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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
MODELAGEM DETERMINÍSTICO-ESTOCÁSTICA
DA DINÂMICA DE SEDIMENTOS EM RESERVATÓRIOS
DE ÁGUA E DE REJEITOS DE MINERAÇÃO
JOÃO PAULO LAQUINI
Doctor Scientiae
VIÇOSA
MINAS GERAIS – BRASIL
2009
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JOÃO PAULO LAQUINI
MODELAGEM DETERMINÍSTICO-ESTOCÁSTICA
DA DINÂMICA DE SEDIMENTOS EM RESERVATÓRIOS
DE ÁGUA E DE REJEITOS DE MINERAÇÃO
Tese apresentada à Universidade
Federal de Viçosa, como parte das
exigências do Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil, para
obtenção do título de
Doctor Scientiae
.
VIÇOSA
MINAS GERAIS – BRASIL
2009
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JOÃO PAULO LAQUINI
MODELAGEM DETERMINÍSTICO-ESTOCÁSTICA
DA DINÂMICA DE SEDIMENTOS EM RESERVATÓRIOS
DE ÁGUA E DE REJEITOS DE MINERAÇÃO
Tese apresentada à Universidade
Federal de Viçosa, como parte das
exigências do Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil, para
obtenção do título de
Doctor Scientiae
.
APROVADA: 27 de março de 2009.
________________________________
Profª. Izabel Christina d’A.
Duarte de Azevedo
(Coorientadora)
___________________________________
Prof. Lúcio Flávio de Souza Villar
________________________________
Prof. Nilo César Consoli
___________________________________
Prof. Eurípedes do Amaral Vargas
Júnior
_______________________________________
Prof. Roberto Francisco de Azevedo
(Orientador)
ii
Aos meus pais, Zeli e Pedro, aos meus
avós, Aristides e Almerinda, aos meus irmãos,
Joseli, Josiara e Pedro Cesár, e aos meus
sobrinhos, Igor, Iago, Augusto, Helena e
Ângelo. Ao meu amor!
iii
“As melhores e as mais belas coisas da vida
não se pode ver, nem tocá-las: elas devem ser
sentidas com o coração.”
Charles Chaplin
iv
Agradecimentos
A Deus, em cuja fé sustento meus trabalhos e devoto minhas aspirações.
À minha família, meu porto seguro, que sempre caminhou ao meu lado
nessa jornada.
Ao meu orientador e amigo, Prof.º Roberto, que acreditou em mim, me
ensinou muito do que sei e foi presença constante e dedicada ao longo desses
anos.
À Prof.ª Izabel, que acompanhou de perto meu trabalho, esteve sempre
disponível e contribuiu na revisão do texto desta tese.
À Profª. Christianne, pela valiosa contribuição com os artigos, ao abrir
as portas dos jornais e revistas internacionais e pela revisão da tese.
Aos mestres, que transmitiram seus conhecimentos, que colaboraram na
minha formação e pela amizade construída.
Aos amigos, que sempre foram um refúgio nas horas difíceis e não me
deixaram esquecer que eu era um ser humano.
A todos os colegas que torceram por mim e sempre me incentivaram. Aos
colegas da pós-graduação que dividiram comigo os bons e os maus momentos,
os desafios e as conquistas.
Ao Coral da UFV, que me proporcionou momentos de descontração,
inspiração e musicalidade, além das viagens inesquecíveis.
Ao Departamento de Engenharia Civil da UFV, que me deu todo o
suporte necessário à realização do meu trabalho e aos seus funcionários e
professores sempre dispostos a ajudar.
À Universidade Federal de Viçosa, que desde 1999 é a grande
responsável pela minha formação profissional e intelectual, da qual sempre me
orgulhei em ser acadêmico.
A Capes, que durante estes anos fomentou o meu doutoramento com a
bolsa.
v
Biografia
JOÃO PAULO LAQUINI, filho de Pedro José Laquini e Maria Zeli
Venturim Laquini, nasceu no dia 06 de Dezembro de 1980, na cidade de
Castelo, Espírito Santo.
Em 1997, concluiu o ensino médio na Escola de 2º Grau Emílio Nemer,
em Castelo, ES.
Em 1999, iniciou o curso de Engenharia Civil na Universidade Federal
de Viçosa, na cidade de Viçosa, Minas Gerais, concluindo-o em janeiro de 2004.
Durante a graduação, desenvolveu trabalhos de iniciação científica, realizou
estágios e deu aulas de tutoria.
Em março de 2004, ingressou no Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Civil da Universidade Federal de Viçosa, nível de Mestrado,
atuando na linha de pesquisa Geotecnia Analítica e Experimental. Em abril de
2005, foi admitido no nível de Doutorado sem a defesa da dissertação de
Mestrado. Obteve a qualificação em 16 de Julho de 2008 e, em 27 de Março de
2009, defendeu a Tese de Doutorado.
vi
Lista de Símbolos
, ,
dimensões ortogonais maior, média e menor,
respectivamente, da partícula de sedimento
, , , ,
coeficientes da equação de continuidade discretizada do
modelo hidrodinâmico
velocidade da onda característica das equações de Saint-
Venant
, , , , , ,
coeficientes da equação de transporte de sedimentos
discretizada
, ,
diâmetro médio da classe de tamanho de sedimento,
diâmetro de referência da fórmula de Han
et al
. (1981)
para porosidade do material do leito e, diâmetro do
material do leito no qual 50% do material é mais fino em
peso, respectivamente
, , ,
parâmetros para gerar números aleatórios
uniformemente distribuídos no intervalo [0,1]
comprimento do volume de controle elementar de um
canal
, ,
índice de vazios, índice de vazios para tensão efetiva nula
e, índice de vazios de referência, respectivamente
, ,
vetor de índice de vazios, vetor da derivada do índice de
vazios com o tempo discretizada e, vetor de índice de
vazios implícito no tempo, respectivamente
fator de atrito da fórmula modificada de Engelund e
Hansen (1967) para capacidade de transporte
, ,
coeficientes da equação de deformação do leito
discretizada
, , , ,
coeficientes da equação de quantidade de movimento
discretizada do modelo hidrodinâmico
aceleração da gravidade e, coeficiente de adensamento
, , ,
profundidade do escoamento, altura de sedimentos
depositados, altura de água acima do topo da camada e,
altura total de sólidos na camada, respectivamente
profundidade do reservatório correspondente à elevação
do depósito de sedimento junto à barragem
número do passo no espaço
vii
classe de tamanho de sedimento
, ,
permeabilidade, permeabilidade reduzida adimensional e,
permeabilidade de referência, respectivamente
tamanho da amostra
, ,
número do passo no tempo, de classes de tamanho de
sedimento e, de subseções, respectivamente
,
coeficiente de Manning total e, devido à rugosidade do
grão do leito, respectivamente
porosidade do material do leito
, ,
porcentagem, por classe de tamanho de sedimento, do
material do leito na camada de mistura, na camada de
sub-superfície e, na camada de mistura ou de sub-
superfície, respectivamente
,
probabilidade de escondimento e de exposição das
partículas do material do leito, respectivamente
fluxo de água no meio poroso
,
vazão lateral de água e, de sedimentos, por unidade de
comprimento do canal, respectivamente
, ,
capacidade de transporte, por unidade de largura do
canal, para a carga de leito, carga em suspensão e carga
de material de leito, respectivamente
taxa de deposição de sólidos
recalque
, ,
excesso de poro-pressão, poro-pressão total e, poro-
pressão hidrostática, respectivamente
velocidade de cisalhamento do leito
velocidade de queda das partículas
,
posição no tempo e no espaço, respectivamente
,
parâmetro estocástico
,
coordenada da superfície da água e, do leito, em relação
ao referencial, respectivamente
resposta de um problema estocástico
coordenada reduzida para o adensamento e, número
aleatório uniformemente distribuído no intervalo [0,1]
área de escoamento da seção transversal, coeficiente da
equação do adensamento discretizada e, parâmetro da lei
de compressibilidade do solo
viii
área correspondente à elevação do depósito de sedimento
junto à barragem
,
área de sedimento depositado no leito e, de material do
leito na camada de mistura, respectivamente
largura da seção transversal na superfície da água,
coeficiente da equação do adensamento discretizada e,
parâmetro da lei de compressibilidade do solo
coeficiente da equação do adensamento discretizada e,
parâmetro da lei de permeabilidade do solo
, ,
índice de compressão, coeficiente de permeabilidade,
número de Courant e, concentração de sedimentos média
da seção, respectivamente
parâmetro da lei de permeabilidade do solo
função de distribuição de probabilidade acumulada
número de Froude
fração da classe de tamanho dos sedimentos em
suspensão que entram no sistema
função inversa de
lei de compressibilidade
matriz identidade
fator de transporte
distância de adaptação para o transporte de sedimento
em condições de não-equilíbrio
, ,
distância de adaptação para a carga de leito, para a carga
em suspensão e, para a carga de lavagem,
respectivamente
número de seções transversais e, de pontos da malha de
diferenças finitas para o adensamento
perímetro molhado
,
raio hidráulico do leito do canal e, total do canal,
respectivamente
,
coeficientes da relação linear entre e
parcela da inclinação da linha de energia causada pelo
atrito
fator de forma
temperatura da água
, ,
vazão de água, de sedimentos que entram no sistema e,
ix
de sedimentos total, respectivamente
,
capacidade de transporte de sedimento e, capacidade de
transporte potencial, respectivamente
,
velocidade média do escoamento e, do sedimento,
respectivamente
,
volume de sedimentos abaixo de uma determinada
profundidade e, volume do reservatório correspondente à
elevação do depósito de sedimento junto à barragem,
respectivamente
coordenada reduzida adimensional
parâmetro da lei de compressibilidade do solo
coeficiente de adaptação em condição de não-equilíbrio,
coordenada Lagrangeana e, parâmetro que define a forma
da distribuição beta
coeficiente de Corolis, matriz tri-diagonal da equação de
adensamento discretizada e, parâmetro que define a
forma da distribuição beta
coeficiente que corrige a diferença entre as velocidades do
escoamento e do sedimento
,
espessura da camada de mistura e, da camada de água
aderida às partículas de sedimento, respectivamente
número normalmente distribuído com média zero e
variância um
,
peso específico da água
peso específico dos sólidos
fator de correção para o efeito da exposição e do
escondimento das partículas
constante universal de von Karman
,
média e desvio padrão, respectivamente
, ,
fatores de ponderação temporal, espacial e, espacial para
a inclinação da linha de energia quando a profundidade
do fluxo é pequena, respectivamente
densidade do fluido e, coeficiente de correlação
, ,
tensão total, tensão efetiva e, tensão efetiva de referência,
respectivamente
, ,
tensão cisalhante total no canal (incluindo leito e
margens), no leito, crítica e, no leito, respectivamente
viscosidade cinemática da água
x
coordenada Euleriana
fator de ponderação no tempo para o adensamento
símbolo que denota incremento e, altura da duna de areia
*
símbolo que denota o valor da variável no último passo da
iteração
xi
Lista de Figuras
Figura 1 – O processo de geração de sedimentos. Fonte: Campos (2001). .......... 9
Figura 2 – A composição do transporte de sedimentos. Fonte: Campos
(2001). .............................................................................................. 11
Figura 3 – Representação da deposição de sedimentos em reservatórios.
Fonte: Lopez (1978). ........................................................................ 12
Figura 4 – Quantidades médias de minerais e rejeitos gerados pela
indústria de mineração. Fonte: Abrão (1987). ................................ 13
Figura 5 – Estágios da deposição de sedimentos. Fonte: Imai (1981). .............. 15
Figura 6 – Esquematização do volume de controle num canal natural. ........... 28
Figura 7 – Configuração da célula computacional. ............................................ 32
Figura 8 – Configuração da rede de canais. ....................................................... 40
Figura 9 – Representação da seção transversal. ................................................ 41
Figura 10 – Configuração de uma confluência. .................................................. 44
Figura 11 – Modelo de múltiplas camadas para a gradação do material
do leito. Fonte: Wu
et al
. (2004). ..................................................... 51
Figura 12 – Métodos de distribuição lateral de sedimentos: (a)
distribuição horizontal; (b) distribuição uniforme; e, (c)
distribuição proporcional à profundidade do escoamento. ............. 70
Figura 13 – Diferentes tipos de sistemas de coordenadas (camada de
espessura constante). Fonte: Azevedo e Sado (1990). .................... 74
Figura 14 – Fluxograma do acoplamento do adensamento aos outros
modelos. ........................................................................................... 86
Figura 15 – Amostragem hipercubo latino. Fonte: Salas e Shin (1999). ........... 91
Figura 16 – Baixo Rio Colorado, desde a Barragem Glen Canyon até o
Golfo da Califórnia. Fonte: Lopez (1978). ....................................... 96
Figura 17 – Esquema da área de estudo mostrando as seções
transversais. Fonte: Lopez (1978). .................................................. 97
Figura 18 – Seções transversais iniciais e subseções para o modelo
geométrico. ....................................................................................... 99
xii
Figura 19 – Curvas granulométricas dos sedimentos em suspensão na
estação Taylor’s Ferry. .................................................................. 107
Figura 20 – Curvas granulométricas do material do leito coletado
próximo à estação Taylor’s Ferry. ................................................. 107
Figura 21 – Hidrógrafa de níveis d’água na Barragem Imperial para o
período 1938-1943. ........................................................................ 109
Figura 22 – Vazão de água média mensal na estação Taylor’s Ferry
para o período 1938-1943. ............................................................. 109
Figura 23 – Carga de sedimentos média mensal em Taylor’s Ferry para
o período 1938-1943. ...................................................................... 110
Figura 24 – Perfil da superfície da água e perfil médio do leito entre
Taylor’s Ferry e a Barragem Imperial, em 1938. ......................... 114
Figura 25 – Relação entre a área de sedimento depositado, calculada e
observada, por seção, no ano de 1943. .......................................... 115
Figura 26 – Mudanças nas seções transversais do Rio Colorado entre
Taylor’s Ferry e a Barragem Imperial após 5 anos de
simulação. ...................................................................................... 116
Figura 27 – Volume de sedimentos depositado ao longo do tempo entre
Taylor’s Ferry e a Barragem Imperial. ......................................... 120
Figura 28 – Perfil da superfície da água entre as seções 4 e 23 para
uma condição de escoamento de pequena intensidade (maio
de 1940). ......................................................................................... 121
Figura 29 – Perfil da superfície da água entre as seções 4 e 23 para
uma condição de escoamento de intensidade média
(outubro de 1942). .......................................................................... 121
Figura 30 – Perfil da superfície da água entre as seções 4 e 23 para
uma condição de escoamento de intensidade elevada
(janeiro de 1942). ........................................................................... 122
Figura 31 – Perfil médio do leito obtido ao longo do tempo. ............................ 122
Figura 32 – Perfil médio do leito ao longo do tempo com as respectivas
elevações do nível d’água na Barragem Imperial. ....................... 123
Figura 33 – Taxa de sedimentação com o tempo acima da Barragem
Imperial. ........................................................................................ 125
Figura 34 – Variação com o tempo das curvas granulométricas do
sedimento depositado calculadas em diferentes seções. .............. 127
xiii
Figura 35 – Variação espacial das curvas granulométricas do material
depositado calculadas em diferentes instantes. ........................... 129
Figura 36 – Granulometria do material do leito entre Taylor’s Ferry e a
Barragem Imperial, em 1943. ....................................................... 130
Figura 37 – Localização e vista aérea do reservatório de rejeitos de
bauxita de Marzagão, Saramenha, Ouro Preto, Minas
Gerais, em 2007. ............................................................................ 132
Figura 38 – Informações gerais sobre a barragem de Marzagão. Fonte:
Villar (1990). .................................................................................. 133
Figura 39 – Quantidade de sólidos lançados na barragem de Marzagão
entre 1974 e 1984. Fonte: Villar (1990). ....................................... 133
Figura 40 – Distribuição granulométrica do rejeito de bauxita. Fonte:
Consoli (1991). ............................................................................... 134
Figura 41 – Vista topográfica, em planta, do reservatório de Marzagão
em Novembro de 1984 e localização das seções
transversais. .................................................................................. 136
Figura 42 – Comparação entre o perfil de deposição de rejeito obtidos
no campo e numericamente em Setembro de 1989. ..................... 138
Figura 43 – Planta topográfica do reservatório obtida numericamente
em Setembro de 1989. ................................................................... 140
Figura 44 – Planta topográfica do reservatório observada em campo em
Setembro de 1989. ......................................................................... 140
Figura 45 – Progresso da deposição média de rejeitos com o tempo. .............. 142
Figura 46 – Comparação entre a distribuição de índice de vazios obtida
numericamente e em campo para a seção 12 em 1989. ............... 142
Figura 47 – Perfis de excesso de poro-pressão, tensão efetiva, poro-
pressão total e hidrostática e de tensão total ao longo da
profundidade na seção 12. ............................................................. 142
Figura 48 – Reservatório John Martin, Bent County, Colorado, EUA. .......... 144
Figura 49 – Perfis transversais do reservatório John Martin. Fonte:
Soares (1982). ................................................................................ 144
Figura 50 – Seções transversais, reservatório John Martin. ........................... 145
Figura 51 – Histograma e distribuição de probabilidade para os
volumes de água anuais afluentes. ............................................... 150
xiv
Figura 52 – Histograma e distribuição de probabilidade para a
concentração de sedimentos afluentes anuais. ............................ 150
Figura 53 – Distribuição de probabilidade para os níveis d’água na
barragem John Martin. ................................................................. 151
Figura 54 – Histograma dos 24.000 números de vazões de água
afluentes gerados pela técnica de amostragem hipercubo
latino. ............................................................................................. 153
Figura 55 – Histograma dos 24.000 números de vazões de sedimentos
afluentes gerados pela técnica de amostragem hipercubo
latino. ............................................................................................. 153
Figura 56 – Histograma dos 24.000 números de elevações do nível
d’água na barragem gerados pela técnica de amostragem
hipercubo latino. ............................................................................ 154
Figura 57 – Algumas estatísticas ao longo do tempo de análise obtidas
a partir dos 1000 cenários determinísticos para a vazão de
água afluente. ................................................................................ 155
Figura 58 – Algumas estatísticas ao longo do tempo de análise obtidas
a partir dos 1000 cenários determinísticos para a vazão de
sedimentos afluente. ..................................................................... 155
Figura 59 – Algumas estatísticas ao longo do tempo de análise obtidas
a partir dos 1000 cenários determinísticos para a elevação
do nível d’água na barragem. ........................................................ 156
Figura 60 – Valores da área de sedimentos depositados obtidos pelas
1000 simulações de Monte Carlo, por seção transversal, e
convergência da média e do desvio padrão. .................................. 157
Figura 61 – Histograma, distribuição de probabilidade e densidade
acumulada para a área de sedimentos depositados após 24
anos, por seção transversal. .......................................................... 159
Figura 62 – Geometria das seções obtidas pela simulação de Monte
Carlo e medida em campo, em 1966. ............................................ 161
Figura 63 – Avanço do assoreamento com o tempo em cada seção
transversal. .................................................................................... 164
Figura 64 – Comparação da sensibilidade dos parâmetros estocásticos
a partir dos coeficientes CCS e CCP, por seção transversal. ....... 166
xv
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Principais modelos matemáticos e suas características. ................. 23
Tabela 2 – Localização das seções transversais no trecho de estudo. ............. 108
Tabela 3 – Classes de tamanho de partículas dos sedimentos que
entram no sistema. ........................................................................ 110
Tabela 4 – Fração, por classe de tamanho, dos sedimentos que entram
no sistema. ..................................................................................... 111
Tabela 5 – Fração inicial, por classe de tamanho, do material do leito........... 112
Tabela 6 – Coeficientes de Manning para o trecho entre Taylor’s Ferry
e a Barragem Imperial. ................................................................. 113
Tabela 7 – Parâmetros de compressibilidade e permeabilidade do
rejeito de bauxita. .......................................................................... 135
Tabela 8 – Distância entre as seções transversais da barragem de
Marzagão. ...................................................................................... 135
Tabela 9 – Composição dos sedimentos no reservatório John Martin............. 146
Tabela 10 – Dados anuais de volumes de água e de sedimentos
afluentes e da concentração de sedimentos no reservatório
John Martin. .................................................................................. 149
Tabela 11 – Principais estatísticas da simulação de Monte Carlo para a
área de sedimento depositado por seção transversal. .................. 158
Tabela 12 – Resultados da análise de sensibilidade dos parâmetros
estocásticos a partir dos coeficientes CCS e CCP, por seção
transversal. .................................................................................... 166
xvi
Resumo
LAQUINI, João Paulo, D.Sc., Universidade Federal de Viçosa, Março de 2009.
Modelagem determinístico-estocástica da dinâmica de sedimentos em
reservatórios de água e de rejeitos de mineração
.
Orientador: Roberto
Francisco de Azevedo. Coorientadores: Izabel Christina d’ Almeida Duarte de
Azevedo e Christianne de Lyra Nogueira.
Os sedimentos transportados por um rio provocam o assoreamento de
reservatórios de água, reduzindo sua capacidade de armazenar água e
prejudicando o seu funcionamento. Reservatórios de rejeitos, no entanto, são
criados para armazenar o material descartado de processos de mineração.
Qualquer que seja a função do reservatório é fundamental estimar o processo
de acúmulo de sedimentos ao longo do tempo. Para tanto, desenvolveu-se um
modelo matemático determinístico quase-tridimensional capaz de representar
os fenômenos físicos envolvidos no processo de acúmulo de sedimentos em
reservatórios: o transporte, a deposição, a erosão e o adensamento dos
sedimentos. O modelo considera a variação granulométrica dos sedimentos que
entram no reservatório e dos que são depositados. Por meio de uma rede de
canais, o modelo permite simular o aporte de sedimentos que entram no
reservatório em diferentes pontos ao longo de seu comprimento. O modelo
hidrodinâmico é resolvido pelo esquema de Preissmann e pelo método da
varredura dupla, num esquema incremental-iterativo. O modelo de sedimentos
é resolvido pelo método das diferenças finitas implícito e por um método
acoplado direto. O modelo de adensamento com grandes deformações também é
resolvido por diferenças finitas implícito no tempo e um processo iterativo, e
então acoplado aos modelos hidrodinâmico e de sedimentos. O caráter
estocástico do enchimento de reservatórios é simulado através do método de
Monte Carlo e da técnica de amostragem hipercubo latino. O modelo
desenvolvido foi implementado em um programa de computador ao qual se deu
o nome de SimSed. Um reservatório de água é simulado deterministicamente,
xvii
mostrando que o modelo consegue prever com sucesso o assoreamento. O
enchimento de uma barragem de rejeitos de bauxita é analisado pelo modelo,
que prevê satisfatoriamente o processo. Por fim, analisou-se outro reservatório
de água através do método de Monte Carlo, obtendo-se respostas que foram
satisfatoriamente analisadas com o modelo estocástico.
xviii
Abstract
LAQUINI, João Paulo, D.Sc., Universidade Federal de Viçosa, March of 2009.
Deterministic-stochastic modeling of sediments dynamics in water and mining
tailings reservoirs
.
Adviser: Roberto Francisco de Azevedo. Co-advisers: Izabel
Christina d’ Almeida Duarte de Azevedo and Christianne de Lyra Nogueira.
Sediments transported by rivers accumulate into water reservoirs,
reducing their water storage capacity and prejudicing their operation. Tailing
reservoirs, however, are built to store waste of mining processes. No matter
what is the reservoir function, it is fundamental to estimate the sediment
deposition along time. Therefore, a quasi-tridimensional deterministic
mathematical model was developed to represent the physical phenomena
involved on the sediment filling process in a reservoir: transport, deposition
erosion and consolidation of sediments. The model considers the grain-size
distribution of the inflow and deposited sediments. Through a network channel
delineation, the model allows simulating the sediment inflow contribution
from tributaries entering any place along the reservoir. The hydrodynamics
model is solved by the Preissmann scheme and the double-sweep algorithm,
through an incremental-iterative scheme. The sediment model is solved by an
implicit finite difference scheme and a direct-coupled method. The finite strain
consolidation model is also solved with an implicit finite difference scheme in
time and an iterative procedure and then it is coupled to the hydrodynamics
and sediment models. The stochastic character of the silting up of reservoirs is
simulated through the Monte Carlo and the Latin hypercube sampling
methods. The developed model was implemented in a computer program
named SimSed. A water reservoir is deterministically simulated, showing that
the model predicts successfully the silting up. The filling of a bauxite red mud
tailing reservoir is analyzed by the model, which satisfactorily calculates the
process. Finally, another water reservoir was analyzed by the Monte Carlo
xix
method, providing answers that were satisfactorily analyzed by the stochastic
model.
xx
Conteúdo
1. Introdução ........................................................................................................ 1
2. Revisão de Literatura...................................................................................... 7
2.1. Características do sedimento ............................................................... 7
2.2. Transporte de sedimentos .................................................................... 9
2.3. Sedimentação em reservatórios ......................................................... 11
2.3.1. Reservatórios de rejeitos de mineração ............................... 13
2.3.2. Sedimentação em reservatórios de água como um
processo estocástico .............................................................. 15
2.4. Modelos para simular a dinâmica de sedimentos em
reservatórios ....................................................................................... 17
2.4.1. Modelos empíricos ................................................................ 17
2.4.2. Modelos matemáticos ........................................................... 18
2.4.3. Modelos estocásticos ............................................................ 22
2.5. Adensamento dos sedimentos depositados ........................................ 24
2.5.1. Modelos matemáticos para simular o adensamento ........... 24
3. Modelo Hidrodinâmico Unidimensional ....................................................... 26
3.1. Equações de Saint-Venant.................................................................. 27
3.1.1. Equação da continuidade ..................................................... 27
3.1.2. Equação de quantidade de movimento................................ 28
3.2. Discretização das equações governantes ........................................... 30
3.3. Esquema incremental-iterativo .......................................................... 33
3.4. Algoritmo da varredura dupla ............................................................ 38
3.5. Delineamento da rede de canais ........................................................ 39
3.6. Condições iniciais e de contorno ......................................................... 41
3.6.1. Condições iniciais ................................................................. 41
3.6.2. Condições de contorno .......................................................... 42
3.7. Estabilidade numérica ........................................................................ 45
3.8. Tratamentos suplementares .............................................................. 46
3.8.1. Propriedades hidráulicas ..................................................... 46
3.8.2. Profundidade do escoamento pequena ................................ 46
xxi
3.8.3. Escoamento subcrítico, crítico e supercrítico ...................... 47
4. Modelo de Sedimentos ................................................................................... 49
4.1. Equações governantes ........................................................................ 49
4.2. Discretização das equações governantes ........................................... 52
4.3. Solução das equações algébricas ........................................................ 55
4.4. Condições iniciais e de contorno ......................................................... 57
4.4.1. Condições iniciais ................................................................. 57
4.4.2. Condições de contorno .......................................................... 58
4.5. Estabilidade numérica ........................................................................ 58
4.6. Fórmulas empíricas complementares ................................................ 59
4.6.1. Velocidade de queda das partículas de sedimento .............. 59
4.6.2. Capacidade de transporte de sedimentos............................ 60
4.6.3. Porosidade do material do leito ........................................... 63
4.6.4. Distância de adaptação ........................................................ 65
4.6.5. Delimitação da carga de lavagem ........................................ 68
4.6.6. Espessura da camada de mistura ....................................... 69
4.6.7. Distribuição lateral dos sedimentos .................................... 69
4.6.8. Elevação média do leito ....................................................... 70
5. Modelo de Adensamento Unidimensional .................................................... 71
5.1. Sistemas de coordenadas .................................................................... 72
5.2. Equação do adensamento unidimensional com grandes
deformações ......................................................................................... 74
5.3. Solução numérica da equação de adensamento ................................. 77
5.4. Condições inicial e de contorno .......................................................... 79
5.4.1. Condição inicial .................................................................... 79
5.4.2. Condições de contorno .......................................................... 80
5.5. Relações constitutivas ........................................................................ 80
5.5.1. Relação de compressibilidade .............................................. 81
5.5.2. Relação de permeabilidade .................................................. 81
5.6. Equações adicionais ............................................................................ 82
5.7. Modelo de adensamento acoplado aos modelos hidrodinâmico
e de sedimentos ................................................................................... 83
6. Método de Monte Carlo ................................................................................. 87
xxii
6.1. Geração de parâmetros estocásticos .................................................. 90
6.2. Método de amostragem hipercubo latino ........................................... 91
6.3. Dependência entre parâmetros estocásticos ...................................... 92
6.4. Análise de sensibilidade dos parâmetros estocásticos ...................... 93
7. Resultados e Discussão ................................................................................. 95
7.1. Simulação determinística de um reservatório de água ..................... 95
7.1.1. Descrição .............................................................................. 95
7.1.2. Dados disponíveis ................................................................. 98
7.1.3. Modelo computacional ....................................................... 108
7.1.4. Resultados da simulação.................................................... 115
7.2. Simulação determinística de um reservatório de rejeitos de
mineração .......................................................................................... 131
7.2.1. Descrição do reservatório e dados disponíveis para a
análise ................................................................................ 131
7.2.2. Resultados da simulação.................................................... 137
7.3. Simulação de Monte Carlo de um reservatório de água.................. 143
7.3.1. Definição dos parâmetros determinísticos ........................ 146
7.3.2. Definição dos parâmetros estocásticos .............................. 147
7.3.3. Geração dos parâmetros estocásticos ................................ 151
7.3.4. Resultados da análise de Monte Carlo .............................. 154
8. Conclusões e Sugestões ............................................................................... 168
8.1. Conclusões ......................................................................................... 168
8.1.1. Quanto ao modelo numérico .............................................. 168
8.1.2. Quanto à análise determinística do reservatório de
água .................................................................................... 169
8.1.3. Quanto à análise determinística do enchimento da
barragem de rejeitos de mineração ................................... 171
8.1.4. Quanto à análise determinístico-estocástica do
reservatório de água .......................................................... 172
8.2. Sugestões para trabalhos futuros .................................................... 174
9. Bibliografia .................................................................................................. 175
1
Capítulo 1
Introdução
1. Introdução
Reservatórios podem ser construídos para diversas finalidades, como
abastecimento de água, irrigação, geração de energia, controle de enchentes,
recreação e, ainda, acúmulo de rejeitos de mineração. Desta forma, eles são
necessários para o bem-estar e para a economia da sociedade. Todos os
reservatórios formados por barragens em cursos d’água naturais estão sujeitos
a algum grau de assoreamento. O desafio é estimar a taxa de assoreamento e
quando os sedimentos acumulados começarão a interferir nas funções do
reservatório.
Quando uma barragem é construída num curso d’água natural, ela
altera o equilíbrio do rio ao modificar as características hidráulicas do
escoamento e, consequentemente, a capacidade do rio em transportar
sedimentos. O assoreamento do reservatório criado pela barragem é, então,
inevitável.
O volume de sedimentos acumulado num reservatório depende do
montante de sedimentos produzidos na bacia de contribuição. As condições
geológicas e climáticas, a vegetação, as características físicas da região e as
2
atividades antrópicas são fatores que interferem na produção de sedimentos de
uma bacia hidrográfica.
Para os reservatórios cujo objetivo é armazenar água, o assoreamento é
indesejável e as consequências podem ser economicamente sérias. A perda da
capacidade de acumulação reduz a vida útil do reservatório e implica em
perdas financeiras. Em reservatórios construídos para a geração de energia
elétrica, uma carga excessiva de sedimentos na água do reservatório pode
causar desgaste das turbinas, válvulas, tubulações e comportas. Em
reservatórios construídos para o controle de enchentes, o assoreamento reduz
sua capacidade de retenção, podendo causar perdas econômicas e até de vidas
humanas à jusante do reservatório.
Os sedimentos presentes em um reservatório podem, ainda, afetar a
navegabilidade, aumentar o custo de operação dos sistemas de irrigação devido
às operações de dragagem, causar a perda da fertilidade de terras sujeitas a
inundações, aumentar o custo do tratamento de água para abastecimento, etc.
O problema da sedimentação em reservatórios de água tem crescido ano
a ano devido ao aumento não só do número de barragens como também de suas
dimensões. Aproximadamente 1% do volume de armazenamento dos
reservatórios é perdido anualmente devido à deposição de sedimentos (Yoon,
1992).
No Brasil, os sedimentos também têm causado problemas nos
reservatórios. Estima-se que os reservatórios brasileiros perdem 0,5% de seus
volumes a cada ano (CARVALHO, 1998). Próximo à Belo Horizonte, por
exemplo, muitos reservatórios de pequenos e médios portes que foram
construídos para o controle de enchentes nos rios que cortam a cidade, foram
quase completamente assoreados poucos anos após serem construídos. Como
consequência, as enchentes rápidas que frequentemente ocorrem na cidade não
são detidas, trazendo sérias perdas materiais e, às vezes, de vidas humanas.
O assoreamento num reservatório não pode ser totalmente evitado. Uma
vez construída a barragem, o reservatório vai sendo preenchido pelos
sedimentos trazidos pelos rios. Entretanto, algumas medidas podem ser
3
tomadas para minimizar o problema. A mais importante é evitar ao máximo a
erosão do solo na bacia de contribuição.
Nos reservatórios do Brasil, a alta taxa de sedimentação é causada
certamente pelas práticas não-conservativas do uso do solo. O estado de Minas
Gerais, por exemplo, tem grande parte de sua economia baseada na mineração,
uma atividade considerada como uma enorme fonte geradora de sedimentos
fluviais. A agricultura é outra atividade que expõe o solo, contribuindo muito
para a geração de sedimentos. Outra medida mitigadora é o manejo correto do
reservatório. As enchentes sazonais trazem cargas mais elevadas de
sedimentos que podem ser carregados para fora do reservatório se este for
adequadamente operado.
Pouco pode ser feito em reservatórios já preenchidos por sedimentos
para removê-los. Raramente um reservatório pode ser dragado e
provavelmente esta alternativa só é aplicável aos pequenos reservatórios. A
construção de um novo reservatório é, normalmente, a opção mais econômica.
Estimar com precisão a vida útil de um reservatório é um objetivo que
todos os projetistas almejam. A viabilidade econômica do projeto de uma
barragem pode depender desta estimativa. Entretanto, prever o acúmulo de
sedimentos num reservatório é uma tarefa difícil porque os processos
envolvidos - erosão, transporte, deposição e consolidação dos sedimentos - são
complicados e, muitos deles, ocorrem simultaneamente. Além disso, os fatores
que interferem no processo são complexos e sujeitos a uma grande
variabilidade temporal. Não basta apenas estimar o montante de sedimentos
depositados num reservatório, é preciso também prever como e onde as suas
partículas serão depositadas, o que impõe dificuldades adicionais na descrição
do fenômeno através de um modelo. Revisões excelentes sobre os aspectos
globais deste processo foram apresentadas por Brown (1950) e Gottschalk
(1964).
Desde a década de 1950, vários métodos empíricos para prever a
sedimentação em reservatórios foram apresentados. Estes modelos estimam os
padrões de sedimentação baseados em dados de reservatórios existentes. Com
4
o desenvolvimento de computadores mais acessíveis e potentes, os modelos
empíricos clássicos foram gradualmente substituídos por modelos matemáticos
que simulam o processo de sedimentação num reservatório a partir de
equações diferenciais que descrevem os fenômenos envolvidos no processo de
assoreamento.
Com exceção do trabalho de Consoli (1991), uma característica comum
dos modelos matemáticos existentes é não levar em consideração o
adensamento dos sedimentos depositados, apesar de existirem teorias já bem
estabelecidas para descrever esse processo. A consolidação dos sedimentos
aumenta o volume útil do reservatório e, consequentemente, a sua vida útil.
Alguns modelos abordam esse fenômeno de forma empírica e, portanto, pouco
realística. É desejável que o processo de adensamento dos sedimentos seja
modelado adequadamente, da mesma forma que os outros processos envolvidos
na sedimentação em reservatórios.
Mesmo que um modelo matemático descreva precisamente os fenômenos
físicos envolvidos no processo de acúmulo de sedimentos em reservatórios, a
simulação de um problema real provavelmente não ocorre como na natureza. A
razão disso é que a confiabilidade dos resultados está intimamente associada à
escolha acertada dos parâmetros usados pelo modelo para simular o processo
físico. Estabelecer parâmetros confiáveis é uma tarefa complexa, pois eles
dependem da coleta de dados, dos ensaios de laboratório, das medições de
campo, que podem ser fontes de imprecisões e incertezas. Essa é, então, mais
uma dificuldade inerente à modelagem do assoreamento de reservatórios.
Também não se pode garantir que os parâmetros determinados num
determinado momento sejam representativos do processo de sedimentação que
normalmente ocorre num período de tempo muito longo. Essa é uma nova fonte
de imprecisão para o processo de simulação.
Portanto, dada a variabilidade, aleatoriedade e incertezas dos
parâmetros, o estudo da deposição de sedimentos em rios e reservatórios deve
ser tratado como um processo estocástico. Um modelo que descreve
deterministicamente os fenômenos físicos envolvidos na sedimentação em
5
reservatórios e que leva em consideração o caráter estocástico do problema é
um modelo determinístico-estocástico. Nesse modelo, determinam-se as
estatísticas do sedimento depositado no reservatório ao longo do tempo, como a
média, a variância, a moda e a distribuição de probabilidade.
Diante do exposto, dois aspectos importantes na modelagem da dinâmica
dos sedimentos num reservatório precisam ser bem estabelecidos. Primeiro
modelar adequadamente o adensamento dos sedimentos depositados. Segundo
levar em consideração o caráter estocástico do problema, definindo um modelo
que dê respostas em termos de distribuições de probabilidade.
Nessa tese optou-se por desenvolver um modelo tridimensional baseado
numa formulação unidimensional (modelo quase-tridimensional) por dois
motivos. Primeiro porque formulações unidimensionais para a dinâmica de
sedimentos são mais simples de serem desenvolvidas e vários autores têm
obtido sucesso em utilizá-las para modelar problemas de sedimentação, tanto
em rios quanto em reservatórios. Outro ponto determinante para a escolha de
uma formulação unidimensional é o fato da modelagem desenvolvida também
ser estocástica. A abordagem estocástica aumenta muito o tempo
computacional da solução do problema e o uso da formulação unidimensional
torna o modelo tridimensional mais conveniente nesse aspecto.
O objetivo dessa tese é descrever o modelo determinístico-estocástico
quase-tridimensional desenvolvido para a simulação da dinâmica de
sedimentos em reservatórios. O modelo determinístico descreve, através de
equações diferenciais, o escoamento de superfície livre numa rede de canais, o
transporte de sedimento não-uniforme em condições de não-equilíbrio, a
deposição e a erosão dos sedimentos e o adensamento com grandes
deformações do material depositado, levando-se em consideração a variação
granulométrica no espaço e no tempo do material do leito. O modelo estocástico
utiliza o método de simulação de Monte Carlo para calcular as respostas do
problema de maneira probabilística.
O modelo proposto será utilizado para simular problemas reais de
acúmulo de sedimentos em reservatórios de água e de rejeitos de mineração.
6
Prever a sedimentação que ocorrerá num reservatório de água ao longo de
várias décadas é um problema tipicamente estocástico que depende menos da
simulação correta do adensamento dos sedimentos. Por outro lado, analisar o
enchimento de um reservatório com rejeitos de mineração ao longo de um
tempo bem mais curto é um problema determinístico, uma vez que os
parâmetros do modelo variam pouco, mas que depende fortemente da
simulação correta do adensamento do rejeito.
Essa tese está dividida em nove capítulos. Em seguida à colocação do
problema no Capítulo 1, os principais aspectos da dinâmica de sedimentos em
reservatórios são revistos e os trabalhos relacionados ao tema são apontados
no Capítulo 2. No Capítulo 3 apresentam-se o modelo matemático para o
escoamento unidimensional em superfícies livres e a solução numérica
empregada. No Capítulo 4 abordam-se as equações que descrevem o transporte
e a deposição de sedimentos num reservatório, além do método de solução do
conjunto de equações. No Capítulo 5, o fenômeno do adensamento com
deformações finitas é formulado e resolvido numericamente. A técnica de
simulação estocástica de Monte Carlo é discutida no Capítulo 6. Em seguida,
alguns problemas reais de reservatórios de água e de rejeito de mineração são
analisados no Capítulo 7, em que se mostra a aplicação do modelo proposto e
discutem-se os resultados. Finalmente, o Capítulo 8 é reservado às conclusões
extraídas desse trabalho e sugestões para futuras pesquisas que abordem esse
tema. O texto se encerra, no Capítulo 9, com as referências bibliográficas.
7
Capítulo 2
Revisão de Literatura
2. Revisão de Literatura
Segundo Carvalho (1994), os princípios fundamentais dos problemas de
sedimentação foram investigados cientificamente na França, no século XVIII,
mas resultados quantitativos só foram obtidos no início do século XIX. As
primeiras medições foram feitas no rio Ródano, em Arles, França, entre 1808 e
1809. Outras medições foram efetuadas no rio Elba, em Hamburgo, Alemanha,
entre 1837 e 1854, e no rio Garonne, França, entre 1839 a 1846.
No Brasil, o primeiro trabalho foi realizado pela CEEE (Companhia
Estadual de Energia Elétrica), no rio Camaquã, Rio Grande do Sul, e teve a
finalidade de fazer a previsão do assoreamento e o cálculo da vida útil do
reservatório Paredão. Foram efetuadas amostragens de partículas em
suspensão no período de setembro de 1950 a junho de 1952. Análises
avaliaram a concentração de sólidos em suspensão e, para o sedimento coletado
do leito, realizou-se a sua pesagem e determinou-se a sua granulometria. Os
resultados finais permitiram a avaliação do volume que poderia assorear o
reservatório.
2.1. Características do sedimento
As partículas que constituem um sedimento têm características próprias
que influenciam nos processos de transporte, deposição e erosão, tais como: a
8
forma, o tamanho, a distribuição granulométrica e o peso específico. Algumas
destas características são relatadas a seguir.
O tamanho de cada partícula do sedimento é dado pelo seu diâmetro e a
distribuição granulométrica é usada para definir as percentagens das
partículas com o mesmo tamanho presente, as quais são classificadas entre
argila, silte, areia (fina, média e grossa) e pedregulho de acordo com a escala
granulométrica da ABNT.
Devido à grande variedade de formas das partículas, vários coeficientes
têm sido definidos para descrever a geometria da partícula. Esta propriedade
tem sido considerada por muitos especialistas como uma variável significante
na determinação da porosidade, permeabilidade e coesão dos sedimentos
depositados. Ela afeta também a velocidade média do escoamento da água, a
velocidade de queda das partículas e o transporte da carga de leito. O fator de
forma, , em que , e são as três dimensões ortogonais da
partícula (maior, média e menor, respectivamente), tem sido considerado por
muitos autores como o coeficiente mais adequado para representar a influência
da geometria da partícula, sobretudo, na sua velocidade de queda (CAMPOS,
2001).
O peso específico de uma partícula de sedimento pode ser determinado
em laboratório por meio do ensaio picnométrico. Partículas transportadas em
rios naturais apresentam um peso específico médio de aproximadamente 26
kN/m
3
, que corresponde ao peso específico do quartzo. No entanto, no caso de
rejeitos de mineração, o peso específico das partículas do sedimento podem
variar bastante em função dos diferentes tipos de minerais e do processo de
beneficiamento.
A velocidade de queda da partícula é um dos fatores mais importantes
para a sedimentação. É muito difícil obtê-la no ambiente natural onde os
sedimentos são transportados e, por isso, ela é normalmente determinada
através de relações empíricas. Desde a primeira metade do século XIX, quando
Stokes apresentou sua lei para a velocidade de queda livre de uma esfera
imersa num líquido, pesquisadores buscam novas relações empíricas para o
9
problema por meio da análise de experimentos de laboratório e de campo, o que
pode ser constatado pelos inúmeros trabalhos que estão sendo publicados até
os dias de hoje sobre este tema. Na seção 4.6.1, esse assunto será abordado com
mais detalhes.
2.2. Transporte de sedimentos
Os sedimentos transportados nos rios têm sua origem basicamente em
duas fontes. A primeira é o material do leito do rio que pode ser desprendido
devido ao atrito durante o processo de escoamento. A erosão do leito não é,
geralmente, uma fonte muito importante, contribuindo com menos de 20% da
vazão de sedimentos da maioria dos rios. A segunda, e principal fonte, é o
material produzido pela erosão do solo da bacia hidrográfica. Na Figura 1 estão
ilustrados esses processos de geração de sedimentos.
A produção de sedimentos na bacia hidrográfica depende de fatores
naturais e antrópicos. Em ambos os casos, a chuva é o principal condutor dos
Figura 1 – O processo de geração de sedimentos. Fonte: Campos (2001).
10
sedimentos para os rios. Nas encostas sem ação antrópica relevante, a
vegetação natural protege o solo e praticamente inibe a produção de
sedimentos. Ao contrário, bacias hidrográficas com intensa ação antrópica são,
normalmente, pouco vegetadas e bem mais suscetíveis à erosão. São, portanto,
produtoras de grande quantidade de sedimentos.
Quando chegam aos rios, as partículas dos sedimentos são levadas a
diferentes locais de deposição, que podem ser o leito do rio, um lago (natural ou
artificial) ou o mar. Se o rio não tem capacidade suficiente para transportar a
carga total de sedimentos, parte dela precipita. As forças verticais que atuam
numa partícula de sedimento que é transportada são o seu peso submerso e a
força de erguimento causada pela turbulência do escoamento. O balanço entre
estas duas forças verticais determinam a queda ou o erguimento da partícula.
As partículas podem ser transportadas em um rio de dois modos
diferentes: o transporte da carga de leito, para as partículas de maior tamanho
(grossas), e o transporte da carga em suspensão, para as partículas menores
(finas). Uma partícula do leito é removida quando as tensões cisalhantes do
escoamento superam a resistência ao movimento da partícula, que é
determinada pelo seu peso e pelo seu atrito com as partículas vizinhas do leito.
A carga de leito se localiza próximo ao fundo do rio, e as partículas se movem
escorregando ou rolando sobre o leito. Quando a turbulência do escoamento
alcança certo nível, o material fino que é transportado próximo ao leito é
colocado em suspensão. As partículas da carga em suspensão viajam a uma
velocidade similar àquela do escoamento, sem contato frequente com o leito. O
contorno entre as zonas de transporte da carga de leito e da carga em
suspensão não é muito clara (CAMPOS, 2001).
A carga em suspensão é composta de partículas de ambas as origens de
sedimentos: o material do leito e o material produzido na bacia hidrográfica.
Para separar estas duas fontes de sedimentos para a carga em suspensão, foi
introduzido o conceito de carga de lavagem, a qual é composta pelos
sedimentos originados exclusivamente da erosão na bacia. Apesar das
definições, é difícil na prática separar a carga de lavagem da carga de material
11
de leito após elas serem transportadas pelos rios.
Combinando a carga de leito com a carga em suspensão tem-se o que é
chamado de carga total. Alguns modelos não separam os dois modos de
transporte de sedimento, tratando-os conjuntamente como carga total. Na
Figura 2 está ilustrado um esquema geral para o transporte de sedimentos em
rios, em que se mostra o vínculo entre a origem do sedimento e o modo de
transporte.
Em reservatórios, o transporte da carga de leito é mais importante na
região em que o rio entra no lago, em que o escoamento ainda é capaz de mover
as partículas grossas do leito. Se a simulação do reservatório também incluir
os rios afluentes, este modo de transporte deve ser considerado. Por outro lado,
a carga em suspensão pode atravessar todo o reservatório, sendo que uma
parte dela é depositada dentro do lago e a outra parte é liberada através das
passagens de água da barragem.
2.3. Sedimentação em reservatórios
A construção de uma barragem num rio afeta as suas características
físicas e hidráulicas. A velocidade do escoamento e a turbulência são reduzidas
por causa do aumento da área da seção transversal do rio. A redução da
velocidade torna possível a deposição de sedimentos, uma vez que as partículas
não podem se manter em suspensão e começam a precipitar. Ou seja, quando a
capacidade do rio em transportar sedimentos diminui, as partículas tendem a
se depositar.
Figura 2 – A composição do transporte de sedimentos. Fonte: Campos (2001).
12
Supondo que o peso específico das partículas é aproximadamente o
mesmo, as partículas grossas da carga de sedimentos que entra no reservatório
são as primeiras a serem depositadas e, geralmente, elas são acomodadas na
entrada do lago. Esse depósito, chamado de delta, é composto principalmente
por pedregulho e areia. As partículas de tamanho médio são as próximas a
serem depositadas e finalmente, as partículas finas são levadas mais para a
jusante do reservatório e precipitam para formar o depósito de fundo. Na
Figura 3 está ilustrado o perfil clássico de deposição em reservatórios.
Portanto, o peso específico e o tamanho das partículas que entram no
reservatório interferem na localização dos depósitos de sedimentos. Para as
mesmas condições de escoamento no reservatório, se entra material mais fino,
o escoamento levará os sedimentos mais para a jusante do que quando entra
material mais grosso.
A elevação do nível d’água do reservatório é um fator importante para a
localização da deposição do sedimento, pois ela define a área molhada e,
consequentemente, a velocidade do escoamento. Quando a elevação é pequena,
o sedimento é carregado mais para a jusante e a deposição se aproxima da
barragem. Quando a elevação é alta, a maior parte da deposição ocorre na
região da entrada do reservatório.
O peso específico dos sedimentos depositados define o volume que eles
ocupam no reservatório. Entretanto, é difícil determiná-lo através de
Figura 3 – Representação da deposição de sedimentos em reservatórios. Fonte:
Lopez (1978).
13
amostragem, porque o nível d’água torna esses sedimentos geralmente
inacessíveis. Alguns depósitos de sedimentos não estão submersos todo o
tempo, devido à diminuição do nível d’água que ocorre normalmente na
operação de um reservatório. A determinação do peso específico do material
depositado exige a retirada de amostras indeformadas, o que não é uma tarefa
simples. Existem alguns equipamentos usados para retirar tais amostras, mas
não se pode garantir que o material amostrado não seja amolgado.
2.3.1. Reservatórios de rejeitos de mineração
A atividade de mineração, muito intensa em Minas Gerais, gera uma
quantidade enorme de materiais com pouco valor econômico, normalmente
designados rejeitos. Por exemplo, o beneficiamento de uma tonelada de bauxita
produz cerca de 0,25 toneladas de alumina, da qual se faz o alumínio, gerando
cerca de 0,75 toneladas de rejeito (VILLAR, 1990). As quantidades médias de
rejeito produzidas a cada tonelada de rocha extraída e beneficiada estão
ilustradas na Figura 4 para alguns minérios.
Em 1986, o Brasil gerava cerca de 200 milhões de toneladas de rejeitos
por ano, para produzir as 22 principais substâncias minerais que compõem
cerca de 90% da produção mineral (ABRÃO, 1987). A maior parte destes
Figura 4 – Quantidades médias de minerais e rejeitos gerados pela indústria
de mineração. Fonte: Abrão (1987).
14
rejeitos é descartada da fábrica de beneficiamento na forma líquida (polpa de
água e sólidos) por meio de tubulações, através de bombeamento ou sob a ação
da gravidade. Estas tubulações normalmente terminam em reservatórios
criados para estocar o rejeito.
Em nosso país, geralmente, esses reservatórios são formados barrando-
se o curso natural de um rio. O descarte de rejeitos em barragens inicia um
processo de sedimentação que, nesse caso, é desejável, pois o reservatório foi
projetado para estocar rejeito. Uma das tarefas dos engenheiros consiste,
então, em prever a capacidade de estocagem desses reservatórios para estimar
a sua vida útil.
Os sedimentos (rejeitos) depositados, sob a ação de seu peso próprio,
experimentam grandes deformações à medida que os excessos de poro-pressão
gerados durante a deposição vão se dissipando ao longo do tempo. Isso ocorre
pelo fato do material depositado normalmente possuir um índice de vazios
elevado. Portanto, para simular o processo de enchimento de um reservatório
de rejeito de mineração, é indispensável considerar o adensamento que deve
ser capaz de representar as grandes deformações que geralmente ocorrem
durante o processo.
Na Figura 5 ilustra-se o processo de deposição de sedimentos finos em
suspensão numa coluna de água. Esse processo pode ser caracterizado por três
estágios distintos. O primeiro consiste na floculação das partículas, em que não
ocorrem recalques, apenas aglomeração formando partículas de maiores
dimensões. Na segunda fase, ocorrem interações físicas entre as partículas,
caracterizando a sedimentação propriamente dita, na qual as partículas se
tornam suficientemente grandes para recalcarem devido a seu peso próprio,
sem contato entre elas. À medida que a concentração aumenta, a sedimentação
das diversas partículas processa-se com a interferência de uma sobre a outra,
sem, entretanto, ser suficientemente grande para claramente caracterizar a
existência de tensões efetivas. Finalmente, no último estágio, o fenômeno de
adensamento por peso próprio passa a ser caracterizado, no momento em que
15
Figura 5 – Estágios da deposição de sedimentos. Fonte: Imai (1981).
as partículas transmitem tensões efetivas através do arcabouço sólido do
material.
2.3.2. Sedimentação em reservatórios de água como um processo
estocástico
Os principais fatores que afetam a sedimentação num reservatório,
segundo Salas e Shin (1999), são: a vazão do rio; a quantidade de sedimentos
que entra no reservatório; o tamanho das partículas de sedimento; o peso
específico dos sedimentos; e, o tamanho e a operação do reservatório.
Dependendo do caso em estudo, alguns fatores podem ser mais
importantes que outros. Todos estes fatores possuem um grau de incerteza e,
como consequência, o assoreamento num reservatório é uma quantidade
incerta também. Além disso, os procedimentos aplicados para estimar algumas
das quantidades citadas e, também, o modelo usado para estimar o montante
de sedimento que se acumula num reservatório são questões que não podem
ser respondidas com total confiança. Por exemplo, Fan (1988) obteve
16
informações sobre 34 modelos de assoreamento de rios, 18 de bacias
hidrográficas e 20 de reservatórios, e constatou que modelos diferentes podem
fornecer resultados significativamente diferentes mesmo quando são usados os
mesmos conjuntos de dados de entrada. Este fator adicional é conhecido como
“incerteza sobre o modelo” (SALAS e SHIN, 1999).
Vários métodos de análise de incertezas têm sido desenvolvidos e
aplicados em engenharia de recursos hídricos. Os métodos mais amplamente
utilizados são a análise de primeira ordem e o método de Monte Carlo (SALAS
e SHIN, 1999). A análise de primeira ordem é baseada na linearização, através
de uma expansão em séries de Taylor, da função que relaciona uma variável
randômica dependente com um conjunto de variáveis randômicas
independentes (YEN
et al
., 1986). Este método foi empregado em vários
problemas que envolvem incertezas, tais como estimativas de fluxo de água em
solo, previsão de oxigênio dissolvido, fluxo de sub-superfície e estimativas de
transporte de contaminantes (SALAS e SHIN, 1999). No método de Monte
Carlo, dados de entrada estocásticos são gerados a partir de suas distribuições
de probabilidades e, então, usados para alimentar o modelo que descreve o
processo físico envolvido na geração das respostas estocásticas. As respostas
geradas são analisadas estatisticamente para quantificar a incerteza da
resposta. Muitos exemplos de análise de incertezas pelo método de Monte
Carlo podem ser citados, incluindo estimativas de fluxo permanente de água
no solo, modelagem da qualidade da água e modelagem da eutroficação da
água (SALAS e SHIN, 1999). (First-order reliability analysis, 1986)
Um procedimento de simulação alternativo que tem sido desenvolvido
para a análise de incertezas é a técnica de amostragem do hipercubo latino
(CHANG
et al
., 1993). A idéia básica desse método é gerar dados de entrada
estocásticos randômicos de uma maneira estratificada, a partir das
distribuições de probabilidade. Dessa forma, o número de dados de entrada
gerados pode ser reduzido consideravelmente quando comparado com o método
de Monte Carlo. Chang
et al
. (1993) utilizaram essa técnica para realizar uma
análise de incerteza e de sensibilidade para o transporte de sedimentos
17
baseado no modelo HEC2-SR (SALAS e SHIN, 1999). Yeh e Tung (1993)
aplicaram alguns métodos estocásticos para analisar a incerteza do movimento
de uma cava resultante da extração de areia e pedregulho do leito de um rio.
Eles concluíram que o método hipercubo latino fornecia mais informações que
os demais métodos usados.
2.4. Modelos para simular a dinâmica de sedimentos em
reservatórios
Vários modelos têm sido desenvolvidos para prever a distribuição de
sedimentos em reservatórios. Com o avanço do conhecimento da dinâmica de
sedimentos em reservatórios, novos métodos e modelos têm sido apresentados.
Geralmente, pode-se dividí-los em empíricos e matemáticos. Um método é
considerado empírico se ele é baseado em observações existentes. Se o modelo é
baseado teoricamente em equações matemáticas, ele pode ser considerado um
modelo matemático. Os modelos matemáticos podem, ainda, serem divididos de
acordo com o número de dimensões modeladas, ou seja, em modelos
unidimensionais (1D), bidimensionais (2D) e tridimensionais (3D).
2.4.1. Modelos empíricos
Desde a década de 1950, vários métodos empíricos para prever a
sedimentação em reservatórios foram apresentados. O primeiro deles foi o
método clássico. Esse não é, na verdade, um método para prever a distribuição
de sedimentos em reservatórios. Ele assume simplesmente que os sedimentos
depositados acomodam-se em camadas paralelas à linha d’água, o que fornece
resultados geralmente muito irreais (CAMPOS, 2001).
Outro método proposto foi o método do incremento de área desenvolvido
por Cristofano (1953). Ele representa um avanço se comparado ao método
clássico porque considera que os sedimentos se depositam em todas as
elevações, em camadas paralelas ao leito do reservatório. Assume que a área
ocupada pelos sedimentos em qualquer elevação acima da elevação dos
18
depósitos junto à barragem é constante. A seguinte equação representa o
método (CAMPOS, 2001):
(1)
em que é o volume de sedimentos abaixo de uma determinada profundidade
; , e são, respectivamente, a área, o volume e a profundidade do
reservatório correspondente à elevação do depósito de sedimento junto à
barragem. também pode ser considerada o fator de correção da área.
O terceiro e mais usado método empírico para estimar a distribuição de
sedimentos num reservatório é o método da redução de área, proposto por
Borland e Miller (1958) e revisto por Lara (1962). Os primeiros autores usaram
medições de 30 reservatórios americanos para desenvolver seu método,
classificando os reservatórios em 4 tipos de acordo com a sua geometria. Para
cada classe foi proposta uma expressão para estimar a deposição de
sedimentos em qualquer elevação, além de estimar a profundidade dos
depósitos junto à barragem (CAMPOS, 2001).
Sloff (1991) fez um levantamento dos modelos para sedimentação em
reservatórios desenvolvidos até o final da década de 1980 encontrados na
literatura. Na década de 1990, Sharghi (1994), Mehdi (1996) e Sloff (1997)
desenvolveram outros modelos empíricos específicos para sedimentação em
reservatórios.
2.4.2. Modelos matemáticos
Com o desenvolvimento de computadores mais acessíveis e potentes, os
modelos empíricos clássicos foram gradualmente substituídos por modelos
matemáticos. Nos modelos matemáticos, os fenômenos envolvidos no processo
de assoreamento são descritos por equações diferenciais.
Os primeiros modelos matemáticos desenvolvidos para simular a
dinâmica de sedimentos em reservatórios eram unidimensionais, em que a
direção longitudinal é a única considerada para fins de modelagem. Esses
modelos apresentam muitas vantagens, dentre elas, a simplicidade das
19
formulações e o requerimento de poucos recursos computacionais, tornando
possível a simulação de grandes extensões de rios e reservatórios. As principais
desvantagens dos modelos 1D são a impossibilidade de simular escoamentos
curvilíneos, zonas de recirculação e escoamentos secundários, além de não
poderem modelar adequadamente a distribuição lateral dos sedimentos.
Assim, se tais fenômenos forem importantes, os modelos 1D devem ser
evitados. Alguns modelos unidimensionais exclusivos para reservatórios serão
relatados a seguir.
No início de 1970, o corpo de engenheiros do exército americano
desenvolveu o modelo HEC-6. Esse é provavelmente o modelo mais conhecido
devido ao seu pioneirismo. As primeiras versões não consideravam o
assoreamento de reservatórios, o qual foi incluído mais tarde. O modelo é
capaz de calcular erosão e deposição ao simular a interação entre a hidráulica
do escoamento e a taxa de transporte de sedimentos. Ele foi projetado para ser
usado nas análises de longo-prazo do comportamento de rios e reservatórios
(U.S. ARMY CORPS OF ENGINEERS, 1972). Morris e Fan (1997), entretanto,
descreveram o uso do HEC-6 em simulações de curto-prazo. O adensamento
não é simulado pelo HEC-6.
Soares (1975) desenvolveu um modelo unidimensional a partir das
equações de continuidade e de quantidade de movimento, que calculava a
quantidade de sedimentos depositados em diversas seções do reservatório ao
longo do tempo. O padrão de deposição era uma função da vazão afluente e da
concentração de sedimentos que entravam no reservatório, além do nível
d’água inicial do reservatório e da distribuição granulométrica dos sedimentos.
Esse modelo também desprezou o adensamento do material depositado.
Outro modelo 1D desenvolvido exclusivamente para o assoreamento em
reservatórios foi apresentado por Lopez (1978). Ele leva em consideração as
características do escoamento e dos sedimentos, a geometria e a operação do
reservatório. O reservatório é dividido em vários canais tentando simular a
distribuição lateral de sedimentos. Além disso, o modelo usa uma teoria de jato
bidimensional que serve para direcionar aos vários canais do reservatório o
20
fluxo de água e sedimentos trazido pelo rio afluente. O assoreamento é
simulado através das equações de continuidade da água e dos sedimentos e da
equação de quantidade de movimento. O adensamento é abordado
empiricamente.
Zhou e Lin (1998) propuseram um modelo 1D para erosão e deposição
em reservatórios, capaz de determinar com razoável precisão as formas das
seções transversais sem ter que recorrer a uma modelagem 2D mais
dispendiosa. Estabeleceram um procedimento de integração lateral que evita
que os coeficientes de ajuste da equação de transporte de sedimentos sejam
obtidos empiricamente. Esses coeficientes também são usados para distribuir a
erosão e a deposição ao longo da seção transversal de maneira menos empírica
e mais adequada. Os resultados obtidos na simulação de um reservatório foram
bastante satisfatórios quando comparados com uma simulação 2D e com um
modelo reduzido de um reservatório. O adensamento não é considerado.
Um modelo 1D muito abrangente é o CCHE1D (WU e VIEIRA, 2002;
WU
et al
., 2004). É um modelo que simula o transporte de sedimentos não-
uniformes em condições de não-equilíbrio e de escoamento variável numa rede
de canais que pode possuir estruturas hidráulicas. As equações de transporte
de sedimentos, deformação do leito e variação granulométrica do material do
leito são resolvidas num esquema acoplado com uma técnica de solução direta.
O modelo acoplado para o cálculo da sedimentação é mais estável que o
tradicional desacoplado. Foi aplicado com muito sucesso na solução de vários
tipos de problemas de escoamento, inclusive para a deposição de sedimentos
num reservatório. Esse modelo, contudo, não trata da consolidação dos
sedimentos.
O modelo de Toniolo e Parker (2003) simplifica o problema de
sedimentação em reservatórios ao considerar apenas o transporte de dois
tamanhos de sedimento: areia como carga de leito e lama como carga de
lavagem. O depósito de areia forma-se como um delta na entrada do
reservatório. A carga de lavagem pode ser simulada como uma corrente de
densidade, caso a carga seja concentrada o bastante para tornar a água do rio
21
mais densa que a água do reservatório. Essa corrente de densidade leva a
carga de sedimentos para próximo da barragem, onde se deposita no fundo.
Estes não são os únicos modelos unidimensionais disponíveis para a
sedimentação em reservatórios. Existem outros modelos 1D tais como os
propostos por: Thomas (1970); Chang e Richards (1971); Yucel e Graft (1973);
Asada (1973); Hurst e Chao (1975); Gill (1979); Rice (1981); Annandale (1984);
Chang (1988); e, Siddique (1991).
Os modelos bidimensionais são um caso particular dos modelos
tridimensionais. Eles têm servido como um passo inicial na direção dos
modelos 3D, uma vez que usam as equações governantes 3D simplificadas para
o caso 2D. Vários modelos 2D têm sido desenvolvidos desde a década de 1980,
tais como os modelos de McAnnally (1989); Evans
et al
. (1990); e Hoogan e
Twiss (1993). Um modelo 2D usado para simular o assoreamento em
reservatórios é o SEDZL, desenvolvido por Ziegler e Nisbet (1995). Foi usado
para simular o transporte, a erosão e a deposição de sedimentos em um grande
reservatório, mas sem considerar a consolidação dos sedimentos depositados.
Um modelo 3D desenvolvido exclusivamente para o assoreamento em
reservatórios é o de Campos (2001), que resolve as equações de Navier-Stokes
por diferenças finitas. O modelo SSIIM de Olsen (1991) é um modelo 3D geral
para o transporte de sedimentos, que apesar de não ter sido desenvolvido para
reservatórios, tem sido usado para este fim. Outro modelo 3D é o de Fang e
Wang (2000), em que o fluido pode ter densidade variável. Existem, ainda,
modelos 3D desenvolvidos para estuários, mas que possuem características
parecidas com os modelos para reservatórios, como o de Cahyono (1993) e de
Blumberg
et al
. (1999). Há também modelos para lagos que podem ser usados
para sedimentação em reservatórios, como o de Ahsan e Blumberg (1999).
Consoli (1991) desenvolveu um modelo para tratar do enchimento de
reservatórios de rejeitos de mineração no qual o transporte e a sedimentação
são modelados pelas equações de continuidade e de quantidade de movimento
unidimensionais. Tais equações são resolvidas por um esquema implícito de
diferenças finitas e pelo método da varredura dupla. O adensamento dos
22
rejeitos depositados é simulado por um modelo bidimensional resolvido pelo
método dos elementos finitos, incluindo um modelo constitutivo especialmente
desenvolvido para os rejeitos de mineração. Entretanto, os parâmetros do
modelo constitutivo são difíceis de serem obtidos experimentalmente. A
mudança na geometria das seções transversais devida ao acúmulo de
sedimentos também é difícil de ser representada pela malha de elementos
finitos.
Outro modelo foi desenvolvido por Silva (1998), em que o transporte e a
sedimentação são descritos pelas equações de continuidade e de quantidade de
movimento unidimensionais, e o adensamento pela teoria das grandes
deformações unidimensional. Entretanto, o adensamento era desacoplado dos
outros modelos. O modelo foi aplicado para modelar um reservatório de água e
um reservatório de rejeitos de mineração.
Na Tabela 1 estão resumidos os principais modelos matemáticos
desenvolvidos para simular a dinâmica de sedimentos, bem como as suas
principais características.
2.4.3. Modelos estocásticos
Analisar um processo físico através de uma abordagem estocástica é um
procedimento que vem ganhado maior atenção nos últimos anos. O avanço nas
técnicas de análise de incertezas tem incentivado os pesquisadores a
considerar a variabilidade espacial e temporal dos parâmetros dos modelos e
as incertezas associadas.
O primeiro modelo disponível na literatura, que tratou o processo de
acúmulo de sedimentos num reservatório de forma estocástica, foi o
desenvolvido por Soares (1975). Ele usou um modelo determinístico para
calcular o volume de sedimentos que se depositava em um ano, para uma dada
combinação dos principais parâmetros: a vazão e a concentração de sedimentos
afluentes, a elevação do nível d’água no reservatório e a concentração de
sedimentos efluentes. Após calcular, com o modelo determinístico, volumes de
23
Tabela 1 – Principais modelos matemáticos e suas características.
Modelo
Ano
Transporte
Sedimentação
Adensamento
HEC6
1970
1D
1D
-
Soares
1975
1D
1D
-
Lopez
1978
1D
1D
Empírico
Olsen
1991
3D
3D
-
Consoli
1991
1D
1D
2D
Ziegler e Nisbet
1995
2D
2D
-
Zhou e Lin
1998
1D
1D
-
Silva
1998
1D
1D
1D
Campos
2001
3D
3D
Empírico
Wu e Vieira
2002
1D
1D
-
Toniolo e Parker
2003
1D
1D
-
sedimentos para algumas combinações distintas dos principais parâmetros, o
modelo estocástico fazia a previsão do volume de sedimentos que se acumulava
no reservatório ao longo do tempo a partir das diferentes previsões anuais.
Salas e Shin (1999) aplicaram o método de Monte Carlo e a técnica de
amostragem do hipercubo latino para quantificar a incerteza da sedimentação
anual num reservatório e da sedimentação acumulada ao longo do tempo,
usando um modelo empírico. Também realizaram um estudo de sensibilidade
para identificar os parâmetros que mais interferiam na incerteza associada à
sedimentação em reservatórios.
Outra tentativa de incorporar uma abordagem estocástica ao estudo da
sedimentação foi feita por Sharma e Kavvas (2005). Eles consideraram que a
equação que governa o transporte de sedimentos não-coesivos em suspensão
era uma equação diferencial parcial estocástica devido às incertezas nos
parâmetros. Então, eles usaram a técnica “média do conjunto” (ensemble
24
averaging) para obter uma equação determinística que descrevesse o processo,
obtendo bons resultados.
2.5. Adensamento dos sedimentos depositados
O peso específico do material depositado varia ao longo do tempo por
causa da consolidação dos sedimentos. As partículas vão se acumulando umas
sobre as outras, formando várias camadas de sedimentos, que consolidarão
pela ação do peso próprio e da sobrecarga das camadas superiores.
Quando este fenômeno é abordado pelos modelos de sedimentação em
reservatórios, ele é tratado de forma empírica, como a equação apresentada por
Lane e Koelzer (1943), que foi desenvolvida a partir de dados observados de
reservatórios americanos. Essa equação tem sido usada por mais de meio
século, sem nenhum melhoramento. Esse fenômeno, no entanto, é muito
estudado na mecânica dos solos, e é modelado por equações diferenciais que
descrevem o comportamento físico do processo de adensamento.
2.5.1. Modelos matemáticos para simular o adensamento
O fenômeno do adensamento começou a ser descrito matematicamente
por Terzaghi (1923), através de uma abordagem unidimensional que permitia
grandes deformações, porém, assumia que a compressibilidade e a
permeabilidade do solo eram constantes ao longo de todo o processo.
Mais tarde, Terzaghi e Frohlich (1936) reformularam a teoria original,
admitindo pequenas deformações. Essa teoria é a mais utilizada até os dias
atuais. As restrições dessa teoria podem levar a erros significativos,
dependendo da variação do índice de vazios real em função do incremento de
carga aplicado (VILLAR, 1990).
Biot (1941) desenvolveu uma formulação tridimensional para o
adensamento com pequenas deformações, considerando variações lineares da
compressibilidade e da permeabilidade com o índice de vazios.
25
Mikasa (1965) e Gibson
et al
. (1967) formularam, independentemente,
uma nova teoria de adensamento unidimensional com grandes deformações na
qual tanto a compressibilidade quanto a permeabilidade podem variar em
relação ao índice de vazios.
Carter
et al
. (1979) desenvolveram um modelo multidimensional do
adensamento com grandes deformações, considerando relações constitutivas
(compressibilidade e permeabilidade) não-lineares. Entretanto, como essas
relações constitutivas não-lineares não estão suficientemente bem
estabelecidas, a utilização deste modelo é ainda limitada.
Pinto (1988) e Azevedo e Sado (1990) resolveram a equação diferencial
do adensamento unidimensional com grandes deformações de Gibson
et al
.
(1967) através de um esquema implícito de diferenças finitas.
26
Capítulo 3
Modelo Hidrodinâmico Unidimensional
3. Modelo Hidrodinâmico Unidimensional
Muitos modelos matemáticos foram desenvolvidos para descrever o
escoamento de fluidos. O modelo mais geral é o que utiliza as equações de
Navier-Stokes para representar o comportamento tridimensional de um fluido
viscoso incompressível. Na prática, quando um modelo matemático é
formulado, várias hipóteses são feitas para simplificar o problema em
consideração, e são usadas as equações mais básicas capazes de representar o
fenômeno em questão. No escoamento em canais abertos, os modelos mais
conhecidos são os que utilizam as chamadas equações de água rasa, em que se
supõe que o escoamento é raso em relação às dimensões do problema, ou seja, a
dimensão longitudinal é a predominante.
Como em qualquer modelo de escoamento em canais abertos, o
procedimento básico para formar as equações de água rasa é estabelecer uma
equação de continuidade, correspondendo à conservação da massa, e aplicar as
leis que governam a física clássica para obter uma equação de quantidade de
movimento. Dependendo da construção, tais equações podem ser escritas como
leis de conservação, representando a conservação de alguma quantidade
particular, tal como quantidade de movimento ou energia. Termos adicionais
podem ser incorporados para incluir outros efeitos, tais como o atrito, a
variação da geometria, a viscosidade, etc., denominados termos fonte, que
27
geralmente correspondem a alguma forma de perda ou ganho no sistema
(CROSSLEY, 1999).
3.1. Equações de Saint-Venant
No caso da modelagem de escoamentos em canais abertos
predominantemente unidimensionais, as equações de Saint-Venant são as
mais comumente usadas. Estas equações foram obtidas por Barré de Saint-
Venant (1871) e descrevem o escoamento gradualmente variado de um fluido
não-viscoso incompressível. As hipóteses fundamentais inerentes às equações
de Saint-Venant são (CROSSLEY, 1999):
O escoamento é unidimensional, ou seja, a velocidade é constante em toda a
seção transversal e o nível d’água na seção é horizontal;
A componente vertical da aceleração do fluido é desprezível, de forma que a
variação da pressão com a profundidade é hidrostática;
O atrito e a turbulência podem ser representados usando as mesmas leis
empíricas que governam o escoamento constante, tal como a equação de
Manning;
A inclinação do leito é pequena, de modo que o cosseno do ângulo entre o
leito e a horizontal é aproximadamente unitário.
As equações de Saint-Venant consistem de uma equação de continuidade
(ou conservação da massa) e uma equação de quantidade de movimento, que é
obtida aplicando-se a segunda lei de Newton para o movimento ao longo do
canal ou a partir do princípio da conservação de energia.
3.1.1. Equação da continuidade
Considere um volume de controle elementar de comprimento em um
canal (Figura 6). Entram, no volume de controle, uma vazão de montante ( ) e
uma vazão lateral distribuída ao longo do comprimento ( ). A dimensão de
é vazão por unidade de comprimento, de forma que a vazão lateral total é .
28
Figura 6 – Esquematização do volume de controle num canal natural.
Portanto, a massa total que entra no volume de controle é , em que
é a densidade do fluido. A massa total que sai do volume de controle é
, em que é a taxa de variação da vazão com a distância.
O volume do elemento de canal é , sendo que é a área da seção
transversal média do elemento de canal. A taxa de variação com o tempo da
massa contida no volume de controle é . O princípio da conservação
da massa estabelece para o volume de controle que:
(2)
Supondo que a densidade do fluido é constante, a equação de
continuidade é escrita como:
(3)
3.1.2. Equação de quantidade de movimento
A equação de quantidade de movimento é derivada a partir do princípio
da conservação da energia, tal como foi feito por Consoli (1991). Considerando
29
o volume de controle elementar da Figura 6, a variação da energia total
(potencial e cinética) ao longo da distância é causada pelo efeito do atrito
( ) e pela aceleração do fluido ( ) e pode ser escrita como
(4)
em que é a coordenada do leito em relação ao referencial; é a profundidade
do escoamento; é a velocidade média do escoamento; é a aceleração da
gravidade; é a parcela da inclinação da linha de energia causada pelo atrito,
definida por Wu e Vieira (2002) como:
(5)
em que é o fator de transporte, definido pela Equação (65), que leva em
consideração o efeito da rugosidade do leito e a geometria do canal; e, é o
coeficiente de Corolis, que corrige a não-uniformidade da distribuição da
velocidade na seção transversal, variando entre 1,0 e 1,3, e é definido pela
Equação (67).
Substituindo a velocidade ( ) e a elevação da superfície da água,
( ) na Equação (4), e utilizando diferenças parciais, a equação de
quantidade de movimento pode ser escrita como:
(6)
O primeiro termo da Equação (6) representa a aceleração local, que
descreve a variação da quantidade de movimento devida à variação da
velocidade com o tempo; o segundo termo representa a aceleração convectiva,
que descreve a variação da quantidade de movimento devida à variação da
velocidade do escoamento ao longo do comprimento do canal; o terceiro termo
representa a diferença entre as resultantes da pressão hidrostática do fluido
na fronteira do volume de controle, que é proporcional à variação da
profundidade do escoamento; e, o último termo representa a ação do atrito
entre o fluido em movimento e o leito do canal.
30
As Equações (3) e (6) constituem uma das maneiras de se expressar as
equações de Saint-Venant. Quando a Equação (6) é utilizada na sua forma
completa, o modelo é conhecido como modelo da onda dinâmica. Entretanto,
alguns problemas podem utilizar uma forma simplificada da Equação (6).
Quando se admite que os dois primeiros termos são desprezíveis, tem-se o
modelo da onda difusa, pelo qual:
(7)
A hipótese da onda difusa é aplicada apenas nos casos onde os efeitos da
inércia não são fortes, como por exemplo, quando o número de Froude ( )
definido por:
(8)
é menor que 0,5. Entretanto, no caso de escoamento aproximadamente
uniforme, os dois primeiros termos na Equação (6) se tornam desprezíveis e o
modelo da onda difusa pode ser aplicado mesmo quando o número de Froude é
muito maior que 0,5 (WU e VIEIRA, 2002).
3.2. Discretização das equações governantes
As equações de Saint-Venant constituem um sistema de equações
diferenciais parciais. Antes do advento dos computadores, técnicas de solução
analítica tinham que ser usadas para resolver EDPs (equações diferenciais
parciais). Entretanto, sua aplicação era restrita aos problemas mais simples e
mesmo assim, exigia um enorme esforço para realizar os cálculos
manualmente. Na maioria dos problemas de interesse prático, não é possível
encontrar soluções exatas por meio de técnicas de solução analítica. Por esta
razão, utilizam-se os métodos numéricos, em que o problema contínuo, isto é,
as equações governantes, é transformado em uma forma discreta que resulta
numa série de equações algébricas, que podem ser resolvidas
31
computacionalmente. A solução do problema discreto representa uma
aproximação da solução do problema contínuo.
Dentre as técnicas disponíveis para a simulação numérica de problemas
de escoamento está o método das diferenças finitas. Esse método representa o
problema por meio de uma série de valores obtidos em pontos ou nós
particulares do domínio do problema. As expressões para as variáveis são
obtidas através da substituição dos termos derivativos nas equações do modelo
por expansões truncadas da série de Taylor.
Um dos esquemas de diferenças finitas mais largamente utilizado em
problemas de escoamento em canais abertos é o esquema implícito de quatro
pontos proposto originalmente por Preissmann (1961). Ao comparar cinco
métodos numéricos aplicados à solução das equações de Saint-Venant, para
vários tipos de problemas transientes, Chen (1973) concluiu que o método
implícito de Preissmann era o mais adequado. A principal vantagem desse
esquema é que ele é compacto, ou seja, permite que os pontos da malha (seções
transversais) sejam espaçados não-uniformemente ao longo do canal. Outra
vantagem é que ele é implícito e, portanto, existe uma ampla região de
estabilidade que permite escolher o intervalo de tempo que melhor se ajuste às
escalas de tempo do escoamento físico (SAMUELS e SKELLS, 1990).
O esquema implícito de quatro pontos, pelo menos na sua forma
centrada, na verdade, foi publicado primeiramente por Thomas (1937), mas o
potencial do esquema não foi bem compreendido até os computadores se
tornarem suficientemente rápidos, confiáveis e disponíveis para a construção
de modelos hidráulicos computacionais na década de 1960 (SAMUELS e
SKELLS, 1990).
O esquema generalizado de Preissmann substitui a função contínua
em uma malha retangular no plano tempo-espaço (Figura 7) e suas
derivadas no tempo e no espaço por:
(9)
32
Figura 7 – Configuração da célula computacional.
(10)
(11)
em que ,
e ,
são os fatores de ponderação do esquema de
Preissmann para tempo e espaço, respectivamente; é o valor de no ponto
; é o número do passo no tempo; é o número do passo no
espaço; e, e são os intervalos no tempo e no espaço, respectivamente.
Usando o esquema implícito de Preissmann, a equação da continuidade,
Equação (3), é discretizada como:
(12)
e a equação de quantidade de movimento do modelo da onda dinâmica,
Equação (6), como:
33
(13)
em que é o fator de ponderação espacial para a inclinação da linha de
energia no caso da profundidade do fluxo ser pequena. Esse fator pode não ser
o mesmo que (ver seção 3.8).
A equação de quantidade de movimento discretizada do modelo da onda
difusa é igual à Equação (13) sem os primeiros quatro termos do lado esquerdo
da equação.
3.3. Esquema incremental-iterativo
A equação de quantidade de movimento, dada pela Equação (13), é uma
equação não-linear. Três métodos podem ser empregados para a solução
numérica de uma equação não-linear. Um deles é o método iterativo, que usa
diretamente a profundidade do escoamento ( ) e a vazão ( ) como variáveis
dependentes e usa um esquema iterativo para chegar à solução. O outro é o
método incremental, que usa os incrementos e como variáveis
dependentes. Há ainda o método incremental-iterativo, que usa os incrementos
e como variáveis dependentes e encontra a solução através de um
processo iterativo. Será adotado o último método, ou método incremental-
iterativo, no qual as seguintes relações são adotadas:
(14)
34
(15)
em que o símbolo * denota o valor da variável no último passo da iteração; ,
e são os incrementos de área, de profundidade e de vazão,
respectivamente, a serem determinados; e é a largura do canal na superfície
da água. Na Equação (14), nota-se que a área da seção transversal é
aproximada por uma área retangular equivalente.
Substituindo as Equações (14) e (15) na equação da continuidade
discretizada, Equação (12), obtém-se o seguinte esquema incremental-iterativo:
(16)
As incógnitas na Equação (16) são , , e , de modo que
esta equação pode ser reescrita como:
(17)
em que
(18)
(19)
(20)
(21)
35
(22)
De maneira similar, para estabelecer o esquema incremental-iterativo
para a equação de quantidade de movimento discretizada, Equação (13), as
seguintes relações são usadas, algumas delas devendo ser linearizadas,
conforme apresentaram Wu e Vieira (2002):
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
Substituindo as Equações (23) a (29) na Equação (13), o seguinte
esquema incremental-iterativo para a equação de quantidade de movimento
discretizada do modelo da onda dinâmica é obtido:
38
3.4. Algoritmo da varredura dupla
O método de solução consiste em resolver as equações de Saint-Venant
simultaneamente para as variáveis e . As Equações (17) e (31) formam
um conjunto de duas equações lineares com quatro incógnitas , , e
escritas para qualquer par de pontos espaciais e . Todos os
coeficientes nessas equações são funções de quantidades conhecidas nos pontos
e no passo no tempo . Entretanto, eles não são suficientes para
encontrar os valores das quatro incógnitas porque apenas duas equações estão
disponíveis. Porém, se o canal que está sendo modelado é dividido em ( – 1)
segmentos, existirão um total de 2
incógnitas e 2(
– 1) equações. Duas
equações adicionais são necessárias para avaliar e em = 1, 2,..., .
Essas duas equações são supridas pelas condições de contorno, de forma que o
sistema pode ser resolvido para qualquer passo no tempo (LOPEZ, 1978).
O sistema de equações resultante será resolvido pelo algoritmo da
varredura dupla. Nesse algoritmo, estabelece-se uma relação linear entre as
incógnitas e do tipo:
(42)
Substituindo a Equação (42) nas Equações (17) e (31), e eliminando ,
tem-se:
(43)
em que
(44)
(45)
Na primeira varredura, ou varredura para frente, as Equações (44) e
(45) são aplicadas recursivamente, com variando de 1 a ( – 1), sendo que e
são determinados pelas condições de contorno na entrada do sistema. Na
39
segunda varredura, ou varredura para trás, pode ser calculado
substituindo-se a Equação (42) na Equação (17), que resulta na seguinte
expressão:
(46)
e pela Equação (42), ao aplicar estas duas equações recursivamente, com
variando de ( – 1) a 1. Os valores e são especificados pelas condições
de contorno na saída do sistema. O processo iterativo realizado a cada
intervalo de tempo só termina quando a solução convergir, ou seja, quando
e aproximarem-se de zero.
As Equações (17) e (31) quando escritas para todos os pontos espaciais
do domínio do problema, constituem um sistema linear de equações muito
especial, porque todos os elementos não-nulos da matriz de coeficientes
formam uma banda com largura de cinco elementos disposta ao longo da
diagonal principal, resultando numa matriz penta-diagonal. Para este sistema,
o algoritmo da varredura dupla é muito eficiente e adequado para o cálculo
computacional. Os programas computacionais que utilizam técnicas numéricas
convencionais para resolver um sistema de 2 equações, como a técnica da
eliminação de Gauss, requerem o armazenamento de uma matriz de ordem 2
e o número de operações na solução é proporcional a , enquanto que no
método da varredura dupla tanto o armazenamento quanto o número de
operações na solução são proporcionais a (STRELKOFF, 1970).
3.5. Delineamento da rede de canais
Em situações reais, é comum a ocorrência de canais se unindo em
diversas confluências, formando uma rede de canais. Mesmo quando se deseja
modelar apenas o canal principal sem incluir os canais afluentes, as
contribuições destes tributários e os locais em que eles se unem ao canal
principal podem ser fundamentais para uma simulação mais correta.
40
Diante desta realidade, Wu e Vieira (2002) desenvolveram um modelo de
escoamento unidimensional capaz de simular qualquer rede de canais. A rede
de canais é subdividida em trechos, que são compostos por vários canais,
conforme ilustrado na Figura 8. Cada canal é um segmento de rio entre duas
seções transversais. Um trecho pode começar por uma seção de entrada da
rede ou por uma confluência, e terminar pela seção de saída da rede (por
exemplo, a barragem) ou por uma confluência. Dentro de um trecho não pode
existir qualquer confluência. A sequência de trechos vai dos tributários até o
rio principal e as seções dentro de um trecho são numeradas sempre de
montante para a jusante. Uma confluência, ou junção, deve ser composta
sempre por três seções, conforme está ilustrado no detalhe da Figura 8.
O segmento entre duas seções transversais constitui um elemento
computacional, no qual o método das diferenças finitas é usado para calcular o
escoamento, sendo que todas as respostas do modelo, tais como a vazão, a
velocidade, a profundidade do fluxo e outras, são obtidas nas seções
transversais (nós computacionais) e não nos elementos computacionais.
Figura 8 – Configuração da rede de canais.
41
As seções transversais devem ser normais à direção do escoamento
principal. O perfil da seção transversal é definido por um conjunto de pontos
(vértices), conforme ilustrado na Figura 9, que são definidos pelas suas
coordenadas vertical e horizontal. O número de vértices pode variar de seção
para seção, de acordo com a complexidade da geometria.
A rugosidade do leito pode variar dentro da seção transversal. Para que
essa variação possa ser considerada, a seção transversal é subdivida em
pedaços (subseções) em que a rugosidade é assumida constante. As
propriedades hidráulicas, tais como a área de escoamento e o fator de
transporte, não são calculadas da maneira convencional que considera a seção
como um todo, elas são obtidas para cada subseção.
3.6. Condições iniciais e de contorno
3.6.1. Condições iniciais
Para que a análise possa iniciar, é preciso estabelecer os valores iniciais
das variáveis do modelo hidrodinâmico, que são chamadas de condições iniciais
do problema. A primeira delas é a geometria inicial das seções, que é obtida
com base na própria topografia do terreno. Em seguida, a vazão inicial em cada
seção é calculada utilizando-se o seguinte procedimento: assume-se que a
vazão em cada seção de um mesmo trecho é igual à vazão da seção de
montante do trecho. Quando o trecho começa numa junção, a vazão é a soma
das vazões dos trechos de montante.
Figura 9 – Representação da seção transversal.
42
A elevação do nível d’água inicial é estimada utilizando-se o princípio da
conservação de energia novamente, Equação (4), porém, sem considerar a
aceleração do fluido. Assim, a equação se reduz a:
(47)
O método de cálculo é o mesmo descrito por Chow (1959). O processo
ocorre em etapas, iniciando numa seção em que as propriedades hidráulicas
são conhecidas, seguindo para a próxima seção e assim por diante. Em cada
etapa procura-se, por tentativa e erro, o valor de que satisfaça a Equação
(47).
Quando a vazão inicial da seção de saída da rede de canais, calculada
pelo processo descrito anteriormente, é diferente da vazão real, é preciso
corrigir as condições iniciais obtidas pelo procedimento acima. A técnica é
similar àquela utilizada por Soares
et al
. (1982), na qual as Equações (17) e
(31) são resolvidas fazendo-se variar de maneira linear a vazão da seção de
saída. O processo termina quando se alcança o valor especificado para a saída.
Os valores calculados no final deste processo representam as condições iniciais
do problema.
3.6.2. Condições de contorno
Para resolver as Equações (17) e (31), condições de contorno têm que ser
impostas nas seções de entrada e saída da rede de canais, e condições de
contorno internas são necessárias nas confluências.
Nas seções de entrada da rede de canais, a condição de contorno é
representada por uma hidrógrafa de vazões, que pode ser uma hidrógrafa
hipotética ou uma série histórica de vazões. Os coeficientes e na Equação
(42) são dados por:
(48)
(49)
43
Na seção de saída, uma curva nível d’água-vazão ou uma série histórica
de níveis d’água podem ser impostas. Se a série histórica de níveis d’água é
especificada, o incremento de vazão na seção de saída é calculado com a
seguinte equação:
(50)
em que
(51)
Se uma curva nível d’água-vazão ( ) é especificada, uma equação
discretizada para esta curva conduz a:
(52)
O incremento na profundidade do fluxo da seção de saída pode ser
derivado das Equações (50) e (52):
(53)
e, assim, pode ser calculado pela Equação (50). No caso de múltiplas
entradas e saídas, as Equações (48) a (53) devem ser aplicadas a cada seção do
contorno externo correspondente.
Para se determinar as condições de contorno internas nas confluências,
considere a junção de dois canais, ilustrada na Figura 10. Por conveniência, as
três seções transversais estão localizadas muito perto umas das outras. Na
junção, admite-se que as elevações da superfície da água das três seções são
iguais, e que a vazão da seção de jusante seja igual à soma das vazões das duas
seções de montante:
(54)
(55)
(56)
Expandindo as variáveis no tempo tem-se que:
44
Figura 10 – Configuração de uma confluência.
(57)
(58)
(59)
A partir da varredura para frente ao longo dos trechos de montante, que
contém as seções 1 e 2, tem-se que:
;
(60)
em que os coeficientes , , e são conhecidos.
Substituindo as Equações (60) na Equação (59), e então usando as
expressões para e nas Equações (57) e (58), obtém-se:
(61)
em que
(62)
(63)
Agora, a varredura para frente ao longo do trecho de jusante, que
contém a seção 3, pode continuar. Na varredura de volta, os incrementos e
podem ser determinados com as Equações (57) e (58) usando o
calculado previamente no final da varredura para trás do trecho de jusante em
45
direção à junção. Em seguida, os incrementos de vazão e são
calculados pelas Equações (60).
3.7. Estabilidade numérica
As propriedades numéricas do esquema implícito de Preissmann
aplicado às equações de Saint-Venant, como estabilidade, dissipação e
dispersão, têm sido minuciosamente investigadas. Entretanto, cada análise
aplica alguma hipótese simplificadora. Por exemplo, Evans (1977), Skells e
Samuels (1989), Samuels e Skells (1990) implementaram as equações de Saint-
Venant mas usaram, na discretização, operadores centrados no espaço (
), como no esquema original de Preissmann (1961).
Por outro lado, Lyn e Goodwin (1987) e Meselhe e Holly (1997) usaram o
esquema generalizado, em que os fatores de ponderação no tempo e no espaço
podem assumir qualquer valor entre 0 e 1, porém não incluíram o termo de
atrito nas suas análises (VENUTELLI, 2002). Lyn e Goodwin concluíram que a
condição necessária para garantir a estabilidade numérica é dada pela
expressão:
(64)
em que é o número de Courant, definido como: sendo uma
velocidade da onda característica das equações de Saint-Venant (WU e
VIEIRA, 2002).
Venutelli (2002) apresentou uma análise completa do esquema
generalizado de Preissmann aplicado às equações de Saint-Venant, incluindo
todos os termos das equações. Ele determinou que o valor mais adequado para
o fator de ponderação no tempo é > 0,5, tendendo para 1, o que produz a
dissipação necessária para estabilizar a solução numérica.
46
3.8. Tratamentos suplementares
3.8.1. Propriedades hidráulicas
A seção transversal pode ser dividida em diversas subseções e as
propriedades hidráulicas são calculadas para cada subseção. Entretanto,
algumas propriedades precisam ser determinadas para a seção transversal
como um todo antes de serem usadas para resolver o problema de escoamento
através das equações governantes.
O fator de transporte para a seção transversal como um todo é
determinado por:
(65)
em que é a área de escoamento;
é o raio hidráulico; é o perímetro
molhado; e, é o coeficiente de rugosidade de Manning, todos calculados para
cada subseção ; é o número de subseções da seção transversal.
O momento, para a seção transversal como um todo, é dado por:
(66)
em que e são a vazão e a velocidade em cada subseção , respectivamente.
Portanto, o coeficiente de correção do momento ( ) é calculado como:
(67)
em que é o fator de transporte da subseção .
3.8.2. Profundidade do escoamento pequena
Alguns problemas computacionais surgem quando a profundidade do
escoamento é pequena, conforme explicou Cunge
et al
. (1980). Como o fator de
transporte e a vazão tendem a zero quando a profundidade do fluxo aproxima-
47
se de zero, a inclinação da linha de energia é indeterminada. Meselhe e Holly
(1993) mostraram que não existe solução para este caso particular, conhecido
como problema do leito seco.
Para evitar a ocorrência do problema de leito seco, Cunge
et al
. (1980) e
mais tarde Meselhe e Holly (1993) propuseram uma abordagem relativamente
simples, na qual o fator de ponderação espacial para a inclinação da linha de
energia é trocado por um valor dentro do intervalo 0 ≤ ≤ 0,5 quando a
profundidade do escoamento é pequena. Dentro desta proposta, Langendoen
(1996) estabeleceu uma função empírica para estimar esse fator peso, dada
por:
(68)
em que o coeficiente ≈ 0,7 e o expoente ≈ 0,35. A Equação (68) atende à
recomendação ≤ 0,5. Entretanto, ela é uma relação empírica que foi
calibrada para o modelo de onda difusa em certos casos.
Wu e Vieira (2002) concluíram que fazer = 0,05 é uma forma mais
efetiva para tratar o problema de leito seco.
3.8.3. Escoamento subcrítico, crítico e supercrítico
Na prática, escoamentos críticos e supercríticos são encontrados apenas
em uma ou duas seções isoladas de rios naturais. A solução mais apropriada
seria estabelecer um modelo completo de onda dinâmica que englobasse desde
os escoamentos subcríticos aos supercríticos. Entretanto, isso demandaria
novos métodos numéricos, mudanças significativas no modelo atual e um
aumento significativo do tempo de computação.
Nesse trabalho é utilizada a mesma abordagem de Wu e Vieira (2002),
que combinaram o modelo da onda dinâmica com o da onda difusa. O modelo
da onda dinâmica é substituído pelo modelo da onda difusa sempre que o
número de Froude é maior que 0,9. O modelo híbrido da onda dinâmica e
difusa pode evitar efetivamente as instabilidades numéricas apresentadas pelo
modelo da onda dinâmica na região de transição do tipo de escoamento, e é
48
facilmente implementado dentro do esquema de Preissmann e do método
iterativo da varredura dupla (WU e VIEIRA, 2002).
Certamente, a substituição do modelo da onda dinâmica pelo modelo da
onda difusa conduz à perda de precisão. Entretanto, se o escoamento é
aproximadamente uniforme, o erro ao se fazer esta substituição em
pouquíssimos locais da rede de canais é pequeno e desprezível. Quando a
geometria do canal muda rapidamente, esse erro pode ser significante, mas se
não existe salto hidráulico, esse erro pode ser compensado recalibrando-se o
coeficiente de Manning (WU e VIEIRA, 2002).
49
Capítulo 4
Modelo de Sedimentos
4. Modelo de Sedimentos
4.1. Equações governantes
Unificando o modelo de transporte da carga de leito em condições de não
equilíbrio de Philips e Sutherland (1989), o modelo de transporte da carga em
suspensão de Han (1980), e o modelo de transporte da carga total de Armanini
e di Silvio (1988), Wu
et al
. (2004) estabeleceram a seguinte equação de
continuidade que governa o transporte de sedimentos não-uniformes em
condições de não-equilíbrio:
(69)
em que é a concentração média de sedimentos da seção; é a vazão de
sedimentos total; é a capacidade de transporte de sedimento ou a vazão
em condição de equilíbrio; é a vazão de sedimentos lateral, de entrada ou
saída, por unidade de comprimento do canal, proveniente das margens ou de
rios tributários; e, é a distância de adaptação para o transporte de
sedimento em condições de não-equilíbrio. Na Equação (69) e nas demais
equações deste capítulo, o subscrito indica que a variável é definida para
cada classe de tamanho de partículas .
O primeiro termo do lado esquerdo da Equação (69) representa o efeito
do armazenamento, enquanto que o último termo do lado esquerdo representa
50
a troca entre o sedimento em movimento e o material do leito, com e
representando a deposição e a erosão, respectivamente.
A Equação (69) é uma equação generalizada, que pode ser aplicada para
a carga de leito, para a carga em suspensão ou para a carga de lavagem
separadamente, ou aplicada para a carga total, dependendo de como a vazão de
sedimentos e a distância de adaptação são definidas. Nesse trabalho, não será
feita distinção entre carga de leito e carga em suspensão, sendo que ambas
serão tratadas em conjunto como carga de material de leito. Portanto, a
Equação (69) é aplicada para a carga de material de leito e para a carga de
lavagem. Para a carga de material de leito, a vazão de sedimentos é igual à
soma das vazões da carga de leito e da carga em suspensão. Para a carga de
lavagem, a distância de adaptação é considerada infinitamente grande, o que
torna o termo de troca no lado esquerdo da equação igual a zero.
A capacidade de transporte de sedimentos pode ser escrita, de uma
forma geral, como:
(70)
em que é o fator de disponibilidade de sedimento, ou seja, a graduação do
material do leito; é a capacidade de transporte potencial da carga de
material de leito, que pode ser determinada por diversas fórmulas existentes
(ver seção 4.6.2).
A deformação do leito é determinada pela equação:
(71)
em que é a porosidade do material do leito; e, é a taxa de
deformação do leito.
Cabe destacar que combinando as Equações (69) e (71) obtém-se a
equação de continuidade do sedimento, dada por:
(72)
51
que também pode ser usada para calcular a deformação do leito. É importante
notar que a equação de continuidade de sedimento tem mais derivadas que a
equação de continuidade que governa o transporte de sedimentos em condições
de não-equilíbrio, Equação (69), e, portanto, precisa de mais nós
computacionais na discretização numérica (WU
et al
., 2004).
O material do leito é dividido em várias camadas, o que permite calcular
as mudanças na granulometria do material do leito devido à erosão ou à
deposição, conforme ilustrado na Figura 11. De acordo com o balanço de massa,
Wu (1991) derivou a seguinte equação para a variação da graduação do
material do leito na camada de mistura (camada de superfície)
(73)
em que é a área de material do leito na camada de mistura de uma seção
transversal; é a taxa de deformação total do leito; e, é dada pela
seguinte regra:
Caso ocorra deposição, tem-se que e a camada de
mistura cede material para a camada de sub-superfície. Assim, é igual
graduação do material da camada de mistura ( );
Caso ocorra erosão, tem-se que e a camada de mistura
recebe material da camada de sub-superfície. Assim, é igual graduação
do material da camada de sub-superfície ( ).
O último termo do lado direito da Equação (73) representa a troca entre
a camada de mistura e a camada de sub-superfície.
Figura 11 – Modelo de múltiplas camadas para a gradação do material do leito.
Fonte: Wu
et al
. (2004).
52
A taxa de deformação total do leito é escrita como:
(74)
em que é o número total de classes de tamanho de partículas de sedimento.
4.2. Discretização das equações governantes
A concentração média de sedimentos numa seção pode ser expressa por:
(75)
na qual
é a velocidade média do sedimento, sendo aproximada pela
velocidade média do escoamento, ; e é um coeficiente que corrige a
diferença entre as velocidades do escoamento e do sedimento, aproximado por
1 neste trabalho. Substituindo a Equação (75) na Equação (69), obtém-se a
seguinte equação de transporte de sedimentos:
(76)
Discretizando a Equação (76) com o esquema de Preissmann, obtém-se:
(77)
53
A Equação (77) pode ser escrita como:
(78)
em que
(79)
(80)
(81)
(82)
(83)
A Equação (76) pode ser resolvida por vários esquemas numéricos
encontrados na literatura. Alguns esquemas são mais eficientes que outros,
sendo que o esquema implícito de Preissmann é um dos mais simples e
eficientes (WU
et al
., 2004).
Como o cálculo do transporte de sedimentos é feito do nó de montante
para o nó de jusante , apenas e são incógnitas na Equação
(78), que pode ser reescrita como:
(84)
em que
54
(85)
(86)
incluem todos o parâmetros conhecidos.
A deformação do leito pode ser descrita pela Equação (71) ou (72).
Quando a Equação (72) é usada, a continuidade do sedimento pode ser
facilmente satisfeita nos cálculos, mas a Equação (72) é mais complexa e sua
discretização pode necessitar um volume de controle diferente (WU e VIEIRA,
2002). Portanto, a Equação (71) é usada para calcular a deformação do leito e é
discretizada como:
(87)
Ou ainda, numa forma compacta:
(88)
em que
(89)
(90)
A Equação (70) será tratada com um esquema implícito, pelo qual:
(91)
A equação para a gradação do material do leito na camada de mistura,
Equação (73), é discretizada como:
(92)
55
em que é a deformação do leito correspondente à classe de tamanho
num intervalo de tempo , e é a deformação total do leito, expresso
por:
(93)
O parâmetro é igual à porcentagem do material do leito na
camada de mistura ( ) se , ou é a
porcentagem do material do leito na camada de sub-superfície se
.
A porcentagem do material do leito na camada de sub-superfície
( ) é obtida a partir do princípio da conservação da massa, pelo qual:
(94)
em que é a área total de material de leito da classe de tamanho ; e,
é a área total de material do leito.
4.3. Solução das equações algébricas
Se , na Equação (91) é substituída por para formar uma
expressão explícita, uma hipótese adotada por muitos modelos de transporte de
sedimentos, os cálculos podem continuar sucessivamente através das Equações
(84), (88), (93), (92) e (94), formando um método completamente desacoplado
para a solução das equações algébricas. Este método é muito simples, mas está
suscetível ao desenvolvimento de fenômenos não-físicos, tais como oscilações
numéricas e gradação negativa do material do leito. Por outro lado, quando o
termo é tratado implicitamente, resulta num método acoplado para a
solução do transporte de sedimentos não-uniformes, deformação do leito e
variação granulométrica do material do leito. Este método é mais adequado
para eliminar os problemas supramencionados, conforme mostrou Wu
et al
.
56
(2004). Entretanto, as equações algébricas precisam ser resolvidas
simultaneamente. Normalmente, um método iterativo seria necessário e o
tempo computacional aumentaria consideravelmente. Para evitar o aumento
do esforço computacional, um método de solução direta foi proposto por Wu e
Li (1992). Inserindo as Equações (91) e (84) na Equação (88), tem-se que:
(95)
Substituindo a Equação (92) na Equação (95), obtém-se:
(96)
Somando a Equação (96) sobre todas as classes de tamanho de
sedimento e usando a Equação (93), obtém-se a seguinte equação que calcula
diretamente a deformação total do leito:
(97)
Uma vez calculado o incremento usando a Equação (97), a
deformação fracionária do leito ( ) pode ser determinada pela Equação
(96), enquanto que as quantidades , são
calculadas, respectivamente, pelas Equações (92), (91), (84) e (94). Este
procedimento é um método direto de solução.
57
O processo de cálculo acoplado para o transporte de sedimento não
aumenta significativamente o tempo computacional em cada passo do tempo
pelo fato de se usar o método de Wu e Li (1992) para resolver as equações
algébricas. Comparado com o processo completamente desacoplado, o esforço
computacional requerido pelo modelo acoplado é aumentado apenas pelo
cálculo da Equação (97). Como o esquema acoplado é muito mais estável (ver
seção 4.5), pode-se utilizar um intervalo de tempo, , maior para o cálculo da
sedimentação, contrapondo-se significativamente ao tempo computacional
gasto pela Equação (97) e aumentando-se demasiadamente a eficiência
computacional do processo como um todo.
O processo de cálculo acoplado para o transporte de sedimento não-
uniforme acima é, ainda, desacoplado do cálculo do escoamento. O intervalo de
tempo para ambas as rotinas de cálculo do escoamento e da sedimentação é
influenciado pela estabilidade numérica do modelo de escoamento e pelo
processo desacoplado. Se os cálculos de escoamento e sedimentação fossem
acoplados, um maior esforço computacional seria exigido, por causa da
necessidade de um processo iterativo de solução, o que eliminaria as vantagens
do método de solução direta adotado para o transporte de sedimento não-
uniforme. Até o momento, o tipo de processo semi-acoplado, que acopla o
transporte de sedimento não-uniforme, a deformação do leito e a gradação do
material do leito enquanto os mantém desacoplados da solução do escoamento,
parece ser a forma mais eficiente de se modelar o transporte de sedimento não-
uniforme (WU e VIEIRA, 2002).
4.4. Condições iniciais e de contorno
4.4.1. Condições iniciais
No início da simulação do problema, a vazão de sedimento por classe de
tamanho deve ser informada para todas as seções da rede de canais. Para
estimar os valores iniciais, a equação de transporte de sedimentos, Equação
(76), é utilizada. Entretanto, o termo será desconsiderado. A
58
equação resultante é discretizada por um esquema explícito de diferenças
finitas, que fornece:
(98)
Admite-se, também, que a granulometria inicial do material do leito seja
a mesma em todos os nós computacionais, tanto na camada de mistura quanto
na camada de sub-superfície.
4.4.2. Condições de contorno
Para o cálculo do transporte de sedimentos ao longo do tempo, são
necessárias condições de contorno para que o sistema de equações algébricas
tenha solução.
As séries históricas da vazão de sedimentos para todas as classes de
tamanho devem ser dadas nas seções de entrada da rede de canais ou nos nós
que possuam entrada lateral.
Nas seções de entrada da rede de canais, assume-se que não ocorre
deformação do leito e, consequentemente, também não ocorre mudança na
granulometria do material do leito.
Nas confluências, a vazão de sedimentos na seção de jusante é igual à
soma das vazões de sedimento das duas seções de montante. Considera-se que
a deformação do leito na seção de jusante da confluência é igual à soma das
deformações do leito das duas seções de montante da confluência, tanto a
deformação total como a fracionária.
4.5. Estabilidade numérica
Wu
et al
. (2004) estudaram a estabilidade numérica do esquema de
Preissmann para o transporte de sedimentos e para a gradação do material do
leito. Em relação à equação de transporte de sedimentos, foram obtidas faixas
de valores nas quais os fatores de ponderação no tempo e no espaço deveriam
59
se localizar a fim de garantir a estabilidade, de onde concluíram que tanto
quanto deveriam assumir valores próximos de 1.
Para a gradação do material do leito, os mesmos autores compararam a
estabilidade do esquema explícito com a do esquema implícito. Concluíram que
o esquema implícito é muito mais estável que o esquema explícito. E para
garantir a estabilidade do esquema implícito, fizeram as seguintes
recomendações: que a deformação total do leito fosse limitada pela magnitude
da camada de mistura, ou seja, ou ; e que a magnitude da
camada de mistura fosse controlada ao longo do tempo, ou seja, .
Para evitar que a gradação do material do leito assumisse valores
negativos, sob certas condições, durante os cálculos, constituindo um fenômeno
não-físico, os mesmos autores também analisaram os esquemas explícito e
implícito. Concluíram que o esquema implícito pode satisfazer mais facilmente
a exigência de gradação não-negativa do que o esquema explícito, e que um dos
tratamentos mais seguros é impor = 1, e .
4.6. Fórmulas empíricas complementares
4.6.1. Velocidade de queda das partículas de sedimento
Existem diversas fórmulas empíricas disponíveis na literatura para
estimar a velocidade de queda das partículas de sedimento e este assunto
continuará sendo investigado pelos pesquisadores devido à complexidade dos
fatores que influenciam a velocidade de queda de sedimento não-uniforme e à
dificuldade em estudá-los.
Wu
et al
. (2000b) obtiveram excelentes resultados quando empregaram
a fórmula de Zhang (ZHANG
et al
., 1989) juntamente com a sua formulação
para capacidade de transporte de sedimento não-uniforme (ver seção 4.6.2) e
recomendaram o uso simultâneo das duas formulações. A fórmula de Zhang
para a velocidade de queda das partículas de sedimento é dada por: (1989)
60
(99)
em que (m/s) é a velocidade de queda das partículas; (m) é o diâmetro
que representa a classe de tamanho ; (kN/m³) é o peso específico dos
sólidos; (kN/m³) é o peso específico da água; (m/s²) é a aceleração da
gravidade; e, (m²/s) é a viscosidade cinemática da água, que é estimada pela
expressão:
(100)
em que (°C) é a temperatura da água.
A fórmula de Zhang foi calibrada com dados experimentais numa faixa
de diâmetros de partículas entre 0,01 mm a 10 mm, mas ela pode ser usada
além desta faixa (WU e VIEIRA, 2002).
4.6.2. Capacidade de transporte de sedimentos
No processo de movimento de sedimentos, as partículas grossas do leito,
de um determinado tamanho, são mais facilmente erodidas se o sedimento é
não-uniforme do que se o sedimento é uniforme, porque elas têm uma chance
maior de estarem expostas ao escoamento. A situação é oposta no caso das
partículas finas do leito, devido ao fato delas serem provavelmente protegidas
pelas partículas grossas. O efeito da exposição e do escondimento das
partículas do material de leito não-uniforme é, portanto, importante na
previsão do transporte de sedimento não-uniforme.
O procedimento mais comum para incluir o efeito da exposição e do
escondimento nos modelos de transporte de sedimento não-uniforme é
introduzir algum tipo de fator de correção, que leva em consideração este
efeito, nas fórmulas tradicionais que tratam do transporte de sedimento
uniforme (WU
et al
., 2000).
A maioria dos autores estabeleceu fatores de correção relacionados
apenas com o tamanho do material do leito, sem levar em consideração a
61
influência da gradação. Wu
et al
. (2000b), por sua vez, desenvolveram um
modelo probabilístico para levar em consideração o efeito da exposição e do
escondimento e estabeleceram um fator de correção que inclui, além da
influência do tamanho da partícula de sedimento e da gradação do material do
leito, as probabilidades da partícula estar exposta ou escondida no leito.
O fator de correção ( ) para o efeito da exposição e do escondimento
definido por Wu
et al
. (2000b) é dado por:
(101)
em que é um parâmetro empírico; e, e
são as probabilidades de
escondimento e de exposição para a classe de tamanho do material do leito,
respectivamente, dadas por:
(102)
(103)
em que é a porcentagem de cada classe de tamanho do material do leito; e,
é o diâmetro correspondente à classe de tamanho do material do leito.
É importante observar que . Caso o sedimento seja
uniforme, e , o que significa que as probabilidades de
exposição e de escondimento são iguais. No caso de sedimento não-uniforme,
para as partículas grossas, e para as partículas finas.
A seguir, são apresentados os dois métodos para calcular a capacidade
de transporte de sedimento não-uniforme utilizados neste trabalho. Os dois
métodos utilizam o fator de correção de Wu
et al
. (2000b) para tratar de
sedimento não-uniforme.
Fórmula de Wu et al. (2000b)
Além de estabelecerem uma nova abordagem para calcular o fator de
correção para a exposição e o escondimento de sedimento não-uniforme, Wu
et
62
al
. (2000b) propuseram também novas fórmulas para calcular a taxa de
transporte fracionária de sedimento não-uniforme, tanto para a carga de leito
quanto para a carga em suspensão. Estas fórmulas forneceram ajustes com
dados de laboratório e de campo melhores do que várias outras fórmulas
existentes. As fórmulas para determinar a capacidade de transporte
fracionária para carga de leito e para carga em suspensão propostas por Wu
et
al
. (2000b) são dadas por:
(104)
(105)
em que e (m²/s) são as capacidades de transporte por unidade de
largura do canal, para carga de leito e carga em suspensão, respectivamente;
(s/m
1/3
) é o coeficiente de Manning devido à rugosidade do grão do leito; é a
tensão cisalhante total no canal (incluindo leito e margens); é a tensão
cisalhante no leito; é a tensão cisalhante crítica para o movimento
incipiente do material do leito.
O coeficiente de Manning devido à rugosidade do grão do leito é definido
como:
(106)
em que (m) é o diâmetro do material do leito no qual 50% do material é
mais fino em peso. A tensão cisalhante total no canal e a tensão cisalhante no
leito são definidas, respectivamente, pelas equações:
(107)
(108)
em que é o raio hidráulico do leito do canal, dado por:
63
(109)
A tensão cisalhante crítica para sedimento não-uniforme é diferente
daquela para sedimento uniforme. Após considerar o mecanismo de exposição e
escondimento para material de leito não-uniforme, Wu
et al
. (2000b)
determinaram que:
(110)
sendo que e são obtidos pelas Equações (102) e (103), respectivamente.
Fórmula de Engelund e Hansen modificada com o fator de correção
de Wu et al. (2000b)
Engelund e Hansen (1967) usaram o conceito de potência de um rio, de
Bagnold (1966), e o princípio da semelhança para obter sua fórmula de
transporte de sedimento. Entretanto, para calcular a capacidade de transporte
fracionária para a carga de material de leito não-uniforme incluindo o efeito de
exposição e escondimento, a fórmula original de Engelund e Hansen (1967) foi
modificada por Wu e Vieira (2002), que obtiveram a seguinte equação:
(111)
em que (m²/s) é capacidade de transporte fracionária para a carga de
material de leito; é igual à tensão cisalhante no leito, Equação (108); e, é
um fator de atrito dado por:
(112)
4.6.3. Porosidade do material do leito
A maioria dos modelos de transporte de sedimentos utilizam fórmulas
empíricas para estimar a porosidade do material do leito, normalmente
64
relacionando-a com algum parâmetro obtido através da análise granulométrica
do material do leito. A seguir são apresentados dois métodos empíricos para
calcular a porosidade do material do leito que foram utilizados por Wu e Vieira
(2002) em seu modelo de transporte de sedimentos e que também foram usados
neste trabalho.
Método de Komura e Simmons (1967)
A fórmula empírica para estimar a porosidade do material do leito
proposta por Komura e Simmons é dada por:
(113)
em que é dado em milímetros.
Método de Han et al. (1981)
Han
et al
. (1981) propuseram a seguinte fórmula semi-empírica para
calcular a porosidade inicial do material do leito uniforme:
(114)
em que (mm) é o diâmetro do material do leito; é um diâmetro de
referência, adotado como 1 mm; é a espessura da camada de água aderida às
partículas de sedimento, a qual foi assumido um valor de 0,0004 mm.
No caso de material de leito não-uniforme, Han
et al
. (1981) estudaram o
provável preenchimento dos vazios entre as partículas grossas pelas partículas
finas, e estabeleceram fórmulas semi-empíricas para a porosidade do material
de leito não-uniforme. Entretanto, estas fórmulas são muito complicadas e
difíceis de serem implementadas (WU e VIEIRA, 2002). Se o material do leito
possui uma faixa estreita de tamanhos de grãos, ou se as partículas finas são
menores que 0,05 mm, então o fenômeno de preenchimento é desprezível, e a
porosidade do material de leito não-uniforme como um todo pode ser calculada
com o método de Colby (1963), pelo qual:
65
(115)
em que é a porosidade do sedimento da classe , que é calculada com a
Equação (114), substituindo-se por .
Além dos dois métodos propostos acima para determinar a porosidade do
material do leito, outra opção disponível no modelo é adotar um valor
constante para a porosidade ao longo de todo o processo de análise.
4.6.4. Distância de adaptação
A distância de adaptação para o transporte de sedimento em condições
de não-equilíbrio ( ) caracteriza a distância necessária para que o sedimento
passe de um estado de não-equilíbrio para um estado de equilíbrio. Ele é um
parâmetro importantíssimo dentro do presente modelo. Infelizmente, ele tem
que ser prescrito empiricamente, e existem incertezas consideráveis associadas
à sua determinação, confirmadas pela adoção de valores tão distintos por
diferentes pesquisadores. Por exemplo, Wang (1999) executou um experimento
de degradação do leito à jusante de uma barragem causada pela água limpa
num canal de 10 m de comprimento e encontrou valores médios de entre 2 m
e 10 m. No mesmo tipo de experimento, Bell e Sutherland (1983) observaram
que era relacionado ao tempo, em horas, de execução do experimento. Em
modelos numéricos, Philips e Sutherland (1989), Thuc (1991) e Wu
et al
.
(2000a) adotaram como a distância média do “saltation step” da areia no
leito, que equivale a cerca de 100 ou menos, enquanto Rahuel e Holly
(1989) e Fang (2000) consideraram valores para muito maiores, da ordem de
uma ou duas vezes o espaçamento da malha numérica.
A razão para valores tão discrepantes pode estar no fato de estar
intimamente relacionado com a dimensão dos movimentos do sedimento, com a
forma do leito e com a geometria do canal estudados, que são bastante
diferentes de caso a caso. Em experimentos de laboratório, os processos de
transporte de sedimento estão, principalmente, em escalas pequenas tal como
66
o “saltation” da areia, as ondulações e as dunas, enquanto que os processos
naturais de transporte de sedimento ocorrem normalmente em escalas e
períodos maiores. Por outro lado, também é um parâmetro importante para
a estabilidade numérica, conforme mostraram Wu
et al
. (2000, 2004). Valores
pequenos de requerem que tanto a dimensão da malha quanto o passo no
tempo sejam pequenos para assegurar a estabilidade numérica. O tamanho da
malha e o intervalo de tempo devem ser grandes em situações naturais e
quando os recursos computacionais são limitados. Sendo assim, valores
grandes para são desejados. Por isso, é compreensível que valores diferentes
de tenham sido adotados na literatura. No presente modelo, serão adotados
valores diferentes de para carga de leito e carga em suspensão.
Para carga de leito
Como descrito acima, a distância de adaptação, especialmente para
carga de leito, está relacionada com a dimensão dos movimentos do sedimento,
com as formas do leito e com a geometria do canal. É desejável que tenha
um valor relacionado com a forma dominante do leito ou com a geometria do
canal. Por exemplo, se existem apenas ondulações de areia no leito, o que
normalmente ocorre em casos experimentais, a distância de adaptação para a
carga de leito pode ser adotada como a distância média do “saltation step” da
areia, ou o comprimento das ondulações de areia, conforme adotaram Philips e
Sutherland (1989), Thuc (1991) e Wu
et al
. (2000a). Se a forma de leito
dominante for a duna de areia,
pode assumir o comprimento da duna de
areia, que segundo van Rijn (1984) é dada por:
(116)
em que é a distância de adaptação para a carga de leito; é um coeficiente
empírico, adotado como 1; e, é a profundidade média do escoamento do canal.
Como a profundidade do fluxo pode ser significativamente diferente em canais
diferentes, é o valor médio de um mesmo trecho.
67
Se as barras alternadas são a forma do leito dominante, pode ser
considerada como o comprimento das barras alternadas, que de acordo com
Yalin (1972) são dadas por:
(117)
em que é a largura média do trecho da rede de canais.
Normalmente, sugere-se adotar o comprimento da duna de areia em
casos experimentais, e o comprimento das barras alternadas para rios naturais
(Wu e Vieira, 2002). Além das Equações (116) e (117), adotou-se no presente
modelo o tratamento de Rahuel e Holly (1989) pelo qual:
(118)
em que é a distância da malha computacional.
Outra opção disponível no modelo é adotar um valor para constante
durante todo o processo de cálculo. Para se fazer a escolha certa, é preciso
julgar qual tipo de forma do leito ou geometria do canal é dominante no caso
em estudo. Outra maneira de se determinar o parâmetro
ideal é pela
calibração do modelo, onde todas as opções são testadas e escolhe-se a que
fornecer os resultados mais precisos.
Para carga em suspensão
A distância de adaptação para a carga em suspensão é dada por:
(119)
em que é o coeficiente de adaptação em condição de não-equilíbrio, que pode
ser calculado pelo método de Armanini e di Silvio (1988) ou outros métodos
semi-empíricos. Valores de
calculados a partir destes métodos são
normalmente maiores que 1.
Na prática, entretanto, vários pesquisadores têm apresentado valores
bastante diferentes para , a maioria deles menores que 1. Han (1980) e Wu
(1991) sugerem = 1 para o caso de erosão forte, = 0,25 para o caso de
deposição forte, e = 0,5 para erosão e deposição fracas, como resultado de
68
ensaios de validação em vários reservatórios e rios. Entretanto, apresentou
valores muito pequenos, tal como 0,001, no Rio Amarelo (WEI, 1990) e no Rio
Grande (YANG
et al
., 1998), nos quais a concentração de sedimentos é alta, e
pode ocorrer, com frequência, rápida erosão e deposição. Portanto, é um
parâmetro que deve ser fornecido para o modelo. (1998)
Para carga de material de leito
Como a carga de leito e a carga em suspensão são combinadas como
carga de material de leito, conforme descrito na seção 4.1, a distância de
adaptação em condições de não-equilíbrio para a carga de material de leito é
dada pelo valor máximo das distâncias calculadas para a carga de leito e para
a carga em suspensão, ou seja:
(120)
Para carga de lavagem
Como a troca líquida de sedimentos entre a carga de lavagem e o leito do
canal é normalmente desprezível, a distância de adaptação para a carga de
lavagem ( ) é adotada como sendo infinitamente grande, ou seja:
(121)
4.6.5. Delimitação da carga de lavagem
A faixa de tamanho de sedimentos correspondente à carga de lavagem
depende das condições de escoamento e dos sedimentos do caso em estudo. No
caso de transporte de sedimentos em rios naturais, usualmente ela pode ser
determinada através da seguinte expressão (WU e VIEIRA, 2002):
(122)
em que é a constante de von Karman ( ); e, é a velocidade de
cisalhamento do leito ( ).
69
No caso de sedimentação em reservatórios, o limite superior da faixa de
tamanhos de sedimento para a carga de lavagem é igual a zero, conforme
sugeriram Wu e Vieira (2002). Isto significa que nenhuma carga de lavagem é
excluída da simulação da carga total.
4.6.6. Espessura da camada de mistura
A espessura da camada de mistura ( ) é um parâmetro muito
importante para o cálculo da variação granulométrica do material do leito, o
que influencia os cálculos da sedimentação como um todo. Wu e Vieira (2002)
sugeriram algumas alternativas: ; ; = 0,05 m para rios
naturais; ou = 0,5Δ, em que Δ é a altura da duna de areia calculada com o
método de van Rijn (1984). Outra alternativa é calibrar para o problema em
estudo.
4.6.7. Distribuição lateral dos sedimentos
O modelo de transporte de sedimentos é unidimensional e calcula a área
total de sedimentos depositados ou erodidos em cada seção transversal.
Portanto, ele não define como os sedimentos se distribuem ao longo da seção
transversal. Para tanto, é preciso utilizar algum método empírico que possa
aproximar a distribuição lateral dos sedimentos no leito.
Existem basicamente três métodos para distribuir lateralmente os
sedimentos numa seção transversal. Um deles supõe que os sedimentos se
depositam nos pontos mais profundos da seção, formando uma superfície
horizontal. Esse método foi utilizado por Lopez (1978) e está ilustrado na
Figura 12a. Outro procedimento é distribuir o sedimento em todos os vértices
que estão abaixo da superfície da água de maneira uniforme, tal como é feito
no modelo HEC-6 (U.S. ARMY CORPS OF ENGINEERS, 1972) e está
70
Figura 12 – Métodos de distribuição lateral de sedimentos: (a) distribuição
horizontal; (b) distribuição uniforme; e, (c) distribuição proporcional à
profundidade do escoamento.
ilustrado na Figura 12b. Por último, os sedimentos podem ser distribuídos
proporcionalmente à profundidade do escoamento em cada vértice, de modo
que a deposição é maior nos vértices mais profundos e a superfície do leito vai
se tornando, ao longo do tempo, horizontal. Este método foi usado por Soares
(1975), assim como no presente modelo e está ilustrado na Figura 12c.
4.6.8. Elevação média do leito
O modelo distribui lateralmente os sedimentos que sofrem deposição ou
erosão a cada intervalo de tempo, alterando a coordenada vertical de cada
vértice da seção transversal. Entretanto, é comum expressar de uma maneira
média, a mudança da elevação do leito que ocorre em toda a seção transversal.
Sendo assim, a elevação média do leito em cada seção transversal é calculada
por:
(123)
em que o sobrescrito 0 indica que os valores são tomados no início da simulação
( = 0).
71
Capítulo 5
Modelo de Adensamento Unidimensional
5. Modelo de Adensamento Unidimensional
A análise física do adensamento corresponde à análise simultânea de
um problema de deformações, ou tensões, e de um problema de fluxo em meio
poroso. Matematicamente, isto corresponde a resolver um sistema de equações
diferenciais formadas por equações de equilíbrio e pela equação da
continuidade.
Algumas relações auxiliares são necessárias para tornar o número de
equações iguais ao número de incógnitas na resolução do sistema de equações
diferenciais do adensamento. Essas relações compreendem a lei que rege o
fluxo em um meio poroso, o princípio das tensões efetivas e as leis constitutivas
de cada fase do solo. Como a água e as partículas sólidas apresentam
compressibilidade muito menor que a do solo, elas são consideradas
incompressíveis, eliminando, consequentemente, duas leis constitutivas do
material.
A resolução do sistema de equações diferenciais resultante na sua forma
mais geral é muito difícil e a precisão da resposta é muito dependente da
determinação dos parâmetros das leis constitutivas. Em função da dificuldade
de se obter parâmetros que reflitam o comportamento real do solo, faz-se
então, hipóteses simplificadoras sobre o comportamento do material que
72
tornam menos complexa a resolução do sistema de equações diferenciais
(PINTO, 1988).
No âmbito das teorias unidimensionais, Gibson
et al
. (1967)
desenvolveram a formulação mais geral. Nessa formulação, as relações entre
tensão efetiva e índice de vazios e entre permeabilidade e índice de vazios são
não-lineares (não-linearidade física). A lei de Darcy é valida, porém desde que
expressa em termos da velocidade relativa entre a água intersticial e as
partículas sólidas (lei de Darcy-Gersevanov). Não existe restrição à magnitude
das deformações, ou seja, as deformações são finitas (não-linearidade
geométrica). As forças de massa são consideradas. O solo é saturado.
A não-linearidade geométrica é mais próxima da realidade, porém, sua
adoção implica numa maior dificuldade na resolução do adensamento. Nesse
sentido, a escolha do sistema de coordenadas é fundamental.
5.1. Sistemas de coordenadas
Os problemas de não-linearidade geométrica podem ser tratados no
sistema Euleriano ou no sistema Lagrangeano de coordenadas. Obviamente,
em ambos os casos a resposta deve ser a mesma. No sistema Euleriano,
normalmente utilizado em geotecnia, as deformações são referidas a um
sistema de eixos fixo em relação ao tempo. Assim, durante o adensamento, a
coordenada de uma partícula qualquer do esqueleto sólido varia com o tempo à
medida que o solo se deforma, obrigando a atualização da posição da partícula
a cada instante. No sistema Lagrangeano, ou convectivo, as partículas em
movimento são o tempo todo identificadas através das suas coordenadas
iniciais. Desta forma, a coordenada de uma dada partícula torna-se
independente do tempo, apesar de ela estar mudando de posição.
Na teoria unidimensional de adensamento com grandes deformações de
Gibson
et al
. (1967) é comum usar um tipo especial de sistema de coordenadas
Lagrangeano, denominado do material ou reduzido, no qual a coordenada de
uma partícula é medida através do volume de sólidos contido entre a partícula
e um plano de referência, geralmente a base da camada. Como se admite não
73
haver carreamento de partículas sólidas durante o adensamento, as
coordenadas de todas as partículas permanecem constantes com o tempo
durante o processo do adensamento. Dessa maneira, a análise do adensamento
unidimensional com não-linearidade geométrica fica bastante simplificada,
uma vez que o problema de contorno (geometria) variável se torna, na solução
numérica, um problema de contorno fixo.
No entanto, a análise do adensamento de camadas de materiais muito
moles cuja espessura aumenta continuamente com o tempo é um problema de
contorno variável, mesmo quando analisado em coordenadas reduzidas, uma
vez que o número total de partículas sólidas na camada cresce com o tempo.
Para resolver esta dificuldade, Pane (1985) propôs o sistema de coordenadas
reduzido adimensional. Neste sistema, a coordenada de uma dada partícula
num determinado instante é medida pelo volume de sólidos contido entre a
partícula e um plano de referência, dividido pelo volume total de sólidos
existente na camada naquele instante. Neste sistema de coordenadas, mesmo o
adensamento de uma camada com espessura crescente com o tempo se torna
um problema de contorno fixo, simplificando bastante a solução numérica
(AZEVEDO e SADO, 1990).
Na Figura 13 está representado, para uma camada de espessura
constante, num tempo anterior ao início do processo de adensamento e
num tempo posterior àquele início, o valor da coordenada de algumas
partículas nos diversos sistemas de coordenadas mencionados anteriormente.
De acordo com as definições expostas acima, para uma determinada
partícula cuja coordenada Lagrangeana é , sua coordenada reduzida será
independente do tempo e igual a:
(124)
em que corresponde à distribuição do índice de vazios com a
profundidade no instante .
Já a coordenada reduzida adimensional é função do tempo e igual a:
74
Figura 13 – Diferentes tipos de sistemas de coordenadas (camada de espessura
constante). Fonte: Azevedo e Sado (1990).
(125)
em que é o volume total de sólidos existente na camada no instante .
Para se obter a coordenada Euleriana, utiliza-se a seguinte expressão:
(126)
5.2. Equação do adensamento unidimensional com grandes
deformações
A seguir será apresentado sucintamente o desenvolvimento da equação
de adensamento unidimensional com deformações finitas, utilizando-se o
sistema de coordenadas reduzido adimensional.
As equações de equilíbrio usadas para descrever o adensamento
unidimensional são a equação do equilíbrio da mistura e a equação do
equilíbrio da fase líquida, respectivamente iguais a (SCHIFFMAN, 1987):
(127)
75
(128)
em que é a tensão total; e são o peso específico da água e dos sólidos,
respectivamente; é o índice de vazios; e, é a poro-pressão hidrostática. O
sinal, positivo ou negativo, nas equações de equilíbrio depende da orientação
do sistema de coordenadas: é positivo quando o sistema de coordenadas está
orientado no sentido da gravidade e é negativo caso contrário. Será utilizado,
daqui em diante, o sinal negativo nas equações de equilíbrio.
A equação da continuidade do sistema resulta em (SCHIFFMAN, 1987):
(129)
em que é o fluxo de água no meio poroso; e, é a taxa de deposição de
sólidos, dada por:
(130)
A equação que descreve o fluxo em meio poroso é dada pela lei de Darcy-
Gersevanov (SCHIFFMAN, 1987):
(131)
em que
(132)
sendo que é a função de permeabilidade e é o excesso de poro-pressão.
O princípio das tensões efetivas estabelece que:
(133)
em que é a tensão efetiva e é a poro-pressão total.
Combinando a equação da continuidade com a lei de Darcy-Gersevanov,
obtém-se:
76
(134)
Usando o princípio das tensões efetivas na equação de equilíbrio da fase
líquida, obtém-se:
(135)
Substituindo a equação de equilíbrio da mistura na Equação (135)
resulta:
(136)
Substituindo a Equação (136) na Equação (134), obtém-se:
(137)
Como,
(138)
e
(139)
chega-se à seguinte equação (PANE, 1981; SCHIFFMAN, 1987; AZEVEDO e
SADO, 1990; CAMPOS
et al
., 1991): (Pane) (Schiffman) (1991)
(140)
ou ainda,
(141)
em que
77
(142)
e
(143)
A Equação (141) é a equação que governa o adensamento
unidimensional com grandes deformações. É uma equação diferencial parcial
não-linear do tipo difusiva-advectiva (CAMPOS
et al
., 1991). (1991)
5.3. Solução numérica da equação de adensamento
Para resolver a equação diferencial do adensamento com grandes
deformações são necessárias duas integrações no espaço (coordenada ) e uma
integração no tempo (coordenada ), o que resulta em três constantes de
integração determinadas através de duas condições de contorno e uma
condição inicial.
A não-linearidade da equação dificulta a solução analítica, que só é
possível para alguns casos particulares. Nos casos mais gerais, a solução tem
que ser obtida numericamente. Nesse trabalho, a solução numérica foi obtida a
partir do método das diferenças finitas (AZEVEDO e SADO, 1990).
Desenvolvendo a derivada do lado esquerdo da Equação (141), chega-se
à seguinte expressão:
(144)
em que
(145)
(146)
78
(147)
Aplicando o método das diferenças finitas e substituindo-se as derivadas
por diferenças centradas, a Equação (144) resulta em:
(148)
Reorganizando os termos, obtém-se:
(149)
Discretizando o espaço contínuo em pontos e aplicando a Equação
(149) a todos os pontos da malha, chega-se à seguinte equação matricial:
(150)
em que
(151)
é o vetor de índice de vazios no tempo ;
(152)
e é uma matriz tri-diagonal, com os elementos dados por:
(153)
(154)
(155)
79
A integração do índice de vazios no tempo será realizada através de um
esquema de diferenças finitas implícito por meio da seguinte substituição:
(156)
em que é o fator de ponderação no tempo, que especifica se o esquema de
integração é implícito ( ) ou explícito ( ).
Ao substituir Equação (156) na Equação (150), obtém-se:
(157)
Após agrupar os termos, chega-se à expressão:
(158)
em que
(159)
(160)
e é a matriz identidade.
Portanto, segundo a Equação (160), conhecendo-se a distribuição de
índice de vazios no tempo , obtém-se a distribuição de índice de vazios no
tempo . A resolução deste sistema de equações algébricas não-linear pode
ser incremental no caso de (método explícito), ou incremental e iterativa
quando (métodos implícitos). A precisão da solução numérica
depende dos valores de , e escolhidos e a convergência é normalmente
facilitada nos métodos implícitos (PINTO e AZEVEDO, 1988).
5.4. Condições inicial e de contorno
5.4.1. Condição inicial
Para determinar a constante de integração no tempo é necessário
conhecer a condição inicial do problema. Essa condição corresponde ao
conhecimento prévio da distribuição de índice de vazios inicial, que pode ser
80
obtida a partir da função de permeabilidade, uma vez que as tensões efetivas
podem ser facilmente determinadas no início do processo de adensamento. No
caso do solo não ter começado ainda a adensar devido ao peso próprio, a
distribuição inicial de índice de vazios é constante ao longo da profundidade
(PINTO, 1988).
5.4.2. Condições de contorno
Para resolver a equação diferencial do adensamento na sua forma
matricial, são necessárias duas condições de contorno, uma em cada nó das
extremidades da malha unidimensional. Existem dois tipos de condição de
contorno: contorno drenante, em que a tensão efetiva é imposta e contorno
impermeável em que a velocidade do fluxo é imposta.
Quando o contorno é drenante, admite-se que a carga aplicada no
contorno transfere-se imediatamente para o esqueleto sólido. Neste caso, o
acréscimo de tensão efetiva é igual ao acréscimo de carga. O índice de vazios é
calculado através da função de compressibilidade do solo.
Quando a fronteira é impermeável, a velocidade do fluxo é nula. O índice
de vazios no contorno é obtido pela expressão (PINTO, 1988):
(161)
5.5. Relações constitutivas
A solução da equação diferencial do adensamento com grandes
deformações só é possível com o conhecimento das relações constitutivas do
material. Com as hipóteses de incompressibilidade da água e das partículas
sólidas, apenas duas relações são necessárias: as relações entre o índice de
vazios e a tensão efetiva e a relação entre a permeabilidade e o índice de
vazios. Através de ensaios oedométricos de carregamento incremental ou de
deslocamento constante é possível estabelecer tais relações constitutivas do
solo.
81
5.5.1. Relação de compressibilidade
Tradicionalmente, em mecânica dos solos, utiliza-se uma aproximação
logarítmica para modelar a relação entre o índice de vazios e a tensão efetiva:
(162)
em que é o índice de compressão; é o índice de vazios de referência; e,
é a tensão efetiva de referência.
A Equação (162) é muito utilizada devido à sua simplicidade e à
capacidade de modelar a redução da compressibilidade do solo com o aumento
da tensão efetiva. Entretanto, o índice de vazios se torna infinito caso a tensão
efetiva seja nula e, também, existe a possibilidade do índice de vazios assumir
valores negativos caso a tensão efetiva atinja valores elevados. Esse modelo
também é incapaz de modelar o comportamento de solos moles que exibem
uma relação não-linear entre a o índice de vazios e o logaritmo da tensão
efetiva (LIU, 1990).
Para solucionar esses problemas, Liu e Znidarcic (1991) propuseram o
seguinte modelo de compressibilidade (LIU, 1990):
(163)
em que , e são parâmetros do modelo determinados experimentalmente a
partir de resultados de ensaios do tipo HCT. Azevedo
et al
. (2003)
desenvolveram um programa computacional, denominado HCTplus, utilizado
para a obtenção automática dos parâmetros do modelo de compressibilidade
proposto por Liu e Znidarcic (1991). Esse modelo tem sido bastante utilizado
para análise do adensamento com grandes deformações de rejeitos de
mineração. (2003)
5.5.2. Relação de permeabilidade
A permeabilidade de solos e rejeitos é uma das propriedades de
engenharia mais difíceis de determinar, uma vez que sua magnitude varia
82
muito em função da granulometria predominante do solo, da plasticidade, do
modo de deposição e da profundidade dentro do depósito. Também é de se
esperar grandes variações da permeabilidade na direção horizontal e vertical
devido ao acamamento originário da forma de deposição. Há ainda a variação
em função da distância do ponto de lançamento decorrente da segregação de
partículas (VILLAR, 1990).
Uma função logarítmica também é frequentemente usada em mecânica
dos solos para modelar a relação entre a permeabilidade e o índice de vazios:
(164)
em que é o coeficiente de permeabilidade; e, é a permeabilidade de
referência.
Segundo Monte e Krisek (1976), este modelo é inadequado para
caracterizar o comportamento da permeabilidade em solos moles. Somogyi
(1979) propôs uma forma não-linear mais flexível para modelar a
permeabilidade, dada pela seguinte função de potência:
(165)
em que e são parâmetros do solo, que também podem ser determinados por
ensaios de laboratório, como o HCT, em conjunto com o programa
computacional HCTplus.
A função de potência é capaz de representar a variação não-linear da
permeabilidade com o índice de vazios para solos muito moles. Pane (1985)
também mostrou a aplicabilidade desse modelo para rejeitos argilosos (LIU,
1990). Essa função de permeabilidade é muito utilizada para simular o
adensamento com grandes deformações.
5.6. Equações adicionais
Após a obtenção da distribuição do índice de vazios para um tempo ,
podem-se calcular os recalques, as tensões e poro-pressões para esse tempo.
O cálculo do recalque ( ) é efetuado a partir da seguinte expressão:
83
(166)
A distribuição de tensões efetivas é calculada a partir da relação ( )
entre tensão efetiva e índice de vazios:
(167)
Integrando a equação do equilíbrio do elemento de solo, chega-se à
expressão para calcular a distribuição de tensões totais:
(168)
em que é a altura de água acima do topo da camada.
As poro-pressões totais são obtidas a partir do princípio das tensões
efetivas, e são calculadas por:
(169)
O excesso de poro-pressão é dado pela diferença entre a poro-pressão e a
pressão hidrostática e vale:
(170)
5.7. Modelo de adensamento acoplado aos modelos hidrodinâmico
e de sedimentos
Para simular o processo de deposição de sedimentos tanto em
reservatórios de água quanto em barragens de rejeitos de mineração é
necessário levar em consideração todos os fenômenos envolvidos. Os principais
correspondem à hidrodinâmica do escoamento, à dinâmica dos sedimentos e ao
adensamento com grandes deformações. Esses fenômenos ocorrem
simultaneamente no meio físico e dessa forma, o modelo matemático deve ser
desenvolvido levando em consideração essa característica.
Desenvolver um modelo matemático que consiga agrupar todos os
fenômenos e forneça uma solução direta não é uma tarefa trivial e muitas
84
vezes é impossível de ser obtido. Para contornar esse problema, normalmente
modela-se cada fenômeno isoladamente e, em seguida, na implementação da
solução numérica, acoplam-se os modelos numa sequência em que a resposta
que o modelo de um fenômeno fornece alimenta o modelo do próximo fenômeno,
e assim por diante, tentando representar o processo físico. Como os fenômenos
normalmente são interdependentes, a resposta de um fenômeno interfere na
resposta do outro fenômeno e, por essa razão, muitas vezes um processo
numérico iterativo é construído para se obter uma resposta mais próxima da
realidade. Entretanto, processos iterativos aumentam o custo computacional e
não são fáceis de serem implementados.
Diante disso, nessa tese, os modelos hidrodinâmico, da dinâmica de
sedimentos e do adensamento com grandes deformações foram acoplados de
uma maneira direta, não-iterativa. A resposta do modelo hidrodinâmico
alimenta o modelo da dinâmica dos sedimentos, que por sua vez, alimenta o
modelo do adensamento. Esse acoplamento é realizado a cada passo no tempo
( ) para os modelos hidrodinâmico e da dinâmica dos sedimentos, sendo que o
adensamento pode ser computado em intervalos de tempo maiores.
O acoplamento do adensamento unidimensional com deformações finitas
aos outros modelos é feito da seguinte maneira:
1. A cada intervalo de tempo definido para se calcular o adensamento, os
modelos hidrodinâmico e da dinâmica dos sedimentos fornecem, para cada
seção transversal, a área de sedimento que será depositada ( ). Cada
seção transversal é, portanto, um problema independente de adensamento
a ser resolvido;
2. A área de sedimento que será depositada ( ) é transformada na taxa de
deposição ( ) bastando dividir pela largura da seção na superfície da
água ( ) e pelo intervalo de tempo que forneceu . O índice de vazios do
material depositado deve ser especificado e corresponde ao índice de vazios
para tensão efetiva nula ( );
3. Em seguida, o modelo de adensamento é processado para cada seção
transversal. A condição inicial é definida pela distribuição de índice de
85
vazios da camada. Com a taxa de deposição ( ) a camada vai sendo
preenchida por sedimentos ao longo do tempo de análise do processo de
adensamento. Ao final do processo, cada seção transversal apresentará uma
nova distribuição de índice de vazios e uma altura de sedimentos
depositados ( );
4. A altura de sedimentos depositados ( ) é convertida em uma nova área de
sedimentos depositados ( ) bastando multiplicá-la por . Em seguida,
é distribuída ao longo da seção transversal de acordo com o método
descrito na seção 4.6.7, alterando a cota de cada vértice da seção
transversal.
5. O processo descrito acima se repete a cada intervalo de tempo durante todo
o processo de assoreamento ou de enchimento da barragem de rejeitos.
O processo descrito acima está ilustrado na Figura 14 através de um
fluxograma que mostra como o adensamento é acoplado aos modelos
hidrodinâmico e de dinâmica de sedimentos.
86
Figura 14 – Fluxograma do acoplamento do adensamento aos outros modelos.
Fim
Modifica geometria das seções
Acumula
Modelo de adensamento
Adensamento
Modelo da dinâmica de
sedimentos
Modelo hidrodinâmico
t = 1, N
87
Capítulo 6
Método de Monte Carlo
6. Método de Monte Carlo
Avanços significativos estão sendo alcançados no entendimento da
importância dos fatores envolvidos no assoreamento de reservatórios.
Entretanto, prever o acúmulo de sedimentos num reservatório é ainda um
problema complexo. Ao estimar o assoreamento num reservatório, muitas
incertezas aparecem. Elas estão relacionadas com a vazão de água, a carga de
sedimentos, o tamanho das partículas de sedimentos, o peso específico dos
sedimentos depositados, a eficiência de retenção de sedimentos e a operação do
reservatório, dentre outros (SALAS e SHIN, 1999).
A previsão do assoreamento em reservatórios está carregada de
ambiguidades devido à variabilidade espacial e temporal, erros de medições e
amostragens limitadas dos parâmetros que representam as propriedades do
sistema, as condições iniciais e de contorno, e os termos fonte (GATES e AL-
ZAHRANI, 1996). (Gates e Al-Zahrani, 1996)
O modelo que foi formulado ao longo dessa tese apóia-se em uma série
de hipóteses simplificadoras. O grau de incerteza na formulação do modelo está
relacionado com o grau no qual estas hipóteses são verdadeiras. O impacto
relativo às hipóteses do modelo na sua capacidade de previsão não tem sido
rigorosamente estudado, e não faz parte dos objetivos dessa tese apurar as
incertezas devido à formulação inadequada do modelo. O foco estará nas
88
incertezas de interesse à aplicação do modelo, ou seja, aquelas associadas com
a quantificação dos parâmetros do modelo.
Utilizar o modelo desenvolvido numa aplicação particular requer a
especificação dos valores dos parâmetros que representam as propriedades
físicas, as condições de contorno, as condições iniciais e os termos fonte. Os
valores assumidos por esses parâmetros numa dada aplicação são, de uma
forma geral, ambíguos. A variabilidade espacial e temporal que é inerente aos
fenômenos naturais, bem como os introduzidos pela intervenção humana,
apresenta uma larga variedade de possibilidades. Além disso, as tentativas de
quantificar os parâmetros do modelo em pontos no plano tempo-espaço num
sistema são sempre prejudicadas por erros de medições e amostragem
limitada. A incerteza paramétrica é importante por que ela gera, através das
equações governantes, uma incerteza no comportamento previsto para o
sistema. Ou seja, devido à dependência dos parâmetros incertos, as variáveis
primárias do modelo estão sujeitas a incertezas. Associadas a essas incertezas
estão noções de risco, confiabilidade e variabilidade que são importantes ao se
tomar decisões durante o planejamento, o dimensionamento e a operação de
um reservatório. Portanto, análises estocásticas propiciam um suporte para as
considerações das possibilidades relacionadas com os processos envolvidos no
acúmulo de sedimentos em reservatórios, ao atribuir a cada possibilidade uma
probabilidade de ocorrência associada.
Dentre os métodos de simulação estocásticos, o método de Monte Carlo é
um dos mais conhecidos e utilizados devido às suas características. Nesse
método, soluções repetidas das equações governantes são obtidas para as
correspondentes realizações dos parâmetros estocásticos. Desse modo,
conjuntos de amostras das variáveis estocásticas dependentes são obtidos e,
em seguida, analisados para descrever as distribuições de probabilidade e/ou
os momentos estatísticos das respostas.
O método de Monte Carlo permite calcular a distribuição de uma
determinada resposta através do seguinte processo
(MARINILLI e CERROLAZA, 1999):
89
1. Os valores de cada parâmetro estocástico são gerados. Uma
forma de fazer isto é gerar um número aleatório ( ) uniformemente
distribuído no intervalo [0,1]. Então, com a função de distribuição de
probabilidade acumulada ( de cada parâmetro
estocástico, o valor de cada parâmetro estocástico ( ) é obtido através da
expressão: ;
2. A resposta do problema é calculada numa base determinística, através do
modelo, com os valores gerados para os parâmetros estocásticos;
3. Os passos 1 e 2 são repetidos até que um número estatisticamente
representativo da resposta seja alcançado. O número necessário de
simulações de Monte Carlo (ou seja, repetições) depende do número de
momentos estatísticos a serem aproximados e do nível de confiança
estatística desejada;
4. Finalmente, uma análise para obter as estatísticas da resposta, como a
média, o desvio padrão, a moda, a assimetria, o coeficiente de variação e a
função de distribuição de probabilidade, dentre outros, é realizada.
O método de Monte Carlo pode ser usado para estimar as características
completas de distribuição das variáveis dependentes e é mais intuitivo e
tratável que métodos como os de ordem finita (GATES e AL-ZAHRANI, 1996).
Outra vantagem é que o método de Monte Carlo permite considerações
isoladas de muitas realizações distintas que podem ocorrer no sistema
modelado. Mesmo para problemas em que os métodos de ordem finita ou outros
métodos simplificados podem ser aplicados, o método de Monte Carlo é, muitas
vezes, necessário como referência para validação da aplicabilidade desses
métodos. A desvantagem mais comumente citada relacionada ao método de
Monte Carlo é que ele pode ser computacionalmente oneroso para problemas
de tamanho e complexidade reais. Essa questão tem se tornado cada vez menos
importante com o contínuo avanço na velocidade e memória dos computadores.
90
6.1. Geração de parâmetros estocásticos
A geração de parâmetros estocásticos pode ser feita de diversas
maneiras. A seguir será descrita uma forma de obter esses parâmetros.
Inicialmente, é necessário gerar números aleatórios uniformemente
distribuídos no intervalo [0,1]. Uma técnica utilizada é dada pela expressão
(HARR, 1977; ANG e TANG, 1984): (Harr, 1977)
(171)
em que , , e são parâmetros a serem selecionados. A Equação (171)
significa que é o resíduo da razão . Ang e Tang (1984) sugerem
os seguintes valores: , , e . Para garantir que os valores
gerados no início do procedimento sejam diferentes de zero, Marinilli e
Cerrolaza (1999) adotaram . O valor de é gerado com o valor de ,
com e assim por diante.
É preciso deixar claro que os números gerados com o procedimento
acima são chamados números pseudo-estocásticos, porque eles podem ser
reproduzidos exatamente como os mesmos valores de , , e (MARINILLI
e CERROLAZA, 1999).
Em seguida, a geração dos parâmetros estocásticos é feita através da
função de probabilidade de cada parâmetro estocástico. Diferentes funções de
distribuição de probabilidade podem ser usadas, tais como as distribuições
normal, lognormal e beta (ANG e TANG, 1984). A distribuição normal fornece
a seguinte equação:
(172)
(173)
em que e são a média e o desvio padrão, respectivamente, do parâmetro
estocástico . A distribuição lognormal fornece:
(174)
em que é normalmente distribuída. E, por fim, a distribuição beta fornece:
91
(175)
em que e são parâmetros que definem a forma da distribuição beta.
6.2. Método de amostragem hipercubo latino
Uma alternativa que reduz o número de conjuntos de parâmetros
estocásticos necessários para as repetidas realizações do método de Monte
Carlo e, consequentemente, reduz o número de respostas geradas e o custo
computacional é o método de amostragem hipercubo latino. O conceito básico
desse método está em gerar números randômicos de uma variável estocástica,
dentro de seus limites, de uma maneira estratificada, de forma que a
variabilidade como um todo do parâmetro estocástico possa ser razoavelmente
delineada por uma amostra de tamanho limitado (SALAS e SHIN, 1999). As
propriedades do hipercubo latino foram discutidas por McKay (1988). O
conceito do método de amostragem hipercubo latino está ilustrado
esquematicamente na Figura 15, e o procedimento pode ser resumido da
seguinte forma:
Figura 15 – Amostragem hipercubo latino. Fonte: Salas e Shin (1999).
92
1. Para um dado parâmetro estocástico , obtém-se números aleatórios,
, uniformemente distribuídos no intervalo [0,1].
2. Definindo
(176)
Então cada calculado cai exatamente dentro de cada um dos
intervalos, ilustrados na Figura 15;
3. A partir da função de distribuição de probabilidade acumulada do
parâmetro estocástico , determinam-se os valores ,
em que é a função inversa de . Então, é o vetor
amostra do parâmetro estocástico . Note que esta amostra está em ordem
crescente;
4. Realiza-se uma permutação randômica do conjunto obtido no
passo 3;
5. Repete-se os passos 1 a 4 para todos os parâmetros estocásticos.
Com o método de amostragem hipercubo latino, os diversos conjuntos de
parâmetros estocásticos são gerados numa etapa anterior à etapa de simulação
de Monte Carlo propriamente dita, em que o modelo determinístico é
executado repetidamente para obter as respostas do problema de maneira
estocástica. A razão para isto é que o método do hipercubo latino gera um
conjunto de números estocásticos em ordem crescente, que precisam ser
permutados aleatoriamente antes de serem usados na simulação de Monte
Carlo.
6.3. Dependência entre parâmetros estocásticos
O processo descrito anteriormente assume que todos os parâmetros
estocásticos são independentes. Entretanto, alguns desses parâmetros podem
ser correlacionados. Nesse caso, a distribuição de probabilidade conjunta
desses parâmetros deve ser obtida e utilizada na obtenção dos conjuntos de
parâmetros estocásticos. Devido à dificuldade de se caracterizar a distribuição
de probabilidade conjunta entre variáveis estocásticas, algumas técnicas
93
aproximadas têm sido sugeridas, como nos trabalhos de Iman e Conover
(1982), Ford e McKay (1985) e Chang
et al
. (1994).
Por exemplo, seja o par de parâmetros estocásticos correlacionados
entre si. Supondo que a distribuição de probabilidades conjunta de seja
do tipo normal bivariada, para gerá-los a seguinte equação pode ser usada:
(177)
em que e denotam a média e o desvio padrão da variável ,
respectivamente; é o coeficiente de correlação entre e ; e, é normalmente
distribuído com média zero e variância um.
Então, o par pode ser gerado, por exemplo, no método de
amostragem hipercubo latino, da seguinte forma: um conjunto de parâmetros
estocásticos é gerado de acordo com os passos 1 a 3 do método
hipercubo latino, descrito anteriormente, e o conjunto é gerado
conforme a Equação (177). Então, faz-se uma permutação randômica dos pares
.
6.4. Análise de sensibilidade dos parâmetros estocásticos
Algumas vezes, quando um número muito grande de parâmetros
estocásticos está envolvido na determinação das respostas estocásticas de um
problema, uma análise de sensibilidade pode ser realizada para determinar o
grau de influência de cada parâmetro estocástico na incerteza da resposta. Tal
análise pode ser feita baseada numa porção limitada do método de simulação
de Monte Carlo ou no método de amostragem hipercubo latino. O conceito é
que pela análise de sensibilidade, os parâmetros estocásticos que são mais
importantes para a incerteza da resposta sejam selecionados para uma análise
mais detalhada. Assim, o número de parâmetros estocásticos pode ser reduzido
e uma análise de incertezas mais completa baseada num estudo mais amplo do
método de Monte Carlo pode ser realizada (SALAS e SHIN, 1999).
O efeito dos parâmetros estocásticos na resposta pode ser medida
através da avaliação do coeficiente de correlação simples ( ) e do coeficiente
94
de correlação da posição ( ) entre o -ésimo parâmetro estocástico dado pelo
vetor e o correspondente vetor resposta . O coeficiente de
correlação simples do parâmetro estocástico e da
resposta pode ser calculado pela expressão (SALAS e SHIN,
1999):
(178)
em que é a média amostral do parâmetro estocástico ; é a média
amostral da resposta ; e é o tamanho da amostra.
O parâmetro estocástico que possui o com maior valor absoluto é
aquele que mais contribui para a incerteza da resposta. Se a relação entre o
parâmetro estocástico e a resposta é não-linear, o pode não ser um
coeficiente apropriado para ser usado. Para uma relação não-linear, mas
monotônica, o coeficiente de correlação da posição ( ) pode ser utilizado no
lugar do . O cálculo do pode ser feito a partir da Equação (178), ao
substituir os valores do parâmetro estocástico e da resposta pelas suas
correspondentes posições dentro do vetor ordenado de forma crescente. O
maior valor absoluto obtido para o corresponde ao parâmetro estocástico
que mais interfere na incerteza da resposta (SALAS e SHIN, 1999). Além
disso, uma diferença muito acentuada entre o e o pode indicar a
existência de uma forte relação não-linear entre o parâmetro estocástico em
consideração e a resposta (MCKAY, 1988).
95
Capítulo 7
Resultados e Discussão
7. Resultados e Discussão
O modelo desenvolvido neste trabalho foi implementado
computacionalmente e resultou no software chamado SimSed. O programa
SimSed foi escrito em linguagem orientada a objeto, Delphi 5, e é executado em
plataforma Windows. Possui uma interface gráfica amigável, que facilita a
entrada dos dados necessários à modelagem dos reservatórios de água e de
rejeitos de mineração. A seguir, serão apresentados resultados obtidos a partir
do programa computacional SimSed.
7.1. Simulação determinística de um reservatório de água
Para verificar se o modelo proposto simula adequadamente um problema
real de sedimentação em reservatório de água, foi realizada uma modelagem
computacional do Reservatório Imperial. Os dados necessários para simular
este reservatório foram obtidos de Lopez (1978) e são descritos a seguir. Os
resultados do modelo proposto são comparados com medições de campo e com
os resultados numéricos do modelo matemático desenvolvido por Lopez (1978).
7.1.1. Descrição
O Rio Colorado nasce ao norte do estado americano do Colorado, nos
altos picos das Montanhas Rochosas. De sua nascente, o rio percorre cerca de
96
2250 km na direção sudoeste até alcançar o Golfo da Califórnia, atravessando
os vales montanhosos do Colorado, os cânions do sudeste do estado de Utah e
norte do estado do Arizona, incluindo o Grande Canyon, e finalmente, abaixo
do Lago Mead, os vales aluviais desérticos intercalados por cadeias de
montanhas estéreis.
Na sua condição virgem, estima-se que o volume médio do Rio Colorado
na Barragem de Hoover era aproximadamente de 21 bilhões de m³ de água por
ano, variando entre 6 e 33 bilhões de m³. O rio também carregava um volume
enorme de sedimentos e era considerado um dos que mais transportavam
sedimentos em todo o mundo. Na Figura 16 está ilustrado o curso do rio e
algumas estruturas de controle existentes entre a Barragem Glen Canyon e o
Golfo da Califórnia, no baixo Rio Colorado.
Figura 16 – Baixo Rio Colorado, desde a Barragem Glen Canyon até o Golfo da
Califórnia. Fonte: Lopez (1978).
97
Entre as Barragens Parker e Imperial, o rio percorre cerca de 160 km
através de três vales (Parker, Palo Verde e Cibola) que possuem uma
agricultura rica e desenvolvida e em seguida entra num trecho mais confinado
e relativamente inacessível de 65 km.
A área de estudo pode ser observada na Figura 17. Está localizada entre
a Barragem Imperial e a estação Taylor’s Ferry (aproximadamente a 97 km a
montante). A Barragem Imperial, inaugurada em 1938, foi projetada e
construída para possibilitar a implantação de sistemas de irrigação. A área de
drenagem que produz os sedimentos que atingem o reservatório da Barragem
Imperial é de cerca de 15.000 km², a partir da Barragem Parker.
Figura 17 – Esquema da área de estudo mostrando as seções transversais.
Fonte: Lopez (1978).
98
A água limpa que deixa a Barragem Parker, também inaugurada em
1938, provoca erosão do material do leito do rio e das margens no trecho abaixo
da barragem, que se deposita a jusante, no reservatório da Barragem Imperial.
O padrão de erosão e deposição no trecho entre as barragens Parker e Imperial
é causado principalmente por três fatores: a água limpa que deixa a Barragem
Parker; o efeito do reservatório da Barragem Imperial; e, o perfil côncavo do rio
com taludes muito inclinados em algumas regiões. Um trecho de balanço com
16 km de extensão, próximo à seção 22 do rio (Figura 17), se desenvolveu nos
dois primeiros anos após o fechamento das barragens. Acima desse trecho,
ocorreu erosão consistente e, abaixo dele, deposição consistente. O trecho do rio
entre as Ruínas de Adobe (Figura 17) e a Barragem Imperial constitui
propriamente o reservatório criado pela Barragem Imperial. A maioria dos
sedimentos produzidos na bacia é depositada nesse trecho, sendo que a maior
parte deposita nas áreas adjacentes ao canal original do rio (LOPES, 1978).
A Barragem Palo Verde, criada para permitir irrigação e localizada
entre as barragens Parker e Imperial, foi construída em 1952 e,
consequentemente, afetou o regime do rio acima da Barragem Imperial.
Entretanto, esse estudo diz respeito apenas ao processo de sedimentação que
ocorreu acima da Barragem Imperial entre os anos de 1938 e 1943, ou seja,
antes da construção da Barragem Palo Verde.
7.1.2. Dados disponíveis
Os dados disponíveis sobre o Rio Colorado, acima da Barragem Imperial,
que puderam ser utilizados para a verificação do modelo matemático incluem
(LOPES, 1978):
Mapas topográficos: mapas do relevo da região, na escala 1:24.000, obtidos
pelo Departamento de Interior do U.S.G.S.;
Seções transversais: foram realizados levantamentos batimétricos e
topográficos em 23 seções transversais (localizadas na Figura 17), no trecho
entre a Barragem Imperial e a estação Taylor’s Ferry, em intervalos de
tempo regulares desde o fechamento da barragem, e foram obtidas as
99
elevações médias do leito e o volume de material depositado. Estas seções
estão apresentadas na Figura 18, e sua numeração corresponde à
numeração usada no modelo computacional;
Registros das vazões do rio: foram obtidos nas estações Taylor’s Ferry e Red
Cloud Cable, no período de 1938 a 1943;
Amostragem do sedimento em suspensão: amostras do sedimento em
suspensão foram coletadas no período de 1939 a 1943, na estação Taylor’s
Ferry, para determinar a vazão e a composição granulométrica. As curvas
granulométricas do material em suspensão, em diferentes instantes de
tempo, são apresentadas na Figura 19;
Figura 18 – Seções transversais iniciais e subseções para o modelo geométrico.
107
Amostragem do material do leito: estas amostras foram coletadas durante a
batimetria das seções transversais. Foram realizadas análises
granulométricas das amostras e determinadas as curvas granulométricas.
A Figura 20 apresenta as curvas granulométricas para o material de leito
coletado nos anos 1938 e 1945 próximo à estação Taylor’s Ferry.
Figura 19 – Curvas granulométricas dos sedimentos em suspensão na estação
Taylor’s Ferry.
Figura 20 – Curvas granulométricas do material do leito coletado próximo à
estação Taylor’s Ferry.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,001 0,01 0,1 1 10
Porcentagem que passa
Diâmetro das partículas (mm)
1939
1942
1945
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,001 0,01 0,1 1
Porcentagem que passa
Diâmetro das partículas (mm)
1938
1945
108
7.1.3. Modelo computacional
A geometria do sistema é composta por 23 seções transversais (Figura
17). Cada seção transversal foi dividida em, no máximo, 3 subseções. Na
Figura 18 está ilustrada a geometria das seções transversais referentes ao ano
de 1938 e as respectivas subseções que foram usadas no modelo geométrico. A
Tabela 2 indica o espaçamento ( ) entre as seções e a distância medida a
partir da Barragem Parker. A distância total do trecho de estudo entre a
estação Taylor’s Ferry e a Barragem Imperial é de 96,92 km.
A condição de contorno na saída do sistema é uma série histórica de
níveis d’água obtida na seção transversal 23, logo acima da Barragem
Tabela 2 – Localização das seções transversais no trecho de estudo.
Seção
#
Distância a partir da
Barragem Parker (km)
Distância entre
as seções (km)
1
139,104
16,261
2
155,365
9,338
3
164,703
10,626
4
175,329
2,737
5
178,066
3,220
6
181,286
3,059
7
184,345
2,737
8
187,082
3,703
9
190,785
3,703
10
194,488
2,254
11
196,742
3,703
12
200,445
2,898
13
203,343
3,220
14
206,563
3,542
15
210,105
3,220
16
213,325
3,381
17
216,706
2,898
18
219,604
3,381
19
222,985
3,220
20
226,205
3,703
21
229,908
4,186
22
234,094
1,932
23
236,026
-
109
Imperial. A variação na elevação do nível d’água com o tempo, para o período
em consideração, está indicada na Figura 21.
Os históricos de vazão de água e vazão de sedimentos selecionados como
condição de contorno na entrada do sistema foram as vazões médias mensais.
O histograma das vazões de água que entram no reservatório da Barragem
Imperial para o período de 1938 a 1943 está indicado na Figura 22 e o
histograma das vazões totais de sedimentos está indicado na Figura 23.
Figura 21 – Hidrógrafa de níveis d’água na Barragem Imperial para o período
1938-1943.
Figura 22 – Vazão de água média mensal na estação Taylor’s Ferry para o
período 1938-1943.
49
50
51
52
53
54
55
56
Elevação da superfície da água (m)
Tempo (meses)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Vazão de água média (m³/s)
Tempo (meses)
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1938
1939
1940
1941
1942
1943
110
Figura 23 – Carga de sedimentos média mensal em Taylor’s Ferry para o
período 1938-1943.
A carga de sedimentos que entra no reservatório foi separada em quatro
classes de tamanho: silte, areia fina, areia média e areia grossa, seguindo a
mesma classificação de Lopez, conforme descrito na Tabela 3. Essa
classificação, entretanto, não é à da ABNT. Ela foi adotada para possibilitar a
comparação dos resultados para cada classe de tamanho de sedimento.
A porcentagem de cada classe de sedimentos que entram no reservatório
muda ao longo do tempo. Lopez utilizou o Método de Einstein Modificado e
para estimar a fração de cada uma das classes em vários períodos de tempo. Os
resultados obtidos estão indicados na Tabela 4. Essas frações foram usadas
Tabela 3 – Classes de tamanho de partículas dos sedimentos que entram no
sistema.
Classe*
Faixa de tamanho
das partículas (mm)
Média geométrica
(mm)
Silte
< 0,0625
0,0625
Areia fina
0,0625 – 0,25
0,125
Areia média
0,25 – 0,50
0,35
Areia grossa
0,50 – 2,0
1,0
*Classificação conforme Lopez (1978)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Vazão de sedimentos média (m³/s)
Tempo (meses)
1938
1939
1940
1941
1942
1943
111
Tabela 4 – Fração, por classe de tamanho, dos sedimentos que entram no
sistema.
Classe
Silte
Areia
fina
Areia
média
Areia
grossa
1939
0,31
0,62
0,06
0,01
1942
0,22
0,60
0,12
0,06
1945
0,15
0,47
0,23
0,15
para estimar as vazões de entrada para cada classe ao longo do tempo, que
constituem também, uma condição de contorno da entrada do modelo proposto.
Lopez assumiu que a carga de sedimentos afluentes era função da velocidade
média do escoamento na entrada do sistema. Após calibrar uma função de
potência com dados medidos na estação Taylor’s Ferry, ele obteve a seguinte
relação, para cada classe de tamanho:
(179)
em que é a vazão de sedimentos de tamanho que entra no sistema; é
a fração da classe de tamanho ; e é a velocidade média do escoamento na
seção de entrada do sistema.
A Equação (179) foi utilizada em conjunto com os valores da Tabela 4
para estimar a vazão de sedimentos afluentes, por classe de tamanho, ao longo
do tempo. Neste caso, a velocidade média do escoamento ( ) foi substituída por
, em que é vazão de água (Figura 22) e é a área molhada da seção 1
(Figura 18). Como a área molhada varia ao longo do tempo, adotou-se um valor
médio igual a 192,74 m² para todo o período.
Para o material do leito, o valor da fração de cada classe de tamanho de
sedimento, no início do período de simulação, foi obtido a partir da Figura 20 e
está indicado na Tabela 5.
O modelo computacional requer que o coeficiente de Manning seja
determinado em cada subseção das seções transversais. No problema em
estudo tem-se um total de 57 subseções. Lopez estimou esses valores através
de um processo de calibração. Os mesmos valores para o coeficiente de
112
Tabela 5 – Fração inicial, por classe de tamanho, do material do leito.
Classe
Silte
Areia
fina
Areia
média
Areia
grossa
Fração
0,02
0,78
0,18
0,02
Manning obtidos por Lopez foram utilizados no modelo proposto e estão
indicados na Tabela 6.
A condição inicial para o escoamento foi calculada conforme está descrito
na seção 3.6. Entretanto, Lopez obteve a condição inicial através de um
processo de calibração, comparando a elevação da superfície da água com
valores calculados pelo Bureau of Reclamation em 1938. Na Figura 24, estão
ilustradas as elevações iniciais da superfície da água para o trecho em estudo,
obtidas pelo modelo, por Lopez e pelo Bureau, além da elevação média do leito
inicial. A elevação média do leito é calculada conforme a Equação (123).
Os valores adotados para os fatores de ponderação seguiram as
recomendações de estabilidade, ou seja, = 1 e = 0,9. O incremento de tempo
( ) utilizado foi 3 horas. A espessura de material do leito original disponível
para erosão foi calibrado e resultou em 0,75 m. O diâmetro do material do
leito, obtido a partir da Figura 20, é igual a 0,15 mm.
É necessário, ainda, definir para o modelo as equações e os parâmetros
que determinam a capacidade de transporte de sedimentos, a porosidade do
material do leito, a distância de adaptação e a espessura da camada de
mistura. Isso foi feito por tentativa e erro, em que se adotaram as equações e
os parâmetros que melhor ajustaram a área de sedimento depositado calculada
pelo modelo, por seção, com as áreas determinadas através de levantamentos
batimétricos no ano de 1943. A seguir estão listadas as equações e os
parâmetros calibrados para o modelo:
Capacidade de transporte: Fórmula de Wu
et al
. (2000), Equação (104) e
(105);
Porosidade do material do leito: Fórmula de Komura e Simmons (1967),
Equação (113);
113
Tabela 6 – Coeficientes de Manning para o trecho entre Taylor’s Ferry e a
Barragem Imperial.
Seção
#
Subseção
#
Coeficiente de
Manning (s/m
1/3
)
1
1
0,016
2
1
0,016
2
0,016
3
1
0,016
4
1
0,035
2
0,016
3
0,045
5
1
0,040
2
0,016
3
0,040
6
1
0,035
2
0,016
3
0,025
7
1
0,018
2
0,016
3
0,018
8
1
0,018
2
0,016
3
0,018
9
1
0,018
2
0,018
3
0,018
10
1
0,018
2
0,018
11
1
0,018
2
0,018
12
1
0,018
2
0,018
13
1
0,018
2
0,018
3
0,018
14
1
0,030
2
0,018
3
0,026
15
1
0,018
2
0,018
16
1
0,018
2
0,040
114
Tabela 6 – Continuação.
Seção
#
Subseção
#
Coeficiente de
Manning (s/m
1/3
)
17
1
0,018
2
0,018
3
0,018
18
1
0,045
2
0,018
3
0,045
19
1
0,045
2
0,022
3
0,045
20
1
0,045
2
0,027
3
0,040
21
1
0,040
2
0,027
3
0,040
22
1
0,027
2
0,040
23
1
0,040
2
0,030
3
0,040
Figura 24 – Perfil da superfície da água e perfil médio do leito entre Taylor’s
Ferry e a Barragem Imperial, em 1938.
45
50
55
60
65
70
75
135 155 175 195 215 235
Elevação acima do nível do mar (m)
Distância abaixo da Barragem Parker (km)
Calculado pelo modelo
Calculado por Lopez
Calculado pelo BUREAU
115
Distância de adaptação
o Para carga de leito: = 1850 m;
o Para carga em suspensão: Equação (119), com = 1,1;
Espessura da camada de mistura: = 0,05 m.
É preciso destacar que esta simulação não incluiu o adensamento dos
sedimentos depositados.
7.1.4. Resultados da simulação
Cinco anos de simulação foram utilizados para calibrar o modelo. A área
calculada de sedimento depositado foi comparada com a área determinada por
batimetria. Apenas as áreas medidas das seções 5 a 23 do trecho entre a
estação Taylor’s Ferry e a Barragem Imperial estavam disponíveis e foram
usadas na calibração. Após simular o problema repetidas vezes, fazendo-se
variar os parâmetros do modelo, chegou-se ao conjunto de parâmetros que
melhor aproximaram as áreas calculadas com as áreas medidas. O resultado
desta comparação entre áreas de sedimento depositado no ano de 1943 está
ilustrado na Figura 25. O erro relativo entre a área calculada e observada foi
no máximo de 5% em quatro seções, de 15% em sete seções e de 20% em oito
Figura 25 – Relação entre a área de sedimento depositado, calculada e
observada, por seção, no ano de 1943.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Área calculada / Área observada
Seção (#)
5%
10%
15%
20%
Faixa de erros:
116
seções. Em nenhuma seção, a área calculada foi maior que o dobro ou menor
que a metade da área observada.
A Figura 26 indica a concordância entre o perfil de deposição de
sedimentos obtido numericamente e o observado em campo em cada uma das
seções transversais do trecho em estudo, para o período entre 1938 e 1943. De
um modo geral, as mudanças nas seções transversais calculadas pelo modelo
matemático estão razoavelmente próximas às observações de campo. O padrão
de deposição lateral observado em algumas seções foi diferente do padrão
considerado pelo modelo, mas, em geral, a extensão e a distribuição dos
depósitos parecem estar em razoável concordância com as medições de campo.
Figura 26 – Mudanças nas seções transversais do Rio Colorado entre Taylor’s
Ferry e a Barragem Imperial após 5 anos de simulação.
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
0 300 600 900 1200
Elevação do leito (m)
Distância (m)
Seção 5
0 200 400 600 800
Distância (m)
Seção 6
57
59
61
63
65
67
69
71
0 100 200 300 400 500 600
Elevação do leito (m)
Distância (m)
Seção 7
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Distância (m)
Seção 8
Observada em 1938
Observada em 1943
Calculada em 1943
117
Figura 26 – Continuação.
54
56
58
60
62
64
66
68
0 100 200 300 400 500 600
Elevação do leito (m)
Distância (m)
Seção 9
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Distância (m)
Seção 10
53
55
57
59
61
63
65
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Elevação do leito (m)
Distância (m)
Seção 11
0 300 600 900 1200 1500
Distância (m)
Seção 12
53
55
57
59
61
63
65
67
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Elevação do leito (m)
Distância (m)
Seção 13
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Distância (m)
Seção 14
Observada em 1938
Observada em 1943
Calculada em 1943
118
Figura 26 – Continuação.
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
0 100 200 300 400 500
Elevação do leito (m)
Distância (m)
Seção 15
0 50 100 150 200 250
Distância (m)
Seção 16
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
0 100 200 300 400 500 600 700
Elevação do leito (m)
Distância (m)
Seção 17
0 400 800 1200 1600 2000
Distância (m)
Seção 18
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
0 300 600 900 1200 1500 1800 2100
Elevação do leito (m)
Distância (m)
Seção 19
0 100 200 300 400 500
Distância (m)
Seção 20
Observada em 1938
Observada em 1943
Calculada em 1943
119
Figura 26 – Continuação.
Na Figura 27 está representado o acúmulo de sedimentos que ocorreu no
trecho em estudo ao longo do tempo. Também está plotado o histograma das
vazões médias mensais do sedimento que entrou no sistema no período. É
possível perceber que houve aumento no volume depositado sempre que a
carga de entrada dos sedimentos se intensificou.
O perfil da superfície da água calculado no trecho entre a estação
Taylor’s Ferry e a Barragem Imperial foi comparado com os valores medidos
em três condições de escoamento distintas. Na Figura 28 está ilustrado o perfil
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
0 100 200 300 400 500 600
Elevação do leito (m)
Distância (m)
Seção 21
0 100 200 300 400 500 600
Distância (m)
Seção 22
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
0 200 400 600 800 1000
Elevação do leito (m)
Distância (m)
Seção 23
Observada em 1938
Observada em 1943
Calculada em 1943
120
Figura 27 – Volume de sedimentos depositado ao longo do tempo entre Taylor’s
Ferry e a Barragem Imperial.
correspondente a uma descarga de água de pequena intensidade, igual a
255.000 m³/s, que ocorreu em maio de 1940. Na Figura 29, o perfil corresponde
a uma vazão de água de intensidade média, igual a 369.000 m³/s, observada em
outubro de 1942. Já na Figura 30, o perfil ilustrado está associado a uma vazão
de intensidade elevada, igual a 908.000 m³/s, relativa a janeiro de 1942. De
maneira geral, percebe-se que o nível d’água foi levemente subestimado pelo
modelo, principalmente na condição de vazão mais elevada (Figura 30). Mesmo
assim, pode-se considerar que esses resultados estão dentro de uma margem
de erro aceitável. Na região do lago criado pela barragem, onde a elevação do
nível d’água é praticamente constante, o ajuste foi muito bom.
O modelo computacional não é capaz apenas de prever o volume de
sedimentos depositados, mas também de estimar a taxa de sedimentação em
todas as seções do sistema. A Figura 31 indica o perfil longitudinal médio do
leito no trecho em estudo, entre as seções 4 e 23, calculados pelo programa em
três instantes diferentes do período de simulação. Também está ilustrado o
perfil do leito observado após cinco anos de deposição. Como pode ser
0
5
10
15
20
25
30
35
400
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Vazão de sedimentos (m³/s)
Volume de sedim. (x 10
7
m³)
Tempo (meses)
1938
1939
1940
1941
1942
1943
121
Figura 28 – Perfil da superfície da água entre as seções 4 e 23 para uma
condição de escoamento de pequena intensidade (maio de 1940).
Figura 29 – Perfil da superfície da água entre as seções 4 e 23 para uma
condição de escoamento de intensidade média (outubro de 1942).
visualizado, o material que entra no sistema vai se depositando no reservatório
criado pela Barragem Imperial, fazendo o leito se elevar gradativamente ao
longo do tempo. A concordância entre o perfil calculado e o perfil observado em
1943 é satisfatória.
48
50
52
54
56
58
60
62
64
175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235
Elevação acima do nível do mar (m)
Distância abaixo da Barragem Parker (km)
Nível d'água observado
Nível d'água calculado
Elevação média do leito
50
52
54
56
58
60
62
64
66
175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235
Elevação acima do nível do mar (m)
Distância abaixo da Barragem Parker (km)
Nível d'água observado
Nível d'água calculado
Elevação média do leito
122
Figura 30 – Perfil da superfície da água entre as seções 4 e 23 para uma
condição de escoamento de intensidade elevada (janeiro de 1942).
Figura 31 – Perfil médio do leito obtido ao longo do tempo.
Para visualizar, com maiores detalhes, o padrão de deposição de
sedimentos no reservatório, o perfil médio do leito entre as seções 12 e 23 está
ampliado na Figura 32 para cinco instantes diferentes do tempo de análise.
Também estão indicadas as respectivas elevações do nível d’água na Barragem
Imperial. Pode-se notar que, assim que a barragem é fechada em 1938, o
processo de deposição de sedimentos começa a ocorrer acima da Barragem
50
52
54
56
58
60
62
64
66
175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235
Elevação acima do nível do mar (m)
Distância abaixo da Barragem Parker (km)
Nível d'água observado
Nível d'água calculado
Elevação média do leito
48
50
52
54
56
58
60
62
64
175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235
Elevação média do leito (m)
Distância abaixo da Barragem Parker (km)
Perfil inicial
Perfil calculado em 1940
Perfil calculado em 1943
Perfil observado em 1943
123
Imperial de uma forma ordenada. Percebe-se que a taxa de deposição é maior
nas seções que apresentam maior área molhada e, consequentemente, menor
velocidade de escoamento. Por outro lado, em algumas seções mais estreitas,
nota-se que ocorre erosão em certos períodos de tempo.
Com a subida da superfície da água do lago até a elevação 54,82 m (maio
de 1940), um delta começa a se formar entre as seções 17 e 18, como pode ser
visto na linha do leito de 1940. Ao baixar o nível d’água do lago em 1,60 m, foi
produzido um aplanamento do delta, que se moveu para a jusante, em direção
à barragem. Na verdade, o padrão de deposição de sedimentos indicado pela
linha do leito de 1941 foi produzido pelo efeito combinado do esvaziamento do
reservatório e da alta vazão de sedimentos do período. O sedimento foi levado
para regiões mais profundas dentro do reservatório, como também, mais
sedimentos entraram no reservatório e foram sendo depositados dentro do lago
e nas áreas de influência da Barragem Imperial. A alta carga de sedimentos
que atinge o reservatório entre 1941 e 1942 aumenta consideravelmente a taxa
Figura 32 – Perfil médio do leito ao longo do tempo com as respectivas
elevações do nível d’água na Barragem Imperial.
Mai/1943
Mai/1938
Mai/1939
Mai/1940
Out/1941
Mar/1941
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
200205210215220225230235240
Elevação (m)
Distância abaixo da Barragem Parker (km)
Mai/1938
Mai/1939
Mai/1940
Out/1941
Mai/1943
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
(esvaziamento máximo)
124
de deposição no reservatório, o que pode ser notado pela maior distância entre
as linhas do leito de 1941 e de 1943. O perfil calculado no ano de 1943 indica a
condição final estabelecida no sistema após os cinco anos do período de
simulação e após o nível d’água no lago ter voltado ao nível operacional normal
de 54,75 m.
Na Figura 33, a taxa de sedimentação é plotada ao longo do tempo para
algumas seções acima da Barragem Imperial. É possível observar que, mesmo
que a tendência geral do sistema seja altear o leito, períodos alternados de
agregação e degradação do leito estão ocorrendo. Uma inclinação negativa
nesta figura indica que o leito sofreu erosão, enquanto que uma inclinação
positiva indica deposição. A explicação para este fenômeno pode ser obtida ao
analisar esta figura em conjunto com a série histórica de vazões de água
(Figura 22) e os registros de níveis d’água do reservatório (Figura 21).
Quando a vazão foi elevada, a velocidade do escoamento também
aumentou e o material do leito foi removido e levado para a jusante para ser
depositado nas elevações mais baixas. Portanto, em geral, ocorreu degradação
do leito quando a vazão d’água no sistema foi elevada. Por outro lado, na parte
mais branda da série histórica, a velocidade do escoamento foi menor,
permitindo a deposição do sedimento. Na seção 16, fica claro o efeito da
intensidade da vazão e, consequentemente, da velocidade do escoamento no
padrão de erosão e de deposição de sedimento. Os períodos em que a erosão do
leito foi predominante coincidem com os maiores volumes de água que
entraram no sistema.
O esvaziamento que ocorreu no reservatório no final de 1940 e início de
1941 parece não ter tido um efeito apreciável nas seções apresentadas na
figura, talvez pelo fato de que neste período as vazões de água tenham sido
pouco significativas. Observando a seção 21, pode-se dizer que a taxa de
sedimentação começou a ser efetiva quando a carga de sedimentos que entrou
no reservatório atingiu níveis mais expressivos (Figura 23), elevando a
proporção de materiais mais finos, que puderam ser transportados para as
seções mais próximas à barragem.
125
Figura 33 – Taxa de sedimentação com o tempo acima da Barragem Imperial.
0
0,5
1
1,5
2
Mudança na elev. do leito (m)
Tempo (meses)
Seção 10
Calculado
Observado
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
Mudança na elev. do leito (m)
Tempo (meses)
Seção 13
Calculado
Observado
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
Mudança na elev. do leito (m)
Tempo (meses)
Seção 16
Calculado
Observado
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1938
1939
1940
1941
1942
1943
126
Figura 33 – Continuação.
A distribuição de tamanhos dos sedimentos nas áreas de deposição
depende das características granulométricas da carga de sedimentos, que
variam ao longo do tempo. As mudanças na granulometria do material do leito
com o tempo estão ilustradas na Figura 34 para três seções no Rio Colorado
(seções 2, 4 e 10) e cinco seções no Reservatório Imperial, sendo uma na região
de formação do delta (seção 16), duas no meio do reservatório (seções 18 e 19) e
duas na região de depósito de fundo próximo à barragem (seções 22 e 23).
Nas seções do Rio Colorado, não houve variação significativa da
granulometria do material do leito, indicando que a Barragem Imperial não
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Mudança na elev. do leito (m)
Tempo (meses)
Seção 18
Calculado
Observado
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Mudança na elev. do leito (m)
Tempo (meses)
Seção 21
Calculado
Observado
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1938
1939
1940
1941
1942
1943
127
alterou as condições naturais do rio neste trecho. Examinado a figura, percebe-
se que na região do reservatório, o material do leito tornou-se mais grosso com
o tempo nas seções de montante, e mais fino nas seções de jusante, como era
esperado.
As seções localizadas perto da barragem, como as seções 22 e 23,
gradualmente aumentaram a proporção de material fino no leito. Isto é
indicado pelo deslocamento para a esquerda da curva granulométrica com o
tempo. O diâmetro médio das partículas, na seção 23, após os cinco anos de
simulação, foi reduzido em aproximadamente 0,04 mm. Do volume total de
sedimentos depositados, aproximadamente 58% foram da fração silte e 38% de
areia fina.
A resposta do sistema para o rebaixamento do reservatório entre 1940 e
1941 foi transportar as partes finas do sedimento para uma nova posição mais
à jusante. Assim, o diâmetro médio foi drasticamente reduzido neste período,
como ocorreu na seção 22, e foi aumentado nas seções de onde as partículas
finas foram retiradas, como nas seções 16 e 18. O rebaixamento também
deslocou a região de formação do delta para a jusante, tornando a
granulometria desta região mais grossa neste período.
Figura 34 – Variação com o tempo das curvas granulométricas do sedimento
depositado calculadas em diferentes seções.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,01 0,1 1
Porcentagem que passa
Diâmetro das partículas (mm)
Seção 2
0,01 0,1 1
Diâmetro das partículas (mm)
Seção 4
Mar/1938
Dez/1939
Dez/1940
Dez/1943
128
Figura 34 – Continuação.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,01 0,1 1
Porcentagem que passa
Diâmetro das partículas (mm)
Seção 10
0,01 0,1 1
Diâmetro das partículas (mm)
Seção 16
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,01 0,1 1
Porcentagem que passa
Diâmetro das partículas (mm)
Seção 18
0,01 0,1 1
Diâmetro das partículas (mm)
Seção 19
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,01 0,1 1
Porcentagem que passa
Diâmetro das partículas (mm)
Seção 22
0,01 0,1 1
Diâmetro das partículas (mm)
Seção 23
Mar/1938
Dez/1939
Dez/1940
Dez/1943
129
Na Figura 35, estão apresentadas as curvas de distribuição
granulométrica do material depositado em diferentes seções ao longo do trecho
em estudo, para quatro instantes diferentes: 1938, 1940, 1941 e 1943. A
distribuição granulométrica de 1938 corresponde à condição inicial imposta a
todas as seções do sistema. Observando a figura, percebe-se que quanto mais
próxima a seção está da barragem, mais a curva correspondente se desloca
para a esquerda do gráfico, indicando que o material do leito se torna mais
fino.
Figura 35 – Variação espacial das curvas granulométricas do material
depositado calculadas em diferentes instantes.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,01 0,1 1
Porcentagem que passa
Diâmetro das partículas (mm)
1938 (condição inicial)
0,01 0,1 1
Diâmetro das partículas (mm)
1941
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,01 0,1 1
Porcentagem que passa
Diâmetro das partículas (mm)
1942
0,01 0,1 1
Diâmetro das partículas (mm)
1943
Seção 10
Seção 16
Seção 18
Seção 23
130
Na Figura 36 está indicada a distribuição granulométrica do material
depositado no leito entre a estação Taylor’s Ferry e a Barragem Imperial após
o período de cinco anos de simulação. Esta figura indica que a proporção de
silte no leito aumentou nas proximidades da barragem, formando os depósitos
de fundo. Esta figura indica, ainda, que a fração de areia fina se acentuou mais
no meio do reservatório, enquanto que as frações de areia média e grossa se
destacaram na entrada do lago, na região de formação do delta.
Este estudo mostrou a rápida taxa de deposição que ocorreu acima da
Barragem Imperial, no Rio Colorado. Cinco anos após a conclusão da
barragem, a deposição de sedimentos se estendeu por uma distância maior que
65 km à montante da barragem, embora o nível do lago tenha se estendido por
apenas 25 km a partir da barragem. A magnitude e a taxa de deposição
poderiam ter sido maiores e se estendido ainda mais à montante, se o
escoamento do rio não tivesse sido regulado pela Barragem Parker, que reteve
parte da carga de sedimentos do Rio Colorado.
Figura 36 – Granulometria do material do leito entre Taylor’s Ferry e a
Barragem Imperial, em 1943.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
140 150 160 170 180 190 200 210 220 230
Fração (%)
Distância abaixo da Barragem Parker (km)
Silte
Areia fina
Areia média
Areia grossa
131
7.2. Simulação determinística de um reservatório de rejeitos de
mineração
Para simular o enchimento de um reservatório de rejeitos de mineração
é importante levar em consideração o transporte das partículas, a
sedimentação e o adensamento do material depositado. Particularmente, o
adensamento é indispensável neste tipo de análise. O objetivo desta seção é
mostrar como o acoplamento dos modelos hidrodinâmico, de sedimentos e de
adensamento pode ser utilizado para analisar o enchimento de barragens de
rejeito de mineração, enfatizando principalmente as respostas que o modelo de
adensamento fornece.
7.2.1. Descrição do reservatório e dados disponíveis para a análise
Foi escolhido para a análise o reservatório de rejeito de processamento
de bauxita de Marzagão. A barragem de Marzagão está localizada no distrito
de Saramenha, em Ouro Preto, Minas Gerais (Figura 37). Está distante 3 km
da usina de beneficiamento de bauxita Novelis Brasil (antiga Alcan do Brasil).
O comprimento do reservatório é de aproximadamente 1 km. A
precipitação média anual a partir de 1986 foi de 1500 mm (VILLAR, 1990), que
produziu uma vazão de água afluente média de 9,5 m³/s (CONSOLI, 1991). Os
ventos na região são constantes, moderados a fortes, cujo sentido
predominante está indicado na Figura 38, assim como os principais talvegues
que existiam no vale antes do seu enchimento.
A barragem de Marzagão começou a ser utilizada para armazenar
rejeitos em 1974. O rejeito de processamento de bauxita, também chamado de
lama vermelha, foi lançado em pontos diferentes durante o enchimento, como
está indicado na Figura 38, com teor de sólidos, em peso, variando entre 18% e
22%, peso específico da mistura entre 10,5 e 11,5 kN/m³ e densidade relativa
dos grãos de 3,5.
No momento do lançamento, o rejeito apresentava um índice de vazios
em torno de 7, que foi utilizado como o índice de vazios para tensão efetiva
132
nula, . As quantidades anuais de sólidos lançados no período de 1974 a 1989
estão indicadas na Figura 39 (VILLAR, 1990).
Durante o período de enchimento, houve mudança do nível d’água na
barragem. Entre 1974 e Novembro de 1984, o nível d’água esteve na cota 1173
m. Depois, subiu até a cota 1175 m. Este nível foi mantido até Outubro de
1987, quando atingiu a cota 1176 m. E, em Junho de 1988, foi elevado mais
uma vez para a cota 1177,5 m.
A distribuição granulométrica do rejeito de bauxita é apresentada na
Figura 40. O material apresenta ausência relativa de partículas de tamanho
Figura 37 – Localização e vista aérea do reservatório de rejeitos de bauxita de
Marzagão, Saramenha, Ouro Preto, Minas Gerais, em 2007.
Reservatório de Marzagão
Minas
Gerais
Reservatório de Marzagão
133
Figura 38 – Informações gerais sobre a barragem de Marzagão. Fonte: Villar
(1990).
Figura 39 – Quantidade de sólidos lançados na barragem de Marzagão entre
1974 e 1984. Fonte: Villar (1990).
0,00000
0,00020
0,00040
0,00060
0,00080
0,00100
0,00120
0,00140
0,00160
0,00180
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
Vazão de sólidos (m³/s)
Massa de sólidos (toneladas)
Ano
134
Figura 40 – Distribuição granulométrica do rejeito de bauxita. Fonte: Consoli
(1991).
argila. Utilizou-se, na modelagem numérica, apenas uma classe de tamanho de
partículas, com diâmetro médio igual a 0,017 mm (média geométrica dos
diâmetros extremos 0,004 mm e 0,073 mm) e diâmetro igual a 0,013 mm,
obtidos a partir da Figura 40.
Ensaios de adensamento induzido por forças de percolação, HCT, foram
realizados com o rejeito de bauxita no Laboratório de Engenharia Civil da UFV
(SANTOS, 2001). Foram determinados os parâmetros de compressibilidade e
permeabilidade do rejeito, que estão indicados na Tabela 7.
O período de análise do enchimento do reservatório de rejeito de
Marzagão iniciou em Novembro de 1984, quando ocorreu o primeiro
levantamento batimétrico do fundo do reservatório, terminando 58 meses
depois, em Setembro de 1989. Neste período, o enchimento do lago foi
acompanhado através de batimetrias executadas a cada 6 meses
aproximadamente (VILLAR, 1990).
A partir da batimetria executada em Novembro de 1984 em diversas
seções transversais (VILLAR, 1990), a geometria inicial do fundo do
reservatório foi obtida para a análise numérica e está ilustrada na Figura 41.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,001 0,01 0,1
Porcentagem que passa, em massa
Diâmetro (mm)
135
O lago foi dividido em 13 seções transversais (Figura 41). Durante os 60
meses de simulação, o rejeito foi lançado em dois pontos distintos, o primeiro
(entre 11/1984 e 06/1988) corresponde à seção 5 e o segundo (de 07/1988 em
diante), à seção 1. As seções 4, 5 e 6 constituem uma junção. A distância entre
as seções transversais está indicada na Tabela 8.
Os demais parâmetros utilizados no modelo hidrodinâmico e de
sedimentos estão listados a seguir:
Coeficiente de Manning igual a 0,015;
Capacidade de transporte: Fórmula de Wu
et al
. (2000);
Distância de adaptação
o Para carga de leito: = 7,3 ;
o Para carga em suspensão: Equação (119), com = 0,15;
Espessura da camada de mistura: = 0,05 m;
Tabela 7 – Parâmetros de compressibilidade e permeabilidade do rejeito de
bauxita.
A
5,79
B
-0,156
Z (kPa)
0,020
C (m/dia)
2,95E-6
D
4,24
Tabela 8 – Distância entre as seções transversais da barragem de Marzagão.
Seção
Distância (m)
1-2
62,6
2-3
59,3
3-4
61,7
6-7
81,1
7-8
63,4
8-9
63,2
9-10
95,3
10-11
79,6
11-12
93,7
12-13
65,9
136
Figura 41 – Vista topográfica, em planta, do reservatório de Marzagão em Novembro de 1984 e localização das seções
transversais.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
137
Fatores de ponderação: = 1 e = 0,9;
Incremento de tempo: = 24 horas;
O acoplamento do modelo de adensamento aos modelos hidrodinâmico e
de sedimentos (ver fluxograma da Figura 14) foi realizado a cada 30 dias. Os
demais parâmetros do modelo de adensamento são os seguintes:
Condição de contorno: base permeável;
Fator de ponderação no tempo: = 0,5;
Incremento de tempo: = 864 segundos;
Número de divisões espaciais: 100;
7.2.2. Resultados da simulação
Após realizar a análise numérica do enchimento da barragem de rejeito
de Marzagão, foram feitas comparações entre os perfis do material depositado
obtidos no campo e numericamente em Setembro de 1989. Estas comparações
estão apresentadas na Figura 42 para as seções transversais 2 a 4 e 7 a 13. Da
seção 7 a 13, o modelo superestimou a deposição de rejeito, e subestimou a
deposição nas seções 2 a 4.
Em campo, nota-se que parte do rejeito é transportado e depositado à
montante do ponto de lançamento. O modelo desenvolvido apenas transporta e
deposita o rejeito à jusante do ponto de lançamento. Isso explica porque as
seções à montante do primeiro ponto de lançamento (seções 2 a 4) possuem
mais material depositado do que o modelo consegue estimar. E também porque
à jusante do primeiro ponto de lançamento (seções 7 a 13) a deposição
estimada é maior que a observada. O rejeito que não foi transportado à
montante pelo modelo, foi levado para a jusante. Outro ponto importante a se
discutir é que entre 1974 e 1984 houve acúmulo de rejeito em praticamente
todo o reservatório. Esse material depositado está sendo consolidado mesmo
depois de 1984. No modelo numérico, o material abaixo do perfil de 1984 foi
considerado indeformável e isso também explica por que o modelo numérico
superestima o enchimento entre as seções 7 e 13.
138
Figura 42 – Comparação entre o perfil de deposição de rejeito obtidos no campo
e numericamente em Setembro de 1989.
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
0 20 40 60 80 100
Elevação (m)
Distância a partir do lado
esquerdo da seção (m)
Seção 2
0 10 20 30 40 50 60 70
Distância a partir do lado
esquerdo da seção (m)
Seção 3
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
0 30 60 90 120 150
Elevação (m)
Distância a partir do lado
esquerdo da seção (m)
Seção 4
0 20 40 60 80 100 120 140
Distância a partir do lado
esquerdo da seção (m)
Seção 7
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
0 20 40 60 80 100 120
Elevação (m)
Distância a partir do lado
esquerdo da seção (m)
Seção 8
0 30 60 90 120 150 180
Distância a partir do lado
esquerdo da seção (m)
Seção 9
Medido (1989)
Calculado (1989)
Medido (1984)
139
Figura 42 – Continuação.
A planta topográfica do reservatório simulada numericamente está
apresentada na Figura 43 após 58 meses de análise. E na Figura 44 encontra-
se a planta topográfica obtida a partir dos levantamentos batimétricos
realizados em Setembro de 1989. Ambas as figuras estão ilustradas da seção 2
em diante, onde o modelo numérico forneceu resultados para o enchimento.
O crescimento médio da lama vermelha com o tempo em cada seção
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
0 50 100 150 200 250 300
Elevação (m)
Distância a partir do lado
esquerdo da seção (m)
Seção 10
0 50 100 150 200 250 300 350
Distância a partir do lado
esquerdo da seção (m)
Seção 11
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
0 30 60 90 120 150
Elevação (m)
Distância a partir do lado
esquerdo da seção (m)
Seção 12
0 10 20 30 40 50 60 70
Distância a partir do lado
esquerdo da seção (m)
Seção 13
Medido (1989)
Calculado (1989)
Medido (1984)
140
Figura 43 – Planta topográfica do reservatório obtida numericamente em
Setembro de 1989.
Figura 44 – Planta topográfica do reservatório observada em campo em
Setembro de 1989.
141
transversal está ilustrado na Figura 45. A relação entre o nível de material
depositado com o tempo é claramente mostrada. As seções 2 a 4 começaram a
receber material a partir do 47º mês, quando o ponto de lançamento de rejeitos
passou da seção 5 para a seção 1. As seções 7, 8 e 13 apresentaram um período
de deposição praticamente nula por que já se encontravam cheias de rejeito
nesse período, voltando a receber rejeitos aos 36 meses, quando o nível d’água
foi elevado.
A distribuição de índice de vazios na seção 12 em Setembro de 1989
obtida pelo modelo é comparada com resultados medidos em campo em dois
momentos distintos obtidos num intervalo inferior a um mês (VILLAR, 1990)
na Figura 46. A localização da seção 12 não coincide exatamente com a que se
mediu o índice de vazios em campo, mas encontra-se muito próxima. Pode-se
dizer que a distribuição de índice de vazios prevista pelo modelo se ajusta bem
à média dos resultados de campo, tanto qualitativamente quanto
quantitativamente. A forma como o índice de vazios varia com a profundidade
é muito bem descrita pelo modelo.
Os perfis das tensões efetivas ao longo da profundidade do material
depositado, calculado pelo modelo, medido em campo e obtido numericamente
por Consoli (1991) para a seção 12 em Setembro de 1989 estão ilustrados na
Figura 47. Na mesma figura encontram-se os perfis de tensão total, de excesso
de poro-pressão, de poro-pressão hidrostática e total obtidos pelo modelo. As
tensões efetivas calculadas pelo modelo estão bem próximas daquelas medidas
em campo e obtidas por Consoli (1991). Os excessos de poro-pressão não se
dissiparam completamente e a camada de rejeitos está sujeita a deformações
devido ao adensamento. Nos contornos drenados da camada, o excesso de poro-
pressão é nulo. Os demais perfis foram bem representados pelo modelo, tanto
qualitativa quanto quantitativamente.
142
Figura 45 – Progresso da deposição média de rejeitos com o tempo.
Figura 46 – Comparação entre a distribuição de índice de vazios obtida
numericamente e em campo para a seção 12 em 1989.
Figura 47 – Perfis de excesso de poro-pressão, tensão efetiva, poro-pressão
total e hidrostática e de tensão total ao longo da profundidade na seção 12.
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58
Elevação (m)
Tempo (meses)
2
3
4
7
8
9
10
11
12
13
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
3 4 5 6 7 8
Profundidade (m)
Índice de vazios
Medido
Medido
Calculado
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Profundidade (m)
Tensões (kPa)
Excesso de poro-pressão
Tensão efetiva
Tensão efetiva (campo)
Tensão efetiva (Consoli, 1991)
Poro-pressão hidrostática
Poro-pressão total
Tensão total
Seção
143
7.3. Simulação de Monte Carlo de um reservatório de água
O método de simulação de Monte Carlo foi utilizado para analisar o
assoreamento de um reservatório de água levando em consideração o caráter
estocástico do problema. O reservatório escolhido é o mesmo que Soares (1975)
usou para aplicar o modelo determinístico-estocástico desenvolvido. O objetivo
desta análise é mostrar que o método de Monte Carlo fornece respostas mais
completas ao se analisar o assoreamento de um reservatório levando-se em
consideração as incertezas envolvidas no processo e a variabilidade dos
parâmetros usados no modelo.
O reservatório John Martin está localizado no Rio Arkansas, em Bent
County, Colorado, entre as cidades de Las Animas e Lamar. É um reservatório
de múltiplas finalidades, construído para o controle de enchentes e para
fornecer água para irrigação. O reservatório possui aproximadamente 25 km
de extensão e é alimentado principalmente por dois tributários, os rios
Arkansas e Purgatore, em Las Animas, bem como por outros pequenos
tributários como o Rule Creek, que entra no reservatório lateralmente. A
inclinação média do leito do reservatório é de 1,25 m/km. Na Figura 48 está
ilustrado o reservatório John Martin.
As seções transversais do reservatório usadas na modelagem numérica
são as mesmas usadas por Soares (1975). São quatro perfis transversais, R-2,
R-5, R-8 e R-12 (Figura 49), que foram usados para constituir seis seções
transversais igualmente espaçadas de 4,5 km, da seguinte forma:
Seções 6 e 5 = R-2, com o nível do leito devidamente ajustado;
Seção 4 = R-5;
Seção 3 = R-8;
Seções 2 e 1 = R-12, com o nível do leito devidamente ajustado.
As seções transversais, ilustradas na Figura 50, não foram divididas em
subseções.
Uma quantidade de sedimentos igual a 17.636.832 m³ foi depositada
próximo à barragem em 1942, antes do seu fechamento. Soares (1975) levou
144
Figura 48 – Reservatório John Martin, Bent County, Colorado, EUA.
Figura 49 – Perfis transversais do reservatório John Martin. Fonte: Soares
(1982).
Reservatório John Martin
Colorado
Reservatório John Martin
145
Figura 50 – Seções transversais, reservatório John Martin.
em consideração esse aporte de sedimentos ao modificar a geometria original
das seções 5 e 6, tal como está ilustrado na Figura 50. Estas modificações
foram mantidas neste trabalho.
1140
1145
1150
1155
1160
1165
1170
1175
1180
1185
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
Elevação do Leito (m)
Vértices (distantes 30,48 m entre si)
Seção 1
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
Vértices (distantes 30,48 m entre si)
Seção 2
1140
1145
1150
1155
1160
1165
1170
1175
1180
1185
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
Elevação do Leito (m)
Vértices (distantes 60,96 m entre si)
Seção 3
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
49
Vértices (distantes 60,96 m entre si)
Seção 4
1140
1145
1150
1155
1160
1165
1170
1175
1180
1185
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
Elevação do Leito (m)
Vértices (distantes 60,96 m entre si)
Seção 5
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
Vértices (distantes 60,96 m entre si)
Seção 6
146
7.3.1. Definição dos parâmetros determinísticos
Dentre os parâmetros que o modelo desenvolvido utiliza para prever o
assoreamento de um reservatório de água, grande parte deles foi considerada
determinística durante o processo de simulação de Monte Carlo, ou seja, cada
repetição da análise determinística utilizou os mesmos parâmetros para
alimentar o modelo.
Embora o método de Monte Carlo não restrinja, teoricamente, a
quantidade de parâmetros que devam ser estocásticos, a falta de informações
sobre a variabilidade e incertezas de alguns dos parâmetros fez com que eles
fossem considerados determinísticos, embora se saiba que muitos deles tenham
uma forte característica estocástica.
Os sedimentos foram divididos em cinco classes de tamanhos e na
Tabela 9 apresentam-se as porcentagens de cada classe tanto para os
sedimentos que entram no reservatório trazidos pelos rios afluentes quanto
para os sedimentos que compõem o leito do reservatório. Portanto, as frações
de cada classe de tamanho de sedimentos foram consideradas parâmetros
determinísticos, embora sabendo-se que pode ocorrer variabilidade temporal
das frações de sedimentos afluentes. A falta de dados que pudessem
caracterizar essa variabilidade impediu a sua abordagem estocástica. O
diâmetro do material do leito foi determinado a partir dos dados da Tabela
9 como 0,0016 mm.
O coeficiente de Manning para todas as seções foi adotado como 0,015,
tal como fez Soares (1975). Do mesmo modo, poderia ser considerada a
Tabela 9 – Composição dos sedimentos no reservatório John Martin.
Classe
Diâmetro médio
(mm)
Fração
Afluente
Leito
Areia fina
0,100
0,10
0,01
Silte grosso
0,030
0,18
0,07
Silte médio
0,010
0,29
0,24
Silte fino
0,003
0,24
0,32
Argila
0,001
0,19
0,36
147
variabilidade espacial e temporal do coeficiente de Manning se houvessem
dados e estudos mais aprofundados sobre o tema.
O peso específico dos sedimentos é igual a 26,5 kN/m³. O fator de
ponderação para o tempo é igual a 1 e para o espaço, 0,9. O intervalo de tempo
para a integração numérica foi adotado como 24 horas.
Adotou-se a fórmula de Engelund e Hansen (1967) modificada por Wu
et
al
. (2000), Equação (111), para estimar a capacidade de transporte de
sedimentos. A distância de adaptação para a carga de leito foi adotada como
6,3 (distância da barra alternada) e para a carga em suspensão utilizou-se a
Equação (119), com igual a 0,25. A espessura da camada de mistura foi
assumida como 0,05 m.
A porosidade do material depositado no leito é igual a 0,54, que
corresponde a uma concentração volumétrica de 0,46 (SOARES, 1975). Nesta
análise, o adensamento do material depositado não foi considerado, por não
haver dados disponíveis sobre os parâmetros de compressibilidade e
permeabilidade dos sedimentos.
7.3.2. Definição dos parâmetros estocásticos
Os parâmetros do modelo considerados estocásticos nesta análise foram
os mesmos que Soares (1975) utilizou em seu modelo estocástico. Desta forma é
possível comparar as respostas fornecidas pelas abordagens distintas feitas
pelo método de simulação de Monte Carlo usadas nesta tese e o modelo
construído de maneira probabilística desenvolvido por Soares (1975).
Assim, foram consideradas estocásticas a vazão de água afluente e a
vazão de sedimentos afluente, que são condições de contorno da entrada do
sistema, e a elevação do nível d’água na barragem, que é uma condição de
contorno na saída do sistema. Como a condição inicial, calculada conforme está
descrito na seção 3.6, depende da elevação do nível d’água inicial na barragem,
que é uma variável estocástica, então a condição inicial também é uma
variável estocástica do problema.
148
O caráter estocástico da vazão de água e de sedimentos afluentes e da
elevação do nível d’água na barragem está em sua variabilidade temporal. O
período de análise do assoreamento do reservatório John Martin foi de 24 anos
e assumiu-se que os parâmetros estocásticos variavam anualmente em cada
uma das realizações do método de Monte Carlo.
Para que a vazão de água afluente pudesse ser considerada um
parâmetro estocástico foi preciso atribuir uma função de distribuição de
probabilidade que representasse a sua variabilidade temporal. Dados coletados
em estações fluviométricas no período entre 1943 e 1966, reportados por
Soares (1975, 1982) e Anonymous (1966), listados na Tabela 10, permitiram
ajustar a distribuição de probabilidade que melhor representasse o volume
anual de água que entrou no reservatório John Martin no período citado, como
está ilustrado na Figura 51.
A base de dados é, portanto, de 24 anos. Uma representação mais
adequada poderia ser obtida caso houvesse registros de um período mais longo,
como numa série histórica de volumes anuais afluentes que se iniciasse muito
antes do ano de 1943.
A distribuição de probabilidade ajustada aos dados foi do tipo lognormal,
que é dada pela expressão:
(180)
em que e são os parâmetros que foram ajustados e forneceram os valores
19,283 e 0,5963, respectivamente.
A analisar os dados da Tabela 10, percebe-se que existe uma correlação
forte entre o volume anual de sedimentos afluentes e o volume anual de água
afluente, caracterizado por um coeficiente de correlação igual a 0,75. Portanto,
como esses dois parâmetros estocásticos não são independentes, uma função de
distribuição de probabilidade conjunta deveria ser definida para a simulação
de Monte Carlo.
149
Tabela 10 – Dados anuais de volumes de água e de sedimentos afluentes e da
concentração de sedimentos no reservatório John Martin.
Ano
Volume afluente (m³)
Concentração
de sedimentos
Água
Sedimentos
1943
328.155.552
1.451.241
0,00442242
1944
401.712.633
3.964.095
0,00986799
1945
262.304.721
4.652.109
0,01773551
1946
161.130.906
1.521.522
0,00944277
1947
548.029.044
5.020.776
0,00916151
1948
508.912.119
4.369.752
0,00858646
1949
317.794.653
3.666.942
0,01153872
1950
192.502.125
3.341.430
0,01735789
1951
212.622.219
3.308.139
0,01555876
1952
169.050.465
858.168
0,00507640
1953
197.225.748
3.417.876
0,01732977
1954
148.697.334
4.076.298
0,02741339
1955
421.445.565
17.319.951
0,04109653
1956
132.266.376
1.670.715
0,01263144
1957
559.486.080
5.866.614
0,01048572
1958
334.146.699
4.188.501
0,01253492
1959
74.147.688
367.434
0,00495543
1960
149.047.506
589.374
0,00395427
1961
168.437.664
831.042
0,00493383
1962
209.875.095
568.413
0,00270834
1963
111.503.889
954.342
0,00855882
1964
73.629.828
390.861
0,00530846
1965
837.157.680
18.160.857
0,02169347
1966
273.381.993
2.802.609
0,01025162
No entanto, ao invés de se definir esta função de distribuição de
probabilidade conjunta, optou-se por trabalhar com a concentração média
anual dos sedimentos como variável estocástica. A concentração média anual
de sedimentos é indicada na Tabela 10 e é definida como a razão entre o
volume anual de sedimentos afluentes e o volume anual de água afluente. Com
estes dados, ajustou-se a função de distribuição de probabilidade que melhor os
representassem, que foi do tipo lognormal, definida pelos parâmetros
e e ilustrada na Figura 52.
150
Figura 51 – Histograma e distribuição de probabilidade para os volumes de
água anuais afluentes.
Figura 52 – Histograma e distribuição de probabilidade para a concentração de
sedimentos afluentes anuais.
Com relação à elevação do nível d’água na barragem, Soares (1975)
relata os valores correspondentes aos níveis mínimo e máximo operacional do
reservatório, que são 1154,2 m e 1173,1 m, respectivamente, assim como o
nível d’água relativo à metade da capacidade de armazenamento do
reservatório, que é 1166,0 m. Como não existem registros dos níveis d’água na
barragem ao longo do tempo que pudessem ser usados para ajustar uma
função de distribuição de probabilidade que melhor representasse a frequência
com que cada nível d’água ocorreria ao longo do tempo na barragem, adotou-se
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Volume anual de água afluente (bilhões m³)
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030
Concentração de sedimentos afluentes
151
a distribuição do tipo beta para este fim. A distribuição de probabilidade beta é
dada pela expressão:
(181)
em que e são os parâmetros da distribuição de probabilidade beta que
definem a sua forma, e é a função beta.
Os parâmetros e foram determinados como 4 e 2, respectivamente,
o que deu à distribuição beta uma forma idealizada dentro do intervalo [0, 1].
Depois o intervalo [0, 1] foi extrapolado para o intervalo dos níveis d’água reais
do reservatório John Martin, ou seja, 1154,2 m e 1173,1 m. A distribuição de
probabilidades beta resultante para os possíveis níveis d’água da barragem
está ilustrada na Figura 53.
7.3.3. Geração dos parâmetros estocásticos
Antes de iniciar o processo de simulação de Monte Carlo é preciso obter
os parâmetros estocásticos, de acordo com o método de amostragem hipercubo
latino, que serão utilizados em cada realização determinística. Assumiu-se que
os três parâmetros estocásticos, vazão de água afluente, vazão de sedimentos
afluentes e nível d’água da barragem, variavam anualmente ao longo dos 24
anos da análise.
Figura 53 – Distribuição de probabilidade para os níveis d’água na barragem
John Martin.
1154 1156 1158 1160 1162 1164 1166 1168 1170 1172 1174
Elevação do nível d'água na barragem (m)
152
O número de realizações do método de Monte Carlo é uma incógnita do
problema, sendo assim, optou-se por realizar 1000 análises determinísticas do
problema de assoreamento do reservatório John Martin a fim de determinar as
estatísticas das respostas, ou seja, a distribuição de probabilidades, a média, o
desvio padrão, o coeficiente de variação e a moda da área de sedimentos
depositados em cada seção transversal do reservatório. Durante as 1000
simulações de Monte Carlo, acompanhou-se a convergência da média e do
desvio padrão da resposta em cada seção. Admitiu-se que a convergência da
média e do desvio padrão representaria a convergência dos demais parâmetros
estatísticos da resposta, o que garantiria que o método de Monte Carlo já tinha
produzido informações suficientes às análises estatísticas.
Sendo assim, a quantidade de números estocásticos gerados na técnica
de amostragem hipercubo latino foi de 24.000, para cada um dos parâmetros
estocásticos considerados, porque foram 1000 simulações de 24 anos. O volume
anual de água e de sedimentos afluentes era transformado em vazão para
poder ser usado pelo modelo determinístico. Os números estocásticos foram
gerados através do programa computacional Maple
©
. A seguinte rotina
exemplifica o código implementado no Maple
©
para gerar os números
estocásticos relativos à vazão de água afluente, conforme o método de
amostragem hipercubo latino:
with(stats): // ativa o pacote estatístico
arq:= "Qin_LHS.txt": // nome do arquivo para gravar os números aleatórios
NSim:= 1000: // número de simulações de Monte Carlo
NVal:= 24: // número de valores por simulação
n:= NSim*NVal: // total de números gerados
mu:= 19.283: // parâmetro da distribuição lognormal
sigma:= 0.5963: // parâmetro da distribuição lognormal
open(arq, WRITE): // abre o arquivo
for i from 1 to n do // método de amostragem hipercubo latino
U:= random[uniform](1): // passo 1
P:= (U + (i-1)) / n: // passo 2
var:= statevalf[icdf,lognormal[mu,sigma]](P)/31536000: // passo 3
fprintf(arq, "%0.10e\n", var): // escreve número gerado no arquivo
end do:
close(arq): // fecha o arquivo
153
Na Figura 54 à Figura 56 estão ilustrados os histogramas de cada um
dos parâmetros estocásticos obtidos a partir dos 24.000 números gerados pela
técnica de amostragem hipercubo latino. Pode-se perceber que a forma do
histograma é a mesma da correspondente distribuição de probabilidade
determinada para cada parâmetro estocástico na seção anterior. Os números
correspondentes à vazão de sedimentos afluentes foram obtidos multiplicando-
se os números gerados para a vazão de água afluente e para a concentração de
sedimentos afluentes.
Figura 54 – Histograma dos 24.000 números de vazões de água afluentes
gerados pela técnica de amostragem hipercubo latino.
Figura 55 – Histograma dos 24.000 números de vazões de sedimentos
afluentes gerados pela técnica de amostragem hipercubo latino.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0
200
400
600
800
1000
1200
0.64
2.36
4.08
5.80
7.52
9.24
10.96
12.68
14.40
16.12
17.84
19.56
21.28
23.00
24.73
26.45
28.17
29.89
31.61
33.33
35.05
36.77
38.49
Porcentagem acumulada
Freqüência
Blocos de vazões de água afluente (m³/s)
Histograma
% Acumulada
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0.00
0.04
0.07
0.11
0.15
0.18
0.22
0.26
0.29
0.33
0.36
0.40
0.44
0.47
0.51
0.54
0.58
0.62
0.65
0.69
Porcentagem acumulada
Freqüência
Blocos das vazões de sedimentos afluentes (m³/s)
Histograma
% Acumulada
154
Figura 56 – Histograma dos 24.000 números de elevações do nível d’água na
barragem gerados pela técnica de amostragem hipercubo latino.
Após os 24.000 números estocásticos serem gerados de forma ordenada,
eles foram misturados aleatoriamente e organizados em 1000 grupos de 24
valores. Cada grupo corresponde a um cenário determinístico para a análise de
Monte Carlo. Esse procedimento foi feito para cada um dos três parâmetros
estocásticos considerados. Da Figura 57 à Figura 59 estão ilustradas as
principais estatísticas ao longo dos 24 anos de análise, quando os 1000 grupos
de dados estocásticos gerados são analisados ano a ano. Nas figuras, além da
média, estão representados os valores máximo e mínimo que ocorrem em cada
ano e alguns valores de percentil. Os valores de percentil 84% e 16% equivalem
à média mais e menos um desvio padrão, respectivamente, quando a
distribuição de probabilidades é do tipo normal e determinam uma faixa em
que 68% dos dados estão contidos em seu interior.
7.3.4. Resultados da análise de Monte Carlo
Após os 1000 cenários terem sido determinados para cada um dos
parâmetros estocásticos, de acordo com o método de amostragem hipercubo
latino, e os parâmetros determinísticos também terem sido definidos, partiu-se
para as 1000 simulações determinísticas do modelo de assoreamento
realizadas pelo método de Monte Carlo.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0
50
100
150
200
250
300
350
1151.01
1151.87
1152.73
1153.59
1154.45
1155.31
1156.17
1157.03
1157.89
1158.75
1159.61
1160.47
1161.33
1162.19
1163.05
1163.91
1164.76
1165.62
1166.48
1167.34
1168.20
1169.06
1169.92
1170.78
1171.64
1172.50
Porcentagem acumulada
Freqüência
Blocos das elevações do nível d'água na barragem (m)
Histograma
% Acumulada
155
Figura 57 – Algumas estatísticas ao longo do tempo de análise obtidas a partir
dos 1000 cenários determinísticos para a vazão de água afluente.
Figura 58 – Algumas estatísticas ao longo do tempo de análise obtidas a partir
dos 1000 cenários determinísticos para a vazão de sedimentos afluente.
Cada simulação forneceu uma resposta determinística para a área de
sedimentos depositados em cada seção transversal do reservatório. Após as
1000 simulações terem sido realizadas, o conjunto dos 1000 valores da área de
sedimentos depositados após um período de 24 anos foi analisado, para cada
0
5
10
15
20
25
30
35
40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Vazão de água afluente (m³/s)
Tempo (anos)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Vazão de sedimentos afluente (m³/s)
Tempo (anos)
Máximo
Mínimo
Percentil 95%
Percentil 84%
Percentil 16%
Percentil 5%
Média
Média
Máximo
Mínimo
Percentil 95%
Percentil 84%
Percentil 16%
Percentil 5%
156
Figura 59 – Algumas estatísticas ao longo do tempo de análise obtidas a partir
dos 1000 cenários determinísticos para a elevação do nível d’água na
barragem.
seção transversal, de onde se obteve as informações estatísticas relevantes,
como a distribuição de probabilidade, a média, o desvio padrão, o coeficiente de
variação, a moda e os valores de percentil.
Como foi mencionado anteriormente, durante as 1000 simulações
acompanhou-se a convergência da média e do desvio padrão da resposta a fim
de se garantir um número suficiente de simulações de Monte Carlo que
caracterizasse satisfatoriamente as estatísticas da resposta. Na Figura 60,
estão ilustradas, para cada seção transversal, a resposta determinística para
cada um dos cenários ao longo das 1000 simulações assim como a convergência
da média e do desvio padrão da área de sedimentos depositados. Pode-se
perceber que as 1000 simulações garantiram a convergência da resposta em
todas as seções transversais. Percebe-se também a grande variabilidade de
valores calculados para a área de sedimentos depositados, indicando que o
assoreamento é muito influenciado pelos valores dos parâmetros estocásticos
considerados na análise.
Na Tabela 11 estão resumidas as principais estatísticas para a área de
sedimento depositado calculada em cada seção transversal após as 1000
1150
1155
1160
1165
1170
1175
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Nível d'água na barragem (m)
Tempo (anos)
Máximo
Mínimo
Percentil 95%
Percentil 84%
Percentil 16%
Percentil 5%
Média
157
Figura 60 – Valores da área de sedimentos depositados obtidos pelas 1000
simulações de Monte Carlo, por seção transversal, e convergência da média e
do desvio padrão.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Área de sedimento depositado (m²)
Simulação (#)
Seção 2
Área
Média
Desvio padrão
158
Tabela 11 – Principais estatísticas da simulação de Monte Carlo para a área de
sedimento depositado por seção transversal.
Seção
Medido
(m²)
Média
(m²)
Desvio
Padrão (m²)
Coefic. de
Variação (%)
Moda*
(m²)
Distribuição
2
4305,30
6117,4
1720,9
28,13
5288,5
Lognormal
3
5221,22
7068,3
1663,6
23,54
6689,4
Lognormal
4
2828,54
5996,6
1957,7
32,65
5576,8
Log-logística
5
2980,94
3889,6
2584,8
66,45
3321,0
Log-logística
6
1804,42
3201,1
2689,2
84,01
2218,1
Log-logística
* Valores determinados pelo programa BestFit
©
.
realizações de Monte Carlo terem sido processadas, além dos valores medidos
em campo. Pode-se observar que, com exceção da seção 4, os valores medidos
estão dentro do intervalo definido pela média mais ou menos o desvio padrão.
Em relação à seção 4 deve-se notar que considerando apenas a parte da seção
em que a área de sedimentos depositados foi medida, a área calculada seria
igual a 4233,22 m² e, portanto, também fica dentro do intervalo mencionado
acima. Nota-se, também, que duas seções transversais apresentaram
distribuições de probabilidade do tipo lognormal e três do tipo log-logística,
indicando a ocorrência de valores de grande magnitude para a área de
sedimentos depositados nas realizações de Monte Carlo.
Na Figura 61 estão ilustrados o histograma, a distribuição de
probabilidade ajustada para a área de sedimentos depositados após 24 anos e a
densidade acumulada, para cada seção transversal, a partir dos resultados das
1000 simulações de Monte Carlo. As distribuições de probabilidade foram
ajustadas utilizando-se o programa computacional BestFit
©
e estão indicadas
na Figura 61 para cada seção transversal. O ajuste adotado foi feito de acordo
com o teste estatístico do qui-quadrado. Na Figura 61 também estão listados
outros parâmetros estatísticos determinados para cada seção transversal. De
acordo com a Figura 61, percebe-se que o ajuste das distribuições de
probabilidade foi satisfatório ao observar que a densidade acumulada
resultante do ajuste praticamente se sobrepõe à densidade acumulada obtida
com os dados reais, para a maioria das seções transversais.
159
Figura 61 – Histograma, distribuição de probabilidade e densidade acumulada
para a área de sedimentos depositados após 24 anos, por seção transversal.
Seção 2
Área de sedimentos depositados (10³ m²)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Seção 3
Área de sedimentos depositados (10³ m²)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Seção 4
Área de sedimentos depositados (10³ m²)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Seção 5
Área de sedimentos depositados (10³ m²)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
0
3
6
9
12
15
1
0
Frequência
Densidade acumulada
Dados
Ajuste
Dados
Ajuste
1
0
Frequência
Densidade acumulada
Dados
Ajuste
Dados
Ajuste
160
Figura 61 – Continuação.
A distribuição de probabilidade log-logística é definida pelos parâmetros
, e , e é dada pela expressão:
(182)
Em 1966, 24 anos após o fechamento da barragem John Martin,
realizou-se uma nova batimetria do fundo do reservatório em cada seção
transversal. A partir da nova geometria das seções transversais em 1966 é
possível comparar e avaliar os resultados da simulação de Monte Carlo. Na
Figura 62 estão representadas as seções transversais com a nova geometria
obtida em 1966 após a batimetria e os resultados da simulação de Monte Carlo
para 1966, que definiram a geometria de cada seção correspondente à área de
sedimentos depositados.
Na Figura 62 está representada a geometria correspondente à média, à
moda e aos valores de percentil iguais a 5% e 95%, 16% e 84% da área de
sedimentos depositados por seção. Embora o método de distribuição lateral de
Seção 6
Área de sedimentos depositados (10³ m²)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
0
3
6
9
12
15
1
0
Frequência
Densidade acumulada
Dados
Ajuste
161
Figura 62 – Geometria das seções obtidas pela simulação de Monte Carlo e
medida em campo, em 1966.
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
Cota (m)
Escala em unidades de 30.48 m
Seção 2
1160
1161
1162
1163
1164
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
Cota (m)
Escala em unidades de 60.96 m
Seção 3
Percentil 95%
Percentil 16%
Medido
Percentil 5%
Percentil 84%
Média
Moda
Percentil 95%
Percentil 84%
Moda
Média
Medido
Percentil 5%
Percentil 16%
162
Figura 62 – Continuação.
1155
1157
1159
1161
1163
1165
1167
1169
1171
1173
1175
1177
1179
1181
1183
1185
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
Cota (m)
Escala em unidades de 60.96 m
Seção 4
1150
1152
1154
1156
1158
1160
1162
1164
1166
1168
1170
1172
1174
1176
1178
1180
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
Cota (m)
Escala em unidades de 60.96 m
Seção 5
Percentil 95%
Percentil 84%
Moda
Média
Percentil 16%
Percentil 5%
Medido
Percentil 84%
Moda
Média
Medido
Percentil 16%
Percentil 5%
Percentil 95%
163
Figura 62 – Continuação.
sedimentos na seção transversal adotado no modelo não represente fielmente a
distribuição de sedimentos real, vê-se na figura que a geometria medida na
seção 2 está compreendida quase que integralmente entre a média e o percentil
de 5%, deste modo pode-se afirmar que a simulação de Monte Carlo
superestimou o assoreamento da seção 2 na maioria das realizações.
Na seção 3 (Figura 62), o leito medido em 1966 está entre o percentil de
5% e 84%, e na maioria das vezes está abaixo da moda, novamente o método de
Monte Carlo superestimou o assoreamento. Na seção 4, o leito medido
praticamente coincide com o percentil de 5%. Na seção 5, a geometria medida e
a média de Monte Carlo são coincidentes, neste caso o método de Monte Carlo
estimou com mais precisão o assoreamento. Já na seção 6, foi a moda que
coincidiu com os dados medidos em campo, o que também é satisfatório.
Mais importante do que fornecer com precisão o assoreamento que
ocorre num determinado instante numa seção transversal qualquer, o método
de Monte Carlo fornece a probabilidade de ocorrência de um determinado nível
de assoreamento levando em consideração as incertezas e a variabilidade dos
1150
1152
1154
1156
1158
1160
1162
1164
1166
1168
1170
1172
1174
1176
1178
1180
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
Cota (m)
Escala em unidades de 60.96 m
Seção 6
Percentil 95%
Percentil 84%
Média
Moda
Percentil 5%
Percentil 16%
Medido
164
fatores que interferem no assoreamento. Desta forma, é possível projetar e
operar um reservatório dentro de margens de segurança, conhecendo-se as
chances de ocorrência de certos níveis de assoreamento que podem
comprometer o funcionamento do reservatório e até inviabilizar o seu projeto.
Por exemplo, ao analisar os resultados da seção 6 na Figura 62, é
possível saber qual a probabilidade de que os sedimentos depositados alcancem
a soleira de tomada de água. Essa informação pode ser muito útil para a
operação do reservatório.
Na Figura 63 está ilustrado o processo de acúmulo de sedimentos ao
longo do tempo em cada seção transversal. Além da média da área de
sedimentos depositados obtida pela simulação de Monte Carlo, estão
apresentados os valores de percentil de 5% e 95% e de 16% e 84%.
Figura 63 – Avanço do assoreamento com o tempo em cada seção transversal.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Área de sedimentos
depositados acumulada (m²)
Tempo (anos)
Seção 2
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Área de sedimimentos
depositados acumulada (m²)
Tempo (anos)
Seção 3
Percentil 95%
Percentil 84%
Percentil 16%
Percentil 5%
Média
Percentil 95%
Percentil 84%
Percentil 16%
Percentil 5%
Média
165
Figura 63 – Continuação.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Área de sedimentos depositados
acumulada (m²)
Tempo (anos)
Seção 4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Área de sedimentos depositados
acumulada (m²)
Tempo (anos)
Seção 5
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Área de sedimentos depositados
acumulada (m²)
Tempo (anos)
Seção 6
Percentil 95%
Percentil 84%
Percentil 16%
Percentil 5%
Média
Percentil 95%
Percentil 84%
Percentil 16%
Percentil 5%
Média
Percentil 95%
Percentil 84%
Percentil 16%
Percentil 5%
Média
166
Na sequência, foi realizada uma análise de sensibilidade para julgar o
grau de influência dos parâmetros estocásticos na incerteza do assoreamento
em cada seção transversal. Na Tabela 12 estão listados os resultados da
análise de sensibilidade para todos os parâmetros estocásticos obtidos a partir
do coeficiente de correlação simples (CCS) e do coeficiente de correlação da
posição (CCP), conforme descrito na seção 6.4, que foram ilustrados na Figura
64. Os resultados mostram que a vazão de sedimentos afluente é o fator que
mais influencia o assoreamento do reservatório, seguido pela vazão de água. O
fator menos importante é o nível d’água na barragem.
Tabela 12 – Resultados da análise de sensibilidade dos parâmetros estocásticos
a partir dos coeficientes CCS e CCP, por seção transversal.
Seção
Vazão de
água
Vazão de
sedimentos
Nível
d’água
CCS
CCP
CCS
CCP
CCS
CCP
2
0,33
0,31
0,82
0,75
0,22
0,34
3
0,57
0,64
0,84
0,88
-0,08
-0,12
4
0,41
0,63
0,56
0,78
-0,15
-0,34
5
0,17
0,63
0,22
0,69
-0,06
-0,39
6
0,11
0,54
0,15
0,53
-0,01
-0,41
Figura 64 – Comparação da sensibilidade dos parâmetros estocásticos a partir
dos coeficientes CCS e CCP, por seção transversal.
-0,50
-0,25
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
Coeficiente de correlação
Seção 2
CCS
CCP
-0,50
-0,25
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
Seção 3
CCS
CCP
Vazão de
água
Vazão de
água
Vazão de
sedimentos
Vazão de
sedimentos
Nível
d’água
Nível
d’água
167
Figura 64 – Continuação.
-0,50
-0,25
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
Coeficiente de correlação
Seção 4
CCS
CCP
-0,50
-0,25
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
Seção 5
CCS
CCP
-0,50
-0,25
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
Coeficiente de correlação
Seção 6
CCS
CCP
Vazão de
água
Vazão de
água
Vazão de
água
Vazão de
sedimentos
Vazão de
sedimentos
Vazão de
sedimentos
Nível
d’água
Nível
d’água
Nível
d’água
168
Capítulo 8
Conclusões e Sugestões
8. Conclusões e Sugestões
8.1. Conclusões
Neste trabalho, foi desenvolvido um modelo matemático determinístico
quase-tridimensional capaz de representar os fenômenos físicos envolvidos no
processo de acúmulo de sedimentos em reservatórios: o transporte, a deposição
e a erosão dos sedimentos e o adensamento do material depositado. O modelo
considera a variação granulométrica dos sedimentos que entram no
reservatório e que são depositados. Permite simular o aporte de sedimentos
que entram no reservatório em diferentes pontos ao longo de seu comprimento
através de uma rede de canais.
O modelo foi implementado computacionalmente e usado para analisar
problemas reais de acúmulo de sedimentos em reservatórios de água e de
rejeitos de mineração. Diante dos resultados, as seguintes conclusões puderam
ser obtidas:
8.1.1. Quanto ao modelo numérico
Em todas as análises foram usados valores de 0,9 e 1 para os fatores de
ponderação espacial e temporal, respectivamente, no esquema implícito de
Preissmann, conforme sugerido por Wu
et al
. (2004), tendo-se conseguido bons
resultados em termos de estabilidade, convergência e precisão.
169
O acoplamento do modelo de adensamento com grandes deformações aos
modelos hidrodinâmico e de sedimentos permitiu calcular a deformação do
leito causada pelo adensamento a pequenos intervalos de tempo. A redução da
área de sedimentos depositados devido ao adensamento e, consequentemente, o
aumento da área molhada da seção interfere nos processos de transporte e
deposição de sedimentos ao alterar a velocidade do escoamento. Na prática,
todos os fenômenos ocorrem simultaneamente e, assim, o modelo foi
desenvolvido procurando representar as interações físicas destes processos.
O método de Monte Carlo é uma poderosa ferramenta para fornecer as
respostas de um problema físico estocasticamente. Qualquer que seja o modelo
determinístico desenvolvido, o método de Monte Carlo é capaz de fornecer as
estatísticas da resposta bastando, para isso, definir apropriadamente quais
parâmetros do modelo determinístico são estocásticos, ou seja, que possuem
algum tipo de variabilidade temporal/espacial ou de incerteza associada.
Assim, o modelo determinístico pode ser constantemente melhorado e
incorporado ao método de Monte Carlo. Ele permite, também, flexibilidade na
escolha de quais parâmetros do modelo são estocásticos.
O coeficiente da equação para a distância de adaptação para a carga
em suspensão foi um parâmetro fundamental no processo de calibração do
modelo. As respostas do modelo variavam muito em função do valor escolhido
para este parâmetro.
Ao apresentar mais de uma alternativa para as fórmulas empíricas
necessárias ao modelo de sedimentos, o modelo desenvolvido se torna flexível
ao permitir a escolha das fórmulas que fornecem as melhores respostas ao
problema em estudo.
8.1.2. Quanto à análise determinística do reservatório de água
O erro relativo entre a área de sedimentos depositados calculada e
observada foi no máximo de 5% em quatro seções, de 15% em sete seções e de
20% em oito seções.
170
As mudanças nas seções transversais calculadas pelo modelo
matemático estão razoavelmente próximas às observadas no campo. O padrão
de deposição lateral observado em algumas seções foi diferente do padrão
considerado pelo modelo, mas, em geral, a extensão e a distribuição dos
depósitos concordam com as medições de campo.
É possível perceber que houve aumento no volume depositado sempre
que a carga de entrada dos sedimentos se intensificou. A alta carga de
sedimentos que atingiu o reservatório entre 1941 e 1942 aumentou
consideravelmente a taxa de deposição no reservatório.
Observou-se que o modelo subestimou levemente o nível d’água ao longo
do rio, principalmente na condição de vazão mais elevada. Mesmo assim, os
resultados estão dentro de uma margem de erro aceitável. Na região do lago
criado pela barragem, onde a elevação do nível d’água é praticamente
constante, o ajuste foi muito bom.
A concordância entre o perfil longitudinal dos sedimentos depositados
calculado e observado em 1943 foi satisfatória.
Observou-se que a taxa de deposição foi maior nas seções que
apresentam maior área molhada e, consequentemente, menor velocidade de
escoamento. Por outro lado, em algumas seções mais estreitas, ocorreu erosão
em certos períodos de tempo. A subida da superfície da água do lago provocou a
formação de um delta, que foi aplanado quando o nível d’água baixou, movendo
os sedimentos mais para a jusante em direção à barragem. Observou-se que,
mesmo com a tendência geral do sistema de altear o leito, períodos alternados
de agregação e degradação do leito ocorreram. Quando a vazão foi elevada, a
velocidade do escoamento aumentou e o material do leito foi removido e levado
para a jusante para ser depositado nas elevações mais baixas. Portanto, em
geral, ocorreu degradação quando a vazão foi elevada. Por outro lado, na parte
mais branda da hidrógrafa, a velocidade do escoamento foi menor e permitiu a
deposição de sedimentos. Os períodos em que a erosão do leito foi
predominante coincidem com os maiores volumes de água que entraram no
sistema. No entanto, o esvaziamento que ocorreu no reservatório no final de
171
1940 e início de 1941 não provocou erosão significativa do leito, talvez porque
neste período as vazões de água foram pequenas.
Nas seções do Rio Colorado, não houve variação significativa da
granulometria do material do leito, indicando que a Barragem Imperial não
alterou as condições naturais do rio neste trecho. Na região do reservatório, o
material do leito tornou-se mais grosso com o tempo nas seções de montante, e
mais fino nas seções de jusante, como era esperado. As seções localizadas perto
da barragem, ao longo do tempo, gradualmente aumentaram a proporção de
material fino no leito. A resposta do sistema para o rebaixamento do
reservatório entre 1940 e 1941 foi transportar as partes finas do sedimento
para a jusante. Assim, o diâmetro médio foi drasticamente reduzido neste
período nas seções mais próximas da barragem e foi aumentado nas seções
mais afastadas de onde as partículas finas foram retiradas. O rebaixamento
também deslocou o delta para a jusante, tornando a granulometria desta
região mais grossa neste período.
A proporção de silte no leito aumentou nas proximidades da barragem,
formando os depósitos de fundo, a fração de areia fina se acentuou mais no
meio do reservatório, enquanto que as frações de areia média e grossa se
destacaram na entrada do lago, na região de formação do delta.
8.1.3. Quanto à análise determinística do enchimento da barragem de
rejeitos de mineração
Em campo, nota-se que parte do rejeito é transportado e depositado à
montante do ponto de lançamento. O modelo desenvolvido apenas transporta e
deposita o rejeito à jusante do ponto de lançamento. Por isso é que as seções à
montante do primeiro ponto de lançamento possuem mais material depositado
do que o modelo consegue estimar e nas seções a jusante a deposição estimada
é maior que a observada. O rejeito que não foi transportado à montante pelo
modelo foi levado para a jusante. Entre 1974 e 1984 houve acúmulo de rejeito
em praticamente todo o reservatório e esse material depositado consolida-se
mesmo depois de 1984. No modelo numérico, o material abaixo do perfil de
172
1984 foi considerado indeformável e é por isso, também, que o modelo
numérico superestimou o enchimento das seções a jusante do ponto de
lançamento.
Observou-se uma relação entre a deposição de rejeito com o tempo, o
nível d’água e o ponto de lançamento. Assim as seções só começaram a receber
material quando o ponto de lançamento de rejeitos esteve à montante da seção.
Por outro lado, as seções apresentaram um período de deposição praticamente
nulo quando se encontravam cheias de rejeito nesse período, voltando a receber
rejeitos quando o nível d’água era elevado.
A distribuição de índice de vazios prevista pelo modelo se ajustou bem à
média dos resultados medidos em campo em dois momentos distintos obtidos
num intervalo inferior a um mês, tanto qualitativa quanto quantitativamente.
A distribuição de índice de vazios na seção 12 em Setembro de 1989
obtida pelo modelo é comparada com resultados medidos em campo em dois
momentos distintos obtidos num intervalo inferior a um mês
As tensões efetivas calculadas pelo modelo estão bem próximas daquelas
medidas em campo e obtidas por Consoli (1991). Os excessos de poro-pressão
não se dissiparam completamente e a camada de rejeitos estava sujeita a
deformações devido ao adensamento. Nos contornos drenados da camada, o
excesso de poro-pressão era nulo. Os demais perfis foram bem representados
pelo modelo, tanto qualitativa quanto quantitativamente.
8.1.4. Quanto à análise determinístico-estocástica do reservatório de água
Percebeu-se que as 1000 simulações determinísticas usadas no método
de Monte Carlo garantiram a convergência da resposta em todas as seções
transversais. Observou-se também a grande variabilidade de valores
calculados para a área de sedimentos depositados, indicando que o
assoreamento foi muito influenciado pelos valores dos parâmetros estocásticos
considerados na análise.
Observou-se que, com exceção da seção 4, os valores medidos estão
dentro do intervalo definido pela média mais ou menos o desvio padrão. Em
173
relação à seção 4 deve-se notar que considerando apenas a parte da seção em
que a área de sedimentos depositados foi medida, a área calculada seria igual a
4233,22 m² e, portanto, também fica dentro do intervalo mencionado acima.
Notou-se, também que duas seções transversais apresentaram distribuições de
probabilidade do tipo lognormal e três do tipo log-logística, indicando a
ocorrência de valores de grande magnitude para a área de sedimentos
depositados nas realizações de Monte Carlo.
A geometria medida na seção 2 ficou compreendida quase que
integralmente entre a média e o percentil de 5%, indicando que na maioria das
realizações o método de Monte Carlo superestimou o seu assoreamento. Na
seção 3, o leito medido em 1966 ficou entre o percentil de 5% e 84%, e na
maioria das vezes, abaixo da moda, de forma que novamente o método de
Monte Carlo superestimou o assoreamento. Na seção 4, o modelo também
superestimou a deposição, pois o leito medido praticamente coincidiu com o
percentil de 5%. Na seção 5, a geometria medida coincidiu com a média de
Monte Carlo, neste caso o método de Monte Carlo estimou com mais precisão o
assoreamento. Já na seção 6, a moda coincidiu com os dados medidos em
campo, o que também foi satisfatório.
Os resultados mostraram que a vazão de sedimentos afluente foi o fator
que mais influenciou o assoreamento do reservatório, seguido pela vazão de
água. O fator menos importante foi o nível d’água na barragem.
O método de Monte Carlo fornece a probabilidade de ocorrência de um
determinado nível de assoreamento levando em consideração as incertezas e a
variabilidade dos fatores que interferem no assoreamento. Desta forma, é
possível projetar e operar um reservatório dentro de margens de segurança,
conhecendo-se as chances de ocorrência de certos níveis de assoreamento que
podem comprometer o funcionamento do reservatório e até inviabilizar o seu
projeto. Por exemplo, ao analisar os resultados da seção 6 (seção da barragem),
é possível saber qual a probabilidade de que os sedimentos depositados
alcancem a soleira de tomada de água. Essa informação pode ser muito útil
para a operação do reservatório.
174
8.2. Sugestões para trabalhos futuros
É importante realizar o monitoramento de campo de um reservatório de
água e/ou de rejeitos de mineração para obter as informações necessárias para
alimentar o modelo desenvolvido e verificar as suas respostas.
Modelar o assoreamento de um reservatório de água incluindo o
adensamento do material depositado.
Modelar o enchimento de um reservatório de rejeitos de mineração de
maneira determinístico-estocástica, levando em consideração, principalmente,
a variabilidade temporal e espacial dos parâmetros de compressibilidade e
permeabilidade do material depositado.
Incluir mais parâmetros estocásticos na modelagem de um reservatório
de água pelo método de Monte Carlo, como por exemplo, o coeficiente da
equação para a distância de adaptação para a carga em suspensão, além de
outros.
175
Bibliografia
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T
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L317m Modelagem determinístico-estocástica da dinâmica de
2009 sedimentos em reservatórios de água e de rejeitos de
mineração / João Paulo Laquini. – Viçosa, MG, 2009.
xxii, 183f.: il. (algumas col.); 29cm.
Orientador: Roberto Francisco de Azevedo.
Tese (doutorado) - Universidade Federal de Viçosa.
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Viçosa. II. Título.
CDD 22.ed. 624.15136
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