( PDF ) Análise de dados longitudinais para variáveis binárias

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Universidade Federal de São Carlos

Centro de Ciências e Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Estatística

Análise de Dados Longitudinais para

Variáveis Binárias

por

José Tenylson Gonçalves Rodrigues

sob orientação da

Profa. Dra. Cecilia Candolo

Dissertação apresentada ao Departamento de Estatística

da Universidade Federal de São Carlos - DEs/UFSCar,

como parte dos requisitos para obtenção do título de

Mestre em Estatística.

UFSCar - São Carlos

Junho/2009

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Análise de Dados Longitudinais para

Variáveis Binárias

por

José Tenylson Gonçalves Rodrigues

Dissertação apresentada ao Departamento de Estatística da Universidade Federal

de São Carlos - DEs/UFSCar, como parte dos requisitos para obtenção do título de

Mestre em Estatística.

Área de Concentração: Estatística

Banca examinadora:

• Profa. Dra. Mariana Cur i - ICMC-USP

• Profa. Dra. Maria A parecida de Paiva Franco - UFSCar

• Profa. Dra. Cecilia Candolo (Orientadora) - UFSCar

UFSCar - São Carlos

Junho/2009

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Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da

Biblioteca Comunitária da UFSCar

R696ad

Rodrigues, José Tenylson Gonçalves.

Análise de dados longitudinais para variáveis binárias /

José Tenylson Gonçalves Rodrigues. -- São Carlos :

UFSCar, 2009.

89 f.

Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São

Carlos, 2009.

1. Análise de regressão. 2. Regressão logística. 3.

Estatística - estudos longitudinais. 4. Modelos lineares

generalizados. 5. Modelos lineares (Estatística). I. Título.

CDD: 519.536 (20

)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia

.....

..w5,1'

anos

Programa de Pós-Graduaçao

Estatística

..p.,

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Via

Washington

Luis,

235

C.P.676

CGC 45358058/0001-40

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FONE:

(016) 3351-829213351-8241

FAX:

(016) 3351-8243

13565-905

SAO CARLOS

BRASIL

...*.'

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...

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www.ufscar.brl-des p~aestca>~ower.ufscar.br

Declaramos, para os devidos fins, que José Tenylson Gonçalves Rodrigues

defendeu sua Dissertação de

Mestrado no dia

05/03/2009,

tendo sido

aprovado.

aluno deverá apresentar a versão final da dissertação (com as

correções e sugestões

da Banca, e a ficha catalográfica anexada), e a

Certidáo Negativa da Biblioteca

Comunitária, para formação do processo de homologação e emissão do Diploma do

Título.

Igualmente, o aluno deverá apresentar a documentação da pesquisa (rotinas,

arquivos em

LaTeX, resultados complementares etc.) ao seu orientador, visando

facilitar a confecção de relatórios técnicos

que condensarão os resultados obtidos.

Essa declaração

válida pelo período de

dias.

Coordenador

PPG-Es

UFSCar

Agradecimentos

Agradeço inicialmente a Deus, por estar ao meu lado e por me guiar nas decisões

que tomei para alcançar esta conquista. Agradeço ainda:

À minha família pelo apoio emocional e carinho, aos meus pais (Dos Anjos e

Waldir) que sempre me incentivaram a estudar e, ao meu irmão (Temilson) pela força

e amizade.

Aos amigos que ﬁz em São Carlos/SP, Juliano, Rafael e aos do alojamento UF-

SCar, dos Blocos: K, M, 01, 07, 09, 14, 18, 26. Aos moradores do Bloco 25 (Flávia,

Douglas, Luciano) por me acolherem de coração aberto, pelas brincadeiras e tudo mais,

pois foram a minha família neste período. E aos demais colegas e amigos que não citei,

agradeço de coração o apoio. Às meninas argentinas que vieram de intercâmbio, Flo-

rencia pela amizade e a Brenda por ter se tornado uma irmão de coração.

À Alina por fazer parte da minha vida e me fazer descobrir sentimentos que nunca

tinha sentido antes, pelas maravilhosas conversas, pelos felizes momentos que passamos

juntos, compartilhando brincadeiras, sorrisos e passeios inesquecíveis.

Ao Cursinho Pré-Vestibular da UFSCar pela oportunidade de lecionar e desen-

volver minhas práticas de iniciação a docência.

À minha orientadora Professora Dra. Cecília Candolo, pelos valiosos ensinamen-

tos dados, pela conﬁança, pela a mizade, pelo rigo roso acompanhamento e revisão do

texto e acima de tudo pela paciência.

Aos professores do programa de pós-graduação da UFSCar que incentivaram e

contribuíram para a minha formação acadêmica.

Ao professor Dr. José Rubens Rebellato, do Departamento de Fisioterapia da

UFSCar, por ter cedido o conjunto de dados. A Sueli, por esclarecer as dúvidas com

relação ao conjunto de dados.

Aos professores de graduação do departamento de estatística da UFC, em esp ec ial

aos professores Maurício, Rosa, Silvia, João Welliandre, Nelson Braga (in memoriam)

e também aos demais professores pelos valiosos ensinamentos.

Às funcionárias Luiza (Tia Luiza) e Isabel pelas brincadeiras, amizade e atenção.

iii

Aos membros da banca examinadora pelas correções e sugestões para a disser-

tação.

A CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) por

parte do auxílio concedido.

Resumo

O objetivo deste trabalho é apresentar técnicas de análise de regressão para dados

longitudinais quando a variável resposta é binária. Inicialmente, é feita uma revisão

sobre modelos lineares generalizados, modelos marginais, modelos de transição, mode-

los mistos, regressão logística e métodos de estimação, pois serão necessários para o

desenvolvimento do trabalho.

Além dos métodos de estimação, algumas estruturas de correlação serão estu-

dadas, na tentativa de captar a dependência serial intra-indivíduo ao longo do tempo.

Estes métodos foram aplicados em duas situações; uma quando a variável resposta é

contínua, e se assume ter distribuição normal, e a outra quando a variável resposta

assume ter distribuição de Bernoulli. Também se procurou pesquisar e apresentar

técnicas de seleção de modelos e de diagnósticos para os dois casos.

Ao ﬁnal, uma aplicação com a metodologia pesquisada será apresentada utilizando

um conjunto de dados reais.

Palavras-chave: Dados longitudinais, modelos lineares generalizados, modelos

marginais, modelos de transição, modelos mistos, variáveis binárias, regressão logística,

equação de estimação generalizada.

Abstract

The objec tive of this work is to present techniques of regression analysis for

longitudinal data when the response variable is binary. Initially, there is a review

of generalized linear models, marginal models, transition models, mixed models, and

logistic regression methods of estimation, which will be necessary for the development

of work.

In addition to the methods of estimation, some structures of correlation will be

studied in an attempt to capture the intra-individual serial dependence over time.

These methods were applied in two situations, one where the response variable is

continuous and normal distribution, and another when the response variable has the

Bernoulli distribution. It was also sought to explore and present techniques for selection

of models and diagnostics for the two cases.

Finally, an application of the above methodology will be presented using a set of

real data.

Keywords: Longitudinal data, generalized linear models, marginal models, tran-

sition models, models mixtos, binary variables, logistic regression, generalized estima-

ting equation.

Lista de Figuras

3.1 Função logística E(y

|x = x

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Transformação g(π

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1 (b) Gráﬁco de perﬁs individuais da variável x1. . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 (c) Boxplot da variável x3 e (d) Gráﬁco de perﬁs individuais. . . . . . . 48

5.3 (e) Boxplot da variável x4 e (f) Gráﬁco de perﬁs individuais. . . . . . . 48

5.4 (g) Boxplot da variável x5 e (h) Gráﬁco de perﬁs individuais. . . . . . . 49

5.5 (i) Boxplot da variável x6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.6 (l) Boxplot da variável x7 e (k) Gráﬁco de perﬁs individuais. . . . . . . 5 0

5.7 (m) Boxplot da variável x8 e (n) Gráﬁco de perﬁs individuais. . . . . . 51

5.8 (o) Boxplot da variável x9 e (p) Gráﬁco de perﬁs individuais. . . . . . . 51

5.9 (q) Boxplot da variável x10 e (r) Gráﬁco de perﬁs individuais. . . . . . 52

5.10 (s) Boxplot da variável x11 e (t) Gráﬁco de perﬁs individuais. . . . . . 53

5.11 (u) Boxplot da variável y e (v) Gráﬁco de p erﬁs individuais. . . . . . . 53

5.12 Gráﬁco de disersão de pares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.13 Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo marginal com

resposta contínua ajustado com estrutura de correlação uniforme. . . . 56

5.14 Envelopes simulados do modelo marginal com resp osta contínua ajus-

tado com estrutura de correlação uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.15 Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo marginal com

resposta contínua ajustado com estrutura de correlação uniforme sem o

quarto indivíduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

viii

5.16 Envelope de simulação do modelo marginal com resposta contínua ajus-

tado com estrutura de correlação uniforme sem o quarto indivíduo. . . 58

5.17 Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo marginal com

resposta contínua ajustado com estrutura de correlação AR-1, com todos

os indivíduos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.18 Envelope de simulação do modelo marginal com resposta contínua ajus-

tado com estrutura de correlação AR-1, com todos os indivíduos. . . . . 59

5.19 Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo marginal com

resposta contínua ajustado com estrutura de correlação AR-1, sem o

quarto indivíduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.20 Envelope de simulação do modelo marginal com resposta contínua ajus-

tado com estrutura de correlação AR-1, sem o quarto indivíduo. . . . . 60

5.21 Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo misto com res-

posta contínua com intercepto aleatório ajustado com estrutura de cor-

relação AR-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.22 Envelope de simulação do modelo misto com resposta contínua com in-

tercepto aleatório ajustado com estrutura de correlação AR-1. . . . . . 6 2

5.23 Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo marginal com

resposta binária ajustado com estrutura de correlação uniforme. . . . . 64

5.24 Envelope de simulação do modelo marginal com resposta binária ajus-

tado com estrutura de correlação uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.25 Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo marginal com

resposta binária ajustado com estrutura de correlação AR-1. . . . . . . 65

5.26 Envelope de simulação do modelo marginal com resposta binária ajus-

tado com estrutura de correlação AR-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.27 Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo misto com res-

posta binária com intercepto aleatório ajustado com estrutura de corre-

lação AR-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.28 Envelope de simulação do modelo misto com resposta binária com in-

tercepto aleatório ajustado com estrutura de correlação AR-1. . . . . . 6 7

Lista de Tabelas

2.1 Estrutura dos dados longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Estimadores α para a matriz correlação de trabalho. . . . . . . . . . . . 20

5.1 Dados referentes a avaliação de idosos para melhoria da qualidade de vida. 46

5.2 Estimativas dos parâmetros e P-valores do modelo marginal com re-

sposta contínua ajustado com estrutura de correlação uniforme (EX). . 55

5.3 Estimativas dos parâmetros e P-valores do modelo marginal com re-

sposta contínua ajustado com estrutura de correlação AR-1. . . . . . . 58

5.4 Estimativas dos parâmetros e P-valores do modelo misto com resposta

contínua com intercepto aleatório ajustado com estrutura de correlação

AR-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5 Estimativas dos parâmetros e P-valores do modelo marginal com re-

sposta binária ajustado com estruturas de correlação uniforme(EX) e

AR-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6 Estimativas dos parâmetros e P-valores do modelo misto com resposta

binária com intercepto aleatório ajustado com estrutura de correlação

AR-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A.1 Dados do projeto de reavitalização de adultos/DFisio - UFSCar . . . . 69

Conteúdo

Lista de Figuras vii

Lista de Tabelas ix

1 Introdução 3

1.1 Estudos longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Estrutura da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Análise de dados longitudinais 6

2.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Modelos Lineares Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Exemplos de distribuições da família exponencial . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Exemplo 1. A Distribuição Normal como um membro da família

Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.2 Exemplo 2. Distribuição Binomial como membro da família ex-

ponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Estimação de parâmetros por máxima verossimilhança através do método

de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Métodos de Quase-verossimilhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Função de estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7 Equações de estimação generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.8 Extensões dos MLG para dados longitudinais com distribuição normal . 17

2.8.1 Modelos marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.8.2 Modelos de transição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8.3 Modelos mistos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Dados Binários 26

3.1 Regressão logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Regressão logística para dados longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Modelo marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.2 Modelos de transição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3 Modelos mistos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.4 Comparação entre modelos marginais, modelo de transição e

modelo com efeitos aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Técnicas de diagnóstico 36

4.1 Pontos de alavanca, inﬂuentes e outliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Análise gráﬁca de diagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Aplicação 44

5.1 Análise Exploratória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Modelagem com variável resposta contínua . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.1 Modelo marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.2 Modelo com efeito aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3 Modelagem com variável resposta binária . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3.1 Modelo marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3.2 Modelo com efeito aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6 Conclusões e sugestões futuras 68

A Conjunto de dados 69

B Comandos no R 77

Bibliograﬁa 87

Capítulo 1

Introdução

1.1 Estudos longitudinais

Estudos longitudinais compõem uma metodologia que avalia o comportamento

de uma ou mais variáveis respostas ao longo de uma dimensão especíﬁca, que pode

ser, por exemplo, o tempo, a distância ou a profundidade. Esta metodologia procura

medir o efeito da dependência entre a variável resposta e variáveis explicativas, como

também, medir possíveis efeitos entre e/ou intra-indivíduos. Neste trabalho, optou-se

por utilizar o tempo como dimensão de estudo.

Os modelos para estudos longitudinais vêem sendo utilizados desde 1890. Mas, as

primeiras referências foram os documentos de Henderson (1975), em que foi apresentado

o modelo de componentes de variância e a derivação da equação de Henderson, pa ra

predizer conjuntamente os efeitos ﬁxos e aleatórios em modelos observado s ao longo do

tempo.

Grande parte dos esforços empregados na análise deste tipo de dados estão rela-

cionados co m a modelagem da estrutura de correlação intra-indivíduos decorrente de

medirmos a mesma variável no mesmo indivíduo em tempo s diferentes. Com essa ﬁna-

lidade, Laird e Ware (1982) e Ware (1985) propuseram a utilização de modelos lineares

mistos. Liang e Zeger (1986), apresentaram uma extensão dos modelos lineares ge-

neralizados para a análise de dados longitudinais e também introduziram uma classe

de estimadores consistentes às estimativas dos parâmetros do modelo. Os estimadores

propostos para o modelo de regressão foram deduzidos assumindo determinadas for-

mas de correlação entre as medidas sucessivas dentro de um mesmo indivíduo. Tais

correlações são especiﬁcadas em uma matriz de co rrelação de "trabalho". Alguns mo-

delos mais usuais para esta matriz serão deﬁnidos adiante. Modelar estas estrutura

adequadamente é essencial, p o is assim as inferências sobre o s parâmetros do modelo

tornam-se válidas.

Desta forma, pode-se resumir a modelagem de dados longitudinais como: primeira-

mente identiﬁca-se a relação funcional entre o valor esperado da resposta e as variáveis

explicativas e em seguida, modela-se a estrutura de correlação.

Diggle et al. (1996), apresentaram esta metodologia de forma ordenada e com-

pleta. O desenvolvimento deste método é, em parte, atribuído às diversas contribuições

de vários especialistas que trouxeram para uma discussão mais ampla as diﬁculdades

que estava m encontrando, principalmente quanto ao uso em aplicações com conjuntos

de dados reais. Após ganhar um fortalecimento no embasamento teórico, esta técnica

passou a ser utilizada por pesquisadores das mais diversas áreas do conhecimento, entre

elas, economia, farmacologia, sociologia, biologia, medicina.

É interessante observar que os estudos longitudinais fazem parte de uma classe

mais ampla conhecida como estudos com medidas repetidas, Singer et al. (2007). Uma

característica entre eles é que, nos estudos longitudinais o estudo é observacional e nos

estudos de medidas repetidas existe aleatorização nas atribuições nos tratamentos dos

indivíduos.

1.2 Motivação

As situações práticas mais usuais que envolvem dados longitudinais são aque-

las em que a variável resposta tem distribuição normal. Entretanto, tem crescido

muito o interesse em modelar situações em que a variável resposta é binária com dis-

tribuição Bernoulli. Assim, o objetivo deste traba lho é apresentar a metodologia para

a modelagem de dados longitudinais em que a variável resposta é binária. Além disso,

observou-se que são escassos na literatura trabalhos abordando, de maneira organi-

zada, a análise de diagnóstico para regressão logística longitudinal. Neste trabalho,

pretende-se então:

• Estudar a modelagem clássica de regressão logística longitudinal, focando as abor-

dagens de estimação existentes na literatura, por exemplo, máxima verossimi-

lhança, equações de estimação generalizadas, entre outras;

• Pesquisar e apresentar técnicas de seleção de modelos e de diagnóstico para este

tipo de modelagem;

• Aplicar a metodologia pesquisada em um conjunto de dados reais.

1.3 Estrutura da dissertação

Esta dissertação desenvolve-se ao longo de seis capítulos. O conjunto de metas

propostas na seção anterior traduzem, ainda que parcialmente, o modo como o trabalho

foi estruturado. Nesta seção, ao apresentar a organização da dissertação, pretende-se

orientar o leitor quanto aos capítulos a serem apresentados ao longo do seu desenvolvi-

mento. Desta forma, o segundo capítulo apresenta a estrutura dos dados longitudinais,

uma revisão sobre modelos lineares generalizados para o caso geral e algumas extensões,

tais como: modelo marginal, modelo de transição e modelos com efeitos aleatórios, para

o caso em que os dados seguem distribuição normal, apresentando também métodos

de estimação.

No terceiro capítulo é feita uma breve descrição sobre dados binários, uma revisão

de modelos de regressão logística, o uso do modelo logístico em dados longitudinais com

resposta binária, para o caso onde os dados são binários e também alguns métodos de

estimação.

No quarto capítulo são apresentadas técnicas de diagnóstico, sejam elas formais

(pontos de alavanca, pontos de inﬂuência e pontos outliers) ou informais (através de

gráﬁcos), além de técnicas de qualidade de ajuste.

No quinto capítulo é apresentado um exemplo usando dados reais abordando a

metodologia descrita anteriormente. Buscou-se um conjunto de dados que atendesse

às principais características deste trabalho.

Por ﬁm, são apresentadas algumas conclusões gerais sobre o trabalho realizado,

e alguns apontamentos para propostas de continuação deste estudo.

Capítulo 2

Análise de dados longitudinais

Dados longitudinais é o termo usado para o conjunto de observações feitas em

cada elemento de um conjunto de indivíduos sobre uma variável resposta e algumas

variáveis explicativas em sucessivos momentos do tempo. A variável resposta pode ser

contínua, binária (dicotômica) ou de contagem. Neste capítulo, será apresentado o caso

em que a variável resposta assume distribuição normal, com o intuito de introduzir os

conceitos de modelagem para esta situação. Posteriormente será abordado o caso em

que a variável resposta é binária. Antes de começar a descrever a metodologia, será

apresentada a notação a ser utilizada neste trabalho.

2.1 Notação

Em um estudo longitudinal com n indivíduos , cada um deles é observa do em n

i = 1, . . . , n ocasiões do tempo quanto a uma variável resposta y e a um vetor de p

variáveis explicativas x. Seja y

a observação de y no i-ésimo indivíduo no tempo j

(j = 1, 2, . . . , n

Em notação matricial temos:

= (y

, . . . , y

)

: vetor de observações de y no i-ésimo indivíduo.

y = (y

, . . . , y

)

: vetor (n

x 1), representando o conjunto completo com as



i=1

medidas.

: matriz de observações, (n

x p) de p covariáveis do i-ésimo indivíduo.

x: matriz de observações, (n

x p), que contém as informações das covariáveis de

todos os indivíduos.

A Tabela (2.1) mostra um exemplo de uma estrutura de dados longitudinais.

Tabela 2.1: Estrutura dos dados longitudinais

Indivíduo Tempo Resposta Variáveis explicativas

1 1 y

111

. . . x

11p

1 2 y

121

. . . x

12p

1 n

. . . x

i 1 y

i11

. . . x

i1p

i 2 y

i21

. . . x

i2p

i n

. . . x

n 1 y

n11

. . . x

n1p

n 2 y

n21

. . . x

n2p

n n

. . . x

2.2 Modelos Lineares Generalizados

Os modelos lineares generalizados (MLG) constituem uma extensão dos modelos

lineares clássicos, e foram apresentados por Nelder e Wedderburn (1972). Dada uma

variável resposta y e um conjunto de variáveis explicativas x

, . . . , x

, um MLG assume

uma distribuição da família exponencial para a variável resposta y e especiﬁca uma

relação entre uma função da média de y com uma função linear das variáveis x.

Um modelo linear generalizado para a relação da esperança de uma variável

aleatória y consiste de três componentes:

• Componente aleatório - Supõe-se que observações independentes são feitas so-

bre n variáveis alea tórias y

, . . . , y

que possuem uma determinada distribuição

pertencente à familia exponencial. A função densidade de probabilidade (do tipo

contínu ou discreto) de y

é dada por:

f(y

; θ

, φ) = exp



− b(θ

)

(φ)

+ c(y

, φ)



, i = 1, 2, . . . , n. (2.1)

Em (2.1) a

(.), b(.) e c(.) são funções reais conhecidas, θ

é o parâmetro de locação e

φ o parâmetro de dispersão. De (2.1) decorre que E(y) = µ = b



(θ) como será prova do

adiante em (2.2).

• Componente sistemático - Refere-se ao conjunto de variáveis explicativas x

que produzem um preditor linear η

, i=1,2,. . . ,n,

= x

β,

onde η

é o preditor linear; x

= (x

, x

, . . . , x

)

é um vetor (p x 1) de variáveis

explicativas para a observação i e β = (β

, β

, . . . , β

) é o vetor (p x 1) dos parâmetros

a serem estimados.

• Função de ligação - É uma função monotônica diferenciável que relaciona o

valor esperado da variável resposta com o preditor linear

g(µ

) = η

O preditor linear η

pode assumir qualquer valo r real o que não ocorre sempre com

µ pois isto depende da distribuição de y

. Portanto a função g(·) tem que ser deﬁnida

no conjunto de valores possíveis para µ e tomar valores em . Por exemplo, no modelo

normal linear a média (µ

) e o preditor linear (η

) podem ser idênticos, dado que µ

e η

podem assumir qualquer valor na reta real (−∞, +∞); sendo assim, uma ligação

do tipo µ

= η

é plausível para modelar dados que seguem distribuição normal. Se y

tem distribuição de Poisson, sua média µ é sempre positiva e uma função de ligação

adequada g(µ) = log(µ) = η pois a função logarítmica tem domínio no conjunto dos

números reais positivos e assume qualquer valor real.

Em um MLG que assume que y

tenha distribuição binomial com parâmetros n

e π, n = 1, 2, . . . e 0 < π < 1, E(y

) = nπ. Uma função da média pode ser dada por

g(π) = g(nπ) = ng

∗

(π). O domínio da função g

∗

(π) é o o intervalo (0,1). O s três

principais modelos de função usados para g

∗

(π) são

(i) Função de ligação "logito"

= log



1 − π



(ii) Função de ligação "probito"

= Φ

−1

(π

) ,

onde Φ

−1

(·) é a função de distribuição acumulada da normal padrão;

(iii) Função de ligação "logaritmo do complemento do logaritmo"

= log (log (1 − π

)) .

Uma discussão com mais detalhes sobre função de ligação e suas propriedades

pode ser vista em Firth (1991), como citado em Cordeiro e Neto (2004).

Uma propriedade atrativa dos modelos lineares generalizados é a possibilidade

de ajustar modelos de regressão quando a variável resposta é normal, normal inversa,

gama, Poisson, binomial, binomial negativa e geométrica, através da escolha apropriada

da função de ligação g(·).

A esperança e a variância da variável y

é dada por b



(θ

) e a

(φ)b”(θ

), respecti-

vamente. Estes resultados são obtidos através da resolução das equações



∂l(y; θ)

∂θ



= 0, (2.2)



∂

l(y; θ)

∂θ



+ E



∂l(y; θ)

∂θ



= 0. (2.3)

Uma forma simples de fazer isto é lembrando que a integral da funçã o densidade,

quando for do tipo contínua, dada em 2.1 sobre  é 1. Desta forma, tem-se que





exp



− b(θ

)

(φ)

+ c(y

, φ)



= exp



− b(θ

)

(φ)



. (2.4)

Derivando em relação a θ

e supondo ser possível mudar a ordem de diferenciação

e integração, obtém-se





(φ)

exp



(φ)

+ c(y

, φ)





(θ

)

(φ)

exp



b(θ

)

(φ)



. (2.5)

Derivando novamente em relação a θ

, obtém-se







(φ)



exp



(φ)

+ c(y

, φ)





(θ

)

(φ)

exp



b(θ

)

(φ)







(θ

)

(φ)



exp



b(θ

)

(φ)



(2.6)

De (2.5) segue que





(φ)

(φ) exp



− b(θ

)

(φ)

+ c(y

, φ)



= b



(θ

Logo E(y

) = b



(θ).

De (2.6) segue que







(φ)



exp



−

b(θ

)

(φ)



exp



b(θ

)

(φ)

+ c(y

, φ)





(θ

)

(φ)





(θ

)

(φ)







(φ))



(φ)



exp



−

b(θ

)

(φ)



exp



b(θ

)

(φ)

+ c(y

, φ)



= a

(φ)b



(θ

) + b



(θ

)

(2.7)

De (2.7) segue que E(y

) = b



(θ

(φ) + b



(θ

)

. Portanto, V(y

) = b



(θ

(φ).

Resumindo, tem-se que a média é dada por E(y

) = b



(θ

) e a variância V (y

) =

a(φ)b



(θ

). Observa-se também que esta variância é resultado do produto das funções



(θ

), que depende apenas do parâmetro canônico θ

, e a(φ), que depende de φ,

Demétrio (2002) e Paula (2004).

2.3 Exemplos de distribuições da família exponencial

Os dois exemplos a seguir apresentam a forma exponencial canônica e as ex-

pressões para a média e variância da distribuição normal e Binomial.

2.3.1 Exemplo 1. A Distribuição Normal como um membro da

família Exponencial

A função densidade de probabilidade da distribuição Normal de parâmetros µ e

σ é dada para −∞ < y < ∞ por:

f(y; µ, σ

) =

√

2πσ

exp



−

(y −µ)



. (2.8)

Na forma canônica, a função densidade da N(µ, σ

) é dada por

f(y; µ, σ

) = exp





yµ −



−



+ log



2πσ





Desta forma, a média e variância da distribuição Normal (µ, σ

), obtidas a partir

das relações da seção anterior são:

E(y) = b



(θ) = µ, e V (y) = a(φ)b



(θ) = σ

2.3.2 Exemplo 2. Distribuição Binomial como membro da fam íl ia

exponencial

A função de probabilidade da Binomial(n, π) é dada por

f(y; π) =





(1 − π)

n−y

(0,...,n)

(y), (2.9)

onde I

(0,...,n)

(y) é a função indicadora de (0, . . . , n). Para obter a forma canônica da

família exponencial para esta função, basta escrevê-la como a exponencial de seu loga-

ritmo e identiﬁcar os componentes.

f(y; π) = exp



y log π + (n − y) log(1 − π) + log





f(y; π) = exp



y log



1 − π



+ n log(1 − π) + log





Seja θ = log(π/1 − π). Então π = (e

)/(1 + e

), b(θ) = −n log(1 − π),

c(y; φ) = log





e a(φ) = 1.

Calculando a primeira e segunda derivada de b(θ) obtemos



(θ) = n

1 + e

= nπ,



(θ) = n

(1 + e

) − e

(1 + e

)

= n

(1 + e

)

= nπ(1 − π).

2.4 Estimação de parâmetros por máxima verossimi-

lhança através do método de Newton-Raphson

Formulado o modelo MLG, g(µ

) = η

= x

β, para as médias de um conjunto

de variáveis aleatórias independentes y

, . . . , y

com o mesmo tipo de função densidade

(contínua ou discreta) de probabilidade pertencente à família exponencial, a estimação

de seus parâmetros a partir de uma observação de (y

, . . . , y

) pode ser feita pelo

método da máxima verossimilhança. Supondo φ

= φ, para i= 1, . . . , n, e sendo µ =



(θ

) = g

−1

β), a função de verossimilhança a ser maximizada é dada pela expressão

L(y; θ) =



i=1

f(y

; θ

, φ) =



i=1

exp



− b(θ

)

(φ)

+ c(y

, φ)



. (2.10)

A maximização da função (2.10) ocorre em pontos onde a derivada da função

(2.10) se anula. Logo a busca da estimativa de máxima verossimilhança dos parâmetros

se inicia pela procura de soluções do sistema de equações

dL(y; θ)

dθ

= 0 ou

dlogL(y; θ)

dθ

= 0. (2.11)

Em vista do modelo para µ

= x

β = g

−1

(θ), é possível reescrever (2.11) em

termos dos parâmetros β e buscar as estimativas dos parâmetros β como soluções do

sistema de equações

dL(y; β)

dβ

= 0 ou

dlogL(y; β)

dβ

= 0. (2.12)

A equação obtida em, (2.11) não é linear e sua solução tem que ser buscada

através de métodos numéricos. Na literatura podem ser encontrados alguns métodos de

otimização, p or exemplo, o méto do de Newton-Raphson, o método escore de Fisher, o

método Simplex proposto por Nelder e Mead (19 65 ), o método EM proposto por Laird

e Ware (1982) ou o método baseado em espaço de estados usando ﬁltro de Kalman

proposto por Jones (1993), citados em Rocha (2004).

O método de Newton-Raphson será utilizado na resolução da equação (2.11),

por apresentar um tempo de convergência menor em relação aos demais métodos.

Este método encontra a raiz v

de uma equação h(v) = 0 usando iterativamente uma

aproximação de Taylor para h(v) quando v se encontra na vizinhança de um ponto v

No caso em que h(·) seja função de apenas uma variável real, unidimensional, sendo v

uma tentativa inicial para o valor da raiz v

h(v) ≈ h(v

) + (v −v



) = 0,

obtendo-se

v ≈ v

−

h(v

)



)

ou, de uma forma mais geral,

(m+1)

≈ v

(m)

−

h(v

(m)

)



(m)

)

. (2.13)

A seqüência de pontos (v

) converge para a raiz da equação h(v) = 0. No caso

em que h(·) é função de p variáveis, p > 1, isto é, h(v

, . . . , v

), a busca da raiz da

equação h(v) = 0 por um processo iterativo de consiste em, a partir de um vetor inicial

, obter sucessivamente os valores v

dados por

h(v

(m+1)

) ≈ h(v

(m)

) +

∂h(v

(m)

)

∂v

(m+1)

− v

(m)

]

(m+1)

≈ v

(m)

−



∂h(v

(m)

)

∂v



−1

h(v

(m)

). (2.14)

Usando o método de Newton-Raphson para a solução de (2.10), para o caso em

que v = θ e h(v) = h(θ) = d log(L(y, θ))/dθ = U(θ) e usando ainda as restrições

β = g

−1

(θ),

U(θ

(m+1)

) ≈ U(θ

(m)

) +

∂U(θ

(m)

)

∂θ

[θ

(m+1)

− θ

(m)

]

(m+1)

≈ θ

(m)

−



∂U(θ

(m)

)

∂θ



−1

U(θ

(m)

). (2.15)

Pode-se demonstrar que θ

converge para a solução do sistema (2.10 ou 2.11)



∂U(θ

(m)

)/∂θ



−1

for substituído pela matriz de informação de Fisher, e, assim, o

método é chamado de escore de Fisher. Neste caso, na mésima iteração,

(m+1)

≈ θ

(m)

− (x

(m)

−1

(m)

, (2.16)

onde z

= (y

−µ

)(∂g(µ

)/∂µ

) é o i-ésimo ele mento do vetor z e W =diag(ω

, . . . , ω

)

é uma matriz de pesos, com ω

= (∂µ

/∂η

)

, sendo que v

é a função de variância

para o i-ésimo indivíduo.

Colocando (x

(m)

−1

em evidência tem-se,

(m+1)

≈ (x

(m)

−1

(m)

∗(m)

, (2.17)

onde y

∗(m)

é uma variável resposta modiﬁcada denotada por

∗(m)

= xθ

(m)

+ z

(m)

Observa-se que cada iteração do método de Newton-Raphson corresponde a uma

regressão ponderada da variável dependente modiﬁcada y

∗

sobre a matriz x, com matriz

de pesos W, Cordeiro e Neto (2004) e Paula (200 4).

A formulação de um MLG depende da escolha de uma distribuição de proba-

bilidade ou densidade para a variável resposta. Para uma escolha adequada desta

distribuição, é aconselhável examinar os dados de maneira a encontrar algumas carac-

terísticas, tais como: a ssimetria, natureza discreta ou co ntínua, intervalo de variação,

etc. Esta distribuição deve ser conhecida e pertencer à família exponencial. Associados

à variável resposta y, há um conjunto de variáveis explicativas x

, . . . , x

, que, podem

inﬂuenciar a resposta através de um preditor linear.

Em 1974, Wedderburn propôs a metodologia de métodos de Quase -verossimilhan-

ça, que pode ser interpretada como uma generalizaçã o dos MLGs no sentido de assumir

uma função de variância para a variável respo sta bem como uma relação funcional entre

a média e o vetor paramétrico β. Com isso, não requerem mais o conhecimento da

distribuição da resposta. Esta metodologia é aplicada para dados correlacionados, o

que não era possível com os MLGs, que assumem que as respostas são independentes,

Cordeiro e Neto (2004) e Paula (2004).

2.5 Métodos de Quase-vero ssimilhança

Os métodos de quase-verossimilhança necessitam a penas da existência dos

dois primeiros momentos da distribuição da variável resposta y, sem ser necessário

conhecer a forma da sua distribuição.

Suponha que y

, i = 1, 2, . . . , n, seja um conjunto de observações com E(y

) = µ

e V(y

) ∝V(µ

), em que V(µ

) é alguma função conhecida de µ

. Também suponha que

seja uma função de um conjunto de parâmetros de interesse β = (β

, β

, . . . , β

)

e x

= (x

, x

, . . . , x

)

. A função de quase-verossimilhança Q(y

, µ

) é deﬁnida pela

relação

∂Q(y

, µ

)

∂µ

− µ

V (µ

)

. (2.18)

Weddeburn (1974) mostrou que se pode usar qualquer função Q(y

, µ

) que sat-

isfaça (2.18) como uma base para deﬁnir um modelo linear generalizado e obter esti-

mativas de β pelo uso iterativo das equações de mínimos quadrados ponderados. Mais

informações sobre estimação dos parâmetros deste método pode ser consultada em

Paula (2004).

2.6 Função de estimação

Uma função de estimação é, de uma maneira simpliﬁcada, uma função

(y; θ) de um vetor aleatório y e dos parâmetros de interesse θ. Em termos práticos,

elas são construídas de modo que raízes θ de ψ

(y; θ) = 0, quando existem, sejam es-

timativas dos parâmetros em estudo. Em geral, deseja-se a construção de estimadores

consistentes e com distribuição conhecida, ao menos assintoticamente. Um ponto im-

portante na construção dessas funções é o estabelecimento de condições que garantam

que os estimadores obtidos possuam boas propriedades, Artes e Botter (2005).

Seja y

, y

, . . . , y

, uma amostra de uma variável aleatória y, para que cada y

es-

teja associada uma função de estimação ψ

; θ), i = 1, 2, . . . , n. A função de estimação

para a amostra é deﬁnida através de (2.19):

Ψ(y; θ) =



i=1

; θ). (2.19)

O estudo das propriedades de uma função de estimação requer algumas deﬁniçõ es

que são apresentadas a seguir.

• Uma função de estimação Ψ(y; θ) é dita não viciada quando

(Ψ(y; θ)) = 0. (2.20)

• Neste caso a matriz de variância é dada por

(Ψ(y; θ)) = E

(Ψ(y; θ)Ψ

(y; θ)). (2.21)

2.7 Equações de estimação generalizadas

O método de equações de estimação generalizadas (EEG), proposto por

Liang e Zeger (1986), pode ser utilizado para analisar conjunto de dados onde a variável

resposta é contínua ou discreta. As EEG são uma técnica de estimação que leva em

consideração a correlação entre as variáveis, e que produzem estimadores consistentes

e assintoticamente normais dos parâmetros sob a especiﬁcação correta da função de

ligação e da variância em função da média, sem a necessidade de se conhecer totalmente

a distribuição multivariada dos da dos B aia (1997).

As EEG são uma extensão multivariada da função de quase-verossimilhança,

apresentada por Weddeburn (1974), que não exige conhecimento da distribuição pa-

ramétrica da variável resposta, mas apenas especiﬁcar a relação entre a média e a

variância das observaçõ es, s upondo alguma estrutura de correlação para o s dado s.

Seja y

, y

, . . . , y

, onde y

(i = 1, 2, . . . , n), tem distribuição de probabilidade

pertencente à família exponencial e x

uma matriz (n x p) de observações com p variáveis

explicativas associadas ao i-ésimo indivíduo, para i = 1, 2, . . . , n. Admite-se também

que E(y

) = µ

, V(y

) = φυ(µ

) e cor(y

) = Γ(µ

Para a modelagem de µ

serão utilizadas as mesmas convenções usadas nos mo-

delos lineares generalizados, isto é,

g(µ

) = η

= x

β.

A função de estimação para β é dada por Ψ(y; β) =



i=1

; β), na qual

(β) = D

−1

, (2.22)

onde D

= X

H, H =diag(∂µ

/∂η

, . . . , ∂µ

/∂η

), W é uma matriz de pesos, com

= (∂µ

/∂η

)

, sendo que v

é a função de variância para o i-ésimo indivíduo, e

= y

− µ

Aproximando Ψ(β) ≈ 0, obtém-se um estimador para o vetor β, que sob condições

gerais de regularidade, conforme apresentado na seção (2.6), é considerado ótimo e

consistente, Artes e Botter (2005). Observe que agora Ψ(β), traz na sua estrutura a

correlação serial proposta por Liang e Zeger (1986), e que será visto na seção (2.8).

2.8 Extensões dos MLG para dados longitudinais com

distribuição normal

Diggle et al. (1996) apresentam três extensões dos modelos lineares generalizados

para dados longitudinais, incorporando a dependência entre as observações ao longo do

tempo. São eles: modelos marginais, modelos de transição (ou condicionais) e modelos

de efeitos aleatórios.

2.8.1 Modelos marginais

As respostas são modeladas marginalmente em relação às demais respostas, o bser-

vando os efeitos no co njunto e, associado a este modelo, há uma estrutura de correlação

envolvida, pois para um mesmo indivíduo são feitas várias medidas. Segundo Diggle et

al. (1996) este modelo é capaz de modelar separadamente o efeito das variáveis explica-

tivas na esperança da variável resposta, ou seja, esta esperança individual, E(y

), é

expressa em função de x

β, onde β = (β

, β

, . . . , β

)

, p < n, é o vetor dos parâmetros

da regressão a serem estimados.

A equação que representa o modelo é

= x

β + 

, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n

, (2.23)

onde y

, representa a resposta para o i-ésimo individuo observado no j-ésimo tempo,

representa um vetor (p x 1) de variáveis explicativas, β representa o vetor (p x

1) de coeﬁcientes e 

o erro aleatório responsável pela natureza estocástica da vari-

ável resposta. Os coeﬁcientes deste modelo apresentam interpretação similar aos dos

coeﬁcientes em um modelo de regressão linear, ou seja, o quanto varia a média de

para um aumento de uma unidade da variável x

. Além disso, tem-se o interesse

nestes coeﬁcientes considerando uma estrutura de correlaçã o para o vetor de respostas

individual. Sendo assim, as suposições necessárias para o modelo marginal são:

(i) A esperança marginal da variável resposta, E(y

) = µ

, depende das variáveis

explicativas x

através da relação g(µ

) = x

β, onde g(·) é a função de ligação

deﬁnida por

g(µ

) = η

onde η

= x

β é o preditor linear e g(·) uma função monótona e diferenciável.

(ii) A variância marginal, depende da média marginal através da rela ção

V(y

) = υ(µ

)φ,

onde υ(·) é a função de variância conhecida e φ o parâmetro de dispersão;

(iii) A correlação entre y

e y

pode ser dada, às vezes, por parâmetros adiciona is α,

isto é,

corr(y

, y

) = ρ(µ

, µ

; α),

onde ρ(·) é uma função conhecida e α é uma matriz adicional utilizada para medir

a dependência intra-indivíduos, Diggle et al. (1996).

Porém, quando as suposições de independências não são satisfeitas, uma alterna-

tiva, é aplicar o método de estimação de equações generalizadas (EEG), visto na seçã o

(2.7). Originalmente, a teoria das EEG corrige os problemas de ordem prática associ-

ados à quase-verossimilhança, por exemplo, correlação serial intra-indivíduos, Artes e

Botter (2005).

Com o método EEG, a dependência das observações de cada indivíduo é modelada

através de uma matriz de covariância de y

, denotada por V

, dada por

cov(y

) = V

= A

(α)A

, (2.24)

onde A

= matriz diag (υ(µ

), υ(µ

), . . . , υ(µ

)), que deﬁne a variância de y

como

função da média marginal µ

, R

(α) é chamada matriz de correlação de "trabalho",

que depende do vetor de parâmetros α, e permite incorporar aos modelo s marginais

diferentes estruturas de correlação. Quando a estrutura de correlação deﬁnida pela

matriz de "correlação de traba lho", coincide com a verdadeira estrutura, os estimadores

de β apresentam propriedades ótimas, Costa (2003).

As estruturas de correlação mais comuns são apresentadas a seguir.

Estruturas de covariâncias

Liang e Zeger (1986), sugeriram diferentes modelos para a estrutura de correlação

entre as observações de um mesmo indivíduo. Isto implicou numa grande facilidade de

interpretação das covariâncias dos modelos de regressão para este segmento.

A seguir são mostradas algumas das principais estruturas de correlação utilizadas

nestes modelos para n

= 4.

• Independência: Quando a matriz de correlação R

(α) é a identidade, isto é,

(α) =







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1







as observações são não correlacionadas.

• Uniforme (Exchangeable - EX): Essa estrutura assume que a corr(y

, y



) =



1, se k=k



α, se k = k



, ou seja,

(α) =







1 α α α

α 1 α α

α α 1 α

α α α 1







• Não-estruturada: Uma matriz de correlação é dita não-estruturada, quando

apresenta todos os valores de α completamente não especiﬁcados, e, como con-

seqüência haverá (k(k − 1))/2 parâmetros de correlação a serem estimados, ou

seja,

(α) =







1 α







Essa estrutura é útil somente quando há poucos tempos de observação e muitas unidades

de corte transversal.

• Auto-regressiva (AR-1): seja Corr(y

, y



) = α

|k−k



, logo

(α) =







1 α α

α 1 α α

α 1 α

α 1







Em uma estrutura de correlação auto-reg ressiva, as correlações dependem das distân-

cias entre os tempos em que são tomado as as medidas, diminuindo com o aumento

das distâncias.

A Tabela (2.2) mostra os estimadores para α utilizados nas matrizes de correlação

de trabalho descritas anteriormente e sugeridas por Saavedra (20 06 ).

Tabela 2.2: Estimadores α para a matriz correlação de trabalho.

Estrutura de R α

=corr(y

, y

) Estimativas de corr(y

, y

)

Independente 0

Uniforme (EX) α α =



i=1

−1)



j=k

AR(1) α

|j−k|

α =



i=1

−1)



j≤n

−1

i,j+1

Não-estruturada α

α



i=1

As estruturas de correlações apresentadas na Tabela (2.2) podem ser utilizadas

tanto para dados contínuos quanto para dados discretos. O termo 

= (y

−µ

)/(

√

)

representa o resíduo padronizado, Saavedra (2006).

Outros tipos de estruturas de variâncias e covariâncias podem ser encontrados

com mais detalhes em Diggle et al. (1996).

2.8.2 Modelos de transição

Os modelos marginais, apesar de permitirem incorporar uma estrutura de cor-

relação para os dados através da matriz de trabalho R

(α), não são suﬁcientes para

descrever toda a informação relacionada a um estudo longitudinal, p o r não captam to-

dos os efeitos intra-indivíduos. Assim, pretende se mostrar uma relação de dependência

da distribuição condicional da resposta atual no tempo j, y

, sobre as respostas a nte-

riores (y

ij−1

, . . . , y

) e as variáveis explicativas x

. Uma das vantagens deste modelo

é que modela as mudanças individuais no tempo e avalia como essas mudanças são in-

ﬂuenciadas pelas variáveis explicativas consideradas, Lara (2007). Este modelo é uma

extensão dos modelos lineares g eneralizado s e é utilizado em situações onde a variável

resposta atual tem forte ligação com as variáveis respostas anteriores. A função de

densidade para o modelo de transição é dada por

f(y

ij−1

, . . . , y

) = exp



− Φ(γ

)

+ c(y

, φ)



, i = 1, 2, . . . , n, (2.25)

onde Φ(γ

) é uma função semelhante à b(γ

) do modelo linear generalizado, adicio-

nando a inﬂuência das respostas anteriores e c(y

, φ) é uma função de depende de y

e do parâmetro de dispersão φ.

A média e variância condicionais de y

são dadas por

= E(y

ij−1

, . . . , y

) = Φ



(γ

)

= V(y

ij−1

, . . . , y

) = Φ



(γ

)φ.

Um modelo de regressão condicional é deﬁnido por

h(µ

) = x



β +



r=1

ij−1

, . . . , y

; α), (2.26)

onde f

(·) é uma função conhecida, e h(µ

) é uma função de ligação. Note que quando



r=1

ij−1

, . . . , y

; α) = 0, h(µ

) = g (µ

) pode-se aplicar a metodologia de modelos

lineares generalizados.

Para se estimar os parâmetros do modelo de transição, utiliza-se o método de

máxima verossimilhança, Diggle et al. (1996). Inicialmente, escreve-se a distribuição

conjunta das respostas y

, y

, . . . , y

na forma

f(y

, y

, . . . , y

) = f(y

ij−1

, . . . , y

)f(y

ij−1

ij−2

, . . . , y

) . . . f(y

)f(y

(2.27)

Em seguida, encontra-se a função de verossimilhança

(y; β) = f(y

)



j=2

f(y

ij−1

). (2.28)

Maximizando a função (2.28) via método iterativo, por exemplo, escore de Fisher,

pode-se encontrar as estimativas para os parâmetros do modelo de transição.

O estudo dos modelos de transição está baseado na teoria dos processos estocás-

ticos e, freqüentemente a propriedade markoviana é a mais utilizada. Em alguns livros

este modelo é encontrado como modelo condicional.

2.8.3 Modelos mistos

O modelo de regressão com efeitos aleatórios costuma ser conhecido como modelos

misto, porque traz em sua estrutura coeﬁcientes de regressão compostos de uma parte

ﬁxa (entre-indivíduo) e outra aleatória (variação no intercepto e inclinação individual,

por exemplos). É um modelo que incorpora a dependência e a estrutura de correlação

dos erros e supõe que os coeﬁcientes da regressão variem entre os indivíduos. Seu uso é

especialmente adequado para dados em que a variabilidade e ntre os indivíduos é maior

do que a variabilidade dentro do indivíduo, Rocha (2004).

Tais modelos têm sido freqüentemente usados na análise de medidas repetidas,

dados agrupados e dados longitudinais. Apresentam uma grande aplicabilidade em

diversas áreas de pesquisa como agricultura, biologia e economia, Diggle et al. (1996 ).

No contexto deste trabalho, a importância destes modelos é explicada pela ﬂexibilidade

que eles oferecem para modelar a correlação entre e/ou intra-indivíduos, freqüentemente

presente em estudos longitudinais, Laird e Ware (1982).

Os modelos mistos apresentam alguns ca sos particulares, tais como: o modelo

linear clássico, o modelo de componentes de variância e os modelos hierárquicos (mul-

tiníveis), Natis (2002). O modelo misto é encontrado na literatura, para respostas

contínuas, na forma

= x

β + Z

+ 

, i = 1, 2, ..., n, (2.29)

onde y

x 1) é a resposta do i-ésimo indivíduo, x

é a matriz de dimensão (n

x p)

de variáveis explicativas associados aos efeitos ﬁxos β, Z

é a matriz de dimensão (n

x q) de variáveis explicativas associados aos efeitos aleatórios b

(q x 1) e 

x 1) é

o vetor de erros aleatórios. Geralmente Z

é uma sub-matriz de x

Em geral, supõe-se que tanto os erros aleatórios co mo os efeitos aleatórios são

normalmente distribuídos, ou seja,

∼ N(0, D), (2.30)



∼ N(0, Σ

), (2.31)

onde Σ

= σ

Um caso particular importante de (2.29), ocorre quando o modelo apresenta ape-

nas o intercepto aleatório, ou seja,

= x

β + ζ

+ 

, i = 1, 2, ..., n, (2.32)

onde ζ

representa o intercepto aleatório.

Os efeitos aleatórios no intercepto representam a heterogeneidade natural entre

os indivíduos decorrente de fatores não medidos.

No modelo (2.29) a

E(y

) = x

β e V(y

) = Z

+ Σ

onde D e Σ

são desconhecidos e, que podem ser substituídos pela s matrizes estimadas

G, referente aos efeitos aleatórios e R

, correspondente a correlação serial. Estas

matrizes são obtidas do processo de ajuste do modelo.

No ajuste do modelo misto é preciso avaliar qual é a estrutura de covariância que

melhor se adapta aos dados, pois nesta estrutura serão incorporados o s efeitos ﬁxos e

efeitos aleatórios associados aos indivíduos. A seguir mostra-se apenas dois exemplos

destas estruturas que serão utilizadas neste trabalho, a saber:

• Uniforme: apresentam homogeneidade ta nto nas variâncias quanto nas covari-

âncias.

V(y

) = Z

+ Σ







+ τ τ τ τ

τ σ

+ τ τ τ

τ τ σ

+ τ τ

τ τ τ σ

+ τ







Neste caso, temos que D = τ com τ > 0, e Z

= 1

é um vetor (n

x n

) com

todos os elementos iguais a 1 e Σ

= σ

• Auto-regressiva (AR-1):

) =







1 φ φ

φ 1 φ φ

φ 1 φ

φ 1







Nesta estrutura tem-se D = 0 e Σ

é uma matriz gerada por um modelo em que os

erros aleatórios das medidas realizadas no i-ésimo indivíduo têm a seguinte estrutura,

= φe

ij−1

+ δ

em que δ

∼ N(0, τ

) são não correlacionados com e

, l = 1, 2, . . . , j−1. Esta estrutura

é função de θ = (φ, σ

), com σ

= τ

/(1−φ

) e |φ| < 1 para garantir a estacionaridade.

Outros tipos de estruturas de covariância s podem ser vistas com mais detalhes

em Rocha (2004).

Para ajustar um modelo misto é comum encontrar na literatura algumas al-

ternativas: aproximações por métodos Bayesianos, estimação por máxima verossimi-

lhança (EMV) e estimação por máxima verossimilhança restrita, Verbeke e Molen-

berghs (2000).

A função de verossimilhança para o modelo misto para o i-ésimo indivíduo é dada

por

, β, b

) =







j=1

f(y

)f(b

)db

, (2.33)

onde f(y

) é a função densidade de probabilidade associada ao i-ésimo indivíduo

no tempo j condicionada aos efeitos aleatórios b

, e f(b

) é a função densidade de

probabilidade dos efeitos aleatórios, Saavedra (2006).

A função de verossimilhança para o conjunto de todos os n indivíduos é

L(y, β, b) =



i=1

, β, b

) =



i=1







j=1

f(y

|b)f(b)db. (2.34)

Uma solução para isto é utilizar métodos de iteração numérica, por exemplo,

algoritmo EM e/ou soluções através do escore de Fisher. As equações a seguir mostram

as estimativas iniciais dos parâmetros do modelo quando se usa o algoritmo EM.

β = [



i=1

]

−1

[



i=1

− 1

˜v

)], (2.35)

ˆσ



i=1

˜v

+ σ

v|y

, (2.36)



i=1

− x

β −1

˜v

)

− x

β −1

˜v

) + n

v|y

, (2.37)

em que,

˜σ

= ρ

− x

β) = ρ



j=1

− x

β); σ

v|y

= σ

(1 − ρ

onde x

é um vetor de covariáveis para o indivíduo i no tempo j, ρ

= n

r/[1 +

(n − 1)r] e r é igual a correlação intraclasse. O processo iterativo termina quando

ocorre a convergência no algoritmo EM. Mais detalhes sobre o algoritmo EM podem

ser encontradas em Liu & Rubin (1994), McLachlan & Krishnan (1997) e Meng & Van

Dyk (1998) citados em Nobre (2004).

Capítulo 3

Dados Binários

É bastante comum que os estatísticos se deparem, nas suas análises, com con-

juntos de dados onde a variável resposta a ssume dois estados, fracasso ou sucesso.

Algumas das áreas de aplicação onde se pode encontrar tal situação são: a medicina,

as ﬁnanças, as ciências sociais, a indústria, entre outras, Mills (2000). A seguir são

citados alguns exemplos:

• Um estudo foi realizado para avaliar a relação entre o a parecimento de doenças

cardíacas e outras variáveis, tais como: idade, sexo, hábito de fumar, nível de

colesterol, peso e pressão sanguínea. A variável resposta foi deﬁnida com dois pos-

síveis resultados: o indivíduo desenvolveu ou não desenvolveu a doença cardíaca

durante o estudo. Estes resultados podem ser codiﬁcados por 1 e 0 respectiva-

mente, ou vice-versa.

• Para ana lisar a relação entre a ocorrência de infecção hospitalar e outras variáveis,

foi feito um estudo com vários hospitais co m o levantamento de dados como o

tempo de internação dos pacientes, idade média dos pacientes, número de camas

no hospital e sua região geográﬁca. A variável resposta y, pode ser deﬁnida co mo:







1, se o hospital apresenta risco de infecção hospitalar,

0, se o hospital não apresenta risco de infecção hospitalar.

• Num estudo sobre a participação de mulheres no mercado de trabalho, como

função da idade, número de ﬁlhos e renda, pode-se deﬁnir a variável resposta y

como:







1, a mulher participa do mercado de trabalho,

0, a mulher não participa do mercado de trabalho.

• Em marketing, deseja-se saber se alguém comprará ou não um carro na chegada de

um novo ano. Aqui os preditores tais como renda anual, número de dependentes,

valor da prestação do ﬁnanciamento da casa, e assim por diante, são preditores

relevantes, David (1999).

Estes exemplos dão uma idéia da grande variedade de aplicações onde a variável

resposta tem dois resultados possíveis e que pode ser representada por uma variável

binária.

Antes de descrever a metodologia para dados binários em estudos longitudi-

nais, uma revisão sobre regressão logística será apresentada, pois estes co nceitos serão

necessários mais adiante.

3.1 Regressão logística

A regressão logística é uma ferramenta de análise estatística que vem se tornando

muito utilizada pelos estatísticos na modelagem de dados com resposta binária, quanto

a relação com uma ou mais variáveis explicativas, sendo que estas podem ser qualita-

tivas ou quantitativas. A regressão logística é um caso particular de modelos lineares

generalizados, McCullagh e Nelder (1989).

Seja uma amostra aleatória de n indivíduos, para cada um dos quais existe uma

resposta associada a y

dada por







1, se a resposta do i-ésimo indivíduo é "sucesso",

0, se a resposta do i-ésimo indivíduo é "fracasso".

Supondo que y

tenha distribuição Bernoulli com probabilidade de sucesso π

que para cada um dos n indivíduos haja observações sobre p variáveis explicativas,

= (1, x

, . . . , x

). O modelo de regressão logística é dado por

E(y

) = P (y

= 1) = π

1 + e

(3.1)

e, assim

P(y

= 0) = 1 − π

1 + e

, (3.2)

sendo β = (β

, β

, . . . , β

)

o vetor de parâmetros do modelo. Das equações (3.1) e

(3.2), aplicando o logaritmo na razão de π

por (1 − π

), tem-se a seguinte função de

ligação logito

g(π

) = log(

1 − π

). (3.3)

Uma medida muito utilizada em diversas áreas do conhecimento é a denominada

razão de chances (Odds Ratio (OR)). Se em (3.1) ﬁzerem π

= π

(x) e x associar ap enas

os valores 0 e 1, tem-se

OR =

(1)/[1 − π

(1)]

(0)/[1 − π

(0)]

Por exemplo, se y

representa a presença y

= 1 ou ausência y

= 0 de câncer

no pulmão e x

= 1(0) representa se a pessoa é (não) fumante, um valor OR= 2 pode

ser interpretado como: a chance de uma pessoa que fuma adquirir câncer no pulmão é

duas vezes maior que a de uma pessoa que não fuma.

Outra medida utilizada em estudos prospectivos fornecendo o risco de desen-

volvimento de uma determinada condição para um grupo quando comparado a outro

é denominada risco relativo (RR) que é expresso por

RR =

(1)

(0)

Os modelos de regressão logística podem ser usados para:

• Quantiﬁcar a importância da relação existente entre cada uma das covariáveis e

a variável resposta, como também mostrar a existência de interação e efeito de

confudimento com respeito à variável resposta.

• Classiﬁcar indivíduos dentro das categorias (presente/ausente) da variável res-

posta, segundo a probabilidade que tenha de pertencer a uma delas, dada a

presença de determinadas covariáveis.

• Este modelo se diferencia dos modelos lineares clássicos quanto à sua apresentação

gráﬁca da relação entre a experância da variável resposta e cada variável explica-

tiva, pois tem a aparência de "S". A Figura (3.1) mostra o gráﬁco da função

logística, que representa a forma funcional da relação entre a probabilidade de

sucesso, E(y

|x = x

), e, uma variável e xplicativa x.

Figura 3.1: Função logística E(y

|x = x

• Na ﬁgura (3.2) é apresentado o gráﬁco da transformação logit (3.3) que lineariza

a relação entre a esperança condicional da variável resposta E(y

|x = x

) e a

variável explicativa x

Figura 3.2: Transformação g(π

Os parâmetros da regressão logística são geralmente estimados por máxima veros-

similhança. A verossimilhança de uma amostra aleatória de n observações de variáveis

binárias independentes de média π

, i = 1, 2, . . . , n é da da por

L(y; β) =



i=1

(1 − π

)

1−y

. (3.4)

Em (3.4), π

= e

/1 + e

, é a probabilidade de ocorrência de y

= 1 com os

valores amostrais das variáveis explicativas x

, . . . , x

, para o i-ésimo indivíduo.

Aplicando uma transformação logarítma na função (3.4) obtém-se,

l(y; β) =



i=1

ln(π

) + (n −



i=1

) ln(1 − π

). (3.5)

A seguir, calcula-se a função score obtida a partir da derivada primeira da função

l(y; β) com relação a β. Assim, a função score é dada, na forma matricial, por

U(β) =

∂l(y; β)

∂(β)

= x

(y − π). (3.6)

A matriz de segundas derivadas parciais é conhecida como matriz de informação

ou Hessiana, e é dada por

H(β) =

∂

l(β)

∂(β)∂(β)

= −x

Wx, (3.7)

sendo W uma matriz diagonal, (n x n), cujos elementos da diagonal principal são dados

pelos produtos π

(1 − π

W =







(1 − π

) 0 . . . . . . 0

0 π

(1 − π

) 0 . . . 0

. 0

0 . . . 0 π

n−1

(1 − π

n−1

) 0

0 . . . . . . 0 π

(1 − π

)







O modelo de regressão logística é um caso particular dos modelos lineares ge-

neralizados e segue a mesma metodologia de estimação por máxima verossimilhança

apresentada na seção (2.2).

3.2 Regressão logística para dados longitudinais

Neste s eção , é abordada a modela gem de da dos que apresentam estrutura longitu-

dinal, quando a variável resposta é binária, usando a função de ligação logística, como

descrito nos objetivos deste trabalho. Assim, pode-se considerar diversos mo delo s para

explicar a relação dos dados.

3.2.1 Modelo marginal

Suponha que n indivíduos são selecionados aleatoriamente de uma população, e

que sobre cada indivíduo são colhidos observações em j momentos do tempo sobre uma

variável resposta binária y, representando sucesso (y = 1) ou fracasso (y = 0), e sobre

um vetor de variáveis explicativas x. Supondo também que cada y

tenha distribuição

de Bernoulli de parâmetro (π

) em M.L.G., uma função de ligação logito é dada por

E(y

) = π

1 + e

, (3.8)

onde β é o vetor de parâmetros desconhecidos da regressão.

A variância de y

para o i-ésimo indivíduo no j-ésimo tempo é dada por

V(y

) = π

(1 − π

e a correlação é

corr(y

, y

ij−1

) = ρ

Um estimador para o vetor de parâmetros β, é obtida através da solução das

equações de estimação generalizadas (EEG) apresentadas por Liang e Zeger (1986). A

estimativa do vetor β é solução do sistema de equações escores, isto é,

U(β) =



i=1



−1

− π

) = 0, (3.9)

onde D



= ∂π

/∂β e V

é a matriz diagonal de variâncias para o i-ésimo indivíduo. Note

que quando V

for uma matriz identidade, volta-se ao caso de MLG, ou seja, poderá se

aplicar todas as suposições de independência nestas observações, Liang e Zeger (1986).

Para obter as estimativas destes parâmetros, faz-se necessário o uso de métodos

iterativos, e, o processo ﬁnaliza quando a precisão atribuída ao processo iterativo é

atingida.

3.2.2 Modelos de transição

Como visto na seção (2.3.2), modelos de transição, ou condicionais, a dependência

da variável resposta atual (y

) no tempo j, j = 1, 2, . . . , n

, em relação às respo stas

j −1 tempos anteriores. No caso de variáveis binárias, ao invés de se estimar todas as

probabilidades de transição em separado, procura-se modelar estas probabilidade de

tal forma que as estimativas dos parâmetros obtidas possam ser interpretadas como os

pesos que cada uma das variáveis explicativas exercem na estimação da probabilidade

de transição Lara (2007).

A probabilidade condicional P (y

= b|y

j−1

= a) denotada por π

, que é a pro-

babilidade de ir do estado a para o estado b. Por exemplo, considere um pro cesso

estacionário markoviano y

, y

, . . . , y

, em que os indivíduos são observados nos tem-

pos deﬁnidos para o estudo, quanto a possuir ou não a característica de interesse Diggle

et al.(1996). A matriz de probabilidade de transição de y

j−1

é denotada por





1 − π





onde π

= P (y

= b|y

j−1

= a) para a ∈ 0, 1, que é a probabilidade de mudança

de estado. Note que cada linha da matriz de transição tem soma igual a 1, ou seja,

P(y

= 0|y

j−1

= b) + P(y

= 1|y

j−1

= b) = 1, Lara (2007).

Para se estimar os parâmetros do modelo de transição, utiliza-se o método de

máxima verossimilhança. Este processo é análogo ao visto para o caso o nde a variável

resposta segue distribuição normal. Assim, a funçã o de verossimilhança é

L(y

; π

) = f (y

)



j=2

f(y

ij−1

). (3.10)

Após maximizar a função (3.10) via processo iterativo, encontra-se as estimativas

para π

, Saavedra (2006).

3.2.3 Modelos mistos

Para dados com resposta binária, há modelos que apresentam estas característi-

cas, p o r exemplo, o modelo logístico pode co nter dois efeitos aleatórios. Na literatura,

por exemplo, pode-se encontrar o trabalho de Snijders e Bosker (1999), em que é

apresentado o mo delo de regressão logística com efeitos aleatórios, com um resumo uti-

lizando vários métodos de estimação para os parâmetros do modelo. Assim, conforme

visto na seção (2.3.3), onde foi abordado o caso em que a variável resposta é con-

tínua, uma solução foi a generalização do modelo marginal, combinando efeitos ﬁxos e

aleatórios.

Seja y

, y

, . . . , y

, uma amostra aleatória, onde cada y

tem distribuição Bernoulli

com probabilidade de sucesso π

. O modelo misto é

Φ(π

) = x

β + Z

, (3.11)

onde Φ(·) é a função de ligação que engloba efeitos individuais ﬁxos e aleatórios em b

para o i-ésimo indivíduo.

Assim, as suposições do modelo misto com função de ligação logística e dis-

tribuição de Bernoulli são:

(i) A Esperança condicional é obtida de

= E(y

) =

exp(Φ(π

))

1 + exp(Φ(π

))

. (3.12)

Observe que a média condicional é uma função dos efeitos individuais, π

= f(b

e que o valor de π

, é obtido por

logit(π

) = log

1 − π

= Φ(π

) = x

β + Z

, i = 1, 2, . . . , n, (3.13)

(ii) O efeito aleatório b

é normalmente distribuído:

∼ N(0, D).

Caso particular

Um caso particular do modelo misto é o que considera apenas o intercepto aleatório





. Desta forma, o modelo visto em (3.11), ﬁcará com Z

= 1:

Φ(π

) = x

β + b

, (3.14)

onde b

∼ N(0, Σ).

Outro ponto é encontrar uma estrutura de variância que seja adequada ao modelo.

As estruturas apresentadas para o caso de variável resposta contínua, visto na seção

(2.3.3), serão utilizadas aqui e veriﬁcada seu comportamento quando a variável resposta

é binária.

Para estimar os parâmetros do modelo, utiliza-se o método de máxima verossi-

milhança condicionado ao efeito aleatório, que é dada pela expressão

L(y

) =



j=1

(1 − π

)

1−y

(3.15)

A seguir apresentam-se as expressões utilizadas na estimação destes efeitos, e que

são implementadas em algoritmos numéricos.

Observe a similaridade entre esta função de verossimilhança e a função de veros-

similhança apresentada em (3.4). Lá tínhamos n observações e a função de verossimi-

lhança era calculada sobre todos indivíduos. Agora, esta função é calculada para cada

indivíduos nos n

tempos.

Na tentativa de encontrar uma expressão que não dep enda dos efeitos aleatórios,

faz-se necessário uma nova função que seja obtida da integração em relação dos erros.

Isto gerará uma probabilidade marginal para y

h(y

) =



L(y

)g(b

)db

, (3.16)

onde g(b

) ∼ N(0, σ

) representa a distribuição populacional dos efeitos aleatórios.

Assim, pode-se escrever a verossimilhança para todo o conjunto de dados:

L =



i=1

h(y

A derivada parcial do logaritmo de L em relação a um conjunto de parâmetros

em η = (β, σ

) é:

∂ log L

∂η



i=1

−1

)

∂h(y

)

∂η

, (3.17)

onde η representa ou efeito β ou parâmetro de variância σ

Encontradas as derivadas para a equação (3.17) é possível utilizar processos ite-

rativos existentes na literatura, por exemplo, escore de Fisher, para encontrar as esti-

mativas para o vetor de parâmetros β, através da expressão

i+1

= β

+ I(β

)

−1

∂ log L

∂β

. (3.18)

O processo para quando ocorre a convergência no algoritmo. Mais detalhes sobre o

processo de estimação pode ser visto em Hedeker e Gibbons (2006).

3.2.4 Comparação entre modelos marginais, modelo de tran-

sição e modelo com efeitos aleatórios

As três metodologias diferem quanto a maneira de levar em conta a dependência

entre as observações pelo fato de não ser independentes no decorrer do tempo.

No modelo marginal, é comum estimar o vetor de parâmetros, β, usando as

Equações de Estimação Generalizadas (EEG) propostas por Liang e Zeger (1986), ou

seja, usando uma matriz de correlação de trabalho, R

(α), especiﬁcada pelo vetor de

parâmetros, α, assumindo que esta correlação de trabalho seja a mesma para todos os

indivíduos. O procedimento de estimação EEG para modelos marginais não é difícil de

ser implementado, devido o fato de estar disponível nos principais pacotes de análise

estatística. Quanto ao modelo misto com variável resp o sta binária existem poucos

pacotes com algumas limitações, porém, vêem sendo implementados nos principais

softwares.

Em contraste, no modelo misto, a dependência das observações no mesmo indi-

víduo é levado em conta na verossimilhança marginal, pela integração da função de

densidade condicional ao efeito individual em relação à distribuição deste efeito Molen-

berghs e Verbeke (2000).

Já o modelo de transição apresenta uma característica que o distigue dos citados

anteriormente, ou seja, poder modelar as mudanças individuias (transições) no tempo

e, avaliar, como estas mudanças são inﬂuenciadas pelas variáveis explicativa s no es-

tudo. Neste trabalho, este método é apenas citado mas seu estudo não é aprofundado.

Maiores informações podem s er obtidas em Lara (2007).

Capítulo 4

Técnicas de diagnóstico

A análise de diagnóstico é uma etapa importante no ajuste de um modelo de

regressão, pois auxilia na veriﬁcação de possíveis afastamentos das supos ições feitas

para o modelo e permite detectar observações extremas que podem vir a interferir nos

resultados do ajuste.

Quando se está ajustando um mo delo a um conjunto de dado s, é importante que

as estimativas obtidas a partir do modelo proposto sejam resistentes a pequenas per-

turbações, tanto no modelo como nos dados. Se o modelo ajustado não apresentar uma

boa descrição dos dado s que foram observados, o mesmo pode conduzir a inferências

errôneas, Souza (2006).

As análises de diagnóstico e de resíduos são utilizadas para detectar problemas,

tais como:

• Presença de observações discrepantes (pontos aberrantes);

• Inadequação das pressuposições para os erros aleatórios;

• Colinearidade entre as colunas.

Paula (2004) descreveu algumas técnicas de diagnóstico para modelos lineares

generalizados, tais como, os elementos da diagonal principal da matriz de projeção

(matriz chapéu), a distância de Cook e os resíduos do modelo ajustado usados para

detectar observações inﬂuentes na matriz de variáveis explicativas (pontos de alavanca)

ou no vetor de respostas para detectar pontos discrepantes ("outliers").

Venezuela (2003) apresenta, baseando-se no trabalho de Tan, Qu e Kutner (1997),

uma proposta para modelos com medidas repetidas, da qual será feita aqui uma adap-

tação para o caso longitudinal com variável resposta dicotômica, abordando as mesmas

técnicas de diagnóstico utilizadas em modelos lineares generalizados e levando em con-

sideração a estrutura de dependência entre observações intra-indivíduo.

Na literatura, são apresentados alguns trabalhos que tratam de técnicas de diag-

nóstico, usando como método de estimação as equações de estimação generalizadas, tais

como Pan (2001) que apresenta medidas para a escolha da matriz de correlação de tra-

balho e para a seleção de variáveis explicativas, baseando-se no critério de informação

de Akaike (AIC), Preisser e Qaqish (1996) que apresenta medidas para detectar obser-

vações inﬂuentes em modelos lineares generalizados com medidas repetidas, Venezuela

(2003).

A seguir serão apresentadas de forma resumida as técnicas de diagnóstico para o

modelo marginal, tais como: detecção de pontos de alavanca, pontos inﬂuentes, pontos

outliers, análise gráﬁca e seleção de modelos.

4.1 Pontos de alavanca, inﬂuentes e outliers

Utilizando um processo iterativo para a obtenção das estimativas do vetor de

parâmetros β no modelo marginal, para variáveis contínuas, conforme visto na seção

(2.4), obtém-se a equação

(m+1)

≈ β

(m)

+ (x

(m)

−1

(m)

, (4.1)

em que m = 0, 1, 2, . . . indica o número de iterações, x = (x

, . . . , x

) é uma matriz (n

x p), W

são matrizes (n x n) de p eso s associadas às observações correlacionadas e que

mudam a cada iteração, z

= (z

, . . . , z

)

é um vetor (n x 1) de variáveis dependentes

ajustadas cujos elementos são dados por

= x

+ (y

− µ

)(

∂η

∂µ

Neste contexto, o vetor



β po de ser interpretado como a solução de mínimos

quadrados da regressão normal linear de W

1/2

z so bre W

1/2

x, Artes e Botter (2005).

Nessa perspectiva, o resíduo ordinário, que é a diferença entre os valores o bservados e

ajustados, ﬁca sendo

∗

= W

1/2

(z − η) = W

1/2

−1

(y −



µ), (4.2)

em que A = diag(A

, . . . , A

) é uma matriz diagonal (n x n) dos valores observados

ajustados e y = (y

, . . . , y

) e µ = (µ

, . . . , µ

) com dimensões (n x 1).

Assumindo que Cov(z) = A

−1

Cov(y)A

−1

∼

−1

, tem-se que

cov(r

∗

) = (I −H)W

1/2

Cov(z)W

1/2

(I − H)

∼

(I − H), (4.3)

sendo I a matriz identidade e H uma matriz diagonal simétrica e idempotente dada

por H = diag(H

, . . . , H

), com

H = W

1/2

x(x

Wx)

−1

1/2

, (4.4)

onde o posto de H é igual ao traço de H que é igual a p.

Observe que alguns elementos da matriz W são negativos, diﬁcultando o cálculo

da raiz quadrada desta matriz. Uma alternativa apresentada por Banerjee e Frees

(1997), citado em Nobre (2004), sugere utilizar como matriz de alavancagem

∗

= W

−1/2

x(x

−1

−1/2

, (4.5)

com W

−1

= (W

−1/2

)

−1/2

Como os elementos de r

∗

possuem variâncias diferentes, o que diﬁculta compará-

los entre si, deﬁne-se o resíduo padronizado associado à observação y

por

)

1/2

−1

−



)

√

1 − h

, (4.6)

sendo e

um vetor de tamanho (n

x 1) com a posição referente à observação y

contendo o valor 1 e as demais posições contendo o valor zero e h

o i-ésimo elemento

da diagonal principal de H

, i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , n

O resíduo estudentizado também pode ser escrito na forma r

∗

= (I −H)W

−1/2

Assim, considerando que W

−1/2

z faz o papel do vetor resposta, H é chamada de matriz

de projeção ortogonal (ou matriz chapéu), como na regressão normal linear em que W

é uma matriz identidade. Isto, suge re a utilização dos elementos da diagonal principal

de H para se detectar a presença de pontos alavanca, conforme Paula (2004) fez para

os MLGs, e, Tan, Qu e Kutner (1997) propuseram para o modelo de regressão logística

com medidas repetidas, e, que será aplicado no caso longitudinal.

Um ponto de alavanca ocorre quando este possui uma característica diferente dos

demais, quando este ponto está distante do centro do espaço gerado pelas variáveis ex-

plicativas. Assim, um va lor alto de h

indica a inﬂuência de x

sobre o correspondente

valor ajustado, y

Supondo que todos os pontos exercem a mesma inﬂuência sobre os valores ajus-

tados, pode-se esperar que cada valor da diagonal principal de H

esteja próximo de

tr(H

)/n = p/n. Dessa forma, os pontos para os quais h

≥ 2p/n podem ser conside-

rados de alta leverage, Artes e Botter (2001).

Analogamente, o i-ésimo indivíduo pode ser um ponto leverage, se

. =



j=1

tr(H

)

≥

. (4.7)

Esses resultados podem ser vistos pelo gráﬁco dos valores da diagonal principal

da matriz de projeção, h

, versus i, em que este índice indica a ordem em que cada

indivíduo aparece no conjunto de dados, visualizando assim se o h

para o indivíduo i

é considerado ou não um ponto de leverage.

Para detectar um ponto discrepante na análise gráﬁca, podemos utilizar o resíduo

padronizado, (r

)

, com i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , n

, versus o índice i. Um ponto

discrepante ("outlier ") ocorre quando este apresenta um perﬁl diferente dos demais

no que tange aos valores da variável resposta e também apresenta um valor baixo na

matriz de projeçã o H

. Desta forma, um mesmo ponto diﬁcilmente é um ponto de

leverage e/ou um ponto discrepante.

Finalmente, um ponto inﬂuente ocorre quando este a presenta um valor diferente

dos demais no que se refere aos valores da variável resposta, porém apresenta valor

alto na matriz de projeção H

. Este tipo de ponto tem grande peso na estimação dos

parâmentros do modelo e para detectá-lo, a medida mais conhecida é distância de Cook.

Esta mede o afastamento entre a estimativa do vetor paramétrico utilizando todas as

observações (



β) e sem a observação y

(



), Venezuela (2003 ). Assim, a distância de

Cook, quando se exclui a observação y

, é deﬁnida por





β −









β −





= (r

)

p(1 − h

)

, (4.8)

indicando como ponto inﬂuente aquele que possui um valor alto de DC

quando com-

parado aos demais pontos.

Para modelos mistos em que a variável resposta é contínua, Christensen e Pearson

(1992), citados em Nobre (2004), sugerem avaliar os pontos de alavanca do i-ésimo

indivíduo através do valor h

∗

= h

, em que

= x

−1

= x

− x

(I)

−1

(I)

= v

− v

−1

(I)

com x

a i-ésima coluna da matriz x e v

a i-ésima coluna da matriz V, conforme

deﬁnido na equação (2.24), enquanto x

(I)

e V

(I)

representam, respe ctivamente, as ma-

trizes x e V sem a i-ésima coluna e v

refere-se ao i-ésimo elemento da diagonal

principal de V.

Para modelos lineares mistos, foi proposta por Chatterjee e Hadi (1986, 1988),

citados em Nobre (2004), a seguinte expressão para a distância de Cook

(



y −



(I)

)

−1

(



y −



(I)

)

, (4.9)

onde c representa um parâmetro de escala, I representa o c onjunto de observações

eliminadas e



y é um vetor de observações estimadas.

Além destas estatísticas de diagnósticos, utiliza-se também técnicas gráﬁcas para

ajudar na detecção de possíveis anomalias no ajuste. A seguir apresenta-se alguns

destes métodos gráﬁcos.

4.2 Análise gráﬁca de diagnóstico

O uso de gráﬁcos de diagnóstico é comum na análise de regressão para variáveis

respostas com distribuição normal, uma vez que estes servem para detectar observações

discrepantes ou comportamentos diferentes nos dados ou ainda veriﬁcar suposições

feitas na modelagem. Esta etapa envolve a construção de vário s tipos de gráﬁcos de

diagnóstico para veriﬁcar aspectos do modelo estimado, pois cada tipo de gráﬁco tenta

identiﬁcar determinados desvios do modelo.

Para regressão logística, deve-se atentar aos mesmos cuidados, pois se deve exa-

minar as relações entre a resposta e as variáveis explicativas para veriﬁcar se possíveis

melhorias podem vir a surgir como conseqüência dos gráﬁcos de diagnósticos. Neste

trabalho, procurou-se adequar estas análises gráﬁcas à situação em que os dados são

observados ao longo do tempo, e que tendem a ser correlacionados.

Na literatura pode-se encontrar gráﬁcos para este tipo de análise, porém será dada

ênfase aos mais signiﬁcativos no que se diz respeito à análise de diagnóstico no modelo

de regressão logística, tais como, os gráﬁcos de resíduos padroniza dos, distância de

Cook e envelope de simulação. Estes gráﬁcos fornecem uma avaliação da contribuição

de cada ponto nos valores das estatísticas de diagnóstico em função das probabilidades

estimadas. Por e xemplo, grandes valores do resíduo padronizado sugerem que, entre

as observações analisadas, existem candidatos a pontos aberrantes. Com o gráﬁco

da distância de Cook mostra-se a inﬂuência de cada observação nas estimativas dos

coeﬁcientes.

Landwehr, Pregibon e Shoemaker (19 84 ), citado em Farhat (2003), propuseram

e discutiram três métodos gráﬁcos que auxiliam na avaliação do ajuste do modelo de

regressão logística. Tais métodos são generalizações de g ráﬁcos já existentes adaptados

para levar em conta o aspecto binário da variável resposta. Sendo assim, será observado

o comportamento destes gráﬁcos na situação longitudinal.

O gráﬁco Q-Q e o de probabilidades simuladas são utilizados para detectar outliers

e para avaliar a adequabilidade do modelo, respectivamente. Outro gráﬁco comumente

utilizado é o gráﬁco de resíduos parciais com a ﬁnalidade de avaliar a linearidade do

modelo. Estes gráﬁcos são utilizados para o caso onde as observa ções são indepen-

dentes. Será mostrado aqui uma adaptação onde os dados são correlacionados.

Pode-se resumir que o resíduo usado no gráﬁco envelope de simulação, é a dife-

rença entre a observação y

e o valor ajustada y

. Sendo assim, o gráﬁco envelo pe de

simulação, para o caso onde a variável resposta é contínua, com distribuição normal,

pode ser obtido p elos seguintes passos:

(i) Para cada observação i, i = 1, 2, . . . , n, simula-se um vetor de respostas de

tamanho j, j = 1, 2, . . . , n

, levando em consideração a distribuição dos dados,

que nesta situação supõe-se que seja uma distribuição normal, em relação ao s

dados originais ajustados, o vetor de médias e a matriz de covariâncias;

(ii) Ajusta-se às respostas simuladas no passo anterior o mesmo modelo ajustado

para y;

(iii) Calculam-se os resíduos padronizados conforme expressão dada pela equação (4.6)

e, depois ordenam-se seus valores absolutos;

(iv) Repetem-se os passos (i) −(iii) mais 24 vezes. Deﬁne-se o (r

)

como sendo o

l-ésimo valor absoluto ordenado do resíduo padronizado pertencente à m-ésima

simulação, l = 1, 2, . . . , n e m = 1, 2, . . . , M, com M = 25. O valor M = 25

simulações é sugerido por Tan, Qu e Kutner (1997), citado em Venezuela (2003);

(v) Determina-se o mínimo, a mediana e o máximo dos menores valores absolutos

dos resíduos padronizados de todas as simulações;

(vi) Repete-se o passo a nterior para os segundos menores valores absolutos dos resí-

duos das simulações, (r

)

, em seguida, os terceiros (r

)

, e assim sucessi-

vamente, até os maiores valores absolutos dos resíduos simulados. Ao ﬁnal haverá

três vetores de tamanho n contendo os mínimos, as medianas e os máximos dos

resíduos padronizados, em valores absolutos;

(vii) Por ﬁm faz-se um gráﬁco contendo os valores mínimos, medianas e máximos dos

resíduos padronizados, como visto em Venezuela (2003).

Assim, pode-se concluir a partir do g ráﬁco de envelope simulado quando apresenta

grandes desvios dos pontos em torno da mediana dos valores simulados ou pontos

próximos dos limites ou fora destes, que o modelo não está bem ajustado.

Já com relação ao gráﬁco de envelope simulado para o modelo logístico, o proce-

dimento utilizado anteriormente sofre uma modiﬁcação no item (i), pois nesta situação

a distribuição usada é de Bernoulli.

Quando se utiliza o gráﬁco de resíduos parciais, por exemplo, no caso de regressão

linear normal, tem-se a ﬁnalidade de avaliar a necessida de de introduzir funções nã o

lineares das variáveis explicativas ou não no modelo. Todavia, devido à natureza binária

da variável y

, o gráﬁco de resíduos parciais consistirá de duas nuvens de pontos

separadas, uma correspondente a y

= 0 e a outra y

= 1. Por esse motivo Landwehr,

Pregibon e Shoemaker (1984) usaram o método de suavização proposto por Cleveland

(1979) co m o intuito de facilitar a determinação da tendência exibida por esse gráﬁco.

Neste trabalho não será explorado este tipo de gráﬁco, deixando como sugestão para

estudos futuros.

Após o ajuste do modelo e de ter a plicado algumas técnicas gráﬁcas, cabe ao es-

tatístico escolher o modelo que melhor representa o comportamento dos dados. Um dos

critérios de seleção de modelos, o critério de informação de Akaike (AIC), é comumente

utilizado. A expressão que deﬁne este critério é

AIC = −2l(



β; y) + 2p,

em que l(



β; y) é a função de verossimilhança,



β é o EMV de β sob o modelo candidato.

Assim de uma classe de modelos candidatos, em que cada um é indexado por β, é

escolhido o modelo que minimiza o AIC. Entretanto, este critério não se aplica quando

se utiliza o método EEG, pois o AIC é baseado na função de verossimilhança e nas

propriedades assintóticas destes estimadores, ao contrário do que ocorre no método

EEG, que está fundado no princípio de quase-verossimilhança.

Pan (2001) propôs uma modiﬁcaçã o do AIC, substituindo a função de verossi-

milhança (l(



β; y)) pela função de quase-verossimilhança (Q(



β; y)) e também fez uma

alteração no segundo termo da expressão do AIC. Este critério ﬁcou conhecido como

QIC, Quasi-likelihood Information Criterion, e é dado pela expressão

QIC

(R)

= −2Q(



β; y) + 2tr(W, V), (4.10)

onde Q(



β; y) é a função de quase-verossimilhança para o vetor de respostas y, W é

obtido pelo estimador V = −∂

Q(β; y)/∂β∂β

e W = A

R(α)A

, como visto na

seção (2.8.1). Este critério é usado quando é usado o modelo marginal.

Capítulo 5

Aplicação

Neste capítulo, procuramos modelar os dados segundo as técnicas vistas nos ca-

pitulos 2 e 3 e, depois fazer uma análise de diagnó stico como apresentado no capítulo

Os dados utilizados aqui, foram gentilmente fornecido pelo professor Dr. José

Rubens Rebellato, do Departamento de Fisioterapia da UFSCar. Este conjunto consta

de uma avaliação longitudinal em idosos no município de São Carlos/SP com o objetivo

de observar a melhoria da qualidade de vida destes idosos através de determinadas

atividades físicas. O procedimento para a coleta dos dados ocorreu da seguinte maneira:

todos os idosos foram submetidos a quatro avaliações ao ano, uma inicial, ou seja,

antes do início do programa de atividade física, e as outras foram realizadas a cada três

meses, totalizando dez medições ao longo do estudo. Também, é importante lembrar

que os idosos foram submetidos à avaliação médica que considerava características

físicas e histórico de enfermidades pregressas que impediam a participação em qualquer

das atividades previstas no prog rama. A seguir descreveremos as variáveis que foram

medidas nesta avaliaçã o:

 Equilíbrio dinâmico (y) - É a capacidade física que permite manter o corpo

em equilíbrio durante o movimento. Para esta medida foi demarcada no chão

(com ﬁta adesiva) uma faixa com largura de 33,3 centímetros e comprimento de

3,33 metros. O idoso permaneceu em pé ao lado externo da borda, com os pés

juntos, olhando para frente e depois, orientado a percorrer o trajeto demarcado,

na máxima velocidade que conseguia andar, mas sem correr. Ao ﬁnal do percurso

foi anotado o tempo gasto na travessia.

 Idade (x1) e sexo (x2).

 Pressão Arterial - Foi medida por um esﬁgmomanômetro e um estetoscópio,

onde foram coletadas as pressões arteriais sistólica (x3) (corresponde à pressão

da artéria) no momento em que o sangue foi bombeado pelo co ração , que, é

representado pelo maior valor, e a pressão arterial diastólica (x4) (corresponde

à pressão na mesma artéria, no momento em que o coração está relaxado após

uma contração e, é representado pelo menor va lor).

 Peso (x5) e altura (x6) - Foram medidos por meio de uma balança do tipo

plataforma, que continha um estadiômetro para veriﬁcação da estatura. Nesta

medição os idosos foram posicionados de costas para a balança e sem sapatos.

 Freqüência cardíaca (x7) - Para medição da freqüência cardíaca o paciente

permaneceu posicionado da mesma forma, e em seguida o avaliador colocou seus

dedos (2

◦

e 3

◦

dedos), sobre a artéria radia l localizada na parte lateral do punho,

tomando os batimentos cardíacos do indivíduo durante quinze segundos.

 Força muscular (x8) - É uma capacidade física que se utiliza quando se realiza

movimentos musculares para vencer algum tipo resistência. Foi medida por meio

da dinamômetria manual (os músculos responsáveis pelo movimento de pressão

da mão).

 Flexibilidade corporal (x9) - É a capacidade física que permite a realizaçã o

de movimentos com amplitude máxima, sem causar lesão. Foi avaliada por meio

de um equipamento denominado Banco de Wells, que identiﬁcava a ﬂexibilidade

anterior do tronco (cadeia muscular posterior).

 Equilibro estático perna esquerda (x10) e Equilibro estático perna di-

reita (x11) - É a capacidade física que permite manter o co rpo equilibrado em

posição estacionária. Foram realizados testes para a perna direita e a perna es-

querda. O idoso ﬁcou em pé com as mãos na cintura e foi orientado a olhar um

ponto ﬁxo (a uma distância de aproximadamente dois metros) e a ﬂexionar na

altura do joelho uma das pernas, dizendo o idoso se manter nessa posição por

pelo menos trinta segundos ou até ter se desequilibrado.

A variável Equilíbrio dinâmico foi escolhida como variável resposta neste estudo.

Desta forma, procurou-se modelar a resposta média do equilíbrio dinâmico com relação

às seguintes variáveis explicativas: tempo, idade dos pacientes, sexo, pressão arterial

sistólica, pressão arterial diastólica, peso, altura, freqüência cardíaca, força muscular,

ﬂexibilidade corporal, equilibro estático perna esquerda e direita. A Tabela (5) mostra

parte dos dados organizados na forma longitudinal.

Tabela 5.1: Dados referentes a avaliação de idosos para melhoria da qualidade de vida.

id o t x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 y status

1 1 1 65 F 140 90 83,7 1,69 60 30 340 5 19 2,02 1

2 1 2 65 F 130 90 86,5 1,69 56 29 355 10 27 2,06 1

3 1 3 65 F 140 90 86,5 1,69 64 31 357 21 25 1,89 1

4 1 4 65 F 130 80 87,3 1,70 64 30 373 24 20 1,97 1

5 1 5 65 F 140 100 84,9 1,70 60 28 345 24 12 2,11 1

6 1 6 65 F 130 90 87,6 1,69 56 30 346 23 28 1,76 1

7 1 7 66 F 150 90 87,0 1,69 76 31 364 24 23 1,86 1

8 1 8 66 F 130 90 88,5 1,69 72 30 365 28 22 1,75 1

9 1 9 66 F 120 80 86,2 1,69 84 31 336 30 30 1,69 1

10 1 10 66 F 130 80 86,6 1,69 72 33 370 29 30 1,63 1

361 37 1 51 F 130 90 70,2 1,52 76 40 355 30 30 2,28 1

362 37 2 51 F 120 70 69,8 1,52 88 39 360 30 30 2,15 1

363 37 3 52 F 110 80 71,1 1,54 88 38 375 30 30 2,06 1

364

37 4 52 F 110 90 69,8 1,52 84 40 363 30 30 1,89 1

365 37 5 52 F 125 80 70,2 1,51 88 37 386 30 30 2,26 1

366 37 6 52 F 120 80 70,9 1,52 60 42 365 30 30 1,76 1

367 37 7 53 F 130 80 72,8 1,52 72 40 352 30 30 1,69 1

368 37 8 53 F 120 80 72,2 1,52 60 40 355 30 30 1,64 1

369 37 9 53 F 120 90 73,0 1,52 88 39 360 30 30 1,57 1

370 37 10 53 F 120 90 70,8 1,52 60 40 360 30 30 1,54 1

Fonte: Projeto de reavitalização de adultos/DFisio - UFSCar

5.1 Análise Exploratória

Inicialmente, foi realizada uma análise exploratória no conjunto de dados, com

intuito de detectar algum tipo de anomalia, po r exemplo, pontos discrepantes ("out-

liers"). Também foram utilizados gráﬁcos boxplot e de perﬁs individuais, na tentativa

de observar como a variabilidade dos dados s e comporta ao longo do tempo e de identi-

ﬁcar padrões individuais que podem ocorrer. O pacote estatístico utilizado nesta etapa

da análise foi o software R, de domínio livre.

• Resumo estatístico dos dados

x1 - Idade

Mínimo 1

.Quartil Mediana Média 3

.Quartil Máximo

47,0 57,0 61,0 61,4 66,0 79,0

Figura 5.1: (b) Gráﬁco de perﬁs individuais da variável x1.

Observando as Figuras (5.1), nota-se que a idade média dos idosos envolvidos

neste estudo é de 61 anos, havendo um idoso com idade superior a 75 anos e outros

três com idade inferir a 50 anos. O conjunto de dados é composto por 30 idosos do

sexo feminino e 7 do sexo masculino.

x3 - Pressão arterial sistólica

Mínimo 1

.Quartil Mediana Média 3

.Quartil Máximo

90 110 120 123 130 170

Figura 5.2: (c) Boxplot da variável x3 e (d) Gráﬁco de perﬁs individuais.

x4 - Pressão arterial diastólica

Mínimo 1

.Quartil Mediana Média 3

.Quartil Máximo

50,0 70,0 80,0 78,4 80,0 100,0

Figura 5.3: (e) Boxplot da variável x4 e (f) Gráﬁco de perﬁs individuais.

As Figuras (5.2) e (5.3), referentes a pressão arterial sistólica e diastólica, res-

pectivamente, mostram uma pressão média em torno de 1 2,3 (mmHg) / 7,8(mmHg).

Porém, há uma observação de uma pressão 17/10 (mmHg), indicando indício de uma

hipotensão moderada.

x5 - Peso

Mínimo 1

.Quartil Mediana Média 3

.Quartil Máximo

44,6 60,5 69,7 68,9 74,3 94,8

Figura 5.4: (g) Boxplot da variável x5 e (h) Gráﬁco de perﬁs individuais.

x6 - Altura

Mínimo 1

.Quartil Mediana Média 3

.Quartil Máximo

1,44 1,53 1,58 1,59 1,64 1,81

Figura 5.5: (i) Boxplot da variável x6.

Observando a Figura (5.4), referente a variável peso, veriﬁca-se que o peso médio

ao long o do tempo está em torno de 68,86 Kg. Já com relação à Figura (5.5), eferente

à variável a ltura, observa-se que a maior parte dos idosos mede entre 1,5 e 1,7m.

Uma relação entre estas duas medidas é conhecida com IMC (Índice de Massa

Corpórea), dada pela relação peso por altura ao quadrado. Segundo a Organização

Mundial de Saúde, uma pessoa com um IMC acima de 25 é considerada levemente

obesa, po dendo ter complicações futuras com a saúde.

x7 - Freqüência cardíaca

Mínimo 1

.Quartil Mediana Média 3

.Quartil Máximo

44,0 64,0 72,0 72,4 80,0 100,0

Figura 5.6: (l) Boxplot da variável x7 e (k) Gráﬁco de perﬁs individuais.

A freqüência cardíaca, visualizada nas Figuras (5.6) (l) e (k), apresenta pequena

variação ao longo do tempo, o que é esperado, para esta faixa etária.

x8 - Força muscular

Mínimo 1

.Quartil Mediana Média 3

.Quartil Máximo

16,0 27,0 32,0 33,8 40,0 67,0

Figura 5.7: (m) Boxplot da variável x8 e (n) Gráﬁco de perﬁs individuais.

x9 - Flexibilidade

Mínimo 1

.Quartil Mediana Média 3

.Quartil Máximo

90 214 290 283 355 447

Figura 5.8: (o) Boxplot da variável x9 e (p) Gráﬁco de perﬁs individuais.

A fo rça muscular média obtida ao longo do estudo foi de 33,8 libras. Nas Figuras

(5.7) (m) e (n), pode-se observar que não houve muita variação, pois a maior parte

dos idoso s tem a medida da força muscular inferior a 50 libras, e apenas um idoso

apresentou força superior a 50 libras.

Outra medida analisada neste estudo foi a ﬂexibilidade corporal. Seu compor-

tamento pode ser visto nas ﬁguras (5.8) (o) e (p). Esta variável mediu a capacidade

física que o idoso tem de realizar certos movimentos, por exemplo, sentar, levantar

ou locomover-se com agilidade, sem causar lesões. Observa-se uma certa variabilidade

entre os idosos no decorrer do estudo.

x10 - Equilíbrio estático P.E.

Mínimo 1

.Quartil Mediana Média 3

.Quartil Máximo

3,0 23,0 30,0 25,2 30,0 30,0

Figura 5.9: (q) Boxplot da variável x10 e (r) Gráﬁco de perﬁs individuais.

x11 - Equilíbrio estático P.D.

Mínimo 1

.Quartil Mediana Média 3

.Quartil Máximo

0,0 21,0 30,0 24,6 30,0 30,0

Figura 5.10: (s) Boxplot da variável x11 e (t) Gráﬁco de perﬁs individuais.

y - Equilíbrio dinâmico

Mínimo 1

.Quartil Mediana Média 3

.Quartil Máximo

1,13 1,71 1,93 1,94 2,15 3,13

Figura 5.11: (u) Boxplot da variável y e (v) Gráﬁco de perﬁs individuais.

As Figuras (5.9) e (5.10), referentes ao equilíbrio estático PDA e PEA, respectiva-

mente, mostram um leve aumento no tempo do idoso de manter seu corpo em equilíbrio

ao executar determinada atividade.

Já o equilíbrio dinâmico, representado na Figura (5.11), mostra que houve uma

melhora nos idosos, ao longo do tempo, na capacidade de manter o corpo equilibrado

durante o movimento, sem sofrer alg uma lesã o.

Figura 5.12: Gráﬁco de disersão de pares.

As correlações vista na Figura (5.12), mostram que há uma correlação moderada

entre as variáveis x3 (Pressão Arterial Sistólica) e x4(Pressão Arterial Diastólica), (ρ =

0, 6744), e, também entre as variáveis x6(Altura) e x8(Força muscular), (ρ = 0, 6306).

5.2 Modelagem com variável resposta contínua

Após uma análise exploratória nos dados, foram ajustados modelos de regressão,

conforme descrito no capítulo 2, nas seções (2.3.1) e (2.3.3), referentes a modelagem

marginal e modelagem com efeitos mistos para variável resposta contínua. Como os

indivíduos foram observados ao longo do tempo, uma estrutura de correlação foi uti-

lizada, como visto na seção (2.3.1).

No ajuste deste modelo, foram utilizados os pacotes gee e nlme, do software R.

Depois, veriﬁcou-se através de técnicas gráﬁcas, vistas no capítulo 4, co mo os resíduos

se comportaram e calcula ram-se, a distância de Cook, para averiguar a inﬂuência das

variáveis explicativas nas estimativas dos parâmetros. Também utilizou-se o envelope

de simulação, para veriﬁcar a adequabilibade do modelo.

5.2.1 Modelo marginal

Neste ajuste foi utilizado o modelo marginal, conforme expressão dada na equação

(2.23), se ndo y

a variável resposta (Equilíbrio dinâmico) e utilizada uma estrutura de

correlação uniforme, vista na seção (2.3.1). A Tabela (5.2) apresenta os resultados

deste ajuste.

Tabela 5.2: Estimativas dos parâmetros e P-valores do modelo marginal com resposta

contínua ajustado com estrutura de correlação uniforme (EX).

Coeﬁcientes Estimativas(EX) P-valor(EX) Estimativas(EX*) P-valor(EX*)

(Intercepto) 2,16392 0,00111 2,27104 0,00104

x1 0,01154 0,00795 0,01170 0,01154

x2 -0,27173 0,06013 -0,24464 0,08908

x3 0,00121 0,22953 0,00080 0,42492

x4 -0,00198 0,24686 -0,00071 0,63244

x5 0,00086 0,71575 0,00087 0,71871

x6 -0,30401 0,52392 -0,41236 0,39245

x7 0,00191 0,17919 0,00253 0,05410

x8 0,00048 0,88711 -0,00055 0,86324

x9 -0,00050 0,11579 -0,00055 0,09791

x10 -0,00330 0,07450 -0,00322 0,08122

x11 -0,00462 0,02708 -0,00373 0,04764

t -0,04916 0,00000 -0,05251 0,00000

(*) ajuste sem o quarto indivíduo

A Figura (5.13), apresenta os gráﬁcos distância de Cook e resíduos padronizados

do modelo de regressão normal quando ajustado com estrutura de correlação uniforme.

Observa-se um valor discrepante, referente a observação 40, que pode ser um possível

ponto de inﬂuência e, está inﬂuenciando na estimativa dos parâmetros. Este ponto

Figura 5.13: Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo marginal com

resposta contínua ajustado com estrutura de correlação uniforme.

também se destaca no gráﬁco de envelope de simulação, mostrado na Figura (5.14),

que apresenta quatro versões do mesmo gráﬁco, com escalas diferentes, para esclarecer

se os pontos do canto inferior esquerdo estão dentro ou fora do intervalo.

O gráﬁco de envelope simulado tem por ﬁnalidade veriﬁcar a adequabilidade

do modelo ajustado. Se muitos pontos estiverem fora do intervalo de credibilidade o

ajuste não é recomendado. Olhando para a Figura (5.14), observa-se que os G ráﬁcos de

envelope simulado (a.1), (a.2) e (a.3), mostram que a estrutura de correlação uniforme

não é adequada para estes dados.

Refazendo a análise, agora sem o quarto indivíduo que possui uma observação

discrepante, nota-se que a s estimativas dos parâmetros (Tabela (5.2), (EX*)) não so-

freram grandes modiﬁcações, indicando que esta observação não era muito inﬂuente.

A Figura (5.15) se refere à análise de resíduos após a redirada do indivíduo com ob-

servação discrepante segundo a Figura (5.13), mostra a existência de outros valores

discrepantes que não são tão inﬂuentes.

Quando analizamos a Figura (5.16), observa-se que o gráﬁco de envelope simulado

tem uma leve melhora quanto a disposição dos pontos no gráﬁco, quando eliminamos

a observação discrepante.

Figura 5.14: Envelopes simulados do modelo marginal com resposta contínua ajustado

com estrutura de correlação uniforme.

Figura 5.15: Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo marginal com res-

posta contínua ajustado com estrutura de correlação uniforme sem o quarto indivíduo.

Figura 5.16: Envelope de simulação do modelo marginal com resposta contínua ajus-

tado com estrutura de correlação uniforme sem o quarto indivíduo.

A seguir foi ajustado o modelo de regressão com estrutura de correlação AR-1

e pode-se observar que também aparece uma observação que se destaca das demais,

como é mostrado nos Gráﬁcos (5.19), da distância de Cook e do resíduo padronizado,

podendo estar ou não inﬂuenciando na estimativa dos parâmetros. A ﬁgura (5.20),

mostra que o modelo com a estrutura AR-1 é um pouco mais adequada do que o

modelo com estrutura de correlação uniforme (EX).

Tabela 5.3: Estimativas dos parâmetros e P-valores do modelo marginal com resposta

contínua ajustado com estrutura de correlação AR-1.

Coeﬁcientes Estimativas(AR-1) P-valor(AR-1) Estimativas(AR-1*) P-valor(AR-1*)

(Intercepto) 2,13084 0,00222 2,11465 0,00396

x1 0,01020 0,02775 0,01099 0,02244

x2 -0,27171 0,06389 -0,25540 0,07645

x3 0,00233 0,03006 0,00192 0,07027

x4 -0,00206 0,21978 -0,00102 0,53963

x5 -0,00057 0,80560 -0,00053 0,82229

x6 -0,28321 0,57297 -0,30770 0,54267

x7 0,00184 0,12371 0,00176 0,14207

x8 0,00041 0,92001 -0,00046 0,90487

x9 -0,00051 0,09566 -0,00050 0,09362

x10 -0,00234 0,21882 -0,00232 0,21364

x11 -0,00434 0,04562 -0,00364 0,07222

t -0,04499 0,00000 -0,04876 0,00000

(*) ajuste sem o quarto indivíduo

Figura 5.17: Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo marginal com

resposta contínua ajustado com estrutura de correlação AR-1, com todos os indivíduos.

Figura 5.18: Envelope de simulação do modelo marginal com resposta contínua ajus-

tado com estrutura de correlação AR-1, com todos os indivíduos.

Figura 5.19: Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo marginal com

resposta contínua ajustado com estrutura de correlação AR- 1, sem o quarto indivíduo.

Figura 5.20: Envelope de simulação do modelo marginal com resposta contínua ajus-

tado com estrutura de correlação AR-1, sem o quarto indivíduo.

5.2.2 Modelo com efeito aleatório

Agora, ajustamos aos dados um modelo de regressão com intercepto aleatório

dado pela expressão (2.13), visto no capítulo 2. Este modelo se diferencia do modelo

marginal, por ser capaz de captar características de cada indivíduo. Como estrutura de

correlação, utilizou-se na modelage m a estrutura AR-1, e os resultados sã o apresentado s

na Tabela (5.4).

Na Figura (5.21), a observação 40 se destaca das demais, mas não parece inﬂuen-

ciar nas estimativas dos parâmetros. Assim, pode-se dizer que este modelo é adequado

aos dados, apesar de alguns pontos ﬁcarem fora do intervalo de credibilidade mostrado

na Figura (5.22).

Tabela 5.4: Estimativas dos parâmetros e P-valores do modelo misto com resposta

contínua com intercepto aleatório ajustado com estrutura de correlação AR-1.

Coeﬁcientes Estimativas P-valor

(Intercepto) 2,16184 0,00541

x1 0,01184 0,02207

x2 -0,27717 0,02411

x3 0,00102 0,37968

x4 -0,00175 0,33582

x5 0,00113 0,71052

x6 -0,32930 0,48599

x7 0,00188 0,15038

x8 0,00085 0,79875

x9 -0,00049 0,14216

x10 -0,00338 0,09505

x11 -0,00456 0,02580

t -0,04928 0,00000

Figura 5.21: Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo misto com res-

posta contínua com intercepto aleatório ajustado com estrutura de correlação AR-1.

Figura 5.22: Envelope de simulação do modelo misto com resposta contínua com in-

tercepto aleatório ajustado com estrutura de correlação AR-1.

5.3 Modelagem com variável resposta binária

Nesta etapa, a variável equilíbrio dinâmico foi categorizada tomando o valor 0

para valores > 2, 34, e, 1 caso contrário. Esta nova variável recebeu o nome de status,

Matsudo (2000 ). A transformação foi realizada com o intuito de utilizar à meto do log ia

apresentada no capítulo 3, como também as técnicas de diagnóstico do capítulo 4.

Quanto à modelagem, utilizaram-se o modelo marginal e o modelo misto com intercepto

aleatório, como será visto a seguir.

5.3.1 Modelo marginal

O modelo marginal aplicado aqui, foi o apresentado na seção (2.3.1). Foi feita

uma análise dos dados aplicando o modelo visto em (3.8), com estruturas de correlação

uniforme e AR-1, e os gráﬁcos distância de Cook, resíduos padronizados e envelope de

simulação estão apresentados nas Figuras (5.23) a (5.26).

Observa-se que a estutura de correlação AR-1 melhor se adaptou aos dados e uma

conﬁrmação deste ajuste pode ser visto no envelope de simulação mostrado na Figura

(5.26).

Tabela 5.5: Estimativas dos parâmetros e P-valores do modelo marginal com resposta

binária ajustado com estruturas de correlação uniforme(EX) e AR-1.

Coeﬁcientes Estimativas(EX) P-valor(EX) Estimativas(AR-1) P-valor(AR-1)

(Intercepto) 5,41090 0,37464 3,26254 0,5840

x1 0,06353 0,17451 0,01099 0,02244

x2 -0,82755 0,48984 -0,54757 0,58810

x3 0,01059 0,48901 0,02259 0,13650

x4 0,01796 0,44993 -0,00136 0,95140

x5 -0,00564 0,72698 0,00284 0,83240

x6 -4,20234 0,31982 -3,19791 0,43460

x7 0,00247 0,90142 0,00879 0,65640

x8 -0,03345 0,38757 -0,05150 0,17180

x9 -0,00317 0,34350 -0,00360 0,20700

x10 -0,04154 0,07816 -0,01678 0,5011

x11 -0,02078 0,30433 -0,02358 0,3130

t -0,37130 0,00000 -0,36984 0,00000

Figura 5.23: Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo marginal com

resposta binária ajustado com estrutura de correlação uniforme.

Figura 5.24: Envelope de simulação do modelo marginal com resposta binária ajustado

com estrutura de correlação uniforme.

Figura 5.25: Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo marginal com

resposta binária ajustado com estrutura de correlação AR-1.

Figura 5.26: Envelope de simulação do modelo marginal com resposta binária ajustado

com estrutura de correlação AR-1.

5.3.2 Modelo com efeito aleatório

Por último ajustamos aos dados o modelo misto com intercepto aleatório, con-

forme expressão vista em (3.11), com estrutura de correlação AR- 1, apresentada na

seção (2.3.1). Podemos observar que esta estrutura se ajusta bem como mostram as

Figuras 5.27 e 5.28, respectivamente.

Tabela 5.6: Estimativas dos parâmetros e P-valores do modelo misto com resposta

binária com intercepto aleatório ajustado com estrutura de correlação AR-1.

Coeﬁcientes Estimativas P-valor

(Intercepto) 5,58426 0,51694

x1 0,11207 0,04578

x2 -1,59829 0,25283

x3 0,00530 0,72861

x4 0,02798 0,25593

x5 -0,00198 0,95362

x6 -6,33352 0,21968

x7 0,00485 0,79166

x8 -0,01133 0,80287

x9 -0,00425 0,27496

x10 -0,05446 0,03412

x11 -0,02101 0,41378

t -0,49936 0,00000

Figura 5.27: Distância de Cook e Resíduos padronizados do modelo misto com res-

posta binária com intercepto aleatório ajustado com estrutura de correlação AR-1.

Figura 5.28: Envelope de simulação do modelo misto com resposta binária com inter-

cepto aleatório ajustado com estrutura de correlação AR-1.

5.4 Conclusões

Analisando os modelos aplicados aos dados vistos nas seções anteriores, observou-

se que o modelo misto com apenas o intercepto aleatório, tanto com resposta contínua

quanto com resp o sta binária, mostrou-se mais sensível em detectar características típi-

cas individuais, em relação ao modelo marginal. Constatou-se que para a variável

resposta dicotomizada, o gráﬁco envelope de simulação, sob a estrutura de correlação

AR-1, manteve em seus intervalos todos os pontos, ao contrário do mesmo gráﬁco para

o caso em que a variável resposta era contínua, em alguns pontos estavam bem distantes

dos demais.

Com relação à signiﬁcância das variáveis, observou-se que idade (x1), sexo (x2) e

equilíbrio perna direita (x11), juntamente com o tempo (t), mostraram-se signiﬁcativas

para o modelo, a um nível de probabilidade de aceitação de 0,05, no caso contínuo.

Já no caso binário apenas as variáveis idade (x1), equilíbrio perna esquerda (x10) e o

tempo foram signiﬁcativas sob o modelo com estrutura de correlação AR-1.

Assim, neste estudo longitudinal o modelo misto apenas com o intercepto aleatório

e estrutura de correlação AR-1 apresentou-se mais adequado para o caso contínuo como

para o caso discreto.

Capítulo 6

Conclusões e sugestões futuras

No desenvolvimento deste trabalho, foram encontrados na literatura no que diz

respeito à modelagem de dados longitudinais, quando a variável resposta é contínua.

Também encontraram-se trabalhos descrevendo as técnicas de seleção e de diagnósticos

para este tipo de modelagem. Porém o mesmo não ocorreu quando a va riável resposta

é binária, pois alguns traba lhos abordam o ajuste de modelo, mas quanto à parte de

seleção e diagnóstico, poucos trabalhos apresentavam a metodologia de forma completa

e organizada.

As metodologias descritas foram aplicadas a um conjunto de dados reais com o

objetivo de utilizar as técnicas de diagnóstico para deﬁnir um melhor modelo. No caso

do exemplo apresentado, observou-s e que o modelo misto com intercepto aleatório e

estrutura de correlação AR-1 se adaptou adequadamente aos dados quando a variável

resposta é contínua e quando é binária.

Dentre as sugestões para continuidade deste trabalho podem ser citadas, a explo-

ração do modelo misto com covariáveis aleatórias quando a variável resposta é binária

e a imputação para observações. Outro tópico de interesse é a parte de diagnóstico

e seleção de modelos, que consiste em pesquisar sobre gráﬁcos de resíduos parciais e

critério de seleção do tipo AIC para modelos mistos longitudinais assumindo que a

variável resposta é binária.

Apêndice A

Conjunto de dados

Tabela A.1: Dados do projeto de reavitalização de adultos/DFisio - UFSCar

o t x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 y status

1 1 65 0 140 90 83,70 1,69 60 30 340 5 19 2,02 1

1 2 65 0 130 90 86,50 1,69 56 29 355 10 27 2,06 1

1 3 65 0 140 90 86,50 1,69 64 31 357 21 25 1,89 1

1 4 65 0 130 80 87,30 1,70 64 30 373 24 20 1,97 1

1 5 65 0 140 100 84,90 1,70 60 28 345 24 12 2,11 1

1 6 65 0 130 90 87,60 1,69 56 30 346 23 28 1,76 1

1 7 66 0 150 90 87,00 1,69 76 31 364 24 23 1,86 1

1 8 66 0 130 90 88,50 1,69 72 30 365 28 22 1,75 1

1 9 66 0 120 80 86,20 1,69 84 31 336 30 30 1,69 1

1 10 66 0 130 80 86,60 1,69 72 33 370 29 30 1,63 1

2 1 68 0 120 80 72,10 1,58 68 23 240 20 0 1,94 1

2 2 68 0 100 70 72,90 1,57 80 18 250 8 2 2,07 1

2 3 69 0 115 80 72,40 1,58 88 28 250 6 13 2,42 1

2 4 69 0 120 80 71,80 1,57 68 24 214 4 3 2,16 1

2 5 70 0 110 80 74,40 1,58 64 24 250 7 10 1,99 1

2 6 70 0 130 80 71,80 1,58 76 25 218 14 7 1,71 1

2 7 70 0 110 70 71,20 1,57 84 22 245 19 7 1,85 1

2 8 70 0 120 80 71,00 1,57 78 26 255 5 5 2,05 1

2 9 70 0 140 90 70,00 1,56 80 24 275 5 8 1,79 1

2 10 71 0 120 70 70,00 1,58 84 26 262 9 9 2,14 1

3 1 57 1 130 90 81,60 1,81 72 62 204 27 30 1,79 1

3 2 57 1 140 90 80,20 1,80 84 54 210 30 30 1,69 1

3 3 58 1 120 80 79,40 1,81 80 56 252 29 30 1,77 1

3 4 59 1 130 90 79,70 1,81 64 57 225 30 30 1,72 1

3 5 58 1 120 70 80,00 1,80 64 64 245 30 30 1,70 1

3 6 58 1 110 80 80,80 1,80 60 59 226 30 30 1,61 1

3 7 59 1 140 90 79,70 1,81 72 66 217 30 30 1,58 1

3 8 59 1 120 80 81,40 1,81 80 65 195 30 30 1,51 1

3 9 59 1 120 80 80,80 1,80 80 62 180 30 30 1,46 1

3 10 59 1 120 80 82,10 1,81 80 67 175 30 30 1,42 1

4 1 47 0 120 80 63,80 1,54 100 36 300 30 30 1,71 1

4 2 47 0 90 60 59,60 1,53 100 40 350 30 30 1,61 1

4 3 47 0 100 70 56,80 1,54 88 42 359 30 30 1,94 1

4 4 48 0 105 60 56,80 1,53 84 44 335 30 30 1,74 1

4 5 48 0 110 70 57,10 1,52 88 42 342 30 30 1,56 1

4 6 48 0 90 70 58,10 1,52 72 37 352 30 30 1,49 1

4 7 48 0 100 70 59,10 1,53 80 43 358 30 30 1,64 1

4 8 49 0 105 75 59,10 1,53 80 42 343 30 30 1,71 1

4 9 49 0 100 60 58,70 1,54 80 38 350 30 30 1,41 1

4 10 49 0 100 60 60,70 1,54 80 43 362 30 30 3,13 0

5 1 75 0 130 90 72,90 1,49 80 22 220 21 16 2,22 1

5 2 75 0 130 90 73,00 1,51 84 22 235 25 30 2,20 1

5 3 78 0 130 80 72,90 1,50 72 26 240 30 11 2,36 0

5 4 75 0 120 80 74,80 1,50 68 27 206 3 13 2,01 1

5 5 78 0 130 90 72,80 1,49 72 22 233 4 20 2,26 1

5 6 78 0 130 80 72,50 1,49 60 22 233 18 21 2,03 1

5 7 79 0 140 90 71,10 1,50 60 25 232 8 18 1,94 1

5 8 79 0 120 80 73,00 1,50 60 23 222 10 23 1,84 1

5 9 79 0 140 90 73,50 1,50 64 20 212 8 14 2,05 1

5 10 79 0 160 80 73,50 1,49 60 23 240 15 22 1,87 1

6 1 65 0 120 70 46,90 1,62 76 28 275 16 18 3,02 0

6 2 65 0 120 80 46,40 1,59 80 28 325 25 14 2,40 0

6 3 66 0 110 70 44,60 1,61 84 32 348 18 23 2,35 0

6 4 66 0 120 80 45,40 1,60 68 32 374 27 28 2,24 1

6 5 66 0 130 90 46,70 1,60 80 30 373 20 24 2,12 1

6 6 66 0 140 70 46,90 1,62 68 31 351 23 21 1,84 1

6 7 66 0 115 75 47,50 1,60 68 32 354 30 28 1,49 1

6 8 67 0 120 80 47,60 1,60 84 32 380 30 19 1,97 1

6 9 67 0 120 80 48,10 1,60 68 28 350 30 30 1,75 1

6 10 67 0 150 80 50,00 1,60 72 33 390 30 30 1,59 1

7 1 64 0 130 80 60,10 1,53 68 16 195 30 30 1,96 1

7 2 65 0 170 90 58,90 1,53 60 26 280 29 30 2,16 1

7 3 65 0 120 80 59,90 1,53 80 26 232 30 30 2,04 1

7 4 65 0 110 80 61,30 1,53 64 25 210 30 30 2,09 1

7 5 66 0 110 70 60,00 1,52 72 23 243 30 30 1,89 1

7 6 66 0 130 80 58,50 1,53 72 27 262 30 30 1,90 1

7 7 66 0 100 70 58,30 1,52 64 22 250 30 30 1,61 1

7 8 66 0 115 65 59,40 1,52 72 24 199 30 30 1,85 1

7 9 66 0 125 80 58,30 1,53 68 25 225 30 30 1,73 1

7 10 67 0 140 90 61,60 1,52 68 22 215 30 30 1,73 1

8 1 59 0 120 80 65,20 1,64 68 50 395 30 30 1,78 1

8 2 60 0 120 80 65,00 1,63 72 46 422 30 30 1,91 1

8 3 60 0 110 80 65,00 1,64 68 45 420 30 30 1,85 1

8 4 60 0 110 70 63,30 1,63 76 43 411 30 30 1,70 1

8 5 60 0 120 70 63,00 1,64 72 42 415 30 30 1,72 1

8 6 61 0 120 80 63,90 1,64 68 42 433 30 30 1,86 1

8 7 61 0 120 80 64,00 1,63 64 42 395 30 30 1,74 1

8 8 61 0 110 80 63,80 1,64 60 40 402 30 30 1,60 1

8 9 61 0 115 75 65,30 1,64 72 38 408 30 30 1,66 1

8 10 62 0 110 80 65,30 1,65 68 46 410 30 30 1,50 1

9 1 56 0 120 80 65,20 1,55 80 26 380 20 0 2,27 1

9 2 56 0 130 90 63,00 1,54 72 28 390 13 14 2,12 1

9 3 57 0 120 80 65,10 1,55 68 24 385 30 13 2,08 1

9 4 57 0 130 80 65,30 1,56 68 22 384 29 15 1,99 1

9 5 57 0 140 90 66,00 1,55 60 26 366 28 11 2,26 1

9 6 57 0 120 80 66,40 1,55 60 26 386 17 30 2,05 1

9 7 58 0 120 80 67,00 1,55 60 26 375 24 30 1,92 1

9 8 58 0 120 80 67,40 1,55 64 24 404 25 23 1,82 1

9 9 58 0 130 70 66,80 1,55 72 24 387 26 30 1,95 1

9 10 58 0 140 80 66,90 1,55 60 26 390 22 27 1,65 1

10 1 69 1 110 60 84,00 1,68 80 42 160 27 25 1,90 1

10 2 69 1 120 80 86,80 1,69 76 49 180 28 22 2,71 0

10 3 70 1 105 70 83,70 1,68 64 46 193 28 28 2,06 1

10 4 70 1 115 75 83,80 1,69 64 42 167 29 30 2,01 1

10 5 70 1 110 70 83,00 1,69 44 46 183 30 30 2,12 1

10 6 70 1 120 80 85,10 1,69 68 48 161 30 30 1,92 1

10 7 70 1 120 80 83,20 1,68 64 54 174 30 30 2,01 1

10 8 71 1 120 80 87,00 1,69 68 46 164 30 30 1,75 1

10 9 71 1 120 75 82,90 1,69 64 44 183 26 30 2,08 1

10 10 71 1 100 60 82,80 1,69 64 44 195 30 30 1,78 1

11 1 60 1 120 80 76,00 1,57 84 45 261 12 17 1,65 1

11 2 60 1 140 90 79,50 1,58 68 50 265 26 8 1,86 1

11 3 61 1 130 90 79,50 1,57 68 50 290 26 25 1,60 1

11 4 61 1 120 90 80,50 1,57 64 52 287 30 30 1,57 1

11 5 61 1 130 100 80,90 1,58 84 49 290 30 30 1,41 1

11 6 61 1 130 80 81,40 1,58 76 47 242 28 25 1,41 1

11 7 62 1 140 90 79,80 1,57 72 52 290 30 30 1,30 1

11 8 62 1 130 90 79,60 1,57 72 43 277 30 30 1,34 1

11 9 62 1 120 90 79,80 1,57 80 44 262 29 26 1,28 1

11 10 62 1 160 90 81,30 1,58 72 46 270 30 30 1,22 1

12 1 68 1 120 80 81,50 1,67 68 46 128 26 11 2,01 1

12 2 68 1 140 90 82,30 1,68 72 50 160 24 16 2,27 1

12 3 68 1 120 80 83,40 1,68 68 44 137 5 18 2,38 1

12 4 68 1 120 70 83,60 1,67 72 43 135 23 23 2,00 1

12 5 69 1 130 80 82,90 1,68 76 40 145 14 16 1,93 1

12 6 69 1 140 90 84,00 1,68 64 42 192 29 30 1,92 1

12 7 69 1 140 90 82,20 1,67 68 41 140 21 14 1,86 1

12 8 69 1 140 90 83,50 1,68 72 44 149 30 9 1,85 1

12 9 70 1 130 85 82,80 1,67 72 42 175 14 30 1,91 1

12 10 70 1 140 90 81,50 1,68 80 38 170 12 30 1,71 1

13 1 50 0 100 70 62,30 1,60 60 42 418 30 26 1,73 1

13 2 50 0 100 70 62,30 1,59 72 36 415 30 28 1,71 1

13 3 51 0 110 70 62,80 1,61 76 40 444 27 30 1,80 1

13 4 51 0 90 60 62,40 1,60 84 41 432 30 30 2,00 1

13 5 51 0 100 60 61,50 1,60 68 39 447 30 30 1,72 1

13 6 51 0 110 70 62,10 1,61 76 44 432 30 30 1,54 1

13 7 51 0 105 70 63,00 1,60 64 44 430 30 30 1,47 1

13 8 52 0 100 70 64,00 1,59 68 44 426 30 30 1,65 1

13 9 52 0 100 60 63,80 1,59 76 42 430 30 30 1,42 1

13 10 52 0 110 70 65,30 1,60 80 48 420 30 30 1,53 1

14 1 68 1 140 80 75,10 1,73 64 38 106 21 20 2,25 1

14 2 68 1 150 80 77,30 1,73 60 40 120 17 27 2,34 1

14 3 69 1 150 70 76,40 1,73 64 38 139 20 22 2,53 0

14 4 69 1 140 65 77,70 1,73 64 40 160 13 21 2,44 0

14 5 69 1 170 70 76,10 1,73 64 42 130 13 20 2,16 1

14 6 69 1 140 80 77,80 1,72 64 38 170 22 28 2,19 1

14 7 69 1 130 70 78,80 1,72 60 42 140 19 19 2,00 1

14 8 70 1 140 70 79,60 1,72 60 40 121 19 30 1,96 1

14 9 70 1 130 80 78,80 1,73 60 32 154 30 29 1,98 1

14 10 70 1 140 80 80,50 1,73 64 42 135 30 20 1,95 1

15 1 65 0 120 80 60,90 1,63 72 35 200 30 30 1,92 1

15 2 65 0 120 80 60,10 1,62 76 32 230 23 30 2,55 0

15 3 66 0 120 80 59,20 1,63 68 39 268 30 30 1,93 1

15 4 66 0 120 70 59,60 1,63 68 36 220 30 30 1,87 1

15 5 66 0 120 80 57,00 1,63 64 32 231 30 30 1,83 1

15 6 66 0 120 80 59,50 1,61 72 35 283 30 30 1,73 1

15 7 66 0 120 90 59,30 1,63 68 38 283 30 30 1,73 1

15 8 67 0 120 80 57,50 1,63 80 42 319 30 30 1,76 1

15 9 67 0 120 80 58,70 1,62 72 35 280 30 30 1,63 1

15 10 67 0 130 80 59,80 1,63 68 33 275 30 30 1,43 1

16 1 48 0 110 60 48,50 1,52 72 28 330 30 30 2,19 1

16 2 48 0 120 80 45,60 1,51 64 30 335 30 30 1,89 1

16 3 49 0 110 60 45,60 1,51 72 28 340 30 30 1,76 1

16 4 49 0 90 60 44,80 1,51 64 25 310 30 30 1,73 1

16 5 49 0 110 70 48,50 1,52 64 29 337 30 30 1,57 1

16 6 49 0 120 60 48,10 1,51 68 28 310 30 30 2,03 1

16 7 50 0 100 60 49,10 1,51 60 26 360 30 30 1,73 1

16 8 50 0 100 65 48,60 1,52 64 24 363 30 30 1,76 1

16 9 50 0 100 70 47,90 1,51 80 23 313 30 30 1,57 1

16 10 50 0 100 60 47,70 1,52 80 24 363 30 30 1,56 1

17 1 57 0 120 90 53,20 1,45 100 27 317 30 30 2,33 1

17 2 57 0 120 80 55,50 1,44 96 28 325 24 27 2,90 0

17 3 58 0 110 80 59,50 1,46 84 28 310 30 30 2,73 0

17 4 58 0 120 70 57,60 1,46 72 25 307 30 30 2,14 1

17 5 58 0 130 80 57,60 1,46 64 30 305 30 27 2,25 1

17 6 58 0 120 70 58,00 1,46 76 30 296 30 30 2,13 1

17 7 59 0 120 70 57,50 1,45 72 31 295 30 30 1,92 1

17 8 59 0 120 80 58,70 1,45 72 30 279 30 26 1,84 1

17 9 59 0 120 80 57,40 1,45 76 30 275 27 30 2,02 1

17 10 59 0 100 80 55,90 1,45 68 28 302 30 30 1,81 1

18 1 65 0 110 60 59,70 1,59 72 24 365 28 19 2,55 0

18 2 66 0 140 70 56,80 1,58 76 29 390 25 30 2,78 0

18 3 66 0 120 70 57,30 1,59 76 26 401 30 30 2,42 0

18 4 66 0 110 50 57,40 1,58 76 27 399 24 29 2,26 1

18 5 67 0 120 60 59,00 1,58 68 22 400 30 30 2,20 1

18 6 67 0 120 70 58,80 1,57 76 26 401 30 30 1,82 1

18 7 67 0 140 60 59,30 1,58 76 22 385 30 30 2,10 1

18 8 67 0 125 60 59,20 1,58 80 22 407 30 30 1,80 1

18 9 68 0 120 60 59,10 1,58 72 24 395 30 30 1,98 1

18 10 68 0 120 70 59,80 1,58 84 28 393 30 30 1,89 1

19 1 61 0 110 70 67,20 1,62 68 34 326 27 29 1,83 1

19 2 61 0 110 70 68,90 1,61 84 30 340 11 28 2,14 1

19 3 61 0 100 70 67,10 1,60 76 34 388 28 30 1,85 1

19 4 61 0 110 70 68,40 1,60 72 32 399 30 25 1,94 1

19 5 61 0 110 80 69,40 1,61 80 34 393 30 30 1,93 1

19 6 61 0 100 70 69,10 1,60 72 35 375 30 30 1,87 1

19 7 61 0 130 80 69,00 1,60 64 34 375 30 30 1,67 1

19 8 62 0 100 70 68,00 1,61 68 30 363 30 30 1,61 1

19 9 62 0 105 75 68,70 1,61 72 31 373 30 30 1,75 1

19 10 62 0 110 90 69,00 1,60 88 32 380 30 28 1,70 1

20 1 65 0 130 80 65,20 1,53 96 23 131 23 23 2,28 1

20 2 66 0 130 80 66,00 1,53 76 30 145 30 23 2,51 0

20 3 66 0 120 80 65,70 1,52 96 20 171 30 24 2,24 1

20 4 66 0 130 90 66,00 1,52 92 22 148 30 30 2,44 0

20 5 67 0 140 90 65,30 1,52 88 19 159 30 30 2,28 1

20 6 67 0 130 80 65,70 1,51 100 26 175 26 30 2,24 1

20 7 67 0 120 80 66,00 1,52 100 25 149 30 30 2,14 1

20 8 67 0 120 80 65,10 1,52 96 20 160 30 28 1,95 1

20 9 67 0 145 85 64,90 1,52 100 19 140 30 30 2,03 1

20 10 68 0 140 80 66,40 1,52 88 24 170 30 30 1,99 1

21 1 62 0 130 80 73,50 1,58 88 30 265 30 17 2,59 0

21 2 62 0 135 80 74,40 1,59 96 25 295 29 14 2,55 0

21 3 63 0 130 80 71,30 1,59 84 26 303 16 14 2,24 1

21 4 63 0 120 80 70,30 1,60 76 24 332 30 19 2,37 0

21 5 63 0 130 80 70,00 1,60 76 32 310 14 23 2,22 1

21 6 63 0 130 80 70,50 1,59 76 32 318 14 24 1,99 1

21 7 63 0 140 90 70,00 1,59 72 25 330 30 24 1,91 1

21 8 64 0 120 70 69,30 1,59 88 30 319 24 9 2,14 1

21 9 64 0 120 70 68,70 1,60 80 26 310 22 22 2,14 1

21 10 64 0 140 80 71,10 1,59 76 28 300 26 30 1,92 1

22 1 55 0 140 70 72,60 1,53 72 28 229 19 5 3,05 0

22 2 56 0 130 80 72,50 1,55 84 30 230 23 16 2,63 0

22 3 56 0 120 80 73,80 1,55 68 28 230 11 19 2,32 1

22 4 56 0 135 80 74,60 1,54 68 28 240 11 6 2,32 1

22 5 56 0 140 80 73,40 1,56 60 33 267 7 28 2,19 1

22 6 57 0 130 80 73,50 1,55 64 27 268 19 20 1,89 1

22 7 57 0 130 80 71,70 1,54 68 31 320 16 15 2,04 1

22 8 57 0 140 80 72,40 1,55 60 31 275 18 9 1,99 1

22 9 57 0 120 75 72,50 1,54 68 30 270 14 17 2,04 1

22 10 58 0 130 80 74,00 1,55 72 32 290 24 25 1,64 1

23 1 58 0 140 90 58,80 1,47 68 26 380 30 30 2,04 1

23 2 59 0 100 70 59,60 1,48 76 28 390 30 30 1,94 1

23 3 59 0 110 80 56,70 1,47 72 26 425 30 30 1,78 1

23 4 59 0 110 80 56,40 1,47 64 26 431 30 30 1,85 1

23 5 60 0 130 75 54,50 1,47 64 27 425 30 30 1,67 1

23 6 60 0 110 70 54,30 1,47 60 26 426 30 30 1,58 1

23 7 60 0 130 80 55,10 1,46 80 30 418 30 30 1,88 1

23 8 60 0 110 80 56,90 1,48 76 24 425 30 30 1,54 1

23 9 60 0 120 80 55,70 1,47 92 24 397 30 30 1,70 1

23 10 61 0 110 70 56,60 1,47 60 22 415 30 30 1,51 1

24 1 60 0 150 90 67,30 1,45 80 28 373 5 9 2,07 1

24 2 60 0 140 90 70,80 1,44 76 28 370 17 12 2,42 0

24 3 61 0 140 90 69,90 1,46 88 30 358 16 4 2,37 0

24 4 61 0 150 90 72,20 1,46 56 29 350 29 9 2,35 0

24 5 61 0 130 80 72,00 1,45 80 30 319 17 5 2,36 0

24 6 61 0 140 80 74,10 1,46 64 26 347 10 14 2,17 1

24 7 62 0 140 90 74,10 1,45 72 29 383 17 8 2,34 1

24 8 62 0 160 90 74,00 1,44 76 30 360 21 14 2,08 1

24 9 62 0 160 90 73,70 1,45 84 29 330 11 28 2,16 1

24 10 62 0 150 80 71,70 1,44 72 32 360 9 19 1,96 1

25 1 59 0 110 70 94,80 1,55 72 28 265 30 25 2,34 1

25 2 59 0 130 90 91,80 1,54 76 30 360 30 30 2,21 1

25 3 59 0 130 90 88,60 1,55 72 32 335 30 30 2,07 1

25 4 59 0 125 80 91,70 1,54 64 33 350 30 30 1,89 1

25 5 59 0 120 80 89,60 1,53 80 35 335 26 29 1,68 1

25 6 60 0 140 80 91,50 1,55 80 34 355 30 30 1,35 1

25 7 60 0 130 80 93,60 1,55 68 32 338 30 30 1,56 1

25 8 60 0 125 90 94,70 1,54 76 29 328 30 30 1,74 1

25 9 60 0 120 80 93,30 1,53 60 28 321 30 30 1,74 1

25 10 61 0 120 80 92,40 1,53 84 34 350 29 30 1,51 1

26 1 69 0 140 100 75,60 1,66 68 27 312 15 3 2,17 1

26 2 69 0 120 80 79,00 1,66 72 30 275 29 8 2,24 1

26 3 69 0 130 90 80,10 1,64 72 31 271 6 6 2,51 0

26 4 70 0 140 90 79,50 1,66 68 26 305 25 12 2,43 0

26 5 70 0 155 100 79,30 1,66 64 30 330 15 5 2,28 1

26 6 70 0 140 90 75,00 1,66 68 33 311 6 25 2,08 1

26 7 70 0 140 100 67,00 1,64 64 32 315 26 3 2,28 1

26 8 71 0 130 80 68,90 1,65 68 30 329 30 8 1,97 1

26 9 71 0 120 80 66,90 1,65 68 30 332 10 30 2,18 1

26 10 71 0 130 90 66,60 1,65 64 30 330 7 28 1,83 1

27 1 57 0 90 60 55,10 1,63 84 20 320 30 30 1,98 1

27 2 58 0 110 70 56,20 1,61 68 26 310 30 30 2,21 1

27 3 58 0 90 60 56,90 1,63 72 26 326 30 30 2,03 1

27 4 58 0 110 60 57,20 1,64 76 26 320 30 30 2,12 1

27 5 58 0 90 60 58,00 1,62 72 30 318 30 30 2,19 1

27 6 59 0 90 60 57,80 1,64 76 26 300 30 30 1,98 1

27 7 59 0 100 70 59,10 1,62 64 29 305 30 30 2,17 1

27 8 59 0 100 60 58,80 1,64 80 28 320 30 30 1,92 1

27 9 59 0 110 70 58,20 1,63 88 23 330 30 30 1,87 1

27 10 60 0 100 60 60,50 1,63 80 27 313 30 30 1,77 1

28 1 56 1 100 70 62,10 1,66 84 50 193 30 30 1,48 1

28 2 57 1 110 60 60,30 1,66 72 50 190 30 30 1,73 1

28 3 57 1 110 60 58,20 1,66 60 47 212 30 30 1,44 1

28 4 57 1 90 60 58,80 1,66 76 49 263 30 30 1,33 1

28 5 58 1 100 60 58,00 1,66 64 48 240 30 30 1,32 1

28 6 58 1 100 60 58,50 1,65 60 52 230 30 30 1,47 1

28 7 58 1 100 70 59,20 1,65 64 56 257 30 30 1,50 1

28 8 58 1 100 70 60,00 1,65 68 52 182 30 30 1,25 1

28 9 58 1 90 60 59,60 1,65 72 48 177 30 30 1,25 1

28 10 59 1 110 70 61,30 1,66 60 52 215 30 30 1,13 1

29 1 58 0 120 80 71,80 1,67 80 31 158 12 27 1,92 1

29 2 58 0 120 80 71,40 1,65 76 24 135 24 30 1,83 1

29 3 58 0 130 80 71,30 1,66 76 28 151 26 30 1,71 1

29 4 59 0 130 80 73,50 1,64 76 33 180 25 30 1,67 1

29 5 59 0 140 80 73,20 1,64 68 36 188 11 30 1,59 1

29 6 59 0 130 90 72,70 1,64 76 27 238 28 28 1,42 1

29 7 59 0 120 80 70,90 1,63 64 34 250 24 24 1,63 1

29 8 60 0 130 90 71,50 1,66 64 30 205 19 30 1,47 1

29 9 60 0 120 80 71,40 1,63 68 28 254 30 27 1,50 1

29 10 60 0 140 90 70,80 1,65 64 30 275 30 30 1,47 1

30 1 54 0 130 90 69,90 1,56 72 28 236 30 30 2,17 1

30 2 55 0 120 80 70,60 1,54 64 38 259 30 30 2,10 1

30 3 54 0 140 90 71,20 1,54 80 37 258 30 30 2,03 1

30 4 55 0 120 80 70,40 1,55 68 36 252 30 30 2,08 1

30 5 55 0 120 80 68,70 1,54 76 36 285 30 30 1,93 1

30 6 56 0 110 70 71,10 1,55 68 32 245 30 26 1,85 1

30 7 56 0 120 80 68,20 1,54 60 36 251 30 30 1,91 1

30 8 56 0 120 80 69,10 1,55 76 34 253 30 30 1,84 1

30 9 56 0 125 80 69,60 1,54 68 34 232 30 30 1,85 1

30 10 57 0 110 70 66,30 1,53 80 34 272 30 22 1,77 1

31 1 56 1 130 90 81,30 1,73 68 50 169 30 29 1,44 1

31 2 57 1 110 80 80,70 1,72 68 52 172 30 30 1,83 1

31 3 57 1 120 80 82,40 1,72 60 52 165 30 30 1,69 1

31 4 58 1 110 80 81,80 1,72 68 51 132 30 30 1,70 1

31 5 58 1 130 80 82,30 1,72 76 55 170 30 30 1,51 1

31 6 58 1 120 80 83,20 1,72 72 52 170 30 30 1,50 1

31 7 58 1 140 80 83,20 1,72 76 56 145 30 30 1,61 1

31 8 59 1 130 80 83,80 1,72 80 52 153 30 30 1,44 1

31 9 59 1 120 80 83,50 1,72 72 52 155 30 30 1,50 1

31 10 59 1 110 80 79,50 1,72 68 51 142 30 30 1,54 1

32 1 63 0 120 80 67,10 1,52 80 28 356 18 8 1,88 1

32 2 63 0 140 80 70,80 1,50 84 32 340 28 4 1,92 1

32 3 63 0 130 90 72,80 1,52 72 32 355 14 12 1,95 1

32 4 64 0 115 75 73,90 1,51 64 30 320 17 3 1,95 1

32 5 64 0 130 90 72,50 1,50 60 28 350 15 11 1,90 1

32 6 64 0 130 80 72,30 1,50 72 28 333 4 8 1,88 1

32 7 64 0 120 80 73,80 1,51 76 27 330 18 9 2,04 1

32 8 65 0 145 85 75,80 1,51 76 28 345 6 27 1,73 1

32 9 65 0 125 80 75,90 1,50 68 28 260 7 12 1,66 1

32 10 65 0 120 90 74,70 1,51 68 26 305 7 24 1,80 1

33 1 51 0 140 90 71,30 1,56 64 36 150 30 21 2,20 1

33 2 51 0 160 100 71,70 1,55 48 32 145 26 21 2,19 1

33 3 52 0 120 70 71,00 1,56 68 34 170 30 10 2,13 1

33 4 52 0 120 70 70,10 1,55 64 36 198 22 24 1,95 1

33 5 52 0 140 80 70,20 1,54 68 35 170 25 30 2,42 0

33 6 52 0 130 80 71,60 1,55 68 32 140 29 21 1,98 1

33 7 53 0 120 80 71,00 1,54 56 32 187 30 30 2,09 1

33 8 53 0 110 70 70,00 1,54 64 34 151 30 30 1,70 1

33 9 53 0 140 90 69,50 1,55 64 32 90 27 30 1,69 1

33 10 53 0 120 70 69,40 1,55 56 34 135 30 30 1,45 1

34 1 55 0 130 90 70,80 1,54 76 38 240 30 20 2,26 1

34 2 55 0 140 90 70,40 1,54 76 36 214 25 30 2,36 0

34 3 56 0 140 90 72,50 1,55 72 36 237 27 30 2,20 1

34 4 56 0 140 80 71,70 1,55 76 40 233 30 30 2,13 1

34 5 56 0 140 90 72,80 1,55 64 33 237 30 30 2,21 1

34 6 56 0 160 100 72,90 1,55 72 34 230 30 30 2,00 1

34 7 57 0 140 90 72,50 1,55 64 34 235 29 28 1,91 1

34 8 57 0 140 80 70,20 1,55 80 38 235 30 30 1,96 1

34 9 57 0 120 80 68,80 1,54 68 30 220 30 30 2,21 1

34 10 57 0 140 80 69,50 1,54 80 36 260 30 30 1,93 1

35 1 69 0 150 90 61,50 1,52 76 19 161 23 9 2,19 1

35 2 69 0 130 80 63,00 1,51 68 16 185 25 19 2,52 0

35 3 69 0 130 90 62,30 1,53 64 19 204 19 10 2,34 1

35 4 69 0 120 80 62,40 1,52 76 21 212 30 6 2,42 0

35 5 70 0 140 80 63,00 1,51 68 19 215 26 7 2,23 1

35 6 70 0 130 80 62,30 1,51 64 21 211 30 30 2,37 0

35 7 70 0 120 80 62,00 1,51 64 25 200 30 23 2,11 1

35 8 70 0 120 70 62,70 1,51 64 20 186 27 6 2,02 1

35 9 71 0 140 80 61,00 1,50 72 18 210 13 26 1,98 1

35 10 71 0 130 80 62,30 1,50 72 21 200 20 20 2,06 1

36 1 62 0 120 80 65,00 1,64 84 40 320 30 26 2,22 1

36 2 62 0 120 70 66,40 1,65 84 38 303 11 12 2,43 0

36 3 62 0 110 70 70,00 1,63 88 39 347 27 22 2,20 1

36 4 62 0 110 70 68,50 1,65 72 37 283 24 10 2,49 0

36 5 63 0 120 70 69,40 1,63 64 35 335 20 21 2,40 0

36 6 63 0 120 80 69,70 1,64 64 36 320 14 22 1,99 1

36 7 63 0 130 90 68,60 1,66 80 34 305 21 16 2,21 1

36 8 63 0 120 70 69,20 1,63 80 37 346 24 22 1,99 1

36 9 64 0 110 70 68,70 1,63 88 32 347 28 27 2,09 1

36 10 64 0 110 70 69,30 1,63 88 33 345 22 20 1,94 1

37 1 51 0 130 90 70,20 1,52 76 40 355 30 30 2,28 1

37 2 51 0 120 70 69,80 1,52 88 39 360 30 30 2,15 1

37 3 52 0 110 80 71,10 1,54 88 38 375 30 30 2,06 1

37 4 52 0 110 80 69,80 1,52 84 40 363 30 30 1,89 1

37 5 52 0 125 90 70,20 1,51 88 37 386 30 30 2,26 1

37 6 52 0 120 80 70,90 1,52 60 42 365 30 30 1,76 1

37 7 53 0 130 80 72,80 1,52 72 40 352 30 30 1,69 1

37 8 53 0 120 80 72,20 1,52 60 40 355 30 30 1,64 1

37 9 53 0 120 90 73,00 1,52 88 39 360 30 27 1,57 1

37 10 53 0 120 90 70,80 1,52 60 40 360 30 30 1,54 1

Apêndice B

Comandos no R

##### ANÁLISE EXPLORATÓRIA #####

# INSERINDO OS DADOS

rm(list=ls())

ls()

options(digits=4)

dados<-read.table("ed.txt",header=T)

dados$x2<-factor(dados$x2, labels = c("F", "M"))

attach(dados)

dados[1:5,]

# RESUMO ESTATÍSTICO

summary(dados)

# GRÁFICO DE DISPERSÃO

pairs(dados[,c(-1,-2,-4,-15)])

# GRÁFICOS - HISTOGRAMA E BOXPLOT

# O procedimento para gerar os gráficos - histograma e boxplot é o mesmo para

# as variáveis x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, y.

boxplot(x1 ~ t, data = dados, col="light blue", outline = TRUE,

xlab="Tempo", ylab="x1")

xyplot(x1 ~ t, groups = o, data = dados, type = "l",

xlab="Tempo", ylab="x1")

##### AJUSTANDO O MODELO MARGINAL #####

# AJUSTE DO MODELO QUANDO A VARIÁVEL RESPOSTA É CONTÍNUA

# ESTRUTURA DE CORRELAÇÃO UNIFORME

# ENTRADA DE DADOS

rm(list=ls())

ls()

options(digits=4)

require(nlme)

require(car)

require(MASS)

require(gee)

require(lattice)

dados<-read.table("ed.txt", header=T)

dados<-dados[,-15]

dados[1:5,]

# ELIMINANDO UM INDIVÍDUO

#dados<-dados[-(31:40),]

# AJUSTANDO UM MODELO COM ESTRURUTA DE CORRELAÇÃO UNIFORME

fit.gee<-gee(y~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+t, id=o, data=dados,

family = "gaussian", corstr="exchangeable")

summary(fit.gee)

fit<-summary(fit.gee)

fit$coef[,c(1,5)]

n<-nrow(dados)/10

t<-as.vector(rep(10,n))

# DISTÂNCIA DE COOK E RESÍDUO PADRONIZADO

X1<-dados[,c(-1,-2,-14)]

intercept<-rep(1,nrow(X1))

X<-cbind(intercept,X1)

X<-t(t(X))

y<-fit.gee$y

beta<-fit.gee$coef

R<-fit.gee$work

mi<-fitted(fit.gee)

N<-nrow(X)

p<-ncol(X)

# RESÍDUO DE PEARSON

r<-(y-mi)

# CÁLCULO DO phi

invphi<-(sum(r^2)/(N-p))

phi<-1/invphi

# MATRIZ C

A<-diag(1,N)

C<-A

# MATRIZ OMEGA (variancia e covariancia de y)

Omega<-matrix(0,N,N)

invOmega<-matrix(0,N,N)

i<-1

l<-1

while (l<N+1)

{

Omega[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)]<-sqrt(A[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)])%*%R%*%

sqrt(A[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)])

invOmega[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)]<-solve(Omega[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)])

l<-l+t[i]

i<-i+1

}

Omega<-invphi*Omega

invOmega<-phi*invOmega

# MATRIZ H e W

W<-C%*%invOmega%*%C

H<-solve(t(X)%*%W%*%X)

raizW<-matrix(0,N,N)

i<-1

l<-1

while(l<N+1)

{

auto<-eigen(W[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)])

raizW[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)]<-auto$vectors%*%sqrt(diag(auto$values))%*

%t(auto$vectors)

l<-l+t[i]

i<-i+1

}

H<-raizW%*%X%*%H%*%t(X)%*%raizW

h<-diag(H)

# RESÍDUO PADRONIZADO

rsd<-as.vector(rep(0,N))

part.rsd<-raizW%*%solve(C)%*%(y-mi)

for (l in 1:N)

{

e<-as.vector(rep(0,N))

e[l]<-1

rsd[l]<-t(e)%*%part.rsd/sqrt(1-h[l])

}

# DISTÂNCIA DE COOK

cd<-as.vector(rep(0,N))

for(l in 1:N) cd[l]<-(rsd[l]^2*h[l])/((1-h[l])*p)

# CONSTRUÇÃO DOS GRÁFICOS DC e RSD

plot(cd,xlab="Indivíduos",ylab="Distância de Cook", pch=16)

identify(cd)

plot(rsd,xlab="Indivíduos",ylab="Resíduo Padronizado",pch=16)

abline(h=0,lty=3, col=2)

abline(h=2,lty=3, col=2)

abline(h=-2,lty=3, col=2)

identify(rsd)

# GERAR RESPOSTAS CORRELACIONADAS

dad.fit<-fitted(fit.gee)

media<-as.vector(tapply(dad.fit, list(dados[,2]), mean))

sd<-as.vector(sqrt(tapply(y, list(dados[,2]), var)))

repl<-25

random.y<-array(dim=c(N,repl))

sim.y1<-matrix(0,N,1)

for(i in 1:repl){

for(j in 1:t[i]){

for(k in 1:n) sim.y<-abs(rnorm(n, media[j],sd[j]))

sim.y1[(1+n*(j-1)):(n*j),1]<-sim.y

j<-j+1

}

random.y[,i]<-c(sim.y1)

i<-i+1

}

random.y[1:10,]

# CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO - ENVELOPE DE SIMULAÇÃO

orig.res<-rsd

ABSorig.res<-abs(orig.res)

SORTorig.res<-sort(ABSorig.res)

dados2<-cbind(dados,random.y)

attach(dados2)

random.res<-array(dim=c(N,repl))

for(k in 1:repl)

{

temp.fit.gee<-gee(random.y[,k]~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+t,

id=o, data=dados2, family = "gaussian", corstr="exchangeable")

y<-temp.fit.gee$y

beta<-coef(temp.fit.gee)

R<-temp.fit.gee$work

mi<-fitted(temp.fit.gee)

# CÁLCULO DO RESÍDUO DE PEARSON

r<-y-mi

# CÁLCULO DE phi

invphi<-(sum(r^2)/(N-p))

phi<-1/invphi

# MATRIZ C

A<-diag(1,N)

C<-A

# MATRIZ OMEGA (variancia e covariancia de y)

Omega<-matrix(0,N,N)

invOmega<-matrix(0,N,N)

i<-1

l<-1

while (l<N+1)

{

Omega[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)]<-sqrt(A[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)])%*%R

%*%sqrt(A[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)])

invOmega[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)]<-solve(Omega[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)])

l<-l+t[i]

i<-i+1

}

Omega<-invphi*Omega

invOmega<-phi*invOmega

# MATRIZ H e W

W<-C%*%invOmega%*%C

H<-solve(t(X)%*%W%*%X)

raizW<-matrix(0,N,N)

i<-1

l<-1

while(l<N+1)

{

auto<-eigen(W[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)])

raizW[l:(l+t[i]-1),l:(l+t[i]-1)]<-auto$vectors%*%sqrt(diag(auto$values))%*%

t(auto$vectors)

l<-l+t[i]

i<-i+1

}

H<-raizW%*%X%*%H%*%t(X)%*%raizW

h<-diag(H)

random.rsd<-as.vector(rep(0,N))

part.rsd<-raizW%*%solve(C)%*%(y-mi)

for (l in 1:N)

{

e<-as.vector(rep(0,N))

e[l]<-1

random.rsd[l]<-t(e)%*%part.rsd/sqrt(1-h[l])

}

random.res[,k]<-random.rsd

}

random.res[1:10,]

ABSrandom.res<-abs(random.res)

SORTrandom.res<-array(dim=c(N,repl))

for(k in 1:repl) SORTrandom.res[,k]<-sort(ABSrandom.res[,k])

descritiva<-array(dim=c(N,3))

for(k in 1:N)

{

descritiva[k,1]<-min(SORTrandom.res[k,])

descritiva[k,2]<-median(SORTrandom.res[k,])

descritiva[k,3]<-max(SORTrandom.res[k,])

}

Z<-array(dim=c(N,1))

for(i in 1:N) Z[i]<-qnorm((i+N-1/8)/(2*N+1/2))

final<-cbind(Z, descritiva, SORTorig.res)

faixa<-range(final[,5], final[,2], final[,4])

par(mfrow=c(1,1))

par(pty="s")

plot(final[,1], final[,5], xlab="Gráfico envelope de simulação",

ylab="Residuo Studentizado", ylim=faixa, pch=16)

par(new=T)

lines(final[,1], final[,2])

lines(final[,1], final[,3], lty=2, col=2)

lines(final[,1], final[,4])

##### NOTAS COMPLEMENTARES #####

# NOTA 1: A estrutura básica deste programa é a mesma quando modelamos os dados

# com a estrutura de correlação AR-1, mudando apenas a matriz de correlação.

# NOTA 2: Quando modelamos os dados com o modelo misto, o programa base é

# o mesmo usado na modelagem marginal, fazendo algumas modificações:

# NO AJUSTE (estrutura de correlação AR-1)

fit.lme<-lme(y~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+t,

random = ~1 | o, data = dados)

summary(fit.lme)

fit.lme2<-update(fit.lme, correlation=corAR1())

fit.lme3<-intervals(fit.lme2)[3]

fit<-summary(fit.lme)

names(fit)

round(fit$tTable[,c(1,5)],5)

fit.lme3$cor[2]

R.AR1<-diag(t[1])

q<-2

a<-fit.lme3$cor[2]

for(i in 1:(t[1]-1)) {

for(j in q:t[1])R.AR1[i,j]<-a^(abs(j-i))

q<-q+1

}

R.AR1<-R.AR1+t(R.AR1)-diag(nrow(R.AR1))

# RESÍDUO DE PEARSON

r<-fit.lme$res[,2]

#GRÁFICO - ENVELOPE DE SIMULAÇÃO

orig.res<-rsd

ABSorig.res<-abs(orig.res)

SORTorig.res<-sort(ABSorig.res)

dados2<-cbind(dados,random.y)

attach(dados2)

random.res<-array(dim=c(N,repl))

for(k in 1:repl)

{

temp<-random.y[,k]

temp.fit.lme<-lme(temp~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+t, random = ~1 | o,

data = dados2)

temp.fit.lme2<-update(temp.fit.lme, correlation=corAR1())

temp.fit.lme3<-intervals(temp.fit.lme2)[3]

y<-random.y[,k]

b<-summary(fit.lme2)

beta<-b$tTable[,1]

mi<-temp.fit.lme$fitt[,2]

R.AR1<-matrix(0,t[1],t[1])

q<-2

a<-temp.fit.lme3$cor[2]

for(i in 1:(t[1]-1)) {

for(j in q:t[1])R.AR1[i,j]<-a^(abs(j-i))

q<-q+1

}

R<-R.AR1+t(R.AR1)-diag(nrow(R.AR1))

# RESÍDUO DE PEARSON

r<-temp.fit.lme$res[,2]

# NOTA 3: Na modelagem dos dados com o modelo marginal logístico, a estrutura

# básica do programa (modelo marginal contínuo) sofre algumas modificações:

# NO AJUSTE (estrutura de correlação AR-1)

fit.gee<-gee(status ~ x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+t, id=o,

data=dados, family = "binomial", corstr="AR-M", Mv=1, scale.fix=T,

scale.value=1)

# MATRIZ C

A<-diag(mi*(1-mi),N)

C<-A

# GERAR RESPOSTAS BINÁRIAS CORRELACIONADAS

repl<-25

random.y<-array(dim=c(N,repl))

dif<-matrix(0,N,1)

for (i in 1:repl){

for (j in 1:N){

dif<-runif(N)-mi

dif[dif>=0]<-0

dif[dif<0]<-1

j<-j+1

}

random.y[,i]<-dif

i<-i+1

}

random.y[1:10,]

# GRÁFICO - ENVELOPE SIMULADO

orig.res<-rsd

ABSorig.res<-abs(orig.res)

SORTorig.res<-sort(ABSorig.res)

dados2<-cbind(dados,random.y)

attach(dados2)

random.res<-array(dim=c(N,repl))

for(k in 1:repl)

{

temp.fit.gee<-gee(random.y[,k] ~ x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+t, id=o,

data=dados2, family = "binomial", corstr="AR-M", Mv=1, scale.fix=T,

scale.value=1)

summary(temp.fit.gee)

y<-temp.fit.gee$y

beta<-coef(temp.fit.gee)

R<-temp.fit.gee$work

mi<-fitted(temp.fit.gee)

# MATRIZ C

A<-diag(mi*(1-mi),N)

C<-A

}

# NOTA 4: No modelo logístico misto a estrutura básica do programa (modelo

# marginal) se repete sofrendo algumas modificações para uso da modelagem

# dos dados:

# NO AJUSTE (estrutura de correlação ar-1)

formula<-status ~ x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+t

fit.glmmPQL2<- glmmPQL(formula, random = ~1 | o, family = binomial,

data = dados, corr = corAR1(form=~t))

fit.glmmPQL3<-intervals(fit.glmmPQL2)

fit<-summary(fit.glmmPQL2)

round(fit$tTable[,c(1,5)],5)

fit.glmmPQL3$cor[2]

R.AR1<-diag(t[1])

q<-2

a<-fit.glmmPQL3$cor[2]

for(i in 1:(t[1]-1)) {

for(j in q:t[1])R.AR1[i,j]<-a^(abs(j-i))

q<-q+1

}

R.AR1<-R.AR1+t(R.AR1)-diag(nrow(R.AR1))

# MATRIZ C

A<-diag(mi*(1-mi),N)

C<-A

# GRÁFICO - ENVELOPE DE SIMULAÇÃO

orig.res<-rsd

ABSorig.res<-abs(orig.res)

SORTorig.res<-sort(ABSorig.res)

dados2<-cbind(dados,random.y)

attach(dados2)

random.res<-array(dim=c(N,repl))

k<-1

while(k < repl+1)

{

temp<-random.y[,k]

temp.fit.glmmPQL2<- glmmPQL(temp~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+t,

random = ~1 | o, family = binomial, data = dados, corr = corAR1(form=~t))

temp.fit.glmmPQL3<-intervals(temp.fit.glmmPQL2)

R.AR1<-matrix(0,t[1],t[1])

q<-2

a<-temp.fit.glmmPQL3$cor[2]

for(i in 1:(t[1]-1)) {

for(j in q:t[1])R.AR1[i,j]<-a^(abs(j-i))

q<-q+1

}

R<-R.AR1+t(R.AR1)-diag(nrow(R.AR1))

y<-random.y[,k]

b<-summary(fit.glmmPQL2)

beta<-b$tTable[,1]

mi<-exp(temp.fit.glmmPQL2$fitt[,2])/(1+exp(temp.fit.glmmPQL2$fitt[,2]))

################################## F I M #######################################

Bibliograﬁa

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