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COPPE/UFRJCOPPE/UFRJ
ANÁLISE DE VALORES EXTREMOS DE PARÂMETROS DE RESPOSTA
DINÂMICA DE PLATAFORMAS AUTO-ELEVATÓRIAS
Leonardo Sant’ Anna do Nascimento
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos necessários
à obtenção do título de Mestre em Engenharia
Civil.
Orientadores: Luís Volnei Sudati Sagrilo
Gilberto Bruno Ellwanger
Rio de Janeiro
Julho de 2009
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iii
Nascimento, Leonardo Sant’ Anna do
Análise de Valores Extremos de Parâmetros de
Resposta Dinâmica de Plataformas Auto-Elevatórias /
Leonardo Sant’ Anna do Nascimento. - Rio de Janeiro:
UFRJ/COPPE, 2009.
XXI, 157 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: Luís Volnei Sudati Sagrilo
Gilberto Bruno Ellwanger
Dissertação (mestrado) - UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Civil, 2009.
Referencias Bibliográficas: p. 112-114.
1. Probabilidade e Estatística. 2. Análise Dinâmica. 3.
Análise Estrutural. I. Sagrilo, Luís Volnei Sudati, et al. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa
de Engenharia Civil. III. Titulo.
iv
Dedico este trabalho à minha noiva Danielle.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço principalmente à minha noiva que durante todos os meses de
elaboração deste trabalho esteve ao meu lado nas horas alegres e tristes.
Merecem o meu profundo respeito os professores Luís Volnei Sudati Sagrilo,
Gilberto Bruno Ellwanger e Nelson Szilard Galgoul que contribuíram enormemente na
minha formação durante a elaboração desta dissertação.
Agradeço também a todo o corpo de engenheiros da SUPORTE Consultoria e
Projetos Ltda. que participaram direta ou indiretamente na elaboração desta, sendo
através de motivação ou de conhecimentos técnicos e teóricos.
Por fim agradeço aos meus pais, familiares e amigos que muito me motivaram
durante a elaboração deste trabalho.
vi
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ANÁLISE DE VALORES EXTREMOS DE PARÂMETROS DE RESPOSTA
DINÂMICA DE PLATAFORMAS AUTO-ELEVATÓRIAS.
Leonardo Sant’ Anna do Nascimento
Julho/2009
Orientadores: Luís Volnei Sudati Sagrilo
Gilberto Bruno Ellwanger
Programa: Engenharia Civil
O presente trabalho investiga o modelo baseado nos polinômios de Hermite na
estimativa de valores extremos de séries temporais de parâmetros de resposta obtidos
numa análise dinâmica aleatória de curto prazo de uma plataforma auto-elevatória.
Além deste modelo outras variações de ajuste de uma distribuição de Weibull aos picos
da série temporal também são investigados.
Antes de analisar um modelo de uma auto-elevatória outros modelos estruturais
lineares mais simples submetidos à cargas de Morison foram também analisados. O
modelo de plataforma auto-elevatória investigado foi considerado linear e também foi
simplificado para diminuir os custos computacionais das simulações dinâmicas.
Ao final destas análises observou-se que:
• O modelo baseado nos polinômios de Hermite tem uma tendência clara
de superestimar os valores extremos da resposta de séries não-
gaussianas;
• O modelo Weibull-PoT (Peaks over a Threshold) mostrou-se ser o único
não tendencioso, ou seja, na média converge para o valor extremo
correto, entre os todos os investigados neste trabalho e;
• São necessárias simulações longas para diminuir as incertezas nos
estimadores de extremos baseados numa única série temporal.
vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
EXTREME VALUES ANALYSIS OF DYNAMIC
RESPONSE PARAMETERS FOR JACK-UPS.
Leonardo Sant’ Anna do Nascimento
July/2009
Advisors: Luís Volnei Sudati Sagrilo
Gilberto Bruno Ellwanger
Department: Civil Engineering
This work investigates the Hermite polynomial model applied in the estimation
of extreme values of response parameters series obtained through short term dynamic
analysis of a jack-up. In addition to this model, other variations of Weibull distributions
fitted to the time series peaks are also investigated.
Before considering a jack-up model, other simple linear structural models
submitted to Morison loads were also analyzed. The jack-up model was considered
linear and also in a simplified approach to reduce the computational costs in the
dynamic simulations.
At the end of those analyzes it was observed that:
• The Hermite polynomial model has a clear trend in overestimate the
extreme values of the non-gaussian response series;
• The Weibull-PoT (Peaks over a Threshold) model has proved to be the
only one non-biased, i.e., the average value converges to the actual
extreme value, among all the models investigated in this work and;
• Long simulations are necessary to reduce the uncertainties in the extreme
estimations based on a single time series.
viii
ÍNDICE
I. Introdução ................................................................................................1
I.1. Motivação ............................................................................................................. 1
I.2. Objetivo ................................................................................................................ 3
II. Análise Estrutural Estática e Dinâmica ...............................................5
II.1. Conceitos Iniciais ............................................................................................... 5
II.2. Análise de Estruturas Marítimas ..................................................................... 9
II.2.1. Carregamentos Ambientais Determinísticos ................................................ 9
II.2.2. Aleatoriedade dos Carregamentos Ambientais .......................................... 17
II.2.3. Amortecimento ........................................................................................... 22
II.2.4. Massa Adicional ......................................................................................... 23
II.2.5. Interação Solo-Estrutura ............................................................................. 23
III. Variáveis e Processos Aleatórios ...................................................... 26
III.1. Conceitos Iniciais ............................................................................................ 26
III.2. Variável Aleatória .......................................................................................... 26
III.3. Distribuições de Probabilidades.................................................................... 31
III.3.1. Distribuição de Probabilidades Normal ou Gaussiana .............................. 31
III.3.2. Distribuição de Probabilidades Baseada em Polinômios de Hermite ....... 33
III.3.3. Distribuição de Probabilidades de Weibull ............................................... 37
III.4. Ajustes de Distribuições de Probabilidades a Dados Observados ............. 39
III.5. Estatística de Extremos .................................................................................. 41
III.5.1. Distribuições Teóricas de Valores Extremos - Estatística de Ordem ....... 42
III.5.2. Distribuições Assintóticas de Valores Extremos ...................................... 43
III.6. Processos Aleatórios ....................................................................................... 45
ix
III.6.1. Processos Aleatórios Estacionários ........................................................... 47
III.6.2. Processos Aleatórios Ergódigos ................................................................ 48
III.7. Função de Auto-Correlação e Densidade Espectral de um Processo
Aleatório ................................................................................................................... 49
III.7.1. Função de Auto-Correlação de um Processo Aleatório ............................ 49
III.7.2. Densidade Espectral de um Processo Aleatório ........................................ 49
III.7.3. Processos de Banda Estreita e Banda Larga ............................................. 52
III.8. Distribuições de Probabilidades associadas a um Processo Aleatório ...... 54
III.8.1. Distribuição do Processo Aleatório ........................................................... 54
III.8.2. Distribuição dos Picos ............................................................................... 54
III.8.3. Distribuição do Pico Extremo ................................................................... 59
III.9. Comentários Gerais ....................................................................................... 59
IV. Análises Simplificadas Envolvendo a Equação de Morison .......... 61
IV.1. Estatística da Elevação do Mar Aleatório .................................................... 61
IV.2. Estatística das Forças Hidrodinâmicas ........................................................ 67
IV.3. Estatística da Resposta de um Sistema de 1 Grau de Liberdade ............... 79
V. Análise de uma Plataforma Auto-Elevatória .................................... 87
V.1. Modelo Completo ............................................................................................. 87
V.2. Modelo Simplificado ........................................................................................ 93
V.3. Estatística das Respostas do Modelo Simplificado da Plataforma .............. 99
VI. Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros .......................... 107
VI.1. Conclusões Finais ......................................................................................... 107
VI.2. Sugestões para Desenvolvimentos Futuros ................................................ 110
Bibliografia.............................................................................................. 112
Anexos ...................................................................................................... 115
x
A.1. Soluções Aproximadas do Sistema de Equações Não-Lineares do Método de
Hermite ................................................................................................................... 115
A.2. Abordagem Utilizada na Simplificação do Modelo da Plataforma Auto-
Elevatória ................................................................................................................ 117
A.3. Modos de Vibração ........................................................................................ 135
A.4. Resultados Adicionais da Análise de Extremos para a Plataforma Auto-
Elevatória ................................................................................................................ 138
A.4.1. Espectros Típicos ..................................................................................... 138
A.4.2. Distribuições do Processo ........................................................................ 139
A.4.3. Distribuições de Gumbel .......................................................................... 142
A.4.4. Distribuições de Probabilidades de Máximos em Escala Rayleigh ......... 146
A.4.5. Tabelas Adicionais ................................................................................... 150
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura I.1-1 – Utilização das plataformas auto-elevatórias na perfuração ....................... 1
Figura I.1-2 – Energia de onda vs. período natural .......................................................... 2
Figura II.2.1-1 - Regiões de aplicação das teorias de onda ............................................ 11
Figura II.2.1-2 - Órbitas das partículas fluidas ............................................................... 11
Figura II.2.1-3 - Direção normal e tangencial ao membro ............................................. 14
Figura II.2.1-4 - Variação da velocidade média do vento com a altura ......................... 17
Figura II.2.2-1 - Espectro e componentes de onda ......................................................... 20
Figura II.2.5-1 - Penetração do spudcan no solo ............................................................ 25
Figura III.1-1 - Representação de um estado de mar aleatório ....................................... 26
Figura III.2-1 - Coeficiente de skewness (coeficiente de assimetria) ............................. 30
Figura III.3.1-1 - Forma da FDP e da FCP de uma variável aleatória normal (LIMA e
SAGRILO, 2008) ........................................................................................................... 32
Figura III.4-1 - Histograma de freqüências relativas ...................................................... 40
Figura III.5.2-1 - Comparações entre as distribuições parente, teórica e assintótica de
valores extremos ............................................................................................................. 45
Figura III.6-1 - Realização de um processo aleatório ..................................................... 46
Figura III.6.1-1 - Realização de um processo aleatório .................................................. 47
Figura III.7.1-1 - Função de auto-correlação de um processo ........................................ 49
Figura III.7.2-1 - Função densidade espectral de um processo ...................................... 51
Figura III.7.3-1 - Série aleatória de um processo de banda estreita ............................... 52
Figura III.7.3-2 - Densidade espectral de um processo de banda estreita ...................... 52
Figura III.7.3-3 - Série aleatória de um processo de banda larga ................................... 53
Figura III.7.3-4 - Densidade espectral de um processo de banda larga .......................... 53
xii
Figura III.8.2-1 - Picos do processo aleatório e sua distribuição de probabilidades ...... 55
Figura III.8.2-2 - Regressão linear da reta em base logarítmica ..................................... 57
Figura IV.1-1 - Sinal da elevação do mar ....................................................................... 62
Figura IV.1-2 - Variação entre os parâmetros estatísticos de onda para diversas
realizações (H
s
= 3,5 m; T
z
= 8,2 s) ................................................................................ 63
Figura IV.1-3 – Estabilidade da média do sinal ao longo do tempo .............................. 65
Figura IV.1-4 - Estabilidade do desvio padrão do sinal ao longo do tempo, limites da
norma .............................................................................................................................. 65
Figura IV.1-5 - Estabilidade do coeficiente de skewness do sinal ao longo do tempo,
limites da norma ............................................................................................................. 65
Figura IV.1-6 - Estabilidade do coeficiente de kurtosis do sinal ao longo do tempo,
limites da norma ............................................................................................................. 65
Figura IV.2-1 - Funções distribuição de probabilidades para valores máximos da força
de onda para diversos valores de K ................................................................................ 68
Figura IV.2-2 - Função densidade de probabilidades para K = 3,0 ................................ 71
Figura IV.2-3 - Função densidade de probabilidades para K = 1,0 ................................ 71
Figura IV.2-4 - Função densidade de probabilidades para K = 0,25 .............................. 71
Figura IV.2-5 - Resultado de extremos pelo modelo baseado nos polinômios de Hermite
para K = 1,0 .................................................................................................................... 72
Figura IV.2-6 - Resultado de extremos pelo modelo baseado nos polinômios de Hermite
para K = 3,0 .................................................................................................................... 72
Figura IV.2-7 - Resultado de extremos pelo modelo baseado nos polinômios de Hermite
para K = 0,25 .................................................................................................................. 72
Figura IV.2-8 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-PoT para K = 1,0 ........... 74
Figura IV.2-9 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-PoT para K = 3,0 ........... 74
xiii
Figura IV.2-10 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-PoT para K = 0,25 ....... 74
Figura IV.2-11 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-Mom para K = 1,0 ....... 75
Figura IV.2-12 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-Mom para K = 3,0 ....... 75
Figura IV.2-13 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-Mom para K = 0,25 ..... 75
Figura IV.2-14 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-3Psk para K = 1,0........ 76
Figura IV.2-15 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-3Psk para K = 3,0........ 76
Figura IV.2-16 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-3Psk para K = 0,25...... 76
Figura IV.2-17 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-3Pku para K = 1,0 ....... 77
Figura IV.2-18 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-3Pku para K = 3,0 ....... 77
Figura IV.2-19 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-3Pku para K = 0,25 ..... 77
Figura IV.2-20 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-Tail para K = 1,0 ......... 78
Figura IV.2-21 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-Tail para K = 3,0 ......... 78
Figura IV.2-22 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-Tail para K = 0,25 ....... 78
Figura IV.3-1 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método baseado nos
polinômios de Hermite para K = 1,0 .............................................................................. 81
Figura IV.3-2 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método baseado nos
polinômios de Hermite para K = 3,0 .............................................................................. 81
Figura IV.3-3 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método baseado nos
polinômios de Hermite para K = 0,25 ............................................................................ 81
Figura IV.3-4 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-PoT
para K = 1,0 .................................................................................................................... 82
Figura IV.3-5 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-PoT
para K = 3,0 .................................................................................................................... 82
Figura IV.3-6 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-PoT
para K = 0,25 .................................................................................................................. 82
xiv
Figura IV.3-7 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-Mom
para K = 1,0 .................................................................................................................... 83
Figura IV.3-8 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-Mom
para K = 3,0 .................................................................................................................... 83
Figura IV.3-9 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-Mom
para K = 0,25 .................................................................................................................. 83
Figura IV.3-10 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-3Psk
para K = 1,0 .................................................................................................................... 84
Figura IV.3-11 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-3Psk
para K = 3,0 .................................................................................................................... 84
Figura IV.3-12 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-3Psk
para K = 0,25 .................................................................................................................. 84
Figura IV.3-13 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-3Pku
para K = 1,0 .................................................................................................................... 85
Figura IV.3-14 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-3Pku
para K = 3,0 .................................................................................................................... 85
Figura IV.3-15 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-3Pku
para K = 0,25 .................................................................................................................. 85
Figura IV.3-16 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-Tail
para K = 1,0 .................................................................................................................... 86
Figura IV.3-17 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull- Tail
para K = 3,0 .................................................................................................................... 86
Figura IV.3-18 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull- Tail
para K = 0,25 .................................................................................................................. 86
Figura V.1-1 - Modelo unifilar completo da plataforma auto-elevatória ....................... 87
xv
Figura V.1-2 - Modelo sólido da plataforma auto-elevatória ......................................... 88
Figura V.1-3 - Vista superior e dimensões do casco (dimensões em metros) ................ 89
Figura V.1-4 - Vista superior e outras dimensões do casco (dimensões em metros) ..... 89
Figura V.1-5 - Dimensões das pernas (dimensões em metros) ...................................... 90
Figura V.1-6 - Demais dimensões das pernas (dimensões em metros) .......................... 90
Figura V.1-7 - Elevação da plataforma (dimensões em metros) .................................... 91
Figura V.1-8 - Sistema de elevação e freios da plataforma ............................................ 92
Figura V.1-9 - Posicionamento em planta do sistema de elevação da plataforma ......... 92
Figura V.2-1 - Modelo simplificado da plataforma auto-elevatória ............................... 94
Figura V.2-2 - Comparação entre modelo simplificado e completo na análise quasi-
estática - cortante na base ............................................................................................... 96
Figura V.2-3 - Comparação entre modelo simplificado e completo na análise dinâmica -
cortante na base .............................................................................................................. 96
Figura V.2-4 - Comparação entre modelo simplificado e completo na análise estática -
cortante na base .............................................................................................................. 98
Figura V.2-5 - Comparação entre modelo simplificado e completo na análise dinâmica -
cortante na base .............................................................................................................. 98
Figura V.3-1 - Valor extremo mais provável do deslocamento do convés pelo método
baseado nos polinômios de Hermite ............................................................................. 100
Figura V.3-2 - Valor extremo mais provável do cortante estático na base pelo método
baseado nos polinômios de Hermite ............................................................................. 100
Figura V.3-3 - Valor extremo mais provável do cortante dinâmico na base pelo método
baseado nos polinômios de Hermite ............................................................................. 100
Figura V.3-4 - Valor extremo mais provável do deslocamento do convés da plataforma
pelo método Weibull-PoT ............................................................................................ 102
xvi
Figura V.3-5 - Valor extremo mais provável do cortante estático na base da plataforma
pelo método Weibull-PoT ............................................................................................ 102
Figura V.3-6 - Valor extremo mais provável do cortante dinâmico na base da plataforma
pelo método Weibull-PoT ............................................................................................ 102
Figura V.3-7 - Valor extremo mais provável do deslocamento do convés da plataforma
pelo método Weibull-Mom .......................................................................................... 103
Figura V.3-8 - Valor extremo mais provável do cortante estático na base da plataforma
pelo método Weibull-Mom .......................................................................................... 103
Figura V.3-9 - Valor Extremo mais provável do cortante dinâmico na base da
plataforma pelo método Weibull-Mom ........................................................................ 103
Figura V.3-10 - Valor extremo mais provável do deslocamento do convés da plataforma
pelo método Weibull-3Psk ........................................................................................... 104
Figura V.3-11 - Valor extremo mais provável do cortante estático na base da plataforma
pelo método Weibull-3Psk ........................................................................................... 104
Figura V.3-12 - Valor extremo mais provável do cortante dinâmico na base da
plataforma pelo método Weibull-3Psk ......................................................................... 104
Figura V.3-13 - Valor extremo mais provável do deslocamento do convés da plataforma
pelo método Weibull-3Pku ........................................................................................... 105
Figura V.3-14 - Valor extremo mais provável do cortante estático na base da plataforma
pelo método Weibull- 3Pku .......................................................................................... 105
Figura V.3-15 - Valor extremo mais provável do cortante dinâmico na base da
plataforma pelo método Weibull- 3Pku........................................................................ 105
Figura V.3-16 - Valor extremo mais provável do deslocamento do convés da plataforma
pelo método Weibull-Tail ............................................................................................. 106
xvii
Figura V.3-17 - Valor extremo mais provável do cortante estático na base da plataforma
pelo método Weibull- Tail ............................................................................................ 106
Figura V.3-18 - Valor extremo mais provável do cortante dinâmico na base da
plataforma pelo método Weibull- Tail ......................................................................... 106
Figura A.2-1 - Propriedades das pernas da estaca (dimensões das seções em cm) ...... 117
Figura A.2-2 - Dimensões das pernas da estaca (dimensões das seções em cm) ......... 118
Figura A.2-3 - Direções principais ............................................................................... 119
Figura A.2-4 - Carregamento básico de corrente ......................................................... 121
Figura A.2-5 - Reações de apoio do carregamento de corrente, modelo completo ...... 122
Figura A.2-6 - Reações de apoio do carregamento de corrente, modelo simplificado . 122
Figura A.2-7 - Modelos de perna isolada completo e simplificado.............................. 126
Figura A.2-8 - Torção aplicada no modelo de perna isolada completo (vista superior)
...................................................................................................................................... 127
Figura A.2-9 - Cortante aplicado ao modelo de perna isolada completo ..................... 128
Figura A.2-10 - Momento fletor aplicado ao modelo de perna isolada completo ........ 129
Figura A.2-11 - Elementos de simulação do sistema cremalheira + freios .................. 131
Figura A.2-12 - Modelo simplificado atual da auto-elevatória .................................... 132
Figura A.2-13 - Carregamento a ser convertido em massa .......................................... 132
Figura A.2-14 - Carregamento representativo do convés a ser convertido em massa .. 133
Figura A.3-1 - Primeiro modo de vibração. Modelos (a) simplificado e (b) completo. 135
Figura A.3-2 - Segundo modo de vibração. Modelos (a) simplificado e (b) completo. 136
Figura A.3-3 - Terceiro modo de vibração. Modelos (a) simplificado e (b) completo.
...................................................................................................................................... 137
Figura A.4.1-1 - Espectro do deslocamento lateral da plataforma ............................... 138
Figura A.4.1-2 - Espectro do cortante estático da plataforma ...................................... 139
xviii
Figura A.4.1-3 - Espectro do cortante dinâmico da plataforma ................................... 139
Figura A.4.2-1 - Histograma de freqüência relativa do deslocamento lateral. ............. 140
Figura A.4.2-2 - Histograma de freqüência relativa do cortante estático na base ........ 140
Figura A.4.2-3 - Histograma de freqüência relativa do cortante estático na base ........ 141
Figura A.4.3-1 - Valores extremos do deslocamento lateral em escala Gumbel .......... 142
Figura A.4.3-2 - Valores extremos do cortante estático na base em escala Gumbel.... 143
Figura A.4.3-3 - Valores extremos do cortante estático na base em escala Gumbel.... 143
Figura A.4.3-4 - Distribuição de Gumbel associada aos 18 valores extremos do
deslocamento lateral ..................................................................................................... 144
Figura A.4.3-5 - Distribuição de Gumbel associada aos 18 valores extremos do cortante
estático na base ............................................................................................................. 144
Figura A.4.3-6 - Distribuição de Gumbel associada aos 18 valores extremos do cortante
dinâmico na base .......................................................................................................... 145
Figura A.4.4-1 - Distribuição de probabilidades de máximos na escala da distribuição de
Rayleigh. Deslocamento do convés da plataforma. Modelo baseado nos polinômios de
Hermite. ........................................................................................................................ 146
Figura A.4.4-2 - Distribuição de probabilidades de máximos na escala da distribuição de
Rayleigh. Deslocamento do convés da plataforma. Modelo Weibull-PoT. ................. 147
Figura A.4.4-3 - Distribuição de probabilidades de máximos na escala da distribuição de
Rayleigh. Cortante estático na base. Modelo baseado nos polinômios de Hermite. .... 147
Figura A.4.4-4 - Distribuição de probabilidades de máximos na escala da distribuição de
Rayleigh. Cortante estático na base. Modelo Weibull-PoT......................................... 148
Figura A.4.4-5 - Distribuição de probabilidades de máximos na escala da distribuição de
Rayleigh. Cortante dinâmico na base. Modelo baseado nos polinômios de Hermite. . 148
xix
Figura A.4.4-6 - Distribuição de probabilidades de máximos na escala da distribuição de
Rayleigh. Cortante dinâmico na base. Modelo Weibull-PoT. ...................................... 149
xx
LISTA DE TABELAS
Tabela II.2.1-1 - Valores representativos dos coeficientes de arrasto e inércia para
membros tubulares com base no diâmetro ..................................................................... 15
Tabela I.V.1-1 - Parâmetros estatísticos do processo para 3200 s. de simulação por
altura e período de onda.................................................................................................. 66
Tabela V.2-1 - Freqüências e períodos naturais para estrutura completa ....................... 94
Tabela V.2-2 - Freqüências e períodos naturais para estrutura simplificada.................. 95
Tabela V.2-3 - Diferença (%) entre os períodos naturais dos modelos completo e
simplificado .................................................................................................................... 95
Tabela A.2-1 - Verificação dos esforços ...................................................................... 123
Tabela A.2-2 - Períodos naturais para estrutura completa............................................ 124
Tabela A.2-3 - Períodos naturais para estrutura simplificada ...................................... 124
Tabela A.2-4 - Respostas em termos de deslocamentos da perna isolada completa .... 129
Tabela A.2-5 - Respostas em termos de deslocamentos da perna isolada simplificada 130
Tabela A.2-6 - Respostas em termos de deslocamentos da perna isolada completa após
modificação .................................................................................................................. 130
Tabela A.2-7 - Respostas em termos de deslocamentos da perna isolada simplificada
após modificação .......................................................................................................... 130
Tabela A.2-8 - Períodos naturais para estrutura completa............................................ 133
Tabela A.2-9 - Períodos naturais para estrutura simplificada ...................................... 134
Tabela A.2-10 - Comparação de resultados entre modos ............................................. 134
Tabela A.4.4-1 - Parâmetros estatísticos das diferentes realizações - deslocamento
lateral do convés da plataforma .................................................................................... 151
Tabela A.4.4-2 - Parâmetros estatísticos das diferentes realizações - cortante estático na
base da plataforma ........................................................................................................ 151
xxi
Tabela A.4.4-3 - Parâmetros estatísticos das diferentes realizações - cortante dinâmico
na base da plataforma ................................................................................................... 152
Tabela A.4.4-4 – Valores extremos mais prováveis estimados pelo modelo baseado nos
polinômios de Hermite ................................................................................................. 152
Tabela A.4.4-5 - Valores extremos mais prováveis estimados pelo modelo Weibull-PoT.
...................................................................................................................................... 153
Tabela A.4.4-6 - Parâmetros de resposta do processo - modelo de Weibull-Mom ...... 154
Tabela A.4.4-7 - Parâmetros de resposta do processo - modelo de Weibull-3Psk ....... 155
Tabela A.4.4-8 - Parâmetros de resposta do processo - modelo de Weibull-3Pku ...... 156
Tabela A.4.4-9 - Parâmetros de resposta do processo - modelo de Weibull-Tail ........ 157
1
I. Introdução
I.1. Motivação
Apesar da idéia disseminada de que as plataformas auto-elevatórias
convencionais caminham lentamente para o desuso no processo de perfuração de
campos de petróleo no Brasil, pode ser visto que estas estruturas continuam sendo
economicamente aproveitáveis ao redor do mundo (BECKMAN, 2009). Prova disto é a
grande quantidade de estruturas deste tipo que são contratadas por países como a
Noruega, os Estados Unidos e países do Golfo Pérsico e construídas anualmente em
Singapura. A Figura I.1-1 ilustra a utilização das plataformas auto-elevatórias versus
estruturas flutuantes, como navios sonda e plataformas semi-submersíveis (modus -
mobile offshore drilling unit), na perfuração de poços ao redor do planeta.
Figura I.1-1 – Utilização das plataformas auto-elevatórias na perfuração (BECKMAN,
2009)
A idéia de plataformas auto-elevatórias sendo utilizadas em campos de
perfuração cada vez mais profundos acarretaria em menores custos na fase de
exploração dos poços, porém, algumas circunstâncias devem ser levadas em
consideração ao lançar mão desta idéia. Uma estrutura deste tipo, operando em lâminas
d’água maiores que 120 metros, teria o comportamento dominado pelas excitações
2
dinâmicas; a flexibilidade evidente da estrutura, assim como a não-linearidade existente
entre os carregamentos de onda e a elevação da superfície do mar e, conseqüentemente,
entre esta elevação do mar e os deslocamentos da estrutura, acarretaria em respostas
extremamente não-lineares, necessitando-se de uma abordagem um pouco diferente da
utilizada correntemente nos projetos de estruturas deste tipo.
A Figura I.1-2 ilustra as faixas ressonantes para quatro tipos de estruturas
offshore, plataformas fixas de pequena e grande lâmina d’água, plataformas auto-
elevatórias e torres complacentes. Observa-se que as plataformas auto-elevatórias
encontram-se na faixa susceptível à ressonância nas condições de operação e extremas.
Figura I.1-2 – Energia de onda vs. período natural
No projeto de plataformas auto-elevatórias de elevadas magnitudes, existem
várias peculiaridades, tanto do ponto de vista construtivo bem como de modelagem
computacional e análise estrutural. Neste trabalho, procura-se de alguma forma
contribuir na análise de valores extremos de parâmetros de respostas de uma plataforma
auto-elevatória, onde o caráter não-gaussiano dos mesmos envolve o uso de algum
procedimento estatístico não-linear.
3
I.2. Objetivo
Alguns modelos estatísticos não-lineares são apresentados pelas normas técnicas
(ABS, 2004; ISO, 2006) no que tange o estudo da predição de respostas extremas de
plataformas auto-elevatórias, estes são transcritos a seguir:
1. Método do Parâmetro Arrasto/Inércia;
2. Ajuste de uma distribuição de Weibull aos máximos do processo;
3. Ajuste de uma distribuição de Gumbel aos valores extremos do processo;
4. Método de Winterstein/Jensen (Polinômios de Hermite).
Algumas tentativas de observar o melhor procedimento para estimativa de
extremos a ser adotado nas plataformas auto-elevatórias foram publicadas (LU, 2002;
SNAME, 2002), porém nenhuma conclusão efetiva foi realmente obtida, sendo a
critério do projetista a adoção da melhor metodologia.
O objetivo deste trabalho é o de investigar o modelo baseado nos polinômios de
Hermite proposto por (WINTERSTEIN, 1987) na predição de valores extremos de
respostas dinâmicas não-gaussianas de plataformas auto-elevatórias. Além deste
modelo, vários outros baseados na distribuição de Weibull são também analisados.
Para alcançar o objetivo apresentado acima, algumas simplificações e estudos
paralelos foram efetuados e serão apresentados ao longo do trabalho. No Capítulo II,
são apresentadas a metodologia e as peculiaridades inerentes a um modelo
computacional de uma plataforma auto-elevatória, assim como uma visão geral dos
processos de análise utilizados em estruturas deste tipo. A teoria e os modelos
estatísticos lineares e não-lineares aplicados aos parâmetros de respostas das estruturas
são apresentados no Capítulo III.
Os resultados obtidos para modelos simplificados que envolvem a equação de
Morison são apresentados no decorrer do Capítulo IV. No Capítulo V, são apresentados
os resultados para o modelo de uma plataforma auto-elevatória. As conclusões finais do
trabalho são apresentadas no Capítulo VI.
Neste trabalho serão estudadas as condições de não-linearidade impostas pela
parcela de arrasto da equação de Morison e pela interação entre meio fluido e superfície
livre na zona de splash. As não-linearidades embutidas tanto na estrutura quanto em sua
fundação não serão consideradas ao longo do trabalho.
4
Salienta-se também que os estados de mar impostos para a realização das
análises dinâmicas são baseados em registros de campos offshore onde as alturas
significativas das ondas e os períodos associados são intensos (Mar do Norte) para que
as não-linearidades mencionadas sejam expressivas.
É importante ressaltar que a abordagem apresentada neste trabalho não se
restringe apenas a estruturas auto-elevatórias, podendo ser o seu estudo extrapolado para
diversas áreas da engenharia civil, mecânica e naval, onde as séries temporais em estudo
(excitações e/ou respostas dinâmicas) sejam de caráter não-linear.
5
II. Análise Estrutural Estática e Dinâmica
II.1. Conceitos Iniciais
A análise estrutural estática de modelos computacionais se restringe basicamente
a solução de um sistema de equações lineares que pode ser representado matricialmente
pela formulação:
K.xF
=
(1)
onde
K
é uma matriz quadrada, simétrica e que apresenta a mesma dimensão do número
de graus de liberdade do problema. Essa matriz é formada a partir de montagem
utilizando sub-matrizes que são as matrizes de rigidez dos diversos elementos finitos
existentes na estrutura, podendo ser estes elementos finitos de barra, placas, sólidos e
suas correspondentes simplificações. A essa matriz
K
damos o nome de matriz de
rigidez global da estrutura. O vetor
F
representa as forças nodais estáticas equivalentes,
obtidas também através de montagem utilizando-se as diversas cargas estáticas que
existem na estrutura em estudo. O vetor
x
representa os deslocamentos de todos os
graus de liberdade modelados. O vetor
x
é a incógnita do problema e diversos
algoritmos matemáticos (Gauss, Cholesky, Gradientes Conjugados, etc.) existem para
resolver o sistema de equações dado pela Eq. (1).
Com os deslocamentos da estrutura obtidos, todos os outros resultados podem
ser calculados diretamente. Incluem-se nestes resultados reações de apoio, esforços nos
elementos, tensões nos elementos, energia de deformação e outros.
No caso de estruturas submetidas a excitações dinâmicas, a simplificação da lei
de Newton apresentada acima não pode ser mais utilizada e a configuração completa da
equação deve ser utilizada. Seguindo a mesma metodologia apresentada acima, isto é,
em termos matriciais, tem-se:
(t)
'
M.x'
(t)
C.x'
K.x(t)
F(t)
+
+
=
(2)
Conforme pode ser observado, trabalhamos agora com um sistema de equações
diferenciais lineares acopladas que precisa ser resolvido, com incógnitas nos termos
dependentes entre si
x(t), x’(t) e x’’(t). A matriz de rigidez K é a mesma apresentada
6
anteriormente. A matriz
C consiste na matriz de amortecimento global da estrutura.
Nesta matriz, são consideradas as parcelas de amortecimento estrutural dos elementos,
das ligações da estrutura e do apoio. No caso de uma estrutura imersa na água, por
exemplo, a parcela de amortecimento hidrodinâmico é considerada através da
velocidade relativa entre a partícula do fluido e da estrutura. Mais detalhes sobre esta
parcela são apresentadas no Item II.2. A matriz de massa M é formada a partir da
contribuição das diversas massas dos elementos estruturais. Também no caso de uma
estrutura imersa num fluido a parcela de massa adicional é levada em consideração
quando consideramos a aceleração relativa entre a partícula de fluido e a aceleração da
estrutura numa das parcelas da força de inércia da equação de Morison. O vetor F(t)
representa as forças atuantes na estrutura. Estas excitações podem ser estáticas ou
oscilatórias; para ambos os casos, o tempo de permanência da carga na estrutura deve
ser levada em consideração. Os vetores x(t), x’(t) e x’’(t) são respectivamente o
deslocamento, a velocidade e a aceleração de cada grau de liberdade da estrutura em um
determinado instante de tempo t.
Como dito anteriormente, os vetores x(t), x’(t) e x’’(t) são as incógnitas do
sistema de equações diferenciais e, conseqüentemente, precisam ser obtidos durante
todo o tempo de análise. Para a solução deste problema existem vários métodos como
pode ser visto em (WIRSCHING, PAEZ and ORTIZ, 1995). Entretanto, uma destas
abordagens, que é usada no programa de análise estrutural (SACS, 2005) utilizado nesta
dissertação para a análise de uma plataforma auto-elevatória, é o método da
superposição modal.
No método da superposição modal, o sistema de equações diferenciais acoplado
apresentado na Eq. (2) é transformado em n equações diferenciais desacopladas. Um
resumo do método é apresentado a seguir:
Etapa 1 - Obtenção das freqüências naturais e modos de vibração da estrutura. Este
processo é obtido a partir da solução de um problema de auto-valor e auto-vetor dado
pela seguinte equação:
(
)
0.φλ.KM =−
(3)
7
λ
→ Vetor de auto-valores do problema que representam as diversas freqüências
naturais dadas por
ii
w
λ
= .
φ
→ Matriz de auto-vetores do problema que representam os vários modos de vibração
da estrutura. A essa matriz também damos o nome de matriz modal.
Etapa 2 - A partir da solução do problema apresentado acima, a matriz que contém os
diversos modos de vibração da estrutura é utilizada na criação das matrizes de rigidez
K
, de amortecimento C e de massa modais
M
, que são matrizes com termos não-
nulos apenas na diagonal principal, i.e.,
.K.φφK
T
= .C.φφC
T
= .M.φφM
T
= (4)
Com o objetivo de ajustar os valores de
ij
ϕ
para simplificação dos cálculos, aplica-se o
seguinte artifício matemático:
ij
ii
ij
M
ϕ
.
1
=Φ (5)
Daí:
==
n
λ
λ
λ
...00
............
0...0
0...0
2
1
K.ΦΦK
T
(6)
.C.ΦΦC
T
= (7)
===
1...00
............
0...10
0...01
I.M.ΦΦM
T
(8)
O vetor de forças também deve ser modificado conforme apresentado abaixo:
.F(t)Φ(t)F
T
= (9)
8
Ressalta-se que o vetor de forças modais
(t)F deve ser obtido para todas as etapas de
tempo da análise dinâmica.
Etapa 3 - Utilizando o conceito de matrizes modais apresentado acima, podemos utilizar
qualquer processo de solução de equações diferenciais numérico para a obtenção dos
vetores agora independentes na base modal que denotaremos por y, y’ e y’’ em cada
linha do sistema, onde:
Φ.y(t)
x(t)
=
(10)
Aplicando a transformação de base apresentada na Eq. (10) na Eq. (2):
(t)
'
M.x'
(t)
C.x'
K.x(t)
F(t)
+
+
=
(t)
'
y'
M.
Φ
(t)
y'
C.
Φ
y(t)
K.
Φ
F(t)
...
+
+
=
(11.a)
Ao multiplicarmos todas as parcelas por
T
Φ
, obtemos:
(t)'y'M.ΦΦ(t)y'C.ΦΦy(t)K.ΦΦF(t)Φ
TTTT
....... ++= (11.b)
Com base nas Eq. (6), Eq. (7), Eq. (8), Eq. (9) e Eq.(11.b), tem-se o seguinte sistema:
)()('')('.)(.
1
11
11
11
tFtytyCty =++
λ
)()('')('.)(.
2
22
22
22
tFtytyCty =++
λ
...
)()('')('.)(. tFtytyCty
n
nn
nn
nn
=++
λ
O sistema é resolvido em todas as etapas de tempo t do decorrer da análise, sendo
obtidos os diversos valores y
i
(t), y
i
’(t), y
i
’’(t).
Etapa 4 - A solução final do problema é dada pela superposição dos modos de vibração
multiplicados pelos correspondentes termos obtidos do processo de solução das
equações diferenciais desacopladas.
)(....)(.)(.)(
2211
tytytytx
niniii
Φ++Φ+Φ= ; desloc. do i-ésimo grau de liberdade;
9
)('....)('.)('.)('
2211
tytytytx
niniii
Φ++Φ+Φ= ; veloc. do i-ésimo grau de liberdade;
)(''....)(''.)(''.)(''
2211
tytytytx
niniii
Φ++Φ+Φ= ; aceler. do iésimo grau de liberdade.
II.2. Análise de Estruturas Marítimas
Apesar dos conceitos de análise estrutural e análise dinâmica serem apresentados
rapidamente no item anterior, a aplicação destes conceitos às estruturas parcialmente
submersas como plataformas fixas, plataformas auto-elevatórias ou até mesmo às
estruturas navais como plataformas semi-submersíveis e navios plataformas requer
conhecimento do comportamento hidrodinâmico dos fluidos, da interação fluido-
estrutura, da interação solo-estrutura e até mesmo do comportamento estrutural do
modelo.
No caso em estudo, que será minuciosamente detalhado no Capítulo V, e que
será apenas comentado aqui neste item, ilustraremos os requisitos necessários e
conhecimentos básicos que necessitamos sobre comportamento hidrodinâmico,
interação fluido-estrutura e interação solo-estrutura que devemos utilizar para
concretizarmos o modelo computacional de uma plataforma auto-elevatória.
II.2.1. Carregamentos Ambientais Determinísticos
Os carregamentos ambientais atuantes em uma plataforma auto-elevatória são
onda, corrente e vento. A seguir, estes carregamentos serão comentados apenas na sua
forma determinística. As características aleatórias destes carregamentos são
apresentadas no item seguinte.
a) Carregamento Ambiental de Onda e Corrente
As características das ondas de um determinado campo podem ser obtidas
através de medições realizadas neste. Segundo (SPHAIER, 2004) a definição clássica de
onda é:
10
“A interface entre meios é uma parte do contorno do domínio fluido e está
sujeita a um campo de pressão constante dado pela pressão atmosférica; nesta
superfície não há restrição geométrica, estando o fluido livre para se movimentar.
Qualquer perturbação que acarrete numa variação de pressão no fluido
próximo à superfície livre, acarreta num movimento de massa fluida em busca do
equilíbrio com a pressão atmosférica e com isso, mudança de forma desta superfície.
Chamamos de onda de gravidade ao movimento oscilatório de um fluido devido
aos efeitos gravitacionais ocasionados pela presença de superfície livre”
Diversos modelos matemáticos utilizados na simulação das ondas são difundidos
atualmente nos projetos de engenharia, entre eles podemos citar o modelo linear ou de
Airy, de Stokes, Stream Function entre outros. O objetivo de toda teoria de onda é o de
determinar a celeridade de onda, subseqüentemente seu período e comprimento (se
apropriado), visando o movimento de uma partícula através do fluido devido à onda.
As normas vigentes (API-RP-2A, 2000) estipulam regiões, obtidas através da
correlação entre profundidade, altura e período, onde cada teoria matemática de onda
melhor se aplica. A Figura II.2.1-1 ilustra estas regiões.
Os carregamentos existentes nos diversos elementos submersos da plataforma
auto-elevatória são de caráter não-linear com a profundidade, conforme será visto mais
a frente. O artifício usado pelos programas computacionais é o da subdivisão dos
elementos estruturais para incorporação deste tipo de carregamento. A força resultante
distribuída atuando no membro devido ao movimento da partícula fluida é calculada
utilizando as velocidades e acelerações da partícula, a partir das teorias de onda adotada.
Em posse das velocidades e acelerações das partículas fluidas ao longo da
profundidade, e sendo os membros da plataforma incapazes de provocar os fenômenos
refratários (difração e radiação), a equação do Morison pode ser utilizada. Para os
membros das pernas das plataformas auto-elevatórias, cujas seções transversais são
menores que o comprimento de onda e que a distância entre membros, a teoria de
Morison é eficaz. A Figura II.2.1-2 ilustra a órbita das partículas fluidas para diversas
profundidades.
11
Figura II.2.1-1 - Regiões de aplicação das teorias de onda (API-RP-2A, 2000)
Figura II.2.1-2 - Órbitas das partículas fluidas (SARPKAYA and ISAACSON, 1981)
x
z
x
z
x
z
12
No caso da órbita da partícula fluida ser calculada através da formulação linear
de Airy, temos que a velocidade horizontal e a velocidade vertical da partícula podem
ser expressas por (SARPKAYA and ISAACSON, 1981):
( )
(
)
[
]
( )
( )
twxk
profk
profzk
T
H
tzxu ..cos.
.sinh
.cosh
.
.
,, −
+
−
=
π
(12)
( )
(
)
[
]
( )
( )
twxk
profk
profzk
T
H
tzxw ..sin.
.sinh
.sinh
.
.
,, −
+
−
=
π
(13)
onde:
u = componente horizontal da velocidade da partícula fluida;
w = componente vertical da velocidade da partícula fluida;
k = número de onda, dado por
λ
π
.2
;
w = freqüência da onda, dada por
T
π
.2
.
H = altura de onda;
T = período da onda;
λ
= comprimento da onda;
prof
= lâmina d’água;
x = posição partícula (Figura II.2.1-2);
t = tempo;
z = profundidade da partícula em relação à lâmina d’água (Figura II.2.1-2).
Considerando o elemento estrutural de uma auto-elevatória como um cilindro, a
resultante de força, por unidade de comprimento, F, apresenta uma componente normal
ao mesmo, F
n
e uma componente paralela ao seu eixo, F
t
, i.e,
tn
FFF
+=
(14)
Cada uma dessas duas componentes pode ser expressa como função do
movimento da partícula de fluido utilizando a equação de Morison. Na direção normal,
a equação é (SACS, 2005):
13
InDnn
FFF +=
(15)
onde:
nnDnDn
VVDCF
.....
2
1
ρ
= (Forças de Arrasto) (16)
n
V
DCF
n
MnIn
∂
∂
= .....
4
1
2
ρπ
(Forças de Inércia) (17)
sendo:
C
Dn
= coeficiente de arrasto para escoamento normal ao membro;
C
Mn
= coeficiente de inércia para escoamento normal ao membro;
D = diâmetro do membro;
ρ
= densidade do fluido;
V
n
= componente de velocidade normal ao membro relativa da partícula do fluido,
baseada na teoria de onda adotada e velocidade de corrente.
Na direção tangente ao membro, onde a componente de inércia é muito menor
que a componente de arrasto, tem-se que (SACS, 2005):
ttDtt
VVDCF
......
2
1
ρπ
= (18)
onde:
C
Dt
= coeficiente de arrasto para escoamento tangencial ao membro;
D = diâmetro do membro;
ρ
= densidade do fluido;
V
t
= componente de velocidade relativa à partícula do fluido.
Quando trabalhamos em termos de eixo local (x, y, z) do elemento, que é
ilustrado na Figura II.2.1-3, e fazendo a composição das Eq. (14) a Eq. (18), as várias
forças podem ser unidas e aplicadas à estas coordenadas através de:
14
ttDtx
VVDCF
......
2
1
ρπ
= (19)
y
V
DCVVDCF
y
MnynDny
∂
∂
+= .....
4
1
......
2
1
2
ρπρπ
(20)
z
V
DCVVDCF
z
MnznDnz
∂
∂
+= .....
4
1
......
2
1
2
ρπρπ
(21)
Figura II.2.1-3 - Direção normal e tangencial ao membro
Para membros não cilíndricos, as Eq. (19), Eq.(20) e Eq.(21) são modificadas
para se levar em consideração o comportamento hidrodinâmico diferente em y e z. As
equações para membros não cilíndricos são:
ttzyDtx
VVDDCF
..)..(..
4
1
ρπ
+= (22)
y
V
DCVVDCF
y
yMtyynyDyy
∂
∂
+= .....
4
1
......
2
1
2
ρπρπ
(23)
z
V
DCVVDCF
z
zMzznzDzz
∂
∂
+= .....
4
1
......
2
1
2
ρπρπ
(24)
onde:
15
C
Dy
, C
Dz
= coeficientes de arrasto para escoamento nas direções locais y e z,
respectivamente;
D
y
, D
z
= alturas efetivas do membro para escoamento nas direções locais y e z;
Os coeficientes de Inércia e de Arrasto dos elementos podem ser obtidos através
de bibliografia especializada, atentando para o fato de que estes são dependentes do
diâmetro do membro, número de Reynolds e rugosidade. Um exemplo de coeficientes
de inércia e de arrasto (SACS, 2005) pode ser observado na Tabela II.2.1-1. O aumento
da seção transversal de um elemento devido à incrustação marinha deve ser considerado
no diâmetro equivalente do membro. A rugosidade das incrustações marinhas deve ser
convenientemente considerada nos coeficientes de arrasto e inércia do elemento
(SARPKAYA and ISAACSON, 1981).
Tabela II.2.1-1 - Valores representativos dos coeficientes de arrasto e inércia para
membros tubulares com base no diâmetro
Coeficiente de Arrasto
Coeficiente de Inércia
Diâmetro (pol.)
Normal Tangencial Normal Tangencial
12,0 0,610 0,000 1,390 0,000
24,0 0,665 0,000 1,400 0,000
48,0 0,720 0,000 1,450 0,000
72,0 0,756 0,000 1,670 0,000
120,0 0,799 0,000 1,710 0,000
Nas análises realizadas no Capítulo V deste trabalho, todos os elementos
submersos ou localizados em zona de transição são subdivididos em 10 partes iguais
visando a uma melhor representação do carregamento ambiental, tanto em termos de
não-linearidade bem como em termos de tamanho molhado.
Com relação à corrente, deve-se observar alguns aspectos:
- A velocidade e a direção da corrente variam com a profundidade;
- A alteração da velocidade da corrente no tempo é um processo lento, que não requer
um estudo dinâmico deste comportamento.
16
No cálculo da força hidrodinâmica sobre um elemento estrutural a velocidade da
corrente é adicionada vetorialmente à velocidade da onda para obter a velocidade do
fluido usada na Equação de Morison.
b) Carregamento Ambiental de Vento
O carregamento distribuído de vento atuando nos membros de estruturas, assim
como em áreas de obstrução da plataforma é definido a partir da pressão p dada por:
p = 0,634.(V
z
)
2
.C
s
(25)
onde:
v = velocidade do vento (m/s) [função da altura e da localização, como veremos mais
adiante];
C
s
= coeficiente de forma.
As normas de referência (ABS, 2004; API-RP-2A, 2000) recomendam C
s
= 0,5
para membros tubulares e 1,5 para outros membros e superfícies planas. A força
distribuída no membro ou área de obstrução é dada por:
F = p.A.sen(
α
) (26)
onde:
F = força devido ao vento;
p = pressão;
A = área projetada do membro ou superfície normal à força;
α
= ângulo entre a direção do vento e a normal à área projetada do membro ou
superfície.
Segundo as recomendações das normas (ABS, 2004; API-RP-2A, 2000) a
variação da velocidade média do vento com a altura segue a seguinte fórmula:
17
n
r
rz
z
z
VV
1
.
= (27)
sendo:
n um valor de 7 à 13, onde normalmente é adotado 8;
V
r
= velocidade de referência;
z = altura do ponto do elemento considerado;
z
r
= altura de referência (usualmente 10 metros acima do nível do mar);
V
z
= velocidade média do vento no ponto considerado.
Uma ilustração da variação do vento com relação a altura pode ser observada na
Figura II.2.1-4.
Figura II.2.1-4 - Variação da velocidade média do vento com a altura
II.2.2. Aleatoriedade dos Carregamentos Ambientais
Os carregamentos ambientais foram apresentados anteriormente na forma
determinística, isto significa que o caráter aleatório e probabilístico dos mesmos ainda
não foram considerados. A seguir, apresentam-se simultaneamente os artifícios
matemáticos utilizados na modelagem do caráter aleatório dos carregamentos
ambientais de onda e vento.
18
a) Carregamento Ambiental de Onda
A elevação da superfície do mar é modelada probabilisticamente por um
processo estocástico (SPHAIER, 2004); matematicamente este processo pode ser
representado por:
( )
)cos()(
1
0
1
nn
N
n
n
N
n
n
tztztz
ψω
−==
∑∑
∞→
=
∞→
=
(28)
onde:
z(t) = elevação da superfície do mar, em função do tempo t;
z
n
(t) = elevação do n-ésimo harmônico que constitui o sinal, em função do tempo t;
z
0n
= amplitude do n-ésimo harmônico que constitui o sinal;
n
ω
= freqüências do n-ésimo harmônico que constitui o sinal;
n
ψ
= fase aleatória do n-ésimo harmônico [uniformemente distribuída entre 0 e 2
π
].
Pelo teorema do limite central (SPHAIER, 2004), pode-se concluir que se n
tende para o infinito, z(t) é uma variável aleatória com distribuição normal, com valor
esperado
z
µ
e variância
2
z
σ
dadas por:
[
]
0.0)( == tzE
z
µ
[
]
)(
2
2
tzE
z
=
σ
(29)
Para fins de simulação da elevação do mar por um número discreto de
componentes de onda, temos que determinar as amplitudes das componentes
n
z
0
do
sinal. O espectro se encaixa partindo da premissa que
( ) ( )
ωωω
dSz
kzzi
N
i
i
.
2
1
0
1
2
0
∫
∑
∞
∞→
=
=
(30)
19
e considerando-se uma única freqüência
ω
=
k
ω
que representa um intervalo de
dimensões
+−
2
;
2
δω
ω
δω
ω
kk
, chega-se à expressão que fornece as amplitudes de
cada componente de onda por freqüência:
( ) ( )
δωωω
kzzki
Stz
=
,
2
1
2
0
(31)
Assim, utilizando as Eq. (28) e Eq. (31), podemos dizer que z(t) é a soma de
diversas variáveis aleatórias independentes, i.e.,
( )
)cos(
1
0
ii
N
i
i
tztz
ψω
−=
∑
=
com
(
)
δωω
izzi
Sz .2
0
=
(32)
Ilustra-se na Figura II.2.2-1 a decomposição de um espectro para a formação de
uma série irregular. É importante salientar que diferentes realizações da elevação do
mar são obtidas com diferentes conjuntos de fases aleatórias que são geradas
artificialmente através de números randômicos gerados no computador por diferentes
sementes (seeds).
Uma questão fundamental para se aplicar e se acumular as informações de mar é
tentarmos ter uma formulação para a função densidade espectral. Tenta-se gerar uma
expressão analítica a partir de sinais medidos de elevação do mar.
20
Figura II.2.2-1 - Espectro e componentes de onda (SPHAIER, 2004)
Com a finalidade de diminuir a dificuldade da abordagem, tenta-se trabalhar com
um número pequeno de parâmetros que caracterizem bem a física do problema. Na
literatura, encontram-se várias formulações que partem da altura significativa ou do par
altura significativa e período médio das ondas. São apresentados a seguir os principais
espectros empíricos encontrados na literatura:
a.1) International Towing Tank Conference ( ITTC)
( ) ( )
4
/
5
,,,
ω
ω
ωω
B
s
e
A
HSBAS
−
==
(33)
onde:
A = 8,1 x 10
-3
.g
2
;
B = 3,11 / H
s
2
;
21
H
s
= média de 1/3 das maiores ondas.
a.2) Pierson-Moskowitz modificado ou do International Ship Structures Comitee (ISSC)
−
=
45
0
2
.4
5
exp.
1
.
16
5
)(
nn
s
nPM
TH
S
ωω
ω
(34)
onde:
H
s
= altura significativa de onda (média de 1/3 das maiores ondas do estado de mar);
T
0
= período dominante da onda, para o qual S(
ω
) será máximo;
ω
n
=
ω
/
ω
0
; freqüência adimensional;
ω
0
= 1 / T
0
; freqüência correspondente ao período dominante de onda.
a.3) JONSWAP (Joint North Sea Wave Project)
(
)
−
=
2
2
.2
1
explnexp.
)(
)(
σ
ω
γ
ω
ω
nnPM
nj
C
S
S
(35)
onde:
H
s
= média de 1/3 das maiores ondas.
T
0
= período dominante da onda, para o qual S(
ω
) será máximo;
ω
n
=
ω
/
ω
0
; freqüência adimensional;
ω
0
= 1 / T
0
; freqüência correspondente ao período dominante de onda;
σ
,
γ
e C = parâmetros do espectro.
b) Carregamento Ambiental de Vento
Utiliza-se a mesma abordagem apresentada para representar o caráter aleatório
da elevação do mar, porém, considerando um espectro apropriado para a representação
da variação da velocidade do vento. O espectro mais utilizado na caracterização do
vento é o espectro de Harris (SPHAIER, 2004), representado pela seguinte equação:
22
(
)
[
]
( )( )
[ ]
6
5
2
1
1
2
..4
)(
n
n
nH
k
S
ωη
ωη
ω
+
=
(36)
onde:
( )
=
10
1
v
L
H
n
ωωη
(37)
H
L
= comprimento de referência do espectro de Harris;
10
v = velocidade média do vento na altura de referência (10m acima do nível do mar);
k
= parâmetro do espectro.
II.2.3. Amortecimento
Entende-se por amortecimento a dissipação de energia ocorrida durante o
movimento da estrutura. Os quatro tipos de amortecimento que podem ocorrer em uma
estrutura auto-elevatória são o estrutural, o da fundação, o da ligação casco-cremalheira
e o hidrodinâmico.
O amortecimento em uma estrutura auto-elevatória pode ter um impacto bastante
significativo na sua resposta. O amortecimento utilizado em nossas análises segue a
prescrição da Norma (ABS, 2004) que especifica o fator de amortecimento total
ξ
a ser
usado como:
%100.
cr
c
c
=
ξ
(38)
onde:
c = amortecimento do sistema;
c
cr
= amortecimento crítico =
km
..2 ;
m = massa efetiva do sistema;
k = rigidez efetiva do sistema.
23
Segundo a Norma (ABS, 2004), o fator de amortecimento não pode ser tomado
maior que 4%. Neste trabalho, no fator de amortecimento será utilizado o valor de 2%,
conforme práticas de projeto compreendendo amortecimento estrutural, o
amortecimento da fundação e o amortecimento da ligação casco-cremalheira.
O amortecimento hidrodinâmico é considerado na análise a partir do momento
em que utilizamos a velocidade relativa entre partícula fluida e a velocidade da estrutura
na equação de Morison conforme item II.2.1, onde a parcela da velocidade da partícula
fluida é substituída pelo termo
(
)
)(')(
txtv
p
− .
II.2.4. Massa Adicional
A análise dinâmica de uma estrutura pode ser descrita pela Eq. (2). Sabendo-se
que o carregamento ambiental de onda é considerado utilizando-se a equação de
Morison, na qual uma das parcelas de inércia é proporcional à aceleração relativa,
teríamos (BREBBIA and WALKER, 1979):
( )
( )
)(.
4
.
.)('')(.
4
.
.).1(
22
ta
D
txta
D
CtF
papami
π
ρ
π
ρ
+−−= (39)
É possível simplificar o sistema de equações diferenciais dado pela Eq. (2) pela
seguinte forma:
(
)
(t)'.x'MM(t)C.x'K.x(t)F(t)
ad
+++= (40)
Denominamos
ad
M
de matriz de massa adicional que é a matriz formada pela
decomposição da expressão
4
.
.).1(
2
i
am
D
C
π
ρ
− nos diversos graus de liberdade da
estrutura.
II.2.5. Interação Solo-Estrutura
A rotação que pode existir devido à forma dos spudcans (ou sapatas), vide
Figura II.2.5-1, da plataforma, pode ser considerada através de molas localizadas na
24
posição destas estruturas. A Norma (ABS, 2004) define a rigidez flexional destas molas
como:
min
.
.
.
CL
IE
K
fixedrs
= (41)
onde:
E = módulo de Young, 210 GPa para o Aço;
I = momento de inércia em m
4
;
L = somatório das distâncias, em metros, da parte mais inferior do casco até o leito
marinho e da penetração do leito marinho (mínimo de 3,0 metros)
5,0
.35,4
≥
s
A
I
;
(
)
(
)
FJJC +−= .5,1
min
;
+=
2
.
.8,7
1
LA
I
J
s
;
+=
2
.
..12
1
YA
FI
F
g
A = área axial equivalente da perna, em m
2
;
A
s
= área de cortante da perna, em m
2
;
Y = distância, em metros, entre a linha de centro de uma perna e a linha de união entre
centros das outras duas pernas, no caso de auto-elevatórias de 3 pernas;
F
g
= 1,125 para unidades de 3 pernas.
Neste trabalho, optou-se por considerar a ligação entre
spudcan
e solo como
perfeitamente rígida, restringindo as rotações deste. Este tipo de ligação é utilizado em
áreas onde a penetração dos
spudcans
no solo não é superficial.
25
Figura II.2.5-1 - Penetração do spudcan no solo (BECKMAN, 2009)
26
III. Variáveis e Processos Aleatórios
III.1. Conceitos Iniciais
Dado um fenômeno experimental qualquer, se seus resultados são previsíveis,
damos a ele o nome de determinístico. Por outro lado, se os resultados deste
experimento não são previsíveis, o fenômeno é chamado aleatório ou randômico.
Fenômenos aleatórios que independem do tempo são caracterizados através de variáveis
aleatórias, e.g, tensão de escoamento de um dado aço estrutural. Fenômenos aleatórios
que variam no tempo são caracterizados por processos aleatórios. Os carregamentos
ambientais atuantes em uma plataforma offshore são na sua grande maioria de caráter
aleatório e variáveis no tempo, como por exemplo, aqueles oriundos da ação das ondas,
sendo portanto tratados como processos aleatórios. Desta forma é de intensa
importância o conhecimento de conceitos estatísticos e probabilísticos para a análise e o
projeto de estruturas deste tipo. A Figura III.1-1 ilustra a variação temporal da elevação
do mar num dado ponto, caracterizando o comportamento irregular da mesma.
Figura III.1-1 - Representação de um estado de mar aleatório
III.2. Variável Aleatória
Os vários resultados de um fenômeno aleatório que independe do tempo podem
ser vistos como os resultados de uma função e caracterizados através de uma variável
aleatória X. Sendo X uma variável aleatória, a sua função densidade de probabilidades
f
x
(x) é definida de tal forma que a probabilidade da mesma assumir valores num
intervalo infinitesimal dx no entorno de X = x é dada por:
27
dxxf
dx
xX
dx
xP
x
)(
22
=
+≤≤−
(42)
Desta forma a probabilidade de X assumir valores entre a e b, i.e.
(
)
bXaP ≤≤
,
é dada por:
( )
∫
=≤≤
b
a
x
dxxfbXaP )( (43)
Qualquer função f
x
(x) que satisfaça as seguintes propriedades matemáticas pode
ser considerada uma função densidade de probabilidade ou
PDF (Probability Density
Function)
:
a) 0.0)( ≥
xf
x
para qualquer x;
b) 0.1)( =
∫
∞
∞−
dxxf
x
área unitária;
c)
( )
∫
=≤≤
b
a
x
dxxfbXaP )(
Associada à função densidade de probabilidades existe a função cumulativa de
probabilidades F
x
(x), que é definida por:
∫
∞−
=
a
xx
dxxfaF )()( (44)
que avalia a probabilidade da variável aleatória X assumir valores menores ou iguais a
a
, i.e.
(
)
aXP ≤ . A seguinte relação pode ser observada:
dx
xdF
xf
x
x
)(
)( = (45)
Uma função cumulativa de probabilidades deve satisfazer as seguintes propriedades:
a) 0.0)( =−∞
x
F
;
b) 0.1)(0.0 ≤≤
xF
x
;
c) 0.1)( =∞
x
F
.
28
Existem inúmeras funções matemáticas que satisfazem os axiomas apresentados
anteriormente. Entretanto, o uso prático de cada uma delas depende se elas se ajustam
ou não aos dados que estão sendo tratados. Serão apresentadas ao longo deste trabalho
algumas funções densidade de probabilidades, exemplos são a função Normal (também
denominada função de Gauss ou Gaussiana), a função baseada nos polinômios de
Hermite e a função de Weibull. Associados a cada variável aleatória X existem alguns
valores característicos que serão comentados a seguir (ANG and TANG, 1975).
A Média
ou Valor Esperado de uma variável aleatória X, consiste do ponto x do centro
de gravidade da função f
x
(x). Este parâmetro é definido por:
Analiticamente
: dxxfxXE
xx
)(.)(
∫
∞
∞−
==
µ
(46)
Estimador amostral
:
∑
=
==
n
i
i
x
n
x
XE
1
)(
µ
(47)
O Valor Médio Quadrático que mede em parte a dispersão em torno do eixo x = 0 de
uma variável aleatória X é dado por:
Analiticamente
: dxxfxXE
x
)(.)(
22
∫
∞
∞−
= (48)
Estimador amostral
:
∑
=
=
n
i
i
n
x
XE
1
2
2
)( (49)
A Variância, que mede a dispersão dos valores da variável em torno da média é dada
por:
Analiticamente
:
( )
dxxfxXVar
xx
)(.)(
2
∫
∞
∞−
−=
µ
(50)
2
2
)()(
x
XEXVar
µ
−=
Estimador amostral
:
2
11
2
)(
−
=
∑∑
==
n
i
i
n
i
i
n
x
n
x
XVar
(51)
29
O Desvio Padrão
, que é definido como a raiz quadrada da variância:
Analiticamente
: )(XVar
x
=
σ
(52)
2
2
)(
xx
XE
µσ
−=
Estimador amostral:
2
11
2
)(
−
==
∑∑
==
n
i
i
n
i
i
x
n
x
n
x
XVar
σ
(53)
O Coeficiente de Variação, que mede de forma adimensional (ao contrário da variância)
a dispersão dos dados da variável aleatória em torno da média é definido por:
x
x
x
COV
µ
σ
δ
==
(54)
O Coeficiente de Skewness ou Coeficiente de Assimetria, que indica a simetria ou a
assimetria da função densidade de probabilidades é calculado por:
Analiticamente
:
( )
3
3
3
3
1
)(.
)(
x
xx
x
x
dxxfx
XE
σ
µ
σ
µ
θ
∫
∞
∞−
−
=
−
=
(55)
Estimador amostral:
(
)
3
1
3
1
x
n
i
xi
n
x
σ
µ
θ
∑
=
−
= (56)
Os valores de
θ
1
apresentam correlação com o gráfico da distribuição de
probabilidades conforme a Figura III.2-1. Valores positivos de
θ
1
indicam que os
valores de X maiores que a média são mais dispersos que os menores, valores negativos
indicam o contrário e um valor nulo indica que a função é simétrica com relação à
média.
O Coeficiente de Kurtosis ou Coeficiente de Curtose, que indica se uma função
densidade é mais esbelta ou não em relação a uma distribuição normal e é definido por.
30
Analiticamente
:
( )
4
4
4
4
2
)(.
)(
x
xx
x
x
dxxfx
XE
σ
µ
σ
µ
θ
∫
∞
∞−
−
=
−
=
(57)
Estimador amostral:
(
)
4
1
4
2
x
n
i
xi
n
x
σ
µ
θ
∑
=
−
= (58)
Figura III.2-1 - Coeficiente de skewness (coeficiente de assimetria)
No caso de uma distribuição normal este valor é igual a 3. Se
θ
2
for maior que 3
para uma dada função densidade de probabilidades, isto significa que relativamente (em
termos de desvios-padrão) ocorrem valores extremos para esta variável que são maiores
que os valores de uma distribuição normal. Se
θ
2
for menor que 3, significa exatamente
o contrário
Os coeficientes de Skewness
θ
1
e Kurtosis
θ
2
serão úteis nos ajustes das
distribuições teóricas baseadas no polinômios de Hermite utilizadas neste trabalho,
conforme pode ser observado no Item III.3.2.
No caso de duas variáveis aleatórias X e Y uma medida de dependência
estatística entre elas pode ser obtida a partir da Covariância, que é definida por:
(
)
(
)
(
)
(
)
YX
YXEYXCOV
µµ
−−= .,
(59)
Se X e Y são independentes, então sua covariância é zero.
Associado a Covariância existe o Coeficiente de Correlação que é dado por:
(
)
(
)
(
)
(
)
YX
YX
YX
Y.XE
Y,XCOV
σσ
µ−µ−
=
σσ
=ρ
(60)
31
que varia de -1 a 1. Demonstra-se que para valores
1≈ρ
existe uma forte dependência
linear entre as variáveis, ou seja, conhecendo-se o valor de uma pode-se inferir o valor
da outra e vice-versa (ANG and TANG, 1984).
III.3. Distribuições de Probabilidades
Dada uma função que satisfaça todas as condições citadas previamente no Item
III.2 e que represente estatisticamente um fenômeno que está sendo investigado, essa
função pode ser descrita como a função densidade de probabilidades associada ou
representativa da mesma.
As funções densidade de probabilidades mais utilizadas são apresentadas nos
próximos itens.
III.3.1. Distribuição de Probabilidades Normal ou Gaussiana
Uma variável X é dita normalmente distribuída ou simplesmente uma variável
Gaussiana se a sua função densidade de probabilidades for da seguinte forma:
−
−=
2
2
1
exp.
.2
1
)(
x
x
x
x
x
xf
σ
µ
πσ
(61)
Esta distribuição apresenta apenas
x
µ
e
x
σ
como parâmetros. A sua função
cumulativa só pode ser avaliada por integração numérica (não apresenta função analítica
explícita), ou usando o artifício de tabelas.
A Figura III.3.1-1 tem o intuito apenas de apresentar a forma da função
densidade de probabilidades e da função cumulativa de probabilidades de uma variável
aleatória X com distribuição normal.
32
Figura III.3.1-1 - Forma da FDP e da FCP de uma variável aleatória normal (LIMA e
SAGRILO, 2008)
Uma alternativa equivalente para a distribuição Normal e que será utilizada no
próximo item deste trabalho é a de utilizar a variável aleatória reduzida Y representada
por:
x
x
X
Y
σ
µ
−
=
(62)
A média e o desvio padrão desta variável aleatória reduzida Y são,
respectivamente, 0,0 e 1,0 e a sua distribuição também é Gaussiana. Assim sendo a
distribuição de Y é conhecida como distribuição normal padrão de probabilidades e é
dada por:
−=
2
2
1
exp.
.2
1
)(
yyf
y
π
(63)
A sua função cumulativa é dada por:
∫
∞−
==Φ
y
yy
dyyfyFy )()()(
(64)
Uma característica desta distribuição de probabilidades é a de que a
probabilidade de uma variável aleatória normal com média e desvio padrão quaisquer
assumir valores entre a e b poder ser escrita como:
33
( )
−
Φ−
−
Φ==≤≤
∫
x
x
b
a
x
x
x
ab
dxxfbXaP
σ
µ
σ
µ
)(
(65)
onde
Φ
é a função cumulativa normal padrão.
III.3.2. Distribuição de Probabilidades Baseada em Polinômios de Hermite
Um conceito comumente utilizado em estatística, principalmente na simulação
artificial de variáveis randômicas é o de equivalência estatística. Neste sentido diz-se
que duas variáveis aleatórias X e Y são equivalentes num ponto X = x e Y = y se for
satisfeita a seguinte condição:
)()( yFxF
YX
=
(
)
)(
1
yFFx
YX
−
= (66)
(
)
)(
1
xFFy
XY
−
=
Com base no conceito de equivalência estatística, (WINTERSTEIN, 1987)
propôs uma distribuição de probabilidades genérica baseada na distribuição normal
padrão, como será descrito a seguir.
Uma variável aleatória X cujos parâmetros
µ
X
,
σ
X
,
θ
1X
,
θ
2X
são conhecidos
(através de uma amostra ou por outro mecanismo teórico), pode ser representada por
uma variável auxiliar reduzida Y dada pela Eq. (62).
A variável Y tem os seguintes parâmetros estatísticos
0.0
Y
=µ
,
0.1
Y
=σ
,
X1Y1
θ=θ
e
X2Y2
θ=θ
. Com o auxílio de uma variável aleatória U normal padrão
( 0.0
U
=µ , 0.1
U
=σ ), pode-se estabelecer a seguinte equivalência estatística entre U e
Y:
)()()(
uuFyF
UY
Φ== (67)
(
)
)(
1
uFy
Y
Φ=
−
Como
(
)
yF
Y
é a princípio desconhecida, a última equação apresentada acima
pode ser genericamente representada por
34
(
)
ugy =
(68)
onde g(.) é uma função matemática não-linear desconhecida. É importante observar que
esta equação permite transformar variáveis normais padrão U em variáveis Y
equivalentes.
Na transformação proposta por (WINTERSTEIN, 1987) a função g(u) é
aproximada por polinômios de Hermite através da seguinte expressão:
( )
∑
=
−
=
N
n
nn
uHecy
1
1
.
(69)
onde N é o número polinômios de Hermite utilizados e c
n
são os coeficientes do
polinômio. He
n
(U) é conhecido como polinômio de Hermite de ordem n e é dado por:
( ) ( )
−−
=
22
.
2
1
exp.1..
2
1
exp
U
dU
d
UUHe
n
n
n
n
(70)
Adotando-se N = 4 (n = 1, 2, 3 e 4) e substituindo os termos do polinômio de
Hermite temos:
He
0
(U) = 1
He
1
(U) = U (71)
He
2
(U) = U
2
-1
He
3
(U) = U
3
- 3.U
A aproximação proposta por (WINTERSTEIN, 1987), com base nas Eq. (69),
Eq. (70) e Eq. (71), pode ser escrita como:
(
)
(
)
uucucuccy
.31.
3
4
2
321
−+−++= (72)
Sabendo-se que U corresponde a uma variável normal reduzida e aplicando os
conceitos analíticos de momentos estatísticos temos que:
35
Média = 0.0
( ) ( )
[
]
1
3
4
2
321
2
..31...
2
1
exp.
.2
1
cdUUUcUcUccx
Y
=−+−++
−=
∫
∞
∞−
π
µ
0.0
1
=c
(73)
Desvio Padrão = 1.0
( ) ( )
[
]
dUUUcUcUccx
Y
∫
∞
∞−
−+−++
−= ..31...
2
1
exp.
.2
1
2
3
4
2
321
2
π
σ
2
4
2
2
2
3
.6.2 ccc
Y
++=
σ
0.1.6.2
2
4
2
2
2
3
=++ ccc
(74)
Coeficiente de Skewness =
θ
1X
( ) ( )
[
]
dUUUcUcUccx
XY
∫
∞
∞−
−+−++
−== ..31...
2
1
exp.
.2
1
3
3
4
2
321
2
11
π
θθ
X
cccccccc
1
2
43423
2
23
3
3
..108...36..6.8
θ
=+++
(75)
Coeficiente de Kurtosis =
θ
2X
( ) ( )
[
]
dUUUcUcUccx
XY
∫
∞
∞−
−+−++
−== ..31...
2
1
exp.
.2
1
4
3
4
2
321
2
22
π
θθ
X
cccc
cccccccccccc
224
3
2
4
4
2
3
4
2
2
2
4
2
4
2
342
2
3
2
2
2
3
4
3
.3..24.3348
..1296..252..2232...576..60.60
θ
=+++
++++++
(76)
O sistema de três equações não-lineares, formado pelas Eq. (74), Eq. (75) e
Eq. (76), utilizado para obter os valores das incógnitas c
2
, c
3
e c
4
é apresentado abaixo:
36
0.1.6.2
2
4
2
2
2
3
=++ ccc
X
cccccccc
1
2
43423
2
23
3
3
..108...36..6.8
θ
=+++
X
cccc
cccccccccccc
224
3
2
4
4
2
3
4
2
2
2
4
2
4
2
342
2
3
2
2
2
3
4
3
.3..24.3348
..1296..252..2232...576..60.60
θ
=+++
++++++
Embora existam várias soluções aproximadas (ver Anexo I) para resolver este
problema, o procedimento numérico adotado neste trabalho foi o método de Newton-
Raphson. Observa-se que os coeficientes acima estabelecem uma transformação de
variáveis que garante os primeiros quatro momentos de Y. Diminuindo-se ou
aumentando o número de momentos diminui-se ou aumenta-se o número de coeficientes
(termos) da aproximação.
Uma vez resolvido o sistema de equações tem-se então que a variável Y pode ser
escrita em função de U por
(
)
(
)
(
)
UUcUcUcUY
.3.1..
3
4
2
32
−+−+= (77)
e U pode ser obtido (CICILIA, 2004) em função de Y por (relação inversa):
Para
0,3
2
<
X
θ
(
)
(
)
(
)
YYcYcYYU .3.1.
3
04
2
030
−−−−=
(78)
Para
0,3
2
>
X
θ
( ) ( ) ( )
[
]
( ) ( )
[
]
aYqYYqYYU
−−+−++=
3
1
00
2
3
1
00
2
ξξξξ
(79)
onde:
2
ck =
,
2
3
3
c
c
h =
,
2
4
4
c
c
h =
,
4
3
.3 h
h
a =
,
4
.3
1
h
b
= ,
k
Y
Y
Y
Y
.
0
σ
µ
−
=
(
)
(
)
3
00
..5,1
aYabY
−+=
ξ
(
)
3
2
1
abq
−−=
37
A função densidade de probabilidades da variável Y pode ser então escrita como
(ANG and TANG, 1975):
( ) ( )
yu
dy
d
.u.
2
1
exp.
.2
1
yu
dy
d
)u(f)y(f
2
UY
−
π
== (80)
Uma vez que
(
)
(
)
uHenuHe
nn 1
.'
−
= e
( )
( )
uy
du
d
yu
dy
d 1
=
, temos que:
( )
( )
[
]
3U.3.cU.2.cc.u.
2
1
exp.
.2
1
)y(f
2
432
2
Y
−++
−
π
=
(81)
Por sua vez a função cumulativa de probabilidades é então dada pela Eq. (44).
Sempre lembrando que com base na Eq. (62), a X a variável original é dada por:
XX
YX µ+σ=
(82)
Esta abordagem apresentada acima é utilizada na obtenção das distribuições de
probabilidades das séries de respostas dinâmicas da plataforma auto-elevatória
apresentadas nesta dissertação.
III.3.3. Distribuição de Probabilidades de Weibull
Uma variável aleatória X segue a distribuição de Weibull quando a sua
distribuição de probabilidades é representada pela seguinte função:
α
−
−λ
α
−
=
λ
λ
−λ
w
1
w
x
ux
exp
)ux(
)x(f (83)
e sua função cumulativa de probabilidades é dada analiticamente por:
38
α
−
−−=
λ
w
x
ux
exp1)x(F (84)
Esta distribuição apresenta três parâmetros:
•
Parâmetro de locação: u
w
•
Parâmetro de escala: α
•
Parâmetro de forma: λ
Estes parâmetros apresentam as seguintes relações com a média µ
x,
desvio
padrão σ
x,
coeficiente de assimetria θ
1
e coeficiente de curtose
da variável aleatória X:
Média:
+Γ+=
λ
αµ
1
1
wX
u
(85)
Desvio Padrão:
+Γ−
+Γ=
λλ
ασ
1
1
2
1
2
X
(86)
Skewness:
2
3
2
3
1
1
1
2
1
1
12
2
1
1
13
3
1
+Γ−
+Γ
+Γ+
+Γ
+Γ−
+Γ
=
λλ
λλλλ
θ
(87)
Kurtosis:
2
2
42
2
1
1
2
1
1
1.3
2
1.
1
1.6
3
1.
1
1.4
4
1
+Γ−
+Γ
+Γ−
+Γ
+Γ+
+Γ
+Γ−
+Γ
=
λλ
λλλλλλ
θ
(88)
sendo
(
)
.Γ
a função Gamma dada por
( )
dt.e.tz
0
t1z
∫
∞
−−
=Γ
39
Na literatura também pode ser encontrada a distribuição de Weibull de dois
parâmetros ou Weibull-2P. Trata-se do modelo em que o coeficiente de locação u
w
é
nulo. A função cumulativa de probabilidades da Weibull-2P é dada por:
( )
α
−−=
λ
x
exp1xF (89)
e a função densidade de probabilidades é definida por:
( )
α
−λ
α
=
λ
λ
−λ
x
exp..
x
xf
1
(90)
A média e o desvio padrão desta distribuição podem ser calculados através das
Eq. (85) e Eq. (86), com u
w
= 0.
III.4. Ajustes de Distribuições de Probabilidades a Dados Observados
A representação de fenômenos aleatórios por distribuições de probabilidades é
essencial em nossos estudos. Uma vez definida a distribuição de probabilidades de um
determinado fenômeno, diversos níveis de probabilidades e predições estatísticas podem
ser efetuadas com base nas teorias probabilísticas.
A partir da existência de uma amostra coletada da variável aleatória X, uma
representação gráfica bastante utilizada é o histograma de freqüência relativa, que ao
longo deste trabalho é chamado apenas de histograma. Neste diagrama a abscissa
contém a variável aleatória dividida em pequenos intervalos e a ordenada representa o
número de ocorrências de valores de amostra dentro do intervalo dividido pelo número
total de amostras. A Figura III.4-1 ilustra a composição de um histograma de freqüência
relativa.
Na prática, utilizamos alguns passos na tentativa de ajustar uma distribuição
teórica as amostras do fenômeno em estudo. As abordagens utilizadas no decorrer do
trabalho são apresentadas a seguir.
40
Figura III.4-1 - Histograma de freqüências relativas
a)
Definição dos parâmetros da distribuição teórica pelo método dos Momentos
Na tentativa de estimar os parâmetros estatísticos da distribuição teórica
podemos utilizar o método dos momentos que assume que os valores característicos da
amostra da variável aleatória são iguais ao da população, i.e.,
XXE
X
==
µ
)(
22
)(
sXVar
X
==
σ
Como estas grandezas estão diretamente relacionadas aos parâmetros das
distribuições de probabilidades, estes últimos podem ser facilmente obtidos.
b) Verificação da aderência da curva teórica aos dados
b.1) Comparação Visual
A metodologia consiste na plotagem das distribuições teóricas junto com o
histograma da realização; ao engenheiro cabe a avaliação de qual melhor se ajusta à
distribuição aproximada do histograma.
41
b.2) Testes de Aderência
Realizado através de funções cumulativas de erro (em módulo) entre a
distribuição teórica e a distribuição aproximada do histograma. O valor do erro total
obtido pode ser comparado com limites impostos pelo engenheiro (com base nos testes
Chi-quadrado ou Kolmogorov-Smirnoff (ANG and TANG, 1975)) e no final indicam,
de acordo com o nível de confiança pré-estabelecido, se a distribuição teórica pode ou
não representar o fenômeno observado.
b.3) Métodos de Ajuste por Regressão
Esta metodologia será abordada no Item III.8.2 desta dissertação.
III.5. Estatística de Extremos
A Estatística de Extremos está relacionada à análise de valores extremos
máximos ou mínimos de uma variável aleatória, ou seja, valores com uma freqüência de
ocorrência muito baixa. Um valor extremo está sempre relacionado a um dado número
N de ocorrências da variável que por sua vez pode estar relacionado a um determinado
período de tempo (LIMA e SAGRILO, 2008).
O tratamento ideal na análise de extremos é o de ajustar uma distribuição de
probabilidades a uma amostra de valores extremos observados, cada um deles sendo um
valor extremo (máximo ou mínimo) encontrado num período de N ocorrências da
variável observada. Por exemplo, a determinação da distribuição de valores extremos
anuais de uma variável aleatória seria baseada em um banco de dados com valores
máximos observados em cada ano durante muitos anos, sendo uma função de
probabilidades posteriormente ajustada a estes valores. Este procedimento nem sempre
é possível e uma maneira alternativa de se obter a distribuição de extremos é obtida
através da Estatística de Ordem (ANG and TANG, 1984).
42
III.5.1. Distribuições Teóricas de Valores Extremos - Estatística de Ordem
Para obtenção da distribuição de probabilidades dos valores extremos de uma
variável aleatória X, com funções densidade f
x
(x) e cumulativa F
x
(x) de probabilidades
conhecidas, considera-se inicialmente a existência de várias amostras de tamanho n de
X, i.e.,
(
)
i
N
iii
xxx
,,,
21
L
=
X
, onde os índices 1, 2, …, N representam os N valores
observados na i-ésima amostra. Observa-se, desta forma, que uma amostra qualquer de
X, i.e.,
(
)
i
N
iii
xxx
,,,
21
L
=
X
, constitui-se na realidade numa realização de variáveis
aleatórias (X
1
, X
2
, X
3
, ..., X
N
). Deve-se observar que X
1
, X
2
, …, X
N
são amostras
originárias da mesma variável aleatória X e, portanto:
)()(...)()()(
321
xFxFxFxFxF
XXXXX
N
===== (91)
O valor máximo extremo de uma realização de tamanho n de X é uma variável
aleatória definida como:
Y
N
= max(X
1
, X
2
, X
3
, ..., X
N
) (92)
Supondo que o valor X = y pertença à população de extremos de X, então a
seguinte relação deve ser satisfeita:
(
)
);...;;;(
321
yXyXyXyXPyYP
NN
≤≤≤≤=≤ (93)
Sabendo-se que função cumulativa do valor máximo extremo é definida como
)()(
yYPyF
NY
N
≤= (94)
e assumindo-se que as variáveis X
1
, X
2
, …, X
N
são estatisticamente independentes tem-
se que:
(
)
(
)
(
)
[
]
N
XXXXY
yFyFyFyFyF
NN
)()(
21
==
L
(95)
43
A correspondente função densidade de probabilidades do valor extremo para n
ocorrência de X é então dada por:
[ ]
)(.)(.
)(
)(
1
yfyFN
dy
ydF
yf
X
N
X
Y
Y
N
N
−
==
(96)
Por analogia, pode ser obtida a função cumulativa do valor mínimo extremo que
é dada por:
[
]
N
XY
yFyF
)(11)(
1
−−= (97)
e a função densidade de probabilidades por:
[ ]
)(.)(1.
)(
)(
1
1
1
yfyFN
dy
ydF
yf
X
N
X
Y
Y
−
−==
(98)
A distribuição de probabilidades de X, i.e.,
(
)
xF
X
ou
(
)
xf
X
, é chamada de
distribuição
parente
. A variável N se refere ao número de ocorrências da variável X que
são observadas durante um determinado período de tempo de interesse (ANG and
TANG, 1984).
III.5.2. Distribuições Assintóticas de Valores Extremos
A partir de vários estudos, os estatísticos descobriram que as distribuições de
extremos tendem a distribuições assintóticas quando N tente a infinito. Observou-se
também que a forma da distribuição de extremos depende basicamente do
comportamento da extremidade (cauda) de interesse - a de máximo ou a de mínimo - da
distribuição original (ou parente) da variável X investigada.
Na literatura, são encontrados basicamente três tipos de distribuições assintóticas
para valores extremos máximos e mínimos (ANG and TANG, 1984): Tipo I, Tipo II ou
Tipo III. O valor prático destas distribuições é a de que para alguns tipos de
distribuições parentes, já se sabe a priori que suas distribuições de valores extremos
tendem para distribuições assintóticas cujos parâmetros estatísticos são facilmente
calculados em função dos parâmetros das primeiras, ou seja:
44
a.
Se X for uma variável aleatória Normal, a distribuição dos valores máximos
extremos se aproxima assintoticamente de uma Tipo I;
b.
Se uma variável Y tem uma distribuição de Weibull, pode se demonstrar que a
distribuição dos seus valores máximos extremos é do Tipo I;
c.
Se Z for uma variável lognormal, a distribuição dos seus valores extremos
máximos aproxima-se assintoticamente de uma do Tipo II.
No caso específico de uma distribuição de Weibull de 3-P é possível observar
que os parâmetros da distribuição de extremos do Tipo I (ou Gumbel) u e α são obtidos
por (ANG and TANG, 1984):
(
)
(
)
λ
α
nuu
W
ln+=
(99)
( )
λ
λ
α
λ
α
1
)ln(
−
=
n
(100)
Com base nos parâmetros estatísticos, a função distribuição de probabilidades
dos valores extremos é dada por:
(
)
(
)
(
)
(
)
uxuxxf
N
X
−−−−−=
ααα
expexp.)( (101)
A função cumulativa de probabilidade é dada analiticamente por:
(
)
(
)
(
)
uxyF
N
X
−−−=
α
expexp)( (102)
Em resumo, os parâmetros da distribuição de extremos são obtidos a partir dos
parâmetros da distribuição de Weibull (u
w
, α, λ) e do número de ocorrências de
interesse N. No caso de uma Weibull-2P, o mesmo procedimento é válido, porém, com
u
w
= 0.
A Figura III.5.2-1 ilustra a forma da distribuição parente de uma variável
aleatória X e as distribuições teóricas e assintóticas dos seus valores extremos máximos.
45
Figura III.5.2-1 - Comparações entre as distribuições parente, teórica e assintótica de
valores extremos (LIMA e SAGRILO, 2008)
III.6. Processos Aleatórios
Um processo aleatório é definido como sendo uma coleção de séries temporais
que caracterizam ao longo do tempo um mesmo fenômeno com características
randômicas. Um processo aleatório é ilustrado na Figura III.6-1. No estudo de processos
aleatórios cada uma das séries temporais da coleção é chamada de realização do
processo aleatório (LIMA e SAGRILO, 2008). Supondo N realizações de um processo
aleatório X(t) e tomando-se um tempo definido qualquer, por exemplo,
1
tt =
, obtem-se
N valores distintos do processo, cada um deles associado a cada uma das realizações.
Estes valores podem ser tratados estatisticamente como uma simples amostra de uma
variável aleatória
(
)
1
tXX =
usando a teoria que foi apresentada no item III.2. Por
exemplo, a média de X seria dada por
46
[ ]
( )
[ ]
(
)
∑
=
==
N
i
i
N
tx
tXEXE
1
1
1
(103)
onde
(
)
1
tx
i
é o valor do processo aleatório observado no tempo t
1
na i-ésima realização.
Da mesma maneira podem ser estimados os demais parâmetros estatísticos
definidos anteriormente assim como pode ser feito um ajuste de uma distribuição de
probabilidades para a amostra
(
)
(
)
(
)
(
)
11
2
1
1
txtxtx
N
L
=
X
.
Tomando-se como referência outro valor de tempo,
2
tt =
, além dos parâmetros
estatísticos do processo aleatório associados a este instante de tempo também é possível
calcular a correlação entre os valores do processo X(t) nos instantes de tempo t
1
e t
2
, i.e.,
(
)
(
)
[
]
21
, tXtXCOV
e assim por diante.
Figura III.6-1 - Realização de um processo aleatório
47
III.6.1. Processos Aleatórios Estacionários
Um processo aleatório se diz estacionário se suas propriedades estatísticas
(média, variância, desvio padrão, coeficiente de skewness, coeficiente de kurtosis
distribuição de probabilidades, etc.) são independentes do tempo que são avaliadas e se
a covariância do processo depender apenas do valor de separação
12
tt −=τ
. A
Figura III.6.1-1 ilustra a realização de um processo aleatório e a separação temporal
τ
.
Figura III.6.1-1 - Realização de um processo aleatório
Isto quer dizer que o processo estacionário apresenta as seguintes propriedades:
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
xEtxEtxE === ...
21
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
xVartxVartxVar === ...
21
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
xtxtx
12111
...
θθθ
===
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
xtxtx
22212
...
θθθ
===
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
τ
+===
txtxCOVtxtxCOVtxtxCOV
,...,,
4321
sendo
3412
tttt −=−=τ .
Os processos aleatórios de interesse para o projeto de estruturas marinhas
(alturas de onda, velocidades do vento e velocidades de corrente) são normalmente
considerados como aproximadamente estacionários para determinados intervalos curtos
de tempo também chamados períodos de curto-prazo. Num período de longo-prazo estas
ações ambientais apresentam variações nos seus parâmetros estatísticos. Então, na
prática de projetos de estruturas marítimas dividem-se as séries temporais dos
parâmetros ambientais em períodos de poucas horas (usualmente 3-h) e considera-se
48
que em cada um deles os processos são estacionários. A estes eventos ambientais de
curto prazo atribui-se o nome de estado de mar.
III.6.2. Processos Aleatórios Ergódigos
Se os parâmetros estatísticos de um processo aleatório estacionário, obtidos ao
longo de uma única realização qualquer do mesmo, são iguais aos valores calculados ao
longo de várias realizações, estes processos são ditos ergódigos.
Isto quer dizer que os processos ergódigos apresentam as seguintes propriedades
(BREBBIA and WALKER, 1979):
∫
∞→
=µ
T
0
T
dt).t(x
T
1
lim (104)
( )
2
T
0
2
T
2
X
dt.)t(x
T
1
lim)x(Var µ−=σ=
∫
∞→
(105)
( )
2
T
0
2
T
X
dt.)t(x
T
1
lim µ−=σ
∫
∞→
(106)
(
)
[
]
)t(x).t(xER τ+=τ
(107)
( )
dt).t(x).t(x
T
1
limR
T
0
T
∫
τ+=τ
∞→
(108)
Na prática, é quase que impossível obter várias realizações de um fenômeno
randômico natural, por exemplo, as elevações do mar. Normalmente, são obtidas
realizações únicas a cada intervalo de tempo pré-definido e desta forma é comum na
prática assumir que os processos aleatórios de interesse para o projeto das estruturas
marinhas são estacionários e ergódigos.
49
III.7. Função de Auto-Correlação e Densidade Espectral de um
Processo Aleatório
III.7.1. Função de Auto-Correlação de um Processo Aleatório
A função de auto-correlação para um processo u(t) é dada pelo valor esperado
média do produto )t(x).t(x
τ
+
e é definida pela Eq. (108). Esta função nos dá algumas
informações sobre o valor do sinal no instante
τ
+
t
, quando conhecemos o valor o seu
valor em t. Pode ser observado que para
0
=
τ
, a função de auto-correlação representa o
valor da variância do processo (ergódigo), i.e.,
(
)
2
x
0R
σ=
(109)
Num processo verdadeiramente aleatório, à medida que
τ
aumenta, a auto-
correlação decai. A Figura III.7.1-1 ilustra um gráfico típico da função de auto-
correlação.
Figura III.7.1-1 - Função de auto-correlação de um processo
III.7.2. Densidade Espectral de um Processo Aleatório
Antes de definir a densidade espectral de um processo, consideraremos um
processo x(t) ao qual vamos aplicar a transformada de Fourier:
( ){ } ( )
)w(Xdt).t(x.t.w.iexp
.
2
1
txF
−
∞
∞−
=−
π
=
∫
(110)
50
Deve ser observado que a função
( ){ }
tgF)w(X
=
−
é obtida mediante integração
do produto
(
)
)t(x.t.w.iexp − . Este artifício matemático funciona como um filtro que
extrai de x(t) a contribuição de
w
. Podemos também escrever:
( )
dw.t.w.iexp).w(X)t(x
∫
∞
∞−
−
= (111)
Considerando agora a notação de variância do processo x(t), i.e.
∫
−
∞→
=σ=
2
T
2
T
T
2
dt).t(x).t(x
T
1
lim)x(Var (112)
e pelas definições anteriores, baseadas nas Eq. (111) e Eq. (112), tem-se:
( )
∫ ∫
−
∞
∞−
−
∞→
=σ
2
T
2
T
T
2
dt.dw.t.w.iexp).w(X).t(x
T
1
lim
( )
dw.dt.t.w.iexp).t(x
T
1
lim)w(X
2
T
2
T
T
2
∫ ∫
∞
∞−
−
∞→
−
=σ
(113)
A integral entre colchetes é a transformada de Fourier de x(t) com +i ao invés de
-i; i.e. o conjugado complexo de
−
X
, que chamaremos
X
ˆ
. Quando
∞
→
T
,
X
ˆ
também
tenderá para infinito. Podemos agora escrever:
∫
∞
∞−
−
∞→
=σ dw.X
ˆ
.X
T
1
lim
T
2
∫
∞
∞−
−
∞→
=σ dw.X
T
1
lim
2
T
2
(114)
∫
∞
∞−
−
∞→
=σ dw.X
T
1
lim
2
T
2
O termo entre parênteses é chamado função de densidade espectral para o
processo u, i.e.,
51
2
T
X
T
1
lim)w(S
−
∞→
=
(115)
Com base nas Eq. (109) e Eq. (115), obtemos a seguinte relação entre )(
wS
e )(
τ
R
:
( )
dwwiwSR
∫
∞
=
0
...exp).(.2)(
ττ
( )
τττ
π
dwiRwS
∫
∞
−=
0
...exp).(.
1
)( (116)
É importante notar que para 0
=
τ
temos o seguinte resultado:
2
0
)..(.2)0(
σ
==
∫
∞
dwwSR
(117)
A Eq. (117) demonstra que a variância de um processo estacionário é igual a
duas vezes a área sob a curva )(
wS
, com esta variando de 0 a
∞
quando existem
freqüências positivas e negativas na representação (espectro nos dois lados). No caso de
freqüências somente positivas (espectro de um só lado), a variância é igual a uma vez a
área sob a curva )(
wS
. A Figura III.7.2-1 ilustra a função densidade espectral (com
lado só) de um processo aleatório.
Figura III.7.2-1 - Função densidade espectral de um processo
52
III.7.3. Processos de Banda Estreita e Banda Larga
Um processo para o qual a função densidade espectral se encontra basicamente
dentro de uma banda estreita de freqüências este processo é denominado processo de
banda estreita. Se o contrário ocorre, i.e. a densidade espectral é distribuída em uma
banda larga de freqüências, o processo é chamado de banda larga.
a) Processo de Banda Estreita:
Este processo caracteriza-se por apresentar um único máximo para cada
cruzamento ascendente do seu nível médio (vide Figura III.7.3-1). Sua densidade
espectral se situa concentrada numa pequena faixa de freqüências (vide Figura III.7.3-
2).
Figura III.7.3-1 - Série aleatória de um processo de banda estreita
Figura III.7.3-2 - Densidade espectral de um processo de banda estreita
53
b) Processo de Banda Larga:
Este processo pode ter vários máximos entre dois cruzamentos ascendentes
consecutivos, o maior destes valores é denominado como máximo global e os demais
como máximos locais (vide Figura III.7.3-3). Apresenta densidade espectral espalhada
sobre uma ampla faixa de freqüências (vide Figura III.7.3-4).
Figura III.7.3-3 - Série aleatória de um processo de banda larga
Figura III.7.3-4 - Densidade espectral de um processo de banda larga
Uma medida matemática para identificar a largura de banda de um espectro é
através do parâmetro ε é uma mediada da largura de banda de um processo aleatório:
40
2
2
.
1
mm
m
−=
ε
; 10
≤
≤
ε
(118)
54
onde:
dwwwSm
n
n
∫
∞
∞−
= ..).(
(119)
é definido como momento de ordem n do espectro.
III.8. Distribuições de Probabilidades associadas a um Processo
Aleatório
III.8.1. Distribuição do Processo Aleatório
Análogo ao item de variáveis aleatórias, podemos calcular a probabilidade de
uma função x encontrar-se em um certo intervalo, e.g. x entre x
a
e x
b
por:
( )
∫
=<<
b
a
x
x
Xba
dx).x(fx)t(xxP (120)
onde
)x(f
X
é a função densidade de probabilidades do processo.
Em nossas análises, procuramos inicialmente ajustar ao processo aleatório as
distribuições de Gauss e a distribuição baseada nos polinômios de Hermite. Estes
ajustes são apresentados no Capítulo V desta dissertação.
III.8.2. Distribuição dos Picos
Um parâmetro de interesse prático na análise de processos aleatórios
relacionados à análise de estruturas marítimas é a distribuição dos seus máximos (ou
picos), conforme ilustra a Figura III.8.2-1.
55
Figura III.8.2-1 - Picos do processo aleatório e sua distribuição de probabilidades
(BREBBIA and WALKER, 1979)
No caso de um processo aleatório gaussiano, foi demonstrado por Rice
(BREBBIA and WALKER, 1979) que a distribuição dos picos segue uma distribuição
de probabilidades cuja função densidade é dada por:
( )
ε−
ε
Φ
ε
−ε−+
ε
−
π
ε
=
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
P
1.
.m
p
.
.m
p
2
1
exp.1.
m
p
.m
p
2
1
exp.
.2.m
pf
(121)
sendo
ε
e m
o
definidos nas Eq. (118) e Eq. (119) e
(
)
.Φ
é a função cumulativa da
distribuição normal padrão, definida na Eq. (64).
Esta distribuição é conhecida na literatura como distribuição de Rice e no cada
do processo gaussiano ser também de banda estreita, 0
=
ε
, ela se reduz no modelo de
Rayleigh, dado por:
( )
−=
0
2
0
P
m
p
2
1
exp.
m
p
pf
0.0
≥
x
(122)
Sendo o processo aleatório de banda larga, i.e., 1
=
ε
, a distribuição dos picos de
um processo Gaussiano também segue a distribuição de Gauss:
56
( )
−
π
=
0
2
0
P
m
p
2
1
exp.
.2.m
1
pf (123)
No caso do processo não ser gaussiano, não existe uma solução analítica
aplicável a qualquer caso. Normalmente, em tal situação, recorre-se ao ajuste de uma
distribuição conhecida aos picos observados numa realização do processo aleatório ou
transforma-se a série original, através do modelo baseado nos polinômios de Hermite,
(apresentado no item III3.2) numa série gaussiana. Utilizamos as duas estratégias
mencionadas que serão apresentadas a seguir.
a) Ajuste de uma Distribuição Teórica aos Picos Observados.
Neste trabalho, são ajustadas distribuições de Weibull aos picos (globais)
observados nas séries temporais. São investigados 5 modelos de distribuição de
Weibull:
a.1) Weibull-2P
a.2) Weibull-3P Skewness
a.3) Weibull-3P Kurtosis
a.4) Weibull-Tail
a.5) Weibull-PoT (Peaks over a Threshold)
No modelo (a.1), os dois parâmetros da distribuição de Weibull de dois
parâmetros (vide Item III.3.3) são calculados usando o método dos momentos com base
na média e desvio padrão dos picos observados na série temporal. No modelo (a.2) os
três parâmetros são ajustados com o método dos momentos utilizando a média, desvio
padrão e coeficiente de assimetria dos picos observados na série temporal. No modelo
(a.3) os três parâmetros são ajustados com o método dos momentos utilizando a média,
desvio padrão e coeficiente de curtose dos picos observados na série temporal. O
modelo Weibull Tail procura uma distribuição de Weibull de dois parâmetros, através
de um método de regressão, que melhor se ajusta aos valores mais elevados da amostra
de picos da série temporal (SAGRILO et all., 2000) conforme descrito a seguir.
57
A distribuição de Weibull de dois parâmetros pode ser parametrizada por uma
reta a partir de duas transformações logarítmicas apresentadas a seguir:
( )
α
−−=
π
p
exp1pF
P
→
(
)
[
]
[
]
(
)
(
)
[
]
αλ−+λ=−− ln.pln.pF1lnln
P
(124)
ou seja
(
)
[
]
[
]
(
)
(
)
[
]
αλ−+λ=−− ln.pln.pF1lnln
P
(125)
)p(y = p.a
′
+ b
Colocando-se os valores dos picos em ordem crescente e atribuindo um valor de
função cumulativa associado a cada um deles como sendo igual a (i/(N+1)), onde i é a
ordem i-ésimo pico em ordem crescente e N é o número total de picos observados, pode
ser ajustada por regressão a reta dada pela Eq. (125). Ilustramos este procedimento na
Figura III.8.2-2.
Figura III.8.2-2 - Regressão linear da reta em base logarítmica
Uma vez ajustada a reta, os parâmetros
λ
e
α
são dados por:
a
=
λ
−=α
a
b
exp
P’
58
Observa-se que se todos os pontos seguissem realmente uma distribuição de
Weibull, o ajuste da reta aos pontos observados na amostra seria perfeito. Entretanto,
como na análise de extremos o interesse normalmente recai nos valores extremos é
importante garantir um ajuste bom nesta região. Neste trabalho, para este método, foram
ajustadas inicialmente sete distribuições de Weibull tomando-se para a regressão linear
as amostras com os valores dos picos cujos valores da função cumulativa empírica de
probabilidade são respectivamente maiores que 65%, 70%, 75%, 80%, 85%, 90% e
95%. Para cada uma destas amostras obtém-se um par de valores
λ
e
α
e toma-se como
os valores representativos para a distribuição de Weibull a média destes sete valores.
No método Weibull-PoT, toma-se uma sub-amostra dos picos observados na
série temporal que seja constituída por valores cuja função cumulativa empírica seja
maior que um dado valor (70% especificamente neste trabalho). Para esta amostra
reduzida, são calculados a média, desvio padrão e coeficiente de skewness e ajusta-se
pelo método dos momentos uma distribuição de Weibull de três parâmetros. Esta é uma
outra forma de melhorar a representação na região superior dos valores dos picos.
b) Parametrização do Modelo Baseado nos Polinômios de Hermite no Modelo de Gauss.
No modelo de transformação de Hermite, utiliza-se a mesma formulação
apresentada no item III.3.2, utilizando a média, desvio padrão, coeficiente de assimetria
e coeficiente de curtose da série temporal, para obter os coeficientes que transformam
uma série original X(t) numa série Gaussiana U(t). Para U(t) sabe-se que a distribuição
dos picos segue a distribuição de Rice, conforme Eq. (121) e, portanto, usando o
conceito de transformações de variáveis pode ser obtida a distribuição dos picos de X(t)
com base na transformação apresentada no item II.3.2.
Do ponto de vista prático é interessante observar que este modelo é indicado
pelas normas de projeto de estruturas auto-elevatórias (ABS, 2004; ISO, 2006) para
análise de extremos de parâmetros de resposta dinâmica aleatória de plataformas auto-
elevatórias.
59
III.8.3. Distribuição do Pico Extremo
Para um processo gaussiano, independentemente do fator de largura de banda,
demonstra-se (BREBBIA and WALKER, 1979) que a distribuição do valor do pico
extremo converge para uma distribuição Tipo I com parâmetros u e
α
dados por:
(
)
Tln2mu
00
ν=
(126)
0
0
m
)Tln(2
ν
=α
(127)
onde T é o período de tempo de referência considerado na análise de extremos (1-h, 2-h,
3-h, etc.) e os demais parâmetros já foram definidos anteriormente.
No caso dos processos não serem gaussianos, utiliza-se a estatística de ordem
para os modelos de Weibull, conforme item III.5.1, sendo neste caso
p
Nn
=
onde N
P
é
o número de picos globais esperados no tempo T de referência, exceto no modelo
Weibull-PoT que
T
Nn =
onde N
T
é o número de picos que excedem o
threshold
adotado (no presente trabalho
PT
N3.0N ≈
).
No caso do modelo baseado na transformação de Hermite, sabe-se que a
distribuição do valor extremo de U(t) é do Tipo I e por transformação de variáveis
obtém-se a distribuição de extremos de X(t).
III.9. Comentários Gerais
Deve ser observado que todos os modelos para tratamento estatístico de
processos não-gaussianos são baseados em estimadores calculados com base numa série
temporal. Como estas séries são de tamanho finito, estes estimadores podem apresentar
uma variabilidade estatística intrínseca devido ao tamanho limitado da amostra. Assim
sendo, neste trabalho os vários métodos apresentados serão investigados considerando
diversas realizações de um mesmo processo (com diferentes comprimentos de duração)
e calculando a média dos valores extremos estimados e um intervalo de confiança para o
mesmo. Um método é considerado como não-tendencioso quando na média ele estima o
60
valor correto de um dado parâmetro estatístico. Por outro lado, se isto não acontecer, o
método pode ser considerado tendencioso ou impróprio.
Esta investigação permite também avaliar qual o tamanho mínimo de simulação
necessário para que o valor estimado de um parâmetro estatístico extremo seja estimado
com uma determinada precisão ou uma incerteza pré-definida.
Como o foco central deste trabalho está centrado em séries não-lineares oriundas
da equação de Morison, as conclusões e observações devem ser limitadas somente a
estes casos.
61
IV. Análises Simplificadas Envolvendo a Equação de
Morison
Como na análise aleatória das plataformas do tipo auto-elevatória a principal
fonte de não-linearidade da resposta vem do carregamento (devido à parcela de arrasto
na equação de Morison), neste capítulo são feitas análises de valores extremos para duas
situações mais simples de serem simuladas, com o intuito de entender melhor o
comportamento dos determinados métodos de estimativa de extremos utilizados neste
trabalho.Os casos analisados neste capítulo incluem:
•
Análise estatística da elevação do mar simulado artificialmente;
•
Análise estatística da força de Morison (análise da força simplesmente);
•
Análise da resposta dinâmica de modelo de 1 grau de liberdade (1 G.L.)
submetido a uma força calculada pela equação de Morison.
IV.1. Estatística da Elevação do Mar Aleatório
Segundo a Norma de referência (ABS, 2004), a elevação de onda pode ser
modelada como uma superposição linear de componentes de ondas regulares, utilizando
informações do espectro, conforme apresentado no Item II.2.2. A estatística da série
aleatória resultante é Gaussiana desde que o número de harmônicos utilizados na
modelagem e o tempo de simulação do processo sejam suficientes. Tal norma estipula
que sejam utilizados no mínimo 200 componentes de onda na geração do mar irregular.
O período de tempo mínimo para a simulação, segundo a Norma (ABS, 2004),
deve ser tal que os parâmetros estatísticos da onda estejam dentro dos limites abaixo:
•
Distribuição Gaussiana ou Normal de probabilidades;
•
Desvio Padrão = %1
4
±
s
H
•
-0,03 < Skewness < 0,03
•
2,9 < Kurtosis < 3,1
62
Neste estudo foram utilizados três espectros distintos para a geração artificial
das elevações da superfície do mar. Para cada um deles, foram geradas 20 realizações
distintas (trocando-se a semente no processo de geração) para as investigações que
foram conduzidas. Os espectros estudados, mencionados no Item II.2.2, são Pierson-
Moskowitz e JONSWAP.
Foram observados os parâmetros estatísticos para diferentes comprimentos
(tempos) de simulação. Para cada tamanho de simulação (50, 100, 200, 400, 800 1600 e
3200 segundos) tomam-se os parâmetros estatísticos de cada uma das 20 realizações,
calcula-se a média e o desvio padrão destes parâmetros, plotando-se em seguida no eixo
das ordenadas o intervalo de 95% de confiança aproximadamente (
µ ± 2.σ). Utilizou-se
uma onda de 3,5 metros de altura significativa (H
s
), com período de cruzamento zero da
onda (Tz) de 8,2 segundos. O espectro do mar foi discretizado em 400 harmônicos
limitados dentro de uma faixa que corresponde a 98% da energia total do espectro.
O sinal que representa a elevação do mar aleatório gerado por uma semente em
particular, para o espectro de JONSWAP, em 3200 segundos de simulação é
apresentado na Figura IV.1-1.
0 1000 2000 3000
4−
2−
0
2
4
η t 0, ( )
0
t
Figura IV.1-1 - Sinal da elevação do mar
A Figura IV.1-2 apresenta os intervalos de confiança da média, do desvio
padrão, do coeficiente de skewness e do coeficiente de kurtosis para diversos tempos de
duração do processo aleatório. Nestes gráficos a linha horizontal cheia é o valor teórico
do parâmetro ou valor de referência.
63
MÉDIA PIERSON
-0.0300
-0.0200
-0.0100
0.0000
0.0100
0.0200
0.0300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
50 SEG
100 SEG
200 SEG
400 SEG
800 SEG
1600 SEG
3200 SEG
TEÓRICO
DESVIO PADRÃO PIERSON
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
1.1000
1.2000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
50 SEG
100 SEG
200 SEG
400 SEG
800 SEG
1600 SEG
3200 SEG
TEÓRICO
SKEWNESS PIERSON
-0.5000
-0.4000
-0.3000
-0.2000
-0.1000
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
50 SEG
100 SEG
200 SEG
400 SEG
800 SEG
1600 SEG
3200 SEG
TEÓRICO
KURTOSIS PIERSON
2.1000
2.3000
2.5000
2.7000
2.9000
3.1000
3.3000
3.5000
3.7000
3.9000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
50 SEG
100 SEG
200 SEG
400 SEG
800 SEG
1600 SEG
3200 SEG
TEÓRICO
MÉDIA JONSWAP 2003
-0.0300
-0.0200
-0.0100
0.0000
0.0100
0.0200
0.0300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
50 SEG
100 SEG
200 SEG
400 SEG
800 SEG
1600 SEG
3200 SEG
TEÓRICO
DESVIO PADRÃO JONSWAP 2003
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
1.1000
1.2000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
50 SEG
100 SEG
200 SEG
400 SEG
800 SEG
1600 SEG
3200 SEG
TEÓRICO
SKEWNESS JONSWAP 2003
-0.5000
-0.4000
-0.3000
-0.2000
-0.1000
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
50 SEG
100 SEG
200 SEG
400 SEG
800 SEG
1600 SEG
3200 SEG
TEÓRICO
KURTOSIS JONSWAP 2003
2.1000
2.3000
2.5000
2.7000
2.9000
3.1000
3.3000
3.5000
3.7000
3.9000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
50 SEG
100 SEG
200 SEG
400 SEG
800 SEG
1600 SEG
3200 SEG
TEÓRICO
MÉDIA JONSWAP 2005
-0.0300
-0.0200
-0.0100
0.0000
0.0100
0.0200
0.0300
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
50 SEG
100 SEG
200 SEG
400 SEG
800 SEG
1600 SEG
3200 SEG
TEÓRICO
DESVIO PADRÃO JONSWAP 2005
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
1.1000
1.2000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
50 SEG
100 SEG
200 SEG
400 SEG
800 SEG
1600 SEG
3200 SEG
TEÓRICO
SKEWNESS JONSWAP 2005
-0.5000
-0.4000
-0.3000
-0.2000
-0.1000
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
50 SEG
100 SEG
200 SEG
400 SEG
800 SEG
1600 SEG
3200 SEG
TEÓRICO
KURTOSIS JONSWAP 2005
2.1000
2.3000
2.5000
2.7000
2.9000
3.1000
3.3000
3.5000
3.7000
3.9000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
50 SEG
100 SEG
200 SEG
400 SEG
800 SEG
1600 SEG
3200 SEG
TEÓRICO
Figura IV.1-2 - Variação entre os parâmetros estatísticos de onda para diversas realizações (H
s
= 3,5 m; T
z
= 8,2 s)
64
As Figuras IV.1-3 a IV.1-6 apresentam a estabilidade da média, do desvio
padrão, do coeficiente de skewness e do coeficiente de kurtosis, em função do tempo,
para uma realização típica do processo aleatório de 3,5 metros de altura significativa
(H
s
), com período de cruzamento zero da onda (Tz) de 8,2 segundos, limitadas pelas
prescrições da norma (ABS, 2004).
A título ilustrativo, os parâmetros estatísticos do processo aleatório, para
diversos períodos e alturas de onda associadas e, espectro de JONSWAP, são
apresentados na Tabela IV.1-1.
Através da estabilidade dos parâmetros ao longo do tempo observa-se que 3200s
aparentemente é um tempo suficiente para que todos os parâmetros estejam
razoavelmente estabilizados. Pelos intervalos de confiança obtidos, observa-se que um
tempo de análise de 3200 segundos proporcionaria uma estimativa dos parâmetros
estatísticos da média, desvio padrão e coeficientes de assimetria e de kurtosis para
diferentes sementes, dentro dos limites recomendados pela (ABS, 2004). Entretanto, o
coeficiente de kurtosis ainda não está bem estabilizado, o que indica que a simulação
deve ser um pouco maior que os 3200s considerados.
Estudo similar focado para as estimativas de valores extremos será feito para os
demais casos analisados neste capítulo, assim como, para a plataforma auto-elevatória
examinada no Capítulo V. Cabe-se ressaltar, entretanto, que numa análise aleatória de
qualquer estrutura oceânica é importante certificar-se de que realmente as elevações do
mar que está sendo simulado, reproduzem os parâmetros estatísticos teóricos das
mesmas. Se isto não for satisfeito, os erros e incertezas serão inevitavelmente
propagados para a resposta da estrutura que está sendo analisada
65
0 1000 2000 3000
0.06−
0.04−
0.02−
0
0.02
0.04
0.06
µ
kk
0.1kk j⋅
Figura IV.1-3 – Estabilidade da média do sinal ao longo do tempo
0 1000 2000 3000
0.8
0.9
1
1.1
1.2
σ
kk
0.884
0.866
0.1kk j⋅
Figura IV.1-4 - Estabilidade do desvio padrão do sinal ao longo do
tempo, limites da norma (ABS, 2004)
0 1000 2000 3000
0.2−
0
0.2
γ1
kk
0.03
0.03−
0.1kk j⋅
Figura IV.1-5 - Estabilidade do coeficiente de skewness do sinal ao
longo do tempo, limites da norma (ABS, 2004)
0 1000 2000 3000
2
2.5
3
3.5
4
γ2
kk
3.1
2.9
0.1kk j⋅
Figura IV.1-6 - Estabilidade do coeficiente de kurtosis do sinal ao
longo do tempo, limites da norma (ABS, 2004)
66
Tabela I.V.1-1 - Parâmetros estatísticos do processo para 3200 s. de simulação por
altura e período de onda
Altura (m) Período (s) μ σ σ (ABS) γ1 γ1 (ABS) γ2 γ2 (ABS)
0.118 0.030 3.100
0.116 -0.030 2.900
0.210 0.030 3.100
0.206 -0.030 2.900
0.329 0.030 3.100
0.322 -0.030 2.900
0.473 0.030 3.100
0.464 -0.030 2.900
0.644 0.030 3.100
0.631 -0.030 2.900
0.841 0.030 3.100
0.824 -0.030 2.900
1.064 0.030 3.100
1.043 -0.030 2.900
1.314 0.030 3.100
1.288 -0.030 2.900
1.590 0.030 3.100
1.559 -0.030 2.900
1.892 0.030 3.100
1.855 -0.030 2.900
2.221 0.030 3.100
2.177 -0.030 2.900
2.576 0.030 3.100
2.525 -0.030 2.900
2.957 0.030 3.100
2.898 -0.030 2.900
3.364 0.030 3.100
3.297 -0.030 2.900
3.798 0.030 3.100
3.723 -0.030 2.900
0.004 3.737 -0.076 2.860
3200 seg.
0.000 2.957 0.009 3.036
0.009 3.326 -0.001 2.746
0.003 2.209 -0.039 2.947
0.002 2.557 -0.055 2.712
0.001 1.582 -0.080 2.765
0.001 1.852 0.015 3.061
-0.001 2.846
0.002 1.292 -0.022 2.914
2.932
0.001 0.634 -0.008 2.945
0.000 0.823 -0.021 2.782
2.871
0.000 0.323 0.001 2.996
13.32 16.00
15.04 17.00
0.000 0.207
0.000 0.465
0.000 1.042
13.008.80
10.20 14.00
15.0011.71
10.005.20
11.006.30
7.49 12.00
7.002.55
3.33 8.00
9.004.22
-0.0134.000.83
5.001.30
1.87 6.00 -0.029
0.47 2.987-0.0030.1170.0003.00
67
IV.2. Estatística das Forças Hidrodinâmicas
Em (MADSEN, KRENK and LIND, 1986), é possível encontrar a distribuição
de probabilidades teórica (processo e picos) para um processo aleatório que representa a
força de Morison por unidade de comprimento num cilindro de diâmetro D submetido a
um estado de mar Gaussiano. Esta formulação usa o índice K (número de Keulegan-
Carpenter) que pode ser vista como uma medida relativa das intensidades das forças de
inércia e de arrasto. Este índice é dado por:
'
2
.
u
u
m
d
k
k
K
σ
σ
=
(128)
onde:
2
..
DC
k
d
d
ρ
=
(129)
4
...
2
DC
k
m
m
πρ
=
(130)
C
d
= coeficiente de arrasto;
C
m
= coeficiente de inércia;
u
2
σ
= variância da velocidade do fluido no ponto considerado;
'
2
u
σ
= variância da aceleração do fluido no ponto considerado;
Observa-se que K → 0 no caso da parcela de inércia ser dominante e K →
∞
quando a parcela de arrasto é significativamente maior. K = 1 quando as duas parcelas
têm praticamente a mesma magnitude.
Sendo p(t) o processo aleatório representativo das forças de onda por unidade de
comprimento em um elemento submerso, define-se uma variável reduzida q(t) dada por:
'
.
)(
)(
um
k
tp
tq
σ
=
(131)
Demonstra-se (MADSEN, KRENK and LIND, 1986) que a função densidade de
probabilidades da força normalizada q(t) é dada por:
68
−+
+
−=
q
K
Iq
K
I
q
K
qf
q
.2
1
.2
1
.
2
exp
..4
1
)(
2
π
(132)
onde:
( )
dssz
s
szI
..
2
exp.
0
2
2/1
∫
∞
−
−−=
(133)
Adicionalmente, demonstra-se também que a distribuição dos máximos (picos) do
processo é dada por (MADSEN, KRENK and LIND, 1986):
q
K.2
1
para
K.4
1
q
K.2
1
exp.
K.2
1
K.2
1
q0paraq
2
1
exp.q
)q(f
2
m
<
−−
<<
−
≈ (134)
A Figura IV.2-1 ilustra a distribuição de probabilidades de valores máximos da
força de onda (Morison) por unidade de comprimento em um elemento submerso para
diversos valores do coeficiente K.
Figura IV.2-1 - Funções distribuição de probabilidades para valores máximos da força
de onda para diversos valores de K (MADSEN, KRENK and LIND, 1986)
69
A distribuição do valor extremo da força de Morison pode ser obtida utilizando-
se a estatística de ordem considerando o número de picos N
p
para o período de duração
considerado para o processo T, i.e.,
TN
p
.
0
ν
=
(135)
onde
0
ν
é dada por (MADSEN, KRENK and LIND, 1986):
u
u
σπ
σ
ν
..2
'
0
=
(136)
Neste trabalho, foram feitas 100 simulações distintas da força de Morison com
períodos de duração iguais a 1200, 2400, 4800, 7200, 10800 (3h), 21600 (6h),
43200 segundos (12h). Nestas simulações, considerou-se que o espectro das elevações é
do tipo Pierson-Moskovitz com H
s
igual a 6,3 m e T
z
igual a 8,4 seg.
Os resultados dos métodos de estimativa de extremos apresentados no
Capítulo III foram comparados com o valor teórico (MADSEN, KRENK and LIND,
1986). A comparação se resume principalmente no valor mais provável (MPV) da força
de Morrison para um período de tempo (estado de mar) de 3-h. Para cada método foram
feitas estimativas considerando as 100 realizações distintas e também os diferentes
tamanhos de simulação. Para um dado tempo de simulação foram avaliados o valor
médio e o desvio padrão dos valores extremos mais prováveis estimados pelas 100
simulações independentes e foi estimado um intervalo de confiança como sendo igual a
mais ou menos dois desvios padrões (grosseiramente este intervalo corresponde a 95%
de ocorrências dos resultados).
Os limites do intervalo de confiança e a média dos resultados foram
normalizados com relação ao valor teórico. Também variou-se nestas simulações o fator
K, procurando representar um caso dominado pelo arrasto (K = 3,0), outro pela inércia
(K = 0,25) e um outro onde estas parcelas são aproximadamente iguais (K = 1,0).
As Figuras IV.2-2, IV.2-3 e IV.2-4 ilustram as distribuições de probabilidades
(realização típica de 10800 seg.) da força de Morison para K = 3,0, K = 1,0 e K = 0,25,
respectivamente. Nestas figuras, também estão inseridas as distribuições normais com a
mesma média e desvio padrão dos respectivos processos aleatórios das forças
70
hidrodinâmicas. Nestas figuras claramente observa-se que o comportamento é não-
gaussiano para os dois primeiros casos, sendo mais acentuado no primeiro (K = 3,0).
Quanto mais dependente do arrasto é a força, mais não-gaussiano é o processo.
As Figuras IV.2-5 a IV.2-7 apresentam os resultados obtidos para o valor
extremo mais provável em 3-h considerando o método baseado nos polinômios de
Hermite. Pelos resultados obtidos, podemos observar que:
•
A incerteza estatística nos resultados é relativamente grande para séries
temporais menores ou iguais a 10800 segundos. Tomando-se especificamente,
por exemplo, uma única realização de 1200 seg., o valor extremo mais provável
estimado pode variar entre 0,7 e 1,4 do valor teórico. Simulações longas são
necessárias para diminuir a incerteza.
•
O modelo baseado nos polinômios de Hermite apresenta uma tendência clara de
superestimar o valor extremo para os casos não-gaussianos (a média dos
resultados converge para um valor acima do teórico). No caso específico, a
tendência é de uma estimativa 10% maior que o valor correto.
•
No caso Gaussiano (K = 0,25) o modelo de Hermite converge para o resultado
correto.
71
5− 0 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
fq p( )
ψ p( )
p
Figura IV.2-2 - Função densidade de probabilidades para K = 3,0
5− 0 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
fq p( )
ψ p( )
p
Figura IV.2-3 - Função densidade de probabilidades para K = 1,0
5− 0 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
fq p( )
ψ p( )
p
Figura IV.2-4 - Função densidade de probabilidades para K = 0,25
72
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV Herm / MPV Teórico
Tempo (seg.)
HERMITE
Figura IV.2-5 - Resultado de extremos pelo modelo baseado nos
polinômios de Hermite para K = 1,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV Herm / MPV Teórico
Tempo (seg.)
HERMITE
Figura IV.2-6 - Resultado de extremos pelo modelo baseado nos
polinômios de Hermite para K = 3,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV Herm / MPV Teórico
Tempo (seg.)
HERMITE
Figura IV.2-7 - Resultado de extremos pelo modelo baseado nos polinômios de Hermite para K = 0,25
73
A seguir, são apresentados os resultados de valores extremos mais prováveis
obtidos para as diversas variações de modelos de Weibull utilizados neste trabalho. As
Figuras IV.2-8 a IV.2-10 apresentam os resultados para o método Weibull-PoT. Os
resultados para o modelo Weibull-Mom encontram-se nas Figuras IV.2-11 a IV.2-13.
Os resultados para os métodos Weibull-3Psk, Weibull-3Pku e Weibull-Tail encontram-
se, respectivamente, nas Figuras IV.2-14 a IV.2-16, Figuras IV.2-17 a IV.2-19 e
Figuras IV.2-20 a IV.2-22.
A variabilidade nos estimadores, em todos os métodos, é também grande para
séries temporais curtas. Mais uma vez identifica-se que séries curtas podem levar a
grandes incertezas nos valores estimados devido ao tamanho limitado da amostra de
picos observados.
Dentre as várias variações de modelos baseados na distribuição de Weibull, o
método que não foi tendencioso em nenhum dos casos realizados (K = 1,0, K = 3,0 e K
= 0,25), i.e., a média dos resultados das 100 simulações independentes converge para o
valor teórico, foi o método Weibull-PoT.
74
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV PoT / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-POT
Figura IV.2-8 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-PoT
para K = 1,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV PoT / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-POT
Figura IV.2-9 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-PoT
para K = 3,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV PoT / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-POT
Figura IV.2-10 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-PoT para K = 0,25
75
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV Mom / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-MOM
Figura IV.2-11 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-
Mom para K = 1,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV Mom / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-MOM
Figura IV.2-12 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-
Mom para K = 3,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV Mom / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-MOM
Figura IV.2-13 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-Mom para K = 0,25
76
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV 3PSK / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PSK
Figura IV.2-14 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-
3Psk para K = 1,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV 3PSK / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PSK
Figura IV.2-15 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-
3Psk para K = 3,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV 3PSK / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PSK
Figura IV.2-16 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-3Psk para K = 0,25
77
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV 3PKU / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PKU
Figura IV.2-17 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-
3Pku para K = 1,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV 3PKU / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PKU
Figura IV.2-18 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-
3Pku para K = 3,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV 3PKU / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PKU
Figura IV.2-19 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-3Pku para K = 0,25
78
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV Tail / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-TAIL
Figura IV.2-20 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-
Tail para K = 1,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV Tail / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-TAIL
Figura IV.2-21 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-
Tail para K = 3,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
MPV Tail / MPV Teórico
Tempo (seg.)
WEIBULL-TAIL
Figura IV.2-22 - Resultado de extremos pelo modelo Weibull-Tail para K = 0,25
79
IV.3. Estatística da Resposta de um Sistema de 1 Grau de Liberdade
O mesmo estudo apresentado anteriormente para a força de Morison é agora
repetido neste item na tentativa de simular de forma bem simplificada o comportamento
de uma plataforma auto-elevatória. Este modelo simplificado é adotado para viabilizar a
geração de 100 realizações independentes da resposta do sistema em diferentes tempos
de simulação.
Emprega-se um de modelo de 1 grau de liberdade apresentado por (JENSEN and
CAPUL, 2006), que tenta representar o comportamento lateral de uma plataforma auto-
elevatória com três pernas e 120 metros de altura numa lâmina d’água de 92,0 metros. O
modelo procura reproduzir o primeiro modo de vibração, a massa, o amortecimento e a
rigidez do modelo real. A equação de equilíbrio dinâmico do modelo é definida por
(JENSEN and CAPUL, 2006):
(t)F(t)FF(t)K.x(t)(t)C.x'(t)'M.x'
id
+==++
(137)
onde:
M
hull
= 16100 kN.s
2
/m (massa do casco)
M
leg
= 1930 kN.s
2
/m (massa das pernas)
M = M
hull
+ 1,5 x M
leg
M = 18995 kN.s
2
/m (massa total do sistema)
C = 1,193 x 10
3
kN.s/m (amortecimento do sistema)
K = 4,682 x 10
4
kN/m (rigidez do sistema)
D = 0,762 m (diâmetro médio da perna para cálculo das forças no tempo)
C
d
= 0,7 (coeficiente de arrasto)
C
m
= 2,0 (coeficiente de inércia)
A partir dos dados acima chega-se aos seguintes parâmetros estruturais:
w = 1,57 rad/s (freqüência natural do sistema)
T = 4,002 seg. (período natural do sistema)
ccr = 5,964 x 10
4
kN.s/m (taxa de amortecimento crítico)
02,0
=
ξ
(percentagem de amortecimento crítico)
80
Inicialmente, foram obtidas 100 realizações distintas de 10800 segundos do
movimento lateral x(t) da plataforma através de integração da Eq. (137) pelo método de
Euler (PAZ, 1997). As séries temporais das forças hidrodinâmicas foram geradas
usando o mesmo espectro de onda do exemplo anterior e os coeficientes foram
majorados de forma a representarem os valores de K iguais a 1,0; 3,0 e 0,25;
respectivamente. Os maiores valores encontrados nas realizações de 10800s foram
identificados para formar uma amostra de 100 valores extremos para período de
referência (3-h) para estimativa de extremos. Para esta amostra ajustou-se, através de
método dos momentos, uma distribuição Tipo I (Gumbel) onde se obteve o valor mais
provável tomado como referência para comparação com os resultados dos métodos
investigados neste trabalho. Este procedimento foi adotado devido ao fato de não haver
uma distribuição teórica de probabilidades para os picos deste problema. Nas Figuras
IV.3-1 a IV.3-3, são apresentados valores normalizados (estimado pelo método dividido
pelo valor de referência) para a média de 100 realizações e para o intervalo de confiança
de 95% (usando procedimento similar ao empregado no exemplo anterior) considerando
o método baseado no polinômio de Hermite. Nas Figuras IV.3-4 a IV.3-18, são
apresentados os resultados para as várias variações de modelos baseados nas
distribuições de Weibull.
Estes resultados apresentam características muito similares às observadas no
caso anterior (somente a força de Morison), ou seja:
•
simulações curtas apresentam grande variabilidade estatística;
•
o modelo baseado nos polinômios de Hermite superestima os valores extremos
nos casos não-gaussianos;
•
o método Weibull-PoT é o único método que não é tendencioso em nenhuma
das situações investigadas.
81
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP Herm / VMP Ref
Tempo (seg.)
HERMITE
Figura IV.3-1 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo
método baseado nos polinômios de Hermite para K = 1,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP Herm / VMP Ref
Tempo (seg.)
HERMITE
Figura IV.3-2 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo
método baseado nos polinômios de Hermite para K = 3,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP Herm / VMP Ref
Tempo (seg.)
HERMITE
Figura IV.3-3 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método baseado nos polinômios de Hermite para K = 0,25
82
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP PoT / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-POT
Figura IV.3-4 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo
método Weibull-PoT para K = 1,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP PoT / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-POT
Figura IV.3-5 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo
método Weibull-PoT para K = 3,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP PoT / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-POT
Figura IV.3-6 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-PoT para K = 0,25
83
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP Mom / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-MOM
Figura IV.3-7 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo
método Weibull-Mom para K = 1,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP Mom / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-MOM
Figura IV.3-8 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo
método Weibull-Mom para K = 3,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP Mom / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-MOM
Figura IV.3-9 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-Mom para K = 0,25
84
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP 3PSK / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PSK
Figura IV.3-10 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo
método Weibull-3Psk para K = 1,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP 3PSK / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PSK
Figura IV.3-11 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo
método Weibull-3Psk para K = 3,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP 3PSK / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PSK
Figura IV.3-12 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-3Psk para K = 0,25
85
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP 3PKU / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PKU
Figura IV.3-13 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo
método Weibull-3Pku para K = 1,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP 3PKU / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PKU
Figura IV.3-14 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo
método Weibull-3Pku para K = 3,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP 3PKU / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PKU
Figura IV.3-15 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull-3Pku para K = 0,25
86
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP Tail / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-TAIL
Figura IV.3-16 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo
método Weibull-Tail para K = 1,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP Tail / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-TAIL
Figura IV.3-17 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo
método Weibull- Tail para K = 3,0
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000
VMP Tail / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-TAIL
Figura IV.3-18 - Resultado de extremos para sistema 1 GL pelo método Weibull- Tail para K = 0,25
87
V. Análise de uma Plataforma Auto-Elevatória
Neste capítulo, faz-se a análise aleatória e o tratamento estatístico de alguns dos
s parâmetros de resposta de uma plataforma auto-elevatória de 120 metros de altura
instalada numa lâmina d’água de 91.44 metros.
Inicialmente, é montado um modelo estrutural completo, incluindo todos os
elementos representativos das pernas e do casco no programa SACS (SACS, 2005). A
partir deste modelo, é construído um modelo simplificado, tentando manter as principais
características dinâmicas e de rigidez do modelo completo, com finalidade de viabilizar
as simulações dinâmicas no domínio do tempo.
V.1. Modelo Completo
O modelo da plataforma auto-elevatória em sua concepção original consiste em
uma estrutura com 1012 elementos finitos de placa com 6 graus de liberdade por nó,
3007 elementos finitos de barra e 1933 nós.
A Figura V.1-1 ilustra o modelo unifilar da plataforma auto-elevatória em sua
concepção original. A Figura V.1-2 ilustra o modelo sólido da plataforma. Nas Figuras
V.1-3 a V.1-7, são apresentadas as principais dimensões da plataforma.
Figura V.1-1 - Modelo unifilar completo da plataforma auto-elevatória
88
Figura V.1-2 - Modelo sólido da plataforma auto-elevatória
89
Figura V.1-3 - Vista superior e dimensões do casco (dimensões em metros)
Figura V.1-4 - Vista superior e outras dimensões do casco (dimensões em metros)
90
Figura V.1-5 - Dimensões das pernas (dimensões em metros)
Figura V.1-6 - Demais dimensões das pernas (dimensões em metros)
91
Figura V.1-7 - Elevação da plataforma (dimensões em metros)
A Figura V.1-8 ilustra o sistema cremalheira e freios convencional para
estruturas deste tipo. A Figura V.1-9 apresenta o posicionamento do sistema em planta.
No modelo da plataforma, a conexão entre cremalheira e casco é simulada em
sua posição travada, onde os freios estão atuando. Também é considerado que a
conexão pinhão-cremalheira apresenta uma angulação de 75º. Tanto os freios superiores
e inferiores quanto às conexões pinhão-cremalheira são consideradas no modelo.
92
Figura V.1-8 - Sistema de elevação e freios da plataforma
Figura V.1-9 - Posicionamento em planta do sistema de elevação da plataforma
93
As demais características da plataforma em sua forma completa são apresentadas
no resumo abaixo:
Peso das Pernas = 15074 kN
Peso do Casco + Equipamentos + Sobrecarga = 30000 kN
Peso Total = 45074 kN
Casco Extremamente Rígido;
Lâmina d’água = 91,44 m
Airgap = 16,76 m
Altura da Base do Casco ao Leito Marinho = 108,20 m
V.2. Modelo Simplificado
Para que fossem viabilizadas as análises dinâmicas aleatórias da estrutura, em
termos de gastos computacionais, quantidade de dados gerados e tempo viável para
execução das análises, optou-se pela elaboração do modelo simplificado da plataforma,
seguindo orientações da Norma (ABS, 2004).
É considerado que o peso do casco da plataforma auto-elevatória é igual a
30000kN, conforme comentado anteriormente. Este valor é referente ao peso próprio do
casco e peso dos equipamentos em operação sobre o convés da auto-elevatória.
No Anexo A.2, é apresentada toda a metodologia utilizada na elaboração e
cálculo das propriedades do modelo simplificado da plataforma auto-elevatória. A
Figura V.2-1 ilustra o modelo final simplificado utilizado nas análises. Este modelo
possui 109 nós estruturais e 130 elementos de barra e a ligação das pernas com o solo
foi considerada como sendo engastada.
94
Figura V.2-1 - Modelo simplificado da plataforma auto-elevatória
Os resultados em termos de freqüências e períodos naturais dos 10 primeiros
modos de vibração da plataforma, modelada em sua forma completa e, em sua forma
simplificada, são apresentados nas Tabelas V.2-1 e V.2-2. A Tabela V.2-3 apresenta a
diferença percentual dos 10 primeiros períodos naturais entre os dois modelos. A forma
dos três primeiros modos de vibração do modelo simplificado e do modelo completo
são apresentados no Anexo A.3.
Tabela V.2-1 - Freqüências e períodos naturais para estrutura completa
MODO
FREQ.(Hz)
PERIODO (s)
1 0.286542 3.4898844
2 0.294704 3.3932335
3 0.355277 2.8147053
4 2.299219 0.4349303
5 2.374484 0.4211442
6 2.561769 0.3903553
7 2.581717 0.3873391
8 2.593681 0.3855524
9 2.672540 0.3741758
10 2.853710 0.3504211
95
Tabela V.2-2 - Freqüências e períodos naturais para estrutura simplificada
MODO
FREQ.( Hz)
PERIODO (s)
1 0.291393 3.4317859
2 0.298589 3.3490801
3 0.324155 3.0849461
4 2.652521 0.3769998
5 2.708745 0.3691747
6 2.918302 0.3426650
7 3.214751 0.3110660
8 3.214917 0.3110501
9 3.215907 0.3109543
10 3.304298 0.3026362
Tabela V.2-3 - Diferença (%) entre os períodos naturais dos modelos completo e
simplificado
MODE FREQ.(Hz) PERIOD(SECS) MODE FREQ.(Hz) PERIOD(SECS)
1
0.2865 3.4899 1 0.2914 3.4318 -2%
2
0.2947 3.3932 2 0.2986 3.3491 -1%
3
0.3553 2.8147 3 0.3242 3.0849 9%
4
2.2992 0.4349 4 2.6525 0.3770 -15%
5
2.3745 0.4211 5 2.7087 0.3692 -14%
6
2.5618 0.3904 6 2.9183 0.3427 -14%
7
2.5817 0.3873 7 3.2148 0.3111 -25%
8
2.5937 0.3856 8 3.2149 0.3111 -24%
9
2.6725 0.3742 9 3.2159 0.3110 -20%
10
2.8537 0.3504 10 3.3043 0.3026 -16%
11
2.8539 0.3504 11 3.7983 0.2633 -33%
12
2.8623 0.3494 12 4.1369 0.2417 -45%
13
2.9017 0.3446 13 8.1053 0.1234 -179%
14
3.7096 0.2696 14 8.1060 0.1234 -119%
15
3.7754 0.2649 15 8.1086 0.1233 -115%
modelo completo modelo simplificado
DIF (%)
Uma análise quasi-estática e outra dinâmica para os modelos simplificado e
completo foram executadas considerando um estado de mar modelado com os seguintes
parâmetros:
Hs = 15,5 m.
Tz = 16,5 seg.
Espectro = JONSWAP
Este valor elevado de altura significativa de onda foi utilizado para aumentar o
grau de não-linearidade dos parâmetros de resposta, ou seja, trabalhar com séries bem
não-gaussianas.
As Figuras V.2-2 e V.2-3 ilustram o comportamento do esforço cortante
resultante na base da plataforma.
96
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 50 100 150 200
ESTÁTICO COMP
ESTÁTICO SIMP
Figura V.2-2 - Comparação entre modelo simplificado e completo na análise quasi-estática - cortante na base
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
0 50 100 150 200
DINAMICO COMP
DINAMICO SIMP
Figura V.2-3 - Comparação entre modelo simplificado e completo na análise dinâmica - cortante na base
Tempo (seg.)
Tempo (seg.)
97
Com base nos resultados obtidos, pode-se observar que o comportamento
estático de ambos os modelos é muito similar. O comportamento dinâmico também é
similar, porém, a série temporal do modelo simplificado apresenta picos um pouco
maiores e harmônicos de freqüência mais alta que não são observados no modelo
completo.
Este fenômeno decorre do fato do modelo simplificado apresentar apenas um
elemento para simular a perna da estrutura e assim, o impacto da onda na zona de
splash
sobre a estrutura proporciona esta amplificação dos picos. No modelo completo, o
impacto devido às ondas na zona de
splash
é suavizado devido à existência da
defasagem da posição dos elementos na direção de incidência da onda.
Para ilustrar este efeito, os valores de Cd e Cm dos elementos da zona de
splash
foram zerados e as análises foram repetidas. Os resultados obtidos para o esforço
cortante resultante na base da plataforma encontram-se nas Figuras V.2-4 e V.2-5, onde
observa-se uma concordância bem mais próxima nos resultados.
Observa-se também que para o estado de mar analisado, os efeitos dinâmicos
não são significativos, pois o comportamento quasi-estático apresenta amplitudes não
muito menores que as amplitudes observadas na análise dinâmica.
Apesar do modelo ajustado sem os coeficientes na zona de transição apresentar
melhores resultados, nas análises efetuadas neste trabalho, este modelo não será
utilizado, pois a influência da zona superior da lâmina d’água é determinante na
característica não-linear da resposta da estrutura.
98
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 50 100 150 200
ESTÁTICO COMP
ESTÁTICO SIMP
Figura V.2-4 - Comparação entre modelo simplificado e completo na análise estática - cortante na base
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
0 50 100 150 200
DINAMICO COMP
DINAMICO SIMP
Figura V.2-5 - Comparação entre modelo simplificado e completo na análise dinâmica - cortante na base
Tempo (seg.)
Tempo (seg.)
99
V.3. Estatística das Respostas do Modelo Simplificado da Plataforma
Neste item, adotou-se o modelo simplificado da plataforma, elaborado através
das prescrições do item V.2. Devido ao esforço computacional, tempo de análise,
quantidade exagerada de dados gerados e por restrições do programa de análise (SACS,
2005), o estudo tem por base:
a. Simulações dinâmicas aleatórias no domínio do tempo com 6000 segundos de
duração;
b. Intervalo de tempo na integração e atualização das forças igual a 0,1 segundo;
c. Investigações de valores extremos considerando tamanhos de simulação iguais a
2400, 4800 e 6000 segundos;
d. 18 realizações independentes (seeds diferentes) para cada período de tempo;
e. Mar aleatório com Hs = 15,5 metros, Tz = 16,5 segundos e espectro JONSWAP;
f. Estimativa de extremos para deslocamento lateral do convés (modelo dinâmico),
esforço cortante estático e dinâmico na base da plataforma.
Em função da restrição do tamanho máximo das séries simuladas, toda a
estimativa de extremos foi direcionada para um intervalo de tempo de 6000 segundos,
ao invés do intervalo tradicional de 3-h (10800 segundos). Como valor de referência
para comparação das diversas metodologias toma-se o valor mais provável da resposta
considerada obtida a partir do ajuste de uma distribuição de Gumbel aos 18 valores
extremos observados nas 18 realizações (simulações) distintas realizadas com o modelo.
As Figuras V.3-1, V.3-2 e V.3-3 apresentam, respectivamente, os valores
normalizados (e intervalo de confiança de 95%) do valor extremo mais provável (VMP)
para o deslocamento lateral, cortante estático e cortante dinâmico considerando os
resultados obtidos com o método baseado nos polinômios de Hermite. A título de
ilustração, alguns resultados intermediários da análise de extremos são apresentados no
Anexo A.4 desta dissertação.
Deve-se observar que resultado ideal seria obter nestas figuras um resultado
médio em torno de 1.0 e um intervalo de confiança bem pequeno.
100
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP Herm / VMP Ref
Tempo (seg.)
HERMITE
Figura V.3-1 - Valor extremo mais provável do deslocamento do
convés pelo método baseado nos polinômios de Hermite
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP Herm / VMP Ref
Tempo (seg.)
HERMITE
Figura V.3-2 - Valor extremo mais provável do cortante estático na
base pelo método baseado nos polinômios de Hermite
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP Herm / VMP Ref
Tempo (seg.)
HERMITE
Figura V.3-3 - Valor extremo mais provável do cortante dinâmico
na base pelo método baseado nos polinômios de Hermite
101
Embora a dispersão nos resultados não seja pequena, os resultados mostram que
o modelo de estimativa de extremos baseado nos polinômios de Hermite apresenta uma
tendência clara de superestimar todos os parâmetros investigados. Considerando as
séries com 6000 segundos de duração, observou-se que o resultado do deslocamento do
convés é superestimado em 17% com uma variação de ± 13% (intervalo de confiança de
95%). No cortante estático, observa-se a tendência em superestimar o resultado em 11%
com uma variação de ± 13% e o cortante dinâmico é superestimado em 15% com uma
variação de ± 14%.
Nas Figuras V.3-4 a V.3-6, são apresentados os resultados da estimativa de
extremos para o método Weibull-PoT. Nas Figuras V.3-7 a V.3-9 são apresentados os
resultados para o método Weibull-Mom, nas Figuras V.3-10 a V.3-12 para o método
Weibull-3Psk, nas Figuras V.3-13 a V.3-15 para o método Weibull-3Pku e nas Figuras
V.3-16 a V.3-18 para o método Weibull-Tail.
Pelos resultados apresentados, observa-se que o método Weibull-PoT é o
procedimento que não é tendencioso na avaliação dos valores extremos, ou seja, na
média, os resultados estimados por este procedimento (independentemente do tamanho
da simulação e do parâmetro de resposta analisado) tendem ao valor de referência. Para
as séries de 6000 segundos de duração, a variação dos resultados foi de ± 18% para
deslocamento lateral, ± 18% para cortante estático e ± 18% cortante dinâmico. Estes
valores de dispersão são um pouco maiores que aqueles obtidos pelo método baseado
nos polinômios de Hermite, porém, a grande vantagem do Weibull-PoT é a de que ele
não é tendencioso.
Em todos os métodos de estimativa de extremos, observa-se uma diminuição na
dispersão dos resultados de extremos (considerando todas as realizações) que diminui à
medida que aumenta-se o tempo de simulação. Nota-se também que mesmo com 6000
segundos de simulação, de uma forma geral, existe no intervalo de confiança de 95%
uma dispersão acima de 15%. Esta dispersão não é desprezível e, portanto, simulações
bem maiores teriam que ser efetuadas para diminuí-la.
102
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP PoT / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-POT
Figura V.3-4 - Valor extremo mais provável do deslocamento do
convés da plataforma pelo método Weibull-PoT
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP PoT / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-POT
Figura V.3-5 - Valor extremo mais provável do cortante estático na
base da plataforma pelo método Weibull-PoT
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP PoT / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-POT
Figura V.3-6 - Valor extremo mais provável do cortante dinâmico
na base da plataforma pelo método Weibull-PoT
103
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP Mom / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-MOM
Figura V.3-7 - Valor extremo mais provável do deslocamento do
convés da plataforma pelo método Weibull-Mom
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP Mom / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-MOM
Figura V.3-8 - Valor extremo mais provável do cortante estático na
base da plataforma pelo método Weibull-Mom
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP Mom / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-MOM
Figura V.3-9 - Valor Extremo mais provável do cortante dinâmico
na base da plataforma pelo método Weibull-Mom
104
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP 3PSK / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PSK
Figura V.3-10 - Valor extremo mais provável do deslocamento do
convés da plataforma pelo método Weibull-3Psk
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP 3PSK / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PSK
Figura V.3-11 - Valor extremo mais provável do cortante estático na
base da plataforma pelo método Weibull-3Psk
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP 3PSK / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PSK
Figura V.3-12 - Valor extremo mais provável do cortante dinâmico
na base da plataforma pelo método Weibull-3Psk
105
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP 3PKU / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PKU
Figura V.3-13 - Valor extremo mais provável do deslocamento do
convés da plataforma pelo método Weibull-3Pku
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP 3PKU / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PKU
Figura V.3-14 - Valor extremo mais provável do cortante estático na
base da plataforma pelo método Weibull- 3Pku
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP 3PKU / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-3PKU
Figura V.3-15 - Valor extremo mais provável do cortante dinâmico
na base da plataforma pelo método Weibull- 3Pku
106
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP Tail / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-TAIL
Figura V.3-16 - Valor extremo mais provável do deslocamento do
convés da plataforma pelo método Weibull-Tail
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP Tail / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-TAIL
Figura V.3-17 - Valor extremo mais provável do cortante estático na
base da plataforma pelo método Weibull- Tail
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
VMP Tail / VMP Ref
Tempo (seg.)
WEIBULL-TAIL
Figura V.3-18 - Valor extremo mais provável do cortante dinâmico
na base da plataforma pelo método Weibull- Tail
107
VI. Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros
VI.1. Conclusões Finais
Neste trabalho, procurou-se investigar o modelo baseado nos polinômios de
Hermite (WINTERSTEIN, 1987) na predição de valores extremos de respostas
dinâmicas não-gaussianas de plataformas auto-elevatórias. Adicionalmente, além do
modelo baseado nos polinômios de Hermite, vários outros modelos estatísticos baseados
na distribuição de Weibull foram também analisados. Os modelos analisados
diferenciam-se entre si basicamente na forma de obtenção dos parâmetros da
distribuição de Weibull. Os modelos investigados foram: Weibull-2P, Weibull-3P
Skewness, Weibull-3P Kurtosis, Weibull-Tail e Weibull-PoT (Peaks over a Threshold).
A descrição de cada de um desses modelos encontra-se no Capítulo III desta
dissertação.
Alguns estudos foram efetuados ao longo do trabalho para que se tivesse total
certeza das características estatísticas dos parâmetros de entrada inerentes as análises da
plataforma. Com base nos resultados obtidos, podemos intuir que seria necessário um
tempo de simulação maior que 3000 segundos para reproduzir os parâmetros estatísticos
da elevação do mar (para os espectros e estados de mar estudados) e, conseqüentemente,
seria um valor mínimo de partida para elaboração de análises confiáveis.
Com o intuito de obter conhecimento sobre o comportamento do sistema
estrutural abordado, primeiramente, elaborou-se inicialmente um estudo no qual um
elemento cilíndrico submerso era exposto aos carregamentos oriundos das forças de
Morison para um mar aleatório. O principal objetivo foi comparar os resultados das
metodologias utilizadas nesta dissertação com a solução teórica apresentado em
(MADSEN, KRENK, and LIND, 1986). Quando confrontamos os valores mais
prováveis (VMP) teóricos com os obtidos através do modelo baseado nos polinômios de
Hermite, a incerteza estatística nos resultados se mostra relativamente grande para séries
temporais menores ou iguais a 10800 segundos (3-h) e este procedimento apresenta uma
tendência clara de superestimar o valor extremo para os casos não-gaussianos (força
dominada pela parcela de arrasto). Neste primeiro estudo, dentre as várias variações do
modelo baseado na distribuição de Weibull investigados, o que se mostrou não
tendencioso foi o modelo Weibull-PoT, dado que na média, os resultados das 100
108
simulações independentes convergem para o valor teórico, independente do
comportamento da resposta ser gaussiano ou não.
Com o objetivo de observar, de forma bem simplificada, o comportamento de
uma plataforma auto-elevatória, um modelo linear de 1 grau de liberdade (1GL)
apresentado por ( JENSEN, 2006), foi também estudado. Inicialmente, foram obtidas
100 realizações distintas de 10800 segundos do movimento lateral deste sistema pelo
método de Euler para integração da resposta dinâmica (PAZ, 1997). Os maiores valores
destas realizações foram identificados para formar uma amostra de 100 valores
extremos para período de 3-h de duração. Para esta amostra, ajustou-se, através do
método dos momentos, uma distribuição Tipo I (Gumbel) onde se obteve o valor mais
provável tomado como referência para comparação com os resultados dos métodos
investigados neste trabalho. Observou-se que o modelo de Hermite superestima os
valores extremos nos casos não-gaussianos e que ainda o método Weibull-PoT é o
método que não é tendencioso em nenhuma das situações investigadas.
Ao final, é montado um modelo estrutural completo da plataforma, incluindo
todos os elementos representativos das pernas e do casco, com 1012 elementos finitos
de placa com 6 graus de liberdade por nó, 3007 elementos finitos de barra e 1933 nós, e
um modelo simplificado, representativo desta plataforma, que possui 109 nós estruturais
e 130 elementos de barra, no programa SACS (SACS, 2005).
Em função da restrição do tamanho máximo das séries simuladas, toda a
estimativa de extremos foi direcionada para um intervalo de tempo de 6000 segundos ao
invés do intervalo tradicional de 3-h (10800 segundos). Como valor de referência para
comparação das diversas metodologias, tomou-se o valor mais provável da resposta
considerada obtida a partir do ajuste de uma distribuição de Gumbel aos 18 valores
extremos observados nas 18 realizações (simulações) distintas realizadas com o modelo
simplificado.
Embora a dispersão nos resultados não seja pequena, pelo fato do tempo de
simulação de 6000s ser curto, os resultados mostram que o modelo baseado nos
polinômios de Hermite apresenta uma tendência em superestimar todos os parâmetros
investigados. Considerando as séries com 6000 segundos de duração, observou-se que o
resultado do deslocamento do convés é superestimado em 17% com uma variação de
± 13% (intervalo de confiança de 95%). No cortante estático, observa-se a tendência em
superestimar o resultado em 11% com uma variação de ± 13% e o cortante dinâmico é
superestimado em 15% com uma variação de ± 14%. Para esta plataforma também
109
observou-se que o método Weibull-PoT é o único procedimento que não é tendencioso
na avaliação dos valores extremos, ou seja, na média, os resultados estimados por este
procedimento (independentemente do tamanho da simulação e do parâmetro de resposta
analisado) tendem ao valor de referência. Para as séries de 6000 segundos de duração, a
dispersão dos resultados foi de ± 18% para deslocamento lateral, ± 18% para cortante
estático e ± 18% cortante dinâmico. Estes valores de dispersão são um pouco maiores
que aqueles obtidos pelo método baseado nos polinômios de Hermite, porém, a grande
vantagem do Weibull-PoT é a de que ele não é tendencioso. Em todos os métodos de
estimativa de extremos observa-se uma diminuição na dispersão dos resultados de
extremos (considerando todas as realizações) que diminui à medida que aumenta-se o
tempo de simulação. Isto deve-se ao fato de que as incertezas dos estimadores
estatísticos sempre diminuem com o aumento do tamanho da amostra (ANG and
TANG, 1975). Nota-se também que mesmo com 6000 segundos de simulação, de uma
forma geral, existe no intervalo de confiança de 95% uma dispersão acima de 15%. Esta
dispersão não é desprezível e, portanto, simulações bem maiores teriam que ser
efetuadas para diminuí-la.
Através de todas as análises investigadas a principal conclusão observada neste
trabalho é que o método baseado nos polinômios de Hermite constitui-se de um
procedimento que superestima os valores extremos de respostas estáticas e dinâmicas de
estruturas lineares submetidas a cargas hidrodinâmicas calculadas pela fórmula de
Morison.
110
VI.2. Sugestões para Desenvolvimentos Futuros
Levando em conta as conclusões apresentadas no Item VI.1, é possível sugerir
alguns tópicos trabalhos futuros que podem ampliar e enriquecer a investigação do
comportamento não-gaussiano das respostas dinâmicas aleatórias de plataformas auto-
elevatórias. A seguir são apresentados e comentados algumas sugestões:
1. Consideração da flexibilidade das fundações.
Neste trabalho, procurou-se estudar um modelo que apresentasse penetração dos
spudcans
no solo suficientes para proporcionar grau de engastamento perfeito entre a
estrutura e o solo.
As características não-lineares da interação solo-estrutura, conforme descrito por
(KARUNAKARAN, 1993), que representem um compormento mais realista podem ser
consideradas na condução de trabalhos futuros.
2. Caráter ressonante da plataforma.
Com o objetivo de observar o comportamento não-gaussiano na ressonância da
plataforma, características dinâmicas desta podem ser mais exploradas; entre estas, a
flexibilidade das fundações e a adoção de estados de mar de períodos próximos ao
primeiro período natural da plataforma e quantidade de energia suficiente para que
proporcionem a ressonância da plataforma podem ser abordadas.
3. Não-linearidade geométrica.
Sabendo-se que estruturas esbeltas apresentam comportamento não-linear
geométrico, este tipo de não-linearidade estrutural poderia ser levado em consideração
na avaliação dos parâmetros de resposta da estrutura.
4. Sistema completo perna, cremalheira, freios e casco.
O sistema estrutural complexo que envolve a ligação entre a perna da plataforma
e o seu casco poderá ser mais bem explorado na elaboração de modelos futuros; atenção
especial aos elementos existentes na zona de superfície livre (zona de
splash
) e
alternativas para a simulação destes de maneira menos simplificada representaria um
avanço na busca de simular o comportamento real deste sistema.
111
5. Simulações longas
À medida que os mecanismos computacionais de processamento e
armazenamento de dados sejam aprimorados, poderão ser elaboradas realizadas
simulações mais longas para diminuir as incertezas nos estimadores e com isto utilizar
uma única série temporal para estimativa de extremos em projetos deste tipo de
plataforma.
6. Estatística de Longo-Prazo da Resposta
Os resultados até então obtidos poderão ser utilizados para obter estimativas de
valores extremos de projeto segundo a metodologia baseada na estatística de longo-
prazo da resposta e até mesmo em situações mais modernas de projeto baseadas em
confiabilidade estrutural.
112
Bibliografia
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115
Anexos
A.1. Soluções Aproximadas do Sistema de Equações Não-Lineares do
Método de Hermite
A variável aleatória Normal padronizada Y é escrita por:
( )
+=
∑
=
−
N
n
nn
uHecuky
3
1
..
Os valores procurados são c
3
, c
4
e k. Aplicando-se os conceitos de média, desvio
padrão, skewness e kurtosis, conforme item III.3.2, chegamos em:
433
1
..6
6
ccc
Xp
=−
θ
;
2
4
2
34
2
.9.2
24
3
ccc
Xp
+=−
−
θ
;
2
4
2
3
.6.21
1
cc
k
++
=
Algumas soluções foram propostas no decorrer dos anos:
a) First Order Fitting (Ajuste de Primeira Ordem) (HUIJSMANS and ADEGEEST,
1998)
É obtido quando os termos de segunda ordem são negligenciados:
6
1
3
Xp
c
θ
=
24
3
2
4
−
=
Xp
c
θ
b) Modelo de Winterstein (WINTERSTEIN, 1987)
Após ignorar o termo
2
3
.2
c
uma solução aproximada é obtida:
( )
3.5.11.24
2
1
3
−++
=
Xp
Xp
c
θ
θ
(
)
18
13.5.11
2
4
−−+
=
Xp
c
θ
116
c) Modelo de Mansour e Jensen (MANSOUR and JENSEN, 1995)
Adequando as series de Hermite a modelos numéricos, foram obtidos os seguintes
coeficientes:
( )
3.5,11.28,5
2
1
3
−++
=
Xp
Xp
c
θ
θ
(
)
30
13.5,11
2
4
−−+
=
Xp
c
θ
d) Modelo de Torhaug (TORHAUG, 1996)
Baseado em Winterstein e em estudos comparativos entre série e modelos numéricos
foram obtidos os seguintes coeficientes:
(
)
( )
−+
+−
=
3.2,01
.3,0.15,01
.
6
2
2
11
1
3
Xp
XpXp
Xp
c
θ
θθ
θ
( )
[
]
( )
8,0
2
.1,01
2
2
1
3
1
2
4
3
.43,1
1.
10
13.25,11
Xp
Xp
XpXp
c
θ
θ
θθ
−
−
−
−−+
=
117
A.2. Abordagem Utilizada na Simplificação do Modelo da Plataforma
Auto-Elevatória
O peso das pernas da plataforma auto-elevatória foi calculado com o auxílio do
Programa SACS (SACS, 2005) de análise estrutural e dinâmica. Neste cálculo, os
elementos tubulares de seções apresentadas abaixo foram considerados:
Figura A.2-1 - Propriedades das pernas da estaca (dimensões das seções em cm)
O peso calculado da perna foi de: 5024,8 kN por perna
Peso Total = 30000 kN (Convés + Eq. Operação)
3 x 5024,8 kN (Pernas da Plataforma)
45074,4 kN
118
Cálculo das propriedades equivalentes para modelo simplificado, baseado nas
Prescrições da Norma (ABS, 2004).
1 - Área de Cortante Equivalente (A
Q
)
Figura A.2-2 - Dimensões das pernas da estaca (dimensões das seções em cm)
h → Distância entre Banzos = 9,906 m;
s → Distância entre Montantes = 3,658 m;
d → Comprimento da Diagonal = 6,156 m.
(
)
CVD
Q
A
s
A
h
A
d
shv
A
.4.8
..1
333
2
++
+
=
Área de Cortante Equivalente;
A
C
= Área dos Banzos;
A
D
= Área das Diagonais;
A
V
= Área dos Montantes;
(
)
322
1065,75221,0381,0
4
−
=−=
xA
C
π
2
m
119
(
)
322
1062,13175,0219,0
4
−
=−==
xAA
VD
π
2
m
(
)
( ) ( )
3
3
3
3
3
3
2
1065,754
658,3
1062,138
903,9
1062,13
156,6
658,3903,93,01
−−−
++
+
=
xxxxx
xx
A
Q
76,16120,891348,17128
16,3659
++
=
Q
A
3
1064,139
−
= xA
Q
2
m
2 - Propriedades Geométricas Equivalentes
Figura A.2-3 - Direções principais
Área = 3 x A
C
= 3 x (75,65 x 10
-3
)
= 226,95 x 10
-3
m
2
Área de Cortante em Y e Z:
A
QY
= A
QZ
= 1,5 x A
Q
= 1,5 x 139,64 x 10
-3
= 209,46 x 10
-3
m
2
120
Momentos de Inércia em Relação à Y e Z:
2
.
2
hA
II
C
ZY
==
(
)
2
903,91065,75
23
xx
II
ZY
−
==
7095,3==
ZY
II
4
m
Momento de Inércia à Torção:
4
.
2
hA
I
Q
T
=
(
)
2
903,91064,139
23
xx
I
T
−
=
4236,3=
T
I
4
m
3 - Massa por Unidade de Comprimento das Pernas da Auto-Elevatória
Comprimento modelado da Perna = 112,012 metros
86,44
012,112
8,5024
==
q kN/m = 4,57 tf/m
4 - Empuxo e Diâmetro Equivalente
Optou-se por incluir o empuxo através da mudança do diâmetro da perna,
assegurando-se assim que a elevação do mar seja considerada nesta etapa do cálculo
automático do programa.
Para Linha d’água = 91,44 metros, temos:
Empuxo = 1061,2 kN por perna (Auxílio do SACS)
Volume Líquido = Empuxo
4
.
2
D
π
x 91,44 x 10,3 = 1061,2 → D
2
= 1,43461
D = 1,19775 metros
5 - Coeficiente de Arrasto
Aplicou-se uma corrente unitária no modelo completo da auto-elevatória, os
coeficientes hidrodinâmicos aplicados no modelo completo, para a obtenção do
coeficiente hidrodinâmico equivalente foram os seguintes:
121
C
D
= 0,7;
C
M
= 0,0;
A reações por apoio para o carregamento mencionado são de:
R
apoio
= 122,0 kN
Com este valor, chegou-se a um coeficiente de arrasto equivalente de 2,175.
Figura A.2-4 - Carregamento básico de corrente
122
Figura A.2-5 - Reações de apoio do carregamento de corrente, modelo completo
Figura A.2-6 - Reações de apoio do carregamento de corrente, modelo simplificado
123
6 - Verificação em Relação aos Carregamentos de Peso + Corrente:
Tabela A.2-1 - Verificação dos esforços
MODELO COMPLETO
LOAD *********** **** kN *** ************* *********** *** kN-m * *************
JOINT
COND
FORCE(X)
FORCE(Y)
FORCE(Z)
MOMENT(X)
MOMENT(Y)
MOMENT(Z)
OUX2 100 -114.2 -6.3 13385.0 35.5 -2701.3 -0.6
OUX4 100 -114.4 6.2 13380.8 -109.5 -2708.3 -0.6
OUX6 100 -139.0 0.1 15153.6 -33.7 -2987.6 -0.2
TOTAL -367.6 0.0 41919.4
MODELO SIMPLIFICADO
JOINT COND FORCE(X) FORCE(Y) FORCE(Z) MOMENT(X) MOMENT(Y) MOMENT(Z) FX FZ
5 100 -122.0 1.2 13456.3 -41.3 -4747.2 0.0 1.07 1.01
6 100 -122.0 -1.2 13456.3 41.3 -4747.2 0.0 1.07 1.01
7 100 -124.2 0.0 15040.2 0.0 -4823.1 0.0 0.89 0.99
TOTAL -368.1 0.0 41952.9 1.00 1.00
7 - Coeficiente de Inércia
Será aplicada uma onda estática de Parâmetros:
Altura da Onda = 1,25 metros
Período de Onda = 11,0 segundos
Formulação de Airy;
C
M
= 2,0;
C
D
= 0,0;
Comparou-se o máximo cortante na base.
Com isso, chegou-se à um Coeficiente de Arrasto equivalente de 1,65.
Adotou-se a utilização de elementos rígidos para a simulação do casco da
plataforma.
Através dos 7 itens apresentados acima, chegou-se a um modelo simplificado
que atendia bem aos requisitos estáticos da plataforma, porém não apresentava
coerência quando tratávamos de freqüências naturais de vibração.
124
Tabela A.2-2 - Períodos naturais para estrutura completa
*** EFFECTIVE WEIGHT X 44871.776 KN
Y 44869.219 KN
Z 44781.955 KN
MODE FREQ.(CPS) GEN. MASS EIGENVALUE PERIOD(SECS)
1 0.286542 2.5955493E+03 3.0850507E-01 3.4898844
2 0.294704 3.4131382E+03 2.9165386E-01 3.3932335
3 0.355277 2.3149891E+03 2.0068093E-01 2.8147053
4 2.299219 6.0969998E+02 4.7915885E-03 0.4349303
5 2.374484 7.0947948E+02 4.4926427E-03 0.4211442
6 2.561769 6.7846734E+02 3.8597605E-03 0.3903553
7 2.581717 2.7897618E+02 3.8003449E-03 0.3873391
8 2.593681 3.8317638E+02 3.7653647E-03 0.3855524
9 2.672540 5.1142939E+02 3.5464326E-03 0.3741758
10 2.853710 2.2546910E+02 3.1104316E-03 0.3504211
11 2.853913 2.7180991E+02 3.1099893E-03 0.3503962
12 2.862324 3.6429762E+02 3.0917373E-03 0.3493664
13 2.901658 3.3055675E+03 3.0084853E-03 0.3446306
14 3.709609 1.7622625E+03 1.8407039E-03 0.2695702
15 3.775371 1.4891457E+03 1.7771372E-03 0.2648746
Tabela A.2-3 - Períodos naturais para estrutura simplificada
*** EFFECTIVE WEIGHT X 44753.066 KN
Y 44756.139 KN
Z 44761.736 KN
MODE FREQ.(CPS) GEN. MASS EIGENVALUE PERIOD(SECS)
1 0.341110 3.2550048E+03 2.1769616E-01 2.9316037
2 0.351878 3.5369311E+03 2.0457721E-01 2.8418981
3 1.223588 2.3303245E+02 1.6918802E-02 0.8172684
4 2.954090 2.6074029E+03 2.9026370E-03 0.3385137
5 3.366382 6.4477794E+02 2.2351849E-03 0.2970548
6 3.496343 6.9866462E+02 2.0721069E-03 0.2860131
7 3.869864 5.8439057E+02 1.6914099E-03 0.2584070
8 3.870841 6.6136888E+02 1.6905561E-03 0.2583418
9 3.871548 4.3830864E+02 1.6899388E-03 0.2582946
10 5.110075 3.0938735E+02 9.7003116E-04 0.1956918
11 7.537488 2.8828765E+02 4.4584820E-04 0.1326702
12 7.649227 4.1548861E+02 4.3291754E-04 0.1307322
13 10.666993 6.6242766E+02 2.2261593E-04 0.0937471
14 10.669594 7.4455908E+02 2.2250739E-04 0.0937243
15 10.671803 4.9736011E+02 2.2241528E-04 0.0937049
Algumas modificações foram realizadas no modelo estrutural simplificado da
auto-elevatória e os resultados obtidos serão apresentados abaixo. É importante ressaltar
125
que essas modificações foram elaboradas pelo autor do trabalho, seguindo orientações
de seus orientadores, a Norma utilizada não menciona as modificações seguintes.
As modificações incorporadas levaram a resultados melhores, principalmente
para modos de vibração e períodos naturais.
Procedimento 1:
Foi realizada uma comparação entre perna simplificada e completa para cargas
atuando em suas extremidades. Os resultados mostraram que a utilização da Norma
ABS para cálculo das propriedades equivalentes é bem eficaz no sentido axial e, inercial
dentro e fora do plano (y e z locais da seção transversal).
Foi observado, porém, que a inércia torcional não se fazia satisfatória. Adotou-se
a alteração desta propriedade conforme será apresentado no ITEM 1.
Procedimento 2:
A consideração do sistema cremalheira + freios da plataforma auto-elevatória
deve ser levada em consideração no modelo simplificado. A abordagem adotada no
modelo estrutural, para a consideração destes é apresentada no ITEM 2.
Procedimento 3:
Alterou-se o posicionamento da massa acima do convés da auto-elevatória, no
modelo simplificado, com base em áreas de influência, apresentado no ITEM 3.
ITEM 1) Análise e comparação dos resultados das pernas isoladas dos modelos
completo e simplificado.
Carregamento 1 - Carga Axial de 10000 kN
126
Figura A.2-7 - Modelos de perna isolada completo e simplificado
127
Carregamento 2 - Torção de 10000 kN.m
Figura A.2-8 - Torção aplicada no modelo de perna isolada completo (vista superior)
128
Carregamento 3 - Cortante de 10000 kN
Figura A.2-9 - Cortante aplicado ao modelo de perna isolada completo
129
Carregamento 4 - Momento Fletor de 10000 kN.m
Figura A.2-10 - Momento fletor aplicado ao modelo de perna isolada completo
Os resultados mostram que os valores para os carregamentos 1, 3 e 4 são
semelhantes em ambos os modelos de pernas isoladas simplificado e completo, levando
assim à conclusão que tanto a área quanto os momentos de inércia transversais foram
bem modelados.
Tabela A.2-4 - Respostas em termos de deslocamentos da perna isolada completa
JOINT DISPLACEMENTS AND ROTATIONS - MODELO COMPLETO
LOAD ******** cm ********** *********** radians ***********
JOINT COND DEFL(X) DEFL(Y) DEFL(Z) ROT(X) ROT(Y) ROT(Z)
AQUI 1 0.0000 0.0000 -2.8197 0.0000 0.0000 0.0000
2 -0.0014 0.0061 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0376
3 1045.0122 -0.1775 0.0026 0.0000 0.1134 0.0000
4 11.2320 0.0000 0.0003 0.0000 0.0017 0.0000
130
Tabela A.2-5 - Respostas em termos de deslocamentos da perna isolada simplificada
JOINT DISPLACEMENTS AND ROTATIONS - MODELO SIMPLIFICADO
LOAD ******** cm ********** *********** radians ***********
JOINT COND DEFL(X) DEFL(Y) DEFL(Z) ROT(X) ROT(Y) ROT(Z)
AQUI 1 0.0000 0.0000 -2.9012 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0048
3 1040.6940 0.0000 0.0000 0.0000 0.1169 0.0000
4 11.6889 0.0000 0.0000 0.0000 0.0018 0.0000
Com intenção de ajustar melhor os resultados do modelo simplificado, a inércia
torcional deste foi calculada baseada nos resultados do modelo completo:
4,265957
0376,0
10000
===
θ
M
k
TORS
kN.m/rad
4,265957
688,131
1080.
6
=→=
xJx
k
L
JG
TORS
4
437793,0 mJ
=
Essa inércia torcional foi incorporada ao modelo os novos resultados são apresentados:
Tabela A.2-6 - Respostas em termos de deslocamentos da perna isolada completa após
modificação
JOINT DISPLACEMENTS AND ROTATIONS - MODELO COMPLETO
LOAD ******** cm ********** *********** radians ***********
JOINT COND DEFL(X) DEFL(Y) DEFL(Z) ROT(X) ROT(Y) ROT(Z)
AQUI 1 0.0000 0.0000 -2.8197 0.0000 0.0000 0.0000
2 -0.0014 0.0061 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0376
3 1045.0122 -0.1775 0.0026 0.0000 0.1134 0.0000
4 11.2320 0.0000 0.0003 0.0000 0.0017 0.0000
Tabela A.2-7 - Respostas em termos de deslocamentos da perna isolada simplificada
após modificação
JOINT DISPLACEMENTS AND ROTATIONS - MODELO SIMPLIFICADO
LOAD ******** cm ********** *********** radians ***********
JOINT COND DEFL(X) DEFL(Y) DEFL(Z) ROT(X) ROT(Y) ROT(Z)
AQUI 1 0.0000 0.0000 -2.9012 0.0000 0.0000 0.0000
2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0376
3 1040.6940 0.0000 0.0000 0.0000 0.1169 0.0000
4 11.6889 0.0000 0.0000 0.0000 0.0018 0.0000
131
ITEM 2) Modelagem do Sistema Cremalheira + Freios.
Devido à característica geométrica do sistema de transmitir o momento
proveniente das pernas da plataforma por formação de binário na posição dos freios,
elementos com rótulas à flexão ligando o casco à perna foram simulados.
Figura A.2-11 - Elementos de simulação do sistema cremalheira + freios
132
ITEM 3) Alteração da Massa e extração modal do modelo atualizado
Figura A.2-12 - Modelo simplificado atual da auto-elevatória
Figura A.2-13 - Carregamento a ser convertido em massa
A massa no convés foi redistribuída segunda áreas de influência dos nós:
133
Figura A.2-14 - Carregamento representativo do convés a ser convertido em massa
Os resultados novos em termos de freqüências e períodos naturais são abaixo
apresentados:
Tabela A.2-8 - Períodos naturais para estrutura completa
MODE FREQ.(CPS) GEN. MASS EIGENVALUE PERIOD(SECS)
1 0.286542 2.5955493E+03 3.0850507E-01 3.4898844
2 0.294704 3.4131382E+03 2.9165386E-01 3.3932335
3 0.355277 2.3149891E+03 2.0068093E-01 2.8147053
4 2.299219 6.0969998E+02 4.7915885E-03 0.4349303
5 2.374484 7.0947948E+02 4.4926427E-03 0.4211442
6 2.561769 6.7846734E+02 3.8597605E-03 0.3903553
7 2.581717 2.7897618E+02 3.8003449E-03 0.3873391
8 2.593681 3.8317638E+02 3.7653647E-03 0.3855524
9 2.672540 5.1142939E+02 3.5464326E-03 0.3741758
10 2.853710 2.2546910E+02 3.1104316E-03 0.3504211
11 2.853913 2.7180991E+02 3.1099893E-03 0.3503962
12 2.862324 3.6429762E+02 3.0917373E-03 0.3493664
13 2.901658 3.3055675E+03 3.0084853E-03 0.3446306
14 3.709609 1.7622625E+03 1.8407039E-03 0.2695702
15 3.775371 1.4891457E+03 1.7771372E-03 0.2648746
134
Tabela A.2-9 - Períodos naturais para estrutura simplificada
MODE FREQ.(CPS) GEN. MASS EIGENVALUE PERIOD(SECS)
1 0.291393 2.1866044E+03 2.9831879E-01 3.4317859
2 0.298589 3.2392904E+03 2.8411314E-01 3.3490801
3 0.324155 1.6188692E+03 2.4106569E-01 3.0849461
4 2.652521 1.2537860E+03 3.6001665E-03 0.3769998
5 2.708745 9.2514722E+02 3.4522644E-03 0.3691747
6 2.918302 2.8987969E+03 2.9742652E-03 0.3426650
7 3.214751 5.7189687E+02 2.4510120E-03 0.3110660
8 3.214917 5.2893342E+02 2.4507603E-03 0.3110501
9 3.215907 4.6107396E+02 2.4492512E-03 0.3109543
10 3.304298 4.8343088E+02 2.3199673E-03 0.3026362
11 3.798328 9.7717330E+02 1.7557201E-03 0.2632737
12 4.136864 1.2104193E+03 1.4801230E-03 0.2417290
13 8.105310 6.7775651E+02 3.8556802E-04 0.1233759
14 8.106030 6.4372717E+02 3.8549951E-04 0.1233650
15 8.108648 4.8189907E+02 3.8525059E-04 0.1233251
A variação percentual entre modos é apresentada abaixo:
Tabela A.2-10 - Comparação de resultados entre modos
MODE FREQ.(CPS) GEN.MASS EIGENVALUE PERIOD(SECS) MODE FREQ.(CPS) GEN.MASS EIGENVALUE PERIOD(SECS)
1
0.2865 2.60E+03 3.09E-01 3.4899 1 0.2914 2.19E+03 2.98E-01 3.4318 -2%
2
0.2947 3.41E+03 2.92E-01 3.3932 2 0.2986 3.24E+03 2.84E-01 3.3491 -1%
3
0.3553 2.31E+03 2.01E-01 2.8147 3 0.3242 1.62E+03 2.41E-01 3.0849 9%
4
2.2992 6.10E+02 4.79E-03 0.4349 4 2.6525 1.25E+03 3.60E-03 0.3770 -15%
5
2.3745 7.09E+02 4.49E-03 0.4211 5 2.7087 9.25E+02 3.45E-03 0.3692 -14%
6
2.5618 6.78E+02 3.86E-03 0.3904 6 2.9183 2.90E+03 2.97E-03 0.3427 -14%
7
2.5817 2.79E+02 3.80E-03 0.3873 7 3.2148 5.72E+02 2.45E-03 0.3111 -25%
8
2.5937 3.83E+02 3.77E-03 0.3856 8 3.2149 5.29E+02 2.45E-03 0.3111 -24%
9
2.6725 5.11E+02 3.55E-03 0.3742 9 3.2159 4.61E+02 2.45E-03 0.3110 -20%
10
2.8537 2.25E+02 3.11E-03 0.3504 10 3.3043 4.83E+02 2.32E-03 0.3026 -16%
11
2.8539 2.72E+02 3.11E-03 0.3504 11 3.7983 9.77E+02 1.76E-03 0.2633 -33%
12
2.8623 3.64E+02 3.09E-03 0.3494 12 4.1369 1.21E+03 1.48E-03 0.2417 -45%
13
2.9017 3.31E+03 3.01E-03 0.3446 13 8.1053 6.78E+02 3.86E-04 0.1234 -179%
14
3.7096 1.76E+03 1.84E-03 0.2696 14 8.1060 6.44E+02 3.85E-04 0.1234 -119%
15
3.7754 1.49E+03 1.78E-03 0.2649 15 8.1086 4.82E+02 3.85E-04 0.1233 -115%
modelo completo modelo simplificado
DIF (%)
135
A.3. Modos de Vibração
As Figuras A.3-1 a A.3-3 ilustram os três primeiros modos de vibração do
modelo simplificado e completo da plataforma auto-elevatória.
(a)
(b)
Figura A.3-1 - Primeiro modo de vibração. Modelos (a) simplificado e (b) completo.
136
(a)
(b)
Figura A.3-2 - Segundo modo de vibração. Modelos (a) simplificado e (b) completo.
137
(a)
(b)
Figura A.3-3 - Terceiro modo de vibração. Modelos (a) simplificado e (b) completo.
138
A.4. Resultados Adicionais da Análise de Extremos para a Plataforma
Auto-Elevatória
Os resultados apresentados nos Itens A.4.1, A.4.2 e A.4.4 foram obtidos a partir
de uma realização típica das elevações do mar que atua sobre a plataforma auto-
elevatória. Estes resultados ilustram os espectros dos parâmetros de resposta
investigados bem como o comportamento não- gaussiano dos mesmos. Os resultados
apresentados nos Itens A.4.3 e A.4.5 sintetizam os resultados obtidos (parâmetros
estatísticos e valores extremos mais prováveis estimados) para as 18 realizações
distintas utilizadas no trabalho.
A.4.1. Espectros Típicos
Na Figuras A.4.1-1, A.4.1-2 e A.4.1-3 são apresentados, respectivamente, o
espectros deslocamento lateral da plataforma, do cortante estático na base da plataforma
e do cortante dinâmico na base da plataforma. Observa-se que estes espectros são de
banda larga com dois picos de energia em duas freqüências distantes uma da outra,
devido ao caráter não linear na parcela de arrasto da força de Morison.
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50
Sp(f)
frequência (Hz)
ESPECTRO DESLOCAMENTO X
Figura A.4.1-1 - Espectro do deslocamento lateral da plataforma
139
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Sp(f)
frequência (Hz)
CORTANTE ESTÁTICO
Figura A.4.1-2 - Espectro do cortante estático da plataforma
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
180.00
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
Sp(f)
frequência (Hz)
CORTANTE DINÂMICO
Figura A.4.1-3 - Espectro do cortante dinâmico da plataforma
A.4.2. Distribuições do Processo
Na Figura A.4.2-1, é apresentado o histograma de freqüência relativa do
deslocamento lateral da plataforma e uma distribuição normal com a mesma média e
desvio padrão do processo aleatório. Nas Figuras A.4.2-2 e A.4.2-3, são apresentados os
histogramas e a comparação com a distribuição normal para o cortante estático e
dinâmico da plataforma, respectivamente. Nestas figuras observa-se claramente o
comportamento não-gaussiano destes três parâmetros de resposta. Esta mesma
140
constatação pode ser feita através dos valores dos coeficientes de kurtosis apresentados
no item A.4.5 que estão distantes do valor de refrência 3.0 para uma distribuição
gaussiana.
5.86 3.71 1.57 0 2.71 4.86 7
0
0.13
0.25
0.38
0.5
0.5
0
v2
n
ψ V( )
77− v1
n
V, r,
Figura A.4.2-1 - Histograma de freqüência relativa do deslocamento lateral.
1500 1000 500 0 500 1000 1500
0
6.66667
.
10
4
0.00133
0.002
0.002
0
v2
n
ψ V( )
15001500− v1
n
V, r,
Figura A.4.2-2 - Histograma de freqüência relativa do cortante estático na base
141
1500 1000 500 0 500 1000 1500
0
6.66667
.
10
4
0.00133
0.002
0.002
0
v2
n
ψ V( )
15001500− v1
n
V, r,
Figura A.4.2-3 - Histograma de freqüência relativa do cortante estático na base
142
A.4.3. Distribuições de Gumbel
Nas Figuras A.4.3-1 a A.4.3-3 são apresentados, respectivamente, na escala de
Gumbel os valores extremos das 18 realizações independentes e a distribuição de
Gumbel (Tipo I) ajustada do deslocamento lateral da plataforma, cortante estático da
plataforma e o cortante dinâmico na plataforma. Nas Figuras A.4.3-4 a A.4.3-6
apresentam-se as respectivas funções densidade de probabilidades das distribuições de
Gumbel ajustadas a estes três parâmetros de resposta. Através destas figuras observa-se
que os valores extremos mais prováveis destes três parâmetros são:
10 12 14 16 18 20
0
1
2
log log F x( )( )−( )−
log log n( )−( )−
x y,
Figura A.4.3-1 - Valores extremos do deslocamento lateral em escala Gumbel
143
2 10
3
× 3 10
3
× 4 10
3
× 5 10
3
×
0
1
2
3
log log F x( )( )−( )−
log log n( )−( )−
x y,
Figura A.4.3-2 - Valores extremos do cortante estático na base em escala Gumbel
2 10
3
× 3 10
3
× 4 10
3
× 5 10
3
×
0
1
2
3
log log F x( )( )−( )−
log log n( )−( )−
x y,
Figura A.4.3-3 - Valores extremos do cortante estático na base em escala Gumbel
144
8 9.2 10.4 11.6 12.8 14 15.2 16.4 17.6 18.8 20
0
0.13
0.25
0.38
0.5
.5
0
f x( )
208 x
Figura A.4.3-4 - Distribuição de Gumbel associada aos 18 valores extremos do
deslocamento lateral
0 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000
0
5.25
.
10
4
0.00105
0.00158
0.0021
2.1 10
3−
⋅
0
f x( )
60000 x
Figura A.4.3-5 - Distribuição de Gumbel associada aos 18 valores extremos do cortante
estático na base
145
0 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000
0
5.25
.
10
4
0.00105
0.00158
0.0021
2.1 10
3−
⋅
0
f x( )
60000 x
Figura A.4.3-6 - Distribuição de Gumbel associada aos 18 valores extremos do cortante
dinâmico na base
146
A.4.4. Distribuições de Probabilidades de Máximos em Escala Rayleigh
Neste item, são apresentados na escala da distribuição Rayleigh, os picos de uma
realização dos processos analisados e as distribuições de máximos ajustadas pelo
método baseado nos polinômios de Hermite (Figuras A.4.4-1, A.4.4-3 e A.4.4-5) e pelo
método Weibull-PoT (Figuras A.4.4-2, A.4.4-4 e A.4.4-5). Observa-se que no modelo
baseado nos polinômios de Hermite, são utilizados todos os picos do processo, enquanto
que no modelo de Weibull-PoT, são utilizados os picos apenas positivos, conforme
apresentado no Item III.8.2.
Na escala da distribuição de Rayleigh, se o processo fosse gaussiano os picos
tenderiam a estar mais próximos da reta. Como pode ser visto, eles encontram-se bem
distantes desta reta e, portanto, caracterizando uma vez mais o caráter não-gaussiano
destes parâmetros de reposta.
Figura A.4.4-1 - Distribuição de probabilidades de máximos na escala da distribuição de
Rayleigh. Deslocamento do convés da plataforma. Modelo baseado nos polinômios de
Hermite.
147
Figura A.4.4-2 - Distribuição de probabilidades de máximos na escala da distribuição de
Rayleigh. Deslocamento do convés da plataforma. Modelo Weibull-PoT.
Figura A.4.4-3 - Distribuição de probabilidades de máximos na escala da distribuição de
Rayleigh. Cortante estático na base. Modelo baseado nos polinômios de Hermite.
148
Figura A.4.4-4 - Distribuição de probabilidades de máximos na escala da distribuição de
Rayleigh. Cortante estático na base. Modelo Weibull-PoT.
Figura A.4.4-5 - Distribuição de probabilidades de máximos na escala da distribuição de
Rayleigh. Cortante dinâmico na base. Modelo baseado nos polinômios de Hermite.
149
Figura A.4.4-6 - Distribuição de probabilidades de máximos na escala da distribuição de
Rayleigh. Cortante dinâmico na base. Modelo Weibull-PoT.
150
A.4.5. Tabelas Adicionais
As Tabelas A.4.4-1 a A.4.4-3 apresentam os parâmetros estatísticos (média,
desvio padrão, coeficiente de assimetria e coeficiente de kurtosis) do deslocamento
lateral, do cortante estático na base e cortante dinâmico na base, em função do tamanho
da simulação, obtidos para todas as 18 realizações independentes utilizadas na
elaboração desta dissertação. As Tabelas A.4.4-4 a A.4.4-5 apresentam os valores mais
prováveis (VMP) obtidos através do método baseado nos polinômios de Hermite e das
diferentes variações do modelo de Weibull. Nestas duas últimas tabelas utiliza-se a
seguinte nomenclatura:
µ
é a media dos 18 valores mais prováveis estimados em cada uma das
realizações;
σ
é o desvio padrão dos 18 valores mais prováveis estimados em cada uma das
realizações;
VMP é o valor mais provável de referência obtido a partir do ajuste de uma
distribuição de Gumbel aos 18 valores extremos observados nas 18 realizações;
DX é o delocamento lateral do convés;
CORTEST é o cortante estático na base e;
CORTDIN é o cortante dinâmico na base.
151
Tabela A.4.4-1 - Parâmetros estatísticos das diferentes realizações - deslocamento
lateral do convés da plataforma
μ σ γ1 γ2 μ σ γ1 γ2 μ σ γ1 γ2
1 0.147 2.034 0.578 7.722 0.144 2.016 0.484 6.633 0.139 1.966 0.446 6.446
2 0.120 2.063 0.388 7.782 0.130 2.036 0.362 6.791 0.130 1.986 0.344 6.656
3 0.151 1.979 0.409 5.784 0.141 1.998 0.279 5.868 0.139 1.948 0.283 5.702
4 0.135 1.997 0.286 6.467 0.139 2.042 0.316 6.928 0.133 1.991 0.314 6.809
5 0.131 2.016 0.419 6.492 0.144 2.055 0.540 6.461 0.137 1.987 0.513 6.558
6 0.131 1.955 0.284 6.019 0.134 2.015 0.278 5.708 0.129 1.954 0.269 5.769
7 0.135 1.990 0.468 6.629 0.137 2.016 0.364 6.210 0.132 1.970 0.370 6.185
8 0.130 1.946 0.504 5.616 0.135 2.007 0.393 5.909 0.128 1.961 0.358 5.991
9 0.132 1.999 0.308 7.310 0.133 2.061 0.279 6.601 0.129 1.995 0.282 6.584
10 0.142 1.968 0.698 7.076 0.147 2.037 0.491 6.987 0.142 1.985 0.485 6.832
11 0.135 2.001 0.319 5.785 0.142 2.039 0.380 6.029 0.139 1.987 0.351 5.931
12 0.149 2.033 0.648 7.952 0.144 2.068 0.468 7.240 0.135 2.004 0.450 7.261
13 0.135 1.965 0.442 6.013 0.140 2.060 0.394 6.370 0.130 1.983 0.373 6.352
14 0.132 1.986 0.241 7.149 0.140 2.061 0.341 6.889 0.131 1.991 0.320 6.895
15 0.139 2.183 0.662 11.430 0.141 2.120 0.473 8.971 0.134 2.038 0.435 8.863
16 0.133 2.026 0.472 6.469 0.139 2.068 0.509 6.711 0.136 1.994 0.470 6.683
17 0.121 2.025 0.203 6.778 0.131 2.044 0.287 6.945 0.134 1.986 0.299 6.792
18 0.150 2.058 0.560 6.624 0.141 2.027 0.371 6.166 0.136 1.970 0.384 6.116
2400 seg. 4800 seg. 6000 seg.
DESLOCAMENTO LATERAL
SÉRIE
Tabela A.4.4-2 - Parâmetros estatísticos das diferentes realizações - cortante estático na
base da plataforma
μ σ γ1 γ2 μ σ γ1 γ2 μ σ γ1 γ2
1 23.498 475.504 0.270 8.883 22.693 470.596 0.222 7.179 21.613 457.918 0.193 6.935
2 16.130 484.171 0.116 8.115 18.967 475.677 0.113 7.085 19.319 461.698 0.105 7.009
3 24.416 458.641 0.171 5.858 21.939 465.712 0.024 6.100 21.853 452.550 0.045 5.955
4 17.148 475.365 -0.027 7.067 18.936 478.690 0.039 7.130 20.248 462.802 0.059 7.018
5 23.167 481.793 0.250 6.785 21.556 473.707 0.097 6.514 21.000 458.571 0.117 6.489
6 20.671 462.821 0.209 7.023 20.744 469.686 0.102 6.399 20.035 457.528 0.107 6.379
7 19.772 453.780 0.254 5.581 20.302 469.814 0.126 5.966 19.049 458.185 0.105 6.070
8 20.464 466.733 0.008 6.696 21.044 482.103 0.010 7.085 20.005 467.292 0.024 7.063
9 19.948 467.026 0.045 7.926 19.488 483.225 0.012 6.840 19.028 465.056 0.029 6.893
10 22.947 457.595 0.447 6.666 23.398 476.016 0.187 7.174 22.568 461.282 0.199 7.102
11 20.535 463.903 0.057 6.043 21.925 476.379 0.107 6.331 21.751 461.492 0.083 6.295
12 23.985 477.382 0.313 8.373 22.354 486.402 0.168 7.548 20.710 469.229 0.168 7.582
13 19.274 469.749 0.188 6.307 22.211 480.842 0.298 6.240 21.345 463.006 0.282 6.357
14 20.984 457.147 0.253 5.951 21.149 482.790 0.148 6.411 19.610 462.369 0.142 6.454
15 19.873 465.436 -0.069 7.585 21.251 485.978 0.032 7.275 19.713 466.806 0.026 7.330
16 20.239 515.211 0.311 11.896 21.184 497.689 0.192 9.343 20.042 476.123 0.160 9.320
17 19.856 469.820 0.208 6.097 20.816 484.107 0.226 6.560 20.788 463.916 0.200 6.650
18 19.899 455.448 0.059 6.591 19.858 468.993 0.072 6.210 19.273 453.940 0.053 6.237
CORTANTE ESTÁTICO NA BASE
SÉRIE
2400 seg. 4800 seg. 6000 seg.
152
Tabela A.4.4-3 - Parâmetros estatísticos das diferentes realizações - cortante dinâmico
na base da plataforma
μ σ γ1 γ2 μ σ γ1 γ2 μ σ γ1 γ2
1 23.504 499.938 0.292 8.812 22.705 494.778 0.240 7.220 21.631 481.687 0.211 6.982
2 16.158 508.877 0.110 8.335 18.938 500.370 0.113 7.254 19.309 486.287 0.106 7.141
3 24.407 483.349 0.186 6.006 21.893 490.234 0.034 6.245 21.834 476.642 0.054 6.080
4 17.174 500.014 -0.037 7.272 18.927 503.487 0.036 7.326 20.243 487.271 0.059 7.194
5 23.209 506.064 0.283 6.878 21.594 498.050 0.115 6.600 21.018 482.523 0.136 6.559
6 20.687 487.169 0.221 7.100 20.725 494.144 0.114 6.531 20.025 481.793 0.123 6.499
7 19.733 477.318 0.287 5.693 20.280 493.708 0.149 6.141 19.032 481.712 0.121 6.242
8 20.425 490.836 0.017 6.905 21.003 505.761 0.020 7.336 19.975 490.862 0.033 7.272
9 19.966 491.547 0.039 8.114 19.498 508.056 0.016 7.045 19.021 489.650 0.031 7.080
10 22.867 481.372 0.479 6.929 23.344 500.531 0.213 7.386 22.520 485.746 0.223 7.271
11 20.534 488.979 0.076 6.142 21.913 501.094 0.125 6.432 21.737 486.150 0.103 6.374
12 24.001 501.119 0.344 8.510 22.338 510.751 0.186 7.711 20.696 493.227 0.181 7.734
13 19.326 494.144 0.190 6.528 22.199 505.107 0.310 6.443 21.337 486.923 0.290 6.562
14 21.041 481.147 0.251 6.128 21.208 507.311 0.155 6.604 19.635 486.483 0.146 6.626
15 19.888 489.357 -0.065 7.876 21.261 509.968 0.044 7.487 19.712 490.564 0.035 7.517
16 20.275 540.979 0.296 12.071 21.218 523.207 0.179 9.513 20.053 501.108 0.149 9.466
17 19.919 495.053 0.228 6.389 20.844 508.731 0.246 6.767 20.796 488.291 0.217 6.822
18 19.904 479.592 0.063 6.597 19.849 493.968 0.074 6.241 19.266 478.280 0.059 6.279
CORTANTE DINÂMICO NA BASE
SÉRIE
2400 seg. 4800 seg. 6000 seg.
Tabela A.4.4-4 – Valores extremos mais prováveis estimados pelo modelo baseado nos
polinômios de Hermite
DX CORT EST CORT DIN DX CORT EST CORT DIN DX CORT EST CORT DIN
1 15.641 3304.75 3706.91 14.411 2996.68 3357.55 13.806 2867.42 3202.54
2 15.480 3170.55 3585.14 14.465 2955.35 3336.50 13.982 2856.02 3218.23
3 13.181 2669.25 2999.49 13.134 2683.83 3004.08 12.635 2591.48 2894.05
4 13.650 2890.03 3244.41 14.431 2950.53 3325.06 14.014 2844.62 3213.35
5 14.076 3022.19 3372.64 14.491 2838.74 3195.80 14.106 2756.73 3101.33
6 12.991 2913.18 3277.75 13.019 2792.91 3134.54 12.691 2722.38 3067.12
7 14.291 2618.40 2943.00 13.791 2718.71 3077.75 13.476 2666.60 3011.76
8 12.868 2774.42 3139.55 13.379 2929.92 3316.84 13.126 2847.57 3224.87
9 14.594 3020.54 3429.74 14.334 2912.08 3300.89 13.945 2819.82 3206.89
10 14.722 2925.85 3301.19 14.859 3012.45 3409.09 14.405 2914.55 3309.55
11 13.184 2656.35 3004.60 13.853 2824.73 3189.87 13.396 2715.45 3075.86
12 15.788 3227.43 3711.40 15.183 3121.44 3540.62 14.726 3020.38 3424.21
13 13.364 2816.78 3188.00 14.291 2928.44 3289.58 13.704 2830.85 3188.44
14 14.087 2712.82 3052.02 14.599 2898.21 3287.67 14.107 2782.62 3152.34
15 19.534 2867.20 3236.12 17.055 3007.33 3382.09 16.259 2891.42 3264.09
16 14.371 3982.85 4499.26 14.889 3478.01 3944.94 14.282 3310.69 3758.11
17 14.007 2798.62 3185.78 14.506 2980.56 3358.85 13.990 2855.45 3228.10
18 14.845 2719.50 3033.86 13.832 2727.96 3040.78 13.421 2633.92 2953.33
μ 14.482 2949.48 3328.38 14.362 2930.99 3305.14 13.893 2829.33 3194.12
σ 1.544 325.10 372.46 0.898 178.78 210.85 0.809 160.13 190.09
μ-2.σ 11.395 2299.29 2583.47 12.566 2573.42 2883.43 12.274 2509.06 2813.93
μ+2.σ 17.569 3599.68 4073.30 16.159 3288.56 3726.85 15.511 3149.60 3574.31
VMP 11.90 2555.37 2786.70 11.90 2555.37 2786.70 11.90 2555.37 2786.70
2400 seg. 4800 seg. 6000 seg.
SÉRIE
MODELO DE HERMITE
153
Tabela A.4.4-5 - Valores extremos mais prováveis estimados pelo modelo Weibull-PoT.
DX CORT EST CORT DIN DX CORT EST CORT DIN DX CORT EST CORT DIN
1 13.735 2997.48 3270.34 12.651 2755.52 3003.31 12.188 2655.89 2891.04
2 13.284 2944.08 3139.17 12.483 2742.86 2939.48 12.139 2664.46 2859.43
3 11.420 2423.21 2639.21 11.024 2359.48 2544.54 10.743 2289.68 2478.81
4 11.508 2679.25 2884.03 12.070 2776.13 3002.44 11.899 2672.80 2891.97
5 12.142 2702.08 2925.79 12.525 2538.04 2754.75 12.297 2468.36 2689.08
6 11.395 2717.57 2946.50 11.426 2530.26 2775.91 11.070 2472.98 2714.00
7 12.500 2334.73 2601.85 12.022 2365.22 2621.41 11.775 2327.45 2573.98
8 11.312 2396.23 2634.91 11.413 2494.78 2753.24 11.183 2467.46 2728.23
9 12.280 2702.62 2898.29 11.974 2597.13 2799.10 11.723 2530.80 2738.12
10 14.257 2805.81 3235.39 13.350 2736.57 3080.93 12.960 2662.03 2989.93
11 11.079 2311.64 2533.02 11.538 2380.33 2643.49 11.250 2332.90 2583.20
12 13.858 2990.55 3270.30 13.300 2864.02 3130.25 12.984 2786.40 3047.29
13 11.122 2569.31 2800.48 12.037 2662.03 2899.31 11.700 2604.47 2840.38
14 11.408 2423.17 2591.80 12.074 2594.97 2810.40 11.845 2524.19 2730.62
15 16.639 2347.54 2594.36 14.600 2495.46 2770.67 14.040 2456.24 2719.55
16 12.408 3807.60 3997.26 12.749 3317.51 3489.78 12.419 3173.92 3350.17
17 12.093 2411.88 2759.09 12.746 2693.42 2930.09 12.307 2624.12 2855.47
18 12.589 2554.98 2731.36 11.784 2551.34 2737.74 11.527 2461.53 2639.31
μ 12.502 2673.32 2914.06 12.320 2636.39 2871.49 12.003 2565.32 2795.59
σ 1.424 362.47 364.28 0.853 225.16 221.18 0.790 203.33 201.70
μ-2.σ 9.655 1948.38 2185.50 10.614 2186.07 2429.13 10.422 2158.66 2392.19
μ+2.σ 15.349 3398.25 3642.63 14.027 3086.72 3313.85 13.583 2971.98 3198.98
VMP 11.90 2555.37 2786.70 11.90 2555.37 2786.70 11.90 2555.37 2786.70
MODELO DE WEIBULL-PoT
SÉRIE
2400 seg. 4800 seg. 6000 seg.
154
Tabela A.4.4-6 - Parâmetros de resposta do processo - modelo de Weibull-Mom
DX CORT EST CORT DIN DX CORT EST CORT DIN DX CORT EST CORT DIN
1 12.836 2893.68 3246.34 12.747 2716.40 3144.96 12.287 2592.66 2995.80
2 13.242 2943.41 3306.57 12.612 2733.62 3097.25 12.217 2626.40 2977.11
3 12.352 2551.94 2944.55 12.318 2562.00 2953.17 11.766 2435.90 2803.00
4 12.105 2724.85 3089.70 12.894 2757.05 3159.09 12.348 2609.37 3010.76
5 12.629 2933.36 3354.18 13.337 2663.77 3096.47 12.847 2551.23 2961.10
6 11.282 2688.21 3008.14 11.517 2604.82 2997.42 11.248 2547.94 2955.46
7 12.362 2572.15 2985.29 12.457 2584.30 3030.48 12.174 2543.00 2957.57
8 12.349 2645.78 3015.41 12.530 2779.54 3207.62 12.194 2667.36 3060.82
9 12.093 2742.55 3078.23 12.651 2754.14 3167.24 12.128 2636.07 3040.36
10 12.815 2691.25 3103.91 13.073 2754.41 3189.18 12.479 2659.90 3063.55
11 12.492 2542.10 3006.05 12.942 2757.04 3178.08 12.367 2605.85 3027.82
12 14.030 2928.32 3502.50 13.525 2887.44 3373.63 12.878 2777.24 3214.41
13 12.186 2798.30 3140.89 13.042 2898.78 3269.27 12.253 2754.89 3132.98
14 12.138 2667.66 2974.92 13.110 2824.80 3220.71 12.488 2670.44 3029.27
15 14.939 2646.90 2986.24 13.590 2842.06 3215.76 12.850 2694.90 3078.03
16 13.436 3569.32 3862.17 13.686 3092.56 3459.16 12.760 2887.81 3247.57
17 12.460 2842.80 3249.67 12.819 2933.60 3322.50 12.185 2733.75 3109.86
18 13.838 2452.38 2768.49 12.578 2456.44 2814.27 12.058 2379.70 2751.79
μ 12.755 2768.61 3145.74 12.857 2755.71 3160.90 12.307 2631.91 3023.18
σ 0.863 247.14 249.57 0.520 150.58 152.91 0.402 120.26 121.46
μ-2.σ 11.028 2274.32 2646.60 11.816 2454.55 2855.09 11.503 2391.39 2780.26
μ+2.σ 14.481 3262.89 3644.88 13.898 3056.87 3466.72 13.111 2872.43 3266.11
VMP 11.90 2555.37 2786.70 11.90 2555.37 2786.70 11.90 2555.37 2786.70
MODELO DE WEIBULL-Mom
SÉRIE
2400 seg. 4800 seg. 6000 seg.
155
Tabela A.4.4-7 - Parâmetros de resposta do processo - modelo de Weibull-3Psk
DX CORT EST CORT DIN DX CORT EST CORT DIN DX CORT EST CORT DIN
1 14.027 3042.24 3334.43 13.116 2763.52 3067.62 12.573 2638.04 2927.10
2 13.919 2985.45 3255.70 13.012 2756.07 3028.24 12.571 2654.86 2917.61
3 12.057 2447.74 2743.22 11.898 2422.56 2707.27 11.474 2339.15 2610.43
4 12.279 2674.23 2931.08 13.019 2757.31 3042.38 12.599 2646.42 2925.92
5 12.892 2825.58 3138.27 13.398 2613.78 2903.78 13.073 2545.95 2827.78
6 11.681 2733.90 3014.04 11.724 2587.54 2878.54 11.425 2532.03 2823.38
7 12.909 2482.08 2802.04 12.583 2522.19 2830.29 12.343 2481.14 2774.60
8 12.198 2518.03 2808.11 12.322 2685.63 2992.04 12.061 2617.52 2908.95
9 12.793 2742.87 3004.32 12.836 2679.62 2975.97 12.428 2589.63 2883.96
10 14.212 2827.42 3238.71 13.775 2778.47 3159.86 13.292 2688.50 3055.90
11 12.077 2451.45 2748.43 12.615 2591.26 2906.41 12.180 2487.88 2800.21
12 14.541 3046.61 3397.10 13.978 2918.38 3253.16 13.541 2839.13 3152.48
13 12.075 2696.30 2983.06 12.979 2806.46 3097.13 12.477 2721.32 3011.02
14 12.253 2541.99 2804.10 13.138 2716.79 3019.81 12.701 2617.88 2903.63
15 16.817 2539.99 2815.46 14.807 2716.70 3035.07 14.103 2631.91 2933.64
16 13.424 3780.91 4022.71 13.736 3275.56 3509.31 13.134 3109.40 3332.63
17 12.526 2670.14 3030.51 13.106 2851.96 3153.75 12.614 2729.19 3019.03
18 13.694 2513.45 2753.02 12.555 2521.15 2759.99 12.218 2435.16 2676.80
μ 13.132 2751.13 3045.80 13.033 2720.28 3017.81 12.600 2628.06 2915.84
σ 1.260 322.49 322.13 0.743 187.28 186.40 0.665 167.95 166.42
μ-2.σ 10.611 2106.15 2401.54 11.546 2345.71 2645.00 11.271 2292.15 2582.99
μ+2.σ 15.652 3396.11 3690.05 14.520 3094.84 3390.62 13.930 2963.97 3248.68
VMP 11.90 2555.37 2786.70 11.90 2555.37 2786.70 11.90 2555.37 2786.70
MODELO DE WEIBULL-3Psk
SÉRIE
2400 seg. 4800 seg. 6000 seg.
156
Tabela A.4.4-8 - Parâmetros de resposta do processo - modelo de Weibull-3Pku
DX CORT EST CORT DIN DX CORT EST CORT DIN DX CORT EST CORT DIN
1 13.645 2982.18 3249.11 12.724 2743.60 3000.11 12.260 2641.47 2884.49
2 13.373 2928.62 3147.72 12.589 2725.70 2946.61 12.209 2644.11 2855.55
3 11.490 2395.55 2628.39 11.226 2348.92 2565.08 10.898 2281.14 2492.77
4 11.768 2657.14 2872.75 12.302 2752.01 2995.69 12.019 2654.18 2891.03
5 12.369 2706.36 2969.94 12.764 2537.33 2780.86 12.490 2475.38 2715.23
6 11.502 2696.22 2934.66 11.505 2534.94 2785.17 11.184 2479.64 2728.05
7 12.546 2370.27 2639.42 12.145 2408.23 2667.32 11.899 2367.85 2617.84
8 11.489 2410.19 2679.92 11.618 2538.25 2817.50 11.387 2497.10 2763.46
9 12.287 2675.78 2890.20 12.192 2594.20 2833.55 11.876 2521.40 2760.94
10 14.084 2788.14 3198.88 13.421 2725.30 3075.53 13.009 2647.79 2984.82
11 11.373 2337.21 2586.29 11.844 2431.22 2712.08 11.507 2363.03 2633.81
12 14.010 3001.34 3294.90 13.443 2863.18 3148.43 13.071 2787.51 3059.90
13 11.489 2585.75 2851.15 12.344 2684.14 2946.75 11.951 2619.37 2878.49
14 11.610 2463.32 2670.95 12.354 2619.87 2875.79 12.028 2542.60 2784.01
15 16.544 2393.17 2648.88 14.748 2553.71 2841.17 14.153 2497.44 2769.66
16 12.723 3764.25 3968.51 12.986 3334.62 3519.71 12.549 3193.28 3371.74
17 12.174 2507.52 2853.20 12.810 2725.42 2981.57 12.380 2636.88 2883.47
18 12.886 2527.10 2726.32 11.975 2523.86 2726.40 11.698 2441.55 2641.27
μ 12.631 2677.23 2933.96 12.500 2646.92 2901.07 12.143 2571.76 2817.58
σ 1.327 343.29 342.58 0.828 219.09 214.36 0.761 200.12 195.76
μ-2.σ 9.977 1990.65 2248.79 10.843 2208.74 2472.35 10.620 2171.52 2426.07
μ+2.σ 15.285 3363.81 3619.13 14.156 3085.10 3329.79 13.665 2972.01 3209.10
VMP 11.90 2555.37 2786.70 11.90 2555.37 2786.70 11.90 2555.37 2786.70
MODELO DE WEIBULL-3Pku
SÉRIE
2400 seg. 4800 seg. 6000 seg.
157
Tabela A.4.4-9 - Parâmetros de resposta do processo - modelo de Weibull-Tail
DX CORT EST CORT DIN DX CORT EST CORT DIN DX CORT EST CORT DIN
1 15.297 3430.46 3699.29 14.070 2895.00 3247.23 13.256 2703.78 3029.14
2 15.777 3322.05 3684.75 13.974 2893.14 3230.37 13.275 2747.28 3051.35
3 13.393 2722.34 3029.58 13.051 2573.17 2898.13 12.349 2450.90 2766.11
4 13.735 2902.51 3155.22 14.690 2869.65 3167.49 13.799 2717.06 3018.19
5 14.604 3164.42 3576.16 14.964 2748.51 3112.93 14.458 2680.78 3027.22
6 12.500 2974.34 3317.88 12.198 2738.83 3066.07 11.889 2675.45 3015.53
7 14.230 2794.23 3253.91 13.591 2740.93 3154.63 13.282 2711.16 3095.88
8 14.137 2718.12 3133.11 13.798 2928.80 3362.94 13.453 2853.60 3220.09
9 14.213 3044.44 3364.43 14.313 2852.64 3260.24 13.605 2721.25 3121.89
10 14.758 3100.47 3478.57 14.721 2929.06 3371.70 13.962 2797.28 3211.16
11 13.868 2713.52 3084.08 14.235 2801.29 3244.74 13.488 2660.77 3071.96
12 16.636 3410.19 3894.78 15.264 3125.86 3543.19 14.654 3031.96 3410.10
13 13.664 2986.69 3408.98 14.435 3035.49 3424.00 13.719 2920.41 3300.45
14 14.026 2751.67 3104.53 15.077 2893.88 3296.32 14.248 2760.58 3147.73
15 18.255 2837.44 3217.03 15.665 2948.61 3420.10 14.518 2864.43 3273.98
16 15.701 4092.56 4474.77 15.563 3326.95 3719.28 14.463 3080.47 3425.48
17 13.576 3013.53 3506.53 13.769 3129.26 3536.87 13.123 2938.71 3318.81
18 16.042 2613.22 2912.17 13.614 2578.05 2842.66 13.157 2467.84 2744.82
μ 14.690 3032.90 3405.32 14.277 2889.40 3272.16 13.594 2765.76 3124.99
σ 1.382 359.72 373.77 0.888 188.48 220.61 0.740 165.92 188.44
μ-2.σ 11.926 2313.47 2657.77 12.500 2512.43 2830.95 12.114 2433.92 2748.11
μ+2.σ 17.453 3752.34 4152.87 16.054 3266.36 3713.37 15.075 3097.61 3501.88
VMP 11.90 2555.37 2786.70 11.90 2555.37 2786.70 11.90 2555.37 2786.70
MODELO DE WEIBULL-Tail
SÉRIE
2400 seg. 4800 seg. 6000 seg.
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