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A MODELAGEM DE UM ÍNDICE DE PRODUÇÃO CIENTÍFICA
ATRAVÉS DE MODELOS LINEARES GENERALIZADOS
HIERÁRQUICOS
MANOEL WALLACE ALVES RAMOS
Orientador: Prof
a
Dr
a
Maria Cristina Falcão Raposo
Co-orientador: Prof
a
Dr
a
Claudia Regina Oliveira de Paiva Lima
Área de Concentração: Estatística Aplicada
Dissertação submetida como requerimento parcial para obtenção do grau
de Mestre em Estatística pela Universidade Federal de Pernambuco
Recife, janeiro de 2009
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ii
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Até aqui tem me ajudado O Senhor.
Unicamente a Ele dedico este trabalho.
Agradecimentos
Primeiramente agradeço a Deus se não fosse por ele nada disso teria sido feito.
Aos meus pais, Marié e Manoel Cícero, pelo apoio, amor e incentivo em todos os momen-
tos da minha vida.
A minha querida esposa Darlene pela constante paciência, apoio, amor e carinho.
Ao meu irmão Wanderson pela força e por sempre torcer por mim.
Às minhas orientadoras, Maria Cristina e Claudia Regina, pela confiança, dedicação,
paciência e competência durante todo o período de desenvolvimento deste trabalho.
Agradeço aos professores do departamento de matemática, Manoel Lemos, César Castilho,
Antônio Carlos e Adriano pedrosa, pelo grande incentivo.
Aos meus amigos do cursos de mestrado: Abrão, Alice, Andréa, Cícero, Fábio, Hemílio,
Izabel, Juliana, Lídia, Marcelo, Olga, Raphael, Walmir, Wagner e Wilton. Vocês me en-
sinaram muitas coisas, me ajudaram em diversos momentos que precisei e tornaram essa
trajetória muito mais fácil e divertida.
A Valéria Bittencourt pela competência e eficiência.
Agradeço aos professores da pós-graduação em estatística da UFPE pela oportunidade de
melhorar meus conhecimentos e minha formação.
Aos participantes da banca examinadora, pelas sugestões.
À CAPES, pelo apoio financeiro.
Agradeço a todos que de forma direta ou indireta contribuíram para a conclusão deste
trabalho.
v
Resumo
Nos últimos anos tem sido crescente o interesse de especialistas e autoridades governa-
mentais por indicadores quantitativos da produção científica. A proposta desse trabalho é
criar um índice de produção científica e construir um modelo que explique este índice. Para
identificação do modelo mais adequado para atingir os objetivos foram ajustados modelos
dentre os da classe dos modelos lineares generalizados hierárquicos(MLGH). Assim como
nos modelos lineares generalizados(MLG), as variáveis-resposta dos MLGH podem seguir
qualquer distribuição dentro da família exponencial. Neste trabalho a variável-resposta
de interesse segue uma distribuição Poisson. Os dados utilizados se referem a 977 profes-
sores doutores da UFPE com dedicação exclusiva, sendo considerados 17 indicadores de
produção nos anos de 2004 a 2006. As variáveis explicativas, consideradas como candi-
datas a explicar o índice no 1
◦
nível hierárquico foram: idade, gênero e tempo de serviço.
Considerando que os professores encontram-se agrupados nos centros acadêmicos, estes
foram definidos como o 2
◦
nível hierárquico e, como variáveis candidatas a fazer parte
do modelo neste nível: o percentual de Bolsista de produtividade do CNPq e, área do
conhecimento. Concluímos que a significativa diferença na produção científica ocorre nos
centros acadêmicos cuja quantidade relativa de bolsistas de produtividade do CNPq é
grande, com maior participação de docentes com idade até 50 anos. Em alguns centros as
mulheres apresentam maior produção do que os homens, resultando diferenças estatísticas
significativas por sexo e área do conhecimento.
Palavras-chave: modelo hierárquico, produção científica, indicador de produção, MLGH.
vi
Abstract
In recent years, there is a growing interest of specialists and government authorities
for quantitative indicators of scientific production. The purp ose of this work is to create
an index of scientific production and to build a model that explains this index. To identify
the most appropriate model to achieve the objectives, models were adjusted among the
class of hierarchical generalized linear models (HGLM). As in generalized linear models
(GLM), HGLM response variables can follow any distribution within the exponential
family. In this study the response variable of interest follows a Poisson distribution. The
data used refer to 977 UFPE full professors, using 17 indicators of production from 2004
to 2006. The explanatory variables considered as essential to explain the index in the
first level were age, gender and length of service. Considering that professors are grouped
in academic centers, they were defined as the second level, and as essential variables to
be part of the m odel at this level: the percentage of productivity(CNPq), and area of
knowledge. We concluded that significant differences in scientific production occurs in
the academic centers where there are many researchers younger than 50 years old. In
some centers women have a higher production than men, resulting statistical differences
by gender and area of knowledge.
Keywords: hierarchical model, scientific production, production indicator, HGLM.
vii
Sumário
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xii
1 Introdução 1
1.1 Bibliometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 As Três Leis Clássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Cienciometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Informetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Webometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Plataforma Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Modelo Linear Generalizado 10
2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 A função Deviance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Modelo Normal e Modelo Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Modelo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Modelo Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
viii
2.4 Estimação de β
˜
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Modelo Linear Hierárquico 20
3.1 O Modelo Linear Hierárquico com 2 Níveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Anova com 1 Fator e Efeitos Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2 Regressão de Médias como Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.3 Modelo de Regressão com Coeficientes Aleatórios . . . . . . . . . . 25
3.1.4 Interceptos e Inclinações como Respostas . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.5 Forma Geral do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Métodos de Estimação dos Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Testes de Hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 Teste de Hipóteses para Efeitos Fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.2 Teste de Hipóteses para Efeitos Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.3 Teste de Hipóteses para Componentes de Variância e Covariância . 37
4 Modelos Lineares Generalizados Hierárquicos 39
4.1 O Modelo Hierárquico Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 O Modelo Hierárquico Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Estimação em MLGH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Aplicação 45
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Índice de Produção Científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Modelagem Através do MLGH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.1 Variáveis Explicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.2 O Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 60
Referências Bibliográficas 61
ix
Lista de Tabelas
2.1 Ligações canônicas de algumas distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1 Pesos utilizados para a construção do índice de produção . . . . . . . . . . 50
5.2 Estatística descritiva do índice de produção por centro . . . . . . . . . . . 53
5.3 Estatísticas descritivas das variáveis do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Estimativas dos parâmetros do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
xii
CAPÍTULO 1
Introdução
Nas últimas décadas, acompanhando a expansão da ciência e da tecnologia, tornou-se
cada vez mais evidente a necessidade de mensurar tais avanços e de avaliar os desen-
volvimentos alcançados pelas diversas áreas do conhecimento. Neste sentido, apontou-se
para a medição das taxas de produtividade dos centros de pesquisa e dos investigadores
individuais, para a detecção daquelas instituições e áreas com maiores potencialidades
visando o estabelecimento das prioridades no momento da alocação de recursos públicos
(Vanti, 2002).
Segundo Macias-Chapula(1998) os indicadores da atividade científica estão no centro
dos debates, sob a perspectiva das relações entre o avanço da ciência e da tecnologia, por
um lado, e o progresso econômico e social, por outro. Revisões de políticas científicas
pareceriam inconcebíveis, hoje, sem recorrer aos indicadores existent es. Se por muito
tempo o foco das avaliações permaneceu orientado para medir os insumos, como verbas e
pessoal de P&D (pesquisa e desenvolvimento), crescentemente o interesse está se voltando
para os indicadores de re sultados (Okub o, 1997). Em tudo o que se refere à ciência, os
indicadores bibliométricos e cienciométricos tornaram-se essenciais.
1
Diversas formas de medição voltadas para avaliar a ciência e o fluxo de informação
foram criadas. Entre elas se destacam a bibliometria, a cien ciome tria, a informetria e a
mais recente delas a webometria. Apesar destas formas de medição apresentarem algumas
semelhanças ou pontos de convergência, possuem enfoques e funções diferentes.
1.1 Bibliometria
De acordo com Tangue-Sutcliffe(1992) Bibliometria é:
"[...] o estudo dos aspectos quantitativos da produção, disseminação e uso da infor-
mação registrada. A bibliometria desenvolve padrões e modelos matemáticos para medir
esses processos, usando seus resultados para elaborar previsões e apoiar tomadas de de-
cisão ".
De acordo com Vanti(2002) há controvérsias com respeito a origem da bibliometria,
embora Lawani(1981) e Sengupta(1992) acreditem que o termo bibliometria tenha sido
cunhado por Alan Pritchard em 1969. Fonseca(1973) refere que foi Paul Otlet que utilizou
a palavra bibliometria pela primeira vez em sua obra intitulada Traité de documentatión,
de 1934 e que Pritchard popularizou a palavra "bibliometria" a partir de um artigo que
discutia a polêmica, "bibliografia estatística ou bibliometria ?" quando sugeriu que esta
última deveria substituir o termo "bibliografia estatística", que vinha sendo utilizado
desde a citação feita em 1922 por Edward Wyndham Hulme. De acordo com Nicholas
e Ritchie(1978) a diferença básica entre a tradicional bibliografia e a bibliometria é que
esta última utiliza mais métodos quantitativos do que discursivos.
Inicialmente a bibliometria estava voltada para a medida de livros (quantidade de
edições e exemplares, quantidade de palavras contidas nos livros, espaço ocupado pelos
livros nas bibliotecas, estatísticas relativas à indústria do livro), aos poucos foi se voltando
para o estudo de outros formatos de produção bibliográfica, tais como artigos em periódi-
cos e outros tipos de documentos, para depois ocupar-se, também, da produtividade de
2
autores e do estudo de citações. A bibliometria desenvolve-se basicamente a partir da
elaboração de leis empíricas sobre o comportamento da literatura, de autoria de Lotka,
Bradford & Zipf (Araújo, 2006).
1.1.1 As Três Leis Clássicas
• Lotk a
A Lei de Lotka, ou Lei do Quadrado Inverso, foi formulada em 1926. Lotka observou
num estudo sobre produtividade dos cientistas a partir da contagem de autores presentes
no Chemical Abstracts, entre 1909 e 1916, que uma grande proporção da literatura cientí-
fica era produzida por um pequeno número de autores e um grande número de pequenos
produtores se igualava, em produção, ao reduzido número de grandes produtores. A partir
daí formulou a lei dos quadrados inversos, segundo a qual o número de autores que tem n
contribuições em um determinado campo científico é aproximadamente
1
n
2
daqueles que
só fazem uma contribuição e que a proporção daqueles que fazem uma única contribuição
é de mais ou menos 60%. Ou seja, 60% dos autores teriam apenas uma publicação, en-
quanto 15% teriam duas e 7% teriam 3 e assim por diante.
A Lei de Lotka foi, desde então, objeto de larga produção científica. Muitos autores,
desde que a lei foi formulada em 1926, produziram trabalhos criticando, replicando e/ou
reformulando esta lei bibliométrica, (Araújo, 2006).
• Bradford
A Lei de Bradford, relacionada à dispersão da literatura periódica científica, enun-
cia que "se periódicos científicos forem ordenados em ordem decrescente de produtividade
de artigos sobre determinado assunto, poderiam ser divididos em um núcleo de periódi-
cos mais particularmente dedicados ao assunto e em vários grupos ou zonas, contendo o
mesmo número de artigos que o núcleo. O número de periódicos (n), no núcleo e zonas
subsequentes, var iaria na proporção 1 : n : n
2
[...]"(Brookes, 1990). Bradford chegou a
3
essa conclusão em seus estudos em 1934. Ele percebeu que em uma coleção de periódicos
sobre geofísica, existe sempre um núcleo menor de periódicos relacionados de maneira
próxima ao assunto e um número maior de periódicos relacionados de maneira estrei-
ta, sendo que o número de periódicos de cada zona aumenta, enquanto a produtividade
diminui. Analisando 326 periódicos, ele descobriu que 9 periódicos continham 429 artigos,
59 continha 499 e 258 continham 404 artigos. Dessa forma ordenando uma grande coleção
de periódicos em ordem de produtividade decrescente relevante a um dado assunto, três
zonas aparecem, cada uma contendo 1/3 do total de artigos relevantes (a primeira zona
contém um pequeno número de periódicos altamente produtivos, a segunda contém um
número maior de periódicos menos produtivos, e a terceira inclui mais periódicos que
a segunda zona, mas, cada periódico com menos produtividade). Bradford viu que era
por essa razão que os índices tinham dificuldade para atingir a cobertura completa de
assuntos. Havendo grande número de periódicos na zona exterior, Bradford constatou
que mais da metade do total de artigos úteis não estavam sendo cobertos pelos serviços
de indexação e resumos (Araújo, 2006).
A Lei de Bradford é um instrumento útil para o desenvolvimento de políticas de
aquisição e de descarte de periódicos, ligadas a gestão de sistemas de recuperação da
informação, gestão da informação e do conhecimento científico e tecnológico. É possível
estimar a magnitude de determinada área bibliográfica e o custo de toda e qualquer fração
específica da bibliografia (Guedes & Borschiver, 2005).
• Zipf
A terceira das leis bibliométricas clássicas é a Lei de Zipf, também conhecida como
lei do mínimo esforço, formulada em 1949 e que descreve a relação entre palavras num
determinado texto suficientemente grande e a ordem de série destas palavras (contagem
de palavras em largas amostragens). Zipf observou que, num texto suficientemente longo,
existia uma relação entre a frequência que uma dada palavra ocorria e sua posição na
4
lista de palavras ordenadas segundo sua frequência de ocorrência. Essa lista era confec-
cionada levando-se em conta a frequência decrescente de ocorrências. A posição nesta
lista dá-se o nome de ordem de série (rank). Assim, a palavra de maior frequência de
ocorrência tem ordem de série 1, a de segunda maior frequência de ocorrência, ordem de
série 2 e, assim, sucessivamente. Zipf observou, também, que o produto da ordem de série
(r) de uma palavra, pela sua frequência de ocorrência ( f ) era aproximadamente cons-
tante ( k ). Enunciou assim que r.f = k, o que ficou conhecido como Primeira Lei de Zipf.
Esta Lei de Zipf é muito utilizada para indexar artigos científicos. De acordo com a Lei
de Zipf pode-se medir a frequência de aparecimento de diversas palavras em vários textos
objetivando gerar uma lista de termos de uma determinada disciplina. De acordo com
Zipf, em certas disciplinas determinadas palavras têm probabilidade maior de ocorrência,
enquanto que algumas têm menor frequência, e outras são raramente utilizadas, (Guedes
e Borschiver, 2005).
1.2 Cienciometria
Segundo Vanti(2002) o termo cienciometria surgiu na antiga União Soviética e Eu-
ropa Oriental e foi empregado especialmente na Hungria. Dob rov & Karennoi foram os
primeiros autores a utilizar o termo em uma publicação do All-Union Institute for Scien-
tific and Technical Information (VINITI). Originalmente o termo referia-se a aplicação de
métodos quantitativos para o estudo da história da ciência e do progresso tecnológico. A
cienciometria foi definida inicialmente como "a medição do processo informático", onde o
termo "informático" significava "a disciplina do conhecime nto que estudava a estrutura e
as propriedades da informação científica e as leis do processo de comunicação" (Spinak,
1996). Tal termo ficou bastante conhecido com o início da publicação, em 1977, da revista
Scientometrics, editada originalmente na Hungria e atualmente na Holanda (Vanti, 2002).
Macias-Chapula(1998) define cienciometria como:
5
"[...]estudo dos aspectos quantitativos da ciência enquanto uma disciplina ou ativi-
dade econômica. A cienciometria é um segmento da sociologia da ciência, sendo aplicada
no desenvolvimento de políticas científicas. Envolve estudos quantitativos das atividades
científicas, incluindo a publicação e, portanto, sobrepondo-se à bibliometria".
Para Van Raan(1997) a cienciometria realiza estudos quantitativos em ciência e tec-
nologia e tenta descobrir os laços existentes entre ambas, visando o avanço do conheci-
mento e buscando relacioná-lo com questões sociais e de políticas públicas.
Fazendo uma distinção entre bibliometria e cienciometria, Spinak(1998) afirma que:
"La bibliometría estudia la organización de los sectores científicos y tecnológicos a
partir de las fuentes bibliográficas y patentes para identificar los actores, sus relaciones y
sus tendencias. Por el contrario, la cienciometría trata con las varias mediciones de la
literatura, de los documentos y otros medios de comunicación, mientras que la bibliometría
tiene que ver con la produtividad y utilidad científica".
"La cienciometría aplica técnicas bibliométricas a la ciencia [...] pero va mas allá de
las técnicas bibliométricas, pues también examina el desarollo y las políticas científicas.
[...] la cienciometría puede establecer comparaciones entre las políticas de investigación
entre los países analizando sus aspectos económicos y sociales".
1.3 Informetria
Para Macias-Chapula(1998) informetria é:
"[...]estudo dos aspectos quantitativos da informação em qualquer formato, e não ape-
nas registros catalográficos ou bibliografias, referente a qualquer grupo social, e não apenas
aos cientistas. A informetria pode incorporar, utilizar e ampliar os muitos estudos de
avaliação da informação que estão fora dos limites tanto da bibliometria como da cien-
6
ciometria".
Considerada a mais completa dos três indicadores, a informetria engloba a bibliometria
e a cienciometria. O termo foi proposto pela primeira vez na Alemanha, em 1979, por
Otto Nacke e aceito definitivamente em 1989 no Encontro Internacional de Bibliometria,
que passou a ser chamado de Conferência Internacional de Bibliometria, Cienciometria
e Informetria (Araújo, 2006). A informetria tem como prioridade o desenvolvimento de
modelos matemáticos e, em segundo lugar, a determinação de medidas para o fenômeno
estudado. Os modelos oferecem uma base prática para a tomada de decisões, e seu
valor está na sua capacidade de sintetizar, em poucos parâmetros, as características de
muitos grupos de dados: formato completo, concentração, difusão e mudança através do
tempo. A informetria é bastante útil na administração de coleções em bibliotecas, no
desenvolvimento de políticas científicas e pode ajudar na tomada de decisões em relação
ao desenho e manutenção de sistemas de recuperação
A informetria se distingue da cienciometria e da bibliometria no que diz respeito ao
universo de objetos e sujeitos que estuda, não se limitando apenas à informação reg-
istrada, dado que pode analisar também os processos de comunicação informal, inclusive
falada, e dedicar-se a pesquisar os usos e necessidades de informação dos grupos sociais
desfavorecidos, e não só das elites intelectuais (Vanti, 2002).
1.4 Webometria
A webometria, definida como o uso de técnicas bibliométricas à World Wide Web
(WWW), é um sistema de estudos de relacionamento de diferentes sites na rede. Essa
técnica também pode ser usada para mapear (chamada de "scientifc mapping" na pesquisa
bibliométrica tradicional) áreas da Web que se tornaram mais usadas, baseadas no número
de vezes que foram conectados por outros websites.
Como aplicação de métodos informétricos na WWW, pode-se afirmar que a webome-
7
tria é uma forma de reconhecimento da importância da rede como meio de informação e
comunicação para a ciência e a academia, setores aos quais os estudos quantitativos têm
servido.
Segundo Vanti(2002) o termo cunhado por Almind e Ingwersen em 1997, consiste na
aplicação de métodos informétricos à Word Wide Web (Web ou www) para fins de medir
seu fluxo.
Dentre as mediçõ es que po dem ser realizadas no campo da webometria, destacam-se
a frequência de distribuição e as classificações que compreendem categorias tais como
homepages pessoais, institucionais ou organizacionais. Podem-se também realizar men-
surações em tempos diferentes para comparar a evolução de uma instituição ou país na
rede, para calcular o tamanho médio de uma página expressado em bytes, o número médio
em links por página e a densidade média por link. Outros tipos de análise referem-se às
citações entre páginas, conhecidas como links, hyperlinks ou weblinks, e estes são vistos
como indicadores da importância global de um site ou um espaço (Vanti, 2002).
1.5 Objetivo
Dentre as diversas formas de medições voltadas para avaliar a ciência, o presente
trabalho se enquadra no tipo informetria, pois tem como objetivos:
• propor um índice de produção científica;
• medir a produção científica da UFPE a partir do índice proposto;
• identificar as possíveis variáveis explicativas da produção docente;
• encontrar um modelo matemático que explique a produção docente.
Para identificação do modelo matemático mais adequado para atingir os objetivos
foram ajustados modelos dentre os da classe dos modelos lineares hierárquicos generaliza-
dos, devido a natureza dos dados.
8
Um breve resumo da teoria dos modelos lineares generalizados, dos modelos lineares
hierárquicos e dos modelos lineares generalizados hierárquicos encontra-se apresentado
nos capítulos 2, 3 e 4, respectivamente, desta dissertação. No capítulo 5 encontra-se o
resultado da análise dos dados da produção científica dos professores da UFPE no período
de 2004 a 2006 e no capítulo 6 as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.
1.6 Plataforma Computacional
Os resultados numéricos apresentados nesta dissertação foram obtidos utilizando o
ambiente de programação e análise de dados R em sua versão 2.6.0 para sistema ope-
racional Microsoft Windows. O R se encontra disponível gratuitamente através do site
http://www.R-project.org.
A presente dissertação de mestrado foi digitada utilizando o sistema de tipografia
L
A
T
E
X, que consiste em uma série de macros ou rotinas do sistema T
E
X que facilitam o
desenvolvimento da edição do texto. Detalhes sobre o sistema de tipografia L
A
T
E
X podem
ser encontrados no site http://www.latex-project.org/.
9
CAPÍTULO 2
Modelo Linear Generalizado
A unidade de muitos métodos estatísticos é evocada por um modelo linear generalizado,
à qual está vinculada a idéia de uma família exponencial de distribuições de probabili-
dades associadas a uma variável aleatória. Este capítulo aborda a definição do modelo
linear generalizado, o estudo da função "Deviance", o modelo linear generalizado com
distribuições Normal e Poisson, uma vez que o modelo normal é o mais conhecido e o
modelo Poisson que é o modelo utilizado na nossa aplicação. Por fim é apresentado o
algoritmo para a estimação dos parâmetros do modelo.
2.1 Definição
Esta classe de modelos é uma extensão de modelos lineares clássicos e foi desenvolvida
por Nelder e Wedderburn(1972), e permite tratar de uma mesma forma, uma grande
quantidade de modelos conhecidos e largamente aplicados. Nelder e Wedderburn(1972)
mostraram que uma série de técnicas comumente estudadas separadamente po dem ser
reunidas sob o nome de Modelos Lineares Generalizados(MLG). Assim são casos especiais
de MLG:
• Modelos clássicos de Regressão com erro normal;
10
• Modelos clássicos de análise de variância e de covariância c om err o normal;
• Modelo de análise de variância com erros aleatórios;
• Modelo log-linear aplicado à análise de tabelas de contingência;
• Modelos logit e probit para análise de proporções, dentre outros.
Um modelo linear generalizado é definido a partir de duas componentes mais uma
função relacionando estas componentes.
1. Componente aleatória
Definida a partir das variáveis respostas Y
1
. . . Y
n
, supostamente independentes, cada
uma com densidade na forma da família exponencial dada por:
f(y; θ
i
, φ) = exp[φ{yθ
i
− b(θ
i
)} + c(y, φ)], (2.1)
em que b(.) e c(.) são funções supostas conhecidas, θ é o parâmetro natural que
caracteriza a densidade e φ
−1
é o parâmetro de dispersão. A esperança e a variância
da variável aleatória Y são dadas por:
E(Y
i
) = µ
i
= b
′
(θ
i
),
V ar(Y
i
) = φ
−1
V
i
,
V = dµ/dθ é a função de variância.
Esta família exponencial representa a única fonte de variação aleatória do modelo
linear generalizado.
2. Componente sistemática
É representada como uma função linear de um conjunto de parâmetros desconheci-
dos. Dessa forma temos:
11
x
i
= (x
i1
, . . . , x
ip
)
′
representa os valores de p variáveis explicativas, β
= (β
1
, . . . , β
p
)
′
,
p < n é um vetor de parâmetros desconhecidos a serem estimados, X = (x
′
1
, x
′
2
. . . , x
′
n
)
′
é a matriz do modelo e η
i
=
p
j=1
x
ij
β
j
= x
′
i
β
ou η
= Xβ
é o vetor de preditores
lineares que corresponde a componente sistemática, e descreve a parte determinís-
tica do modelo. Em geral, a relação entre a componente sistemática e a componente
aleatória não é uma relação de adição.
3. Função de ligação
É uma função g, contínua e diferenciável, que relaciona o preditor linear (η) e o
valor esperado (µ) de Y . Ou seja:
g(µ
i
) = η
i
. (2.2)
No modelo linear clássico tem-se η = µ que é chamada ligação identidade. Essa ligação
é adequada no sentido em que ambos η e µ podem assumir valores na reta real conforme
referem McCullagh e Nelder(1989). Entretanto, certas restrições surgem quando se tra-
balha por exemplo, com a distribuição de Poisson em que µ > 0 e portanto, a ligação
identidade não deve ser usada, pois η poderá assumir valores negativos dependendo dos
valores obtidos para
β
. Além disso, dados de contagem dispostos em tabelas de con-
tingência sob a suposição de independência levam naturalmente a efeitos multiplicativos
cuja linearização pode ser obtida através da ligação logarítmica, isto é, η = logµ de onde
se tem µ = e
η
(Demétrio, 1993).
As funções de ligação mais utilizadas para os casos em que as variáveis respostas tem
distribuição binomial são:
η = ln
µ
1 − µ
Logit
η = φ
−1
(µ) P robit
η = ln[−ln(1 − µ)] Complemento log − log
12
Uma família de ligações importantes, principalmente para dados com média positiva
é a família potência. Essa família, pode ser especificada por:
η =
µ
λ
−1
λ
, λ = 0
l nµ, λ = 0
ou então,
η =
µ
λ
, λ = 0
l nµ, λ = 0
A função de ligação é chamada canônica, quando o parâmetro natural coincide com o
preditor linear, ou seja, θ = η.
A função de ligação canônica fornece, para o modelo, estatísticas suficientes de di-
mensão mínima igual a p. Deve ser lembrado, porém, que embora as ligações canônicas
levem as propriedades estatísticas desejáveis para o modelo, principalmente no caso de
amostras pequenas, não há nenhuma razão a priori para que os efeitos sistemáticos do
modelo devam ser aditivos na escala dada por tais ligações (McCullagh e Nelder, 1989).
A Tabela 2.1 mostra as ligações canônicas de algumas distribuições.
Distribuição Ligação canônica
Normal η = µ
Poisson η = lnµ
Binomial η = ln
µ
1−µ
Binomial Negativa η = ln
µ
µ+κ
Gama η =
1
µ
Normal Inversa η =
1
µ
2
Tabela 2.1: Ligações canônicas de algumas distribuições
2.2 A função Deviance
Considerando Y uma variável aleatória com função de probabilidade f(y; θ
i
, φ) da
família exponencial de distribuições com um parâmetro desconhecido, o logaritmo da
13
função de verossimilhança para a observação y é dado por:
L(µ; y) = φ{yθ
i
− b(θ
i
)} + c(y, φ).
Considerando Y
1
. . . Y
n
, n observações independentes de Y , temos o logaritmo da
função de verossimilhança para todas as amostras como sendo
L(µ
; y
) =
n
i=1
L(µ
i
; y
i
),
em que y
= (y
1
, . . . , y
n
)
′
e µ
= (µ
1
, . . . , µ
n
)
′
.
Para um conjunto de dados p odem ser considerados, dois modelos extremos, um mo-
delo "minimal" que contém o menor conjunto de termos que o problema permite, e um
modelo "saturado" (p = n) em que todos os µ
′
s são diferentes, correspondendo a um
parâmetro para cada observação. O modelo saturado fornece uma base para medir a
discrepância em relação a um modelo intermediário com p parâmetros. Na prática deseja-
se encontrar um modelo com p parâmetros linearmente independentes entre esses dois,
o chamado "modelo sob investigação". Em cada estágio, troca-se crescentemente a me-
dida de bondade do ajuste para o modelo sob investigação, associado a uma crescente
complexidade do modelo. Uma medida desta discrepância, foi definida por Nelder e Wed-
derburn(1972), denominada deviance, e é dada por:
D
∗
(y
, ˆµ
) = φD(y
, ˆµ
) = 2{L(y
; y
) − L(ˆµ
; y
)},
que é uma distância entre o logaritmo da função de verossimilhança do modelo satu-
rado (com n parâmetros) e do modelo sob investigação (com p parâmetros) avaliado na
estimativa de máxima verossimilhança
ˆ
β
, onde ˆµ
i
= g
−1
(ˆη
i
) em que ˆη
i
= x
′
i
ˆ
β
.
Temos que a função D(y
, ˆµ
) pode ser escrita alternativamente por:
D(y
, ˆµ
) = 2
n
i=1
{y
i
(
ˆ
θ
0
i
−
ˆ
θ
i
) + (b(
ˆ
θ
i
) − b(
ˆ
θ
0
i
))},
denotando por
ˆ
θ
i
= θ
i
(ˆµ
i
) e
ˆ
θ
0
i
= θ
i
(ˆµ
0
i
) as estimativas de máxima verossimilhança de θ
i
para os modelos com p parâmetros (p < n) e saturado (p = n), respectivamente.
14
2.3 Modelo Normal e Modelo Poisson
Nesta seção estão apresentadas as partes aleatória e sistemática, a função de ligação
e a função "deviance" dos modelos Normal e Poisson.
2.3.1 Modelo Normal
Abordaremos o modelo normal, uma vez que a distribuição normal é a mais familiar
das distribuições de probabilidade e de fácil entendimento.
A definição desse modelo, como um MLG, po de ser formalizada conforme segue:
1. Componente aleatória
Seja Y uma variável aleatória com distribuição normal de média µ e variância σ
2
,
Y ∼ N(µ, σ
2
). Temos que a função densidade de probabilidade de Y é dada por:
f
Y
(y) =
1
σ
√
2π
exp{−
1
2σ
2
(y − µ)
2
},
em que −∞ < y < ∞, −∞ < µ < ∞ e σ
2
≥ 0.
Escrevendo a função densidade de probabilidade de Y como um membro da família
exponencial de distribuições temos
f
Y
(y) = exp[{
1
σ
2
(µy −
µ
2
2
) −
1
2
{l og2πσ
2
+
y
2
σ
2
}],
onde θ = µ, b(θ) = θ
2
/2, φ = σ
−2
e c(y, φ) =
1
2
l ogφ/2π −
φy
2
2
obtém -se a expressão
(2.1). Podendo-se verificar que:
E(y) = µ =
db(θ)
dθ
= θ, V (Y ) = φ
−1
dµ
dθ
= σ
2
e V = 1.
2. Componente sistemática
A componente sistemática é a estrutura linear η = x
′
i
β
.
15
3. Função de Ligação e Deviance
A função de ligação canônica é dada por η = µ.
A função "deviance" para o modelo normal, onde θ
i
= µ
i
,
ˆ
θ
0
i
= y
i
e
ˆ
θ
i
= ˆµ
i
, é dada
por:
D(y
, ˆµ
) = 2
n
i=1
{y
i
(y
i
− ˆµ
i
) +
ˆµ
2
i
2
−
y
2
i
2
} =
n
i=1
(y
i
− ˆµ
i
)
2
,
que coincide com a soma dos quadrados dos resíduos.
2.3.2 Modelo Poisson
A definição do modelo Poisson, como um MLG, pode ser formalizada conforme segue:
1. Componente aleatória
Seja Y ∼ P (µ), então temos
f
Y
(y) =
e
−µ
µ
y
y!
,
onde y = 0, 1, . . ..
A função densidade de Y pode ser escrita como um membro da família exponencial
de distribuições conforme a expressão (2.1), da seguinte forma:
f
Y
(y) = exp{ylogµ − µ − log(y!)},
onde l ogµ = θ, b(θ) = e
θ
, φ =1 e c(y, φ) = −log(y!). Segue portanto que
E(Y ) = µ =
db(θ)
dθ
, V (Y ) = φ
−1
dµ
dθ
= µ e V = µ.
2. Componente sistemática
Será a estrutura linear já definida η = x
′
i
β
.
16
3. Função de Ligação e Deviance
Para o modelo Poisson, as funções de ligação mais utilizadas são:
• η = log(µ) que é a função de ligação canônica;
• η = 3µ
1/3
função de ligação normalizadora e
• η = 3µ
1/2
função de ligação estabilizadora.
A "Deviance" do modelo Poisson é dada por:
D(y
, ˆµ
) = 2
n
i=1
{y
i
l og(
y
i
ˆµ
i
) − (y
i
− ˆµ
i
)},
tem-se que θ
i
= logµ
i
, o que implica em
ˆ
θ
0
i
= logy
i
e
ˆ
θ
i
= logˆµ
i
.
Se y
i
= 0 o i-ésimo termo de D(y
, ˆµ
) será 2ˆµ
i
.
2.4 Estimação de β
˜
Para o Modelo Linear Generalizado, as equações de máxima verossimilhança são não
lineares, com exceção do modelo normal com ligação identidade e, logo, não podem ser
resolvidas explicitamente. Métodos numéricos iterativos, como os de Newton-Rapson,
equivalentes a técnica de escore de Fisher, são necessários para a obtenção de
ˆ
β
.
O logaritmo da função de verossimilhança de um MLG definido por (2.1 ) e (2.2) pode
ser expresso na forma:
L(β
; y
) =
n
i=1
[φ{yθ
i
− b(θ
i
)} + c(y
i
, φ)].
Assim a função escore total e a matriz de informação total de Fisher para β
, quando
φ é conhecido, são dadas por:
U(β)
=
∂L(β
; y
)
∂β
= φX
′
W
1
2
V
−
1
2
(y
− µ
),
17
K(β
) = E
−
∂
2
L(β
; y
)
∂β
∂β
′
= φX
′
WX,
respectivamente em que X é a matriz modelo n×p de posto completo, W = diag(w
1
, . . . , w
n
)
é a matriz de pesos, com w
i
=
dµ
i
dη
i
2
1
V
i
e V = diag(V
1
, . . . , V
n
), com V
i
=
dµ
i
dθ
i
.
O processo iterativo de Newton-Raphson para a obtenção da estimativa de máxima
verossimilhança de β
, consiste em expandir a função escore U(β
) em torno de um valor
inicial β
(0)
, tal que
U(β
)
∼
=
U(β
(0)
) + U
′
(β
(0)
)(β
− β
(0)
),
onde U
′
(β
) é a primeira derivada de U(β
) com respeito a β
. Então se r epetirmos o
procedimento acima, teremos o processo iterativo
β
(m+1)
= β
(m)
+ {−U
′
(β
(m)
)}
−1
U(β
(m)
),
m = 0, 1, . . . . Como a matriz −U
′
(β
) pode não ser positiva definida, a aplicação do método
de escore de Fisher substituindo a matriz −U
′
(β
) pelo correspondente valor esperado,
pode ser o mais conveniente (Paula, 2004). Isso resulta no seguinte processo iterativo:
β
(m+1)
= β
(m)
+ K
−1
(β
(m)
)U(β
(m)
),
m = 0, . . . . Depois de algumas manipulações algébricas do lado direito da expressão
acima, obtém-se um processo iterativo de mínimos quadrados reponderados
β
(m+1)
= (X
T
W
(m)
X)
−1
X
T
W
(m)
z
(m)
, (2.3)
m = 0, 1, . . . , em que z
= η
+ W
−
1
2
V
1
2
(y
− µ
). Observa-se que z
desempenha o papel
de uma variável dependente modificada, enquanto W é uma matriz de pesos que muda a
cada passo do processo iterativo. A convergência de (2.3) ocorre em um número finito de
18
passos, independente dos valores iniciais utilizados. É usual iniciar o processo iterativo
com η
(0)
= g(y
). A estimação do parâmetro φ, quando o mesmo é desconhecido, pode ser
vista em (Cordeiro e McCullagh, 1991).
19
CAPÍTULO 3
Modelo Linear Hierárquico
Na prática é muito comum encontrar dados que têm uma estrutura hierárquica ou de
grupos. Estes tipos de dados podem ser estudados através dos chamados modelos lineares
hierárquicos (MLH)(Goldstein, 1999). Estes modelos permitem que cada um dos níveis
desta estrutura hierárquica seja especificado separadamente e que posteriormente sejam
reunidos em um único modelo. Além disso permite a incorporação de efeitos aleatórios
associados a cada um dos seus níveis de hierarquia.
Uma situação muito citada na literatura é o estudo da habilidade (ou proficiência) de
estudantes. Neste caso temos então, um grupo de estudantes associados a escolas, ou seja,
o nível 1 é o nível dos alunos e o nível 2 é o nível das escolas.
As idéias aqui expostas de forma introdutória estão amplamente desenvolvidas em Bryk
& Raudenbush(2002) que, conjuntamente com Goldstein(1999), são consideradas como
referências básicas em MLH. Entretanto, a denominação de "Modelo Linear Hierárquico"
é bem mais antiga e, de acordo com Natis(2000), ela surgiu originalmente como fruto
dos trabalhos de Lindley & Smith(1972) no desenvolvimento de métodos de estimação
Bayesiana em modelos lineares.
Neste capítulo será apresentado uma introdução sobre os modelos lineares hierárquicos
20
com 2 níveis e alguns de seus principais submodelos. Na Seção 3.2 são abordados alguns
métodos para a estimação dos parâmetros do modelo e na Seção 3.3 são descritos os
testes de hipóteses para os efeitos fixos, para os efeitos ale atórios e para os componentes
de variância e covariância do modelo.
3.1 O Modelo Linear Hierárquico com 2 Níveis
O modelo de regressão linear hierárquico ou multinível com dois níveis assume que há
um conjunto de dados hierárquicos, que possui uma variável resposta (Y ) que é medida
no nível individual, e variáveis explicativas que podem residir no nível do indivíduo(X)
e/ou do grupo (W ), que é um nível mais elevado. O modelo pode ser visto como um
sistema hierárquico de equações de regressão.
No modelo de regressão hierárquico temos que o subscrito i denota o i-ésimo indivíduo
(i = 1, . . . , n
j
) do grupo j (j = 1, . . . , J), ou seja ocorrem n
j
unidades do nível 1 (do
indivíduo) para cada unidade j (j = 1, . . . , J) do nível 2 (do grupo). A Figura 3.1 mostra
um esquema dos dados estruturados segundo um modelo hierárquico com dois níveis.
Apresentaremos o modelo de regressão hierárquica começando com alguns modelos
particulares até obter a forma geral do modelo.
21
Figura 3.1: Estrutura dos dados para um modelo multinível com 2 níveis
3.1.1 Anova com 1 Fator e Efeitos Aleatórios
Segundo Bryk & Raudenbush(2002) temos o modelo linear hierárquico mais simples,
quando não existem variáveis explicativas em nenhum dos dois níveis. É o modelo com 1
fator com efeitos aleatórios.
Temos então o modelo do nível 1
Y
ij
= β
0j
+ e
ij
(3.1)
com i = 1, 2, . . . , n
j
e j = 1, 2, . . . , J onde
Y
ij
é a variável resposta do i-ésimo indivíduo do nível 1 para o j-ésimo grupo do nível
2;
β
0j
é a resposta esperada para o j-ésimo grupo;
e
ij
é o erro aleatório associado à i-ésima unidade do nível 1 agrupado na j-ésima
unidade do nível 2, com e
ij
∼ N(0, σ
2
) e e
′
ij
s independentes.
E o modelo do nível 2 é dado por:
β
0j
= γ
00
+ u
0j
(3.2)
22
onde
γ
00
é a média da variável resposta para a população;
u
0j
é o efeito aleatório associado ao j-ésimo grupo, u
0j
∼ N(0, τ
00
), com u
′
0j
s indepen-
dentes entre si e u
′
0j
s independentes de e
′
ij
s.
Quando substituimos a equação (3.2) na equação (3.1) obtemos o modelo combinado
Y
ij
= γ
00
+ u
0j
+ e
ij
. (3.3)
A variância da resposta é dada por:
V ar(Y
ij
) = V ar(γ
00
+ u
0j
+ e
ij
) = τ
00
+ σ
2
.
O modelo hierárquico 3.3 é chamado totalmente não condicional, pois tanto o nível
1 quanto o nível 2 não possuem nenhum preditor. O modelo é considerado de efeitos
aleatórios, pois os efeitos dos grupos (u
0j
) são interpretados como aleatórios. A variância
de Y
ij
é decomposta em duas componentes independentes: σ
2
que é a variância dos erros
do nível 1 (do indivíduo), aqui denominado e
ij
; e τ
00
que é a variância dos erros do nível
2 (do grupo), definidos por u
0j
.
Um parâmetro de grande utilidade que está associado à ANOVA com 1 fator e efeitos
aleatórios é o coeficiente de correlação intra-classe, dado por:
ρ =
τ
00
τ
00
+ σ
2
. (3.4)
Ele representa a proporção da variância da resposta explicada pela variabilidade entre
as unidades do nível 2.
23
3.1.2 Regressão de Médias como Respostas
Neste modelo são incorp oradas variáveis explicativas no nível 2, buscando explicar a
variabilidade dos coeficientes β
0j
entre as unidades do nível 2.
Temos que o modelo do nível 1 definido em (3.1) é igual ao caso da ANOVA com um
fator e efeitos aleatórios, ou seja, as equações para o nível 1 e nível 2 são respectivamente:
Y
ij
= β
0j
+ e
ij
,
β
0j
= γ
00
+ γ
01
W
j
+ u
0j
(3.5)
com i = 1, 2, . . . , n
j
e j = 1, 2, . . . , J onde
β
0j
é o valor esperado da variável resposta de um modelo de regressão linear onde as
variáveis explicativas correspondem a característica do grupo j. E, nesse caso temos a
variável explicativa (W ) para o nível 2.
Substituindo a equação (3.5) na equação (3.1) obtemos o modelo combinado:
Y
ij
= γ
00
+ γ
01
W
j
+ u
oj
+ e
ij
(3.6)
onde
γ
00
é o intercepto médio dos grupos para W
j
igual a zero;
γ
01
é a diferença média entre os J grupos;
u
0j
é o efeito aleatório do j-ésimo grupo sobre o intercepto para W
j
igual a zero;
e e
ij
é definido como no item 3.1.1.
O coeficiente ρ apresentado na equação (3.4) agora é chamado coeficiente de correlação
intra-classe condicional e continua r epresentando o grau de dependência entre indivíduos
de um mesmo grupo (nível 2), porém corrigido pela variável W
j
.
24
3.1.3 Modelo de Regressão com Coeficientes Aleatórios
Neste modelo pode-se considerar o intercepto (β
0j
) e o coeficiente de inclinação (β
1j
),
variando por grupo, ou seja, podem ser considerados como coeficientes aleatórios. Con-
siderando que a variável resposta é Y e uma única variável explanatória do nível 1 é X,
então o modelo do nível 1 é da forma:
Y
ij
= β
0j
+ β
1j
X
ij
+ e
ij
(3.7)
com i = 1, 2, . . . , n
j
e j = 1, 2, . . . , J em que
β
0j
é o intercepto para a j-ésima unidade do nível 2, e representa o valor esperado da
variável resposta Y
ij
quando X
ij
for igual a zero;
β
1j
é a inclinação associada a variável explicativa X
ij
da i -ésima unidade do nível 1
para a j-ésima unidade do nível 2;
e e
ij
é definido como em (3.1).
Para os modelos de regressão no nível 2, os coeficientes de regressão são considerados
como variáveis resposta, temos:
β
0j
= γ
00
+ u
0j
, (3.8)
β
1j
= γ
10
+ u
1j
, (3.9)
em que
γ
00
é o valor esperado dos interceptos dos J grupos;
γ
10
é o valor esperado das inclinações dos J grupos;
u
0j
é o efeito aleatório da j-ésima unidade do nível 2 no intercepto β
0j
;
u
1j
é o efeito aleatório da j-ésima unidade do nível 2 na inclinação β
1j
;
u
0j
∼ N(0, τ
00
) e u
′
0j
s independentes;
25
u
1j
∼ N(0, τ
11
) e u
′
1j
s independentes;
e u
′
0j
s e u
′
1j
s independentes dos e
′
ij
s.
A matriz de variâncias e covariâncias dos efeitos aleatórios do nível 2 pode ser escrita
como :
V ar =
u
0j
u
1j
=
τ
00
τ
01
τ
01
τ
11
= T,
em que
τ
00
= V ar(u
0j
) é a variância não condicional dos interceptos;
τ
11
= V ar(u
1j
) é a variância não condicional das inclinações;
τ
01
= Cov(u
0j
, u
1j
) é a covariância não condicional entre interceptos e inclinações;
Os componentes de variância e covariância são chamados de não condicionais, uma
vez que o modelo não apresenta preditor no nível 2.
Quando substituímos as equações (3.8) e (3.9) na equação (3.7), temos o modelo
combinado:
Y
ij
= γ
00
+ γ
10
X
ij
+ u
0j
+ u
1j
X
ij
+ e
ij
, (3.10)
com i = 1, 2, . . . , n
j
e j = 1, 2, . . . , J.
Neste modelo Y
ij
é composto por γ
00
+γ
10
X
ij
mais uma parte aleatória com os seguintes
componentes:
u
0j
é o efeito do j-ésimo grupo sobre a média;
u
1j
X
ij
onde u
1j
é o efeito aleatório do j-ésimo grupo sobre a inclinação β
1j
;
e e
ij
que é o erro aleatório do nível 1.
26
3.1.4 Interceptos e Inclina ções como Respostas
Para este tipo de modelo incorporamos variáveis (W
j
) no modelo do nível 2 de forma
que elas ajudem a explicar não só a variabilidade dos interceptos, mas também a das
inclinações. Desta forma as equações (3.8) e (3.9) serão substituídas por:
β
0j
= γ
00
+ γ
01
W
j
+ u
0j
, (3.11)
β
1j
= γ
10
+ γ
11
W
j
+ u
1j
, (3.12)
em que
γ
00
é o valor esperado do intercepto para W
j
igual a zero;
γ
01
é o coeficiente de regressão associado a variável explicativa W
j
do nível 2 relativo
ao intercepto;
γ
11
é o coeficiente de regressão associado a variável explicativa W
j
do nível 2 relativo
à inclinação;
u
0j
é o efeito aleatório da j-ésima unidade do nível 2 sobre o intercepto para W
j
igual
a zero;
u
1j
é o efeito aleatório da j-ésima unidade do nível 2 sobre a inclinação para W
j
igual
a zero;
u
0j
∼ N(0, τ
00
) e u
′
0j
s independentes;
u
1j
∼ N(0, τ
11
) e u
′
1j
s independentes;
e u
′
0j
s e u
′
1j
s independentes dos e
′
ij
s;
τ
00
= V ar(u
0j
) é a variância populacional dos interceptos corrigida pela variável W
j
;
τ
11
= V ar(u
1j
) é a variância populacional das inclinações corrigida pela variável W
j
;
τ
01
= Cov(u
0j
, u
1j
) é a covariância entre β
0j
e β
1j
.
τ
00
, τ
11
e τ
01
são agora componentes de variância e covariância condicionais ou residuais
em β
0j
e β
1j
depois de incluída W
j
.
Substituindo as equações (3.11) e (3.12) na equação (3.7) , tem-se:
27
Y
ij
= γ
00
+ γ
10
X
ij
+ γ
01
W
j
+ γ
11
W
j
X
ij
+ u
0j
+ u
1j
X
ij
+ e
ij
, (3.13)
com i = 1, 2, . . . , n
j
e j = 1, 2, . . . , J.
O modelo combinado (3.13) e nvolve as variáveis explicativas X
ij
do nível 1 e W
j
do
nível 2, sendo γ
00
+γ
10
X
ij
+γ
01
W
j
+γ
11
W
j
X
ij
a parte fixa ou determinística do modelo e o
segmento u
0j
+ u
1j
X
ij
+ e
ij
contém todos os termos aleatórios do modelo, sendo chamado
de parte aleatória ou estocástica do modelo.
As variáveis explicativas X e W dos níveis 1 e 2, respectivamente também podem ser
consideradas centradas na média amostral global. Centrar as variáveis explicativas na
média amostral global pode ser adequado para a interpretação do intercepto de regressão
β
0j
, quando, por exemplo, o valor zero não for adequado para as variáveis explicativas do
nível 1 incluídas no modelo.
Alguns submodelos são decorrentes de mudanças na equação (3.12) que são:
• ANCOVA com 1 Fator e Efeitos Aleatórios. Este modelo é obtido quando
considera-se que as inclinações não variam aleatoriamente e não são afetadas pelo
efeito de W
j
, que é uma característica do grupo. A equação (3.12) torna-se:
β
1j
= γ
10
,
com j = 1, . . . , J.
• Modelo com Inclinações Variando Não Aleatoriamente. Obtemos est e mo-
delo quando a variância residual (τ
11
) é bem próxima de zero. A equação (3.12) é
dada por:
β
1j
= γ
10
+ γ
11
W
j
,
com j = 1, . . . , J.
28
3.1.5 Forma Geral do Modelo
A extensão para modelos com múltiplos preditores em ambos os níveis é bastante sim-
ples. As expressões gerais para modelos lineares hierárquicos com 2 níveis, considerando
que existem q variáveis explicativas no nível 1 (q = 1, . . . , Q) e p variáveis explicativas no
nível 2 (p = 1, . . . , P ) são dadas por:
Y
ij
= β
0j
+ β
1j
X
1ij
+ β
2j
X
2ij
+ . . . + β
Qj
X
Qij
+ e
ij
, (3.14)
β
qj
= γ
q0
+ γ
q1
W
1j
+ γ
q2
W
2j
+ . . . + γ
qP
W
P j
+ u
qj
= γ
q0
+
P
p=1
γ
qp
W
pj
+ u
qj
, (3.15)
com i = 1, 2 . . . , n
j
, j=1,2,. . . ,J, q=0,1,. . . ,Q e p=1,. . . ,P.
A equação (3.14) é correspondente ao nível 1 e a equação (3.15) é correspondente ao
nível 2.
É importante salientar que a inclusão de variáveis explicativas nas equações do modelo
do nível 2, com exceção da que representa o coeficiente β
0j
, resulta no aparecimento de
termos de interação entre variáveis dos dois níveis do modelo.
3.2 Métodos d e Estimação dos Parâmetros
Segundo Bryk & Raudenbush(2002) existem três tipos de parâmetros que podem ser
estimados em um modelo linear hierárquico com 2 níveis, são eles: efeitos fixos, coeficientes
aleatórios do nível 1 e componentes de variância e covariância.
Considerando agora o modelo mais geral obtido pelas equações (3.14) e (3.15), a
extensão dos princípios básicos de estimação é feita de forma direta. O modelo geral do
nível 1 com Q variáveis pode ser escrito em notação matricial da forma
Y
j
= X
j
β
j
+ e
j
, j = 1, . . . , J, (3.16)
29
sendo
Y
′
j
=
Y
1j
Y
2j
. . . Y
n
j
j
,
o vetor da variável resposta do grupo j;
X
j
=
1 X
11j
. . . X
Q1j
1 X
12j
. . . X
Q2j
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
1 X
1n
j
j
. . . X
Qn
j
j
,
a matriz de variáveis preditoras do nível 1, do grupo j;
β
′
j
=
β
0j
β
1j
. . . β
Qj
,
o vetor de parâmetros desconhecidos e,
e
′
j
=
e
1j
e
2j
. . . e
n
j
j
,
o vetor de erros aleatórios.
O modelo geral para β
j
no nível 2 é:
β
j
= W
j
γ
+ u
j
, j = 1, . . . , J, (3.17)
em que
W
j
=
W
0j
0
. . . 0
0
W
1j
. . . 0
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
0
0
. . . W
Qj
,
é a matriz de variáveis preditoras do nível 2, sendo W
qj
=
1 W
1j
W
2j
. . . W
P j
o
vetor de preditores de β
qj
, e 0
um vetor P × 1 de zeros, q = 0, 1, . . . , Q, p = 1, . . . , P e
j = 1, . . . , J;
γ
′
=
γ
0
γ
1
γ
2
. . . γ
Q
,
30
é o vetor de efeitos fixos, sendo γ
q
=
γ
q0
γ
q1
γ
q2
. . . γ
qP
e ;
u
′
j
=
u
0j
u
1j
. . . u
Qj
,
é o vetor de efeitos aleatórios.
Dessa forma combinando as equações (3.16) e (3.17) temos o modelo combinado
Y
j
= X
j
W
j
γ
+ X
j
u
j
+ e
j
, j = 1, . . . , J. (3.18)
Considerando A
j
= X
j
W
j
, o modelo pode ser escrito na forma
Y
j
= A
j
γ
+ X
j
u
j
+ e
j
, j = 1, . . . , J. (3.19)
As suposições para este modelo são:
e
j
∼ N(0, R), R = σ
2
I
n
j
,
onde I
n
j
é a matriz identidade de dimensão n
j
, j = 1, . . . , J; e u
j
∼ N(0, G),
onde
G =
τ
00
τ
01
. . . τ
0Q
τ
10
τ
11
. . . τ
1Q
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
τ
Q0
τ
Q1
. . . τ
QQ
,
é a matriz de variância e covariância.
Em (3.16), se Y
é um vetor de observações n ×1 com matriz de variância e covariância
V, Goldstein(1999) mostra que, se V é conhecida, então o estimador do parâmetro β
é
dado por:
ˆ
β
= (X
′
V
−1
X)
−1
X
′
V
−1
Y
, cov(
ˆ
β
) = (X
′
V
−1
X)
−1
, (3.20)
que são os estimadores de mínimos quadrados generalizados usuais.
Se β
é conhecido mas V é desconhecido, pode-se obter os estimadores β
∗
dos parâmetros
de V usando novamente o método de mínimos quadrados generalizados como:
ˆ
β
∗
= (X
∗
′
(V
∗
)
−1
X
∗
)
−1
X
∗
′
(V
∗
)
−1
Y
∗
, (3.21)
31
em que Y
∗
é o vetor de elementos da matriz triangular superior (Y
−Xβ
)(Y
−Xβ
)
′
, que
é uma matriz quadrada, V
∗
é a matriz de variância e covariância de Y
∗
e X
∗
é a matriz
do delineamento que conduz Y
∗
a V na regressão de Y
∗
em X
∗
.
Quando nem β
e nem V são conhecidos, os estimadores são obtidos de modo que as
equações (3.20) e (3.21) são satisfeitas simultaneamente, fornecendo, assim, os estimadores
de mínimos quadrados generalizados iterativos. Goldstein(1999) mostra também que os
estimadores produzidos por esse método são equivalentes aos estimadores de máxima
verossimilhança, quando se supõ e a distribuição normal para os dados. O processo de
estimação começa com uma estimativa inicial de V usada para obter
ˆ
β
, e então obter
uma nova estimativa melhorada de V, e assim por diante, até que a convergência do
processo seja obtida.
Sulivan et al.(1999) apresentam o processo de estimação do vetor de parâmetros fixos
γ
, para o vetor de efeitos aleatórios, para os componentes de variância e covariância R e
G e para os efeitos aleatórios u.
• Estimação de efeitos fixos.
Para o modelo combinado (3.19) a estimação dos efeitos fixos pode ser feita utilizando
o método de mínimos quadrados ponderados ou por mínimos quadrados generalizados,
dado por:
ˆγ
= (A
′
ˆ
V
−1
A)
−1
A
′
ˆ
V
−1
Y
, (3.22)
com
V = var(Y
) = XGX
′
+ R,
em que A é uma matriz N × J com N =
J
j=1
n
j
, e
ˆ
V é a estimativa da matriz V com
G e R substituídos pelos seus respectivos estimadores de máxima verossimilhança.
A variância dos estimador ˆγ
é estimada por:
32
var(ˆγ
) = (A
′
ˆ
V
−1
A)
−1
. (3.23)
• Estimação dos componentes de variância e covariância.
Se os tamanhos das amostras n
j
são todos iguais, existem expressões fechadas para
estimar os parâmetros de variância e covariância. No entanto se os n
j
são diferentes são
utilizados métodos numéricos iterativos para obter as estimativas. Normalmente esses
métodos são baseados em técnicas de estimação por máxima verossimilhança(MV). As
estimativas de máxima verossimilhança de G e R são encontradas maximizando a função
de log-verossimilhança dada por
l
MV
(GR) = −
1
2
l og |V| −
N
2
l og(r
′
V
−1
r
) −
N
2
1 + log
2π
N
, (3.24)
onde
r
= Y
− A(A
′
V
−1
A)
′
A
′
V
−1
Y
.
Se o número J de unidades do nível 2 é grande, então, os est imadores gerados pela
máxima verossimilhança são aproximadamente iguais aos gerados pela máxima verossimi-
lhança restrita. Os estimadores de máxima verossimilhança restrita(MVR) para os com-
ponentes de variância e covariância são baseados nos resídu os, os quais são obtidos após a
estimativa dos efeitos fixos (3.22) através dos métodos de mínimos quadrados ponderados
ou mínimos quadrados generalizados. Nota-se que o estimado r de MVR leva em conta
o número de graus de liberdade usado nas estimativas dos efeitos fixos quando estima-se
os componentes de variância e covariância. As estimativas de máxima verossimilhança
restrita de G e R são encontradas maximizando a seguinte função de log-verossimilhança
l
MV R
(GR) = −
1
2
l og |V|−
1
2
l og
A
′
V
−1
A
−
(N − p)
2
l og(r
′
V
−1
r
)−
(N − p)
2
1 + log
2π
(N − p)
(3.25)
33
onde
r
= Y
− A(A
′
V
−1
A)
′
A
′
V
−1
Y
e p = rank(A).
• Estimação dos efeitos aleatórios.
As estimativas dos efeitos aleatórios podem ser obtidas substituindo (3.22) na equação
obtida quando derivamos l
MV
em relação a γ
e u
j
. Dessa forma temos que :
ˆu
j
= GX
′
ˆ
V
−1
(Y
− Aˆγ
). (3.26)
3.3 Testes de Hipóteses
Nesta seção abordaremos os testes de hipóteses para os efeitos fixos, efeitos aleatórios
e para os componentes de variância e covariância de um Modelo Linear Hierárquico.
Apresentaremos testes para hipóteses que envolvem um único parâmetro e testes para
múltiplos parâmetros.
3.3.1 Teste de Hipóteses para Efeitos Fixos
É interessante investigar em um modelo linear hierárquico se cada um de seus efeitos
fixos estimados são significativamente diferentes de zero. A hipótese de interesse para
testar um único efeito fixo é:
H
0
: γ
qp
= 0.
A estatística de teste é calculada considerando o estimador de máxima verossimilhança
ou a máxima verossimilhança restrita para o erro padrão, dada por:
t =
γ
qp
V ar(γ
qp
)
(3.27)
34
onde γ
qp
é o estimador do efeito fixo γ
qp
e
V ar(γ
qp
) é a estimativa da variância de γ
qp
.
Esta estatística segue uma distribuição t-Student com J − P − 1 graus de liberdade
para dados balanceados e para algumas sit uações de dados não balanceados. Na maioria
das situações, a distribuição de (3.27) é aproximada, bem como os graus de liberdade.
Para testar mais de um efeito fixo simultaneamente, é necessário fazer o uso de con-
trastes e testá-los através da estatística de Wald.
Suponha que o vetor de efeitos fixos seja dado por:
γ
=
γ
11
γ
12
γ
21
γ
22
′
.
Então, por exemplo, se quisermos testar a hipótese
H
0
: γ
12
= 0
γ
22
= 0,
é conveniente reescrevê-la na forma matricial
H
0
: C
′
γ
= 0
onde
C
′
=
0 1 0 0
0 0 0 1
.
Considerando ˆγ
o estimador do vetor de efeitos fixos γ
e
V
γ
a estimativa da variância
de ˆγ
. Logo
Var(C
′
ˆγ
) = C
′
V
ˆγ
C =
V
C
e sob H
0
a estatística do teste de Wald é dada por:
H = ˆγ
′
C
V
−1
C
C
′
ˆγ
35
cuja distribuição assintótica é uma distribuição χ
2
com número de graus de liberdade
igual ao número de linhas da matriz C.
O teste da razão de verossimilhança é uma outra abordagem para o teste multi-
paramétrico que pode ser usado quando se trabalha com o método de máxima verossi-
milhança completo, não sendo aplicável para o método de máxima verossimilhança restrito
(Bryk & Raudenbush, 2002).
3.3.2 Teste de Hipóteses para Efeitos Aleatórios
A hipótese de interesse é da forma:
H
0
: β
qj
= 0,
ou equivalentemente
H
0
: u
qj
= 0.
A estatística de teste é obtida fazendo a razão entre a estimativa do efeito aleatório
u
qj
pela estimativa do seu erro padrão, da seguinte forma:
t =
u
qj
V ar(u
qj
)
(3.28)
A estatística (3.28) tem distribuição t-Student para dados balanceados e para algu-
mas situações de dados não balanceados. A estimativa do erro padrão (
V ar(u
qj
)) é
maior quando se usa o o método de máxima verossimilhança restrito de que quando se
usa o método de máxima verossimilhança completo, especialmente quando o número de
unidades do nível 2, J , é pequeno (Sulivan et al, 1999).
No caso multiparamétrico, vamos considerar β como sendo o vetor de parâmetros
aleatórios com dimensão J(Q + 1) × 1, logo a hipótese linear geral associada a β é:
H
0
: C
′
β = 0. (3.29)
36
Se o vetor de parâmetros pode ser estimado por mínimos quadrados ordinários(MQO),
então a hipótese linear geral (3.29) pode ser testada através da estatística:
H
MQO
=
ˆ
β
′
C(C
′
VC)
−1
C
′
ˆ
β
′
, (3.30)
onde
V é uma matriz bloco diagonal com cada bloco de dimensão (Q + 1) × (Q + 1) e
igual a :
V
j
= ˆσ
2
(X
′
j
X
j
)
−1
.
3.3.3 Teste de Hipóteses para Componentes de Variância e Co-
variância
Assim como os efeitos fixos e aleatórios, os componentes de variância podem também
ser testados isoladamente ou simultaneamente.
Seja τ
qq
a variância dos coeficientes u
qj
. Para avaliar se este coeficiente deve ser
considerado fixo ou aleatório, podemos testar a hipótese nula:
H
0
: τ
qq
= 0 (3.31)
Para testar esta hipótese podemos utilizar a estatística:
z =
τ
qq
V ar(τ
qq
)
. (3.32)
A estatística (3.32) tem distribuição aproximadamente normal, para grandes amostras.
A estimativa do erro padrão de τ
qq
é calculada através do inverso da matriz de informação
de Fisher.
Uma outra possibilidade para testar a hipótese (3.31) é utilizar as estimativas de
mínimos quadrados ordinários (M QO). Este teste só é possível se todos ou pelo menos a
maioria dos grupos tiver dados suficientes para calcular as estimativas de MQO. Dessa
forma, considerando o modelo
37
β
qj
= γ
q0
+
P
p=1
γ
qp
W
pj
, (3.33)
este teste pode ser ser realizado através da estatística
J
j=1
(
β
qj
− γ
q0
−
P
p=1
γ
qp
W
pj
)
2
V
qqj
(3.34)
cuja distribuição é aproximadamente χ
2
com J − P − 1 graus de liberdade.
Para testar um ou mais componentes de variância e covariância simultaneamente,
pode-se utilizar o teste de razão de verossimilhança, onde a hipótese nula a ser testada é:
H
0
: T = T
0
(3.35)
contra a alternativa
H
1
: T = T
1
, (3.36)
onde T
0
é uma forma reduzida de T
1
.
Para calcular a estatística do teste da razão de verossimilhança é preciso obter a
"Deviance" do modelo ajustado sob H
0
(D
0
) e a "Deviance" do modelo ajustado sob
H
1
(D
1
).
Esta "Deviance" é a mesma definida na seção 2.2. A "Deviance" pode ser vista como
uma medida de qualidade do ajuste. A estatística do teste da razão de verossimilhança é
dada por:
H = D
0
− D
1
e tem distribuição χ
2
com m graus de liberdade, onde m corresponde à diferença do
número de componentes de variância e covariância estimados nos dois modelos sob as
hipóteses H
0
e H
1
.
38
CAPÍTULO 4
Modelos Lineares Generalizados Hierárquicos
Neste capítulo abordaremos os Modelos Lineares Generalizados Hierárquicos (MLGH),
também conhecidos como modelos lineares generalizados mistos segundo Breslow & Clay-
ton(1993) ou modelos lineares generalizados com efeitos aleatórios (Schall, 1991). No
capítulo 3 mostramos que os modelos lineares hierárquicos prestam-se bem aos casos em
que se supõem variáveis resposta normalmente distribuídas em cada um dos níveis. En-
tretanto em muitas aplicações de regressão a variável resposta de interesse é qualitativa,
com dois ou mais resultados possíveis, ou uma variável de contagem, muito comum em
certos tipos de estudos, como os epidemiológicos e, da mesma forma deseja-se estimar essa
resposta não só em termos de características individuais, mas também de grupos. Essa
generalização em termos de aplicação pode ser alcançada pelos MLGH.
Empregaremos neste capítulo os conceitos já estudados dos MLG e MLH, de forma
que seja alcançada e apresentada a generalização hierárquica segundo o enfoque de Bryk
& Raudenbush(2002).
Observa-se que os MLGH apresentam a mesma estruturação do MLH. O nível 1 do
MLGH consiste em três partes distintas, a saber: um modelo amostral, uma função de
ligação e um modelo estrutural. Assim como nos MLG a variávei s resposta dos MLGH
39
podem seguir as diferentes distribuições da família exponencial, a depender do interesse
do estudo.
Neste trabalho a variável resposta de interesse segue uma distribuição Poisson. Por-
tanto o caso específico do modelo Poisson será apresentado na seção 4.2.
Para uma melhor percepção da relação entre MLH e MLGH apresentamos na Seção
4.1 o caso do MLH como um caso particular do MLGH.
4.1 O Modelo Hierárquico Normal
O nível 1 do MLGH consiste em três partes: Um modelo amostral, uma função de
ligação e um modelo estrutural. De fato o MLH pode ser escrito como um caso especial
do MLGH, onde o modelo amostr al é normal, a função de ligação é a função identidade
e o modelo estrutural é linear.
1. Nível 1 (Modelo Amostral)
O modelo amostral para o MLH com dois níveis pode ser escrito c omo
Y
ij
| µ
ij
∼ NID(µ
ij
, σ
2
), (4.1)
ou seja, a variável resposta Y
ij
do nível 1, dado o valor predito µ
ij
é normal e inde-
pendentemente distribuída com um valor esperado µ
ij
e uma variância constante,
σ
2
.
2. (Função de Ligação)
Em geral, é possível transformar o valor predito µ
ij
do nível 1, para garantir que
as predições est ejam condicionadas a variar dentro de um determ inado intervalo.
Denotaremos esta transformação por η
ij
e chamaremos de função de ligação. No
caso da Normal esta transformação não é necessária, entretanto podemos escrever
esta não transformação como
40
η
ij
= µ
ij
(4.2)
que é conhecida como "função identidade".
3. (Modelo Estrutural)
A transformação do valor predito η
ij
agora está relacionado com os preditores do
modelo linear por meio do modelo estrutural
η
ij
= β
0j
+ β
1j
X
1ij
+ β
2j
X
2ij
+ . . . + β
Qj
X
Qij
. (4.3)
Combinando (4.1), (4.2) e (4.3) temos o nível 1 do MLH.
4.2 O Modelo Hierárquico Poisson
1. Nível 1 (Modelo Amostral)
Seja Y
ij
o número de eventos ocorridos durante um intervalo de tempo m
ij
que
pode ser denominado de taxa de exposição. Por exemplo Y
ij
pode ser o número de
crimes que uma pessoa i numa vizinhança j cometeu durante 5 anos, então m
ij
= 5.
Escrevemos
Y
ij
| λ
ij
∼ P (m
ij
, λ
ij
) (4.4)
Para denotar que Y
ij
tem uma distribuição Poisson com taxa de exposição m
ij
e
taxa de evento por período de tempo λ
ij
. De acordo com a distribuição Poisson, o
valor esperado e a variância de Y
ij
, dado a taxa de evento, λ
ij
, é dado por
E(Y
ij
| λ
ij
) = m
ij
λ
ij
V ar(Y
ij
| λ
ij
) = m
ij
λ
ij
(4.5)
41
ou seja, o valor esperado do número de eventos Y
ij
para a unidade i do grupo j é a
taxa de evento λ
ij
multiplicada pela taxa de exposição m
ij
, e a variância é igual a
média.
A taxa de exposição m
ij
não precisa ser uma medida de tempo. Por exemplo, numa
aplicação clássica do modelo Poisson, Y
ij
é o número de bombas lançadas numa
vizinhança i de uma cidade j durante uma guerra, e m
ij
é a área desta vizinhança.
Um caso bastante comum surge quando para cada i e j a taxa de exposição é a
mesma. Por exemplo, Y
ij
é o número de crimes cometidos durante um ano por cada
pessoa i dentro de cada vizinhança j. Neste caso, m
ij
= 1 e o valor predito de Y
ij
quando m
ij
= 1 será a taxa de evento λ
ij
.
2. (Função de Ligação)
A função de ligação canônica quando o modelo amostral do nível 1 é Poisson é a
ligação logarítmica, ou seja,
η
ij
= log(λ
ij
). (4.6)
Então, η
ij
é o log da taxa de evento. Assim, se a taxa de evento for 1 o logaritmo
é 0. Quando a taxa de evento é menor que 1 o logaritmo é negativo e quando a
taxa de evento é maior que 1 o logaritmo é positivo . Dessa forma, quando λ
ij
for
positivo, log(λ
ij
) será um valor real.
3. (Modelo Estrutural)
O modelo estrutural é exatamente igual ao apresentado na equação (4.3). Note que
as estimativas dos β
′
s na equação (4.3) torna possível a predição do logaritmo da
taxa de evento ˆη
ij
para qualquer caso. Tal predição pode ser convertida para uma
taxa de evento
ˆ
λ
ij
, calculando
ˆ
λ
ij
= exp{ˆη
ij
}. Qualquer que seja o valor de ˆη
ij
,
ˆ
λ
ij
será positivo.
42
4. Nível 2 (Modelo)
No caso do nível 2, o modelo será o mesmo do caso normal apresentado na equação
(3.15), ou seja:
β
qj
= γ
q0
+
P
p=1
γ
qp
W
pj
+ u
qj
, (4.7)
com i = 1, 2 . . . , n
j
, j=1,2,. . . ,J, q=0,1,. . . ,Q e p=1,. . . ,P.
4.3 Estimação em MLGH
Obter estimadores de máxima verossimilhança para modelos hierárquicos é um pro-
blema que consiste em dois passos. O primeiro passo é encontrar a verossimilhança. Este
requer a integração da distribuição conjunta dos dados e efeitos aleatórios com respeito
aos efeitos aleatórios. O segundo passo é a maximização da verossimilhança. O primeiro
passo é fácil quando o modelo é linear com efeitos aleatórios normalmente distribuídos
em cada nível. O único problema é a maximização. Contudo, em MLGH esta situação se
complica, pois eles são formados por um modelo amostral de nível 1 não Normal e por um
modelo estrutural de nível 2 contando com efeitos aleatórios normalmente distribuídos.
Considerando Y como sendo um vetor de dados, u como sendo um vetor de efeitos
aleatórios, e ω um vetor de parâmetros. Os parâmetros incluem os componentes de
variância e covariância e os coeficientes fixos da regressão. A distribuição dos dados
dado os efeitos aleatórios do nível 1 do modelo é denotada por f(Y/u, ω), enquanto a
distribuição dos efeitos aleatórios é denotada por p(u/ω). A distribuição conjunta dos
dados e efeitos aleatórios é dada por:
g(Y, u/ω) = f(Y/u, ω)p(u/ω),
enquanto a verossimilhança dos dados dado o vetor de parâmetros ω é a densidade
marginal de Y , isto é, a integral da distribuição conjunta com r elação aos efeitos aleatórios:
43
L(Y/ω) =
f(Y/u, ω)p(u/ω)du. (4.8)
No MLH os dois fatores do produto no integrando são normalmente distribuídos, e
isso implica na normalidade da função. Essa situação facili t a a dedução da função de
verossimilhança e o problema maior passa a ser sua maximização. Já no caso de um
MLGH, a questão é que a primeira parcela do integrando é agora Binomial, Poisson
ou Multinomial, sendo especificamente Poisson no caso prático abordado nesta pesquisa,
acarretando que a distribuição conjunta interna à integral em (4.8) é, na verdade, mista,
por exemplo, Poisson- Gamma. A consequência é que a função de verossimilhança em
MLGH tem de ser encontrada de forma numérica, assim como sua maximização.
Uma das abordagens para se obter a função de verossimilhança e sua maximização
em MLGH é a Penalized Quasi-Likelihood(PQL). Em relação à terminologia "Quasi-
Likelihood", o que se pode dizer, de acordo com Zorn(1998) é que: Enquanto máxima
verossimilhança padrão requisita a especificação da distribuição condicional da variável
resposta, quasi-likelihood necessita apenas que se defina o relacionamento entre o valor
esperado da resposta e as covariáveis, e entre a média e a variância da variável resposta.
Maiores detalhes em Quasi-Likelihood podem ser encontrados em Heyde(1997).
Embora PQL seja o método mais utilizado pela literatura de referência em MLGH,
Goldstein(1999), a aproximação do integrando em 4.8 pelo método de Laplace é tam-
bém uma alternativa viável para realização das inferências em MLGH Bryk & Rauden-
bush(2002). As estimativas dos parâmetros do modelo apresentado neste trabalho foram
obtidas pelo método de aproximação de Laplace.
44
CAPÍTULO 5
Aplicação
5.1 Introdução
Nos últimos anos tem sido crescente o interesse de especialistas e autoridades governa-
mentais por indicadores quantitativos que, além de auxiliar o entendimento da dinâmica
de ciência e tecnologia (C&T) são objeto de estudo de várias áreas do conhecimento, sendo
usados tanto para o planejamento e a execução de políticas para o setor como também
para que a comunidade científica conheça melhor o sistema no qual está inserida.
Os estudos de produção científica enfrentam desafios. De fato, a produção científica é
parte de um grande sistema social que é a ciência. Como afirma Macias-Chapula(1998)
"[...] a ciência necessita ser considerada como um amplo sistema social, no qual uma de
suas funções é disseminar conhecimentos. Sua segunda função é assegurar a preservação
de padrões e, a terceira, é atribuir crédito e reconhecimento para aqueles cujos trabalhos
têm contribuído para o desenvolvimento das idéias em diferentes campos".
Os indicadores de produção científica são construídos basicamente pela contagem do
número de publicações por tipo de documento (livros, artigos, publicações científicas, re-
latórios, etc.), por instituição, área de conhecimento, país, etc. Tais indicadores procuram
45
refletir características de produção ou do esforço empreendido, mas não mede a qualidade
das publicações. As leis de Lotka, Zipf e Bradford, comentadas no Capítulo 1, também
são consideradas como indicadores de produção científica.
Dentre os vários tipos de indicadores bibliométricos que existem, os indicadores de
citações estão sendo bastante usados ultimamente. Estes indicadores foram desenvolvidos
a partir do princípio de que as referências citadas por um autor identificam de maneira
mais precisa o relacionamento entre documentos que tratam do mesmo assunto. Além
de serem utilizados por cientistas como instrumentos de recuperação de documentos por
assuntos, os indicadores de citações passaram a ser utilizados por sociólogos da ciência e
pelos responsáveis pela elaboração de políticas científicas para avaliação da performance
dos cientistas(Mugnaini, 2004). Os dois indicadores de citações mais famosos são o Fator
de Impacto(FI) e o índice h.
Eugene Garfield(1955) propôs o conceito de FI, em seguida Garfield fundou o ISI(In-
formation Sciences Institute), com o objetivo de fornecer informações sobre pesquisas
correntes. Desde então o FI e outros índices correlatos têm sido objeto de generalizada
controvérsia e de alguns equívocos na sua utilização. O FI de um periódico, em determi-
nado ano, é calculado dividindo-se o número de citações feitas no ano da avaliação (em
todos os periódicos indexados) a itens publicados por ele nos dois anos imediatamente
anteriores pelo número de artigos (itens-fonte) publicados nesse mesmo periódico tam-
bém nos dois anos anteriores ao da avaliação. Por exemplo, seja A o número de vezes que
artigos publicados em 2005 e 2006 foram citados por revistas indexadas em 2007 e B o
número de artigos publicados em 2005 e 2006, o fator de impacto da revista em 2007 será
A/B.
O fator de impacto identifica a frequência com que um artigo mé dio de um periódico
é citado em um determinado ano. Pode-se usar este número para avaliar ou comparar
a importância relativa de um periódico com outros do mesmo campo ou ver com que
46
frequência os artigos são citados para determinar quais periódicos são melhores para a
sua coleção.
Várias propostas que se baseiam na aritmética entre o número de artigos e o número
de citações são conhecidas, mas o método que ganhou fama no meio científico, devido
principalmente a sua simplicidade foi o proposto por JE Hirsch(2005). Hirsch propôs um
único número, o índice h, como uma forma particularmente simples e útil para caracteri-
zar a produção científica de um pesquisador e é definido da seguinte forma: Um cientista
tem índice h se h de seus artigos publicados(N
p
) ao longo de n anos têm pelo menos h
citações cada e os (N
p
− h) artigos restantes tem uma quantidade de citações menor ou
igual a h. Por exemplo um pesquisador que tem índice h = 115, significa que ele tem 115
artigos com pelo menos 115 citações cada.
O índice h possui limitações e ineficiências, segue algumas destas limitações e inefi-
ciências.
• O índice h é limitado pelo número total de publicações. Isto significa que os cientis-
tas com uma curta carreira estão inerentes a uma desvantagem, independentemente
da importância das suas descobertas;
• Caso o pesquisador publique muitos reviews, poderá ter h maior que outro que
contribua com resultados originais;
• O índice h subestima publicações de altíssimo impacto em favor da sustentabilidade
da produção científica;
• Embora o índice h enfatize o êxito das publicações em favor da produtividade sus-
tentada, ele poderá fazê-lo de forma demasiada. Dois cientistas podem ter o mesmo
índice h, digamos h = 30, mas um tem 20 artigos que foram citados mais de 1.000
vezes e o outro não tem nenhum artigo com essa quantidade de ci tações. Claramente
a produção científica do primeiro é mais "valiosa".
47
• Não compara pesquisadores de áreas diferentes;
• É um índice de "passado", não tendo como detectar pesquisadores jovens e bril-
hantes.
Várias variantes do índice h foram propostas para corrigir essas deficiências, mas
nenhuma ganhou apoio universal.
Dadas as peculiaridades da ciência, a comunidade científica de cada área ou subárea
adota diferentes processos de utilização de veículos de disseminação da produção. Por
exemplo, as áreas das ciências exatas e biológicas não têm a mesma cultura de publicação
daquelas das ciências sociais. Enquanto as primeiras tendem a privilegiar a publicação
de artigos científicos, nas ciências humanas e sociais, privilegia-se a publicação de livros.
Esse fato reforça a idéia de que é inadequada a universalização do critério de avaliação da
produção científica baseada tão somente em artigos publicados em periódicos especializa-
dos.
5.2 Índice de Produção Científica
Neste trabalho foi criado um índice de produção que envolve diversos indicadores
de produção científica que são utilizados como veículos de dis seminação de produção em
diferentes áreas do conhecimento. O objetivo da criação deste índice é ter um instrumento
que avalie através de um número a produção científica de todos os professores da UFPE
independente da área.
O índice de produção proposto é uma som a ponderada de indicadores de produção.
Definir pesos com o compromisso de refletir a percepção e a importância relativa de cada
indicador a cada unidade é uma tarefa difícil e questionável. Assim, a obtenção dos
pesos atribuídos aos indicadores seguem a portaria normativa N
o
22, de 21 de outubro
de 2002 da UFPE, que estabelecia critérios de avaliação do de sempenho docente para fim
de atribuição da antiga Gratificação de Estimulo à Docência(GED). A Tabela 5.1 mostra
48
os pesos dos indicadores que compõem o índice. Todos os indicadores que compõem o
índice foram obtidos através da soma da produção nos anos de 2004, 2005 e 2006. Tais
indicadores foram extraídos do Currículo Lattes de cada professor que estavam atualizados
até março de 2008. O Currículo Lattes está disponível na plataforma Lattes (CNPq)
http://lattes.cnpq.br. Dado seu grau de abrangência, as informações que constam na
Plataforma Lattes são utilizadas tanto no apoio a atividade s de gestão, como no apoio à
formulação de políticas para a área de ciência e tecnologia. O Currículo Lattes regist ra a
vida passada e atual dos pesquisadores sendo elemento indispensável à análise de mérito
e competência dos pleitos pessoais, coletivos ou institucionais, para auxílios financeiros
apresentados ao CNPq. A hipótese assumida no presente trabalho é que todos doutores
em atividade, estão com seus currículos na Plataforma Lattes atualizados.
Foram considerados 17 indicadores para construir o índice de produção (Tab ela 5.1).
O primeiro indicador que compõe o índice de produção é o número de orientações con-
cluídas de teses de doutorado, em seguida temos o número de orientações concluídas de
dissertações de mest rado. Estes indicadores medem a quantidade de teses e dissertações
que o professor orientou entre 2004 e 2006. Também foi considerado o número de livros
publicados e o número de capítulos de livros publicados que são outros dois indicadores de
produção muito comuns em certas áreas do conhecimento. Outro indicador que compõe
o índice de produção é o número total de artigos publicados em perió dicos, que é um dos
indicadores de produção mais utilizados em todas as áreas do conhecimento. Estes arti-
gos foram classificados em quatro tipos de acordo com o "nível Qualis" de qualidade do
periódico. Esta classificação pode ser A, B, C ou sem Qualis. O Qualis foi elaborado pela
Capes e consiste, basicamente, na classificação dos veículos de divulgação da produção
científica, técnica, artística dos programas de pós-graduação. Mais informações sobre o
"Qualis" podem ser encontradas em http://www.capes.gov.br/avaliacao/qualis.
49
Indicador Peso
Número de orientações de doutorado 20
Número de orientações de mestrado 15
Número de livros publicados 30
Número de capítulos de livros publicados 15
Qualis nível A 30
Número de artigos publicados em Qualis nível B 25
periódicos indexados com: Qualis nível C 20
Sem Qualis 15
completo com âmbito de circulação internacional 15
completo com âmbito de circulação nacional 10
completo com âmbito de circulação regional 5
resumo com âmbito de circulação internacional 12
Número de trabalhos em resumo com âmbito de circulação nacional 8
congressos do tipo: resumo com âmbito de circulação regional 3
resumo expandido com âmbito de circulação internacional 13
resumo expandido com âmbito de circulação nacional 9
resumo expandido com âmbito de circulação regional 4
Tabela 5.1: Pesos utilizados para a construção do índice de produção
50
Por fim também utilizamos o indicador número de trabalhos apresentados em con-
gressos. Classificamos os trabalhos apresentados em congressos em: completos, resumos
e resumos expandidos e subdividimos cada um desses a partir do âmbito do evento: In-
ternacional, Nacional e Regional.
Os créditos das produções científicas que foram publicados com mais de um autor
foram divididos igualmente entre os autores, ou seja, se um artigo foi publicado com 3
autores cada um deles recebeu 1/3 dos créditos desse artigo. Estabelecido esse critério
alguns índices de produção no período dos 3 anos foram números decimais, então apro-
ximamos para o maior inteiro mais próximo quando a parte decimal foi ≥ 0, 5 e para o
menor inteiro mais próximo no caso contrário.
Inicialmente foi calculado o índice de produção para todos o s professores da UFPE em
atividade em dezembro de 2006 num total de 1659 professores entre doutores, mestres,
especialistas e graduados em regime de dedicação exclusiva ou não. O índice de produção
variou de 0 a 2087, no entanto, a quantidade de zeros foi de 27,5% . Então, para uma
melhor modelagem e baseado no fato de que a exigência quanto a produção cientifica é
maior entre os professores que possuem doutorado em regime de dedicação exclusiva(DE),
foi considerado a sub-amostra de 977 professores que são doutores em regime de dedicação
exclusiva. Nesta sub-amostra a quantidade de índices de produção com valor zero foi de
7,3%.
A Figura 5.1 ilustra o histograma dos valores que o índice assume para todos os
doutores com DE. A quantidade de professores com índice de produção inferior a 500
corresponde a 90% do total de professores. Menos de 1% dos professores possui índice
superior a 1000. A estrutura administrativa da UFPE está subdividida em dez centros
acadêmicos e, em cada centro acadêmico existem os departame ntos onde se encontram
lotados os professores. No CCJ-Centro de Ciências Jurídicas, só identificamos 9 docentes
na sub-amostra de interesse e, considerando a necessidade de uma quantidade mínima de
elementos amostrais em cada centro, tendo em vista a modelagem estatística a ser adotada,
51
os docentes do CCJ foram agregados aos docentes do CFCH visto ser es te centro o que
apresenta valor médio do índice de produção mais próximo do valor médio do índice de
produção do CCJ. Na Tabela 5.2 apresentamos a média, o desvio padrão, o menor e o
maior índice de produção e o coeficiente de variação(CV) de cada centro. Analisando
os valores dos índice de produção por cada um dos 9 centros acadêmicos considerados
percebemos que o centro com a maior média do índice de produção é o CIN com uma
média de 299,13 e o de menor média é o CE com uma média de 156,42. O CCEN é o
segundo com maior média 261,27. O índice estudado apresenta uma dispersão relativa
medida pelo CV de 101,19%, destacando-se o CCS com a maior dispersão relativa com
CV de 117,94%.
Figura 5.1: Histograma do Índice de produção
52
CENTRO Número de Mínimo Máximo Média Desvio Coeficiente de
Docentes Padrão(DP) Variação(CV)%
CAC 106 0 717 159,67 149,26 93,48
CCB 158 0 1058 204,57 202,67 99,07
CCEN 99 0 2087 261,27 288,81 110,54
CCS 122 0 1217 197,89 233,40 117,94
CCSA 80 0 833 224,56 209,91 93,47
CE 55 0 548 156,42 124,69 79,71
CFCH 109 0 696 192,26 168,64 87,71
CIN 48 0 1036 299,13 244,17 81,62
CTG 200 0 1509 225,73 219,91 97,42
Total 977 0 2087 211,14 213,67 101,19
Tabela 5.2: Estatística descritiva do índice de produção por centro
5.3 Modelagem Através do MLGH
Os dados cadastrais utilizados na modelagem deste trabalho foram cedidos gentilmente
pela PROPLAN(Pró-reitoria de Planejamento da UFP E). O banco de dados utilizado
na modelagem é formado por 977 professores doutores com dedicação exclusiva com as
seguintes variáveis: idade, tempo de serviço, gênero, se é ou não bolsista do CNPq,
departamento e centro em que trabalham os professores.
O índice de produção ora descrito é a variável dependente na modelagem descrita a
seguir.
5.3.1 Variáveis Explicativas
As variáveis explicativas, consideradas como candidatas a explicar o índice de produção
científica no 1
◦
nível hierárquico foram: idade, gênero e tempo de serviço.
Fox(1983) apresenta várias evidências que apontam para uma correlação positiva entre
idade e produção científica de pesquisadores. A relação entre idade e produção científica
tem gerado muita discussão. Alguns pesquisadores argumentam que a produção cien-
tífica começa a diminuir muito cedo (Lehman, 1953). Outros acreditam que há uma
relação curvilínea e que a produtividade cresce lentamente nas primeir as décadas de vida,
53
alcançando seu pico na idade intermediária e decresce lentamente nas últimas décadas
(Cole, 1987). Por último, outros argumentam que a idade dese mpenha um papel sem
muita importância na produtividade acadêmica, sendo a taxa prévia de publicações o
que determina a produtividade posterior. Merton(1968) identificou que à medida que os
cientistas envelhecem, menos tempo despendem em pesquisa e que uma grande proporção
de seu tempo é gasta em posições administrativas. Contrariando este ponto de vista,
Fox(1983) notou que embora o cientista mantenha-se afastado do contexto da pesquisa
quando assume cargos administrativos, o aumento de recursos disponíveis facilita, ao invés
de impedir, a produtividade científica. Uma das razões apontadas pela literatura para
o declínio da produção científica é a de que à medida que os cientistas envelhecem, seu
capital financeiro também aumenta, e eles passam a aplicar seu tempo em atividades não
relacionadas às atividades de pesquisa.
A partir da variável idade foi criada uma variável dummy que chamamos de cod_idade,
que assume 1 se a idade for menor ou igual a 50 e 0 caso contrário. O limite 50 foi es-
colhido porque muitos pesquisadores, tal como Cole(1987) acreditam que a partir desta
idade a produção cientifica começa a diminuir. Então o objetivo da escolha dessa variável
é verificar se esta queda de produção ocorre com os professores em estudo.
O tempo de serviço (T_Serv) na UFPE apresenta uma certa correlação com a idade
mas, mesmo assim consideramos esta variável como possível variável explicativa da pro-
dução científica.
Segundo Long(1992), o gênero do cientista é um importante determinante da variação
da produtividade científica. Diferenças existem em características pessoais, tais como ha-
bilidades, motivação, dedicação, nível educacional. Obrigações familiares e crianças afe-
tam diferentemente as carreiras de homens e mulheres. Segundo este autor, as diferenças
de gênero em termos de produtividade científica começam durante a graduação e conti-
nuam ao longo dos primeiros 17 anos da carreira do pesquisador. Rodgers e Maranto(1989)
indicaram que os homens, em média, produzem significativamente mais publicações do
54
que as mulheres e são mais frequentemente citados. Entretanto Cole(1987) encontrou
evidências de que a diferença na qualidade das publicações é menor do que a diferença na
quantidade das mesmas. Estes mesmos pesquisadores, preocupados em explicar a dife-
rença de produtividade entre os gêneros, encontraram resultados que mostraram que nem
o estado civil nem o número de crianças conseguem explicar essa diferença. A posição
hierárquica mais baixa e o menor salário, associado a menos recursos para a realização de
pesquisas, podem ser fatores que explicam, em parte, essa produtividade diferencial entre
homens e mulheres (Cole, 1987).
Estudando uma amostra de doutores em Bioquímica, Long(1992) relatou que enquanto
as diferenças sexuais no número de publicações são crescentes na primeira década da
carreira, diminuem na s egunda. Uma significante proporção de mulheres não só mantêm
sua produtividade, como a aumentam, ao passo que a média de produtividade masculina
atinge níveis mais baixos.
Em nosso estudo queremos verificar se existe alguma relação entre o gênero e a pro-
dução científica. Consideramos que a variável gênero assume 1 quando masculino e 0
quando feminino.
Considerando que os professores encontram-se agrupados em centros acadêmicos, dis-
tintos principalmente pelas suas respectivas áreas do conhecimento foi então definido como
2
◦
nível hierárquico os centros acadêmicos e, como variáveis candidatas a fazer parte do
modelo neste nível: Bolsista, área, CH e AH, que serão explicadas a seguir.
A variável Bolsista é uma variável do 2
◦
nível e indica a porcentagem de professores
que são bolsistas do CNPq de cada centro. O objetivo da criação desta variável é saber se
a produção científica de um docente pode ser influenciada pelo fato do mesmo pertencer
a um centro em que a porcentagem de bolsista de produtividade é alta ou baixa.
Também foi criada uma variável categórica chamada área para separar os centros por
área do conhecimento. A variável área é 1 para os centros CCEN,CTG e CIN; 2 para
CCB e CCS; 3 para CFCH, CCSA; e 4 para CAC e CE. A finalidade da inclusão da
55
variável área é averiguar se a produção científica dos professores da UFPE é diferente
por área do conhecimento na qual o professor está inserido.
Os docentes das instituições de ensino superior devem exercer por obrigação de sua
função, atividades de pesquisa, ensino e extensão. É fato inquestionável que se o docente
dedica muito tempo as suas atividades de ensino, a sua produção científica fica bastante
prejudicada. Portanto, para medir o esforço docente nas atividades de ensino escolhemos
duas variáveis, agregadas a nível de centro acadêmico, que são: CH que é a soma da carga
horária total semanal nos cursos de graduação e pós-graduação de todos os docentes e
AH que é a soma da quantidade de alunos matriculados multiplicado pela carga horária
semanal nos cursos de graduação e pós-graduação de todos os docentes.
5.3.2 O Modelo
Na modelagem dos dados foram testados diversos modelos, incluindo uma variável
por vez ou combinando as diversas variáveis disponíveis. Inicialmente foi considerado
um modelo apenas com o intercepto para verificar se o mesmo poderia ser considerado
como aleatório verificando o valor-p. Em seguida, foram incluídas variáveis explicati-
vas apenas no nível 1 para verificar a significância das mesmas, sendo retiradas (uma
por vez) aquelas que não apresentaram significância. Por fim, as variáveis significantes
no nível 1 foram mantidas no modelo e aos parâmetros que poderiam ser considerados
como aleatórios foram acrescentadas (uma após outra) variáveis explicativas no nível 2,
mantendo-se aquela com nível de significância abaixo de 10%. Considerando os diversos
modelos ajustados para explicar o índice de produção científica foi escolhido aquele es-
tatisticamente significativo, cujas variáveis selecionadas estão na Tabela 5.3. Ainda na
Tabela 5.3 têm-se a estatística descritiva das variáveis do modelo, na qual po demos obser-
var que a média do t empo de serviço dos professores da UFPE é de 14,70 anos com um
tempo de serviço máximo de 42 anos, quanto a porcentagem de bolsistas de produtivi-
dades por centro percebe-se que a porcentagem média é de 19% e que o centro com maior
porcentagem possui 40% dos seus professores com bolsas de produtividade.
56
Variáveis Média Desvio Padrão Mínimo Máximo
Variável dependente
Índice 211,14 213,67 0,00 2087
Variáveis independentes
nível 1-professor (n=977)
cod_idade (≤ 50 anos = 1) 0,60 0,09 0,00 1,00
T_Serv 14,70 10,21 1,00 42,00
gênero (masculino=1) 0,56 0,49 0,00 1,00
nível 2-centro (n=9)
Bolsista (%) 0,19 0,09 0,04 0,40
Tabela 5.3: Estatísticas descritivas das variáveis do modelo
Além das variáveis da Tabela 5.3 também foi incluído no modelo a variável área. As
estimativas apresentadas neste trabalho foram obtidas por meio do R Project for Statistical
Computing (versão 2.6.2). O comando utilizado para estimar o mo delo foi o glmer que
necessita da biblioteca lme4 para ser empregado.
O modelo selecionado para explicar o índice de produção científica do professor i do
centro j foi:
Nível 1:
η
ij
= β
0j
+ β
1j
(cod_idade
ij
) + β
2j
(T _Serv
ij
) + β
3j
(gˆenero
ij
)
Nível 2:
β
0j
= γ
00
+ γ
01
(Bolsista
j
) + γ
02
(área
j
) + u
0j
β
1j
= γ
10
β
2j
= γ
20
β
3j
= γ
30
+ γ
31
(área
j
),
onde η
ij
é o logaritmo do valor esperado do índice de produção científica do professor i
do centro j, β
qj
representa os coeficientes das variáveis do nível do professor do modelo e
γ
qp
representa o coeficiente das variáveis no nível do centro.
57
A Tabela 5.4 apresenta as estimativas dos parâmetros do modelo escolhido para ex-
plicar o índice de produção científica.
Analisando a Tab ela 5.4 percebe-se que o tempo de serviço (T_Serv) está relacionado
positivamente com o índice de produção científica. Para ser mais específico, a cada ano de
serviço tem-se um acréscimo de 1, 6% = 100[exp(0, 016) − 1] na média do índice de pro-
dução científica, mantendo todas as outras variáveis constantes. A variável cod_idade
é estatisticamente significante e também se relaciona positivamente com o índice de pro-
dução científica. Docentes com idade menor ou igual a 50 anos apresentam em média
o índice de produção científica maior em 36, 8%(1, 368 = exp(0, 314)), fixando as outras
variáveis. A variável gênero está relacionada negativamente com o índice de produção
científica. Portanto, o professor sendo do gênero masculino ocorre um decréscimo na mé-
dia do índice de produção científica de 7, 8% = 100[1 −exp(−0, 081)], mantendo todas as
outras variáveis constantes. Este fato se deve principalmente a área de artes e educação
(CAC e CE) onde a participação do sexo feminino é maior e mais produtiva.
No nível 2(centro) a variável Bolsista se relaciona positivamente e fortemente com
o logaritmo do índice de produção científica. Um aumento de 1% na porcentagem de
bolsistas de produtividade em um centro afeta a média do índice de produção científica
por um fator de 25, 153 = exp (3, 225), ou seja, 2415%. No modelo existe uma iteração
entre as variáveis gênero e área e na Tabela 5.4 destaca-se que se o docente é do sexo
masculino e pertence a área 2(CCB, CCS) há um aumento no valor médio do índice de
produção científica de 10, 4% = 100[esp(0, 099) − 1], se forem mantidas constantes as
outras variáveis. Análise semelhante pode ser feita nos demais casos.
58
Efeitos Fixos Estimativas Erro Padrão p-valor exp(Estimativas)
Intercepto (γ
00
) 4,187 0,106 0,000 65,825
Bolsista (γ
01
) 3,225 0,144 0,000 25,153
área2 (γ
02
) 0,340 0,155 0,028 1,404
área3 (γ
02
) -0,044 0,153 0,771 0,956
área4 (γ
02
) 0,275 0,156 0,077 1,316
cod_idade (γ
10
) 0,314 0,006 0,000 1,368
T_Serv (γ
20
) 0,016 0,000 0,000 1,016
gênero1 (γ
30
) -0,081 0,008 0,000 0,922
gênero1:área2 (γ
31
) 0,099 0,011 0,000 1,104
gênero1:área3 (γ
31
) 0,257 0,013 0,000 1,293
gênero1:área4 (γ
31
) -0,234 0,015 0,000 0,791
Efeito Aleatório Desvio Padrão
(u
0j
) 0.167
Tabela 5.4: Estimativas dos parâmetros do modelo
Em resumo podemos então concluir que a significativa diferença na produção científica
ocorre nos centros acadêmicos cuja quantidade relativa de bolsistas de produtividade do
CNPq é grande, além disso com maior participação de docentes com idade até 50 anos.
Em alguns centros as mulheres apresentam maior produção do que os homens, r esultando
diferenças estatísticas por gênero e área do conhecimento.
59
CAPÍTULO 6
Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros
O objetivo geral deste trabalho foi o de criar um índice de produção científica dos
docentes da UFPE independente da área e em seguida modelar este índice. Considerando
que os professores encontram-se agrupados nos centros acadêmicos, distintos principal-
mente pelas suas respectivas áreas do conhecimento foi utilizado para modelar o índice
de produção científica o MLGH com dois níveis em que o 1
◦
nível é o nível do professor
e o 2
◦
nível é o do centro. Na mo delagem a distribuição utilizada foi a Poisson, uma vez
que os valores do índice são dados de contagem com um comp or tamento semelhante do
da distribuição Poisson.
Na análise do índice de produção científica percebemos que o centro acadêmico com a
maior média por docente é o CIN com o CCEN com a segunda maior média.
O modelo ajustado através do MLGH revelou que as variáveis significativas do nível 1
foram: o temp o de serviço que influencia positivamente no aumento da produção cientí-
fica; a idade que de acordo com os resultados de Cole(1987) identifica que a produtividade
cresce lentamente nas primeiras décadas de vida, alcançando seu pico na idade inter-
mediária e decresce lentamente nas últimas décadas; a variável gênero que nos mostra
que o índice de produção científica das mulheres é em média maior do que o dos homens.
60
Isso se dá devido ao fato de que em alguns centros acadêmicos(CAC, CCB, CE e CTG)
a média dos índices de produção científica das mulheres é maior do que a dos homens.
Entre as variáveis do nível 2 a variável Bolsista mostrou uma forte relação com a
produtividade, ou seja, como era de se esperar quanto maior a porcentagem de bolsistas
de produtividade do CNPq no centro maior é o índice de produção docente. A iteração
entre as variáveis gênero e área é interessante, pois quando consideramos o caso em que
o docente é do sexo masculino e pertence a área 4(CAC, CE) temos um decréscimo no
índice de produção, pois nesta área a média do índice de produção científica das mulheres
é maior que o dos homens, como já referido.
Como sugestões para trabalhos futuros indicamos:
• acrescentar mais indicadores bibliométricos na construção do índice e adicionar vari-
áveis no modelo de forma a melhor explicar o índice. Uma variável interessante a
ser adicionada no modelo seria o tempo em que o docente terminou o doutorado;
• na modelagem através de análise de diagnóstico testar as suposições do modelo, bem
como identificar pontos influentes;
• verificar a adequação de outras distribuições para esse conjunto de dados.
61
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[38] Zorn, C. J. W. GEE Models of Judicial Behavior. Atlanta, 1998. Trabalho não pub-
licado.
65
Apêndice
Programas Utilizados
*****Modelo*****
bd<-read.table("F:/dissertação/dados2/ava4.dat",header=T)
mod1<- glmer(Indice ~ Bolsista + area + genero + cod_idade +
T_serv + genero*area +(1 | n_centro), family=poisson, data=bd)
*****Histograma*****
bd<-read.table("F:/dissertação/dados2/ava4.dat",header=T)
hist(bd\$Indice, breaks=40, main="Histograma - Índice de Produção", xlab="Índice",
ylab="Frequências Absolutas", col="blue")
66
Livros Grátis
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