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Rodrigo Bastos Moraes
Aloca¸c˜ao dinˆamica de s´ımbolos-piloto para
sistemas OFDM de enlace fechado
Disserta¸c˜ao de Mestrado
Disserta¸c˜ao apresentada como requisito parcial para obten¸c˜ao do
grau de Mestre pelo Programa de P´os–gradua¸c˜ao em Engenharia
El´etrica do Departamento de Engenharia El´etrica da PUC–Rio
Orientador: Prof. Raimundo Sampaio Neto
Rio de Janeiro
Mar¸co de 2009
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Rodrigo Bastos Moraes
Aloca¸c˜ao dinˆamica de s´ımbolos-piloto para
sistemas OFDM de enlace fechado
Disserta¸c˜ao apresentada como requisito parcial para obten¸c˜ao
do grau de Mestre pelo Programa de P´os–gradua¸c˜ao em Engen-
haria El´etrica do Departamento de Engenharia El´etrica do Centro
T´ecnico Cient´ıfico da PUC–Rio. Aprovada pela Comiss˜ao Exam-
inadora abaixo assinada.
Prof. Raimundo Sampaio Neto
Orientador
Departamento de Engenharia El´etrica — PUC–Rio
Prof. Ernesto Leite Pinto
Instituto Militar de Engenharia — IME
Prof. Jos´e Mauro Pedro Fortes
Departamento de Engenharia El´etrica — PUC–Rio
Prof. Marcelo Roberto Jimenez
Departamento de Engenharia El´etrica — PUC–Rio
Prof. Jos´e Eugenio Leal
Coordenador Setorial do Centro T´ecnico Cient´ıfico — PUC–Rio
Rio de Janeiro, 16 de Mar¸co de 2009
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Todos os direitos reservados.
´
E proibida a reprodu¸c˜ao total
ou parcial do trabalho sem autoriza¸c˜ao da universidade, do
autor e do orientador.
Rodrigo Bastos Moraes
Graduou-se pela Universidade Federal do Par´a (UFPA) em
2005. Em 2006, foi pesquisador visitante no laborat´orio Broad-
band Access Research da Ericsson AB, em Estocolmo, Su´ecia.
Ganhou a bolsa FAPERJ Nota 10 e o Travel Grants da Com-
munications Society do IEEE, ambos em 2008.
Ficha Catalogr´afica
Moraes, Rodrigo B.
Aloca¸c˜ao dinˆamica de s´ımbolos-piloto para sistemas
OFDM de enlace fechado / Rodrigo Bastos Moraes; orienta-
dor: Raimundo Sampaio Neto. — Rio de Janeiro : PUC–Rio,
Departamento de Engenharia El´etrica, 2009.
v., 93 f: il. ; 29,7 cm
1. Disserta¸c˜ao (mestrado) - Pontif´ıcia Universidade
Cat´olica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia
El´etrica.
Inclui referˆencias bibliogr´aficas.
1. Engenharia El´etrica – Tese. 2. Orthogonal Frequency
Division Multiplexing;. 3. Estima¸c˜ao de canal;. 4. Sistemas de
enlace fechado;. 5. Aloca¸c˜ao de pilotos.. I. Sampaio Neto,
Raimundo. II. Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de
Janeiro. Departamento de Engenharia El´etrica. III. T´ıtulo.
CDD: 621.3
Agradecimentos
Agrade¸co a minha fam´ılia, pelo apoio e pela confian¸ca. Sou grato espe-
cialmente a minha m˜ae. Agrade¸co a minhas tias C´ıntia, Lourdes e Nazar´e, pelo
carinho, companhia e apoio log´ıstico. Nazar´e Nobre era uma grande pessoa, e
infelizmente recentemente nos deixou.
A Tatiana Par´a, pelo companheirismo e amizade. Esse trabalho teria sido
muito mais dif´ıcil sem a sua companhia.
Sou grato ao professor Raimundo Sampaio, cujas contribui¸c˜oes a esse
trabalho foram fundamentais. Fica aqui meu respeito e admira¸c˜ao. Agrade¸co
tamb´em a to dos os meus professores do CETUC.
Agrade¸co a FAPERJ, CAPES e CNPQ pelo apoio financeiro.
A meus amigos e professores da UFPA, em especial a turma do projeto
DSL, por terem proporcionado um ambiente excelente para o meu desenvolvi-
mento profissional. Agrade¸co ao professor Aldebaro Klautau, que foi com quem
essa hist´oria come¸cou.
A meus amigos e colegas do CETUC, principalmente Aline Silva, Davi
Guedes, Dick Carrillo, Eleonora Andrade, Mauro Lustosa, Raul Velloso e Tiago
Vinhoza.
Resumo
Moraes, Rodrigo B.; Sampaio Neto, Raimundo. Aloca¸c˜ao
dinˆamica de s´ımbolos-piloto para sistemas OFDM de en-
lace fechado. Rio de Janeiro, 2009. 93p. Disserta¸c˜ao de Mestrado
— Departamento de Engenharia El´etrica, Pontif´ıcia Universidade
Cat´olica do Rio de Janeiro.
Sistemas OFDM tˆem conseguido aten¸c˜ao dos ´org˜aos internacionais de
padroniza¸c˜ao na ´ultima d´ecada. V´arios trabalhos na literatura tratam sobre
como otimizar a transmiss˜ao desses sistemas na situa¸c˜ao de enlace aberto,
ou seja, onde n˜ao h´a comunica¸c˜ao reversa entre transmissor e receptor. Este
trabalho foca a utiliza¸c˜ao de enlace fechado para sistemas de transmiss˜ao
OFDM, um assunto pouco explorado at´e agora. Aqui fo camos principal-
mente no m´etodo recentemente proposto na literatura de aloca¸c˜ao dinˆamica
de s´ımbolos-pilotos. Foi mostrado recentemente que, para sistemas OFDM
coerentes e de enlace fechado, essa op¸c˜ao ´e a que traz mais ganhos. Os
s´ımbolos-piloto s˜ao usados para obter amostras do comportamento do canal
a fim de detectar os s´ımbolos de dado corretamente. Esses pilotos, por´em,
n˜ao precisam estar dispostos para a melhor estima¸c˜ao p oss´ıvel do canal.
Almeja-se apenas uma estima¸c˜ao boa o suficiente. Nesse trabalho prop˜oe-se
uma estrat´egia de aloca¸c˜ao de pilotos com o objetivo de minimizar a prob-
abilidade de erro de bits do sistema. Sugere-se tamb´em um algoritmo de
menor complexidade que mant´em grande parte do desempenho da solu¸c˜ao
´otima. Resultados experimentais mostram ganhos bastante significativos.
Palavras–chave
Orthogonal Frequency Division Multiplexing; Estima¸c˜ao de canal; Sis-
temas de enlace fechado; Aloca¸c˜ao de pilotos.
Abstract
Moraes, Rodrigo B.; Sampaio Neto, Raimundo (Advisor). Dy-
namic Pilot-Symbol Allocation for Closed-loop OFDM
Systems. Rio de Janeiro, 2009. 93p. MSc. Dissertation — Depar-
tamento de Engenharia El´etrica, Pontif´ıcia Universidade Cat´olica
do Rio de Janeiro.
OFDM systems have gathered quite some attention from international
standardization bodies for the past decade. Various works in literature aim
at optimizing transmission for these systems in the open-loop scenario, i.e.
when there is no feedback communication between transmitter and receiver.
This work focuses on the utilization of a closed-loop for OFDM systems, a
subject which has not been thoroughly explored so far. Here we primarily
focus on the recently proposed method of dynamic pilot-symbol allocation.
It was shown in a recent paper that for coherent closed-loop OFDM systems,
this option is capable of delivering substantial increases in performance. The
pilot-symbols are used to sample channel behavior so that data symbols can
be decoded correctly. However, these pilot do not need to be located so as
to estimate the channel in the best possible way. The system requires an
estimation which is only good enough. In this work, we propose a pilot-
symbol allocation strategy with the goal of minimizing the bit error rate.
We also suggest a lower complexity algorithm, which attains most of the
performance of the optimal solution. Experimental results show significant
gains.
Keywords
Orthogonal Frequency Division Multiplexing; Channel Estimation;
Closed-loop systems; Pilot-symbol allocation.
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 12
2 OFDM: Princ´ıpios B´asicos 15
2.1 Modelo Cont´ınuo 16
2.2 Transmiss˜ao paralela vs. Transmiss˜ao serial 20
2.3 Modelo Discreto 21
2.4 Modelagem do canal discreto 25
3 Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 28
3.1 Estima¸c˜ao do canal 29
3.2 Recep¸c˜ao 45
3.3 Probabilidade de erro 49
3.4 Experimentos 52
4 Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado 58
4.1 Pr´e-Equaliza¸c˜ao 59
4.2 Aloca¸c˜ao de Potˆencia 61
4.3 Aloca¸c˜ao de pilotos 62
4.4 Experimentos 74
5 Conclus˜ao 83
Referˆencias Bibliogr´aficas 85
A Abrevia¸c˜oes 88
B Operadores Matem´aticos 89
C C´alculos para o MMSE 90
C.1 MSE 90
C.2 Filtro de Wiener 91
C.3 MSE para MMSE mais filtro de Wiener 92
Lista de figuras
2.1 Modelo de transmiss˜ao OFDM cont´ınuo. 17
2.2 Prefixo c´ıclico para o n-´esimo bloco de dados para o modelo cont´ınuo. 17
2.3
`
A esquerda, ilustra¸c˜ao de um sistema com portadora ´unica. O es-
pectro do sinal ´e seriamente distorcido pelo canal.
`
A direita, sis-
tema de multi-portadoras ortogonais. Sub-canais OFDM encontram
canais aproximadamente planos na freq¨uˆencia. 21
2.4 Modelo de transmiss˜ao OFDM discreto. 22
2.5 Prefixo c´ıclico para o n-´esimo bloco de dados para o modelo discreto. 22
2.6 Filtro autoregressivo para a gera¸c˜ao do canal Rayleigh. 26
2.7 Autocorrela¸c˜ao para 5 × 10
6
amostras de uma VA gerada com o
modelo autoregressivo com Q = 200. 27
3.1 Modelo de comunica¸c˜oes com enlace aberto. 29
3.2 MSE por tom para E
s
/σ = 10 dB – ‘◦’ e ‘×’ representam a
posi¸c˜ao dos pilotos para as aloca¸c˜oes n˜ao-uniforme e uniforme,
respectivamente. 36
3.3 Diagrama de blocos para a filtragem de Wiener. 40
3.4 Correla¸c˜ao espacial entre sub-canais para K = 64 e L = 8. 41
3.5 Diagrama de bloco para recep¸c˜ao em enlace aberto. 45
3.6 Probabilidade de erro para enlace aberto. 52
3.7 MSE para pilotos uniformes e diferentes estimadores. 54
3.8 BER para pilotos uniformes e diferentes estimadores. 54
3.9 BER e MSE para f
m
= 5 × 10
−2
, estimador ML com filtro de
Wiener para trˆes E
b
/σ distintas. 56
3.10 BER e MSE para f
m
= 5 × 10
−3
, estimador ML com filtro de
Wiener para trˆes E
b
/σ distintas. 56
3.11 BER e MSE para f
m
= 5 × 10
−6
, estimador ML com filtro de
Wiener para trˆes E
b
/σ distintas. 57
4.1 Enlace fechado. 59
4.2 Diagrama de bloco para a pr´e-equaliza¸c˜ao. 60
4.3 Diagrama de blocos para a aloca¸c˜ao dinˆamica de potˆencia. 62
4.4 Diagrama de blocos para a aloca¸c˜ao dinˆamica de pilotos. 64
4.5 Degrau no tempo com dois instantes tem apenas um nulo espectral. 68
4.6 Degrau no tempo com L instantes tem L − 1 nulos espectrais. 68
4.7 SNR vs. probabilidade de erro. 70
4.8 Probabilidade de erro para enlace fechado. 71
4.9 Exemplo do funcionamento do BITE. 74
4.10 Erro m´edio quadr´atico de estima¸c˜ao do canal: compara¸c˜ao entre os
diferentes esquemas de uso do enlace reverso. Estimador ML simples. 76
4.11 Probabilidade de erro de bit: compara¸c˜ao entre os diferentes esque-
mas de uso do enlace reverso. Estimador ML simples. 76
4.12 Erro m´edio quadr´atico: compara¸c˜ao entre as situa¸c˜oes de estimador
ML simples e ML mais filtro de Wiener. 79
4.13 Probabilidade de erro de bit: compara¸c˜ao entre as situa¸c˜oes de
estimador ML simples e ML mais filtro de Wiener. 79
4.14 Histograma dos m´odulos dos canais que carregam dados para (A)
enlace aberto, (B) Panah, ML e Wiener e (C) Proposto, ML e Wiener. 80
4.15 Vis˜ao aproximada do histograma. 80
4.16 Grid para o enlace ab erto. 81
4.17 Grid para o Panah, ML. 81
4.18 Grid para o Panah, ML e Wiener. 81
4.19 Grid para o Proposto, ML e Wiener. 81
4.20 Erro m´edio quadr´atico: K = 64 e K
p
= 16. 82
4.21 Probabilidade de erro de bit: K = 64 e K
p
= 16. 82
Lista de tabelas
3.1 Ru´ıdo total por tom para os diferentes estimadores 50
3.2 Parˆametros para a simula¸c˜ao 53
4.1 Parˆametros para a simula¸c˜ao: compara¸c˜ao entre os esquemas de
uso do enlace reverso 74
Deus ao mar o perigo e o abismo deu,
Mas nele ´e que espelhou o c´eu.
Fernando Pessoa, 1888-1935.
1
Introdu¸c˜ao
Os sistemas sem fio s˜ao o ramo do mercado de telecomunica¸c˜oes que
mais cresce em importˆancia (( Gol05), pg. 1). Ao redor do mundo, redes
celulares, WMANs, WLANs, comunica¸c˜oes via sat´elite, RFID, radares, redes
de sensores e muitos outros, ajudam a integrar neg´ocios e pessoas e a encurtar
as distˆancias de forma talvez in´edita. Redes sem fio unem praticidade, mo-
bilidade e facilidade de instala¸c˜ao, e por isso s˜ao muitas vezes preferidas em
detrimento de comunica¸c˜oes cabeadas, com certeza mais confi´aveis por´em de
custo log´ıstico bem mais elevado. A tecnologia avan¸cou tanto nos ´ultimos 20
anos que hoje em dia faz parte da vida de grande parte das pessoas nos pa´ıses
desenvolvidos e de uma parte consider´avel nos pa´ıses em desenvolvimento. A
rede celular, por exemplo, considerada a pioneira em sistemas m´oveis de larga
escala, cresce exponencialmente e contava com mais de 4 bilh˜oes de assinantes
mundialmente no fim de 2008 – 600 milh˜oes apenas na China e 140 milh˜oes
no Brasil (Itu08)
i
. Essas redes atraem n˜ao apenas cada vez maior n´umero
de usu´arios, mas mais fun¸c˜oes tamb´em. Aparelhos que cabem no bolso tˆem
aplica¸c˜oes multim´ıdia de voz e imagem cada vez mais sofisticadas.
A massifica¸c˜ao das redes celulares e dos servi¸cos sem fio em geral tem
como base avan¸cos t´ecnicos important´ıssimos que foram fruto das contribui-
¸c˜oes de engenheiros ao longo das d´ecadas passadas. Por´em, o uso cada vez mais
diverso das comunica¸c˜oes sem fio em aparelhos cada vez menores ainda traz
desafios para os profissionais de hoje. Um deles prov´em do fato do meio a´ereo
dispor de recursos limitados de espectro. Diferentes usu´arios compartilhando
a mesma faixa de freq¨uˆencia ao mesmo tempo geram interferˆencia entre si, e
por isso a utiliza¸c˜ao inteligente do espectro ´e parte important´ıssima do projeto
de sistemas sem fio. Entretanto, talvez o principal desafio `a expans˜ao das
comunica¸c˜oes wireless sejam as flutua¸c˜oes do canal de r´adio. Em contrapartida
aos sistemas cabeados, onde o canal apresenta pouca ou nenhuma varia¸c˜ao
i
Assinantes, n˜ao usu´arios, como (Itu08) deixa claro. O n´umero de assinantes n˜ao
necessariamente reflete o n´umero de pessoas utilizando o servi¸co, pois h´a gente com mais de
uma assinatura. O documento tamb´em cita que nem sempre os m´etodos de contagem das
operadoras ´e 100 % confi´avel, especialmente quando se trata de assinantes com servi¸co pr´e-
pago. Em contrapartida, h´a casos, especialmente em regi˜oes mais pobres, onde um aparelho
´e utilizados por mais de uma pessoa.
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 13
no tempo, sinais sem fio s˜ao distorcidos pelo canal de comunica¸c˜ao de forma
aleat´oria e muitas vezes extremamente hostil. Eles tamb´em sofrem de efeitos
multi-percurso, em que o sinal chega ao seu destino atrav´es de v´arios caminhos
distintos em tempos diferentes, o que gera espalhamento e distor¸c˜ao.
As alternativas para o combate aos efeitos delet´erios do canal r´adio s˜ao
v´arias. Algumas das mais faladas atualmente tanto na ind´ustria como na
academia s˜ao os sistemas de transmiss˜ao CDMA (Code Division Multiple Ac-
cess), OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) e MIMO (Multiple
Input, Multiple Output). Alguma dessas tecnologias (ou uma combina¸c˜ao entre
elas) deve ser eleita como padr˜ao para a pr´oxima gera¸c˜ao de sistemas m´oveis
de altas taxas e confiabilidade. Apesar da decis˜ao final ainda estar suspensa,
o mais popular hoje em dia parece ser o OFDM (Bol06, Wan00, Muq02). Al-
guns movimentos da ind´ustria mostram clara preferˆencia por essa tecnologia.
Como exemplos, podemos citar a ado¸c˜ao do OFDM para a transmiss˜ao digital
de ´audio e v´ıdeo na Europa (Digital Audio Broadcasting , ou DAB, e Digital
Video Broadcasting, ou DVB, respectivamente), e para WMANs e WLANs
nos padr˜oes IEEE 802.11n e 802.16, respectivamente. Esse trabalho foca jus-
tamente o OFDM. O Cap´ıtulo 2 cobre os principais aspectos dessa tecnologia,
delineando suas vantagens e desvantagens mais fundamentais.
Uma parte fundamental de sistemas OFDM de alto desempenho ´e a
identifica¸c˜ao do canal no receptor. Essa identifica¸c˜ao, se feita de forma precisa,
pode reverter os efeitos nocivos do canal e gerar uma replica¸c˜ao sem erros
da informa¸c˜ao. A sistemas OFDM que necessitam da estima¸c˜ao do canal
para a detec¸c˜ao d´a-se o nome de coerentes. A alternativa s˜ao os sistemas de
modula¸c˜ao diferencial. Essa t´ecnica dispensa a estima¸c˜ao do canal, mas perde
em desempenho.
´
E resultado conhecido da literatura que sistemas de modu-
la¸c˜ao diferencial desperdi¸cam de 3 a 4 dB em SNR e resultam geralmente em
baixas taxas (Cim85, Li98). Para as aplica¸c˜oes mais exigentes em qualidade de
servi¸co, isso ´e inaceit´avel. Logo, esse texto trata apenas de sistemas coerentes.
Parte fundamental desse trabalho visa discutir as alternativas para es-
tima¸c˜ao e cancelamento dos efeitos do canal m´ovel nos sinais de comunica¸c˜ao
em sistemas OFDM. Existem basicamente duas maneiras de estimar o com-
portamento do canal: por uma seq¨uˆencia de treinamento ou de forma cega. A
´ultima op¸c˜ao ´e inadequada para sistemas m´oveis. O canal r´adio ´e dinˆamico e
pode variar rapidamente, e estima¸c˜ao cega requer um grande n´umero de ob-
serva¸c˜oes para obter resultados bons. A seq¨uˆencia de treinamento consiste no
envio de s´ımbolos conhecidos por ambos transmissor e receptor, os chamados
s´ımbolos-piloto. Os s´ımbolos-piloto s˜ao multiplexados em meio `a transmiss˜ao
dos dados e fornecem amostras do comportamento do canal em determinado
Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 14
instante. O receptor deve colher essas amostras e gerar a melhor estimativa
poss´ıvel do canal para utiliz´a-las na detec¸c˜ao.
Os sistemas a serem estudados ser˜ao divididos de forma geral em dois
tipos, os de enlace aberto e os de enlace fechado. Nos primeiros, discutidos
em detalhe no Cap´ıtulo 3, voltamos a aten¸c˜ao para como melhor processar
as amostras obtidas nos pilotos para a estima¸c˜ao completa e sem erros do
canal. Estaremos interessados em explorar a correla¸c˜ao tanto temporal quanto
espacial do canal m´ovel para obtermos uma melhor estima¸c˜ao. Quanto melhor
a estima¸c˜ao, obviamente, melhor ser´a o desempenho do sistema como um todo.
Nos sistemas de enlace fechado, estudados no Cap´ıtulo 4, aproveita-
se o enlace reverso para a transmiss˜ao de informa¸c˜oes sobre o estado do
canal. Em comunica¸c˜oes sem fio ´e comum que haja um desequil´ıbrio entre
as duas partes envolvidas. Por exemplo, em comunica¸c˜oes m´oveis celulares, a
esta¸c˜ao de r´adio-base (ERB) disp˜oe de muito mais recursos de processamento
e potˆencia do que a unidade m´ovel; em comunica¸c˜oes por sat´elite, a base
terrestre possui muito mais op¸c˜oes de manobra do que o sat´elite em si. Em
enlaces fechados, o usu´ario forte (ERB ou esta¸c˜ao terrestre nos exemplos
citados) pode ajudar o usu´ario fraco (o celular ou o sat´elite) a otimizar
a transmiss˜ao na dire¸c˜ao onde ela ´e mais delicada. Alguns m´etodos foram
propostos na literatura sobre como melhor utilizar o enlace reverso, e as
propostas incluem pr´e-equaliza¸c˜ao, aloca¸c˜ao dinˆamica de potˆencia e aloca¸c˜ao
dinˆamica de pilotos (Wan00, Gol02, Pan08). Essa ´ultima receber´a aten¸c˜ao
especial. Foi recentemente mostrado em artigo que a aloca¸c˜ao de pilotos tem o
potencial de melhorar a taxa de erro do sistema de forma impressionante,
sobrepujando facilmente as alternativas para o uso do enlace reverso. No
Cap´ıtulo 4 encontra-se a principal contribui¸c˜ao deste trabalho. Prop˜oe-se o
esquema ´otimo e um sub-´otimo em rela¸c˜ao `a probabilidade de erro de bit para
a aloca¸c˜ao dos pilotos, assim como an´alise detalhada de por que o desempenho
´e melhor.
Encerramos com coment´ario finais e sugest˜oes para futuros trabalhos no
Cap´ıtulo 5.
2
OFDM: Princ´ıpios B´asicos
Esse cap´ıtulo visa mostrar os princ´ıpios fundamentais da transmiss˜ao
OFDM. Primeiramente, apresentamos um breve hist´orico. Trabalhos mais
detalhados sobre a evolu¸c˜ao do OFDM podem ser encontrados em (Zou95,
Bin90). Boas introdu¸c˜oes ao assunto (algumas bem mais detalhadas do que a
an´alise que segue) podem ser achadas em (Edf96, Wan00, Muq02, Mar05).
OFDM ´e um tipo de tecnologia variante do Frequency Division Mul-
tiplexing (FDM) (em portuguˆes, multiplexa¸c˜ao por divis˜ao de freq¨uˆencia)
i
.
Dado um canal de banda limitada, os sistemas FDM transmitem sinais si-
multˆaneos em bandas distintas. O receptor separa os sinais de cada banda
por meio de filtros. Esses sistemas necessitam de filtros relativamente precisos
para n˜ao haver desperd´ıcio de espectro com bandas de guarda. Apesar disso
e de outras deficiˆencias, h´a muito tempo sistemas multi-portadoras chamam
aten¸c˜ao por qualidades importantes em rela¸c˜ao a sistemas de portadora ´unica.
Comentaremos mais a seguir.
Na d´ecada de 60, alguns pesquisadores analisaram a transmiss˜ao de sinais
em blo co multiplexados em freq¨uˆencia com a utiliza¸c˜ao de sub-canais ortogo-
nais
ii
– a partir desse ponto podemos falar em OFDM. Um banco de osciladores
tanto no transmissor quanto no receptor separava os sinais referentes a cada
sub-canal e um intervalo de guarda entre blocos subseq¨uentes evitava inter-
ferˆencia de blocos anteriores. Em condi¸c˜oes ideais, o sistema proposto elimi-
nava tanto a interferˆencia entre sub-portadoras (inter-channel interference, ou
ICI) quanto a interferˆencia entre blocos (inter-block interference, ou IBI).
Um grande passo adiante para a praticidade de sistemas OFDM veio com
o trabalho de Weinstein e Ebert (Wei71). A utiliza¸c˜ao do banco de osciladores
tornava complicada e custosa a gera¸c˜ao de sinais OFDM, e Weinstein e
Ebert contornaram esse problema ao descrever um esquema de modula¸c˜ao
e demodula¸c˜ao que p odia ser facilmente implementado com a transformada
de Fourier discreta (Discrete Fourier Transform, ou DFT). Esse trabalho
propunha a utiliza¸c˜ao de intervalos de guarda entre blocos subseq¨uentes e
i
O Apˆendice A lista as abrevia¸c˜oes utilizadas ao longo desse trabalho.
ii
Nesse trabalho, usaremos os termos sub-canal, sub-portadora e tom de forma inter-
cambi´avel.
Cap´ıtulo 2. OFDM: Princ´ıpios B´asicos 16
pulsos cosseno levantado para mitigar a ICI e a IBI. Mesmo assim, perdia-se
um pouco da ortogonalidade entre as sub-portadoras, ou seja, ainda havia ICI
presente.
A tecnologia OFDM ganhou maturidade com o trabalho de Peled e
Ruiz (Pel80), que introduziram o prefixo-c´ıclico (cyclic-prefix, ou CP). O CP
consistia em replicar a parte final do blo co a ser transmitido no intervalo
de guarda anterior ao bloco. Em outras palavras, ao inv´es de se utilizar um
intervalo de guarda silencioso, propunha-se transmitir uma c´opia da parte final
do bloco no intervalo de guarda. O sistema equivalente pode ser interpretado
como uma s´erie de sub-canais ortogonais, ou seja, em condi¸c˜oes ideais com
zero ICI e zero IBI. Cada sub-canal apresentava uma resposta em freq¨uˆencia
aproximadamente plana, ou seja, os s´ımbolos de dados eram multiplicados por
uma constante complexa equivalente `a resposta de freq¨uˆencia daquele sub-
canal.
Esse cap´ıtulo apresenta a t´ecnica OFDM em seus princ´ıpios b´asicos.
Primeiramente analisamos o OFDM em seu modelo cont´ınuo, que ´e de en-
tendimento mais f´acil, na Se¸c˜ao 2.1. Analisamos brevemente uma compara¸c˜ao
entre sistemas paralelos e seriais na Se¸c˜ao 2.2. A seguir, voltamos aten¸c˜ao para
o equivalente discreto na Se¸c˜ao 2.3, que ´e o modelo mais moderno e o que ´e
realmente utilizado. Finalmente, comentamos na Se¸c˜ao 2.4 sobre o modelo de
canal que ser´a adotado.
2.1
Modelo Cont´ınuo
Considere um canal de banda B Hz. O sistema OFDM divide o espectro
dispon´ıvel em K sub-canais de largura ∆
f
= B/K. O modelo cont´ınuo deve
contar, portanto, com K osciladores, cada um referente a um sub-canal. A Fig.
2.1 mostra o diagrama de blocos para o processamento a ser feito. A envolt´oria
complexa do sinal referente ao n-´esimo bloco ´e dada por
s
n
(t) =
K−1
l=0
x
l
n
φ
l
(t − nT
), nT
≤ t ≤ (n + 1)T
, (2-1)
onde
φ
l
(t) =
1
√
T
exp [2πl∆
f
(t − T
cp
)]
T
(t) (2-2)
s˜ao as sub-portadoras, indexadas por l = 0, ··· , K − 1 e espa¸cadas de
∆
f
= 1/T
= B/K Hz e
T
(t) =
1, 0 ≤ t ≤ T
0, caso contr´ario.
(2-3)
Cap´ıtulo 2. OFDM: Princ´ıpios B´asicos 17
Transmissor ReceptorCanal
Figura 2.1: Modelo de transmiss˜ao OFDM cont´ınuo.
T´
T
cp
tempo
CP
T
Figura 2.2: Prefixo c´ıclico para o n-´esimo bloco de dados para o modelo
cont´ınuo.
´e a fun¸c˜ao pulso retangular. As vari´aveis complexas x
k
n
s˜ao pontos da conste-
la¸c˜ao X, com cada ponto codificando log
2
X
bits –
X
indica a cardinalidade
do conjunto. Usaremos sempre o sub-escrito para designar tempo (nesse caso, o
bloco de transmiss˜ao) e o sobre-escrito para indexar freq¨uˆencia (nesse caso, um
determinado sub-canal). Portanto, x
l
n
deve ser lido como o s´ımbolo do l-´esimo
sub-canal referente ao n-´esimo bloco.
A an´alise de (2-1) deixa claro o porquˆe da interpreta¸c˜ao usual do sistema
OFDM, que ´e a de K sub-canais carregando simultˆanea e independentemente
uma taxa de dados baixa. A transmiss˜ao ´e simultˆanea porque o bloco de
s´ımbolos x
n
=
x
0
n
··· x
K−1
n
T
´e transmitido de uma s´o vez, cada s´ımbolo
em uma sub-portadora diferente. E as sub-portadoras s˜ao independentes pois
s˜ao ortogonais entre si, ou seja,
T
T
cp
φ
l
(t)φ
k
(t)dt =
1, l = k
0, l = k.
(2-4)
Observar em (2-2) que a dura¸c˜ao de cada bloco ´e de T
= T
cp
+T = T
cp
+K/B.
O intervalo T
cp
´e o intervalo de guarda entre blocos OFDM adjacentes. Esse
tempo ´e preenchido por uma c´opia dos ´ultimos T
−T
cp
segundos da forma de
Cap´ıtulo 2. OFDM: Princ´ıpios B´asicos 18
onda moduladora, como mostrado na Fig. 2.2. A essa c´opia damos o nome de
prefixo c´ıclico. Veremos em breve sua utilidade.
O sinal recebido referente ao n-´esimo bloco transmitido ´e dado por
r
n
(t) = h(t − τ) s
n
(t) + h(t − τ) s
n−1
(t) + z(t),
nT
≤ t ≤ (n + 1)T
, (2-5)
onde denota convolu¸c˜ao
iii
, h(t−τ) ´e a resposta do canal a um impulso aplicado
no instante τ e z(t) ´e ru´ıdo complexo, gaussiano, branco e com densidade
espectral de potˆencia σ. O termo que cont´em s
n−1
(t) ´e relativo ao IBI.
Consideramos duas coisas sobre a resposta do canal em (2-5). Primeira-
mente, ela ser´a tida como constante durante um bloco OFDM. Isso faz com
que possamos escrevˆe-la como h
n
(t) para o n-´esimo blo co. Essa hip´otese ´e
usual em grande parte dos estudos sobre OFDM. Al´em disso, considera-se que
a resposta ao impulso do canal tem dura¸c˜ao m´axima de T
h
segundos, isto ´e,
h
n
(t) = 0, ∀n, ∀t > T
h
.
´
E fundamental para o bom funcionamento do sistema
OFDM que a dura¸c˜ao do CP exceda T
h
, i.e. T
cp
> T
h
. Em outras palavras,
a resposta ao impulso do canal deve caber toda ela na dura¸c˜ao do prefixo
c´ıclico. Sempre consideraremos isso a partir de agora. Levando em conta esses
dois fatos, podemos re-escrever (2-5) como
r
n
(t) =
T
cp
0
h
n
(τ)s
n
(t − τ ) + h
n−1
(τ)s
n−1
(t − τ )
dτ + z(t),
nT
≤ t ≤ (n + 1)T
. (2-6)
O receptor consiste em K correlatores, cada um casado ao intervalo
[T
cp
, T
] de uma das formas de onda em (2-2) (ver Fig. 2.1). Definimos a sa´ıda
do k-´esimo integrador como
r
k
n
=
(n+1)T
nT
+T
cp
r
n
(t)φ
k
(t − nT
)dt, (2-7)
que, ap´os troca de vari´avel, resulta em
r
k
n
=
T
T
cp
r
n
(t + nT
)φ
k
(t)dt, (2-8)
que, por sua vez, ao ser combinada com (2-6), vem a ser
r
k
n
=
T
T
cp
T
cp
0
h
n
(τ)s
n
(t + nT
− τ)dτ + z(t + nT
)
φ
k
(t)dt. (2-9)
Aqui j´a n˜ao precisamos levar em conta o termo relativo ao IBI, pois a resposta
iii
O Apˆendice B lista os operadores matem´aticos usados ao longo desse trabalho.
Cap´ıtulo 2. OFDM: Princ´ıpios B´asicos 19
ao bloco anterior fica toda ela limitada ao intervalo [0, T
cp
]. Lembrar que
estamos considerando h
n
(t) = 0, ∀n, t > T
cp
. Essa ´e uma das fun¸c˜oes do
CP. Caso T
cp
> T
h
, que ´e o que estamos considerando, a IBI sempre ser´a zero.
Utilizando a defini¸c˜ao de s
n
(t) em (2-1) e re-organizando, obtemos
r
k
n
=
T
T
cp
T
cp
0
h
n
(τ)
K−1
l=0
x
k
n
φ
l
(t − τ )dτ + z(t + nT
)
φ
k
(t)dt
=
K−1
l=0
x
l
n
T
T
cp
T
cp
0
h
n
(τ)φ
l
(t − τ )φ
k
(t)dτ
dt + z
k
n
. (2-10)
Aqui z
k
n
=
T
T
cp
φ
k
(t)z(t + nT
)dt ´e a componente do ru´ıdo na detec¸c˜ao. Essa
perturba¸c˜ao tem variˆancia σ, ´e complexa, gaussiana e branca
iv
.
Focaremos agora na integral em τ, que definimos por T . Seja
T =
T
cp
0
h
n
(τ)φ
l
(t − τ )dτ
=
1
√
T
e
2πl∆
f
(t−T
cp
)
T
cp
0
h
n
(τ) exp [−2πl∆
f
τ]
T
(t − τ) dτ. (2-11)
A integral acima ´e a convolu¸c˜ao de dois sinais. Abaixo, aplicamos a transfor-
mada inversa e direta de Fourier, representadas por F
−1
e F, respectivamente.
Obt´em-se
T =
1
√
T
e
2πl∆
f
(t−T
cp
)
F
−1
F
h
n
(t) exp [−2πl ∆
f
t]
T
(t)
=
1
√
T
e
2πl∆
f
(t−T
cp
)
F
−1
q
n
(f + l∆
f
) ×
1
∆
f
sinc
f
∆
f
exp [−2πfT
/2]
≈
1
√
T
e
2πl∆
f
(t−T
cp
)
q
n
(l∆
f
)
T
(t)
= q
l
n
φ
l
(t), (2-12)
onde usamos a propriedade de que a convolu¸c˜ao de fun¸c˜oes no tempo equivale
ao produto das respectivas transformadas na freq¨uˆencia e definimos q
l
n
como
a transformada de Fourier da resposta ao impulso h
n
(t) amostrada no sub-
canal l. Matematicamente, escrevemos q
n
(f) = F (h
n
(t)) e q
l
n
= q
n
(l∆
f
). A
aproxima¸c˜ao vem do fato de que a fun¸c˜ao sinc(·) em (2-12) ´e t˜ao estreita em
rela¸c˜ao `as varia¸c˜oes da resposta de freq¨uˆencia do canal que podemos considerar
que essa ´ultima ´e constante na dura¸c˜ao efetiva do sinc(·) e aproximar o pro duto
q
n
(f +l∆
f
)×1/∆
f
sinc (f/∆
f
) por q(f +l∆
f
)
|f=0
×1/∆
f
sinc (f/∆
f
). Em outras
palavras, q
l
n
= q(f + l∆
f
)
|f=0
funciona como um ganho para a fun¸c˜ao sinc(·), e
iv
Notar que a variˆancia do ru´ıdo ´e definida por σ, e n˜ao σ
2
, como ´e mais usual.
Cap´ıtulo 2. OFDM: Princ´ıpios B´asicos 20
dessa forma pode ser pode ser ignorado na opera¸c˜ao da transformada inversa
de Fourier.
Substituindo (2-12) em (2-10), obtemos
r
k
n
≈
K−1
l=0
x
l
n
q
l
n
T
T
cp
φ
l
(t)φ
k
(t)dt + z
k
n
. (2-13)
Utilizando (2-4), ´e f´acil chegar a (ignora-se a aproxima¸c˜ao a partir desse ponto)
r
k
n
= x
k
n
q
k
n
+ z
k
n
, (2-14)
que por sua ver pode ser escrita em forma matricial para a transmiss˜ao do
n-´esimo bloco como
r
n
= diag {q
n
}x
n
+ z
n
, (2-15)
onde q
n
= [q
0
n
···q
K−1
n
]
T
e diag {·}´e um operador de transforma¸c˜ao de um vetor
para uma matriz quadrada com os elementos do vetor na diagonal principal. Ou
seja, o esquema de transmiss˜ao mostrado na Fig. 2.1 se reduz essencialmente
a um sistema paralelo e ruidoso de transmiss˜ao de dados onde os s´ımbolos s˜ao
multiplicados pela resposta em freq¨uˆencia do sub-canal correspondente. Caso
as hip´oteses feitas sobre o canal sejam verdadeiras e caso haja sincronismo
perfeito entre transmissor e receptor, n˜ao h´a ICI nem IBI. Como cada s´ımbolo
´e distorcido por somente um n´umero complexo, um equalizador de apenas 1
tap ´e necess´ario para cada sub-canal.
2.2
Transmiss˜ao paralela vs. Transmiss˜ao serial
Dada a mesma banda de B Hz, poder´ıamos projetar um sistema de
transmiss˜ao serial, de portadora ´unica, com a mesma taxa de dados para
compara¸c˜ao com o OFDM. O s´ımbolo da portadora ´unica (single carrier, ou
SC) seria de curta dura¸c˜ao, T
s
= T
/K e a banda ocupada seria K∆
f
– ou
seja, um s´ımbolo SC ocuparia a banda inteira dispon´ıvel.
As vantagens do sistema OFDM nessa disputa s˜ao v´arias. Pelo fato de
que os s´ımbolos s˜ao de longa dura¸c˜ao, os efeitos de espalhamento do canal
s˜ao limitados. Na transmiss˜ao serial, os efeitos da interferˆencia entre s´ımbolos
consecutivos ´e bastante nociva, o que faz com que sistemas de portadora ´unica
necessitem de equalizadores complexos, de v´arios taps. A equaliza¸c˜ao do sinal
recebido OFDM, como visto anteriormente, ´e muito mais simples. Esse fato
pode ser interpretado com a ajuda da Fig. 2.3. Pelo fato de ∆
f
ser relativamente
pequeno, cada sub-portadora experimenta um canal aproximadamente plano
na freq¨uˆencia, enquanto que o sinal serial sofre distor¸c˜ao seletiva em freq¨uˆencia.
O sistema OFDM tamb´em d´a margem para manobras interessantes.
Como a transmiss˜ao em cada sub-canal ´e independente das outras, pode-se
Cap´ıtulo 2. OFDM: Princ´ıpios B´asicos 21
Eixo Y
f
Eixo Y
f
K sub-portadoras
resposta em freqüência do canal
Figura 2.3:
`
A esquerda, ilustra¸c˜ao de um sistema com portadora ´unica. O
espectro do sinal ´e seriamente distorcido pelo canal.
`
A direita, sistema de multi-
portadoras ortogonais. Sub-canais OFDM encontram canais aproximadamente
planos na freq¨uˆencia.
carregar mais bits em canais mais favor´aveis e menos bits em canais ruins.
Isto ´e, a potˆencia n˜ao precisa necessariamente ser uniformemente distribu´ıda
entre os sub-canais. Isso ´e especialmente indicado em comunica¸c˜oes cabeadas,
j´a que essas contam com canais com pouca varia¸c˜ao temporal. Os sistemas
DSL (Digital Subscriber Lines) foram padronizados com uma variante do
OFDM, chamada Discrete Multitone (DMT), em que h´a margem para aloca¸c˜ao
dinˆamica de potˆencia. Trabalhos sobre como melhor alocar potˆencia ou bits
em um sistema DMT existem tanto para um ´unico usu´ario (ver, por exemplo
(Cam99) e referˆencias) quanto para v´arios usu´arios que interferem entre si (ver
(Mor08) e referˆencias).
Outra op¸c˜ao interessante, essa mais voltada para sistemas sem fio, ´e a
aloca¸c˜ao dinˆamica de s´ımbolos-piloto. Esse assunto ser´a abordado em detalhe
no Cap´ıtulo 4.
2.3
Modelo Discreto
As vantagens de sistemas multi-portadoras sobre sistemas de transmiss˜ao
serial s˜ao bastante importantes, mas os sistemas OFDM cont´ınuos sofrem de
graves problemas de complexidade de implementa¸c˜ao. Cada sub-canal equi-
vale a um oscilador e um correlator, um no transmissor e outro no receptor,
respectivamente, o que para valores de K elevados ´e bastante problem´atico.
Esses problemas prov´em tanto da implementa¸c˜ao f´ısica como para quest˜oes de
sincronismo de portadora.
Os sistemas OFDM tiveram imenso ganho em praticidade com o uso de
uma implementa¸c˜ao completamente digital do esquema de modula¸c˜ao. A Fig.
2.4 ilustra os passos para a transmiss˜ao. Nesse esquema n˜ao h´a bancos de
osciladores. O processamento ´e feito todo em banda b´asica, e a obten¸c˜ao da
ortogonalidade entre as portadoras dispensa filtros ou correlatores.
Cap´ıtulo 2. OFDM: Princ´ıpios B´asicos 22
Transmissor ReceptorCanal
D/A A/D
Figura 2.4: Modelo de transmiss˜ao OFDM discreto.
K´
L
cp
CP
K
Figura 2.5: Prefixo c´ıclico para o n-´esimo bloco de dados para o modelo
discreto.
O sistema discreto ´e basicamente o mesmo do cont´ınuo, se feitos os
devidos ajustes. Inicialmente ´e tirada a transformada inversa de Fourier
(IDFT) do bloco de s´ımbolos, ou seja, F
−1
x
n
, onde F
−1
´e uma matriz (K ×K)
que representa a opera¸c˜ao de IDFT (F
−1
[i, j] = 1/K exp[2πij/K] ´e o seu
(i, j)-´esimo elemento). Notar a semelhan¸ca com a modula¸c˜ao em (2-1) e (2-2).
A matriz de IDFT efetivamente “modula” o bloco, o que pode ser observado
mais facilmente analisando o i-´esimo componente do vetor (F
−1
x
n
), i.e.
F
−1
x
n
[i] =
1
K
K−1
j=0
x
j
n
exp [2πij/K] . (2-16)
O sinal discreto a ser enviado ao canal ´e dado por
s
n
= CF
−1
x
n
, (2-17)
onde C, de tamanho ((K + L
cp
) × K), ´e a matriz que insere o CP e ´e da forma
C =
0
L
cp
×(K−L
cp
)
I
L
cp
− − − − − − − −
I
K
, (2-18)
Aqui, 0
L
cp
×(K−L
cp
)
´e uma matriz de zeros com as dimens˜oes especificadas pelo
sub-escrito e I
K
´e uma matriz identidade de lado K. O bloco enviado ao canal
Cap´ıtulo 2. OFDM: Princ´ıpios B´asicos 23
tem portanto K
= K + L
cp
elementos, pois inclui um CP de tamanho L
cp
.
O uso do CP tem o mesmo efeito obtido no modelo cont´ınuo: insere-se uma
r´eplica dos L
cp
´ultimos pontos de F
−1
x
n
no in´ıcio do vetor (ver Fig. 2.5). Em
seguida, o sinal discreto ´e convertido para uma forma de onda de freq¨uˆencia
adequada, amplificado e enviado ao canal.
Ap´os demodula¸c˜ao e amostragem a intervalos de T
s
= T
/K no receptor,
o efeito do canal pode ser representado pela matriz H
n
, de tamanho (K
×K
),
dada por
H
n
=
h
n
[0]
h
n
[L
h
-1]
h
n
[L
h
-1] h
n
[0]
. (2-19)
Aqui a linha pontilhada limita a regi˜ao onde a matriz ´e n˜ao-nula. Os ele-
mentos de H
n
s˜ao elementos da resposta ao impulso do canal amostradas a
uma taxa T
s
, ou seja, h
n
[i] = h
n
(iT
s
), i = 0, ··· , L
h
− 1. Considera-se que
h
n
[i] = 0, ∀n, ∀i > L
h
, onde L
h
= T
h
/T
s
+ 1 (a ´e o maior inteiro menor
do que a). Dessa forma, o sinal recebido ´e dado por
˜
r
n
= H
n
s
n
+ H
ibi
s
n−1
+
˜
z
n
,
de tamanho (K
× 1). A pr´e-multiplica¸c˜ao pela matriz em (2-19) equivale `a
convolu¸c˜ao discreta do bloco s
n
com o vetor h
n
=
h
n
[0] ··· h
n
[L
h
− 1]
T
.
O receptor deve a seguir retirar o CP e tomar a transformada de Fourier (DFT)
de K pontos do bloco recebido. A primeira dessas tarefas ´e feita com a matriz
¯
C, dada por
¯
C =
0
K×L
cp
I
K
. (2-20)
A matriz de DFT ´e dada por F, com F[i, j] = exp{−2πij/K}, i, j =
0, ··· , K − 1.
Ap´os esse processamento, obtemos
r
n
= F
¯
CH
n
s
n
+ F
¯
CH
ibi
CF
−1
x
n−1
+ F
¯
C
˜
z
n
= F
¯
CH
n
C

H
C
F
−1
x
n
+ z
n
. (2-21)
De forma semelhante ao modelo cont´ınuo, a retirada do CP no receptor elimina
a IBI. Definimos acima o ru´ıdo na detec¸c˜ao como z
n
= F
¯
C
˜
z
n
.
Em (2-21), definimos a matriz H
C
¯
CH
n
C. N˜ao ´e dif´ıcil ver que o efeito
da inser¸c˜ao e retirada do CP, desde que L
cp
> L
h
, deixa a matriz do canal da
seguinte forma:
Cap´ıtulo 2. OFDM: Princ´ıpios B´asicos 24
H
C
=
h
n
[0] h
n
[L
h
-1] h
n
[1]
h
n
[L
h
-1]
h
n
[L
h
-1]
h
n
[L
h
-1] h
n
[0]
(2-22)
que ´e uma matriz circulante de tamanho (K ×K). De novo os valores n˜ao-nulos
em (2-22) s˜ao limitados pelas linhas pontilhadas. Assim, re-escrevemos (2-21)
como
r
n
= FH
C
F
−1
x
n
+ z
n
. (2-23)
E, finalmente, aproveita-se o fato de que uma matrix circulante pode ser
diagonalizada com pr´e- e p´os-multiplica¸c˜ao por matrizes de DFT e IDFT,
respectivamente (Wan00). O resultado ´e uma matriz quadrada com a diagonal
contendo a resposta em freq¨uˆencia do canal discreto, isto ´e,
r
n
= diag {q
n
}x
n
+ z
n
. (2-24)
Note a similaridade entre os vetores (2-24) e (2-15). Vˆe-se que no modelo
discreto as utilidades do CP s˜ao duas: evitar o IBI e tornar a matriz do canal
circulante. Vale enfatizar que, para o modelo discreto, a ortogonalidade entre as
sub-portadoras ´e obtida por processamento de sinal em banda-base, e n˜ao por
meio de filtragem em banda passante (Bin90). Isso corresponde a um ganho de
simplicidade imenso. Usando a fast fourier transform (FFT), sistemas OFDM
de grande escala s˜ao implementados hoje em dia em diversas tecnologias, tanto
para sistemas sem fio quanto para cabeados.
A t´ıtulo de curiosidade, citamos uma alternativa `a transmiss˜ao OFDM
com CP. Essa proposta acrescenta L
cp
zeros ao bloco a ser transmitido, e
por isso ´e usualmente chamada de zero-padding (ZP) (Muq02, Mar05). O
receptor ZP ´e mais robusto do que o CP, por´em mais complexo. Nesse trabalho,
trabalhamos apenas com o CP. A partir desse ponto sempre que nos referirmos
a OFDM, estamos implicitamente referindo-nos ao CP-OFDM.
O modelo em (2-24) sup˜oe sincroniza¸c˜ao perfeita entre transmissor e
receptor. Consideramos isso ao longo desse texto. Cen´arios menos ideais
quebram a ortogonalidade entre as sub-portadoras, o que produz ICI. H´a
tamb´em o problema do pico de potˆencia elevado (mais conhecido como peak
to averare power ratio, ou PAPR). O somat´orio de K sen´oides de freq¨uˆencia
diferentes pode gerar picos que, ao passarem por um amplificador de potˆencia,
geram distor¸c˜ao e desperd´ıcio de energia. A pesquisa sobre redu¸c˜ao desse efeito
Cap´ıtulo 2. OFDM: Princ´ıpios B´asicos 25
´e interessante e rica (ver, por exemplo, (Jia08) e referˆencias). Entretanto,
tamb´em ignoramos essa dificuldade.
2.4
Modelagem do canal discreto
O canal discreto no tempo h
n
possui L
h
taps e ´e modelado como
estacion´ario no sentido amplo (ESA) e variante no tempo. Os taps s˜ao
independentes entre si e cada seq¨uˆencia {h
n
[l]} segue uma correla¸c˜ao do tipo
R
h,t
[n] = J
0
2πf
m
n
, (2-25)
em que J
0
(·) ´e a fun¸c˜ao de Bessel de ordem zero, e f
m
´e o m´aximo desvio
Doppler. Isso quer dizer que para uma dada realiza¸c˜ao de canal, o canal no
instante seguinte ´e gerado seguindo a fun¸c˜ao autocorrela¸c˜ao de Rayleigh, mais
conhecida como modelo de Jakes (Jak74). Seguimos um perfil decrescente para
as potˆencias m´edias dos taps, ou seja, os primeiros elementos do vetor h ter˜ao
mais potˆencia que os ´ultimos. O perfil de potˆencia ´e o mesmo sugerido em
(Pan08),
γ[l] = σ
l
= ρ exp
1 − l
2L
h
, l = 0, 1, ··· , L
h
− 1, (2-26)
onde σ
l
´e a potˆencia do l-´esimo tap, e ρ ´e uma constante de controle que garante
L
h
−1
l=0
γ[l] = 1. Cada tap tem, portanto, correla¸c˜ao R
l,t
[n] = E
h
i
[l ] h
∗
i+n
[l]
=
γ[l]R
h,t
[n]. Como os taps s˜ao independentes, a correla¸c˜ao espacial entre eles
pode ser organizada em forma de matriz da seguinte forma:
R
hh
= E
h
n
h
H
n
=
γ(0)
.
.
.
γ(L
h
− 1)
= diag {γ}, (2-27)
onde γ ´e um vetor (L × 1) com as potˆencias de cada tap do canal, isto ´e,
γ = [γ[0] ··· γ[L
h
− 1]]
T
.
Cada tap ´e gerado com o modelo autoregressivo de varia¸c˜ao proposto em
(Bad05) e ilustrado na Fig. 2.6. O n-´esimo valor atual do canal ´e obtido com
a filtragem dos valores anteriores pelo filtro α, de comprimento Q.
h
n
[l] = −
Q−1
i=0
α
i
h
n−i−1
[l] + c
n
. (2-28)
Os coeficientes do filtro s˜ao obtidos com
α = −R
−1
ll,t
v, (2-29)
Cap´ıtulo 2. OFDM: Princ´ıpios B´asicos 26
01
z
-1
z
-1
-1
z
-1
Figura 2.6: Filtro autoregressivo para a gera¸c˜ao do canal Rayleigh.
em que R
ll,t
´e a matriz auto correla¸c˜ao da seq¨uˆencia {h
n
[l]} do l -´esimo tap, de
tamanho (Q ×Q), que cont´em os valores da correla¸c˜ao do canal do instante 0
at´e o instante Q−1; e v ´e um vetor (Q×1) que cont´em os valores da correla¸c˜ao
temporal do canal do instante 1 at´e Q. Em forma matem´atica,
R
ll,t
= γ[l]R
hh,t
= γ[l]
R
h,t
[0] R
h,t
[1] . . . R
h,t
[Q − 1]
R
h,t
[1] R
h,t
[0] R
h,t
[Q − 2]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
R
h,t
[Q − 1] R
h,t
[Q − 2] ··· R
h,t
[0]
(2-30)
e
v = γ[l]
R
h,t
[1] R
h,t
[2] . . . R
h,t
[Q]
T
. (2-31)
Ainda em (2-28), a sequˆencia {c
n
} ´e composta de vari´aveis aleat´orias
(VA) gaussianas, complexas e independentes de m´edia zero e matriz autocor-
rela¸c˜ao dada por σ
c
I
N
, onde
σ
c
= R
l,t
[0] +
Q−1
i=1
α
i−1
R
l,t
[−i]. (2-32)
O filtro proposto em (Bad05) funciona apenas se houver Q valores com
a correla¸c˜ao desejada dispon´ıveis como condi¸c˜ao inicial do filtro. Referindo `a
Fig. 2.6, ´e necess´ario que, quando da gera¸c˜ao de h
Q
, os atrasos tenham em
suas entradas valores iniciais com a correla¸c˜ao desejada. Caso isso n˜ao ocorra,
a correla¸c˜ao desejada seria obtida apenas com n → ∞. A gera¸c˜ao da condi¸c˜ao
inicial do filtro pode ser calculada resolvendo a Eq. (2-29) separadamente
para os Q − 1 primeiros instantes. O primeiro valor da sa´ıda, h
0
, tem suas
componentes em fase e quadratura sorteadas independentemente de uma VA
N(0, R
l,t
[0]) – N(x, y) denota gaussiana com m´edia x e variˆancia y. A partir
da´ı, para n = 1, . . . , Q − 1, os coeficientes do filtro α seriam calculados pra
o n-´esimo est´agio por (2-29) e h
n
gerado a cada passo. Quando n = Q, o
filtro α po de ser usado para a gera¸c˜ao de todas as amostras seguintes. De
novo analisando a Fig. 2.6, esse processo equivale a adicionar um est´agio do
Cap´ıtulo 2. OFDM: Princ´ıpios B´asicos 27
0 50 100 150 200 250
−0.5
0
0.5
1
Atraso
R
l
normalizado
Simulado
Teórico
Q
Figura 2.7: Autocorrela¸c˜ao para 5 × 10
6
amostras de uma VA gerada com o
modelo autoregressivo com Q = 200.
filtro a cada novo instante, com seus respectivos coeficientes α(n) calculados,
at´e que o filtro contenha Q est´agios. Garante-se a que a autocorrela¸c˜ao da
seq¨uˆencia gerada ´e igual `aquela desejada at´e o instante Q (para mais detalhes,
ver (Bad05)).
A Fig. 2.7 mostra a autocorrela¸c˜ao simulada e a desejada para um gerador
autoregressivo de tamanho Q = 200. A autocorrela¸c˜ao desejada ´e dada por
(2-27) com f
m
= 5 × 10
−2
. Para a gera¸c˜ao da figura, foram criadas 5 × 10
6
valores da VA de sa´ıda.
3
Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace
Aberto
Nesse cap´ıtulo consideramos a estima¸c˜ao de canal e detec¸c˜ao de sinais
OFDM com enlace aberto, ou seja, sem a possibilidade de troca de informa¸c˜oes
entre os usu´arios fraco e forte (ver ilustra¸c˜ao na Fig. 3.1). Como j´a citado,
a estima¸c˜ao do canal ´e parte integral de sistemas OFDM coerentes. Dada
a observa¸c˜ao do comportamento do canal fornecida pelos pilotos, o receptor
deve fazer o melhor poss´ıvel para estimar o canal por completo e sem erros,
para a seguir detectar os s´ımbolos de informa¸c˜ao. A estima¸c˜ao de canal em
sistemas OFDM de enlace aberto e coerentes ´e assunto j´a bastante estudado na
literatura (Neg98, Mor01, Li98, Cim85, Bee95, San96, Ozd07, Edf98, Col02).
Esse cap´ıtulo tem como objetivo responder `as seguintes perguntas:
1. Qual o melhor ou os melhores perfis de pilotos para a estima¸c˜ao de canal?
2. Dado o melhor perfil de pilotos, qual o melhor estimador poss´ıvel do
canal?
3. Qual ´e o impacto do erro de estima¸c˜ao na probabilidade de erro do
sistema?
Analisaremos o processo de estima¸c˜ao para responder ao primeiro ponto.
Dado um determinado n´umero de pilotos, existem certas ordena¸c˜oes que
produzem melhores estimativas do que outras. Queremos determinar qual a
melhor ou as melhores. A fim de responder `a segunda pergunta, a Se¸c˜ao 3.1
apresentar´a as t´ecnicas ML, MMSE, e a combina¸c˜ao delas com um filtro de
Wiener. Os estimadores ML e MMSE tˆem por objetivo explorar a correla¸c˜ao
em freq¨uˆencia entre os sub-canais OFDM. Como cada tom OFDM ´e resultado
da transformada de Fourier de um mesmo canal no tempo, h
n
, em freq¨uˆencias
espa¸cadas de 2π/K, ´e de se esperar que a resposta em freq¨uˆencia do canal
seja relativamente suave, ou seja, que tons adjacentes tenham resposta em
freq¨uˆencia correlacionadas. O filtro de Wiener ser´a aplicado, por sua vez, para
explorar a correla¸c˜ao temporal do canal. Para o canal r´adio, os vetores de
resposta ao impulso h
n
e h
n−1
s˜ao diferentes mas correlacionados – e ´e esse o
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 29
Bloco de dados
Usuário fraco
Usuário forte
1) Estimação
do canal
2) Detecção
Figura 3.1: Modelo de comunica¸c˜oes com enlace aberto.
fato explorado pelo filtro de Wiener. A Se¸c˜ao 3.2 analisa a recep¸c˜ao do sinal
OFDM. Com conclus˜oes tiradas dessa an´alise teremos condi¸c˜ao de responder
`a terceira pergunta na Se¸c˜ao 3.3. Encerrando esse cap´ıtulo, apresentamos uma
s´erie de experimentos demonstrando alguns aspectos interessantes dos assuntos
discutidos.
3.1
Estima¸c˜ao do canal
De in´ıcio, considere um sistema OFDM de K sub-canais e K
p
s´ımbolos-
piloto. Consideraremos, sem perda de generalidade, que uma modula¸c˜ao PSK
de energia de s´ımbolo E
s
= 1 ´e usada em cada sub-canal. A constela¸c˜ao ´e
formada por s´ımbolos x
i
∈ X, i = 1, . . . ,
X
, com cada s´ımbolo codificando
log
2
(
X
) bits. O sinal na recep¸c˜ao levando em conta o modelo idealizado
discutido no Cap´ıtulo 2, no instante n, ´e dado por (2-24), que repetimos aqui
para facilitar a leitura.
r
n
= x
n
diag {q
n
} + z
n
= diag {x
n
}q
n
+ z
n
= X
n
F
L
h
n
+ z
n
,
onde r
n
, x
n
, q
n
e z
n
, s˜ao vetores (K × 1), representando, respectivamente, o
bloco recebido, o bloco enviado, a resposta do canal discreto na freq¨uˆencia e o
vetor de ru´ıdo gaussiano, branco e complexo com matriz autocorrela¸c˜ao σI
K
;
X
n
´e a matriz com os s´ımbolos em sua diagonal; e F
L
´e a matriz de DFT
com as L primeiras colunas
i
de F, portanto de tamanho (K × L), em que
F[k, l] = exp{−2πkl/K}, k = 0, ··· , K − 1 e l = 0, ··· , L − 1.
A estima¸c˜ao do canal depende de quantos s´ımbolos-pilotos s˜ao usados
e de sua disposi¸c˜ao no bloco. Dado K
p
e um posicionamento para os pilotos,
temos s´ımbolos conhecidos na recep¸c˜ao dos tons que cont´em pilotos. Pode-se
ent˜ao amostrar o canal na freq¨uˆencia para a seguir interpolar esse resultado
i
Na verdade, com as L
h
primeiras colunas, de acordo com a nota¸c˜ao apresentada no
Cap´ıtulo 2. A partir desse ponto deixamos o sub-escrito, por simplicidade. N˜ao haver´a
ambiguidade .
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 30
para a estima¸c˜ao completa do canal. O vetor bin´ario p
n
indicar´a a posi¸c˜ao dos
pilotos com 1’s em um vetor de tamanho (K ×1) para a transmiss˜ao do n-´esimo
bloco. Considere como exemplo um caso simples, o de um sistema OFDM de
K = 16 e K
p
= 4. Caso queiramos que os pilotos estejam uniformemente
distribu´ıdos, uma op¸c˜ao ´e alocar os pilotos nas portadoras 2, 6, 10 e 14, o que
resultaria em
p
n
=
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
T
. (3-1)
´
E a disposi¸c˜ao de zeros e 1’s neste vetor que queremos determinar de forma
´otima para responder `a primeira pergunta da lista que abre este cap´ıtulo.
Define-se p ∈ P, onde P ´e o conjunto de todos os vetores bin´arios de tamanho
K com K
p
1’s.
´
E f´acil ver que
P
=
K
K
p
=
K!
K
p
!(K−K
p
)!
. Para o exemplo citado,
s˜ao 1820 op¸c˜oes para p.
Para escolher os tons que cont´em piloto na recep¸c˜ao, usaremos uma ma-
triz de sele¸c˜ao S
n
, de tamanho (K
p
×K). Essa matriz selecionar´a as posi¸c˜oes de
um vetor correspondentes aos canais-pilotos. Para o mesmo exemplo anterior,
S
n
=
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
. (3-2)
A matriz S
n
tem as seguintes caracter´ısticas:
1. S
n
S
H
n
= I
K
p
;
2. S
H
n
S
n
= D
n
diag {p
n
}.
Ambas s˜ao facilmente demonstr´aveis. No item 1, (·)
H
´e o operador Hermitiano.
No item 2, definimos a matriz quadrada (K ×K) com o vetor p
n
na diagonal
principal como D
n
. Isso nos ser´a ´util posteriormente.
Usando a nota¸c˜ao apresentada, a recep¸c˜ao da Eq. (2-24) ´e pr´e-
multiplicada pela matriz de sele¸c˜ao para separar os tons que carregam pilotos,
isto ´e,
Sr = S diag {x}F
L
h + Sz,
r
p
= S diag {x}F
L
h + z
p
(3-3)
em que (·)
p
s˜ao vetores de tamanho (K
p
×1) referentes aos canais que cont´em
pilotos. Na equa¸c˜ao anterior e no desenvolvimento a seguir omitimos o ´ındice
temporal n por conveniˆencia. Ele ser´a recuperado no momento oportuno.
O receptor sabe os s´ımbolos enviados no canais-piloto. Multiplicando
(3-3) pelo Hermitiano de uma matriz contendo esses s´ımbolos, obtemos
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 31
diag {x
p
}
H
r
p
= diag {x
p
}
H
S diag {x}F
L
h + diag {x
p
}
H
z
p
(3-4)
e
y
p
= S diag {x}
H
S diag {x}F
L
h + w
p
= S
diag {x}
H
diag {x}
F
L
h + w
p
= SF
L
h + w
p
= q
p
+ w
p
, (3-5)
em que w
p
diag {x
p
}
H
z
p
´e o ru´ıdo de estima¸c˜ao e y
p
diag {x
p
}
H
r
p
´e a observa¸c˜ao ruidosa do canal nos pilotos. Na passagem de (3-4) para
(3-5), utilizamos o fato de que diag {x
p
}
H
= S diag {x}
H
. Em (3-5), usamos
diag {x}
H
diag {x} = I
K
. Temos acesso, portanto, a K
p
amostras ruidosas
da resposta de freq¨uˆencia do canal em (3-5). Queremos agora processar essas
amostras para a estima¸c˜ao dos canais que carregam dados (elementos do vetor
p
n
iguais a 0), pois ´e neles que o efeito do canal deve ser revertido para
a detec¸c˜ao dos s´ımbolos. Em outras palavras, a partir das observa¸c˜oes y
p
,
devemos estimar o vetor
q
completo. Obviamente, quanto maior a quantidade
de pilotos dispon´ıveis, maior ser´a o n´umero de amostras e melhor ser´a a
estima¸c˜ao do canal.
3.1.1
Estimador Maximum Likelihood (ML)
Dada a observa¸c˜ao y
p
, podemos obter a estimativa maximum likelihood
(ML) (em portuguˆes, m´axima verossimilhan¸ca) do canal. O estimador ML
assume que o vetor a ser estimado ´e determin´ıstico por´em desconhecido
(Mor01). Por isso, ele n˜ao necessita de nenhuma informa¸c˜ao pr´evia sobre
as estat´ısticas dos valores a serem estimados. O seguinte problema deve ser
resolvido:
ˆ
h
ml
= arg min
h
y
p
− SF
L
h
2
. (3-6)
A equa¸c˜ao (3-6) ´e de f´acil resolu¸c˜ao.
ˆ
h
ml
= T
ml
y
p
, (3-7)
em que T
ml
= (SF
L
)
†
, sendo (·)
†
a representa¸c˜ao da pseudo-inversa de uma
matriz, ou seja
T
ml
= (F
H
L
S
H
SF
L
)
−1
F
H
L
S
H
= U
−1
F
H
L
S
H
, (3-8)
onde definimos U = (F
H
L
DF
L
). T
ml
´e a matriz de filtragem ML, de tamanho
(L × K
p
), respons´avel por filtrar as amostras obtidas para obter uma melhor
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 32
estima¸c˜ao do canal h.
A estima¸c˜ao em (3-7) requer em (3-8) que a matriz U = F
H
L
DF
L
seja
invers´ıvel. Isso s´o ´e poss´ıvel se essa matriz tiver posto completo, o que por
sua vez s´o ´e poss´ıvel se K
p
≥ L. Ou seja, a condi¸c˜ao necess´aria que deve ser
estabelecida para a estima¸c˜ao do canal ser poss´ıvel ´e que o n´umero de pilotos
deve ser maior ou igual ao comprimento do canal no tempo. Pode ser provado
que o estimador ML ´e despolarizado e que atinge o limitante de Cr´amer-Rao
(Mor01).
A estima¸c˜ao na freq¨uˆencia, a que realmente interessa para a detec¸c˜ao, ´e
facilmente calculada com
ˆ
q
ml
= F
L
ˆ
h
ml
. Em vers˜ao mais estendida, a estima¸c˜ao
na freq¨uˆencia ´e
ˆ
q
ml
= F
L
U
−1
F
H
L
S
H
diag {x
p
}
H
Sr
= F
L
T
ml

diag {x
p
}
H
Sr (3-9)
ou seja, pode-se interpretar a estima¸c˜ao ML do canal na freq¨uˆencia em trˆes
passos: primeiro, utilizamos a matriz S para selecionar os canais-piloto em meio
ao vetor recebido r; em seguida, inverte-se a observa¸c˜ao com o conhecimento
dos s´ımbolos enviados nos pilotos; por ´ultimo, interpola-se as amostras obtidas
para a estima¸c˜ao completa do canal. Isso ´e feito com o termo indicado com
chaves em (3-9), que chamamos de matriz de interpola¸c˜ao. Essa matriz, de
tamanho (K × K
p
), combina as K
p
observa¸c˜oes ruidosas do canal na freq¨uˆencia
a fim de estimar o canal por completo, isto ´e, para todos os tons.
Substituindo (3-5) em (3-7) e re-introduzindo ´ındice temporal n, obtemos
ˆ
h
ml,n
= h
n
+ T
ml,n
w
p,n
, (3-10)
onde se vˆe claramente que o erro de estima¸c˜ao do canal ´e diretamente
dependente da disposi¸c˜ao dos pilotos atrav´es da matriz T
ml,n
. Por isso deve
haver uma melhor (ou melhores) aloca¸c˜oes de pilotos para a estima¸c˜ao do
canal. Podemos tamb´em re-escrever a Eq. (3-10) na freq¨uˆencia,
ˆ
q
ml,n
= q
n
+ F
L
T
ml,n
w
p,n
. (3-11)
Seguimos calculando uma m´etrica para quantificar a qualidade desse es-
timador. O erro m´edio quadr´atico (mean squared error, ou MSE) de estima¸c˜ao
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 33
no tempo ´e definido por
mse
ml,n
E
h
n
−
ˆ
h
ml,n
2
= E
T
ml,n
w
p,n
2
= tr
E
T
ml,n
w
p,n
w
H
p,n
T
H
ml,n
= σtr
T
ml,n
I
K
p
T
H
ml,n
= σtr
U
−1
n
F
H
L
D
n
F
L
U
−1,H
n
= σtr
U
−1
n
, (3-12)
em que E [·] denota o operador valor esperado e tr{·} ´e o operador tra¸co de
uma matriz – usamos ambos de forma intercambi´avel. Em (3-12), ´e f´acil ver
que U
n
= U
H
n
. O MSE pode ser escrito de forma equivalente por
mse
ml,n
= σtr
T
ml,n
I
K
p
T
H
ml,n
= σ
T
ml,n
2
F
, (3-13)
onde
·
F
´e norma de Frobenius de uma matriz, definida para a a matriz A
por
A
F
=
i
j
a
ij
2
1
2
. (3-14)
Aqui usamos o fato que tr
AA
H
=
A
2
F
.
O erro na freq¨uˆencia ´e calculado de forma an´aloga, mas levamos em conta
s´o os canais que carregam dados:
MSE
ml,n
E
(I
K
− D
n
)(q
n
−
ˆ
q
ml,n
)
2
= E
(I
K
− D
n
)F
L
T
ml,n
w
p,n
2
= tr
E
F
L
T
ml,n
w
p,n
w
H
p,n
T
H
ml,n
F
H
L
− E
D
n
F
L
T
ml,n
w
p,n
2
= σtr
F
L
T
ml,n
T
H
ml,n
F
L
− σ
k∈{pl}
[F
L
]
lin k
T
ml,n
2
F
= σ
tr
F
L
U
−1
n
F
L
− L
. (3-15)
Aqui, o operador [A]
lin k
representa o vetor correspondente `a k-´esima linha da
matriz A. Em (3-15), selecionamos os canais que cont´em dados com a pr´e-
multiplica¸c˜ao pela matriz (I
K
−D
n
). Isso resultar´a em dois termos no c´alculo
do MSE na freq¨uˆencia, um que depende dos canais de dados e outro referente
aos canais-pilotos. Como estamos interessados apenas no erro cometido na
estima¸c˜ao dos canais de dados, o segundo termo ser´a descontado. Portanto,
o termo referente aos pilotos aparece subtraindo no desenvolvimento acima.
A opera¸c˜ao acima nada mais faz do que calcular a norma da matriz F
L
T
ml,n
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 34
(ou, de forma equivalente, o tra¸co de F
L
U
−1
n
F
H
L
) para a seguir subtrair as
normas das linhas dessa matriz referentes ao pilotos (a soma em k ∈ {pl}
significa exatamente isso, onde “pl” ´e abrevia¸c˜ao para pilotos; a express˜ao ´e
equivalente a p
k
n
= 1).
´
E f´acil mostrar que cada uma dessas linhas tem norma
L/K
p
, e como h´a K
p
dessas linhas, o resultado ´e L. Podemos tamb´em escrever
(3-15) em fun¸c˜ao do MSE do tempo:
MSE
ml,n
= σ
tr
F
L
U
−1
n
F
H
L
− L
= σ
tr
F
H
L
F
L
U
−1
n
− L
= σ
tr
KI
L
U
−1
n
− L
= σ
Ktr
U
−1
n
− L
= σ
K
mse
ml,n
σ
− L
. (3-16)
Estamos agora em condi¸c˜oes para responder `a primeira das quest˜oes
propostas no in´ıcio do cap´ıtulo: dos
K
K
p
poss´ıveis perfis de pilotos, qual deles
melhor estima o canal? Em outras palavras, qual o vetor p
n
produz o menor
tra¸co de U
−1
n
, que por sua vez produz o menor MSE em ( 3-12) e (3-15)? Dada a
equivalˆencia entre (3-12) e (3-13), podemos interpretar a situa¸c˜ao da seguinte
forma: cada matriz T
ml,n
ter´a um “peso”, dado pela norma de Frobenius, de
acordo com a disposi¸c˜ao dos pilotos no vetor p
n
, e procuramos aquela (ou
aquelas) mais leve(s).
Notamos que
U
n
= F
H
L
D
n
F
L
= K
p
1 (?) . . . (?)
(?) 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(?)
(?) . . . (?) 1
L×L
, (3-17)
e portanto tr
U
n
= K
p
L e ´e independente de p
n
. Sejam os L autovalores
de U
n
, dados por 1/µ
l
, l = 0, ··· , L − 1. Sabe-se que o tra¸co de uma matriz ´e
igual `a soma de seus autovalores, ent˜ao
l
1/µ
l
= K
p
L. Sabe-se tamb´em que
se uma matriz A tem autovalores 1/µ
l
, l = 0, ··· , L − 1, A
−1
tem autovalores
µ
l
. O MSE dado por (3-12) pode ser ent˜ao escrito como
mse
ml,n
= σ
L−1
l=0
µ
l
, (3-18)
onde µ
l
, l = 0, ··· , L − 1 s˜ao os autovalores de U
−1
n
e s˜ao dessa forma fun¸c˜ao
de p
n
.
De p osse dessa informa¸c˜ao, podemos escrever um problema de mini-
miza¸c˜ao com restri¸c˜ao dado por
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 35
ˆ
p = arg min
p∈P
L−1
l=0
µ
l
tal que
L−1
l=0
1
µ
l
= K
p
L e µ
l
> 0 ∀l.
(3-19)
Como U
n
= F
H
L
D
n
F
L
´e positiva-definida, todos os seus autovalores s˜ao
positivos – da´ı a segunda restri¸c˜ao em (3-19). A solu¸c˜ao de (3-19) ´e conseguida
quando todos os autovalores s˜ao iguais, i.e. µ
i
= µ
j
∀i, j (Neg98). Isso, por sua
vez, ´e conseguido apenas quando os pilotos est˜ao uniformemente distribu´ıdos.
Eis portanto a resposta `a pergunta 1. O menor peso poss´ıvel de T
ml,n
(ou
o menor tra¸co poss´ıvel de U
−1
) ´e conseguido com os pilotos uniformemente
espa¸cados em p
n
. Qualquer outra configura¸c˜ao ser´a mais danosa em termos de
MSE para a estima¸c˜ao. Existem K/K
p
diferentes aloca¸c˜oes uniformes, todas
elas equivalentes em rela¸c˜ao ao crit´erio MSE (a denota o menor inteiro maior
que a).
Resolvendo ( 3-19) para autovalores iguais, obtemos
µ
l
=
1
K
p
, l = 0, ··· , L −1,
e
mse
ml,n
= σ
L−1
l=0
1
K
p
= σ
L
K
p
, (3-20)
que ´e o menor valor poss´ıvel do MSE no dom´ınio do tempo para o estimador
ML. Ilustramos em (3-20) a no¸c˜ao intuitiva de que um maior n´umero de
pilotos implica em uma melhor estima¸c˜ao do canal – o MSE ´e inversamente
proporcional a K
p
. Na freq¨uˆencia, obtemos
MSE
ml,n
= σ
KL
K
p
− L
. (3-21)
E qual o pior p
n
poss´ıvel?
´
E aquele que mais se distancia da aloca¸c˜ao
uniforme, isto ´e, aquele em que os pilotos est˜ao localizados em canais ad-
jacentes – para o exemplo com K = 16 e K
p
= 4, uma das op¸c˜oes ´e
p
n
= [0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0]
T
. Existem K maneiras de se alocar os
pilotos em canais adjacentes. O pre¸co a se pagar em MSE pela utiliza¸c˜ao de
qualquer p
n
que contenha pilotos adjacentes ´e bem alto: se L = 2, o MSE no
tempo resultante em (3-12) ´e igual a σ ×2, 79. Se L = 4, o m´aximo permitido
para 4 pilotos, o MSE temporal ´e aproximadamente σ×270. Para o caso ´otimo,
com pilotos distribu´ıdos uniformemente, ter´ıamos σ×0, 5 e σ, respectivamente.
Um fato interessante que se depreende de (3-12) (ou de sua forma
equivalente, (3-18)) ´e que, caso σ → 0, o MSE tende a zero independentemente
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 36
2 4 6 8 10 12 14 16
10
−1
10
0
10
1
10
2
Sub−canal
MSE
k
ml
Não−uniforme
Uniforme
Figura 3.2: MSE por tom para E
s
/σ = 10 dB – ‘◦’ e ‘×’ representam a posi¸c˜ao
dos pilotos para as aloca¸c˜oes n˜ao-uniforme e uniforme, respectivamente.
da posi¸c˜ao dos pilotos. Mesmo o pior p
n
poss´ıvel estimar´a o canal com p erfei¸c˜ao
na ausˆencia de ru´ıdo. A ´unica condi¸c˜ao que deve ser satisfeita ´e a inversibilidade
de U, cuja condi¸c˜ao necess´aria, como j´a dito, ´e K
p
≥ L
Observar tamb´em como para o caso de pilotos n˜ao-uniformes, o valor do
MSE depende da freq¨uˆencia. Definimos o MSE por tom como o erro m´edio
cometido na estima¸c˜ao de um determinado tom k, ou seja,
MSE
k
ml,n
E
q
k
n
− ˆq
k
ml,n
2
= σf
k
U
−1
(f
k
)
H
, k = 0, ··· , K − 1, (3-22)
onde f
k
= [F
L
]
lin k
, ou seja, f
k
´e a k-´esima linha da matriz de DFT.
Para pilotos uniformes, todas as colunas de T tˆem o mesmo peso e con-
seq¨uentemente todos os sub-canais s˜ao estimados com a mesma qualidade
m´edia. Pilotos n˜ao-uniformes adicionam um vi´es `a estima¸c˜ao. Isso pode ser
facilmente compreendido. Considere o exemplo j´a citado neste cap´ıtulo com
p
n
= [0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0]
T
. Para esse sistema, existe um canal de
dados (o 8
o
canal) cercado por 4 pilotos.
´
E de se esperar que a estima¸c˜ao de
canal nesse tom seja bastante boa, pois a correla¸c˜ao em freq¨uˆencia entre as
amostras nos pilotos e o comportamento do tom 8 deve ser grande, dada a
proximidade. Por´em, a estima¸c˜ao no 1
o
e 16
o
sub-canais devem ser bem ruins,
pois esses canais n˜ao contˆem nenhum piloto pr´oximo.
A situa¸c˜ao ´e ilustrada para o sistema do exemplo com L = 4 e E
s
/σ = 10
dB na Fig. 3.2. Para fins de compara¸c˜ao, mostramos tamb´em o MSE conseguido
com pilotos uniformemente distribu´ıdos. A partir da an´alise da figura, tem-se
uma id´eia de qu˜ao grande ´e a varia¸c˜ao do MSE para pilotos n˜ao-uniformes: o
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 37
sub-canal 16 ´e pessimamente estimado (MSE maior que 100), enquanto que o
sub-canal 8 possui excelente qualidade. Essa seletividade em freq¨uˆencia ser´a
explorada no Cap´ıtulo 4 quando tratarmos de aloca¸c˜ao dinˆamica de pilotos.
3.1.2
Estimador Minimum Mean Squared Error (MMSE)
A estimativa Minimum Mean Squared Error (MMSE) (em portuguˆes,
m´ınimo erro m´edio quadr´atico) ´e em geral melhor do que a ML, pois considera
que as estat´ısticas do vetor a ser estimado s˜ao conhecidas (Mor01). Quer-se,
portanto, estimar o valor de determinada realiza¸c˜ao da VA. O MMSE paga o
pre¸co da melhor qualidade com um acr´escimo da informa¸c˜ao necess´aria para
a estima¸c˜ao. Para o sistema em estudo,
T
mmse
= arg min
T
E
h
n
− Ty
p
2
, (3-23)
cuja solu¸c˜ao ´e facilmente achada como
T
mmse
=
F
H
L
DF
L
+ σdiag {γ}
−1
−1
F
H
L
S
H
= V
−1
F
H
L
S
H
, (3-24)
onde V = F
H
L
D
n
F
L
+ σdiag {γ}
−1
. A matriz T
mmse
´e a matriz de filtragem
para o caso MMSE. O canal ´e estimado como
ˆ
h
mmse
= T
mmse
y
p
. (3-25)
A matriz de interpola¸c˜ao ´e F
L
T
mmse
.
Em (3-24), o vetor γ e a potˆencia do ru´ıdo correspondem `a informa¸c˜ao a
mais que o MMSE conta em rela¸c˜ao ao ML. Nota-se que o estimador MMSE
coincide com o estimador m´aximo a posteriori (MAP) para esse caso. Percebe-
se tamb´em que o estimador MMSE converge para o ML quando a SNR ´e alta
(σ pequeno).
A an´alise sobre qual disposi¸c˜ao de pilotos ´e a melhor para a estima¸c˜ao
do canal ´e claramente v´alida para o MMSE tamb´em. A conclus˜ao de que
s´o ´e poss´ıvel estimar o canal caso K
p
≥ L, por´em, n˜ao ´e mais v´alida.
Nesse caso, exige-se a inversibilidade (agora usamos o ´ındice de tempo n) de
V
n
= F
H
L
D
n
F
L
+ σ (diag {γ})
−1
, que pode existir mesmo se essa condi¸c˜ao n˜ao
for obedecida. Entretanto, sempre respeitaremos a condi¸c˜ao do ML, mesmo
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 38
para o MMSE. O equivalente de (3-10) ´e mais complicado para o MMSE.
ˆ
h
mmse,n
= T
mmse,n
y
p
= V
−1
n
F
H
L
D
n
F
L
h
n
+ T
mmse,n
w
p,n
= V
−1
n
F
H
L
D
n
F
L
h
n
+ T
mmse,n
w
p,n
+
+ V
−1
n
σdiag {γ}
−1
h
n
− V
−1
n
σdiag {γ}
−1
h
n
= V
−1
n
F
H
L
D
n
F
L
+ σdiag {γ}
−1
h
n
+ T
mmse,n
w
p,n
− V
−1
n
σdiag {γ}
−1
h
n
= h
n
+ V
−1
n
F
H
S
H
n
w
p,n
− σdiag {γ}
−1
h
n
. (3-26)
Aqui usamos o artif´ıcio de somar e subtrair (V
−1
n
σdiag {γ}
−1
h
n
) `a soma acima
para chegar ao resultado final. As Equa¸c˜oes (3-11), (3-12) e (3-22) s˜ao tamb´em
mais complicadas para o estimador MMSE, e s˜ao dadas respectivamente por
q
mmse,n
= q
n
+ F
L
V
−1
n
F
H
L
S
H
n
w
p,n
− σdiag {γ}
−1
h
n
; (3-27)
mse
mmse,n
= σtr
V
−1
n
; (3-28)
MSE
k
mmse,n
= σf
k
V
−1
n
(f
k
)
H
. (3-29)
A Eq. (3-27) ´e decorrˆencia direta de (3-26). As Eqs. (3-28) e (3-29) s˜ao
justificadas no Apˆendice C.1.
Para pilotos uniformemente espa¸cados, obtemos um resultado em fun¸c˜ao
do estimador ML, onde
mse
mmse,n
= Φ ×mse
ml,n
, (3-30)
em que
Φ =
1
L
L−1
l=0
1
1 + σ/(γ[l]K
p
)
(3-31)
´e sempre menor que 1 (Mor01). Ainda para o caso de pilotos uniformemente
distribu´ıdos, na freq¨uˆencia, o MSE do MMSE se comporta da mesma forma
que o ML, mas ´e tamb´em multiplicado pela constante Φ.
3.1.3
Estimador com Filtro de Wiener
Os estimadores ML e MMSE descritos nas se¸c˜oes passadas utilizam a
correla¸c˜ao em freq¨uˆencia entre as sub-portadoras, ou seja, a correla¸c˜ao entre
os valores da resposta de freq¨uˆencia do canal. Como visto, esses processos
interpolam K
p
observa¸c˜oes do comportamento da resposta de freq¨uˆencia do
canal a fim de estim´a-lo por completo. Essa interpola¸c˜ao ´e feita atrav´es das
respectivas matrizes F
L
T, com T dado por (3-8) para o caso ML e por (3-24)
para o MMSE. Ambos levam em conta apenas observa¸c˜oes em um instante n
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 39
para calcular a estimativa no mesmo instante.
Nessa se¸c˜ao, queremos explorar a correla¸c˜ao temporal da varia¸c˜ao do
canal. A estimativa no momento n levar´a em conta n˜ao apenas a observa¸c˜ao
em n, mas tamb´em M−1 observa¸c˜oes passadas. Esses valores ser˜ao processados
por um filtro λ, de tamanho (M ×1), e a´ı sim obteremos a estima¸c˜ao do canal
atual. Em linguagem matem´atica,
ˆ
h
n
= Y
n
λ
=
M
−
1
i=0
λ[i] (Ty
p
)
n−i
(3-32)
onde
Y
n
(Ty
p
)
n
(Ty
p
)
n−1
. . . (Ty
p
)
n−M+1
(3-33)
´e a matriz de observa¸c˜ao (ML ou MMSE), de tamanho (L × M), que cont´em
em suas colunas as M ´ultimas observa¸c˜oes do canal. Na freq¨uˆencia, obtemos
ˆ
q
n
= F
L
Yλ
= F
L
M−1
i=0
λ[i] (Ty
p
)
n−i
. (3-34)
Os c´alculos a seguir dos coeficientes do filtro levam em conta o estimador ML,
e ser˜ao portanto representados por λ
ml
. Para o MMSE, os c´alculos s˜ao um
pouco mais complicados e mostraremos os resultados a seguir. Vale lembrar
que quando σ ´e pequeno, ML e MMSE tendem a convergir para a mesma coisa.
Na Se¸c˜ao 3.4, veremos que essa convergˆencia s´o n˜ao ´e obtida para canais muito
ruidosos.
Os coeficientes λ
ml
s˜ao calculados com a bem conhecida solu¸c˜ao de
Wiener. Para calcul´a-la, iremos utilizar o diagrama de blocos da Fig. 3.3. A
figura representa o esquema da filtragem a ser feita. As matrizes envolvidas
s˜ao Y
n
, H
n
e W
n
. Para o ML, as duas ´ultimas s˜ao definidas por
H
n
h
n
h
n−1
. . . h
n−M+1
(3-35)
e
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 40
Wiener
Figura 3.3: Diagrama de blocos para a filtragem de Wiener.
W
n
(T
ml
w
p
)
n
(T
ml
w
p
)
n−1
. . . (T
ml
w
p
)
n−M+1
. (3-36)
Ou seja, H
n
´e uma matriz contendo em suas colunas os valores verdadeiros do
canal dos instantes n at´e n − M + 1 e W
n
representa em suas colunas o ru´ıdo
referente ao mesmo intervalo. Assim como Y
n
, cada uma delas tem M colunas,
ou seja, M instantes s˜ao considerados para a estima¸c˜ao do canal atual. Como
demonstrado na Fig. 3.3, Y
n
= H
n
+ W
n
.
O problema a ser resolvido ´e
λ
ml
= arg min
λ
E
h
n
− Yλ
2
. (3-37)
Sabe-se da solu¸c˜ao de Wiener que os coeficientes ´otimos do filtro obedecem a
R
YY
λ
ml
= R
h
n
Y
⇒ λ
ml
= R
−1
YY
R
h
n
Y
, (3-38)
em que,
R
YY
= E
Y
H
n
Y
n
(3-39)
e
R
h
n
Y
= E
h
H
n
Y
n
. (3-40)
Idealmente, dispor´ıamos de um banco de filtros – um filtro diferente para
cada um dos taps, j´a que de acordo com ( 2-26) cada um deles tem potˆencias
ligeiramente diferentes. O pre¸co a pagar por isso seria um aumento consider´avel
de complexidade, especialmente em canais de comprimento elevado (L grande).
Na solu¸c˜ao ideal, ser´ıamos obrigados a, entre outras coisas, inverter L matrizes
quadradas de tamanho M em (3-38). Adotaremos, pois, uma solu¸c˜ao n˜ao-ideal
mas de boa qualidade. Os coeficiente calculados levar˜ao em conta todos os taps
ao mesmo tempo. Portanto o filtro resultante ´e um filtro “m´edio”, e deve ser
bom (n˜ao ´otimo) para a filtragem de todos os taps. Pode ser mostrado que
a abordagem descrita em (3-38) ´e equivalente a filtrar um tap “m´edio”, cuja
potˆencia ´e igual `a m´edia das potˆencias dos taps, ou seja, ¯γ =
l
γ[l]/L. De
ambas as formas, a Eq. (3-38) ser´a resolvida apenas 1 vez, e o filtro resultante
λ
ml
ser´a usado para a filtragem de todos os taps. Usaremos o mesmo esquema
para o MMSE. Veremos que mesmo assim melhorar´a muito a qualidade da
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 41
−30 −20 −10 0 10 20 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆
f
R
q,f
[∆
f
]
Figura 3.4: Correla¸c˜ao espacial entre sub-canais para K = 64 e L = 8.
estima¸c˜ao do canal, mesmo em canais com varia¸c˜ao temporal mais significativa.
Nesse ponto uma observa¸c˜ao ´e v´alida: poder´ıamos calcular um filtro de
Wiener 2-D, ou seja, que explorasse conjuntamente as correla¸c˜oes no tempo e
na freq¨uˆencia, mas isso n˜ao ´e necess´ario. N˜ao existe correla¸c˜ao cruzada entre
tempo e freq¨uˆencia na recep¸c˜ao dos s´ımbolos OFDM. Definimos a correla¸c˜ao
cruzada tempo × freq ¨uˆencia como
R
q,t×f
[∆
t
, ∆
f
] = E
(q
k
n
)
H
q
k−∆
f
n−∆
t
= E
f
k
h
n
(h
n−∆
t
)
H
(f
k−∆
f
)
H
= f
k
E
h
n
(h
n−∆
t
)
H
(f
k−∆
f
)
H
= R
q,t
[∆
t
]f
k
diag {γ}(f
k−∆
f
)
H
= R
q,t
[∆
t
]R
q,f
[∆
f
], (3-41)
onde ∆
t
e ∆
f
s˜ao inteiros e R
q,t
[∆
t
] representa a correla¸c˜ao temporal dos
sub-canais (que ser´a calculada em breve) e
R
q,f
[∆
f
] = f
k
diag {γ}(f
k−∆
f
)
H
(3-42)
denota a correla¸c˜ao em freq¨uˆencia entre os sub-canais. Esta ´ultima ´e mostrada
na Fig. 3.4 para um sistema OFDM com K = 64 e L = 8. Portanto, o
modelo que propomos ´e uma quebra do filtro de duas dimens˜oes em dois filtros
independentes em cascata, o primeiro utilizando a correla¸c˜ao em freq¨uˆencia
(ML ou MMSE) e outro explorando a correla¸c˜ao temporal do canal (que usa
os coeficientes de Wiener, a ser calculado a seguir). O melhor estimador poss´ıvel
´e aquele ´otimo em ambos os est´agios. Essa quebra n˜ao resulta em perda de
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 42
qualidade. A descorrela¸c˜ao tempo × freq¨uˆencia nos ´e muito ´util pois, caso o
filtro 2-D n˜ao pudesse ser dividido em duas etapas, a quantidade de c´alculos
seria muito maior. Resp ondemos, assim, `a segunda das perguntas do come¸co do
cap´ıtulo: o melhor estimador linear poss´ıvel ´e aquele que combina a estima¸c˜ao
MMSE na freq¨uˆencia mais a filtragem de Wiener no tempo (os coeficientes
de Wiener para o caso MMSE s˜ao calculados a seguir). Lembramos que uma
simplifica¸c˜ao foi feita: calculamos um filtro de Wiener m´edio, n˜ao um banco
de filtros. Essa aproxima¸c˜ao n˜ao implica em perdas percept´ıveis, mas a rigor
deveria ser levada em conta caso queiramos identificar o estimador ´otimo. Na
pr´atica, por´em, esse fato ´e pouco percebido. Reiteramos tamb´em que, para
SNR’s altas, n˜ao h´a diferen¸ca significativa entre ML e MMSE. Portanto, um
adendo `a resposta acima seria que, para SNR’s altas, a estima¸c˜ao ML na
freq¨uˆencia seguida de um filtro de Wiener tende a igualar o desempenho do
MMSE mais filtro de Wiener. Veremos na Se¸c˜ao 3.4 que essa convergˆencia ´e
bem r´apida.
Focaremos agora na solu¸c˜ao de (3-39) e (3-40). Consideramos a seguir que
o perfil de pilotos ´e uniforme e constante para todos os blocos transmitidos,
ou seja p
i
= p
j
e portanto T
ml,i
= T
ml,j
∀i, j. Come¸caremos com (3-39), que,
combinada com (3-10), resulta em
R
YY
= E
(H + W)
H
(H + W)
= E
H
H
H
+ E
W
H
W
= R
hh,t
+
tr
σT
ml,n
T
H
ml,n
0
.
.
.
0 tr
σT
ml,n−M+1
T
H
ml,n−M+1
= R
hh,t
+ σtr
U
−1
I
M
. (3-43)
Aqui R
hh,t
´e dada por (2-30) mas com tamanho M ao inv´es de Q e potˆencia
normalizada para a unidade.
Caso a posi¸c˜ao dos pilotos fosse variante no tempo, n˜ao poder´ıamos
retirar o termo tr
U
−1
da diagonal da matriz `a direita em (3-43). Observar
que, nesse caso, o filtro λ
ml
resultante seria variante no tempo.
A solu¸c˜ao de 3-40 ´e bem mais f´acil,
R
h
n
Y
= E
h
H
(H + W)
= [R
hh,t
]
col 1
, (3-44)
em que [ ·]
col i
denota a i-´esima coluna de uma matriz.
Assim, os coeficientes do filtro ´otimo n˜ao variante no tempo s˜ao calcula-
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 43
dos com a substitui¸c˜ao de (3-44) e (3-43) em (3-38). Para o filtro de Wiener
usado em conjunto com o ML, o MSE temporal resultante ´e calculado por
mse
ml+w,n
= E
h
n
−
ˆ
h
n
2
= E
h
n
−
M−1
i=0
λ
ml
[i]h
n−i
−
M−1
i=0
λ
ml
[i]T
ml,n−i
w
p
2
= (λ
ml
)
T
R
hh,t
λ
ml
+ σ
M−1
i=0
λ
ml
[i]
2
tr
U
−1
n−i
, (3-45)
onde
λ
ml
=
(λ
ml
[0] − 1) λ
ml
[1] . . . λ
ml
[M − 1]
T
. (3-46)
Na freq¨uˆencia, obtemos (s´o canais que carregam dados s˜ao considerados)
MSE
ml+w,n
= (K − K
p
)(λ
ml
)
T
R
qq,t
λ
ml
+ σ
M−1
i=0
λ
ml
[i]
2
tr
F
H
L
U
−1
n−i
F
L
− L
.
(3-47)
Veremos uma interpreta¸c˜ao mais cuidadosa dos dois termos em (3-47) na Se¸c˜ao
3.2.
Ser´a importante calcular o MSE na freq¨uˆencia por sub-canal.
´
E f´acil ver
que
MSE
k
ml+w,n
= (λ
ml
)
T
R
qq,t
λ
ml
+ σ
M−1
i=0
λ
ml
[i]
2
f
k
U
−1
n−i
(f
k
)
H
. (3-48)
Vale lembrar que, para o caso de pilotos uniformemente espa¸cados, o MSE por
tom ´e igual para todos os tons, i.e. MSE
k
n
= MSE
n
/(K −K
p
) . Para o caso de
pilotos n˜ao-uniformes, isso n˜ao pode ser dito (ver Se¸c˜ao 3.1.1).
Filtro de Wiener em conjunto com o MMSE
Veremos agora rapidamente o c´alculo dos coeficientes de Wiener quando
se usa o MMSE. Os coeficientes ser˜ao diferentes, pois, enquanto que a matriz
H
n
e Y
n
mant´em a mesma forma, a matriz de ru´ıdo W ´e bem particular.
Considerando (3-26), definimos
W
n
V
−1
n
F
H
L
S
H
n
w
p,n
− σdiag {γ}
−1
h
n
. . . (···)
n−M+1
.
(3-49)
Mostramos rapidamente os resultados. O desenvolvimento pode ser encontrado
no Apˆendice C.2. As matrizes equivalentes a (3-43) e (3-44) s˜ao dadas respec-
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 44
tivamente por
R
YY
= R
hh,t
×
1 − 2σtr
V
−1
+ σ
2
tr
V
−1
diag {γ}
−1
V
−1
+ σtr
V
−1
UV
−1
I
M
(3-50)
e
R
h
n
Y
= [R
hh,t
]
col 1
×
1 − σtr
V
−1
n

. (3-51)
Lembramos que V
n
=
F
H
L
D
n
F
L
+ σdiag {γ}
−1
. Os equivalentes MMSE
de (3-45) e (3-48) s˜ao dados respectivamente por (ver Apˆendice C.3 para a
justificativa)
mse
mmse+w,n
= (λ
mmse
)
T
R
hh,t
λ
mmse
+ σ
M−1
i=0
λ
mmse
[i]
2
tr
V
−1
n−i
+
− σtr
V
−1
n
(λ
mmse
)
T
R
hh,t
λ
mmse
, (3-52)
e
MSE
k
mmse+w,n
= (λ
mmse
)
T
R
qq,t
λ
mmse
+ σ
M−1
i=0
λ
mmse
[i]
2
f
k
V
−1
n−i
(f
k
)
H
+
− σf
k
V
−1
n
(f
k
)
H
(λ
mmse
)
T
R
qq,t
λ
mmse
. (3-53)
3.1.4
Op¸c˜oes ao filtro de Wiener
O filtro de Wiener requer conhecimento preciso da fun¸c˜ao autocorrela¸c˜ao
do canal e da potˆencia do ru´ıdo, o que nem sempre ´e poss´ıvel. Algumas
alternativas a esse m´etodo foram propostas na literatura, como por exemplo
os filtros cosseno levantado, sinc janelado e FFT (ver (Bad04) e referˆencias).
Esses m´etodos almejam aproximar a qualidade do filtro de Wiener com
custo computacional e log´ıstico menor poss´ıvel. Obviamente, essa robustez
tem o pre¸co de uma piora do desempenho em rela¸c˜ao ao filtro de Wiener.
Na verdade, este ´ultimo ´e ´util como uma figura de m´erito a ser atingida
por solu¸c˜oes sub-´otimas por´em mais pr´aticas. A t´ıtulo de exemplo, citamos
como uma das alternativas vi´aveis o filtro sinc estudado em (Bad04). Essa
proposta n˜ao necessita conhecer a fun¸c˜ao autocorrela¸c˜ao do canal, e sim apenas
uma estimativa do desvio Doppler f
m
e da potˆencia do ru´ıdo, σ. A fun¸c˜ao
autocorrela¸c˜ao do canal ´e ent˜ao aproximada por
R
h,t
[n] = sinc
2πf
m
n
(3-54)
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 45
Detecção
Estimação
Usuário fraco Usuário forteCanal
Figura 3.5: Diagrama de bloco para recep¸c˜ao em enlace ab erto.
e os coeficientes do filtro resultante s˜ao obtidos com a substitui¸c˜ao de (3-54)
em (3-43) e ( 3-44) e em seguida em (3-38). O filtro sinc coincide com o filtro
´otimo se o espectro do canal for plano. Esse filtro tamb´em ´e conhecido por ser
a melhor op¸c˜ao poss´ıvel caso se disponha apenas de informa¸c˜oes sobre o desvio
Doppler do canal e a potˆencia do ru´ıdo. As Eqs. (3-45) e (3-47) tamb´em valem
para o filtro sinc.
Apesar de a busca por alternativas mais vi´aveis ao filtro de Wiener ser um
assunto academicamente interessante, ela n˜ao ser´a considerada neste trabalho
a n˜ao ser nessa se¸c˜ao. Assumiremos daqui em diante conhecimento p erfeito
tanto da fun¸c˜ao autocorrela¸c˜ao do canal como da rela¸c˜ao E
s
/σ. A partir da´ı
sempre usaremos os coeficientes ´otimos para as filtragens de interesse.
3.2
Recep¸c˜ao
Temos agora condi¸c˜oes de identificar a parcela do sinal de interesse e
as perturba¸c˜oes na recep¸c˜ao dos s´ımbolos OFDM. Veremos que h´a 3 tipos
diferentes de ru´ıdo, e nessa se¸c˜ao analisamo-os com a devida aten¸c˜ao.
Considere a recep¸c˜ao de um s´ımbolo OFDM, instante n, tom k. A decis˜ao
do s´ımbolo de dados ´e feita por um comparador de m´ınima distˆancia, isto ´e,
ˆx
k
n
= arg min
˜x∈X
r
k
n
− ˆq
k
n
˜x
2
. (3-55)
Aqui
·
representa o operador m´odulo de um n´umero. O detector deve calcular
(3-55) para cada hip´otese ˜x, ou seja, para cada ponto da constela¸c˜ao PSK, e
decidir pelo s´ımbolo que minimiza a norma. A Fig. 3.5 mostra o diagrama de
blocos para o cen´ario.
A seguir analisamos a recep¸c˜ao, distinguindo a parcela do sinal desejado
das perturba¸c˜oes. Usaremos o estimador ML mais filtro de Wiener para a
an´alise da recep¸c˜ao, e por isso ignoramos o sub-escrito “ml” at´e quase o fim
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 46
dessa se¸c˜ao. A an´alise pode ser estendida para o caso MMSE, e na se¸c˜ao
seguinte mostraremos esses resultados. Qualquer estimador mais simples pode
ser representado com uma escolha adequada dos coeficientes λ. Por exemplo, a
estima¸c˜ao ML simples da Se¸c˜ao 3.1.1, em que apenas a observa¸c˜ao do momento
atual ´e levada em conta para a estima¸c˜ao, pode ser facilmente conseguida
fazendo λ[0] = 1 e λ[n] = 0 ∀n > 0 e calculando T por (3-8). Consideramos
inicialmente M = 3, um filtro pequeno, e logo generalizamos para qualquer
M.
Combinando (3-55) com (2-24) e (3-34), obtemos (focamos apenas o
interior do m´odulo em (3-55), que definimos por Ω)
Ω r
k
n
− ˆq
k
n
˜x
= q
k
n
x
k
n
+ z
k
n
−
λ[0]f
k
(Ty
p
)
n
+ λ[1]f
k
(Ty
p
)
n−1
+ λ[2]f
k
(Ty
p
)
n−2
˜x,
(3-56)
sendo f
k
a k-´esima linha da matriz F
L
, ou seja, f
k
= [F
L
]
lin k
. Aplicando a Eq.
(3-11) em ( 3-56), conseguimos
Ω = q
k
n
x
k
n
+ z
k
n
−
λ[0]q
k
n
+ λ[1]q
k
n−1
+ λ[2]q
k
n−2
+ λ[0]f
k
(Tw
p
)
n
+ λ[1]f
k
(Tw
p
)
n−1
+ λ[2]f
k
(Tw
p
)
n−2
˜x.
(3-57)
A seguir, adicionamos e subtra´ımos o canal atual, q
k
n
, no termo entre
colchetes. Obtemos
Ω = q
k
n
x
k
n
+ z
k
n
−
(λ[0] − 1)q
k
n
+ λ[1]q
k
n−1
+ λ[2]q
k
n−2
+ q
k
n
+ λ[0]f
k
(Tw
p
)
n
+ λ[1]f
k
(Tw
p
)
n−1
+ λ[2]f
k
(Tw
p
)
n−2
˜x,
(3-58)
e ent˜ao
Ω = q
k
n
x
k
n
− ˜x
+ z
k
n
−
(λ[0] − 1)q
k
n
+ λ[1]q
k
n−1
+ λ[2]q
k
n−2
+ λ[0]f
k
(Tw
p
)
n
+ λ[1]f
k
(Tw
p
)
n−1
+ λ[2]f
k
(Tw
p
)
n−2
˜x.
(3-59)
Generalizando para qualquer M, conseguimos
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 47
Ω = q
k
n
x
k
n
− ˜x

sinal de interesse
+ z
k
n

ru´ıdo de detec¸c˜ao
− ˜x
M−1
i=0
λ
[i]q
k
n−i

ru´ıdo de distor¸c˜ao
− ˜x
M−1
i=0
λ[i]f
k
(Tw
p
)
n−i

ru´ıdo de interpola¸c˜ao
,
(3-60)
em que λ
[i] s˜ao elementos do vetor definido por (3-46).
Na Eq. (3-60) identificamos o termo de interesse no c´alculo da norma e
as trˆes fontes de ru´ıdo que devem ser levadas em conta para a recep¸c˜ao desse
sistema. O sinal de interesse vem multiplicado pelo canal q
k
n
. Para algum ˜x,
isto ´e, para algum ponto da constela¸c˜ao, a subtra¸c˜ao (x
k
n
− ˜x) ser´a igual a
zero. Isso independe de todas as outras perturba¸c˜oes e de q
k
n
, mas obviamente
n˜ao garante a detec¸c˜ao perfeita dos s´ımbolos, pois as perturba¸c˜oes devem ser
levadas em conta.
A primeira fonte de ru´ıdo ´e z
k
n
, referente ao ru´ıdo de detec¸c˜ao inerente
ao processo de comunica¸c˜ao – e sobre o qual n˜ao temos controle; a segunda ´e
o termo identificados como ru´ıdo de distor¸c˜ao do filtro (RD) em (3-60). Esse
termo corresponde `a distor¸c˜ao introduzida pelo filtro de Wiener na sequˆencia
de valores {q
k
n
} sendo estimada. Observe que caso n˜ao haja filtro, ou seja,
caso λ[0] = 1 e λ[i] = 0 ∀i > 0, essa perturba¸c˜ao n˜ao existe. Observa-se
que o RD n˜ao depende da potˆencia do ru´ıdo de detec¸c˜ao nem do perfil de
pilotos; o terceiro fator ´e uma conseq¨uˆencia do fato de que os pilotos fornecem
apenas amostras ruidosas do comportamento do canal em determinados tons.
Esse ru´ıdo prov´em da interpola¸c˜ao dessas amostras ruidosas para a estima¸c˜ao
completa do canal de comunica¸c˜ao, e ser´a portanto chamado de ru´ıdo de
interpola¸c˜ao (RI). Percebe-se pela an´alise de (3-60) que, caso um filtro λ seja
usado, o ru´ıdo de interpola¸c˜ao depende n˜ao s´o da aloca¸c˜ao de pilotos no bloco
atual, mas da de blocos passados tamb´em.
Outro fato a notar ´e que os trˆes ru´ıdos s˜ao estatisticamente indepen-
dentes, gaussianos complexos e de m´edia zero. O ru´ıdo de detec¸c˜ao ´e definido
como tal. O RD tamb´em o ´e, pois ´e uma combina¸c˜ao linear de q
k
n
’s, que s˜ao
VA’s conjuntamente gaussianas e complexas de m´edia zero, uma vez que s˜ao
resultado de uma transforma¸c˜ao linear aplicada na seq¨uˆencia de vetores con-
juntamente gaussianos {h
n
}. O mesmo racioc´ınio vale para o RI. Isso nos ser´a
muito ´util posteriormente.
Nos pr´oximos par´agrafos analisaremos a potˆencia do ru´ıdo de distor¸c˜ao
e do ru´ıdo de interpola¸c˜ao mais atentamente.
Primeiro o RD. Podemos escrevˆe-lo como
˜x
M−1
i
=0
λ
[i]q
k
n−i
= ˜x
q
k
n
q
k
n−1
. . . q
k
n−M+1
λ
, (3-61)
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 48
onde o vetor
q
k
n
q
k
n−1
. . . q
k
n−M+1
T
cont´em as M ´ultimas amostras da
evolu¸c˜ao temporal do sub-canal k. Definimos a potˆencia do RD para o bloco
n e sub-canal k como
σ
k
dist,n
E
˜x
q
k
n
q
k
n−1
. . . q
k
n−M+1
λ
2
= E
(λ
)
T
q
k
n
q
k
n−1
. . . q
k
n−M+1
H
q
k
n
q
k
n−1
. . . q
k
n−M+1
λ
= (λ
)
T
R
qq,t
λ
, (3-62)
onde R
qq,t
´e a matriz autocorrela¸c˜ao da sequˆencia de {q
k
n
}’s. O ru´ıdo total de
filtragem na recep¸c˜ao do bloco n ´e o somat´orio das potˆencias das perturba¸c˜oes
dos tons que carregam dados, ou seja,
σ
dist,n
(K − K
p
)(λ
)
T
R
qq,t
λ
. (3-63)
O c´alculo do RD necessita, portanto, do conhecimento da matriz auto-
correla¸c˜ao dos sub-canais na freq¨uˆencia. Calculamos a fun¸c˜ao autocorrela¸c˜ao
R
q,t
[n] da sequˆencia {q
k
n
} da seguinte forma:
R
q,t
[n] = E
q
k
i
(q
k
i−n
)
∗
= E
f
k
h
i
h
H
i−n
f
k
H
= f
k
R
h,t
[n]diag {γ}
f
k
H
= R
h,t
[n]
L−1
l=0
γ[l] = R
h,t
[n]. (3-64)
Aqui (·)
∗
representa o conjugado de um n´umero. Em (3-64) utilizamos
l
γ[l] = 1, isto ´e, a normaliza¸c˜ao das potˆencias dos taps do canal, j´a discu-
tida na Se¸c˜ao 2.4. Conclu´ımos assim que a fun¸c˜ao autocorrela¸c˜ao da seq¨uˆencia
de valores de qualquer sub-canal da freq¨uˆencia ´e igual `a autocorrela¸c˜ao de
qualquer dos taps do canal no tempo normalizado para potˆencia unit´aria.
Depreende-se tamb´em que a autocorrela¸c˜ao temporal dos canais na freq¨uˆencia
´e igual para todos os sub-canais, ou seja, independe de k. Da´ı conclui-se que
a potˆencia do ru´ıdo de distor¸c˜ao ´e a mesma para todos os sub-canais – ´e n˜ao-
seletiva em freq¨uˆencia. A matriz autocorrela¸c˜ao ´e organizada a partir da fun¸c˜ao
autocorrela¸c˜ao da mesma forma que (2-30), o que resulta em
R
qq,t
= R
hh,t
. (3-65)
Analisamos agora o ru´ıdo de interpola¸c˜ao. Consideramos a possibilidade
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 49
de a posi¸c˜ao dos pilotos ser variante no tempo. Define-se
v
k
M−1
i=0
λ[i]f
k
(Tw
p
)
n−i
˜x;
v {v
k
} ∀k ∈ {d};
σ
inter,n
tr
E
vv
H

, (3-66)
em que σ
inter,n
´e a potˆencia total do ru´ıdo de interpola¸c˜ao para os canais que
carregam dados na recep¸c˜ao para o bloco n – por isso k ∈ {d}, onde {d}
representa o conjunto de ´ındices dos sub-canais que cont´em dados. A solu¸c˜ao
de (3-66) ´e
σ
inter,n
= σ
M−1
i=0
λ[i]
2
(tr
F
L
U
−1
n−i
F
H
L
− L), (3-67)
que por sua vez pode ser facilmente decomposta para o c´alculo da potˆencia do
ru´ıdo de interpola¸c˜ao para um determinado tom k como
σ
k
inter,n
= σ
M−1
i=0
λ[i]
2
f
k
U
−1
n−i
(f
k
)
H
. (3-68)
Agora voltamos com o sub-escrito “ml”. Podemos agora re-definir o erro
m´edio quadr´atico de estima¸c˜ao na freq¨uˆencia descrito em (3-47) em fun¸c˜ao de
(3-63) e (3-67).
MSE
ml+w,n
= σ
dist,n
+ σ
inter,n
= (K − K
p
)(λ
ml
)
T
R
qq,t
λ
ml
+ σ
M−1
i=0
λ
ml
[i]
2
tr
F
L
U
−1
n−i
F
H
L
− L
= (K − K
p
)(λ
ml
)
T
R
qq,t
λ
ml
+
M−1
i=0
λ
ml
[i]
2
MSE
ml,n−i
. (3-69)
Aqui usamos a defini¸c˜ao em (3-15).
3.3
Probabilidade de erro
Essa se¸c˜ao tem por objetivo responder `a ´ultima das perguntas que
abriram esse cap´ıtulo: qual o impacto do erro de estima¸c˜ao na probabilidade
de erro do sistema? J´a vimos que s˜ao 3 as fontes de ru´ıdo na recep¸c˜ao, e
estamos agora em condi¸c˜oes para analisar o impacto dessas perturba¸c˜oes na
probabilidade de erro de transmiss˜ao.
Identificadas essas 3 fontes de perturba¸c˜ao para a recep¸c˜ao dos s´ımbolos
OFDM, definimos a potˆencia total de ru´ıdo na recep¸c˜ao para o bloco n, tom
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 50
Tabela 3.1: Ru´ıdo total por tom para os diferentes estimadores
Estimadores σ
k
tot,n
ML simples σ + σtr
U
−1
n
MMSE simples σ + σtr
V
−1
n
ML e Wiener σ + (λ
ml
)
T
R
qq,t
λ
ml
+ σ
M−1
i=0
λ
ml
[i]
2
f
k
U
−1
n−i
(f
k
)
H
MMSE e Wiener σ + (λ
mmse
)
T
R
qq,t
λ
mmse
+ σ
M−1
i=0
λ
mmse
[i]
2
f
k
V
−1
n−i
(f
k
)
H
+
−σ(λ
mmse
)
T
R
qq,t
λ
mmse
f
k
V
−1
n
(f
k
)
H
k, como
σ
k
tot,n
= σ + σ
k
dist,n
+ σ
k
inter,n
= σ + MSE
k
n
, (3-70)
ou seja, como a soma das parcelas do ru´ıdo de detec¸c˜ao, do ru´ıdo de distor¸c˜ao
do filtro e do ru´ıdo de interpola¸c˜ao (a soma das duas ´ultimas ´e o MSE na
freq¨uˆencia). A Eq. (3-70) ´e a mais geral poss´ıvel, pois acomoda todas as
escolhas de estimadores. A Tabela 3.1 lista as potˆencia dos ru´ıdo para as
diferentes escolhas poss´ıveis. Consideramos pilotos uniformemente espa¸cados
e constantes no tempo, o que tem como conseq¨uˆencia T
i
= T
j
∀i, j e
f
k
U
−1
n−i
(f
k
)
H
= f
p
U
−1
n−i
(f
p
)
H
∀k, p para o ML e f
k
V
n
(f
k
)
H
= f
p
V
n
(f
p
)
H
∀k, p
para o MMSE – em outras palavras tr
U
n
−1
ou tr
V
n
−1
s˜ao constantes no
tempo e o MSE n˜ao ´e seletivo em freq¨uˆencia.
A partir de (3-60), ´e f´acil ver que a potˆencia do sinal de interesse,
caso utilizemos E
s
= 1, ´e igual a
q
k
n
2
. Definindo a potˆencia de bit por
E
b
log
2
(
X
) = E
s
, podemos escrever a SNR por bit na recep¸c˜ao, bloco n,
tom k, como
SNR
k
n
=
E
b
q
k
n
2
σ
k
tot,n
, (3-71)
e a probabilidade de erro de bit (Bit Error Rate, ou BER) para BPSK ou
QPSK para a recep¸c˜ao do k-´esimo tom do n-´esimo dado q
k
n
como
P
k
n
|
q
k
n
= Q
SNR
k
n
, (3-72)
onde
Q(a) =
+∞
a
1
√
2π
exp
−t
2
2
dt. (3-73)
H´a uma detalhe em (3-72), que agora iremos apenas citar. O uso da fun¸c˜ao
Q(·) sup˜oe um ru´ıdo total gaussiano de m´edia zero, o que, como j´a comentado,
´e exatamente o caso; e estatisticamente independente com a parcela do sinal
de interesse. Esse ´ultimo ponto n˜ao ´e respeitado. Existe correla¸c˜ao entre o RD
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 51
e o sinal, ou seja,
E
(q
k
n
)
∗
M−1
i=0
λ
[i]q
k
n−i
= 0. (3-74)
Vale dizer que o coeficiente de correla¸c˜ao calculado em (3-74) s´o existe quando
h´a filtro e ´e mesmo assim geralmente p equeno. Conv´em lembrar que, como
os q
k
n
’s e o RD s˜ao VA’s conjuntamente gaussianas, a descorrela¸c˜ao entre
elas garante independˆencia estat´ıstica. Nessa se¸c˜ao queremos apenas dar uma
id´eia intuitiva de como se procede para o c´alculo da BER e conseq¨uentemente
apenas mencionaremos esse problema. No Cap´ıtulo 4 estaremos interessados
em calcular probabilidades de erro com mais precis˜ao e retornaremos a esse
ponto.
Seja a VA dada por κ
q
k
n
. Seguimos da´ı para a defini¸c˜ao da BER
total, apenas em fun¸c˜ao de E
b
/σ, como
P () =
+∞
0
P
k
n
( | κ) p (κ) dκ, (3-75)
onde p (κ) ´e uma fun¸c˜ao densidade de probabilidade (fdp) Rayleigh, i.e.
p (κ) =
κ
˜σ
exp
−κ
2
2˜σ
u (κ) . (3-76)
Aqui u(t) representa a fun¸c˜ao degrau unit´ario na vari´avel t. J´a que q
k
n
´e uma
VA complexa gaussiana com E
q
k
n
2
= 1 (ver (3-64)), κ ter´a parˆametro
˜σ = 1/2. Percebe-se de ( 3-75) que a probabilidade de erro resultante do
sistema ´e a ´area de uma fun¸c˜ao que corresponde ao produto de duas fun¸c˜oes
distintas, uma igual a Q
SNR
k
n
e uma fdp de Rayleigh. A qualidade da
estima¸c˜ao do canal influir´a em σ
k
tot,n
em (3-71), n˜ao tendo nenhum efeito sobre
a fdp. Chegamos assim `a resposta para a terceira quest˜ao proposta: melhores
estimadores do canal diminuem σ
k
tot,n
e fazem com que a descida da fun¸c˜ao
Q(·) seja mais r´apida – em outras palavras, o m´odulo da derivada de Q(·)
para κ > 0 tende a ser maior. Quanto mais r´apida a descida, menor ser´a a
´area a ser integrada. Idealmente, Q(·) seria t˜ao ´ıngreme que se aproximaria
de uma fun¸c˜ao impulso, mas isso s´o ´e conseguido na ausˆencia completa de
ru´ıdo. A Fig. 3.6 ilustra a situa¸c˜ao. S˜ao duas as op¸c˜oes para a diminui¸c˜ao de
σ
k
tot,n
que temos dispon´ıveis em sistemas com enlace aberto. Primeiro, devemos
usar pilotos sempre uniformemente distribu´ıdos. Vimos na Se¸c˜ao 3.1.1 que essa
escolha resultar´a na menor norma poss´ıvel da matriz T, o que por sua vez leva
ao menor MSE poss´ıvel. Segundo, temos a possibilidade de usar estimadores
de canal mais sofisticados, que tˆem o efeito de reduzir σ
k
tot,n
ainda mais. O uso
de estimadores como o MMSE ou do filtro de Wiener resulta em estimadores
mais confi´aveis.
´
E bom lembrar que o pre¸co a ser pago por essas estima¸c˜oes
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 52
0.5
Figura 3.6: Probabilidade de erro para enlace aberto.
mais precisas s˜ao complexidade computacional aumentada e maior quantidade
de informa¸c˜ao sobre as estat´ısticas do canal e da potˆencia do ru´ıdo.
A solu¸c˜ao de (3-75) ´e ((Pro00), pg. 818),
P () =
1
2
1 −
Γ
1 + Γ
, (3-77)
onde Γ =
E
b
˜σ
σ
k
tot,n
´e a SNR m´edia recebida por bit.
3.4
Experimentos
Essa se¸c˜ao tem por objetivo demonstrar atrav´es de experimentos alguns
dos conceitos mais interessantes desse cap´ıtulo. Todos os sistemas OFDM
foram simulados em Matlab. O canal foi gerado com o modelo AR j´a apre-
sentado na Se¸c˜ao 2.4.
Experimento 1
Primeiramente analisaremos um sistema OFDM com 64 sub-canais e 16
pilotos. Em cada sub-canal ´e utilizada uma modula¸c˜ao QPSK. Os pilotos s˜ao
dispostos sempre uniformemente espa¸cados, conforme foi aprendido na Se¸c˜ao
3.1.1. O filtro de Wiener, quando usado, possui 50 taps, calculados de forma
´otima como descrito na Se¸c˜ao 3.1.3. O canal ´e formado por 8 taps seguindo o
perfil de potˆencia decrescente em (2-26). Os taps s˜ao independentes entre si e
tˆem autocorrela¸c˜ao dada por (2-27) com f
m
= 5 × 10
−3
. A Tabela 3.2 resume
os principais parˆametros para o experimento.
As Figs. 3.7 e 3.8 mostram o MSE e a BER para cada E
b
/σ simula-
dos para a transmiss˜ao de 40.000 blocos. Usamos os estimadores ML simples,
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 53
Tabela 3.2: Parˆametros para a simula¸c˜ao
Comprimento do canal no
tempo
L 8
N´umero de sub-canais K 64
N´umero de pilotos K
p
16
Espalhamento Doppler f
m
5 × 10
−3
Tamanho do filtro M 50
Blocos transmitidos N 40.000
MMSE simples, ML mais filtro de Wiener e MMSE mais filtro de Wiener.
Analisando o gr´afico de MSE, o que mais chama a aten¸c˜ao ´e melhora con-
sider´avel com a utiliza¸c˜ao do filtro de Wiener, tanto para o ML quanto para
o MMSE. Economiza-se cerca de 8 dB com a utiliza¸c˜ao do filtro. Observa-se
que os estimadores ML e MMSE s´o diferem para baixas E
b
/σ. Como previmos,
quando σ → 0, a diferen¸ca entre os dois tende a desaparecer. Isso ´e observado
tanto para os seu uso simples quanto para o seu uso combinado com o filtro
de Wiener.
O efeito do uso do filtro n˜ao ´e t˜ao pronunciado para a BER, como
mostra a Fig. 3.8. Ilustramos, assim, o efeito do MSE na probabilidade de
erro do sistema, j´a demonstrada matematicamente em (3-77). Ganha-se cerca
de 1-2 dB com o uso do filtro de Wiener. N˜ao se percebe diferen¸cas entre os
estimadores ML e MMSE tanto para o seu uso simples quanto para o seu uso
combinado com o filtro de Wiener. Como vimos, quanto melhor a estima¸c˜ao
de canal, mais r´apida ser´a a descida da fun¸c˜ao Q(·). Percebemos que melhores
estima¸c˜oes tˆem efeito limitado na probabilidade de erro final do sistema.
Experimento 2
Agora vamos analisar o efeito do n´umero de taps do filtro de Wiener no
MSE e na BER resultantes do sistema. Dessa vez essas vari´aveis s˜ao calculadas
teoricamente por (3-45) e (3-77), respectivamente – s´o h´a diferen¸ca significativa
entre o c´alculo te´orico e o simulado para E
b
/σ muito baixos, o que n˜ao ser´a o
caso nessa se¸c˜ao. Como vimos que os estimadores ML mais Wiener e MMSE
mais Wiener tˆem desempenho praticamente igual para a maior parte dos casos,
optamos pelo primeiro para esse experimento pelo fato de ser mais simples de
calcul´a-lo. O resto dos parˆametros da simula¸c˜ao s˜ao os mesmos mostrados na
Tabela 3.2, exceto pelas trˆes ´ultimas linhas. O comportamento do tamanho do
filtro, sua rela¸c˜ao com o desvio Doppler e o efeito no desemp enho do sistema
´e justamente o que queremos ilustrar agora.
A Fig. 3.9 mostra os resultados em MSE e BER para um canal com
f
m
= 5×10
−2
quando se varia o tamanho do filtro de Wiener – variamos M com
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 54
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
E
b
/σ (dB)
MSE
ML
MMSE
ML e Wiener
MMSE e Wiener
Figura 3.7: MSE para pilotos uniformes e diferentes estimadores.
0 5 10 15 20 25 30
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/σ (dB)
BER
ML
MMSE
ML e Wiener
MMSE e Wiener
Figura 3.8: BER para pilotos uniformes e diferentes estimadores.
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 55
acr´escimos de 20 taps por vez.
´
E de se esperar, obviamente, que quanto maior
o tamanho do filtro, melhor o desempenho. Por´em, essa melhora ´e bastante
limitada. H´a de se considerar que esse canal pode ser classificado como de
varia¸c˜ao alta, o que limita a efic´acia do filtro de Wiener. Existe diferen¸ca
significativa tanto em MSE quanto em BER apenas entre M = 1 (estimador
ML simples) e M = 20. Os pontos restantes n˜ao mostram melhora percept´ıvel.
Resultados diferentes s˜ao vistos para f
m
= 5 × 10
−3
, mostrados na Fig.
3.10. Nesse caso, o aumento do tamanho do filtro tem conseq¨uˆencias positivas
para o MSE em todos os valores de M testados. Mesmo para os ´ultimos
acr´escimos percebe-se melhoria, principalmente para E
b
/σ maiores. O mesmo
n˜ao pode ser dito para a BER. Para esse fator, existe diferen¸ca significativa
apenas entre M = 1 e M = 20.
Como era de se esperar, o efeito do aumento do tamanho do filtro tem
impacto ainda mais significativo para um canal de menor varia¸c˜ao. O ´ultimo
caso ´e o de um canal com f
m
= 5 × 10
−6
, considerado de varia¸c˜ao lenta. Os
resultados s˜ao plotados na Fig. 3.11. O efeito na BER ´e mais uma vez limitado.
Isso ocorre porque o ru´ıdo de detec¸c˜ao fica dominante a partir de certo ponto.
Lembrar que o c´alculo de P () em (3-77) leva em conta σ
k
tot,n
= σ + MSE
k
n
(ver
(3-70)). Ap´os o filtro ter tamanho suficientemente grande, ocorre σ MSE
k
n
e melhoras na estima¸c˜ao n˜ao tˆem impacto na BER final.
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 56
0 50 100 150 200
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
M
BER
0 50 100 150 200
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
M
MSE
10 dB
20 dB
30 dB
10 dB
20 dB
30 dB
Figura 3.9: BER e MSE para f
m
= 5 × 10
−2
, estimador ML com filtro de
Wiener para trˆes E
b
/σ distintas.
0 50 100 150 200
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
M
BER
0 50 100 150 200
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
M
MSE
10 dB
20 dB
30 dB
10 dB
20 dB
30 dB
Figura 3.10: BER e MSE para f
m
= 5 × 10
−3
, estimador ML com filtro de
Wiener para trˆes E
b
/σ distintas.
Cap´ıtulo 3. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Aberto 57
0 50 100 150 200
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
M
BER
0 50 100 150 200
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
M
MSE
10 dB
20 dB
30 dB
10 dB
20 dB
30 dB
Figura 3.11: BER e MSE para f
m
= 5 × 10
−6
, estimador ML com filtro de
Wiener para trˆes E
b
/σ distintas.
4
Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace
Fechado
Neste cap´ıtulo analisamos que op¸c˜oes temos com o uso de um enlace
fechado, isto ´e, na situa¸c˜ao onde existe um canal reverso entre os usu´arios
forte e fraco. Pode-se aproveitar da melhor posi¸c˜ao log´ıstica do usu´ario forte
para otimizar a dire¸c˜ao fraco-forte, onde a comunica¸c˜ao ´e mais delicada.
Consideramos por simplicidade que a comunica¸c˜ao reversa ´e feita de forma
imediata e sem erros. O t´opico de como melhor utilizar o enlace fechado em
transmiss˜oes OFDM n˜ao foi t˜ao explorado na literatura. Veremos trˆes op¸c˜oes
para o seu uso, que est˜ao ilustradas na Fig. 4.1. Na primeira, estudada em
(Wan00) e descrita na Se¸c˜ao 4.1, a comunica¸c˜ao reversa consiste na transmiss˜ao
do canal estimado,
ˆ
q. Dessa forma, o transmissor fraco pode pr´e-equalizar o
pr´oximo bloco a ser transmitido. A seguir, analisamos a op¸c˜ao de aloca¸c˜ao
dinˆamica de potˆencia (Gol02) no usu´ario fraco. Nesse cen´ario, o usu´ario forte
calcula qual a melhor op¸c˜ao poss´ıvel do uso da potˆencia nos sub-canais de
dados e transmite esses valores em um vetor e. O usu´ario fraco utiliza esse
perfil de potˆencia em sua pr´oxima transmiss˜ao.
Por fim, na Se¸c˜ao 4.3, voltamos a aten¸c˜ao para uma op¸c˜ao bem mais
interessante, a de aloca¸c˜ao dinˆamica de pilotos. Foi mostrado em artigo recente
(Pan08) que, das trˆes alternativas, ´e essa que traz os ganhos mais importantes.
Nessa situa¸c˜ao, o usu´ario forte calcula qual a melhor disposi¸c˜ao de pilotos,
ou seja, acha um vetor p, e o envia para o usu´ario fraco. Veremos que, ao
contr´ario do sistema de enlace aberto descrito no Cap´ıtulo 3, a melhor op¸c˜ao
poss´ıvel para p ´e na imensa maioria das vezes n˜ao-uniforme. Nesse ponto,
analisamos na Se¸c˜ao 4.3.1 a solu¸c˜ao anteriormente proposta na literatura e na
se¸c˜ao seguinte propomos uma melhor. Sugerimos tamb´em na Se¸c˜ao 4.3.3 um
algoritmo sub-´otimo mas de baixa complexidade que nos permitir´a diminuir
bastante o custo computacional da solu¸c˜ao proposta sem grandes perdas em
desempenho. S˜ao essas as principais contribui¸c˜oes deste trabalho.
Fechando esse cap´ıtulo, a Se¸c˜ao 4.4 mostra diversos experimentos que
exemplificam o potencial de cada solu¸c˜ao para melhorar a probabilidade de
erro de bit das transmiss˜oes OFDM. Nessa parte, demonstramos com clareza
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado59
Usuário forte
q, e ou p
1) Estimação do
canal
2) Detecção
3) Alocação de
potência/pilotos
Bloco de dados
Usuário fraco
Figura 4.1: Enlace fechado.
primeiro a superioridade dos esquemas de aloca¸c˜oes de piloto em rela¸c˜ao aos
outros dois, e em seguida a melhora conseguida com a solu¸c˜ao proposta em
rela¸c˜ao `a solu¸c˜ao anterior.
4.1
Pr´e-Equaliza¸c˜ao
A pr´e-equaliza¸c˜ao, mostrada em diagrama de blocos na Fig. 4.2, funciona
da seguinte forma: o usu´ario forte estima o canal mas n˜ao o utiliza para
a detec¸c˜ao do mesmo bloco. O vetor
ˆ
q
n−1
´e enviado ao usu´ario fraco com
o uso da comunica¸c˜ao reversa, para a seguir ser usado para pr´e-distorcer o
bloco de s´ımbolos a ser enviado no instante n. Caso o canal na freq¨uˆencia seja
correlacionado em instantes consecutivos, o que ´e de se esperar que aconte¸ca,
n˜ao h´a necessidade de equaliza¸c˜ao no recebimento dos s´ımbolos. O bloco
transmitido ´e
X
pre,n
= G diag {x
n
}(diag {
ˆ
q
n−1
})
−1
, (4-1)
e o bloco recebido ´e
r
pre,n
= G
−1
GX
pre,n
q
n
+ z
n
= diag {x
n
}(diag {
ˆ
q
n−1
})
−1
q
n
+ z
n
. (4-2)
Em (4-1), o ganho G ´e utilizado para tornar justa a compara¸c˜ao entre
os sistemas de pr´e- e p´os-equaliza¸c˜ao. O sistema de p´os-equaliza¸c˜ao, visto
no Cap´ıtulo 3, dispunha de uma constela¸c˜ao com E
s
= 1 para cada sub-
canal, somando K unidades de energia para a transmiss˜ao de um bloco. A
multiplica¸c˜ao por diag {
ˆ
q
n−1
}
−1
no sistema de pr´e-equaliza¸c˜ao faz com que
as potˆencias de cada tom sejam diferentes, e usamos G para o controle de
potˆencia. Esse ganho deve satisfazer
E
G diag {
ˆ
q
n−1
}
−1
x
n
2
= E
x
n
2
, (4-3)
o que resulta em
G =
√
K
diag {q
n−1
}
−1
F
. (4-4)
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado60
G
-1
Detecção
Estimação
G
Usuário fraco Usuário forteCanal
Figura 4.2: Diagrama de bloco para a pr´e-equaliza¸c˜ao.
O processo de estima¸c˜ao do canal consiste em alguma das op¸c˜oes vistas no
Cap´ıtulo 3. Usaremos pilotos sempre uniformemente espa¸cados para a an´alise.
Em (4-2), idealmente ter´ıamos (diag {
ˆ
q
n−1
})
−1
q
n
= 1
K×1
, ou seja, a estima¸c˜ao
do canal no instante n−1 ´e perfeita e n˜ao h´a mudan¸ca no canal entre instantes
consecutivos – 1
K×J
indica um vetor de 1’s de tamanho indicado pelo sub-
escrito. O processo de detec¸c˜ao por m´ınima distˆancia ´e
ˆx
k
n
= arg min
˜x∈X
r
k
n
− ˜x
2
. (4-5)
N˜ao nos deteremos tanto nessa se¸c˜ao a n˜ao ser para alguns coment´arios.
O efeito da pr´e-equaliza¸c˜ao ´e o de tornar o sistema mais igualit´ario em rela¸c˜ao
aos sub-canais. Existir´a o erro de estima¸c˜ao, obviamente, ainda mais acentuado
pelo fato de que o canal n˜ao ´e constante de um instante a outro, mas o fato
de o receptor n˜ao necessitar equalizar o sinal recebido em (4-5) faz com que
o ru´ıdo total na detec¸c˜ao de todos os sub-canais seja mais equilibrado. Em
sistemas com p´os-equaliza¸c˜ao, como aquele visto no Cap´ıtulo 3, os diferentes
ganhos nos sub-canais fazem com que o ru´ıdo de detec¸c˜ao seja aumentado ou
diminu´ıdo. Para os de pr´e-equaliza¸c˜ao, ´e poss´ıvel mostrar que
SNR
k
n
=
E
b
q
k
n
2
σ
ˆq
k
n−1
2
+ σ
k
dist,n
+ σ
k
inter,n
. (4-6)
Cabe ressaltar que o RD ´e um pouco diferente para o caso de pr´e-equaliza¸c˜ao.
Isso ´e conseq¨uˆencia do fato de que
ˆ
q ´e calculado no instante anterior ao q real.
O RD ´e dado por
σ
k
dist,n
= (λ
)
T
R
qq,t
λ
, (4-7)
onde nesse caso o vetor λ
=
−1 λ
T
T
tem tamanho M + 1. Obviamente
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado61
a matriz de correla¸c˜ao em (4-7) tem o mesmo tamanho, ou seja, possui os
valores da fun¸c˜ao R
q,t
[n] do instante 0 ao instante M organizados em matriz
do mesmo jeito que (2-30).
´
E interessante notar que existe RD mesmo quando
n˜ao h´a filtragem temporal, ou seja, mesmo se utilizarmos o ML simples para
a estima¸c˜ao o termo do RD ´e diferente de zero. O RI ´e o mesmo do caso da
p´os-equaliza¸c˜ao.
Considere em (4-6) que utiliza-se mais pilotos do que o necess´ario e que
a ordem do filtro de recep¸c˜ao ´e grande (M ´e grande). Esses dois fatos fazem
com que ambas as parcelas do RD e do RI sejam pequenas. Podemos ent˜ao
aproximar a SNR por
SNR
k
n
≈
E
b
q
k
n
2
σ
q
k
n−1
2
≈
E
b
σ
, (4-8)
onde consideramos que a varia¸c˜ao temporal do canal ´e pequena e p ortanto
q
k
n
≈
q
k
n−1
. Em (4-8), percebe-se que a SNR n˜ao ´e seletiva em freq¨uˆencia.
´
E esse o efeito da pr´e-equaliza¸c˜ao: n˜ao h´a uma diminui¸c˜ao da BER total do
sistema, mas ela ´e apenas distribu´ıda de forma mais igualit´aria para todos os
blocos entre todos os sub-canais.
4.2
Aloca¸c˜ao de Potˆencia
Proposto por Golfeld et al. (Gol02), a aloca¸c˜ao dinˆamica de potˆencia
visa distribuir de forma mais inteligente as (K − K
p
) unidades de potˆencia
dispon´ıveis para os sub-canais de dado do usu´ario fraco. Manteremos os pilotos
com E
s
= 1, e portanto h´a um total de K
p
unidades de potˆencia para a sua
transmiss˜ao.
Dado um canal estimado,
ˆ
q
n−1
, o usu´ario forte calcula qual a melhor
utiliza¸c˜ao da potˆencia em um vetor e
n
e o envia para o usu´ario fraco para
utiliza¸c˜ao no pr´oximo bloco a ser transmitido. O problema sugerido por
Goldfeld ´e
e
n
= arg min
e
1 −
K−1
k∈{d}
1 − P
k
n−1
| ˆq
k
n−1
, (4-9)
ou seja, a minimiza¸c˜ao ´e a da probabilidade de erro de vetor. Define-se erro
de vetor quando um ou mais s´ımbolos transmitidos em um bloco s˜ao decodi-
ficados de forma incorreta. Os termos do produt´orio s˜ao as probabilidades de
bits decodificados corretamente para cada sub-canal de dado. Lembrar que o
vetor de potˆencia entra no c´alculo de cada termo, isto ´e, a SNR a ser utilizada
em (4-9) ´e dada por SNR
k
n−1
=
e
k
ˆq
k
n−1
2
/σ
k
tot,n−1
. A probabilidade de erro de
vetor ´e conseguida subtraindo o produt´orio de 1.
´
E argumentado em (Lov07)
que (4-9) equivale achar um vetor e
n
que maximiza a SNR m´ınima entre os
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado62
Usuário fraco Usuário forte
Detecção
Estimação
Alocação
de potência
Canal
Figura 4.3: Diagrama de blocos para a aloca¸c˜ao dinˆamica de potˆencia.
sub-canais de dados.
Resolver (4-9) ´e complicad´ıssimo. Segundo (Gol02), ´e necess´ario resolver
(K − K
p
) equa¸c˜oes transcendentais para a solu¸c˜ao ´otima. Por esse motivo, ´e
sugerido uma solu¸c˜ao sub-´otima mas de f´acil computa¸c˜ao, dada por
e
k
n
= (K − K
p
)
1
(ˆq
k
n−1
)
2
k∈{d}
(ˆq
k
n−1
)
−2
−1
. (4-10)
´
E essa proposta que levaremos em conta no restante desse texto.
O bloco transmitido para a aloca¸c˜ao de potˆencia seria
X
ap,n
=
diag {e
n
}diag {x
n
}, (4-11)
e o bloco recebido ´e
r
ap,n
= X
ap,n
q
n
+ z
n
;
=
diag {e
n
}diag {x
n
}q
n
+ z
n
. (4-12)
O diagrama de blocos para a transmiss˜ao ´e mostrado na Fig. 4.3.
´
E argumentado em (Pan08) que a estrat´egia de aloca¸c˜ao de potˆencia n˜ao
traz ganhos significativos para o sistema. Confirmaremos esse fato na Se¸c˜ao
4.4.
4.3
Aloca¸c˜ao de pilotos
Vimos no Cap´ıtulo 3 que o perfil de pilotos que melhor estima o canal ´e
aquele uniformemente espa¸cado. Conseguimos melhores resultados ainda caso
utilizemos estimadores mais sofisticados, como o MMSE e o filtro de Wiener.
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado63
Para o caso do loop aberto ´e essa a melhor op¸c˜ao poss´ıvel. Por´em a qualidade
da estima¸c˜ao do canal ´e apenas parte do processo de detec¸c˜ao, e com o enlace
fechado temos uma op¸c˜ao mais interessante.
4.3.1
Solu¸c˜ao de Panah et al.
Panah et al. propuseram em (Pan08) um esquema de aloca¸c˜ao de pilotos
que leva em conta n˜ao apenas o MSE de estima¸c˜ao resultante, mas tamb´em
a qualidade dos sub-canais que carregam pilotos. Ao mesmo tempo que ´e
desej´avel manter os pilotos uniformemente espa¸cados para o menor MSE
poss´ıvel, ´e tamb´em interessante que os pilotos sejam transmitidos nos piores
canais. Afinal, os sub-canais piloto n˜ao carregam dados, e portanto n˜ao
contribuem para a probabilidade de erro final do sistema.
Os dois interesses s˜ao, na imensa maioria dos casos, conflitantes, e um
compromisso deve ser conseguido entre eles. A referˆencia (Pan08) prop˜oe
selecionar a localiza¸c˜ao dos pilotos de acordo com a SNR m´edia do sistema.
Define-se
SNR
n−1
(p) =
ˆ
q
H
n−1
(I
K
− D)
ˆ
q
n−1
σ(K − K
p
) + σ
inter,n−1
+ σ
dist,n−1
(4-13)
como o SNR m´edia (m´edia das SNR’s dos tons que carregam dado) conseguida
com a aloca¸c˜ao p. A matriz (I
K
− D) seleciona os canais de dados. O estimador
estudado no artigo ´e o ML simples, e portanto
σ
inter,n
= σ
tr
F
L
U
−1
n
F
H
L
− L
(4-14)
e σ
dist,n
= 0. Iremos tamb´em experimentar essa solu¸c˜ao com estimadores mais
confi´aveis na se¸c˜ao de experimentos.
O esquema proposto funcionaria da seguinte forma: na primeira trans-
miss˜ao n˜ao se tem nenhuma informa¸c˜ao sobre o canal, e portanto a melhor
coisa a se fazer ´e estim´a-lo da melhor forma poss´ıvel. Isso ´e conseguido com
uma distribui¸c˜ao uniforme dos pilotos, como visto anteriormente. A partir do
momento em que dispomos de um
ˆ
q, o problema a ser resolvido ent˜ao ´e sim-
plesmente achar um p
n
que maximiza a express˜ao em (4-13), ou seja,
p
n
= arg max
p∈P
SNR
n−1
(p)
tal que
K−1
k=0
p
k
= K
p
.
(4-15)
O vetor p
n
´e ent˜ao usado para a transmiss˜ao do bloco seguinte e processo se
repete. A Fig. 4.4 mostra o processo graficamente. Ganhos consider´aveis s˜ao
registrados em (Pan08).
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado64
Detecção
Estimação
Alocação
de pilotos
Alocar
pilotos
Usuário fraco Usuário forteCanal
Figura 4.4: Diagrama de blocos para a aloca¸c˜ao dinˆamica de pilotos.
Observe como a fun¸c˜ao-objetivo em (4-15) leva em conta ambos os
interesses conflitantes: de um lado, n˜ao se quer “desperdi¸car” bons canais com a
transmiss˜ao de pilotos, o que se reflete na maximiza¸c˜ao do numerador de (4-13);
e, do outro, se deseja que os pilotos estejam dispostos de forma suficientemente
ordenada para uma estima¸c˜ao satisfat´oria do canal. O vetor p
n
resultante
muito provavelmente n˜ao ser´a uniforme, pois a estima¸c˜ao do canal n˜ao ´e um fim
em si. Caso a fun¸c˜ao ´ultima do sistema fosse a estima¸c˜ao do canal, ent˜ao com
certeza a melhor escolha para os pilotos seria aquela uniformemente espa¸cada.
Almeja-se, por´em, uma estima¸c˜ao apenas boa o suficiente para uma detec¸c˜ao
eficiente do dados, esse sim o objetivo da transmiss˜ao. O vetor p
n
´otimo
tampouco ter´a os pilotos alocados somente nos piores canais, pois isso muito
provavelmente produziria uma estima¸c˜ao do canal muito ruim (tr
F
L
U
−1
n
F
H
L
muito grande), o que por sua vez levaria a uma taxa de erro elevada. A solu¸c˜ao
da Eq. (4-15) leva em conta ambos os lados, e ´e nisso que consiste a contribui¸c˜ao
de (Pan08). Al´em disso, deve-se notar que a transmiss˜ao reversa para essa
proposta ´e bem mais simples e confi´avel do que para as duas anteriores: o vetor
transmitido do usu´ario forte para o fraco ´e bin´ario (ver Fig. 4.4), enquanto
que para a pr´e-equaliza¸c˜ao e aloca¸c˜ao de potˆencia ´e necess´ario o envio de vetor
de n´umeros reais. Isso incorre em erros inevit´aveis de quantiza¸c˜ao e em um
processo de comunica¸c˜ao bem mais complexo.
A referˆencia (Pan08) prop˜oe um processo de busca exaustiva para achar o
melhor p em (4-15). Isso quer dizer que calcula-se (4-13) para todas as op¸c˜oes
poss´ıveis. S˜ao
K
K
p
possibilidades, o que implica que a busca exaustiva s´o
poder´a ser feita para sistemas pequenos. Se, como no experimento da Se¸c˜ao
3.4, os parˆametros do sistema forem aqueles mostrados na Tabela 3.2, o n´umero
de possibilidades ´e (
64
16
), que ´e da ordem de 10
14
.
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado65
A solu¸c˜ao de Panah et al. pode melhorar em alguns p ontos, e ´e isso
o assunto da pr´oxima se¸c˜ao. Eles n˜ao levam em conta que maximiza¸c˜ao da
SNR m´edia do canal n˜ao ´e a melhor m´etrica para a sele¸c˜ao dos pilotos. O
artigo tamb´em peca por n˜ao explorar estimadores de canal mais sofisticados
– o estimador usado ´e o ML apresentado na Se¸c˜ao 3.1.1 – e em n˜ao propor
algoritmos de menor complexidade para a solu¸c˜ao de (4-15).
4.3.2
Solu¸c˜ao proposta
S˜ao duas as principais mudan¸cas da solu¸c˜ao proposta. Em primeiro lugar,
usamos estimadores mais sofisticados, como o ML seguido de filtro de Wiener.
Esse conjunto explora de forma eficiente tanto a correla¸c˜ao em freq¨uˆencia
quanto a temporal do canal, e isso levar´a a uma estima¸c˜ao muito melhor do
que a do ML simples. Para o c´alculo do filtro de Wiener, consideramos sempre
pilotos uniformemente espa¸cados – mais sobre esse ponto a seguir. Resultados
potencialmente melhores seriam conseguidos com o estimador MMSE. Por´em,
foi visto na Se¸c˜ao 3.4 que o MMSE n˜ao traz ganhos t˜ao grandes para o MSE e
principalmente para a probabilidade de erro de bit quando comparado com o
ML, e dessa forma usaremos apenas o ML. A segunda mudan¸ca ´e que levamos
em conta a probabilidade de erro precisa do sistema para a escolha dos pilotos.
A seguir descrevemos o m´etodo proposto assim como uma an´alise detalhada
dos potenciais ganhos.
Definimos a SNR do sub-canal k no instante n como
SNR
k
n−1
≈
ˆq
k
n−1
2
σ
k
tot,n−1
, (4-16)
em que σ
k
tot,n−1
= σ + σ
k
inter,n−1
+ σ
k
dist,n−1
. Se usarmos o estimador ML seguido
de um filtro de Wiener, as vari´aveis σ
k
inter,n−1
e σ
k
dist,n−1
s˜ao calculadas por
(3-68) e (3-62), resp ectivamente (ver a terceira linha da Tabela 3.1). Idealmente
dispor´ıamos do valor real do canal para o c´alculo da SNR em (4-16), mas o
receptor n˜ao tem acesso a essa informa¸c˜ao. Usamos a estimativa do canal, ˆq
k
n−1
,
como uma aproxima¸c˜ao. O esquema funcionaria da mesma forma que a solu¸c˜ao
de Panah: na primeira transmiss˜ao n˜ao h´a conhecimento algum do canal,
e portanto pilotos uniformemente espa¸cados fornecem a melhor estimativa
poss´ıvel. A partir do ponto em que dispomos de
ˆ
q
n−1
, temos condi¸c˜oes de alocar
pilotos para a pr´oxima transmiss˜ao a partir do c´alculo da fun¸c˜ao-objetivo
proposta.
A fun¸c˜ao-objetivo levar´a em conta a probabilidade de erro precisa do
sistema. Seja a probabilidade de erro de bit para o bloco n e sub-canal k dado
q
k
n
, j´a mencionada em (3-72) e repetida aqui por conveniˆencia,
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado66
P
k
n−1
( | κ) = Q
SNR
k
n−1
.
Lembramos que κ =
q
k
n
. A fun¸c˜ao-objetivo proposta ´e a m´edia das probabi-
lidades de erro dos canais que carregam dados, ou seja,
ˆ
p
n
= arg min
p∈P
1
K − K
p
k∈{d}
P
k
n−1
( | κ)
tal que
K−1
k=0
p
k
= K
p
.
(4-17)
Assim, ´e garantido que a sele¸c˜ao das portadoras que carregam pilotos ser´a
aquela que minimiza a probabilidade de erro m´edia de bit do sistema. Em
(4-17), o somat´orio ´e apenas nos sub-canais que cont´em dado – isso ´e expresso
por k ∈ {d}, ou, de forma equivalente, p
k
= 0.
O problema a ser resolvido leva em conta ambos os fatores da solu¸c˜ao
de Panah, por´em de forma bem mais precisa. Uma determinada aloca¸c˜ao p
ser´a boa se bons canais n˜ao forem desperdi¸cados com pilotos – os pilotos
tendem a ocupar os piores canais; e se o pilotos estiverem dispostos de forma
suficientemente ordenada para a estima¸c˜ao. A palavra suficientemente ´e a
chave aqui. Por exemplo, caso o ru´ıdo seja muito pequeno, ou seja, E
b
/σ → ∞,
qualquer p estimar´a o canal de forma razo´avel, mesmo aquele em que os pilotos
est˜ao em sub-canais adjacentes. Pode-se nesse caso alocar os pilotos nos K
p
piores canais e ainda assim ter uma boa estima¸c˜ao.
Um cuidado deve ser tomado no c´alculo da probabilidade de erro em
(3-72). Seja a recep¸c˜ao por m´ınima distˆancia expressa na Eq. (3-60), que
repetimos aqui por conveniˆencia,
Ω = q
k
n
x
k
n
− ˜x
+ z
k
n
− ˜x
M−1
i=0
λ
[i]q
k
n−i
− ˜x
M−1
i=0
λ[i]f
k
(Tw
p
)
n−i
.
Mencionamos no Cap´ıtulo 3 que, para que o c´alculo preciso da probabilidade de
erro seja dado por (3-72), ´e necess´ario que duas condi¸c˜oes sejam cumpridas. Em
primeiro lugar, o ru´ıdo total deve ser gaussiano de m´edia zero, o que, como
j´a citado, ´e exatamente o caso. Segundo, o ru´ıdo deve ser estatisticamente
independente das flutua¸c˜oes da energia do sinal de interesse. Isso n˜ao ´e
respeitado, pois a componente do sinal e o ru´ıdo de distor¸c˜ao (RD) tˆem
correla¸c˜ao. Como estamos interessados nesse ponto em algo mais preciso do que
a no¸c˜ao intuitiva de probabilidade de erro dada no Cap´ıtulo 3, esse fato deve
ser contornado. Isso pode ser conseguido caso calculemos apropriadamente os
coeficiente do filtro de Wiener. Pois uma vez que, como tamb´em j´a mencionado,
q
k
n
e o RD s˜ao VAs conjuntamente gaussianas, descorrela¸c˜ao entre elas garante
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado67
a independˆencia estat´ıstica. Assim, a condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a
independˆencia estat´ıstica entre a componente do sinal e o RD ´e
E
(q
k
n
)
∗
M−1
i=0
λ
[i]q
k
n−i
= 0, (4-18)
onde λ
´e dado por (3-46). A condi¸c˜ao (4-18) resulta em
(λ
)
T
[R
qq,t
]
col 1
= 0, (4-19)
onde R
qq,t
´e dado por (3-65). De forma equivalente, obtemos
λ
T
[R
qq,t
]
col 1
− 1 = 0. (4-20)
Podemos ent˜ao incorporar essa restri¸c˜ao `a solu¸c˜ao de Wiener da seguinte
forma: re-escrevemos (3-37) como
ˆ
λ
n
= arg min
λ
E
h
n
− Yλ
2
,
tal que λ
T
[R
hh,t
]
col 1
− 1 = 0.
(4-21)
Re-escrevendo (4-21) com a introdu¸c˜ao do multiplicador de Lagrange β,
obtemos
ˆ
λ
n
= arg min
λ
E
h
n
− Yλ
2
+ β
λ
T
[R
hh,t
]
col 1
− 1
. (4-22)
Calculado o gradiente ∇λ, igualamos a zero, resolvemos a equa¸c˜ao resultante
e conseguimos
λ =
R
−1
YY
[R
hh,t
]
col 1
[R
hh,t
]
H
col 1
R
−1
YY
[R
hh,t
]
col 1
, (4-23)
onde R
YY
´e dado por (3-43) para o ML com a aloca¸c˜ao de pilotos invariante
no tempo. Portanto, o c´alculo do filtro de Wiener original deve conter uma
normaliza¸c˜ao pela constante do denominador de (4-23). Com essa condi¸c˜ao
satisfeita, todas as VAs da recep¸c˜ao s˜ao conjuntamente gaussianas, de m´edia
zero e descorrelacionadas entre si. A´ı sim podemos calcular precisamente a
probabilidade de erro para cada sub-canal e a probabilidade de erro m´edia do
sistema dado q em (4-17).
´
E de se notar que a constante que normaliza (4-23)
´e geralmente pr´oxima a 1, e portanto o filtro resultante n˜ao ´e t˜ao diferente
assim do filtro original sem restri¸c˜oes.
O c´alculo do filtro de Wiener leva em conta em R
YY
uma disposi¸c˜ao
uniforme para os pilotos. Obviamente essa n˜ao ´e a melhor filtragem poss´ıvel,
pois, como j´a falado, o vetor p
n
resultante de (4-17) ser´a na imensa maioria
dos casos n˜ao-uniforme. Assumimos pilotos uniformes para os c´alculos dos
coeficientes de Wiener por simplicidade. Caso lev´assemos em conta a varia¸c˜ao
temporal de p
n
, o filtro resultante seria tamb´em variante no tempo, o que
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado68
L-10
tempo
2π0
freqüência
Figura 4.5: Degrau no tempo com dois instantes tem apenas um nulo espectral.
L-10
tempo
2π0
freqüência
L-1 zeros
Figura 4.6: Degrau no tempo com L instantes tem L − 1 nulos espectrais.
aumentaria bastante a complexidade computacional do receptor – a cada novo
bloco recebido um novo filtro teria que ser calculado.
Corol´ario 1 Evitando canais nulos: Se o algoritmo de aloca¸c˜ao de pilotos
proposto for utilizado, sempre que ocorrer um sub-canal nulo no m´odulo na
resposta de freq¨uˆencia do canal, esse sub-canal ser´a ocupado por um piloto.
Prova. Para a an´alise seguinte, consideramos que L e K s˜ao sempre pares.
Uma condi¸c˜ao necess´aria, obviamente, ´e que o canal exista, ou seja, h = 0
L×1
.
Nulos no m´odulo da resposta de freq¨uˆencia de canal, que chamaremos de nulos
espectrais, ocorrem quando h´a elementos de h iguais uns aos outros. Considere
como exemplo a seguinte resposta ao impulso,
h =
η η 0 ··· 0
T
, (4-24)
onde η ´e um complexo qualquer. Lembramos que os taps da resposta ao impulso
s˜ao descorrelacionados. A resposta em freq¨uˆencia ter´a o perfil mostrado na Fig.
4.5, ou seja, com um nulo espectral. Caso um canal de dado seja alocado no
nulo, a probabilidade de erro de bit da transmiss˜ao neste sub-canal seria a
maior p oss´ıvel – j´a que n˜ao existe sinal no receptor, este decidiria por sorteio
os bits e a probabilidade de erro para cada bit seria 1/2.
Considere agora a situa¸c˜ao com maior n´umero de zeros espectrais, aquela
em que h = η
1 ··· 1
T
. A resposta na freq¨uˆencia nesse caso ´e mostrada
na Fig. 4.6. Mesmo nessa situa¸c˜ao, h´a apenas L − 1 nulos espectrais em
q
.
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado69
Lembramos que devem existir pelo menos K
p
≥ L pilotos para a estima¸c˜ao.
Caso algum canal de dado seja alocado em qualquer nulo espectral, sua
probabilidade de erro ser´a a maior poss´ıvel. Como queremos minimizar a soma
das probabilidades de erro dos canais de dado, nenhum canal de dado pode
ter a maior probabilidade de erro poss´ıvel. J´a que temos mais pilotos do que
nulos espectrais, L − 1 pilotos ser˜ao alocados nos nulos e os pilotos restantes
ser˜ao distribu´ıdos de acordo com as necessidades do sistema.
Canais nulos acontecem com probabilidade tendendo a zero. Por´em
canais quase-nulos (chamados tamb´em de desvanecimentos profundos) acon-
tecem com freq¨uˆencia consider´avel e devem ser evitados a todo custo. Se ve-
rificamos que, na ocorrˆencia de canais nulos, sempre um piloto ser´a alocado
no nulo, ´e de se esperar que pilotos ser˜ao alocados em canais quase-nulos com
grande probabilidade. Quanto mais o ganho de um sub-canal se aproxima de
zero, maior a probabilidade de que um piloto seja alocado nele. Em outras
palavras: mostramos que canais nulos sempre carregar˜ao pilotos. Argumenta-
mos agora que, quando o m´odulo de um sub-canal tende a zero, a probabilidade
que um piloto seja alocado nesse sub-canal tende a 1. Isso ´e nada mais do que
conseq¨uˆencia da fun¸c˜ao-objetivo expressa em (4-17). Observar que a fun¸c˜ao-
objetivo de Panah n˜ao necessariamente se comporta da mesma forma. A maxi-
miza¸c˜ao da SNR m´edia d´a margem para dados em canais nulos ou quase-nulos
desde que haja canais com ganho bom o suficiente para compensar o zero.
Vale nesse ponto comentar sobre as diferen¸cas entre as fun¸c˜oes-objetivo
expressas em (4-15) e (4-17). Enquanto a estrat´egia de Panah escolhe o perfil
de pilotos que produz a maior m´edia de SNR, a que propomos seleciona a
menor probabilidade de erro m´edia entre os tons. As duas abordagens est˜ao
ilustradas na Fig. 4.7. A abordagem proposta ´e superior. Pode-se interpretar
geometricamente a diferen¸ca entre as duas situa¸c˜oes com a ajuda das figuras.
A abordagem de Panah n˜ao necessariamente seleciona o perfil de pilotos com
menor probabilidade de erro total. Um exemplo ´e mostrado na Fig. 4.7(a).
Essa solu¸c˜ao quer “empurrar” a m´edia das SNRs dos sub-canais selecionados
para carregar dados o mais `a direita poss´ıvel, mas pelo do fato da fun¸c˜ao Q(·)
ser altamente n˜ao linear em seu argumento (ver ( 3-73)), os valores menores de
SNR ser˜ao dominantes para o c´alculo de erro. Selecionar o perfil de pilotos que
maximiza a m´ınima SNR entre os canais seria uma estrat´egia melhor, apesar
de n˜ao ´otima. O esquema proposto, mostrado na Fig. 4.7(b), n˜ao incorre no
mesmo erro.
Uma conseq¨uˆencia interessante do Corol´ario 1 ´e que, j´a que canais
com ganho pequeno s˜ao deliberadamente evitados, mexe-se na densidade de
probabilidade de κ =
q
dos canais de dado. A fdp n˜ao mais ser´a dada por
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado70
10
-10
10
0
10
-20
10
-30
SNR
(a)
10
-40
SNR
média
Prob. de
erro final
10
-10
10
0
10
-20
10
-30
SNR
(b)
10
-40
Prob. de
erro final
Figura 4.7: SNR vs. probabilidade de erro.
(3-76). Sua nova forma ´e muito dif´ıcil de calcular, j´a que a escolha dos canais de
dado em (4-17) depende de diversos fatores – na Se¸c˜ao 4.4 veremos resultados
experimentais que mostram a mudan¸ca em p (κ). Essa mudan¸ca ´e fundamental
para a BER resultante do sistema. Vimos no Cap´ıtulo 3 que, em sistemas com
enlace aberto, tudo o que podemos fazer para melhorar o desempenho do erro
era melhorar a estima¸c˜ao do canal. A melhora da estimativa torna a descida da
fun¸c˜ao Q(·) mais r´apida em (3-75), que repetimos aqui para facilitar a leitura:
P () =
+∞
0
P
k
n
( | κ) p (κ) dκ.
O estreitamento de Q(·) resulta em uma menor ´area a ser integrada e em
uma menor probabilidade de erro. Vemos agora que, em sistemas com enlace
fechado, temos mais uma op¸c˜ao. A aloca¸c˜ao dinˆamica de pilotos “empurra”
p (κ) para `a direita, formando assim p
(κ) e fazendo com que o produto
Q(·) × p
(κ) tenha menor ´area. A Fig. 4.8 ilustra a situa¸c˜ao. Vimos que o
esquema proposto seleciona os pilotos levando em conta dois fatores. Primeiro,
deseja-se que os pilotos estejam nos piores canais poss´ıveis. Segundo, ´e preciso
que os pilotos estejam dispostos de forma suficientemente ordenada para uma
estima¸c˜ao satisfat´oria do canal. Esses dois fatores s˜ao na imensa maioria dos
casos conflitantes entre si. Chegamos, pois, a uma interpreta¸c˜ao matem´atica
desse compromisso: pilotos nos piores canais significam dados nos melhores
canais, que po de ser traduzido como empurrar p (κ) o mais `a direita poss´ıvel;
e pilotos suficientemente ordenados significam melhor estima¸c˜ao, que pode ser
traduzido como o estreitamento de Q(·). O esquema proposto chega `a melhor
rela¸c˜ao poss´ıvel entre os dois fatores concorrentes.
Pelo fato de que p
(κ) ser extremamente dif´ıcil de calcular, n˜ao podemos
partir de (3-75) chegar a uma express˜ao final para a BER como fizemos no
Cap´ıtulo 3 (ver (3-77)). Entretanto, veremos adiante atrav´es de experimentos
que os ganhos conseguidos com o esquema proposto s˜ao bem significativos.
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado71
0.5
Figura 4.8: Probabilidade de erro para enlace fechado.
A necessidade de tornar Q(·) mais ´ıngreme po de ser aliviada com o uso
de estimadores mais confi´aveis para o canal. A estima¸c˜ao recursiva do filtro de
Wiener nos d´a margem para relaxar o desempenho da estima¸c˜ao no decorrer
do tempo. Dado um canal estimado com precis˜ao, de preferˆencia no primeiro
s´ımbolo OFDM, seria poss´ıvel para o usu´ario forte gerar uma aloca¸c˜ao de
pilotos no tempo e na freq¨uˆencia (um lattice). Para canais com pouca varia¸c˜ao
temporal haveria nesse caso um transit´orio: as aloca¸c˜oes de piloto nos primeiros
instantes seriam mais voltadas para a estima¸c˜ao e, com o passar do tempo, os
pilotos migrariam para os piores canais e a aloca¸c˜ao estabilizaria. Ou seja, se h´a
boas estimativas em instantes passados (tr
F
L
U
−1
n−1
F
H
L
, tr
F
L
U
−1
n−2
F
H
L
, ···
pequenos), pode-se relaxar o desempenho relativo `a estima¸c˜ao da aloca¸c˜ao
atual (tr
F
L
U
−1
n
F
H
L
pode ser grande).
4.3.3
Busca Iterativa
O problema do esquema proposto ´e a complexidade computacional
quando K ou K
p
crescem. Ali´as, s´o ´e poss´ıvel fazer a busca exaustiva para
valores pequenos de ambos. Se, como no sistema simulado na Se¸c˜ao 3.4 do
Cap´ıtulo 3, K = 64 e K
p
= 16, ent˜ao
P
´e da ordem de 10
14
, o que ´e claramente
impratic´avel tanto para simula¸c˜oes quanto para sistemas reais.
O que propomos nessa se¸c˜ao ´e um algoritmo de menor complexidade mas
que, como veremos, mant´em boa parte da qualidade da busca exaustiva. A esse
esquema, nos referimos por busca iterativa (BITE). Ele consiste basicamente
em buscas independentes para cada piloto e est´a detalhado no Algoritmo 1. A
fun¸c˜ao-objetivo utilizada ´e a mesma usada em (4-17), mas o m´etodo de busca
nesse caso ´e mais simples.
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado72
Algoritmo 1: Busca Iterativa
Entrada:
ˆ
q
n−1
, p
n−1
, K, K
p
Sa´ıda: p
otm
p
otm
← p
n−1
;1
G
in
← 1;2
ind ← ´ındices k de p
n−1
que cont´em pilotos;3
repita4
G
out
← G
in
;5
para i ← 0 at´e K
p
− 1 fa¸ca6
p ← p
otm
;7
p
ind[i]
← 0;8
G
in
← 1;9
para j ← 0 at´e K −1 fa¸ca10
se p[j] = 1 ent˜ao Voltar para linha 10;11
sen˜ao p[j] ← 1;12
G (p) ← (K − K
p
)
−1
k∈{d}
P
| ˆq
k
n−1
; (ver (4-17))
13
se G(p) < G
in
ent˜ao14
G
in
← G (p);15
p
otm
← p;16
ind[i] ← j;17
at´e G
in
< G
out
18
O que se prop˜oe ´e realizar a busca dos pilotos uma por vez. Um piloto
ser´a deslocado, enquanto que os outros ficar˜ao est´aticos. Considere o sistema
j´a citado no Cap´ıtulo 3, com K = 16 e K
p
= 4 e com pilotos uniformemente
espa¸cados. Os pilotos est˜ao nas sub-p ortadoras 2, 6, 10 e 14, e o vetor ind na
linha 3 do algoritmo guardar´a esses ´ındices. O processo come¸caria da seguinte
forma: retira-se o piloto do tom 2 (linha 8) para a seguir desloc´a-lo para
todos os outros sub-canais poss´ıveis no la¸co que compreende as linhas 10-17.
Nomearemos o piloto dessa primeira rodada de a. Obviamente dois pilotos n˜ao
podem ocupar o mesmo sub-canal, e a linha 11 do Algoritmo evita isso. Para
cada uma das poss´ıveis posi¸c˜oes forma-se um vetor p. S˜ao K −K
p
+ 1 posi¸c˜oes
poss´ıveis para o piloto a e todas elas ser˜ao experimentadas para o c´alculo
da fun¸c˜ao-objetivo, denotada no Algoritmo por OBJ(p). Ao fim da primeira
rodada, o algoritmo guarda o melhor p no vetor p
otm
e come¸ca a segunda
rodada. Dessa vez mexe-se na posi¸c˜ao do piloto que come¸cou no sub-canal 6,
que chamaremos de b. O piloto b tamb´em deve ser experimentado para todas
as posi¸c˜oes poss´ıveis assim como o foi a , s´o que dessa vez b deve levar em conta
a primeira rodada do algoritmo e ´e bastante prov´avel que a n˜ao esteja mais no
sub-canal 2. O processo segue da´ı em diante para os pilotos restantes.
Deve-se repetir o processo descrito no par´agrafo acima at´e que n˜ao haja
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado73
melhora na fun¸c˜ao-objetivo desejada. Se dois la¸cos consecutivos retornarem o
mesmo p, ent˜ao n˜ao h´a mais melhoras poss´ıveis a serem feitas e o BITE pode
terminar.
Ilustramos agora o funcionamento do BITE com um exemplo pr´atico.
Considere um sistema OFDM de K = 20 sub-canais e K
p
= L = 2. O
canal h foi gerado com o perfil de potˆencia de (2-26). Para esse sistema ´e
poss´ıvel plotar uma superf´ıcie correspondente `a fun¸c˜ao-objetivo em (4-17) se
ordenarmos as coordenadas x e y de acordo com os ´ındices da localiza¸c˜ao dos
pilotos. A Fig. 4.9 mostra um grid referente `a posi¸c˜ao dos pilotos e um c´odigo
de cor para demonstrar em dB o valor da fun¸c˜ao-objetivo. Por exemplo, uma
poss´ıvel aloca¸c˜ao uniforme para esse sistema ´e aquela onde os pilotos est˜ao
localizados no 5
o
e 15
o
sub-canais. Essa aloca¸c˜ao tem um n´umero associado a
ela correspondente ao c´alculo de (4-17). Obviamente que as aloca¸c˜oes (5, 15)
e (15, 5) s˜ao equivalentes, e por isso apenas o triˆangulo inferior direito do grid
da Fig. 4.9 ´e de interesse.
Considera-se que o BITE parte da aloca¸c˜ao uniforme (15, 5). Isso cor-
responde ao ponto preto mais abaixo na Fig. 4.9. O BITE come¸ca as suas
tarefas mantendo o piloto da posi¸c˜ao 15 fixo e experimentando o outro piloto
em todas as op¸c˜oes poss´ıveis (lembramos que dois pilotos n˜ao podem ocupar
o mesmo sub-canal). Essa busca resulta nos pilotos localizados em (15, 10),
como apontado pela seta n´umero 1. A seguir, mant´em-se o piloto do tom 10
parado e mexe-se no piloto do tom 15. A seta n´umero 2 aponta o desloca-
mento resultante. O ponto final encontrado corresponde ao m´ınimo global da
fun¸c˜ao-objetivo para esse caso. H´a um m´ınimo local, que se encontra na posi¸c˜ao
(11, 5). Obviamente, n˜ao ´e garantido que o BITE alcance sempre o m´ınimo
global. Para o caso do exemplo acima, se tiv´essemos movido primeiramente o
piloto do sub-canal 15, chegar´ıamos ao m´ınimo local.
Apesar de o BITE ser um algoritmo de busca local, n˜ao ´e garantido que
o vetor p resultante caia em um m´ınimo local da fun¸c˜ao-objetivo. Isso pode
ser facilmente entendido por que o BITE n˜ao “enxerga” na diagonal.
Veremos na se¸c˜ao de experimentos desse cap´ıtulo que o algoritmo de
busca iterativo tem desempenho muito bom, mesmo para casos mais compli-
cados do que o do exemplo citado. O interessante ´e saber por que isso acon-
tece. N˜ao se tem uma resposta definitiva para essa pergunta, mas especulamos
que isso ocorre por que a fun¸c˜ao-objetivo em (4-17) ´e bem comportada. Esse
fato, por sua vez, pode ser explicado pelo fato de que canais adjacentes s˜ao
correlacionados. N˜ao comentaremos mais sobre o assunto, que merece estudo
detalhado.
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado74
0 5 10 15 20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
piloto 1
piloto 2
1
2
Figura 4.9: Exemplo do funcionamento do BITE.
Tabela 4.1: Parˆametros para a simula¸c˜ao: compara¸c˜ao entre os esquemas de
uso do enlace reverso
Comprimento do canal no
tempo
L 4
N´umero de sub-canais K 16
N´umero de pilotos K
p
4
Espalhamento Doppler f
m
5 × 10
−3
Blocos transmitidos N 40.000
4.4
Experimentos
Experimento 1
O primeiro experimento compara o desempenho das quatro op¸c˜oes ap-
resentadas para o uso do enlace reverso. S˜ao elas: pr´e-equaliza¸c˜ao, aloca¸c˜ao
de potˆencia, aloca¸c˜ao de pilotos sugerida por Panah e a aloca¸c˜ao de pilotos
proposta. O sistema OFDM simulado tem K = 16, K
p
= 4 e L = 4. Usamos a
busca exaustiva para ambas propostas de aloca¸c˜ao de pilotos. Cada sub-canal
´e modulado com uma constela¸c˜ao QPSK. Usamos f
m
= 5 × 10
−3
e foram re-
alizadas 40.000 transmiss˜oes de blocos de dados. A Tabela 4.1 resume esses
parˆametros. Para todos as propostas usaremos o estimador ML simples. N˜ao
estamos interessados nesse ponto em averiguar as melhoras proporcionadas
pelo uso do filtro de Wiener, e sim em ilustrar a qualidade intr´ınseca de cada
solu¸c˜ao. A fim de manter a compara¸c˜ao justa, o filtro ML simples foi escolhido.
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado75
As Figs. 4.10 e 4.11 mostram os resultados em MSE na freq¨uˆencia e em
BER para 8 valores de E
b
/σ distintos. Ambas tamb´em incluem um sistema
de enlace aberto, a fim de termos um parˆametro de compara¸c˜ao com os
sistemas estudados no Cap´ıtulo 3. A figura que mostra a probabilidade de
erro, claramente, ´e mais importante. A primeira coisa que chama aten¸c˜ao ´e
a superioridade do esquema proposto em rela¸c˜ao aos demais para E
b
/σ de
valores m´edios e altos. O esquema aloca¸c˜ao de potˆencia e de Panah et al. n˜ao
mostram ganhos percept´ıveis em rela¸c˜ao ao sistema de enlace aberto. A pr´e-
equaliza¸c˜ao, como previsto, tem desempenho muito pr´oximo do enlace aberto
tamb´em. Apenas em E
b
/σ mais elevados a pr´e-equaliza¸c˜ao piora um pouco,
muito provavelmente devido ao ru´ıdo de distor¸c˜ao introduzido. A solu¸c˜ao
proposta tem desempenho significativamente melhor que todas as outras. Por
exemplo, para uma BER de 10
−2
, o esquema proposto economiza 5 dB de
potˆencia em rela¸c˜ao `as outras propostas.
Isso para E
b
/σ altos, que fique claro. Para valores baixos, nenhuma
solu¸c˜ao obt´em ganhos percept´ıveis em BER em rela¸c˜ao ao sistema de enlace
aberto. Para o esquema prop osto, isso ocorre provavelmente porque a esti-
mativa do canal em qualquer instante ´e muito ruim. Observar que o vetor
ˆ
q
necess´ario para o c´alculo da fun¸c˜ao-objetivo em (4-17) ´e a referˆencia para a
aloca¸c˜ao de pilotos na transmiss˜ao seguinte. Caso
ˆ
q seja uma estima¸c˜ao muito
ruim do canal verdadeiro, n˜ao ´e garantido que os pilotos sejam alocados de
forma a gerar ganhos. De forma geral, pode-se concluir que, para valores de
E
b
/σ baixos e para esse sistema espec´ıfico, n˜ao h´a sentido em utilizar o enlace
reverso.
´
E curioso analisar a Fig. 4.10 tamb´em, que plota o MSE de estima¸c˜ao
da resposta de freq¨uˆencia do canal. De acordo com essa m´etrica, o m´etodo
proposto tem o pior desempenho poss´ıvel. Entretanto, como j´a discutido, o
objetivo do sistema ´e detectar corretamente os dados, n˜ao estimar o canal da
melhor forma poss´ıvel. A solu¸c˜ao proposta quer apenas uma estima¸c˜ao boa o
suficiente para a detec¸c˜ao dos dados, e por isso o desempenho em MSE pode
ser relaxado.
Experimento 2
Queremos agora quantificar a melhora no sistema com o uso do filtro de
Wiener. Continuamos com estimador ML, agora funcionando em conjunto com
um filtro de Wiener com M = 50. Todos os outros parˆametros da simula¸c˜ao
s˜ao os mesmos daqueles j´a mostrado na Tabela 4.1.
O desempenho em MSE e BER s˜ao mostrados respectivamente nas Figs.
4.12 e 4.13. Comparamos o desempenho do enlace aberto, do algoritmo de
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado76
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
E
b
/σ (dB)
MSE
Enlace Aberto
Pré−eq
Alocação de potência
Panah
Proposto
Figura 4.10: Erro m´edio quadr´atico de estima¸c˜ao do canal: compara¸c˜ao entre
os diferentes esquemas de uso do enlace reverso. Estimador ML simples.
0 5 10 15 20 25 30
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/σ (dB)
BER
Enlace Aberto
Pré−eq
Alocação de potência
Panah
Proposto
Figura 4.11: Probabilidade de erro de bit: compara¸c˜ao entre os diferentes
esquemas de uso do enlace reverso. Estimador ML simples.
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado77
Panah e do algoritmo proposto nos casos com e sem filtro de Wiener. O
desempenho dos sistemas de enlace aberto j´a havia sido ilustrado na Se¸c˜ao
3.4, e aqui confirmamos sua baixa efic´acia em diminuir a probabilidade de
erro de bit do sistema. Quanto `a solu¸c˜ao de Panah, observamos uma melhora
t´ımida em BER do estimador ML mais Wiener em rela¸c˜ao ao estimador ML
simples. O algoritmo proposto possui melhora consider´avel com o uso do filtro
de Wiener. Para uma BER de 10
−2
, economiza-se cerca de 3,5 dB de potˆencia.
Mostramos tamb´em os resultados do BITE, que s˜ao excelentes. Em todos os
pontos experimentados o desempenho do BITE ´e parelho com o da busca
exaustiva.
Analisamos agora um outro aspecto interessante: ilustramos experimen-
talmente o que j´a havia sido comentado na Se¸c˜ao 4.3.2. Foi dito que, como
conseq¨uˆencia do Corol´ario 1, canais com alto desvanecimento (ou ganho baixo)
eram explicitamente evitados na solu¸c˜ao proposta. A Fig. 4.14 mostra o his-
tograma dos m´odulos dos canais que carregam dados para as 40.000 trans-
miss˜oes de bloco da simula¸c˜ao para E
b
/σ = 20 dB – ou seja, as curvas plotadas
na Fig. 4.14 aproximam as fdp’s em κ. A Fig. 4.14-A plota p(κ) para trans-
miss˜oes com enlace aberto. Como nesse caso n˜ao se tem controle sobre a quali-
dade dos canais de dado, a fdp obtida no experimento (linha pontilhada) coin-
cide com a fdp te´orica (linha cheia), dada por (3-76). A solu¸c˜ao de Panah com
ML e Wiener mexe na fdp, como visto na Fig. 4.14-B, formando assim p
(κ).
Pelo fato de o problema proposto em 4-15 querer maximizar a SNR m´edia
entre os sub-canais de dados, o que se observa ´e que a parte mais central da
fdp ´e que sofre deslo camento. Isso n˜ao influenciar´a tanto na probabilidade de
erro final do sistema.
A solu¸c˜ao proposta tem comportamento bastante diferente. Considera-
mos aqui, de novo, o estimador ML mais Wiener. Como indicado no Corol´ario
1, canais com ganho pequeno s˜ao deliberadamente evitados. Isso faz com que
p(κ) seja empurrado `a direita, formando p
(κ). Diferentemente da solu¸c˜ao de
Panah, a fdp ´e deslocada n˜ao apenas s´o da metade pra frente, e sim desde o
come¸co. Uma p
(κ) mais `a direita far´a com que a ´area a ser integrada para a
probabilidade de erro seja menor (ver Se¸c˜ao 3.3).
A Fig. 4.15 mostra uma vis˜ao aproximada (um close) das fdp’s da Fig.
4.14, dessa vez mostradas todas na mesma figura. Enquanto que a solu¸c˜ao
de Panah segue fielmente a p(κ) original, a fdp resultante do Proposto evita
os canais com ganho pequeno de forma consistente. Em quase absolutamente
nenhuma transmiss˜ao de dado o canal que o carrega tem m´odulo menor do
que 1/10.
Encerrando esse experimento, mostramos outro ˆangulo interessante: o do
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado78
hist´orico da aloca¸c˜ao de pilotos no tempo (dessa vez para E
b
/σ = 16 dB). As
Figs. 4.16, 4.17, 4.18 e 4.19 mostram a evolu¸c˜ao do canal e a maneira como
os pilotos s˜ao alocados para o enlace aberto, Panah com ML, Panah com ML
e Wiener e Proposto com ML e Wiener. O c´odigo de cores indica a qualidade
do sub-canal. No eixo x, temos tempo e no eixo y os sub-canais. A localiza¸c˜ao
dos pilotos ´e dada pelos retˆangulos pretos.
A aloca¸c˜ao uniforme, mostrada na Fig. 4.16, ´e previs´ıvel. Panah com ML e
Panah com ML e Wiener tˆem comportamento parecido, a n˜ao ser por pequenas
diferen¸cas. O resultado mais interessante ´e o do Proposto. De novo percebe-se
que essa solu¸c˜ao evita os canais piores mantendo uma relativa ordena¸c˜ao na
aloca¸c˜ao dos pilotos.
Experimento 3
Nesse experimento voltamos ao sistema da Se¸c˜ao 3.4, cujos parˆametros
s˜ao dados na Tabela 3.2. Aqui
P
´e da ordem de 10
14
, o que torna as solu¸c˜oes
que dependem de buscas exaustivas impratic´aveis. Aplicamos a esse sistema,
pois, somente o BITE e comparamos os resultados com os de um sistema de
enlace aberto. Os resultados para MSE e BER s˜ao mostrados respectivamente
nas Figs. 4.20 e 4.21 e os ganhos s˜ao bem consider´aveis. Por exemplo, para
uma BER de 10
−2
, o BITE economiza cerca de 8 dB de potˆencia em rela¸c˜ao
ao sistema de enlace aberto com ML e Wiener. Mais uma vez, para E
b
/σ muito
baixos, o BITE n˜ao consegue ganhos significativos.
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado79
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−2
10
−1
10
0
10
1
E
b
/σ (dB)
MSE
Uniforme, ML
Uniforme, ML e Wiener
Panah, ML
Panah, ML e Wiener
Proposto, ML
Proposto, ML e Wiener
BITE, ML e Wiener
Figura 4.12: Erro m´edio quadr´atico: compara¸c˜ao entre as situa¸c˜oes de esti-
mador ML simples e ML mais filtro de Wiener.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/σ (dB)
BER
Uniforme, ML
Uniforme, ML e Wiener
Panah, ML
Panah, ML e Wiener
Proposto, ML
Proposto, ML e Wiener
BITE, ML e Wiener
Figura 4.13: Probabilidade de erro de bit: compara¸c˜ao entre as situa¸c˜oes de
estimador ML simples e ML mais filtro de Wiener.
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado80
0 1 2 3 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
κ
(A)
p(κ)
0 1 2 3 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
κ
(B)
p(κ)
0 1 2 3 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
κ
(C)
p(κ)
Teórico
Proposto
Teórico
Enl. aberto
Teórico
Panah
Figura 4.14: Histograma dos m´odulos dos canais que carregam dados para (A)
enlace aberto, (B) Panah, ML e Wiener e (C) Proposto, ML e Wiener.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
κ
p(κ)
Teórico
Enl. aberto
Panah
Proposto
Figura 4.15: Vis˜ao aproximada do histograma.
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado81
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1
16
Tempo
Sub−canais
−1
0
1
2
pilotos
Figura 4.16: Grid para o enlace aberto.
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1
16
Tempo
Sub−canais
−1
0
1
2
pilotos
Figura 4.17: Grid para o Panah, ML.
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1
16
Tempo
Sub−canais
−1
0
1
2
pilotos
Figura 4.18: Grid para o Panah, ML e Wiener.
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1
16
Tempo
Sub−canais
−1
0
1
2
pilotos
Figura 4.19: Grid para o Proposto, ML e Wiener.
Cap´ıtulo 4. Estima¸c˜ao de Canal e Detec¸c˜ao em OFDM com Enlace Fechado82
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
E
b
/σ (dB)
MSE
Enl. Aberto, ML
Enl. Aberto, ML e Wiener
BITE, ML e Wiener
Figura 4.20: Erro m´edio quadr´atico: K = 64 e K
p
= 16.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/σ (dB)
BER
Enl. Aberto, ML
Enl. Aberto, ML e Wiener
BITE, ML e Wiener
Figura 4.21: Probabilidade de erro de bit: K = 64 e K
p
= 16.
5
Conclus˜ao
Esse trabalho teve como objetivo estudar a transmiss˜ao de sistemas
OFDM sem fio e coerentes. Os sistemas OFDM foram classificados de forma
geral em dois grupos, os de enlace aberto e os de enlace fechado. Os primeiros
foram estudados no Cap´ıtulo 3, enquanto que os ´ultimos, o principal assunto
desse trabalho, foram assunto do Cap´ıtulo 4. Para os sistemas de enlace aberto,
vimos que o melhor a se fazer para melhorar a probabilidade de erro de bit do
sistema ´e estimar o canal da melhor forma poss´ıvel. Isso ´e conseguido usando
sempre pilotos uniformemente espa¸cados e estimadores mais sofisticados, como
o filtro de Wiener e o MMSE. Para os sistemas de enlace fechado, investigamos
diferentes estrat´egias para a comunica¸c˜ao reversa. Foram vistas trˆes propostas,
a pr´e-equaliza¸c˜ao, a aloca¸c˜ao dinˆamica de potˆencia e a aloca¸c˜ao dinˆamica de
pilotos. Focamos principalmente nessa ´ultima, que j´a havia sido proposta em
artigo recente na literatura, mas de forma pouco eficiente.
Nesse trabalho, propˆos-se um esquema de sele¸c˜ao de pilotos que realmente
minimiza a probabilidade de erro de bit de transmiss˜ao. Propomos uma nova
fun¸c˜ao-objetivo para tal, que seleciona a posi¸c˜ao dos pilotos a partir do c´alculo
aproximado das probabilidades de erro de cada sub-canal. O perfil de pilotos
resultante deve conseguir um equil´ıbrio entre dois fatores conflitantes. De um
lado, deseja-se que os pilotos sejam transmitidos nos piores canais poss´ıveis.
Sub-canais pilotos n˜ao contribuem para a redu¸c˜ao da probabilidade de erro
final do sistema, ent˜ao ´e interessante tˆe-los dispostos de forma a deixar os
melhores canais para os dados. Do outro lado, ´e necess´ario que os pilotos
estejam organizados de forma razo´avel a fim de produzirem uma boa estima¸c˜ao
do canal. A estima¸c˜ao do canal ´e parte vital dos sistemas OFDM estudados, e ´e
a partir das amostras do comportamento do canal fornecida pelos pilotos que o
receptor estima e reverte os seus efeitos. Resultados experimentais mostraram
resultado excelentes para a fun¸c˜ao-objetivo proposta.
Mostramos tamb´em uma an´alise detalhada da solu¸c˜ao proposta, e expli-
camos por que os ganhos obtidos s˜ao t˜ao bons. Em particular, falamos sobre
como, quando o m´odulo de um sub-canal OFDM tende a zero, a probabilidade
de que um piloto seja alocado nesse sub-canal tende a 1; e sobre como isso tem
Cap´ıtulo 5. Conclus˜ao 84
como conseq¨uˆencia uma mudan¸ca na fun¸c˜ao densidade de probabilidade dos
tons que carregam dados e uma BER reduzida.
Uma limita¸c˜ao importante do esquema proposto ´e a alta complexidade
computacional do c´alculo da nova fun¸c˜ao-objetivo por busca exaustiva. Comen-
tamos que a busca exaustiva s´o ´e pratic´avel para sistemas OFDM de p equeno
porte. Por isso, propomos tamb´em nesse texto um m´etodo de menor comple-
xidade, que recebeu o nome de BITE. Essa proposta ´e um algoritmo de busca
local, com muito menor complexidade e que mant´em a maior parte da qua-
lidade da busca exaustiva. O BITE foi aplicado a sistemas OFDM de porte
pequeno e m´edio, e os resultados foram encorajadores. Quando foi poss´ıvel
comparar os resultados da busca exaustiva e do BITE, observou-se que os re-
sultados foram bem pr´oximos. S˜ao essas – nova fun¸c˜ao-objetivo e an´alise de
por que ela ´e melhor; e busca de menor complexidade de pilotos – as principais
contribui¸c˜oes desse trabalho.
V´arias abordagens e an´alises bastante interessantes podem complementar
os estudos desse texto. Algumas delas s˜ao:
1. An´alise de por que raz˜ao o BITE ´e uma alternativa t˜ao boa `a busca
exaustiva. Esp eculamos que o comportamento da superf´ıcie OBJ(p) seja
bem comportado, talvez at´e com uma quantidade mensur´avel de m´ınimos
locais. Qual o comportamento do BITE em rela¸c˜ao `a busca exaustiva
quando K e K
p
crescem? H´a distanciamento ou aproxima¸c˜ao entre os
seus desempenhos?
2. Esse trabalho focou sistemas OFDM pequenos e m´edios (o maior sistema
experimentado nesse trabalho tinha K = 64 sub-canais). Mesmo o
BITE tendo complexidade computacional trat´avel para esses sistemas,
alguns padr˜oes OFDM modernos contam com centenas ou at´e mesmo
milhares de tons. O BITE seria muito complexo para sistemas muito
maiores. Sugere-se que trabalhos futuros se concentrem mais em redu¸c˜ao
de complexidade de algoritmos de busca do que em desempenho.
3. Esse trabalho tratou de minimiza¸c˜ao de probabilidade de erro, mas outra
abordagem interessante ´e aquela da maximiza¸c˜ao de throughput, ou taxa.
Outras figuras de m´erito tamb´em podem ser interessantes.
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DAB Digital Audio Broadcasting
DFT Discrete Fourier Transform
DMT Discrete Multitone
DSL Digital Subscriber Lines
DVB Digital Video Broadcasting
ERB Esta¸c˜ao R´adio-Base
ESA Estacion´ario no Sentido Amplo
FDM Frequency Division Multiplexing
FFT Fast Fourier Transform
IBI Inter-Block Interference
ICI Inter-Carrier Interference
IDFT Inverse Discrete Fourier Transform
MIMO Multiple Input, Multiple Output
ML Maximum Likelihood
MMSE Minimum Mean Squared Error
MSE Mean Squared Error
OFDM Orthogonal Frequency Division Multiplexing
PAPR Peak to Average Power Ratio
RD Ru´ıdo de Distor¸c˜ao
RI Ru´ıdo de Interpola¸c˜ao
SC Single Carrier
VA Vari´avel Aleat´oria
ZP Zero Padding
B
Operadores Matem´aticos
a escalar
a vetor
A matriz
a[i] i-´esimo elemento de a
A[i, j] (i, j)-´esimo elemento de A
I
K
matriz identidade de tamanho K
0
K×J
matriz de zeros com tamanho especificado
pelo sub-escrito
1
K×J
matriz de 1’s com tamanho especificado pelo
sub-escrito
A
cardinalidade do conjunto A
a
m´odulo do escalar a
diag {a} matriz com a na diagonal principal
(·)
∗
conjugado de um n´umero
(·)
T
transposta de uma matriz
(·)
†
pseudo-inversa de uma matriz
(·)
−1
inversa de uma matriz
(·)
H
hermitiano de uma matriz
E [·] valor esperado
tr
·
tra¸co de uma matriz
·
F
norma de Frobenius
[A]
lin i
i-´esima linha de A
[A]
col i
i-´esima coluna de A
a arredondar para menor inteiro
a arredondar para o maior inteiro
N(x, y) vari´avel aleat´oria gaussiana de m´edia x e
variˆancia y
{·} parte real de um complexo
C
C´alculos para o MMSE
C.1
MSE
Seja o MSE temporal da estima¸c˜ao MMSE, i.e.
mse
mmse,n
= E
h
n
−
ˆ
h
mmse,n
2
. (C-1)
Usando (3-26), obtemos
mse
mmse,n
= E
V
−1
n
F
H
S
H
n
w
p,n
− σdiag {γ}
−1
h
n
2
= tr
V
−1
n
E
F
H
L
S
H
n
w
p
w
H
p
S
n
F
L
+ E
σ
2
diag {γ}
−1
hh
H
diag {γ}
−1
V
−1,H
n
= tr
V
−1
n
σF
H
L
D
n
F
L
+ σ
2
diag {γ}
−1
V
−1,H
n
. (C-2)
Aqui usamos E
w
p
w
H
p
= σI
K
p
e E
h
n
h
H
n
= diag {γ}, como j´a definido no
texto. Seguimos identificando que V
−1
= V
−1,H
e reduzindo ( C-2 ) a
mse
mmse,n
= tr
V
−1
n
σVV
−1,H
n
= σtr
V
−1
n
, (C-3)
onde usamos a defini¸c˜ao de V.
Considere agora o MSE da estima¸c˜ao de um determinado tom da resposta
de freq¨uˆencia do canal:
MSE
k
mmse,n
= E
q
k
n
− ˆq
k
mmse,n
2
. (C-4)
Apˆendice C. C´alculos para o MMSE 91
Considerando (3-27), obtemos
MSE
k
mmse,n
= E
f
k
V
−1
n
F
H
L
S
H
n
w
p,n
− σdiag {γ}
−1
h
n
2
= tr
f
k
V
−1
n
E
F
H
L
S
H
n
w
p
w
H
p
S
n
F
L
+ E
σ
2
diag {γ}
−1
hh
H
diag {γ}
−1
(f
k
)
H
V
−1,H
n
. (C-5)
A solu¸c˜ao de (C-5) ´e muito parecida com a de (C-2):
MSE
k
mmse,n
= f
k
V
−1
n
(f
k
)
H
. (C-6)
C.2
Filtro de Wiener
Precisamos calcular a matriz R
YY
e o vetor R
h
n
Y
levando em conta as
caracter´ısticas do MMSE. Primeiramente, temos
R
YY
= E [YY] = E
(H + W)
H
(H + W)
= E
H
H
H

A
+ 2
E
H
H
W


B
+ E
W
H
W

C
, (C-7)
onde H ´e dado por (3-35) e W ´e dado por (3-49) e {·} denota a parte real
de um elemento. A solu¸c˜ao de A ´e f´acil pois j´a foi visto que E
H
H
H
= R
hh,t
.
Partimos agora para a solu¸c˜ao de B e C.
B = −2
E
H
H
W

= −2σ
{tr
V
−1
n
diag {γ}
−1
E
h
n
h
H
n

} ···
{tr
V
−1
n−1
diag {γ}
−1
E
h
n−1
h
H
n

} ···
.
.
.
.
.
.
. (C-8)
Sendo E
h
n
h
H
n−i
= diag {γ} × R
h,t
[i], simplificamos (C-8) para
B = −2σtr
V
−1
R
hh,t
. (C-9)
Aqui consideramos os pilotos constantes no tempo, ou seja, p
i
= p
j
∀i, j, o
que implica em V
−1
i
= V
−1
j
∀i, j.
Agora falta C.
C = E
W
H
W
(C-10)
Essa vari´avel ter´a duas parcelas, representadas respectivamente por C
1
e C
2
.
Apˆendice C. C´alculos para o MMSE 92
Consideramos de novo pilotos constantes no tempo. Temos
C
1
=
tr
V
−1
F
H
L
S
H
E
w
p,n
w
H
p,n
SF
L
V
−1
0
.
.
.
0 tr
(·)
n−M+1
= σtr
V
−1
UV
−1
I
M
, (C-11)
e
C
2
=
σ
2
tr
V
−1
diag {γ
−1
}E
h
n
h
H
n
diag {γ}
−1
V
−1
···
σ
2
tr
V
−1
diag {γ
−1
}E
h
n−1
h
H
n
diag {γ}
−1
V
−1
···
.
.
.
.
.
.
= σ
2
tr
V
−1
diag {γ}
−1
V
−1
× R
hh,t
. (C-12)
Finalmente, combinando A com (C-9), (C-11) e (C-12), chegamos a
R
YY
= R
hh,t
×
1 − 2σtr
V
−1
+ σ
2
tr
V
−1
diag {γ}
−1
V
−1
+ σtr
V
−1
UV
−1
I
M
. (C-13)
A solu¸c˜ao de R
h
n
Y
´e mais f´acil.
R
h
n
Y
= [R
hh,t
]
col 1
×
1 − σtr
V
−1

. (C-14)
C.3
MSE para MMSE mais filtro de Wiener
Seja
mse
mmse+w,n
= E
h
n
−
ˆ
h
n
2
, (C-15)
com
ˆ
h
n
= Yλ e com o filtro λ calculado esp ecificamente para o MMSE. Usando
(3-27), obtemos
mse
mmse+w,n
= E
h
n
−
M−1
i=0
λ[i]h
n−i
+
−
M−1
i=0
λ[i]σV
−1
n−i
F
H
L
S
H
n−i
w
p,n
− diag {γ}
−1
h
n−i
2
. (C-16)
´
E f´acil ver que dois dos termos do MSE resultante s˜ao dados por λ
R
hh,t
λ
e por σ
M−1
i=0
λ[i]
2
tr
V
−1
n−i
. H´a, por´em, mais um termo, que chamaremos de
Apˆendice C. C´alculos para o MMSE 93
D, dado por
D = E
h
n
−
M−1
i=0
λ[i]h
n−i
−
M−1
i=0
λ[i]V
−1
n−i
σdiag {γ}
−1
h
n−i
2
. (C-17)
Notamos que podemos escrever
h
n
−
M−1
i=0
λ[i]h
n−i
=
M−1
i=0
λ
[i]h
n−i
(C-18)
e
D = −σE
M−1
i=0
λ
[i]h
H
n−i
M−1
j=0
λ[j]V
−1
n−j
diag {γ}
−1
h
n−j
= −σtr
M−1
i=0
M−1
j=0
λ
[i]λ[j]V
−1
n−j
diag {γ}
−1
E
h
n−j
h
H
n−i
= −σtr
M−1
i=0
M−1
j=0
λ
[i]λ[j]V
−1
n−j
R
h,t
[
i − j
]
. (C-19)
Se considerarmos pilotos constantes no tempo, podemos retirar o termo V
−1
do somat´orio. Obtemos
D = −σtr
V
−1
n
M−1
i=0
M−1
j=0
λ
[i]λ[j]R
h,t
[
i − j
]
= −σ(λ
)
T
R
hh,t
λtr
V
−1
n
(C-20)
Finalmente, conseguimos
mse
mmse+w,n
= (λ
)
T
R
hh,t
λ
+ σ
M−1
i=0
λ[i]
2
tr
V
−1
n−i
− σ(λ
)
T
R
hh,t
λtr
V
−1
n
.
(C-21)
Na freq¨uˆencia, tom k, obtemos
MSE
k
mmse+w,n
= (λ
)
T
R
hh,t
λ
+ σ
M−1
i=0
λ[i]
2
f
k
V
−1
n−i
(f
k
)
H
+
− σf
k
V
−1
n
(f
k
)
H
(λ
)
T
R
hh,t
λ. (C-22)
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