( PDF ) Análise de perfis enrijecidos em hastes de paredes delgadas de aços formados a frio

VANCLER RIBEIRO ALVES

ANÁLISE DE PERFIS ENRIJECIDOS EM HASTES DE PAREDES DELGADAS DE

AÇOS FORMADOS A FRIO

Tese apresentada ao Programa de Pós -

Graduação em Engenharia Civil da

Universidade Federal Fluminense, como

requisito parcial para obtenção do Grau de

Doutor em Engenharia Civil. Área de

Concentração: Engenharia Civil.

Orientador: Prof. LUIZ CARLOS MENDES, D.Sc.

Niterói

2008

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Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

A474 Alves, Vancler Ribeiro.

Análise de perfis enrijecidos em hastes de paredes delgadas de

aços formados a frio / Vancler Ribeiro Alves. – Niterói, RJ : [s.n.],

2008.

343 f.

Orientador: Luiz Carlos Mendes.

Tese (Doutorado em Engenharia Civil) - Universidade Federal

Fluminense, 2008.

1. Aço. 2. Perfil formado a frio. 3. Estrutura metálica. 4.

Flambagem distorcional. 5. Método das faixas finitas. 6. Método da

resistência direta. I. Título.

CDD 624.1821

AGRADECIMENTOS

A Deus, causa essencial de tudo o que existe e tudo o que acontece.

Aos meus pais, Vancler e Liene, que sempre me orientaram no caminho sólido da vida.

Ao meu irmão Erick, companheiro inseparável de todas as horas.

Ao meu orientador, professor Luiz Carlos Mendes, pela sua valiosa orientação e eterna

amizade.

A todos os colegas, professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação de Engenharia

Civil da Universidade Federal Fluminense.

RESUMO

Os aços de alta resistência tornaram mais esbeltas as seções transversais dos elementos

estruturais, proporcionando maior complexidade nos projetos de construção civil. Para a

perfeita observação da estabilidade estrutural, consideram-se os fenômenos de flambagem

local e global, com a identificação dos modos da flambagem distorcional nos perfis delgados

formados por aço a frio. O principal objetivo da pesquisa é o estudo do comportamento

estrutural dos perfis de hastes de paredes delgadas com o auxílio do método da resistência

direta, da análise dos enrijecedores e da programação do método das faixas finitas e

computação algébrica simbólica. O trabalho faz a análise dos modos de flambagens global,

local, lateral e distorcional com a verificação numérica e gráfica das tensões, dos momentos

críticos, dos comprimentos de meia onda e fatores de amplificação de carregamentos para os

elementos estruturais constituídos por perfis de aço formados a frio enrijecidos.

Palavras-chave: Aços formados a frio, Método da Resistência Direta, Método das Faixas

Finitas.

ABSTRACT

The development of high resistance steel has turned very slender the cross-sections of

structures, causing difficulties in engineering projects. Cold-formed steel members have

several applications in civil constructions, and are subjected to different kinds of loads. To

observe the structural stability, must be considered local and overall buckling, identifying the

distortional buckling mode, in thin walled opened cross-sections. This research is proposed to

evaluate the buckling modes and interactions between them, in members under strains of

compression and bending. The numerical and graphical analyses are concluded, taking use of

the mathematical programming, finite strip method program and comparing results obtained

by different codes.

Key-words: Cold formed steel, Finite Strip Methods, Thin Walled Members.

SUMÁRIO

AGRADECIMENTOS..............................................................................................................3

RESUMO...................................................................................................................................4

ABSTRACT...............................................................................................................................5

SUMÁRIO.................................................................................................................................6

LISTA DE TABELAS............................................................................................................10

LISTA DE FIGURAS.............................................................................................................11

LISTA DE SÍMBOLOS..........................................................................................................14

1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 17

1.1 GENERALIDADES..................................................................................................... 17

1.2 PERFIS DELGADOS FORMADOS POR AÇO A FRIO........................................... 19

1.3 ESTUDOS RELATIVOS AO TEMA ........................................................................ 22

1.4 ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO ....................................................................... 30

1.5 JUSTIFICATIVA......................................................................................................... 32

1.6 OBJETIVO .................................................................................................................. 34

1.7 METODOLOGIA E EQUIPAMENTOS NECESSÁRIOS......................................... 35

2 FLAMBAGEM GLOBAL EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES

DELGADAS................................................................................................................ 36

2.1 INTRODUÇÃO............................................................................................................ 36

2.2 TORÇÃO PURA EM PERFIS DE HASTES DELGADAS COM SEÇÕES

TRANSVERSAIS ABERTAS......................................................................................37

2.3 TORÇÃO NÃO UNIFORME EM PERFIS DE HASTES DELGADAS COM

SEÇÕES TRANSVERSAIS ABERTAS..................................................................... 41

2.4 FLAMBAGEM TORCIONAL EM PERFIS DELGADOS......................................... 45

2.4.1 Condições de contorno das seções transversais....................................................... 48

2.5 FLAMBAGEM POR FLEXO-TORÇÃO DE PERFIS ESBELTOS........................... 51

2.5.1 Condições de contorno das seções transversais....................................................... 55

2.6 CONSIDERAÇÕES DA FLAMBAGEM TORCIONAL EM PERFIS

DELGADOS.................................................................................................................59

3 FLAMBAGEM LOCAL EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES DELGADAS

...................................................................................................................................... 61

3.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................... 61

3.2 MÉTODOS DE ANÁLISE DO MODO DE FLAMBAGEM LOCAL....................... 62

3.2.1 Equações de equilíbrio................................................................................................64

3.2.2 Método da energia.......................................................................................................69

3.2.3 Solução aproximada................................................................................................... 69

3.3 FLAMBAGEM LOCAL EM PERFIS DE PAREDES DELGADAS COM MESAS

ENRIJECIDAS..............................................................................................................72

3.4 MÁXIMA TENSÃO DE FLAMBAGEM....................................................................74

3.5 CONSIDERAÇÕES DA FLAMBAGEM LOCAL EM PERFIS DELGADOS..........76

3.6 INTERAÇÃO ENTRE OS MODOS DE FLAMBAGEM LOCAL E GLOBAL

...................................................................................................................................................76

3.6.1 Tensões máximas de flambagem local ......................................................................77

3.6.2 Tensões da flambagem global ...................................................................................78

3.6.3 Zona de interação dos modos global e local de flambagem.....................................78

4 FLAMBAGEM LATERAL EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES

DELGADAS.................................................................................................................80

4.1 INTRODUÇÃO.............................................................................................................80

4.2 FLAMBAGEM ELÁSTICA EM PERFIS SIMÉTRICOS DE HASTES DE PAREDES

DELGADAS.................................................................................................................85

4.2.1 Análise em vigas formadas por perfis do tipo I simplesmente apoiadas................85

4.2.2 Análise em vigas formadas por perfis do tipo U simplesmente apoiadas..............89

4.3 CONSIDERAÇÕES DAS CONDIÇÕES DO CARREGAMENTO NA

FLAMBAGEM ELÁSTICA DE VIGAS......................................................................90

4.3.1 Momento crítico para carregamento transversal por carga concentrada aplicada

no centro de cisalhamento de vigas simplesmente apoiadas formadas por perfis

do tipo U.......................................................................................................................91

4.3.2 Momento crítico para carregamento transversal por carga distribuída aplicada

no centro de cisalhamento de vigas simplesmente apoiadas formadas por perfis

do tipo U.......................................................................................................................93

4.3.3 Momento crítico para carregamento transversal por carga concentrada aplicada

no bordo livre de vigas em balanço formadas por perfis do tipo U

.......................................................................................................................................93

4.3.4 Momento crítico para carregamento transversal por carga uniformemente

distribuída aplicada no centro de cisalhamento de vigas balanço formadas por

perfis do tipo U............................................................................................................94

4.3.5 Momento crítico para carregamento transversal aplicado em regiões superiores

ou inferiores ao centro de cisalhamento dos perfis transversais de vigas

.......................................................................................................................................95

4.4 AVALIAÇÃO DE CARGAS EXCÊNTRICAS NO MOMENTO CRÍTICO DE

PERFIS DELGADOS...................................................................................................97

4.5 FLAMBAGEM ELÁSTICA EM PERFIS ASSIMÉTRICOS DE HASTES DE

PAREDES DELGADAS...............................................................................................98

4.6 FLAMBAGEM INELÁSTICA EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES

DELGADAS...............................................................................................................101

5 ANÁLISE DA TENSÃO CRÍTICA PARA FLAMBAGEM LOCAL E

MOMENTO CRÍTICO PARA FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS

.....................................................................................................................................102

5.1 ANÁLISE DA TENSÃO CRÍTICA PARA A FLAMBAGEM LOCAL DAS

PLACAS COMPONENTES DOS PERFIS TIPO U..................................................108

5.2 ANÁLISE DO MOMENTO CRÍTICO PARA A FLAMBAGEM LATERAL DE

VIGAS.........................................................................................................................109

6 CONTRIBUIÇÃO DOS ENRIJECEDORES NOS PERFIS DE AÇO

FORMADOS A FRIO...............................................................................................112

6.1 ANÁLISE DA LARGURA EFETIVA.......................................................................112

6.2 PERFIS DE AÇO FORMADOS A FRIO ENRIJECIDOS SUJEITOS A ESFORÇOS

DE COMPRESSÃO....................................................................................................116

6.3 ENRIJECEDORES DE BORDA E INTERMEDIÁRIO............................................117

6.3.1 Utilização dos enrijecedores de borda nos perfis de aço formados a

frio...............................................................................................................................118

6.3.1.1 Momento de inércia para os enrijecedores de borda...................................................119

6.3.2 Utilização dos enrijecedores intermediários nos perfis de aço formados a

frio...............................................................................................................................120

6.3.2.1 Momento de inércia para os enrijecedores de intermediários.....................................120

6.3.3 Largura efetiva para perfis com enrijecedor de borda.........................................122

6.3.4 Largura efetiva para perfis com enrijecedor intermediário.................................124

6.4 ANÁLISE DOS ENRIJECEDORES DE BORDA PARA OS PERFIS DO TIPO

Z...................................................................................................................................125

7 O MÉTODO DA RESISTÊNCIA DIRETA...........................................................134

7.1 O MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS.......................................................................136

7.2 CURVAS DE INSTABILIDADE PARA O MÉTODO DA RESISTÊNCIA

DIRETA......................................................................................................................139

7.2.1 Análise da instabilidade local...................................................................................139

7.2.2 Análise da instabilidade distorcional.......................................................................140

7.2.3 Análise da instabilidade global...................................................................................143

7.2.4 Análise da interação entre os modos de instabilidade...........................................145

7.3 O MÉTODO DA RESISTÊNCIA DIRETA NOS PRINCIPAIS NORMATIVOS...146

7.3.1 Norma australiana e neozelandesa (Australian & New Zealand Standard –

AS/NZS 4600/1996)...................................................................................................147

7.3.2 Associação brasileira de normas técnicas (ABNT) – NBR 14762

Dimensionamento de Estruturas de Aço Constituídas por Perfis Formados a Frio

- Procedimento (2001)...............................................................................................147

7.3.3 Norma norte americana (American Iron and Steel Institute – AISI, 2004……..147

7.3.4 Norma européia ( Eurocode 3: Design of Steel Structures Part 1.3: General Rules

– Supplementary Rules for Cold Formed Thin Gauge Members and Sheeting,

2003 )………………………………………………………………………………...148

7.4 PROGRAMA COMPUTACIONAL DO MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS –

CUFSM.......................................................................................................................148

7.5 ANÁLISE DOS PERFIS U E Z ENRIJECIDOS........................................................150

7.5.1 Análise dos perfis U enrijecidos...............................................................................154

7.5.2 Análise dos perfis Z enrijecidos...............................................................................160

8 CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................................167

9 OBRAS CITADAS ..................................................................................................169

10 OBRAS CONSULTADAS ......................................................................................178

11 ANEXO 1 ANÁLISE DAS TENSÕES E MOMENTOS CRÍTICOS DA

FLAMBAGEM LATERAL NOS PERFIS TIPO

U..................................................................................................................................180

12 ANEXO 2 ANÁLISE DOS ENRIJECEDORES DE BORDA.............................241

13 ANEXO 3 ANÁLISE DA FLAMBAGEM LOCAL, DISTORCIONAL E

GLOBAL DOS PERFIS U ENRIJECIDOS...........................................................265

14 ANEXO 4 ANÁLISE DA FLAMBAGEM LOCAL, DISTORCIONAL E

GLOBAL DOS PERFIS Z ENRIJECIDOS...........................................................301

LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1 Grupo 1 de perfis analisados ......................................................................... 103

Tabela 5.2 Grupo 2 de perfis analisados ......................................................................... 103

Tabela 5.3 Grupo 3 de perfis analisados ......................................................................... 104

Tabela 5.4 Grupo 4 de perfis analisados ......................................................................... 104

Tabela 5.5 Grupo 5 de perfis analisados ......................................................................... 104

Tabela 5.6 Grupo 6 de perfis analisados ......................................................................... 105

Tabela 5.7 Grupo 7 de perfis analisados ......................................................................... 105

Tabela 5.8 Grupo 8 de perfis analisados ......................................................................... 105

Tabela 5.9 Grupo 9 de perfis analisados ......................................................................... 106

Tabela 5.10 Grupo 10 de perfis analisados ....................................................................... 106

Tabela 5.11 Grupo 11 de perfis analisados ....................................................................... 106

Tabela 5.12 Grupo 12 de perfis analisados ....................................................................... 107

Tabela 5.13 Grupo 13 de perfis analisados ....................................................................... 107

Tabela 5.14 Grupo 14 de perfis analisados ....................................................................... 107

Tabela 6.1 Grupos dos perfis Z

e

sob análise de comportamento dos enrijecedores..........126

Tabela 7.1 Perfis dos tipos U e Z enrijecidos empregados na análise...............................151

Tabela 7.2 Comprimentos de semi-onda e fatores de carga crítica dos modos de

flambagem local, distorcional e global para os perfis U

e

analisados......................................152

Tabela 7.3 Comprimentos de semi-onda e fatores de carga crítica dos modos de

flambagem local, distorcional e global para os perfis Z

e

analisados......................................153

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 Flambagem global por flexo-torção, local de placas e modo distorcional de

uma estrutura constituída por hastes de paredes delgadas ................................................. 19

Figura 1.2 Modos de flambagem global, local e distorcional para perfis do tipo U … 21

Figura 2.1 Modos de flambagem global para seções do tipo U enrijecida .................. 37

Figura 2.2 Empenamento dos bordos livres da estrutura ............................................. 38

Figura 2.3 Posição do centro de cisalhamento para seções do tipo U ......................... 39

Figura 2.4 Posições do centro de cisalhamento em relação ao centróide das seções ... 40

Figura 2.5 Estrutura sob esforços de torção na extremidade livre ............................... 42

Figura 2.6 Elemento infinitesimal de uma seção aberta .............................................. 43

Figura 2.7 Seção de hastes delgadas sob esforços de compressão .............................. 45

Figura 2.8 Torção e flexão da seção delgada aberta ................................................... 52

Figura 3.1 Deformações em curvas ondulatórias das placas componentes da seção ... 62

Figura 3.2 Modos de flambagem local para seções do tipo U enrijecidas ................... 63

Figura 3.3 Análise da seção transversal delgada ......................................................... 63

Figura 3.4 Coeficientes mínimos da flambagem local para seções do tipo U ............. 68

Figura 3.5 Valores de

(

)

mín

1

K para seções do tipo U, com variação de espessura .... 71

Figura 3.6 Valores de

(

)

mín

1

K para seções do tipo I, com variação de espessura ...... 71

Figura 3.7 Seções transversais do tipo U enrijecidas .................................................... 72

Figura 3.8 Solução aproximada para seções transversais enrijecidas do tipo U ........... 73

Figura 3.9 Modos de flambagem distorcional das seções do tipo U enrijecidas ........... 77

Figura 3.10 Zona de interação da flambagem global e local para perfis delgados ......... 79

Figura 4.1 Viga retangular estreita sob carregamentos no centro de cisalhamento ....... 81

Figura 4.2 Deformações provocadas pelos esforços em uma seção genérica da viga ... 81

12

Figura 4.3 Representação dos esforços solicitantes na seção em análise ...................... 82

Figura 4.4 Flambagem lateral em uma viga composta por perfis simétricos do tipo I ... 86

Figura 4.5 Flambagem lateral em perfis do tipo U simplesmente apoiados, com carga

aplicada no plano da alma da seção ........................................................................................90

Figura 4.6 Carga aplicada no centro de cisalhamento de uma seção transversal do tipo U

................................................................................................................................................91

Figura 4.7 Carga transversal aplicada no bordo livre da viga em balanço ..................... 94

Figura 4.8 Carregamento aplicado acima do centro de cisalhamento da seção tipo U ... 95

Figura 4.9 Relação observada entre a carga aplicada e a deflexão lateral da seção ....... 98

Figura 4.10 Representação do perfil do tipo I assimétrico constituinte da viga ............... 99

Figura 5.1 Perfil U simples .............................................................................................102

Figura 5.2 Flambagem lateral das placas componentes da seção U ............................... 103

Figura 5.3 Avaliação das tensões críticas para a flambagem local dos grupos de perfis U

................................................................................................................................................ 108

Figura 5.4 Carga aplicada no centro de cisalhamento da seção tipo U ........................... 109

Figura 5.5 Avaliação dos momentos críticos para a flambagem lateral dos grupos de perfis

U ............................................................................................................................................ 110

Figura 6.1 Distribuição das tensões para os elementos enrijecidos sob esforços de

compressão..............................................................................................................................113

Figura 6.2 Largura efetiva para o elemento enrijecido sob esforços de compressão.......114

Figura 6.3 Enrijecedores de borda e intermediário nos perfis tipo U...............................117

Figura 6.4 Elemento efetivo do enrijecedor......................................................................124

Figura 6.5 Comparação do momento de inércia adequado para os enrijecedores do 1°

grupo de perfis tipo Z sob tensões dos aços COS-CIVIL 300 e 350......................................127

Figura 6.6 Momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda dos perfis do

grupo 2 do aço COS – CIVIL 350..........................................................................................128

Figura 6.7 Momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda dos perfis do

grupo 2 do aço COS – CIVIL 300..........................................................................................129

Figura 6.8 Momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda dos perfis do

grupo 3 do aço COS – CIVIL 350..........................................................................................130

Figura 6.9 Comparação do momento de inércia adequado para os enrijecedores do 4°

grupo de perfis tipo Z sob tensões dos aços COS-CIVIL 300 e 350.....................................131

Figura 6.10 Comparação do momento de inércia adequado para os enrijecedores dos grupos

de perfis tipo Z sob tensões dos aços COS-CIVIL 300.........................................................132

13

Figura 6.11 Comparação do momento de inércia adequado para os enrijecedores dos grupos

de perfis tipo Z sob tensões do aço COS-CIVIL 350.............................................................133

Figura 7.1 Curva para análise da instabilidade pelo método das faixas finitas................135

Figura 7.2 Perfil de aço formado a frio parcialmente discretizado para o MFF...............137

Figura 7.3 Deslocamentos dos elementos do perfil discretizado para o MFF..................137

Figura 7.4 Elemento de placa para o método das faixas finitas........................................138

Figura 7.5 Curvas para a instabilidade distorcional..........................................................143

Figura 7.6 Curvas do MRD sem consideração da interação entre os modos de

instabilidade............................................................................................................................144

Figura 7.7 Representação do fator de carga da tensão x comprimento de meia onda com

identificação dos modos de flambagem .................................................................................149

Figura 7.8 Comprimentos de meia onda para a flambagem local dos perfis U

e

..............155

Figura 7.9 Fatores de carga da flambagem local para os perfis U

e

analisados.................155

Figura 7.10 Comprimento de meia onda para a flambagem distorcional dos perfis U

e

....157

Figura 7.11 Fatores de carga da flambagem distorcional para os perfis U

e

analisados......157

Figura 7.12 Comprimento de meia onda para a flambagem global dos perfis U

e

.............159

Figura 7.13 Fatores de carga da flambagem global para os perfis U

e

analisados ..............159

Figura 7.14 Comprimento de meia onda para a flambagem local dos perfis Z

e

.................161

Figura 7.15 Fatores de carga da flambagem local para os perfis Z

e

analisados..................162

Figura 7.16 Comprimento de meia onda para a flambagem distorcional dos perfis Z

e

.....163

Figura 7.17 Fatores de carga da flambagem distorcional para os perfis Z

e

analisados......164

Figura 7.18 Comprimento de meia onda para a flambagem global dos perfis Z

e

..............165

Figura 7.19 Fatores de carga da flambagem global para os perfis Z

e

analisados...............166

LISTA DE SÍMBOLOS

Letras romanas maiúsculas

A área da seção transversal

ef

A área efetiva do elemento enrijecido

ef

'

A

área efetiva em caso de enrijecimento parcial

B largura da mesa de uma seção tipo I

C

w

constante de empenamento

D espessura de uma seção tipo I

E módulo de elasticidade longitudinal do aço

F força admitida ou permissível; função de tensão para a fibra média da chapa

G módulo de elasticidade transversal do aço; módulo de rigidez

I momento de inércia

I

a

momento de inércia adequado do enrijecedor

I

mín

momento de inércia mínima para cada enrijecedor

st

I momento de inércia do enrijecedor

I

x

, I

y

momentos de inércia da seção transversal duplamente simétrica em relação aos eixos

principais x e y, com

yx

II ≥

I

0

momento polar de inércia em relação ao eixo longitudinal ao centróide da seção

I

ω

momento setorial de inércia

J constante de torção

K coeficiente de flambagem

L comprimento em geral

M momento fletor interno

M

x

, M

y

momentos fletores em relação aos eixos x e y

M

cr

momento crítico de flambagem

15

crL

M momento crítico da instabilidade elástica local

crD

M momento crítico da instabilidade elástica distorcional

cre

M momento crítico para a instabilidade elástica global

nL

M

momento nominal para a instabilidade local

nD

M

momento nominal para a instabilidade distorcional

M

ne

momento de interação entre o modo distorcional e global

s

M momento estático

y

M

momento de escoamento do aço

N esforço normal à seção transversal do perfil

N

x

, N

y

forças de extremidades em relação aos eixos x e y

P carga concentrada aplicada no perfil

P

cr

carga crítica de flambagem

Q carregamento transversal concentrado; força de cisalhamento

Q

x

, Q

y

forças cisalhantes em relação aos eixos x e y

T trabalho realizado por forças de extremidades; momento de rotação

U energia de tensões do sistema

V energia potencial total do sistema

Letras romanas minúsculas

a dimensão linear de comprimento

b menor dimensão da seção transversal entre a base e a altura; largura geral

b

0

largura total da chapa enrijecida

b

ef

largura efetiva para o elemento enrijecido sob esforços de compressão

b

f

largura da mesa

ef

'

b

largura efetiva em caso de enrijecimento parcial

d altura do perfil

e excentricidade do carregamento

f força aplicada no sistema

f

cr

força crítica de flambagem

h altura útil do perfil; distância entre os centróides das mesas de um perfil

k coeficiente de flambagem do perfil

l comprimento efetivo

16

m número de ondas de deformações na direção do eixo x

n número de ondas de deformações na direção do eixo y

q intensidade do carregamento transversal distribuído

q

x

, q

y

carregamentos uniformemente distribuídos nas direções x e y

r raio de giração

r

x

, r

y

raio de giração em relação aos eixos x e y

t espessura do perfil em geral

t

f

espessura da mesa do perfil

t

w

espessura da alma do perfil

u vetor de deslocamentos

u, v, w componentes de deslocamentos ao longo dos eixos x, y, z

w deslocamento lateral do perfil, deflexão da placa normal à superfície

x, y, z sistema cartesiano de coordenadas

Letras gregas minúsculas

α ângulo de inclinação de um trecho da seção transversal

δ deslocamento linear ou deflexão da seção

γ

xy

deformação devida a tensão de cisalhamento

ε deformação, amplitude das imperfeições iniciais

ε

x

, ε

y

componentes de deformação nas direções x e y

ε

y

deformação para o escoamento do aço

θ deslocamento angular

λ índice de esbeltez do perfil

λ

L

índice de esbeltez local

λ

D

índice de esbeltez distorcional

ν coeficiente de Poisson

σ

x

, σ

y

componentes de tensão

σ

t

tensão crítica para o módulo tangente

σ

y

tensão de escoamento do aço

σ

cr

tensão crítica de flambagem

τ

xy

tensão cisalhante

φ deslocamento angular, modo de deformação

1 INTRODUÇÃO

As pesquisas antecedentes revelam uma tendência contínua no uso de estruturas de

execução rápida e de pouca espessura. Em grande parte, esta tendência é favorecida pelo

aumento dos materiais de alta resistência disponíveis, e pelas pressões de origem técnica e

econômica para a redução do peso das estruturas. As estruturas de aço propiciam uma redução

imediata dos custos, pelas economias diretas possíveis na fabricação, montagem e vida útil.

A construção de edificações e pontes, com estruturas de hastes de paredes delgadas,

conduz a redução de parte dos dispositivos mecânicos necessários e da quantidade de cimento

requisitada. Nos edifícios altos de dimensões externas fixas, por considerações arquitetônicas,

o ganho da superfície útil no emprego das estruturas de aço, pode reforçar a viabilidade

econômica do edifício. A redução do peso estrutural, quando permitida pelas cargas laterais,

promove alguma diminuição no tamanho dos elementos estruturais. Na construção de pontes,

o emprego dos componentes de aço possibilita uma maior redução no custo dos sistemas de

cabos e pilares.

1.1 GENERALIDADES

O constante aumento, na construção civil em geral, da utilização dos perfis de aço

formados a frio, constituídos por hastes de paredes delgadas e seção aberta, é justificado pelo

fato destas estruturas serem muito leves quando comparadas com os perfis de aço soldados ou

laminados a quente e com as estruturas de concreto armado. Os perfis de aço formados a frio

18

apresentam grande variedade de tipos de seção, com elevadas relações resistência/peso, sendo

favoráveis do ponto de vista econômico para as construções.

Existem fatores que não compensam o emprego de estruturas excessivamente

delgadas, e que necessitam de capacitação especial para o projeto, sendo complicados para a

fabricação, sensíveis aos danos físicos, ao fogo e à corrosão, em casos mais raros. No entanto,

as considerações econômicas e técnicas na tendência do uso de estruturas de pouco peso,

delgadas e de alta resistência, progridem contínua e significativamente.

O projeto de estruturas constituídas por perfis de hastes de paredes delgadas formados

por aço a frio, sob tensões de compressão, é determinado pelo critério da estabilidade, pois

estas estruturas apresentam taxa de perda da estabilidade de tensão em um nível bem menor

que a tensão de escoamento. Se a estrutura está carregada de maneira que a maioria da energia

de tensão está na forma de compressão da membrana do perfil, e se a energia armazenada na

membrana for capaz de se transformar em energia de momento, observa-se o fenômeno da

flambagem.

Grandes deformações são geralmente requisitadas para a conversão de uma

determinada quantidade de energia de membrana em energia de momento. Indica-se para a

estrutura, uma posição inicial de equilíbrio, representado pelo estado de pré-flambagem,

buscando uma posição posterior de equilíbrio, denominado estado de flambagem.

As equações clássicas de flambagem, disponíveis nas principais normalizações

adotadas, estão baseadas na concepção da transformação da energia de membrana em energia

de momento. As condições ideais não são observadas nas estruturas reais e os valores obtidos

pelas equações clássicas são muito conservadores, sugerindo os estudos de análise estrutural

fundamentados em problemas de flambagem, obtidos por testes experimentais.

O uso dos perfis de aço dobrados a frio resulta em dificuldades no projeto, distinta das

conhecidas para os perfis soldados ou laminados, sendo fundamental a utilização de critérios

de dimensionamento que considerem os diferentes modos de flambagem e a interação entre os

modos de flambagem. A flambagem local refere-se à flambagem de placas associadas, a

flambagem global refere-se aos modos de barra, como os modos de flambagem por flexão,

19

torção ou flexo-torção. A flambagem distorcional diz respeito à distorção da seção

transversal. Os três modos são mostrados na Figura 1.1.

Figura 1.1 Flambagem global por flexo-torção, local de placas e modo distorcional de

uma estrutura constituída por hastes de paredes delgadas.

As colunas de chapa de aço dobrada a frio são usualmente muito esbeltas, estando

sujeitas a diferentes modos de instabilidade (local, distorcional e global), e ao estado de

colapso. As especificações englobando os modos de flambagem não são sempre encontrados

nas normalizações convencionais de projetos estruturais.

1.2 PERFIS DELGADOS FORMADOS POR AÇO A FRIO

As peças estruturais compostas por aços de alta resistência, tiveram as seções cada vez

mais finas e reduzidas, conduzindo a problemas de projetos mais complexos. No campo da

estabilidade estrutural, deve-se considerar os fenômenos da flambagem local e global, com a

identificação dos modos de flambagem distorcional. Os perfis de aço formados por chapas

dobradas a frio, e seção aberta, possuem seções transversais com geometrias bem variadas,

geralmente com paredes muito finas e relação largura/espessura elevada, proporcionando a

observação dos fenômenos de instabilidade, ocasionados pela flambagem local, distorcional e

global, além da interação entre os modos de flambagem.

20

Na prática, as colunas de paredes delgadas formadas por aço a frio são produzidas com

o uso de enrijecedores, para o auxílio na resistência da flambagem local até determinada

proporção. A adoção dos perfis formados por chapas dobradas a frio com paredes esbeltas e

finas, propicia baixa rigidez à torção, agravando as deformações de torção das barras e

precipitando os modos de flambagem associados à torção.

As seções transversais formadas por chapas de aço dobradas a frio, com perfis do tipo

U enrijecido e do tipo Z, são muito utilizadas em telhados, coberturas e paredes de instalações

industriais e comerciais. Os perfis U enrijecido e Z, também, são usados como membros

estruturais de treliças planas e espaciais.

Os perfis do tipo rack, formados por perfis do tipo U com enrijecedores adicionais, são

utilizados em estruturas de estocagem industrial. As seções do tipo Z são usadas em estruturas

de telhados leves, possuindo, também, outras aplicações, como em estruturas de torres de

iluminação. Os perfis de seção do tipo U e Z são muito utilizados como elementos estruturais

do tipo viga em sistemas de cobertura, sendo altamente susceptíveis aos fenômenos de

instabilidade, devido às flambagens local, distorcional e global. Nestes perfis, os estados de

tensões abrangem valores adicionais devido à torção não uniforme, originada das cargas

aplicadas não alinhadas com o centro de cisalhamento. O fenômeno da torção não uniforme

requer análise detalhada da torção nos perfis formados por chapas dobradas a frio.

As forças transversais e longitudinais, não alinhadas com o centro de cisalhamento dos

perfis de aço formados a frio, originam esforços de torção em elementos estruturais do tipo

viga e do tipo viga-coluna. Esta verificação é muito observada em situações reais de

dimensionamento estrutural, onde além das excentricidades acidentais, os perfis de aço

formados a frio com paredes delgadas e seção aberta, dificultam a aplicação das forças

alinhadas com o centro de cisalhamento.

Os perfis de chapas de aço formadas a frio, de seções abertas, delgadas e

monossimétrica são conduzidos à perda de estabilidade pela interação de dois ou mais modos

de instabilidade, como a flambagem local de cada componente da placa e a flambagem global.

No caso do modo de flambagem distorcional, cada componente da placa sofre distorção com

deslocamento lateral. A ocorrência da flambagem distorcional depende da geometria da seção

e do comprimento da coluna.

21

Figura 1.2 Modos de flambagem global, local e distorcional para perfis do tipo U.

Pesquisadores têm investigado os modos de flambagem, observados nos mais comuns

tipos de seções formadas por aço a frio, utilizadas nos projetos estruturais. DAVIES & JIANG

(1998) usaram a formulação da Teoria Generalizada de Vigas, para a avaliação dos modos de

flambagem individualmente separados ou em combinações selecionadas. O trabalho realizado

por HANCOCK (1985) apresentou um estudo detalhado da taxa de variação dos modos de

flambagem local, de distorção e de flexo-torção em seções transversais do tipo U.

As análises feitas por LAU & HANCOCK (1987) promoveram expressões analíticas

que permitem que a tensão de flambagem distorcional seja calculada explicitamente para

colunas com seção transversal delgada de perfis do tipo U. O estudo desenvolvido por LAU &

HANCOCK (1990) propôs curvas para o projeto de seções, onde a tensão de flambagem

distorcional é aproximadamente igual à tensão de escoamento.

O trabalho realizado por KWON & HANCOCK (1992) estudou perfis de seção U

simples e com enrijecedores intermediários, em condições de apoios fixos. A escolha da seção

geométrica e da tensão de escoamento do aço ocorreu de forma a garantir uma reserva

substancial da tensão pós-crítica de flambagem, para o teste da seção na análise do modo de

flambagem distorcional.

22

As observações dos efeitos de flambagem, por compressão axial, das estruturas de

paredes delgadas constituídas por perfis formados por aço a frio, na região elástica,

evidenciam grande dispersão entre as cargas de flambagem experimentais aplicadas nos

modelos, relevantes variações entre os valores experimentais e clássicos, e aumento da

discrepância com a elevação da relação altura/espessura da alma do perfil. As explicações

destes fatos são devidas à presença de imperfeições geométricas iniciais, à não linearidade do

material, à excentricidade do carregamento e à influência dos tipos de apoio nas extremidades.

O objetivo dos estudos é a determinação de um procedimento que forneça as cargas de

flambagem com o auxílio do método dos elementos finitos e de formulações empíricas, para a

verificação das cargas de flambagem obtidas experimentalmente. As análises, utilizando-se

dos métodos dos elementos finitos, representam uma ferramenta muito usada, principalmente

para a verificação dos testes experimentais realizados nas seções transversais formadas por

chapas de aço dobradas a frio. As colunas de aço com seções de paredes delgadas e

perfurações ao longo do comprimento apresentam comportamento complicado, quando

submetidas a carregamentos axiais.

1.3 ESTUDOS RELATIVOS AO TEMA

As pesquisas, para o comportamento de colunas constituídas por perfis de aço

formados a frio, iniciaram-se na década de quarenta, com estudos baseados na Universidade

de Cornell (Estados Unidos), onde foram realizados os testes experimentais iniciais de

propriedades das seções dos perfis por WINTER (1940), WINTER (1943) e WINTER (1949).

O trabalho realizado por LUNDQUIST & STOWELL (1943) foi baseado nas propostas

iniciais de TIMOSHENKO & GERE (1936), e forneceu a solução da flambagem elástica em

placas, proporcionando métodos práticos para o cálculo da estabilidade de placas associadas.

A solução da análise pós-crítica para tensões últimas, baseada no método das larguras

efetivas, foi inicialmente apresentada por VON KÁRMÁN, SECHLER & DONNELL (1932),

e as correções experimentais do método foram realizadas por WINTER (1947).

23

Na década de cinqüenta, as obras de CHILVER (1951), CHILVER (1953) e HARVEY

(1953) definiram o comportamento teórico e experimental de colunas constituídas por hastes

de paredes delgadas, com o auxílio de estudos realizados no Reino Unido. Atualmente, as

modernas pesquisas do comportamento de colunas de aço formadas a frio, ainda têm como

referência os estudos iniciais de Chilver, que foram fundamentados nas soluções da

estabilidade elástica para a flambagem local de placas e no método das larguras efetivas para

tensões últimas.

Na década de sessenta, as pesquisas em colunas de perfis de aço formados a frio,

inicialmente não consideraram a flambagem distorcional, focando-se nas propriedades do

material KARREN (1965), KARREN & WINTER (1967) e URIBE & WINTER (1969), e no

comportamento de colunas longas CHAJES, FANG & WINTER (1966) e PEKÖZ (1969). Na

mesma época, pesquisadores no Canadá investigaram a otimização da geometria de colunas,

constituídas por perfis de aço formados a frio, e o emprego do uso de enrijecedores de bordas

DIVAKARAN (1964), na Universidade de McMaster, e VENKATARAMAIAH (1971), na

Universidade de Waterloo, respectivamente.

Estudos experimentais, englobando colunas de alumínio formadas por perfis do tipo

U, foram realizados por DWIGHT (1963), que posteriormente proporcionou a verificação do

tratamento teórico da flambagem distorcional, de acordo com simplificações da restrição

rotacional na junção alma-mesa, obtida no trabalho de SHARP (1966).

O método da placa dobrada foi desenvolvido pelas pesquisas verificadas por

GOLDBERG, BOGDANOFF & GLAUZ (1964), que diagnosticaram a flambagem lateral e

de torção em vigas de hastes de paredes delgadas, incluindo-se a distorção da seção. O

método demonstrou a flambagem distorcional de seções transversais abertas, sob ação de

carregamentos provenientes de compressão axial e momento.

Na mesma época, a obra realizada por WITTRICK (1968) desenvolveu um método de

rigidez exata, baseado no estudo da flambagem em painéis rígidos, sob tensões de

compressão. Os estudos não englobaram os perfis de seção aberta, no entanto, os modos de

flambagem distorcional foram inicialmente observados.

24

Na década de setenta, as pesquisas relacionadas ao estudo das colunas de perfis de aço

formados a frio concentraram-se na interação entre os modos de flambagem local e

flambagem global. Os modos de interação global envolvendo a flexão, a torção e a flexo-

torção, propiciaram os trabalhos desenvolvidos por DEWOLF (1974), KLÖPPEL &

BILSTIEN (1976), RHODES & HARVEY (1977), PEKÖZ (1977) e LOUGHLAN (1979).

Durante estes anos, realizaram-se numerosas pesquisas no âmbito das colunas de

seção transversal do tipo U simples e enrijecida, ensaiadas em laboratório com as

extremidades em condições de apoio livre e engastada, observando-se o fenômeno da

interação entre a flambagem local e global. Particularmente, para as colunas com as

extremidades livres, o trabalho desenvolvido por RHODES & HARVEY (1977) justificou

este fenômeno, devido a um desvio na linha de ação das forças externas e internas, originado

por uma redistribuição assimétrica das tensões longitudinais quando se produz a flambagem

local, mudanças na posição do centróide da seção efetiva, conduzindo a uma excentricidade

na aplicação das forças nas extremidades articuladas da coluna. A excentricidade da força de

compressão, em relação à nova posição do centróide, gera compressão excêntrica ou flexo-

compressão, produzindo a flambagem global.

Os trabalhos prosseguiram com estudos em elementos não enrijecidos realizados por

KALYANARAMAN, PEKÖZ & WINTER (1977) e em elementos com enrijecedores

intermediários e de bordas desenvolvidos por DESMOND (1977). Na Alemanha, foram

realizados estudos experimentais e analíticos, em elementos com enrijecedores de bordas,

com a substituição física da junção entre a mesa e a alma do perfil por um apoio simples,

fazendo-se o uso de condições de extremidades conhecidas KLOPPEL & UNGER (1970).

Os estudos propostos por DESMOND (1977) formularam a base da normalização

norte americana AISI (1996), nas especificações de elementos com enrijecedores de borda.

Nos trabalhos de Desmond, a flambagem distorcional é reportada por flambagem do

enrijecedor, reconhecendo que a tensão crítica de flambagem distorcional é maior que a

tensão crítica de flambagem local.

Com o auxílio de dados experimentais, Desmond propôs expressões empíricas para o

cálculo adequado do enrijecedor de borda. Nos casos, onde o enrijecedor de borda adequado

não conduz a soluções economicamente viáveis, foi proposta uma solução empírica única para

25

o coeficiente de flambagem, k, de um elemento com enrijecedores de borda, tanto para a

flambagem local, quanto para a flambagem distorcional. Como resultado, a flambagem

distorcional foi incorporada nas especificações da normalização norte americana AISI (1996),

sendo tratada como um outro modo de flambagem, e não como um modo distinto do modo de

flambagem local de placa.

Como parte das pesquisas na Suécia, o trabalho realizado por THOMASSON (1978)

proporcionou estudos experimentais em perfis de seção transversal do tipo U com alma

esbelta. Para aumentar a tensão de flambagem local das almas, foram utilizados como

enrijecedores pequenas dobras intermediárias nas mesmas. O problema da flambagem local

foi solucionado, porém foi criado um problema chamado de flambagem local torcional. A

otimização da seção para remover o modo local, originou um problema de distorção.

Thomasson considerou o modo local torcional desfavorável e fez uso de suportes espaçados

unindo os enrijecedores, assegurando que a flambagem distorcional não ocorresse, e fazendo

com que o modo local fosse novamente dominante.

Os estudos na Universidade de Cornell (Estados Unidos) prosseguiram baseados nas

imperfeições e tensões residuais desenvolvidos por DAT (1980) e WENG (1987), e na

interação de flambagem local conduzidos por MULLIGAN (1983). As análises promovidas

por LOH (1985), juntamente com a formulação unificada do método das larguras efetivas

verificadas por PEKÖZ (1987), proporcionaram resultados de pesquisas experimentais e

teóricas realizadas em vigas-colunas, de seções esbeltas, submetidas a esforços de

carregamento axial com simples e dupla excentricidade.

O estudo realizado por MULLIGAN (1983) encontrou flambagem distorcional em

testes experimentais, e seguiu a terminologia utilizada por THOMASSON (1978),

denominando-a de modo de flambagem local torcional. Mulligan observou que o critério do

momento de inércia adequado, proposto por DESMOND (1977), não era capaz de restringir o

modo local torcional em muitos casos.

Na Universidade de Strathclyde (Escócia, Reino Unido), os estudos de interação dos

modos local e global prosseguiram com RHODES & LOUGHLAN (1980) e ZARAS &

RHODES (1987), e análises do comportamento de elementos com enrijecedores de borda

isolados desenvolvidas por LIM (1985) e LIM & RHODES (1986). As pesquisas de Lim

26

tiveram como base os estudos experimentais verificados por KLÖPPEL & UNGER (1970),

onde o modo de flambagem distorcional para as mesas dos perfis pode ser previsto de forma

precisa, de acordo com determinadas condições de extremidades. Pesquisas como as

realizadas por BATISTA, RONDAL & MAQUOI (1987) continuaram demonstrando grande

evidência para a interação dos modos de flambagem local e flambagem global de colunas.

Na década de oitenta, o objetivo dos pesquisadores era o problema da flambagem

distorcional, estudo evidenciado principalmente na Universidade de Sydney (Austrália). A

necessidade de investigar o comportamento de colunas de estruturas de estocagem industrial,

constituídas por perfis de aço formados a frio, proporcionou trabalhos sobre a flambagem

distorcional HANCOCK (1985) e LAU (1988). A forma dos perfis transversais, tipo rack, das

colunas de estruturas de estocagem, asseguravam que a flambagem distorcional muitas vezes

era dominante.

A versão específica do método das faixas finitas (MFF), para a abordagem do assunto

da flambagem por flexão da placa e da flambagem da membrana, em perfis de hastes

delgadas, foi desenvolvida por PLANK & WITTRICK (1974). A obra realizada por LAU &

HANCOCK (1986) ampliou o emprego do método das faixas finitas, com as funções spline,

verificadas por CHEUNG & FAN (1983), permitindo a análise de diferentes tipos de

carregamentos e condições de apoio, e o estudo dos modos de flambagem no estado pós-

crítico, com a interação entre os modos de flambagem.

Um método manual foi desenvolvido por LAU & HANCOCK (1987) para prever

estimativas da tensão elástica para a flambagem distorcional. Esta metodologia adota técnicas

analíticas clássicas similares às usadas no trabalho promovido por SHARP (1966), porém

engloba a instabilidade da alma da seção do perfil considerado.

No Japão, vários autores HIKOSAKA, TAKAMI & MARUYAMA (1987) e

TAKAHASHI (1988), publicaram artigos provenientes de trabalhos com estimativa da

flambagem distorcional em perfis de paredes delgadas com seção transversal poligonal.

Nos Estados Unidos, o trabalho concluído por SRIDHARAN (1982) desenvolveu o

método das faixas finitas para estudar as tensões críticas no estado de pós-flambagem no

modo de flambagem distorcional, demonstrando o rápido incremento das tensões de

27

membrana no extremo do enrijecedor, após a flambagem distorcional. Este fato indica, que a

reserva pós-crítica no modo de flambagem distorcional, pode não ser tão grande quanto no

modo de flambagem local, devido ao fato de o escoamento iniciar-se mais cedo no estado

pós-crítico de flambagem.

O comitê europeu de normalização EUROCODE 3: Projeto de Estruturas de Aço,

Parte 1.3: Normas Gerais (1996), fornece um método para a estimativa da flambagem

distorcional, em colunas de seção transversal do tipo U enrijecida. O método descreve as

deformações devidas à distorção da alma e da mesa, mas utiliza uma curva de resistência da

coluna para o colapso do enrijecedor, não considerando a reserva de carga pós-crítica no

modo de flambagem distorcional.

Na Universidade do Missouri (Estados Unidos), o trabalho realizado por KASSAR,

PAN & YU (1992) proporcionou estudos do efeito da taxa de tensões em colunas. Na

Universidade de Cornell (Estados Unidos), pesquisas sobre os efeitos de carregamentos

excêntricos e perfurações da alma foram conduzidas por MILLER & PEKÖZ (1994). Estudos

no Canadá e nos Estados Unidos, examinaram colunas de seção do tipo Z, demonstrando

experimentalmente evidências de colapso, devido à distorção, e problemas na especificação

da normalização norte americana AISI (1986). Estas análises foram conduzidas por

POLYZOIS & SUDHARAMPAL (1990), PURNADI, TASSOULAS & POLYZOIS (1990) e

POLYZOIS & CHARVANICHBORIKARN (1993).

Os trabalhos na Universidade de Sydney (Austrália) prosseguiram com os estudos

promovidos por KWON (1992), que conduziu experimentos em perfis do tipo U com e sem

enrijecedores na alma. O modo de flambagem distorcional não foi restringido, e os testes

demonstraram que a interação do modo de flambagem distorcional com os outros modos é

fraca. O modo de flambagem distorcional provou ter menor capacidade de carga pós-crítica

no modo distorcional, que no modo de flambagem local. Os resultados foram resumidos e

novas curvas de tensões de colunas para o colapso, devido à distorção, foram apresentadas na

obra realizada por HANCOCK, KWON & BERNARD (1994).

A pesquisa experimental, relatada por YOUNG (1997), demonstrou que as colunas de

apoios fixos nas extremidades, não sofrem a mesma influência dos problemas de interação

entre os modos de flambagem local e global, observado nas colunas com os bordos

28

simplesmente apoiados. A interação do modo de flambagem distorcional com os outros

modos, também foi verificada, sendo considerada fraca.

Os estudos promovidos na Universidade de Strathclyde (Escócia, Reino Unido)

proporcionaram o trabalho realizado por SEAH (1989), que investigou o comportamento dos

modos de flambagem em perfis de hastes delgadas, de seção tipo U, com enrijecedores de

borda, desenvolvendo métodos manuais para prever valores estimativos da flambagem

distorcional, similares aos tratamentos propostos por LAU & HANCOCK (1987) e SHARP

(1966).

Na verificação da tensão última, as pesquisas realizadas por SEAH & RHODES

(1993) trataram o modo de flambagem distorcional de uma maneira similar ao modo de

flambagem local, propondo o método aproximado das larguras efetivas, em detrimento da

curva aproximada de coluna, proposta pelos pesquisadores de Sydney. O estudo indicado por

CHOU, SEAH & RHODES (1996) resume estimativas para as especificações de projetos de

colunas de aço formadas a frio, encontrando limitações e discrepâncias em todas as principais

especificações de projeto anteriores.

Na década de noventa, as investigações teóricas demonstradas por SCHARDT (1989)

e DAVIES, LEACH & HEINZ (1994), tornaram a Teoria Generalizada de Vigas (GBT) uma

ferramenta muito utilizada no estudo da flambagem distorcional de colunas. Com o auxílio da

Teoria Generalizada de Vigas, o trabalho desenvolvido por DAVIES & JIANG (1996) provou

que o modo de flambagem distorcional possui pouca interação com os outros modos de

flambagem. A Teoria Generalizada de Vigas é usualmente aplicada apenas em casos de

análises elásticas, mas Davies e Jiang aprovaram as curvas de tensões de colunas propostas

por HANCOCK, KWON & BERNARD (1994) para prognóstico das tensões últimas.

A análise realizada por SCHAFER (1997), utilizando o método das faixas finitas e

modelagem em elementos finitos, demonstrou que o modo distorcional possui maior

suscetibilidade de imperfeição do que os modos de flambagem local. Observando-se, também,

que o modo distorcional possui menor capacidade de carga pós-crítica de flambagem

comparado aos modos locais. Devido à complexidade e limitações dos modelos usados no

dimensionamento de barras, submetidas aos fenômenos da flambagem, a obra concluída por

SCHAFER (1997) propôs uma metodologia para a avaliação da flambagem distorcional, que

29

utiliza a tensão de flambagem elástica da seção transversal completa, baseada em formulações

híbridas, do método das faixas finitas e dos métodos clássicos apresentados por SHARP

(1966). O novo método foi denominado Método da Resistência Direta (MRD). O trabalho

apresentado por SCHAFER (1998) demonstrou que as equações das especificações contidas

na normalização norte americana AISI (1986) e AISI (1996), para elementos com

enrijecedores longitudinais e de bordas, que foram propostas por DESMOND (1977),

superestimam a tensão de flambagem distorcional, particularmente na proporção na qual a

altura da alma em relação à largura da mesa è aumentada.

A normalização norte americana AISI (1996) incorporou os anexos A e B, datados de

janeiro de 2004, tratando do Método da Resistência Direta. O método tem formulações

específicas para o cálculo da resistência última, na interação entre flambagem local e global, e

na flambagem distorcional, respectivamente, para vigas e colunas. Os anexos agregam um

novo método opcional para o cálculo da resistência dos perfis de paredes delgadas, não

substituindo os procedimentos tradicionais indicados pela norma. O Método da Resistência

Direta foi ajustado com o auxílio de dados experimentais executados em vigas e colunas no

decorrer dos últimos quarenta anos.

A norma de estandardização australiana para estruturas de estocagem industrial de aço

AS 4084 (1993), e a normalização australiana e neozelandesa para estruturas constituídas por

chapas de aço formadas a frio AS/NZS 4600 (1996), foram desenvolvidas contendo regras de

projeto explícitas para a flambagem distorcional na compressão.

O estudo realizado por DAVIES (1998) mostra a análise teórica e os aspectos para o

projeto de estruturas metálicas com problemas acoplados de instabilidade, desenvolvendo

nova formulação para a Teoria Generalizada de Vigas.

Os trabalhos apresentados por SILVESTRE & CAMOTIM (2002) e SILVESTRE &

CAMOTIM (2003) avaliam o comportamento do estado de pós-flambagem em placas

laminadas de seção aberta, com membros de hastes delgadas, utilizando formulações

específicas da Teoria Generalizada de Vigas. Os estudos abrangem diferentes tipos de

carregamentos e condições de apoio, considerando a presença de imperfeições geométricas

iniciais arbitradas.

30

Atualmente, as pesquisas propostas por TALIKOTI & BAJORIA (2005) descrevem

uma metodologia fundamentada na análise experimental, e verificada pelo método dos

elementos finitos, que permite o aperfeiçoamento da tensão distorcional de colunas

intermediárias, constituídas por seções abertas de hastes delgadas. As análises persistem em

observações laboratoriais de testes de compressão em colunas intermediárias, com a adoção

de tubos concêntricos simples, aparafusados ao longo da coluna, e utilizados como conectores

das mesas das seções transversais da coluna.

1.4 ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO

O Capítulo 1 da pesquisa apresenta as generalidades dos perfis de aço formados a frio,

constituídos por hastes de paredes delgadas, como as dificuldades dos projetos destas

estruturas que requerem a utilização de métodos de dimensionamento que considerem os

modos de flambagem e a interação entre os modos de flambagem. São apresentados os tipos

de seções dos perfis delgados formados por aço a frio, e as suas principais utilizações

estruturais, com os devidos efeitos de flambagem observados. Os principais estudos relativos

ao tema do comportamento de perfis constituídos por aço dobrado a frio são relatados, desde

as primeiras pesquisas até os mais recentes trabalhos publicados em todo o mundo.

O Capítulo 2 apresenta o modo de flambagem global em perfis de hastes de paredes

delgadas sujeitas aos esforços de torção. É realizada a análise da torção pura em perfis de

hastes de paredes delgadas com seções transversais abertas, e a produção das tensões de

cisalhamento constantes ao longo do eixo longitudinal da estrutura. No estudo da torção não

uniforme em perfis de hastes delgadas de seções transversais abertas, é considerada a variação

da taxa de empenamento ao longo da peça estrutural, ocasionando tensões de compressão nas

fibras longitudinais proporcionais aos deslocamentos axiais de empenamento. A verificação

dos efeitos da flambagem torcional é feita nas seções transversais dos perfis delgados que

apresentam os centros de cisalhamento e os centróides coincidentes, realizando-se a análise

das condições de contorno observadas. A flambagem por flexo-torção de perfis esbeltos é

indicada nas seções transversais que não possuem o centro de cisalhamento coincidente com o

centróide, onde os efeitos do fenômeno da flambagem são representados pela combinação da

torção com o momento fletor.

31

No Capítulo 3 é relatada a flambagem local em perfis de hastes de paredes delgadas,

que são formados por placas finas e planas, onde o modo de flambagem local é caracterizado

pelas mesmas deformações em curvas ondulatórias das placas que compõem a seção. Os

métodos para a análise do modo de flambagem local são apresentados, englobando as

equações de equilíbrio da seção completa, as funções para a deflexão com o uso do método da

energia, e a avaliação na suposição dos graus de apoio nas condições de extremidades das

bordas longitudinais das placas constituintes do elemento estrutural. A interação entre os

modos de flambagem local e global é apresentada, com a indicação da tendência de distorção

da seção transversal analisada.

O Capítulo 4 indica o estudo da flambagem lateral em perfis de hastes de paredes

delgadas, observada em vigas esbeltas que possuem seções transversais com baixa rigidez à

flexão e à torção. O comportamento estrutural, mediante os efeitos da flambagem lateral, é

relatado, sendo influenciado pelas condições de apoio nas extremidades da viga, e do tipo e

posição dos carregamentos aplicados na estrutura. O estudo da flambagem elástica em perfis

simétricos é realizado para as seções transversais do tipo I e U, observando-se as condições de

apoio nas extremidades das vigas. São obtidas as equações para o momento crítico, devido a

flambagem lateral, para os perfis do tipo I e U, de acordo com o tipo de carregamento

aplicado e a sua posição em relação à seção transversal analisada, e as condições de apoio nas

extremidades da viga. São realizadas a avaliação das cargas excêntricas no momento crítico

dos perfis delgados, a análise da flambagem elástica em perfis assimétricos de hastes

delgadas, e a verificação da flambagem inelástica nos perfis esbeltos, com a indicação das

respectivas expressões do momento crítico para cada caso estudado.

No Capítulo 5 são obtidas as características geométricas para a torção dos perfis de

hastes de paredes delgadas de séries comerciais do tipo U, constituídos por aço a frio sem

revestimento, com os perfis organizados em 14 grupos, conforme disposição da NBR 6355

(2003). Calculam-se os momentos de inércia em relação aos eixos principais, o momento de

inércia à torção e a constante de empenamento das seções, proporcionando a avaliação das

tensões críticas de flambagem local em peças estruturais submetidas a esforços de

compressão, e do momento crítico de flambagem lateral de vigas formadas pelas seções

transversais estudadas. Os resultados são fornecidos com o auxílio da computação algébrica

simbólica (Mathcad), propiciando a análise numérica e gráfica, e a discussão dos valores

obtidos.

32

No Capítulo 6 é investigada a contribuição dos enrijecedores para os perfis do tipo U

com a realização de análise da inércia adequada com base na computação algébrica simbólica

em função das variações de espessuras para determinados grupos de perfis de mesma altura de

alma (b

w

).

O Capítulo 7 utiliza o método da resistência direta com o auxílio do programa

computacional CUFSM para a avaliação do comportamento dos modos de flambagem para os

perfis U

e

e Z

e

. O programa permite a determinação dos comprimentos de meia onda e dos

fatores de carga críticos para as flambagens local, distorcional e global, com a discussão dos

resultados e comparação dos diversos grupos de classes dos perfis.

No Capítulo 8 são realizadas as considerações finais da pesquisa em função dos

resultados obtidos, bem como propostas para futuros trabalhos.

1.5 JUSTIFICATIVA

Com o surgimento dos aços de alta resistência, se tornaram mais esbeltas as seções

transversais das estruturas, ocasionando projetos mais complexos. Na análise da estabilidade

estrutural, deve-se considerar os fenômenos de flambagem local e global, com a identificação

dos modos da flambagem distorcional.

A instabilidade é o fator preponderante na capacidade do carregamento de vigas e

colunas constituídas por elementos de hastes de paredes delgadas, considerando-se a

flambagem flexional e/ou torcional, onde a viga pode sofrer flexão lateral ou girar para fora

do plano de carregamento.

Para o fornecimento de informações práticas ao dimensionamento e a verificação da

segurança quanto ao fenômeno da flambagem, observada nos elementos estruturais

constituídos por hastes de paredes delgadas, avaliam-se as tensões em pontos de

empenamento máximo do perfil e pontos discretizados ao longo do eixo longitudinal do

elemento estrutural.

33

Os perfis de hastes de paredes delgadas são muito utilizados como elementos de

estruturas de vigas, sendo bastante sensíveis aos fenômenos de instabilidade, como a

flambagem local, distorcional e global. As cargas aplicadas não alinhadas com o centro de

cisalhamento incluem valores adicionais devidos à torção não uniforme no estado de tensões

destes perfis. De acordo com o carregamento, podem-se gerar tensões normais elevadas,

levando a estrutura à perda de estabilidade por flambagem local ou distorcional das paredes

do perfil.

Os elementos dotados de hastes de paredes delgadas, condicionados aos fenômenos de

instabilidade apresentam os modos locais ou os modos globais de flambagem. Nos modos

locais, o plano da seção transversal da barra sofre deformações de geometria, com o eixo

longitudinal indeformável. Os modos globais produzem deformações na geometria do eixo

longitudinal, permanecendo invariável a seção transversal da barra.

Os fenômenos decorrentes dos modos locais de flambagem são classificados em duas

categorias, conhecidas por modo local de placa e modo distorcional. No modo local de placa

há ausência de deslocamentos das bordas comuns entre elementos, ocorrendo apenas

deformações de flexão. A flambagem distorcional é caracterizada por deslocamento lateral

das mesas, ocasionado pelas rotações da alma e das mesas, implicando na distorção da seção

transversal dos perfis de hastes de paredes delgadas.

Os fenômenos decorrentes dos modos globais de flambagem são classificados de

acordo com o tipo de elemento estrutural analisado. Os elementos estruturais do tipo viga são

suscetíveis ao modo global de flexão lateral. Para as estruturas viga-coluna, considera-se o

modo global de flexão em torno dos eixos principais, o modo global de torção e o modo

global de flexo-torção.

A excentricidade da força aplicada nas estruturas do tipo viga-coluna e o comprimento

do eixo longitudinal são fundamentais na verificação dos modos globais atuantes nesses

elementos estruturais. De acordo com o comprimento da coluna, pode-se ter o primeiro modo

de instabilidade de flexo-torção para colunas mais curtas, ou de flexão para colunas mais

longas.

Os modos de flambagem global usualmente provocam o colapso da estrutura. Já no

modo local, se considera uma reserva pós-crítica devido ao aumento gradual de rigidez,

34

provocado pelas tensões de tração das membranas dos elementos do perfil. O modo

distorcional apresenta capacidade pós-crítica reduzida em relação ao modo local de placa.

A interação entre os modos de flambagem pode ocorrer das seguintes maneiras:

• modo local de placa com modo distorcional;

• modo local de placa com modo global;

• modo distorcional com modo global;

• modo local de placa com modo distorcional e global.

Desta interação sugere-se a investigação original com base nos modelos finitos da

resistência pós-crítica nos perfis de hastes de paredes delgadas, o grau da instabilidade

elástica e a contribuição da plasticidade no mecanismo de colapso, configurando-se uma

mudança brusca de forma a ser investigada.

1.6 OBJETIVO

O objetivo principal do trabalho é observar os vários fenômenos decorrentes do

comportamento estrutural nos perfis de hastes de paredes delgadas, com o auxílio do método

das faixas finitas, da análise elástica e da programação matemática.

O estudo consiste na análise da estabilidade sob os aspectos linear e de interação entre

os modos de flambagem, considerando-se a avaliação da seção transversal completa dos perfis

delgados.

Ultimamente vários autores têm realizado estudos da análise em problemas de flexo-

torção em hastes de paredes delgadas de seção aberta, no âmbito das rotações de flexão

moderadas. Pretende-se adotar um modelo de análise prevendo grandes rotações, onde o grau

de complexidade é maior, buscando-se solucionar o problema com a formulação matemática.

35

1.7 METODOLOGIA E EQUIPAMENTOS NECESSÁRIOS

A formulação básica teórica iniciou-se com ampla pesquisa bibliográfica relacionada

ao assunto, realizada nas bibliotecas da COPPE-UFRJ, PUC-Rio, Universidade de São Carlos

e Universidade Nacional de Brasília. A elaboração da Tese prossegue na análise da

estabilidade das hastes delgadas através da programação computacional, utilizando-se o

método das faixas finitas e programas elaborados pelo autor com o auxílio da computação

algébrica simbólica. Em seguida, os resultados obtidos são analisados observando-se a

utilidade e o emprego de cada perfil, constatando-se a validação dos programas

desenvolvidos.

Os esforços últimos solicitantes para hastes delgadas são investigados, utilizando-se os

métodos da equação de interação para barras submetidas a flexo-compressão, NBR14762

(2001), método de análise de estabilidade de SCHAFER e PEKÖZ (1998), modelos de

POLILLO (1998), ATTARD (1986) e o emprego dos funcionais de PIAN (1964). Nas

condições de resistência considera-se um critério de ruptura para a obtenção de um sistema

governante na forma de programação. A análise plástica é efetuada por problemas duais de

programação linear associados aos teoremas estático e cinemático para a obtenção da solução

ótima.

Ainda na metodologia, leva-se em consideração a influência da excentricidade do

carregamento, para os casos em que este se aproxima do centro de cisalhamento, o que ainda

não foi feito por nenhum autor e constitui uma justificativa do mérito de originalidade da

pesquisa.

Quanto aos equipamentos, são utilizados os computadores do Laboratório de

Informática do Curso de Pós – Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal

Fluminense, o programa computacional CUFSM e outros desenvolvidos ao longo do curso,

através da computação algébrica simbólica (Mathcad).

2 FLAMBAGEM GLOBAL EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES DELGADAS

As tensões de flambagem em seções de perfis de hastes delgadas, com seção aberta,

ocorrem provenientes dos esforços de momento, no plano de simetria da seção transversal.

Para a otimização do projeto são desejáveis a menor área possível da seção, e o maior raio de

giração possível, conduzindo à utilização de seções de hastes delgadas com mesas ou almas

de comprimento extenso (WALKER, 1975).

2.1 INTRODUÇÃO

Na flambagem torcional, a parte mediana do perfil sofre rotação em relação aos

bordos, devida à baixa rigidez à torção. Os perfis delgados de seção aberta são propícios às

tensões de flambagem torcional, onde a instabilidade pode ocorrer por uma combinação entre

esforços de flexão e torção.

Os modos de flambagem global, para perfis delgados com seções transversais do tipo

U enrijecida, são ilustrados na Figura 2.1.

37

Figura 2.1 Modos de flambagem global para seções do tipo U enrijecida.

Os projetos de estruturas em hastes de paredes finas, sujeitas aos esforços de torção,

requerem conhecimento das relações entre a tensão de flambagem, a rigidez estrutural e a

disposição dos enrijecedores de flexão e de torção.

2.2 TORÇÃO PURA EM PERFIS DE HASTES DELGADAS COM SEÇÕES

TRANSVERSAIS ABERTAS

A torção pura indica que o comprimento da estrutura sofre torção uniforme em pares

opostos aplicados nas extremidades, com ação no plano normal ao eixo longitudinal, e com

extremidade livre para a ação do empenamento.

A Figura 2.2 ilustra o empenamento da estrutura, formada por perfis do tipo I, com a

distorção das seções planas dos membros.

38

Figura 2.2 Empenamento dos bordos livres da estrutura.

A distorção é eliminada pela condição de apoio das extremidades, que impede o

empenamento, e as tensões longitudinais são induzidas, aumentando a rigidez à torção.

Na torção pura apenas são produzidas tensões de cisalhamento, constantes ao longo do

comprimento da estrutura. A distribuição das tensões cisalhantes na seção transversal depende

da forma da seção, e usualmente a tensão de cisalhamento em qualquer ponto é tangencial à

linha média da seção.

O ângulo de torção θ para uma estrutura de comprimento L é fornecido por:

JG

T

L

=

θ

, (2.1)

onde T é o momento de torção e G J é a rigidez torcional da seção; sendo G o módulo de

rigidez transversal e J a constante de torção para a seção.

Elaborando a Equação (2.1), obtém-se a variação da torção expressa por:

dz

d

JGT

θ

= . (2.2)

39

Para seções abertas, sem grandes variações de espessuras entre membros adjacentes, a

constante de torção J, é dada por:

∫

=

S

0

3

dst

J , (2.3)

onde s é a distância ao longo da linha média do perfil, t é a espessura, e a integração é

realizada pelo comprimento total do perfil.

A aplicação de carregamentos transversais, em uma viga de seção de hastes de paredes

delgadas abertas, ocasiona tensões de torção e momento, a não ser que a linha de ação do

carregamento coincida com o centro de cisalhamento. Quando o carregamento tem ação no

centro de cisalhamento, o momento do carregamento externo em relação ao centróide da

seção contrabalança o momento proveniente da distribuição interna dos esforços cisalhantes

na linha média da seção transversal (CHILVER,1953).

Para seções transversais que apresentam dois eixos de simetria, o centro de

cisalhamento coincide com o centróide, e seções com um eixo de simetria, o centro cisalhante

está disposto no eixo, com deslocamento em relação ao centróide.

A Figura 2.3. ilustra o centro de cisalhamento para seções do tipo U.

Centróide

Centro de

Cisalhamento

Tensões

Cisalhantes

e

b

t

2

1

Figura 2.3 Posição do centro de cisalhamento para seções do tipo U.

40

A distância do centro de cisalhamento à alma de seções do tipo U, designada por e, é

obtida por:

21

2

bb6

b3

e

+

=

, (2.4)

onde b

1

é a altura da alma e b

2

é a largura da mesa do perfil.

A Figura 2.4 demonstra as posições do centro de cisalhamento para as seções

transversais de estruturas de hastes de paredes delgadas formadas por aço a frio.

Centróide

e

Centróide

Cisalhamento

de

Centro

de

Cisalhamento

Figura 2.4 Posições do centro de cisalhamento em relação ao centróide das seções.

O eixo do centro de cisalhamento permanece inalterado na torção, e as seções

transversais sofrem rotação em relação ao centro de cisalhamento.

41

2.3 TORÇÃO NÃO UNIFORME EM PERFIS DE HASTES DELGADAS COM

SEÇÕES TRANSVERSAIS ABERTAS

As estruturas que não possuem liberdade para sofrer o empenamento ou possuem

momento de torção variável ao longo do comprimento longitudinal, apresentam a taxa

zd

dθ

e a

quantidade de empenamento com variações no eixo longitudinal da peça estrutural. O

surgimento de tensões compressivas nas fibras longitudinais,

z

σ

, é proporcional aos

deslocamentos axiais devidos ao empenamento, w.

As tensões de compressão

z

σ

contribuem para o aumento das tensões cisalhantes, de

maneira similar ao cisalhamento produzido quando uma viga sofre ação de momento. As

tensões

x

σ

não produzem momento ou força resultante axial.

O deslocamento axial devido ao empenamento w, é dado por:

(

)

zd

d

www

ss

θ

−=

, (2.5)

onde:

∫

=

S

0

s

sdrw , (2.6)

sendo r a distância do centro de cisalhamento à tangente em qualquer ponto da seção, e

s

w

o

valor médio para

s

w em torno da seção completa.

A deformação axial

z

w

∂

é obtida por:

( )

2

ssz

zd

d

ww

θ

−=ε . (2.7)

42

A tensão axial

z

σ

é fornecida por:

( )

2

ssz

zd

d

wwE

θ

−=σ

. (2.8)

No estudo do aumento das tensões cisalhantes oriundas das tensões de compressão

z

σ , considera-se um pequeno elemento da parede da seção, de altura ds e largura dz.

A Figura 2.5 ilustra uma seção transversal de uma estrutura com apoio fixo, e

aplicação do momento de torção na outra extremidade.

m

n

o

p

c'

o'

T

x

y

z

Figura 2.5 Estrutura sob esforços de torção na extremidade livre.

A Figura 2.6 mostra a análise das tensões provocadas pelos esforços devidos à torção

em um elemento infinitesimal da barra.

43

zd

z

∂

σ∂

+σ

z

σ

τ

sd

s∂

τ∂

+τ

sd

zd

m

n

o

p

Figura 2.6 Elemento infinitesimal de uma seção aberta.

O equilíbrio do elemento em análise é dado por:

(

)

(

)

0sdzd

z

t

zdsd

s

t

z

=

∂

σ

∂+

∂

τ∂

. (2.9)

Como t é constante na direção z, obtém-se:

(

)

0t

s

t

z

=

σ

∂

+

∂

τ∂

, (2.10)

e a substituição por

z

σ , na Equação (2.8), fornece:

(

)

( )

3

s

zd

d

wwtE

s

t θ

−−=

∂

τ∂

. (2.11)

Por integração, tem-se:

( )

∫

−

θ

−=τ

S

0

s

3

sdtww

zd

d

Et . (2.12)

44

A força de cisalhamento em um elemento da seção, de comprimento ds, é dada por

sdt

τ

, e a integração dos momentos provocados por estas forças em relação ao centro de

cisalhamento, proporciona a expressão da contribuição da torção devido às tensões de

empenamento:

( )

∫ ∫∫













−

θ

−=τ=

S

0

S

0

s

3

S

0

w

sdrsdtww

zd

d

EsdtrT , (2.13)

sendo representada por:

( )

∫

−

θ

−=

S

0

2

s

3

w

sdtww

zd

d

ET . (2.14)

A integral, indicada por

( )

∫

−

S

0

2

s

tww , é denominada constante de empenamento,

equivalendo à constante de torção J, da Equação (2.3). A constante de empenamento é

denotada por

w

C

, onde a combinação das Equações (2.2) e (2.14) fornece a equação

diferencial para a torção não uniforme:

3

w

zd

d

CE

zd

d

JGT

θ

−

θ

=

. (2.15)

Para uma seção de espessura uniforme, do tipo I, com comprimento da alma b

1

, e

momento de inércia I

y

, em relação ao eixo coincidente com a linha média da alma, tem-se:

4

Ib

C

y

2

1

w

=

. (2.16)

45

Para uma seção de espessura uniforme, do tipo U, com comprimento de mesa b

2

,

pode-se escrever:













+

=

21

3

2

1

w

b6b

b3b2

12

btb

C . (2.17)

2.4 FLAMBAGEM TORCIONAL EM PERFIS DELGADOS

Nos tipos de seções transversais I, Z e cruciformes, onde o centro de cisalhamento e o

centróide coincidem, pode ocorrer flambagem pela torção da seção, com o eixo longitudinal

ao longo do centróide permanecendo inalterado. Considera-se uma seção arbitrária sob

esforços de tensão σ, e um elemento infinitesimal, de comprimento dz e largura ds,

posicionado a uma distância r do centro cisalhante, como demonstrado na Figura 2.7.

dz

ds

z

o

θ

Figura 2.7 Seção de hastes delgadas sob esforços de compressão.

46

A deflexão do elemento, quando a seção transversal sofre torção de ângulo θ, é dada

por

θ

r . As forças compressivas nas extremidades do elemento são obtidas por sdt

σ

, sendo

equivalentes a um carregamento lateral q, por unidade de comprimento:

( )

2

zd

vd

sdtq σ−= , (2.18)

onde v é a deflexão normal.

Como

θ

=

rv , pode-se escrever:

( )

r

zd

d

sdtq

2

θ

σ−=

. (2.19)

O momento do carregamento lateral, em relação ao centro de cisalhamento, é indicado

por:

( )

2

r

zd

d

sdtm

θ

σ−=

. (2.20)

O somatório do momento em toda a seção transversal fornece:

∫













θ

σ−=

S

0

2

s

sdrt

zd

d

m , (2.21)

conduzindo a:

0

2

s

I

zd

d

m

θ

σ−=

, (2.22)

sendo I

0

o momento polar de inércia, e m

S

a taxa de variação da torção em relação ao

comprimento da seção.

47

Observando a Equação (2.22), tem-se:

zd

Td

m

s

−= . (2.23)

A substituição da Equação (2.15) na Equação (2.23) fornece:













θ

−

θ

−=

4

w

2

s

zd

d

CE

zd

d

JGm , (2.24)

que substituindo na Equação (2.22), indica a equação diferencial da flambagem torcional, para

seções onde o centro de cisalhamento e o centróide são coincidentes:

( )

0

zd

d

IJG

zd

d

CE

2

0

4

w

=

θ

σ−−

θ

. (2.25)

A solução da Equação (2.25) é dada por:

(

)

(

)

4321

AzAzpcosAzpsenA +++=θ , (2.26)

onde:

(

)

w

0

2

CE

IJG

p

σ

−

−= . (2.27)

48

2.4.1 Condições de contorno das seções transversais

Para as seções simplesmente apoiadas, os bordos são fixos para a rotação e livres para

o empenamento. Com o comprimento L do membro, têm-se as seguintes condições de

contorno:

Lz,0zquando0

=

θ

, (2.28)

como os bordos são livres para sofrer o empenamento, não existem tensões longitudinais

devido ao empenamento, então:

( )

0

zd

d

wwE

2

ssz

=

θ

−=σ ,

Lz,0zquando0

zd

d

2

===

θ

. (2.29)

Aplicando as condições acima, na Equação (2.26), obtêm-se as equações lineares

simultâneas expressas por:

0AA

42

=+ ,

(

)

(

)

0ALALpcosALpsenA

4321

=+++ ,

(2.30)

0pA

2

=− ,

(

)

(

)

0LpcospALpsenpA

2

1

=−− .

49

A formulação matricial da Equação (2.30) fornece:

( ) ( )







=



























−−

−

0

A

00LpcospLpsenp

00p0

1LLpcosLpsen

1010

4

3

2

1

22

2

. (2.31)

A equação característica é dada por:

(

)

0LpsenpL

4

= . (2.32)

Como

(

)

0Lpsen

=

, então

π

=

nLp , e substituindo na Equação (2.27), tem-se:













π

+=σ

w

2

22

0

cr

CE

L

n

JG

I

1

. (2.33)

O menor valor para

cr

σ

está associado com n = 1, sendo obtido por:













π

+=σ

2

w

2

0

cr

L

CE

JG

I

1

. (2.34)

Pela Equação (2.30), observa-se que 0AAA

432

===

, então para

L

p

π

= , pode-se

escrever a Equação (2.26) por:













π

=θ

L

z

senA

1

. (2.35)

50

Para as seções engastadas, os bordos são fixos para a rotação e não são livres para o

empenamento. Com o comprimento L do membro, têm-se as seguintes condições de

contorno:

Lz,0zquando0

=

θ

, (2.36)

como os bordos não são livres para sofrer o empenamento, não existem deslocamentos devido

ao empenamento, então:

Lz,0zquando0

zd

d

===

θ

. (2.37)

Aplicando as condições acima, na Equação (2.26), obtêm-se as equações lineares

simultâneas expressas por:

0AA

42

=+

,

(

)

(

)

0ALALpcosALpsenA

4321

=+++

,

(2.38)

0ApA

31

=+

,

(

)

(

)

0ALpsenpALpcospA

321

=+−

.

A formulação matricial da Equação (2.38) fornece:

( ) ( )







=



























−

0

A

01LpsenpLpcosp

010p

1LLpcosLpsen

1010

4

3

2

1

. (2.39)

51

A equação característica é dada por:

0

2

Lp

cosLp

2

Lp

sen2

2

Lp

sen2

=

























−

























. (2.40)

Como 0

2

Lp

sen =













, então π= n

2

Lp

, e substituindo na Equação (2.27), para n = 1,

tem-se:













π

+=σ

2

w

2

0

cr

L

CE4

JG

I

1

. (2.41)

Pela Equação (2.38), observa-se que 0AA

31

==

, e

24

AA

−=

, então para

L

2

p

π

= , pode-se escrever a Equação (2.26) por:













π

=θ

L

z

senA2

2

4

. (2.42)

2.5

FLAMBAGEM POR FLEXO-TORÇÃO DE PERFIS ESBELTOS

As seções transversais, que não possuem o centro de cisalhamento coincidente com o

centróide, podem sofrer o fenômeno da flambagem devido à combinação de torção e

momento. Considerando-se a flambagem em uma coluna arbitrária, a seção transversal é

deslocada lateralmente e sofre rotação simultânea (YOUNG; RASMUSSEN, 1998), como

ilustra a Figura 2.8.

52

u o'

c"

c'

r

o

c

Centróide

Centro de Cisalhamento

deslocado

Rotação da seção

em relação ao

centro de

cisalhamento

Centro

de

Cisalhamento

x

y

0

x

0

Figura 2.8 Torção e flexão da seção delgada aberta.

A rotação ocorre em relação ao centro de cisalhamento, definindo-se a posição final do

centróide, considerando a deflexão do centro cisalhante e do centróide na direção do eixo x

(w), a deflexão do centro cisalhante e do centróide na direção do eixo y (v), e a rotação do

centróide em relação ao centro cisalhante de um pequeno ângulo (

θ

).

As coordenadas do centro de cisalhamento, com respeito ao eixo coordenado, e origem

no centróide são x

0

e y

0

. As novas coordenadas do centróide após o deslocamento lateral e a

rotação, em relação à posição inicial, são

(

)

θ+

0

yu e

(

)

θ−

0

xv . Os momentos M

X

e M

Y

do

carregamento P, em relação aos eixos principais, são obtidos por:

(

)

θ+−=

0y

yuPM

,

(2.43)

(

)

θ−−=

0x

xvPM

.

53

As equações diferenciais para o equilíbrio do momento nas duas direções são:

( )

θ+−=

0

2

y

yuP

xd

ud

IE ,

(2.44)

( )

θ−−=

0

2

x

xvP

xd

vd

IE .

Considerando-se o carregamento lateral equivalente no elemento da Equação (2.19),

adicionam-se os termos













2

zd

vd

P

e













2

zd

ud

P

, levando-se aos momentos adicionais

0

2

x

zd

vd

P













e

0

2

y

zd

ud

P













− . A Equação (2.22) é, então, apresentada por:













−+

θ

σ−=

2

0

2

00

2

s

zd

ud

y

zd

vd

xPI

zd

d

m

. (2.45)

A substituição de

zd

Td

m

s

−= , na Equação (2.45), fornece:

( )

0

zd

ud

yP

zd

vd

xP

zd

d

IJG

zd

d

CE

2

0

2

0

2

0

4

w

=+−

θ

σ−−

θ

. (2.46)

As Equações (2.44) e (2.46) representam simultaneamente três equações diferenciais

para a solução geral das deflexões u e v, e a rotação

θ.

54

Para as seções transversais com o centro de cisalhamento coincidente ao centróide, a

flambagem por flexo-torção não é observada, x

0

= y

0

= 0, obtendo-se:

uP

xd

ud

IE

2

y

−= ,

vP

xd

vd

IE

2

x

−= , (2.47)

( )

0

zd

d

IJG

zd

d

CE

2

0

4

w

=

θ

σ−−

θ

.

Para as seções transversais com um eixo de simetria, y

0

= 0, a flambagem normal a

este plano envolve combinação de torção e flexão, conduzindo a:

uP

xd

ud

IE

2

y

−= ,

( )

θ−−=

0

2

x

xvP

xd

vd

IE , (2.48)

( )

0

zd

vd

xP

zd

d

IJG

zd

d

CE

2

0

2

0

4

w

=−

θ

σ−−

θ

.

55

2.5.1 Condições de contorno das seções transversais

Para as seções transversais que apresentam um eixo de simetria, simplesmente

apoiadas, os bordos são livres para sofrer o empenamento e fixos para impedir a rotação.

As condições de contorno são dadas por:

Lz,0zquando0

=

θ

;

(2.49)

Lz,0zquando0

zd

d

2

===

θ

.

Como não ocorre deflexão ou momento fletor nos bordos:

.Lz,0zpara0

zd

vd

,0v

2

==== (2.50)

Supondo-se que a deflexão e a rotação possuem função senoidal ao longo da barra,

pode-se escrever:













π

=

L

z

senAu

1

,













π

=

L

z

senAv

2

, (2.51)













π

=θ

L

z

senA

3

.

56

A substituição da Equação (2.51) na Equação (2.48) fornece:

0A

L

IEP

1

2

y

=













π

− ,

0AxPA

L

IEP

302

2

x

=−













π

− , (2.52)

0AI

A

P

JG

L

CEAxP

30

2

w20

=













−+

π

−− ,

onde

A

é a área da seção transversal.

A formulação matricial da Equação (2.52) indica:

0

A

L

CEJGI

A

P

xP0

xP

L

IEP0

00

L

IEP

3

2

1

2

w00

0

2

x

2

y

=













































π

−−−

−

π

−

π

−

. (2.53)

A equação característica da Equação (2.53) é representada por:

0xP

L

CEJGI

A

P

L

IEP

L

IEP

2

0

2

w0

2

x

2

y

=













−













π

−−













π

−













π

− . (2.54)

57

A parcela, indicada por

2

y

L

IE

π

, representa o carregamento de flambagem no plano

de simetria, sendo designado por

y

P

. A parcela, representada por

2

x

L

IE

π

, é o

carregamento de flambagem normal ao plano de simetria, sendo designado por

x

P

. A parcela,

indicada por

























π

+













2

w

0

L

CEJG

I

A

, representa o carregamento de flambagem da torção

pura, sendo designada por

θ

P

.

A Equação (2.54) pode, então, ser escrita por:

( ) ( )( )

0xPPPPP

A

I

PP

2

0

2

x

0

y

=













−−−−

θ

. (2.55)

Obtendo-se as raízes, tem-se:

( )( )

0xPPPPP

A

I

2

0

2

x

0

=−−−

θ

. (2.56)

Organizando a Equação (2.56), obtém-se:

( )

0PPPPP

I

xA

1P

xx

0

2

0

2

=−++













−

θθ

, (2.57)

onde o momento polar de inércia em relação ao centro de cisalhamento, é dado por:

2

0c0

xAII += , (2.58)

sendo

c

I

o momento polar de inércia em relação ao centróide da seção.

58

A substituição da Equação (2.58) na Equação (2.57) fornece:

( )

0PPPPPP

I

xx

2

0

c

=++−

θθ

. (2.59)

Para as seções transversais que não apresentam eixo de simetria, simplesmente

apoiadas, os bordos são livres para sofrer o empenamento e fixos para impedir a rotação.

As condições de contorno são dadas por:

Lz,0zquando0uv

=

θ

;

(2.60)

Lz,0zquando0

zd

ud

zd

vd

zd

d

2

=====

θ

.

Supondo-se que a deflexão e a rotação possuem função senoidal ao longo da barra,

pode-se escrever:

(

)

0AyPAPP

301y

=+−

,

(

)

0AxPAPP

302x

=−−

, (2.61)

( )

0APP

A

I

AxPAyP

3

0

2010

=−+−

θ

.

A formulação matricial da Equação (2.61) indica:

( )

0

A

PP

A

I

xPyP

xPPP0

yP0PP

3

2

1

0

00

0x

0y

=

































−−

−

θ

. (2.62)

59

A equação característica da Equação (2.62) é representada por:

( )( )( ) ( ) ( )

0PPxPPPyPPPPPPP

A

I

y

2

0

2

x

2

0

2

xy

0

=−−−−−−−

θ

. (2.63)

2.6

CONSIDERAÇÕES DA FLAMBAGEM TORCIONAL EM PERFIS DELGADOS

A tensão máxima, para a flambagem torcional de um perfil de hastes delgadas, sofre

influência das imperfeições geométricas, das excentricidades dos carregamentos e das tensões

residuais. As análises teóricas da tensão baseada em condições perfeitas não são, então,

observadas na prática (KLÖPPEL; SCHUBERT, 1971).

Para as considerações relevantes no projeto de estruturas delgadas de perfil com seção

aberta, propõem-se a utilização da curva de flambagem por flexão, para uma estimativa da

tensão máxima de flambagem torcional. Nos parâmetros de entrada na curva, utiliza-se o

índice de esbeltez do perfil

λ

E

. A tensão crítica de flambagem torcional é dada por:

( )

2

E

2

torçãocr

E

λ

π

=σ

. (2.64)

Como muitas curvas utilizam termos não dimensionais, tem-se:

y

máx

N

σ

= ,

(2.65)

( )

flexãocr

y

σ

=λ .

60

A Equação (2.64) pode ser escrita por:

( )

21

torçãocr

y

E













σ

=λ . (2.66)

Na análise de projetos estruturais, a tensão crítica de flambagem torcional é obtida,

com a Equação (2.66) usada como parâmetro de entrada na curva para

E

λ . O valor de

Ncorrespondente é utilizado na determinação da tensão máxima de flambagem torcional.

As pesquisas das tensões de flambagem torcional para uma variedade de seções

transversais, considerando os efeitos das tensões residuais e as imperfeições geométricas

iniciais, demonstram que a tensão crítica de flambagem torcional não ultrapassa o valor da

tensão de flambagem devida à flexão.

3 FLAMBAGEM LOCAL EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES DELGADAS

O modo de flambagem local é observado em perfis compostos por placas finas e

planas, causando a flambagem simultânea dos elementos de placa. A flambagem local

caracteriza-se pelo surgimento de deformações, representadas por ondas na extensão do

membro, com as junções longitudinais entre os elementos adjacentes permanecendo

indeformáveis.

3.1 INTRODUÇÃO

O fenômeno da flambagem local dos elementos de placa, de uma seção transversal

constituída por hastes delgadas, ocorre sem a presença de esforços devido ao momento global

da estrutura ou a rotação do membro da placa. O modo de flambagem local é caracterizado

pelos bordos comuns das placas componentes permanecendo indeformáveis, pela manutenção

do ângulo original entre placas adjacentes nos bordos comuns durante a flambagem, e pelas

mesmas curvas de ondas para as deformações que ocorrem em todas as placas

simultaneamente, como ilustrado na Figura 3.1.

62

Figura 3.1 Deformações em curvas ondulatórias das placas componentes da seção.

As seções transversais que apresentam grandes variações nas espessuras dos

componentes de placa podem apresentar diferentes curvas de ondas para as deformações

devidas ao efeito da flambagem.

3.2 MÉTODOS DE ANÁLISE DO MODO DE FLAMBAGEM LOCAL

Os estudos da flambagem local estão fundamentados nas equações de equilíbrio para o

efeito da flambagem na seção completa, ou nas funções de deflexão com a utilização do

método da energia, ou na suposição dos graus de apoio nas bordas longitudinais das placas

componentes do elemento estrutural (GRAVES SMITH, 1966).

Os modos de flambagem local, para seções do tipo U enrijecidas, são mostrados na

Figura 3.2.

63

Figura 3.2 Modos de flambagem local para seções do tipo U enrijecidas.

As diferenças observadas nos métodos de análise são demonstradas numa seção

transversal, do tipo U, formada por hastes delgadas, com espessura uniforme e mesas iguais.

A alma da seção é referida por Placa 1, e a mesa por Placa 2.

y = b

2

/ 2

y = b

1

Placa 1

Placa 2

Eixo de Simetria

o

Figura 3.3 Análise da seção transversal delgada.

64

3.2.1 Equações de equilíbrio

O modo de flambagem local apresenta um plano de simetria em relação à linha central

da alma, proporcionando a análise, de apenas, da metade da seção transversal.

Para o bordo comum entre a alma e a mesa da seção, tem-se y = 0, apresentando as

seguintes condições:

[

]

1

0y = bordo comum,

1

2

b

y













=

plano de simetria,

[

]

2

0y = bordo comum,

[

]

2

by = livre.

O bordo comum permanece indeformável, não apresentando deflexão transversal neste

ponto, então:

[w

y = 0

= 0]

1

,

(3.1)

[w

y = 0

= 0]

2

.

O ângulo original entre as placas permanece inalterado após a flambagem:

0

y

w

y

w

2

0y

1

0y

=

























∂

−

























∂

==

. (3.2)

O equilíbrio dos momentos, em relação à y = 0, para as placas é dado por:

0

x

w

v

y

w

D

x

w

v

y

w

D

2

0y

2

1

0y

2

=

























∂

+

∂

−+

























∂

+

∂

−

==

. (3.3)

65

No bordo livre da Placa 2, o momento de flexão e a força de cisalhamento são nulos,

então:

0

x

w

v

y

w

D

2

by

2

=

























∂

+

∂

−

=

,

(3.4)

( )

0

yx

w

v2

y

w

D

2

by

2

3

=

























∂∂

∂

−+

∂

−

=

.

No plano de simetria da Placa 1, a inclinação e a força de cisalhamento são nulos,

então:

0

y

w

1

2

b

y

=

























∂

=

,

(3.5)

0

yx

w

y

w

D

1

2

b

y

2

3

=

























∂∂

∂

+

∂

−

=

.

As expressões para a força de cisalhamento no plano de simetria e no bordo livre da

seção transversal são diferentes. As placas apresentam uma curva comum para as

deformações de flambagem, com função da deflexão transversal diferente para cada placa.

As superfícies de deflexão são representadas por:

( ) ( ) ( ) ( )

[

]













π

β+β+α+α=

a

xm

senysenAycosAysenhAycoshAw

1

43211

,

(3.6)

( ) ( ) ( ) ( )

[

]













π

β+β+α+α=

a

xm

senysenAycosAysenhAycoshAw

2

43212

.

66

A substituição das Equações (3.6) nas Equações (3.1), (3.4) e (3.5), com a inserção dos

valores apropriados para y, fornece:

0

2

q

cosqA

2

q

senqA

2

p

coshpA

2

p

senhpA

1

4321

=

























+













−













+













,

0

2

q

cosqA

2

q

senqA

2

p

coshpA

2

p

senhpAD

2

4321

=

























−













+













+













,

0]AA[

131

=+ ,

0]AsAr[D]AsAr[D

23

2

1

2

13

2

1

2

=−+− ,

(3.7)

0]AqAp[D]AqAp[D

242142

=+−+ ,

0]AA[

231

=+ ,

( ) ( ) ( ) ( )

0]qcosrqAqsenrqApcoshspApsenhspA[D

2

4

2

3

2

1

=−++

,

( ) ( ) ( ) ( )

0]qsensAqcossApsenhrApcoshrA[D

2

4

2

3

2

1

=−−+

.

Para uma solução não trivial da Equação (3.7), o valor do determinante das equações

lineares e homogêneas deve ser nulo. O determinante é identificado por funções

características de cada placa isolada, sendo expresso por:

0

B

S

b

B

S

2F

2

1

1ys

=













+













. (3.8)

67

Representando-se:

[

]

[ ]

1ys

B

S

B

S

=













,

(3.9)

[

]

[ ]

2F

B

S

B

S

=













,

sendo

[

]

1ys

S a função característica para a Placa 1 rotulada no ponto y = 0, no plano de

simetria em y = b

1

/ 2, e

[

]

1ys

B a função característica para a Placa 1 engastada no ponto y =

0, no plano de simetria em y = b

1

/ 2;

[

]

2F

S a função característica para a Placa 2 rotulada no

ponto y = 0, livre em y = b

2

, e

[

]

2F

B a função característica para a Placa 2 engastada no

ponto y = 0, livre em y = b

2

.

A estabilidade local de duas placas, com bordos comuns, pode ser expressa em termos

da estabilidade individual de cada componente das placas, rotuladas e engastadas na junção

dos elementos. A solução da Equação (3.8), para variados valores de

1

2

b

, é obtida pelas

combinações de

1

K

e

1

φ

, juntamente com

2

1

2

12

b

KK













= e













φ=φ

1

2

12

b

.

A equação para a tensão crítica da seção completa é dada por:

( )

2

1

2

1

cr

b

t

v112

EK













−

π

=σ , (3.10)

onde

1

b

a

=φ , sendo

1

a a largura, e

1

b a altura do elemento de placa.

68

O gráfico, representado na Figura 3.4, indica os valores de

(

)

min

1

K para as variações

dos valores de

1

2

b

.

2

1

mín1

b

5.0K













=

4K

mín1

=

0

0.2 0.4

0.6

0.8

1.0

1

2

3

4

5

Solução

Exata

K

mín

1

2

b

Figura 3.4 Coeficientes mínimos da flambagem local para seções do tipo U.

Para as seções que sofrem o efeito da flambagem local em deformações de curvas

ondulatórias, a tensão crítica virtualmente independe do comprimento, sendo representada

por:

(

)

( )

2

1

2

min

1

cr

b

t

v112

EK













−

π

=σ . (3.11)

69

3.2.2 Método da energia

O método da energia propõe a utilização de funções para a deflexão transversal da

seção. Uma solução é fundamentada na consideração da deflexão transversal da alma como

um somatório de uma curva senoidal e um arco circular. Uma placa sem restrições nos bordos

adota a curva senoidal, e uma viga, com momentos iguais e opostos aplicados nos bordos,

assume o arco circular.

A combinação fornece:













π

























π

+













−=

a

xm

sen

b

y

senB

b

y

1

b

y

A4w

1

. (3.12)

Na deflexão das mesas, considera-se uma curva que consiste do somatório de uma

linha reta e a deflexão de um elemento viga. Uma mesa, sem restrições nos bordos, sofre

rotação sem esforços de momento, e uma viga com restrições na origem sofre deflexão. A

combinação indica:













π













































−













+













−













−=

a

xm

sen

b

y

778.9

b

y

852.9

b

y

963.4

b

y

889.3

D

b

y

Cw

2

2345

2

.

(3.13)

3.2.3

Solução aproximada

Os métodos anteriores abrangem a interação da deflexão da alma e das mesas na

presença do fenômeno da flambagem. O método da solução aproximada assume a alma

simplesmente apoiada nos bordos longitudinais e as mesas simplesmente apoiadas nas junções

com a alma, considerando a tensão crítica da seção completa menor que as tensões críticas

para cada elemento separado.

70

A tensão crítica para a alma da seção é obtida por:

( )

2

1

2

1

cr

b

t

v112

E4













−

π

=σ . (3.14)

A tensão crítica para as mesas da seção é dada por:

( )

2

cr

b

t

v112

E5.0













−

π

=σ . (3.15)

Em termos de largura da alma da seção, pode-se escrever:

( )

2

1

2

1

2

cr

b

t

v112

E5.0

























−

π

=σ . (3.16)

Tem-se para a alma:

(

)

4K

min

1

= , (3.17)

e para as mesas:

( )

2

1

min

1

b

5.0K













= . (3.18)

As análises envolvendo seções de espessura uniforme, dos tipos U e I, podem ser

aplicadas em seções de espessura não uniforme na alma e nas mesas. Na solução exata, pode-

se utilizar uma formulação geral da Equação (3.8), representada por:

0

B

S

tb

B

S

2F

3

12

3

21

1ys

=













+













. (3.19)

71

As Figuras 3.5 e 3.6 ilustram os valores dos coeficientes mínimos de flambagem no

modo local, para seções transversais delgadas, com espessuras não uniformes.

0

0.2 0.4

0.6

0.8

1.0

1

2

3

4

5

1

2

b

6

2

1

t

0.6

0.8

1.0

1.25

1.6

b

2

t

2

1

t

1

b

1 mín

K

Figura 3.5 Valores de

(

)

mín

1

K para seções do tipo U, com variação de espessura.

0

0.2 0.4

0.6

0.8

1.0

1

2

3

4

5

1

2

b

6

2

1

t

0.6

0.8

1.0

1.2

1.6

b

2

b

1

t

1

2

t

1 mín

K

Figura 3.6 Valores de

(

)

mín

1

K para seções do tipo I, com variação de espessura.

72

3.3

FLAMBAGEM LOCAL EM PERFIS DE PAREDES DELGADAS COM MESAS

ENRIJECIDAS

Os enrijecedores são utilizados nos bordos livres das mesas das seções para propiciar

apoio e aumentar a tensão crítica de flambagem local. Nas seções transversais constituídas por

aço a frio, o elemento enrijecedor é formado pelo giro dos bordos livres de um determinado

ângulo estabelecido, e proporciona resistência à flexão devido ao momento externo atuante

nas mesas da seção. Uma análise aproximada pode ser realizada, com o comportamento da

alma e das mesas sendo tratado separadamente, e sem a consideração da interação entre os

elementos da seção. Considerando a alma simplesmente apoiada, com modos de flambagem

em deformações de curvas ondulatórias, tem-se:

( )

2

1

2

1

cr

b

t

v112

E4













−

π

=σ . (3.20)

A tensão crítica de flambagem das mesas é obtida com o uso de uma formulação

empírica da solução exata, ilustrada na Figura 3.7.

0

0.2 0.4

0.6

0.8

1.0

1

2

3

4

5

1

2

b

6

1

L

b

0

0.4

0.3

0.2

0.15

0.1

1

b

2

b

L

1 mín

K

Figura 3.7 Seções transversais do tipo U enrijecidas.

73

0

0.2 0.4

0.6

0.8

1.0

1

2

3

4

5

1

2

b

6

1

L

b

0

0.3

0.2

0.1

b

1

b

2

L

b

1 mín

K

Figura 3.8 Solução aproximada para seções transversais enrijecidas do tipo U.

A variação no aumento dos valores de

(

)

min

1

K para um determinado valor de

1

2

b

,

com o aumento da relação das larguras

1

L

b

, não apresenta relação linear, aproximando-se a

uma curva parabólica. No exemplo, para 0.1

b

1

2

= , tem-se os valores de

(

)

min

1

K acrescidos

de

2

1

L

b

26













em relação aos valores iniciais para

(

)

min

1

K . Adicionando estes valores de

(

)

min

1

K na Equação (3.18), obtém-se:

( )

2

1

L

2

1

min

1

b

26

b

5.0K













+













= . (3.21)

74

A substituição da Equação (3.21) na Equação (3.11) fornece:

( )

2

1

2

1

L

2

1

2

cr

b

t

v112

E

b

26

b

5.0













−

π

























+













=σ

. (3.22)

As tensões

(

)

1

cr

σ

e

(

)

2

cr

σ

são consideradas as tensões críticas de flambagem da

seção completa. Na teoria aproximada, os valores de

1

L

b

produzem rigidez suficiente nas

mesas para garantir tensões críticas maiores que as tensões de flambagem da alma.

3.4 MÁXIMA TENSÃO DE FLAMBAGEM

Os valores da tensão crítica de flambagem

cr

σ

, obtidos abaixo do limite elástico do

material, possibilitam para a seção o aumento da tensão final de compressão devido às

grandes deflexões e às ações na membrana das placas componentes. A tensão máxima de

flambagem

máx

σ

é alcançada na ruptura do material. Os testes de compressão em seções de

aço formado a frio, do tipo U, revelam:

3

1

y

cr

y

máx

66.0













σ

=

σ

, para













<

σ

1

y

máx

. (3.23)

A Equação (3.23) pode ser escrita da forma:













σσ=σ

3

1

cr

3

2

ymáx

66.0 , para













<

σ

1

y

máx

. (3.24)

75

Uma seção de haste delgada, designada para sofrer o modo de flambagem local em

tensão crítica correspondente a um quarto da tensão de escoamento do aço

(

)

4/

ycr

σ=σ

,

oferece o colapso no valor de

crmáx

5.2 σ=σ

, indicando reserva considerável da tensão pós-

crítica de flambagem.

Os testes nas seções de aço formado a frio revelam um método analítico, considerando

a redistribuição das tensões ao longo dos bordos das placas componentes da seção após a

flambagem elástica, e o efeito das imperfeições iniciais, sendo representado por:

2

mcr

máx

mcr

máx

cr

máx

cr

y

152.0183.2













δ

ε

+−

σ

+













δ

ε

+−

σ

+

σ

=

σ

, (3.25)

onde ε é a amplitude de imperfeição inicial das placas componentes da seção, δ

m

é a

amplitude destas imperfeições quando a tensão máxima nos bordos alcança o escoamento do

aço.

A relação, para os valores de ε e δ

m

, é dada por:

0

t

25.4125.4

ttt

cr

máx

2

m

3

m

=













ε

−

























−

σ

+













ε

δ

−













δ

. (3.26)

Os valores para

t

ε

,obtidos experimentalmente, são fornecidos por:

2

1

cr

y

3.0

t













σ

=

ε

. (3.27)

76

3.5

CONSIDERAÇÕES DA FLAMBAGEM LOCAL EM PERFIS DELGADOS

As considerações no projeto de estruturas de aço formado a frio, com seção transversal

em hastes de paredes finas, designam uma margem de segurança entre os valores da tensão de

flambagem global devido à flexão, e a tensão de flambagem local dos elementos de placa

componentes da seção. A relação largura/espessura dos elementos estruturais sujeitos a

compressão axial, deve satisfazer a seguinte expressão:

9.0

2

1

cr

K

≤













σ

, (3.28)

sendo

K

σ

a tensão permissível para a flambagem global da coluna, e

cr

σ

a tensão de

instabilidade local dos elementos.

3.6

INTERAÇÃO ENTRE OS MODOS DE FLAMBAGEM LOCAL E GLOBAL

A metodologia analítica proporciona a obtenção da tensão crítica no modo de

flambagem local de uma seção delgada

(

)

cr

σ

, e da tensão última de compressão denominada

tensão máxima compressiva

(

)

máx

σ

. A tensão crítica de flambagem local representa a tensão

em que a flambagem local primeiramente ocorre numa pequena extensão do membro, sem

tendência para a flambagem no modo de flexão, devido ao baixo índice de esbeltez da seção.

A tensão máxima de compressão indica a tensão última obtida pela continuação da

compressão do membro após a primeira verificação da flambagem (VAN der NEUT, 1968).

Os modos de flambagem distorcional, para os perfis de seções transversais enrijecidas

do tipo U, estão ilustrados na Figura 3.9.

77

Figura 3.9 Modos de flambagem distorcional das seções do tipo U enrijecidas.

3.6.1 Tensões máximas de flambagem local

A tensão crítica de flambagem local nas seções perfeitamente elásticas é obtida pelo

conhecimento da configuração, das proporções e do módulo de elasticidade da seção em

análise. O valor da tensão excedendo a margem de segurança ou a tensão de escoamento

(

)

y

σ

do material proporciona flambagem com o colapso estrutural, em uma tensão inferior a

(

)

cr

σ

. Os valores calculados para

(

)

cr

σ

, inferiores a













σ

y

3

2

, fornecem uma reserva de

carga após a primeira ocorrência da flambagem, devida às grandes deflexões elásticas das

placas componentes, com o colapso acontecendo para uma tensão superior à

(

)

cr

σ

.

O colapso ocorre, quando a intensidade da tensão nos bordos das placas componentes,

alcançam valores próximos à tensão de escoamento do aço, devendo-se observar a relação

(

)

ymáx

σσ

dada pela Equação (3.23).

78

3.6.2 Tensões da flambagem global

A tensão média de ruptura, para seções com elevados valores do índice de esbeltez,

não sofre influência da flambagem das placas componentes, tendo valor semelhante à tensão

de flambagem global da coluna. As seções, com valores bem reduzidos do índice de esbeltez,

apresentam o valor da tensão média de ruptura igual à tensão máxima de instabilidade local

(

)

máx

σ

. Para as seções, de valores intermediários do índice de esbeltez, o colapso é causado

pela interação dos modos global e local de flambagem.

O comportamento da coluna de seção de hastes delgadas, sem tendência para o

surgimento do modo local de flambagem, indica a tensão de flambagem por:

2

t

2

E

λ

π

=σ

, (3.29)

onde

t

E

é o módulo de elasticidade tangente, e

λ

é o índice de esbeltez efetivo da seção.

3.6.3 Zona de interação dos modos global e local de flambagem

A curva de

λσ x

E

se afasta da curva elástica no limite da tensão proporcional,

designada

0

σ

. Quando a flambagem local ocorre, no entanto, a curva deve aproximar os

valores da tensão máxima de compressão para baixos valores de esbeltez

λ

. A ligação da

tensão máxima de compressão

(

)

máx

σ

para reduzidos valores de

λ

, com a tensão de

flambagem

(

)

E

σ

para elevados índices de

λ

, adicionada aos efeitos práticos de imperfeições

geométricas e de tensões residuais, é realizada pela curva de ajuste na zona de interação entre

os modos de flambagem local e global, ilustrada na Figura 3.10.

79

r

L

máx

σ

t

Eσ

E

σ

0

σ

Interação

de

Zona

σ

Figura 3.10 Zona de interação da flambagem global e local para perfis delgados.

Uma curva para a transição dos modos de flambagem global e local, adota

(

)

máx

σ

como a tensão limite máxima, fornecendo a tensão de ruptura

(

)

σ

:

(

)

(

)

EEmáx

σση=σ−σσ−σ

, (3.30)

ou

( ) ( )

2

1

yy

Emáx

2

y

E

y

máx

y

E

y

máx

y

1

4

1

2

1













σσ

−













σ

η++

σ

−













σ

η++

σ

=

σ

,

(3.31)

sendo

2

4

r

L

10x3.0













=η

−

, a medida da magnitude do desvio inicial do perfil.

4 FLAMBAGEM LATERAL EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES DELGADAS

O fenômeno da flambagem lateral é caracterizado pela ação de carregamentos devido

ao momento no plano de máxima rigidez à flexão, observando-se a combinação da torção e do

momento lateral da seção transversal. As vigas esbeltas constituídas por seções transversais

abertas de hastes de paredes delgadas apresentam baixa rigidez à flexão e à torção, sendo

susceptíveis aos esforços de flambagem para valores das tensões de momento

consideravelmente menores que a tensão de escoamento ou as tensões de reserva do aço.

4.1 INTRODUÇÃO

A tensão de flambagem elástica sofre influência das condições de apoio nas

extremidades da viga, e do tipo e posição dos carregamentos aplicados na estrutura. Os

esforços de momento causados por carregamentos transversais tornam importante a posição

vertical de aplicação da carga em relação ao eixo do centróide. Nas seções transversais

delgadas abertas, o ponto de aplicação do carregamento em relação ao centro de cisalhamento

é extremamente importante, e para todos os tipos de seções as imperfeições iniciais podem

definir o comportamento estrutural (YOSHIDA, 1977).

A viga retangular estreita, ilustrada na Figura 4.1, possui todos os carregamentos

aplicados no centro de cisalhamento da seção. As extremidades da viga são livres aos esforços

de rotação em relação aos eixos x e y, e rigidamente restritas para a rotação em relação ao

eixo z.

81

x

m

n

z

Figura 4.1 Viga retangular estreita sob carregamentos no centro de cisalhamento.

A ocorrência da flambagem lateral provoca deformações em uma seção distante z da

seção original, definida pelo deslocamento vertical do centróide, v, pelo deslocamento lateral

u, e pela rotação θ em relação ao centróide, como demonstrado na Figura 4.2.

M

0

M

0

z

y

m

n

z

Figura 4.2 Deformações provocadas pelos esforços em uma seção genérica da viga.

82

Consideram-se M

1

e M

2

os momentos de flexão da seção nos planos de mínima e

máxima rigidez respectivamente,

1

φ

e

2

φ

apresentam a inclinação dos eixos representativos

da viga nos planos de rigidez para o estado posterior a deformação da viga, como ilustrado na

Figura 4.3.

M

1

2

M

0

M

y

θ θ

- u

- v x

Figura 4.3 Representação dos esforços solicitantes na seção em análise.

As equações diferenciais para os momentos fletores são, então, indicadas por:

1

M

Sd

d

IE =

φ

,

(4.1)

2

M

Sd

d

IE =

φ

,

sendo I

1

e I

2

os momentos secundários de área nos planos de mínima e máxima rigidez, e S o

comprimento do elemento mensurado ao longo do eixo curvo da viga.

A equação para a rotação da seção é dada por:

zd

ud

M

zd

d

JG

2

−=

θ

, (4.2)

83

onde o termo,

(

)

zdudM

2

, representa o componente de M

2

na direção normal ao eixo curvo

da viga.

As vigas estreitas retangulares apresentam apenas torção uniforme, sem a

consideração do termo devido ao empenamento da seção transversal.

Considerando-se pequenos deslocamentos, as relações observadas entre as curvaturas

podem ser obtidas por:

θ

φ

−

φ

=

Sd

d

Sd

d

zd

ud

21

2

,

(4.3)

θ

φ

+

φ

=

Sd

d

Sd

d

zd

vd

12

2

.

As eliminações de

1

φ ,

2

φ

e S nas Equações (4.1), (4.2) e (4.3) fornecem:

θ−=

2

1

2

1

M

I

M

zd

ud

IE

,

θ+=

1

2

M

I

M

zd

vd

IE

, (4.4)

zd

ud

M

zd

d

JG

2

−=

θ

.

84

Utilizando os métodos de diferenciação e substituindo por

2

zd

ud

, tem-se:

0M

I

M

IE

M

zd

d

JG

2

1

2

=













θ−+

θ

. (4.5)

Para os momentos de flexão M

0

, aplicado no plano vertical, tem-se

01

MM θ= , e

02

MM = , podendo-se escrever:

0

I

1

IE

M

zd

d

JG

2

1

0

2

=













−

θ

+

θ

. (4.6)

A solução da Equação (4.6) para as condições de contorno consideradas na análise, e

para M

0

constante ao longo da viga, é dada por:













π

=θ

L

z

senA

1

. (4.7)

A substituição da Equação (4.7) na Equação (4.6) fornece:

0

I

1

IE

M

L

JG

2

1

0

2

=













−−

π

. (4.8)

A solução da Equação (4.8) indica o valor crítico do momento de flexão pura

(

)

rc

0

M

:

( )

2

1

rc

0

JGIE

L

M













γ

π

=

, (4.9)

sendo

(

)

21

II1 −=γ

o efeito da flexão no plano vertical de estabilidade da viga.

85

O termo, representado por

γ

, corresponde ao efeito provocado pelo momento no plano

de estabilidade da viga. Para valores de I

1

muito reduzidos comparados aos valores de I

2

, tem-

se

1

→

γ

. Para valores iguais de I

1

e I

2

, tem-se γ = 0, conduzindo

(

)

rc

0

M

a valores infinitos,

e estabelecendo que as vigas com rigidez a flexão iguais, nos planos principais dos esforços

de momento, não sofrem o fenômeno da flambagem lateral.

4.2 FLAMBAGEM ELÁSTICA EM PERFIS SIMÉTRICOS DE HASTES DE PAREDES

DELGADAS

No estudo da flambagem elástica em perfis simétricos são investigadas as seções

transversais do tipo I e U. Os perfis constituídos por seções do tipo I apresentam dupla

simetria, com o centro de cisalhamento coincidente ao centróide. As seções do tipo U

apresentam simetria em relação ao eixo horizontal, com o centro de cisalhamento deslocado

em relação ao centróide (CHEUNG; KOO, 1988).

4.2.1 Análise em vigas formadas por perfis do tipo I simplesmente apoiadas

As equações para o equilíbrio de vigas do tipo I, para pequenos deslocamentos,

considerando o efeito da torção, são representadas por:

θ−=

2

1

2

1

M

I

M

zd

ud

IE

,

θ+=

1

2

M

I

M

zd

vd

IE

, (4.10)

3

w2

zd

d

CE

zd

d

JG

zd

ud

M

θ

−

θ

=−

.

86

A Figura 4.4 ilustra o efeito da flambagem lateral em um elemento de viga constituída

por seção transversal formada por perfil do tipo I simétrico.

y

x

θ

- u

- v

Figura 4.4 Flambagem lateral em uma viga composta por perfis simétricos do tipo I.

A diferenciação e a substituição por

22

zdd

µ

na Equação (4.10) fornece:

0

IE

M

zd

d

JG

zd

d

CE

1

0

2

4

w

=

θγ

−

θ

−

θ

, (4.11)

sendo M

0

o momento de flexão no plano vertical, e

(

)

21

II1 −=γ

.

A solução da Equação (4.11) para os apoios da viga simplesmente apoiados, livres

para a rotação em relação aos eixos x e y, e rigidamente restritos à rotação em relação ao eixo

z, com valores constantes de M

0

ao longo da viga, é indicada por:













π

=θ

L

zn

senA

1

, (4.12)

onde o primeiro modo de flambagem corresponde a n = 1.

87

Substituindo a Equação (4.12) na Equação (4.11), tem-se:

( )

2

1

2

w

1

rc

0

L

CEJG

IE

L

M

























π

+

γ

π

=

. (4.13)

Para os valores dos modos de flambagem superiores, ...,4,3,2n

=

, a flambagem é

representada por deformações em várias curvas ondulatórias, n, fornecendo elevados valores

para o momento crítico,

(

)

rc

0

M

. A Equação (4.13) pode ser escrita por:

( )

2

1

2

w

2

1

rc

0

LJG

CE

1

JGIE

L

M













π

+













γ

π

= , (4.14)

onde o termo representado por

2

1

2

w

LJG

CE

1













π

+ indica o aumento do momento crítico,

(

)

rc

0

M

, para uma viga retangular estreita, em relação aos efeitos diferenciais do momento

nas mesas de uma viga formada por perfis do tipo I.

A força crítica

(

)

rc

f

é obtida na divisão do momento crítico

(

)

rc

0

M

pelo módulo da

seção para o momento em relação ao eixo x, dado por

d

I2

2

, sendo d a distância entre os

centróides das mesas do perfil.

Para uma viga retangular estreita, tem-se C

w

= 0, e considerando

γ

= 1, obtém-se:

Ld

b

GEf

2

rc

π= , (4.15)

88

como

(

)

[

]

ν+= 12EG

, sendo

ν

= 0.3, tem-se:

Ld

bE

95.1f

2

rc

=

. (4.16)

O módulo de elasticidade longitudinal, E, apresenta valor 750 vezes superior a tensão

de escoamento do aço, f

y

, onde a Equação (4.16) indica que a flambagem elástica ocorre

apenas para valores muito reduzidos da largura das mesas, b, ou para valores extensos do

comprimento da viga, L.

Para a análise de seções do tipo I, tem-se 4dIC

2

1w

=

, onde d é a distância entre

os centróides das mesas. Considerando

γ

= 1, pode-se escrever:

( )

2

1

2

1

2

1

2

rc

d

L

I12

IJ

I2

I

d

L

2

E

f

























π

ν+

+













π

= . (4.17)

Nos perfis do tipo I, a alma da seção proporciona contribuição muito reduzida nos

valores de I

1

, I

2

e J, propiciando as soluções aproximadas:

12

bt2

I

3

1

=

,

2

d

tb2I













=

, (4.18)

3

tb

3

2

J = .

89

O raio de giração para a flambagem vertical

(

)

x

r

, e o raio de giração para a

flambagem lateral

(

)

y

r

, são dados, respectivamente, por:

2

d

r

x

= ,

(4.19)

12

b

r

y

= .

A substituição das Equações (4.18) e (4.19) na Equação (4.17) fornece:

( )

2

1

2

y

22

y

2

rc

dr

tL

13

2

1

r

L

E

f

























πν+

+













π

=

. (4.20)

4.2.2 Análise em vigas formadas por perfis do tipo U simplesmente apoiadas

A aplicação das cargas ou dos momentos de flexão na linha de ação do centro de

cisalhamento da seção, para a determinação do momento crítico

(

)

rc

0

M

, indica que o valor

da força crítica

(

)

rc

f

independe da direção do deslocamento de flambagem da viga.

As deformações provocadas pela flambagem lateral em vigas do tipo U simplesmente

apoiadas, para a aplicação do carregamento no plano da alma da seção, são mostradas na

Figura 4.5.

90

y

x

θ

P

e

Centro

de

Cisalhamento

Centróide

- u

- v

Figura 4.5 Flambagem lateral em perfis do tipo U simplesmente apoiados, com carga

aplicada no plano da alma da seção.

A tensão máxima atuante na seção, devida aos esforços de deslocamento e rotação,

está relacionada com a direção do deslocamento devido a flambagem. A excentricidade lateral

na aplicação de determinada carga em relação ao centro de cisalhamento indica a equação da

torção por:

3

w2

zd

d

CE

zd

d

JG

2

eP

zd

ud

M

θ

−

θ

=−−

, (4.21)

sendo, e, a excentricidade do carregamento, e P a carga centralizada.

4.3 CONSIDERAÇÕES DAS CONDIÇÕES DO CARREGAMENTO NA

FLAMBAGEM ELÁSTICA DE VIGAS

As cargas transversais, aplicadas em regiões acima do centróide da viga,

proporcionam a diminuição do valor crítico do momento de flexão, devido à perda adicional

de carga na rotação da viga em relação ao centróide ou ao centro de cisalhamento. O valor do

momento crítico, ao contrário, sofre aumento quando a carga é aplicada abaixo do centróide

da viga (NETHERCOT & TRAHAIR,1976).

91

4.3.1 Momento crítico para carregamento transversal por carga concentrada aplicada

no centro de cisalhamento de vigas simplesmente apoiadas formadas por perfis

do tipo U

O estudo da viga ilustrada na Figura 4.6, com os eixos de referência no centróide da

seção, demonstra que para uma seção genérica distante z da origem, as equações do momento

e da torção são dadas por:

0z

2

L

2

P

zd

ud

IE

2

1

=θ













−γ−

,

0z

2

L

2

P

zd

vd

IE

2

=













−−

, (4.22)

( )

0uu

2

P

zd

ud

z

2

L

2

p

zd

d

CE

zd

d

JG

1

3

w

=−−













−+

θ

−

θ

,

onde u

1

é a deflexão lateral no centróide da seção.

y

x

θ

P

- u

- v

Figura 4.6 Carga aplicada no centro de cisalhamento de uma seção transversal do tipo U.

92

Os métodos de diferenciação e a substituição por

2

zd

ud

na expressão da torção

permitem que a equação de equilíbrio seja escrita por:

0z

2

L

IE4

P

zd

d

JG

zd

d

CE

2

1

2

4

w

=θ













−

γ

−

θ

−

θ

. (4.23)

A solução da Equação (4.23) para as condições dos apoios simplesmente apoiados é

fornecida por:

2

1

2

w

2

1

2

rc

L

JG

CE

1

JGIE

L

94.16

P













π

+













γ

= . (4.24)

O momento crítico é, então, dado por:

( )

2

1

2

w

2

1

rc

0

L

JG

CE

1

JGIE

L

35.1M













π

+













γ

π

= . (4.25)

A utilização do método da energia, na determinação do valor da carga crítica,

estabelece a energia de flexão e torção por:

∫ ∫ ∫













θ

+













θ

+













=

2L

0

2L

0

2L

0

2

w

2

1

zd

d

CEzd

zd

d

JGzd

zd

ud

IEU .

(4.26)

O trabalho realizado, pela carga P na flambagem, é indicado por:

∫













−θ=

2L

0

2

zd

ud

z

2

L

PW . (4.27)

93

A solução das Equações (4.26) e (4.27) e a substituição por

22

zdud na Equação

(4.22) fornece:

∫∫∫













θ

+













θ

=













−θ

γ

2L

0

2

w

2L

0

2

2L

0

2

1

2

zd

d

CEzd

zd

d

JGzdz

2

L

IE4

P

,

(4.28)

assumindo a expressão













π

=θ

L

z

cosA

1

, chega-se à solução da carga crítica apresentada na

Equação (4.24).

4.3.2 Momento crítico para carregamento transversal por carga distribuída aplicada

no centro de cisalhamento de vigas simplesmente apoiadas formadas por perfis

do tipo U

O momento crítico provocado por um carregamento distribuído de intensidade q, no

plano vertical de uma seção transversal genérica, distante z da origem, é representado por:

( )

2

1

2

w

2

1

rc

0

L

JG

CE

1

JGIE

L

13.1M













π

+













γ

π

= . (4.29)

4.3.3 Momento crítico para carregamento transversal por carga concentrada aplicada

no bordo livre de vigas em balanço formadas por perfis do tipo U

A equação do momento crítico no plano vertical de uma seção transversal genérica da

viga, ilustrada na Figura 4.7, distante z da origem, é dada por:

( )

2

1

2

w

2

1

rc

0

L

JG

CE

1

JGIE

L

28.1M













π

+













γ

π

= . (4.30)

94

y

m

n

z

L

P

Figura 4.7 Carga transversal aplicada no bordo livre da viga em balanço.

4.3.4 Momento crítico para carregamento transversal por carga uniformemente

distribuída aplicada no centro de cisalhamento de vigas balanço formadas por

perfis do tipo U

O momento crítico provocado por um carregamento distribuído de intensidade q, no

plano vertical de uma seção transversal genérica, distante z da origem, é representado por:

( )

2

1

2

w

2

1

rc

0

L

JG

CE

1

JGIE

L

05.2M













π

+













γ

π

= . (4.31)

95

4.3.5 Momento crítico para carregamento transversal aplicado em regiões superiores

ou inferiores ao centro de cisalhamento dos perfis transversais de vigas

Para uma carga concentrada aplicada no centróide de uma seção transversal em uma

viga retangular, tem-se:

∫∫∫













θ

+













θ

=













−θ

γ

+

θ

±

2L

0

2

w

2L

0

2

2L

0

2

1

2

0

2

zd

d

CEzd

zd

d

JGzdz

2

L

IE4

P

2

aP

,

(4.32)

sendo o termo

a

±

, a distância vertical do ponto de aplicação da carga acima ou abaixo do

centro de cisalhamento, como ilustrada na Figura 4.8. Considerando a distribuição

aproximada da torção em forma parabólica, tem-se a seguinte solução para a Equação (4.32):





































+













+=

L

IEa66.1

L

IEa66.1

LJG

CE12

1IEJG

L

5.17

P

1

2

1

2

1

2

w

1

2

rc

µ . (4.33)

Cisalhamento

Centro

de

-a

P

a negativo

a positivo

Figura 4.8 Carregamento aplicado acima do centro de cisalhamento da seção tipo U.

96

O valor da carga crítica é adicionado de dois termos envolvendo o parâmetro a / L,

devido ao efeito da carga aplicada a uma distância (a), do centro de cisalhamento da seção.

Considerando a distribuição da torção, com a utilização da função de deflexão mais precisa

que a forma parabólica, obtém-se:





































+













π

+=

L

a

IE72.1

L

IEa72.1

LJG

CE

1IEJG

L

94.16

P

1

2

1

2

1

2

w

2

1

2

rc

µ .

(4.34)

O momento crítico é, então, dado por:

( )





































+













π

+

π

=

L

a

IE72.1

L

a

IE72.1

JG

CE

L

1JGIE

L

35.1M

1

2

1

2

1

w

2

1

rc

0

µ .

(4.35)

Organizando a Equação (4.35), conclui-se que:

( ) ( )

























π

+++

π

=

2

w1

w

2

22

2

1

2

1

rc

0

L

CE

JG

1

I

C

aCaC

L

IE

CM , (4.36)

onde 35.1C

1

= e 55.0C

2

= .

Para carregamento uniformemente distribuído, tem-se:

13.1C

1

=

,

(4.37)

45.0C

2

=

.

97

As constantes para a carga centralizada no bordo engastado de vigas balanço são

apresentadas por:

28.1C

1

=

,

(4.38)

64.0C

2

=

,

sendo a, considerado positivo, para pontos de aplicação da carga inferiores ao centro de

cisalhamento da seção transversal.

4.4 AVALIAÇÃO DE CARGAS EXCÊNTRICAS NO MOMENTO CRÍTICO DE

PERFIS DELGADOS

Os carregamentos devidos ao momento fletor, aplicados num plano vertical que não

engloba o centro de cisalhamento do perfil, provocam a rotação e a deflexão lateral da viga no

início do carregamento (SCHAFER, 1997). Considerando uma carga centralizada aplicada no

centróide da seção, e desprezando-se a rigidez ao empenamento, pode-se escrever a equação

de equilíbrio da torção por:

(

)

0

2

eP

uu

2

P

zd

ud

z

2

L

2

p

zd

d

JG

1

=+−−













−+

θ

. (4.39)

Por diferenciação da Equação (4.39) e substituindo por

2

zd

ud

, obtém-se:

0z

2

L

IE4

P

zd

d

JG

2

1

2

=θ













−

γ

+

θ

. (4.40)

As condições de contorno abaixo fornecem uma solução para a Equação (4.40):

2

L

zpara0 ==θ , então

0zpara

JG2

eP

zd

d

=−=

θ

.

98

A carga crítica pode, então, ser obtida com o auxílio da Figura 4.9, sendo:

2

1

2

rc

JGIE

L

94.16

P













γ

=

, (4.41)

onde u

1

é a deflexão lateral no centróide da seção.

θ

P

e

Centro

de

Cisalhamento

0

2

4

6 8

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

cr

P

1

u

e

u

1

Figura 4.9 Relação observada entre a carga aplicada e a deflexão lateral da seção.

4.5 FLAMBAGEM ELÁSTICA EM PERFIS ASSIMÉTRICOS DE HASTES DE

PAREDES DELGADAS

Nas vigas formadas por perfis do tipo I, com mesas de larguras diferentes, o centro de

cisalhamento não coincide com o centróide da seção transversal. Na Figura 4.10, o valor do

momento de inércia, I

c

, da mesa comprimida devido à flexão lateral é maior do que o valor do

momento de inércia da mesa tracionada, I

t

.

99

Mesa Comprimida

Mesa Tracionada

y

t

I

c

I

t

y

c

Figura 4.10 Representação do perfil do tipo I assimétrico constituinte da viga.

Para a atuação do momento fletor uniforme em seções assimétricas do tipo I, pode-se

substituir o termo,

aC

2

, na Equação (4.36), pela distância (e) entre o centróide e o centro de

cisalhamento da seção. Considerando o momento de flexão puro,

1C

1

=

, e 1

=

γ

, tem-se:

( )

























π

+++

π

=

2

w1

w

2

1

2

rc

0

L

CE

JG

1

I

C

ee

L

IE

M , (4.42)

sendo

(

)

1

ttcc

I

yIyI

e

−

= .

Nos casos onde a mesa tracionada é mais larga que a mesa comprimida, a Equação

(4.42) superestima o valor do momento crítico

(

)

rc

0

M

, propiciando a utilização da distância

100

entre o centróide e o centro de cisalhamento, que assume

2

d

yy

tc

== , e fornecendo a

solução aproximada:

(

)

1

tc

I2

dII

e

−

= . (4.43)

Na consideração do momento fletor puro, para uma análise geral mais precisa,

substitui-se a expressão de (e) por

( )













++

∫

A

22

2

Adyxy

I2

1

e . Para o estudo de outros

tipos de carregamentos, este termo é representado pelo coeficiente

3

C

, que possui valor igual

a 1.0 para momento de flexão puro, e valor aproximadamente igual a 2.5 para carga

transversal concentrada aplicada no centróide da seção.

Denotando o termo

( )













++

∫

A

22

2

Adyxy

I2

1

e por j, pode-se representar a

equação generalizada do momento crítico para cargas aplicadas em uma distância (a) do

centro de cisalhamento da seção do perfil por:

( ) ( )

























π

+++++

π

=

2

w1

w

2

3232

2

1

2

1

rc

0

L

CE

JG

1

I

C

jCaCjCaC

L

IE

CM ,

(4.44)

onde a é considerado positivo para pontos de aplicação da carga localizados abaixo do centro

de cisalhamento, e j é considerado positivo para o centro de cisalhamento situado entre o

centróide e a mesa comprimida.

101

4.6 FLAMBAGEM INELÁSTICA EM PERFIS DE HASTES DE PAREDES

DELGADAS

O fenômeno da flambagem inelástica ocorre para tensões menores que as tensões de

cálculo, quando o valor da tensão de flambagem elástica excede o limite elástico do material.

As vigas sob esforços de flexão pura, com tensão constante ao longo do eixo longitudinal,

apresentam decréscimo da rigidez com aumento da plasticidade das seções transversais, onde

a seção reduzida corresponde ao momento crítico aplicado.

Considerando a rigidez à flexão e à torção reduzidas, de acordo com a teoria do

módulo tangente, determina-se o momento crítico por:

( )

2

1

2

t

wt

2

1

t1t

rc

0

L

JG

CE

1

JGIE

L

M













π

+













γ

π

= . (4.45)

Assumindo a relação GGEE

tt

= , tem-se:

( )

2

1

2

w

2

1

1t

rc

0

L

JG

CE

1

JGIE

LE

E

M













π

+













γ

π













= . (4.46)

O valor calculado para o momento crítico elástico é reduzido pelo fator













E

t

no

estado inelástico, fornecendo uma solução aproximada para o caso de vigas sob ação de

esforços provenientes da flexão pura.

5 ANÁLISE DA TENSÃO CRÍTICA PARA FLAMBAGEM LOCAL E DO

MOMENTO CRÍTICO PARA FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS

Na análise dos perfis de hastes de paredes delgadas de séries comerciais do tipo U,

constituídos por aço a frio sem revestimento, foram calculadas as características geométricas

para a torção. Os perfis estão organizados em 14 grupos, conforme disposto na NBR 6355

(2003), e apresentados nas Tabelas 5.1 a 5.14. A obtenção dos momentos de inércia em

relação aos eixos principais, do momento de inércia à torção e da constante de empenamento

das seções propicia a avaliação das tensões críticas de flambagem local e do momento crítico

de flambagem lateral de vigas formadas pelas seções transversais estudadas.

b

f

b

w

x

y

CG

CT

a

m

t

x

0

x

g

b

m

b

Figura 5.1 Perfil U simples.

103

Placa 1

Placa 2

Eixo de Simetria

b

1

b

2

Figura 5.2 Flambagem lateral das placas componentes da seção U.

Tabela 5.1 Grupo 1 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

50 x 25 x 1.20

50 25 1.20 1.20

50 x 25 x 1.50

50 25 1.50 1.50

50 x 25 x 2.00

50 25 2.00 2.00

50 x 25 x 2.25

50 25 2.25 2.25

50 x 25 x 2.65

50 25 2.65 2.65

50 x 25 x 3.00

50 25 3.00 3.00

Dimensões

Perfil U

Tabela 5.2 Grupo 2 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

75 x 40 x 1.20

75 40 1.20 1.20

75 x 40 x 1.50

75 40 1.50 1.50

75 x 40 x 2.00

75 40 2.00 2.00

75 x 40 x 2.25

75 40 2.25 2.25

75 x 40 x 2.65

75 40 2.65 2.65

75 x 40 x 3.00

75 40 3.00 3.00

75 x 40 x 3.35

75 40 3.35 3.35

75 x 40 x 3.75

75 40 3.75 3.75

75 x 40 x 4.25

75 40 4.25 4.25

75 x 40 x 4.75

75 40 4.75 4.75

Dimensões

Perfil U

104

Tabela 5.3 Grupo 3 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

100 x 40 x 1.20

100 40 1.20 1.20

100 x 40 x 1.50

100 40 1.50 1.50

100 x 40 x 2.00

100 40 2.00 2.00

100 x 40 x 2.25

100 40 2.25 2.25

100 x 40 x 2.65

100 40 2.65 2.65

100 x 40 x 3.00

100 40 3.00 3.00

100 x 40 x 3.35

100 40 3.35 3.35

100 x 40 x 3.75

100 40 3.75 3.75

100 x 40 x 4.25

100 40 4.25 4.25

100 x 40 x 4.75

100 40 4.75 4.75

100 x 40 x 6.30

100 40 6.30 6.30

Dimensões

Perfil U

Tabela 5.4 Grupo 4 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

100 x 50 x 1.20

100 50 1.20 1.20

100 x 50 x 1.50

100 50 1.50 1.50

100 x 50 x 2.00

100 50 2.00 2.00

100 x 50 x 2.25

100 50 2.25 2.25

100 x 50 x 2.65

100 50 2.65 2.65

100 x 50 x 3.00

100 50 3.00 3.00

100 x 50 x 3.35

100 50 3.35 3.35

100 x 50 x 3.75

100 50 3.75 3.75

100 x 50 x 4.25

100 50 4.25 4.25

100 x 50 x 4.75

100 50 4.75 4.75

100 x 50 x 6.30

100 50 6.30 6.30

Dimensões

Perfil U

Tabela 5.5 Grupo 5 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

100 x 75 x 2.65

100 75 2.65 2.65

100 x 75 x 3.00

100 75 3.00 3.00

100 x 75 x 3.35

100 75 3.35 3.35

100 x 75 x 3.75

100 75 3.75 3.75

100 x 75 x 4.25

100 75 4.25 4.25

100 x 75 x 4.75

100 75 4.75 4.75

100 x 75 x 6.30

100 75 6.30 6.30

100 x 75 x 8.00

100 75 8.00 12.00

Dimensões

Perfil U

105

Tabela 5.6 Grupo 6 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

125 x 50 x 1.20

125 50 1.20 1.20

125 x 50 x 1.50

125 50 1.50 1.50

125 x 50 x 2.00

125 50 2.00 2.00

125 x 50 x 2.25

125 50 2.25 2.25

125 x 50 x 2.65

125 50 2.65 2.65

125 x 50 x 3.00

125 50 3.00 3.00

125 x 50 x 3.35

125 50 3.35 3.35

125 x 50 x 3.75

125 50 3.75 3.75

125 x 50 x 4.25

125 50 4.25 4.25

125 x 50 x 4.75

125 50 4.75 4.75

125 x 50 x 6.30

125 50 6.30 6.30

Dimensões

Perfil U

Tabela 5.7 Grupo 7 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

125 x 75 x 2.65

125 75 2.65 2.65

125 x 75 x 3.00

125 75 3.00 3.00

125 x 75 x 3.35

125 75 3.35 3.35

125 x 75 x 3.75

125 75 3.75 3.75

125 x 75 x 4.25

125 75 4.25 4.25

125 x 75 x 4.75

125 75 4.75 4.75

125 x 75 x 6.30

125 75 6.30 6.30

125 x 75 x 8.00

125 75 8.00 12.00

Dimensões

Perfil U

Tabela 5.8 Grupo 8 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

150 x 50 x 2.00

150 50 2.00 2.00

150 x 50 x 2.25

150 50 2.25 2.25

150 x 50 x 2.65

150 50 2.65 2.65

150 x 50 x 3.00

150 50 3.00 3.00

150 x 50 x 3.35

150 50 3.35 3.35

150 x 50 x 3.75

150 50 3.75 3.75

150 x 50 x 4.25

150 50 4.25 4.25

150 x 50 x 4.75

150 50 4.75 4.75

150 x 50 x 6.30

150 50 6.30 6.30

150 x 50 x 8.00

150 50 8.00 12.00

Perfil U

Dimensões

106

Tabela 5.9 Grupo 9 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

150 x 75 x 2.65

150 75 2.65 2.65

150 x 75 x 3.00

150 75 3.00 3.00

150 x 75 x 3.35

150 75 3.35 3.35

150 x 75 x 3.75

150 75 3.75 3.75

150 x 75 x 4.25

150 75 4.25 4.25

150 x 75 x 4.75

150 75 4.75 4.75

150 x 75 x 6.30

150 75 6.30 6.30

150 x 75 x 8.00

150 75 8.00 12.00

Perfil U

Dimensões

Tabela 5.10 Grupo 10 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

200 x 50 x 2.00

200 50 2.00 2.00

200 x 50 x 2.25

200 50 2.25 2.25

200 x 50 x 2.65

200 50 2.65 2.65

200 x 50 x 3.00

200 50 3.00 3.00

200 x 50 x 3.35

200 50 3.35 3.35

200 x 50 x 3.75

200 50 3.75 3.75

200 x 50 x 4.25

200 50 4.25 4.25

200 x 50 x 4.75

200 50 4.75 4.75

200 x 50 x 6.30

200 50 6.30 6.30

200 x 50 x 8.00

200 50 8.00 12.00

Perfil U

Dimensões

Tabela 5.11 Grupo 11 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

200 x 75 x 2.65

200 75 2.65

2.65

200 x 75 x 3.00

200 75 3.00

3.00

200 x 75 x 3.35

200 75 3.35

3.35

200 x 75 x 3.75

200 75 3.75

3.75

200 x 75 x 4.25

200 75 4.25

4.25

200 x 75 x 4.75

200 75 4.75

4.75

200 x 75 x 6.30

200 75 6.30

6.30

200 x 75 x 8.00

200 75 8.00

12.00

Perfil U

Dimensões

107

Tabela 5.12 Grupo 12 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

200 x 100 x 2.65

200 100 2.65

2.65

200 x 100 x 3.00

200 100 3.00

3.00

200 x 100 x 3.35

200 100 3.35

3.35

200 x 100 x 3.75

200 100 3.75

3.75

200 x 100 x 4.25

200 100 4.25

4.25

200 x 100 x 4.75

200 100 4.75

4.75

200 x 100 x 6.30

200 100 6.30

6.30

200 x 100 x 8.00

200 100 8.00

12.00

Perfil U

Dimensões

Tabela 5.13 Grupo 13 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

250 x 100 x 2.65

250 100 2.65

2.65

250 x 100 x 3.00

250 100 3.00

3.00

250 x 100 x 3.35

250 100 3.35

3.35

250 x 100 x 3.75

250 100 3.75

3.75

250 x 100 x 4.25

250 100 4.25

4.25

250 x 100 x 4.75

250 100 4.75

4.75

250 x 100 x 6.30

250 100 6.30

6.30

250 x 100 x 8.00

250 100 8.00

12.00

Perfil U

Dimensões

Tabela 5.14 Grupo 14 de perfis analisados.

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

300 x 100 x 2.65

300 100 2.65

2.65

300 x 100 x 3.00

300 100 3.00

3.00

300 x 100 x 3.35

300 100 3.35

3.35

300 x 100 x 3.75

300 100 3.75

3.75

300 x 100 x 4.25

300 100 4.25

4.25

300 x 100 x 4.75

300 100 4.75

4.75

300 x 100 x 6.30

300 100 6.30

6.30

300 x 100 x 8.00

300 100 8.00

12.00

Perfil U

Dimensões

108

5.1 ANÁLISE DA TENSÃO CRÍTICA PARA A FLAMBAGEM LOCAL DAS

PLACAS COMPONENTES DOS PERFIS TIPO U

Com o auxílio da computação algébrica simbólica (Mathcad) são calculadas as tensões

críticas da flambagem local das placas componentes para os perfis de cada grupo isolado,

gerando-se a análise gráfica dos valores obtidos.

A Figura 5.3 indica o comportamento reunido dos grupos de perfis delgados do tipo U

na avaliação das tensões críticas de flambagem local.

0 0.0085 0.017 0.0255 0.034 0.0425 0.051 0.0595 0.068 0.0765 0.085

0

20

40

60

80

100

120

140

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

133.402

5.336

σ1

cr

i

σ2

cr

i

σ3

cr

i

σ4

cr

i

σ5

cr

i

σ6

cr

i

σ7

cr

i

σ8

cr

i

σ9

cr

i

σ10

cr

i

σ11

cr

i

σ12

cr

i

σ13

cr

i

σ14

cr

i

0.0850.009 t1

1

i

b1

1

i

t1

2

i

b1

2

i

,

t1

3

i

b1

3

i

,

t1

4

i

b1

4

i

,

t1

5

i

b1

5

i

,

t1

6

i

b1

6

i

,

t1

7

i

b1

7

i

,

t1

8

i

b1

8

i

,

t1

9

i

b1

9

i

,

t1

10

i

b1

10

i

,

t1

11

i

b1

11

i

,

t1

12

i

b1

12

i

,

t1

13

i

b1

13

i

,

t1

14

i

b1

14

i

,

Relação espessura/largura da alma (t/b

w

)

Figura 5.3 Avaliação das tensões críticas para a flambagem local dos grupos de perfis U.

109

Na análise gráfica verifica-se que as tensões críticas dos perfis em conjunto crescem

gradativamente com as relações espessura/largura da alma para todos os grupos estudados. A

placa correspondente à alma do perfil comanda a curva (t/b

w

) de tensões críticas de

flambagem, não sofrendo influência das espessuras e larguras das mesas superiores e

inferiores da seção. Embora a análise da flambagem local e das tensões críticas esteja voltada

para a pesquisa de peças estruturais sob esforços de compressão, não se observa a influência

do comprimento total da estrutura no mecanismo da flambagem local.

Algumas categorias de perfis apresentam comportamentos diferenciados em

comparação às outras. As maiores relações t/b

w

estão nas categorias iniciais de 1 a 7, onde os

perfis apresentam menor altura da alma. A taxa de variação das tensões críticas de flambagem

local dos perfis da categoria 10 é bem superior em relação às demais, indicando menor

variação da relação espessura/largura das almas das seções deste grupo. Ocorrem

superposições no comportamento entre categorias de perfis que apresentam altura das almas

bem diferentes entre si.

5.2 ANÁLISE DO MOMENTO CRÍTICO PARA A FLAMBAGEM LATERAL DE

VIGAS

Com o auxílio da computação algébrica simbólica (Mathcad) são calculados os

momentos críticos da flambagem lateral de vigas simplesmente apoiadas com carga aplicada

no centro de cisalhamento para os perfis de cada grupo isolado, gerando-se a análise gráfica

dos valores obtidos. A viga considerada possui comprimento longitudinal de 10m.

y

x

P

Figura 5.4 Carga aplicada no centro de cisalhamento da seção tipo U.

110

A Figura 5.5 indica o comportamento reunido dos grupos de perfis delgados do tipo U

na avaliação dos momentos críticos de flambagem lateral.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Momento crítico de flambagem lateral

(kN/cm2)

3080.529

3.727

M1

0cr

i

M2

0cr

i

M3

0cr

i

M4

0cr

i

M5

0cr

i

M6

0cr

i

M7

0cr

i

M8

0cr

i

M9

0cr

i

M10

0cr

i

M11

0cr

i

M12

0cr

i

M13

0cr

i

M14

0cr

i

100 J1

i

J2

i

, J3

i

, J4

i

, J5

i

, J6

i

, J7

i

, J8

i

, J9

i

, J10

i

, J11

i

, J12

i

, J13

i

, J14

i

,

Momento de inércia à torção

Figura 5.5 Avaliação dos momentos críticos para a flambagem lateral dos grupos de perfis

U.

Na análise gráfica verifica-se que os momentos críticos dos perfis em conjunto

crescem gradativamente com os valores do momento de inércia à torção para todos os grupos

estudados. Na flambagem lateral, a análise é feita para as peças submetidas ao efeito de

flexão, e as condições de apoio nas extremidades tomam um papel fundamental em cada caso

estudado, bem como o tipo de carregamento aplicado na estrutura. A posição de aplicação da

111

carga externa apresenta influência nos resultados, quando se analisa o comportamento do

momento crítico de flambagem lateral com as variações dos momentos de inércia à torção.

Os maiores valores do momento de inércia à torção são observados nas categorias

finais de 12 a 14, onde os perfis apresentam maior altura da alma. Ocorrem superposições no

comportamento entre categorias de perfis que apresentam altura das almas bem diferentes

entre si.

A continuidade da pesquisa será realizada, considerando-se diferentes formas de

perfis, como o U enrijecido, e verificando-se as variações das tensões e dos momentos críticos

para os diferentes modos de flambagem e interação entre os modos de flambagem, em função

das características geométricas para a torção calculadas.

Será pesquisado o método de Von Kármán, que se fundamenta no método das larguras

efetivas, o método da resistência direta, análises numéricas e gráficas do comportamento

estrutural mediante a flambagem distorcional, envolvendo inclusive perfis assimétricos e

enrijecidos.

Serão realizadas comparações entre as principais normas vigentes e adotadas em todo

o mundo, como o EUROCODE 3, AISC, NBR 14762 (2001) e trabalhos experimentais já

realizados no âmbito da pesquisa.

6 CONTRIBUIÇÃO DOS ENRIJECEDORES NOS PERFIS DE AÇO

FORMADOS A FRIO

O fenômeno da flambagem é passível de ocorrência em perfis de aços formados a frio

sob esforços de compressão axial, compressão por flexão ou cisalhamento. Para a verificação

da flambagem indica-se distinguir os diversos tipos de elementos planos componentes da

seção transversal do perfil com a identificação dos tipos de vinculações e solicitações

idealizadas para os elementos do perfil.

O elemento comprimido enrijecido é definido por um elemento plano sob esforços de

compressão onde as duas bordas paralelas à direção da tensão estão suportadas por

enrijecedores apropriados, como por exemplo, as almas dos perfis do tipo U e do tipo I. O

elemento comprimido não enrijecido é representado pela borda paralela à direção da tensão

livre como as mesas do perfil do tipo U.

6.1 ANÁLISE DA LARGURA EFETIVA

Para os perfis de aço formados a frio, a tensão de escoamento do aço é alcançada

quando o colapso não é ainda atingido, pois os acréscimos de tensão podem ser suportados

devido à redistribuição das tensões para os enrijecedores do perfil. A distribuição das tensões

no perfil permanece uniforme até a iminência do fenômeno da flambagem, após ocorre

redistribuição das tensões para as regiões mais rígidas próximas aos apoios, resultando na

ocorrência de tensões não uniformes.

113

O colapso estrutural ocorre quando a tensão máxima iguala-se à tensão de escoamento

do aço. A distribuição das tensões na seção transversal de um perfil genérico está ilustrada na

Figura 6.1.

2

f < f

1

f

1

cr

f

y

f < f < f

cr

2

f

3

f = f

y

Figura 6.1 Distribuição das tensões para os elementos enrijecidos sob esforços de

compressão.

O comportamento para o estado de pós-flambagem é analisado com a consideração

dos grandes deslocamentos observados na estrutura, segundo a equação diferencial descrita a

seguir:

0

y

w

x

F

yx

w

yx

F

2

x

w

y

F

D

t

y

w

yx

w

2

x

w

2

222

2

4

22

4

=













∂

+

∂∂

∂

∂∂

∂

−

∂

=

∂

+

∂∂

∂

+

∂

(6.1)

onde F é a função de tensão para a fibra média da chapa.

114

Têm-se:

2

x

y

F

f

∂

=

;

2

y

x

F

f

∂

=

; (6.2)

yx

F

2

xy

∂∂

∂

−=

τ

Para solução da Equação (6.1) considera-se o conceito da largura efetiva (VON

KARMAN, 1932). Na aproximação a distribuição não uniforme de tensões é substituída por

uma distribuição uniforme de tensões, iguais às tensões das bordas, atuantes em uma suposta

largura efetiva b

ef

, conforme ilustração da Figura 6.2.

f

máx

x

dx

b

ef

/

2

/

ef

b

2

f

Figura 6.2 Largura efetiva para o elemento enrijecido sob esforços de compressão.

115

Obtém-se a largura efetiva (b

ef

) de modo que as duas resultantes das distribuições de

tensões em análise sejam iguais:

∫

=

b

0

máxef

fbdxf (6.3)

Na verificação de uma largura particular do perfil, onde a flambagem ocorre quando a

tensão de compressão atinge o limite de escoamento do aço, o valor teórico de b, no caso de

um perfil longo, pode ser obtido igualando-se f

cr

a f

y

, tem-se então:

( )

2

ycr

t

b

13

E

ff













ν−

π

== (6.4)

ou

yy

f

E

t9,1

f

E

tcb == (6.5)

sendo:

y

f

= tensão limite de escoamento do aço;

ν

= 0,3;

( )

9,1

13

c

2

=

ν−

π

= (6.6)

116

A Equação (6.5) representa a equação clássica para a determinação da largura efetiva

dos perfis de aço compostos por elementos enrijecidos.

6.2 PERFIS DE AÇO FORMADOS A FRIO ENRIJECIDOS SUJEITOS À ESFORÇOS

DE COMPRESSÃO

Os estudos realizados nas seções de aço formadas a frio concluíram que a Equação

(6.5) pode ser aplicada igualmente para os elementos onde a tensão máxima atuante é inferior

à tensão limite de escoamento do aço. No entanto, os ensaios experimentais demonstraram

que o termo “c” indicado na Equação (6.5) depende principalmente do parâmetro

adimensional

(

)

btfE

máx

.

Com isso:

























−=

máx

f

E

b

t

475,019,1c

(6.7)

A expressão para a determinação da largura efetiva de um elemento enrijecido é então,

representada por:

























−=

máxmáx

ef

f

E

b

t

475,01

f

E

t9,1b

(6.8)

A Equação (6.8) pode ser generalizada para o fornecimento da largura efetiva de

elementos enrijecidos sob esforços de compressão e variadas condições de contorno,

conforme abaixo:

























−=

máxmáx

ef

f

Ek

w

t

208,01

f

Ek

t95,0b

(6.9)

sendo k o coeficiente de flambagem do perfil.

117

Igualando-se b

ef

à b na Equação (6.9), obtém-se:

(

)

λ

−

=ρ

22,01

(6.10)

onde:

Ek

f

t

b

k

052,1

máx













=λ

(6.11)

A Equação (6.11) determina o valor de

λ

para o qual o elemento enrijecido à

compressão é considerado plenamente efetivo.

6.3 ENRIJECEDORES DE BORDA E INTERMEDIÁRIO

A utilização dos enrijecedores de borda ou intermediários propicia aumento relativo na

resistência das seções de borda livre quando a relação (b/t) de um elemento comprimido da

seção é elevada.

Os enrijecedores fornecem apoio longitudinal aos elementos do perfil pela localização

paralela à direção da tensão de compressão.

Figura 6.3 Enrijecedores de borda e intermediário nos perfis tipo U.

118

Dois modos distintos de flambagem caracterizam o comportamento dos elementos

planos com utilização de enrijecedores. O primeiro modo é o de flambagem do enrijecedor,

onde a instabilidade é iniciada pela flambagem do enrijecedor na direção perpendicular ao

plano do elemento que constitui apoio contínuo. O segundo modo é indicado pela flambagem

local do elemento plano, onde o enrijecedor apresenta propriedades de rigidez suficientes para

idealização de apoio contínuo para o elemento comprimido.

6.3.1 Utilização dos enrijecedores de borda nos perfis de aço formados a frio

Para os casos em que a relação d/b, onde d é a altura do enrijecedor e b a largura da

mesa, é inferior a razão de 0,12 tem-se que a rigidez do elemento enrijecedor não é suficiente

para caracterizar um apoio à seção transversal do perfil. Conclui-se então, que a flambagem é

iniciada no enrijecedor de borda.

Nos casos em que 0,12 < d/b < 0,4 a flambagem inicia-se simultaneamente no

elemento plano e no enrijecedor da seção transversal.

Quando d/b > 0,4 tem-se o início da flambagem pelo elemento plano do perfil. A

flambagem prematura do elemento plano é justificada pela interação da instabilidade local do

enrijecedor de borda com o elemento enrijecido. As formas dos enrijecedores de borda

distintas das obtidas por simples viradas de 90° não são propensas a este tipo de interação, e

os enrijecedores com dimensões excessivas não afetam a tensão crítica de flambagem do

perfil em conjunto.

119

6.3.1.1 Momento de inércia para os enrijecedores de borda

O momento de inércia para o enrijecedor de borda é definido em relação ao eixo

central do enrijecedor com a consideração de três casos distintos (DESMOND, 1981).

Em caso de:

f

E

3

28,1

t

b

≤

(6.12)

onde:

b é a largura do elemento;

t é a espessura do elemento;

E é o módulo de elasticidade do aço;

F é a tensão de compressão do elemento.

Neste caso, a largura efetiva e a largura plana do elemento comprimido não enrijecido

são iguais, não sendo necessária a utilização do enrijecedor de borda.

No segundo caso tem-se a seguinte relação entre a largura e a espessura do elemento:

f

E

28,1

t

b

f

E

3

28,1

≤<

(6.13)

A estrutura tem comportamento de um elemento comprimido enrijecido de modo que

o momento de inércia do enrijecedor é representado por:

4

t

3

a

33,0

f

E

28,1

t

b

399I





















−

























=

(6.14)

120

Para o último caso no qual indica-se a relação:

f

E

28,1

t

b

>

(6.15)

O momento de inércia do enrijecedor é dado por:

4

t

3

a

5

f

E

28,1

t

b

115I





















+

























=

(6.16)

6.3.2 Utilização dos enrijecedores intermediários nos perfis de aço formados a frio

Na utilização de um único enrijecedor intermediário em uma estrutura esbelta sob

esforços de compressão conclui-se que o momento de inércia do enrijecedor deve sofrer

avaliação conforme três casos de estudos distintos.

6.3.2.1 Momento de inércia para os enrijecedores intermediários

No primeiro caso em que:

f

E

28,1

t

b

0

≤

(6.17)

sendo b

0

a largura total da chapa enrijecida.

121

Tem-se a largura efetiva do elemento comprimido enrijecido de valor igual à largura

do elemento, não sendo necessária a utilização do enrijecedor intermediário.

Para a relação apresentada a seguir:

f

E

84,3

t

b

f

E

28,1

0

<<

(6.18)

Pode-se escrever o momento de inércia do enrijecedor por:

4

t

0

a

50

f

E

28,1

t

b

50

I





















−

























= (6.19)

No terceiro caso de estudo tem-se a seguinte relação:

f

E

84,3

t

b

0

≥

(6.20)

Na qual a equação do momento de inércia do elemento enrijecido é representada por:

4

t

0

a

285

f

E

28,1

t

b

128

I





















−

























= (6.21)

122

O uso de enrijecedores múltiplos em estruturas sob tensões compressivas indica o

momento de inércia mínimo para cada enrijecedor por ( YU, 1986):

44

2

mín

t4,18t

f

E

136,0

t

b

66,3I ≥













−













= (6.22)

onde ( b/t ) é a razão entre a largura plana e a espessura do maior subelemento enrijecido.

Apenas os enrijecedores adjacentes à alma da seção transversal da estrutura devem ser

analisados na utilização de dois ou mais enrijecedores intermediários. Para o cálculo da

espessura do elemento, deve-se considerar um elemento equivalente de largura igual a b

0

com

a distância entre as almas ou ao enrijecedor de borda e espessura equivalente determinada por:

3

0

b

I

12t =

(6.23)

onde I é o momento de inércia total do elemento com enrijecedores múltiplos.

6.3.3 Largura efetiva para perfis com enrijecedor de borda

O coeficiente de flambagem do perfil é determinado pela interação entre o perfil

enrijecido e o enrijecedor, onde as expressões de b

’

ef

e A

’

ef

permitem a avaliação de um perfil

parcialmente enrijecido (I

st

< I

a

).

Para o caso em que:

80,0

b

d

25,0 ≤













<

(6.24)

tem-se:













−≤+





































−=

b

d

525,543,0

I

b

d

585,4k

n

a

st

(6.25)

123

Para a relação:

25,0

b

d

≤













(6.26)

pode-se escrever as seguintes equações:

0,443,0

I

57,3k

n

a

st

≤+













= (6.27)

ef

a

st

ef

'

b

I

bb ≤













=

(6.28)

ef

a

st

ef

'

A

I

AA ≤













=

(6.29)

sendo:

d a dimensão definida na Figura 6.3;

b a largura plana do elemento sob esforços de compressão;

st

I o momento de inércia do enrijecedor;

n igual a 1/2 para

f

E

28,1

t

b

f

E

3

28,1

≤<

;

n igual a 1/3 para

f

E

28,1

t

b

>

;

ef

b a largura efetiva do elemento enrijecido;

ef

'

b

a largura efetiva em caso de enrijecimento parcial

(

)

ast

II < ;

ef

A a área efetiva do elemento enrijecido;

ef

'

A

a área efetiva em caso de enrijecimento parcial.

124

d'

d

b

d'

e

b

e

b'

Figura 6.4 Elemento efetivo do enrijecedor.

O enrijecedor de borda possui as características geométricas efetivas para um elemento

não enrijecido sob tensões de compressão.

6.3.4 Largura efetiva para perfis com enrijecedor intermediário

Os elementos de um perfil com enrijecimento múltiplo usualmente apresentam a

largura efetiva de valor menor que a de um perfil enrijecido.

Um perfil que apresenta enrijecimento múltiplo, dado por apenas um enrijecedor

intermediário, possui a largura efetiva do elemento enrijecedor dado pelas Equações (6.9) e

(6.10), onde o coeficiente de flambagem da chapa é expresso por:

0,41

I

3k

a

st

≤+













=

(6.30)

125

onde:

st

I é o momento de inércia do enrijecedor;

a

I é o momento de inércia adequado para o enrijecedor;

n é igual a 1/2 para

f

E

84,3

t

b

f

E

3

28,1

<<

;

n é igual a 1/3 para

f

E

84,3

t

b

≥

.

Quando

(

)

ast

II < , deve-se calcular a área efetiva do enrijecedor intermediário com o

auxílio da equação (6.28) para os casos em que a razão da largura plana pela espessura

apresentar valor inferior à 60.

6.4 ANÁLISE DOS ENRIJECEDORES DE BORDA PARA OS PERFIS DO TIPO Z

A análise procede para os grupos de perfis listados na Tabela 6.1, considerando-se o

estado limite último de escoamento da seção, onde

σ = f

y

. As seções são avaliadas para os

aços especiais dos tipos COS-CIVIL 300 e COS-CIVIL 350 que apresentam tensão de

escoamento com valores de 300 MPa e 350 MPa, respectivamente.

126

Tabela 6.1 Grupos dos perfis Z

e

sob análise de comportamento dos enrijecedores.

bw (mm) bf (mm) D (mm) t (mm)

50 25 10 1,2

50 25 10 1,5

50 25 10 2

50 25 10 2,25

50 25 10 2,65

50

25

10

3

bw (mm) bf (mm) D (mm) t (mm)

75 40 15 1,2

75 40 15 1,5

75 40 15 2

75 40 15 2,25

75 40 15 2,65

75

40

15

3

bw (mm) bf (mm) D (mm) t (mm)

100 50 17 1,2

100 50 17 1,5

100 50 17 2

100 50 17 2,25

100 50 17 2,65

100

50

17

3

bw (mm) bf (mm) D (mm) t (mm)

150 60 20 1,2

150 60 20 1,5

150 60 20 2

150 60 20 2,25

150 60 20 2,65

150

60

20

3

2° Grupo Ze

3° Grupo Ze

4° Grupo Ze

1° Grupo Z

e

Na averiguação do momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda é

observado o aumento gradativo destes valores conforme aumento das espessuras, mantidas

constantes as larguras das mesas b

f

dos perfis. A necessidade do emprego de enrijecedores dá-

se apenas para os perfis de menores espessuras.

Em referência às tensões de escoamento do aço, quando esta for maior, necessita-se de

uma inércia adequada também de valor maior, uma vez que a carga atuante possui capacidade

de maior magnitude.

127

10 13.75 17.5 21.25 25

0

5.83333

.

10

4

0.00117

0.00175

0.00233

0.00292

0.0035

Comp. inércia adequada enrijecedor

(cm4)

0.003

0

I

a12

i

I

a11

i

2510 b

f1

i

t

1

i

Figura 6.5 Comparação do momento de inércia adequado para os enrijecedores do 1°

grupo de perfis tipo Z sob tensões dos aços COS-CIVIL 300 e 350.

Os momentos de inércia adequados para os enrijecedores de borda apresentam valores

maiores à medida que a relação













t

b

f

torna-se também maior em alguns grupos de perfis

analisados, conforme Figura 6.5.

No segundo grupo, aplicando-se uma tensão superior é observada uma inércia

adequada de valor bem maior para o perfil de menor espessura. O fato deve-se a uma

mudança de expressão com o emprego da mesma relação

2

E

σ

, conforme a Figura 6.6.

128

10 17.5 25 32.5 40

0

83.33

166.67

250

333.33

416.67

500

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

442.491

0.003

I

a22

i

4010 b

f2

i

t

2

i

Figura 6.6 Momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda dos perfis do

grupo 2 do aço COS – CIVIL 350.

Na análise do 2° grupo com o aço de f

y

= 350 MPa (Figura 6.6) o perfil de menor

espessura apresenta um momento de inércia adequado de valor bem superior aos demais

calculados pela expressão definida pelos limites permissíveis pela primeira formulação. O

mesmo fenômeno é observado para o perfil que apresenta menor espessura com o aço de

f

y

= 300 MPa (Figura 6.7).

129

10 16.25 22.5 28.75 35

0

0.0042

0.0083

0.0125

0.0167

0.0208

0.025

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

0.024

0.001

I

a21

i

3510 b

f2

i

t

2

i

Figura 6.7 Momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda dos perfis do

grupo 2 do aço COS – CIVIL 300.

Pode-se verificar na análise do 3° grupo com emprego do aço COS – CIVIL 300 a

ocorrência de um ponto de inflexão no 2° perfil, semelhante ao gráfico da Figura 6.8 que trata

do comportamento do aço COS – CIVIL 350.

130

15 22.5 30 37.5 45

0

200

400

600

800

1000

1200

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

1080.301

0.029

I

a32

i

4515 b

f3

i

t

3

i

Figura 6.8 Momento de inércia adequado para os enrijecedores de borda dos perfis do

grupo 3 do aço COS – CIVIL 350.

Para as relações decrescentes de













t

b

f

são observados valores de inércias adequadas

maiores para os perfis com menores espessuras. Isto se deve a uma colocação dos limites da

expressão em função da tensão maior de escoamento do aço (Figura 6.8).

O mesmo fenômeno do aparecimento do ponto de inflexão foi verificado para os perfis

do 4° grupo, tanto para os aços que suportam f

y

= 300 MPa e f

y

= 350 MPa, sendo que as

magnitudes das inércias adequadas para os enrijecedores dos perfis com menores espessuras

são bem superiores que as demais (Figura 6.9).

131

Os valores apresentados para I

a

na verificação dos perfis do 4° grupo são bem

próximos entre as duas classes de tensão de escoamento dos aços (Figura 6.9).

15 25 35 45 55

0

333.33

666.67

1000

1333.33

1666.67

2000

Comp. inércia adequada enrijecedor

(cm4)

1830.745

0.062

I

a42

i

I

a41

i

5515 b

f4

i

t

4

i

Figura 6.9 Comparação dos momentos de inércia adequados para os enrijecedores do 4°

grupo de perfis tipo Z sob tensões dos aços COS-CIVIL 300 e 350.

132

Para o aço de f

y

= 300 MPa o perfil que apresenta maior inércia adequada para o

enrijecedor é o de menor espessura do 4° grupo, conforme Figura 6.10.

10 22.5 35 47.5 60

0

250

500

750

1000

1250

1500

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

1464.211

0

I

a11

i

I

a21

i

I

a31

i

I

a41

i

6010 b

f1

i

t

1

i

b

f2

i

t

2

i

,

b

f3

i

t

3

i

,

b

f4

i

t

4

i

,

Figura 6.10 Comparação dos momentos de inércia adequados para os enrijecedores dos

grupos de perfis tipo Z sob tensões dos aços COS-CIVIL 300.

133

Para o aço de f

y

= 350 MPa, da mesma forma os perfis de maiores inércias adequadas

para os enrijecedores de borda são os mais esbeltos do 3° e 4° grupo, conforme Figura 6.11.

10 22.5 35 47.5 60

0

333.33

666.67

1000

1333.33

1666.67

2000

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

1830.745

0

I

a12

i

I

a22

i

I

a32

i

I

a42

i

6010 b

f1

i

t

1

i

b

f2

i

t

2

i

,

b

f3

i

t

3

i

,

b

f4

i

t

4

i

,

Figura 6.11 Comparação dos momentos de inércia adequados para os enrijecedores dos

grupos de perfis tipo Z sob tensões do aço COS-CIVIL 350.

7 O MÉTODO DA RESISTÊNCIA DIRETA

O método da resistência direta (MRD) propõe uma alternativa ao método da largura

efetiva para a determinação da resistência dos perfis de aço formados a frio, submetidos a

esforços de compressão ou flexão. Este método consiste na utilização de curvas de resistência

ajustadas por ensaios experimentais para o cálculo das cargas de colapso a partir da carga de

flambagem elástica, analisando-se as propriedades da seção transversal do perfil, e não do

elemento isolado. O cálculo da resistência do perfil indica o comportamento mais próximo da

realidade, contemplando a interação entre as partes componentes do perfil para o

fornecimento das tensões dos modos de instabilidade local e distorcional.

O MRD representa o método mais atual na análise da instabilidade dos perfis de aço

formados a frio. A análise dos perfis de aço formados a frio com utilização do método das

faixas finitas representa uma simplificação do método dos elementos finitos permitindo a

solução numérica para os auto valores e auto vetores na avaliação do comportamento do perfil

pelo MRD. O método das faixas finitas na análise da instabilidade de perfis delgados

apresenta vantagem de ser prático, rápido e fornecer resultados satisfatórios.

A análise numérica indica as características geométricas da seção transversal e as

propriedades do material constituinte do perfil. A partir da definição do comprimento e dos

pontos intermediários ao longo do eixo longitudinal do perfil, executa-se a investigação do

perfil com análise das tensões e dos modos de instabilidade observados.

135

A curva de instabilidade representa os auto vetores para os modos de instabilidade

passíveis de ocorrência nos perfis: local, distorcional e global. A Figura 7.1 ilustra a curva de

instabilidade para os perfis delgados.

100

Local

600

Tensão máxima de flambagem

450

1000

Distorcional

Global

150

1000

10000

Comprimento de meia onda

Figura 7.1 Curva para análise da instabilidade pelo método das faixas finitas.

Para a determinação das curvas de instabilidade é necessária a consideração do

comprimento de meia onda senoidal e dos tipos de instabilidades. O perfil sofre carregamento

de tensão distribuída ao longo do eixo longitudinal para fornecimento de um determinado

valor de momento crítico.

O ponto de mínimo para a instabilidade local é observado para comprimentos de meia

onda menor ou igual às dimensões características do elemento sob esforços de tensão de

compressão. Para os modos de instabilidade distorcional e global os comprimentos de meia

onda senoidal são na maioria das vezes maiores em comparação ao modo de instabilidade

local.

Os comprimentos de meia onda senoidal são inversamente proporcionais à capacidade

de resistência pós-crítica, pois quanto menores os comprimentos, maior é a resistência pós-

crítica do perfil. No modo distorcional, o ponto de mínimo é observado para comprimentos de

meia onda intermediários entre a instabilidade local e a global.

136

O método da resistência direta possui as principais limitações na geometria e no

material constituinte do perfil em análise. De acordo com a característica do perfil, determina-

se o coeficiente de segurança para o emprego do método de dimensionamento utilizado na

estrutura: o método do estado limite de tensões ou o método das tensões admissíveis.

As vantagens na utilização do método da resistência direta para a determinação da

resistência dos perfis delgados de aço formados a frio são descritas abaixo (SCHAFER,

1994):

 Para o cálculo da resistência não há necessidade da determinação das propriedades

geométricas efetivas (A

ef

e b

ef

);

 A análise não é realizada individualmente para os elementos;

 Não há necessidade de métodos interativos;

 Para o cálculo da resistência utilizam-se as propriedades geométricas da seção

bruta;

 Consideração da interação entre os elementos constituintes da seção (alma e mesa)

na ocorrência da flambagem local, garantindo as condições de compatibilidade e

equilíbrio;

 Tratamento da flambagem distorcional como modo de colapso único;

 Proporciona um procedimento de projeto mais flexível e abrangente;

 Possibilita a análise de um maior grupo de geometrias das seções transversais;

 Estimula a otimização das seções transversais;

 Permite a integração dos métodos numéricos estabelecidos em um único projeto.

7.1 O MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS

Os primeiros estudos sobre o método da faixas finitas (MFF) foram realizados por

Cheung em 1976, no emprego da análise de perfis laminados. O método foi estendido por

Hancock para avaliação dos perfis formados a frio com a elaboração de alterações na matriz

de rigidez derivada de Cheung.

A metodologia utilizada no MFF consiste em uma simplificação do método dos

elementos finitos (MEF). O método das faixas finitas emprega elementos de faixas para

modelação do perfil ao longo do eixo longitudinal. Cada faixa é assumida como livre para

137

deslocamentos de membrana no seu plano e deslocamentos devido aos esforços de flexão em

semi-ondas senoidais simples. As extremidades da seção são livres para a deformação

longitudinal, restritas no plano x e y, conforme ilustrado nas Figuras (7.2) e (7.3).

B

o

r

d

a

A

p

o

i

a

d

a

z

σ

L

F

a

i

x

a

s

B

o

r

d

a

L

i

v

r

e

x

y

z

σ

Figura 7.2 Perfil de aço formado a frio parcialmente discretizado para o MFF.

z

y

Deslocamento da membrana

Deslocamento linear

Polinômio cúbico na transversal

Curva senoidal

Deslocamento de flexão

x

Figura 7.3 Deslocamentos dos elementos do perfil discretizado para o MFF.

138

A principal dificuldade verificada no MFF consiste na representação das condições de

contorno, pois o modelo assume apoios simples nas extremidades dos elementos. Ao longo do

comprimento não podem ocorrer diferentes vinculações, e a seção transversal não pode sofrer

variações ao longo do comprimento. Na observância destes casos, recomenda-se o auxílio do

método dos elementos finitos.

O modelo usado para o MFF é representado pela placa simples com o número de nós e

graus de liberdade conforme a Figura 7.4.

b

z

y

x

a

1

θ

2

θ

1

u

2

u

1

v

2

v

1

w

2

w

Figura 7.4 Elemento de placa para o método das faixas finitas.

Para a solução do MFF emprega-se um polinômio cúbico na direção transversal e uma

função harmônica senoidal no eixo longitudinal do perfil, indicado na Figura 7.3. A direção

longitudinal apresenta a forma de meia onda senoidal conforme as condições de contorno nos

apoios das extremidades. A determinação das tensões de instabilidade (auto valores) e dos

modos de instabilidade (auto vetores) dependem das matrizes globais de rigidez inicial [K] e

rigidez geométrica [K

g

].

A matriz global é função do comprimento representado por a no elemento, sendo a

tensão de instabilidade elástica e o modo de instabilidade correspondente também funções do

comprimento do elemento. A análise da instabilidade nos perfis delgados pode ser realizada

139

considerando-se vários comprimentos para o perfil, avaliando-se a cada ponto a tensão e o

modo de instabilidade verificado.

7.2 CURVAS DE INSTABILIDADE PARA O MÉTODO DA RESISTÊNCIA DIRETA

Para a análise da instabilidade distorcional foi desenvolvida a curva para o método da

resistência direta. O propósito da curva é o fornecimento da resistência última do perfil sob

esforços de flexão e compressão em função da tensão crítica de instabilidade elástica do

material (HANCOCK, 1994).

O desenvolvimento da curva para o cálculo da instabilidade local nos perfis propôs

modificações na curva para análise da instabilidade distorcional (PEKÖZ & SCHAFER,

1998).

Para os valores acima do limite de proporcionalidade da tensão de escoamento (f

y

/2), a

tensão crítica do perfil deve ser avaliada com o auxílio do regime não elástico, utilizando-se a

equação da parábola.

7.2.1 Análise da instabilidade local

Para a estrutura que apresenta índice de esbeltez local

776,0

L

≤λ

, tem-se o momento

limite igual ao momento de escoamento do perfil. Para valores acima deste índice de esbeltez

local, o momento limite é caracterizado pelo momento efetivo de cálculo.

A curva para a instabilidade local é indicada por:

ynL

MM =

quando

776,0

L

≤λ

(7.1)

y

4,0

y

crL

4,0

y

crL

nL

M

15,01M





































−=

quando

776,0

L

>λ

(7.2)

140

sendo:

crL

y

L

M

=λ ;

nL

M = momento nominal para a instabilidade local;

y

M = momento de escoamento do aço;

crL

M = momento crítico da instabilidade elástica local.

A reserva local pós-crítica da seção completa apresenta maior capacidade quando

comparada com os elementos isolados da seção.

7.2.2 Análise da instabilidade distorcional

A curva para a determinação da resistência direta dos perfis submetidos à flexão está

representada por (HANCOCK, 1994):

ynD

MM = quando 561,0

d

≤λ

(7.3)

y

6,0

y

crD

6,0

y

crD

nD

M

25,01M





































−=

quando 561,0

d

>λ

(7.4)

141

sendo:

crD

y

d

M

=λ

;

nD

M = momento nominal para a instabilidade distorcional;

y

M = momento de escoamento do aço;

crD

M = momento crítico da instabilidade elástica distorcional.

A resistência direta devido à instabilidade local reflete baixa reserva pós-crítica no

modo distorcional.

As propostas de Peköz e Schaffer fornecem a curva de cálculo para o modo

distorcional intermediária entre o modo local e o modo distorcional introduzido por Hancock,

onde:

ynD

MM = quando 673,0

d

≤λ

(7.5)

y

5,0

y

crD

5,0

y

crD

nD

M

22,01M





































−=

quando 673,0

d

>λ

(7.6)

sendo:

crD

y

d

M

=λ

142

As pesquisas de Hancock indicam as considerações a favor da instabilidade

distorcional com a manutenção do limite inicial de

d

λ

. A alteração da curva é representada

por:

ynD

MM = quando 561,0

d

≤λ

(7.7)

y

5,0

y

crD

5,0

y

crD

nD

M

22,01M





































−=

quando 561,0

d

>λ

(7.8)

As Equações (7.5) e (7.6) indicam um valor para

d

λ

maior em relação às Equações

(7.7) e (7.8) devido a uma maior reserva pós-crítica da seção transversal dos perfis em

comparação ao modelo de elementos isolados.

As curvas do método da resistência direta (Figura 7.5) fornecem resultados de

resistência superiores em relação ao modelo de cálculo analítico dos elementos isolados

propostos por Hancock. No caso de índice de esbeltez moderado, com valores compreendidos

entre 0,7 e 1,2 não é observada diferença relevante para os valores de resistência obtidos a

partir das curvas de Hancock.

143

0,5

MRD Distorção - Schafer

Método Analítico - Hancock

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,0

1,5 2,0

MRD Distorção - Hancock Modificado

y

n

M

cr

y

M

=λ

Figura 7.5 Curvas para a instabilidade distorcional.

7.2.3 Análise da instabilidade global

No estudo da instabilidade global utiliza-se a curva clássica da estabilidade elástica

global. Para a análise da interação da instabilidade global com os outros modos de

instabilidade é considerada fundamental a determinação do momento de instabilidade

inelástico (M

ne

).

Tem-se, então:

ycre

M56.0M ≤

crene

MM

=

(7.9)

ycrey

M56.0MM78.2 ≥≥













−=

cre

y

yne

M36

M10

1M

9

10

M

(7.10)

ycre

M78.2M ≥

yne

MM =

(7.11)

144

sendo:

cre

M = momento crítico para a instabilidade elástica global;

s

M = momento estático;

ysy

FMM =

.

As curvas do método da resistência direta, sem interação dos modos de instabilidade,

estão ilustradas na Figura 7.6.

0,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,0

1,5 2,0

y

n

M

cr

y

M

=λ

Instabilidade Local

Instabilidade Distorcional

Instabilidade Global

Figura 7.6 Curvas do MRD sem consideração da interação entre os modos de

instabilidade.

As curvas da resistência de vigas para a instabilidade pelo MRD são apresentadas em

função do índice de esbeltez do perfil. Para as vigas não esbeltas a seção transversal é estável

e a capacidade de resistência é igual ao momento de escoamento da estrutura. A capacidade

da resistência inelástica não é levada em consideração no método da resistência direta.

145

As vigas com esbeltez moderada apresentam comportamento inelástico com M

n

<M

cr

.

Vigas esbeltas delgadas comportam-se elasticamente com capacidade de resistência pós-

crítica M

n

>M

cr

.

As estruturas que apresentam índice de esbeltez local e distorcional de valores iguais

indicam que o modo distorcional possui menor capacidade pós-crítica em relação ao modo

local. A resistência nominal do perfil é o menor valor entre os momentos M

nL

, M

nD

e M

ne

.

7.2.4 Análise da interação entre os modos de instabilidade

O método da resistência direta permite a interação entre os modos de instabilidade

local e global com considerações de aproximação na análise. A avaliação consiste na

substituição de M

y

nas equações da instabilidade local pelo M

ne

. O momento limite (M

nL

) é o

resultado da interação da instabilidade local e a global da viga com a limitação de M

ne

.

A interação entre a instabilidade local e global indica que:

nenL

MM

=

quando

776,0

L

≤λ

(7.12)

ne

4,0

ne

crL

4,0

ne

crL

nL

M

15,01M





































−=

quando

776,0

L

>λ

(7.13)

sendo:

crL

y

L

f

=λ

146

A interação entre a instabilidade distorcional e a global pode também ser analisada

pelo método da resistência direta com a substituição do momento de escoamento M

y

por M

ne

nas equações da instabilidade distorcional.

Com isso, tem-se:

nenD

MM

=

quando

561,0

L

≤λ

(7.14)

ne

5,0

ne

crD

5,0

ne

crD

nD

M

22,01M





































−=

quando

561,0

L

>λ

(7.15)

sendo:

crD

y

L

M

=λ

A resistência nominal da estrutura em estudo é o menor valor considerado entre os

momentos M

nL

e M

nD

.

7.3 O MÉTODO DA RESISTÊNCIA DIRETA NOS PRINCIPAIS NORMATIVOS

A utilização do MRD indica a determinação das cargas críticas de flambagem elástica

do perfil completo como um todo. Com a aplicação das curvas de resistência, determina-se a

resistência última do perfil.

A principais normas em vigência utilizam o MRD para o cálculo da resistência última

dos perfis delgados de aço formados a frio.

147

7.3.1 Norma australiana e neozelandesa (Australian & New Zealand Standard –

AS/NZS 4600/1996)

Utiliza o método da resistência direta para a determinação da resistência a flambagem

distorcional de barras submetidas à flexão e barras sob esforços de compressão. A AS/NZS

4600/1996 é o normativo que apresenta maior abordagem do MRD, justificado pelo fato da

incorporação do problema à eficiência dos enrijecedores de borda.

Os modelos de Lau e Hancock são utilizados para o fornecimento das tensões de

instabilidade elástica usando-se curvas de resistência aferidas em ensaios experimentais. A

norma permite o emprego do aço com elevada resistência mecânica e a determinação da

tensão elástica distorcional pelo método das faixas finitas.

7.3.2 Associação brasileira de normas técnicas (ABNT) – NBR 14762

Dimensionamento de Estruturas de Aço Constituídas por Perfis Formados a Frio

- Procedimento (2001)

A NBR 14762 utiliza as curvas de resistência propostas no MRD na análise da

flambagem por distorção da seção transversal. Os itens 7.7.3 e 7.8.1.3 fornecem

respectivamente a força normal de compressão e o momento fletor resistente de cálculo para

as barras com seção transversal aberta e sujeitas ao fenômeno da flambagem por distorção.

7.3.3 Norma norte americana (American Iron and Steel Institute – AISI, 2004)

O AISI, a partir de 2004, passou a adotar um manual feito por Schafer para o projeto

de perfis de aço formados a frio que utiliza o método da resistência direta como alternativa ao

método das larguras efetivas.

A norma utiliza o MRD para o cálculo do momento fletor resistente de barras

submetidas à flexão, com carregamento no plano paralelo à alma do perfil, com a mesa

tracionada conectada a um painel (terças com telhas de aço parafusadas e sujeitas à ação de

vento de sucção) e a mesa comprimida sem travamento lateral.

148

7.3.4 Norma européia ( Eurocode 3: Design of Steel Structures Part 1.3: General Rules

– Supplementary Rules for Cold Formed Thin Gauge Members and Sheeting,

2003 )

O Eurocode 3 utiliza as curvas do MRD para o cálculo da resistência última em perfis

sob esforços de flexão e conectados a painel com base no modelo de cálculo desenvolvido por

Peköz e Soroushian.

A principal dificuldade do método está na determinação da matriz de rigidez

rotacional oferecida ao painel e a variação desta rigidez. A rigidez é variada em função da

locação dos parafusos na mesa, do diâmetro dos parafusos e outros fatores pertinentes.

7.4 PROGRAMA COMPUTACIONAL DO MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS –

CUFSM

O programa computacional desenvolvido por Schafer utiliza o método das faixas

finitas para realizar a análise da estabilidade elástica dos perfis esbeltos submetidos a variadas

distribuições de tensões normais nas extremidades da estrutura. Considera-se a restrição ao

empenamento da seção com a restrição dos graus de liberdade dos nós extremos. Ao longo do

comprimento não pode haver aplicação de carregamentos, variação da seção transversal e das

condições de contorno.

A verificação fornece os resultados gráficos tensão x comprimento de semi-onda, com

a determinação dos modos de flambagem. Os gráficos são apresentados após a análise de

vários comprimentos do perfil, definidos na entrada de dados pelo usuário. Cada

comprimento, por intermédio da análise por autovalores, indica a carga crítica de flambagem

elástica com os respectivos modos de flambagem.

A tensão crítica de flambagem elástica local (f

crL

) é representada pelo ponto de

mínimo no gráfico da tensão x comprimento de semi-onda, conforme a Figura 7.7. A tensão

de flambagem pode ser modificada por uma carga na compressão (N

crL

) ou por um momento

de flexão (M

crL

) para simplificação dos cálculos necessários. A interação observada entre os

elementos é representada por um coeficiente de flambagem local elástica da placa, para um

elemento simplesmente apoiado sob esforços de compressão uniforme.

149

Figura 7.7 Representação do fator de carga da tensão x comprimento de meia onda com

identificação dos modos de flambagem.

Na maioria dos casos a flambagem local ocorre para comprimentos de meia onda que

apresentam ordem de grandeza no valor da maior dimensão da seção transversal do perfil em

análise. A flambagem por distorção é verificada para comprimentos de meia onda com ordem

de grandeza em torno de 2 a 8 vezes superior à maior dimensão da seção transversal do perfil.

O modo de flambagem global é observado para comprimentos de meia onda bem superiores à

maior seção transversal do perfil.

Os resultados fornecidos pelo programa computacional possibilitam várias

verificações gráficas simultâneas na curva da flambagem, propiciando a variação da força

normal e/ou do momento fletor aplicados na seção transversal em estudo.

O CUFSM representa uma ferramenta para a análise elástica da seção para viabilizar o

emprego do método da resistência direta. O programa indica os valores de N

crL

, N

crD

, N

cre

,

150

M

crL

, M

crD

, M

cre

, correspondentes à flambagem crítica elástica para os modos local,

distorcional e global, sob esforços de compressão e flexão.

O valor da carga crítica (N

cr

ou M

cr

) pode ser obtido por:

N

cr

= fator de carga x N

y

; (7.16)

N

y

= A f

y

; (7.17)

M

cr

= fator de carga x M

y

; (7.18)

M

y

= M

xx.

.

(7.19)

7.5 ANÁLISE PELO CUFSM DAS CARGAS CRÍTICAS DOS PERFIS U E Z

ENRIJECIDOS

Vários grupos de perfis do tipo U e Z enrijecidos são analisados, com variação das

espessuras comuns às classes, progressivas às variações das alturas de alma b

w

das seções

transversais.

O estudo está fundamentado nos comprimentos de meia onda verificados para a

flambagem local, distorcional e global, bem como nos seus correspondentes fatores de carga

crítica, conforme resultados apresentados nas Tabelas 7.2 e 7.3. Os perfis analisados estão

listados na Tabela 7.1 onde são expressos em mm o b

w

, b

f

, d e t, quais sejam a altura de

alma, o comprimento da mesa, o comprimento do enrijecedor e a espessura do perfil,

respectivamente.

151

Tabela 7.1 Perfis dos tipos U e Z enrijecidos empregados na análise.

bw (mm) bf (mm) d (mm) t (mm) bw (mm) bf (mm) d (mm) t (mm)

50 25 10 2 50 25 10 2

50 25 10 2,25 50 25 10 2,25

50 25 10 2,65 50 25 10 2,65

50

25

10

3

50

25

10

3

75 40 15 2 75 40 15 2

75 40 15 2,25 75 40 15 2,25

75 40 15 2,65 75 40 15 2,65

75

40

15

3

75

40

15

3

100 40 17 2 100 50 17 2

100 40 17 2,25 100 50 17 2,25

100 40 17 2,65 100 50 17 2,65

100

40

17

3

100

50

17

3

127 50 17 2 125 50 17 2

127 50 17 2,25 125 50 17 2,25

127 50 17 2,65 125 50 17 2,65

127

50

17

3

125

50

17

3

150 60 20 2 150 60 20 2

150 60 20 2,25 150 60 20 2,25

150 60 20 2,65 150 60 20 2,65

150

60

20

3

150

60

20

3

200 75 20 2 200 75 25 2

200 75 20 2,25 200 75 25 2,25

200 75 20 2,65 200 75 25 2,65

200

75

20

3

200

75

25

3

250 85 25 2 250 85 25 2

250 85 25 2,25 250 85 25 2,25

250 85 25 2,65 250 85 25 2,65

250

85

25

3

250

85

25

3

300 85 25 2 300 85 25 2

300 85 25 2,25 300 85 25 2,25

300 85 25 2,65 300 85 25 2,65

300

85

25

3

300

85

25

3

PERFIS DO TIPO U ENRIJECIDOS PERFIS DO TIPO Z ENRIJECIDOS

152

Tabela 7.2 Comprimentos de semi-onda e fatores de carga crítica dos modos de

flambagem local, distorcional e global para os perfis U

e

analisados.

bw (mm) bf (mm) d (mm) t (mm) FLocal (mm)

FDistorcional

(mm)

FGlobal (mm)

50 25 10 2 50 25 10 2 47,70 1379,00 214,60 1114,14

50 25 10 2.25 50 25 10 225 47,70 1682,00 214,60 1247,15

50 25 10 2.65 50 25 10 265 47,70 2255,00 214,60 1489,63

50

25

10

3

50 25 10 3

214,60

1689,52

75 40 15 2 75 40 15 2 59,30 636,10 388,50 687,77

75 40 15 2.25 75 40 15 225 59,30 795,03 388,50 778,93

75 40 15 2.65 75 40 15 265 71,60 1079,81 388,50 932,70

75

40

15

3

75 40 15 3

71,60

1353,10

388,50

1073,10

100 40 17 2 100 40 17 2 79,10 377,37 429,20 551,44

100 40 17 2.25 100 40 17 225 79,10 68,70 429,20 90,74 68664,90 0,02

100 40 17 2.65 100 40 17 265 79,10 645,11 429,20 747,30

100 40 17 3 100 40 17 3 79,10 815,04 429,20 859,70

127 50 17 2 127 50 17 2 100,40 238,15 545,10 392,67 105237,00 0,07

127 50 17 2.25 127 50 17 225 100,40 298,90 545,10 451,21

127 50 17 2.65 127 50 17 265 100,40 409,11 451,70 544,18

127

50

17

3

127 50 17 3

100,40

518,22

451,70

625,52

150 60 20 2 150 60 20 2 118,60 172,21 643,80 323,86 124296,00 0,11

150 60 20 2.25 150 60 20 225 118,60 216,43 643,80 368,87 124296,00 0,09

150 60 20 2.65 150 60 20 265 118,60 296,86 643,80 446,28 124296,00 0,09

150 60 20 3 150 60 20 3 118,60 376,72 533,50 516,79

200 75 20 2 200 75 20 2 158,10 98,68 711,30 205,79 137329,00 0,10

200 75 20 2.25 200 75 20 225 158,10 124,20 711,30 234,70 137329,00 0,09

200 75 20 2.65 200 75 20 265 158,10 170,74 711,30 284,30 165728,00 0,08

200

75

20

3

200 75 20 3

158,10

217,10

711,30

331,07

250 85 25 2 250 85 25 2 197,70 64,31 1073,00 160,51 207160,00 0,08

250 85 25 2.25 250 85 25 225 197,70 81,03 889,10 183,18

250 85 25 2.65 250 85 25 265 197,70 111,57 889,10 221,42 207160,00 0,02

250 85 25 3 250 85 25 3 197,70 142,05 889,10 257,31

300 85 25 2 300 85 25 2 237,20 45,65 205994,00 0,06

300 85 25 2.25 300 85 25 225 237,20 57,53 205994,00 0,01

300 85 25 2.65 300 85 25 265 237,20 0,04

300

85

25

3

300 85 25 3

237,20

100,91

141446,00

0,11

FATOR CARGA

Comprimento de

semi onda

FATOR CARGAFATOR CARGA

PERFIS

Nomenclatura

Comprimento de

semi onda

Comprimento de

semi onda

153

Tabela 7.3 Comprimentos de semi-onda e fatores de carga crítica dos modos de

flambagem local, distorcional e global para os perfis Z

e

analisados.

bw (mm) bf (mm) d (mm) t (mm) FLocal (mm)

FDistorcional

(mm)

FGlobal

Flexional (mm)

50 25 10 2 50 25 10 2 47,70 1362,56 214,60 1113,56 41432,10 0,10

50 25 10 2,25 50 25 10 225 47,70 1682,44 214,60 1265,28 41432,10 0,10

50 25 10 2,65 50 25 10 265 214,60 1515,86 41432,10 0,11

50 25 10 3 50 25 10 3 214,60 1739,79

75 40 15 2 75 40 15 2 59,30 635,89 388,50 695,05

75 40 15 2,25 75 40 15 225 59,30 794,70 388,50 791,98 62148,20 0,09

75 40 15 2,65 75 40 15 265 71,60 1078,47 321,90 955,24

75

40

15

3

75 40 15 3

71,60

1351,03

321,90

1085,26

62148,20

0,11

100 50 17 2 100 50 17 2 79,10 369,35 517,90 501,12

100 50 17 2,25 100 50 17 225 79,10 462,90 517,90 574,66

100 50 17 2,65 100 50 17 265 79,10 632,17 429,20 686,90 68664,90 0,09

100

50

17

3

100 50 17 3

79,10

799,24

429,20

785,94

68664,90

0,12

125 50 17 2 125 50 17 2 98,80 245,17 536,50 393,94 103580,00 0,06

125 50 17 2,25 125 50 17 225 98,80 307,67 536,50 453,39 103580,00 0,06

125 50 17 2,65 125 50 17 265 98,80 421,03 444,60 545,62 85831,10 0,07

125

50

17

3

125 50 17 3

98,80

533,20

444,60

628,17

150 60 20 2 150 60 20 2 118,60 172,17 643,80 317,62 124296,00 0,02

150 60 20 2,25 150 60 20 225 118,60 216,37 643,80 363,02 102997,00 0,07

150 60 20 2,65 150 60 20 265 118,60 296,75 643,80 441,31 124296,00 0,04

150 60 20 3 150 60 20 3 118,60 376,55 533,50 507,35 102997,00 0,08

200 75 25 2 200 75 25 2 158,10 98,80 858,40 226,11 137329,00 0,04

200 75 25 2,25 200 75 25 225 158,10 124,37 858,40 257,47 165728,00 0,04

200 75 25 2,65 200 75 25 265 158,10 171,03 858,40 311,65 165728,00 0,04

200 75 25 3 200 75 25 3 158,10 217,51 711,30 360,64

250 85 25 2 250 85 25 2 197,70 64,31 889,10 156,31 171662,00 0,05

250 85 25 2,25 250 85 25 225 197,70 81,01 889,10 178,45 117871,00 0,14

250 85 25 2,65 250 85 25 265 197,70 111,54 889,10 216,19 207160,00 0,02

250 85 25 3 250 85 25 3 197,70 142,01 889,10 251,70 207160,00 0,04

300 85 25 2 300 85 25 2 237,20 45,65 248592,00 0,01

300 85 25 2,25 300 85 25 225 237,20 57,52 248592,00 0,08

300 85 25 2,65 300 85 25 265 237,20 79,22 205994,00 0,04

300

85

25

3

300 85 25 3

237,20

100,88

205994,00

0,02

Comprimento de

semi onda

Comprimento de

semi onda

FATOR CARGAFATOR CARGA

Comprimento de

semi onda

FATOR CARGA

PERFIS

Nomenclatura

154

7.5.1 Análise para os grupos de perfis do tipo U enrijecidos

Para as variadas categorias de seções transversais que apresentam a mesma largura de

alma (b

w

) foram observadas valores iguais dos comprimentos de meia onda na análise da

flambagem local dos perfis de um mesmo grupo, ilustrados na Figura 7.8.

O grupo que possui b

w

= 75 mm indica variações no comprimento de meia onda

quando a espessura do perfil sofre variações de valores. O perfil U

e

(50 x 25 x 10 x 3)mm não

apresenta ocorrência do modo de flambagem local. Em virtude da espessura desta seção ser a

maior do grupo, as mesas apresentam reserva de resistência interna suficiente e adequada para

não permitir o modo local, apenas o distorcional.

Os maiores valores para os fatores de carga da flambagem local são observados para

os perfis que possuem valores inferiores para as larguras da alma b

w

entre grupos diferentes e

maiores espessuras para os perfis de mesmo grupo, indicando maiores relações entre as

tensões críticas e as tensões de escoamento das seções transversais em estudo, como mostra a

Figura 7.9.

Os perfis pertencentes aos grupos b

w

= 50 mm e b

w

= 75 mm apresentam maior

variância crescente nos valores dos fatores de carga local. Os grupos subseqüentes indicam

menor amplitude conforme variação das espessuras das seções transversais.

Nos fatores de carga dos perfis do tipo U enrijecidos para a consideração da

flambagem local, Figura 7.9, observa-se um aumento dos valores em cada um dos perfis

quando se aumentam as espessuras de cada classe. Entretanto, verifica-se a diminuição dos

fatores de carga quando as alturas das almas sofrem acréscimos em cada categoria. Isto

significa que dentro do mecanismo de flambagem local crítica, o fator de carga representa

quantas vezes uma solicitação de carga normal ou momento fletor desperta o mecanismo de

flambagem local em relação aos carregamentos iniciais. As solicitações de flambagem local

são amplificadas em relação aos carregamentos iniciais através do fator de carga.

155

COMPRIMENTO DE MEIA ONDA DE FLAMBAGEM LOCAL

0

50

100

150

200

250

5

0

25

1

0 2

50

25

1

0 265

7

5 40

1

5

22

5

75 40 15 3

100 40 17 2

1

00 40

1

7 265

1

2

7

5

0

1

7 22

5

1

2

7

5

0

1

7

3

15

0

6

0

2

0 2

150 60 20

2

65

2

00 7

5

2

0 225

2

0

7

5 20

3

2

5

0

8

5

2

5

2

250 85

2

5

2

65

300 85 25

2

25

300 85 25 3

PERFIS C ENRIJECIDOS

COMPRIMENTO DE MEIA ONDA

Figura 7.8 Comprimentos de meia onda para a flambagem local dos perfis U

e

analisados.

FATORES DE CARGA DE FLAMBAGEM LOCAL

0

500

1000

1500

2000

2500

50 25 10 2

50 25 10 265

7

5

40

1

5 22

5

7

5

40

1

5 3

10

0

40 17 2

100 4

0

1

7 265

12

7

50 17 22

5

1

2

7

5

0

1

7

3

1

5

0

6

0

2

0 2

1

50 6

0

2

0

2

65

200 75 20 225

2

0

7

5 20

3

2

5

0

8

5 2

5

2

50 8

5 25

2

65

3

00 8

5

2

5

2

25

300 85 25 3

PERFIS C ENRIJECIDOS

FATORES DE CARGA

Figura 7.9 Fatores de carga da flambagem local para os perfis U

e

analisados.

156

No mecanismo de flambagem distorcional são observados menores comprimentos de

meia onda para os perfis de maiores espessuras classificados em uma mesma classe. Alguns

grupos mantêm os valores dos comprimentos de meia onda para todas as espessuras

analisadas, conforme a Figura 7.10. Observa-se também, um aumento progressivo do

comprimento de meia onda em função do aumento da altura da alma dos perfis.

Os maiores valores para os fatores de carga da flambagem distorcional são observados

para os perfis que possuem valores inferiores para as larguras da alma b

w

entre grupos

diferentes e maiores espessuras para os perfis de mesmo grupo, como ilustra a Figura 7.11. Os

comprimentos de meia onda da flambagem distorcional, Figura 7.10, são maiores em

comparação aos da flambagem local, Figura 7.8, para uma determinada classe de perfil. Isto

significa que no modo distorcional a resistência pós-crítica dos perfis é bem superior, uma vez

que o comprimento de meia onda sofre variação no modo inverso da resistência pós-crítica de

flambagem. Para os perfis da classe b

w

= 300 mm verifica-se que os fatores de carga para a

flambagem distorcional apresentam valores nulos, indicando que não existe relação entre a

tensão crítica distorcional e a tensão de escoamento do aço, ou seja, N

crD

= 0. Os perfis deste

grupo apresentam apenas influência dos fenômenos das flambagens local e global.

Quanto maior se torna a largura das almas das classes dos perfis, menor é a variação

crescente da amplitude nos valores dos fatores de carga distorcional para as seções

transversais contidas em cada grupo. Os fatores de carga do modo distorcional, apresentam

valores bem próximos aos do modo local, com pequenas diferenças de valores inferiores no

modo distorcional para as classes de perfis b

w

= 50 mm e b

w

= 75 mm. Nas demais classes

observa-se que no modo distorcional os fatores de carga são maiores em relação ao modo

local. Esta inversão de variação no comportamento dos fatores de carga se explica que para

um padrão constante de variações das espessuras, os perfis de pequena altura de alma

apresentam um fator de carga no modo local um pouco maior, indicando uma maior reserva

da capacidade resistente. Entretanto, as seções transversais de maior altura da alma indicam

uma relação (b

w

/t) superior, refletindo assim uma menor capacidade resistente pós-crítica,

apontando para fatores de carga de flambagem distorcional ligeiramente maiores. Ainda, na

avaliação de um mesmo grupo observa-se que o perfil de maior espessura é aquele que

apresenta o maior fator de carga, uma vez que a contribuição do aumento da espessura reflete

na maior capacidade resistente pós-crítica das flambagens distorcional e local.

157

COMPRIMENTO DE MEIA ONDA DE FLAMBAGEM DISTORCIONAL

0

200

400

600

800

1000

1200

5

0

25

1

0 2

50

25

1

0 265

7

5 40

1

5

22

5

75 40 15 3

100 40 17 2

1

00 40

1

7 265

1

2

7

5

0

1

7 22

5

1

2

7

5

0

1

7

3

15

0

6

0

2

0 2

150 60 20

2

65

2

00 7

5

2

0 225

2

0

7

5 20

3

2

5

0

8

5

2

5

2

250 85

2

5

2

65

300 85 25

2

25

300 85 25 3

PERFIS C ENRIJECIDOS

COMPRIMENTO DE MEIA ONDA

Figura 7.10 Comprimento de meia onda para a flambagem distorcional dos perfis U

e

analisados.

FATORES DE CARGA DE FLAMBAGEM DISTORCIONAL

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

5

0

25

1

0 2

50

25

1

0 265

7

5 40

1

5

22

5

75 40 15 3

100 40 17 2

1

00 40

1

7 265

1

2

7

5

0

1

7 22

5

1

2

7

5

0

1

7

3

15

0

6

0

2

0 2

150 60 20

2

65

2

00 7

5

2

0 225

2

0

7

5 20

3

2

5

0

8

5

2

5

2

250 85

2

5

2

65

300 85 25

2

25

300 85 25 3

PERFIS C ENRIJECIDOS

FATORES DE CARGA

Figura 7.11 Fatores de carga da flambagem distorcional para os perfis U

e

analisados.

158

Os grupos dos perfis que apresentam menores alturas, por exemplo, os das classes

b

w

= 50 mm e b

w

= 75 mm, não indicam a presença do modo de flambagem global, conforme

ilustração da Figura 7.12. O fenômeno é observado com maior intensidade em algumas

espessuras dos grupos de perfis com largura da alma (b

w

) de valores intermediários

compreendidos entre 100 e 300 mm para as seções transversais investigadas.

A análise dos perfis da classe b

w

= 50 mm e b

w

= 75 mm indica que os fatores de carga

para a flambagem global apresentam valores nulos, não existindo relação entre a tensão crítica

global e a tensão de escoamento do aço, ou seja, N

cre

= 0.

Os fatores de carga da flambagem global não apresentam relação com as larguras das

almas dos perfis analisados. O fator preponderante está relacionado diretamente com as

espessuras das seções transversais a partir dos grupos de classe b

w

= 100 mm, onde para os

perfis de um mesmo grupo existe maior relação entre a carga crítica global e a tensão de

escoamento do aço, conforme a Figura 7.13.

Os fatores de carga são expressamente menores que nos dois modos analisados

anteriormente, indicando valores finais de cargas de flambagem inferiores aos carregamentos

iniciais aplicados.

159

COMPRIMENTO DE MEIA ONDA DE FLAMBAGEM GLOBAL

0

50000

100000

150000

200000

250000

5

0

25

1

0 2

50

25

1

0 265

7

5 40

1

5

22

5

75 40

1

5 3

100 40 17 2

1

0

4

0

1

7 26

5

127 50

17

2

25

127 50 17 3

150

6

0 20 2

1

5

0

6

0

2

0 26

5

200 75

20

2

25

200 75 20 3

250

8

5 25 2

2

5

0

8

5

2

5 26

5

300 85 25

2

25

300 85 25 3

PERFIS C ENRIJECIDOS

COMPRIMENTO DE MEIA ONDA

Figura 7.12 Comprimento de meia onda para a flambagem global dos perfis U

e

analisados.

FATORES DE CARGA DE FLAMBAGEM GLOBAL

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

5

0

25

1

0 2

50

25

1

0 265

7

5 40

1

5

22

5

75 40 15 3

100 40 17 2

1

00 40

1

7 265

1

2

7

5

0

1

7 22

5

1

2

7

5

0

1

7

3

15

0

6

0

2

0 2

150 60 20

2

65

2

00 7

5

2

0 225

2

0

7

5 20

3

2

5

0

8

5

2

5

2

250 85

2

5

2

65

300 85 25

2

25

300 85 25 3

PERFIS C ENRIJECIDOS

FATORES DE CARGA

Figura 7.13 Fatores de carga da flambagem global para os perfis U

e

analisados.

160

7.5.2 Análise para os grupos de perfis do tipo Z enrijecidos

As seções transversais que apresentam a mesma largura de alma (b

w

) indicam valores

iguais dos comprimentos de meia onda na análise da flambagem local para quase todos os

perfis integrantes de um mesmo grupo.

O grupo de classe b

w

= 50 mm indica brusca variação no comprimento de meia onda

quando a espessura do perfil sofre variações de valores, Figura 7.14. O fato deve-se que para

os perfis mais espessos das classes b

w

= 50 mm e b

w

= 75 mm, observa-se uma capacidade

mais crítica da resistência interna na absorção das tensões provenientes do modo local.

Os maiores valores dos fatores de carga da flambagem local são fornecidos para os

perfis que possuem valores inferiores para as larguras da alma (b

w

) entre grupos diferentes e

maiores espessuras para os perfis de mesmo grupo, indicando maiores relações entre as

tensões críticas e as tensões de escoamento das seções transversais em estudo, conforme

ilustrado na Figura 7.15.

Os perfis que possuem maior largura de alma apresentam maior variância crescente

nos valores dos fatores de carga local. Os grupos subseqüentes indicam menor amplitude

conforme variação das espessuras das seções transversais.

Os comprimentos de meia onda dos modos de flambagem local e distorcional

apresentam valores iguais para algumas classes, ou bem semelhantes para outras, quando

comparados com os perfis U enrijecidos. A classe b

w

= 150 mm apresenta valores exatos de

comprimentos de meia onda no modo local tanto para os perfis Z quanto para os perfis C, para

o mesmo carregamento inicial atribuído, conforme observados nas Figuras 7.8 e 7.14. Apenas

o perfil Z

e

(50 x 25 x 10 x 3) mm não apresenta o modo local e o perfil Z

e

(50 x 25 x 10 x

2,65) mm apresenta um comprimento de meia onda no modo local bem superior aos demais

do grupo, indicando que suas características geométricas e setoriais apresentam uma reserva

de capacidade de carga pós-crítica de flambagem local bem inferior às demais do grupo.

161

O mesmo fenômeno de similaridades dos valores entre perfis Z

e

e U

e

é também

verificado nos fatores de carga do modo local. As classes b

w

=75 mm, b

w

=150 mm, b

w

=200

mm, b

w

=250 mm e b

w

=300 mm apresentam exatidão dos resultados para os comprimentos

de meia onda e para os fatores de carga, justificando-se o fato pela semelhança das

propriedades geométricas entre as seções U

e

e Z

e

, e também ao mesmo carregamento

inicial de entrada no programa CUFSM. As semelhanças e identidades dos valores são

observadas comparando-se os gráficos 7.8 com 7.14 e 7.9 com 7.15.

Além das proximidades dos valores existentes do comprimento de meia onda e

fatores de carga no modo distorcional, também verifica-se o mesmo comportamento de

variação de valores no mesmo padrão de variações de espessuras de cada classe dos perfis.

Nos perfis do tipo Z

e

apenas a última classe (h

w

= 300 mm) deixa de apresentar o

modo de flambagem distorcional, conforme observado na Figura 6.16, mas apresentando em

caráter excepcional dois modos de flambagem global, com comprimentos de meia onda

diferentes e fatores de carga também diferentes.

COMPRIMENTO DE MEIA ONDA DE FLAMBAGEM LOCAL

0

50

100

150

200

250

50

2

5

1

0

2

50 25 10 265

7

5 40 15

22

5

7

5

4

0

1

5 3

100 50

17 2

1

0

5

0

1

7 265

12

5

0

17

2

25

125

50

17 3

150 60 20 2

150 60 20 265

20

0

7

5

2

5

22

5

200

75

25 3

250 85 25

2

250 85 25 265

30

0

8

5

2

5

22

5

300 85 25

3

PERFIS Z ENRIJECIDOS

COMPRIMENTO DE MEIA ONDA

Figura 7.14 Comprimento de meia onda para a flambagem local dos perfis Z

e

analisados.

162

FATORES DE CARGA DE FLAMBAGEM LOCAL

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

5

0

25

1

0 2

50

25

1

0 265

7

5 40

1

5

22

5

75 40 15 3

100 50 17 2

1

00 50

1

7 265

1

2

5

0

1

7 22

5

1

2

5

0

1

7

3

15

0

6

0

2

0 2

150 60 20

2

65

2

00 7

5

2

5 225

2

0

7

5 25

3

2

5

0

8

5

2

5

2

250 85

2

5

2

65

300 85 25

2

25

300 85 25 3

PERFIS Z ENRIJECIDOS

FATORES DE CARGA

Figura 7.15 Fatores de carga da flambagem local para os perfis Z

e

analisados.

Na análise da flambagem distorcional são observados menores comprimentos de meia

onda para os perfis de maiores espessuras classificados em uma mesma família. Apenas o

grupo de classe b

w

= 250 mm mantém os valores dos comprimentos de meia onda para todas

as espessuras analisadas, representado pela Figura 7.16. Verifica-se também, um aumento

progressivo do comprimento de meia onda em função do aumento da altura da alma dos

perfis.

Conclui-se que os maiores valores para os fatores de carga da flambagem distorcional

são observados para os perfis que possuem valores inferiores para as larguras da alma (b

w

)

entre grupos diferentes e maiores espessuras para os perfis de mesmo grupo, como ilustra a

Figura 7.17.

Assim como para os perfis U

e

analisados, os perfis Z

e

da classe b

w

= 300 mm indicam

que os fatores de carga para a flambagem distorcional apresentam valores nulos, não existindo

relação entre a tensão crítica distorcional e a tensão de escoamento do aço, ou seja N

crD

= 0.

163

Os perfis deste grupo sofrem influência dos fenômenos das flambagens local e global, sem a

presença do modo distorcional, devido ao valor superior da largura da alma das seções

transversais.

Quanto maior se torna a largura das almas das classes dos perfis, menor é a variação

crescente da amplitude nos valores dos fatores de carga distorcional para as seções

transversais contidas em cada grupo, levando-se em consideração as variações das espessuras.

COMPRIMENTOS DE MEIA ONDA DE FLAMBAGEM DISTORCIONAL

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

5

0

25

1

0 2

50

25

1

0 265

7

5 40

1

5

22

5

75 40 15 3

100 50 17 2

1

00 50

1

7 265

1

2

5

0

1

7 22

5

1

2

5

0

1

7

3

15

0

6

0

2

0 2

150 60 20

2

65

2

00 7

5

2

5 225

2

0

7

5 25

3

2

5

0

8

5

2

5

2

250 85

2

5

2

65

300 85 25

2

25

300 85 25 3

PERFIS Z ENRIJECIDOS

COMPRIMENTOS DE MEIA ONDA

Figura 7.16 Comprimento de meia onda para a flambagem distorcional dos perfis Z

e

analisados.

164

FATORES DE CARGA DE FLAMBAGEM DISTORCIONAL

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

5

0

25

1

0 2

50

25

1

0 265

7

5 40

1

5

22

5

75 40 15 3

100 50 17 2

1

00 50

1

7 265

1

2

5

0

1

7 22

5

1

2

5

0

1

7

3

15

0

6

0

2

0 2

150 60 20

2

65

2

00 7

5

2

5 225

2

0

7

5 25

3

2

5

0

8

5

2

5

2

250 85

2

5

2

65

300 85 25

2

25

300 85 25 3

PERFIS Z ENRIJECIDOS

FATORES DE CARGA

Figura 7.17 Fatores de carga da flambagem distorcional para os perfis Z

e

analisados.

Ao contrário do verificado na avaliação dos grupos de perfis U

e

, todos os grupos dos

perfis Z

e

analisados apresentam a presença do modo de flambagem global, conforme

mostrado pela Figura 7.18. O fenômeno é observado com maior intensidade em algumas

espessuras dos grupos de perfis com largura da alma (b

w

) de valor superior nas seções

transversais em estudo.

A análise de alguns perfis das classes com baixos valores para (b

w

) indica que os

fatores de carga para a flambagem global apresentam valores nulos, não existindo relação

entre a tensão crítica global e a tensão de escoamento do aço, ou seja, N

cre

= 0.

Para a avaliação dos fatores de carga da flambagem global não existe relação apenas

das larguras das almas dos perfis analisados. O fator preponderante está relacionado

diretamente com as espessuras das seções transversais de um mesmo grupo e com as larguras

dos enrijecedores (d) juntamente com as larguras das almas para os perfis pertencentes a

diferentes grupos, conforme a Figura 7.19.

165

No mecanismo da flambagem global todos os fatores de carga foram inferiores ao

valor igual a um, e os comprimentos de meia onda se apresentam mais elevados em relação

aos outros dois modos. Isto indica que após as interações dos modos de flambagem juntos

com a seção transversal, a capacidade resistente torna-se muito baixa. Poucos perfis não

apresentam este modo de flambagem, especialmente aqueles de menor altura de alma,

Figura 7.19.

Não ocorre uma correlação clara entre aumento ou diminuição dos fatores de carga

com o acréscimo das alturas dos perfis Z

e

. Percebe-se que este modo de flambagem é

aleatório para os perfis Z

e

. Entretanto, os comprimentos de meia onda, apesar de maiores,

aumentam gradativamente com as alturas de almas, conforme observado na Figura 7.18.

COMPRIMENTOS DE MEIA ONDA DE FLAMBAGEM GLOBAL

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

5

0

25

1

0 2

50

25

1

0 265

7

5 40

1

5

22

5

75 40

1

5 3

100 50 17 2

1

0

5

0

1

7 26

5

125 50

17

2

25

125 50 17 3

150

6

0 20 2

1

5

0

6

0

2

0 26

5

200 75

25

2

25

200 75 25 3

250

8

5 25 2

2

5

0

8

5

2

5 26

5

300 85 25

2

25

300 85 25 3

PERFIS Z ENRIJECIDOS

COMPRIMENTOS DE MEIA ONDA

Figura 7.18 Comprimento de meia onda para a flambagem global dos perfis Z

e

analisados.

166

FATORES DE CARGA DE FLAMBAGEM GLOBAL

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

5

0

25

1

0 2

50

25

1

0 265

7

5 40

1

5

22

5

75 40 15 3

100 50 17 2

1

00 50

1

7 265

1

2

5

0

1

7 22

5

1

2

5

0

1

7

3

15

0

6

0

2

0 2

150 60 20

2

65

2

00 7

5

2

5 225

2

0

7

5 25

3

2

5

0

8

5

2

5

2

250 85

2

5

2

65

300 85 25

2

25

300 85 25 3

PERFIS Z ENRIJECIDOS

FATORES DE CARGA

Figura 7.19 Fatores de carga da flambagem global para os perfis Z

e

analisados.

8 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A instabilidade estrutural é uma das causas mais relevantes das falhas estruturais em

perfis de hastes de paredes delgadas. Ao longo deste trabalho procura-se apresentar as

formulações mais atualizadas do problema que permitem uma análise mais aprofundada dos

mecanismos de colapso. Na flambagem global é apresentado o enfoque na flambagem

torcional de perfis delgados. Na flambagem local o procedimento analítico para mesas

enrijecidas junto com a máxima tensão de flambagem constitui um importante objetivo que é

atingido. A programação desenvolvida em sua forma original apresenta os resultados

satisfatórios na análise da tensão crítica das placas componentes dos perfis do tipo U sem

enrijecimento e na análise do momento crítico para a flambagem lateral de vigas. Neste

contexto, verifica-se que a Computação Algébrica Simbólica é um instrumento valioso e

eficiente na obtenção de resultados analíticos gráficos e numéricos.

Na contribuição dos enrijecedores dos perfis de aços formados a frio a análise feita

pela programação algébrica também se torna bastante eficiente, e permite uma averiguação

mais clara do papel destes enrijecedores não explorada ainda por outros autores.

Procura-se sistematizar os resultados de comprimento de meia onda e fatores de carga

dos diversos modos de falha característicos dos perfis U e Z enrijecidos através do programa

do método das faixas finitas. Este permite um amplo espectro na análise dos casos de

ocorrência dos mecanismos de flambagem local, distorcional e global dentro de uma variação

padrão de espessuras para todas as famílias de perfis disponíveis no mercado. São

identificados e analisados quais os perfis que deixam de apresentar um determinado modo de

flambagem e quais as possíveis causas de interferências em tais mecanismos. Isto permite

observar o comportamento de cada classe de perfis para variações de espessuras sob

168

determinados carregamentos iniciais. Diante desta análise, pode-se dizer que a metodologia

empregada para a obtenção dos resultados é bastante satisfatória, e a sistematização dos

resultados é posta de forma original de tal forma que permite uma interpretação mais

confiável e abrangente de todos os resultados envolvidos.

Desta forma, conclui-se que o trabalho empresta valor acadêmico original,

contribuindo para o amplo espectro de análise dos perfis de aços formados a frio com

enrijecedores ou não, possibilitando outros ramos de pesquisas com incorporação de

prescrições das normas internacionais mais avançadas.

Sugerem-se para trabalhos futuros uma análise de seções do tipo I formadas por

justaposição de perfis de duplo U, sob diversas condições de carregamento externo, como

também uma análise das influências dos travamentos laterais sobre os modos de flambagem

dos perfis.

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ANEXO 1

Cálculo das características geométricas dos perfis delgados de séries comerciais do tipo

U formados por aço a frio sem revestimento

Sistema de Unidades:

ORIGIN 1:=

kN 1:=

cm 1:=

m 100 c

m

⋅:=

dm 0.1

m

⋅

:=

kgf

kN

10

0

:=

N

kN

100

0

:=

MN 1000 kN

⋅

:=

mm 0.1 c

m

⋅

:=

MPa

MN

m

2

:=

kPa

kN

m

2

:=

GPa 1000MP

a

⋅

:=

tf 1000kg

f

⋅

:=

Dados:

n: número de seções analisadas

Perfil U:

181

1

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

50 x 25 x 1.20 50 25 1.20 1.20

50 x 25 x 1.50 50 25 1.50 1.50

50 x 25 x 2.00 50 25 2.00 2.00

50 x 25 x 2.25 50 25 2.25 2.25

50 x 25 x 2.65 50 25 2.65 2.65

50 x 25 x 3.00 50 25 3.00 3.00

Dimensões

Perfil U

n6:=

i1

n

..:=

Dimensões:

b

w

50 50 50 50 50 50()mm⋅[]

T

:=

b

f

25 25 25 25 25 25()mm⋅[]

T

:=

t 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00()mm⋅[]

T

:=

r

i

1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

182

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

183

A

1.153

1.426

1.868

2.084

2.419

2.704

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

0.68

0.694

0.718

0.73

0.749

0.766

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

x

0

1.535

1.529

1.518

1.513

1.504

1.497

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

I

x

4.543

5.537

7.074

7.787

8.854

9.714

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

0.718

0.878

1.129

1.247

1.425

1.57

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

0.006

0.011

0.025

0.035

0.057

0.081

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

3.027

3.669

4.645

5.091

5.749

6.271

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

Análise da tensão crítica para a flambagem local das placas componentes das seções tipo

U:

b1

1

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

1

i

t

i

:=

184

K1

1mín

i

0.5

b1

1

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

Dados:

E 205 GP

a

⋅:=

ν 0.3:=

σ1

cr

i

K1

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

1

i

b1

1

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ1

cr

213.444

333.506

592.899

750.388

1040.909

1334.023

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

20

40

60

80

100

120

140

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ1

cr

i

t1

1

i

b1

1

i

185

Análise do momento crítico para carga concentrada no centro de cisalhamento de viga

simplesmente apoiada constituída por perfil tipo U:

Dados:

Comprimento da viga:

L10

m

⋅

:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J1

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M1

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J1

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

GJ1

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.

5

⋅:=

M1

0cr

i

3.727

5.719

9.882

12.334

16.732

21.026

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN c

m

⋅=

186

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0

5

10

15

20

25

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M1

0cr

i

J1

i

187

2

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

75 x 40 x 1.20 75 40 1.20 1.20

75 x 40 x 1.50 75 40 1.50 1.50

75 x 40 x 2.00 75 40 2.00 2.00

75 x 40 x 2.25 75 40 2.25 2.25

75 x 40 x 2.65 75 40 2.65 2.65

75 x 40 x 3.00 75 40 3.00 3.00

75 x 40 x 3.35 75 40 3.35 3.35

75 x 40 x 3.75 75 40 3.75 3.75

75 x 40 x 4.25 75 40 4.25 4.25

75 x 40 x 4.75 75 40 4.75 4.75

Dimensões

Perfil U

n10:=

i1

n

..:=

Dimensões:

b

w

75 75 75 75 75 75 75 75 75 75()mm⋅[]

T

:=

b

f

40 40 40 40 40 40 40 40 40 40()mm⋅[]

T

:=

t 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75()mm⋅[]

T

:=

r

i

1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

188

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

1.813

2.251

2.968

3.321

3.877

4.354

4.824

5.35

5.994

6.621

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

1.088

1.102

1.126

1.137

1.156

1.173

1.19

1.209

1.234

1.258

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

x

0

2.529

2.523

2.512

2.507

2.498

2.491

2.484

2.475

2.465

2.456

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

I

x

16.666

20.5

26.602

29.521

34.009

37.757

41.339

45.233

49.808

54.064

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

2.973

3.667

4.781

5.317

6.148

6.848

7.522

8.261

9.139

9.967

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

0.009

0.017

0.04

0.056

0.091

0.13

0.18

0.251

0.361

0.497

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

28.544

34.985

45.134

49.942

57.276

63.341

69.087

75.275

82.462

89.065

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

189

b1

2

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

2

i

t

i

:=

K2

1mín

i

0.5

b1

2

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ2

cr

i

K2

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

2

i

b1

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ2

cr

83.376

130.276

231.601

293.12

406.605

521.103

649.786

814.223

1045.825

1306.376

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0

20

40

60

80

100

120

140

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ2

cr

i

t1

2

i

b1

2

i

190

L10m⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J2

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M2

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J2

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

GJ2

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.

5

⋅:=

M2

0cr

i

9.958

15.188

26.261

32.861

44.835

56.685

69.759

86.133

108.632

133.245

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN c

m

⋅=

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

20

40

60

80

100

120

140

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M2

0cr

i

J2

i

191

3

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

100 x 40 x 1.20 100 40 1.20 1.20

100 x 40 x 1.50 100 40 1.50 1.50

100 x 40 x 2.00 100 40 2.00 2.00

100 x 40 x 2.25 100 40 2.25 2.25

100 x 40 x 2.65 100 40 2.65 2.65

100 x 40 x 3.00 100 40 3.00 3.00

100 x 40 x 3.35 100 40 3.35 3.35

100 x 40 x 3.75 100 40 3.75 3.75

100 x 40 x 4.25 100 40 4.25 4.25

100 x 40 x 4.75 100 40 4.75 4.75

100 x 40 x 6.30 100 40 6.30 6.30

Dimensões

Perfil U

n11:=

i1

n

..:=

Dimensões:

b

w

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100()mm⋅[]

T

:=

b

f

40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40()mm⋅[]

T

:=

t 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30()mm⋅[]

T

:=

r

i

1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

192

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

2.113

2.626

3.468

3.884

4.539

5.104

5.661

6.288

7.056

7.808

10.035

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

0.942

0.955

0.978

0.989

1.007

1.023

1.039

1.057

1.08

1.103

1.175

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

x

0

2.271

2.264

2.252

2.246

2.237

2.229

2.22

2.211

2.2

2.189

2.154

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

I

x

32.332

39.877

51.985

57.822

66.866

74.483

81.827

89.891

99.483

108.543

133.344

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

3.245

4.006

5.231

5.823

6.742

7.518

8.268

9.094

10.081

11.016

13.604

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

0.01

0.02

0.046

0.065

0.106

0.153

0.212

0.294

0.424

0.587

1.326

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

56.248

69.107

89.516

99.254

114.204

126.664

138.559

151.481

166.655

180.778

218.303

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

193

b1

3

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

3

i

t

i

:=

K3

1mín

i

0.5

b1

3

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ3

cr

i

K3

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

3

i

b1

3

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ3

cr

83.376

130.276

231.601

293.12

406.605

521.103

649.786

814.223

1045.825

1306.376

2298.064

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ3

cr

i

t1

3

i

b1

3

i

194

L10

m

⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J3

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M3

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J3

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

GJ3

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.

5

⋅:=

M3

0cr

i

11.018

16.666

28.637

35.782

48.762

61.627

75.843

93.679

118.241

145.181

242.207

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN c

m

⋅=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0

50

100

150

200

250

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M3

0cr

i

J3

i

195

4

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

100 x 50 x 1.20 100 50 1.20 1.20

100 x 50 x 1.50 100 50 1.50 1.50

100 x 50 x 2.00 100 50 2.00 2.00

100 x 50 x 2.25 100 50 2.25 2.25

100 x 50 x 2.65 100 50 2.65 2.65

100 x 50 x 3.00 100 50 3.00 3.00

100 x 50 x 3.35 100 50 3.35 3.35

100 x 50 x 3.75 100 50 3.75 3.75

100 x 50 x 4.25 100 50 4.25 4.25

100 x 50 x 4.75 100 50 4.75 4.75

100 x 50 x 6.30 100 50 6.30 6.30

Dimensões

Perfil U

n11:=

i1

n

..:=

Dimensões:

b

w

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100()mm⋅[]

T

:=

b

f

50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50()mm⋅[]

T

:=

t 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30()mm⋅[]

T

:=

r

i

1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

196

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

2.353

2.926

3.868

4.334

5.069

5.704

6.331

7.038

7.906

8.758

11.295

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

1.305

1.319

1.342

1.354

1.372

1.389

1.405

1.424

1.448

1.471

1.546

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

x

0

3.097

3.091

3.079

3.074

3.065

3.057

3.05

3.041

3.03

3.02

2.988

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

I

x

38.188

47.153

61.589

68.572

79.423

88.596

97.474

107.261

118.965

130.09

161

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

5.989

7.409

9.707

10.824

12.568

14.05

15.491

17.089

19.013

20.857

26.069

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

0.011

0.022

0.052

0.073

0.119

0.171

0.237

0.33

0.476

0.658

1.493

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

102.968

126.768

164.777

183.022

211.185

234.81

257.508

282.34

311.759

339.434

414.739

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

197

b1

4

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

4

i

t

i

:=

K4

1mín

i

0.5

b1

4

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ4

cr

i

K4

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

4

i

b1

4

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ4

cr

53.361

83.376

148.225

187.597

260.227

333.506

415.863

521.103

669.328

836.081

1470.761

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ4

cr

i

t1

4

i

b1

4

i

198

L10m⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J4

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M4

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J4

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

GJ4

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.

5

⋅:=

M4

0cr

i

16.957

25.365

43.219

53.902

73.355

92.691

114.120

141.087

178.366

219.432

368.739

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN c

m

⋅=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

0

100

200

300

400

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M4

0cr

i

J4

i

199

5

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

100 x 75 x 2.65 100 75 2.65 2.65

100 x 75 x 3.00 100 75 3.00 3.00

100 x 75 x 3.35 100 75 3.35 3.35

100 x 75 x 3.75 100 75 3.75 3.75

100 x 75 x 4.25 100 75 4.25 4.25

100 x 75 x 4.75 100 75 4.75 4.75

100 x 75 x 6.30 100 75 6.30 6.30

100 x 75 x 8.00 100 75 8.00 12.00

Dimensões

Perfil U

n8:=

i1

n

..:=

Dimensões:

b

w

100 100 100 100 100 100 100 100()mm⋅[]

T

:=

b

f

75 75 75 75 75 75 75 75()mm⋅[]

T

:=

t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00()mm⋅[]

T

:=

r

i

2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

200

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

i

6.394

7.204

8.006

8.913

10.031

11.133

14.445

17.621

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

i

2.383

2.401

2.419

2.439

2.465

2.491

2.572

2.705

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

x

0

i

5.269

5.263

5.257

5.25

5.242

5.233

5.208

5.224

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

I

x

i

110.815

123.88

136.59

150.686

167.67

183.958

230.141

266.659

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

i

38.206

42.851

47.402

52.491

58.683

64.688

82.126

97.33

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

i

0.15

0.216

0.299

0.417

0.603

0.836

1.909

3.755

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

i

645.048

719.594

791.794

871.487

966.963

1057.951

1312.732

1547.819

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

201

b1

5

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

5

i

t

i

:=

K5

1mín

i

0.5

b1

5

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ5

cr

i

K5

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

5

i

b1

5

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ5

cr

115.657

148.225

184.828

231.601

297.479

371.591

653.671

1054.043

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ5

cr

i

t1

5

i

b1

5

i

202

L10m⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J5

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M5

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J5

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

GJ5

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.

5

⋅:=

M5

0cr

i

167.795

211.282

259.688

320.906

406.056

500.518

849.294

1300.476

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN c

m

⋅=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M5

0cr

i

J5

i

203

6

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

125 x 50 x 1.20 125 50 1.20 1.20

125 x 50 x 1.50 125 50 1.50 1.50

125 x 50 x 2.00 125 50 2.00 2.00

125 x 50 x 2.25 125 50 2.25 2.25

125 x 50 x 2.65 125 50 2.65 2.65

125 x 50 x 3.00 125 50 3.00 3.00

125 x 50 x 3.35 125 50 3.35 3.35

125 x 50 x 3.75 125 50 3.75 3.75

125 x 50 x 4.25 125 50 4.25 4.25

125 x 50 x 4.75 125 50 4.75 4.75

125 x 50 x 6.30 125 50 6.30 6.30

Dimensões

Perfil U

n1

1

:=

i1

n

.

.:=

Dimensões:

b

w

125 125 125 125 125 125 125 125 125 125 125()mm⋅[]

T

:=

b

f

50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50()mm⋅[]

T

:=

t 1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30()mm⋅[]

T

:=

r

i

1.20 1.50 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

204

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

2.653

3.301

4.368

4.896

5.732

6.454

7.169

7.975

8.969

9.946

12.87

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

1.164

1.178

1.2

1.211

1.229

1.245

1.26

1.279

1.301

1.324

1.396

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

x

0

2.846

2.839

2.827

2.821

2.812

2.803

2.795

2.786

2.774

2.763

2.728

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

I

x

63.823

78.934

103.381

115.262

133.8

149.551

164.866

181.843

202.281

221.861

277.238

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

6.402

7.923

10.39

11.591

13.468

15.067

16.624

18.354

20.442

22.449

28.164

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

0.013

0.025

0.058

0.083

0.134

0.193

0.268

0.373

0.539

0.747

1.701

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

174.037

214.571

279.578

310.911

359.453

400.352

439.812

483.184

534.872

583.828

719.086

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

205

b1

6

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

6

i

t

i

:=

K6

1mín

i

0.5

b1

6

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ6

cr

i

K6

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

6

i

b1

6

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ6

cr

53.361

83.376

148.225

187.597

260.227

333.506

415.863

521.103

669.328

836.081

1470.761

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

0

50

100

150

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ6

cr

i

t1

6

i

b1

6

i

206

L10

m

⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J6

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M6

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J6

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

GJ6

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.

5

⋅:=

M6

0cr

i

18.855

27.826

46.851

58.235

78.978

99.613

122.502

151.334

191.241

235.267

395.876

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN c

m

⋅=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

0

100

200

300

400

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M6

0cr

i

J6

i

207

7

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

125 x 75 x 2.65 125 75 2.65 2.65

125 x 75 x 3.00 125 75 3.00 3.00

125 x 75 x 3.35 125 75 3.35 3.35

125 x 75 x 3.75 125 75 3.75 3.75

125 x 75 x 4.25 125 75 4.25 4.25

125 x 75 x 4.75 125 75 4.75 4.75

125 x 75 x 6.30 125 75 6.30 6.30

125 x 75 x 8.00 125 75 8.00 12.00

Dimensões

Perfil U

n8:=

i1

n

..:=

Dimensões:

b

w

125 125 125 125 125 125 125 125()mm⋅[]

T

:=

b

f

75 75 75 75 75 75 75 75()mm⋅[]

T

:=

t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00()mm⋅[]

T

:=

r

i

2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

208

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

i

7.057

7.954

8.844

9.85

11.094

12.321

16.02

19.621

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

i

2.172

2.189

2.206

2.225

2.249

2.274

2.35

2.47

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

x

0

i

4.924

4.917

4.91

4.902

4.892

4.882

4.852

4.855

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

I

x

i

183.387

205.366

226.836

250.756

279.74

307.717

388.194

455.051

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

i

41.247

46.292

51.245

56.792

63.558

70.137

89.36

106.872

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

i

0.165

0.238

0.33

0.461

0.667

0.926

2.117

4.182

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

i

1090.876

1218.987

1343.556

1481.657

1648.008

1807.537

2260.407

2688.829

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

209

b1

7

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

7

i

t

i

:=

K7

1mín

i

0.5

b1

7

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ7

cr

i

K7

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

7

i

b1

7

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ7

cr

115.657

148.225

184.828

231.601

297.479

371.591

653.671

1054.043

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ7

cr

i

t1

7

i

b1

7

i

210

L10m⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J7

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M7

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J7

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

GJ7

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.

5

⋅:=

M7

0cr

i

172.808

216.462

265.038

326.464

411.902

506.693

856.836

1313.837

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN c

m

⋅=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M7

0cr

i

J7

i

211

8

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

150 x 50 x 2.00 150 50 2.00 2.00

150 x 50 x 2.25 150 50 2.25 2.25

150 x 50 x 2.65 150 50 2.65 2.65

150 x 50 x 3.00 150 50 3.00 3.00

150 x 50 x 3.35 150 50 3.35 3.35

150 x 50 x 3.75 150 50 3.75 3.75

150 x 50 x 4.25 150 50 4.25 4.25

150 x 50 x 4.75 150 50 4.75 4.75

150 x 50 x 6.30 150 50 6.30 6.30

150 x 50 x 8.00 150 50 8.00 12.00

Perfil U

Dimensões

n10:=

i1

n

..:=

Dimensões:

b

w

150 150 150 150 150 150 150 150 150 150()mm⋅[]

T

:=

b

f

50 50 50 50 50 50 50 50 50 50()mm⋅[]

T

:=

t 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00()mm⋅[]

T

:=

r

i

2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

212

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

i

4.868

5.459

6.394

7.204

8.006

8.913

10.031

11.133

14.445

17.621

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

i

1.087

1.098

1.115

1.131

1.146

1.164

1.186

1.208

1.278

1.377

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

x

0

i

2.616

2.61

2.6

2.592

2.583

2.574

2.561

2.549

2.513

2.496

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

I

x

i

158.884

177.318

206.165

230.76

254.755

281.45

313.738

344.838

433.852

503.29

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

i

10.932

12.2

14.182

15.872

17.52

19.353

21.568

23.702

29.803

35.228

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

i

0.065

0.092

0.15

0.216

0.299

0.417

0.603

0.836

1.909

3.755

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

i

430.469

479.097

554.613

618.422

680.152

748.207

829.616

907.06

1123.079

1320.977

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

213

b1

8

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

8

i

t

i

:=

K8

1mín

i

0.5

b1

8

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ8

cr

i

K8

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

8

i

b1

8

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ8

cr

148.225

187.597

260.227

333.506

415.863

521.103

669.328

836.081

1470.761

2371.597

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ8

cr

i

t1

8

i

b1

8

i

214

L10m⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J8

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M8

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J8

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

GJ8

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.

5

⋅:=

M8

0cr

i

50.897

63.034

85.153

107.170

131.606

162.411

205.089

252.227

424.629

645.997

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN cm⋅=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

100

200

300

400

500

600

700

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M8

0cr

i

J8

i

215

9

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

150 x 75 x 2.65 150 75 2.65 2.65

150 x 75 x 3.00 150 75 3.00 3.00

150 x 75 x 3.35 150 75 3.35 3.35

150 x 75 x 3.75 150 75 3.75 3.75

150 x 75 x 4.25 150 75 4.25 4.25

150 x 75 x 4.75 150 75 4.75 4.75

150 x 75 x 6.30 150 75 6.30 6.30

150 x 75 x 8.00 150 75 8.00 12.00

Perfil U

Dimensões

n8:=

i1

n

..:=

Dimensões:

b

w

150 150 150 150 150 150 150 150()mm⋅[]

T

:=

b

f

75 75 75 75 75 75 75 75()mm⋅[]

T

:=

t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00()mm⋅[]

T

:=

r

i

2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

216

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

i

7.719

8.704

9.681

10.788

12.156

13.508

17.595

21.621

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

i

1.997

2.013

2.029

2.048

2.071

2.095

2.168

2.279

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm=

x

0

i

4.627

4.619

4.611

4.603

4.592

4.581

4.547

4.541

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

I

x

i

278.086

311.793

344.812

381.711

426.592

470.105

596.468

704.93

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

i

43.765

49.14

54.423

60.346

67.58

74.627

95.299

114.649

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

i

0.181

0.261

0.362

0.505

0.731

1.015

2.326

4.608

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

i

1677.774

1876.916

2071.057

2286.902

2547.819

2799.053

3518.53

4209.868

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

217

b1

9

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

9

i

t

i

:=

K9

1mín

i

0.5

b1

9

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ9

cr

i

K9

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

9

i

b1

9

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ9

cr

115.657

148.225

184.828

231.601

297.479

371.591

653.671

1054.043

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ9

cr

i

t1

9

i

b1

9

i

218

L10

m

⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J9

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M9

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J9

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

GJ9

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.

5

⋅:=

M9

0cr

i

183.739

228.934

279.210

342.786

431.239

529.419

892.540

1370.139

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN c

m

⋅=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M9

0cr

i

J9

i

219

10

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

200 x 50 x 2.00 200 50 2.00 2.00

200 x 50 x 2.25 200 50 2.25 2.25

200 x 50 x 2.65 200 50 2.65 2.65

200 x 50 x 3.00 200 50 3.00 3.00

200 x 50 x 3.35 200 50 3.35 3.35

200 x 50 x 3.75 200 50 3.75 3.75

200 x 50 x 4.25 200 50 4.25 4.25

200 x 50 x 4.75 200 50 4.75 4.75

200 x 50 x 6.30 200 50 6.30 6.30

200 x 50 x 8.00 200 50 8.00 12.00

Perfil U

Dimensões

n10:=

i1

n

..:=

Dimensões:

b

w

200 200 200 200 200 200 200 200 200 200()mm⋅[]

T

:=

b

f

50 50 50 50 50 50 50 50 50 50()mm⋅[]

T

:=

t 2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00()mm⋅[]

T

:=

r

i

2.00 2.25 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

220

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

i

5.868

6.584

7.719

8.704

9.681

10.788

12.156

13.508

17.595

21.621

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

i

0.919

0.929

0.947

0.962

0.977

0.994

1.016

1.038

1.105

1.196

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm=

x

0

i

2.283

2.276

2.266

2.258

2.249

2.239

2.227

2.215

2.177

2.153

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm=

I

x

i

317.319

354.613

413.204

463.388

512.569

567.553

634.466

699.374

888.054

1045.707

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

i

11.74

13.105

15.242

17.066

18.847

20.829

23.23

25.546

32.2

38.339

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

i

0.078

0.111

0.181

0.261

0.362

0.505

0.731

1.015

2.326

4.608

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

i

848.403

945.176

1095.896

1223.684

1347.718

1484.954

1649.855

1807.536

2252.316

2668.144

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

221

b1

10

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

10

i

t

i

:=

K10

1mín

i

0.5

b1

10

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ10

cr

i

K10

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

10

i

b1

10

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ10

cr

148.225

187.597

260.227

333.506

415.863

521.103

669.328

836.081

1470.761

2371.597

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ10

cr

i

t1

10

i

b1

10

i

222

L10m⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J10

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M10

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J10

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

G J10

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.

5

⋅:=

M10

0cr

i

59.518

73.148

97.979

122.702

150.160

184.806

232.868

286.032

481.157

735.594

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN cm⋅=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0

100

200

300

400

500

600

700

800

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M10

0cr

i

J10

i

223

11

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

200 x 75 x 2.65 200 75 2.65 2.65

200 x 75 x 3.00 200 75 3.00 3.00

200 x 75 x 3.35 200 75 3.35 3.35

200 x 75 x 3.75 200 75 3.75 3.75

200 x 75 x 4.25 200 75 4.25 4.25

200 x 75 x 4.75 200 75 4.75 4.75

200 x 75 x 6.30 200 75 6.30 6.30

200 x 75 x 8.00 200 75 8.00 12.00

Perfil U

Dimensões

n8:=

i1

n

..:=

Dimensões:

b

w

200 200 200 200 200 200 200 200()mm⋅[]

T

:=

b

f

75 75 75 75 75 75 75 75()mm⋅[]

T

:=

t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00()mm⋅[]

T

:=

r

i

2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

224

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

i

9.044

10.204

11.356

12.663

14.281

15.883

20.745

25.621

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

i

1.724

1.739

1.755

1.772

1.795

1.817

1.887

1.985

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

x

0

i

4.138

4.129

4.121

4.111

4.099

4.087

4.05

4.032

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

I

x

i

542.216

608.922

674.505

748.088

838.03

925.727

1183.522

1414.347

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

i

47.695

53.581

59.372

65.874

73.829

81.594

104.472

126.561

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

i

0.211

0.306

0.424

0.593

0.859

1.193

2.742

5.46

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

i

3312.177

3710.528

4100.118

4534.777

5062.465

5573.075

7050.812

8497.127

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

225

b1

11

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

11

i

t

i

:=

K11

1mín

i

0.5

b1

11

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ11

cr

i

K11

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

11

i

b1

11

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ11

cr

115.657

148.225

184.828

231.601

297.479

371.591

653.671

1054.043

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ11

cr

i

t1

11

i

b1

11

i

226

L10

m

⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J11

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M11

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J11

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

G J11

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅:=

M11

0cr

i

212.318

261.726

316.608

385.967

482.465

589.630

986.769

1514.855

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN c

m

⋅=

0123456

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M11

0cr

i

J11

i

227

12

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

200 x 100 x 2.65 200 100 2.65 2.65

200 x 100 x 3.00 200 100 3.00 3.00

200 x 100 x 3.35 200 100 3.35 3.35

200 x 100 x 3.75 200 100 3.75 3.75

200 x 100 x 4.25 200 100 4.25 4.25

200 x 100 x 4.75 200 100 4.75 4.75

200 x 100 x 6.30 200 100 6.30 6.30

200 x 100 x 8.00 200 100 8.00 12.00

Perfil U

Dimensões

n8:=

i1

n

..:=

Dimensões:

b

w

200 200 200 200 200 200 200 200()mm⋅[]

T

:=

b

f

100 100 100 100 100 100 100 100()mm⋅[]

T

:=

t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00()mm⋅[]

T

:=

r

i

2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

228

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

i

10.369

11.704

13.031

14.538

16.406

18.258

23.895

29.621

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

i

2.621

2.638

2.654

2.672

2.696

2.719

2.791

2.899

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm=

x

0

i

6.189

6.181

6.173

6.165

6.153

6.142

6.108

6.099

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm=

I

x

i

671.228

754.456

836.44

928.623

1041.595

1152.079

1478.989

1782.987

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

i

105.352

118.542

131.565

146.244

164.288

181.994

234.76

286.79

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

i

0.242

0.351

0.487

0.681

0.987

1.372

3.158

6.313

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

i

7230.5

8113.144

8979.484

9949.847

11133.574

12285.296

15657.61

19025.363

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

229

b1

12

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

12

i

t

i

:=

K12

1mín

i

0.5

b1

12

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ12

cr

i

K12

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

12

i

b1

12

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ12

cr

65.057

83.376

103.966

130.276

167.332

209.02

367.69

592.899

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

0

8.57

17.14

25.71

34.29

42.86

51.43

60

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ12

cr

i

t1

12

i

b1

12

i

230

L10

m

⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J12

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M12

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J12

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

G J12

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅:=

M12

0cr

i

394.348

478.075

570.642

687.323

849.485

1029.628

1699.484

2599.570

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN cm⋅=

01234567

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M12

0cr

i

J12

i

231

13

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

250 x 100 x 2.65 250 100 2.65 2.65

250 x 100 x 3.00 250 100 3.00 3.00

250 x 100 x 3.35 250 100 3.35 3.35

250 x 100 x 3.75 250 100 3.75 3.75

250 x 100 x 4.25 250 100 4.25 4.25

250 x 100 x 4.75 250 100 4.75 4.75

250 x 100 x 6.30 250 100 6.30 6.30

250 x 100 x 8.00 250 100 8.00 12.00

Perfil U

Dimensões

n8:=

i1

n

.

.:=

Dimensões:

b

w

250 250 250 250 250 250 250 250()mm⋅[]

T

:=

b

f

100 100 100 100 100 100 100 100()mm⋅[]

T

:=

t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00()mm⋅[]

T

:=

r

i

2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

232

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

i

11.694

13.204

14.706

16.413

18.531

20.633

27.045

33.621

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

i

2.339

2.355

2.371

2.388

2.411

2.433

2.503

2.601

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm=

x

0

i

5.687

5.678

5.67

5.66

5.648

5.636

5.6

5.581

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

I

x

i

1122.565

1262.95

1401.525

1557.688

1749.599

1937.875

2498.685

3030.95

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

i

112.63

126.77

140.74

156.498

175.887

194.934

251.826

308.793

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

i

0.273

0.396

0.55

0.769

1.115

1.55

3.574

7.165

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

i

12228.308

13732.535

15211.693

16871.775

18901.831

20882.487

26716.051

32599.968

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

233

b1

13

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

13

i

t

i

:=

K13

1mín

i

0.5

b1

13

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ13

cr

i

K13

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

13

i

b1

13

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ13

cr

65.057

83.376

103.966

130.276

167.332

209.02

367.69

592.899

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 0.0225 0.025 0.0275 0.03 0.0325 0.035

0

8.57

17.14

25.71

34.29

42.86

51.43

60

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ13

cr

i

t1

13

i

b1

13

i

234

L10

m

⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J13

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M13

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J13

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

G J13

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.

5

⋅:=

M13

0cr

i

462.329

553.622

653.861

779.584

953.647

1146.527

1862.417

2828.226

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN c

m

⋅=

012345678

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M13

0cr

i

J13

i

235

14

o

Grupo:

bw (mm) bf (mm) t (mm) ri (mm)

300 x 100 x 2.65 300 100 2.65 2.65

300 x 100 x 3.00 300 100 3.00 3.00

300 x 100 x 3.35 300 100 3.35 3.35

300 x 100 x 3.75 300 100 3.75 3.75

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300 x 100 x 4.75 300 100 4.75 4.75

300 x 100 x 6.30 300 100 6.30 6.30

300 x 100 x 8.00 300 100 8.00 12.00

Perfil U

Dimensões

n8:=

i1

n

..:=

Dimensões:

b

w

300 300 300 300 300 300 300 300()mm⋅[]

T

:=

b

f

100 100 100 100 100 100 100 100()mm⋅[]

T

:=

t 2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 8.00()mm⋅[]

T

:=

r

i

2.65 3.00 3.35 3.75 4.25 4.75 6.30 12.00()mm⋅[]

T

:=

r

m

i

r

i

t

i

2

+:=

u

1

i

2 π⋅ r

m

i

⋅

4

:=

a

i

b

w

i

2r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅−:=

a

m

i

b

w

i

t

i

−

:=

b

i

b

f

i

r

m

i

t

i

2

+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

−:=

b

m

i

b

f

i

t

i

2

−:=

A

i

t

i

a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

x

g

i

2t

i

⋅

A

i

b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅ u

1

i

0.363r

m

i

⋅

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅+

⎡

⎣

⎤

⎦

⋅ 0.5 t

i

⋅+:=

x

0

i

b

m

i

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅ x

g

i

+ 0.5 t

i

⋅−:=

236

I

x

i

2t

i

⋅ 0.042 a

i

()

3

⋅ b

i

0.5 a

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ u

1

i

0.5 a

i

⋅ 0.637r

m

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+ 0.149 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

I

y

i

2t

i

⋅ b

i

0.5 b

i

⋅ r

m

i

+

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ 0.083 b

i

()

3

⋅+ 0.356 r

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

A

i

x

g

i

0.5 t

i

⋅−

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅−:=

I

t

i

0.333 t

i

()

3

⋅ a

i

2b

i

⋅+ 2u

1

i

⋅+

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅:=

C

w

i

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ t

i

⋅

12

2a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅+

6a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

2

⋅ b

m

i

⋅

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a

m

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

A

i

13.019

14.704

16.381

18.288

20.656

23.008

30.195

37.621

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

2

=

x

g

i

2.115

2.13

2.145

2.163

2.185

2.207

2.275

2.367

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

x

0

i

5.267

5.258

5.249

5.239

5.227

5.214

5.176

5.153

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm=

I

x

i

1720.712

1937.21

2151.227

2392.793

2690.234

2982.683

3857.86

4700.858

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

y

i

118.427

133.319

148.038

164.65

185.1

205.202

265.332

326.117

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

I

t

i

0.304

0.441

0.612

0.856

1.242

1.729

3.991

8.018

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

C

w

i

18787.476

21110.309

23397.198

25967.186

29114.975

32191.745

41288.307

50522.508

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

6

=

237

b1

14

i

b

w

i

:=

b

2

i

b

f

i

:=

t1

14

i

t

i

:=

K14

1mín

i

0.5

b1

14

i

b

2

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ14

cr

i

K14

1mín

i

π

2

⋅ E⋅

12 1 ν

2

−

()

⋅

t1

14

i

b1

14

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

2

⋅:=

σ14

cr

65.057

83.376

103.966

130.276

167.332

209.02

367.69

592.899

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

MP

a

=

0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 0.0225 0.025 0.0275 0.03

0

8.57

17.14

25.71

34.29

42.86

51.43

60

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ14

cr

i

t1

14

i

b1

14

i

238

L10m⋅:=

I

1

i

I

y

i

:=

I

2

i

I

x

i

:=

J14

i

I

t

i

:=

γ

i

1

I

1

i

I

2

i

−:=

G

E

21 ν+

()

⋅

:=

M14

0cr

i

1.35

π

L

⋅

EI

1

i

⋅ G⋅ J14

i

⋅

γ

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.5

⋅ 1

EC

w

i

⋅

G J14

i

⋅

π

2

L

2

⋅+

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

0.

5

⋅:=

M14

0cr

i

539.293

639.474

748.641

884.754

1072.286

1279.364

2045.401

3080.529

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

kN c

m

⋅=

0123456789

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Momento crítico de flambagem lateral

cm4

kN*cm

M14

0cr

i

J14

i

239

Avaliação das tensões críticas para a flambagem local das placas componentes dos

grupos de seções tipo U:

0 0.009 0.018 0.027 0.036 0.045 0.054 0.063 0.072 0.081 0.0

0

20

40

60

80

100

120

140

Tensão crítica de flambagem local

(kN/cm2)

σ1

cr

i

σ2

cr

i

σ3

cr

i

σ4

cr

i

σ5

cr

i

σ6

cr

i

σ7

cr

i

σ8

cr

i

σ9

cr

i

σ10

cr

i

σ11

cr

i

σ12

cr

i

σ13

cr

i

σ14

cr

i

t1

1

i

b1

1

i

t1

2

i

b1

2

i

,

t1

3

i

b1

3

i

,

t1

4

i

b1

4

i

,

t1

5

i

b1

5

i

,

t1

6

i

b1

6

i

,

t1

7

i

b1

7

i

,

t1

8

i

b1

8

i

,

t1

9

i

b1

9

i

,

t1

10

i

b1

10

i

,

t1

11

i

b1

11

i

,

t1

12

i

b1

12

i

,

t1

13

i

b1

13

i

,

t1

14

i

b1

14

i

,

240

Avaliação dos momentos críticos para a flambagem lateral dos grupos de seções tipo U

componentes de viga simplesmente apoiada com 10 metros de comprimento, e carga

aplicada no centro de cisalhamento:

012345678910

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Momento crítico de flambagem lateral

(kN/cm2)

M1

0cr

i

M2

0cr

i

M3

0cr

i

M4

0cr

i

M5

0cr

i

M6

0cr

i

M7

0cr

i

M8

0cr

i

M9

0cr

i

M10

0cr

i

M11

0cr

i

M12

0cr

i

M13

0cr

i

M14

0cr

i

J1

i

J2

i

, J3

i

, J4

i

, J5

i

, J6

i

, J7

i

, J8

i

, J9

i

, J10

i

, J11

i

, J12

i

, J13

i

, J14

i

,

ANEXO 2

Análise dos enrijecedores de borda

Sistema de Unidades:

ORIGIN 1:=

kN 1:=

cm 1:=

m 100 c

m

⋅

:=

dm 0.1 m

⋅

:=

kgf

kN

10

0

:=

N

kN

100

0

:=

MN 1000k

N

⋅

:=

mm 0.1 cm⋅:=

MPa

MN

m

2

:=

kPa

kN

m

2

:=

GPa 1000MP

a

⋅

:=

tf 1000kg

f

⋅:=

Dados:

n: número de seções analisadas

Perfil Z enrijecido a 90

0

:

Consideração do estado limite último de escoamento da seção: σ = fy

Aços em análise:

COS-CIVIL 300: Tensão de Escoamento =

σ

1

30

kN

cm

2

⋅:=

COS-CIVIL 350: Tensão de Escoamento =

σ

2

35

kN

cm

2

⋅:=

Módulo de elasticidade longitudinal do aço:

E 20500

kN

cm

2

⋅:=

Quantidade de perfis analisados por grupo:

n

6

:=

i1

n

..:=

242

Momento de Inércia Adequado para os Enrijecedores de Borda:

1° Grupo:

Dimensões:

b

f1

25 25 25 25 25 25()mm⋅[]

T

:=

t

1

1.20 1.50 2 2.25 2.65 3()mm⋅[]

T

:=

Aço COS-CIVIL 300

I

a11

i

399

b

f1

i

t

1

i

1.28

E

σ

1

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

0.33−

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

1

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

1.28

3

E

σ

1

⋅

b

f1

i

t

1

i

< 1.28

E

σ

1

⋅≤if

115

b

f1

i

t

1

i

⋅

1.28

E

σ

1

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

5+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

1

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

b

f1

i

t

1

i

1.28

E

σ

1

⋅>if

0 otherwise

:=

I

a11

0.002

0.001

0

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

b

f1

i

t

1

i

20.833

16.667

12.5

11.111

9.434

8.333

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

=

243

10 13.75 17.5 21.25 25

0

4.16667

.

10

4

8.33333

.

10

4

0.00125

0.00167

0.00208

0.0025

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

I

a11

i

b

f1

i

t

1

i

Aço COS-CIVIL 350

I

a12

i

399

b

f1

i

t

1

i

1.28

E

σ

2

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

0.33−

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

1

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

1.28

3

E

σ

2

⋅

b

f1

i

t

1

i

< 1.28

E

σ

2

⋅≤if

115

b

f1

i

t

1

i

⋅

1.28

E

σ

2

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

5+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

1

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

b

f1

i

t

1

i

1.28

E

σ

2

⋅>if

0 otherwise

:=

244

I

a12

0.003

0.002

0

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

b

f1

i

t

1

i

20.833

16.667

12.5

11.111

9.434

8.333

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

=

10 13.75 17.5 21.25 25

0

5.83333

.

10

4

0.00117

0.00175

0.00233

0.00292

0.0035

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

I

a12

i

b

f1

i

t

1

i

245

10 13.75 17.5 21.25 25

0

5.83333

.

10

4

0.00117

0.00175

0.00233

0.00292

0.0035

Comp. inércia adequada enrijecedor

(cm4)

I

a12

i

I

a11

i

b

f1

i

t

1

i

2° Grupo:

Dimensões:

b

f2

40 40 40 40 40 40()mm⋅[]

T

:=

t

2

1.20 1.50 2 2.25 2.65 3()mm⋅[]

T

:=

246

Aço COS-CIVIL 300

I

a21

i

399

b

f2

i

t

2

i

1.28

E

σ

1

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

0.33−

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

2

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

1.28

3

E

σ

1

⋅

b

f2

i

t

2

i

< 1.28

E

σ

1

⋅≤if

115

b

f2

i

t

2

i

⋅

1.28

E

σ

1

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

5+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

2

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

b

f2

i

t

2

i

1.28

E

σ

1

⋅>if

0 otherwise

:=

I

a21

0.024

0.021

0.012

0.008

0.003

0.001

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

b

f2

i

t

2

i

33.333

26.667

20

17.778

15.094

13.333

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

=

10 16.25 22.5 28.75 35

0

0.0042

0.0083

0.0125

0.0167

0.0208

0.025

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

I

a21

i

b

f2

i

t

2

i

247

Aço COS-CIVIL 350

I

a22

i

399

b

f2

i

t

2

i

1.28

E

σ

2

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

0.33−

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

2

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

1.28

3

E

σ

2

⋅

b

f2

i

t

2

i

< 1.28

E

σ

2

⋅≤if

115

b

f2

i

t

2

i

⋅

1.28

E

σ

2

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

5+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

2

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

b

f2

i

t

2

i

1.28

E

σ

2

⋅>if

0 otherwise

:=

I

a22

442.491

0.03

0.02

0.015

0.008

0.003

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

b

f2

i

t

2

i

33.333

26.667

20

17.778

15.094

13.333

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

=

10 17.5 25 32.5 40

0

83.33

166.67

250

333.33

416.67

500

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

I

a22

i

b

f2

i

t

2

i

248

10 17.5 25 32.5 40

0

83.33

166.67

250

333.33

416.67

500

Comp. inércia adequada enrijecedor

(cm4)

I

a22

i

I

a21

i

b

f2

i

t

2

i

3° Grupo:

Dimensões:

b

f3

50 50 50 50 50 50()mm⋅[]

T

:=

t

3

1.20 1.50 2 2.25 2.65 3()mm⋅[]

T

:=

249

Aço COS-CIVIL 300

I

a31

i

399

b

f3

i

t

3

i

1.28

E

σ

1

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

0.33−

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

3

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

1.28

3

E

σ

1

⋅

b

f3

i

t

3

i

< 1.28

E

σ

1

⋅≤if

115

b

f3

i

t

3

i

⋅

1.28

E

σ

1

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

5+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

3

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

b

f3

i

t

3

i

1.28

E

σ

1

⋅>if

0 otherwise

:=

I

a31

675.025

0.06

0.046

0.038

0.025

0.015

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

b

f3

i

t

3

i

41.667

33.333

25

22.222

18.868

16.667

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

=

15 23.75 32.5 41.25 50

0

116.67

233.33

350

466.67

583.33

700

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

I

a31

i

b

f3

i

t

3

i

250

Aço COS-CIVIL 350

I

a32

i

399

b

f3

i

t

3

i

1.28

E

σ

2

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

0.33−

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

3

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

1.28

3

E

σ

2

⋅

b

f3

i

t

3

i

< 1.28

E

σ

2

⋅≤if

115

b

f3

i

t

3

i

⋅

1.28

E

σ

2

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

5+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

3

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

b

f3

i

t

3

i

1.28

E

σ

2

⋅>if

0 otherwise

:=

I

a32

844.258

1080.301

0.069

0.059

0.043

0.029

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

b

f3

i

t

3

i

41.667

33.333

25

22.222

18.868

16.667

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

=

15 22.5 30 37.5 45

0

200

400

600

800

1000

1200

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

I

a32

i

b

f3

i

t

3

i

251

15 22.5 30 37.5 45

0

200

400

600

800

1000

1200

Comp. inércia adequada enrijecedor

(cm4)

I

a32

i

I

a31

i

b

f3

i

t

3

i

4° Grupo:

Dimensões:

b

f4

60 60 60 60 60 60()mm⋅[]

T

:=

t

4

1.20 1.50 2 2.25 2.65 3()mm⋅[]

T

:=

252

Aço COS-CIVIL 300

I

a41

i

399

b

f4

i

t

4

i

1.28

E

σ

1

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

0.33−

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

4

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

1.28

3

E

σ

1

⋅

b

f4

i

t

4

i

< 1.28

E

σ

1

⋅≤if

115

b

f4

i

t

4

i

⋅

1.28

E

σ

1

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

5+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

4

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

b

f4

i

t

4

i

1.28

E

σ

1

⋅>if

0 otherwise

:=

I

a41

1146.877

1464.211

0.116

0.104

0.082

0.062

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

b

f4

i

t

4

i

50

40

30

26.667

22.642

20

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

=

15 25 35 45 55

0

250

500

750

1000

1250

1500

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

I

a41

i

b

f4

i

t

4

i

253

Aço COS-CIVIL 350

I

a42

i

399

b

f4

i

t

4

i

1.28

E

σ

2

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

0.33−

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

4

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

1.28

3

E

σ

2

⋅

b

f4

i

t

4

i

< 1.28

E

σ

2

⋅≤if

115

b

f4

i

t

4

i

⋅

1.28

E

σ

2

⋅

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

5+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

3

t

4

i

⎛

⎝

⎞

⎠

4

⋅

b

f4

i

t

4

i

1.28

E

σ

2

⋅>if

0 otherwise

:=

I

a42

1436.156

1830.745

0.166

0.153

0.127

0.102

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

b

f4

i

t

4

i

50

40

30

26.667

22.642

20

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

=

15 25 35 45 55

0

333.33

666.67

1000

1333.33

1666.67

2000

Mom. inércia adequado enrijecedor

(cm4)

I

a42

i

b

f4

i

t

4

i

254

15 25 35 45 55

0

333.33

666.67

1000

1333.33

1666.67

2000

Comp. inércia adequada enrijecedor

(cm4)

I

a42

i

I

a41

i

b

f4

i

t

4

i

255

Momentos de inércia adequados para os enrijecedores de borda dos perfis analisados nos 4

grupos:

Aço COS-CIVIL 300

10 22.5 35 47.5 60

0

250

500

750

1000

1250

1500

Comp. inércia adequada enrijecedor

(cm4)

I

a11

i

I

a21

i

I

a31

i

I

a41

i

b

f1

i

t

1

i

b

f2

i

t

2

i

,

b

f3

i

t

3

i

,

b

f4

i

t

4

i

,

256

Aço COS-CIVIL 350

10 22.5 35 47.5 60

0

333.33

666.67

1000

1333.33

1666.67

2000

Comp. inércia adequada enrijecedor

(cm4)

I

a12

i

I

a22

i

I

a32

i

I

a42

i

b

f1

i

t

1

i

b

f2

i

t

2

i

,

b

f3

i

t

3

i

,

b

f4

i

t

4

i

,

257

Cálculo do Momento de Inércia da Seção Bruta do Enrijecedor:

1° Grupo:

Dimensões:

d

1

10 10 10 10 10 10()mm⋅[]

T

:=

t

1

1.20 1.50 2 2.25 2.65 3()mm⋅[]

T

:=

θ

π

2

:=

I

st1

i

d

1

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

t

1

i

⋅ sin θ

()

2

⋅

12

:=

I

st1

0.01

0.013

0.017

0.019

0.022

0.025

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

0.1 0.16 0.22 0.29 0.35

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Mom. inércia seção bruta enrijecedor

(cm)

(cm4)

I

st1

i

t

1

i

258

2° Grupo:

Dimensões:

d

2

15 15 15 15 15 15()mm⋅[]

T

:=

t

2

1.2 1.5 2 2.25 2.65 3()mm⋅[]

T

:=

θ

π

2

:=

I

st2

i

d

2

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

t

2

i

⋅ sin θ

()

2

⋅

12

:=

I

st2

0.034

0.042

0.056

0.063

0.075

0.084

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

0.1 0.16 0.22 0.29 0.35

0

0.017

0.033

0.05

0.067

0.083

0.1

Mom. inércia seção bruta enrijecedor

(cm)

(cm4)

I

st2

i

t

2

i

259

3° Grupo:

Dimensões:

d

3

17 17 17 17 17 17()mm⋅[]

T

:=

t

3

1.2 1.5 2 2.25 2.65 3()mm⋅[]

T

:=

θ

π

2

:=

I

st3

i

d

3

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

t

3

i

⋅ sin θ

()

2

⋅

12

:=

I

st3

0.049

0.061

0.082

0.092

0.108

0.123

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

0.1 0.16 0.22 0.29 0.35

0

0.025

0.05

0.075

0.1

0.12

0.15

Mom. inércia seção bruta enrijecedor

(cm)

(cm4)

I

st3

i

t

3

i

260

4° Grupo:

Dimensões:

d

4

20 20 20 20 20 20()mm⋅[]

T

:=

t

4

1.2 1.5 2 2.25 2.65 3()mm⋅[]

T

:=

θ

π

2

:=

I

st4

i

d

4

i

⎛

⎝

⎞

⎠

3

t

4

i

⋅ sin θ

()

2

⋅

12

:=

I

st4

0.08

0.1

0.133

0.15

0.177

0.2

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

cm

4

=

0.1 0.16 0.22 0.29 0.35

0

0.042

0.083

0.13

0.17

0.21

0.25

Mom. inércia seção bruta enrijecedor

(cm)

(cm4)

I

st4

i

t

4

i

261

Momentos de inércia das seções brutas para os enrijecedores de borda dos perfis analisados

nos 4 grupos:

0.1 0.16 0.22 0.29 0.35

0

0.033

0.067

0.1

0.13

0.17

0.2

Comp. inércia seção bruta enrijecedor

(cm)

(cm4)

I

st1

i

I

st2

i

I

st3

i

I

st4

i

t

1

i

t

2

i

, t

3

i

, t

4

i

,

Cálculo do coeficiente de flambagem do perfil:

Para o 1° grupo o momento de inércia adequado para o enrijecedor em alguns perfis foi nulo.

2° Grupo:

m

2

i

1

2

1.28

3

E

σ

1

⋅

b

f2

i

t

2

i

< 1.28

E

σ

1

⋅≤if

1

3

b

f2

i

t

2

i

1.28

E

σ

1

⋅>if

:=

262

k

2

i

4.82 5

d

2

i

b

f2

i

⋅−

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

I

st2

i

I

a21

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

m

2

i

⋅ 0.43+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

5.25 5

d

2

i

b

f2

i

⋅−≤

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

0.25

d

2

i

b

f2

i

< 0.80≤if

3.57

I

st2

i

I

a21

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

m

2

i

⋅ 0.43+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

4.0≤

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

d

2

i

b

f2

i

0.25≤if

:=

k

2

0

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

=

3° Grupo:

m

3

i

1

2

1.28

3

E

σ

1

⋅

b

f3

i

t

3

i

< 1.28

E

σ

1

⋅≤if

1

3

b

f3

i

t

3

i

1.28

E

σ

1

⋅>if

:=

k

3

i

4.82 5

d

3

i

b

f3

i

⋅−

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

I

st3

i

I

a31

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

m

3

i

⋅ 0.43+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

5.25 5

d

3

i

b

f3

i

⋅−≤

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

0.25

d

3

i

b

f3

i

< 0.80≤if

3.57

I

st3

i

I

a31

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

m

3

i

⋅ 0.43+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

4.0≤

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

d

3

i

b

f3

i

0.25≤if

:=

263

k

3

1

0

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

=

4° Grupo:

m

4

i

1

2

1.28

3

E

σ

1

⋅

b

f4

i

t

4

i

< 1.28

E

σ

1

⋅≤if

1

3

b

f4

i

t

4

i

1.28

E

σ

1

⋅>if

:=

k

4

i

4.82 5

d

4

i

b

f4

i

⋅−

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

I

st4

i

I

a41

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

m

4

i

⋅ 0.43+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

5.25 5

d

4

i

b

f4

i

⋅−≤

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

0.25

d

4

i

b

f4

i

< 0.80≤if

3.57

I

st4

i

I

a41

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

m

4

i

⋅ 0.43+

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

4.0≤

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

d

4

i

b

f4

i

0.25≤if

:=

k

4

1

0

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

=

264

Cálculo da largura efetiva dos elementos enrijecidos à compressão:

3° Grupo:

b

ef3

i

0.95t

3

i

⋅

k

3

i

σ

1

⋅ 1 0.208

t

3

i

b

f3

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅

k

3

i

E⋅

σ

1

⋅−

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

b

ef3

0.018

0

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

4° Grupo:

b

ef4

i

0.95t

4

i

⋅

k

4

i

σ

1

⋅ 1 0.208

t

4

i

b

f4

i

⎛

⎜

⎝

⎞

⎠

⋅

k

4

i

E⋅

σ

1

⋅−

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

⋅:=

b

ef4

0.019

0.022

0

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

c

m

=

ANEXO 3

PERFIS U ENRIJECIDOS–FLAMBAGEM LOCAL, DISTORCIONAL E

GLOBAL

U 50 25 10 2 LOCAL

DISTORCIONAL

266

U 50 25 10 225 LOCAL

DISTORCIONAL

267

U 50 25 10 265 LOCAL

DISTORCIONAL

268

U 50 25 10 3 LOCAL

U 75 40 15 2 LOCAL

269

DISTORCIONAL

U 75 40 15 225 LOCAL

270

DISTORCIONAL

U 75 40 15 265 LOCAL

271

DISTORCIONAL

U 75 40 15 3 LOCAL

272

DISTORCIONAL

U 100 40 17 2 LOCAL

273

DISTORCIONAL

U 100 40 17 225 LOCAL

274

DISTORCIONAL

GLOBAL

275

U 100 40 17 265 LOCAL

DISTORCIONAL

276

U 100 40 17 3 LOCAL

DISTORCIONAL

277

U 127 50 17 2 LOCAL

DISTORCIONAL

278

GLOBAL

U 127 50 17 225 LOCAL

279

DISTORCIONAL

U 127 50 17 265 LOCAL

280

DISTORCIONAL

U 127 50 17 3 LOCAL

281

DISTORCIONAL

U 150 60 20 2 LOCAL

282

DISTORCIONAL

GLOBAL

283

U 150 60 20 225 LOCAL

DISTORCIONAL

284

GLOBAL

U 150 60 20 265 LOCAL

285

DISTORCIONAL

GLOBAL

286

U 150 60 20 3 LOCAL

DISTORCIONAL

287

U 200 75 20 2 LOCAL

DISTORCIONAL

288

GLOBAL

U 200 75 20 225 LOCAL

289

DISTORCIONAL

GLOBAL

290

U 200 75 20 265 LOCAL

DISTORCIONAL

291

GLOBAL

U 200 75 20 3 LOCAL

292

DISTORCIONAL

U 250 85 25 2 LOCAL

293

DISTORCIONAL

GLOBAL

294

U 250 85 25 225 LOCAL

DISTORCIONAL

295

U 250 85 25 265 LOCAL

DISTORCIONAL

296

GLOBAL

U 250 85 25 3 LOCAL

297

DISTORCIONAL

U 300 85 25 2 LOCAL

298

GLOBAL

U 300 85 25 225 LOCAL

299

GLOBAL

U 300 85 25 265 LOCAL

300

U 300 85 25 3 LOCAL

GLOBAL

ANEXO 4

PERFIS Z ENRIJECIDOS – FLAMBAGEM LOCAL, DISTORCIONAL E GLOBAL

Z 50 25 10 200 LOCAL

DISTORCIONAL

302

GLOBAL

Z 50 25 10 225 LOCAL

303

DISTORCIONAL

GLOBAL

304

Z 50 25 10 265 DISTORCIONAL

GLOBAL

305

Z 50 25 10 300 DISTORCIONAL

Z 75 40 15 200 LOCAL

306

DISTORCIONAL

Z 75 40 15 225 LOCAL

307

DISTORCIONAL

GLOBAL

308

Z 75 40 15 265 LOCAL

DISTORCIONAL

309

Z 75 40 15 300 LOCAL

DISTORCIONAL

310

GLOBAL

Z 100 50 17 200 LOCAL

311

DISTORCIONAL

Z 100 50 17 225 LOCAL

312

DISTORCIONAL

Z 100 50 17 265 LOCAL

313

DISTORCIONAL

GLOBAL

314

Z 100 50 17 300 LOCAL

DISTORCIONAL

315

GLOBAL

Z 125 50 17 200 LOCAL

316

DISTORCIONAL

GLOBAL

317

Z 125 50 17 225 LOCAL

DISTORCIONAL

318

GLOBAL

Z 125 50 17 265 LOCAL

319

DISTORCIONAL

GLOBAL

320

Z 125 50 17 300 LOCAL

DISTORCIONAL

321

Z 150 60 20 200 LOCAL

DISTORCIONAL

322

GLOBAL

Z 150 60 20 225 LOCAL

323

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