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ALISE DE ESCOAMENTO HIPERS
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ONICO EM
TUBEIRAS DO TIPO CONVERGENTE-DIVERGENTE
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AO-EQUIL
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IBRIO QU
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IMICO
D´ebora de Oliveira Silva
Disserta¸c˜ao de Mestrado do Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia e Tecnologia
Espaciais/Combust˜ao e Propuls˜ao, orientada pelo Dr. Marco Antˆonio Sala
Minucci, aprovada em 31 de mar¸co de 2009.
Registro do documento original:
<http://urlib.net/sid.inpe.br/mtc-m18@80/2009/03.18.03.2>
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S˜ao Jos´e dos Campos
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ALISE DE ESCOAMENTO HIPERS
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ONICO EM
TUBEIRAS DO TIPO CONVERGENTE-DIVERGENTE
EM N
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IMICO
D´ebora de Oliveira Silva
Disserta¸c˜ao de Mestrado do Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia e Tecnologia
Espaciais/Combust˜ao e Propuls˜ao, orientada pelo Dr. Marco Antˆonio Sala
Minucci, aprovada em 31 de mar¸co de 2009.
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Dados Internacionais de Cataloga¸c˜ao na Publica¸c˜ao (CIP)
Silva, D´ebora de Oliveira.
S38a An´alise de escoamento hipersˆonico em tubeiras do tipo
convergente-divergente em n˜ao-equil´ıbrio qu´ımico / D´ebora de Oli-
veira Silva. – S˜ao Jos´e dos Campos : INPE, 2009.
104p. ; (INPE-15766-TDI/1509)
Disserta¸c˜ao (Mestrado em Combust˜ao e Propuls˜ao) – Instituto
Nacional de Pesquisas Espaciais, S˜ao Jos´e dos Campos, 2009.
Orientador : Dr. Marco Antˆonio Sala Minucci.
1. Escoamento hipersˆonico. 2. Dinˆamica dos Fluidos com-
putacional. 3. Escoamento com rea¸c˜oes qu´ımicas. 4. Tubeira
convergente-divergente. 5. Alta temperatura I.T´ıtulo.
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2009 do MCT/INPE. Nenhuma parte desta publica¸c˜ao pode ser reproduzida, arma-
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exception of any material supplied specifically for the purpose of being entered and executed on a
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“Os anos de busca na escuridão por uma verdade que se sente, mas não se
pode exprimir, o intenso desejo e as alternâncias de confiança e desânimo até
atingirmos a clareza e a compreensão só são conhecidos de quem as
experimentou.”
Albert Einstein
OPCIONAL, FEITA PELO AUTOR, FORMATO LIVRE, NÃO TITULAR COM A
PALAVRA CITAÇÃO OU EPÍGRAFE
A meus pais, Célia e Nelson e minha amada filha Isabela.
OPCIONAL, FEITA PELO AUTOR, FORMATO LIVRE, NÃO TITULAR COM A
PALAVRA DEDICATÓRIA.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus.
A meus pais Célia e Nelson por sempre estarem ao meu lado me apoiando em
minhas decisões.
A minha Filha Isabela.
Aos amigos que nos momentos difíceis, sempre me deram força, em especial
aos amigos Paulo Henrique Mineiro Leite, Roberta Lee Maciviero Alcaide e
Luciana Souza.
Aos professores da pós-graduação do INPE, em especial ao Dr. Osny de
Toledo, pelo todo conhecimento transmitido.
Ao professor e amigo Wolodymir Boruszewski pelo incentivo e enorme ajuda.
Ao Instituto de Estudos Avançados – IEAv/CTA pela oportunidade em especial
ao meu orientador Dr. Marco Antonio Sala Minucci.
Agradeço também ao Dr. Paulo Gilberto de Paula Toro que foi o responsável
pela proposta deste trabalho.
À CAPES pelo apoio financeiro.
A todos aqueles que, de alguma forma, contribuíram para a realização deste
trabalho.
RESUMO
A análise de escoamentos hipersônicos em condição de não-equilíbrio é de
fundamental importância para a análise de resultados experimentais de ensaios
realizados em túneis de vento de alta entalpia. O presente trabalho realiza um
estudo numérico da expansão do ar atmosférico em uma tubeira convergente-
divergente, de grande interesse para o Laboratório de Aerotermodinâmica e
Hipersônica Prof Henry T Nagamatsu do Instituto de Estudos Avançados/CTA.
Esse tipo de escoamento possui uma importante função em aplicações
aeroespaciais. As estimativas teóricas são provenientes de um código para
computador desenvolvido na NASA Ames Research Center pelo Dr. Chul Park
que utiliza o modelo de 3 temperaturas (translacional-rotacional, vibracional e
eletrônica), 7 espécies químicas (N, O, N2, O2, NO, NO+, E-) e 21 reações
químicas consideradas por Park para o modelamento do fenômeno termo-
químico, e conveniente adaptado pela autora. Para a validação do código são
apresentadas comparações entre resultados experimentais para a expansão
em uma tubeira cônica entre a condição de equilíbrio e não-equilíbrio para
escoamento hipersônico encontrados em outras literaturas e resultados
computacionais.
ANALYSIS OF HYPERSONIC FLOW IN NOZZLES OF TYPE CONVERGENT-
DIVERGENT IN NONEQUILIBRIUM CHEMICAL
ABSTRACT
The analysis of hypersonic flow in nonequilibrium condition is of great
importance to the utilization of ground test facilities to simulate the hypersonic
flight regime. The present work conducts a numerical study of the expansion of
air in a convergent-divergent nozzle, which is fundamental to the work been
carried out the Laboratory of Aerothermodynamics and Hypersonics Prof Henry
T Nagamatsu from the Institute for Advanced Studies. This type of flow has an
important role in aerospace applications. Theoretical estimates are derived from
a computer code developed at NASA Ames Research Center by Dr. Chul Park
using the model of 3 temperatures (translational, rotational, vibrational and
electronic), 7 chemical species (N, O, N2, O2, NO, NO +, E-) and 21 chemical
reactions considered by Park for the modeling of thermo-chemical
phenomenon, and adapted by the present author. Comparisons between
experimental results for the expansion in a conical nozzle for the condition of
equilibrium and nonequilibrium flow found in other literature and computational
results were used for the code validation and presented.
SUMÁRIO
Pág.
LISTA DE FIGURAS
LISTA DE TABELAS
LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS
1 INTRODUÇÃO............................................................................................. 27
1.1 A Era Espacial ......................................................................................... 27
1.2 Microgravidade ........................................................................................ 30
1.3 Reentrada................................................................................................ 31
1.4 Motivações, Objetivos e Conteúdo do Texto ........................................... 32
2 F ORMULAÇÃO TEÓRICA........................................................................ 35
2.1 Introdução................................................................................................ 35
2.2 Conceitos Básicos ................................................................................... 35
2.2.1 Conceito de fluido................................................................................. 35
2.2.2 Gás térmica e caloricamente perfeito ................................................... 36
2.2.3 Compressibilidade ................................................................................ 39
2.2.4 Velocidade do som ............................................................................... 40
2.2.5 Número de Mach .................................................................................. 41
2.2.6 Escoamento permanente e escoamento uniforme ............................... 41
2.2.7 Escoamento contínuo e escoamento molecular-livre ........................... 42
2.2.8 Escoamento viscoso e não-viscoso...................................................... 43
2.2.9 Escoamento incompressível e compressível........................................ 43
2.2.10 Regimes de escoamentos compressíveis........................................... 44
2.2.11 Considerações e operação de escoamento em tubeiras.................... 45
3 ESCOAMENTO HIPERSÔNICO ................................................................. 47
3.1 Efeitos de Alta Temperatura.................................................................... 47
3.2 Descrição Microscópica dos Gases......................................................... 52
3.3 Equilíbrio e Não-equilíbrio Químicos. ...................................................... 54
3.4 Dinâmica de Fluidos Computacional em Escoamentos Hipersônicos. .... 56
4 MODELAGEM MATEMÁTICA .................................................................... 61
4.1 Hipóteses Básicas ................................................................................... 61
4.2 Modelagem da Cinética Química............................................................. 61
4.3 Modelagem do Escoamento Unidimensional........................................... 65
4.3.1 Equações Descritivas ........................................................................... 65
4.4 Quantidade de espécies químicas........................................................... 69
5 O CÓDIGO COMPUTACIONAL.................................................................. 73
5.1 Introdução................................................................................................ 73
5.2 Utilização do código................................................................................. 74
5.3 Acoplamento Entre o Movimento e Química do Escoamento.................. 77
5.4 Geometria da Tubeira.............................................................................. 78
6 VALIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL......................................... 83
6.1 Introdução................................................................................................ 83
6.2 Comparação entre os resultados Computacionais e Experimentais........ 84
7 Resultados e Análises............................................................................... 91
7.1 Resultados............................................................................................... 91
7.2 Conclusões............................................................................................ 100
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................. 101
LISTA DE FIGURAS
Pág.
1.1- (a) Réplica do Sputnik I, o primeiro satélite artificial e (b) veículo lançador
R-7. ...........................................................................................................27
1.2 - Réplica do Sputnik II ................................................................................ 28
1.3 - Réplica do Vostok I .................................................................................. 29
2.1 - Representação de uma tubeira convergente-divergente.......................... 46
3.1 - Temperatura atrás de uma onda de choque com função da velocidade da
corrente livre na altitude de 52 km ............................................................ 48
3.2 - Faixas de temperatura para excitação vibracional, dissociação e ionização
do ar a 1 atmosfera................................................................................... 51
3.3 - Modos de energia molecular.................................................................... 53
3.4 - Escoamento supersônico sobre um corpo rombudo................................ 58
4.1 Modelo para o escoamento unidimensional de uma mistura de gases
perfeitos em não-equilíbrio químico. ......................................................... 66
5.1 – Desenho esquemático do túnel de choque hipersônico.......................... 75
5.2 – Laboratório de Aerotermodinâmica e Hipersônica Prof. Henry T.
Nagamatsu. Tubo T1 (próximo à parede direita), Túnel T2 (visível à
esquerda do túnel T3)............................................................................... 76
5.1 – Distribuição dos pontos ao longo da tubeira............................................ 79
5.2 - Perfil da tubeira do código original........................................................... 81
5.3 - Perfil da tubeira RPI................................................................................. 82
6.1 – Razão de pressão estática em função da razão de área para Nitrogênio.
.................................................................................................................. 84
6.2 – Razão de pressão estática em função da razão de área para o Nitrogênio.
.................................................................................................................. 85
6.3 – Resultados computacionais para a temperatura translacional-rotacional,
vibracional e eletrônica.............................................................................. 86
6.4 – Razão de pressão estática e temperatura de reservatório para a tubeira
cônica RPI, A/A*=56.2............................................................................... 87
6.5 – Razão de pressão estática e temperatura de reservatório para a tubeira
cônica RPI, A/A*=56.2.............................................................................. 87
6.6 – Razão de pressão estática e temperatura de reservatório para a tubeira
RPI e AMES, A/A*=144............................................................................. 88
6.7 – Razão de pressão estática e temperatura de reservatório para a tubeira
cônica RPI, A/A*=144................................................................................ 89
7.1 – Concentração das espécies em relação a razão de área para o perfil de
contorno AMES......................................................................................... 92
7.2 – Concentração das espécies em relação a razão de área para o perfil
cônico RPI................................................................................................. 92
7.3 – Concentração das espécies em relação a razão de área para o perfil de
contorno AMES......................................................................................... 93
7.4 – Concentração das espécies em relação a razão de área para o perfil
cônico RPI................................................................................................. 93
7.5 – Concentração das espécies em relação a razão de área para o perfil de
contorno AMES......................................................................................... 94
7.6 – Concentração das espécies em relação a razão de área para o perfil
cônico RPI................................................................................................. 94
7.7 – Densidade em relação ao comprimento da tubeira para o perfil de
contorno AMES......................................................................................... 95
7.8 – Densidade em relação ao comprimento da tubeira para o perfil cônico
RPI............................................................................................................ 95
7.9 – Pressão em relação ao comprimento da tubeira para o perfil de contorno
AMES........................................................................................................ 96
7.10 – Pressão em relação ao comprimento da tubeira para o perfil cônico RPI.
.................................................................................................................. 96
7.11 – Velocidade em relação ao comprimento da tubeira para o perfil de
contorno AMES......................................................................................... 97
7.12 – Velocidade em relação ao comprimento da tubeira para o perfil cônico
RPI............................................................................................................ 97
7.13 – Número de Mach em relação ao comprimento da tubeira para o perfil de
contorno AMES......................................................................................... 98
7.14 – Número de Mach em relação ao comprimento da tubeira para o perfil
cônico RPI................................................................................................. 98
7.15 – Três temperaturas em relação ao comprimento da tubeira de perfil de
contorno AMES......................................................................................... 99
7.16 – Três temperaturas em relação ao comprimento da tubeira de perfil
cônico RPI................................................................................................. 99
LISTA DE TABELAS
Pág.
1.1 – Meios de geração do ambiente de Microgravidade e os tempos de
duração..................................................................................................... 31
3.1 - Diferenças de temperatura para gás perfeito e para um gás com reações
em equilíbrio na região de estagnação, avaliadas em problemas
conhecidos................................................................................................ 49
4.1 - Parâmetros para o cálculo dos coeficientes de taxa de reação para o ar.63
4.2 - Constantes para cálculo do Coeficiente de Equilíbrio,
req
K
,
, onde
M
=
2
N
,
2
O , NO, N , O,
+
NO
................................................................................ 65
4.3 - Modelos químicos para o ar..................................................................... 69
6.1 – Propriedades do escoamento para a localização do “frozen” para a
temperatura vibracional............................................................................. 86
LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS
AEB Agência Espacial Brasileira
AMES Centro de Pesquisa da NASA
CFD Computational Fluid Dynamics
CTA Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial
IEAv Instituto de Estudos Avançados
INPE Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
ISS International Space Station
NASA National Aeronautics and Space Administration
NOZ3T Three Temperature Nozzle Flow Code
RPI Rensselaer Polytechnic Institute
LISTA DE SÍMBOLOS
a Velocidade do som, m/s
∞
a
Velocidade do som da corrente livre, m/s
A
Área da seção transversal da tubeira, m
2
→
B
Forças de campo;
ri
B
,
Coeficiente para cálculo do
req
K
,
;
rs
b
,
Coeficientes estequiométricos para os reagentes da reação r;
p
C Calor específico a pressão constante;
v
C Calor específico a volume constante;
rf
C
,
Constante de taxa de reação;
s
C Fração mássica da espécie química s;
→
f
Fd Termo de força devido a efeitos viscosos;
•
Qd Calor absorvido por unidade de tempo e massa;
•
Wd Trabalho produzido por unidade de tempo e massa;
e Energia interna, J;
e
E Energia eletrônica, J;
v
E Energia vibracional, J;
rs
f
,
Coeficiente estequiométrico para os produtos da reação r;
g
Aceleração da gravidade;
h Entalpia da mistura de gases ideais na temperatura T;
K
Número de Knudsen;
rb
k
,
Coeficiente da taxa de reação para trás da reação r;
req
K
,
Constante de equilíbrio da reação r;
rf
k
,
Coeficiente da taxa de reação para frente da reação r;
L Comprimento característico, m;
L Comprimento da tubeira, m;
∞
M Número de Mach da corrente livre;
s
M Peso molecular da espécie s, kg/kg-mol;
s
m Massa da espécie química s no ponto;
•
m Vazão mássica;
r
N Número de reações químicas;
s
N Número de espécies químicas;
P
Pressão, Pa;
s
P Pressão parcial da espécie s, Pa;
5
P Pressão de reservatório, Pa;
R
Constante específica do gás;
rb
R
,
Taxa de reação para trás para a reação r, kg-mol/m
3
s;
rf
R
,
Taxa de reação para frente para a reação r, kg-mol/m
3
s;
T Temperatura Translacional-rotacional, K;
a
T Temperatura de controle da taxa de reação, K;
d
T Temperatura de ativação, K;
e
T Temperatura eletrônica, K;
v
T Temperatura vibracional, K;
5
T Temperatura de reservatório, K;
x
Comprimento da tubeira, m;
Z
Parâmetro para cálculo do
req
K
,
;
i
γ
Concentração das espécies;
γ
Razão de calores específicos;
s
ρ
Massa específica da espécie s, kg/m
3
;
ρ
Massa específica, kg/m
3
;
s
ω
Taxa de produção da espécie química s, kg/m
3
s;
λ
Livre caminho médio, m;
τ
Compressibilidade do gás;
s
τ
Compressibilidade isentrópica;
ν
Volume específico;
δ
Termo indicativo de escoamento axisimétrico ou planar;
27
1 INTRODUÇÃO
1.1 A Era Espacial
Em quatro de outubro de 1957, o lançamento e a colocação em órbita da
Terra do primeiro satélite artificial pela antiga União Soviética, o Sputnik I,
mostrado na foto da Figura 1.1, iniciou o acesso ao espaço. Com a forma de
uma esfera de 58 cm de diâmetro, construído em alumínio, pesando
aproximadamente 83 kg, e orbitando o planeta em uma trajetória elíptica a
cada 96 minutos, a uma altitude de até 900 km, permaneceu em órbita por três
meses, desintegrando-se na atmosfera terrestre em quatro de Janeiro de 1958.
Seu lançamento foi feito pelo foguete R-7 (Sapwood SS-6), mostrado no Figura
1.1b, com 34 m de comprimento e 3 m de diâmetro, movido a motores foguete
usando oxigênio líquido e querosene.
(a) (b)
Figura 1.1- (a) Réplica do Sputnik I, o primeiro satélite artificial e (b) veículo lançador
R-7.
Fonte: (a) Wikipedia (2005) e (b) Wikipedia (2006).
28
No dia 3 de Novembro de 1957, foi lançado o Sputnik II (Fig. 1.2) com a
forma de um cone com 4 m de altura e uma base de 2 m de diâmetro, contendo
compartimentos para rádios transmissores, sistema de telemetria, unidade de
programação, sistema de regeneração e controle de temperatura, sendo ele o
primeiro veículo espacial a carregar um animal, a cadela Laika, orbitando o
planeta a um altitude de 1.660 km, retornando à Terra no dia 14 de abril de
1958, depois de 162 dias em órbita.
Figura 1.2 - Réplica do Sputnik II
Fonte: Wikipédia (2005)
Aproximadamente, quatro anos depois, em 12 do Abril de 1961, o
cosmonauta Yuri Alexeyevich Gagarin, torna-se o primeiro homem a ir ao
espaço, orbitando a Terra por 108 minutos a uma altitude de 300 km a bordo
do Vostok I (Figura 1.3). A carga da nave incluía equipamentos de suporte a
vida, rádio e televisão para monitorar as condições de Gagarin. Nessa missão,
Gagarin proferiu a famosa frase: “A Terra é azul”. O vôo foi totalmente
automático, sendo que o painel estava travado e Gagarin possuía uma chave
29
em um envelope fechado caso houvesse necessidade de tomar o controle
manual da nave.
Figura 1.3 - Réplica do Vostok I
Fonte: Wikipedia (2005)
Em vinte de Julho de 1969, através da missão Apollo 11, têm-se a
chegada do homem à Lua, tripulada pelos astronautas Neil Armstrong, Edward
“Buzz” Aldrin e Michael Collins, representando a conquista definitiva do espaço
e mostra que o esforço a ousadia e a engenhosidade humanas são capazes de
enfrentar qualquer desafio.
Desde então, a exploração espacial cresceu de forma extraordinária e
tornou-se parte do dia-a-dia de grande parcela da população mundial. As idas
de pessoas ao espaço e sua permanência por longos períodos em estações
orbitais já se tornaram comuns.
O Brasil é presença constante no cenário aeroespacial, firmando como
um dos paises com domínio e tecnologia voltada ao espaço, no
desenvolvimento de foguetes de sondagem, construção de satélites, operação
de veículos lançadores e de bases de lançamento e atuação na Estação
Espacial Internacional, ISS (do inglês, International Space Station), comprovam
de maneira inequívoca o compromisso do país em competir de igual para igual
no seleto grupo de nações que dominam e operam atividades espaciais. Prova
de todos os esforços, foi a criação da Agência Espacial Brasileira, AEB, pelo
30
governo brasileiro, em 10 de fevereiro de 1994, sob a forma de uma autarquia
federal de natureza civil, vinculada a Presidência da República, com a
finalidade de promover o desenvolvimento das atividades espaciais de
interesse nacional. Meira Filho et al. (1999)
1.2 Microgravidade
As atividades científicas representam um papel importante dentro das
atividades espaciais, impulsionadas principalmente pelo desejo do ser humano
de encontrar respostas e satisfazer suas curiosidades. As pesquisas em
ambiente de microgravidade (ordem de milionésimos da gravidade da Terra,
10
-6
g) permitem aos pesquisadores analisar e estudar os processos que
normalmente seriam afetados ou anulados pela gravidade da Terra, e ainda
testar teorias existentes e formular novas teorias.
Tal ambiente é gerado artificialmente, anulando-se os efeitos da atração
gravitacional da Terra, através de diversos métodos com tempos de duração
diferentes, como pode ser observado na Tabela 1.1. Em geral, a
microgravidade é obtida através de efeitos de queda-livre, que permitem anular
a ação gravitacional terrestre.
Cada um dos meios apresentados na Tabela 1.1 encontra sua aplicação,
em função dos custos – que podem variar de 10 a 10000 dólares para cada
quilograma e cada hora de experimento, e do tempo necessário para a
realização de experimentos. Moraes Jr. e Pilchowski (1997).
Experimentos científicos em ambiente de microgravidade de interesse de
institutos de pesquisas não têm sido, em geral, bem atendidos, devido ao
grande tempo de espera entre a realização de um experimento e o seu retorno
a Terra, criando assim um empecilho à utilização de estações espaciais, uma
vez que deve-se aguardar o retorno de uma espaçonave que traga os
resultados desse experimento. Em função disso, se dá a crescente demanda
pela utilização de sistemas que operem em ambientes de microgravidade.
31
Tabela 1.1 – Meios de geração do ambiente de Microgravidade e os tempos de
duração.
Fonte: Moraes Jr. e Pilchowski (1997)
1.3 Reentrada
Admitindo o fluido como sendo incompressível, para escoamento
subsônico, é possível obter soluções aerodinâmicas utilizando apenas as
equações da continuidade e da quantidade de movimento, não havendo a
necessidade da utilização da equação da energia para este tipo de
escoamento. (Anderson, 1991). À medida que se melhorou a propulsão nos
primórdios do século passado, iniciaram-se as discussões sobre escoamentos
com números de Mach elevados, dando origem, então, a uma nova dificuldade
para a tecnologia aeroespacial - a necessidade do tratamento do fluido
considerando-o compressível. Desde então, o papel desempenhado pela
equação da energia se tornou de grande importância para o estudo desse tipo
de escoamento, vinculando de forma decisiva a aerodinâmica com a
termodinâmica. O aumento contínuo da velocidade dos veículos espaciais
conduziu a uma maior complexibilidade dos fenômenos aerodinâmicos
envolvidos, adicionando novas variáveis e equações ao problema. Para
escoamentos hipersônicos, onde veículos que viajam a números de Mach
extremamente elevados, fizeram-se necessários estudos, em um primeiro
Meio Tempo (aproximado)
Torre de queda-livre 10 segundos
Avião em vôo parabólico 30 segundos
Plataforma sub-orbital 5-15 minutos
Veículo espacial não-tripulado 10 dias
Veículo espacial tripulado 10 dias
Estação espacial Anos
32
momento, de como tratar escoamentos reativos e, posteriormente, considerar a
ionização do escoamento e os efeitos de radiação, entre outros.
No início da década de 50, com o desenvolvimento de mísseis balísticos
intercontinentais, houve dificuldades devido à reentrada atmosférica, em
especial com os problemas relacionados aos efeitos de altas altitudes e altas
temperaturas. (Anderson, 1991). Desde então, os problemas de dinâmica dos
gases para o caso de reentrada atmosférica continuam sendo desafiadores,
principalmente se considerarmos que as etapas de vôo compreendem valores
elevados do número de Mach, com os números de Knudsen e de Reynolds
dependendo de cada caso. Sendo assim, o veículo experimenta regimes que
vão desde o subsônico até o hipersônico, do contínuo ao rarefeito, do laminar
ao turbulento, do equilíbrio termodinâmico e químico ao não-equilíbrio. Tem-se
ainda que o processo de reação química provocado pelas altas temperaturas
induz uma ampla faixa de valores de números de Damköhler, e
conseqüentemente, os regimes termoquímicos vão do estado congelado,
Da<<1, até o equilíbrio, Da>>1. Sharma (2000)
1.4 Motivações, Objetivos e Conteúdo do Texto
A Mecânica dos Fluidos Computacional, também conhecida como CFD
(Computational Fluid Dynamics), pode ser considerada uma subdivisão da
ciência de Mecânica dos Fluidos, que se preocupa em desenvolver técnicas de
simulação e coleta de dados a partir da utilização de métodos numéricos em
equipamento computacional. Trata-se de uma ferramenta poderosa, uma vez
que reduz custos e tempo no desenvolvimento de projetos em que o
escoamento de fluidos seja elemento determinante.
Mas para que isso seja possível, faz-se necessário a análise do problema
físico a ser simulado para se obter uma simplificação teórica coerente e que
permita a implantação do método numérico mais simples que possa ser
aplicado ao problema ou da adequação de um modelo já disponível. Dessa
forma, compreender a ferramenta com a qual se trabalha nos permite entender
a importância em um problema físico de escoamentos de gases.
33
No presente trabalho foi desenvolvido um estudo do escoamento em
tubeiras convergente-divergente pelas quais existe um particular interesse por
parte do IEAv/CTA. O motivo da escolha foi porque esse tipo de escoamento
possui grande importância em aplicações aeroespaciais. Além disso, a tubeira
seria um bom caso teste para o desenvolvimento de códigos para simulação do
escoamento dada a simplicidade de sua geometria.
Com esses propósitos, trabalhou-se na investigação de um escoamento
unidimensional, hipersônico, de uma tubeira convergente-divergente. A
investigação inicial contou com o código NOZ3T (Three Temperature Nozzle
Flow Code) que foi usado como base para o estudo em CFD, desenvolvido
pelo Dr. Chul Park na NASA Ames Research Center em 1993, e que utiliza o
modelo de 3 temperaturas (translacional-rotacional, vibracional e eletrônica), 7
espécies químicas (N, O, N2, O2, NO, NO+, e
-
) e 21 reações químicas
consideradas por Park (1986) para o modelamento do fenômeno termo-
químico.
No texto que se segue no capítulo 2, foi desenvolvida a teoria elementar
para este trabalho, apresentando os conceitos básicos ao estudo do
escoamento. O capítulo 3 introduz conceitos a respeito de escoamentos
hipersônicos e suas condições. No capítulo 4 é introduzida uma modelagem de
equações da cinética química para um escoamento unidimensional. O capítulo
5 apresenta informações sobre o código computacional e no capitulo 6 é
apresentada a validação do código com resultados experimentais encontrados
em outros trabalhos. O capítulo 7 apresenta o resultados e análises obtidos
com a utilização do código computacional para a expansão do ar na tubeira
para temperatura e pressão de reservatório de 10000 K e 0,69 MPa,
respectivamente,
34
35
2 F ORMULAÇÃO TEÓRICA
2.1 Introdução
Neste capítulo, será desenvolvida a teoria elementar e necessária para a
realização do presente trabalho. Apresentaremos alguns conceitos básicos em
estudo de escoamentos, abordando os tipos de escoamentos aerodinâmicos
compressíveis e os possíveis regimes a estes associados: subsônico,
transônico, supersônico e hipersônico.
Serão feitas considerações sobre o escoamento em dutos de área
variável, de maneira a possibilitar o estudo do funcionamento de tubeiras
convergente-divergentes sob várias condições de operação. Então,
consequentemente, será visto que as propriedades desse tipo de escoamento
podem ser determinadas em função do número de Mach local, que dependerá
apenas do conhecimento da variação da área da seção transversal da tubeira
com a coordenada unidimensional considerada.
2.2 Conceitos Básicos
2.2.1 Conceito de fluido
O fluido é um dos conceitos mais importantes em dinâmica dos gases,
cujo significado é usado genericamente para caracterizar líquidos e gases. Do
ponto de vista molecular, um fluido é caracterizado pelo fato de suas moléculas
apresentarem certa mobilidade relativa em que, assim, diferentemente dos
sólidos, não mantêm posições fixas no meio material. No entanto, um fluido
pode ser entendido como aquele que, sendo submetido a esforços de
cisalhamento, deforma-se imediatamente de uma forma contínua, enquanto
permaneça o esforço, por menor que seja o seu valor. Dentro desse contexto, é
importante dizer que um fluido é conhecido como newtoniano se existir uma
relação de proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento aplicada em uma
36
interface tangente a sua superfície e a razão da variação da velocidade na
direção normal à interface considerada.
“[...] todos os gases e a maioria dos líquidos simples são fluidos
newtonianos, sendo que pastas, asfaltos e polímeros são exemplos de fluido
que não podem ser considerados newtonianos” (Shames, 1973).
Apesar de os fluidos serem compostos de moléculas em movimento
constante, suas propriedades são analisadas do ponto de vista macroscópico.
Dessa maneira, pode-se considerar um fluido sob a hipótese de ser um meio
contínuo, o que implica que suas propriedades podem ser representadas por
funções contínuas da posição e, numa situação mais geral, também no tempo,
o meio contínuo será abordado posteriormente.
Portanto, podemos considerar um fluido como: “[...] uma substância que
muda continuamente de forma enquanto existir uma tensão de cisalhamento,
ainda que seja pequena” (Shames, 1973), e que, embora composto de
moléculas em movimento constante, são tratados como sendo um meio
contínuo.
2.2.2 Gás térmica e caloricamente perfeito
Por definição, “[...] um gás perfeito é aquele em que as forças
intermoleculares são desprezadas” (Shapiro, 1958), e que, portanto, é descrito
pela equação de estado de um gás perfeito (Skrotzki, 1963):
RTp
ρ
=
(2.1)
Onde
p
é pressão (Pa);
R
é a constante específica do gás, cujo valor
para o ar é de 287 (J/kgK);
ρ
é a densidade (kg/m³), e
T
, a temperatura do
gás dado em K. Essa consideração é válida para baixas pressões e altas
temperaturas.
37
Gás denominado termicamente perfeito, é o gás perfeito em que os
calores específicos à pressão e volume constantes, respectivamente
p
C e
v
C ,
são funções apenas da temperatura. Quando os calores específicos desse gás
não sofrem variações com a temperatura, é denominado de gás caloricamente
perfeito, ou seja, os valores de
p
C e
v
C são constantes e em conseqüência
disto
vp
CC=
γ
, também é constante.
Para um gás termicamente perfeito, onde a energia interna e a entalpia
são funções somente da temperatura, e os calores específicos para pressão e
volume constante,
p
C e
v
C são também funções da temperatura, obtemos
(Anderson, 1990):
(
)
Tee
=
(2.2)
(
)
Thh
=
(2.3)
dTCde
v
=
(2.4)
dTCdh
p
=
(2.5)
A variação da temperatura para
p
C e
v
C é associado com movimento
vibracional e eletrônico das partículas.
Para um gás caloricamente perfeito, onde os calores específicos são
constantes, temos as seguintes relações:
TCe
v
=
(2.5)
TCh
p
=
(2.6)
Considerando as equações acima, obtemos a relação:
RCC
vp
=
−
(2.7)
38
Onde os calores específicos para pressão e volume constante são definidos
por:
p
p
T
h
C
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
= (2.8)
e
v
v
T
e
C
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
(2.9)
duas formas úteis da Eq.(2.8) pode ser facilmente obtida, dividindo a Eq.(2.8)
por
p
C
:
pp
v
C
R
C
C
=−1 (2.10)
substituindo
vp
CC=
γ
, obtemos:
p
C
R
=−
γ
1
1
(2.11)
1−
=
γ
γ
R
C
p
(2.12)
da mesma forma, dividindo a Eq,(2.8) por
v
C , obtemos:
1−
=
γ
R
C
v
(2.13)
39
2.2.3 Compressibilidade
Segundo Anderson (1991) “[...] a compressibilidade é uma propriedade
específica de uma substância que expressa o quanto esta pode ser comprimida
e que, fisicamente, pode ser interpretada como a mudança fracional em volume
de um elemento de fluido por unidade de variação em sua pressão”.
Assim, por definição:
dp
d
ν
ν
τ
1
−=
(2.14)
Onde
τ
é a compressibilidade, e
ν
o volume específico da substância.
Se não ocorrer adição nem retirada de calor do elemento de fluido e
desprezarmos o atrito, pode-se considerar a compressão do elemento como
sendo isentrópica, resultando na chamada compressibilidade isentrópica
s
τ
:
s
s
p
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
ν
ν
τ
1
(2.15)
Considerando na equação (2.15) que
ρ
ν
1
=
, com
ρ
sendo a densidade
da substância considerada, teremos:
dpd
ρ
τ
ρ
=
(2.16)
40
A equação acima, estabelece que, quando um fluido sofre uma variação
de pressão
dp
, sua densidade será alterada por
ρ
d
.
2.2.4 Velocidade do som
A velocidade com que uma onda sonora se propaga em um meio, pode
ser obtida das equações básicas para um escoamento unidimensional
considerando uma onda de choque normal infinitamente fraca (Shapiro, 1958),
e é dada por:
s
p
a
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
ρ
(2.17)
Para condição especial de um gás térmica e caloricamente perfeito:
γ
ρ
p
= constante. (Holman, 1988), substituindo na equação acima, teremos:
RTa
γ
=
(2.18)
Onde
R
é a constante específica e
T
a temperatura absoluta do gás.
A equação acima especifica que a velocidade do som em um gás térmica
e caloricamente perfeito é apenas função da temperatura.
Anderson (1990) mostra uma relação entre a velocidade de propagação
do som e a compressibilidade de um gás:
s
a
ρτ
1
=
(2.19)
41
2.2.5 Número de Mach
Número de Mach é um número adimensional importante em aerodinâmica
e é definido como a razão entre a velocidade de escoamento de um fluido e a
velocidade de propagação do som nesse meio (Dwinnell, 1949). Se
considerarmos um escoamento não perturbado, uniforme em todos os seus
pontos, por definição, o numero de Mach a ele associado é:
∞
∞
∞
=
a
U
M
(2.20)
Onde
∞
U e
∞
a
são respectivamente a velocidade e a velocidade do som
no escoamento não perturbado.
Caso contrário, o número de Mach é definido localmente, variando assim
de ponto a ponto do escoamento.
2.2.6 Escoamento permanente e escoamento uniforme
Um escoamento em regime permanente é aquele no qual suas
propriedades não variam com a coordenada temporal, portanto, não dependem
do tempo. Um escoamento é considerado uniforme quando não há gradientes
de propriedades, ou seja, as propriedades não dependem da coordenada
espacial.
42
2.2.7 Escoamento contínuo e escoamento molecular-livre
A classificação de um escoamento como sendo contínuo ou molecular-
livre se baseia em dois pontos básicos: o primeiro, no conceito de livre caminho
médio das moléculas, que é a distancia média percorrida por uma molécula,
constituinte no meio em questão, entre duas colisões sucessivas, simbolizado
por
λ
; e o segundo nas dimensões de um corpo de prova colocado nesse
escoamento. Assim, um escoamento será considerado contínuo quando
λ
for
muito menor do que uma dimensão característica do corpo, por exemplo seu
diâmetro, e molecular-livre se
λ
for aproximadamente da mesma ordem de
grandeza dessa dimensão. Os escoamentos que apresentam características de
contínuo e molecular-livre são usualmente denominados de escoamentos de
baixa densidade.
O adimensional que estabelece os limites de validade da aproximação do
contínuo é o número de Knudsen (Stermann, 1955), dado por:
L
K
λ
=
(2.21)
Para
K
>>1, na prática
K
>10, as leis derivadas para gases a baixas
densidades são válidas; para
K
<<1, na prática
K
<0.1, as leis do contínuo
prevalecerão. A região intermediária (0.1<
K
<10) é conhecida como de
transição.
Anderson (1991) apresenta um classificação com mais detalhes do que
apresentada neste trabalho e cita que “[...] o número de Knudsen é o critério
para decidir se os efeitos de baixas densidades são importantes e em que
extensão”.
Um mesmo escoamento pode ser caracterizado como contínuo ou
molecular-livre dependendo das dimensões do corpo sobre o qual este se
estabelece.
43
2.2.8 Escoamento viscoso e não-viscoso
O transporte de massa, momento e energia em escala molecular em um
fluido compõem os chamados fenômenos de transporte: difusão de massa,
viscosidade e condutividade térmica. Se um escoamento exibe esses
fenômenos, ele é denominado de escoamento viscoso; se um escoamento não
exibe esses fenômenos, ele é denominado de escoamento não-viscoso.
2.2.9 Escoamento incompressível e compressível
De acordo com Anderson (1991), “[...] um escoamento em que a
densidade permanece constante é denominado com incompressível e, se esta
for variável, compressível”. Para Shapiro (1958), “[...] o termo escoamento
compressível implica variações de densidade por todo o campo do
escoamento, sendo estas principalmente resultantes de mudanças de pressão
de um ponto para outro”, enquanto que um escoamento incompressível, seria
que mudanças nas densidades são tão pequenas que podem ser desprezadas.
O autor conclui, considerando a estreita relação entre variações de pressão e
densidade com a velocidade de propagação do som no meio em que: primeiro,
um é considerado incompressível quando as velocidades do fluido em
movimento são muito baixas comparadas com velocidades do som neste, e a
variação da densidade é muito baixa, tornando-a insignificante; segundo, um
escoamento é compressível quando as velocidades envolvidas são
comparáveis à velocidade do som.
Em Anderson (1991), tem-se a seguinte definição em termos do número
de Mach: um escoamento é considerado compressível se o número de Mach
associado a ele for
3.0>M
, sendo incompressível no caso contrário.
44
2.2.10 Regimes de escoamentos compressíveis
“[...] A influência da compressibilidade de um meio leva as diferenças
qualitativas marcantes entre natureza física de escoamentos incompressíveis e
compressíveis, especialmente nesse ultimo caso, se a velocidade do fluido for
maior ou menor do que a velocidade do som local” (Anderson, 1991). Por isso,
a caracterização dos regimes de escoamento com base no número de Mach é
o mais difundido (Shapiro, 1958).
Anderson (1990), considera que se
M
for o número de Mach local em um
ponto arbitrário de um escoamento, então pode ser localmente definido como:
subsônico se 1
<
M
, sônico se 1
=
M
e supersônico se 1>
M
. Já em relação
ao escoamento como um todo, o mesmo autor indica quatro regimes de
velocidade: subsônico ( 1<
M
em todos os pontos do escoamento), transônico
( 1<
M
e 1>
M
em regiões mistas), supersônico ( 1>
M
em todos os pontos do
escoamento) e hipersônico (
5>M
).
Um escoamento é definido como subsônico se 1
<
M
em todos os seus
pontos, sendo que as linhas de corrente, que descrevem seu comportamento,
são suaves, não apresentando descontinuidades, e que perturbações no
escoamento se propagam à montante e a jusante do ponto onde estas
ocorrem, de maneira que são sentidas por todo campo.
Para escoamentos transônicos, onde coexistem regiões onde 1<
M
e
1>
M
, estes podem se tornar localmente supersônicos se
M
for
aproximadamente igual a um. A presença de ondas de choque condiciona a
existência de pontos onde 1
<
M
. Escoamentos desse tipo são caracterizados
por regiões mistas e são dominados pela física dos dois tipos de escoamentos.
Não existe limite exato, mas escoamentos transônicos ocorrem com números
de Mach do escoamento não perturbado no intervalo de 2.18.0 <
<
M .
Um escoamento é definido como supersônico se 1>
M
em todos os seus
pontos. O que caracteriza esse regime é a presença de ondas de choque e de
expansão, através das quais as propriedades do escoamento e as linhas de
corrente mudam descontinuamente. Utiliza-se a condição de que este tipo de
45
escoamento ocorra para 2.1>M sem, no entanto, ser um limite físico de fato.
As perturbações criadas em algum ponto do escoamento não se propagam a
montante, devido ao fato de ser a velocidade local maior do que a velocidade
do som.
Um escoamento é considerado hipersônico quando
∞
M se torna grande o
bastante, de maneira que os efeitos de altas temperaturas e de reações
químicas começam a ocorrer, especificamente em uma região fina existente
entre a forte onda de choque que se forma, devido à presença de um corpo, e
a superfície deste. Utiliza-se como limite para essa classificação o valor de
5>M
, porém não se trata de uma regra geral nem física.
2.2.11 Considerações e operação de escoamento em tubeiras
A possibilidade de alteração nas propriedades de um escoamento está
diretamente relacionada com a consideração da existência de mudança de
área, atrito ou transferência de calor no sistema considerado.
O estudo do escoamento em tubeiras é feito através da consideração de
que este seja quase-unidimensional, de maneira que ainda estaremos sob
hipótese de que todas as propriedades do escoamento sejam uniformes
através de qualquer seção reta considerada.
O escoamento através de uma tubeira convergente-divergente é mostrado
na Figura 2.1. O escoamento na entrada da tubeira inicia-se de um reservatório
onde a pressão e a temperatura são indicadas por
0
P e
0
T , respectivamente. A
área de seção transversal na entrada da tubeira (fim do reservatório) é grande
(teoricamente, ∞→A ), e a velocidade é pequena ( 0
≈
u ). Assim,
0
P e
0
T são
considerados valores de estagnação, ou pressão total e temperatura total,
respectivamente. O escoamento se expande à velocidade supersônica na
saída da tubeira, onde a pressão, temperatura, velocidade e número de Mach
na saída, são indicados por
s
P ,
s
T ,
s
u e
s
M , respectivamente. O escoamento é
subsônico na seção convergente, na garganta o escoamento é sônico (área
mínima), e supersônico na seção divergente. O escoamento na garganta (M=1)
46
significa que a velocidade neste local. Usando um asterisco para indicar o
escoamento sônico, o valor que temos na garganta é
**
auu == . Do mesmo
modo, o escoamento sônico são indicados por valores de pressão e
temperatura
*
P
e
*
T
, respectivamente, e a área da garganta é indicada por
*
A .
Anderson (1995)
Figura 2.1 - Representação de uma tubeira convergente-divergente.
Fonte: Anderson (1995).
A operação de uma tubeira convergente-divergente pode ser analisada
observando a variação de pressão estática ao longo da tubeira. Para essa
análise, consideremos uma tubeira acoplada a um reservatório (câmara de
estagnação) suficientemente grande, ou seja, sua seção transversal é muito
maior do que a área da seção da garganta da tubeira, de tal maneira que se
possam considerar as propriedades do reservatório como sendo de
estagnação.
47
3 ESCOAMENTO HIPERSÔNICO
Normalmente, a reentrada de veículos espaciais na atmosfera envolve
velocidades muito altas, chegando a várias vezes a velocidade do som. Em
outras palavras, o número de Mach é muito maior que um, ou seja.
1>>≡
∞
∞
∞
a
U
M
(3.1)
Em geral, os escoamentos que cumprem a equação 3.1, estão no
chamado regime hipersônico, onde
∞
M é o número de Mach da corrente livre,
∞
U é a velocidade da corrente livre e
∞
a é a velocidade do som da corrente
livre. Não há um número de Mach bem definido que estabeleça a transição de
supersônico para hipersônico, embora a condição de
∞
M = 5 seja usada por
alguns autores com referência (Anderson, 1989). Regime hipersônico é melhor
definido como o regime em que certos fenômenos físicos, no escoamento,
tornam-se progressivamente mais importantes à medida que o número de
Mach aumenta, como os efeitos de altas temperaturas, interação viscosa,
camadas de choque finas e camada de entropia. (Anderson, 1989). Por outro
lado, pode-se ter a presença de um ou mais destes fenômenos em velocidades
inferiores a Mach igual a 5 e, por outro lado, é possível que um escoamento
com velocidades superiores a este valor não apresentem tais fenômenos.
3.1 Efeitos de Alta Temperatura
A energia cinética de um escoamento hipersônico é dissipada pela fricção
do ar junto à camada limite. Essa dissipação viscosa que ocorre no
48
escoamento hipersônico, pode criar temperaturas extremamente altas –
suficientemente para excitar vibracionalmente as moléculas, e causar
dissociação ou até mesmo ionização do gás. Além disso, a camada limite não é
a única região de alta temperatura sobre um corpo em velocidades hipersônica,
pois em um escoamento deste tipo ao redor de um corpo rombudo, a onda de
choque é normal, ou quase normal, na região do nariz, e a temperatura do gás
atrás desta onda de choque pode ser muito mais elevada para altas
velocidades.
Como exemplo, apresentado na Figura 3.1, observa-se o gráfico da
temperatura atrás de uma onda de choque normal em função da velocidade da
corrente livre, de um veículo voando a uma altitude de 52 km. Duas curvas são
apresentadas:
Figura 3.1 - Temperatura atrás de uma onda de choque com função da velocidade da
corrente livre na altitude de 52 km
Fonte: Anderson (1989)
1. A curva da esquerda assume um gás caloricamente perfeito - que é
por definição, aquele em que os valores de C
P
(calor específico a
49
pressão constante) e de C
V
(calor específico a volume constante)
são constantes, e com razão entre os calores específicos igual a
VP
CC / = 1.4, sem reações químicas, e com valores muito altos que
não representam a realidade;
2. A curva da direita assume um gás com reações e equilíbrio
químicos que se aproxima da situação real.
Segundo a Figura 3.1 apresentada, pode-se concluir que a temperatura
na região do nariz de um veículo hipersônico pode ser extremamente alta,
chegando a aproximadamente 11000 K para o caso de número de Mach igual a
36 (como a reentrada da nave Apollo). A inclusão adequada dos efeitos de
reações químicas é extremamente importante para o cálculo preciso da
temperatura da camada de choque, então ocorrendo a hipótese de que
γ
constante não é válida. Portanto, para um escoamento hipersônico, a camada
de choque pode estar dominada por reações químicas.
Diferenças de temperatura para um gás perfeito e para um gás com
reações químicas, na região de estagnação, são possíveis de serem
observadas na Tabela 3.1.
Tabela 3.1 - Diferenças de temperatura para gás perfeito e para um gás com reações
em equilíbrio na região de estagnação, avaliadas em problemas
conhecidos.
Fonte: Kessler (2002).
50
Onde
∞
M é o número de Mach, h é a altitude,
gp
T
0
e
eq
T
0
são
temperaturas na região de estagnação para gás perfeito e para reações em
equilíbrio, respectivamente.
Note-se que as temperaturas obtidas com o modelo de reações químicas
só começam a sofrer grandes desvios do modelo de gás perfeito acima de
Mach 5, que é o valor geralmente aceito como transição de supersônico para
hipersônico.
Ao contrário do que se aplica nos estudos tradicionais de termodinâmica e
de escoamentos compressíveis – onde se considera que o gás possui calores
específicos constantes (
γ
constante) e, portanto, se comporta de forma “ideal”
-, quando a temperatura é aumentada para valores altos, o gás comporta-se de
forma “não-ideal”. Especificamente:
1. A energia vibracional das moléculas fica excitada, tornando os calores
específicos função da temperatura. Da mesma forma, a razão dos
calores específicos,
γ
=C
p
/C
v
, também se torna função da temperatura.
Para o ar, este efeito começa a ficar importante acima de 800 K.
2. À medida que a temperatura é aumentada ainda mais, podem ocorrer
reações químicas. Para um gás com reações químicas, C
p
e C
v
são
funções tanto da temperatura como da pressão e, portanto,
γ
= f (T,p).
Para o ar a 1 atm, a dissociação de oxigênio molecular (O
2
→ 2O)
começa ao redor dos 2500 K e está quase totalmente dissociado em
4000 K. Nesta temperatura começa a dissociação do nitrogênio
molecular (N
2
→ 2N) e está quase totalmente dissociado em 9000 K.
Acima desta temperatura começa a formação de íons ( N → N
+
+ e
-
e O
→ O
+
+ e
-
) e o gás torna-se um plasma parcialmente ionizado.
Todos estes fenômenos são chamados de efeitos de alta temperatura e
são apresentados na Figura 3.2 para o ar a 1 atmosfera.
Outro efeito de alta temperatura que pode estar presente em
escoamentos hipersônicos é a radiação, ou seja, um elemento de fluido pode
51
perder energia devido à emissão de radiação ou, ainda, pode ganhar energia
devido à absorção de radiação emitida por outros elementos de fluido.
Segundo Anderson (1989), a emissão, por radiação, de quantidades
significativas de energia começa ao redor de 10000 K para o ar. No presente
trabalho, adota-se a hipótese significativa de ausência de radiação.
Figura 3.2 - Faixas de temperatura para excitação vibracional, dissociação e ionização
do ar a 1 atmosfera.
Fonte: Anderson (1989)
52
3.2 Descrição Microscópica dos Gases
Para a análise de qualquer escoamento de alta temperatura, necessita-se
do conhecimento das propriedades termodinâmicas do gás. Algumas dessas
propriedades não podem ser obtidas a partir da termodinâmica clássica (a não
ser através de dados experimentais). A termodinâmica estatística (baseada na
teoria cinética dos gases), por outro lado, permite calcular as propriedades
termodinâmicas a partir de princípios básicos, contando que esteja-se
considerando sistemas em equilíbrio ( Anderson, 1989).
O desenvolvimento da termodinâmica estatística concentra-se na descrição
microscópica de um gás, ou seja, assume-se que o gás consiste de um grande
número de moléculas individuais e examina-se a natureza destas moléculas.
Uma molécula é um conjunto de átomos unidos através de forças
intramoleculares, e um conceito simples de molécula diatômica é o modelo de
“haltere”, apresentado na Figura 3.3. Esta molécula possui vários modos
(formas) de energia da seguinte forma:
1. A molécula move-se no espaço e, portanto, possui energia translacional,
como pode ser observado na Figura 3.3a. A fonte desta energia é a
energia cinética translacional do centro de massa da molécula.
2. A molécula gira em relação aos três eixos ortogonais no espaço e,
portanto, possui energia rotacional, como pode ser observados na
Figura 3.3b. A fonte desta energia é a energia cinética rotacional
associada à velocidade rotacional e ao momento de inércia da molécula.
Entretanto, para a molécula diatômica da Figura 3.3b, o momento de
inércia em relação ao eixo internuclear (eixo z) é muito pequeno, de
modo que a energia cinética rotacional em relação ao eixo z é
desprezível em relação às dos eixos x e y.
3. Os átomos da molécula vibram em relação a uma localização de
equilíbrio. Para uma molécula diatômica, esta vibração é modelada
53
como dois átomos unidos por uma mola, como pode ser visto na Figura
3.3c. Portanto, a molécula possui energia vibracional. Há duas fontes
desta energia vibracional: a energia cinética dos átomos durante a
vibração; e a energia potencial associada à força intramolecular
(simbolizada por uma mola).
Figura 3.3 - Modos de energia molecular.
Fonte: Anderson (1989).
54
4. Os elétrons ocupam níveis estacionários de energia em relação ao
núcleo de cada átomo que constitui a molécula, como pode ser
observado na Figura 3.3d. Portanto, a molécula possui energia
eletrônica. Há duas fontes de energia eletrônica associada a cada
elétron: a energia cinética devido ao movimento translacional através de
sua órbita ao redor do núcleo e a energia potencial devido a sua
localização no campo eletromagnético ao redor do núcleo.
A energia total de uma molécula, portanto, é a soma das energias
translacional, rotacional, vibracional e eletrônica. Para um átomo, há apenas as
energias translacional e eletrônica. A energia total das partículas é idêntica à
energia interna usada na termodinâmica clássica.
3.3 Equilíbrio e Não-equilíbrio Químicos.
Todos os processos vibracionais e químicos ocorrem através de colisões
e/ou interações radiativas. Entretanto, o número de colisões necessárias para
excitar vibracionalmente ou dissociar uma molécula é, em geral, muito grande.
Por exemplo, a molécula de oxigênio (O
2
) necessita de algo em torno de 20000
colisões antes de tornar-se vibracionalmente excitada e de 200000 colisões
para dissociar-se. O número real de colisões depende do tipo de molécula e da
energia cinética relativa entre as duas partículas que estão colidindo: quanto
maior a energia cinética, menor o número de colisões para a troca de energia
vibracional. Portanto, as colisões são responsáveis pelas alterações
vibracionais e químicas. Tais colisões levam tempo para ocorrer e, dessa
forma, alterações vibracionais e químicas em um gás também levam tempo
para ocorrerem (Anderson, 1989).
Em um sistema em equilíbrio, assume-se que o gás teve um tempo
suficientemente grande para que as colisões ocorressem e as propriedades do
sistema para pressão e temperatura fixas se tornassem constantes,
independentemente do tempo. Na realidade, colisões intermoleculares são os
55
mecanismos chaves para levar um gás ao seu estado de equilíbrio final
(Vincenti & Kruger, 1965). Por exemplo, considerando um sistema composto
por três espécies químicas A, B e AB. A equação que governa a reação entre
estas espécies é:
BAAB
+
⇔
(3.2)
Assume-se que a mistura está confinada em um volume fixo com pressão
e temperatura constantes e que o sistema existiu um tempo suficientemente
longo para que a composição química se tornasse fixa, ou seja, a reação acima
ocorre um número igual de vezes para a direita e para a esquerda (as reações
para frente e para trás estão balanceadas) (Anderson, 1989).
Na dinâmica de gases em alta velocidade, há também, inúmeros casos
onde o gás não tem o tempo necessário para atingir o equilíbrio. Um exemplo
deste fenômeno é o escoamento através de uma onda de choque, onde a
pressão e a temperatura aumentam rapidamente no seu interior, alterando as
propriedades de equilíbrio vibracional e químico. As novas condições de
equilíbrio somente são atingidas após colisões intermoleculares e, portanto
levam algum tempo. Até que isso ocorra, um elemento de fluido já percorreu
certa distância a jusante do choque. Por esse motivo, há uma região
imediatamente atrás do choque onde as condições de equilíbrio não são
satisfeitas, ou seja, há uma região de não equilíbrio.
Em outras palavras, se as reações químicas acorrem muito rapidamente
em comparação com o tempo que um elemento de fluido leva para mover-se
de um ponto a outro do escoamento, tem-se um escoamento em equilíbrio
químico. Se os tempos são parecidos tem-se, então, um escoamento em não-
equilíbrio químico. Tem-se também a condição de estado “congelado” (frozen),
que ocorre quando os tempos de reações químicas sejam muito maiores que o
tempo que um elemento de fluido leva para mover-se de um ponto a outro do
escoamento.
56
3.4 Dinâmica de Fluidos Computacional em Escoamentos Hipersônicos.
Desde os primeiros contatos com escoamentos de altas velocidades, há
um enorme interesse dos pesquisadores pelo modelamento numérico de
problemas deste tipo de escoamento. Isto é verdade para o caso de
escoamento hipersônico, devido a sua dificuldade (ou impossibilidade em
alguns casos) e altos custos de reprodução destes escoamentos em
laboratório. Nesse sentido, várias teorias foram desenvolvidas e aplicadas com
grande sucesso a vários problemas práticos e, como primeira aplicação, tem-se
o método das características aplicado a um problema hipersônico por Ludwig
Prandtl e Adolf Busemann em 1929, na Alemanha. Este método é usado para
obter-se a solução numérica de equações hiperbólicas, sendo que uma das
propriedades deste tipo de equação é que ela possui direções ou linhas
características (Liepmann & Roshko, 1957). Para um escoamento supersônico
bidimensional, as curvas características físicas são as linhas de Mach (Shapiro,
1953). Igualmente importantes são as teorias desenvolvidas nas décadas de
1950 e 1960, como a teoria da interação viscosa (forte e fraca). (Anderson,
1989).
Foi somente com o advento dos computadores digitais de alta velocidade
que a solução de problemas hipersônicos deu um salto importante. Com o
surgimento da dinâmica dos fluidos computacional, CFD (do inglês,
computational fluid dynamics), sendo, então, uma nova área de pesquisa para
a análise de escoamento de fluidos. As aplicações de CFD estão presentes em
todo o aspecto de vôo, desde o subsônico até o hipersônico. Por isso, e pela
dificuldade de túneis de vento em produzir todos os regimes de vôo, a CFD
firmou-se como uma ferramenta poderosa na pesquisa, desenvolvimento e
projeto de problemas hipersônicos.
Em CFD, três enfoques para a solução de escoamentos viscosos em
problemas hipersônicos têm sido usados:
57
1. Solução de camada de choque viscosa (viscous shock-layer),
introduzida por Davis (1970), onde as equações completas de
Navier-Stokes são escritas em coordenadas de camada-limite e
uma análise de ordem de grandeza é realizada sobre os termos
das equações;
2. Solução de Navier-Stokes parabolizada (parabolized Navier-
Stokes), onde são desprezados os termos viscosos da equação de
Navier-Stokes que envolvem derivadas na direção do escoamento;
3. Solução completa de Navier-Stokes, onde não há qualquer tipo de
simplificação dos termos da equação.
Os escoamentos supersônicos (e hipersônicos, por conseqüência), em
geral, são complexos e exigem cuidados especiais na solução das equações
através de simulação numérica. Um exemplo é o caso de um escoamento de
alta velocidade ao redor de um corpo rombudo, como podemos observar na
Figura 3.4. Na região I a velocidade é constante e igual a U
∞
(escoamento não
perturbado). A região II é subsônica (problema elíptico). A região III é
supersônica (problema hiperbólico) (Maliska, 1995). Este problema, de caráter
misto, exige tratamento especial. Moretti & Abbett (1966) foram os primeiros a
resolver numericamente este problema, utilizando uma técnica de diferenças
finitas com marcha no tempo desenvolvida por Lax e Wendroff (1960, 1962,
1964) aplicadas às equações de Euler transientes. Estas equações são
hiperbólicas com respeito ao tempo, mesmo se o escoamento é localmente
subsônico ou supersônico. Um procedimento de marcha no tempo, partindo de
condições inicias, permite, portanto, a solução simultânea de todas as regiões
do escoamento com a mesma técnica numérica (Anderson, 1989).
MacCormack, em 1969, apresentou uma variante da técnica Lax-Wendroff,
porém mais simples – esquema explícito, “predictor-corrector”, baseado no
método das diferenças finitas – que foi largamente usado nos 15 anos
seguintes (Anderson, 1995).
58
Os primeiros códigos computacionais que incorporam fenômenos físicos
presentes em escoamentos hipersônicos surgiram na década de 1970. Désidéri
(1991), C. P. Li, em 1974, apresentaram um artigo onde as equações de
Navier-Stokes eram resolvidas para baixos números de Reynolds ao redor de
uma esfera usando o método de MacCormack. Usou-se um modelo de não-
equilíbrio com 6 espécies químicas, incluindo o NO
+
e elétrons. Em 1975,
Rakich, Bailey e Park aplicaram o método das características para resolver a
parte supersônica de escoamentos bidimensionais e tridimensionais não
viscosos em não-equilíbrio usando um modelo de 5 espécies e 18 reações
químicas. Rizzi & Bailey (1976) empregaram o método de volumes finitos com
marcha no tempo para resolver um escoamento supersônico em reações
químicas ao redor de um corpo rombudo tridimensional.
Figura 3.4 - Escoamento supersônico sobre um corpo rombudo
Fonte: Maliska (1995)
Lee (1985) apresentou uma formulação básica para a solução de
problemas de baixa densidade e alta entalpia que incluía as equações de
conservação da massa para cada espécie química, de massa da mistura, de
59
quantidade de movimento da mistura e de energia (total, vibracional e
eletrônica ). Park (1985) introduziu um modelo mais simples, com apenas duas
equações de energia (total e vibracional), onde as temperaturas vibracional e
eletrônica são consideradas iguais entre si, mas diferentes da temperatura
translacional-rotacional.
60
61
4 MODELAGEM MATEMÁTICA
4.1 Hipóteses Básicas
A modelagem empregada está baseada nas seguintes hipóteses
simplificadoras:
• Regime permanente;
• Ausência de força de campo;
• Ausência de trabalho de eixo;
• Sistema adiabático;
• Ausência de forças viscosas;
• Ausência de difusão molecular;
• Equilíbrio térmico entre as espécies químicas;
As concentrações das espécies químicas variam ao longo do
escoamento, devido às reações químicas. Portanto, a lei de conservação da
massa deve ser aplicada a cada espécie química presente no escoamento,
levando-se em conta as velocidades finitas das reações.
Não foi necessário considerar o escoamento como isentrópico, como
ocorre para escoamento congelado (sem reação química) ou para o caso de
escoamento em equilíbrio químico (velocidade de reações infinitas).
Consequentemente, o escoamento em não-equilíbrio químico apresenta uma
variação de entropia ao longo de escoamento.
4.2 Modelagem da Cinética Química
A taxa de produção da espécie química s por unidade de volume é dada
pela seguinte expressão Gnoffo et al., (1989); Men’shov & Nakamura, (2000);
Ait-Ali-Yahia & Habashi, (1997):
62
()
()
,
1
,,,,
∑
=
−−=
r
N
r
rbrfrsrsss
RRfbM
ω
(sem soma em s) (4.1)
Onde
r
N é o número de reações químicas,
rs
f
,
e
rs
b
,
são,
respectivamente, os coeficientes estequiométricos para os reagentes e os
produtos na reação r e
rf
R
,
e
rb
R
,
são, respectivamente, as taxas de reação
para frente e para trás para a reação r. Estas taxas são definidas por:
(4.2)
(4.3)
onde
rf
k
,
e
rb
k
,
são, respectivamente, os coeficientes de taxa de reação para
frente e para trás e
s
ρ
é a massa específica da espécie s.
Para complementar a equação (4.1), um modelo cinético-químico deve
ser definido. Isto se dá quando um conjunto de
r
N reações é fornecido com as
expressões apropriadas para os coeficientes de taxa de reação para frente e
para trás. Gnoffo et al. (1989) compararam dois modelos cinético-químicos
disponíveis: o de Dunn e Kang, de 1973, e o de Park (1989), e concluíram que
o modelo de Park se aproxima melhor dos resultados obtidos com Simulação
Direta de Monte-Carlo (DSMC). No presente trabalho, adota-se o modelo de
três temperaturas de Park. As reações e os parâmetros referentes a cada uma
delas pode ser observado na Tabela 4.1.
∏
∏
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
s
rs
rs
s
N
s
b
s
s
rbrb
f
N
s
s
s
rfrf
M
kR
M
kR
1
,,
1
,,
,
,
ρ
ρ
63
Tabela 4.1 - Parâmetros para o cálculo dos coeficientes de taxa de reação para o ar.
Reações
a
x
T
d
T
rf
n
,
M
rf
C
,
MNNMN ++=+
2
a
T 113200 -1.6 N 3.0 x 10
22
O 3.0 x 10
22
2
N 7.0 x 10
21
2
O 7.0 x 10
21
NO 7.0 x 10
21
+
NO 7.0 x 10
21
MOOMO ++=+
2
a
T 59750 -1.5 N 1.0 x 10
22
O 1.0 x 10
22
2
N 2.0 x 10
21
2
O 2.0 x 10
21
NO
2.0 x 10
21
+
NO
2.0 x 10
21
MONMNO ++=+
a
T 75500 0.0 N 1.1 x 10
17
O 1.1 x 10
17
2
N 5.0 x 10
15
2
O 5.1 x 10
15
NO 1.1 x 10
17
+
NO 1.0 x 10
17
2
ONONO +=+
a
T 19450 0.0 8.365 x 10
17
NONON +=+
2
a
T 38370 - 1.0 6.440 x 10
17
−+
+=+ eNONO
a
T 31900 1.0 8.800 x 10
8
a
As reações para frente são endotérmicas
Neste modelo, Park assume que certas classes de reações podem ser
descritas por uma única temperatura de controle de taxa de reação,
a
T , que é
64
uma média apropriada das temperaturas translacional-rotacional e vibracional
locais. Ele sugere o uso de uma temperatura definida pela equação
va
TTT =
(4.4)
para caracterizar reações dissociativas.
Os coeficientes da taxa de reação para frente e para trás podem ser
expressos, respectivamente, por:
(
)
,/exp
,
,, xd
n
xrfrf
TTTCk
rf
−= (4.5)
(
)
,
,
,
,
req
rf
cb
K
Tk
k =
(sem soma em r) (4.6)
onde
req
K
,
é a constante de equilíbrio para a reação
r
. O parâmetro
rf
n
,
, a
constante de taxa de reação,
rf
C
,
, a temperatura de ativação,
d
T , e a
temperatura de controle de taxa de reação,
x
T , estão definidos na Tabela 4.1
para todas as reações químicas consideradas. As reações, a partir das quais
rs
b
,
e
rs
f
,
podem ser deduzidas, também estão presentes na tabela 3.1.
As constantes de equilíbrio,
req
K
,
, podem ser determinadas a partir da
energia de ativação da reação para frente em função dos reagentes e dos
produtos. Park (1986) empregou uma interpolação para a constante de
equilíbrio da seguinte forma:
(
)
[
]
2
,5,4,3,2,1,
ln/exp ZBZBZBBZBK
rrrrrreq
++++=
(4.7)
65
onde
T
Z
4
10
=
(4.8)
e as constantes
ri
B
,
são apresentadas na Tabela 4.2.
Tabela 4.2 - Constantes para cálculo do Coeficiente de Equilíbrio,
req
K
,
, onde
M
=
2
N ,
2
O , NO, N , O,
+
NO
Reações
r
B
,1
r
B
,2
r
B
,3
r
B
,4
r
B
,5
MNNMN ++=+
2
1.169 1.984 1.180 -11.576 0.004
MOOMO ++=+
2
-0.353 2.901 0.598 -6.096 0.002
MONMNO ++=+
0.695 0.753 0.943 -7.743 0.003
2
ONONO +=+ 1.047 -2.148 0.345 -1.647 0.001
NONON +=+
2
0.475 1.231 0.237 -3.833 0.001
−+
+=+ eNONO -0.714 -7.372 -2.403 -2.986 -0.003
4.3 Modelagem do Escoamento Unidimensional
4.3.1 Equações Descritivas
A Figura 4.1 mostra um esquema de um elemento diferencial dx para um
escoamento unidimensional de uma mistura de gases perfeitos em não-
equilíbrio químico. O escoamento é permanente e segue o sentido do
crescimento da coordenada
x
.
66
0====
→→••
BFdWdQd
f
uu
h
TT
P
u
h
T
P
s
s
s
s
s
=
=
ρ
ρ
dx
x
Figura 4.1 Modelo para o escoamento unidimensional de uma mistura de gases
perfeitos em não-equilíbrio químico.
De acordo com as hipóteses apresentadas no item 4.1, temos:
()
0======∂∂
→→••
gdzBFdWdQdt
f
(4.9)
As equações diferenciais gerais que governam o escoamento de um
fluido são:
Equação de conservação da massa
0=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅∇+
∂
∂
→
u
t
ρ
ρ
(4.10)
s
ω
•
m
•
m
s
m
•
ss
mdm
••
+
duuduu
dhh
dTTdTT
d
dPP
duu
dhh
dTT
d
dPP
ss
ss
ss
ss
ss
+=+
+
+=+
+
+
+
+
+
+
+
ρρ
ρρ
dx
67
Equação de conservação do movimento
0=−−∇+
→→
→
f
FdBP
Dt
uD
ρρ
(4.11)
Equação de conservação da energia
0
2
2
=
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++−
••
t
P
gz
u
h
Dt
D
QW
ρδδ
(4.12)
Aplicando as hipóteses do item 4.1 a um escoamento unidimensional,
temos as equações de conservação simplificadas:
(
)
0=
dx
uAd
ρ
(4.13)
0=+
dx
dP
dx
du
u
ρ
(4.14)
0
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
u
h
dx
d
(4.15)
Além destas três equações, a lei de conservação da massa deve ser
aplicada a cada espécie química. Considerando que não haja difusão de
massa e a existência de equilíbrio térmico, temos:
(
)
(
)
AdxuAddm
sss
ω
ρ
=
=
(
)
ns ,...,1
=
(4.16)
Onde, o termo fonte
s
ω
indica a taxa de aparecimento ou
desaparecimento da espécie química s e é definido pela equação (4.1).
68
Desenvolvendo a equação (3.16) para uma forma mais adequada, chega-
se a:
()
(
)
(
)
(
)
AdxuAdCdCuAuACd
ssss
ω
ρ
ρ
ρ
=
+
=
(4.17)
mas, pela equação (4.13),
()
0
=
uAd
ρ
, assim,
dx
dC
u
s
s
ρω
= (4.18)
ou, desta forma,
udx
dC
ss
ρ
ω
= (4.19)
As equações (4.13), (4.14), (4.15) e (4.18) descrevem o problema,
contudo elas devem ser trabalhadas de modo a criar um sistema de equações
mais fácil de tratar numericamente.
A equação (4.19) que modela o aparecimento ou desaparecimento das
espécies químicas pode ser classificada como equação diferencial do tipo
“STIFF”. Este tipo de equação apresenta uma constante de tempo
extremamente elevada, enquanto a solução tem um comportamento levemente
exponencial de crescimento ou decaimento. A conseqüência disto é que os
métodos explícitos de integração numérica, que calculam a solução da
equação para um ponto somente a partir de pontos conhecidos, apresentam
um sério problema de instabilidade. Já os métodos explícitos, que calculam a
solução para um ponto a partir de pontos conhecidos e não conhecidos, são
incondicionalmente estáveis quando aplicados às equações do tipo “STIFF”.
Contudo, as implementações numéricas destes métodos são bem mais
complexas.
69
4.4 Quantidade de espécies químicas
A quantidade de espécies químicas presentes em escoamentos
hipersônicos é determinada pelas condições do escoamento. Como foi dito no
capítulo anterior, fenômenos de excitação vibracional, dissociação e ionização
podem ocorrer. Para o ar vários modelos químicos podem ser usados, como
observado na Tabela 4.3. O modelo de 2 espécies assume o ar formado pelo
nitrogênio e o oxigênio moleculares e não admite dissociação e ionização. O
modelo de 5 espécies permite que o ar sofra dissociação de suas moléculas,
mas não admite ionização. O modelo de 7 espécies admite dissociação e um
leve grau de ionização, formando apenas dois íons: NO
+
e e
-
. O NO possui a
energia de ionização mais baixa e, é o primeiro a produzir elétrons à medida
que a temperatura aumenta (Vincenti e Kruger, 1965). Já o modelo de 11
espécies admite tanto a dissociação quanto a ionização das moléculas de ar de
todas as espécies químicas presentes. Caso a superfície de um veículo
viajando em velocidades hipersônicas sofra um processo de ablação, várias
outras espécies químicas podem estar presentes no escoamento, podendo se
chegar a centenas delas.
Tabela 4.3 - Modelos químicos para o ar.
Park (1990) sugere dois métodos para a solução numérica das equações
de conservação das espécies químicas:
1. Calcular a equação de conservação de
s
ρ
para todas as espécies
químicas;
70
2. Calcular a equação de conservação da mistura e retirar uma equação
de conservação de espécie química.
No método 2, a espécie química ausente pode ser obtida subtraindo-se
todas as outras espécies químicas da massa específica global, uma vez que
∑
=
=
s
N
s
s
1
ρρ
(4.20)
onde N
s
é o número de espécies presentes na mistura,
ρ
é a massa específica
da mistura e
s
ρ
é a massa específica da espécie s (Chapman e Colwling,
1990).
Se o método 1 é usado, deve-se garantir que os termos viscosos do lado
direito das equações de conservação de espécies químicas são consistentes
para que a soma seja zero. Caso contrário, massa pode ser criada ou destruída
no domínio computacional. Se o método 2 for usado, os erros numéricos que
ocorrerem em cada espécie química serão acumulados na espécie ausente.
Para obter resultados confiáveis, os erros acumulados devem ser muito
menores que a magnitude da própria variável, ou seja, a espécie retirada do
conjunto de equações de conservação deve ser dominante. No caso do ar, N
2
é
dominante para velocidades de vôo de até 8 km/s. Consequentemente, para
velocidades maiores, N
2
não é mais dominante, portanto, deve ser tomado um
certo cuidado ao utilizar-se este método.
Para escoamento não difusivos, há ainda uma simplificação que permite
eliminar uma ou mais espécies químicas do conjunto de equações de
conservação, sendo que as reações químicas não conseguem alterar a relação
total de elementos químicos presentes na mistura. O ar, por exemplo, consiste
de 79% de nitrogênio e 21% de oxigênio. Esta relação não muda mesmo
quando ocorre dissociação e ionização (Park, 1990). No caso do modelo de 7
espécies para o ar, a conservação de elementos é regida pela seguinte
relação:
71
()
(
)
(
)
(
)
() ( )( )
()
79.0
21.0
2
2
2
2
=
+++
+++
+
+
NONONN
NONOOO
(4.21)
onde os parênteses representam as concentrações molares das espécies.
Mesmo para escoamentos difusivos a relação acima é aproximadamente
válida se as velocidades de difusão dos dois elementos são quase os mesmos.
Para o ar, os átomos de nitrogênio e de oxigênio têm aproximadamente a
mesma massa, de modo que suas velocidades de difusão devem ser parecidas
Park (1990).
72
73
5 O CÓDIGO COMPUTACIONAL
5.1 Introdução
O código computacional NOZ3T (Three Temperature Nozzle Flow
Code), analisa o escoamento do ar atmosférico em uma tubeira convergente-
divergente, considerando dissociação e ionização do ar em alta temperatura,
assumindo três temperaturas (translação-rotação, vibração e eletrônica).
O código lê primeiramente as propriedades termodinâmicas encontradas
no arquivo de entrada “INPUT”, como por exemplo, os elementos utilizados
para a composição do ar, peso atômico do elemento e a fração de massa.
Depois de lidos são processados para que através da Equação (3.7) sejam
determinadas as constantes de equilíbrio para as 21 reações químicas, que
são encontrados na Tabela 3.2. A sub-rotina que é responsável pela leitura e
processo das propriedades termodinâmicas é a THRINP, sendo a primeira a
ser chamada no programa principal.
Em seguida é chamada a sub-rotina GEOM, responsável pela leitura da
distribuição da área, determinando os coeficientes
1
C ,
2
C e
3
C das equações
(5.10), (5.11) e (5.12), e determina a distribuição da pressão associado com a
tubeira, assim definido com o valor especificado pela constante
γ
. Os dados
necessários para o cálculo da geometria são lidos por esta sub-rotina e são
encontrados no arquivo “INPUT”, onde é especificado pelo usuário do código o
comprimento da tubeira, o diâmetro da garganta e a razão de área.
A terceira sub-rotina a ser incorporada é a EQNOZ que realiza a
integração espacial para a região de equilíbrio. Para a integração são
necessárias algumas importantes sub-rotinas: a EQCAL1 que calcula a
composição de equilíbrio para determinado valores de pressão e entalpia
usando o método de interação de Newton, e é utilizada para obter a
composição de equilíbrio em cada ponto, em seguida é chamada EQCAL2 que
auxilia a EQCAL1 e é responsável pela integração das equações (5.1) e (5.2).
74
Em seguida, depois de um grande número de interações, é chamada a
EQCAL3 que calcula a composição de equilíbrio para valores de pressão e
entalpia usando o método de interação de Newton, sendo utilizada para a
integração ao longo da tubeira na região subsônica até um certo ponto, que é
especificado pelo usuário. Depois da garganta sônica da tubeira, em seguida, é
chamada a EQCAL4 que auxilia a EQCAL3 e é responsável pela integração
das equações (5.1) e (5.2).
43,1,
γργγ
γ
rbrf
kk
dt
d
−=
(5.1)
43,21,
γγγγ
γ
rbrf
kk
dt
d
−=
(5.2)
A quarta sub-rotina empregada é a GEOM1, que determinas os
coeficientes
1
d
,
2
d
e
3
d que especificam a distribuição da área para a região
de não-equilíbrio, determinados na equação (5.16). A quinta sub-rotina é a
NEQNOZ que realiza a integração espacial para a região de não-equilíbrio até
a saída da tubeira. Finalmente, é utilizada a sub-rotina NSHOCK em que são
calculadas as condições de equilíbrio atrás da onda de choque normal na saída
da tubeira.
O código NOZ3T foi desenvolvido em 1993 pelo Dr. Chul Park na NASA
Ames Research Center, onde o código original foi escrito em FORTRAN 77 e
foi alterado para o COMPAQ VISUAL FORTRAN versão 6.6. O NOZ3T possui
52 sub-rotinas e 3975 linhas.
5.2 Utilização do código
O código NOZ3T foi desenvolvido e adaptado para analisar o escoamento
em uma tubeira convergente-divergente. A tubeira é acoplada em um tubo de
choque na extremidade do reservatório de baixa pressão. A presença desta
75
tubeira permite que o gás (do reservatório de baixa pressão) pressurizado e
aquecido pela onda de choque incidente (no tubo de choque) seja acelerado e
expelido pela seção de testes, e assim, seja denominado túnel de choque
hipersônico.
Túnel de choque hipersônico mostrado na Figura 5.1 é um dispositivo
laboratorial pulsado com capacidade de prover temperatura total e número de
Mach suficiente para duplicar o ambiente de alta entalpia e as características
termoquímicas próximas a aquelas encontradas durante o vôo de veículos de
altas velocidades na atmosfera terrestre.
Figura 5.1 – Desenho esquemático do túnel de choque hipersônico.
Esse dispositivo consiste em um tubo longo, separado em duas seções de
comprimentos diferentes por uma seção de duplo diafragma (double diaphragm
section – DDS), com pressões diferentes, acoplado a uma tubeira convergente-
divergente. A primeira seção do túnel (considerando que o escoamento segue
da esquerda para direita) é denominada driver, e é preenchida por um gás, ou
76
mistura de gases, a alta pressão. A segunda seção é denominada driven
preenchida por um gás, ou mistura de gases, submetido a baixa pressão.
(Nagamatsu, 1961; Lukasiewicz, 1973; Lu, 2002). Com isto o gás aquecido e
comprimido atrás da onda de choque incidente (no tubo de choque) é
expandido para altas velocidades e altas temperaturas (na seção divergente da
tubeira) produzindo escoamento hipersônico na seção de teste.O Laboratório
de Aerotermodinâmica e Hipersônica Prof. Henry T. Nagamatsu possui,
atualmente, três túneis de choque hipersônico, Figura 5.2, com capacidade de
reproduzir, com boa proximidade, o ambiente encontrado em vôos
hipersônicos, considerando velocidade, composição química, temperatura e
entalpia do escoamento, com tempo de escoamento hipersônico permanente
(tempo de teste), variando de 0,1 a 10 ms (milésimos de segundo).
Figura 5.2 – Laboratório de Aerotermodinâmica e Hipersônica Prof. Henry T.
Nagamatsu. Tubo T1 (próximo à parede direita), Túnel T2 (visível à
esquerda do túnel T3).
77
O tubo e os túneis de choque disponíveis neste laboratório, foram
integralmente projetados e construídos no Brasil.
O código NOZ3T, será a ferramenta utilizada para analisar o escoamento
depois da seção de baixa pressão (tubeira) dos túneis de choque T1 e T2.
5.3 Acoplamento Entre o Movimento e Química do Escoamento
O código trabalha com as equações de conservação unidimensionais:
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
O código utiliza a equação (5.4) da quantidade de movimento para
resolver a região de equilíbrio da seguinte forma:
ρ
1
2
2
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
u
dp
d
(5.9)
A equação (5.9) é integrada usando a técnica de Runge-Kutta de quarta
ordem.
Para a região de não-equilíbrio, são integradas as equações (5.4), (5.6) à
(5.8) usando o integrador implícito STIFF (Lomax, 1968), sendo as variáveis
•
= muA
ρ
cteH
=
dx
dpu
dx
d
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
2
ρ
s
s
w
dx
d
u =
γ
•
=
v
v
E
dx
dE
u
e
e
E
dx
dE
u
•
=
78
intrínsecas – energia cinética 2
2
u , energia vibracional
v
E , energia eletrônica
e
E , e as concentrações das espécies envolvidas
s
γ
.
5.4 Geometria da Tubeira
Para o perfil da tubeira, são necessários alguns dados a serem
especificados, como: as relações de área em três pontos da tubeira,
denominados por
1
x ,
2
x e
3
x , sendo que, o ponto
1
x está na região
convergente e
2
x e
3
x na região divergente. Esses valores são encontrados no
arquivo de entrada “INPUT”, definido pelo usuário.
Na região convergente a relação de área é descrita por:
2
11
*
1 xC
A
A
+= (5.10)
Na região divergente:
3
33
2
22
*
1 xCxC
A
A
++=
(5.11)
Consequentemente as constantes
1
C ,
2
C e
3
C são determinas pelas
seguintes equações:
(
)
2
1
*
1
1
x
AA
C
−
=
(5.12)
()
(
)
()
23
2
2
*
2
2
3
*
3
3
/1/1
xx
xAAxAA
C
−
−−−
=
(5.13)
79
(
)
2
2
23
*
2
2
1
x
xCAA
C
−−
=
(5.14)
A análise de não-equilíbrio em tubeiras, partindo das condições de
reservatório fixadas, são feitas utilizando espaçamentos entre os pontos da
malha ao longo da tubeira, e é descrito do seguinte modo: Considerando-se a
malha de pontos mostradas na Figura 5.1 para uma tubeira de perfil A = A(x).
Divide-se então a malha em duas partes. Uma destas partes se extende da
entrada da tubeira até a garganta e possui um espaçamento pequeno entre os
pontos. Tal procedimento melhora a precisão numérica na região do
escoamento onde o fenômeno de não-equilíbrio de desenvolve em taxas mais
rápidas. Uma segunda parte, cobrindo o restante do comprimento da tubeira
utiliza espaçamento maior entre os pontos pois se encontra em uma região
onde o fenômeno de não-equilíbrio se processa e taxas mais lentas.
Figura 5.1 – Distribuição dos pontos ao longo da tubeira.
251 pontos são definidos sobre o comprimento da tubeira, sendo que 50
pontos estão na região convergente e são espaçados igualmente, o ponto 51
80
na garganta sônica e os 200 pontos seguintes na região divergente também
estão espaçados igualmente.
Assim que, definida os pontos para o comprimento da tubeira, é
calculada a área (equações (5.10) e (5.11)), o número de Mach (equação
(5.15)) e a distribuição de pressão (equação 5.16) para as regiões subsônica,
sônica e supersônica, para gás perfeito
vp
CC
=
γ
.
(5.15)
(5.16)
Durante o cálculo de equilíbrio é atualizado o valor da pressão, com o
valor da pressão dada no arquivo da entrada P5, a distribuição de pressão é
suposta ser exatamente aquela dada por esse procedimento. O cálculo de
equilíbrio tem-se valores de densidade
ρ
e de velocidade
u
, de que a seção
transversal da área pode ser deduzida usando a equação (5.3).
No ponto de extremidade do cálculo de equilíbrio é dada a área
A
e sua
derivada dxdA . Para o cálculo de não equilíbrio é incorporada a sub-rotina
GEOM1, onde são colocados os parâmetros para a geometria nesta região. A
geometria na região de não equilíbrio é dada por:
3
3
2
21
*
1 xdxdxd
A
A
+++= (5.17)
Os coeficientes
1
d ,
2
d e
3
d são determinados para satisfazer as
condições de transição entre o ponto de equilíbrio e não-equilíbrio, e na relação
da área na saída da tubeira (
3
xx
=
).
Para as comparações deste trabalho, utilizamos duas geometrias: uma é
a tubeira de geometria com contorno AMES, que é a original usada por Park
(
)
1
2
5
2
1
1
−−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=
γγ
γ
M
P
P
(
)
(
)
11
2
2
2
*
2
1
1
1
21
−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
γγ
γ
γ
M
MA
A
81
no código original apresentada, e a outra geometria, uma tubeira de perfil
cônico implementada pela autora ao arquivo de entrada dos dados “INPUT”,
esse perfil de tubeira é utilizada atualmente no Túnel de Choque do Laboratório
de Aerotermodinâmica e Hipersônica do Instituto de Estudos Avançados.
Geometria das tubeiras utilizadas:
Tubeira AMES (Centro de Pesquisa da NASA) (código original)
Comprimento da Tubeira: 5 m
Raio da garganta: 6x10
-3
m
Razão de área na entrada da tubeira: 10
Razão de área na região divergente: 1800
Razão de área na saída da tubeira: 2000
Figura 5.2 - Perfil da tubeira do código original.
82
Tubeira Cônica RPI (Rensselaer Polytechnic Institute)
Comprimento da Tubeira: 0.506 m
Raio da garganta: 1.27x10
-2
m
Razão de área na entrada da tubeira: 8.995
Razão de área na região divergente: 30.76
Razão de área na saída da tubeira: 576
Figura 5.3 - Perfil da tubeira RPI.
83
6 VALIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIONAL
6.1 Introdução
Para validação do código, foi feito uma comparação entre resultados
obtidos experimentalmente por Nagamatsu et al. (1961) e Nagamatsu e Sheer
(1965) e os resultados computacionais obtidos com o código utilizado neste
trabalho, sendo utilizado na análise ar atmosférico e nitrogênio gasoso na
região de expansão da tubeira.
As comparações para o cálculo da expansão são apresentados entre
resultados obtidos experimentalmente no túnel de choque hipersônico e
resultados computacionais. O túnel de choque hipersônico é um dispositivo
laboratorial com capacidade de produzir o ambiente encontrado em vôos
hipersônicos, considerando velocidade, composição química, temperatura e
entalpia do escoamento.
Na primeira parte do estudo, são apresentadas as comparações entre
resultados experimentais na expansão de uma tubeira cônica, e resultados
computacionais, juntamente com a revisão experimental da comparação entre
expansão em equilíbrio e não-equilíbrio.
Resultados computacionais para o escoamento do ar atmosférico e
nitrogênio gasoso na expansão de uma tubeira de perfil cônico, utilizada no
túnel de choque hipersônico do RPI são apresentados. A comparação
computacional e experimental é feita utilizando dois perfis de tubeira: a primeira
de perfil com contorno da AMES e a segunda com perfil cônico do RPI. Um dos
resultados desejados desta comparação é um documentado estudo
computacional do limite exigido para a pressão de reservatório, possa assim
obter, equilíbrio na expansão em uma tubeira de perfil com contorno e perfil
cônico.
84
6.2 Comparação entre os resultados Computacionais e Experimentais
A primeira parte do estudo para a validação do código utiliza como gás o
nitrogênio, nas condições de temperatura e pressão de reservatório
respectivamente 6000 K e 6,895 x 10
5
Pa. Os resultados da utilização do
código apresentado neste trabalho foram comparados com resultados
experimentais obtidos por Nagamatsu e Sheer em trabalho publicado em 1965.
Para esta condição de reservatório o nitrogênio é vibracionalmente
excitado, podendo haver dissociação. Para essa condição, o comprimento do
relaxamento vibracional é muito menor do que o diâmetro da garganta. No
entanto, mais a jusante, o comprimento do relaxamento vibracional aumenta
rapidamente e se espera que o escoamento apresente a condição de “frozen”.
Figura 6.1 – Razão de pressão estática em função da razão de área para Nitrogênio.
85
A Figura 6.1 mostra resultados computacionais para a tubeira de perfil
cônico RPI e para a tubeira de perfil de contorno Ames, com razão de calor
específico igual a 1,4 para serem comparados com a Figura 6.2 para as
mesmas condições de reservatório, com resultados considerando escoamento
em equilíbrio e resultados experimentais. Para as condições de escoamento
em equilíbrio na tubeira foi calculado para o nitrogênio usando o diagrama de
Mollier (Nagamatsu Sheer, 1965).
Figura 6.2 – Razão de pressão estática em função da razão de área para o Nitrogênio.
Fonte: Nagamatsu e Sheer (1965)
No ensaio, o ambiente calculado para a temperatura translacional-
rotacional é de 446 K na saída da tubeira, enquanto a temperatura vibracional
foi assumida para o estado “frozen” em 4000 K perto da garganta da tubeira.
(Nagamatsu & Sheer, 1965). Computacionalmente, esse mesmo ambiente foi
calculado para a temperatura translacional-rotacional é de 365 K na saída
86
tubeira, enquanto para a temperatura vibracional do “frozen” de 3960, para a
mesma condição de pressão e temperatura de reservatório.
A comparação para a temperatura vibracional e a localização do ponto de
“frozen” é mostrado na Tabela 6.1 e na Figura 6.3.
Figura 6.3 – Resultados computacionais para a temperatura translacional-rotacional,
vibracional e eletrônica.
Tabela 6.1 – Propriedades do escoamento para a localização do “frozen” para a
temperatura vibracional.
P5, Pa T5, K X
frozen
, m Tv
frozen
, K
Experimental 6,9x10
5
6000 4,72x10
-2
4000
Computacional 6,9x10
5
6000 4,30x10
-2
3960
A segunda parte do estudo, mostra resultados para pressão de
reservatório de 0.69 MPa e temperatura de reservatório de 2000 K até 6000 K
para a comparação para a tubeira de perfil cônico RPI da expansão de ar para
a razão de área A/A*=56.2, logo após a garganta sônica. A Figura 6.4 mostra
87
resultados utilizando o código com as condições de entrada para o perfil
analisado, resultando em uma expansão próxima a condição de equilíbrio
comparando com os resultados da Figura 6.5 para o as mesmas condições de
pressão e temperatura de reservatório.
Figura 6.4 – Razão de pressão estática e temperatura de reservatório para a tubeira
cônica RPI, A/A*=56.2.
Figura 6.5 – Razão de pressão estática e temperatura de reservatório para a tubeira
cônica RPI, A/A*=56.2.
Fonte: Nagamatsu et al (1964)
88
A Figura 6.5 mostra resultados para o processo de expansão logo após a
passagem do ar pela garganta da tubeira analisado na razão de área igual a
56.2, para condição de pressão de reservatório de 0.69 MPa e variando a
temperatura de reservatório. Pode-se observar que a expansão do escoamento
se aproxima da condição de equilíbrio para a temperatura de aproximadamente
3000 K. Os resultados computacionais mostrados na Figura 6.4 para essas
mesmas condições, a expansão do escoamento tende à condição de equilíbrio
com razões de pressão estática mais baixos até a temperatura de 3000 K,
mantendo essa tendência até a temperatura de 4500 K.
Figura 6.6 – Razão de pressão estática e temperatura de reservatório para a tubeira
RPI e AMES, A/A*=144.
A figura 6.6 mostra a comparação computacional para os dois perfis de
tubeira, para a pressão de reservatório de 0.69 MPa e temperaturas de
reservatório de 3000 K até 6500 K na razão de área A/A*=144. Na tubeira de
perfil de contorno AMES, o escoamento do ar atmosférico é mais lento,
resultando em uma expansão mais próxima do equilíbrio para baixas pressões
de reservatório. Para a temperatura de reservatório de 4000 K o perfil de
89
contorno da AMES mostra uma razão de pressão estática (P/P5) mais elevada
do que para a tubeira de perfil cônico RPI, devido a energia liberada através da
reação de recombinação. Essa diferença espera-se diminuir com o aumento da
pressão de reservatório para o perfil de contorno AMES.
Figura 6.7 – Razão de pressão estática e temperatura de reservatório para a tubeira
cônica RPI, A/A*=144
Fonte: Nagamatsu e Sheer (1965)
90
91
7 Resultados e Análises
Neste capítulo será feita a apresentação e a discussão dos resultados
obtidos com a utilização do código NOZ3T, para temperatura de reservatório de
10000 K a uma pressão de reservatório de 0.69 MPa, para as geometrias da
tubeiras de perfil de contorno AMES e a de perfil cônico RPI.
7.1 Resultados
Resultados computacionais para os perfis com contorno AMES e para o
perfil cônico RPI, utilizando o código adaptado NOZ3T.
Os gráficos a seguir mostram concentração das espécies para N, O, N2,
O2, NO, NO+, densidade, pressão, velocidade, número de Mach e as três
temperaturas consideradas por Park na expansão do escoamento na tubeira de
perfil cônico e com contorno para temperatura e pressão de reservatório de
10.000 K e 0.69 MPa, respectivamente.
Os resultados para estas condições de reservatório ficaram
caracterizadas para a concentração das espécies químicas envolvidas,
densidade, pressão, velocidade, número de Mach e temperatura translacional-
rotacional, vibracional e eletrônica. Analisando os resultados para as
concentrações das espécies, o perfil de contorno da tubeira AMES está
fazendo seu papel, que é a de garantir
ev
TT
=
, considerando que este perfil de
tubeira tenha sido considerada para expandir plasmas em baixas temperaturas,
sendo que o contrário acontece com o perfil de tubeira cônico RPI, onde as
temperaturas
v
T e
e
T não conseguem manter-se em equilíbrio. Há ainda a
dificuldade em determinar a temperatura vibracional do “frozen”, fazendo com
que não se possa determinar as características do escoamento em não-
equilíbrio, uma vez que estas características são determinadas nesse tipo de
escoamento, assumindo que o escoamento esteja em equilíbrio até o ponto de
“frozen”.
92
Figura 7.1 – Concentração das espécies em relação a razão de área para o perfil de
contorno AMES.
Figura 7.2 – Concentração das espécies em relação a razão de área para o perfil
cônico RPI.
93
Figura 7.3 – Concentração das espécies em relação a razão de área para o perfil de
contorno AMES.
Figura 7.4 – Concentração das espécies em relação a razão de área para o perfil
cônico RPI.
94
Figura 7.5 – Concentração das espécies em relação a razão de área para o perfil de
contorno AMES.
Figura 7.6 – Concentração das espécies em relação a razão de área para o perfil
cônico RPI.
95
Figura 7.7 – Densidade em relação ao comprimento da tubeira para o perfil de
contorno AMES.
Figura 7.8 – Densidade em relação ao comprimento da tubeira para o perfil cônico
RPI.
96
Figura 7.9 – Pressão em relação ao comprimento da tubeira para o perfil de contorno
AMES.
Figura 7.10 – Pressão em relação ao comprimento da tubeira para o perfil cônico RPI.
97
Figura 7.11 – Velocidade em relação ao comprimento da tubeira para o perfil de
contorno AMES.
Figura 7.12 – Velocidade em relação ao comprimento da tubeira para o perfil cônico
RPI.
98
Figura 7.13 – Número de Mach em relação ao comprimento da tubeira para o perfil de
contorno AMES.
Figura 7.14 – Número de Mach em relação ao comprimento da tubeira para o perfil
cônico RPI.
99
Figura 7.15 – Três temperaturas em relação ao comprimento da tubeira de perfil de
contorno AMES.
Figura 7.16 – Três temperaturas em relação ao comprimento da tubeira de perfil
cônico RPI.
100
7.2 Conclusões
O objetivo deste trabalho foi atingido; a saber: adaptar o código
computacional NOZ3T (Three Temperature Nozzle Flow Code) para a realizar
análises de escoamentos hipersônicos em não-equilíbrio em tubeiras
converegente-divergente, para ser utilizado futuramente como ferramenta de
analise dos resultados experimentais do túnel de choque hipersônico no Istituto
de estudos Avançados do CTA Este código caracteriza-se pela solução de
escoamentos compressíveis hipersônicos, unidimensionais, não difusivos e
com não equilíbrio químico, utilizando o modelo de três temperaturas, sete
espécies químicas (N, O, N2, O2, NO, NO+, e
-
) e 21 reações químicas para o
ar atmosférico. Esta é inclusive, a principal contribuição do trabalho, uma vez
que não há, no Laboratório de Aerotermodinâmica e Hipersônica Prof Henry T
Nagamatsu do Instituto de Estudos Avançados – IEAv-CTA, um código com
estas características.
Devido a escassez de resultados experimentais para problemas
hipersônicos disponíveis na literatura, a validação do código foi feita para o
caso de ar atmosférico e nitrogênio, com resultados obtidos experimentalmente
por Nagamatsu et al. (1961) e Nagamatsu e Sheer (1965). Resultados
computacionais foram comparados com o cálculo do escoamento em condição
de equilíbrio e “frozen” para a geometria de perfil cônico PRI para diferentes
condições de reservatório.
Como ultimo caso, foi analisado numericamente o escoamento para o
caso de valor ainda mais alto de temperatura de reservatório para uma baixa
pressão de reservatório, sendo uma ótima proposta para trabalhos futuros com
o NOZ3T. A ionização total poderia ser adicionada para permitir a solução de
problemas com altíssimas temperaturas, partindo para o modelo de 11
espécies para o ar.
101
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