( PDF ) Amplitudes de Susceptibilidade para o Ponto de Lifshitz M-Axial

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Dedico este trabalho `a mem´oria de minha tia, Maria Jos´e

Ferreira de Melo.

AGRADECIMENTOS

Agrade¸co primeiramente a meus pais pelo dedica¸c˜ao, amor e por priorizarem a minha

educa¸c˜ao. Aos meus irm˜aos pelo carinho e inspira¸c˜ao ao meu trabalho. Eles n˜ao sabem

o quanto os admiro. A Sachiko, pelo cuidado e dedica¸c˜ao que tem me dado.

Agrade¸co ao meu orientador, o professor Marcelo Leite, pela dedica¸c˜ao, paciˆencia

e apoio quase incondicionais e pelo exemplo de trabalho e honestidade que tanto con-

tribu´ıram para minha forma¸c˜ao proﬁssional e moral.

Aos meus colegas do DF: Messias Vilbert, Tiago Nunes, Douglas Lacerda, Rebeca

Cabral, Camila Ferreira, Eglˆanio, Daniele Marques, Rafael Alves e Dibartolomei Lima

pela amizade e coleguismo. Em especial, ao F´abio Rodrigo por me acompanhar todos

esse anos.

Ao professor L´ucio Acioli, por me apoiar na t˜ao complicada fase inicial de meus

estudos.

Ao colega e amigo Jos´e Borba pelas horas de estudo, apoio e exemplo que tem me

dado.

Aos colegas Marcone Sena e F´abio Novaes pela grande amizade que temos. Por

trabalharmos e andarmos juntos todos esses anos. Pelo apoio, compreens˜ao, carinho,

inteligˆencia e bondade.

Aos amigos Beto, Kl´eber e Carlinhos por terem come¸cado toda esta hist´oria comigo.

Aos amigos Bernardo, Maria Elaine, Adriana Rito, Bruna, Deiverson, Bruno Beck-

man, Dinaldo, Felipe Lemos, Jaqueline, Nat´alia, Cl´ecio, Carlos Vin´ıcius, Carlos Estˆev˜ao,

Edgreyce, Adriano, Andresa, Cintia, Poliana e Cris pela aventura da ´ultima d´ecada, a

qual se encerra com este trabalho.

Agrade¸co aos colegas Eglˆanio, F´abio Novaes, Priscila, Gerson e Pl´ınio pelas dicas

referentes a compila¸c˜ao deste texto.

Por ﬁm, agrade¸co a Capes pelo apoio ﬁnanceiro.

A fala humana ´e como uma chaleira rachada em que batemos ritmos

grosseiros para os ursos dan¸carem enquanto ansiamos por produzir uma

m´usica que derreta as estrelas.

—GUSTAVE FLAUBERT

RESUMO

Neste trabalho, calculamos a raz˜ao entre as amplitudes da susceptibilidade acima e

abaixo da temperatura cr´ıtica associada ao ponto de Lifshitz m-axial. Obtemos resultados

at´e primeira ordem na expans˜ao no n´umero de loops. Mostramos que o valor da raz˜ao

entre as amplitudes para o caso anisotr´opico generaliza o resultado conhecido para o caso

m = 1. A raz˜ao para o caso isotr´opico foi obtida pela primeira vez. Os resultados obtidos

s˜ao universais.

Palavras-chave: Susceptibilidade; Ponto de Lifshitz.

ABSTRACT

In this work, we calculate the ratio between the susceptibility amplitudes above and

below the critical temperature associated with the m-axial Lifshitz point. We get results

to ﬁrst order in the perturbative loop expansion. We show that the ratio value between

the amplitudes for the anisotropic case generalizes the known result for the m = 1 case.

The ratio for the isotropic case was obtained for the ﬁrst time. The obtained results are

shown to be universal.

Keywords: Susceptibility; Lifshitz point.

vii

SUM

ARIO

Cap´ıtulo 1—Introdu¸c˜ao 1

Cap´ıtulo 2—Fenˆomenos Cr´ıticos e Teoria de Campos 10

2.1 Representa¸c˜ao do modelo de Ising em termos de integrais funcionais . . . 11

2.2 Fun¸c˜oes de v´ertice e o potencial efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Divergˆencias na teoria φ

e renormaliza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 O ponto de Lifshitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Grupo de Renormaliza¸c˜ao para Sistemas Competitivos . . . . . . . . . . 35

Cap´ıtulo 3—Amplitudes cr´ıticas para pontos de Lifshitz m-axiais 42

3.1 O potencial efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 O caso anisotr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.2 O caso isotr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Susceptibilidade para o caso anisotr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Susceptibilidade para o caso Isotr´opico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Cap´ıtulo 4—Conclus˜ao 55

viii

LISTA DE FIGURAS

1.1 Simula¸c˜ao computacional para um modelo de Ising em duas dimens˜oes:

acima da temperatura cr´ıtica, os estados (a) e (b) s˜ao desordenados. Em

(c), T = T

. Dom´ınios magn´eticos de ordens de grandeza microsc´opicas

at´e o tamanho da amostra s˜ao permitidos. A magnetiza¸c˜ao ´e nula. Abaixo

de T

, dom´ınio maiores tomam forma e o sistema exibe uma magnetiza¸c˜ao

diferente de zero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Forma¸c˜ao de bolhas na transi¸c˜ao l´ıquido-g´as . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Diagrama de fases para o modelo de Ising. Este diagrama apresenta duas

fases: ferromagn´etica e paramagn´etica. A magnetiza¸c˜ao vai a zero conti-

nuamente no ponto cr´ıtico T

, denominado ponto de Curie . . . . . . . . 5

2.1 Exemplos de diagramas de Feynman para a teoria φ

. . . . . . . . . . . . 19

2.2 Diagrama de fases para sistemas que exibem comportamento cr´ıtico do tipo

Lifshitz. Trˆes fases s˜ao identiﬁcadas na vizinhan¸ca do ponto de Lifshitz:

ferromagn´etica, paramagn´etica e modulada. A linha preenchida representa

uma transi¸c˜ao de fase de segunda ordem. A linha tracejada representa a

transi¸c˜ao de fase de primeira ordem entre as fases ferromagn´etica e modu-

lada. Estas linhas se encontram no ponto de Lifshitz. . . . . . . . . . . . 31

3.1 Na deﬁni¸c˜ao do potencial efetivo, todos diagramas da ordem de um loop

para qualquer n´umero de v´ertices s˜ao somados. Os momentos externos s˜ao

nulos e pernas externas, representadas pelas linhas tracejadas, s˜ao omitidas. 44

CAP

ITULO 1

INTRODUC¸

Transi¸c˜oes de fase e fenˆomenos cr´ıticos desempenharam, ao longo do tempo, um papel

importante como objeto de estudo das ciˆencias naturais. Isso se deve, por um lado, a

grande aplicabilidade tecnol´ogica do estudo de tais fenˆomenos. De fato, a fundi¸c˜ao de

metais em tempos remotos da hist´oria da civiliza¸c˜ao, o controle dos processos termo-

dinˆamicos durante a revolu¸c˜ao industrial e os recentes desenvolvimentos em eletrˆonica e

na fabrica¸c˜ao de novos materiais s˜ao exemplos de como, em diversas ´epocas, o impacto

desse estudo foi crucial no desenvolvimento da sociedade. Por outro lado, a vasta ri-

queza de abordagens matem´aticas e fenomenol´ogicas pelas quais podemos tratar estes

fenˆomenos forneceram aos cientistas uma desaﬁadora e excitante ´area de estudo.

Diversos sistemas f´ısicos exibem transi¸c˜ao de fase, ou seja, transi¸c˜ao entre diferentes

estados de organiza¸c˜ao da mat´eria com propriedades f´ısicas diferentes. S˜ao not´aveis tanto

as particularidades quanto as propriedades gerais comuns a tais sistemas quando pr´oximos

`a transi¸c˜ao. Ao longo dos anos, variadas formas de classiﬁca¸c˜ao das transi¸c˜oes de fase

foram propostas. Na classiﬁca¸c˜ao atual, consideramos dois tipos gerais de transi¸c˜oes.

Para transi¸c˜oes de fase de primeira ordem quantidades como entropia e densidade da

substˆancia, que s˜ao derivadas da energia livre, s˜ao descont´ınuas na transi¸c˜ao. As cha-

madas transi¸c˜oes de fase de segunda ordem s˜ao aquelas nas quais derivadas primeiras da

energia livre variam de forma cont´ınua quando o sistema muda de fase. Neste caso deri-

vadas de ordens superiores n˜ao s˜ao necessariamente cont´ınuas. Quantidades como calor

espec´ıﬁco, susceptibilidade e comprimento de correla¸c˜ao, que s˜ao derivadas segundas da

energia livre, divergem na transi¸c˜ao e, em geral, possuem valores de amplitude diferentes

para as diferentes fases pr´oximas a transi¸c˜ao.

As transi¸c˜oes de fase mais conhecidas talvez sejam as transi¸c˜oes da ´agua entre as fases

s´olida, l´ıquida e gasosa. Mais simples, por´em dotadas de propriedades interessantes, s˜ao

as transi¸c˜oes de fase associadas ao comportamento de ferromagnetos descrito pelo modelo

INTRODUC¸

AO 2

de Ising [1], que ser´a ´util na descri¸c˜ao tanto de sistemas competitivos quanto de sistemas

n˜ao competitivos. E. Ising obteve solu¸c˜ao exata para o caso unidimensional. O caso

bidimensional teve solu¸c˜ao exata proposta por L. Onsager [2] considerando a ausˆencia de

campo externo.

O modelo de Ising consiste em um modelo de spins que interagem entre si atrav´es

de intera¸c˜oes quˆanticas de troca.

Atomos com spin resultante diferente de zero s˜ao

localizados em pontos de uma rede de d dimens˜oes denominados s´ıtios. A cada s´ıtio

associamos uma vari´avel de spin que pode assumir os valores ±1. A distˆancia entre

s´ıtios mais pr´oximos ´e chamada parˆametro de rede e somente intera¸c˜oes entre os spins

destes s´ıtios, denominados primeiros vizinhos, s˜ao consideradas. A contribui¸c˜ao para

Hamiltoniana desta intera¸c˜ao, ´e da forma

H ∝ −

−→

, ( . )

onde

−→

s˜ao vetores de spin de s´ıtios primeiros vizinhos. A constante de propor-

cionalidade da rela¸c˜ao acima ´e representada pela letra J. Se J > 0, a energia m´ınima

´e obtida quando o produto interno entre S

e S

´e positivo, ou seja, quando os spins

est˜ao alinhados no mesmo sentido. Spins ao longo da rede tendem a se alinhar no mesmo

sentido nesta situa¸c˜ao e dizemos que J > 0 contribui para um estado chamado de fer-

romagn´etico. Se J < 0, os spins se alinham em sentidos opostos e camadas da rede

apresentam uma conﬁgura¸c˜ao de sentidos alternados resultando no estado chamado de

antiferromagn´etico.

Por simplicidade, considere o caso J > 0. Efeitos t´ermicos atuam de maneira cru-

cial na conﬁgura¸c˜ao resultante dos spins neste modelo. Para um n´umero de dimens˜oes

d maior ou igual a dois, sistemas descritos pelo modelo de Ising apresentam transi¸c˜ao

entre uma fase desordenada (acima de uma determinada temperatura cr´ıtica T

) e uma

fase ordenada (abaixo de T

). A ﬁgura 1.1 mostra uma simula¸c˜ao computacional [3] para

este modelo em duas dimens˜oes. Na fase desordenada, efeitos t´ermicos impedem que a

intera¸c˜ao entre os spins os oriente de forma a produzir uma magnetiza¸c˜ao M resultante,

portanto M = 0 (ﬁguras 1.1(a) e 1.1(b)). Diz-se, neste caso, que o sistema exibe compor-

tamento paramagn´etico e possui simetria no sentido de que n˜ao h´a dire¸c˜ao preferencial

na orienta¸c˜ao dos spins. Na fase ordenada, efeitos t´ermicos s˜ao mais fracos, de modo que

INTRODUC¸

AO 3

uma parte consider´avel dos spins se orienta numa dire¸c˜ao, quebrando portanto, a simetria

do estado desordenado. Abaixo de T

, ocorre a forma¸c˜ao de dom´ınios magn´eticos que

apresentam magnetiza¸c˜ao resultante, M = 0 (ﬁguras 1.1(d) e 1.1(e)). A aplica¸c˜ao de

um campo magn´etico externo destr´oi as paredes que separam os dom´ınios fazendo com

que todo o sistema apresente uma magnetiza¸c˜ao macrosc´opica M = 0. Esta situa¸c˜ao

caracteriza o estado ordenado (ordem de longo alcance) ferromagn´etico do sistema. A

magnetiza¸c˜ao ´e mantida mesmo quando o campo externo ´e retirado. Dessa forma, a

magnetiza¸c˜ao ´e tida como uma medida da simetria do sistema e, por isso, ´e chamada de

parˆametro de ordem do sistema.

Figura 1.1 Simula¸c˜ao computacional para um modelo de Ising em duas dimens˜oes: acima

da temperatura cr´ıtica, os estados (a) e (b) s˜ao desordenados. Em (c), T = T

. Dom´ınios

magn´eticos de ordens de grandeza microsc´opicas at´e o tamanho da amostra s˜ao permitidos.

A magnetiza¸c˜ao ´e nula. Abaixo de T

, dom´ınio maiores tomam forma e o sistema exibe uma

magnetiza¸c˜ao diferente de zero.

Para os diversos sistemas f´ısicos que exibem transi¸c˜ao de fase, o parˆametro de ordem

pode ter N componentes. At´e agora, temos considerado o modelo Ising, no qual, como as

INTRODUC¸

AO 4

vari´aveis de spin podem assumir valores que representam sentidos de spin diferentes ao

longo de uma ´unica dire¸c˜ao, o parˆametro de ordem M possui um n´umero de componentes

N = 1. Outros modelos descrevem sistemas magn´eticos com parˆametro de ordem com

um n´umero de componentes maior que 1. No modelo XY , por exemplo, o parˆametro de

ordem ´e deﬁnido em um espa¸co (interno, abstrato) dos campos caracterizado pelo valor

N = 2. J´a o modelo de Heisenberg descreve um sistema com um parˆametro de ordem

com trˆes componentes, N = 3.

No modelo de Ising, o parˆametro de ordem M vai a zero de forma cont´ınua a medida

que T se aproxima de T

, o que caracteriza a transi¸c˜ao como uma transi¸c˜ao de fase de

segunda ordem. A temperatura cr´ıtica T

´e tamb´em chamada de temperatura de Curie e

depende da natureza do material.

No ponto cr´ıtico, sistemas f´ısicos em geral exibem a propriedade da invariˆancia por

escala: o sistema exibe as mesmas propriedades em qualquer escala que for analisado.

Para sistemas magn´eticos, dom´ınios dos mais variados tamanhos, desde os microsc´opicos

at´e aqueles do tamanho da amostra s˜ao observados. A ﬁgura 1.1(c) mostra a conﬁgura¸c˜ao

de um sistema descrito pelo modelo de Ising na temperatura cr´ıtica. Note que dom´ınios

magn´eticos de diversos tamanhos s˜ao exibidos.

Figura 1.2 Forma¸c˜ao de bolhas na transi¸c˜ao l´ıquido-g´as

Invariˆancia por escala ´e uma propriedade comum a diversos sistemas f´ısicos quando se

INTRODUC¸

AO 5

encontram na criticalidade. Na transi¸c˜ao l´ıquido-gas por exemplo, bolhas de g´as e gotas

de l´ıquido apresentam diversos tamanhos (assim como h´a dom´ınios de todos os tamanhos

pr´oximo `a transi¸c˜ao para a fase ferromagn´etica em sistemas magn´eticos), desde aqueles

microsc´opicos at´e da ordem do tamanho da amostra (ﬁgura 1.2). A homogeneidade de

certas fun¸c˜oes termodinˆamicas ´e uma consequˆencia desta propriedade e ´e fundamental

na determina¸c˜ao de quantidades cr´ıticas que caracterizam as transi¸c˜oes.

Alguns potenciais termodinˆamicos exibem um comportamento regular ou singular

como uma fun¸c˜ao da diferen¸ca de temperatura de transi¸c˜ao. O que caracteriza a singu-

laridade do dado potencial termodinˆamico ´e uma grandeza denominada expoente cr´ıtico.

A magnetiza¸c˜ao M, varia com a temperatura da seguinte forma

M ∝ (−t)

, ( . )

onde t =

T −T

. A quantidade β ´e o expoente cr´ıtico associado a transi¸c˜ao. Note que

n˜ao h´a descontinuidade em M se β for positivo. A ﬁgura 1.3 mostra a rela¸c˜ao entre

quantidades M e T .

Figura 1.3 Diagrama de fases para o modelo de Ising. Este diagrama apresenta duas fases:

ferromagn´etica e paramagn´etica. A magnetiza¸c˜ao vai a zero continuamente no ponto cr´ıtico T

denominado ponto de Curie

Para temperaturas pr´oximas `a transi¸c˜ao, descrevemos a varia¸c˜ao da susceptibilidade

INTRODUC¸

AO 6

com a temperatura por

χ ∼ C

−γ

, ( . )

que deﬁne o expoente cr´ıtico γ e as amplitudes C

e C

−

acima e abaixo da temperatura de

transi¸c˜ao, respectivamente. Note que, diferentemente da magnetiza¸c˜ao, a susceptibilidade

diverge para t = 0 e γ > 0. As amplitudes C

e C

−

n˜ao s˜ao necessariamente iguais. H´a,

portanto, uma descontinuidade da susceptibilidade no ponto cr´ıtico. Quantidades como

calor espec´ıﬁco e comprimento de correla¸c˜ao s˜ao deﬁnidos de maneira semelhante, com

respectivos expoentes e amplitudes cr´ıticas; elas tamb´em divergem na transi¸c˜ao.

Grandezas universais n˜ao dependem dos detalhes microsc´opicos do sistema. Elas

dependem apenas do n´umero d de dimens˜oes espaciais do sistema e do n´umero N de

componentes do parˆametro de ordem. Em outras palavras, diferentes modelos em dife-

rentes condi¸c˜oes possuem as mesmas raz˜oes de amplitudes cr´ıticas e os mesmos expoentes

se esses modelos tiverem o mesmo n´umero de componentes do parˆametro de ordem N

e o mesmo n´umero de dimens˜oes d. Dizemos ent˜ao que variados modelos que possuem

os mesmos expoentes e raz˜oes de amplitudes pertencem a uma mesma classe de uni-

versalidade especiﬁcada por (N, d). Em particular, raz˜oes entre amplitudes cr´ıticas (e

expoentes cr´ıticos, dentre outras propriedades de um sistema f´ısico) s˜ao exemplos de

grandezas universais.

A descri¸c˜ao da universalidade para sistemas que exibem transi¸c˜ao de fase se torna

mais complexa quando introduzimos intera¸c˜oes comp etitivas nos modelos que os descre-

vem. Discutiremos agora, modelos que exibem competi¸c˜ao do tipo Lifshitz. O comporta-

mento cr´ıtico de Lifshitz foi inicialmente descrito por Hornreich, Luban e Shtrikman [4,5]

no contexto de sistemas magn´eticos e possui aplica¸c˜oes em v´arios sistemas f´ısicos reais

como, por exemplo, cristais l´ıquidos ferroel´etricos [6–8], supercondutores de alta tempera-

tura [9–11], ferroel´etricos uniaxiais [12], alguns tipos de pol´ımeros [13–16] e de materiais

magn´eticos [17–22]. Por simplicidade, utilizaremos a linguagem de sistemas magn´eticos.

At´e ent˜ao temos considerados modelos que s´o apresentam intera¸c˜oes de troca entre

os primeiros vizinhos. Podemos considerar modelos mais gerais que estes quando inse-

rimos intera¸c˜oes de troca entre segundos vizinhos. Imagine um tipo de modelo de Ising

em que al´em de intera¸c˜oes ferromagn´eticas entre primeiros vizinhos, intera¸c˜oes antifer-

INTRODUC¸

AO 7

romagn´eticas entre segundos vizinhos s˜ao tamb´em permitidas. Seja J

a intera¸c˜ao de

troca entre os primeiros vizinhos e J

a intera¸c˜ao de troca entre os segundos vizinhos. Se

ambos as acoplamentos s˜ao maiores que zero, o sistema deve apresentar um comporta-

mento ferromagn´etico. Propriedades f´ısicas novas e interessantes surgem quando temos

> 0 e J

< 0. Essa ´e uma maneira de introduzirmos competi¸c˜ao entre os estados

ferromagn´etico e antiferromagn´etico.

A maneira mais simples de se introduzir intera¸c˜oes competitivas como descrito acima

´e permitir J

< 0 apenas para uma dire¸c˜ao espacial dentre as d dimens˜oes nas quais

o modelo ´e descrito. O comportamento cr´ıtico do sistema descrito por esse modelo ´e

chamado de comportamento cr´ıtico de Lifshitz uniaxial e ocorre quando a raz˜ao J

possui determinado valor. O modelo que trata deste caso ´e conhecido por modelo ANNNI

(do inglˆes ’axial next-nearest-neighbor Ising’) [23, 24]. Trabalharemos no caso em que

as intera¸c˜oes entre primeiros vizinhos s˜ao idˆenticas em qualquer dire¸c˜ao espacial, haja

competi¸c˜ao entre primeiros vizinhos ou n˜ao. Dizemos ent˜ao que o eixo paralelo `a dire¸c˜ao

espacial em que ocorre competi¸c˜ao na intera¸c˜ao entre primeiros e segundos vizinhos ´e

chamado de eixo competitivo. As demais dire¸c˜oes (d − 1) s´o apresentam a intera¸c˜ao

ferromagn´etica entre primeiros vizinhos.

O diagrama de fases para os sistemas descritos pelo modelo ANNNI apresenta al´em

das j´a conhecidas fases ferromagn´etica e paramagn´etica uma fase modulada. As linhas

que separam estas trˆes fases se encontram num ponto especial onde as fases coexistem.

Este ponto ´e chamado de ponto de Lifshitz e a temperatura do sistema quando este se

encontra no estado especiﬁcado pelo ponto de Lifshitz ´e chamada de temperatura de

Lifshitz (T

Podemos generalizar o modelo ANNNI para o caso que h´a intera¸c˜oes competitivas

ao longo de m dire¸c˜oes espaciais, ou seja, J

tem componentes ao longo destas dire¸c˜oes.

Dizemos ent˜ao que o sistema apresenta comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz m-axial.

E nesta situa¸c˜ao que a complexidade da descri¸c˜ao do comportamento cr´ıtico em termos

de parˆametros universais se manifesta. Para sistemas sem competi¸c˜ao, vimos que classes

de universalidade s˜ao classiﬁcadas pelo n´umero de dimens˜oes d do sistema e pelo n´umero

N de componentes do parˆametro de ordem. Para sistemas com intera¸c˜oes competitivas

ao longo de m dire¸c˜oes espaciais, classes de universalidade s˜ao especiﬁcadas por d, N e

INTRODUC¸

AO 8

m. Em outras palavras: sistemas que apresentam intera¸c˜oes competitivas ao longo de m

dire¸c˜oes espaciais possuem os mesmos expoentes cr´ıticos e as mesmas raz˜oes de amplitudes

acima e abaixo da transi¸c˜ao se tiverem o mesmo n´umero de dimens˜oes, o mesmo n´umero

de componentes do parˆametro de ordem e o mesmo n´umero de dire¸c˜oes espaciais ao longo

das quais ocorrem intera¸c˜oes competitivas. Para o comportamento cr´ıtico de Lifshitz m-

axial deﬁnimos dois casos distintos: aquele em que m < d, denominado anisotr´opico e

aquele em que m = d denominado isotr´opico.

Neste trabalho, estudamos o c´alculo da raz˜ao C

−

entre as amplitudes de suscep-

tibilidade acima e abaixo da temperatura de Lifshitz T

para sistemas que apresentam

comportamento cr´ıtico de Lifshitz m-axial. Para isso, utilizaremos o potencial efetivo

renormalizado calculado at´e a ordem de um loop na expans˜ao diagram´atica como quan-

tidade correspondente `a energia livre de Helmholtz. A susceptibilidade ´e obtida como

segunda derivada desta quantidade em rela¸c˜ao a magnetiza¸c˜ao.

Analogias entre quantidades calculadas em Mecˆanica Estat´ıstica e teoria de campos

desempenham um papel fundamental ao longo de todo este trabalho. No cap´ıtulo 2 fa-

remos uma breve revis˜ao de deﬁni¸c˜oes e conceitos relacionados a esta correspondˆencia.

Discutiremos rapidamente como a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao associada ao modelo microsc´opico

de Ising pode ser escrita em termos de integrais funcionais de campos cont´ınuos. Dis-

cutiremos analogias entre fun¸c˜oes de Green de N pontos e fun¸c˜oes de correla¸c˜ao. In-

troduziremos a id´eia da representa¸c˜ao da expans˜ao perturbativa em termos de integrais

de Feynman. Revisaremos conceitos relacionados a quebra de simetria e como fun¸c˜oes

calculadas em teoria de campos podem ser ´uteis no estudo das propriedades de sime-

tria das transi¸c˜oes de fase. Discutiremos tamb´em como m´etodos de renormaliza¸c˜ao e de

grupo de renormaliza¸c˜ao atuam no estudo de fenˆomenos cr´ıticos. Ainda no cap´ıtulo 2

veremos como t´ecnicas aplicadas ao estudo dos sistemas sem intera¸c˜oes competitivas des-

critos pelo modelo de Ising podem ser adaptadas ao estudo de sistemas que apresentam

comportamento cr´ıtico de Lifshitz m-axial.

No cap´ıtulo 3, construiremos uma express˜ao para o potencial efetivo escrito at´e a

ordem de um loop na expans˜ao diagram´atica, bem como sua forma renormalizada. Tra-

balharemos com o potencial efetivo renormalizado na dedu¸c˜ao da express˜ao para a sus-

ceptibilidade e calcularemos as amplitudes cr´ıticas acima e abaixo da transi¸c˜ao. Proce-

INTRODUC¸

AO 9

dimentos semelhantes, por´em distintos, ser˜ao desenvolvidos para os casos anisotr´opico e

isotr´opico.

No cap´ıtulo 4, discutimos os resultados e conclu´ımos discutindo perspectivas decor-

rentes deste trabalho.

CAP

ITULO 2

FEN

OMENOS CR

ITICOS E TEORIA DE CAMPOS

Transi¸c˜oes de fase em sistemas f´ısicos foram inicialmente estudados sob a inﬂuˆencia

de leis e resultados experimentais da Termodinˆamica. A consolida¸c˜ao da Mecˆanica Es-

tat´ıstica em tempos posteriores acabou por prover uma rica variedade de modelos mi-

crosc´opicos capazes de descrever tais sistemas f´ısicos que apresentam comp ortamento

cr´ıtico.

Em ´epocas mais recentes, tornou-se mais comum a implementa¸c˜ao de ferramentas

matem´aticas usadas em teoria quˆantica de campos para o c´alculo de grandezas que s˜ao

mat´eria de estudo da Mecˆanica Estat´ıstica. De fato, como discutiremos neste cap´ıtulo,

podemos relacionar fun¸c˜oes b´asicas desta ´ultima, como a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao e as fun¸c˜oes

de correla¸c˜ao, a quantidades calculadas em teoria de camp os.

O modelo de Ising ´e um dos modelos mais simples cuja formula¸c˜ao microsc´opica pode

ser levada a uma representa¸c˜ao funcional de campos cont´ınuos. Neste cap´ıtulo, vamos

discutir este modelo e esbo¸car uma argumenta¸c˜ao de sua representa¸c˜ao em termos de

integrais funcionais. Dessa maneira, como em teoria de campos, podemos desenvolver um

tratamento por expans˜oes perturbativas e p ela expans˜ao diagram´atica dos termos dessa

expans˜ao. Faremos uma breve discuss˜ao sobre como fun¸c˜oes de Green e fun¸c˜oes de v´ertice

irredut´ıveis a uma part´ıcula (ou “fun¸c˜oes de v´ertice 1PI”) relacionadas a teoria de campos

s˜ao aplicadas ao estudo da simetria das fases ordenada e desordenada descritas no cap´ıtulo

1. Veremos como t´ecnicas de renormaliza¸c˜ao podem ser aplicadas para extrair inﬁnitos

que aparecem no c´alculo de diversas quantidades de interesse e como a id´eia de grupo

de renormaliza¸c˜ao ´e ´util na descri¸c˜ao do comportamento cr´ıtico. N˜ao ´e nosso objetivo

de maneira alguma, nesta parte, descrever detalhes de dedu¸c˜oes e t´ecnicas envolvidas

no estudo destes temas. Trata-se apenas de uma breve revis˜ao de conceitos e deﬁni¸c˜oes

relacionados ao trabalho desenvolvido. Ao leitor interessado em uma abordagem mais

detalhada ´e recomendado o livro do Amit [25], onde o estudo de sistemas sem competi¸c˜ao

2.1 REPRESENTAC¸

AO DO MODELO DE ISING EM TERMOS DE INTEGRAIS FUNCIONAIS 11

nesta se¸c˜ao foi baseado. Outra referˆencia ´util ´e o livro do Zinn-Justin [26] e o artigo

publicado na s´erie Domb e Green, volume 6 [27].

Por ﬁm, veremos como os mesmos procedimentos usados para o c´alculo de v´arias

grandezas podem ser estendidos de maneira bastante an´aloga para sistemas competitivos.

Descreveremos de maneira sucinta o comportamento cr´ıtico do tipo Lifshitz usando a

linguagem de sistemas magn´eticos. Tamb´em neste caso n˜ao nos prenderemos a detalhes

e o leitor interessado pode consultar a bibliograﬁa recomendada ao longo do texto.

2.1 REPRESENTAC¸

AO DO MODELO DE ISING EM TERMOS DE INTEGRAIS

FUNCIONAIS

Considere, inicialmente, uma rede em d dimens˜oes com pontos denominados s´ıtios. A

situa¸c˜ao mais simples corresponde a uma rede hiperc´ubica em d dimens˜oes. Vamos apoiar

nossa discuss˜ao neste caso lembrando, entretanto, que o resultado obtido ´e independente

do tipo de rede estudada. A cada s´ıtio, associamos uma vari´avel de spin s

que pode

assumir somente os valores s

= ±1. O modelo de Ising ´e um modelo macrosc´opico de

spins na rede que descreve o magnetismo de materiais magn´eticos macrosc´opicos. Ele

consiste na intera¸c˜ao dos spins atrav´es de intera¸c˜oes de troca de natureza quˆantica. A

energia associada a esta conﬁgura¸c˜ao ´e dada por

E{s

} = −



<ij>

−



, ( . )

onde < ij > signiﬁca que a soma ´e feita considerando-se apenas pares de vizinhos

pr´oximos. O termo J

representa a intera¸c˜ao de troca e h

, o campo magn´etico no s´ıtio

i. Valores positivos de J

implicam que o sistema formado por um par de spins vizinhos

mais pr´oximos ter´a menor energia quando estes estiverem alinhados no mesmo sentido.

Neste caso, dizemos que h´a um acoplamento ferromagn´etico entre dois spins. Se J

´e

negativo, o alinhamento em sentidos opostos ´e favorecido e dizemos que o acoplamento ´e

antiferromagn´etico.

Deﬁnimos o peso de Boltzmann para uma dada conﬁgura¸c˜ao {s

} como

P {s

} = exp[−βE{s

}] = exp





<ij>





, ( . )

2.1 REPRESENTAC¸

AO DO MODELO DE ISING EM TERMOS DE INTEGRAIS FUNCIONAIS 12

onde β = (kT )

−1

, K

= βJ

, H

= βh

, k ´e a constante de Boltzman e T , a temperatura

absoluta. Utilizamos ( . ) para deﬁnir a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao:

Z{H

} =



}

exp





<ij>





. ( . )

A fun¸c˜ao Z{H

} gera todas as fun¸c˜oes de correla¸c˜ao do parˆametro de ordem. Por exemplo,

a grandeza

= s



= Z

−1

∂Z

∂H



H=0

, ( . )

´e a magnetiza¸c˜ao m´edia no s´ıtio i. Se J

= J

i−j

e H = 0, o sistema ´e translacionalmente

invariante, o que implica que s

 = s. Neste caso,

M =

−1

∂Z

∂H

s

. ( . )

A susceptibilidade ´e dada por

χ =

∂M

∂H

. ( . )

A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao Z{H} pode ser escrita como uma exponencial de um potencial

termodinˆamico Ψ. Esse potencial ´e uma fun¸c˜ao do parˆametro de ordem M e de vari´aveis

termodinˆamicas como a temperatura e a press˜ao. Como estamos tratando de transi¸c˜oes

de segunda ordem, M ´e pequeno na regi˜ao cr´ıtica, de modo que Ψ pode ser expandido

em potˆencias de M:

Ψ = a

+ a

+ ... ( . )

A simetria do potencial Ψ sob a invers˜ao M → −M, para H = 0, explica a ausˆencia

dos termos ´ımpares na express˜ao acima. Quando h´a campo externo, esta simetria ´e

quebrada e um termo linear HM ´e adicionado ao potencial Ψ.

Discutiremos como obter uma descri¸c˜ao do modelo microsc´opico de Ising em termos de

integrais funcionais. Este procedimento leva a analogia entre a abordagem em linguagem

de Mecˆanica Estat´ıstica e a descri¸c˜ao do modelo a partir de uma teoria quˆantica de campos

escalares deﬁnida no espa¸co-tempo euclideano. Na linguagem dessa teoria, o expoente na

fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ´e representado pelo negativo da a¸c˜ao −



x(L − L

) = −





onde L



´e a densidade lagrangiana modiﬁcada pelo termo de fonte L

Uma caracter´ıstica importante dessa descri¸c˜ao, ´e o surgimento de um termo (∇M(x))

na densidade lagrangiana que mede as ﬂutua¸c˜oes no parˆametro de ordem. Este termo n˜ao

2.1 REPRESENTAC¸

AO DO MODELO DE ISING EM TERMOS DE INTEGRAIS FUNCIONAIS 13

aparece na express˜ao ( . ) proposta originalmente no modelo de Landau. Isso signiﬁca

que esse modelo despreza ﬂutua¸c˜oes de M na transi¸c˜ao. Vimos no cap´ıtulo 1 que ﬂu-

tua¸c˜oes se tornam arbitrariamente grandes quando nos aproximamos do ponto cr´ıtico de

modo que a express˜ao ( . ) pode ser considerada, quantitativamente uma aproxima¸c˜ao

grosseira. Entretanto, com a inclus˜ao do termo (∇M(x))

poderemos realizar uma ex-

pans˜ao perturbativa sistem´atica nas ﬂutua¸c˜oes de forma que grandezas universais podem

ser calculadas usando este formalismo de teoria de campos combinado com argumentos

de grupo de renormaliza¸c˜ao.

Discutiremos agora o procedimento que leva a descri¸c˜ao em termos de campos cont´ınuos.

Usando a rela¸c˜ao



∞

−∞



i=1

exp



−

+ s



= Constante × exp(s

), ( . )

onde os ´ındices repetidos deﬁnem uma soma e V ´e uma matriz sim´etrica de elementos

. Podemos escrever

Z{H

} =



}

exp(−s

− H

) ∝



}



∞

−∞



i=1

dφ

exp



−

+ (φ

+ H



( . )

Os φ

s˜ao vari´aveis cont´ınuas que atuam como campos auxiliares. Fazendo uma transla¸c˜ao

→ φ

− H

na express˜ao acima e deﬁnindo Dφ =



dφ

, como a medida da integral,

obtemos

Z{H

} =



∞

−∞



i=1

dφ

exp



−

(φ

− H

(φ

− H

)





}

exp(φ

). ( . )

A soma na express˜ao acima pode ser desenvolvida da seguinte forma



}

exp(φ

) =



(exp φ

+exp −φ

) =



2(cosh φ

) = Constante×exp





ln(cosh φ

)



( . )

2.1 REPRESENTAC¸

AO DO MODELO DE ISING EM TERMOS DE INTEGRAIS FUNCIONAIS 14

Fazendo a seguinte transforma¸c˜ao linear dos campos

−1

, ( . )

podemos escrever

Z{H

} ∝ exp



−





Dψ exp



− ψ

+ H



ln[cosh(2K

)]



( . )

Para desenvolvermos o termo no somat´orio, utilizaremos a expans˜ao em s´eries de Taylor

ln cosh x =

−

+ .... No nosso caso,



ln cosh(2K

) =





2(K

)

−

)

+ ...



. ( . )

E particularmente simples descrever esta formula¸c˜ao do modelo de Ising no espa¸co

dos momentos. Para tanto, consideremos as seguintes transformadas de Fourier da quan-

tidades envolvidas:

≡ ψ(r

) =



exp(−ik· r

)ψ(k), ( . )

≡ H(r

) =



exp(−ik· r

)H(k), ( . )

≡ K(r

− r

) =



exp[−ik· (r

− r

)K(k)]. ( . )

Substituindo estas express˜oes no argumento da exponencial em ( . ) e partindo do fato

de que K(−k) = K

∗

(k) para K(r

− r

) real, escrevemos o argumento desta exponencial

na forma

−





= −





[K(k) − 2|K(k)|

]ψ(−k)ψ(k) + H(−k)ψ(k)



−



+ k

)

K(k

)ψ(k

)K(k

)ψ(k

)K(k

)ψ(k

)K(k

)ψ(k

). ( . )

2.1 REPRESENTAC¸

AO DO MODELO DE ISING EM TERMOS DE INTEGRAIS FUNCIONAIS 15

Desenvolvemos a transformada de Fourier inversa de K(k):

K(k) =



K(R) exp(ik· R) =



i,α

K(R

i,α

) exp(ik· R

i,α

), ( . )

onde o ´ındice i refere-se as dire¸c˜oes espaciais e o ´ındice α = 1, 2 rotula os dois vizi-

nhos associados a cada dire¸c˜ao espacial. Expandimos a exponencial em potˆencias de k,

exp(ik· R

i,α

) = 1 −

+ . . ., onde desenvolvemos o produto interno k· R

i,α

= (−1)

e os termos ´ımpares se anulam pela simetria em α de modo que o car´ater escalar da

densidade lagrangiana que queremos obter ´e mantido. Podemos ent˜ao escrever:

K(k) = K

(1 − ρ

), ( . )

onde K

= 2dβJ e ρ =

(2d)

1/2

. Para o termo de ordem quadr´atica nos campos ignoramos

os termos de ordem maior que k

. J´a para o termo de ordem qu´artica, mantemos apenas

o termo de ordem zero na expans˜ao, ou seja, K(k)  K

. Pode-se mostrar que os

termos ignorados s˜ao irrelevantes ao comportamento cr´ıtico do sistema sem competi¸c˜ao

que estamos considerando [25]. Substituindo ( . ) no argumento da exponencial de

( . ), obtemos

−





= −





[(1 − 2K

) + (4K

− 1)ρ

]ψ(−k)ψ(k) + H(−k)ψ(k)



−



+ k

)ψ(k

Note que para K

, o termo independente de k na parte quadr´atica em ψ se anula.

Isso deﬁne a temperatura cr´ıtica de campo m´edio T

= 4dJ. Expandindo K

, que ´e

fun¸c˜ao da temperatura T , em torno de T

, podemos escrever

−





= −





T −T

+ a



ψ(−k)ψ(k) + H(−k)ψ(k)}

−



1 − 4



T −T





+ k

)ψ(k

).( . )

No limite de volume inﬁnito, as somas em k se tornam integrais. assim, deﬁnimos as

rela¸c˜oes

2.1 REPRESENTAC¸

AO DO MODELO DE ISING EM TERMOS DE INTEGRAIS FUNCIONAIS 16



f(k) =

(2π)



k, ( . )

(k) =

(2π)

δ(k), ( . )

onde δ

(k) e δ(k) s˜ao as fun¸c˜oes delta de Kronecker e de Dirac respectivamente.

Redeﬁnimos o campo ψ por

ψ(k) = ρ

−1

−d/2

φ(k), ( . )

de modo que, no limite cont´ınuo, a express˜ao ( . ) ´e escrita como

−





= −



(2π)



T −T

+ k



φ(−k)φ(k) + ρ

−1

−d/2

H(−k)φ(k)

−

4−d

(2π)



1 − 4



T −T





δ(k

+ k

)φ(k

),( . )

Este resultado ´e fundamental no nosso estudo. Quando escrito no espa¸co dos momentos,

pela tranforma¸c˜ao de Fourier inversa dos campos, obtemos

−





= −





(|∇φ|

+ µ

) +

− Jφ



x, ( . )

onde µ

= (T −T

)/ρ

, J = ρa

d/2

H e λ =

4−d



1−4



T −T



. Assim a teoria de campos

resultante ´e deﬁnida em tempo imagin´ario e a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao torna-se exatamente

o funcional gerador de campos escalares φ. Este funcional gerador ´e escrito como uma

integral funcional sobre os campos. Na linguagem dessa teoria, φ, µ e λ s˜ao o campo,

a massa e a constante de acoplamento n˜ao-renormalizados, respectivamente. A massa ´e

an´aloga a uma quantidade proporcional `a diferen¸ca entre uma dada temperatura T e a

temperatura de transi¸c˜ao T

, de maneira que podemos associar uma teoria quˆantica de

campos n˜ao massiva a uma descri¸c˜ao do modelo microsc´opico na temperatura cr´ıtica. O

campo φ ´e an´alogo `a magnetiza¸c˜ao, o que permite o estudo das fun¸c˜oes de correla¸c˜ao do

parˆametro de ordem no contexto de teoria de campos cont´ınuos.

Podemos escrever L



= L

+ L

int

+ L

, onde L

(|∇φ|

+ µ

) ´e a densidade

lagrangiana para o campo escalar livre, L

int

= (λ/4!)φ

´e o termo de intera¸c˜ao e L

= Jφ,

o termo de fonte. A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao (funcional gerador) ´e dado por:

2.1 REPRESENTAC¸

AO DO MODELO DE ISING EM TERMOS DE INTEGRAIS FUNCIONAIS 17

Z{J} =



Dφ exp



−



(L − Jφ)dx





Dφ exp



−



Ldx



. ( . )

O denominador da express˜ao acima ´e deﬁnido pela condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao Z{J} = 1.

O termo Dφ = Π

dφ

´e a medida da integral funcional e dx um elemento de volume em

d dimens˜oes. Como o termo de fonte ´e linear em φ, podemos escrever o argumento de

int

como derivadas funcionais em rela¸c˜ao `a fonte J. A express˜ao ( . ) pode ser escrita

como

Z{J} = N

−1

exp



−



Int



δJ(x)



exp





dxdyJ(x)∆(x − y)J(y)



, ( . )

onde ∆(x −y) ´e o propagador livre da teoria. Esta forma ´e conveniente para desenvolver-

mos expans˜oes perturbativas. Como o termo de intera¸c˜ao ser´a L

int

= (λ/4!)[δ/δJ(x)]

, a

exponencial deste termo de intera¸c˜ao pode ser expandida da seguinte forma:

Z{J} = N

−1

∞





−λ





. . . dx



δJ(x

)





δJ(x

)



. . .



δJ(x

)



{J},

( . )

onde Z

{J} ´e o funcional gerador para a teoria livre. Os termos dessa expans˜ao podem ser

expressos por meio de diagramas de Feynman, que s˜ao de grande utilidade no tratamento

dessas express˜oes. A id´eia b´asica ´e representar os propagadores ∆(x

− x

) que aparecem

na expans˜ao como linhas que conectam os pontos especiﬁcados em seu argumento e no

argumento das fontes J(x

). A representa¸c˜ao por diagramas ´e particularmente ´util para

a manipula¸c˜ao dos termos da expans˜ao das fun¸c˜oes de Green.

A express˜ao “funcional gerador” vem do fato de que, a partir de Z{J}, podemos gerar

as fun¸c˜oes de Green de N pontos da teoria, as quais s˜ao deﬁnidas por

(N)

. . . x

) = φ(x

) . . . φ(x

) =



Dφφ(x

) . . . φ(x

) exp



−



(L − Jφ)dx





Dφ exp



−



Ldx



( . )

Note que esta deﬁni¸c˜ao ´e an´aloga `a deﬁni¸c˜ao de fun¸c˜oes de correla¸c˜ao, em Mecˆanica

2.1 REPRESENTAC¸

AO DO MODELO DE ISING EM TERMOS DE INTEGRAIS FUNCIONAIS 18

Estat´ıstica, feita a partir da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao. Como o termo de fonte ´e linear em φ,

podemos obter a express˜ao para G

(N)

. . . x

) em ( . ), fazendo

(N)

, . . . , x

) =

(N)

Z{J}

δJ(x

) . . . δJ(x

)



J=0

. ( . )

Por simplicidade, trabalharemos com quantidades deﬁnidas no espa¸co dos momentos j´a

que este caso permite o c´alculo expl´ıcito das grandezas universais desejadas. Primeiro

fazemos uma transformada de Fourier dos campos escalares no espa¸co das coordenadas

para express´a-los em termos dos momentos. As fun¸c˜oes de Green no espa¸co dos mo-

mentos, obtidas atrav´es da transformada de Fourier daquelas no espa¸co das coordenadas,

podem ser escritas como:

(N)

, . . . , k

) =

(N)

Z{J}

δJ(−k

) . . . δJ(−k

)



J=0

. ( . )

De acordo com esta deﬁni¸c˜ao, o propagador ∆ no espa¸co dos momentos ser´a dado por

(k) =

+ µ

, ( . )

que ´e a fun¸c˜ao de Green de dois pontos em ordem zero na expans˜ao perturbativa.

Na representa¸c˜ao diagram´atica das fun¸c˜oes de Green no espa¸co dos momentos, as

linhas s˜ao rotuladas pelo k correspondente `a deﬁni¸c˜ao ( . ) e associada a um propagador

deste tipo. Se a express˜ao pertence a um termo de ordem n na expans˜ao perturbativa,

associamos um n´umero n de v´ertices de intera¸c˜ao e, a cada um destes v´ertices associamos

uma fun¸c˜ao delta de Dirac que representa a conserva¸c˜ao dos momentos que entram e

saem deles. Uma integral no momento ´e associada a cada linha interna (que conecta dois

v´ertices de intera¸c˜ao) e um fator de (−λ/4!) ´e associado a cada v´ertice. Um diagrama

com I linhas internas e n v´ertices de intera¸c˜ao ter´a I integra¸c˜oes e n fun¸c˜oes delta a

serem integradas com exce¸c˜ao de uma: a que representa a conserva¸c˜ao de momento total

no diagrama. Ela s´o possui momentos externos que n˜ao ser˜ao integrados. O n´umero de

integrais resultantes ent˜ao ser´a

l = I − (n − 1), ( . )

que deﬁne o n´umero de loops de um diagrama. A ﬁgura 2.1 mostra exemplos de diagramas

2.1 REPRESENTAC¸

AO DO MODELO DE ISING EM TERMOS DE INTEGRAIS FUNCIONAIS 19

de Feynman de fun¸c˜oes de Green de 2 e 4 pontos.

Figura 2.1 Exemplos de diagramas de Feynman para a teoria φ

O diagrama (a) ´e denominado diagrama de v´acuo. Ele consiste de duas parte sepa-

radas, sendo que a parte direita do diagrama n˜ao se conecta a p ontos externos. Eles s˜ao

eliminados pela condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao do funcional gerador, isto ´e, quando conside-

ramos o denominador de ( . ), diagramas de v´acuo n˜ao aparecem na expans˜ao pertur-

bativa. O grafo (b) est´a relacionado `a fun¸c˜ao de 4 pontos e ´e um exemplo de diagrama

desconectado. A ﬁgura 2.1(c) est´a associada `a fun¸c˜ao de 2 pontos e ´e eliminada por re-

deﬁni¸c˜ao da massa. O diagrama (d) tamb´em representa uma dada contribui¸c˜ao `a fun¸c˜ao

de 2 pontos e pode ser dividido em dois pelo corte da linha central. J´a os diagramas

(e) e (f) n˜ao podem ser divididos em duas partes ao cortarmos apenas uma das linhas

internas. Eles s˜ao relacionados a fun¸c˜ao de quatro pontos e s˜ao exemplos de diagramas

de um e dois loops, respectivamente.

Se E ´e o n´umero de pernas externas, pela topologia dos gr´aﬁcos podemos escrever:

I =

(4n − E). ( . )

Para concluir esta se¸c˜ao, introduzimos a id´eia de fun¸c˜ao de Green incluindo operadores

compostos. Se na lagrangiana original considerarmos um termo de fonte para campos φ

do tipo tφ

/2, a fun¸c˜ao de Green para operadores compostos ´e deﬁnida como:

2.2 FUNC¸

OES DE V

ERTICE E O POTENCIAL EFETIVO 20

(N,L)

. . . x

, y

. . . y

) =





φ(x

) . . . φ(x

), φ

) . . . φ

). ( . )

De maneira an´aloga a ( . ), podemos escrever a express˜ao acima como:

(N,L)

, . . . , x

, y

, . . . , y

) ≡

N+L

Z{J, t}

δJ(x

) . . . δJ(x

)δt(y

) . . . δt(y

)



J,t=0

. ( . )

No espa¸co dos momentos, a express˜ao

(N,L)

, . . . , k

, p

, . . . , p

) ≡

N+L

Z{J, t}

δJ(−k

) . . . δJ(−k

)δt(−p

) . . . δt(−p

)



J,t=0

, ( . )

pode ser utilizada no c´alculo de fun¸c˜oes de Green que incluem operadores compostos de

maneira semelhante `aquela deﬁnida em ( . ).

2.2 FUNC¸

OES DE V

ERTICE E O POTENCIAL EFETIVO

Diagramas do tipo (b) na ﬁgura 2.1 s˜ao denominados diagramas desconectados. Eles

podem ser escritos como produtos disjuntos de dois ou mais diagramas. Da mesma forma

denominamos diagramas conectados aqueles que n˜ao podem ser escritos como tal produto.

Assim, a expans˜ao p ode, em geral, ser escrita como uma soma de diagramas conectados

e desconectados. Apenas diagramas conectados podem ser obtidos se utilizarmos o fun-

cional

F = ln Z{J}, ( . )

como funcional gerador das fun¸c˜oes de Green conectadas. Escrevemos ent˜ao

(N)

, . . . , k

) =

(N)

F {J}

δJ(−k

) . . . δJ(−k

)

, ( . )

com G

(N)

, . . . , k

) sendo as fun¸c˜oes de Green de N pontos conectadas.

Podemos nos restringir a um n´umero menor ainda de diagramas se considerarmos

apenas diagramas cujos propagadores associados `as pernas externas, que n˜ao envolvem

integrais, s˜ao omitidos. Dentre esses diagramas selecionamos aqueles que n˜ao podem ser

2.2 FUNC¸

OES DE V

ERTICE E O POTENCIAL EFETIVO 21

divididos em dois cortando-se apenas uma linha e os chamamos de partes de v´ertice 1PI

(irredut´ıveis a uma part´ıcula). Os diagramas (c), (e) e (f) na ﬁgura 2.1 s˜ao diagramas

deste tipo. J´a o diagrama (d) pode ser dividido em dois cortando-se a linha central e

n˜ao ´e considerado 1PI. A vantagem de se trabalhar com partes de v´ertice 1PI ´e que uma

fun¸c˜ao de Green de N pontos pode ser expressa em termos de Γ

(N)

, podendo a teoria ser

reconstru´ıda a partir de somas de partes de v´ertice 1PI. Esta formula¸c˜ao da teoria ´e mais

elegante e fornece uma ferramenta natural para tratarmos quebras de simetria.

Para obtermos as partes de v´ertice 1PI partimos da transforma¸c˜ao de Legendre

Γ{φ} + F {J} =



φ(i)J(i), ( . )

de onde podemos obter

φ(i) ≡ φ(k

) ≡ φ

δF {J}

δJ(i)

, ( . )

δΓ{φ}

δφ(i)

= J(i). ( . )

Note que, na ausˆencia de campo externo, Γ{φ} tem um extremo em φ = v(i) por( . ).

Se φ = 0, neste caso, h´a quebra espontˆanea de simetria, o que signiﬁca ﬁsicamente que,

mesmo na ausˆencia de campo externo, h´a um campo macrosc´opico diferente de zero

relacionado ao φ. Este ´e exatamente o estado ordenado descrito no cap´ıtulo 1. Se φ = 0

obtemos o estado desordenado em que h´a simetria.

Assim como expandimos Z{J} nos campos externos para deﬁni-lo como funcional

gerador das fun¸c˜oes de Green, podemos expandir Γ{φ} em termos das m´edias dos campos,

φ, e identiﬁcarmos os coeﬁcientes como sendo as parte de v´ertice 1PI

(N)

(1, . . . , N) ≡

Γ{φ}

δφ(1) . . . δφ(N)



J=0

. ( . )

Podemos associar um ´ındice L ao valor m´edio dos campos compostos φ

(y) de modo

que

(N,L)

, . . . , x

, y

, . . . , y

) ≡

N+L

Γ{φ, t}

δφ(x

) . . . δφ(x

)δt(y

) . . . δt(y

)



J=0

, ( . )

2.2 FUNC¸

OES DE V

ERTICE E O POTENCIAL EFETIVO 22

s˜ao as partes de v´ertice 1PI para campos compostos. Os t(y

) s˜ao deﬁnidos como em

( . ).

Partes de v´ertice 1PI s˜ao identiﬁcadas como os coeﬁcientes da expans˜ao de Γ{φ} na

m´edia dos campos:

Γ{φ} =

∞



N=1



. . . dx

(N)

. . . x

)φ(x

) . . . φ(x

). ( . )

Note que, de acordo com ( . ), os coeﬁcientes da expans˜ao Γ

(N)

. . . x

) s˜ao especiﬁ-

cados em J = 0, embora a vari´avel de expans˜ao seja φ. Isso signiﬁca que a expans˜ao ´e

feita em torno de um φ que ´e obtido quando J = 0. A equa¸c˜ao ( . ) representa o caso

sim´etrico, portanto. Quando h´a quebra de simetria podemos escrever

Γ{φ} =

∞



N=1



. . . dx

(N)

. . . x

)[φ(x

) − v] . . . [φ(x

) − v], ( . )

onde

= lim

J→0

φ. ( . )

Por ﬁm, analisamos o caso em que temos uma distribui¸c˜ao uniforme φ(x

) = Φ. Neste

caso

Γ{φ} =

∞



N=2





. . . dx

(N)

. . . x

)



, ( . )

Dada a transformada de Fourier de Γ

(N)

no limite de volume inﬁnito:

(N)

. . . x

) =



(2π)

. . .

(2π)

(N)

. . . k

) exp(−i



) ( . )

e deﬁnindo

(N)

. . . k

) = (2π)

δ(Σk

)Γ

(N)

. . . k

). ( . )

Escrevemos

2.3 DIVERG

ENCIAS NA TEORIA φ

E RENORMALIZAC¸

AO 23

Γ{φ} =

∞



N=2

(N)

(0, . . . , 0)Φ

(2π)

δ(0) = (2π)

δ(0)U(Φ). ( . )

Que signiﬁca que Γ{φ} ´e proporcional ao volume do sistema. U(Φ) ´e denominado poten-

cial efetivo.

Antes de discutirmos uma express˜ao para o potencial efetivo, fazemos uma consi-

dera¸c˜ao importante.

E poss´ıvel e conveniente trabalharmos com expans˜oes perturbativas

das partes de v´ertices 1PI em termos do n´umero de integra¸c˜oes resultantes, ou no n´umero

l de loops deﬁnido em ( . ).

Se considerarmos apenas os termos de Γ

(N)

que n˜ao possuem integrais, isto ´e, a ordem

zero da expans˜ao em loops, o potencial efetivo ser´a escrito como:

U(Φ) =

(Φ)

(Φ

)

. ( . )

Na an´alise da simetria do sistema partimos de ( . ) para J(i) = 0 e chegamos a conclus˜ao

de que esta equa¸c˜ao ter´a Φ = 0 como solu¸c˜ao trivial e

(Φ)

= −6

, ( . )

na fase de simetria quebrada. O valor do campo na equa¸c˜ao ( . ) s´o faz sentido ﬁsica-

mente no caso estudado se µ

< 0, ou seja, abaixo da temperatura cr´ıtica.

2.3 DIVERG

ENCIAS NA TEORIA φ

E RENORMALIZAC¸

Muitas integrais que aparecem na expans˜ao diagram´atica das fun¸c˜oes de v´ertice apre-

sentam resultados divergentes. Considere a integral relacionada a parte de v´ertice 1PI

do diagrama (e) mostrado na ﬁgura 2.1:



+ µ

)[(q + k)

+ µ

]

( . )

An´alise dimensional elementar requer que ela tenha d − 4 potˆencias de momento. Em

d = 4, esta integral diverge logaritmamente.

E de fundamental importˆancia portanto

que divergˆencias desse tipo sejam removidas j´a que elas n˜ao representam divergˆencias de

natureza f´ısica associadas a determinadas quantidades na transi¸c˜ao de fase.

2.3 DIVERG

ENCIAS NA TEORIA φ

E RENORMALIZAC¸

AO 24

Antes que as fun¸c˜oes de v´ertice sejam tratadas por um programa de renormaliza¸c˜ao,

precisamos redeﬁnir as integrais de maneira a parametrizar o grau de divergˆencia. M´etodos

de regulariza¸c˜ao s˜ao empregados com esse prop´osito. Podemos por exemplo, permitir que

d seja arbitr´ario na integral ( . ) e a divergˆencia se manifestar´a como p´olos que ocorrem

quando d = 4. Esse processo se chama regulariza¸c˜ao dimensional. Outro processo de re-

gulariza¸c˜ao muito utilizado ´e a regulariza¸c˜ao por corte (em inglˆes “cutoﬀ”) dos momentos

e consiste em deﬁnir um limite de integra¸c˜ao Λ acima do qual o integrando se anula, de

modo que divergˆencias ultravioleta manifestam-se como potˆencias de Λ para Λ → ∞.

An´alise dimensional tem um imp ortante papel no estudo das divergˆencias em quest˜ao.

Trabalhamos num sistema de unidades onde , c e K

s˜ao adimensionais e, como con-

sequˆencia, qualquer grandeza ter´a dimens˜ao do comprimento L ou de seu inverso (a

dimens˜ao de momento Λ). A dimes˜ao canˆonica de um determinado objeto matem´atico

corresponde `a potˆencia de momento deste objeto. Assim, se o objeto X tem dimens˜ao

canˆonica x, podemos simbolizar esta rela¸c˜ao na forma [X] = Λ

. Como  tem dimens˜ao

de a¸c˜ao, esta ser´a adimensional o que implica que a dimens˜ao da densidade lagrangi-

ana em d dimens˜oes ´e L

−d

= Λ

. A dimens˜ao de φ pode ser obtida a partir do termo

cin´etico |∇φ|

. Dessa maneira, obtemos [φ] = Λ

d/2−1

e, com isso, para a constante de

acoplamento, teremos

[λ] = Λ

4−d

( . )

O que mostra que numa teoria φ

a constante de acoplamento λ ´e adimensional em d = 4.

De fato ´e nesta dimens˜ao que a teoria ´e renormaliz´avel [25].

Voltamos ao problema das divergˆencias. Diversos esquemas de renormaliza¸c˜ao s˜ao

usados para absorver a divergˆencia nos parˆametros da teoria n˜ao-renormalizada (tamb´em

chamada de teoria “bare”). Conforme mencionamos, quando usamos regulariza¸c˜ao por

cutoﬀ, divergˆencias ultravioletas s˜ao reﬂetidas em potˆencias do cutoﬀ Λ. Procedemos de

forma a absorver essa dependˆencia em Λ na constante de acoplamento λ e na massa µ que

aparecem na densidade lagrangiana inicial. Os valores destas grandezas, que s˜ao medidos

em laborat´orio, assim como os valores reais associados `as fun¸c˜oes de v´ertice s˜ao deﬁnidos

em termos de grandezas ﬁnitas. Estas podem ser descritas a partir das condi¸c˜oes de

normaliza¸c˜ao.

2.3 DIVERG

ENCIAS NA TEORIA φ

E RENORMALIZAC¸

AO 25

Aqui trabalharemos com uma teoria renormalizada em momentos externos ﬁxos e

massa renormalizada (ou diferen¸ca de temperatura) igual a zero. As condi¸c˜oes de nor-

maliza¸c˜ao que utilizaremos,

(2)

(0, g) = m = 0; ( . )

∂

∂k

(2)

(k, g)



=κ

= 1; ( . )

(4)

, g)



= g; ( . )

(2,1)

, k

, p, g)



= 1, ( . )

s˜ao suﬁcientes para tornar todas as partes de v´ertice 1PI que s˜ao renormalizadas mul-

tiplicativamente livres de divergˆencias. Nas condi¸c˜oes acima, m e g s˜ao a massa e a

constante de acoplamento renormalizados, SP signiﬁca ponto de simetria (do inglˆes ’sym-

metry point’).

E o ponto onde os momentos externos s˜ao especiﬁcados e ´e deﬁnido por

SP : k

· k

(4δ

− 1), ( . )

que implica (k

)

= κ

. Para a dependˆencia de Γ

(2,1)

em (k

), o ponto de simetria

´e deﬁnido por

SP : k

; k

· k

= −

, ( . )

o que implica p

= (k

+ k

)

= κ

. O ponto de simetria ´e ´util p ois permite somar

diagramas com formas integrais semelhantes que diferem apenas pela permuta¸c˜ao dos

momentos externos, quando usamos condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao.

As condi¸c˜oes ( . ) e ( . ) deﬁnem os parˆametros renormalizados g e m (m = 0,

neste caso). J´a as condi¸c˜oes ( . ) e ( . ) deﬁnem as constantes de normaliza¸c˜ao mul-

tiplicativas Z

e Z

. As fun¸c˜oes de v´ertice s˜ao deﬁnidas por

(N,L)

, p

, g, κ) = Z

N/2

(N,L)

, p

, λ, Λ). ( . )

2.3 DIVERG

ENCIAS NA TEORIA φ

E RENORMALIZAC¸

AO 26

Isto quer dizer que a teoria de campos ´e renormalizada multiplicativamente. A partir das

condi¸c˜oes ( . ) a ( . ) podemos escrever, at´e a ordem de um loop:

λ = g +

, ( . )

= 1, ( . )

= Z

= 1 +

, ( . )

onde



(q + k

+ k

)



. ( . )

A condi¸c˜ao ( . ) determina um deslocamento na temperatura de transi¸c˜ao. De fato,

em linguagem de sistemas magn´eticos, a susceptibilidade corresponde ao inverso da fun¸c˜ao

de v´ertice Γ

(2)

(k = 0), ou seja, ao inverso de m. Dessa maneira, at´e a ordem de um loop,

podemos escrever

−1

= µ



+ µ

. ( . )

Note que a susceptibilidade n˜ao diverge em µ = 0. Isto acontece para um certo valor

da temperatura para o qual o lado direito de ( . ) se anula. Escrevemos esta condi¸c˜ao

como

= −



. ( . )

Isso signiﬁca que h´a um deslocamento na temperatura cr´ıtica de T

para T

. Deﬁnimos

∝ (T

− T

) e δµ

= µ

− µ

∝ (T − T

). Assim, a quantidade δµ

desempenha um

papel an´alogo ao do termo de fonte t(y) usado para gerar fun¸c˜oes de Green de N pontos

para campos compostos quando t(y) = t, constante no espa¸co. Isso ´e justiﬁcado pelo fato

de que µ

´e o coeﬁciente do termo quadr´atico em φ acompanhado do fator de 1/2.

Aplicamos as condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao ( . ) a ( . ) de modo a tornar as fun¸c˜oes

de v´ertice ﬁnitas. Vimos anteriormente como as fun¸c˜oes de v´ertice s˜ao obtidas das fun¸c˜oes

de Green de N pontos e como estas ´ultimas s˜ao obtidas de um funcional gerador deﬁnido

2.3 DIVERG

ENCIAS NA TEORIA φ

E RENORMALIZAC¸

AO 27

para uma densidade lagrangiana L. Modiﬁca¸c˜oes nas fun¸c˜oes de Green e mesmo na

lagrangiana podem gerar uma teoria de valores ﬁnitos que resultar´a em fun¸c˜oes de v´ertice

renormalizadas. Dessa forma, podemos escrever a densidade lagrangiana j´a em termos

de quantidades renormalizadas. Al´em de µ

e λ redeﬁnidos em ( . ) e ( . ), pode-se

mostrar tamb´em que as grandezas

= Z

−1

t, ( . )

= Z

−1/2

φ, ( . )

S˜ao ﬁnitas e correspondem ao termo de fonte para campos compostos e o campo renor-

malizado respectivamente.

Analisamos agora um ponto importante do nosso estudo. O fato de que condi¸c˜oes

de renormaliza¸c˜ao deﬁnidas para uma teoria sem massa, ou seja, na temperatura cr´ıtica,

podem ser usadas para extrair inﬁnitos de fun¸c˜oes de v´ertice que s˜ao deﬁnidos em uma

temperatura diferente de T

. Primeiro, note que podemos relacionar fun¸c˜oes de v´ertice

deﬁnidas em T = T

com fun¸c˜oes de v´ertice deﬁnidas em T = T

pela expans˜ao

(N,L)

, p

, µ

, φ, g, κ) =

∞



I,J=0

I!J!



. . . dl

. . . dq

( . )

φ(l

) . . . φ(l

)r(q

) . . . r(q

)Γ

(N+I,L+J)

, l

, p

, q

, µ

, λ, Λ), ( . )

onde r(q) ´e o coeﬁciente do termo quadr´atico em φ. No limite em que r se torna cons-

tante no espa¸co das coordenadas, temos que r(q) → δµ

δ(q). Aplicamos as condi¸c˜oes de

normaliza¸c˜ao a ambos os lados da igualdade em ( . ). Como o lado direito ser´a ﬁnito,

o lado esquerdo tamb´em ser´a. Assim podemos escrever

(N,L)

, p

, δt, M, g, κ) =

∞



I,J=0

I!J!

(δt)

(N+I,L+J)

, l

= 0, p

, q

= 0, g, κ) ( . )

onde M = Z

−1/2

φ e δt = Z

−1

δµ

s˜ao o campo e a diferen¸ca de temperatura renormaliza-

2.3 DIVERG

ENCIAS NA TEORIA φ

E RENORMALIZAC¸

AO 28

dos respectivamente.

O c´alculo de expoentes e amplitudes cr´ıticas pode ser realizado de maneira elegante

se forem utilizadas t´ecnicas de grupo de renormaliza¸c˜ao. Kadanoﬀ [28] introduziu esta

id´eia a partir da t´ecnica de dizima¸c˜ao. Para melhor entender como funciona esta t´ecnica,

considere, por simplicidade, uma rede hiperc´ubica em d dimens˜oes. Podemos entendˆe-

la como v´arios cubos interligados, cada cubo elementar da c´elula unit´aria contendo 2

spins. Uma dizima¸c˜ao consiste em substituir os 2

spins do bloco da c´elula unit´aria por

um ´unico spin efetivo. Se repetirmos este procedimento para toda a rede, obtemos uma

rede efetiva cujo parˆametro de rede ´e o dobro da original.

Na temperatura de transi¸c˜ao, em que o comprimento de correla¸c˜ao diverge, obtemos a

propriedade de invariˆancia por escala. Dessa forma, um n´umero inﬁnito de procedimentos

de dizima¸c˜ao (ou de reescalas da rede) ´e permitido. Diversas quantidades podem ser cal-

culadas para uma determinada escala na qual os resultados n˜ao dependem do parˆametro

de rede original, ou seja, a descri¸c˜ao f´ısica de sistemas na criticalidade n˜ao depende das

caracter´ısticas microsc´opicas destes sistemas, mas de parˆametros macrosc´opicos gerais.

Do ponto de vista operacional, a t´ecnica de Kadanoﬀ de dizima¸c˜ao, tamb´em conhecida

como grupo de renormaliza¸c˜ao no espa¸co real teve dram´aticos avan¸cos quando foi adap-

tada ao espa¸co dos momentos. Em particular, esta t´ecnica introduzida por Wilson [29–32]

produziu pela primeira vez novos conceitos que permitiram calcular grandezas universais,

como expoentes cr´ıticos, e que permitiram entender fenˆomenos cr´ıticos em sistemas f´ısicos

completamente distintos, sendo essencialmente manifesta¸c˜oes da mesma f´ısica atrav´es da

hip´otese da universalidade. Nesta formula¸c˜ao, divergˆencias ultravioletas podem ser ma-

nipuladas matematicamente, enquanto que um processo f´ısico caracterizado por certos

expoentes ﬁnitos pode ser deﬁnido em termos de grandezas renormalizadas. As ´ultimas

s˜ao livres das divergˆencias UV automaticamente.

No programa de renormaliza¸c˜ao que estamos utilizando, determinamos quantidades

renormalizadas para uma escala de momento κ. Trataremos o grupo de renormaliza¸c˜ao

como um grupo de transforma¸c˜oes entre diferentes vers˜oes da teoria renormalizada em

diferentes escalas de momento (κ

, κ

, . . .) para uma mesma teoria n˜ao-renormalizada.

Faremos aqui uma breve descri¸c˜ao desse conceito.

Para que a teoria seja renormalizavel ´e necess´aria a existˆencia de uma certa dimens˜ao

2.3 DIVERG

ENCIAS NA TEORIA φ

E RENORMALIZAC¸

AO 29

espacial chamada de dimens˜ao cr´ıtica, em que a constante de acoplamento do termo

de intera¸c˜ao se torna adimensional. Abaixo dessa dimens˜ao, podemos introduzir um

parˆametro que mede o desvio dessa dimens˜ao cr´ıtica e formular a teoria em termos de

constantes de acoplamento adimensionais. Deﬁnimos g ≡ uκ



e λ ≡ u



, onde u e u

s˜ao as constantes de acoplamento adimensionais em suas vers˜oes renormalizada e n˜ao-

renormalizada, respectivamente. A vari´avel κ tem dimens˜ao de momento e, portanto,

 = 4 − d determina a dimens˜ao canˆonica da constante de acoplamento. Dessa forma, a

rela¸c˜ao ( . ) toma a forma

(N,L)

, p

, u, κ) = Z

N/2

(N,L)

, p

, λ, Λ) ( . )

Uma teoria n˜ao-renormalizada n˜ao depende da escala de momento κ. Dessa forma,

aplicando a ambos os lados da rela¸c˜ao ( . ) a derivada total κ(∂/∂κ)

λ,Λ

, obtemos a

equa¸c˜ao de grupo de renormaliza¸c˜ao na temperatura cr´ıtica, isto ´e,



∂

∂κ

+ β(u)

∂

∂u

−

Nγ

(u) + Lγ

(u)



(N)

, p

, u, κ) = 0, ( . )

onde

β(u) =



∂u

∂κ



= −



∂ ln u

∂u



−1

, ( . )

(u) = κ



∂ ln Z

∂κ



= β(u)

∂ ln Z

∂u

, ( . )

(u) = −κ



∂ ln Z

∂κ



= −β(u)

∂ ln(Z

)

∂u

. ( . )

s˜ao as fun¸c˜oes de Wilson.

A fun¸c˜ao β descreve como a constante de acoplamento adimensional u varia com a

escolha da escala de momento κ em que ﬁxamos as condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao.

No ponto cr´ıtico, o comprimento de correla¸c˜ao diverge e o sistema se torna invariante

sob uma mudan¸ca da escala. Dessa maneira, as constantes de acoplamento que caracte-

rizam o sistema f´ısico s˜ao invariantes pela mudan¸ca de escala dos momentos κ. Assim,

temos β(u

∗

) = 0, onde u

∗

´e denominado ponto ﬁxo. Dizemos ent˜ao que o sistema ﬂui

a um ponto ﬁxo na criticalidade (apenas no regime infravermelho de uma teoria sem

2.4 O PONTO DE LIFSHITZ 30

massa).

Podemos calcular as fun¸c˜oes de Wilson usando as condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao para

determinar as constantes escritas na forma simb´olica. Para ordem de um loop, escrevemos

( . ) na forma

= u(1 + au). ( . )

Aplicando a ( . ), obtemos

β(u) = −



∂ ln u

∂u



−1

= −u(1 − au); ( . )

Podemos calcular o ponto ﬁxo u

∗

fazendo β(u

∗

) = 0 em ( . ). O coeﬁciente a na

express˜ao acima cont´em uma integral associada a expans˜ao perturbativa da fun¸c˜ao de

v´ertice de 4 pontos acompanhada do fator de simetria associado ao diagrama correspon-

dente. Este fator de simetria depende do n´umero N de componentes do parˆametro de

ordem. Dessa forma, para um sistema com parˆametro de ordem de N componentes,

o ponto ﬁxo u

∗

tem dependˆencia em N e . Para N = 1, o caso em que estaremos

interessados, al´em do ponto ﬁxo trivial u

∗

= 0, temos

∗

. ( . )

Este procedimento pode ser adaptado para modelos que descrevem sistemas compe-

titivos. O valor da constante de acoplamento no seu ponto ﬁxo ´e utilizado no c´alculo das

amplitudes de susceptibilidades.

2.4 O PONTO DE LIFSHITZ

Vamos agora adaptar os conceitos discutidos nas se¸c˜oes anteriores para tratarmos

sistemas f´ısicos que apresentam intera¸c˜oes competitivas

A ﬁgura 2.2 mostra o diagrama de fases para sistemas competitivos do tipo Lifshitz.

Nele, T ´e a temperatura e P , um determinado parˆametro. A linha tracejada representa a

transi¸c˜ao de primeira ordem entre as fases ferromagn´etica e modulada. A linha preenchida

representa uma transi¸c˜ao de fase de segunda ordem. Estas linhas se encontram no ponto

multicr´ıtico indicado na ﬁgura, denominado ponto de Lifshitz. O comportamento cr´ıtico

2.4 O PONTO DE LIFSHITZ 31

descrito pela ﬁgura 2.2 corresponde a um fenˆomeno cr´ıtico do tipo Lifshitz.

Figura 2.2 Diagrama de fases para sistemas que exibem comportamento cr´ıtico do tipo

Lifshitz. Trˆes fases s˜ao identiﬁcadas na vizinhan¸ca do ponto de Lifshitz: ferromagn´etica, para-

magn´etica e modulada. A linha preenchida representa uma transi¸c˜ao de fase de segunda ordem.

A linha tracejada representa a transi¸c˜ao de fase de primeira ordem entre as fases ferromagn´etica

e modulada. Estas linhas se encontram no ponto de Lifshitz.

Como vimos no cap´ıtulo 1, o comportamento cr´ıtico de Lifshitz mais simples ´e aquele

descrito pelo modelo ANNNI. Neste modelo apenas componentes de J

ao longo de uma

dire¸c˜ao s˜ao consideradas, de maneira que a hamiltoniana do sistema descrito pelo modelo

ANNNI ´e dada por

H =



j=x

,...,x



(i+1)j

− J



(i+2)z

. ( . )

A densidade lagrangiana relacionada ao modelo ANNNI ´e obtida de maneira seme-

lhante `aquela desenvolvida para sistemas sem competi¸c˜ao [33,34]. Maiores detalhes deste

procedimento podem ser encontrados na referˆencia [35]. Um certo cuidado ´e necess´ario

na expans˜ao de K(k) em potˆencias de k devido `as diferentes maneiras que os eixos com-

petitivos e n˜ao competitivos s˜ao tratados. Considere a parte livre da express˜ao ( . ):



= −



[K(k) − 2|K(k)|

]ψ(−k)ψ(k), ( . )

2.4 O PONTO DE LIFSHITZ 32

desenvolvemos a transformada inversa de K(k) =



i,α

K(R

i,α

) exp(−ik ·R

i,α

) e obtemos

K(k) =





βJ

d−1



i=1

exp(−ik· R

i,α

) + βJ

exp(−ik· R

α

) + βJ

exp(−ik· R

α

)



. ( . )

Como no caso sem competi¸c˜ao, expandimos as exponenciais em potˆencias pares de k. Na

regi˜ao cr´ıtica de Lifshitz, potˆencias em k

associadas a intera¸c˜ao entre segundos vizinhos,

se tornam relevantes [24]. Assim, desenvolvendo exp(−ix) = 1 −

. . . para o ´ultimo

termo na express˜ao acima e exp(−ika) = 1 −

. . ., para os demais, obtemos

K(k) = K



1 − βJ

⊥

− βJ



1 + 4





βJ



+ . . .



, ( . )

onde K

= 2β(dJ

+ J

) e ρ =



2(dJ

)



1/2

a. Substituindo em ( . ), escrevemos

−



= −





(1 − 2K

) + (4K

− 1)



⊥



1 + 4





−





( . )

O valor de K

para o qual o termo independente de k na express˜ao acima se anula deﬁne

a temperatura cr´ıtica de campo m´edio T

= 4(dJ

+ J

). Expandindo K

em torno deste

valor, a express˜ao acima toma a forma:

−



= −





T − T



+ k

⊥

+ k





1 + 4



−





ψ(k)ψ(−k).

( . )

No limite cont´ınuo ( . ) e ( . ), e com a redeﬁni¸c˜ao dos campos ( . ), podemos

escrever

−



= −



(2π)



T − T



⊥





1+4



−





φ(k)φ(−k). ( . )

Esta ´e a contribui¸c˜ao para a parte livre da densidade lagrangiana. No espa¸co das coor-

denadas escrevemos

L = σ

|∇

φ|

|∇

(d−1)

φ|

+ δ

|∇

φ|

λφ

, ( . )

2.4 O PONTO DE LIFSHITZ 33

onde σ = −

, δ



1 + 4



, µ



T −T



e λ =





1 − 4



T −T



4−d

. O

c´alculo dos termos n˜ao incluidos na parte livre ´e idˆentico `aquele do caso n˜ao competitivo.

O modelo que estudaremos ´e uma generaliza¸c˜ao do modelo ANNNI. Nele h´a intera¸c˜oes

competitivas n˜ao apenas ao longo de uma dire¸c˜ao espacial, mas ao longo de um n´umero

gen´erico m de dire¸c˜oes. Neste caso, temos m eixos competitivos e d − m eixos n˜ao

competitivos. O acoplamento J

tem, portanto, componentes ao longo de m dire¸c˜oes

espaciais, de modo que a densidade lagrangiana ( . ) ´e generalizada para

L = σ

|∇

φ|

|∇

(d−m)

φ|

+ δ

|∇

φ|

λφ

. ( . )

Note que derivadas de ordens diferentes aparecem na express˜ao acima e devem contri-

buir de maneira diferente para a dimens˜ao canˆonica da densidade lagrangiana. O papel

da constante σ ´e fazer com que o primeiro termo tenha dimens˜ao canˆonica igual a dos

outros termos. O coeﬁciente δ

depende da raz˜ao J

. Para determinado valor desta

raz˜ao, δ

se anula. Esta condi¸c˜ao deﬁne a regi˜ao cr´ıtica de Lifshitz, que ser´a usada na

nossa discuss˜ao daqui por diante.

Podemos identiﬁcar a dimens˜ao canˆonica do primeiro termo `a direita em ( . ) como

sendo igual a dos outros termos na express˜ao sem utilizar a constante σ. Se σ for escolhido

adimensional, σ = 1, podemos fazer uma redeﬁni¸c˜ao dimensional ao longo das dire¸c˜oes

paralelas aos eixos competitivos, de modo que a dimens˜ao canˆonica dos momentos ao

longo destas dire¸c˜oes ser´a a metade da dimens˜ao canˆonica dos momentos ao longo das

dire¸c˜oes p erpendiculares a estes eixos [36].

Analisaremos a dimens˜ao de algumas quantidades para duas situa¸c˜oes: m < d, o caso

anisotr´opico e m = d, o caso isotr´opico. Para valores de d muito diferentes de 8, o caso

isotr´opico n˜ao pode ser tratado usando as mesmas t´ecnicas. Trabalharemos neste caso

para d pr´oximo a 8.

Seja q uma escala de momento ao longo das d − m dire¸c˜oes, enquanto que k ´e uma

escala de momento ao longo das m dire¸c˜oes competitivas. A redeﬁni¸c˜ao dimensional

dos momentos ao longo do eixos de competi¸c˜ao ´e equivalente a condi¸c˜ao [k] = [q]

1/2

. Neste caso, o elemento de volume no espa¸co dos momentos, como aqueles que

aparecem nas integrais associadas a diagramas de Feynman, ter´a dimens˜ao dada por

d−m

k] = Λ

d−m/2

. Elementos de integra¸c˜ao espacial ter˜ao dimens˜ao inversa a esta,

2.4 O PONTO DE LIFSHITZ 34

ou seja [d

d−m

⊥



] = Λ

−(d−m/2)

, onde x

⊥

representa coordenadas espaciais ao longo das

dire¸c˜oes perpendiculares aos eixos de competi¸c˜ao. A vari´avel x



representa as coordenadas

espaciais ao longo das dire¸c˜oes paralelas a estes eixos.

A dimens˜ao do campo φ pode ser calculada de maneira semelhante `aquela desenvolvida

na se¸c˜ao 2.3 para sistemas sem competi¸c˜ao. A a¸c˜ao ´e adimensional, de maneira que a

dimens˜ao canˆonica dos termos da densidade lagrangiana dever´a ser o negativo do elemento

de volume da integral espacial que a cont´em. A dimens˜ao de uma derivada espacial ´e

negativo da dimens˜ao espacial, ou seja ter´a dimens˜ao de momento ao longo da dire¸c˜ao

considerada. Analisando tanto a derivada de ordem quadr´atica quanto a derivada de

ordem qu´artica, obtemos o mesmo resultado que pode ser escrito como

[φ] = Λ



d−



−1

. ( . )

A partir disso, determinamos a dimens˜ao canˆonica da constante de acoplamento λ, de

maneira que a integral espacial do termo (λ/4!)φ

ser´a adimensional. Assim, escrevemos

[λ] = Λ

4−d+

. ( . )

A dimens˜ao espacial onde a constante de acoplamento se torna adimensional ´e cha-

mada de dimens˜ao cr´ıtica da teoria de campo associada. O expoente de ( . ) se anula

quando d = d

= 4 + m/2. O desvio da dimens˜ao cr´ıtica naturalmente deﬁne um

parˆametro que ser´a ´util na descri¸c˜ao perturbativa. No caso do comportamento cr´ıtico

de Lifshitz anisotr´opico, o parˆametro perturbativo ser´a



= d

− d = 4 +

− d. ( . )

O propagador para a teoria de campo que descreve sistemas competitivos pode ser

obtido da seguinte maneira. Seja a transformada de Fourier do campo

φ(x) =



d−m

k exp[−i(qx

⊥

+ kx



)]φ(k). ( . )

A partir da densidade lagrangiana ( . ), o propagador livre n˜ao-renormalizado ser´a dado

por

2.5 GRUPO DE RENORMALIZAC¸

AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 35

)

+ q

+ µ

. ( . )

Toda esta an´alise pode ser adaptada para o caso isotr´opico. Como m = d, o segundo

termo na express˜ao para a densidade lagrangiana ( . ) n˜ao aparece. O elemento de

integra¸c˜ao deﬁnido no espa¸co dos momentos ter´a dimens˜ao canˆonica determinada por

k] = Λ

m/2

. Para determinar a dimens˜ao do campo φ, trabalhamos com o termo de

ordem qu´artica na derivada na densidade lagrangiana. Procedendo de maneira idˆentica

ao caso anisotr´opico, obtemos

[φ] = Λ

−1

. ( . )

Consequentemente, obtemos a seguinte express˜ao para a dimens˜ao canˆonica da cons-

tante de acoplamento

[λ] = Λ

8−m

. ( . )

A dimens˜ao cr´ıtica para o caso isotr´opico vale d

= m = 8. O parˆametro perturbativo

correspondente ser´a



= 8 − d. ( . )

Argumentos an´alogos `aqueles utilizados para o caso isotr´opico nos permitem concluir

que o propagador livre no espa¸co dos momentos ser´a dado por

)

+ µ

. ( . )

No ponto cr´ıtico escrevemos a express˜ao acima e o propagador ( . ) para µ = 0.

2.5 GRUPO DE RENORMALIZAC¸

AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS

Para sistemas competitivos, quantidades renormalizadas podem ser obtidas em termos

de quantidades n˜ao-renormalizadas utilizando um esquema de renormaliza¸c˜ao semelhante

`aquele usado no caso de sistemas sem competi¸c˜ao.

Considere, inicialmente, o caso anisotr´opico. As integrais de Feynman envolvidas

2.5 GRUPO DE RENORMALIZAC¸

AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 36

depender˜ao de duas escalas de momento externo. Deﬁnimos dois conjuntos de condi¸c˜oes

de normaliza¸c˜ao [36] relacionadas aos eixos competitivos e n˜ao competitivos. Para os eixos

n˜ao competitivos, deﬁnimos um conjunto de condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao com momentos

externos especiﬁcados no ponto de simetria (SP), deﬁnido por

· p





(4δ

− 1). ( . )

Isto leva a (p

+ p

)

= κ

, para i = j. Para este conjunto de condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao,

todas as fun¸c˜oes de v´ertice 1PI s˜ao deﬁnidas com as componentes dos momentos externos

ao longo das dire¸c˜oes paralelas aos eixos competitivos iguais a zero. Fixamos a escala de

momento da fun¸c˜ao de 2 pontos, fazendo κ

= 1. As condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao s˜ao ent˜ao

(2)

(0, g

) = 0, ( . )

∂

∂p

(2)

(p, g

)



=κ

= 1, ( . )

(4)

(pi, g

)



= g

, ( . )

(2,1)

, p

, p, g

)



= 1. ( . )

Na equa¸c˜ao ( . ), onde h´a uma vari´avel de momento associada a um campo composto,

o ponto de simetria satisfaz p

= (p

+ p

)

= κ

Da mesma maneira, deﬁnimos as condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao para os eixos competi-

tivos. Neste caso, as fun¸c˜oes de v´ertice 1PI s˜ao deﬁnidas em momentos externos nulos

perpendiculares aos eixos de competi¸c˜ao. Agora, os momentos externos ao longo das

dire¸c˜oes de competi¸c˜ao s˜ao escolhidos em uma escala de momento externo igual a κ

Portanto estas observa¸c˜oes se traduzem nas seguintes condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao:

(2)

(0, g

) = 0, ( . )

∂

∂k



(2)



, g

)





=κ

= 1, ( . )

2.5 GRUPO DE RENORMALIZAC¸

AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 37

(4)



, g

)



= g

, ( . )

(2,1)



, k



, p



, g

)



= 1, ( . )

onde o ponto de simetria agora ´e deﬁnido por



· k







(4δ

− 1), ( . )

o que implica que (k



+ k



)

= κ

. Na equa¸c˜ao ( . ), temos p



= (k



+ k



)

= κ

Fixamos a escala de momento da fun¸c˜ao de dois pontos por k



= κ

= 1.

Estes dois conjuntos de condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao levam a duas diferentes constantes

de acoplamento renormalizadas. Assim, podemos tratar de forma independente os ﬂuxos

de momento para os eixos competitivos e n˜ao competitivos.

Deﬁnimos as constantes de acoplamento renormalizada g

= u

(κ

)



e n˜ao-renorma-

lizada λ

= u

(κ

)



em termos das quantidades adimensionais u

e u

. Estas quan-

tidades est˜ao associadas ao ﬂuxo da componentes de momento perpendiculares aos eixos

competitivos.

Da mesma forma, para as componentes de momento paralelas aos eixos competitivos,

podemos relacionar constantes de acoplamento renormalizadas adimensionais u

e u

e g

pelas identidades g

= u

(κ

)



e λ

= u

(κ

)



Para o caso isotr´opico, precisamos de apenas um conjunto de condi¸c˜oes de norma-

liza¸c˜ao. Para evitar confus˜ao com o subespa¸co competitivo do caso anisotr´opico, vamos

ﬁxar uma escala de momento diferente para deﬁnir grandezas renormalizadas do caso

isotr´opico. Por exemplo, suponha que a teoria renormalizada ´e deﬁnida em uma escala

de momento externo κ

. Seja a constante de acoplamento renormalizada deﬁnida nessa

escala de momento igual a g

. Neste caso, podemos escrever as condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao

da seguinte forma:

(2)

(0, g

) = 0, ( . )

∂

∂k



(2)



, g

)





=κ

= 1, ( . )

2.5 GRUPO DE RENORMALIZAC¸

AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 38

(4)



, g

)



= g

, ( . )

(2,1)



, k



, p



, g

)



= 1. ( . )

O ponto de simetria ´e deﬁnido por



· k







(4δ

− 1), ( . )

o que implica que (k



+ k



)

= κ

. Em ( . ) o ponto de simetria determina p



+ k



)

= κ

. A escala de momento ´e ﬁxa por k



= κ

= 1. Para o caso isotr´opico,

n˜ao precisamos de duas escalas de momento diferentes para renormalizarmos a teoria.

Como no caso anisotr´opico, relacionamos as constante de acoplamento g

e λ

`as

quantidades adimensionais u

e u

a partir das identidades g

= u

(κ

)



e λ

(κ

)



Podemos simpliﬁcar a nota¸c˜ao usada para nos referirmos aos trˆes conjuntos de condi¸c˜oes

de normaliza¸c˜ao. Para o caso anisotr´opico, utilizamos o r´otulo τ = 1, 2 para as quantida-

des relacionadas aos eixos n˜ao competitivo e competitivo respectivamente. Para o caso

isotr´opico utilizamos o r´otulo τ = 3. Assim, constantes de normaliza¸c˜ao deﬁnidas por

estes conjuntos podem ser escritos como Z

φ(τ)

, Z

(τ)

, u

e u

0τ

Fun¸c˜oes de v´ertice s˜ao renormalizadas multiplicativamente pela rela¸c˜ao

(N,L)

R(τ)

i(τ)

, Q

i(τ)

, g

, κ

) = Z

N/2

φ(τ)

(τ)

(N,L)

i(τ)

, Q

i(τ)

, λ

, Λ

), ( . )

onde as constante de normaliza¸c˜ao envolvidas s˜ao deﬁnidas pelo conjunto de condi¸c˜oes

de normaliza¸c˜ao adequado especiﬁcado pelo r´otulo τ. Em termos das constantes de

acoplamento adimensionais, a equa¸c˜ao ( . ) pode ser escrita como

(N,L)

R(τ)

i(τ)

, Q

i(τ)

, u

, κ

) = Z

N/2

φ(τ)

(τ)

(N,L)

i(τ)

, Q

i(τ)

, u

0τ

, Λ

). ( . )

De maneira semelhante `aquela descrita na se¸c˜ao (2.3), obtemos a equa¸c˜ao de grupo de

renormaliza¸c˜ao deﬁnida na temperatura cr´ıtica derivando ambos os lados de ( . ) em

rela¸c˜ao a κ

(∂/∂κ

)

,Λ

. Como as fun¸c˜oes de v´ertice n˜ao-renormalizadas n˜ao dependem

da escala de momento κ

, obtemos

2.5 GRUPO DE RENORMALIZAC¸

AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 39



∂

∂κ

+ β(u

)

∂

∂u

−

Nγ

(τ)

) + Lγ

(τ)

)



(N)

i(τ)

, Q

i(τ)

, u

, κ

) = 0, ( . )

onde

) =



∂u

∂κ



= −τ



∂ ln u

0τ

∂u



−1

, ( . )

φ(τ)

) = κ



∂ ln Z

φ(τ)

∂κ



= β

)

∂ ln Z

φ(τ)

∂u

, ( . )

(τ)

) = −κ



∂ ln Z

(τ)

∂κ



= −β

)

∂ ln Z

(τ)

∂u

, ( . )

s˜ao as fun¸c˜oes de Wilson. Note que a fun¸c˜ao β

escrita para os eixos competitivos ´e o

dobro daquela deﬁnida para os eixos n˜ao competitivos.

E preciso um certo cuidado para escrever as fun¸c˜oes de Wilson para o caso isotr´opico.

Escrevemos ent˜ao separadamente

β(u

) =



∂u

∂κ



= −



∂ ln u

∂u



−1

, ( . )

φ(3)

) = κ



∂ ln Z

φ(3)

∂κ



= β

)

∂ ln Z

φ(3)

∂u

, ( . )

(3)

) = −κ



∂ ln Z

(3)

∂κ



= −β

)

∂ ln Z

(3)

∂u

. ( . )

As fun¸c˜oes β

descrevem ﬂuxos de momento independentes. Discutimos na se¸c˜ao (2.3)

que na criticalidade, o comprimento de correla¸c˜ao diverge e o sistema se torna invariante

por escala, assim o sistema ´e descrito em termos de uma constante de acoplamento que

n˜ao depende da escala de momento em que a teoria ´e renormalizada. Dizemos ent˜ao que

a constante de acoplamento ﬂui a um ponto ﬁxo. A fun¸c˜ao beta descreve a varia¸c˜ao da

constante de acoplamento com a escala de momento. Determinamos o ponto ﬁxo ent˜ao,

a partir da condi¸c˜ao β

∗

) = 0.

Das condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao para os trˆes casos descritos aqui, escrevemos at´e a

ordem de um “loop” na expans˜ao

2.5 GRUPO DE RENORMALIZAC¸

AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 40

0τ

= u

(1 + a

). ( . )

Aplicamos a rela¸c˜ao acima a ( . ) e obtemos

β(u) = −τ

(1 − a

) = 0. ( . )

Na express˜ao acima o coeﬁciente a

´e uma fun¸c˜ao do n´umero de componentes do parˆametro

de ordem N e do parˆametro 

. Pode-se mostrar, resolvendo a integral de Feynman asso-

ciada, que quando especiﬁcado no ponto de simetria para os casos com e sem competi¸c˜ao,

o coeﬁciente a

´e independente de τ . Isso signiﬁca que o ponto ﬁxo ´e o mesmo para

ambos os casos. Para N = 1, a solu¸c˜ao de ( . ) ser´a

∗



. ( . )

O mesmo racioc´ınio pode ser aplicado ao caso isotr´opico. O formato das equa¸c˜oes

´e idˆentico `aquelas que descrevem quantidades associadas aos eixos n˜ao competitivos,

trocando-se apenas o r´otulo 1 por 3 e exclu´ıdo o fator τ que multiplica ( . ). Assim, o

ponto ﬁxo at´e a ordem 

tamb´em ser´a dado pelo resultado ( . ).

A partir de um processo an´alogo `aquele descrito na se¸c˜ao (2.3) relacionando fun¸c˜oes de

v´ertice associadas a teorias cr´ıticas e n˜ao cr´ıticas, pode-se deduzir equa¸c˜oes de grupo de

renormaliza¸c˜ao para temperaturas acima e abaixo de T

. Rela¸c˜oes de escala de momento

entre solu¸c˜oes dessas equa¸c˜oes s˜ao utilizadas no c´alculo de expoentes cr´ıticos. O c´alculo

de expoentes cr´ıticos est´a fora de nosso prop´osito neste trabalho. Listaremos aqueles

que ser˜ao ´uteis para coment´arios relacionados a nossos c´alculos expostos no cap´ıtulo 3.

O leitor interessado deve consultar a referˆencia [36]. O expoente cr´ıtico γ

para o caso

anisotr´opico associado ao comportamento cr´ıtico da susceptibilidade pode ser escrito

como

= 1 +

(N + 2)

2(N + 8)



, ( . )

enquanto que o expoente da magnetiza¸c˜ao anisotr´opica vale

−

2(N + 8)



. ( . )

2.5 GRUPO DE RENORMALIZAC¸

AO PARA SISTEMAS COMPETITIVOS 41

Os expoentes an´alogos isotr´opicos s˜ao dados por

= 1 +

(N + 2)

4(N + 8)



, ( . )

−

4(N + 8)



. ( . )

Estes expoentes s˜ao escritos at´e a ordem 

na expans˜ao perturbativa. Note que eles

dependem unicamente de d, m e N, o que conﬁrma o car´ater universal destas quantidades.

CAP

ITULO 3

AMPLITUDES CR

ITICAS PARA PONTOS DE

LIFSHITZ m-AXIAIS

Apesar das amplitudes cr´ıticas de alguns potenciais termodinˆamicos serem n˜ao uni-

versais, a raz˜ao entre as amplitudes desses potenciais acima e abaixo da temperatura de

transi¸c˜ao s˜ao grandezas universais. Vamos nos concentrar na descri¸c˜ao da raz˜ao entre as

amplitudes da susceptibilidade para sistemas que exibem comportamento cr´ıtico do tipo

Lifshitz m-axial daqui por diante.

Como mencionado no cap´ıtulo 1, quantidades como a susceptibilidade, o calor es-

pec´ıﬁco e o comprimento de correla¸c˜ao, que s˜ao derivadas segundas da energia livre,

divergem na transi¸c˜ao. Estas divergˆencias s˜ao de natureza f´ısica, diferente daquelas que

s˜ao extra´ıdas por m´etodos de renormaliza¸c˜ao. Fora da temperatura cr´ıtica estas quan-

tidades s˜ao ﬁnitas e podem ser calculadas usando m´etodos de teoria de campos, cujos

conceitos e deﬁni¸c˜oes b´asicas foram apresentados no cap´ıtulo 2. Valores das amplitu-

des cr´ıticas s˜ao, em geral, diferentes para temperaturas imediatamente acima e abaixo

da temperatura de transi¸c˜ao, o que caracteriza uma descontinuidade destes valores. A

raz˜ao entre as amplitudes cr´ıticas ´e, portanto, um parˆametro importante na descri¸c˜ao da

transi¸c˜ao de fase.

Vimos que expoentes e raz˜oes entre amplitudes cr´ıticas s˜ao exemplos de grandezas

universais: n˜ao dependem dos detalhes microsc´opicos do sistema f´ısico estudado, mas sim

de caracter´ısticas gerais comuns a diversos sistemas. Expoentes e raz˜oes entre amplitudes

cr´ıticas de sistemas competitivos pertencem `as classes de universalidade especiﬁcadas

pelos parˆametros (d, N, m).

Trabalharemos no esquema dimensional apresentado no cap´ıtulo 2 para sistemas com-

petitivos. Calcularemos a susceptibilidade para temperaturas acima e abaixo da tempe-

ratura de Lifshitz partindo do potencial efetivo nos valendo da analogia entre este e a

energia livre de Helmholtz. De fato, a susceptibilidade ´e dada pela rela¸c˜ao

3.1 O POTENCIAL EFETIVO 43

χ =

∂M

∂H

. ( . )

O campo magn´etico pode ser obtido em termos da magnetiza¸c˜ao M, por

H =

∂A

∂M

, ( . )

onde A ´e a energia livre de Helmholtz. Apartir da equa¸c˜ao ( . ) observamos que o

funcional gerador das fun¸c˜oes de Green conectadas F corresponde ao negativo da energia

livre de Gibbs:

F → −G ( . )

As energias livres de Gibbs e de Helmholtz s˜ao relacionadas por A−G = HM. Assim,

pela transforma¸c˜ao de Legendre ( . ), notamos a correspondˆencia

Γ → A, ( . )

isto ´e, a menos de um volume inﬁnito, o potencial efetivo U ´e an´alogo `a energia livre de

Helmholtz. Utilizaremos ent˜ao, a rela¸c˜ao

H =

∂U

∂M

( . )

que identiﬁca o campo H com a fun¸c˜ao de v´ertice de um ponto Γ

(1)

. A rela¸c˜ao ( . )

associa χ ao inverso da fun¸c˜ao de v´ertice de dois pontos Γ

(2)

. Obteremos uma express˜ao

para χ a partir das identidades ( . ) e ( . ) e das fun¸c˜oes de v´ertice 1PI associadas. Para

tanto, precisamos de uma uma express˜ao renormalizada do potencial efetivo at´e a ordem

de um loop. Vamos analisar o caso N = 1 para evitar discutir modos de Goldstone para

N > 1.

3.1 O POTENCIAL EFETIVO

Na se¸c˜ao (2.2) calculamos o potencial efetivo considerando apenas termos em ordem

zero na expans˜ao em n´umero de loops. Escreveremos agora a express˜ao para at´e a ordem

de um loop.

U(φ) ´e deﬁnido em ( . ) como a soma de partes de v´ertice com momentos externos

3.1 O POTENCIAL EFETIVO 44

nulos. Para a contribui¸c˜ao das partes de v´ertice da ordem de um loop consideramos a

soma de todos os diagramas desse tipo numa teoria φ

Figura 3.1 Na deﬁni¸c˜ao do potencial efetivo, todos diagramas da ordem de um loop para

qualquer n´umero de v´ertices s˜ao somados. Os momentos externos s˜ao nulos e pernas externas,

representadas pelas linhas tracejadas, s˜ao omitidas.

Como os momentos externos s˜ao nulos, h´a apenas um produto de n propagadores em

uma integral deﬁnida em d dimens˜oes. Desenvolvemos o c´alculo do potencial efetivo para

os casos anisotr´opico e isotr´opico.

3.1.1 O caso anisotr´opico

Utilizamos o propagador ( . ) no desenvolvimento da soma descrita pela ﬁgura (3.1).

O diagrama de ordem de um loop com 2n pernas externas ter´a express˜ao integral com o

correspondente fator de simetria dado por

(2n)

(0, . . . , 0) = −(2n − 1)!



−λ





d−m

+ (k

)

+ µ

)

. ( . )

Substituindo esta express˜ao na deﬁni¸c˜ao ( . ), obtemos

1−loop

(Φ) = −

∞



n=1

(2n)!



(2n − 1)!



−λ





d−m

+ (k

)

+ µ

)



. ( . )

O que leva a

1−loop

(Φ) = −



d−m

∞



n=1

+ (k

)

+ µ

)



−λΦ



. ( . )

3.1 O POTENCIAL EFETIVO 45

Para somar a s´erie, utilizamos a rela¸c˜ao ln(1 + x) = −Σ

∞

(1/n)(−x)

. Obtemos ent˜ao

1−loop

(Φ) =



d−m

k ln



1 +

λΦ

+ (k

)

+ µ



. ( . )

Acrescentando a contribui¸c˜ao em zero loop obtida na se¸c˜ao (2.2), escrevemos o potencial

efetivo at´e a ordem de um loop:

U(Φ) =



d−m

k ln



1 +

λΦ

+ (k

)

+ µ



. ( . )

A express˜ao acima ´e escrita em termos de parˆametros n˜ao-renormalizados, que apresen-

tam divergˆencias. Podemos escrever a express˜ao acima em termos de parˆametros ﬁnitos.

Como a diferen¸ca de temperatura δµ

desempenha um papel an´alogo ao do termo de

fonte t, podemos escrever a diferen¸ca de temperatura renormalizada como

t = Z

−1

(τ)

δµ

. ( . )

Isto ´e an´alogo a ( . ). Rescrevemos ( . ) com M sendo a magnetiza¸c˜ao renormalizada

(ou campo renormalizado):

M = Z

−1/2

φ(τ)

Φ. ( . )

Uma propriedade geral das grandezas universais ´e que elas s˜ao obtidas em termos de

objetos que s˜ao fun¸c˜oes da constante de acoplamento no ponto ﬁxo. Vamos ent˜ao calcular

o potencial efetivo da p´agina anterior como fun¸c˜ao das grandezas renormalizadas e da

constante de acoplamento no ponto ﬁxo u

∗

. As constantes de normaliza¸c˜ao s˜ao dadas

pelas condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao da teoria sem massa vista na se¸c˜ao (2.5). Substituindo

no potencial efetivo ( . ) as rela¸c˜oes ( . ), ( . ) e as redeﬁni¸c˜oes da massa e da

constante de acoplamento dadas pelas condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao referentes ao subespa¸co

especiﬁcado por τ , obtemos

U(M) =

∗



d−m





1 +

∗

)



−

∗

((k

)





∗

∗2



, ( . )

onde ﬁzemos κ

= 1 e a constante de acoplamento no seu valor de ponto ﬁxo u

∗

. Este ´e

o potencial efetivo renormalizado para um sistema competitivo anisotr´opico. Neste caso,

3.1 O POTENCIAL EFETIVO 46

´e deﬁnido por



d−m

{[(k + K



)

]

+ (q + P )

}[(k

)

+ q

]



. ( . )

Note que a express˜ao acima ´e geral, mas devemos particularizar o subespa¸co que nos

interessa para realizarmos as transforma¸c˜oes de grupo de renormaliza¸c˜ao. Por exemplo,

se usarmos as condi¸c˜oes de normaliza¸c˜ao correspondentes a τ = 1 (subespa¸co n˜ao com-

petitivo), devemos escolher K



= 0 e P

= 1 na integral acima, simbolizada por I

Quando analisamos o ﬂuxo de momento no acoplamento no subespa¸co comp etitivo τ = 2,

devemos ﬁxar P = 0 e K



= 1 na integral acima escrita como I

. Esta forma ´e conve-

niente para tratar independentemente as transforma¸c˜oes de grupo de renormaliza¸c˜ao nos

dois subespa¸c˜oes distintos do problema.

3.1.2 O caso isotr´opico

No caso isotr´opico, precisamos de apenas um tipo de subespa¸co. Portanto, o elemento

de volume das integrais de um loop ´e d

k. O propagador livre ´e dado por ( . ).

Portanto, a express˜ao resultante para o potencial efetivo n˜ao-renormalizado at´e a ordem

de um loop pode ser escrita como

U(Φ) =



k ln



1 +

λΦ

)

+ µ



. ( . )

O potencial efetivo renormalizado pode ser obtido de forma identica `aquela descrita

para o caso anisotr´opico. No ponto ﬁxo, obtemos ent˜ao, a seguinte express˜ao

U(M) =

∗







1 +

∗

)



−

∗

)





∗

∗2



, ( . )

Para o caso isotropico, I

´e deﬁnido pela integral



[(k + K



)

]

)



. ( . )

para o ponto de simetria ﬁxado em K



= 1.

3.2 SUSCEPTIBILIDADE PARA O CASO ANISOTR

OPICO 47

3.2 SUSCEPTIBILIDADE PARA O CASO ANISOTR

OPICO

Prosseguiremos agora com o c´alculo da raz˜ao entre as amplitudes de susceptibilidade

para o caso anisotr´opico. Trabalharemos com a densidade lagrangiana ( . ) e com o

propagador ( . ). Utilizaremos as deﬁni¸c˜oes dimensionais descritas na se¸c˜ao (2.4).

Um procedimento semelhante j´a foi utilizado no c´alculo da raz˜ao entre as amplitudes

de susceptibilidade acima e abaixo da temperatura cr´ıtica para sistemas descritos pelo

modelo ANNNI [37].

Come¸camos substituindo o potencial efetivo renormalizado ( . ) na express˜ao

∂U(M)

∂M

. ( . )

Obtemos ent˜ao

= tM +

∗



t +

∗





−



d−m

((k

)

+ q

)



)

+ q

+ t +

∗





( . )

onde I

´e a integral deﬁnida em ( . ). Esta integral j´a foi resolvida at´e a ordem 

[36]:

SP 1

= I

SP 2



(1 + [i

]



), ( . )

onde [i

]

≡ 1 + (1/2)[ψ(1) − ψ(2 − m/4)]. Os pontos de simetria s˜ao especiﬁcados

por SP

≡ (P

= 1, K



= 0) e SP

≡ (K



= 1, P = 0). Na dedu¸c˜ao de ( . ) foi

usada a aproxima¸c˜ao ortogonal de modo a tornar a solu¸c˜ao homogˆenea nos momentos

externos. O leitor interessado pode consultar a referˆencia [36] que mostra o procedimento

detalhado da resolu¸c˜ao desta integral no esquema dimensional que estamos considerando.

Precisamos ainda calcular a integral

I =



d−m

[(k

)

+ q

]



)

+ q

+ t +

∗



, ( . )

que aparece em ( . ). Para tal objetivo utilizaremos o m´etodo dos parˆametros de Feyn-

man que faz uso da seguinte identidade:

3.2 SUSCEPTIBILIDADE PARA O CASO ANISOTR

OPICO 48

. . . a

Γ(α

+ α

+ . . . + α

)

Γ(α

)Γ(α

) . . . Γ(α

)



. . . dx

n−1

−1

. . . x

n−1

−1

n−1

(1 − x

− x

− . . . − x

n−1

)

n−1

+ x

+ . . . + x

n−1

+ (1 − x

− x

− . . . − x

n−1

]

+α

+...+α

, ( . )

com 0  x

 1; x

+ x

+ . . . + x

n−1

 1. Tamb´em utilizaremos a rela¸c˜ao [25]:



∞

−∞

[(x

+ . . . + x

) + 2kx + m

]







α −



Γ(α)

− k

)

−α+d/2

, ( . )

e [36]



∞

−∞

[(x

+ . . . + x

)

+ 2a(x

+ . . . + x

) + m

]

∼







β −



Γ(β)

− a

)

−β+d/4

. ( . )

A partir de ( . ), podemos escrever a express˜ao ( . ) como

I =



d−m



)

+ q

+ x



t +

∗



. ( . )

A rela¸c˜ao ( . ) pode ser aplicada para a integral em (d − m) dimens˜oes na vari´avel q na

express˜ao acima. Assim podemos escrever

I =



d−m



d−m





2 −

d−m



Γ(2)



)

+ x



t +

∗



d−m

−2

, ( . )

onde S

d−m

´e a ´area da superf´ıcie de uma superf´ıcie esf´erica de d − m dimens˜oes. Ex-

pandindo d em termos do parˆametro perturbativo 

de acordo com ( . ), a express˜ao

( . ) pode ser reescrita como

I = S

d−m



2 −

−















)

+ x



t +

∗





( . )

3.2 SUSCEPTIBILIDADE PARA O CASO ANISOTR

OPICO 49

A seguir, desenvolvemos a integral na vari´avel k pela rela¸c˜ao ( . ). Dessa maneira,

obtemos

I =

d−m



2 −

−















t +

∗



−



dxx

−

. ( . )

Integrando sobre x, use a identidade

Γ(a + bx) = Γ(a)[1 + bxψ(a) + O(x

)], ( . )

onde ψ(z) = (d/dz)lnΓ(z). Usaremos 

como parˆametro perturbativo na express˜ao

( . ). Assim, a partir de ( . ), obtemos

I =



d−m



2−



















ψ(1)−ψ



2−



∗



−

( . )

O fator que aparece entre colchetes corresponde a uma constante angular multiplicativa

que aparece toda vez que uma integral de loop ´e realizada. Ela pode ser absorvida em

uma redeﬁni¸c˜ao da constante de acoplamento. Esta redeﬁni¸c˜ao tamb´em foi realizada

no desenvolvimento da integral I

[36], de modo que as constantes de acoplamento

envolvidas na deﬁni¸c˜ao de ambas as integrais s˜ao redeﬁnidas da mesma maneira. A

expres˜ao ( . ) cont´em termos at´e ordem 

nas expans˜oes desenvolvidas ao longo do

c´alculo. Precisamos ainda desenvolver o termo exponencial em 

como uma expans˜ao

perturbativa. Utilizando a identidade

= e

x ln y

∞



n=0

(ln y)

, ( . )

obtemos



t +

∗



−

= 1 −





t +

∗



+ O(

). ( . )

at´e a ordem 

. Substituindo ( . ) em ( . ), obtemos

I =





1 + 



]

−



−





t +

∗



, ( . )

3.2 SUSCEPTIBILIDADE PARA O CASO ANISOTR

OPICO 50

Assim, a subtra¸c˜ao de integrais que aparece em ( . ) torna-se

− I =



1 + ln



t +

∗



. ( . )

Podemos ent˜ao escrever a equa¸c˜ao de estado como

= tM +

∗



t +

∗



1 + ln



t +

∗



. ( . )

Com este resultado, podemos calcular a susceptibilidade χ. Como vimos, esta quantidade

est´a associada a fun¸c˜ao de v´ertice de dois pontos

(2)

∂H

∂M

, ( . )

atrav´es da rela¸c˜ao

−1

= Γ

(2)

(k = 0), ( . )

ou seja, como a segunda derivada do potencial efetivo.

Como vimos anteriormente na se¸c˜ao 2.5, o valor do ponto ﬁxo

∗

2

( . )

ser´a utilizado no c´alculo das amplitudes. Para T > T

o estado desordenado (para-

magn´etico) tem magnetiza¸c˜ao macrosc´opica nula. Substitu´ımos ent˜ao, M = 0 e o valor

do ponto ﬁxo ( . ) em ( . ). Obtemos ent˜ao:

χ = t

−(1+

/6)



1 −





, ( . )

Assim γ

= 1 + 

/6, como deﬁnimos na se¸c˜ao (2.5). Esta ´e a parte singular para

temperatura acima de T

, com expoente cr´ıtico γ

e amplitude

= 1 −



( . )

Para T < T

temos quebra de simetria. Determinamos a magnetiza¸c˜ao M como

o valor que extremiza ( . ). Agora, al´em da solu¸c˜ao trivial M = 0, obtemos M

(−6t/u

∗

) + 3t[1 + ln(−2t)], at´e a ordem de um loop. Aplicando este valor e ( . ) em

( . ), obtemos

χ(T < T

) = (−t)

−(1+

/6)



1 −



(4 + ln 2)



, ( . )

3.3 SUSCEPTIBILIDADE PARA O CASO ISOTR

OPICO 51

Esta ´e a parte singular da susceptibilidade abaixo de T

para o caso anisotr´opico com

expoente cr´ıtico γ

e amplitude

−



1 −



(4 + ln 2)



( . )

Assim, com os resultados ( . ) e ( . ), a raz˜ao entre as susceptibilidades ´e escrita como

−

= 2

(

/6)+1



1 +





. ( . )

At´e a ordem 

esta express˜ao pode ser escrita como

−

= 2





1 +







−





, ( . )

Assim, chegamos ao resultado

−

= 2

−1

. ( . )

Usando ( . ) para N = 1, temos que β

= (1/2)−(

/6)). Este resultado ´e uma fun¸c˜ao

do n´umero d de dimens˜oes do sistema e do n´umero m de dire¸c˜oes em que h´a intera¸c˜oes

competitivas, como esp er´avamos. Lembrando que ﬁxamos N = 1.

3.3 SUSCEPTIBILIDADE PARA O CASO ISOTR

OPICO

Vimos, pela an´alise dimensional descrita na se¸c˜ao (2.4), que o caso isotr´opico n˜ao

pode ser obtido como limite do caso anisotr´opico para m = d quando 

´e usado como

parˆametro perturbativo. Portanto, o procedimento descrito na se¸c˜ao anterior deve ser

adaptado ao caso isotr´opico.

Vimos tamb´em que, alheio a isto, o propagador, pode ser obtido como um limite

do caso anisotr´opico, resultando na express˜ao ( . ). Neste caso, o potencial efetivo

renormalizado pode ser escrito como ( . ). Daquela express˜ao, obtemos a equa¸c˜ao de

estado

3.3 SUSCEPTIBILIDADE PARA O CASO ISOTR

OPICO 52

= tM +

∗



t +

∗





−



)



)

+ t +

∗





( . )

onde I

´e deﬁnido como a integral ( . ) especiﬁcada no momento externo SP ≡ K



1. Assim como no caso anisotr´opico, I

j´a foi calculado na referˆencia [36] e vale





1 +





. ( . )

Prosseguimos ent˜ao com o c´alculo da integral



)



)

+ t +

∗



. ( . )

De acordo com ( . ) podemos escrever ( . ) como

I =





)

+ x



t +

∗



, ( . )

A integral em k pode ser desenvolvida a partir da rela¸c˜ao ( . ). Assim, a express˜ao

acima pode ser escrita como

I = S









2 −



Γ(2)





t +

∗



−2

, ( . )

A partir de ( . ), podemos escrever

I = S





1 −







1 −







1 +





t +

∗



−



dxx

−

( . )

Absorvemos S

numa redeﬁni¸c˜ao da constante de acoplamento. No caso anisotr´opico,

esta redeﬁni¸c˜ao foi feita com o termo [(1/4)S

d−m

Γ(d − m/4)Γ(m/4)]. Note que eles

s˜ao bem diferentes, mesmo no limite d → m = 8 − 

. Esta ´e uma das raz˜oes pelas quais

precisamos trabalhar isoladamente os casos anisotr´opico e isotr´opico.

A rela¸c˜ao ( . ) implica que Γ(1 − bx)Γ(1 + bx) = 1 + O(

), de maneira que, at´e a

3.3 SUSCEPTIBILIDADE PARA O CASO ISOTR

OPICO 53

ordem 

na expans˜ao perturbativa, ( . ) pode ser escrito como

I =





t +

∗



−

( . )

e, pela expans˜ao ( . ), a express˜ao acima se resume a

I =





1 −





t +

∗



. ( . )

A equa¸c˜ao ( . ) ´e o resultado que est´avamos procurando para a integral I no caso

isotr´opico. A subtra¸c˜ao que aparece na equa¸c˜ao de estado ser´a ent˜ao

− I =



1 + ln



t +

∗



. ( . )

A equa¸c˜ao de estado para o caso isotr´opico portanto tomar´a a forma

= tM +

∗



t +

∗



1 + ln



t +

∗



. ( . )

Como no caso anisotr´opico, para χ

−1

(T > T

), aplicamos a derivada em rela¸c˜ao a M na

equa¸c˜ao para H

, substitu´ımos o valor M = 0 e usamos o valor o ponto ﬁxo de u deﬁnido

em ( . ) na rela¸c˜ao ( . ). Obtemos ent˜ao

χ = t

−(1+

/12)



1 −





, ( . )

o que determina o expoente cr´ıtico γ

= 1 + 

/12. Esta ´e a parte singular para a

susceptibilidade acima da temperatura cr´ıtica de Lifshitz, com amplitude

= 1 −



. ( . )

Abaixo de T

, o valor da magnetiza¸c˜ao ser´a aquele que extremiza ( . ), assim M

(−6t/u

∗

) + (3/2)t[1 + ln(−2t)]. Aplicando resultado e o valor do ponto ﬁxo ( . ) em

( . ), obtemos

χ(T < T

) = (−t)

−γ



1 +



(4 + ln 2)



. ( . )

Esta ´e a parte singular para a susceptibilidade abaixo da temperatura cr´ıtica de Lifshitz,

com expoente cr´ıtico γ

e amplitude

3.3 SUSCEPTIBILIDADE PARA O CASO ISOTR

OPICO 54

−



1 +



(4 + ln 2)



( . )

Apartir dos resultados ( . ) e ( . ), a raz˜ao entre as amplitudes ser´a ent˜ao

−

= 2

(

/12)+1



1 +





. ( . )

Esta express˜ao pode ser escrita como

−

= 2



/12



1 +







−





, ( . )

De modo que, podemos escrever o resultado ﬁnal como

−

= 2

−1

, ( . )

onde β

= (1/2) − (

/12), ou seja o expoente ( . ) para N = 1. Apesar de ser uma

express˜ao idˆentica `aquela obtida para o caso isotr´opico, ou mesmo para aquela obtida

para o caso ANNNI [37], a deﬁni¸c˜ao dos exp oentes γ

e β

e de 

´e diferente para cada

caso. O parˆametro 

guarda a informa¸c˜ao do n´umero d de dimens˜oes do sistema e do

n´umero m de dire¸c˜oes espaciais ao longo das quais h´a intera¸c˜ao competitiva. Mostramos

ent˜ao que a raz˜ao da susceptibilidade para os casos isotr´opico e anisotr´opico pertencem

a classes de universalidades especiﬁcadas por (d, m) para N = 1.

CAP

ITULO 4

CONCLUS

Raz˜oes entre amplitudes acima e abaixo da temperatura cr´ıtica para determinadas

quantidades termodinˆamicas s˜ao exemplos de grandezas universais. Elas n˜ao dependem

de caracter´ısticas microsc´opicas do sistema f´ısico considerado. Para sistemas que apre-

sentam comportamento cr´ıtico de Lifshitz de segundo car´ater, estas grandezas dependem

apenas do n´umero d de dimens˜oes, do n´umero m de dire¸c˜oes espaciais ao longo das quais

h´a intera¸c˜oes competitivas e do n´umero N de dimens˜oes do parˆametro de ordem. A

propriedade da universalidade surge naturalmente quando t´ecnicas de grupo de renorma-

liza¸c˜ao s˜ao aplicadas ao estudo de sistemas que exibem transi¸c˜ao de fase.

Neste trabalho, utilizamos t´ecnicas de teoria quˆantica de campos aplicadas a Mecˆanica

Estat´ıstica. A partir de analogias e correspondˆencias entre diversas quantidades relaci-

onadas a estas duas ´areas de estudo, calculamos a raz˜ao C

−

entre as amplitudes de

susceptibilidade para temperaturas acima e abaixo da temperatura associada ao ponto

de Lifshitz de segundo car´ater. Nos concentramos no comportamento cr´ıtico de sistemas

que s˜ao extens˜oes do modelo de Ising. Assim a magnetiza¸c˜ao, que ´e o parˆametro de

ordem associado a tal modelo tem apenas uma componente. Restringimo-nos ent˜ao ao

caso particular N = 1. Utilizamos t´ecnicas de renormaliza¸c˜ao de uma teoria sem massa

para tornar ﬁnito o potencial efetivo e deduzimos uma equa¸c˜ao de estado. A partir desta

equa¸c˜ao, calculamos a susceptibilidade χ.

Desenvolvemos este procedimento para os casos anisotr´opico e isotr´opico e obtivemos

a susceptibilidade para ambos os casos. Especiﬁcamos este resultado para os estados

ordenado e desordenado, determinando assim, a raz˜ao entre as amplitudes relacionadas

a cada estado.

Obtivemos resultados que est˜ao de acordo com o car´ater universal desta quantidade.

Estes resultados s˜ao expressos em termos do parˆametro perturbativo 

. No caso ani-

sotr´opico, 

= 4 −d +m/2, ou seja ´e uma fun¸c˜ao de d e m. Dessa forma, a raz˜ao C

−

CONCLUS

AO 56

tamb´em ´e unicamente uma fun¸c˜ao de d e m. No caso isotr´opico, 

= 8 − m, ou seja,

uma fun¸c˜ao do n´umero de dimens˜oes m. Neste caso, a raz˜ao C

−

´e fun¸c˜ao unicamente

de m = d.

Os resultados obtidos neste trabalho consistem numa generaliza¸c˜ao daqueles obtidos

para o modelo ANNNI [37]. Naquele caso, foi obtido o valor 3,85 para a raz˜ao C

−

Podemos obter este valor especiﬁcando m = 1 na equa¸c˜ao ( . ), obtida para o caso

anisotr´opico.

Na descri¸c˜ao original de Wilson, os expoentes foram obtidos para o caso especial  = 1

(d = 3). Para o caso isotr´opico, a situa¸c˜ao an´aloga seria tomar 

= 1 e d = 7. Nese caso,

o valor num´erico da raz˜ao entre as amplitudes de susceptibilidade vale C

−

= 2, 73.

Este resultado tem, at´e o presente momento, apenas interesse acadˆemico.

Uma interessante generaliza¸c˜ao deste c´alculo pode ser imaginado para o caso do sis-

tema competitivo mais geral poss´ıvel.

E poss´ıvel tamb´em deﬁnir modelos que descrevem

sistemas com intera¸c˜oes at´e o L-´esimo vizinho. Dessa forma, podemos imaginar um

sistema onde haja intera¸c˜oes ferromagn´eticas e antiferromagn´eticas alternadas (J

> 0,

< 0, ..., J

≷ 0) ao longo de m

dire¸c˜oes. Tamb´em consideramos, neste caso, m

L−1

dire¸c˜oes em que h´a intera¸c˜oes competitivas alternadas at´e o ( L − 1)-´esimo vizinho e

assim sucessivamente at´e encontrarmos dire¸c˜oes em que h´a intera¸c˜oes alternadas at´e o

terceiro vizinho (m

dire¸c˜oes, neste caso), intera¸c˜oes alternadas at´e o segundo vizinho

dire¸c˜oes, neste caso) e apenas intera¸c˜oes ferromagn´eticas entre primeiros vizinhos

((d−m

−m

−. . . m

) dire¸c˜oes, neste caso). Sistemas com essa conﬁgura¸c˜ao apresentam

comportamento cr´ıtico de Lifshitz de L-´esimo car´ater gen´erico. Classes de universalidade

para este tipo de comportamento cr´ıtico s˜ao especiﬁcadas por (N, d, m

, . . . , m

). O caso

isotr´opico ocorre quando intera¸c˜oes competitivas alternadas at´e o L-´esimo vizinho s˜ao de-

ﬁnidas ao longo de todas as d dire¸c˜oes espaciais. Dessa forma, classes de universalidade

para este caso s˜ao especiﬁcadas por (N, d, m

= 0, m

= 0, . . . , m

= d) [38, 39].

O comportamento cr´ıtico de Lifshitz de L-´esimo car´ater gen´erico ´e o caso mais geral

em que podemos deﬁnir um sistema competitivo e diversas outras situa¸c˜oes podem ser

obtidas como casos particulares deste. O sistema em que h´a intera¸c˜oes competitivas

entre primeiros e segundos vizinhos discutido neste trabalho ´e um caso particular em que

= m e m

= m

= . . . = m

= 0 e ´e chamado de comportamento cr´ıtico de Lifshitz

CONCLUS

AO 57

de segundo car´ater.

Alguma extens˜oes do nosso trabalho podem ser desenvolvidas no c´alculo de amplitudes

cr´ıticas para outros potenciais termodinˆamicos como o calor espec´ıﬁco e o comprimento

de correla¸c˜ao. Pode-se ainda determinar amplitudes cr´ıticas para temperaturas acima e

abaixo da temperatura associada ao ponto de Lifshitz de L-´esimo car´ater gen´erico.

REFER

ENCIAS BIBLIOGR

AFICAS

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