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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA QUÍMICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
LABORATÓRIO DE EXPERIMENTAÇÃO NUMÉRICA DE PROCESSSOS
Dissertação de Mestrado
DESENVOLVIMENTO DE UM GERADOR DE SINAIS DE UMA CUBA
DE REDUÇÃO DE ALUMÍNIO COMO FONTE DE DADOS PARA
APRENDIZAGEM DE UMA REDE NEURAL ARTIFICIAL
MARIÂNGELA DA SILVA ARAÚJO EMERENCIANO
CAMPINA GRANDE
2009
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MARIÂNGELA DA SILVA ARAÚJO EMERENCIANO
DESENVOLVIMENTO DE UM GERADOR DE SINAIS DE UMA CUBA
DE REDUÇÃO DE ALUMÍNIO COMO FONTE DE DADOS PARA
APRENDIZAGEM DE UMA REDE NEURAL ARTIFICIAL
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Engenharia Química da Universidade Federal de
Campina Grande, como requisito para obtenção do título
de Mestre em Engenharia Química.
Orientadores: Prof. Dr. Luis Gonzaga Sales Vasconcelos
Prof. Dr. Romildo Pereira Brito
CAMPINA GRANDE
2009
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MARIÂNGELA DA SILVA ARAÚJO EMERENCIANO
DESENVOLVIMENTO DE UM GERADOR DE SINAIS DE UMA CUBA DE
REDUÇÃO DE ALUMÍNIO COMO FONTE DE DADOS PARA APRENDIZAGEM
DE UMA REDE NEURAL ARTIFICIAL
Dissertação de mestrado apresentada e aprovada em 19 de outubro de 2009.
Banca Examinadora:
_______________________________________
Prof. Dr. Luis Gonzaga Sales Vasconcelos
Orientador
______________________________________
Prof. Dr. Romildo Pereira Brito
Orientador
______________________________________
Prof. Dr. João Manzi
Examinador
_____________________________________
Dr. Marcio Henrique dos Santos Andrade
Examinador
A Fábio,
Por todo amor, incentivo, dedicação e paciência em todos os
momentos.
AGRADECIMENTOS
Ao prof. Luis Gonzaga, pela orientação, dedicação, paciência e conhecimentos
compartilhados;
Ao meu amado pai (in memoriam), por todo o amor e ensinamentos nunca esquecidos;
A minha mãe, Laudeci, por ser a razão de tudo o que sou, por todo o amor, dedicação
e incentivo em todos os momentos;
Ao prof. Romildo Brito, pela confiança.
Aos meus irmãos, Elizângela e Diêgo, que sempre me apoiaram e incentivaram;
A Claudia e Jailson, pela amizade e suporte nos momentos difíceis e, também, pelos
prazerosos momentos de estudo em conjunto, sempre dividindo seus conhecimentos e
experiências;
A Glêdes, Diógenes, Graziela que sempre me apoiaram e incentivaram durante todo o
mestrado;
A todos que contribuíram de maneira direta ou indireta para a realização deste
trabalho;
Ao CNPQ, pelo apoio financeiro dado através da bolsa de mestrado.
“Tudo vale à pena se a alma não é pequena.”
Fernando Pessoa.
RESUMO
A eletrólise do alumínio é um método eletroquímico que consiste em produzir metal, pela
mediação de uma corrente elétrica e alumina dissolvida num banho de criolita a temperatura
elevada. Atualmente, os modelos matemáticos que representam a dinâmica deste método sob
a forma de balanços mássicos e energéticos são constituídos de equações diferenciais comuns
acopladas, não-lineares e a coeficientes variáveis. Essa dissertação tem como objetivo
desenvolver um gerador de sinais em uma cuba eletrolítica que servirá como fonte de dados
para a aprendizagem de uma rede neural artificial, partindo de um modelo linear de ordem
dez, com dezoito parâmetros, em função de dac e dma, que descreve o comportamento do
processo de redução do alumínio. A modelagem e simulação computacional desse modelo
permitiram a visualização e estudo de cada variável e parâmetro envolvido. Determinamos os
parâmetros ótimos do modelo e efetuamos uma análise de sensibilidade dos parâmetros, o que
nos indica a dependência entre eles e o impacto de cada parâmetro no modelo. Através de
uma relação típica entre a resistência (R) e a concentração de alumina (C) foi possível
desenvolver um modelo empírico e efetuando um ajuste nos parâmetros, verificamos que o
modelo é adequado para representar R e C. O software desenvolvido poderá ser usado como
alimentação de uma rede neural artificial que vai retornar os parâmetros para cada situação de
operação, nos permitindo determinar novos valores de concentração de alumina, temperatura
do banho e massa da crosta sem se fazer necessário a medição.
Palavras-chave: Eletrólise; Redução do alumínio; Redes neurais artificiais.
ABSTRACT
The electrolysis of aluminum is an electrochemical method that consists of producing metal
through the mediation of an electric current and alumina dissolved in a cryolite bath at high
temperature. Currently, the mathematical models that represent the dynamics of this method
under the form of mass balance and energy balance are constituted of common connected
differential equations, nonlinear and the changeable coefficients. This paper aims to develop a
generator of signals in an electrolytic tank that will serve as source of data for the learning of
artificial neural network, through a linear model of order ten, with eighteen parameters, in
function of dac and dma, that describes the behaviour of the process of reduction of
aluminum. The modeling and simulation of this model allowed the visualization and study of
each variable and parameter involved. We determine the optimal parameters of the model and
effect an analysis of sensitivity of the parameters, that indicates the dependence between these
parameters and the impact of each parameter in the model. Through a typical relation between
the resistance (R) and the alumina concentration (C) it was possible to develop an empirical
model and an adjustment of the parameters was done. We verified that the model is adjusted
to represent R and C. Developed software can be used to feed the artificial neural network that
will return the parameters for each operation situation, allowing to determine new values of
concentration of alumina, temperature of the bath and mass of the crust with no measurement
needed.
Key-words: Electrolyses; Aluminum reduction; Artificial neural network.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Fluxo de reciclagem da lata de alumínio ...............................................................................19
Figura 2 - Fluxograma básico de uma refinaria .....................................................................................20
Figura 3 - Célula eletrolítica (processo Hall-Heroult) ............................................................................21
Figura 4 - Fluxograma de produção do alumínio ...................................................................................22
Figura 5 – Diagrama para o código de avaliação do modelo matemático ..............................................32
Figura 6 – Diagrama da determinação dos parâmetros ..........................................................................33
Figura 7 – Comparação entre os valores simulados e os valores experimentais (Nadeau, 1993) da
variável de Saída C com degrau na taxa de alimentação de alumina, DMA, a -10% ............................35
Figura 8 – Comparação entre o valor calculado e o valor experimental (Nadeau, 1993) da variável de
Saída T1 com degrau na taxa de alimentação de alumina, DMA, a -10% .............................................36
Figura 9 – Comparação entre o valor calculado e o valor experimental (Nadeau, 1993) da variável de
Saída M2 com degrau na taxa de alimentação de alumina, DMA, a -10% ............................................36
Figura 10 – Comparação entre o valor calculado e o valor experimental (Nadeau, 1993) da variável de
Saída C com degrau na distância anodo-catodo, DAC, a +10% ............................................................37
Figura 11 – Comparação entre o valor calculado e o valor experimental (Nadeau, 1993) da variável de
Saída T1 com degrau na distância anodo-catodo, DAC, a +10% ..........................................................37
Figura 12 – Comparação entre o valor calculado e o valor experimental (Nadeau, 1993) da variável de
Saída M2 com degrau na distância anodo-catodo, DAC, a +10% .........................................................38
Figura 13 – Comparação entre as curvas com os parâmetros originais e os parâmetros ótimos da
variável de saída C com degrau na distância anodo-catodo, DAC, a +10% ..........................................39
Figura 14 - Comparação entre as curvas com os parâmetros originais e os parâmetros ótimos da
variável de saída T1 com degrau na distância anodo-catodo, DAC, a +10% ........................................40
Figura 15 – Comparação entre as curvas com os parâmetros originais e os parâmetros ótimos da
variável de saída M2 com degrau na distância anodo-catodo, DAC, a +10% .......................................40
Figura 16 - Comparação entre as curvas com os parâmetros originais e os parâmetros ótimos da
variável de saída C com degrau na taxa de alimentação da alumina, DMA, a -10% .............................41
Figura 17 - Comparação entre as curvas com os parâmetros originais e os parâmetros ótimos da
variável de saída T1 com degrau na taxa de alimentação da alumina, DMA, a -10% ...........................41
Figura 18 - Comparação entre as curvas com os parâmetros originais e os parâmetros ótimos da
variável de saída M2 com degrau na taxa de alimentação da alumina, DMA, a -10% ..........................42
Figura 19 - Diagrama esquemático de uma rede neural artificial com a resistência como entrada da
rede e os parâmetros como saídas da rede. .............................................................................................44
Figura 20 - Curva da Resistência da cuba em função da concentração de alumina ...............................45
Figura 21 - Curva da Resistência versus log(C) .....................................................................................45
Figura 22 - Curva da Resistência em função de log(C – 2) ...................................................................46
Figura 23 - Curva da Resistência em função da concentração ...............................................................46
Figura 24- Curva do Resíduo da Função em função do número de Iteração .........................................47
Figura 25 - Curva da resistência em função da concentração utilizando o "cftool" ...............................47
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Aplicações do Alumínio nos mais variados setores da indústria mundial ............................14
Tabela 2 - Principais constituintes da bauxita (em percentual) ..............................................................17
Tabela 3 - Ordem cronológica do alumínio............................................................................................18
Tabela 4 - Especificações técnicas e condições operacionais da cuba ...................................................31
Tabela 5 - Valores dos Parâmetros Originais do Modelo e Valores dos Parâmetros Ótimos Simulados
................................................................................................................................................................38
Tabela 6 - Análise de Sensibilidade para os dados obtidos com DAC +10% ........................................43
Tabela 7 - Análise de Sensibilidade para os dados obtidos com DMA -10% ........................................43
Tabela 8 - Valores experimentais da Conc. de alumina e da Resistência da cuba .................................44
Tabela 9 – Valores dos parâmetros da função de regressão ...................................................................46
Tabela 10 – Parâmetros com o valor de a
4
variável num intervalo de confiança de 95% ......................48
Tabela 11 - Análise de sensibilidade de cada parâmetro através do resíduo da função objetivo para um
degrau na distância anodo-catodo (DAC) ..............................................................................................62
Tabela 12 - Análise de sensibilidade de cada parâmetro através do resíduo da função objetivo para um
degrau na taxa de alimentação da alumina (DMA). ...............................................................................63
LISTA DE SÍMBOLOS
ABAL - Associação Brasileira do Alumínio
C - Concentração da alumina no banho (% mássica)
DAC, dac - Distância anodo-catodo (m)
DMA, dma - Taxa de alimentação da alumina (kg/s)
M
1
– Massa do banho (kg)
M2 ou M
2
- Massa da crosta (kg)
M
3
– Massa do metal (kg)
RNA - Rede Neural Artificial
R - Resistência da Cuba (µΩ)
R
OP
- Ponto de operação da resistência (µΩ)
T1ou T
1
- Temperatura do banho (°C)
T
3
– Temperatura do metal (°C)
T
2
– Temperatura do banho (°C)
X
1
– Massa de alumina dispersa no banho
X
2
– Massa de alumina depositada no banho
z
1
– z
27
- Variáveis de estado
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................... 14
1.1. CARACTERÍSTICAS DO ALUMÍNIO ................................................................................................. 14
1.2. OBJETIVOS ................................................................................................................................... 16
1.2.1. GERAL ................................................................................................................................... 16
1.2.2. ESPECÍFICOS ......................................................................................................................... 16
2. O ALUMÍNIO ............................................................................................................................................. 17
2.1. HISTÓRIA DO ALUMÍNIO ............................................................................................................... 17
2.1.1. A RECICLAGEM DO ALUMÍNIO ................................................................................................ 18
2.2. PROCESSO DE PRODUÇÃO DO ALUMÍNIO ...................................................................................... 19
2.3. MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA CUBA ELETROLÍTICA......................................................... 23
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................................................... 24
4. METODOLOGIA ....................................................................................................................................... 28
4.1. O MODELO MATEMÁTICO ............................................................................................................ 28
4.2. AVALIAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO ...................................................................................... 32
4.3. DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS ÓTIMOS ................................................................................ 33
4.4. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DO MODELO ..................................................................................... 34
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................................................................ 35
5.1. AVALIAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO ...................................................................................... 35
5.2. DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS.............................................................................................. 38
5.3. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE DO MODELO ..................................................................................... 42
5.4. RELAÇÃO ENTRE A RESISTÊNCIA E A CONCENTRAÇÃO DE ALUMINA ........................................... 44
6. CONCLUSÃO ............................................................................................................................................. 49
7. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .................................................................................. 50
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................................... 51
ANEXO A ............................................................................................................................................................ 54
ANEXO B ............................................................................................................................................................ 62
14
1. INTRODUÇÃO
O alumínio devido suas excelentes propriedades físico-químicas como resistência à
corrosão, alta condutibilidade térmica/elétrica e a infinita reciclagem (sem perda das
propriedades), apresenta uma ampla variedade de utilização, tornando-o o metal não-ferroso
mais consumido por diversos setores produtivos da indústria mundial como mostra a Tabela
1, abaixo.
Tabela 1 - Aplicações do Alumínio nos mais variados setores da indústria mundial
Setor
Aplicação
Bens de Consumo
Acessórios de panelas, elementos decorativos de acabamento, bicicletas,
utensílios domésticos, eletrodomésticos, mobiliário e obras de arte,
elementos decorativos, acessórios de vestuário.
Automotivo e Transportes
Peças de motores, piso dos ônibus, revestimentos externos, tampas,
degraus, portas, caixas de câmbio, carcaça de motores e rodas para
automóveis, entre outros.
Construção Civil
Esquadrias (portas e janelas), forros, divisórias, acessórios para
banheiros, telhas, fachadas, revestimentos externos.
Embalagens
Nos mais diversos tipos de embalagens rígidas, flexíveis, descartáveis;
latas, etc.
Indústria Elétrica
Linhas de transmissão de energia, cabos isolados ou nus, para uso em
redes de alta tensão, linhas de transmissão secundária e aplicações
residenciais ou comerciais.
Máquinas e Equipamentos
Maquinário agrícola, itens de medicina hospitalar, mineração, chaparia,
no revestimento de máquinas, etc.
1.1. Características do Alumínio
A combinação de propriedades faz do alumínio um dos mais versáteis materiais
utilizados na engenharia, arquitetura e indústria em geral. Suas características permitem que
ele tenha uma diversa gama de aplicações. Por isso, tal metal é um dos mais utilizados no
mundo todo. Material leve, durável e bonito, o alumínio mostra uma excelente performance e
propriedades superiores na maioria das aplicações. Produtos que utilizam o alumínio ganham
também competitividade, em função dos inúmeros atributos que este metal incorpora como
pode ser conferido a seguir (ABAL, 2007):
• Resistência à corrosão – quando o alumínio líquido é exposto à atmosfera, forma-
se imediatamente uma fina camada de óxido, a qual protege o metal de oxidações posteriores.
Essa auto proteção dá ao alumínio uma elevada resistência à corrosão. Essa propriedade
facilita a conservação e a manutenção das obras, em produtos como portas, janelas, forros,
telhas e revestimentos usados na construção civil, bem como em equipamentos, partes e
15
estruturas de veículos de qualquer porte. Nas embalagens é fator decisivo quanto à
higienização e barreira à contaminação.
• Peso específico – a leveza é uma das principais características do alumínio. Tal
característica é essencial na indústria de transportes, representando menor consumo de
combustível, menor desgaste, maior eficiência e capacidade de carga. Para o setor de
alimentos, traz funcionalidade e praticidade às embalagens por seu peso reduzido em relação
a outros materiais.
• Condutibilidade elétrica e térmica - o alumínio é um excelente meio de transmissão
de energia, seja elétrica ou térmica. Um condutor elétrico de alumínio pode conduzir tanta
corrente quanto um condutor de cobre, que é duas vezes mais pesado e caro. Por isso, o
alumínio é muito utilizado pelo setor de fios e cabos. Ele também oferece um bom ambiente
de aquecimento e resfriamento. Trocadores e dissipadores de calor em alumínio são utilizados
em larga escala nas indústrias alimentícia, automobilística, química, aeronáutica, petrolífera,
etc.
• Impermeabilidade e opacidade - característica fundamental para embalagens de
alumínio para alimentos e medicamentos. O alumínio não permite a passagem de umidade,
oxigênio e luz. Essa propriedade faz com que o metal evite a deterioração de alimentos,
remédios e outros produtos consumíveis.
• Durabilidade - o alumínio oferece uma excepcional resistência a agentes externos,
intempéries, raios ultravioleta, abrasão e riscos, proporcionando elevada durabilidade,
inclusive quando usado na orla marítima e em ambientes agressivos.
• Beleza - o aspecto externo do alumínio, além de conferir um bom acabamento
apenas com sua aplicação pura, confere modernidade a qualquer aplicação por ser um
material nobre, limpo e que não se deteriora com o passar do tempo. Por outro lado, o metal
permite uma ampla gama de aplicações de tintas e outros acabamentos, mantendo sempre o
aspecto original e permitindo soluções criativas de design.
Reciclabilidade – o alumínio possui a característica de ser infinitamente reciclável,
sem perdas de suas propriedades físico-químicas.
Tal metal foi descoberto por Sir Humphrey Davy em 1809, tendo sido isolado pela
primeira vez em 1825 por Hans Christian Oersted. Porém, apenas em 1886 foi desenvolvido
um processo industrial econômico de redução, segundo a ABAL (2007).
A transformação do alumínio ocorre em um tipo de reator, denominado cuba
eletrolítica, através da eletrólise da alumina que se encontra dissolvida no banho eletrolítico.
16
A eletrólise do alumínio é um método eletroquímico híbrido que consiste em produzir metal,
pela mediação de uma corrente elétrica e alumina dissolvida num banho de criolita à
temperatura elevada.
Segundo Pereira (2007), um melhor controle do processo implica no aumento do
desempenho das cubas eletrolíticas, na redução das perdas energéticas, no aumento da
eficiência dos reatores e, consequentemente, no aumento da produtividade da cuba.
Atualmente, os modelos matemáticos que representam a dinâmica deste processo, sob
a forma de balanços mássicos e energéticos, são constituídos de equações diferenciais comuns
desacopladas, não-lineares e a coeficientes variáveis, como mostra Nadeau (1993) em suas
pesquisas.
1.2. Objetivos
1.2.1. Geral
Desenvolver um gerador de sinais de uma cuba eletrolítica que servirá como fonte de
dados para a aprendizagem de uma rede neural artificial a partir de um modelo linear de
ordem dez, com dezoito parâmetros, em função de DAC e DMA, que descreve o
comportamento do processo de redução do alumínio. Tendo como variáveis de saída: a
concentração de alumina, a temperatura do banho e a massa da crosta.
1.2.2. Específicos
• Simular um modelo matemático linear de ordem dez que descreve a dinâmica do
processo de redução do alumínio;
• Realizar um procedimento de otimização dos parâmetros do modelo;
• Realizar uma análise de sensibilidade;
• Estabelecer uma relação entre a resistência da cuba e a concentração de alumina;
• Propor um modelo que descreve a relação entre a resistência da cuba e a
concentração de alumina.
17
2. O ALUMÍNIO
2.1. História do Alumínio
O alumínio devido suas excelentes propriedades físico-químicas, entre as quais se
destacam o baixo peso específico, a resistência à corrosão, a alta condutibilidade térmica e
elétrica e a infinita reciclagem, apresenta uma ampla variedade de utilização (embalagens para
alimentos e medicamentos, materiais para a construção civil, peças para veículos, de bicicletas
a naves espaciais, dentre outros), que o torna o metal não-ferroso mais consumido no mundo
(ABAL, 2007). Além disso, é um dos elementos mais abundantes da crosta terrestre e de
acordo com a Associação Brasileira do Alumínio, sua produção é superior ao que é produzido
com todos os outros metais não-ferrosos.
O alumínio, apesar de ser o terceiro elemento mais abundante na crosta terrestre
(ABAL, 2005), o metal puro não é encontrado na natureza em sua forma elementar devido a
sua forte afinidade com o oxigênio (Mackenzie, 2003). É ainda, o metal mais jovem usado em
escala industrial. O minério industrial mais importante é a bauxita, com um teor de óxido de
alumínio entre 40% e 60%, como poderemos ver mais adiante na Tabela 1.
A Bauxita é um mineral que ocorre naturalmente, sendo um material heterogêneo,
composto principalmente de um ou mais hidróxidos de alumínio, e várias misturas de sílica,
óxido de ferro, dióxido de titânio, silicato de alumínio e outras impurezas em quantidades
menores (Anderson, 1998). A Tabela 2, abaixo, mostra o percentual dos principais compostos
constituintes da bauxita, em várias partes do mundo.
Tabela 2 - Principais constituintes da bauxita (em percentual)
Países % de Al
2
O
3
% de SiO
2
% de Fe
2
O
3
Jamaica
45-49
0,8-8
17-22
Suriname e Guiana
55-60
2-5
< 3
Brasil
55
3,5
11
Austrália
53-58
4-7
12
Guiné
57-60
< 1
2-4
Fonte: TOTTEN, G. E.; MACKENZIE, D. S., 2003.
Mesmo utilizado milênios antes de Cristo, o alumínio começou a ser produzido
comercialmente há cerca de 150 anos. Sua produção atual supera a soma de todos os outros
metais não-ferrosos. Esses dados já mostram a importância do alumínio para a nossa
sociedade. Antes de ser descoberto como metal isolado, o alumínio acompanhou a evolução
das civilizações.
18
O processo percorrido até conhecermos o alumínio na sua forma atual foi longo, como
mostra a Tabela 3, abaixo.
Tabela 3 - Ordem cronológica do alumínio
6.000 a.C.
Os Persas fabricaram potes e recipientes de argila que continham óxido de alumínio (Al
2
O
3
).
3.000 a.C.
Argilas com alumina eram utilizadas por povos antigos do Egito e Babilônia para a fabricação de
cosméticos, medicamentos e corantes de tecidos.
1809
Primeira obtenção do que até então mais se aproximava do alumínio. Humphrey Davy foi o
mentor da descoberta, fundindo ferro na presença de alumina.
1821
O francês P. Berthier descobre um minério avermelhado, que contém 52% de óxido de alumínio,
perto da aldeia de Lês Baux, no sul da França. É a descoberta da bauxita, o minério mais comum
de alumínio.
1825
O físico dinamarquês Hans Christian Oersted consegue isolar o alumínio de outra maneira, a
partir do cloreto de alumínio na forma como é conhecido hoje.
1854
Primeira obtenção do alumínio por via química, realizada por Henry Saint–Claire Deville.
1855
Deville mostra, na exposição de Paris, o primeiro lingote de um metal muito mais leve que o
ferro.
1886
Torna-se público o processo de obtenção de alumínio por meio da redução eletrolítica da alumina
dissolvida em banho fundido de criolita. Esse procedimento foi desenvolvido separadamente pelo
norte-americano Charles Martin Hall e pelo francês Paul Louis Toussaint Héroult, que o
descobriram e o patentearam quase simultaneamente. Esse processo ficou conhecido como Hall-
Heróult e foi o que permitiu o estabelecimento da indústria global do alumínio.
1888
Alumina produzida comercialmente através do Processo Bayer.
1945
Na cidade de Ouro Preto (MG) é produzido o primeiro lingote de alumínio do Hemisfério Sul, na
fábrica da Elquisa.
Como visto na Tabela 2, acima, apenas em 1886 foi desenvolvido um processo
industrial econômico de redução. Tal processo conhecido como Hall-Héroult é usado até a
atualidade.
Hoje, os Estados Unidos e o Canadá são os maiores produtores mundiais de alumínio.
Entretanto, nenhum deles possui jazidas de bauxita em seu território, dependendo
exclusivamente da importação. Segundo a ABAL, o Brasil possui a terceira maior reserva de
bauxita no mundo, localizada na região amazônica, perdendo apenas para Austrália e Guiné.
Além da Amazônia, o alumínio pode ser encontrado no sudeste do Brasil, na região de Poços
de Caldas (MG) e Cataguases (MG).
2.1.1. A Reciclagem do Alumínio
O alumínio é um metal durável, que possui infinito potencial de reciclagem, usado na
produção de ampla variedade de produtos, como: embalagens para alimentos e medicamentos,
materiais para a construção civil, peças para veículos (de bicicletas a naves espaciais), entre
outros.
19
A reciclagem do alumínio segue fluxos diferentes, de acordo com o tipo de sucata. As
fases se modificam na coleta e no retorno da sucata ao mercado, dependendo do produto a ser
reciclado. Veja abaixo a Figura 1 com o fluxo de reciclagem da lata de alumínio, que serve
como referência para os demais produtos.
Figura 1 - Fluxo de reciclagem da lata de alumínio
Fonte: ABAL, disponível em http://www.abal.org.br/reciclagem/fluxo.asp
2.2. Processo de Produção do Alumínio
O alumínio é encontrado abundantemente na forma de óxido de alumínio (Al
2
O
3
) e
suas reservas minerais são quase ilimitadas, segundo a ABAL (2007). Como vimos
anteriormente, o principal minério para a produção de alumínio é a bauxita.
Toda a alumina produzida comercialmente da bauxita é obtida por um processo
patenteado por Karl Josef Bayer em 1888, conhecido como Processo Bayer. Tal processo
permite, por meio do refino da bauxita, que se obtenha o hidróxido de alumínio e/ou alumina.
A obtenção do alumínio a partir da bauxita se dá basicamente através de três etapas:
mineração, refinaria e redução.
A mineração da bauxita, primeira etapa do processo, consta da remoção criteriosa da
vegetação e do solo orgânico, de forma planejada para não degradar o meio ambiente. Após a
extração, a bauxita passa por um processo de beneficiamento que vai desde a britagem até a
secagem, a fim de reduzir o teor de sílica que possa está contida no mineral, antes de ser
enviada a refinaria onde se produz o óxido de alumina.
Na segunda etapa do processo, que ocorre na refinaria, a bauxita é transformada em
alumina calcinada, que será utilizada no processo de Redução, como o principal insumo para
a produção de alumínio.
A alumina é um pó branco fino, seco com a consistência semelhante a uma areia fina.
Grande parte de sua produção, cerca de 90%, é destinada à obtenção de alumínio metálico,
20
apesar de possuir uma vasta aplicabilidade nos mais variados graus de pureza e composição.
Exemplos de aplicação é o uso como abrasivo, material refratário, cerâmica, corantes, massa
de polimento, tintas, indústria de vidros, pinturas metálicas entre outros (ANDRADE, 2000).
As principais fases da produção da alumina desde a mineração até a saída do produto
são: moagem, digestão, filtração/evaporação, precipitação e calcinação. Tais operações
possuem um fluxograma de certa complexidade, que pode ser resumido em um circuito
simples, conforme a Figura 2, abaixo.
Figura 2 - Fluxograma básico de uma refinaria
Fonte: http://www.abal.org.br/aluminio/producao_alupri.asp#mineracao
A bauxita é moída e misturada a uma solução de soda cáustica que a transforma em
uma pasta aquecida sobre pressão. Depois de aquecida, recebe uma nova adição de soda
cáustica que a fará se dissolver formando uma solução que passa pelos processos de
sedimentação e filtração para que se eliminem todas as impurezas.
Essa solução, livre de todas as impurezas, está pronta para que dela se extraia apenas
a alumina e isso é feito através do Processo Bayer, o mais utilizado pela indústria do
alumínio.
Os cristais são secados e calcinados para eliminar a água, sendo o pó branco de
alumina pura enviado à Redução para obtenção do alumínio metálico, realizado em cubas
eletrolíticas a altas temperaturas, através de eletrólise, conforme mostra a equação abaixo, tal
procedimento é o conhecido como processo Hall-Héroult.
2Al
2
O
3(dissolvido)
+ 3C
(S)
→ 4Al
(l)
+ 3CO
2(g)
Da eletrólise da molécula de alumina é produzido alumínio metálico e oxigênio
gasoso, sendo que o primeiro se deposita no pólo negativo (cátodo) e o segundo se dirige para
21
o pólo positivo (anodo) onde se combina com o carbono deste material formando moléculas
de dióxido de carbono.
A cuba eletrolítica, como mostra a Figura 3, é constituída de várias componentes
físicas. O ânodo e o cátodo são os eletrodos que permitem a circulação da corrente elétrica,
que é da ordem das dezenas ou centenas de milhares de ampères. A corrente elétrica circula
do ânodo (pólo positivo) para o cátodo (pólo negativo) e pode ser considerada com
intensidade constante. O ânodo é imerso no banho (eletrólito em fusão no qual se encontram a
alumina e alguns aditivos) de maneira a assegurar uma superfície de contato grande o
suficiente entre o carbono e o eletrólito. A corrente passa através do banho, que pela sua
composição química favorece a redução eletrolítica da alumina.
Figura 3 - Célula eletrolítica (processo Hall-Heroult)
Fonte: modificação de DRUMOND, 2007.
Além disso, o banho em contato com as paredes laterais favorece a solidificação deste
formando a crosta, que age como um isolante térmico no tanque e como agente de proteção
contra a deterioração das paredes de carbono. Finalmente, pela sua densidade o alumínio
produzido deposita-se sobre o cátodo de carbono e age como um equipotencial elétrico devido
à sua grande condutividade elétrica. A tensão de uma cuba varia de 4 a 5 volts. A diferença
de tensão é necessária para vencer resistências do circuito e gerar calor para manter o
eletrólito em fusão (PEREIRA, 2007).
A Figura 4, abaixo, mostra o fluxograma de produção do alumínio, da mineração até o
produto final.
22
Figura 4 - Fluxograma de produção do alumínio
Fonte:
Devido à grande complexidade do processo eletroquímico, vários estudos foram
realizados com o objetivo de melhorar a sua compreensão e o seu controle. A eletroquímica, a
modelagem, a simulação e a transferência de calor contribuíram fortemente para a evolução
da compreensão do processo (Nadeau, 1993). E de acordo com vários pesquisadores, o bom
funcionamento de uma cuba eletrolítica pode ser afetado através da temperatura do banho,
concentração de alumina, massa da crosta e, consequentemente, da resistência.
Segundo Meghlaoui et.al. (1997) o controle da cuba é baseado essencialmente em um
balanço de energia e um balanço de massa. Um bom balanço de energia ajuda a estabilizar a
temperatura do banho e a formação da crosta. A crosta é uma fina camada de eletrólito que se
solidifica em torno do cátodo do carbono, como já foi mencionado anteriormente. Um balanço
de energia estável é exigido porque, quando instável, pode causar o aumento demasiado ou o
derretimento da crosta. Por outro lado, um bom balanço material ajuda a manter a
concentração da alumina próxima dos valores ótimos. As concentrações demasiadamente
elevadas podem conduzir à formação de “lama”, uma pasta indissolúvel de difícil remoção e
que pode afetar a distribuição de corrente no cátodo e perturbar a operação da cuba. Ao
contrário, concentrações demasiadamente baixas podem provocar um efeito ânodo, o que não
é desejável no processo; esse efeito é caracterizado por um acúmulo rápido de material sob o
ânodo, aumentando a resistência da cuba e, consequentemente, a tensão, que pode variar de
20 a 50 V. Tal efeito causa um alto consumo de energia, um aumento na temperatura global
da cuba e a emissão de gases prejudiciais, como monóxido de carbono e tetrafluoreto de
carbono. Isto mostra a importância de controlar tanto a resistência da cuba quanto a
concentração de alumina.
23
2.3. Modelagem Matemática de Uma Cuba Eletrolítica
Desde os anos 70, o interesse em estudar o comportamento dinâmico das cubas vem
crescendo, e muitos modelos ao longo desses anos foram criados e alguns aprimorados.
Segundo Nadeau (1993), um dos modelos mais promissores foi o desenvolvido por Tikasz,
Bui e Protocnik (1992). Trata-se de um modelo não-linear de ordem 18 que serve de base para
um simulador construído para o estudo do comportamento dinâmico e controle da cuba, e que
pode servir para tomada de decisões e supervisão. Ainda segundo Nadeau (1993), os autores
apóiam que o balanço mássico da alumina é uma parte sensível do modelo, uma vez que uma
baixa concentração de alumina no banho provoca o efeito anódico, que não é desejável no
processo, já que isso pode acarretar uma queda de tensão de até 50 volts. Tal efeito gera um
alto consumo de energia, um aumento na temperatura global do tanque e muitos outros
fenômenos de natureza perturbante.
Duas variáveis importantes no modelo são: distância anodo-catodo e taxa de
alimentação da alumina. Como foi dito anteriormente, esta última pode evitar o efeito
anódico. A distância anodo-catodo em uma célula de eletrólise é de cerca de 4 a 6 cm,
segundo Pereira (2007). Tal distância influencia a concentração de alumina dentro do banho.
24
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Tikasz, Bui e Potocnik (1992), desenvolveram um modelo não-linear de ordem 18 que
serve de base a um simulador construído para o estudo do comportamento dinâmico e
controle do tanque. O simulador pode servir de instrumento de decisões e de supervisão para
o tanque. Propuseram seguidamente uma versão simplificada do modelo onde agrupam as
componentes do tanque que possuem propriedades similares como as seções superiores e
inferiores da crosta, e exclui as componentes que têm pouca importância no contexto de uma
dinâmica em curto prazo chamada cátodo de carbono. Tiveram êxito em reduzir o número de
componente a seis em três fases distintas de alumina: o banho, a crosta e o metal. A dinâmica,
que provém de balanços mássicos e energéticos, é representada pelas nove equações
diferenciais seguintes:
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
Onde as variáveis de saída são as seguintes:
X
1
: massa de alumina dispersada no banho;
X
2
: massa de alumina depositada;
C: concentração de alumina dissolvida no banho;
M
1
: massa do banho;
T
1
: temperatura do banho;
M
2
: massa da crosta;
T
2
: temperatura da crosta;
25
M
3
: massa do metal;
T
3
: temperatura do metal.
Tabsh et al. (1995) desenvolveu um modelo transiente com parâmetros concentrados,
dividido em duas partes. A primeira parte foi um modelo de processo e a segunda foi um
modelo de controle. O modelo de processo usou 13 equações diferenciais: um balanço de
calor, 11 balanços de massa de cada espécie e uma equação relacionada a distância anodo-
catodo. O modelo de controle simulou o procedimento de operação e a dinâmica de controle
da célula.
Tang et al. (1998) discutiu um modelo dinâmico que tem sido desenvolvido desde
1970. O modelo simula o processo químico e físico de uma cuba de redução através da
solução de equações de balanço de massa e energia. A versão mais recente do modelo simula
eventos de falhas, incluindo o movimento do lastro de metal, modificação do anodo e efeito
anódico. A estratégia de controle Celtrol é usada para simular as ações de controle. As
entradas do modelo foram a tensão da cuba e a concentração de alumina, enquanto a
temperatura do banho, a razão do banho e o superaquecimento foram as variáveis de saída. A
comparação das saídas do modelo e os valores medidos em um período de 19 horas
apresentaram um erro de 0,5% para temperatura, 1,4% para a razão de banho, e 7,9% para o
superaquecimento. A necessidade de medição de tensão e concentração de alumina limita a
utilidade do modelo.
Wright (1993) também desenvolveu um modelo transiente com parâmetros
concentrados. Este modelo inclui um submodelo para transferência de calor, tensão e balanço
de massa. A estratégia de controle Celtrol foi usada para determinar as ações de controle. A
saída do modelo foi comparada com medições na tensão da célula, concentração de alumina e
temperatura. O modelo apresentou resultados satisfatórios em um período de 24 horas. No
entanto, ajuste no coeficiente de transferência de calor foi necessário.
Taylor et al. (1996) desenvolveu um modelo transiente com parâmetros distribuídos,
enfocando o balanço térmico na célula de redução. Em seu trabalho, o fluido foi modelado
com três fases distintas: o eletrólito, o alumínio e a lama. A região da célula foi dividida em
45 tanques interconectados. Um sistema em estado estacionário foi usado para determinar o
fluxo entre os tanques. Uma malha unidimensional foi usada para resolver a condução de
calor entre o fluido e os materiais sólidos.
Salt (1990) discute um modelo para controle da composição do banho. O autor
estabelece que o controle de razão entre o fluoreto de sódio e o fluoreto de alumínio é
26
determinado por vários fatores. Isto inclui a taxa de sódio absorvido nas paredes de carbono,
o conteúdo de sódio da alumina, a temperatura do banho, a evolução da taxa de fluoreto de
alumínio e a quantidade de fluoreto de alumínio que retorna para o sistema de absorção. Uma
combinação de tendência histórica, temperatura do banho obtida na tomada de amostra para a
determinação da razão do banho e o conhecimento da composição da alumina são usadas para
determinar as quantidades necessárias de fluoreto de sódio e fluoreto de alumínio a serem
adicionadas.
Entner (1992 e 1993) também desenvolveu um modelo que pode ser usado para
reduzir oscilações na concentração de fluoreto de Alumínio (AlF
3
). O atraso de tempo entre
as adições e a reação do banho é citado como causadores desta variabilidade. O modelo de
Entner usa análise de regressão e uma concentração média de AlF
3
em um intervalo de tempo,
que é ajustado para compensar o atraso. Este modelo mostrou-se eficaz na redução da
variabilidade da concentração de AlF
3
. Entner, também, discutiu uma extensão do modelo
para redução das oscilações de temperatura.
Sorheim e Borg (1989) desenvolveram um modelo de espaço de estado não-linear com
um filtro Kalman Extendido. O modelo tem 18 variáveis de estado. No modelo inclui-se a
concentração de fluoreto e alumina, massa das laterais, temperatura do leito de metal e do
isolamento. Uma dificuldade encontrada foi o número de medições disponíveis. A Resistência
da célula é obtida a cada 5 minutos enquanto a temperatura do banho é disponível a cada 8
horas e o conteúdo de fluoreto a cada 24 horas.
Jie et al. (1994) desenvolveu um filtro Kalman extendido adaptativo. O filtro é similar
ao filtro Kalman extendido. A diferença é que os coeficientes do filtro são variáveis ao longo
do tempo, permitindo o modelo adaptar a variações do comportamento do sistema.
Meghlaoui et. al. (1998) construiu redes neurais artificiais para um esquema de
controle preditivo para a célula eletrolítica de alumínio. A vantagem de se usar redes neurais
no controle preditivo é que são muito robustas com distúrbios aleatórios na alimentação da
alumina, o que é claramente uma vantagem no contexto de aplicações industriais. Outra
vantagem é a aprendizagem on-line.
Rolland et al. (1991) desenvolveu um sistema especialista para o controle e supervisão
da célula de alumínio. O objetivo do sistema foi tratar de situações diversas e auxiliar os
operadores na solução de problemas complexos e incrementar a produtividade do processo.
Zeng e Li (2006) investigaram o sistema de diagnóstico de falhas do ânodo na redução
de alumínio. Com base na análise de espectro da frequência, um filtro digital foi projetado
para o tratamento dos sinais da amostragem. O sistema de diagnóstico para o estado de
27
trabalho do ânodo foi desenvolvido utilizando matemática Fuzzy. O sistema incluiu quatro
módulos: a amostragem e o tratamento do sinal, o módulo da predição do efeito de ânodo,
distinção do defeito do ânodo e a base de dados. Para a predição do efeito anodo, uma nova
metodologia foi usada, o reconhecimento distorcido por meio da combinação de tensão da
pilha com a distância anodo-catodo.
Berezin et. al. desenvolveram uma rede neural classificadora de ruídos para a célula de
redução de alumínio a ser usado em sistemas de controle de produção da eletrólise. Esse tipo
de rede permite distinguir os ruídos causados por distúrbios tecnológicos, fazendo isso revela
o último em uma fase inicial de sua emergência.
Bui et. al. (1993) analisaram as ações de controle resultantes e a resposta dinâmica a
uma mudança de etapa na temperatura do alvo do metal líquido em uma carcaça de fornalha
de alumínio.
Pereira (2007) avaliou o uso de técnicas “não-tradicionais” no controle da
composição química do banho, visando o aumento do desempenho das cubas. Estas
metodologias “não-tradicionais” consistem na utilização de base de dados de ratio e
temperatura distinta da atual e duração do ciclo de acerto da composição química do banho
variado. Diferentes estratégias de controle foram testadas a fim de se identificar o
desempenho de cada uma das configurações propostas.
Nadeau (1993) partiu do modelo não-linear de ordem nove de Tikasz, Bui e Potocnik
(1992) e propôs construir um modelo linear da forma , que serve de
instrumento para estudar a dinâmica do método, por intermédio das técnicas de análise de
sistemas lineares. Com isso, a partir do modelo não-linear de ordem nove (Tikasz et. al.,
1992) construiu um simulador numérico e o utilizou como substituto do método real,
desenvolvendo modelos lineares aplicáveis aos arredores de um ponto de operação nominal
da cuba eletrolítica. Obtendo uma boa representatividade sob condições normais de operação.
28
4. METODOLOGIA
4.1. O Modelo Matemático
Para o desenvolvimento deste trabalho, utilizamos o modelo linear de ordem dez
(Nadeau, 1993), em função das dez variáveis de estado (z
1
a z
10
) e de DAC e DMA. O modelo
apresenta 18 parâmetros. É um modelo linear relativamente simples e que representa
satisfatoriamente a dinâmica do processo segundo Nadeau (1993). Abaixo segue a descrição
detalhada do procedimento de obtenção de tal modelo.
• O método utilizado para a aproximação linear do modelo não-linear de ordem
nove de Tikasz et. al. foi o de identificação paramétrica das funções de transferência. Este
método permite a obtenção de funções de transferência de ordem , com ou sem tempo-
morto por intermédio de dados que provêm diretamente do processo ou de uma simulação
numérica.
• A partir das funções de transferência obtidas deduz-se a matriz de evolução
dinâmica A, a matriz de aplicação de controle B, a matriz de observação C e a matriz de
acoplamento entrada/saída D, que vão formar o modelo linear.
• Escolhe-se uma variável de estado como saída e uma variável de controle como
entrada para ligar a função de transferência desejada.
• Provoca-se um degrau na variável de controle e traça o comportamento da
variável de estado em resposta a esta. Identifica-se a forma desta resposta, de maneira a
escolher o tipo de função de transferência a ser associada. De acordo com este tipo, os
parâmetros a serem identificados podem ser uma combinação dos seguintes coeficientes:
constante de tempo (τ), ganho (K), constante de velocidade (K
v
), coeficiente de amortização
(ζ) e tempo-morto (G) do sistema. Dessa forma, os modelos lineares obtidos por identificação
paramétrica das funções de transferência têm cinco configurações diferentes, algumas com
tempo-morto, são elas: Configuração Integral, de Primeira Ordem, Proporcional + Integral, de
Primeira Ordem + Integral e de Segunda Ordem. Detalhes da construção das funções de
transferência são apresentados no anexo A, extraído de Nadeau (1993).
• Após a identificação, realizou-se uma validação parcial do modelo linear obtido
através da comparação gráfica das suas saídas com as do simulador.
Primeiro, foi construído um modelo de ordem vinte e dois, que se trata
de uma formulação restrita, ou seja, sem tempo-morto.
29
Segundo, incluiu o tempo-morto do sistema no interior do modelo, de
maneira a obter uma formulação completa, determinando um modelo de ordem
vinte e seis, em um estado perfeitamente estacionário.
E finalmente, determinou-se um modelo linear de ordem vinte e sete,
que se mostrou o mais representativo do modelo não-linear inicial, uma vez
que se levou em conta o estado pseudo-estacionário.
Segue, abaixo, o conjunto de equações diferenciais que formam o modelo de ordem
vinte e sete.
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
(4.19)
(4.20)
30
(4.21)
(4.22)
(4.23)
(4.24)
(4.25)
(4.26)
(4.27)
Como dito anteriormente, esse modelo foi obtido através de uma aproximação linear
do modelo não-linear de Tikasz et. al., através da identificação paramétrica das funções de
transferência, do tipo de segunda ordem. A identificação dos parâmetros foi realizada pelo
método de Smith, que é válido para sistemas sob ou sobre amortecidos. Foi o método que se
demonstrou mais adequado e rápido a necessidade do processo, segundo Nadeau (1993).
Os limites de aplicabilidade do modelo linear de ordem vinte e sete podem ser
estabelecidos pela curva da resistência da cuba (R) em função da concentração de alumina no
banho (C). Com efeito, a função R = f (C) possui a vantagem de demonstrar simultaneamente
o impacto das duas variáveis de controle no método. Assim, as variações associadas à
distância ânodo-cátodo (DAC) manifestam-se através da resistência do tanque e as variações
na alimentação de alumina (DMA) manifesta-se através da concentração de alumina no
banho. Contudo, a resistência não depende unicamente da concentração de alumina, mas
também as variáveis de controle e de outras variáveis como a temperatura do banho e a massa
da crosta, ou seja, R = f (C) é uma aproximação de R = f (C, T1, M2, DAC, DMA).
Finalmente, conclui-se que o modelo linear de ordem vinte e sete assegura uma
representação adequada do modelo não-linear inicial, para as variáveis R, C e T1. Além disso,
já que o modelo identificado é desacoplado, pode-se reduzir sua ordem a dez (retirando
simplesmente as variáveis que não têm influência direta no controle do processo), de maneira
a conservar unicamente as variáveis que têm uma influência direta sobre a resistência da cuba,
ou seja, C, T1 e M2. Levando em conta essas considerações Nadeau (1993) conseguiu obter
um modelo linear de ordem dez de grande simplicidade, como mostram as equações
diferenciais abaixo:
(4.28)
(4.29)
31
(4.30)
(4.31)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
(4.35)
(4.36)
(4.37)
Assim, como variáveis de saída, temos:
(4.38)
(4.39)
(4.40)
O uso da , significa que as variáveis C, T1 e M2 são variáveis desvio em relação ao
estado estacionário.
O modelo linear de ordem dez possui o mesmo limite de aplicabilidade estabelecido
para o modelo de ordem vinte e sete. Para tal, devem-se considerar certos parâmetros
constantes, como mostra a Tabela 4, abaixo:
Tabela 4 - Especificações técnicas e condições operacionais da cuba
Concentração de Alumina (C) 4% em massa
Massa da Crosta (M2) 1276 kg
Temperatura do banho (T1) 980,6°C
Distância anodo-catodo (DAC) 4,4 cm
Quantidade de alumina injetada a cada
quatro minutos
2,9 kg
Duração de uma alimentação 10 s
Taxa de alimentação de alumina (DMA) 0.01208 kg/s
Tensão 5,2 V
Resistência
36.6 µΩ
Fonte: Nadeau, 1993.
32
4.2. Avaliação do Modelo Matemático
Inicialmente, simulamos o modelo matemático descrito na seção 4.1 e comparamos
graficamente os resultados obtidos com os apresentados em Nadeau (1993), analisando-os
fisicamente.
Para a simulação, utilizamos o software Matlab R2009a, através de arquivos.m, como
segue abaixo:
• Um arquivo denominado modelo.m, contendo o modelo matemático, isto é,
contendo as dez equações diferenciais com os 18 parâmetros fixos;
• Outro arquivo nomeado principalDAC.m, contendo:
Um vetor com a condição inicial;
O degrau positivo de 10% na distância anodo-catodo (DAC = +10%);
As informações sobre o tempo, que foi de 6 horas;
A rotina “ode45”, resolve as equações usando o método de Runge-
Kutta, nos fornece as respostas das variáveis de saída, a partir de uma
estimativa inicial.
O mesmo procedimento foi realizado para um degrau negativo na taxa de alimentação
da alumina (DMA = -10%).
Após, a simulação do modelo, comparamos os resultados com os resultados obtidos
por Nadeau (1993), fazendo uma análise física de cada variável de saída. Um diagrama
esquemático do procedimento de avaliação realizado é mostrado na Figura 7, abaixo.
Figura 5 – Diagrama para o código de avaliação do modelo matemático
Especifica o vetor da
condição inicial
Degrau (DMA: -10% ou
DAC: +10%)
Chama a rotina
ode45
Determina as
variáveis de saída
(C, T1, M2)
33
4.3. Determinação dos Parâmetros Ótimos
Após simular o modelo descrito na seção 4.1, calculamos os novos valores dos
parâmetros através de um procedimento de otimização utilizando o Optimization Toolbox
TM
4
do Matlab R2009a, que inclui funções para muitos tipos de otimização como, por exemplo,
mínimos quadrados para funções não-lineares. Dentro das funções de referencia desse toolbox
está a lsqnonlin, que é usada para executar um ajuste por mínimos quadrados, usando o
algoritmo de Levenberg-Marquardt. Um arquivo principal contém os valores iniciais dos
parâmetros e a rotina lsqnonlin, que através da condição inicial, calcula o valor das equações
diferenciais e a função objetivo nos dando os valores dos parâmetros ótimos, utilizando o
método de Levenberg-Marquardt. As funções objetivo foram:
(4.41)
; (4.42)
. (4.43)
A Figura 8, a seguir, mostra o diagrama para tal procedimento.
Figura 6 – Diagrama da determinação dos parâmetros
PRINCIPAL
lsqnonlin
PARAMLSQ
PARAMRESP
condição inicial
cálculo da função
parâmetros ótimos
Equações
Diferenciais
34
4.4. Análise de Sensibilidade do Modelo
Análise de sensibilidade é uma forma de entender quantitativamente como a solução
para um modelo depende dos seus parâmetros (R. J. Kee et. al., 1998).
Dessa forma, a análise de sensibilidade efetuada neste trabalho consiste em aplicar um
desvio de dez por cento em cada parâmetro do modelo separadamente, ou seja, enquanto
avalia-se a sensibilidade de um parâmetro todos os outros parâmetros permanecem fixos. Ao
final, teremos conhecimento de que parâmetros são mais sensíveis, sua dependência, assim
como o impacto deste determinado parâmetro no modelo.
35
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO
5.1. Avaliação do Modelo Matemático
Comparando os resultados da simulação do modelo matemático com os obtidos por
Nadeau (1993), vemos que as curvas das variáveis, concentração de alumina (C), temperatura
do banho (T1) e massa da crosta (M2), em função do tempo, se comportam de maneira
semelhante, Figuras 7-12, abaixo.
A Figura 7, abaixo, mostra que a diminuição na taxa de alimentação da alumina
provoca uma diminuição de alumina dispersa no banho. Tal efeito ocorre devido ao consumo
ser constante mesmo quando a taxa de alimentação (DMA) diminui, ou seja, neste caso
consome-se mais que se alimenta.
Figura 7 – Comparação entre os valores simulados e os valores experimentais (Nadeau, 1993) da
variável de Saída C com degrau na taxa de alimentação de alumina, DMA, a -10%
A Figura 8, abaixo, mostra que quando a taxa de alimentação da alumina (DMA) sofre
uma redução de 10%, a temperatura do banho possui duas tendências opostas. Na primeira
tendência, a temperatura do banho sofre um aumento causado pelo fato de que há menos
alumina a dissolver e aquecer. A segunda tendência é uma diminuição da temperatura do
banho causada pela queda de resistência.
36
Figura 8 – Comparação entre o valor calculado e o valor experimental (Nadeau, 1993) da variável de
Saída T1 com degrau na taxa de alimentação de alumina, DMA, a -10%
A figura 9, abaixo, mostra que a diminuição da taxa de alimentação da alumina
(DMA) causa uma diminuição na massa da crosta, devido ao aumento da temperatura do
banho.
Figura 9 – Comparação entre o valor calculado e o valor experimental (Nadeau, 1993) da variável de
Saída M2 com degrau na taxa de alimentação de alumina, DMA, a -10%
A figura 10, abaixo, mostra que um aumento na distância anodo-catodo provoca um
ligeiro aumento da concentração de alumina, uma vez que a alumina dispersa no banho
diminui com o aumento de DAC. Logo, o aumento de DAC, também, provoca um aumento da
37
taxa de dissolução da alumina, fazendo com que parte da alumina passe da faze dispersa à
fase dissolvida.
Figura 10 – Comparação entre o valor calculado e o valor experimental (Nadeau, 1993) da variável de
Saída C com degrau na distância anodo-catodo, DAC, a +10%
A Figura 11, abaixo, mostra que a temperatura do banho reage como um sistema de
primeira ordem quando ocorre um aumento da distância anodo-catodo (DAC). Como já foi
mencionado anteriormente, um aumento de DAC provoca um aumento da temperatura do
banho.
Figura 11 – Comparação entre o valor calculado e o valor experimental (Nadeau, 1993) da variável de
Saída T1 com degrau na distância anodo-catodo, DAC, a +10%
A figura 12, abaixo, mostra que com o aumento da distância anodo-catodo, a massa da
crosta diminui.
38
Figura 12 – Comparação entre o valor calculado e o valor experimental (Nadeau, 1993) da variável de
Saída M2 com degrau na distância anodo-catodo, DAC, a +10%
5.2. Determinação dos Parâmetros
Os parâmetros ótimos do modelo foram calculados através de um procedimento de
otimização que utiliza a método dos mínimos quadrados e são apresentados na Tabela 5,
abaixo. A seguir, temos a comparação entre as curvas com os parâmetros originais e as curvas
com os parâmetros ótimos, Figuras 13 – 18.
Tabela 5 - Valores dos Parâmetros Originais do Modelo e Valores dos Parâmetros
Ótimos Simulados
Parâmetros Originais
do Modelo
Parâmetros Ótimos
DMA -10%
Parâmetros Ótimos
DAC +10%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
39
Cont.
Parâmetros Originais
do Modelo
Parâmetros Ótimos
DMA -10%
Parâmetros Ótimos
DAC +10%
17
18
Podemos observar na Figura 13 que praticamente não houve modificação na curva de
concentração em função do tempo. A concentração não se alterou após efetuar uma
otimização nos parâmetros.
Figura 13 – Comparação entre as curvas com os parâmetros originais e os parâmetros ótimos da
variável de saída C com degrau na distância anodo-catodo, DAC, a +10%
Na Figura 14, a seguir, observa-se que na curva de temperatura do banho em função
do tempo, a curva com os parâmetros obtidos a partir da otimização apresentou uma pequena
queda na temperatura.
40
Figura 14 - Comparação entre as curvas com os parâmetros originais e os parâmetros ótimos da variável
de saída T1 com degrau na distância anodo-catodo, DAC, a +10%
A Figura 15 mostra que houve um pequeno aumento da massa da crosta para a crva
obtida com os parâmetros otimizados.
Figura 15 – Comparação entre as curvas com os parâmetros originais e os parâmetros ótimos da
variável de saída M2 com degrau na distância anodo-catodo, DAC, a +10%
41
Figura 16 - Comparação entre as curvas com os parâmetros originais e os parâmetros ótimos da variável
de saída C com degrau na taxa de alimentação da alumina, DMA, a -10%
A Figura 16, acima, apresenta as curvas de concentração de alumina para um degrau
de -10% na distância anodo-catodo. A curva obtida com os parâmetros otimizados mostra um
pequeno aumento da concentração com relação à curva com os valores originais.
Figura 17 - Comparação entre as curvas com os parâmetros originais e os parâmetros ótimos da variável
de saída T1 com degrau na taxa de alimentação da alumina, DMA, a -10%
A Figura 17 mostra que a curva da temperatura do banho obtida com os parâmetros
otimizados apresenta um pequeno aumento da temperatura ao longo do tempo.
42
Figura 18 - Comparação entre as curvas com os parâmetros originais e os parâmetros ótimos da variável
de saída M2 com degrau na taxa de alimentação da alumina, DMA, a -10%
A Figura 18 apresenta a curva da massa da crosta em função do tempo com os
parâmetros originais e a curva da massa da crosta em função do tempo obtida através da
otimização. Percebe-se que há uma pequena diminuição na massa da crosta com os
parâmetros otimizados.
5.3. Análise de Sensibilidade do Modelo
Efetuada a análise de sensibilidade do modelo, podemos verificar os parâmetros que
possuem uma maior sensibilidade. No anexo B se encontram as tabelas com os valores do
estudo da análise de sensibilidade, cada valor de resíduo de cada função objetivo para cada
parâmetro variado. As Tabelas 6 e 7, abaixo, mostram quais parâmetros são mais sensíveis
com um desvio de +10% em DAC e -10% em DMA, respectivamente.
O desvio da curva quando se varia cada parâmetro foi calculado através da seguinte
equação:
(5.1)
Onde, é o valor do resíduo da função objetivo para os parâmetros originais;
é o valor do resíduo da função objetivo para os parâmetros Variados.
43
Tabela 6 - Análise de Sensibilidade para os dados obtidos com DAC +10%
Parâmetro
Resíduo da função objetivo
para a Concentração
(parâmetro original)
Resíduo da função objetivo
para a Concentração
(parâmetro variado)
Desvio (%)
P1
68,2
P2
192
P3
1583
P4
25,59
Parâmetro
Resíduo da função objetivo
para a Temperatura
(parâmetro original)
Valor da função objetivo para
a Temperatura
(parâmetro variado)
Desvio
P6
95
P7
356,6
P10
10,7
Parâmetro
Resíduo da função objetivo
para a
Massa da Crosta
(parâmetro original)
Valor da função objetivo para
a Massa da Crosta
(parâmetro variado)
Desvio
P12
35,2
P13
35,2
P14
3,48
P15
335,7
De acordo com a Tabela 6, acima, temos os parâmetros mais sensíveis do modelo
quando há um desvio de +10% na variável DAC, os parâmetros destacados em azul (P3, P7 e
P15) são os que possuem maior influência.
Tabela 7 - Análise de Sensibilidade para os dados obtidos com DMA -10%
Parâmetro
Resíduo da função objetivo
para a Concentração
(parâmetro original)
Resíduo da função objetivo
para a Concentração
(parâmetro variado)
Desvio
P5
170,5
Parâmetro
Resíduo da função objetivo
para a Temperatura
(parâmetro original)
Resíduo da função objetivo
para a Temperatura
(parâmetro variado)
Desvio
P8
453,6
P9
5,5
P10
122
P11
133,4
Parâmetro
Resíduo da função objetivo
para a
Massa da Crosta (parâmetro
original)
Resíduo da função objetivo
para a
Massa da Crosta
(parâmetro variado)
Desvio
P14
33,2
P16
112,2
P17
104
P18
12406
44
De acordo com a Tabela 7, acima, temos os parâmetros mais sensíveis do modelo
quando há um desvio de -10% na variável DMA, os parâmetros destacados em azul (P5, P8 e
P18) são os que possuem maior influência.
Com isso, teremos seis parâmetros variáveis e o restante será fixo. Esses seis
parâmetros variáveis serão as saídas de uma rede neural artificial.
Figura 19 - Diagrama esquemático de uma rede neural artificial com a resistência como entrada da rede
e os parâmetros como saídas da rede.
No Anexo B, encontram-se as Tabelas 11 e 12 com todos os valores dos resíduos das
funções objetivos utilizadas para a análise de sensibilidade do modelo.
5.4. Relação entre a Resistência e a Concentração de Alumina
Uma relação típica da resistência em função da concentração é mostrada na Tabela 8,
abaixo.
Tabela 8 - Valores experimentais da Conc. de alumina e da Resistência da cuba
Concentração
(% mássica)
Resistência
(µΩ)
2,08
44
2,10
42
2,16
40
2,25
38
2,30 37,4
2,40
36,6
2,53
36
2,80
35,7
3,50
36
4,00
36,3
4,50
36,6
5,00 36,9
5,50
37,2
6,00
37,5
A figura 20, abaixo, mostra o comportamento da curva de resistência em função da
concentração de alumina, obtida a partir dos dados experimentais da Tabela 8, acima.
RNA
R = f(t)
p1
p2
p3
p4
p5
p6
45
Figura 20 - Curva da Resistência da cuba em função da concentração de alumina
Para obter um modelo de R e C foram usados os valores da Tabela 8, acima, e
proposto o modelo de Meghlaoui et. al. (1997),
(5.2)
Onde as variáveis c e R representam a concentração e a resistência da célula,
respectivamente. Os parâmetros são identificados através do método dos mínimos
quadrados. Porém, tal modelo não conseguiu a convergência, sendo então descartado.
Analisando a Figura 20 percebemos que quando a concentração tende para 2 a
resistência tende para infinito, o que dificulta o procedimento de ajuste. Observamos uma
simetria aplicando logaritmo para valores maiores que 1 e menores que 1, como pode ser visto
na Figura 21 abaixo.
Figura 21 - Curva da Resistência versus log(C)
Então, para facilitar o procedimento de ajuste, os valores de C na Tabela 8 acima
foram subtraídos de 2, com o objetivo de obter a equação de ajuste. Com isso, fazendo R
versus log(C-2) é possível observar o comportamento parabólico, como mostra a Figura 22.
46
Figura 22 - Curva da Resistência em função de log(C – 2)
Diante disso, o modelo é proposto pela seguinte equação:
(5.3)
Onde, R e C é a resistência da cuba e C a concentração de alumina, respectivamente. E
são determinados pelo método dos mínimos quadrados. Seus valores são
apresentados na Tabela 9, abaixo.
Tabela 9 – Valores dos parâmetros da função de regressão
Dessa forma,
Figura 23 - Curva da Resistência em função da concentração
47
Figura 24- Curva do Resíduo da Função em função do número de Iteração
Percebemos que o fator igual a 2 tem influencia nos parâmetros da equação (5.3).
Então, propomos uma modificação nesse parâmetro utilizando a ferramenta de ajuste de
curvas “cftool” que está disponível no Curve Fitting Toolbox
TM
2 do Matlab R2009a. Tal
ferramenta efetua a análise estatística dos dados com um grau de confiança de 95%. Dessa
forma podemos reescrever a equação (5.3) como:
(5.4)
Logo, temos a Figura 25 abaixo que mostra a curva da resistência em função da
concentração com o parâmetro a
4
variável.
Figura 25 - Curva da resistência em função da concentração utilizando o "cftool"
A Tabela 10, abaixo, mostra os valores dos parâmetros ( ) da função de
regressão com um intervalo de confiança de 95%.
48
Tabela 10 – Parâmetros com o valor de a
4
variável num intervalo de confiança de
95%
Parâmetros
Intervalo de confiança
Qualidade do ajuste
SSE
0,3007
R
2
0,9962
R
0,995
RMSE
0,1734
Onde:
• SSE é a soma de quadrados devido ao erro do ajuste. Um valor mais próximo de
zero indica um ajuste mais útil para a predição.
• R
2
é o quadrado da correlação entre os valores da resposta e os valores previstos
da resposta. Um valor mais próximo da unidade indica que uma maior proporção
de variação é esclarecida pelo modelo.
• R (ajuste de R
2
), um valor mais perto de 1 indica um melhor ajuste.
• RMSE é o erro padrão do ajuste ou erro padrão da regressão. Um valor mais
próximo de zero indica um ajuste mais útil para a predição.
Dessa forma, estatisticamente observamos que o ajuste se deu de forma bem sucedida,
uma vez que os valores de SSE e RMSE foram próximos de zero, que indica que o ajuste é
mais útil para a predição. Já os valores de R e R
2
ficaram próximos da unidade, o que deve ser
esperado, indicando que o ajuste foi bem sucedido.
Portanto, esse modelo empírico é adequado para representar a relação entre a
resistência e a concentração da alumina e poderá ser utilizada na determinação de dados a
serem alimentados numa rede neural.
49
6. CONCLUSÃO
O modelo matemático linear estudado para a dinâmica do processo de eletrólise do
alumínio demonstrou uma boa representatividade, sob condições normais de operação. O
modelo foi validado a partir do modelo de Nadeau (1993).
Os parâmetros ótimos simulados, também, mostraram boa representatividade. A
análise de sensibilidade nos parâmetros (P1-P18) nos mostrou que dos dezoito parâmetros seis
têm influência direta no modelo (P3, P7 e P15 quando há um degrau em DAC; P5, P8 e P18
quando há um degrau em DMA). Tais parâmetros poderão der determinados através de uma
rede neural artificial.
O modelo empírico desenvolvido é adequado para representar a resistência como
função da concentração da alumina, demonstrando bons resultados para o ajuste da curva com
um intervalo de confiança de 95%.
Dessa forma, o software desenvolvido poderá ser usado para a alimentação de uma
rede neural artificial que vai retornar os parâmetros (P3, P7 e P15; P5, P8 e P18) para cada
situação de operação nos permitindo determinar novos valores de C, T1 e M2 sem se fazer
necessário a medição.
50
7. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
• Desenvolver uma rede neural artificial no intuito de obter os parâmetros
necessários para o modelo matemático que descreve o comportamento de um
cuba de redução de alumínio que terá como entrada o vetor da resistência em
função do tempo e retornará como saída os parâmetros necessários para
determinar os valores de C, T1 e M2 sem que haja medições;
• Desenvolver um procedimento de diminuição de ruídos, que pode ser o uso
da transformada de wavelet, a fim de reduzir os ruídos ou distúrbios na
entrada da rede neural artificial, o que vai garantir um melhor desempenho na
aprendizagem e treinamento da rede;
• Testar a rede neural com dados de planta.
51
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bmitSearch=Find+Stats - Acessado em 24/04/2009 as 20hs09min.
Associação Brasileira do Alumínio – ABAL – Disponível em:
http://www.abal.org.br/aluminio/introducao.asp - Acessado em 05/05/2009 as 00hs50min.
ALCOA
http://www.alcoa.com/brazil/pt/custom_page/mercados_alumina_processo_resumo.asp
Em 19/03/2009 as 16hs22min
54
ANEXO A
Detalhes da Identificação das Funções de Transferência Obtidas por Nadeau (1993)
Encontram-se neste anexo, os cálculos detalhados sobre a identificação de todas as
funções de transferência utilizadas na linearização do modelo. Para fins de referência, este
anexo dá a identificação de todas as funções de transferência.
Põe-se ζ = 1, por conseguinte após o método de Smith [15]:
55
56
57
58
59
60
Põe-se ζ = 1, por conseguinte após o método de Smith [15]:
Põe-se ζ = 1, por conseguinte após o método de Smith [15]:
61
62
ANEXO B
Detalhes da Análise de Sensibilidade para a variação de cada parâmetro com os valores
de cada Resíduo da função objetivo
Tabela 11 - Análise de sensibilidade de cada parâmetro através do resíduo da função
objetivo para um degrau na distância anodo-catodo (DAC)
Resíduo da função objetivo
Parâmetro
Valores dos
Parâmetros
Originais
Valores dos
Parâmetros
Variados
RFob1
RFob2
RFob3
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
63
Tabela 12 - Análise de sensibilidade de cada parâmetro através do resíduo da função
objetivo para um degrau na taxa de alimentação da alumina (DMA).
Resíduo da função objetivo
Param.
Valores dos
Parâmetros
Originais
Valores dos
Parâmetros
Variados
RFob1
RFob2
RFob3
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
P13
P14
P15
P16
P17
P18
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
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