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Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
ÁLGEBRAS DE OPERADORES, ESPERANÇA CONDICIONAL
E A ENTROPIA DE CONNES-STORMER
por
RODRIGO BISSACOT PROENÇA
Porto Alegre, julho de 2005
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Dissertação submetida por *Rodrigo Bissacot Proença
como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre
em Matemática pelo Programa de Pós-Graduação em
Matemática do Instituto de Matemática da Universidade
Federal do Rio Grande do Sul.
Professor Orientador:
Dr. Alexandre Tavares Baraviera
Banca Examinadora:
Dr. Artur Oscar Lopes
Dr. Alexandre Tavares Baraviera
Dr. Eduardo Henrique de Mattos Brietzke
Dr. Alexander Eduardo Arbieto Mendoza (IMPA)
Data de Defesa: 22 de julho de 2005.
* Bolsista da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES
ads:
Esta disserta¸c˜ao ´e dedicada `a minha noiva Pita. :-*
1
Agradecimentos
Primeiramente ao meu orientador Alexandre Tavares Baraviera, n˜ao por me ensinar
demonstra¸c˜oes quilom´etricas, mas por me ensinar a aprender, por me deixar escolher o
assunto; por tentar transformar um estudante de matem´atica em um matem´atico; pela
paciˆencia n˜ao-mensur´avel que ele teve comigo e, principalmente, pela convivˆencia, bom
humor e por ser o exemplo de pessoa que ele ´e pra mim.
Aos meus colegas desde a gradua¸c˜ao Eduardo Garibaldi, Joana Mohr, B´arbara Seelig
Pogorelsky e Leandro Colau Merlo por tudo o que fizeram por mim durante minha
forma¸c˜ao. E, principalmente, `a C´ıntia Rodrigues de Ara´ujo Peixoto pela amizade fiel
e discuss˜oes sobre matem´atica. Aos meus amigos de mais doze anos Vladimir Lacerda e
Orlando Gon¸calves Costa que, juntamente com os j´a citados, me deram suporte emocional
e financiaram muitas de minhas idas ao IMPA, o que sem d´uvida mudou minha carreira.
A todos professores do departamento de matem´atica da UFRGS e em especial: ao
Jaime Ripoll pelo curso de leitura no primeiro semestre do mestrado, ao Luis Gustavo por
n˜ao nos tratar como ´orbitas peri´odicas burras e nos deixar ir adiante, mas principalmente
aos dois super-her´ois do departamento Leonardo Bonorino e Artur Oscar Lopes, pelos
quais tenho grande admira¸c˜ao. Sem d´uvida, o contato com pesquisadores como o professor
Lopes ajuda na hora de darmos um exemplo de coragem e disposi¸c˜ao para a pesquisa em
matem´atica.
Agrade¸co ao professores Carlos Isnar do IMPA e Aldo Procacci da UFMG p elo ensino
de An´alise Funcional que ´e a ferramenta principal deste trabalho.
Agrade¸co `a minha m˜ae, meus irm˜aos e ao meu pai p ela for¸ca que me deram no mestrado
e `a fam´ılia Nascimento p or ter me ajudado a chegar nele, principalmente ao seu Alc´ıdio
por tudo que me ensinou.
Agrade¸co ao meu amigo e colega Marcelo Mendes Disconzi pela parceria na matem´atica
e pela amizade sincera e ao Renne Battaglin pelos artigos que me enviou sem os quais
eu n˜ao teria conseguido escrever o texto e, finalmente, `a Rosane por ter sido sempre t˜ao
legal comigo.
Por fim, o mais importante, agrade¸co `a minha noiva Pita, o amor da minha vida.
Obrigado por me fazer feliz.
2
Resumo
Neste trabalho fazemos um breve estudo de
´
Algebras de Operadores, mais especifica-
mente
´
Algebras-C
∗
e
´
Algebras de von Neumann. O objetivo ´e expor alguns resultados que
seriam os an´alogos n˜ao-comutativos de teoremas em Teoria da Medida e Teoria Rrg´odica.
Inicialmente, enunciamos alguns resultados de An´alise Funcional e Teoria Espectral,
muitos destes sendo demonstrados, com ˆenfase especial aos que dizem respeito `as ´algebras.
Com isso, dispomos das ferramentas necess´arias para falarmos de alguns t´opicos da ent˜ao
chamada Teoria da Integra¸c˜ao N˜ao-Comutativa. Uma desigualdade tipo Jensen ´e provada
e, com o teorema de Radon-Nikodym para funcionais normais positivos, construimos uma
esperan¸ca condicional, provando que esta possui as mesmas propriedades da esperan¸ca
condicional da Teoria das Probabilidades.
Dada a Esperan¸ca Condicional, objeto este que faz parte do cen´ario atual de pesquisa
na ´area de
´
Algebra de Operadores e que est´a relacionado com resultados fundamentais
tal como o
´
Indice de Jones, passamos `a defini¸c˜ao da Entropia de Connes-Størmer.
Finalizamos o trabalho analisando esta entropia, que ´e a vers˜ao para as ´algebras de
von Neumann da entropia Kolmogorov-Sinai em Teoria Erg´odica. Provamos algumas pro-
priedades que s˜ao an´alogas `as do conceito cl´assico de entropia e indicamos uma aplica¸c˜ao
da mesma.
O texto n˜ao possui resultados originais, trata-se apenas de uma releitura de artigos
usando vers˜oes mais recentes de alguns teoremas.
3
Abstract
In this work we do a brief study of Operator Algebras, more specificly, C
∗
-Algebras
and von Neumann Algebras. The point is to explain some results that are the non-
commutative analogous of some theorems on Measure Theory and Ergodic Theory.
First, we announce some results of Functional Analysis and Spectral Theory, much of
them are proved. Our attention is in results about algebras. So we have the necessary
tools to discuss some topics of non-Commutative Integration Theory. A Jensen-like in-
equality is proved and, with the Radon-Nikodym theorem for normal positive functionals,
we construct a conditional expectation. We prove that this expectation have the same
properties of conditional expectation of probability theory.
Conditional expectations are objects of the actual research in operator algebras and
this concept it is connected with important results like Jones index. After this we define
the Connes-Stormer entropy.
In the final part of the work we analyse this entropy, which is the von Neumann
algebras’ version of Kolmogorov-Sinai’s entropy from Ergodic Theory. We also prove
some properties that are analogous of the classical concept of entropy and we mention an
application.
The text does not have original results, it is just a review of some articles using younger
versions of some theorems.
4
Introdu¸c˜ao
Em Teoria Erg´odica, para resolver o problema da conjuga¸c˜ao, ou equivalˆencia, o
conceito de entropia introduzido por Kolmogorov e Sinai foi fundamental. Duas trans-
forma¸c˜oes mensur´aveis µ-invariantes T
1
, T
2
: X → X de um espa¸co de probabilidade
(X, β, µ) s˜ao equivalentes quando existe uma bije¸c˜ao mensur´avel (com inversa mensur´avel)
ϕ : X → X, µ-invariante, tal que ϕT
1
= T
2
ϕ. Todas as condi¸c˜oes s˜ao µ-qtp ver [44] ou
[8] para mais detalhes.
Decidir se tal ϕ existe, em geral n˜ao ´e tarefa f´acil e, uma alternativa ´e tentar definir
invariantes num´ericos, ou seja, associar um n´umero a cada transforma¸c˜ao de forma que
transforma¸c˜oes asso ciadas a n´umeros iguais ou distintos, sejam equivalentes ou n˜ao, res-
pectivamente. De fato, a entropia definida por Kolmogorov desenvolvida juntamente com
Sinai n˜ao ´e um invariante completo em geral. Existem transforma¸c˜oes de mesma entropia
que n˜ao s˜ao equivalentes. No entanto, para determinadas classes de transforma¸c˜oes como
os shifts de Bernoulli, as entropias coincidem se, e somente se, as transforma¸c˜oes s˜ao
equivalentes.
O objetivo deste trabalho ´e fornecer uma breve introdu¸c˜ao ao estudo das ´algebras de
von Neumann expondo os objetos desta teoria que aparecem na defini¸c˜ao da entropia de
Connes-Størmer, uma das vers˜oes para
´
Algebra de Operadores da entropia de Kolmogorov-
Sinai de Teoria Erg´odica.
De fato, no caso comutativo, a entropia mostrou-se um invariante muito mais forte
que o espectro, por exemplo, resolvendo o problema da n˜ao conjuga¸c˜ao dos shifts (
1
2
,
1
2
)
e (
1
3
,
1
3
,
1
3
), para os quais o espectro n˜ao nos dizia nada pois eram iguais. No caso n˜ao-
comutativo a primeira aplica¸c˜ao tamb´em ´e mostrar que os n-shifts, agora definidos no
contexto da ´algebras de von Neumann, n˜ao s˜ao conjugados.
O texto se divide em trˆes partes. No primeiro cap´ıtulo s˜ao enunciados alguns resul-
tados de an´alise Funcional, ´algebras-C
∗
e ´algebras de von Neumann que ser˜ao usados
posteriormente. Alguns deles s˜ao demonstrados, mais precisamente os que s˜ao espec´ıficos
das ´algebras.
A maioria dos resultados que, em geral, fazem parte dos cursos de An´alise Funcional e
Teoria Espectral ministrados no Brasil, s˜ao enunciados sem demonstra¸c˜ao, sendo citadas
as referˆencias onde podem ser encontradas as provas.
O segundo cap´ıtulo ´e formado por alguns resultados da ent˜ao chamada Teoria da
Integra¸c˜ao n˜ao-Comutativa. Provamos uma desigualdade tipo Jensen nesse contexto. E
usamos o teorema de Radon-Nikodym para funcionais positivos normais com o objetivo
de provar a existˆencia e a unicidade da esperan¸ca condicional τ-invariante de uma ´algebra
5
de von Neumann finita M, de tra¸co fiel normal finito τ, sobre uma sub-´algebra N.
Na primeira sess˜ao do terceiro cap´ıtulo citamos a entropia de Kolmogorov-Sinai como
na maioria dos textos sobre o assunto, iniciando com a entropia de uma parti¸c˜ao men-
sur´avel, definida primeiramente por Shanonn, at´e chegarmos na defini¸c˜ao da entropia de
uma transforma¸c˜ao mensur´avel que preserva a medida dada. Logo a seguir definimos
a Entropia de Connes-Størmer que, como veremos, ´e uma generaliza¸c˜ao da entropia de
Kolmogorov-Sinai. Ainda neste cap´ıtulo s˜ao feitas analogias com o conceito cl´assico de
entropia. Provamos duas propriedades desta entropia, comuns `aquelas da defini¸c˜ao de
entropia de uma parti¸c˜ao mensur´avel em um espa¸co de probabilidade. De fato, o caso
comutativo ´e usado para obtermos o caso n˜ao-comutativo.
Por fim, analisamos o que foi feito a respeito da entropia de Connes-Størmer, ou-
tras defini¸c˜oes de entropia e alguns trabalhos que relacionam estas com outros conceitos
importantes no contexto de
´
Algebras de Operadores.
´
E bom ressaltar que diferentemente de muitas disserta¸c˜oes de matem´atica, n˜ao vamos
nos deter na demonstra¸c˜ao do teorema principal, que aqui seria exibir a demonstra¸c˜ao da
vers˜ao n˜ao-comutativa do teorema de Kolmogorov-Sinai feita por Connes e Størmer, na
prova de todas as propriedades da nova entropia ou explicitar o c´alculo da entropia dos
shifts. Nos concentraremos nos pr´e-requisitos, descrevendo os objetos que aparecem na
defini¸c˜ao.
O texto tem uma grande quantidade de referˆencias espec´ıficas para as demonstra¸c˜oes,
de modo que os interessados possam encontr´a-las mais rapidamente. Em outras palavras,
este trabalho ´e destinado ao leigos na teoria de
´
Algebras de Operadores.
6
Conte´udo
Introdu¸c˜ao 5
1 An´alise Funcional,
´
Algebras-C
∗
e
´
Algebras de von Neumann 8
1.1 Topologias de B(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Positividade e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3
´
Algebras de von Neumann de dimens˜ao finita . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Teoria da Dimens˜ao de Murray-von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Dualidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Teoria da Integra¸c˜ao n˜ao-comutativa 30
2.1 A Desigualdade de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Esperan¸ca Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 A Entropia de Connes-Størmer 39
3.1 Entropia de Kolmogorov-Sinai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 A defini¸c˜ao de Connes-Størmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Propriedades da Entropia de Connes-Størmer . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Bibliografia 48
7
Cap´ıtulo 1
An´alise Funcional,
´
Algebras-C
∗
e
´
Algebras de von Neumann
Defini¸c˜ao 1.1. Uma ´algebra sobre um corpo C ´e um espa¸co vetorial sobre C, equipado
com uma opera¸c˜ao bilinear e associativa
. : A × A → A, (a, b) → a.b = ab
Esta opera¸c˜ao ser´a dita a multiplica¸c˜ao e o elemento ab ser´a chamado de produto
de a por b.
Observa¸c˜ao 1.1. A menos que se diga o contr´ario, toda a ´algebra citada neste texto ser´a
uma ´algebra sobre o corpo dos complexos denotado por C.
Defini¸c˜ao 1.2. Uma ´algebra provida de uma norma . que satisfaz ab ≤ ab,
ser´a dita uma ´algebra normada. Se com esta norma a ´algebra for um espa¸co vetorial
completo, ou seja, um espa¸co de Banach, ent˜ao ela ser´a chamada de ´algebra de Banach.
Defini¸c˜ao 1.3. Uma ´algebra-C
∗
´e uma ´algebra de Banach equipada com uma involu¸c˜ao
(∗) que satisfaz:
1. (a + b)
∗
= a
∗
+ b
∗
2. (λa)
∗
=
¯
λa
∗
(∀ λ ∈ C)
3. (ab)
∗
= b
∗
a
∗
4. (a
∗
)
∗
= a
5. a
∗
= a
6. a
∗
a = a
2
Observa¸c˜ao 1.2. Da ´ultima igualdade em particular tiramos que se a
∗
a = 0, ent˜ao a = 0.
Exemplo 1.1. Seja H um espa¸co de Hilbert. O conjunto dos operadores limitados B(H),
munido das opera¸c˜oes usuais ´e uma ´algebra-C
∗
, aqui a involu¸c˜ao ´e a opera¸c˜ao de tomar
o adjunto do operador.
8
Exemplo 1.2. Dizemos que uma fun¸c˜ao f : R → C se anula no infinito quando para
todo ε > 0 existe um compacto K ⊆ R tal que |f(x)| < ε para todo x ∈ R\K.
O espa¸co vetorial complexo de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas f : R → C que se anulam
no infinito com a norma f
∞
= sup
x∈R
|f(x)| ´e uma ´algebra-C
∗
, onde a involu¸c˜ao ´e a
conjuga¸c˜ao complexa tomada ponto a ponto.
Defini¸c˜ao 1.4. Um subconjunto de uma ´algebra-C
∗
U que ´e ele pr´oprio uma
´algebra-C
∗
, ou seja, que ´e sub-espa¸co vetorial fechado(em rela¸c˜ao a topologia da norma)
de U e algebricamente fechado em rela¸c˜ao ao produto e `a involu¸c˜ao ´e dito uma sub-
´algebra-C
∗
.
Defini¸c˜ao 1.5. Um elemento a ∈ U ser´a dito auto-adjunto quando a = a
∗
.
Exemplo 1.3. O subconjunto dos operadores auto-adjuntos ´e uma sub-´algebra-C
∗
de
B(H).
Defini¸c˜ao 1.6. Uma ´algebra-C
∗
´e dita unit´aria quando possui unidade, ou seja, quando
existe um elemento e na ´algebra-C
∗
tal que xe = ex = x, para todo elemento x da ´algebra.
No exemplo 1.2 temos uma ´algebra-C
∗
que n˜ao possui unidade. Existem maneiras
de introduzirmos uma unidade numa ´algebra-C
∗
, por exemplo, identificando-a com uma
sub-´algebra-C
∗
de outra unit´aria. Para mais detalhes ver [35].
No que se segue, muitas demonstra¸c˜oes s˜ao feitas para ´algebras-C
∗
no abstrato, mas
estamos indo em dire¸c˜ao `as ´algebras de von Neumann, que s˜ao sub-´algebras-C
∗
de B(H)
que cont´em o operador identidade 1. Desta forma, assumiremos daqui para frente que
nossas ´algebras-C
∗
s˜ao sub-´algebras-C
∗
de B(H) . Isto pode parecer um tanto restritivo,
no entanto, por um resultado chamado constru¸c˜ao GNS, cujo nome cita as iniciais dos
matem´aticos Gelfand, Naimark e Segal, ´e sabido que toda ´algebra-C
∗
pode ser identificada
com uma sub-´algebra-C
∗
de B(H), para algum espa¸co de Hilbert H. Mais precisamente
temos:
Defini¸c˜ao 1.7. Uma representa¸c˜ao de uma ´algebra-C
∗
U em um espa¸co de Hilbert H
´e um *-homomorfismo π : U → B(H), isto ´e,
i) π ´e linear.
ii) π(ab) = π(a)π(b)
iii) π(a
∗
) = π(a)
∗
Teorema 1.1. Se U ´e uma ´algebra-C
∗
, ent˜ao existe uma representa¸c˜ao isom´etrica π :
U → B(H) em um espa¸co de Hilbert H.
P rova: [35] teorema 11.5 pg 34.
Nota¸c˜ao: A partir daqui H sempre denotar´a um espa¸co de Hilbert sobre o corpo dos
complexos e, a menos que diga o contr´ario, U ser´a uma sub-´algebra-C
∗
de B(H) que
cont´em o operador identidade 1.
9
1.1 Topologias de B(H)
Dependendo do espa¸co topol´ogico, precisamos refinar nossa no¸c˜ao de convergˆencia
e n˜ao ´e mais suficiente considerar apenas seq¨uˆencias, ou seja, subconjuntos do espa¸co
topol´ogico indexados pelos naturais. Pelo n´ıvel elementar deste trabalho talvez isto n˜ao
fique claro, o leitor pode consultar por exemplo [32], para uma melhor abordagem sobre
este ponto.
Defini¸c˜ao 1.8. Seja X um conjunto. Chamaremos de net um subconjunto de X indexado
por um conjunto de ´ındices I, tal que I ´e parcialmente ordenado e, dados quaisquer i
1
e
i
2
em I, existe i
3
∈ I tal que i
1
≤ i
3
e i
2
≤ i
3
.
Nota¸c˜ao: (x
i
)
i∈I
Defini¸c˜ao 1.9. Seja (X, β) um espa¸co topol´ogico e, (x
i
)
i∈I
um net em X. Diremos que
(x
i
)
i∈I
converge a x
0
∈ X quando para qualquer aberto U de β tal que x
0
∈ U, exista i
0
∈ I tal que x
i
∈ U, ∀ i ≥ i
0
.
Nota¸c˜ao: x
i
→ x
0
ou lim
i
x
i
= x
0
.
Al´em da topologia da norma, no estudo de
´
Algebra de Operadores muitas outras
topologias s˜ao usadas, definiremos duas destas agora:
Defini¸c˜ao 1.10. A topologia fraca em B(H) ´e a topologia localmente convexa gerada
pela fam´ılia de semi-normas {p
h,ξ
: h, ξ ∈ H} onde p
h,ξ
(a) = |h, aξ|, ∀ a ∈ B(H).
Uma base de vizinhan¸cas desta topologia ´e formada pelos conjuntos da forma,
V (a, h
1
, ..., h
n
, ξ
1
, ..., ξ
n
, ε) = {b ∈ B(H) : |h
i
, (b − a)ξ
i
| < ε, ∀1 ≤ i ≤ n}
Defini¸c˜ao 1.11. A topologia forte em B(H) ´e a topologia localmente convexa gerada
pela fam´ılia de semi-normas {p
h
: h ∈ H} onde p
h
(a) = a(h),∀ a ∈ B(H).
Aqui uma base de vizinhan¸cas ´e dada pelos conjuntos,
V (a, h
1
, ..., h
n
, ε) = {b ∈ B(H) : (b − a)h
i
< ε, ∀1 ≤ i ≤ n}.
Na bibliografia estas topologias s˜ao encontradas, respectivamente, com os nomes de
weak operator topology e strong operator topology. Inspirado nisso, quando um net
de operadores (a
i
)
i∈I
convergir para um operador a na topologia fraca escreveremos
w − lim
i
a
i
= a; para a topologia forte a nota¸c˜ao ser´a s − lim
i
a
i
= a.
Das defini¸c˜oes segue que,
i) w − lim
i
a
i
= a ⇔ lim
i
h, a
i
(ξ) = h, a(ξ) ∀ h, ξ ∈ H
ii) s − lim
i
a
i
= a ⇔ lim
i
a
i
(h) − a(h) = 0 ∀ h ∈ H
10
Seja X um conjunto. Dizemos que uma topologia β em X ´e mais fraca que outra
β
quando todo aberto de β tamb´em for aberto de β
. Isto significa que β
cont´em no
m´ınimo todos os abertos de β, ou seja, mais fraca ´e sinˆonimo de menos abertos.
J´a como sugerem os nomes, a topologia fraca de B(H) ´e mais fraca do que a topologia
forte, e esta ´e mais fraca do que a topologia da norma. Ao inv´es de dizermos que β ´e mais
fraca do que β
, poder´ıamos dizer que β
´e mais forte que β. A nomenclatura tamb´em
pode ser associada ao fato de que a convergˆencia de um net em uma topologia mais forte
obriga a convergˆencia na outra topologia. Em nosso caso, se (a
i
)
i∈I
´e um net em B(H),
ent˜ao:
lim
i
a
i
− a
B(H)
= 0 ⇒ s − lim
i
a
i
= a ⇒ w − lim
i
a
i
= a
Assim, dado um conjunto R ⊆ B(H) temos as seguintes inclus˜oes entre os fechos:
R
.
⊆ R
s
⊆ R
w
onde R
.
, R
s
e R
w
denotam, respectivamente, os fechos de R em rela¸c˜ao as topologias da
norma, forte e fraca em B(H).
Lema 1.1. Seja (a
i
)
i∈I
⊂ B(H) com w − lim
i
a
i
= a, ent˜ao
w − lim
i
a
i
b = ab e w − lim
i
ba
i
= ba, ∀ b ∈ B(H)
P rova :
w − lim
i
a
i
= a ⇔ lim
i
h, a
i
(ξ) = h, a(ξ) ∀ h, ξ ∈ H
⇒ lim
i
h, a
i
(bη) = h, a(bη) ∀ h, η ∈ H
⇒ lim
i
h, (a
i
b)η = h, (ab)η ∀ h, η ∈ H
⇔ w − lim
i
a
i
b = ab
e
w − lim
i
a
i
= a ⇔ lim
i
h, a
i
(ξ) = h, a(ξ) ∀ h, ξ ∈ H
⇒ lim
i
b
∗
(η), a
i
(ξ) = b
∗
(η), a(ξ) ∀ η, ξ ∈ H
⇒ lim
i
η, (ba
i
)(ξ) = η, (ba)(ξ) ∀ η, ξ ∈ H
⇔ w − lim
i
ba
i
= ba
Defini¸c˜ao 1.12. Seja R um subconjunto de B(H), denotaremos por R
o conjunto de
todos os operadores de B(H) que comutam com cada operador de R, ou seja,
R
= {a ∈ B(H) : a.b = b.a, ∀ b ∈ R}
.
11
Observa¸c˜ao 1.3. R ⊆ R
. De fato,
c ∈ R ⇒ cb = bc, ∀ b ∈ R
⇒ c ∈ R
Este mesmo racioc´ınio prova as seguintes inclus˜oes:
R ⊆ R
⊆ R
(iv)
⊆ ... ⊆ R
(2n)
⊆ ... (1.1)
R
⊆ R
⊆ R
(v)
⊆ ... ⊆ R
(2n+1)
⊆ ... (1.2)
Defini¸c˜ao 1.13. Dizemos que um subconjunto R ⊂ B(H) ´e auto-adjunto, denotando
R
∗
= R, quando ele for invariante pela involu¸c˜ao, em outras palavras, se a ∈ R ent˜ao
a
∗
∈ R.
Proposi¸c˜ao 1.1. Dada uma ´algebra-C
∗
U ⊆ B(H), U
´e uma ´algebra-C
∗
fracamente
fechada.
P rova :
´
E evidente que U
´e subespa¸co vetorial auto-adjunto de B(H) que cont´em o
operador 1. Seja (b
n
)
n∈N
⊂ U
tal que lim
n
b
n
− b
B(H)
= 0. Denotando .
B(H)
simples-
mente por ., a desigualdade
b
n
a − ba = (b
n
− b)a ≤ b
n
− ba
garante que lim
n
b
n
a = ba (topologia da norma de B(H)) e, outra desigualdade totalmente
an´aloga, nos d´a lim
n
ab
n
= ab, para todo a ∈ B(H). Sendo assim, para qualquer a ∈ U,
como (b
n
)
n∈N
⊂ U
, segue que ab = lim
n
ab
n
= lim
n
b
n
a = ba. Isso prova que ´e um espa¸co de
Banach. Para concluirmos que ´e uma ´algebra-C
∗
basta verificar que U
´e algebricamente
fechado em rela¸c˜ao ao produto. De fato, dados b e c em U
para qualquer a ∈ U temos
que ab = ba e ac = ca, ent˜ao:
a(bc) = (ab)c = (ba)c = b(ac) = b(ca) = (bc)a
A prova de que U
´e fracamente fechado segue do lema 1.1 pois, para um net (b
i
)
i∈I
⊂ U
tal que w − lim
i
b
i
= b o lema assegura que:
ab = w − lim
i
ab
i
= w − lim
i
b
i
a = ba ∀ a ∈ U
provando que b ∈ U
, ou seja, U
w
= U
, concluindo a demonstra¸c˜ao.
De fato U
´e fechada em v´arias outras topologias localmente convexas, inclusive na
topologia forte. Ver [6] pg 71, por exemplo.
A proposi¸c˜ao 1.1 prova, em particular, que se U ´e uma ´algebra-C
∗
ent˜ao U
= (U
)
tamb´em o ´e, e esta ´ultima tem a propriedade adicional de ser fracamente fechada. Da
mesma forma U
, U
(iv)
, U
(v)
,... s˜ao ´algebras-C
∗
fracamente fechadas. Agora podemos
definir um dos principais objetos deste trabalho, lembrando sempre que nossas ´algebras-
C
∗
continuam sendo sub-´algebras-C
∗
de B(H) contendo o operador identidade 1.
12
Defini¸c˜ao 1.14. Uma ´algebra-C
∗
M ⊆ B(H) ´e dita uma ´algebra de von Neumann
quando M = M
s
, isto ´e, quando for fechada na topologia forte de B(H).
Exemplo 1.4. B(H).
Exemplo 1.5. Qualquer sub-´algebra-C
∗
de dimens˜ao finita em B(H) que contenha o
operador 1.
´
E bom lembrar que n˜ao estamos assumindo que dim(H) < ∞.
Exemplo 1.6. Se (X, µ) ´e um espa¸co de probabilidade ent˜ao L
∞
(X, µ) ⊆ B(L
2
(X, µ)) ´e
uma ´algebra de von Neumann. Aqui, a a¸c˜ao do L
∞
(X, µ) sobre L
2
(X, µ) se d´a atrav´es da
multiplica¸c˜ao ponto a ponto.
´
E importante notar que neste exemplo a ´algebra ´e comutativa.
Agora estamos prontos para enunciar o principal teorema da
´
Algebra de Operadores,
este foi provado por von Neumann em 1929.
Teorema 1.2. (Duplo Comutante)
Dada M ⊆ B(H) ´e uma ´algebra-C
∗
ent˜ao M
s
= M
.
P rova : [23] pg 54.
O corol´ario a seguir nos d´a outras possibilidades para a defini¸c˜ao de ´algebra de von
Neumann.
Corol´ario 1.1. S˜ao equivalentes:
(i) M ´e uma ´algebra de von Neumann.
(ii) M = M
(iii) M = M
w
P rova : O teorema 1.2 garante que (i) ⇔ (ii). Agora, como M
s
⊆ M
w
e M ⊆ M
, se
M ´e uma ´algebra de von Neumann, temos:
M ⊆ M
= M
s
⊆ M
w
⇒
M
w
⊆ M
w
= M
s
w
⊆ M
w
⇒
M
w
= M
w
⇒ M
= M
w
Onde a ´ultima implica¸c˜ao ´e conseq¨uˆencia da proposi¸c˜ao 1.1. Reciprocamente, segue
que se M
w
= M, ent˜ao das inclus˜oes M ⊆ M
s
⊆ M
w
segue que (iii) implica (i).
Corol´ario 1.2. Se M ´e uma ´algebra-C
∗
ent˜ao M
´e uma ´algebra de von Neumann.
Este ´ultimo corol´ario implica que as conten¸c˜oes 1.1 e 1.2 para o caso de R ser uma
´algebra de von Neumann transformam-se todas em igualdades, ou seja, se M ´e uma
´algebra de von Neumann ent˜ao:
M = M
= M
(iv)
= ... = M
(2n)
= ...
M
= M
= M
(v)
= ... = M
(2n+1)
= ...
13
Defini¸c˜ao 1.15. O centro de uma ´algebra de von Neumann M ´e o conjunto:
C(M) = M ∩ M
Defini¸c˜ao 1.16. Quando o centro de uma ´algebra de von Neumann for trivial, isto ´e,
C(M) = C1, ent˜ao a ´algebra ser´a dita um fator.
Exemplo 1.7. B(H) ´e um fator.
P rova :
´
E uma conseq¨uˆencia de um resultado geral de ´algebra chamado Lema de
Schur. Uma prova que ´e uma vers˜ao particular deste lema para operadores limitados em
espa¸cos de Hilbert pode ser encontrada na p´agina 355 de [24].
Falaremos mais dos fatores na se¸c˜ao de teoria da dimens˜ao, por´em ´e bom ressaltar
que este tipo de ´algebra de von Neumann tem um papel fundamental na teoria pois toda
´algebra de von Neumann ´e decomposta em uma soma direta de fatores, nos dizendo que
de certo modo as ´algebras de von Neumann podem ser entendidas a partir dos os fatores,
para os teoremas sobre este ponto pode-se consultar [42].
Apenas para salientar a importˆancia que os fatores tˆem n˜ao s´o para a teoria das
´
Algebras de Operadores bem como para a matem´atica no geral, a Medalha Fields de 1982
foi concedida a Alain Connes pela classifica¸c˜ao de alguns fatores. Uma breve exposi¸c˜ao
hist´orica pode ser encontrada na introdu¸c˜ao de [23].
14
1.2 Positividade e o Teorema Espectral
Nota¸c˜ao: A partir daqui M sempre denotar´a uma ´algebra de von Neumann contida
em B(H).
Defini¸c˜ao 1.17. Dado a ∈ M, o resolvente de a ´e o conjunto
ρ(a) = {λ ∈ C : λ − a ´e invers´ıvel}
O espectro de a ´e o conjunto σ(a) = C \ ρ(a).
Lembramos que um elemento b ∈ M ´e invers´ıvel quando existe um elemento de M,
denotado por b
−1
, tal que bb
−1
= 1.
Teorema 1.3. Dado a ∈ M temos que σ(a) ´e um conjunto compacto n˜ao vazio.
P rova : [35] teorema 3.9 pg 10.
Teorema 1.4. Se a ∈ M ´e auto-adjunto, ent˜ao σ(a) ⊂ R.
P rova : [35] Proposi¸c˜ao 7.10 pg 22 ou [34] teorema VI.8 pg 194.
Defini¸c˜ao 1.18. O raio espectral de um elemento a ∈ M ´e definido por:
r(a) = sup
λ∈σ(a)
|λ|
Note que pelo teorema 1.3, r(a) ´e um n´umero real.
Teorema 1.5. Seja a ∈ M um elemento auto-adjunto, ent˜ao r(a) = a.
P rova : [35] proposi¸c˜ao 7.11 pg 23 ou [34] teorema VI.6 pg 192.
Defini¸c˜ao 1.19. Um elemento a ∈ M ser´a dito positivo quando for auto-adjunto e
σ(a) ⊆ [0, +∞).
Nota¸c˜ao: Escreveremos a ≥ 0 para indicar que a ´e positivo.
Observa¸c˜ao 1.4. Esta defini¸c˜ao de positivo ´e equivalente `a defini¸c˜ao usual encontrada em
textos de an´alise funcional, isto ´e, a ´e positivo se, e somente se, h, a(h) ≥ 0, ∀ h ∈ H.
P rova : [6] pg 38.
Nota¸c˜ao: Denotaremos por W
∗
(a) a ´algebra de von Neumann gerada por a, isto ´e,
a menor ´algebra de von Neumann de B(H) que cont´em a.
Nota¸c˜ao: Seja X um espa¸co topol´ogico compacto. Denotaremos por C(X) o espa¸co
das fun¸c˜oes cont´ınuas de X em C, provido da norma f
∞
= sup
x∈X
|f(x)|.
15
Teorema 1.6. (Stone-Weierstrass) Seja X um espa¸co Hausdorff compacto. Se U ´e
uma sub-´algebra auto-adjunta de C(X) contendo as constantes e separando pontos em X,
ent˜ao U ´e densa em C(X) .
P rova : [32] pg 146.
Lembramos que um conjunto E ⊆ C(X) separa pontos em X quando, dados quais-
quer x e y em X, existir uma f ∈ E tal que f(x) = f(y). Note que aqui n˜ao estamos
exigindo que a sub-´algebra seja da Banach. Quando X for um compacto da reta, o
conjunto do polinˆomios ´e uma ´algebra auto-adjunta contida em C(X), ela cont´em os
polinˆomios constantes e, tomando o polinˆomio identidade P (z) = z temos que ela separa
pontos de X. Isso mostra que o conjunto dos polinˆomios ´e denso em C(X). Na maioria
das vezes, o compacto X ser´a o espectro de um operador auto-adjunto limitado.
Nota¸c˜ao: Seja S um boreliano contido em R. Denotaremos por B
0
(S) o conjunto
das fun¸c˜oes limitadas e mensur´aveis em rela¸c˜ao `a σ-´algebra de borel de S.
Teorema 1.7. (Teorema espectral, C´alculo Funcional)
Seja a ∈ B(H) auto-adjunto. Existe um *-homomorfismo Φ
a
: B
0
(σ(a)) → B(H), tal
que: (escreveremos f(a) ao inv´es de Φ
a
(f))
(i) f(Id
σ(a)
) = a e f(1) = 1
(ii) f(a) ≤ f
∞
, ∀ f ∈ B
0
(σ(a))
(iii) f(a) = f
∞
, ∀ f ∈ C(σ(a))
(iv) Se f ∈ B
0
(σ(a)) e f ≥ 0 ent˜ao f(a) ≥ 0
(v) Se b ∈ B(H) e ab = ba ent˜ao f(a)b = bf (a), ∀ f ∈ B
0
(σ(a))
(vi) Se f
n
´e uma seq¨uencia limitada em B
0
(σ(a)) que converge pontualmente a
f ∈ B
0
(σ(a)) ent˜ao f(a) = s − lim
n
f
n
(a)
(vii) σ(f(a)) = f(σ (a)), ∀ f ∈ C(σ(a))
P rova: [4] teoremas 23.38 pgs 1122 ou, de maneira mais direta, [26] teorema 2.5.5 e
2.5.6 pgs 69 e 72, respectivamente.
Observa¸c˜ao 1.5. Do item (vi) e do teorema de Stone-Weierstrass tiramos que
f(a) ∈ W
∗
(a), ∀ f ∈ C(σ(a)).
De fato, como toda f ∈ C(σ(a)) ´e limite uniforme de polinˆomios em σ(a) e, cada
polinˆomio em σ(a) ´e transformado em uma combina¸c˜ao linear de potˆencias de a pela Φ
a
,
que portanto pertence a W
∗
(a), do item (vi) e do fato de W
∗
(a) ser fechado em rela¸c˜ao
a topologia forte temos que f(a) ∈ W
∗
(a).
16
Defini¸c˜ao 1.20. Dizemos que p ∈ M ´e uma proje¸c˜ao quando p = p
2
= p
∗
.
Podemos extrair mais do teorema 1.7, se ab = ba, ent˜ao o item (v) em particu-
lar garante que para toda fun¸c˜ao f ∈ C(σ(a)) vale f(a)b = bf(a). Disso, conforme a
proposi¸c˜ao abaixo, segue que uma ´algebra de von Neumann ´e sempre rica em projetores.
Nota¸c˜ao: Dado um conjunto S ⊆ R, denotaremos por χ
S
a sua fun¸c˜ao caracter´ıstica.
Proposi¸c˜ao 1.2. Seja a ∈ M, auto-adjunto, ent˜ao:
f(a)b = bf (a), ∀f ∈ C(σ(a)) ⇔ χ
S
(a)b = bχ
S
(a), ∀ S boreliano de σ(a).
P rova : [26] teorema 2.5.5 pg 69.
A existˆencia de proje¸c˜oes em uma ´algebra de von Neumann deve-se ao seguinte fato:
Dado b ∈ (W
∗
(a))
j´a sabemos que como ab = ba ent˜ao f(a)b = bf (a), ∀f ∈ C(σ(a)) e,
pela proposi¸c˜ao acima, vale χ
S
(a)b = bχ
S
(a), ∀ S boreliano de σ(a). Como b ´e arbitr´ario,
provamos que χ
S
(a) ∈ (W
∗
(a))
= W
∗
(a), ∀ S boreliano de σ(a).
´
E claro que Φ
a
(χ
S
) = χ
S
(a) ´e proje¸c˜ao pois, χ
S
≥ 0 e χ
2
S
= χ
S
implicam que χ
S
(a) ≥ 0
e χ
2
S
(a) = χ
S
(a), donde χ
S
(a) ´e proje¸c˜ao. Isso nos mostra a diferen¸ca brutal entre ´algebras-
C
∗
que podem n˜ao possuir proje¸c˜ao alguma como no exemplo 1.2 e ´algebras de von Neu-
mann. De fato, em [26] pode ser encontrada a prova de que von Neumann coincide com
o fecho do espa¸co vetorial gerado por suas proje¸c˜oes.
Agora descreveremos um pouco mais da estrutura das ´algebras de von Neumann.
Proposi¸c˜ao 1.3. Seja a ∈ M auto-adjunto. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(i) a ≥ 0
(ii) a = b
2
para algum b auto-adjunto
(iii) c1 − a ≤ c para todo a ≤ c
(iv) c1 − a ≤ c para algum a ≤ c
P rova : Aqui . ´e a norma usual de B(H).
(i) ⇒ (ii) Pelo teorema espectral item (iv), sendo f(x) =
√
x uma fun¸c˜ao positiva
sobre o espectro de a, segue que
√
a ´e um auto-adjunto pois ´e positivo e satisfaz
(
√
a)
2
= b.
(ii) ⇒ (iii) Tomamos f ∈ C(σ(b)), f(x) = x
2
. Temos que f(b) = a e, pelo teorema
espectral item (iii), segue que f
∞
= a. Seja c tal que 0 ≤ f ≤ a ≤ c, ent˜ao
0 ≤ c − f ≤ c, ∀ c ≥ a. Novamente pelo teorema espectral, temos:
c1 − a = (c − f)(b) = c − f
∞
≤ c ∀ c ≥ a.
17
(iii) ⇒ (iv)
´
Obvio.
(iv) ⇒ (i) Se c1 − a ≤ c para algum c ≥ a, ent˜ao:
c − Id
σ(a)
∞
= (c − z)(a) = c − a ≤ c
Isto implica que a fun¸c˜ao identidade ´e n˜ao-negativa sobre σ(a), assim σ(a) ⊆ [0, ∞) e,
sendo a auto-adjunto por hip´otese conclu´ımos que a ´e positivo.
Lema 1.2. Se a ≥ 0 e b ≥ 0, ent˜ao a + b ≥ 0.
P rova : Escolhemos r e s em R tais que a ≤ r e b ≤ s. Desta forma,
a + b ≤ a + b ≤ r + s
Sendo a e b positivos, pelo item (iii) da proposi¸c˜ao 1.3, temos que r1 − a ≤ r e
s1 − b ≤ s da´ı,
(r + s)1 − (a + b) ≤ r1 − a + s.1 − b ≤ r + s.
Pelo item (iv) da proposi¸c˜ao anterior, a + b ´e positivo.
Nota¸c˜ao: O conjunto dos elementos positivos de M ser´a denotado por M
+
.
Lema 1.3. Se a e b s˜ao positivos de M tais que a + b = 0, ent˜ao a = 0 e b = 0.
P rova : Se a ´e positivo, ent˜ao σ(a) ⊆ [0, ∞). Pelo teorema espectral
σ(−a) = σ(b) ⊆ (−∞, 0]. Como b ´e positivo, ent˜ao σ(b) ⊆ [0, ∞); isso implica que
σ(b) = {0}. Logo, b = r(b) = 0 donde a = b = 0.
Observa¸c˜ao 1.6. Em particular provamos que M
+
∩ (−M
+
) = {0}.
Proposi¸c˜ao 1.4. Se a e b s˜ao positivos de M tais que ab = ba, ent˜ao ab ´e positivo.
P rova : Pelo teorema espectral existem dois elementos positivos c e d em M tais que
c
2
= a e d
2
= b, onde c comuta com a e d comuta com b. E ainda, como c e d s˜ao limites
de polinˆomios em a e b, respectivamente, a e b comutam entre si, portanto b e c tamb´em
comutar˜ao e, assim, ab = c
2
d
2
= (cd)
2
. Como c e d s˜ao positivos, logo auto-adjuntos,
usando que c comuta com d obtemos (cd)
∗
= d
∗
c
∗
= dc = cd. Agora que j´a sabemos que
cd ´e auto-adjunto, usando o teorema espectral em cd, temos que ab = (cd)
2
´e positivo,
isso porque a fun¸c˜ao f(x) = x
2
´e positiva sobre R e, portanto, sobre o espectro de cd.
18
Um dos jarg˜oes que ouvimos quando come¸camos a estudar ´algebras-C
∗
´e que os ope-
radores s˜ao tratados como n´umeros, isto pela manipula¸c˜ao dos mesmos sem levar em
conta sua a¸c˜ao no espa¸co de Hilb ert. Por´em, sutilezas podem causar certo espanto aos
que ainda n˜ao fizeram um curso de teoria espectral, por exemplo, para ver que nem sempre
o produto de operadores positivos ´e um operador positivo sugerimos [26].
Agora apresentaremos um lema extremamente ´util no que segue:
Lema 1.4. Raiz Quadrada
Dado a ∈ M
+
existe um ´unico b ∈ M
+
tal que a = b
2
.
Nota¸c˜ao: Este elemento ser´a denotado por
√
a.
P rova : Pelo teorema espectral j´a sabemos que existe b tal que a = b
2
, mostraremos
que este ´e ´unico. Suponhamos ent˜ao que a = b
2
= c
2
, onde b e c s˜ao positivos. Observando
que ac = c
2
c = cc
2
= ca e, levando em conta que se b =
√
a, obtido a partir do teorema
espectral, ent˜ao b ´e limite de polinˆomios em a. Assim, como c comuta com a, comuta
com qualquer polinˆomio em a, logo comuta com b. Disso segue que (b − c) comuta com
b e com c, logo o quadrado (b − c)
2
´e um positivo que tamb´em comuta com ambos. Pela
proposi¸c˜ao anterior, (b − c)
2
b e (b − c)
2
c s˜ao positivos e somam zero, pois:
(b − c)
2
b + (b − c)
2
c = (b − c)b(b − c) + (b − c)c(b − c) = (b − c)[b(b − c) + c(b − c)] =
= (b − c)[b
2
− bc + bc − c
2
] = (b − c)[a − a] = 0
Pelo lema 1.3 ambos (b − c)
2
b e (b − c)
2
c devem ser nulos, sendo assim, sua diferen¸ca
tamb´em deve ser zero, e da´ı:
(b − c)
2
b − (b − c)
2
c = (b − c)
3
= 0 ⇒ (b − c)
4
= 0 ⇒ 0 = (b − c)
4
= b − c
4
⇒ b = c.
Proposi¸c˜ao 1.5. Todo elemento a ∈ U admite uma decomposi¸c˜ao a = a
1
+ ia
2
, onde
a
1
, a
2
s˜ao elementos de U, auto-adjuntos. Tal decomposi¸c˜ao ´e ´unica e, a
1
e a
2
s˜ao ditos a
Parte Real e a Parte Imagin´aria de a, respectivamente.
P rova :
(Unicidade) Suponhamos que a = a
1
+ ia
2
= b
1
+ ib
2
, sejam duas decomposi¸c˜oes de a,
onde a
1
, a
2
, b
1
, b
2
s˜ao auto-adjuntos. Ent˜ao que (a
1
− b
1
) e (b
2
− a
2
) s˜ao auto-adjuntos,
disto e da igualdade (a
1
− b
1
) = i(b
2
− a
2
) segue que (a
1
− b
1
) = −i(b
2
− a
2
) e, portanto
(a
1
− b
1
) = −(a
1
− b
1
) donde segue que a
1
− b
1
= 0. Logo a
1
= b
1
, implicando que
a
2
= b
2
, provando a unicidade da decomposi¸c˜ao.
(Existˆencia): Basta tomar a
1
= (a + a
∗
)/2 e a
2
= (a − a
∗
)/2i .
Teorema 1.8. Seja a ∈ U auto-adjunto.
Definindo a
+
= (|a| + a)/2 e a
−
= (|a| − a)/2 temos que:
(i) a
+
e a
−
est˜ao em U
+
.
(ii) a = a
+
− a
−
(iii) a
+
a
−
= 0
E ainda, a
+
e a
−
respectivamente chamados de Parte Positiva e Parte Negativa de
a, s˜ao os ´unicos elementos de U que possuem as propriedades i, ii e iii simultaneamente.
Prova: Proposi¸c˜ao 2.2.11, pg 63 de [6].
19
Observa¸c˜ao 1.7. A partir da proposi¸c˜ao e do lema anteriores temos o seguinte:
Todo elemento a ∈ U admite uma decomposi¸c˜ao ´unica da forma a = (a
1
−a
2
) + i(a
3
−a
4
)
onde a
1
, a
2
, a
3
e a
4
s˜ao positivos, tais que a
1
a
2
= 0 e a
3
a
4
= 0.
Proposi¸c˜ao 1.6. O elemento a
∗
a ´e sempre positivo qualquer que seja a ∈ M.
P rova: Como b = a
∗
a ´e auto-adjunto, pela proposi¸c˜ao anterior segue que b = b
+
−b
−
onde b
+
, b
−
s˜ao positivos tais que b
+
.b
−
= 0. Seja t = a
b
−
, sendo
b
−
um limite de
polinˆomios em b
−
e, lembrando que b
+
.b
−
= 0 segue que
b
−
.b
+
= 0. Portanto:
−t
∗
t = −(a
b
−
)
∗
(a
b
−
) = −
b
−
.(a
∗
a).
b
−
= −
b
−
.(b
+
− b
−
).
b
−
=
b
−
.(b
−
).
b
−
= (b
−
)
2
Donde −t
∗
t ´e positivo. Agora, tomamos x e y as partes real e imagin´aria de t. Ent˜ao:
t
∗
t + tt
∗
= (x + iy)
∗
.(x + iy) + (x + iy).(x + iy)
∗
= 2.(x
2
+ y
2
)
Ou seja, t
∗
t + tt
∗
tamb´em ´e positivo pois ´e soma de positivos. Da´ı:
tt
∗
= t
∗
t + tt
∗
− t
∗
t = t
∗
t + tt
∗
+ (b
−
)
2
≥ 0
Assim concluimos que t
∗
t e −t
∗
t s˜ao positivos e portanto t
∗
t = 0. Agora fica f´acil de
ver que b
−
´e nulo, de fato:
b
−
2
= b
∗
−
b
−
= b
−
b
−
= (b
−
)
2
= 0 = 0
Lema 1.5. Se a e b s˜ao auto-adjuntos tais que a ≤ b ent˜ao x
∗
ax ≤ x
∗
bx ∀ x ∈ U.
P rova: Como b − a ≥ 0 ent˜ao existe um c ∈ U
+
tal que c
2
= b − a. Assim,
x
∗
bx − x
∗
ax = x
∗
(bx − ax) = x
∗
(b − a)x = x
∗
c
2
x = (x
∗
c)(cx) = (cx)
∗
(cx) ≥ 0.
Observa¸c˜ao 1.8. Se a ´e auto-adjunto ent˜ao a ≤ a .
P rova: Como a ´e auto-adjunto ent˜ao a−a ´e auto-adjunto. Considerando o polinˆomio
p(z) = a − z e que, σ (p(a)) = p (σ(a)), de σ(a) ⊆ [−a, a] temos
p(σ(a)) ⊆ [0, 2a].
Observa¸c˜ao 1.9. Dado a ∈ U
+
ent˜ao:
1) α.a ∈ U
+
, se α ≥ 0
2) α.a ∈ U
−
, se α ≤ 0
P rova : Em ambos os casos como α ∈ R α.a ´e auto-adjunto e, considerando o
polinˆomio p(z)= α.z temos que p(σ(a)) = σ(p(a)) provando o resultado.
Defini¸c˜ao 1.21. Chamaremos de Peso uma fun¸c˜ao τ : M
+
→ [0, +∞] tal que:
i) τ(a + b) = τ(a) + τ(b)
ii) τ(α.a) = α.τ(a), ∀ a ∈ U
+
Quando τ(a
∗
a) = τ(aa
∗
), ∀ a ∈ U dizemos que o peso ´e um tra¸co.
Se um peso s´o assume valores reais diremos que ele ´e finito.
20
´
E bom ressaltar que em alguns textos, ser tra¸co n˜ao implica ser positivo, em alguns
livros da literatura a condi¸c˜ao τ(a
∗
a) = τ(aa
∗
) ser v´alida para todo elemento da ´algebra
´e tomada como defini¸c˜ao ser requerer a positividade. De fato, o pr´oximo lema enuncia a
condi¸c˜ao mais corriqueira para que um funcional seja chamado de tra¸co.
Defini¸c˜ao 1.22. Uma fun¸c˜ao f : U → C ser´a dita um funcional linear quando:
i) f(a + b) = f(a) + f (b)
ii) f(α.a) = α.f(a) , ∀a ∈ U ∀α ∈ C
Um funcional linear ser´a dito positivo quando sua restri¸c˜ao a U
+
for um peso finito.
Um funcional linear positivo f ser´a chamado de estado quando f(1)= 1.
Lema 1.6. Um funcional linear positivo τ ´e tra¸co se, e somente se, τ (ab) = τ(ba),
∀ a, b ∈ M.
P rova : Dado a = b + ic ∈ M, onde b e c s˜ao respectivamente, as partes real e
imagin´aria de a, temos:
a
∗
a = b
2
+ c
2
+ i(bc − cb)
aa
∗
= b
2
+ c
2
− i(cb − bc)
Das equa¸c˜oes fica claro que τ ´e tra¸co se, e somente se, τ(bc) = τ(cb) ∀ b, c ∈ M
sa
.
Assim, como j´a sabemos que todo elemento ´e combina¸c˜ao de dois auto-adjuntos ´e f´acil
ver que τ(bc) = τ (cb) ∀ b, c ∈ M
sa
se, e somente se, τ(ad) = τ(da) ∀ a, d ∈ M.
Esta ´ultima caracteriza¸c˜ao para tra¸cos finitos ´e a mais usada neste texto.
O lema a seguir tem uma demonstra¸c˜ao entediante, por´em esta ´e feita pelo grande uso
deste lema no texto e porque usaremos esta mesma demonstra¸c˜ao mais adiante.
Lema 1.7. Para cada peso finito τ existe um ´unico funcional linear positivo f definido
em M que coincide com τ em M
+
.
P rova :
Por proposi¸c˜ao anterior todo elemento de M ´e combina¸c˜ao linear de dois auto-adjuntos,
definindo f para estes depois fica f´acil.
Dado a ∈ U auto-adjunto e sendo a = a
+
− a
−
, a decomposi¸c˜ao do teorema em
diferen¸ca de positivos que j´a discutimos, definimos:
f(a) =: τ(a
+
) − τ(a
−
)
Na verdade, tal defini¸c˜ao pode ser enfraquecida, dada outra decomposi¸c˜ao de a como
diferen¸ca de positivos, digamos a = a
p
− a
n
. Provaremos que vale τ (a
+
) − τ(a
−
) =
τ(a
p
) − τ(a
n
) e, portanto, f(a) = τ (a
+
) − τ(a
−
) = τ(a
p
) − τ(a
n
).
De fato, das igualdades a = a
+
−a
−
= a
p
−a
n
obtemos que a
+
+ a
n
= a
p
+ a
−
, donde
τ(a
+
) + τ(a
n
) = τ(a
+
+ a
n
) = τ(a
p
+ a
−
) = τ(a
p
) + τ(a
−
), provando que τ (a
+
) −τ(a
−
) =
τ(a
p
) − τ(a
n
).
21
Levando em conta o fato anterior e que soma de positivos ´e um elemento positivo,
para a e b auto-adjuntos, temos:
f(a+b) = f((a
+
−a
−
)+(b
+
−b
−
)) = f((a
+
+b
+
)−(a
−
+b
−
)) = τ(a
+
+b
+
)−τ (a
−
+b
−
) =
= τ(a
+
) − τ(a
−
) + τ(b
+
) − τ(b
−
) = f(a) + f(b).
E ainda, se a ´e auto adjunto e sendo a = a
+
− a
−
sua decomposi¸c˜ao em parte negativa e
positiva, temos que:
(i) Se α ≥ 0, ent˜ao αa
+
≥ 0 e αa
−
≥ 0, onde αa = αa
+
− αa
−
´e uma decomposi¸c˜ao
de a como diferen¸ca de positivos.
(ii) Se α ≤ 0, ent˜ao αa
+
≤ 0 e αa
−
≤ 0, sendo αa = (−αa
−
) − (−αa
+
) uma
decomposi¸c˜ao de αa como diferen¸ca de positivos.
Agora podemos provar a lineraridade em rela¸c˜ao ao produto por um escalar real sobre
os auto-adjuntos. Dados a ∈ U auto-adjunto e α ∈ R vale:
α ≥ 0 ⇒ f(αa) = f(αa
+
− αa
−
) = τ(αa
+
) − τ(αa
−
) = α(τ(a
+
) − τ(a
−
)) = αf(a)
α ≤ 0 ⇒ f(αa) = f(αa
+
− αa
−
) = f(−αa
−
− (−αa
+
)) = τ(−αa
−
) − τ(−αa
+
) =
= −ατ(a
−
) + ατ(a
+
) = αf(a).
Pelo que provamos est´a claro que se outro funcional coincidir com τ sobre os positivos
ele tamb´em ir´a coincidir sobre todos elementos auto-adjuntos e, pelo que pelo que segue
abaixo, coincidir´a sobre todos os elementos de U provando a unicidade do funcional.
Usando o fato de que to do elemento a ´e decomposto de maneira ´unica na forma
a = a
1
+ ia
2
, com a
1
e a
2
auto-adjuntos definimos:
f(a) := f (a
1
) + if(a
2
) = τ(a
1
+
) − τ(a
1
−
) + iτ(a
2
+
) − iτ(a
2
−
)
´
E f´acil ver que f(a + b) = f(a) + f(b) para quaisquer a e b em U. Dados agora a ∈ U e
λ = α + iβ ∈ C temos:
f(λa) = f ((α + iβ)(a
1
+ ia
2
)) = f((αa
1
− βa
2
) + i(βa
1
+ αa
2
)) =
= f(αa
1
− βa
2
) + if(βa
1
+ αa
2
) = αf(a
1
) − βf(a
2
) + iβf(a
1
) + iαf(a
2
) =
= (α + iβ)(f(a
1
) + if(a
2
)) = λf(a).
O lema nos d´a o direito de a partir daqui confundir um peso ou, um tra¸co finito
positivo com sua extens˜ao. Isto ser´a feito muitas vezes sem ser chamarmos aten¸c˜ao ao
fato.
No que se segue, daremos v´arios resultados sobre ´algebras de matrizes cujas entradas
s˜ao elementos de uma ´algebra-C
∗
, estes ser˜ao usados posteriormente.
Proposi¸c˜ao 1.7. A ´algebra de matrizes n × n com entradas em B(H) denotada por
M
n
(B(H)), munida das opera¸c˜oes usuais ´e *-isomorfa a B(H
n
).
P rova : A prova ´e an´aloga `a demonstra¸c˜ao da existˆencia do *-isomorfismo entre as
matrizes M
n
(C) e os operadores lineares de C
n
.
22
Defini¸c˜ao 1.23. Sejam M e A ´algebras-C
∗
. Diremos que uma aplica¸c˜ao linear
ϕ : M → A ´e positiva quando x ≥ 0 implicar que ϕ(x) ≥ 0.
J´a sabemos que para cada n ∈ N
∗
M
n
(M) e M
n
(A) possuem uma estrutura de ´algebra-
C
∗
natural. Cada aplica¸c˜ao linear ϕ : M → A induz uma outra aplica¸c˜ao linear
ϕ
(n)
: M
n
(M) → M
n
(A) definida por ϕ
(n)
([a
ij
]) = [ϕ(a
ij
)].
Vamos dizer que ϕ : M → A ´e n-positiva quando ϕ
(n)
: M
n
(M) → M
n
(A) for
positiva. Quando ϕ for n-positiva para todo n ≥ 1, ent˜ao ϕ ser´a dita completamente
positiva.
Teorema 1.9. (Stinespring)
Seja U uma ´algebra-C
∗
com unidade e , H um espa¸co de Hilbert e π : U → B(H) uma
aplica¸c˜ao linear tal que π(e) = 1. Ent˜ao π ´e completamente positiva se, e somente se,
existem K espa¸co de Hilbert, V : H → K operador linear com V ≤ 1 e ρ : U → B(K)
representa¸c˜ao tal que π(a) = V
∗
ρ(a)V , ∀ a ∈ U.
P rova : No artigo original [41] ou em [23] pg 40.
Proposi¸c˜ao 1.8. Sejam M e A duas ´algebras-C
∗
. Se M for comutativa ent˜ao toda
aplica¸c˜ao linear positiva de M em A ´e completamente positiva.
P rova : [23] pg 42 ou [41].
23
1.3
´
Algebras de von Neumann de dimens˜ao finita
Faremos agora uma r´apida descri¸c˜ao das sub-´algebras-C
∗
de B(H) de dimens˜ao finita
contendo o operador identidade 1. J´a vimos que estas s˜ao ´algebras de von Neumann
e ´e sobre elas que definiremos a entropia de Connes-Størmer do cap´ıtulo 3. A estrutura
destes objetos vai garantir uma das principais propriedades desta entropia que ´e a finitude,
apesar de n˜ao explicitarmos a prova da propriedade no texto, falaremos um pouco sobre
estas ´algebras pela importˆancia delas na defini¸c˜ao da entropia.
Toda ´algebra-C
∗
de dimens˜ao finita U ´e decomposta numa soma direta U =
d
k=1
Up
k
onde {p
k
: 1 ≤ k ≤ d} ´e um conjunto de proje¸c˜oes minimais do centro de U tal que
d
k=1
p
k
= 1 e, cada ´algebra Up
k
´e *-isomorfa `a ´algebra de matrizes M
n
k
(C).
E ainda, o conjunto {n
1
, ..., n
d
} e o valor d formam um invariante alg´ebrico completo
da ´algebra-C
∗
no sentido de que se V ´e outra ´algebra-C
∗
de dimens˜ao finita, admitindo
portanto uma decomposi¸c˜ao numa soma direta V =
l
k=1
V
k
, onde cada V
k
´e *-isomorfa
a M
m
k
(C), ent˜ao V ´e *-isomorfa a U se, e somente se, l = d e o conjunto {m
1
, ..., m
l
} ´e
uma permuta¸c˜ao de {n
1
, ..., n
d
}.
Estas afirma¸c˜oes s˜ao o teorema 11.2 da p´agina 50 de [42], cuja demonstra¸c˜ao garante
que, para cada p
k
a existˆencia de um conjunto ortogonal {e
1
, ..., e
s
} de proje¸c˜oes minimais
da ´algebra U
k
tais que
s
i=1
e
i
= p
k
.
Agora que j´a sabemos alguns fatos sobre ´algebras de von Neumann de dimens˜ao finita
vamos tratar de uma quest˜ao que est´a relacionada com a defini¸c˜ao da Entropia de Connes-
Størmer. De fato, o exemplo a seguir nos mostra porque no futuro a entropia de um
n´umero finito de sub-´algebras no caso n˜ao comutativo deve ser obtida por um processo
de limite, no caso, um supremo.
Duas ´algebras de von Neumann de dimens˜ao finita sempre geram uma ´algebra de von
Neumann de dimens˜ao finita?
A resposta ´e negativa e o contra-exemplo ´e o seguinte:
Exemplo 1.8.
Neste exemplo nosso espa¸co de Hilbert H ser´a o L
2
([0, 1]), espa¸co das fun¸c˜oes
f : [0, 1] → C mensur´aveis em rela¸c˜ao a σ-´algebra de borel cujo m´odulo ao quadrado ´e
integr´avel `a lebesgue. Para cada fun¸c˜ao mensur´avel e limitada f em [0, 1] vamos considerar
o operador de multiplica¸c˜ao por f em H, isto ´e
g ∈ H → fg ∈ H.
24
Em outras palavras, estamos considerando fun¸c˜oes do L
∞
([0, 1]) ⊆ B(H). Pela proposi¸c˜ao
1.7 identificamos B(H
2
), com M
2
(B(H)). Em M
2
(B(L
2
([0, 1])) tomamos os seguintes
elementos:
A =
t
√
t − t
2
√
t − t
2
1 − t
e P =
0 1
1 0
Como A = A
2
= A
∗
e P = P
2
= P
∗
segue que W
∗
(A) e W
∗
(P ) s˜ao ´algebras de von Neu-
mann de dimens˜ao 2, cujos geradores s˜ao {A, 1} e {P , 1}, respectivamente. Provaremos
que a ´algebra de von Neumann gerada por estas duas ´algebras, ou seja, a menor ´algebra
de von Neumann contida em M
2
(B(H)) que cont´em ambas, tem dimens˜ao infinita. Para
ver isto vamos verificar que os elementos da forma (AP )
n
, n ∈ N
∗
s˜ao L. I. dois a dois.
De fato,
AP =
t
√
t − t
2
√
t − t
2
1 − t
.
0 1
1 0
=
√
t − t
2
t
1 − t
√
t − t
2
AP A =
√
t − t
2
t
1 − t
√
t − t
2
.
t
√
t − t
2
√
t − t
2
1 − t
= 2.
t
√
t − t
2
t − t
2
t − t
2
(1 − t)
√
t − t
2
= 2
√
t − t
2
.
t
√
t − t
2
√
t − t
2
1 − t
= 2
√
t − t
2
A
(AP )
2
= (AP A)P = 2
√
t − t
2
AP
Concluindo a demonstra¸c˜ao segue abaixo a prova por indu¸c˜ao de que:
(AP )
n
= 2
n−1
(t − t
2
)
n−1
AP, ∀ n ∈ N
∗
.
(AP )
n+1
= (AP )
n
(AP ) = 2
n−1
(t − t
2
)
n−1
AP AP = 2
n−1
(t − t
2
)
n−1
(AP )
2
=
= 2
n−1
(t − t
2
)
n−1
(2
(t − t
2
)AP ) = 2
n
(t − t
2
)
n
(AP ).
O exemplo acima foi-me comunicado pelo professor Ruy Exel Filho da UFSC.
25
1.4 Teoria da Dimens˜ao de Murray-von Neumann
Defini¸c˜ao 1.24. Dizemos que u ∈ B(H) ´e isometria parcial quando u
∗
u ´e uma
proje¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 1.25. Dizemos que duas proje¸c˜oes p e q em uma
´algebra de von Neumann M s˜ao equivalentes quando ∃ u ∈ M , isometria parcial tal
que p = u
∗
u e q = uu
∗
.
Nota¸c˜ao: Escreveremos p ∼ q para indicar que p ´e equivalente a q.
Note que ” ∼ ” ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia no conjunto das proje¸c˜oes de M. O conceito
de equivalˆencia deve ser interpretado como uma generaliza¸c˜ao da defini¸c˜ao de dimens˜ao
para espa¸cos vetoriais. De fato, no caso de H ter dimens˜ao finita n˜ao ´e dif´ıcil mostrar que
p ∼ q se, e somente se, dim p(H) = dim q(H).
Defini¸c˜ao 1.26. Dizemos que uma proje¸c˜ao p em uma ´algebra de von Neumann M ´e
finita quando p n˜ao possui proje¸c˜oes menores do que p distintas de p equivalentes a ela
em M, ou seja,
(q ∈ M, q ∼ p, q ≤ p) ⇒ q = p
Se uma proje¸c˜ao de M n˜ao ´e finita, ent˜ao ser´a dita infinita.
Defini¸c˜ao 1.27. Uma ´algebra de von Neumann M ser´a dita finita ou infinita de acordo
com a propriedade do seu projetor identidade 1.
Defini¸c˜ao 1.28. Dizemos que uma proje¸c˜ao p = 0 ´e minimal em M quando:
∀ q ∈ U, (0 ≤ q ≤ p e q
2
= q) ⇒ (q = 0 ou q = p).
Agora que j´a temos as no¸c˜oes de ´algebra de von Neumann finita e infinita falaremos
um pouco mais sobre os fatores. Come¸camos com o seguinte teorema:
Teorema 1.10. (Murray, von Neumann) Seja M um fator agindo num espa¸co de
Hilbert separ´avel. Existe uma fun¸c˜ao dimens˜ao d:{projetores de M} → R
+
, ´unica a
menos de normaliza¸c˜ao, tal que:
(i) d(p) > 0 quando p = 0 e d(0) = 0.
(ii) p ∼ q ⇔ d(p) = d(q).
(iii) pq = 0 ⇒ d(p + q) = d(p) + d(q).
(iv) p ´e finita ⇔ d(p) < +∞.
E ainda, quando nossa ´algebra de von Neumann for um fator, o conjunto das classes
de equivalˆencia de proje¸c˜oes de M ´e totalmente ordenado, onde [p] ≤ [q] quando as classes
de equivalˆencia [p] e [q] cont´em, respectivamente, projetores p
e q
tais que p
≤ q
.
26
A primeira classifica¸c˜ao dos fatores, agindo num espa¸co de Hilbert separ´avel foi feita
analizando a imagem da fun¸c˜ao dimens˜ao conforme abaixo:
• Tipo I
n
, onde n < ∞: M tem proje¸c˜oes minimais, todas s˜ao finitas e, d assume os
valores do conjunto {0, 1, ..., n}. Um fator do tipo I
n
´e sempre *-isomorfo a ´algebra das
matrizes quadradas de ordem n.
• Tipo I
∞
: M possui proje¸c˜oes minimais e, d assume os valores {0,1,...,∞ }. Fatores
deste tipo s˜ao *-isomorfos ao espa¸co de operadores limitados de um espa¸co de Hilbert
separ´avel de dimens˜ao infinita.
• Tipo II
1
: M n˜ao possui proje¸c˜oes minimais, todos os projetores tem como imagem
espa¸cos vetoriais de dimens˜ao infinita mas, o projetor identidade 1 ´e finito segundo a
defini¸c˜ao de Murray-von Neumann. Normalizando a fun¸c˜ao dimens˜ao d, ou seja, d(1) = 1,
a imagem de d ´e o intervalo [0,1].
• Tipo II
∞
: M n˜ao possui proje¸c˜oes minimais, todos os projetores tem como
imagem espa¸cos vetoriais de dimens˜ao infinita, o projetor identidade 1 ´e infinito segundo
a defini¸c˜ao de Murray-von Neumann mas ´algebra possui projetores finitos. A imagem da
fun¸c˜ao dimens˜ao ´e o intervalo [0, ∞].
• Tipo III: M n˜ao possui proje¸c˜oes minimais, todos os projetores tem como
imagem espa¸cos vetoriais de dimens˜ao infinita todos com base de Hamel de mesma cardi-
nalidade e ainda, todos os projetores s˜ao equivalentes no sentido de Murray-von Neumann.
A fun¸c˜ao dimens˜ao assume somente os valores 0 e ∞.
Dentre os resultados que valeram a medalha Fields a Connes, est´a a classifica¸c˜ao a
menos de *-isomorfismo, dos fatores hiperfinitos do tipo II e III, onde a nomenclatura
hiperfinito significa que a ´algebra M cont´em uma sequˆencia crescente de ´algebras de
dimens˜ao finita cujo o fecho fraco da uni˜ao coincide com M.
Para n´os, do trabalho de Connes, o mais importante ´e o fato de que a menos de
*-isomorfismo existe apenas um ´unico fator hiperfinito do tipo II
1
e, que este possui um
´unico estado normal fiel e finito, para a prova pode-se consultar [22]. Este fato ser´a muito
importante para entender as aplica¸c˜oes da entropia de connes-størmer no final do texto.
Outro ponto importante ´e a conex˜ao entre a teoria da dimens˜ao de Murray-von Neu-
mann e a existˆencia de tra¸cos normais, falaremos um pouco disso agora.
Defini¸c˜ao 1.29. Seja ϕ um funcional definido sobre um ´algebra de von Neumann M. Se
para todo net crescente limitado (x
i
)
i∈I
⊂ M
sa
com sup
i∈I
x
i
= x tivermos lim
i
ϕ(x
i
) = ϕ (x),
o funcional ϕ ser´a dito normal.
27
Ao olharmos para a nossa defini¸c˜ao de ´algebra de von Neumann finita talvez n˜ao fique
claro porque em muitos artigos lemos na intro du¸c˜ao o seguinte:
“Seja M uma ´algebra de von Neumann finita e τ seu tra¸co normal fiel finito...”.
A justificativa ´e o seguinte resultado:
Teorema 1.11. Seja M uma ´algebra de von Neumann. Ent˜ao s˜ao equivalentes:
(i) M ´e finita.
(ii) Existe τ: M
+
→ [0, ∞) tra¸co normal fiel finito.
P rova: Ver [42] ou no livro de Dixmier [12].
28
1.5 Dualidades
Nesta se¸c˜ao falaremos um pouco mais dos funcionais normais e damos uma nova carac-
teriza¸c˜ao das ´algebras de von Neumann devida a Sakai.
Proposi¸c˜ao 1.9. O espa¸co vetorial de todos os funcionais normais de M ´e um espa¸co de
Banach. Este ser´a dito o Pr´e-dual de M e denotado por M
∗
.
P rova: Proposi¸c˜ao 3.6.2 de [30] pg 53.
Observa¸c˜ao 1.10. Se ϕ ´e um funcional linear positivo definido sobre um ´algebra de Von
Neumann M, ent˜ao ϕ ´e normal se, e somente se, ϕ(sup
i∈I
x
i
) = sup
i∈I
ϕ(x
i
) para todo net
crescente limitado (x
i
)
i∈I
⊂ M
sa
.
O teorema abaixo ´e uma das vers˜oes do teorema de Radon-Nikodym no contexto
´algebras de von Neumann.
Teorema 1.12. Seja λ ∈ R
+
e τ um estado normal fiel de uma ´algebra de von Neumann
M . Se ψ ∈ M
∗
´e tal que:
|ψ(y
∗
x)| ≤ (τ(x
∗
x))
1/2
(τ(y
∗
y))
1/2
ent˜ao existe um a ∈ M com a ≤ 1/2 tal que ψ(x) = λτ (ax) + λ
−1
τ(xa).
P rova: [22] Lema 8.3.1 pg 51.
Observa¸c˜ao 1.11. O teorema acima ´e uma vers˜ao do teorema de Radon-Nikodym no
seguinte sentido:
Se 0 ≤ ψ ≤ τ , onde ψ ∈ M
∗
e, τ ´e um estado normal fiel de M. Pela desigualdade
de Cauchy-Schwarz temos que:
|ψ(y
∗
x)| ≤ (ψ(x
∗
x))
1/2
(ψ(y
∗
y))
1/2
≤ (τ(x
∗
x))
1/2
(τ(y
∗
y))
1/2
o que nos deixa nas hip´oteses do teorema.
Agora que j´a vimos que toda ´algebra de von Neumann ´e o dual de um espa¸co de Banach
chamamos a aten¸c˜ao para uma esp´ecie de rec´ıproca deste fato, um resultado muito forte
provado por Sakai que nos d´a uma nova caracteriza¸c˜ao das ´algebras de von Neumann:
Teorema 1.13. (Sakai) Uma ´algebra-C
∗
´e uma ´algebra de von Neumann se e somente
se ela ´e o dual de algum espa¸co de Banach.
P rova
: Ver [38].
29
Cap´ıtulo 2
Teoria da Integra¸c˜ao n˜ao-comutativa
2.1 A Desigualdade de Jensen
Nesta se¸c˜ao I denotar´a um intervalo da reta real.
Defini¸c˜ao 2.1. Dizemos que uma fun¸c˜ao f : I → R ´e fun¸c˜ao operador crescente
quando dados quaisquer a ≤ b em B(H)
sa
, ambos com espectro em I, tivermos
f(a) ≤ f(b).
Teorema 2.1. A fun¸c˜ao ln x ´e operador crescente em [0, +∞).
P rova : Ver [37].
Defini¸c˜ao 2.2. Uma fun¸c˜ao f : I → R ´e uma fun¸c˜ao operador convexa quando para
todo λ ∈ [0, 1], tivermos:
f(λa + (1 −λ)b) ≤ λf(a) + (1 − λ)f(b )
para quaisquer operadores a e b de B(H)
sa
cujos espectros est˜ao contidos em I.
Invertendo a desigualdade temos a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao operador cˆoncava.
Aqui ´e importante ressaltar que em muitos artigos a fun¸c˜ao ´e dita operador convexa
no intervalo [0, α[ quando:
f(λx + (1 −λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)
para quaisquer x e y auto-adjuntos de M
n
(B(H)), cujo os espectros estejam em [0, α[ e,
para qualquer λ ∈ [0, 1].
Isso p oderia, a princ´ıpio, restringir o counjunto de fun¸c˜oes que ser˜ao op erador convexa,
no entanto n˜ao ´e isto que acontece. No lema 3.1 de [5] prova-se que estas duas defini¸c˜oes
s˜ao equivalentes. Outra observa¸c˜ao ´e que B(H) pode ser substitu´ıda uma ´algebra de von
Neumann qualquer no enunciado.
30
Teorema 2.2. A fun¸c˜ao η ´e uma fun¸c˜ao operador cˆoncava no intervalo [0, +∞).
P rova : Ver [27].
Teorema 2.3. Se x e y s˜ao elementos de B(H)
+
que comutam, ent˜ao:
η(xy) = η(x)y + xη(y).
P rova : Ver [37] ou [42] pg 12.
Corol´ario 2.1. Se e ´e uma proje¸c˜ao de B(H) ent˜ao η(e) = 0.
P rova : e comuta com ela pr´opria e pelo teorema espectral com η(e), assim:
η(e) = η(ee) = η(e)e + eη(e) = 2eη(e) = 2e(−e ln e) = 2(−e
2
ln e) = 2(−e ln e) = 2η(e)
donde η(e) = 0 .
Usaremos o corol´ario do teorema a seguir para provar a primeira propriedade da En-
tropia de Connes-Størmer de um n´umero finito de sub-´algebras de uma ´algebra de von
Neumann dada.
Para provar o teorema usaremos o Lema a seguir:
Lema 2.1. Seja a um operador linear limitado num espa¸co de Hilbert H com a ≤ 1.
Se b = (1 − aa
∗
)
1/2
e c = (1 − a
∗
a)
1/2
ent˜ao o operador U do espa¸co de Hilbert H ⊕ H
definido por U =
a b
c −a
∗
´e unit´ario.
Prova:
Observando que a involu¸c˜ao no caso dos operadores de H ⊕ H ´e tomar a transposta
da matriz cujo os elementos s˜ao os adjuntos dos operadores da matriz original e que, b e
c s˜ao operadores auto-adjuntos de H, temos:
UU
∗
=
a b
c −a
∗
.
a
∗
c
b −a
=
aa
∗
+ b
2
ac − ba
ca
∗
− a
∗
b c
2
+ a
∗
a
U
∗
U =
a
∗
c
b −a
.
a b
c −a
∗
=
a
∗
a + c
2
a
∗
b − ca
∗
ba − ac b
2
+ aa
∗
E ainda,
aa
∗
+ b
2
= 1 − b
2
+ b
2
= 1 = 1 − a
∗
a + a
∗
a = c
2
+ aa
∗
Para concluirmos que U ´e unit´ario, basta provarmos que ac = ba. Mas como ac
2
= b
2
a
e, sendo b e c positivos, temos que
√
b
2
= b e
√
c
2
= c, o resultado segue do item (v) do
teorema espectral.
Teorema 2.4. (Desigualdade de Jensen para operadores) Seja f ´e uma fun¸c˜ao
real cont´ınua definida no intervalo [0, α[, onde α ≤ ∞ com f(0) ≤ 0. Se f ´e operador
convexa e x ´e auto-adjunto com σ(x) ⊆ [0, α[ ent˜ao f(a
∗
xa) ≤ a
∗
f(x)a ∀ a tal que
a ≤ 1.
31
P rova : Sejam U e V os operadores de H ⊕H definidos como no lema anterior e, seja
X o operador definido por:
X =
x 0
0 0
Ent˜ao temos as seguintes rela¸c˜oes:
U
∗
XU =
a
∗
xa a
∗
xb
bxa bxb
e V
∗
XV =
a
∗
xa −a
∗
xb
−bxa bxb
Donde:
f(a
∗
xa) 0
0 f(bxb)
= f
a
∗
xa 0
0 bxb
= f
1
2
(U
∗
XU) +
1
2
(V
∗
XV )
≤
≤
1
2
f(U
∗
XU) +
1
2
f(V
∗
XV )
Como f ´e cont´ınua e, [0, X ] ´e um compacto, podemos aplicar o teorema de Stone-
Weiestrass juntamente como fato de que sendo U unit´ario temos U = U
−1
= U
∗
. Esta
´ultima afirma¸c˜ao implica que p(U
∗
XU) = U
∗
p(X)U para todo polinˆomio de [0, X ],
aliando isso a continuidade da multiplica¸c˜ao `a direita e `a esquerda em rela¸c˜ao a topolo-
gia da norma, o teorema de Stone-Weiestrass nos garante que f(U
∗
XU) = U
∗
f(X)U.
Exatamente o mesmo ocorre para o operador V , assim:
f(a
∗
xa) 0
0 f(bxb)
≤
1
2
f(U
∗
XU) +
1
2
f(V
∗
XV ) =
1
2
U
∗
f(X)U +
1
2
V
∗
f(X)V =
=
1
2
U
∗
f(x) 0
0 f(0)
U +
1
2
V
∗
f(x) 0
0 f(0)
V ≤
1
2
U
∗
f(x) 0
0 0
U +
1
2
V
∗
f(x) 0
0 0
V =
=
1
2
a
∗
f(x)a a
∗
f(x)b
bf(x)a bf(x)b
+
1
2
a
∗
f(x)a −a
∗
f(x)b
−bf(x)a bf(x)b
=
a
∗
f(x)a 0
0 bf(x)b
Onde a ´ultima desigualdade ´e garantida pela proposi¸c˜ao 1.6, em particular provamos
que f(a
∗
xa) ≤ a
∗
f(x)a.
´
E bom citar que a rec´ıproca tamb´em ´e verdadeira, de fato estas duas condi¸c˜oes s˜ao
duas das 4 equivalentes encontradas em [19].
32
Corol´ario 2.2. Seja U uma ´algebra-C
∗
e π : U → B(H) uma contra¸c˜ao linear positiva.
Se f ´e uma fun¸c˜ao operador convexa nas hip´oteses do teorema acima ent˜ao,
f(π(x)) ≤ π(f(x)) ∀ x auto-adjunto com σ(x) ⊆ [0, α [.
P rova : Restringindo π a W
∗
(x), temos que essa restri¸c˜ao ´e uma contra¸c˜ao positiva
definida sobre uma ´algebra-C
∗
comutativa, pela proposi¸c˜ao 1.8 tal restri¸c˜ao ´e comple-
tamente positiva. Pelo teorema de Stinespring existem um espa¸co de Hilbert K, um
operador limitado V : H → K com V ≤ 1 e uma representa¸c˜ao ρ : W
∗
(x) → B(K) tal
que π(a) = V
∗
ρ(a)V , ∀ a ∈ W
∗
(x).
Como f ´e cont´ınua, portanto cont´ınua em σ(x) que ´e um compacto de R, pelo teorema
de Stone Weiestrass e pelo teorema espectral segue que existe uma sequˆencia de polinˆomios
p
n
em σ(x) tal que a sequˆencia de operadores p
n
(x) converge para o operador f(x). Assim,
como a representa¸c˜ao ρ ´e um *-homomorfismo, portanto cont´ınua, segue que:
π(f(x)) = V
∗
ρ(f(x))V = V
∗
ρ(lim
n
p
n
(x))V = V
∗
lim
n
p
n
(ρ(x))V =
= V
∗
f(ρ(x))V ≥ f(V
∗
ρ(x)V ) = f(π(x))
33
2.2 Esperan¸ca Condicional
Nesta se¸c˜ao vale a pena notar a grande semelhan¸ca com o caso comutativo, ver [40] por
exemplo.
Defini¸c˜ao 2.3. Damos o nome de Esperan¸ca de uma ´algebra-C* U sobre uma
sub-´algebra-C* V para uma aplica¸c˜ao E
V
: U → V que satisfaz:
(i) E
V
´e linear e sobrejetiva.
(ii) E
V
´e positiva, isto ´e, se x ≥ 0 ent˜ao E
V
(x) ≥ 0.
(iii) E
V
´e Unit´aria, ou seja, E
V
= 1.
(iv) E
2
V
= E
V
. (Idempotente)
Se para E
V
ainda tivermos:
(v) E
V
(wxy) = wE
V
(x)y ∀ x ∈ U, ∀ y, w ∈ V.
ent˜ao E
V
´e dita Esperan¸ca Condicional.
Dada uma ´algebra de von Neumann finita M e, um tra¸co normal fiel finito τ definido
sobre M, o teorema a seguir garante a existˆencia e unicidade de uma esperan¸ca condicional
invariante para τ , E
N
: M → N, para cada sub-´algebra de von Neumann N de M.
Muitos artigos que tratam sobre ´algebras de von Neumann finitas iniciam com a
seguinte frase:
“ Seja (M,τ) uma ´algebra de von Neumann finita de tra¸co normal fiel finito τ e N
uma sub-´algebra. Considere E: M → N a esperan¸ca condicional τ-invariante definida
pela identidade τ(E(x)y) = τ(xy), ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ N,...”
Os resultados sobre esperan¸cas condicionais em ´algebras de von Neumann s˜ao vastos
e este ´e um tema atual de pesquisa desta ´area. Aqui provaremos ap enas o que garante a
validade da frase anterior.
A demonstra¸c˜ao abaixo foi feita por Umegaki em [43], por´em, h´a uma diferen¸ca entre
nossa prova e a original. Usamos uma vers˜ao diferente do teorema de Radon-Nikodym da
citada pelo autor. O artigo de Umegaki remete-nos a [39], enquanto que em nossa prova
utilizamos o teorema 1.12 que ´e uma vers˜ao de Sakai adaptada por V. Jones em [22].
34
Para N ⊆ M como antes, temos o seguinte:
Teorema 2.5. Existe uma fun¸c˜ao E
N
: M → N tal que:
(Para deixar a nota¸c˜ao menos carregada usaremos apenas E ao inv´es de E
N
).
(1) E ´e linear e sobrejetora
(2) E(x
∗
) = E(x)
∗
(preserva a involu¸c˜ao)
(3) x ≥ 0 ⇒ E(x) ≥ 0 (positiva)
(4) (x ≥ 0 e E(x) = 0) ⇒ x = 0 (fiel)
(5) E(y) = y , ∀ y ∈ N
(6) E(x) ≤ x
(7) E(E(x).y) = E(x.E(y)) = E(x).E(y) ∀ x, y ∈ M
(8) E(yxw) = yE(x)w , ∀ x ∈ M ∀ y, w ∈ N
(9) E(x
∗
x) ≤ E(x
∗
).E(x) , ∀ x ∈ M
P rova :
Para cada x fixado em M
+
, provaremos que n
x
(y) = τ(xy) ´e um funcional normal
positivo sobre N.
´
E evidente que n
x
s´o assume valores finitos, al´em disso:
Afirma¸c˜ao 1. n
x
´e positivo.
P rova: Se y ∈ N
+
ent˜ao como x ∈ M
+
valem (x
1/2
)
2
= x e x
1/2
yx
1/2
≥ 0, assim:
n
x
(y) = τ (xy) = τ (x
1/2
(x
1/2
y)) = τ (x
1/2
yx
1/2
) ≥ 0.
Afirma¸c˜ao 2. n
x
´e normal.
P rova : Se (y
i
)
i
↑ y, (y
i
)
i
⊂ N
+
, ent˜ao (x
1/2
y
i
x
1/2
)
i
↑ x
1/2
yx
1/2
. Logo,
sup
i
n
x
(y
i
) = sup
i
τ(x
1/2
y
i
x
1/2
) = τ(x
1/2
yx
1/2
) = τ(xy) = n
x
(y).
Agora observamos que, como x ∈ M
+
ent˜ao x ≤ x , assim:
n
x
(y) = τ (xy) = τ (y
1/2
xy
1/2
) ≤ τ(y
1/2
xy
1/2
) = xτ(y), ∀ y ∈ N
+
.
Usando este fato e, a desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada ao funcional positivo
n
x
, segue que para quaisquer y e z em N vale:
|n
x
(y
∗
z)| ≤ (n
x
(y
∗
y))
1/2
(n
x
(z
∗
z))
1/2
≤ (xτ(x
∗
x))
1/2
(xτ(y
∗
y))
1/2
= x(τ(x
∗
x))
1/2
(τ(y
∗
y))
1/2
35
Tomamos ent˜ao o funcional normal positivo n
x
(y) definido por n
x
(y) = n
x
(y)/x,
∀
y
∈
N
. Da desigualdade acima segue que
|
n
x
(
y
∗
z
)
| ≤
(
τ
(
x
∗
x
))
1/2
(
τ
(
y
∗
y
))
1/2
e, sendo
assim, pelo teorema de Radon-Nikodym, usando λ = 1 nas hip´oteses do teorema, existe
um ˜x ∈ N com 2˜x ≤ 1 tal que n
x
(y) = τ (˜xy) + τ(y˜x) = τ (2˜xy), ∀ y ∈ N. Assim:
n
x
(y) = n
x
(y)/x = τ (xy)/x = τ (2˜xy) ⇒ τ(xy ) = τ(2x˜xy), ∀ y ∈ N.
Definimos a esperan¸ca condicional como E(x) := 2x˜x.
´
E imediato da defini¸c˜ao que
τ(E(x)y) = τ(xy) e E ´e uma contra¸c˜ao, pois E(x) = (2x˜x) = 2.x.˜x ≤ x.
Afirma¸c˜ao 3. E est´a bem definida.
P rova : Se x
1
,x
2
∈ N s˜ao tais que τ (xy) = τ (x
1
y) = τ(x
2
y), ent˜ao τ ((x
1
− x
2
)y) =
0, ∀ ∈ N. Fazendo y = (x
1
− x
2
)
∗
, obtemos τ ((x
1
− x
2
)(x
1
− x
2
)
∗
) = 0 e, sendo τ fiel,
segue que (x
1
−x
2
)(x
1
−x
2
)
∗
= 0, donde x
1
= x
2
. Esta mesma demonstra¸c˜ao garante que
E(y) = y,
∀ y ∈ N e, portanto, E ´e idempotente. Em particular, E ´e sobrejetiva.
Afirma¸c˜ao 4. Se x ≥ 0, ent˜ao E(x) ≥ 0.
P rova :
Primeiramente, provaremos que se x ≥ 0, ent˜ao E(x) ´e auto-adjunto. Sabemos que
E(x) = E
a
(x) + iE
b
(x), onde E
a
(x) e E
b
(x) s˜ao, respectivamente, as partes real e ima-
gin´aria de E(x). Como n
x
´e funcional linear positivo,
n
x
(y) = τ (E(x)y) = τ((E
a
(x) + iE
b
(x))y) = τ (E
a
(x)y) + iτ(E
b
(x)y) ∈ R, ∀ y ∈ N
+
.
Assim, τ(E
b
(x)y) = 0, ∀ ∈ N
+
. Fazendo y = E
b
(x) = E
b
(x)
∗
segue que
τ(E
b
(x)E
b
(x)
∗
) = 0 e, como τ ´e fiel E
b
(x)E
b
(x)
∗
= 0 conclu´ımos que E
b
(x) = 0.
J´a obtemos que, se x ≥ 0 ent˜ao E(x) ´e auto-adjunto, escrevendo E(x) = E
p
(x)−E
n
(x)
onde E
p
(x) e E
n
(x) s˜ao, respectivamente, as partes positiva e negativa de E(x). Sendo
n
x
um funcional positivo segue que:
n
x
(y) = τ (E(x)y) = τ((E
p
(x) − E
n
(x))y) = τ (E
p
(x)y) − τ(E
n
(x)y) ≥ 0, ∀ y ∈ N
+
.
Agora, fazendo y = E
n
(x) = E
n
(x)
∗
e lembrando que E
p
(x).E
n
(x) = 0, obtemos:
n
x
(E
n
(x)
∗
) = τ(E(x)E
n
(x)
∗
) = τ((E
p
(x) − E
n
(x))E
n
(x)
∗
) = τ(E
p
(x)E
n
(x)
∗
) − τ(E
n
(x)E
n
(x)
∗
) =
= −τ(E
n
(x)E
n
(x)
∗
) ≤ 0.
Disso segue que τ(E
n
(x)E
n
(x)
∗
) = 0 e, novamente pela fidelidade de τ, conclu´ımos
que E
n
(x) = 0, provando que E(x) ≥ 0.
36
Afirma¸c˜ao 5. Se x ≥ 0 e E(x) = 0, ent˜ao x = 0.
P rova : Como τ(xy) = τ(E(x)y) ∀ y ∈ N e, sendo N uma ´algebra de von Neumann,
segue que 1 ∈ N. Fazendo y = 1 o resultado segue do fato de τ ser fiel.
Afirma¸c˜ao 6. E(x + z) = E(x) + E(z), ∀ x, z ∈ M
+
.
P rova : Para todo y ∈ N,
τ(E(x + z)y) = τ((x + z)y) = τ(xy) + τ (zy) = τ (E(x)y) + τ(E(z)y) = τ ((E(x) + E(z))y).
Da´ı, como chegamos que τ((E(x + z) − E(x) − E(z))y) = 0 para todo y em N, mais
uma vez basta usar que τ ´e fiel e tomar o y adequado, y = (E(x + z) − E(x) − E(z))
∗
.
Uma prova totalmente an´aloga mostra que E(αx) = αE(x), ∀ α ∈ R
+
, ∀ x ∈ M
+
.
Desta forma, vamos usar o mesmo m´etodo usado na extens˜ao de um peso finito para
um funcional linear positivo, agora para estender nossa aplica¸c˜ao linear E, at´e ent˜ao, est´a
definida apenas para os positivos de M. Dado x ∈ M, definimos:
E(x) = E(x
1
) − E(x
2
) + i(E(x
3
) − E(x
4
))
onde x
1
, x
2
, x
3
e x
4
s˜ao positivos tais que x = (x
1
−x
2
) + i(x
3
−x
4
) com x
1
x
2
= x
3
x
4
= 0.
Da maneira que definimos E(x), segue que E(x
∗
) = E(x)
∗
para todo x em M e, ´e
claro que a condi¸c˜ao τ(E(x)y) = τ(xy) ´e satisfeita para quaisquer x ∈ M e y ∈ N.
Observamos que E fica totalmente determinada se soubermos a imagem de cada
positivo de M. Para verificar que E ´e linear, basta proceder da mesma forma que fizemos
quando estendemos um peso finito para um funcional positivo. Os elementos principais
desta constru¸c˜ao s˜ao o teorema de Radon-Nikodym e a fidelidade de τ, que nos permitem
concluir que para cada x ∈ M existe um ´unico elemento de N , denotado por E(x), tal que
τ(E(x)y) = τ(xy), ∀ y ∈ N. Esse ´e um fato que j´a usamos e que usaremos repetidamente
no que segue para provar as demais propriedades de E.
Afirma¸c˜ao 7. E(E(x)z) = E(xE(z)) = E(x)E(z) ∀ x, z ∈ M.
P rova :
Dados x e z ∈ M, a afirma¸c˜ao segue das seguintes identidades v´alidas para todo
y em N:
τ(E(E(x)z)y) = τ(E(x)zy) = τ (zyE(x)) = τ(E(z)yE(x)) =
= τ(E(x)E(z)y) = τ(xE(z)y) = τ(E(xE(z))y)
37
Afirma¸c˜ao 8. E(wxy) = wE(x)y ∀ x ∈ M, ∀ w, y ∈ N.
P rova :
Aplicando o item anterior e usando o fato de que E(y) = y ∀y ∈ N, temos:
E(yx) = E(E(y)x) = E(yE(x)) = E(y)E(x) = yE(x) ∀x ∈ M, ∀y ∈ N.
e isto implica que para quaisquer x ∈ M e y, w ∈ N:
E
(
yxw
) =
E
(
E
(
y
)
xw
) =
E
(
yE
(
xw
)) =
E
(
y
)
E
(
xw
) =
= yE(xw) = yE(xE(w)) = yE(x)E(w) = yE(x)w.
Afirma¸c˜ao 9. E(x)
∗
E(x) ≤ E(x
∗
x), ∀ x ∈ M.
P rova : Como 0 ≤ (x −E(x))
∗
(x −E(x)), ∀ x ∈ M e, E(x) ≥ 0 quando x ≥ 0, temos:
0 ≤ E((x − E(x))
∗
(x − E(x)) = E(x
∗
x − x
∗
E(x) − E(x)
∗
x + E(x)
∗
E(x))
= E(x
∗
x) − E(x
∗
E(x)) − E(E(x)
∗
x) + E(E(x)
∗
E(x))
= E(x
∗
x) − E(x
∗
)E(x) − E(x)
∗
E(x) + E(x)
∗
E(x)
= E(x
∗
x) − E(x)
∗
E(x)
onde a pen´ultima igualdade ´e garantida pelas propriedades (2) e (7) provadas acima.
Em [43] s˜ao provadas outras propriedades dessa esperan¸ca condicional, por exemplo,
prova-se que E ´e normal. Abaixo provaremos um lema que ser´a usado na prova de uma
das propriedades da entropia de Connes-Størmer.
Lema 2.2. Se A e N s˜ao sub-´algebras de von Neumann de M tais que N ⊆ A, ent˜ao
E
N
E
A
= E
A
E
N
= E
N
.
P rova : Temos que E
N
(M) = N ⊆ A e E
A
(y) = y, ∀ y ∈ A. Assim:
E
A
(E
N
(y)) = E
N
(y) ∀ y ∈ M.
Ou seja, E
A
E
N
= E
N
.
Da defini¸c˜oes de E
A
e E
N
segue que:
τ(yz) = τ (E
A
(y)z) ∀ z ∈ A,
τ(E
A
(y)z) = τ(E
N
(E
A
(y))z) ∀ z ∈ N ⊆ A.
Isso implica que:
τ(yz) = τ (E
A
(y)z) = τ(E
N
(E
A
(y))z) ∀ z ∈ N.
e portanto E
N
(y) = E
N
(E
A
(y)), ∀ z ∈ M.
38
Cap´ıtulo 3
A Entropia de Connes-Størmer
Neste cap´ıtulo discutiremos a defini¸c˜ao de entropia formulada por A. Connes e E.
Størmer em [10]. Falaremoas sobre as propriedades em comum com a entropia de Kol-
mogorov-Sinai e, no final do cap´ıtulo, citaremos referˆencias de trabalhos subseq¨uentes
que esclarecem o qu˜ao eficaz ´e a defini¸c˜ao de Connes e Størmer a fim de ser usada como
invariante num´erico.
Come¸caremos chamando a aten¸c˜ao de como esta entropia pode ser vista como uma
generaliza¸c˜ao de Kolmogorov-Sinai e, para definir esta entropia seguiremos de perto [44].
3.1 Entropia de Kolmogorov-Sinai
Dada uma parti¸c˜ao mensur´avel P = {P
1
, ..., P
n
} de um espa¸co de probabilidade
(X, β, µ), a Entropia da Parti¸c˜ao P ´e definida por:
h(P ) =
n
i=1
η(µ(P
i
))
Esta entropia foi definida por Shanonn em 1948, antes de iniciar a listagem das pro-
priedades vamos fixar algumas nota¸c˜oes:
Se P = {P
1
, ..., P
n
} e Q = {Q
1
, ..., Q
m
} s˜ao parti¸c˜oes mensur´aveis de X, P ≤ Q sig-
nifica que os elementos de P s˜ao uni˜oes de elementos de Q ou, dito de outra forma, a
σ-´algebra gerada por P est´a contida na σ-´algebra gerada por Q. Escreveremos P ∨Q para
a parti¸c˜ao de X formada por todas as intersec¸c˜oes da forma P
i
∩Q
j
onde P
i
∈ P e Q
j
∈ Q.
(A) h(P) ≤ h(Q) quando P ≤ Q;
(B) h(P ∨ Q) ≤ h(P ) + h(Q);
(C) Se T ´e uma transforma¸c˜ao mensur´avel µ-invariante ent˜ao h(T
−1
(P )) = h(P ).
39
Dadas duas parti¸c˜oes de X definimos a Entropia Condicional de P dada Q por:
h(P/Q) = −
i,j
µ(P
i
∩Q
j
) ln[µ(P
i
∩ Q
j
)/µ(Q
j
)] =
m
j=1
µ(Q
j
)
n
i=1
η(µ(P
i
∩ Q
j
)/µ(Q
j
))
Se considerarmos uma uma terceira parti¸c˜ao de M = {M
1
, ..., M
l
} de X vale o seguinte:
(D) h(Q) ≤ h(P ) + h(Q/P );
(E) h(M/Q) ≤ h(M/P ) + h(P/Q);
(F) h(M/P ) ´e crescente em M e decrescente em P.
Defini¸c˜ao 3.1. Seja T : (X, β, µ) → (X, β, µ) uma transforma¸c˜ao β-mensur´avel que
preserva a medida µ, a entropia de T em rela¸c˜ao a parti¸c˜ao P ´e definida como:
h(T, P ) = lim
n→∞
1
n
h(P ∨ T
−1
(P ) ∨ T
−2
(P ) ∨ ... ∨ T
−(n−1)
(P ))
O limite existe em fun¸c˜ao da propriedade (B) e do fato da entropia ser maior ou igual
a zero. Ver [25] p´ag. 277.
Finalmente podemos definir a entropia de T :
h(T ) = sup
P
h(T, P )
onde o supremo ´e tomado sobre todas as parti¸c˜oes mensur´aveis finitas de X.
Agora citaremos um teorema que possui uma vers˜ao para
´
Algebra de Operadores em
[10]. Esta ´e uma maneira de calcularmos a entropia de uma transforma¸c˜ao sem conhecer
o conjunto gerador da ´algebra.
Teorema 3.1. Seja (X, β, µ) um espa¸co de probabilidade e, {A
n
}
n∈N
∗
uma fam´ılia de
sub-´algebras finitas de β tais que A
1
⊆ A
2
⊆ .. ⊆ A
l
⊆ com
∞
n=1
A
n
= β. Se T : X → X ´e
mensur´avel e µ-invariante ent˜ao h(T ) = lim
n→∞
h(T, A
n
).
P rova : Ver [44] p´ag 100.
40
3.2 A defini¸c˜ao de Connes-Størmer
Em todo este cap´ıtulo R denotar´a uma ´algebra de von Neumann finita de tra¸co normal
fiel finito normalizado τ e, para cada sub-´algebra M de R, E
M
ser´a a Esperan¸ca Condi-
cional de R em M invariante para τ, cuja existˆencia foi provada no cap´ıtulo anterior.
Denotaremos p or S
k
o conjunto de todas as fam´ılias (x
i
1
,...,i
k
)
i
j
∈N
em R
+
que possuem
somente um n´umero finito de elementos n˜ao nulos e que satisfazem:
i
1
,...,i
k
x
i
1
,...,i
k
= 1
Dados x ∈ S
k
, l ∈{1,2,...,k} e i
l
∈ N definimos:
x
l
i
l
=
i
1
,...,i
l−1
,i
l+1
,...,i
k
x
i
1
,...,i
l
,...,i
k
Agora, podemos definir a chamada Entropia de Connes-Størmer:
Defini¸c˜ao 3.2. Sejam N
1
, N
2
, ..., N
k
sub-´algebras de von Neumann em R, todas de di-
mens˜ao finita, definimos :
H(N
1
, N
2
, ..., N
k
) = sup
x∈S
k
i
1
,...,i
k
ητ(x
i
1
,...,i
k
) −
l
i
l
τη(E
N
l
(x
l
i
l
))
onde η(x) = − x ln x.
Observa¸c˜ao 3.1. Da defini¸c˜ao ´e imediato que a entropia ´e sim´etrica em rela¸c˜ao ao
´ındices 1,2,...,k das sub-´algebras de dimens˜ao finita, ou seja, permutando as sub-´algebras
o valor da entropia continua o mesmo. Para ver que ´e n˜ao-negativa basta tomar a fam´ılia
S
k
trivial, onde o ´unico elemento n˜ao nulo ´e 1, fazendo x
1,0,...,0
= 1 e anulando os demais
elementos da fam´ılia S
k
. Neste caso tem-se:
ητ(1) − τ η
l
i
l
τη(E
N
l
(x
i
l
)) = η(1) − τ η(E
N
1
(1)) = −1. ln 1 − τ(−1. ln 1) =
= −1.0 − τ(0) = 0
donde a entropia ´e n˜ao-negativa. A finitude ser´a conseq¨uˆencia das propriedades (B) e (D)
a seguir.
41
3.3 Propriedades da Entropia de Connes-Størmer
(A) H(N
1
, ..., N
k
) ≤ H(P
1
, ..., P
k
) quando N
j
⊆ P
j
, ∀ j ∈ {1, ..., k}.
P rova : Dado y ∈ R
+
, pelo lema 2.2 como N
j
⊆ P
j
sabemos que E
N
j
E
P
j
= E
N
j
.
Agora, lembrando que E
P
j
´e uma aplica¸c˜ao linear positiva segue que E
P
j
(y) ´e um elemento
auto-adjunto de P
j
, pois ´e positivo. Tomando a restri¸c˜ao de E
N
j
sobre a ´algebra de von
Neumann gerada por E
P
j
(y) que por ser auto-adjunto ´e uma ´algebra comutativa temos
que η(E
N
j
(E
P
j
(y))) ≥ E
N
j
(η(E
P
j
(y))), isto porque η(0) = 0 e porque pela proposi¸c˜ao 2.2
η ´e fun¸c˜ao operador cˆoncava em [0 , ∞), o que nos deixa nas hip´oteses do corol´ario 2.2 .
Assim conclu´ımos que:
η(E
N
j
(y)) = η(E
N
j
(E
P
j
(y))) ≥ E
N
j
(η(E
P
j
(y)))
da positividade de τ segue,
τ(η(E
N
j
(y)) ≥ τ (E
N
j
(η(E
P
j
(y)))
e, como E
N
j
´e τ-invariante temos:
τ(η(E
N
j
(y)) ≥ τ (E
N
j
(η(E
P
j
(y))) = τ (η(E
P
j
(y)), ∀ y ∈ R
+
isso garante a desigualdade desejada.
(B) H(N
1
, ..., N
k
, N
k+1
, ..., N
p
) ≤ H(N
1
, ..., N
k
) + H(N
k+1
, ..., N
p
)
P rova : Dado x ∈ S
p
, defino x
∈ S
k
e x
∈ S
p−k
cujo os elementos s˜ao:
x
i
1
,...,i
k
=
i
k+1
,...,i
p
x
i
1
,...,i
k
,i
k+1
,...,i
p
e x
j
1
,...,j
p−k
=
i
1
,...,i
k
x
i
1
,...,i
k
,j
1
,j
2
,...,j
p−k
De forma que se tem para l ∈ {1, ..., k} :
x
i
l
l
=
i
1
,...,i
l−1
,i
l+1
,...,i
k
x
i
1
,...,i
k
=
i
k+1
,...,i
l−1
,i
l+1
,...,i
k
i
k+1
,...,i
p
x
i
1
,...,i
p
=
i
1
,...,i
l−1
,i
l+1
,...,i
k
x
i
1
,...,i
p
= x
l
i
l
e
x
j
l
l
=
j
1
,...,j
l−1
,j
l+1
,...,i
p−k
x
j
1
,...,j
p−k
=
j
1
,...,j
l−1
,j
l+1
,...,j
p−k
i
1
,...,i
k
x
i
1
,...,i
k
,j
1
,...,j
p−k
=
=
i
1
,...,i
k
,j
l
,...,j
l−k
,j
l+k
,...,j
p−k
x
j
1
,...,j
p
= x
l+k
j
l
, para l ∈ {1, ..., p − k}.
42
Como
i
1
,...,i
p
x
i
1
,...,i
p
= 1 e, sendo o tra¸co normalizado uma aplica¸c˜ao linear tal que
τ(1) = 1, temos:
1 = τ(1) = τ
i
1
,...,i
p
x
i
1
,...,i
p
=
i
1
,...,i
p
τ(x
i
1
,...,i
p
)
Consideramos o espa¸co de probabilidade ([0, 1], B, λ), onde B ´e a σ-´algebra de Borel
de [0,1], λ ´e a medida de Lebesgue e uma parti¸c˜ao mensur´avel P = {P
i
1,...,i
p
} de [0,1]
tal que τ(x
i
1
,...,i
p
) = λ(P
i
1,...,i
p
).
´
E claro que estamos considerando apenas os ´ındices
(i
1
, ..., i
p
) tais que x
i
1
,...,i
p
´e n˜ao nulo, e sendo τ fiel, τ(x
i
1
,...,i
p
) tamb´em ´e diferente de zero.
Tomamos agora duas novas parti¸c˜oes P
e P
cujos elementos s˜ao uni˜oes de elementos de
P, constru´ıdos da seguinte forma:
P
i
1,...,i
k
=
i
k+1
,...,i
p
P
i
1
,...,i
k
,i
k+1
,...,i
p
e P
i
k+1,...,i
p
=
i
1
,...,i
k
P
i
1
,...,i
k
,i
k+1
,...,i
p
Desta forma, para todo elemento P
i
1,...,i
p
de P temos:
P
i
1,...,i
p
=
i
k+1
,...,i
p
P
i
1
,...,i
k
,i
k+1
,...,i
p
i
1
,...,i
k
P
i
1
,...,i
k
,i
k+1
,...,i
p
= P
i
1,...,i
k
P
i
k+1,...,i
p
donde P = P
∨ P
.
Agora, se h ´e a Entropia de Kolmogorov-Sinai, entre as propriedades citadas no in´ıcio
do cap´ıtulo est´a a sub-aditividade, donde:
i
1
,...,i
p
ητ(x
i
1
,...,i
p
) =
i
1
,...,i
p
ηλ(P
i
1
,...,i
p
) = h(P) = h(P
∨ P
) ≤ h(P
) + h(P
) =
=
i
1
,...,i
k
ηλ(P
i
1,...,i
k
) +
i
k+1
,...,i
p
ηλ(P
i
k+1
,...,i
p
) =
i
1
,...,i
k
ητ(x
i
1,...,i
k
) +
i
k+1
,...,i
p
ητ(x
i
k+1,...,i
p
)
obtendo:
i
1
,...,i
p
η
τ(x
i
1
,...,i
p
)
≤
i
1
,...,i
k
η
τ(x
i
1,...,i
k
)
+
i
k+1
,...,i
p
η
τ(x
i
k+1,...,i
p
)
(3.1)
E ainda,
p
l=1
i
l
τη(E
N
l
(x
l
i
l
)) =
k
l=1
i
l
τη(E
N
l
(x
l
i
l
)) +
p
l=k+1
i
l
τη(E
N
l
(x
l
i
l
)) =
=
k
l=1
i
l
τη(E
N
l
(x
l
i
l
)) +
p−k
l=1
j
l
τη(E
N
l+k
(x
l+k
j
l
)) =
=
k
l=1
i
l
τη(E
N
l
(x
i
l
l
)) +
p−k
l=1
j
l
τη(E
N
l+k
(x
j
l
l
))
43
Sendo que a ´ultima igualdade segue das igualdades x
i
l
l
= x
l
i
l
e x
j
l
l
= x
l+k
j
l
.
Subtra´ımos agora esta ´ultima quantia de ambos os lados na igualdade (3.1), assim:
i
1
,...,i
p
ητ(x
i
1
,...,i
p
) −
p
l=1
i
l
τη(E
N
l
(x
l
i
l
)) ≤
≤
i
1
,...,i
k
ητ(x
i
1,...,i
k
) +
i
k+1
,...,i
p
ητ(x
i
k+1,...,i
p
) −
k
l=1
i
l
τη(E
N
l
(x
i
l
l
)) −
p−k
l=1
j
l
τη(E
N
l+k
(x
j
l
l
)) =
=
i
1
,...,i
k
ητ(x
i
1,...,i
k
) −
k
l=1
i
l
τη(E
N
l
(x
i
l
l
)) +
i
k+1
,...,i
p
ητ(x
i
k+1,...,i
p
) −
p−k
l=1
j
l
τη(E
N
l+k
(x
j
l
l
)) ≤
≤ sup
x∈S
k
{
i
1
,...,i
k
ητ(x
i
1,...,i
k
)−
l
i
l
τη(E
N
l
(x
l
i
l
))}+
i
k+1
,...,i
p
ητ(x
i
k+1,...,i
p
)−
p−k
l=1
j
l
τη(E
N
l+k
(x
j
l
l
))
= H(N
1
, N
2
, ..., N
k
)+
i
k+1
,...,i
p
ητ(x
i
k+1,...,i
p
)−
p−k
l=1
j
l
τη(E
N
l+k
(x
j
l
l
)) ≤ (j
l
= i
k+l
, l ∈ {1, ..., p−k})
≤ H(N
1
, N
2
, ..., N
k
) + sup
x∈S
p−k
{
j
1
,...,i
p−k
ητ(x
j
1
,...,j
p−k
) −
p−k
l=1
j
l
τη(E
N
l+k
(x
j
l
l
))} =
= H(N
1
, N
2
, ..., N
k
) + H(N
k+1
, N
k+2
, ..., N
p
)
(C) Se P
1
, P
2
, ..., P
n
⊂ P ent˜ao H(P
1
, ..., P
n
, P
n+1
, ..., P
m
) ≤ H(P , P
n+1
, ..., P
m
).
P rova: Ver [10] ou [37].
(D) Seja {e
α
}
α∈I
uma fam´ılia de proje¸c˜oes minimais de N tal que
α∈I
e
α
= 1 ent˜ao:
H(N) =
α∈I
ητ(e
α
)
P rova : Ver [10] ou [37].
Aqui tamb´em teremos a no¸c˜ao de Entropia Condicional . Dadas duas sub-´algebras
de dimens˜ao finita N e P de uma ´algebra de von Neumann R, a entropia condicional de
N dada a ´algebra P ´e definida por:
H(N|P ) = sup
x∈S
1
i
1
(τη(E
P
(x
i
)) − τη(E
N
(x
i
))
44
A entropia condicional goza das seguintes propriedades:
(E) H(N
1
, ..., N
k
) ≤ H(P
1
, ..., P
k
) +
k
j=1
H(N
j
| P
j
)
(F) H(N | Q) ≤ H(N | P ) + H(P | Q)
(G) H(N | P ) ´e crescente em N e decrescente em P .
Diferente das duas primeiras propriedades que provamos e das duas seguintes onde
apenas indicamos as provas, estas propriedades s˜ao verificadas com certa facilidade a
partir da defini¸c˜ao. Aqui n˜ao falaremos muito sobre a entropia condicional, mas esta foi
relacionada ao famoso ´ındice de Jones em [31].
Agora definiremos a entropia de uma transforma¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 3.3. Seja R uma ´algebra de von Neumann finita de tra¸co normal fiel finito τ
e θ um automorfismo de R que preserva τ . Se N ´e uma sub-´algebra de von Neumann de
dimens˜ao finita definimos:
H(N, θ) = lim
k→∞
H(N, θ(N), ..., θ
k−1
(N))
Note que tal limite existe pela raz˜ao do caso comutativo, ou seja, pelas propriedades
(B) e (D). Finalmente, a entropia do automorfismo θ ser´a dada por:
H(θ) = sup
N
H(N, θ)
onde o supremo ´e tomado sobre todas as sub-´algebras de dimens˜ao finita.
Agora passaremos para a parte final do trabalho onde ser´a citada a primeira aplica¸c˜ao
do conceito de entropia no contexto n˜ao-comutativo. Aqui daremos um tratamento mais
informal em rela¸c˜ao `as se¸c˜oes anteriores, o leitor interessado nos detalhes pode consultar
o cap´ıtulo 7 de [22] para esta parte.
Defini¸c˜ao 3.4. Dizemos que γ : M → M ´e um automorfismo da ´algebra de von
Neumann M quando γ for um *-isomorfismo bijetor, ou seja, γ ´e uma bije¸c˜ao tal que:
i) γ ´e linear
ii) γ(ab) = γ(a)γ(b)
iii) γ(a
∗
) = (γ(a))
∗
A entropia de Connes-Stømer ´e invariante por conjuga¸c˜ao no contexto das ´algebras de
von Neumann, isto significa que para qualquer automorfismo γ de M temos que
H(α) = H(γαγ
−1
).
45
A analogia entre as entropias de Kolmogorov-Sinai e de Connes-Størmer se estende `a
primeira aplica¸c˜ao do conceito, assim como em teoria erg´odica, aqui a entropia ser´a usada
para mostrar que o n-shift n˜ao ´e conjugado ao m-shift quando m=n, onde a conjuga¸c˜ao
´e a que foi definida acima e o n-shift ser´a descrito abaixo.
Fixado n ∈ N, tomamos M
i
= M
n
(C) e τ
i
o tra¸co usual de matrizes, ∀ i ∈ Z.
J´a sabemos que um fator do tipo II
1
´e um fator de dimens˜ao infinita que admite um
tra¸co normal finito, e ainda, como se trata de um fator II
1
, com a condi¸c˜ao do tra¸co ser
normalizado e fiel sabemos que existe um ´unico tra¸co positivo que tem tais propriedades.
Seja agora a seguinte sequˆencia crescente de ´algebras-C
∗
:
A
0
= M
0
⊆ A
1
= M
−1
⊗ M
0
⊗ M
1
⊆ A
2
= M
−2
⊗ M
−1
⊗ M
0
⊗ M
1
⊗ M
2
⊆ ...
O mergulho de A
m
em A
m+1
´e feito da seguinte forma:
a
m
∈ A
m
→ 1
M
n
⊗ a
m
⊗ 1
M
n
O limite direto de ´algebras-C
∗
m∈N
A
m
=
i∈Z
A
i
= A
∞
admite um tra¸co normalizado
finito τ =
i∈Z
τ
i
pois os elementos de A
∞
podem ser pensados como combina¸c˜oes lineares
de objetos da forma ...1
M
n
⊗ 1
M
n
⊗ 1
M
n
⊗ a
m
⊗ 1
M
n
⊗ 1
M
n
⊗ 1
M
n
....
Definimos ent˜ao:
τ(...1
M
n
⊗ a
m
⊗ 1
M
n
...) =
i∈Z
τ
i
(...1
M
n
⊗ a
m
⊗ 1
M
n
...) =
=
i∈Z
τ
i
(...1
M
n
⊗ b
−m
⊗ b
−m+1
⊗ ... ⊗ b
m−1
⊗ b
m
⊗ 1
M
n
...) =
i=m
i=−m
τ
i
(b
i
)
onde os b
i
(s) s˜ao elementos de M
n
.
Assim conseguimos calcular o tra¸co de qualquer elemento de A
∞
. Com este tra¸co,
fazendo a constru¸c˜ao GNS obtemos A
∞
como uma sub-´algebra de uma ´algebra de von
Neumann R que ´e um fator do tipo II
1
. Pela constru¸c˜ao podemos perceber que R ´e
Hiperfinito, ou seja, limite de sub-´algebras de dimens˜ao finita. Mais ainda, esta sub-
´algebra ´e densa numa topologia que n˜ao definimos no texto, a topologia ultra-fraca, esta
constru¸c˜ao ´e feita no detalhe na se¸c˜ao 7.2 de [22].
Agora estamos prontos para esclarecer primeiro par´agrafo de [10] onde os autores
explicam porque que faz sentido investigar se existe a conjuga¸c˜ao entre os shifts que
definiremos a seguir.
O ponto importante ´e o seguinte, para cada n ∈ N constru´ımos um tensorial infinito
de ´algebras de matrizes com coeficientes complexos e, identificamos esta ´algebra com uma
sub-´algebra densa de um fator R do tipo II
1
, mas j´a sabemos que existe apenas um fator
deste tipo, ou seja, o R ´e o mesmo fator para todos os n(s) a menos de ∗−isomorfismo.
Mais ainda, o tra¸co acima pode ser estendido a todo o fator R , sendo essa extens˜ao um
tra¸co normal fiel finito normalizado, j´a sabemos que este tipo de fator admite um ´unico
46
tra¸co normalizado com estas caracter´ısticas, nos par´agrafos abaixo o fator R e o tra¸co τ
normal fiel finito e normalizado s˜ao estes que acabamos de contruir.
Assim, no que se segue, o n−shift S
n
´e o automorfismo do fator R que ´e a extens˜ao
do automorfismo do tensorial infinito de matrizes complexas de ordem n que corresponde
a transla¸c˜ao de uma unidade em Z no tensorial, este ´e definido da seguinte forma, para
todo j inteiro π
j
´e o homomorfismo de M
n
(C) em R definido por:
π
j
(x) = ...1
M
n
⊗ 1
M
n
⊗ x ⊗ 1
M
n
⊗ 1
M
n
...
onde x ocupa a j-´esima posi¸c˜ao do tensorial.
O automorfismo S
n
ser´a tal que S
n
π
j
= π
j+1
.
Citaremos agora os dois principais resultados de [10], o primeiro ´e a vers˜ao n˜ao co-
mutativa do teorema de Kolmogorov-Sinai e o segundo ´e o que garante que assim como
em teoria erg´odica cl´assica, a entropia garante que os n-shifts n˜ao s˜ao conjugados para
valores distintos de n.
Teorema 3.2. (Kolmogorov-Sinai n˜ao-comutativo) Seja (R, τ ) um fator hiperfinito
do tipo II
1
e τ seu tra¸co normalizado, normal fiel e finito. Seja θ um automorfismo de R
e, (P
q
)
q∈N
uma sequˆencia crescente de sub-´algebras de dimens˜ao finita tal que o fecho da
uni˜ao destas na topologia fraca coincide com R. Se H(θ) denota a entropia de Connes-
Størmer ent˜ao:
H(θ) = lim
q→∞
H(P
q
, θ)
P rova: Ver no artigo original [10] ou em [37].
Teorema 3.3. Seja M
n
(C) a ´algebra de matrizes com coeficientes complexos provida do
tra¸co usual. Seja R o fator hiperfinito do tipo II
1
constru´ıdo a partir do produto tenso-
rial infinito das ´algebras M
n
(C) atrav´es da constru¸c˜ao GNS que citamos nos par´agrafos
anteriores e, τ seu tra¸co normalizado, normal fiel e finito. Se S
n
´e o n-shift j´a descrito,
ent˜ao S
n
preserva τ e:
H(S
n
) = H(M
n
(C)) = log n
P rova: Ver [10] ou em [37], neste ´ultimo o autor d´a mais de uma demonstra¸c˜ao do fato
usando resultados provados por ele pr´oprio em [17].
Corol´ario 3.1. Os n-shifts S
n
n˜ao s˜ao conjugados para diferentes valores de n.
Por fim chamamos a aten¸c˜ao para os trabalhos que vieram depois de [10], genera-
liza¸c˜oes como [9] ou, artigos que tentam entender melhor a entropia como [28], [11] e [33].
Para os que desejam ler mais sobre esta e outras entropias no contexto n˜ao-comutativo,
o texto de Erling Størmer [37], onde s˜ao tratadas outras entropias onde ele tamb´em
contribuiu como a definida por Voiculescu ´e um bom come¸co e, para os que desejam
aplica¸c˜oes destas `a f´ısica sugerimos [29].
47
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