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DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
DESENVOLVIMENTO DE ESTRATÉGIA DE PRÉ-CODIFICAÇÃO
E DE PREDIÇÃO DE CANAL PARA O ENLACE DIRETO
DE SISTEMAS MIMO MULTIUSUÁRIO
João Paulo Leite
Brasília, Agosto de 2009
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
DESENVOLVIMENTO DE ESTRATÉGIA DE
PRÉ-CODIFICAÇÃO E DE PREDIÇÃO DE CANAL
PARA O ENLACE DIRETO DE SISTEMAS MIMO
MULTIUSUÁRIO
JOÃO PAULO LEITE
ORIENTADOR: PAULO HENRIQUE PORTELA DE CARVALHO
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
PUBLICAÇÃO: PPGENE.DM - 394A/09
BRASÍLIA/DF: AGOSTO - 2009
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FICHA CATALOGRÁFICA
LEITE, JOÃO PAULO
Desenvolvimento de Estratégia de Pré-codificação e de Predição de Canal para o Enlace Direto
de Sistemas MIMO Multiusuário [Distrito Federal] 2009.
xx, 111p., 210 x 297 mm (ENE/FT/UnB, Mestre, Engenharia Elétrica, 2009).
Dissertação de Mestrado - Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia.
Departamento de Engenharia Elétrica.
1. Sistemas MIMO 2. Pré-codificação
3. Predição de Canal 4. Filtragem Adaptativa
5. Comunicações Multiusuário 6. Enlace Direto
I. ENE/FT/UnB II. Título (série)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
LEITE, J. P. (2009). Desenvolvimento de Estratégia de Pré-codificação e de Predição de Canal para
o Enlace Direto de Sistemas MIMO Multiusuário. Dissertação de Mestrado em Engenharia Elétrica,
Publicação PPGENE.DM - 394A/09, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade de Brasília,
Brasília, DF, 111p.
CESSÃO DE DIREITOS
AUTOR: João Paulo Leite.
TÍTULO: Desenvolvimento de Estratégia de Pré-codificação e de Predição de Canal para o Enlace
Direto de Sistemas MIMO Multiusuário.
GRAU: Mestre ANO: 2009
É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação de
mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O
autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte dessa dissertação de mestrado pode ser
reproduzida sem autorização por escrito do autor.
João Paulo Leite
SMBS chácara 02 casa 01
71080-000, Guará II - DF - Brasil.
iii
Dedicatória
Aos meus pais, João e Rosângela, que forneceram todas as condições para que eu pudesse
chegar aonde cheguei, e nunca mediram esforços para me oferecer uma formação de qualidade.
Aos meus avós, Jorge e Rosa, pelo exemplo de vida.
Ao meu irmão, Pedro, por seu companheirismo.
João Paulo Leite
Agradecimentos
Agradeço ...
Ao professor Dr. Paulo Henrique Portela de Carvalho, pela oportunidade de trabalho e
pela paciência durante os vários anos de convivência. Sua dedicação e cordialidade foram
fundamentais para meu crescimento acadêmico.
Ao professor Dr. Robson Domingos Vieira, por me apresentar o fascinante universo das
comunicações por múltiplas antenas. Este trabalho não seria possível sem seu conhecimento,
disposição e amizade.
Aos funcionários do Departamento de Engenharia Elétrica (ENE), pelo convívio agradável e
presteza no atendimento.
Aos colegas do Laboratório de Estruturas de Micro-ondas e Ondas Milimétricas (LEMOM), em
especial ao Alex Helder e ao Charles Costa, pela amizade e pelos momentos de distração.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo suporte
financeiro.
A Deus, por ter me permitido grandes oportunidades, e por ter colocado em meu caminho
pessoas verdadeiramente iluminadas e inspiradas.
João Paulo Leite
RESUMO
Técnicas de comunicação que utilizam múltiplas antenas (MIMO, multiple-input, multiple-output) são
uma importante área de pesquisa, que têm atraído considerável atenção. Em especial, os sistemas MIMO
multiusuário são capazes de combinar o aumento de capacidade proporcionado por sistemas MIMO e,
quando informação sobre o estado de canal (CSI, channel state information) está disponível no transmissor,
as propriedades espaciais do canal podem ser exploradas por meio da pré-codificação, de forma que
os diversos usuários podem ser multiplexados espacialmente. Entretanto, a natureza variante no tempo
do canal rádio móvel não é levada em consideração ao analisar o desempenho dos esquemas de pré-
codificação.
Este trabalho apresenta como primeira contribuição uma proposta de pré-codificador para o enlace
direto de sistemas MIMO multiusuário que utiliza o conceito de perturbação contínua. Os resultados
de simulação mostram que a técnica proposta apresenta desempenho superior ao das técnicas lineares
atualmente relatadas na literatura.
A segunda contribuição diz respeito à influência da informação desatualizada sobre o estado do canal
no desempenho das técnicas de pré-codificação. É proposto um preditor adaptativo de canal que utiliza o
algoritmo set-membership affine projection (SM-AP) como forma de compensar a desatualização da CSI
causada pela variação temporal do canal de comunicação. Os resultados mostram que o preditor SM-AP,
além de exibir baixo custo computacional, apresenta desempenho superior aos algoritmos clássicos NLMS
(normalized least mean square) e RLS (recursive least squares).
ABSTRACT
Multiple-input, multiple-output communication techniques are an important area of research, and have
attracted considerable attention. In particular, multiuser MIMO systems are capable of offering the higher
link capacity of MIMO systems and, when channel state information (CSI) is available at the transmitter,
the spatial properties of the channel can be exploited by precoding, so that multiple users can be spatially
multiplexed. However, the time-varying nature of the mobile-radio channel is not taken into account when
analyzing the performance of the precoding schemes.
The first contribution of this work is the proposal of a precoding technique based on the concept
of continuous perturbation. Simulation results show that the proposed technique outperforms the linear
precoding techniques currently reported in the literature.
The second contribution concerns the influence of the outdated CSI in the performance of the precoding
techniques. An adaptive channel predictor based on the set-membership affine projection (SM-AP)
filtering is proposed as a way to compensate the outdated CSI caused by the temporal variations of the
communication channel. The results show that the SM-AP predictor has low computational cost and it has
superior performance when compared to the classical algorithms NLMS (normalized least mean square)
and RLS (recursive least squares).
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO......................................................................... 1
1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO .................................................................... 1
1.2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA .............................................................. 2
1.3 OBJETIVOS ............................................................................... 3
1.4 ORGANIZAÇÃO DO MANUSCRITO....................................................... 3
2 ANÁLISE DE CAPACIDADE DE SISTEMAS MIMO MULTIUSUÁRIO .............. 5
2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................. 5
2.2 MODELO DO SISTEMA ................................................................... 6
2.3 CAPACIDADE ............................................................................. 10
2.3.1 CAPACIDADE DO CANAL MIMO MAC ................................................. 10
2.3.2 CODIFICAÇÃO DIRTY PAPER ............................................................ 11
2.3.3 CAPACIDADE DO CANAL MIMO BC.................................................... 12
2.3.4 DUALIDADE MAC-BC ................................................................... 13
2.3.5 SOMAS DAS CAPACIDADES ............................................................. 14
2.4 CONCLUSÃO.............................................................................. 16
3 TÉCNICAS DE PRÉ-CODIFICAÇÃO LINEARES E NÃO LINEARES PARA O
CANAL MIMO BC ..................................................................... 17
3.1 INTRODUÇÃO ............................................................................. 17
3.2 MODELO DE SISTEMA ................................................................... 18
3.3 ZERO-FORCING .......................................................................... 20
3.4 REGULARIZAÇÃO DE INVERSA.......................................................... 23
3.5 BLOCK DIAGONALIZATION .............................................................. 27
3.6 PRÉ-CODIFICAÇÃO TOMLINSON-HARASHIMA......................................... 31
3.6.1 MODELO DO SISTEMA ................................................................... 31
3.6.2 PRÉ-CODIFICAÇÃO ZERO-FORCING TOMLINSON-HARASHIMA ...................... 35
3.6.3 PRÉ-CODIFICAÇÃO MINIMUM MEAN SQUARE ERROR TOMLINSON-HARASHIMA .. 36
3.6.4 A ORDENAÇÃO DOS USUÁRIOS ........................................................ 40
3.7 VECTOR PERTURBATION ................................................................ 43
3.8 MMSE VECTOR PERTURBATION ....................................................... 49
3.9 PROPOSTA DE PRÉ-CODIFICADOR ..................................................... 53
3.10 INFLUÊNCIA DA INFORMAÇÃO IMPERFEITA DE ESTADO DE CANAL SOBRE A
PRÉ-CODIFICAÇÃO....................................................................... 55
3.11 CONCLUSÃO.............................................................................. 56
4 ALGORITMOS DE FILTRAGEM ADAPTATIVA ...................................... 58
4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................. 58
4.2 SOLUÇÃO DE WIENER................................................................... 59
xi
4.3 FILTROS ADAPTATIVOS .................................................................. 61
4.3.1 MÉTODO DO GRADIENTE DESCENDENTE E MÉTODO DE NEWTON ................. 62
4.4 ALGORITMO LMS........................................................................ 63
4.5 ALGORITMO NLMS...................................................................... 64
4.5.1 ALGORITMO AFFINE PROJECTION ..................................................... 64
4.6 ALGORITMO RLS ........................................................................ 67
4.7 ALGORITMO SET-MEMBERSHIP AFFINE PROJECTION ............................... 68
4.7.1 FILTRAGEM SET-MEMBERSHIP ......................................................... 68
4.7.2 SET-MEMBERSHIP AFFINE PROJECTION .............................................. 69
4.7.3 ESCOLHA DO VETOR DE PARÂMETROS ................................................ 70
4.8 PROPOSTA DE PREDITOR DE CANAL .................................................. 72
4.8.1 MODELO DO SISTEMA ................................................................... 72
4.8.2 METODOLOGIA DE PREDIÇÃO .......................................................... 74
4.9 CONCLUSÃO.............................................................................. 76
5 RESULTADOS DE SIMULAÇÕES.................................................... 77
5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................. 77
5.2 CENÁRIOS DE SIMULAÇÃO.............................................................. 77
5.3 DESEMPENHOS DOS PREDITORES DE CANAL ........................................ 79
5.4 DESEMPENHO DOS PRÉ-CODIFICADORES ............................................ 81
5.4.1 RESULTADOS DE REFERÊNCIA ......................................................... 82
5.4.2 CENÁRIOS COM PREDITORES DE CANAL .............................................. 86
5.5 CONCLUSÃO.............................................................................. 94
6 CONCLUSÕES........................................................................ 95
6.1 TRABALHOS FUTUROS .................................................................. 96
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................... 97
ANEXOS ..................................................................................106
I LONG TERM EVOLUTION............................................................107
II MODELO DE CANAL SCM ...........................................................110
LISTA DE FIGURAS
2.1 Canais de downlink e uplink em um sistema celular. .................................................... 5
2.2 Matrizes de canal para o cenário MIMO multiusuário. ................................................. 6
2.3 Diagrama de blocos para os canais (a) MIMO BC e (b) MIMO MAC. ............................. 7
2.4 Região de Capacidade do canal MIMO MAC com n
R
k
= 1, k = 1, 2.............................. 11
2.5 Codificação dirty paper para canal escalar monousuário. .............................................. 11
2.6 Codificação de K usuários utilizando codificação dirty paper. ....................................... 12
2.7 Região de capacidade do canal MIMO BC para M
T
= 2 e K = 2. Os valores numéricos
foram obtidos considerando H
1
= [1 0,4] e H
2
= [0,4 1] para P
T
= 10. Modificado de [1]... 15
2.8 Soma das capacidades do canal MIMO BC................................................................ 15
3.1 Ilustração da região de capacidade de um sistema multiusuário considerando o problema
near-far. A soma das capacidades pode penalizar determinados usuários, dependendo da
forma assumida pela região de capacidade................................................................. 19
3.2 Hiato entre a soma das capacidades da pré-codificação zero-forcing (ZF) e o limite dado
pelo DPC para K = 10 usuários............................................................................... 21
3.3 Comparação da soma de capacidades em função de K da pré-codificação zero-forcing e o
limite teórico oferecido pelo DPC, para uma razão sinal-ruído de ρ = 10 dB..................... 22
3.4 Comportamento dos quatro maiores autovalores de
HH
H
−1
em função de K. ............... 23
3.5 Comparação da soma das capacidades em função de K das técnicas de pré-codificação
zero-forcing e regularização de inversa para uma relação sinal-ruído de ρ = 10 dB............. 25
3.6 Comparação da soma das capacidades em função de ρ das técnicas de pré-codificação
zero-forcing e regularização de inversa para K = 10 usuários. ....................................... 25
3.7 Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação por inversão de canal
e regularização de inversa para K = 4 usuários e K = 10 usuários utilizando modulação
16QAM. ............................................................................................................ 26
3.8 Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação por inversão de canal e
regularização de inversa para K = 4 usuários e K = 10 usuários utilizando modulação QPSK. 27
3.9 Comparação da soma das capacidades em função de ρ da técnica de pré-codificação block
diagonalization para M
T
= 6 antenas transmissoras e diferentes configurações de número
de usuários e de antenas nos receptores..................................................................... 30
3.10 Comparação da soma das capacidades em função de ρ da técnica de pré-codificação block
diagonalization para M
T
= 10 antenas transmissoras e diferentes configurações de número
de usuários e de antenas nos receptores..................................................................... 30
3.11 Estrutura do pré-codificador Tomlinson-Harashima para o enlace direto de sistemas MIMO
multiusuário........................................................................................................ 31
3.12 Implementação do operador módulo por meio de uma função dente de serra. .................... 32
3.13 Descrição linearizada do operador módulo................................................................. 32
3.14 Constelação QPSK estendida. É mostrada a constelação original, A e algumas de suas
extensõesperiódicas utilizando τ = 4. Os símbolos módulo-congruentes são representados
pelos mesmos marcadores...................................................................................... 33
xiii
3.15 Função do operador módulo. .................................................................................. 34
3.16 Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação ZF THP e MMSE THP
para K = 4 usuários e K = 10 usuários utilizando modulação QPSK. .............................. 38
3.17 Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação ZF THP e MMSE THP
para K = 4 usuários e K = 10 usuários utilizando modulação 16QAM............................. 38
3.18 Comparação das técnicas de pré-codificação ZF THP e MMSE THP com os algoritmos
lineares em um cenário com K = 10 usuários e modulação QPSK. ................................. 39
3.19 Comparação das técnicas de pré-codificação ZF THP e MMSE THP com os algoritmos
lineares em um cenário com K = 10 usuários e modulação 16QAM................................ 39
3.20 Desempenho dos pré-codificadores ZF THP e MMSE THP com ordenação de usuários
dada pelo algoritmo best-first.................................................................................. 42
3.21 Interpretação geométrica da técnica de pré-codificação vector perturbation. ..................... 45
3.22 Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação para K = 4 usuários e K
= 10 usuários utilizando modulação QPSK. ............................................................... 46
3.23 Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação para K = 4 usuários e K
= 10 usuários utilizando modulação 16QAM.............................................................. 46
3.24 Interpretação geométrica da redução de reticulado utilizando duas bases diferentes. A
primeira base, mais ortogonal, é mostrada em (a), e outro exemplo de base é mostrado
em (b)................................................................................................................ 49
3.25 Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação com K = 4 usuários
utilizando modulação QPSK................................................................................... 51
3.26 Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação com K = 10 usuários
utilizando modulação QPSK................................................................................... 51
3.27 Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação com K = 4 usuários
utilizando modulação 16QAM. ............................................................................... 52
3.28 Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação com K = 10 usuários
utilizando modulação 16QAM. ............................................................................... 52
3.29 Desempenho do pré-codificador proposto comparado aos algoritmos lineares de pré-
codificação para a modulação QPSK. ....................................................................... 54
3.30 Desempenho do pré-codificador proposto comparado aos algoritmos lineares de pré-
codificação para a modulação 16QAM...................................................................... 55
3.31 Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação vector perturbation e
regularização de inversa sob CSI imperfeita para K = 4 usuários utilizando modulação
16QAM. ............................................................................................................ 56
4.1 Forma direta de implementação de um filtro FIR......................................................... 58
4.2 Diagrama de blocos do filtro de Wiener. Os sinais s(n) e d(n) são estatisticamente
relacionados, e o objetivo do filtro é produzir a estimativa r(n) de d(n) que possui o menor
erro quadrático médio. .......................................................................................... 59
4.3 Estrutura geral de um filtro adaptativo. ..................................................................... 62
4.4 Hiperplanos associados à atualização dos coeficientes do filtro adaptativo utilizando o
algoritmo affine projection com N
P
= 2. .................................................................. 67
4.5 Interpretação geométrica do algoritmo set-membership affine projection que resulta em
erro a posteriori constante...................................................................................... 71
4.6 Estrutura adaptativa aplicada à predição de sinal. ........................................................ 72
5.1 Ambiente utilizado nas simulações, destacando (a) o MIMO BC e a presença do canal de
feeback e (b) a estrutura do sistema receptor............................................................... 78
5.2 Convergência dos preditores adaptativos para um horizonte de predição de 1 símbolo OFDM. 80
5.3 Convergência dos preditores adaptativos para um horizonte de predição de 28 símbolos
OFDM............................................................................................................... 80
5.4 MSE de Predição versus horizonte de predição........................................................... 81
5.5 Capacidade de rastreio dos preditores SM-AP, NLMS e RLS em um ambiente não
estacionário. As características do canal mudam a cada 100 símbolos OFDM. .................. 82
5.6 Desempenho do pré-codificador zero-forcing sem a utilização de um preditor de canal........ 83
5.7 Desempenho do pré-codificador vector perturbation sem a utilização de um preditor de canal. 84
5.8 Desempenho do pré-codificador proposto sem a utilização de um preditor de canal. ........... 85
5.9 Desempenho do algoritmo de pré-codificação zero-forcing utilizando a modulação QPSK. .. 86
5.10 Desempenho do algoritmo de pré-codificação zero-forcing utilizando a modulação 16QAM. 87
5.11 Desempenho do algoritmo de pré-codificação vector perturbation utilizando a modulação
QPSK................................................................................................................ 88
5.12 Desempenho do algoritmo de pré-codificação vector perturbation utilizando a modulação
16QAM. ............................................................................................................ 89
5.13 Desempenho do algoritmo de pré-codificação proposto utilizando a modulação QPSK........ 90
5.14 Desempenho do algoritmo de pré-codificação proposto utilizando a modulação 16QAM. .... 91
5.15 Desempenho do preditor RLS com N
c
= 3 coeficientes, no cenário 4 (velocidade de 30
m/s e atraso de 14 símbolos OFDM), utilizando a técnica de pré-codificação zero-forcing e
as modulações QPSK e 16QAM.............................................................................. 92
5.16 Desempenho do preditor RLS com N
c
= 3 coeficientes, no cenário 4 (velocidade de 30
m/s e atraso de 14 símbolos OFDM), utilizando o algoritmo de pré-codificação proposto e
as modulações QPSK e 16QAM.............................................................................. 93
5.17 Desempenho do preditor RLS com N
c
= 3 coeficientes, no cenário 4 (velocidade de
30 m/s e atraso de 14 símbolos OFDM), utilizando a técnica de pré-codificação vector
perturbation e as modulações QPSK e 16QAM. ......................................................... 93
I.1 Estrutura de quadro no enlace direto do padrão LTE para uma largura de banda de 10 MHz. 107
I.2 Alocação de subportadoras que carregam símbolos pilotos no enlace direto do padrão LTE
para quatro antenas de transmissão........................................................................... 109
II.1 Modelo espacial do 3GPP para simulações MIMO. ..................................................... 110
II.2 Exemplo de realização do canal para diferentes velocidades do móvel. ............................ 111
LISTA DE TABELAS
5.1 Especificação dos parâmetros do enlace direto do padrão 3GPP-LTE............................... 77
5.2 Especificação dos valores de parâmetros para o modelo de canal WINNER’s SCM. ........... 79
5.3 Cenários para a simulação do desempenho dos pré-codificadores.................................... 82
xvi
LISTA DE SÍMBOLOS
xvii
Siglas
3GPP Third Generation Partnership Project
AP Affine Projection
AWGN Aditive White Gaussian Noise
BC Broadcast Channel
BD Block Diagonalization
BER Bit Error Rate
CDMA Code-division Multiple Access
CSI Channel State Information
DFE Decision Feedback Equalizer
DFT Discrete Fourier Transform
DPC Dirty Paper Coding
FDD Frequency Division Duplexing
ESPRIT Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques
FIR Finite Impulse Response
GSM Global System for Mobile Communications
IMT-A International Mobile Telecommunications - Advanced
LLL Lenstra-Lenstra-Lovász
LMMSE Linear Minimum Mean Square Error
LMS Least Mean Square
LTE Long Term Evolution
MAC Multiple Access Channel
MIMO Multiple-input, Multiple-output
MISO Multiple-input, Single-output
MMSE Minimum Mean Square Error
MPAM M-ary Pulse Amplitude Modulation
MUI Multiuser Interference
NLMS Normalized Least Mean Square
OFDM Orthogonal Frequency-Division Multiplexing
OFDMA Orthogonal Frequency-Division Multiple Access
QAM Quadrature Amplitude Modulation
QPSK Quaternary Phase Shift Keying
SDMA Space-Division Multiple Access
SIC Successive Interference Cancellation
SINR Signal-to-interference-plus-noise Ratio
SISO Single-input, Single-output
SNR Signal-to-noise Ratio
RI Regularized Inverse
RLS Recursive Least Squares
SCM Spatial Channel Model
SM-AP Set-Membership Affine Projection
SM-APVDR Set-Membership Affine Projection with Variable Data-reuse
SM-PUAP Set-Membership Partial Update Affine Projection
TDD Time Division Duplexing
TDMA Time-division Multiple Access
THP Tomlinson-Harashima Precoding
TTI Transmission Time Interval
UMTS Universal Mobile Telecommunications System
V-BLAST Vertical-Bell Laboratories Layered Space-Time
VP Vector Perturbation
WiMAX Worldwide Interoperability for Microwave Access
WLAN Wireless Local Area Network
WSSUS Wide Sense Stationary Uncorrelated Scattering
ZF Zero-Forcing
ZMSW Zero-Mean Spatially White
Símbolos Matemáticos
A
T
Transposto da matriz A
A
∗
Conjugado da matriz A
A
H
Hermitiano (conjugado transposto) da matriz A
Tr(A) Traço da matriz A
A
−1
Inversa da matriz A
A
†
Pseudo-inversa da matriz A
⌊a⌋ Truncamento, maior inteiro que não seja maior que a
E Operador média
A
2
Norma de Frobenius da matriz A
|A| Determinante da matriz A
Re(a) Parte real do número complexo a
Co() Região convexa
log Logaritmo na base 10
diag(a
1
, . . . a
n
) Matriz diagonal de dimensão n × n cujos elementos são a
1
. . . a
n
j Unidade imaginária,
√
−1
C Conjunto do números complexos
I Matriz identidade
0 Matriz identicamente nula
e Número de Euler, e = 2,718281828. . .
1 INTRODUÇÃO
1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO
As comunicações sem fio apresentaram, nas últimas décadas, um desenvolvimento muito grande. Um
dos motivos que impulsionou tal desenvolvimento foi o crescimento das comunicações móveis pessoais.
As novas aplicações e serviços são cada vez mais elaborados e específicos, e demandam grande velocidade
de transmissão e melhor qualidade de serviço. A citar como exemplo, os sistemas de telefonia móvel de
quarta geração, denominados IMT-A (International Mobile Telecommunications - Advanced), encontram-
se em fase de especificação pela União Internacional de Telecomunicações e prevêm taxas de transmissão
de até 1 Gbps para usuários de baixa mobilidade, e de até 100 Mbps para usuários de alta mobilidade, e
possuem como premissa a otimização da utilização do espectro eletromagnético [2].
Os requisitos impostos pelas novas gerações dos sistemas de comunicações móveis não podem ser
satisfeitos simplesmente aumentando-se a largura de banda destinada à transmissão (pois o espectro
eletromagnético é um recurso caro e escasso) ou aumentando-se a potência de transmissão (devido
a limitações dos equipamentos de rádio e ao aumento proibitivo dos níveis de interferência). Neste
contexto, as comunicações que utilizam MIMO (do inglês, multiple-input multiple-output) são uma
importante área de pesquisa para os sistemas de próxima geração devido ao seu potencial para promover o
aumento da capacidade do enlace de transmissão (por meio da multiplexação espacial dos fluxos (streams)
transmitidos) e aumentar a qualidade do sinal recebido (por exemplo, explorando diversidade por meio de
códigos espaço-temporais ou espaço-frequênciais) [3].
As técnicas que visam a utilização de múltiplas antenas no transmissor e no receptor foram inicialmente
investigadas e exploradas em sistemas monousuário [4]. Entretanto, para aplicações do tipo WLAN (do
inglês, wireless local area network) ou telefonia móvel celular, nas quais uma estação rádio-base deve
se comunicar com vários usuários simultaneamente, as técnicas MIMO podem ser utilizadas em sistemas
multiusuário. Como consequência, o estudo de sistemas MIMO multiusuário emergiu recentemente como
um importante tópico de investigação [5].
A premissa de sistemas MIMO multiusuário consiste em utilizar o domínio espacial (ou seja, os graus
de liberdade introduzidos pelas múltiplas antenas) para compartilhar o canal de comunicação entre os
usuários. Apesar desta técnica de múltiplo acesso envolver custos adicionais de hardware, como o aumento
no número de antenas e filtros utilizados, ela não envolve qualquer custo adicional em lagura de banda,
diferentemente do que ocorre com as técnicas de múltiplo acesso por divisão do tempo, TDMA (do inglês,
time division multiple access), ou múltiplo acesso por divisão de código, CDMA (do inglês, code division
multiple access) [6, 7]. Apesar desse fato, os protocolos clássicos de múltiplo acesso podem ser utilizados
conjuntamente com sistemas MIMO multiusuário.
Ainda que a área de comunicações multiusuário seja bem fundamentada e bastante estudada [8], a
adição de múltiplas antenas nos terminais de transmissão e/ou recepção dá origem a diversas questões
e problemas específicos. De acordo com o histórico levantado em [5], o desenvolvimento de técnicas
1
de transmissão e recepção para o enlace reverso de sistemas MIMO multiusuário surge como uma
generalização dos algoritmos utilizados nos sistemas MIMO monousuário considerando a presença de
múltiplos usuários no sistema. Na verdade, técnicas de detecção multiusuário que utilizam o cancelamento
sucessivo de interferência [9] (SIC, do inglês, successive interference cancellation) são capazes de
atingir a capacidade do enlace reverso de sistemas MIMO multiusuário, e a complexidade requerida é
essencialmente a mesma dos algoritmos utilizados nos sistemas MIMO monousuário [10].
A situação é consideravelmente diferente para o enlace direto de sistemas MIMO multiusuário
[11]. Neste, conforme mostrado em [12, 13], a estratégia ótima de transmissão (no sentido de alcançar
a capacidade do canal) envolve o conceito de codificação dirty paper [14] para o cancelamento de
interferência entre os usuários. Apesar de ótimo sob o ponto de vista de teórico, a implementação de
técnicas de codificação dirty paper é extremamente complexa, o que estimulou o desenvolvimento de
estratégias subótimas de pré-codificação lineares e não lineares. Exemplos da primeira são os algoritmos
zero-forcing e regularização de inversa [15], e exemplos da segunda são as técnicas de pré-codificação
Tomlinson-Harashima e vector perturbation [16, 17].
1.2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
O cenário MIMO multiusuário começou a ser intensamente investigado devido a algumas vantagens
que ele oferece quando comparado a sistemas MIMO monousuário. Tais sistemas possuem a capacidade
de combinar o aumento de capacidade promovido por sistemas MIMO com os benefícios de supressão
de interferência presentes em sistemas múltiplo acesso por divisão espacial, ou SDMA (do inglês, space-
division multiple access). Como exemplo, pode-se afirmar que os sistemas MIMO multiusuário [18]:
• permitem ganho de múltiplo acesso proporcional ao número de antenas na estação rádio base graças
aos esquemas de multiplexação multiusuário;
• apresentam maior imunidade aos problemas de propagação que afligem os sistemas MIMO
monousuário, como ambientes pobres em espalhadores ou transmissão em linha de visada;
• permitem que ganhos de multiplexação espacial na estação rádio-base sejam obtidos sem a
necessidade de múltiplas antenas nos receptores, tornando possível o desenvolvimento de terminais
menores e mais baratos. Os custos maiores de implementação encontram-se no lado da infraestrutura
do sistema.
Para que seja possível tirar proveito das vantagens supracitadas, informação precisa sobre o estado do
canal, ou CSI (do inglês, channel state information) deve estar presente no transmissor, especialmente
no enlace direto de sistemas MIMO multiusuário. Esta é uma diferença fundamental entre sistemas
monousuário e multiusuário: apesar da CSI no transmissor não ser essencial em ambientes monousuário
(exceto possivelmente para valores muito baixos de relação sinal-ruído) [4] , a CSI é de importância crítica
para qualquer aplicação em sistemas MIMO multiusuário, quer seja para aplicação de técnicas de pré-
codificação e pré-cancelamento de interferência, quer seja para a utilização de algoritmos de seleção e
escalonamento de usuários [19].
2
Grande parte dos trabalhos publicados sobre o enlace direto de sistemas MIMO multiusuário supõem
que tanto transmissor quanto receptor possuem CSI perfeita. Esta pode ser obtida diretamente quando o
canal de comunicação varia lentamente com o tempo, como, por exemplo, em ambientes de propagação
indoor, mas é muito mais difícil de ser obtida em situações nas quais os usuários apresentam alta
mobilidade. Apesar de várias técnicas de MIMO monousuário propostas assumirem modelos simples e
quase-estáticos para as características de rádio propagação, a natureza variante no tempo do canal deve ser
considerada ao tratar de sistemas MIMO multiusuário.
1.3 OBJETIVOS
A suposição mais comum ao tratar de sistemas MIMO multiusuário é quanto à presença de CSI perfeita
tanto no transmissor quanto no receptor. Uma análise da penalidade imposta pela informação imperfeita
ou desatualizada sobre o comportamento do canal é de grande valia para projetistas de sistemas.
Como primeiro objetivo, este trabalho propõe um esquema de pré-codificação que tem como base
o conceito de perturbação contínua. Sob determinadas condições, o pré-codificador proposto apresenta
desempenho melhor que as técnicas lineares apresentadas, mesmo sob a influência de CSI desatualizada.
O segundo objetivo é analisar, por meio de simulações computacionais, o comportamento do
desempenho de alguns dos algoritmos de pré-codificação utilizados no enlace direto de sistemas MIMO
multiusuário sob a influência de CSI imperfeita e desatualizada. Para tal, é considerado um modelo realista
de canal, padronizado pelo 3GPP (Third Generation Partnership Project) para investigação de desempenho
de sistemas MIMO, e um modelo realista de sistema, que tem como base as especificações do enlace direto
do padrão 3GPP-LTE (Long Term Evolution).
Este trabalho também apresenta a proposta de um preditor de canal adaptativo que utiliza o algoritmo
set-membership affine projection como forma de compensar a desatualização de CSI causada pela natureza
variante no tempo do canal radio móvel. O desempenho do preditor proposto é comparado com os
algoritmos clássicos utilizados em filtragem adaptativa, a citar, os algoritmos normalized least mean square
e recursive least squares.
1.4 ORGANIZAÇÃO DO MANUSCRITO
A dissertação está dividida em seis capítulos. O primeiro é constituído pela presente introdução.
No capítulo 2, são apresentados os resultados fundamentais de Teoria de Informação referentes à
capacidade do enlace direto e do enlace reverso de sistemas MIMO multiusuário.
O capítulo 3 trata das técnicas lineares e não lineares de pré-codificação utilizadas para cancelamento
de interferência no enlace direto de sistemas MIMO multiusuário. Nesse capítulo, é também apresentada a
técnica de pré-codificação proposta, e seu desempenho é comparado com o das técnicas de pré-codificação
lineares apresentadas.
Em seguida, o capítulo 4 fornece uma introdução aos filtros adaptativos, apresentando os algoritmos
3
clássicos que são utilizados para aplicações que envolvem filtragem adaptativa. Ao final, é proposta uma
estrutura de preditor de canal para sistemas MIMO multiusuário que utiliza o algoritmo set-membership
affine projection.
Os resultados de simulação que mostram o desempenho dos pré-codificadores e preditores de canal são
deixados para o capítulo 5.
O trabalho é finalizado com as conclusões, no capítulo 6, bem como com as propostas para trabalhos
futuros.
4
2 ANÁLISE DE CAPACIDADE DE SISTEMAS MIMO
MULTIUSUÁRIO
2.1 INTRODUÇÃO
Um canal multiusuário é qualquer canal que deve ser compartilhado entre diversos usuários. Na
literatura [8], o canal multiusuário é classificado quanto a direção de transmissão, a citar o canal de
downlink, também denominado canal de broadcast ou canal direto [20], e o canal de uplink, também
chamado de canal de múltiplo acesso ou canal reverso [21]. A maioria dos sistemas de comunicação
é bidirecional, consistindo de canal direto e canal reverso. De forma a evitar interferência entre os
dois canais, estes são separados de forma ortogonal, tipicamente utilizando os domínios do tempo ou da
frequência. Esta separação é denominada duplexação. Em particular, na duplexação por divisão no tempo,
TDD (do inglês, time-division duplexing), atribuem-se diferentes slots no tempo para transmissão do enlace
direto e do enlace reverso, e na duplexação por divisão na frequência, FDD (do inglês, frequency-division
duplexing), atribuem-se bandas de frequência distintas para transmissão dos sinais dos enlaces direto e
reverso.
No contexto de utilização de múltiplas antenas, existem dois modelos de canal MIMO multiusuário: o
canal MIMO MAC (do inglês, multiple access channel), referente ao enlace reverso, e o canal MIMO BC
(do inglês, broadcast channel), referente ao enlace direto.
O MIMO MAC consiste em vários transmissores com múltiplas antenas transmitindo para um receptor
com múltiplas antenas. O MIMO BC consiste de um transmissor com múltiplas antenas transmitindo para
vários receptores com múltiplas antenas. Em arquiteturas de redes celulares, o MIMO MAC modela o
canal dos usuários móveis para a estação rádio-base, e o MIMO BC modela o canal da estação rádio-base
para os dispositivos móveis. Este exemplo é mostrado na Fig. 2.1.
Contrariamente aos métodos com os quais a maioria dos sistemas são projetados, os benefícios em
termos de capacidade que podem ser conseguidos transmitindo-se de forma simultânea para múltiplos
usuários (no canal direto) ou múltiplos usuários transmitindo simultaneamente (no canal reverso) sem
qualquer separação nos domínios do tempo, frequência ou código podem ser muito grandes, pois é possível
Figura 2.1: Canais de downlink e uplink em um sistema celular.
5
tirar proveito da dimensão espacial introduzida pela utilização de múltiplas antenas [22].
Como as tecnologias que fazem uso de múltiplas antenas devem se tornar cada dia mais comuns, a
exemplo dos padrões WiMAX [23, 24] e 3GPP-LTE [25, 26], é fundamental a compreensão dos limites
impostos por estes canais utilizando as ferramentas desenvolvidas em Teoria da Informação.
Este capítulo apresenta o modelo matemático que será utilizado para tratar formalmente os canais
MIMO MAC e MIMO BC. Serão ainda apresentados os resultados de capacidade dos canais MIMO
multiusuário.
2.2 MODELO DO SISTEMA
Para descrever os canais MIMO MAC e MIMO BC, será considerado um cenário unicelular, com uma
estação rádio-base que transmite simultaneamente para K usuários ativos na célula. A estação rádio-base
possui M
T
antenas, o k-ésimo usuário possui n
R
k
antenas, e o número total de antenas receptoras é dado
por N
R
=
K
k=1
n
R
k
. Denotaremos por H
k
(n) ∈ C
n
R
k
×M
T
a matriz na forma
H
k
(n) =
H
k
1,1
(n) . . . H
k
1,M
T
(n)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
H
k
n
R
k
,1
(n) . . . H
k
n
R
k
,M
T
(n)
, (2.1)
que corresponde aos ganhos do canal entre as antenas da estação rádio-base e as antenas do k-ésimo usuário
em determinado símbolo n, conforme mostrado na Fig. 2.2. O elemento h
k
i,j
dessa matriz representa o
ganho entre a j-ésima antena da estação rádio-base e a i-ésima antena de recepção do usuário k.
Figura 2.2: Matrizes de canal para o cenário MIMO multiusuário.
É comum assumir que os coeficientes da matriz H
k
são modelados por meio de variáveis aleatórias
gaussianas complexas independentes e identicamente distribuídas (no espaço), de média nula e variância
unitária. Esta hipótese é referida como ZMSW (do inglês, zero-mean spatially white), e dá origem ao
desvanecimento Rayleigh [27].
6
Nesta dissertação, a indexação dos elementos em n será omitida quando esta for óbvia pelo contexto,
especialmente nas próximas seções.
Tendo como base o modelo apresentado na Eq. (2.1), supõe-se que o canal de comunicação não é
seletivo em frequência, apresentando desvanecimento plano em toda a banda de transmissão. Nos sistemas
de próxima geração, este pressuposto, a princípio, não vigora. Canais de banda larga são seletivos na
frequência, apresentando resposta em amplitude que pode variar muito dentro da banda ocupada pelo
sistema para transmissão, gerando interferência intersimbólica. Entretanto, os sistemas de próxima geração
utilizam OFDM (do inglês, orthogonal frequency-division multiplexing) e OFDMA (do inglês, orthogonal
frequency-division multiple access), que dividem um canal seletivo em frequência em diversos subcanais
que apresentam desvanecimento plano, nos quais o modelo apresentado é válido. Portanto, é possível
implementar algoritmos MIMO de processamento separadamente para cada subportadora [22].
Por motivos de modelagem, será considerado que o canal no enlace reverso é o mesmo utilizado no
enlace direto (isto é, o sistema é do tipo TDD), de forma que a matriz de ganhos do canal entre o k-
ésimo usuário e a estação rádio-base é dada por H
H
k
. A verdadeira resposta do canal para o caso TDD no
enlace reverso está relacionada a resposta no enlade direto por meio da transposição, sendo dada por H
T
k
.
Entretanto, para simplicidade no tratamento matemático, a matriz conjugada transposta é utilizada. Esta
restrição não afeta os resultados obtidos para a capacidade do canal
1
.
Além disso, supõe-se que a estação rádio-base possui M
T
antenas tanto no enlace direto (onde são
consideradas como antenas de transmissão) quanto no enlace reverso (onde são consideradas como antenas
de recepção). O mesmo é verdade para n
R
k
, o número de antenas presentes no k-ésimo usuário móvel,
tanto no enlace reverso (onde são consideradas como antenas de transmissão) como no enlace direto (onde
são consideradas como antenas de recepção).
Figura 2.3: Diagrama de blocos para os canais (a) MIMO BC e (b) MIMO MAC.
A Fig. 2.3 mostra o diagrama de blocos que será utilizado para a representação dos sinais envolvidos
em um sistema MIMO multiusuário. O canal MIMO MAC será representado da seguinte forma: em um
dado símbolo n, o k-ésimo transmissor enviará o vetor de símbolos x
k
(n) ∈ C
n
R
k
×1
para o receptor.
y
MAC
(n) ∈ C
M
T
×1
é o sinal recebido e n(n) ∈ C
M
T
×1
é o ruído aditivo gaussiano presente no receptor.
O sinal recebido é matematicamente representado por
1
É importante observar ainda que, além do caso TDD possuir tratamento matemático mais simples, é um modelo útil para
introduzir o conceito de dualidade entre os canais de múltiplo acesso e de broadcast, a ser apresentado posteriormente. Entretanto,
o sistema não precisa operar em TDD para que os resultados apresentados sejam válidos.
7
y
MAC
(n) =
K
k=1
H
H
k
(n)x
k
(n) + n(n)
=
H
H
1
(n) . . . H
H
K
(n)
x
1
(n)
.
.
.
x
K
(n)
+ n(n).
(2.2)
O ruído apresenta matriz de covariância dada por R
n
E
n(n)n
H
(n)
= σ
2
n
I, e é, portanto,
espacialmente branco.
No canal MIMO MAC, cada transmissor está sujeito a uma restrição individual quanto à sua máxima
potência de transmissão P
k
, isto é, definindo-se a matriz de covariância do sinal transmitido pelo usuário
k como R
x
k
E
x
k
(n)x
H
k
(n)
, tem-se Tr (R
x
k
) ≤ P
k
, para k = 1, . . . , K.
O modelo matemático utilizado no cenário MIMO BC é o seguinte: a estação rádio-base pode
desejar transmitir dados com diferentes taxas para cada um dos usuários. Isto pode ser conseguido
escolhendo-se de forma apropriada a modulação a ser utilizada ou mudando o número de fluxos (streams)
de dados que serão transmitidos para cada usuário. Neste caso, m
k
denota o número de fluxos a serem
transmitidos simultaneamente para o usuário k. Os valores de m
1
, . . . , m
K
não dependerão apenas da
taxa de transmissão desejada, mas também da potência de transmissão disponível, do número de antenas
de transmissão e do número de antenas de recepção em cada móvel. Tipicamente, m
k
≤ n
R
k
se não for
considerada nenhuma forma adicional de codificação para multiplexação espacial. Vale também a restrição
k
m
k
≤ M
T
. O vetor de fluxos para o usuário k será representado por u
k
(n) ∈ C
m
k
×1
.
Em um instante de símbolo n, o sinal que é transmitido para o usuário k é um vetor x
k
(n) ∈ C
M
T
×1
.
Em muitos casos, o sinal transmitido é uma função linear dos símbolos do fluxo de dados, isto é, x
k
(n) =
W
k
u
k
(n), onde as colunas de W
k
, W
k
= [w
1k
, . . . , w
m
k
k
] correspondem aos pesos (beamformers) de
cada símbolo. Também podem ser consideradas situações que empregam um mapeamento não linear f
k
dos símbolos aos dados efetivamente transmitidos, de forma que x
k
(n) = f
k
(u
k
(n)). O papel dos pesos e
funções demapeamento não linearesnão é apenasde organizaros fluxos dos diferentes usuários nas antenas
de transmissão, mas sua utilização é fundamental para o cancelamento de interferência e técnicas de pré-
codificação que visam atigir a capacidade do canal, como será visto posteriormente, ao serem abordadas
as estratégias de pré-codificação no canal MIMO BC.
O ruído aditivo gaussiano em cada antena receptora é representado pelo vetor n
k
(n) ∈ C
n
R
k
×1
, cuja
matriz de covariância é R
n
k
E
n
k
(n)n
H
k
(n)
= σ
2
n
I, em que supõe-se que as estatísticas do ruído
(sua média e variância) são as mesmas para todos os usuários. O sinal recebido pelo k-ésimo usuário,
y
k
(n) ∈ C
n
R
k
×1
, é matematicamente representado por
y
k
(n) =
K
i=1
H
k
(n)x
i
(n) + n
k
(n)
= H
k
(n)x
k
(n) +
K
i=1
i=k
H
k
(n)x
i
(n) + n
k
(n).
(2.3)
8
Ao observar a Eq. (2.3), fica claro que o usuário k recebe não apenas o sinal desejado x
k
(n),
mas também uma componente de interferência devido à presença dos demais usuários, denominada
interferência multiusuário (MUI, do inglês, multiuser interference) ou interferência interusuário.
A Eq. (2.3) pode ser reescrita de forma compacta, fazendo:
y(n) =
y
1
(n)
.
.
.
y
K
(n)
=
H
1
(n)
.
.
.
H
K
(n)
x(n) +
n
1
(n)
.
.
.
n
K
(n)
= H(n)x(n) + n(n),
(2.4)
em que
H(n) =
H
H
1
(n) . . . H
H
K
(n)
H
(2.5)
é a matriz combinada de canal, e representa a concatenação de todos os ganhos de canal de todos os
receptores considerados, e
x(n) =
K
k=1
f
k
(u
k
(n))
(2.6)
é o sinal efetivamente transmitido pela estação rádio-base. Se uma combinação linear dos símbolos é
transmitida, a Eq. (2.6) pode ser escrita como:
x(n) =
W
1
. . . W
K
u
1
(n)
.
.
.
u
K
(n)
=
K
k=1
W
k
u
k
(n).
(2.7)
A matriz de covariância do sinal x é dada por R
x
E
x(n)x
H
(n)
. O transmissor está sujeito a uma
determinada restrição na potência máxima de transmissão, denominada P
T
, o que implica em Tr (R
x
) ≤
P
T
.
Supondo que a perda de percurso (path loss) pode ser desprezada, de forma que a variância dos
coeficientes da resposta do canal seja unitária, define-se a relação sinal-ruído como a razão:
ρ =
P
T
σ
2
n
(2.8)
9
2.3 CAPACIDADE
O conceito de capacidade foi introduzido por Claude Shannon em [28, 29]. Para o caso monousuário, a
capacidade C do canal é a máxima taxa com a qual a informação pode ser transmitida de forma confiável.
Demonstrou-se que, para qualquer taxa de transmissão R < C, existe um código de taxa R que pode ser
utilizado para transmitir a informação com probabilidade de erro arbitrariamente pequena.
A definição de capacidade de um canal MIMO é semelhante: consiste em um número real que
representa o limite para comunicação livre de erros: qualquer taxa estritamente menor que a capacidade é
alcançável [30].
Em canais multiusuário, a capacidade do canal não é mais representada por um número, mas sim por
uma região K-dimensional, já que diferentes taxas estão associadas aos múltiplos usuários (de acordo
com a política de alocação de recursos, por exemplo). A região de capacidade é definida como o
conjunto de todos os valores de taxas (R
1
, R
2
, . . . , R
K
) que podem ser simultaneamente alcançadas, com
probabilidade de erro arbitrariamente pequena, por todos os K usuários.
A seguir, serão consideradas as regiões de capacidade dos canais MIMO MAC e MIMO BC.
2.3.1 Capacidade do Canal MIMO MAC
Para um dado conjunto de restrições quanto à potência de transmissão P = (P
1
, . . . , P
K
), a capacidade
do canal MIMO MAC é dada por [31, 32, 33]:
C
MAC
P; σ
2
n
; H
H
R
x
k
≥0, Tr
(
R
x
k
)
≤P
i
∀i
(R
1
, . . . , R
K
) :
i∈S
R
i
≤ log
2
I +
i∈S
1
σ
2
n
H
H
i
R
x
k
H
i
∀S ⊆ {1, . . . , K}
,
(2.9)
em que a variável S refere-se a um subconjunto de {1, . . . , K}. A região é alcançada da seguinte forma:
o k-ésimo usuário transmite um vetor gaussiano aleatório x
k
de média nula e matriz de covariância
espacial R
x
k
. Cada conjunto de matrizes de covariância (R
x
1
, . . . , R
x
K
) corresponde a um poliedro K-
dimensional, denotado por:
(R
1
, . . . , R
K
) :
i∈S
R
i
≤ log
I +
i∈S
1
σ
2
n
H
H
i
R
x
k
H
i
∀S ⊆ {1, . . . , K}
, (2.10)
e a região de capacidade é dada pela união (tomada sobre todas as matrizes de covariância que satisfazem
à restrição de potência) de todos esses poliedros.
A Fig. 2.4 mostra a região de capacidade considerando K = 2 usuários, cada um com uma antena.
Neste caso, as matrizes de covariância se reduzem a simples escalares iguais à restrição de potência. Para
este caso, a região de capacidade é representada por um pentágono.
Determinar o conjunto de matrizes de covariância (R
x
1
, . . . , R
x
K
) que satisfaz a Eq. (2.9) é um
10
Figura 2.4: Região de Capacidade do canal MIMO MAC com n
R
k
= 1, k = 1, 2.
problema de otimização convexo, e há, portanto, técnicas numéricas eficientes para resolvê-lo [34].
2.3.2 Codificação Dirty Paper
Antes de apresentar os resultados de capacidade para o canal MIMO BC, é necessário introduzir
o conceito de codificação dirty paper (DPC, do inglês, dirty paper coding) [14], originado em 1983.
Consideremos inicialmente o caso de um canal escalar com ruído gaussiano e interferência, representado
por
y = x + I + n, (2.11)
em que x é uma palavra-código utilizada para transmitir a informação u para o usuário, I é a componente
de interferência (de comportamento gaussiano e independente do sinal transmitido), n representa o ruído
gaussiano, de média nula e variância σ
2
n
, e y é o sinal recebido.
Figura 2.5: Codificação dirty paper para canal escalar monousuário.
Supondo que o transmissor, mas não o receptor, conhece a componente de interferência de forma não
causal (isto é, antes do início da transmissão) e determinística, conforme mostrado na Fig. 2.5, e a potência
média de transmissão é P
T
, então a capacidade desse canal será dada por
C = log
2
1 +
P
T
σ
2
n
, (2.12)
que é a mesma de um sistema no qual a componente de interferência não está presente (não importanto
qual seja a potência da interferência). Em outros termos, o transmissor é capaz de determinar uma palavra-
código x de tal forma que o receptor não "veja" a interferência.
11
Em [35, 36, 37], é mostrado que o resultado obtido pode ser utilizado para um comportamento qualquer
da interferência, não necessariamente gaussiano.
Apesar do resultado supor um canal do tipo escalar, a extensão para o caso MIMO é imediata, uma vez
que este pode ser decomposto em vários canais SISO paralelos por meio de uma decomposição em valores
singulares [38].
2.3.3 Capacidade do Canal MIMO BC
Quando o transmissor (neste caso, a estação rádio-base) possui mais de uma antena, M
T
> 1, o canal
MIMO BC é dito não degradado, isto é, os receptores não podem ser ordenados de acordo com a qualidade
de seus canais, já que existirãodiferentes ganhos de canal associados a cada uma das antenas de transmissão
(e possivelmente de recepção, caso n
R
k
> 1). Ao contrário do canal MAC, uma expressão geral para a
região de capacidade do canal de broadcast não degradado não é conhecida. Na verdade, esta ainda é
uma das perguntas fundamentais de Teoria da Informação multiusuário que ainda não foi respondida.
Entretando, em [11], é proposta uma região de taxas alcançáveis para este tipo de canal utilizando DPC, e,
em [12], foi mostrado que a região proposta corresponde de fato à região de capacidade do canal MIMO
BC.
A região de capacidade do canal MIMO BC é baseada no conceito de codificação dirty paper, cuja
premissa básica é que, se o transmissor possui conhecimento perfeito e não causal da interferência gerada
por determinado usuário, então é possível que a interferência seja "pré-subtraída" no transmissor de tal
forma que a potência de transmissão não seja alterada [35].
Figura 2.6: Codificação de K usuários utilizando codificação dirty paper.
No canal MIMO BC, o DPC pode ser aplicado no transmissor escolhendo-se apropriadamente as
palavras-código dos diferentes usuários, conforme ilustrado na Fig. 2.6. Os usuários são codificados
de modo sucessivo. O transmissor escolhe uma palavra-código x
1
para o usuário 1. A palavra-código para
o segundo usuário, x
2
, será escolhida em função de x
1
, de forma que a interferência gerada por x
1
não seja
vista pelo usuário 2. De forma similar, é escolhida uma palavra-código x
3
para o usuário 3, de tal forma
que ele não veja os sinais destinados aos usuários 1 e 2 como interferência. O procedimento é repetido
para todos os K usuários. Ao codificar o k-ésimo usuário, o transmissor já conhece a interferência que será
causada pelos usuários previamente codificados (1, . . . , k − 1). Com efeito, a interferência gerada pelos
12
usuários pode ser subtraída do sinal que será enviado.
Como pode ser percebido, a ordem na qual os usuários são codificados exercerá influência no
resultado final, e também deve ser otimizada. Seja então π(·) uma permutação dos K usuários e
R = [R
x
1
, . . . , R
x
K
], o conjunto de matrizes positivas semidefinidas com Tr(R
x
1
+ . . . + R
x
K
) ≤ P
T
,
que representa as matrizes de covariância. Sob a utilização do DPC, se o usuário π(1) é codificado
primeiro, seguido do usuário π(2), e assim por diante, então o seguinte vetor de capacidades é alcançável:
R(π, R) =
R
π(1)
, . . . , R
π(K)
: R
π(k)
=
log
I +
1
σ
2
n
H
π(k)
k
j=1
R
x
π(j)
H
H
π(k)
log
I +
1
σ
2
n
H
π(k)
k−1
j=1
R
x
π(j)
H
H
π(k)
. (2.13)
A região de capacidade é a fronteira convexa da região definida por todos os vetores de capacidade
sobre todas as permutações possíveis e sobre todas as matrizes de covariância que satisfazem a restrição de
potência:
C
BC
(P
T
; H; σ
2
n
) Co
π,R
R(π, R)
, (2.14)
em que R(π, R) é dado pela Eq. (2.13) e Co() denota a fronteira convexa da região. O sinal transmitido
é dado por x = x
1
+ x
2
+ . . . + x
K
, e as matrizes de covariância são na forma R
x
k
E
x
k
x
H
k
. Uma
consequência do DPC é que x
1
, . . . , x
K
não são correlacionados, e, consequentemente, é válida a igualdade
Tr (R
x
) = Tr[R
x
1
+ . . . + R
x
K
] ≤ P
T
.
Um detalhe importante a ser percebido é que a expressão definida pela Eq. (2.14) não é uma função
nem côncava, nem convexa das matrizes de covariância. Isso torna a tarefa de encontrar a região de
capacidade do canal MIMO BC extremamente difícil, porque uma busca sobre todo o espaço de matrizes
de covariância deve ser realizada. Entretanto, explorando a dualidade existente entre os canais MIMO BC
e MIMO MAC, essa tarefa se torna menos complicada, como será considerado na próxima seção.
Cabe ainda mais uma observação. Apesar do DPC ser de grande interesse teórico devido ao fato de
ser um esquema que é capaz de atingir a capacidade do canal, sua implementação é extremamente difícil
devido à sua natureza complexa, e requer estratégias sofisticadas de codificação e decodificação [39, 40].
A principal dificuldade está na natureza não linear do processo de codificação multiestágio para a pré-
subtração de interferência. Complexidade adicional é originada no processo de determinar as matrizes
de autocovariância que maximizem determinado valor de taxa. Além disso, muitos sistemas podem não
possuir poder computacional suficiente para os cálculos iterativos com matrizes.
2.3.4 Dualidade MAC-BC
O canais MIMO BC e MIMO MAC aparentemente são muito similares. Entretanto, há três diferenças
fundamentais entre os dois modelos. Em primeiro lugar, no enlace direto existe um termo vetorial de
ruído aditivo associado a cada receptor, enquanto que no enlace reverso existe apenas uma componente
13
vetorial de ruído (já que existe apenas uma entidade receptora). Uma segunda diferença fundamental é
que, no enlace direto, apenas uma restrição de potência é aplicável ao transmissor. No enlace reverso, há
diferentes restrições associadas a cada usuário. Em terceiro lugar, tanto sinal como interferência associados
ao usuário k sofrem a influência do mesmo canal no enlace direto (ver Eq. (2.3)), enquanto que no enlace
reverso, sinal e interferência sofrem a ação de diferentes canais.
Dois canais MIMO MAC e MIMO BC de K-usuários são ditos duais se [41, 13, 42]:
1. As respostas impulsionais H
k
, k = 1, . . . , K do canal no enlace direto são as mesmas do enlace
reverso para todo k;
2. Cada receptor no enlace direto possui as mesmas estatísticas de ruído, sendo estas as mesmas do
receptor no enlace reverso;
3. A restrição de potência de transmissão P
T
no enlace direto é igual à soma das restrições de potência
individuais P
k
no enlace reverso, isto é, P
T
=
K
k=1
P
k
.
A partir do conceito de dualidade, em [43, 44], é mostrado que a região de capacidade do canal MIMO
BC com restrição de potência P
T
e matriz combinada de canal H é igual à união das regiões de capacidade
do canal MAC dual com matriz de canal H
H
, em que esta é tomada sobre o conjunto de todas as restrições
individuais de potência P
k
que somam P
T
. Matematicamente,
C
BC
(P
T
; H; σ
2
n
) =
(P
1
,...,P
K
):
K
k=1
P
k
=P
T
C
MAC
(P
1
, . . . , P
K
) ; σ
2
n
; H
H
, (2.15)
em que C
BC
(P
T
; H; σ
2
n
) é dado pela Eq. (2.14) e C
MAC
(P
1
, . . . , P
K
) ; σ
2
n
; H
H
é dado pela Eq. (2.9).
A Fig. 2.7 mostra a região de capacidade do canal MIMO BC com dois usuários, cada um com uma
antena, e uma estação rádio-base com duas antenas. A região foi obtida a partir da relação de dualidade
com o canal MIMO MAC, em que a região de capacidade do canal MIMO BC corresponde à fronteira
da união das regiões, e cada linha no interior da região corresponde à região de capacidade de um canal
MIMO MAC cuja soma das potências equivale a P
T
.
É importante lembrar que a região de capacidade do MIMO BC é extremamente difícil de ser calculada,
haja vista que não é uma função nem côncava, nem convexa, das matrizes de covariância. Já a região de
capacidade do canal MIMO MAC pode ser obtida de forma eficiente utilizando-se técnicas convencionais
de otimização convexa. Na verdade, basta determinar as matrizes de covariância para o caso MIMO MAC
e então transformá-las nas matrizes de covariância correspondentes ao canal MIMO BC, conforme definido
pelas relações apresentadas em [45].
2.3.5 Somas das Capacidades
Outra medida comumente utilizada para avaliar a capacidade de canais multiusuário, e em especial o
canal MIMO BC, é a soma das capacidades (do inglês, sum capacity), que pode ser derivada da região de
capacidade. A soma das capacidades é o máximo valor possível da soma de todas as taxas tomadas sobre
os vetores que pertecem à região de capacidade, e expressa por meio de
14
Figura 2.7: Região de capacidade do canal MIMO BC para M
T
= 2 e K = 2. Os valores numéricos foram
obtidos considerando H
1
= [1 0,4] e H
2
= [0,4 1] para P
T
= 10. Modificado de [1].
C
sum
BC
= C
sum
DP C
= max
K
k=1
R
k
. (2.16)
A Eq. (2.16) representa o throughput máximo do sistema, sendo mais fácil de ser caracterizado do que
uma região K-dimensional. O ponto que representa a soma das capacidades é mostrado na Fig. 2.8 com
relação à região de capacidade para o canal MIMO BC com M
T
= 2 antenas e dois usuários, cada um com
uma antena.
Figura 2.8: Soma das capacidades do canal MIMO BC.
Se todos os receptores possuem apenas uma antena, a somas das capacidades se reduz a [13]
C
sum
DP C
= max
Tr(D)≤P
T
log
I +
1
σ
2
n
HDH
H
, (2.17)
15
em que D é uma a matriz diagonal positiva semidefinida de dimensão K × K. A Eq. (2.17) é
bastante semelhante à fórmula de capacidade de um sistema MIMO ponto-a-ponto (monousuário) com
M
T
antenas transmissoras e K antenas receptoras, no qual CSI está disponível apenas no receptor [30].
Esta comparação torna fácil perceber que a soma das capacidades aumenta linearmente com min (M
T
, K).
O fato mais impressionante deste resultado é que a falta de cooperação entre os receptores não reduz
a capacidade do sistema. Na verdade, o canal MIMO BC experimenta o mesmo ganho de multiplexação
espacial que o caso MIMO ponto-a-ponto. Entretanto, neste, múltiplas antenas são necessárias tanto no
transmissor quanto no receptor para que sejam observados os ganhos lineares de capacidade, enquanto que,
naquele, a presença de múltiplas antenas só é necessária no lado transmissor (resultado similar pode ser
mostrado para o caso MIMO MAC [33]).
É importante observar que, apesar de a soma das capacidades não apresentar todas as informações
necessárias sobre o canal multiusuário, ela ainda assim é útil para analisar o desempenho dos algoritmos
de transmissão e pré-codificação, a serem apresentados no capítulo 3.
2.4 CONCLUSÃO
Neste capítulo, foi apresentado um modelo matemático para o tratamento dos canais multiusuário
MIMO BC e MIMO MAC. Foram apresentados resultados fundamentais em teoria da informação sobre a
capacidade dos canais MIMO multiusuário, sendo ainda considerada a dualidade MAC-BCpara a obtenção
da região de capacidade do caso MIMO BC.
Foi ainda visto que o DPC, enquanto ótimo sob o ponto de vista teórico para se atingir a região de
capacidade do canal de broadcast, é um conceito de Teoria da Informação que se mostrou extremamante
complexo de ser implementado na prática. A estrutura (framework) proposta pelo DPC mostra que, por
meio da codificação sucessiva dos usuários, é possível elaborar um esquema de pré-codificação que permite
alcançar a região de capacidade do canal MIMO BC. Entretanto, não é dito como obter as palavras-código
que serão utilizadas.
Devido a este fato, no próximo capítulo, serão abordadas técnicas subótimas de pré-codificação no
transmissor, que utilizam técnicas de processamento lineares e não lineares e que, sob determinadas
condições, podem alcançar assintoticamente a capacidade do canal MIMO BC.
16
3 TÉCNICAS DE PRÉ-CODIFICAÇÃO LINEARES E NÃO
LINEARES PARA O CANAL MIMO BC
3.1 INTRODUÇÃO
A pré-codificação é uma estratégia interessante quando a transmissão é realizada sobre um canal que,
além do ruído aditivo, sofre também com um termo adicional de interferência, especialmente se este é
conhecido pelo transmissor.
Os algoritmos de pré-codificação para o enlace direto de um sistema MIMO multiusuário podem ser
classificados segundo diversos critérios, de acordo com os objetivos que são almejados: maximizar a soma
das capacidades, eliminar a interferência interusuário, alcançar algum objetivo específico de qualidade de
serviço ou restrição de relação sinal-ruído, e devem levar em conta a presença de múltiplas antenas nos
receptores e a existência de múltiplos fluxos de dados a serem transmitidos para cada usuário, para citar
alguns exemplos.
É interessante observar que uma técnica de pré-codificação que maximize a capacidade de apenas um
usuário pode resultar em níveis de interferência inaceitáveis para os demais usuários, tornado seus enlaces
de comunicação inutilizáveis, conforme mostram os resultados de [46]. Maximizar a capacidade de um
dos usuários implica em alocar 100% da potência disponível para ele, o que resultaria em uma taxas de
transmissão nulas para os demais usuários.
Os algoritmos considerados neste capítulo visam atingir o máximo throughput do sistema, ao mesmo
tempo que tentam eliminar completamente a interferência interusuário, e será dada mais ênfase ao caso
que recebe mais atenção na literatura: usuários com uma antena receptora.
As técnicas apresentadas podem ser divididas em dois grandes grupos: lineares e não lineares.
A pré-codificação linear é uma generalização dos algoritmos clássicos de SDMA, no qual são
determinadas diferentes matrizes de pré-codificação para cada usuário. Os pré-codificadores são projetados
tendo como base a informação sobre o estado de canal de todos os usuários. A abordagem mais direta é
referida como inversão de canal, ou pré-codificação zero-forcing, que consiste em utilizar um conjunto
de pesos (beamformers) no transmissor de forma a inverter, no transmissor, o efeito do canal sobre os
símbolos de informação e eliminar completamente a interferência interusuário em todos os receptores.
Em seguida, será abordada a técnica de regularização de inversa, uma das formas encontradas para se
contornar o problema inerente da pré-codificação zero-forcing, que é o aumento no nível da potência
do sinal transmitido. Será considerada de forma sucinta a técnica de block diagonalization, que é uma
generalização da técnica de inversão de canal, utilizada sobretudo quando os usuários possuem múltiplas
antenas.
Apesar de serem capazes de eliminar completamente a interferência entre os múltiplos usuários, e
serem computacionalmente simples, as técnicas lineares não são ótimas no sentido de maximizar a soma
das capacidades. Como já mencionado, técnicas baseadas em DPC são capazes de atingir valores de
17
capacidade mais próximos dos limites do canal MIMO BC. Técnicas baseadas em DPC são diferentes dos
casos considerados anteriormente pois a informação que é transmitida é uma função não linear tanto dos
símbolos de informação como da interferência presente no sistema.
Em seguida serão estudados os algoritmos não lineares, que tratam de implementações subótimas da
codificação dirty paper que podem se aproximar da soma das capacidades (e em alguns casos, efetivamente
alcançá-la) [47, 48]. Serão descritas duas técnicas: a pré-codificação Tomlinson-Harashima [49], e a
técnica de vector perturbation [50]. Ambas utilizam como função de mapeamento não linear o operador
módulo, que épossivelmente a mais simples implementação subótima do DPC. Por meio da pré-codificação
sobre um reticulado previamente definido, limitam-se os valores de excursão do sinal a ser transmitido após
a pré-codificação como forma de controlar a potência de transmissão.
Tendo como base o conceito de pré-codificação pela introdução de um vetor de perturbação nos dados a
serem transmitidos como forma de melhorar o desempenho de sistemas MIMO multiusuário, será feita uma
proposta de pré-codificador para o canal MIMO BC, e seu desempenho será comparado com as técnicas
lineares clássicas anteriormente apresentadas. Por meio de simulações, será mostrado que o pré-codificador
proposto apresenta desempenho melhor do que as técnicas lineares tratadas, mas não exibe o mesmo ganho
proporcionado pela técnica de vector perturbation.
Finalmente, será iniciado o estudo dos efeitos da informação imperfeita sobre o estado do canal nas
técnicas de pré-codificação apresentadas.
3.2 MODELO DE SISTEMA
Será revisitado de forma breve o modelo apresentado para o canal MIMO BC. Utilizando as Eq. (2.3),
(2.4) e (2.7), o sinal recebido pelo usuário k pode ser expresso por meio de
y
k
=
K
i=1
H
k
W
i
u
i
+ n
k
= H
k
W
k
u
k
+
K
i=1
i=k
H
k
W
i
u
i
+ n
k
.
(3.1)
Supondo que cada usuário possui apenas uma antena de recepção, e que o transmissor enviará apenas
um símbolo de informação u
k
para o usuário k, isto é, m
k
= n
R
k
= 1, k = 1, . . . , K, o modelo
apresentado pela Eq. (3.1) se reduz a
y
k
= H
k
w
k
u
k
+
K
i=1
i=k
H
k
w
i
u
i
+ n
k
,
(3.2)
em que H
k
é o vetor coluna 1 ×M
T
que representa os ganhos de canal entre a antena do usuário k e as M
T
antenas da estação rádio-base, e o vetor de símbolos transmitidos x está relacionado ao vetor de símbolos de
informação u por meio de x = Wu, em que x = [x
1
, . . . , x
K
]
T
, W = [w
1
, . . . , w
K
], u = [u
1
, . . . , u
K
]
T
.
18
A matriz combinada de canal será expressa por meio de H =
H
T
1
, . . . , H
T
K
T
. Por simplicidade,
será suposto ainda que todos os símbolos do vetor u são originados do mesmo alfabeto de símbolos (por
exemplo, QPSK ou 16QAM).
Conforme abordado no capítulo 2, a relação sinal-ruído será definida por meio da expressão
ρ =
P
T
σ
2
n
, (3.3)
em que P
T
representa a potência de transmissão e σ
2
n
é a variância da componente de ruído branco
gaussiano.
Antes de prosseguir com a apresentação dos algoritmos, é importante expor algumas observações.
As técnicas de pré-codificação que serão apresentadas procuram maximizar o throughput do sistema.
Entretanto, operar no ponto da soma das capacidades nem sempre leva a uma solução desejável ou justa, e
pode não ser, necessariamente, o objetivo do projetista do sistema. Para ilustrar e explicar de forma intuitiva
esta situação, será utilizada a Fig. 3.1, que mostra duas regiões de capacidade para um cenário MIMO BC
com dois usuários. A maior delas refere-se ao caso em que os dois usuários possuem aproximadamente
a mesma capacidade máxima, e a menor delas, marcada em cinza, refere-se ao caso em que a capacidade
máxima difere para os dois usuários. Mais especificamente, o usuário 2 possui menor capacidade, pois seu
canal de comunicação encontra mais atenuação quando comparado ao canal do usuário 1. Esta situação é
referida na literatura como problema near-far [27].
Figura 3.1: Ilustração da região de capacidade de um sistema multiusuário considerando o problema near-
far. A soma das capacidades pode penalizar determinados usuários, dependendo da forma assumida pela
região de capacidade.
Em qualquer uma das situações apresentadas, o ponto da soma das capacidades (representado pelo
marcador "•") não implica em alocação igualitária de taxas de transmissão para ambos os usuários (situação
esta representada pelo ponto "*"). A situação é ainda mais grave quando se tem o problema near-far, uma
vez que a maximização da capacidade do sistema vem às custas do usuário 2, além de o sistema apresentar
reduzida soma das capacidades quando comparado ao caso em que os usuários possuem aproximadamente
o mesmo ganho de canal.
19
Uma alternativa que pode ser utilizada nos casos que apresentam o problema near-far é trabalhar com
algoritmos de seleção de usuários [51, 52], ou procurar satisfazer alguma meta de qualidade de serviço para
cada usuário. O problema de reunir as restrições de qualidade de serviço e mínima potência de transmissão
é denominado controle de potência (ou ainda, balanceamento de interferência) no enlace direto. Métodos
iterativos para solução do problema são consideradas em [53, 54]. Entretanto, essas soluções não serão
descritas nesta dissertação. A abordagem utilizada é sob a ótica de algoritmos de processamento, e
considera-se que não existe o problema near-far.
3.3 ZERO-FORCING
A inversão de canal, quando realizada pelo transmissor, é denominada pré-codificação zero-forcing
(ZF) [55, 56]. Os beamformers dos usuários são escolhidos de forma a satisfazer H
k
w
i
= 0 ∀k = i, de
forma que toda a interferência entre os usuários é eliminada. A matriz de pré-codificação W = W
ZF
é
dada pela pseudo-inversa de Moore-Penrose, de forma que W
ZF
H = I. Sua definição é:
W
ZF
= H
†
= H
H
(HH
H
)
−1
.
(3.4)
Neste caso, o vetor efetivamente transmitido será expresso por
x =
1
√
γ
W
ZF
u
=
1
√
γ
H
H
(HH
H
)
−1
u.
(3.5)
A constante de normalização γ é definida de tal forma que a potência de transmissão esteja restrita ao
valor P
T
, isto é, x
2
= P
T
. Logo, γ =
1
P
T
Wu
2
. Sem perda de generalidade, utilizar-se-á que P
T
= 1.
Por meio da Eq. (3.5), pode-se expressar γ como
γ = u
H
(HH
H
)
−1
u. (3.6)
O caso K < M
T
não é interessante em termos de maximização de capacidade, pois nem todas as
dimensões espaciais oferecidas pelas múltiplas antenas serão aproveitadas. Basta lembrar que, conforme
mostrado no capítulo 2, o aumento de capacidade no canal MIMO BC se dá com min (M
T
, K) quando
cada receptor possui uma antena. Será dada mais atenção, portanto, apenas aos casos em que M
T
= K.
Nesta situação, a Eq. (3.4) reduz-se a
W
ZF
= H
−1
, (3.7)
e o vetor transmitido será expresso por
x =
1
√
γ
H
−1
u. (3.8)
20
Com essa abordagem, toda a interferência multiusuário é eliminada, e o problema é reduzido ao caso de
K canais SISO escalares, nos quais o k-ésimo usuário recebe apenas a componente u
k
do vetor de símbolos
u, além da componente de ruído gaussiano. A partir das Eq. (3.2) e (3.4), podemos então escrever
y
k
=
1
√
γ
u
k
+ n
k
. (3.9)
Apesar de fornecer um modo bastante simples de realizar a pré-codificação, o zero-forcing apresenta
algumas desvantagens e limitações. A primeira é que o valor da constante de normalização depende do
vetor de dados, que varia de transmissão para transmissão. Esta limitação pode ser contornada escolhendo
γ de tal forma que a potência média seja dada por P
T
, isto é,
γ =
1
P
T
Tr
HH
H
−1
, (3.10)
supondo que a transmissão dos usuários é independente e os símbolos escolhidos possuem potência média
unitária. Entretanto, a média dada pela Eq. (3.10) pode não existir, conforme será exposto.
Além disso, conforme mostrado em [57], existirá um hiato (gap) entre a soma de capacidades da pré-
codificação zero-forcing e o limite oferecido pelo DPC. Este hiato pode ser analiticamente determinado por
meio da expressão:
C
sum
DP C
− C
sum
ZF
= (log e)
K−1
i=1
i
M
T
− i
. (3.11)
A Fig. 3.2 ilustra o resultado da Eq. (3.11) considerando um ambiente com K = 10 usuários.
Figura 3.2: Hiato entre a soma das capacidades da pré-codificação zero-forcing (ZF) e o limite dado pelo
DPC para K = 10 usuários.
Um problema ainda mais sério surge quando a matriz combinada de canal é mal condicionada. Nesta
21
situação, pelo menos um dos autovalores de
HH
H
−1
será muito grande, e a relação sinal-ruído nos
receptores será muito baixa devido ao fator γ, pois este assumirá um valor muito grande. Esta situação
é análoga ao fenômeno de noise enhancement que ocorre nos equalizadores de canal do tipo zero-forcing
[58] aplicados aos sistemas MIMO ponto-a-ponto. Entretanto, diferentemente deste caso, o desempenho
no cenário MIMO multiusuário é prejudicado até mesmo quando os elementos de H são independentes e
identicamente distribuídos [59], o que corresponde a um ambiente rico em espalhadores.
Em [59], é mostrado que γ é uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é dada por
p
γ
(γ) = K
γ
K−1
(1 + γ)
K+1
(3.12)
A distribuição da Eq. (3.12) possui média infinita. Como consequência deste fato, a soma das
capacidades, quando é utilizada pré-codificação do tipo zero-forcing, não aumenta linearmente com K,
diferentemente do que ocorre com o limite da capacidade, dado pela Eq. (2.17). Pode-se mostrar que para
K = M
T
, é valido o seguinte resultado assintótico, para K → ∞ [59]:
C
K→∞
sum
ZF
= ρ log e. (3.13)
A Fig. 3.3 mostra o limite de capacidade supracitados. Como é possível observar, a medida que K
tende a infinito, a soma de capacidades da pré-codificação zero-forcing se aproxima do limite dado pela
Eq. (3.13).
Figura 3.3: Comparação da soma de capacidades em função de K da pré-codificação zero-forcing e o
limite teórico oferecido pelo DPC, para uma razão sinal-ruído de ρ = 10 dB.
A explicação para o fato pode ser obtida ao observar os autovalores de
HH
H
−1
. Conforme é
mostrado em [59], o menor autovalor de HH
H
, λ
1
, possui função densidade de probabilidade exponencial
p
λ
1
(λ
1
) = Ke
−Kλ
1
. O maior autovalor de
HH
H
−1
, λ
−1
1
, apresentará distribuição gama-inversa,
cuja média é infinita. Como consequência, os demais K − 1 autovalores são significativamente bem
22
comportados, conforme pode ser visto na simulação mostrada na Fig. 3.4. Nesta figura, é exibido o
comportamento dos quatro maiores autovalores da matriz
HH
H
−1
em função de K. Foram realizadas
5.000 simulações, e os autovalores estão normalizados por um fator K. Além disso, utilizou-se a suposição
ZMSW para gerar os coeficientes presentes na matriz combinada de canal. O maior autovalor possui
comportamento errático para todo K, consequência do fato de sua média ser infinita (pois ele possui
distribuição gamma-inversa), e é claramente várias ordens de magnitude maior que os demais autovalores.
Logo, qualquer técnica que procure melhorar o desempenho da inversão de canal deve procurar reduzir os
efeitos do maior autovalor de
HH
H
−1
sobre o vetor pré-codificado x. Este pressuposto será utilizado
na pré-codificação por regularização de inversa e também na técnica não linear denominada vector
perturbation.
Figura 3.4: Comportamento dos quatro maiores autovalores de
HH
H
−1
em função de K.
3.4 REGULARIZAÇÃO DE INVERSA
Uma abordagem comumente utilizada para reduzir os efeitos da inversão de uma matriz mal
condicionada é regularizar a matriz inversa adicionando a esta um múltiplo da matriz identidade. Se o ruído
é espacialmente branco e um valor para a constante de regularização é escolhido apropriadamente, esta
abordagem é equivalente a uma conformação de feixes (beamforming) utilizando o critério de minimizar o
erro quadrático médio. Esta abordagem é denominada regularização de inversa (RI, do inglês, regularized
inverse).
Aplicando este princípio no lado transmissor, tem-se o vetor transmitido
x =
1
√
γ
H
H
HH
H
+ ςI
−1
u
=
1
√
γ
W
IR
u,
(3.14)
23
em que ς é denominado parâmetro de regularização. A presença de um valor não nulo para ς indica que
o transmissor não será capaz de eliminar completamente a interferência interusuário. O sinal recebido
pelo usuário k não é mais simplesmente uma versão de u
k
afetada por um fator multiplicativo, conforme
expresso na Eq. (3.9), mas também incluirá um termo de interferência residual multiusuário.
Para avaliar a quantidade de interferência que é introduzida, pode-se utilizar a autodecomposição
HH
H
= QΛQ
H
, em que Q representa a matriz dos autovetores de HH
H
e Λ = diag[λ
1
, . . . , λ
K
] é
uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores de HH
H
, organizados de forma decrescente, com
λ
1
< λ
2
< . . . < λ
K
. Dessa forma, o vetor recebido, após sofrer a influência do canal, será expresso por
Hx =
1
√
γ
Q
Λ
Λ + ςI
Q
H
u. (3.15)
O sinal recebido pelo usuário k pode ser escrito como
[Hx]
k
=
q
k,1
λ
1
λ
1
+ς
. . . q
k,K
λ
K
λ
K
+ς
q
∗
1,1
. . . q
∗
K,1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
q
∗
1,K
. . . q
∗
K,K
u
1
.
.
.
u
k
, (3.16)
em que q
m,n
representa o elemento da matriz Q na m-ésima linha e n-ésima coluna. Efetuando os produtos
matriciais, tem-se
y
k
=
1
√
γ
K
i=1
λ
i
λ
i
+ ς
|q
k,i
|
2
u
k
+ w
′
k
. (3.17)
A componente w
′
k
corresponde ao termo de ruído aditivo gaussiano somado à interferência residual,
dada pelos termos da Eq. (3.16) que envolvem u
l
, com l = k.
Naturalmente, a quantidade de interferência gerada depende de ς. Quando ς = 0, volta-se para o
caso da pré-codificação zero-forcing (Eq. (3.7)). Não importa o quanto a inversa da Eq. (3.14) seja mal
condicionada, ela pode pode se comportar tão bem quanto desejado, bastando para isso escolher ς grande
o suficiente. Entretanto, a quantidade de interferência gerada será tão maior quanto maior for o valor da
constante de regularização. Para esta situação, está caracterizada uma solução de compromisso entre o
bom condicionamento da inversa da matriz combinada de canal (que tem impacto direto sobre o fator de
normalização γ) e o nível de interferência residual que será gerado.
Uma métrica apropriada para a escolha de ς é maximizar a relação sinal-ruído mais interferência,
SINR (do inglês, signal to interference-plus-noise ratio). Em [59], é mostrado que, para valores grandes
de K e supondo que E
uu
H
= I afim de simplificar os cálculos, a SINR pode ser aproximada por
SINR ≈
K
i=1
λ
i
λ
i
+ς
2
K
2
σ
2
n
K
i=1
λ
i
λ
i
+ς
2
+ K
K
i=1
λ
i
λ
i
+ς
2
−
K
i=1
λ
i
λ
i
+ς
2
. (3.18)
Tomando a derivada da Eq.(3.18) em relação ς, a SINR é maximizada para ς
opt
= Kσ
2
n
, independente-
24
mente dos autovalores λ
1
, . . . , λ
K
. Apesar das vantagens oferecidas sobre a pré-codificação zero-forcing
(como será mostrado nos próximos parágrafos), a desvantagem da regularização de inversa é que ela exige
a estimação da variância do ruído gaussiano.
2 4 6 8 10 12 14
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Número de usuários K
Soma das Capacidades (bps/Hz)
ρ = 10dB
C
ZF
sum
C
DPC
sum
C
RI
sum
Figura 3.5: Comparação da soma das capacidades em função de K das técnicas de pré-codificação zero-
forcing e regularização de inversa para uma relação sinal-ruído de ρ = 10 dB.
−5 0 5 10 15 20
0
10
20
30
40
50
60
70
ρ (dB)
Soma das Capacidades (bps/Hz)
K = 10
C
DPC
sum
C
ZF
sum
C
RI
sum
Figura 3.6: Comparação da soma das capacidades em função de ρ das técnicas de pré-codificação zero-
forcing e regularização de inversa para K = 10 usuários.
Diferentemente da pré-codificação por inversão do canal, a soma das capacidades da pré-codificação
por regularização de inversa aumenta linearmente com K, apesar da inclinação da curva ser diferente,
conforme está mostrado na Fig. 3.5 mantendo ρ = 10 dB e variando o número de usuários K.
A regularização de inversa representa uma grande melhora sobre a simples inversão de canal, entretanto
25
permanece o hiato na capacidade entre este esquema e o limite teórico oferecido pelo DPC, especialmente
no regime de relação sinal-ruído elevada. A Fig. 3.6 mostra a soma das capacidades da pré-codificação
zero-forcing e da pré-codificação por regularização de inversa variando-se a relação sinal-ruído e mantendo
o número de usuários fixo em K = 10. Para valoresbaixos de ρ, a soma das capacidades da pré-codificação
por regularização de inversa se aproxima de C
sum
DP C
, enquanto que para valores mais altos de ρ, a tendência
é que a soma das capacidades se aproxime de C
sum
ZF
, o que é consequência da própria definição de ς. Para
ρ → ∞, ς → 0, e retornamos ao caso da pré-codificação zero-forcing.
Como última análise, também será considerada a curva de desempenho da BER (do inglês, bit error
rate, ou taxa de erro de bit) média dos sistemas que utilizam zero-forcing e regularização de inversa. As
curvas foram obtidas por meio de simulação, utilizando a técnica de Monte Carlo, e o canal apresenta
desvanecimento do tipo Rayleigh sem os efeitos da perda de percurso. Para fornecer uma comparação
entre os sistemas, utilizou-se como parâmetro de desempenho a figura de mérito dos sistemas digitais,
definida como a razão entre a energia média de bit e a densidade espectral de potência do ruído [60], que
relaciona-se à ρ por meio de
E
b
N
o
=
ρ
log
2
M
. (3.19)
Os resultados estão mostrados na Fig. 3.7 para a modulação 16QAM e na Fig. 3.8 para a modulação
QPSK, variando-se o número K de usuários. Enquanto que o desempenho da pré-codificação zero-forcing
piora com aumento do número de usuários, o desempenho da pré-codificação por regularização de inversa
melhora ligeiramente para valores maiores de K.
Figura 3.7: Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação por inversão de canal e
regularização de inversa para K = 4 usuários e K = 10 usuários utilizando modulação 16QAM.
26
0 5 10 15 20 25 30
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, K = 10, ZF
QPSK, K = 4, ZF
QPSK, K = 4, RI
QPSK, K = 10, RI
AWGN
Figura 3.8: Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação por inversão de canal e
regularização de inversa para K = 4 usuários e K = 10 usuários utilizando modulação QPSK.
3.5 BLOCK DIAGONALIZATION
Até este ponto, supôs-se que cada usuário possui apenas uma antena de recepção. Os algoritmos
considerados anteriormente podem ser estendidos de maneira trivial para receptores com múltiplas antenas,
considerando cada antena como um usuário separado, desde que N
R
≤ M
T
, o número de total de antenas
de recepção (considerando todos os K usuários) seja menor ou igual ao número de antenas de transmissão.
Apesar de permitir arquiteturas extremamente simples de recepção, esta abordagem ignora a capaci-
dade dos receptores de discriminar espacialmente seus fluxos de dados (streams), e é viável apenas quando
o número de usuários é pequeno. Neste caso específico, cada antena seria considerada um "usuário virtual",
e cada fluxo transmitido seria decodificada de forma independente em cada antena de recepção, como
se a transmissão fosse realizada por N
R
canais SISO paralelos. Apesar de essa abordagem resultar em
receptores bastante simples, em geral ela leva a um desempenho subótimo pois, se múltiplas antenas estão
presentes nos equipamentos dos usuários, estes são capazes de discriminar espacialmente seus próprios
fluxos [61]. Como consequência, haverá um aumento significativo do hiato entre a capacidade alcançável
por esses sistemas e o limite teórico do DPC. Logo, em vez de tentar diagonalizar completamente o canal
(que corresponde à situação apresentada anteriormente), pode-se encontrar uma solução bloco diagonal:
esta abordagem remove a interferência interusuário, mas preserva a interferência gerada entre os próprios
fluxos do usuário.
A discussão anterior será formalizada. Em vez de forçar HW na Eq. (3.4) a ser igual a matriz
identidade, uma alternativa é fazê-la bloco diagonal. Dessa forma, a interferência interusuário é eliminada,
mas é requerido que cada usuário realize algum tipo de processamento (demultiplexação espacial) de forma
a separar e decodificar cada uma dos fluxos destinados a ele. Para ser preciso, o objetivo é encontrar a
matriz de pré-codificação W = W
BD
de forma que
27
HW
DB
=
M
1
.
.
.
M
K
. (3.20)
A matriz M
k
é de dimensão n
R
k
× n
R
k
, supondo que são transmitidos m
k
= n
R
k
fluxos para o
usuário k. Entretanto, algumas das colunas de M
k
podem ser nulas se m
k
< n
R
k
. Entre os critérios que
podem ser utilizados para determinar M
k
, destaca-se o algoritmo apresentado em [15, 62], denominado
block diagonalization (BD), que é capaz de alcançar a soma das capacidades sob a restrição bloco diagonal
imposta pela Eq. (3.20).
Em primeiro lugar, define-se a matriz
˜
H
k
de dimensão (N
R
− n
R
k
) × M
T
:
˜
H
k
=
H
T
1
. . . H
T
k−1
H
T
k+1
. . . H
T
K
T
, (3.21)
que corresponde a matriz combinada de canal de todos os usuários, com exceção do k-ésimo.
Se o posto de
˜
H
k
é
˜
L
k
, então seu espaço nulo possui dimensão M
T
−
˜
L
k
≥ n
R
k
. Por meio de uma
decomposição em valores singulares, pode-se reescrever a Eq. (3.21) como
˜
H
k
=
˜
U
k
˜
Σ
k
˜
V
(1)
k
˜
V
(0)
k
H
. (3.22)
Na Eq. (3.22),
˜
V
(0)
k
contém os últimos M
T
−
˜
L
k
vetores singulares direitos de
˜
H
k
, formando uma
base ortogonal para seu espaço nulo. Consequentemente, suas colunas são candidatas à matriz de pré-
codificação do k-ésimo usuário, W
BD
k
.
Seja então
¯
L
k
o posto do produto
˜
H
k
˜
V
(0)
k
. Para que a transmissão para o usuário k ocorra livre de
interferência,
¯
L
k
≥ 1 é uma condição necessária. Conforme mostrado em [63], uma condição suficiente é
garantir que pelo menos uma linha de H
k
seja linearmente independente das linhas de
˜
H
k
. Uma forma de
satisfazer tal condição é evitar multiplexar espacialmente usuários cujas matrizes de canal possuam elevado
grau de correlação.
Supondo que a condição de independência é satisfeita para todos os usuários,
˜
V
(0)
k
pode possuir
mais beamformers do que o número de fluxos que o k-ésimo usuário pode suportar. Uma combinação
ótima desses vetores de beamformers deve ser encontrada para formar W
BD
k
, sendo este um problema já
bastante explorado em sistemas MIMO ponto-a-ponto [64]. Para resolvê-lo, pode-ses utilizar novamente a
decomposição em valores singulares de
˜
H
k
˜
V
(0)
k
:
˜
H
k
˜
V
(0)
k
=
U
(1)
k
U
(0)
k
Σ
k
0
0 0
V
(1)
k
V
(0)
k
H
, (3.23)
em que Σ
k
é uma matriz diagonal quadrada L
k
×L
k
que contém os autovalores de
˜
H
k
˜
V
(0)
k
, e V
(1)
k
contém
os L
k
autovetores associados aos autovalores não-nulos de
˜
H
k
˜
V
(0)
k
. As L
k
≤ n
R
k
colunas do produto
˜
V
(0)
k
V
(1)
k
representam os pesos que maximizam a capacidade do usuário k, sujeito à restrição de não gerar
nenhuma interferência nos demais usuários.
28
A matriz de pré-codificação W
BD
será da seguinte forma:
W
BD
=
˜
V
(0)
1
V
(1)
1
. . .
˜
V
(0)
K
V
(1)
K
P
1
2
, (3.24)
em que W
BD
k
= V
(0)
k
V
(1)
k
. A matriz P é do tipo diagonal e seus elementos representam a potência alocada
para cada um dos usuários.
Se a matriz de pré-codificação W
BD
é dada pela Eq. (3.24), a soma das capacidade do método da
pré-codificação por block diagonalization será dada por
C
sum
BD
= max log
P,Tr(P)=P
T
I +
1
σ
2
n
Σ
2
P
, (3.25)
com
Σ =
Σ
1
.
.
.
Σ
K
. (3.26)
A escolha ótima para as entradas da matriz P é encontrada utilizando o algoritmo de water-filling nos
elementos diagonais de Σ, sujeito a restrição de potência P
T
[65].
Conforme mostrado em [57], haverá um hiato entre a soma de capacidades do BD e do limite dado
pelo DPC. Admitindo que todos os usuários possuem o mesmo número de antenas, dado por N
R
/K, este
hiato entre as somas de capacidades é calculado por meio da expressão
C
sum
DP C
− C
sum
BD
= log
2
e
K=1
k=0
N
R
K
−1
n=0
(K−1)
N
R
K
i=k
N
R
K
+1
1
M
T
− n − i
. (3.27)
A Eq. (3.27) é simplificada para a Eq. (3.11) quando N
R
/K = 1, isto é, a técnica de pré-codificação
zero-forcing é um caso particular da pré-codificação por block diagonalization.
Apesar de ambas as técnicas, zero-forcing e block diagonalizaton, fornecerem o mesmo ganho de
multiplexação espacial, existirá diferença no throughput final do sistema. Para fornecer alguma intuição
sobre o significado deste fato, será tomado o caso em que M
T
é mantido constante, N
R
/K aumenta
mas N
R
é mantido constante, fazendo com que K diminua. Em outras palavras, o número de antenas
por receptor aumenta, mas o número total de antenas de recepção N
R
se mantém contante, diminuindo a
quantidade K de usuários. Neste caso, o hiato entre a soma das capacidades diminui, conforme mostrado
nos resultados de simulações. Na Fig. 3.9, tem-se M
T
= 6 antenas e, na Fig. 3.10, tem-se o caso para o
qual M
T
= 10 antenas de transmissão. A notação {3, 3}, indica que há K = 2 usuários, cada um com
n
R
1
= n
R
2
= 3 antenas de recepção. Pelo comportamento das curvas de capacidade, pode-se inferir que a
soma das capacidades do DPC é a mesma de um canal MIMO N
R
×M
T
. Entretanto, a soma de capacidades
do block diagonalization é K vezes a capacidade de um canal MIMO N
R
/K ×(M
T
− N
R
+ 1), enquanto
que a capacidade do zero-forcing será de N
R
canais MISO (M
T
− N
R
+ 1) × 1 .
29
0 5 10 15 20 25 30
0
10
20
30
40
50
60
ρ (dB)
Soma das Capacidades (bps/Hz)
M
T
= 6, {1,1,1,1,1,1}, C
ZF
sum
M
T
= 6, {2, 2, 2}, C
BD
sum
M
T
= 6, {3, 3}, C
BD
sum
C
DPC
sum
Figura 3.9: Comparação da soma das capacidades em função de ρ da técnica de pré-codificação block
diagonalization para M
T
= 6 antenas transmissoras e diferentes configurações de número de usuários e de
antenas nos receptores.
0 5 10 15 20 25 30
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
ρ (dB)
Somas das Capacidades (bps/Hz)
M
T
= 10, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, C
ZF
sum
M
T
= 10, {2, 2, 2, 2, 2}, C
BD
sum
M
T
= 10, {5, 5}, C
BD
sum
C
DPC
sum
Figura 3.10: Comparação da soma das capacidades em função de ρ da técnica de pré-codificação block
diagonalization para M
T
= 10 antenas transmissoras e diferentes configurações de número de usuários e
de antenas nos receptores.
30
3.6 PRÉ-CODIFICAÇÃO TOMLINSON-HARASHIMA
3.6.1 Modelo do Sistema
A pré-codificação Tomlinson-Harashima foi inicialmente proposta de maneira independente por
Tomlinson [66] e Harashima [67] para eliminar a interferência intersimbólica em canais seletivos em
frequência em constelações do tipo MPAM (do inglês, M-ary pulse amplitude modulation) utilizando
a aritmética modular. A estratégia proposta leva ainda a estrutura de equalização DFE (do inglês,
decision feedback equalizer) para o transmissor, de forma a eliminar a propagação de erros causada por
detecções errôneas dos símbolos recebidos [58], pois o transmissor conhece, a priori, os símbolos a serem
transmitidos. Sua extensão para pré-equalização em canais MIMO foi considerada em [68, 69, 70, 71, 72],
e o modelo do sistema está apresentado na Fig. 3.11.
Figura 3.11: Estrutura do pré-codificador Tomlinson-Harashima para o enlace direto de sistemas MIMO
multiusuário.
A matriz F, de dimensão M
T
×K, tem como função tornar a interferência espacialmente causal, o que
significa que ˜u
k
sofre a interferência de ˜u
l
, l < k, mas não de ˜u
i
, i > k. Esta matriz é equivalente ao filtro
de feedforward de equalizadores clássicos DFE quando utilizados no receptor [58].
A interferência causal (isto é, a componente de interferência de ˜u
i
em ˜u
k
, com i < k), é eliminada
pelo filtro de feedback B − I, com a matriz B triangular inferior, de dimensão K × K e com elementos
unitários em sua diagonal principal [73]. A operação do filtro de feedback é realizada de forma sucessiva,
do símbolo u
1
para o símbolo u
K
, e pode ser descrita como
˜u
k
= M
τ
u
k
−
k−1
i=1
b
k,i
u
i
, (3.28)
em que b
k,i
é o elemento da linha k e coluna i da matriz B, e M
τ
denota o operador módulo τ , definido
por
31
Figura 3.12: Implementação do operador módulo por meio de uma função dente de serra.
Figura 3.13: Descrição linearizada do operador módulo.
M
τ
(u
k
) = u
k
−
u
k
+ τ /2
τ
τ, (3.29)
em que τ é um valor real positivo denominado constante do módulo. O gráfico do operador módulo é
mostrado na Fig. 3.12. Seu funcionamento é da seguinte forma: se em sua entrada é apresentado um
valor maior que τ /2, τ é subtraído repetidas vezes do valor de entrada até que o resultado produzido em
sua saída seja menor que τ/2. Se na entrada do operador é apresentado um valor menor que −τ /2, τ é
adicionado de forma sucessiva até que o resultado observado em sua saída seja maior ou igual a −τ /2. Em
outras palavras, adicionam-se múltiplos inteiros de τ à entrada para limitá-la ao intervalo [−τ/2, τ /2).
O pré-codificador gera um vetor de dados efetivo u+ p como entrada para B
−1
(representada pelo laço
de realimentação na Fig. 3.13), em que p representa o vetor de pré-codificação. Ele pode ser escolhido de
forma que as entradas de
˜
u = B
−1
(u+ p) pertençam a determinada faixa estabelecida de valores [70]. Isto
dá origem à descrição linearizada do operador módulo, mostrada na Fig. (3.13).
Por exemplo, se uma constelação quadrada MQAM é utilizada, os elementos u
k
são oriundos do
conjunto
A =
u
I
+ ju
Q
: u
I
, u
Q
∈
±1, ±3, . . . , ±
√
M − 1
, (3.30)
em que u
I
e u
Q
referem-se, respectivamente, às componentes em fase e em quadratura do símbolo u e
j é a unidade imaginária, j =
√
−1. A componente p
k
de p deve satisfazer à condição p
k
= τ(a
k
+
b
k
j), a
k
, b
k
∈ Z, e podem ser escolhidas de tal forma que ˜u
I
k
, ˜u
Q
k
∈
−
√
M,
√
M
, em que ˜u
I
k
e ˜u
Q
k
32
Figura 3.14: Constelação QPSK estendida. É mostrada a constelação original, A e algumas de suas
extensões periódicas utilizando τ = 4. Os símbolos módulo-congruentes são representados pelos mesmos
marcadores.
representam, respectivamente, as componentes em fase e em quadratura de ˜u
k
, o k-ésimo elemento do
vetor
˜
u. Neste caso, o operador módulo é aplicado separadamente nas partes real e imaginária de u
k
. Por
exemplo, suponha a utilização de um alfabeto 4QAM, no qual as partes real e imaginária dos símbolos
podem assumir os valores ±1. Escolhendo τ = 4, a saída do operador módulo sempre estará entre −2
e +2. Uma entrada 2,2 − 3,1j seria consequentemente mapeada em −1,8 + 0,9j. Neste caso, o módulo
adicionou o valor −4 + 4j ao símbolo de sua entrada, que corresponde a 4(−1 + 1j) = τ (−1 + 1j).
É interessante notar ainda que, conforme descrito em [74, 75, 76], a pré-codificação por aritmética
modular é baseada no conceito de espaço de sinais equivalentes. É gerada uma constelação estendida, ou
um reticulado (do inglês, lattice), A
′
por meio da chamada extensão periódica da constelação original:
A
′
= A + τ (a + jb) , a, b ∈ Z
(3.31)
O conceito de constelação estendida é mostrado na Fig. 3.14 para a modulação QPSK utilizando τ = 4,
em que os símbolos módulo-congruentes são representados pelos mesmos marcadores. Dois símbolos u e
v são ditos módulo-congruentes se u = M
τ
(v).
Uma interpretação alternativa para a pré-codificação Tomlinson-Harashima é a seguinte: a partir de
A
′
, são selecionados os elementos u
k
+ p
k
do vetor de dados efetivos que são módulo-congruentes a u
k
e que minimizam o módulo de ˜u
k
. Logo, a pré-codificação Tomlinson-Harashima é uma extensão dos
algoritmos de pré-codificação lineares apresentados, porém utilizando os sinais do reticulado A
′
, em vez
do conjunto A .
Naturalmente, a escolha para o valor de τ afeta o desempenho do sistema. Valores muito grandes
são interessantes para mitigar os efeitos do ruído no receptor, já que as extensões da constelação original
estarão posicionadas mais distantes umas das outras (ver Eq. (3.31)). Pequenos valores de τ podem
33
provocar a sobreposição das constelações, de forma que a decodificação biunívoca do símbolo recebido
não será possível, o que contribuiria para aumentar a taxa de erro do sistema. De forma geral, pequenos
valores de τ são vantajosos pois permitem um reticulado mais denso e mais flexível, mas ainda assim deve
ser escolhido de forma a permitir decodificação sem ambiguidades. Em [16], é sugerido o valor de
τ = 2
A
max
+
∆
2
, (3.32)
em que definiu-se A
max
= max
u
I
, u
Q
, e ∆ é o menor espaçamento entre dois símbolos da constelação.
Por exemplo, para a constelação da modulação QPSK, A
max
= 1, ∆ = 2 e τ = 4. Já para constelação da
modulação 16QAM, A
max
= 3, ∆ = 2 e τ = 8, conforme já considerado anteriormente.
No receptor, o operador módulo também deve estar presente para queu seja recuperado a partir de u+p,
conforme mostra a Fig. 3.15, ou seja, desfazer os efeitos do operador módulo presente no transmissor. Os
fatores de escala g
1,1
, g
2,2
, . . . , g
K,K
são determinados no transmissor, e devem também ser enviados aos
receptores.
Figura 3.15: Função do operador módulo.
Apesar de os valores de saída
˜
u estarem limitados em amplitude, a pré-codificação Tomlinson-
Harashima provoca aumento na potência média de transmissão (ou, de forma equivalente, perda na relação
sinal-ruído, devido à presença da restrição de potência P
T
no transmissor). Esta perda, denominada
shapping loss, pode ser mensurada por meio da razão
Γ
loss
=
E
˜
u
2
E
u
2
. (3.33)
Em [70], mostrou-se que para constelações quadradas, a perda de pré-codificação pode ser aproximada
pela razão
Γ
loss
=
M
M − 1
. (3.34)
Para pequenos valores da ordem M da modulação, a perda Γ
loss
introduzida não é desprezível, mas
34
decai rapidamente conforme o tamanho do alfabeto utilizado pela modulação aumenta. Por exemplo, foi
encontrado o valor de Γ
loss
= 1,25 dB para as modulações BPSK e QPSK, e de Γ
loss
= 0,28 dB para
16QAM [77].
Para o sistema representado na Fig. 3.11, será introduzida a matriz diagonal G, que contém os fatores
de escala utilizados pelos receptores para a detecção dos símbolos recebidos. Em outras palavras, define-se
a matriz G = diag[g
1,1
, g
2,2
, . . . , g
K,K
], de forma que, na entrada do operador módulo, o sinal recebido
por cada usuário, dado pelos os elementos y
′
1
, y
′
2
, . . . , y
′
K
, pode ser expresso por
y
′
= Gy
= G H F B
−1
u + Gn
= G H F B
−1
u +
˜
n,
(3.35)
em que y
′
=
y
′
1
, . . . , y
′
K
T
e
˜
n = [˜n
1
, . . . , ˜n
K
]
T
= Gn.
Nas próximas seções, serão apresentados os critérios utilizados para a determinação das matrizes de
pré-codificação B, F e G.
3.6.2 Pré-codificação Zero-Forcing Tomlinson-Harashima
Se é desejado que toda a interferência interusuário seja eliminada, então
G H F B
−1
= I (3.36)
é uma condição necessária. As matrizes B, F e G podem ser encontradas por meio da decomposição QR
da matriz H
H
, expressa por meio de
H
H
=
Q
′
˜
Q
′
R
′
0
(M
T
−K)×K
(3.37)
em que Q
′
é uma matriz M
T
× K cujas colunas são ortonormais,
˜
Q
′
é M
T
× (M
T
− K), R
′
é uma
matriz triangular superior K × K cujo elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna é denotado por r
′
i,j
, e
0
(M
T
−K)×K
é a matriz (M
T
− K) × K cujos elementos são todos nulos. Logo, conforme demonstrado
em [49], as matrizes procuradas serão dadas por:
G = diag
r
′
1,1
, r
′
2,2
, . . . , r
′
K,K
, (3.38)
B = GR
′
H
(3.39)
e
F = Q
′
. (3.40)
35
A partir da Eq. (3.35), da Eq. (3.36) e da descrição linearizada do operador módulo, mostrada na Fig.
3.13
y
′
= u + p +
˜
n, (3.41)
de forma que toda a interferência é eliminada, e o operador módulo no receptor eliminará a componente p.
A matriz de autocovariância do ruído será dada por
E
˜
n
˜
n
H
= σ
2
n
G
2
= diag
σ
2
n
r
′
2
1,1
, . . . ,
σ
2
n
r
′
2
K,K
.
(3.42)
As Eq. (3.38)-(3.40), juntamente com a restrição dada pela Eq. (3.36), definem o pré-codificador
zero-forcing Tomlinson-Harashima (ZF THP).
3.6.3 Pré-codificação Minimum Mean Square Error Tomlinson-Harashima
Uma outra abordagem para a obtenção das matrizes de pré-codificação é utilizar o critério de minimizar
o erro quadrático médio. O pré-codificador, neste caso, é denominado MMSE THP.
Pode-se definir o vetor erro e como a diferença entre o vetor y
′
na entrada do operador módulo e o
vetor de dados efetivos u + p:
e = y
′
− (u + p)
= (GHF − B)
˜
u + Gn.
(3.43)
A matriz de covariância do erro será então
R
e
= E
ee
H
= (GHF − B) R
˜
u
(GHF − B)
H
+ σ
2
n
GG
H
,
(3.44)
em que R
˜
u
é a matriz de covariância do vetor
˜
u. O critério MMSE busca minimizar Tr[R
e
] com respeito
as matrizes B, F e G. Devido às restrições já apresentadas, B deve ser uma matriz triangular unitária e
G deve ser diagonal, já que não existe o processamento cooperativo entre os receptores no canal MIMO
BC. Ainda é desejado que a matriz F possua colunas ortogonais e não afete a potência de transmissão. As
condições são satisfeitas fazendo FF
H
= I, da mesma forma como ocorre com o ZF THP.
Pelo princípio da ortogonalidade [78], a solução MMSE deve satisfazer
E
ey
H
= 0. (3.45)
Logo,
36
E
Gyy
H
− B
˜
uy
H
= 0, (3.46)
G
HFR
˜
u
F
H
H
H
+ σ
2
n
I
= BR
˜
u
F
H
H
H
. (3.47)
Supondo que a matriz de autocovariância de
˜
u seja dada por R
˜
u
= σ
2
˜u
I, e introduzindo o fator ξ =
σ
2
n
/σ
2
˜u
, a Eq. (3.47) se torna
G
HFF
H
H
H
+ ξI
= BF
H
H
H
. (3.48)
Por meio da fatoração de Cholensky de
H + ξH
†H
H + ξH
†H
H
, é possível obter uma matriz R
triangular inferior, de dimensão K × K, que satisfaz
RR
H
=
H + ξH
†H
H + ξH
†H
H
. (3.49)
Conforme mostrado em [49], a solução para o MMSE THP é formada pelas matrizes
G = diag
r
′
1,1
, r
′
2,2
, . . . , r
′
K,K
, (3.50)
B = GR, (3.51)
e
F =
H + ξH
†
R
−1
H
. (3.52)
É ainda possível calcular a matriz de autocovariância do erro quadrático médio. Substituindo as
soluções encontradas, dadas pelas Eq. (3.50)-(3.52), na Eq. (3.44), obtém-se o resultado
R
e
= σ
2
n
G
2
+ σ
2
n
ξG
HH
H
−1
G. (3.53)
A Fig. 3.16 mostra o desempenho das técnicas de pré-codificação ZF THP e MMSE THP para a
modulação QPSK, e a Fig. 3.17 mostra o desempenho das técnicas de pré-codificação ZF THP e MMSE
THP para a modulação 16QAM, variando-se o número de usuários. Ao contrário da técnica zero-forcing,
é possível perceber que o aumento do número de usuários contribui para o melhor desempenho da técnica,
apesar do ganho ainda ser muito próximo do conseguido pela técnica de pré-codificação por regularização
de inversa.
Na Fig. 3.18 é mostrado o desempenho das técnicas baseadas em pré-codificação Tomlinson-
Harashima quando comparadas aos algoritmos lineares para um cenário com 10 usuários utilizando
a modulação QPSK. Como é possível observar, o ganho com relação às técnicas de zero-forcing e
regularização de inversa é desprezível. Este fato é justificado pela perda de relação sinal-ruído introduzida
37
0 5 10 15 20 25 30
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, K = 4, ZFTHP
QPSK, K = 10, ZFTHP
QPSK, K = 4, MMSETHP
QPSK, K = 10, MMSETHP
AWGN
Figura 3.16: Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação ZF THP e MMSE THP
para K = 4 usuários e K = 10 usuários utilizando modulação QPSK.
0 5 10 15 20 25 30
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, K = 4, ZFTHP
16QAM, K = 10, ZFTHP
16QAM, K = 4, MMSETHP
16QAM, K = 10, MMSETHP
AWGN
Figura 3.17: Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação ZF THP e MMSE THP
para K = 4 usuários e K = 10 usuários utilizando modulação 16QAM.
pelo shaping loss, que será mais acentuado ao se utilizar a modulação QPSK. A Fig. 3.19 ilustra um
cenário similar, porém utilizando a modulação 16QAM. Neste caso, é possível inferir que o ganho é
significativo quando comparado aos algoritmos lineares. Este resultado sugere que a técnica de pré-
codificação Tomlinson-Harashima depende não apenas da informação sobre o estado do canal, mas seu
desempenho está intimamente ligado ao tipo de modulação (e ao alfabeto de símbolos da modulação) que
é utilizado, já que ela é baseada no conceito de pré-codificação sobre um reticulado.
Além disso, por utilizar pré-codificação sucessiva dos usuários, a técnica Tomlinson-Harashima é
38
sensível à ordem com a qual os usuários são pré-codificados, como será abordado na próxima seção.
0 5 10 15 20 25
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
AWGN
QPSK, K = 10, RI
QPSK, K = 10, ZF
QPSK, K = 10, MMSE THP
QPSK, K = 10, ZF THP
Figura 3.18: Comparação das técnicas de pré-codificação ZF THP e MMSE THP com os algoritmos
lineares em um cenário com K = 10 usuários e modulação QPSK.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
AWGN
16QAM, K =10, RI
16QAM, K = 10, ZF
16QAM. K = 10, MMSE THP
16QAM, K = 10, ZF THP
Figura 3.19: Comparação das técnicas de pré-codificação ZF THP e MMSE THP com os algoritmos
lineares em um cenário com K = 10 usuários e modulação 16QAM.
39
3.6.4 A Ordenação dos Usuários
Para as técnicas de pré-codificação ZF THP e MMSE THP, apresentadas nas seções anteriores e dadas
pelas Eq. (3.38)-(3.40) e Eq. (3.50)-(3.52), respectivamente, pode-se mostrar que a ordem das colunas
da matriz de canal H não exercerá influência nem nas matrizes de processamento B e G, nem na matriz
de autocovariância do ruído (para o caso ZF THP), dada pela Eq. (3.42), ou na matriz de autocovariância
do erro quadrático médio (para o caso MMSE THP), dada pela Eq. (3.53) [79]. Logo, a ordenação das
colunas da matriz combinada de canal não afeta o desempenho do sistema.
O mesmo já não é verdade para a ordenação das linhas da matriz H. Uma mudança na ordem das linhas
da matriz combinada de canal modificará as matrizes B e G, bem como as matrizes de autocovariância
do ruído ou do erro quadrático médio. Consequentemente, o desempenho das técnicas de pré-codificação
ZF THP e MMSE THP pode ser melhorado por meio de uma ordenação conveniente das linhas de H pois,
conforme exposto em [49], o desempenho da BER do sistema estará limitado pelo usuário que possui ruído
de maior variância (para o pré-codificador ZF THP) ou pelo usuário que possui o maior erro quadrático
médio (para o pré-codificador MMSE THP).
Para perceber de forma intuitiva como a ordem das linhas da matriz H afeta o desempenho do sistema,
basta lembrar que supôs-se que o símbolo u
k
é destinado ao usuário k. Para a estrutura considerada
na Fig. 3.11, se nenhum ordenamento é aplicado, u = [u
1
, u
2
, . . . , u
K
] é o vetor de dados na entrada
do pré-codificador e, uma vez que a matriz B é triangular inferior, a subtração sucessiva da interfência
interusuário é realizada de u
1
para u
K
, conforme expresso pela Eq. (3.28). Como a pré-codificação
Tomlinson-Harashima é baseada no conceito de DPC, a ordem com a qual os usuários são codificados
alterará o desempenho do sistema, conforme comentado no capítulo 2.
Antes de prosseguir, definir-se-á como métrica de desempenho M
i
o valor do i-ésimo elemento da
diagonal da matriz de autocovariância do ruído, dada pela Eq. (3.42), ou o valor do i-ésimo elemento da
diagonal da matriz de autocovariância do erro quadrático médio, dada pela Eq. (3.53). A primeira será
considerada ao utilizar-se a pré-codificação ZF THP, e a segunda será utilizada ao tratar da pré-codificação
MMSE THP.
A ordenação ótima é aquela que gera os menores valores possíveis de métricas de desempenho, M
i
, e
é representada por π = [π(1), π(2), . . . , π(K)], de tal forma que os usuários são pré-codificados de π(1)
para π(K), o que dá origem ao vetor u =
u
π(1)
, u
π(2)
, . . . , u
π(K)
na entrada do pré-codificador.
Utilizando os conceitos desenvolvidos em [80, 81, 82] para detecção em sistemas MIMO monousuário,
é possível mostrar que a ordenação ótima dos usuários é alcançada por meio do algoritmo best-first [49],
detalhado em Algoritmo 1.
É interessante observar que, de acordo com o passo 4 do Algoritmo 1, para encontrar o i-ésimo
elemento da ordenação π, é necessário realizar uma busca sobre todas as permutações possíveis entre
os usuários que ainda não foram ordenados. Logo, a complexidade do algoritmo best-first aumenta
rapidamente com o número de usuários e, por esse motivo, algoritmos subótimos de ordenação, baseados
no conceito de otimizações sucessivas, podem ser encontrados em [83, 84].
Naturalmente, antes de realizar a pré-codificação, uma vez determinada a ordenação π, deve-se definir
a matriz combinada de canal ordenada como
40
Algoritmo 1 Algoritmo Best-First
1. Inicialize o contador i = 1
2. Crie o conjunto de K usuários U
π
= {1, 2, . . . , K}
3. Para i < K:
4. Para todos os usuários que pertencem a U
π
, encontre o usuário β ∈ U
π
que possui a menor métrica
M
i
ao ocupar a posição i da ordenação π
5. Coloque o usuário β, determinado no passo 4, na posição i da ordenação π, isto é, π(i) = β
6. Exclua β do conjunto U
π
7. Incremente i
8. Fim
H
π
=
H
T
π(1)
, H
T
π(2)
, . . . , H
T
π(K)
T
, (3.54)
e as matrizes de processamento B, F e G devem ser geradas utilizando H
π
ao invés de H, e serão denotadas
por B
π
, F
π
e G
π
.
Os resultados de simulação dos pré-codificadores baseados em Tomlinson-Harashima utilizando a
ordenação de usuários por meio do algoritmo best-first são mostrados na Fig. 3.20 (a) para a modulação
QPSK e na Fig. 3.20 (b) para a modulação 16QAM. Para ambas as modulações, a ordenação de usuários
resulta em ganho de relação sinal-ruído para o algoritmo ZF THP. Este ganho é de aproximadamente 2
dB para a modulação QPSK , e de 4 dB para a modulação 16QAM. Para o pré-codificador MMSE THP,
é caracterizado ganho de diversidade, pois há mudança na inclinação da curva de BER, especialmente no
regime de SNR elevada. Nesta situação, tem-se um ganho superior a 4 dB para uma BER da ordem de
10
−3
para ambas as modulações quando comparadas aos pré-codificadores Tomlinson-Harashima quando
não utilizam a ordenação de usuários.
41
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
ZF THP, QPSK, K = 4
MMSE THP, QPSK, K = 4
ZF THP, QPSK, K = 4, ordenado
MMSE THP, QPSK, K = 4, ordenado
(a) Modulação QPSK, K = 4 usuários
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
ZF THP, 16QAM, K = 4
MMSE THP, 16QAM, K = 4
ZF THP, 16QAM, K = 4. ordenado
MMSE THP, 16QAM, K = 4, ordemado
(b) Modulação 16QAM, K = 4 usuários
Figura 3.20: Desempenho dos pré-codificadores ZF THP e MMSE THP com ordenação de usuários dada
pelo algoritmo best-first.
42
3.7 VECTOR PERTURBATION
Conforme exposto na seção 3.3, a perda de capacidade inerente à pré-codificação zero-forcing está no
aumento da potência do vetor transmitido x (ou, de forma equivalente, na constante de normalização γ,
que assumirá valores muito grandes devido ao comportamento do maior autovalor da matriz H
−1
quando
K = M
T
). Na seção 3.4, foi mostrada uma forma de regularização da matriz inversa que tenta controlar
os efeitos da excursão dos valores deste maior autovalor. Entretanto, ainda permanece o hiato entre a soma
das capacidades alcançadas por essas técnicas de pré-codificação e o limite de capacidade do canal MIMO
BC. Ainda foi exposto que qualquer técnica que vise melhorar o desempenho da inversão de canal deve
procurar reduzir os efeitos do maior autovalor de H
−1
sobre o vetor pré-codificado.
A idéia da técnica vector perturbation (VP) é "perturbar" o vetor de símbolos u por um outro vetor de
perturbação p de tal forma que u + p esteja na mesma direção do autovetor associado ao menor autovalor
de (HH
H
)
−1
[16, 85]. É imposta a restrição de que o receptor deve ser capaz de decodificar u + p sem o
conhecimento da componente de perturbação p que é introduzida. Para isso, será utilizado novamente o
operador módulo nos receptores, e a perturbação p será escolhida de tal forma que ela satisfaça:
p = τ (a + jb)
= τL ,
(3.55)
em que L = a + jb, a, b são vetores de inteiros (isto é, seus elementos pertencem ao conjunto dos
números inteiros)e τ é uma constante real, já definida pela Eq. (3.32), quando a pré-codificação Tomlinson-
Harashima foi considerada.
Utilizando a matriz inversa do canal como geradora de beamformers, a determinação de p é baseada
na solução do seguinte problema de otimização [16]:
L = arg min
L
′
W
ZF
u + τ L
′
2
= arg min
L
′
u + τ L
′
H
HH
H
−1
u + τ L
′
,
(3.56)
que consiste em minimizar a potência do vetor pré-codificado (não normalizado), dado pela expressão
W
ZF
(u + p), sob a retrição de eliminar completamente a interferência interusuário, motivo pelo qual é
utilizada a matriz de pré-codificação W
ZF
.
A Eq. (3.56) é um problema de mínimos quadrados em um reticulado inteiro (do inglês, integer-lattice
least-squares) [86, 87, 88], e existem diversos algoritmos propostos para resolvê-lo, como, por exemplo,
o método de Fincke e Pohst [89], já amplamente utilizado nos receptores do tipo sphere decoder para
detecção espaço-temporal em sistemas MIMO monousuário [90]. Não serão apresentados os detalhes de
operação e implementação dos algoritmos, pois fogem aos objetivos da dissertação. Basta citar que eles
evitam a busca exaustiva por todo o reticulado definido por τ H
−1
.
Uma análise detalhada do pré-codificador vector perturbation é complexa e trabalhosa, especialmente
pelo fato de ser difícil obter a distribuição de probabilidade de γ quando é utilizada a perturbação definida
pela Eq. (3.55). Apesar disso, em [16], é fornecida uma análise menos rigorosa e mais intuitiva do seu
funcionamento, e será apresentada nos próximos parágrafos.
43
O processo de pré-codificação procura alinhar x = u + p aos vetores singulares da matriz inversa do
canal. Tomando
HH
H
−1
= QΛ
−1
Q
H
, pode-se expressar a função objetivo da Eq. (3.56) como
γ = W
ZF
(u + p)
2
=
K
k=1
1
λ
k
δ
2
k
, (3.57)
com δ
k
=
q
H
k
(u + p)
, q
k
é a k-ésima coluna da matriz Q. Supõe-se ainda que λ
1
< λ
2
< . . . < λ
K
. A
técnica de vector perturbation procura minimizar a Eq. (3.57) buscando o vetor de inteiros L , conforme
expresso pela Eq. (3.55), que resulte no menor módulo possível de x. De fato, a escolha p = 0 conduz ao
menor valor para o módulo de u + p. Ao escolher L não nulo, certamente aumenta-se a norma do vetor
perturbado, mas a norma de H
−1
(u + p), o vetor pré-codificado, é reduzida no processo.
A Eq. (3.57) é minimizada quando δ
1
= . . . = δ
k−1
= 0 e δ
k
= u + p
2
. Basta observar a forma
com que os autovalores de
HH
H
−1
foram arranjados. Entretanto, o fato de forçar o vetor L a possuir
elementos inteiros nem sempre permitirá que u + p seja perfeitamente ortogonal às bases q
1
, . . . , q
K−1
e
paralelo a q
K
, mas apenas grosseiramente orientado nessas direções.
É mostrado em [85] que E [γ] é limitada inferiormente por
E [γ] ≥
ev
K
E
u + p
2
, (3.58)
com
v = E
K
k=1
δ
2
k
c
2
1/K
, (3.59)
e
c = (1/K) E
u + p
2
. (3.60)
A igualdade na Eq. (3.58) é alcançada quando
E
δ
2
1
λ
1
= . . . = E
δ
2
K
λ
K
=
evc
2
K
. (3.61)
Logo, para minimizar E [γ], é necessário orientar u + p na direção de cada autovetor de forma
inversamente proporcional ao valor dos autovalor associado ao respectivo autovetor.
A técnica de vector perturbation também possui interpretação geométrica interessante [91], análoga
à pré-codificação Tomlinson-Harashima. Quando o transmissor possui conhecimento sobre a resposta do
canal, ele pode eliminar completamente a interferência multiusuário, transmitindo o vetor H
−1
u em vez
de u, de forma que o receptor poderá detectar seu símbolo sem a influência de nenhuma interferência.
Entretanto, a pré-multiplicação por H
−1
aumenta a potência do vetor pré-codificado, conforme visto para
o caso zero-forcing. Como consequência, a constelação utilizada para transmitir os símbolos é "alongada",
conforme mostra a Fig. 3.21 (a).
44
Figura 3.21: Interpretação geométrica da técnica de pré-codificação vector perturbation.
Pode-se então utilizar o conceito de extensão periódica da constelação, introduzido na pré-codificação
Tomlinson-Harashima, para determinar o conjunto de símbolos módulo-congruentes aos vetores do
reticulado formado por τ H
−1
, conforme mostra a Fig. 3.21 (b), na qual o sinal mensagem original é
representado por "•". Qualquer um dos pontos módulo-congruente à mensagem original (marcados por
"◦") pode ser utilizado para transmiti-la, pois eles formam um reticulado junto à constelação original.
Dentre todos os (infinitos) pontos que podem ser escolhidos, será tomado aquele que se encontra mais
próximo à origem, pois esta escolha acarreta na menor potência possível de transmissão. Graças à presença
do operador de módulo, o receptor, ao receber qualquer um dos "◦", é capaz de mapeá-lo em "•", o ponto
dentro da constelação original. Cabe ao algoritmo de busca sobre o reticulado inteiro encontrar em qual
constelação deslocada (ou seja, determinar o vetor L ) está o símbolo módulo-congruente mais próximo
da origem.
O desempenho do pré-codificador baseado em vector perturbation é mostrado na Fig. 3.22 para a
modulação QPSK, e na Fig. 3.23 para a modulação 16QAM, considerando os cenários com K = 4
usuários e K = 10 usuários. A melhora no desempenho é evidente com o aumento do número de usuários
no sistema, e sua superioridade com relação às tecnicas anteriormente expostas é clara.
Apesar de ser extremamente poderosa, a pré-codificação por vector perturbation é também computa-
cionalmente complexa e muito onerosa [92]. Sua complexidade cresce exponencialmente com a dimensão
K do problema. Existem várias formas de reduzir o custo computacional da busca em um reticulado
inteiro, como, por exemplo, técnicas que possuem como base a decomposição QR ou V-BLAST (do
inglês, Vertical-Bell Laboratories Layered Space-Time) [17], ou valendo-se de algoritmos de redução de
reticulados (lattice-reduction algorithms) [93]. Por serem temas consideravelmente amplos, que fogem ao
45
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, K = 4, VP
QPSK, K = 10, VP
AWGN
Figura 3.22: Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação para K = 4 usuários e K =
10 usuários utilizando modulação QPSK.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, K = 4, VP
16QAM, K = 10, VP
AWGN
Figura 3.23: Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação para K = 4 usuários e K =
10 usuários utilizando modulação 16QAM.
objetivo desta dissertação, eles serão discutidos brevemente.
Uma das formas de determinar o vetor de perturbação de forma sub-ótima é aplicar sucessivas vezes
o operador módulo em um esquema similar ao oferecido pela pré-codificação de Tomlinson-Harashima.
O método utiliza a decomposição QR da matriz de canal H. Seja H = QR, em que R é uma matriz do
tipo triangular inferior, Q é uma matriz unitária e α = 1/(1 + σ
2
n
) [16] é um termo proporcional à relação
sinal-ruído. O vetor
˜
x = [˜x
1
, . . . , ˜x
K
] é gerado de forma sucessiva, conforme apresentado em [16]:
46
˜x
1
= u
1
˜x
2
= M
τ
u
2
− α
r
21
r
22
˜x
1
.
.
.
˜x
K
= M
τ
u
K
− α
K−1
i=1
r
Ki
r
KK
˜x
i
,
(3.62)
que pode ser reescrita em termos do vetor de inteiros L que é adicionado ao sinal:
˜
x = ((1 − α)I + αR)
−1
(u + τ L ) . (3.63)
A partir da Eq. (3.62), é formado o vetor x = Q
H
˜
x, que é normalizado e transmitido. O parâmetro
α aumenta a SINR para cada usuário, de forma similar ao parâmetro ς utilizado na pré-codificação por
regularização de inversa [16].
Algoritmos baseados na decomposição QR não são capazes de explorar a máxima ordem de diversidade
(a inclinação da curva de BER será diferente da técnica original), apesar de possuírem como vantagem o
reduzido custo computacional, além de serem amplamente conhecidos e exaustivamente analisados na
literatura [85].
Ao contrário da técnica de otimização sucessiva apresentada, as técnicas de redução de reticulado são
capazes de atingir a mesma diversidade da técnica vector perturbation, mas apresentam perda de relação
sinal-ruído. As técnicas de redução de reticulado mais conhecidas são o algoritmo de Lenstra-Lenstra-
Lovász (LLL) [94] e o algoritmo de Brun’s [95]. Estes algoritmos são mais eficientes pois, em vez de
utilizarem como base do reticulado osvetores H
−1
, eles buscam umconjunto de vetoresde base (H
−1
)
′
que
possuam melhores características de ortogonalidade (este conceito será exposto nos próximos parágrafos),
obtendo uma base que permite uma busca aproximada e mais eficiente sobre o reticulado [96].
A decomposição LLL consiste em, a partir da base original, W
ZF
= H
−1
, obter uma base reduzida
W
′
de forma tal que W
′
= W
ZF
T, em que T é uma matriz unimodular, isto é, seus elementos são números
complexos que possuem elementos inteiros em suas partes real e imaginária, e seu determinante é unitário.
O defeito de ortogonalidade (orthogonality defect) da base W
′
é definido como [95]
δ(W
′
) =
1
|W
′
|
K
k=1
w
′
k
2
, (3.64)
em que w
′
k
é a k-ésima coluna de W
′
. A Eq. (3.64) provê uma maneira de mensurar a ortogonalidade dos
vetores que formam a base de um reticulado por meio da razão entre o produto das normas dos vetores da
base do reticulado e o volume da célula primitiva do reticulado que eles definem. É possível mostrar que
δ(W
′
) ≥ 1, sendo a igualdade alcançada quando os vetores da base são ortogonais [97]. O objetivo da
decomposição LLL é encontrar uma base W
′
de tal forma que δ(W
′
) < δ(W). Utilizando um abuso de
linguagem, pode-se dizer que os vetores da nova base são "mais ortogonais" entre si que os elementos da
base original, pois apresentam menor defeito de ortogonalidade.
47
Dessa forma, a função de custo dada pela Eq. (3.56) pode ser reescrita como
W
ZF
u + τ L
′
2
=
W
′
TT
−1
u + τ L
′
2
=
˜
W
T
−1
u + τ T
−1
L
′
2
=
˜
W
˜
u + τ
˜
L
′
2
,
(3.65)
em que foi definido
˜
u = T
−1
u (3.66)
e
˜
L
′
= T
−1
L
′
. (3.67)
Como a matriz T é unimodular, a solução do problema dado pela Eq. (3.56) é equivalente a resolver
primeiro o problema
L = arg min
L
′
˜
W
˜
u + τ
˜
L
′
2
, (3.68)
e depois calcular
p = τTL . (3.69)
Por exemplo, a chamada estimativa de Babai [96] é obtida ao fazer W
′
= I, a matriz identidade, e a
solução fornecida pelas Eq. (3.66) e Eq. (3.67) será dada pela expressão
p = τT
T
−1
u
τ
. (3.70)
Uma vantagem do algoritmo LLL é que ele apresenta tempo de execução polinomial em relação à
dimensão K do problema.
Da mesma forma que a técnica vector perturbation, a redução de reticulado também possui interpreta-
ção geométrica. Um exemplo simples de reticulado bidimensional está mostrado na Fig. 3.24. O mesmo
reticulado é representado por duas bases diferentes, na Fig. 3.24 (a) e na Fig. 3.24 (b), e essas bases
são mostradas por meio de setas vermelhas localizadas no canto superior esquerdo de cada figura . As
regiões ótimas de decisão (denominadas células de Voronoi, e mostradas na cor laranja) são hexágonos,
e correspondem à solução do problema de busca em um reticulado inteiro utilizando os algoritmos que
fornecem a solução exata para o problema.
As regiões de decisão fornecidas pela Eq. (3.69), para cada uma das bases reduzidas mostradas na
figura, são representadas por paralelogramos, e estão mostradas na cor verde no canto superior direito de
cada figura. A comparação entre ambas as regiões (da solução exata e da solução aproximada) é fornecida
48
Figura 3.24: Interpretação geométrica da redução de reticulado utilizando duas bases diferentes. A primeira
base, mais ortogonal, é mostrada em (a), e outro exemplo de base é mostrado em (b).
no canto inferior direito inferior de cada diagrama.
A partir do exemplo, duas observações importantes podem ser feitas: em primeiro lugar, a solução
aproximada geralmentenão alcançará a solução ótima, independentemente da escolha da base. Em segundo
lugar, uma boa escolha de base pode melhorar a precisão da aproximação fornecida pela redução de
reticulado. A Fig. 3.24 (a) consiste em uma boa escolha para a base reduzida, pois as regiões de decisão
ótima e aproximada apresentam larga sobreposição. Por outro lado, a escolha da base representada na Fig.
3.24 (b) é uma escolha ruim, pois as regiões de decisão diferem de forma significativa. Nesta situação, a
base representada na Fig. 3.24 (a) apresenta menor defeito de ortogonalidade do que a base mostrada na
Fig. 3.24 (b).
3.8 MMSE VECTOR PERTURBATION
É sabido que a solução MMSE representa uma relação de compromisso entre o nível de interferência
residual que será gerado pelo pré-codificador e a atenuação do vetor transmitido [58]. Sob esta premissa,
foi apresentada a técnica de pré-codificação por regularização de inversa.
Como já era esperado, é possível utilizar, em vez da matriz inversa do canal, a matriz inversa
regularizada para realizar a pré-codificação vector perturbation. Este esquema foi considerado em [98]
e é denominado MMSE vector perturbation (MMSE VP). Neste caso, a matriz de pré-codificação é dada
por
W
MM SE
= H
H
HH
H
+
σ
2
n
σ
2
u
I
−1
, (3.71)
em que σ
2
u
representa a potência média dos símbolos da constelação utilizada, e pode ser determinado
por meio de sua matriz de autocovariância, por hipótese dada por R
u
= σ
2
u
I. O fator σ
2
n
/σ
2
u
pode ser
interpretado como possuindo a mesma função do parâmetro de regularização ς utilizado na técnica de pré-
codificação por regularização de inversa, porém considerando que a constelação da qual os símbolos de
informação são originados não precisa apresentar, necessariamente, potência média unitária.
49
O problema de otimização dado pela Eq.(3.56) será agora escrito como:
L = arg min
L
′
W
MM SE
u + τ L
′
2
= arg min
L
′
u + τ L
′
H
HH
H
+
σ
2
n
σ
2
u
I
−1
u + τ L
′
.
(3.72)
Utilizando a fatoração de Cholesky, pode-se determinar uma matriz L que satisfaça
HH
H
+
σ
2
n
σ
2
u
I
= L
H
L, (3.73)
e a Eq. (3.72) pode ser reescrita como:
L = arg min
L
′
u + τ L
′
H
L
H
L
u + τ L
′
= arg min
L
′
L
u + τ L
′
2
(3.74)
Ao observar a forma da Eq. (3.74), o problema se reduz a uma busca em um reticulado inteiro. Nesta
situação específica, o reticulado é gerado por τL, e procura-se pelo vetor de inteiros que correponde ao
ponto do reticulado mais próximo de −Lu. Em geral, este não será o ponto que resulta no menor fator
de normalização γ (devido à presença do parâmetro de regularização), mas ainda assim é observada uma
melhora no desempenho com relação a técnica vector perturbation.
As Figuras 3.25 a 3.28 mostram, de forma comparativa, o desempenho de todos os pré-codificadores
considerados, inclusive o MMSE VP. Em primeiro lugar, observa-se que ambos os pré-codificadores
baseados em vector perturbation apresentam melhor desempenho que os pré-codificadores lineares para
regimes de relação sinal-ruído mais elevada, e o desempenho do MMSE VP é ligeiramente superior ao
desempenho do VP. Entretanto, o desempenho do vector perturbation, para valores de relação sinal-
ruído mais baixos, é inferior ao das técnicas lineares, especialmente para modulações de ordem mais alta
(16QAM) e número de usuários maior. A mesma observação já não é válida para os pré-codificadores
baseados na técnica Tomlinson-Harashima, cujo desempenho é superior para valores mais baixos de
E
b
/N
o
. Apesar disso, à medida em que a relação sinal-ruído aumenta, tanto VP com MMSE VP
apresentam ordem de diversidade maior do que a apresentada pelos pré-codificadores ZF THP e MMSE
THP.
Como comentário final, a pré-codificação utilizando o operador módulo é a forma mais simples
de implementação do DPC, envolvendo um simples reticulado cúbico [70]. Melhoras significativas no
desempenho podem ser obtidas ao serem considerados reticulados mais complexos, de dimensão maior
[35, 99]. Particularmente, estas técnicas baseadas em reticulados maiores podem melhorar o desempenho
das técnicas não-lineares na região de relação sinal-ruído mais baixa, onde as técnicas lineares apresentam
desempenho ligeiramente superior do que as técnicas não lineares (em especial, VP e MMSE VP).
50
0 5 10 15 20 25
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, K = 4, RI
QPSK, K = 4, ZF
QPSK, K = 4, MMSE THP
QPSK, K = 4, ZF THP
QPSK, K = 4, VP
QPSK, K = 4, MMSE VP
AWGN
Figura 3.25: Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação com K = 4 usuários
utilizando modulação QPSK.
0 5 10 15 20 25
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
AWGN
QPSK, K = 10, RI
QPSK, K = 10, ZF
QPSK, K = 10, MMSE THP
QPSK, K = 10, ZF THP
QPSK, K = 10, VP
QPSK, K = 10, MMSE VP
Figura 3.26: Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação com K = 10 usuários
utilizando modulação QPSK.
51
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, K = 4, RI
16QAM, K = 4, ZF
16QAM, K = 4, MMSE THP
16QAM, K = 4, ZF THP
16QAM, K = 4, VP
16QAM, K = 4, MMSE VP
AWGN
Figura 3.27: Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação com K = 4 usuários
utilizando modulação 16QAM.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
AWGN
16QAM, K =10, RI
16QAM, K = 10, ZF
16QAM. K = 10, MMSE THP
16QAM, K = 10, ZF THP
16QAM, K = 10, VP
16QAM, K = 10, MMSE VP
Figura 3.28: Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação com K = 10 usuários
utilizando modulação 16QAM.
52
3.9 PROPOSTA DE PRÉ-CODIFICADOR
Perturbar o vetor de dados (no caso da pré-codificação vector perturbation) ou a inversa da matriz
combinada de canal (para o caso de regularização de inversa) é uma forma de controlar o valor que a
constante de normalização γ poderá assumir, de forma a reduzir a perda de relação sinal-ruído no receptor.
Nesta seção, é proposto um algoritmo de pré-codificação baseado no conceito de perturbação contínua,
apresentado em [100]. Diferentemente da técnica vector perturbation, na qual o vetor de perturbação é
escolhido a partir de um reticulado inteiro e pode ser removido por meio do operador módulo no receptor,
a perturbação contínua não pode ser completamente eliminada pelos receptores, e deve ser tratata como
interferência. Naturalmente, uma métrica utilizada para se determinar o vetor de perturbação será a relação
sinal-ruído mais interferência (SINR).
A idéia é formalizada do seguinte modo. Em primeiro lugar, o vetor de informação é perturbado por um
vetor p
′
, denominado vetor de perturbação contínua. Os elementos desse vetor podem assumir qualquer
valor real, ao passo que , na pré-codificação por vector pertubation, os elementos do vetor de perturbação
p devem ser múltiplos de τ.
Diferentemente do esquema proposto em [101], no qual a matriz de pré-codificação é a pseudo-inversa
da matriz combinada de canal, a matriz de pré-codificação do método proposto é W
MM SE
, a inversa
regularizada, definida pela Eq. (3.71).
Dessa forma, o vetor de dados recebidos y relaciona-se ao vetor de símbolos de informação u por meio
de
y =
1
√
γ
HW
MM SE
u + p
′
+ n. (3.75)
Utilizando a autodecomposição da matriz HH
H
, conforme apresentado na seção 3.4, a relação sinal-
ruído mais interferência pode ser reescrita como
SINR =
K
k=1
λ
k
λ
k
+ζ
2
HW
MM SE
p
′
2
+ γKσ
2
n
+
K
k=1
w
′
k
, (3.76)
em que w
′
k
se refere à interferência residual causada pela regularização de inversa. É possível mostrar que
o máximo da Eq. (3.76) ocorre quando o termo
HW
MM SE
p
′
2
+ γKσ
2
n
(3.77)
é mínimo. Entretanto, como p
′
é contínuo (pode assumir qualquer valor real), não é necessária a utilização
de algoritmos de complexidade elevada, como o sphere decoder, para determinar o valor ótimo de p
′
(no
sentido de maximizar a Eq. (3.76)), ao contrário do que ocorre com a técnica vector perturbation, na qual
a perturbação p assume valores discretos. A otimização da Eq. (3.77) pode ser feita de forma analítica.
Tomando sua derivada em relação a p
′
, e após algumas manipulações, o vetor de perturbação contínua será
53
dado por:
p
′
= −Kσ
2
n
W
H
MM SE
H
H
W
MM SE
H + Kσ
2
n
W
H
MM SE
W
MM SE
−1
W
H
MM SE
W
MM SE
u (3.78)
A Fig. 3.29 mostra o desempenho do pré-codificador proposto quando comparado às técnicas lineares
de zero-forcing e regularização de inversa para a modulação QPSK, e a Fig. 3.30 mostra o desempenho
do pré-codificador para a modulação 16QAM. Apesar de ser incapaz de ter desempenho comparável aos
esquemas de pré-codificação não lineares, pois não é baseado no conceito de codificação dirty paper, ele
apresenta ganho significativo quando comparado aos outros algoritmos lineares. É possível observar um
ganho de 1,5 dB quando comparado à pré-codificação por regularização de inversa sob modulação 16QAM,
e de aproximadamente 1 dB sobre a regularização de inversa sob modulação QPSK, sendo estes ganhos
aparentemente independentes do número K de usuários.
0 5 10 15 20 25
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, K =10, precodificador proposto
QPSK, K =10, RI
QPSK, K =4, precodificador proposto
QPSK, K =4, RI
QPSK, K = 4, ZF
QPSK, K = 10, ZF
Figura 3.29: Desempenho do pré-codificador proposto comparado aos algoritmos lineares de pré-
codificação para a modulação QPSK.
54
0 5 10 15 20 25
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, K = 10, precodificador proposto
16QAM, K = 10, RI
16QAM, K = 4, precodificador proposto
16QAM, K = 4, RI
16QAM, K = 4, ZF
16QAM, K = 10, ZF
Figura 3.30: Desempenho do pré-codificador proposto comparado aos algoritmos lineares de pré-
codificação para a modulação 16QAM.
3.10 INFLUÊNCIA DA INFORMAÇÃO IMPERFEITA DE ESTADO DE CANAL
SOBRE A PRÉ-CODIFICAÇÃO
Até este momento, foi suposto que o transmissor possui conhecimento perfeito das informações sobre
o estado de canal, ou CSI (do inglês, channel state information) de cada usuário, e dessa forma ele pode
determinar as matrizes de pré-codificação. Entretanto, em termos práticos, esta hipótese dificilmente será
verdadeira.
O transmissor pode obter CSI de duas formas diferentes. Em sistemas de comunicações baseados em
FDD, o receptor utiliza um canal de retorno (feedback) para enviar ao transmissor as informações de estado
do canal. Em sistemas TDD, o transmissor pode, a princípio, obter essas informações diretamente, por meio
de sequências de treinamento do enlace reverso, desde que o canal seja recíproco
1
. Cada esquema possui
vantagens e desvantagens em termos de latência, custos computacionais e perda de capacidade [102].
Independente da forma de duplexação utilizada, devido ao atraso introduzido pelo canal de retorno, ou
à natureza variante do canal no tempo, ou até mesmo por atrasos que são gerados pelos próprios algoritmos
de processamento (como estimação e decodificação de canal e pré-codificação), as informações de estado
de canal podem estar desatualizadas, e esta desfasagem pode degradar severamente o desempenho dos
sistemas considerados.
Como exemplo, seja o resultado de simulação mostrado na Fig. 3.31. É mostrado o desempenho
1
Neste ponto, uma observação é pertinente: mesmo que os slots de tempo alocados para a transmissão nos enlaces reverso
e direto possuam duração comparável ao tempo de coerência do canal, os canais de ambos os enlaces pode ainda assim não ser
recíproco, pois o comportamento da interferência nos dois enlaces é diferente, bem como as cadeias de radio frequência (RF)
dos transmissores e receptores, o comportamento do ruído, etc. Estes fatos contribuem para que, mesmo operando em TDD e
desvanecimento lento, os canais dos enlaces direto e reverso não sejam recíprocos.
55
da modulação 16QAM utilizando os pré-codificadores vector perturbation e regularização de inversa sob
condições em que o transmissor não dispõe de informação perfeita sobre H, mas tem apenas acesso à
variável H + δH, em que δH é uma variável aleatória gaussiana que modela os efeitos da CSI imperfeita.
O modelo considerado é bastante simples e será substituído por considerações mais realistas nos próximos
capítulos. O objetivo principal agora é apenas mostrar a influência da CSI imperfeita no processo de pré-
codificação.
Como pode ser percebido, para que os ganhos oferecidos pelas técnicas de pré-codificação no ambiente
MIMO BC possam ser explorados plenamente, a resposta do canal tem de ser estimada com antecedência
(no caso de atrasos introduzidos pelo sistema ou ao comportamento variante no tempo da resposta do
canal), e filtros preditores podem ser utilizados para tal propósito, conforme será abordado no próximo
capítulo.
Figura 3.31: Comparação das curvas de BER dos esquemas de pré-codificação vector perturbation e
regularização de inversa sob CSI imperfeita para K = 4 usuários utilizando modulação 16QAM.
3.11 CONCLUSÃO
Este capítulo abordou, sob a ótica de processamento de sinais, os diversos algoritmos de pré-
codificação propostos para o canal de broadcast de um sistema MIMO multiusuário. As técnicas
lineares consideradas foram três: zero-forcing, regularização de inversa e block diagonalization, esta
uma generalização do conceito de inversão de canal. As técnicas não lineares apresentadas foram
baseadas no conceito de pré-codificação sobre um reticulado, e para tal utilizavamm o operador
módulo. Foram analisadas as técnicas de pré-codificação zero-forcing Tomlinson-Harashima, MMSE
Tomlinson-Harashima, vector perturbation e MMSE vector perturbation. Para todos os algoritmos, foram
apresentadas suas vantagens, desvantagens e uma análise comparativa.
Apresentou-se uma proposta de pré-codificador tendo como base o conceito de perturbação contínua
56
e pré-codificação utilizando a solução MMSE. Apesar de o seu desempenho não exibir a mesma ordem
de diversidade das técnicas não lineares apresentadas, ele garante ganho significativo sobre as técnicas
lineares consideradas, que não consideram a introdução de qualquer perturbação.
Finalmente, foi feita uma breve apresentação dos efeitos da informação imperfeita sobre o estado do
canal sobre o desempenho de alguns pré-codificadores, e foi sugerido que algoritmos adaptativos podem ser
utilizados para prover CSI atualizada para o transmissor, sendo possível reduzir os impactos da informação
desatualizada sobre o estado de canal nas técnicas de pré-codificação do canal MIMO BC.
No próximo capítulo será realizado um estudo dos algoritmos clássicos de filtragem adaptativa que
podem ser utilizados para realizar a predição da resposta do canal.
57
4 ALGORITMOS DE FILTRAGEM ADAPTATIVA
4.1 INTRODUÇÃO
Conforme tratado na seção 3.10 do capítulo 3, a informação desatualizada sobre o estado do canal
pode degradar severamente o desempenho das técnicas de pré-codificação apresentadas e, para compensar
os atrasos introduzidos pelo sistema, faz-se necessário o uso de estratégias de predição de canal.
Apesar de várias abordagens para a predição de canal serem propostas, como, por exemplo, modelos
autoregressivos, soma de senóides e técnicas baseadas em subespaços vetoriais [103], optou-se pela
utilização de filtros digitais adaptativos pois, conforme exposto em [103], esta abordagem tem se mostrado
mais adequada para modelagens mais realistas do canal de comunicação rádio móvel.
Os filtros digitais são os equivalentes dos analógicos no contexto de processamento digital de sinais.
A saída r(n) de um filtro digital não recursivo no instante n está relacionada com sua entrada s(n) pela
equação de diferenças finitas [104]
r(n) =
N
c
−1
i=0
c
i
s(n − i), (4.1)
em que c
0
, c
1
, . . ., c
N
c
−1
são os N
c
coeficientes do filtro, que representam sua resposta impulsional. Como
esta resposta possui comprimento finito, o filtro é dito do tipo FIR (do inglês, finite impulse response). Uma
das vantagens de trabalhar com filtros de resposta finita ao impulso é que eles são naturalmente estáveis
[105].
A Eq. (4.1) pode ser implementada por meio da estrutura de forma direta representada na Fig. 4.1,
conhecida como tapped-delay line.
Figura 4.1: Forma direta de implementação de um filtro FIR.
Por questõesde brevidade de notação, definiremos os vetores s(n) = [s(n), s(n − 1), . . . , s(n − N
c
+ 1)]
T
e c = [c
∗
0
, c
∗
2
, . . . , c
∗
N
c
−1
]
T
, de forma que a convolução discreta definida pela Eq. (4.1) pode ser expressa
por meio do produto matricial
r(n) = c
H
s(n). (4.2)
58
É importante perceber que, nos filtros digitais convencionais, os coeficientes do filtro são escolhidos
durante a fase de projeto e permanecem constantes durante toda operação do filtro. Entretanto,
há determinadas aplicações que não são solucionadas adequadamente com a utilização de filtros de
coeficientes fixos. Nestes casos, os denominados filtros adaptativos podem ser utilizados. Este tipo de
filtro possui a habilidade de modificar sua resposta de forma automática, por meio de um algoritmo pré-
definido, melhorando e ajustando seu desempenho durante a fase de operação.
Neste capítulo, serão apresentados os algoritmos clássicos utilizados em filtragem adaptativa. Serão
mostrados os algoritmos clássicos least mean square, normalized least mean square, recursive least squa-
res e affine projection. Suas características não serão discutidas de forma exaustiva. Tal tratamento pode ser
encontrado em [106, 107]. Em seguida, será apresentado o algoritmo set-membership affine projection, e
serão discutidas suas vantagens sobre os algoritmos considerados anteriormente. Finalmente será proposta
uma estrutura de predição adaptativa de canal aplicada a sistemas MIMO-OFDM multiusuário utilizando
o algoritmo set-membership affine projection.
4.2 SOLUÇÃO DE WIENER
A estimação de um sinal a partir de um outro é um dos problemas mais importantes em processamento
de sinais, e engloba uma gama muito variada de aplicações. Em 1940, Norbert Wiener, em seu trabalho
pioneiro [108], formulou o problema de projetar um filtro que produziria a estimativa ótima r(n) de um
sinal s(n) a partir de uma observação ou medição ruidosa d(n) [109], conforme mostrado na Fig. 4.2.
Figura 4.2: Diagrama de blocos do filtro de Wiener. Os sinais s(n) e d(n) são estatisticamente
relacionados, e o objetivo do filtro é produzir a estimativa r(n) de d(n) que possui o menor erro quadrático
médio.
Dependendo da forma com a qual os sinais s(n) e d(n) estão relacionados, tem-se a definição de
diferentes tipos de problemas e aplicações de filtragem. Por exemplo, em aplicações de predição (previsão
das amostras futuras de uma sequência através do emprego de informações passadas), d(n) = s(n + 1), e
c representa a resposta de um filtro causal, então o filtro de Wiener torna-se um preditor linear. Neste caso,
o filtro produzirá uma predição (estimativa) de s(n + 1) em termos de uma combinação linear dos valores
passados de s(n). Em aplicações de equalização (recuperação do conteúdo espectral de uma informação
processada por um outro sistema), se s(n) = d(n) ⊛ g(n), com g(n) a resposta impulsional de um sistema
linear invariante ao deslocamento, e ⊛ indica a operação de convolução, o filtro de Wiener se torna um
equalizador. Outras aplicações incluem a suavização e a identificação de sistemas [109].
A saída do filtro é dada pela Eq. (4.2). O sinal de erro, e(n), é definido como a diferença entre o sinal
desejado d(n) e a saída do filtro:
59
e(n) = d(n) − r(n) = d(n) − c
H
s(n). (4.3)
O problema de projeto consiste em, a partir da entrada s(n) e do sinal desejado d(n), encontrar o
conjunto de coeficientes c que minimiza alguma função objetivo J. Para o caso considerado por Wiener,
esta função objetivo é o erro quadrático médio, J (e(n)) = E
|e(n)|
2
.
O quadrado do módulo do erro é dado por
|e(n)|
2
= |d(n)|
2
− 2Re
c
H
(n)s(n)d
∗
(n)
+ c
H
(n)s(n)s
H
(n)c(n), (4.4)
de forma que a função objetivo pode ser expressa como
J (e(n)) = E
|e(n)|
2
= E
|d(n)|
2
− 2Re
c
H
R
sd
+ c
H
R
s
c,
(4.5)
para a qual se definiu
R
sd
= E [s(n)d
∗
(n)] (4.6)
como o vetor de correlação cruzada entre o sinal desejado e o sinal de entrada, e
R
s
= E
s(n)s
H
(n)
(4.7)
é a matriz de autocovariância do sinal de entrada.
A função objetivo definida pela Eq. (4.5) é uma função quadrática nos coeficientes do filtro, e consiste
na superfície de um hiperparabolóide de N
c
dimensões. Dessa forma, ela possui um mínimo global e
nenhum mínimo local. Para determinar o valor mínimo da função de custo, obtém-se primeiramente seu
gradiente, ∇
c
∗
J. Após algumas manipulações, apresentadas em [106], é possível mostrar que
∇
c
∗
E
|e(n)|
2
=
∂E
|e(n)|
2
∂c
∗
= E [−e
∗
(n)s(n)]
= −R
sd
+ R
s
c.
(4.8)
O vetor de coeficientes ótimos c
o
é aquele para o qual o gradiente da Eq. (4.8) se anula:
c
o
= R
−1
s
R
sd
, (4.9)
conhecida como equação de Wiener-Hopf.
Em termos práticos, determinar os valores de coeficientes coeficientes dados pela Eq. (4.9) pode ser
uma tarefa difícil. Primeiramente, porque é necessário o conhecimento das estatísticas (representadas
pelas matrizes de autocovariância e correlação cruzada) dos sinais envolvidos. Além disso, o cálculo dos
60
coeficientes envolve uma inversão matricial, que é computacionalmente dispendioso, especialmente para
filtros que possuem um número elevado de coeficientes. Finalmente, a solução de Wiener supõe que os
sinais são estacionários no sentido amplo, uma hipótese que nem sempre é válida ou verdadeira. Caso esta
condição não seja satisfeita, o filtro de Wiener pode não ser realizável ou não possuir desempenho ótimo.
4.3 FILTROS ADAPTATIVOS
Se os sinais s(n) e d(n) não são estacionários, os coeficientes c do filtro de Wiener dependerão de n, e
a resposta do filtro será variante no tempo. Neste caso, a Eq. (4.2) será reescrita como:
r(n) =
N
c
−1
i=0
c
i
(n)s(n − i)
= c
H
(n)s(n),
(4.10)
em quec
i
(n) éo valor do i-ésimo coeficiente do filtro no instante n, e c(n) = [c
∗
0
(n), c
∗
2
(n), . . . , c
∗
N
c
−1
(n)]
T
.
Em muitos aspectos, o projeto de filtros variantes no tempo é mais difícil do que o projeto do filtro de
Wiener invariante no tempo, já que para cada instante n, é necessário o conhecimento das estatísticas dos
sinais envolvidos para a determininação do conjunto ótimo de coeficientes.
Entretanto, o problema pode ser consideravelmente simplificado se, ao invés de minimizar o erro
quadrático médio para cada instante n, considerarmos, para a atualização dos coeficientes, uma solução
na forma [109]
c(n + 1) = c(n) + µ∆c(n), (4.11)
em que ∆c(n) é um fatorde correção aplicado ao valor atual dos coeficientes para formar um novo conjunto
de estimações para os coeficientes, e µ é uma constante que garante a convergência do algoritmo para c
o
.
Esta equação é a chave para o projeto de filtros adaptativos que serão desenvolvidos neste capítulo.
A Eq. (4.11) define um filtro adaptativo, cuja estrutura está mostrada na Fig. 4.3. A saída do filtro
é comparada com o sinal desejado (referência). Através da observação do erro de estimação e(n), um
algoritmo ajusta os coeficientes do filtro de forma a minimizar alguma função objetivo.
O principal componente de um filtro adaptativo é o algoritmo que define como o fator de correção
∆c(n) será determinado. Qualquer que seja o algoritmo utilizado, ele deve satisfazer a algumas
propriedades [109]:
1. em um ambiente estacionário, o filtro adaptativo deve produzir um conjunto de coeficientes que
convirja para a solução de Wiener;
2. não é necessário o conhecimento das estatísticas dos sinais envolvidos;
3. o filtro deve ser capaz de adaptar-se à mudanças nas estatísticas dos sinais e rastrear a solução
conforme evolui o tempo.
61
Figura 4.3: Estrutura geral de um filtro adaptativo.
O desempenho de um filtro adaptativo será determinado através de sua velocidade de convergência,
que é a taxa com a qual o algoritmo atinge a vizinhança da solução ótima, seu desajuste, que é a
diferença relativa entre o erro final do algoritmo e o erro mínimo proporcionado pela solução de Wiener,
sua capacidade de acompanhar as variações do sinal de entrada em um ambiente de estatísticas não
estacionárias (rastreio, ou tracking), sua complexidade computacional, que é o número de operações
realizadas em cada iteração, e suas características numéricas de estabilidade.
Nas próximas seções, serão mostradas algumas formas de se obter a componente de correção ∆c(n),
que diferenciam os algoritmos adaptativos.
4.3.1 Método do Gradiente Descendente e Método de Newton
De forma geral, o fator de correção ∆c(n) deve ser escolhido de tal forma que |e(n)| < |e(n − 1)|,
garantindo que a função objetivo J será monotonicamente decrescente. É possível mostrar que, para que
esta condição seja satisfeita, o fator de correção deve possuir a forma [110]
∆c(n) = −M∇
c
∗
J (e (n)) , (4.12)
em que M é uma matriz positiva semidefinida qualquer.
Escolhendo M = I (a matriz identidade), tem-se o chamadao método do gradiente descendente, cuja
interpretação geométrica é bastante intuitiva. Como é sabido, o gradiente de uma função determina sua
direção de crescimento. Os algoritmos baseados na técnica do gradiente descendente buscam a solução
na direção oposta à indicada pelo vetor gradiente, que corresponde à direção de decaimento da função. A
equação de atualização dos coeficientes pode ser expressa matematicamente por meio de
c(n + 1) = c(n) − µ∇
c
∗
J (e (n)) . (4.13)
De acordo com a Eq. (4.8), o gradiente pode ser escrito como
−∇
c
∗
J (e (n)) = R
sd
− R
s
c(n), (4.14)
62
o que conduz à seguinte expressão para a atualização dos coeficientes do filtro:
c(n + 1) = c(n) + µ [R
sd
− R
s
c(n)] . (4.15)
Uma outraalternativa consiste emescolher Mcomoo inverso da matriz Hessiana, M =
∇
2
c
J (e (n))
−1
,
como forma de acelerar a convergência dos algoritmos. Dessa forma, obtem-se o chamado método de
Newton, cuja fórmula de recursão é, após alguma manipulação [110], expresso por meio de
c(n + 1) = c(n) + µ [εI + R
s
]
−1
[R
sd
− R
s
c(n)] , (4.16)
em que ε é um fator de regularização utilizado para garantir a existência da matriz inversa [R
s
]
−1
.
Os algoritmosdefinidos pelas Eq. (4.15) e (4.16)ainda dependem do conhecimento das matrizes de R
sd
e R
s
. Nas próximas seções, serão apresentados algoritmos que utilizam aproximações estocásticas para
as estatísticas dos sinais de entrada e desejado, e por essa razão são denominados métodos do gradiente
estocástico (do inglês, stochastic-gradient).
4.4 ALGORITMO LMS
O algoritmo denominado LMS (least mean square), proposto em 1959 por Widrow e Hoff, é
possivelmente o algoritmo de filtragem adaptativa mais utilizado na prática devido à sua simplicidade.
Ele procura aproximar as matrizes R
s
e R
sd
por seus valores instantâneos
ˆ
R
s
= s(n)s
H
(n) (4.17)
e
ˆ
R
sd
= s(n)d
∗
(n). (4.18)
Substituindo as Eq. (4.17)-(4.18) na Eq. (4.15), a fórmula de recursão para o gradiente descendente se
torna
c(n + 1) = c(n) + µe
∗
(n)s(n), (4.19)
O passo de adaptação µ deve ser escolhido de forma a garantir a convergência da recursão definida
pela Eq. (4.19). Pode-se mostrar que condição necessária e suficiente para a convergência do método do
gradiente descendente (e, em especial, o LMS) é dada por [107]
0 < µ <
2
Tr (R
s
)
, (4.20)
que depende do conhecimento dos autovalores da matriz de autocovariância de s(n).
63
Pode-se mostrar, ainda, que a escolha do passo de adaptação é uma solução de compromisso entre
a velocidade de convergência e o desajuste alcançado pelo sistema em regime permanente (após a
convergência dos coeficientes) [107]. Valores pequenos de µ geram desajuste menor, mas requerem um
número de iterações maior para a convergência do algoritmo.
Apesar desses incovenientes, o algoritmo LMS apresenta complexidade computacional extremamente
reduzida, O (N
c
), o que o tornou bastante popular quando comparado aos demais algoritmos de filtragem
adaptativa que serão paresentados ao longo deste capítulo.
4.5 ALGORITMO NLMS
O algoritmos NLMS (do inglês, normalized least mean square) pode ser obtido a partir do método de
Newton, dado pela Eq. (4.16), utilizando as aproximações dadas pelas Eq. (4.17) e (4.18) para as matrizes
de autocovariância e de correlação cruzada, da mesma forma que foi feito para o algoritmo LMS.
Utilizando o lema da inversão matricial, é possível obter o seguinte resultado para a equação de
atualização dos coeficientes:
c(n + 1) = c(n) +
µ
ε + s
H
(n)s(n)
e
∗
(n)s(n). (4.21)
A partir da Eq. (4.21), pode-se inferir que o algoritmo NLMSé uma variação do LMS, porém utilizando
um passo de adaptação variável expresso por
µ(n) =
µ
ε + s
H
(n)s(n)
=
µ
ε + s(n)
2
, (4.22)
que leva em consideração as variações do nível do sinal de entrada do filtro, isto é, o passo de adaptação
é normalizado relativamente à potência instantânea do sinal de entrada em cada iteração. É uma
alternativa que procura tornar o algoritmo mais eficiente no sentido de reduzir o tempo de convergência
dos coeficientes do filtro, porém aumentando seu desajuste.
É possível ainda mostrar que, por ser baseado no método de Newton, o passo de adaptação fixo µ deve
apresentar valores no intervalo 0 < µ < 2 para garantir a convergência do algoritmo. Diferentemente do
LMS, a escolha de µ independente dos autovalores de R
s
, o que aumenta a robustez do método quanto a
escolha do passo de convergência µ.
Apesar de exigir um número maior de operações, pois envolve o cálculo de s(n)
2
, a complexidade
do método pode ainda ser aproximada por O (N
c
) .
4.5.1 Algoritmo Affine Projection
Os algoritmos LMS e NLMS foram obtidos utilizando-se aproximações instantâneas simples para as
matrizes de autocovariância e covarância cruzada R
s
e R
sd
. Algoritmos de melhor desempenho (em termos
de desajuste e velocidade de convergência), mas custo computacional mais elevado, podem ser obtidos se
64
forem utilizadas aproximações mais sofisticadas para as quantidades supracitadas.
O algoritmo affine projection (AP) é uma generalização do algoritmo NLMS. A cada iteração, em vez
de utilizar apenas o regressor s(n) e a observação d(n) para a atualização dos coeficientes, utilizam-se os
N
P
regressores e observações mais recentes, dados respectivamente por por s(n − i + 1) e d(n − i + 1),
i = 1, . . . , N
P
(usualmente, mas não necessariamente, N
P
≤ N
c
). Os valores R
s
e R
sd
serão aproximados
pelas expressões
ˆ
R
s
=
1
N
P
n
i=n−N
P
+1
s(i)s
H
(i)
=
1
N
P
S(n)S
H
(n)
(4.23)
e
ˆ
R
sd
=
1
N
P
n
i=n−N
P
+1
d
∗
(i)s(i)
=
1
N
P
S(n)d
∗
(n),
(4.24)
para as quais convencionou-se
S(n)
s(n) s(n − 1) . . . s(n − N
P
+ 1)
(4.25)
e
d(n) =
d(n)
d(n − 1)
.
.
.
d(n − N
P
+ 1)
. (4.26)
A atualização dos coeficientes, utilizando o método de Newton e o lema da inversão matricial, será
dada por
c(n + 1) = c(n) + µS(n)
εI + S
H
(n)S(n)
−1
e
∗
(n), (4.27)
em que e
∗
(n) corresponde ao vetor de erros de estimação, dado por
e(n) = d(n) − S
T
(n)c
∗
(n). (4.28)
É possível mostrar que escolhendo ε = 0 e µ = 1, o algoritmo AP pode ser obtido ao resolver o
problema de otimização [110]:
65
minc(n + 1) − c(n)
2
sujeito a d(n) − S
T
(n)c
∗
(n + 1) = 0,
(4.29)
cuja solução será dada pela Eq. (4.27):
c(n + 1) = c(n) + S(n)
S
H
(n)S(n)
−1
e
∗
(n). (4.30)
Em outras palavras, o algoritmo atualiza os coeficientes de modo que os erros a posteriori, dados
por d(n) − S
T
(n)c
∗
(n + 1), são simultaneamente forçados para zero. A interpretação geométrica das
Eq. (4.29) e (4.30) é a seguinte: pode-se dizer que existem infinitos vetores c que satisfazem a condição
d(n) = c
H
s(n). Todos os valores de c que satisfazem a condição anterior formam o hiperplano M(n).
Para N
P
> 1, a recursão definida pela Eq. (4.30) força as seguintes N
P
igualdades:
d(n) = c
H
(n + 1)s(n)
d(n − 1) = c
H
(n + 1)s(n − 1)
.
.
.
d(n − N
P
+ 1) = c
H
(n + 1)s(n − N
P
+ 1)
(4.31)
Para cada par d(n −i), s(n −i), existem infinitos vetores c que satisfazem d(n−i) = c
H
s(n −i), cada
um definindo um hiperplano M(n − i). O vetor c(n + 1) que é calculado pelo algoritmo affine projection
se encontra na interseção dos últimos N
P
hiperplanos correspondentes, isto é,
c(n + 1) ∈
n
i=n−N
P
+1
M(i)
. (4.32)
A Fig. 4.4 mostra esta construção para o caso N
P
= 2. A estimativa c(n) se encontra no hiperplano
M(n − 1), enquanto que a estimativa atualizada c(n + 1) se encontra na interseção M(n − 1) ∩ M(n).
Quando N
P
= 1, tem-se o caso especial NLMS, para o qual a atualização do vetor de coeficientes é
vista como uma projeção afim unidimensional. No algoritmo affine projection, as projeções são realizadas
em múltiplas dimensões e, conforme o número de dimensões aumenta, a velocidade de convergência
aumenta também. Entretanto, a complexidade no algoritmo affine projection será O
N
2
P
N
c
, que depende
do número de projeções N
P
a serem realizadas, sendo consideravelmente mais complexo que o NLMS.
Pode-se afirmar, a partir das considerações anteriores, que o algoritmo affine projection permite um
compromisso entre velocidade de convergência e baixa complexidade computacional. Com o ajuste
adequado da quantidade N
P
de dados a serem reutilizados, é possível obter desempenho melhor que
o dos algoritmos RLS (que será apresentado na próxima seção) e NLMS em termos de velocidade de
convergência, porém o nível de desajuste do algoritmo pode aumentar.
66
Figura 4.4: Hiperplanos associados à atualização dos coeficientes do filtro adaptativo utilizandoo algoritmo
affine projection com N
P
= 2.
4.6 ALGORITMO RLS
Um outro exemplo de algoritmo que emprega uma aproximação um pouco mais sofisticada para as
matrizes de autocovariância e correlação cruzada é o RLS (do inglês, recursive least squares). Apesar
de o algoritmo poder ser derivado como solução exata do problema clássico de estimação por mínimos
quadrados, aqui ele será apresentado como uma outra versão de aproximação estocástica para o método de
Newton [78, 110].
A partir da equação de recursão do método de Newton, dada pela Eq. (4.16), a componente expressa
por R
sd
− R
s
c(n) será estimada por meio da aproximação instantânea
R
sd
− R
s
c(n) ≈ s(n)
d
∗
(n) − s
H
(n)c(n)
, (4.33)
e R
s
será substituída pela média ponderada
ˆ
R
s
=
1
n + 1
n
i=0
λ
n−i
s(i)s
H
(i) (4.34)
para algum escalar λ, denominado fator de esquecimento, e ajustado no intervalo 0 < λ ≤ 1.
A Eq. (4.34) utiliza uma média de todos os vetores de entrada até o instante n para o cômputo de uma
estimativa para a matriz de autocovariância do sinal de entrada. Para λ = 1, todos os vetores regressores
s(n) ponderam da mesma maneira o cálculo de
ˆ
R
s
. Escolhendo um valor de λ = 1, introduz-se memória
finita no algoritmo, pois os regressores mais recentes possuirão maior peso no cálculo dessa estimativa, e
amostras passadas possuirão peso menor, sendo possível "esquecer" amostras que estejam em um passado
remoto e dar maior relevância às amostras mais recentes.
67
Escolhendo µ = µ(n) = 1/(n + 1), ε = ε(n) = λ
n+1
ε/(n + 1), e utilizando o lema da inversão
matricial, são obtidas as seguintes equações para a atualização dos coeficientes do filtro adaptativo:
Ψ(n + 1) = λ
−1
Ψ(n) − λ
−1
Ψ(n)s(n)s
H
(n)Ψ(n)
1 + λ
−1
s
H
(n)Ψ(n)s(n)
, (4.35)
c(n + 1) = c(n) + Ψ(n + 1)
d(n) − c
H
(n)s(n)
∗
. (4.36)
O algoritmo RLS apresenta elevada velocidade de convergência, que independente da diferença entre
os autovalores da matriz de autocovariância do sinal de entrada (diferentemente do que ocorre com o
algoritmo LMS). Em regime permanente, o desajuste do algoritmo pode ser muito próximo de zero. Por
outro lado, ele apresenta complexidade computacional mais elevada, O
N
2
c
, e pode também apresentar
problemas de estabilidade e rastreio, de acordo com o valor escolhido para o fator de esquecimento [109].
4.7 ALGORITMO SET-MEMBERSHIP AFFINE PROJECTION
4.7.1 Filtragem Set-Membership
Os algoritmos convencionais de filtragem considerados nas seções anteriores estimam os coeficientes
c(n) do filtro adaptativo de forma que o erro de estimação e(n) seja feito pequeno suficiente, de forma a
minimizar determinada função objetivo.
A filtragem set-membership, introduzida em [111], tem como objetivo alcançar determinado valor
limite ν na estimativa do módulo do erro, |e(n)|. Qualquer coeficiente estimado que resulte em um erro
menor do que o especificado é uma solução aceitável. Logo, a solução para o problema da filtragem set-
membership é um conjunto no espaço dos coeficientes, em vez de apenas um ponto dentro desse espaço.
Seja então H(n), denominado constraint set, o conjunto que contém todos os vetores c para os quais o
erro de saída no instante n tem limite superior (em magnitude) dado por ν, ou seja,
H(n) =
c ∈ C
N
c
×1
:
d(n) − c
H
s(n)
≤ ν
. (4.37)
O set membership ψ(n) é definido como a interseção dos constraint sets até o instante n:
ψ(n) =
n
i=1
H(i). (4.38)
A escolha do limiar ν é um parâmetro de projeto e está relacionado à taxa de atualização dos
coeficientes do filtro após a convergência, o erro de estado estacionário, o desajuste e o nível de ruído
presente no sistema. Como pode ser observado na Eq. (4.37), se o limiar escolhido for muito pequeno, o
conjunto ψ(n) pode ser vazio. Se o limiar for muito grande, estimativas inconsistentes podem ser obtidas
[106]. Para uma escolha apropriada do valor de ν, algumas regras práticas são sugeridas na literatura de
set-membership [112].
68
Uma importante consequência da definição dada pela Eq. (4.37) é que, se a estimativa dos coeficientes
c(n) produz um erro inferior ao limiar especificado, então não é necessário realizar uma atualização dos
coeficientes, pois
c(n + 1) = c(n), se
d(n) − c
H
(n)s(n)
≤ ν . (4.39)
Com esta estratégia, é possível reduzir, na média, a complexidade computacional dos algoritmos que
utilizam o conceito de set membership, pois os coeficientes não serão, necessariamente, atualizados em
cada iteração do processo definido pela Eq. (4.11).
4.7.2 Set-Membership Affine Projection
O algoritmo set-membership affine projection (SM-AP), apresentado em [113], é uma extensão do
framework definido pela filtragem set-membership para o algoritmo affine projection. Conforme já exposto
anteriormente, o algoritmo affine projection permite um compromisso entre velocidade de convergência e
baixa complexidade computacional. Entretanto, o nível de desajuste do algoritmo AP pode aumentar
com a convergência acelerada. Uma das formas de contornar este problema é a utilização do conceito de
filtragem set-membership. Diferentemente dos algoritmos considerados até o momento, não há conflito
entre a velocidade de convergência, o desajuste e a complexidade computacional no algoritmo SM-AP
[114].
A Eq. (4.38) sugere que vários constraint sets podem ser utilizados para determinar a atualização dos
coeficientes do filtro. Será considerado o caso em que os coeficientes atualizados pertencem ao conjunto
formado pelos últimos N
P
constraint sets. Dessa forma, é utilizado o conceito de reaproveitamento de
regressores passados, que foi introduzido pelo algoritmo adaptativo affine projection.
Em primeiro lugar, o set membership definido pela Eq. (4.38) pode ser expresso como
ψ(n) =
n−N
P
i=1
H(i)
n
l=n−N
P
+1
H(l)
= ψ
n−N
P
(n) ∩ ψ
N
P
(n),
(4.40)
em que ψ
n−N
P
(n) é a interseção dos primeiros n−N
P
constraint sets e ψ
N
P
(n) é a interseção dos últimos
N
P
constraint sets. Para o algoritmo set membership affine projection, os coeficientes atualizados devem
estar contidos nos últimos N
P
constraint sets, o que significa que c(n + 1) ∈ ψ
N
P
(n).
Seja M(n −i + 1) o hiperplano que contém todos os vetores c que satisfazem a igualdade definida por
d(n − i + 1) − c
H
s(n − i + 1) = g
i
(n), i = 1, . . . , N
P
, g
i
(n) é um ponto do hiperplano M(n − i + 1).
Se |g
i
(n)| ≤ ν, então M(n − i + 1) ∈ H(n − i + 1).
O seguinte critério de otimização é utilizado para determinar a atualização dos coeficientes sempre que
c(n) /∈ ψ
N
P
(n):
69
minc(n + 1) − c(n)
2
sujeito a d(n) − S
T
(n)c
∗
(n + 1) = g(n),
(4.41)
para o qual definiu-se o vetor de parâmetros
g(n) =
g
1
(n)
g
2
(n)
.
.
.
g
n−N
P
+1
(n)
. (4.42)
O problema dado pela Eq. (4.41) pode ser resolvido por meio dos mutiplicadores de Lagrange. Sua
solução resulta na seguinte equação geral de atualização:
c(n + 1) =
c(n) + S(n)
S
H
(n)S(n)
−1
[e
∗
(n) − g
∗
(n)] , se |e(n)| > ν
c(n), caso contrário
(4.43)
com
e(n) =
e(n)
ǫ(n − 1)
.
.
.
ǫ(n − N
P
+ 1)
, (4.44)
em que ǫ(n − i) = d(n − i) − c
H
(n)s(n − i) é denominado erro a posteriori na iteração n − i.
4.7.3 Escolha do vetor de parâmetros
A definição dos valores de g
i
(n) é fundamental para o desempenho do algoritmo, e existe um número
infinito de escolhas para o vetor de parâmetros g(n).
Por exemplo, para g(n) = 0, tem-se o algoritmo affine projection com µ = 1 e ε = 0 quando os
coeficinetes c(n) /∈ ψ
N
P
(n). Comparado ao algoritmo affine projection convencional, é observada redução
da complexidade computacional dada a natureza seletiva do algoritmo para atualização dos coeficientes.
Se g(n) = 0 e ν = 0, tem-se o algoritmo affine projection para a atualização dos coeficientes, conforme
expresso pela Eq. (4.27).
Uma versão particularmente simples pode ser obtida escolhendo-se g
i
(n) = ǫ(n − i + 1), para os
valores de i = 2, . . . , N
P
, e g
1
(n) = ν
e(n)
|e(n)|
, de forma que a solução esteja na fronteira mais próxima de
H(n). A partir destas escolhas, ter-se-á [113]
70
e
ap
(n) − g(n) =
e(n)
ǫ(n − 1)
ǫ(n − 2)
.
.
.
ǫ(n − N
P
+ 1)
−
e(n)
ν
|e(n)|
ǫ(n − 1)
ǫ(n − 2)
.
.
.
ǫ(n − N
P
+ 1)
=
e(n)
1 −
υ
|e(n)|
0
0
.
.
.
0
, (4.45)
e a Eq. (4.43) de atualização dos coeficientes será dada por
c(n + 1) = c(n) + S(n)
S
H
(n)S(n)
−1
e(n)κ(n)v
1
, (4.46)
em que
κ(n) =
1 −
ν
|e(n)|
, se |e(n)| > ν
0, caso contrário
(4.47)
e
v
1
= [1 0 . . . 0]
T
. (4.48)
A interpretação geométrica da situação apresentada pela Eq. (4.46) é mostrada na Fig. 4.5. Procura-se
minimizar a distância euclidiana c(n + 1) − c(n)
2
sujeito à restrição de que c(n + 1) ∈ ψ
N
P
(n), de
forma que o erro a posteriori na iteração n − i é mantido constante para i = 1, . . . , N
P
.
Figura 4.5: Interpretação geométrica do algoritmo set-membership affine projection que resulta em erro a
posteriori constante.
71
4.8 PROPOSTA DE PREDITOR DE CANAL
Conforme exposto no capítulo 3, para que os ganhos oferecidos pelas técnicas de pré-codificação
possam ser plenamente explorados, a resposta do canal tem de ser estimada com antecedência, uma vez que
informação desatualizada sobre o estado do canal pode comprometer seriamente o desempenho do sistema.
Nesta seção, é proposto um preditor adaptativo baseado no algoritmo set-membership affine projection para
sistemas MIMO-OFDM multiusuário.
Na aplicação de predição, o filtro adaptativo fornece uma estimativa futura para o valor do sinal de
entrada. O valor s(n) presente na entrada do sistema é utilizado como resposta desejada d(n), e os valores
passados s(n −ℓ) correpondem à entrada do filtro adaptativo, conforme mostrado na Fig. 4.6. O parâmetro
ℓ é chamado horizonte de predição, e denota o número de amostras para as quais a resposta do canal é
predita à frente do instante n.
Figura 4.6: Estrutura adaptativa aplicada à predição de sinal.
4.8.1 Modelo do sistema
Conforme exposto, será considerado um ambiente com K usuários, cada um com uma antena de
recepção, e uma estação rádio-base com M
T
antenas de transmissão. A escolha de usuários com apenas
uma antena de recepção é justificada pelo fato de ser o caso mais considerado na literatura, conforme
exposto no capítulo 3. Entretanto, o preditor de canal apresentado pode ser facilmente estendido para o
caso em que os usuários apresentem mais de uma antena em seus terminais.
É utilizada a técnica OFDM para a tranmissão com N
DF T
subportadoras (uma discussão detalhada do
OFDM pode ser encontrada em [115, 1]). Dessa forma, H
k
1,I
(n, P) é a resposta do canal entre a antena de
recepção do k-ésimo usuário e a I-ésima antena de transmissão, I = 1, . . . , M
T
, na P-ésima subportadora
do n-ésimo símbolo OFDM, com P = 0, . . . N
DF T
− 1.
Como cada subportadora define um canal não seletivo em frequência [1], é possível implementar
algoritmos MIMO de processamento separadamente para cada subportadora. O modelo de sinal
apresentado no capítulo 2 passa agora a ser indexado por subportadora.
No modelo a ser apresentado, supõe-se que a resposta do canal pode variar consideravelmente entre
símbolos OFDM diferentes, mas não dentro do mesmo símbolo. Conside-se ainda que uma extensão
cíclica (também denominada prefixo cíclico) é inserida em cada símbolo OFDM de forma a eliminar a
interferência intersimbólica causada pelo canal de comunicação. Neste caso, y
k
(n, P) representa o sinal
72
recebido pelo k-ésimo usuário na P-ésima subportadora do n-ésimo símbolo OFDM recebido, expresso
por
y
k
(n, P) = H
k
(n, P)W
k
(n, P)u
k
(n, P) +
K
i=1
i=k
H
k
(n, P)W
i
(n, P)u
i
(n, P) + n
k
(n, P)
= H(n, P)W(n, P)u(n, P) + n
k
(n, P)
= H(n, P)x(n, P) + n
k
(n, P),
(4.49)
em que n
k
(n, P) é o termo de ruído aditivo gaussiano na antena de recepção do k-ésimo usuário na
subportadora P do n-ésimo símbolo OFDM,
H
k
(n, P) =
H
k
1,1
(n, P) . . . H
k
1,M
T
(n, P)
(4.50)
é a matriz de canal do k-esimo usuário,
H(n, P) =
H
1
(n, P) . . . H
K
(n, P)
T
(4.51)
é a matriz combinada de canal,
W(n, P) =
W
1
(n, P) . . . W
K
(n, P)
(4.52)
é a matriz de pesos para a pré-codificação,
u(n, P) =
u
1
(n, P) . . . u
K
(n, P)
T
(4.53)
representa o vetor de símbolos de informação dos usuários, e
x(n, P) = W(n, P)u(n, P)
=
W
1
(n, P) . . . W
K
(n, P)
u
1
(n, P)
.
.
.
u
K
(n, P)
(4.54)
é o vetor de símbolos pré-codificados, e expressa o que é efetivamente transmitido pela estação rádio base.
Ao derivar a Eq. (4.49), utilizou-se um algoritmo de pré-codificação linear, expresso pela matriz de pesos
W(n, P). Entretanto, o modelo é facilmente estendido para algoritmos não lineares escrevendo o sinal
efetivamente transmitido pela estação rádio-base como x(n, P) = f(u(n, P)), em que f é uma função
qualquer do vetor de símbolos u. Para os pré-codificadores lineares, tem-se o caso particular em que a
função f é dada por f(u(n, P)) = W(n, P)u(n, P).
73
4.8.2 Metodologia de Predição
Uma das abordagens utilizadas para a predição de canais MIMO é realizá-la separadamente para
cada coeficiente de canal [116, 117]. Logo, a predição dos coeficientes da matriz H
k
(n, P) pode ser
decomposta em M
T
preditores, um para cada resposta de canal referente, a cada antena de transmissão.
Apesar de ser um esquema sub-ótimo [118], pois deixa de explorar a correlação que pode existir entre as
informações presentes nas múltiplas antenas, ele reduz consideravelmente a complexidade computacional
exigidaquando comparado aalgoritmos que utilizam modelos de predição auto-regressivos e técnicascomo
o ESPRIT (estimation of signal parameters via rotational invariance techniques), conforme apresentado
em [119].
Entretanto, mesmo realizando a predição separadamente para cada uma das M
T
antenas de trans-
missão, ainda é necessário predizer a reposta do canal para cada subportadora. Utilizar preditores
individuais para cada subportadora é inviável sob o ponto de vista prático para um número muito grande
de subportadoras [120, 121]. Entretanto, este problema pode ser contornado realizando a predição de canal
do domínio do tempo [122].
Pode-se escrever que a resposta em frequência H
k
1,I
(n, P) do canal está relacionada com sua resposta
impulsional h
k
1,I
(n, l) por meio de uma DFT (do inglês, discrete Fourier transform, ou transformada
discreta de Fourier), expressa como
H
k
1,I
(n, P) =
L
l=0
h
k
1,I
(n, l)e
−j2πPl/N
DF T
, (4.55)
em que l foi utilizado para indexar determinado multipercurso da resposta impulsional do canal, com
0 ≤ l ≤ L. Como consequência, L representa o máximo espalhamento de retardo do canal com L + 1
multipercursos.
Na prática, não é conhecida a resposta verdadeira do canal h
k
1,I
(n, l), mas apenas uma estimativa
ˆ
h
k
1,I
(n, l),
ˆ
h
k
1,I
(n, l) = h
k
1,I
(n, l) + ˜e, (4.56)
em que ˜e representa o erro de estimação na resposta do canal, que é função da razão sinal-ruído na entrada
do sistema receptor e do método de estimação escolhido [123].
Como demonstrado em [122], sob a hipótese de que a resposta impulsional do canal pode ser
caracterizada por um processo estacionário no sentido amplo com espalhadores não correlatados (WSSUS
- wide sense stationary uncorrelated scattering), a predição de canal pode ser realizada decompondo sua
resposta impulsional em L + 1 preditores paralelos (a demonstração deste fato pode ser encontrada em
[124, 125]), expressos por
ˆ
h
k
1,I
(n + ℓ, l) = c
H
I,k
(n, l)
ˆ
h
k
1,I
(n, l), l = 0, . . . , L , (4.57)
em que
74
ˆ
h
k
1,I
(n, l) =
ˆ
h
k
1,I
(n, l)
ˆ
h
k
1,I
(n − 1, l) . . .
ˆ
h
k
1,I
(n − N
c
+ 1, l)
T
(4.58)
representa o vetor de regressores e
c
I,k
(n, l) =
c
0
I,k
(n, l)
∗
c
1
I,k
(n, l)
∗
.
.
.
c
N
c
−1
I,k
(n, l)
∗
(4.59)
contém os N
c
coeficientes do preditor, conforme dado pela Eq. (4.2).
A determinação dos coeficientes c
I,k
(n, l) é realizada utilizando-se o algoritmo set-membership affine
projection, expresso pelas Eq. (4.46) - (4.48). Sua escolha é justificada pelo fato de o algoritmo apresentar
boa velocidade de convergência e reduzida taxa de atualização de coeficientes devido à sua natureza
seletiva. Neste caso, tem-se as seguintes equações de atualização para os coeficientes do filtro preditor:
c
I,k
(n + 1, l) = c
I,k
(n, l) +
ˆ
H
k
1,I
(n, l)
ˆ
H
k
1,I
(n, l)
H
ˆ
H
k
1,I
(n, l)
−1
e
I,k
(n, l)κ
I,k
(n, l)v
1
, (4.60)
em que
ˆ
H
k
1,I
(n, l) =
ˆ
h
k
1,I
(n, l)
ˆ
h
k
1,I
(n − 1, l) . . .
ˆ
h
k
1,I
(n − N
P
+ 1, l)
, (4.61)
e
I,k
(n, l) =
ˆ
h
k
1,I
(n, l) − c
H
I,k
(n, l)
ˆ
h
k
1,I
(n − ℓ, l), (4.62)
κ
I,k
(n, l) =
1 −
ν
|
e
I,k
(n,l)
|
, se |e
I,k
(n, l)| > ν
I,k
0, caso contrário
(4.63)
O valor ν
I,k
é utilizado para definir o constraint set do k-ésimo usuário associado à I-ésima antena do
transmissor (estação rádio-base).
A Eq. (4.62) representa uma aproximação para o erro de predição, visto que ela é baseada na resposta
estimada do canal, e não na resposta verdadeira, conforme mostrou a Eq. (4.56). Entretanto, para valores
altos de relação sinal-ruído, o erro introduzido por esta aproximação pode ser considerado desprezível, e
não comprometerá de modo muito severo o desempenho do preditor.
Além disso, os coeficientes do preditor são inicializados segundo
c
I,k
(n, l) = [1 0 . . . 0]
T
, n = 0, . . . , ℓ − 1, (4.64)
de forma que
ˆ
h
k
1,I
(n + ℓ, l) =
ˆ
h
k
1,I
(n, l) para n = 0, . . . , ℓ − 1.
A resposta predita em cada subportadora,
ˆ
H
k
1,I
(n + ℓ, P), pode ser obtida por meio de uma DFT
75
ˆ
H
k
1,I
(n + ℓ, P) =
L
l=0
ˆ
h
k
1,I
(n + ℓ, l)e
−j2πPl/N
DF T
. (4.65)
4.9 CONCLUSÃO
Neste capítulo, descreveram-se os algoritmos clássicos de filtragem adaptativa LMS, NLMS, AP
e RLS, procurando enfatizar as características computacionais dos algoritmos, como complexidade,
velocidade de convegência e desajuste. Realizou-se uma breve descrição da filtragem do tipo set
membership, que permite reduzir a complexidade computacional dos algoritmos que a utilizam por meio
da diminuição do número de atualizações dos coeficientes do filtro. Como aplicação do conceito de set
membership, abordou-se o algoritmo set-membership affine projection. Em último lugar, foi proposto um
preditor adaptativo de canal para sistemas MIMO-OFDM no cenário multiusuário que utiliza o algoritmo
SM-AP.
Conforme discutido no capítulo 3, filtros preditores podem ser utilizados como forma de compensar
a presença de CSI desatualizada no transmissor. Dessa forma, os ganhos oferecidos pelas técnicas de
pré-codificação para o canal MIMO BC podem ser plenamente explorados. No próximo capítulo, serão
apresentados resultados de simulações que mostram o desempenho de alguns dos algoritmos adaptativos
considerados neste capítulo ao serem utilizados na predição da resposta do canal rádio móvel em sistemas
MIMO multiusuário. As simulações do próximo capítulo também incluem os efeitos da informação
imperfeita de estado de canal no desempenho de alguns dos pré-codificadores apresentados no capítulo
3, bem como seu desempenho ao utilizar alguns dos algoritmos adaptativos para realizar a predição da
resposta do canal de comunicação como forma de compensar a CSI desatualizada.
76
5 RESULTADOS DE SIMULAÇÕES
5.1 INTRODUÇÃO
Após considerar a descrição das técnicas de pré-codificação utilizadas no canal MIMO BC, realizada
no capítulo 3, e dos algoritmos clássicos de filtragem adaptativa, no capítulo 4, serão apresentados os
resultados de simulação para o desempenho dos preditores e dos pré-codificadores em um cenário de
simulação um pouco mais realista. Para tal, será utilizado o enlace direto do padrão 3GPP-LTE [126]. Para
modelar a evolução temporal do canal de rádio e o atraso introduzido pelo canal de retorno, utilizar-se-á o
o modelo espacial de canal padronizado pelo 3GPP para simulação de sistemas MIMO [127].
Inicialmente, serão apresentados os cenários de simulação e a modelagem utilizada. Em seguida, serão
mostrados os resultados de simulação do desempenho dos algoritmos de filtragem adaptativa utilizados
na aplicação de predição da resposta do canal. Finalmente, o desempenho dos pré-codificadores será
apresentado, considerando a utilização dos algoritmos de predição como forma de compensar o atraso
introduzido pelo canal de retorno.
5.2 CENÁRIOS DE SIMULAÇÃO
O sistema simulado está ilustrado na Fig. 5.1 (a). Tem-se o canal MIMO BC com K = 4 usuários,
cada um com uma antena de recepção, e uma estação rádio base com M
T
= 4 antenas de transmissão.
A escolha desse número de antenas é justificada pelo fato de que o padrão LTE, como está atualmente
especificado, define a utilização de até quatro antenas na estação rádio-base.
A formatação da informação dentro do quadro de rádio é feita de acordo com as especificações do
padrão 3GPP-LTE sem a utilização de codificação de canal, e estão mostradas na Tabela 5.1. Detalhes
adicionais quanto às características do quadro de rádio do enlace direto do padrão LTE podem ser
encontrados no Anexo I. Conforme exposto no capítulo 3, a pré-codificação é realizada separadamente
em cada uma das subportadoras dos símbolos OFDM.
Tabela 5.1: Especificação dos parâmetros do enlace direto do padrão 3GPP-LTE.
Parâmetros Valores
Largura de banda 10 MHz
Número de pontos da FFT 1.024
Número de subportadoras utilizadas para transmissão de informação 600
Espaçamento entre subportadoras 15 kHz
Comprimento do prefixo cíclico 72 amostras (curto)
Símbolos OFDM por quadro de rádio 140
Modulação QPSK, 16QAM
77
O diagrama de blocos dos sistemas receptores está mostrado de forma simplificada na Fig. 5.1 (b). A
partir do sinal recebido e da posição dos símbolos pilotos presentes no quadro LTE, é realizada a estimação
da resposta do canal por meio do algoritmo LMMSE (do inglês, linear minimum mean square error),
apresentado em [128, 129, 130]. A partir da resposta estimada, é realizado o processo de predição da
resposta de canal. O resultado do algoritmo de predição é então enviado ao transmissor por meio de
um canal de retorno (feedback) analógico, [131], isto é, a informação enviada por ele não é quantizada.
O transmissor utilizará então esta informação para realizar a pré-codificação para o novo conjunto de
símbolos.
(a)
(b)
Figura 5.1: Ambiente utilizado nas simulações, destacando (a) o MIMO BC e a presença do canal de
feeback e (b) a estrutura do sistema receptor.
78
Para a simulação do canal rádio móvel, foi utilizado o modelo padronizado pelo 3GPP, denominado
Spatial Channel Model (SCM) [127]. O modelo foi implementado utilizando um conjunto de funções em
MATLAB denominado WINNER’s SCM [132]. Apesar de vários modelos de canal serem sugeridos na
literatura, como, por exemplo, o modelo de Jakes [133], optou-se por um modelo um pouco mais sofisticado
e realista, com o objetivo de obter o comportamento variante no tempo do canal o mais próximo possível
de um canal real. Os parâmetros do modelo SCM que foram utilizados nas simulações estão mostrados na
Tabela 5.2, e uma breve descrição das características do modelo SCM é realizada no Anexo II. Não foi
utilizado nenhum modelo para a perda de percurso, de forma que todos os usuários apresentam a mesma
potência média de recepção.
Tabela 5.2: Especificação dos valores de parâmetros para o modelo de canal WINNER’s SCM.
Parâmetros Valores
Frequência central da portadora 2 GHz
Velocidade do móvel 5 m/s, 30 m/s
Número da antenas na estação rádio-base 4
Número de antenas na estação móvel 1
Ambiente Microurbano (Urban Micro)
Número de multipercursos 19
5.3 DESEMPENHOS DOS PREDITORES DE CANAL
Nesta seção, será considerado o desempenho dos preditores NLMS, RLS e SM-AP. As curvas de
aprendizado, mostradas nas Fig. 5.2 a 5.5, foram obtidas pela média de 1.000 experimentos, cada um
consistindo de 5 quadros de rádio LTE, totalizando 700 símbolos OFDM por experimento.
Os valores utilizados para os diferentes parâmetros do canal estão especificados na Tabela 5.2 e foram
utilizados em todas as simulações, a menos que seja indicado o contrário. A velocidade dos usuários foi
de 30 m/s, e a razão sinal-ruído foi fixada em 20 dB (para fins de estimação de canal).
O número de coeficientes para os preditores foi N
c
= 10 em todos os algoritmos, e o número de
constraint sets reutilizados pelo SM-AP foi N
P
= 3. O algoritmo RLS utilizou fator de esquecimento
λ = 0, 99 e o passo de adaptação do algoritmo NLMS foi µ = 0, 5. Estes valores foram escolhidos pois
encontram-se relatados em [122]. A escolha do limiar ν para definição dos constraint sets do algoritmo
SM-AP, conforme definido no capítulo 4, foi ν = 2
σ
2
n
[112].
A Fig. 5.2 mostra as curvas de aprendizagem dos preditores para um horizonte de predição ℓ de
um símbolo OFDM. Para permitir uma comparação justa entre os algoritmos, também é mostrado o
desempenho do algoritmo RLS para N
c
= 3 coeficientes. Essa escolha resulta em uma complexidade
computacional da mesma ordem de grandeza da do SM-AP com N
P
= 3. O NLMS apresentou a
menor velocidade de convergência (50 símbolos OFDM) e o maior erro quadrático médio de predição,
de aproximadamente −28 dB. A convergência do RLS com N
c
= 10 e do SM-AP foram similares, apesar
de o RLS exibir MSE ligeiramente inferior ao SM-AP. Comparando o RLS com N
c
= 3 e do SM-AP, este
exibiu menor tempo de convergência que aquele.
79
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
Simbolo OFDM
MSE da predição (dB)
NLMS
RLS, N
c
= 3
SM−AP
RLS, N
c
= 10
Figura 5.2: Convergência dos preditores adaptativos para um horizonte de predição de 1 símbolo OFDM.
A Fig. 5.3 mostra as curvas de aprendizagem dos preditores para um horizonte de predição ℓ de 28
símbolos OFDM. Duas opções foram consideradas para o valor do fator de esquecimento: λ = 0, 99 e
λ = 0, 6. Como é possível perceber, esta escolha pode ser crítica para o desempenho do algoritmo RLS,
tanto em termos do MSE de predição como da velocidade de convergência. Valores maiores para o fator
de esquecimento podem degradar severamente o desempenho do RLS, especialmente para valores maiores
de horizonte de predição.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
Símbolo OFDM
MSE da predição (dB)
RLS, λ = 0.99
RLS, λ = 0.6
NLMS
SM−AP
Figura 5.3: Convergência dos preditores adaptativos para um horizonte de predição de 28 símbolos OFDM.
A Fig. 5.4 mostra o comportamento do MSE, após a convergência dos coeficientes dos preditores,
em função do horizonte de predição. O SM-AP apresenta desempenho superior a ambos os algoritmos
de predição, e seu MSE é aproximadamente 1dB inferior ao apresentado pelo RLS utilizando fator de
80
0 5 10 15 20 25 30
−32
−30
−28
−26
−24
−22
−20
−18
−16
−14
Horizonte de predição (símbolos OFDM)
MSE de Predição (dB)
SM−AP
NLMS
RLS
Figura 5.4: MSE de Predição versus horizonte de predição.
esquecimento λ = 0, 6.
Na Fig. 5.5, a capacidade de rastreio dos preditores adaptativos em um canal de comportamento não
estacionário é investigada. Foi considerado um ambiente não estacionário onde as características do canal
mudam a cada 100 símbolos OFDM. Um desvio Doppler de 50 Hz é considerado nos primeiros 100
símbolos OFDM. Em seguida, este valor é alterado para 100 Hz e mantido por mais 100 símbolos. Os
100 símbolos seguintes apresentam desvio Doppler de 150 Hz e os últimos 100 símbolos foram simulados
utilizando um desvio Doppler de 200 Hz. A convergência mais lenta do algoritmo RLS é justificada pela
influência do fator de esquecimento. O preditor baseado no algoritmo NLMS exibiu erro quadrático médio
aproximadamente 5 dB maior que o apresentado pelo SM-AP.
De forma geral, os preditores RLS e SM-AP apresentaram desempenho semelhante para o horizonte de
predição de um símbolo OFDM, sendo que o preditor SM-AP apresenta menor custo computacional. Para
horizontes de predição maiores que um símbolo OFDM, o preditor SM-AP apresenta melhor desempenho
que o RLS. Isto se deve ao fato de que o algoritmo RLS não é robusto com respeito a escolha do fator de
esquecimento. Como consequência, seu desempenho degrada-se mais rapidamente, sobretudo em canais
variantes no tempo.
5.4 DESEMPENHO DOS PRÉ-CODIFICADORES
Nesta seção, será investigado o comportamento de três algoritmos de pré-codificação: zero-forcing,
vector perturbation, e o pré-codificador proposto (baseado no conceito de perturbação contínua). As
especificações do sistema estão listadas na Tabela 5.1.
Serão mostrados resultados para quatro cenários diferentes, apresentados na Tabela 5.3. Os cenários 1 e
2 representam um ambiente de usuários de baixa mobilidade, e os cenários 3 e 4 representam um ambiente
81
0 50 100 150 200 250 300 350 400
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
Símbolo OFDM
MSE da predição (dB)
SM−AP
RLS
NLMS
Figura 5.5: Capacidade de rastreio dos preditores SM-AP, NLMS e RLS em um ambiente não estacionário.
As características do canal mudam a cada 100 símbolos OFDM.
cujos usuários apresentam alta mobilidade. São considerados dois valores para o atraso introduzido pelo
canal de retorno: 7 símbolos OFDM (que correspondem a um slot no padrão 3GPP-LTE) e 14 símbolos
OFDM (que correspondem ao intervalo de um subquadro no padrão 3GPP-LTE). O atraso de 1 ms (14
símbolos OFDM) corresponde a um valor mais realista de atraso no canal de retorno, visto que corresponde
ao intervalo de tempo de transmissão, ou TTI (do inglês, transmission time interval) utilizado pelo padrão
LTE. O TTI corresponde ao período em que são tomadas as decisões quanto ao escalonamento dos usuários
e os blocos de transporte são transferidos pela camada física da interface de rádio.
Tabela 5.3: Cenários para a simulação do desempenho dos pré-codificadores.
Cenário Velocidade do usuário Atraso do canal de retorno
1 5 m/s 7 símbolos OFDM
2 5 m/s 14 símbolos OFDM
3 30 m/s 7 símbolos OFDM
4 30 m/s 14 símbolos OFDM
5.4.1 Resultados de Referência
As Fig. 5.6, 5.7 e 5.8 mostram o desempenho dos algoritmos de pré-codificação zero-forcing, vector
perturbation e o pré-codificador proposto, em cada um dos quatro cenários definidos na Tabela 5.3, para
as modulações QPSK e 16QAM, sem a utilização de um preditor de canal para compensar os atrasos
introduzidos pelo canal de retorno. Nestes casos, a pré-codificação é realizada no transmissor utilizando
informação desatualizada sobre o estado do canal. Mais especificamente, a pré-codificação é realizada
utilizando a resposta do canal atrasada por um período igual ao atraso introduzido pelo canal de retorno (7
símbolos ou 14 símbolos, de acordo com o cenário).
82
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, ZF, CSI perfeita
Cenário 1: 5 m/s, 7 símbolos OFDM
Cenário 2: 5 m/s, 14 símbolos OFDM
Cenário 3: 30 m/s, 7 símbolos OFDM
Cenário 4: 30 m/s, 14 símbolos OFDM
(a) Modulação QPSK
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, ZF, CSI perfeita
Cenário 1: 5 m/s, 7 símbolos OFDM
Cenário 2: 5 m/s, 14 símbolos OFDM
Cenário 3: 30 m/s, 7 símbolos OFDM
Cenário 4: 30 m/s, 14 símbolos OFDM
(b) Modulação 16QAM
Figura 5.6: Desempenho do pré-codificador zero-forcing sem a utilização de um preditor de canal.
Serão analisados inicialmente os cenários 1 e 2, de baixa mobilidade. A modulação QPSK se mostra
mais robusta que a 16QAM, para todos os algoritmos de pré-codificação considerados. O pré-codificador
proposto apresenta ganho de 3 dB quando comparado ao algoritmo zero-forcing para a modulação QPSK
e 1dB na modulação 16QAM, considerando a presença de CSI perfeita no transmissor.
É interessante perceber que, nos cenários de baixa mobilidade, o desempenho dos pré-codificadores
não sofre degradação muito grande (de 1 dB a 3 dB) para valores de
E
b
N
o
até 15 dB. Nestas situações, o uso
de um preditor de canal poderia ser dispensado.
Este fato é justificado ao observar o tempo de coerência do canal em cada um dos cenários. De acordo
com os resultados apresentados em [134], para a velocidade de 5 m/s, o tempo de coerência do canal é de
aproximadamente 2,2 ms. Isto significa que durante o período de 28 símbolos OFDM, a resposta do canal
apresenta valor de correlação temporal alto (superior a 0,9), e a informação sobre o estado do canal leva
um número maior de símbolos para se tornar desatualizada.
A partir do valor de
E
b
N
o
= 15 dB, tanto o pré-codificador proposto como o pré-codificador zero-forcing
83
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, VP, CSI perfeita
Cenário 1: 5 m/s, 7 símbolos OFDM
Cenário 2: 5 m/s, 14 símbolos OFDM
Cenário 3: 30 m/s, 7 símbolos OFDM
Cenário 4: 30 m/s, 14 símbolos OFDM
(a) Modulação QPSK
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, VP, CSI perfeita
Cenário 1: 5 m/s, 7 símbolos OFDM
Cenário 2: 5 m/s, 14 símbolos OFDM
Cenário 3: 30 m/s, 7 símbolos OFDM
Cenário 4: 30 m/s, 14 símbolos OFDM
(b) Modulação 16QAM
Figura 5.7: Desempenho do pré-codificador vector perturbation sem a utilização de um preditor de canal.
passam a apresentar saturação no valor da BER. Entretanto, o error floor exibido pelo pré-codificador
proposto é menor que o apresentado pelo pré-codificador do tipo zero-forcing para a modulação QPSK.
A técnica de pré-codificação vector perturbation apresenta a menor degradação no desempenho da
BER quando comparada as demais técnicas consideradas, conforme mostra a Fig. 5.7. Entretanto, para
a modulação 16QAM e um atraso de 14 símbolos OFDM, o pré-codificador vector perturbation também
começa a exibir este comportamento de saturação de BER em um ambiente de baixa mobilidade, mas ele
ocorre para valores mais elevados de relação sinal-ruído. A Fig. 5.7 (b) mostra que o error floor de 3·10
−2
surge para valores de
E
b
N
o
superiores a 18 dB.
Nos cenários 1 e 2, cogitou-se que a utilização de um preditor de canal poderia ser dispensada para
alguns valores de relação sinal-ruído, já que a degradação que é introduzida não é muito significativa. O
mesmo já não pode ser dito ao tratar de cenários que possuem usuários de alta mobilidade (cenários 3 e 4).
Todos os algoritmos de pré-codificação têm seu desempenho severamente comprometido, resultando em
limiares altos de saturação de BER, da ordem de 10
−1
, mesmo para baixos valores de relação sinal-ruído,
conforme mostram as Fig. 5.6, 5.7 e 5.8.
84
Este resultado também pode ser explicado por meio das ferramentas apresentadas em [134]. Conside-
rando a velocidade de 30 m/s, o tempo de coerência do canal é aproximadamente 0,323 ms, o que equivale
a 4 símbolos OFDM no enlace direto do padrão LTE. Logo, mesmo para um atraso do canal de retorno
de 7 símbolos OFDM, a informação sobre o estado do canal já estará consideravelmente desatualizada, de
forma a interferir severamente no desempenho das técnicas de pré-codificação.
0 5 10 15 20 25 30
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, precodificador proposto, CSI perfeita
Cenário 1: 5 m/s, 7 símbolos OFDM
Cenário 2: 5 m/s, 14 símbolos OFDM
Cenário 3: 30 m/s, 7 símbolos OFDM
Cenário 4: 30 m/s, 14 símbolos OFDM
(a) Modulação QPSK
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, precodificador proposto, CSI perfeita
Cenário 1: 5 m/s, 7 símbolos OFDM
Cenário 2: 5 m/s, 14 símbolos OFDM
Cenário 3: 30 m/s, 7 símbolos OFDM
Cenário 4: 30 m/s, 14 símbolos OFDM
(b) Modulação 16QAM
Figura 5.8: Desempenho do pré-codificador proposto sem a utilização de um preditor de canal.
85
5.4.2 Cenários com preditores de canal
Nesta seção, será mostrado o desempenho dos algoritmos de pré-codificação em operação conjunta
com os algoritmos de predição de canal, sendo estes utilizados para compensar o atraso introduzido pelo
canal de retorno, isto é, mitigar os efeitos da informação desatualizada sobre o estado do canal, conforme
foi mostrado na Fig. 5.1 (b). Nos cenários 1 e 3, foi adotado um horizonte de predição de ℓ = 7 símbolos
OFDM, e nos cenários 2 e 4, escolheu-se ℓ = 14 símbolos OFDM, que correspondem aos valores de atraso
introduzidos pelo canal de retorno em cada um dos cenários.
Os resultados ao utilizar a modulação QPSK estão mostrados nas Fig. 5.9, 5.11 e 5.13 para os
algoritmos de pré-codificação zero-forcing, vector perturbation e o algoritmo proposto, respectivamente, e
nas Fig. 5.10, 5.12 e 5.14 para a modulação 16QAM. De forma geral, pode-se afirmar que os algoritmos
de predição são capazes de melhorar o desempenho dos pré-codificadores quando estes operam em um
ambiente cuja informação sobre o estado do canal não é perfeita, principalmente nos cenários 3 e 4, que se
referem a usuários de alta mobilidade. Basta comparar os resultados obtidos com seus respectivos cenários
de referência, mostrados na seção 5.4.1.
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
(a) Cenário 1: 5 m/s - 7 símbolos de atraso
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
(b) Cenário 2: 5 m/s - 14 símbolos de atraso
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
(c) Cenário 3: 30 m/s - 7 símbolos de atraso
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
(d) Cenário 4: 30 m/s - 14 símbolos de atraso
Figura 5.9: Desempenho do algoritmo de pré-codificação zero-forcing utilizando a modulação QPSK.
86
O algoritmos NLMS exibe o pior desempenho em todos os cenários e técnicas de modulação e pré-
codificação analisados. Para a pré-codificação zero-forcing operando com modulação QPSK, o sistema
exibe comportamento de saturação no valor da BER para horizontes de predição a partir de 7 símbolos
OFDM mesmo no cenário de baixa mobilidade, conforme mostrado na Fig. 5.9. Ao considerar os cenários
3 e 4, de alta mobilidade, o error floor tende a aumentar. Comportamento semelhante é observado para a
modulação 16QAM, exibida na Fig. 5.10, para a qual o valor de saturação da BER é superior aos casos
considerados anteriormente, pois esta modulação é menos robusta à CSI imperfeita.
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
16QAM, Preditor NLMS
(a) Cenário 1: 5 m/s - 7 símbolos de atraso
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
(b) Cenário 2: 5 m/s - 14 símbolos de atraso
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
(c) Cenário 3: 30 m/s - 7 símbolos de atraso
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
(d) Cenário 4: 30 m/s - 14 símbolos de atraso
Figura 5.10: Desempenho do algoritmo de pré-codificação zero-forcing utilizando a modulação 16QAM.
87
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
(a) Cenário 1: 5 m/s - 7 símbolos de atraso
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
(b) Cenário 2: 5 m/s - 14 símbolos de atraso
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
(c) Cenário 3: 30 m/s - 7 símbolos de atraso
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
(d) Cenário 4: 30 m/s - 14 símbolos de atraso
Figura 5.11: Desempenho do algoritmo de pré-codificação vector perturbation utilizando a modulação
QPSK.
Conforme mostra a Fig. 5.11, a técnica de pré-codificação vector perturbation é menos sensível aos
erros de predição ao utilizar a modulação QPSK. Para os cenários 1 e 2, todos os algortimos adaptativos
exibem comportamento semelhante. Na região de relação sinal-ruído mais elevada, o desempenho do
NLMS começa a exibir degradação, e, nos cenários 3 e 4, o comportamento da saturação da BER fica
evidente, o que não ocorre com o RLS e o SM-AP. Entretanto, ao utilizar a modulação 16QAM, mostrado
na Fig. 5.12, o algoritmo NLMS exibe error floor muito elevado, e sua utilização não é indicada nesta
situação. Os algoritmos RLS e SM-AP exibem comportamento semelhante, entretanto a superioridade do
SM-AP é revelada nos cenários de maior mobilidade [135, 136].
88
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
(a) Cenário 1: 5 m/s - 7 símbolos de atraso
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
(b) Cenário 2: 5 m/s - 14 símbolos de atraso
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
(c) Cenário 3: 30 m/s - 7 símbolos de atraso
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
(d) Cenário 4: 30 m/s - 14 símbolos de atraso
Figura 5.12: Desempenho do algoritmo de pré-codificação vector perturbation utilizando a modulação
16QAM.
89
O algoritmo de pré-codificação proposto é superior ao zero-forcing em todos os cenários utilizando a
modulação QPSK, de acordo com os resultados exibidos pela Fig. 5.13. Para a modulação 16QAM, cujos
resultados são mostrados na Fig. 5.14, o desempenho da técnica de pré-codificação proposta é ligeiramente
superior ao da técnica zero-forcing. Entretanto, ele não é tão robusto à CSI desatualizada quanto o pré-
codificador vector perturbation.
0 5 10 15 20 25 30
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
(a) Cenário 1: 5 m/s - 7 símbolos de atraso
0 5 10 15 20 25 30
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
(b) Cenário 2: 5 m/s - 14 símbolos de atraso
0 5 10 15 20 25 30
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
(c) Cenário 3: 30 m/s - 7 símbolos de atraso
0 5 10 15 20 25 30
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
(d) Cenário 4: 30 m/s - 14 símbolos de atraso
Figura 5.13: Desempenho do algoritmo de pré-codificação proposto utilizando a modulação QPSK.
90
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
(a) Cenário 1: 5 m/s - 7 símbolos de atraso
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
16QAM, Preditor SM−AP
(b) Cenário 2: 5 m/s - 14 símbolos de atraso
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
(c) Cenário 3: 30 m/s - 7 símbolos de atraso
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
(d) Cenário 4: 30 m/s - 14 símbolos de atraso
Figura 5.14: Desempenho do algoritmo de pré-codificação proposto utilizando a modulação 16QAM.
91
Como última análise, as Fig. 5.15 a 5.17 mostram o desempenho do preditor baseado no algoritmo
RLS para a escolha N
c
= 3 coeficientes em um ambiente de alta mobilidade (cenário 4). Esta escolha
foi feita pois, neste caso, a complexidade do algoritmo RLS apresenta a mesma ordem da grandeza da
apresentada pelo SM-AP com N
P
= 3 constraint sets reutilizados. As figuras mostram que o SM-AP
possui desempenho superior ao algoritmo RLS quando ambos apresentam aproximadamente o mesmo
custo computacional. Por conveniência, os resultados obtidos anteriormente para os filtros preditores
também são mostrados.
0 5 10 15 20 25 30
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
16QAM, CSI perfeita
Figura 5.15: Desempenho do preditor RLS com N
c
= 3 coeficientes, no cenário 4 (velocidade de 30 m/s e
atraso de 14 símbolos OFDM), utilizando a técnica de pré-codificação zero-forcing e as modulações QPSK
e 16QAM.
92
0 5 10 15 20 25 30
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
QPSK, CSI perfeita
16QAM, CSI perfeita
Figura 5.16: Desempenho do preditor RLS com N
c
= 3 coeficientes, no cenário 4 (velocidade de 30 m/s e
atraso de 14 símbolos OFDM), utilizando o algoritmo de pré-codificação proposto e as modulações QPSK
e 16QAM.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
E
b
/N
o
(dB)
BER média
QPSK, Preditor NLMS
QPSK, Preditor SM−AP
QPSK, Preditor RLS
16QAM, Preditor NLMS
16QAM, Preditor SM−AP
16QAM, Preditor RLS
16QAM, CSI perfeita
QPSK, CSI perfeita
Figura 5.17: Desempenho do preditor RLS com N
c
= 3 coeficientes, no cenário 4 (velocidade de 30 m/s e
atraso de 14 símbolos OFDM), utilizando a técnica de pré-codificação vector perturbation e as modulações
QPSK e 16QAM.
93
5.5 CONCLUSÃO
Neste capítulo, o desempenho das técnicas de pré-codificação e filtragem adaptativa, apresentadas nos
capítulos 3 e 4, foram avaliadas por meio de simulações em nível de enlace utilizando as especificações
do enlace direto do padrão 3GPP-LTE e um modelo realista de canal rádio móvel, padronizado pelo 3GPP
para simulações de sistemas MIMO.
As simulações realizadas permitem inferir que, para usuários de alta mobilidade, a utilização de
esquemas de pré-codificação é inviável sem a operação conjunta com algoritmos de predição de canal.
A informação atualizada sobre o estado do canal é de fundamental importância para que as técnicas de
pré-codificação possam exibir bom desempenho.
Os resultados ainda mostraram que o preditor de canal baseado no algoritmo NLMS exibiu o pior
desempenho em todos os cenários de simulação considerados. Para horizontes de predição pequenos, o
algoritmos SM-AP apresentou desempenho semelhante ao RLS, entretanto este não se mostrou robusto
quanto à escolha do fator esquecimento. A superioridade do algoritmo SM-AP foi revelada em cenários
que possuíam usuários de alta mobilidade e eram exigidos valores maiores de horizonte de predição. O
preditor SM-AP, além de melhor desempenho, apresentou custo computacional menor que o do RLS.
94
6 CONCLUSÕES
Este trabalho abordou o desempenho de algoritmos de pré-codificação utilizados no enlace direto de
sistemas MIMO multiusuário sob a influência de informação imperfeita sobre o estado de canal.
O capítulo 1 apresentou as motivações do trabalho. Para que o sistemas MIMO multiusuário possam
tirar proveito das vantagens oferecidas pela presença das múltiplas antenas, é necessária a presença de
informação sobre o estado do canal no transmissor. Entretanto, devido à natureza variante no tempo do
canal rádio móvel e aos atrasos presentes nos sistemas de comunicação, a CSI pode estar desatualizada
ao realizar a pré-codificação. Nestes casos, algoritmos de predição de canal podem ser utilizados para
compensar o efeito negativo desses atrasos no desempenho dos sistemas.
O capítulo 2 apresentou resultados referentes à capacidade do enlace direto e do enlace reverso de
sistemas MIMO multiusuário. Foi mostrado que, no enlace direto, a capacidade é alcançada ao se utilizar
pré-codificação do tipo dirty paper. Por se tratar de um esquema muito difícil de ser implementado, o
capítulo 3 tratou das técnicas lineares e não lineares de pré-codificação utilizadas para cancelamento de
interferência.
Foi proposto um método pré-codificação linear que utiliza um vetor de perturbação contínua como
forma de melhorar o desempenho das técnicas de pré-codificação lineares apresentadas. Os resultados
de simulação mostraram que o pré-codificador proposto apresenta desempenho superior ao das técnicas
lineares atualmente descritas na literatura. Por não ser baseado no conceito de DPC, o pré-codificador
proposto apresenta pior desempenho que as técnicas não lineares Tomlinson-Harashima e vector pertur-
bation. Entretanto, diferentemente da técnica vector perturbation, que utiliza um vetor de perturbação
discreto, e para a qual é necessária a utilização de algoritmos de custo computacional bastante elevado para
a determinação do vetor de perturbação, a perturbação contínua pode ser determinada de forma analítica, e
com custo computacional consideravelmente menor.
O capítulo 4 introduziu os conceitos que são frequentemente utilizados em filtragem adaptativa, e
foram descritos os algoritmos clássicos LMS, NLMS, RLS e AP, além do SM-AP. Foi ainda proposta uma
estrutura de preditor adaptativo de canal para sistemas MIMO-OFDM multiusuário que utiliza o algoritmo
set-membership affine projection.
No capítulo 5, foram apresentados resultados de simulações do desempenho dos pré-codificadores e
preditores de canal em um cenário mais realista, que utilizava um modelo de canal padronizado pelo 3GPP
para simulações MIMO, operava sob as especificações do enlace direto do padrão 3GPP-LTE e incluía os
efeitos da CSI desatualizada no transmissor. Foi possível inferir que, para usuários de alta mobilidade, o
desempenho dos esquemas de pré-codificação é muito prejudicado pela informação desatualizada sobre o
estado de canal, mesmo para pequenos horizontes de predição, e a utilização de técnicas de pré-codificação
é inviável sem a operação conjunta com preditores de canal.
O preditor de canal proposto, que utiliza o algoritmo adaptativo SM-AP, apresentou desempenho
semelhante ao do RLS para usuários que apresentam baixa mobilidade, entretanto este não apresentou
desempenho satisfatório em ambientes cujos usuários apresentam alta mobilidade. Nestes cenários, a
superioridade do algoritmo SM-AP foi revelada, especialmente para horizontes de predição mais amplos.
95
Além disso, ao escolher os parâmetros dos filtros preditores de tal forma que os algoritmos SM-AP e
RLS possuíssem complexidade computacional da mesma ordem de grandeza, este apresentou desempenho
inferior àquele.
6.1 TRABALHOS FUTUROS
Diversos aspectos podem ser explorados e investigados na área de comunicação MIMO multiusuário.
Algumas sugestões para a extensão deste trabalho são:
• estudo e implementação de técnicas de pré-codificação para canais seletivos no tempo ou na frequên-
cia, como as apresentadas em [137], assim como a investigação do efeito da CSI desatualizada sobre
o desempenho dessas técnicas;
• a investigação e a proposta de outros filtros e estimadores estocásticos, como, por exemplo, o filtro
de Kalman, para realizar a predição da resposta do canal em sistemas MIMO multiusuário, e sua
influência na operação dos pré-codificadores apresentados;
• a utilização de outros algoritmos do tipo SM-AP para realizar a prediçãode canal como, por exemplo,
os algoritmos set-membership affine projection with variable data reuse (SM-APVDR) [138] e set-
membership partial-update affine projection (SM-PUAP) [139], que buscam reduzir de forma mais
acentuada a complexidade computacional do set-membership affine projection por meio da utilização
de um número variável de projeções (fator de reúso dos dados) ou por meio da atualização de apenas
uma parte dos coeficientes do filtro preditor;
• a investigação de como as imperfeições de rádio frequência (como, por exemplo ruído de fase,
amplificadores não lineares e acoplamento indutivo entre as múltiplas antenas) [140] afetam o
desempenho das técnicas de pré-codificação apresentadas;
• verificar o desempenho das técnicas de pré-codificação ao operar sobre um canal de realimentação
digital, no qual a informação sobre o estado do canal é quantizada antes de ser enviada ao transmissor
e sofre a influência de um canal de retorno não ideal;
• considerar a influência de CSI imperfeita nas técnicas de redução de feedback do canal de
realimentação e nos algoritmos de seleção de usuários, como, por exemplo, o framework proposto e
apresentado em [141];
• estudo e simulação, em nível sistêmico, de técnicas que explorem a diversidade multiusuário no
enlace direto de sistemas MIMO multiusuário [142], como os algoritmos propostos em [143, 144],
bem como a influência da CSI desatualizada nesses sistemas.
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3039, June 2004.
105
ANEXOS
106
I. LONG TERM EVOLUTION
O LTE é uma proposta de evolução para o UMTS (Universal Mobile Telecommunications System),
sistema de telefonia celular de terceira geração. Elaborado e discutido por uma parceria denominada 3GPP
(Third Generation Partnership Project), o LTE busca manter a competitividade da linha evolutiva que
advém do sistema GSM (Global System for Mobile Communications).
Neste anexo, será considerada uma breve descrição da camada física do enlace direto do padrão LTE
operando em FDD para uma largura de banda de 10 MHz e prefixo cíclico curto, que corresponde ao
cenário utilizado para realizar as simulações apresentadas no capítulo 5.
Figura I.1: Estrutura de quadro no enlace direto do padrão LTE para uma largura de banda de 10 MHz.
A técnica de múltiplo acesso utilizada no enlace direto do sistema LTE é o OFDMA. Como
consequência, o quadro de rádio (frame) possui dimensões tanto no domínio do tempo como no domínio
da frequência, conforme mostrado na Fig. I.1. O quadro de rádio tem duração de 10 ms e é composto por
10 subquadros, cada um com 1 ms de duração. Cada subquadro, por sua vez, é constituído de 2 slots, cada
um com duração de 0,5 ms.
Logo, pela descrição apresentada no parágrafo anterior, o quadro de rádio é formado por 20 slots,
numerados de 0 a 19, conforme mostrado na Fig. I.1. Cada slot contém de 7 símbolos OFDM. Para a
banda de transmissão de 10 MHz, são utilizadas 600 subportadoras, com espaçamento de 15 kHz entre
107
elas.
A menor unidade de recurso recebe a denominação de elemento de recurso (resource element), e
corresponde a uma subportadora dentro de um símbolo OFDM. O bloco de recursos (resource block) é
definido como o conjunto de 7 símbolos OFDM contíguos no domínio do tempo e de 12 subportadoras
adjacentes no domínio da frequência, e consiste na menor unidade de recursos que pode ser alocada para
um usuário.
A distribuição das subportadoras que carregam símbolos pilotos, utilizados para a estimação de canal,
é mostrada na Fig. I.2 para o caso em que a estação rádio-base opera utilizando quatro antenas de
transmissão. Pode-se perceber que há símbolos de referência no primeiro e no quarto símbolo OFDM
de um slot. Existe um espaçamento de seis subportadoras entre os símbolos de referência, sendo que os
símbolos de referência localizados no quarto símbolo OFDM de um slot são alocados com um offset de
quatro subportadoras com relação ao primeiro símbolo do slot.
Mais especificamente, no padrão LTE, a estação rádio-base pode possuir uma, duas ou quatro antenas,
e quando duas ou mais antenas são utilizadas para transmissão, os símbolos de referência são posicionados
de tal forma que sejam ortogonais, de forma a não interferir uns nos outros. Essa ortogonalidade é
obtida garantindo que nenhum sinal seja transmitido nos elementos de recurso que são utilizados por uma
determinada antena para a transmissão de símbolos de referência. Estes são marcados na Fig. I.2 como as
portadoras não utilizadas.
108
Figura I.2: Alocação de subportadoras que carregam símbolos pilotos no enlace direto do padrão LTE para
quatro antenas de transmissão.
109
II. MODELO DE CANAL SCM
Este anexo apresenta uma breve descrição do modelo espacial de canal do 3GPP, SCM, utilizado para
simulação de sistemas MIMO.
O modelo foi desenvolvido para que as técnicas MIMO propostas para os sistemas de terceira geração
(3G) pudessem ser comparadas e comparadas em um ambiente outdoor. Ele é largamente utilizado para
modelagem de canal de ambientes urbanos microcelulares e macrocelulares.
O SCM é um modelo empírico baseado em considerações físicas sobre os espalhadores (scatterers),
e especifica três ambientes de propagação: macrocélula suburbana, macrocélula urbana e microcélula
urbana. O sinal recebido pelo terminal móvel consiste em N versões atrasadas do sinal enviado. Os
N multipercursos são caracterizados de acordo com o tipo de ambiente escolhido, e seus valores variam
de 6 a 20 multipercursos.
Cada componente de multipercurso corresponde a um cluster de M subcaminhos (subpaths), cada um
caracterizando um determinado espalhador. Os M subcaminhos definem um cluster de espalhadores que
possuem o mesmo atraso de multipercurso, mas suas amplitudes e fases (os ângulos de partida e chegada)
são variáveis aleatórias, produzindo desvanecimento do tipo Rayleigh ou Rice.
Matematicamente, h
u,s,n
(t), o n-ésimo componente de multipercurso da u-ésima antena de transmis-
são para a s-ésima antena de recepção, é dado por:
h
u,s,n
(t) =
P
n
σ
s
M
M
m=1
G
BS
(θ
n,m,AoD
) exp (j [kd
s
sin (θ
n,m,AoD
+ Φ
n,m
)]) ×
G
MS
(θ
n,m,AoA
) exp (jkd
u
sin (θ
n,m,AoA
)) ×
exp (jk vcos (θ
n,m,AoA
− θ
v
) t)
, (II.1)
em que são definidos os seguintes parâmetros, ilustrados na Fig. II.1:
Figura II.1: Modelo espacial do 3GPP para simulações MIMO.
110
• P
n
é a potência do n-ésimo multipercurso;
• σ
s
é a desvio padrão da componente de sombreamento (shadowing);
• θ
n,m,AoD
é o ângulo de partida do m-ésimo subpath do n-ésimo multipercurso;
• θ
n,m,AoA
é o ângulo de chegada do m-ésimo subpath do n-ésimo multipercurso;
• G
BS
(θ
n,m,AoD
) é o ganho de cada elemento do conjunto de antenas na estação rádio-base;
• G
MS
(θ
n,m,AoA
) é o ganho de cada elemento do conjunto de antenas no terminal móvel;
• k é o número de onda, dado por
2π
λ
, em que λ é o comprimento de onda;
• d
s
é a distância entre a antena s do conjunto de antenas da estação rádio-base e a antena de referência
(para a qual s = 1);
• d
u
é a distância entre a antena u do conjunto de antenas do móvel e a antena de referência (para a
qual u = 1);
• Φ
n,m
é a fase do m-ésimo subpath do n-ésimo multipercurso;
• v é o módulo do vetor velocidade;
• θ
v
é o ângulo do vetor velocidade.
O modelo também apresenta funcionalidades adicionais, como, por exemplo, a modelagem dos efeitos
de propagação considerando a polarização utilizada pelas antenas e a propagação em linha de visada.
Um exemplo de realização de canal para u = s = n = 1 é mostrado na Fig. II.2 para diferentes valores
de velocidade do terminal móvel. A figura exibe o módulo da resposta h
u,s,n
(t).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
Tempo (segundos)
Envoltória (dB)
5 m/s
(a) 5 m/s
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Tempo (segundos)
Envoltória (dB)
30 m/s
(b) 30 m/s
Figura II.2: Exemplo de realização do canal para diferentes velocidades do móvel.
111
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