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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA APLICADA
DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO
PARA A TRANSFERÊNCIA DE CALOR E
MASSA EM MEIOS GRANULARES
por
Vitor José Petry
Tese submetida ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada
do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul,
como requisito parcial para a obtenção do título de Doutor em Matemática
Aplicada.
Prof. Dr. Álvaro L. De Bortoli
Orientador
Prof. Dr. Oleg Khatchatourian
Co-Orientador
Porto Alegre, maio de 2007.
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Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
CIP - CATALOGACÃO NA PUBLICACÃO
Petry, Vitor José
Desenvolvimento de um modelo para a transferência de calor e
massa em meios granulares / Vitor José Petry, — Porto Alegre:
PPGMAp/UFRGS, 2007
93 p.: il.
Tese (doutorado) — Universidade Federal do Rio Grande do Sul,
Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada, Porto
Alegre, 2007.
Orientador: Dr. Álvaro L. De Bortoli
Co-Orientador: Dr. Oleg A. Khatchatourian
Tese: Matemática Aplicada
Modelo matemático, tranferência de calor e massa, meios granu-
lares
i
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DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO
PARA A TRANSFERÊNCIA DE CALOR E
MASSA EM MEIOS GRANULARES
por
Vitor José Petry
Tese submetida ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada
do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul,
como requisito parcial para a obtenção do título de
Doutor em Matemática Aplicada.
Linha de Pesquisa: Análise Numérica
Orientador: Prof. Dr. Álvaro L. De Bortoli
Co-Orientador Prof Dr. Oleg A. Khatchatourian
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Antônio José da Silva Neto - IPRJ/UERJ
Prof
a
. Dr
a
. Lígia D. F. Marczak - PPGEQ/UFRGS
Prof. Dr. Leonardo Fernandes Guidi - PPGMAp/UFRGS
Tese apresentada e aprovada em 23 de maio de 2007.
Prof
a
. Dr
a
. Maria Cristina Varrialle - Coordenadora
Porto Alegre, maio de 2007
ii
Sumário
1 Introdução 1
1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 O problema físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Alguns modelos de transferência de calor e massa para secagem . . . 6
1.4 Objetivos do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Objetivos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Roteiro do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Equações Governantes 18
2.1 Dedução das equações governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Equação de conservação de massa para o ar . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Equação de conservação de massa para as esferas . . . . . . . 22
2.1.3 Equação de conservação de energia para o ar . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Equação de conservação de energia para as esferas . . . . . . . 23
2.1.5 Equações para o fluxo do ar no meio granular . . . . . . . . . 25
2.2 Adimensionalização das equações governantes . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Condições iniciais e de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Procedimento de solução 30
3.1 Esquema numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1 Algumas definições e teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 Aproximações em diferenças finitas . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.3 Análise da consistência, estabilidade e convergência . . . . . . 35
3.2 Solução analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
iii
3.2.1 Algumas soluções analíticas para problemas de transporte na
literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2 Definições e teoremas úteis na resolução . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3 Obtenção da solução analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Resultados 59
4.1 Comparação entre valores numéricos e dados experimentais de secagem
em leito profundo para o caso 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Comparação entre valores numéricos e dados experimentais de secagem
em camada fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Comparação entre valores numéricos e dados experimentais para a
secagem intermitente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 Simulações numéricas de secagem para o caso 2-D . . . . . . . . . . . 74
4.5 Avaliação da influência de parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . 79
5 Conclusões e contribuições 82
5.1 Contribuições do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Referências Bibliográficas 85
iv
Lista de Figuras
1.1 Esquema de um secador de leito fixo em forma de silo (corte vertical) 3
2.1 Esquema da câmara de Secagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Volume de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Esquema da extrapolação em x
∗
= 0 e x
∗
= 1 . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Esquema de aproximações em diferenças finitas para o tempo e o
espaço no caso 1-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Região de estabilidade para a = 1/4, b = −1, c = −1/2 e ∆x = 1/20 . 39
3.3 Região de estabilidade para a = 1/10000, b = −1, c = −1 e ∆x = 1/40 39
3.4 Região de estabilidade para a = 1/10000, b = −1, c = −1 e ∆x = 1/100 40
3.5 Representação gráfica dos autovalores para a = 1/4, b = −1 e c = −1/2 52
3.6 Soluções analítica e numérica de Ψ como função do tempo (adimen-
sional) para Ψ
0
= Ψ
1
= 1, a = 1/4, b = −1, c = −1/2, f (x, t) dada
pela equação (3.62) com k
1
= −0.03 e k
2
= 0.1 . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Valor do erro relativo entre as soluções analítica e numérica de Ψ
como função do tempo (adimensional) para Ψ
0
= Ψ
1
= 1, a = 1/4,
b = −1, c = −1/2, f (x, t) dada pela equação (3.62) com k
1
= −0.03
e k
2
= 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8 Soluções analítica e numérica de Ψ como função do tempo (adimen-
sional) para Ψ
0
= 0, Ψ
1
= 1, a = 1/4, b = −1, c = −1/2, f(x, t) dada
pela equação (3.63) e k
1
= −0.03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.9 Valor do erro relativo entre as soluções analítica e numérica de Ψ como
função do tempo (adimensional) para para Ψ
0
= 0, Ψ
1
= 1, a = 1/4,
b = −1, c = −1/2, f(x, t) dada pela equação (3.63) e k
1
= −0.03 . . . 57
v
4.1 Esquema do equipamento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Distribuição da temperatura dos grãos de soja no interior da câmara
para T
ar
= 65
o
C, T
amb
= 18
o
C, X
0
= 0, 31, U
0
= 4, 75ms
−1
e UR =
85% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da
câmara para T
ar
= 65
o
C, T
amb
= 18
o
C, X
0
= 0, 31, U
0
= 4, 75ms
−1
e
UR = 85% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Distribuição da temperatura dos grãos de soja no interior da câmara
para T
ar
= 55
o
C, T
amb
= 16
o
C, X
0
= 0, 21, U
0
= 4, 61ms
−1
e UR =
80% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da
câmara para T
ar
= 55
o
C, T
amb
= 16
o
C, X
0
= 0, 21, U
0
= 4, 61ms
−1
e
UR = 80% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da
câmara para T
ar
= 80
o
C, T
amb
= 22
o
C, X
0
= 0, 24 e UR = 68% . . . 66
4.7 Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da
câmara para T
ar
= 110
o
C, T
amb
= 20
o
C, X
0
= 0, 24 e UR = 68% . . . 66
4.8 Distribuição da temperatura do ar no interior da câmara para T
amb
=
23
o
C, T
ar
= 70
o
C, X
0
= 0, 214 e U
0
= 1, 25ms
−1
com 3 horas de
secagem seguidas de 50 minutos de aeração . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.9 Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da
câmara para T
amb
= 23
o
C, T
ar
= 70
o
C, X
0
= 0, 214 e U
0
= 1, 25ms
−1
com 3 horas de secagem seguidas de 50 minutos de aeração . . . . . . 69
4.10 Distribuição da temperatura dos grãos de soja no interior da câmara
para T
amb
= 23
o
C, T
ar
= 70
o
C, X
0
= 0, 214 e U
0
= 1, 25ms
−1
com 45
minutos de secagem seguidos de 50 minutos de aeração . . . . . . . . 69
4.11 Distribuição da temperatura do ar no interior da câmara para T
amb
=
21
o
C, T
ar
= 70
o
C, X
0
= 0, 227 e U
0
= 2, 5ms
−1
com 3 horas de
secagem seguidos de 50 minutos de aeração . . . . . . . . . . . . . . . 70
vi
4.12 Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da
câmara para T
amb
= 21
o
C, T
ar
= 70
o
C, X
0
= 0, 227 e U
0
= 2, 5ms
−1
com 3 horas de secagem seguidos de 50 minutos de aeração . . . . . . 71
4.13 Distribuição da temperatura dos grãos de soja no interior da câmara
para T
amb
= 21
o
C, T
ar
= 70
o
C, X
0
= 0, 227 e U
0
= 2, 5ms
−1
com 3
horas de secagem seguidos de 50 minutos de aeração . . . . . . . . . . 72
4.14 Distribuição da temperatura do ar no interior da câmara para T
amb
=
13
o
C, T
ar
= 50
o
C, X
0
= 0, 227 e U
0
= 2, 5ms
−1
com 3 horas de
secagem seguidos de 50 minutos de aeração . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.15 Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da
câmara para T
amb
= 13
o
C, T
ar
= 50
o
C, X
0
= 0, 227 e U
0
= 2, 5ms
−1
com 3 horas de secagem seguidos de 50 minutos de aeração . . . . . . 73
4.16 Distribuição da temperatura dos grãos de soja no interior da câmara
para T
amb
= 13
o
C, T
ar
= 50
o
C, X
0
= 0, 227 e U
0
= 2, 5ms
−1
com 3
horas de secagem seguidos de 50 minutos de aeração . . . . . . . . . . 74
4.17 Malha para a simulação numérica no caso 2-D . . . . . . . . . . . . . 75
4.18 Distribuição da temperatura (adimensional) dos grãos para t = 0, 5h 75
4.19 Distribuição da temperatura (adimensional) dos grãos para t = 1h . 76
4.20 Distribuição da temperatura (adimensional) dos grãos para t = 1, 5h 76
4.21 Distribuição da temperatura (adimensional) dos grãos para t = 2h . 77
4.22 Distribuição da umidade (adimensional) dos grãos para t = 0, 5h . . 77
4.23 Distribuição da umidade (adimensional) dos grãos para t = 1h . . . . 78
4.24 Distribuição da umidade (adimensional) dos grãos para t = 1, 5h . . 78
4.25 Distribuição da umidade (adimensional) dos grãos para t = 2h . . . . 79
4.26 Influência do número de Reynolds na distribuição da umidade dos
grãos ao longo do tempo, Re = 200 a 2000. . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.27 Influência do número de Eckert na distribuição da temperatura dos
grãos ao longo do tempo, Ec = 10
−5
a 5x10
−5
. . . . . . . . . . . . . . 81
4.28 Influência do número de Schmidt na distribuição do teor de umidade
dos grãos ao longo do tempo, Sc = 0.7 a 2.0 . . . . . . . . . . . . . . 81
vii
Lista de Tabelas
1.1 Composição média dos grãos de soja em condições ideais para a es-
tocagem [72] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.1 Domínios e condições de contorno em que foram obtidas soluções para
a equação (3.29) em [69] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Autovalores do problema (3.47) para os dez primeiros valores de n,
com a = 1/4, b = −1 e c = −1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
viii
Lista de Símbolos
a razão entre a área e o volume de um grão
a, b, c coeficientes
A coeficiente
A
n
coeficiente de normalização das autofunções
A
s
área da superfície de um grão
b
n
(t) coeficientes de Fourier com dependência do tempo
C concentração de água em massa
C
0
espaço das funções contínuas
C
i
concentração mássica da espécie i
C
p
calor específico a pressão constante
D coeficiente de difusão de massa de vapor de água no ar
D(L) domínio do operador L
E
R
erro relativo
Ec número de Eckert
h coeficiente convectivo de tranferência de calor entre o ar e o grão
H espaço de Hilbert
h
m
coeficiente convectivo de tranferência de massa entre o grão e o ar
j
x,i
, j
y,i
fluxo de difusão da espécie i na direção x e na direção y
k
1
, k
2
parâmetros
L operador diferencial
L
∗
operador adjunto
l
2
espaço das seqüências cuja soma dos quadrados de seus termos converge
L
2
espaço das funções de quadrado integrável
L
c
comprimento característico
L
v
calor latente de vaporização da água
ix
˙m taxa de geração de massa por unidade de volume
m massa
−→
n vetor normal
O(∆x, ∆t) ordem de aproximação no espaço e no tempo
P pressão
P r número de Prandtl
q quantidade de calor gerada por unidade de volume
˙q taxa de geração de energia por unidade de volume
Re número de Reynolds
Sc número de Schmidt
S(·) símbolo de Fourier
t tempo
T temperatura
u componente da velocidade na direção x
−→
u vetor velocidade
U
0
velocidade do ar na entrada da câmara de secagem
UR umidade relativa do ar
v componente da velocidade na direção y
V volume
x, y, z coordenadas cartesianas
X teor de umidade dos grãos em base seca
X
e
teor de umidade de equilíbrio entre o ar e o grão
Y teor de umidade do ar em base seca
w componente da velocidade na direção z
x
Lista de Símbolos Especiais
α difusividade térmica
γ
n
(t) coeficientes de Fourier com dependência do tempo
∆C variação de concentração de massa
λ, λ
n
autovalores
µ, β parâmetros
ν viscosidade cinética
ρ massa específica
φ porosidade da massa granular
σ(L) espectro de L
τ tempo de relaxação térmica
Φ
n
(x) autofunções normalizadas
Ψ transformada discreta de Fourier para a seqüência {Ψ
k
}
Ψ
0
, Ψ
1
constantes
Ψ(x, t) função
·, · produto interno
L(H) espaço dos operadores lineares contínuos de H em H
· norma euclidiana
·
H
norma no espaço de Hilbert H
·
L(H)
norma no espaço L(H)
Sobrescritos
∗ variável adimensional
n índice de discretização temporal
xi
Subscritos
0 valor inicial
amb ambiente
ar ar de secagem
atm atmosférica
c referente ao volume de controle
g gás (ar)
i referente à espécie i
i, j, k índices de discretização espacial
l líquido (água)
s sólido (grão)
v vapor
xii
Resumo
Problemas de transferência de calor e de massa em meios granulares são
encontrados em inúmeras situações de interesse tecnológico. Particularmente, o
processo de secagem de grãos envolve esses dois fenômenos. Nesta tese é desenvolvido
um modelo matemático que descreve os balanços de energia e de massa para o ar
e os grãos baseado nas equações de Navier-Stokes. O coeficiente convectivo de
transferência de massa entre o grão e o ar é obtido a partir de dados experimentais
para a secagem de grãos de soja.
As equações governantes do modelo são resolvidas numericamente por um es-
quema em diferenças finitas. A análise de consistência, estabilidade e convergência
também é realizada para o caso unidimensional. Uma solução analítica da equação
diferencial parcial com a forma das equações de balanço da energia e da massa para
o ar (caso unidimensional) é obtida, fazendo-se comparações entre dados numéricos
e a solução analítica, para funções testes no termo fonte, com o objetivo de avaliar
o esquema numérico utilizado.
Resultados são apresentados fazendo comparações dos valores numéricos calcula-
dos através do modelo com dados experimentais encontrados na literatura. Avalia-se
também a influência de parâmetros adimensionais envolvidos nos processos de trans-
ferência de calor e massa.
Estes resultados contribuem para obter um melhor entendimento da transferência
de calor e massa em meios granulares, cujas aplicações são encontradas em muitas
situações de interesse prático.
xiii
Abstract
Problems of heat and mass transfer in granular media are found in count-
less situations of technical interest. Particularly, the grain drying process involve
those two phenomena. In the present work we develop a mathematical model that
describes the energy and the mass balance for the air and the grain based on the
Navier-Stokes equations. The convective mass transfer coefficient between the grain
and the air is obtained from experimental data for the soy grain drying process.
The governing equations of the model are approximated by means of a finite
differences scheme. The analysis of consistency, stability and convergence is also
made for the unidimensional case. An analytical solution for a partial differential
equation with the form similar to the energy and mass balance equations for the
air (in the unidimensional case) is obtained; comparisons are realized between the
numerical data and the analytical solution for chosen test functions in the source
term, with the objective of evaluating the numerical scheme used.
Numerical results are presented and compared with the experimental data found
in the literature. We evaluate the influence of dimensionless parameters involved in
the heat and mass transfer processes as well.
These results contribute to obtain a better understanding of the heat and mass
transfer in a granular medium, whose applications are found in many situations of
technical interest.
xiv
Capítulo 1
Introdução
Neste capítulo apresentamos a motivação para a realização da presente tese e
fazemos uma descrição do problema físico a ser abordado, seguido de uma rápida
revisão bibliográfica, que irá recordar alguns dos principais modelos matemáticos
desenvolvidos para descrever os processos de transferência de calor e massa. Após
indicamos os principais objetivos traçados para a realização do trabalho. Para encer-
rar o capítulo apresentamos um roteiro que foi seguido na organização e elaboração
da presente tese.
1.1 Motivação
Em inúmeras situações de interesse tecnológico nos deparamos com problemas
de transferência de calor e massa em meios granulares. Dentre esses problemas
destacamos o da secagem de grãos, dentre eles os grãos de soja. Neste casos, torna-
se necessário o conhecimento de modelos matemáticos capazes de prever a evolução
da temperatura e da umidade, tanto do ar que envolve o meio granular, como dos
próprios grãos.
Atualmente o Brasil, especialmente nas regiões Sul e Centro Oeste, é um dos
grandes produtores de grãos, principalmente de soja, que é destinada na sua maioria
para as indústrias de produção de óleos e de alimentação humana e animal, tanto
no mercado interno como no exterior. Já se verifica também o desenvolvimento de
tecnologias para a redução do consumo de petróleo, tentando utilizar óleos de origem
1
2
vegetal.
Para se ter maior segurança na secagem, garantindo a conservação da qualidade
dos grãos e para evitar desperdícios, é importante que se tenha, no momento da
secagem, controle das temperaturas do ar e dos grãos, das trocas de calor e massa
entre os grãos e o ar, bem como dos teores de umidade no interior de todo o secador
[72]. Tais necessidades, associadas aos elevados custos da construção de protótipos
baseados em modelos teóricos, têm aumentado a importância do desenvolvimento
de pesquisas de modelos matemáticos, com simulações das condições de secagem e
armazenamento, baseadas em dados experimentais.
Muitos trabalhos sobre processos de transferência de calor e massa são apresen-
tados na literatura. Dos trabalhos encontrados nesta linha de pesquisa, a maioria se
refere a processos de secagem. Na seqüência, faremos uma exposição do problema
físico de secagem artificial (objetivo desta pesquisa) a ser resolvido, seguido de um
breve apanhado dos principais trabalhos encontrados na literatura sobre esse tema.
1.2 O problema físico
Os grãos de cereais em geral, entre eles os de soja, são formados por um composto
de matéria seca e úmida. De acordo com Puzzi [72], a composição química de um
grão varia com vários fatores, tais como as condições ambientais, a variedade do
produto e o próprio teor de umidade. Uma composição média de um grão de soja
em condições ideais para a estocagem e/ou comercialização, segundo este autor, é
dada na tabela 1.1.
Quando a quantidade de água está muito acima dos 10% (base úmida), é necessário
que os grãos passem por um processo de secagem antes do armazenamento com o
objetivo de retirar a água excedente.
Para uma boa conservação dos grãos estocados, evitando oscilações muito brus-
cas nos preços de mercado, devem ser tomados alguns cuidados de forma que sua
composição química seja conservada em seu estado natural. Segundo Puzzy [72],
os principais fatores que alteram as características dos grãos, comprometendo o seu
3
Tabela 1.1: Composição média dos grãos de soja em condições ideais para a es-
tocagem [72]
Componente % em massa (base úmida)
matérias proteicas 35%
carboidratos 26%
matérias graxas 19%
água 10%
celulose 5%
cinzas 5%
valor comercial e nutritivo, são de ordem física e biológica. Os principais fatores
físicos são a temperatura elevada e a umidade da massa de grãos armazenados. Já
como fatores biológicos destacam-se a ação de microorganismos, insetos e ácaros.
Evidentemente, o desenvolvimento dos fatores biológicos depende em grande parte
dos fatores físicos. Daí a necessidade de manutenção de temperaturas não muito
elevadas e, principalmente, da secagem dos grãos antes de seu armazenamento.
Figura 1.1: Esquema de um secador de leito fixo em forma de silo (corte vertical)
4
Existem no mercado inúmeros tipos de secadores, dentre os quais os de leito fixo
(figura 1.1), no interior do qual uma grande massa de grãos úmidos é depositada
para iniciar a secagem. A secagem artificial dos grãos ocorre devido a um fluxo de ar,
geralmente quente, que é forçado através de um sistema de ventilação a passar pelo
meio granular, absorvendo a umidade contida na superfície do grão e provocando um
gradiente de umidade no interior do mesmo, além do gradiente de energia (no caso
do fluxo de ar quente); este provoca um fluxo de água do centro para a superfície do
grão. Essa massa de água que aparece na superfície é novamente removida pelo ar
quente que passa por entre os grãos. Assim, quanto maior a temperatura do ar de
secagem, maior será o gradiente de temperatura provocado, o que tende a acelerar
o processo de secagem, podendo gerar trincas devido às tensões que provocam a
rachadura da casca dos grãos [72].
A água no interior do grão pode estar na forma de moléculas de água ligadas a
grupos moleculares de matéria biológica ou, então, na forma de grupos moleculares
de água líquida ou na forma de vapor no interior de pequenos poros existentes nos
grãos [72]. A água na forma de moléculas ligadas à matéria biológica é muito difícil
de ser removida. Já a forma de grupos moleculares de água líquida ou a forma
de vapor permite uma remoção mais fácil, e acredita-se que seja essa água que é
retirada dos grãos durante os processos de secagem.
Quando a distribuição de água no interior do grão não é uniforme, formam-
se gradientes de concentração, fazendo com que a água se desloque dos pontos de
maior concentração para os de menor concentração. Nos processos de secagem com
ar aquecido, o calor é transferido para o grão e provoca a mudança de fase da água,
além do aquecimento de toda a massa do grão. Formam-se, assim, gradientes de
pressão de vapor que também são responsáveis pelo deslocamento de água no interior
dos grãos. Assim, quando a pressão de vapor parcial na superfície do grão é maior
que a pressão parcial do vapor no ar, ocorre a transferência de vapor de água do
grão para o ar, o que caracteriza a secagem. Quando as pressões parciais de vapor
no ar e na superfície do grão são iguais, ocorre o equilíbrio e o teor de umidade do
grão, neste caso, é chamado de teor de umidade de equilíbrio [36].
A secagem de produtos agrícolas pode ser definida como um processo simultâneo
5
de transferência de calor e massa entre o produto e o ar de secagem. De fato, quando
ocorre o fluxo de ar quente por entre a massa de grãos contidos no interior da câmara
de secagem, ocorre a transferência de energia do ar para os grãos pelo processo de
convecção. Essa energia é rapidamente distribuída para o interior do grão, aque-
cendo toda a matéria e vaporizando parte da água contida no grão, aumentando a
pressão parcial de vapor no interior do mesmo e provocando, conseqüentemente, um
gradiente de pressão entre o grão e o ar.
Por outro lado, o ar aquecido possui maior poder de absorção de vapor de água.
Devido ao gradiente de pressão parcial de vapor e a diferença de concentração de
vapor de água entre a superfície do grão e o ar, ocorre a transferência de vapor
de água entre o grão e o ar. Na seqüência, o vapor é levado juntamente com o ar
para fora da câmara. Uma vez retirada a umidade da superfície do grão, acentua-
se novamente o gradiente de pressão e de concentração de vapor entre o interior
e a superfície do grão, provocando nova migração da umidade do centro para a
superfície, dando continuidade ao processo.
No início do processo de secagem a quantidade de calor e massa transferida é mais
acentuada, diminuindo ao longo do tempo. A transferência de calor diminui à medida
que a temperatura dos grãos se aproxima da temperatura do ar de secagem na
entrada da câmara, tornando o gradiente de temperatura pequeno. Já a diminuição
do teor de umidade dos grãos ao longo do tempo, faz com que o gradiente de umidade
e de pressão de vapor entre os grãos e o ar também diminua, de forma que quando
o teor de umidade se aproxima da umidade de equilíbrio, a transferência de massa
se torna praticamente desprezível.
Nos experimentos realizados e apresentados em Khatchatourian et al. [34] verificou-
se que na abertura da câmara de secagem, imediatamente após cessado o processo
de secagem, a superfície dos grãos encontrava-se sem água líquida e, após um curto
intervalo de tempo, apareceram gotas de água ao redor dos grãos. Isso reforça a idéia
de que a água sai do grão na forma de vapor e que ela condensou posteriormente,
uma vez que neste momento não havia mais o fluxo de ar quente que a transportasse.
O processo de secagem intermitente consiste em submeter os grãos a um fluxo
de ar aquecido por um determinado período de tempo, seguido de outro período de
6
tempo de secagem com ar não aquecido (temperatura ambiente), que pode ter sua
passagem forçada por entre a massa de grãos por um sistema de ventilação, ou então
pela conveção natural, uma vez que ao fim do período de secagem com ar quente,
os grãos encontram-se a uma temperatura superior à temperatura do ar ambiente
que está sobre o secador. A vantagem desse tipo de secagem, está na redução do
consumo de energia.
Apesar do modelo apresentado poder ser útil em outras aplicações, o presente tra-
balho se deterá nos processos de secagem de grãos de soja, uma vez que a literatura
(Borges [9], Katchatourian [34] e Weber [92]) fornece mais dados experimentais, o
que facilita a comparação e a conseqüente validação do modelo usado.
Compreendido o problema físico, na seção que segue serão enumerados alguns
modelos que descrevem o processo de secagem de diversos produtos encontrados na
literatura.
1.3 Alguns modelos de transferência de calor e massa
para secagem
A secagem artificial de grãos ocorre pela passagem de um fluxo de ar por entre
a massa de grãos. De acordo com Parry [61], os modelos matemáticos dos proces-
sos de secagem podem ser classificados como modelos logarítmicos e exponenciais,
modelos simplificados de balanço de calor e massa e modelos baseados em equações
diferenciais parciais.
Os modelos logarítmicos e exponenciais foram os primeiros a serem desenvolvidos
devido a simplicidade na obtenção de soluções. Na seqüência foram desenvolvidos di-
versos modelos empíricos e semi-empíricos baseados em balanços de massa e de calor,
porém com grandes simplificações com o objetivo de facilitar a obtenção de soluções
com recursos computacionais ainda não muito avançados. Já com a evolução da
computação científica, os modelos de secagem baseados em equações diferenciais
parciais com menor número de restrições tem ganho força [61].
Existem vários tipos de modelos dos processos de secagem, sendo a maioria de-
les em regime permanente. Segundo Borges [9], os modelos que não consideram a
7
alteração das propriedades físicas nas variáveis espaciais são conhecidos por mode-
los de camada fina, sendo as grandezas envolvidas, como temperatura e umidade,
consideradas uniformes em todas as posições do secador a cada instante. Já os que
consideram essas variações são chamados de modelos de leito profundo. Além disso,
os modelos também podem ser classificados em empíricos, semi-empíricos e teóricos
[61]. Os primeiros são resultado do ajuste de curvas a partir de valores experimen-
tais, os teóricos são baseados unicamente nas equações de transporte de calor e de
massa e os semi-empíricos são uma mescla dos outros dois.
Diversos modelos empíricos e semi-empíricos têm surgido nos últimos anos ten-
tando explicar os fenômenos de transporte de massa e de calor envolvidos na secagem
[63]. Uma das limitações de vários desses modelos é que eles geralmente são aplicáveis
somente a pequenas faixas das grandezas envolvidas, como a temperatura do ar de
secagem dentro das quais foram obtidos.
Brooker et al. [12] afirmaram que a secagem de produtos agrícolas em camadas
finas apresenta duas fases distintas: uma com taxa constante de secagem e outra
com taxa decrescente de secagem. A fase de taxa constante pode ser observada na
secagem de produtos biológicos com umidade inicial acima de 70% em base úmida.
Normalmente, acima dessa faixa de umidade, a resistência interna ao transporte de
água é muito menor que a resistência externa à remoção de umidade da superfície.
A fase de taxa decrescente, por outro lado, caracteriza-se pela descontinuidade do
fluxo de água na superfície de evaporação. A resistência interna ao transporte de
umidade torna-se maior que a resistência externa. O segundo caso teria maior
interesse prático, visto que praticamente todos os produtos chegam aos secadores
com percentuais de umidade bem abaixo dos 70% [12].
Uma classificação das abordagens da modelagem dos fenômenos de transporte
em meios porosos é encontrada no trabalho de Laurindo e Prat [38], segundo a qual
temos abordagens contínuas e discretas. As primeiras consideram o meio como uma
massa contínua. Segundo esses autores, algumas situações ainda são impossíveis de
serem simuladas usando essa hipótese, mas admitem a razoável concordância dos
resultados desses métodos com os dados experimentais. As abordagens discretas
usam a teoria de fractais e métodos da física estatística. Ainda, segundo esses
8
autores, essas abordagens, apesar de detalharem mais os fenômenos que ocorrem na
transferência de calor e massa, ainda estão em desenvolvimento e não são adequadas
para o uso em softwares de controle ou em projetos de secadores industriais.
Simmonds et al., em 1953, conforme Borges [9], propuseram um modelo para
descrever o teor de umidade do grão onde este teor é dado por uma função expo-
nencial, ou seja, consideram que a variação da umidade do grão é proporcional à
diferença entre a umidade no momento atual e o teor de umidade de equilíbrio.
O teor de umidade de equilíbrio é definido como sendo o limite admitido por um
material sujeito a um meio ambiente estável [36]. Em outras palavras, é a umidade
final que o grão atingiria caso ficasse tempo suficiente em contato com o ar a uma
determinada temperatura e umidade. Assim, seu valor é determinado como função
dessas duas grandezas.
Boyce, em 1965 [10] [11], considerou o aquecimento dos grãos durante a secagem
apresentando um modelo semi-empírico estacionário de leito profundo subdividido
em várias camadas finas, no interior das quais as propriedades como temperatura e
umidade eram calculadas.
Em 1966 Luikov [44] apresentou um modelo baseado nas equações de trans-
porte de calor e massa e da quantidade de movimento. Devido à complexidade
de sua solução, na época foi sugerido por vários autores o desprezo dos gradientes
de pressão, gradientes de difusão térmica e a evaporação interna, tornando-o um
modelo bem simples com apenas duas equações diferenciais parciais autônomas.
Em 1973 Morey e Cloud [55] apresentaram um modelo matemático para avaliar
o desempenho de secadores de fluxo cruzado com múltiplas colunas de secagem.
Neste tipo de secador o ar é forçado perpendicularmente em todas as colunas, sendo
que os grãos entram úmidos na terceira coluna e são recirculados na segunda e na
primeira coluna simultaneamente.
Nellist em 1987 [56] desenvolveu um modelo matemático para secadores de fluxo
cruzado com o objetivo de analisar o teor de umidade dos grãos, a temperatura do ar
e dos grãos e o consumo de energia no processo de secagem, levando em consideração
as condições para a germinação das sementes.
Em 1991 Courtois et al. [19] propuseram um modelo unidimensional em leito
9
profundo baseado nas equações de balanço de massa e de energia para a secagem de
grãos de milho. Para descrever a variação da umidade o grão foi dividido em três
partes: a primeira formada pelo núcleo, a segunda a parte intermediária e a terceira
a parte periférica do grão, sendo a transferência de massa de uma parte para outra
por difusão, com coeficientes obtidos empiricamente. Já para a transferência de
calor foi considerada uma camada uniforme. Negligencia-se, nesse modelo, o termo
difusivo nas equações de energia e de massa para o ar.
Ahrens e Villela, em 1996 [2], usaram dois modelos de secadores comerciais, um
intermitente lento, com a temperatura do ar de secagem a 60
o
C e a 65
o
C e outro
rápido a 50
o
C, para avaliar a redução do grau de umidade de 20 para 13% e sua
influência na qualidade fisiológica das sementes de tremoço azul. Foram realizados
testes de germinação e envelhecimento artificial, após a secagem, aos três e seis meses
de armazenamento. Segundo os autores desse trabalho, os testes de germinação e
envelhecimento artificial não detectaram diferenças significativas entre a qualidade
das sementes secadas nos secadores artificiais e daquelas secadas à sombra, sendo
que a qualidade fisiológica das sementes de tremoço não é afetada pela secagem nos
diferentes secadores.
Em trabalho mais recente, Ahrens et al. [3] avaliaram a qualidade física e fisi-
ológica das sementes de trigo em função da utilização de gás liquefeito de petróleo
(GLP) na secagem estacionária e determinaram a curva de secagem em comparação
à secagem estacionária em estufa. Sementes de trigo, com teor de água inicial de
15, 3%, foram secas até 12, 6% em um secador. De acordo com a conclusão dos
autores, os resultados dos testes de germinação e vigor mostram a possibilidade de
utilização do gás liquefeito de petróleo como combustível na secagem estacionária
de sementes de trigo.
Liu et al., em 1997 [41] [42] [43], apresentaram um modelo estocástico para
secagem de grãos em fluxo cruzado para avaliar a distribuição da umidade, a tem-
peratura do ar e a taxa do fluxo de ar em uma amostra de milho. Em trabalho
posterior, os mesmos autores apresentam um controlador automático do processo de
secagem [40].
Oliveira e Haghighi em 1998 [57] [58] usaram um modelo baseado nas equações
10
propostas por Luikov para descrever a transferência de calor e massa dentro do grão
e as equações de Navier-Stokes para o escoamento externo. Resolveram o sistema de
equações obtido, usando elementos finitos, considerando o fluxo convectivo externo
laminar, escala de comprimento característico da secagem média muito menor que
a do fluxo externo, a interface entre os dois domínios sem espessura e com equi-
líbrio instantâneo em toda a interface para cada espaço de tempo. Nas simulações
apresentadas nestes trabalhos, os autores consideraram duas situações, a de um e
de dois grãos esféricos sujeitos a um escoamento de ar, analisando a influência da
velocidade do ar sobre a variação do teor de umidade do grão.
Marinos-Kouris et al. [48] abordam a secagem de grãos como um sistema com-
plexo, considerando o planejamento e o projeto de sistemas de secagem. Em seu
trabalho utilizam modelos matemáticos com a finalidade de obter o controle da tem-
peratura e da umidade do ar, análise do dimensionamento da estrutura, condições
de operação, custos de operação e o desempenho dos equipamentos. Um software
foi desenvolvido para fornecer informações sobre cada bloco do sistema, isto é, sobre
o funcionamento do secador, dimensionamento e custos, avaliação econômica, etc,
na tentativa de otimizar cada solicitação do projetista.
Reis e Carroci [75] fizeram uma análise do consumo de energia para diferentes
tipos de secadores. Fizeram também comparações de resultados obtidos através de
modelos matemáticos com dados experimentais medidos em secadores de laboratório
para secagem de amido de mandioca.
Mhimid et al., em 1999 [51] [52], analisaram a secagem em leito profundo em
uma dimensão com fluxo vertical de ar quente, estando as paredes do secador su-
jeitas às condições de Neumann e de Dirichlet. Consideraram, ainda, dois modelos
matemáticos para a transferência de calor: o modelo de equilíbrio local, onde o ar
e o grão são considerados ter a mesma temperatura para um mesmo volume de
controle, e o modelo de não equilíbrio local, onde é considerada a variação entre a
temperatura do ar e do grão. As equações são resolvidas com o método de volumes
finitos.
Zhihuai e Chongwen [97] fizeram simulações buscando otimizar secadores de
grãos com fluxo cruzado. Um sistema de equações diferenciais parciais foi usado
11
para simular a variação da temperatura e da umidade do grão e a otimização da
função de consumo de energia. Em seu trabalho os autores concluíram que nas
condições de operação, pequenas mudanças na estrutura e nas dimensões do secador
resultam em efeitos significativos na performance do equipamento.
Cavalcanti et al. [15] desenvolveram um programa computacional para a simu-
lação de secagem de vários produtos em secadores de camada estacionária. Segundo
os autores, o programa desenvolvido apresentou uma simulação satisfatória do pro-
cesso de secagem no intervalo de temperatura entre 40 e 80
o
C, em secador de camada
estacionária para arroz, café, feijão, milho, milho branco, soja e trigo.
Rumsey e Rovedo, em 2001 [79], usaram um modelo dinâmico bidimensional
para secagem de arroz em secador de fluxo cruzado para avaliar as contribuições de
mudanças na umidade inicial do produto, da temperatura do ar de secagem e do
fluxo dos grãos. O modelo matemático foi resolvido usando um método preditor-
corretor. Analisaram também o efeito que a variação da umidade do produto no
início da câmara de secagem provoca nos valores da umidade no final da câmara ao
longo do tempo.
Khatchatourian et al. [33] [34] adaptaram o modelo de Courtois et al. [19]
para o problema de secagem de grãos de soja em leito profundo, considerando o
grão como uma massa homogênea. Esse modelo é constituído de um conjunto de
quatro equações diferenciais parciais, onde o termo de transferência de massa é
obtido a partir de dados experimentais. Consideraram, neste modelo, que a taxa
de variação do teor de umidade ao longo do tempo é proporcional a um termo
definido pelo fluxo de massa, calculado com função da temperatura a partir de
dados experimentais com aproximações por polinômios de segundo grau. Ainda
neste trabalho foram feitas simulações com vários esquemas numéricos em diferenças
finitas e os resultados foram comparados com dados experimentais de secagem em
secadores de leito profundo, obtendo uma aproximação razoável para a faixa de
temperaturas avaliada, ou seja, até 65
o
C, faixa para a qual foi obtida a expressão
de Φ
m
.
Weber et al. [92] [93] apresentam uma série de dados experimentais para a
secagem intermitente de grãos de soja, comparando-os com simulações feitas pelo
12
modelo apresentado por Khatchatourian et al. [33] [34].
Borges, em 2002 [9], fez novas simulações usando o mesmo modelo sugerido em
[33]. Além disso apresenta dados experimentais, com temperaturas do ar de secagem
chegando até 110
o
C com secagem em camadas finas. O modelo usado apresenta boa
concordância com os dados experimentais para temperaturas baixas, porém para
temperaturas elevadas surgem diferenças significativas entre os valores calculados e
os experimentais.
Srivastava e John, em 2002 [86], adaptaram as equações de um modelo de
secagem em camadas finas para obter os valores da umidade do ar e a temperatura
do ar e dos grãos em leito profundo considerando variações da altura do secador. Um
esquema numérico implícito e o método de Runge-Kutta foram usados na solução
das equações envolvidas.
Em 2003, Hao e Tao [29] apresentaram um modelo matemático tridimensional
para descrever a transferência de calor devido a um fluxo de ar em um meio granular.
Eles consideraram a convecção forçada na direção horizontal. Simulações numéricas
também foram apresentadas para a solução das equações governantes. O modelo
prevê transferência de calor em duas fases (líquido e sólido) e características de
mudança de fase. A solução das equações do modelo foi feita por um esquema em
diferenças finitas.
Tirawanichakul et al. [89] usaram um modelo baseado no balanço de energia e
massa, com uma equação empírica exponencial para descrever o teor de umidade
dos grãos de arroz. O modelo foi aplicado para temperaturas do ar de secagem em
torno de 30
o
C. Neste trabalho também foram realizados testes experimentais para
verificar a influência da temperatura de secagem e da umidade na manutenção da
qualidade do produto.
Cunha et al. [22] [49] estudaram a viabilidade de secar café cereja descascado
pela aplicação de microondas para auxiliar na secagem convencional a ar quente, a
fim de reduzir o tempo de processamento, com o aumento do rendimento industrial e
da qualidade do produto perante os métodos tradicionais de secagem. Dois ciclos de
secagem foram testados: o processo em secador rotativo convencional a ar quente,
com umidade do produto reduzida de 45 −50 a 11 −13% (base úmida) e o processo
13
subdividido em uma primeira etapa de pré-secagem convencional a ar quente de
45 − 50 a 30%, seguida de etapa de secagem final por ar quente e microondas,
com redução de 30 para 11 − 13% de umidade do produto. Segundo os autores do
trabalho, o tempo global do primeiro para o segundo ciclo de secagem foi reduzido
significativamente.
Aguerre e Suarez [1], em 2004, afirmaram que a secagem de sólidos úmidos en-
volve processos simultâneos de transferência de calor e massa bastante complicados e
que uma série de simplificações normalmente são usadas para reduzir a complexidade
dos modelos que envolvem esses fenômenos. Eles usaram um modelo unidimensional
isotérmico baseado na equação de difusão de água em grãos e outros produtos com
amido. A variação do teor de umidade foi dada pela Lei de Fick, onde o coeficiente
de difusão de massa era calculado como função do teor de umidade.
Resio et al. [76] também usaram um modelo de secagem onde a variação do
teor de umidade era dado pela Lei de Fick. Eles apresentaram uma outra expressão
para o coeficiente efetivo de difusão. Segundo os autores, este coeficiente é função
da temperatura e da energia de ativação para a difusão, que é calculada a partir da
equação de Clausius-Clapeyron. Os resultados apresentados por eles referem-se a
temperaturas de secagem na faixa de 40
o
C até 70
o
C.
Gastón et al. [27] fizeram simulações com o modelo baseado na equação de
difusão de massa como nos trabalhos citados de Aguerre e Suarez [1] e Resio et
al. [76] para os casos de secagem de grãos de trigo a temperaturas constantes e
variáveis. Avaliaram também a influência da geometria considerada para o grão
(esferas e elipsóides) e a influência de variações nas condições de contorno. As
equações do modelo foram resolvidas numericamente pelo esquema em diferenças
finitas por Crank-Nicolson. Propuseram uma expressão para o cálculo do coeficiente
efetivo de difusão como função da temperatura e do teor de umidade inicial dos grãos
para temperaturas na faixa de 35
o
C até 70
o
C.
Fregolente et al. [26] apresentaram um estudo com a finalidade de estimar a
condutividade térmica efetiva radial e o coeficiente efetivo de transferência de calor
entre a parede e o leito de secagem de vários grãos. Para evitar a interferência do
transporte de massa, os autores estimaram os parâmetros térmicos efetivos no final
14
da secagem, quando o teor de umidade dos grãos que compõem o leito alcança valores
de equilíbrio, deixando de existir a transferência de massa, persistindo apenas a
transferência de calor em regime permanente. Em seu trabalho, os autores afirmam
que dentre os grãos estudados - soja, feijão, milho e trigo - a soja apresenta os
menores valores de condutividade efetiva radial, enquanto o trigo apresenta o maior
valor do coeficiente de transferência de calor parede-leito.
Meng e Hu, em 2005 [50], propuseram um modelo para avaliar o resfriamento
natural de uma camada de um meio poroso e úmido depositado num telhado, bem
como o processo de vaporização envolvido.
Prachayawarakorn et al. [71], num trabalho em que discutem a manutenção
da qualidade na secagem a altas temperaturas, também apresentam uma expressão
para o coeficiente efetivo de difusão como função apenas da temperatura.
Sarat e Sakamon [80] investigaram experimentalmente os efeitos de parâmetros
envolvidos no processo de secagem de grãos de soja, tais como a velocidade e a
temperatura do ar na entrada do leito de secagem, altura do leito, duração do aque-
cimento, no processo de secagem e na manutenção das características do produto.
Marini et al. [47] avaliaram os efeitos imediatos resultantes da combinação da
temperatura do ar na secagem intermitente e da relação de intermitência sobre
a estabilidade de grãos de aveia armazenados pelo sistema convencional por doze
meses. As avaliações foram realizadas periodicamente a partir da instalação dos ex-
perimentos sendo determinados o teor de lipídios, o índice de acidez, a composição
em ácidos graxos, a atividade residual das enzimas lipase e peroxidase. Os autores
concluíram que a secagem intermitente com temperaturas do ar de até 105
o
C não
provoca inativação enzimática em grãos de aveia. Ainda de acordo com este tra-
balho, a diminuição do teor de lipídios e o aumento do índice de acidez durante o
armazenamento são maiores em grãos secos em condições mais drásticas.
Ribeiro et al. [77] avaliaram o efeito da secagem nas propriedades físicas dos
grãos de soja, tais como a massa específica real e aparente e a contração volumétrica
dos grãos durante o processo de secagem. Com base em dados experimentais, os
autores afirmaram que a redução do teor de água na faixa entre 0, 31 e 0, 15 (base
seca) provoca diminuição linear da porosidade e aumento das massas específicas
15
aparente e real.
Petry et al. apresentam, em seus trabalhos [62] a [68], um modelo para descrever
os processos de transferência de calor e massa em meios granulares baseado nas
equações de Navier-Stokes. Os termos fonte foram obtidos a partir do balanço de
massa e de energia para o ar e para os grãos. Para o termo fonte da equação de
transporte de massa considerou-se um coeficiente de difusão de massa entre o grão e
o ar e obteve-se uma expressão para o cálculo desse coeficiente de difusão a partir de
dados experimentais. O coeficiente de difusão de massa entre o grão e o ar proposto
é calculado como função da velocidade do ar, da temperatura e da diferença entre
o teor de umidade do grão e o teor de umidade de equilíbrio. Estes trabalhos estão
relacionados ao estudo apresentado nesta tese.
Uma boa parte dos trabalhos encontrados na literatura sobre transferência de
calor e massa usam modelos baseados em um conjunto de equações diferenciais
parciais. Muitas simplificações ou modelos semi-empíricos são utilizados no intuito
de facilitar a solução dos sistemas.
Para resolver numericamente um conjunto de equações diferenciais parciais, es-
tas podem ser discretizadas por inúmeros métodos, dentre eles: diferenças finitas,
volumes finitos e elementos finitos. Nesta tese, a solução numérica do problema será
feita em diferenças finitas.
Feita uma breve revisão bibliográfica sobre os processos de transferência de calor
e massa, apresentamos, na próxima seção, os objetivos para o desenvolvimento da
presente tese.
1.4 Objetivos do trabalho
Nesta seção apresentamos os principais objetivos norteadores do trabalho. Eles
foram subdivididos em objetivos gerais e específicos.
1.4.1 Objetivos gerais
Como objetivos gerais para o desenvolvimento desta tese destacamos:
• apresentar um modelo matemático para descrever os processos de transferência
16
de calor e massa em meios granulares;
• fazer um comparativo entre soluções analíticas e numéricas para um problema
físico tão próximo quanto possível do problema real;
• validar o modelo através de comparações com dados experimentais;
• verificar a influência de alguns parâmetros adimensionais nos processos de
transferência de calor e massa.
Esses objetivos gerais serão alcançados através da realização de outros objetivos
mais específicos, que são apresentados na seqüência.
1.4.2 Objetivos específicos
Como objetivos específicos para a realização do trabalho nos propomos a:
• obter um sistema de equações governantes para o modelo;
• obter uma expressão para calcular o coeficiente convectivo de transferência de
massa entre o ar e os grãos;
• desenvolver códigos computacionais em FORTRAN 90 para a obtenção das
soluções numéricas;
• encontrar uma solução analítica para o problema de transferência de calor e/ou
massa não homogêneo com os termos convectivo e difusivo e condições iniciais
e de contorno não homogêneas;
• comparar valores numéricos com dados experimentais para temperaturas do
ar de secagem na faixa de 55
o
C a 110
o
C e velocidade do ar de secagem na
faixa de 0, 5ms
−1
a 4, 75ms
−1
;
• comparar valores numéricos com dados experimentais para o processo de secagem
intermitente;
• fazer simulações numéricas para vários valores dos parâmetros adimensionais
envolvidos no problema;
17
• fazer simulações do problema de secagem para o caso bi-dimensional com a
finalidade de verificar a influência da posição horizontal dos grãos nos valores
da temperatura e do teor de umidade dos grãos.
1.5 Roteiro do trabalho
Apresentamos nesta seção um roteiro do que será discutido nos próximos capí-
tulos.
No capítulo 2 define-se o problema a ser abordado e as principais hipóteses ou
simplificações usadas. Obtém-se as equações governantes do modelo através de um
balanço de massa e de energia para o ar e as esferas sólidas. Uma equação é proposta
para o cálculo do coeficiente de difusão de massa entre o ar e os grãos. Faz-se também
a adimensionalização das equações governantes e as condições iniciais e de contorno
do problema são apresentadas.
Formulado o problema, no capítulo 3 apresenta-se o esquema a ser usado para
a obtenção da solução numérica. Faz-se um estudo da consistência e da ordem no
tempo e no espaço do esquema usado para as equações de balanço de energia e umi-
dade do ar para o caso unidimensional. Usando a transformada discreta de Fourier,
as condições de estabilidade e de convergência do esquema são estabelecidas. Ainda,
neste capítulo, apresenta-se uma solução analítica para essa equação comparando-a
com a solução numérica para uma função teste no termo fonte.
No capítulo 4 são apresentados os resultados numéricos. Comparações com dados
experimentais de secagem de grãos de soja para amplas faixas de variação da tem-
peratura, da velocidade do ar de secagem e da umidade inicial dos grãos também são
realizadas. Simulações do processo intermitente de secagem de grãos de soja tam-
bém são realizadas neste capítulo, comparando-se os valores resultantes do modelo
com dados experimentais encontrados na literatura. Na seqüência, apresentamos
simulações para o processo de secagem, considerando o caso em duas dimensões.
Faz-se ainda uma avaliação da influência de parâmetros adimensionais envolvidos
nos processos de transferência de calor e massa, como os números adimensionais de
Reynolds e de Eckert.
Capítulo 2
Equações Governantes
Neste capítulo é apresentado o conjunto de equações governantes do modelo de-
senvolvido, juntamente com suas respectivas demonstrações. Na seqüência, são
introduzidas as variáveis adimensionais que permitem a adimensionalização das
equações governantes. Por fim, são estabelecidas as condições iniciais e de contorno
para o problema.
A câmara de leito fixo considerada nesta tese consiste de um prisma reto de
base retangular dentro do qual estão depositadas esferas porosas, conforme mostra
a figura 2.1. Considera-se que o processo de transferência de calor e massa inicia
quando começa a passagem de ar, geralmente quente, no sentido vertical entre as
esferas. Nesta situação, ocorre transferência de calor do ar para os grãos (no caso
dos processos de secagem de grãos) e transferência de massa (de água na forma de
vapor) das esferas para o ar.
O modelo matemático aqui apresentado consiste de num conjunto de equações
diferenciais parciais que descrevem a distribuição de temperatura e da umidade do
ar e das esferas no interior da câmara. Para a formulação matemática algumas
hipóteses são adotadas, conforme segue:
• a porosidade no interior da câmara é uniforme;
• não há equilíbrio térmico entre as esferas e o ar no interior da câmara;
• a temperatura no interior de cada esfera é uniforme;
• a transferência de calor do ar para as esferas ocorre por convecção;
18
19
Figura 2.1: Esquema da câmara de Secagem
• a transferência de massa das esferas para o ar acontece por convecção na forma
de vapor;
• a transferência de calor no ar ocorre pelos processos de condução e de advecção;
• a transferência de massa de vapor no ar ocorre por difusão e por advecção;
• as paredes da câmara estão termicamente isoladas;
• a velocidade e a temperatura do ar são constantes na entrada da câmara.
Com base nas hipóteses acima expostas, as equações governantes do problema
proposto são apresentadas na seção que segue.
2.1 Dedução das equações governantes
Para descrever os processos de transferência de calor e massa num meio granular é
importante lembrar alguns conceitos referentes às variáveis envolvidas no problema.
Esses conceitos são apresentados nas definições que seguem.
20
Definição 2.1 Define-se por teor de umidade da esfera em base seca (X) a razão
entre a massa de água presente na esfera e a massa de matéria seca da esfera, isto
é:
X =
m
l
m
s
(2.1)
Definição 2.2 Define-se por teor de umidade do ar em base seca (Y ) a razão entre
a massa de água presente no ar e a massa de gás (ar) seco, isto é:
Y =
m
l
m
g
(2.2)
Por motivo de simplificação das notações, faremos a demonstração das equações
para o caso bidimensional; elas podem ser estendidas para o caso tridimensional.
Para a dedução do modelo matemático cosidera-se um volume de controle conforme
mostra a figura 2.2.
Figura 2.2: Volume de controle
O conjunto de equações governantes do presente modelo inclui a conservação de
massa, para o ar e o sólido, e a conservação de energia para o ar e esferas contidas no
interior da câmara. Além disso, o fluxo do ar é descrito pela equação da continuiade,
pelas equações da quantidadedo movimento e pela equação de Poisson.
21
2.1.1 Equação de conservação de massa para o ar
A equação de conservação de massa segue do balanço de massa no interior do
volume de controle (Figura 2.2). Consideremos
−→
u = u
−→
i + v
−→
j . Assim resulta para
a espécie i:
∂ρ
i
∂t
= −
∂(u
i
ρ
i
)
∂x
−
∂(v
i
ρ
i
)
∂y
+ ˙m
i
(2.3)
o que equivale a:
∂ρ
i
∂t
= −
∂(j
x,i
+ ρ
i
u)
∂x
−
∂(j
y,i
+ ρ
i
v)
∂y
+ ˙m
i
(2.4)
onde ˙m
i
representa a taxa de geração de massa da espécie i e (u
i
−u) é a velocidade
de difusão de espécie i na direção x. O produto ρ
i
(u
i
− u) é o fluxo mássico por
unidade de volume da espécie i na direção x relativo ao movimento da mistura.
Denominando essa quantidade por fluxo de difusão [7] podemos escrever:
j
x,i
= ρ
i
(u
i
− u) e j
y,i
= ρ
i
(v
i
− v) (2.5)
Fazendo
−→
j
i
= j
x,i
−→
i + j
y,i
−→
j temos:
∂ρ
i
∂t
= −ρ
i
−→
∇.
−→
u −
−→
u .
−→
∇ρ
i
−
−→
∇.
−→
j
i
+ ˙m
i
(2.6)
Substituindo a equação (2.2) em (2.6) podemos escrever:
∂ (ρ
g
Y )
∂t
= −ρ
g
Y
−→
∇.
−→
u −
−→
u .
−→
∇(ρ
g
Y ) −
−→
∇.
−→
j
i
+ ˙m
i
(2.7)
ou
ρ
g
∂Y
∂t
+ Y
∂ρ
g
∂t
= −ρ
g
Y
−→
∇.
−→
u − ρ
g
−→
u .
−→
∇(Y ) − Y
−→
u .
−→
∇(ρ
g
) −
−→
∇.
−→
j
i
+ ˙m
i
(2.8)
o que pode ser escrito na forma:
ρ
g
∂Y
∂t
+ Y
∂ρ
g
∂t
+ ρ
g
−→
∇.
−→
u +
−→
u .
−→
∇(ρ
g
)
= −ρ
g
−→
u .
−→
∇(Y ) −
−→
∇.
−→
j
i
+ ˙m
i
(2.9)
Considerando a equação de conservação de massa a equação (2.9) resulta em:
ρ
g
∂Y
∂t
= −ρ
g
−→
u .
−→
∇Y −
−→
∇.
−→
j
i
+ ˙m
i
(2.10)
Da Lei de Fick segue que
−→
j
i
= −D
−→
∇ρ
i
[7], onde D é a difusividade mássica e ρ
i
a concentração mássica da espécie i. Segue, portanto, que
−→
j
l
= D
−→
∇(ρ
g
Y ) e assim
a equação (2.10) toma a forma:
∂Y
∂t
= −
−→
u .
−→
∇Y + D∇
2
Y +
˙m
ρ
g
(2.11)
22
para D e ρ
g
considerados constantes.
Do princípio da conservação de massa, temos que a massa de água transferida
ao ar é igual à massa que sai das esferas. Portanto, a taxa de geração de massa por
unidade de volume é dada por:
˙m = −
1
φV
c
∂m
l
∂t
(2.12)
o que equivale a:
˙m = ah
m
(1 − φ)
φ
∆C (2.13)
onde a é a razão entre a área e o volume de uma esfera, h
m
o coeficiente convectivo
de transferência de massa entre o grão e o ar, φ a porosidade do meio granular, V
c
o volume e ∆C = (ρ
s
X − ρ
g
Y ) a variação de concentração mássica entre as esferas
e o ar.
Finalmente, a equação de balanço da umidade do ar, para D, h
m
e ρ
g
constantes,
toma a forma:
∂Y
∂t
= −
−→
u .
−→
∇Y + D∇
2
Y +
a(1 − φ)
ρ
g
φ
h
m
(ρ
s
X − ρ
g
Y ) (2.14)
2.1.2 Equação de conservação de massa para as esferas
Das equações (2.12) e (2.13) segue que:
∂m
l
∂t
= −V
c
ah
m
(1 − φ) ∆C (2.15)
Substituindo (2.1) na equação (2.15) resulta a equação de balanço de massa para
as esferas:
∂X
∂t
= −
a
ρ
s
h
m
(ρ
s
X − ρ
g
Y ) (2.16)
onde os subscritos s, l e g representam o sólido, o líquido e o gás (ar), respectiva-
mente.
2.1.3 Equação de conservação de energia para o ar
De forma semelhante ao que foi feito para a obtenção da equação de conservação
de massa para o ar, o balanço de energia para o volume de controle da figura 2.2
23
resulta em:
∂T
g
∂t
= −
−→
u .
−→
∇T
g
+ α∇
2
T
g
+
˙q
ρ
g
C
p
g
(2.17)
onde T
g
é a temperatura do ar, α a difusividade térmica e C
p
g
o calor específico do
ar à pressão constante. A taxa de geração de energia por unidade de volume, no
interior do volume de controle, ˙q, é dada por:
˙q =
1
φV
c
dq
dt
(2.18)
Supondo que toda energia na forma de calor que deixa o ar contido no interior do
volume de controle seja transferida para as esferas através do processo de condução
térmica, segue da lei de resfriamento de Newton que:
dq
dt
= hA
s
(T
s
− T
g
)
V
c
V
s
(1 − φ) (2.19)
onde h é o coeficiente convectivo de transferência de calor entre o ar e as esferas,
A
s
a área da superfície de uma esfera, T
s
a temperatura das esferas e
V
c
V
s
(1 − φ) o
número de esferas contidas no interior do volume de controle. Assim, temos:
˙q = a
1 − φ
φ
h(T
s
− T
g
) (2.20)
Substituindo (2.20) na equação (2.17) resulta a equação de balanço de energia
para o ar, na forma:
∂T
g
∂t
= −
−→
u .
−→
∇T
g
+ α∇
2
T
g
+
a
ρ
g
C
p
g
1 − φ
φ
h(T
s
− T
g
) (2.21)
2.1.4 Equação de conservação de energia para as esferas
Uma vez que o calor que entra na esfera é usado para vaporizar a água que deixa
o grão na forma de vapor e para o aquecimento da esfera (massa seca + água),
podemos escrever: [34]:
−hA
s
(T
s
− T
g
) = m
l
C
p
l
dT
s
dt
+ m
s
C
p
s
dT
s
dt
+ h
m
∆CA
s
L
v
(2.22)
onde o termo h
m
∆CA
s
representa a massa de água que está saindo pela superfície
do grão e L
v
o calor latente de vaporização.
Note que m
l
= m
s
X e m
s
= ρ
s
V
s
, o que implica em:
dT
s
dt
=
−A
s
h(T
s
− T
g
) − A
s
L
v
h
m
∆C
ρ
s
V
s
(XC
p
l
+ C
p
s
)
(2.23)
24
Considerando que as esferas encontram-se estáticas no interior da câmara, temos
dT
s
dt
=
∂T
s
∂t
e, como conseqüência, a equação (2.23) toma a forma:
∂T
s
∂t
=
−ah(T
s
− T
g
) − aL
v
h
m
(ρ
s
X − ρ
g
Y )
ρ
s
(XC
p
l
+ C
p
s
)
(2.24)
Os valores da difusividade mássica D, do coeficiente convectivo de transferência
de massa entre o grão e o ar h
m
e do coeficiente convectivo de transferência de calor
entre o ar e o grão h foram considerados constantes na dedução das equações; porém,
eles são recalculados a cada iteração quando da aplicação do esquema numérico,
considerando D ∝ T
1.5
g
[31].
Para o coeficiente convectivo de transferência de massa entre as esferas e o ar
desenvolvemos a expressão:
h
m
=
A
|
−→
u | T
1.5
s
X(X − X
e
)
n
H
(2.25)
onde A e n foram calculados a partir de dados experimentais. Para obter esses
termos foram feitas simulações e seus valores ajustados até conseguir a aproximação
desejada. X
e
é o teor de umidade de equilíbrio dos grãos, sendo calculado como
função da temperatura e da umidade relativa do ar e H é a altura do leito.
Para desenvolver a equação (2.25) considerou-se, inicialmente, a proporcionali-
dade do coeficiente de difusão com o termo T
1.5
, conforme sugerido em [31]. O fato
da transferência de massa ser maior no início do processo, quando o teor de umidade
dos grãos é mais elevado, associado com a definição do teor de umidade de equilíbrio,
segundo a qual o processo de transferência de massa cessa quando o grão atinge a
umidade de equilíbrio, sugere uma proporcionalidade do coeficiente de difusão com
o termo (X − X
e
)
n
, ficando o expoente n (n ∼ 1) para ser obtido a partir de dados
experimentais.
Para o termo de dependência da velocidade usa-se a analogia de Chilton-Colburn
[18] [17], uma generalização da analogia de Reynolds, segundo a qual em processos
convectivos de transferência simultânea de calor e de massa temos:
h
C
p
0
ρ
0
U
0
P r
2/3
= j
H
= j
M
=
h
m
U
0
Sc
2/3
sendo esta expressão válida para 0, 6 < Sc < 2500 e 0, 6 < P r < 100, faixas nas
quais nosso problema se encaixa. Na expressão anterior j
H
e j
M
são os fatores de
Colburn para a transferência de calor e massa, respectivamente.
25
Além disso, segundo Sissom e Pitts [83] , o fator de Colburn em um meio granular
é proporcional a Re
−κ
, com 0, 41 ≤ κ ≤ 0, 51. Assim, como P r e Sc independem
da velocidade e Re é proporcional à velocidade do ar, segue que o coeficiente de
transferência de massa é proporcional a |
−→
u |
(1−κ)
. As comparações dos valores
obtidos numericamente com dados experimentais mostraram que κ = 0, 5 aproxima
bem essa expressão. Já a constante de proporcionalidade A também é definida
experimentalmente.
Analogamente ao coeficiente convectivo de transferência de massa, o coeficiente
convectivo de transferência de calor entre o ar e os grãos também é considerado
proporcional a
|
−→
u |.
2.1.5 Equações para o fluxo do ar no meio granular
Para descrever o fluxo do ar entre as esferas consideramos o conjunto de equações
de movimento conforme segue:
Equação de continuidade:
−→
∇.
−→
u = 0 (2.26)
Equação da quantidade de movimento na direção x:
∂u
∂t
= −
−→
u .
−→
∇u −
1
ρ
g
∂P
∂x
+ ν∇
2
u (2.27)
Equação da quantidade de movimento na direção y:
∂v
∂t
= −
−→
u .
−→
∇v −
1
ρ
g
∂P
∂y
+ ν∇
2
v (2.28)
Equação da quantidade de movimento na direção z:
∂w
∂t
= −
−→
u .
−→
∇w −
1
ρ
g
∂P
∂z
+ ν∇
2
w (2.29)
Uma vez obtido o conjunto de equações que compõe o modelo será feita, na próx-
ima seção, a adimensionalização dessas equações. As forças de campo nas equações
acima são desconsideradas, devido a pouca influência das mesmas nos processos
estudados.
26
2.2 Adimensionalização das equações governantes
Com o objetivo de obter os parâmetros adimensionais envolvidos nos problemas
de transferência de calor e de massa, bem como de reduzir o domínio do problema
para o intervalo [0, 1] será feito, na seqüência, a adimensionalização das equações
governantes do modelo. Para tal procedimento usa-se as seguintes variáveis adimen-
sionais:
u
∗
=
u
U
0
, v
∗
=
v
U
0
, w
∗
=
w
U
0
, x
∗
=
x
L
c
, y
∗
=
y
L
c
, z
∗
=
z
L
c
, T
∗
=
T −T
amb
T
ar
−T
amb
, t
∗
=
tU
0
L
c
,
X
∗
=
X
X
0
, Y
∗
=
Y
Y
0
, ρ
∗
g
=
ρ
g
ρ
0
, ρ
∗
s
=
ρ
s
ρ
0
, D
∗
=
D
D
0
, h
∗
m
=
h
m
L
c
D
0
, α
∗
=
α
α
0
, C
∗
p
w
=
C
p
w
C
p
0
,
C
∗
p
s
=
C
p
s
C
p
0
, h
∗
=
hL
c
K
0
, L
∗
v
=
L
v
U
2
0
, a
∗
= aL
c
e P
∗
=
P −P
atm
ρ
0
onde L
c
é o comprimento característico, T
amb
a temperatura do ar ambiente, T
ar
a
temperatura do ar na entrada da câmara, X
0
o teor de umidade inicial das esferas,
Y
0
o teor de umidade inicial do ar, ρ
0
a massa específica do ar seco e U
0
a velocidade
do ar na entrada da câmara.
Dessa forma, as equações (2.14), (2.16), (2.21), (2.24), (2.26), (2.27), (2.28) e
(2.29) podem ser escritas, respectivamente, conforme segue:
∂Y
∗
∂t
∗
= −
−→
u
∗
−→
∇Y
∗
+
D
∗
ReSc
∇
2
Y
∗
+
a
∗
(1 − φ)
φρ
∗
g
Y
0
ReSc
h
∗
m
ρ
∗
s
X
0
X
∗
− ρ
∗
g
Y
0
Y
∗
(2.30)
∂X
∗
∂t
∗
= −
a
∗
ρ
∗
s
X
0
ReSc
h
∗
m
ρ
∗
s
X
0
X
∗
− ρ
∗
g
Y
0
Y
∗
(2.31)
∂T
∗
g
∂t
∗
= −
−→
u
∗
−→
∇T
∗
g
+
α
∗
ReP r
∇
2
T
∗
g
+
a
∗
(1 − φ)
φρ
∗
g
C
∗
p
g
ReP r
h
∗
T
∗
s
− T
∗
g
(2.32)
∂T
∗
s
∂t
∗
= −
Ec
ReSc
a
∗
L
∗
v
ρ
∗
s
(X
0
X
∗
C
∗
p
w
+ Cp
s
∗
)
h
∗
m
ρ
∗
s
X
0
X
∗
− ρ
∗
g
Y
0
Y
∗
−
1
ReP r
a
∗
ρ
∗
s
(X
0
X
∗
C
∗
p
w
+ Cp
s
∗
)
h
∗
T
∗
s
− T
∗
g
(2.33)
−→
∇.
−→
u
∗
= 0 (2.34)
∂u
∗
∂t
∗
= −
−→
u
∗
.
−→
∇u
∗
−
∂P
∗
∂x
∗
+
1
Re
∇
2
u
∗
(2.35)
27
∂v
∗
∂t
∗
= −
−→
u
∗
.
−→
∇v
∗
−
∂P
∗
∂y
∗
+
1
Re
∇
2
v
∗
(2.36)
∂w
∗
∂t
∗
= −
−→
u
∗
.
−→
∇w
∗
−
∂P
∗
∂z
∗
+
1
Re
∇
2
w
∗
(2.37)
Para avaliar a pressão no interior da câmara usa-se a equação de Poisson:
∇
2
P
∗
= −
∂
∂t
∗
∂u
∗
∂x
∗
+
∂v
∗
∂y
∗
+
∂w
∗
∂z
∗
−
∂
∂x
∗
−→
u
∗
.
−→
∇u
∗
−
∂
∂y
∗
−→
u
∗
.
−→
∇v
∗
−
∂
∂z
∗
−→
u
∗
.
−→
∇w
∗
+
1
Re
∂
∂x
∗
∇
2
u
∗
+
∂
∂y
∗
∇
2
v
∗
+
∂
∂z
∗
∇
2
w
∗
(2.38)
onde temos os seguintes parâmetros adimensionais ou números de:
Reynolds:
Re =
U
0
L
c
ν
Schmidt:
Sc =
ν
D
0
Prandtl:
P r =
ν
α
0
Eckert:
Ec =
U
2
0
C
p
0
(T
ar
− T
amb
)
As faixas para as quais esses parâmetros são considerados nesta tese são: Re =
200 a 2000, Sc = 0.7 a 2, P r = 0.7 a 2 e Ec = 10
−5
a 5x10
−5
. Essas faixas
correspondem aos valores referentes às variações da temperatura do ambiente e
do ar de secagem, da velocidade do ar na entrada da câmara, do comprimento
característico adotado (diâmetro médio de um grão) e das propriedades físicas do ar
obtidas na literatura [31].
Note que nas equações (2.30-2.38) foram usadas as notações que seguem:
−→
u
∗
= u
∗
−→
i + v
∗
−→
j + w
∗
−→
k
−→
∇.Ψ
∗
=
∂Ψ
∗
∂x
∗
+
∂Ψ
∗
∂y
∗
+
∂Ψ
∗
∂z
∗
28
∇
2
Ψ
∗
=
∂
2
Ψ
∗
∂x
∗2
+
∂
2
Ψ
∗
∂y
∗2
+
∂
2
Ψ
∗
∂z
∗2
Para a solução das equações diferenciais anteriormente obtidas é necessário esta-
belecer as condições iniciais e de contorno para as variáveis envolvidas, o que é feito
na próxima seção.
2.3 Condições iniciais e de contorno
A implementação apropriada de condições iniciais e de contorno é de suma im-
portância para resolver um conjunto de equações diferenciais. Neste trabalho algu-
mas hipóteses são adotadas para a obtenção dessas condições.
No início das simulações a temperatura do ar e das esferas, o teor de umidade
do ar e das esferas, as componentes do vetor velocidade e a pressão são consideradas
conforme segue:
T
∗
s
(x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) ∈ [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]
T
∗
g
(x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) ∈ (0, 1] × [0, 1] × [0, 1]
X
∗
(x, y, z, 0) = 1 para (x, y, z) ∈ [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]
Y
∗
(x, y, z, 0) = 1 para (x, y, z) ∈ [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]
u
∗
(x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) ∈ (0, 1] × [0, 1] × [0, 1]
v
∗
(x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) ∈ [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]
w
∗
(x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) ∈ [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]
P
∗
(x, y, z, 0) = 0 para (x, y, z) ∈ (0, 1] × [0, 1] × [0, 1]
Para as condições de contorno na direção x considera-se:
T
∗
g
(0, y, z, t) = 1 para (y, z) ∈ (0, 1) × (0, 1) e t > 0
∂T
∗
g
∂x
∗
(1, y, z, t) = 0 para (y, z) ∈ (0, 1) × (0, 1) e t > 0
Y
∗
(0, y, z, t) = 1 para (y, z) ∈ (0, 1) × (0, 1) e t > 0
∂Y
∗
∂x
∗
(1, y, z, t) = 0 para (y, z) ∈ (0, 1) × (0, 1) e t > 0
29
u
∗
(0, y, z, t) = 1 para (y, z) ∈ (0, 1) × (0, 1) e t > 0
v
∗
(0, y, z, t) = 0 para (y, z) ∈ (0, 1) × (0, 1) e t > 0
w
∗
(0, y, z, t) = 0 para (y, z) ∈ (0, 1) × (0, 1) e t > 0
P
∗
(1, y, z, t) = 0 para (y, z) ∈ (0, 1) × (0, 1) e t > 0
Nas paredes da câmara, isto é, para y
∗
= 0, y
∗
= 1, z
∗
= 0 e z
∗
= 1, as variáveis
T
∗
g
, Y
∗
e P
∗
satisfazem as condições de contorno do tipo Neumann, ou seja:
∂Ψ
∂
−→
n
= 0
onde
−→
n é o vetor normal à superfície em questão; ainda nas paredes as componentes
do vetor velocidade são:
u
∗
= v
∗
= w
∗
= 0
A pressão P
∗
em x
∗
= 0 é obtida por extrapolação usando a aproximação que
segue:
P
n+1
0,j,k
= 0.75P
n+1
1,j,k
+ 0.25P
n+1
2,j,k
conforme mostra a figura 2.3.
Figura 2.3: Esquema da extrapolação em x
∗
= 0 e x
∗
= 1
Já as componentes do vetor velocidade u
∗
, v
∗
e w
∗
em x
∗
= 1 são obtidas por
extrapolação usando a expressão:
Ψ
n+1
I,j,k
= 0.75Ψ
n+1
I−1,j,k
+ 0.25Ψ
n+1
I−2,j,k
Esta extrapolação é feita de forma que as distribuições da pressão e da velocidade
vão se ajustando por toda a câmara, uma vez que seus valores não eram conhecidos
nestes pontos.
Uma vez obtido o modelo, a adimensionalização das equações governantes e o
estabelecimento das condições iniciais e de contorno, passa-se para o procedimento
de solução, o que é feito no próximo capítulo.
Capítulo 3
Procedimento de solução
Neste capítulo será apresentado um esquema numérico para a solução das equações
que compõem o modelo apresentado no capítulo anterior, acompanhado da verifi-
cação da ordem de convergência do mesmo na discretização do tempo e do espaço.
Discute-se ainda a consistência, a estabilidade e a convergência do esquema apresen-
tado para o caso unidimensional. Por fim, obtém-se uma solução analítica para as
equações de balanço de energia e de massa no ar. Usando funções teste para o termo
fonte, faz-se comparações entre a solução exata e a solução numérica dessas equações
com o objetivo de aumentar a confiabilidade ao esquema numérico utilizado.
3.1 Esquema numérico
Para resolver numericamente as equações do modelo matemático apresentado,
optou-se pelo método de diferenças finitas, que é um dos métodos mais antigos apli-
cados à solução numérica de equações diferenciais, tendo assim literatura bastante
ampla, onde destacamos as obras de Batchelor [6], Hirsch [30], Ozisik [59], Richtmyer
[78], Sod [84] [85], Strikwerda [87], Thomas [88], Zeidler [96] e De Bortoli [24]. Para
avaliar melhor o esquema numérico usado apresentaremos, inicialmente, algumas
definições clássicas da literatura.
30
31
3.1.1 Algumas definições e teoremas
Seja H um espaço de Hilbert e seja o problema de evolução da forma:
encontrar u ∈ C
0
([0, T ] ; H ) satisfazendo no sentido fraco (ou forte, se u ∈ D(A)):
du(t)
dt
+ Au(t) = f(t) (3.1)
com condição inicial u(0) = u
0
, onde u
0
∈ H, f ∈ L
2
([0; T ] H), por exemplo, e A é
um operador diferencial com D(A) ∈ H [39].
A obtenção de um esquema numérico para o problema (3.1) consiste em aproximá-
lo no espaço e no tempo. De um lado, quando H é um espaço de dimensão infinita
devemos substituir A por operadores A
h
em um espaço de dimensão finita V
h
⊂ H,
onde h > 0 representa o passo de discretização no espaço, tal que dim(V
h
) → ∞
quando h → 0.
Por outro lado, devemos discretizar o tempo, isto é, escolher uma seqüência
de instantes t
n
com t
n
= n∆t, onde calcularemos a aproximação da solução. O
problema (3.1) semi-discretizado (no espaço) fica então da forma:
encontrar U
h
∈ C
0
([0, T ] ; V
h
) tal que:
dU
h
(t)
dt
+ A
h
U
h
(t) = f
h
(t) (3.2)
com condição inicial U
h
(0) = u
0
,
h
.
Neste trabalho, opta-se pelo operador A
h
do método de diferenças finitas, como
já mencionado. Um esquema capaz de calcular U
h
∈ V
h
como aproximação de U
h
(t
n
)
de nível dois pode ser escrito como:
U
n+1
h
= C
h
(∆t)U
n
h
+ ∆tf
n
h
(3.3)
com condição inicial U
0
h
= U
0,h
, onde o operador C
h
(∆t) pertence ao espaço dos
operadores lineares contínuos em V
h
e f
n
h
aproxima f
h
(t
n
).
Definição 3.1 O problema (3.1) é dito bem posto se sua solução satisfaz:
sup
t
u(t)
H
≤ C
u(0)
2
H
+
t
0
f(s)
2
H
ds
1
2
(3.4)
e se existe uma projeção R
h
de H sobre V
h
tal que
lim
h→0
R
h
u − u
H
= 0, para todo u ∈ H (3.5)
32
Na aplicação de um esquema numérico também é muito importante a verificação
de sua convergência quando h e ∆t tendem a zero, isto é, se a seqüência {U
m
h
}
de soluções de (3.3) tende à solução u(t) de (3.1). As definições e resultados a
respeito desse tema, encontrados na literatura [39] e [96], referem-se praticamente
aos casos homogêneos, isto é, para f(t) ≡ 0 o que implica em f
n
h
≡ 0. As definições
apresentadas a seguir consideram essa situação.
Definição 3.2 O esquema (3.1) é dito convergente se a condição U
0,h
→ u
0
quando
h → 0; implica em U
n
h
→ u(t) quando ∆t → 0 e n → ∞ com n∆t → t para todo
t ∈ (0, T ) onde U
n
h
é definido em (3.3) e u(t) é a solução de (3.1) para u
0
arbitrário.
O estudo da convergência de um esquema numérico envolve também o estudo da
estabilidade e da consistência, que são definidos no que segue.
Definição 3.3 O esquema definido em (3.3) é dito estável se existe uma constante
K ≥ 1 independente de h e de ∆t tal que :
(C
h
(∆t))
n
R
h
L(H)
≤ K (3.6)
para todo n e ∆t satisfazendo n∆t ≤ T .
Sendo R
h
uma projeção do espaço de Hilbert H sobre V
h
segue que:
(C
h
(∆t))
n
R
h
= [C
h
(∆t)R
h
]
n
Quando um esquema satisfaz as condições de estabilidade independentemente
de h e ∆t dizemos que ele é incondicionalmente estável. Quando a condição de
estabilidade é satisfeita apenas mediante algumas condições para h e ∆t, o esquema
é dito condicionalmente estável. Caso contrário, o esquema é considerado incondi-
cionalmente instável.
Definição 3.4 O esquema (3.3) é dito consistente com o problema se existe um
subespaço Y ⊂ H, com Y denso em H tal que para toda u(t), que é solução de
(3.1), com u
0
∈ Y temos:
lim
h→0
∆t→0
sup
t
1
∆t
[u(t + ∆t) − C
h
(∆t)R
h
u(t)]
H
= 0 (3.7)
33
A expressão (3.7) é conhecida como sendo o erro de truncamento. Quando o
operador C
h
(∆t) é dado em termos de diferenças finitas, como será o nosso caso,
podemos verificar o erro de truncamento a partir da expansão em séries de Taylor.
Observação 3.1 Se a solução u(t) de (3.1) é regular ela satisfaz:
lim
h→0
u(t + ∆t) − u(t)
∆t
+ Au(t)
H
= 0 (3.8)
Assim, a condição de consistência pode ser definida por:
lim
h→0
∆t→0
C
h
(∆t)R
h
u(t) − u(t)
∆t
+ Au(t)
H
= 0 (3.9)
Definição 3.5 O esquema definido por (3.3) é de ordem q
1
em relação a h e de
ordem q
2
em relação a ∆t, se q
1
e q
2
são os maiores inteiros tais que podemos
encontrar um subespaço Y ⊂ H com Y denso em H com:
sup
t
u(t + ∆t) − C
h
(∆t)R
h
u(t)
∆t
H
= O (h
q
1
+ ∆t
q
2
) (3.10)
para toda u(t) solução de (3.1) com u
0
∈ Y .
Teorema 3.1 (Teorema de Equivalência de Lax) Suponha que o problema (3.1)
é bem posto e é aproximado pelo esquema (3.3) que assumimos ser consistente. En-
tão o esquema é convergente se e somente se ele é estável.
A demonstração do Teorema de Equivalência de Lax encontra-se nas referências
Lions [39] e Zeidler [96]. Para analisar a estabilidade do esquema usado para a
solução numérica do modelo matemático usamos o método de análise de Fourier.
Para tanto usaremos a transformada discreta de Fourier, definida conforme segue
[88]:
Definição 3.6 A transformada discreta de Fourier de uma seqüência {u
k
} ∈ l
2
é a
função ˆu ∈ L
2
([−π, π]) definida por:
ˆu(ξ) =
1
√
2π
∞
k=−∞
e
−ikξ
u
k
(3.11)
onde l
2
e L
2
([−π, π]) são os espaços de Hilbert definidos por:
l
2
= {{u
k
} :
k
|u
k
|
2
1
2
< ∞}
34
e
L
2
([−π, π]) =
u :
π
−π
u
2
dx
1
2
< ∞}
Lema 3.1 A sequência {u
n
k
} é estável em l
2
se e somente se a sequência {ˆu
n
} é
estável em L
2
([−π, π]).
A demonstração desse lema é encontrada em Thomas [88].
Os esquemas que serão usados na solução numérica do problema são baseados em
discretizações em diferenças finitas. As aproximações usadas para essas discretiza-
ções são apresentadas na seção que segue.
3.1.2 Aproximações em diferenças finitas
Para fazer a discretização temporal usaremos diferenças upwind, isto é, a derivada
parcial de Ψ em relação ao tempo é aproximada usando o valor de Ψ nos instantes
t
n
e t
n+1
, conforme mostra a figura 3.1:
Figura 3.1: Esquema de aproximações em diferenças finitas para o tempo e o espaço
no caso 1-D
Assim, a aproximação da derivada em relação ao tempo fica, de acordo com
Anderson et al. [4] e Mitchell [54]:
∂Ψ
∂t
≈
Ψ
n+1
i,j,k
− Ψ
n
i,j,k
∆t
Já para a discretização espacial usamos diferenças centradas, isto é, a derivada
parcial de Ψ em relação x, por exemplo, é aproximada usando o valor de Ψ nas
35
posições x
i−1
e x
i+1
. Assim temos para as derivadas de primeira ordem:
∂Ψ
∂x
≈
Ψ
n
i+1,j,k
− Ψ
n
i−1,j,k
2∆x
∂Ψ
∂y
≈
Ψ
n
i,j+1,k
− Ψ
n
i,j−1,k
2∆y
∂Ψ
∂z
≈
Ψ
n
i,j,k+1
− Ψ
n
i,j,k−1
2∆z
e para as derivadas de segunda ordem:
∂
2
Ψ
∂x
2
≈
Ψ
n
i+1,j,k
− 2Ψ
n
i,j,k
+ Ψ
n
i−1,j,k
(∆x)
2
∂
2
Ψ
∂y
2
≈
Ψ
n
i,j+1,k
− 2Ψ
n
i,j,k
+ Ψ
n
i,j−1,k
(∆y)
2
∂
2
Ψ
∂z
2
≈
Ψ
n
i,j,k+1
− 2Ψ
n
i,j,k
+ Ψ
n
i,j,k−1
(∆z)
2
Dessa forma, a equação (2.30) para o caso unidimensional, por exemplo, pode
ser aproximada conforme:
Y
∗n+1
i
= Y
∗n
i
−
u
∗
∆t
2∆x
Y
∗n
i+1
− Y
∗n
i−1
+
D
∗
∆t
(∆x)
2
ReSc
Y
∗n
i+1
− 2Y
∗n
i
+ Y
∗n
i−1
+
a
∗
∆t(1 − φ)
φρ
∗
g
Y
0
ReSc
D
∗
s
ρ
∗
s
X
0
X
∗n
i
− ρ
∗
g
Y
0
Y
∗n
i
(3.12)
Embora alguns autores afirmem que para problemas hiperbólicos não se deva
usar diferenças centradas, neste trabalho estas foram usadas obtendo sucesso na
convergência, conforme será mostrado na próxima seção.
3.1.3 Análise da consistência, estabilidade e convergência
Nesta secção apresenta-se um estudo do comportamento do esquema obtido
ao substituir as diferenças finitas definidas na secção anterior. Com o objetivo de
simplificar as notações considera-se o caso unidimensional no momento dessa análise.
Note que, assim, as equações (2.30) e (2.32) podem ser escritas na forma:
∂Ψ
∂t
= a
∂
2
Ψ
∂x
2
+ b
∂Ψ
∂x
+ cΨ + f(x, t) (3.13)
com Ψ = Ψ(x, t), onde temos que a > 0, b < 0 e c < 0.
36
Já as equações (2.31) e (2.33) tomam a forma:
∂Ψ
∂t
= c
1
Ψ + f
1
(x, t) (3.14)
com c
1
< 0.
Substituindo as aproximações da secção anterior na equação (3.13) temos o es-
quema que segue:
Ψ
n+1
i
− Ψ
n
i
∆t
=
a
(∆x)
2
[Ψ
n
i+1
− 2Ψ
n
i
+ Ψ
n
i−1
]
+
b
2∆x
[Ψ
n
i+1
− Ψ
n
i−1
] + cΨ
n
i
+ f(x
i
, t
n
) (3.15)
onde Ψ
n
i
representa a aproximação de Ψ(x
i
, t
n
) para x
i
= ix e t
n
= n∆t. Expandindo
Ψ
n+1
i
em uma série de Taylor em torno do ponto (x
i
, t
n
) temos:
Ψ
n+1
i
= Ψ
n
i
+ ∆t
∂Ψ
n
i
∂t
+
∆t
2
2!
∂
2
Ψ
n
i
∂t
2
+ ...
Isso implica em:
Ψ
n+1
i
− Ψ
n
i
∆t
=
1
∆t
∆t
∂Ψ
n
i
∂t
+ O
∆t
2
=
∂Ψ
n
i
∂t
+ O (∆t) (3.16)
A expansão de Ψ
n
i+1
em torno do ponto (x
i
, t
n
) toma a forma:
Ψ
n
i+1
= Ψ
n
i
+ ∆x
∂Ψ
n
i
∂x
+
∆x
2
2!
∂
2
Ψ
n
i
∂x
2
+
∆x
3
3!
∂
3
Ψ
n
i
∂x
3
+
∆x
4
4!
∂
4
Ψ
n
i
∂x
4
+ ...
enquanto que Ψ
n
i−1
em torno do ponto (x
i
, t
n
) fica:
Ψ
n
i−1
= Ψ
n
i
− ∆x
∂Ψ
n
i
∂x
+
∆x
2
2!
∂
2
Ψ
n
i
∂x
2
−
∆x
3
3!
∂
3
Ψ
n
i
∂x
3
+
∆x
4
4!
∂
4
Ψ
n
i
∂x
4
− ...
Das duas últimas expansões segue que:
Ψ
n
i+1
− Ψ
n
i−1
2∆x
=
1
2∆x
2∆x
∂Ψ
n
i
∂x
+
2∆x
3
3!
∂
3
Ψ
n
i
∂x
3
+ O
∆x
5
=
∂Ψ
n
i
∂x
+ O
∆x
2
(3.17)
e
Ψ
n
i+1
− 2Ψ
n
i
+ Ψ
n
i−1
∆x
2
=
1
∆x
2
∆x
2
∂
2
Ψ
n
i
∂x
2
+ O
∆x
4
=
∂
2
Ψ
n
i
∂x
2
+ O
∆x
2
(3.18)
37
Substituindo as equações (3.16), (3.17) e (3.18) em (3.15), temos:
∂Ψ
n
i
∂t
+ O (∆t) −a
∂
2
Ψ
n
i
∂x
2
+ O
∆x
2
− b
∂Ψ
n
i
∂x
+ O
∆x
2
−cΨ
n
i
− f(x
i
, t
n
) = O
∆x
2
, ∆t
uma vez que Ψ
n
i
é solução de (3.15), de onde segue pela definição (3.4) e pela
observação (3.1) que o esquema é consistente. Pela definição (3.5) segue que o
esquema é de primeira ordem no tempo e de segunda ordem no espaço.
Para fazer a análise de estabilidade do esquema numérico sugerido usaremos o
método de Fourier. Esse método consiste na aplicação da transformada discreta de
Fourier em ambos os lados da equação (3.15), que define o esquema, com o objetivo
de encontrar o Símbolo de Fourier S(ξ) do problema e, em seguida, requerer a
condição |S(ξ)| ≤ 1. Consideramos aqui o caso homogêneo (f(x, t) ≡ 0); assim o
esquema (3.15) pode ser escrito da forma:
Ψ
n+1
i
=
t
(∆x)
2
+
b∆t
2∆x
Ψ
n
i+1
+
1 + c∆t − 2
a∆t
(∆x)
2
Ψ
n
i
+
a∆t
(∆x)
2
−
b∆t
2∆x
Ψ
n
i−1
(3.19)
Para evitar possíveis confusões entre a unidade imaginária, quando da aplicação
da transformada discreta de Fourier, com o índice de discretização da variável x,
trocamos momentaneamente esse índice pela letra l. Aplicando a transformada
discreta de Fourier (3.11) em ambos os lados da equação (3.19), segue que:
1
√
2π
∞
k=−∞
e
−ikξ
Ψ
n+1
l
=
a∆t
(∆x)
2
+
b∆t
2∆x
1
√
2π
∞
k=−∞
e
−ikξ
Ψ
n
l+1
+
1 + c∆t − 2
a∆t
(∆x)
2
1
√
2π
∞
k=−∞
e
−ikξ
Ψ
n
l
+
a∆t
(∆x)
2
−
b∆t
2∆x
1
√
2π
∞
k=−∞
e
−ikξ
Ψ
n
l−1
Fazendo um ajuste dos índices nos somatórios e rearranjando os termos podemos
escrever:
ˆ
Ψ
n+1
=
a∆t
(∆x)
2
+
b∆t
2∆x
e
iξ
+
1 + c∆t − 2
a∆t
(∆x)
2
ˆ
Ψ
n
38
+
a∆t
(∆x)
2
−
b∆t
2∆x
e
−iξ
ˆ
Ψ
n
(3.20)
Assim, o símbolo de Fourier é dado pela equação:
S (ξ) =
a∆t
(∆x)
2
+
b∆t
2∆x
e
iξ
+
1 + c∆t − 2
a∆t
(∆x)
2
+
a∆t
(∆x)
2
−
b∆t
2∆x
e
−iξ
= (1 + c∆t) −
2a∆t
(∆x)
2
[1 − cos(ξ)] + i
b∆t
∆x
sen(ξ) (3.21)
Usando a condição de estabilidade do esquema numérico, |S (ξ)| ≤ 1, para todo
ξ ∈ [−π, π] e o lema 3.1 segue que o esquema usado é estável se e somente se ∆t e
∆x satisfazem a condição (3.22) para todo ξ ∈ [−π, π], ou seja:
2c∆t + (c∆t)
2
− 4(1 + c∆t)
a∆t
(∆x)
2
[1 − cos(ξ)]
+4
a∆t
(∆x)
2
2
[1 − cos(ξ)]
2
+
b
∆t
∆x
2
sen
2
(ξ) ≤ 0 (3.22)
Para ilustrar a região de estabilidade, denotamos inicialmente ξ = x, ∆t = y e
assumimos a, b, c e ∆x fixos. Assim, seja a função:
F (x, y) = 2cy + (cy)
2
− 4(1 + cy)
ay
(∆x)
2
[1 − cos(x)]
+4
ay
(∆x)
2
2
[1 − cos(x)]
2
+
b
y
∆x
2
sen
2
(x)
A região de estabilidade corresponde aos valores de y para os quais temos
F (x, y) ≤ 0, ∀x ∈ [−π, π]
Para o caso particular em que a = 1/4, b = −1, c = −1/2 e ∆x = 1/20 temos
garantia de estabilidade para ∆t ≤ 0, 005, como mostra a figura 3.2. Já para o caso
em que a = 1/10000, b = −1, c = −1 e ∆x = 1/40, o valor do passo de integração
temporal a fim de temos garantia de estabilidade diminui para ∆t ≤ 0, 0015. Isto é
ilustrado na figura 3.3.
Mais uma simulação é mostrada na figura 3.4 que indica a região de estabilidade
para a = 1/10000, b = −1, c = −1 e ∆x = 1/100. Neste caso, o esquema passa a
ser estável para ∆t ≤ 0, 0005.
39
Figura 3.2: Região de estabilidade para a = 1/4, b = −1, c = −1/2 e ∆x = 1/20
Figura 3.3: Região de estabilidade para a = 1/10000, b = −1, c = −1 e ∆x = 1/40
Note que essas simulações foram realizadas com a intenção de ilustrar a variação
da região de estabilidade como consequência dos parâmetros envolvidos. Assim,
antes de realizar as simulações numéricas do problema proposto neste trabalho,
foram avaliadas as possíveis variações dos parâmetros a, b, c e fixado o valor de ∆x,
permitindo, dessa forma, a escolha adequada do passo de integração temporal. Evi-
tamos, assim, disperdício de tempo computacional (no caso de ∆t muito pequeno),
mantendo a garantia da estabilidade do esquema.
Sendo o problema (3.13) bem posto e o esquema estável, segue do Teorema de
40
Figura 3.4: Região de estabilidade para a = 1/10000, b = −1, c = −1 e ∆x = 1/100
Equivalência de Lax que o esquema é convergente quando ∆t e ∆x satisfazem (3.22)
para todo ξ ∈ [−π, π].
Uma solução analítica para as equações de transporte de massa e de calor no ar
é apresentada na próxima seção.
3.2 Solução analítica
Com o objetivo de obter maior confiabilidade no esquema numérico, quando se
trabalha com sistemas de equações complexos como os problemas de transferência
de calor e de massa, é comum procurar uma solução analítica de uma situação que
se aproxima o suficiente do problema físico em questão. Isso torna possível uma
comparação entre os dados calculados pelo esquema numérico usado e uma solução
analítica de um problema fisicamente tão próximo quanto possível ao que se pretende
resolver. Se para uma situação fisicamente próxima à original o esquema numérico
funcionar bem, é provável que ele funcione também para a situação real. Neste
intuito, buscamos uma solução analítica para a equação diferencial parcial
∂Ψ
∂t
= a
∂
2
Ψ
∂x
2
+ b
∂Ψ
∂x
+ cΨ + f(x, t), x ∈ (0, 1) e t > 0 (3.23)
41
com a > 0, sujeita à condição inicial
Ψ(x, 0) = Ψ
0
para x ∈ [0, 1] (3.24)
e as condições de contorno
Ψ(0, t) = Ψ
1
e
∂Ψ
∂x
(1, t) = 0 para t ≥ 0 (3.25)
Buscamos soluções analíticas para problemas de transferências de calor e/ou de
massa na literatura. Várias soluções para problemas de calor foram encontradas,
porém nenhuma com as condições do problema aqui exposto. Na seção que segue,
apresentamos algumas dessas soluções que mais se assemelham ao nosso problema
ou que trazem alguma idéia que possa ser aproveitada neste trabaho.
3.2.1 Algumas soluções analíticas para problemas de trans-
porte na literatura
Soluções analíticas para muitas formas de equações diferenciais são encontradas
na literatura, algumas das quais para equações de transferência de energia, que serão
enumeradas na seqüência. Em todas as soluções encontradas para essa equação
temos algumas simplificações na equação propriamente dita e/ou nos domínios para
os quais as soluções são obtidas, de forma que estas não representam fielmente o
problema real. Apesar disso, algumas idéias e conceitos utilizados foram úteis para
a obtenção de uma solução analítica para o nosso problema.
As equações apresentadas, na seqüência, referem-se ao problema de transferência
de calor, porém no modelo apresentado nesta tese, as equações diferenciais parciais
que descrevem os fenômenos de transferência de calor e de massa possuem a mesma
forma (veja as equações (3.13) e (3.23)). Assim, encontrando uma solução analítica
para a equação do calor também a teremos para a equação de transferência de massa.
Cherniha [16] apresenta algumas soluções analíticas para a equação
∂u
∂t
=
∂
∂x
A(u)
∂u
∂x
+ B(u)
∂u
∂x
+ C(u) (3.26)
em casos particulares onde A(u), B(u) e C(u) são funções especialmente escolhidas
de forma a permitir a obtenção das soluções, usando o método de redução de ordem
42
e transformando a equação diferencial parcial (3.26) em um sistema de equações
diferenciais ordinárias.
Bogaerts et al. [8] desenvolvem um modelo para descrever o balanço de energia
do fluido de resfriamento de um reator e resolvem analiticamente a equação
α
∂T (x, t)
∂x
+ β
∂T (x, t)
∂t
+ T (x, t) = T
m
(t) (3.27)
onde T
m
(t) é a temperatura média da mistura reagente no instante t, α =
ρC
p
q
πDU
e β =
DρC
p
4U
. A solução analítica é obtida usando duplamente a transformada de
Laplace, isto é, na variável x e na variável t.
Yefimova e Kudryashov [94] buscaram uma solução para a equação de Burgers-
Huxley que descreve fenômenos vibratórios não lineares:
u
t
+ αuu
x
= Du
xx
+ βu + γu
2
− δu
3
, D > 0 (3.28)
onde α representa a transferência não linear, e os parâmetros β, γ e δ descrevem
os termos fontes. A solução analítica para as condições de contorno apropriadas
foi obtida usando a transformada de Cole-Hopf. Note que para β = γ = δ = 0, a
equação (3.28) reduz-se à equação de advecção-difusão na forma:
u
t
+ αuu
x
= Du
xx
Uma transformação de coordenadas seguida da aplicação da transformada de
Fourier e técnicas de expansão em séries é sugerida por Ma e Chang [45] para a
solução da equação homogênea da condução de calor em materiais não isotrópicos.
Reda [73] afirma que os métodos de redução simétrica de uma equação para
equações com menos variáveis, em particular para equações diferenciais ordinárias,
está entre os mais eficientes métodos de obtenção de soluções de equações para
problemas da física-matemática. Usando esse método, este autor apresenta a solução
de vários casos particulares da equação:
∂T
∂t
= r
1−s
∂
∂r
k(r)r
s−1
∂T
∂r
; 0 ≤ r ≤ R(t) e 0 ≤ t ≤ T
0
Milosevic e Raynaud [53] apresentam uma solução analítica para o problema bi-
dimensional transiente de difusão de calor em uma placa cilíndrica em duas camadas
com condições de contorno de Neumann homogêneas nas faces externas e com pulsos
43
não periódicos de calor. Na solução desse problema os autores usam o método de
separação de variáveis.
Polyanin apresentou, em seus trabalhos [69] [70], soluções analíticas para vários
problemas envolvendo transferência de calor, sugerindo algumas substituições. Em
[69] Polyanin apresenta uma solução analítica para a equação da difusão de calor
não homogênea:
∂ω
∂t
= a
∂
2
ω
∂x
2
+ Φ(x, t) (3.29)
com condição inicial
ω(x, 0) = f(x)
e para os domínios e condições de contorno conforme mostra a tabela 3.1:
Tabela 3.1: Domínios e condições de contorno em que foram obtidas soluções para
a equação (3.29) em [69]
Domínio Condição de contorno
−∞ < x < ∞ ω é uma função limitada
0 < x < ∞ ω é uma função limitada e ω(0, t) = 0
0 < x < ∞ ω é uma função limitada e
∂ω
∂x
(0, t) = 0
0 < x < ∞ ω é uma função limitada e
∂ω
∂x
(0, t) − kω(0, t) = 0
0 < x < l ω(0, t) = 0 e ω(l, t) = 0
0 < x < l
∂ω
∂x
(0, t) = 0 e
∂ω
∂x
(l , t ) = 0
Gorguis [28] apresenta uma solução analítica para a equação
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
= ν
∂
2
u
∂x
2
(3.30)
usando o método da transformada de Cole-Hopf, reduzindo-a à equação do calor,
da qual obtém a solução exata.
Asaithambi [5] resolve analiticamente o problema estacionário de distribuição da
temperatura no interior de um cilindro usando o método denominado pelo autor
por método de diferenciação automática, que consiste na obtenção das derivadas a
partir de uma expansão em séries de Taylor em torno de r = 0.
44
Cai et al. [13] apresentam soluções analíticas para a equação de condução de
calor hiperbólica não linear em um domínio cartesiano tridimensional
ρC
p
∂T
∂t
+ τ
∂
2
T
∂t
2
=
∂
∂x
K
∂T
∂x
+
∂
∂y
K
∂T
∂y
+
∂
∂z
K
∂T
∂z
(3.31)
para algumas expressões específicas dos coeficientes ρC
p
e K como funções de T ,
usando o método de separação de variáveis, e escrevendo T como uma soma de
quatro soluções da forma
T (t, x, y, z) = θ(t) + X(x) + Y (y) + Z(z)
para condições iniciais e de contorno indefinidas, isto é, as soluções foram obtidas
para um caso geral.
Pamuk [60] apresenta uma solução analítica para a equação de calor com termo
fonte da forma
∂u
∂t
=
∂
2
u
∂x
2
+ u
m
(3.32)
para m = 1, 2, 3, ... e constante. A solução é obtida usando o método ADM
(Adomians Decomposition Method).
Livros clássicos que abordam a teoria de equações diferenciais como Carslaw e
Jaeger [14], Coddington [20], Crank [21], Debnath [23], Evans [25] e Keener [32],
discutem o problema de difusão térmica, apresentando métodos de solução como o
uso de transformadas de Fourier, transformadas de Laplace, separação de variáveis,
expansão em séries de autofunções, além de outros.
Antes de aprentarmos a solução analítica do nosso problema, apresentaremos
algumas definições e teoremas que serão utilizados no desenvolvimento dessa solução.
3.2.2 Definições e teoremas úteis na resolução
Apesar de termos encontrado inúmeros problemas resolvidos na literatura, a
solução para a equação (3.23) com as condições (3.24) e (3.25) não foi encontrada
pronta. Contudo, algumas idéias e métodos sugeridos contribuíram para que tivésse-
mos êxito na busca dessa solução. No decorrer da solução faremos uso de algumas
definições e teoremas que são encontrados em livros de análise funcional, tais como
dos autores Kreyszig [35], Reed e Simon [74] e Yosida [95].
45
Definição 3.7 Seja H um espaço de Hilbert e L : H → H um operador linear. O
operador adjunto de L é definido como o operador L
∗
: H → H tal que
Lu, v = u, L
∗
v
para todo u ∈ D(L) e todo v ∈ D(L
∗
) onde D(L) e D(L
∗
) ∈ H representam o
domínio dos operadores L e L
∗
, respectivamente.
Observação 3.2 Para o caso em que H = L
2
([0, 1]) podemos definir o produto
interno como:
u, v =
1
0
u(x)v(x)dx
e a norma em H pode ser definida por:
u
2
H
= u, u =
1
0
[u(x)]
2
dx
Definição 3.8 O operador L definido anteriormente é dito formalmente auto ad-
junto, se L e L
∗
têm as mesmas definições operacionais. Se além disso, D(L) =
D(L
∗
), o operador L é dito auto adjunto.
Definição 3.9 Seja L o operador definido anteriormente. Define-se por espectro
pontual (ou conjunto dos autovalores) ao conjunto σ
p
(L) dado pelos valores λ tais
que [λI − L]
−1
não existe. O espectro contínuo é o conjunto σ
c
(L) dado pelos valores
λ tais que [λI − L]
−1
existe e [λI − L]
−1
é definido em um conjunto denso em H,
mas não é um operador limitado. O espectro residual é definido como o conjunto
σ
r
(L) dado pelos valores λ tais que [λI − L]
−1
existe com domínio não denso em H.
O espectro de L é definido por
σ(L) = σ
p
(L)
σ
c
(L)
σ
r
(L)
Teorema 3.2 Seja L um operador linear contínuo e auto adjunto em um espaço de
Hilbert H, então:
i−) σ
p
(L) ⊂ R
ii−) autovetores correspondentes a dois autovalores distintos são ortogonais.
46
Demonstração:
Se λ ∈ σ
p
(L) então λ é autovalor de L. Assim, existe x ∈ H com x = 0 tal que
Lx = λx. Dessa forma, usando as propriedades do produto interno, temos:
λx, x = x, λx = x, Lx = Lx, x = λx, x = λx, x
o que implica em λ = λ e assim λ é real o que prova i−).
Por outro lado, sejam λ
1
e λ
2
dois autovalores distintos de L e x
1
, x
2
seus
respectivos autovetores. Então:
Lx
1
= λ
1
x
1
e
Lx
2
= λ
2
x
2
o que nos permite escrever:
λ
1
x
1
, x
2
= Lx
1
, x
2
= x
1
, Lx
2
= x
1
, λ
2
x
2
⇒
λ
1
x
1
, x
2
= λ
2
x
1
, x
2
e como λ
1
e λ
2
são reais e distintos temos que:
x
1
, x
2
= 0
o que prova ii−).
3.2.3 Obtenção da solução analítica
Estamos interessados em encontrar uma solução em L
2
([0, 1]) para o problema
(3.23) sujeita à condição inicial (3.24) e condições de contorno (3.25). Com o intuito
de diminuir a complexidade do problema faremos a substituição:
Ψ(x, t) = e
[βt+µx]
ω(x, t) (3.33)
De (3.33) obtemos as derivadas que seguem:
∂Ψ
∂t
= βe
[βt+µx]
ω(x, t) + e
[βt+µx]
∂ω
∂t
(x, t)
47
∂Ψ
∂x
= µe
[βt+µx]
ω(x, t) + e
[βt+µx]
∂ω
∂x
(x, t)
e
∂
2
Ψ
∂x
2
= µ
2
e
[βt+µx]
ω(x, t) + 2µe
[βt+µx]
∂ω
∂x
(x, t)
+e
[βt+µx]
∂
2
ω
∂x
2
(x, t)
Substituindo (3.33) e suas respectivas derivadas na equação (3.23) temos um
problema um pouco menos complexo para resolver, conforme segue:
∂ω
∂t
= a
∂
2
ω
∂x
2
+ h(x, t), x ∈ (0, 1) e t > 0 (3.34)
com a > 0, sujeita à condição inicial
ω(x, 0) = Ψ
0
e
−µx
para x ∈ [0, 1] (3.35)
e as condições de contorno
ω(0, t) = Ψ
1
e
−βt
e
∂ω
∂x
(1, t) + µω(1, t) = 0 para t ≥ 0 (3.36)
onde:
β = c −
b
2
4a
µ = −
b
2a
e
h(x, t) = e
[−βt−µx]
f(x, t) (3.37)
Com a finalidade de obter condições de contorno homogêneas no problema prin-
cipal faremos nova substituição escrevendo ω(x, t) da forma:
ω(x, t) = u(x, t) + v(x, t) (3.38)
onde
v(x, t) = Ψ
1
e
[−βt−µx]
(3.39)
Temos assim que
v(x, 0) = Ψ
1
e
−µx
v(0, t) = Ψ
1
e
−βt
48
e
∂v
∂x
(x, t) + µv(x, t) = 0
Note ainda que:
∂v
∂t
= −βΨ
1
e
[−βt−µx]
e
∂
2
v
∂x
2
= µ
2
Ψ
1
e
[−βt−µx]
Isso nos permite escrever:
∂ω
∂t
=
∂u
∂t
− βΨ
1
e
[−βt−µx]
(3.40)
e
∂
2
ω
∂x
2
=
∂
2
u
∂x
2
+ µ
2
Ψ
1
e
[−βt−µx]
(3.41)
Substituindo (3.40) e (3.41) na equação (3.34) resulta no problema que segue:
∂u
∂t
= a
∂
2
u
∂x
2
+ g(x, t), x ∈ (0, 1) e t > 0 (3.42)
sujeito à condição inicial
u(x, 0) = ϕ(x); para x ∈ [0, 1] (3.43)
com ϕ(x) = (Ψ
0
− Ψ
1
)e
−µx
e as condições de contorno
u(0, t) = 0 e
∂u
∂x
(1, t) + µu(1, t) = 0 para t ≥ 0 (3.44)
onde:
g(x, t) =
aµ
2
+ β
Ψ
1
e
[−βt−µx]
+ h(x, t) (3.45)
Note que L
2
([0, 1]) é um espaço de Hilbert e, portanto, um espaço completo.
Assim podemos encontrar uma base de autofunções que geram L
2
([0, 1]), e segue do
teorema de Riesz [74] que qualquer elemento de L
2
([0, 1]) pode ser expresso como
uma série das autofunções que formam essa base. Dessa forma, para resolver o
problema (3.42) com condição inicial (3.43) e condições de contorno (3.44) vamos
expressar sua solução como uma série de autofunções ortonormais, conforme segue:
u(x, t) =
∞
n=1
b
n
(t)Φ
n
(x) (3.46)
49
Precisamos, então, encontrar a seqüência {Φ
n
(x)} de autofunções normalizadas e,
em seguida, seus respectivos coeficientes de Fourier b
n
(t). Para obter as autofunções
consideramos o problema homogêneo associado que será resolvido pelo método de
separação de variáveis. Escrevendo a solução do problema homogêneo na forma:
u
h
(x, t) = θ(t)ϑ(x)
teremos um problema de duas equações diferenciais ordinárias. Temos, então, para
a variável x a equação diferencial ordinária:
aϑ
(x) = −λϑ(x) (3.47)
com condições de contorno:
ϑ(0) = 0 e ϑ
(1) + µϑ(1) = 0 (3.48)
Observação 3.3 Note que os autovalores λ do problema aqui exposto são todos
reais.
De fato, consideramos o operador linear L definido por
L(u) = −a
∂
2
u
∂x
2
com domínio:
D(L) =
u(x) ∈ L
2
([0, 1]) : u(0) = 0 e
∂u
∂x
(1) + µu(1) = 0
Desejamos encontrar o operador L
∗
adjunto de L. Assim para todo u ∈ D(L) e
v ∈ D(L
∗
) temos:
Lu, v = −a
1
0
∂
2
u
∂x
2
(x)v(x)dx
= −a
v(x)
∂u
∂x
(x)
1
0
+ a
1
0
∂u
∂x
(x)
∂v
∂x
(x)dx
= −a
v(x)
∂u
∂x
(x) − u(x)
∂v
∂x
(x)
1
0
− a
1
0
u(x)
∂
2
v
∂x
2
(x)dx
= −a
v(1)
∂u
∂x
(1) − u(1)
∂v
∂x
(1) − v(0)
∂u
∂x
(0) + u(0)
∂v
∂x
(0)
50
−a
1
0
u(x)
∂
2
v
∂x
2
(x)dx
= a
u(1)
∂v
∂x
(1) + µv(1)
+ v(0)
∂u
∂x
(0)
− a
1
0
u(x)
∂
2
v
∂x
2
(x)dx
onde foram substituídas as condições de D(L).
Para termos Lu, v = u, L
∗
v devemos requerer que:
L
∗
(v) = −a
∂
2
v
∂x
2
com domínio:
D(L
∗
) =
v(x) ∈ L
2
([0, 1]) : v(0) = 0 e
∂v
∂x
(1) + µv(1) = 0
o que prova que L é um operador auto adjunto pela definição (3.8). Assim, segue
pela definição (3.9) e pelo teorema (3.2) que λ pode assumir apenas valores reais e
que valores distintos de λ correspondem a autofunções ortogonais.
Além disso, da resolução acima, segue que:
Lu, u = −a
u(x)
∂u
∂x
(x)
1
0
+ a
1
0
∂u
∂x
(x)
∂u
∂x
(x)dx
= −a
u(1)
∂u
∂x
(1) − u(0)
∂u
∂x
(0)
1
0
+ a
1
0
∂u
∂x
(x)
2
dx
= aµ [u(1)]
2
+ a
1
0
∂u
∂x
(x)
2
dx
Sendo µ = −
b
a
, com a > 0 e b < 0 (veja equação (3.13)) segue que para todo
u ∈ D(L) temos:
Lu, u ≥ 0
isto é, L é um operador positivo e assim, todos os seus autovalores são positivos.
Consideremos então que λ > 0. A solução da equação (3.47) fica:
ϑ(x) = Asen
λ
a
x
+ Bcos
λ
a
x
Da condição ϑ(0) = 0 segue que B = 0, o que implica em:
ϑ(x) = Asen
λ
a
x
(3.49)
51
e
ϑ
(x) =
λ
a
Acos
λ
a
x
Neste caso, a condição ϑ
(1) + µϑ(1) = 0 implica em:
A
λ
a
cos
λ
a
+ µsen
λ
a
= 0
e como queremos uma solução não trivial, devemos requerer A = 0. Assim temos:
λ
a
cos
λ
a
+ µsen
λ
a
= 0 (3.50)
Note que se cos
λ
a
= 0, então sen
λ
a
= 0, não satisfazendo a condição
requerida. Dessa forma, podemos considerar cos
λ
a
= 0, o que nos permite
dividir a equação (3.50) por cos
λ
a
e os autovalores satisfazem a equação:
λ
n
a
−
b
2a
tan
λ
n
a
= 0; n = 1, 2, ... (3.51)
Podemos visualizar os autovalores como sendo os pontos de interseção entre as
curvas h
1
λ
n
a
=
λ
n
a
e h
2
λ
n
a
=
b
2a
tan
λ
n
a
para λ
n
> 0. A figura 3.5
mostra esses pontos para o caso particular em que a = 1/4, b = −1 e c = −1/2.
Os autovalores foram obtidos calculando numericamente as raízes da função
h(
√
λ) =
√
λ +
1
2
√
a
tan
λ
a
com precisão |h(
√
λ)| < 10
−6
. Para n = 1 até n = 10
os autovalores são mostrados na tabela 3.2. Na figura 3.5 observa-se que à medida
que o valor de n aumenta, a intersecção entre as curvas h
1
λ
n
a
e h
2
λ
n
a
vai se
aproximando de (2n − 1)
π
2
.
Segue de (3.49) que a autofunção correspondente ao autovalor λ
n
é:
Φ
n
(x) = A
n
sen
λ
n
a
x
; n = 1, 2, ... (3.52)
onde A
n
é obtido ao normalizar a autofunção (3.52), isto é:
1 = Φ(x)
2
L
2
([0,1])
= Φ(x), Φ(x)
=
1
0
Φ
2
n
(x)dx = A
2
n
1
0
sen
2
λ
n
a
x
dx
52
Figura 3.5: Representação gráfica dos autovalores para a = 1/4, b = −1 e c = −1/2
=
A
2
n
2
a
λ
n
λ
n
a
−
1
2
sen
2
λ
n
a
o que implica em:
A
n
=
2
λ
n
a
λ
n
a
−
1
2
sen
2
λ
n
a
1
2
; n = 1, 2, ... (3.53)
Desde que a série em (3.46) converge, podemos obter as derivadas de u(x, t)
conforme segue:
∂u
∂t
=
∞
n=1
b
n
(t)Φ
n
(x) (3.54)
e
∂
2
u
∂x
2
=
∞
n=1
b
n
(t)Φ
n
(x) = −
∞
n=1
b
n
(t)
λ
n
a
Φ
n
(x) (3.55)
Expandindo também a função g(x, t) como uma série das autofunções Φ
n
(x)
podemos escrever:
g(x, t) =
∞
n=1
γ
n
(t)Φ
n
(x); n = 1, 2, ... (3.56)
com
γ
n
(t) =
1
0
g(x, t)Φ
n
(x)dx; n = 1, 2, ... (3.57)
53
Tabela 3.2: Autovalores do problema (3.47) para os dez primeiros valores de n, com
a = 1/4, b = −1 e c = −1/2
n λ
n
1 1.309799825064882
2 6.469354336897196
3 16.386966272527410
4 31.207339105057270
5 50.953563162230570
6 75.631233902971770
7 105.242186589986100
8 139.787157545389400
9 179.266486856546800
10 223.680348715834700
Para calcular b
n
(t) substituímos (3.54), (3.55) e (3.56) em (3.42), obtendo:
∞
n=1
b
n
(t)Φ
n
(x) = −a
∞
n=1
b
n
(t)
λ
n
a
Φ
n
(x) +
∞
n=1
γ
n
(t)Φ
n
(x)
ou
∞
n=1
[b
n
(t) + λ
n
b
n
(t) − γ
n
(t)] Φ
n
(x) = 0; ∀x ∈ (0, 1)
o que implica em:
b
n
(t) + λ
n
b
n
(t) = γ
n
(t); n = 1, 2, ... (3.58)
onde γ
n
(t) é dada por (3.57). Para resolver (3.58) necessitamos de uma condição
inicial
b
n
(0) = α
n
; n = 1, 2, ...
Tomando t = 0 temos de (3.43) e (3.46) que:
u(x, 0) =
∞
n=1
b
n
(0)Φ
n
(x) =
∞
n=1
α
n
Φ
n
(x) = ϕ(x); ∀x ∈ (0, 1)
Assim, os valores iniciais α
n
são os coeficientes da expansão em autofunções de
ϕ(x), ou seja:
α
n
=
1
0
ϕ(x)Ψ
n
(x)dx; n = 1, 2, ... (3.59)
54
Resolvendo a equação diferencial ordinária (3.58) para b
n
(0) = α
n
temos que:
b
n
(t) = α
n
e
−λ
n
t
+
t
0
e
[−λ
n
(t−τ)]
γ
n
(τ)dτ; n = 1, 2, ... (3.60)
Segue então que
u(x, t) =
∞
n=1
A
n
b
n
(t)sen
λ
n
a
x
e
ω(x, t) = Ψ
1
e
[−βt−µx]
+
∞
n=1
A
n
b
n
(t)sen
λ
n
a
x
Finalmente, substituindo ω(x, t) em (3.33), a solução do problema (3.23) com
condição inicial (3.24) e condições de contorno (3.25) é:
Ψ(x, t) = Ψ
1
+ e
[βt+µx]
∞
n=1
A
n
b
n
(t)sen
λ
n
a
x
(3.61)
com A
n
dado por (3.53) e b
n
(t) por (3.60) para
α
n
(t) = A
n
1
0
(Ψ
0
− Ψ
1
) e
−µx
sen
λ
n
a
x
dx
e
γ
n
(t) = A
n
1
0
(aµ
2
+ β)Ψ
1
+ f(x, t)
e
[−βt−µx]
sen
λ
n
a
x
dx
Com o objetivo de validar o método numérico utilizado, foram realizadas com-
parações entre os dados obtidos numericamente e pela solução analítica apresentada.
Como o modelo utilizado no presente trabalho é constituído de um sistema de qua-
tro equações diferenciais parciais acopladas, temos que a função f(x, t) depende do
teor de umidade do ar na equação (2.30) e da temperatura do ar na equação (2.32).
Assim, para fins exclusivos de comparação, escolhemos para o termo fonte uma
função teste cujo gráfico se assemelha às curvas obtidas numericamente para esse
termo. Ressaltamos, para o leitor, que essas funções teste são utilizadas somente
nas comparações entre as soluções analítica e numérica apresentadas na seqüência
deste capítulo. Assim, nas comparações com dados experimentais e nas demais sim-
ulações que são apresentadas no próximo capítulo, voltamos a usar a formulação
original para os termos fonte.
Na primeira simulação consideramos a situação com a equação de transferência
de massa no ar e aproximamos o termo fonte através da função
f(x, t) = e
[k
1
t+k
2
x]
(3.62)
55
Assim, resolvendo a equação (3.23) com a condição inicial (3.24) e as condições
de contorno (3.25), para Ψ
0
= Ψ
1
= 1 (situação em questão), a = 1/4, b = −1,
c = −1/2, k
1
= −0, 03 e k
2
= 0, 1, obtemos os resultados para as soluções analítica
e numérica mostradas, respectivamente, na figura 3.6 para três posições no interior
da câmara (x
∗
= 1/8, x
∗
= 1/2 e x
∗
= 7/8).
Figura 3.6: Soluções analítica e numérica de Ψ como função do tempo (adimensional)
para Ψ
0
= Ψ
1
= 1, a = 1/4, b = −1, c = −1/2, f(x, t) dada pela equação (3.62)
com k
1
= −0.03 e k
2
= 0.1
O aumento do valor de Ψ no início do processo, quando x
∗
se aproxima da
unidade, justifica-se pelo termo advectivo, uma vez que a geração de umidade que
se tem na entrada da câmara é levada por esse processo para os demais pontos.
Observa-se, na figura 3.6, que existe boa concordância entre as curvas obtidas
numerica e analiticamente para todas as posições da câmara. Essa concordância
é reforçada pela figura 3.7, que mostra o valor do erro relativo entre as soluções
numérica e analítica. O erro relativo é calculado por:
E
R
=
|Ψ − Ψ|
|Ψ|
onde Ψ representa a solução analítica e Ψ a solução numérica.
Numa segunda simulação consideramos a situação com a equação de transferência
56
Figura 3.7: Valor do erro relativo entre as soluções analítica e numérica de Ψ como
função do tempo (adimensional) para Ψ
0
= Ψ
1
= 1, a = 1/4, b = −1, c = −1/2,
f(x, t) dada pela equação (3.62) com k
1
= −0.03 e k
2
= 0.1
de calor no ar. Para essa situação aproximamos o termo fonte através da função
f(x, t) = 1 − e
k
1
t
(3.63)
Para esse caso precisamos resolver a equação (3.23) com a condição inicial (3.24)
e as condições de contorno (3.25), para Ψ
0
= 0 e Ψ
1
= 1. Adotamos também para
essa situação a = 1/4, b = −1, c = −1/2 e k
1
= −0.03 e obtemos os resultados para
as soluções analítica e numérica mostrados na figura 3.8 para as mesmas posições
da câmara (x
∗
= 1/8, x
∗
= 1/2 e x
∗
= 7/8).
Como era esperado, a figura 3.8 mostra que nas posições iniciais da câmara de
secagem (x
∗
→ 0) ocorre um rápido aquecimento do ar. Nas posições finais da
câmara (x
∗
→ 1), demora mais para ocorrer o aquecimento. Percebe-se, neste caso,
a influência da convecção e da difusão, uma vez que escolhemos como termo fonte
uma função independente da variável x.
Para valores do tempo (adimensional) pequenos ocorre leve perturbação na
solução analítica, cuja série foi truncada a partir do décimo termo. Isso, possivel-
mente, se deve ao fato da condição inicial não ser contínua, pois há um salto em
x
∗
= 0. Este fato torna-se claro na figura 3.9, que mostra o valor do erro relativo
57
Figura 3.8: Soluções analítica e numérica de Ψ como função do tempo (adimensional)
para Ψ
0
= 0, Ψ
1
= 1, a = 1/4, b = −1, c = −1/2, f(x, t) dada pela equação (3.63)
e k
1
= −0.03
Figura 3.9: Valor do erro relativo entre as soluções analítica e numérica de Ψ como
função do tempo (adimensional) para para Ψ
0
= 0 , Ψ
1
= 1 , a = 1/4, b = −1,
c = −1/2, f (x, t) dada pela equação (3.63) e k
1
= −0.03
entre as soluções analítica e numérica de Ψ como função do tempo (adimensional)
para Ψ
0
= 0, Ψ
1
= 1, a = 1/4, b = −1, c = −1/2, f(x, t) dada pela equação (3.63)
e k
1
= −0.03. Note que para valores pequenos do tempo, o valor do erro relativo é
58
da ordem de 10
−2
; porém logo após esse erro cai para a ordem de 10
−5
.
Observe ainda que o tempo é dado por t = t
∗
L
c
/U
0
e a razão L
c
/U
0
, para
os valores considerados neste problema, fica na faixa de L
c
/U
0
= 10
−2
a 5x10
−2
.
Segue assim que as diferenças observadas no início do processo de secagem não são
importantes para as situações reais.
Uma vez avaliado o esquema numérico escolhido para resolver as equações gover-
nantes do modelo apresentado, no próximo capítulo discutiremos algumas simulações
numéricas que visam a validação do modelo.
Capítulo 4
Resultados
Como já mencionado, o conjunto de equações diferenciais parciais que compõe o
modelo matemático foi aproximado por um esquema numérico com aproximações
de primeira ordem no tempo e de segunda ordem no espaço. Na seqüência estare-
mos apresentando uma série de comparações entre valores calculados numericamente
pelo modelo, no caso unidimensional, com dados experimentais obtidos na literatura
para secagem em leito profundo e em camada fina. Comparações com dados experi-
mentais de secagem intermitente também serão apresentadas neste capítulo. Dando
seqüência ao trabalho, faremos simulações para o problema de secagem no caso bidi-
mensional. Em seguida, apresentaremos também simulações numéricas mostrando a
influência de alguns parâmetros adimensionais envolvidos nas equações do modelo.
As propriedades físicas do ar, do vapor e da água foram obtidas na literatura [31].
4.1 Comparação entre valores numéricos e dados
experimentais de secagem em leito profundo para
o caso 1-D
Com o objetivo de validar o modelo matemático apresentado, buscou-se, na lit-
eratura, dados experimentais de secagem de grãos. Como mencionado no capítulo
2, os termos A e n na equação (2.25), que representa o coeficiente convectivo de
transferência de massa entre o ar e os grãos, foram obtidos a partir de simulações
59
60
e comparações com dados experimentais de secagem de grãos de soja [33], sendo
A = 1, 33115x10
−11
e n = 1, 1. Dessa forma, todas as comparações aqui apresentadas
serão referentes à secagem desse tipo de grãos. No caso de secagem de outros pro-
dutos, esses coeficientes deverão ser novamente determinados. Dados experimentais
para secagem em secadores de leito profundo são encontrados em Khatchatourian
et al. [33] [34].
Os dados experimentais apresentados nestes dois trabalhos foram obtidos num
micro secador de grãos instalado no Laboratório de secagem da UNIJUÍ (Universi-
dade Regional do Noroeste do Estado do Rio grande do Sul). O referido secador do
laboratório foi projetado para se assemelhar a um modelo real de secador de leito
fixo, sendo composto por uma fonte de aquecimento de ar, sistema de ventilação
para forçar a passagem do ar quente por entre a massa úmida de grãos, e uma caixa
de secagem onde os grãos ficavam depositados durante o processo de secagem.
Para o sistema de ventilação usou-se um motor elétrico de
3
4
de HP, com 3450
rotações por minuto, tendo duas hélices centrífugas acopladas em série e ligadas por
uma tubulação. O fluxo de ar formado pelo ventilador era canalizado por um tubo
de PVC com 50mm de diâmetro e dois metros de comprimento. A uma distância de
um metro do ventilador foi instalado um medidor de vazão (diafragma) que mede a
diferença de pressão exercida sobre uma coluna de álcool a ele acoplada em tubulação
de vidro com escala.
Após passar pelo tubo de PVC, o ar entra para o aquecedor, uma caixa de
madeira revestida internamente com papel laminado, para diminuir as perdas tér-
micas por radiação. Sua forma é de um prisma retangular que possui um metro
de comprimento, 12cm de largura e 7cm de altura, internamente. Na caixa foram
colocados 8 resistores elétricos de aquecedor cada um com potência nominal de 400
watt, sendo que 6 deles podem ser ligados e desligados independentemente por inter-
ruptores fixos e os outros dois, controlados através de reostatos, permitindo ajuste
mais preciso da temperatura do ar de secagem. Esses dispositivos tornaram possível
a manutenção das temperaturas praticamente constantes na entrada da caixa de
secagem com uma margem de erro de aproximadamente 0, 5
o
C. Saindo da caixa
de aquecimento, o ar quente passa por uma conexão de 50cm de comprimento que
61
faz a ligação entre a caixa de aquecimento e a caixa de secagem. Na conexão que
liga as duas caixas, foi colocado um dispositivo para não permitir a entrada do ar
na caixa de secagem antes de atingir o equilíbrio de temperatura desejado, o que
ocorreu cerca de 3 a 4 minutos após ligados os resistores e o ventilador. Dessa forma,
procurou-se iniciar a secagem somente depois do ar atingir a temperatura na qual é
realizada toda a secagem, temperatura esta medida por um sensor instalado dentro
da conexão e que foi ligado a um multímetro digital com precisão de 0 , 1
o
C.
A caixa de secagem, colocada na posição vertical, tem a forma de um prisma
de base retangular, de dimensões 12cm de comprimento e 7cm de largura, e 32cm
de altura. As paredes são de madeira e as dimensões citadas são internas. A caixa
foi dividida em 4 partes congruentes por planos horizontais com telas, denominadas
aqui de secções. As bases inferior e superior também foram feitas de telas a fim de
permitir a passagem do ar. Nos centros das 4 secções foram instalados sensores de
temperatura que foram ligados a um outro multímetro digital também com precisão
de 0, 1
o
C, que foi acoplado a um controle eletrônico (bloco microcontrolado usando
o PIC 16F84). Um esquema do secador experimental é apresentado na figura 4.1,
sendo (1) o motor, (2) o diafragma, (3) a fonte de calor com resistores, (4) a conecção,
(5) a câmara de secagem e (6) os sensores de temperatura..
Figura 4.1: Esquema do equipamento experimental
Para melhor verificar o perfil de distribuição da temperatura em relação ao tempo
62
dentro dos grãos, um minúsculo termopar (com cerca de um milímetro de diâmetro),
foi ligado a um terceiro multímetro digital.
Os valores da umidade nas quatro secções, após determinados tempos de secagem,
foram calculados a partir da variação de massa apresentada pelos grãos. Para a
obtenção dessa variação de massa, foi feita a pesagem de todos os grãos de cada
secção antes e depois da secagem usando uma balança analítica com precisão de
0, 01g. Para evitar perdas de massa na forma de vapor de água até o procedimento
da pesagem, os grãos foram colocados dentro de sacos plásticos que foram vedados,
imediatamente após o término de cada sessão de secagem. Os valores de umidade
dos grãos obtidos, foram médios para cada secção.
A velocidade média do ar de secagem foi obtida através da variação de pressão cal-
culada a partir da medição da variação de altura de uma coluna de álcool, acoplada
ao diafragma (placa de orifício), uma placa cilíndrica com um orifício no centro de
0, 001017m
2
de área, instalada no interior do tubo. Os cálculos foram efetuados
conforme sugere Toniazzo, et al. [90] [91], usando a equação de Bernoulli.
Na figura 4.2 mostra-se um comparativo dos dados experimentais com os valores
obtidos numericamente pelo modelo proposto para a temperatura T
∗
=
T −T
amb
T
ar
−T
amb
dos grãos na forma adimensional com T
ar
= 65
o
C, T
amb
= 18
o
C, X
0
= 0, 31, U
0
=
4, 75ms
−1
e umidade relativa do ar de 85%, o que corresponde à umidade inicial do
ar de aproximadamente Y = 10
−2
.
A comparação para o teor de umidade dos grãos na forma adimensional X
∗
=
X
X
0
para essas mesmas condições é mostrada na figura 4.3 ao longo de três horas de
secagem.
Observa-se que há crescimento muito rápido da temperatura dos grãos logo na
entrada da câmara de secagem, enquanto que quando x
∗
→ 1, a temperatura cresce
mais lentamente. Isso se deve ao fato do ar entrar quente naquela posição e este
perder calor para os grãos, chegando em (x
∗
= 1) com temperatura bastante inferior
a do início da câmara de secagem. Esse aquecimento rápido no início da câmara, as-
sociado à presença de ar mais seco naquela posição, justifica também o decrescimento
acentuado das curvas de teor de umidade na posição x
∗
= 1/8, quando comparada
com a posição x
∗
= 7/8 onde, além de ter temperaturas mais baixas, tem-se maior
63
Figura 4.2: Distribuição da temperatura dos grãos de soja no interior da câmara
para T
ar
= 65
o
C, T
amb
= 18
o
C, X
0
= 0, 31, U
0
= 4, 75ms
−1
e UR = 85%
Figura 4.3: Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da câmara
para T
ar
= 65
o
C, T
amb
= 18
o
C, X
0
= 0, 31, U
0
= 4, 75ms
−1
e UR = 85%
concentração de vapor no ar, uma vez que a massa de água na forma de vapor que
sai dos grãos junta-se à umidade inicialmente já contida no ar. Esses mesmos fenô-
menos também são observados na figura 4.4, que mostra as curvas de distribuição
da temperatura dos grãos e na figura 4.5, que mostra o teor de umidade dos grãos
de soja para T
ar
= 55
o
C, T
amb
= 16
o
C, X
0
= 0, 21, U
0
= 4, 61ms
−1
e umidade
64
relativa do ar de 80%, correspondendo à umidade inicial do ar de aproximadamente
Y = 8, 2x10
−3
.
Figura 4.4: Distribuição da temperatura dos grãos de soja no interior da câmara
para T
ar
= 55
o
C, T
amb
= 16
o
C, X
0
= 0, 21, U
0
= 4, 61ms
−1
e UR = 80%
Figura 4.5: Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da câmara
para T
ar
= 55
o
C, T
amb
= 16
o
C, X
0
= 0, 21, U
0
= 4, 61ms
−1
e UR = 80%
A exemplo do que ocorre com grande parte dos modelos disponíveis na literatura,
nosso modelo apresenta boa concordância entre os valores calculados e os dados
experimentais disponíveis para temperaturas de secagem relativamente baixas (na
65
faixa de 50
o
C a 70
o
C, aproximadamente). Observamos pequena discrepância nas
curvas da temperatura quando x
∗
→ 1 na câmara de secagem mostradas na figura
4.4. Acreditamos que essa discrepância seja resultado de alguma simplificação feita
no modelo e/ou algum erro da leitura na obtenção dos dados experimentais. Para ter
alguma contribuição significativa do presente modelo em relação aos que já existiam
anteriormente, é importante avaliar a eficiência deste modelo para temperaturas
mais elevadas do ar de secagem. Essa comparação é feita com dados experimentais
de secagem de grãos de soja em camada fina e será apresentada na seção seguinte.
4.2 Comparação entre valores numéricos e dados
experimentais de secagem em camada fina
Com a finalidade de avaliar a eficiência do modelo apresentado nesta tese para
temperaturas mais elevadas do ar de secagem, apresentamos comparações feitas
com dados experimentais de secagem de grãos de soja para temperaturas de 80
o
C
e 110
o
C. Encontramos dados experimentais para essa faixa de temperatura para
secagem em camada fina, obtidos em Borges [9]. Os experimentos apresentados
neste trabalho também foram realizados no laboratório de secagem da UNIJUÍ, no
equipamento já descrito anteriormente, porém, sendo a câmara de secagem substi-
tuída por bandejas contendo uma camada delgada de grãos a serem secados. Como
os dados referem-se à camada fina, as curvas numéricas respectivas foram calculadas
na posição x
∗
= 0. Os valores das condições iniciais neste experimento são diferentes
do que nas simulações anteriores, seguindo as condições usadas nos experimentos
obtidos na literatura.
A figura 4.6 mostra as curvas de secagem para T
ar
= 80
o
C, T
amb
= 22
o
C, X
0
=
0, 24 e para valores da velocidade do ar na entrada da câmara de secagem de U
0
=
0, 5ms
−1
e de U
0
= 1, 5ms
−1
e UR = 68%. Já a figura 4.7 mostra o comparativo entre
as curvas de secagem calculadas e experimentais para T
ar
= 110
o
C, T
amb
= 20
o
C,
X
0
= 0, 24 e para valores da velocidade do ar na entrada da câmara de secagem de
U
0
= 0, 5ms
−1
e de U
0
= 1, 5ms
−1
e UR = 68%.
Observe, novamente, que há boa concordância para as curvas calculadas pelo
66
Figura 4.6: Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da câmara
para T
ar
= 80
o
C, T
amb
= 22
o
C, X
0
= 0, 24 e UR = 68%
Figura 4.7: Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da câmara
para T
ar
= 110
o
C, T
amb
= 20
o
C, X
0
= 0, 24 e UR = 68%
modelo com os dados experimentais, o que garante boa confiabilidade ao modelo
também para temperaturas elevadas. Note também, nas figuras 4.6 e 4.7, que a
velocidade do ar tem influência significativa no processo de transferência de massa
entre os grãos e o ar, o que justifica a inclusão desse fator na equação (2.25). Da
mesma forma, a variação dos outros parâmetros envolvidos nesta equação são satis-
67
fatórios nos resultados apresentados, apesar das pequenas discordâncias nas curvas
do teor de umidade apresentadas nas figuras 4.6 e 4.7, que acreditamos serem pe-
quenos problemas de ajustes na influência da velocidade logo no início do processo
de secagem, principalmente no caso das baixas velocidades, além de possíveis erros
de leitura na obtenção de dados experimentais.
Uma avaliação do modelo para o problema de secagem intermitente também é
feita e é apresentada na seção que segue.
4.3 Comparação entre valores numéricos e dados
experimentais para a secagem intermitente
A secagem intermitente consiste em submeter os grãos a um processo de secagem
com ar quente por um determinado período, seguido por outro período de tempo em
que o grão é resfriado. Em alguns casos, durante o período de resfriamento, ocorre
a aeração dos grãos, isto é, o sistema de ventilação não é desligado, cessando apenas
o aquecimento do ar de secagem.
Dados experimentais com esse tipo de processo são apresentados por Weber, [92]
[93]. Os dados experimentais apresentados nestes trabalhos também foram obtidos
no laboratório de secagem de grãos da UNIJUÍ, nos mesmos equipamentos descritos
anteriormente, porém, com outras dimensões para a câmara de secagem dos grãos.
A forma da nova caixa de secagem também é de um prisma retangular, porém com
dimensões de 24, 5cm por 13, 5cm na base retangular e 50cm de profundidade. A
caixa também foi dividida em quatro seções e os sensores colocados na parte central
de cada seção.
Na seqüência apresentamos as comparações entre os dados numéricos e os dados
experimentais para três simulações, para diferentes valores da temperatura do ar
de secagem, da velocidade do ar na entrada da câmara, do teor de umidade inicial
do produto e da temperatura ambiente. Para cada uma das três simulações são
apresentados os gráficos com as curvas da temperatura do ar, do teor de umidade
dos grãos e da temperatura dos grãos de soja que foram secados. Os resultados
são apresentados para quatro posições da câmara de secagem (x
∗
= 1/8, x
∗
= 3/8,
68
x
∗
= 5/8 e x
∗
= 7/8). Os valores da temperatura e do teor de umidade são usados
na forma adimensional.
A primeira simulação foi realizada para temperatura ambiente T
amb
= 23
o
C,
temperatura do ar de secagem na entrada da câmara T
ar
= 70
o
C, teor de umidade
inicial do produto X
0
= 0, 214, velocidade do ar de secagem na entrada da câmara
U
0
= 1, 25ms
−1
e umidade relativa do ar ambiente UR = 48, 7%.
A figura 4.8 compara os valores obtidos pelo esquema numérico e os dados ex-
perimentais da temperatura do ar no interior do secador para três horas de secagem
com ar quente seguido de cinqüenta minutos de aeração com temperatura do ar na
entrada da câmara igual à temperatura ambiente. Observa-se uma discordância sig-
nificativa nos valores da temperatura no período da aeração. Esse fato será avaliado
mais tarde, após a apresentação da figura 4.16.
Figura 4.8: Distribuição da temperatura do ar no interior da câmara para T
amb
=
23
o
C, T
ar
= 70
o
C, X
0
= 0, 214 e U
0
= 1, 25ms
−1
com 3 horas de secagem seguidas
de 50 minutos de aeração
Os comparativos entre valores numéricos e dados experimentais para a dis-
tribuição do teor de umidade dos grãos de soja obtidos na primeira simulação são
mostrados na figura 4.9. Já as curvas de distribuição da temperatura dos grãos de
soja para as mesmas condições da primeira simulação, porém com 45 minutos de
secagem com ar quente, seguidos de 50 minutos de aeração com temperatura igual
69
à temperatura ambiente, são apresentados na figura 4.10.
Figura 4.9: Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da câmara
para T
amb
= 23
o
C, T
ar
= 70
o
C, X
0
= 0, 214 e U
0
= 1, 25ms
−1
com 3 horas de
secagem seguidas de 50 minutos de aeração
Figura 4.10: Distribuição da temperatura dos grãos de soja no interior da câmara
para T
amb
= 23
o
C, T
ar
= 70
o
C, X
0
= 0, 214 e U
0
= 1, 25ms
−1
com 45 minutos de
secagem seguidos de 50 minutos de aeração
Observe que há boa concordância entre os valores obtidos numericamente com os
dados experimentais, principalmente para as curvas que mostram o teor de umidade
70
dos grãos (figura 4.9). Já no caso das curvas de temperatura, observa-se um rápido
desvio entre os valores numéricos e experimentais na parte final da câmara. Como
possíveis causas para esses desvios, apontamos as perdas de calor na saída da câmara,
não consideradas no modelo, e a eventual interferência do meio granular no processo
de convecção de forma que no modelo, onde essas situações não são consideradas, a
temperatura na parte final da câmara de secagem se eleva mais rapidadente do que
na situação real (experimento).
Uma segunda simulação foi realizada para temperatura ambiente T
amb
= 21
o
C,
temperatura do ar de secagem na entrada da câmara T
ar
= 70
o
C, teor de umidade
inicial do produto X
0
= 0, 227, velocidade do ar de secagem na entrada da câmara
U
0
= 2, 5ms
−1
e umidade relativa do ar ambiente UR = 62%.
A figura 4.11 compara os valores numéricos com os dados experimentais da tem-
peratura do ar no interior do secador para três horas de secagem com ar quente
seguido de cinqüenta minutos de aeração. As referidas curvas são mostradas para
as mesmas posições que na simulação anterior.
Figura 4.11: Distribuição da temperatura do ar no interior da câmara para T
amb
=
21
o
C, T
ar
= 70
o
C, X
0
= 0, 227 e U
0
= 2, 5ms
−1
com 3 horas de secagem seguidos
de 50 minutos de aeração
As curvas de distribuição do teor de umidade (adimensional) dos grãos de soja
(valores numéricos e experimentais) para a segunda simulação são mostrados na
71
figura 4.12.
Figura 4.12: Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da câmara
para T
amb
= 21
o
C, T
ar
= 70
o
C, X
0
= 0, 227 e U
0
= 2, 5ms
−1
com 3 horas de secagem
seguidos de 50 minutos de aeração
Já as curvas de distribuição da temperatura dos grãos para as mesmas condições
da segunda simulação são apresentadas na figura 4.13. Os dados experimentais para
as curvas da temperatura dos grãos encontrados na literatura não apresentaram
medições para todas as seções da câmara. Por esse motivo, nesta figura, apresen-
tamos valores experimentais apenas para a posição x
∗
= 7/8. Optamos, porém,
por apresentar os valores numéricos de todas as seções. Pelo mesmo motivo, na
figura 4.10 são apresentados dados experimentais apenas para as posições x
∗
= 1/8
e x
∗
= 3/8.
A exemplo do que ocorreu na primeira simulação, nesta também observamos boa
concordância entre os valores obtidos numericamente com os dados experimentais,
especialmente para as curvas que mostram o teor de umidade dos grãos (figura
4.12). Novamente, no caso das curvas de temperatura (figuras 4.11 e 4.13), observa-
se discordância um pouco maior entre os valores numéricos e experimentais na parte
final da câmara, isto é, quando x
∗
→ 1.
Para finalizar as comparações com dados experimentais apresentamos uma ter-
ceira simulação do processo de secagem intermitente. Desta vez, a simulação foi
72
Figura 4.13: Distribuição da temperatura dos grãos de soja no interior da câmara
para T
amb
= 21
o
C, T
ar
= 70
o
C, X
0
= 0, 227 e U
0
= 2, 5ms
−1
com 3 horas de secagem
seguidos de 50 minutos de aeração
realizada para temperatura ambiente T
amb
= 13
o
C, temperatura do ar de secagem
na entrada da câmara T
ar
= 50
o
C, teor de umidade inicial do produto X
0
= 0, 227,
velocidade do ar de secagem na entrada da câmara U
0
= 2, 5ms
−1
e umidade relativa
do ar ambiente UR = 70%. As curvas da temperatura do ar dessa simulação são
mostradas na figura 4.14.
A figura 4.15 compara os valores do teor de umidade do produto ao longo do
tempo referentes à terceira simulação, enquanto que as curvas da temperatura dos
grãos de soja são mostrados na figura 4.16.
Observe nas curvas de temperatura que, durante a aeração, tem-se maior resfri-
amento na solução numérica do que na experimental. Imaginamos que uma possível
causa para essa discrepância seja o fato de que o ambiente em que estava o secador
(o laboratório de secagem é no interior de uma sala) possa ter aquecido durante as
três horas de secagem com ar quente. No caso desta hipótese ser verdadeira, no
momento em que foi feita a aeração, a temperatura ambiente era superior que a
temperatura no início da secagem. Já no modelo, essa variação de temperatura foi
desconsiderada.
Com o objetivo de verificar a influência da posição dos grãos a serem secados no
73
Figura 4.14: Distribuição da temperatura do ar no interior da câmara para T
amb
=
13
o
C, T
ar
= 50
o
C, X
0
= 0, 227 e U
0
= 2, 5ms
−1
com 3 horas de secagem seguidos
de 50 minutos de aeração
Figura 4.15: Distribuição do teor de umidade dos grãos de soja no interior da câmara
para T
amb
= 13
o
C, T
ar
= 50
o
C, X
0
= 0, 227 e U
0
= 2, 5ms
−1
com 3 horas de secagem
seguidos de 50 minutos de aeração
interior do secador, foram feitas simulações numéricas em duas dimensões. Estas
simulações são apresentadas na próxima seção.
74
Figura 4.16: Distribuição da temperatura dos grãos de soja no interior da câmara
para T
amb
= 13
o
C, T
ar
= 50
o
C, X
0
= 0, 227 e U
0
= 2, 5ms
−1
com 3 horas de secagem
seguidos de 50 minutos de aeração
4.4 Simulações numéricas de secagem para o caso
2-D
As simulações numéricas para o caso bidimensional foram feitas considerando-
se uma câmara de secagem com 32cm de altura e 12cm de largura, conforme os
experimentos descritos na primeira seção do presente capítulo. O domínio espacial
foi dividido em uma malha retangular, conforme mostra a figura 4.17.
Para a integração temporal considerou-se um intervalo de tempo da ordem de
10
−4
.
As simulações numéricas aqui apresentadas foram realizadas para T
ar
= 90
0
C,
T
amb
= 25
0
C, X
0
= 0, 32, U
0
= 1, 0ms
−1
e umidade relativa do ar de 80%, o que
corresponde a umidade inicial do ar de secagem de aproximadamente Y
0
= 1, 4x10
−2
.
As Figuras 4.18 a 4.21 mostram as simulações numéricas para a temperatura
(adimensional) dos grãos T
∗
=
T −T
amb
T
ar
−T
amb
para os seguintes tempos: t = 0, 5h (Fig.
4.18), t = 1h (Fig. 4.19), t = 1, 5h (Fig. 4.20) e t = 2h (Fig. 4.21). Para
cada tempo, mostramos a variação da temperatura dos grãos em relação à posição
horizontal do grão (valor de j) para as posições verticais x
∗
(x
∗
= 0 para i = 0,
75
Figura 4.17: Malha para a simulação numérica no caso 2-D
x
∗
= 1/4 para i = 9, x
∗
= 1/2 para i = 18, x
∗
= 3/4 para i = 27 e x
∗
= 1 para
i = 36).
Figura 4.18: Distribuição da temperatura (adimensional) dos grãos para t = 0, 5h
Note que o valor da temperatura cresce em todas as posições da câmara de
secagem ao longo do tempo; porém na entrada da mesma (em x
∗
= 0) a temperatura
cresce praticamente de forma uniforme, independente do valor de j. Já para as
posições mais avançadas (próximo de x
∗
= 1) percebe-se que nas proximidades das
paredes a temperatura dos grãos permanece mais baixa do que na parte central (em
relação à horizontal) da câmara de secagem, aproximando as curvas de temperatura
76
Figura 4.19: Distribuição da temperatura (adimensional) dos grãos para t = 1h
Figura 4.20: Distribuição da temperatura (adimensional) dos grãos para t = 1, 5h
à forma parabólica.
Simulações numéricas do teor de umidade dos grãos na forma adimensional X
∗
=
X
X
0
para os tempos t = 0, 5h, t = 1h, t = 1, 5h e t = 2h são mostradas nas figuras 4.22
até 4.25, respectivamente, para as mesmas posições adotadas no caso da temperatura
dos grãos.
Observamos que o teor de umidade dos grãos decresce ao longo do tempo em
toda a câmara de secagem. A exemplo do que ocorre com as curvas de temperatura,
novamente temos um perfil parabólico, porém agora o processo é mais lento próximo
77
Figura 4.21: Distribuição da temperatura (adimensional) dos grãos para t = 2h
Figura 4.22: Distribuição da umidade (adimensional) dos grãos para t = 0, 5h
das paredes. Esse fenômeno se acentua nas posições da câmara de secagem nas
quais x
∗
→ 1. Acredita-se que no caso de secadores reais, onde as dimensões são
bastante maiores do que as consideradas neste trabalho, esse efeito pode se tornar
mais significativo.
O estudo apresentado nesta seção sugere a necessidade do uso de duas ou três
dimensões no momento do projeto de secadores. Possivelmente, entradas de ar nas
laterais dos secadores poderiam auxiliar na obtenção de um processo mais uniforme
de secagem. Porém este estudo requer um esforço computacional bastante elevado,
78
Figura 4.23: Distribuição da umidade (adimensional) dos grãos para t = 1h
Figura 4.24: Distribuição da umidade (adimensional) dos grãos para t = 1, 5h
motivo pelo qual as simulações aqui apresentadas foram realizadas no computador
Cray - T94 do CESUP da UFRGS. Para a obtenção dos dados acima, o programa
levou em torno de vinte dias para rodar neste computador.
Após a validação do modelo matemático através de inúmeras comparações entre
valores numéricos e dados experimentais e das simulações em duas dimensões, foram
realizadas algumas simulações para avaliar a influência de parâmetros adimensionais.
Essas simulações foram realizadas para o caso unidimensional e são apresentadas na
próxima seção.
79
Figura 4.25: Distribuição da umidade (adimensional) dos grãos para t = 2h
4.5 Avaliação da influência de parâmetros adimen-
sionais
Quando um modelo descreve os processos de transferência de calor e massa con-
vém fazer uma avaliação da influência dos parâmetros adimensionais envolvidos.
Isso permitirá maior controle dos parâmetros que induzem a variações significati-
vas nas variáveis do modelo. Neste trabalho, verificou-se a influência dos números
de Reynolds, Prandtl, Schmidt e Eckert. O primeiro e o último apresentaram as
influências mais significativas no processo de secagem. Na figura 4.26 mostra-se a
influência do número de Reynolds na faixa Re = 200 a 2000 para o teor de umidade
dos grãos. Vale observar que essa variação é obtida pela variação da velocidade do
ar de secagem. Note que quanto maior a velocidade do ar, mais energia é trazida
para dentro da câmara e mais rapidamente a umidade que sai dos grãos é carregada
para fora do secador.
Para avaliar a influência do número de Eckert no processo de transferência de
calor e massa, a figura 4.27 mostra a distribuição da temperatura dos grãos para
valores desse parâmetro na faixa Ec = 10
−5
a 5x10
−5
. Essas variações foram obtidas
pela variação do gradiente de temperatura. Como era esperado, para valores menores
do número de Eckert temos um crescimento mais rápido da temperatura dos grãos
80
Figura 4.26: Influência do número de Reynolds na distribuição da umidade dos grãos
ao longo do tempo, Re = 200 a 2000.
e, como conseqüência, um decréscimo mais acentuado do teor de umidade dos grãos.
Isso se justifica uma vez que esse parâmetro é inversamente proporcional à variação
de temperatura envolvida no processo. Os valores baixos do número de Eckert,
usados nesta simulação, refletem as situações reais do problema, uma vez que se
considera situações em que temos grandes gradientes de temperatura e velocidade
do ar de secagem relativamente baixa.
A influência do número de Schmidt no processo de transferência de calor e massa
é avaliada na figura 4.28, que mostra a distribuição do teor de umidade dos grãos
de soja em duas posições da câmara de secagem para valores do parâmetro na faixa
Sc = 0, 7 a Sc = 2, 0. Observe que a influência desse parâmetro não é significativa
no processo de secagem dos grãos. O mesmo ocorre com o número de Prandlt, que
foi avaliado também na faixa P r = 0, 7 a P r = 2, 0, e sua variação não apresentou
influências significativas no processo de secagem.
Após a exposição do problema, da obtenção das soluções e da apresentação
dos resultados, estamos finalizando a presente tese com as principais conclusões,
contribuições e com algumas sugestões para trabalhos futuros.
81
Figura 4.27: Influência do número de Eckert na distribuição da temperatura dos
grãos ao longo do tempo, Ec = 10
−5
a 5x10
−5
.
Figura 4.28: Influência do número de Schmidt na distribuição do teor de umidade
dos grãos ao longo do tempo, Sc = 0.7 a 2.0
Capítulo 5
Conclusões e contribuições
A realização desta tese teve como finalidade o desenvolvimento de um modelo
matemático para descrever o processo de transferência de calor e massa em meios
granulares.
Apresentamos um modelo matemático para descrever esses processos baseado
nas equações de Navier-Stokes. O modelo é composto por um conjunto de quatro
equações diferenciais parciais para o caso unidimensional. Uma para o balanço de
energia no ar, uma para o balanço de energia no grão, uma para o balanço de massa
de água no ar a outra para o balanço de massa de água no grão. Os termos fonte da
equação da energia e massa foram modelados obedecendo as leis físicas envolvidas
no processo. As equações governantes do modelo foram demonstradas no trabalho.
Foi feita a adimensionalização das variáveis envolvidas no modelo e, conseqüen-
temente, obteve-se as equações governantes do mesmo na forma adimensional. As
condições iniciais e de contorno do problema também foram estabelecidas.
Para o caso de mais de uma dimensão, a equação da continuidade, as equações
da quantidade de movimento e a equação de Poisson para a pressão são utilizadas
para descrever o movimento do ar ao redor dos grãos.
As equações do modelo foram resolvidas e os valores obtidos pelo modelo foram
comparados com dados experimentais.
82
83
5.1 Contribuições do trabalho
Com a realização desta tese trouxemos algumas contribuições [63] [64] [65] [66]
[67] [68] para um melhor entendimento dos processos de transferência de calor e
massa, tais como:
• Desenvolvimento do modelo matemático que descreve os processos de trans-
ferência de calor e massa em meios granulares.
• Desenvolvimento de uma expressão para o coeficiente convectivo de transfer-
ência de massa entre o grão de soja e o ar (Eq.: 2.25), usando a analogia
de Chilton-Colburn e a proporcionalidade dessa transferência com algumas
grandezas envolvidas, como a temperatura, o teor de umidade de equilíbrio e
instantânea do produto. As constantes de proporcionalidade e as potências
de algumas grandezas foram ajustadas a partir de comparações com dados
experimentais de secagem de grãos de soja.
• Verificação da ordem do esquema em relação ao tempo e ao espaço, além das
regiões de estabilidade e de convergência do esquema.
• Obtenção de uma solução analítica para as principais equações envolvidas no
modelo. Essa solução foi comparada com simulações numéricas para algumas
funções teste para os termos fonte. Essas funções foram escolhidas de forma a
se aproximar o máximo possível da situação real. Para a obtenção das soluções
numéricas foram desenvolvidos códigos em Fortran 90 com a finalidade de re-
solver as esquações de diferenças obtidas a partir da aplicação do esquema
numérico. Verificou-se boa concordância entre as soluções analíticas e numéri-
cas, ficando o erro máximo entre as duas na ordem de 10
−4
para as situações
avaliadas.
• Realização de simulações e comparações entre dados experimentais e valores
obtidos numericamete pelo modelo. Essas comparações foram feitas para
vários valores das grandezas envolvidas no processo, tais como a temperatura
e a velocidade do ar na entrada da câmara de secagem, a temperatura do ar
ambiente, o teor de umidade inicial do produto e a umidade relativa do ar
84
ambiente. Foram mostrados gráficos com comparações para as curvas da tem-
peratura do ar, da temperatura dos grãos e do teor de umidade dos grãos para
várias situações: secagem em leito profundo, secagem em camada fina e para
o processo de secagem intermitente.
• Verificação de boa concordância entre os dados experimentais e os valores
numéricos na maioria das simulações apresentadas, o que dá credibilidade ao
modelo desenvolvido. A validação do modelo foi obtida para faixas de tem-
peratura do ar de secagem maiores do que a maioria dos modelos encontrados
na literatura. A faixa para a velocidade do ar em que o modelo foi avaliado
também é bastante significativa.
• Realização de simulações para o caso bi-dimensional do processo de secagem
de grãos. Verificou-se, neste caso, que próximo das paredes da câmara de
secagem, a temperatura do ar e dos grãos cresce mais lentamente, retardando
o processo de secagem nestas posições. Acreditamos que esta informação seja
relevante no momento da elaboração de projetos de secadores.
• Avaliação da influência de alguns parâmetros adimensionais, concluindo-se que
os números adimensionais de Reynolds e de Eckert são os que mais influenciam
nos processos de tansferência de calor e massa analisados.
Dessa forma, a tese contribui para o desenvolvimento científico numa área bas-
tante complexa como os processos de transferência de calor e massa, mais especifi-
camente no que se refere à secagem de grãos.
Sugerimos para trabalhos futuros a utilização do modelo no aprofundamento do
estudo da secagem intermitente no caso em que não ocorre aeração forçada, mas
apenas convecção natural; a obtenção do coeficiente convectivo de transferência de
massa entre o grão e o ar para outros produtos; e o aproveitamento do modelo para
descrever o resfriamento de reatores nucleares de pequeno porte [62][81][82].
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