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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO – UFOP
ESCOLA DE MINAS – EM
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MINERAL –PPGEM
Dissertação de Mestrado
“COMINUIÇÃO SELETIVA DE MESCLAS BINÁRIAS E SUA SIMULAÇÃO POR
REDES NEURAIS ARTIFICIAIS”
Autor: Germano Mendes Rosa
Orientador: Prof. Dr. José Aurélio Medeiros da Luz
Junho/2009
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I
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO – UFOP
ESCOLA DE MINAS – EM
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MINERAL – PPGEM
Dissertação de Mestrado
“COMINUIÇÃO SELETIVA DE MESCLAS BINÁRIAS E SUA SIMULAÇÃO POR
REDES NEURAIS ARTIFICIAIS”
Autor: Germano Mendes Rosa
Orientador: Prof. Dr. José Aurélio Medeiros da Luz
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação do
Departamento de Engenharia de Minas
da Escola de Minas da Universidade
Federal de Ouro Preto, para a obtenção
do Título de Mestre em Engenharia
Mineral, Área de Concentração:
Tratamento de Minérios.
Ouro Preto, junho de 2008.
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II
SUMÁRIO
ÍNDICE DE TABELAS IV
ÍNDICE DE FIGURAS V
ÍNDICE DE QUADROS VIII
1. INTRODUÇÃO 1
2. OBJETIVOS 4
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5
3.1 Princípios Básicos de Moagem .........................................................................................5
3.1.1. Objetivos da cominuição 5
3.1.2. Equipamentos de moagem e regimes de operação 6
3.1.3 Eficiência do processo de cominuição 10
3.1.4 Energia consumida versus granulometria do produto 12
3.1.5 Mecanismos de quebra em partícula individual 14
3.1.6 O problema da moagem mista de componentes sólidos 15
3.1.7 Modelos matemáticos de moagem 16
3.2 Simulação .........................................................................................................................24
3.2.1 Origem 25
3.2.2 Conceitos fundamentais 26
3.2.3 Classificação dos modelos de simulação 30
3.2.4 Simulação: vantagens versus limitações 31
3.2.5 Planejamento de experiências de simulação 36
3.2.6 Estimação da variabilidade do processo de simulação 37
3.3 Números e Variáveis Aleatórias.....................................................................................39
3.3.1 Pseudo-aleatoriedade 39
3.3.2 Características importantes 39
3.3.3 Geração de números aleatórios 40
3.4. Modelos de Otimização ..................................................................................................42
3.4.1 Padrões para formulação de modelos de otimização 42
3.4.2 Modelagem matemática de modelos de otimização 43
3.5. Inteligência Artificial......................................................................................................45
3.5.1 Redes neurais artificiais (RNAs) 46
3.5.1.1 O neurônio biológico 47
III
3.5.1.2 O perceptron 48
3.5.1.3 Treinamento das RNAs 50
3.5.1.4 Arquitetura das RNAs 52
3.5.1.5 RNA com retropropagação 55
3.5.1.6 Algoritmo retropropagação com momento 62
4. METODOLOGIA 64
4.1 Experiências de Moagem Física em Escala de Laboratório ........................................64
4.1.1 Preparação dos minerais componentes da alimentação 65
4.1.2 Realização da moagem mista 68
4.1.3 Método de calcinação para determinação das massas de dolomita e quartzo no
produto 72
4.2 Simulação de Moagem Mista Utilizando RNA ............................................................74
4.2.1 O Sistema de simulação SiMoMix 75
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES 81
5.1 Resultado dos Testes Físicos...........................................................................................81
5.2 Resultados da Simulação de Moagem Mista utilizando Rede Neural Artificial........97
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 115
IV
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1 – Distribuição dos tamanhos de bolas utilizadas como corpos moedores nos ensaios
de moagem mista binária.............................................................................................. 68
Tabela 2 – Conjuntos de dados utilizados como padrões para treinamentos e como padrões
para testes da RNA. *Conjunto de dados estimados...................................................... 98
Tabela 3 – Resultados das 30 simulações realizadas para simulações utilizando 5 neurônios na
camada oculta opcional e 5000 corridas........................................................................ 99
V
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1 - Representação da distribuição granulométrica após moagem de dois produtos
minerais hipotéticos A e B.............................................................................................. 2
Figura 2- Forças que figuram sobre a bola num moinho. ........................................................ 7
Figura 3- Trajetórias das bolas no moinho.............................................................................. 8
Figura 4 – Efeito da velocidade do moinho em sua potência................................................... 9
Figura 5- Moinho operando em regime de catarata................................................................. 9
Figura 6- Moinho operando em regime de cascata................................................................ 10
Figura 7 – Simulação como experimentação. ....................................................................... 25
Figura 8- Exemplo de sistema representando circuito FAB (moinho autógeno seguido de
moinho de bolas).......................................................................................................... 27
Figura 9- Fluxograma para o planejamento de experiências de simulação. ........................... 36
Figura 10 – Esquema simplificado de neurônio biológico..................................................... 47
Figura 11 – Modelo de um neurônio perceptron de Rosenblatt............................................. 48
Figura 12 – Representação gráfica da convergência do peso de uma sinapse para um valor
correspondente a um erro mínimo. ............................................................................... 51
Figura 13 – Representação de uma RNA típica. ................................................................... 53
Figura 14 – Atualização de pesos efetuada no processo de backpropagation. ....................... 57
Figura 15- Representação do algoritmo descendente no espaço de pesos, onde: (a) taxa de
treinamento pequena (convergência lenta), (b) taxa de treinamento grande (muitas
oscilações) e (c) taxa de treinamento grande, com o termo momento acrescentado (mais
rápida convergência) .................................................................................................... 63
Figura 16 – Representação esquemática da preparação granulométrica dos minerais
componentes da alimentação. ....................................................................................... 66
Figura 17 – Distribuição granulométrica da alimentação (mineral dolomita), destacando-se o
tamanho d
50
da distribuição de tamanhos...................................................................... 67
Figura 18 – Distribuição granulométrica da alimentação (mineral quartzo) , destacando-se o
tamanho d
50
da distribuição de tamanhos...................................................................... 68
Figura 19 – Curva de calibração contendo a respectiva equação linear de regressão das
variáveis derivada da calcinação de 30g de minério composto por dolomita e quartzo
para o tempo de 1 hora de calcinação ........................................................................... 73
VI
Figura 20 - Curva de calibração contendo a respectiva equação linear de regressão das
variáveis derivada da calcinação de 5g de minério composto por dolomita e quartzo para
o tempo de 1 hora de calcinação................................................................................... 73
Figura 21 – Janela “Parâmetros” do Sistema SiMoMix. ....................................................... 76
Figura 22 – Janela “Dados de Entrada” do Sistema SiMoMix. ............................................. 77
Figura 23 – Janela “Treinamento” do Sistema SiMoMix. ..................................................... 78
Figura 24 – Janela “Dados de Teste” do sistema SiMoMix................................................... 79
Figura 25 – Janela “Teste” do Sistema SiMoMix. ................................................................ 80
Figura 26 – Comparações dos parâmetros coeficiente de agudeza a (a) e tamanho d
50
(b) entre
as distribuições granulométricas dos produtos da moagem da mistura T25D/75Q,
segundo a função Sigmóide de Hill. ............................................................................. 82
Figura 27 - Comparação dos parâmetros coeficiente de agudeza a (a) e tamanho d
50
(b) entre
as distribuições granulométricas dos produtos da moagem da mistura T50D/50Q,
segundo a função Sigmóide de Hill. ............................................................................. 83
Figura 28 - Comparação dos parâmetros coeficiente de agudeza a (a) e tamanho d
50
(b) entre
as distribuições granulométricas dos produtos da moagem da mistura T75D/25Q,
segundo a função Sigmóide de Hill. ............................................................................. 84
Figura 29 – Distribuições das frações retidas simples dos produtos dolomita e quartzo para as
moagens da mistura T25D/75Q nos diversos ciclos de testes, incluindo a distribuição das
frações retidas simples estimada para o ciclo de moagem de 22 minutos. ..................... 86
Figura 30 – Distribuições das frações retidas simples dos produtos dolomita e quartzo para as
moagens da mistura T50D/50Q nos diversos ciclos de testes, incluindo a distribuição das
frações retidas simples estimada para o ciclo de moagem de 23 minutos. ..................... 87
Figura 31 – Distribuições das frações retidas simples dos produtos dolomita e quartzo para as
moagens da mistura T75D/25Q nos diversos ciclos de testes, incluindo a distribuição das
frações retidas simples estimada para o ciclo de moagem de 25 minutos. ..................... 88
Figura 32 – Evolução do indicador de contraste granulométrico total para os padrões de
mistura T25D/75Q, T50D/50Q e T75D/50Q................................................................. 91
Figura 33 – Comparação entre as curvas do percentual passante acumulado referente ao
mineral quartzo nas moagens mistas e a sua moagem isolada. ...................................... 93
Figura 34 – Comparação entre as curvas do percentual passante acumulado referente ao
mineral dolomita nas moagens mistas e a sua moagem isolada. .................................... 95
VII
Figura 35 – Testes de aderência realizados a partir dos erros totais gerados em relação aos
parâmetros simulados com relação à Distribuição Normal.......................................... 102
Figura 36 - Carta de controle para avaliação do erro total calculado em relação ao tamanho
d
50
, obtido no processo de simulação.......................................................................... 103
Figura 37 – Carta de controle para avaliação do erro total calculado em relação ao coeficiente
de agudeza, obtido no processo de simulação. ............................................................ 104
Figura 38 – Carta de controle recalculada a partir da desconsideração dos dados referentes às
simulações de números 14, 17 e 19, para o erro total dos tamanhos d
50
simulados....... 106
Figura 39 - Carta de controle recalculada a partir da desconsideração dos dados referentes às
simulações de números 14, 17 e 19, para o erro total dos coeficientes de agudezas d
50
simulados................................................................................................................... 107
Figura 40 – Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado
da simulação de menor erro total relativo aos coeficientes de agudezas (simulação
número 12) com as curvas das distribuições estimadas, para o mesmo tempo de moagem
e padrão de mistura. ................................................................................................... 109
Figura 41 - Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado
da simulação de menor erro total relativo aos tamanhos d
50
(simulação número 24) com
as curvas das distribuições estimadas para o mesmo tempo de moagem e padrão de
mistura. ...................................................................................................................... 110
Figura 42 – Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado
da simulação de maior erro total relativo aos coeficientes de agudezas (simulação
número 5) com as curvas das distribuições estimadas para o mesmo tempo e padrão de
mistura. ...................................................................................................................... 111
Figura 43 – Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado
da simulação de maior erro total relativo aos tamanhos d
50
(simulação número 6) com as
curvas das distribuições estimadas para o mesmo tempo............................................. 112
Figura 44 – Comparação entre os contrastes granulométricos relativos às saídas das
simulações de menor e maior erro total em relação aos coeficientes de agudezas para os
produtos das moagens dos três padrões testados. ........................................................ 113
Figura 45 – Comparação entre os contrastes granulométricos relativos às saídas das
simulações de menor e maior erro total em relação aos tamanhos d
50
para os produtos da
moagem dos padrões testados..................................................................................... 113
VIII
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 1 - Resumo das variáveis de moagem ...................................................................... 17
Quadro 3 – Principais funções de ativação utilizadas no perceptron. .................................... 50
Quadro 4- Relação de peneiras da série ABNT utilizadas nas análises granulométricas........ 67
Quadro 5 - Especificação das etapas de realização de moagem física. .................................. 70
Quadro 6 – Sistema de nomenclatura utilizado para identificação dos diversos produtos das
moagens físicas das misturas........................................................................................ 71
IX
RESUMO
O presente trabalho divide-se em duas partes: estudo da moagem mista binária de minerais
com diferentes moabilidades e simulação da moagem mista binária por meio de uma rede
neural artificial retropropagação perceptron multicamada com momento. Na primeira etapa,
realizou-se o estudo do comportamento dos principais fatores relacionados ao caso de
moagem mista binária em batelada dos minerais dolomita e quartzo, visando estabelecer
condições ideais para obtenção de um maior contraste granulométrico entre tais espécies
minerais. Por meio de vários testes físicos contemplando diferentes proporções volumétricas
desses minerais para diferentes ciclos moagem, acompanhou-se a evolução da granulometria
dos produtos. Os resultados das análises granulométricas dos produtos provaram que os
mesmos aderiram satisfatoriamente à função densidade de probabilidades Sigmóide de Hill, a
qual foi adotada para apoiar a analise comparativa dos resultados, conjuntamente com o
indicador de contraste granulométrico total (ICGT), definido neste trabalho. Na segunda
etapa, os resultados obtidos na primeira foram utilizados para treinar uma rede neural artificial
retropropagação, baseada em perceptron multicamada com momento, a qual foi capaz de
prever bons resultados de saída a partir de padrões de entrada que não fizeram parte do
conjunto de treinamento.
Palavras-chave: moagem mista binária, dolomita, quartzo, função densidade de
probabilidades Sigmóide de Hill, indicador de contraste granulométrico total, rede neural
artificial retropropagação perceptron multicamada com momento.
X
ABSTRACT
The present work becomes separated in two parts: the study of the binary mixed grinding of
minerals with different moabilities and simulation of the binary mixed grinding through a
artificial neural network retropropagation perceptron multilayer with momentum. In the first
stage took place the study of the behavior of the principal factors related to the case of batch
mixed binary grinding of the minerals dolomite and quartz, seeking to establish the ideal
conditions for obtaining a larger size contrast among such mineral species. Through several
physicists tests contemplating different volumes proportions of those minerals for different
grinding cycles, the size evolution of the products was checked. The results of the size
analyses of the products proved that the same ones stuck to the Sigmóide of Hill probabilities
density function satisfactorily, which was adopted to give analyzes support to compare the
results, jointly with the indicator of total size contrast, defined in this work. In the second
stage, the results obtained in the first one were used to train an artificial neural network
retropropagation, based on perceptron multilayer with moment, which was capable to foresee
good exits results starting from entrance patterns witch were not part of the training group.
Key-words: binary grinding, dolomite, quartz, Sigmoid of Hill density distribution function,
total size contrast indicator, artificial neural network retropropagation perceptron multilayer
with momentum.
XI
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas
C.C. - Carga Circulante
IA - Inteligência Artificial
ICGT - Indicador de Contraste Granulométrico Total
PO - Pesquisa Operacional
PMC - Perceptron Multicamada
RNA - Rede Neural Artificial
OS - Oversize
US - Undersize
W
i
- Work Index
1
1. INTRODUÇÃO
A separação entre espécies minerais constituintes de determinado agregado mineralógico na
maioria dos casos é imprescindível para atingir-se o objetivo final de utilização industrial de
uma ou mais espécies minerais, sendo muitas vezes necessário descartar outras espécies sem
valor agregado (ganga).
O processo de moagem é precedido normalmente por uma ou mais etapas de britagens,
podendo ser alimentado com partículas na faixa de 5 a 250 mm, reduzindo-as a tamanhos na
faixa de 10 a 300 µm (WILLS, 1992), condicionando desta forma a liberação química entre as
fases minerais (se necessário), estas que podem ser isoladas em processos subseqüentes
(quando for o caso).
Para prover o isolamento das espécies componentes do minério em processos posteriores à
moagem é extremamente desejável que as partículas individuais apresentem, dentre outras
características, granulometrias distintas para serem exploradas em processos de concentração
gravimétrica, por exemplo.
Por outro lado o processo de moagem caracteriza-se por se tratar de um dos processos mais
dispendiosos na planta de beneficiamento industrial, devido ao seu baixo aproveitamento
energético e aos altos esforços mecânicos aos quais são submetidos (CHAVES e PEREZ,
1999; DELBONY JUNIOR, 2007; GALÉRY, 1995; LUZ et alii, 2004), justificando de
sobremaneira empenho neste campo de estudo.
Uma das medidas mais amplamente utilizadas no estudo de cominuição mineral é a
moabilidade, compreendida como resistência à cominuição, que depende basicamente da
variedade de minerais que constituem o minério considerado e de suas proporções (TURGUT
e AROL, 1996), além do grau de redução das partículas (WILLS, 1992; STAMBOLIADIS,
2006), levando em conta que um mineral pode ser fraturado com certa facilidade até
determinado limite de granulometria, porém, a moagem individual dos grãos pode ser mais
difícil, aumentando o valor da moabilidade.
2
Por existirem normalmente diferenças de moabilidade entre as espécies minerais componentes
do minério processado, diferentes distribuições granulométricas dos produtos também podem
ser obtidas a partir de uma determinada distribuição de tamanho dos componentes da
alimentação, que por sua vez são afetados pelos parâmetros de operação na moagem.
Pode-se analisar tal situação através de um gráfico contendo as distribuições de tamanhos
(diâmetros) das partículas dos produtos. Presume-se que, quanto menor a área de interseção
(ou, no caso ideal, na ausência de interseção) entre as curvas que representam graficamente as
respectivas distribuições granulométricas, maior será a facilidade e melhor será a eficiência de
separação entre as espécies no(s) processo(s) subseqüente(s). Ver Figura 1.
Figura 1 - Representação da distribuição granulométrica após moagem de dois produtos minerais
hipotéticos A e B.
A simulação é uma ferramenta que possibilita estimar o comportamento de um modelo de
sistema discreto, contínuo ou misto de operação, permitindo estudar e posteriormente prever o
comportamento do mesmo através da sua modelagem lógico-matemática. A principal
vantagem que pode ser citada é que o modelo de simulação permite manipular as condições
de operações das entidades que o mesmo representa quando, na prática, seriam muito difíceis
de serem realizadas, devido a várias limitações de naturezas diversas.
Através do estudo da moagem mista binária, pretende-se descrever o comportamento da
distribuição granulométrica dos produtos a partir das principais características do material de
Área de interseção
(minimizar!)
3
alimentação e do tempo de processamento. Os resultados revelaram que tais distribuições
granulométricas aderiram satisfatoriamente à função distribuição de tamanhos Sigmóide de
Hill, representada pela equação 1.0, de modo que o estudo se baseou apoiado nesta função.
aa
i
a
i
i
dx
x
Y
50
+
=
(1.0)
Onde,
Y
i
: fração do material na classe granulométrica i [-];
x
i
: tamanho (diâmetro) da classe i [µm];
a: coeficiente de agudeza [-];
d
50
: tamanho mediano da distribuição [µm].
A função distribuição Sigmóide de Hill, bem como as funções de distribuição de Gates-
Gaudin-Schuhmann e a de Rosin-Rammler, pode predizer a distribuição de tamanhos das
partículas e calcular com precisão satisfatória o tamanho d
50
, comumente utilizados para
caracterizar a finura dos produtos do moinho (STAMBOLIADIS, 2006).
Este estudo permitiu acompanhar a evolução do comportamento das agudezas das
distribuições de tamanhos dos produtos, bem como dos respectivos tamanhos d
50
, com
referência a função de distribuição de probabilidades Sigmóide de Hill e, por meio da análise
dos resultados, pôde-se averiguar o tempo de moagem correspondente à separação ótima dos
produtos da moagem mista.
4
2. OBJETIVOS
Este trabalho teve como objetivos:
i. Estudar o comportamento da moagem mista binária utilizando-se minerais com
moabilidades diferentes, visando estabelecer parâmetros para uma moagem mais
seletiva e econômica;
ii. De posse dos resultados, verificar o desempenho da simulação da moagem mista
binária por meio de uma RNA PMC retropropação com momento.
5
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
3.1 Princípios Básicos de Moagem
A moagem encerra o último estágio do processo de fragmentação de minérios, objetivando
alcançar o tamanho ideal necessário a alguma aplicação ou até atingir a liberação dos seus
minerais componentes. A malha ideal de moagem depende de cada minério, distribuição do
mineral útil na ganga, processos de separação subseqüentes e outros fatores (LUZ et alii,
2004), além da priorização de uma maior separabilidade dos minerais constituintes em cada
etapa de moagem e melhor aproveitamento energético nos processos de tratamento.
3.1.1. Objetivos da cominuição
É de grande utilidade e importância o processo de cominuição como meio de redução de
diâmetro de partículas de materiais sólidos. O processo de cominuição de sólidos presta-se a
vários objetivos, podendo citar alguns (BERALDO, 1987):
• Processos de beneficiamento de minérios, objetivando atingir uma granulometria ideal
ao processo de concentração utilizado e/ou para liberar adequadamente as espécies
minerais a serem separadas;
• processos hidrometalúrgicos, pretendendo alcançar também uma determinada
granulometria (não necessitando, porém, chegar-se ao ponto de liberação das espécies
minerais) que exponha adequadamente os minerais que serão lixiviados;
• na indústria química, constituindo um processo necessário para aumentar a área
superficial de um sólido, pretendendo aumentar a velocidade de reação;
• na produção de produtos comerciais, tais como agregados para uso em concreto;
• na preparação da matéria-prima para processos subseqüentes, tal como no processo de
pelotização de minério de ferro; etc.
6
3.1.2. Equipamentos de moagem e regimes de operação
De acordo com Chaves e Peres (1999), os equipamentos de moagem que representam os de
maior importância para utilização industrial são os chamados moinhos de carga cadente,
encerrando os moinhos de barras, de bolas e de seixos. Outros tipos de moinhos têm suas
aplicabilidades restritas a determinados materiais específicos (ex. moinho de martelos) ou
para aplicações especiais de moagem (ex. moinhos vibratórios, de impacto de partículas, de
discos etc.).
Segundo Luz et alii (2004), os moinhos de carga cadente se constituem de corpo cilíndrico de
ferro, revestido internamente com placas de aço ou de borracha, que gira em torno de seu eixo
sobre mancais e possui no interior carga solta de barras ou bolas de ferro ou aço.
Convergindo as atenções ao moinho de bolas, quando o corpo cilíndrico gira, os corpos
moedores são elevados por força do movimento da carcaça até certo ponto a partir do qual
caem segundo uma trajetória parabólica sobre outras bolas situadas na parte inferior do
cilindro e sobre o minério alojado nos interstícios das bolas. As bolas são elevadas
impulsionadas pelo movimento da carcaça e impelidas através da força centrífuga,
descrevendo uma trajetória circular. A condição necessária para permanência das bolas nesta
trajetória é que a força centrífuga seja maior que a força da gravidade que age sobre as
mesmas, caso contrário, elas abandonam esta trajetória passando a seguir uma trajetória
parabólica até a parte inferior do cilindro.
O início da queda das bolas é dado quando a força centrífuga se iguala a força da gravidade,
caracterizando o seguinte:
F
c
= F.cos
α
Onde,
F
c
: força centrífuga [N];
Fcos
α
: componente da gravidade [N].
7
Figura 2- Forças que figuram sobre a bola num moinho.
Fonte: FIGUEIRA, ALMEIDA e LUZ (2004, p. 154)
Sabendo-se que:
R
mv
c
F
2
=
e F = mg
Onde,
m: massa da bola [kg];
v: velocidade linear da bola [m/s];
R: raio interno do moinho[m];
g: aceleração da gravidade [m/s
2
].
Igualando-se as duas equações anteriores, tem-se o seguinte:
α
cos
2
mg
R
mv
=
Sendo que o valor da velocidade pode ser expresso da seguinte forma:
v = 2
π
RN
Onde,
N: número de rotações por minuto.
Portanto, N pode ser escrito da seguinte forma:
8
D
g
N
2
2
cos
π
α
=
Ao aumentar-se a velocidade do moinho, um momento é alcançado no qual a bola adere à
carcaça por ação da força centrífuga durante a volta completa do cilindro. Isto acontece
quando se tem
α
= 0, indicando que nenhum trabalho foi exercido pela bola e que, portanto,
não ocorreu moagem. Tal velocidade que admite este comportamento se chama velocidade
crítica do moinho e pode ser calculada, para qualquer moinho, por meio da seguinte
expressão, quando r for dado em metros:
D
N
c
305,42
=
Onde,
N
c
: velocidade crítica do moinho [rpm];
D: diâmetro do moinho [m].
Figura 3- Trajetórias das bolas no moinho.
Fonte: FIGUEIRA, ALMEIDA e LUZ (2004, p. 153)
Devido à importância da velocidade crítica para a operação da moagem (ver Figura 4), a
velocidade de operação do moinho é sempre dada em termos de sua percentagem e pode ser
calculada através da seguinte fórmula:
DNCs ∗∗= 364,2%
9
Figura 4 – Efeito da velocidade do moinho em sua potência.
Fonte: FIGUEIRA, ALMEIDA e LUZ (2004, p. 161)
Podem-se caracterizar dois tipos de regime de operação para moinhos, a depender da
velocidade de rotação do moinho e do seu fator de enchimento. São eles:
a) Catarata
Caracteriza-se por alta velocidade e baixo fator de enchimento. Neste caso a velocidade
do moinho é tal que carrega as bolas até uma posição elevada e estas caem sobre outras
bolas e minério alojado nos seus interstícios, proporcionando fragmentação por impacto
(ideal para fragmentar material mais grosso e inibir produção de finos). Para aumentar a
eficácia e eficiência neste regime, devem-se utilizar bolas maiores.
Figura 5- Moinho operando em regime de catarata.
Fonte: FIGUEIRA, ALMEIDA e LUZ (2004, p. 156)
b) Cascata
Caracteriza-se por baixa velocidade e alto fator de enchimento. As bolas, a partir de certa
altura, rolam umas sobre as outras, favorecendo moagem por abrasão e atrito (ideal para
obtenção de produto fino). Devem-se utilizar bolas de diâmetros menores.
10
Figura 6- Moinho operando em regime de cascata.
Fonte: FIGUEIRA, ALMEIDA e LUZ (2004, p. 156)
3.1.3 Eficiência do processo de cominuição
A relação de redução entre o diâmetro da alimentação e do produto é relativamente pequena
em cada estágio de cominuição (BERALDO, 1987). Por isso, normalmente utilizam-se
diversas etapas ou estágios neste processo para atingir uma redução significativa do tamanho
do material, lançando mão da utilização de vários equipamentos trabalhando em série, em
regime de circuito aberto, fechado ou misto.
Cabe ressaltar que, devido ao alto custo do processo de moagem, principalmente em relação
às moagens fina à ultrafina, a intensidade de cominuição aplicada a determinado sólido é
definida por meio de uma função de cunho econômico onde se avaliam os custos do processo
de moagem, a taxa de produção, a recuperação e o teor do material útil (quando for o caso).
Para efeito de comparação entre diversas operações mineiras, em termos de consumo
energético, pode-se apoiar nas seguintes informações:
“...enquanto operações de desmonte de rocha, por explosivo, consomem cerca de
0,1 kWh/t, em britadores o índice eleva-se para magnitudes de 1 kWh/t, atingindo
valores da ordem de 10 kWh/t em circuitos de moagem. Em etapas conhecidas
como pulverização, moagem fina ou micronização, o consumo especifico pode
atingir até 100 kWh/t.” (DELBONI JUNIOR, 2007, p. 103)
11
De forma pessimista, acreditava-se que a eficiência energética da moagem não chegava a 1 %
(WILLS, 1992) e de forma um pouco otimista, que não alcançava a marca dos 3 % (AUSTIN
apud LYNCH, 1977) em relação à geração de novas áreas superficiais, ou seja, supunha-se
que entre 97 a 99 % da energia fornecida ao moinho seria dissipada sob forma calor e de som.
Porém, um estudo recente revelou por meio de uma nova metodologia que este
aproveitamento localiza-se tipicamente em torno de 8 a 23%, a depender do material sólido
cominuído (TAVARES, 2003).
O último estudo citado embasou-se na premissa de que a quebra individual de partículas
constitui a forma mais eficiente de cominuir materiais sólidos, em razão de minimizarem-se
perdas originadas por atrito e colisões mal sucedidas através desse método. A eficiência,
portanto, estaria relacionada à energia mecânica mínima responsável por reduzir materiais até
determinada granulometria. O autor chegou a esses resultados a partir de ensaios
experimentais realizados em célula de carga de impacto e posteriormente utilizando
simulação.
Apesar dessa nova ponderação, o estudo de soluções que tornem mais eficiente a operação de
moagem é interessantíssimo para a indústria mineral, uma vez que isto refletirá em melhor
aproveitamento energético e, consequentemente, em redução de custos de operação, aumento
da margem de lucro e diminuindo a demanda energética.
Cabe destacar que este último benefício citado tem um significado maior tanto para a
indústria quanto para a sociedade em geral, pois reside nele um apelo de ganho em termos de
aproximação do tão discutido “desenvolvimento sustentável” que, segundo Shields et alii
(apud BÔAS et alii, 2005), se refere ao efetivo comprometimento em atender às necessidades
presentes e futuras da humanidade, tendo que alinhar rumo a este objetivo políticas e
desenvolvimento de estratégias que possam poupar e/ou favorecerem, tanto quanto possível,
os recursos naturais dos quais provêem os serviços necessários de suporte à vida.
12
3.1.4 Energia consumida versus granulometria do produto
Em razão do consumo energético demandado pela operação de moagem representar uma
parcela representativa do custo total dessa operação, este assunto tem sido tema de inúmeros
estudos. Uma das constatações empíricas deste assunto foi que a relação entre a variação de
diâmetro e a energia consumida é inversamente proporcional a uma função-potência do
diâmetro. Pode-se escrevê-la da seguinte forma (BERALDO, 1987):
n
x
dx
KdE −= (3.1.0)
onde,
E: energia aplicada a uma massa unitária de minério [J];
x: diâmetro das partículas [m];
K e n: constantes dependentes do material [-].
Seguindo esse raciocínio, muitos estudiosos investigaram e descreveram diferentes
interpretações a esta relação, cuja qual, integrada, fornece duas outras expressões:
1) para x≠1, tem-se:
[
]
)1(
1
)1(
2
−−
−−
−=
n
n
xxKE (3.1.1)
Essa expressão é conhecida como expressão de Charles.
2) para n = 1, temos:
=
2
1
ln
x
x
KE (3.1.2)
Essa expressão é conhecida como Lei de Kick e propõe que a energia consumida na
cominuição depende unicamente da relação de redução, independendo da granulometria de
alimentação.
Considerando-se valores de n = 2 e n = 1,5 , respectivamente, e levando-os à expressão de
Charles, equação 3.1.1, chega-se às expressões:
3) Para n = 2, tem-se:
13
−=
12
11
xx
KE (3.1.3)
Essa expressão é conhecida como lei de Rittinger e considera que a energia consumida é
proporcional à nova superfície produzida.
4) Para n = 1,5, tem-se:
−=
12
11
xx
KE
(3.1.4)
Essa expressão é conhecida como Lei de Bond, tratando-se de uma lei empírica que sugere
que a energia consumida na cominuição seja proporcional ao comprimento das fissuras
iniciais que se desencadeiam no fraturamento. A Lei de Bond se tornou muito popular e
passou a ser escrita da seguinte forma:
102,1.
11
10
−=
FP
WiW (3.1.5)
onde:
W : energia aplicada [kWh/t];
W
i
: constante do material que representa a energia necessária à sua redução de uma
granulometria de diâmetro infinito a outra, representada por 80% passante na malha de 100
mícrons [kWh/t curta];
P,F: diâmetro no qual passam 80% da massa do produto e da alimentação, respectivamente
[µm].
14
3.1.5 Mecanismos de quebra em partícula individual
Para que uma partícula se quebre, é necessário que atue sobre ela uma força que exceda sua
resistência. Segundo Galéry (1995) há três maneiras mais comuns segundo as quais as
partículas podem ser fraturadas:
a) Abrasão por cisalhamento
Ocorre quando a força aplicada não é suficiente para provocar uma fratura em toda a
partícula, ocorrendo concentração local de esforços e, conseqüentemente, o surgimento de
minúsculas fraturas que resultarão na geração de uma distribuição granulométrica de
partículas finas a partir da original, cujo diâmetro é pouco afetado. Normalmente, este tipo
de fraturamento ocorre mediante atrito entre as partículas ou entre bolas e partículas.
b) Compressão ou esmagamento
Neste caso, a força é aplicada de maneira lenta, propiciando o aparecimento da fratura, a
partir da qual, o esforço é cessado, caracterizando que a força aplicada é minimamente
maior que a resistência da partícula. Neste tipo de fratura, geram-se alguns fragmentos de
grande diâmetro. Normalmente, este tipo de fratura é comum em britadores de mandíbula,
giratórios e cônicos, e quando as partículas são comprimidas entre corpos moedores ou
partículas maiores.
c) Impacto ou choque
Neste caso, a aplicação da força é realizada de maneira abrupta e de magnitude muito
superior à resistência da partícula, gerando-se uma distribuição granulométrica de
partículas finas. Este tipo de fratura ocorre principalmente em britadores de impacto ou na
zona de queda de bolas ou de barras em moinhos.
15
3.1.6 O problema da moagem mista de componentes sólidos
Justifica-se a preocupação com a moagem mista de minerais componentes de um determinado
minério no sentido de se compreender quais influências estão relacionadas aos diversos
fatores ligados à alimentação do sistema, tais como composição da mistura, moabilidades
individuais dos minerais componentes e outros, combinados aos parâmetros de operação de
moagem, em relação à dinâmica de quebra, para criar soluções que possam diminuir perdas de
eficiência energética na cominuição do mesmo.
Bozkurt e Özgür (2007) estudaram sob as mesmas condições a taxa específica de quebra da
colemanita durante a moagem a seco em comparação ao quartzo e concluíram que a
colematita é cominuída muito mais rapidamente do que o quartzo (devido a uma menor
moabilidade da primeira), produzindo grande quantidade de finos. Neste caso, o estudo da
cominuição conjunta desses dois minerais sugeriu que se fizesse uma classificação, em
determinada altura do processo, para se evitar a sobremoagem da colemanita e,
consequentemente, a perda energética derivada da compactação de seus finos.
De acordo com Ray e Szekely (1973), pesquisas realizadas focadas no estudo de moagem
mista binária de componentes minerais em moinho de bolas mostraram que a eficiência da
moagem é diminuída, uma vez que se constatou que a taxa de moagem de cada material
decresceu em comparação aos resultados da moagem alimentada com estes componentes
isoladamente. Essa conclusão se baseou no estudo da moagem composta pelos minerais
calcário e quartzo. Outros minerais foram objetos de estudo como arenito, dolomita e calcário,
os quais foram moídos, um a um, com o mineral dicromato de potássio, demonstrando que o
mesmo fenômeno ocorreu também nestes casos.
Holmes e Patching (apud RAY e SZEKELY, 1973) observaram em seus experimentos nesta
linha que a taxa de produção de novas superfícies foi inibida para os materiais que os mesmos
examinaram, para uma dada mistura, em cerca da mesma razão para cada componente da
mistura.
Tanaka (apud RAY e SZEKELY, 1973) que também realizou experimentos com material
finíssimo, não confirmou tal fenômeno. Porém, observou que, para tamanhos muito pequenos
16
de partículas, a relação foi cíclica, onde no intervalo entre 5 a 30 µm perceberam-se de dois a
quatro ciclos de valores. Por meio desse estudo, notou-se também a existência uma
dependência diretamente proporcional entre relação de dureza e o número de ciclos.
A taxa de moagem relativa, segundo autor supracitado, também é afetada pela relação de
dureza onde, quando esta é baixa, há uma tendência de ocorrer maior inibição da taxa de
moagem do material duro na mistura, em comparação a sua moagem isolada. Porém, quando
a relação de dureza é alta, o efeito tende a ser contrário, principalmente quando o material
duro estiver presente em menor proporção.
Sener, Bilgen e Ozbayoglu (2003) também pesquisaram acerca da moagem mista, objetivando
atingir máxima separação dos componentes de uma mistura composta pelos minerais celestita
e gipsita. Entretanto, utilizaram-se do aquecimento da mistura para decompor por calcinação a
segunda substância – a partir de 200°C até 900°C – obtendo uma queda significativa da
moabilidade da mesma, sem entretanto alterar as características de moabilidade da primeira.
O aumento do contraste entre as moabilidades contribuiu para uma separação mais eficiente
entre as duas espécies minerais. Segundo os autores, este estudo contribuiu significativamente
para o beneficiamento do minério composto por esses dois minerais, sendo possível ser
realizado inclusive em um único estágio.
3.1.7 Modelos matemáticos de moagem
Segundo Beraldo (1987), há muito tem-se procurado tratar o processo de cominuição baseado
em modelos relacionados à cinética de fraturamento das partículas. O estudo das relações dos
parâmetros desses modelos com as variáveis operacionais permitiu sua aplicação nos
trabalhos de otimização e controle de processos, bem como no dimensionamento de
instalações.
De acordo com Paulo (1996), o modelo matemático de um processo contém as equações
necessárias para estimarem-se os valores das variáveis de interesse. Essas se apresentam
segundo três tipos: insumos (variáveis de entrada ou exógenas), variáveis de estado e
17
variáveis de saída (ou endógenas). O Quadro 1 lista as principais variáveis relacionadas ao
processo de moagem.
Quadro 1 - Resumo das variáveis de moagem
Fonte: Adaptado de PAULO (1996)
King (2001) ressalta que a grande dificuldade para estabelecerem-se modelos matemáticos
para representar sistemas de moagem é que o comportamento dos equipamentos de
cominuição depende da natureza das partículas individuais processadas, cujo número é muito
grande para serem estabelecidos procedimentos computacionais que levem em conta tal
volume de informações. Nesse caso, geralmente os modelos usuais estabelecem
procedimentos relacionados a propriedades médias da população de partículas e/ou classes
que dividem a população em função geralmente da granulometria.
TIPO DE VARIÁVEL DESCRIÇÃO
Entrada ou exógena
• Vazão de alimentação nova
• Adição de água para o moinho
• Adição de água para a caixa
• Taxa de bombeamento de polpa
• Granulometria da alimentação
• Moabilidade da alimentação
• Taxa de alimentação
• Abrasividade do minério
Estado
• Granulometria no moinho
• Taxas específicas de quebra
• Distribuição dos fragmentos
• Características do transporte
Saídas ou endógenas
• Granulometria de saída
• Carga circulante
• Desgaste da carga moedora
• Desgaste de revestimento
18
Os modelos matemáticos de moagem podem se dividir em dois tipos, a depender das
características de operação: modelos de moagem em batelada e modelos de moagem em
regime contínuo.
a) Modelos de moagem em batelada
A moagem industrial é geralmente realizada em circuitos contínuos de produção, de forma
que, modelos em bateladas não podem ser diretamente aplicados como meio de estimar
resultados em aplicações industriais. Contudo, os modelos em batelada se fazem necessários
por dois motivos:
• os resultados da moagem industrial são parcialmente funções da cinética de quebra; e
• os modelos em batelada servem para estimar valores dos parâmetros de quebra através
de ensaios em escala de bancada.
O primeiro passo na formulação desse modelo é realizar a determinação das características
intrínsecas de quebra do material. De acordo com Paulo (1996), testes já realizados em
laboratórios para muitos minérios em moinhos de bolas por via seca revelaram que, para
muitos minérios, a cinética de quebra é de primeira ordem, ou seja, a taxa de quebra para uma
determinada faixa granulométrica é proporcional à massa do material que não sofreu quebra.
Essa constatação pode ser escrita a partir da seguinte equação diferencial:
11
1
HmS
dt
dHm
=− (3.1.6)
onde,
H : massa de material no moinho [kg];
m
1
: fração do material contido na faixa granulométrica 1 [-];
S
1
: taxa específica de quebra para a faixa 1[s
-1
].
Inicialmente, admite-se que todo o material se encontra na faixa granulométrica 1
(sobretamanho, ou top size) e o processo de quebra diminui a massa do material na faixa com
o tempo. A solução da equação 3.1.6 é:
tS
emtm
1
)0()(
11
−
= (3.1.7)
19
Onde,
m
1
: fração do material contido na faixa granulométrica 1[-];
m
1
(t): fração do material contido na faixa granulométrica 1, transcorrido o tempo t [-];
t: tempo de moagem [s];
S
1
: taxa específica de quebra para a faixa 1[s
-1
].
Traçando-se o gráfico de ln[m
1
(t)] em função do tempo, obter-se-á uma linha reta com
inclinação constante igual a - S
1
, considerando-se a quebra de primeira ordem.
Considerando-se que naturalmente a dinâmica de quebra atua sobre partículas de todas as
faixas granulométricas simultaneamente, têm-se dois subprocessos ocorrendo, ou seja, além
da quebra no intervalo considerado, há migração de material adicionado como produto de
quebra, oriundo de intervalos superiores.
Exemplificando, para o intervalo granulométrico 2, tem-se a seguinte equação diferencial:
112122
2
HmSbHmS
dt
dHm
+−=− (3.1.8)
onde,
b
21
: fração do material quebrado no intervalo granulométrico superior 1 que produziu
fragmentos no intervalo granulométrico inferior 2 [-].
A equação 3.1.8 tem como solução:
[
]
tStStS
ee
SS
mSb
emtm
212
12
1121
22
)0(
)0()(
−−−
−
−
+= (3.1.9)
Generalizando-se para um intervalo i, a taxa de material acumulado devido à quebra é:
∑
−
=
+−=
1
1
i
j
jjijii
i
HmSbHmS
dt
dHm
(3.1.10)
Onde o somatório da equação 3.1.10 representa a contribuição dos tamanhos superiores para a
acumulação de material no intervalo granulométrico i.
20
Cabe-se ressaltar que, o número de equações é ditado pelo número de intervalos
granulométricos considerados, ou seja, para cada intervalo tem-se a sua respectiva equação. A
notação matricial para o sistema de equações é:
SHmBI
dt
dHm
)( −=− (3.1.11)
onde,
m: vetor de distribuição granulométrica [-];
S: matriz das taxas específicas de quebra [s
-1
];
B: matriz da distribuição dos fragmentos [-];
I: matriz identidade [-].
No caso de taxas de quebra (S) constantes, tem-se a seguinte solução para a equação 3.1.11:
∑
=
−
=
n
j
tS
iji
j
eAtm
1
)( (3.1.12)
onde,
0, para i < j
∑
=
−
=
n
j
tS
iji
j
eAtm
1
)( , para i = j
∑
=
=
−
1i
jk
ji
kik
SS
Sb
, para i > j
Considerando-se N o número de faixas granulométricas consideradas, o sistema acima possui
N-1 taxas de quebra e N(N-1)/2 componentes da distribuição de fragmentos. Esse resultado
significa que, no caso típico de 10 faixas granulométricas, obter-se-iam 54 parâmetros, dentre
os quais 9 taxas de quebra e 45 elementos da distribuição de fragmentos. Na prática, esses 54
parâmetros se reduzem a 5 ou 6 por meio de correlações entre os parâmetros dos intervalos.
Como ilustração, pode-se plotar S em função do tamanho da partícula, encontrando a seguinte
equação de correlação:
A
ij
=
21
1
1
1
1
a
jj
ii
i
xx
xx
SS
=
+
+
(3.1.13)
onde,
x
i
: limite superior do intervalo i [µm].
Notoriamente, a distribuição de fragmentos muitas vezes pode ser reduzida a uma única curva
para todos os tamanhos, de acordo com a seguinte equação de correlação:
32
1
1
1
1
)1(
c
jj
i
c
jj
i
ij
xx
x
c
xx
x
cB
−+
=
++
(3.1.14)
onde,
B
ij
: distribuição acumulada de fragmentos [-].
Os valores dos parâmetros S
1
, a
1
, c
1
, c
2
e c
3
são obtidos através de ensaios de moagem em
batelada.
O modelo de equações representadas é capaz de estimar, com exatidão, as distribuições
granulométricas do material cominuído em vários intervalos de tempo (PAULO, 1996).
b) Modelos de moagem em regime contínuo
De acordo com Paulo (1996), a moagem contínua se diferencia da moagem em batelada em
razão do fluxo de material entrar e sair do moinho. Desse modo, os resultados da moagem em
batelada não servem para serem aplicados diretamente sobre o regime de moagem contínuo
devido ao fato de que o tempo de residência das partículas no interior do moinho não é o
mesmo para todas.
Ao se estudar o comportamento da moagem em regime contínuo, tem-se que levar em
consideração a forma como as partículas são transportadas ao longo do moinho, ou seja,
torna-se necessário determinar quais fenômenos de transporte regem tal movimento.
Segundo Paulo (1996), estudos do transporte em moinhos rotativos revelaram que as
partículas se deslocam ao longo do interior do moinho regidas por uma combinação de
22
convecção e dispersão, significando que o deslocamento do material é parcialmente composto
de velocidade constante e mistura.
Dentro do moinho estão as entidades: carga moedora e a polpa, composta de água e sólidos. A
carga moedora contém parte da polpa em seus interstícios e o restante da mesma permanece
separada da carga numa espécie de “bacia”. Essa “bacia” se comporta como um rio em regime
de escoamento lento, carreando os sólidos e a água por todo o comprimento do moinho.
Simultaneamente, por influência da rotação do moinho, os sólidos que permaneceram em
contato com o revestimento são levados para a região da carga. Por influência da aceleração
gravitacional, há uma maior taxa de sedimentação das partículas grossas na bacia, implicando
no transporte preferencial destas partículas para a região da carga, onde elas sofrem o
processo de quebra.
Genericamente, pode-se concluir que o fenômeno de transporte dos sólidos depende da
granulometria. Nesse caso, os fenômenos de transporte e cominuição não são independentes.
Para descrever o fenômeno de transporte de partículas no moinho são utilizados modelos
aproximados, devido à dificuldade de se descrever, com devido rigor, o fenômeno de
transporte.
Os modelos de transporte são estudados segundo o conceito de distribuição de tempo de
permanência, respeitando as seguintes hipóteses (PAULO, 1996):
1. Para as partículas que permaneceram no moinho um tempo t em regime contínuo,
estas sofreram o mesmo grau de quebra comparado à partículas que permaneceram o
mesmo tempo t em batelada;
2. Todas as partículas têm a mesma distribuição de tempo de permanência;
3. A granulometria do material no moinho em regime contínuo é calculada a partir da
ponderação do tempo de permanência com os resultados da moagem em batelada.
Define-se a distribuição de tempo de permanência das partículas em termos de função de
densidade, indicada por E. A expressão E(t)dt corresponde a fração de partículas que
permanece no moinho entre o intervalo de tempo [t, t+dt]. Nos moinhos rotativos,
caracterizam-se suas distribuições de tempo de permanência de vários misturadores perfeitos
em série, com a função de densidade escrita da forma:
23
( )
!1
1
−
=
−
−
N
e
T
t
N
T
t
E
T
Nt
N
N
(3.1.15)
onde,
N: número de misturadores em série [-];
T: tempo médio de permanência [s];
(.)!: função fatorial [-].
Quanto à granulometria do produto de descarga do moinho, esta pode ser calculada
ponderando-se E(t) juntamente com os resultados em regime de batelada:
( ) ( )
∫
∞
=
0
)( dttmtETm
BC
(3.1.16)
onde,
m
C
: vetor da granulometria do produto do moinho operando em regime contínuo[µm];
m
B
: vetor da granulometria do produto do moinho operando em regime de batelada [µm].
Paulo (1996) afirma que através da equação 3.1.16 é possível simular a operação de moagem
em circuito aberto, sob condições estacionárias. Porém, para utilizá-la, há necessidade de se
conhecer os valores dos parâmetros de quebra (taxas de quebra e distribuição de fragmentos)
e de transporte (número de misturadores em série e tempo médio de permanência). Unindo-se
os modelos de classificadores com os de moagem contínua, pode-se simular a operação em
circuitos fechados, prevendo, inclusive, a variação de granulometria de todos os fluxos do
circuito em função das condições de operação, propriedades da alimentação e configuração do
circuito.
As principais variáveis que influenciam o processo de moagem são as seguintes:
• capacidade do circuito;
• granulometria da alimentação;
• carga e distribuição de meio moedor;
• porcentagem de sólidos na polpa;
•
velocidade de rotação;
24
• configuração do circuito;
• características do classificador.
3.2 Simulação
Segundo Shubik (apud NAYLOR et alii,, 1971) a simulação de um sistema ou de um
organismo consiste na manipulação de um modelo (ou simulador) que se assemelhe e
represente aquele sistema ou aquele organismo de forma que estas manipulações sejam
possíveis de serem simuladas quando, na prática, seriam difíceis de serem realizadas, seja
pelo custo, pela impraticabilidade ou pela impossibilidade.
Um modelo seria a representação do sistema de interesse, cujo qual tem sua utilidade voltada
para o estudo de possíveis melhorias no sistema real ou para observar o efeito de diferentes
políticas sobre o mesmo (PIDD, 1998). Normalmente modelos tratam de representações
simplificadas do mundo real que mantêm, para determinadas situações e enfoques, graus
aceitáveis de equivalência (GOLDBARG, 2000).
Prado (1999, p. 93) contribui para a definição de simulação dizendo que “Simulação é a
técnica de solução de um problema pela análise de um modelo que descreve o comportamento
do sistema usando um computador digital.”
Portanto, ao incluir-se o computador também como uma ferramenta da simulação, pode-se
falar de simulação computacional, englobando um processo de experimentação baseado em
dados de algum sistema e, o modelo fundamentado neste, funciona como um dispositivo
experimental do tipo “tentativa e erro” a fim de avaliarem-se os efeitos gerados por diversas
políticas sobre o sistema simulado,preservando-se o sistema real (PIDD, 1998). Uma
representação interessante de modelo de simulação é mostrada na Figura 2.
25
Figura 7 – Simulação como experimentação.
Fonte: PIDD (1998)
A justificativa para utilizarem-se de recursos de modelagem e simulação de sistemas se apóia
no fato de que as mesmas constituem as mais poderosas ferramentas computacionais
dedicadas a avaliação, em termos de performance, de implementações de novas idéias,
processos e ações, que objetivam melhorias em termos de qualidade e produtividade desses
sistemas (FREITAS FILHO, 2008), se mostrando especialmente úteis no projeto de processos
de operações muito complexas (SLACK, CHAMBERS e JOHNSTON, 2002).
3.2.1 Origem
Segundo Saliby (1989) a simulação probabilística ou, simplesmente simulação, originou-se de
uma extensão do método de Monte Carlo, cujo qual, foi um método elaborado e proposto por
von Neumann e Ulam, durante a Segunda Guerra Mundial, para solução de problemas
matemáticos de difícil tratamento analítico. Esses estudos, ao que tudo indica, contribuíram
para a construção da primeira bomba atômica da história.
O chamado método de Monte Carlo consiste basicamente em transformar um conjunto de
números aleatórios em outro com a mesma distribuição de probabilidades da variável em
estudo (PRADO, 1999), o que tornou viável o estudo de sistemas baseados em variáveis de
natureza estocástica.
No início de 1950, com a disponibilidade dos primeiros computadores, a idéia do método de
Monte Carlo pode ser ampliada para a aplicação em problemas mais gerais de caráter
probabilístico, tomando como exemplo, o caso das filas.
modelo de
simulação
entradas
(políticas)
saídas
(respostas)
26
Despontou-se a partir daí a idéia de se simular um processo, estimando seus parâmetros
operacionais, de forma que, assim, surgia a simulação por Monte Carlo.
Por meio do crescente aumento da acessibilidade e melhoria dos recursos computacionais e
com o desenvolvimento de programas e linguagens de simulação específicas, a técnica de
simulação tornou-se cada vez mais utilizada.
De acordo com Bôas (in CARRISSO e POSSA, 1993), os trabalhos de modelagem e
simulação de circuitos mínero-metalúrgicos tiveram seu início de desenvolvimento na
Austrália, pela Mount Isa, dando origem ao JK Mineral Research por volta de 1960. A partir
disso, a simulação vem sendo estudada e aplicada pela indústria mineral em todo o mundo.
Segundo Alves et alii (2004), as técnicas de simulação de processos de cominuição
fundamentadas nos modelos de balanço populacional têm obtido grande êxito em diversos
projetos de aplicação. Segundo os autores, os parâmetros obtidos fornecem condições de
simulação global do circuito, gerando ganhos em vários aspectos acerca de auditoria de
plantas de beneficiamento mineral.
3.2.2 Conceitos fundamentais
Para se entender de maneira eficiente o processo de simulação, é necessário que se faça
menção a alguns conceitos necessários ao seu melhor entendimento. São eles: sistema,
ambiente, entidade, atributo, atividade, estado do sistema, progresso do sistema, variáveis
endógenas, variáveis exógenas, variáveis de estado e corrida de simulação.
a) Sistema
Segundo Gordon (1978) uma simples definição de sistema seria: uma agregação ou
composição de objetos que estão unidos em alguma interação regular ou interdependência. Ou
seja, um sistema seria uma parte do Universo a qual se queira estudar suas políticas de
relações internas e, naturalmente, interações com o ambiente. A Figura 8 apresenta um
exemplo de sistema que encerra moagens e classificações em circuitos fechados.
27
Figura 8- Exemplo de sistema representando circuito FAB (moinho autógeno seguido de moinho de bolas)
Fonte: ALBONY JUNIOR (in FERNADES et alii, 2007, p. 115)
b) Ambiente
Segundo Gordon (1978) ambiente do sistema é o ambiente externo ao sistema cujas mudanças
sofridas podem ou não afetar o sistema e vice-versa. Uma tarefa importante na simulação é
determinar as fronteiras entre o sistema e o seu ambiente.
c) Entidade
Termo utilizado para denotar algum objeto de interesse que pertença ao sistema. Exemplo:
moinho, mineral, carga moedora, etc.
d) Atributo
Este termo denotará a propriedade de uma entidade (uma entidade poderá possuir vários
atributos). Por exemplo, com relação à carga moedora, poder-se-ia definir vários atributos tais
como diâmetro, dureza, resistência mecânica, distribuição de tamanhos, material(is) de
composição etc.
e) Atividade
28
É qualquer processo que possa promover mudanças no sistema, citando como exemplo, a
atividade de quebra no processo de moagem, que por sua vez provoca mudança na
granulometria do produto processado.
f) Estado do sistema
Usado para dar significado descritivo a todas as entidades, atributos e atividades em algum
ponto do tempo.
g) Progresso do sistema
Descreve as mudanças ocorridas em termos de estado do sistema. Por exemplo, no processo
de moagem, o progresso do sistema pode estar relacionado com a quebra de partículas do
material sólido, alterando, portanto, a granulometria do material em determinado ponto do
tempo.
h) Variáveis exógenas
Segundo Naylor et alii, (1971) variáveis exógenas são aquelas variáveis de caráter
independente ou de entrada do modelo, previamente determinadas e fornecidas, não existindo
relações de dependência entre as variáveis exógenas e o sistema, ou seja, a relação causa-
efeito é admitida unidirecionalmente das variáveis exógenas para o sistema, não ocorrendo
nunca o contrário.
As variáveis exógenas podem ser classificadas em controláveis (ou instrumentais) e não
controláveis. As variáveis exógenas controláveis são variáveis ou parâmetros passíveis de
controle e manipulação pelos elementos que detêm poder de decisão. Por exemplo, num
processo experimental de moagem, pode-se decidir previamente trabalhar com seixos ou com
bolas de aço, dependendo do tipo de material processado e dos resultados requeridos.
Quanto à utilização das variáveis exógenas, esta pode ser realizada de duas maneiras distintas
em processo de simulação: como parâmetros (ditadas pelas condições do modelo ou
29
elementos encarregados por decisões) sendo lidas como dados de entrada; ou por meio de
geração de números aleatórios, no caso de serem variáveis de natureza estocástica.
i) Variáveis endógenas
Segundo Naylor et alii, (1971) variáveis endógenas são aquelas variáveis de caráter
dependente ou de saída do sistema. Estas variáveis se originam a partir do processo de
interação das variáveis exógenas e de estado, a depender das características operacionais do
sistema. Uma exemplificação seria a distribuição granulométrica final do produto da moagem,
cuja origem tem haver com a interação da granulometria de alimentação, taxa de seleção e de
quebra de partículas, velocidade de rotação do moinho, massa e distribuição de tamanhos do
meio moedor etc.
j) Variáveis de estado
São variáveis que medem o estado de um sistema ou de um de seus componentes, seja no
início de um determinado período de tempo, seja no decorrer de um certo período de tempo.
Exemplificando, pode-se citar como variáveis de estado no processo de moagem a rotação do
moinho, o nível de desgaste dos corpos moedores ou do revestimento do moinho etc.
k) Corrida de simulação
De acordo com Saliby (1989), corrida de simulação corresponde à unidade mínima de
empenho computacional que gere uma única estimativa relacionada a cada parâmetro em
observação. Por exemplo, no estudo de simulação do processo de moagem, para determinado
intervalo de tempo, estas estimativas podem ser a média e o desvio-padrão do tamanho d
50
dos produtos, descrita por determinada função de densidade.
Dois pontos importantes podem ser destacados: o primeiro é que uma corrida de simulação
pode ser definida pelo número de observações realizadas ou pela duração da observação
(como acontece, normalmente, no caso da moagem); o segundo é que a definição de corrida
se associa a uma única estimativa, o que se faz necessário estimar corretamente o tamanho da
amostra de entrada.
30
3.2.3 Classificação dos modelos de simulação
De acordo com Naylor et alii, (1971), os modelos de simulação podem ser classificados
como: determinísticos ou estocásticos, estáticos ou dinâmicos e discretos ou contínuos.
a) Modelos determinísticos
Nesse tipo de modelo admite-se que as variáveis exógenas e endógenas não são de natureza
randômica. Além disso, as características operacionais seguem relações exatas e nunca
funções de densidade de probabilidade. Uma característica marcante deste tipo de modelo é
que eles são menos exigentes computacionalmente falando, e podem ser resolvidos por
técnicas analíticas de cálculo.
b) Modelos estocásticos
São caracterizados como estocásticos os modelos que possuem ao menos uma das suas
características operacionais ditada por uma função de probabilidade. Estes tipos de modelos
são de natureza bem mais complexa comparados aos modelos determinísticos, portanto sua
resolução por técnicas analíticas se torna muito limitada. Nesse caso, a simulação se torna
uma técnica muito mais apropriada como método de solução e análise.
c) Modelos estáticos
São modelos nos quais a variável tempo não implica em grande importância explícita. A
maioria dos trabalhos realizados nas áreas de programação linear e teoria dos jogos, por
exemplo, se relacionam com modelos estáticos.
d) Modelos dinâmicos
São ditos dinâmicos aqueles modelos cuja modelagem matemática leva em conta interações
variáveis com o tempo. Neste caso, uma variável denominada relógio da simulação existe
para controlar o avanço do tempo.
31
e) Modelos discretos
No processo de simulação discreta, a evolução do tempo é realizada em intervalos de tempo
entre um evento e outro, de forma que o estado do sistema não seja alterado ao longo do
intervalo entre dois eventos consecutivos. Cabe esclarecer que, a discretização mencionada se
aplica apenas ao intervalo de tempo, não tendo relação com o valor das demais variáveis do
sistema que podem, inclusive, assumir valores contínuos.
No processo de simulação contínua, a evolução do tempo é caracterizada como se fosse
verdadeiramente contínua (na realidade, é feita em pequenos intervalos de tempo, por
imposição do método ou recurso utilizado). Este tipo de simulação é muito aproveitável na
aplicação em modelos dinâmicos, como por exemplo, simulação de processos contínuos
(refinaria de petróleo, por exemplo) e modelos desenvolvidos por Forrester (apud SALIBY,
1989).
3.2.4 Simulação: vantagens versus limitações
De acordo com Saliby (1989) a simulação, enquanto abordagem de estudo, vem sendo
crescentemente utilizada nas mais diversas áreas de conhecimento. Dois fatores podem ser
citados para explicar isso:
• a crescente complexidade dos problemas com os quais se defronta; e
• a maior disponibilidade de recursos computacionais (hardware e software).
Em termos de principal vantagem, o que a simulação tem a oferecer de melhor é sua grande
flexibilidade, sendo empregada aos mais variadas naturezas de problemas. Citando:
a) simulação de sistemas de atendimento (filas);
b) simulação de sistemas de estoques e compras;
c) simulação financeira;
d) simulação de sistemas macroeconômicos;
e) simulação de sistemas de transporte público;
f) simulação de operações militares;
g)
simulação de operações mineiras.
32
As características que tornaram os modelos de simulação mais populares segundo SALIBY
(1989) são as seguintes:
a) Realismo dos modelos
A grande liberdade disponibilizada na construção de um modelo de simulação é,
indubitavelmente, um dos mais fortes motivos da sua popularização. A simulação não impõe
o enquadramento de um problema em determinado molde para chegar-se a uma solução,
como acontece, por exemplo, no caso da programação linear. Portanto, em troca de soluções
exatas para “problemas aproximados”, ter-se-ão soluções aproximadas para “problemas mais
reais”.
b) Evolutibilidade dos processos de modelagem
Um dos grandes benefícios da metodologia do processo de modelagem em simulação é a sua
dimensão evolutiva. Ou seja, parte-se de um modelo a priori simples, e, aos poucos, vai se
estudando e observando de maneira distinta as particularidades do problema em estudo. Por
meio desta característica de aprendizagem, o modelo pode ser aperfeiçoado, absorvendo
novas variáveis, relações e/ou condições.
c) Flexibilidade dos modelos
O modelo de simulação torna possível avaliar conseqüências de um conjunto de decisões,
sendo, desta forma, propícia à formulação de perguntas do tipo “o que se...?” (PIDD, 1998;
FREITAS FILHO, 2008; SALIBY, 1989) que dão margem para avaliar, baseado no modelo, a
repercussão de elegíveis mudanças de cenário ou diferentes decisões e políticas.
d) Tratabilidade de problemas pouco estruturados
Não raramente há oportunidade de se deparar com problemas pouco estruturados, ou seja, que
fazem menção a situações pobres quanto a informações que dizem respeito às suas variáveis
e/ou interações. A simulação é uma das poucas metodologias capazes de oferecer meios para
tornar possível o estudo deste tipo de problema. Porém, há de se ter cuidado na etapa de
33
avaliação dos resultados. De acordo com Simon (apud SALIBY, 1989), existe dependência
direta entre o resultado da simulação e as premissas que a geraram, ou seja, a qualidade dos
resultados varia em função da qualidade e precisão dos argumentos nos quais o modelo se
apoiou.
e) Facilidade de comunicação
Como a modelagem de simulação não se restringe a moldes rígidos, como um conjunto de
complicadas equações matemáticas, isto torna o modelo muito mais acessível em termos de
compreensão por parte do usuário. Paralelamente, muitas pesquisas vêm sendo dedicadas ao
desenvolvimento da simulação visual, cuja principal característica é permitir a comunicação
com os demais elementos interessados ou que venham a ser afetados de alguma forma pelas
decisões tomadas.
f) Controle sobre rapidez e qualidade da solução
Em diversas situações, não há necessidade de obter a solução precisa para determinado
problema e/ou situação. Ou seja, preza-se mais, em determinados momentos, pela ordem de
grandeza da variável, obtida num curto espaço de tempo, do que seu valor exato, obtido por
meio de procedimentos que exigem um grande tempo de execução. Nesta chamada “Era da
Globalização”, na qual os cenários mudam muito rapidamente, esse tipo de ferramenta pode
representar grande vantagem competitiva a quem a detém.
Segundo Saliby (1989) as principais dificuldades relacionadas à simulação são as seguintes:
a) Dificuldade de modelagem
A tradução de um problema real num modelo de simulação é uma etapa rigorosa para a qual
se tem procurado obter maior apoio computacional. O uso de diagramas – como o ciclo de
atividades proposto por Pidd (apud SALIBY, 1989) – como metodologia de representação da
evolução das entidades de um sistema ao longo do tempo tem sido cada vez mais utilizada.
Simultaneamente, o desenvolvimento de facilidades computacionais interativas de apoio à
34
modelagem também representa grande progresso, pois permitem simplificar a tarefa de
programação.
b) Dificuldade de programação
A maior dificuldade relacionada a etapa de programação de um modelo de simulação se
relaciona à especificidade de recursos de software, ou seja, a inexistência de uma biblioteca
de rotinas pré-programadas, o uso de linguagens gerais de programação resultará num elevado
custo de programação e, dessa forma, comprometer a extensão prejudicial o prazo de
conclusão de determinado estudo.
Os principais investimentos relacionados à melhoria desta etapa têm se concentrado no
desenvolvimento de programas geradores de linguagens de simulação, tais como: ARENA,
PROMODEL, SIMAN, SIMIN, GASP, SCICOS (módulo do SCILAB) etc.
c) Tempo de processamento e baixa precisão dos resultados
Muitos autores recomendam a abordagem de um problema através de simulação como um
último recurso, devido à baixa precisão dos seus resultados. Tal imprecisão advém do
processo de amostragem, relacionado geralmente com o tamanho da amostra. Daí, uma
alternativa possível para minimizar esse problema seria trabalhar com amostras maiores. Mas,
por outro lado, aumentaríamos a demanda de esforço computacional, aumentando, também, o
tempo de processamento, que depende do porte dos recursos computacionais disponíveis.
d) Validação dos modelos de simulação
As soluções geradas a partir do modelo de simulação têm uma relação indireta com o
problema real. Daí, estas soluções geradas têm relação com o modelo representativo da
realidade, devendo servir, também, como respostas adequadas em relação ao problema real.
A validação das respostas tem que ser realizadas e poderão ser feitas em dois níveis:
• na verificação do modelo computacional (modelo livre de erros, etapa trabalhosa,
mas que não deve ser negligenciada); e
35
• na validação do modelo conceitual (correspondência que deve existir entre o modelo
e a realidade, isto é uma tarefa árdua).
36
3.2.5 Planejamento de experiências de simulação
Naylor et alii, (1971) sugere que o planejamento de experiências de simulação siga nove
etapas, esquematizadas na forma de fluxograma mostrado na Figura 9.
Figura 9- Fluxograma para o planejamento de experiências de simulação.
Fonte: NAYLOR et alli (1971).
Apesar do fluxograma supracitado ter sido proposto no início da década de 70, Freitas Filho
(2008) o considera válido, visto que as conduções do processo de simulação atuais pouco
diferem dos passos definidos no mesmo.
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
COLETA E PROCESSAMENTO DE
DADOS
FORMULAÇÃO DO MODELO
MATEMÁTICO
ESTIMATIVA DOS PARÂMETROS
AVALIAÇÃO DO
MODELO
FORMULAÇÃO DO PROGRAMA DE
COMPUTADOR
PROJETO DE EXPERIÊNCIAS
ANÁLISE DOS DADOS DA
SIMULAÇÃO
MODELO
REJEITADO
MODELO ACEITO
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
VALIDAÇÃO
37
3.2.6 Estimação da variabilidade do processo de simulação
Por definição, a cada corrida de simulação obtemos uma única estimativa, que pode ser
representada, para cada parâmetro estudado, por:
x
i
, i = 1,..., k.
Essas estimativas podem ser, por exemplo, a média e variância, relativos ao parâmetro,
portanto:
xx =
1
e x
2
= s
2
x
Diferentes amostras oriundas de uma mesma população podem dar origens a estimativas
diferentes e, neste caso, pode-se falar em “distribuição das estatísticas da amostra”,
originando por conseqüência uma função de distribuição de probabilidades (FDP) das médias
e variâncias (DALMOLIN, 2002).
Assim as estimativas variarão de corrida para corrida. É comum adotar-se o erro médio
quadrático como critério de medida de variabilidade, assim definido:
EMQ(x
i
) = E(x
i
- x )
2
que pode ser expresso da seguinte forma:
EMQ(x
i
) = s
2
(x
i
) +[E(x
i
) – x ]
2
Este termo escrito acima leva em consideração o viés da estimativa, o qual pode ser
desprezado caso:
E(x
i
)
≅
x
i
Pois, assim:
EMQ(x
i
)
≅
s
2
(x
i
)
38
Assim, apesar da variância servir como medida de precisão no caso de estimativas não
tendenciosas, ela poderá também ser empregada para estimativas tendenciosas, desde que o
viés seja pequeno o suficiente, ou seja:
[E(x
i
) x
i
]
2
/s
2
(x
i
)]
≅
0
O estudo de modelos de simulação envolve a busca de uma estimativa para cada parâmetro
em foco, além de fornecer uma medida para sua precisão. Em princípio, dois fatores
determinam a precisão das estimativas em foco: o tamanho ou duração da corrida (empenho
computacional) e o método de amostragem utilizado (distribuição representada).
a) O tamanho ou duração da corrida (empenho computacional)
Este fator de tamanho ou duração da corrida terá efeito no tempo de processamento da
informação, ou seja, quanto maior o tamanho da corrida ou de sua duração – a depender do
tipo de modelo abordado – o número de dados processados será maior ou menor, implicando
respectivamente num maior ou menor empenho (esforço) computacional.
b) O método de amostragem utilizado (empenho amostral)
A depender da quantidade de valores amostrais gerados numa corrida – sem levar em
consideração o tipo de distribuição considerado – o empenho amostral será maior ou menor,
apresentando uma idéia do volume de processamento por corrida, em termos de ordem de
grandeza.
Em termos de convergência, quanto maior o esforço de amostragem, ou seja, quanto mais
valores do parâmetro forem gerados numa corrida, maior será a precisão do parâmetro de
forma que, a limitação para a obtenção do valor exato do parâmetro reside na limitação de
recursos computacionais. Essa conclusão vem a ter estrito relacionamento com a propriedade
geral das estimativas:
i
i
n
xxE =
∞→
)(lim e ,,...,1,0)(lim
2
Ljxs
i
n
==
∞→
39
3.3 Números e Variáveis Aleatórias
A geração de números e variáveis aleatórias constitui uma função primordial em muitos
processos de simulação. A grande maioria dos software de simulação possuem um gerador de
números pseudo-aleatórios.
Na prática, através de uma seqüência de números uniformemente distribuídos entre 0 e 1,
geram-se novas seqüências com distribuições arbitrárias, em acordo com os objetivos e
natureza do objeto de simulação.
3.3.1 Pseudo-aleatoriedade
Uma das mais poderosas ferramentas que se dispõe atualmente e que vem sendo aperfeiçoada
a cada dia é o computador digital. Sem este recurso não seria possível realizar muitas
atividades importantes, dentre elas, uma simulação complexa.
Com o auxílio do computador digital, pode-se gerar deterministicamente uma seqüência de
números que classificamos como pseudo-aleatórios. Esta classificação se deve ao fato de que
o comprimento do ciclo que determina a repetição da mesma seqüência de números é finita, e,
na prática, depende do maior inteiro representável no computador digital utilizado.
3.3.2 Características importantes
Na geração de números pseudo-aleatórios deve-se estar atento a evitar alguns prováveis
problemas:
− Geração não-uniforme da distribuição dos números;
− Números gerados assumindo valores discretos ao invés de contínuos;
− Desvio na média;
− Desvio na variância;
− Ocorrência de variações cíclicas (autocorrelação, números crescentes ou decrescentes,
muitos números acima da média seguidos de muitos números abaixo da média).
40
Quanto às características positivas, pode-se primar por:
− maior rapidez na geração da seqüência numérica;
− portabilidade;
− ciclo mais longos quanto possível;
− reprodutibilidade;
− uniformidade da distribuição e independência entre os valores numéricos.
3.3.3 Geração de números aleatórios
Existem diversos métodos de geração de números aleatórios. Um dos mais simples, porém
não menos poderoso (se escolhidos de forma correta os parâmetros), denominado método
congruencial linear.
O método congruencial linear parte da seguinte relação de recorrência:
m
X
R
mcaXX
i
i
ii
=
+
=
+
mod)(
1
i = 1, 2,...n
Onde,
X
0
: semente da geração (ponto inicial da seqüência) [-];
a: constante multiplicativa[-];
c: incremento[-];
m: módulo (indica que de m em m valores a seqüência se repetirá) [-];
Ri: seqüência dos valores normalizados no intervalo [0,1].
Observações:
1) c=0 implica em método congruencial multiplicativo;
2) c≠0 implica em método congruencial misto.
41
As escolhas dos valores de a, c, m e X
0
modificam fortemente as propriedades estatísticas e o
comprimento do ciclo.
A seqüência R
i
serve para normalizar os resultados e contém exclusivamente valores no
conjunto:
−
=
m
m
mm
I
1
,...,
2
,
1
,0
Onde m determina o máximo comprimento do ciclo e a maior densidade.
Como a eficiência do método depende diretamente da escolha dos parâmetros, deve-se
estabelecer uma forma de determiná-los corretamente.
Segundo Rosa e Pedro Júnior (2002), a escolha deve começar pelo módulo m, que determina
o tamanho do ciclo de números gerados. O módulo deve ser escolhido adequadamente de tal
sorte que seja suficientemente maior do que n valores que o usuário necessita gerar e,
também, que não seja muito maior, como meio de poupar recursos computacionais de
processamento e memória. Estabelecendo m em função de n, pode-se chegar a seguinte
relação:
(
)
[
]
2
10_ nprimomenorm =
A função estabelecida como menor_primo(x) deve retornar o menor primo d, de tal sorte que
d < x.
Através da relação estabelecida, pode-se garantir que m seja suficientemente maior do que n e
que m é da forma m = p
2
, sendo p um número primo. Portanto, segue que os únicos divisores
de m serão 1, p e m. Para escolher o valor mais conveniente para a, far-se-á uso da seguinte
relação:
(
)
110_ += nprimomenora
É conveniente que o parâmetro c seja escolhido no intervalo entre 0 e
10
m
, c diferente de q.
42
Para a escolha da semente, esta pode ser escolhida entre 0 e m.
3.4. Modelos de Otimização
Como visto no capítulo anterior, um modelo não é uma tradução idêntica da realidade, mas se
possuir similaridade suficiente, este pode ser utilizado para se formar conclusões a partir de
sua análise e/ou operação.
Para Goldbarg (2000), um modelo de otimização de sucesso depende de um processo que o
mesmo denomina por “tradução” ou “formulação”, que consta da construção do modelo de
otimização que traz consigo uma carga de natureza quantitativa e matemática.
Apesar da formulação do modelo possuir um caráter rigoroso, sua obtenção parte de
processos poucos rigorosos ou conhecidos tais como intuição, experiência, criatividade, poder
de síntese etc., ou seja, qualidades intrínsecas de quem constrói o modelo.
3.4.1 Padrões para formulação de modelos de otimização
Segundo Ackoff (apud GOLDBARG, 2000) existem cinco padrões de construção de modelos
de otimização:
• Padrão 1: a estrutura do sistema é suficientemente simples e evidente, podendo ser
compreendida por inspeção, caracterizando a possibilidade de facilidade de
formulação, a depender do número e porte de avaliação das variáveis não controláveis
e outros parâmetros;
• Padrão 2: quando a estrutura do sistema é relativamente aparente, mas sua
representação simbólica não é tão aparente, configurando necessidade de busca de um
sistema análogo que possua estrutura conhecida (ex. emprego do algoritmo heurístico
simulated annealing para determinação de máximo e mínimo de uma função
complexa);
43
• Padrão 3: quando a estrutura do sistema não é aparente (caixa preta), porém as
necessidades de informação a respeito do mesmo podem ser supridas através de uma
análise estatística, onde se tem respostas seguras para determinados estímulos;
• Padrão 4: quando a estrutura do sistema não é aparente e não é possível isolar os
efeitos das diversas variáveis através de uma análise estatística. Nessa situação o
projeto de experiências será determinante para reduzir o problema ao padrão 3 por
meio da determinação das variáveis e correlações relevantes;
• Padrão 5: quando se verifica as situações descritas no padrão 4, porém com
limitações em termos de experimentações possíveis para o objetivo. Nesse caso, pode-
se apelar para modelos de conflitos e jogos de operações, além da modelagem criativa.
A determinação do tipo de padrão referente ao modelo é importante para se estipular o grau
de dificuldade de formulação, bem como estabelecer o rumo das investigações.
3.4.2 Modelagem matemática de modelos de otimização
A modelagem matemática, assim como a simulação, pertence ao campo de conhecimento da
chamada pesquisa operacional (PO) e trata do desenvolvimento das equações que, apoiadas a
uma estrutura lógica, permitirá a correta formulação do modelo de otimização (GOLDBARG,
2000).
A programação matemática reúne os principais modelos quantitativos da PO e são divididos
nas seguintes subáreas:
a) Programação linear
Representam o caso particular dos modelos de programação no quais as variáveis são
contínuas e suas restrições e função objetivo se comportam de forma linear.
b) Programação não-linear
44
Ocorre quando existir qualquer tipo de não-linearidade em alguma de suas restrições ou na
função objetivo. Em alguns casos modelos de programação não-linear podem ser
transformados em modelos de programação linear.
c) Programação inteira
Caracteriza modelos nos quais alguma variável não pode assumir valores contínuos, ficando
limitada a assumir somente valores discretos. Este tipo de modelo assume maior grau de
complexidade computacional.
45
3.5. Inteligência Artificial
Não se tem uma definição única de IA, porém, de acordo com Luger (2004), ela pode ser
definida como um ramo da ciência da computação voltado para a automação do
comportamento inteligente, se preocupando em fundamentar em sólidas bases os princípios
teóricos e práticos desta área, incluindo para tanto as estruturas de dados para representação
do conhecimento, os algoritmos de aplicação e as linguagens e técnicas de programação
necessárias a sua implementação.
Embora possam ser encontrados vestígios de tentativas de compreensão do funcionamento da
inteligência humana nas reflexões de alguns filósofos desde a Grécia Antiga (tal como
Aristóteles), segundo Nascimento Jr. e Yoneyama (2000), historicamente o surgimento da IA
data de 1948, quando N. Wiener definiu o termo cibernética, que engloba, entre outros
assuntos, o estudo da inteligência de máquinas. A partir daí, outros pesquisadores foram
dando corpo e maior importância a essa área do conhecimento, tal como Alan Turing, que
propôs em 1950 o denominado Turing Test para avaliar comparativamente a inteligência de
uma máquina (computador digital) em contraste com a inteligência de um ser humano.
Em 1956, os estudos sobre a construção de inteligência se intensificaram nos Estados Unidos
e começaram a ser denominados por IA a partir da conferência proferida ao Darmouth
College, na Universidade de New Hampshire, evento que reuniu diversos pesquisadores
interessados no assunto (MAIA, 1998 apud ROCHA, 2006).
Em 1970 vários protótipos de sistemas especialistas obtiveram sucesso para interpretação de
espectogramas de massa (DENTRAL), análise de dados geológicos para pesquisa de
depósitos de petróleo (DIPMETER) e minerais (PROSPECTOR) e sistemas de configuração
de computadores (XCON/R1) (ROCHA, 2006).
A IA abrange diversas subáreas com foco em diferentes estudos e ferramentas, podendo citar
os sistemas especialistas, compreensão da linguagem natural e modelagem semântica,
modelamento do desempenho humano, planejamento, robótica, aprendizagem de máquina e
representações alternativas. Essa última se preocupa com a representação explicita do
46
conhecimento e algoritmos de busca. Destacam-se nesse âmbito as redes neurais e os
algoritmos genéticos
3.5.1 Redes neurais artificiais (RNAs)
A concepção de RNA ocorreu na década de 40 pelo neurofisiologista Warren McCulloch e
pelo matemático Walter Pitts, que estabeleceram uma analogia entre as células nervosas vivas
e o processamento eletrônico. A partir da década de 80 surgiram inúmeros modelos para
desenvolver e aplicar essa tecnologia (TAFNER, 2006 apud PAULA, 2006).
As RNAs representam uma abordagem em IA utilizada para implementar a inteligência em
máquinas (computadores digitais) embasada em modelos que emulam a estrutura de
funcionamento dos neurônios no cérebro humano (LUGER, 2004). Sua origem remonta aos
modelos matemáticos e de engenharia de neurônios biológicos (KOVÁCS, 2006).
De acordo com Haykin (2001) (apud PAULA, 2006), uma RNA consta de um processador
distribuído paralelamente, composto de unidades simples de processamento, possuindo
tendência natural de acumular conhecimento empírico (aprendizagem) e disponibilizar
mecanismos de recuperação (memorização).
Segundo Ezugwu et alii (2005) (apud PONTES, 2006), as RNAs representam uma poderosa
técnica de modelagem, permitindo-se modelar relações cuja descrição com a utilização de
modelos físicos seria difícil.
Porém, de acordo com Medeiros (1999), para que as soluções derivadas do uso de RNA
tenham desempenho satisfatório, os problemas devem ser tolerantes a uma determinada
imprecisão, dispor de uma grande quantidade de dados de treinamento e não necessitar de
regras de decisão discretas (por exemplo, 0 ou 1, sim ou não). Algumas aplicações das RNA
são: o reconhecimento de padrões em imagens, processamento de voz, processamento de
sinais, análise de séries temporais, simulação de sistemas biológicos, diagnósticos médicos e
previsões no mercado financeiro.
47
Mello (2004) (apud PAULA, 2006) destaca que uma RNA é capaz de reconhecer padrões,
obter regularidades e perceber relações subjacentes em uma massa de dados a priori
desconexa, apresentando inclusive habilidades de trabalhar com dados incompletos, com
interferência ou imprecisos e de prever sistemas não-lineares.
3.5.1.1 O neurônio biológico
Conforme Luger (2004), o neurônio biológico é uma célula delimitada por uma fina
membrana celular que possui determinadas propriedades que permitem o funcionamento
elétrico da célula nervosa. Um esquema simplificado de neurônio (Fig. 10), é composto de um
corpo celular que possui diversas saliências ramificadas, denominadas dendritos, e de um
único ramo chamado de axônio. Os neurônios se comunicam com os vizinhos através de
sinais na forma de impulsos elétricos que se propagam por meio do axônio. As sinapses são
pontos de contato entre as terminações do axônio de um neurônio com os dendritos de outros,
podendo ser excitatórias ou inibitórias, dependendo se contribuem para elevar ou diminuir o
sinal global do neurônio receptor.
Figura 10 – Esquema simplificado de neurônio biológico.
Fonte: TAVARES, 2001.
48
3.5.1.2 O perceptron
Uma RNA, similarmente ao seu paralelo biológico, é composta por um determinado número
de neurônios conectados por conexões sinápticas. Cada conexão sináptica possui um peso
associado, onde o conhecimento acumulado na rede depende diretamente da atualização
desses pesos. Alguns desses neurônios são conectados ao ambiente externo, tratando-se das
entradas e das saídas da rede. Cada neurônio possui um conjunto de entradas e de saídas
ligadas a outros neurônios, exceto os neurônios de entrada e de saída que possuem um ou
outro. Um neurônio possui um patamar atual de ativação que deriva da conjugação das
entradas atuais recebidas com os pesos sinápticos das conexões, cujo valor resultante poderá
ativar ou não as saídas deste neurônio (MEDEIROS, 2006).
A Figura 11 apresenta um modelo de neurônio chamado de perceptron, pesquisado e
desenvolvido por Rosenblatt nas décadas de 50 e 60.
Figura 11 – Modelo de um neurônio perceptron de Rosenblatt.
Fonte: Adaptado de Medeiros (2004, p. 3)
Nesse modelo de neurônio apresentado, o perceptron, as variáveis apresentadas são as
seguintes:
x
i
: entradas do neurônio;
w
i
: pesos das sinapses;
∑
∑∑
∑
-1
Saída
x
1
x
2
x
3
x
4
x
n
w
1
w
2
w
3
w
4
w
n
w
0
s
o
Função de
ativação
E
N
T
R
A
D
A
S
Pesos
Função
soma
49
w
o
: bias;
d: saída intermediária; e
o: saída ativada.
Através das entradas x
i
são apresentados os valores que se desejam processar. Os pesos das
sinapses w
i
(que representam o aprendizado da rede) assumirão valores que, aplicados aos
valores de entrada, resultarão numa saída intermediária s. Tais pesos são atualizados por meio
de um processo de treinamento prévio. A variável w
o
, denominada por bias, não multiplica
nenhuma entrada, possui valor fixo e funciona como uma espécie de ajuste fino (MEDEIROS,
2006).
Para obter o valor da saída intermediária s, realiza-se o somatório da multiplicação entre as
entradas e seus respectivos pesos numa função denominada soma, ou seja:
s =
∑
∑∑
∑
(x
j
w
ij
) + w
o
(3.5.0)
A função denominada função de ativação ou de transferência limita a amplitude do intervalo
do sinal de saída do neurônio para algum valor finito, normalmente no intervalo [-1,1] ou
[0,1].
Os principais tipos de funções de ativação são apresentados no Quadro 3.
50
Quadro 2 – Principais funções de ativação utilizadas no perceptron.
Fonte: Paula (2006, p. 49)
Das funções de ativação apresentadas, a de uso mais comum é a sigmóide, por apresentar
algumas características vantajosas tais como: continuidade, monotonicidade, não linearidade e
diferenciabilidade em qualquer ponto.
3.5.1.3 Treinamento das RNAs
De acordo com Mendes Filho e Carvalho (1997) e Warsseman (1989) (apud LOPES, 2005),
uma característica muito importante das RNAs é a capacidade de aprender por meio de
treinamento e, com isso, poder melhorar seu desempenho de reproduzir uma saída desejada
por meio de um conjunto de entrada. A aprendizagem se completa quando a RNA chega a
uma solução generalizada para uma classe de problemas.
51
Segundo Medeiros (2004), o ajustamento dos pesos das sinapses deve ocasionar a
convergência de erro para um valor mínimo. Esse processo pode ser visualizado na forma de
um gráfico (Fig. 12) no qual o erro global E (diferença média quadrática entre as saídas
desejadas e saídas calculadas) é representado no eixo vertical e, no eixo horizontal, estão
representados os valores que um peso w pode assumir.
Figura 12 – Representação gráfica da convergência do peso de uma sinapse para um valor correspondente
a um erro mínimo.
Fonte: Adaptado de Medeiros (2004, p. 15)
Os principais modelos de aprendizagem são:
a) Aprendizagem supervisionada ou associativa
Este modelo de aprendizagem se caracteriza por possuir um agente externo (tutor ou
professor) que indica à rede a saída desejada para o padrão de entrada, onde o ajustamento dos
pesos é realizado por comparação da saída da rede com a saída desejada. Para executar esse
tipo de treinamento é preciso que se tenha um conjunto de entrada pré-classificado (conjunto
de treinamento). O ajustamento dos pesos será realizado até que as respostas geradas pela rede
possam classificar os dados de forma suficientemente correta.
Deve-se ter cuidado durante a fase de treinamento para que não ocorra treinamento excessivo
da rede, processo conhecido como overfitting, situação que ocasiona a memorização dos
w
w
inicial
E
E
min
w
final
52
dados pela rede e a conseqüente perda de capacidade para reconhecer padrões diferentes do
conjunto de entrada.
b) Aprendizagem não supervisionada
Consiste no treinamento autônomo da rede utilizando-se apenas do vetor de valores de
entrada. Parte-se do princípio que a rede seja capaz de obter, pelo seu próprio esforço,
características importantes dos dados de entrada estatisticamente. São exemplos de rede que
possuem esse tipo de treinamento as redes de Hopfield, Kohonen e ART (convencional e
nebulosa) (KROSE e SMAGT, 1996; WASSERMANN, 1989 apud LOPES, 2005).
c) Treinamento híbrido
Neste modelo de treinamento adotam-se ambos os tipos de treinamento supervisionado e não
supervisionado, de modo alternado.
3.5.1.4 Arquitetura das RNAs
Segundo Menezes (2004) (apud ROCHA, 2006) a sistematização dos neurônios numa RNA
está diretamente relacionada ao problema que se deseja resolver, sendo esse um aspecto muito
importante também para a definição do algoritmo de aprendizagem a ser utilizado.
De acordo com Lopes (2005), as RNAs são compostas basicamente por três camadas: camada
de entrada, camada intermediária (ou camada oculta) e camada de saída, como ilustrado pela
Figura 13.
53
Figura 13 – Representação de uma RNA típica.
Fonte: Lopes (2005, p. 32)
Existem diversos tipos de RNAs para os mais diversos tipos de aplicações. Alguns tipos são
apresentados:
a) Perceptron de camada única
O perceptron é a forma mais simplificada de uma RNA usada para classificação de padrões
ditos linearmente separáveis, citando como exemplo padrões que se encontram em lados
opostos de um hiperplano (HAYKIN, 2001 apud ROCHA, 2006).
b) Perceptron multicamada (PMC)
Segundo Lima (2006), quando muitos neurônios se ligam, forma-se uma rede e, o efeito
combinado da mesma, é a capacidade de tomar decisões complexas.
54
O denominado perceptron multicamadas consiste numa generalização do perceptron de
camada única. Segundo Cybenko (1989) (apud ROCHA, 2006) uma RNA com uma camada
oculta é capaz de implementar qualquer função contínua. Com duas camadas ocultas a rede é
capaz de aproximar de qualquer função.
Segundo Rossomando (2006), a capacidade que as RNA possuem de aproximar funções com
grau arbitrário de precisão provavelmente justifica sua ampla aplicabilidade no campo da
identificação e controle de processos.
c) Rede neural ADALINE
Desenvolvida por Widrow e Hoff em 1959, é utilizada para o reconhecimento de padrões,
porém apenas reconhece os padrões nos quais foi treinada. Após ser generalizada para uma
RNA multicamada, passa a ser denominada MADALINE, apresentando grande tolerância a
falhas (WIDROW E HOFF, 1960 apud LOPES, 2005)
d) Rede neural feedforward
Consiste de uma RNA multicamada utilizada normalmente para classificação e controle de
robôs (MINSKY e PAPERT, 1969 apud LOPES, 2005).
e) SOM de Kohonen
A rede SOM (Self Organizing Map) de Kohonen, consiste numa rede competitiva com
habilidade de realizar mapeamento entre dados de entrada e de saída (KOHONEN, 1972
apud LOPES, 2005).
f) Rede neural retropropagação
Werbos apresentou a primeira concepção do algoritmo de retroprogação (backpropagation),
em 1974. Em 1986, Rumelhart, Hinton e Williams tiveram a idéia de utilizar o algoritmo de
Werbos para ajustar os pesos de uma RNA das unidades de entrada para as unidades de saída
55
e propagar o erro no sentido inverso. Essa rede é utilizada em operações lógicas complexas e
classificação de padrões (RUMELHART et alli, 1986 apud LOPES, 2005).
3.5.1.5 RNA com retropropagação
A rede neural do tipo retropropagação consiste numa rede neural tipo feedforward treinada
com o algoritmo retropropagação. Motivada pela grande popularidade desse método para o
treinamento de RNAs, as redes treinadas por meio desse método são denominadas de redes
retropropagação.
De acordo com Paula (2007), a grande vantagem da utilização do método retropropagação
reside no fato de existirem uma quantidade de equações bem definidas e explícitas voltadas
para a correção dos pesos na rede. A correção do erro nos pesos das sinapses é realizada por
meio da retropropagação do erro obtido na comparação entre a saída gerada pela rede e a
desejada, objetivando diminuir o erro total da saída gerada pela rede.
Segundo Fausset (1994) (apud PAULA, 2007), o método retropropagação consiste de três
etapas: a propagação dos dados da camada de entrada para a camada de saída da rede, o
cálculo e a retropropagação relativa ao erro gerado na rede, e a correção dos pesos sinápticos.
Na primeira etapa, os dados de entrada são apresentados à rede e as ativações são conduzidas
até alcançarem a camada de saída, obtendo o resultado. Nas segunda e terceira etapas, o
resultado obtido na camada de saída é comparado com a resposta desejada e o erro gerado é
calculado para as unidades de saída. A partir disso, os pesos das unidades de saída são
corrigidos para diminuir o erro. Na seqüência, o erro da camada de saída é utilizado para
derivar estimativas de erro para as unidades das camadas ocultas e, assim, o erro é propagado
para trás até atingir a conexão da camada de entrada.
O método retropropagação corrige os pesos sinápticos incrementalmente, tendo como critério
a análise entrada-saída. Após concluir a análise de todos os pares de entrada-saída, é dito que
se concluiu uma corrida. No entanto, esse processo requer diversas corridas.
56
O processo de atualização de pesos efetuado pelo método retropropagação é ilustrado por
meio da Figura 14.
57
Figura 14 – Atualização de pesos efetuada no processo de backpropagation.
Fonte: Adaptado de PAULA (2007, p. 60)
Camada 1
(Camada de Entrada)
Pesos
w
1j
Camada 2
(Camada Oculta)
Pesos
W
2j
Camada
n
(Camada Oculta)
Pesos
W
nj
Camada
m
(Camada de Saída)
Saída
Saída
desejada
Erro
Novos pesos
Novos pesos
Novos pesos
Corrigir
w
nj
Corrigir
w
2j
Corrigir
w
1j
58
Segundo Paula (2007), a correção dos pesos realizada no método de retropropagação é
embasada na regra Delta de Widrow-Hoff, que foi desenvolvida para ajustar os pesos
sinápticos na entrada de cada neurônio, tendo por referência o erro calculado entre a saída real
produzida pela rede e a saída desejada para algum vetor de entrada. A correção dos pesos é
realizada pelo método de otimização LMS (Least Mean Square), ou mínimos quadrados, cujo
objetivo é determinar um valor para o peso que minimize o erro de saída da rede.
Considerando uma rede com retropropagação, o ajuste do erro é feito pela retropropagação do
erro, realizando uma distribuição do erro referente aos neurônios de saída para os demais
neurônios da rede. Porém, apesar de ser possível conhecer o erro global, não há meio de se
determinar os pesos, com exatidão, para corrigi-los. Entretanto, com base no erro global, é
possível determinar as direções nas quais os pesos precisam ser ajustados no sentido de
minimizar o erro quadrático total na saída da rede. De posse dessas direções, torna-se portanto
possível regular os pesos no sentido de atingir o menor erro global.
A soma do erro quadrático instantâneo de cada neurônio disposta na última camada (camada
de saída da rede) é dada por (VILLALBA e BEL, 2000 apud LOPES, 2005, p. 41):
Onde,
ε
εε
ε
i
= d
i
- y
i
;
d
i
: saída desejada para o i-ésimo elemento da última camada da rede;
y
i
: saída do i-ésimo elemento da última camada da rede;
ns: número de neurônios da última camada da rede.
Tomando o neurônio de índice i da rede e utilizando o método do gradiente descendente
(SIMPSON, 1989; VILLALBA e BEL, 2000 apud LOPES, 2005), o ajuste dos pesos pode se
dar como:
(3.5.1)
(3.5.2)
59
Onde,
γ
γγ
γ: parâmetro de controle da estabilidade ou taxa de aprendizagem;
h: índice de iteração;
∇
∇∇
∇
i
(h) : gradiente do erro quadrático com relação aos pesos do neurônio avaliado em h;
V
i
: vetor contendo os pesos do neurônio i.
Da equação 3.5.1, a direção adotada para minimizar a função do erro quadrático se refere a
direção contrária ao gradiente. O gradiente
∇
∇∇
∇
i
(h) pode ser expresso por (KROSE e SMAGT,
1996, apud LOPES, 2005):
A função de ativação considerada é a função sigmóide definida por:
Onde,
ρ
ρρ
ρ
: constante de determinação de translação da curva y
i
;
λ
λλ
λ
: constante de determinação da inclinação da curva y
i
.
Diferenciando a equação 3.5.1 com relação ao vetor V
i
, tem-se:
A partir da equação acima, obtem-se:
(3.5.3)
(3.5.4)
(3.5.5)
(3.5.6)
60
Onde,
Derivando a equação 3.5.0, tem-se:
Sendo:
X
i
: vetor padrão.
Substituindo-se a equação 3.5.8 em 3.5.7, tem-se:
Inserindo-se a equação 3.5.10 na equação 3.5.4, tem-se:
Empregando o gradiente estimado através da equação 3.5.11 no método do gradiente
descendente, equação 3.5.2, obtém-se o seguinte:
Caso o elemento i se encontre na última camada, então:
Caso o elemento i se localize nas demais camadas, então:
(3.5.7)
(3.5.9)
(3.5.10)
( 3.5.11)
( 3.5.12)
( 3.5.13)
(3.5.8)
61
Onde:
sgm'(s
i
): derivada da função sigmóide dada pela equação 3.5.5;
R
(j)
: conjunto dos índices dos elementos que se encontram na fileira seguinte à fileira do
elemento i e que estão interligados ao elemento i.
A derivada parcial da função sigmóide pode ser expressa por:
Em resumo, o algoritmo de retropropagação segue os seguintes passos (LOPES, 2005):
a) Apresentação de uma entrada X à rede, que fornecerá uma saída Y;
b) Cálculo do erro para cada saída da rede;
c) Determinação do erro retropropagado pela rede associado à derivada parcial do erro
quadrático de cada elemento relacionado aos pesos;
d) Ajuste dos pesos referentes a cada elemento;
( 3.5.14)
( 3.5.15)
62
e) Apresentação de uma nova entrada à rede, repetindo o processo até que haja
convergência da rede, ou seja, quando o erro obtido por meio do treinamento da rede
for menor que um valor preestabelecido.
3.5.1.6 Algoritmo retropropagação com momento
Com vistas a melhorar o desempenho do algoritmo retropropagação, vários esforços na
literatura foram feitos neste sentido, abordando o método de várias formas. Uma delas foi a
consideração do termo momento (WIDROW e LEHR, 1990, apud LOPES, 2005).
De acordo com Krose e Smaght (1996) (apud LOPES, 2005), o processo de aprendizagem
impõe que alterações nos pesos das sinapses sejam proporcionais a
∂
∂∂
∂
ε
εε
ε
i
/
∂
∂∂
∂
V
i
. Isto garante que
não haja oscilações muito grandes para γ
γγ
γ, evitando a falta de direcionamento. Uma forma de
estabelecer isso é fazer com que a atualização dos pesos dependa da variação dos pesos
anteriores por meio do acréscimo do termo momento.
O ajuste dos pesos, nesse caso, pode ser formulado da seguinte forma (WIDROW e LEHR,
1990 apud LOPES, 2005):
Onde,
υ
υυ
υ
ij
: peso correspondente à interligação entre o i-ésimo e j-ésimo neurônio;
γ
γγ
γ: taxa de treinamento;
η
ηη
η
: constante momento (0 ≤
η
ηη
η
<1).
Se o elemento j se encontrar na última camada, então:
( 3.5.16)
63
Onde,
σ
1
: derivada da função sigmóide com relação a s
1
.
No caso do elemento j se encontrar nas demais camadas, tem-se:
Onde:
R
(j)
: conjunto de índices dos elementos localizados na fileira seguinte à fileira do elemento j e
que estão interligados ao elemento j.
A Figura 15 ilustra o efeito do termo momento.
Figura 15- Representação do algoritmo descendente no espaço de pesos, onde: (a) taxa de treinamento
pequena (convergência lenta), (b) taxa de treinamento grande (muitas oscilações) e (c) taxa de treinamento
grande, com o termo momento acrescentado (mais rápida convergência)
Fonte: LOPES (2005, p. 68).
( 3.5.17)
( 3.5.18)
64
4. METODOLOGIA
A metodologia utilizada neste trabalho divide-se em duas partes:
− Experiências de moagem física em escala de laboratório; e
− Simulação de moagem mista baseada em RNA.
4.1 Experiências de Moagem Física em Escala de Laboratório
O objetivo desta fase foi emular o comportamento da moagem a seco de um minério binário
liberado e muito friável, cujos minerais componentes apresentassem contraste em termos de
moabilidade. Para tanto, foi estabelecida uma rotina experimental de moagem a seco, em
escala de laboratório, para suprir as necessidades de obtenção de dados relacionados ao
comportamento dos principais parâmetros da moagem mista relacionados à distribuição
granulométrica da alimentação e dos produtos. Os resultados foram ajustados pela função de
densidade, Sigmóide de Hill, tomando os parâmetros agudeza, a, e tamanho d
50
das
distribuições granulométricas.
Tal descrição do comportamento dos parâmetros dos produtos da moagem mista depende da
interação entre diversas variáveis exógenas e endógenas ao processo, tais como granulometria
da alimentação, moabilidade individual das espécies minerais componentes, composição em
massa dos componentes minerais, dimensionamento de carga de bolas, tempo de moagem,
velocidade e potência do moinho, entre outras. Adotou-se, portanto, medidas simplificadoras
para o problema. Foram elas:
a) definição de uma condição padrão de operação do moinho (carga de bolas, volume de
minério, velocidade e potência de operação do moinho);
b) granulometria padrão de alimentação (100% passante na peneira de 6 malhas) ;
c) utilização de minério sintético homogeneizado e totalmente liberado (emulando um
minério liberado muito friável) ;
d) experimentos realizados utilizando-se na alimentação diferentes combinações pré-
estabelecidas em termos de composição volumétrica das espécies minerais do minério;
e) moagens realizadas em tempos pré-estabelecidos.
65
Os minerais escolhidos para os experimentos foram:
• Dolomita (originalmente na granulometria de brita zero, W
i
= 12,6 kWh/t), fornecido
pela empresa Bemil Beneficiamento de Minérios Ltda (coletada no pátio de obras da
Universidade Federal de Ouro Preto) – região de Ouro Preto/MG;
• Quartzo (originalmente na forma de blocos médios,
i
W ≅ 14,4 kWh/t), obtido na
própria região de Ouro Preto.
4.1.1 Preparação dos minerais componentes da alimentação
Partindo-se de uma massa de aproximadamente 100kg de cada mineral componente da
mistura (quartzo em blocos e dolomita como brita zero), as mesmas foram reduzidas em
100% passante na peneira de 6 malhas, conferindo um diâmetro inferior a 3,35 mm às
partículas dos minerais.
Para tanto, foram utilizadas duas etapas de britagem onde, na britagem primária, utilizou-se
de um moinho de mandíbulas, cuja abertura do set foi ajustada para o diâmetro pretendido. Na
seqüência, o produto da britagem primária foi peneirado segundo a peneira de 6 malhas para
separar os finos, sendo que o oversize alimentou a britagem secundária, onde se utilizou de
um britador de rolos, cuja distância entre os rolos foi regulada para o diâmetro pretendido. O
produto da britagem secundária foi peneirado segundo a peneira de 6 malhas e o oversize
retornado como carga circulante na etapa de britagem secundária, repetindo esse
procedimento até que todo o material se reduzisse em 100% passante na referida malha. Tal
procedimento pode ser visualizado através do fluxograma mostrado na Figura 16.
66
Figura 16 – Representação esquemática da preparação granulométrica dos minerais componentes da
alimentação.
Adicionados os undersizes da britagem primária e secundária de cada mineral em separado,
esses foram homogeneizados através do método de pilhas cônicas e, na seqüência, pilha
longitudinal. De cada pilha longitudinal, referente a cada mineral, foram retiradas duas
amostras para caracterizar a granulometria da alimentação, e, o restante, foi armazenado em
sacos plásticos contendo, aproximadamente, três quilogramas e meio (dolomita) e dois quilos
e meio (quartzo). Essas massas ensacadas foram utilizadas, conforme a necessidade, para
compor a alimentação nos ensaios de moagem mista binária.
As análises granulométricas se procederam com o peneiramento das massas de cada
componente da alimentação na seqüência de peneiras da série ABNT, indo da malha número
8 à malha número 400, conforme mostrado no Quadro 4. Os resultados das médias das
análises granulométricas de cada mineral componente da alimentação na mistura são
apresentados nas Figuras 17 e 18.
Britagem Primária
(BRITADOR DE MANDÍBULAS)
P
eneiramento Primário
(PENEIRA DE 6 MALHAS)
Britagem Secundária
(BRITADOR DE ROLOS)
Peneiramento Secundário
(PENEIRA DE 6 MALHAS)
Mineral com granulometria
abaixo de 6 malhas
Alimentação
US
1
OS
1
OS
2
US
2
Legenda:
OS
1
: oversize peneiramento primário
US
1
: undersize peneiramento primário
OS
2
: oversize peneiramento secundário
US
2
: undersize peneiramento secundário
67
Número de Malhas
Abertura (µm)
8
2380
10
1680
12
1410
14
1190
16
1000
20
840
28
590
35
425
48
297
65
210
100
150
140
106
200
75
270
53
325
45
400
38
Quadro 3- Relação de peneiras da série ABNT utilizadas nas análises granulométricas.
DISTRIBUIÇÃO GRANULOMÉTRICA
ALIMENTAÇÃO - DOLOMITA
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
10 100 1000 10000
DIÂMETRO (MICROMETROS)
% P A S S A N T E A C U M U L A D O
Figura 17 – Distribuição granulométrica da alimentação (mineral dolomita), destacando-se o tamanho d
50
da distribuição de tamanhos
d
50
= 1270
µ
µµ
µ
m
68
DISTRIBUIÇÃO GRANULOMÉTRICA
ALIMENTAÇÃO - QUARTZO
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
10 100 1000 10000
DIÂMETRO (MICROMETROS)
% PAS SANTE ACUM UL ADO
Figura 18 – Distribuição granulométrica da alimentação (mineral quartzo) , destacando-se o tamanho d
50
da distribuição de tamanhos
4.1.2 Realização da moagem mista
Para a realização dos ensaios de moagem mista binária, foi escolhido um moinho tubular tipo
jarro, revestido internamente de borracha, cujas medidas internas foram 19,5cm (diâmetro) e
19,5cm (comprimento), encerrando um volume de 5.823,6cm
3
. A operação do moinho foi
realizada a uma velocidade de 59 rpm (62% da velocidade crítica) com uma carga fixa de
bolas e minério, cuja qual ocupou aproximadamente 46% do volume total do moinho.
A carga de bolas foi estabelecida segundo os tamanhos descritos na Tabela 1.
Tabela 1 – Distribuição dos tamanhos de bolas utilizadas como corpos moedores nos ensaios de moagem
mista binária.
Tamanho (mm) Quantidade Massa Total (g) % Relativa (massa)
39,5 14 3.600 40,3
30,0 31 3.610 40,5
17,0 87 1.710 19,2
Total 132 8.920 100,0
d
50
= 1423
µ
µµ
µ
m
69
Os ensaios de moagem foram realizados segundo a sistemática mostrada na Quadro 5,
totalizando 25 experimentos, variando a proporção na mistura dos minerais dolomita e
quartzo em volume, onde o volume total de minério foi fixado em 1560cm
3
, o qual foi
determinado por adição de água até o recobrimento total da carga de bolas dentro do moinho.
70
PROPORÇÃO
NA MISTURA
(em volume)
ENSAIO
MASSA
(g)
TEMPO
DE
MOAGEM
(minutos)
1 5
2 15
3 30
4 50
100%
DOLOMITA
(moagem
isolada)
5
3345
75
1 5
2 15
3 30
4 50
100% QUARTZO
(moagem
isolada)
5
2655
75
1 5
25% DOLOMITA
2 835 15
75% QUARTZO 3 1990 30
4 50
5
75
1 5
50% DOLOMITA
2 1670 15
50% QUARTZO 3 1325 30
4 50
5
75
1 5
75% DOLOMITA
2 2505 15
25% QUARTZO 3 665 30
4 50
5
75
Quadro 4 - Especificação das etapas de realização de moagem física.
Para determinar a massa a ser utilizada de cada mineral em função da composição
volumétrica estabelecida para cada experimento, foi utilizada uma proveta graduada de dois
litros, onde cada mineral foi adicionado separadamente dentro da mesma até ser completado o
volume desejado para cada teste. Em seguida, o material no interior da proveta era
compactado, colocando-se a proveta sobre uma mesa vibratória durante o tempo de dois
minutos. Tendo sido averiguada alguma compactação de volume, o mesmo era completado e
o procedimento de compactação se repetia até não haver mais variação volumétrica no tempo
de compactação estabelecido, obtendo-se o peso da massa do mineral nesse instante. Esse
71
procedimento repetiu-se por três vezes, para cada volume pretendido para cada mineral,
tomando-se a média aritmética dos pesos como referência em massa para aquele volume.
As massas dos minerais eram adicionadas no moinho, já com a carga de bolas, na proporção
definida para cada teste. A operação de moagem se procedia cronometrando-se o tempo de
moagem definido. Na seqüência, a massa de minério era retirada do moinho e, após
homogeneização em lona, quarteava-se a mesma utilizando um quarteador tipo jones até a
obtenção de duas amostras representativas para análise granulométrica de mais ou menos
350g cada uma. As massas eram peneiradas por vinte minutos na seqüência de peneiras
relacionadas no Quadro 4.
Para o caso de moagem isolada dos minerais, as massas das amostras retidas em cada peneira
foram pesadas e registradas em planilhas próprias e, no caso de moagem mista, as massas das
amostras retidas do minério para cada teste foram juntadas e identificadas, para cada peneira,
em sacos plásticos para posterior análise de teor. Tal análise de teor foi feita utilizando o
método de perda de massa por calcinação.
A identificação dos produtos dos diversos testes de moagem realizados foi estabelecida
segundo critérios de nomenclatura que levaram em conta a proporção dos minerais na mistura
e o tempo de moagem. O critério utilizado segue o modelo apresentado no Quadro 6.
T ### D / ### Q - ##
Quadro 5 – Sistema de nomenclatura utilizado para identificação dos diversos produtos das moagens
físicas das misturas.
Para exemplificação, uma mistura composta por 25% em volume do mineral dolomita e 75%
em volume do mineral quartzo, submetida a um ciclo de moagem de 5 minutos, a
nomenclatura, segundo o padrão adotado, seria:
T25D/75Q-5.
Campo para
percentual, em
volume, do mineral
dolomita
Campo para tempo
de moagem, em
minutos
Campo para
percentual, em volume,
do mineral quartzo
72
4.1.3 Método de calcinação para determinação das massas de dolomita e quartzo no
produto
A determinação da massa de dolomita e quartzo presentes em cada faixa granulométrica após
a moagem foi feita através do método de calcinação do minério.
A calcinação é o processo endotérmico no qual se eleva a altas temperaturas uma substância
sólida, porém sem atingir seu ponto de fusão, provocando a liberação de substâncias voláteis e
água de cristalização por decomposição química, obtendo como produto seus óxidos.
Segundo Soares Filho (1990), a dolomita consiste de um carbonato duplo de cálcio e
magnésio cristalizado em romboedros. Sua fórmula química é CaMg(CO
3
)
2.
A decomposição por calcinação do mineral dolomita em óxidos de cálcio e de magnésio e gás
carbônico (CO
2
) ocorre acima de 900°C em muflas de laboratório ou, no caso industrial, em
fornos calcinadores, obedecendo a seguinte equação química já balanceada:
CaMg(CO
3
)
2(s)
+ calor
(+900°C)
CaO
(s)
+ MgO
(s)
+ 2CO
2(g)
Através da determinação da massa de CO
2
liberada (massa perdida) no processo de queima de
uma amostra dolomítica desconhecida, pode-se calcular o teor de CaMg(CO
3
)
2
presente.
Neste trabalho, o cálculo do teor de dolomita presente na amostra foi determinado por meio
de equações lineares obtidas através de regressão de curvas de calibração confeccionadas por
meio de experimentações controladas de calcinação para massas fixas de minério. Para isso,
amostras preparadas de granulometria predominantemente fina de 30g e 5g, contendo
diferentes proporções pré-estabelecidas dos minerais dolomita e quartzo, foram calcinadas por
uma hora em mufla, cuja temperatura foi ajustada para 1.100°C. Após o resfriamento das
massas do minério durante 15 minutos à temperatura ambiente, pesaram-se as massas de
amostras de minério calcinado, obtendo-se por diferença as respectivas perdas de massa.
Plotando-se os pares ordenados de dados (perda de massa no eixo das abscissas e o respectivo
teor de dolomita no eixo das ordenadas) duas curvas de calibração foram construídas, uma
73
para a massa de 30g (Fig. 19) e outra para a massa de 5g (Fig. 20). Para ambas as regressões,
obteve-se uma correlação positiva perfeita entre as variáveis.
CURVA DE CALIBRAÇÃO
PERDA DE MASSA POR
CALCINAÇÃO X TEOR DE DOLOMITA
(MASSA DE AMOSTRA: 30 g TEMPO DE CALCINAÇÃO: 1 h)
y = 0,0731x - 0,0013
R
2
= 1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00
PERDA DE MASSA
TEOR DE DOLOMITA
Figura 19 – Curva de calibração contendo a respectiva equação linear de regressão das variáveis derivada
da calcinação de 30g de minério composto por dolomita e quartzo para o tempo de 1 hora de calcinação
CURVA DE CALIBRAÇÃO
PERDA DE MASSA POR
CALCINAÇÃO X TEOR DE DOLOMITA
(MASSA DE AMOSTRA: 5 g TEMPO DE CALCINAÇÃO: 1 h)
y = 0,4411x - 0,0033
R
2
= 1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
PERDA DE MASSA (g)
TEOR DE DOLOMITA
Figura 20 - Curva de calibração contendo a respectiva equação linear de regressão das variáveis derivada
da calcinação de 5g de minério composto por dolomita e quartzo para o tempo de 1 hora de calcinação
74
Para determinar o teor de calcita presente em cada faixa granulométrica do produto misto
moído, pesaram-se as massas retidas em cada peneira que já haviam sido previamente
ensacadas e identificadas e, conforme o peso auferido, recolheu-se amostras de 30g ou de 5g
após homogeneização, sendo as mesmas calcinadas durante 1 hora, com temperatura da mufla
ajustada para 1.100°C. Após resfriamento de 15 minutos à temperatura ambiente, as massas
foram pesadas e os valores registrados em planilhas próprias para a determinação do teor de
dolomita, utilizando-se da respectiva equação relativa à curva de calibração correspondente,
obtendo como saída as massas retidas de cada mineral.
Mediante os resultados obtidos, foram confeccionados gráficos do percentual de massa
passante de cada mineral, obtendo-se o tamanho d
50
de cada distribuição, bem como
coeficiente de agudeza a, através de ajustamento dos dados à função densidade Sigmóide de
Hill, utilizando para tanto do software EasyPlot ®, versão Free Trial da Spiral Software.
Todos os ajustamentos tiveram bons coeficientes de correlação (acima de 97%), indicando
aderência dos dados à função densidade de probabilidades Sigmóide de Hill. Através desse
procedimento, pôde-se obter os parâmetros de interesse para utilização no processo de
simulação.
4.2 Simulação de Moagem Mista Utilizando RNA
Para simular a moagem mista baseada em RNA, utilizou-se de programação em ambiente
Delphi 7 ®, fazendo uso de uma componente desenvolvida especificamente para esse fim por
Medeiros (2006), embasada em PMC, supervisionada e treinada com o algoritmo
retropropagação com momento.
O simulador construído foi concebido para funcionar segundo três fases:
a) Configuração da RNA
Nesta fase configuram-se, em tempo de projeto, o número de neurônios para as camadas
de entrada, de processamento obrigatória e de saída da rede. Estabelecem-se os valores
75
máximo e mínimo para cada variável referente a cada dado, tanto de alimentação (entrada)
quanto dos produtos (saída), além da taxa de aprendizagem e o momento.
b) Carregamento de dados e Treinamento da RNA
Nesta fase, define-se em tempo de execução, o número de corridas para o treinamento e o
número de neurônios na camada oculta opcional. A partir da introdução desses
parâmetros, a RNA estará apta a carregar os dados de entrada (alimentação) e de saída
(produtos), constantes em arquivos de banco de dados. A partir do carregamento desses
dados, a RNA é treinada segundo o número de corridas estabelecido. Ao final de cada
corrida, os resultados obtidos na saída são comparados com seus respectivos valores reais
e, a partir disso, o algoritmo de retropropagação corrige os pesos sinápticos no sentido de
diminuir o erro quadrático global, segundo parâmetros previamente definidos para taxa de
aprendizagem e de momento. Ao final do número de corridas estabelecido, os pesos
sinápticos atualizados são armazenados em arquivo, denominado arquivo de
conhecimento, o qual será utilizado fase de teste da rede.
c) Teste da RNA
Nesta fase será testada a capacidade da rede de prever resultados para o processo de moagem
mista, cujos dados de entrada são desconhecidos para a mesma, ou seja, não fizeram parte do
conjunto de dados de treinamento. Para esse fim, apenas os dados de entrada são apresentados
à rede, a qual os processará segundo informações recuperadas do arquivo de conhecimento
gerado na fase de teste, apresentando uma resposta na saída.
Executada a simulação, a avaliação da eficácia da mesma se baseará na proximidade da
resposta gerada em relação à desejada.
4.2.1 O Sistema de simulação SiMoMix
76
O sistema baseado em RNA PMC para aplicação em processo de moagem mista, consistiu em
uma adaptação do sistema construído por Medeiros (2006), originalmente elaborado para
previsão de acessos a homepage.
Para utilização básica do sistema SiMoMix, seguem os seguintes passos:
1º) Executar o arquivo SiMoMix.exe.
2º) O sistema apresentará a primeira janela, conforme mostrado na Figura 21, denominada
“Parâmetros”, para a entrada das seguintes informações: número de neurônios na
camada oculta opcional e número de corridas de treinamento. Por default, esses valores
estão definidos com os valores 5 e 1000, respectivamente. Essa janela pode ser acessada
também através do menu Geral/Parâmetros. O usuário confirma as informações
inseridas pressionando o botão OK. Nesta janela, também são exibidos a taxa de
aprendizagem e de momento adotados.
Figura 21 – Janela “Parâmetros” do Sistema SiMoMix.
77
3º) O usuário pode visualizar e até mesmo inserir/excluir elementos no conjunto de
treinamento da rede, acessando a janela denominada “Dados de Entrada”, no menu
Simulação/Dados de Entrada. A janela exibe o conjunto de dados a serem testados
organizados numa tabela, conforme mostra a Figura 22. Nesta tabela, os dados
correspondem às seguintes informações: número da amostra (de acordo com a seqüência
de obtenção), percentual em volume do mineral dolomita (PercDolomita), percentual em
volume do mineral quartzo (PercQuartzo), tamanho d
50
e o coeficiente de agudeza da
alimentação (D50Alim e CAAlim, respectivamente), tempo de moagem, tamanho d
50
e o
coeficiente de agudeza do mineral dolomita no produto (D50Dolomita e CADolomita,
respectivamente), tamanho d
50
e o coeficiente de agudeza do mineral quartzo no produto
(D50Quartzo e CADolomita). Tais parâmetros foram considerados pertinentes para a
simulação da moagem binária mista.
Figura 22 – Janela “Dados de Entrada” do Sistema SiMoMix.
4º) Para carregar os dados de alimentação e de saída e realizar o treinamento da rede, o
usuário deve acessar a janela denominada “Treinamento” (Fig. 23), por meio do menu
78
Simulação/Treinamento. Em seguida, o usuário deve pressionar o botão “Construir Rede
PMC” para estabelecer a rede e, na seqüência, pressionar o botão “Treinar Rede PMC”.
Figura 23 – Janela “Treinamento” do Sistema SiMoMix.
4º) O usuário pode inserir ou excluir dados a serem testados pela rede. Basta acessar a janela
denominada “Dados de Teste” no menu Simulação/Dados de Teste. A janela exibe os
dados a serem testados pela rede na forma de uma tabela, conforme mostra a Figura 24.
79
Figura 24 – Janela “Dados de Teste” do sistema SiMoMix.
5º) Após o fim do treinamento da rede (indicado pelo total preenchimento da barra de
progresso), o usuário poderá testar a rede. Esse processo é feito acessando a janela
denominada “Teste” (Fig. 25) pelo menu Simulação/Teste. Nesta janela é exibida uma
tabela contendo os dados que serão testados. Após o usuário clicar no botão “Testar Rede
PMC” uma segunda tabela é exibida na janela com o resultado da simulação. Algumas
informações são exibidas como o número de corridas de teste e o erro total, o número de
neurônios da camada oculta opcional, os erros totais dos coeficientes de agudeza e dos
tamanhos d
50
.
80
Figura 25 – Janela “Teste” do Sistema SiMoMix.
81
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES
5.1 Resultado dos Testes Físicos
Os testes físicos de moagem mista em regime de batelada utilizando os minerais dolomita e
quartzo foram executados segundo a metodologia descrita no Subcapítulo 5.1. Por meio dos
diversos testes executados, pôde-se acompanhar a evolução dos parâmetros de interesse
pertinentes às distribuições de tamanho da alimentação e dos produtos, segundo a função
densidade Sigmóide de Hill: coeficiente de agudeza, a, e tamanho d
50
. A partir da análise de
tais parâmetros pôde-se estimar o tempo ideal de moagem dentro da amplitude de tempo de
operação testado para as diversas misturas, obtendo um maior contraste granulométrico nos
seus produtos.
As Figuras 26, 27 e 28 apresentam a evolução dos parâmetros a e d
50
para os minerais
dolomita e quartzo, presentes nos produtos das misturas testadas T25D/75Q, T50D/50Q e
T75D/25Q, respectivamente, para os tempos de moagem de 5, 15, 30, 50 e 75 minutos.
82
Comparação do Coeficiente de Agudez
a
Mistura T25D/75Q
0,75
1,25
1,75
2,25
2,75
3,25
0 20 40 60 80
Tempo [minutos]
a
[-]
Dolomita Quartzo
Comparação do Tamanho
d
50
Mistura T25D/75Q
0
200
400
600
800
1000
0 20 40 60 80
Tempo de moagem [minutos]
d
50
[micrometros]
Dolomita Quartzo
Figura 26 – Comparações dos parâmetros coeficiente de agudeza a (a) e tamanho d
50
(b) entre as
distribuições granulométricas dos produtos da moagem da mistura T25D/75Q, segundo a função Sigmóide
de Hill.
(a)
(b)
83
Comparação do Coeficiente de Agudez
a
Mistura T50D/50Q
0,75
1,25
1,75
2,25
2,75
3,25
0 20 40 60 80
Tempo [minutos]
a
[-]
Dolomita Quartzo
Comparação do Tamanho
d
50
T50D/50Q
0
200
400
600
800
1000
1200
0 20 40 60 80
Tempo de moagem [minutos]
d
50
[
micrometros]
Dolomita Quartzo
Figura 27 - Comparação dos parâmetros coeficiente de agudeza a (a) e tamanho d
50
(b) entre as
distribuições granulométricas dos produtos da moagem da mistura T50D/50Q, segundo a função Sigmóide
de Hill.
(b)
(a)
84
Comparação do Coeficiente de Agudez
a
Mistura T75D/25Q
0,75
1,25
1,75
2,25
2,75
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Tempo [minutos]
a
[-]
Dolomita Quartzo
Comparação do Tamanho
d
50
Mistura T75D/25Q
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Tempo de moagem [minutos]
d
50
[micrometros]
Dolomita Quartzo
Figura 28 - Comparação dos parâmetros coeficiente de agudeza a (a) e tamanho d
50
(b) entre as
distribuições granulométricas dos produtos da moagem da mistura T75D/25Q, segundo a função Sigmóide
de Hill.
(a)
(b)
85
Para todas as misturas testadas, houve interseção das curvas representativas dos fatores de
agudezas dos produtos nos pontos cujos tempos de moagem equivalem aproximadamente a
22, 23 e 25 minutos para as misturas T25D/75Q, T50D/50Q e T75D/25Q, respectivamente.
Nota-se que, para esses mesmos tempos de moagem, ocorrem um dos maiores
distanciamentos entre os pontos das curvas que representam a evolução do parâmetro
tamanho d
50
dos produtos da moagem. Esse fato levou à suposição de que nesses intervalos de
tempo de moagem observar-se-iam contrastes ótimos em termos granulométricos para os
componentes das misturas. Essa hipótese se apoiou na idéia de que um maior distanciamento
entre os centros das distribuições comparadas (diferenças entre os tamanhos d
50
) com igual
fator de agudeza (dispersões semelhantes) conferiria uma menor interseção entre as mesmas,
comparada às demais distribuições para outros ciclos de tempo, dentro da amplitude de tempo
testada.
As Figuras 29, 30 e 31 mostram as diferentes distribuições das frações retidas simples para os
produtos da moagem, segundo os ciclos de tempos testados, montadas a partir dos parâmetros
de ajustes das distribuições das frações retidas simples à função de densidade adotada,
Sigmóide de Hill, para os produtos das misturas T25D/75Q, T50D/50Q e T75D/25Q,
respectivamente. Desse modo, o tempo ótimo de moagem foi determinado para cada uma
dessas misturas, dentro da amplitude de tempo de operação testada, estimando-se inclusive os
tempos onde houve interseção das curvas representativas dos coeficientes de agudezas para
cada padrão de mistura. Essa estimativa realizada para os tempos de interseção entre as curvas
dos fatores de agudezas foi feita para avaliar a hipótese levantada no parágrafo anterior.
86
Figura 29 – Distribuições das frações retidas simples dos produtos dolomita e quartzo para as moagens da
mistura T25D/75Q nos diversos ciclos de testes, incluindo a distribuição das frações retidas simples
estimada para o ciclo de moagem de 22 minutos.
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T25D/75Q-15
ICGT = 0,538
0
0,05
0,1
0,15
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fração Retida Simples [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T25D/75Q-5
ICGT = 0,35
0
0,05
0,1
0,15
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fração Retida Sim ples [-]
Dolomita Quartzo
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T25D/75Q-30
ICGT = 0,467
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fra ção Retida S im p les [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T25D/75Q-50
ICGT = 0,451
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fra çã o R e tida S im ples [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T25D/75Q-75
ICGT = 0,399
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
F ra ç ã o R e tid a S im p le s [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T25D/75Q-22*
ICGT = 0,572
(
*
Moagem Estimada)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fração Retida Simples [-]
DOLOMITA QUARTZO
87
Figura 30 – Distribuições das frações retidas simples dos produtos dolomita e quartzo para as moagens
da mistura T50D/50Q nos diversos ciclos de testes, incluindo a distribuição das frações retidas simples
estimada para o ciclo de moagem de 23 minutos.
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T50D/50Q-5
ICG = 0,367
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fração Retid a Sim ples [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T50D/50Q-15
ICG = 0,53
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
F ra çã o R e tid a S im ple s [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T50D/50Q-23*
ICGT = 0,59
(*Moagem Estimada)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho [micrometros]
Fra ção R e tida S im ple s [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T50D/50Q-30
ICG = 0,637
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fração Retida Simples [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T50D/50Q-50
ICGT = 0,62
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fra ção Retid a S im ple s [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T50D/50Q-75
ICGT = 0,532
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
F raç ã o R e tid a S im ple s [-]
DOLOMITA QUARTZO
88
Figura 31 – Distribuições das frações retidas simples dos produtos dolomita e quartzo para as moagens da
mistura T75D/25Q nos diversos ciclos de testes, incluindo a distribuição das frações retidas simples
estimada para o ciclo de moagem de 25 minutos.
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T75D/25Q-5
ICGT = 0,401
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fra ção Retida S im ples [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T75D/25Q-15
ICGT = 0,51
0
0,05
0,1
0,15
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
F ra ç ã o R e tid a S im p le s [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T75D/25Q-25*
ICGT = 0,586
(*Moagem Estimada)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fração Retida Simples [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T75D/25Q-30
ICGT = 0,614
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fração Retida Simples [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T75D/25Q-50
ICGT = 0,563
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fração R etida Simples [-]
DOLOMITA QUARTZO
Distribuições das Frações Retidas Simples
Produtos da Moagem T75D/25Q-75
ICGT = 0,624
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometros]
Fraçã o R e tida Sim ple s [-]
DOLOMITA QUARTZO
89
Para estabelecer um critério de comparação entre as diversas distribuições obtidas, utilizou-se
do cálculo do Indicador Contraste Granulométrico Total (IGCT), cuja equação é a seguinte:
∑
=
−⋅=
n
i
ii
xxICGT
1
21
5,0
Onde,
1
i
x
: fração retida simples do mineral da espécie 1 na faixa granulométrica i;
2
i
x
: fração retida simples do mineral da espécie 2 na faixa granulométrica i;
n: número de faixas granulométricas.
O valor do ICGT se localiza no intervalo [0,1] e seu significado físico equivale à fração das
áreas de não interseção entre as curvas que representam as distribuições das frações retidas
simples dos produtos da moagem. Isso significa que, quanto maior for o valor do ICGT,
menor será a área de interseção entre as curvas das distribuições granulométricas
consideradas.
Mediante os resultados obtidos, pôde-se chegar às seguintes conclusões:
1. O tempo de moagem correspondente à interseção das curvas representativas dos
fatores de agudezas foi observado como ótimo apenas para o padrão de mistura
T25D/75Q, dentro da amplitude de tempo testada. Portanto, rejeita-se a hipótese
levantada de que o instante de ocorrência da interseção das curvas representativas dos
fatores de agudezas corresponde ao tempo que determina a separação ótima entre as
espécies minerais.
2. O maior ICGT dentre os testes realizados ocorreu no padrão de mistura T50D/50Q no
ciclo de moagem de 30 minutos, cujo valor foi de 0,635. Esse valor indica que houve
interseção de, aproximadamente, 36,5% da área total entre as curvas.
3. O menor ICGT ocorreu no padrão de mistura T25D/75Q correspondendo ao ciclo de
moagem de 5 minutos, cujo valor foi de 0,35. Esse valor indica que houve interseção
de, aproximadamente, 65% da área total entre as curvas.
4. O ICGT se comportou, em geral, diretamente proporcional ao percentual do mineral
de maior moabilidade.
90
5. O ICGT se mostrou eficaz para estimar a área de não interseção entre as distribuições
dos produtos das moagens.
6. O ICGT não apresentou linearidade para nenhum dos padrões de mistura, como pode
ser visto pela Figura 32.
91
Evolução do ICGT
Mistura T25D/75Q
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Tempo [minutos]
Contraste Granulométrico [-]
Evolução do ICGT
Mistura T50D/50Q
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Tempo [minutos]
Contraste Granulométrico [-]
Evolução do ICGT
Mistura T75D/25Q
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Tempo [minutos]
Contraste Granulométrico [-]
Figura 32 – Evolução do indicador de contraste granulométrico total para os padrões de mistura
T25D/75Q, T50D/50Q e T75D/50Q.
92
Os resultados dos testes também revelaram diferenças entre moagem isolada do quartzo em
relação à sua moagem sob diferentes proporções de dolomita, onde nestas pôde-se perceber
uma sutil, porém, evidente inibição na produção de finos para os tempos de moagem de 15,
30, 50 e 75 minutos, conforme Ray & Szekely (1973) também averiguaram em seus
experimentos.
A Figura 33 mostra de forma clara que as curvas representativas do passante acumulado do
mineral quartzo nas moagens mistas estão todas ligeiramente deslocadas para a direita em
relação à curva do passante acumulado da sua moagem isolada, evidenciando moagem
ligeiramente mais grosseira na moagem mista. Na moagem executada para o ciclo de 5
minutos, não se verifica diferenças significativas entre as curvas.
Pôde-se analisar também que um maior percentual de dolomita (mineral de maior
moabilidade) na mistura determina uma maior inibição na produção de finos do quartzo.
Levanta-se a hipótese de que a compactação dos finos provenientes do mineral dolomita
diminui o efeito do impacto da carga de bolas sobre as partículas de quartzo (mineral de
menor moabilidade), resultando na diminuição da produção de novas áreas em comparação a
sua moagem isolada.
93
Figura 33 – Comparação entre as curvas do percentual passante acumulado referente ao mineral quartzo
nas moagens mistas e a sua moagem isolada.
TEMPO DE MOAGEM: 5 MINUTOS
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
10 100 1000 10000
DIÂMETRO (MICROMETROS)
% PASSANTE ACUMULADA
QUARTZO PURO QUARTZO T25D/75Q
QUARTZO T50D/50Q QUARTZO T75D/25Q
TEMPO DE MOAGEM: 15 MINUTOS
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100,0
10 100 1000 10000
DIÂMETRO (MICROMETROS)
% P AS S A N T E A C U M U L A D A
QUARTZO PURO QUARTZO T25D/75Q
QUARTZO T50D/50Q QUARTZO T75D/25Q
TEMPO DE MOAGEM: 30 MINUTOS
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100,0
10 100 1000 10000
DIÂMETRO (MICROMETROS)
% P A S S A N T E A C U M U L A D A
QUARTZO PURO QUARTZO T25D/75Q
QUARTZO T50D/50Q QUARTZO T75D/25Q
TEMPO DE MOAGEM: 50 MINUTOS
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
10 100 1000 10000
DIÂMETRO (MICROMETROS)
% P A S S A N T E A C U M U L A D A
QUARTZO PURO QUARTZO T25D75Q
QUARTZO T50D50Q QUARTZO T75D25Q
TEMPO DE MOAGEM: 75 MINUTOS
0,0
20,0
40,0
60,0
80,0
100,0
10 100 1000 10000
DIÂMETRO (MICROMETROS)
% PASSANTE ACUMULADA
QUARTZO PURO QUARTZO T25D/75Q
QUARTZO T50D/50Q QUARTZO T75D/25Q
94
Com relação ao comportamento da moagem do mineral dolomita nas misturas, não se percebe
uma diferenciação significativa das curvas representativas dos seus percentuais passantes
acumulados em relação a sua moagem isolada, a não ser no tempo de moagem de 75 minutos,
no qual se percebe alguma diferenciação, porém não se identifica uma tendência explícita,
como mostra a Figura 34.
95
Figura 34 – Comparação entre as curvas do percentual passante acumulado referente ao mineral dolomita
nas moagens mistas e a sua moagem isolada.
TEMPO DE MOAGEM: 5 MINUTOS
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
10 100 1000 10000
DIÂMETRO (MICROMETROS)
% P AS S ANTE ACUM ULADA
DOLOMITA PURA DOLOMITA T25Q/75Q
DOLOMITA T50D/50Q DOLOMITA T75D/25Q
TEMPO DE MOAGEM: 15 MINUTOS
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
10 100 1000 10000
DIÂMETRO (MICROMETROS)
% PASSANTE ACUMULADA
DOLOMITA PURA DOLOMITA T25D/75Q
DOLOMITA T50D/50Q DOLOMITA T75D/25Q
TEMPO DE MOAGEM: 30 MINUTOS
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
10 100 1000 10000
DIÂMETRO (MICROMETROS)
% P AS S ANTE ACUM ULADA
DOLOMITA PURA DOLOMITAT25D/75Q
DOLOMITA T50D/50Q DOLOMITA T75D/25Q
TEMPO DE MOAGEM: 50 MINUTOS
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
10 100 1000 10000
DIÂMETRO (MICROMETROS)
% P A S S ANT E A CU M U LADA
DOLOMITA PURA DOLOMITA T25D/75Q
DOLOMITA T50D/50Q DOLOMITA T75D/25Q
TEMPO DE MOAGEM: 75 MINUTOS
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
10 100 1000 10000
DIÂMETRO (MICROMETROS)
% P A S S A N T E A C U M U L A D A
DOLOMITA PURA DOLOMITA T25D/75Q
DOLOMITA T50D/50Q DOLOMITA T75D/25Q
96
Portanto, conclui-se que, segundo os ensaios de moagens mistas e isoladas realizados
utilizando os minerais dolomita e quartzo, em comparação à moagem isolada de cada mineral,
a moabilidade do quartzo diminuiu conforme se aumentou a proporção volumétrica do
mineral dolomita na mistura, sendo que, a moabilidade desta pouco foi influenciada pela
presença desse.
97
5.2 Resultados da Simulação de Moagem Mista utilizando Rede Neural Artificial
Tendo como base de dados os resultados dos ensaios de moagens mistas realizados, simulou-
se o comportamento granulométrico dos produtos cominuídos, utilizando para tanto da
ferramenta da área de conhecimento da IA, denominada RNA, descrita com detalhes no
capítulo 3.x deste trabalho.
A base de dados relativa à moagem mista utilizada foi dividida em duas partes: dados de
treinamento da rede e dados para teste da rede. Em outras palavras, a RNA utilizada foi
treinada com os dados de treinamento para se chegar a um nível de generalização que
permitiu obter boas respostas para o padrão apresentado na entrada. Tal generalização foi
averiguada em relação ao erro quadrático total obtido ao final de cada corrida. Ou seja,
teoricamente, quanto menor o erro, maior a adaptação da rede aos dados de treinamento.
Os conjuntos de dados, que representam um total de 18 padrões (15 conjuntos obtidos por
meio dos experimentos físicos e 3 conjuntos obtidos por estimativa) estão listados por meio
da Tabela 2. Os dados obtidos por meio de ensaios físicos foram utilizados como padrões para
treinamento da rede, enquanto que os dados estimados para os ciclos de tempo que
corresponderam à interseção das curvas representativas dos coeficientes de agudeza, para
cada padrão de mistura, foram utilizados como padrões para teste. A ordem de inserção dos
padrões para teste foi feita de forma aleatória, ou seja, não seguiu a ordem seqüencial de
obtenção, o que facilita o poder de generalização da RNA durante o processo de treinamento.
98
Tabela 2 – Conjuntos de dados utilizados como padrões para treinamentos e como padrões para testes da
RNA. *Conjunto de dados estimados.
a
D50
Padrão de
Mistura
Tempo
de
moagem
(min)
Dolomita
Quartzo
Dolomita
Quartzo
Classificação
dos Dados
T25D/75Q
5 1,3625 1,7361
397 1010 TREINAMENTO
T25D/75Q
15 1,3774 1,7659
174 808
TREINAMENTO
T25D/75Q
30 1,5776 1,8611
156 507
TREINAMENTO
T25D/75Q
50 1,7810 2,0406
142 397
TREINAMENTO
T25D/75Q
75 2,2669 2,4255
158 330
TREINAMENTO
T50D/50Q
5 1,0712 1,7424
382 1090
TREINAMENTO
T50D/50Q
15 1,4470 1,8145
200 860
TREINAMENTO
T50D/50Q
30 2,2180 1,8640
138 625
TREINAMENTO
T50D/50Q
50 2,4680 1,8101
112 449
TREINAMENTO
T50D/50Q
75 3,1389 2,2308
145 355
TREINAMENTO
T75D/25Q
5 1,0689 1,7967
364 1150
TREINAMENTO
T75D/25Q
15 1,3862 1,7100
195 839
TREINAMENTO
T75D/25Q
30 2,0301 1,8767
140 625
TREINAMENTO
T75D/25Q
50 2,4957 1,8168
124 412
TREINAMENTO
T75D/25Q
75 2,8430 2,1324
111 373
TREINAMENTO
*T25D/75Q
22 1,8154 1,8154
166 663 TESTE
*T50D/50Q
23 1,8512 1,8512
170 735 TESTE
*T75D/25Q
25 1,8244 1,8244
159 667 TESTE
Para fins de avaliação da adequação da ferramenta RNA para simulação, foram feitos diversos
testes preliminares para averiguação de parâmetros mais adequados para serem utilizados nas
simulações. Chegou-se à conclusão de que a definição do número de corridas igual a 5000,
com 5 neurônios na camada oculta opcional, apresentou-se adequada para a natureza e
características da simulação pretendida.
Os resultados gerados pela rede variaram de teste para teste, fato este ocasionado pela
utilização de números randômicos para definir os pesos sinápticos iniciais da rede, o que
incide diretamente na convergência do método de gradiente descendente.
Portanto, realizou-se um número de 30 simulações consecutivas para os parâmetros de
simulação definidos, a fim de obter dados para testar estatisticamente o desempenho do
processo de simulação. Utilizou-se, nesse caso, como critério de avaliação, o somatório dos
99
módulos dos erros dos parâmetros simulados, fator de agudeza e tamanho d50, conforme
apresentado na Tabela 3.
Tabela 3 – Resultados das 30 simulações realizadas para simulações utilizando 5 neurônios na camada
oculta opcional e 5000 corridas.
ERRO TOTAL
SIMULAÇÃO
AGUDEZA [-]
d
50
[µm]
1 0,6359 187,95
2 0,7799 248,88
3 0,6331 133,88
4 0,7717 182,12
5 0,9176 232,48
6 0,8510 273,89
7 0,6750 266,66
8 0,7468 189,28
9 0,6493 131,39
10 0,5755 137,67
11 0,5755 137,67
12 0,5324 116,41
13 0,6006 108,66
14 1,1162 270,88
15 0,6698 136,33
16 0,7748 137,93
17 0,8711 323,28
18 0,6597 95,79
19 0,7295 283,23
20 0,7660 112,66
21 0,8662 225,45
22 0,6595 236,99
23 0,7016 167,41
24 0,5424 81,84
25 0,6111 135,43
26 0,5683 201,13
27 0,5527 213,11
28 0,8884 228,11
29 0,5636 95,23
30 0,5667 160,00
MÉDIA 0,7017
181,7247
Para avaliar os resultados da simulação, considerou-se a que a simulação funciona como um
processo produtivo, no qual os resultados obtidos por meio da simulação equivalem a medidas
de alguma característica da qualidade de um processo industrial.
100
Portanto, dentro desse raciocínio formado, foi possível avaliar a estabilidade estatística do
processo de simulação por meio de uma ferramenta da qualidade denominada carta de
controle, a qual determina, por meio do sistema 3σ, limites máximos dentro dos quais os
valores gerados pelo processo podem oscilar de forma aleatória em torno de uma linha
central, que representa a média para esses valores.
Devido ao fato dos erros relativos aos parâmetros simulados serem gerados em paralelo,
considera-se mais adequada a utilização da Carta de Controle de Shewhart para Medidas
Individuais. Segundo Montgomery (2004), os limites de controle para a ferramenta citada são
determinados pelos seguintes cálculos:
− Para o gráfico de controle das medidas individuais, tem-se:
2
3
d
MR
xLSC +=
Linha central =
x
2
3
d
MR
xLIC −=
− Para o gráfico de controle das amplitudes móveis, tem-se:
MRDLSC
4
=
Linha central =
x
MRDLSC
3
=
Onde:
RM =
1
||
1
1
1
−
−
∑
−
=
−
m
xx
m
i
ii
;
LSC: limite superior de controle;
LIC: limite inferior de controle;
x
: média dos valores individuais;
x
i
: valor individual da amostra i;
RM : média das amplitudes móveis;
m: número de amostras;
101
d
2
, D
4
e D
3
: fatores de correção tabelados em função do tamanho da amostra. Para este caso,
onde tomar-se-á a amplitude média dos valores individuais de dois a dois, d
2
= 1,128, D
4
=
3,267 e D
3
= 0.
Essa ferramenta estatística pode ser utilizada desde que alguns requisitos sejam cumpridos.
Esses requisitos exigem que a distribuição de probabilidades dos valores obtidos a partir do
processo (amostras) siga o padrão da Distribuição Normal. Para fazer essa avaliação, testou-se
a aderência dos conjuntos de dados à Distribuição Normal. Conforme mostra a Figura 35,
houve uma aderência satisfatória dos valores amostrados à Distribuição Normal. Para realizar
o teste, utilizou-se o software estatístico MiniTab ®, versão 15.
102
Figura 35 – Testes de aderência realizados para os valores dos erros totais gerados em relação aos
parâmetros simulados com relação à Distribuição Normal.
Neste caso, optou-se por elaborar cartas de controle de Shewhart para medidas individuais
para avaliar o erro total dos coeficientes de agudezas e para avaliar o erro total dos tamanhos
d
50
. Cada carta de controle se compôs de dois gráficos, um para avaliação da locação da
média e outro para avaliação da dispersão dos valores. As cartas de controle são exibidas na
Figura 36, para avaliação do erro total dos tamanhos d
50
, e, na Figura 37, para avaliação do
erro total dos coeficientes de agudezas.
1,21,11,00,90,80,70,60,50,40,3
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Erro Total (a)
Percentual
Mean 0,7017
StDev 0,1381
N 30
AD 0,725
P-Value 0,052
Normal - 95% CI
Probabilidade para o Erro Total - Coeficiente de Agudez
4003002001000
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Erro Total D50
Percentual
Mean 181,7
StDev 65,49
N 30
AD 0,564
P-Value 0,132
Normal - 95% CI
Gráfico de Probabilidade para o Erro Total - Tamanho D50
103
Carta de Controle para Amplitude Móvel
Avaliação do Erro Total - Tamanho
d
50
0
50
100
150
200
250
300
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
SIMULAÇÕES
E R R O T O T A L
Amplitude Móvel LSC LM
Figura 36 - Carta de controle para avaliação do erro total calculado em relação ao tamanho d
50
, obtido no
processo de simulação.
Carta de Controle para Medidas Individuais
Avaliação do Erro Total - Tamanho
d
50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
SIMULAÇÕES
E R R O T O T A L
LSC LM Erro Total d50
104
Carta de Controle para a Amplitude Móvel
Avaliação do Erro Total
Coeficiente de Agudeza
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
SIMULAÇÕES
ERRO TOTAL
LSC LM Erro Total a
Carta de Controle para Valores Individuais
Avaliação do Erro Total
Coeficiente de Agudeza
0,25000
0,35000
0,45000
0,55000
0,65000
0,75000
0,85000
0,95000
1,05000
1,15000
1,25000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
SIMULAÇÕES
Erro Total
Erro Total (a) LSC LM LIC
Figura 37 – Carta de controle para avaliação do erro total calculado em relação ao coeficiente de agudeza,
obtido no processo de simulação.
105
Observa-se que, segundo a carta de controle para o erro total dos tamanhos d
50
, o processo se
apresenta sob controle estatístico, apesar de apresentar uma alta dispersão dos valores
produzidos pelo processo, ou seja, o processo tende a gerar erros totais para essa variável em
torno da linha média (LM) dentro dos limites de controle estabelecidos, conferindo
previsibilidade.
Por outro lado, a cartas de controle para o erro total dos coeficientes de agudezas apresentam
pontos acima do limite superior de controle, tanto para o gráfico da média quanto para o
gráfico da dispersão. Nesse caso, houve instabilidade estatística no processo de simulação
referente às simulações correspondentes aos pontos fora de controle. Como medida usual
nesses casos, pode-se considerar que tais pontos representam uma exceção, uma vez que são
poucos e sua subtração no conjunto de dados não incidirá em grandes distorções, além de
diminuir a amplitude de variação entre os limites de controle.
As novas cartas de controle para o erro total dos tamanhos d
50
e dos coeficientes de agudezas,
tendo-se excluídos os dados referentes às amostras correspondentes às amostras números 14,
17 e 19 são apresentadas por meio das Figuras 38 e 39, respectivamente.
106
Carta de Controle para Amplitude Móvel
Avaliação do Erro Total
Tamanho
d50
0
20
40
60
80
100
120
140
160
1
3
5
7
9
11
1
3
16
20
22
24
26
28
SIMULAÇÕES
ERRO TOTAL [micrometros]
Amplitude Móvel LSC LM
Carta de Controle para Medidas Individuais
Avaliação do Erro Total
Tamanho
d
50
0
50
100
150
200
250
300
350
1
3
5
7
9
1
1
13
16
2
0
22
24
2
6
28
30
SIMULAÇÕES
ERRO TOTAL [micrometros]
LSC LM LIC ETD50
Figura 38 – Carta de controle recalculada a partir da desconsideração dos dados referentes às simulações
de números 14, 17 e 19, para o erro total dos tamanhos d
50
simulados.
107
Carta de Controle para a Amplitude Móvel
Avaliação do Erro Total
Coeficiente de Agudeza
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
1
3
5
7
9
11
13
16
20
22
24
26
28
30
SIMULAÇÕES
ERR O TOT A L
LSC LM Erro Total a
Carta de Controle para Valores Individuais
Avaliação do Erro Total
Coeficiente de Agudeza
0,25000
0,35000
0,45000
0,55000
0,65000
0,75000
0,85000
0,95000
1,05000
1
3
5
7
9
11
13
16
20
22
24
26
28
30
SIMULAÇÕES
Erro Total
Erro Total (a) LSC LM LIC
Figura 39 - Carta de controle recalculada a partir da desconsideração dos dados referentes às simulações
de números 14, 17 e 19, para o erro total dos coeficientes de agudezas d
50
simulados.
Pôde-se ver que a cartas de controle recalculadas indicam estabilidade do processo de
simulação, ou seja, não há presença de pontos fora dos limites de controle e não se verifica
108
sinas de não aleatoriedade para os valores plotados. Isso indica previsibilidade para o e erro
total relativo, tanto para os tamanhos d
50
quanto para aos coeficientes de agudezas do sistema
de simulação.
Para uso dos limites de controle calculados por meio das cartas de controle, na prática, os
mesmos devem funcionar como indicadores para aceitação ou rejeição dos valores de erros
gerados na determinação dos parâmetros simulados. Ou seja, ao final do processo de
simulação, o sistema deve comparar os erros gerados em relação aos parâmetros simulados,
caso tais erros estejam dentro da faixa de variação permitida pelos limites, aceita-se a
atualização dos pesos da simulação, caso contrário, repete-se a simulação até que a condição
para aceitação seja satisfeita.
Tendo-se como referência os valores dos erros totais gerados pelo processo de simulação para
os parâmetros avaliados, compararam-se os resultados das simulações realizadas com os
maiores e os menores erros totais para cada parâmetro em relação aos valores estimados. Os
resultados podem ser vistos por meio das Figuras 40 e 41, para os menores valores de erros
totais dos parâmetros coeficiente de agudeza e tamanho d
50
, respectivamente, e Figuras 42 e
43, para os maiores valores de erros totais dos parâmetros coeficiente de agudeza e tamanho
d
50
, respectivamente.
109
Comparação das Curvas de Distribuições da
Fração Retida Simples
Produtos T25D/75Q-22
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometro]
Fração Retida Simples
DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)
DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)
Comparação das Curvas de Distribuições da
Fração Retida Simples
Produtos T50D/50Q-23
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometro]
Fração Retida Simples
DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)
DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)
Comparação das Curvas de Distribuições da
Fração Retida Simples
Produtos T75D/25Q-25
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometro]
Fração Retida Simples
DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)
DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)
Figura 40 – Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado da
simulação de menor erro total relativo aos coeficientes de agudezas (simulação número 12) com as curvas
das distribuições estimadas, para o mesmo tempo de moagem e padrão de mistura.
110
Comparação das Curvas de Distribuições da
Fração Retida Simples
Produtos T25D/75Q-22
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometro]
Fração Retida Simples
DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)
DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)
Comparação das Curvas de Distribuições da
Fração Retida Simples
Produtos T50D/75Q-23
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometro]
Fração Retida Simples
DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)
DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)
Comparação das Curvas de Distribuições da
Fração Retida Simples
Produtos T75D/25Q-25
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometro]
Fração Retida Simples
DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)
DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)
Figura 41 - Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado da
simulação de menor erro total relativo aos tamanhos d
50
(simulação número 24) com as curvas das
distribuições estimadas para o mesmo tempo de moagem e padrão de mistura.
111
Comparação das Curvas de Distribuições da
Fração Retida Simples
Produtos T25D/75Q-22
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometro]
Fração Retida Simples
DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)
DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)
Comparação das Curvas de Distribuições da
Fração Retida Simples
Produtos T50D/50Q-23
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometro]
Fração Retida Simples
DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)
DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)
Comparação das Curvas de Distribuições da
Fração Retida Simples
Produtos T75D/25Q-25
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometro]
Fração Retida Simples
DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)
DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)
Figura 42 – Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado da
simulação de maior erro total relativo aos coeficientes de agudezas (simulação número 5) com as curvas
das distribuições estimadas para o mesmo tempo e padrão de mistura.
112
Figura 43 – Comparação entre as curvas de distribuições da fração retida simples do resultado da
simulação de maior erro total relativo aos tamanhos d
50
(simulação número 6) com as curvas das
distribuições estimadas para o mesmo tempo.
Comparação das Curvas de Distribuições da
Fração Retida Simples
Produtos T25D/75Q-22
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometro]
Fração Retida Simples
DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)
DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)
Comparação das Curvas de Distribuições da
Fração Retida Simples
Produtos T75D/25Q-25
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometro]
Fração Retida Simples
DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)
DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)
Comparação das Curvas de Distribuições da
Fração Retida Simples
Produtos T50D/50Q-23
0
0,05
0,1
0,15
0,2
10 100 1000 10000
Tamanho Médio [micrometro]
Fração Retida Simples
DOLOMITA (simulado) QUARTZO (simulado)
DOLOMITA (estimado) QUARTZO (estimado)
113
Como forma de facilitar a comparação entre as distribuições obtidas por simulação em
relação às curvas obtidas por estimação, utilizou-se do indicador de contraste granulométrico,
como mostram as Figuras 44 e 45.
Comparação do Contraste Granulométrico Entre as
Simulações de Menor e Maior Erro Total em Relação ao
Coeficiente de Agudeza
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
T25D/75Q-22 T50D/50Q-23 T75D/25Q-25
Contraste Granulométrico [-]
DOLOMITA (menor erro) QUARTZO (menor erro)
DOLOMITA (maior erro) QUARTZO (maior erro)
Figura 44 – Comparação entre os contrastes granulométricos relativos às saídas das simulações de menor
e maior erro total em relação aos coeficientes de agudezas para os produtos das moagens dos três padrões
testados.
Comparação do Contraste Granulométrico Entre as
Simulações de Menor e Maior Erro Total em Relação ao
Tamanho D50
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
T25D/75Q-22 T50D/50Q-23 T75D/25Q-25
Contraste Granulométrico [-]
DOLOMITA (menor erro) QUARTZO (menor erro)
DOLOMITA (maior erro) QUARTZO (maior erro)
Figura 45 – Comparação entre os contrastes granulométricos relativos às saídas das simulações de menor
e maior erro total em relação aos tamanhos d
50
para os produtos da moagem dos padrões testados.
114
Através da análise dos últimos gráficos foi possível deduzir que, de modo geral, os menores
contrastes granulométricos ocorreram nas simulações que apresentaram o menor erro total,
como era de se esperar, tanto quando se prioriza o menor erro total das agudezas quanto
quando se prioriza o menor erro total dos tamanhos d
50
. Porém, os indicadores de contraste
granulométrico não apresentam, de modo geral, o mesmo comportamento para as duas
espécies minerais.
A partir da análise geral dos resultados, pode-se dizer que obtiveram-se boas aproximações
das distribuições cujos parâmetros foram obtidos por simulação, especialmente para o mineral
quartzo. Considerando-se que os padrões simulados possuíam características bem distintas aos
padrões de treinamento – que inclusive eram escassos – pode-se afirmar, sob uma ótica
otimista, que as experiências de simulação da moagem mista utilizando RNA PMC com
momento obtiveram um bom desempenho, indicando que essa ferramenta possui aplicações
para a simulação ligada à moagem de minérios, quando existirem padrões que possam ser
explorados com alguma precisão.
115
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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(Doutorado em Engenharia Elétrica). Universidade Estadual Paulista.
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2006. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção e Sistemas). Pontifícia
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