeiros, índices, taxas, mercadorias e moedas
nas modalidades à vista e de liquidação futura.
Líder no mercado de valores e derivativos da América Latina, a missão que a
BM&FBOVESPA tem é a de atuar na dinâmica macroeconômica de crescimento do
mercado latino-americano e posicionar não apenas a Bolsa, mas também o Brasil
como centro financeiro internacional de negociação de ações, commodities e outros
instrumentos financeiros, com excelência operacional e atitudes socialmente
responsáveis.
2.5. Mercado Acionário e seus modelos
O Mercado Acionário é um segmento destinado a negociação de ações, que
são emitidas por companhias. Este surge após o mercado de crédito se mostrar
insuficiente para garantir fluxos de recursos em condições adequadas para a
atividade produtiva. As companhias tanto nacionais como estrangeiras, captam
28
recursos através das bolsas de valores, vendendo participações ao público, com a
emissão de ações. É a forma mais barata para uma empresa captar recursos.
O valor de uma ação na bolsa depende exclusivamente da oferta e demanda
(condições de mercado), e é originado pela situação econômica do país, uma
empresa específica, ou de seu setor econômico.
A tentativa pioneira de se modelar o mercado acionário foi feita por Bachelier
em 1900 (Bachelier, 1900), onde o preço de opções (derivativos de outro ativo
fundamental no qual paga-se, no dia do vencimento, o máximo entre o valor de
mercado deste ativo fundamental e o valor acordado em contrato) em mercados
especulativos, era descrito como um processo aleatório.
A partir dos anos 50 deram-se novas tentativas de modelagem do mercado
acionário, quando resultados empíricos sobre a correlação temporal das variações
nos preços dos ativos financeiros mostraram que essas correlações eram
desprezíveis e que o comportamento da série temporal de preços dos ativos poderia
ser marchas aleatórias não correlacionadas (movimento Browniano aritmético).
Bachelier que havia proposto que as mudanças de preços estariam distribuídas
gaussianamente foi trocado pelo modelo no qual o preço dos ativos obedecem a
uma distribuição do tipo Log – Normal, isto é, os preços demonstram um movimento
Browniano geométrico. Em um movimento Browniano geométrico, as diferenças dos
logaritmos dos preços estão gaussianamente distribuídos. Este modelo ficou
conhecido por fornecer somente uma primeira aproximação do que é observado nos
dados atuais. Por essa razão, um número grande de modelos alternativos têm sido
propostos.
Vários estudos têm sido realizados em sistemas financeiros e econômicos.
Uma primeira área de estudos objetiva a caracterização estatística completa do
processo estocástico das variações do preço de um ativo financeiro, sendo esta uma
área bastante ativa. Tentativas estão sendo feitas para desenvolver o modelo
estocástico mais satisfatório que descreva os fenômenos encontrados nos dados
econômicos.
Dentro dessa proposta, Mandelbrot, nos anos 60, propôs que as variações de
preços obedecem a uma distribuição do tipo Lévy, com parâmetro
variando entre
0 e 2, e cujo comportamento tem um decaimento do tipo lei de potência para
grandes valores do argumento (Lévy, 1937). A distribuição do tipo Lévy possui
momentos divergentes quando
2
. Estes processos, apesar de bem definidos
29
matematicamente, são extremamente difíceis de serem aplicados a sistemas reais,
pois, em geral os momentos das distribuições estão relacionados às propriedades
do sistema.
Outra preocupação é com o desenvolvimento de modelos dinâmicos que
procuram descrever as características essenciais dos mercados financeiros reais. O
modelo de Black e Scholes apresentada uma fórmula racional do cálculo do preço
de um contrato de opção (Black and Scholes, 1973). Desde então, vários outros
modelos têm sido propostos (por exemplo, modelos econométricos de séries
temporais como os ARCH e GARCH). Tentativas paralelas para se modelar o
mercado financeiro têm sido desenvolvidas por economistas e, em particular, na
econometria. (Moyano, 2006)
Distribuições que obedecem as leis de potência não possuem uma escala
típica, ou seja, são invariantes por mudança de escala. A quebra de invariância de
escala associada ao encurtamento da cauda da distribuição de um ativo financeiro
está relacionada a fatores externos tais como suspensão de cotações, bandas de
flutuação de câmbio e outras.
2.6. Hipótese do Mercado Eficiente (HME)
O número de investidores ativos ou indiretos, que se envolvem com o
mercado financeiro através de fundos tem aumentado no Brasil nos últimos anos e,
assim, o interesse por trabalhos que elucidem o seu funcionamento tem crescido. O
jargão financeiro, contudo, pode desencorajar essa busca por conhecimento e
oportunidades.
Quando os economistas se referem ao mercado de capitais como sendo
eficiente querem dizer que, os preços de ativos e retornos são determinados pela lei
da oferta e da procura num mercado competitivo. A idéia de mercados eficientes é
uma hipótese na qual se baseiam diversos modelos financeiros e, apesar de difícil
de ser sustentada teoricamente e empiricamente, é essencial para o entendimento
do mercado financeiro.
Então, indivíduos diferentes não possuem vantagens comparativas na
aquisição de informação. Segue-se que em tal mundo, não deverá existir nenhuma
oportunidade de obter um retorno numa ação que esteja em excesso ao preço justo
30
para o risco da compra daquela ação. Em suma, lucros anormais, resultados da
compra e venda de ativos, não devem existir nesta teoria.
Um mercado é considerado eficiente quando os preços dos ativos
reproduzem plenamente a informação disponível e refletem novas informações de
forma precisa e imediata. Mercados eficientes são freqüentemente confundidos com
mercados perfeitos, mas, ao contrário da eficiência, a perfeição implica ausência de
fricções como custos de transação ou impostos.
A eficiência é fruto da racionalidade dos agentes e da competição. Os
agentes, baseados num entendimento correto do processo de criação de valor,
formulam suas expectativas de preços fazendo o melhor uso da informação
disponível e, assim, refletem de forma precisa nos preços. A competição garante
que novas informações sejam reproduzidas imediatamente nos preços, uma vez que
os participantes do mercado estão a procura de oportunidades de lucro e prontos a
analisar todas essas informações.
As avaliações irracionais, por serem descorrelacionadas, se anulam e caso
investidores apresentem o mesmo comportamento irracional suas influências nos
preços são eliminadas pelos especuladores racionais.
Isto descreve a Hipótese do Mercado Eficiente (HME), formulado nos anos
60: o preço do mercado de uma ação no tempo
t
,
t
p
, já incorpora todas as
informações relevantes e a única razão para a eventual mudança no preço entre o
tempo
t
e
tt
é a chegada de novas informações ou acontecimentos não
antecipados.
Outra forma de descrever o HME é dizer que, em um mercado eficiente, é
impossível para investidores realizarem lucro anormal comprando e vendendo
ações. Dizemos que estamos sob a tutela de um “jogo limpo”. A teoria elementar do
jogo limpo vem do matemático Girolamo Cardano desde 1565: o mais fundamental
princípio de todos em jogos limpos é simplesmente a de condições iguais para cada
jogador. Caso as condições não forem iguais, um dos jogadores é injusto e o outro
um tolo.
Contudo, como os investidores desviam da racionalidade e a competição nem
sempre é plena, diversos níveis de eficiência são observados nos mercados. Assim,
é possível que, por exemplo, análises técnicas (dados de mercado) e análises
31
fundamentalistas (que utilizam dados econômicos e contábeis) tenham alguma
capacidade de prever preços futuros.
O Mercado Eficiente é um sistema ideal. Mercados reais são
aproximadamente eficientes. Quando uma dada informação afeta o mercado numa
direção específica, o mercado não é completamente eficiente, o que é detectado na
série temporal de dados. No entanto, estas flutuações duram até que o mercado
misture todas as fontes de informação durante a formulação de preços, recuperando
sua eficiência.
32
Capítulo 3
Distribuições de Probabilidade utilizadas em Sistemas
Complexos
Procuraremos demonstrar, nesse capítulo, algumas distribuições
probabilísticas (Feller, 1971), que são de grande interesse para a Física, e são
usadas no estudo dos sistemas complexos.
3.1. Distribuição do tipo Normal ou Gaussiana
A distribuição do tipo Normal é uma das mais importantes distribuições da
estatística. Foi desenvolvida pelo matemático francês Abraham de Moivre (Moivre,
1733) como sendo uma aproximação da distribuição Binomial. E redescoberta no
século XIX por Laplace (Laplace, 1781) e Gauss (Gauss, 1816), conhecido também
como distribuição de Gauss ou Gaussiana, quando desenvolveram a teoria dos
Erros de Observação utilizando a função normal.
A distribuição Normal possui grande uso na estatística inferencial além de
descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros (Tucker, 1992). É
inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja,
conhecendo-se estes se consegue determinar qualquer probabilidade em uma
Normal.
Muitas vezes essa distribuição é também apelidada de curva em forma de
sino (Bell Curve), como mostra a figura abaixo.
33
4
2
0
2
4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
P
x
Figura 1: Distribuição do tipo Normal ou Gaussiana
A equação da curva Normal é especificada usando dois parâmetros: a média
, e o desvio padrão
, ou equivalentemente a variância
2
. Denotamos
N
(
,
2
)
à curva Normal com média
e variância
2
(Magalhães, 2001). A média refere-se
ao centro da distribuição e o desvio padrão ao espalhamento de curva. Para
referência, a equação da curva é
2
2
2
1
exp .
2
2
x
px
As estimativas de
e
são dadas por:
1
1
N
i
i
x
N
e
2
1
1
.
N
i
i
x
N
A distribuição do tipo Normal é simétrica. A curva é afetada pelos valores
numéricos de
e , como mostra o diagrama abaixo.
(3.1)
(3.2)
34
Figura 2: Média e Desvio Padrão na Distribuição Normal (curva A: média = 0 e
desvio padrão = 1; curva B: média = 2 e desvio padrão = 1; curva C: média = 5 e
desvio padrão = 3)
A área sob a curva normal (na verdade abaixo de qualquer função de
densidade de probabilidade) é 1. Então, para quaisquer dois valores específicos
podemos determinar a proporção de área sob a curva entre esses dois valores.
Para a distribuição do tipo Normal, as proporções de valores caindo dentro de
um, dois, ou três desvios padrão da média são:
Variação
Proporção
± 1
68.3%
± 2
95.5%
± 3
99.7%
Quando desejamos calcular probabilidades para diferentes valores de
e
,
a variável
x
cuja distribuição é
px
é transformada numa forma padronizada
Z
,
que denominamos distribuição normal padrão, pois tal distribuição é tabelada. Dessa
forma se considerarmos:
35
,
x
Z
então
pZ
é dado por:
2
2
1
.
2
Z
p Z e
Um interessante uso da distribuição normal é que ela serve de aproximação
para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações torna-se
grande. Essa importante propriedade provém do Teorema Central do Limite que diz
que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância
limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja
suficientemente grande”.
3.2. Distribuição do tipo Lei de Potência
Algumas distribuições são assimétricas, ao contrário da distribuição normal.
Nesta distribuição, a probabilidade
px
a partir de um valor máximo, cai bem mais
devagar do que se espera na distribuição do tipo normal, para valores cada vez
maiores de x.
Algumas dessas distribuições podem ser explicadas pela lei de
potência.
A distribuição do tipo lei de potência (Pareto, 1896; Lévy, 1937) foi
primeiramente notada por Pareto na renda pessoal, e posteriormente por outros em
muitos sistemas complexos físicos (Solomom, 1993), econômicos (Mandelbrot,
1963), biológicos (Peng, 1993) e educacionais (Chavarette, 2002; Gupta, Campanha
e Chavarette, 2003).
A distribuição de Lei de Potência de acordo com Pareto (1896) é dada por:
,
c
px
x
(3.3)
(3.4)
(3.5)
36
onde
px
é a probabilidade de ocorrência do evento;
c
é uma constante e
é o
expoente da distribuição. Aplicando log em ambos os lados temos que:
log log log .p x x c
Dessa forma, podemos dizer que a distribuição do tipo lei de potência são os
gráficos do tipo
log px
vs.
log x
que apresentam como resultado uma linha reta
com α sendo a inclinação da reta. A figura abaixo mostra distribuição do tipo lei de
potência com
2.5
e
5
10c
.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
0
1
2
3
4
5
Log P(x)
Log x
Figura 3: Distribuição do tipo lei de potência com
2.5
e
5
10c
Um exemplo desta distribuição é a magnitude dos terremotos (figura 4). Os
terremotos distribuem-se em função da energia liberada, de acordo com a lei de
potência (Geller, 1997). A distribuição da extinção de espécies na Terra (Vines,
1999) é, curiosamente, idêntica à lei de potência da distribuição de terremotos.
Outros exemplos (Newman, 2006) que seguem a lei de potência são
mostrados na figura abaixo, no gráfico (a) temos os números de palavras no
romance Moby Dick de Hermann Melville, no gráfico (b) temos números de citações
para os artigos científicos publicados em 1981, a partir da data de publicação até
(3.6)
37
Junho de 1997, no gráfico (c) temos números de visitas em sites da Internet por
60.000 usuários do serviço de Internet America Online no dia 1 de Dezembro de
1997, no gráfico (d) temos o número de exemplares de livros vendidos em best-
seller os E.U.A. entre 1895 e 1965, no gráfico (e) temos o número de chamadas
recebidas no telefone pelos clientes da AT&T nos E.U.A. para um único dia e no
gráfico (f) temos a magnitude dos terremotos na Califórnia entre Janeiro de 1910 e
Maio de 1992.
Figur
a 4: Exemplos de gráficos de distribuições do tipo lei de potência
3.3. Distribuição do tipo Lévy
As distribuições do tipo Lévy (Lévy, 1937) regem muitos processos na
natureza, como a fotocondutividade em semicondutores amorfos ou o ritmo cardíaco
de indivíduos saudáveis. Sua expressão na forma simétrica e com média zero, é
dada a partir da função característica:
0
1
exp cos ;L x q qx dq
(3.7)
38
Com parâmetro de Lévy (0 < α ≤ 2) e um fator de escala positivo γ. Para
2
temos a distribuição Gaussiana.
Para grandes valores de x, a distribuição do tipo Lévy tem comportamento de
lei de potência,
1
.L x x
Verificamos também que o segundo momento:
1
2 2 2 1
,x x L x dx x x dx x dx
é divergente para os processos com 0 < α < 2.
Devido ao fato do segundo momento das distribuições empíricas ser finito,
esta converjirá para uma distribuição Gaussiana.
3.4. Distribuição do tipo Mandelbrot
Algumas vezes, regularidades em sistemas complexos podem ser
identificados e expressos em termos de leis simples. Exemplos típicos dessas
situações podem ser encontrados na distribuição da população das grandes
cidades, incêndios florestais, índices econômicos, ecologia, epidemias etc. Muitos
desses sistemas complexos podem ser descritos através da distribuição do tipo
Mandelbrot, através da equação:
,
b
px
cx
onde
px
é a probabilidade de ocorrência do evento;
c
e
b
são constantes e
é o
expoente da distribuição. É de fácil percepção que Mandelbrot generaliza a
distribuição do tipo Pareto, descrita acima, aonde é colocada mais uma constante. A
distribuição do tipo Mandelbrot também se coloca no contexto da mecânica
estatística generalizada e pode ser escrita de outra maneira:
1
1
0
1 1 .
q
p x N q x
(3.8)
(3.9)
(3.10)
39
Veremos a seguir que esta distribuição acaba sendo um caso análogo ao
descrito por Tsallis.
3.5. Distribuição do tipo Tsallis
A energia e a entropia são quantidades extensivas em problemas tradicionais
da mecânica estatística de equilíbrio. Esses resultados só serão válidos à medida
que diferentes regiões do sistema sejam independentes. Existem sistemas com
interações de longo alcance, no entanto, para os quais não é possível assumir esta
independência.
Tsallis (Tsallis, 1988) obteve a distribuição do tipo lei de potência através da
termodinâmica não-extensiva, na qual levou em consideração interação de longo
alcance e memória. A distribuição do tipo Tsallis é dada por:
1
2
1
11
q
q q q q
p x A q B x
3q
,
onde:
53
22
1
2
1
qq
q
q
q
AB
q
q
1q
,
1
1
1
3
22
qq
q
q
AB
q
q
1q
,
1
2
3;
q
q
Bq
.
q
q
q
px
x dx
p x dx
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
40
Esta distribuição será vista no capítulo 4.
3.6. Outras distribuições
Abaixo gostaria de mencionar algumas distribuições probabilísticas que são
importantes para a física e utilizada em sistemas complexos, mas que não serão
abordadas neste trabalho.
3.6.1. Distribuição do tipo Log - Normal
Uma distribuição que é freqüentemente associada á distribuição com caudas
longas é a distribuição do tipo log-normal (Aitchison, 1957). Ela é definida por:
2
1 log
2
1
.
2
x
p x e
x
As estimativas de
e
são dadas por:
log
1
1
log
n
i
i
x
n
e
2
log log
1
1
log .
n
i
i
x
n
O gráfico de
px
é dado por:
(3.16)
(3.17)
41
0
2
4
6
8
10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
P
x
Figura 5: Distribuição do tipo log-normal com
ln 0 1xe
Shockley (Shockley, 1957) propôs a distribuição do tipo log-normal para o
caso da publicação de documentos técnicos. Ele relata que num tempo determinado,
a probabilidade de um pesquisador produzir um trabalho de sucesso seria o produto
de um conjunto de probabilidades que acarretaria no sucesso do empreendimento.
Vários exemplos de usos da distribuição do tipo log-normal são dados por
Eckhard Limpert, Werner A. Stahel e Markus Abbt (Eckhard Limpert, Werner A.
Stahel and Markus Abbt, 2001), e podemos citar entre eles:
Idade de casamento
Períodos latentes (tempo de infecção e primeiros sintomas)
No manto terrestre a concentração de elementos e sua radioatividade
Na ciência atmosférica o tamanho dos aero sois
O número de letras por palavra e o número de palavras por sentença
42
3.6.2. Distribuição do tipo Lei de Potência Gradualmente Truncada
Os sistemas físicos reais apresentam variância finita, mas a distribuição de lei
de potência possui variância infinita. Ao aplicarmos então, a distribuição de Lévy,
Pareto ou ainda em alguns casos de log-normal, precisamos truncar as distribuições
após um determinado valor, a fim de evitar um desvio padrão infinito.
Pareto explicou a distribuição de lei de potência baseando-se na
realimentação positiva. De uma forma simples, um exemplo da economia seria de
que o “dinheiro faz dinheiro”. Para explicarmos uma distribuição do tipo lei de
potência gradualmente truncada usaremos como exemplo o trabalho de Gupta e
Campanha (Gupta e Campanha, 1999, 2000) onde consideraram que a validade da
Lei de Potência tem um limite devido à capacidade física do sistema, e, portanto, a
realimentação positiva também deveria cessar após certo valor crítico de alguma
variável. Como em sistemas complexos temos várias interações e um grande
número de componentes interagindo de maneiras diferentes, eles propuseram que o
truncamento desta realimentação positiva fosse gradual após um valor crítico.
A distribuição proposta por Gupta e Campanha denominada de Distribuição
de Lei de Potência Gradualmente Truncada é dada por:
,
GT
p x p x f x
onde
px
é a distribuição de lei de potência:
1
1
2
,
m
c
px
c x x
m
x
é o valor de
x
onde a probabilidade é máxima,
1
c
e
2
c
(
2
c
pode ser obtido
através da condição de re-normalização)
são constantes:
12
,
m
c c p x
(3.18)
(3.19)
(3.20)
43
e,
fx
é dada por:
2
1
.
exp
c
c
c
se x x
fx
xx
se x x
k
Essa distribuição aproxima-se da distribuição Normal para grandes valores de
x
, o que é a condição essencial para qualquer distribuição pelo Teorema do Limite
Central. Assim, α é o índice de lei de potência,
c
x
é o ponto crítico onde começa o
truncamento gradual devido ao limite físico do sistema (geralmente é muito maior do
que
m
x
), e
k
é uma constante. Para valores menores de
k
, o truncamento será mais
rápido.
Esta distribuição tem desvio padrão finito e também variância finita. No limite
obtém-se uma distribuição Normal como exigido pelo Teorema do Limite Central.
Esta distribuição também obedece à lei de potência em sua parte central e
decaimento exponencial nos valores extremos de
x
. A distribuição Gradualmente
Truncada torna mais simples a extração de informações úteis que descrevem o
sistema real. Essa distribuição foi aplicada para a distribuição da bolsa de valores de
Nova York (S&P 500) (Gupta e Campanha, 2000), faturamento de firmas dos E.U.A
(Gupta e Campanha, 2001) e notas de vestibular da Unesp (Gupta, Campanha e
Chavarette, 2003).
(3.21)
44
Capítulo 4
Termodinâmica não-extensiva
4.1. Entropia de Boltzman-Gibbs
A mecânica estatística de Boltzmann-Gibbs foi formulada a mais de um
século e, desde então, tem sido um sucesso notável para uma enorme variedade de
sistemas, com a entropia ocupando um papel central. Boltzmann e Gibbs associam
a idéia termodinâmica de entropia com uma abordagem probabilística do sistema,
onde se tem microestados
i
com probabilidade
i
p
. A entropia é descrita como
sendo:
1
ln ,
w
BG i i
i
S k p p
onde
k
é uma constante positiva,
w
é a quantidade de microestados e
i
p
é a
probabilidade do sistema se encontrar em um estado
i
.
É fácil ver que a equação (4.1) satisfaz várias propriedades matemáticas.
Entre elas, temos que
S
é não-negativo, extensivo, estável e côncavo.
Quando se tem a eqüiprobabilidade dos microestados,
1
i
p
w
, (hipótese de
eqüiprobabilidade) a entropia
BG
S
pode ser expressa como:
ln .
BG
S k w
(4.1)
(4.2)
45
Esta equação, conhecida como princípio de Boltzmann, é uma das
expressões fundamentais da mecânica estatística, onde
k
é uma constante positiva,
e
w
é o número de microestados compatíveis com o estado microscópico do
sistema isolado. Também podemos afirmar que esta equação matemática diz que a
entropia (que mede o grau de desordem de um sistema) cresce com o número de
possibilidades
w
que o sistema apresenta. Por outro lado, sabemos que o número
w
, por sua vez, cresce com a energia.
Para um caso contínuo de estados possíveis
x
, a entropia pode ser expressa
como sendo:
ln .
BG
S k p x p x dx
A incerteza probabilística também pode ser chamada de entropia da
informação devido à sua expressão matemática ser análoga a da entropia
termodinâmica, dada pela equação (4.3).
4.2. Aditividade e Extensividade
.
Se um sistema A tem uma entropia associada
SA
, e um sistema B tem uma
entropia associada
SB
, esta quantidade é aditiva se verificar que:
.
BG
S A B S A S B
Essa relação é verdadeira sob a hipótese de poder desprezar as interações
entre elementos pertencentes aos diferentes subsistemas. Tal fato não é verdadeiro
para sistemas com interações de longo alcance ou com memória.
No caso de
N
subsistemas diferentes, a relação (4.4) se generaliza
imediatamente da forma:
(4.4)
(4.3)
46
11
.
NN
ii
ii
S B B
Para o caso de subsistemas iguais,
i
BB
, se tem que:
1
( ) .
N
i
i
S B S NB NS B
Por outro lado, o conceito de extensividade se relaciona com a seguinte
expressão:
lim .
N
SN
N
Um sistema extensivo tem um comportamento assintótico com o número de
subsistemas
N
tal que existe um fator de proporcionalidade finito entre
SN
e
N
.
A aditividade implica em extensividade, onde
lim
N
S NB
SB
N
. Portanto, se pode
considerar que um sistema extensivo é assintoticamente aditivo.
4.3. Distribuição de Probabilidade associada à Boltzman-Gibbs
É possível encontrar a distribuição de probabilidade (utilizaremos a versão do
sistema contínuo (4.3)) que maximiza a entropia de Boltzman-Gibbs restrita aos
vínculos:
1.
1;p x dx
2.
;xp x dx x
3.
2
2
.x x p x dx
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.10)
(4.9)
47
A fórmula para
px
, que maximiza a entropia (dada pela equação (4.3))
sujeita aos vínculos acima, é obtida através da técnica dos multiplicadores de
Lagrange (Cortines, 2005), e dada por:
2
2
2
1
exp .
2
2
x
px
Observamos que se trata da distribuição Gaussiana.
4.4. Entropia de Tsallis
A mecânica estatística não-extensiva, interações de longo alcance e efeitos
de memória, surge com o trabalho de Constantino Tsallis (Tsallis, 1988, 1989), no
qual ele propõe uma generalização para a entropia de Boltzmann-Gibbs. Tal
generalização passou a ser chamada de entropia de Tsallis e este trabalho passou a
ser tema de intensos estudos nos últimos anos devido ao sucesso da teoria em
descrever os mais diversos fenômenos físicos.
O ponto inicial proposto por Tsallis foi à entropia generalizada, que é dada
por:
1
1
,
1
w
q
i
i
q
p
Sk
q
onde
w
é o número de microestados,
i
p
é a probabilidade do sistema se encontrar
em um estado
i
e
k
é uma constante. Para um sistema contínuo temos:
1
.
1
q
q
p x dx
Sk
q
(4.11)
(4.12)
(4.13)
48
Esta entropia possui as propriedades de positividade e concavidade para
0q
. Para
0q
a entropia de Tsallis é convexa.
Utilizando a fórmula da entropia acima para o caso de dois sistemas
A
e
B
observamos que:
1.
q q q q q
S A B S A S B q S A S B
Assim podemos concluir que, a entropia de Tsallis é não-extensiva e
observamos ainda que no limite de
1q
, obtemos novamente a extensividade da
entropia (Boltzmann-Gibbs) é recuperada.
1
lim .
q BG
q
SS
4.5. Distribuição de probabilidade associada à entropia de Tsallis
É possível encontrar a distribuição de probabilidade (utilizaremos a versão do
sistema contínuo (4.13)) que maximiza a entropia generalizada de Tsallis restrita aos
vínculos:
1.
1;p x dx
2.
;
q
qq
q
px
x dx x
p x dx
3.
22
2
.
q
q
qq
q
q
px
x dx x
p x dx
O primeiro vínculo é apenas uma condição de normalização da função
densidade da probabilidade. Entretanto, os dois outros vínculos correspondem à
média generalizada e a variância de x.
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
49
A fórmula para
px
, que maximiza a entropia de Tsallis sujeita aos
vínculos acima, é obtida através da técnica dos multiplicadores de Lagrange
(Cortines, 2005), e dada por:
1
2
1
11
q
q q q q
p x A q B x
3q
,
onde:
53
22
1
2
1
qq
q
q
q
AB
q
q
1q
,
1
1
1
3
22
qq
q
q
AB
q
q
1q
,
e
1
2
3.
q
q
Bq
Definindo a função q-exponencial como:
1
1
11
,
0 1 1 0
q
x
q
qx
e
se q x
observamos que no limite
1q
obtemos
1
xx
ee
. Assim podemos reescrever a
função de densidade de probabilidade, a partir de agora referida como q-Gaussiana,
como sendo:
(4.19)
(4.20)
(4.21)
(4.22)
(4.23)
50
2
.
qq
Bx
qq
p x A e
As q-Gaussianas tem as seguintes propriedades:
Para
1q
, obtêm a Gaussiana usual;
Para
1q
, emerge uma cauda que segue uma lei de potência;
Para
1q
, toda vez que o argumento do q-exponencial torna-se negativo
aparece um corte e o suporte é finito.
Caso trocássemos o vínculo número 3 pelo seguinte vínculo:
,
q
q
px
x dx
p x dx
então a distribuição de probabilidade obtida (Borges, 2004) será dada por:
.
q
x
q
p x e
No caso
1q
e
1
obtemos:
1
1
0
1 1 .
q
p x N q ax
Esta será a equação a ser estendida em nosso modelo.
4.6. Relação entre a distribuição de Tsallis e Mandelbrot
Interações de longo alcance e efeitos de memória estão presentes em muitos
sistemas reais, incluindo o sistema econômico, e são importantes para uma
distribuição estatística. Tsallis através de considerações termodinâmicas deu uma
base microscópica da lei de potência considerando interações de longo alcance e
efeitos de memória.
(4.24)
(4.25)
(4.26)
(4.27)
51
É interessante analisar as relações matemáticas que estão por trás das
distribuições. Podemos citar como exemplo a relação entre a lei de potência de
Tsallis e a de Mandelbrot, pois efetuando algumas transformações matemáticas
observamos que elas se equivalem conforme mostraremos a seguir. Partindo da
distribuição do tipo Tsallis, (equação 4.27) repetida abaixo:
1
1
0
1 1 ,
q
p x N q ax
e se substituirmos
0
N bc
,
a
c
e
1
1q
acima, obteremos à seguinte
expressão:
,
b
px
cx
que corresponde a distribuição do tipo Mandelbrot.
(4.28)
(4.29)
52
Capítulo 5
Aplicações no Mercado Financeiro
5.1. Modelo proposto
O modelo proposto para o trabalho em questão é baseado na distribuição de
Tsallis generalizada por Gupta e Campanha (Gupta e Campanha, 2002), onde é
proposto (diferentemente da distribuição do tipo Tsallis, onde
q
é constante), que
q
seja uma função de
x
(em nosso trabalho a variável
x
significa a variação do valor
das ações durante o tempo considerado, mas em outros exemplos ela pode
significar o nível de um rio, a precipitação pluviométrica etc). O valor de
q
deve
variar com
x
de tal forma que
q
diminua à medida que
x
aumente. Se usarmos
1q
deverá recuperar a distribuição do tipo Tsallis. O índice de entropia,
q
igual a
1, ocorre na falta de memória ou de interações de longo alcance. A função mais
simples que podemos escolher para
qx
é um decaimento exponencial. Então:
0
1 1 exp ,
i
q x q x
onde
0
q
e
qx
são valores do índice de entropia
q
para o passo de tamanho zero e
o passo tamanho
x
, respectivamente.
e
i
são parâmetros ajustáveis dependendo
das interações de longo alcance ou memória.
(5.1)
53
Para grandes valores de
x
,
q x
se aproxima de 1, e assim, obtemos uma
distribuição normal conforme exigido pelo teorema do limite central. Nesse modelo a
função distribuição é dada por:
0
exp
1
0
1 1 exp .
i
x
i
q
p x A q Bx x
Para simplificarmos vamos substituir
0
1qB
por outra constante
, e
0
1
1 q
por
. Finalmente a distribuição de probabilidade torna-se:
exp
1 exp .
i
x
i
p x A x x
Em nosso trabalho usaremos em vez da distribuição de probabilidades, o
número de vezes (freqüência) em que certa ação teve uma variação, isto é,
Nx
que está relacionada à
px
através de
.
Total
Nx
px
N
Muitas vezes, a freqüência máxima não está em
0x
. Neste caso
necessitamos de mudança, ou seja, deslocar a origem para
m
x
, onde
m
x
é o início da
variação do preço da ação. No valor de
m
x
a freqüência é máxima. Assim a
distribuição de densidade da freqüência é dada por:
exp
0
1 exp .
i
m
xx
i
mm
N x N x x x x
(5.2)
(5.3)
(5.5)
(5.4)
54
Os mecanismos físicos por trás da distribuição de
m
xx
e
m
xx
podem ser
diferentes e, assim, os parâmetros da distribuição podem ser também diferentes.
Dessa forma, os dois casos devem ser tratados separadamente.
O parâmetro
0
N
é um valor próximo ao valor máximo da curva (início) os
parâmetros
e
influem na parte central e os parâmetros
e
i
influenciam
principalmente a cauda da distribuição, conforme mostra a figura abaixo:
Figura 6: Ilustra a utilização de parâmetros (modelo proposto) no ajuste de
uma curva.
Para
0i
, obtêm-se a distribuição do tipo Tsallis, como esperado.
O valor de
px
em
0x
deve ser cuidadosamente estudado, em particular
quando
0
m
x
. Por exemplo, no mercado financeiro, a variação zero no preço de
uma ação também inclui os casos em que a ação não é comercializada juntamente
com os casos que sua variação é zero. Assim, nestes casos,
0p
deve ser
estimado separadamente através de:
_0
0.
__
Eventos x
p
Total de eventos
(5.6)
55
Foi demonstrado (Mantega e Stanley, 1995) que a variação do valor de uma
ação em limite de alta freqüência (variação por minuto) é dada através de uma lei de
potência. Em nosso trabalho vamos verificar a existência de lei de potência na
variação dos preços das ações abaixo, também no regime de alta freqüência, ou
seja, variação do preço por minuto:
Banco do Brasil (bbas3);
Vale (vale5);
Votorantin Celulose e Papel (vcpa4).
5.2. Aplicação do modelo as ações do Banco do Brasil
Foi fundado em 12 de outubro de 1808, antes mesmo do Brasil tornar-se
independente. E desde então, seu pioneirismo e liderança marcaram presença em
todos os momentos decisivos da nossa história.
Em 1822, na Independência, foi o principal parceiro para custear as escolas e
hospitais do país que nascia. No fim da década de 1880, destacou-se como indutor
do fomento econômico, destinando as primeiras linhas de crédito para a agricultura,
em especial a do café. Com a Proclamação da República, em 1889, atuou
decisivamente para equilibrar os impactos financeiros causados pelo fim da
Monarquia.
O compromisso com o desenvolvimento do país continuou ao longo dos anos,
sempre pautado pelos princípios de ética, responsabilidade socioambiental e
valorização cultural, intrínsecos ao Banco do Brasil.
O Banco do Brasil é hoje a maior instituição financeira do País, atendendo a
todos os segmentos do mercado financeiro. Em 200 anos de existência, o primeiro
banco a operar no país, coleciona histórias de pioneirismo e liderança. Foi o primeiro
a entrar para a bolsa de valores; a lançar cartão de múltiplas funções; a lançar o
serviço de mobile banking, a se comprometer com uma Agenda 21 Empresarial e a
aderir aos Princípios do Equador. Hoje é líder em ativos, depósitos totais, câmbio
exportação, carteira de crédito, base de correntistas, rede própria de atendimento no
país, entre outros.
56
Decidimos então estudar as variações dos preços das ações do Banco do
Brasil e o período usado no trabalho foi a partir de 1 de Julho de 2004 até 30 de
Junho de 2007, no total de 329.489 observações, monitorado e cedido pela
IBOVESPA - São Paulo. Quando o valor de uma ação num determinado minuto for o
mesmo que o do minuto anterior, sua variação é nula, neste caso esses dados são
excluídos.
Ao ajustarmos a curva para a variação positiva dos preços das ações, pelo
método do erro quadrático médio (também conhecido como resíduo), temos o
seguinte conjunto de parâmetros:
0,5
m
x
0
11.400N
0,605
1,8
1
0i
Utilizamos o mesmo método de ajuste (resíduo) para a variação negativa e
encontramos o seguinte conjunto de parâmetros:
0,5
m
x
0
15.500N
0,53
2
1
0i
Não houve a necessidade de usarmos o modelo proposto por Gupta e
Campanha (Gupta e Campanha, 2008) devido ao fato do
assumir o valor 1 e o
i
ser nulo.
Na Figura 7, nós mostramos o gráfico do logaritmo do número de vezes
(freqüência) que a ação teve uma determinada variação pela variação percentual
57
(retorno clássico, ver equação 1.3) multiplicado por 10
3
. Observamos um ajuste
satisfatório dos dados.
Figura 7: Logaritmo do número de vezes (freqüência) que a ação teve uma
determinada variação pela variação percentual multiplicado por 10
3
(bbas3).
5.3. Aplicação do modelo as ações da Vale
A empresa que conhecemos como Vale nasceu em 1942, criada pelo governo
brasileiro como Companhia Vale do Rio Doce. Em 1997, tornou-se uma empresa
privada. Hoje é uma empresa global, atuando nos cinco continentes, e conta com a
força e o valor de mais de 100 mil empregados, entre próprios e terceirizados, que
trabalham a transformar recursos minerais em riqueza e desenvolvimento
sustentável.
A Vale produz e comercializa minério de ferro, pelotas, níquel, concentrado de
cobre, carvão, bauxita, alumina, alumínio, potássio, caulim, manganês e ferroligas.
Sempre com foco no crescimento e diversificação de suas atividades em mineração,
investe também em pesquisa mineral e tecnologias voltadas para a melhoria
contínua de suas atividades nos cinco continentes.
58
Para dar suporte ao desenvolvimento e escoamento da produção, atua como
uma operadora logística e prioriza projetos de geração de energia voltados para o
autoconsumo, de forma a garantir competitividade.
Em novembro de 2007, passou a ter um só nome: Vale. A nova marca surgiu
para celebrar todas as suas conquistas e transformações, expressando a
personalidade da organização em âmbito global.
Decidimos então estudar as variações dos preços das ações da Vale e o
período usado é a partir de 1 de Julho de 2004 a 30 de Junho de 2007, o mesmo
período do Banco do Brasil, no total de 1.486.214 observações, monitorado e
cedido pela IBOVESPA - São Paulo. Quando o valor de uma ação num determinado
minuto for o mesmo que o do minuto anterior, sua variação é nula, neste caso esses
dados são excluídos.
Ao ajustarmos a curva para a variação positiva dos preços das ações, pelo
método do erro quadrático médio (também conhecido como resíduo), temos o
seguinte conjunto de parâmetros:
0,5
m
x
0
21.800N
3,95
1,05
1
0i
Utilizamos o mesmo método de ajuste (resíduo) para a variação negativa e
encontramos o seguinte conjunto de parâmetros:
0,5
m
x
0
6.500N
0,785
1,7
1
0i
59
Não houve a necessidade de usarmos o modelo proposto por Gupta e
Campanha (Gupta e Campanha, 2008) devido ao fato do
assumir o valor 1 e o
i
ser nulo.
Na Figura 8, nós mostramos o gráfico do logaritmo do número de vezes
(freqüência) que a ação teve uma determinada variação pela variação percentual
(retorno clássico, ver equação 1.3) multiplicado por 10
3
. Observamos um ajuste
satisfatório dos dados.
Figura 8: Logaritmo do número de vezes (freqüência) que a ação teve uma
determinada variação pela variação percentual multiplicado por 10
3
(vale5)
5.4. Aplicação do modelo as ações Votorantin Celulose e Papel
A origem da VCP remonta ao início da década de 50, quando o empresário e
senador Antônio Ermírio de Moraes (co-fundador do Grupo Votorantim ao lado do
sogro Antônio Pereira Ignácio), inicia uma plantação de 80 milhões de pés de
eucalipto na região de Capão Bonito, interior do Estado de São Paulo, alimentando o
desejo de atuar no setor de Celulose e Papel.
60
A partir de então, a Votorantim faz diversos investimentos no setor, mas
apenas em 1988 o sonho de uma fábrica própria vira realidade: junto com o BNDES,
a Votorantim adquire o projeto Celpav (Celulose e Papel Votorantim), da antiga Cia.
Guatapará de Papel e Celulose, para implantação de uma fábrica integrada de papel
e celulose em Luiz Antônio, cidade próxima a Ribeirão Preto (SP).
Em 1992, a aquisição da empresa Papel Simão S.A. adiciona ao Grupo
Votorantim uma capacidade de 220 mil toneladas por ano (ton/ano) de celulose e
250 mil ton/ano de papel em quatro unidades produtoras, além de uma distribuidora,
a KSR.
Com sua capacidade crescente de produção, a Votorantim consolida, em
1995, a Celpav e as fábricas adquiridas do Grupo Simão em um único holding – a
VCP (Votorantim Celulose e Papel), que já nasce como a terceira maior empresa do
setor no País. Hoje, segundo os rankings dos jornais Gazeta Mercantil, Valor
Econômico e da revista Exame, é a maior empresa do setor de Celulose e Papel do
Brasil.
Decidimos então estudar as variações dos preços das ações da Votorantim
Celulose e Papel e o período usado é o mesmo do Banco do Brasil a partir de 1 de
Julho de 2004 a 30 de Junho de 2007, no total de 224.488 observações, monitorado
e cedido pela IBOVESPA - São Paulo. Quando o valor de uma ação num
determinado minuto for o mesmo que o do minuto anterior, sua variação é nula,
neste caso esses dados são excluídos.
Ao ajustarmos a curva para a variação positiva dos preços das ações, pelo
método do erro quadrático médio (também conhecido como resíduo), temos o
seguinte conjunto de parâmetros:
0,5
m
x
0
21.600N
1,05
1,45
1,33
0,02i
61
Utilizamos o mesmo método de ajuste (resíduo) para a variação negativa e
encontramos o seguinte conjunto de parâmetros:
0,5
m
x
0
12.000N
0,445
1,95
1
0,01i
Observamos que no caso da ação Votorantim Celulose e Papel houve a
necessidade de usarmos os parâmetros do modelo estendido.
Na Figura 9, mostramos o gráfico do logaritmo do número de vezes
(freqüência) que a ação teve uma determinada variação pela variação percentual
(retorno clássico, ver equação 1.3) multiplicado por 10
3
. Observamos um ajuste
satisfatório dos dados.
Figura 9: Logaritmo do número de vezes (freqüência) que a ação teve uma
determinada variação pela variação percentual multiplicado por 10
3
(vcpa4)
62
5.5. Outras aplicações
Gupta e Campanha (Gupta e Campanha, 2008) aplicaram esse mesmo
modelo a vários modelos geofísicos, no nível (altura) e vazão de água do rio Paraná,
no caso de precipitação pluviométrica na região de Campinas e no número de
manchas solares.
Nos exemplos citados acima o modelo estendido mostrou um melhor ajuste
que o modelo de Tsallis. Abaixo vamos mostrar alguns exemplos dos modelos
citados.
No caso da vazão de água do rio Paraná (5.428 observações de outubro de
1969 a agosto de 1984) foi obtido o seguinte conjunto de parâmetros:
155
m
x
0
24,4N
0,013
0,84
0,00177
3i
Na figura 10 mostramos a distribuição com os dados acima.
Figura 10: Densidade de freqüência vs. vazão de água
63
No caso de precipitação pluviométrica (Biondini, 1976), na região de
Campinas com 21.549 observações, foi obtido o seguinte conjunto de parâmetros:
1
m
x
0
598N
0,074
1,7
0,08
0,12i
Na figura 11 mostramos a distribuição com os dados acima.
Figura 11: Densidade de freqüência vs. precipitação pluviométrica
No caso do número de manchas solares, com dados mensais do ano de 1749
ao ano de 2007, foi obtido o seguinte conjunto de parâmetros:
2,5
m
x
0
58,4N
0,04
0,8
64
0,075
1,9i
Na figura 12, abaixo, mostramos a distribuição com os dados acima.
Figura 12: Densidade de freqüência vs. manchas solares por mês
65
Capítulo 6
Conclusões
No presente trabalho, utilizamos a distribuição do tipo Tsallis que tem se
mostrado como uma alternativa melhor para o tratamento de sistemas que possuem
memória ou interações de longo alcance. A idéia original do trabalho foi de
utilizarmos o modelo de Gupta e Campanha (Gupta e Campanha, 2008) no qual o
índice entrópico
q
ao invés de ser uma constante seria substituído por uma função
exponencial decrescente.
Observamos que no caso das ações, Banco do Brasil e Vale, estudadas, não
houve a necessidade de estendermos o modelo de Tsallis, já que todos os casos o
valor de
i
foi nulo. No caso da ação, Votorantim Celulose e Papel, houve a
necessidade de usarmos os parâmetros do modelo estendido. O modelo estendido
foi utilizado com sucesso em outros casos (Gupta e Campanha, 2008) como, por
exemplo, o nível do rio Paraná, vazão do rio Paraná, precipitação pluviométrica na
região de Campinas e número de manchas solares, onde se obteve um bom ajuste
da distribuição dos exemplos citados acima.
Vimos também que a distribuição do tipo Tsallis deve ser usada em vez de
um modelo que utiliza a distribuição normal, pois além de produzir melhores
resultados tem também uma sólida base física
Apesar de o número de dados, no caso das ações estudadas, ter sido grande,
entendemos que existe a necessidade de usarmos dados de outros setores da
economia para podermos ter um melhor entendimento do modelo estendido. Esta é
nossa sugestão para trabalhos futuros.
66
Bibliografia
AITCHISON, J.; BROWN, J.A.C. The Log-normal Distribution. Cambridge:
Cambridge United Press, 1957.
ARTHUR, W.B. Complexity and the Economy. In: Science, Washington, v.284,
n.5411, p.107-109,1999.
BACHELIER. L. Théorie de La Speculation ( PhD thésis) Annales Scientifiques de l’
Ècole Normale Supérieure. III- 17: 1900.
BIONDINI, R. Cloud motion and rainfall statistics. Journal of Applied Meteorology.
Charlottesville, v.15, p. 205-224, 1976.
BLACK, F.; SHOLES, M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. J. Polit.
Econ.v.81, p. 637-654, 1973.
BORGES, E. P., Empiral nonextensive laws for the county distribution of total
personal income and gross domestic product. Physica A. n. 334, p. 255-266, 2004.
CHAVARETTE, F. R. et al. Um breve comentário sobre o vestibular da UNESP: Um
exemplo de modelo dinâmico aleatório de sistema complexo. In: Congresso
Temático de Dinâmica, Controle e Aplicações da Sociedade Brasileira de
Matemática Aplicada e Computacional, 1., 2002, São José do Rio Preto. Anais... São
José do Rio Preto: SBMAC, 2002. p. 879-886.
67
CORTINES, A. A. G, Dinâmica intradiária do mercado de ações brasileiros. Rio de
Janeiro, 2005. [Dissertação de mestrado].
FELLER, W. Na introduction to probability theory and its applications. New York:
Wiley, 1971.
GAUSS, C. F. Bestimmung der genauigkeit der beobachtungen. Zeitschrift fur
Astronomie, Berlin, v.1, p. 185-197, 1816.
GELLER, R. J.; JACKSON, D. D.; KAGAN, Y. Y. and MULARGIA, F., Earthquakes
cannot be predicted, Sciense 275, 1616-1617, 1997.
GUPTA, H. M.; CAMPANHA, J. R. The gradually truncated Lévy flight for systems
with power-law distributions. Physica A, New York, v.268, p. 231-239, 1999.
GUPTA, H. M.; CAMPANHA, J. R. The gradually truncated Lévy flight: stochastic
process for complex systems. Physica A, New York, v. 275, p.531-543, 2000.
GUPTA, H. M.; CAMPANHA, J. R. Gradually truncated log-normal distribution – size
distribution of firms. arXiv.org ePrint archive, v. 1, 30 nov 2001. Disponível em : <
http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0111579>.
GUPTA, H. M.; CAMPANHA, J. R. Tsallis statistics and gradually truncated Lévy
flight – distribution of an economical índex. Physica A, New York, v. 309, p. 381-387,
2002.
GUPTA, H. M.; CAMPANHA, J. R.; CHAVARETTE, F.R. Power Law distribution in
Education: Effect of Economical Teaching and Study Conditions in University
Entrance Examination. International Journal of Modern Physics C, New York, v. 14,
p. 449-457, 2003.
GUPTA, H. M.; CAMPANHA, J. R. and PESCE, R.A.G., Power-Law Distributions for
the Citation Index os Scientific Publications and Scientists, Brazilian J. of Physics C,
35, 981-986 (2005).
68
GUPTA, H. M.; CAMPANHA, J. R.; Schinaider, S. J., Size limiting in Tsallis Statistics,
Physica A, v.387, p 6745-6751, 2008.
GUPTA, H. M.; CAMPANHA, J. R., The exponentially truncated q-distribution: A
generalized distribution for real complex systems, arXiv 0807-0563 v1, 8 July 2008.
LAPLACE, P. S. Mémoire sur lês probabilities. Histoire de l’ Alcadémie Royale de
Sciences, Paris, v.9, p.227-332, 1781.
LÉVY, P. Théorie de Láddition dês Variables Aléatories. Paris: Gauthier- Villars,
1937.
LIMPERT, E.; STAHEL W. A. and ABBT, M.; Log-normal Distributions across the
Sciences: Keys and Clues, BioSciense, vol 51, nº5, 341-352, 2001
LOURENÇO, A. L. C. Minsky, câmbio e "finança direta": A hipótese de instabilidade
financeira no contexto institucional dos anos 90, Unicamp-Campinas, 1999.
MAGALHÃES, M. V.; LIMA, A.C.P. Noções de probabilidade e estatística. 3. ed. São
Paulo: IME / USP, 2001.
MALAMUD, B. D.; MOREIN, G.; TURCOTTE, D. L., Forest Fires: An Example of
Self-Organized Critical Behavior, Science, vol 281, nº 5384, 1840-1842, 1998.
MANDELBROT, B. The variation of certain speculative prices. Journal of Business of
The University of Chicago, Chicago, v.36, p.394, 1963.
MANTEGNA, R.; STANLEY, H. E. Stochastic Process with Ultraslow Convergence to
a Gaussian: The truncated Lévy Flight. Physical Review Letters. N. Y., v.73, n.22,
p.2946-2949, 1994.
MANTEGNA, R.; STANLEY, H.E. Scaling behavior in the dynamics of economics
índex. Nature, London, v.376, p.46-49, 1995.
69
MOYANO,L. G. Mecânica estatística não-extensiva em sistemas complexos:
fundamentos dinâmicos e aplicações, Rio de Janeiro, 2006. [Tese de Doutorado].
MOIVRE, A. de. Approximation ad summam terminorum binomii (a+b)n in seirem
expansi. London: Supplement to Miscellanea Analytica, 1733.
NEWMAN, M. E. J., Power laws, Pareto distributions and Zipf´s law, University of
Michigan, Ann Arbor, MI 48109, U.S.A., 2006.
PARETO, V. Cours d’Economic Politique. Reprint as a volume. Ouvres Completes.
Droz Geneur, 1687.
PARISI, G., Complex Systems: A Physicist´s Viewpoint, xxx.lanl.gov, COND-
MAT/0205296, 2002
PENG, C. K.; MIETUS, J.; HAAUDORFF, J. M.; HAVLIN, S.; STANLEY, H. E.;
GOLDBERGER, A. L., Long-range anticorrelations and non Gaussian behavior of the
heartbeat, Physical Review Letters, 70, 1343-1346, 1993
REDNER, S., How popular is your paper? An empirical study of citation distribution,
European. Physical Journal B2, 131-134, 1998.
RONAN, Colin A.. História Ilustrada da Ciência: Universidade de Cambridge.
1.ed. São Paulo: Círculo do Livro, 1987. 4 v. v. III - Da Renascença à Revolução
Científica.
SHOCKLEY, P. E. Log - Normal Distribution. Citation index Proceding of. IRE, USA,
v.45, p. 279, 1957.
SOLOMON, T.H.; WEEKS, E.R. and SWINNEY, H.L., Observation of anomalous
diffusion and Lévy flights in a two-dimensional rotating flow. Phys. Rev. Lett. 71,
3975-3978 (1993).
70
STANLEY, H. E. Scaling, universality, and renormalization: Three pillars of modern
critical phenomena. Reviews of Modern Physics, v.71, n.2, p.5358- 5366, 1999.
THALER, R. H. (Ed), Advances in Behavioral Finance. Russel Sage Foundation,
New York, 1993.
TSALLIS, C. Possible Generalization of Boltzmann-Gibbs Statistics, Journal of
Statistical Physics 52, 479 (1988)
TSALLIS, C. Nonextensive Statístics: Theoretical, Experimental and Computacional
Evidences and Connections. Brazilian Journal of Physics, SP, v.29, p.1-45, 1999.
TSALLIS, C. As distribuições de Lévy. Revista Brasileira de Ensino de Física, São
Paulo, v.22, p.156-162, 2000.
TUCKER, A.L. J. of Business & Economic Statistics. n. 10, v. 73 (1992).
VINES, G., Mass extinctions. New Scientist Earth Sciences, 1-4, 1999
WESTFALL Richard S: A vida de Isaac Newton. Rio de Janeiro: Nova Fronteira,
1995.
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
