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UNIVERSIDADE FEDERAL
FLUMINENSE
Instituto de Matem´atica
Alguns aspectos te´oricos sobre um sistema
termo-el´astico n˜ao linear
Patricia Hilario Tacuri
Disserta¸c˜ao submetida ao Corpo Docente
do Instituto de Matem´atica da Universidade
Federal Fluminense, como parte dos requisi-
tos necess´arios para a obten¸c˜ao do grau de
Mestre.
Orientador: Haroldo R. Clark
Niter´oi, 29 de Abril de 2009
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Alguns aspectos te´oricos sobre um sistema
termo-el´astico n˜ao linear
Disserta¸c˜ao submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matem´atica da Universidade
Federal Fluminense, como parte dos requisitos necess´arios para a obten¸c˜ao do grau de
Mestre.
´
Area de concentra¸c˜ao: Matem´atica
Aprovada por:
Haroldo Rodrigues Clark - IM/UFff
(Orientador)
Luiz Adauto Medeiros - IM/UFRJ
C´ıcero Lopes Frota - DM/UEM
Juan L´ımaco Ferrel - IM/UFF
Niter´oi, 29 de Abril de 2009
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Ficha Catalogr´afica
Tacuri, P. H.
Alguns aspectos te´oricos sobre um sistema termo-el´astico n˜ao linear
Aluna: Patricia Hilario Tacuri,
Niter´oi, UFF/IM, 2009
i-v, 66 p´aginas
Orientador: Haroldo Rodrigues Clark
Disserta¸c˜ao de Mestrado - UFF/IM/ Programa de P´os-gradua¸c˜ao em
Matematica,
Referˆencias Bibliogr´aficas: f. 57-58.
1. Introdu¸c˜ao.
2. Resultados B´asicos.
3. Existˆencia de Solu¸c˜oes, Unicidade das Solu¸c˜oes e Estabilidade Assint´otica das Solu¸c˜oes.
Dedicat´oria
`
A minha fam´ılia.
i
Agradecimentos
Agrade¸co primeiramente a Deus, pelo dom da vida e por ter me dado for¸cas para
concluir mais esta etapa de meus estudos.
Um agradecimento especial ao meu orientador professor Haroldo R. Clark pela sua
eficiente orienta¸c˜ao, paciˆencia, boa vontade, sabedoria, pelo exemplo de dedica¸c˜ao `a
profiss˜ao e por ter aceitado me orientar.
Ao professor Dinam´erico Pereira Pombo Jr., pelo apoio nos momentos dif´ıceis.
Aos meus professores da UFF, Sebasti˜ao Firmo, Miriam del Milagro Abd´on, Gabriel
Calsamiglia Mendlewicz, Xu Cheng e Juan L´ımaco Ferrel por me incentivarem a continuar
nos estudos.
Ao meus colegas e grandes amigos: Christian e Cristhabel. O primeiro por ter me
ajudado a superar as dificuldades de estar longe de casa. A segunda por ter sido um
exemplo de seriedade, dedica¸c˜ao ao trabalho, sabedoria e principalmente pela sua grande
amizade.
Aos amigos do mestrado da UFF, que de alguma forma me ajudaram a nunca desistir:
Laurent, Mauro, Jaime, Manoel, Kelly, Jaqueline, Jefferson e outros.
Aos funcionarios da UFF, Mariana e Renato, pela aten¸c˜ao e convivˆencia amiga du-
rante a realiza¸c˜ao do curso.
A minha familia, pelo apoio incondicional e por terem sido a for¸ca que me fez ir em
frente.
Ao professor Walter Torres Montes da Universidad Nacional de San Agust´ın-Arequipa
pela dedica¸c˜ao ao ensino da matem´atica e incentivo constante de ser o melhor a cada d´ıa.
Ao meus grandes amigos que fiz durante minha estadia em Niter´oi, entre eles Lenize,
Dona Railda, Dona Maria e sua familia, pelo amor e carinho que sempre me deram.
`
A CAPES ( Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de Ensino Superior) pelo
apoio financiero.
E a todos meus amigos que ao longo destos dois anos, de alguma maneira, me encora-
jaram, ajudaram ou torceram por mim. Dentre eles, Renato, Alvaro, Claudio, Claudia,
Enrique, Napole´on, Ivan, Michael, Gerson, Fernando, Sonia, Tito e outros.
”Los ideales que deben iluminar la realizaci´on de tus objetivos son la perseverancia
y el coraje, no importa cu´antos digan que no se puede hacer o cu´anta gente lo haya
intentado antes; lo importante es que realizes tu primer intento.”
ii
Resumo
Um dos principais objetivos da disserta¸c˜ao ´e fazer uma an´alise qualitativa sobre as
solu¸c˜oes do sistema misto acoplado
u
tt
− M
L
0
|u
x
(t)|
2
R
dx
u
xx
+ u
xxxx
+ θ
x
+ u
t
= 0 em Q,
θ
t
− θ
xx
+ u
xt
= 0 em Q,
onde Q =]0, L[×]0, T [ com L > 0 e T > 0.
Ser´a estabelecido:
• existˆencia de pelo menos uma solu¸c˜ao global fraca e estabeliza¸c˜ao da energia
associada a essas solu¸c˜oes;
• existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes fortes n˜ao locais.
iii
Abstract
One of the main objectives of the dissertation is to do a qualitative theoretical analysis
of the solutions for the coupled mixed system
u
tt
− M
L
0
|u
x
(t)|
2
R
dx
u
xx
+ u
xxxx
+ θ
x
+ u
t
= 0 in Q,
θ
t
− θ
xx
+ u
xt
= 0 in Q,
where Q =]0, L[×]0, T [ with L > 0 and T > 0.
It will be established:
• existence at least one global weak solution and a rate decay estimate for the energy
associated with these solutions;
• existence and uniqueness of non-local strong solutions.
iv
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 1
2 Resultados B´asicos 4
2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Teoria das Distribui¸c˜oes Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Espa¸cos das Fun¸c˜oes Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Convergˆencia em C
∞
0
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Distribu¸c˜oes Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.4 Convergˆencia e Deriva¸c˜ao em D
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Espa¸cos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 O espa¸co H
m
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Espa¸cos L
p
(0, T ; X) e Distribui¸c˜oes Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Outros Resultados
´
Uteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Existˆencia, unicidade e estabilidade assint´otica das solu¸c˜oes 20
3.1 Solu¸c˜oes fracas e estabiliza¸c˜ao assint´otica da energia . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 Solu¸c˜oes Aproximadas do problema (1.2) . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Estimativa sobre as solu¸c˜oes aproximadas . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Convergˆencia das Solu¸c˜oes Aproximadas . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.4 Verifica¸c˜ao de que {u, θ} satisfaz as equa¸c˜oes em (3.5) . . . . . . . 36
3.1.5 Verifica¸c˜ao dos Dados Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.6 Estabilidade assint´otica das solu¸c˜oes fracas . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Solu¸c˜oes fortes e unicidade de solu¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Unicidade das solu¸c˜oes fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.2 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
v
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
A equa¸c˜ao n˜ao linear que modela as pequenas vibra¸c˜oes transversais de uma viga
unidemensional ´e usualmente representada por
u
tt
− M
L
0
|u
x
|
2
R
dx
u
xx
+ u
xxxx
= 0,
(∗)
onde u = u(x, t) ´e o deslocamento tansversal da viga de comprimento L e M ´e uma fun¸c˜ao
real com valores reais adequada. A equa¸c˜ao do tipo (∗) foi introduzida por Woinowsky-
Krieger [12] em 1950 e ela tem sido estudada em diferentes contextos por v´arios autores.
Por exemplo, Medeiros [8] incluiu a equa¸c˜ao (∗) em uma formula¸c˜ao abstrata em espa¸cos
de Hilbert.
Quando leva-se em considera¸c˜ao o efeito de for¸cas externas atuando inversamente `as
oscila¸c˜oes da viga ´e natural considerar o modelo
u
tt
− M
L
0
|u
x
|
2
R
dx
u
xx
+ u
xxxx
+ u
t
= 0.
(∗∗)
A parcela u
t
funciona como um amortecimento interno linear `as oscila¸c˜oes da viga. H´a,
tamb´em, v´arios trabalhos em diferentes contextos, investigando problemas relacionados
`a equa¸c˜ao (∗∗). Cita-se Biler [1] e Pereira [10].
´
E natural em um fenˆomeno oscilat´orio, como em oscila¸c˜oes de cordas ou vigas, con-
siderar o efeito do calor provocado pelas oscila¸c˜oes do material. Assim, surge os sistemas
termo-el´asticos acoplados. No caso linear, os mais comuns na literatura, s˜ao, respecti-
vamente, o sistema linear termo-el´astico associado `a equa¸c˜ao da onda e da viga, dados
como segue, respectivamente
(∗ ∗ ∗)
u
tt
− u
xx
+ θ
x
= 0,
θ
t
− θ
xx
+ u
xt
= 0,
(∗ ∗ ∗∗)
u
tt
− u
xx
+ u
xxxx
+ θ
x
= 0,
θ
t
− θ
xx
+ u
xt
= 0,
1
θ = θ(x, t) ´e a temperatura instantˆanea produzida pelas pequenas oscila¸c˜oes da corda ou
da viga.
O sistema (∗ ∗ ∗) tem sido bastante estudado em diferentes situa¸c˜oes nas ´ultimas
d´ecadas. No caso cil´ındrico, veja por exemplo, Henry [4], Scott [11] e Clark e outros [3].
No caso n˜ao cil´ındrico cita-se o trabalho de L´ımaco e outros []. O sistema (∗∗∗∗) tem sido
pouco estudado devido a parcela que envolve o bi-laplaciano, isto ´e, u
xxxx
. Esta parcela
do ponto de vista de uma an´alise matem´atica, torna o problema mais f´acil do que o
problema (∗∗∗). Todavia, interessantes sistemas surgem quando considera-se problemas
n˜ao lineares associados aos sistemas (∗ ∗ ∗) e (∗ ∗ ∗∗).
Considera-se neste trabalho um sistema n˜ao linear termo-el´astico dado por
u
tt
− M
L
0
|u
x
|
2
R
dx
u
xx
+ u
xxxx
+ θ
x
+ u
t
= 0 em Q,
θ
t
− θ
xx
+ u
xt
= 0 em Q,
(1.1)
onde u = u(x, t) ´e o deslocamento tansversal de uma viga unidimensional e θ = θ(x, t) ´e
a temperatura instantˆanea produzida pelas pequenas deflex˜ao da viga. Por Q define-se
o cilindro ]0, L[×]0, T [, L > 0 e T > 0.
A proposta ´e estudar um problema misto associado ao sistema (1.1), a saber
u
tt
(x, t) − M
|u
x
(t)|
2
u
xx
(x, t) + u
xxxx
(x, t) + θ
x
(x, t) + u
t
(x, t) = 0 em Q,
θ
t
(x, t) − θ
xx
(x, t) + u
xt
(x, t) = 0 em Q,
u(0, t) = u(L, t) = u
x
(0, t) = u
x
(L, t) = 0 para t ≥ 0,
θ(0, t) = θ(L, t) = 0 para t ≥ 0,
u(x, 0) = u
0
(x), u
t
(x, 0) = u
1
(x) e θ(x, 0) = θ
0
(x) em ]0, L[,
(1.2)
onde
|u
x
(t)|
2
:= |u
x
(t)|
2
L
2
(0,L)
=
L
0
|u
x
(t)|
2
R
dx
e todas as derivadas do sistema (1.2) s˜ao no sentido das distribui¸c˜oes.
As condi¸c˜oes de fronteira (1.2)
3
e (1.2)
4
significam que a viga estar engastada nas
extremidades e que n˜ao h´a troca de temperatura com o meio externo nos extremos da
viga, respectivamente.
Estuda-se nesta disserta¸c˜ao os aspectos te´oricos do sistema misto (1.2) com o objetivo
de estabelecer as seguintes metas:
(a) existˆencia de solu¸c˜oes globais fracas e comportamento assint´otico da energia total
do sistema associado `as solu¸c˜oes fracas;
2
(b) existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes fortes n˜ao locais.
A existˆencia de solu¸c˜oes globais e n˜ao locais s˜ao estabelecidas por meio dos M´etodos
de Faedo-Galerkin e de Compacidade, a unicidade de solu¸c˜oes pelo M´etodo da Energia
e o comportamento assint´otico da energia, por meio da constru¸c˜ao de um operador do
tipo Lyapunov.
3
Cap´ıtulo 2
Resultados B´asicos
Neste cap´ıtulo apresenta-se alguns resultados necess´arios para desenvolvimento o
cap´ıtulo seguinte.
2.1 Preliminares
Seja E um espa¸co de Banach e seja f ∈ E
, chame-se ϕ
f
: E → R a aplica¸c˜ao dada
por ϕ
f
(x) = f, x. Quando f percorre E
obtem-se uma familia {ϕ
f
}
f∈E
de aplica¸c˜oes
de E em R.
Defini¸c˜ao 2.1. (Topolog´ıa Fraca) A topolog´ıa fraca σ(E, E
) em E ´e a topolog´ıa menos
fina em E que faz continuas todas as aplica¸c˜oes (ϕ
f
)
f∈E
de aplica¸c˜oes de E em R.
Seja E
o dual de E munido da norma dual f = sup
x ∈ E
x ≤ 1
|f, x| e seja E
o bidual
de E isto ´e, o dual de E
munido da norma ξ = sup
f ∈ E
f ≤ 1
|ξ, f|. Para cada x ∈ E
considere-se a aplica¸c˜ao ϕ
x
: E
→ R definida por ϕ
x
(f) = f, x. Quando x percorre E
obtem-se uma familia de aplica¸c˜oes (ϕ
x
)
x∈E
de E
em R.
Defini¸c˜ao 2.2. (Topolog´ıa Fraca Estrela) A topolog´ıa fraca estrela denotada por
σ(E
, E) ´e a topolog´ıa menos fina que faz continua todas as aplica¸c˜oes (ϕ
x
)
x∈E
Teorema 2.3. (Banach-Steinhaus) Sejam E e F dois espa¸cos de Banach. Seja (T
i
)
i∈I
uma familia (n˜ao necessariamente enumer´avel) de operadores lineares e cont´ınuos de E
4
em F . Suponha que sup
i∈I
T
i
(x) < ∞ para todo x ∈ E. Ent˜ao sup T
i
L(E,F )
< ∞.
Dito de outro modo, existe uma constante C tal que T
i
(x) ≤ Cx, ∀x ∈ E e ∀i ∈ I.
Demonstra¸c˜ao. Ver [Brezis]
Proposi¸c˜ao 2.4. Seja E um espa¸co de Banach e (x
n
) uma sucess˜ao em E. Se verifica:
(I) Se x
n
x em σ(E, E
), ent˜ao f, x
n
→ f, x, ∀f ∈ E
,
(II) Se x
n
→ x fortemente, ent˜ao x
n
x fracamente para σ(E, E
),
(III) Se x
n
x fracamente para σ(E, E
), ent˜ao x
n
´e limitada e x ≤ lim inf x
n
,
(IV) Se x
n
x fracamente para σ(E, E
) e se f
n
→ f fortemente em E
(isto ´e,
f
n
− f
E
→ 0), ent˜ao f
n
, x
n
→ f, x em R.
Demonstra¸c˜ao. Ver [Brezis]
Observa¸c˜ao 2.5. A parte (III) da proposi¸c˜ao 2.4 ´e uma consequencia do Teorema de
Banach-Steinhaus.
Proposi¸c˜ao 2.6. Seja E um espa¸co de Banach e (f
n
) uma sucess˜ao em E’. Se verifica:
(I) Se f
n
∗
f em σ(E
, E), ent˜ao f
n
, x → f, x, ∀x ∈ E,
(II) Se f
n
→ f fortemente, ent˜ao f
n
f fracamente para σ(E
, E
),
(III) Se f
n
f fracamente para σ(E
, E
), ent˜ao f
n
∗
f em σ(E
, E),
(IV) Se f
n
∗
f em σ(E
, E), ent˜ao f
n
´e limitada e f ≤ lim inf f
n
,
(V) Se f
n
∗
f em σ(E
, E) e se x
n
→ x fortemente em E
, ent˜ao f
n
, x
n
→ f, x
em R.
Demonstra¸c˜ao. Ver [Brezis]
Teorema 2.7. Seja E um espa¸co de Banach separ´avel e seja (f
n
) uma sucess˜ao limitada
em E
. Ent˜ao existe uma subsucess˜ao (f
n
k
) que converge para a topologia σ(E
, E)
Demonstra¸c˜ao. Ver [Brezis]
Teorema 2.8. (Banach-Alaouglu-Bourbaki) Sejam E um espa¸co de Banach separ´avel
e E
o seu dual topol´ogico. Ent˜ao o conjunto
B
E
= {f ∈ E
; f ≤ 1} ´e compacto na topolog´ıa fraca estrela (2.1)
Demonstra¸c˜ao. Ver [Brezis]
5
2.2 Teoria das Distribui¸c˜oes Escalares
2.2.1 Espa¸cos das Fun¸c˜oes Testes
Defini¸c˜ao 2.9. Dada uma fun¸c˜ao cont´ınua, ϕ : Ω ⊂ R
N
→ R, onde Ω ´e um aberto,
denomina-se suporte de ϕ ao fecho em Ω do conjunto dos pontos x tais que ϕ (x) = 0.
Simbolicamente
supp (ϕ) = {x ∈ Ω; ϕ (x) = 0}
Ω
.
Exemplo 2.10. Seja ϕ : (0, 1) → R tal que ϕ(x) = 1, ∀x ∈ (0, 1).
Verifica-se que o supp(ϕ) = (0, 1), que n˜ao ´e um conjunto compacto.
Neste nosso estudo, daremos um destaque especial as fun¸c˜oes ϕ : Ω → R, com suporte
compacto contido em Ω que, sejam infinitamente diferenci´aveis. Com esse intuito faremos
a seguinte defini¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 2.11. C
∞
0
(Ω) o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes cont´ınuas e infinitamente de-
riv´aveis em Ω, com suporte compacto em Ω.
Exemplo 2.12. Dados x
0
∈ R
N
, r > 0, denotaremos por B
r
(x
0
) a bola aberta de centro
x
0
da raio r, isto ´e, B
r
(x
0
) = {x ∈ R
N
; x − x
0
< r}. Se B
r
(x
0
) ⊂ Ω, define-se
ϕ : Ω → R por
ϕ(x) =
exp
r
2
x−x
0
2
−r
2
se x − x
0
2
< r
0 se x − x
0
2
≥ r
Neste, exemplo, verifica-se que supp(ϕ) = B
r
(x
0
) ´e um compacto e que C
∞
0
(Ω) ´e n˜ao
vazio.
O espa¸co C
∞
0
(Ω) ´e de grande importˆancia para o nosso estudo, visto que estamos
interessados em estudar funcionais lineares cont´ınuos definidos em C
∞
0
(Ω)
2.2.2 Convergˆencia em C
∞
0
(Ω)
Dado Ω como acima, considere o espa¸co vetorial topol´ogico C
∞
0
(Ω). Diz-se que uma
seq¨uˆencia (ϕ
ν
)
ν∈N
de fun¸c˜oes em C
∞
0
(Ω) converge para ϕ em C
∞
0
(Ω) quando forem
satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes:
i) Existe um conjunto compacto K ⊂ Ω tal que
supp (ϕ) ⊂ K e supp (ϕ
ν
) ⊂ K, ∀ ν ∈ N
6
ii) D
α
ϕ
ν
−→ D
α
ϕ uniformemente em K para todo multi-´ındice α.
O espa¸co vetorial C
∞
0
(Ω) munido da no¸c˜ao de convergˆencia definida acima, ser´a
representada por D(Ω) e denominado de espa¸co das fun¸c˜oes testes.
Observa¸c˜ao 2.13. Sendo Ω limitado, obt´em-se D(Ω) → L
p
(Ω), ∀p tal que 1 ≤ p < ∞,
com imers˜ao continua y densa.
2.2.3 Distribu¸c˜oes Escalares
Denomina-se distribui¸c˜ao escalar sobre Ω a toda forma linear T : D(Ω) −→ R
cont´ınua com respeito a topologia de D (Ω). Isto significa que T satisfaz as seguintes
condi¸c˜oes:
i) T (αϕ + βψ) = αT (ϕ) + βT (ψ), ∀ϕ, ψ ∈ D(Ω), ∀α, β ∈ R
ii) T ´e continua, isto ´e, se uma seq¨uˆencia (ϕ
ν
)
ν∈N
converge, em D(Ω) para ϕ, ent˜ao,
T (ϕ
ν
) −→ T (ϕ) em R.
O valor da distribui¸c˜ao T na fun¸c˜ao teste ϕ ser´a representado por T, ϕ. Muniremos o
espa¸co vetorial das distribui¸c˜oes escalares da seguinte no¸c˜ao de convergencia:
Consideremos o espa¸co de todas as distrbui¸c˜oes sobre Ω. Neste espa¸co, diz-se que a
seq¨uˆencia (T
ν
)
ν∈N
converge para T , quando a sucess˜ao (T
ν
, ϕ)
ν∈N
converge para T, ϕ
em R para toda ϕ ∈ D(Ω). O espa¸co das distribui¸c˜oes sobre Ω, com esta no¸c˜ao de
convergˆencia ´e denotado por D
(Ω)
As distribu¸c˜oes que aparecem com mais freq¨uˆencia s˜ao aquelas definidas a partir de
fun¸c˜oes localmente integr´aveis.
Defini¸c˜ao 2.14. Diz-se que uma fun¸c˜ao u : Ω → R ´e localmente integr´avel em Ω, quando
u ´e integr´avel `a Lebesgue em todo compacto K ⊂ Ω. O espa¸co das fun¸c˜oes localmente
integrav´eis ´e denotado por L
1
loc
(Ω). Em s´ımbolos tem-se
u ∈ L
1
loc
(Ω) ⇔
K
|u(x)|dx < ∞ para todo compacto K ⊂ Ω
Exemplo 2.15. Seja u ∈ L
1
loc
(Ω) e definamos T
u
: D(Ω) → R por
T
u
, ϕ =
Ω
u(x)ϕ(x)dx
7
Nestas condi¸c˜oes T
u
´e uma distribu¸c˜ao escalar sobre Ω.
De fato, n˜ao ´e dificil mostrar a linearidade de T
u
, pois segue da linearidade da integral.
Resta mostrar que T
u
´e continua.
Seja uma seq¨uˆencia (ϕ
ν
)
ν∈N
de fun¸c˜oes testes sobre Ω convergindo em D(Ω) para uma
fun¸c˜ao teste ϕ, ent˜ao
|T
u
, ϕ
ν
− T
u
, ϕ| = |T
u
, ϕ
ν
− ϕ| =
Ω
u(x)(ϕ
ν
− ϕ)(x)dx
≤
Ω
|u(x)(ϕ
ν
− ϕ)(x)|dx
≤ sup |ϕ
ν
− ϕ|
K
|u(x)|dx → 0.
Pois, ϕ
ν
→ ϕ uniformemente e K ´e um conjunto compacto em Ω.
A distribu¸c˜ao T
u
assim definida ´e dita ”gerada pela fun¸c˜ao localamente integr´avel u”
e, usando o Lema de Du Bois Raymond, tem-se que T
u
´e univocamente determinada por
u, no seguinte sentido: T
u
= T
v
se, e somente se, u = v quase sempre em Ω. Neste
sentido identificamos u com a distribui¸c˜ao T
u
e o espa¸co L
1
loc
(Ω) das fun¸c˜oes localmente
integr´aveis pode ser visto como parte do espa¸co das distribui¸c˜oes D
(Ω)
Lema 2.16. [Du Bois Raymond] Seja u ∈ L
1
loc
(Ω). Ent˜ao T
u
= 0 se, e somente se, u = 0
quase sempre em Ω.
Demonstra¸c˜ao. Ver [2].
Vale ressaltar que existem distribu¸c˜oes n˜ao definidas por fun¸c˜oes de L
1
loc
(Ω), como
pode ser visto no seguinte exemplo
Exemplo 2.17. Seja x
0
um ponto de Ω e definamos a fun¸c˜ao δ
x
0
: D(Ω) → R dada por
δ
x
0
, ϕ = ϕ(x
0
).
N˜ao ´e dificil verificar que δ
x
0
´e uma distribui¸c˜ao. Tal distribui¸c˜ao ´e conhecida por
Distribui¸c˜ao de Dirac, em homenage, ao f´ısico inglˆes Paul A.M. Dirac(1902-1984).
Por´em, mostra-se que a distribui¸c˜ao δ
x
0
n˜ao ´e definida por uma fun¸c˜ao u ∈ L
1
loc
(Ω), isto
´e, n˜ao existe u ∈ L
1
loc
(Ω) tal que
Ω
u(x)ϕ(x)dx = ϕ(x
0
), ∀ϕ ∈ D(Ω).
De fato, suponha que a distribui¸c˜ao δ
x
0
´e definida por alguma fun¸c˜ao u ∈ L
1
loc
(Ω).
Ent˜ao
δ
x
0
, ϕ =
Ω
u(x)ϕ(x)dx = ϕ(x
0
), ∀ϕ ∈ D(Ω).
8
Tomando ξ ∈ D(Ω) definida por ξ(x) = x − x
0
2
ϕ(x), tem-se que
ξ(x
0
) = δ
x
0
, ξ =
Ω
u(x)x − x
0
2
ϕ(x)dx = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω).
Portanto, tem-se x −x
0
2
u(x) = 0 quase sempre em Ω, logo u(x) = 0 quase sempre em
Ω, isto ´e δ
x
0
, ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω), ou seja,ϕ(x
0
) = 0, ϕ ∈ D(Ω). Est´a conclus˜ao ´e falsa pois:
ϕ(x) =
exp(−
1
1−x
2
) se |x| < 1,
0 se |x| ≥ 1.
pertence a D(Ω) por´em ϕ(x
0
) = exp(−
1
1−x
2
0
) = 0.
Conclui-se assim que δ
x
0
n˜ao ´e definida por uma fun¸c˜ao u ∈ L
1
loc
(Ω).
Com essa no¸c˜ao de convergˆencia, D
(Ω) ´e um espa¸co vetorial topol´ogico e tem-se as
seguintes cadeias de imers˜oes cont´ınuas e densas
D(Ω) → L
p
(Ω) → L
1
loc
(Ω) → D
(Ω) para 1 ≤ p < ∞.
2.2.4 Convergˆencia e Deriva¸c˜ao em D
(Ω)
Com o intuito de estudar os espa¸cos de Sobolev, introduz-se o conceito de derivada
distribuicional para obejetos de D
(Ω). A motiva¸c˜ao no conceito de derivada fraca e, pos-
teriormente, o conceito de derivada distribuicional, dada por Sobolev, se deve a f´ormula
de integra¸c˜ao por partes do C´alculo, sendo este conceito generalizado para distribui¸c˜oes
quaisquer em D
(Ω).
Dada uma distribui¸c˜ao T em D
(Ω) e dado um multi-´ındice α ∈ N
N
define-se a
derivada distribucional de ordem α de T como sendo a forma linear e cont´ınua D
α
T :
D(Ω) → R dada por
D
α
T, ϕ = (−1)
|α|
T, D
α
ϕ para todo ϕ ∈ D(Ω) .
Segue da defini¸c˜ao acima que cada distribui¸c˜ao T sobre Ω possui derivadas de todas
as ordens. Assim as fun¸c˜oes de L
1
loc
(Ω) possuem derivadas de todas as ordens no sentido
das distribui¸c˜oes.
Note-se que a aplica¸c˜ao
D
α
: D
(Ω) → D
(Ω) (2.2)
´e linear e continua no sentido da convergˆencia definida em D
(Ω). Isto significa que
lim
v→∞
T
v
= T em D
(Ω) ent˜ao lim
v→∞
D
α
T
v
= D
α
T em D
(Ω) (2.3)
9
Observa¸c˜ao 2.18. Outro resulatdo interessante ´e que a derivada de uma fun¸c˜ao L
1
loc
(Ω),
n˜ao ´e, em geral, uma fun¸c˜ao L
1
loc
(Ω), como se mostra no exemplo seguinte:
Exemplo 2.19. Seja u uma fun¸c˜ao de Heaviside, isto ´e, u ´e definida em R e tem a
seguinte forma:
u(x) =
1 se x > 0
0 se x < 0
assumindo qualquer valor em x = 0
Esta fun¸c˜ao u pertence a L
1
loc
(Ω), mas sua derivada u
= δ
0
n˜ao pertence a L
1
loc
(Ω).
Como δ
0
n˜ao pertence a L
1
loc
(Ω), basta verificar que u
= δ
0
. De fato,
u
, ϕ = −u, ϕ
= −
∞
0
ϕ
(x)dx =
0
−∞
ϕ
(x)dx = ϕ(0) = δ
0
, ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω).
Tal fato, motivar´a a defini¸c˜ao de uma classe significativa de espa¸cos de Banach de
fun¸c˜oes, conhecidas sob a denomina¸c˜ao de Espa¸cos de Sobolev
2.3 Espa¸cos de Sobolev
Nesta se¸c˜ao apresenta-se uma classe de espa¸cos fundamentais para o estudo das
Equa¸c˜oes Diferncias Parcias, que s˜ao os espa¸cos de Sobolev.
2.3.1 O espa¸co H
m
(Ω)
Dado um aberto Ω do R
N
com fronteira bastante regular Γ. Foi observado na se¸c˜ao an-
terior que se u ∈ L
p
(Ω), u possui derivadas de todas as ordens no sentido das distribui¸c˜oes.
Vimos que D
α
u n˜ao ´e, em geral, uma distribui¸c˜ao definida por uma fun¸c˜ao de L
p
(Ω),
por´em estamos interessados em espa¸cos de distribui¸c˜oes u ∈ L
p
(Ω) cujas derivadas dis-
tribuicionais permane¸cam em L
p
(Ω), tais espa¸cos ser˜ao denominados Espa¸cos de Sobolev.
O espa¸co vetorial L
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞, ´e o espa¸co vetorial das (classes de) fun¸c˜oes
mensur´aveis u : Ω −→ R tais que |u|
p
´e integr´avel no sentido de Lebesgue em Ω, equipado
com a norma
|u|
L
p
(Ω)
=
Ω
|u (x)|
p
R
dx
1/p
.
No caso p = ∞ denota-se por L
∞
(Ω) o espa¸co vetorial das (classes de) fun¸c˜oes men-
sur´aveis a Lebesgue e essencialmente limitadas em Ω, isto ´e, existe uma constante C > 0
10
tal que
|u (x)|
R
≤ C quase sempre em Ω,
onde quase sempre significa a menos de um conjunto de medida nula.
Neste espa¸co considera-se a seguinte norma
|u|
L
∞
(Ω)
= supess |u (x)|
R
= inf{C; |u (x)| ≤ C q. s. em Ω}.
O espa¸co L
p
(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, com sua respectiva norma, ´e um espa¸co de Banach.
Em particular, quando p = 2, tem-se que L
2
(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert cuja norma e
produto interno ser˜ao definidos e denotados, respectivamente por
|u|
L
2
(Ω)
=
Ω
|u(x)|
2
R
dx
1/2
e (u, v)
L
2
(Ω)
=
Ω
u (x) v (x) dx.
Sejam m > 0, um n´umero inteiro positivo e 1 ≤ p ≤ ∞. O espa¸co de Sobolev de
ordem m , modelado sobre L
p
(Ω), aqui denotado por W
m,p
(Ω), ´e por defini¸c˜ao o espa¸co
vetorial das (classes de) fun¸c˜oes de L
p
(Ω) para as quais suas derivadas at´e a ordem α,
no sentido das distribui¸c˜oes, pertencem a L
p
(Ω), para todo multi-´ındice α, com |α| ≤ m.
O espa¸co W
m,p
(Ω) ser´a equipado com norma
u
W
m,p
(Ω)
=
|α|≤m
D
α
u
p
L
p
(Ω)
1/p
, 1 ≤ p < ∞,
e quando p = ∞, define-se
u
W
m,∞
(Ω)
=
|α|≤m
D
α
u
L
∞
(Ω)
.
Proposi¸c˜ao 2.20. Os espa¸cos lineares W
m,p
(Ω) equipados das respectivas normas acima
s˜ao espa¸cos de Banach.
O espa¸co W
m,p
(Ω) ´e um espa¸co reflexivo se 1 < p < ∞ e separ´avel se 1 ≤ p < ∞.
No caso particular em que p = 2, o espa¸co W
m,2
(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert, que ´e
denotado por H
m
(Ω). Simbolicamente
H
m
(Ω) =
u ∈ L
2
(Ω) ; D
α
u ∈ L
2
(Ω) , ∀α, |α| ≤ m
cuja norma e produto interno s˜ao dados respectivamente, por
u
H
m
(Ω)
=
|α|≤m
D
α
u
2
L
2
(Ω)
1/2
e (u, v) =
|α|≤m
Ω
(D
α
u, D
α
v)
L
2
(Ω)
.
11
O espa¸co H
m
(Ω) com a estrutura topol´ogica acima, ´e um espa¸co de Hilbert separ´avel,
continuamente imerso em L
2
(Ω).
Para se ter uma id´eia mais apurada dos espa¸cos de Sobolev, descrevemos alguns casos
particulares: Em dimens˜ao n = 1, tem-se,
H
1
(a, b) = {u ∈ L
2
(a, b); u
∈ L
2
(a, b)} com u
=
du
dt
.
Neste caso
u
2
H
1
(a,b)
=
b
a
|u(t)|
2
dt +
b
a
|u
(t)|
2
dt.
Em dimens˜ao n ≥ 2, tem-se
H
1
(Ω) = {u ∈ L
2
(a, b);
∂u
∂x
i
∈ L
2
(Ω), i = 1, 2, ..., n},
e neste caso,
u
2
H
1
(Ω)
=
Ω
[u(x
1
, x
2
, ..., x
n
)]
2
dx
1
dx
2
...dx
n
+
n
i=1
Ω
(
∂u
∂x
i
(x
1
, x
2
, ..., x
n
))
2
dx
1
dx
2
...dx
n
,
ou, de modo mais conciso, escreve-se
u
2
H
1
(Ω)
=
Ω
|u|
2
dx +
Ω
|∇u|
2
dx.
Observe que, embora o espa¸co o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes testes D(Ω) seja denso em
L
p
(Ω), 1 ≤ p < ∞, em geral ele n˜ao ´e denso em W
m,p
(Ω). Isto acontece porque a norma
de W
m,p
(Ω) ´e ”b´em maior” que a norma de L
p
(Ω) ´e por isso que W
m,p
(Ω) possui menos
seq¨uˆencias convergentes. Isto motivou a defini¸c˜ao dos espa¸cos W
m,p
0
(Ω), como sendo a
aderˆencia de D(Ω) em W
m,p
(Ω). No caso p = 2 denotaremos por H
m
0
(Ω).
Os espa¸cos W
m,p
0
(Ω) e, em particular os espa¸cos H
m
0
(Ω), desempenham papel funda-
mental na Teoria dos Espa¸cos de Sobolev e por conseguinte, na Teoria das EDP’s.
O tra¸co em H
1
(Ω) - Demonstra-se que as fun¸coes de H
m
(Ω) podem ser aproximadas
na norma de H
m
(Ω), por fun¸c˜ao de D(Ω), onde D(Ω) ´e o conjunto {ϕ|
Ω
} que se pode
definir a restri¸c˜ao `a fronteira Γ de Ω. Dada ϕ ∈ H
1
(Ω), consideremos a seq¨uˆencia (ϕ
ν
)
ν∈N
em D(Ω) com
ϕ
ν
→ ϕ em H
1
(Ω).
Define-se o operador γ
0
: H
1
(Ω) → L
2
(Γ) por
γ
0
(ϕ) = lim
k→∞
ϕ
k
|
Γ
,
12
sendo o limite considerado na norma de L
2
(Γ). O operador γ
0
, denominado operador
tra¸co, que ´e continuo, linear, tal que seu n´ucleo ´e H
1
0
(Ω). De forma mais simple escreve-
se ϕ
Γ
em vez de γ
0
(ϕ) assim pode-se caracterizar o espa¸co H
1
0
(Ω) por: H
1
0
(Ω) = {ϕ ∈
H
1
(Ω); ϕ|
Γ
= 0}. A generaliza¸c˜ao do operador tra¸co para os espa¸cos H
m
(Ω) ocorre de
forma natural e, no caso m = 2, tem-se
H
2
0
(Ω) = {ϕ ∈ H
2
(Ω); ϕ
k
|
Γ
,
∂ϕ
∂ν
|
Γ
= 0}.
O dual topol´ogico do espa¸co W
m,p
0
(Ω) ´e representado por W
−m,q
(Ω) se 1 ≤ p < ∞
com p e q ´ındices conjugados. Se ϕ ∈ W
−m,q
(Ω) ent˜ao ϕ
D(Ω)
pertence a D
(Ω).
Quando p = 2, W
m,2
0
(Ω) ´e denotado por H
m
0
(Ω), cujo dual ´e o espa¸co denotado por
H
−m
(Ω). A caracteriza¸c˜ao de W
−m,p
(Ω) ´e dada por
Teorema 2.21. Seja T ∈ D
(Ω). Ent˜ao, T ∈ W
−m,p
(Ω) se, e somente se, existem
g
α
∈ L
q
(Ω) tais que T =
|α|≤m
D
α
g
α
.
Demonstra¸c˜ao. Ver [2].
Proposi¸c˜ao 2.22. (Caracteriza¸c˜ao de H
−1
(Ω)) Se T for uma forma linear cont´ınuas
sobre H
1
0
(Ω), ent˜ao existem n + 1 fun¸c˜oes u
0
, u
1
, ..., u
2
de L
2
(Ω), tais que
T = u
0
+
n
i=1
∂u
i
∂x
i
.
Demonstra¸c˜ao. Ver [2].
Destes resultados pode-se concluir que se u ∈ H
1
0
(Ω), ent˜ao u ∈ H
−1
(Ω), sendo o
operador : H
1
0
(Ω) → H
−1
(Ω), linear, continuo e isom´etrico.
Lema 2.23 (Desigualdade de Poincar´e). Seja Ω ⊂ R
N
um aberto limitado em alguma
dire¸c˜ao. Se u ∈ H
1
0
(Ω), ent˜ao existe uma constante C > 0 tal que
u
2
L
2
(Ω)
≤ C ∇u
2
L
2
(Ω)
.
Demonstra¸c˜ao. Ver [2].
Observa¸c˜ao 2.24. Usando a desigualdade de Poincar´e conclui-se que em H
1
0
(Ω), as
normas u
H
1
(Ω)
e ∇u
L
2
(Ω)
s˜ao equivalentes.
13
2.4 Espa¸cos L
p
(0, T ; X) e Distribui¸c˜oes Vetoriais
Sejam X um espa¸co de Banach real com a norma ·
X
, T um n´umero real positivo e
χ
E
a fun¸c˜ao caracter´ıstica do conjunto E. Uma fun¸c˜ao vetorial ϕ : (0, T ) −→ X, ´e dita
simples quando assume apenas um n´umero finito de valores distintos. Dada uma fun¸c˜ao
simples ϕ : (0, T ) −→ X com representa¸c˜ao canˆonica
ϕ (t) =
k
i=1
χ
E
i
ϕ
i
,
onde E
i
⊂ (0, T ) ´e mensur´avel, i = 1, 2, ..., k, dois a dois disjuntos, m (E
i
) < ∞ e ϕ
i
∈ X,
i = 1, 2, ..., k. Define-se a integral de ϕ como sendo o vetor de X dado por
T
0
ϕ (t) dt =
k
i=1
m (E
i
) ϕ
i
.
Uma fun¸c˜ao vetorial u : (0, T ) −→ X ´e dita Bochner integr´avel (B -integr´avel), se
existir uma seq¨uˆencia (ϕ
ν
)
ν∈N
de fun¸c˜oes simples tal que
i) ϕ
ν
−→ u em X, q. s. em (0, T );
ii) lim
k, m→∞
T
0
ϕ
k
(t) − ϕ
m
(t)
X
dt = 0.
Uma fun¸c˜ao vetorial u : (0, T ) ⊂ R −→ X ´e fracamente mensur´avel quando a fun¸c˜ao
num´erica t → Φ, u (t) for mensur´avel, ∀Φ ∈ X
, onde X
´e o dual topol´ogico de X. Diz-
se que u ´e fortemente mensur´avel quando u for limite quase sempre de uma seq¨uˆencia
(ϕ
ν
)
ν∈N
de fun¸c˜oes simples. Em particular, quando u for fortemente mensur´avel, ent˜ao
a aplica¸c˜ao t → u (t)
X
´e mensur´avel `a Lebesgue.
Denota-se por L
p
(0, T ; X), 1 ≤ p < ∞, o espa¸co vetorial das (classes de) fun¸c˜oes
u : (0, T ) −→ X fortemente mensur´aveis e tais que a fun¸c˜ao t → u (t)
p
X
´e integr´avel `a
Lesbegue em (0, T ), munido da norma
u
L
p
(0,T ;X)
=
T
0
u (t)
p
X
dt
1/p
.
Quando p = 2 e X = H ´e um espa¸co de Hilbert, o espa¸co L
2
(0, T ; H) ´e tamb´em um
espa¸co de Hilbert cujo produto interno ´e dado por
(u, v)
L
2
(0,T ;H)
=
T
0
(u (s) , v (s))
H
ds.
14
Por L
∞
(0, T ; X) representa-se o espa¸co de Banach das (classes de) fun¸c˜oes
u : (0, T ) ⊂ R −→ X
que s˜ao fortemente mensur´aveis e tais que t → u (t)
X
∈ L
∞
(0, T ). A norma em
L
∞
(0, T ; X) ´e definida por
u
L
∞
(0,T ;X)
= sup ess
t∈(0,T )
u (t)
X
.
Quando X ´e reflexivo e separ´avel e 1 < p < ∞, ent˜ao L
p
(0, T ; X) ´e um espa¸co
reflexivo e separ´avel, cujo dual topol´ogico se identifica ao espa¸co de Banach L
p
(0, T ; X
),
onde p e p
s˜ao ´ındices conjugados, isto ´e,
1
p
+
1
p
= 1. Mais precisamente, mostra-se que
para cada u ∈ [L
p
(0, T ; X)]
, existe u ∈ L
p
(0, T ; X
) tal que
u, ϕ
(L
p
(0,T ;X))
×L
p
(0,T ;X)
=
T
0
u (t) , ϕ (t)
X
×X
dt.
No caso, p = 1, o dual topol´ogico do espa¸co L
1
(0, T ; X) se identifica ao espa¸co L
∞
(0, T ; X
).
O espa¸co das aplica¸c˜oes lineares e cont´ınuas de D(0, T ) em X ´e denominado espa¸co
das distribui¸c˜oes vetoriais sobre (0, T ) com valores em X, o qual ser´a denotado por
D
(0, T ; X).
Defini¸c˜ao 2.25. Uma fun¸c˜ao f : [0, T ] → X ´e integr´avel se existe um seq¨uˆencia {S
k
}
k
de fun¸c˜oes vetorias simples, tal que,
T
0
S
k
(t) − f(t)
X
dt → 0, com k → ∞.
Se f ´e integr´avel, define-se
T
0
f(t)dµ = lim
k→∞
T
0
S
k
(t).
A express˜ao
T
0
f(t)dµ, ´e dita integral de Bochner de f em rela¸c˜ao a µ.
Exemplo 2.26. Sejam µ ∈ L
p
(0, T ; X), 1 ≤ p < ∞, e ϕ ∈ D(0, T ). Consideremos a
fun¸c˜ao T
u
: D(0, T ) → X, definida por
T
u
(ϕ) =
T
0
u(s)ϕ(s)ds,
onde a integral ´e calculada no sentido de Bochner em X. A aplica¸c˜ao T
u
´e linear e
cont´ınua de D(0, T ) em X e por esta raz˜ao ´e denominada distribui¸c˜ao vetorial. A dis-
tribui¸c˜ao T
u
´e univocamente determinada por u e, neste sentido, podemos identificar u
com a distribu¸c˜ao T
u
por ela definida e, portanto, L
p
(0, T ; X) → D
(0, T ; X) com imers˜ao
continua e densa.
15
O espa¸co das aplica¸c˜oes lineares e cont´ınuas de D(0, T ) em X ´e denominda espa¸co das
distribui¸c˜oes vetorias sobre (0,T) com valores em X, o qual denotaremos por D
(0, T ; X).
Defini¸c˜ao 2.27. Seja T ∈ D
(0, T ; X). A derivada de ordem n ´e definida como sendo
a distribui¸c˜ao vetorial sobre (0, T ) com valores em X dada por
d
n
T
dt
n
, ϕ
= (−1)
n
T,
d
n
ϕ
dt
n
, ∀ϕ ∈ D(0, T ) .
Por C
0
([0, T ] ; X), 0 < T < ∞ representa-se o espa¸co de Banach das fun¸c˜oes
cont´ınuas u : [0, T ] −→ X munido da norma da convergˆencia uniforme
u
C
0
([0,T ];X)
= max
t∈[0,T ]
u (t)
X
.
Por C
0
v
([0, T ] ; X) denota-se o espa¸co das fun¸c˜oes u : [0, T ] −→ X fracamente cont´ınuas,
isto ´e, a aplica¸c˜ao t → v, u (t)
X
,X
´e cont´ınua em [0, T ] , ∀v ∈ X
.
Quando X = H ´e um espa¸co de Hilbert, a continuidade fraca de u significa a con-
tinuidade da aplica¸c˜ao t −→ (u (t) , v)
H
para ∀v ∈ H.
Teorema 2.28 (Aubin-Lions). Sejam B
0
, B, B
1
espa¸cos de Banach, B
0
e B
1
reflexivos,
a imers˜ao de B
0
em B ´e compacta, B imerso continuamente em B
1
, 1 < p
0
, p
1
< ∞, e,
W o espa¸co
W = {u ∈ L
p
0
(0, T ; B
0
) ; u
∈ L
p
1
(0, T ; B
1
)}
equipado da norma u
W
= u
L
p
0
(0,T ;B
0
)
+ u
L
p
1
(0,T ;B
1
)
. Ent˜ao W ´e um espa¸co de
Banach, e a imers˜ao de W em L
p
0
(0, T ; B) ´e compacta.
Demonstra¸c˜ao. Ver [6].
Observa¸c˜ao 2.29. Uma conseq¨uˆencia do Teorema de Aubin-Lions [6]: se (u
ν
)
ν∈N
´e uma
seq¨uˆencia limitada em L
2
(0, T ; B
0
) e (u
ν
)
ν∈N
´e uma seq¨uˆencia limitada em L
2
(0, T ; B
1
)
ent˜ao (u
ν
)
ν∈N
´e limitada em W . Da´ı, segue que existe uma subseq¨uˆencia (u
ν
k
)
k∈N
de
(u
ν
)
ν∈N
tal que u
ν
k
−→ u forte em L
2
(0, T ; B) .
Proposi¸c˜ao 2.30. Sejam V e H espa¸cos de Hilbert, V continuamente imerso em H,
u ∈ L
p
(0, T ; V ) e u
∈ L
p
(0, T ; H), com 1 ≤ p < ∞, ent˜ao
u ∈ C
0
([0, T ] ; H) ∩ C
0
w
([0, T ] ; V ) .
16
2.5 Outros Resultados
´
Uteis
Sejam D ⊂ R
N+1
e F : D → R
N
. Diz-se que F satisfaz as condi¸c˜oes de Carath´eodory
sobre D quando
• F (t, Υ) ´e mensur´avel em t, para cada Υ fixo;
• F (t, Υ) ´e cont´ınua em Υ, para cada t fixo;
• Para cada compacto K em D, existe uma fun¸c˜ao real integr´avel m
K
(t) tal que
|F (t, Υ)| ≤ m
K
(t), para todo (t, Υ) ∈ D.
Defini¸c˜ao 2.31. Uma solu¸c˜ao no sentido estendido do problema de Cauchy
X
= F (t, X) ,
X (t
0
) = X
0
,
´e uma fun¸c˜ao Φ = Φ(t) absolutamente cont´ınua tal que, para algum β real, tenha-se
i) (t, Φ(t)) ∈ R
N+1
, ∀t ∈ [t
0
− β, t
0
+ β];
ii) Φ
(t) = F (t, Φ(t)) para todo t ∈ [t
0
−β, t
0
+β], exceto em um conjunto de medida
de Lebesgue zero.
Considere-se o retˆangulo
R =
(t, Υ) ∈ R
N+1
; |t − t
0
| ≤ a, |Υ − Υ
0
| ≤ b
,
com a, b > 0. Ent˜ao, tem-se os seguintes resultados:
Teorema 2.32 (Carath´eodory). Seja F : R
N+1
→ R
N
satisfazendo as condi¸c˜oes de
Carath´eodory sobre R, ent˜ao sobre algum intervalo |t − t
0
| ≤ β (β > 0) , existe uma
solu¸c˜ao no sentido estendido do problema de valor inicial
X
= F (t, X) ,
X (t
0
) = Υ
0
.
Corol´ario 2.33 (Prolongamento de solu¸c˜ao). Sejam D = [0, ω] × B, com 0 < ω < ∞
e B =
Υ ∈ R
N
; |Υ| ≤ b
, b > 0 e F nas condi¸c˜oes de Carath´eodory. Seja Φ (t) uma
solu¸c˜ao de
X
= F (t, X)
X (0) = X
0
, |X
0
| ≤ b.
17
Suponha que em qualquer intervalo I onde Φ (t) est´a definida, se tenha, |Φ (t)| ≤ M,
para todo t ∈ I, M independente de t e M < b. Ent˜ao Φ tem um prolongamento at´e
[0, ω].
Lema 2.34 (Lions). Sejam Q um aberto limitado do R
N
x
×R
t
, g
m
e g fun¸c˜oes de L
q
(Q),
1 < q < +∞, tal que g
m
L
q
(Q)
≤ C, g
m
→ g quase sempre em Q. Ent˜ao g
m
g na
topologia fraca de L
q
(Q).
Demonstra¸c˜ao. Ver [6].
Lema 2.35 (Desigualdade de Gronwall - Forma Diferencial). Seja η (·) uma fun¸c˜ao n˜ao
negativa, absolutamente cont´ınua em [0, T ].
i) Se η satisfaz para t q.s. a desigualdade diferencial
η
(t) ≤ ψ (t) + ϕ (t) η (t) , (2.4)
onde ϕ (t) e ψ (t) s˜ao fun¸c˜oes n˜ao negativas e integr´aveis em [0, T ], ent˜ao
η (t) ≤ e
t
0
ϕ(s)ds
η (0) +
t
0
ψ (s) e
−
s
0
ϕ(r)dr
ds
≤ e
t
0
ϕ(s)ds
η (0) +
t
0
ψ (s) ds
(2.5)
para todo 0 ≤ t ≤ T .
ii) Em particular, se η
≤ ϕη em [0, T ] e η (0) = 0, ent˜ao
η ≡ 0 em [0, T ] .
Demonstra¸c˜ao. Multiplicando ambos os membros de (2.4) por e
−
s
0
ϕ(r)dr
tem-se
d
ds
η (s) e
−
s
0
ϕ(r)dr
= (η
(s) − ϕ (s) η (s)) e
−
s
0
ϕ(r)dr
≤ ψ (s) e
−
s
0
ϕ(r)dr
para 0 ≤ t ≤ T quase sempre. Consequentemente, para cada 0 ≤ t ≤ T , conclui-se
η (t) = e
s
0
ϕ(r)dr
η (0) +
t
0
e
−
s
0
ϕ(r)dr
ψ (s) ds
≤ e
s
0
ϕ(r)dr
η (0) +
t
0
ψ (s) ds
para 0 ≤ t ≤ T quase sempre.
Lema 2.36. [Desigualdade de Gronwall - Forma Integral] Sejam u, ϕ, ψ fun¸c˜oes reais
n˜ao negativas em [0, T ] satisfazendo
u (t) ≤ ϕ (t) +
t
0
ψ (σ) u (σ) dσ (2.6)
18
para todo t ∈ [0, T ]. Ent˜ao para todo t ∈ [0, T ] tem-se
u (t) ≤ ϕ (t) +
t
0
ψ (s) ϕ (s) e
t
s
ψ(τ)dτ
ds.
Demonstra¸c˜ao. Considerando o funcional auxiliar
η (t) =
t
0
ψ (s) u (s) ds.
Assim, de (2.6)
η
(t) = ψ (t) u (t) ≤ ψ (t) (ϕ (t) + η (t)) . (2.7)
Definindo
F (t) = η (t) e
−
t
0
ψ(τ)dτ
(2.8)
obt´em-se
F
(t) = −ψ (t) η (t) e
−
t
0
ψ(τ)dτ
+ η
(t) e
−
t
0
ψ(τ)dτ
,
portanto, usando (2.7)
F
(t) ≤ ψ (t) ϕ (t) e
−
t
0
ψ(τ)dτ
.
Integrando ambos os membros,
F (t) ≤
t
0
ψ (s) ϕ (s) e
−
s
0
ψ(τ)dτ
ds.
De (2.8) obt´em-se
η (t) ≤
t
0
ψ (s) ϕ (s) e
t
s
ψ(τ)dτ
ds,
Novamente, de (2.6) e como u (t) − ϕ (t) ≤ η (t) tem-se
u (t) ≤ ϕ (t) +
t
0
ψ (s) ϕ (s) e
t
s
ψ(τ)dτ
ds
e obt´em-se o resultado desejado.
Proposi¸c˜ao 2.37. Sejam V ⊂ H dos espa¸cos de Hilbert reias sendo a imers˜ao de V em
H continua. Se v ∈ L
p
(0, T ; V ) tal que
d
dt
v ∈ L
p
(0, T ; H) ent˜ao, v ∈ C
0
([0, T ]; H) e
v(t) = v(0) +
d
ds
v(s)ds, t ∈ [0, T ].
Teorema 2.38. (Bochner) Sejam E e F espa¸cos de Banach. Se T ∈ L(E, F ) e
f : (0, L) −→ E ´e Bochner integr´avel, ent˜ao T ◦ f : (0, L) −→ F ´e Bochner integr´avel e
T
L
0
f(x)dx
=
L
0
T f(x)dx. (2.9)
19
Cap´ıtulo 3
Existˆencia, unicidade e estabilidade
assint´otica das solu¸c˜oes
Neste cap´ıtulo ser´a mostrado alguns aspectos te´oricos sobre o sistema misto (1.2).
3.1 Solu¸c˜oes fracas e estabiliza¸c˜ao assint´otica da e-
nergia
Mostra-se, nesta se¸c˜ao, que o sistema (1.2) tˆem solu¸c˜oes fracas e globais {u, θ} desde
que as seguintes hip´oteses sejam assumidas:
u
0
∈ H
2
0
(0, L) , u
1
∈ L
2
(0, L) e θ
0
∈ H
1
0
(0, L) ; (3.1)
M ´e uma fun¸c˜ao continua n˜ao negativa, i. ´e, M ∈ C
0
(R
+
) e M(λ) ≥ 0. (3.2)
A estabiliza¸c˜ao assint´otica da energia associada as solu¸c˜oes fracas {u, θ} ´e obtida
supondo-se, al´em da hip´otese (3.2), que a fun¸c˜ao M satisfa¸ca:
M(λ)λ ≥
M(λ) para todo λ ≥ 0. (3.3)
O conceito de solu¸c˜oes fracas e globais para o problema (1.2) ´e dado por:
Defini¸c˜ao 3.1. Uma solu¸c˜ao fraca e global do problema (1.2) ´e um par de fun¸c˜oes {u, θ}
definido em Q
∞
=]0, L[×[0, ∞[ com valores reais tal que
u ∈ L
∞
loc
(0, ∞; H
2
0
(0, L)) , u
t
∈ L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(0, L)) ,
θ ∈ L
∞
loc
0, ∞; L
2
(0, L)
∩ L
2
loc
0, ∞; H
1
0
(0, L)
,
(3.4)
20
o par {u, θ} satisfaz as identidades integrais
−
T
0
L
0
u
t
(x, t)γ
t
(x, t)dxdt +
T
0
M
|u
x
(t)|
2
L
0
u
x
(x, t)γ
x
(x, t)dx
dt+
T
0
L
0
u
xx
(x, t)γ
xx
(x, t)dxdt +
T
0
L
0
θ
x
(x, t)γ(x, t)dxdt+
T
0
L
0
u
t
(x, t)γ(x, t)dxdt = 0,
−
T
0
L
0
θ(x, t)η
t
(x, t)dxdt +
T
0
L
0
θ
x
(x, t)η
x
(x, t)dxdt+
T
0
L
0
u
xt
(x, t)η(x, t)dxdt = 0,
(3.5)
para todo γ ∈ L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L)), tal que γ
t
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)) com γ(0) = γ(T ) = 0 e
para todo η ∈ L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)) com η(0) = η(T ) = 0. Al´em disso, {u, θ} satisfaz as
condi¸c˜oes iniciais
u(x, 0) = u
0
(x), u
t
(x, 0) = u
1
(x), θ(x, 0) = θ
0
(x). (3.6)
Teorema 3.2. Assumindo-se as hip´oteses em (3.1) e (3.2), ent˜ao existe pelo menos uma
solu¸c˜ao {u, θ} de (1.2) no sentido da Defini¸c˜ao 3.1.
Demonstra¸c˜ao - A demonstra¸c˜ao do Teorema 3.2 ´e baseada nos M´etodos de Faedo-
Galerkin e de Compacidade, seguindo as seguintes etapas:
i) Solu¸c˜oes aproximadas;
ii) Estimativas sobre as solu¸c˜oes aproximadas;
iii) Covergˆencias das solu¸c˜oes aproximadas;
iv) Verifica¸c˜ao dos dados iniciais.
3.1.1 Solu¸c˜oes Aproximadas do problema (1.2)
Como H
2
(0, L) ´e um espa¸co de Hilbert com o produto interno
(u, v)
H
2
(0,L)
=
L
0
u(x)v(x)dx +
L
0
u
x
(x)v
x
(x)dx +
L
0
u
xx
(x)v
xx
(x)dx
e H
2
0
(0, L) ´e o fecho de D(0, L) em H
2
(0, L), ent˜ao H
2
0
(0, L), tambem, ´e um espa¸co
de Hilbert. Al´em disso, sendo L
2
(0, L) separ´avel tˆem-se que H
2
(0, L) e H
1
(0, L) s˜ao,
21
tamb´em, separ´aveis. Portanto, H
2
0
(0, L) e H
1
0
(0, L) s˜ao separ´aveis. Assim, considera-se
{φ
N
}
N∈N
e {ϕ
N
}
N∈N
conjuntos enumer´aveis e densos em H
2
0
(0, L) e H
1
0
(0, L), respectiva-
mente. Por V
N
= [φ
1
, . . . , φ
N
] e W
N
= [ϕ
1
, . . . , ϕ
N
] denota-se os subespa¸cos de H
2
0
(0, L)
e H
1
0
(0, L) gerados por {φ
1
, . . . , φ
N
} e {ϕ
1
, . . . , ϕ
N
}, respectivamente. Nestas condi¸c˜oes,
∞
N=1
V
N
e
∞
N=1
W
N
s˜ao densos em H
2
0
(0, L) e H
1
0
(0, L), respectivamente.
Os sub-espa¸cos V
N
e W
N
s˜ao ortonormalizaveis em L
2
(0, L). De fato, primeiro, observe
que H
2
0
(0, L) → L
2
(0, L). Agora, considere φ
1
=
φ
1
|φ
1
|
. Da´ı, usando a mesma nota¸c˜ao para
V
N
, define-se V
1
= [φ
1
]. Em seguida, considere φ
2
∈ V
2
tal que {φ
1
, φ
2
} seja ortonormal
em L
2
(0, L). Assim, V
2
= [φ
1
, φ
2
]. Seguindo este racioc´ınio indutivamente, obt´em-se que
V
N
= [φ
1
, φ
2
, ..., φ
N
] com {φ
1
, φ
2
, ..., φ
N
} ortonormal em L
2
(0, L). Deste modo, (φ
N
)
N∈N
torna-se uma base de H
2
0
(0, L) ortonormal em L
2
(0, L).
De modo similar obt´em-se que (ϕ
N
)
N∈N
base de H
1
0
(0, L) ortonormal em L
2
(0, L).
O problema aproximado: Para simplificar a nota¸c˜ao ser´a usado a base (φ
N
)
N∈N
para
determinar pares de fun¸c˜oes aproximadas. De fato, o problema aproximado associado ao
problema (1.2), consiste em determinar pares de fun¸c˜oes
u
N
, θ
N
definidas por
u
N
(x, t) =
N
j=1
g
jN
(t)φ
j
(x) e θ
N
(x, t) =
N
j=1
h
jN
(t)φ
j
(x) em V
N
, (3.7)
onde g
jN
e h
jN
s˜ao fun¸c˜oes reais regulares definidas em [0, T [, com T > 0 arbitr´ario, tais
que satisfazem o problema aproximado dado por
(u
N
tt
(t), φ
j
) + M
u
N
x
(t)
2
(u
N
x
(t), φ
j
x
) + (u
N
xx
(t), φ
j
xx
)+
(θ
N
x
(t), φ
j
) + (u
N
t
(t), φ
j
) = 0,
(θ
N
t
(t), φ
j
) + (θ
N
x
(t), φ
j
x
) + (u
N
xt
(t), φ
j
) = 0,
u
N
(x, 0) =: u
N
0
(x), u
N
t
(x, 0) =: u
N
1
(x), θ
N
(x, 0) =: θ
N
0
(x),
(3.8)
para todo φ ∈ V
N
. Em (3.8), e daqui em diante, (·, ·) denotar´a o produto interno de
L
2
(0, L).
As condi¸c˜oes iniciais do sistema (1.2) em V
N
s˜ao definidas a partir de (3.7) por
u
N
0
(x) =
N
j=1
g
jN
(0)φ
j
(x); u
N
1
(x) =
N
j=1
g
jN
(0)φ
j
(x); θ
N
0
(x) =
N
j=1
h
jN
(0)φ
j
(x).
(3.9)
onde as constantes g
jN
(0), g
jN
(0) e h
jN
(0) devem ser escolhidas por
g
jN
(0) = (u
0
, φ
j
), g
jN
(0) = (u
1
, φ
j
) e h
jN
(0) = (θ
0
, φ
j
).
22
Sendo
∞
N=1
V
N
um subespa¸co denso em H
2
0
(0, L), e consequentemente em L
2
(0, L),
e como u
0
∈ H
2
0
(0, L), u
1
∈ L
2
(0, L) e θ
0
∈ H
1
0
(0, L) ent˜ao tem-se as seguintes con-
vergˆencias, no sentido forte
u
N
0
(x) → u
0
(x) em H
2
0
(0, L), u
N
1
(x) → u
1
(x) em L
2
(0, L),
θ
N
0
(x) → θ
0
(x) em H
1
0
(0, L).
(3.10)
As solu¸c˜oes {u
N
, θ
N
} do problema aproximado (3.8) s˜ao determinados por meio do
Teorema de Caratheodory. De fato, ser´a mostrado que as fun¸c˜oes {u
N
, θ
N
} existem e s˜ao
definidas em [0, L] × [0, T ] com valores em R. Portanto, de (3.7), para obter {u
N
, θ
N
},
deve-se determinar as fun¸c˜oes g
jN
e h
jN
em [0, T]. Assim, inserindo (3.7) em (3.8) obt´em-
se
N
k=1
g
kN
(t)(φ
k
, φ
j
) + M
N
k=1
g
kN
(t)φ
k
x
2
N
k=1
g
kN
(t)(φ
k
x
, φ
j
x
)+
N
k=1
g
kN
(t)(φ
k
xx
, φ
j
xx
) +
N
k=1
h
kN
(t)(φ
k
x
, φ
j
) +
N
k=1
g
kN
(t)(φ
k
, φ
j
) = 0,
N
k=1
h
kN
(t)(φ
k
, φ
j
) +
N
k=1
h
kN
(t)(φ
k
x
, φ
j
x
) +
N
k=1
g
kN
(t)(φ
k
x
, φ
j
) = 0,
g
jN
(0) =: α
N
j
, g
j
(0) =: β
N
j
, h
jN
(0) =: γ
N
j
.
(3.11)
Para transformar o sistema (3.11) em um problema de Cauchy de primeira ordem ma-
tricial, denota-se:
W =
(φ
1
, φ
1
) . . . (φ
1
, φ
N
)
(φ
2
, φ
1
) . . . (φ
2
, φ
N
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(φ
N
, φ
1
) . . . (φ
N
, φ
N
)
; W
1
=
(φ
1
x
, φ
1
x
) . . . (φ
1
x
, φ
N
x
)
(φ
2
x
, φ
1
x
) . . . (φ
2
x
, φ
N
x
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(φ
N
x
, φ
1
x
) . . . (φ
N
x
, φ
N
x
)
;
W
2
=
(φ
1
xx
, φ
1
xx
) . . . (φ
1
xx
, φ
N
xx
)
(φ
2
xx
, φ
1
xx
) . . . (φ
2
xx
, φ
N
xx
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(φ
N
xx
, φ
1
xx
) . . . (φ
N
xx
, φ
N
xx
)
; W
3
=
(φ
1
x
, φ
1
) . . . (φ
1
x
, φ
N
)
(φ
2
x
, φ
1
) . . . (φ
2
x
, φ
N
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(φ
N
x
, φ
1
) . . . (φ
N
x
, φ
N
)
;
G(t) =
g
1N
(t)
g
2N
(t)
.
.
.
g
NN
(t)
; H(t) =
h
1N
(t)
h
2N
(t)
.
.
.
h
NN
(t)
;
23
X
0
=
α
N
1
α
N
2
.
.
.
α
N
N
; X
1
=
β
N
1
β
N
2
.
.
.
β
N
N
; X
2
=
ω
N
1
ω
N
2
.
.
.
ω
N
N
.
Al´em disso, note que
N
k=1
g
kN
(t)φ
k
x
2
=
L
0
N
k=1
N
l=1
g
kN
(t)φ
k
x
g
lN
(t)φ
l
x
dx =
N
k,l=1
g
kN
(t)g
lN
(t)(φ
k
x
, φ
l
x
)
=
N
k=1
(g
kN
(t))
2
.
Assim,
M
N
k=1
g
kN
(t)φ
k
x
2
= M
N
k=1
(g
kN
(t))
2
.
Da´ı, denota-se
W
1
= M
N
k=1
(g
kN
(t))
2
W
1
.
Portanto, substituindo as nota¸c˜oes precedente em (3.11) obt´em-se
W · G
(t) +
W
1
· G(t) + W
2
· G(t) + W
3
· H(t) + W · G
(t) = 0,
W · H
(t) + W
1
· H(t) + W
3
· G
(t) = 0,
G(0) = X
0
, G
(0) = X
1
, H(0) = X
2
.
(3.12)
Como {φ
N
}
N∈N
´e ortogonal em L
2
(0, L), tem-se que {φ
1
, φ
2
, ..., φ
N
} ´e linearmente inde-
pendente para todo N ∈ N. Da´ı, as colunas da matriz W s˜ao linearmente independente.
De fato, sejam λ
1
, λ
2
, . . . , λ
k
∈ R tais que
N
k=1
λ
k
(φ
k
, φ
1
), (φ
k
, φ
2
), . . . , (φ
k
, φ
N
)
t
= 0.
Portanto, para cada i = 1, . . . , N tem-se que
0 =
N
k=1
λ
k
(φ
k
, φ
i
) =
N
k=1
λ
k
φ
k
, φ
i
.
Denotando φ =
N
k=1
λ
k
φ
k
, resulta que (φ, φ
i
) = 0 para i = 1, ..., N. Multiplicando esta
identidade por λ
i
e somando em i, com i variando de 1 at´e N, obt´em-se
0 =
N
i=1
λ
i
(φ, φ
i
) =
φ,
N
i=1
λ
i
φ
i
= (φ, φ) = |φ|
2
.
24
Da´ı, φ = 0, e assim,
N
k=1
λ
k
φ
k
= 0. Sendo φ
k
linearmente independente, tem-se que λ
k
= 0
para k = 1, . . . , N. Portanto, as columnas de W s˜ao linearmente independente. Logo, o
det W = 0. Consequentemente, W ´e invert´ıvel. Sendo W invert´ıvel, reescreve-se (3.12)
1, 2
da seguinte maneira:
G
(t) = −W
−1
[
W
1
· G(t) + W
2
· G(t) + W
3
· H(t) + W · G
(t)],
H
(t) = −W
−1
[W
1
· H(t) + W
3
· G
(t)].
Da´ı, define-se a aplica¸c˜ao F : [0, T ] × R
2N
× R
2N
−→ R
2N
, para T > 0, por
F (t, X, Y ) = AX + BY com
A =
0 I
−W
−1
[
W
1
+ W
2
] −I − W
−1
W
3
, B =
0 I
0 −W
−1
[W
1
+ W
3
]
.
Agora, denotando
U(t) = (G(t), G
(t))
t
e V (t) =
t
0
H(s)ds, H(t)
t
,
tem-se que
U
(t) =
G
(t)
G
(t)
=
G
(t)
−W
−1
W
1
· G(t) + W
2
· G(t) + W
3
· H(t) + W · G
(t)
,
V
(t) =
H(t)
H
(t)
=
H(t)
−W
−1
[W
1
· H(t) + W
3
· G
(t)]
.
Reescrevendo U
(t) e V
(t) tem-se
U
(t) =
0
−W
−1
W
1
+ W
2
G(t) +
I
−W
−1
W
G
(t) +
0
−W
−1
W
3
H(t)
V
(t) =
I
−W
−1
W
1
H(t) +
0
−W
−1
W
3
G
(t).
Da´ı,
U
(t) + V
(t) =
0
−W
−1
[
W
1
+ W
2
]
G(t) +
I
−I − W
−1
W
3
G
(t) +
I
−W
−1
[W
1
+ W
3
]
H(t),
25
Ou seja,
U
(t) + V
(t) =
0 I
−W
−1
[
W
1
+ W
2
] −I − W
−1
W
3
G(t)
G
(t)
+
0 I
0 −W
−1
[W
1
+ W
3
]
t
0
H(s)ds
H(t)
.
Assim, tem-se o problema de Cauchy
U
(t) + V
(t) = F (t, U(t), V (t)),
U(0) =
G(0)
G
(0)
=
X
0
X
1
= U
0
,
V(0) =
0
H(0)
=
0
X
2
= V
0
.
(3.13)
A fun¸c˜ao F satisfaz as condi¸c˜oes do teorema de Caratheodory 2.32. De fato,
i) Para cada (X, Y ) ∈ R
2N
× R
2N
fixo, a aplica¸c˜ao t → F (t, X, Y ) ´e mensur´avel. Ser´a
mostrado que as matrizes A e B s˜ao mensuraveis em t. De fato,
- A matriz A ´e formada pelas matrizes W,
W
1
, W
2
, W
3
e I. Como M(λ) ´e uma
fun¸c˜ao continua e φ
j
∈ H
1
0
(0, L), ent˜ao
W
1
´e continua, e portanto as matrizes
W, W
2
, W
3
e I s˜ao continuas. Logo, A ´e mensur´avel em t.
- As coordenadas da matriz B s˜ao formadas por produtos e por somas das matrizes
W, W
1
e W
3
, as quas s˜ao continuas, pois, os seus elementos pertencem aos
espa¸cos H
1
0
(0, L) e L
2
(0, L). Portanto, B ´e continua em t. Logo, mensur´avel
em t.
ii) Para cada t ∈ [0, T ] fixo, a aplica¸c˜ao (X, Y ) → F (t, X, Y ) ´e continua, pois as coorde-
nadas s˜ao produto e soma de fun¸c˜oes continuas.
iii) Para cada compacto K ⊂ [0, T ] × R
2N
× R
2N
, como F ´e continua e independe de
t, tem-se que F ´e limitada. Assim, existe uma fun¸c˜ao m
k
(t) integr´avel tal que
F (t, X, Y )
2N
≤ m
k
(t) para todo (t, X, Y ) ∈ K. De fato, seja D = [0, T ] ×E ×F ,
onde E = {X ∈ R
2N
; X
R
2N×1
≤ δ} e F = {Y ∈ R
2N
; Y
R
2N×1
≤
˜
δ, } com δ e
˜
δ positivos. Como em R
k
, k ∈ N, as normas s˜ao equivalentes, ent˜ao denota-se por
·
2N
a norma do m´aximo em R
N
. Da´ı, sendo F (t, X, Y ) = AX + BY , tem-se que
F (t, X, Y ) ≤ AX + BY .
26
Por outro lado,
AX
2N×1
≤ A
2N×2N
X
2N×1
e BY
2N×1
≤ B
2N×2N
Y
2N×1
.
Como X ∈ E e Y ∈ F , tem-se que
F (t, X, Y ) ≤ δA +
˜
δB
As coordenadas da matriz A s˜ao fun¸c˜oes continuas, dessa maneira todas as entradas
da matriz A s˜ao limitadas por uma constante. Portanto, A
2N×2N
≤ C, para
C > 0. O mesmo ´e v´alido para B. Finalmente, tem-se que
F (t, X, Y ) ≤ δC +
˜
δ
˜
C =: m
k
(t),
onde m
k
(t) ´e integr´avel em [0, T ], pois δC +
˜
δ
˜
C ´e constante.
Conclui-se, assim, que o problema de Cauchy (3.13) satisfaz as condi¸c˜oes do teorema
de Carath´eodory 2.32. Portanto, existem fun¸c˜oes g
jN
, h
jN
, j = 1, 2, . . . , N, sendo
g
jN
, h
jN
absolutamente continuas em [0, t
N
). Consequentemente, existe pelo menos um
par de fun¸c˜oes {u
N
(t), θ
N
(t)} solu¸c˜ao do problema aproximado (3.8) em [0, t
N
[.
3.1.2 Estimativa sobre as solu¸c˜oes aproximadas
Na Se¸c˜ao 3.1.1 mostrou-se a existˆencia de pares de fun¸c˜oes
u
N
, θ
N
solu¸c˜oes do
problema (3.8) em [0, t
N
[. A meta agora ´e estabelecer estimativas sobre
u
N
, θ
N
tal
que seja poss´ıvel tomar o limite N −→ ∞ em (3.8) e, mostrar que estas fun¸c˜oes est˜ao
definidas em todo intervalo [0, T ] para T > 0 arbitr´ario. De fato, multiplicando as
equa¸c˜oes (3.8)
1
, (3.8)
2
por g
jN
(t), h
jN
(t), somando de j = 1 at´e N, respectivamente, e
usando (3.7), tem-se
(u
N
tt
(t), u
N
t
(t)) + M
u
N
x
(t)
2
(u
N
x
(t), u
N
tx
(t)) + (u
N
xx
(t), u
N
txx
(t))+
(θ
N
x
(t), u
N
t
) + (u
N
t
(t), u
N
t
(t)) = 0,
(θ
N
t
(t), θ
N
(t)) + (θ
N
x
(t), θ
N
x
(t)) + (u
N
xt
(t), θ
N
(t)) = 0.
(3.14)
Note que
(u
N
tt
(t), u
N
t
(t)) =
1
2
d
dt
|u
N
t
(t)|
2
, (u
N
x
(t), u
N
tx
(t)) =
1
2
d
dt
|u
N
x
(t)|
2
,
(u
N
xx
(t), u
N
txx
(t)) =
1
2
d
dt
|u
N
xx
(t)|
2
, (u
N
t
(t), u
N
t
(t)) = |u
N
t
(t)|
2
,
(θ
N
t
(t), θ
N
(t)) =
1
2
d
dt
|θ
N
(t)|
2
, (θ
N
x
(t), θ
N
x
(t)) = |θ
N
x
(t)|
2
,
(u
N
xt
(t), θ
N
(t)) = −(u
N
t
(t), θ
N
x
(t)).
(3.15)
27
Na ´ultima identidade, usou-se integra¸c˜ao por partes e o fato de θ
N
(0) = θ
N
(L) = 0.
Relembra-se que | · | representa a norma de L
2
(0, L). Denotando
M(λ) =
λ
0
M(s)ds,
pela regra da cadeia tem-se
d
dt
M
u
N
x
(t)
2
= M
u
N
x
(t)
2
d
dt
|u
N
x
(t)|
2
L
2
(0,L)
. (3.16)
Inserindo (3.15) e (3.16) em (3.14) e observando que
(u
N
xt
(t), θ
N
(t)) + (θ
N
x
(t), u
N
t
) = −(u
N
t
(t), θ
N
x
(t)) + (θ
N
x
(t), u
N
t
) = 0,
obt´em-se
1
2
d
dt
|u
N
t
(t)|
2
+
M
u
N
x
(t)
2
+ |u
N
xx
(t)|
2
+ |θ
N
(t)|
2
+
|u
N
t
(t)|
2
+ |θ
N
x
(t)|
2
= 0.
(3.17)
Seja
E
N
(t) =
1
2
|u
N
t
(t)|
2
+
M
u
N
x
(t)
2
+ |u
N
xx
(t)|
2
+ |θ
N
(t)|
2
. (3.18)
Ent˜ao, inserindo (3.18) em (3.17) e integrando de 0 a t tem-se
E
N
(t) +
t
0
|u
N
s
(s)|
2
+ |θ
N
x
(s)|
2
ds = E
N
(0).
Note que E
N
(0) define um sucess˜ao num´erica. Ou seja,
E
N
(0) =
1
2
|u
N
1
|
2
+
M
u
N
0x
2
+ |u
N
0xx
|
2
+ |θ
N
0
|
2
,
a qual ´e convergente, gra¸cas as convergencias em (3.10) e a hip´otese (3.2), (
M ∈ C
1
(R
+
)).
Portanto, E
N
(0) ´e limitada. Consequentemente, existe uma constante C > 0 indepen-
dente de N e de t tal que
E
N
(t) +
∞
0
|u
N
t
(t)|
2
+ |θ
N
x
(t)|
2
dt ≤ C. (3.19)
A estimativa (3.19) ´e suficiente para prolongar a existˆencia das solu¸c˜oes
u
N
, θ
N
`a todo
intervalo [0, T ], para T > 0 e tomar o limite N −→ ∞ em (3.8). Esta segunda tarefa
ser´a feita na pr´oxima se¸c˜ao.
28
Prolongamento das solu¸c˜oes - Pelo teorema de Caratheodory 2.32, existem pares
de fun¸c˜oes {U(t), V (t)} com U(t) : [0, t
N
) −→ R
2N
e V (t) : [0, t
N
) −→ R
2N
solu¸c˜oes do
problema de Cauchy (3.13). Para aplicar o teorema de prolongamento basta mostrar que
existe K > 0 tal que
|U(t)| ≤ K e |V (t)| ≤ K para todo t ∈ [0, T ].
De fato, para isto, basta mostrar que
|G(t)| =
N
j=1
|g
jN
(t)|
2
, |G
(t)| =
N
j=1
|g
jN
(t)|
2
e |H(t)| =
N
j=1
|h
jN
(t)|
2
,
s˜ao limitadas. De fato, note-se que sendo (φ
j
)
j∈N
ortonormal em L
2
(0, L) tem-se que
|u
N
(t)|
2
=
N
j, k=1
(g
jN
(t)φ
j
, g
kN
(t)φ
k
) =
N
j=1
[g
jN
(t)]
2
|φ
j
|
2
=
N
j=1
[g
jN
(t)]
2
= |G(t)|
2
.
Da´ı, e de (3.19) tem-se que
|G(t)|
2
≤ C independente de t. (i)
De modo an´alogo tem-se
|u
N
t
(t)|
2
=
N
j,k=1
(g
jN
(t)φ
j
, g
kN
(t)φ
k
) =
N
j=1
[g
jN
(t)]
2
|φ
j
|
2
=
N
j=1
[g
jN
(t)]
2
= |G
(t)|
2
.
Portanto, de (3.19) resulta
|G
(t)|
2
≤ C independente de t. (ii)
Finalmente,
|θ
N
(t)|
2
=
N
j,k=1
(h
jN
(t)φ
j
, h
kN
(t)φ
k
) =
N
j=1
[h
jN
(t)]
2
|φ
j
|
2
=
N
j=1
[h
jN
(t)]
2
= |H(t)|
2
.
Da´ı, e de (3.19) obt´em-se
|H(t)|
2
≤ C independente de t. (iii)
29
Logo, de (i)-(iii) conclui-se que as solu¸c˜oes
u
N
, θ
N
s˜ao definitas em todo intervalo
[0, T ], para T > 0 arbitr´ario
Usando a hip´otese (3.2), a defini¸c˜ao (3.18) e a estimativa (3.19) tem-se
|u
N
t
(t)|
2
+ |u
N
xx
(t)|
2
+ |θ
N
(t)|
2
≤ C;
∞
0
|u
N
t
(t)|
2
+ |θ
N
x
(t)|
2
dt ≤ C,
(3.20)
independentemente de N e de t. Tomando o supremo essencial em (3.20)
1
tem-se que a
norma
u
N
L
∞
(
0,T ;H
2
0
(0,L)
)
= ess sup
t∈]0,T [
u
N
xx
(t)
< C;
θ
N
L
∞
(0,T ;L
2
(0,L))
= ess sup
t∈]0,T [
θ
N
(t)
< C;
onde C ´e uma constante positiva. Da´ı, e de (3.20)
2
obt´em-se
u
N
N∈N
´e limitada em L
∞
loc
(0, ∞; H
2
0
(0, L)) ;
u
N
t
N∈N
´e limitada em L
2
loc
(0, ∞; L
2
(0, L)) ;
θ
N
N∈N
´e limitada em L
∞
loc
(0, ∞; L
2
(0, L)) ∩ L
2
loc
(0, ∞; H
1
0
(0, L)) .
(3.21)
3.1.3 Convergˆencia das Solu¸c˜oes Aproximadas
As estimativas em (3.21) s˜ao suficientes para a passagem ao limite quando N → ∞ no
sistema aproximado (3.8). De fato, da estimativa (3.21)
1
existe, pelo teorema de Banach-
Alaouglu-Bourbaki 2.8, uma subsequˆencia de (u
N
)
N∈N
, a qual ser´a denotada, tamb´em,
por (u
N
)
N∈N
, tal que converge na topolog´ıa fraca estrela de L
∞
(0, T ; H
2
0
(0, L)) para u,
com T > 0 arbitr´ario. Ou seja,
u
N
∗
u em L
∞
(0, T ; H
2
0
(0, L)) quando N → ∞. (3.22)
Da estimativa (3.21)
2
existe uma subsequˆencia de (u
N
t
), a qual ser´a denotada, tamb´em,
por (u
N
t
), tal que
u
N
t
ξ em L
2
(0, T ; L
2
(0, L)) quando N → ∞. (3.23)
Ser´a mostrado na sub-se¸c˜ao, a seguir, que ξ = u
t
.
Finalmente, da estimativa (3.21)
3
existe uma subsequˆencia de (θ
N
), a qual ser´a de-
notada, tamb´em, por (θ
N
) tal que
θ
N
θ em L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)) quando N → ∞. (3.24)
30
Interpreta¸c˜ao das convergˆencias (3.22)-(3.24) - Usa-se a Proposi¸c˜ao 2.6. De fato,
a) A convergˆencia em (3.22) significa:
u
N
, v
L
∞
(0,T ;H
2
0
(0,L))×L
1
(0,T ;H
−2
(0,L))
→ u, v
L
∞
(0,T ;H
2
0
(0,L))×L
1
(0,T ;H
−2
(0,L))
,
para todo v ∈ L
1
(0, T ; H
−2
(0, L)). Portanto,
T
0
v(t), u
N
(t)
H
−2
(0,L)×H
2
0
(0,L)
dt →
T
0
v(t), u(t)
H
−2
(0,L)×H
2
0
(0,L)
dt,
para todo v ∈ L
1
(0, T ; H
−2
(0, L)). Em particular, como H
2
0
(0, L) → H
−2
(0, L), ent˜ao
pelo teorema da representa¸c˜ao de Riesz, tem-se que
T
0
(u
N
(t), v(t))
H
2
0
(0,L)
dt →
T
0
(u(t), v(t))
H
2
0
(0,L)
dt, (3.25)
para todo v ∈ L
1
(0, T ; H
2
0
(0, L)).
b) A convergencia em (3.23) significa:
u
N
t
, v
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))×L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
→ ξ, v
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))×L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
,
para todo v ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)). Portanto,
T
0
v(t), u
N
t
(t)
L
2
(0,L)×L
2
(0,L)
dt →
T
0
v(t), ξ(t)
L
2
(0,L)×L
2
(0,L)
dt,
para todo v ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)). Pelo teorema da Representa¸c˜ao de Riesz, tem-se que
T
0
(v(t), u
N
t
(t))
L
2
(0,L)
dt →
T
0
(ξ(t), v(t))
L
2
(0,L)
dt, (3.26)
para todo v ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)). A seguir, mostra-se que ξ = u
t
. De fato, como
L
∞
(0, T ; H
2
0
(0, L)) ⊂ L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L)) ⊂ L
2
(0, T ; L
2
(0, L))
e u
N
u em L
2
(0, T ; L
2
(0, L)) ≡ L
2
(Q), tem-se que
(u
N
, v)
L
2
(Q)
→ (u, v)
L
2
(Q)
para todo v ∈ L
2
(Q).
Portanto,
Q
u
N
(x, t)v(x, t)dxdt →
Q
u(x, t)v(x, t)dxdt para todo v ∈ L
2
(Q). (3.27)
Da´ı, sendo L
2
(Q) ⊂ D
(Q), dado v ∈ L
2
(Q) define-se uma distribu¸c˜ao T
v
dada por
T
v
, φ =
Q
v(x, t)φ(x, t)dxdt para todo φ ∈ D(Q).
31
Da´ı, e de (3.27) tem-se que
T
u
N
, φ =
Q
u
N
φdxdt →
Q
uφdxdt = T
u
, φ para todo φ ∈ D(Q).
Portanto, T
u
N
→ T
u
. Pela continuidade da deriva¸c˜ao em D(Q), resulta que T
u
N
t
→ T
u
t
.
De modo an´alogo, tem-se que T
u
N
t
→ T
ξ
. Assim pela unicidade do limite tem-se
T
u
t
= T
ξ
. Pelo teorema de Du Bois Raymond u
t
= ξ
Sendo
u
N
t
∗
u
t
em L
2
(0, T ; L
2
(0, L)),
conclui-se de (3.26) que
T
0
(u
N
t
(t), v(t))
L
2
(0,L)
dt →
T
0
(u
t
(t), v(t))
L
2
(0,L)
dt, (3.28)
para todo v ∈ L
1
(0, T ; L
2
(0, L)).
A seguir mostra-se que
T
0
(u
N
xx
(t), v
xx
(t))dt →
T
0
(u
xx
(t), v
xx
(t))dt, (3.29)
para todo v ∈ L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L)). De fato, sendo v ∈ L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L)), define-se a
aplica¸c˜ao z(t) : H
2
0
(0, L) → R por
z(t), w = (w
xx
, v
xx
(t)) para todo w ∈ H
2
0
(0, L), (3.30)
a qual ´e linear e cont´ınua em H
2
0
(0, L). Com efeito,
i) A linearidade de z(t): dados α, β ∈ R, w
1
, w
2
∈ H
2
0
(0, L), tem-se
z(t), αw
1
+ βw
2
= (αw
1xx
+ βw
2xx
, v
xx
(t)) = α(w
1xx
, v
xx
(t)) + β(w
2xx
, v
xx
(t))
= αz(t), w
1
+ βz(t), w
2
;
ii) A continuidade de z(t): note que
|z(t), w|
|w|
H
2
0
(0,L)
=
|(w
xx
, v
xx
(t))|
|w|
H
2
0
(0,L)
≤
|w
xx
||v
xx
(t)|
|w|
H
2
0
(0,L)
≤
|w|
H
2
0
(0,L)
|v(t)|
H
2
0
(0,L)
|w|
H
2
0
(0,L)
.
Portanto,
|z(t), w|
|w|
H
2
0
(0,L)
≤ |v(t)|
H
2
0
(0,L)
.
32
Da´ı, |z(t)|
H
−2
(0,L)
≤ |v(t)|
H
2
0
(0,L)
∈ L
2
(0, T ). Desta desigualdade segue que z ∈
L
2
(0, T ; H
−2
(0, L)) e como L
2
(0, T, H
−2
(0, L)) ⊂ L
1
(0, T ; H
−2
(0, L)), ent˜ao
T
0
z(t), u
N
(t)
H
−2
(0,L)×H
2
0
(0,L)
dt →
T
0
z(t), u(t)
H
−2
(0,L)×H
2
0
(0,L)
dt.
Da´ı, conclui-se (3.29)
c) A convergencia em (3.24) significa:
θ
N
, v
L
2
(0,T ;H
1
0
(0,L))×L
2
(0,T ;H
−1
(0,L))
→ θ, v
L
2
(0,T ;H
1
0
(0,L))×L
2
(0,T ;H
−1
(0,L))
,
para todo v ∈ L
2
(0, T ; H
−1
(0, L)). Como H
1
0
(0, L) → H
−1
(0, L), ent˜ao pelo teorema da
Representa¸c˜ao de Riesz, tem-se que
T
0
(θ
N
(t), v)
H
1
0
(0,L)
dt →
T
0
(θ(t), v(t))
H
1
0
(0,L)
dt,
para todo v ∈ L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)). Da´ı, obt´em-se que
T
0
(θ
N
x
(t), v
x
(t))dt →
T
0
(θ
x
(t), v
x
(t))dt, (3.31)
para todo v ∈ L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)). A convergˆencia (3.31) ´e estabelecida procedendo de
modo similar `a obten¸c˜ao da convergˆencia (3.29), modificando a fun¸c˜ao z definida em
(3.30) por outra fun¸c˜ao z(t) : H
1
0
(0, L) → R dada por
z(t), w = (w
x
, v
x
(t)) para todo w ∈ H
1
0
(0, L).
Repetindo os argumentos precedentes, ou seja, para obten¸c˜ao das convergˆencias (3.29)
e (3.31), obt´em-se
T
0
(θ
N
x
(t), v
x
(t))dt →
T
0
(θ
x
(t), v
x
(t))dt para todo v ∈ L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)), (3.32)
T
0
(u
N
tx
(t), v(t))dt →
T
0
(u
tx
(t), v(t))dt para todo v ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)). (3.33)
O Limite na parcela n˜ao linear - Parte crucial na demonstra¸c˜ao da existˆencia de
solu¸c˜ao, por meio do M´etodo de Galerkin, ´e a passagem ao limite N → ∞ no termo
n˜ao-linear do sistema (3.8). Portanto, a meta a seguir ´e mostrar que
T
0
M
u
N
x
(t)
2
(u
N
x
(t), v
x
(t))dt →
T
0
M
|u
x
(t)|
2
(u
x
(t), v
x
(t))dt, (3.34)
33
para todo v ∈ L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)). De fato, das estimativas (3.21)
1
, (3.21)
2
e do fato de
L
∞
(0, T ; H
2
0
(0, L)) ⊂ L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L)), existe uma constante real positiva C tal que
|u
N
(t)|
L
2
(0,T ;H
2
0
(0,L))
≤ C e |u
N
t
(t)|
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
≤ C para todo N ∈ N.
Da´ı, u
N
´e limitado em W = {u; u ∈ L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L)), u
t
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L))}, pois
u
N
W
= |u
N
|
L
2
(0,T ;H
2
0
(0,L))
+ |u
N
t
|
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
≤ C para todo N ∈ N.
Al´em disso, usando as imers˜oes dos espa¸cos de Hilbert
H
2
0
(0, L)
c
→ H
1
0
(0, L) → L
2
(0, L),
(onde por
c
→ e → denota-se imers˜oes compacta e cont´ınua, respectivamente), tem-se
pelo Teorema de Aubin-Lions 2.28, que
W
c
→ L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)).
Portanto, existe uma subsequˆencia de (u
N
)
N∈N
, a qual ser´a denotada, tamb´em, por
(u
N
)
N∈N
, tal que
u
N
→ u forte em L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)).
Ou seja,
u
N
x
→ u
x
forte em L
2
(0, T ; L
2
(0, L)) quando N → ∞. (3.35)
Reescrevendo (3.34) em forma de diferen¸ca, tem-se
T
0
M
u
N
x
(t)
2
(u
N
x
(t), v
x
(t))dt −
T
0
M
|u
x
(t)|
2
(u
x
(t), v
x
(t))dt =
T
0
M
u
N
x
(t)
2
− M
|u
x
(t)|
2
(u
N
x
(t), v
x
(t))dt+
+
T
0
M
|u
x
(t)|
2
(u
N
x
(t) − u
x
(t), v
x
(t)).
(3.36)
Analisa-se agora cada parcela do lado direito de (3.36). De fato,
1
a
Parcela: Inicialmente observa-se que
T
0
M
u
N
x
(t)
2
− M
|u
x
(t)|
2
(u
N
x
(t), v
x
(t))dt
R
≤
T
0
M
u
N
x
(t)
2
− M
|u
x
(t)|
2
R
(u
N
x
(t), v
x
(t))
R
dt.
34
A convergˆencia (3.35) significa
|u
N
x
− u
x
|
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
→ 0 ⇐⇒
T
0
|u
N
x
(t) − u
x
(t)|
2
L
2
(0,L)
dt
1/2
→ 0,
quando N → ∞. Como
|u
N
x
|
L
2
(0,L)
− |u
x
|
L
2
(0,L)
2
R
≤ |u
N
x
− u
x
|
2
L
2
(0,L)
, ent˜ao
T
0
|u
N
x
(t)|
L
2
(0,L)
− |u
x
(t)|
L
2
(0,L)
2
R
dt
1/2
→ 0 quando N → ∞.
Ou seja,
|u
N
x
(t)|
L
2
(0,L)
− |u
x
(t)|
L
2
(0,L)
R
→ 0 quando N → ∞.
Da´ı,
|u
N
x
(t)|
2
L
2
(0,L)
→ |u
x
(t)|
2
L
2
(0,L)
em R quando N → ∞.
Como M : [0, ∞[→ R ´e continua, tem-se que
M
u
N
x
(t)
2
→ M
|u
x
(t)|
2
em R quando N → ∞. (3.37)
Por outro lado, da estimativa (3.21)
1
, ou da convergˆencia (3.29) e da desigualdade de
Cauchy-Schwartz, obt´em-se uma constante real positiva C tal que
|(u
N
x
(t), v
x
(t))| = |(u
N
xx
(t), v(t))| ≤ |u
N
xx
(t)||v(t)| ≤ C, (3.38)
pois v ∈ L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)). Portanto, de (3.37) e (3.38) tem-se que
T
0
M
u
N
x
(t)
2
− M
|u
x
(t)|
2
(u
N
x
(t), v
x
(t))dt
R
≤ C
1
T
0
M
u
N
x
(t)
2
− M
|u
x
(t)|
2
R
dt → 0,
(3.39)
quando N → ∞
2
a
parcela: Sendo H
2
0
(0, L) → H
1
0
(0, L), tem-se de (3.25) que
T
0
(u
N
x
(t), v
x
(t))
H
1
0
(0,L)
dt →
T
0
(u
x
(t), v
x
(t))
H
1
0
(0,L)
dt,
para todo v ∈ L
1
(0, T ; H
1
0
(0, L)) quando N → ∞. Ou seja
T
0
(u
N
x
(t) − u
x
(t), v
x
(t))
H
1
0
(0,L)
dt → 0 para todo v ∈ L
1
(0, T ; H
1
0
(0, L)), (3.40)
quando N → ∞. Como
M
|u
x
(t)|
2
∈ L
∞
(0, ∞)
35
ent˜ao
M
|u
x
(t)|
2
v
x
(t) ∈ L
1
(0, T ; H
1
0
(0, L)).
Da´ı, e de (3.40) tem-se
T
0
M
|u
x
(t)|
2
(u
N
x
(t) − u
x
(t), v
x
(t)) → 0 quand N → ∞, (3.41)
para todo v ∈ L
1
(0, T ; H
1
0
(0, L))
Finalmente, usando as convergˆencias (3.39) e (3.41) em (3.36) tem-se a desejada
convergˆencia (3.34)
3.1.4 Verifica¸c˜ao de que {u, θ} satisfaz as equa¸c˜oes em (3.5)
Retornando ao sistema aproximado (3.8), tem-se que
(u
N
tt
(t), v) + M
u
N
x
(t)
2
(u
N
x
(t), v
x
) + (u
N
xx
(t), v
xx
) + (θ
N
x
(t), v) + (u
N
t
, v) = 0,
(θ
N
t
(t), v) + (θ
N
x
(t), v
x
) + (u
N
xt
(t), v) = 0,
para todo v ∈ V
N
. Multiplicando ambas equa¸c˜oes pela fun¸c˜ao w ∈ C
1
([0, T ]) tal que
w(0) = w(T ) = 0 e integrando de 0 a T , obt´em-se
T
0
(u
N
tt
(t), v)w(t)dt +
T
0
M
u
N
x
(t)
2
(u
N
x
(t), v
x
)w(t)dt +
T
0
(u
N
xx
(t), v
xx
)w(t)dt +
T
0
(θ
N
x
(t), v)w(t)dt +
T
0
(u
N
t
, v)w(t)dt = 0,
T
0
(θ
N
t
(t), v)w(t)dt +
T
0
(θ
N
x
(t), v
x
)w(t)dt +
T
0
(u
N
xt
(t), v)w(t)dt = 0.
Integrando por partes as duas primeiras integrais das equa¸c˜oes precedentes, resulta
−
T
0
(u
N
t
(t), v)w
t
(t)dt +
T
0
M
u
N
x
(t)
2
(u
N
x
(t), v
x
)w(t)dt +
T
0
(u
N
xx
(t), v
xx
)w(t)dt +
T
0
(θ
N
x
(t), v)w(t)dt +
T
0
(u
N
t
, v)w(t)dt = 0,
−
T
0
(θ
N
(t), v)w
t
(t)dt +
T
0
(θ
N
x
(t), v
x
)w(t)dt +
T
0
(u
N
xt
(t), v)w(t)dt = 0,
para todo v ∈ V
N
⊂ H
2
0
(0, L). Como v ∈ V
N
e w ∈ C
1
([0, T ]), ent˜ao vw ∈ L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L))
e vw
t
∈ L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)) ⊂ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)). Portanto, usando as convergˆencias esta-
36
belecidas em: (3.25), (3.28), (3.29) e as (3.31)-(3.24) obt´em-se
−
T
0
(u
t
(t), v)w
t
(t)dt +
T
0
M
|u
x
(t)|
2
(u
x
(t), v
x
)w(t)dt+
T
0
(u
xx
(t), v
xx
)w(t)dt +
T
0
(θ
x
(t), v)w(t)dt +
T
0
(u
t
, v)w(t)dt = 0,
−
T
0
(θ(t), v)w
t
(t)dt +
T
0
(θ
x
(t), v
x
)w(t)dt +
T
0
(u
xt
(t), v)w(t)dt = 0,
(3.42)
para todo v ∈ V
N
.
Agora, mostra-se que a equa¸c˜ao (3.42) ´e valida para todo v ∈ H
2
0
(0, L). De fato,
como V
N
´e denso em H
2
0
(0, L), ent˜ao dado v ∈ H
2
0
(0, L), existe uma sequˆencia (v
N
), com
v
N
∈ V
N
, tal que
|v
N
− v|
H
2
0
(0,L)
→ 0 quando N → ∞. (3.43)
Ser´a feito uma an´alise da primeira e da segunda parcela da equa¸c˜oes de (3.42)
1
, as demais
poder˜ao ser feitas de modo similar. Com efeito, para a primeira parcela, usa-se na
sequˆencia de desigualdades a seguir, principalmente, a desigualdade de Cauchy-Schwartz
e o fato de u
t
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)). Assim, tem-se
T
0
(u
t
(t), v
N
)w
t
(t)dt −
T
0
(u
t
(t), v)w
t
(t)dt
R
=
T
0
(u
t
(t), v
N
− v)w
t
(t)dt
R
≤
T
0
|(u
t
(t), v
N
− v)|
R
|w
t
(t)|
R
dt ≤ max
0≤t≤T
|w
t
(t)|
R
T
0
|u
t
(t)|
L
2
(0,L)
|v
N
− v|
L
2
(0,L)
dt =
max
0≤t≤T
|w
t
(t)|
R
|v
N
− v|
L
2
(0,L)
T
0
|u
t
(t)|
L
2
(0,L)
dt ≤
max
0≤t≤T
|w
t
(t)|
R
|v
N
− v|
L
2
(0,L)
T
0
dt
1/2
T
0
|u
t
(t)|
2
L
2
(0,L)
dt
1/2
=
T
1/2
max
0≤t≤T
|w
t
(t)|
R
|v
N
− v|
L
2
(0,L)
|u
t
|
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
.
Da´ı, de (3.43), obt´em-se
T
0
(u
t
(t), v
N
)w
t
(t)dt →
T
0
(u
t
(t), v)w
t
(t)dt quando N → ∞
37
A parcela n˜ao linear ´e limitada como segue:
T
0
M
|u
x
(t)|
2
(u
x
(t), v
N
x
) − (u
x
(t), v
x
)w(t)
dt
R
=
T
0
M
|u
x
(t)|
2
(u
x
(t), v
N
x
− v
x
)w(t)dt
R
≤
T
0
M
|u
x
(t)|
2
R
|u
x
(t)|
L
2
(0,L)
|v
N
x
− v
x
|
L
2
(0,L)
|w(t)|
R
dt ≤
max
0≤t≤T
|w(t)|
R
max
0≤λ≤|u
x
(t)|
2
M(λ)
R
|v
N
x
− v
x
|
L
2
(0,L)
T
0
|u
x
(t)|
L
2
(0,L)
dt ≤
T
1/2
max
0≤t≤T
|w(t)|
R
max
0≤λ≤|u
x
(t)|
2
M(λ)
R
|v
N
x
− v
x
|
L
2
(0,L)
|u
x
(t)|
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
.
Da´ı, de (3.43) obt´em-se
T
0
M
|u
x
(t)|
2
(u
x
(t), v
N
x
) − (u
x
(t), v
x
)w(t)
dt → 0 quando N → ∞
Para concluir que a igualdade integral em (3.5)
1
´e valida para todo
γ ∈ L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L)) tal que γ
t
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)) com γ(0) = γ(T ) = 0,
basta observar que o conjunto das fun¸c˜oes da forma v(x)w(t) com v ∈ H
2
0
(0, L) e
w ∈ C
1
([0, T ]) tal que w(0) = w(T ) = 0 ´e denso em L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L)). De modo similar
constata-se para a igualdade integral em (3.5)
2
associada `a fun¸c˜ao η ∈ L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L))
com η(0) = η(T ) = 0
3.1.5 Verifica¸c˜ao dos Dados Iniciais
(a) Posi¸c˜ao inicial da viga: u(x, 0) = u
0
(x) q. s. em ]0, L[.
Considerando uma fun¸c˜ao γ ∈ C
1
([0, T ]; R) tal que γ(0) = 1 e γ(T ) = 0, ent˜ao para
w ∈ H
2
0
(0, L) tem-se, via integra¸c˜ao por partes, a identidade
T
0
(u
N
t
(t), w)γ(t)dt = (u
N
(t), w)γ(t)
T
0
−
T
0
(u
N
(t), w)γ
(t)dt =
−(u
N
(0), w) −
T
0
(u
N
(t), w)γ
(t)dt.
Usando as convergˆencias (3.25) e (3.28) com v = wγ
e v = wγ, respectivamente, na
identidade precedente, tem-se
T
0
(u
t
(t), w)γ(t)dt +
T
0
(u(t), w)γ
(t)dt = −(u
0
, w).
(3.44)
38
Agora, mostra-se que
(u, w)γ ∈ C
0
([0, T ]; R). (3.45)
De fato, como u ∈ L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L)) e u
t
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)), tem-se
(i) (u, w)γ ∈ L
2
(0, T ; R), pois
T
0
|(u, w)γ|
2
R
dt ≤
T
0
|u|
2
H
2
0
|w|
2
H
2
0
|γ|
2
R
dt ≤ |w|
2
H
2
0
max |γ(t)|
2
R
T
0
|u|
2
H
2
0
dt ≤ ∞,
(ii)
d
dt
((u, w)γ) = (u
t
, w)γ + (u, w)γ
∈ L
2
(0, T ; R), pois
T
0
|(u
t
, w)γ + (u, w)γ
|
2
R
≤
T
0
|u
t
|
2
L
2
|w|
2
L
2
|γ|
2
R
+
L
0
|u|
2
H
2
0
|w|
2
H
2
0
|γ
|
2
R
dt
≤ |w|
2
L
2
max |γ|
2
R
T
0
|u
t
|
2
L
2
dt
+ |w|
2
H
2
0
max |γ
|
2
R
T
0
|u|
2
H
2
0
dt ≤ ∞.
Assim, tem-se (3.45) gra¸cas aos itens (i), (ii) e Proposi¸c˜ao 2.37
Portanto, de (3.45) a identidade abaixo est´a bem definida
T
0
d
dt
[(u(t), w)γ(t)]dt = (u(T ), w)γ(T ) − (u(0), w)γ(0).
Assim, pela defini¸c˜ao de γ e (ii), tem-se
−(u(0), w) = (u(T ), w)γ(T ) − (u(0), w)γ(0) =
T
0
d
dt
[(u(t), w)γ(t)]dt
=
T
0
(u
t
(t), w)γ(t)dt +
T
0
(u(t), w)γ
(t)dt.
Da´ı, e de (3.44) tem-se
(u(0) − u
0
, w) = 0 para todo w ∈ H
2
0
(0, L).
Tomando, em particular, w = u(0) − u
0
, resulta |u(0) − u
0
|
2
= 0. Logo, u(0) = u
0
em
L
2
(0, L) e portanto q.s. em ]0, L[
(b) Velocidade inicial das oscila¸c˜oes da viga: u
t
(x, 0) = u
1
(x) q. s. em ]0, L[.
Inicialmente mostra-se o seguinte resultado
39
Lema 3.3. A solu¸c˜ao u do problema misto (1.2) tem a seguinte regularidade
u
tt
∈ L
2
(0, T ; H
−2
(0, L)). (3.46)
Demonstra¸c˜ao - A demonstra¸c˜ao ser´a feita em alguns passos analisando a equa¸c˜ao
(1.2)
1
.
Passo 1 - Como u
t
∈ L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L)), ent˜ao u
t
(veja Exemplo 2.26) define a dis-
tribui¸c˜ao
u
t
, ϕ =
T
0
u
t
(t)ϕ(t)dt ∈ H
2
0
(0, L),
para todo ϕ ∈ D(0, T ). Sua derivada, cf. Defini¸c˜ao 2.27, ´e dada por
u
tt
, ϕ = −u
t
, ϕ
= −
T
0
u
t
(t)ϕ
(t)dt.
Da´ı, define-se a aplica¸c˜ao u
tt
: D(0, T ) −→ H
−2
(0, L) por
u
tt
, ϕ, v = (u
tt
, ϕ, v) = −
T
0
(u
t
(t), v)ϕ
(t)dt para todo v ∈ H
2
0
(0, L), (3.47)
onde a ultima igualdade ´e devido ao Teorema de Bochner 2.38. Para uma melhor com-
preen¸c˜ao da defini¸c˜ao (3.47), veja o esquema abaixo
u
tt
: D(0, T ) −→ H
−2
(0, L)
ϕ −→ u
tt
, ϕ : H
2
0
(0, L) −→ R
v −→ (u
tt
, ϕ, v).
Para utilizar o Teorema de Bochner 2.38, considera-se a aplica¸c˜ao T : H
2
0
(0, L) → R
com T f = u
tt
, ϕ. Assim,
−
T
0
u
t
(t)ϕ
(t)dt ∈ H
2
0
(0, L)
e tem-se
v, −
T
0
u
t
(t)ϕ
(t)dt
= −
L
0
T
0
v(x)u
t
(x, t)ϕ
(t)dt
dx
= −
T
0
L
0
v(x)u
t
(x, t)dx
ϕ
(t)dt
= −
T
0
(u
t
(t), v)ϕ
(t)dt.
40
Passo 2 - Sendo u ∈ L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L)), ent˜ao u
xx
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)). Da´ı, tem-se que
u
xx
∈ L
2
(0, T ; H
−2
(0, L)), pois
|u
xx
(t)|
H
−2
(0,L)
≤
|(u
xx
(t), v)|
R
|v|
H
2
0
(0,L)
≤
|u
xx
(t)||v|
|v|
H
2
0
(0,L)
≤ |u
xx
(t)| ∈ L
2
(0, T ).
Portanto, define-se a aplica¸c˜ao u
xx
: D(0, T ) −→ H
−2
(0, L) dada por
u
xx
, ϕ, v = (u
xx
, ϕ, v) =
T
0
(u
xx
(t), v)ϕ(t)dt para todo v ∈ H
2
0
(0, L).
Como M ´e continua em [0, ∞[, ent˜ao tem-se que
M
|u
x
(t)|
2
u
xx
∈ L
2
(0, T ; H
−2
(0, L)),
pois,
M
|u
x
(t)|
2
∈ L
∞
(0, T ).
Da´ı, define-se a aplica¸c˜ao
M
|u
x
(t)|
2
u
xx
: D(0, T ) → H
−2
(0, L)
dada por
M
|u
x
(t)|
2
u
xx
, ϕ
, v
= −
T
0
M
|u
x
(t)|
2
(u
xx
, v)ϕ(t)dt, (3.48)
para todo v ∈ H
2
0
(0, L).
Passo 3 - Como visto no passo anterior u
xx
: D(0, T ) −→ H
−2
(0, L) ´e uma distribui¸c˜ao.
Portanto, deriv´avel. Assim define-se
u
xxxx
(t), ϕ = (u
xx
(t), ϕ
xx
) para todo ϕ ∈ D(0, L).
Pela densidade de D(0, L) em H
2
0
(0, L) e continuidade do operador deriva¸c˜ao sobre
D
(0, L) tem-se que
u
xxxx
(t), v = (u
xx
(t), v
xx
) para todo v ∈ H
2
0
(0, L).
Da´ı, tem-se
|u
xxxx
(t)|
H
−2
(0,L)
≤
|(u
xxxx
(t), v)|
R
|v|
H
2
0
(0,L)
≤
|(u
xx
(t), v
xx
)|
R
|v|
H
2
0
(0,L)
≤
|u
xx
(t)||v
xx
|
|v|
H
2
0
(0,L)
≤ |u
xx
(t)| ∈ L
2
(0, T ).
41
Ou seja, u
xxxx
∈ L
2
(0, T ; H
−2
(0, L)). Portanto, define-se a aplica¸c˜ao
u
xxxx
: D(0, T ) −→ H
−2
(0, L)
dada por
u
xxxx
, ϕ, v =
T
0
(u
xx
(t), v
xx
)ϕ(t)dt para todo v ∈ H
2
0
(0, L). (3.49)
Passo 4 - De modo similar aos passos anteriores, sendo u
t
∈ L
∞
(0, T ; H
1
0
(0, L)) ⊂
L
2
(0, T ; H
2
0
(0, L)), tem-se que u
t
∈ L
2
(0, T ; H
−2
(0, L)), pois
|u
t
(t)|
H
−2
(0,L)
≤
|(u
t
(t), v)|
R
|v|
H
2
0
(0,L)
≤
|u
t
(t)||v|
|v|
H
2
0
(0,L)
≤ |u
t
(t)| ∈ L
2
(0, T ).
Da´ı, define-se a distribui¸c˜ao u
t
: D(0, T ) −→ H
−2
(0, L) por
u
t
, ϕ, v =
T
0
(u
t
(t), v)ϕ(t)dt para todo v ∈ H
2
0
(0, L). (3.50)
Passo 5 - Finalmente, sendo θ ∈ L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)), ent˜ao θ
x
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)). Assm,
tem-se que θ
x
∈ L
2
(0, T ; H
−1
(0, L)) ⊂ L
2
(0, T ; H
−2
(0, L)), pois
|θ
x
(t)|
H
−1
(0,L)
≤
|(θ
x
(t), v)|
R
|v|
H
2
0
(0,L)
≤
|θ
x
(t)||v|
|v|
H
2
0
(0,L)
≤ |θ
x
(t)| ∈ L
2
(0, T ).
Portanto, tem-se a distribui¸c˜ao
θ
x
: D(0, T ) −→ H
−1
(0, L) dada por
θ
x
, ϕ, v = −
(θ
x
(t), v)ϕ(t)dt para todo v ∈ H
2
0
(0, L). (3.51)
Agora, usando as distribui¸c˜oes definidas em (3.47)-(3.51) tem-se que a equa¸c˜ao (1.2)
1
´e identificada `a equa¸c˜ao
u
tt
, ϕ, v = T , ϕ, v para todo ϕ ∈ D(0, T ) e para todo v ∈ H
2
0
(0, L),
onde T : D(0, T ) −→ H
−2
(0, L) ´e dada por
T = M
|u
x
(t)|
2
u
xx
+ u
xxxx
+ θ
x
+ u
t
.
Logo, tem-se que a afirma¸c˜ao em (3.46) ´e verdadeira
Usando o Lema 3.3 motra-se, efetivamente, que u
t
(x, 0) = u
1
(x) para todo x ∈]0, L[.
De fato, sendo u
tt
∈ L
2
(0, T ; H
−2
(0, L)) e D(0, T ) denso em L
2
(0, T ) tem-se
T
0
u
tt
(t), wϕ(t)dt = u
tt
, ϕ, w = −
T
0
(u
t
(t), w)ϕ
(t)dt, (3.52)
42
para todo w ∈ H
2
0
(0, L) e para todo ϕ ∈ L
2
(0, T ). Da´ı, de (3.28) com v = wϕ tem-se que
T
0
(u
N
tt
(t), w)ϕ(t)dt = −
T
0
(u
N
t
(t), w)ϕ
(t)dt −→ −
T
0
(u
t
(t), w)ϕ
(t)dt. (3.53)
Procedendo como no item (a), letras (i) e (ii) mostra-se, para γ ∈ C
1
([0, T ]; R) com
γ(0) = 1 e γ(T ) = 0, que
(u
t
, w)γ e
d
dt
[(u
t
, w)γ] ∈ L
2
(0, T ; R).
Portanto, pela Proposi¸c˜ao 2.37 tem-se (u
t
, w)γ ∈ C
0
([0, T ]; R). Assim, a identidade
T
0
d
dt
[(u
t
(t), w)γ(t)]dt = (u
t
(T ), w)γ(T ) − (u
t
(0), w)γ(0),
est´a bem definida. Da´ı, e da defini¸c˜ao de γ, tem-se
−(u
t
(0), w) = (u
t
(T ), w)γ(T ) − (u
t
(0), w)γ(0) =
T
0
d
dt
[(u
t
(t), w)γ(t)]dt
=
T
0
u
tt
(t), wγ(t)dt +
T
0
(u
t
(t), w)γ
(t)dt.
(3.54)
Note que
T
0
(u
N
tt
(t), w)γ(t)dt = (u
N
t
(t), w)γ(t)
T
0
−
T
0
(u
N
t
(t), w)γ
(t)dt
= −(u
N
t
(0), w) −
T
0
(u
N
t
(t), w)γ
(t)dt.
Ou seja,
−(u
N
t
(0), w) =
T
0
(u
N
tt
(t), w)γ(t)dt +
T
0
(u
N
t
(t), w)γ
(t)dt.
Tomando o limite N → ∞ na identidade acima e usando (3.52)-(3.54), obt´em-se
(u
N
t
(0), w) −→ (u
t
(0), w) para todo w ∈ H
2
0
(0, L). (3.55)
Por outro lado, tem-se, em particular, de (3.10) que
(u
N
t
(0), w) −→ (u
1
, w) para todo w ∈ H
2
0
(0, L) ⊂ L
2
(0, L). (3.56)
Portanto, de (3.55), (3.56) e unicidade do limite, resulta que
(u
t
(0) − u
1
, w) = 0 para todo w ∈ H
2
0
(0, L).
43
Em particular, a identidade acima ´e v´alida para todo ϕ ∈ D(0, L). Assim,
L
0
(u
t
(x, 0) − u
1
(x))φ(x)dx = 0 para todo ϕ ∈ D(0, L).
Da´ı, e do Lema de Du Bois Raymond 2.16, tem-se que
u
t
(x, 0) = u
1
(x) q. s. em [0, L]
(c) Temperatura inicial das oscila¸c˜oes da viga: θ(x, 0) = θ
0
(x) q. s. em ]0, L[.
Inicialmente, mostra-se que
θ
t
∈ L
2
(0, T ; H
−1
(0, L)). (3.57)
De fato, procedento de modo similar ao feito no item (b) precedente, define-se as seguintes
distribui¸c˜oes:
(i)
θ
t
: D(0, T ) −→ H
−1
(0, L) tal que
θ
t
, ϕ, v = −
T
0
(θ(t), v)ϕ
(t)dt para todo v ∈ H
1
0
(0, L). (3.58)
(ii) θ
xx
: D(0, T ) −→ H
−1
(0, L) tal que
θ
xx
(t), ϕ, v = −
T
0
(θ
x
(t), v
x
)ϕ(t)dt para todo v ∈ H
1
0
(0, L). (3.59)
(iii) u
xt
: D(0, T ) −→ H
−1
(0, L) tal que
u
xt
, φ, v = −
(u
t
(t), v
x
)ϕ(t)dt para todo v ∈ H
1
0
(0, L). (3.60)
Portanto, usando as distribui¸c˜oes definidas em (3.58)-(3.60) tem-se que a equa¸c˜ao
(1.2)
2
´e identificada `a equa¸c˜ao
θ
t
, ϕ, v = F, ϕ, v para todo ϕ ∈ D(0, T ) e para todo v ∈ H
1
0
(0, L),
onde F : D(0, T ) −→ H
−1
(0, L) ´e dada por
F =
θ
xx
− u
xt
.
Logo, tem-se que a afirma¸c˜ao em (3.57) ´e verdadeira
44
Finalmente, mostra-se que θ(x, 0) = θ
0
(x) q. s. em ]0, L[. A demonstra¸c˜ao ´e feita
seguindo id´eias similares ao do item (b). Com efeito, de (3.10) obt´em-se que
(θ
N
(0), w) −→ (θ
0
, w) para todo w ∈ H
1
0
(0, L). (3.61)
Por outro lado, tomando w ∈ H
1
0
(0, L) e η ∈ C
1
([0, T ]; R) com η(0) = 1, η(T ) = 0 e
integrando por partes a integral a seguir, tem-se
T
0
(θ
N
t
(t), w)η(t)dt = (θ
N
(t), w)η(t)
T
0
−
T
0
(θ
N
(t), w)η
(t)dt
= −(θ
N
(0), w) −
T
0
(θ
N
(t), w)η
(t)dt.
Assim,
−(θ
N
(0), w) =
T
0
(θ
N
t
(t), w)η(t)dt +
T
0
(θ
N
(t), w)η
(t)dt. (3.62)
Como θ ∈ L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)) e u
t
∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)), ent˜ao
(θ, w)η ∈ L
2
(0, T ; R) e
d
dt
((θ, w)η) = (u
t
, w)η + (θ, w)η
∈ L
2
(0, T ; R).
Portanto,
(θ, w)η ∈ C
0
([0, T ]; R),
e assim, a identidade
T
0
d
dt
[(θ(t), w)η(t)]dt = (θ(T ), w)η(T ) − (θ(0), w)η(0)
,
´e v´alida. Logo,
−(θ(0), w) = (θ(T ), w)η(T ) − (θ(0), w)η(0) =
T
0
d
dt
[(θ(t), w)η(t)]dt
=
T
0
(θ
t
(t), w)η(t)dt +
T
0
(θ(t), w)η
(t)dt.
(3.63)
Mostre-se, agora, que
T
0
(θ
N
t
(t), w)η(t)dt −→
T
0
(θ
t
(t), w)η(t)dt. (3.64)
De fato, de (3.57) e da densidade de D(0, T ) em L
2
(0, T ), tem-se
T
0
θ
t
(t), wη(t)dt = −
T
0
(θ(t), w)η
(t)dt,
45
para todo η ∈ D(0, T ) e para todo w ∈ H
1
0
(0, L). Da´ı, e tomando em (3.28) v = wη,
tem-se que
T
0
(θ
N
t
(t), w)η(t)dt = −
T
0
(θ
N
(t), w)η
(t) −→ −
T
0
(θ(t), w)η
(t)dt. (3.65)
Da´ı, e da identidade precedente conclui-se (3.64)
Portanto, tomando o limite N → ∞ e observando (3.62)-(3.65), tem-se
(θ
N
(0), w) −→ (θ(0), w) para todo w ∈ H
1
0
(0, L). (3.66)
Logo, de (3.61), de (3.66) e da unicidade do limite, resulta
(θ(0) − θ
0
, w) = 0 para todo w ∈ H
1
0
(0, L).
Da´ı, e do Lema de Du Bois Raymond 2.16, tem-se que
θ(x, 0) = θ
0
(x) q. s. em [0, L]
3.1.6 Estabilidade assint´otica das solu¸c˜oes fracas
Mostra-se, aqui, que a energia associada as solu¸c˜oes estabelecidas no Teorema 3.2
decai exponencialmente quando o tempo t torna-se muito grande.
Como a dualidade u
tt
, u
t
nem sempre faz sentido, ser´a mostrado, primeiro, que
a energia associada ao problema aproximado (3.8) decai exponencialmente. Devido as
estimativas estabelecidas em (3.21) mostra-se-`a esta mesma propriedade para a energia
associada ao sistema (1.2). De fato, mostra-se o seguinte resultado:
Teorema 3.4. Assumindo o Teorema 3.2, a hip´otese estabelecida em (3.3), a energia do
sistema (1.2) dada por
E(t) =
1
2
|u
t
(t)|
2
+
M
|u
x
(t)|
2
+ |u
xx
(t)|
2
+ |θ(t)|
2
, (3.67)
satisfaz
E(t) ≤ CΛ exp (−µ t) para todo t ≥ 0, (3.68)
onde µ, C s˜ao contantes reais positivas definidas em (3.72), (3.76), respectivamente e
Λ = E(0) =
1
2
|u
1
|
2
+
M
|u
0x
|
2
+ |u
0xx
|
2
+ |θ
0
|
2
. (3.69)
Note que a energia aproximada est´a definida em (3.18). E, de (3.17) tem-se
d
dt
E
N
(t) = −|u
N
t
(t)|
2
− |θ
N
x
(t)|
2
.
(3.70)
Al´em disso, note que, as convergˆencias em (3.10) e as hip´oteses (3.2) e (3.3) permitem
concluir que E
N
(0) converge para a constante Λ, definida em (3.69), quando N → ∞.
46
Demonstra¸c˜ao - Para simplificar a nota¸c˜ao denota-se, da aqui em diante, E(t) em vez
de E
N
(t). Seja ε um n´umero real positivo e considera-se a seguinte energia perturbada
E
ε
(t) = E(t) + ερ(t) com ρ(t) = (u
t
(t), u(t)). (3.71)
O pr´oximo passo ´e estimar a fun¸c˜ao ρ. De fato, usando as desigualdades de Cauchy-
Schwartz, de Young e de Poincar´e, tem-se
|ρ(t)| ≤ |u
t
(t)||u(t)| ≤
1
2
|u
t
(t)|
2
+
1
2
|u(t)|
2
≤
1
2
|u
t
(t)|
2
+
L
4
2
|u
xx
(t)|
2
≤
1
2
|u
t
(t)|
2
+
1
2
M
|u
x
(t)|
2
+
L
4
2
|u
xx
(t)|
2
+
1
2
|θ(t)|
2
≤ max{1, L
4
}E(t).
Assim, de (3.71) resulta
|E
ε
(t) − E(t)| = ε|ρ(t)| ≤ εC
0
E(t) com C
0
= max{1, L
4
}.
Da´ı, tem-se que −εC
0
E(t) ≤ E
ε
(t) − E(t) ≤ εC
0
E(t) e portanto
(1 − εC
0
)E(t) ≤ E
ε
(t) ≤ (1 + εC
0
)E(t). (3.72)
O pr´oximo paso ´e estimar ρ
(t) em fun¸c˜ao de E(t). De fato,
ρ
(t) = (u
tt
(t), u(t)) + (u
t
(t), u
t
(t)) = (u
tt
(t), u(t)) + |u
t
(t)|
2
.
Substitindo u
tt
por M
|u
x
(t)|
2
u
xx
(t) − u
xxxx
(t) − θ
x
(t) − u
t
, resulta
ρ
(t) =
M
|u
x
(t)|
2
u
xx
(t) − u
xxxx
(t) − θ
x
(t) − u
t
(t), u(t)
+ |u
t
(t)|
2
= M
|u
x
(t)|
2
(u
xx
(t), u(t)) − (u
xxxx
(t), u(t))
−(θ
x
(t), u(t)) − (u
t
(t), u(t)) + |u
t
(t)|
2
.
Integrando por partes as duas primeiras parcelas e usando na primeira a hip´otese (3.3),
tem-se
• M
|u
x
(t)|
2
(u
xx
(t), u(t)) = −M
|u
x
(t)|
2
|u
x
(t)|
2
≤ −
M
|u
x
(t)|
2
;
• − (u
xxxx
(t), u(t)) = −|u
xx
(t)|
2
.
Usando as desigualdades de Cauchy-Schwartz, de Young e a de Poincar´e na terceira e na
quarta parcela, tem-se para δ > 0 que
| − (θ
x
(t), u(t))| ≤ |θ
x
(t)||u(t)| =
1
√
δ
|θ
x
(t)|
√
δ|u(t)| ≤
1
2δ
|θ
x
(t)|
2
+
δ
2
|u(t)|
2
≤
1
2δ
|θ
x
(t)|
2
+
L
4
δ
2
|u
xx
(t)|
2
;
| − (u
t
(t), u(t))| ≤ |u
t
(t)||u(t)| ≤
1
2δ
|u
t
(t)|
2
+
δ
2
|u(t)|
2
≤
1
2δ
|u
t
(t)|
2
+
L
4
δ
2
|u
xx
(t)|
2
;
47
Assim, tem-se
ρ
(t) ≤ −
M
|u
x
(t)|
2
− (1 − L
4
δ)|u
xx
(t)|
2
+
1
2δ
|θ
x
(t)|
2
+
1 +
1
2δ
|u
t
(t)|
2
≤
1 +
1
2δ
|u
t
(t)|
2
−
M
|u
x
(t)|
2
− (1 − L
4
δ)|u
xx
(t)|
2
+
1 +
1
2δ
|θ
x
(t)|
2
.
Da´ı, e de (3.70) tem-se
d
dt
E
ε
(t) =
d
dt
E(t) + ερ
(t) = −|u
t
(t)|
2
− |θ
x
(t)|
2
+ ερ
(t)
≤ −
1 − ε
1 +
1
2δ
|u
t
|
2
− ε
M
|u
x
(t)|
2
−
ε(1 − L
4
δ)|u
xx
(t)|
2
−
1 − ε
1 +
1
2δ
|θ
x
(t)|
2
.
Aplicando a desigualdade Poincar´e: |θ|
2
≤ L
2
|θ
x
|
2
para todo θ ∈ H
1
0
(0, L). Ou seja,
usa-se −|θ
x
|
2
≤ −|θ|
2
/L
2
na ´ultima parcela. Assim,
d
dt
E
ε
(t) ≤ −
1 − ε
1 +
1
2δ
|u
t
(t)|
2
− ε
M
|u
x
(t)|
2
−
ε(1 − L
4
δ)|u
xx
(t)|
2
−
1
L
2
1 − ε
1 +
1
2δ
|θ(t)|
2
= −2
1 − ε
1 +
1
2δ
1
2
|u
t
(t)|
2
− 2ε
1
2
M
|u
x
(t)|
2
−2ε(1 − L
4
δ)
1
2
|u
xx
(t)|
2
−
2
L
2
1 − ε
1 +
1
2δ
1
2
|θ(t)|
2
.
Usando e sendo
0 < ε = min
1
C
0
,
1
1 + 1/2δ
com 0 < δ <
1
L
4
e C
0
= max{1, L
4
}, (3.73)
tem-se que o n´umero real
µ = min
2
1 − ε
1 +
1
2δ
, 2ε, 2ε(1 − L
4
δ),
2
L
2
1 − ε
1 +
1
2δ
, (3.74)
´e positivo. Portanto, obt´em-se
d
dt
E
ε
(t) ≤ −µE(t)
Multiplicando esta desigualdade por exp(−µ t), tem-se
d
dt
{E
ε
(t) exp(−µ t)} ≤ 0.
48
Integrando de 0 a t, resulta
E
ε
(t) ≤ E
ε
(0) exp(−µ t) para todo t ≥ 0. (3.75)
Por outro lado, de (3.73) tem-se que 1 − εC
0
> 0, e assim, de (3.72) resulta
E(t) ≤
1
1 − εC
0
E
ε
(t) e E
ε
(0) ≤ (1 + εC
0
)E(0). (3.76)
Portanto, de (3.75), (3.76) e retornando `a nota¸c˜ao do sistema aproximado, tem-se
E
N
(t) ≤ CE
N
(0) exp(−µ t) para todo t ≥ 0, (3.77)
onde
C =
1 + εC
0
1 − εC
0
.
A pr´oxima tarefa ´e justificar que (3.77), tamb´em, vale para E(t). De fato, inicialmente,
note que, das convergˆencias mostrou-se na Se¸c˜ao 3.3, entre outras convergˆencias, que
u
N
t
u
t
em L
2
(0, T ; L
2
(0, L)),
u
N
xx
u
xx
em L
2
(0, T ; L
2
(0, L)),
θ
N
θ em L
2
(0, T ; L
2
(0, L)),
M
u
N
x
(t)
2
→
M
|u
x
(t)|
2
em L
2
(0, T ; R).
Da´ı, e da semi-continuidade inferior da norma com respeito a convergˆencia fraca, veja
Proposi¸c˜ao 2.4, tem-se
|u
t
|
2
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
≤ lim inf
N→∞
u
N
t
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
,
|u
xx
|
2
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
≤ lim inf
N→∞
u
N
xx
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
,
|θ|
2
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
≤ lim inf
N→∞
θ
N
L
2
(0,T ;L
2
(0,L))
,
M(|u
x
(t)|
2
)
2
L
2
(0,T ;R)
≤ lim inf
N→∞
M(|u
N
x
(t)|
2
)
L
2
(0,T ;R)
.
(3.78)
Tomando o lim inf
N→∞
em (3.77), usando (3.69), (3.78) e o fato que
lim inf
N→∞
T
N
+ lim inf
N→∞
F
N
≤ lim inf
N→∞
(T
N
+ F
N
),
obt´em-se (3.68)
49
3.2 Solu¸c˜oes fortes e unicidade de solu¸c˜oes
Mostra-se, nesta se¸c˜ao, que o sistema (1.2) tˆem solu¸c˜oes fortes n˜ao locais {u, θ} desde
que as seguintes hip´otese sejam assumidas:
u
0
∈ H
2
0
(0, L) ∩ H
4
(0, L) , u
1
∈ H
2
0
(0, L) e θ
0
∈ H
2
0
(0, L) ; (3.79)
M ∈ C
1
(R
+
; R) e M(λ) ≥ 0. (3.80)
O conceito de solu¸c˜oes forte n˜ao local para o problema (1.2) ´e dado por:
Defini¸c˜ao 3.5. Uma solu¸c˜ao forte n˜ao local do problema (1.2) ´e um par de fun¸c˜oes
{u, θ} definido em Q =]0, L[×[0, T [ com valores reais tal que
u ∈ L
∞
(0, T ; H
2
0
(0, L) ∩ H
4
(0, L)), u
t
∈ L
∞
(0, T ; H
2
0
(0, L)),
u
tt
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(0, L)),
θ ∈ L
∞
(0, T ; H
2
0
(0, L)), θ
t
∈ L
∞
(0, T ; L
2
(0, L)),
(3.81)
para T > 0 fixado, e satisfaz o sistema (1.2) q. s. em Q =]0, L[×]0, T [.
Teorema 3.6. Assumindo-se as hip´oteses em (3.79) e (3.80), ent˜ao existe pelo menos
uma solu¸c˜ao {u, θ} de (1.2) no sentido da Defini¸c˜ao 3.5.
Demonstra¸c˜ao - Novamente, usa-se o m´etodos de Faedo-Galerkin e de Compacidade.
Contudo, considera-se as regularidades em (3.79) sobre os dados iniciais. Assim, tem-se
u
N
0
(x) −→ u
0
(x) em H
2
0
(Ω) ∩ H
4
(Ω), u
N
1
(x) −→ u
1
(x) em H
2
0
(Ω),
θ
N
0
(x) −→ θ
0
(x) em H
2
0
(Ω).
(3.82)
Para atingir o objetivo desta se¸c˜ao ´e necess´ario mais uma estimativa. Ou seja, obter
estimativas para as fun¸c˜oes: u
N
tt
, u
N
xxxx
, θ
N
t
e θ
N
xx
em L
∞
(0, T ; L
2
(Ω)) .
Como no caso das solu¸c˜oes fracas escreve-se u e θ em vez de u
N
e θ
N
. Inicialmente,
determina-se as seguintes limita¸c˜oes:
Limita¸c˜oes de: u
N
tt
(x, 0) e θ
N
t
(x, 0) - Tomando t = 0, φ
j
= u
tt
(x, 0) e φ
j
=
θ
t
(x, 0) em (3.8)
1
e (3.8)
2
, respectivamente, resulta
|u
tt
(0)|
2
≤
M
|u
0x
|
2
|u
0xx
| + |u
0xxxx
| + |θ
0x
| + |u
1
|
|u
tt
(0)|,
|θ
t
(0)|
2
≤ [|θ
0xx
| + |u
1x
|] |θ
t
(0)|.
50
Portanto,
|u
tt
(0)| ≤ M
|u
0x
|
2
|u
0xx
| + |u
0xxxx
| + |θ
0x
| + |u
1
|,
|θ
t
(0)| ≤ |θ
0xx
| + |u
1x
|.
Da´ı, e das convergˆencias em (3.82) e hip´otese (3.80), tem-se
u
N
tt
(x, 0)
e
θ
N
t
(x, 0)
s˜ao limitadas em L
2
(0, L). (3.83)
Para obter a pr´oxima estimativa usa-se, al´em de (3.83), uma limita¸c˜ao estabelecida
em (3.20), isto ´e
|u
N
xx
(t)|
2
≤ C para todo t ≥ 0.
(3.84)
Estimativa II. Derivando (3.8)
1
, (3.8)
2
com respeito a t e substituindo φ
j
= u
tt
e
φ
j
= θ
t
, respectivamente, produz
(u
ttt
(t), u
tt
(t)) + (u
xxt
(t), u
xxtt
(t)) + (θ
xt
(t), u
tt
(t)) + (u
tt
(t), u
tt
(t)) =
M
|u
x
(t)|
2
(u
xxt
(t), u
tt
(t)) + 2M
|u
x
(t)|
2
(u
xt
(t), u
x
(t)) (u
xx
(t), u
tt
(t)) ,
(θ
tt
(t), θ
t
(t)) + (θ
xt
(t), θ
xt
(t)) + (u
xtt
(t), θ
t
(t)) = 0.
(3.85)
Modifica-se, agora, cada parcela de (3.85). De fato, note inicialmente que, integrando
por partes e usando (3.82), tem-se
(θ
xt
(t), u
tt
(t)) + (u
xtt
(t), θ
t
(t)) = 0.
Da´ı, reescreve-se (3.85) como segue
1
2
d
dt
|u
tt
(t)|
2
+ |u
xxt
(t)|
2
+ |θ
t
(t)|
2
+ |θ
xt
(t)|
2
+ |u
tt
(t)|
2
=
M
|u
x
(t)|
2
(u
xxt
(t), u
tt
(t)) + 2M
|u
x
(t)|
2
(u
xt
(t), u
x
(t)) (u
xx
(t), u
tt
(t)) .
(3.86)
De (3.84) e desigualdade de Poincar´e, tem-se
|u
N
(t)|
2
≤ L
2
|u
N
x
(t)|
2
≤ L
4
|u
N
xx
(t)|
2
≤ C para todo t ≥ 0.
(3.87)
Usando as desigualdades de Cauchy-Shwartz e Young e (3.87) tem-se
M
|u
x
(t)|
2
(u
xxt
(t), u
tt
(t))
R
≤
K
0
2
|u
tt
(t)|
2
+ |u
xxt
(t)|
2
, (3.88)
51
onde K
0
= sup
0≤λ≤C
M(λ). Al´em disso,
2M
|u
x
(t)|
2
(u
xt
(t), u
x
(t)) (u
xx
(t), u
tt
(t))
R
=
−2M
|u
x
(t)|
2
(u
xxt
(t), u(t)) (u
xx
(t), u
tt
(t))
R
≤
K
1
|u
xxt
(t)||u(t)||u
xx
(t)||u
tt
(t)| ≤
K
1
C
2
|u
tt
(t)|
2
+ |u
xxt
(t)|
2
,
(3.89)
onde K
1
= 2 sup
0≤λ≤C
|M
(λ)|
R
.
Inserindo (3.88) e (3.89) em (3.87) obt´em-se
1
2
d
dt
|u
tt
(t)|
2
+ |u
xxt
(t)|
2
+ |θ
t
(t)|
2
+ |θ
xt
(t)|
2
+ |u
tt
(t)|
2
≤
K
|u
xxt
(t)|
2
+ |u
tt
(t)|
2
≤
K
|u
tt
(t)|
2
+ |u
xxt
(t)|
2
+ |θ
t
(t)|
2
,
onde K = (K
0
+ K
1
C)/2 e K = max{K, 1}. Integrando a desigualdade precedente, de
0 a t, resulta
|u
tt
(t)|
2
+ |u
xxt
(t)|
2
+ |θ
t
(t)|
2
+ 2
t
0
|θ
xs
(s)|
2
+ |u
ss
(s)|
2
ds ≤
|u
tt
(0)|
2
+ |u
xx1
|
2
+ |θ
t
(0)|
2
+ 2K
t
0
|u
ss
(s)|
2
+ |u
xxs
(s)|
2
+ |θ
s
(s)|
2
ds.
Usando (3.79) e (3.83) conclui-se que existe uma constante C > 0, independente de N,
tal que
|u
tt
(0)|
2
+ |u
xx1
|
2
+ |θ
t
(0)|
2
≤ C.
Portanto,
|u
tt
(t)|
2
+ |u
xxt
(t)|
2
+ |θ
t
(t)|
2
+ 2
t
0
|θ
xs
(s)|
2
+ |u
ss
(s)|
2
ds ≤
C + 2K
t
0
|u
ss
(s)|
2
+ |u
xxs
(s)|
2
+ |θ
s
(s)|
2
ds,
Aplicando o Lema de Gronwall 2.36, resulta
|u
tt
(t)|
2
+ |u
xxt
(t)|
2
+ |θ
t
(t)|
2
+ 2
T
0
|θ
xt
(t)|
2
+ |u
tt
(t)|
2
dt ≤ C(T ),
(3.90)
onde C(T ) ´e uma constante positiva que depende de T . Da´ı, tem-se
u
N
t
N∈N
´e limitada em L
∞
(0, T ; H
2
0
(0, L)) ;
u
N
tt
N∈N
´e limitada em L
2
(0, T ; L
2
(0, L)) ;
θ
N
t
N∈N
´e limitada em L
∞
(0, T ; L
2
(0, L)) ∩ L
2
(0, T ; H
1
0
(0, L)) .
(3.91)
52
Usando as estimativas (3.21), (3.91) pode-se tomar o limite N → ∞ no sistema aproxi-
mado
(u
N
tt
(t), v) + M
u
N
x
(t)
2
(u
N
x
(t), v
x
) + (u
N
xx
(t), v
xx
) + (θ
N
x
(t), v) + (u
N
t
, v) = 0,
(θ
N
t
(t), v) + (θ
N
x
(t), v
x
) + (u
N
xt
(t), v) = 0,
para todo v ∈ V
N
. Multiplicando ambas equa¸c˜oes pela fun¸c˜ao w ∈ L
2
([0, T ]) e integrando
de 0 a T , obt´em-se
T
0
(u
N
tt
(t), v)w(t)dt +
T
0
M
u
N
x
(t)
2
(u
N
x
(t), v
x
)w(t)dt+
T
0
(u
N
xx
(t), v
xx
)w(t)dt +
T
0
(θ
N
x
(t), v)w(t)dt +
T
0
(u
N
t
, v)w(t)dt = 0,
T
0
(θ
N
t
(t), v)w(t)dt +
T
0
(θ
N
x
(t), v
x
)w(t)dt +
T
0
(u
N
xt
(t), v)w(t)dt = 0.
para todo v ∈ V
N
⊂ H
2
0
(0, L) ∩ H
4
(0, L). Como v ∈ V
N
e w ∈ L
2
([0, T ]), ent˜ao
vw ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)).
Procedendo como na Se¸c˜ao 3.1.3, toma-se o limite N → ∞ no sistema acima. A
diferen¸ca aqui, ´e que gra¸cas as estimativas (3.91)
2
e (3.91)
3
, n˜ao ´e necess´ario integrar as
primeiras integrais das equa¸c˜oes precedentes. Ou seja, obt´em-se subsucess˜oes de (u
N
)
N∈N
e de (θ
N
)
N∈N
, as quais ser˜ao denotadas da mesma forma, tais que
T
0
(u
N
tt
(t), v)w(t)dt −→
T
0
(u
tt
(t), v)w(t)dt,
T
0
(θ
N
t
(t), v)w(t)dt −→
T
0
(θ
t
(t), v)w(t)dt.
(3.92)
Portanto, usando as convergˆencias estabelecidas na Se¸c˜ao 3.1.3 e a (3.92) no sistema
anterior, obt´em-se
T
0
(u
tt
(t), v)w(t)dt +
T
0
M
|u
x
(t)|
2
(u
x
(t), v
x
)w(t)dt+
T
0
(u
xx
(t), v
xx
)w(t)dt +
T
0
(θ
x
(t), v)w(t)dt +
T
0
(u
t
, v)w(t)dt = 0,
T
0
(θ
t
(t), v)w(t)dt +
T
0
(θ
x
(t), v
x
)w(t)dt +
T
0
(u
xt
(t), v)w(t)dt = 0.
Sendo ζ = vw ∈ L
2
(0, T ; L
2
(0, L)) tem-se, formalmente, que
T
0
u
tt
(t) − M
|u
x
(t)|
2
u
xx
(t) + u
xxxx
(t) + θ
x
(t) + u
t
(t), ζ(t)
dt = 0,
T
0
θ
t
(t) − θ
xx
(t) + u
xt
(t), ζ(t)
dt = 0.
(3.93)
53
As identidades em (3.93) s˜ao verdadeiras, desde que
u
tt
− M
|u
x
|
2
u
xx
+ u
xxxx
+ θ
x
+ u
t
perten¸ca a L
2
(]0, L[×[0, T [),
θ
t
− θ
xx
+ u
xt
perten¸ca a L
2
(]0, L[×[0, T [).
(3.94)
Mais isto ´e fato, pois, devido a resultado de regularidade el´ıptica as equa¸c˜oes
u
xxxx
(x, t) = f(x, t) q. s. para todo t ∈ [0, T [,
θ
xx
(x, t) = g(x, t) q. s. para todo t ∈ [0, T [,
tˆem solu¸c˜oes
u ∈ H
2
0
(0, L) ∩ H
4
(0, L) e θ ∈ H
2
0
(0, L), (3.95)
desde que f (t), g(t) ∈ L
2
(]0, L[). Note que, se
f(x, t) = −u
tt
(x, t) + M
|u
x
(t)|
2
u
xx
(x, t) − θ
x
(x, t) − u
t
(x, t),
g(x, t) = θ
t
(x, t) + u
xt
(x, t),
ent˜ao, das estimativas (3.21), (3.91) e hip´otese (3.80) tem-se que f, g ∈ L
2
(]0, L[×[0, T [).
Portanto, as afirma¸c˜oes em (3.94) s˜ao verdadeiras
Assim, as identidades (3.93) s˜ao, tamb´em, v´alidas para todo ζ ∈ D(]0, L[×[0, T [).
Isto implica que
u
tt
− M
|u
x
|
2
u
xx
+ u
xxxx
+ θ
x
+ u
t
= 0 q. s. Q =]0, L[×[0, T [,
θ
t
− θ
xx
+ u
xt
= 0 q. s. Q =]0, L[×[0, T [.
(3.96)
Finalmente, as regularidades em (3.81) decorrem das estimativas (3.91) e de (3.95). As-
sim, de (3.96) a demonstra¸c˜ao do Teorema 3.6 est´a concluida
3.2.1 Unicidade das solu¸c˜oes fortes
Para obter a unicidade das solu¸c˜oes fortes {u, θ} sup˜oe-se, al´em das hip´oteses (3.79)
e (3.80), que a fun¸c˜ao M seja L− Lipschitz. Ou seja,
|M(λ) − M(ξ)|
R
≤ L|λ − ξ|
R
para todo λ, ξ ∈ R
+
e L > 0.
(3.97)
Assim, prova-se o seguinte resultado:
Teorema 3.7. Assumindo as hip´oteses do Teorema 3.6 e a hip´otese (3.97), ent˜ao existe
uma ´unica solu¸c˜ao {u, θ} de (1.2) no sentido da Defini¸c˜ao 3.5.
54
Demonstra¸c˜ao - Suponha que existem duas solu¸c˜oes do problema (1.2) no sentido da
defini¸c˜ao 3.5, a saber {u
1
, θ
1
} e {u
2
, θ
2
}. Definindo {u, θ} como sendo as diferen¸cas
u = u
1
−u
2
e θ = θ
1
−θ
2
, tem-se para todo T > 0 que o par {u, θ} satisfaz, no sentido
da Defini¸c˜ao 3.5, o seguinte problema
u
tt
(x, t) −
M
|u
1
x
(t)|
2
u
1
xx
(x, t) − M
|u
2
x
(t)|
2
u
2
xx
(x, t)
+
u
xxxx
(x, t) + θ
x
(x, t) + u
t
(x, t) = 0 q. s. em Q,
θ
t
(x, t) − θ
xx
(x, t) + u
xt
(x, t) = 0 q. s. em Q,
u(0, t) = u(L, t) = u
x
(0, t) = u
x
(L, t) = 0 para t ≥ 0,
θ(0, t) = θ(L, t) = 0 para t ≥ 0,
u(x, 0) = 0, u
t
(x, 0) = 0 e θ(x, 0) = 0 em ]0, L[.
(3.98)
A meta, a seguir, ´e mostrar que u = 0 e θ = 0 em [0, T ]. A demonstra¸c˜ao ser´a
feita pelo m´etodo da energia, pois, de (3.81) os produtos (u
tt
(t), u
t
(t)) e (θ
t
(t), θ(t)) em
L
2
(0, L) est˜ao bem definidos. Assim, tomando o produto escalar em L
2
(0, L) de (3.98)
1
com u
t
, de (3.98)
2
com θ, tem-se
(u
tt
(t), u
t
(t)) + (u
xx
(t), u
xxt
(t)) + (θ
x
(t), u
t
(t)) + |u
t
(t)|
2
=
M
|u
1
x
(t)|
2
u
1
xx
(t) − M
|u
2
x
(t)|
2
u
2
xx
(t)
, u
t
(t)
,
(θ
t
(t), θ(t)) + |θ
x
(t)|
2
+ (u
xt
(t), θ(t)) = 0.
Integrando por partes e usando (3.81) tem-se (θ
x
(t), u
t
(t)) + (u
xt
(t), θ(t)) = 0. Assim,
obt´em-se
1
2
d
dt
|u
t
(t)|
2
+ |u
xx
(t)|
2
+ |θ(t)|
2
+ |θ
x
(t)|
2
+ |u
t
(t)|
2
=
M
|u
1
x
(t)|
2
u
1
xx
(t) − M
|u
2
x
(t)|
2
u
2
xx
(t)
, u
t
(t)
.
(3.99)
O termo do segundo membro de (3.99), ´e modificada como segue: adicionando e sub-
traindo M (|u
1
x
(t)|
2
) u
2
xx
, tem-se
M
|u
1
x
(t)|
2
u
1
xx
(t) − M
|u
2
x
(t)|
2
u
2
xx
(t)
, u
t
(t)
=
M
|u
1
x
(t)|
2
u
xx
(t), u
t
(t)
+
M
|u
1
x
(t)|
2
− M
|u
2
x
(t)|
2
u
2
xx
(t), u
t
(t)
.
Usando o fato de que |u
1
x
(t)|
2
≤ C para todo t ∈ [0, T ] (veja regularidade (3.81)) e M ´e
55
L−Lipschitz, obt´em-se via desigualdade de Cauchy-Shwartz, que
M
|u
1
x
(t)|
2
u
1
xx
(t) − M
|u
2
x
(t)|
2
u
2
xx
(t)
, u
t
(t)
R
≤
α |u
xx
(t)||u
t
(t)| + L
|u
1
x
(t)|
2
− |u
2
x
(t)|
2
R
|u
xx
(t)||u
t
(t)|,
onde α = max
0≤λ≤C
M(λ) < ∞. Novamente, usando a regularidade (3.81)) tem-se
|u
1
x
(t)|
2
− |u
2
x
(t)|
2
R
≤ |u
1
x
(t)|
2
+ |u
2
x
(t)|
2
≤ C para todo t ∈ [0, T ].
Portanto,
M
|u
1
x
(t)|
2
u
1
xx
(t) − M
|u
2
x
(t)|
2
u
2
xx
(t)
, u
t
(t)
R
≤ (α + CL) |u
xx
(t)||u
t
(t)|.
Aplicando a desigualdade de Young nesta ´ultima desigualdade e inserindo em (3.99),
obt´em-se
1
2
d
dt
|u
t
(t)|
2
+ |u
xx
(t)|
2
+ |θ(t)|
2
+ |θ
x
(t)|
2
+ |u
t
(t)|
2
≤
α + CL
2
|u
t
(t)|
2
+ |u
xx
(t)|
2
.
Como |θ
x
(t)|
2
+ |u
t
(t)|
2
≥ 0 para todo t ∈ [0, T ] tem-se
1
2
d
dt
|u
t
(t)|
2
+ |u
xx
(t)|
2
+ |θ(t)|
2
≤
α + CL
2
|u
t
(t)|
2
+ |u
xx
(t)|
2
≤ Γ
|u
t
(t)|
2
+ |u
xx
(t)|
2
+ |θ(t)|
2
,
onde
Γ = max
α + CL
2
, 1
.
Aplicando o lema de Gronwall 2.35 (forma diferencial), resulta
|u
t
(t)|
2
+ |u
xx
(t)|
2
+ |θ(t)|
2
= 0 para todo t ∈ [0, T ].
Da´ı, tem-se a unicidade de solu¸c˜oes fortes. Ou seja, u = θ = 0 em [0, T ]
3.2.2 Conclus˜oes
1. Para mostrar a unicidade das solu¸c˜oes fracas estabelecidas no Teorema 3.2, o pro-
cesso natural seria aplica as id´eias contidas no trabalho de Ladyzhenskaya-Visik [5],
pois, nem sempre a dualidade u
tt
, u
t
faz sentido, conforme (3.4) e (3.46). Todavia,
devido aos termos que acopl˜ao as equa¸c˜oes (1.2)
1
e (1.2)
2
a t´ecnica introduzida em
[5] n˜ao permite (ou n˜ao consegui-se) determinar a unicidade das solu¸c˜oes fracas de
(1.2).
2. Na se¸c˜ao 3.2 as solu¸c˜oes fortes e unicidade foram obtidas em um intervalo de tempo
[0, T ] para T arbitr´ario e fixo. Portanto, n˜ao faz setido indagar a propriedade de
estabiliza¸c˜ao assint´otica da energia do sistema, quando t → ∞
56
Bibliografia
[1] Biler, P., Remark on the decay for damped string and beam equations, Nonlinear
Analysis TMA, 10 (1986), pp. 839-842.
[2] Br´esis, H., Analise Fonctionnelle. Th´eorie et applications. DUNOD, Paris (1999).
[3] Clark, M. R., Clark, H. R. e Marinho, A. O., , On a coulped linear system with
homogeneous damping, Applied Mathematical Sciences, vol. 2, no. 14, (2008), pp.
679-699.
[4] Henry, D., Lopes, O., Perisinotto, A., Linear thermoelasticity: asymptotic stability
and essential spectrum, Nonlinear Analysis, Theory & Applications, vol. 21, 1(1993),
pp. 65-75.
[5] Ladyzhenskaia, O. A., & Visik, M. I., Boundary value problems for partial differential
equations and certain classes of operator equations, A.M.S. Translations Series 2, 10
(1958), pp. 223-281.
[6] Lions, J. L., Quelques M´ethodes de R´esolutions des Probl`emes aux Limites non
Lin´eaires. Dunod Gauthier-Villars, Paris, (1969).
[7] Coddington, E. A., An Introduction to Ordinary Equations, Dover publications. INC,
New York, (1993).
[8] Medeiros, L. A., On a new class of nonlinear wave equations, Journal of Mathemat-
ical Analysis and Applications, 69 (1979), pp. 252-262.
[9] Medeiros, L. A. & Milla, M. M., Espa¸cos de Sobolev (Inicia¸c˜ao aos Problemas El´ıticos
n˜ao Homogˆeneos). Instituto de Matem´atica - UFRJ, Rio de Janeiro (2000).
[10] Pereira, D. C., Existence, uniqueness and asymptotic behavior for solutions of the
nonlinear beam equation, Nonlinear Analysis, 8 (1990), pp. 613-623.
57
[11] Scott H. W., Exponential energy decay in linear thermoelastic rod , Journal of Math.
Analysis and Applications, vol. 167, (1992), pp. 429-442.
[12] Woinwsky-Krieger, S., The effect of axial force on the vibration of hinged bars, Jour-
nal of Applied Mechanics, 17 (1950), pp. 35-36.
58
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