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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
ESTUDOS DE COLAPSO DE TENSÃO
ATRAVÉS DE DETERMINAÇÃO DE
AÇÕES DE CONTROLE COM AUXÍLIO DO
AUTOVETOR À ESQUERDA
Marcel Rocha
Dissertação submetida ao corpo docente da coordenação dos
programas de pós-graduação em Engenharia da Universidade
Federal de Itajubá como parte dos requisitos necessários à
obtenção do grau de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Junho de 2009
Copyright para Marcel Rocha, 2009
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA
Os abaixo assinados certificam que leram e recomendam o corpo docente da
coordenação dos programas de pós-graduação em Engenharia da Universidade Federal
de Itajubá a aceitação da Dissertação intitulada: “Estudos de Colapso de Tensão
Através de Determinação de Ações de Controle com Auxílio do Autovetor à
Esquerda” escrita por Marcel Rocha como requisitos parciais para obtenção do título
de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Junho de 2009
Antônio Carlos Zambroni de Souza
Orientador
Benedito Isaías de Lima Lopez
Examinador
Luiz Cláudio de Araújo Ferreira
Examinador
Rafael Coradi Leme
Co-orientador
iv
Aos meus pais
Hatos Rocha e
Iara de Fátima Rocha
v
AGRADECIMENTOS
À minha família pelo apoio incondicional em todos os momentos de dificuldades. Em
especial aos meus pais Hatos Rocha e Iara de Fátima Rocha, e aos meus irmãos Denis e
Ronan Rocha.
Dedico um agradecimento especial ao meu orientador Antônio Carlos Zambroni de
Souza por ter me dado um voto de confiança ao aceitar a orientação neste trabalho de
mestrado. Agradeço pelo apoio e lições de vida durante todo esse período de
convivência, pelo otimismo contagiante e a certeza de que tudo vai dar certo.
Ao meu co-orientador Rafael Coradi Leme, um agradecimento especial pelo apoio em
toda a etapa de desenvolvimento deste trabalho. Agradeço pelas conversas que foram
muito além do mestrado e pelo apoio no momento crucial quando o mestrado parecia
perdido e eu estava pronto a desistir, quando surge mais que uma palavra amiga:
“vamos conseguir”.
Agradeço a Benedito Isaias Lima Lopes pelo apoio no meu primeiro sinal de
desistência. Mesmo sem ter qualquer vínculo acadêmico neste meu trabalho de
mestrado, sem hesitar se prontificou a ajudar e fez ultrapassar o primeiro obstáculo mais
perigoso deste caminho.
Devo agradecer novamente e ressaltar o apoio de Antônio Carlos Zambroni e Rafael
Coradi Leme, dedicação esta que foi muito além do papel de orientação neste mestrado.
Tenho a convicção que sem o apoio extraordinário deles esse trabalho não teria se
concretizado.
vi
RESUMO
Esta dissertação discute a aplicação de controle de compensação de potência reativa e
corte de carga no sistema para melhora da estabilidade de tensão do sistema. Aspectos
relacionados à teoria de sistemas dinâmicos são revistos e discutidos durante o
desenvolvimento da modelagem do sistema. A formulação extrapola a formulação
ordinária do fluxo de carga e considera as equações dinâmicas das máquinas, definindo
o equilíbrio completo do sistema. O modelo utilizado permite, por sua vez, identificar
bifurcações de Hopf e sela-nó no sistema elétrico de potência.
Baseada na teoria de autovalores, o autovetor à esquerda associado ao autovalor crítico
do sistema pode ser utilizado para identificar ações de controle no sistema, uma vez que
traz informações sobre a sensibilidade dos parâmetros. Assim, uma aproximação do
autovetor à esquerda, baseado no vetor tangente obtido durante o Método da
Continuação é proposta, de forma a identificar ações de controle que melhorem a
estabilidade do sistema a um baixo custo computacional.
A aproximação do vetor tangente é aplicada de forma a obter informação das barras
mais propícias para realização de controle através da compensação de potência reativa e
corte de carga, no intuito afastar o sistema da instabilidade de tensão.
Os testes das metodologias propostas são conduzidos no sistema New England de 39
barras, disponível na literatura.
.
vii
ABSTRACT
This work discusses the problem of mitigating voltage stability problems by the means
of reactive power control and load shedding. Some aspects related to the problem of
dynamic systems are revisited and discussed along the system modeling. The proposed
formulation takes into consideration the dynamic equations from the machines. Such a
model enables one to identify Hopf and saddle-node bifurcations in an electrical power
system.
Based on the eigenvalues theory, the left-eigenvecto associated with the critical
eigenvalue may be employed to identify some control actions, since it brings some
important pieces of information regarding the parameter sensitivity. Hence, such a
vector is early calculated with the help of a modified tangent vector, calculated along
the continuation method. This vector is meant to enhance the system voltage stcbility
with a low computational burden.
This vector is employed to identify the buses most likely to have reactive power
compensation as well as experiment load shedding.
The tests are carried out with the help of the New England system, with 39 buses, will
the limits considered.
viii
CONTEÚDO
AGRADECIMENTOS..............................................................................................................................V
RESUMO ................................................................................................................................................. VI
ABSTRACT............................................................................................................................................VII
LISTA DE DE TABELAS ........................................................................................................................X
LISTA DE FIGURAS ............................................................................................................................. XI
CAPÍTULO 1..............................................................................................................................................2
1.
Apresentação do problema...........................................................................................................2
1.1.
Introdução ................................................................................................................................2
1.2.
O problema de Instabilidade de Tensão...................................................................................3
1.3.
Análise Estática e Análise Dinâmica........................................................................................5
1.4.
Determinação de Ações de Controle......................................................................................10
1.5.
Modelagem do Sistema Elétrico.............................................................................................11
1.6.
Motivação...............................................................................................................................12
CAPÍTULO 2............................................................................................................................................15
2.
Fundamentos Teóricos ...............................................................................................................15
2.1.
Equações Diferenciais Ordinárias .........................................................................................15
2.2.
Fluxo de Carga.......................................................................................................................16
2.3.
Estabilidade de Tensão...........................................................................................................18
2.4.
Autovalores e Autovetores......................................................................................................23
2.5.
Bifurcação em Sistemas Elétricos ..........................................................................................26
2.6.
Método da Continuação .........................................................................................................28
2.7.
Sistemas de Equações Algébrico-Diferenciais .......................................................................32
2.8.
Vetor Tangente e Autovetores.................................................................................................34
2.9.
Limitação do Fluxo de Carga.................................................................................................36
2.10.
Modelo Completo do Sistema.............................................................................................37
2.10.1.
Gerador Síncrono ..........................................................................................................................38
2.10.2.
Regulador de Tensão..................................................................................................................... 39
2.10.3.
Regulador de Velocidade ..............................................................................................................40
2.10.4.
Modelos de Carga..........................................................................................................................41
2.10.5.
Equações de Rede..........................................................................................................................41
2.10.6.
Transformadores Comutados Sob Carga.......................................................................................42
2.10.7.
Modelo Completo do Sistema Elétrico..........................................................................................43
2.11.
Método da Continuação para o Modelo Completo do Sistema..........................................43
2.11.1.
Limites .......................................................................................................................................... 46
2.12.
Bifurcação Sela-Nó no Modelo Completo do Sistema........................................................47
CAPÍTULO 3............................................................................................................................................49
3.
Resultados ..................................................................................................................................49
3.1.
Análise de Estabilidade..........................................................................................................49
3.2.
Obtenção da Margem de Carga.............................................................................................51
3.3.
Aplicação no Modelo Completo do Sistema...........................................................................53
3.3.1.
Identificação de Compensação Reativa e Corte de Carga no Ponto de Colapso............................ 53
3.3.2.
Identificação de Compensação Reativa e Corte de Carga no Caso Base.......................................58
3.3.3.
Identificação de Compensação Reativa e Corte de Carga no Primeiro Passo do Método da
Continuação....................................................................................................................................................61
3.4.
Aplicação no Modelo Estático do Sistema .............................................................................65
3.4.1.
Identificação de Compensação Reativa e Corte de Carga no Ponto de Colapso............................ 67
3.4.2.
Identificação de Compensação Reativa e Corte de Carga no Caso Base.......................................71
ix
3.4.3.
Identificação de Compensação Reativa e Corte de Carga no Primeiro Passo do Método da
Continuação....................................................................................................................................................74
CAPÍTULO 4............................................................................................................................................75
4.
Considerações Finais.................................................................................................................75
4.1.
Conclusão...............................................................................................................................75
4.2.
Trabalhos Futuros..................................................................................................................79
CAPÍTULO 5............................................................................................................................................80
5.
Referências Bibliográficas: ........................................................................................................80
APÊNDICE A ...........................................................................................................................................82
x
LISTA DE DE TABELAS
T
ABELA
3.1
I
DENTIFICAÇÃO DE COMPENSAÇÃO ATRAVÉS DE
VT
W E
VT
NO PONTO DE BIFURCAÇÃO
..........54
T
ABELA
3.2
I
DENTIFICAÇÃO DE CORTE DE CARGA ATRAVÉS DE
VT
W E
VT
NO PONTO DE BIFURCAÇÃO
......54
T
ABELA
3.3
M
ARGEM DE CARGA DO SISTEMA DE
39
BARRAS CONSIDERANDO AS AÇÕES DE CONTROLE
.....56
T
ABELA
3.4
M
ARGEM DE CARGA DO SISTEMA DE
39
BARRAS CONSIDERANDO AS AÇÕES DE CONTROLE
.....57
T
ABELA
3.5
I
DENTIFICAÇÃO DE COMPENSAÇÃO ATRAVÉS DE
VT
W
E
VT
NO CASO BASE
..............................58
T
ABELA
3.6
I
DENTIFICAÇÃO DE CORTE DE CARGA ATRAVÉS DE
VT
W E
VT
NO CASO BASE
..........................58
T
ABELA
3.7
M
ARGEM DE CARGA DO SISTEMA DE
39
BARRAS CONSIDERANDO AS AÇÕES DE CONTROLE
.....59
T
ABELA
3.8
M
ARGEM DE CARGA DO SISTEMA DE
39
BARRAS CONSIDERANDO AS AÇÕES DE CONTROLE
.....60
T
ABELA
3.9
I
DENTIFICAÇÃO DE COMPENSAÇÃO ATRAVÉS DE
VT
W E
VT
NO CASO BASE
.............................62
T
ABELA
3.10
I
DENTIFICAÇÃO DE CORTE DE CARGA ATRAVÉS DE
VT
W E
VT
NO CASO BASE
........................62
T
ABELA
3.11
M
ARGEM DE CARGA DO SISTEMA DE
39
BARRAS CONSIDERANDO AS AÇÕES DE CONTROLE
...62
T
ABELA
3.12
M
ARGEM DE CARGA DO SISTEMA DE
39
BARRAS CONSIDERANDO AS AÇÕES DE CONTROLE
...64
T
ABELA
3.13
I
DENTIFICAÇÃO DE COMPENSAÇÃO ATRAVÉS DE
VT
W E
VT
NO PONTO DE BIFURCAÇÃO
........67
T
ABELA
3.14
I
DENTIFICAÇÃO DE CORTE DE CARGA ATRAVÉS DE
VT
W E
VT
NO PONTO DE BIFURCAÇÃO
....68
T
ABELA
3.15
M
ARGEM DE CARGA DO SISTEMA DE
39
BARRAS CONSIDERANDO AS AÇÕES DE CONTROLE
...69
T
ABELA
3.16
M
ARGEM DE CARGA DO SISTEMA DE
39
BARRAS CONSIDERANDO AS AÇÕES DE CONTROLE
...70
T
ABELA
3.18
I
DENTIFICAÇÃO DE COMPENSAÇÃO ATRAVÉS DE
VT
W E
VT
NO CASO BASE
...........................71
T
ABELA
3.19
I
DENTIFICAÇÃO DE CORTE DE CARGA ATRAVÉS DE
VT
W E
VT
NO CASO BASE
........................71
T
ABELA
3.
20
M
ARGEM DE CARGA DO SISTEMA DE
39
BARRAS CONSIDERANDO AS AÇÕES DE CONTROLE
..72
T
ABELA
3.21
M
ARGEM DE CARGA DO SISTEMA DE
39
BARRAS CONSIDERANDO AS AÇÕES DE CONTROLE
...73
xi
LISTA DE FIGURAS
F
IGURA
2.1:
S
ISTEMA DE DUAS BARRAS
......................................................................................................20
F
IGURA
2.2:
E
QUILÍBRIO EM TRÊS CARREGAMENTOS
(
SISTEMA DE DUAS BARRAS
).....................................21
F
IGURA
2.3:
E
XEMPLO DE
B
IFURCAÇÃO
S
ELA
-N
Ó
A
TRAVÉS DA
E
QUAÇÃO
2.30........................................28
F
IGURA
2.4:
M
ÉTODO DA
C
ONTINUAÇÃO
....................................................................................................30
F
IGURA
2.4:
D
IAGRAMA DE BLOCOS DO REGULADOR DE TENSÃO
IEEE-DC1 .............................................39
F
IGURA
2.5:
D
IAGRAMA DE BLOCOS DO REGULADOR DE VELOCIDADE
.......................................................41
F
IGURA
3.1:
S
ISTEMA
N
EW
E
NGLAND DE
39
BARRAS
...................................................................................49
F
IGURA
3.2:
T
ENSÃO NAS
B
ARRAS
D
URANTE O
M
ÉTODO DA
C
ONTINUAÇÃO
–
M
ODELO
C
OMPLETO DO
S
ISTEMA
..............................................................................................................................................52
F
IGURA
3.3
–
M
ARGEM DE CARGA PARA COMPENSAÇÕES SUGERIDAS POR
VT
W E
VT................................56
F
IGURA
3.4
–
M
ARGEM DE CARGA PARA COMPENSAÇÕES SUGERIDAS POR
VT
W E
VT................................57
F
IGURA
3.5
–
M
ARGEM DE CARGA PARA COMPENSAÇÕES SUGERIDAS POR
VT
W E
VT................................59
F
IGURA
3.6
–
M
ARGEM DE CARGA PARA COMPENSAÇÕES SUGERIDAS POR
VT
W E
VT................................61
F
IGURA
3.7
–
M
ARGEM DE CARGA PARA COMPENSAÇÕES SUGERIDAS POR
VT
W E
VT................................63
F
IGURA
3.8
–
M
ARGEM DE CARGA PARA COMPENSAÇÕES SUGERIDAS POR
VT
W E
VT................................64
F
IGURA
3.9:
T
ENSÃO NAS
B
ARRAS
D
URANTE O
M
ÉTODO DA
C
ONTINUAÇÃO
–
M
ODELO
E
STÁTICO DO
S
ISTEMA
..............................................................................................................................................66
F
IGURA
3.10
–
M
ARGEM DE CARGA PARA COMPENSAÇÕES SUGERIDAS POR
VT
W E
VT..............................69
F
IGURA
3.11
–
M
ARGEM DE CARGA PARA COMPENSAÇÕES SUGERIDAS POR
VT
W E
VT..............................70
F
IGURA
3.12
–
M
ARGEM DE CARGA PARA COMPENSAÇÕES SUGERIDAS POR
VT
W E
VT..............................72
F
IGURA
3.13
–
M
ARGEM DE CARGA PARA COMPENSAÇÕES SUGERIDAS POR
VT
W E
VT..............................74
2
CAPÍTULO 1
1. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA
1.1. INTRODUÇÃO
Sistemas Elétricos de Potência (SEP) devem fornecer energia com condições
operacionais adequadas, confiabilidade, continuidade dos serviços e com variações
mínimas de tensão e freqüência [1].
A maximização da exploração econômica dos SEP e o crescimento contínuo das cargas
muitas vezes obrigam a priorizar critérios econômicos em detrimento dos técnicos na
ampliação do sistema, levando-o a operar em condições cada vez menos favoráveis às
perturbações inerentes ao funcionamento do sistema. Neste contexto, torna-se cada vez
mais importante atuar no desenvolvimento de ferramentas de análise de forma a
selecionar os componentes que possam oferecer a melhor solução de controle, mantendo
a confiabilidade operativa em níveis seguros e proporcionando ao SEP altos índices de
continuidade, qualidade e confiabilidade a menores custos econômicos.
O controle da operação do SEP pode ser dividida em três diferentes estágios [2]:
Preventivo, emergencial e restaurativo.
Objetiva-se que o sistema opere na maior parte do tempo em seu estado seguro. Este
estado é considerado como de operação normal do sistema, isto é, quando os limites do
sistema e as margens de estabilidade não são violados.
3
No estado de operação emergencial, alguns limites podem estar violados tal como
limites de geração de potência reativa nas máquinas ou sobrecargas marginais em linhas
de transmissão e geradores, no entanto, o sistema atende suas principais demandas.
O estado restaurativo é aquele em que o sistema é levado novamente para o estado
preventivo. Deve-se considerá-lo com o devido cuidado, uma vez que este abrange tanto
a passagem do estado emergencial para o preventivo como, no pior dos casos, quando
ocorre uma catástrofe maior, como em um colapso.
A operação do sistema está sujeita a diversas perturbações tal como um desligamento de
uma unidade geradora, um curto-circuito em uma linha de transmissão ou uma variação
de brusca de carga. Além disso, os aumentos contínuos nas cargas podem,
eventualmente, dirigir o sistema a um estado instável caracterizado pela diminuição
rápida dos valores da tensão nos barramentos. Este problema é denominado
instabilidade de tensão e será abordado a seguir.
1.2. O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE TENSÃO
Com a exploração cada vez mais intensa dos sistemas, faz-se tomar foco o problema de
instabilidade de tensão, problema este que é inerente a um nível de carregamento
bastante elevado. Se ações efetivas de controle não são implementadas, sucessivos
aumentos de carga podem levar um sistema à instabilidade. Este assunto passou a ter
maior destaque devido a ocorrências de incidentes deste tipo em diversos países
industrializados, inclusive no Brasil [3, 4, 5]. A instabilidade de tensão pode levar parte
do sistema a níveis de tensão muito baixos, podendo se propagar para as demais regiões
elétricas do sistema, com possibilidade de finalizar em um colapso de tensão [4,7].
Dentro deste contexto, o cálculo da margem de carga é importante. A margem de carga
é uma indicação de quão longe o sistema está da instabilidade, ou seja, o quanto pode-se
4
aumentar a carga do ponto de operação em análise até o limite de instabilidade do
sistema. A partir desta informação o operador do sistema pode tomar a decisão correta
de onde e quando realizar uma manobra no sistema, seja através de redespacho de
geradores, abertura e fechamento de anéis através das linhas de transmissão, ilhamento
de partes do sistema, inserção de bancos de capacitores ou, para um caso extremo, até
mesmo o corte de carga. A margem de carga pode ser obtida por diversos métodos,
como o Método da Continuação [6]. O Método da Continuação aplica incrementos de
carga no sistema até que ele atinja o seu ponto de colapso.
Diversas ferramentas podem ser utilizadas para análise da estabilidade. O grau de
complexidade e o detalhamento necessário são dependentes da análise a ser executada e
dos fenômenos envolvidos. A análise por técnicas de autovalores, por exemplo, estuda a
estabilidade de um sistema, em determinado ponto operativo, através da avaliação da
matriz associada ao sistema. Para o caso do sistema elétrico, a matriz associada é o
Jacobiano das equações que modelam o sistema, linearizado em torno de um ponto de
equilíbrio. A cada autovalor está associado a um autovetor à direita e um autovetor à
esquerda, que fornecem informações sobre a sensibilidade das variáveis de estado do
sistema. Além disso, uma aproximação dos autovetores associados ao autovalor crítico
pode ser utilizado. Neste trabalho explora-se a aproximação por meio do vetor tangente,
obtido durante o Método da Continuação. O autovetor à esquerda associado ao
autovalor crítico do sistema traz informações sobre a sensibilidade dos parâmetros do
sistema e desta forma pode ser utilizado para identificar ações de controle. Assim, uma
aproximação do autovetor à esquerda, baseado no vetor tangente obtido durante o
Método da Continuação é discutida e proposta neste trabalho, de forma a identificar
ações de controle que melhorem a estabilidade do sistema a um baixo custo
computacional..
5
1.3. ANÁLISE ESTÁTICA E ANÁLISE DINÂMICA
Matrizes de Sensibilidade
A sensibilidade das variáveis de estado do sistema é obtida através do Jacobiano do
fluxo de carga para um ponto de operação conhecido. Esta análise permite determinar as
barras cujas variáveis de estado variam com maior intensidade em relação a uma
variação de carga. A referência [8] discute o emprego desta técnica introduzindo o
conceito de controlabilidade na análise de colapso de tensão, assumindo que o sistema
elétrico não sofra nenhuma variação de potência ativa, com a barra swing absorvendo as
variações de perdas elétricas do sistema. Estas considerações permitem que se reduza a
matriz Jacobiana (que neste caso contém as equações de potência reativa das barras de
tensão controlada) às derivadas parciais das equações de potência reativa em relação ao
nível de tensão. Manipulações neste Jacobiano reduzido fornecem as matrizes de
sensibilidade propostas pelo autor.
A inclusão dos limites de geração de potência reativa na análise por matrizes de
sensibilidade é proposta em [9] e [10]. Esta última referência trata do problema de
compensação de potência reativa para melhorar a condição de estabilidade do sistema.
Note, entretanto, devido a não linearidade das equações de sistemas de potência, as
informações obtidas para um ponto de operação conhecido podem não ser válidas para
outros pontos de operação. Portanto, além de determinar a barra/área crítica do sistema
para um ponto de operação conhecido, deve-se saber se esta barra/área será a mesma na
medida em que um aumento no carregamento do sistema o dirigir ao ponto de colapso.
Estas informações, entretanto, não são fornecidas pelas matrizes de sensibilidade.
6
Teoria da Bifurcação
O estudo do comportamento da solução de um sistema de equações não lineares pode
ser obtido através da teoria da bifurcação [11]. De todos os tipos de bifurcação, as
bifurcações de sela-nó e hopf são as mais comuns em estudos da estabilidade da tensão.
Se um modelo dinâmico de sistema é empregado, ambos os tipos podem ser detectados.
Entretanto, se o modelo de fluxo de carga (estático) é escolhido, somente a bifurcação
de sela-nó é possível de ser encontrada. A bifurcação de hopf é caracterizada pela
existência de um par de autovalores puramente imaginários, enquanto que a bifurcação
de sela-nó é caracterizada pela existência de um autovalor real nulo (matriz Jacobiana
singular). Esta importante característica tem sido largamente explorada na literatura. As
técnicas citadas nas seções subsequentes reconhecem o ponto de colapso de tensão
como um ponto de bifurcação.
Método Direto
Encontra o ponto de sela-nó através do método de Newton-Raphson modificado. Ao
conjunto de equações de fluxo de carga é incorporado um conjunto de equações para
impor a singularidade da matriz Jacobiana e uma outra equação, para garantir a não
trivialidade da solução (autovetor não nulo). A referência [12] emprega este método,
que não fornece o diagrama de bifurcação e pode falhar se os limites de geração de
potência reativa forem considerados. Problemas de convergência podem também
ocorrer se o chute inicial estiver distante da solução.
Otimização
Neste estudo, em geral, a matriz Jacobiana é reduzida às equações de potência reativa
em função do nível de tensão. Na proposição do problema, o incremento de carga é a
função objetivo, cargas não otimizadas são restrições de igualdade e limites de geração
7
de potência reativa são as restrições de desigualdade. É assumido que a carga tenha um
fator de potência constante durante o processo de carregamento do sistema.
As referências [13] – [15] propõem o método de pontos interiores como técnica de
otimização. A primeira referência busca, a partir de um ponto de operação não factível,
o ponto de bifurcação, enquanto a segunda se propõe a achar o ponto de máximo
carregamento do sistema.
Valores Singulares e Autovalores
Consiste em, para cada ponto de operação, calcular o menore valor singular e autovalor
da matriz Jacobiana. As referências [16,17] tratam da análise de estabilidade de tensão
por valores singulares e autovalores, respectivamente. A medida em que aumenta-se o
carregamento do sistema, o menor valor singular e o menor autovalor diminuem, até se
tornarem nulos, quando o ponto de sela-nó é identificado. A referência [18], entretanto,
mostra que estes índices sofrem uma variação brusca no ponto de bifurcação. Portanto,
tais métodos tendem a falhar se um programa de fluxo de carga convencional for
empregado, uma vez que tal variação brusca só é observada se o programa de fluxo de
carga utilizado fizer uso de parametrização. Para uma matriz diagonalizável qualquer,
todas as informações fornecidas pelos autovalores podem ser também obtidas pelos
valores singulares, e vice-versa.
Determinante reduzido
Proposto em [19] como índice de estabilidade de tensão, baseia-se na redução da matriz
Jacobiana à dimensão das equações de potências ativa e reativa de cada barra de carga
em relação ao seu ângulo de fase e módulo da tensão. Esta matriz de dimensão 2x2 é
calculada para todas as barras de carga do sistema. Para cada barra de carga, a matriz
reduzida tem seu determinante calculado. A barra de carga associada ao menor
8
determinante é a barra crítica do sistema naquele ponto de operação. Entretanto, os
mesmos problemas relatados na seção anterior são observados aqui, i.e., a barra crítica
avaliada em um ponto de operação conhecido pode não ser a mesma no ponto de
operação seguinte. De fato, este problema é observado em [20], onde a barra crítica do
sistema muda de acordo com o aumento do carregamento. Se a barra crítica no ponto de
bifurcação é conhecida e os limites de geração de potência reativa são desprezados, o
determinante reduzido calculado em relação a esta barra fornece um comportamento
quadrático em relaçã
o ao fator de crescimento de carga. Entretanto, se estes limites forem considerados
(situação mais realista), uma descontinuidade é observada, conforme relatado em [18].
Esta descontinuidade é menos abrupta do que aquela observada no comportamento do
menor autovalor e valor singular, e ocorre antes do ponto de bifurcação. Entretanto, o
comportamento do determinante reduzido associado a outras barras de carga aproxima-
se do comportamento obtido para os menores autovalor e valor singular, conforme
mostrado em [18]. Portanto, este método também é incapaz de prever o ponto de
bifurcação a partir de um ponto de operação conhecido.
Técnica da função de energia
Funções de energia foram inicialmente empregadas em sistemas de potência para
estudos de estabilidade transitória. O método consiste em avaliar a energia total
(cinética e potencial) de um sistema de potência durante um distúrbio (curto-circuito,
por exemplo) no sistema. Para o sistema operar estável, a energia máxima que este pode
vir a ter durante o tempo de distúrbio deve ser igual a um nível de energia associado a
uma condição pós-falta. Esta metodologia determina o tempo crítico de abertura para o
qual o sistema se mantém estável.
9
O método pode também produzir resultados interessantes para a análise de estabilidade
de tensão. Nesta aplicação, somente a energia potencial do sistema é necessária,
dispensando a inclusão de amortecimento e modelos complexos de geradores.
A aplicação da função de energia à análise de estabilidade de tensão baseia-se na
medida da distância entre os pontos de equilíbrio estável e instável de um sistema.
Como um sistema elétrico de n barras tem 2n -1 possíveis soluções de fluxo de carga, a
determinação da solução instável de interesse não é trivial, como relatado em [21] e
[22]. Uma técnica para obtenção destas soluções foi proposta em [23] com bons
resultados. Na medida em que se aumenta o carregamento do sistema, o número
possível de soluções diminui, até que somente uma solução exista, com nível de energia
zero (ponto de bifurcação).
Técnicas de partição de redes
Os métodos expostos anteriormente são capazes de produzir resultados úteis para a
análise de estabilidade de tensão. Entretanto, alguns deste índices podem falhar, se um
programa de fluxo de carga convencional for empregado. Ainda que um processo de
parametrização fosse incorporado, o comportamento destes índices mostra que seria
necessário “caminhar” com o sistema até que o ponto de bifurcação seja encontrado. O
método da função de energia, por outro lado, é capaz de estimar o ponto de colapso a
partir de dois pontos de operação conhecidos, mas a determinação das soluções
instáveis de interesse se constitui uma barreira. Baseado nestas dificuldades, técnicas de
partição de redes pode ser de especial interesse, uma vez que a dimensão do sistema
analisado pode ser substancialmente reduzida.
Diversos artigos na literatura mostram que colapso de tensão é um fenômeno que
começa localmente e se espalha pelas barras vizinhas. Baseado nesta característica,
10
procura-se analisar o índice de segurança de um sistema de potência através do estudo
de uma pequena parte do sistema. Uma vez obtido o subsistema de interesse, aplica-se
qualquer uma das técnicas previamente discutidas. Referência [21] mostra que é
possível particionar um sistema usando o método de Ward, que consiste em reter as
barras de interesse através de manipulações na matriz Y. Entretanto, esta referência não
propõe nenhum método para a identificação da área crítica, e diversas partições devem
ser feitas para que o sistema inteiro seja devidamente estudado.
Método do vetor tangente
Discutido em [18], baseia-se no comportamento do maior componente do vetor tangente
em função do crescimento de carga. O cálculo deste vetor é facilmente incorporado em
qualquer programa de fluxo de carga convencional. Logo, sua facilidade de obtenção
constitui uma grande vantagem em relação aos métodos previamente descritos.
Entretanto, seu comportamento em função do aumento de carga produz a mesma
descontinuidade observada no comportamento do determinante reduzido às equações da
barra crítica do sistema, qualificando este método também como incapaz de estimar o
ponto de bifurcação. Este problema é superado pela da extrapolação quadrática, que a
partir de dois pontos de operação conhecidos busca o ponto de bifurcação através de
tentativa e erro. Uma outra vantagem deste método refere-se a identificação da barra
crítica, obtida para pontos de operação distantes do ponto de bifurcação.
1.4. DETERMINAÇÃO DE AÇÕES DE CONTROLE
A análise de estabilidade de tensão requer basicamente o estudo de três tópicos:
distância até o ponto de colapso (margem de carga), determinação de barra/área crítica e
determinação de ações de controle. Como mostrado anteriormente, os dois primeiros
itens tem sido largamente estudados na literatura, e diversos métodos para a
11
determinação eficientemente rápida de um índice têm sido propostos, muito embora o
assunto esteja longe de ser esgotado. O terceiro item, entretanto, tem sido pouco
explorado. Corte de carga como medida emergencial para a operação de um sistema de
potência tem sido proposto na literatura, enquanto a referência [23] propõe o uso de
matrizes de sensibilidade para a determinação de ações de controle. Nenhuma destas
referências busca a determinação destas ações através da barra/área crítica de um
sistema. Esta proposta é feita na referência [24], onde ações de controle são
determinadas através de matrizes de sensibilidade calculadas em função da barra crítica.
Note-se que a determinação desta barra não é trivial, mas uma técnica eficiente para a
determinação desta barra é proposta neste trabalho. Ações de controle contemplando
corte de carga [25] e bloqueio de tapes de transformadores [26], além de redespacho de
potência ativa nos geradores [27] também tem sido propostos com bons resultados.
Note, entretanto, que um dado interessante a ser estudado diz respeito a ações de
controle que levem em consideração as características dinâmicas do sistema. Tal análise
é desenvolvida em [28], onde uma seleção de contingências é proposta para análise
como resultado da metodologia.
1.5. MODELAGEM DO SISTEMA ELÉTRICO
Para análise em regime permanente geralmente a análise estática pode ser suficiente.
Entretanto, desprezar as equações diferenciais que modelam o sistema pode distorcer a
análise do seu ponto de equilíbrio [29]. No caso de análises de estabilidade de longo
termo pode ser necessária.
O colapso de tensão é um fenômeno caracteristicamente não linear, e é usual abordá-lo
a partir de métodos não lineares, como a teoria da bifurcação. A teoria das bifurcações
tem como objetivo a análise no limiar da instabilidade e devem ser considerados
12
modelos do sistema conforme o fenômeno de interesse. Nas análises das bifurcações
utilizam-se os modelos de sistemas elétricos de potência a partir de um conjunto de
equações diferenciais, algébrico-diferenciais e estáticas (ou puramente algébricas) [30].
Diversos estudos de bifurcações são desenvolvidos baseados na aplicação do fluxo de
carga convencional, no entanto a validade do modelo somente se confirma a partir de
algumas preposições são assumidas. Quando um gerador é assumido como barra de
geração, do ponto de vista dinâmico, implica que o gerador possui regulador de tensão
com ganho estático infinito e controle perfeito da tensão secundária da máquina,
preposições estas que não condizem com a realidade [12]. Este problema pode ser
contornado representando-se por faixa os limites de tensão e de potência reativa dos
geradores, que leva a resultados mais próximos à realidade,
No intuito de apresentar uma modelagem mais próxima do real, nesta dissertação são
realizadas análises considerando as equações dinâmicas das máquinas, seus controles e
seus respectivos limites. Formulação esta que vai além da convencional de fluxo de
carga. É utilizada a formulação algébrico-diferencial, resolvendo-se as equações
diferenciais e algébricas do sistema simultaneamente para um dado ponto de equilíbrio.
Os limites de corrente de campo e armadura do gerador passam a ser considerados e
simplificações sobre as barras swing e PV não são mais necessárias.
1.6. MOTIVAÇÃO
A operação do sistema elétrico de potência muitas vezes está sujeita a diversas
perturbações, levando-o a seu estágio emergencial, ou restaurativo. Ocorrências como
desligamento de alguma linha de transmissão, entrada de um grande bloco de carga e
até mesmo sucessivos crescimentos de carga podem levar o sistema à instabilidade.
Assim, é importante interagir no sistema de forma cirúrgica, atuando efetivamente nos
controles que apresentam os melhores resultados. Tais ações permitiriam levar o sistema
13
novamente para seu estágio preventivo com menores transtornos para o restante do
sistema, seja em termos de confiabilidade, em termos de abrir mão de operar em
condição ótima (econômica) de despacho das usinas, manobrar bancos de capacitores ou
mesmo corte de carga. Esta última opção é evitada a todo custo visto que suprir as
cargas é a razão única de se existir o SEP.
Propõe-se neste trabalho uma aplicação baseada na teoria de autovalores. O autovetor à
esquerda associado ao autovalor crítico do sistema pode ser utilizado para identificar
ações de controle no sistema, uma vez que traz informações sobre a sensibilidade dos
parâmetros. Assim, objetiva-se aplicar neste trabalho uma aproximação do autovetor à
esquerda, baseado no vetor tangente obtido durante o Método da Continuação, de forma
a identificar as melhores ações de controle do ponto de vista de estabilidade de tensão.
O vetor tangente apresenta uma vantagem importante por permitir sua inclusão
diretamente na formulação do fluxo de carga, proporcionando baixo custo
computacional.
O problema de colapso de tensão está fortemente relacionado com o baixo suporte de
potência reativa nas barras, muitas vezes relacionado à grande distância das gerações
em relação aos centros de carga. Assim, um suporte local de potência reativa é
importante para manter as condições operativas do sistema. As análises de sensibilidade
também podem ser utilizadas para se definir os melhores locais para instalação
compensação de potência reativa.
Finalmente, quando todas as ações de controle possíveis já foram implementadas, resta-
se apenas a alternativa mais drástica, que é o corte de carga. De forma a criar o menor
transtorno possível é importante tomar mão de técnicas que apontem as barras mais
eficazes para levar o sistema a seu estagio preventivo, com o menor corte de carga
possível.
14
As aplicações deste trabalho focam-se nas ações de controle baseadas em alocação de
compensação de potência reativa e corte de carga. Deve ser observado que estas ações
devem ser aplicadas em horizontes distintos de tempo. A compensação reativa é
aplicada no planejamento da operação. O corte de carga é aplicado em último caso,
quando todas as compensações reativas foram aplicadas e ainda são necessários ações
de controle.
Este trabalho é organizado da seguinte forma: No Capítulo II são descritos os aspectos
teóricos nos quais se baseiam este trabalho. No Capítulo III apresenta-se a formulação
do problema aplicado ao sistema New England, bastante conhecido na literatura.
Finalmente, no Capítulo IV apresentam-se as conclusões deste trabalho indicando as
possíveis contribuições desta dissertação.
15
CAPÍTULO 2
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Qualquer sistema físico pode ser modelado por um conjunto de n equações diferenciais
ordinárias (EDO). Quando o comportamento do sistema não depende explicitamente do
tempo, este é dito autônomo e sua representação é dada geralmente por [31].
( )
x f x
=
&
(2.1)
onde x é um vetor nx1 de variáveis linearmente independentes que definem o estado do
sistema. Desta forma, qualquer outra variável pode ser escrita como uma combinação
destas variáveis de estado. Adicionalmente, f é um vetor composto por f
i
, (i=1,2,...,n),
que é uma função linear de todos os x
i
, (i=1, 2, ..., n).
Através da solução das EDOs pode-se inferir sobre o comportamento dinâmico de um
sistema para determinada condição x
0
.
Ponto de Equilíbrio
Caso existam, os pontos de equilíbrio de uma EDO (2.1) é dados pela solução x
0
do
sistema algébrico:
( ) 0
f x
=
(2.2)
Quando todas as soluções de (2.1) para qualquer condição inicial x nas redondezas de
x
0
, permanece nas proximidades de x0 quando t → ∞ diz-se que o ponto de equilíbrio x
0
sistema é estável. O equilíbrio é dito assintoticamente estável se para qualquer condição
16
inicial x nas redondezas de x
0
a solução de (2.1) tender a x
0
.Se um equilíbrio não é
estável, este é dito instável.
A partir de um ponto de equilíbrio podem-se realizar diversos estudos de estabilidade.
As condições iniciais destes estudos podem ser obtidas através do fluxo de carga.
2.2. FLUXO DE CARGA
Através do fluxo de carga de um sistema de energia elétrica é possível se determinar o
estado de regime permanente do sistema obtendo todas as suas variáveis de estado. De
posse das variáveis de estado pode-se determinar qualquer outra variável de interesse
[32].
Assim, diversos estudos em sistemas elétricos de potência (SEP) passam primeiramente
pela resolução do fluxo de carga tais como análise de transitórios eletromagnéticos,
estudos de expansão e operação segura do sistema e estudos de colapso de tensão.
Algumas simplificações são adotadas na resolução do fluxo de carga:
As cargas ativas e reativas são consideradas constantes. Desta forma, o
cálculo é equivalente a uma fotografia do sistema para uma condição de
carga conhecida.
O sistema elétrico trifásico é considerado equilibrado em relação às suas
três fases e a representação unifilar é suficiente. Esta simplificação não
altera de forma significativa a precisão dos resultados.
Geralmente os dados disponíveis para resolução do fluxo de carga são a potência
entregue pelos geradores e suas tensões terminais (barras PV), as cargas conectadas ao
sistema (barras PQ) e a topologia da rede. Um dos geradores deve ser designado como
17
referência angular do sistema (barra Vθ
1
) sendo este responsável por modelar o
equilíbrio do SEP entre geração, carga e perda. O resultado do fluxo de carga é o
cálculo dos valores de tensão nas barras de carga e os ângulos de fase em todas as
barras do sistema.
As equações do fluxo de carga são não-lineares e são resolvidas iterativamente. A
equação (2.3) apresenta a formulação do problema.
.
PV PV
PQ PQ
PQ PQ
P
P J
Q V
θ
θ
∆ ∆
∆ = ∆
∆ ∆
(2.3)
Onde ∆P
PV
é o erro de potência ativa dos geradores (PV) e ∆P
PQ
e ∆Q
PQ
são os erros
de potência ativa e reativa, respectivamente, das barras de carga (PQ). A matriz J
representa a matriz Jacobiana do Fluxo de Potência, que representa as derivadas
parciais das equações de potência em relação às variáveis de estado do sistema. O
ângulo de fase dos geradores PV é representado por ∆θ
PV
e, finalmente, ∆P
PQ
e ∆V
PV
representam respectivamente os ângulos de fase e os módulos das tensões das barras
PQ a serem calculados. A matriz Jacobiana é detalhada a seguir:
P P
V
J
Q Q
V
θ
θ
∂ ∂
∂ ∂
=
∂ ∂
∂ ∂
(2.4)
Existem diversos métodos para resolução iterativa de (2.3), no entanto tem-se utilizado
o método de Newton-Raphson e suas variações [32]. A grande característica do
método de Newton é a convergência quadrática, quanto mais se aproxima da solução,
mais rápida será a convergência.
1
Também designada como barra de folga, slack ou swing.
18
O fluxo de carga é utilizado para se obter as condições iniciais para estudos de
estabilidade, como estabilidade transitória e estabilidade em regime permanente. Além
disso, ele pode ser utilizado para o estudo da estabilidade de tensão, que é visto a
seguir.
2.3. ESTABILIDADE DE TENSÃO
A estabilidade de um SEP pode ser definida como a capacidade que um sistema em
equilíbrio tem de atingir um segundo estado de equilíbrio quando submetido a uma
situação de perturbação sem que haja variação significativa de suas principais variáveis
[1]. Uma perturbação pode ser um desligamento de uma unidade geradora, um curto-
circuito em uma linha de transmissão, uma variação de carga etc.
O fenômeno de estabilidade é um problema global do sistema e deve ser avaliado
conjuntamente com suas propriedades de equilíbrio dinâmico. Desta forma, a
modelagem do comportamento dinâmico do SEP deve ser representado por meio de
equações algébrico-diferenciais [3, 33]. A estabilidade de um sistema de potência pode
ser avaliada diante de diversas grandezas (ângulo, freqüência e tensão), dependendo da
natureza da perturbação e do período envolvido para a perturbação [1,3,7]. A inclusão
ou separação de determinadas características como tempo de avaliação, a instabilidade
envolvida, componentes a serem considerados (dependendo da velocidade de atuação)
determinará o graus de detalhamento a ser aplicado na análise do sistema e as
ferramentas a serem aplicadas, de acordo com o fenômeno a ser avaliado.
O assunto estabilidade de tensão tomou importância devido a ocorrências de incidentes
deste tipo nos principais países industrializados, inclusive no Brasil [3,4,5]. A
estabilidade de tensão representa a capacidade que o sistema tem de manter as tensões
em todas as barras do sistema em níveis aceitáveis após uma perturbação, considerando
que ele estava operando em condições satisfatórias na situação pré-perturbação [1,3,7].
19
Quando o sistema, após a perturbação, passa a encaminhar para uma progressiva e
incontrolável queda de tensão, diz-se que o sistema sofreu uma instabilidade de tensão
[34].
A ocorrência de instabilidade de tensão pode levar parte do sistema a níveis de tensão
muito baixos, podendo de propagar para a totalidade do sistema proceesso esse
denominado por colapso de tensão [4,7]. Assim, este é um fenômeno local que pode se
espalhar pela vizinhança [3, 24]. O tempo transcorrido desde o distúrbio inicial até o
colapso de tensão pode variar desde uma fração de segundo até dezenas de minutos [4].
O problema de colapso de tensão está intimamente ligado a situações quando o SEP está
operando com níveis de carga muito elevados, com condições extremas de exploração, e
o sistema de potência perde a habilidade de manter o balanço apropriado de potência
reativa e manter um suporte adequado de tensão através do sistema [1,7]. Quando o
transporte de energia reativa numa determinada região elétrica se torna mais difícil, com
as linhas excedendo sua capacidade de transporte, qualquer solicitação adicional de
potência pode provocar colapso de tensão.
Exemplo utilizando um sistema de duas barras
Para auxiliar no entendimento do problema de estabilidade de tensão, será apresentado
um exemplo de um sistema elétrico com duas barras [4], composto por um gerador sem
limites de geração de potência ativa e reativa alimentando uma carga P + jQ através de
um linha de transmissão, cujo limite térmico não será considerado. O sistema é
exemplificado na Figura 2.1:
20
Figura 2.1: Sistema de duas barras
As equações de fluxo de carga representativas deste sistema são mostradas nas equações
(2.5) e (2.6).
2
1 2
2 2 2 1
cos( ) cos( )
V V
P V
Z Z
δ δ β β
= − − + + (2.5)
2
1 2
2 2 2 1
sen( ) sen( )
V V
Q V
Z Z
δ δ β β
= − − + + (2.6)
A partir destas equações pode-se esboçar o gráfico a seguir para diferentes valores de V
e δ (tensão e ângulo, respectivamente, na barra 2), para diferentes valores de carga
com o fator de potência constante onde os pontos de equilíbrio são representados pelas
intersecções das curvas. Os valores de carregamento são de tal forma que P1<P2<P3 e
Q1<Q2<Q3. De acordo com o carregamento o sistema de equações pode assumir os
seguintes comportamentos:
Na intersecção de P
1
e Q
1
o sistema tem duas soluções nos pontos w
1
e
w
1
’;
No ponto de tangenciamento P
2
e Q
2
o sistema tem uma solução no ponto
w
2
.
Para o carregamento P
3
e Q
3
não há pontos de intersecção e o sistema não
possui solução.
V ( )
1
δ
δδ
δ
1
V ( )
2
δ
δδ
δ
2
Z
β
ββ
β
P + jQ
21
Através do gráfico é possível observar que há um limite de transferência de potência e a
partir daquele ponto não há mais soluções para o sistema. O ponto de tangenciamento
das curvas P
2
e Q
2
representa a máxima carga que pode ser transferida pelo o sistema.
1
Q
1
P
2
P
2
Q
3
P
3
Q
δ
V
´1
w
´´1
w
2
w
Figura 2.2: Equilíbrio em três carregamentos (sistema de duas barras).
Matematicamente, no ponto w
2
, significa que os vetores gradientes
∇
P e
∇
Q estão
alinhados de forma que pode ser assumida a seguinte relação:
P Q
α
∇ = ∇
(2.7)
onde
α
αα
α
é um escalar.
Definindo as variações incrementais de P e Q como:
P P
P V
V
∂ ∂
θ
∂θ ∂
∆ = ∆ + ∆
(2.8)
Q Q
Q V
V
∂ ∂
θ
∂θ ∂
∆ = ∆ + ∆
(2.9)
Os vetores gradientes de P e Q assumirão a seguintes formas:
22
P
P
P
V
∂
∂θ
∂
∂
∇ =
(2.10)
Q
Q
Q
V
∂
∂θ
∂
∂
∇ =
(2.11)
E a partir da equação (2.7) tem-se:
0
P Q
∂ ∂
α
∂θ ∂θ
− =
(2.12)
0
P Q
V V
∂ ∂
α
∂ ∂
− =
(2.13)
O Jacobiano do sistema do fluxo de carga é dado pela equação (2.4), repetida abaixo:
P P
V
J
Q Q
V
θ
θ
∂ ∂
∂ ∂
=
∂ ∂
∂ ∂
(2.14)
Desta forma, a solução dos equações (2.12) e (2.13) requer que a o determinante da
matriz jacobiana do fluxo de potência nulo, ou seja:
0
P Q P Q
V V
∂ ∂ ∂ ∂
∂θ ∂ ∂ ∂θ
− =
(2.15)
Ou seja, no ponto de máximo carregamento o Jacobiano é singular. O jacobiano tornar-
se singular no ponto de máximo carregamento traz informações importantes quanto ao
limite de estabilidade de tensão. A singularidade da matriz jacobiana implica em que
haja pelo menos um autovalor nulo, apresentando-se como uma importante ferramenta
para desenvolvimento de índices de avaliação de estabilidade, assunto este que é
explorado no decorrer deste trabalho.
A identificação do ponto de singularidade da matriz Jacobiana pode ser uma tarefa
espinhosa, caso a mesma esteja associada a um sistema de grande dimensão. O emprego
23
de autovalores pode simplificar esta tarefa, e por esta razão, sua teoria é brevemente
descrita a seguir.
2.4. AUTOVALORES E AUTOVETORES
Considere o sistema linear descrito pela equação (2.16).
x Ax
=
&
(2.16)
Este sistema linear possui apenas uma solução [35]. Os autovalores
µ
da matriz de
estados A definem a estabilidade do sistema e são dados por:
det( ) 0
A I
µ
− =
(2.17)
onde
I
é uma matriz identidade de ordem
n
e
det(.)
representa o determinante. Se todos
os autovalores de A tiverem parte real negativa, o equilíbrio é assintoticamente estável.
Se pelo menos um autovalor apresentar parte real positiva, o equilíbrio é instável. Mais
detalhes sobre a técnica dos autovalores podem ser encontrtados em [36, 37].
Em sistemas elétricos a modelagem é realizada através de sistemas de equações não-
lineares. Os sistemas não-lineares podem apresentar múltiplas soluções, uma ou até
mesmo nenhuma solução. A matriz associada ao sistema elétrico é o Jacobiano das
equações diferenciais do sistema, linearizado
2
em torno de um ponto de equilíbrio x
0
[35]:
x J x
∆ = ∆
&
(2.18)
onde o
Jacobiano
J é dado por:
0
x x
f
J
x
=
∂
=
∂
(2.19)
Analogamente a sistemas lineares, o equilíbrio do ponto x
0
é definido pelos autovalores
da matriz
Jacobiana
do sistema, isto é, o ponto de equilíbrio
x
0
é assintoticamente
estável se todos os autovalores da matriz
J
possuírem parte real negativa. Pontos de
equilíbrio estáveis também são conhecidos como
nós estáveis
ou simplesmente
nós
. No
2
Considera-se apenas o primeiro termo da expansão em série de Taylor.
24
caso de pelo menos um autovalor possuir parte real positiva enquanto os demais
possuírem parte real negativa, o ponto de equilíbrio x
0
é dito instável. Este ponto é
conhecido como
ponto de sela
. Se todos os autovalores da matriz de estados possuírem
parte real positiva este é denominado
nó instável
ou
fonte
.
Quando um ou mais autovalores apresentarem parte real nula, não há informação sobre
a estabilidade do sistema e este apresenta uma bifurcação. Uma bifurcação representa
uma mudança qualitativa no sistema conforme um parâmetro é variado [11,31]. À
medida que o sistema é carregado lentamente, a partir de um ponto de equilíbrio estável
(nó), a parte real dos autovalores da matriz Jacobiana aproxima-se de zero pela
esquerda. Quando um destes autovalores se torna nulo a bifurcação ocorre e, a partir
desta carga crítica, não há mais pontos de equilíbrio e o Jacobiano deixa fazer sentido já
que ele descreve a linearização do sistema em torno de um ponto de equilíbrio.
Ademais, a cada autovalor
µ
i
(
i
=1, 2,..., n) tem-se associado um autovetor à direita (
v
i
)e
um autovetor à esquerda (
w
i
):
i i i
Av v
µ
=
(2.20)
T
i i i
w A w
µ
=
(2.21)
estes autovetores são ortonormais entre si, ou seja:
0, para todo
T
i j
w v i j
= ≠
(2.22)
1, para todo
T
i j
w v i j
= =
(2.23)
Definindo as matrizes:
1 2
[ ... ]
n
V v v v
=
(2.24)
1 2
[ ... ]
T
n
W w w w
=
(2.25)
1 2
( ... )
n
diag
µ µ µ
Λ =
(2.26)
Tem-se que:
25
1
1
V AV
WAW
WAV
−
−
Λ =
=
=
(2.27)
De forma a eliminar o acoplamento entre as variáveis de estado, um novo vetor
z
é
definido a partir de
∆
x
como:
x Vz
∆ =
(2.28)
E desta forma tem-se:
z z
= Λ
&
(2.29)
A equação (2.29) é composta por
n
equações diferenciais de primeira ordem, cuja
solução em relação ao tempo é dada por:
( ) (0)
i
t
i i
z t z e
µ
=
(2.30)
Aplicando a transformação (2.28) para cada
i
,(
i
=1, 2, ... , n) , obtém-se:
0
1
( )
i
n
t
T
i i
i
x t e v w x
µ
=
=
∑
(2.31)
Se a condição inicial x
0
for colinear a um autovetor à direita v
i
, ou seja:
0
i
x av
= (2.32)
a equação (2.31) pode ser reescrita como:
( ) ( )
i i
t t
T
i i i i
x t ae w v v be v
µ µ
= = (2.33)
A equação (2.33) demonstra a propriedade invariante do autovetor à direita. Além disso,
se µ
i
tem parte real negativa, a trajetória de x(t) dada pela equação (2.33) tende a se
aproximar do ponto de equilíbrio, uma vez que
0 quando
i
t
e t
µ
→ →∞
Similarmente, a trajetória de x(t) tende a infinito quando há um autovalor com parte real
positiva.
Da equação (2.28) tem-se que:
26
( ) ( )
x t Vz t
∆ =
(2.34)
e
( ) ( )
z t W x t
= ∆
(2.35)
Isto mostra que o autovetor à direita apresenta a influência de cada variável em um
modo de oscilação e o autovetor à esquerda identifica a combinação de variáveis que
mais influenciam em um modo de oscilação. Desta forma pode-se analisar para um
determinado ponto de equilíbrio quais variáveis de estado são mais sensíveis à
perturbação no sistema e quais variáveis de estado mais influenciam para esta
perturbação.
2.5. BIFURCAÇÃO EM SISTEMAS ELÉTRICOS
O colapso de tensão é um fenômeno tipicamente não-linear cabendo, assim, a aplicação
de técnicas de análise não lineares para avaliação do problema, como a teoria das
bifurcações. Uma bifurcação representa uma mudança qualitativa no sistema não-linear
conforme um parâmetro é variado [11,31], oferecendo informações sobre a estabilidade
do sistema analisado.
Seja o sistema não-linear descrito pela equação (2.36)
( , )
x f x u
=
&
(2.36)
onde
x
é um vetor de dimensão n composto pelas variáveis de estado do sistema e u o
vetor de dimensão k composto pelos parâmetros que levam o sistema de um ponto de
equilíbrio a outro. Deve-se observar que o vetor de parâmetros não faz parte das
variáveis de estado do sistema. Para cada valor de u há um ponto de equilíbrio definido
por:
0
( , ) 0
f x u
=
(2.37)
Na teoria das bifurcações admite-se que os parâmetros do sistema variem lentamente e
seu principal objetivo é estudar o sistema no limite da instabilidade. Entre as
27
bifurcações pode-se citar a transcrítica, forquilha, sela-nó e a de Hopf. Em SEP tem-se
a ocorrência mais comum da Bifurcação de Hopf e a sela-nó. Considerando um modelo
dinâmico do sistema, ambas podem ser identificadas, no entanto, se é aplicado o modelo
de fluxo de carga (estático), somente a bifurcação sela-nó pode ser detectada devido às
restrições impostas pela modelagem estática do sistema.
Na bifurcação sela-nó, o ponto de operação estável (equilíbrio estável) desaparece e a
conseqüência é o colapso dinâmico dos estados do sistema [30]. No Sistema Elétrico
este colapso pode causar um colapso de tensão. Assim, é interessante estudar este tipo
de colapso de forma a entendê-lo e evitar esses possíveis colapso de tensão.
Através do sistema não-linear exemplificado pela equação (2.38) é possível descrever a
bifurcação sela-nó [5].
2
x x
λ
= −
&
(2.38)
onde u = [
λ
] é o parâmetro que leva o sistema de um ponto de equilíbrio a outro. A
solução deste sistema é dada por:
x
λ
= ± −
(2.39)
Considerando o ponto de equilíbrio ( ), conforme a variação do parâmetro λ é
possível traçar o gráfico da Figura 2.3. Pode-se observar as seguintes possibilidades de
solução:
0
x
=
&
28
Figura 2.3: Exemplo de Bifurcação Sela-Nó Através da Equação 2.30
Para λ < 0, não existe ponto de equilíbrio fixo;
Para λ = 0, existe um ponto de equilíbrio fixo;
Para λ > 0, existem dois pontos de equilíbrio fixo.
Conforme λ se aproxima pela esquerda, a equação (2.17) possui um ponto de equilíbrio
instável (sela) e um ponto de equilíbrio estável (nó). Na bifurcação, onde λ = 0, o único
ponto de equilíbrio apresenta características tanto do ponto de sela como do ponto de
nó.
2.6. MÉTODO DA CONTINUAÇÃO
O Método da Continuação é utilizado para traçar o caminho de um sistema a partir de
um ponto de equilíbrio estável até o seu colapso [11]. O modelo de equação utilizado
para descrição do método é dado pela equação (2.36). Há dois passos que movem o
sistema:
29
Passo previsor
: considerando que seja conhecido o primeiro ponto de equilíbrio, a
equação (2.36) é reescrita como:
0 0
( , )
x f x u
=
&
(2.40)
Derivando-se a equação (2.40) em relação a
x
e a
u
obtém-se:
0
0 0
( , )
( , ) 0
x
f x u
dx
D f x u
du u
∂
+ =
∂
(2.41)
O vetor tangente pode ser definido como um rearranjo da equação (2.41).
1
0 0
0 0 0
( , )
( , )
x
dx f x u
VT D f x u
du u
−
∂
= = −
∂
(2.42)
Onde D
x
f(x
0
,u
0
) são as derivadas de f(x,u) em relação às variáveis de estado
x
no ponto
(x
0
,u
0
).
O passo gerado pelo revisor é:
0
0
0
x
VT
u
∆
=
∆
(2.43)
Considerando:
0
0
k
u
VT
∆ =
(2.44)
Pode-se normalizar o tamanho do passo. A constante k é utilizada para acelerar ou
retardar o processo até o ponto de bifurcação.
Substituindo a equação (2.44) na equação (2.43), obtém-se:
0
0
0
VT
x k
VT
∆ =
(2.45)
Desta forma, quanto mais inclinada for a curva que descreve o caminho até a
bifurcação, menor será o passo previsor, ou seja, a medida que se aproxima da
bifurcação, menores serão os passos aplicados. Esta propriedade se torna importante
pois no início do processo aplica-se passos mais longos e próximo à bifurcação são
aplicados passos cada vez menores, produzindo ganhos de tempo computacional.
30
Passo Corretor
: O objetivo do passo previsor é estabelecer uma solução para (x
1
,u
1
) a
partir do ponto (x
0+
∆x
0
, u
0
+∆u
0
), gerado pelo passo previsor. Resolvendo-se as equações
abaixo pode-se obter a solução do sistema.
0 0
0 0
( , ) 0
( , ) 0
f x u
x u
ρ
=
=
(2.46)
Considerando que o passo previsor e o passo corretor são perpendiculares, tem-se:
0 1 0 0
0 0
0 1 0 0
( , ) 0
x x x x
x u
u x x x
ρ
∆ − −∆
= =
∆ − −∆
(2.47)
A partir da solução obtida no passo previsor, as equações acima convergem para (x
1
,u
1
).
A desvantagem deste método é o alto esforço computacional necessário para resolução
de sistemas de grande porte, especialmente se este cálculo se fizer necessário para uma
grande quantidade de cenários operativos.
Uma maneira alternativa e eficaz é executar o Passo Corretor utilizando um fluxo de
potência com as condições iniciais definidas pelo Passo Previsor. O sistema converge
rapidamente.
A Figura 2.4 ilustra o funcionamento do método.
Figura 2.4: Método da Continuação
31
O Método da Continuação foi descrito matematicamente em [11] e aplicado em
sistemas de potencia em [6,12,38,39]. Este método é muito utilizado para obtenção do
ponto de bifurcação do sistema, onde o parâmetro u considerado é o aumento de carga e
geração.
Considerando novamente as equações do fluxo de potência (2.3), para um incremento
de carga do sistema u = [
λ
], sendo considerado como (1+∆λ), tem-se:
0
(1 )
esp
P P
λ
= + (2.48)
0
(1 )
esp
Q Q
λ
= + (2.49)
onde P
0
e Q
0
são as potências ativas e reativas iniciais do sistema. Rearranjando as
equações acima tem-se:
0
P P
λ
∆ = (2.50)
0
Q Q
λ
∆ = (2.51)
Substituindo as equações (2.50) e (2.51) na equação (2.3):
0
1
0
1
P
VT J
Q
V
θ
λ
−
∆
= =
∆
(2.52)
Desta forma, a equação (2.52) representa o vetor tangente quando o parâmetro é o
crescimento da geração/carga. O incremento de carga é dado por:
k
VT
λ
= (2.53)
Desta forma é aplicado o Passo Previsor incrementando-se a carga através das equações
(2.48) e (2.49). O Passo Corretor se resume em calcular o fluxo de carga utilizando
como condição inicial o Passo Previsor.
O cálculo deste vetor é facilmente incorporado em qualquer programa de fluxo de carga
convencional. Logo, sua facilidade de obtenção constitui uma grande vantagem em
relação a outros métodos. Uma outra facilidade da utilização do vetor tangente é o fato
32
da maior componente deste vetor indicar a barra mais sensível, isto é, uma pequena
variação de carregamento provoca grandes variações de tensões e ângulos.
Além disto, a referência [40] mostra que o vetor tangente converge para o autovetor à
direita associado ao autovalor nulo. A referência [41] mostra que a maior componente
no autovetor à direita indica a variável mais sensível no ponto de singularidade. Este
assunto é explorado neste trabalho.
2.7. SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICO-DIFERENCIAIS
O sistema de equações algébrico-diferenciais (EAD) é um sistema que contempla o
conjunto de restrições algébricas as quais podem estar sujeito um sistema de equações
diferenciais, representando os limites de um sistema físico. O sistema de EDO é
representado por:
( , , )
x f x y u
=
&
0 ( , , )
g x y u
=
(2.54)
onde x é um vetor com as n variáveis de estado, y é um vetor com as m variáveis
algébricas e u é o vetor com os k parâmetros.
Para análise de EAD é bastante utilizada o teorema da função implícita, que diz que
existe uma função continuamente diferenciável
3
, na qual as variáveis algébricas foram
eliminadas e é localmente única, descrita por:
( , )
x F x u
=
&
(2.55)
Existe uma única solução no tempo para a EAD (2.54) em cada um desses pontos,
levando-se em consideração que F é definida e suave em todos os pontos onde D
y
g não
é singular [42].
3
Também conhecida como função suave
33
Considerando-se um valor fixo para o parâmetro u, o equilíbrio da EAD (2.54) é
representado por:
( , , ) 0
f x y u
=
( , , ) 0
g x y u
=
(2.56)
Pode-se analisar a estabilidade de uma EAD, similarmente que a EDO, através da
linearização de (2.54) nas redondezas de um ponto de equilíbrio.
.
0
total
x x
J
y
∆ ∆
=
∆
&
(2.57)
onde:
x y
total
x y
D f D f
J
D g D g
=
(2.58)
Se D
y
g não for singular, ∆y pode ser eliminado de (2.57), ou seja:
[ . . ]
x y x y
x D f D f D g D g x
∆ = − ∆
&
(2.59)
Pode-se considerar:
. .
sys x y x y
A D f D f D g D g
= −
(2.60)
onde A
sys
é a matriz de estados do sistema. Para um dado vetor de parâmetros u, a
estabilidade em um ponto de equilíbrio da EAD (2.54) depende dos autovalores da
matriz de estados A
sys
. Conforme o conjunto de parâmetros é variado a EAD (2.54)pode
apresentar bifurcações, da mesma forma que aas EDOs. Conforme a fórmula de Schur,
para um D
y
g não singular, tem-se:
det( ) det( )det( )
total sys y
J A d g
=
(2.61)
34
Isto leva à uma conclusão relevante, que a matriz de estados A
sys
se torna singular ao
mesmo tempo que a matriz não reduzida J
total
.
2.8. VETOR TANGENTE E AUTOVETORES
A facilidade de implementação do vetor tangente à direita no fluxo de carga e sua
convergência para o autovetor à direita, associado ao autovetor nulo, traz grande
vantagem para aplicação de análise de sensibilidade no sistema. A análise de
sensibilidade é uma importante ferramenta a para identificação das variáveis de estado
críticas do sistema que o levam à instabilidade de tensão e das variáveis de estado que
representam os mais eficazes controles para afastar este sistema da instabilidade.
Considerando-se o parâmetro u da equação(2.42) , que leva o sistema de um ponto de
equilíbrio a outro, como sendo o aumento de carga ∆λ, obtém-se o vetor tangente
genérico descrito pela equação seguinte:
1
( , )
( , )
x
f x
VT D f x
λ
λ
λ
−
∂
= −
∂
(2.62)
As derivadas parciais de f(x,
λ
) em relação ao crescimento da carga, conforme descrito
para o passo previsor do Método da Continuação, representam o vetor de potência
especificadas em cada barra do sistema.
Uma outra abordagem para cálculo do VT é mostrada por Souza em [43], levando em
consideração características de diferenciação analítica e diferenciação numérica das
variáveis do sistema, analisadas em [44]. Souza mostra que o vetor das derivadas
parciais de f(x,
λ
)
em relação ao crescimento da carga para o VT pode ser substituído
pelo erro da solução convergida do fluxo de potência. Assim, a equação do VT pode ser
reescrita como:
[ ]
1
1
VT J erro
V
θ
λ
−
∆
= =
∆
∆
(2.63)
35
Multiplicando-se a equação (2.63) por
J
-1
, tem-se:
[ ]
1 1 1
1
J J J erro
V
θ
λ
− − −
∆
=
∆
∆
(2.64)
O lado esquerdo da equação (2.64) pode ser interpretado como uma única iteração do
Método Inverso da Potência, utilizado para cálculo do menor autovalor associado a uma
matriz quadrada [45]. Métodos de translação podem ser utilizados para o cálculo dos
demais autovalores.
Considerando que o vetor tangente converge para o autovetor à direita, a equação
seguinte é interpretada como um VT refinado por uma iteração do Método Inverso da
Potência.
[
]
1 1
VT J J erro
− −
= (2.65)
Adicionalmente, a análise do vetor tangente pode ser estendida ao autovetor à esquerda.
Na Seção 2.4 foi apresentado que o autovetor à esquerda identifica a combinação de
variáveis que mais influenciam em um modo de oscilação. Assim, o autovetor à
esquerda, associado ao autovetor nulo, pode ser utilizado para identificação das
variáveis de estado que mais efetivamente podem ser utilizadas para realização de ações
de controle, afastando o sistema da instabilidade.
Segundo as condições de transversalidade para a bifurcação sela-nó [11]
0 0
0 0
. . 0
T
x x
D f w D f v
= =
(2.66)
Considerando-se o VT na equação (2.66), tem-se:
. .
T
x w x
D f VT D f VT
= (2.67)
reescrevendo a equação (2.67):
1
( ) .
T
w x x
VT D f D f VT
−
= (2.68)
Aplicando se a aproximação do autovetor à direita em relação ao vetor tangente:
[
]
1 1
. .
x x
VT D f D f erro
− −
=
(2.69)
36
ou ainda:
[
]
1 1
( ) . .
T
w x x
VT D f D f erro
− −
=
(2.70)
Finalmente, tem-se:
[
]
1 1
( ) . .
T
w
VT J J erro
− −
=
(2.71)
A equação (2.70) define a aproximação do autovetor à esquerda, associado ao autovetor
nulo, através do VT
w
. Assim, propõe-se o uso do VT
w
como ferramenta para determinar
ações de controle no sistema, apontando as variáveis de estado que são mais eficientes
na aplicação de controle.
Deve-se levar em consideração que o VT aponta a sensibilidade baseada no Jacobiano
do fluxo de carga. Assim, a formulação do fluxo de carga e as variáveis de estado
contempladas no modelo são de suma importância para análise de sensibilidade.
Na formulação do fluxo de carga são feitas algumas preposições tal como assumir que
os geradores podem manter a tensão terminal na barra independentemente do
carregamento do sistema. Além disso, o comportamento transitório do gerador depende
das características dinâmicas da máquina síncrona e seus sistemas de controle,
ignorados no fluxo de carga convencional. Essas limitações são discutidas na seção
seguinte.
2.9. LIMITAÇÃO DO FLUXO DE CARGA
No estudo de estabilidade de tensão é preciso se traçar o caminho de um sistema a partir
de um ponto de equilíbrio até seu colapso na detecção do limite de estabilidade,
determinando seu ponto operativo a cada variação do parâmetro u. Contudo, deve-se
considerar que algumas simplificações são aplicadas na formulação do fluxo de carga
convencional, podendo camuflar o verdadeiro motivo pelo qual o sistema é levado ao
colapso.
37
Na Seção 2.2 foi apresentada a formulação do fluxo de carga e apontado que são
realizadas algumas considerações para se determinar o ponto operativo do sistema. É
assumido que os geradores são capazes de manter sua tensão terminal fixa. No entanto,
conforme a carga do sistema aumenta ou na ocorrência de alguma perturbação pode ser
que isto não ocorra de fato. Também é considerado que a barra swing ajuste toda a
perda do sistema.
Os limites podem ser implementados diretamente na formulação do fluxo de carga.
Assim, a variável deve ser fixada e um novo ponto de operação é obtido. Quando o
sistema está carregado pode-se encontrar dificuldade na obtenção da solução, sendo
necessária a repetição do processo diversas vezes. No entanto, mesmo depois de
encontrada uma solução, a análise da solução do Fluxo de Carga no ponto operativo
pode ser diferente do real, considerando-se que a representação do gerador no fluxo de
carga é diferente da sua representação na análise dinâmica.
Para a representação do comportamento transitório do gerador deve-se levar em
consideração as características dinâmicas da máquina síncrona e seus respectivos
sistemas de controle. Estas características não são consideradas para as barras Swing e
PV na formulação do fluxo de carga.
A próxima seção apresenta a formulação completa do sistema elétrico e o estudo do seu
ponto de equilíbrio, buscando contornar o problema apresentado.
2.10. MODELO COMPLETO DO SISTEMA
A estabilidade do sistema elétrico de potência está intimamente ligada à dinâmica da
máquina síncrona, uma vez que esta é a principal fonte de energia do sistema. Desta
forma, um modelo adequado para análise dinâmica do sistema elétrico deve contemplar
a dinâmica da máquina síncrona.
38
No modelamento do sistema elétrico é assumido que se tenha nb barras e ng geradores.
Cada gerador está associada a uma dinâmica de comportamento. Adicionalmente, cada
gerador possui um regulador de tensão e um regulador de velocidade. Neste trabalho
assume-se que todos os geradores estão associados aos mesmos modelos de regulador.
A seguir é apresentada a formulação dinâmica da máquina síncrona, que virá a compor
a representação completa do sistema elétrico para estudos de estabilidade.
2.10.1. GERADOR SÍNCRONO
De forma a simplificar a análise para sistemas de grande porte, os modelos de geradores
são desenvolvidos ignorando-se os transitórios elétricos do estator [3,33]. Desta forma,
as equações diferenciais do modelo de dois eixos que descreve o comportamento
dinâmico da máquina síncrona é dado por:
0
( )
i i m
δ ω ω ω
= −
&
(2.72)
1 ' '
[ ( ) ( ) ( ) ]
i i i i i i i i i
i i m i i m q d d q d q q d
M P D E X I I E X I I
ω ω ω
−
= − − − − − −
&
(2.73)
1 '
[ ( ) ]
i i i i i i i
q do fd q d d d
E T E E X X I
−
= − − −
&
(2.74)
1 '
[ ( ) ]
i i i i i i
d qo d q q q
E T E X X I
−
= − + −
&
(2.75)
onde ωm representa a referência do sistema., ω0 é a freqüência do sistema (377 rad/s)e
ωi é a freqüência do gerador. Ed
i
, Eq
i
, Id
i
e Iq
i
são as, respectivamente, tensões e
correntes transitórias de eixo direto e em quadratura. Os parâmetros Xd
i
e Xq
i
são as
reatâncias de eixo direto e em quadratura e X’d
i
, X’q
i
, Td
0
i
, Tq
0
i
são as reatâncias e
constantes de tempo transitória de eixo direto e em quadratura, respectivamente.
Finalmente, D
i
é o coeficiente de amortecimento e M
i
a constante de tempo de inércia
do gerador.
A interface entre o gerador e a rede é dada pelas seguintes equações:
39
'
cos( ) 0
i i i i
q i i i i q d d
E V Rs I X I
δ θ
− − − − =
(2.76)
'
sin( ) 0
i i i i
d i i i i d q q
E V Rs I X I
δ θ
− − − − =
(2.77)
Onde R
s
i
é a resistência de armadura da máquina. Pode-se observar que as equações
(2.76) e (2.77) podem ser resolvidas em termos de Id
i
e Iq
i
e seus valores substituídos nas
equações (2.73), (2.74) e (2.75).
2.10.2. REGULADOR DE TENSÃO
O sistema de excitação da unidade geradora tem como função alimentar o enrolamento
de campo da máquina síncrona e estabelecer funções de proteção e controle.
Neste trabalho será utilizado o modelo de sistema de excitação IEEE DC-1 [3],
representada pelo diagrama de blocos da Figura 2.4, onde a malha representativa da
saturação do circuito de campo é considerada. O V
PSS
, responsáveis por sinais
adicionais que proporcionam amortecimento nas oscilações do sistema, aparece como
um sinal adicional junto à referência. Os parâmetros Vrmax
i
e Vrmin
i
limitam a tensão de
saída do primeiro bloco.
Figura 2.4: Diagrama de blocos do regulador de tensão IEEE-DC1
40
As equações diferenciais que descrevem o modelo do regulador de tensão são dadas
por:
1
[ ( ( )) ]
i i i i
fd e i i fd fd
E T Vr Ke Se E E
−
= − +
&
(2.78)
1
[ ( )]
i i i
i a r i ref i f
Vr T V Ka V V R
−
= − + − −
&
(2.79)
1
[ ( ( )) ]
i i
i i i i i i
i i
f f
f f f fd fd r
f f
k k
R T R Ke Se E E V
T T
−
= + + +
&
(2.80)
onde V
i
representa o módulo da tensão terminal da máquina síncrona, Vr
i
é a tensão de
saída do regulador de tensão, Vs
i
é a tensão de saída da malha de estabilização e Vref é a
tensão de referência. V
PSS
representa a tensão adicional estabilizante e é zero em regime
permanente, Efd
i
é a tensão da máquina síncrona, Se Efd
i
modela a saturação da excitatriz
(função de Efd
i
). Ka
i
é o ganho do regulador de tensão, Ta
i
é a constante de tempo do
regulador de tensão, Ke
i
é o ganho da excitatriz, Te
i
é a constante de tempo da excitatriz,
Kf
i
é o ganho da malha de estabilização, Tf
i
é a constante de tempo da malha de
estabilização. Finalmente, Vrmax
i
e Vrmin
i
são os limites superior e inferior de saída do
regulador de tensão. Observe que a equação (2.80) somente tem validade quando
Vrmax<V
i
<Vrmin
i
.
2.10.3. REGULADOR DE VELOCIDADE
Utiliza-se neste trabalho o mesmo regulador apresentado em [29], reproduzido na
Figura 2.5. Este modelo pode ser utilizado para representar reguladores de turbinas
hidráulicas ou térmicas. As equações diferenciais abaixo representam o modelo:
1
[ ]
i i i
m ch i m
P T P
ω
−
= −
&
(2.81)
1
( )
[ ]
i i
i ref
i g gs i
i
T P
R
ω ω
ω ω
−
−
= − −
&
(2.82)
41
0
(1 )
i
i
gs gs
P P
λ
= +
(2.83)
onde Pmi é a potência ativa gerada e
ϖ
modela a quantidade de água ou vapor que
aciona a turbina. A constante R
i
modela a perda inerente de velocidade da turbina e Tch
i
e Tch
i
são as constantes de tempo relativas ao regulador de velocidade.
Figura 2.5: Diagrama de blocos do regulador de velocidade
2.10.4. MODELOS DE CARGA
No estudo de estabilidade de sistemas elétricos, diversos modelos podem ser utilizados.
Pode-se considerar a carga como dependente da tensão e da freqüência, ou impedância
constante. Estes modelos geralmente são não lineares [29]. Existem outros modelos que
consideram a dinâmica da carga [46]. Uma combinação desses modelos também é
possível de ser aplicada.
O modelo de carga adotado neste trabalho será o de potência constante de forma a
simplificar as análises.. A potência inicial Pl
i
e Ql
i
são mantidas constantes durante o
processo de resolução do sistema..
2.10.5. EQUAÇÕES DE REDE
A formulação do fluxo de carga apresentado na Seção 2.2 sofre algumas modificações
quando são consideradas as características dinâmicas dos geradores, fazendo com que as
potências ativa e reativa de todas as barras sejam inclusas na formulação. Deve-se
42
considerar ainda que as potências ativas e reativas geradas não são mais especificadas,
passando a ser calculadas conforme equações a seguir:
sin( ) cos( )
i i i
g d i i i q i i i
P I V I V
δ θ δ θ
= − + −
(2.84)
cos( ) sin( )
i i i
g d i i i q i i i
Q I V I V
δ θ δ θ
= − + −
(2.85)
onde Pg
i
e Qg
i
são as potências despachadas pelo gerador i.
2.10.6. TRANSFORMADORES COMUTADOS SOB CARGA
Os Transformadores Comutados sob Carga (LTC
4
) são equipamentos de atuação lenta e
discreta
5
, que têm como função modificar a tensão terminal de seus barramentos
através da variação automática de tap. O tap r :1 do transformador é modificado se o
erro em relação à tensão de referencia estiver fora de um intervalo especificado.
Em geral, tanto a resistência quando a reatância de magnetização são desconsideradas
para simplificação da análise. A matriz de impedância do modelo do LTC é dada por:
11 12
21 22
LTC
Y Y
Y
Y Y
=
(2.86)
Com
11
1
LTC
Y
Z
=
12
1
LTC
Y
rZ
=
21
*
1
LTC
Y
r Z
=
4
Load Tap Changer do inglês
5
Não contínua
43
22
2
1
LTC
Y
r Z
=
onde Z
LTC
é a impedância do LTC e r* representa o conjugado do tap r.
2.10.7. MODELO COMPLETO DO SISTEMA ELÉTRICO
Nas Seções de 2.10.1 a 2.10.6 foram apresentados os modelos dos componentes do
sistema elétrico que formam um sistema de equações algébrico-diferenciais similar ao
discutido na Seção 2.7. Desta forma, o vetor de estados x e de variáveis algébricas y são
dados por:
[ , , , , , , , , ]
i
q d fd r f m
x E E E V R P
δ ω ϖ
=
(2.87)
[ , ]
y V
θ
=
(2.88)
Os parâmetros u do sistema podem ser definidos como:
[ , ,...]
ref
u V
λ
=
(2.89)
2.11. MÉTODO DA CONTINUAÇÃO PARA O MODELO COMPLETO DO
SISTEMA
A resolução simultânea das variáveis algébricas x e das variáveis dinâmicas y permite
estudar um ponto de operação considerando as propriedades dinâmicas do sistema,
evitando as aproximações consideradas no fluxo de carga. Desta forma, deve-se
resolver o seguinte sistema algébrico-diferencial.
44
( , , ) 0
f x y u
=
( , , ) 0
g x y u
=
(2.90)
onde f representa as equações diferenciais da máquina síncrona e dos reguladores de
tensão e velocidade. As equações algébricas da rede elétrica são representadas por g.
Deve-se também escolher uma barra de referência angular do sistema já que a barra
swing não será mais responsável pela compensação das perdas do sistema. Os ajustes
das perdas do sistema passam a ser executadas por meio da interação do regulador de
velocidade e as equações de balanço de potência ativa, ajustando a potência ativa gerada
Pg
i
através de Pm
i
para regular a freqüência do sistema. Por outro lado, os reguladores
de tensão interagem com as equações de balanço de potência reativa através de E
fd
i
, para
ajustar a potência reativa gerada Q
g
i
de forma a compensar as perdas reativas e regular a
tensão terminal V
i
.
A solução da EAD (2.90) também pode ser obtida pelo método de Newton-Raphson,
como é feito no fluxo de carga. Assim, a EAD (2.90) define a variedade de equilíbrio do
sistema elétrico de potência e a solução do Fluxo de Potência, correspondente a certa
condições, é apenas um ponto dessa variedade.
Pode-se estender o Método da Continuação aplicado a sistemas de potência para traçar o
ponto de equilíbrio total do sistema definido por (2.90). Então, é preciso obter o ponto
de equilíbrio inicial para as máquinas e seus controles a partir da solução do Fluxo de
Carga. Desta forma, tem-se:
1
i
ω
=
(2.91)
i i
i
i
i
g g
j
g
j
i
P jQ
I e
Ve
γ
θ
−
−
=
(2.92)
45
( )
2
i
i i i
pi
j i
d q g
I jI I e
γ δ
− −
+ =
(2.93)
( )
2
i
i i
pi
j i
d q i
V jV Ve
θ δ
− −
+ =
(2.94)
i i i i i i
fd d d q s q
E X I V R I
= + +
(2.95)
'
( )
i i i i i
q fd d d d
E E X X I
= − −
(2.96)
'
( )
i i i i
d q q q
E X X I
= − −
(2.97)
( ( ))
i i i i
r e e fd fd
V K S E E
= +
(2.98)
i
i i
i
f
f fd
f
K
R E
T
=
(2.99)
i
i
r
ref i
a
V
V V
K
= +
(2.100)
0
i
i
gs i g
P P
ω
= =
(2.101)
A partir do ponto operacional calcula, deseja-se calcular um novo ponto operativo
considerando um incremento de carga e de geração. O novo vetor tangente é dado por:
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
total
i
o
o
q
d
fd
r
total
f
m
gs
l
l
E
E
E
V
VT J
R
P
P
P
Q
V
δ
ω
λ
ϖ
θ
−
∆
∆
∆
∆
∆
∆
= =
∆
∆
∆
∆
∆
∆
(2.102)
46
com:
x y
total
x y
D f D f
J
D g D g
=
e desta forma o passo é definido por:
k
VT
λ
=
(2.103)
Com o tamanho do passo definido, a carga é incrementada e o passo corretor resume-se
em a calcular o ponto operacional do sistema através do método de Newton-Raphson.
Repete-se este procedimento até que até que o sistema atinja seu ponto de sela nó, ou
seja, o sistema atinge seu ponto máximo de carregamento.
2.11.1. LIMITES
Nos estudos de estabilidade de sistemas a representação dos limites físicos do sistema é
de suma importância. A desconsideração de algum limite ou mesmo a simplificação
demasiada do modelo do sistema pode levar o pesquisador a conclusões equivocadas. O
colapso de tensão, por exemplo, ocorre geralmente por suprimento local limitado de
potência reativa.
Limites do Regulador de Tensão:
A função do Regulador de Tensão é controlar a tensão terminal da barra terminal do
gerador síncrono. Assim, ele controla indiretamente o despacho de potência reativa
regulando a tensão V
r
i
do regulador. Ele pode ser calculado para cada ponto operativo a
partir da equação (2.78). Na figura pode-se observar que
Vr
i
é limitado entre
Vr
i
,max
e
Vr
i
,min
. Considerando que a potência reativa despachada pela máquina é dada pela
equação:
47
2 2 2
1 1
cos( ) [ cos ( ) sin ( )]
i
i i i
i fd
i i i i i i i
d d q
V E
Qgi V
X X X
δ θ δ θ δ θ
= − − − + −
(2.104)
a tensão
Vr
i
pode ser calculada através do passo previsor do Método da Continuação.
No caso de
Vr
i
atingir algum de seus limites, a equação (2.78) é substituída pela
equação (2.105) no modelo de equações que define o modelo do sistema.
1
,lim
0 [ ( )]
i i i i
a r a ref i f
T V K V V R
−
= − + − −
(2.105)
onde
lim
deve ser substituído por
max
ou
min
dependendo do limite atingido.
Assim,
nos passos posteriores o regulador de tensão é obrigado a se manter no seu limite
atingido.
Limites do Regulador de Velocidade:
Os reguladores de velocidade são responsáveis por regular a geração de potência ativa
dos geradores síncronos conforme solicitação da carga. Quando os geradores atingem
seu limite máximo de geração de potência ativa
Pg
i
,max
é forçado a permanecer fixado
neste limite.
2.12. BIFURCAÇÃO SELA-NÓ NO MODELO COMPLETO DO SISTEMA
Na Seção 2.7 foi abordado que a matriz reduzida
A
sys
, dada por:
1
. .
sys x y x y
A D f D f D g D g
−
= −
fornece pode ser utilizada para se obter informações sobre a estabilidade a pequenos
sinais do ponto de equilíbrio sujeito a pequenas perturbações. De acordo com a equação
a equação (2.61) tem-se:
48
det det( . . ) det( )det( )
x y
x y x y sys y
x y
D f D f
D f D f D g D g A d g
D g D g
= − =
Portanto, se
D
y
g
não for singular, o determinante de
A
sys
se torna zero se, e somente se,
o determinante de
J
total
for zero.Assim, detectar a singularidade de
A
sys
é equivalente a
detectar a singularidade de
J
total
. Uma vez que
A
sys
e, conseqüentemente, a sua inversa
não precisam ser calculadas tem como resultado a redução do esforço computacional na
análise de estabilidade do sistema.
A teoria apresentada nesse capítulo será utilizada no próximo capítulo como forma de
definir ações de controle para garantir a estabilidade estática do SEP, definidas através
de análises de sensibilidade.
No próximo capítulo, serão investigadas ações de controle baseadas na aproximação do
autovetor à esquerda (
VT
w
) definido pela equação (2.49). Além disso, essas ações de
controle são comparadas com as ações sugeridas pelo vetor tangente (
VT
), bastante
difundida na literatura.
49
CAPÍTULO 3
3. RESULTADOS
3.1. ANÁLISE DE ESTABILIDADE
Neste capítulo são realizadas aplicações numéricas para verificação da metodologia
proposta de aproximação do vetor tangente à esquerda, discutida no Capítulo 2, para
seleção de ações de controle visando a melhora da estabilidade do sistema. Para isto, é
utilizado o Sistema
New England
de 39 barras, retirado de [29]. O sistema de 39 barras,
apresentado na Figura 3.1, possui 10 unidades geradoras e 18 barras de carga. Mais
detalhes deste sistema são apresentados no Apêndice A.
Figura 3.1: Sistema New England de 39 barras
50
Quando um sistema elétrico de potência caminha para a região de instabilidade de
tensão, devem-se aplicar ações corretivas para evitar que o processo de instabilidade
ocorra [47]. Em situações como esta, algumas ações podem ser satisfatórias na reversão
da instabilidade como o chaveamento de capacitores shunt, bloqueio dos LTCs e uma
ação drástica de corte de carga. Por exemplo, o bloqueio do tape do LTC diminui a
degradação do sistema e permite algum tempo para uma ação posterior, como o corte de
carga [30].
Como apontado no capítulo anterior, a literatura mostra que é possível inferir sobre a
melhor ação de controle para se evitar o colapso de tensão através do vetor tangente
obtido pelo Método da Continuação, que converge para o autovetor à direita relativo ao
autovalor crítico no ponto de colapso de tensão. Se a estabilidade de tensão é o objeto
de estudo, as barras com maiores variações de tensão são as candidatas a receber
compensação de potência reativa.
Foi discutido, também, que o autovetor à esquerda possui informações da variação das
equações do sistema – de potência ativa e reativa, no caso do fluxo de carga – em
relação ao parâmetro.
Além disso, mostrou-se que, como autovetor à esquerda pode ser obtido através do
autovetor à direita, o Vetor Tangente – que converge para o autovetor à direita – é
utilizado para se obter uma aproximação do autovetor à esquerda.
Assim, pretende-se identificar ações de controle através de
VT
w
e compará-las com
ações de controles sugeridas por
VT
.
Portanto, para a análise é aplicada a seguinte metodologia:
51
•
A partir de um ponto operativo o sistema é carregado até seu ponto de colapso
de tensão. Para isto é utilizado o Método da Continuação aplicado ao equilíbrio
do sistema;
•
Para cada ponto de operação obtido pelo Método da Continuação,
VT
w
é
calculado (importante mencionar que
VT
é obtido para todos os pontos do
Método da Continuação);
•
No ponto de bifurcação
6
, são identificadas as barras para compensação reativa e
corte de carga através de
VT
e
VT
w
. As ações são implementadas separadamente
e a nova margem de carga é obtida;
•
As mesmas ações de controle são identificadas através de
VT
e
VT
w
no caso
base. As ações de controle são novamente implementadas e a nova margem de
carga é obtida;
•
Uma discussão acerca dos resultados obtidos é desenvolvida.
3.2. OBTENÇÃO DA MARGEM DE CARGA
Na obtenção da margem de carga original do sistema as variações de carga foram
consideradas unidimensionais, ou seja, as cargas crescem na mesma direção com fator
de potência constante. Desta forma, considerando a constante de passo do Método da
Continuação
k
=1, e o erro de potências ativa e reativa como 10
-6
pu, a margem de carga
do sistema
New England
39 barras é 1.2945.
6
Estas bifurcações podem ocorrer bifurcações antes da sela-nó.
52
Para se obter as novas margens de carga aplicando-se ações de controle é adotado um
processo semelhante ao da margem de carga aplicado no caso base sem ações de
controle. No entanto, são monitoradas as tensões nos barramentos e quando a menor
tensão no sistema atinge 0.850 pu, então é aplicada a ação de controle, seja de aplicação
de corte de carga ou aplicação de compensação reativa na barra candidata. A Figura 3.2
mostra o comportamento das tensões nas barras do sistema conforme a carga é
incrementada por meio do Método da Continuação.
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3
Incremento de Carga
Tensão [pu]
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
V11 V12 V13 V14 V15 V16 V17 V18 V19 V20
V21 V22 V23 V24 V25 V26 V27 V28 V29 V30
V31 V32 V33 V34 V35 V36 V37 V38 V39
Figura 3.2: Tensão nas Barras Durante o Método da Continuação – Modelo
Completo do Sistema
Neste trabalho é aplicada apenas uma ação de controle na barra candidata e o caso não é
reajustado. Apesar de não condizer totalmente com as ações que se aplicaria em uma
situação real, esta premissa procura isolar os efeitos de uma ação de controle aplicada.
Por exemplo, ao se reajustar a tensão em uma barra de geração, fatalmente se
53
readequariam os fluxos de carga no sistema e poderia mudar totalmente o cenário das
barras que são mais críticas no sistema em relação ao colapso de tensão.
3.3. APLICAÇÃO NO MODELO COMPLETO DO SISTEMA
Conforme discutido no Capítulo 2, o grau de complexidade e o detalhamento necessário
de um modelo para estudo são dependentes da análise a ser executada e dos fenômenos
envolvidos. Pode acontecer de simplificações na modelagem do sistema provocar
conclusões equivocadas para o pesquisador. Assim, de forma a realizar comparações,
além da aplicação de ações de controle baseadas no modelo completo do sistema,
também serão realizadas análises considerando o modelo estático do sistema, ou seja, na
formulação do fluxo de carga do modelo estático são consideradas as barras PV e
swing
.
Nesta seção será considerado o modelo completo do sistema e posteriormente será
realizado teste com o modelo estático.
3.3.1. IDENTIFICAÇÃO DE COMPENSAÇÃO REATIVA E CORTE
DE CARGA NO PONTO DE COLAPSO
Para obtenção do vetor tangente à esquerda
VT
w
é considerado a variação do parâmetro
a variação de potência ativa e reativa em todas as barras do sistema.
VT
w
e
VT
w
são
calculado através da formulação discutida no Capítulo 2.
Como discutido na Seção 2.3, o colapso de tensão está intimamente relacionado à perda
da habilidade de manter o balanço apropriado de potência reativa e manter um suporte
adequado de tensão através do sistema, situação esta que ocorre quando o SEP está
operando com níveis de carga muito elevados e o transporte de potência reativa em uma
determinada região elétrica se torna mais difícil. Desta forma, ações que aliviam o
carregamento das linhas de transmissão ou que suprem localmente as demandas de
potência reativa são importantes para afastar o sistema do colapso de tensão.
54
Este trabalho foca nas ações de controle voltadas para a compensação de potência
reativa e o corte de carga
7
. As Tabelas 3.1 e 3.2 apresentam a classificação dos vetores
tangentes para a variação de potencia ativa e potência reativa, respectivamente, em
relação à variação do parâmetro
∆λ
, no ponto de bifurcação. Assim, são classificadas as
melhores barras para aplicação de controle através de
VT
w
e
VT
.
Tabela 3.1 Identificação de compensação através de VTw e VT no ponto de bifurcação
39 barras
∆Q/∆λ ∆V/∆λ
1º 12 12
2º 11 10
3º 10 13
4º 13 7
5º 6 5
6º 7 8
7º 5 14
Última
1 34
Tabela 3.2 Identificação de corte de carga através de VTw e VT no ponto de bifurcação
39 barras
∆P/∆λ ∆θ/∆λ
1º 8 31
2º 39 12
3º 7 23
4º 3 20
5º 4 21
6º 18 8
7º 27 39
Última
31 27
É importante ressaltar que não foram consideradas as barras de passagem, ou seja, as
barras que não possuem carga, para ações de corte de carga. Além disso, não são
consideradas ações de compensação de potência reativa nas barras com geradores visto
7
Os cortes de carga são aplicados com fator de potência constante.
55
que qualquer modificação de potência reativa nas barras citadas seria absorvida pela
máquina síncrona, devido às características inerentes do funcionamento de seu
Regulador de Tensão.
Deve-se ressaltar ainda que a última barra candidata classificada nas tabelas citadas
destaca o controle menos significativo para a aplicação da compensação de potência
reativa ou corte de carga, de acordo com o caso estudado.
A partir das ações de controle sugeridas pela Tabela 3.1, aplicou-se compensação de
100, 200 e 300 Mvar para cada uma das barras candidatas apontadas pelo vetor
tangente, no caso base. A partir daí, a nova margem de carga foi obtida, conforme
processo descrito na Seção 3.2. Essas ações são resumidas na Tabela 3.3 e na Figura
3.3.
Nota-se da Tabela 3.2 que o tanto
VT
w
como
VT
classifica a mesma barra melhor
candidata para a ação de controle para compensação de potência reativa e, assim, as
informações de variação de potência reativa e variação de tensão na barra apresentam o
mesmo grau de relevância. Observa-se também que a barras com pior classificação
apresenta menor efeito para aumento da margem de carga por ambas as classificações.
Para a compensação de 100 Mvar as barras 5, 6 e 7 apresentam um pior resultado em
relação à margem de carga. Atribui-se este comportamento à não linearidade do sistema.
Contudo estas barras apresentam melhores resultados para as demais compensações.
Deve-se considerar que este resultado não influi no objetivo da ferramenta, que é
apresentar a barra melhor candidata à ação de controle, neste caso para compensação
reativa. Agora, considerando as ações de controle sugeridas pela Tabela 3.2, aplicou-se
corte de carga de 25, 50 e 75% para cada uma delas. A partir daí, a nova margem de
carga foi obtida. A Tabela 3.4 e a Figura 3.4 resumem esta aplicação.
56
Tabela 3.3 Margem de carga do sistema de 39 barras considerando as ações de controle
Mvar 100 200 300
Barra 1 1.2940 1.2940 1.2977
Barra 5 1.3067 1.1745 1.3476
Barra 6 1.3067 1.1745 1.3474
Barra 7 1.3070 1.1745 1.3479
Barra 8 1.3069 1.3247 1.3489
Barra 10 1.3064 1.3350 1.3462
Barra 11 1.3065 1.3354 1.3464
Barra 12 1.3192 1.3338 1.3465
Barra 13 1.3065 1.3339 1.3464
Barra 14 1.3067 1.3332 1.3485
Barra 34 1.2957 1.2938 1.2966
1 1
1
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
10
10
10
11
11
11
12
12
12
13
13
13
14
14
14
34
34
34
1.1000
1.1500
1.2000
1.2500
1.3000
1.3500
1.4000
100 200 300
Compensação (Mvar)
Margem de Carga (pu)
Figura 3.3 – Margem de carga para compensações sugeridas por VTw e VT
Pode observar a partir da Figura 3.4 que
VT
w
sugere as barras para corte de carga que
produzem os melhores resultados para aumentos na margem de carga do sistema. Além
disso, pode ser observado que a mesma barra que o
VT
indica como melhor barra para
executar ação de controle, o
VT
w
indica como uma ação pior candidata para melhora da
margem de carga do sistema. Assim, o
VT
w
apresenta a melhor classificação das barras
para o controle de corte de carga em relação ao
VT
, proporcionando a indicação da
57
alternativa mais eficiente para afastar o sistema do ponto de colapso de tensão, ou seja,
a variação de potência ativa é uma informação mais relevante que a variação de ângulo
em uma barra, visto que
VT
w
tende a produzir resultados melhores do que de
VT
.
Tabela 3.4 Margem de carga do sistema de 39 barras considerando as ações de controle
% Corte 25 50 75
Barra 3 1.3551 1.3508 1.3486
Barra 4 1.4436 1.4319 1.4503
Barra 7 1.3721 1.3579 1.3565
Barra 8 1.4483 1.4461 1.4385
Barra 12 1.1745 1.1745 1.1745
Barra 18 1.3284 1.3235 1.3320
Barra 20 1.3254 1.3133 1.3223
Barra 21 1.3420 1.3493 1.3324
Barra 23 1.3248 1.3180 1.3190
Barra 27 1.3487 1.3398 1.3466
Barra 31 1.1745 1.2966 1.2880
Barra 39 1.4405 1.4270 1.4186
3
3
3
4
4
4
7
7
7
8
8
8
12 12 12
18
18
18
20
20
20
21
21
21
23
23 23
27
27
27
31
31
31
39
39
39
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5
25 50 75
Corte de Carga (%)
Margem de Carga (pu)
Figura 3.4 – Margem de carga para compensações sugeridas por VTw e VT
58
3.3.2. IDENTIFICAÇÃO DE COMPENSAÇÃO REATIVA E CORTE
DE CARGA NO CASO BASE
Nesta seção é efetuada análise equivalente à seção anterior. Porém, tanto o
VT
w
quanto
VT
são calculados no caso base de operação, com intuito de verificar a antecipação das
barras críticas do sistema antes do colapso de tensão. Assim, as Tabelas 3.5 e 3.6
apresentam a classificação dos vetores tangentes para a variação de potencia ativa e
potência reativa, respectivamente, em relação à variação do parâmetro
∆λ
, porém,
calculado no caso base.
Tabela 3.5 Identificação de compensação através de VT
w
e VT no caso base
39 barras
∆Q/∆λ ∆V/∆λ
1º 12 12
2º 11 10
3º 13 13
4º 4 11
5º 7 6
6º 10 5
7º 5 14
Última
30 1
Tabela 3.6 Identificação de corte de carga através de VTw e VT no caso base
39 barras
∆P/∆λ ∆θ/∆λ
1º 23 23
2º 20 21
3º 21 24
4º 24 16
5º 16 15
6º 15 18
7º 12 4
Última
3 29
59
Do mesmo modo que a seção anterior, a partir das ações de controle sugeridas pela
Tabela 3.5, foi aplicada compensação de 100, 200 e 300 Mvar para cada uma delas e foi
obtida a mova margem de carga. As Tabela 3.7 e a Figura 3.5 apresentam o resultado.
Tabela 3.7 Margem de carga do sistema de 39 barras considerando as ações de controle
Mvar 100 200 300
Barra 1 1.2940 1.2940 1.2977
Barra 4 1.3068 1.3229 1.3327
Barra 5 1.3067 1.1745 1.3476
Barra 6 1.3067 1.1745 1.3474
Barra 7 1.3070 1.1745 1.3479
Barra 10 1.3064 1.3350 1.3462
Barra 11 1.3065 1.3354 1.3464
Barra 12 1.3192 1.3338 1.3465
Barra 13 1.3065 1.3339 1.3464
Barra 14 1.3067 1.3332 1.3485
Barra 30 1.2939 1.2936 1.2942
1 1
1
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
10
10
10
11
11
11
12
12
12
13
13
13
14
14
14
30
30
30
1.1000
1.1500
1.2000
1.2500
1.3000
1.3500
1.4000
100 200 300
Compensação (Mvar)
Margem de Carga (pu)
Figura 3.5 – Margem de carga para compensações sugeridas por VTw e VT
Nota-se na Tabela 3.5 que tanto
VT
w
como
VT
apontam para a mesma barra para
compensação de potência reativa. Desta forma, as informações de variação de potência
60
reativa e variação de tensão na barra apresentam o mesmo grau de relevância. Então, da
mesma forma o
VT , VT
w
também tende a apontar a barra crítica do sistema para a
aplicação de controle com compensação de potência reativa já no caso base, sem a
necessidade de se levar o sistema ao ponto de colapso de tensão para realizar este
cálculo.
Para as ações de controle sugeridas pela Tabela 3.6, aplicou-se corte de carga de 25, 50
e 75% para cada uma delas. A partir daí, a nova margem de carga foi obtida. A Tabela
3.8 e a Figura 3.6 resumem esta aplicação.
Nota-se na Tabela 3.6 que tanto
VT
w
como
VT
apontam para a mesma barra para corte
de carga, apontando para o mesmo resultado e, desta forma, e as informações de
variação de potência reativa e variação de tensão na barra apresentam o mesmo grau de
relevância. No entanto, pode ser observado a partir da Figura 3.6 que o
VT
w
e
VT
aplicado ao caso base não apontam para as barras mais eficazes para aplicação de
controle para corte de carga e ambos não representam uma boa ferramenta quando
aplicado ao caso base, não antecipando as barras críticas do sistema antes do ponto de
colapso de tensão. Além disso, a melhor barra para a aplicação de controle de corte de
carga é apresentada pela classificação pelo
VT
como uma ação menos relevante.
Tabela 3.8 Margem de carga do sistema de 39 barras considerando as ações de controle
% Corte 25 50 75
Barra3 1.3551 1.3508 1.3486
Barra4 1.4436 1.4319 1.4503
Barra12 1.1745 1.1745 1.1745
Barra15 1.3754 1.3757 1.3781
Barra16 1.3522 1.3546 1.3451
Barra18 1.3284 1.3235 1.3320
Barra20 1.3254 1.3133 1.3223
Barra21 1.3420 1.3493 1.3324
Barra23 1.3248 1.3180 1.3190
Barra24 1.3370 1.3324 1.3205
Barra29 1.3287 1.3249 1.3205
61
3
3
3
4
4
4
12 12 12
15 15
15
16
16
16
18
18
18
20
20
20
21
21
21
23
23 23
24
24
24
29
29
29
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5
25 50 75
Corte de Carga (%)
Margem de Carga (pu)
Figura 3.6 – Margem de carga para compensações sugeridas por VTw e VT
3.3.3. IDENTIFICAÇÃO DE COMPENSAÇÃO REATIVA E CORTE
DE CARGA NO PRIMEIRO PASSO DO MÉTODO DA
CONTINUAÇÃO
Nesta seção é executado novamente o procedimento da seção anterior, porém, o
VT
w
e o
VT
são calculados no primeiro passo do Método da Continuação, e desta forma pode-se
observar se há uma tendência de indicação antecipada das barras críticas do sistema
antes do colapso de tensão, após um pequeno incremento de carga em relação ao caso
base. Assim, as Tabelas 3.9 e 3.10 apresentam a classificação dos vetores tangentes para
a variação de potencia ativa e potência reativa, respectivamente, em relação à variação
do parâmetro
∆λ
, porém, calculado no ponto operativo base.
62
Tabela 3.9 Identificação de compensação através de VTw e VT no caso base
39 barras
∆Q/∆λ ∆V/∆λ
1º 12 12
2º 13 13
3º 11 11
4º 10 10
5º 14 14
6º 7 7
7º 5 5
Última
1 1
Tabela 3.10 Identificação de corte de carga através de VTw e VT no caso base
39 barras
∆P/∆λ ∆θ/∆λ
1º 39 20
2º 8 23
3º 7 39
4º 4 8
5º 3 7
6º 25 21
7º 12 4
Última
23 15
Do mesmo modo que a seção anterior, a partir das ações de controle sugeridas pela
Tabela 3.9, foi aplicada compensação de 100, 200 e 300 Mvar para cada uma delas e foi
obtida a mova margem de carga. As Tabela 3.11 e a Figura 3.7 apresentam o resultado.
Tabela 3.11 Margem de carga do sistema de 39 barras considerando as ações de controle
Mvar 100 200 300
Barra 1 1.2940 1.2940 1.2977
Barra 5 1.3067 1.1745 1.3476
Barra 7 1.3070 1.1745 1.3479
Barra 10 1.3064 1.3350 1.3462
Barra 11 1.3065 1.3354 1.3464
Barra 12 1.3192 1.3338 1.3465
Barra 13 1.3065 1.3339 1.3464
Barra 14 1.3067 1.3332 1.3485
63
1 1
1
5
5
5
7
7
7
10
10
10
11
11
11
12
12
12
13
13
13
14
14
14
1.1000
1.1500
1.2000
1.2500
1.3000
1.3500
1.4000
100 200 300
Compensação (Mvar)
Margem de Carga (pu)
Figura 3.7 – Margem de carga para compensações sugeridas por VTw e VT
Nota-se na Tabela 3.9 que tanto
VT
w
como
VT
apontam para a mesma barra para
compensação de potência reativa indicando um mesmo resultado e , desta forma, e as
informações de variação de potência reativa e variação de tensão na barra apresentam o
mesmo grau de relevância. Adicionalmente,
VT
w
e
VT
passam a estar alinhados, ou seja,
indicam a mesma classificação das barras. Então, da mesma forma que
VT, VT
w
também
tende a apontar barra crítica do sistema para a aplicação de controle com compensação
de potência reativa também após o primeiro passo do Método da Continuação, da
mesma forma que no caso base, sem a necessidade de se levar o sistema ao ponto de
colapso de tensão para realizar este cálculo.
Para as ações de controle sugeridas pela Tabela 3.10, aplicou-se corte de carga de 25, 50
e 75% para cada uma delas. A partir daí, a nova margem de carga foi obtida. A Tabela
3.12 e a Figura 3.8 resumem esta aplicação.
64
Tabela 3.12 Margem de carga do sistema de 39 barras considerando as ações de controle
% Corte 25 50 75
Barra3 1.3551 1.3508 1.3486
Barra4 1.4436 1.4319 1.4503
Barra7 1.3721 1.3579 1.3565
Barra8 1.4483 1.4461 1.4385
Barra12 1.1745 1.1745 1.1745
Barra15 1.3754 1.3757 1.3781
Barra20 1.3254 1.3133 1.3223
Barra21 1.3420 1.3493 1.3324
Barra23 1.3248 1.3180 1.3190
Barra25 1.3227 1.3296 1.3327
Barra39 1.4405 1.4270 1.4186
3
3
3
4
4
4
7
7
7
8
8
8
12 12 12
15 15
15
20
20
20
21
21
21
23
23 23
25
25
25
39
39
39
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5
25 50 75
Corte de Carga (%)
Margem de Carga (pu)
Figura 3.8 – Margem de carga para compensações sugeridas por VTw e VT
Nota-se na Tabela 3.10 que
VT
w
e
VT
apontam para barras diferentes para corte de carga
após o primeiro passo do Método da Continuação, apontando diferentes resultados. No
entanto, verifica-se a variação de potência reativa apresenta um resultado com grau de
relevância maior que e variação de tensão. Assim, pode ser observado a partir na Figura
3.8 que o
VT
w
apresenta a melhor classificação das barras para o controle de corte de
carga em relação ao
VT
, proporcionando a alternativa mais eficiente para afastar o
65
sistema do ponto de colapso de tensão, ou seja, a variação de potência ativa é uma
informação mais relevante que a variação de ângulo em uma barra, visto que
VT
w
tende
a produzir resultados melhores do que de
VT
.
É importante ressaltar que os resultados para controle através de corte de carga passam a
ter resultados significativos a partir do primeiro passo do Método da Continuação e não
simplesmente no caso base. Embora já seja de grande valia incrementar apenas um
passo do Método da Continuação a ter que levar o sistema ao ponto de colapso de
tensão e só assim então obter as barras críticas do sistema, reduzindo necessidade de
tempo computacional.
3.4. APLICAÇÃO NO MODELO ESTÁTICO DO SISTEMA
As aplicações são análogas ao capítulo anterior, no entanto, considera-se o modelo
estático de fluxo de carga. Lembrando que é assumido que as barras de geração PV são
modeladas como capaz de manter a geração de potência ativa especificada e a tensão
fixa, gerando a potência reativa suficiente para manter esta tensão.
Além disto, a barra
swing
tem o papel de suprir as perdas do sistema e suprir a variação
de solicitação de carga do sistema. Contudo, uma variação de carga em um ponto do
sistema deveria fazer com que todos os geradores fossem sensibilizados se readequem
às novas solicitações da carga. Assim, com a variação de carga haverá uma readequação
dos fluxos nas linhas de transmissão de tal forma que a barra swing compense essa
variação de cargas, podendo acontecer de uma linha de transmissão que já estava em
dificuldade de suprir reativo agrave a situação do sistema.
Para este caso, a margem de carga do sistema
New England
39 barras é 2.0225.
66
Para o modelo estático do sistema é mantido a mesma premissa adotada para obtenção
da nova margem de carga. Assim, são monitorados as tensões nos barramento e quando
a menor tensão atinge 0.850 pu então é aplicada ação de controle, seja de aplicação de
corte de carga ou aplicação de compensação reativa na barra candidata. As variações de
tensão conforme é incrementada a carga por meio do Método da Continuação, podem
ser observadas na figura 3.9.
0,55
0,65
0,75
0,85
0,95
1,05
1,15
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
Incremento de Carga
Tensão [pu]
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
V11 V12 V13 V14 V15 V16 V17 V18 V19 V20
V21 V22 V23 V24 V25 V26 V27 V28 V29 V30
V31 V32 V33 V34 V35 V36 V37 V38 V39
Figura 3.9: Tensão nas Barras Durante o Método da Continuação – Modelo Estático do Sistema
É importante ressaltar que é aplicada apenas uma ação de controle na barra candidata e
o caso não é reajustado. O que por sua vez procura isolar os efeitos da ação de controle.
Observe que, por exemplo, a barra 36 apresenta a tensão fixa durante todo o Método da
Continuação em direção ao ponto de colapso de tensão por se tratar de uma barra do
67
tipo PV, fato este que discorda do comportamento real da tensão em uma barra para um
caso real.
3.4.1. IDENTIFICAÇÃO DE COMPENSAÇÃO REATIVA E CORTE
DE CARGA NO PONTO DE COLAPSO
Da mesma forma que na seção anterior, para obtenção do vetor tangente à esquerda
VT
w
é considerado a variação do parâmetro a variação de potência ativa e reativa em todas as
barras do sistema, conforme descrito na Seção 3.2.
VT
w
e
VT
w
são calculados através
da formulação discutida no Capítulo 2.
As Tabelas 3.13 e 3.14 apresentam a classificação dos vetores tangentes para a variação
de potencia ativa e potência reativa, respectivamente, em relação à variação do
parâmetro
∆λ
, no ponto de bifurcação. Assim, são classificadas as melhores barras para
aplicação de controle através de
VT
w
e
VT
.
É importante ressaltar que não foram consideradas as barras de passagem para ações de
corte de carga e nem as barras de geração são consideradas para ações de compensação
de potência reativa. A última barra classificada nas tabelas citadas destaca o controle
menos significativo para a aplicação da compensação de potência reativa ou corte de
carga, de acordo com o caso estudado.
Tabela 3.13 Identificação de compensação através de VTw e VT no ponto de bifurcação
39 barras
∆Q/∆λ ∆V/∆λ
1º 7 7
2º 8 8
3º 12 5
4º 5 6
5º 6 12
6º 4 4
7º 11 11
Última
1 20
68
Tabela 3.14 Identificação de corte de carga através de VTw e VT no ponto de bifurcação
39 barras
∆P/∆λ ∆θ/∆λ
1º 8 8
2º 7 3
3º 4 18
4º 3 27
5º 18 4
6º 27 7
7º 15 25
Última
12 12
A partir das ações de controle sugeridas pela Tabela 3.13, aplicou-se compensação de
100, 200 e 300 Mvar para cada uma delas. A partir daí, a nova margem de carga foi
obtida. Essas ações são resumidas na Tabela 3.15 e na Figura 3.10.
Nota-se da Tabela 3.13 que tanto
VT
w
como
VT
sugerem as mesmas barras para
compensação de potência reativa que produzem os mesmos aumentos na margem de
carga do sistema. Assim, e as informações de variação de potência reativa e variação de
tensão na barra apresentam o mesmo grau de relevância e a classificação pelo
VT
tende
a produzir os mesmos resultados do que
VT
w
. Note que as indicações para as barras
menos significativas por ambas as classificações são distintas. No entanto, os efeitos na
margem de carga para compensação de potência reativa apresentam resultados
semelhantes.
Agora, considerando as ações de controle sugeridas pela Tabela 3.10, aplicou-se corte
de carga de 25, 50, 75% para cada uma delas. A partir daí, a nova margem de carga foi
obtida. A Tabela 3.16 e a Figura 3.17 resumem esta aplicação.
69
Tabela 3.15 Margem de carga do sistema de 39 barras considerando as ações de controle
Mvar 100 200 300
Barra 1 2.0243 2.0258 2.0273
Barra 4 2.0534 2.0828 2.1108
Barra 5 2.0572 2.0903 2.1219
Barra 6 2.0562 2.0884 2.1192
Barra 7 2.0604 2.0955 2.1278
Barra 8 2.0593 2.0934 2.1249
Barra 11 2.0513 2.0788 2.1051
Barra 12 2.0550 2.0829 2.1074
Barra 20 2.0251 2.0276 2.0300
1
1
1
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
11
11
11
12
12
12
20
20
20
1.96
1.98
2
2.02
2.04
2.06
2.08
2.1
2.12
2.14
100 200 300
Compensação (Mvar)
Margem de Carga (pu)
Figura 3.10 – Margem de carga para compensações sugeridas por VTw e VT
Pode-se observar a partir da Tabela 3.14 que tanto
VT
w
como
VT
sugerem a barras para
corte de potência ativa que produz melhor aumento na margem de carga do sistema e,
desta forma, a variação de potência ativa em uma barra é uma informação tão relevante
quanto a variação de ângulo na barra, já que as indicações de
VT
w
indica a mesma
melhor barra como
VT
. É possível observar através da Figura 3.11 que o barramento 4
também produz aumento significativo para aplicação de controle de corte de carga e
70
somente é apontado em terceiro lugar pelo
VT
w
, logo após o barramento 3 que apresenta
um resultado menos significativo.
Tabela 3.16 Margem de carga do sistema de 39 barras considerando as ações de controle
% Corte 25 50 75
Barra 3 2.0797 2.1279 2.1654
Barra 4 2.1454 2.2490 2.3236
Barra 7 2.0847 2.1421 2.1928
Barra 8 2.1613 2.2626 2.3202
Barra 12 2.0386 2.0538 2.0680
Barra 15 2.0896 2.1467 2.1921
Barra 18 2.0527 2.0810 2.1068
Barra 25 2.0552 2.0834 2.1067
Barra 27 2.0726 2.1150 2.1483
3
3
3
4
4
4
7
7
7
8
8
8
12
12
12
15
15
15
18
18
18
25
25
25
27
27
27
1.75
1.85
1.95
2.05
2.15
2.25
2.35
25 50 75
Corte de Carga (%)
Margem de Carga (pu)
Figura 3.11 – Margem de carga para compensações sugeridas por VTw e VT
71
3.4.2. IDENTIFICAÇÃO DE COMPENSAÇÃO REATIVA E CORTE
DE CARGA NO CASO BASE
Nesta seção é efetuada análise equivalente à do capítulo anterior, no entanto o
VT
w
como
VT
são calculados no ponto base de operação, com intuito de verificar a
antecipação das barras críticas do sistema antes do colapso de tensão. Assim, as Tabelas
3.18 e 3.19 apresentam a classificação dos vetores tangentes para a variação de potencia
ativa e potência reativa, respectivamente, em relação à variação do parâmetro
∆λ
,
porém, calculado no ponto operativo base.
Tabela 3.18 Identificação de compensação através de VTw e VT no caso base
39 barras
∆Q/∆λ ∆V/∆λ
1º 7 12
2º 6 4
3º 5 8
4º 8 7
5º 12 15
6º 4 14
7º 11 5
Última
1 1
Tabela 3.19 Identificação de corte de carga através de VTw e VT no caso base
39 barras
∆P/∆λ ∆θ/∆λ
1º 27 8
2º 26 7
3º 28 4
4º 18 3
5º 20 18
6º 24 15
7º 16 27
Última
7 23
72
Do mesmo modo que a seção anterior, a partir das ações de controle sugeridas pela
Tabela 3.18, foi aplicada compensação de 100, 200 e 300 Mvar para cada uma delas e
foi obtida a nova margem de carga. A Tabela 3.20 e a Figura 3.12 apresentam o
resultado.
Tabela 3. 20 Margem de carga do sistema de 39 barras considerando as ações de controle
Mvar 100 200 300
Barra 1 2.0243 2.0258 2.0273
Barra 4 2.0534 2.0828 2.1108
Barra 5 2.0572 2.0903 2.1219
Barra 6 2.0562 2.0884 2.1192
Barra 7 2.0604 2.0955 2.1278
Barra 8 2.0593 2.0934 2.1249
Barra 11 2.0513 2.0788 2.1051
Barra 12 2.0550 2.0829 2.1074
Barra 14 2.0509 2.0779 2.1038
Barra 15 2.0420 2.0603 2.0776
1
1
1
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
11
11
11
12
12
12
14
14
14
15
15
15
1.96
1.98
2
2.02
2.04
2.06
2.08
2.1
2.12
2.14
100 200 300
Compensação (Mvar)
Margem de Carga (pu)
Figura 3.12 – Margem de carga para compensações sugeridas por VTw e VT
73
Nota-se da Figura 3.12 que tanto
VT
w
como
VT
tendem a sugerir barras para
compensação de potência reativa que produzem aumentos similares na margem de carga
do sistema. No entanto, é possível perceber que a variação na potência reativa em uma
barra é uma informação mais relevante do que a variação de tensão , uma vez que as
indicações de
VT
w
tendem a produzir resultados ligeiramente melhores do que
VT
.
Para as ações de controle sugeridas pela Tabela 3.19, aplicou-se corte de carga de 25, 50
e 75% para cada uma delas. A partir daí, a nova margem de carga foi obtida. A Tabela
3.21 e a Figura 3.13 resumem esta aplicação.
Pode ser observado a partir da Figura 3.13 que o
VT
w
, calculado no caso base, indica
barras candidatas que não produzem os melhores resultado para controle de corte de
carga. Assim, nota-se que a variação de ângulo em uma barra é uma informação mais
relevante do que a variação de potência ativa, visto que
VT
tendem a produzir resultados
melhores do que de
VT
w
.
Tabela 3.21 Margem de carga do sistema de 39 barras considerando as ações de controle
% Corte 25 50 75
Barra 3 2.0797 2.1279 2.1654
Barra 4 2.1454 2.2490 2.3236
Barra 7 2.0847 2.1421 2.1928
Barra 8 2.1613 2.2626 2.3202
Barra 15 2.0896 2.1467 2.1921
Barra 16 2.0711 2.1074 2.1295
Barra 18 2.0527 2.0810 2.1068
Barra 20 2.0689 2.0107 1.8639
Barra 23 2.0470 2.0600 2.0577
Barra 24 2.0585 2.0805 2.0862
Barra 26 2.0442 2.0641 2.0819
Barra 27 2.0726 2.1150 2.1483
Barra 28 2.0486 2.0685 2.0809
74
3
3
3
4
4
4
7
7
7
8
8
8
15
15
15
16
16
16
18
18
18
20
20
20
23
23
2324
24
24
26
26
26
27
27
27
28
28
28
1.75
1.85
1.95
2.05
2.15
2.25
2.35
25 50 75
Corte de Carga (%)
Margem de Carga (pu)
Figura 3.13 – Margem de carga para compensações sugeridas por VTw e VT
3.4.3. IDENTIFICAÇÃO DE COMPENSAÇÃO REATIVA E CORTE
DE CARGA NO PRIMEIRO PASSO DO MÉTODO DA
CONTINUAÇÃO
Diferentemente do caso referente ao modelo completo do sistema, para o modelo
estático não há mudança significativa em relação à classificação no caso base,
produzindo os mesmos resultados.
75
CAPÍTULO 4
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
4.1. CONCLUSÃO
Com a exploração cada vez mais intensa dos sistemas elétricos de potência, faz-se tomar
foco o problema de instabilidade de tensão, problema este que é inerente a um nível de
carregamento bastante elevado. Os aumentos contínuos nas cargas podem,
eventualmente, dirigir o sistema a um estado instável caracterizado pela diminuição
rápida dos valores da tensão nos barramentos. Este problema é denominado
instabilidade de tensão. A instabilidade de tensão pode levar parte do sistema a níveis de
tensão muito baixos, podendo se propagar para as demais regiões elétricas do sistema,
com possibilidade de finalizar em um colapso. Neste contexto, quando um sistema
elétrico de potência caminha para a região de instabilidade de tensão, deve-se aplicar
ações corretivas para evitar que o processo de instabilidade ocorra.
Considerando que o sistema caminha lentamente de um ponto de equilíbrio a outro,
conforme a carga é lentamente alterada, a análise estática é suficiente para estudar o
comportamento do sistema. Com isso, as equações que modelam o sistema podem ser
representadas por um conjunto de equações algébricas, como no caso do fluxo de
potência (ou fluxo de carga). No entanto, o modelamento considerando a formulação da
máquina síncrona e de seus respectivos controles torna a análise mais próxima do real.
Quando há uma variação de carga no sistema, as perdas não serão mais supridas apenas
pela máquina
swing
e agora sim por todas as máquinas do sistema através da iteração de
seus reguladores de velocidade. Quando, por exemplo, há um corte de carga a barra
76
swing
era responsável por suprir esta variação de carga, gerando rearranjo dos fluxos de
carga nas linhas de transmissão possivelmente em regiões que não a realmente afetada.
Como no estudo de colapso de tensão o carregamento da linha de transmissão é um
aspecto importante e influencia crucialmente no suprimento de potência reativa em
determinado área, a modelagem considerando a realocação real dessa variação de carga
no sistema, entre todas as máquinas síncronas, é muito importante, conduzindo a
resultados mais reais.
Através do fluxo de carga de um sistema de energia elétrica é possível se determinar o
estado de regime permanente do sistema obtendo todas as suas variáveis de estado. De
posse das variáveis de estado pode-se determinar qualquer outra variável de interesse
Pode-se analisar a estabilidade do sistema através do
Jacobiano
das equações que
modelam o sistema através da técnica de análise por autovalores e seus autovetores
associados. O autovetor à direita apresenta a influência de cada variável em um modo
de oscilação e o autovetor à esquerda identifica a combinação de variáveis que mais
influenciam em um modo de oscilação. Desta forma, pode-se analisar para um
determinado ponto de equilíbrio quais variáveis de estado são mais sensíveis à
perturbação no sistema e quais variáveis de estado mais quem mais contribuem para
esta perturbação.
Conforme o sistema é carregado, suas condições de estabilidade vão se deteriorando.
Caso a matriz
Jacobiana
apresente um autovalor real nulo, é dito que o sistema se
encontra em um ponto de bifurcação sela-nó. A partir deste ponto, qualquer incremento
de carga causará a instabilidade do sistema.
Desta forma, a obtenção deste ponto sela-nó é crucial para análise de estabilidade do
sistema. O ponto de operação sela-nó pode ser calculado através do Método da
Continuação, onde é utilizado o Vetor Tangente para obtenção dos incrementos
77
possíveis de carga no caminho para a bifurcação. Uma característica importante do
Vetor Tangente é que ele também pode ser utilizado para estudo de estabilidade de um
ponto operativo do sistema, uma vez que ele mostra o comportamento das variáveis do
sistema em relação a um determinado parâmetro. Além disso, no ponto de bifurcação
sela-nó, o vetor tangente é colinear ao autovetor à direita associado ao autovalor real
nulo. Esta característica é importante de forma que o vetor tangente pode ser utilizado
para se identificar as barras críticas do sistema no ponto de sela-nó.
Desta forma, foi proposta uma aproximação do autovetor à esquerda associada ao
autovalor nulo no ponto de bifurcação a partir do vetor tangente, utilizando-se da teoria
de autovalores. Esta aproximação é utilizada de forma a identificar ações de controle
que melhorem a estabilidade do sistema.
Foram realizadas aplicações numéricas para verificação da metodologia proposta de
aproximação do vetor tangente à esquerda para seleção de ações de controle visando a
melhora da estabilidade do sistema. Desta foram identificadas ações de controle através
do vetor tangente à esquerda, e seus resultados foram comparados às ações de controle
sugeridas pelo vetor tangente à direita.
Os resultados mostraram que o método para identificação de controles através do vetor
tangente à esquerda tem potencial para aplicação prática, uma vez que conduzem às
melhores ações, tanto para ações de controle com compensação de potência reativa
quanto para controle através de corte de carga para afastar o sistema da instabilidade,
aumentando sua margem de carga.
Para o modelo completo do sistema, no que tange ao controle através da compensação
de potência reativa observa-se que o vetor tangente à direita apresenta resultado similar
ao vetor tangente à esquerda, inclusive podendo ser aplicado para adiantamento da barra
78
crítica no caso base, sem a necessidade de realizar o cálculo aplicando o Método da
Continuação até o colapso.
No entanto, para o controle com corte de carga observa-se que as informações em
relação á variação de potência ativa no ponto de colapso de tensão são mais relevantes,
e o
VT
w
apresenta os resultados mais eficazes. Quando as informações dos vetores
tangentes são calculados no caso base, as barras sugeridas não apresentam resultados
tão eficazes quanto no ponto de colapso de tensão. No entanto, aplicando o primeiro
passo do método da continuação, o
VT
w
tende a sugerir barras para corte de potência
ativa que produzem os melhores resultados para aumento da margem de carga,
adiantando o cálculo das ações de controle.
Quando da aplicação do modelo estático do sistema observa-se que as margens de carga
são superiores às do modelo completo. No entanto é um resultado que merece atenção já
que a aplicação de controle de corte de carga e de inserção de potência ativa exige que
sejam reajustados os despachos de potência no sistema, e esse reajuste se dá
praticamente pela barra swing, e não pela contribuição dos demais geradores que são
determinados como geração fixa, no caso da potência ativa. Isto pode acarretar
dificuldade de entrega de potência reativa (devido ao carregamento das linhas de
transmissão) em localidades diferentes das que seriam reais através da contribuição de
todos os geradores. Além disto, na modelagem estática, tanto o vetor tangente à direita
quanto o vetor tangente à esquerda calculados no ponto de colapso de tensão tendem a
sugerir barras equivalentes para compensação de potência reativa e para corte de carga,
produzindo aumentos similares na margem de carga do sistema. Quando os vetores
tangentes são calculados para o caso base, tanto o vetor tangente à direita quanto o vetor
tangente à esquerda apontam para barras candidatas que produzem resultados
equivalentes quanto à ação de controle de compensação de potência reativa. Já para
ação de corte de carga, o vetor tangente à direita indica um melhor resultado.
79
Classificação esta que não se modifica nos primeiros passos do método da continuação,
como ocorreu na aplicação com o modelo completo do sistema. Este é um resultado que
merece certo cuidado, já que contempla as limitações do modelo estático do sistema.
Contudo, deve-se levar em consideração as dificuldades para modelamento dos
controles e a disponibilidade de seus respectivos dados representação do modelo
completo do sistema, ressaltando a importância do estudo do modelo estático do sistema
e suas premissas a fim de apontar resultados mais próximos do que ocorre em situações
reais.
4.2. TRABALHOS FUTUROS
Extensão do presente trabalho aplicando o estudo em um sistema real de grande porte,
incorporando recursos de controle reais tais como LTC, shunts, compensadores
síncronos, compensadores estáticos e suas iterações.
80
CAPÍTULO 5
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
[1] Kundur, P., Morison, G. K., “A Review of Definitions and Classification of Stability Problems in
Today´s Power Systems”, IEEE PES Meeting, New York, Feb., 1997.
[2] Ajjarapu, V. Computational Techniques for Voltage Stability Assessment and Control. Springer
Verlag, 2006.
[3] Kundur, P., Power System Stability and Control. Palo Alto: McGraw-Hill, 1994.
[4] Souza A. C. Z.: PhD thesis, “New Techniques to Efficiently Determine Proximity to Static
Voltage Collapse”, August 1995.
[5] Leme, Rafael Coradi ;. Uma Proposta para o Controle da Defasagem Angular entre Duas Barras
para o Fechamento em Anel do Sistema de Potência. 2008. Tese (Doutorado em Doutorado
Engenharia Elétrica) - Universidade Federal de Itajubá, Conselho Nacional de Desenvolvimento
Científico e Tecnológico.
[6] Canizares C.A. and Alvarado, F.L.. Point of Collapse and Continuation Methods for Large
AC/DC Systems. Power Systems, IEEE Transactions on, 8(1):1–8, Feb 1993.
[7] Paserba, P. J.; Ajjarapu, V.; Andersson, G.; Bose, A.; Canizares, C.; N. Hatziargyriou, Hill, D.;
Stankovic, A.; Taylor, C.; Van Cutsem, T.; and Vittal, V.. Definition and Classification of Power
System Stability IEEE/Cigre Joint Task Force on Stability Terms and Definitions. Power
Systems, IEEE Transactions on, 19(3):1387–1401, Aug. 2004.
[8] Flatabo, N.; Ognedal, R.; and Carlsen, T.;”Voltage Stability Condition in a Power Transmission
System Calculated by Sensitivity Methods,” IEEE Transactions on Power Systems, v. 5, Nov
1990, pp. 1286-1293.
[9] Begovic, M.; ª Phadke,”Control of Voltage Stability Using Sensitivity Analysis,” IEEE
Transactions on Power Systems, v. 9, May 1994, pp. 946-956.
[10] Irisarri, G. D.; Wang, X.; Jong, T.; and Mokhtari, S.; ,”Maximum Loadability of Power Systems
Using Interior Point Non-linear Optimization Method,” IEEE Transactions on Power Systems, v.
12, no. 1, Feb 1997, pp. 162-172.
[11] R. Seydel. From Equilibrium to Chaos-Practical Bifurcation and Stability Analysis. Elsevier
Science, 1988.
[12] Ajjarapu, V.: Identification of Steady State Voltage Stability in Power Systems, Proc. of
International Conference on High Technology in the Power Industry, Mar. 1988, pp. 244-247.
[13] Souza A. C. Z.; Honório, Leonardo de Mello ; Torres, Geraldo Leite ; Torres, Germano Lambert.
Increasing the Loadability of Power Systems Through Optimal-Local-Control Actions. IEEE
Transactions on Power Systems, Estados Unidos, v. 19, n. 1, p. 188-194, 2004.
[14] Ferreira, L. C. A. ; Souza A. C. Z.; Granville, Sérgio ; LIMA, J. W. M. . Interior Point Method
Applied to Voltage Collapse Problems and system Losses Reduction. IEE Proc.-Gen. Transm.
Distrib, Grã-Bretanha, v. 149, p. 165-170, 2002.
[15] Souza A. C. Z.;. Discussion on Some Voltage Collapse Indices. Electric Power Systems
Research, Irlanda, v. 53, n. 1, p. 53-58, 2000.
[16] P. A. Löff, T. Smed, G. Anderson and D. J. Hill, “ Fast Calculation of a Voltage Stability
Index,”IEEE Trans. Power Systems, v. 7, no. 1, Feb 1992, pp. 54-64.
[17] Prada, R. B.; Souza A. C. Z.; V. Filho, X.; Massaud, A. G. ;and Oliveira, J. C.;”Voltage stability:
Phenomena Characterization Based on Reactive Control Effects and System Critical Areas
Identification,”Proceedings of the third Sepope Meeting , Belo Horizonte , 1991, SP-14.
[18] Gao, B.; Morrison, G. K.; and Kundur,P.; “Voltage Stability Evaluation Using Modal Analysis,”
IEEE/PES Winter Meeting - Paper 90 WM 096-8 PWRS, 1990.
[19] Mansour, Y.;”Industry Practice in Voltage Stability Analysis of Power Systems,”Proc. Bulk
Power System Voltage Phenomena III-Voltage Stability and Security, ECC Inc. , Switzerland,
Aug 1994.
[20] Overbye, T. J. ; de Marco, C. L.;”Voltage Security Enhancement Using Energy Based
Sensitivities,”IEEE Trans. Power Systems, v. 6, no. 3, Aug 1991, pp. 1196-1202.
81
[21] Klump, R. P.; Overbye , T.;”Assessment of transmission system loadability,” IEEE Transactions
on Power Systems, v. 12, no. 1, Feb 1997, pp. 416-423
[22] Souza, A. C. Z.; Leme, Rafael Coradi ; Vasconcelos, L. F. B. ; Lopes, B. I. L. . Energy Function
and Unstable Solution by the Means of an Augmented Jacobian. Applied Mathematics and
Computation, v. 206, p. 154-163, 2008.
[23] Schulueter, R. A.; Chang, I. Hu and M. W.; “Methods for Determining Proximity to Voltage
Collapse,”IEEE/PES Winter Meeting - Paper 90 WM 096-8 PWRS, 1990
[24] Souza, A. C. Z.; Brito, N. H. M. N., “Ações de Controle para Prevenção de Colapso de Tensão:
Efeitos e Restrições”. Anais do XI Congresso Brasileiro de Automática. São Paulo, 1996.
[25] Souza, A. C. Z.; LOPES, Benedito Isaias Lima . “Quasi Dynamic Model and Strategy for
Control Actions”. Electric Power Components and Systems, Estados Unidos, v. 33, n. 9, p. 1057-
1070, 2005.
[26] Souza, A. C. Z.; LOPES, Benedito Isaias Lima . On Multiple Tap-Blocking to Avoid Voltage
Collapse. Electric Power Systems Research, Irlanda, v. 67, n. 3, p. 225-231, 2003.
[27] Leme, Rafael Coradi ; Ferreira, Luiz Claudio de Araujo ; Lopes, Benedito Isaias Lima ; Souza,
A. C. Z.,. Using Redispatch Generators to Reduce the Standing Phase Angle During the System
Restoration. IEE Proceedings. Generation, Transmission & Distribution, Inglaterra, v. 153, n. 5,
p. 531-539, 2006.
[28] Chiang, H. D.; Wang, C. S.; Flueck , A . J.;”Looak-Ahead Voltage and Load Margin
Contingency Selection Functions for Large-Scale Power Systems,” IEEE Transactions on Power
Systems, v. 12, no. 1, Feb 1997, pp. 173-180.
[29] Ogata, K, 1967. ”State Space Analysis of Control Systems” Chiang,. Englewood Cliffs, N.J.:
Prentice Hall, Inc.
[30] Lopes, Benedito Isaias Lima. “Estabilidade de Sistemas Elétricos no Horizonte de Curto e
Longo Prazos.” 2004. 222 f. Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) - Universidade Federal de
Itajubá
[31] Verhulst, F. “Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems”. SpringerVerlag Berlin
Heidelberg, 1990.
[32] Monticelli, Alcir José, “Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica”, Editora Edgard Blücher
Ltda, 1983.
[33] Sauer, P. W. ; Pai, M. M.. “Power System Dynamics and Stability.” Prentice Hall, 1998
[34] Kundur, P., “General Introduction and Basic Concepts of Voltage Stability Analysis”, In: IEEE
PES Summer Meeting, IEEE Special Tutorial Course: Voltage Stability, San Diego, 1998.
[35] Katsuhiko Ogata. Modern Control Engineering. Prentice Hall, 4th edition, 2002.
[36] Stephenson, G., 1975. “Introdução a Matrizes, Conjuntos e Grupos”. São Paulo: Edgard Blücher.
[37] Wilkinson, E. T.. “The Algebraic Eigenvalue Problem.” Claredon Press, Oxford, UK, 1965.
[38] Alvarado, F.; Anderson, G.; Concordia, H. Clark,; C.; Gao, B.; Mansour, Y.; Kundur, P.; P. Lof,;
Taylor, C.; Xu; W.. Suggested Techniques for Voltage Stability Analysis. Technical Report
93TH0 620-5, IEEE Power Engineering Society, 1993.
[39] Chiang, Hsiao-Dong; Flueck, A.J.; Shah, K.S.; Balu, N.. Cpflow: a Practical Tool for Tracing
Power System Steady-State Stationary Behavior due to Load and Generation Variations. Power
Systems, IEEE Transactions on, 10(2):623–634, May 1995.
[40] Canizares, A.“Voltage Collapse and Trasient Energy Function Analyses of AC/DC Systems”,
PhD Thesis, University of Wisconsin-Madison, 1991.
[41] Hadley, Scott W.; Mark, Brian L.; Vannelli, Anthony. “Na Efficient Eigenvector Approach for
Finding Netlist Partition”, IEEE Transaction on CAD/ICAS, v.11, no. 7, July 1992, pp. 885-892.
[42] Van Cutsem, T., Vournas, C. D., "Voltage Stability Analysis In Transient And Mid-Term Time
Scales", IEEE Transactions On Power Systems,V. 11, N.1, Pp. 146-154, February 1992.
[43] Persson , J.; Soder, Lennart. Comparison of Three Linearization Methods. 16th Power Systems
Computation Conference (PSCC2008), Glasgow, UK, 2008.
[44] Sakaguchi, T.; Matsumoto, K.. “Development of a Knowledge Based System for Power System
Restoration.” IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, PAS-102(2):320–329, Feb.
1983.
[45] Hill, D.J.. “Nonlinear Dynamic Load Models with Recovery for Voltage Stability Studies.”
Power Systems, IEEE Transactions on, 8(1):166–176, Feb 1993.
[46] Hale, J.; Kocak, H. “Dynamics and Bifurcations.” Springer Verlag, 1992.
[47] Schulueter, R. A.; Hu, I.; Chang, M. W.. “Methods for Determining Proximity to Voltage
Collapse,”IEEE/PES Winter Meeting - Paper 90 WM 096-8 PWRS, 1990.
82
APÊNDICE A
1. Sistema New England 39 barras
1.1. Dados de Barra:
Barra Nome da Barra Tipo Tensao Carga Shunt Geração
pu MW Mvar Mvar MW
01 BUS1 PQ 1.025 0.0 0.0 0.0 0.0
02 BUS2 PQ 0.991 0.0 0.0 0.0 0.0
03 BUS3 PQ 0.955 322.0 2.4 0.0 0.0
04 BUS4 PQ 0.911 500.0 184.0 0.0 0.0
05 BUS5 PQ 0.911 0.0 0.0 0.0 0.0
06 BUS6 PQ 0.909 0.0 0.0 0.0 0.0
07 BUS7 PQ 0.904 233.8 84.0 0.0 0.0
08 BUS8 PQ 0.906 522.0 176.0 0.0 0.0
09 BUS9 PQ 0.991 0.0 0.0 0.0 0.0
10 BUS10 PQ 0.910 0.0 0.0 0.0 0.0
11 BUS11 PQ 0.909 0.0 0.0 0.0 0.0
12 BUS12 PQ 0.882 8.5 88.0 0.0 0.0
13 BUS13 PQ 0.910 0.0 0.0 0.0 0.0
14 BUS14 PQ 0.914 0.0 0.0 0.0 0.0
15 BUS15 PQ 0.925 320.0 153.0 0.0 0.0
16 BUS16 PQ 0.947 329.4 32.3 0.0 0.0
17 BUS17 PQ 0.953 0.0 0.0 0.0 0.0
18 BUS18 PQ 0.952 158.0 30.0 0.0 0.0
19 BUS19 PQ 0.932 0.0 0.0 0.0 0.0
20 BUS20 PQ 0.981 680.0 103.0 0.0 0.0
21 BUS21 PQ 0.960 274.0 115.0 0.0 0.0
22 BUS22 PQ 0.994 0.0 0.0 0.0 0.0
23 BUS23 PQ 0.996 247.5 84.6 0.0 0.0
24 BUS24 PQ 0.958 308.6 -92.2 0.0 0.0
25 BUS25 PQ 1.000 224.0 47.2 0.0 0.0
26 BUS26 PQ 0.984 139.0 17.0 0.0 0.0
27 BUS27 PQ 0.963 281.0 75.5 0.0 0.0
28 BUS28 PQ 0.988 206.0 27.6 0.0 0.0
29 BUS29 PQ 0.992 283.5 126.9 0.0 0.0
30 BUS30 PV 1.048 0.0 0.0 0.0 250.0
31 BUS31 SWING
0.982 9.2 4.6 0.0 582.3
32 BUS32 PV 0.983 0.0 0.0 0.0 650.0
33 BUS33 PV 0.997 0.0 0.0 0.0 632.0
34 BUS34 PV 1.012 0.0 0.0 0.0 508.0
35 BUS35 PV 1.049 0.0 0.0 0.0 650.0
36 BUS36 PV 1.064 0.0 0.0 0.0 560.0
37 BUS37 PV 1.028 0.0 0.0 0.0 540.0
38 BUS38 PV 1.027 0.0 0.0 0.0 830.0
39 BUS39 PV 1.030 1104.0 250.0 0.0 1000.0
83
1.2. Dados de Ramos:
Circuito Resistência
Reatância
Susceptância
Tape
De Para
% % Mvar
01 02 0.35 4.11 69.87 1.000
01 39 0.20 5.00 37.50 1.000
01 39 0.20 5.00 37.50 1.000
02 03 0.13 1.51 25.72 1.000
02 25 0.70 0.86 14.60 1.000
03 04 0.13 2.13 22.14 1.000
03 18 0.11 1.33 21.38 1.000
04 05 0.08 1.28 13.42 1.000
04 14 0.08 1.29 13.82 1.000
05 06 0.02 0.26 4.34 1.000
05 08 0.08 1.12 14.76 1.000
06 07 0.06 0.92 11.30 1.000
06 11 0.07 0.82 13.89 1.000
07 08 0.04 0.46 7.80 1.000
08 09 0.23 3.63 38.04 1.000
09 39 0.10 2.50 120.00 1.000
10 11 0.04 0.43 7.29 1.000
10 13 0.04 0.43 7.29 1.000
13 14 0.09 1.01 17.23 1.000
14 15 0.18 2.17 36.60 1.000
15 16 0.09 0.94 17.10 1.000
16 17 0.07 0.89 13.42 1.000
16 19 0.16 1.95 30.40 1.000
16 21 0.08 1.35 25.48 1.000
16 24 0.03 0.59 6.80 1.000
17 18 0.07 0.82 13.19 1.000
17 27 0.13 1.73 32.16 1.000
21 22 0.08 1.40 25.65 1.000
22 23 0.06 0.96 18.46 1.000
23 24 0.22 3.50 36.10 1.000
25 26 0.32 3.23 51.30 1.000
26 27 0.14 1.47 23.96 1.000
26 28 0.43 4.74 78.02 1.000
26 29 0.57 6.25 102.90 1.000
28 29 0.14 1.51 24.90 1.000
02 30 0.00 1.81 0.00 1.025
06 31 0.00 5.00 0.00 1.070
84
Circuito Resistência
Reatância
Susceptância
Tape
De Para
% % Mvar
06 31 0.00 5.00 0.00 1.070
10 32 0.00 2.00 0.00 1.070
12 11 0.16 4.35 0.00 1.006
12 13 0.16 4.35 0.00 1.006
19 20 0.07 1.38 0.00 1.060
19 33 0.07 1.42 0.00 1.070
20 34 0.09 1.80 0.00 1.009
22 35 0.00 1.43 0.00 1.025
23 36 0.05 2.72 0.00 1.000
25 37 0.06 2.32 0.00 1.025
29 38 0.08 1.56 0.00 1.025
1.3. Diagrama Unifilar:
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