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Universidade Federal do Cear´a
Departamento de Computa¸c˜ao
Mestrado em Ciˆencia da Computa¸c˜ao
Dedu¸c˜ao Natural e Normaliza¸c˜ao Fraca para
L´ogica Linear Completa
por
Lilia Ramalho Martins
orientadora:
Profa. Ana Teresa de Castro Martins
Fortaleza
11 de dezembro de 2003
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Resumo
A l´ogica linear proposta por Girard [Gir87, Gir93a, Gir95] tem se mostra-
do extremamente valiosa para a formaliza¸c˜ao de problemas t´ıpicos de Ciˆencia
da Computa¸c˜ao. Isso se deve ao fato de que, na l´ogica linear, senten¸cas s˜ao
tratadas como recursos ou a¸c˜oes e conseq¨uˆencias l´ogicas como transi¸c˜oes entre
estados.
Nesse trabalho, n´os revisamos cinco trabalhos recentes [Tro92, BBHdP92,
Tro95, Mar00, dPNdM01] que apresentam sistemas de dedu¸c˜ao natural para a
l´ogica linear ou para fragmentos dessa l´ogica e introduzimos um novo sistema
chamado NDLL de dedu¸c˜ao natural de conclus˜ao ´unica para a l´ogica linear
cl´assica de primeira ordem. N´os demonstramos a equivalˆencia (no sentido
de demonstrabilidade) entre o sistema NDLL e o c´alculo de seq¨uentes linear
de Girard. Al´em disso, n´os provamos o teorema de normaliza¸c˜ao fraca e o
seu companheiro usual: o princ´ıpio da subf´ormula para dedu¸c˜oes normais em
NDLL.
O sistema NDLL fornece regras para a l´ogica linear completa, incluindo
novas regras para os conectivos “Par” () e “Why not” (?). N´os tamb´em
investigamos as implica¸c˜oes que essas novas regras ocasionam num procedi-
mento de normaliza¸c˜ao fraca.
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Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 1
2 L´ogica Linear 4
2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 A linguagem da l´ogica linear de primeira ordem . . . . . . . . 4
2.3 Generalidades relevantes sobre l´ogica linear . . . . . . . . . . . 9
2.4 C´alculo de seq¨uentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Proof-nets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 O Sistema de Dedu¸c˜ao Natural NDLL 24
3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Conceitos e no¸c˜oes preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Regras de inferˆencia de NDLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 No¸c˜oes referentes a dedu¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Regras alternativas para exponenciais . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Significado dos conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Equivalˆencia entre NDLL e o C´alculo de Seq¨uentes 45
4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Lema preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Corretude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Equivalˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 Sistemas de Dedu¸c˜ao Natural Linear 74
5.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Os sistemas N-CLL e N-ILL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Os sistemas ILL e ILL
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
iii
SUM
´
ARIO iv
5.4 O sistema NLLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.5 O sistema NL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Normaliza¸c˜ao para o Sistema NDLL 82
6.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2 Defini¸c˜oes preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3 Redu¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4 Normaliza¸c˜ao fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5 A forma de dedu¸c˜oes normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.6 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7 Conclus˜ao 126
A C´alculo de Seq¨uentes Cl´assico 128
B Sistema de Dedu¸c˜ao Natural Cl´assico 130
C Dedu¸c˜ao Natural para a L´ogica Modal S4 132
D Regras do Sistema NDLL 135
E Regras para Constantes Aditivas 138
F Provas de Incompletude para NDLL’ e NDLL” 140
F.1 Incompletude do sistema NDLL’ . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
F.2 Incompletude do sistema NDLL” . . . . . . . . . . . . . . . . 157
G Lemas Auxiliares a Normaliza¸c˜ao 168
Referˆencias Bibliogr´aficas 242
Lista de Defini¸c˜oes
2.1 Termo 5
2.2 F´ormula atˆomica 6
2.3 F´ormula bem formada 6
2.4 Grau de uma f´ormula 6
2.5 Pseudo-f´ormula 6
2.6 S´ımb olo principal de uma pseudo-f´ormula 6
2.7 Escopo de um quantificador 7
2.8 Vari´avel ligada numa pseudo-f´ormula 7
2.9 Vari´avel livre numa pseudo-f´ormula 7
2.10 Subf´ormula 7
2.11 Dedu¸c˜ao em c´alculo de seq¨uentes 16
2.12 Seq¨uente final 16
2.13 Tamanho de uma dedu¸c˜ao em c´alculo de seq¨uentes 17
2.14 Proof-structure 19
2.15 Premissa de uma proof-structure 19
v
vi
2.16 Conclus˜ao de uma proof-structure 19
2.17 Proof-net 20
2.18 Grafo D-R 21
3.1 Regra de inferˆencia em NDLL 25
3.2 Dedu¸c˜ao em NDLL 25
3.3 Ocorrˆencia de f´ormula 25
3.4 Aplica¸c˜ao ou instˆancia de uma regra de inferˆencia 26
3.5 Hip´otese 26
3.6 F´ormula topo em uma dedu¸c˜ao 26
3.7 F´ormula final de uma dedu¸c˜ao 26
3.8 Tra¸cado 27
3.9 Subdedu¸c˜ao determinada por uma f´ormula 27
3.10 Subdedu¸c˜ao imediata 27
3.11 F´ormula vizinha 27
3.12 Tamanho de uma dedu¸c˜ao em NDLL 27
3.13 Formulas essencialmente !-modais e ?-modais 27
3.14 Dependˆencia 30
3.15 Premissa maior de uma regra 34
3.16 Premissa menor de uma regra 34
3.17 Premissa intermedi´aria 35
vii
3.18 Subdedu¸c˜ao 35
6.1 Segmento 83
6.2 Segmento m´aximo e ocorrˆencia de f´ormula m´axima 84
6.3 Dedu¸c˜ao normal 85
6.4 Adjacˆencia 118
6.5 Tamanho de um segmento 118
6.6 Ocorrˆencia de f´ormula discordante 118
6.7 Grau cr´ıtico de uma f´ormula 118
6.8 Propaga¸c˜ao de uma ocorrˆencia de f´ormula 119
6.9
´
Indice de uma ocorrˆencia de f´ormula 119
6.10
´
Indice de uma dedu¸c˜ao 119
6.11 Dimens˜ao de uma dedu¸c˜ao 119
6.12 Caminho 120
6.13 Caminho principal 122
6.14 Ordem de um caminho 122
C.1 F´ormula essencialmente modal em S4 132
Lista de Lemas, Teoremas e
Corol´arios
4.1 Lema sobre f´ormulas essencialmente !-modais e ?-modais 45
4.2 Corretude do sistema NDLL 48
4.3 Completude do sistema NDLL 60
4.4 Equivalˆencia entre NDLL e c´alculo de seq¨uentes 73
6.1 Teorema da normaliza¸c˜ao fraca 119
6.2 Lema da I-parte e da E-parte 121
6.3 Princ´ıpio da subf´ormula 122
F.1 Incompletude do sistema NDLL’ 140
F.2 Incompletude do sistema NDLL” 159
G.1 Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo
1.(e) e 4.(c)
168
G.2 Lema da permanˆencia 171
G.3 Lema sobre dedu¸c˜oes de ´ındice (0,0) 172
G.4 Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo
1.(a)
172
viii
ix
G.5 Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo
1.(b)
180
G.6 Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo
4.(b)
185
G.7 Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo
1.(d)
187
G.8 Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas dos tipos
2.(a), 2.(d) e 3.(a)
190
G.9 Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas dos tipos
2.(b), 2.(e) e 3.(b)
204
G.10 Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo
2.(c)
204
G.11 Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo
3.(c)
212
G.12 Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo
2.(f)
214
G.13 Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo
4.(a)
216
G.14 Lema sobre r(Π) 221
G.15 Lema das f´ormulas m´aximas iguais para E
⊥
221
G.16 Lema das f´ormulas m´aximas iguais para E
231
G.17 Lema das f´ormulas m´aximas iguais para E
?
231
G.18 Lema cr´ıtico 232
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
A l´ogica linear proposta por Girard [Gir87, Gir93a, Gir95] tem se mostrado
extremamente valiosa para a formaliza¸c˜ao de problemas t´ıpicos de Ciˆencia
da Computa¸c˜ao. Isso se deve ao fato de que, na l´ogica linear, senten¸cas
s˜ao tratadas como recursos ou a¸c˜oes e conseq¨uˆencias l´ogicas como transi¸c˜oes
entre estados.
Girard propˆos a l´ogica linear em [Gir87] atrav´es de um c´alculo de seq¨uentes
linear e de um novo sistema de dedu¸c˜ao chamado proof-nets. Girard in-
troduziu proof-nets como substitutas para dedu¸c˜ao natural. Proof-nets s˜ao
definidas como grafos conexos n˜ao orientados chamados proof-structures. No
entanto, para reconhecer uma proof-net, um crit´erio de corretude deve ser
aplicado a uma proof-structure, o que sobrecarrega a tarefa de construir uma
dedu¸c˜ao logicamente correta nesse sistema. As proof-nets s˜ao principalmente
empregadas no fragmento multiplicativo da l´ogica linear sem constantes e
operadores exponenciais, por´em elas podem ser estendidas para sup ortar os
conectivos aditivos e as constantes como em [Gir96]. Infelizmente, as proof-
nets ainda n˜ao s˜ao adequadas para lidar como o operador exponencial “Of
course” (!).
O sistema de dedu¸c˜ao natural introduzido por Gentzen em [ Gen69] para
a l´ogica cl´assica foi especialmente projetado para enfatizar o papel dedutivo
dos s´ımbolos l´ogicos e para evidenciar as dependˆencias entre hip´oteses e con-
clus˜ao.
´
E um m´etodo sint´atico largamente empregado que reflete de forma
mais aproximada a maneira como realmente raciocinamos.
O objetivo do presente trabalho ´e desenvolver um sistema de dedu¸c˜ao
natural para a l´ogica linear levando em conta as caracter´ısticas do m´etodo
proposto originalmente por Gentzen [Gen69] para a l´ogica cl´assica. Ademais,
alguns resultados em teoria da prova s˜ao investigados tais como o teorema
da normaliza¸c˜ao fraca e o princ´ıpio da subf´ormula.
Alguns trabalhos recentes [Tro92, BBHdP92, Tro95, Mar00, dPNdM01]
1
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 2
apresentam sistemas de dedu¸c˜ao natural para a l´ogica linear. Troelstra, em
seu livro [Tro92], apresentou os sistemas N-CLL e N-ILL. N-CLL indica um
sistema de dedu¸c˜ao natural linear cl´assico e N-ILL um sistema de dedu¸c˜ao
natural linear intuicion´ıstico. Esses dois sistemas incluem os fragmentos adi-
tivo e multiplicativo, apesar de n˜ao oferecerem regras para os conectivos
“Par” () e “Why not” (?). Esses conectivos s˜ao tratados por defini¸c˜ao
usando as dualidades de de Morgan. Troelstra n˜ao apresentou teoremas de
normaliza¸c˜ao para os sistemas N-CLL e N-ILL.
Em [BBHdP92], Benton, Bierman, Hyland e de Paiva propuseram o sis-
tema ILL para a l´ogica linear multiplicativa intuicion´ıstica. Eles abordaram
o fragmento {1, ⊗, , !} dessa l´ogica.
Num trabalho subseq¨uente [Tro95], Troelstra repensou o trabalho apre-
sentado p or Benton et al. e introduziu o sistema ILL
+
. Os sistemas ILL e
ILL
+
diferem apenas em alguns poucos pontos. Ambos foram normalizados.
Entretanto, as provas de normaliza¸c˜ao para o sistema ILL
+
est˜ao mais no
esp´ırito da normaliza¸c˜ao proposta por Prawitz para a l´ogica modal S4.
Em [dPNdM01], de Medeiros apresentou um investiga¸c˜ao profunda sobre
tradu¸c˜oes entre l´ogicas distintas. O principal objetivo do trabalho dela foi
usar teoremas de normaliza¸c˜ao como ponto de partida para definir novas
tradu¸c˜oes. Ela propˆos o sistema NLLM, um c´alculo de dedu¸c˜ao natural para o
fragmento multiplicativo da l´ogica linear. Ela tamb´em provou a equivalˆencia
entre o sistema NLLM e o fragmento multiplicativo do c´alculo de seq¨uentes
de Girard, al´em dos teoremas de normaliza¸c˜ao e tradu¸c˜oes envolvendo esse
fragmento. Todavia, assim como em [Tro92, BBHdP92, Tro95], de Medeiros
n˜ao definiu regras para os conectivos e ?. Esses conectivos s˜ao tratados
por defini¸c˜ao.
Maraist [Mar00] propˆos o sistema NL. Esse sistema abrange quase toda a
l´ogica linear incluindo os fragmentos aditivo e multiplicativo, apesar de n˜ao
oferecer regras para o operador ?. Notavelmente, Maraist propˆos regras para
o conectivo . Contudo, essas regras s˜ao baseadas numa esp´ecie de silogismo
em virtude do fato de que uma f´ormula da forma αβ pode ser lida como
α
⊥
β ou como β
⊥
α.
Como podemos notar, nenhum dos seis sistemas mencionados acima su-
porta todos os conectivos lineares. Apenas trˆes deles (sistemas N-CLL, N-ILL
e NL) abrangem o fragmento aditivo. Por outro lado, o sistema de dedu¸c˜ao
natural que apresentamos no presente trabalho contempla toda a l´ogica li-
near, incluindo os fragmentos aditivo e multiplicativo e novas regras para os
conectivos e ?. N´os tamb´em provamos o teorema de normaliza¸c˜ao para o
nosso sistema NDLL e o princ´ıpio da subf´ormula.
Algumas das id´eias que utilizamos para elaborar nosso sistema NDLL
foram inspiradas pelo trabalho de de Medeiros [dPNdM01]. Pretendemos
CAP
´
ITULO 1. INTRODUC¸
˜
AO 3
posteriormente definir tradu¸c˜oes no esp´ırito do trabalho dela usando, para
esse fim, nosso teorema de normaliza¸c˜ao fraca para NDLL.
O presente trabalho foi desenvolvido no escopo de uma investiga¸c˜ao mais
vasta sobre o problema do racioc´ınio pr´atico e seu companheiro usual: o
problema de tomada de decis˜ao. Normalmente, o problema de tomada de
decis˜ao envolve gerenciamento de recursos limitados. Dessa forma, pretende-
mos fazer a tentativa de usar a l´ogica linear para a formaliza¸c˜ao do racioc´ınio
pr´atico, j´a que essa l´ogica ´e preparada para manipular tais recursos limitados.
No pr´oximo Cap´ıtulo, a l´ogica linear ´e apresentada atrav´es do c´alculo de
seq¨uentes. O Cap´ıtulo 3 introduz nosso sistema de dedu¸c˜ao natural linear
NDLL. No Cap´ıtulo 4, a corretude e a completude s˜ao provadas em rela¸c˜ao ao
c´alculo de seq¨uentes de Girard, j´a que o nosso sistema NDLL abrange toda a
l´ogica linear. O Cap´ıtulo 5 ´e devotado a compara¸c˜oes entre o sistema NDLL
e os sistemas propostos em [Tro92, BBHdP92, Tro95, Mar00, dPNdM01]. Os
teoremas de normaliza¸c˜ao para nosso sistema s˜ao apresentado no Cap´ıtulo
6. Conclus˜oes e trabalhos futuros s˜ao expostos no ´ultimo Cap´ıtulo.
Cap´ıtulo 2
L´ogica Linear
2.1 Introdu¸c˜ao
A l´ogica cl´assica ´e amplamente empregada para representar e resolver proble-
mas matem´aticos. Contudo, a l´ogica cl´assica n˜ao ´e apropriada para lidar com
alguns problemas refinados envolvendo aspectos tais como tempo, recursos,
estados, a¸c˜oes, d´uvidas, entre outros.
Em 1987, Girard [Gir87] propˆos a l´ogica linear, uma l´ogica com novos
conectivos e sint´atica e semˆantica bastante diferentes da sint´atica e semˆantica
da l´ogica cl´assica. Essa l´ogica envolve conceitos tais como recursos, estados e
a¸c˜oes pelo fato de que, em geral, as regras de prova “Contra¸c˜ao” e “Enfraque-
cimento” n˜ao s˜ao admitidas. Desde sua origem, a l´ogica linear ´e reconhecida
como relevante para a teoria da computa¸c˜ao.
Na pr´oxima Se¸c˜ao, apresentaremos defini¸c˜oes relevantes e uma parte do
formalismo que ser´a usado no decorrer desse trabalho. Na Se¸c˜ao 2.3, n´os
introduzimos a l´ogica linear e discutimos caracter´ısticas peculiares e impor-
tantes dessa l´ogica. As Se¸c˜oes 2.4 e 2.5 apresentam o c´alculo de seq¨uentes
linear e as proof-nets respectivamente.
2.2 A linguagem da l´ogica linear de primeira
ordem
A linguagem L da l´ogica linear de primeira ordem usada no presente trabalho
envolve conectivos para as conjun¸c˜oes lineares “Times” (⊗) e “With” (),
para as disjun¸c˜oes lineares “Par” () e “Plus” (⊕), para a implica¸c˜ao ()
e nega¸c˜ao (
⊥
) lineares, para as constantes lineares “Um” (1) e “Falso” (⊥),
al´em de ambos operadores exponenciais “Of course” (!) e “Why not” (?), e
4
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 5
ambos quantificadores de primeira ordem “Para todo” (∀) e “Existe” (∃).
Assim como em [Pra65], devemos adotar parˆametros individuais ao inv´es
de vari´aveis livres. Vari´aveis individuais ocorrem apenas ligadas. Dessa
forma, os s´ımbolos do alfabeto A da linguagem de primeira ordem L podem
ser divididos nas seguintes categorias:
1. S´ımbolos auxiliares: (, ).
2. Constantes l´ogicas:
(a) Constantes sentenciais: 1, ⊥.
(b) Nega¸c˜ao linear:
⊥
.
(c) Operadores exponenciais: !, ?.
(d) Conectivos sentenciais: ⊗, , , ⊕, .
(e) Quantificadores de primeira ordem: ∀, ∃.
3. Vari´aveis individuais: Um conjunto cont´avel de s´ımbolos desse tipo.
Usaremos as letras x, y e z para denotar vari´aveis individuais.
4. Parˆametros individuais: Um conjunto cont´avel de s´ımbolos desse tipo.
Usaremos as letras a, b e c para denotar parˆametros individuais.
5. Predicados: Para cada inteiro positivo n, um conjunto (possivelmente
vazio) de s´ımbolos chamados predicados n-´arios. Predicados s˜ao deno-
tados por P
1
, P
2
, . . ..
6. Fun¸c˜oes: Para cada inteiro n˜ao negativo n, um conjunto (possivelmente
vazio) de s´ımbolos chamados fun¸c˜oes n-´arias. Fun¸c˜oes s˜ao denotadas
por f
1
, f
2
, . . ..
Assumimos que nenhum dos s´ımbolos em A ´e uma seq¨uˆencia finita de
outros s´ımbolos.
Na l´ogica linear de primeira ordem, os quantificadores ∀ e ∃ portam-se de
forma an´aloga ao comportamento apresentado na l´ogica cl´assica de primeira
ordem. Portanto, o conceito de termos e f´ormulas bem formadas na l´ogica
linear de primeira ordem ´e bastante similar a esses mesmos conceitos na
l´ogica cl´assica de primeira ordem. Assim, adaptamos as seguintes defini¸c˜oes
em [Pra65] para o nosso caso:
Defini¸c˜ao 2.1 (Termo) O conjunto de termos na l´ogica linear de primeira
ordem ´e definido indutivamente como segue:
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 6
1. Todo parˆametro individual ´e um termo.
2. Toda fun¸c˜ao 0-´aria ´e um termo.
3. Se t
1
, t
2
, ..., t
n
s˜ao termos e f
i
´e uma fun¸c˜ao n-´aria para i > 0 e n > 0,
ent˜ao a express˜ao f
i
(t
1
, t
2
, . . . , t
n
) ´e um termo.
Defini¸c˜ao 2.2 (F´ormula atˆomica) α ´e uma f´ormula atˆomica se e somente
se uma das seguintes condi¸c˜oes ´e v´alida:
1. α ´e 1 ou ⊥.
2. α ´e da forma P
i
(t
1
, t
2
, . . ., t
n
) tal que t
1
, t
2
, ..., t
n
s˜ao termos e P
i
´e um
predicado n-´ario para i > 0 e n > 0.
Defini¸c˜ao 2.3 (F´ormula bem formada) O conjunto de f´ormulas bem for-
madas (fbfs ou simplesmente f´ormulas) na l´ogica linear de primeira ordem ´e
definido indutivamente da seguinte forma:
1. Se α ´e uma f´ormula atˆomica, ent˜ao α ´e tamb´em fbf.
2. Se α e β s˜ao fbfs, ent˜ao (α
⊥
), (!α), (?α), (α ⊗ β), (αβ), (αβ), (α ⊕ β),
(α β) s˜ao tamb´em fbfs.
3. Se α ´e uma fbf, ent˜ao as f´ormulas (∀xα
) e (∃xα
) tamb´em s˜ao, nas
quais α
´e α ou ´e obtida a partir de α pela substitui¸c˜ao de ocorrˆencias
de um parˆametro individual pela vari´avel x.
Defini¸c˜ao 2.4 (Grau de uma f´ormula) O grau de uma f´ormula α, denotado
por d(α), ´e definido como o n´umero de ocorrˆencias de constantes l´ogicas em
α exceto por ocorrˆencias de 1 e ⊥. (Assim, uma f´ormula atˆomica ´e de grau
0.)
Defini¸c˜ao 2.5 (Pseudo-f´ormula) Uma pseudo-f´ormula ´e uma f´ormula ou ´e
como uma f´ormula exceto por conter vari´aveis em lugares onde uma f´ormula
teria parˆametros. F´ormulas s˜ao consideradas ent˜ao como casos especiais de
pseudo-f´ormulas.
Defini¸c˜ao 2.6 (S´ımbolo principal de uma pseudo-f´ormula) Seja α uma pseu-
do-f´ormula n˜ao atˆomica. Ent˜ao α ´e exatamente de uma das seguintes formas
(β
⊥
), (!β), (?β), (β ⊗ γ), (βγ), (βγ), (β ⊕ γ), (β γ), (∀xβ) e (∃xβ); logo
o s´ımbolo
⊥
, !, ?, ⊗, , , ⊕, , ∀ ou ∃, respectivamente, ´e considerado o
principal s´ımbolo de α.
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 7
Defini¸c˜ao 2.7 (Escopo de um quantificador) O escopo de uma certa ocor-
rˆencia de ∀ ou ∃ em uma pseudo-f´ormula α ´e a parte de α que tem essa
ocorrˆencia como s´ımbolo principal.
Defini¸c˜ao 2.8 (Vari´avel ligada numa pseudo-f´ormula) Uma ocorrˆencia de
uma vari´avel x numa pseudo-f´ormula α ´e ligada se ela pertence ao escopo
de um quantificador seguido imediatamente por x. Numa f´ormula, todas as
ocorrˆencias de vari´aveis s˜ao obviamente ligadas.
Defini¸c˜ao 2.9 (Vari´avel livre numa pseudo-f´ormula) Uma ocorrˆencia de uma
vari´avel x numa pseudo-f´ormula α ´e livre se ela n˜ao pertence ao escopo de
um quantificador seguido imediatamente por x.
Nota¸c˜oes como α
t
x
e α
t
u
, nas quais a letra grega α representa uma f´ormula
e as letras t e u termos, s˜ao usadas para denotar o resultado de substituir
todas as ocorrˆencias de t em α por x ou u, respectivamente. Em contextos
nos quais uma nota¸c˜ao como α
t
x
´e usada, devemos sempre assumir que t n˜ao
ocorre em α no escopo de um quantificador que ´e seguido imediatamente por
x. Uma nota¸c˜ao como α
x
t
, na qual α representa uma pseudo-f´ormula e t um
termo, ´e usada para denotar o resultado de substituir todas as ocorrˆencias
livres de x em α por t.
Letras gregas min ´usculas (α, β, γ, . . . ) quando aparecerem desacompa-
nhadas sempre representar˜ao f´ormulas. Quando as letras gregas min´usculas
aparecerem como parte de uma outra nota¸c˜ao, tal como em ∀xα e ∃xα, elas
estar˜ao representando pseudo-f´ormulas, mas, nesses casos, a nota¸c˜ao com-
pleta estar´a representando uma f´ormula. Usaremos letras gregas mai´usculas
(Γ, ∆, Θ, . . . ), exceto por Π e Σ, para representar multisets
∗
finitos de fbfs, a
n˜ao ser em casos particulares nos quais estar˜ao explicitamente representando
algo diferente. Termos s˜ao denotados pelas letras u e t. Eventualmente, ´e
necess´ario indexar termos, f´ormulas e multisets de f´ormulas.
Defini¸c˜ao 2.10 (Subf´ormula) A no¸c˜ao de subf´ormula de uma f´ormula α ´e
definida indutivamente por:
1. α ´e uma subf´ormula de α.
2. Se (β
⊥
), (!β) ou (?β) ´e uma subf´ormula de α, ent˜ao β tamb´em ´e.
3. Se (β ⊗ γ), (βγ), (βγ), (β ⊕ γ) ou (β γ) ´e uma subf´ormula de α,
ent˜ao β e γ tamb´em s˜ao.
∗
Multisets de f´ormulas s˜ao conjuntos de f´ormulas nos quais duas ocorrˆencias de uma
mesma f´ormula s˜ao consideradas como elementos distintos.
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 8
4. Se (∀xβ) ou (∃xβ) ´e uma subf´ormula de α, ent˜ao β
x
t
tamb´em ´e.
Na linguagem L n˜ao h´a s´ımbolo para a equivalˆencia linear. No entanto,
usaremos ocasionalmente o s´ımbolo para abreviar sintaticamente nome
de f´ormulas. Assim, (α β) ´e a abrevia¸c˜ao de ((α β) ⊗ (β α)).
Para estabelecer uma nota¸c˜ao mais compacta e flex´ıvel, podemos omitir
ocorrˆencias de parˆenteses em f´ormulas adotando as seguintes conven¸c˜oes:
1. Os parˆenteses mais externos n˜ao precisam ser mencionados explicita-
mente. Por exemplo, quando escrevemos α ⊗ β estamos nos referindo `a
f´ormula (α ⊗ β).
2. O s´ımbolo da nega¸c˜ao linear ´e aplicado o mais pr´oximo poss´ıvel. Por
exemplo, α ⊗ β
⊥
´e α ⊗ (β
⊥
).
3. Os operadores exponenciais s˜ao aplicados o mais pr´oximo poss´ıvel,
sendo a conven¸c˜ao 2 observada prioritariamente. Por exemplo:
?!(?α)
⊥
´e (?(!((?α)
⊥
))).
4. Os quantificadores de primeira ordem s˜ao aplicados o mais pr´oximo
poss´ıvel, sendo a conven¸c˜ao 2 observada prioritariamente. Por exemplo:
?∃x!∀yα
⊥
´e (?(∃x(!(∀y(α
⊥
))))).
5. Os s´ımbolos de conjun¸c˜ao e disjun¸c˜ao s˜ao aplicados o mais pr´oximo
poss´ıvel, sendo as conven¸c˜oes 2, 3 e 4 observadas prioritariamente. Por
exemplo:
αβ !γ ⊕ δ ´e ((αβ) ((!γ) ⊕ δ)).
6. Quando um conectivo ´e usado repetidamente, agrupamento ocorre `a
direita:
αβγ ´e α(βγ).
α β γ ´e α (β γ).
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 9
2.3 Generalidades relevantes sobre l´ogica li-
near
Girard [Gir95] propˆos duas semˆanticas diferentes para a l´ogica linear: a
semˆantica de fases e a semˆantica denotacional. A semˆantica de fases as-
socia valores a f´ormulas no esp´ırito da teoria de modelos cl´assica tarskiana,
dessa forma, essa semˆantica ´e considerada a mais tradicional para a l´ogica
linear. A outra semˆantica, semˆantica denotacional, ´e apresentada por Girard
como uma simplifica¸c˜ao dos dom´ınios de Scott.
No entanto, a l´ogica linear ´e usualmente enfo cada atrav´es de abordagens
sint´aticas. Girard [Gir87] propˆos um c´alculo de seq¨uentes para a l´ogica linear
e um novo sistema sint´atico chamado proof-nets.
Abordagens sint´aticas compreendem provas de senten¸cas. Daqui p or
diante, usaremos a palavra dedu¸c˜ao para denotar provas. A no¸c˜ao de dedu¸c˜ao
depende do sistema adotado, portanto o conceito de dedu¸c˜ao ser´a definido
diferentemente para cada sistema apresentado.
Uma ´unica apari¸c˜ao de uma certa f´ormula em uma dedu¸c˜ao define a
no¸c˜ao de ocorrˆencia de f´ormula. Nesse Cap´ıtulo, ocasionalmente usaremos o
conceito de ocorrˆencia de f´ormula. Todavia, esse conceito ´e apresentado mais
precisamente na Defini¸c˜ao 3.3.
Implica¸c˜ao linear
Na l´ogica cl´assica, uma ocorrˆencia de f´ormula ´e considerada como uma verda-
de est´avel, ou seja, uma vez que uma f´ormula α ´e provada como verdadeira,
podemos sempre assumir que α ´e verdadeira. Por outro lado, na l´ogica li-
near, f´ormulas s˜ao tratadas como recursos limitados e relevantes. Assim uma
f´ormula na l´ogica linear, uma vez usada, deixa de estar dispon´ıvel para uso
posterior. Conseq¨uentemente, se queremos usar uma f´ormula mais de uma
vez, somos ent˜ao for¸cados a ter mais de uma ocorrˆencia dessa f´ormula. Em
[Gir93a], Girard apresentou o seguinte exemplo no qual as f´ormulas α
1
, α
2
e
α
3
representam as seguintes a¸c˜oes:
α
1
: gastar $1.
α
2
: obter um pacote de Camels.
α
3
: obter um pacote de Malboro.
Supomos que um pacote de Camels e um pacote de Malboro custam $1
cada. Na l´ogica linear, a a¸c˜ao α
1
α
2
significa gastar $1 para obter um
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 10
pacote de Camels. Com $1, podemos comprar ou um pacote de Camels ou
um pacote de Malboro e, depois de comprar um deles, n˜ao teremos mais $1.
Assim, na l´ogica linear, a partir de α
1
, α
1
α
2
e α
1
α
3
, podemos obter
ou α
2
ou α
3
, mas n˜ao ambas.
Como podemos observar, a implica¸c˜ao linear trata senten¸cas obedecendo
ao paradigma f´ormulas como recursos. Logo, podemos expressar a seguinte
situa¸c˜ao:
Se α e α β ent˜ao β, mas α n˜ao ´e mais v´alida.
Duas conjun¸c˜oes
Na l´ogica linear, podemos contar com duas conjun¸c˜oes, especificamente
“Times” (⊗) e “With” ().
A conjun¸c˜ao ⊗ assegura que duas a¸c˜oes ser˜ao executadas exatamente uma
vez. No exemplo ilustrado acima, a f´ormula (α
1
⊗ α
1
) (α
2
⊗ α
3
) significa
gastar $2 para comprar um pacote de Camels e um pacote de Malboro. A
a¸c˜ao α
1
(α
2
⊗ α
3
) n˜ao ´e v´alida j´a que, com $1, podemos comprar apenas
um pacote de cigarros. Assim, α
1
´e diferente de α
1
⊗ α
1
.
No entanto, a a¸c˜ao α
1
(α
2
α
3
) ´e v´alida. O conectivo “With” ()
expressa a disponibilidade de duas a¸c˜oes tamb´em, mas apenas uma delas ser´a
executada (exatamente uma vez) e devemos decidir qual delas. No caso da
a¸c˜ao α
1
(α
2
α
3
), com α
1
temos que decidir entre as a¸c˜oes α
2
e α
3
. Apesar
de ter caracter´ısticas disjuntivas, ´e tecnicamente considerada como uma
conjun¸c˜ao j´a que, na l´ogica linear, podemos provar (αβ) α e (αβ) β.
Duas disjun¸c˜oes
Na l´ogica linear tamb´em temos duas disjun¸c˜oes, especificamente “Par” ()
e “Plus” (⊕).
A disjun¸c˜ao ´e vista como dual da conjun¸c˜ao ⊗. Ela n˜ao tem um sig-
nificado intuitivo claro. Girard [Gir93a] elucida que expressa uma de-
pendˆencia entre duas a¸c˜oes. A a¸c˜ao αβ significa que a a¸c˜ao α depende
da a¸c˜ao β para ser executada e vice versa. Assim, podemos observar que
tem caracter´ısticas conjuntivas considerando tratar-se tecnicamente de uma
disjun¸c˜ao. A f´ormula αβ pode tanto ser lida como α
⊥
β ou como β
⊥
α.
Por outro lado, temos a disjun¸c˜ao ⊕. ⊕ ´e considerada como dual de .
No exemplo dos cigarros, a a¸c˜ao α
1
(α
2
⊕ α
3
) representa gastar $1 para
comprar um pacote de Camels ou de Malboro, mas, nesse caso, n˜ao podemos
mais decidir qual dos dois ser´a comprado. ⊕ pode ser confundido com . A
diferen¸ca ´e que com αβ escolhemos entre α e β; e com α ⊕ β n˜ao podemos
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 11
escolher.
´
E importante salientar que α (α ⊕ β) e β (α ⊕ β) s˜ao ambas
f´ormulas v´alidas na l´ogica linear.
Nega¸c˜ao linear
O conectivo “Nil” (
⊥
) representa a nega¸c˜ao linear. Girard [Gir93a] explica
que
⊥
´e a ´unica opera¸c˜ao negativa da l´ogica linear. Uma a¸c˜ao do tipo α
⊥
expressa uma rea¸c˜ao a uma a¸c˜ao do tipo α. A propriedade mais importante
de
⊥
´e que a senten¸ca α
⊥⊥
pode ser identificada por α como na l´ogica cl´assica.
Ademais,
⊥
assegura as dualidades de de Morgan para os pares de conectivos:
(⊗, ), (, ⊕), (!, ?) e (∀, ∃). Logo, as seguintes f´ormulas s˜ao todas v´alidas:
1. (α ⊗ β)
⊥
(α
⊥
β
⊥
)
2. (αβ)
⊥
(α
⊥
⊗ β
⊥
)
3. (αβ)
⊥
(α
⊥
⊕ β
⊥
)
4. (α ⊕ β)
⊥
(α
⊥
β
⊥
)
5. (!α)
⊥
?(α
⊥
)
6. (?α)
⊥
!(α
⊥
)
7. (∀xα)
⊥
∃x(α
⊥
)
8. (∃xα)
⊥
∀x(α
⊥
)
Alguns conectivos podem ser obtidos atrav´es de arranjos entre outros
conectivos e a nega¸c˜ao linear. Esse ´e o caso da implica¸c˜ao linear. A f´ormula
α β pode ser expressa por α
⊥
β por exemplo. As dualidades de de Morgan
podem tamb´em ser usadas para representar conectivos.
A pr´opria nega¸c˜ao linear pode tamb´em ser representada atrav´es de outra
f´ormula. Nesse caso, a f´ormula α
⊥
poderia ser representada por α ⊥.
Exponenciais
Como j´a dissemos, na l´ogica linear, f´ormulas s˜ao tratadas como recursos.
No entanto, em certas circunstˆancias, seria interessante representar verdades
est´aveis como fazemos na l´ogica cl´assica. A l´ogica linear oferece os operadores
exponenciais “Of course” (!) e “Why not” (?). Uma f´ormula do tipo !α
indica que podemos ter o recurso α tanto quanto precisarmos. Dessa forma,
!α se comporta como uma f´ormula finita (por´em indeterminada) da forma
α ⊗ α ⊗ . . . ⊗ α.
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 12
A no¸c˜ao por tr´as do conectivo ? n˜ao ´e t˜ao clara. ?α se comp orta como
uma f´ormula finita (por´em indeterminada) da forma αα . . .α. O signifi-
cado de ? depende do significado de . Contudo, podemos dizer que uma
f´ormula da forma ?α indica que as ocorrˆencias do recurso α s˜ao usadas ape-
nas se forem necess´arias, caso contr´ario podem ser dispensadas. Em outras
palavras, enquanto ! ´e um produtor, ? ´e um consumidor de f´ormulas.
Constantes
Temos duas constantes lineares: “One” (1) e “False” (⊥).
1 ´e equivalente a uma f´ormula da forma αα
⊥
enquanto ⊥ ´e equivalente
a uma f´ormula da forma α ⊗ α
⊥
. Assim, 1 ´e o dual de ⊥ e vice versa. Logo,
as seguintes f´ormulas s˜ao ambas v´alidas:
1. 1
⊥
⊥
2. ⊥
⊥
1
2.4 C´alculo de seq¨uentes
O c´alculo de seq¨uentes foi introduzido por Gentzen [Gen69] originalmente
para a l´ogica cl´assica. Girard [Gir87, Gir93a, Gir95] tamb´em propˆos o c´alculo
de seq¨uentes para a l´ogica linear. No caso linear, as regras estruturais “Con-
tra¸c˜ao” e “Enfraquecimento” foram suprimidas j´a que atrav´es delas seria
poss´ıvel obter caracter´ısticas n˜ao lineares.
Na Se¸c˜ao seguinte, apresentaremos as regras estruturais do c´alculo de
seq¨uentes cl´assico, pois queremos mostrar porque “Contra¸c˜ao” e “Enfraque-
cimento” foram suprimidas do c´alculo de seq¨uentes linear. Contudo, no
Apˆendice A, o c´alculo de seq¨uentes cl´assico completo ´e mostrado incluindo
todas as regras das trˆes categorias: regra axioma, regras estruturais e regras
l´ogicas.
Regras estruturais
No c´alculo de seq¨uentes cl´assico, regras que n˜ao envolvem conectivos l´ogicos
s˜ao classificadas como regras estruturais:
Enfraquecimento:
Γ ∆
Γ, α ∆
L
w
Γ ∆
Γ α, ∆
R
w
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 13
Contra¸c˜ao:
Γ, α, α ∆
Γ, α ∆
L
c
Γ α, α, ∆
Γ α, ∆
R
c
Permuta¸c˜ao:
Γ
, α, β, Γ
∆
Γ
, β, α, Γ
∆
L
x
Γ ∆
, α, β, ∆
Γ ∆
, β, α, ∆
R
x
Corte:
Γ
α, ∆
Γ
, α ∆
Γ
, Γ
∆
, ∆
Cut
Tal que Γ, Γ
, Γ
, ∆, ∆
e ∆
s˜ao seq¨uˆencias de f´ormulas.
Enfraquecimento
No c´alculo de seq¨uentes cl´assico, as regras estruturais de enfraquecimento
introduzem a monotonicidade da l´ogica cl´assica. Por exemplo, elas nos per-
mitem deduzir α → β a partir de β como na dedu¸c˜ao seguinte:
β β
Id
β, α β
L
w
β α → β
R
→
As regras R
→
e Id s˜ao descritas no Apˆendice A.
No entanto, j´a que a l´ogica linear ´e uma l´ogica relevante, ou seja, toda
ocorrˆencia de f´ormula em um seq¨uente deve ser relevante para obter o outro
lado do seq¨uente, as regras de enfraquecimento s˜ao rejeitadas no c´alculo de
seq¨uentes linear.
Contra¸c˜ao
O c´alculo de seq¨uentes cl´assico lida com verdades est´aveis devido `as regras
de contra¸c˜ao. Essas regras, por exemplo, nos permite provar o seq¨uente
α, α → β, α → γ β, γ da seguinte forma:
α α
Id
α α, α
R
c
β β
Id
α, α → β α, β
L
→
γ γ
Id
α, α → β, α → γ β, γ
L
→
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 14
As regras L
→
e Id s˜ao descritas no Apˆendice A.
Como a l´ogica linear evita verdades est´aveis e lida com recursos limitados,
as regras de contra¸c˜ao tamb´em s˜ao rejeitadas pelo c´alculo de seq¨uentes linear.
As regras contra¸c˜ao e enfraquecimento s˜ao proibidas como regras estru-
turais no c´alculo de seq¨uentes linear. Contudo, elas s˜ao reintroduzidas numa
forma mais restrita e controlada atrav´es das regras dos operadores exp onen-
ciais.
Permuta¸c˜ao
As regras estruturais de permuta¸c˜ao nos permitem reordenar f´ormulas de
um mesmo lado de um seq¨uente. Elas pertencem ao conjunto de regras do
c´alculo de seq¨uentes linear, por´em s˜ao dispens´aveis, pois consideramos Γ e
∆ em qualquer seq¨uente linear da forma Γ ∆ como multisets ao inv´es de
seq¨uˆencias de f´ormulas.
Corte
A regra estrutural de corte ´e provavelmente a mais famosa das regras do
c´alculo de seq¨uentes cl´assico. Ela oferece uma estrat´egia dividir para con-
quistar e em certos casos produz dedu¸c˜oes menores. No entanto, essa regra
gera dedu¸c˜oes n˜ao normais. A regra de corte pertence ao conjunto de regras
do c´alculo de seq¨uentes de Girard. Contudo, como observado em [Gir95], o
teorema Hauptsatz ou elimina¸c˜ao do corte ´e v´alido para esse c´alculo.
C´alculo de seq¨uentes linear
Uma dedu¸c˜ao em c´alculo de seq¨uentes linear consiste em seq¨uentes que tˆem
a forma Γ ∆. Os multisets de f´ormulas Γ e ∆ s˜ao chamados antecedente e
sucedente respectivamente. Seja Γ = {α
1
, α
2
, . . . , α
n
} e ∆ = {β
1
, β
2
, . . . , β
m
}. O
significado tencionado de Γ ∆ ´e α
1
⊗ α
2
⊗ . . . ⊗ α
n
β
1
β
2
. . .β
m
.
As regras do c´alculo de seq¨uentes linear s˜ao mostradas a seguir:
Regras axiomas
α α
Id
⊥
L
F
1
R
1
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 15
Regra do corte
Γ
α, ∆
Γ
, α ∆
Γ
, Γ
∆
, ∆
Cut
Regras l´ogicas
Γ ∆
Γ, 1 ∆
L
1
Γ ∆
Γ ⊥, ∆
R
F
Γ, α, β ∆
Γ, α ⊗ β ∆
L
⊗
Γ
α, ∆
Γ
β, ∆
Γ
, Γ
α ⊗ β, ∆
, ∆
R
⊗
Γ
, α ∆
Γ
, β ∆
Γ
, Γ
, αβ ∆
, ∆
L
Γ α, β, ∆
Γ αβ, ∆
R
Γ, α ∆
Γ, αβ ∆
L
1
Γ, β ∆
Γ, αβ ∆
L
2
Γ α, ∆ Γ β, ∆
Γ αβ, ∆
R
Γ, α ∆ Γ, β ∆
Γ, α ⊕ β ∆
L
⊕
Γ α, ∆
Γ α ⊕ β, ∆
R
1⊕
Γ β, ∆
Γ α ⊕ β, ∆
R
2⊕
Γ
α, ∆
Γ
, β ∆
Γ
, Γ
, α β ∆
, ∆
L
Γ, α β, ∆
Γ α β, ∆
R
Γ α, ∆
Γ, α
⊥
∆
L
⊥
Γ, α ∆
Γ α
⊥
, ∆
R
⊥
Γ, α
x
t
∆
Γ, ∀xα ∆
L
∀
Γ α
x
a
, ∆
Γ ∀xα, ∆
R
∀
(a n˜ao ocorre em Γ e ∆)
Γ, α
x
a
∆
Γ, ∃xα ∆
L
∃
(a n˜ao ocorre em Γ e ∆)
Γ α
x
t
, ∆
Γ ∃xα, ∆
R
∃
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 16
Γ, !α, !α ∆
Γ, !α ∆
L
c!
(Contra¸c˜ao)
Γ ?α, ?α, ∆
Γ ?α, ∆
R
c?
(Contra¸c˜ao)
Γ ∆
Γ, !α ∆
L
w!
(Enfraquecimento)
Γ ∆
Γ ?α, ∆
R
w?
(Enfraquecimento)
Γ, α ∆
Γ, !α ∆
L
!
Γ α, ∆
Γ ?α, ∆
R
?
!Γ, α ?∆
!Γ, ?α ?∆
L
?
!Γ α, ?∆
!Γ !α, ?∆
R
!
!Γ significa que todas fbfs no multiset Γ s˜ao prefixadas por “!”. ?Γ ´e
igualmente definido, mutatis mutandis.
Defini¸c˜ao 2.11 (Dedu¸c˜ao em c´alculo de seq¨uentes) Dedu¸c˜oes em c´alculo de
seq¨uentes s˜ao ´arvores de seq¨uentes definidas indutivamente como segue:
1. Toda regra axioma ´e uma dedu¸c˜ao em c´alculo de seq¨uentes.
2. Se Π ´e uma dedu¸c˜ao em c´alculo de seq¨uentes e r ´e uma regra L
1
, R
F
,
L
⊗
, R
, L
1
, L
2
, R
1⊕
, R
2⊕
, R
, L
⊥
, R
⊥
, L
∀
, R
∀
, L
∃
, R
∃
, L
c!
, R
c?
, L
w!
,
R
w?
, L
!
, R
?
, L
?
ou R
!
, ent˜ao a seguinte ´arvore de seq¨uentes tamb´em ´e
uma dedu¸c˜ao em c´alculo de seq¨uentes:
Π
Γ ∆
r
3. Se Π
1
e Π
2
s˜ao dedu¸c˜oes em c´alculo de seq¨uentes e r ´e uma regra Cut,
R
⊗
, L
, R
, L
⊕
ou L
, ent˜ao a seguinte ´arvore de seq¨uentes tamb´em
´e uma dedu¸c˜ao em c´alculo de seq¨uentes:
Π
1
Π
2
Γ ∆
r
Defini¸c˜ao 2.12 (Seq¨uente final) O seq¨uente final de uma dedu¸c˜ao Π em
c´alculo de seq¨uentes ´e o seq¨uente que n˜ao se situa acima de nenhum outro
seq¨uente em Π.
Usaremos a letra grega mai´uscula Π para denotar dedu¸c˜oes. A letra Σ
representar´a seq¨uˆencias de dedu¸c˜oes incluindo a seq¨uˆencia vazia. Π e Σ po-
dem eventualmente ser indexadas. O s´ımbolo ≡ indica a identidade sint´atica
entre dedu¸c˜oes.
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 17
Uma dedu¸c˜ao em c´alculo de seq¨uentes cujo seq¨uente final ´e Γ ∆ pode
ser denotada por:
Σ
Γ ∆
Seja Π uma dedu¸c˜ao em c´alculo de seq¨uentes, ent˜ao r(Π) denota a ´ultima
regra de inferˆencia de Π, ou seja, r(Π) ´e a regra cuja conclus˜ao ´e o seq¨uente
final de Π.
Defini¸c˜ao 2.13 (Tamanho de uma dedu¸c˜ao em c´alculo de seq¨uentes) O
tamanho de uma dedu¸c˜ao Π em c´alculo de seq¨uentes, denotado por l(Π),
´e definido indutivamente como segue:
1. Se Π ´e uma regra axioma, ent˜ao l(Π) = 1.
2. Se Π ´e:
Π
1
Γ ∆
r(Π)
tal que r(Π) ´e uma regra L
1
, R
F
, L
⊗
, R
, L
1
, L
2
, R
1⊕
, R
2⊕
, R
,
L
⊥
, R
⊥
, L
∀
, R
∀
, L
∃
, R
∃
, L
c!
, R
c?
, L
w!
, R
w?
, L
!
, R
?
, L
?
ou R
!
, ent˜ao
l(Π) = l(Π
1
) + 1.
3. Se Π ´e:
Π
1
Π
2
Γ ∆
r(Π)
tal que r(Π) ´e uma regra Cut, R
⊗
, L
, R
, L
⊕
ou L
, ent˜ao l(Π) =
l(Π
1
) + l(Π
2
) + 1.
Fragmentos multiplicativo e aditivo
Em c´alculo de seq¨uentes, as regras “R
” e “L
⊕
” compartilham contextos
Γ e ∆. Portanto, “” e “⊕” s˜ao classificados como conectivos aditivos ou
contextuais. Em contraste, “⊗” e “” s˜ao classificados como conectivos
multiplicativos ou livres de contexto.
Dessa forma, a l´ogica linear pode ser dividida nos fragmentos multiplica-
tivo e aditivo, cada um desses contendo uma conjun¸c˜ao e uma disjun¸c˜ao. A
nega¸c˜ao linear, os operadores exponenciais e os quantificadores de primeira
ordem pertencem a ambos fragmentos. A implica¸c˜ao “” ´e considerada
multiplicativa porque pode ser obtida atrav´es da disjun¸c˜ao “”.
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 18
As constantes l´ogicas podem ser divididas como segue:
Multiplicativo Aditivo
⊗
⊕
1
⊥
⊥
! ? ∀ ∃
As constantes “⊥” e “1” s˜ao consideradas como multiplicativas j´a que 1
´e equivalente a uma f´ormula da forma αα
⊥
enquanto que ⊥ ´e equivalente a
uma f´ormula da forma α ⊗ α
⊥
.
Na l´ogica linear, existem duas outras constantes “Verdade” () e “Zero”
(0) consideradas como aditivas. ´e equivalente a uma f´ormula da forma
α ⊕ α
⊥
enquanto que 0 ´e equivalente a uma f´ormula da forma αα
⊥
.
J´a que essas duas constantes aditivas s˜ao consideradas menos relevantes,
n˜ao s˜ao usadas com freq¨uˆencia. No entanto, no Apˆendice E, n´os as investi-
gamos.
2.5 Proof-nets
Em [Gir87], Girard introduziu um novo sistema dedutivo chamado proof-nets.
Proof-nets provˆeem uma representa¸c˜ao baseada em grafos para dedu¸c˜oes em
l´ogica linear. Elas s˜ao bastante empregadas para o fragmento multiplicativo
da l´ogica linear sem constantes e operadores exponenciais, mas elas p odem ser
estendidas para suportar conectivos aditivos e constantes como em [Gir96].
Infelizmente, as proof-nets ainda n˜ao s˜ao adequadas para lidar com o oper-
ador exponencial !.
Proof-nets s˜ao constru´ıdas a partir dos seguintes links:
Link axioma:
α α
⊥
(α e α
⊥
s˜ao conclus˜oes)
Link corte:
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 19
α α
⊥
(α e α
⊥
s˜ao premissas)
Link times:
α β
α ⊗ β
(α e β s˜ao premissas enquanto α ⊗ β ´e conclus˜ao)
Link par:
α β
αβ
(α e β s˜ao premissas enquanto αβ ´e conclus˜ao)
Defini¸c˜ao 2.14 (Proof-structure) Uma proof-structure consiste num con-
junto n˜ao vazio de ocorrˆencias de f´ormulas e num conjunto de links entre
essas ocorrˆencias de f´ormulas. Toda ocorrˆencia de f´ormula numa proof-
structure pertence a pelo menos um link. Uma ocorrˆencia de f´ormula n˜ao
pode ser simultaneamente conclus˜ao de dois links. O mesmo ocorre com
premissas, uma ocorrˆencia de f´ormula n˜ao pode ser simultaneamente pre-
missa de dois links. Uma proof-structure pode tamb´em ser definida como um
grafo conexo n˜ao orientado cujos v´ertices s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas e cujas
arestas s˜ao links.
Defini¸c˜ao 2.15 (Premissa de uma proof-structure) Numa proof-structure Π,
seja α uma ocorrˆencia de f´ormula que ´e premissa de um certo link e n˜ao ´e
conclus˜ao de nenhum link, ent˜ao α ´e premissa de Π.
Defini¸c˜ao 2.16 (Conclus˜ao de uma proof-structure) Numa proof-structure
Π, seja α uma ocorrˆencia de f´ormula que ´e conclus˜ao de um certo link e n˜ao
´e premissa de nenhum link, ent˜ao α ´e conclus˜ao de Π.
Como podemos observar, uma ´unica proof-structure pode ter muitas con-
clus˜oes e premissas. Seja Γ o multiset de premissas de uma certa proof-
structure Π e ∆ o multiset de conclus˜oes de Π. Nesse caso, podemos dizer
que Π prova ∆ a partir de Γ ou Γ
ps
∆. Contudo, Π pode ser incorreta, ou
seja, o seq¨uente Γ ∆ pode n˜ao ser provado em c´alculo de seq¨uentes. Assim,
podemos notar que nem todas as proof-structures s˜ao corretas.
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 20
Defini¸c˜ao 2.17 (Proof-net) Uma proof-net ´e uma proof-structure que ´e a-
provada por um crit´erio de corretude, em outras palavras, uma proof-net ´e
uma proof-structure correta.
Os exemplos a seguir ilustram proof-structures corretas e incorretas:
1. A seguinte proof-structure deduz γ, ((α ⊗ β) ⊗ γ)
⊥
ps
α
⊥
β
⊥
. Ela ´e
correta e, conseq¨uentemente, ´e uma proof-net.
((α ⊗ β) ⊗ γ)
⊥
α β
α ⊗ β γ
(α ⊗ β) ⊗ γ
α
⊥
β
⊥
α
⊥
β
⊥
2. A seguinte proof-structure deduz
ps
α ⊗ β, α
⊥
⊗ β
⊥
. Podemos obser-
var que ela obviamente ´e incorreta e, conseq¨uentemente, n˜ao pode ser
considerada como uma proof-net.
α β
α ⊗ β
α
⊥
β
⊥
α
⊥
⊗ β
⊥
3. A seguinte proof-structure deduz
ps
α ⊗ β, α
⊥
β
⊥
. Ela ´e correta e,
conseq¨uentemente, ´e uma proof-net.
α β
α ⊗ β
α
⊥
β
⊥
α
⊥
β
⊥
V´arios crit´erios de corretude foram desenvolvidos para reconhecer uma
proof-structure como proof-net. O crit´erio de Danos-Regnier [DR99], por
exemplo, ´e bastante simples e conhecido.
´
E reconhecido como uma simpli-
fica¸c˜ao de um crit´erio de corretude introduzido por Girard [Gir87] chamado
No shorttrip condition. No presente trabalho, elegemos o crit´erio de Danos-
Regnier para ser brevemente introduzido. Esse crit´erio associa um conjunto
de grafos a uma proof-structure. Se cada um dos grafos nesse conjunto ´e
conexo e ac´ıclico, ou seja, ´e uma ´arvore, ent˜ao a proof-structure ´e uma proof-
net. Esses grafos, chamados grafos D-R, s˜ao definidos a seguir:
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 21
Defini¸c˜ao 2.18 (Grafo D-R) Um grafo D-R ´e um grafo n˜ao orientado con-
stru´ıdo a partir de uma proof-structure tal que cada ocorrˆencia de f´ormula
na proof-structure ´e um v´ertice e as arestas s˜ao dispostas da seguinte forma:
1. Seja G um grafo D-R de uma proof-structure Π. Se um link axioma
ocorre em Π com conclus˜oes α e α
⊥
, ent˜ao existe uma aresta (α, α
⊥
)
em G.
2. Seja G um grafo D-R de uma proof-structure Π. Se um link corte ocorre
em Π com premissas α e α
⊥
, ent˜ao existe uma aresta (α, α
⊥
) em G.
3. Seja G um grafo D-R de uma proof-structure Π. Se um link times
ocorre em Π com premissas α e β e conclus˜ao α ⊗ β, ent˜ao ambas
arestas (α ⊗ β, α) e (α ⊗ β, β) ocorrem em G.
4. Seja G um grafo D-R de uma proof-structure Π. Se um link par ocorre
em Π com premissas α e β e conclus˜ao αβ, ent˜ao uma e somente uma
das duas arestas (α ⊗ β, α) e (α ⊗ β, β) ocorre em G.
Uma proof-structure Π ´e uma proof-net se e somente se todo grafo D-R
associado a Π ´e conexo e ac´ıclico. Os seguintes exemplos ilustram aplica¸c˜oes
de grafos D-R para reconhecer proof-nets:
1. A seguinte proof-structure Π ´e associada a um conjunto de dois grafos
D-R, especificamente, G
1
e G
2
como mostrado abaixo. J´a que ambos
os grafos G
1
e G
2
s˜ao conexos e ac´ıclicos, Π ´e uma proof-net:
Π ≡
α β
α ⊗ β
α
⊥
β
⊥
α
⊥
β
⊥
G
1
≡
α ⊗ β
α
β
α
⊥
β
⊥
α
⊥
β
⊥
❅
❅
G
2
≡
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 22
α ⊗ β
α
β
α
⊥
β
⊥
α
⊥
β
⊥
❅
❅
❅
❅
2. A seguinte proof-structure Π ´e associada a um ´unico grafo D-R G como
mostrado abaixo. J´a que G ´e c´ıclico, Π n˜ao ´e proof-net:
Π ≡
α β
α ⊗ β
α
⊥
β
⊥
α
⊥
⊗ β
⊥
G ≡
α ⊗ β
α
β
α
⊥
⊗ β
⊥
α
⊥
β
⊥
❅
❅
❅
❅
3. A seguinte proof-structure Π ´e associada a um conjunto de quatro grafos
D-R, especificamente, G
1
, G
2
, G
3
e G
4
como mostrado abaixo. J´a que
G
1
, G
2
, G
3
e G
4
s˜ao desconexos, Π n˜ao ´e proof-net:
Π ≡
α β
αβ
α
⊥
β
⊥
α
⊥
β
⊥
G
1
≡
αβ
α
β
α
⊥
β
⊥
α
⊥
β
⊥
❅
❅
G
2
≡
CAP
´
ITULO 2. L
´
OGICA LINEAR 23
αβ
α
β
α
⊥
β
⊥
α
⊥
β
⊥
❅
❅
❅
❅
G
3
≡
αβ
α
β
α
⊥
β
⊥
α
⊥
β
⊥
G
4
≡
αβ
α
β
α
⊥
β
⊥
α
⊥
β
⊥
❅
❅
2.6 Conclus˜ao
Nesse Cap´ıtulo, apresentamos as principais caracter´ısticas da l´ogica linear
assim como algumas defini¸c˜oes e nota¸c˜oes importantes que ser˜ao bastante
utilizadas nesse trabalho. Al´em disso, apresentamos os dois c´alculos lineares
mais famosos: c´alculo de seq¨uentes e proof-nets.
´
E importante observar que o c´alculo de seq¨uentes linear ser´a usado poste-
riormente para provar a corretude e completude do nosso sistema de dedu¸c˜ao
natural para a l´ogica linear NDLL.
Cap´ıtulo 3
O Sistema de Dedu¸c˜ao Natural
NDLL
3.1 Introdu¸c˜ao
Em [Gen69], Gentzen propˆos uma nova abordagem sint´atica para a l´ogica
cl´assica chamada dedu¸c˜ao natural. Posteriormente, Prawitz, em seu famoso
trabalho [Pra65], apresentou uma investiga¸c˜ao profunda sobre dedu¸c˜ao na-
tural na perspectiva da teoria da prova.
De acordo com Prawitz [Pra65], um sistema de dedu¸c˜ao natural pode ser
definido como um conjunto de regras que determinam o conceito de dedu¸c˜ao
para uma linguagem. As regras de tal sistema devem passar a id´eia de
“naturais” como tencionado por Gentzen e s˜ao de dois tipos: de introdu¸c˜ao
e de elimina¸c˜ao para cada um dos s´ımbolos da linguagem. Essas regras
indicam, em passos atˆomicos, como usar os s´ımb olos l´ogicos numa dedu¸c˜ao.
Esse Cap´ıtulo ´e dedicado ao nosso sistema de dedu¸c˜ao natural chamado
NDLL. A linguagem da l´ogica linear que usaremos foi definida na Se¸c˜ao 2.2
´e as regras que propomos ser˜ao dadas abaixo na Se¸c˜ao 3.3. Corretude e
completude do nosso sistema dedutivo ser˜ao provadas em rela¸c˜ao ao c´alculo
de seq¨uentes de Girard no pr´oximo Cap´ıtulo.
Na pr´oxima Se¸c˜ao, apresentamos algumas defini¸c˜oes preliminares neces-
s´arias para apresentar as regras do sistema NDLL. A Se¸c˜ao 3.4 investiga
algumas no¸c˜oes importantes em rela¸c˜ao a dedu¸c˜oes em NDLL. Regras alter-
nativas para os operadores exponenciais s˜ao discutidas na Se¸c˜ao 3.5. A Se¸c˜ao
3.6 explora as regras do sistema NDLL para obter um melhor entendimento
dos conectivos lineares.
24
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 25
3.2 Conceitos e no¸c˜oes preliminares
No sistema de dedu¸c˜ao natural de Gentzen [Gen69] e de Prawitz [Pra65] para
a l´ogica cl´assica, uma dedu¸c˜ao consiste em derivar uma f´ormula α a partir de
um conjunto de f´ormulas Γ, usando algumas regras de inferˆencia predefinidas.
No nosso sistema NDLL , Γ ´e um multiset de f´ormulas chamadas suposi¸c˜oes,
e usaremos a nota¸c˜ao Γ
ndll
α para designar que, usando o sistema NDLL,
podemos provar α a partir do multiset de suposi¸c˜oes Γ.
Defini¸c˜ao 3.1 (Regra de inferˆencia em NDLL) Regras de inferˆencia (ou
simplesmente regras) s˜ao os passos atˆomicos do sistema NDLL. Uma regra
de inferˆencia R ´e indicada por uma linha horizontal com n ≥ 0 f´ormulas
acima e uma ´unica f´ormula abaixo como na seguinte ilustra¸c˜ao:
α
1
α
2
. . . α
n
β
R
α
1
, α
2
, . . . , α
n
s˜ao ent˜ao chamadas de f´ormulas superiores ou premissas de
R, e β de f´ormula inferior ou conclus˜ao de R. Nesse caso, tamb´em pode-
mos dizer que α
i
, para cada 1 ≤ i ≤ n, ocorre imediatamente acima de β
assim como β ocorre imediatamente abaixo de α
i
. O conjunto das regras de
inferˆencia do sistema NDLL ser˜ao apresentadas na Se¸c˜ao 3.3.
Defini¸c˜ao 3.2 (Dedu¸c˜ao em NDLL) Dedu¸c˜oes em NDLL s˜ao ´arvores de
f´ormulas definidas indutivamente como segue:
1. Toda f´ormula ´e uma dedu¸c˜ao em NDLL.
2. Se Π
1
, Π
2
, . . . , Π
n
, com n ≥ 0, s˜ao dedu¸c˜oes em NDLL e R ´e uma regra
de inferˆencia em NDLL, ent˜ao a seguinte ´arvore de f´ormulas tamb´em
´e uma dedu¸c˜ao em NDLL:
Π
1
Π
2
. . . Π
n
α
R
Defini¸c˜ao 3.3 (Ocorrˆencia de f´ormula) Uma ´unica apari¸c˜ao de uma certa
f´ormula em uma dedu¸c˜ao define a no¸c˜ao de ocorrˆencia de f´ormula. Duas
ocorrˆencias de f´ormulas s˜ao da mesma forma se ambas s˜ao ocorrˆencias de
uma mesma f´ormula; s˜ao idˆenticas apenas se elas tamb´em situam-se na
mesma posi¸c˜ao em uma dedu¸c˜ao.
Dessa forma, uma dedu¸c˜ao em NDLL consiste em um n´umero de ocor-
rˆencias de f´ormulas (pelo menos uma) que combinam para formar regras de
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 26
inferˆencia do seguinte modo: Uma ocorrˆencia de f´ormula pode simultanea-
mente ser conclus˜ao de uma regra e premissa de outra. Cada ocorrˆencia de
f´ormula (com exce¸c˜ao de exatamente uma) ´e f´ormula superior de pelo menos
uma regra de inferˆencia.
Daqui por diante, usaremos a palavra “dedu¸c˜ao” aludindo a dedu¸c˜oes
em NDLL a n˜ao ser em casos nos quais mencionamos explicitamente de
qual sistema se trata a dedu¸c˜ao em quest˜ao. Como observamos na Se¸c˜ao
2.4, usaremos a letra grega mai´uscula Π para denotar dedu¸c˜oes. A letra Σ
representa seq¨uˆencia de dedu¸c˜oes incluindo a seq¨uˆencia vazia. Π e Σ s˜ao
eventualmente indexadas. O s´ımbolo ≡ indica a identidade sint´atica entre
dedu¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 3.4 (Aplica¸c˜ao ou instˆancia de uma regra de inferˆencia) Uma
´unica apari¸c˜ao de uma certa regra de inferˆencia em uma dedu¸c˜ao define o
conceito de uma aplica¸c˜ao ou instˆancia de uma regra de inferˆencia.
Defini¸c˜ao 3.5 (Hip´otese) Numa dedu¸c˜ao, algumas f´ormulas chamadas hip´o-
teses podem ocorrer. Hip´oteses s˜ao como suposi¸c˜oes mas s˜ao “dispensadas”
ou “descartadas” por aplica¸c˜oes de regras de inferˆencia. N˜ao podem ser
conclus˜ao de regras de inferˆencia nem pertencem ao multiset de suposi¸c˜oes.
Como explicamos anteriormente, Γ
ndll
α significa que atrav´es do sistema
NDLL podemos provar a f´ormula α a partir do multiset de suposi¸c˜oes Γ.
Ent˜ao, em uma dedu¸c˜ao Π que prova Γ
ndll
α, para cada elemento de Γ
temos uma o corrˆencia de f´ormula da mesma forma que n˜ao ´e “descartada”
por nenhuma regra nem ´e conclus˜ao de nenhuma regra. Assim, a diferen¸ca
entre suposi¸c˜oes e hip´oteses ´e que hip´oteses s˜ao sempre “descartadas” em
uma dedu¸c˜ao enquanto que suposi¸c˜oes n˜ao s˜ao.
Defini¸c˜ao 3.6 (F´ormula topo em uma dedu¸c˜ao) Uma f´ormula topo numa
dedu¸c˜ao Π ´e uma ocorrˆencia de f´ormula que n˜ao est´a imediatamente abaixo
de nenhuma ocorrˆencia de f´ormula em Π. Assim, uma f´ormula topo ´e ou
uma suposi¸c˜ao ou uma hip´otese.
Defini¸c˜ao 3.7 (F´ormula final de uma dedu¸c˜ao) A f´ormula final de uma
dedu¸c˜ao Π ´e a ocorrˆencia de f´ormula que n˜ao est´a imediatamente acima
de nenhuma ocorrˆencia de f´ormula em Π.
Podemos aplicar o conceito de ocorrˆencia de f´ormula a hip´oteses, f´ormulas
topo e f´ormulas finais. Nesses casos, podemos usar “ocorrˆencia de hip´otese”,
“ocorrˆencia de f´ormula topo” ou “ocorrˆencia de f´ormula final” para designar
uma ocorrˆencia de f´ormula que tamb´em ´e uma hip´otese, uma f´ormula topo
ou uma f´ormula final respectivamente.
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 27
Defini¸c˜ao 3.8 (Tra¸cado) Uma seq¨uˆencia α
1
, α
2
, . . . , α
n
de ocorrˆencias de
f´ormulas em uma dedu¸c˜ao Π ´e uma tra¸cado em Π se:
1. α
1
´e uma f´ormula topo em Π.
2. α
i
est´a situada imediatamente acima de α
i+1
em Π para cada i < n.
3. α
n
´e a f´ormula final de Π.
Nesse caso, podemos dizer que α
i
est´a acima de α
j
se i < j, e podemos
dizer que α
i
est´a abaixo de α
j
se i > j.
Defini¸c˜ao 3.9 (Subdedu¸c˜ao determinada por uma f´ormula) Se α ´e uma
ocorrˆencia de f´ormula numa dedu¸c˜ao Π, a subdedu¸c˜ao de Π determinada
por α ´e a dedu¸c˜ao obtida a partir de Π pela remo¸c˜ao de todas as f´ormulas
exceto α e as f´ormulas acima de α.
Defini¸c˜ao 3.10 (Subdedu¸c˜ao imediata) Seja R uma aplica¸c˜ao de regra de
inferˆencia em uma dedu¸c˜ao Π, e α
1
, . . . , α
n
as premissas de R. A subdedu¸c˜ao
determinada por α
i
, para cada 1 ≤ i ≤ n, ´e uma subdedu¸c˜ao imediata de R.
Defini¸c˜ao 3.11 (F´ormula vizinha) Sejam α e β premissas de uma mesma
instˆancia de regra de inferˆencia numa dedu¸c˜ao, ent˜ao α ´e vizinha de β e vice
versa.
Defini¸c˜ao 3.12 (Tamanho de uma dedu¸c˜ao em NDLL) O tamanho de uma
dedu¸c˜ao Π em NDLL, denotado por l(Π) ´e o n´umero de ocorrˆencias de f´or-
mulas em Π.
O conceito de f´ormulas essencialmente modais foi usado por Prawitz em
[Pra65] para definir regras de dedu¸c˜ao natural para operadores modais nas
l´ogicas S4 e S5. Adaptamos esse conceito para definir nossas regras expo-
nenciais para os operadores ! e ?.
Defini¸c˜ao 3.13 (Formulas essencialmente !-modais e ?-modais) Formulas
essencialmente !-modais e ?-modais s˜ao definidas indutivamente da seguinte
forma:
1. 1 ´e uma f´ormula essencialmente !-modal.
2. ⊥ ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal.
3. !α ´e uma f´ormula essencialmente !-modal.
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 28
4. ?α ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal.
5. Se α e β s˜ao f´ormulas essencialmente !-modais, ent˜ao α ⊗ β tamb´em ´e.
6. Se α e β s˜ao f´ormulas essencialmente ?-modais, ent˜ao αβ tamb´em ´e.
7. Se α ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal, ent˜ao α
⊥
´e f´ormula essen-
cialmente !-modal.
8. Se α ´e uma f´ormula essencialmente !-modal, ent˜ao α
⊥
´e f´ormula essen-
cialmente ?-modal.
Usaremos as seguintes nota¸c˜oes em rela¸c˜ao a regras de inferˆencia e dedu-
¸c˜oes em NDLL:
1. Seja α uma ocorrˆencia de hip´otese descartada por uma aplica¸c˜ao R de
regra de inferˆencia em uma dedu¸c˜ao Π, ent˜ao α ocorre em Π indexada
por um inteiro positivo j (como α
j
) tal que:
(a) j ´e indicada no lado direito de R entre parˆenteses como segue:
Σ
β
R
( j)
(b) j pode indexar outra o corrˆencia de hip´otese da mesma forma que
α. Nesse caso, toda ocorrˆencia de hip´otese indexada por j ´e descar-
tada pela mesma aplica¸c˜ao R.
(c) ocorrˆencias de hip´oteses que n˜ao s˜ao da mesma forma de α ou que
s˜ao descartadas por aplica¸c˜ao de regra diferente de R n˜ao podem
ser indexadas pelo mesmo inteiro j.
2. Duas ocorrˆencias de f´ormulas de uma mesma forma α s˜ao uma mesma
hip´otese em uma dedu¸c˜ao Π se elas s˜ao indexadas por um mesmo inteiro
positivo em Π. Se elas s˜ao indexadas por n´umeros diferentes, logo s˜ao
tamb´em hip´oteses diferentes.
3. Uma nota¸c˜ao como [α] indica um n´umero arbitr´ario (possivelmente
zero) de ocorrˆencias da f´ormula α.
4. Uma nota¸c˜ao como [α]
j
indica um n´umero arbitr´ario (possivelmente
zero) de ocorrˆencias de hip´oteses da forma α indexadas pelo mesmo
inteiro positivo j e, conseq¨uentemente, descartadas por uma mesma
aplica¸c˜ao de regra de inferˆencia.
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 29
5. Γ
j
1
... j
n
denota um multiset (possivelmente vazio) de n ocorrˆencias de
hip´oteses e um n´umero arbitr´ario de suposi¸c˜oes, cada hip´otese nesse
multiset ´e rotulada por um ´ındice j
i
com 1 ≤ i ≤ n.
6. Uma dedu¸c˜ao cuja f´ormula final ´e α pode ser denotada por:
Σ
α
7. Uma dedu¸c˜ao cujas subdedu¸c˜oes imediatas s˜ao Π
1
, . . . , Π
n
e α ´e sua
f´ormula final pode ser denotada por:
Π
1
. . . Π
n
α
8. Uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
α pode ser denotada por:
Γ
Σ
α ou
Γ
.
.
.
.
α
9. Uma dedu¸c˜ao de Γ, α
1
, . . . , α
n
ndll
β pode ser denotada:
Γ α
1
. . . α
n
Σ
β ou
α
1
. . . α
n
Σ
β ou
Γ α
1
. . . α
n
.
.
.
.
β ou
α
1
. . . α
n
.
.
.
.
β
Podemos notar que n˜ao ´e preciso indicar explicitamente o multiset Γ.
10. Seja Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
α com Γ = {γ
1
, . . . , γ
n
}. Seja T
i
, para
cada 1 ≤ i ≤ n, o tra¸cado entre γ
i
e α. Em Π, cada T
i
cont´em uma certa
ocorrˆencia de f´ormula β
j
tal que 1 ≤ j ≤ m e m ≤ n. Ent˜ao, Π pode ser
denotada por:
Γ
.
.
.
.
[β
1
. . . β
m
]
.
.
.
.
α
11. Seja α uma f´ormula topo de uma dedu¸c˜ao Π. Seja Π
a dedu¸c˜ao obitida
a partir de Π pela sobreposi¸c˜ao de Σ acima da f´ormula topo α de Π.
Ent˜ao, Π
pode ser denotada por:
Σ
α
Π
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 30
12. Seja Π
1
, . . . , Π
n
uma seq¨uˆencia de dedu¸c˜oes e Γ
i
, para cada 1 ≤ i ≤ n,
o multiset de sup osi¸c˜oes de Π
i
. Ent˜ao a seq¨uencia Π
1
, . . . Π
n
pode ser
denotada por:
Γ
Σ
onde Γ ´e Γ
1
∪ . . . ∪ Γ
n
.
13. r(Π) denota a ´ultima regra de inferˆencia usada em Π, ou em outras
palavras, r(Π) ´e a aplica¸c˜ao de regra de inferˆencia cuja conclus˜ao ´e a
f´ormula final de Π.
14. Σ
a
t
denota o resultado da substitui¸c˜ao de todas as ocorrˆencias de a por
t em todas as f´ormulas que ocorrem nas dedu¸c˜oes que pertencem `a
seq¨uencia Σ.
Defini¸c˜ao 3.14 (Dependˆencia) Numa dedu¸c˜ao Π, uma ocorrˆencia de f´ormu-
la depende de uma f´ormula topo α se est´a abaixo de α e, se α for hip´otese,
acima da f´ormula inferior da aplica¸c˜ao de regra de inferˆencia que descarta
α. Uma f´ormula topo depende apenas de si mesma.
3.3 Regras de inferˆencia de NDLL
Regras de introdu¸c˜ao s˜ao indicadas pela letra “I” e regras de elimina¸c˜ao pela
letra “E”. A letra “C” e “W” indicam regras de contra¸c˜ao e enfraquecimento
respectivamente. “⊥
c
” indica a regra de redu¸c˜ao ao absurdo.
As regras de inferˆencias do nosso sistema de dedu¸c˜ao linear NDLL s˜ao
apresentadas a seguir:
Implica¸c˜ao linear
α
j
.
.
.
.
β
α β
I
( j)
α α β
β
E
Essas regras se assemelham as regras da implica¸c˜ao cl´assica, mas ´e im-
portante notar que apenas uma ´unica ocorrˆencia da hip´otese α ´e descartada
pela regra I
enquanto que na dedu¸c˜ao natural cl´assica isso n˜ao ocorre
∗
.
∗
Veja Apˆendice B no qual um sistema de dedu¸c˜ao natural cl´assico ´e apresentado
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 31
Conjun¸c˜oes e disjun¸c˜oes
α β
α ⊗ β
I
⊗
α ⊗ β
α
j
β
k
.
.
.
.
γ
γ
E
⊗( j,k)
α
⊥
j
β
⊥
k
.
.
.
.
⊥
αβ
I
( j,k)
αβ α
⊥
β
⊥
⊥
E
Γ
j
1
... j
n
.
.
.
.
α
Γ
j
1
... j
n
.
.
.
.
β
αβ
I
αβ
α
E
1
αβ
β
E
2
α
α ⊕ β
I
1⊕
β
α ⊕ β
I
2⊕
α ⊕ β
Γ
j
1
... j
n
α
k
1
.
.
.
.
γ
Γ
j
1
... j
n
β
k
2
.
.
.
.
γ
γ
E
⊕(k
1
,k
2
)
´
E importante notar que ambas premissas da regra I
dependem do mesmo
multiset de f´ormulas topo. Dessa forma, em uma dedu¸c˜ao Π, seja R uma
aplica¸c˜ao de uma regra I
cujas premissas s˜ao α e β. Se a premissa α de-
pende de uma f´ormula topo γ, ent˜ao a premissa β depende de uma ocorrˆencia
diferente de γ em Π. Se γ ´e uma hip´otese, ambas ocorrˆencia de γ s˜ao descar-
tadas por uma mesma aplica¸c˜ao de regra de inferˆencia ocorrendo abaixo de
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 32
R. Se γ ´e uma suposi¸c˜ao, ent˜ao o multiset Γ de suposi¸c˜oes de Π cont´em
apenas uma ´unica ocorrˆencia da suposi¸c˜ao γ.
Uma condi¸c˜ao similar acontece com a regra R
⊕
. Isso ocorre porque e
⊕ s˜ao conectivos contextuais.
Quantificadores
α
x
a
∀xα
I
∀
(a n˜ao ocorre em qualquer
f´ormula topo da qual α
x
a
de-
pende.)
∀xα
α
x
t
E
∀
α
x
t
∃xα
I
∃
∃xα
α
x
a
j
.
.
.
.
β
β
E
∃( j)
(a n˜ao ocorre em ∃xα, em β ou
em qualquer f´ormula topo da qual
a ocorrˆencia mais acima de β de-
pende, excluindo α
x
a
.)
Na l´ogica linear, os quantificadores de primeira ordem ∀ e ∃ se comportam
de forma semelhante como na l´ogica cl´assica de primeira ordem. Assim,
essas regras acima s˜ao similares `as regras dos quantificadores num sistema
de dedu¸c˜ao natural cl´assico
†
.
†
Veja Apˆendice B no qual um sistema de dedu¸c˜ao natural cl´assico ´e apresentado
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 33
Operadores exponenciais
α
1
. . . α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
.
.
.
.
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
(n ≥ 0, α
1
, . . . , α
n
s˜ao f´ormulas
essencialmente !-modais e β
n˜ao depende de nenhuma outra
ocorrˆencia de f´ormula topo al´em
de α
1
, . . . , α
n
. Assim, se n = 0, β
´e um teorema.)
!α
α
E
!
α
?α
I
?
?α β
1
. . . β
n
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
k
.
.
.
.
γ
γ
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
(n ≥ 0, β
1
, . . . , β
n
s˜ao f´ormulas
essencialmente !-modais, γ ´e
f´ormula essencialmente ?-modal e
n˜ao depende de qualquer f´ormula
topo al´em de β
1
, . . . , β
n
e α.)
α
α
j
α
j
.
.
.
.
β
β
C
!( j)
(α ´e essencialmente !-modal.)
α β
β
W
!
(α ´e essencialmente !-modal.)
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 34
Constantes e a nega¸c˜ao linear
1
I
1
1 α
α
E
1
α
j
.
.
.
.
⊥
α
⊥
I
⊥( j)
α α
⊥
⊥
E
⊥
A f´ormula α
⊥
poderia ter sido apresentada como uma abrevia¸c˜ao sint´atica
da f´ormula α ⊥. Nesse caso, as regras I
⊥
e E
⊥
seriam dispensadas e seriam
substitu´ıdas por I
e E
respectivamente.
Redu¸c˜ao ao absurdo
α
⊥
j
.
.
.
.
⊥
α
⊥
c( j)
No Apˆendice D, o conjunto das regras de NDLL ´e apresentado numa
forma mais contingua.
3.4 No¸c˜oes referentes a dedu¸c˜oes
Apresentamos a seguir algumas no¸c˜oes importantes concernentes a dedu¸c˜oes:
Defini¸c˜ao 3.15 (Premissa maior de uma regra) Nas regras de elimina¸c˜ao
apresentadas na Se¸c˜ao 3.3, a premissa que cont´em a constante l´ogica “elim-
inada” ´e dita ser a premissa maior. O mesmo ´e dito sobre a primeira pre-
missa (na ordem da esquerda para a direita) de uma regra C
!
ou W
!
. Em
outras palavras, a premissa “contra´ıda” ou “enfraquecida” tamb´em ´e dita ser
a premissa maior de sua respectiva regra.
Defini¸c˜ao 3.16 (Premissa menor de uma regra) Nas regras C
!
, W
!
e de
elimina¸c˜ao apresentadas na Se¸c˜ao 3.3, uma premissa que n˜ao ´e a premissa
maior ´e dita ser premissa menor.
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 35
Podemos notar que uma mesma regra pode ter v´arias premissas menores,
mas apenas uma premissa maior.
Defini¸c˜ao 3.17 (Premissa intermedi´aria) Uma premissa α de uma aplica¸c˜ao
de I
!
ou E
?
´e uma premissa intermedi´aria se qualquer uma das seguintes
condi¸c˜oes ocorre:
1. α ´e uma premissa de uma aplica¸c˜ao de I
!
mas n˜ao ´e a ´ultima premissa
na ordem da esquerda para a direita.
2. α ´e uma premissa menor de uma aplica¸c˜ao de E
?
mas n˜ao ´e a ´ultima
premissa menor na ordem da esquerda para a direita.
Defini¸c˜ao 3.18 (Subdedu¸c˜ao) Uma ´arvore de f´ormulas Π
contida em uma
dedu¸c˜ao Π ´e uma subdedu¸c˜ao de Π apenas se Π
´e uma dedu¸c˜ao v´alida em
NDLL, ou seja, as ocorrˆencias de f´ormulas topo em Π
se comportam como
hip´oteses e suposi¸c˜oes para as aplica¸c˜oes de regra de inferˆencia em Π
.
Seja Π uma dedu¸c˜ao em NDLL e β uma o corrˆencia de f´ormula que n˜ao
´e f´ormula topo em Π. Seja Π
uma ´arvore de f´ormula contida em Π tal que
β ´e f´ormula topo em Π
e α ´e a f´ormula final de Π
. Para verificar se Π
´e uma subdedu¸c˜ao de Π, primeiro checamos, em Π, se β n˜ao depende de
nenhuma f´ormula topo da qual α tamb´em n˜ao dependa. Ent˜ao checamos se
entre β e α existe alguma aplica¸c˜ao das seguintes regras: I
, E
⊕
, I
∀
, E
∃
, I
!
e
E
?
. Essas regras obedecem restri¸c˜oes sobre f´ormulas topo. Se qualquer uma
delas ocorrer entre β e α ´e necess´ario checar se β obedece tais restri¸c˜oes em
Π
. Esse mesmo procedimento deve ser repetido para cada uma das f´ormulas
topo de Π
.
Em particular, podemos notar que uma subdedu¸c˜ao determinada por
qualquer ocorrˆencia de f´ormula numa dedu¸c˜ao Π atende essas restri¸c˜oes j´a
que suas f´ormulas topo s˜ao tamb´em f´ormulas topo de Π.
3.5 Regras alternativas para exponenciais
A regra de introdu¸c˜ao para o operador ! poderia ter sido apresentada numa
forma alternativa como segue:
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 36
Γ
.
.
.
.
[α
1
. . . α
n
]
.
.
.
.
β
!β
I
!
(α
1
. . . α
n
s˜ao f´ormulas essencial-
mente !-modais e a ´arvore de
f´ormulas cujas f´ormulas topo s˜ao
α
1
. . . α
n
e f´ormula final ´e β ´e uma
subdedu¸c˜ao v´alida)
Essa regra I
!
´e baseada na regra de introdu¸c˜ao apresentada por Prawitz
para o operador “Necess´ario” () da l´ogica modal S4 como podemos ver no
Apˆendice C. Troelstra [Tro95] usou esse mesmo estilo para definir sua regra
de introdu¸c˜ao do operador linear !.
Contudo, regras modais baseadas no estilo Prawitz/Troelstra requerem a
existˆencia de uma certa f´ormula essencialmente !-modal no tra¸cado que liga
a premissa da regra e cada uma das f´ormulas topo das quais essa premissa
depende, caracterizando assim, um crit´erio de corretude n˜ao local. Essa ´e
realmente uma condi¸c˜ao bastante onerosa, pois precisa ser checada ao final
de cada deriva¸c˜ao.
Al´em disso, a regra apresentada por Prawitz para S4 ´e, de fato, proble-
m´atica. Em [dPNdM03], de Medeiros apresentou um contra-exemplo no qual
uma redu¸c˜ao envolvendo a regra do absurdo cl´assico falha por causa de uma
aplica¸c˜ao da regra de introdu¸c˜ao do . Abaixo, adaptamos o contra-exemplo
de de Medeiros para a l´ogica linear.
Seja NDLL’ um sistema de dedu¸c˜ao natural obtido a partir de NDLL pela
substitui¸c˜ao da nossa regra I
!
pela regra I
!
. Logo a seguinte dedu¸c˜ao Π
1
´e
uma dedu¸c˜ao de NDLL’:
Π
1
≡
(!α)
⊥
1
(!α)
⊥
β
β
E
β
⊥
⊥
E
⊥
!α
⊥
c
(1)
α
E
!
!γ
α⊗!γ
I
⊗
!(α⊗!γ)
I
!
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 37
Nesse caso, as ocorrˆencia de f´ormula da forma !α e !γ em Π
1
garantem a
corretude da aplica¸c˜ao da regra I
!
. Como !α ´e conclus˜ao de ⊥
c
e, ao mesmo
tempo, premissa maior de uma regra de elimina¸c˜ao, ent˜ao !α ´e uma ocorrˆen-
cia de f´ormula m´axima
‡
e, portanto, deve ser eliminada num processo de
normaliza¸c˜ao. A redu¸c˜ao adequada para esse caso de ocorrˆencia de f´ormula
m´axima ´e a seguinte
§
:
α
⊥
j
Σ
1
⊥
α
⊥
c( j)
Σ
2
β
R
Π
α
k
Σ
2
β
R
β
⊥
l
⊥
E
⊥
α
⊥
I
⊥(k)
Σ
1
⊥
β
⊥
c(l)
Π
Na redu¸c˜ao acima, R ´e uma regra de elimina¸c˜ao ou uma aplica¸c˜ao de C
!
ou W
!
, e α ´e a premissa maior de R. Σ
2
pode estar a esquerda de α e pode
tamb´em ser uma seq¨uencia vazia.
Assim obtemos a dedu¸c˜ao Π
2
resultante da aplica¸c˜ao da redu¸c˜ao descrita
acima `a dedu¸c˜ao Π
1
:
Π
2
≡
!α
2
α
E
!
α
⊥
3
⊥
E
⊥
(!α)
⊥
I
⊥
(2)
(!α)
⊥
β
β
E
β
⊥
⊥
E
⊥
α
⊥
c
(3)
!γ
α⊗!γ
I
⊗
!(α⊗!γ)
I
!
Notadamente, em Π
2
as retri¸c˜oes da regra I
!
n˜ao s˜ao obedecidas, pois o
tra¸cado entre a premissa α⊗!γ de I
!
e a f´ormula top o β
⊥
, por exemplo, n˜ao
cont´em nenhuma f´ormula essencialmente !-modal.
Por outro lado, usando nossa regra I
!
, Π
1
´e traduzida para a seguinte
dedu¸c˜ao Π
∗
1
:
‡
Veja defini¸c˜ao 6.2
§
Veja Se¸c˜ao 6.3 na qual s˜ao apresentadas as redu¸c˜oes
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 38
Π
∗
1
≡
(!α)
⊥
1
(!α)
⊥
β
β
E
β
⊥
⊥
E
⊥
!α
⊥
c
(1)
!γ
!α
2
α
E
!
!γ
3
α⊗!γ
I
⊗
!(α⊗!γ)
I
!
(2,3)
Tamb´em em Π
∗
1
, !α ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima e a redu¸c˜ao
apropriada para esse caso ´e da seguinte forma:
α
⊥
j
Σ
1
⊥
α
⊥
c( j)
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
α
k
β
l
1
1
. . . β
l
n
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!(k,l
1
,...,l
n
)
Π
α
j
1
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
α
k
β
l
1
1
. . . β
l
n
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!(k,l
1
,...,l
n
)
(!γ)
⊥
j
2
⊥
E
⊥
α
⊥
I
⊥( j
1
)
Σ
1
⊥
!γ
⊥
c( j
2
)
Π
Na redu¸c˜ao acima, a premissa intermedi´aria α da regra I
!
na primeira
dedu¸c˜ao pode estar a direita de uma premissa intermedi´aria β
i
tal que 1 ≤
i ≤ n. Nesse caso, na segunda dedu¸c˜ao, a premissa intermedi´aria α tamb´em
est´a a direita de β
i
.
Assim obtemos a dedu¸c˜ao Π
∗
2
resultante da aplica¸c˜ao da redu¸c˜ao descrita
acima `a dedu¸c˜ao Π
∗
1
:
Π
∗
2
≡
!α
4
!γ
!α
2
α
E
!
!γ
3
α⊗!γ
I
⊗
!(α⊗!γ)
I
!(2,3)
(!(α⊗!γ))
⊥
5
⊥
E
⊥
(!α)
⊥
I
⊥(4)
(!α)
⊥
β
β
E
β
⊥
⊥
E
⊥
!(α⊗!γ)
⊥
c(5)
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 39
Podemos notar que a dedu¸c˜ao resultante em NDLL Π
∗
2
´e correta.
A nossa regra de introdu¸c˜ao para o operador !, como apresentada na
Se¸c˜ao 3.3, ´e baseada na regra “Promotion” apresentada em [BBHdP92] para
a l´ogica linear intuicion´ıstica. A regra “Promotion” ´e como segue:
!α
1
. . . !α
n
!α
j
1
1
. . . !α
j
n
n
.
.
.
.
β
!β
Promotion
( j
1
,..., j
n
)
Em nossa vers˜ao da introdu¸c˜ao do operador “Of Course” as premissas
intermedi´arias s˜ao f´ormulas essencialmente !-modais. Por outro lado, na
regra “Promotion”, as premissas intermedi´arias s˜ao simplesmente da forma
!α. Essa diferen¸ca ocorre porque se a regra “Promotion” fosse usada no
lugar de nossa regra I
!
n˜ao poder´ıamos prova a completude de nosso sistema
j´a que, no sistema NDLL, ? ´e um s´ımbolo primitivo. Para demonstrar esse
resultado, seja NDLL’ o sistema de dedu¸c˜ao natural obtido de NDLL pela
substitui¸c˜ao da regra I
!
pela regra “Promotion”. O Teorema F.1 no Apˆendice
F prova que NDLL’ ´e incompleto.
Outro resultado de incompletude relacionado com a regra “Promotion” ´e
o seguinte: seja NDLL” o sistema de dedu¸c˜ao natural obtido de NDLL pela
substitui¸c˜ao respectiva das regras I
!
, E
?
, C
!
e W
!
pelas regras “Promotion”,
E
?
’, C
!
’ e W
!
’ mostradas abaixo:
?α !β
1
. . . !β
n
!β
j
1
1
. . . !β
j
n
n
α
k
.
.
.
.
γ
γ
E
?
’
( j
1
,..., j
n
,k)
(n ≥ 0, γ ´e da forma ?δ ou
⊥ e n˜ao depende de qualquer
ocorrˆencia de f´ormula topo al´em
de !β
1
, . . . , !β
n
e α.)
!α
!α
j
!α
j
.
.
.
.
β
β
C
!
’
( j)
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 40
!α β
β
W
!
’
O Teorema F.2 no Apˆendice F prova que NDLL” tamb´em ´e incompleto.
Por outro lado, nosso sistema NDLL ´e correto e completo conforme de-
monstra¸c˜oes no Cap´ıtulo 4.
3.6 Significado dos conectivos
Usando NDLL pretendemos obter um melhor entendimento dos conectivos
lineares. Algumas considera¸c˜oes significantes surgem pela compara¸c˜ao entre
o sistema de dedu¸c˜ao natural cl´assico e nosso sistema NDLL
¶
. A regra de
introdu¸c˜ao I
→
para a implica¸c˜ao cl´assica →, por exemplo, ´e da forma:
[α]
j
.
.
.
.
β
α → β
I
→( j)
Os colchetes que envolvem a hip´otese α indica que I
→
pode descartar
qualquer conjunto de ocorrˆencias da hip´otese α, incluindo o conjunto vazio.
Por outro lado, nossa regra de introdu¸c˜ao I
para a implica¸c˜ao linear
descarta precisamente uma ocorrˆencia da hip´otese α. Em outras palavras,
na l´ogica linear, a hip´otese α ´e tratada como um recurso limitado e relevante
pela implica¸c˜ao linear.
Uma divergˆencia an´aloga ocorre entre a regra de introdu¸c˜ao para a nega¸c˜ao
cl´assica ¬ e a regra de intro du¸c˜ao para a nega¸c˜ao linear
⊥
. A regra de in-
trodu¸c˜ao para a nega¸c˜ao no sistema de dedu¸c˜ao natural cl´assico ´e da seguinte
forma:
[α]
j
.
.
.
.
⊥
¬α
I
¬( j)
V´arias ocorrˆencias da hip´otese α podem ser descartadas por uma ´unica
aplica¸c˜ao de I
¬
. Por outro lado, na l´ogica linear, a hip´otese α da regra I
⊥
´e
¶
Veja Apˆendice B no qual um sistema de dedu¸c˜ao natural cl´assico ´e apresentado
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 41
descartada precisamente uma vez. Isso ocorre devido ao fato de que a nega¸c˜ao
linear pode ser obtida atrav´es da implica¸c˜ao linear e da constante linear
para a falsidade ⊥, j´a que α
⊥
´e equivalente a α ⊥.
Em geral, regras que descartam hip´oteses no sistema NDLL descartam
uma ´unica ocorrˆencia de cada hip´otese. Exce¸c˜oes ocorrem quando as regra
aditivas I
e E
⊕
s˜ao usadas. De certa forma, elas duplicam ocorrˆencias de
f´ormulas de uma mesma hip´oteses, assim, uma regra pode descartar um
n´umero par de ocorrˆencias de uma mesma hip´otese numa dedu¸c˜ao na qual
I
e/ou E
⊕
s˜ao aplicadas. Contudo, mesmo nesses casos, hip´oteses continuam
tendo um car´ater de recursos limitados e relevantes.
Prosseguindo com compara¸c˜oes, uma diferen¸ca sutil ´e observada entre a
conjun¸c˜ao multiplicativa linear ⊗ e a conjun¸c˜ao cl´assica ∧. Nossa regra de
introdu¸c˜ao I
⊗
´e similar a I
∧
e indica que se temos α e β podemos concluir
α ⊗ β. Isso evidentemente caracteriza ⊗ como conjun¸c˜ao. No entanto, na
regra de elimina¸c˜ao para o conectivo ⊗ temos uma subdedu¸c˜ao da forma:
α
j
β
k
.
.
.
.
γ
Isso indica que temos que lidar com ambas subf´ormulas α e β de α ⊗ β, j´a
que s˜ao recursos relevantes. J´a as regras de elimina¸c˜ao para ∧ concluem ou
α ou β, cada um de maneira independente. As regras cl´assicas de elimina¸c˜ao
para ∧ s˜ao an´alogas `as nossas regras de elimina¸c˜ao para o conectivo :
αβ
α
E
1
e
αβ
β
E
2
Na l´ogica linear, αβ expressa a disponibilidade de duas a¸c˜oes α e β, mas
que apenas uma delas ´e executada e devemos decidir qual.
Numa aplica¸c˜ao da regra I
cujas premissas s˜ao α e β, α depende de
ocorrˆencias de hip´oteses similares `as ocorrˆencias de hip´oteses das quais β
depende. Essas ocorrˆencias similares tˆem um mesmo ´ındice e s˜ao descartadas
num ´unico passo. Dizemos ainda que s˜ao uma mesma hip´otese. Dessa forma,
α e β compartilham hip´oteses. Em outras palavras, α e β compartilham
contexto. Logo, ´e um conectivo aditivo.
O conectivo ´e considerado de entendimento dif´ıcil. Como observamos
na Se¸c˜ao 2.3, expressa uma dependˆencia entre duas a¸c˜oes. As regras de
inferˆencia I
e E
confirmam essa id´eia. Na regra I
, por exemplo, temos
uma subdedu¸c˜ao da forma:
α
⊥
x
β
⊥
y
.
.
.
.
⊥
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 42
α
⊥
sugere que α n˜ao ´e executada. Assim, a subdedu¸c˜ao acima indica
que temos uma inconsistˆencia (⊥) quando ambas a¸c˜oes α e β n˜ao podem ser
executadas simultaneamente. Pela regra I
, nessas circunstˆancias, podemos
concluir αβ.
Podemos notar que a regra I
lembra a regra de redu¸c˜ao ao absurdo. As-
sim, seria interessante construir uma vers˜ao intuicion´ıstica do sistema NDLL
e investigar o comportamento do conectivo nesse sistema.
A dedu¸c˜ao seguinte prova o axioma (α β) (α
⊥
β) usando a regra
I
:
α
⊥
1
α
⊥⊥
2
⊥
E
⊥
α
⊥
c(1)
α β
3
β
E
β
⊥
4
⊥
E
⊥
α
⊥
β
I
(2,4)
(α β) (α
⊥
β)
I
(3)
Esse axioma nos ajuda a esclarece o significado de . Ele nos diz que
uma a¸c˜ao do tipo α β, se executada, pode gerar uma a¸c˜ao do tipo α
⊥
β
que, por sua vez, indica que n˜ao temos mais α, embora certamente temos β.
Assim, apesar de ser uma disjun¸c˜ao, carrega uma id´eia de conjun¸c˜ao.
N˜ao podemos deixar de observar a regra E
. A intui¸c˜ao dessa regra
lembra a intui¸c˜ao da regra I
. E
´e da seguinte forma:
αβ α
⊥
β
⊥
⊥
E
Assim, pela regra E
, obtemos uma inconsistˆencia quando αβ, α
⊥
e β
⊥
ocorrem simultaneamente. Em outras palavras, E
indica que se temos αβ
ent˜ao, pelo menos uma das f´ormulas α e β tem que ser v´alida, caso contr´ario,
obtemos uma inconsistˆencia.
A intui¸c˜ao da disjun¸c˜ao aditiva ⊕ ´e um pouco mais clara. As regras I
1⊕
e
I
2⊕
, por exemplo, s˜ao da forma:
α
α ⊕ β
I
1⊕
e
β
α ⊕ β
I
2⊕
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 43
Essas regras s˜ao similares `as regras de introdu¸c˜ao para a disjun¸c˜ao cl´assica
∨ e evidenciam que se temos α ⊕ β ent˜ao, pelo menos uma das f´ormulas α e
β ´e v´alida, mas n˜ao nos cabe a tarefa de decidir qual.
A regra E
⊕
lembra a regra de elimina¸c˜ao cl´assica E
∨
. No entanto, como
na regra I
, as premissas de E
⊕
compartilham hip´oteses.
Na Se¸c˜ao 3.5 relatamos que a regra de introdu¸c˜ao para o operador ! pode-
ria ter sido concebida numa forma altenativa baseada na regra de introdu¸c˜ao
de Prawitz para o operador “Necess´ario” () da l´ogica modal S4. Nossa
regra de elimina¸c˜ao para o operador ? poderia tamb´em ter sido concebida
numa forma alternativa, mas por sua vez, baseada na regra de elimina¸c˜ao
de Prawitz para o operador “Poss´ıvel” () da l´ogica modal S4. Assim, os
operadores exponenciais s˜ao considerados, de certo modo, como operadores
modais.
Duas regras relacionadas com o operador ! merecem aten¸c˜ao especial:
C
!
e W
!
. Essas regras n˜ao s˜ao inspiradas na l´ogica modal e expressam o
car´ater de verdade est´avel de uma f´ormula essencialmente !-modal. A regra
C
!
, por exemplo, se usada consecutivamente sobre uma mesma f´ormula α
essencialmente !-modal reproduz o recurso α tantas vezes quanto necess´ario
ou desej´avel.
Por outro lado, a regra W
!
introduz uma esp´ecie de monotonicidade, pois
se temos uma dedu¸c˜ao Π
1
de Γ
1
ndll
α, tal que α ´e uma f´ormula essencial-
mente !-modal, e a dedu¸c˜ao Π
2
de Γ
2
ndll
β podemos construir a dedu¸c˜ao Π
de Γ
1
, Γ
2
ndll
β usando a regra W
!
como segue:
Π
1
≡
Γ
1
Σ
1
α
Π
2
≡
Γ
2
Σ
2
β
CAP
´
ITULO 3. O SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL NDLL 44
Π ≡
Γ
1
Σ
1
α
Γ
2
Σ
2
β
β
W
!
3.7 Conclus˜ao
O presente Cap´ıtulo pode ser considerado o mais importante de nosso tra-
balho. Apresentamos aqui nosso sistema de dedu¸c˜ao natural NDLL com
regras in´editas para os conectivos “Par” () e “Why not” (?). Dessa forma,
no sistema NDLL, os conectivos lineares e ? s˜ao tratados como primitivos
ao inv´es de abrevia¸c˜oes de f´ormulas definidas pelas dualidades de de Morgan.
Relatamos que em decorrˆencia do tratamendo do operador ? como primi-
tivo pelo sistema NDLL tivemos que definir o conceito de f´ormula essencial-
mente !-modal e us´a-lo em nossas regras exponenciais, pois, caso contr´ario,
n˜ao poder´ıamos provar a completude do sistema NDLL.
No entanto, no Cap´ıtulo 6 iremos nos deparar com uma complexidade
adicional no processo de normaliza¸c˜ao fraca para o sistema NDLL justamente
em decorrˆencia do uso de f´ormulas essencialmente !-modais como premissas
de regras exponenciais. Para solucionar tal complexidade adicional teremos
que criar novas redu¸c˜oes.
As novas regras de inferˆencia (para e ?) apresentadas no presente
Cap´ıtulo aliadas `as novas redu¸c˜oes que ser˜ao apresentadas posteriormente
no Cap´ıtulo 6 s˜ao as principais contribui¸c˜oes de nosso trabalho.
Cap´ıtulo 4
Equivalˆencia entre NDLL e o
C´alculo de Seq¨uentes
4.1 Introdu¸c˜ao
Para provar a equivalˆencia entre NDLL e o c´alculo de seq¨uentes de Girard,
empregamos o mesmo esquema de prova indutiva usado por de Medeiros
[dPNdM01].
Na pr´oxima Se¸c˜ao, provamos um Lema importante e bastante ´util sobre
f´ormulas essencialmente !-modais e ?-modais. Na Se¸c˜ao 4.3, a corretude do
sistema NDLL ´e provada. A completude de NDLL ´e provada na Se¸c˜ao 4.4.
Finalmente, na Se¸c˜ao 4.5 obtemos a equivalˆencia entre NDLL e o c´alculo de
seq¨uentes linear como uma conseq¨uˆencia direta da corretude e completude.
4.2 Lema preliminar
Lema 4.1 (Lema sobre f´ormulas essencialmente !-modais e ?-modais) Para
toda f´ormula α em L, se α ´e uma f´ormula essencialmente !-modal, ent˜ao
o seq¨uente α !α ´e provado no c´alculo de seq¨uentes; e se α ´e uma f´ormula
essencialmente ?-modal, ent˜ao o seq¨uente ?α α ´e provado no c´alculo de
seq¨uentes.
O Lema 4.1 ´e provado por indu¸c˜ao em d(α)
∗
:
Base: d(α) = 0.
∗
Veja Defini¸c˜ao 2.4
45
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES46
Nesse caso α ´e uma f´ormula atˆomica. Suponha que α ´e uma f´ormula
essencialmente !-modal, ent˜ao α ´e 1. Logo provamos o seq¨uente 1 !1 como
segue:
1
R
1
!1
R
!
1 !1
L
1
Suponha que α ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal, ent˜ao α ´e ⊥. Logo
provamos o seq¨uente ?⊥ ⊥ como segue:
⊥
L
F
?⊥
L
?
?⊥ ⊥
R
F
Passo indutivo: d(α) > 0.
Suponha que α ´e uma f´ormula essencialmente !-modal. Temos os seguintes
subcasos dependendo de α:
1. α ´e da forma !β. Logo provamos o seq¨uente !β !!β como segue:
!β !β
Id
!
β
!!
β
R
!
2. α ´e da forma β ⊗ γ e as subf´ormulas β e γ s˜ao essencialmente !-mo dal.
Assim provamos o seq¨uente β ⊗ γ !(β ⊗ γ) como segue:
β !β γ !γ
β, γ !β⊗!γ
R
⊗
β ⊗ γ !β⊗!γ
L
⊗
β β
Id
!β β
L
!
γ γ
Id
!γ γ
L
!
!β, !γ β ⊗ γ
R
⊗
!β, !γ !(β ⊗ γ)
R
!
!β⊗!γ !(β ⊗ γ)
L
⊗
β ⊗ γ !(β ⊗ γ)
Cut
Por hip´otese de indu¸c˜ao, os seq¨uentes β !β e γ !γ s˜ao v´alidos.
3. α ´e da forma β
⊥
e a subf´ormula β ´e essencialmente ?-modal. Assim
provamos o seq¨uente β
⊥
!(β
⊥
) como segue:
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES47
β β
Id
β ?β
R
?
?β, β
⊥
R
⊥
?β, !(β
⊥
)
R
!
?β β
β, !(β
⊥
)
Cut
β
⊥
!(β
⊥
)
L
⊥
Por hip´otese de indu¸c˜ao, o seq¨uente ?β β ´e v´alido.
Suponha que α ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal, ent˜ao temo um
dos seguintes casos:
1. α ´e da forma ?β. Logo provamos o seq¨uente ??β ?β como segue:
?β ?β
Id
??β ?β
L
?
2. α ´e da forma βγ e as subf´ormulas β e γ s˜ao essencialmente ?-modal.
Assim provamos o seq¨uente ?(βγ) βγ como segue:
β β
Id
β ?β
R
?
γ γ
Id
γ ?γ
R
?
βγ ?β, ?γ
L
?(βγ) ?β, ?γ
L
?
?(βγ) ?β?γ
R
?β β ?γ γ
?β?γ β, γ
L
?β?γ βγ
R
?(βγ) βγ
Cut
Por hip´otese de indu¸c˜ao, os seq¨uentes ?β β e ?γ γ s˜ao v´alidos.
3. α ´e da forma β
⊥
e a subf´ormula β ´e essencialmente !-modal. Assim
provamos o seq¨uente ?(β
⊥
) β
⊥
como segue:
β !β
β β
Id
!β β
L
!
β
⊥
, !β
L
⊥
?(β
⊥
), !β
L
?
?(β
⊥
), β
Cut
?(β
⊥
) β
⊥
R
⊥
Por hip´otese de indu¸c˜ao, o seq¨uente β !β ´e v´alido.
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES48
4.3 Corretude
Teorema 4.2 (Corretude do sistema NDLL) Se Γ
ndll
α, ent˜ao o seq¨uente
Γ α ´e provado no c´alculo de seq¨uentes linear.
Suponha que Γ
ndll
α. Isso significa que existe uma dedu¸c˜ao Π em NDLL
de α a partir de Γ. Por indu¸c˜ao em l(Π)
†
, provamos que existe uma dedu¸c˜ao
no c´alculo de seq¨uentes linear cujo seq¨uente final ´e Γ α:
Base: l(Π) = 1.
Π ´e constitu´ıda por uma simples hip´otese ou por uma aplica¸c˜ao da regra
I
1
. No primeiro caso, podemos transformar Π numa dedu¸c˜ao Π
no c´alculo
de seq¨uentes contendo apenas uma aplica¸c˜ao da regra Id. No segundo caso,
podemos transformar Π numa dedu¸c˜ao Π
no c´alculo de seq¨uentes contendo
apenas uma aplica¸c˜ao da regra R
1
.
Passo indutivo: l(Π) > 1.
De acordo com a Se¸c˜ao 3.2, r(Π) denota a ´ultima regra de inferˆencia de
Π. Temos os seguintes casos dependendo de r(Π):
1. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra I
e α ´e β γ. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ β
j
Σ
γ
β γ
I
( j)
Π
≡
Γ, β γ
Γ β γ
R
O seq¨uente “Γ, β γ” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
2. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra E
e Γ = Γ
1
∪Γ
2
. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
†
Veja Defini¸c˜ao 3.12
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES49
Π ≡
Γ
1
Σ
1
β
Γ
2
Σ
2
β α
α
E
Π
≡
Γ
2
β α
Γ
1
β
β β
Id
α α
Id
β, β α α
L
Γ
1
, β α α
Cut
Γ
1
, Γ
2
α
Cut
Os seq¨uentes “Γ
2
β α” e “Γ
1
β” valem por hip´otese de indu¸c˜ao.
3. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra I
⊗
, α ´e β ⊗ γ e Γ = Γ
1
∪ Γ
2
. Π pode ser
transformada numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte
forma:
Π ≡
Γ
1
Σ
1
β
Γ
2
Σ
2
γ
β ⊗ γ
I
⊗
Π
≡
Γ
1
β Γ
2
γ
Γ
1
, Γ
2
β ⊗ γ
R
⊗
Os seq¨uentes “Γ
1
β” e “Γ
2
γ” valem por hip´otese de indu¸c˜ao.
4. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra E
⊗
e Γ = Γ
1
∪Γ
2
. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
1
Σ
1
β ⊗ γ
Γ
2
β
j
γ
k
Σ
2
α
α
E
⊗( j,k)
Π
≡
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES50
Γ
1
β ⊗ γ
Γ
2
, β, γ α
Γ
2
, β ⊗ γ α
L
⊗
Γ
1
, Γ
2
α
Cut
Os seq¨uentes “Γ
1
β⊗γ” e “Γ
2
, β, γ α” valem por hip´otese de indu¸c˜ao.
5. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra I
e α ´e βγ. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ β
⊥
j
γ
⊥
k
Σ
⊥
βγ
I
( j,k)
Π
≡
γ γ
Id
γ
⊥
, γ
R
⊥
β β
Id
β
⊥
, β
R
⊥
Γ, β
⊥
, γ
⊥
⊥
Γ, γ
⊥
β, ⊥
Cut
Γ β, γ, ⊥
Cut
⊥
L
F
Γ β, γ
Cut
Γ βγ
R
O seq¨uente “Γ, β
⊥
, γ
⊥
⊥” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
6. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra E
, α ´e ⊥ e Γ = Γ
1
∪ Γ
2
∪ Γ
3
. Π pode
ser transformada numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte
forma:
Π ≡
Γ
1
Σ
1
βγ
Γ
2
Σ
2
β
⊥
Γ
3
Σ
3
γ
⊥
⊥
E
Π
≡
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES51
Γ
1
βγ
Γ
2
β
⊥
β β
Id
β
⊥
, β
L
⊥
Γ
2
, β
Cut
Γ
3
γ
⊥
γ γ
Id
γ
⊥
, γ
L
⊥
Γ
3
, γ
Cut
Γ
2
, Γ
3
, βγ
L
Γ
2
, Γ
3
, βγ ⊥
R
F
Γ
1
, Γ
2
, Γ
3
⊥
Cut
Os seq¨uentes “Γ
1
βγ”, “Γ
2
β
⊥
” e “Γ
3
γ
⊥
” valem por hip´otese de
indu¸c˜ao.
7. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra I
, α ´e βγ. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
Σ
1
β
Γ
Σ
2
γ
βγ
I
Π
≡
Γ β Γ γ
Γ βγ
R
Os seq¨uentes “Γ β” e “ Γ γ” valem por hip´otese de indu¸c˜ao.
8. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra E
1
. Π pode ser transformada numa
dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
Σ
αβ
α
E
1
Π
≡
Γ αβ
α α
Id
αβ α
L
1
Γ α
Cut
O seq¨uente “Γ αβ” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES52
9. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra E
2
. Π pode ser transformada numa
dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
Σ
βα
α
E
2
Π
≡
Γ βα
α α
Id
βα α
I
2
Γ α
Cut
O seq¨uente “Γ βα” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
10. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra I
1⊕
e α ´e β ⊕ γ. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
Σ
β
β ⊕ γ
I
1⊕
Π
≡
Γ β
Γ β ⊕ γ
R
1⊕
O seq¨uente “Γ β” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
11. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra I
2⊕
e α ´e β ⊕ γ. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
Σ
γ
β ⊕ γ
I
2⊕
Π
≡
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES53
Γ γ
Γ β ⊕ γ
R
2⊕
O seq¨uente “Γ γ” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
12. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra E
⊕
e Γ = Γ
1
∪Γ
2
. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
1
Σ
1
β ⊕ γ
Γ
2
β
j
Σ
2
α
Γ
2
γ
k
Σ
3
α
α
E
⊕( j,k)
Π
≡
Γ
1
β ⊕ γ
Γ
2
, β α Γ
2
, γ α
Γ
2
, β ⊕ γ α
L
⊕
Γ
1
, Γ
2
α
Cut
Os seq¨uentes “ Γ
1
β ⊕ γ”, “Γ
2
, β α” e “Γ
2
, γ α” valem por hip´otese
de indu¸c˜ao.
13. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra I
∀
e α ´e ∀xβ. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
Σ
β
x
a
∀xβ
I
∀
a n˜ao ocorre em Γ.
Π
≡
Γ β
x
a
Γ ∀xβ
R
∀
O seq¨uente “Γ β
x
a
” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES54
14. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra E
∀
e α ´e β
x
t
. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
Σ
∀xβ
β
x
t
E
∀
Π
≡
Γ ∀xβ
β
x
t
β
x
t
Id
∀xβ β
x
t
L
∀
Γ β
x
t
Cut
O seq¨uente “Γ ∀xβ” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
15. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra I
∃
e α ´e ∃xβ. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
Σ
β
x
t
∃xβ
I
∃
Π
≡
Γ β
x
t
Γ ∃xβ
R
∃
O seq¨uente “Γ β
x
t
” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
16. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra E
∃
e Γ = Γ
1
∪Γ
2
. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
1
Σ
1
∃xβ
Γ
2
β
x
a
j
Σ
2
α
α
E
∃( j)
a n˜ao ocorre em ∃xβ, α e Γ
2
.
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES55
Π
≡
Γ
1
∃xβ
Γ
2
, β
x
a
α
Γ
2
, ∃xβ α
L
∃
Γ
1
, Γ
2
α
Cut
Os seq¨uentes “Γ
1
∃xβ” e “Γ
2
, β
x
a
α” valem por hip´otese de indu¸c˜ao.
17. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra I
!
, α ´e !γ e Γ = Γ
1
∪ Γ
2
∪ . . . ∪ Γ
n
. Π
pode ser transformada numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da
seguinte forma:
Π ≡
Γ
1
Σ
1
β
1
. . .
Γ
n
Σ
n
β
n
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
Σ
n+1
γ
!γ
I
!( j
1
,..., j
n
)
β
1
, . . . , β
n
s˜ao f´ormulas essencialmente !-modais.
Π
≡
Γ
n
β
n
β
n
!β
n
Γ
n
!β
n
Cut
Γ
1
β
1
β
1
!β
1
Γ
1
!β
1
Cut
β
1
, . . . , β
n
γ
!β
1
, β
2
, . . . , β
n
γ
L
!
.
.
.
.
!β
1
, . . . , !β
n−1
, β
n
γ
!β
1
, . . . , !β
n
γ
L
!
!β
1
, . . . , !β
n
!γ
R
!
Γ
1
, !β
2
, . . . , !β
n
!γ
Cut
.
.
.
.
Γ
1
, . . . , Γ
n−1
, !β
n
!γ
Γ
1
, . . . , Γ
n
!γ
Cut
Os seq ¨uentes “β
1
!β
1
”, . . . , “β
n
!β
n
” valem pelo Lema 4.1 j´a que
β
1
, . . . , β
n
s˜ao f´ormulas essencialmente !-modais.
Os seq¨uentes “Γ
1
β
1
”, . . . , “Γ
n
β
n
” e “β
1
, . . . , β
n
γ” valem por
hip´otese de indu¸c˜ao.
18. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra E
!
. Π pode ser transformada numa
dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES56
Γ
Σ
!α
α
E
!
Π
≡
Γ !α
α α
Id
!α α
L
!
Γ α
Cut
O seq¨uente “Γ !α” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
19. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra I
?
e α ´e ?β. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
Σ
β
?β
I
?
Π
≡
Γ β
Γ ?β
R
?
O seq¨uente “Γ β” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
20. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra E
?
e Γ = Γ
1
∪ Γ
2
∪ . . . ∪ Γ
n+1
. Π pode ser
transformada numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte
forma:
Π ≡
Γ
1
Σ
1
?β
Γ
2
Σ
2
γ
1
. . .
Γ
n+1
Σ
n+1
γ
n
γ
j
1
1
. . . γ
j
n
n
β
k
Σ
n+2
α
α
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
γ
1
, . . . , γ
n
s˜ao f´ormulas essencialmente !-modais e α ´e essencialmente
?-modal.
Π
≡
Γ
n+1
γ
n
γ
n
!γ
n
Γ
n+1
!γ
n
Cut
Γ
2
γ
1
γ
1
!γ
1
Γ
2
!γ
1
Cut
Γ
1
?β
γ
1
, . . . , γ
n
, β α
!γ
1
, γ
2
, . . . , γ
n
, β α
L
!
.
.
.
.
!γ
1
, . . . , !γ
n−1
, γ
n
, β α
!γ
1
, . . . , !γ
n
, β α
L
!
!γ
1
, . . . , !γ
n
, β ?α
R
?
!γ
1
, . . . , !γ
n
, ?β ?α
L
?
?α α
!γ
1
, . . . , !γ
n
, ?β α
Cut
Γ
1
, !γ
1
, . . . , !γ
n
α
Cut
Γ
1
, Γ
2
, !γ
2
, . . . , !γ
n
α
Cut
.
.
.
.
Γ
1
, . . . , Γ
n
, !γ
n
α
Γ
1
, . . . , Γ
n+1
α
Cut
Os seq¨uentes “γ
1
!γ
1
”, . . . , “γ
n
!γ
n
” e “?α α” valem pelo Lema 4.1 j´a que γ
1
, . . . , γ
n
s˜ao f´ormulas essencialmente !-modais
e α ´e essencialmente ?-modal.
Os seq¨uentes “Γ
2
γ
1
”, . . . , “Γ
n+1
γ
n
”, “Γ
1
?β” e “γ
1
, . . . , γ
n
, β α” valem por hip´otese de indu¸c˜ao.
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES58
21. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra C
!
e Γ = Γ
1
∪Γ
2
. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
1
Σ
1
β
Γ
2
β
j
β
j
Σ
2
α
α
C
!( j)
β ´e f´ormula essencialmente !-modal.
Π
≡
Γ
1
β β !β
Γ
1
!β
Cut
Γ
2
, β, β α
Γ
2
, !β, β α
L
!
Γ
2
, !β, !β α
L
!
Γ
2
, !β α
L
c!
Γ
1
, Γ
2
α
Cut
O seq¨uente “β !β” vale pelo Lema 4.1 j´a que β ´e uma f´ormula essen-
cialmente !-modal.
Os seq¨uentes “Γ
1
β” e “Γ
2
, β, β α” valem por hip´otese de indu¸c˜ao.
22. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra W
!
e Γ = Γ
1
∪Γ
2
. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
1
Σ
1
β
Γ
2
Σ
2
α
α
W
!
Π
≡
Γ
1
β β !β
Γ
1
!β
Cut
Γ
2
α
Γ
2
, !β α
L
w!
Γ
1
, Γ
2
α
Cut
O seq¨uente “β !β” vale pelo Lema 4.1 j´a que β ´e uma f´ormula essen-
cialmente !-modal.
Os seq¨uentes “Γ
1
β” e “Γ
2
α” valem por hip´otese de indu¸c˜ao.
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES59
23. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra E
1
e Γ = Γ
1
∪Γ
2
. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ
1
Σ
1
1
Γ
2
Σ
2
α
α
E
1
Π
≡
Γ
1
1
Γ
2
, α
Γ
2
, 1 α
L
1
Γ
1
, Γ
2
α
Cut
Os seq¨uentes “Γ
1
1” e “Γ
2
, α” valem por hip´otese de indu¸c˜ao.
24. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra I
⊥
e α ´e β
⊥
. Π pode ser transformada
numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ β
j
Σ
⊥
β
⊥
I
⊥( j)
Π
≡
Γ, β ⊥ ⊥
L
F
Γ, β
Cut
Γ β
⊥
R
⊥
O seq¨uente “Γ, β ⊥” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
25. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra E
⊥
, α ´e ⊥ e Γ = Γ
1
∪ Γ
2
. Π pode ser
transformada numa dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte
forma:
Π ≡
Γ
1
Σ
1
β
Γ
2
Σ
2
β
⊥
⊥
E
⊥
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES60
Π
≡
Γ
1
β
Γ
2
β
⊥
β β
Id
β, β
⊥
L
⊥
Γ
2
, β
Cut
Γ
1
, Γ
2
Cut
Γ
1
, Γ
2
⊥
R
F
Os seq¨uentes “Γ
1
β” e “Γ
2
β
⊥
” valem por hip´otese de indu¸c˜ao.
26. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra ⊥
c
. Π pode ser transformada numa
dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes da seguinte forma:
Π ≡
Γ α
⊥
j
Σ
⊥
α
⊥
c( j)
Π
≡
α α
Id
α
⊥
, α
R
⊥
Γ, α
⊥
⊥
Γ α, ⊥
Cut
⊥
L
F
Γ α
Cut
O seq¨uente “Γ, α
⊥
⊥” vale por hip´otese de indu¸c˜ao.
4.4 Completude
Teorema 4.3 (Completude do sistema NDLL) Seja ∆ = {α
1
, . . . , α
n
}, even-
tualmente vazio, e seja ∆
⊥
= {α
⊥
1
, . . . , α
⊥
n
}. Se Γ ∆ ´e um seq¨uente provado
no c´alculo de seq¨uentes linear, ent˜ao Γ, ∆
⊥
ndll
⊥.
Para provar o Teorema 4.3, suponha que o seq¨uente Γ α
1
, . . . , α
n
´e
provado no c´alculo de seq¨uentes, ou seja, existe pelo menos uma dedu¸c˜ao Π
em c´alculo de seq¨uentes cujo seq¨uente final ´e Γ α
1
, . . . , α
n
. Por indu¸c˜ao em
l(Π)
‡
, provamos que existe uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL de ⊥ a partir de Γ∪∆
⊥
:
‡
Veja Defini¸c˜ao 2.13
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES61
Base: l(Π) = 1.
Nesse caso, Π ´e constitu´ıda por uma das seguintes regras axiomas:
1. Π ´e constitu´ıda pela regra Id, ent˜ao Π ´e da forma:
Π ≡
β β
Id
Em Π, Γ = {β} e ∆
⊥
= {β
⊥
}. Constru´ımos Π
em NDLL como segue:
Π
≡
β β
⊥
⊥
E
⊥
2. Π ´e constitu´ıda pela regra L
F
, ent˜ao Π ´e da forma:
Π ≡
⊥
L
F
Em Π, Γ = {⊥} e ∆
⊥
= ∅. Constru´ımos Π
em NDLL como segue:
Π
≡
⊥
3. Π ´e constitu´ıda pela regra R
1
, ent˜ao Π ´e da forma:
Π ≡
1
R
1
Em Π, Γ = ∅ e ∆
⊥
= {1
⊥
}. Constru´ımos Π
em NDLL como segue:
Π
≡
1
I
1
1
⊥
⊥
E
⊥
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES62
Passo indutivo: l(Π) > 1.
Para efeito de nota¸c˜ao, no decorrer dessa demonstra¸c˜ao, as subdedu¸c˜oes
Σ, Σ
1
e Σ
2
de Π no c´alculo de seq¨uentes linear s˜ao transformadas, por hip´otese
de indu¸c˜ao, nas dedu¸c˜oes Σ
, Σ
1
e Σ
2
em NDLL, respectivamente.
Como alegado na Se¸c˜ao 2.4, r(Π) denota a ´ultima aplica¸c˜ao de regra de
inferˆencia de Π. Temos ent˜ao os seguintes casos dependendo de r(Π):
1. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra Cut e Γ = Γ
1
∪ Γ
2
. Π p ode ser transfor-
mada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
1
Γ
1
α
1
, . . . , α
h
, β
Σ
2
β, Γ
2
α
h+1
, . . . , α
n
Γ
1
, Γ
2
α
1
, . . . , α
n
Cut
Π
≡
Γ
2
α
⊥
h+1
. . . α
⊥
n
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
h
β
⊥
j
Σ
1
⊥
β
⊥
c( j)
Σ
2
⊥
Tal que 0 ≤ h ≤ n.
2. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
1
e Γ = Γ
1
∪{1}. Π pode ser transformada
em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ
1
α
1
, . . . , α
n
Γ
1
, 1 α
1
, . . . , α
n
L
1
Π
≡
1
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
n
Σ
⊥
⊥
E
1
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES63
3. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
F
e α
1
´e ⊥. Π pode ser transformada
em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ α
2
, . . . , α
n
Γ ⊥, α
2
, . . . , α
n
R
F
Π
≡
Γ α
⊥
2
. . . α
⊥
n
Σ
⊥ ⊥
⊥
⊥
E
⊥
4. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
⊗
e Γ = Γ
1
∪ {β ⊗ γ}. Π pode ser
transformada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ
1
, β, γ α
1
, . . . , α
n
Γ
1
, β ⊗ γ α
1
, . . . , α
n
L
⊗
Π
≡
β ⊗ γ
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
n
β
j
γ
k
Σ
⊥
⊥
E
⊗( j,k)
5. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
⊗
, α
1
´e β ⊗ γ e Γ = Γ
1
∪ Γ
2
. Π pode ser
transformada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
1
Γ
1
β, α
2
, . . . , α
h
Σ
2
Γ
2
γ, α
h+1
, . . . , α
n
Γ
1
, Γ
2
β ⊗ γ, α
2
, . . . , α
n
R
⊗
Π
≡
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES64
Γ
1
α
⊥
2
. . . α
⊥
h
β
⊥
j
Σ
1
⊥
β
⊥
c( j)
Γ
2
α
⊥
h+1
. . . α
⊥
n
γ
⊥
k
Σ
2
⊥
γ
⊥
c(k)
β ⊗ γ
I
⊗
(β ⊗ γ)
⊥
⊥
E
⊥
Tal que 1 ≤ h ≤ n.
6. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
e Γ = Γ
1
∪ Γ
2
∪ {βγ}. Π pode ser
transformada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
1
Γ
1
, β α
1
, . . . , α
h
Σ
2
Γ
2
, γ α
h+1
, . . . , α
n
Γ
1
, Γ
2
, βγ α
1
, . . . , α
n
L
Π
≡
βγ
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
h
β
j
Σ
1
⊥
β
⊥
I
⊥( j)
Γ
2
α
⊥
h+1
. . . α
⊥
n
γ
k
Σ
2
⊥
γ
⊥
I
⊥(k)
⊥
E
Tal que 0 ≤ h ≤ n.
7. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
e α
1
´e βγ. Π pode ser transformada
em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ β, γ, α
2
, . . . , α
n
Γ βγ, α
2
, . . . , α
n
R
Π
≡
Γ α
⊥
2
. . . α
⊥
n
β
⊥
j
γ
⊥
k
Σ
⊥
βγ
I
( j,k)
(βγ)
⊥
⊥
E
⊥
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES65
8. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
1
e Γ = Γ
1
∪ {βγ}. Π pode ser
transformada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ
1
, β α
1
, . . . , α
n
Γ
1
, βγ α
1
, . . . , α
n
L
1
Π
≡
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
n
βγ
β
E
1
Σ
⊥
9. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
2
e Γ = Γ
1
∪ {βγ}. Π pode ser
transformada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ
1
, γ α
1
, . . . , α
n
Γ
1
, βγ α
1
, . . . , α
n
L
2
Π
≡
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
n
βγ
γ
E
2
Σ
⊥
10. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
e α
1
´e βγ. Π pode ser transformada
em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
1
Γ β, α
2
, . . . , α
n
Σ
2
Γ γ, α
2
, . . . , α
n
Γ βγ, α
2
, . . . , α
n
R
Π
≡
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES66
Γ α
⊥
2
. . . α
⊥
n
β
⊥
j
Σ
1
⊥
β
⊥
c( j)
Γ α
⊥
2
. . . α
⊥
n
γ
⊥
k
Σ
2
⊥
γ
⊥
c(k)
βγ
I
(βγ)
⊥
⊥
E
⊥
11. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
⊕
e Γ = Γ
1
∪ {β ⊕ γ}. Π pode ser
transformada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
1
Γ
1
, β α
1
, . . . , α
n
Σ
2
Γ
1
, γ α
1
, . . . , α
n
Γ
1
, β ⊕ γ α
1
, . . . , α
n
L
⊕
Π
≡
β ⊕ γ
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
n
β
j
Σ
1
⊥
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
n
γ
k
Σ
2
⊥
⊥
E
⊕( j,k)
12. r(Π) ´e uma aplication da regra R
1⊕
e α
1
´e β⊕γ. Π pode ser transformada
em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ β, α
2
, . . . , α
n
Γ β ⊕ γ, α
2
, . . . , α
n
R
1⊕
Π
≡
Γ α
⊥
2
. . . α
⊥
n
β
⊥
j
Σ
⊥
β
⊥
c( j)
β ⊕ γ
I
1⊕
(β ⊕ γ)
⊥
⊥
E
⊥
13. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
2⊕
e α
1
´e β⊕γ. Π pode ser transformada
em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES67
Σ
Γ γ, α
2
, . . . , α
n
Γ β ⊕ γ, α
2
, . . . , α
n
R
2⊕
Π
≡
Γ α
⊥
2
. . . α
⊥
n
γ
⊥
j
Σ
⊥
γ
⊥
c( j)
β ⊕ γ
I
2⊕
(β ⊕ γ)
⊥
⊥
E
⊥
14. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
e Γ = Γ
1
∪ Γ
2
∪ {β γ}. Π pode ser
transformada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
1
Γ
1
β, α
1
, . . . , α
h
Σ
2
Γ
2
, γ α
h+1
, . . . , α
n
Γ
1
, Γ
2
, β γ α
1
, . . . , α
n
L
Π
≡
Γ
2
α
⊥
h+1
. . . α
⊥
n
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
h
β
⊥
j
Σ
1
⊥
β
⊥
c( j)
β γ
γ
E
Σ
2
⊥
Tal que 0 ≤ h ≤ n.
15. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
e α
1
´e β γ. Π pode ser transfor-
mada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ, β γ, α
2
, . . . , α
n
Γ β γ, α
2
, . . . , α
n
R
Π
≡
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES68
Γ α
⊥
2
. . . α
⊥
n
β
j
γ
⊥
k
Σ
⊥
γ
⊥
c(k)
β γ
I
( j)
(β γ)
⊥
⊥
E
⊥
16. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
⊥
e Γ = Γ
1
∪ {β
⊥
}. Π pode ser transfor-
mada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ
1
β, α
1
, . . . , α
n
Γ
1
, β
⊥
α
1
, . . . , α
n
L
⊥
Π
≡
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
n
β
⊥
j
Σ
⊥
β
⊥
c( j)
β
⊥
⊥
E
⊥
17. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
⊥
e α
1
´e β
⊥
. Π pode ser transformada
em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ, β α
2
, . . . , α
n
Γ β
⊥
, α
2
, . . . , α
n
R
⊥
Π
≡
Γ α
⊥
2
. . . α
⊥
n
β
j
Σ
⊥
β
⊥
I
⊥( j)
β
⊥⊥
⊥
E
⊥
18. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
∀
e Γ = Γ
1
∪ {∀xβ}. Π pode ser trans-
formada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES69
Σ
Γ
1
, β
x
t
α
1
, . . . , α
n
Γ
1
, ∀xβ α
1
, . . . , α
n
L
∀
Π
≡
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
n
∀xβ
β
x
t
E
∀
Σ
⊥
19. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
∀
e α
1
´e ∀xβ. Π pode ser transformada
em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ β
x
a
, α
2
, . . . , α
n
Γ ∀xβ, α
2
, . . . , α
n
R
∀
a n˜ao ocorre em α
2
, . . . , α
n
nem em qualquer f´ormula de Γ.
Π
≡
Γ α
⊥
2
. . . α
⊥
n
β
x
a
⊥
j
Σ
⊥
β
x
a
⊥
c( j)
∀xβ
I
∀
(∀xβ)
⊥
⊥
E
⊥
20. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
∃
e Γ = Γ
1
∪ {∃xβ}. Π pode ser trans-
formada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ
1
, β
x
a
α
1
, . . . , α
n
Γ
1
, ∃xβ α
1
, . . . , α
n
L
∃
a n˜ao ocorre em α
1
, . . . , α
n
nem em qualquer f´ormula de Γ
1
Π
≡
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES70
∃xβ
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
n
β
x
a
j
Σ
⊥
⊥
E
∃( j)
21. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
∃
e α
1
´e ∃xβ. Π pode ser transformada
em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ β
x
t
, α
2
, . . . , α
n
Γ ∃xβ, α
2
, . . . , α
n
R
∃
Π
≡
Γ α
⊥
2
. . . α
⊥
n
β
x
t
⊥
j
Σ
⊥
β
x
t
⊥
c( j)
∃xβ
I
∃
(∃xβ)
⊥
⊥
E
⊥
22. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
c!
e Γ = Γ
1
∪ {!β}. Π pode ser transfor-
mada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ
1
, !β, !β α
1
, . . . , α
n
Γ
1
, !β α
1
, . . . , α
n
L
c!
Π
≡
!β
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
n
!β
j
!β
j
Σ
⊥
⊥
C
!( j)
23. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
c?
e α
1
´e ?β. Π pode ser transformada
em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES71
Σ
Γ ?β, ?β, α
2
, . . . , α
n
Γ ?β, α
2
, . . . , α
n
R
c?
Π
≡
(?β)
⊥
Γ (?β)
⊥
j
(?β)
⊥
j
α
⊥
2
. . . α
⊥
n
Σ
⊥
⊥
C
!( j)
24. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
w!
e Γ = Γ
1
∪ {!β}. Π pode ser transfor-
mada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ
1
α
1
, . . . , α
n
Γ
1
, !β α
1
, . . . , α
n
L
w!
Π
≡
!β
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
n
Σ
⊥
⊥
W
!
25. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
w?
e α
1
´e ?β. Π pode ser transformada
em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ α
2
, . . . , α
n
Γ ?β, α
2
, . . . , α
n
R
w?
Π
≡
(?β)
⊥
Γ α
⊥
2
. . . α
⊥
n
Σ
⊥
⊥
W
!
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES72
26. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
!
e Γ = Γ
1
∪ {!β}. Π pode ser transfor-
mada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ
1
, β α
1
, . . . , α
n
Γ
1
, !β α
1
, . . . , α
n
L
!
Π
≡
Γ
1
α
⊥
1
. . . α
⊥
n
!β
β
E
!
Σ
⊥
27. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
?
e α
1
´e ?β. Π pode ser transformada
em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como segue:
Π ≡
Σ
Γ β, α
2
, . . . , α
n
Γ ?β, α
2
, . . . , α
n
R
?
Π
≡
Γ α
⊥
2
. . . α
⊥
n
β
⊥
j
Σ
⊥
β
⊥
c( j)
?β
I
?
(?β)
⊥
⊥
E
⊥
28. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra L
?
, α
i
´e ?β
i
para cada 1 ≤ i ≤ n e
Γ =!Γ
1
∪ {?γ}. Π pode ser transformada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL
como segue:
Π ≡
Σ
!Γ
1
, γ ?β
1
, . . . , ?β
n
!Γ
1
, ?γ ?β
1
, . . . , ?β
n
L
?
Π
≡
CAP
´
ITULO 4. EQUIVAL
ˆ
ENCIA ENTRE NDLL E O C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES73
?γ !Γ
1
(?β
1
)
⊥
. . . (?β
n
)
⊥
!Γ
k
1
...k
m
1
(?β
1
)
⊥
l
1
. . . (?β
n
)
⊥
l
n
γ
j
Σ
⊥
⊥
E
?(k
1
,...,k
m
,l
1
,...,l
n
, j)
29. r(Π) ´e uma aplica¸c˜ao da regra R
!
, α
1
´e !γ, α
i
´e ?β
i
para cada 2 ≤ i ≤ n e
Γ =!Γ
1
. Π pode ser transformada em uma dedu¸c˜ao Π
em NDLL como
segue:
Π ≡
Σ
!Γ
1
γ, ?β
2
, . . . , ?β
n
!Γ
1
!γ, ?β
2
, . . . , ?β
n
R
!
Π
≡
!Γ
1
(?β
2
)
⊥
. . . (?β
n
)
⊥
!Γ
k
1
...k
m
1
(?β
2
)
⊥
l
1
. . . (?β
n
)
⊥
l
n
γ
⊥
j
Σ
⊥
γ
⊥
c( j)
!γ
I
!(k
1
,...,k
m
,l
1
,...,l
n
)
(!γ)
⊥
⊥
E
⊥
4.5 Equivalˆencia
Corol´ario 4.4 (Equivalˆencia entre NDLL e c´alculo de seq¨uentes) O sistema
NDLL ´e equivalente ao c´alculo de seq¨uentes de Girard.
O Corol´ario 4.4 ´e uma conseq¨uˆencia imediata dos Teoremas 4.2 e 4.3.
4.6 Conclus˜ao
Nesse Cap´ıtulo, usamos o c´alculo de seq¨uentes de Girard previamente a-
presentado no Cap´ıtulo 2 para provar a corretude e a completude do nosso
sistema de dedu¸c˜ao natural NDLL. Como uma conseq¨uˆencia, demonstramos
a equivalˆencia (no sentido de demonstrabilidade) entre NDLL e o c´alculo de
seq¨uentes linear.
Cap´ıtulo 5
Sistemas de Dedu¸c˜ao Natural
Linear
5.1 Introdu¸c˜ao
Alguns trabalhos recentes [Tro92, BBHdP92, Tro95, Mar00, dPNdM01] ap-
resentam sistemas de dedu¸c˜ao natural para a l´ogica linear. Nesse Cap´ıtulo,
investigamos as principais caracter´ısticas de cada um desses sistemas e apre-
sentamos algumas compara¸c˜oes com o nosso sistema NDLL.
Na pr´oxima Se¸c˜ao, os sistemas N-CLL e N-ILL s˜ao apresentados. A Se¸c˜ao
5.3 explora os sistemas ILL e ILL
+
. Finalmente, os sistemas NLLM e NL s˜ao
apresentados nas Se¸c˜oes 5.4 e 5.5 respectivamente.
5.2 Os sistemas N-CLL e N-ILL
Troelstra, em seu livro [Tro92], apresentou os sistemas N-CLL e N-ILL. N-
CLL indica um sistema de dedu¸c˜ao natural linear cl´assico e N-ILL um sistema
de dedu¸c˜ao natural linear intuicion´ıstico. Esses dois sistemas incluem os
fragmentos aditivo e multiplicativo, apesar de n˜ao oferecerem regras para os
conectivos “Par” () e “Why not” (?). Esses conectivos s˜ao tratados por
defini¸c˜ao usando as dualidades de de Morgan.
Um sistema de dedu¸c˜ao natural pode ser apresentado numa formato al-
ternativo como ´arvores cujos n´os s˜ao rotulados por seq¨uentes da forma Γ α
nos quais α ´e uma ocorrˆencia de f´ormula e Γ ´e um registro de todas as
hip´oteses n˜ao descartadas no est´agio da dedu¸c˜ao asso ciado com esse n´o.
Apesar dessa nota¸c˜ao ser considerada de mais f´acil manipula¸c˜ao do ponto
de vista matem´atico, ela ´e muito redundante e n˜ao t˜ao natural quanto a
nota¸c˜ao padr˜ao do ponto de vista humano.
74
CAP
´
ITULO 5. SISTEMAS DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL LINEAR 75
Os sistemas N-CLL e N-ILL foram originalmente apresentados atrav´es
dessa nota¸c˜ao de seq¨uentes. As seguintes regras de inferˆencia formam o
sistema N-CLL:
α α
Ax
Γ
I
Γ, 0 α
E
0
Γ α ∆ β
Γ, ∆ α ⊗ β
I
⊗
Γ α ⊗ β ∆, α, β γ
Γ, ∆ γ
E
⊗
Γ α Γ β
Γ αβ
I
Γ αβ
Γ α
E
1
Γ αβ
Γ β
E
2
Γ α
Γ α ⊕ β
I
1⊕
Γ β
Γ α ⊕ β
I
2⊕
Γ α ⊕ β ∆, α γ ∆, β γ
Γ, ∆ γ
E
⊕
Γ, α β
Γ α β
I
Γ α β ∆ α
Γ, ∆ β
E
1
I
1
Γ 1 ∆ α
Γ, ∆ α
E
1
Γ, α ⊥ ⊥
Γ α
⊥-rule
Γ α
x
t
Γ ∃xα
I
∃
Γ ∃xα ∆, α
x
a
β
Γ, ∆ β
E
∃
(a n˜ao ocorre em ∃xα, ∆ ou β)
Γ α
x
a
Γ ∀xα
I
∀
(a n˜ao ocorre em Γ)
Γ ∀xα
Γ α
x
t
E
∀
CAP
´
ITULO 5. SISTEMAS DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL LINEAR 76
!Γ α
!Γ !α
I
!
Γ !α ∆ β
Γ, ∆ β
E
!
w
Γ !α ∆, α β
Γ, ∆ β
E
!
Γ !α ∆, !α, !α β
Γ, ∆ β
E
!
c
Suprimindo a regra “⊥-rule” do sistema N-CLL obtemos o sistema N-ILL.
Em N-CLL e N-ILL, e ? s˜ao definidos pelas dualidades de de Morgan
e α
⊥
´e uma abrevia¸c˜ao da f´ormula α ⊥.
5.3 Os sistemas ILL e ILL
+
Em [BBHdP92], Benton, Bierman, Hyland e de Paiva propuseram o sistema
ILL para a l´ogica linear multiplicativa intuicion´ıstica. Eles abordaram o
fragmento {1, ⊗, , !} dessa l´ogica.
As seguintes regras de inferˆencia formam o sistema ILL:
α
j
.
.
.
.
β
α β
I
( j)
α α β
β
E
1
I
1
α 1
α
E
1
α β
α ⊗ β
I
⊗
α ⊗ β
α
j
β
k
.
.
.
.
γ
γ
E
⊗( j,k)
!α β
β
Weakening
!α
!α
j
!α
k
.
.
.
.
β
β
Contraction
( j,k)
CAP
´
ITULO 5. SISTEMAS DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL LINEAR 77
!α
1
. . .!α
n
!α
j
1
1
. . .!α
j
n
n
.
.
.
.
β
!β
Promotion
( j
1
,..., j
n
)
!α
α
Dereliction
Num trabalho subseq¨uente [Tro95], Troelstra repensou o trabalho ap-
resentado por Benton et al. e introduziu o sistema ILL
+
. As principais
caracter´ısticas nas quais ILL
+
difere de ILL s˜ao as seguintes:
1. Regra “Promotion”:
No sistema ILL
+
, a regra “Promotion” ´e substitu´ıda pela seguinte regra
!I
+
:
Γ
.
.
.
.
[!β
1
. . .!β
n
]
.
.
.
.
α
!α
!I
+
Tal que a ´arvore de f´ormulas cujas f´ormulas topo s˜ao !β
1
. . .!β
n
e f´ormula
final ´e !α ´e uma subdedu¸c˜ao v´alida no sistema ILL
+
.
Podemos notar que essa regra segue o estilo proposto por Prawitz para
a l´ogica modal S4 como mostrado no Apˆendice C.
2. Regra “Contraction”:
No sistema ILL
+
, ao inv´es da regra “Contraction”, m´ultiplas ocorrˆencias
de r´otulos para hip´oteses s˜ao usadas sob certas condi¸c˜oes como segue:
Seja Π uma dedu¸c˜ao em ILL
+
de Γ
ill
+
!α da seguinte forma:
Π ≡
Γ
Σ
1
!α
Assim, em ILL
+
, uma dedu¸c˜ao Π
da seguinte forma pode ocorrer:
Π
≡
Γ
j
1
... j
n
Σ
1
!α . . .
Γ
j
1
... j
n
Σ
1
!α
Σ
2
β
CAP
´
ITULO 5. SISTEMAS DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL LINEAR 78
Tal que a ´arvore de f´ormulas cujas f´ormulas topo s˜ao !α . . .!α e a f´ormula
final ´e β ´e uma subdedu¸c˜ao v´alida em ILL
+
.
Essas caracter´ısticas do sistema ILL
+
requerem verifica¸c˜oes de corretude
n˜ao locais, de forma que ´e preciso fazer uma varredura numa dedu¸c˜ao para
garantir que as restri¸c˜oes relacionadas a regra !I
+
e as m ´ultiplas ocorrˆencias
de r´otulos s˜ao obedecidas.
´
E importante notar que ambos sistemas ILL e ILL
+
s˜ao normalizados.
No entanto, as provas de normaliza¸c˜ao para o sistema ILL
+
est˜ao mais no
esp´ırito da normaliza¸c˜ao de Prawitz para a l´ogica modal S4.
5.4 O sistema NLLM
Em [dPNdM01], de Medeiros apresentou um investiga¸c˜ao profunda sobre
tradu¸c˜oes entre l´ogicas distintas. O principal objetivo do trabalho dela foi
usar teoremas de normaliza¸c˜ao como ponto de partida para definir novas
tradu¸c˜oes. Ela propˆos o sistema NLLM, um c´alculo de dedu¸c˜ao natural para o
fragmento multiplicativo da l´ogica linear. Ela tamb´em provou a equivalˆencia
entre o sistema NLLM e o fragmento multiplicativo do c´alculo de seq¨uentes
de Girard, al´em dos teoremas de normaliza¸c˜ao e tradu¸c˜oes envolvendo esse
fragmento.
Algumas das id´eias que usamos para desenvolver nosso sistema NDLL
foram inspiradas pelo trabalho de de Medeiros. Pretendemos posteriormente
definir tradu¸c˜oes no esp´ırito do trabalho de de Medeiros usando nossos teo-
remas de normaliza¸c˜ao para NDLL.
O sistema de dedu¸c˜ao natural NLLM ´e bastante similar ao sistema ILL
apresentado acima na Se¸c˜ao 5.3. No entanto, NLLM trata da l´ogica linear
cl´assica enquanto que ILL trata da intuicion´ıstica. Assim, em NLLM, existe
uma regra “Involution” equivalente a nossa regra de redu¸c˜ao ao absurdo.
Al´em disso, no sistema NLLM, n˜ao existe qualquer regra para a constante
multiplicativa 1.
Tal como o sistema ILL, NLLM n˜ao cont´em regras para os conectivos
“Par” () e “Why not” (?). Esses conectivos s˜ao tratados por defini¸c˜ao.
5.5 O sistema NL
Maraist [Mar00] propˆos o sistema NL. Esse sistema abrange quase toda a
l´ogica linear incluindo os fragmentos aditivo e multiplicativo, apesar de n˜ao
oferecer regras para o operador ?. Notavelmente, Maraist propˆos regras para
o conectivo .
CAP
´
ITULO 5. SISTEMAS DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL LINEAR 79
O sistema NL ´e apresentado atrav´es da nota¸c˜ao de seq¨uentes com alguns
ajustes. Cada seq¨uente numa dedu¸c˜ao tem duas componentes: uma zona
n˜ao linear e uma zona linear. Essas zonas s˜ao separadas por um s´ımbolo
de ponto-e-v´ırgula “;” que ocorre no lado esquerdo de cada seq¨uente. A
esquerda do sinal de ponto-e-v´ırgula temos a zona n˜ao linear, e a direita, a
zona linear.
Maraist introduziu a no¸c˜ao de ´arvore de prova bem formada. Uma
dedu¸c˜ao no sistema NL ´e considerada uma ´arvore de prova bem formada
se a zona n˜ao linear de seu seq¨uente final ´e vazia. Um seq¨uente ´e considerado
provado se ocorre no final de uma ´arvore de prova bem formada.
O sistema NL apresenta um sistema de dedu¸c˜ao natural e um sistema
de tipos juntos. Para enfatizar a face de dedu¸c˜ao natural do sistema NL
omitimos a nota¸c˜ao de tipos desse sistema.
O conjunto das regras de inferˆencia do sistema NL ´e apresentado como
segue:
; α α
Id
α; α
Id
!
; 1
I
1
Γ
1
; ∆ 1 Γ
2
; Ψ α
Γ
1
∪ Γ
2
; ∆, Ψ α
E
1
Γ
1
; ∆, α ⊥ ⊥ Γ
2
; Ψ, α β
Γ
1
∪ Γ
2
; ∆, Ψ β
E
⊥
Γ; α
Γ; !α
I
!
Γ
1
; ∆ !α Γ
2
, α; Ψ β
Γ
1
∪ Γ
2
; ∆, Ψ β
E
!
Γ; ∆, α β
Γ; ∆ α β
I
Γ
1
; ∆ α β Γ
2
; Ψ α
Γ
1
∪ Γ
2
; ∆, Ψ β
E
Γ
1
; ∆ α Γ
2
; Ψ β
Γ
1
∪ Γ
2
; ∆, Ψ α ⊗ β
I
⊗
Γ
1
; ∆ α ⊗ β Γ
2
; Ψ, α, β γ
Γ
1
∪ Γ
2
; ∆, Ψ γ
E
⊗
Γ
1
; ∆, α β Γ
2
; Ψ, α ⊥ γ
Γ
1
∪ Γ
2
; ∆, Ψ βγ
I
1
Γ
1
; ∆ αβ Γ
2
; Ψ, α ⊥
Γ
1
∪ Γ
2
; ∆, Ψ β
E
1
Γ
1
; ∆, α γ Γ
2
; Ψ, α ⊥ β
Γ
1
∪ Γ
2
; ∆, Ψ βγ
I
2
Γ
1
; ∆ αβ Γ
2
; Ψ, β ⊥
Γ
1
∪ Γ
2
; ∆, Ψ α
E
2
CAP
´
ITULO 5. SISTEMAS DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL LINEAR 80
Γ
1
; ∆ α Γ
2
; ∆ β
Γ
1
∪ Γ
2
; ∆ αβ
I
Γ; ∆ αβ
Γ; ∆ α
E
1
Γ; ∆ α
Γ; ∆ α ⊕ β
I
1⊕
Γ; ∆ αβ
Γ; ∆ β
E
2
Γ; ∆ β
Γ; ∆ α ⊕ β
I
2⊕
Γ
1
; ∆ α ⊕ β Γ
2
; Ψ, α γ Γ
3
; Ψ, β γ
Γ
1
∪ Γ
2
, ∪Γ
3
; ∆, Ψ γ
E
⊕
A seguir mostramos um exemplo de dedu¸c˜ao no sistema NL que prova o
seq¨uente “!α⊗!β !(αβ)”:
; !α⊗!β !α⊗!β
Id
; !α !α
Id
; !β !β
Id
α; α
Id
!
β; β
Id
!
α, β; αβ
I
α, β; !(αβ)
I
!
α; !β !(αβ)
E
!
; !α, !β !(αβ)
E
!
; !α⊗!β !(αβ)
E
⊗
Podemos observar que a zona n˜ao linear ´e dedicada `as regras do operador
!. Essa ´e uma maneira original de lidar com o aspecto modal do operador !.
No entanto, a tarefa de reconhecer uma dedu¸c˜ao como ´arvore de prova bem
formada onera o processo de constru¸c˜ao de dedu¸c˜oes corretas no sistema NL.
Notadamente, Maraist propˆos regras para o conectivo
. As regras de
Maraist s˜ao baseadas numa esp´ecie de silogismo em virtude do fato de que
uma f´ormula da forma αβ pode ser lida como α
⊥
β ou como β
⊥
α.
5.6 Conclus˜ao
Nesse Cap´ıtulo, apresentamos seis sistemas de dedu¸c˜ao natural para a l´ogica
linear, especificamente: N-CLL e N-ILL apresentados em [Tro92], ILL apre-
sentado em [BBHdP92], ILL
+
apresentado em [Tro95], NLLM apresentado
em [dPNdM01] e, finalmente, o sistema NL apresentado em [Mar00].
Entre esses sistemas de dedu¸c˜ao natural apresentados nesse Cap´ıtulo,
apenas o sistema NL proposto por Maraist tem regras para . No entanto
as regras de Maraist s˜ao diferentes das nossas.
´
E importante notar que entre esses seis sistemas apenas N-CLL e N-ILL
n˜ao foram normalizados. No entanto, como esses seis sistemas n˜ao contˆem
regras para o operador exponencial “Why not” (?), os sistemas que foram
CAP
´
ITULO 5. SISTEMAS DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL LINEAR 81
normalizados n˜ao apresentam os obst´aculos que enfrentamos no nosso pro-
cedimento de normaliza¸c˜ao fraca em virtude do fato de que o operador ? ´e
tratado como primitivo em nosso sistema NDLL.
Cap´ıtulo 6
Normaliza¸c˜ao para o Sistema
NDLL
6.1 Introdu¸c˜ao
Prawitz, em seu famoso trabalho [Pra65], apresentou teoremas de normali-
za¸c˜ao para sistemas de dedu¸c˜ao natural para a l´ogica cl´assica, para a l´ogica
intuicion´ıstica e para as l´ogicas modais S4 e S5, promovendo a ´area de teoria
da prova. No entanto, para provar teoremas de normaliza¸c˜ao para a l´ogica
cl´assica de primeira ordem, as regras para os conectivos “∨” e “∃” foram
suprimidas por Prawitz.
Alguns trabalhos subseq¨uentes preencheram essa lacuna. O trabalho de
Massi [Mas90], por exemplo, propˆos teoremas de normaliza¸c˜ao incluindo
redu¸c˜oes referentes `as regras para os conectivos “∨” e “ ∃”.
Em nossas demonstra¸c˜oes dos teoremas de normaliza¸c˜ao para o sistema
NDLL aplicamos a metodologia de Massi [Mas90]. Contudo, regra que en-
volvem os operadores exponenciais requerem e merecem uma abordagem es-
pecial, pois as redu¸c˜oes de Massi n˜ao cobrem regras similares `as nossas regras
exponenciais.
Na pr´oxima Se¸c˜ao, defini¸c˜oes importantes relacionadas a dedu¸c˜oes nor-
mais s˜ao apresentadas. A Se¸c˜ao 6.3 lista e ilustra redu¸c˜oes, os passos atˆomicos
empregados num procedimento de normaliza¸c˜ao. O teorema da normaliza¸c˜ao
fraca bem como algumas defini¸c˜oes adicionais s˜ao explorados na Se¸c˜ao 6.4.
Finalmente, na Se¸c˜ao 6.5, o princ´ıpio da subf´ormula para dedu¸c˜oes normais
´e garantido.
Lemas importantes e empregados na demonstra¸c˜ao do teorema da nor-
maliza¸c˜ao fraca s˜ao apresentados e provados no Apˆendice G.
82
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 83
6.2 Defini¸c˜oes preliminares
Defini¸c˜ao 6.1 (Segmento) Um segmento numa dedu¸c˜ao Π ´e uma seq¨uˆencia
α
1
, . . . , α
n
de ocorrˆencias de f´ormulas em Π tal que:
1. α
1
n˜ao ´e:
(a) hip´otese descartada por uma aplica¸c˜ao de C
!
, nem ´e conseq¨uˆencia
de uma aplica¸c˜ao de E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
; e
(b) hip´otese descartada por uma aplica¸c˜ao de I
!
ou E
?
que corres-
ponde a uma premissa intermedi´aria da mesma forma α
1
nessa
aplica¸c˜ao;
2. Se i < n, α
i
´e:
(a) uma premissa menor de uma aplica¸c˜ao de E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
ou
E
1
, e α
i
+
1
ocorre imediatamente abaixo de α
i
; ou
(b) a ´ultima premissa (na ordem da esquerda para a direita) de uma
aplica¸c˜ao de E
?
, e α
i+1
ocorre imediatamente abaixo de α
i
; ou
(c) uma premissa intermedi´aria de uma aplica¸c˜ao de I
!
ou E
?
, e α
i+1
´e
a hip´otese correspondente da mesma forma α
i
descartada por essa
aplica¸c˜ao; ou
(d) a premissa maior de uma aplica¸c˜ao de C
!
, e α
i+1
´e qualquer uma
das hip´oteses descartadas por essa aplica¸c˜ao;
3. α
n
n˜ao ´e:
(a) premissa menor de uma aplica¸c˜ao de E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou
E
1
; nem
(b) premissa intermedi´aria de uma aplica¸c˜ao de I
!
; nem
(c) premissa maior de uma aplica¸c˜ao de C
!
.
Podemos observar que todas as ocorrˆencias de f´ormulas num mesmo seg-
mento s˜ao da mesma forma.
´
E conveniente para efeito de nota¸c˜ao dizer que um segmento S ´e con-
seq¨uˆencia de uma aplica¸c˜ao R de uma regra de inferˆencia quando a primeira
ocorrˆencia de f´ormula de S ´e conclus˜ao de R. Podemos tamb´em dizer que
um segmento S ´e premissa de uma aplica¸c˜ao R de uma regra de inferˆencia
quando a ´ultima ocorrˆencia de f´ormula de S ´e premissa de R.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 84
Defini¸c˜ao 6.2 (Segmento m´aximo e ocorrˆencia de f´ormula m´axima) Um
segmento S = α
1
, α
2
, . . . , α
n
, ´e um segmento m´aximo se pelo menos uma das
seguintes condi¸c˜oes ´e v´alida:
1. n = 1 e α
1
(= α
n
) ´e:
(a) conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao e, simultaneamente, pre-
missa maior de uma regra de elimina¸c˜ao.
(b) conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao e, simultaneamente, pre-
missa maior de uma regra W
!
.
(c) conclus˜ao de uma aplica¸c˜ao de ⊥
c
e, simultaneamente, premissa
maior de uma regra de elimina¸c˜ao.
(d) conclus˜ao de uma aplica¸c˜ao de ⊥
c
e, simultaneamente, premissa
maior de uma regra W
!
.
(e) conclus˜ao de uma aplica¸c˜ao de ⊥
c
e, simultaneamente, premissa
menor de uma aplica¸c˜ao de E
⊥
cuja premissa maior ´e uma f´ormula
topo da forma β
⊥
.
Nesse caso, α
1
(= α
n
) ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima.
2. n > 1 e α
1
´e:
(a) conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao e, simultaneamente, pre-
missa intermedi´aria de uma aplica¸c˜ao de I
!
.
(b) conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao e, simultaneamente, pre-
missa intermedi´aria de uma aplica¸c˜ao de E
?
.
(c) conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao e, simultaneamente, pre-
missa maior de uma regra C
!
.
(d) conclus˜ao de uma regra ⊥
c
e, simultaneamente, premissa inter-
medi´aria de uma aplica¸c˜ao de I
!
.
(e) conclus˜ao de uma regra ⊥
c
e, simultaneamente, premissa inter-
medi´aria de uma aplica¸c˜ao de E
?
.
(f) conclus˜ao de uma regra ⊥
c
e, simultaneamente, premissa maior
de uma regra C
!
.
Nesse caso, α
1
´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima.
3. n > 1 e α
i
, para 1 < i < n, ´e:
(a) conclus˜ao de uma aplica¸c˜ao de E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
e, simul-
taneamente, premissa intermedi´aria de I
!
.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 85
(b) conclus˜ao de uma aplica¸c˜ao de E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
e, simul-
taneamente, premissa intermedi´aria de E
?
.
(c) conclus˜ao de uma aplica¸c˜ao de E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
e, simul-
taneamente, premissa maior de C
!
.
Nesse caso, α
i
´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima.
4. n > 1 e α
n
´e:
(a) conclus˜ao de uma aplica¸c˜ao de E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
e,
simultaneamente, premissa maior de uma regra de elimina¸c˜ao.
(b) conclus˜ao de uma aplica¸c˜ao de E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
e, simul-
taneamente, premissa maior de uma aplica¸c˜ao de W
!
.
(c) conclus˜ao de uma aplica¸c˜ao de E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
e,
simultaneamente, premissa menor de uma aplica¸c˜ao de E
⊥
cuja
premissa maior ´e uma f´ormula topo da forma β
⊥
.
Nesse caso, α
n
´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima.
Podemos notar que um mesmo segmento m´aximo pode conter mais de
uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima. Esse ´e o caso do segmento m´aximo
S = α
1
, . . . , α
4
apresentado em negrito na seguinte dedu¸c˜ao Π:
Π ≡
γ γ (!β)
!β
E
!β
1
!!B
I
!(1)
!!β
2
!!B
2
!!B
W
!
!!B
C
!(2)
!β
E
!
Tanto α
1
quanto α
4
s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas em S .
Defini¸c˜ao 6.3 (Dedu¸c˜ao normal) Uma dedu¸c˜ao Π ´e normal se e somente se
Π n˜ao cont´em segmentos m´aximos.
Podemos observar que nenhum dos segmentos numa dedu¸c˜ao normal ´e
conclus˜ao de regra de introdu¸c˜ao ou ⊥
c
e, simultaneamente, premissa maior
de regra de elimina¸c˜ao ou W
!
.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 86
6.3 Redu¸c˜oes
Nessa Se¸c˜ao, apresentamos as redu¸c˜ao aplicadas para remover ocorrˆencias de
f´ormulas m´aximas de dedu¸c˜oes em NDLL. Classificamos essas redu¸c˜oes em
quatro categorias: redu¸c˜oes operacionais, redu¸c˜oes permutativas, redu¸c˜oes
do absurdo e redu¸c˜oes exponenciais.
Nossas redu¸c˜oes operacionais, permutativas e do obsurdo s˜ao an´alogas
`as do mesmo tipo apresentadas por Massi em [Mas90] e algumas de nossas
redu¸c˜oes exponenciais s˜ao baseadas no trabalho de de Medeiros [dPNdM01].
Contudo, as redu¸c˜oes exponenciais 29, 33, 37 e 41 apresentadas a seguir
foram formuladas de acordo com circunstˆancias peculiares que podem ocorrer
numa dedu¸c˜ao NDLL quando uma premissa intermedi´aria ou quando uma
premissa maior de C
!
ou W
!
´e simultaneamente conclus˜ao de I
⊥
.
Redu¸c˜oes operacionais
Redu¸c˜oes op eracionais s˜ao empregadas para remover ocorrˆencias de f´ormulas
m´aximas do tipo 1.(a).
1. redu¸c˜ao-:
Σ
1
α
α
j
Σ
2
β
α β
I
( j)
β
E
Π
Σ
1
α
Σ
2
β
Π
2. redu¸c˜ao-⊗:
Σ
1
α
Σ
2
β
α ⊗ β
I
⊗
α
j
β
k
Σ
3
γ
γ
E
⊗( j,k)
Π
Σ
1
α
Σ
2
β
Σ
3
γ
Π
3. redu¸c˜ao-:
α
⊥
j
1
β
⊥
j
2
Σ
1
⊥
αβ
I
( j
1
, j
2
)
Σ
2
α
⊥
Σ
3
β
⊥
⊥
E
Π
Σ
2
α
⊥
Σ
3
β
⊥
Σ
1
⊥
Π
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 87
4. redu¸c˜ao-: (i = 1 ou 2)
Γ
j
1
... j
n
Σ
1
α
1
Γ
j
1
... j
n
Σ
2
α
2
α
1
α
2
I
α
i
E
i
Π
Γ
j
1
... j
n
Σ
i
α
i
Π
5. redu¸c˜ao-⊕: (i = 1 ou 2)
Σ
i
α
i
α
1
⊕ α
2
I
i⊕
Γ
j
1
... j
n
α
k
1
1
Σ
3
γ
Γ
j
1
... j
n
α
k
2
2
Σ
4
γ
γ
E
⊕(k
1
,k
2
)
Π
Γ
j
1
... j
n
Σ
i
α
i
Σ
i+2
γ
Π
6. redu¸c˜ao-∀:
Σ
α
x
a
∀xα
I
∀
α
x
t
E
∀
Π
Σ
a
t
α
x
t
Π
7. redu¸c˜ao-∃:
Σ
1
α
x
t
∃xα
I
∃
α
x
a
j
Σ
2
β
β
E
∃( j)
Π
Σ
1
α
x
t
Σ
2
a
t
β
Π
8. redu¸c˜ao-!:
Σ
1
α
1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
β
E
!
Π
Σ
1
α
1
. . .
Σ
n
α
n
Σ
n+1
β
Π
9. redu¸c˜ao-?:
Σ
1
α
?α
I
?
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
k
Σ
n+2
γ
γ
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
Π
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
Σ
1
α
Σ
n+2
γ
Π
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 88
10. redu¸c˜ao-1:
1
I
1
Σ
1
α
α
E
1
Π
Σ
1
α
Π
11. redu¸c˜ao-⊥:
Σ
1
α
α
j
Σ
2
⊥
α
⊥
I
⊥( j)
⊥
E
⊥
Π
Σ
1
α
Σ
2
⊥
Π
Redu¸c˜oes permutativas
Redu¸c˜oes permutativas s˜ao empregadas para remover ocorrˆencias de f´ormulas
m´aximas dos tipos 3.(a)-(c) e 4.(a)-(b).
12.
Σ
1
α
Σ
2
β
β
R
1
Σ
3
γ
R
2
Π
Σ
1
α
Σ
2
β Σ
3
γ
R
2
γ
R
1
Π
R
1
= E
⊗
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
e α ´e a premissa maior de R
1
. R
2
´e uma
regra de elimina¸c˜ao ou ´e uma aplica¸c˜ao de C
!
ou W
!
. β ´e a premissa
maior de R
2
. Σ
3
pode estar a esquerda de β e pode tamb´em ser vazia.
13. redu¸c˜ao-E
⊕
:
Σ
1
α ⊕ β
Γ
j
1
... j
n
1
α
k
1
Σ
2
γ
Γ
j
1
... j
n
1
β
k
2
Σ
3
γ
γ
E
⊕(k
1
,k
2
)
Γ
l
1
...l
n
2
Σ
4
δ
R
Π
Σ
1
α ⊕ β
Γ
j
1
... j
n
1
α
k
1
Σ
2
γ
Γ
l
1
...l
n
2
Σ
4
δ
R
Γ
j
1
... j
n
1
β
k
2
Σ
3
γ
Γ
l
1
...l
n
2
Σ
4
δ
R
δ
E
⊕(k
1
,k
2
)
Π
R ´e uma regra de elimina¸c˜ao ou ´e uma aplica¸c˜ao de C
!
ou W
!
. γ ´e a
premissa maior de R. Σ
4
pode estar a esquerda de γ e pode tamb´em
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 89
ser vazia.
´
E importante notar que a redu¸c˜ao-E
⊕
duplica o multiset de
f´ormulas topo Γ
l
1
...l
n
2
e assim preserva as restri¸c˜oes da regra E
⊕
.
14. redu¸c˜ao-E
?
:
Σ
1
?α
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
k
Σ
n+2
γ
γ
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
Σ
δ
R
Π
γ ´e a premissa maior de R e Σ
, se R for E
⊥
, est´a a esquerda de γ.
Como γ ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal, R ´e E
, E
?
ou E
⊥
.
Assim temos um dos seguintes casos:
(a)
Σ
1
?α
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
k
Σ
n+2
ψφ
ψφ
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
Σ
n+3
ψ
⊥
Σ
n+4
φ
⊥
⊥
E
Π
Σ
1
?α
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
Σ
n+3
ψ
⊥
Σ
n+4
φ
⊥
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
k
Σ
n+2
ψφ ψ
⊥
l
1
φ
⊥
l
2
⊥
E
⊥
E
?( j
1
,..., j
n
,l
1
,l
2
,k)
Π
Nesse caso δ ´e ⊥ e γ ´e ψφ. ⊥ ´e por defini¸c˜ao uma f´ormula
essencialmente ?-modal. Como γ tamb´em ´e uma f´ormula essen-
cialmente ?-modal, ent˜ao ψ
⊥
e φ
⊥
s˜ao ambas f´ormulas essencial-
mente !-modais. Dessa forma, essa redu¸c˜ao preserva as restri¸c˜oes
da regra E
?
.
(b)
Σ
1
?α
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
k
Σ
n+2
?ψ
?ψ
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
Σ
n+3
φ
1
. . .
Σ
n+m+2
φ
m
φ
l
1
1
. . . φ
l
m
m
ψ
l
m+1
Σ
n+m+3
δ
δ
E
?(l
1
,...,l
m+1
)
Π
Σ
1
?α
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
Σ
n+3
φ
1
. . .
Σ
n+m+2
φ
m
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
k
Σ
n+2
?ψ φ
j
n+1
1
. . . φ
j
n+m
m
φ
l
1
1
. . . φ
l
m
m
ψ
l
m+1
Σ
n+m+3
δ
δ
E
?(l
1
,...,l
m+1
)
δ
E
?( j
1
,..., j
n+m
,k)
Π
Como δ ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal e φ
1
, . . . , φ
m
s˜ao f´ormulas essencialmente !-modais, essa redu¸c˜ao preserva
as restri¸c˜oes da regra E
?
.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 91
(c)
Σ
n+3
ψ
Σ
1
?α
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
k
Σ
n+2
ψ
⊥
ψ
⊥
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
⊥
E
⊥
Π
Σ
1
?α
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
Σ
n+3
ψ
ψ
l
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
k
Σ
n+2
ψ
⊥
⊥
E
⊥
⊥
E
?( j
1
,..., j
n
,l,k)
Π
Nessa caso δ ´e ⊥ e γ ´e ψ
⊥
. Por defini¸c˜ao ⊥ ´e uma f´ormula essencial-
mente ?-modal. Como γ ´e tamb´em uma f´ormula essencialmente
?-modal, ent˜ao ψ ´e uma f´ormula essencialmente !-modal. Dessa
forma, essa redu¸c˜ao preserva as restri¸c˜oes da regra E
?
.
15.
Σ
1
α
Σ
2
β
β
R
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
β
k
γ
j
1
1
. . . γ
j
n
n
Σ
n+3
δ
!δ
I
!(k, j
1
,..., j
n
)
Π
Σ
1
α
Σ
2
β
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
β
k
γ
j
1
1
. . . γ
j
n
n
Σ
n+3
δ
!δ
I
!(k, j
1
,..., j
n
)
!δ
R
Π
R = E
⊗
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
e α ´e a premissa maior de R. A premissa β da
regra I
!
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita de uma premissa γ
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na segundo dedu¸c˜ao, a premissa β tamb´em
est´a a direita de γ
i
.
16.
Σ
1
α ⊕ β
Γ
j
1.1
... j
1.m
1
α
k
1
Σ
2
γ
Γ
j
1.1
... j
1.m
1
β
k
2
Σ
3
γ
γ
E
⊕(k
1
,k
2
)
Γ
j
2.1
... j
2.p
2
Σ
4
δ
1
. . .
Γ
j
n+1.1
... j
n+1.q
n+1
Σ
n+3
δ
n
γ
k
3
δ
l
1
1
. . . δ
l
n
n
Σ
n+4
ψ
!ψ
I
!(k
3
,l
1
,...,l
n
)
Π
Σ
1
α ⊕ β
Γ
j
1.1
... j
1.m
1
α
k
1
Σ
2
γ
Γ
j
2.1
... j
2.p
2
Σ
4
δ
1
. . .
Γ
j
n+1.1
... j
n+1.q
n+1
Σ
n+3
δ
n
γ
k
3
δ
l
1
1
. . . δ
l
n
n
Σ
n+4
ψ
!ψ
I
!(k
3
,l
1
,...,l
n
)
Γ
j
1.1
... j
1.m
1
β
k
2
Σ
3
γ
Γ
j
2.1
... j
2.p
2
Σ
4
δ
1
. . .
Γ
j
n+1.1
... j
n+1.q
n+1
Σ
n+3
δ
n
γ
k
4
δ
l
n+1
1
. . . δ
l
2n
n
Σ
n+4
ψ
!ψ
I
!(k
4
,l
n+1
,...,l
2n
)
!ψ
E
⊕(k
1
,k
2
)
Π
A premissa γ da regra I
!
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita de uma premissa δ
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na
segunda dedu¸c˜ao, a premissa γ tamb´em est´a a direita de δ
i
.
´
E importante notar que essa redu¸c˜ao duplica os multisets de f´ormulas topo Γ
j
2.1
... j
2.p
2
, . . . , Γ
j
n+1.1
... j
n+1.q
n+1
e assim preserva as
restri¸c˜oes da regra E
⊕
.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 93
17.
Σ
1
?α
Σ
2
β
Σ
3
γ
γ
R
Σ
4
δ
1
. . .
Σ
n+3
δ
n
γ
k
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
α
l
Σ
n+4
ψ
ψ
E
?(k, j
1
,..., j
n
,l)
Π
Σ
2
β
Σ
1
?α
Σ
3
γ
Σ
4
δ
1
. . .
Σ
n+3
δ
n
γ
k
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
α
l
Σ
n+4
ψ
ψ
E
?(k, j
1
,..., j
n
,l)
ψ
R
Π
R = E
⊗
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
e β ´e a premissa maior de R. A premissa γ da
regra E
?
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita de uma premissa δ
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na segunda dedu¸c˜ao, a premissa γ tamb´em
est´a a direita de δ
i
.
18. Seja Σ
a seguinte seq¨uˆencia de dedu¸c˜oes:
Σ
≡
Γ
j
3.1
... j
3.p
3
Σ
5
ψ
1
. . .
Γ
j
n+2.1
... j
n+2.q
n+2
Σ
n+4
ψ
n
Ent˜ao temos a seguinte redu¸c˜ao:
Γ
j
1.1
... j
1.r
1
Σ
1
?α
Σ
2
β ⊕ γ
Γ
j
2.1
... j
2.m
2
β
k
1
Σ
3
δ
Γ
j
2.1
... j
2.m
2
γ
k
2
Σ
4
δ
δ
E
⊕(k
1
,k
2
)
Σ
δ
k
3
ψ
l
1
1
. . . ψ
l
n
n
α
k
4
Σ
n+5
φ
φ
E
?(k
3
,l
1
,...,l
n
,k
4
)
Π
Σ
2
β ⊕ γ
Γ
j
1.1
... j
1.r
1
Σ
1
?α
Γ
j
2.1
... j
2.m
2
β
k
1
Σ
3
δ Σ
δ
k
3
ψ
l
1
1
. . . ψ
l
n
n
α
k
4
Σ
n+5
φ
φ
E
?(k
3
,l
1
,...,l
n
,k
4
)
Γ
j
1.1
... j
1.r
1
Σ
1
?α
Γ
j
2.1
... j
2.m
2
γ
k
2
Σ
4
δ Σ
δ
k
5
ψ
l
n+1
1
. . . ψ
l
2n
n
α
k
6
Σ
n+5
φ
φ
E
?(k
5
,l
n+1
,...,l
2n
,k
6
)
φ
E
⊕(k
1
,k
2
)
Π
A premissa δ da regra E
?
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita de uma premissa ψ
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na
segunda dedu¸c˜ao, a premissa δ tamb´em est´a a direita de ψ
i
.
´
E importante notar que essa redu¸c˜ao duplica os multisets de f´ormulas topo Γ
j
1.1
... j
1.r
1
, Γ
j
3.1
... j
3.p
3
, . . . , Γ
j
n+2.1
... j
n+2.q
n+2
e assim preserva
as restri¸c˜oes da regra E
⊕
.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 95
Redu¸c˜oes do absurdo
Redu¸c˜oes do absurdo s˜ao empregadas para remover ocorrˆencias de f´ormulas
m´aximas dos tipos 1.(c)-(e), 2.(d)-(f) e 4.(c).
19.
α
⊥
j
Σ
1
⊥
α
⊥
c( j)
Σ
2
β
R
Π
α
k
Σ
2
β
R
β
⊥
l
⊥
E
⊥
α
⊥
I
⊥(k)
Σ
1
⊥
β
⊥
c(l)
Π
R ´e uma regra de elimina¸c˜ao ou ´e uma aplica¸c˜ao de C
!
ou W
!
. α ´e a
premissa maior de R. Σ
2
pode estar a esquerda de α e pode tamb´em
ser vazia.
20.
α
⊥
j
Σ
1
⊥
α
⊥
c( j)
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
α
k
β
l
1
1
. . . β
l
n
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!(k,l
1
,...,l
n
)
Π
α
j
1
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
α
k
β
l
1
1
. . . β
l
n
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!(k,l
1
,...,l
n
)
(!γ)
⊥
j
2
⊥
E
⊥
α
⊥
I
⊥( j
1
)
Σ
1
⊥
!γ
⊥
c( j
2
)
Π
A premissa α da regra I
!
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita da
premissa β
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na segunda dedu¸c˜ao, a premissa
α tamb´em est´a a direita de β
i
.
21.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 96
Σ
1
?α
β
⊥
j
Σ
2
⊥
β
⊥
c( j)
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
β
k
1
γ
l
1
1
. . . γ
l
n
n
α
k
2
Σ
n+3
δ
δ
E
?(k
1
,l
1
,...,l
n
,k
2
)
Π
Σ
1
?α β
j
1
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
β
k
1
γ
l
1
1
. . . γ
l
n
n
α
k
2
Σ
n+3
δ
δ
E
?(k
1
,l
1
,...,l
n
,k
2
)
δ
⊥
j
2
⊥
E
⊥
β
⊥
I
⊥( j
1
)
Σ
2
⊥
δ
⊥
c( j
2
)
Π
A premissa β da regra E
?
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita de
uma premissa γ
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na segunda dedu¸c˜ao, a
premissa β tamb´em est´a a direita de γ
i
.
22.
α
⊥
j
Σ
1
⊥
α
⊥
c( j)
α
⊥
k
⊥
E
⊥
Π
α
⊥
k
Σ
1
⊥
Π
23.
Σ
1
α
Σ
2
β
β
R
β
⊥
j
⊥
E
⊥
Π
Σ
1
α
Σ
2
β β
⊥
j
⊥
E
⊥
⊥
R
Π
R = E
⊗
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
e α ´e a premissa maior de R.
24.
Σ
1
α ⊕ β
Γ
j
1
... j
n
α
k
1
Σ
2
γ
Γ
j
1
... j
n
β
k
2
Σ
3
γ
γ
E
⊕(k
1
,k
2
)
γ
⊥
l
⊥
E
⊥
Π
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 97
Σ
1
α ⊕ β
Γ
j
1
... j
n
α
k
1
Σ
2
γ γ
⊥
l
⊥
E
⊥
Γ
j
1
... j
n
β
k
2
Σ
3
γ γ
⊥
l
⊥
E
⊥
⊥
E
⊕(k
1
,k
2
)
Π
´
E importante notar que essa redu¸c˜ao duplica a hip´otese γ
⊥
l
e assim
preserva as restri¸c˜oes da regra E
⊕
.
25.
Σ
1
?α
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
k
Σ
n+2
γ
γ
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
γ
⊥
l
⊥
E
⊥
Π
Σ
1
?α
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
γ
⊥
l
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
k
Σ
n+2
γ γ
⊥
j
n+1
⊥
E
⊥
⊥
E
?( j
1
,..., j
n+1
,k)
Π
Por defini¸c˜ao ⊥ ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal. Como γ ´e
tamb´em uma f´ormula essencialmente ?-modal, ent˜ao γ
⊥
´e uma f´ormula
essencialmente !-modal. Dessa forma, essa redu¸c˜ao preserva as re-
stri¸c˜oes da regra E
?
.
Redu¸c˜oes exponenciais
Redu¸c˜oes exponenciais para a regra I
!
Redu¸c˜oes exponenciais para a regra I
!
s˜ao empregadas para remover ocorrˆen-
cias de f´ormulas m´aximas do tipo 2.(a).
26.
1
I
1
Σ
1
α
1
. . .
Σ
n
α
n
1
j
1
α
j
2
1
. . . α
j
n+1
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n+1
)
Π
Σ
1
α
1
. . .
Σ
n
α
n
1
I
1
α
j
2
1
. . . α
j
n+1
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
2
,..., j
n+1
)
Π
A premissa 1 da regra I
!
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita de
uma premissa α
i
para 1 ≤ i ≤ n.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 98
27.
Σ
1
α
Σ
2
β
α ⊗ β
I
⊗
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
α ⊗ β
k
γ
j
1
1
. . . γ
j
n
n
Σ
n+3
δ
!δ
I
!(k, j
1
,..., j
n
)
Π
Σ
1
α
Σ
2
β
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
α
k
1
β
k
2
α ⊗ β
I
⊗
γ
j
1
1
. . . γ
j
n
n
Σ
n+3
δ
!δ
I
!(k
1
,k
2
, j
1
,..., j
n
)
Π
A premissa α ⊗ β da regra I
!
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita
de uma premissa γ
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na segunda dedu¸c˜ao, as
premissas α e β tamb´em est˜ao a direita de γ
i
.
Como α ⊗ β ´e uma f´ormula essencialmente !-modal, α e β tamb´em s˜ao
f´ormulas essencialmente !-modais. Dessa forma, essa redu¸c˜ao preserva
as restri¸c˜oes da regra I
!
.
28.
Σ
1
α
1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Σ
n+2
γ
1
. . .
Σ
n+m+1
γ
m
!β
k
γ
l
1
1
. . . γ
l
m
m
Σ
n+m+2
δ
!δ
I
!(k,l
1
,...,l
m
)
Π
Σ
1
α
1
. . .
Σ
n
α
n
Σ
n+2
γ
1
. . .
Σ
n+m+1
γ
m
α
k
1
1
. . . α
k
n
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
γ
l
1
1
. . . γ
l
m
m
Σ
n+m+2
δ
!δ
I
!(k
1
,...,k
n
,l
1
,...,l
m
)
Π
A premissa !β da regra I
!
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita de
uma premissa γ
i
para 1 ≤ i ≤ m. Nesse caso, na segunda dedu¸c˜ao, as
premissas α
1
, . . . , α
n
tamb´em est˜ao a direita de γ
i
.
29.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 99
α
j
Σ
1
⊥
α
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
α
⊥
l
1
β
l
2
1
. . . β
l
n+1
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!(l
1
,...,l
n+1
)
Π
A premissa α
⊥
da regra I
!
pode estar a direita de uma premissa β
i
para
1 ≤ i ≤ n.
A ocorrˆencia de hip´otese α
j
´e premissa de uma regra R. Como α
⊥
´e
uma f´ormula essencialmente !-modal, α ´e uma f´ormula essencialmente
?-modal. Dessa forma, se α
j
for premissa maior de R, ent˜ao R ´e E
?
, E
ou E
⊥
. Assim, temos uma das seguintes redu¸c˜oes dependendo de R e
α
j
:
(a) R ´e uma aplica¸c˜ao de regra de introdu¸c˜ao ou α
j
´e premissa menor
de R:
α
j
Σ
1
⊥
α
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
α
⊥
l
1
β
l
2
1
. . . β
l
n+1
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!(l
1
,...,l
n+1
)
Π
α
⊥
j
1
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
α
⊥
l
1
β
l
2
1
. . . β
l
n+1
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!(l
1
,...,l
n+1
)
(!γ)
⊥
j
2
⊥
E
⊥
α
⊥
c( j
1
)
Σ
1
⊥
!γ
⊥
c( j
2
)
Π
A premissa α
⊥
da regra I
!
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita
de uma premissa β
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na segunda
dedu¸c˜ao, a premissa α
⊥
tamb´em est´a a direita de β
i
.
(b) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
⊥
e α
j
´e a premissa maior de R, assim α
j
´e
da forma δ
⊥
j
:
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 100
Σ
1.1
δ δ
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
δ
⊥
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
δ
⊥
⊥
l
1
β
l
2
1
. . . β
l
n+1
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!(l
1
,...,l
n+1
)
Π
Σ
1.1
δ
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
δ
l
1
δ
⊥
j
1
⊥
E
⊥
δ
⊥
⊥
I
⊥( j
1
)
β
l
2
1
. . . β
l
n+1
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!(l
1
,...,l
n+1
)
(!γ)
⊥
j
2
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
!γ
⊥
c( j
2
)
Π
A premissa δ
⊥
⊥
da regra I
!
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a di-
reita de uma premissa β
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na segunda
dedu¸c˜ao, a premissa δ tamb´em est´a a direita de β
i
.
Como δ
⊥
⊥
´e uma f´ormula essencialmente !-modal, δ tamb´em ´e.
Assim, essa redu¸c˜ao preserva as restri¸c˜oes da regra I
!
.
(c) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
e α
j
´e a premissa maior de R, assim α
j
´e da forma δψ
j
:
δψ
j
Σ
1.1
δ
⊥
Σ
1.2
ψ
⊥
⊥
E
Σ
1.3
⊥
(δψ)
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
(δψ)
⊥
l
1
β
l
2
1
. . . β
l
n+1
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!(l
1
,...,l
n+1
)
Π
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 101
Σ
1.1
δ
⊥
Σ
1.2
ψ
⊥
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
δψ
j
1
δ
⊥
j
2
ψ
⊥
j
3
⊥
E
(δψ)
⊥
I
⊥( j
1
)
β
l
2
1
. . . β
l
n+1
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!( j
2
, j
3
,l
2
,...,l
n+1
)
(!γ)
⊥
j
4
⊥
E
⊥
Σ
1.3
⊥
!γ
⊥
c( j
4
)
Π
A premissa (δψ)
⊥
da regra I
!
na primeira dedu¸c˜ao pode estar
a direita de uma premissa β
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na se-
gunda dedu¸c˜ao, as premissas δ
⊥
e ψ
⊥
tamb´em est˜ao a direita de β
i
.
Como (δψ)
⊥
´e uma f´ormula essencialmente !-modal, δ
⊥
e ψ
⊥
tamb´em s˜ao. Assim, essa redu¸c˜ao preserva as restri¸c˜oes da regra
I
!
.
(d) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
?
e α
j
´e a premissa maior de R, assim α
j
´e da forma ?δ
j
:
?δ
j
Σ
1.1
ψ
1
. . .
Σ
1.m
ψ
m
ψ
k
1
1
. . . ψ
k
m
m
δ
k
m+1
Σ
1.(m+1)
φ
φ
E
?(k
1
,...,k
m+1
)
Σ
1.(m+2)
⊥
(?δ)
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
(?δ)
⊥
l
1
β
l
2
1
. . . β
l
n+1
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!(l
1
,...,l
n+1
)
Π
Σ
1.1
ψ
1
. . .
Σ
1.m
ψ
m
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
φ
⊥
j
1
?δ
j
2
ψ
j
3
1
. . . ψ
j
m+2
m
ψ
k
1
1
. . . ψ
k
m
m
δ
k
m+1
Σ
1.(m+1)
φ
φ
E
?(k
1
,...,k
m+1
)
φ
⊥
j
m+3
⊥
E
⊥
(?δ)
⊥
I
⊥( j
2
)
β
l
2
1
. . . β
l
n+1
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!( j
3
,..., j
m+3
,l
2
,...,l
n+1
)
(!γ)
⊥
j
m+4
⊥
E
⊥
φ
⊥
c( j
1
)
Σ
1.(m+2)
⊥
!γ
⊥
c( j
m+4
)
Π
A premissa (?δ)
⊥
da regra I
!
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita de uma premissa β
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na
segunda dedu¸c˜ao, as premissas ψ
1
, . . . , ψ
m
tamb´em est˜ao a direita de β
i
.
Como φ ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal, ent˜ao φ
⊥
´e uma f´ormula essencialmente !-modal. Assim, essa redu¸c˜ao
preserva as restri¸c˜oes da regra I
!
.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 104
Redu¸c˜oes exponenciais para a regra E
?
Redu¸c˜oes exponenciais para a regra E
?
s˜ao empregadas para remover ocor-
rˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo 2.(b).
30.
Σ
1
?α 1
I
1
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
1
k
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
l
Σ
n+2
γ
γ
E
?(k, j
1
,..., j
n
,l)
Π
Σ
1
?α
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
1
I
1
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
l
Σ
n+2
γ
γ
E
?( j
1
,..., j
n
,l)
Π
A premissa 1 da regra E
?
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita de
uma premissa β
i
para 1 ≤ i ≤ n.
31.
Σ
1
?α
Σ
2
β
Σ
3
γ
β ⊗ γ
I
⊗
Σ
4
δ
1
. . .
Σ
n+3
δ
n
β ⊗ γ
k
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
α
l
Σ
n+4
ψ
ψ
E
?(k, j
1
,..., j
n
,l)
Π
Σ
1
?α
Σ
2
β
Σ
3
γ
Σ
4
δ
1
. . .
Σ
n+3
δ
n
β
k
1
γ
k
2
β ⊗ γ
I
⊗
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
α
l
Σ
n+4
ψ
ψ
E
?(k
1
,k
2
, j
1
,..., j
n
,l)
Π
A premissa β ⊗ γ da regra E
?
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita
de uma premissa δ
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na segunda dedu¸c˜ao, as
premissas β e γ tamb´em est˜ao a direita de δ
i
.
Como β ⊗ γ ´e uma f´ormula essencialmente !-modal, β e γ tamb´em s˜ao.
Dessa forma, essa redu¸c˜ao preserva as restri¸c˜oes da regra E
?
.
32.
Σ
1
?α
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!( j
1
,..., j
n
)
Σ
n+3
δ
1
. . .
Σ
n+m+2
δ
m
!γ
k
δ
k
1
1
. . . δ
k
m
m
α
l
Σ
n+m+3
ψ
ψ
E
?(k,k
1
,...,k
m
,l)
Π
Σ
1
?α
Σ
2
β
1
. . .
Σ
n+1
β
n
Σ
n+3
δ
1
. . .
Σ
n+m+2
δ
m
β
j
n+1
1
. . . β
j
2n
n
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
Σ
n+2
γ
!γ
I
!( j
1
,..., j
n
)
δ
k
1
1
. . . δ
k
m
m
α
l
Σ
n+m+3
ψ
ψ
E
?( j
n+1
,..., j
2n
,k
1
,...,k
m
,l)
Π
A premissa !γ da regra E
?
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita de uma premissa δ
i
para 1 ≤ i ≤ m. Nesse caso, na
segunda dedu¸c˜ao, as premissas β
1
, . . . , β
n
tamb´em est˜ao a direita de δ
i
.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 106
33.
Σ
1
?α
β
j
Σ
2
⊥
β
⊥
I
⊥( j)
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
β
⊥
l
1
γ
l
2
1
. . . γ
l
n+1
n
α
l
n+2
Σ
n+3
δ
δ
E
?(l
1
,...,l
n+2
)
Π
A premissa β
⊥
da regra E
?
pode estar a direita de uma premissa γ
i
para
1 ≤ i ≤ n.
A ocorrˆencia de hip´otese β
j
´e premissa de uma regra R. Como β
⊥
´e
uma f´ormula essencialmente !-modal, β ´e uma f´ormula essencialmente
?-modal. Dessa forma, se β
j
for premissa maior de R, ent˜ao R ´e E
?
, E
ou E
⊥
. Assim, temos uma das seguintes redu¸c˜oes dependendo de R e
β
j
:
(a) R ´e uma aplica¸c˜ao de regra de introdu¸c˜ao ou β
j
´e premissa menor
de R:
Σ
1
?α
β
j
Σ
2
⊥
β
⊥
I
⊥( j)
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
β
⊥
l
1
γ
l
2
1
. . . γ
l
n+1
n
α
l
n+2
Σ
n+3
δ
δ
E
?(l
1
,...,l
n+2
)
Π
Σ
1
?α β
⊥
j
1
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
β
⊥
l
1
γ
l
2
1
. . . γ
l
n+1
n
α
l
n+2
Σ
n+3
δ
δ
E
?(l
1
,...,l
n+2
)
δ
⊥
j
2
⊥
E
⊥
β
⊥
c( j
1
)
Σ
2
⊥
δ
⊥
c( j
2
)
Π
A premissa β
⊥
da regra E
?
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a di-
reita de uma premissa γ
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na segunda
dedu¸c˜ao, a premissa β
⊥
tamb´em est´a a direita de γ
i
.
(b) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
⊥
e β
j
´e a premissa maior de R, assim β
j
´e
da forma ψ
⊥
j
:
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 107
Σ
1
?α
Σ
2.1
ψ ψ
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
2.2
⊥
ψ
⊥
⊥
I
⊥( j)
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
ψ
⊥
⊥
l
1
γ
l
2
1
. . . γ
l
n+1
n
α
l
n+2
Σ
n+3
δ
δ
E
?(l
1
,...,l
n+2
)
Π
Σ
1
?α
Σ
2.1
ψ
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
ψ
l
1
ψ
⊥
j
1
⊥
E
⊥
ψ
⊥
⊥
I
⊥( j
1
)
γ
l
2
1
. . . γ
l
n+1
n
α
l
n+2
Σ
n+3
δ
δ
E
?(l
1
,...,l
n+2
)
δ
⊥
j
2
⊥
E
⊥
Σ
2.2
⊥
δ
⊥
c( j
2
)
Π
A premissa ψ
⊥
⊥
da regra E
?
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a
direita de uma premissa γ
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso, na segunda
dedu¸c˜ao, a premissa ψ tamb´em est´a a direita de γ
i
.
Como ψ
⊥
⊥
´e uma f´ormula essencialmente !-modal, ψ tamb´em ´e.
Assim, essa redu¸c˜ao preserva as restri¸c˜oes da regra E
?
.
(c) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
e β
j
´e a premissa maior de R, assim β
j
´e da forma ψφ
j
:
Σ
1
?α
ψφ
j
Σ
2.1
ψ
⊥
Σ
2.2
φ
⊥
⊥
E
Σ
2.3
⊥
(ψφ)
⊥
I
⊥( j)
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
(ψφ)
⊥
l
1
γ
l
2
1
. . . γ
l
n+1
n
α
l
n+2
Σ
n
+
3
δ
δ
E
?(l
1
,...,l
n+2
)
Π
Σ
1
?α
Σ
2.1
ψ
⊥
Σ
2.2
φ
⊥
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
ψφ
j
1
ψ
⊥
j
2
φ
⊥
j
3
⊥
E
(ψφ)
⊥
I
⊥( j
1
)
γ
l
2
1
. . . γ
l
n+1
n
α
l
n+2
Σ
n+3
δ
δ
E
?( j
2
, j
3
,l
2
,...,l
n+2
)
δ
⊥
j
4
⊥
E
⊥
Σ
2.3
⊥
δ
⊥
c( j
4
)
Π
A premissa (ψφ)
⊥
da regra E
?
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita de uma premissa γ
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso,
na segunda dedu¸c˜ao, as premissas ψ
⊥
e φ
⊥
tamb´em est˜ao a direita de γ
i
.
Como (ψφ)
⊥
´e uma f´ormula essencialmente !-modal, ψ
⊥
e φ
⊥
tamb´em s˜ao. Assim, essa redu¸c˜ao preserva restri¸c˜oes da
regra E
?
.
(d) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
?
e β
j
´e a premissa maior de R, assim β
j
´e da forma ?ψ
j
:
Σ
1
?α
?ψ
j
Σ
2.1
φ
1
. . .
Σ
2.m
φ
m
φ
k
1
1
. . . φ
k
m
m
ψ
k
m+1
Σ
2.(m+1)
µ
µ
E
?(k
1
,...,k
m+1
)
Σ
2.(m+2)
⊥
(?ψ)
⊥
I
⊥( j)
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
(?ψ)
⊥
l
1
γ
l
2
1
. . . γ
l
n+1
n
α
l
n+2
Σ
n+3
δ
δ
E
?(l
1
,...,l
n+2
)
Π
Σ
1
?α
Σ
2.1
φ
1
. . .
Σ
2.m
φ
m
Σ
3
γ
1
. . .
Σ
n+2
γ
n
µ
⊥
j
1
?ψ
j
2
φ
j
3
1
. . . φ
j
m+2
m
φ
k
1
1
. . . φ
k
m
m
ψ
k
m+1
Σ
2.(m+1)
µ
µ
E
?(k
1
,...,k
m+1
)
µ
⊥
j
m+3
⊥
E
⊥
(?ψ)
⊥
I
⊥( j
2
)
γ
l
2
1
. . . γ
l
n+1
n
α
l
n+2
Σ
n+3
δ
δ
E
?( j
3
,..., j
m+3
,l
2
,...,l
n+2
)
δ
⊥
j
m+4
⊥
E
⊥
µ
⊥
c( j
1
)
Σ
2.(m+2)
⊥
δ
⊥
c( j
m+4
)
Π
A premissa (?ψ)
⊥
da regra E
?
na primeira dedu¸c˜ao pode estar a direita de uma premissa γ
i
para 1 ≤ i ≤ n. Nesse caso,
na segunda dedu¸c˜ao, as premissas φ
1
, . . . , φ
m
tamb´em est˜ao a direita de γ
i
.
Como µ ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal, ent˜ao µ
⊥
´e uma f´ormula essencialmente !-modal. Assim, essa redu¸c˜ao
preserva as restri¸c˜oes da regra E
?
.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 111
Redu¸c˜oes exponenciais para a regra C
!
Redu¸c˜oes exponenciais para a regra C
!
s˜ao empregadas para remover ocor-
rˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo 2.(c).
34.
1
I
1
1
k
1
k
Σ
1
α
α
C
!(k)
Π
1
I
1
1
I
1
Σ
1
α
Π
35.
Σ
1
α
Σ
2
β
α ⊗ β
I
⊗
α ⊗ β
k
α ⊗ β
k
Σ
3
γ
γ
C
!(k)
Π
Σ
1
α
Σ
2
β
α
k
1
β
k
2
α ⊗ β
I
⊗
α
k
1
β
k
2
α ⊗ β
I
⊗
Σ
3
γ
γ
C
!(k
2
)
γ
C
!(k
1
)
Π
Como α ⊗ β ´e uma f´ormula essencialmente !-modal, α e β tamb´em s˜ao.
Dessa forma, essa redu¸c˜ao preserva as restri¸c˜oes da regra C
!
.
36.
Σ
1
α
1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
!β
k
!β
k
Σ
n+2
γ
γ
C
!(k)
Π
Σ
1
α
1
Σ
n
α
n
α
k
1
1
. . . α
k
n
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
α
k
1
1
. . . α
k
n
n
α
l
1
1
. . . α
l
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!(l
1
,...,l
n
)
Σ
n+2
γ
γ
C
!(k
n
)
.
.
.
.
γ
γ
C
!(k
1
)
Π
37.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 112
α
j
Σ
1
⊥
α
⊥
I
⊥( j)
α
⊥
k
α
⊥
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
Π
A ocorrˆencia de hip´otese α
j
´e premissa de uma regra R. Como α
⊥
´e
uma f´ormula essencialmente !-modal, α ´e uma f´ormula essencialmente
?-modal. Dessa forma, se α
j
for a premissa maior de R, ent˜ao R ´e E
?
,
E
ou E
⊥
. Assim, temos uma das seguintes redu¸c˜oes dependendo de R
e α
j
:
(a) R ´e uma aplica¸c˜ao de regra de introdu¸c˜ao ou α
j
´e premissa menor
de R:
α
j
Σ
1
⊥
α
⊥
I
⊥( j)
α
⊥
k
α
⊥
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
Π
α
⊥
j
1
α
⊥
k
α
⊥
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
α
⊥
c( j
1
)
Σ
1
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Π
(b) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
⊥
e α
j
´e a premissa maior de R, assim α
j
´e
da forma γ
⊥
j
:
Σ
1.1
γ γ
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j)
γ
⊥
⊥
k
γ
⊥
⊥
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
Π
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 113
Σ
1.1
γ
γ
k
γ
⊥
l
1
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥(l
1
)
γ
k
γ
⊥
l
n
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥(l
n
)
Σ
2
β
β
C
!(k)
β
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c( j)
Π
Como γ
⊥
⊥
´e uma f´ormula essencialmente !-modal, γ tamb´em ´e.
Assim, essa redu¸c˜ao preserva as restri¸c˜oes da regra C
!
.
(c) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
e α
j
´e a premissa maior de R, assim α
j
´e da forma γδ
j
:
γδ
j
Σ
1.1
γ
⊥
Σ
1.2
δ
⊥
⊥
E
Σ
1.3
⊥
(γδ)
⊥
I
⊥( j)
(γδ)
⊥
k
(γδ)
⊥
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
Π
Σ
1.1
γ
⊥
Σ
1.2
δ
⊥
γδ
l
1
γ
⊥
k
1
δ
⊥
k
2
⊥
E
(γδ)
⊥
I
⊥(l
1
)
γδ
l
n
γ
⊥
k
1
δ
⊥
k
2
⊥
E
(γδ)
⊥
I
⊥(l
n
)
Σ
2
β
β
C
!(k
2
)
β
C
!(k
1
)
β
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.3
⊥
β
⊥
c( j)
Π
Como (γδ)
⊥
´e uma f´ormula essencialmente !-modal, γ
⊥
e δ
⊥
tamb´em s˜ao. Assim, essa redu¸c˜ao preserva as restri¸c˜oes da re-
gra C
!
.
(d) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
?
e α
j
´e a premissa maior de R, assim α
j
´e da forma ?γ
j
:
?γ
j
Σ
1.1
δ
1
. . .
Σ
1.n
δ
n
δ
l
1
1
. . . δ
l
n
n
γ
l
n+1
Σ
1.(n+1)
ψ
ψ
E
?(l
1
,...,l
n+1
)
Σ
1.(n+2)
⊥
(?γ)
⊥
I
⊥( j)
(?γ)
⊥
k
(?γ)
⊥
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
Π
Σ
1.1
δ
1
Σ
1.n
δ
n
ψ
⊥
j
1
?γ
l
n+3
δ
k
1
1
. . . δ
k
n
n
δ
l
1.1
1
. . . δ
l
n.1
n
γ
l
(n+1).1
Σ
1.(n+1)
ψ
ψ
E
?(l
1.1
,...,l
(n+1).1
)
ψ
⊥
k
n+1
⊥
E
⊥
(?γ)
⊥
I
⊥(l
n+3
)
?γ
l
n+m+2
δ
k
1
1
. . . δ
k
n
n
δ
l
1.m
1
. . . δ
l
n.m
n
γ
l
(n+1).m
Σ
1.(n+1)
ψ
ψ
E
?(l
1.m
,...,l
(n+1).m
)
ψ
⊥
k
n+1
⊥
E
⊥
(?γ)
⊥
I
⊥(l
n+m+2
)
Σ
2
β
β
C
!(k
n+1
)
β
C
!(k
n
)
.
.
.
.
β
β
C
!(k
1
)
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
ψ
⊥
c( j
1
)
Σ
1.(n+2)
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Π
Como ψ ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal, ent˜ao ψ
⊥
´e uma f´ormula essencialmente !-modal. Assim, essa redu¸c˜ao
preserva as restri¸c˜oes da regra C
!
.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 116
Redu¸c˜oes exponenciais para a regra W
!
Redu¸c˜oes exponenciais para a regra W
!
s˜ao empregadas para remover ocor-
rˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo 1.(b).
38.
1
I
1
Σ
1
α
α
W
!
Π
Σ
1
α
Π
39.
Σ
1
α
Σ
2
β
α ⊗ β
I
⊗
Σ
3
γ
γ
W
!
Π
Σ
1
α
Σ
2
β
Σ
3
γ
γ
W
!
γ
W
!
Π
Como α ⊗ β ´e uma f´ormula essencialmente !-modal, α e β tamb´em s˜ao.
Dessa forma, essa redu¸c˜ao preserva as restri¸c˜oes da regra W
!
.
40.
Σ
1
α
1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Σ
n+2
γ
γ
W
!
Π
Σ
1
α
1
Σ
n
α
n
Σ
n+2
γ
γ
W
!
.
.
.
.
γ
γ
W
!
Π
41.
α
j
Σ
1
⊥
α
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
β
W
!
Π
A ocorrˆencia de hip´otese α
j
´e premissa de uma regra R. Como α
⊥
´e
uma f´ormula essencialmente !-modal, α ´e uma f´ormula essencialmente
?-modal. Dessa forma, se α
j
for a premissa maior de R, ent˜ao R ´e E
?
,
E
ou E
⊥
. Assim, temos uma das seguintes redu¸c˜oes dependendo de R
e α
j
:
(a) R ´e uma aplica¸c˜ao de regra de introdu¸c˜ao ou α
j
´e premissa menor
de R:
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 117
α
j
Σ
1
⊥
α
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
β
W
!
Π
α
⊥
j
1
Σ
2
β
β
W
!
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
α
⊥
c( j
1
)
Σ
1
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Π
(b) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
⊥
e α
j
´e a premissa maior de R, assim α
j
´e
da forma γ
⊥
j
:
Σ
1.1
γ γ
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
β
W
!
Π
Σ
1.1
γ
Σ
2
β
β
W
!
β
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c( j)
Π
Como γ
⊥
⊥
´e uma f´ormula essencialmente !-modal, γ tamb´em ´e.
Assim, essa redu¸c˜ao preserva as restri¸c˜oes da regra W
!
.
(c) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
e α
j
´e a premissa maior de R, assim α
j
´e da forma γδ
j
:
γδ
j
Σ
1.1
γ
⊥
Σ
1.2
δ
⊥
⊥
E
Σ
1.3
⊥
(γδ)
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
β
W
!
Π
Σ
1.1
γ
⊥
Σ
1.2
δ
⊥
Σ
2
β
β
W
!
β
W
!
β
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.3
⊥
β
⊥
c( j)
Π
Como (γδ)
⊥
´e uma f´ormula essencialmente !-modal, γ
⊥
e δ
⊥
tamb´em s˜ao. Assim, essa redu¸c˜ao preserva as restri¸c˜oes da re-
gra W
!
.
(d) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
?
e α
j
´e a premissa maior de R, assim α
j
´e
da forma ?γ
j
:
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 118
?γ
j
Σ
1.1
δ
1
. . .
Σ
1.n
δ
n
δ
l
1
1
. . . δ
l
n
n
γ
l
n+1
Σ
1.(n+1)
ψ
ψ
E
?(l
1
,...,l
n+1
)
Σ
1.(n+2)
⊥
(?γ)
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
β
W
!
Π
Σ
1.1
δ
1
Σ
1.n
δ
n
ψ
⊥
j
1
Σ
2
β
β
W
!
β
W
!
.
.
.
.
β
β
W
!
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
ψ
⊥
c( j
1
)
Σ
1.(n+2)
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Π
Como ψ ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal, ent˜ao ψ
⊥
´e uma
f´ormula essencialmente !-modal. Assim, essa redu¸c˜ao preserva as
restri¸c˜oes da regra W
!
.
6.4 Normaliza¸c˜ao fraca
Defini¸c˜ao 6.4 (Adjacˆencia) Sejam α e β duas ocorrˆencias de f´ormulas numa
dedu¸c˜ao Π. Dizemos que α ´e adjacente a β e vice-versa, se uma dessas ocor-
rˆencias de f´ormulas situa-se acima de uma ocorrˆencia de f´ormula vizinha da
outra.
Defini¸c˜ao 6.5 (Tamanho de um segmento) O tamanho de um segmento S ,
denotado por l(S ), ´e o n´umero de ocorrˆencias de f´ormulas em S .
Defini¸c˜ao 6.6 (Ocorrˆencia de f´ormula discordante) Uma ocorrˆencia de f´or-
mula α ´e discordante se α ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tipo
1.(a)-(d), 2.(a)-(f), 3.(a)-(c) ou 4.(a)-(b).
Defini¸c˜ao 6.7 (Grau cr´ıtico de uma f´ormula) O grau cr´ıtico de uma f´ormula
α, denotado por d
c
(α), ´e definido indutivamente como segue:
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 119
1. Se α ´e uma f´ormula atˆomica diferente de 1, ent˜ao d
c
(α) = 0;
2. Se α ´e 1, ent˜ao d
c
(α) = 1;
3. Se α ´e da forma β
⊥
, ∀xβ, ∃xβ, !β ou ?β, ent˜ao d
c
(α) = d
c
(β) + 1;
4. Se α ´e da forma β γ, β⊗γ, βγ ou β⊕γ, ent˜ao d
c
(α) = d
c
(β)+d
c
(γ)+1;
5. Se α ´e da forma βγ, ent˜ao d
c
(α) = d
c
(β) + d
c
(γ) + 2.
Defini¸c˜ao 6.8 (Propaga¸c˜ao de uma ocorrˆencia de f´ormula) Seja α uma ocor-
rˆencia de f´ormula numa dedu¸c˜ao Π e S
1
, . . . , S
n
os segmentos que contˆem α.
A propaga¸c˜ao de α, denotada por s(α), ´e definida como s(α) = l(S
1
)+. . .+l(S
n
).
Defini¸c˜ao 6.9 (
´
Indice de uma ocorrˆencia de f´ormula) Seja α uma ocorrˆencia
de f´ormula numa dedu¸c˜ao Π. Se α ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discor-
dante, o ´ındice de α, denotado por i(α), ´e definido como o par ordenado
lexicograficamente i(α) = (d
c
(α), s(α)). Caso contr´ario, se α n˜ao ´e uma ocor-
rˆencia de f´ormula discordante, ent˜ao i(α) = (0, 0).
Defini¸c˜ao 6.10 (
´
Indice de uma dedu¸c˜ao) Sejam α
1
, . . . , α
n
as ocorrˆencias de
f´ormulas discordantes de uma dedu¸c˜ao Π. O
´
Indice de Π, denotado por i(Π),
´e definido como i(Π) = max(i(α
1
), . . . , i(α
n
)). Se Π n˜ao cont´em ocorrˆencias de
f´ormulas discordantes, ent˜ao i(Π) = (0, 0)
Defini¸c˜ao 6.11 (Dimens˜ao de uma dedu¸c˜ao) Seja Π uma dedu¸c˜ao tal que
i(Π) = (p, q). Ent˜ao, a dimens˜ao de Π, denotada por z(Π), ´e a tupla de 3
componentes ordenados lexicograficamente (p, q, n) tal que n ´e o n´umero de
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes de ´ındice (p,q) em Π. Se Π n˜ao cont´em
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes, ent˜ao z(Π) = (0, 0, 0).
Teorema 6.1 (Teorema da normaliza¸c˜ao fraca) Seja Π uma dedu¸c˜ao de
Γ
ndll
α, ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao normal Π
de Γ
ndll
α.
Se i(Π) = (0, 0), ent˜ao, p elo Lema G.3, Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao
normal Π
. Caso contr´ario, esse Teorema 6.1 ´e provado por indu¸c˜ao no par
ordenado lexicograficamente (z(Π), l(Π)). Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
β
1
. . .
Σ
n
β
n
α
r(Π)
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 120
Seja Π
∗
i
, para cada 1 ≤ i ≤ n, a subdedu¸c˜ao de Π determinada por β
i
.
Como z(Π
∗
i
) ≤ z(Π) e l(Π
∗
i
) < l(Π), por hip´otese de indu¸c˜ao, cada Π
∗
i
´e reduzida
a uma dedu¸c˜ao normal Π
i
.
Seja Π
∗
a dedu¸c˜ao obtida a partir de Π pela substitui¸c˜ao de cada Π
∗
i
por
Π
i
. Π
∗
´e da seguinte forma:
Π
∗
≡
Π
1
. . . Π
n
α
r(Π)
Se i(Π
∗
) = (0, 0), ent˜ao, pelo Lema G.3, Π
∗
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao
normal Π
. Caso contr´ario, podemos notar que Π
∗
´e da forma descrita pelo
Lema G.18 e ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
∗∗
tal que z(Π
∗∗
) < z(Π
∗
) ≤ z(Π).
Se i(Π
∗∗
) = (0, 0), ent˜ao, pelo Lema G.3, Π
∗∗
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao
normal Π
. Caso contr´ario, podemos reduzir Π
∗∗
a uma dedu¸c˜ao normal Π
por hip´otese de indu¸c˜ao.
6.5 A forma de dedu¸c˜oes normais
Um dos corol´arios mais importantes obtidas a partir do teorema de nor-
maliza¸c˜ao fraca ´e o princ´ıpio da subf´ormula. Para provar o princ´ıpio da
subf´ormula, adaptamos o conceito de caminho apresentado em [Pra65] como
segue:
Defini¸c˜ao 6.12 (Caminho) Uma seq¨uˆencia α
1
, . . . , α
n
de ocorrˆencias de f´or-
mulas numa dedu¸c˜ao Π ´e um caminho se e somente se as seguintes condi¸c˜oes
ocorrem:
1. α
1
´e f´ormula topo em Π e n˜ao ´e descartada por aplica¸c˜oes de E
⊗
, E
⊕
,
E
∃
, I
!
, E
?
ou C
!
;
2. uma das seguintes condi¸c˜oes ´e v´alida para cada α
i
com 1 ≤ i < n:
(a) α
i
n˜ao ´e premissa menor de E
ou E
⊥
, nem ´e premissa maior de
E
⊗
, E
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
, nem ´e premissa intermedi´aria
de I
!
ou E
?
; e α
i+1
´e a ocorrˆencia de f´ormula imediatamente abaixo
de α
i
;
(b) α
i
´e premissa maior de uma aplica¸c˜ao de E
⊗
, E
⊕
, E
∃
ou C
!
; e
α
i+1
´e qualquer das ocorrˆencias de hip´otese descartadas por essa
aplica¸c˜ao;
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 121
(c) α
i
´e premissa maior de uma aplica¸c˜ao de E
?
da forma ?β; e α
i+1
´e a ocorrˆencia de hip´otese respectiva da forma β descartada por
essa aplica¸c˜ao;
(d) α
i
´e premissa intermedi´aria de uma aplica¸c˜ao de I
!
ou E
?
; e α
i+1
´e
a ocorrˆencia de hip´otese respectiva da mesma forma α
i
descartada
por essa aplica¸c˜ao;
3. α
n
´e premissa menor de uma aplica¸c˜ao de E
ou E
⊥
, ou ´e premissa
maior de uma aplica¸c˜ao de E
, W
!
, E
1
, ou ´e a f´ormula final de Π.
´
E conveniente considerar, daqui por diante, uma f´ormula da forma ⊥
como subf´ormula de qualquer f´ormula da forma α
⊥
. Isso ocorre porque uma
f´ormula da forma α
⊥
´e usualmente vista como uma abrevia¸c˜ao de α ⊥, e,
obviamente, ⊥ ´e uma subf´ormula de α ⊥.
Dessa forma, podemos observar que todas ocorrˆencias de f´ormulas numa
dedu¸c˜ao Π que ´e conclus˜ao de uma regra de elimina¸c˜ao R ´e sempre subf´ormula
de pelo menos uma das premissas de R. Mesmo que essa regra de elimina¸c˜ao
R seja uma aplica¸c˜ao de E
ou E
⊥
.
Lema 6.2 (Lema da I-parte e da E-parte) Seja Π uma dedu¸c˜ao normal, seja
P um caminho em Π, e seja S
1
, . . . , S
n
a seq¨uencia de segmentos em P. Ent˜ao
existe um segmento S
i
, para 1 ≤ i ≤ n, chamado segmento m´ınimo em P que
separa duas partes (possivelmente vazias) de P, chamadas E-parte e I-parte
de P, com as seguintes propriedades:
1. Para cada S
j
na E-parte (ou seja j < i) S
j
´e premissa maior de uma
regra de elimina¸c˜ao e a f´ormula que ocorre em S
j+1
´e subf´ormula da
f´ormula que ocorre em S
j
.
2. S
i
, dado que i n, ´e premissa de uma regra de introdu¸c˜ao ou da regra
⊥
c
.
3. Para cada S
j
na I-parte, exceto pelo ´ultimo segmento (ou seja i < j < n)
S
j
´e uma premissa de regra de introdu¸c˜ao e a f´ormula que ocorre em
S
j
´e uma subf´ormula da f´ormula que ocorre em S
j+1
.
Podemos observar que cada segmento em P que ´e premissa maior de uma
regra de elimina¸c˜ao precede to dos os segmentos em P que s˜ao premissas
de regra de introdu¸c˜ao ou de ⊥
c
. Caso contr´ario, existiria um segmento
em P conclus˜ao de regra de introdu¸c˜ao ou da regra ⊥
c
e, simultaneamente,
premissa maior de uma regra de elimina¸c˜ao. Logo tal segmento seria um
segmento m´aximo contrariando a suposi¸c˜ao de que Π ´e normal.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 122
Assim, se a I-parte de P n˜ao ´e vazia, ent˜ao existe um primeiro segmento
em P que ´e premissa de regra de introdu¸c˜ao ou de ⊥
c
. Podemos observar que
tal segmento ´e justamente o segmento m´ınimo S
i
como descrito nesse Lema.
Se a I-parte for vazia, ent˜ao S
i
´e S
n
.
Defini¸c˜ao 6.13 (Caminho principal) Seja Π uma dedu¸c˜ao em NDLL e P
um caminho em Π. Ent˜ao P ´e um caminho principal de Π se e somente se
ele termina com a f´ormula final de Π.
Para demonstrar o princ´ıpio da subf´ormula, assinalamos uma ordem para
os caminhos de uma dedu¸c˜ao Π como segue:
Defini¸c˜ao 6.14 (Ordem de um caminho) Seja Π uma dedu¸c˜ao em NDLL
e P um caminho em Π. A ordem de P denotada por o(P) ´e definida como
segue:
1. Se P ´e um caminho principal em Π, ent˜ao o(P) = 0.
2. Se P termina com uma ocorrˆencia de f´ormula α que ´e premissa menor
de E
ou E
⊥
, ou que ´e premissa maior de E
, W
!
ou E
1
, ent˜ao o(P) =
n + 1 se a premissa vizinha mais perto de α pertence a um caminho de
ordem n.
Corol´ario 6.3 (Princ´ıpio da subf´ormula) Cada ocorrˆencia de f´ormula numa
dedu¸c˜ao normal Π de Γ
ndll
α ´e subf´ormula de α ou de alguma f´ormula em Γ,
exceto por hip´oteses descartadas por aplica¸c˜oes de ⊥
c
ou I
e por ocorrˆencias
de ⊥ em segmentos que est˜ao imediatamente abaixo de tal hip´oteses.
Esse corol´ario ´e provado por indu¸c˜ao na ordem dos caminhos de Π.
Seja P = S
1
, . . . , S
n
um caminho em Π tal que o(P) = k, S
i
´e o segmento
m´ınimo de P e β
1
, . . . , β
n
as f´ormulas que ocorrem em S
1
, . . . , S
n
respectiva-
mente. Pretendemos demonstrar que para cada j, tal que 1 ≤ j ≤ n, β
j
´e
subf´ormula de α ou de alguma f´ormula em Γ, levando em conta as excess˜oes
descritas nesse Corol´ario 6.3. Ent˜ao temos os seguintes casos dependendo de
j:
1. j = n:
Ent˜ao, temos os seguintes casos dependendo de S
n
:
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 123
(a) S
n
´e segmento final de Π:
Nesse caso, β
j
´e da forma da f´ormula final α de Π. Assim, obvia-
mente, β
j
´e subf´ormula de α.
(b) S
n
´e premissa menor de uma aplica¸c˜ao R de E
:
Nesse caso, a premissa maior de R ´e da forma β
n
γ e pertence
a um caminho de ordem k − 1. Ent˜ao, por hip´otese de indu¸c˜ao,
β
n
γ ´e subf´ormula de α ou de alguma f´ormula em Γ e, con-
seq¨uentemente, β
n
tamb´em ´e.
(c) S
n
´e premissa menor de E
⊥
:
Como a f´ormula ⊥ ´e considerada subf´ormula de qualquer f´ormula
da forma γ
⊥
, esse caso ´e similar ao ´ultimo caso provado acima no
qual S
n
´e premissa menor de E
.
(d) S
n
´e premissa maior de E
, W
!
ou E
1
:
Nesse caso, a I-parte de P ´e vazia pois Π ´e normal. Assim, β
n
pertence `a E-parte de P e pelo Lema 6.2 ´e subf´ormula de β
1
. Seja
γ a primeira ocorrˆencia de f´ormula em S
1
. Podemos notar que γ
´e da mesma forma que β
1
e β
n
´e tamb´em subf´ormula de γ. Ent˜ao
temos os seguintes casos dependendo de γ:
i. γ ´e descartada por uma aplica¸c˜ao R de I
:
Ent˜ao a conseq¨uˆencia de R ´e da forma γ δ e pertence a
um caminho de ordem menor que k, pois a I-parte de P ´e
vazia. Assim, por hip´otese de indu¸c˜ao, γ δ ´e subf´ormula
de α ou de alguma das f´ormulas em Γ, e, conseq¨uentemente,
β
n
tamb´em ´e.
ii. γ ´e descartada por uma aplica¸c˜ao R de I
⊥
:
Esse caso ´e similar ao ´ultimo caso no qual γ ´e descartada por
uma aplica¸c˜ao de I
.
iii. γ ´e descartada por uma aplica¸c˜ao R de ⊥
c
:
Nesse caso, γ ´e da forma δ
⊥
e a conseq¨uˆencia de R ´e da forma
δ e pertence a um caminho de ordem menor que k, pois a
I-parte de P ´e vazia e Π ´e normal. Assim, por hip´otese de
indu¸c˜ao, δ ´e subf´ormula de α ou de alguma das f´ormulas em
Γ, e, conseq¨uentemente, β
n
tamb´em ´e.
iv. γ ´e descartada por uma aplica¸c˜ao R de I
:
Nesse caso, γ ´e da forma δ
⊥
e a conseq¨uˆencia ϕ de R ´e da
forma δψ ou ψδ e pertence a um caminho de ordem menor
que k, pois a I-parte de P ´e vazia e Π ´e normal. Assim, por
hip´otese de indu¸c˜ao, ϕ ´e subf´ormula de α ou de alguma das
f´ormulas em Γ, e, conseq¨uentemente, β
n
tamb´em ´e.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 124
v. γ pertence a Γ:
Nesse caso, podemos claramente notar que β
n
´e subf´ormula de
uma f´ormula em Γ.
2. i < j < n:
Pelo Lema 6.2, podemos notar que β
j
´e subf´ormula de β
n
. Assim, esse
caso ´e demonstrado como no ´ultimo caso no qual j = n.
3. j = 1:
Seja γ a primeira ocorrˆencia de f´ormula em S
1
. Certamente, γ ´e da
forma β
1
. Ent˜ao temos os seguintes casos:
(a) γ ´e descartada por uma aplica¸c˜ao R de I
:
Nesse caso, a conclus˜ao de R ´e da forma γ δ e pertence `a I-parte
de P ou a um caminho de ordem menor que k. Se γ δ pertence a
um caminho de ordem menor que k, ent˜ao esse caso ´e provado por
hip´otese de indu¸c˜ao. Caso contr´ario, se γ δ pertence `a I-parte
de P, ent˜ao pelo Lema 6.2, γ δ ´e subf´ormula de β
n
e esse caso
´e demonstrado p or um procedimento similar ao usado no caso 1.
(b) γ ´e descartada por uma aplica¸c˜ao R de I
⊥
:
Esse caso ´e demonstrado por um procedimento similar ao usado
no ´ultimo caso (a).
(c) γ ´e descartada por uma aplica¸c˜ao R de ⊥
c
ou I
:
Esses casos s˜ao as excess˜oes descritas por esse Corol´ario 6.3.
(d) γ pertence a Γ:
Nesse caso, obviamente, β
1
´e subf´ormula de uma f´ormula em Γ.
4. 1 < j ≤ i:
Pelo Lema 6.2, β
j
´e subf´ormula de β
1
. Assim, nesse caso, o princ´ıpio
da subf´ormula ´e demonstrado por um procedimento similar ao usado
no ´ultimo caso 3 no qual j = 1.
Note que, se β
⊥
´e uma ocorrˆencia de hip´otese descartada por uma aplica¸c˜ao
de I
ou ⊥
c
em uma dedu¸c˜ao normal de Γ
ndll
α, ent˜ao de acordo com o
Corol´ario 6.3, β ´e subf´ormula de α ou de alguma f´ormula em Γ.
CAP
´
ITULO 6. NORMALIZAC¸
˜
AO PARA O SISTEMA NDLL 125
6.6 Conclus˜ao
Nesse Cap´ıtulo, provamos o teorema da normaliza¸c˜ao fraca e seu companheiro
usual: o princ´ıpio da subf´ormula para dedu¸c˜oes normais em NDLL.
No Cap´ıtulo 3 observamos que como, em NDLL, o operador “Why not”
(?) ´e tratado como primitivo, as regras exponenciais I
!
, E
?
C
!
e W
!
precisam de
f´ormulas essencialmente !-modais como premissas intermedi´arias e maiores.
Assim, as redu¸c˜oes exponenciais do tipo 29, 33, 37 e 41 apresentadas no pre-
sente Cap´ıtulo foram formuladas para lidar com uma circunstˆancia peculiar
que pode ocorrer numa dedu¸c˜ao NDLL quando uma premissa intermedi´aria
ou quando uma premissa maior de C
!
ou W
!
´e simultaneamente conclus˜ao de
I
⊥
.
Essas novas redu¸c˜oes apresentadas nesse Cap´ıtulo e as regras para e ?
apresentadas no Cap´ıtulo 3 s˜ao as principais contribui¸c˜oes de nosso trabalho.
Cap´ıtulo 7
Conclus˜ao
Nesse trabalho, revisamos cinco trabalhos recentes [Tro92, BBHdP92, Tro95,
Mar00, dPNdM01] que apresentam sistemas de dedu¸c˜ao natural para a l´ogica
linear ou para fragmentos dessa l´ogica, e introduzimos um novo sistema de
dedu¸c˜ao natural de conclus˜ao ´unica para a l´ogica linear completa de primeira
ordem chamado NDLL.
Demonstramos a equivalˆencia (no sentido de demonstrabilidade) entre o
sistema NDLL e o c´alculo de seq¨uentes linear de Girard. Al´em disso, prova-
mos o teorema da normaliza¸c˜ao fraca e seu companheiro usual: o princ´ıpio
da subf´ormula para dedu¸c˜oes normais em NDLL.
NDLL oferece regras para a l´ogica linear completa, incluindo novas regras
para os conectivos “Par” ( ) e “Why not” (?). Assim, em NDLL, e ? s˜ao
tratados como primitivos, ao inv´es de abrevia¸c˜oes de f´ormulas definidas pelas
dualidades de de Morgan.
Observamos que como, em NDLL, o operador ? ´e tratado como primitivo,
tivemos que definir o conceito de f´ormulas essencialmente !-modal e ?-modal
e us´a-lo nas nossas regras exponenciais, caso contr´ario, a completude do
sistema NDLL n˜ao seria provada.
No entanto, o uso de f´ormulas essencialmente !-modal como premissas
de regras exponenciais trouxe uma complexidade adicional ao teorema da
normaliza¸c˜ao fraca. Para resolver tal complexidade tivemos que criar as
novas redu¸c˜oes 29, 33, 37 e 41 apresentadas no ´ultimo Cap´ıtulo.
As novas regras (para e ?) e as novas redu¸c˜oes s˜ao as principais con-
tribui¸c˜oes de nosso trabalho.
Listamos a seguir alguns trabalhos futuros poss´ıveis:
1. Teoremas de normaliza¸c˜ao e o princ´ıpio da subf´ormula d˜ao suporte a
constru¸c˜ao de provadores de teoremas eficientes. Assim, um provador
de teorema para a l´ogica linear completa pode ser implementado baseado
126
CAP
´
ITULO 7. CONCLUS
˜
AO 127
na forma normal de dedu¸c˜oes em NDLL definida no Cap´ıtulo 6.
2. Problemas de tomada de decis˜ao envolvem gerenciamento de recursos
limitados. Como a l´ogica linear ´e adequada para lidar com esse tipo de
recurso, gostar´ıamos de fazer a tentativa de usar a l´ogica linear e nosso
sistema NDLL numa investiga¸c˜ao mais abrangente sobre o problema
do racioc´ınio pr´atico.
3. Provamos o teorema da normaliza¸c˜ao fraca. No entanto, sem d´uvida a
demonstra¸c˜ao do teorema da normaliza¸c˜ao forte ´e um resultado ainda
melhor.
4. de Medeiros em [dPNdM01], usou teoremas de normaliza¸c˜ao como
ponto de partida para definir novas tradu¸c˜oes entre l´ogicas. Pretende-
mos posteriormente definir tradu¸c˜oes no esp´ırito do trabalho de de
Medeiros usando nosso teorema de normaliza¸c˜ao do sistema NDLL.
5. Como, em NDLL, o operador ? ´e tratado como primitivo, nosso teorema
de normaliza¸c˜ao fraca requereu novas redu¸c˜oes. Essas redu¸c˜oes podem
ser adaptadas a um sistema de dedu¸c˜ao natural para a l´ogica modal
S4 para lidar com o operador modal “Poss´ıvel” () como primitivo e
normalizar esse sistema.
Apˆendice A
C´alculo de Seq¨uentes Cl´assico
O c´alculo de seq¨uentes foi introduzido para a l´ogica cl´assica por Gentzen
em seu famoso trabalho [Gen69]. Uma dedu¸c˜ao nesse c´alculo consiste de
seq¨uentes da forma Γ ∆. Γ e ∆ s˜ao seq¨uˆencias de f´ormulas chamadas
antecedente e sucedente respectivamente. Sejam Γ = {α
1
, α
2
, . . . , α
n
} e ∆ =
{β
1
, β
2
, . . . , β
n
}. Logo, o significado tencionado de Γ ´e α
1
∧ α
2
∧ . . . ∧ α
n
e de
∆ ´e β
1
∨ β
2
∨ . . . ∨ β
n
.
Regras para o c´alculo de seq¨uentes cl´assico de Gentzen s˜ao mostradas a
seguir:
Regra axioma
α α
Id
Regras estruturais
Γ ∆
Γ, α ∆
L
w
(Enfraquecimento)
Γ ∆
Γ α, ∆
R
w
(Enfraquecimento)
Γ, α, α ∆
Γ, α ∆
L
c
(Contra¸c˜ao)
Γ α, α, ∆
Γ α, ∆
R
c
(Contra¸c˜ao)
Γ
, α, β, Γ
∆
Γ
, β, α, Γ
∆
L
x
(Permuta¸c˜ao)
Γ ∆
, α, β, ∆
Γ ∆
, β, α, ∆
R
x
(Permuta¸c˜ao)
Γ
α, ∆
Γ
, α ∆
Γ
, Γ
∆
, ∆
Cut
128
AP
ˆ
ENDICE A. C
´
ALCULO DE SEQ
¨
UENTES CL
´
ASSICO 129
Regras l´ogicas
Γ, α ∆
Γ, α ∧ β ∆
L
1∧
Γ, β ∆
Γ, α ∧ β ∆
L
2∧
Γ α, ∆ Γ β, ∆
Γ α ∧ β, ∆
R
∧
Γ, α ∆ Γ, β ∆
Γ, α ∨ β ∆
L
∨
Γ α, ∆
Γ α ∨ β, ∆
R
1∨
Γ β, ∆
Γ α ∨ β, ∆
R
2∨
Γ
α, ∆
Γ
, β ∆
Γ
, Γ
, α → β ∆
, ∆
L
→
Γ, α β, ∆
Γ α → β, ∆
R
→
Γ α, ∆
Γ, ¬α ∆
L
¬
Γ, α ∆
Γ ¬α∆
R
¬
Γ, α
x
t
∆
Γ, ∀xα ∆
L
∀
Γ α
x
a
, ∆
Γ ∀xα, ∆
R
∀
(a n˜ao ocorre em Γ ou ∆)
Γ, α
x
a
∆
Γ, ∃xα ∆
L
∃
(a n˜ao ocorre em Γ ou ∆)
Γ α
x
t
, ∆
Γ ∃xα, ∆
R
∃
Apˆendice B
Sistema de Dedu¸c˜ao Natural
Cl´assico
O sistema de dedu¸c˜ao natural foi originalmente introduzido para a l´ogica
cl´assica por Gentzen em seu famoso trabalho [Gen69].
As regras do sistema de dedu¸c˜ao natural cl´assico s˜ao mostradas a seguir:
[α]
j
.
.
.
.
β
α → β
I
→( j)
α α → β
β
E
→
α β
α ∧ β
I
∧
α ∧ β
α
E
1∧
α ∧ β
β
E
2∧
130
AP
ˆ
ENDICE B. SISTEMA DE DEDUC¸
˜
AO NATURAL CL
´
ASSICO 131
α
α ∨ β
I
1∨
β
α ∨ β
I
2∨
α ∨ β
[α]
j
.
.
.
.
γ
[β]
k
.
.
.
.
γ
γ
E
∨( j,k)
α
x
a
∀xα
I
∀
(a n˜ao ocorre em qualquer
f´ormula topo da qual α
x
a
de-
pende.)
∀xα
α
x
t
E
∀
α
x
t
∃xα
I
∃
∃xα
[α
x
a
]
j
.
.
.
.
β
β
E
∃( j)
(a n˜ao ocorre em ∃xα, em β ou
em qualquer f´ormula topo da qual
a ocorrˆencia mais acima de β de-
pende, excluindo α
x
a
.)
[α]
j
.
.
.
.
⊥
¬α
I
¬( j)
α ¬α
⊥
E
¬
[¬α]
j
.
.
.
.
⊥
α
⊥
c( j)
Apˆendice C
Dedu¸c˜ao Natural para a L´ogica
Modal S4
Em [Pra65], Prawitz apresentou um sistema de dedu¸c˜ao natural para a l´ogica
modal S4. Esse sistema extende o sistema de dedu¸c˜ao natural cl´assico
∗
adicionando regras de introdu¸c˜ao e elimina¸c˜ao para os operadores modais
“Necess´ario” () e “Poss´ıvel” ().
Prawitz tamb´em introduziu o conceito de f´ormula essencialmente modal
para normalizar seu sistema de dedu¸c˜ao natural para a l´ogica modal S4.
Defini¸c˜ao C.1 (F´ormula essencialmente modal em S4) O conjunto das f´ormulas
essencialmente modais na l´ogica modal S4 ´e definido indutivamente da seguinte
forma:
1. α ´e uma f´ormula essencialmente modal.
2. Se α e β s˜ao f´ormulas essencialmente modais, ent˜ao α ∧ β e α ∨ β
tamb´em s˜ao.
3. Se α
x
t
´e uma f´ormula essencialmente modal, ent˜ao ∃xα tamb´em ´e.
4. ⊥ ´e uma f´ormula essencialmente modal.
Primeiramente, Prawitz definiu as seguintes regras para o operador :
∗
Veja Apˆendice B no qual um sistema de dedu¸c˜ao natural cl´assico ´e apresentado
132
AP
ˆ
ENDICE C. DEDUC¸
˜
AO NATURAL PARA A L
´
OGICA MODAL S4133
Γ
.
.
.
.
α
α
I
(Todas as f´ormulas em Γ s˜ao pre-
cedidas por .)
α
α
E
Nesse caso, o operador ´e tratado por defini¸c˜ao usando a dualidade entre
e .
Em seguida, Prawitz introduziu um segundo sistema abranjendo o opera-
dor . Mas nesse segundo sistema, a regra de introdu¸c˜ao para o operador
´e sutilmente diferente da que foi apresentada acima no primeiro sistema. A
seguir apresentamos as regras para os operadores e no segundo sistema
de Prawitz:
Γ
.
.
.
.
α
α
I
(Todas as f´ormulas em Γ s˜ao da
forma γ ou ¬γ para qualquer
γ.)
α
α
E
α
α
I
α
Γ α
j
.
.
.
.
β
β
E
( j)
(Toda f´ormula em Γ ´e da forma
γ ou ¬γ para qualquer γ e β
´e da forma δ ou ¬δ para qual-
quer δ.)
Contudo, Prawitz percebeu que as regras acima n˜ao s˜ao adequadas ao
processo de normaliza¸c˜ao. Dessa forma, ele formulou um terceiro sistema
normaliz´avel com as seguintes regras para o operador
†
:
†
Esse terceiro sistema n˜ao oferece regras para o operador modal
AP
ˆ
ENDICE C. DEDUC¸
˜
AO NATURAL PARA A L
´
OGICA MODAL S4134
Γ
.
.
.
.
[β
1
. . . β
n
]
.
.
.
.
α
α
I
(β
1
. . . β
n
s˜ao f´ormulas essencial-
mente modais e n˜ao contˆem qual-
quer ocorrˆencia de um parˆametro
pr´oprio de uma aplica¸c˜ao de I
∀
ou
E
∃
cujas premissas est˜ao acima de
α. β
i
, para cada 1 ≤ i ≤ n, n˜ao
depende de qualquer hip´otese da
qual α tamb´em n˜ao dependa.)
α
α
E
Apˆendice D
Regras do Sistema NDLL
α
j
.
.
.
.
β
α β
I
( j)
α α β
β
E
α β
α ⊗ β
I
⊗
α ⊗ β
α
j
β
k
.
.
.
.
γ
γ
E
⊗( j,k)
α
⊥
j
β
⊥
k
.
.
.
.
⊥
αβ
I
( j,k)
αβ α
⊥
β
⊥
⊥
E
Γ
j
1
... j
n
.
.
.
.
α
Γ
j
1
... j
n
.
.
.
.
β
αβ
I
αβ
α
E
1
αβ
β
E
2
135
AP
ˆ
ENDICE D. REGRAS DO SISTEMA NDLL 136
α
α ⊕ β
I
1⊕
β
α ⊕ β
I
2⊕
α ⊕ β
Γ
j
1
... j
n
α
k
1
.
.
.
.
γ
Γ
j
1
... j
n
β
k
2
.
.
.
.
γ
γ
E
⊕(k
1
,k
2
)
α
x
a
∀xα
I
∀
(a n˜ao ocorre em qualquer
f´ormula topo da qual α
x
a
de-
pende.)
∀xα
α
x
t
E
∀
α
x
t
∃xα
I
∃
∃xα
α
x
a
j
.
.
.
.
β
β
E
∃( j)
(a n˜ao ocorre em ∃xα, em β ou
em qualquer f´ormula topo da qual
a ocorrˆencia mais acima de β de-
pende, excluindo α
x
a
.)
α
1
. . . α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
.
.
.
.
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
(n ≥ 0, α
1
, . . . , α
n
s˜ao f´ormulas
essencialmente !-modais e β
n˜ao depende de nenhuma outra
ocorrˆencia de f´ormula topo al´em
de α
1
, . . . , α
n
. Assim, se n = 0, β
´e um teorema.)
!α
α
E
!
AP
ˆ
ENDICE D. REGRAS DO SISTEMA NDLL 137
α
?α
I
?
?
α β
1
. . . β
n
β
j
1
1
. . . β
j
n
n
α
k
.
.
.
.
γ
γ
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
(n ≥ 0, β
1
, . . . , β
n
s˜ao f´ormulas
essencialmente !-modais, γ ´e
f´ormula essencialmente ?-modal e
n˜ao depende de qualquer f´ormula
topo al´em de β
1
, . . . , β
n
e α.)
α
α
j
α
j
.
.
.
.
β
β
C
!( j)
(α ´e essencialmente !-modal.)
α β
β
W
!
(α ´e essencialmente !-modal.)
1
I
1
1 α
α
E
1
α
j
.
.
.
.
⊥
α
⊥
I
⊥( j)
α α
⊥
⊥
E
⊥
α
⊥
j
.
.
.
.
⊥
α
⊥
c( j)
Apˆendice E
Regras para Constantes
Aditivas
Na l´ogica linear, existem duas outras constantes “True” () e “Zero” (0)
consideradas aditivas. ´e equivalente a uma f´ormula do tipo α⊕α
⊥
enquanto
0 ´e equivalente a uma f´ormula do tipo αα
⊥
. Assim, ´e o dual de 0 e vice-
versa. Portanto, as seguintes f´ormulas s˜ao ambas v´alidas:
•
⊥
0
• 0
⊥
No c´alculo de seq¨uentes linear, as constantes aditivas e 0 s˜ao obtidas
pelas seguintes regras axiomas:
Γ, 0 ∆
L
0
(Γ ∪ ∆ n˜ao vazio)
Γ , ∆
R
T
(Γ ∪ ∆ n˜ao vazio)
No sistema de dedu¸c˜ao natural, 0 pode ser considerada como essencial-
mente !-modal, j´a que o seq¨uente 0 !0 ´e provado atrav´es da regra L
0
, bem
como 1 pode ser considerada essencialmente ?-modal, j´a que o seq¨uente ?1 1
´e provado atrav´es da regra R
T
.
Regras no sistema de dedu¸c˜ao natural para e 0 s˜ao como segue:
Γ
1
.
.
.
.
α
1
. . .
Γ
n
.
.
.
.
α
n
I
(n ≥ 1 e Γ
1
∪ . . . ∪ Γ
n
n˜ao vazio)
0 α
1
. . . α
n
β
E
0
(n ≥ 0)
138
AP
ˆ
ENDICE E. REGRAS PARA CONSTANTES ADITIVAS 139
Para que o processo de normaliza¸c˜ao inclua essas regras para as constantes
aditivas, s˜ao necess´arias redu¸c˜oes assegurando que uma dedu¸c˜ao normal Π
observe as seguintes condi¸c˜oes:
i) Seja α uma premissa de I
, ent˜ao α ´e uma f´ormula topo em Π;
ii) Seja α uma premissa menor de E
0
, ent˜ao α ´e uma f´ormula topo em Π;
iii) Seja α a conclus˜ao de E
0
, ent˜ao α n˜ao ´e premissa intermedi´aria de
qualquer regra em Π.
Apˆendice F
Provas de Incompletude para
NDLL’ e NDLL”
F.1 Incompletude do sistema NDLL’
Seja NDLL’ o sistema de dedu¸c˜ao natural obtido de NDLL pela substitui¸c˜ao
da regra I
!
pela regra I
∗
!
mostrada abaixo:
!α
1
. . . !α
n
!α
j
1
1
. . . !α
j
n
n
.
.
.
.
β
!β
I
∗
!
( j
1
,..., j
n
)
(n ≥ 0 e β n˜ao depende de nenhu-
ma outra ocorrˆencia de f´ormula
topo al´em de !α
1
, . . . , !α
n
. Assim,
se n = 0, β ´e um teorema.)
Podemos notar que a regra I
∗
!
´e um caso particular da nossa regra I
!
.
Logo, podemos dizer que NDLL ´e uma generaliza¸c˜ao de NDLL’, e portanto,
NDLL’ ´e correto e fracamente normaliz´avel da mesma forma que NDLL.
Nesse apˆendice, no entanto, queremos demonstrar que NDLL’ ´e incompleto.
Provamos ent˜ao o seguinte Teorema:
Teorema F.1 (Incompletude do sistema NDLL’) N˜ao existe dedu¸c˜oes em
NDLL’ para todos os teoremas da l´ogica linear.
140
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”141
Por redu¸c˜ao ao absurdo, assumimos o contr´ario, ou seja, para cada teo-
rema da l´ogica linear existe pelo menos uma dedu¸c˜ao em NDLL’ que o prova.
Logo, em NDLL’ existe uma dedu¸c˜ao normal Π para o teorema da l´ogica li-
near [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
!(α
⊥
) sendo α uma f´ormula atˆomica diferente de ⊥ e 1
∗
.
Sem perda de generalidade, assumimos que Π ´e a menor
†
entre todas poss´ıveis
dedu¸c˜oes normais em NDLL’ para [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
!(α
⊥
). Por ser normal, Π
obedece o princ´ıpio da subf´ormula e todas as f´ormulas que ocorrem em Π
pertencem ao seguinte conjunto:
F = {(?α)
⊥
, !(α
⊥
), (?α)
⊥
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
, α, α
⊥
, α
⊥
⊥
, ?α, ⊥}
Logo, o conjunto das regras de inferˆencias que ocorrem em Π ´e um subcon-
junto pr´oprio de {I
∗
!
,E
!
,I
?
,E
?
,C
!
,W
!
,I
⊥
,E
⊥
, ⊥
c
}. Al´em disso, as f´ormulas (?α)
⊥
⊥
,
(!(α
⊥
))
⊥
e α
⊥
⊥
s´o ocorrem em Π se forem hip´oteses descartadas por aplica¸c˜ao
de ⊥
c
.
Como !(α
⊥
) ´e a f´ormula final de Π, temos os seguintes casos dependendo
de r(Π):
1. r(Π) ´e I
∗
!
:
Nesse caso, a premissa mais a direita de r(Π) ´e α
⊥
e, pelas restri¸c˜oes da
regra I
∗
!
, s´o depende de f´ormulas topo da forma !β. Logo, as suposi¸c˜oes
da forma (?α)
⊥
ocorrem acima de premissas intermedi´arias de r(Π).
Para 1 ≤ i ≤ n, Π ´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
]
Σ
1
!β
1
. . .
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
i
!β
i
. . .
[(?α)
⊥
]
Σ
n
!β
n
!β
j
1
1
. . . !β
j
n
n
Σ
n+1
α
⊥
!(α
⊥
)
I
∗
!
( j
1
,..., j
n
)
As premissas intermedi´arias !β
1
, . . . , !β
n
de r(Π) n˜ao dependem de qual-
quer outra f´ormula topo al´em das que tˆem a forma (?α)
⊥
, pois a con-
clus˜ao !(α
⊥
) de r(Π) tamb´em s´o depende de f´ormulas topo da forma
(?α)
⊥
.
J´a que as premissas intermedi´arias !β
1
, . . . , !β
n
pertencem a F, s˜ao todas
da forma !(α
⊥
). Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π determinada pela premissa
intermedi´aria !β
i
. Podemos notar que Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de
[(?α)
⊥
], (?α)
⊥
ndll’
!(α
⊥
) e ´e menor que Π, um absurdo.
∗
[(?α)
⊥
], (?α)
⊥
!(α
⊥
) ´e facilmente demonstrado no c´alculo de seq¨uentes linear para
qualquer α. A restri¸c˜ao “sendo α uma f´ormula atˆomica diferente de ⊥ e 1” facilita nossa
demonstra¸c˜ao da incompletude do sistema NDLL’
†
Em rela¸c˜ao ao tamanho das dedu¸c˜oes em NDLL’
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”142
2. r(Π) ´e E
!
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
!!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
E
!
No entanto a premissa !!(α
⊥
) de r(Π) n˜ao pertence a F, um absurdo.
3. r(Π) ´e C
!
:
Nesse caso, por pertencer a F, a premissa maior de r(Π) ´e da forma
!(α
⊥
) ou da forma (?α)
⊥
. Logo temos os seguintes casos:
(a) A premissa maior de r(Π) ´e da forma !(α
⊥
):
Nesse caso Π ´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
]
Σ
1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
j
!(α
⊥
)
j
[(?α)
⊥
]
Σ
2
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
C
!
( j)
Al´em de suposi¸c˜oes da forma (?α)
⊥
, a premissa maior !(α
⊥
) n˜ao
depende de qualquer outra f´ormula topo, pois a f´ormula final de
Π tamb´em s´o depende de f´ormulas topo da forma (?α)
⊥
.
J´a que, para α atˆomica e diferente de ⊥, !(α
⊥
) n˜ao ´e um teorema
da l´ogica linear, a premissa maior !(α
⊥
) depende de pelo menos
uma f´ormula topo da forma (?α)
⊥
. Logo Π pode ser reapresentada
da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
j
!(α
⊥
)
j
[(?α)
⊥
]
Σ
2
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
C
!
( j)
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π determinada pela premissa maior
!(α
⊥
) de r(Π). Podemos notar que Π
´e uma dedu¸c˜ao normal
[(?α)
⊥
], (?α)
⊥
ndll’
!(α
⊥
) e Π
´e menor que Π, um absurdo.
(b) A premissa maior de r(Π) ´e da forma (?α)
⊥
:
Nesse caso Π ´e da seguinte forma:
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”143
[(?α)
⊥
]
Σ
1
(?α)
⊥
(?α)
⊥
j
(?α)
⊥
j
[(?α)
⊥
]
Σ
2
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
C
!
( j)
Al´em de f´ormulas topo da forma (?α)
⊥
, a premissa menor !(α
⊥
)
n˜ao depende de qualquer outra f´ormula topo, pois a f´ormula final
de Π tamb´em s´o depende de f´ormulas topo da forma (?α)
⊥
.
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π determinada pela premissa menor
!(α
⊥
) de r(Π). Podemos notar que Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de
[(?α)
⊥
], (?α)
⊥
ndll’
!(α
⊥
) e Π
´e menor que Π, um absurdo.
4. r(Π) ´e W
!
:
Nesse caso, por pertencer a F, a premissa maior de r(Π) ´e da forma
!(α
⊥
) ou da forma (?α)
⊥
. Logo temos os seguintes casos:
(a) A premissa maior de r(Π) ´e da forma !(α
⊥
):
Nesse caso Π ´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
]
Σ
1
!(α
⊥
)
[(?α)
⊥
]
Σ
2
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
W
!
Al´em de suposi¸c˜oes da forma (?α)
⊥
, a premissa maior !(α
⊥
) n˜ao
depende de qualquer outra f´ormula topo, pois a f´ormula final de
Π tamb´em s´o depende de f´ormulas topo da forma (?α)
⊥
.
J´a que, para α atˆomica e diferente de ⊥, !(α
⊥
) n˜ao ´e um teorema
da l´ogica linear, a premissa maior !(α
⊥
) depende de pelo menos
uma f´ormula topo da forma (?α)
⊥
. Logo Π pode ser reapresentada
da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
[(?α)
⊥
]
Σ
2
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
W
!
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π determinada pela premissa maior
!(α
⊥
) de r(Π). Podemos notar que Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de
[(?α)
⊥
], (?α)
⊥
ndll’
!(α
⊥
) e Π
´e menor que Π, um absurdo.
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”144
(b) A premissa maior de r(Π) ´e da forma (?α)
⊥
:
Nesse caso Π ´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
]
Σ
1
(?α)
⊥
[(?α)
⊥
]
Σ
2
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
W
!
Al´em de suposi¸c˜oes da forma (?α)
⊥
, a premissa menor !(α
⊥
) n˜ao
depende de qualquer outra f´ormula topo, pois a f´ormula final de
Π tamb´em s´o depende de f´ormulas topo da forma (?α)
⊥
.
J´a que, para α atˆomica e diferente de ⊥, !(α
⊥
) n˜ao ´e um teorema
da l´ogica linear, a premissa menor !(α
⊥
) depende de pelo menos
uma f´ormula topo da forma (?α)
⊥
. Logo Π pode ser reapresentada
da seguinte forma:
[(?α)
⊥
]
Σ
1
(?α)
⊥
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
2
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
W
!
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π determinada pela premissa maior
!(α
⊥
) de r(Π). Podemos notar que Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de
[(?α)
⊥
], (?α)
⊥
ndll’
!(α
⊥
) e Π
´e menor que Π, um absurdo.
5. r(Π) ´e ⊥
c
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
j
Σ
⊥
!(α
⊥
)
⊥
c
( j)
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π determinada pela ocorrˆencia de ⊥ ilustrada
acima. Logo Π
´e a menor dedu¸c˜ao normal de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
⊥ e ´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
⊥
Temos os seguintes casos dependendo de r(Π
):
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”145
(a) r(Π
) ´e E
!
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
!⊥
⊥
E
!
No entanto a premissa !⊥ de r(Π
) n˜ao pertence a F, um absurdo.
(b) r(Π
) ´e E
?
:
Seja ?β a premissa maior de r(Π
). Por pertencer a F, ?β ´e da
forma ?α. Como, para α atˆomica e diferente de 1, ?α n˜ao ´e um
teorema da l´ogica linear, ?β depende de p elo menos uma f´ormula
topo da forma (?α)
⊥
ou da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
. Temos ent˜ao os
seguintes casos:
i. ?β depende de pelo menos uma ocorrˆencia de (?α)
⊥
e da
f´ormula topo da forma (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
?α
[(?α)
⊥
]
Σ
2
γ
1
. . .
[(?α)
⊥
]
Σ
n+1
γ
n
γ
j
1
1
. . . γ
j
n
n
α
k
1
Σ
n+2
⊥
⊥
E
?
( j
1
,..., j
n
,k
1
)
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela premissa maior
?α de r(Π
). Π
´e a menor dedu¸c˜ao normal de
[(?α)
⊥
], (?α)
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
?α e ´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
?α
Temos os seguintes casos dependendo de r(Π
):
A. r(Π
) ´e E
!
:
Nesse caso Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1.1
!?α
?α
E
!
No entanto a f´ormula !?α n˜ao pertence a F, um absurdo.
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”146
B. r(Π
) ´e I
?
:
Nesse caso Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1.1
α
?α
I
?
Sabemos que NDLL’ ´e correto. Logo n˜ao existe dedu¸c˜ao
de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
α considerando α atˆomica
e diferente de 1, um absurdo.
C. r(Π
) ´e E
?
:
Seja ?δ a premissa maior de r(Π
). Por pertencer a F, ?δ
´e da formai ?α. Como, para α atˆomica e diferente de 1,
?α n˜ao ´e um teorema da l´ogica linear, ?δ depende de pelo
menos uma f´ormula topo da forma (?α)
⊥
ou da f´ormula
topo (!(α
⊥
))
⊥
. Temos ent˜ao os seguintes casos:
• ?δ depende de pelo menos uma ocorrˆencia de (?α)
⊥
e da
f´ormula topo da forma (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
?α
[(?α)
⊥
]
Σ
2
ϕ
1
. . .
[(?α)
⊥
]
Σ
m+1
ϕ
m
ϕ
j
n+1
1
. . . ϕ
j
n+m
m
α
k
2
Σ
m+2
?α
?α
E
?
( j
n+1
,..., j
n+m
,k
2
)
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada por ?δ. Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
?α
e Π
´e menor que Π
, um absurdo.
• ?δ depende apenas de f´ormulas topo da forma (?α)
⊥
e
de pelo menos uma ocorrˆencia delas:
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada por ?δ. Π
´e uma dedu¸c˜ao de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
ndll’
?α. Como NDLL’
´e correto, tal dedu¸c˜ao n˜ao pode existir nesse sistema,
um absurdo.
• ?δ depende apenas de (!(α
⊥
))
⊥
:
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada por ?δ. Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1.1
?α
Temos os seguintes casos dependendo de r(Π
):
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”147
– r(Π
) ´e E
!
:
Esse caso ´e similar ao caso 5.(b).i.A.
– r(Π
) ´e I
?
:
Esse caso ´e similar ao caso 5.(b).i.B.
– r(Π
) ´e E
?
:
Seja ?ψ a premissa maior de r(Π
). Por pertencer
a F, ?ψ ´e da forma ?α. Como, para α atˆomica e
diferente de 1, ?α n˜ao ´e um teorema da l´ogica linear,
?ψ depende da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
.
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada por ?ψ.
Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
?α e ´e
menor que Π
, um absurdo.
– r(Π
) ´e C
!
:
Por pertencer a F, a premissa maior de r(Π
) ´e da
forma !(α
⊥
) ou da forma (?α)
⊥
. Assim, temos os
seguintes casos:
* A premissa maior de r(Π
) ´e da forma !(α
⊥
):
Como, para α atˆomica e diferente de ⊥, !(α
⊥
) n˜ao
´e um teorema da l´ogica linear, a premissa maior de
r(Π
) depende da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
.
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela pre-
missa maior !(α
⊥
) de r(Π
). Π
´e uma dedu¸c˜ao
de (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
!(α
⊥
). Como NDLL’ ´e correto, tal
dedu¸c˜ao n˜ao pode existir, um absurdo.
* A premissa maior de r(Π
) ´e da forma (?α)
⊥
:
Como, para α atˆomica e diferente de ⊥, (?α)
⊥
n˜ao
´e um teorema da l´ogica linear, a premissa maior de
r(Π
) depende da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
.
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela pre-
missa maior (?α)
⊥
de r(Π
). Π
´e uma dedu¸c˜ao
de (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
(?α)
⊥
. Como NDLL’ ´e correto, tal
dedu¸c˜ao n˜ao pode existir, um absurdo.
– r(Π
) ´e W
!
:
Essa caso ´e similar ao caso anterior no qual r(Π
) ´e
C
!
.
– r(Π
) ´e ⊥
c
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”148
(!(α
⊥
))
⊥
(?α)
⊥
l
Σ
1.1.1
⊥
?α
⊥
c
(l)
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela pre-
missa ⊥ de r(Π
). Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
(?α)
⊥
Σ
1.1.1
⊥
Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de (!(α
⊥
))
⊥
, (?α)
⊥
ndll’
⊥. Como (?α)
⊥
´e uma suposi¸c˜ao de Π
, podemos
dizer que Π
tamb´em ´e uma dedu¸c˜ao normal de
[(?α)
⊥
], (!(α
⊥
))
⊥
, (?α)
⊥
ndll’
⊥ e ´e menor que Π
, um
absurdo.
D. r(Π
) ´e C
!
:
Nesse caso, por pertencer a F a premissa maior de r(Π
) ´e
da forma !(α
⊥
) ou da forma (?α)
⊥
. Logo temos os seguintes
casos:
• A premissa maior de r(Π
) ´e da forma !(α
⊥
):
Como, para α atˆomica e diferente de ⊥, !(α
⊥
) n˜ao ´e um
teorema da l´ogica linear, a premissa maior de r(Π
) de-
pende de pelo menos uma f´ormula topo da forma (?α)
⊥
ou da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
. Temos ent˜ao os seguintes
casos:
– A premissa maior de r(Π
) depende de pelo menos
uma ocorrˆencia de (?α)
⊥
e da f´ormula topo da forma
(!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1.1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
l
!(α
⊥
)
l
[(?α)
⊥
]
Σ
1.2
?α
?α
C
!
(l)
Sabemos que NDLL’ ´e correto. Logo n˜ao existe dedu¸c˜ao
de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
!(α
⊥
) considerando α
atˆomica e diferente de ⊥, um absurdo.
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”149
– A premissa maior de r(Π
) depende apenas de f´ormulas
topo da forma (?α)
⊥
e de pelo menos uma ocorrˆencia
delas:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
1.1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
l
!(α
⊥
)
l
[(?α)
⊥
] (!(α
⊥
))
⊥
Σ
1.2
?α
?α
C
!
(l)
No entanto, a subdedu¸c˜ao determinada pela premissa
maior !(α
⊥
) ´e uma dedu¸c˜ao normal de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
ndll’
!(α
⊥
) e ´e menor que Π, um absurdo.
– A premissa maior de r(Π
) depende apenas de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1.1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
l
!(α
⊥
)
l
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
1.2
?α
?α
C
!
(l)
Sabemos que NDLL’ ´e correto. Logo n˜ao existe dedu¸c˜ao
de (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
!(α
⊥
) considerando α atˆomica e difer-
ente de ⊥, um absurdo.
• A premissa maior de r(Π
) ´e da forma (?α)
⊥
:
Como, para α atˆomica e diferente de ⊥, (?α)
⊥
n˜ao ´e um
teorema da l´ogica linear, a premissa maior de r(Π
) de-
pende de pelo menos uma f´ormula topo da forma (?α)
⊥
ou da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
. Temos ent˜ao os seguintes
casos:
– A premissa maior de r(Π
) depende de pelo menos
uma ocorrˆencia de (?α)
⊥
e da f´ormula topo da forma
(!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1.1
(?α)
⊥
(?α)
⊥
l
(?α)
⊥
l
[(?α)
⊥
]
Σ
1.2
?α
?α
C
!
(l)
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”150
Sabemos que NDLL’ ´e correto. Logo n˜ao existe dedu¸c˜ao
de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
(?α)
⊥
considerando α
atˆomica e diferente de ⊥, um absurdo.
– A premissa maior de r(Π
) depende apenas de f´ormulas
topo da forma (?α)
⊥
e de pelo menos uma ocorrˆencia
delas:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
1.1
(?α)
⊥
(?α)
⊥
l
(?α)
⊥
l
[(?α)
⊥
] (!(α
⊥
))
⊥
Σ
1.2
?α
?α
C
!
(l)
No entanto, a subdedu¸c˜ao determinada pela premissa
menor ?α ´e uma dedu¸c˜ao normal de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
?α e ´e menor que Π
, um absurdo.
– A premissa maior de r(Π
) depende apenas de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1.1
(?α)
⊥
(?α)
⊥
l
(?α)
⊥
l
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
1.2
?α
?α
C
!
(l)
Sabemos que NDLL’ ´e correto. Logo n˜ao existe dedu¸c˜ao
de (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
(?α)
⊥
considerando α atˆomica e dife-
rente de ⊥, um absurdo.
E. r(Π
) ´e W
!
:
Esse caso ´e similar ao ´ultimo caso no qual r(Π
) ´e C
!
.
F. r(Π
) ´e ⊥
c
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
(?α)
⊥
l
Σ
1.1
⊥
?α
⊥
c
(l)
No entanto, a subdedu¸c˜ao determinada pela ocorrˆencia
de ⊥ ilustrada acima em Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de
[(?α)
⊥
], (?α)
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
⊥ e ´e menor que Π
, um ab-
surdo.
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”151
ii. ?β depende apenas de f´ormulas topo da forma (?α)
⊥
e de pelo
menos uma ocorrˆencia delas:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
1
?α
[(?α)
⊥
]
Σ
2
γ
1
. . .
[(?α)
⊥
]
Σ
n+1
γ
n
γ
j
1
1
. . . γ
j
n
n
α
k
1
Σ
n+2
⊥
⊥
E
?
( j
1
,..., j
n
,k
1
)
Por ser correto, o sistema NDLL’ n˜ao prova [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
ndll’
?α considerando α atˆomica e diferente de 1.
iii. ?β depende apenas de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
?α
[(?α)
⊥
]
Σ
2
γ
1
. . .
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
i+1
γ
i
. . .
[(?α)
⊥
]
Σ
n+1
γ
n
γ
j
1
1
. . . γ
j
n
n
α
k
1
Σ
n+2
⊥
⊥
E
?
( j
1
,..., j
n
,k
1
)
Para 1 ≤ i ≤ n.
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela premissa maior
?α. Π
´e da seguinte forma:
(!(
α
⊥
))
⊥
Σ
1
?α
Temos os seguintes casos dependendo de r(Π
):
A. r(Π
) ´e E
!
:
Esse caso ´e similar ao caso 5.(b).i.A.
B. r(Π
) ´e I
?
:
Esse caso ´e similar ao caso 5.(b).i.B.
C. r(Π
) ´e E
?
:
Seja ?ψ a premissa maior de r(Π
). Por pertencer a F, ?ψ
´e da forma ?α. Como, para α atˆomica e diferente de 1, ?α
n˜ao ´e um teorema da l´ogica linear, ?ψ depende da f´ormula
topo (!(α
⊥
))
⊥
. Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada
por ?ψ. Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
?α e ´e
menor que Π
, um absurdo.
D. r(Π
) ´e C
!
:
Nesse caso, por pertencer a F, a premissa maior de r(Π
)
´e da forma !(α
⊥
) ou da forma (?α)
⊥
. Logo temos um dos
seguintes casos:
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”152
• A premissa maior de r(Π
) ´e da forma !(α
⊥
):
Como, para α atˆomica e diferente de ⊥, !(α
⊥
) n˜ao ´e um
teorema da l´ogica linear, a premissa maior de r(Π
) de-
pende da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
. Seja Π
a subdedu¸c˜ao
de Π
determinada pela premissa maior !(α
⊥
). Π
´e
uma dedu¸c˜ao normal de (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
!(α
⊥
). No entanto,
como NDLL’ ´e correto, tal prova n˜ao pode existir con-
siderando α atˆomica e diferente de ⊥, um absurdo.
• A premissa maior de r(Π
) ´e da forma (?α)
⊥
:
Como, para α atˆomica e diferente de ⊥, (?α)
⊥
n˜ao ´e um
teorema da l´ogica linear, a premissa maior de r(Π
) de-
pende da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
. Seja Π
a subdedu¸c˜ao
de Π
determinada pela premissa maior (?α)
⊥
. Π
´e
uma dedu¸c˜ao normal de (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
(?α)
⊥
. No en-
tanto, como NDLL’ ´e correto, tal prova n˜ao pode existir
considerando α atˆomica e diferente de ⊥, um absurdo.
E. r(Π
) ´e W
!
:
Esse caso ´e similar ao anterior no qual r(Π
) ´e C
!
.
F. r(Π
) ´e ⊥
c
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
(?α)
⊥
l
Σ
1.1
⊥
?α
⊥
c
(l)
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela premissa
⊥ de r(Π
). Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
,
(!(α
⊥
))
⊥
ndll’
⊥ e Π
´e menor que Π
, um absurdo.
(c) r(Π
) ´e C
!
:
Nesse caso, por pertencer a F, a premissa maior de r(Π
) ´e da
forma !(α
⊥
) ou da forma (?α)
⊥
. Logo temos um dos seguintes
casos:
i. A premissa maior de r(Π
) ´e da forma !(α
⊥
):
Como, para α atˆomica e diferente de ⊥, !(α
⊥
) n˜ao ´e um teo-
rema da l´ogica linear, a premissa maior de r(Π
) depende de
pelo menos uma f´ormula topo da forma (?α)
⊥
ou da f´ormula
topo (!(α
⊥
))
⊥
. Temos ent˜ao os seguintes casos:
A. A premissa maior de r(Π
) depende de pelo menos uma
ocorrˆencia de (?α)
⊥
e da f´ormula topo da forma (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”153
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
l
!(α
⊥
)
l
[(?α)
⊥
]
Σ
2
⊥
⊥
C
!
(l)
Como NDLL’ ´e correto, n˜ao existe prova para [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
,
(!(α
⊥
))
⊥
ndll’
!(α
⊥
) considerando α atˆomica e diferente de
⊥, um absurdo.
B. A premissa maior de r(Π
) depende apenas de f´ormulas
topo da forma (?α)
⊥
e de pelo menos uma ocorrˆencia delas:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
l
!(α
⊥
)
l
[(?α)
⊥
] (!(α
⊥
))
⊥
Σ
2
⊥
⊥
C
!
(l)
No entanto, a sub dedu¸c˜ao determinada pela premissa maior
!(α
⊥
) de r(Π
) ´e uma dedu¸c˜ao normal de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
ndll’
!(α
⊥
) e ´e menor que Π, um absurdo.
C. A premissa maior de r(Π
) depende apenas de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
l
!(α
⊥
)
l
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
2
⊥
⊥
C
!
(l)
Como NDLL’ ´e correto, n˜ao existe prova para (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
!(α
⊥
) considerando α atˆomica e diferente de ⊥, um ab-
surdo.
ii. A premissa maior de r(Π
) ´e da forma (?α)
⊥
:
Como, para α atˆomica e diferente de ⊥, (?α)
⊥
n˜ao ´e um teo-
rema da l´ogica linear, a premissa maior de r(Π
) depende de
pelo menos uma f´ormula topo da forma (?α)
⊥
ou da f´ormula
topo (!(α
⊥
))
⊥
. Temos ent˜ao os seguintes casos:
A. A premissa maior de r(Π
) depende de pelo menos uma
ocorrˆencia de (?α)
⊥
e da f´ormula topo da forma (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”154
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
(?α)
⊥
(?α)
⊥
l
(?α)
⊥
l
[(?α)
⊥
]
Σ
2
⊥
⊥
C
!
(l)
Como NDLL’ ´e correto, n˜ao existe prova para [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
,
(!(α
⊥
))
⊥
ndll’
(?α)
⊥
considerando α atˆomica e diferente de
⊥, um absurdo.
B. A premissa maior de r(Π
) depende apenas de f´ormulas
topo da forma (?α)
⊥
e de pelo menos uma ocorrˆencia delas:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
1
(?α)
⊥
(?α)
⊥
l
(?α)
⊥
l
[(?α)
⊥
] (!(α
⊥
))
⊥
Σ
2
⊥
⊥
C
!
(l)
No entanto, a sub dedu¸c˜ao determinada pela premissa menor
⊥ de r(Π
) ´e uma dedu¸c˜ao normal de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
⊥ e ´e menor que Π
, um absurdo.
C. A premissa maior de r(Π
) depende apenas de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
(?α)
⊥
(?α)
⊥
l
(?α)
⊥
l
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
2
⊥
⊥
C
!
(l)
Como NDLL’ ´e correto, n˜ao existe prova para (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
(?α)
⊥
considerando α atˆomica e diferente de ⊥, um ab-
surdo.
(d) r(Π
) ´e W
!
:
Essa caso ´e similar ao caso anterior no qual r(Π
) ´e C
!
.
(e) r(Π
) ´e E
⊥
:
As premissas de r(Π
) pertencem a F. Logo temos um dos seguintes
casos:
i. As premissas de r(Π
) s˜ao α e α
⊥
:
Como nem α nem α
⊥
s˜ao teoremas da l´ogica linear, cada
uma das premissas de r(Π
) depende de pelo menos uma das
f´ormulas topo da forma (?α)
⊥
ou da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
.
Logo temos os seguintes casos:
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”155
A. A premissa menor de r(Π
) depende de pelo menos uma
ocorrˆencia de (?α)
⊥
e da f´ormula topo da forma (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
α
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
2
α
⊥
⊥
E
⊥
Como NDLL’ ´e correto, n˜ao existe prova para [(?α)
⊥
],
(?α)
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
α considerando α atˆomica e diferente
de 1, um absurdo.
B. A premissa menor de r(Π
) depende apenas de f´ormulas
topo da forma (?α)
⊥
e de pelo menos uma ocorrˆencia delas:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
1
α
[(?α)
⊥
] (!(α
⊥
))
⊥
Σ
2
α
⊥
⊥
E
⊥
Como NDLL’ ´e correto, n˜ao existe prova para [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
ndll’
α considerando α atˆomica e diferente de 1, um ab-
surdo.
C. A premissa menor de r(Π
) depende apenas de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
α
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
2
α
⊥
⊥
E
⊥
Como NDLL’ ´e correto, n˜ao existe prova para (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
α considerando α atˆomica e diferente de 1, um absurdo.
ii. As premissas de r(Π
) s˜ao ?α e (?α)
⊥
:
Como nem ?α nem (?α)
⊥
s˜ao teoremas da l´ogica linear, cada
uma das premissas de r(Π
) depende de pelo menos uma das
f´ormulas topo da forma (?α)
⊥
ou da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
.
Logo temos os seguintes casos:
A. A premissa menor de r(Π
) depende de pelo menos uma
ocorrˆencia de (?α)
⊥
e da f´ormula topo da forma (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”156
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
?α
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
2
(?α)
⊥
⊥
E
⊥
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela premissa
menor ?α de r(Π
). Podemos notar que Π
´e uma dedu¸c˜ao
normal de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
?α. No caso 5.(b).i.
mostramos a solu¸c˜ao para uma dedu¸c˜ao Π
igual. Assim,
o presente caso ´e resolvido de forma similar.
B. A premissa menor de r(Π
) depende apenas de f´ormulas
topo da forma (?α)
⊥
e de pelo menos uma ocorrˆencia delas:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
1
?α
[(?α)
⊥
] (!(α
⊥
))
⊥
Σ
2
(?α)
⊥
⊥
E
⊥
Como NDLL’ ´e correto, n˜ao existe prova para [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
ndll’
?α considerando α atˆomica e diferente de 1, um ab-
surdo.
C. A premissa menor de r(Π
) depende apenas de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
?α
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
2
(?α)
⊥
⊥
E
⊥
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela premissa
menor ?α de r(Π
). Podemos notar que Π
´e uma dedu¸c˜ao
normal de (!(α
⊥
))
⊥
ndll’
?α. No caso 5.(b).iii. mostramos
a solu¸c˜ao para uma dedu¸c˜ao Π
igual. Assim, o presente
caso ´e resolvido de forma similar.
iii. As premissas de r(Π
) s˜ao !(α
⊥
) e (!(α
⊥
))
⊥
:
Como (!(α
⊥
))
⊥
n˜ao ´e um teorema da l´ogica linear, a premissa
maior de r(Π
) depende de pelo menos uma f´ormula topo. J´a
que, pelo princ´ıpio da subf´ormula, (!(α
⊥
))
⊥
s´o pode ocorrer
em Π como f´ormula topo, a premissa maior de r(Π
) ´e uma
f´ormula topo e depende de si mesma. Como !(α
⊥
) tamb´em
n˜ao ´e um teorema da l´ogica linear, a premissa menor de r(Π
)
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”157
depende de pelo menos uma f´ormula topo da forma (?α)
⊥
e
Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
Σ
1
!(α
⊥
) (!(α
⊥
))
⊥
⊥
E
⊥
No entanto, a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela premissa
menor de r(Π
) ´e uma dedu¸c˜ao normal de [(?α)
⊥
], (?α)
⊥
ndll’
!(α
⊥
) e ´e menor do que Π, um absurdo.
iv. As premissas de r(Π
) s˜ao (?α)
⊥
e (?α)
⊥
⊥
:
Como (?α)
⊥
⊥
n˜ao ´e um teorema da l´ogica linear, a premissa
maior de r(Π
) depende de pelo menos uma f´ormula topo.
J´a que, pelo princ´ıpio da subf´ormula, (?α)
⊥
⊥
s´o pode o correr
em Π como f´ormula topo, a premissa maior de r(Π
) ´e uma
f´ormula top o e depende de si mesma. No entanto, a f´ormula
final de Π
s´o depende de f´ormulas topo da forma (?α)
⊥
ou
(!(α
⊥
))
⊥
. Assim, a premissa maior de r(Π
) n˜ao poderia ser da
forma (?α)
⊥
⊥
, um absurdo.
(f) r(Π
) ´e ⊥
c
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
[(?α)
⊥
] (?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
⊥
⊥
k
Σ
1
⊥
⊥
⊥
c
(k)
No entanto, ⊥
⊥
n˜ao pertence a F, um absurdo.
F.2 Incompletude do sistema NDLL”
Seja NDLL” o sistema de dedu¸c˜ao natural obtido de NDLL pela substitui¸c˜ao
respectiva das regras I
!
, E
?
, C
!
e W
!
pelas regras I
!
’, E
?
’, C
!
’ e W
!
’ mostradas
abaixo:
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”158
!α
1
. . . !α
n
!α
j
1
1
. . . !α
j
n
n
.
.
.
.
β
!β
I
!
’
( j
1
,..., j
n
)
(n ≥ 0 e β n˜ao depende de nenhu-
ma outra ocorrˆencia de f´ormula
topo al´em de !α
1
, . . . , !α
n
. Assim,
se n = 0, β ´e um teorema.)
?α !β
1
. . . !β
n
!β
j
1
1
. . . !β
j
n
n
α
k
.
.
.
.
γ
γ
E
?
’
( j
1
,..., j
n
,k)
(n ≥ 0, γ ´e da forma ?δ ou
⊥ e n˜ao depende de qualquer
ocorrˆencia de f´ormula topo al´em
de !β
1
, . . . , !β
n
e α.)
!α
!α
j
!α
j
.
.
.
.
β
β
C
!
’
( j)
!α β
β
W
!
’
Podemos notar que NDLL ´e uma generaliza¸c˜ao de NDLL”, e portanto,
NDLL” ´e correto e fracamente normaliz´avel da mesma forma que NDLL.
Nesse apˆendice, no entanto, queremos demonstrar que NDLL” ´e incompleto.
Provamos ent˜ao o seguinte Teorema:
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”159
Teorema F.2 (Incompletude do sistema NDLL”) N˜ao existe dedu¸c˜oes em
NDLL” para todos os teoremas da l´ogica linear.
Por redu¸c˜ao ao absurdo, assumimos o contr´ario, ou seja, para cada teo-
rema da l´ogica linear existe pelo menos uma dedu¸c˜ao em NDLL” que o prova.
Logo, em NDLL” existe uma dedu¸c˜ao normal Π para o teorema da l´ogica li-
near (?α)
⊥
!(α
⊥
) sendo α uma f´ormula atˆomica diferente de ⊥ e 1
‡
. Sem
perda de generalidade, assumimos que Π ´e a menor
§
entre todas poss´ıveis
dedu¸c˜oes normais em NDLL” para (?α)
⊥
!(α
⊥
). Por ser normal, Π obedece
o princ´ıpio da subf´ormula e todas as f´ormulas que ocorrem em Π pertencem
ao seguinte conjunto:
F = {(?α)
⊥
, !(α
⊥
), (?α)
⊥
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
, α, α
⊥
, α
⊥
⊥
, ?α, ⊥}
Logo, o conjunto das regras de inferˆencias que ocorrem em Π ´e um sub-
conjunto pr´oprio de {I
!
’,E
!
,I
?
,E
?
’,C
!
’,W
!
’,I
⊥
,E
⊥
, ⊥
c
}. Al´em disso, as f´ormulas
(?α)
⊥
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
e α
⊥
⊥
s´o ocorrem em Π se forem hip´oteses descartadas por
aplica¸c˜ao de ⊥
c
.
Como !(α
⊥
) ´e a f´ormula final de Π, temos os seguintes casos dependendo
de r(Π):
1. r(Π) ´e I
!
’:
Nesse caso, α
⊥
´e a ´ultima premissa de r(Π) e, pelas restri¸c˜oes da regra
I
!
’, s´o depende de f´ormulas topo da forma !δ. Assim, a f´ormula topo
(?α)
⊥
ocorre necessariamente acima de uma premissa intermedi´aria de
r(Π). Dessa forma, para 1 ≤ i ≤ n, Π seria da seguinte forma:
Σ
1
!β
1
. . .
(?α)
⊥
Σ
i
!β
i
. . .
Σ
n
!β
n
!β
j
1
1
. . . !β
j
i
i
. . . !β
j
n
n
Σ
n+1
α
⊥
!(α
⊥
)
I
!
’
( j
1
,..., j
n
)
Como a premissa intermedi´aria !β
i
pertence a F, !β
i
´e da forma !(α
⊥
).
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π determinada pela premissa intermedi´aria
!β
i
. Podemos notar que Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de (?α)
⊥
ndll”
!(α
⊥
)
e Π
´e menor que Π, um absurdo.
‡
(?α)
⊥
!(α
⊥
) ´e facilmente demonstrado no c´alculo de seq¨uentes linear para qualquer α.
A restri¸c˜ao “sendo α uma f´ormula atˆomica diferente de ⊥ e 1” facilita nossa demonstra¸c˜ao
da incompletude do sistema NDLL”
§
Em rela¸c˜ao ao tamanho das dedu¸c˜oes em NDLL”
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”160
2. r(Π) ´e E
!
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
Σ
!!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
E
!
No entanto a premissa !!(α
⊥
) de r(Π) n˜ao pertence a F, um absurdo.
3. r(Π) ´e C
!
’:
Seja δ a premissa maior de r(Π). Pela restri¸c˜ao da regra C
!
’, o s´ımbolo
principal de δ ´e !. Como pertence a F, δ ´e da forma !(α
⊥
). J´a que !(α
⊥
)
n˜ao ´e um teorema da l´ogica linear, δ depende da f´ormula topo (?α)
⊥
e
Π ´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
j
!(α
⊥
)
j
Σ
2
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
C
!
’
( j)
Al´em da f´ormula topo (?α)
⊥
, δ n˜ao depende de qualquer outra f´ormula
topo, pois a f´ormula final de Π tamb´em s´o depende de (?α)
⊥
.
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π determinada pela premissa maior δ de r(Π).
Podemos notar que Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de (?α)
⊥
ndll”
!(α
⊥
) e Π
´e menor que Π, um absurdo.
4. r(Π) ´e W
!
’:
Nesse caso, Π seria da seguinte forma:
Σ
1
!β
Σ
2
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
W
!
’
Por pertencer a F, !β ´e da forma !(α
⊥
). Como !(α
⊥
) n˜ao ´e um teorema
da l´ogica linear, ambas as premissas de r(Π) dependem de pelo menos
uma f´ormula topo. No entanto, a f´ormula final de Π depende apenas
de uma ocorrˆencia de (?α)
⊥
, um absurdo.
5. r(Π) ´e ⊥
c
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”161
(?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
j
Σ
⊥
!(α
⊥
)
⊥
c
( j)
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π determinada pela ocorrˆencia de ⊥ ilustrada
acima. Assim Π
´e a menor dedu¸c˜ao normal de (?α)
⊥
, (!(α
⊥
))
⊥
ndll”
⊥
e ´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
⊥
Temos os seguintes casos dependendo de r(Π
):
(a) r(Π
) ´e E
!
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
!⊥
⊥
E
!
No entanto a premissa !⊥ de r(Π
) n˜ao pertence a F, um absurdo.
(b) r(Π
) ´e E
?
’:
Seja ?β a premissa maior de r(Π
). Por pertencer a F, ?β ´e da forma
?α. Como ?α n˜ao ´e um teorema da l´ogica linear, ?β depende de
pelo menos uma das f´ormulas topo (?α)
⊥
e (!(α
⊥
))
⊥
. Assim, temos
os seguintes casos:
i. ?β depende de ambas f´ormulas topo (?α)
⊥
e (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
seria da seguinte forma:
(?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
?α
Σ
2
!γ
1
. . .
Σ
n+1
!γ
n
!γ
j
1
. . . !γ
j
n
α
k
Σ
n+2
⊥
⊥
E
?
’
( j
1
,..., j
n
,k)
Podemos notar que as premissas intermedi´arias !γ
1
, . . . , !γ
n
n˜ao dependem de qualquer f´ormula topo, pois a f´ormula fi-
nal ⊥ de Π
tamb´em n˜ao depede de f´ormulas topo al´em de
uma ocorrˆencia de (?α)
⊥
e de uma ocorrˆencia (!(α
⊥
))
⊥
. Logo,
!γ
1
, . . . , !γ
n
s˜ao teoremas da l´ogica linear. Como F n˜ao cont´em
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”162
qualquer teorema da l´ogica linear para α atˆomica e diferente
de ⊥ e 1, ent˜ao n = 0, r(Π
) n˜ao possui premissas inter-
medi´arias, e Π
´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
?α
α
k
Σ
2
⊥
⊥
E
?
’
(k)
Como NDLL” ´e correto, n˜ao existe prova para α
ndll”
⊥ con-
siderando α atˆomica e diferente de ⊥, um absurdo.
ii. ?β depende apenas de (?α)
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
Σ
1
?α
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
2
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
j
α
k
Σ
3
⊥
⊥
E
?
’
( j,k)
Como NDLL” ´e correto, n˜ao existe prova para (!(α
⊥
))
⊥
ndll”
!(α
⊥
) considerando α atˆomica e diferente de ⊥, um absurdo.
iii. ?β depende apenas de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
?α
(?α)
⊥
Σ
2
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
j
α
k
Σ
2
⊥
⊥
E
?
’
( j,k)
Seja Π
uma subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela premissa
intemedi´aria !(α
⊥
). Podemos notar que Π
´e uma dedu¸c˜ao
normal de (?α)
⊥
ndll”
!(α
⊥
) e Π
´e menor que Π, um absurdo.
(c) r(Π
) ´e C
!
’:
Seja !β a premissa maior de r(Π
). Por pertencer a F, !β ´e da
forma !(α
⊥
). Como !(α
⊥
) n˜ao ´e um teorema da l´ogica linear, !β
depende de pelo menos uma das f´ormulas topo (?α)
⊥
e (!(α
⊥
))
⊥
.
Assim, temos os seguintes casos:
i. !β depende de ambas f´ormulas topo (?α)
⊥
e (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
j
!(α
⊥
)
j
Σ
2
⊥
⊥
C
!
’
( j)
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”163
Como NDLL” ´e correto, n˜ao existe prova para !(α
⊥
), !(α
⊥
)
ndll”
⊥ considerando α atˆomica e diferente de 1, um absurdo.
ii. !β depende apenas de (?α)
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
j
!(α
⊥
)
j
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
2
⊥
⊥
C
!
’
( j)
Seja Π
uma subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela premissa
maior !(α
⊥
). Podemos notar que Π
´e uma dedu¸c˜ao normal
de (?α)
⊥
ndll”
!(α
⊥
) e Π
´e menor que Π, um absurdo.
iii. !β depende apenas de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
j
!(α
⊥
)
j
(?α)
⊥
Σ
2
⊥
⊥
C
!
’
( j)
Como NDLL” ´e correto, n˜ao existe prova para (!(α
⊥
))
⊥
ndll”
!(α
⊥
) considerando α atˆomica e diferente de ⊥, um absurdo.
(d) r(Π
) ´e W
!
’:
Seja !β a premissa maior de r(Π
). Por pertencer a F, !β ´e da
forma !(α
⊥
). Como !(α
⊥
) n˜ao ´e um teorema da l´ogica linear, !β
depende de pelo menos uma das f´ormulas topo (?α)
⊥
e (!(α
⊥
))
⊥
.
Assim, temos os seguintes casos:
i. !β depende de ambas f´ormulas topo (?α)
⊥
e (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
Σ
2
⊥
⊥
W
!
’
Como NDLL” ´e correto, n˜ao existe prova para
ndll”
⊥, um
absurdo.
ii. !β depende apenas de (?α)
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
2
⊥
⊥
W
!
’
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”164
Seja Π
uma subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela premissa
maior !(α
⊥
). Podemos notar que Π
´e uma dedu¸c˜ao normal
de (?α)
⊥
ndll”
!(α
⊥
) e Π
´e menor que Π, um absurdo.
iii. !β depende apenas de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
(?α)
⊥
Σ
2
⊥
⊥
W
!
’
( j)
Como NDLL” ´e correto, n˜ao existe prova para (!(α
⊥
))
⊥
ndll”
!(α
⊥
) considerando α atˆomica e diferente de ⊥, um absurdo.
(e) r(Π
) ´e E
⊥
:
As premissas de r(Π
) pertencem a F. Logo temos um dos seguintes
casos:
i. As premissas de r(Π
) s˜ao α e α
⊥
:
Como α e α
⊥
n˜ao s˜ao teoremas da l´ogica linear, cada uma das
premissas de r(Π
) depende ou da f´ormula topo (?α)
⊥
ou da
f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
. Assim temos os seguintes casos:
A. α depende de (?α)
⊥
e α
⊥
depende de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
Σ
1
α
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
2
α
⊥
⊥
E
⊥
Como NDLL” ´e correto, n˜ao existe prova para (?α)
⊥
ndll”
α considerando α atˆomica e diferente de 1, um absurdo.
B. α depende de (!(α
⊥
))
⊥
e α
⊥
depende de (?α)
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
α
(?α)
⊥
Σ
2
α
⊥
⊥
E
⊥
Como NDLL” ´e correto, n˜ao existe prova para (!(α
⊥
))
⊥
ndll”
α considerando α atˆomica e diferente de 1, um absurdo.
ii. As premissas de r(Π
) s˜ao ?α e (?α)
⊥
:
Como ?α e (?α)
⊥
n˜ao s˜ao teoremas da l´ogica linear, cada uma
das premissas de r(Π
) depende ou da f´ormula topo (?α)
⊥
ou
da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
. Assim temos os seguintes casos:
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”165
A. ?α depende de (?α)
⊥
e (?α)
⊥
depende de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
Σ
1
?α
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
2
(?α)
⊥
⊥
E
⊥
Como NDLL” ´e correto, n˜ao existe prova para (?α)
⊥
ndll”
?α considerando α atˆomica e diferente de 1, um absurdo.
B. ?α depende de (!(α
⊥
))
⊥
e (?α)
⊥
depende de (?α)
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
?α
(?α)
⊥
Σ
2
(?α)
⊥
⊥
E
⊥
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela premissa
menor ?α de r(Π
). Π
´e uma menor dedu¸c˜ao normal de
(!(α
⊥
))
⊥
ndll”
?α. Temos os seguintes casos dependendo de
r(Π
):
• r(Π
) ´e I
?
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1.1
α
?α
I
?
Como NDLL” ´e correto, n˜ao existe prova de (!(α
⊥
))
⊥
ndll”
α considerando α atˆomica e diferente de 1, um absurdo.
• r(Π
) ´e E
?
’:
Por pertencer a F, a premissa maior de r(Π
) ´e da forma
?α. Como ?α n˜ao ´e um teorema da l´ogica linear, a pre-
missa maior de r(Π
) depende da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
.
Podemos observar que Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1.1
?α
α
j
Σ
1.2
?α
?α
E
?
’
( j)
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela pre-
missa maior ?α de r(Π
). Π
´e uma dedu¸c˜ao normal
de (!(α
⊥
))
⊥
ndll”
?α e ´e menor que Π
, um absurdo.
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”166
• r(Π
) ´e C
!
’:
Por pertencer a F, a premissa maior de r(Π
) ´e da forma
!(α
⊥
). Como !(α
⊥
) n˜ao ´e um teorema da l´ogica linear,
a premissa maior de r(Π
) dep ende da f´ormula topo
(!(α
⊥
))
⊥
. Podemos observar que Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1.1
!(α
⊥
)
!(α
⊥
)
j
!(α
⊥
)
j
Σ
1.2
?α
?α
C
!
’
( j)
Como NDLL” ´e correto, n˜ao existe prova de (!(α
⊥
))
⊥
ndll”
!(α
⊥
) considerando α atˆomica e diferente de ⊥, um ab-
surdo.
• r(Π
) ´e W
!
’:
Esse caso ´e similar ao caso anterior no qual r(Π
) ´e C
!
’.
• r(Π
) ´e ⊥
c
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(!(α
⊥
))
⊥
(?α)
⊥
k
Σ
1.1
⊥
?α
⊥
c
(k)
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela ocorrˆencia
de ⊥ ilustrada acima. Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de
(!(α
⊥
))
⊥
, (?α)
⊥
ndll”
⊥ e ´e menor que Π
, um absurdo.
iii. As premissas de r(Π
) s˜ao !(α
⊥
) e (!(α
⊥
))
⊥
:
Como !(α
⊥
) e (!(α
⊥
))
⊥
n˜ao s˜ao teoremas da l´ogica linear, cada
uma das premissas de r(Π
) depende ou da f´ormula topo (?α)
⊥
ou da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
. Assim temos os seguintes casos:
A. !(α
⊥
) depende de (?α)
⊥
e (!(α
⊥
))
⊥
depende de (!(α
⊥
))
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
2
(!(α
⊥
))
⊥
⊥
E
⊥
Seja Π
a subdedu¸c˜ao de Π
determinada pela premissa
menor !(α
⊥
) de r(Π
). Π
´e uma dedu¸c˜ao normal de (?α)
⊥
ndll”
!(α
⊥
) e ´e menor que Π, um absurdo.
B. !(α
⊥
) depende de (!(α
⊥
))
⊥
e (!(α
⊥
))
⊥
depende de (?α)
⊥
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
AP
ˆ
ENDICE F. PROVAS DE INCOMPLETUDE PARA NDLL’ E NDLL”167
(!(α
⊥
))
⊥
Σ
1
!(α
⊥
)
(?α)
⊥
Σ
2
(!(α
⊥
))
⊥
⊥
E
⊥
Como NDLL” ´e correto, n˜ao existe prova de (!(α
⊥
))
⊥
ndll”
!(α
⊥
) considerando α atˆomica e diferente de ⊥, um ab-
surdo.
iv. As premissas de r(Π
) s˜ao (?α)
⊥
e (?α)
⊥
⊥
:
Como (?α)
⊥
e (?α)
⊥
⊥
n˜ao s˜ao teoremas da l´ogica linear, cada
uma das premissas de r(Π
) depende ou da f´ormula topo (?α)
⊥
ou da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
. Assim temos os seguintes casos:
A. (?α)
⊥
depende de (?α)
⊥
e (?α)
⊥
⊥
depende de (!(α
⊥
))
⊥
:
Pelo princ´ıpio da subf´ormula, (?α)
⊥
⊥
s´o poderia aparecer
em Π como f´ormula topo. Logo a premissa maior de r(Π
)
s´o depende de si mesma. No entanto, no presente caso,
(?α)
⊥
⊥
depende da f´ormula topo (!(α
⊥
))
⊥
, um absurdo.
B. (?α)
⊥
depende de (!(α
⊥
))
⊥
e (?α)
⊥
⊥
depende de (?α)
⊥
:
Esse caso ´e similar ao caso anterior.
(f) r(Π
) ´e ⊥
c
:
Nesse caso, Π
´e da seguinte forma:
(?α)
⊥
(!(α
⊥
))
⊥
⊥
⊥
k
Σ
1
⊥
⊥
⊥
c
(k)
No entanto, ⊥
⊥
n˜ao pertence a F, um absurdo.
Apˆendice G
Lemas Auxiliares a
Normaliza¸c˜ao
Lema G.1 (Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo 1.(e) e
4.(c)) Seja Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
⊥ tal que:
1. α ´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima em Π;
2. α ´e premissa menor de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima do
tipo 1.(e) ou 4.(c).
Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao normal Π
de Γ
ndll
⊥.
Provamos esse Lema G.1 por indu¸c˜ao em s(α).
Como α ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tipo 1.(e) ou 4.(c), r(Π)
´e E
⊥
e i(Π) = (0, 0). Ent˜ao temos os seguintes casos dependendo de α:
1. α ´e ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tipo 1.(e):
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
α
⊥
j
Σ
⊥
α
⊥
c( j)
α
⊥
⊥
E
⊥
Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
atrav´es da redu¸c˜ao 22 como segue:
Π
≡
168
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 169
α
⊥
Σ
⊥
Podemos notar que Π
´e normal.
2. α ´e ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tipo 4.(c):
Nesse caso, α ´e conclus˜ao de uma regra R tal que R ´e E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
,
C
!
, W
!
ou E
1
. Ent˜ao temos os seguintes casos dependendo de R:
(a) R ´e E
⊗
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
:
Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
β
Σ
2
α
α
R
α
⊥
⊥
E
⊥
Tal que β ´e a premissa maior de R. Ent˜ao Π ´e reduzida a uma
dedu¸c˜ao Π
∗
1
atrav´es da redu¸c˜ao 23 como segue:
Π
∗
1
≡
Σ
1
β
Σ
2
α α
⊥
⊥
E
⊥
⊥
R
Se Π
∗
1
´e normal, ent˜ao Π
≡ Π
∗
1
. Se n˜ao, α ´e tamb´em uma ocor-
rˆencia de f´ormula m´axima do tipo 1.(e) ou iv).(c) em Π
∗
1
. Nesse
caso, seja Π
∗
2
a subdedu¸c˜ao determinada pela ocorrˆencia de ⊥ mais
acima ilustrada acima em Π
∗
1
. Π
∗
2
´e da forma descrita por esse
Lema G.1. Como s(α) em Π
∗
2
´e menor que s(α) em Π, por hip´otese
de indu¸c˜ao, Π
∗
2
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao normal Π
∗
3
. Π
´e ent˜ao
a seguinte dedu¸c˜ao normal:
Π
≡
Σ
1
β Π
∗
3
⊥
R
(b) R ´e E
⊕
:
Π ´e da seguinte forma:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 170
Π ≡
Σ
1
β ⊕ γ
β
j
1
Σ
2
α
γ
j
2
Σ
3
α
α
E
⊕( j
1
, j
2
)
α
⊥
⊥
E
⊥
Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
∗
1
atrav´es da redu¸c˜ao 24 como
segue:
Π
∗
1
≡
Σ
1
β ⊕ γ
β
j
1
Σ
2
α α
⊥
⊥
E
⊥
γ
j
2
Σ
3
α α
⊥
⊥
E
⊥
⊥
E
⊕( j
1
, j
2
)
Se Π
∗
1
´e normal, ent˜ao Π
≡ Π
∗
1
. Se n˜ao, pelo menos uma das
subdedu¸c˜oes determinadas p elas premissas menores ⊥ ilustradas
acima em Π
∗
1
´e da forma descrita por esse Lema G.1.
Seja Π
∗
2
a subdedu¸c˜ao de Π
∗
1
determinada pela primeira premissa
menor ⊥ (na ordem da esquerda para a direita) e Π
∗
3
a subdedu¸c˜ao
determinada pela segunda. Podemos notar que s(α) em Π
∗
2
e em
Π
∗
3
´e menor que s(α) em Π.
Assim, se Π
∗
2
´e da forma descrita por esse Lema G.1, ent˜ao, por
hip´otese de indu¸c˜ao, Π
∗
2
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao normal Π
∗
2
∗
. O
mesmo ocorre com Π
∗
3
: se Π
∗
3
´e da forma descrita por esse Lema
G.1, ent˜ao, por hip´otese de indu¸c˜ao, Π
∗
3
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao
normal Π
∗
3
∗
.
Sejam Π
2
e Π
3
as seguintes dedu¸c˜oes:
• Se Π
∗
2
´e normal Π
2
≡ Π
∗
2
, se n˜ao Π
2
≡ Π
∗
2
∗
.
• Se Π
∗
3
´e normal Π
3
≡ Π
∗
3
, se n˜ao Π
3
≡ Π
∗
3
∗
.
Ent˜ao, Π
´e a seguinte dedu¸c˜ao normal:
Π
≡
Σ
1
β ⊕ γ Π
2
Π
3
⊥
E
⊕( j
1
, j
2
)
(c) R ´e E
?
:
Π ´e da seguinte forma:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 171
Π ≡
Σ
1
?β
Σ
2
γ
1
. . .
Σ
n+1
γ
n
γ
j
1
1
. . . γ
j
n
n
β
k
Σ
n+2
α
α
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
α
⊥
⊥
E
⊥
Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
∗
1
atrav´es da redu¸c˜ao 25 como
segue:
Π
∗
1
≡
Σ
1
?β
Σ
2
γ
1
. . .
Σ
n+1
γ
n
α
⊥
γ
j
1
1
. . . γ
j
n
n
β
k
Σ
n+2
α α
⊥
j
n+1
⊥
E
⊥
⊥
E
?( j
1
,..., j
n+1
,k)
Se Π
∗
1
´e normal, ent˜ao Π
≡ Π
∗
1
. Se n˜ao, α ´e tamb´em uma ocorrˆen-
cia de f´ormula m´axima do tipo 1.(e) ou 4.(c) em Π
∗
1
. Nesse caso,
seja Π
∗
2
a subdedu¸c˜ao determinada pela ocorrˆencia mais acima de
⊥ ilustrada acima em Π
∗
1
. Π
∗
2
´e da forma descrita por esse Lema
G.1. Como s(α) em Π
∗
2
´e menor que s(α) em Π, por hip´otese de
indu¸c˜ao, Π
∗
2
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao normal Π
∗
3
. Π
´e ent˜ao a
seguinte dedu¸c˜ao normal:
Π
≡
Σ
1
?β
Σ
2
γ
1
. . .
Σ
n+1
γ
n
α
⊥
Π
∗
3
⊥
E
?( j
1
,..., j
n+1
,k)
Lema G.2 (Lema da permanˆencia) Seja Π uma dedu¸c˜ao tal que i(Π) =
(0, 0). Ent˜ao, se Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
, m(Π
) = (0, 0).
Como i(Π) = (0, 0), qualquer ocorrˆencia de f´ormula m´axima em Π ´e do
tipo 1.(e) ou 4.(c). Ent˜ao Π
´e obtida a partir de Π atrav´e das redu¸c˜oes 22,
23, 24 e 25. Podemos notar que nenhuma dessas redu¸c˜oes ´e capaz de produzir
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
. Assim, i(Π
) = (0, 0).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 172
Lema G.3 (Lema sobre dedu¸c˜oes de ´ındice (0,0)) Seja Π uma dedu¸c˜ao de
Γ
ndll
β tal que i(Π) = (0, 0). Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao normal Π
de Γ
ndll
β.
Se Π ´e normal, ent˜ao Π
≡ Π.
Se n˜ao, provamos esse Lema G.3 por indu¸c˜ao em l(Π).
Ent˜ao seja Π
1
, . . . , Π
n
as subdedu¸c˜oes imediatas de r(Π) tal que Π ´e da
seguinte forma:
Π ≡
Π
1
. . . Π
n
β
r(Π)
Como l(Π
i
) < l(Π), para 1 ≤ i ≤ n, por hip´otese de indu¸c˜ao, Π
i
´e reduzida
a uma dedu¸c˜ao normal Π
i
. Ent˜ao seja Π
∗
a seguinte dedu¸c˜ao:
Π
∗
≡
Π
1
. . . Π
n
β
r(Π)
Se Π
∗
´e normal, ent˜ao Π
≡ Π
∗
. Se n˜ao, pelo Lema G.2, i(Π
∗
) = (0, 0), β ´e
⊥ e Π
∗
´e da seguinte forma:
Π
∗
≡
Σ
α α
⊥
⊥
E
⊥
Tal que α ´e ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tip o 1.(e) ou 4.(c). Como
podemos notar, Π
∗
´e da forma descrita pelo Lema G.1. Ent˜ao Π
∗
´e reduzida
a uma dedu¸c˜ao normal Π
.
Lema G.4 (Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo 1.(a)) Seja
Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
β e α a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima de
Π tal que α ´e uma premissa de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima
do tipo 1.(a). Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
β tal que
i(Π
) < i(Π).
Podemos notar que i(Π) = i(α). Temos um dos seguintes casos depen-
dendo de r(Π):
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 173
1. r(Π) ´e E
:
α ´e γ β e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ
γ
j
Σ
2
β
γ β
I
( j)
β
E
Nesse caso, i(Π) = i(γ β).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 1 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
γ
Σ
2
β
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
(a) γ n˜ao ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ β).
(b) γ ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, como d
c
(γ) < d
c
(γ β) podemos notar que i(Π
) =
i(γ) < i(Π) = i(γ β).
2. r(Π) ´e E
⊗
:
α ´e γ ⊗ δ e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ
Σ
2
δ
γ ⊗ δ
I
⊗
γ
j
δ
k
Σ
3
β
β
E
⊗( j,k)
Nesse caso, i(Π) = i(γ ⊗ δ).
Π ´e reduzido pela redu¸c˜ao 2 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 174
Σ
1
γ
Σ
2
δ
Σ
3
β
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
(a) γ e δ n˜ao s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ ⊗ δ).
(b) γ e/ou δ s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, como d
c
(γ) < d
c
(γ ⊗ δ) e d
c
(δ) < d
c
(γ ⊗ δ) podemos
notar que i(Π
) ≤ max(i(γ), i(δ)) < i(Π) = i(γ ⊗ δ).
3. r(Π) ´e E
:
α ´e γδ, β ´e ⊥ e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
γ
⊥
j
δ
⊥
k
Σ
1
⊥
γδ
I
( j,k)
Σ
2
γ
⊥
Σ
3
δ
⊥
⊥
E
Nesse caso, i(Π) = i(γδ).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 3 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
2
γ
⊥
Σ
3
δ
⊥
Σ
1
⊥
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
(a) γ
⊥
e δ
⊥
n˜ao s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γδ).
(b) γ
⊥
e/ou δ
⊥
s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Por defini¸c˜ao, d
c
(γδ) = d
c
(γ) + d
c
(δ) + 2. Assim d
c
(γ
⊥
) < d
c
(γδ)
e d
c
(δ
⊥
) < d
c
(γδ). Dessa forma, podemos notar que i(Π
) ≤
max(i(γ
⊥
), i(δ
⊥
)) < i(Π) = i(γδ).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 175
4. r(Π) ´e E
1
ou E
2
:
α ´e γ
1
γ
2
, β ´e γ
i
para i = 1 ou 2 e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Γ
j
1
... j
n
Σ
1
γ
1
Γ
j
1
... j
n
Σ
2
γ
2
γ
1
γ
2
I
γ
i
E
i
Nesse caso, i(Π) = i(γ
1
γ
2
).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 4 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Γ
j
1
... j
n
Σ
i
γ
i
Podemos notar que em Π
n˜ao existem ocorrˆencias de f´ormulas discor-
dantes. Logo, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ
1
γ
2
).
5. r(Π) ´e E
⊕
:
α ´e γ
1
⊕ γ
2
e Π ´e da seguinte forma para i = 1 ou 2:
Π ≡
Σ
i
γ
i
γ
1
⊕ γ
2
I
i⊕
Γ
j
1
... j
n
γ
k
1
1
Σ
3
β
Γ
j
1
... j
n
γ
k
2
2
Σ
4
β
β
E
⊕(k
1
,k
2
)
Nesse caso, i(Π) = i(γ
1
⊕ γ
2
).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 5 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Γ
j
1
... j
n
Σ
i
γ
i
Σ
i+2
β
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 176
(a) γ
i
n˜ao ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ
1
⊕ γ
2
).
(b) γ
i
´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, como d
c
(γ
i
) < d
c
(γ
1
⊕ γ
2
) podemos notar que i(Π
) =
i(γ
i
) < i(Π) = i(γ
1
⊕ γ
2
).
6. r(Π) ´e E
∀
:
α ´e ∀xγ, β ´e γ
x
a
e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
γ
x
a
∀xγ
I
∀
γ
x
t
E
∀
Nesse caso, i(Π) = i(∀xγ).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 6 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
a
t
γ
x
t
Podemos notar que em Π
n˜ao existem ocorrˆencias de f´ormulas discor-
dantes. Logo, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(∀xγ).
7. r(Π) ´e E
∃
:
α ´e ∃xγ e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ
x
t
∃xγ
I
∃
γ
x
a
j
Σ
2
β
β
E
∃( j)
Nesse caso, i(Π) = i(∃xγ).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 7 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 177
Σ
1
γ
x
t
Σ
2
a
t
β
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
(a) γ
x
t
n˜ao ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(∃xγ).
(b) γ
x
t
´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, como d
c
(γ
x
t
) < d
c
(∃xγ) podemos notar que i(Π
) =
i(γ
x
t
) < i(Π) = i(∃xγ).
8. r(Π) ´e E
!
:
α ´e !β e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ
1
. . .
Σ
n
γ
n
γ
j
1
1
. . . γ
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
β
E
!
Nesse caso, i(Π) = i(!β).
Como, em Π, !β ´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima, ent˜ao nenhu-
ma da premissas intermedi´arias γ
1
, . . . , γ
n
ilustradas acima pode ser
conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer uma das regras
⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
.
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 8 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
γ
1
. . .
Σ
n
γ
n
Σ
n+1
β
Como as ocorrˆencias de f´ormulas γ
1
, . . . , γ
n
ilustradas acima n˜ao s˜ao
conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer uma das regras
⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
, ent˜ao em Π
n˜ao existem ocorrˆencias de
f´ormulas discordantes. Logo, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(!β).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 178
9. r(Π) ´e E
?
:
α ´e ?γ e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ
?γ
I
?
Σ
2
δ
1
. . .
Σ
n+1
δ
n
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
γ
k
Σ
n+2
β
β
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
Nesse caso, i(Π) = i(?γ).
Como, em Π, ?γ ´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima, ent˜ao ne-
nhuma da premissas intermedi´arias δ
1
, . . . , δ
n
ilustradas acima pode ser
conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer uma das regras
⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
.
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 9 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
2
δ
1
. . .
Σ
n+1
δ
n
Σ
1
γ
Σ
n+2
β
Como as ocorrˆencias de f´ormulas δ
1
, . . . , δ
n
ilustradas acima n˜ao s˜ao
conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer uma das regras
⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
, ent˜ao a ´unica ocorrˆencia de f´ormula de Π
que pode ser discordante ´e γ. Logo temos um dos seguintes casos:
(a) γ n˜ao ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(?γ).
(b) γ ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, como d
c
(γ) < d
c
(?γ) podemos notar que i(Π
) = i(γ) <
i(Π) = i(?γ).
10. r(Π) ´e E
1
:
α ´e 1 e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
1
I
1
Σ
1
β
β
E
1
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 179
Nesse caso, i(Π) = i(1) = (1, 1).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 10 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
β
Podemos notar que em Π
n˜ao existem ocorrˆencias de f´ormulas discor-
dantes. Logo, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(1) = (1, 1).
11. r(Π) ´e E
⊥
:
α ´e γ
⊥
, β ´e ⊥ e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ
γ
j
Σ
2
⊥
γ
⊥
I
⊥( j)
⊥
E
⊥
Nesse caso, i(Π) = i(γ
⊥
).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 11 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
γ
Σ
2
⊥
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
(a) γ n˜ao ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ
⊥
).
(b) γ ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, como d
c
(γ) < d
c
(γ
⊥
) podemos notar que i(Π
) = i(γ) <
i(Π) = i(γ
⊥
).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 180
Lema G.5 (Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo 1.(b)) Seja
Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
β e α a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima de
Π tal que α ´e uma premissa de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima
do tipo 1.(b). Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
β tal que
i(Π
) < i(Π).
Podemos notar que i(Π) = i(α), r(Π) ´e W
!
e α, a premissa maior de
r(Π), ´e uma f´ormula essencialmente !-modal. Temos um dos seguintes casos
dependendo de α:
1. α ´e 1:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
1
I
1
Σ
β
β
W
!
Nesse caso, i(Π) = i(1) = (1, 1).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 38 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
β
Podemos notar que em Π
n˜ao existem ocorrˆencias de f´ormulas discor-
dantes. Logo, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(1) = (1, 1).
2. α ´e da forma γ ⊗ δ:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ
Σ
2
δ
γ ⊗ δ
I
⊗
Σ
3
β
β
W
!
Nesse caso, i(Π) = i(γ ⊗ δ).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 39 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 181
Σ
1
γ
Σ
2
δ
Σ
3
β
β
W
!
β
W
!
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
(a) γ e δ n˜ao s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ ⊗ δ).
(b) γ e/ou δ s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, como d
c
(γ) < d
c
(γ ⊗ δ) e d
c
(δ) < d
c
(γ ⊗ δ) podemos
notar que i(Π
) ≤ max(i(γ), i(δ)) < i(Π) = i(γ ⊗ δ).
3. α ´e da forma !γ:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
δ
1
. . .
Σ
n
δ
n
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
Σ
n+1
γ
!γ
I
!( j
1
,..., j
n
)
Σ
n+2
β
β
W
!
Nesse caso, i(Π) = i(!γ).
Como, em Π, !γ ´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima, ent˜ao ne-
nhuma da premissas intermedi´arias δ
1
, . . . , δ
n
ilustradas acima pode ser
conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer uma das regras
⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
.
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 40 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
δ
1
Σ
n
δ
n
Σ
n+2
β
β
W
!
.
.
.
.
β
β
W
!
Como as ocorrˆencias de f´ormulas δ
1
, . . . , δ
n
ilustradas acima n˜ao s˜ao
conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer uma das regras
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 182
⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
, ent˜ao em Π
n˜ao existem ocorrˆencias de
f´ormulas discordantes. Logo, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(!γ).
4. α ´e da forma γ
⊥
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
γ
j
Σ
1
⊥
γ
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
β
W
!
Nesse caso, i(Π) = i(γ
⊥
).
A ocorrˆencia de hip´otese γ
j
´e premissa de uma regra R. Como γ
⊥
´e
uma f´ormula essencialmente !-modal, γ ´e uma f´ormula essencialmente
?-modal. Dessa forma, se γ
j
for a premissa maior de R, ent˜ao R ´e E
?
,
E
ou E
⊥
. Assim, temos uma das seguintes redu¸c˜oes dependendo de R
e γ
j
:
(a) R ´e uma aplica¸c˜ao de regra de introdu¸c˜ao ou γ
j
´e premissa menor
de R:
Nesse caso, Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 41.(a) a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
γ
⊥
j
1
Σ
2
β
β
W
!
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
γ
⊥
c( j
1
)
Σ
1
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
i. γ n˜ao ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ
⊥
).
ii. γ ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, como d
c
(γ) < d
c
(γ
⊥
) podemos notar que i(Π
) =
i(γ) < i(Π) = i(γ
⊥
).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 183
(b) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
⊥
e γ
j
´e a premissa maior de R, assim γ
j
´e
da forma δ
⊥
j
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1.1
δ δ
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
δ
⊥
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
β
W
!
Nesse caso, i(Π) = i(δ
⊥
⊥
).
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 41.(b) a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1.1
δ
Σ
2
β
β
W
!
β
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c( j)
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
i. δ n˜ao ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ
⊥
) = i(δ
⊥
⊥
).
ii. δ ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, como d
c
(δ) < d
c
(δ
⊥
⊥
) = d
c
(γ
⊥
) podemos notar que
i(Π
) = i(δ) < i(Π) = i(γ
⊥
).
(c) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
e γ
j
´e a premissa maior de R, assim γ
j
´e
da forma δϕ
j
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
δϕ
j
Σ
1.1
δ
⊥
Σ
1.2
ϕ
⊥
⊥
E
Σ
1.3
⊥
(δϕ)
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
β
W
!
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 184
Nesse caso, i(Π) = i((δϕ)
⊥
).
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 41.(c) a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1.1
δ
⊥
Σ
1.2
ϕ
⊥
Σ
2
β
β
W
!
β
W
!
β
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.3
⊥
β
⊥
c( j)
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
i. δ
⊥
e ϕ
⊥
n˜ao s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ
⊥
).
ii. δ
⊥
e/ou ϕ
⊥
s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, como d
c
(δ
⊥
) < d
c
((δϕ)
⊥
) e d
c
(ϕ
⊥
) < d
c
((δϕ)
⊥
)
podemos notar que i(Π
) ≤ max(i(δ
⊥
), i(ϕ
⊥
)) < i(Π) = i((δϕ)
⊥
) =
i(γ
⊥
).
(d) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
?
e γ
j
´e a premissa maior de R, assim γ
j
´e
da forma ?δ
j
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
?δ
j
Σ
1.1
ϕ
1
. . .
Σ
1.n
ϕ
n
ϕ
l
1
1
. . . ϕ
l
n
n
δ
l
n+1
Σ
1.(n+1)
ψ
ψ
E
?(l
1
,...,l
n+1
)
Σ
1.(n+2)
⊥
(?δ)
⊥
I
⊥( j)
Σ
2
β
β
W
!
Nesse caso, i(Π) = i((?δ)
⊥
).
Como, em
Π
,
(?
δ
)
⊥
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima, ent˜ao
nenhuma da premissas intermedi´arias ϕ
1
, . . . , ϕ
n
ilustradas acima
pode ser conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer
uma das regras ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
.
Como, em Π, (?δ)
⊥
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima e
ψ ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal, a conclus˜ao ψ de E
?
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 185
ilustrada acima n˜ao pode ser premissa maior ou intermedi´aria de
uma regra.
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 41.(d) a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1.1
ϕ
1
Σ
1.n
ϕ
n
ψ
⊥
j
1
Σ
2
β
β
W
!
β
W
!
.
.
.
.
β
β
W
!
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
ψ
⊥
c( j
1
)
Σ
1.(n+2)
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Como a ocorrˆencia de f´ormula ψ ilustrada acima n˜ao pode ser
premissa maior ou intermedi´aria de qualquer regra e as ocorrˆen-
cias de f´ormulas ϕ
1
, . . . , ϕ
n
ilustradas acima n˜ao s˜ao conclus˜ao de
uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer uma das regras ⊥
c
, E
⊗
,
E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
, ent˜ao em Π
n˜ao existem ocorrˆencias de
f´ormulas discordantes. Logo, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i((?δ)
⊥
).
Lema G.6 (Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo 4.(b)) Seja
Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
β e α a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima de
Π tal que α ´e uma premissa de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima
do tipo 4.(b). Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
β tal que
i(Π
) < i(Π).
Podemos notar que i(Π) = i(α), r(Π) ´e W
!
e α, a premissa maior de r(Π),
´e uma f´ormula essencialmente !-modal e ´e conseq¨uencia de uma aplica¸c˜ao da
regra E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
.
Como α ´e uma f´ormula essencialmente !-modal, d
c
(α) > 0 e i(α) > (0, 0).
Sem perda de generalidade, consideramos i(α) = (p, q).
Seja R a regra da qual α ´e conclus˜ao. Logo, temos um dos seguintes casos
dependendo de R:
1. R ´e E
⊗
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 186
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ
Σ
2
α
α
R
Σ
3
β
β
W
!
Tal que γ ´e a premissa maior de R.
Podemos notar que i(Π) = i(α) = (p, q).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 12 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
γ
Σ
2
α
Σ
3
β
β
W
!
β
R
Temos um dos seguintes casos:
(a) α n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(p, q).
(b) α ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Podemos notar que a propaga¸c˜ao de α em Π
´e igual a q − 1 e
portanto menor que a propaga¸c˜ao de α em Π. Logo, i(α) em Π
´e
(p, q − 1) e i(Π
) = (p, q − 1) < i(Π) = (p, q).
2. R ´e E
⊕
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ ⊕ δ
Γ
j
1
... j
n
1
γ
k
1
Σ
2
α
Γ
j
1
... j
n
1
δ
k
2
Σ
3
α
α
E
⊕(k
1
,k
2
)
Γ
l
1
...l
n
2
Σ
4
β
β
W
!
Podemos notar que i(Π) = i(α) = (p, q).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 13 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 187
Σ
1
γ ⊕ δ
Γ
j
1
... j
n
1
γ
k
1
Σ
2
α
Γ
l
1
...l
n
2
Σ
4
β
β
W
!
Γ
j
1
... j
n
1
δ
k
2
Σ
3
α
Γ
l
1
...l
n
2
Σ
4
β
β
W
!
β
E
⊕(k
1
,k
2
)
Temos um dos seguintes casos:
(a) α n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(p, q).
(b) pelo menos uma das ocorrˆencias de α ilustradas acima ´e ocorrˆencia
de f´ormula discordante em Π
:
Podemos notar que a propaga¸c˜ao de qualquer uma das ocorrˆencias
de α ilustradas acima em Π
´e menor do que q e portanto menor
que a propaga¸c˜ao de α em Π. Logo, i(Π
) ´e menor que i(Π).
Lema G.7 (Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo 1.(d)) Seja
Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
β e α a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima de
Π tal que α ´e uma premissa de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima
do tipo 1.(d). Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
β tal que
i(Π
) < i(Π).
Podemos notar que i(Π) = i(α), r(Π) ´e W
!
, α ´e conclus˜ao de uma aplica¸c˜ao
da regra ⊥
c
e d
c
(α) > 0, pois α ´e uma f´ormula essencialmente !-modal. Prova-
mos esse Lema G.7 por indu¸c˜ao em l(Π). Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
α
⊥
j
Σ
1
⊥
α
⊥
c( j)
Σ
2
β
β
W
!
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 19 a uma dedu¸c˜ao Π
∗
1
como segue:
Π
∗
1
≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 188
α
k
Σ
2
β
β
W
!
β
⊥
l
⊥
E
⊥
α
⊥
I
⊥(k)
Σ
1
⊥
β
⊥
c(l)
Como α ´e uma f´ormula essencialmente !-modal, α
⊥
´e uma f´ormula essen-
cialmente ?-modal e portanto jamais poderia ser premissa intermedi´aria de
uma regra ou premissa maior de C
!
ou W
!
. Dessa forma, se a ocorrˆencia de
f´ormula α
⊥
ilustrada acima for uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em
Π
∗
1
, ela ´e premissa maior de uma aplica¸c˜ao de E
⊥
. Assim, temos um dos
seguintes casos:
1. α
⊥
n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
1
:
Nesse caso, Π
≡ Π
∗
1
e i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(α).
2. α
⊥
´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
1
:
Nesse caso Π
∗
1
´e da seguinte forma:
Π
∗
1
≡
Σ
1.1
α
α
k
Σ
2
β
β
W
!
β
⊥
l
⊥
E
⊥
α
⊥
I
⊥(k)
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c(l)
Π
∗
1
´e reduzida pela redu¸c˜ao 11 a uma dedu¸c˜ao Π
∗
2
como segue:
Π
∗
2
≡
Σ
1.1
α
Σ
2
β
β
W
!
β
⊥
l
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c(l)
Temos um dos seguintes casos:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 189
(a) α n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
2
:
Nesse caso, Π
≡ Π
∗
2
e i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(α).
(b) α ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
2
:
Seja Π
∗
3
a subdedu¸c˜ao de Π
∗
2
determinada pela ocorrˆencia de β
ilustrada acima que ´e conclus˜ao de W
!
. Podemos notar que i(Π
∗
3
) =
i(Π
∗
2
) = i(α) = i(Π). Π
∗
3
´e da seguinte forma:
Π
∗
3
≡
Σ
1.1
α
Σ
2
β
β
W
!
Como α ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante, temos um dos
seguintes casos:
i. α ´e conclus˜ao de regra de introdu¸c˜ao:
Nesse caso, Π
∗
3
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
∗
4
tal que i(Π
∗
4
) <
i(Π
∗
3
) pelo Lema G.5. Π
´e da seguinte forma:
Π
≡
Π
∗
4
β
⊥
l
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c(l)
Logo, i(Π
) = i(Π
∗
4
) < i(Π) = i(Π
∗
3
).
ii. α ´e conclus˜ao de ⊥
c
:
Nesse caso, como l(Π
∗
3
) < l(Π), Π
∗
3
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao
Π
∗
4
tal que i(Π
∗
4
) < i(Π
∗
3
) por hip´otese de indu¸c˜ao. Π
´e da
seguinte forma:
Π
≡
Π
∗
4
β
⊥
l
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c(l)
Logo, i(Π
) = i(Π
∗
4
) < i(Π) = i(Π
∗
3
).
iii. α ´e conclus˜ao de E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
:
Nesse caso, Π
∗
3
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
∗
4
tal que i(Π
∗
4
) <
i(Π
∗
3
) pelo Lema G.6. Π
´e da seguinte forma:
Π
≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 190
Π
∗
4
β
⊥
l
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c(l)
Logo, i(Π
) = i(Π
∗
4
) < i(Π) = i(Π
∗
3
).
Lema G.8 (Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas dos tipos 2.(a),
2.(d) e 3.(a)) Seja Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
!β tal que z(Π) > 0, r(Π) ´e uma
aplica¸c˜ao de I
!
, α
1
, . . . , α
n
s˜ao as premissas intermedi´arias de r(Π) e todas as
ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas de Π s˜ao premissas de r(Π). Ent˜ao Π ´e
reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
!β tal que z(Π
) < z(Π).
Provamos o Lema G.8 por indu¸c˜ao em l(Π).
Como z(Π) > 0, pelo menos uma das premissas intermedi´arias α
1
, . . . , α
n
de r(Π) ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante. Sejam z(Π) = (p, q, m) e
γ
1
, . . . , γ
m
as ocorrˆencias de f´ormulas discordantes de Π tal que i(γ
1
) = . . . =
i(γ
m
) = (p, q). Sem perda de generalidade, consideramos α
i
para 1 ≤ i ≤ n a
f´ormula γ
1
e {γ
2
, . . . , γ
m
} ⊆ {α
i+1
, . . . , α
n
}.
Temos um dos seguintes casos dependendo de α
i
:
1. α
i
´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tipo 2.(a):
Nesse caso, α
i
´e conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao. Como α
i
´e uma
f´ormula essencialmente !-modal, temos os seguintes casos:
(a) α
i
´e conclus˜ao de I
1
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
α
1
. . . 1
I
1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . 1
j
i
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Tal que γ
1
= α
i
= 1.
Nesse caso, p = 1, q = s(α
i
) e z(Π) = (1, q, m).
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 26 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 191
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i−1
α
i−1
Σ
i+1
α
i+1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . 1
I
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
i−1
, j
i+1
,..., j
n
)
Temos os seguintes subcasos:
i. a ocorrˆencia de f´ormula 1 ilustrada acima n˜ao ´e uma ocorrˆen-
cia de f´ormula discordante em Π
:
Se γ
1
= α
i
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula discordante de
Π, ou seja m = 1, ent˜ao z(Π
) = (0, 0, 0) < z(Π) = (1, q, 1).
Caso contr´ario, se m > 1, ent˜ao z(Π
) = (1, q, m − 1) < z(Π) =
(1, q, m).
ii. a ocorrˆencia de f´ormula 1 ilustrada acima ´e uma ocorrˆencia
de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, podemos notar que s(α
i
) em Π
´e q − 1 e ´e menor
que s(α
i
) em Π, logo i(α
i
) em Π
tamb´em ´e menor que (p, q), e
conseq¨uentemente, o n´umero de ocorrˆencias de f´ormulas dis-
cordantes em Π
de ´ındice (p, q) ´e m − 1. Logo z(Π
) < z(Π).
(b) α
i
´e conclus˜ao de I
⊗
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i.1
δ
Σ
i.2
ϕ
δ ⊗ ϕ
I
⊗
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . δ ⊗ ϕ
j
i
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Tal que γ
1
= α
i
= δ ⊗ ϕ.
Nesse caso, p = d
c
(δ ⊗ ϕ) e q = s(α
i
).
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 27 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i−1
α
i−1
Σ
i.1
δ
Σ
i.2
ϕ
Σ
i+1
α
i+1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . .
δ
k
1
ϕ
k
2
δ ⊗ ϕ
I
⊗
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
i−1
,k
1
,k
2
, j
i+1
,..., j
n
)
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 192
As ocorrˆencias de δ e ϕ ilustradas acima que s˜ao premissas in-
termedi´arias podem ser ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
,
por´em, como d
c
(δ) < d
c
(δ ⊗ ϕ) e d
c
(ϕ) < d
c
(δ ⊗ ϕ), essas ocorrˆencias
de f´ormulas discordantes n˜ao influenciam z(Π
).
Temos os seguintes subcasos:
i. a ocorrˆencia de f´ormula δ ⊗ ϕ ilustrada acima n˜ao ´e uma ocor-
rˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Se γ
1
= α
i
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula discordante de Π,
ou seja m = 1, ent˜ao z(Π
) = (0, 0, 0) < z(Π) = (d
c
(δ ⊗ ϕ), q, 1).
Caso contr´ario, se m > 1, ent˜ao z(Π
) = (d
c
(δ ⊗ ϕ), q, m − 1) <
z(Π) = (d
c
(δ ⊗ ϕ), q, m).
ii. a ocorrˆencia de f´ormula δ⊗ϕ ilustrada acima ´e uma ocorrˆencia
de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, podemos notar que s(α
i
) em Π
´e q − 1 e ´e menor
que s(α
i
) em Π, logo i(α
i
) em Π
tamb´em ´e menor que (p, q), e
conseq¨uentemente, o n´umero de ocorrˆencias de f´ormulas dis-
cordantes em Π
de ´ındice (p, q) ´e m − 1. Logo z(Π
) < z(Π).
(c) α
i
´e conclus˜ao de I
!
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i.1
ϕ
1
. . .
Σ
i.d
ϕ
d
ϕ
k
1
1
. . . ϕ
k
d
d
Σ
i.d+1
δ
!δ
I
!(k
1
,...,k
d
)
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . !δ
j
i
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Tal que γ
1
= α
i
=!δ.
Nesse caso, p = d
c
(!δ) e q = s(α
i
).
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 28 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i−1
α
i−1
Σ
i.1
ϕ
1
. . .
Σ
i.d
ϕ
d
Σ
i+1
α
i+1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . .
ϕ
k
1
. . . ϕ
k
d
ϕ
l
1
1
. . . ϕ
l
d
d
Σ
i.d+1
δ
!δ
I
!(l
1
,...,l
d
)
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
i−1
,k
1
,...,k
d
, j
i+1
,..., j
n
)
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 193
As ocorrˆencias de f´ormulas ϕ
1
, . . . , ϕ
d
ilustradas acima que s˜ao
premissas intermedi´arias de r(Π
) n˜ao s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas
discordantes em Π
, pois, caso contr´ario, elas tamb´em seriam ocor-
rˆencias de f´ormulas discordantes em Π, mas essas ocorrˆencias de
f´ormulas n˜ao s˜ao premissas de r(Π) e n˜ao poderiam ser ocorrˆencias
de f´ormulas discordantes em Π.
Temos os seguintes subcasos:
i. a ocorrˆencia de f´ormula !δ ilustrada acima n˜ao ´e uma ocor-
rˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Se γ
1
= α
i
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula discordante de Π,
ou seja m = 1, ent˜ao z(Π
) = (0, 0, 0) < z(Π) = (d
c
(!δ), q, 1).
Caso contr´ario, se m > 1, ent˜ao z(Π
) = (d
c
(!δ), q, m − 1) <
z(Π) = (d
c
(!δ), q, m).
ii. a ocorrˆencia de f´ormula !δ ilustrada acima ´e uma ocorrˆencia
de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, podemos notar que s(α
i
) em Π
´e q − 1 e ´e menor
que s(α
i
) em Π, logo i(α
i
) em Π
tamb´em ´e menor que (p, q), e
conseq¨uentemente, o n´umero de ocorrˆencias de f´ormulas dis-
cordantes em Π
de ´ındice (p, q) ´e m − 1. Logo z(Π
) < z(Π).
(d) α
i
´e conclus˜ao de I
⊥
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
α
1
. . .
δ
k
Σ
i
⊥
δ
⊥
I
⊥(k)
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . δ
⊥
j
i
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Tal que γ
1
= α
i
= δ
⊥
.
Nesse caso, p = d
c
(δ
⊥
) e q = s(α
i
).
A ocorrˆencia de hip´otese δ
k
´e premissa de uma regra R. Como
δ
⊥
´e uma f´ormula essencialmente !-modal, δ ´e uma f´ormula essen-
cialmente ?-modal. Dessa forma, se δ
k
for premissa maior de R,
ent˜ao R ´e E
?
, E
ou E
⊥
. Assim, temos uma das seguintes redu¸c˜oes
dependendo de R e δ
k
:
i. R ´e uma aplica¸c˜ao de regra de introdu¸c˜ao ou δ
k
´e premissa
menor de R:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 194
Nesse caso, Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 29.(a) a uma dedu¸c˜ao
Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i−1
α
i−1
δ
⊥
l
1
Σ
i+1
α
i+1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . δ
⊥
j
i
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
(!β)
⊥
l
2
⊥
E
⊥
δ
⊥
c(l
1
)
Σ
i
⊥
!β
⊥
c(l
2
)
Temos os seguintes subcasos:
A. a ocorrˆencia de f´ormula
δ
ilustrada acima n˜ao ´e uma o-
corrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Se γ
1
= α
i
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula discordante
de Π, ou seja m = 1, ent˜ao z(Π
) = (0, 0, 0) < z(Π) =
(d
c
(δ
⊥
), q, 1). Caso contr´ario, se m > 1, ent˜ao z(Π
) =
(d
c
(δ
⊥
), q, m − 1) < z(Π) = (d
c
(δ
⊥
), q, m).
B. a ocorrˆencia de f´ormula δ ilustrada acima ´e uma ocorrˆen-
cia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, R ´e uma regra de introdu¸c˜ao e δ ´e a premissa
maior de R. Como d
c
(δ) < d
c
(δ
⊥
) = p, o n´umero de ocor-
rˆencias de f´ormulas discordantes em Π
de ´ındice (p, q) ´e
m − 1. Logo z(Π
) < z(Π).
ii. R ´e uma aplica¸c˜ao de E
⊥
e δ
k
´e a premissa maior de R, assim
δ
k
´e da forma ϕ
⊥
k
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i.1
ϕ ϕ
⊥
k
⊥
E
⊥
Σ
i.2
⊥
ϕ
⊥
⊥
I
⊥(k)
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . ϕ
⊥
⊥
j
i
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Tal que γ
1
= α
i
= ϕ
⊥
⊥
.
Nesse caso, p = d
c
(ϕ
⊥
⊥
) e q = s(α
i
).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 195
Nesse caso, Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 29.(b) a uma dedu¸c˜ao
Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i−1
α
i−1
Σ
i.1
ϕ
Σ
i+1
α
i+1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . .
ϕ
k
1
ϕ
⊥
k
2
⊥
E
⊥
ϕ
⊥
⊥
I
⊥(k
2
)
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
i−1
,k
1
, j
i+1
, j
n
)
(!β)
⊥
k
3
⊥
E
⊥
Σ
i.2
⊥
!β
⊥
c(k
3
)
A ocorrˆencia de ϕ ilustrada acima que ´e premissa intermedi´aria
de I
!
pode ser ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
. O
mesmo pode se dizer sobre a ocorrˆencia de f´ormula ϕ
⊥
⊥
ilustrada
acima. Dessa forma, temos os seguintes subcasos:
A. ϕ e ϕ
⊥
⊥
n˜ao s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em
Π
:
Se γ
1
= α
i
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula discordante
de Π, ou seja m = 1, ent˜ao z(Π
) = (0, 0, 0) < z(Π) =
(d
c
(ϕ
⊥
⊥
), q, 1). Caso contr´ario, se m > 1, ent˜ao z(Π
) =
(d
c
(ϕ
⊥
⊥
), q, m − 1) < z(Π) = (d
c
(ϕ
⊥
⊥
), q, m).
B. ϕ e/ou ϕ
⊥
⊥
s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em
Π
:
Nesse caso, se ϕ for ocorrˆencia de f´ormula discordante em
Π
, d
c
(ϕ) < d
c
(ϕ
⊥
⊥
) e se ϕ
⊥
⊥
, por sua vez, for ocorrˆencia
de f´ormula discordante em Π
, s(ϕ
⊥
⊥
) em Π
´e menor que
s
(
ϕ
⊥
⊥
)
em
Π
. Logo, mesmo no pior caso no qual tanto
ϕ
quanto ϕ
⊥
⊥
s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em
Π
, z(Π
) < z(Π).
iii. R ´e uma aplica¸c˜ao de E
e δ
k
´e a premissa maior de R, assim
δ
k
´e da forma ϕψ
k
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 196
Σ
1
α
1
. . .
ϕψ
k
Σ
i.1
ϕ
⊥
Σ
i.2
ψ
⊥
⊥
E
Σ
i.3
⊥
ϕψ
⊥
I
⊥(k)
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . ϕψ
⊥
j
i
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Tal que γ
1
= α
i
= ϕψ
⊥
.
Nesse caso, p = d
c
(ϕψ
⊥
) e q = s(α
i
).
Nesse caso, Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 29.(c) a uma dedu¸c˜ao
Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i−1
α
i−1
Σ
i.1
ϕ
⊥
Σ
i.2
ψ
⊥
Σ
i+1
α
i+1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . .
ϕψ
k
1
ϕ
⊥
k
2
ψ
⊥
k
3
⊥
E
⊥
ϕψ
⊥
I
⊥(k
1
)
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
i−1
,k
2
,k
3
, j
i+1
, j
n
)
(!β)
⊥
k
4
⊥
E
⊥
Σ
i.3
⊥
!β
⊥
c(k
4
)
As o corrˆencias de ϕ
⊥
e ψ
⊥
ilustradas acima que s˜ao premissas
intermedi´arias de I
!
podem ser ocorrˆencias de f´ormulas dis-
cordantes em Π
. O mesmo pode se dizer sobre a ocorrˆencia
de f´ormula ϕψ
⊥
ilustrada acima. Dessa forma, temos os
seguintes subcasos:
A. ϕ
⊥
, ψ
⊥
e ϕψ
⊥
n˜ao s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordan-
tes em Π
:
Se γ
1
= α
i
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula discordante
de Π, ou seja m = 1, ent˜ao z(Π
) = (0, 0, 0) < z(Π) =
(d
c
(ϕψ
⊥
), q, 1). Caso contr´ario, se m > 1, ent˜ao z(Π
) =
(d
c
(ϕψ
⊥
), q, m − 1) < z(Π) = (d
c
(ϕψ
⊥
), q, m).
B. ϕ
⊥
, ψ
⊥
e/ou ϕψ
⊥
s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordan-
tes em Π
:
Nesse caso, se ϕ
⊥
for ocorrˆencia de f´ormula discordante
em Π
, d
c
(ϕ
⊥
) < d
c
(ϕψ
⊥
), se ψ
⊥
for ocorrˆencia de f´or-
mula discordante em Π
, d
c
(ψ
⊥
) < d
c
(ϕψ
⊥
) e se ϕψ
⊥
,
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 197
por sua vez, for ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
,
s(ϕψ
⊥
) em Π
´e menor que s(ϕψ
⊥
) em Π. Logo, mesmo
no pior caso no qual tanto ϕψ
⊥
quanto ϕ
⊥
e ψ
⊥
s˜ao o-
corrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
, z(Π
) < z(Π).
iv. R ´e uma aplica¸c˜ao de E
?
e δ
k
´e a premissa maior de R, assim
δ
k
´e da forma ?ϕ
k
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
α
1
. . .
?ϕ
k
Σ
i.1
ψ
1
. . .
Σ
i.d
ψ
d
ψ
l
1
1
. . . ψ
l
d
d
ϕ
l
d+1
Σ
i.d+1
π
π
E
?(l
1
,...,l
d+1
)
Σ
i.d+2
⊥
(?ϕ)
⊥
I
⊥(k)
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . (?ϕ)
⊥
j
i
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Tal que γ
1
= α
i
= (?ϕ)
⊥
.
Nesse caso, p = d
c
((?ϕ)
⊥
) e q = s(α
i
).
Nesse caso, Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 29.(d) a uma dedu¸c˜ao
Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i−1
α
i−1
Σ
i.1
ψ
1
. . .
Σ
i.d
ψ
d
Σ
i+1
α
i+1
. . .
Σ
n
α
n
π
⊥
k
1
α
j
1
1
. . .
?ϕ
k
2
ψ
k
3
1
. . . ψ
k
d+2
d
ψ
l
1
1
. . . ψ
l
d
d
ϕ
l
d+1
Σ
i.d+1
π
π
E
?(l
1
,...,l
d+1
)
π
⊥
k
d+3
⊥
E
⊥
(?ϕ)
⊥
I
⊥(k
2
)
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
i−1
,k
3
,...,k
d+3
, j
i+1
,..., j
n
)
(!β)
⊥
k
d+4
⊥
E⊥
π
⊥
ck
1
Σ
i.d+2
⊥
!β
⊥
ck
d+4
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 199
A ocorrˆencia de π ilustrada acima que ´e conclus˜ao de ⊥
c
n˜ao pode ser premissa intermedi´aria em Π
porque π ´e uma
f´ormula essencialmente ?-modal. Essa mesma ocorrˆencia de
π tamb´em n˜ao p ode ser premissa maior em Π
pois, em Π, π
´e conclus˜ao de E
?
e se fosse premissa maior de alguma regra
tamb´em seria ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π, mas π
n˜ao ´e premissa de r(Π) e, logo, n˜ao poderia ser uma ocorrˆencia
de f´ormula discordante em Π.
As ocorrˆencias de f´ormulas ψ
1
, . . . , ψ
d
ilustradas acima que
s˜ao premissas intermedi´arias de I
!
n˜ao podem ser ocorrˆencias
de f´ormulas discordantes em Π
, pois, caso contr´arios, essas
f´ormulas tamb´em seriam ocorrˆencias de f´ormulas discordantes
em Π. Como em Π essas f´ormulas n˜ao s˜ao premissas de r(Π),
elas n˜ao poderia ser ocorrˆencias de f´ormulas discordantes.
A ocorrˆencia de f´ormula (?ϕ)
⊥
ilustrada acima p ode ser dis-
cordante em Π
. Dessa forma, temos os seguintes subcasos:
A. a ocorrˆencia de f´ormula (?ϕ)
⊥
ilustrada acima n˜ao ´e uma
ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Se γ
1
= α
i
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula discordante
de Π, ou seja m = 1, ent˜ao z(Π
) = (0, 0, 0) < z(Π) =
(d
c
((?ϕ)
⊥
), q, 1). Caso contr´ario, se m > 1, ent˜ao z(Π
) =
(d
c
((?ϕ)
⊥
), q, m − 1) < z(Π) = (d
c
((?ϕ)
⊥
), q, m).
B. a ocorrˆencia de f´ormula (?ϕ)
⊥
ilustrada acima ´e uma ocor-
rˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, podemos notar que s(α
i
) em Π
´e q − 1 e ´e
menor que s(α
i
) em Π, logo i(α
i
) em Π
tamb´em ´e menor
que (p, q), e conseq¨uentemente, o n´umero de ocorrˆencias
de f´ormulas discordantes em Π
de ´ındice (p, q) ´e m − 1.
Logo z(Π
) < z(Π).
2. α
i
´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tipo 2.(d):
Nesse caso, α
i
´e conclus˜ao de ⊥
c
e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
α
1
. . .
α
⊥
i
k
Σ
i
⊥
α
i
⊥
c(k)
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Nesse caso, p = d
c
(α
i
) e q = s(α
i
).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 200
Nesse caso, Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 20 a uma dedu¸c˜ao Π
∗
1
como
segue:
Π
∗
1
≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i−1
α
i−1
α
i
l
1
Σ
i+1
α
i+1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
(!β)
⊥
l
2
⊥
E
⊥
α
⊥
i
⊥
c(l
1
)
Σ
i
⊥
!β
⊥
c(l
2
)
Temos os seguintes casos:
(a) α
⊥
i
n˜ao ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
1
:
Nesse caso, Π
≡ Π
∗
1
. Se γ
1
= α
i
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula
discordante de Π, ou seja m = 1, ent˜ao z(Π
) = (0, 0, 0) < z(Π) =
(d
c
(α
i
), q, 1). Caso contr´ario, se m > 1, ent˜ao z(Π
) = (d
c
(α
i
), q, m −
1) < z(Π) = (d
c
(α
i
), q, m).
(b) α
⊥
i
´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
1
:
Como α
i
´e uma f´ormula essencialmente !-modal, α
⊥
i
´e uma f´ormula
essencialmente ?-modal. Logo, α
⊥
i
n˜ao pode ser premissa inter-
medi´aria de qualquer regra. Por ser ocorrˆencia de f´ormula dis-
cordante em Π
∗
1
, α
⊥
i
´e premissa maior de E
⊥
e Π
∗
1
´e da seguinte
forma:
Π
∗
1
≡
Σ
i.1
α
i
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i−1
α
i−1
α
i
l
1
Σ
i+1
α
i+1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
(!β)
⊥
l
2
⊥
E
⊥
α
⊥
i
⊥
c(l
1
)
⊥
E
⊥
Σ
i.2
⊥
!β
⊥
c(l
2
)
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 201
Nesse caso, Π
∗
1
´e reduzida pela redu¸c˜ao 11 a uma dedu¸c˜ao Π
∗
2
como
segue:
Π
∗
2
≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i−1
α
i−1
Σ
i.1
α
i
Σ
i+1
α
i+1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
(!β)
⊥
l
2
⊥
E
⊥
Σ
i.2
⊥
!β
⊥
c(l
2
)
Seja Π
∗
3
a subdedu¸c˜ao de Π
∗
2
determinda pela ocorrˆencia de !β
ilustrada acima que ´e conclus˜ao de I
!
. Π
∗
3
´e da seguinte forma:
Π
∗
3
≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i−1
α
i−1
Σ
i.1
α
i
Σ
i+1
α
i+1
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
A ocorrˆencia de f´ormula α
i
ilustrada acima n˜ao pode ser conclus˜ao
de uma aplica¸c˜ao da regra ⊥
c
, pois, caso contr´ario, em Π essa
ocorrˆencia de α
i
seria uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tipo
1.(e), mas essa ocorrˆencia de α
i
em Π n˜ao ´e premissa de r(Π) e
n˜ao poderia ser ocorrˆencia de f´ormula m´axima em Π.
A ocorrˆencia de f´ormula α
i
ilustrada acima n˜ao pode ser conclus˜ao
de uma aplica¸c˜ao da regra E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
, pois, caso
contr´ario, em Π essa ocorrˆencia de α
i
seria uma ocorrˆencia de f´or-
mula m´axima do tipo 4.(c), mas essa ocorrˆencia de α
i
em Π n˜ao ´e
premissa de r(Π) e n˜ao p oderia ser ocorrˆencia de f´ormula m´axima
em Π.
Logo, se a ocorrˆencia de α
i
ilustrada acima for ocorrˆencia de f´ormu-
la discordante em Π
∗
3
, ela ´e conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao.
Portanto, s(α
i
) em Π
∗
3
´e menor ou igual a s(α
i
) em Π e z(Π
∗
3
) ≤ z(Π).
Temos um dos seguinte casos:
i. α
i
n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
3
:
Nesse caso, Π
≡ Π
∗
2
. Se γ
1
= α
i
´e a ´unica ocorrˆencia de f´or-
mula discordante de Π, ou seja m = 1, ent˜ao z(Π
) = (0, 0, 0) <
z(Π) = (d
c
(α
i
), q, 1). Caso contr´ario, se m > 1, ent˜ao z(Π
) =
(d
c
(α
i
), q, m − 1) < z(Π) = (d
c
(α
i
), q, m).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 202
ii. α
i
´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
3
:
Nesse caso, como l(Π
∗
3
) < l(Π), por hip´otese de indu¸c˜ao Π
∗
3
´e
reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
∗
4
tal que z(Π
∗
4
) < z(Π
∗
3
) ≤ z(Π). Π
´e
a dedu¸c˜ao obtida pela substitui¸c˜ao em Π
∗
2
da subdedu¸c˜ao Π
∗
3
por Π
∗
4
:
Π
≡
Π
∗
4
(!β)
⊥
l
2
⊥
E
⊥
Σ
i.2
⊥
!β
⊥
c(l
2
)
Podemos notar que z(Π
) = z(Π
∗
4
) < z(Π
∗
3
) ≤ z(Π).
3. α
i
´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tipo 3.(a):
Nesse caso, α
i
´e conclus˜ao de uma regra E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
.
Logo, temos os seguintes casos:
(a) α
i
´e conclus˜ao de E
⊗
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i.1
δ
Σ
i.2
α
i
α
i
R
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Tal que R ´e E
⊗
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
e δ ´e a premissa maior de R.
Nesse caso, p = d
c
(α
i
) e q = s(α
i
).
Nesse caso, Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 15 a uma dedu¸c˜ao Π
como
segue:
Π
≡
Σ
i.1
δ
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i.2
α
i
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
!β
R
Temos os seguintes casos:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 203
i. α
i
n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, se γ
1
= α
i
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula dis-
cordante de Π, ou seja m = 1, ent˜ao z(Π
) = (0, 0, 0) < z(Π) =
(d
c
(α
i
), q, 1). Caso contr´ario, se m > 1, ent˜ao z(Π
) = (d
c
(α
i
), q, m−
1) < z(Π) = (d
c
(α
i
), q, m).
ii. α
i
´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, podemos notar que s(α
i
) em Π
´e q − 1 e ´e menor
que s(α
i
) em Π, logo i(α
i
) em Π
tamb´em ´e menor que (p, q), e
conseq¨uentemente, o n´umero de ocorrˆencias de f´ormulas dis-
cordantes em Π
de ´ındice (p, q) ´e m − 1. Logo z(Π
) < z(Π).
(b) α
i
´e conclus˜ao de E
⊕
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
α
1
. . .
Σ
i.1
δ ⊕ ψ
Γ
l
1
...l
d
1
δ
k
1
Σ
i.2
α
i
Γ
l
1
...l
d
1
ψ
k
2
Σ
i.3
α
i
α
i
E
⊕(k
1
,k
2
)
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Nesse caso, p = d
c
(α
i
) e q = s(α
i
).
Nesse caso, Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 16 a uma dedu¸c˜ao Π
como
segue:
Π
≡
Σ
i.1
δ ⊕ ψ
Σ
1
α
1
. . .
Γ
l
1
...l
d
1
δ
k
1
Σ
i.2
α
i
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
Σ
1
α
1
. . .
Γ
l
1
...l
d
1
δ
k
2
Σ
i.3
α
i
. . .
Σ
n
α
n
α
j
1
1
. . . α
j
n
n
Σ
n+1
β
!β
I
!( j
1
,..., j
n
)
!β
E
⊕(k
1
,k
2
)
Temos os seguintes casos:
i. as ocorrˆencias de f´ormulas da forma α
i
n˜ao s˜ao ocorrˆencias de
f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, se γ
1
= α
i
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula dis-
cordante de Π, ou seja m = 1, ent˜ao z(Π
) = (0, 0, 0) < z(Π) =
(d
c
(α
i
), q, 1). Caso contr´ario, se m > 1, ent˜ao z(Π
) = (d
c
(α
i
), q, m−
1) < z(Π) = (d
c
(α
i
), q, m).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 204
ii. pelo menos uma das ocorrˆencias de f´ormulas da forma α
i
´e
uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, podemos notar que s(α
i
) de ambas ocorrˆencias de
α
i
em Π
´e menor que s(α
i
) em Π, logo i(α
i
) em Π
tamb´em ´e
menor que (p, q), e conseq¨uentemente, o n´umero de ocorrˆen-
cias de f´ormulas discordantes em Π
de ´ındice (p, q) ´e m − 1.
Logo z(Π
) < z(Π).
Lema G.9 (Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas dos tipos 2.(b),
2.(e) e 3.(b)) Seja Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
β tal que z(Π) > 0, r(Π) ´e uma
aplica¸c˜ao de E
?
, α
1
, . . . , α
n
s˜ao as premissas intermedi´arias de r(Π) e todas
as ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas de Π s˜ao premissas intermedi´arias de
r(Π). Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
β tal que z(Π
) < z(Π).
A demonstra¸c˜ao desse Lema G.9 ´e similar a demonstra¸c˜ao do Lema G.8.
Lema G.10 (Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo 2.(c))
Seja Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
β e α a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima
de Π tal que α ´e uma premissa de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axi-
ma do tipo 2.(c). Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
β tal que
i(Π
) < i(Π).
Podemos notar que i(Π) = i(α), r(Π) ´e C
!
e α, a premissa maior de r(Π), ´e
uma f´ormula essencialmente !-mo dal. Temos um dos seguintes casos depen-
dendo de α:
1. α ´e 1:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
1
I
1
1
k
1
k
Σ
β
β
C
!(k)
Nesse caso, i(Π) = i(1) = (1, s(1)).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 34 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 205
Π
≡
1
I
1
1
I
1
Σ
β
Temos os seguintes subcasos:
(a) as ocorrˆencias de f´ormulas 1 ilustrada acima n˜ao s˜ao ocorrˆencias
de f´ormulas discordantes em Π
:
Ent˜ao i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = (1, s(1)).
(b) pelo menos uma das ocorrˆencias de f´ormulas 1 ilustradas acima ´e
uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, podemos notar que s(α) em Π
´e menor que s(α) em
Π, logo i(α) em Π
tamb´em ´e menor que i(α) em Π, e conseq¨uen-
temente, i(Π
) < i(Π).
2. α ´e da forma γ ⊗ δ:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ
Σ
2
δ
γ ⊗ δ
I
⊗
γ ⊗ δ
k
γ ⊗ δ
k
Σ
3
β
β
C
!(k)
Nesse caso, i(Π) = i(γ ⊗ δ).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 35 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
γ
Σ
2
δ
γ
k
1
δ
k
2
γ ⊗ δ
I
⊗
γ
k
1
δ
k
2
γ ⊗ δ
I
⊗
Σ
3
β
β
C
!(k
2
)
β
C
!(k
1
)
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 206
(a) γ, δ e as ocorrˆencias de f´ormulas γ ⊗ δ ilustradas acima n˜ao s˜ao
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ ⊗ δ).
(b) γ, δ e/ou as ocorrˆencias de f´ormulas γ ⊗ δ ilustradas acima s˜ao
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, como d
c
(γ) < d
c
(γ ⊗ δ), d
c
(δ) < d
c
(γ ⊗ δ) e s(γ ⊗ δ) em
Π
´e menor que s(γ ⊗ δ) em Π, i(Π
) < i(Π).
3. α ´e da forma !γ:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
δ
1
. . .
Σ
n
δ
n
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
Σ
n+1
γ
!γ
I
!( j
1
,..., j
n
)
!γ
k
!γ
k
Σ
n+2
β
β
C
!(k)
Nesse caso, i(Π) = i(!γ).
Como, em Π, !γ ´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima, ent˜ao ne-
nhuma da premissas intermedi´arias δ
1
, . . . , δ
n
ilustradas acima pode ser
conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer uma das regras
⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
.
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 36 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
δ
1
Σ
n
δ
n
δ
k
1
1
. . . δ
k
n
n
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
Σ
n+1
γ
!γ
I
!( j
1
,..., j
n
)
δ
k
1
1
. . . δ
k
n
n
δ
l
1
1
. . . δ
l
n
n
Σ
n+1
γ
!γ
I
!(l
1
,...,l
n
)
Σ
n+2
β
β
C
!(k
n
)
.
.
.
.
β
β
C
!(k
1
)
Como as ocorrˆencias de f´ormulas δ
1
, . . . , δ
n
ilustradas acima n˜ao s˜ao
conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer uma das regras
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 207
⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
, ent˜ao δ
1
, . . . , δ
n
n˜ao s˜ao ocorrˆencias de
f´ormulas discordantes em Π
.
Temos os seguintes subcasos:
(a) as ocorrˆencias de f´ormulas !γ ilustradas acima n˜ao s˜ao ocorrˆencias
de f´ormulas discordantes em Π
:
Ent˜ao i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = (d
c
(!γ), s(γ)).
(b) pelo menos uma das ocorrˆencias de f´ormulas !γ ilustradas acima
´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, podemos notar que s(α) em Π
´e menor que s(α) em
Π, logo i(α) em Π
tamb´em ´e menor que i(α) em Π, e conseq¨uen-
temente, i(Π
) < i(Π).
4. α ´e da forma γ
⊥
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
γ
j
Σ
1
⊥
γ
⊥
I
⊥( j)
γ
⊥
k
γ
⊥
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
Nesse caso, i(Π) = i(γ
⊥
).
A ocorrˆencia de hip´otese γ
j
´e premissa de uma regra R. Como γ
⊥
´e
uma f´ormula essencialmente !-modal, γ ´e uma f´ormula essencialmente
?-modal. Dessa forma, se γ
j
for a premissa maior de R, ent˜ao R ´e E
?
,
E
ou E
⊥
. Assim, temos uma das seguintes redu¸c˜oes dependendo de R
e γ
j
:
(a) R ´e uma aplica¸c˜ao de regra de introdu¸c˜ao ou γ
j
´e premissa menor
de R:
Nesse caso, Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 37.(a) a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 208
γ
⊥
j
1
γ
⊥
k
γ
⊥
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
γ
⊥
c( j
1
)
Σ
1
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
i. γ n˜ao ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ
⊥
).
ii. γ ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, como d
c
(γ) < d
c
(γ
⊥
) podemos notar que i(Π
) =
i(γ) < i(Π) = i(γ
⊥
).
(b) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
⊥
e γ
j
´e a premissa maior de R, assim γ
j
´e
da forma δ
⊥
j
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1.1
δ δ
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
δ
⊥
⊥
I
⊥( j)
δ
⊥
⊥
k
δ
⊥
⊥
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
Nesse caso, i(Π) = i(δ
⊥
⊥
).
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 37.(b) a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1.1
δ
δ
k
δ
⊥
l
1
⊥
E
⊥
δ
⊥
⊥
I
⊥(l
1
)
δ
k
δ
⊥
l
2
⊥
E
⊥
δ
⊥
⊥
I
⊥(l
2
)
Σ
2
β
β
C
!(k)
β
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c( j)
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 209
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
i. δ e as ocorrˆencias de δ
⊥
⊥
ilustradas acima n˜ao s˜ao ocorrˆencia
de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ
⊥
) = i(δ
⊥
⊥
).
ii. δ e/ou pelo menos uma das ocorrˆencias de δ
⊥
⊥
ilustradas
acima s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, como d
c
(δ) < d
c
(δ
⊥
⊥
) = d
c
(γ
⊥
) e s(δ
⊥
⊥
) em Π
´e
menor que s(δ
⊥
⊥
) em Π, logo i(Π
) < i(Π).
(c) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
e γ
j
´e a premissa maior de R, assim γ
j
´e
da forma δϕ
j
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
δϕ
j
Σ
1.1
δ
⊥
Σ
1.2
ϕ
⊥
⊥
E
Σ
1.3
⊥
(δϕ)
⊥
I
⊥( j)
(δϕ)
⊥
k
(δϕ)
⊥
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
Nesse caso, i(Π) = i((δϕ)
⊥
).
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 37.(c) a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1.1
δ
⊥
Σ
1.2
ϕ
⊥
δϕ
l
1
δ
⊥
k
1
ϕ
⊥
k
2
⊥
E
(δϕ)
⊥
I
⊥(l
1
)
δϕ
l
2
δ
⊥
k
1
ϕ
⊥
k
2
⊥
E
(δϕ)
⊥
I
⊥(l
2
)
Σ
2
β
β
C
!(k
2
)
β
C
!(k
1
)
β
⊥
j
⊥
E
⊥
Σ
1.3
⊥
β
⊥
c( j)
Ent˜ao, temos um dos seguintes casos:
i. δ
⊥
, ϕ
⊥
e as ocorrˆencias de (δϕ)
⊥
ilustradas acima n˜ao s˜ao
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(γ
⊥
).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 210
ii. δ
⊥
, ϕ
⊥
e/ou pelo menos uma das ocorrˆencias de (δϕ)
⊥
ilustradas
acima s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Nesse caso, como d
c
(δ
⊥
) < d
c
((δϕ)
⊥
), d
c
(ϕ
⊥
) < d
c
((δϕ)
⊥
) e
s(ϕψ
⊥
) em Π
´e menor que s(ϕψ
⊥
) em Π, ent˜ao i(Π
) < i(Π).
(d) R ´e uma aplica¸c˜ao de E
?
e γ
j
´e a premissa maior de R, assim γ
j
´e
da forma ?δ
j
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
?δ
j
Σ
1.1
ϕ
1
. . .
Σ
1.n
ϕ
n
ϕ
l
1
1
. . . ϕ
l
n
n
δ
l
n+1
Σ
1.(n+1)
ψ
ψ
E
?(l
1
,...,l
n+1
)
Σ
1.(n+2)
⊥
(?δ)
⊥
I
⊥( j)
(?δ)
⊥
k
(?δ)
⊥
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
Nesse caso, i(Π) = i((?δ)
⊥
).
Como, em Π, (?δ)
⊥
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima, ent˜ao
nenhuma da premissas intermedi´arias ϕ
1
, . . . , ϕ
n
ilustradas acima
pode ser conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer
uma das regras ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
.
Como, em Π, (?δ)
⊥
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima e
ψ ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal, a conclus˜ao ψ de E
?
ilustrada acima n˜ao pode ser premissa maior ou intermedi´aria de
uma regra.
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 37.(d) a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1.1
ϕ
1
Σ
1.n
ϕ
n
ψ
⊥
j
3
?δ
j
1
ϕ
k
1
1
. . . ϕ
k
n
n
ϕ
l
1.1
1
. . . ϕ
l
1.n
n
δ
l
1.n+1
Σ
1.(n+1)
ψ
ψ
E
?(l
1.1
,...,l
1.n+1
)
ψ
⊥
k
n+1
⊥
E
⊥
(?δ)
⊥
I
⊥( j
1
)
?δ
j
2
ϕ
k
1
1
. . . ϕ
k
n
n
ϕ
l
2.1
1
. . . ϕ
l
2.n
n
δ
l
2.n+1
Σ
1.(n+1)
ψ
ψ
E
?(l
2.1
,...,l
2.n+1
)
ψ
⊥
k
n+1
⊥
E
⊥
(?δ)
⊥
I
⊥( j
2
)
Σ
2
β
β
C
!(k
n+1
)
β
C
!(k
n
)
.
.
.
.
β
β
C
!(k
1
)
β
⊥
j
4
⊥
E
⊥
ψ
⊥
c( j
3
)
Σ
1.(n+2)
⊥
β
⊥
c( j
4
)
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 212
Como a ocorrˆencia de f´ormula ψ ilustrada acima n˜ao pode ser
premissa maior ou intermedi´aria de qualquer regra e as ocorrˆen-
cias de f´ormulas ϕ
1
, . . . , ϕ
n
ilustradas acima n˜ao s˜ao conclus˜ao de
uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer uma das regras ⊥
c
, E
⊗
,
E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
, ent˜ao temos os seguintes casos:
i. as ocorrˆencias de f´ormulas (?δ)
⊥
ilustradas acima n˜ao s˜ao o-
corrˆencias de f´ormulas discordantes em Π
:
Ent˜ao i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = (d
c
(!γ), s(γ)).
ii. pelo menos uma das ocorrˆencias de f´ormulas (?δ)
⊥
ilustradas
acima ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, podemos notar que s((?δ)
⊥
) em Π
´e menor que
s((?δ)
⊥
) em Π, logo i((?δ)
⊥
) em Π
tamb´em ´e menor que i((?δ)
⊥
)
em Π, e conseq¨uentemente, i(Π
) < i(Π).
Lema G.11 (Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo 3.(c))
Seja Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
β e α a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima
de Π tal que α ´e uma premissa de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axi-
ma do tipo 3.(c). Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
β tal que
i(Π
) < i(Π).
Podemos notar que i(Π) = i(α), r(Π) ´e C
!
e α, a premissa maior de r(Π),
´e uma f´ormula essencialmente !-modal e ´e conseq¨uencia de uma aplica¸c˜ao da
regra E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
.
Como α ´e uma f´ormula essencialmente !-modal, d
c
(α) > 0 e i(α) > (0, 0).
Sem perda de generalidade, consideramos i(α) = (p, q).
Seja R a regra da qual α ´e conclus˜ao. Logo, temos um dos seguintes casos
dependendo de R:
1. R ´e E
⊗
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ
Σ
2
α
α
R
α
k
α
k
Σ
3
β
β
C
!(k)
Tal que γ ´e a premissa maior de R.
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 213
Podemos notar que i(Π) = i(α) = (p, q).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 12 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
γ
Σ
2
α
α
k
α
k
Σ
3
β
β
C
!(k)
β
R
Temos um dos seguintes casos:
(a) α n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(p, q).
(b) α ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Podemos notar que s(α) em Π
´e menor que s(α) em Π. Logo, i(α)
em Π
´e menor que i(α) em Π e i(Π
) < i(Π).
2. R ´e E
⊕
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ ⊕ δ
Γ
j
1
... j
n
1
γ
k
1
Σ
2
α
Γ
j
1
... j
n
1
δ
k
2
Σ
3
α
α
E
⊕(k
1
,k
2
)
α
l
α
l
Σ
4
β
β
C
!(l)
Podemos notar que i(Π) = i(α) = (p, q).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 13 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
γ ⊕ δ
Γ
j
1
... j
n
1
γ
k
1
Σ
2
α
α
l
1
α
l
1
Σ
4
β
β
C
!(l
1
)
Γ
j
1
... j
n
1
δ
k
2
Σ
3
α
α
l
2
α
l
2
Σ
4
β
β
C
!(l
2
)
β
E
⊕(k
1
,k
2
)
Temos um dos seguintes casos:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 214
(a) α n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(p, q).
(b) pelo menos uma das ocorrˆencias de α ´e ocorrˆencia de f´ormula dis-
cordante em Π
:
Podemos notar que s(α) em Π
´e menor do que s(α) em Π. Logo,
i(Π
) < i(Π).
Lema G.12 (Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo 2.(f))
Seja Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
β e α a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima
de Π tal que α ´e uma premissa de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axi-
ma do tipo 2.(f). Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
β tal que
i(Π
) < i(Π).
Podemos notar que i(Π) = i(α), r(Π) ´e C
!
, α ´e conclus˜ao de uma aplica¸c˜ao
da regra ⊥
c
e d
c
(α) > 0, pois α ´e uma f´ormula essencialmente !-modal. Prova-
mos esse Lema G.12 por indu¸c˜ao em l(Π). Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
α
⊥
j
Σ
1
⊥
α
⊥
c( j)
α
k
α
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 19 a uma dedu¸c˜ao Π
∗
1
como segue:
Π
∗
1
≡
α
j
1
α
k
α
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
α
⊥
I
⊥( j
1
)
Σ
1
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Como α ´e uma f´ormula essencialmente !-modal, α
⊥
´e uma f´ormula essen-
cialmente ?-modal e portanto jamais poderia ser premissa intermedi´aria de
uma regra ou premissa maior de C
!
ou W
!
. Dessa forma, se a ocorrˆencia de
f´ormula α
⊥
ilustrada acima for uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em
Π
∗
1
, ela ´e premissa maior de uma aplica¸c˜ao de E
⊥
. Assim, temos um dos
seguintes casos:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 215
1. α
⊥
n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
1
:
Nesse caso, Π
≡ Π
∗
1
e i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(α).
2. α
⊥
´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
1
:
Nesse caso Π
∗
1
´e da seguinte forma:
Π
∗
1
≡
Σ
1.1
α
α
j
1
α
k
α
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
α
⊥
I
⊥( j
1
)
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Π
∗
1
´e reduzida pela redu¸c˜ao 11 a uma dedu¸c˜ao Π
∗
2
como segue:
Π
∗
2
≡
Σ
1.1
α
α
k
α
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Temos um dos seguintes casos:
(a) α n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
2
:
Nesse caso, Π
≡ Π
∗
2
e i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(α).
(b) α ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
2
:
Seja Π
∗
3
a subdedu¸c˜ao de Π
∗
2
determinada pela ocorrˆencia de β
ilustrada acima que ´e conclus˜ao de C
!
. Podemos notar que i(Π
∗
3
) =
i(Π
∗
2
) = i(α) = i(Π). Π
∗
3
´e da seguinte forma:
Π
∗
3
≡
Σ
1.1
α
α
k
α
k
Σ
2
β
β
C
!(k)
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 216
Como α ´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante, temos um dos
seguintes casos:
i. α ´e conclus˜ao de regra de introdu¸c˜ao:
Nesse caso, Π
∗
3
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
∗
4
tal que i(Π
∗
4
) <
i(Π
∗
3
) pelo Lema G.10. Π
´e da seguinte forma:
Π
≡
Π
∗
4
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Logo, i(Π
) = i(Π
∗
4
) < i(Π) = i(Π
∗
3
).
ii. α ´e conclus˜ao de ⊥
c
:
Nesse caso, como l(Π
∗
3
) < l(Π), Π
∗
3
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao
Π
∗
4
tal que i(Π
∗
4
) < i(Π
∗
3
) por hip´otese de indu¸c˜ao. Π
´e da
seguinte forma:
Π
≡
Π
∗
4
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Logo, i(Π
) = i(Π
∗
4
) < i(Π) = i(Π
∗
3
).
iii. α ´e conclus˜ao de E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
:
Nesse caso, Π
∗
3
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
∗
4
tal que i(Π
∗
4
) <
i(Π
∗
3
) pelo Lema G.11. Π
´e da seguinte forma:
Π
≡
Π
∗
4
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Logo, i(Π
) = i(Π
∗
4
) < i(Π) = i(Π
∗
3
).
Lema G.13 (Lema sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas do tipo 4.(a))
Seja Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
β e α a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 217
de Π tal que α ´e uma premissa de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axi-
ma do tipo 4.(a). Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
β tal que
i(Π
) < i(Π).
Podemos notar que i(Π) = i(α), r(Π) ´e uma regra de elimina¸c˜ao R
1
e α, a
premissa maior de r(Π), ´e conseq¨uencia de uma aplica¸c˜ao da regra E
⊗
, E
⊕
,
E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
.
Como α ´e uma premissa maior de regra de elimina¸c˜ao, d
c
(α) > 0 e i(α) >
(0, 0). Sem perda de generalidade, consideramos i(α) = (p, q).
Seja R
2
a regra da qual α ´e conclus˜ao. Logo, temos um dos seguintes
casos dependendo de R
2
:
1. R
2
´e E
⊗
, E
∃
, C
!
, W
!
ou E
1
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ
Σ
2
α
α
R
2
Σ
3
β
R
1
Tal que γ ´e a premissa maior de R
2
.
Podemos notar que i(Π) = i(α) = (p, q).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 12 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
γ
Σ
2
α Σ
3
β
R
1
β
R
2
Temos um dos seguintes casos:
(a) α n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(p, q).
(b) α ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Podemos notar que a propaga¸c˜ao de α em Π
´e igual a q − 1 e
portanto menor que a propaga¸c˜ao de α em Π. Logo, i(α) em Π
´e
(p, q − 1) e i(Π
) = (p, q − 1) < i(Π) = (p, q).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 218
2. R
2
´e E
⊕
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ ⊕ δ
Γ
j
1
... j
n
1
γ
k
1
Σ
2
α
Γ
j
1
... j
n
1
δ
k
2
Σ
3
α
α
E
⊕(k
1
,k
2
)
Γ
l
1
...l
n
2
Σ
4
β
R
1
Podemos notar que i(Π) = i(α) = (p, q).
Π ´e reduzida pela redu¸c˜ao 13 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
Σ
1
γ ⊕ δ
Γ
j
1
... j
n
1
γ
k
1
Σ
2
α
Γ
l
1
...l
n
2
Σ
4
β
R
1
Γ
j
1
... j
n
1
δ
k
2
Σ
3
α
Γ
l
1
...l
n
2
Σ
4
β
R
1
β
E
⊕(k
1
,k
2
)
Temos um dos seguintes casos:
(a) α n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(p, q).
(b) pelo menos uma das ocorrˆencias de α ´e ocorrˆencia de f´ormula dis-
cordante em Π
:
Podemos notar que a propaga¸c˜ao de qualquer uma das ocorrˆencias
de α ilustradas acima em Π
´e menor do que q e portanto menor
que a propaga¸c˜ao de α em Π. Logo, i(Π
) ´e menor que i(Π).
3. R
2
´e E
?
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
?γ
Σ
2
δ
1
. . .
Σ
n+1
δ
n
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
γ
k
Σ
n+2
α
α
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
Σ
β
R
1
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 219
Podemos notar que i(Π) = i(α) = (p, q).
α ´e a premissa maior de R
1
e Σ
, se R
1
for E
⊥
, est´a a esquerda de α.
Como α ´e uma f´ormula essencialmente ?-modal, R
1
´e E
, E
?
ou E
⊥
.
Assim temos um dos seguintes casos:
(a) R
1
´e E
:
Nesse caso, β ´e ⊥, α ´e ψϕ e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
?γ
Σ
2
δ
1
. . .
Σ
n+1
δ
n
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
γ
k
Σ
n+2
ψϕ
ψϕ
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
Σ
1
ψ
⊥
Σ
2
ϕ
⊥
⊥
E
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 14.(a) a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡:
Σ
1
?γ
Σ
2
δ
1
. . .
Σ
n+1
δ
n
Σ
1
ψ
⊥
Σ
2
ϕ
⊥
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
γ
k
Σ
n+2
ψϕ ψ
⊥
l
1
ϕ
⊥
l
2
⊥
E
⊥
E
?( j
1
,..., j
n
,l
1
,l
2
,k)
Temos os seguintes casos:
i. ψ
⊥
, ϕ
⊥
e ψϕ n˜ao s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes
em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(ψϕ).
ii. ψ
⊥
, ϕ
⊥
e/ou ψϕ s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discordantes em
Π
:
Nesse caso, como d
c
(ψ
⊥
) < d
c
(ψϕ), d
c
(ϕ
⊥
) < d
c
(ψϕ) e
s(ϕψ) em Π
´e menor que s(ϕψ) em Π, ent˜ao i(Π
) < i(Π).
(b) R
1
´e E
?
:
Nesse caso, α ´e ?ψ e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
?γ
Σ
2
δ
1
. . .
Σ
n+1
δ
n
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
γ
k
Σ
n+2
?ψ
?ψ
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
Σ
1
ϕ
1
. . .
Σ
m
ϕ
m
ϕ
l
1
1
. . . ϕ
l
m
m
ψ
l
m+1
Σ
m+1
β
β
E
?(l
1
,...,l
m+1
)
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 220
Como, em Π, α ´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima, ent˜ao
nenhuma da premissas intermedi´arias δ
1
, . . . , δ
n
ilustradas acima
pode ser conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer
uma das regras ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
.
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 14.(b) a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡:
Σ
1
?γ
Σ
2
δ
1
. . .
Σ
n+1
δ
n
Σ
1
ϕ
1
. . .
Σ
m
ϕ
m
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
γ
k
Σ
n+2
?ψ ϕ
j
n+1
1
. . . ϕ
j
n+m
m
ϕ
l
1
1
. . . ϕ
l
m
m
ψ
l
m+1
Σ
m+1
β
β
E
?(l
1
,...,l
m+1
)
β
E
?( j
1
,..., j
n+m
,k)
Como as ocorrˆencias de f´ormulas δ
1
, . . . , δ
n
ilustradas acima n˜ao
s˜ao conclus˜ao de uma regra de introdu¸c˜ao ou de qualquer uma das
regras ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, C
!
, W
!
e E
1
, ent˜ao temos um dos seguintes
casos:
i. ?ψ n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, i(Π
) = (0, 0) < i(Π) = i(α).
ii. ?ψ ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, como s(?ψ) em Π
´e menor que s(?ψ) em Π, ent˜ao
i(Π
) < i(Π).
(c) R
1
´e E
⊥
:
Nesse caso, β ´e ⊥, α ´e ψ
⊥
e Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
ψ
Σ
1
?γ
Σ
2
δ
1
. . .
Σ
n+1
δ
n
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
γ
k
Σ
n+2
ψ
⊥
ψ
⊥
E
?( j
1
,..., j
n
,k)
⊥
E
⊥
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 14.(c) a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡:
Σ
1
?γ
Σ
2
δ
1
. . .
Σ
n+1
δ
n
Σ
1
ψ
ψ
l
δ
j
1
1
. . . δ
j
n
n
γ
k
Σ
n+2
ψ
⊥
⊥
E
⊥
⊥
E
?( j
1
,..., j
n
,l,k)
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 221
Temos os seguintes casos:
i. ψ n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso,
i
(
Π
)
=
(0
,
0)
<
i
(
Π
)
=
i
(
ψ
⊥
)
.
ii. ψ ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
:
Nesse caso, como d
c
(ψ) < d
c
(ψ
⊥
), ent˜ao i(Π
) < i(Π).
Lema G.14 (Lema sobre r(Π)) Seja Π a dedu¸c˜ao de Γ
ndll
α tal que α n˜ao
´e ⊥ e i(Π) = (0, 0). Seja Π
a dedu¸c˜ao normal obtida a partir de Π pelo Lema
G.3. Ent˜ao, r(Π
) e r(Π) s˜ao a mesma regra.
Π
´e obtida de Π apenas atrav´es das redu¸c˜oes 22, 23, 24 e 25. Essas
redu¸c˜oes s˜ao aplicadas apenas sobre ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas que
s˜ao premissas da regra E
⊥
. Como a conclus˜ao de E
⊥
´e invarialvelmente ⊥ e
α n˜ao ´e ⊥, ent˜ao r(Π
) e r(Π) s˜ao a mesma regra.
Lema G.15 (Lema das f´ormulas m´aximas iguais para E
⊥
) Seja Π uma
dedu¸c˜ao de Γ
ndll
α tal que Π possui no m´aximo duas ocorrˆencias de f´ormulas
m´aximas e se β ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima em Π ent˜ao:
1. β ´e da forma γ
⊥
⊥
.
2. β ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante .
3. a subdedu¸c˜ao de Π determinada por β ´e da forma:
γ γ
⊥
j
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j)
4. se β for premissa maior de uma aplica¸c˜ao de E
⊥
ent˜ao a f´ormula vizinha
de β da forma γ
⊥
n˜ao ´e conclus˜ao de ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
em Π.
Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
α tal que Π
n˜ao cont´em
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes .
Provamos esse Lema G.15 por indu¸c˜ao em i(Π).
Temos os seguintes casos:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 222
1. Em Π n˜ao existem ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas:
Nesse caso Π
≡ Π.
2. Em Π existe apenas uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima:
Nesse caso, seja β a ocorrˆencia de f´ormula m´axima de Π. Temos os
seguintes casos:
(a) β ´e premissa maior de E
⊥
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
γ
⊥
γ γ
⊥
j
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j)
⊥
E
⊥
Σ
2
α
A ocorrˆencia de γ
⊥
que ´e vizinha a γ
⊥
⊥
, por defini¸c˜ao desse Lema,
n˜ao ´e conclus˜ao de ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 11 a uma dedu¸c˜ao Π
1
como segue:
Π
1
≡
γ
Σ
1
γ
⊥
⊥
E
⊥
Σ
2
α
Temos os seguintes casos:
i. γ
⊥
n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
1
:
Nesse caso, Π
≡ Π
1
. Como podemos observar Π
n˜ao cont´em
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes.
ii. γ
⊥
´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
1
:
Como γ
⊥
n˜ao ´e conclus˜ao de ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou
E
1
, ent˜ao γ
⊥
´e conclus˜ao de I
⊥
e Π
1
´e:
Π
1
≡
γ
γ
k
Σ
1.1
⊥
γ
⊥
I
⊥(k)
⊥
E
⊥
Σ
2
α
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 223
Π
1
´e reduzida pela redu¸c˜ao 11 a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
γ
Σ
1.1
⊥
Σ
2
α
Podemos observar que Π
n˜ao cont´em ocorrˆencias de f´ormulas
discordantes.
(b) β ´e premissa maior de W
!
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
γ γ
⊥
j
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j)
Σ
1
δ
δ
W
!
Σ
2
α
A ocorrˆencia de δ ilustrada acima que ´e conclus˜ao de W
!
n˜ao ´e
premissa maior ou intermedi´aria, caso contr´ario, δ seria ocorrˆencia
de f´ormula m´axima diferente de β.
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 41.(b) a uma dedu¸c˜ao Π
como segue:
Π
≡
γ
Σ
1
δ
δ
W
!
δ
⊥
k
⊥
E
⊥
δ
⊥
c(k)
Σ
2
α
Como δ n˜ao pode ser premissa maior ou intermedi´aria, Π
n˜ao
cont´em ocorrˆencias de f´ormulas discordantes.
(c) β ´e premissa maior de C
!
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 224
γ γ
⊥
j
1
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j
1
)
γ
⊥
⊥
j
2
γ
⊥
⊥
j
2
Σ
1
δ
δ
C
!( j
2
)
Σ
2
α
Suponha que uma ocorrˆencia da f´ormula topo da forma γ
⊥
⊥
j
2
ilustrada acima ´e premissa maior de E
⊥
. Nesse caso, a f´ormula
vizinha dessa ocorrˆencia de f´ormula n˜ao poderia ser conclus˜ao de
⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
, pois, caso contr´ario, essa f´ormula
vizinha seria ocorrˆencia de f´ormula m´axima diferente de β em Π.
A ocorrˆencia de δ ilustrada acima que ´e conclus˜ao de C
!
n˜ao ´e
premissa maior ou intermedi´aria, caso contr´ario, δ seria ocorrˆen-
cia de f´ormula m´axima diferente de β.
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 37.(b) a uma dedu¸c˜ao Π
1
como segue:
Π
1
≡
γ
γ
j
2
γ
⊥
j
3
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j
3
)
γ
j
2
γ
⊥
j
4
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j
4
)
Σ
1
δ
δ
C
!( j
2
)
δ
⊥
k
⊥
E
⊥
δ
⊥
c(k)
Σ
2
α
Temos os seguintes casos:
i. as ocorrˆencias de γ
⊥
⊥
n˜ao s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discor-
dantes em Π
1
:
Nesse caso, Π
1
≡ Π
. Como δ n˜ao pode ser premissa maior ou
intermedi´aria, Π
n˜ao cont´em ocorrˆencias de f´ormulas discor-
dantes.
ii. pelo menos uma das ocorrˆencias de γ
⊥
⊥
´e ocorrˆencia de f´or-
mula discordante em Π
1
:
Podemos notar que s(γ
⊥
⊥
) em Π
1
´e menor que s(γ
⊥
⊥
) em Π,
logo i(Π
1
) < i(Π). Como Π
1
´e da forma desse Lema, por
hip´otese de indu¸c˜ao, Π
1
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
livre de
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes.
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 225
(d) β ´e premissa intermedi´aria de I
!
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
δ
1
. . .
γ γ
⊥
j
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j)
. . .
Σ
n
δ
n
δ
k
1
1
. . . γ
⊥
⊥
k
i
. . . δ
k
n
n
Σ
n+1
ϕ
!ϕ
I
!(k
1
,...,k
n
)
Σ
n+2
α
Para 1 ≤ i ≤ n.
Suponha que a ocorrˆencia da f´ormula topo da forma γ
⊥
⊥
k
i
ilustrada
acima ´e premissa maior de E
⊥
. Nesse caso, a f´ormula vizinha dessa
ocorrˆencia de f´ormula n˜ao poderia ser conclus˜ao de ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
,
E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
, pois, caso contr´ario, essa f´ormula vizinha seria
ocorrˆencia de f´ormula m´axima diferente de β em Π.
A ocorrˆencia de !ϕ ilustrada acima n˜ao ´e premissa maior ou inter-
medi´aria, caso contr´ario, !ϕ seria ocorrˆencia de f´ormula m´axima
diferente de β.
Π ´e reduzida p ela redu¸c˜ao 29.(b) a uma dedu¸c˜ao Π
1
como segue:
Π
1
≡
Σ
1
δ
1
. . . γ . . .
Σ
n
δ
n
δ
k
1
1
. . .
γ
k
i
γ
⊥
j
1
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j
1
)
. . . δ
k
n
n
Σ
n+1
ϕ
!ϕ
I
!(k
1
,...,k
n
)
(!ϕ)
⊥
j
2
⊥
E
⊥
!ϕ
⊥
c( j
2
)
Σ
n+2
α
Como !ϕ n˜ao ´e premissa maior ou intermedi´aria, !ϕ n˜ao ´e ocor-
rˆencia de f´ormula discordante em Π
1
. Temos os seguintes casos:
i. γ
⊥
⊥
n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
1
:
Nesse caso, Π
≡ Π
1
. Podemos observar que Π
´e livre de
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes.
ii. γ
⊥
⊥
´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
1
:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 226
Nesse caso, seja Π
2
a subdedu¸c˜ao Π
1
determinada pela ocorrˆencia
de ϕ ilustrada acima. Podemos notar que s(γ
⊥
⊥
) em Π
2
´e
menor que s(γ
⊥
⊥
) em Π, logo, i(Π
2
) < i(Π). Como Π
2
est´a no
formato desse Lema, p or hip´otese de indu¸c˜ao, Π
2
´e reduzida a
uma dedu¸c˜ao Π
3
livre de ocorrˆencias de f´ormulas discordantes.
Π
´e a seguinte dedu¸c˜ao:
Π
≡
Σ
1
δ
1
. . . γ . . .
Σ
n
δ
n
Π
3
!ϕ
I
!(k
1
,...,k
n
)
(!ϕ)
⊥
j
2
⊥
E
⊥
!ϕ
⊥
c( j
2
)
Σ
n+2
α
Podemos notar que Π
´e livre de ocorrˆencias de f´ormulas dis-
cordantes.
(e) β ´e premissa intermedi´aria de E
?
:
Esse caso ´e similar ao anterior no qual β ´e premissa intermedi´aria
de I
!
.
3. Em Π existem duas ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas e as duas s˜ao
vizinhas:
Temos os seguintes casos:
(a) As duas ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas s˜ao premissas inter-
medi´arias de I
!
:
Nesse caso, Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
Σ
1
δ
1
. . .
γ γ
⊥
j
1
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j
1
)
. . .
γ γ
⊥
j
2
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j
2
)
. . .
Σ
n
δ
n
δ
k
1
1
. . . γ
⊥
⊥
k
h
. . . γ
⊥
⊥
k
i
. . . δ
k
n
n
Σ
n+1
ϕ
!ϕ
I
!(k
1
,...,k
n
)
Σ
n+2
α
Para 1 ≤ h < i ≤ n.
Suponha que uma ocorrˆencia da f´ormula topo da forma γ
⊥
⊥
ilustrada
acima ´e premissa maior de E
⊥
. Nesse caso, a f´ormula vizinha dessa
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 227
ocorrˆencia de f´ormula n˜ao poderia ser conclus˜ao de ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
,
E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
, pois, caso contr´ario, essa f´ormula vizinha seria
ocorrˆencia de f´ormula m´axima diferente de β em Π.
A ocorrˆencia de !ϕ ilustrada acima n˜ao ´e premissa maior ou inter-
medi´aria, caso contr´ario, !ϕ seria ocorrˆencia de f´ormula m´axima
diferente de β.
Π ´e reduzida p or duas aplica¸c˜oes seguidas da redu¸c˜ao 29.(b) a
uma dedu¸c˜ao Π
1
como segue:
Π
1
≡
Σ
1
δ
1
. . . γ . . . γ . . .
Σ
n
δ
n
δ
k
1
1
. . .
γ
k
h
γ
⊥
j
1
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j
1
)
. . .
γ
k
i
γ
⊥
j
2
⊥
E
⊥
γ
⊥
⊥
I
⊥( j
2
)
. . . δ
k
n
n
Σ
n+1
ϕ
!ϕ
I
!(k
1
,...,k
n
)
(!ϕ)
⊥
j
3
⊥
E
⊥
!ϕ
⊥
c( j
3
)
(!ϕ)
⊥
j
4
⊥
E
⊥
!ϕ
⊥
c( j
4
)
Σ
n+2
α
Como !ϕ n˜ao ´e premissa maior ou intermedi´aria, !ϕ n˜ao ´e ocor-
rˆencia de f´ormula discordante em Π
1
. Temos os seguintes casos:
i. as ocorrˆencias de γ
⊥
⊥
n˜ao s˜ao ocorrˆencias de f´ormulas discor-
dantes em Π
1
:
Nesse caso, Π
≡ Π
1
. Podemos observar que Π
´e livre de
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes.
ii. pelo menos uma das ocorrˆencias de γ
⊥
⊥
´e ocorrˆencia de f´or-
mula discordante em Π
1
:
Nesse caso, seja Π
2
a subdedu¸c˜ao Π
1
determinada pela ocorrˆencia
de ϕ ilustrada acima. Podemos notar que s(γ
⊥
⊥
) em Π
2
´e
menor que s(γ
⊥
⊥
) em Π, logo, i(Π
2
) < i(Π). Como Π
2
est´a no
formato desse Lema, p or hip´otese de indu¸c˜ao, Π
2
´e reduzida a
uma dedu¸c˜ao Π
3
livre de ocorrˆencias de f´ormulas discordantes.
Π
´e a seguinte dedu¸c˜ao:
Π
≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 228
Σ
1
δ
1
. . . γ . . . γ . . .
Σ
n
δ
n
Π
3
!ϕ
I
!(k
1
,...,k
n
)
(!ϕ)
⊥
j
3
⊥
E
⊥
!ϕ
⊥
c( j
3
)
(!ϕ)
⊥
j
4
⊥
E
⊥
!ϕ
⊥
c( j
4
)
Σ
n+2
α
Podemos notar que Π
´e livre de ocorrˆencias de f´ormulas dis-
cordantes.
(b) As duas ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas s˜ao premissas inter-
medi´arias de E
?
:
Esse caso ´e similar ao anterior no qual as duas ocorrˆencias de
f´ormulas m´aximas s˜ao premissas intermedi´arias de I
!
.
4. Em Π existem duas ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas e as duas s˜ao
adjacentes:
Nesse caso, sejam ϕ
1
e ϕ
2
as duas ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas de
Π e ψ
1
e ψ
2
as ocorrˆencias de f´ormulas imediatamente abaixo de ϕ
1
e
ϕ
2
respectivamente. Sem perda de generalidade, consideramos que ϕ
1
ocorre acima de uma f´ormula vizinha ρ de ϕ
2
. Logo Π ´e da seguinte
forma:
Π ≡
γ
γ
Σ
1
ψ
1
Σ
2
ψ
2
Σ
3
α
Por ser ocorrˆencia de f´ormula discordante ϕ
1
´e premissa de E
⊥
, C
!
, W
!
,
I
!
ou E
?
. Logo ψ
1
´e conclus˜ao de E
⊥
, C
!
, W
!
, I
!
ou E
?
. Se for conclus˜ao
de E
⊥
, ψ
1
´e ⊥ e n˜ao pode ser premissa maior ou intermedi´aria de
qualquer regra em Π. Se for conclus˜ao de C
!
, W
!
, I
!
ou E
?
, ψ
1
tamb´em
n˜ao pode ser premissa maior ou intermedi´aria de qualquer regra, pois,
caso contr´ario, ψ
1
seria ocorrˆencia de f´ormula discordante diferente de
ϕ
1
e ϕ
2
em Π. Logo, de qualquer jeito, ψ
1
n˜ao ´e premissa maior ou
intermedi´aria de qualquer regra em Π.
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 229
Temos os seguintes casos
(a) ρ n˜ao ´e premissa menor de E
⊥
:
Sejam Π
1
a subdedu¸c˜ao de Π determinada por ρ e Π
2
a subdedu¸c˜ao
de Π
1
determinada p or ψ
1
. Π
2
´e do formato desse Lema e s´o
cont´em uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima ϕ
1
. Logo, podemos
reduzir Π
2
a uma redu¸c˜ao Π
3
livre de ocorrˆencias de f´ormulas dis-
cordantes tal como no caso 2 da prova desse Lema.
Seja Π
4
a dedu¸c˜ao obtida de Π
1
pela substitui¸c˜ao de Π
2
por Π
3
.
Como ψ
1
, a f´ormula final de Π
2
e Π
3
, n˜ao pode ser premissa maior
ou intermedi´aria de qualquer regra em Π
1
, Π
4
´e livre de ocorrˆen-
cias de f´ormulas discordantes. Logo, i(Π
4
) = (0, 0). Assim, pelo
Lema G.3, Π
4
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao normal Π
5
cuja f´ormula
final ´e ρ.
Seja Π
6
a dedu¸c˜ao obtida de Π pela substitui¸c˜ao da subdedu¸c˜ao Π
1
pela dedu¸c˜ao normal Π
5
. Como ρ, a f´ormula final de Π
5
, ´e f´ormula
vizinha da ocorrˆencia de f´ormula m´axima ϕ
2
da forma γ
⊥
⊥
, ent˜ao ρ
n˜ao pode ser ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tipo 1.(e) ou 4.(c)
em Π
6
. Isso ocorre porque, nesse caso, ρ n˜ao ´e premissa menor
de uma aplica¸c˜ao de E
⊥
. Logo, Π
6
s´o cont´em uma ocorrˆencia de
f´ormula m´axima ϕ
2
, ´e da forma desse Lema e pode ser reduzida a
dedu¸c˜ao Π
livre de ocorrˆencias de f´ormulas discordantes tal como
no caso 2 da prova desse Lema.
(b) ρ ´e premissa menor de E
⊥
e ocorrˆencia de f´ormula diferente de ψ
1
:
Sejam Π
1
a subdedu¸c˜ao de Π determinada por ρ e Π
2
a subdedu¸c˜ao
de Π
1
determinada p or ψ
1
. Π
2
´e do formato desse Lema e s´o
cont´em uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima ϕ
1
. Logo, podemos
reduzir Π
2
a uma redu¸c˜ao Π
3
livre de ocorrˆencias de f´ormulas dis-
cordantes tal como no caso 2 da prova desse Lema.
Seja Π
4
a dedu¸c˜ao obtida de Π
1
pela substitui¸c˜ao de Π
2
por Π
3
.
Como ψ
1
, a f´ormula final de Π
2
e Π
3
, n˜ao pode ser premissa maior
ou intermedi´aria de qualquer regra em Π
1
, Π
4
´e livre de ocorrˆen-
cias de f´ormulas discordantes. Logo, i(Π
4
) = (0, 0). Assim, pelo
Lema G.3, Π
4
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao normal Π
5
cuja f´ormula
final ´e ρ.
Seja Π
6
a dedu¸c˜ao obtida de Π pela substitui¸c˜ao da subdedu¸c˜ao
Π
1
pela dedu¸c˜ao normal Π
5
. Como ρ ´e uma ocorrˆencia de f´or-
mula diferente de ψ
1
, r(Π
4
) = r(Π
1
). Como ρ ´e premissa menor
de E
⊥
cuja premissa maior ´e ϕ
2
da forma γ
⊥
⊥
, ρ ´e da forma γ
⊥
e
´e diferente de ⊥. Logo, pelo Lema G.14, r(Π
5
) = r(Π
4
) = r(Π
1
).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 230
Dessa forma, Π
6
s´o cont´em uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima ϕ
2
,
´e da forma desse Lema e pode ser reduzida a dedu¸c˜ao Π
livre de
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes tal como no caso 2 da prova
desse Lema.
(c) ρ ´e premissa menor de E
⊥
e ´e a mesma ocorrˆencia de f´ormula ψ
1
:
Nesse caso, como ρ ´e premissa menor de E
⊥
cuja premissa maior
´e ϕ
2
da forma γ
⊥
⊥
, ρ ´e da forma γ
⊥
. Sabemos que ρ, a mesma
ocorrˆencia de f´ormula ψ
1
, ´e conclus˜ao de E
⊥
, C
!
, W
!
, I
!
ou E
?
, logo
temos os seguintes casos:
i. ρ ´e conclus˜ao de C
!
, W
!
ou E
?
:
No entanto, por ser f´ormula vizinha de ϕ
2
e premissa menor
de E
⊥
, ρ n˜ao pode ser conclus˜ao de C
!
, W
!
ou E
?
por defini¸c˜ao
desse Lema. Logo esse caso n˜ao existe.
ii. ρ ´e conclus˜ao de E
⊥
:
Nesse caso, por ser conclus˜ao de E
⊥
, ρ seria da forma ⊥. No
entanto, ρ ´e da forma γ
⊥
. Logo esse caso n˜ao existe.
iii. ρ ´e conclus˜ao de I
!
:
Nesse caso, por ser conclus˜ao de I
!
, ρ seria da forma !µ. No
entanto, ρ ´e da forma γ
⊥
. Logo esse caso n˜ao existe.
5. Em Π existem duas ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas e as duas n˜ao s˜ao
vizinhas nem adjacentes:
Nesse caso, sejam ϕ
1
e ϕ
2
as duas ocorrˆencias de f´ormulas m´aximas de
Π e ψ
1
e ψ
2
as ocorrˆencias de f´ormulas imediatamente abaixo de ϕ
1
e
ϕ
2
respectivamente. Logo Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
γ
Σ
1
ψ
1
γ
Σ
2
ψ
2
Σ
3
α
Por ser ocorrˆencia de f´ormula discordante , ϕ
i
, para 1 ≤ i ≤ 2, ´e premissa
de E
⊥
, C
!
, W
!
, I
!
ou E
?
. Logo ψ
i
´e conclus˜ao de E
⊥
, C
!
, W
!
, I
!
ou
E
?
. Se for conclus˜ao de E
⊥
, ψ
i
´e ⊥ e n˜ao pode ser premissa maior ou
intermedi´aria de qualquer regra em Π. Se for conclus˜ao de C
!
, W
!
, I
!
ou E
?
, ψ
i
tamb´em n˜ao pode ser premissa maior ou intermedi´aria de
qualquer regra, pois, caso contr´ario, ψ
i
seria ocorrˆencia de f´ormula dis-
cordante diferente de ϕ
1
e ϕ
2
em Π. Logo, de qualquer jeito, ψ
i
n˜ao ´e
premissa maior ou intermedi´aria de qualquer regra em Π.
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 231
Sejam Π
1
e Π
2
as subdedu¸c˜oes de Π determinadas por ψ
1
e ψ
2
respecti-
vamente. Π
1
´e do formato desse Lema e s´o cont´em uma ocorrˆencia de
f´ormula m´axima ϕ
1
. Logo, podemos reduzir Π
1
a uma redu¸c˜ao Π
3
livre
de ocorrˆencias de f´ormulas discordantes tal como no caso 2 da prova
desse Lema. Por sua vez: Π
2
tamb´em ´e do formato desse Lema e s´o
cont´em uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima ϕ
2
. Logo, podemos reduzir
Π
2
a uma redu¸c˜ao Π
4
livre de ocorrˆencias de f´ormulas discordantes tal
como no caso 2 da prova desse Lema.
Π
´e a dedu¸c˜ao obtida de Π pela substitui¸c˜ao de Π
1
por Π
3
e de Π
2
por
Π
4
. Como ψ
1
, a f´ormula final de Π
1
e Π
3
, e ψ
2
, a f´ormula final de Π
2
e Π
4
, n˜ao pode ser premissa maior ou intermedi´aria de qualquer regra
em Π, Π
´e livre de ocorrˆencias de f´ormulas discordantes.
Lema G.16 (Lema das f´ormulas m´aximas iguais para E
) Seja Π uma
dedu¸c˜ao de Γ
ndll
α tal que Π possui no m´aximo duas ocorrˆencias de f´ormulas
m´aximas e se β ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima em Π ent˜ao:
1. β ´e da forma (γδ)
⊥
.
2. β ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante .
3. a subdedu¸c˜ao de Π determinada por β ´e da forma:
γδ γ
⊥
j
δ
⊥
j
⊥
E
(γδ)
⊥
I
⊥( j)
4. se β for premissa maior de uma aplica¸c˜ao de E
⊥
ent˜ao a f´ormula vizinha
de β da forma γδ n˜ao ´e conclus˜ao de ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou
E
1
em Π.
Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
α tal que Π
n˜ao cont´em
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes .
Esse Lema G.16 ´e demonstrado de forma similar ao Lema G.15.
Lema G.17 (Lema das f´ormulas m´aximas iguais para E
?
) Seja Π uma dedu¸c˜ao
de Γ
ndll
α tal que Π possui no m´aximo duas ocorrˆencias de f´ormulas m´axi-
mas e se β ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima em Π ent˜ao:
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 232
1. β ´e da forma (?γ)
⊥
.
2. β ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante .
3. a subdedu¸c˜ao de Π determinada por β ´e da forma:
?γ
j
ϕ
1
. . . ϕ
n
ϕ
k
1
1
. . . ϕ
k
n
n
γ
k
n+1
Σ
δ
δ
E
?(k
1
,...,k
n+1
)
δ
⊥
⊥
E
⊥
(?γ)
⊥
I
⊥( j)
4. se β for premissa maior de uma aplica¸c˜ao de E
⊥
ent˜ao a f´ormula vizinha
de β da forma ?γ n˜ao ´e conclus˜ao de ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
em Π.
Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
α tal que Π
n˜ao cont´em
ocorrˆencias de f´ormulas discordantes .
Esse Lema G.17 ´e demonstrado de forma similar ao Lema G.15.
Lema G.18 (Lema cr´ıtico) Seja Π uma dedu¸c˜ao de Γ
ndll
β tal que i(Π) =
(p, q) > (0, 0) e toda ocorrˆencia de f´ormula m´axima em Π ´e premissa de r(Π).
Ent˜ao Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
de Γ
ndll
β tal que z(Π
) < z(Π).
Sejam α
1
, . . . , α
n
as ocorrˆencias de f´ormulas discordantes de ´ındice (p, q)
em Π, ou seja i(α
1
) = . . . = i(α
n
) = i(Π). Como i(Π) > (0, 0), ent˜ao n ≥ 1
e z(Π) = (p, q, n). Em Π, α
1
, . . . , α
n
s˜ao todas f´ormulas vizinhas e premissas
de r(Π). Sem p erda de generalidade consideramos que α
1
, . . . , α
n
ocorr´em na
ordem da esquerda para a direita em r(Π), ou seja, α
i
est´a a esquerda de α
j
se e somente se i < j.
Provamos esse Lema G.18 por indu¸c˜ao em l(Π). Temos os seguintes casos:
1. n = 1, r(Π) ´e uma regra de elimina¸c˜ao e α
1
´e a premissa maior de r(Π)
e ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tipo 1.(a):
Nesse caso, Π ´e da forma descrita pelo Lema G.4 e ´e reduzida a uma
dedu¸c˜ao Π
tal que i(Π
) < i(Π). Assim, z(Π
) < z(Π).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 233
2. n = 1, r(Π) ´e uma regra de elimina¸c˜ao e α
1
´e a premissa maior de r(Π)
e ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tipo 4.(a):
Nesse caso, Π ´e da forma descrita p elo Lema G.13 e ´e reduzida a uma
dedu¸c˜ao Π
tal que i(Π
) < i(Π). Assim, z(Π
) < z(Π).
3. n = 1, r(Π) ´e uma regra de elimina¸c˜ao e α
1
´e a premissa maior de r(Π)
e ´e uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima do tipo 1.(c):
Nesse caso, α
1
´e a ´unica ocorrˆencia de f´ormula m´axima em Π e ´e con-
clus˜ao de ⊥
c
. Π ´e da seguinte forma:
Π ≡
α
⊥
1
j
Σ
1
⊥
α
1
⊥
c( j)
Σ
2
β
r(Π)
Tal que Σ
2
pode estar a esquerda de α
1
e pode tamb´em ser vazia.
Nesse caso, i(Π) = i(α
1
).
Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
∗
1
pela redu¸c˜ao 19 como segue:
Π
∗
1
≡
α
j
1
1
Σ
2
β
r(Π)
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
α
⊥
1
I
⊥( j
1
)
Σ
1
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Em Π, a ocorrˆencia de hip´otese α
⊥
1
j
pode ser premissa maior de E
⊥
, C
!
ou W
!
, e pode tamb´em ser premissa intermedi´aria de I
!
ou E
?
. Nesse
casos, α
⊥
1
´e uma ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
1
. Ent˜ao temos
os seguintes casos dependendo de α
⊥
1
:
(a) α
⊥
1
n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
1
:
Nesse caso, como i(Π
∗
1
) = (0, 0) < i(Π) = i(α
1
), Π
≡ Π
∗
1
.
(b) α
⊥
1
j
´e premissa maior de E
⊥
em Π:
Nesse caso, Π
∗
1
´e da seguinte forma:
Π
∗
1
≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 234
Σ
1.1
α
1
α
j
1
1
Σ
2
β
r(Π)
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
α
⊥
1
I
⊥( j
1
)
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c( j
2
)
A ocorrˆencia de α
1
ilustrada acima em Π
∗
1
que ´e premissa menor
de E
⊥
n˜ao pode ser conclus˜ao de ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
,
caso contr´ario, ela seria uma ocorrˆencia de f´ormula m´axima em Π
do tipo 1.(e) ou 4.(c), mas n˜ao ´e premissa de r(Π).
Π
∗
1
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
∗
2
pela redu¸c˜ao operacional 11 como
segue:
Π
∗
2
≡
Σ
1.1
α
1
Σ
2
β
r(Π)
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Temos os seguintes casos:
i. α
1
n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
2
:
Nesse caso, como i(Π
∗
2
) = (0, 0) < i(Π) = i(α
1
), Π
≡ Π
∗
2
.
ii. α
1
´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
2
:
Nesse caso, como α
1
n˜ao pode ser conclus˜ao de ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
,
E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
, ent˜ao α
1
´e conclus˜ao de uma regra
de introdu¸c˜ao. Assim, i(α
1
) em Π
∗
2
´e igual a i(α
1
) em Π e
i
(
Π
∗
2
)
=
i
(
Π
)
.
Seja Π
∗
3
a subdedu¸c˜ao determinada pela ocorrˆencia mais acima
de β ilustrada acima em Π
∗
2
. Π
∗
3
´e da forma descrita por esse
Lema G.18 e podemos notar que i(Π
∗
3
) = i(Π
∗
2
) = i(Π) e l(Π
∗
3
) <
l(Π). Assim, Π
∗
3
´e reduzida, por hip´otese de indu¸c˜ao, a uma
dedu¸c˜ao Π
∗
4
tal que i(Π
∗
4
) < i(Π
∗
3
) = i(Π).
Seja Π
a dedu¸c˜ao obtida a partir de Π
∗
2
pela substitui¸c˜ao de
Π
∗
3
por Π
∗
4
. Π
´e ent˜ao a seguinte dedu¸c˜ao:
Π
≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 235
Π
∗
4
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
Σ
1.2
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Podemos notar que i(Π
) = i(Π
∗
4
) < i(Π).
(c) α
⊥
1
j
´e premissa intermedi´aria de I
!
em Π:
Ent˜ao Π
∗
1
´e da seguinte forma:
Π
∗
1
≡
Σ
1.1
ϕ
1
. . .
α
j
1
1
Σ
2
β
r(Π)
β
⊥
j
2
⊥
E
⊥
α
⊥
1
I
⊥( j
1
)
. . .
Σ
1.d
ϕ
d
ϕ
k
1
1
. . . α
⊥
1
k
i
. . . ϕ
k
d
d
Σ
1.(d+1)
γ
!γ
I
!(k
1
,...,k
d
)
Σ
1.(d+2)
⊥
β
⊥
c( j
2
)
Tal que 1 ≤ i ≤ d e α
⊥
1
´e ϕ
i
. Nesse caso, i(Π
∗
1
) = i(α
⊥
1
) > i(Π) = i(α
1
).
A o corrˆencia de !γ ilustrada acima em Π
∗
1
n˜ao pode ser premissa
maior ou intermedi´aria, caso contr´ario, ela seria uma ocorrˆencia
de f´ormula discordante diferente de α
1
em Π.
Como α
⊥
1
´e f´ormula essencialmente !-modal, α
1
´e f´ormula essencial-
mente ?-modal. Assim, r(Π) ´e E
⊥
, E
ou E
?
. Temos os seguintes
casos:
i. r(Π) ´e E
⊥
:
Ent˜ao, α
1
´e da forma δ
⊥
, β ´e ⊥, e Π
∗
1
´e da seguinte forma:
Π
∗
1
≡
Σ
1.1
ϕ
1
. . .
Σ
2
δ δ
⊥
j
1
⊥
E
⊥
⊥
⊥
j
2
⊥
E
⊥
δ
⊥
⊥
I
⊥( j
1
)
. . .
Σ
1.d
ϕ
d
ϕ
k
1
1
. . . δ
⊥
⊥
k
i
. . . ϕ
k
d
d
Σ
1.(d+1)
γ
!γ
I
!(k
1
,...,k
d
)
Σ
1.(d+2)
⊥
⊥
⊥
c( j
2
)
Suponha que a ocorrˆencia da f´ormula topo da forma δ
⊥
⊥
k
i
ilustrada acima ´e premissa maior de E
⊥
. Nesse caso, a f´ormula
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 236
vizinha dessa ocorrˆencia de f´ormula n˜ao poderia ser conclus˜ao
de ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
, W
!
ou E
1
, pois, caso contr´ario, essa
f´ormula vizinha seria ocorrˆencia de f´ormula m´axima diferente
de β em Π.
Π
∗
1
´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
∗
2
atrav´es da redu¸c˜ao 29.(b)
como segue:
Π
∗
2
≡
Σ
1.1
ϕ
1
. . .
Σ
2
δ . . .
Σ
1.d
ϕ
d
ϕ
k
1
1
. . .
δ
k
i
δ
⊥
l
⊥
E
⊥
δ
⊥
⊥
I
⊥(l)
. . . ϕ
k
d
d
Σ
1.(d+1)
γ
!γ
I
!(k
1
,...,k
d
)
(!γ)
⊥
j
1
⊥
E
⊥
⊥
⊥
j
2
⊥
E
⊥
!γ
⊥
c( j
1
)
Σ
1.(d+2)
⊥
⊥
⊥
c( j
2
)
Nesse caso, como a ocorrˆencia de !γ ilustrada acima em Π
∗
2
que
´e conclus˜ao de ⊥
c
n˜ao pode premissa maior ou intermedi´aria,
!γ n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
2
.
Como d
c
(δ) < d
c
(δ
⊥
) = d
c
(α
1
), mesmo que δ seja ocorrˆencia
de f´ormula discordante em Π
∗
2
, i(δ) < i(Π). No entanto δ
⊥
⊥
pode ser ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
2
. Temos os
seguintes casos:
A. δ
⊥
⊥
n˜ao ´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
2
:
Nesse caso, Π
≡ Π
∗
2
. Podemos notar que i(Π
) ´e no
m´aximo igual a i(δ), logo z(Π
) < z(Π).
B. δ
⊥
⊥
´e ocorrˆencia de f´ormula discordante em Π
∗
2
:
Nesse caso, seja Π
∗
3
a subdedu¸c˜ao determinada pela ocorrˆencia
de γ ilustrada acima em Π
∗
2
.
Como, se δ
⊥
⊥
for premissa maior de E
⊥
, sua f´ormula viz-
inha n˜ao poderia ser conclus˜ao de ⊥
c
, E
⊗
, E
⊕
, E
∃
, E
?
, C
!
,
W
!
ou E
1
, Π
∗
3
´e da forma do Lema G.15. Logo Π
∗
3
pode ser
reduzida, pelo Lema G.15, a uma dedu¸c˜ao Π
∗
4
livre de o-
corrˆencias de f´ormulas discordantes. Π
´e ent˜ao a seguinte
dedu¸c˜ao:
Π
≡
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 237
Σ
1.1
ϕ
1
. . .
Σ
2
δ . . .
Σ
1.d
ϕ
d
Π
∗
4
!γ
I
!(k
1
,...,k
d
)
(!γ)
⊥
j
1
⊥
E
⊥
⊥
⊥
j
2
⊥
E
⊥
!γ
⊥
c( j
1
)
Σ
1.(d+2)
⊥
⊥
⊥
c( j
2
)
Podemos notar que i(Π
) ´e no m´aximo igual a i(δ), logo
z(Π
) < z(Π).
ii. r(Π) ´e E
:
Usando o Lema G.16 ao inv´es do Lema G.15, esse caso ´e
similar ao anterior.
iii. r(Π) ´e E
?
:
Usando o Lema G.17 ao inv´es do Lema G.15, esse caso ´e
similar ao anterior.
(d) α
⊥
1
j
´e premissa intermedi´aria de E
?
em Π:
Nesse caso, Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
tal que z(Π
) < z(Π)
por um procedimento similar ao usado no caso anterior no qual
α
⊥
1
j
´e premissa intermedi´aria de I
!
em Π.
(e) α
⊥
1
j
´e premissa maior de C
!
em Π:
Nesse caso, Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
tal que z(Π
) < z(Π) por
um procedimento similar ao usado no caso no qual α
⊥
1
j
´e premissa
intermedi´aria de I
!
em Π.
(f) α
⊥
1
j
´e premissa maior de W
!
em Π:
Nesse caso, Π ´e reduzida a uma dedu¸c˜ao Π
tal que z(Π
) < z(Π) por
um procedimento similar ao usado no caso no qual α
⊥
1
j
´e premissa
intermedi´aria de I
!
em Π.
4. n = 1, r(Π) ´e W
!
e α
1
´e a premissa maior de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de
f´ormula m´axima do tipo 1.(b):
Nesse caso, Π ´e da forma descrita pelo Lema G.5 e ´e reduzida a uma
dedu¸c˜ao Π
tal que i(Π
) < i(Π). Assim, z(Π
) < z(Π).
5. n = 1, r(Π) ´e W
!
e α
1
´e a premissa maior de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de
f´ormula m´axima do tipo 4.(b):
Nesse caso, Π ´e da forma descrita pelo Lema G.6 e ´e reduzida a uma
dedu¸c˜ao Π
tal que i(Π
) < i(Π). Assim, z(Π
) < z(Π).
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 238
6. n = 1, r(Π) ´e W
!
e α
1
´e a premissa maior de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de
f´ormula m´axima do tipo 1.(d):
Nesse caso, Π ´e da forma descrita pelo Lema G.7 e ´e reduzida a uma
dedu¸c˜ao Π
tal que i(Π
) < i(Π). Assim, z(Π
) < z(Π).
7. n = 1, r(Π) ´e C
!
e α
1
´e a premissa maior de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de
f´ormula m´axima do tipo 2.(c):
Nesse caso, Π ´e da forma descrita p elo Lema G.10 e ´e reduzida a uma
dedu¸c˜ao Π
tal que i(Π
) < i(Π). Assim, z(Π
) < z(Π).
8. n = 1, r(Π) ´e C
!
e α
1
´e a premissa maior de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de
f´ormula m´axima do tipo 3.(c):
Nesse caso, Π ´e da forma descrita p elo Lema G.11 e ´e reduzida a uma
dedu¸c˜ao Π
tal que i(Π
) < i(Π). Assim, z(Π
) < z(Π).
9. n = 1, r(Π) ´e C
!
e α
1
´e a premissa maior de r(Π) e ´e uma ocorrˆencia de
f´ormula m´axima do tipo 2.(f):
Nesse caso, Π ´e da forma descrita p elo Lema G.12 e ´e reduzida a uma
dedu¸c˜ao Π
tal que i(Π
) < i(Π). Assim, z(Π
) < z(Π).
10. n ≥ 1, r(Π) ´e I
!
e α
1
, . . . , α
n
s˜ao todas premissas intermedi´arias de r(Π):
Nesse caso, Π ´e da forma descrita pelo Lema G.8 e ´e reduzida a uma
dedu¸c˜ao Π
tal que z(Π
) < z(Π).
11. n ≥ 1, r(Π) ´e E
?
e α
1
, . . . , α
n
s˜ao todas premissas intermedi´arias de r(Π):
Nesse caso, Π ´e da forma descrita pelo Lema G.9 e ´e reduzida a uma
dedu¸c˜ao Π
tal que z(Π
) < z(Π).
12. n ≥ 1, r(Π) ´e E
?
e α
1
´e a premissa maior de r(Π):
Temos os seguintes casos:
(a) α
1
´e ocorrˆencia de f´ormula discordante do tipo 1.(a):
Esse caso ´e resolvido por um procedimento similar ao do caso 1
desse Lema.
(b) α
1
´e ocorrˆencia de f´ormula discordante do tipo 4.(a):
Esse caso ´e resolvido por um procedimento similar ao do caso 2
desse Lema.
(c) α
1
´e ocorrˆencia de f´ormula discordante do tipo 1.(c):
Esse caso ´e resolvido por um procedimento similar ao do caso 3
desse Lema.
AP
ˆ
ENDICE G. LEMAS AUXILIARES A NORMALIZAC¸
˜
AO 239
Referˆencias Bibliogr´aficas
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