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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“Júlio de Mesquita Filho”
Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá
G249s Dissertação de Mestrado
Satélites Irregulares de Júpiter:
Configurações propícias do processo de
captura de asteróides binários
Helton da Silva Gaspar
Prof. Dr. Othon Cabo Winter (Orientador)
Prof. Dr. Ernesto Vieira Neto (Co-Orientador)
L
A
T
E
X 2
ε
Guaratinguetá
– 2009 –
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HELTON DA SILVA GASPAR
SATÉLITES IRREGULARES DE JÚPITER: CONFIGURAÇÕES
PROPÍCIAS DO PROCESSO DE CAPTURA DE ASTERÓIDES BINÁRIOS
Dissertação apresentada à Faculdade de
Engenharia do Campus de Guaratinguetá,
da Universidade Estadual Paulista, como
requisito parcial para a obtenção do título
de Mestre em Física na área de Dinâmica
Orbital & Planetologia.
Orientador: Prof. Dr. Othon Cabo Winter
Co-Orientador: Prof. Dr. Ernesto Vieira Neto
Guaratinguetá
2009
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G249s
Gaspar, Helton da Silva
Satélites Irregulares de Júpiter: Configurações propícias
do processo de captura de asteróides binários / Helton da Silva
Gaspar – Guaratinguetá: [s.n], 2009
44 f. :il
Bibliografia: f. 37
Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista,
Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, 2009
Orientador: Prof. Dr. Othon Cabo Winter
Co-Orientador: Prof. Dr. Ernesto Vieira Neto
1. Satélites 2. Asteróides I. Título
CDU 629.783
DADOS CURRICULARES
HELTON DA SILVA GASPAR
NASCIMENTO 20.1.1981 – SÃO PAULO / SP
FILIAÇÃO Antonio Gaspar Sobrinho
Helena da Silva Gaspar
1996 – 2000 Técnico em Eletrônica
CEETEPS - E.T.E. Albert Einstein – São Paulo
2003 – 2007 Bacharel em Física
UNESP – Guaratinguetá
2008 – 2009 Mestre em Física
UNESP – Guaratinguetá
In memoriam de meu grande amigo, e avô, Paulo Gaspar
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais Antonio Gaspar Sobrinho e Helena da Silva Gaspar pelo apoio eterno e incon-
dicional.
À minha namorada Ricely de Araujo Ramos pela paciência e compreensão.
A todos os meus amigos pelos momentos de distração, sem os quais seriamos consumidos pelo
trabalho.
Aos meus orientadores Othon Cabo Winter e Ernesto Vieira Neto pela confiança, compreensão,
paciência e trabalho e tempo dedicados.
Apoio Financeiro
Agradeço o apoio do CNPq e da Capes concedido através da bolsa de mestrado,
bem como o apoio da FAPESP concedido através do financiamento do projeto
temático.
“ ...And you run and you run to catch up with
the Sun, but it is sinking and racing around to
come up behind you again.
The Sun is the same in a relative way, but you
are older, shorter of breath and one day closer
to death... ”
(WATERS, R.; GILMOUR, D.; MASON, R.; WRIGHT, R.)
GASPAR, H. S., Satélites Irregulares de Júpiter: Configurações propícias do processo de
captura de asteróides binários, 2009, 44 f., Dissertação (Mestrado em Física) – Faculdade de
Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá.
RESUMO
A existência de satélites irregulares é um tema de interesse científico há muito tempo devido
às suas características peculiares, isto é, órbitas bem excêntricas, distantes do planeta e ge-
ralmente com altas inclinações em relação ao plano equatorial de seu planeta, chegando a ser
em grande parte retrógradas. A existência de famílias de satélites irregulares, caracterizadas
pela semelhança dos elementos orbitais dos satélites que as compõem é, ainda hoje, um fato
não explicado. Tais características sugerem que os satélites irregulares não tenham sido for-
mados juntamente com os planetas que estes orbitam, como se acredita ser o caso dos satélites
regulares. Deste modo, uma explicação coerente para a existência dos mesmos é a captura
gravitacional de corpos, formados em outras regiões, a partir de órbitas heliocêntricas após a
ocorrência de um encontro próximo com o planeta. Entretanto, sob a dinâmica do Problema
Circular Restrito de Três Corpos - PCR3C - capturas gravitacionais têm carater temporário, o
que torna necessária a existência de um mecanismo de captura auxiliar. Isto tem incentivado,
por anos, à proposição de vários modelos para explicar a existência dos satélites irregulares
através da captura gravitacional, dentre os quais três se destacam na literatura: Dissipação por
arrasto em gás, Pull-down capture – captura por puxão, interação colisional ou por encontros
próximos com satélites pré-existentes, capturas de planetesimais durante encontros planetários
e captura de asteróides binários. Considerando a dinâmica de 4-Corpos, investigamos numeri-
camente a viabilidade de um modelo no qual um ente de um asteróide binário é capturado após
sofrer um encontro próximo com um Júpiter, avaliando as condições que propiciam a captura
de cada um dos membros, realizando um mapeamento dos parâmetros de modo a identificar as
configurações mais favoráveis. Dentre os principais resultados, destaca-se uma probabilidade
considerável do menor asteróide permanecer capturado quando a ruptura do asteróide binário
ocorre em uma configuração propícia de “quadratura”com Sol e Júpiter, resultado que reflete a
importância da presença do Sol na dinâmica de captura. Finalmente, verificamos que o meca-
nismo de captura pode ser explicado através das trocas de energia.
PALAVRAS-CHAVE: Satélites Irregulares – Asteróides binários – Captura gravitacional – En-
contros próximos
GASPAR, H. S., Jupiter Irregular Satellites: Suitable configurations of binary asteroids
capture process, 2009, 44 f., Dissertation (Master’s degree in Physics) – Faculdade de Enge-
nharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá.
ABSTRACT
The existence of irregular satellites has been the focus of scientific interest for many years.
That is due to their peculiar orbital features, i.e., highly eccentric orbits, large distance from
the planet and, usually, with high inclination and many of them are retrograde. There are very
well characterized families of irregular satellites, whose origin were not explained yet. These
features suggest that irregular satellites were not formed together with the planet, during its
formation stage, as were the regular ones. Therefore, an explanation for their existence is the
gravitational capture of asteroids, originally in heliocentric orbits, that had a close encounter
with the planet. However, considering only the Restrict Three Body Problem dynamics, it is
not possible to accomplish permanent captures, being necessary the existence of an auxiliary
mechanism. Then, several models were proposed in order to generate a permanent capture.
Among the most important we found Gas drag dissipation, Pull-down capture, collisional and
close encounters interactions with regular satellites, capture during planetary encounters and
capture of binary asteroids. The current research had assessed how viable is a 4-body mecha-
nism in which a member body of a binary asteroid remain captured after a close encounter with
Jupiter. In order to accomplish that, we have mapped a set o parameters in order to find the
proper conditions to yield the capture of one member. From the main results it is shown a very
well permanent capture probability of the minor member when the primordial binary asteroid
disrupts at a suitable “quadrature” configuration. Finally, it is also shown that this capture me-
chanism is well explained through energy exchanges.
KEYWORDS: Irregular Satellites – Binary Asteroids – Gravitational Capture – Close encon-
ters.
Sumário
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Satélites Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Satélites Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Satélites Irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Origens dos satélites planetários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Modelos de mecanismos de captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Captura por arrasto em gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Captura por “Puxão” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Interação por encontros próximos . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.4 Captura de asteróides binários . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.5 Captura durante encontros planetários . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Asteróides binários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Modelo de captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Condições iniciais propícias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Modelo de asteróide binário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Simulações de Captura de asteróides binários . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Resultados do estudo inicial - Caso Planar progrado . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1 Resultados da análise do instante T
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Resultados da análise do instante T
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Results at T
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Capturas de asteróides binários em números . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Resultados do estudo generalizado - Casos inclinados . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 Resultados da análise do instante T
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Resultados da análise do instante T
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Resultados da análise do instante T
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Configuração final dos asteróides capturados . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Conclusões e considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Lista de Figuras
1 Famílias de satélites irregulares de Júpiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Dactyl & Ida - Primeiro Binário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Trajetória de escape na integração reversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Mapas de tempos de captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Histogramas condições iniciais propícias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Condições iniciais propícias em termos de (a, e e I). . . . . . . . . . . . . . . 19
7 Esboço da grade de condições iniciais do binário . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8 Diagrama a × ∆a no instante T
1
- caso planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9 Exemplo de trajetória de captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10 Diagrama a × e do instante T
1
- caso planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11 Diagrama a × e do instante T
2
- caso planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
12 Esboço da configuração angular entre os corpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
13 Histogramas angulares - caso planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
14 Diagrama a × e do instante T
3
- caso planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
15 Mapas de tempos de captura - casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
16 Diagrama a × ∆a no instante T
1
- caso inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . 31
17 Diagrama angular - caso inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18 Diagrama a × e do instante T
3
- caso inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
19 Diagrama polar no instante T
3
- caso inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
20 Diagrama a × e da configuração final - caso inclinado . . . . . . . . . . . . . . 34
21 Diagrama polar da configuração final - caso inclinado . . . . . . . . . . . . . . 34
22 Condições iniciais propícias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
23 Mapa de tempo de captura para I = 20
o
, I = 40
o
, I = 60
o
. . . . . . . . . . . . 42
24 Mapa de tempo de captura para I = 80
o
, I = 90
o
, I = 100
o
. . . . . . . . . . . 43
25 Mapa de tempo de captura para I = 120
o
, I = 140
o
, I = 160
o
. . . . . . . . . . 44
Lista de Tabelas
1 Número de satélites planetários do Sistema Solar . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Satélites irregulares de Júpiter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Binários próximos à Terra (NEA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Binários do Cinturão Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Binários Transnetunianos (TNO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Números de simulações, capturas e colisões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
1 INTRODUÇÃO
Entender as origens do universo é, há muito tempo, uma grande curiosidade humana. A ciência,
por sua vez, o faz através de seu método ortodoxo de estudar as partes com o objetivo de enten-
der o todo. As origens do Sistema Solar é uma parte importante deste todo dada a “facilidade”
com a qual podemos explorá-lo, uma vez que o habitamos, bem como seu vínculo com nossa
existência. O estudo das origens do Sistema Solar, entretanto, é uma tarefa nada simples que,
por sua vez, também é realizada por partes. Neste contexto insere-se nosso trabalho, o qual está
relacionado com as origens dos satélites irregulares dos planetas gigantes do Sistema Solar.
1.1 SATÉLITES NATURAIS
Ao tentar descrever de modo hierárquico nosso sistema, colocamos o Sol como o corpo central
e os planetas, asteróides e cometas, entre outros que o orbitam, como corpos celestes primários.
Seguindo esta hierarquia, satélites naturais, também chamados de luas, são corpos celestes que
orbitam os corpos primários. Atualmente são conhecidos mais de 350 satélites naturais do Sis-
tema Solar, dentre os quais cerca de 167 são satélites planetários (solarsystem.nasa.gov, 2009).
No sistema solar, apenas os planetas Mercúrio e Vênus não possuem satélites. A Tabela (1)
apresenta o número de satélites planetários conhecidos atualmente. Os satélites planetários são
classificados como Regulares e Irregulares (Kuiper, 1956; Peale, 1999), sendo a primeira classe
subdividida em dois tipos: satélites regulares clássicos e destroços colisionais. Estudos de es-
tabilidade ao redor de planetas mostram que satélites têm órbitas estáveis quando confinadas
dentro de uma região esférica cujo raio é uma fração do raio de Hill r
H
do mesmo. A definição
Tabela 1: Número de satélites planetários do Sistema e solar, e algumas constantes relacionadas.
Adaptado de (Murray & Dermott, 1999). As colunas m
P
, r
P
, a
P
, r
H
e J
2
são a massa, o raio
médio equatorial, o semi-eixo maior, o raio de Hill e coeficiente de achatamento do planeta,
respectivamente
Planeta m
p
r
P
a
P
r
H
J
2
Regulares Irregulares
(kg) (×10
3
km) (UA) (UA)
Terra 5,97×10
24
6,38 1,00 1,00×10
−2
1083 1 0
Marte 6,42×10
23
3,39 1,52 7,23×10
−3
1960 2 0
Jupiter 1,90×10
27
71,40 5,20 3,55×10
−1
14736 8 55
Saturno 5,68×10
26
60,33 9,54 4,36×10
−1
16298 22 39
Urano 8,68×10
25
26,20 19,19 4,68×10
−1
3343 18 9
Netuno 1,02×10
26
25,23 30,07 7,75×10
−1
3411 6 7
2
do raio de Hill, como encontrada em (Murray & Dermott, 1999), é dada por:
r
H
=
m
p
3M
1/3
a
p
(1)
em que M, a
p
, e m
p
, são a massa do Sol, o semi-eixo maior e a massa do planeta, respectiva-
mente. Os valores, em unidades astronômicas, do raio de Hill dos planetas do Sistema Solar
estão contidos na Tabela (1).
1.1.1 Satélites Regulares
Os satélites regulares conhecidos atualmente estão confinados em uma região de até 0,05r
H
.
Suas órbitas são aproximadamente circulares, prógradas e com baixas inclinações (Sheppard,
2006; www.dtm.ciw.edu, 2009). Titã, um dos 22 satélites regulares de Saturno, é o satélite
regular com maior excentricidade (e = 0, 029) do Sistema Solar. O também saturniano Iapetus,
é o satélite regular com maior inclinação orbital (I = 7, 570
o
). Os regulares clássicos, em
geral, são relativamente grandes variando de centenas a milhares de quilômetros, ao passo que
destroços colisionais são muito menores e atingem poucas centenas de quilômetros de diâmetro.
1.1.2 Satélites Irregulares
Os satélites irregulares, por sua vez, caracterizam-se por suas órbitas excêntricas, com valores
de semi-eixo maiores, superiores a 0,05r
H
, chegando a atingir distâncias de até 0,65r
H
no apo-
centro (Sheppard, 2006). Destacam-se também suas altas inclinações. No Sistema Solar, todos
os satélites irregulares têm inclinações maiores que (I = 25
o
), sendo única exceção o netuniano
Nereide com pouco mais 7
o
de inclinação. Grande parte dos satélites irregulares atualmente co-
nhecidos é retrógrada, isto é, têm inclinações superiores à 90
o
. Altas excentricidades também
os caracterizam. Com exceção do netuniano Tritão, todos os satélites irregulares do Sistema
Solar têm excentricidades maiores que (e = 0, 112), excentricidade do joviano Lysithea.
3
Tabela 2: Relação dos satélites irregulares de Júpiter conhe-
cidos atualmente. As linhas separam as famílias de satéli-
tes. Extraído de (www.dtm.ciw.edu, 2009). As colunas a,
e, I, Ω e ω são semi-eixo maior, excentricidade, inclinação,
longitude do nodo ascendente e argumento do pericentro do
satélite em relação à Júpiter, respectivamente.
Nome a e I Ω ω Raio Descoberta
(×10
−1
r
H
) (×10
−1
) (graus) (graus) (graus) (km) (ano)
Themisto 1,41 2,42 43,08 201,50 240,70 4,50 2000
Carpo 3,20 4,30 51,40 60,90 90,00 1,50 2003
Leda 2,10 1,64 27,46 217,10 272,30 9,00 1974
Himalia 2,16 1,62 27,50 57,20 332,00 80,00 1904
Lysithea 2,21 1,12 28,30 5,50 49,50 19,00 1938
Elara 2,21 2,17 26,63 109,40 143,60 39,00 1905
S/2000 J11 2,36 2,48 28,30 290,90 178,00 2,00 2000
Euporie 3,63 1,44 145,80 64,90 74,60 1,00 2001
Orthosie 3,90 2,81 145,90 223,60 230,50 1,00 2001
Euanthe 3,92 2,32 148,90 271,00 316,00 1,50 2001
Thyone 3,94 2,29 148,50 243,00 89,10 2,00 2001
Mneme 3,97 2,27 148,60 18,10 41,70 1,00 2003
Harpalyke 3,97 2,26 148,60 40,00 129,90 2,00 2000
Hermippe 3,98 2,10 150,70 347,20 298,70 2,00 2001
Praxidike 3,98 2,30 149,00 285,20 209,70 3,50 2000
Thelxinoe 3,98 2,21 151,40 206,20 179,80 1,00 2003
Iocaste 4,00 2,16 149,40 271,30 80,00 2,50 2000
Ananke 4,01 2,44 148,90 7,60 100,60 14,00 1951
Arche 4,32 2,59 165,00 350,70 161,10 1,50 2002
Pasithee 4,35 2,67 165,10 338,70 253,30 1,00 2001
Chaldene 4,36 2,51 165,20 148,70 282,50 2,00 2000
Kale 4,37 2,60 165,00 56,40 44,40 1,00 2001
Isonoe 4,37 2,46 165,20 149,80 145,60 2,00 2000
Aitne 4,37 2,64 165,10 24,50 122,20 1,50 2001
Erinome 4,38 2,66 164,90 321,70 356,00 1,50 2000
Taygete 4,40 2,52 165,20 313,30 241,10 2,50 2000
Carme 4,41 2,53 164,90 113,70 28,20 23,00 1938
Kalyke 4,44 2,45 165,20 38,70 216,60 2,50 2000
Eukelade 4,45 2,72 165,50 206,30 325,60 2,00 2003
Continua na próxima página. . .
4
Tabela 2 – Continuação
Nome a e I Ω ω Raio Descoberta
Kallichore 4,53 2,64 165,50 41,50 18,50 1,00 2003
Helike 4,00 1,56 154,80 100,30 314,70 2,00 2003
Eurydome 4,30 2,76 150,30 307,40 241,60 1,50 2001
Autonoe 4,34 3,34 152,90 275,60 60,20 2,00 2001
Sponde 4,42 3,12 151,00 129,10 79,10 1,00 2001
Pasiphae 4,45 4,09 151,40 313,00 170,50 29,00 1908
Megaclite 4,48 4,21 152,80 304,60 302,30 3,00 2000
Sinope 4,51 2,50 158,10 303,10 346,40 19,00 1914
Hegemone 4,51 3,28 155,20 327,60 235,40 1,50 2003
Aoede 4,51 4,32 158,30 187,10 74,50 2,00 2003
Callirrhoe 4,54 2,83 147,10 281,10 49,30 3,50 1999
Cyllene 4,58 3,19 149,30 266,40 214,00 1,00 2003
Kore 4,62 3,25 145,00 324,70 152,40 1,00 2003
S/2003J2 5,38 3,80 151,80 0,00 0,00 1,00 2003
S/2003J3 3,45 2,41 143,70 0,00 0,00 1,00 2003
S/2003J4 4,38 2,04 144,90 0,00 0,00 1,00 2003
S/2003J5 4,53 2,10 165,00 0,00 0,00 2,00 2003
S/2003J9 4,22 2,69 164,50 0,00 0,00 0,50 2003
S/2003J10 4,56 2,14 164,10 0,00 0,00 1,00 2003
S/2003J12 3,58 3,76 145,80 0,00 0,00 0,50 2003
S/2003J15 4,14 1,10 140,80 0,00 0,00 1,00 2003
S/2003J16 3,95 2,70 148,60 0,00 0,00 1,00 2003
S/2003J17 4,14 1,90 163,70 0,00 0,00 1,00 2003
S/2003J18 3,90 1,19 146,50 0,00 0,00 1,00 2003
S/2003J19 4,29 3,34 162,90 0,00 0,00 1,00 2003
S/2003J23 4,53 3,09 149,20 0,00 0,00 1,00 2003
Uma característica bastante peculiar destes satélites, ainda não explicada, é a existência de
famílias, isto é, grupos de satélites irregulares com órbitas semelhantes. A Tabela (2), relaciona
os satélites irregulares de Júpiter, destacando as famílias. A Figura (1) ilustra as famílias de
satélites irregulares de Júpiter através de um diagrama polar.
Embora não exista uma definição exata de satélites irregulares, encontramos na literatura um
semi-eixo maior crítico, a
crit
≈ (2µJ
2
r
2
P
a
3
P
)
1/5
(Goldreich, 1966), em que µ é a razão entre
as massas do planeta e do Sol. Classificam-se como irregulares, satélites cujo semi-eixo maior
excede ao valor crítico.
5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4
Semi-eixo maior . seno(Inc) (r
H
)
Semi-eixo maior . co-seno(Inc) (r
H
)
r
H
= 5.31195458 x 10
7
km
r
H
= 0.35508223 UA
Themisto
Carpo
Grupo de Himalia
Grupo de Ananke
Grupo de Carme
Grupo de Pasiphae
Grupo de 2003
Figura 1: Famílias de satélites irregulares de Júpiter. As extremidades das barras mais próximas
e mais afastadas da origem representam o pericentro e o apocentro da órbita, e as inclinações
das mesmas representam as inclinações orbitais.
1.2 ORIGENS DOS SATÉLITES PLANETÁRIOS
Características dos satélites regulares, como valores relativamente pequenos de semi-eixo maior
e baixas excentricidades e inclinações, são fatores que corroboram com a teoria de formação
local, isto é, a hipótese de que os mesmos formaram-se através da acreção de matéria do disco
circumplanetário equatorial na mesma época de formação de seus planetas pais (Vieira Neto &
Winter, 2001; Sheppard & Jewitt, 2003).
Por outro lado, os satélites irregulares apresentam características exatamente opostas, indicando
que os mesmos não se formaram ao redor dos planetas que hoje orbitam, através do processo de
acreção de matéria do disco circumplanetário. A hipótese mais coerente é que estes são objetos
formados em outras regiões do Sistema Solar, que foram gravitacionalmente capturados a partir
de órbitas heliocêntricas (Kuiper, 1956). Estudos apontam que tais capturas ocorreram, muito
provavelmente, durante o estágio final de formação dos planetas durante o período de colapso
da nuvem de gás do disco circumplanetário (Pollack et al., 1979; Vieira Neto et al., 2004). Mo-
delos atuais de formação planetária, como por exemplo o modelo de Nice (Tsiganis et al., 2005;
Morbidelli et al., 2005; Gomes et al., 2005), admitem a hipótese de que ao final do período de
formação planetária, capturas temporárias de corpos sofrendo encontros próximos com os pla-
netas eram freqüentes. Entretanto, capturas gravitacionais sob a dinâmica do problema restrito
de três corpos têm caráter temporário (Everhart, 1973; Heppenheimer & Porco, 1977; Carusi
& Valsecchi, 1979; Benner & Mckinnon, 1995; Vieira Neto & Winter, 2001; Winter & Vieira
Neto, 2001), fazendo-se necessária a atuação de um mecanismo para tornar permanente uma
captura temporária. Este fato, há anos, motiva pesquisadores a estudar modelos auxiliares de
captura compatíveis com as observadas características orbitais dos satélites irregulares existen-
6
tes. Kuiper (1956), inicialmente propôs que tais corpos eram satélites regulares que em algum
momento puderam escapar da esfera de Hill devido a uma diminuição de massa do planeta e
passaram a orbitar o Sol em uma órbita similar à do mesmo. Isto possibilitaria um encontro
posterior entre os mesmos, resultando em uma “recaptura” deste satélite perdido em um tipo de
órbita irregular. Atualmente, esta hipótese está descartada devido ao argumento de que nunca
houvera uma perda de massa significante para possibilitar tais escapes dos satélites regulares.
Outra hipótese, também já descartada, propunha uma transição de uma captura temporária para
uma permanente através da dissipação de energia por efeitos de maré. Entretanto, os efeitos de
maré sobre corpos tão pequenos e tão afastados do planeta, como são os satélites irregulares,
não são suficientes para dissipar a energia necessária e torná-los permanentemente capturados
(Sheppard, 2006).
1.3 MODELOS DE MECANISMOS DE CAPTURA
Dentre os modelos de captura gravitacional atualmente conhecidos, existem cinco mecanismos
que explicam de maneira dinamicamente eficaz à origem dos satélites irregulares. Dedicaremos,
aqui, uma seção para cada um dos mesmos.
1.3.1 Captura por arrasto em gás
Baseado na idéia de dissipar energia do corpo temporariamente capturado de modo a tornar a
captura permanente, isto é, fazer com que a energia do corpo capturado torne-se menor que a
energia mínima de escape, é proposto o mecanismo de arrasto em gás. Diminuir a velocidade
do corpo é uma forma de dissipar sua energia, e uma maneira de tornar isto possível, é através
do arrasto gasoso. Este mecanismo sustenta a hipótese de que o corpo ao ser temporariamente
capturado imerge no disco circumplanetário remanescente, composto por gás e poeira, e so-
fre tal arrasto (Pollack et al., 1979;
´
Cuk & Burns, 2004). Esta força de arrasto, contrária ao
movimento, é responsável pela diminuição da velocidade do objeto, e funciona como um filtro:
• Para corpos muito massivos o gás não oferece resistência suficiente para dissipar a energia
necessária para torná-lo um satélite, ao passo que;
• A resistência oferecida para corpos pequenos é demasiadamente grande, fazendo com que
estes espiralem e sejam conduzidos a uma rápida colisão com o planeta.
Assim, apenas corpos de uma determinada faixa de tamanho/massa sofrem a dissipação ideal
para se tornarem permanentemente capturados (Pollack et al., 1979). Este mecanismo restringe
o período de ocorrência de tais capturas ao período final de formação do planeta, durante o
colapso do disco circumplanetário gasoso. Isto porque que as mesmas deveriam ocorrer em
7
poucos milhares de anos após a captura para que o então satélite não entrasse em uma órbita
espiralada, o que lhe conduziria a uma colisão com o planeta.
1.3.2 Captura por “Puxão”
Um segundo mecanismo, conhecido por “Pull-Down capture” – captura por “Puxão” – (Heppe-
nheimer & Porco, 1977) baseia-se na idéia de que um corpo temporariamente capturado poder
tornar-se um satélite devido ao aumento do raio de Hill do planeta. Este aumento na extensão da
esfera de Hill torna a região de estabilidade maior, de modo a abranger a região onde se encon-
tram os corpos temporariamente capturados. Um aumento do raio de Hill pode ocorrer devido
a um aumento da massa do planeta, diminuição da massa Solar e/ou migração planetária para
distâncias mais afastadas do Sol (Brunini, 1995). Pollack et al. (1996), argumentaram que a
viabilidade deste mecanismo dependeria de uma variação de massa de aproximadamente 40%,
entretanto, estudos mais recentes, como por exemplo (Vieira Neto et al., 2004, 2006), mostram
que uma variação da ordem de 10% torna tal mecanismo viável. Por outro lado, a hipótese
do um aumento do raio de Hill ser devido à migração planetária para distâncias mais afastada
do Sol é pouco provável dado que tal migração deveria ser grande e ocorrer em um pequeno
intervalo de tempo, processo que acarretaria em uma desestabilização dos satélites existentes
(Beaugé et al., 2002).
1.3.3 Interação por encontros próximos
Outro mecanismo, estudado por Colombo & Franklin (1971); Tsui (2000); Astakhov et al.
(2003); Funato et al. (2004), trata, não exatamente de dissipação de energia, mas sim de in-
terações de trocas. O modelo propõe que os elementos orbitais de um corpo temporariamente
capturado podem ser alterados devido a interações com corpos existentes no interior da esfera
de Hill do planeta. Deste modo, devido a trocas de energia e momento, este se torna per-
manentemente capturado. Tais interações podem ocorrer devido a encontros entre asteróides
temporariamente capturados ou entre um asteróide temporariamente capturado e satélites do
planeta já existentes. Este modelo considera a dinâmica de quatro corpos, em que o Sol e o pla-
neta são corpos primários, e o asteróide capturado bem como o satélite já existente do planeta,
são partículas de massa negligenciável em relação aos primários. Dada a base na dinâmica de
quatro corpos, o modelo agrega a vantagem de não ser necessário supor migrações planetárias,
variações de massa, ou a presença de discos de gás, o que torna o viável em qualquer período
da formação do Sistema Solar.
8
1.3.4 Captura de asteróides binários
Desde 2006, quando Agnor & Hamilton apresentaram um novo modelo de captura, em parti-
cular para o netuniano Tritão (Agnor & Hamilton, 2006), o mecanismo de captura a partir de
asteróides binários tem sido bastante estudado (Vokrouhlický et al., 2008, e.g.). Este modelo
é baseado na dinâmica do problema de três corpos considerando, entretanto, um único corpo
primário (o planeta), e duas partículas de massas negligenciáveis em relação ao primeiro. Ele
propõe um mecanismo de captura no qual um asteróide binário sofre um encontro próximo
com o planeta, e se rompe devido a forças de maré que atuam sobre o par durante a passagem.
Na ruptura, um dos membros sofre uma variação de velocidade negativa de modo que, ao fi-
nal do processo, sua velocidade em relação ao planeta é menor que a velocidade de escape o
que o mantém capturado. Outra forma de visualizar este processo, consiste em perceber que
o membro capturado sofre uma troca de par, isto é, como se este formasse com o planeta um
novo par binário. Neste modelo, o asteróide binário aproxima-se do planeta através de uma
trajetória hiperbólica sem perturbação solar. A ausência de perturbação solar favorece a captura
dos corpos uma vez que qualquer órbita com velocidade de pericentro inferior à velocidade de
escape permanecerá fechada. Este fator, entretanto, torna o modelo pouco robusto, apesar de
dinamicamente eficaz.
1.3.5 Captura durante encontros planetários
Nesvorný et al. (2007), em seu trabalho, apresentam um modelo de captura bem diferente dos
modelos, até então, conhecidos. Este mecanismo de captura considera o cenário de migração
planetária do modelo de Nice (Tsiganis et al., 2005; Morbidelli et al., 2005; Gomes et al.,
2005), o qual postula que os planetas se formaram em um sistema compacto (entre 5 e 18
UA), e alcançaram a configuração atualmente conhecida através de migrações em um disco de
planetesimais. Sob este cenário de migrações planetárias devido à interações com um disco de
planetesimais, o autor mostra que planetesimais do mesmo são capturados no instante em que
dois planetas sofrem um encontro próximo. O mecanismo de captura explica, satisfatoriamente,
a origem dos satélites irregulares de Saturno, Urano e Netuno. Contudo, como o próprio autor
argumenta, no modelo de Nice típico, Júpiter não sofre encontros próximos com outros planetas,
o que torna necessária a existência de outro mecanismo para explicar a origens dos satélites
irregulares do mesmo.
1.4 ASTERÓIDES BINÁRIOS
O termo “asteróide binário” basicamente refere-se a um sistema no qual um par de asteróides
orbita seu baricentro comum, ou ainda um asteróide que possui um pequeno satélite. No pri-
9
meiro caso, em que as massas são equivalentes utilizam-se também os termos asteróides duplos
e asteróides dubletos (Noll, 2006). Dois séculos de história de busca por eventuais por aste-
róides binários estão atualmente resumidos em dois trabalhos principais (Merline et al., 2002;
Richardson & Walsh, 2006). Estas buscas começaram imediatamente após a descoberta de (1)
Ceres em 1801, a primeira evidência de existência de asteróides binários. Durante aproximada-
mente dois séculos, observadores procuraram sem sucesso por asteróides binários até que em
1993, através da sonda Galileu, foi possível detectar um satélite de (243)Ida batizado de Dactyl
(Belton & Carlson, 1994). A Figura (2.a) mostra a primeira imagem de um asteróide binário,
trata-se de (243) Ida/Dactyl obtida pela sonda Galileu. A Figura (2.b) mostra uma concepção
artística5 do asteróide dubleto (90) Antiope (www.eso.org, www.eso.org). A Figura (2) destaca
a diferença entre um asteróide dubleto e um asteróide com um satélite. Os asteróides biná-
rios atualmente conhecidos do Sistema Solar são encontrados nas três principais populações de
corpos menores:
• Cinturão principal de asteróides: Asteróides cujas órbitas são externas à órbita de Marte
e Internas à órbita de Júpiter;
• NEA “Near Earth Asteroids” - Asteróides próximos à Terra: Asteróides que orbitam as
regiões próximas à órbita terrestre;
• TNO “Trans-Neptunian Objects” - Objetos Trans-Netunianos: Objetos cujas órbitas são
mais distantes do Sol que a órbita de netuno;
As Tabelas (3), (4) e (5) relacionam os asteróides binários conhecidos atualmente que se encon-
tram entre os NEA’s, no Cinturão Principal de asteróides e entre os TNO’s, respectivamente.
10
Tabela 3: Asteróides binários próximos à Terra (NEA). FONTE: (Noll, 2006). Nas colunas, a
B
,
r
P1
e r
P2
são semi-eixo maior do binário e os raios médios dos asteróides primário e secundário,
respectivamente.
Nome a
B
a
B
/r
P1
r
P2
/r
P1
Período
(km) (horas)
2000 DP
107
2,6 6,5 0,41 42,2
2000 UG
11
0,3 2,6 0,36 18,4
(66391) 1999 KW
4
0,3 – 0,4 17,44
1998 ST
27
<7 <9 0,15
2002 BM
26
0,2 <72
2002 KK
8
0,2
(5381) Sekhmet 1,54 3,1 0,3 12,5
2003 SS
84
0,5 24
(69230)Hermes 0,6 2,5 – 4 0,9 13,894
1990 OS >0,6 >4 0,15 18 – 24
2003 YT
1
2,7 5 0,29 30
2002 CE
26
5 3 0,05 16
1994 AW
1
0,49 22,33
(35107) 1991 VH 6,5 5,4 0,37 32,66
(3671) Dionysus 4,5 0,20 27,74
1996 FG
3
3,2 0,29 16,135
(5407) 1992 AX 0,2 13,520
(31345) 1998 PG 0,3 14,005
(88710) 2001 SL
9
0,28 16,40
1999 HF
1
4,0 0,22 14,02
(66063) 1998 RO
1
0,48 14,54
(65803) Didymos 1,1 2,9 0,22 11,91
(85938) 1999 DJ
4
0,7 3 0,5 17,73
2005 AB ≥0,24 17,9
11
Tabela 4: Asteróides binários próximos no Cinturão Principal. FONTE: (Noll, 2006). Nas
colunas, a
B
, r
P1
e r
P2
são semi-eixo maior do binário e os raios médios dos asteróides primário
e secundário, respectivamente.
Nome a
B
a
B
/r
P1
r
P2
/r
P1
Período
(km) (horas)
(243) Ida 108 7,0 0,045 1,54
(45) Eugenia 1196 11,1 0,06 4,7244
(90) Antiope 170 3,1 0,99 0,68862
(762) Pulcova 810 11,6 0,14 4,0
(87) Sylvia 1356 17,6 0,12 3,6496
(107) Camilla 1235 11 0,040 3,710
(22) Kalliope 1065 11,8 0,22 3,590
(3749) Balam 310 52 0,22 110
(121) Hermione 768 7,4 0,06 2,582
(1509) Escalonga 0,33
(283) Huenna 596 8 0,08 3,360
(130) Elektra 1252 13,5 0,02 3,92
(22899) 1999 TO
14
0,3
(17246) 2000 GL
74
0,4
(4674) Pauling 0,3
(3782) Celle 0,42 1,5238
(1089) Tama 0,7 0,6852
(1313) Berna 1,061
(4492) Debussy 1,108
(854) Frostia 0,4 1,565
(5905) Johnson 0,40 0,907708
(76818) 2000 RG
79
0,37 0,5885
(3982) Kastel
(809) Lundia 1 0,64
(9069) Hovland 0,3
(617) Patroclus 685 11 0,92 2,391
ou 4,287
12
Tabela 5: Asteróides binários Trans-netunianos (TNO). FONTE: (Noll, 2006). Nas colunas, a
B
,
e
B
, r
P1
, r
P2
são semi-eixo maior e excentricidade do binário, e os raios médios dos asteróides
primário e secundário, respectivamente.
Nome a
B
a
B
/r
P1
r
P2
/r
P1
e
B
Período
(km) (horas)
(88611) 2001 QT
297
27,300 410 0,72 0,240 825
1998 WW
31
22,300 300 0,83 0,82 574
(58534) 1997 CQ
29
8,010 200 0,91 0,45 312
(66652) 1999 RZ
253
4,660 56 1,0 0,460 46,263
2001 QW
322
1,0
2000 CF
105
0,73
2000 CQ
114
0,81
2003 UN
284
0,76
2003 QY
90
0,95
2005 EO
304
0,58
(80806) 2000 CM
105
0,5
2000 OJ
67
0,69
(79360) 1997 CS
29
0,95
1999 OJ
4
0,54
2003 EL
61
49,500 0,22 0,050 49,12
2001 QC
298
3,690 0,79 19,2
(82075) 2000 YW
134
0,55
(48639) 1995 TL
8
0,46
2003 UB
313
0,13
PLUTÃO/CARONTE 19,636 16,7 0,53 0,0076 6,38722
(26308) 1998 SM
165
11,310 0,42 130
(47171) 1999 TC
36
7,640 0,39 50,4
13
(a) (b)
Figura 2: Em (a), (243)Ida e seu satélite Dactyl, imagem do primeiro asteróide binário des-
coberto no Sistema Solar obtida pela sonda Galileu em 1994. FONTE: (NASA/JPL). Em (b),
Concepção artística do asteróide dubleto (90) Antiope. Creditos: Copyright European Southern
Observatory.
2 MODELO DE CAPTURA
Dada a característica temporária da captura gravitacional sob a dinâmica do problema de Três
Corpos, optamos por realizar nosso estudo sob a dinâmica do problema de Quatro Corpos, con-
siderando Sol e Júpiter, como corpos primários, e um par de asteróides, com massas menores
porém não negligenciáveis, constituindo um asteróide binário. Este estudo propõe, basica-
mente, um modelo de captura no qual um asteróide binário torna-se temporariamente capturado
por Júpiter, em um primeiro momento, se rompe, em um segundo momento, e tem um de
seus membros permanentemente capturado por Júpiter ao final do processo, enquanto o outro
membro escapa das vizinhanças de Júpiter. Para estudar este modelo, concentramo-nos primei-
ramente na obtenção de condições iniciais apropriadas que resultassem em capturas temporárias
do asteróide binário por Júpiter. Capturas temporárias, bem como encontros próximos com o
planeta, são características intrínsecas das teorias de formação planetárias (Pollack et al., 1996;
Tsiganis et al., 2005; Morbidelli et al., 2005; Gomes et al., 2005). Estudar um modelo de
captura de asteróides binários considerando a captura temporária inicial dos mesmos, agrega a
vantagem do tempo de interação entre o binário e o planeta ser maior comparado ao curto tempo
proporcionado por uma simples passagem em um encontro próximo. Na seção seguinte, 2.1,
descrevemos em detalhes o método adotado. Em contrapartida, focamos este estudo na análise
do processo de captura a fim de compreender que fatores inerentes ao mesmo caracterizam con-
dições propícias para que um asteróide, membro de um asteróide binário primordial, se torne
um possível satélite planetário. Este enfoque acarreta a desvantagem de não ser possível esti-
mar a probabilidade real dos satélites irregulares serem provenientes da captura de asteróides
14
binários.
2.1 MÉTODO
O método adotado neste estudo pode, basicamente, ser descrito em três passos: i) Primeira-
mente, realizamos um estudo de tempos de captura no sistema Sol-Júpiter-asteróide, através
do qual obtivemos as, de agora em diante chamadas, condições iniciais propícias. Estas, são
condições iniciais do problema de Três Corpos que resultam em capturas temporárias de um as-
teróide por Júpiter. ii) Uma vez obtidas as condições propícias, adicionamos outro asteróide ao
problema, orbitando o primeiro, de modo a produzir um asteróide binário. Estas novas condi-
ções iniciais, as quais chamaremos simplesmente de condições iniciais, são condições iniciais,
do problema de Quatro Corpos, utilizadas para realizar o estudo de capturas de asteróides bi-
nários. Finalmente, iii) realizamos o estudo de capturas de asteróides binários, sob a dinâmica
do problema de Quatro Corpos, considerando o sistema Sol-Júpiter-asteróide binário adotando
diferentes condições iniciais do asteróide binário derivadas de cada condição inicial propícia.
2.1.1 Condições iniciais propícias
A obtenção das condições iniciais propícias resultou de um estudo de tempos de captura que
realizamos seguindo o método descrito por Vieira Neto & Winter (2001). O método consiste,
basicamente, em integrar a trajetória de um asteróide, reversamente no tempo, sob a dinâmica
do problema de três corpos considerando Sol e Júpiter como corpos primários. O sistema é
configurado de maneira que o asteróide esteja, inicialmente, orbitando as vizinhanças de Júpiter.
O tempos, inicial e final, de integração são ajustados para 0 e −10
3
anos, respectivamente, de
modo a resultar na integração reversa do sistema. Esta integração resulta em três possíveis
resultados: i) O asteróide colide com Júpiter. ii) O asteróide permanece orbitando Júpiter até o
final da integração (−10
3
anos), o que caracteriza uma condição inicial estável, i.e., a condição
inicial primárias resulta em uma órbita estável. iii) O asteróide escapa das vizinhanças de Júpiter
e passa a orbitar o Sol.
Considerando que o estudo é realizado com integração reversa no tempo, as condições iniciais
que resultam em (iii) nos são de interesse particular para obtenção das condições iniciais pro-
pícias. Isto é, dada a reversibilidade das leis de Newton, trajetórias de escape em integrações
reversas no tempo, são trajetórias de captura quando consideradas na ordem temporal normal. A
rigor, dada a imprecisão numérica do integrador, bem como comportamento caótico das simu-
lações, as órbitas não são exatamente reversíveis, i.e., as trajetórias, resultantes das integrações
diretas e indiretas no tempo, não são idênticas. Contudo, é bastante razoalvel esperar que a
trajetórias resultantes de integrações diretas no tempo, de órbitas do tipo (iii), sejam, ao menos,
trajetórias de encontros próximos do asteróide com Júpiter. Deste modo, tomamos, então, a con-
15
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
Y (UA)
X (UA)
C.I. primaria
Figura 3: Exemplo de uma trajetória de escape na integração reversa. A trajetória tem sentido
horário e Júpiter está localizado na origem. O ponto inicial, indicado pelo ‘x’ azul corresponde
à condição inicial primária (ao redor de Júpiter). O ponto final, denotado por ‘+’ laranja, cor-
responde à condição inicial propícia.
figuração do sistema após o escape
1
como sendo as condições iniciais propícias já mencionadas.
Na prática, adotamos os elementos orbitais de Júpiter e do asteróide em relação ao Sol, deter-
minados após o escape, como condições iniciais propícias. A Figura (3) ilustra o mencionado
em termos da configuração espacial. A fim de facilitar a compreensão do texto, denominaremos
as condições iniciais, tomadas nas vizinhanças de Júpiter, cujas integrações resultam em escape
por condições iniciais primárias. Resumindo:
• Condições iniciais primárias: Condições iniciais do problema de três corpos que são
integradas reversamente no tempo para obtenção das condições iniciais propícias;
• Condições iniciais propícias: Condições iniciais do problema de três corpos que resul-
tam em uma captura temporária do asteróide por Júpiter. Adicionando ao um segundo
asteróide em órbita do primeiro, de modo a caracterizar um asteróide binário obtemos as
condições iniciais;
• Condições iniciais: Condições iniciais do problema de Quatro Corpos, considerando Sol,
Júpiter e o asteróide binário, utilizadas para realizar o estudo de captura de asteróides
binários;
O resultado completo do estudo de tempos de captura (método dado em (Vieira Neto & Winter,
2001)) é apresentado na forma de um mapa, como ilustra a Figura (4.a). Este mapa consiste
na relação das condições iniciais de uma trajetória, dadas em função dos elementos orbitais
1
A configuração do sistema é tomada em um instante de tempo, posterior ao escape, menor que um ano. Isto é
dado por considerarmos o escape do asteróide quando a energia, do problema de dois corpos, da mesma em relação
à Júpiter se torna positiva, e esta energia, por sua vez, ser calculada em intervalos de integração de um ano.
16
variáveis (a e e), com o tempo de captura resultante da integração da mesma. Os elementos
orbitais restantes (I, Ω, e f) são sempre tomados como constantes, bem como os elementos
orbitais Júpiter em relação ao Sol. No caso particular da Figura (4.a), estudo do caso plano
prógrado, os elementos orbitais constantes foram inicialmente tomados iguais à zero, ao passo
que os elementos variáveis foram configurados ajustados para gerar uma grade (a × e) com
0, 1 r
H
a 1, 0 r
H
, de largura ∆a = 0, 005 r
H
e 0 e 1, 0, de largura ∆e = 0, 005. A
região amarela do diagrama é uma região de estabilidade, isto é, região das condições iniciais
cujas integrações resultaram na permanência do asteróide capturado por Júpiter durante todo
o tempo de integração. O trabalho de Domingos et al. (2006), apresenta uma expressão que
delimita esta região de estabilidade para o caso plano. Esta expressão, denominada pelos autores
por valor crítico de semi-eixo maior, é dada por:
a
E
≈ 0, 4895(1, 0000 − 1, 0305e
P
− 0, 2738e
sat
); e
sat
0, 5 (2)
em que e
P
e e
sat
são as excentricidades do planeta e do satélite, respectivamente. Em nosso
estudo tomamos e
P
= 0. Para obter esta expressão, os autores seguiram o mesmo procedimento
dado por Vieira Neto & Winter (2001), e também ajustaram os elementos orbitais iniciais cons-
tantes para zero.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Semi-eixo maior (r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Excentricidade
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Tempo de captura (anos)
(a)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Excentricidade
Semi-eixo maior (r
H
)
(b)
Figura 4: (a) Mapa de tempos de captura. A escala de cores relaciona as condições iniciais dada
pelos elementos orbitais variáveis, a e e, ao tempo de captura resultante da integração da trajetó-
ria. Para gerar este mapa, todos os elementos orbitais constantes, (I, Ω, , f ), foram ajustados
para zero. Os pontos denotados por ‘+‘ são condições iniciais que resultam em colisões. A
região amarela, indica as condições iniciais de estabilidade. As regiões não amarelas, indicam
as condições iniciais que resultam em escape. (b) Diagrama das condições iniciais primárias
utilizadas para obter as condições iniciais propícias. Os pontos denotados por ‘x‘ verde e ‘+‘
preto, são casos cujos tempos de capturas são menores e maiores que 10
3
anos, respectivamente.
17
Concluindo a análise do mapa da Figura (4.a), as regiões não amarelas relacionam as condições
iniciais primárias que resultam no escape do asteróide. Destas regiões são tomadas as condições
iniciais primárias, as quais integradas reversamente no tempo permitem a obtenção das condi-
ções propícias. Dada grande quantidade de trajetórias simuladas na realização deste estudo,
é inviável tomar todas as trajetórias de escape como condições iniciais propícias. Contudo,
notamos que o número de trajetórias de escape com tempo de captura superior à 10
3
era perfei-
tamente factível de ser estudado. Para o caso planar progrado
2
, estudo inicial, constatamos 45
casos com tempo de captura superior à 10
3
anos. Estas, entretanto, são originadas de condições
iniciais primárias situadas em uma região bem especifica do mapa a×e, isto é, a borda da região
de estabilidade, como ilustram os pontos denotados com ‘+‘ preto na Figura (4.b). Deste modo,
a fim de obter um conjunto de condições iniciais propícias mais representativo, selecionamos
outras 36 condições iniciais primárias, de modo a abranger a região a × e de tempos curtos com
pontos igualmente espaçados, como denotam os ‘x‘ verdes na Figura (4.b). A reta pontilhada
lilás na Figura (4.b) representa o semi-eixo maior crítico dado por Domingos et al. (2006), como
mostra a equação Equação (2).
Generalizando o estudo, aplicamos o mesmo procedimento aos casos não planares, i.e., casos
cuja órbita do asteróide não é coplanar à órbita de Júpiter. A análise revelou que o número
de trajetórias de escape com tempos longos
3
de captura variam amplamente com a inclinação
como mostra o gráfico da Figura (5), resultado que está de acordo com (Vieira Neto & Win-
ter, 2001). Visando realizar o estudo dos casos inclinados de maneira compatível ao estudo
inicial do caso planar progrado, selecionamos, uniformemente, 50 condições iniciais primá-
rias oriundas de trajetórias tempos longos. Excepcionalmente para os casos com inclinação
I = 90
o
e I = 100
o
, utilizamos todos os casos oriundos de trajetórias de tempos longos dado
que os mesmos eram inferiores a 50. As condições primárias relativas às trajetórias de tempos
curtos
4
foram, da mesma maneira, selecionadas tomando pontos igualmente espaçados. O his-
tograma da Figura (5) indica o número de condições primárias selecionadas para as respectivas
inclinações. Neste texto, apresentaremos os resultados dos estudos feitos para as inclinações
20
o
, 40
o
, 60
o
, 80
o
, 90
o
, 100
o
, 120
o
, 140
o
e 160
o
. O Apêndice A contém os mapas de tempo de
captura, bem como os diagramas com as condições iniciais primárias para os casos das incli-
nações citadas. O gráfico da Figura (6) mostra as condições iniciais propícias, em termos dos
elementos orbitais a, e e I, do asteróide em relação à Júpiter. No mesmo, também estão plotadas
as curvas do pericentro e apocentro da partícula, as quais indicam que as capturas do asteróide
por Júpiter ocorrem, preferencialmente, quando o este se aproxima do planeta, através do ponto
lagrangiano L
1
, pelo apocentro de sua órbita ou, através do ponto lagrangiano L
2
, pelo pericen-
tro de sua órbita. No Apêndice A, o gráfico da Figura (22) mostra as condições propícias em
termos dos elementos orbitais, a, Ω, e i.
2
Casos cujas órbitas dos asteróides são coplanares à órbita de Júpiter.
3
Tempo de captura superior, ou igual, à 10
3
anos.
4
Tempos de captura inferior à 10
3
anos.
18
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0
o
10
20
o
30
o
40
o
50
o
60
o
70
o
80
o
90
o
100
o
110
o
120
o
130
o
140
o
150
o
160
o
170
o
Total de trajetórias
com tempos longos
Inclinação
10
20
30
40
50
Condições primárias
selecionadas
Tempos curtos
Tempos longos
Figura 5: No gráfico inferior, número total de trajetórias com tempos de captura superiores à
10
3
anos, para as respectivas inclinações. No gráfico superior, número de condições iniciais
primárias selecionadas para o estudo. Caixas verdes e pretas indicam o número de condições
propícias com tempos curtos (t < 10
3
anos) e tempos longos (t 10
3
), respectivamente. Nestes
mapas, adotamos o raio de Hill de Júpiter (r
H
) como escala para o semi-eixo maior.
19
a
J
L
1
L
2
4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
a (U.A.)
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
e
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Inclinação (graus)
Figura 6: Diagrama (a × e) das condições iniciais propícias, em relação ao Sol, adotadas para
o asteróide principal. As curvas cheias e pontilhadas, em preto, denotam o apocentro e o pe-
ricentro do asteróide, respectivamente. Estas curvas indicam que as capturas ocorrem, prefe-
rencialmente, quando o asteróide se aproxima de Júpiter, através do ponto lagrangiano L
1
, pelo
apocentro de sua órbita ou, através do ponto lagrangiano L
2
, pelo pericentro de sua órbita.
2.2 MODELO DE ASTERÓIDE BINÁRIO
Como já mencionado, para criar um asteróide binário a partir das condições iniciais propícias,
adicionamos ao problema um segundo asteróide orbitando o primeiro. Chamaremos, de agora
em diante, os asteróides principal e secundário de P1 e P2, respectivamente. Isto é, P1 é o
asteróide primordial com condições iniciais propícias, e P2 o novo asteróide que orbita P1.
Para tornar mais simples a modelagem do asteróide binário, definimos sua órbita, em termos
de seus elementos orbitais, ao redor de P1. Os elementos orbitais de P2 em relação à P1, serão
referenciados, de agora em diante, por elementos orbitais do asteróide binário, ou simplesmente
elementos do binário. Para cada condição inicial propícia, geramos 108 condições iniciais do
binário. Para tanto, variamos a anomalia verdadeira f
B
inicial do binário de 0 a 330
o
, a cada 30
o
,
e o semi-eixo maior inicial do mesmo, de 0,1r
h
a 0,5r
h
a cada 0,05r
h
. Aqui, ‘r
h
’ é escrito com
h minúsculo para diferenciar de ‘r
H
’, escrito com H maiúsculo. A unidade ‘r
h
’ representará
o raio de Hill do asteróide P1 em relação ao Sol no instante inicial da integração, ao passo
que ‘r
H
’ representa o raio de Hill de Júpiter. Para todos os casos estudados, a excentricidade
inicial do binário foi inicialmente ajustada em zero (eB = 0). A inclinação do binário, dada
em relação ao plano orbital de Júpiter, foi também inicialmente ajustada para 0 (I = 0). A
Figura (7) esboça, geometricamente, a distribuição das condições iniciais do binário.
Dado nosso interesse particular nos satélites irregulares de Júpiter, ajustamos a massa do aste-
róide P2 como m
2
= 10
19
kg, baseado na massa de Himalia, o maior satélite irregular de Júpiter
20
Figura 7: Esboço em perspectiva, fora de escala, da grade de condições iniciais de P2 em relação
à P1. As posições iniciais do asteróide P2, em azul, em relação ao asteróide P1, em vermelho,
são dadas pelas intersecções entres os raios e as circunferências.
(Emelyanov, 2005). A massa do asteróide P1 foi ajustada, com base no trabalho de Agnor &
Hamilton (2006), como m1 = 10 m
2
= 10
20
kg.
2.3 SIMULAÇÕES DE CAPTURA DE ASTERÓIDES BINÁRIOS
Para realizar nossos estudos numéricos, utilizamos um integrador com espaçamento tipo Gauss-
Radau (Everhart, 1985). O tempo de integração de cada trajetória foi ajustado para 10
4
anos e
o passo de saída para 10 horas. Para evitar o armazenamento da grande quantidade de dados
oriundos das integrações desenvolvemos um algoritmo para identificar e armazenar apenas os
dados dos principais estágios de cada trajetória integrada. Definiremos os instantes de integra-
ção referentes a cada um dos principais estágios como segue:
T
1
: instante em que o asteróide binário se torna capturado por Júpiter;
T
2
: instante em que o asteróide binário se rompe;
T
3
: instante em que um dos membros do asteróide binário primordial escapa das vizinhanças
de Júpiter
5
;
Ao identificar cada um dos três instantes, as configurações de todos os corpos são armazenadas
em três arquivos distintos. Pelas diferenças entre T
1
e T
3
ou T
f
, o tempo final de integração,
obtemos o tempo de captura para cada trajetória. O algoritmo adotado para identificar os princi-
pais instantes de integração consiste, basicamente, em analisar a energia de dois corpos, a cada
passo de integração, como descrito abaixo:
O asteróide binário se aproxima de Júpiter através de uma órbita quase-hiperbólica, dado que o
mesmo inicialmente orbita o Sol. Deste modo, as energias de dois corpos individuais de ambos
5
T
3
é um instante crucial da integração dado que após o mesmo as interações entre P1 e P2 serão totalmente
negligenciáveis.
21
os asteróides P1 e P2 com relação à Júpiter são positivas. No instante em que ambas se tornam
negativas, o instante T
1
é identificado.
De modo similar, dado que P2 orbita P1, a energia mútua entre mesmos é inicialmente negativa.
Assim, no instante em que esta se tornar positiva, o instante T
2
é identificado, dado que P2 não
tem mais uma órbita fechada em torno de P1.
Por final, dado que a ruptura, de modo geral, ocorre sempre após a captura inicial do asteróide
binários, o sistema apresenta-se em um estado no qual ambas as energias de dois corpos de P1
e P2 em relação à Júpiter são negativas, e energia mútua, do problema de dois corpos de P1
e P2 é positiva. Isto é, P1 e P2 orbitam Júpiter individualmente, de maneira que as interações
mútuas entre os mesmos são negligenciáveis, o que lhes permitem escapar, individualmente,
das vizinhanças de Júpiter. Assim, no instante em que a energia de dois corpos de P1 ou
P2 em relação à Júpiter se torna positiva, enquanto a energia de dois corpos de P2 ou P1,
respectivamente em relação à Júpiter, se mantém negativa, o instante T
3
é identificado.
Após a instante T
3
, a órbita do asteróide remanescente ao redor de Júpiter, pode ser instável.
Deste modo, três possíveis resultados sucedem o instante:
1. O asteróide remanescente colide com Júpiter, caracterizando uma colisão;
2. O asteróide remanescente escapa das vizinhanças de Júpiter, caracterizando um escape
duplo;
3. O asteróide remanescente se mantém capturado durante todo o tempo de integração, ca-
racterizando uma captura permanente;
22
3 RESULTADOS DO ESTUDO INICIAL - CASO PLANAR PROGRADO
Nesta seção apresentamos alguns gráficos gerados a partir dos dados armazenados nos instantes
T
1
, T
2
e T
2
em três subseções respectivas. Também discutiremos alguns dados estatísticos na
quarta subseção.
3.1 RESULTADOS DA ANÁLISE DO INSTANTE T
1
Os gráficos da Figura (8) comparam a separação do asteróide binário no instante T
1
com sua
variação, através dos valores de semi-eixo maior do mesmo a
B
nos instantes inicial e T
1
˙
No
gráfico (a) estão plotados os casos que resultaram em captura permanente de P1 ou P2, em
vermelho e azul, respectivamente. No gráfico (b) estão plotados os casos que resultaram em
escapes duplos ou colisões, em verde e laranja, respectivamente. Estes gráficos nos permitem
compreender mais sobre a evolução do asteróide binário desde o instante inicial da integração
até o instante T
1
.
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
∆a
B
(r
h
)
Histograma
a
B
inicial (r
h
)
(a)
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
∆a
B
(r
h
)
Histograma
a
B
inicial (r
h
)
(b)
Figura 8: Semi-eixo maior do binário pela variação do mesmo no instante T
1
. O gráfico (a)
representa os casos que resultaram em captura permanente de P1 ou P2, em vermelho ou azul,
respectivamente. O gráfico (b) representa os casos que resultaram em escapes duplos ou co-
lisões, em verde e laranja, respectivamente. As linhas cheias são histogramas com valores
relacionados na escala à direita.
As linhas cheias vermelhas e azuis são histogramas dos casos em que P1 ou P2 permaneceu
capturado, respectivamente. Estes histogramas revelam que i) a probabilidade de ocorrência de
captura permanente é muito maior para o asteróide P2. De modo mais geral, o membro menor
do asteróide binário tem maior probabilidade de captura. Os histogramas ainda nos permitem
concluir que, asteróides binários mais próximos são mais suscetíveis as capturas permanentes
que os asteróides com grandes separações. Comparando os gráficos (a) e (b), notamos que para
valores de semi-eixo maior do binário superiores à a
B
= 0, 35r
h
o número de capturas perma-
nentes para variações positivas de semi-eixo maior diminui ao contrário do número de escapes
duplos com variações também positivas de semi-eixo maior. Conseqüentemente, verificamos
que iii) a separação do asteróide binário, dada em termos de seu semi-eixo maior, tende ao li-
23
mite bem estabelecido a
∗
≈ 0, 5r
h
, alem do qual as órbitas são instáveis. Isso significa que é
possível classificar os binários suscetíveis à captura através de sua separação no instante T
1
, ou
seja, através do semi-eixo maior do binário no instante em que ele é capturado.
Com base nos resultados de Tsui (1999, 2000), os quais mostram que um asteróide pode se
tornar permanentemente capturado devido a reações de troca com um satélite do planeta, pode-
mos, a partir destes resultados, explicar o mecanismo de captura através de trocas de energia,
como segue:
1. Consideremos um asteróide binário, inicialmente em órbita heliocêntrica, que será captu-
rado por Júpiter. Uma vez que este asteróide binário esta inicialmente orbitando o Sol, a
energia individual de cada um de seus membros é maior que a energia de escape ε
0
, isto
é, a energia mínima necessária para permitir que um asteróide, individualmente, escape
de uma captura por Júpiter;
2. Entretanto, dado que os asteróides orbitam a uma distância muito pequena de seu bari-
centro comum, trocas de momento angular e energia ocorrem constantemente. Por outro
lado, após ser capturado por Júpiter (T
1
), o asteróide binário passa a sofrer fortes pertur-
bações do planeta. Conseqüentemente, as reações de trocas de tornam mais intensas;
3. Devido às perturbações de Júpiter, o binário irá se romper (T
2
). Entretanto, as trocas de
energia ocorridas até então, entre os asteróides resultaram em estados de energia nos quais
a energia de um membro é inferior à energia de escape ε
0
. Nestas condições, este membro
de menor energia permanecerá capturado, uma vez que, após a ruptura as interações de
troca entre os asteróides serão negligenciáveis;
O gráfico (b) da Figura (9) ilustra este processo de troca de energias para a trajetória mostrada
no gráfico (a). Ambos os gráficos denotam os instantes T
1
, T
2
e T
3
através de um triangulo azul
claro, um quadrado verde e um triangulo lilás, respectivamente.
24
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
Y (UA)
X (UA)
Jupiter
P1
P2
T
1
T
2
T
3
-0.1
-0.1
-0.0
0.0
0.0
0.1
-0.3 -0.2 -0.1 0.0
Zoom
(a)
-2.0x10
-2
-1.5x10
-2
-1.0x10
-2
-5.0x10
-3
0.0x10
0
5.0x10
-3
1.0x10
-2
1.5x10
-2
2.0x10
-2
0 2 4 6 8 10 12 14
-9x10
-7
-6x10
-7
-3x10
-7
0x10
0
3x10
-7
6x10
-7
9x10
-7
Energia de dois corpos do asteroide
em relacao a Jupiter
Energia de dois corpos do binario
Tempo (anos)
T
1
T
2
T
3
P1
P2
Binario
(b)
Figura 9: Um exemplo de um processo de captura. No gráfico (a), ‘+’ vermelho e ‘x’ azul,
representam a trajetória de P1 e P2, respectivamente, no sistema de referência de Júpiter (círculo
preto). O asteróide binário é temporariamente capturado por Júpiter (triangulo azul claro), se
rompe (quadrado verde) e tem, finalmente, seu menor membro permanentemente capturado
enquanto o maior escapa das vizinhanças de Júpiter (triangulo lilás). O gráfico (b) mostra a
evolução da energia para a trajetória do gráfico (a). ‘+’ vermelho e ‘x’ representam a energia
de dois corpos de P1 e P2 em relação à Júpiter, respectivamente, ao passo que a linha lilás
representa a energia de dois corpos do binário, isto é, de P2 em relação à P1.
25
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
e
B
Histograma
a
B
(r
h
)
(a)
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
e
B
Histograma
a
B
(r
h
)
(b)
Figura 10: Diagramas de semi-eixo maior versus excentricidade do binário no instante T
1
. O
gráfico (a) apresenta os casos que resultaram em captura permanente de P1 ou P2, em vermelho
e azul, respectivamente. No gráfico (b), ‘x’ verde e ‘+’ preto representam os casos que resul-
taram em escapes duplos e colisões, respectivamente. As linhas cheias são histogramas, com
valores na escala à direita
Note que estas conclusões concordam com os resultados: Elas concordam com a maior proba-
bilidade de captura do menor membro do asteróide binário uma vez que, menor massa significa
menor inércia, então, conseqüentemente é mais fácil para o asteróide menor perder a energia
necessária para permanecer capturado. A maior probabilidade de ocorrência de captura per-
manente para asteróides mais próximos também concorda com estas conclusões dado que as
interações de trocas entre corpos mais próximos são mais intensas que para corpos com maior
separação. Finalmente, o limite de separação, dados por a
∗
B
≈ 0, 5r
h
, também concorda com as
conclusões pois a separação do binário é proporcional à energia de ligação entre os mesmos, a
qual, por sua vez, está relacionada com a máxima energia que os asteróides podem trocar. Em
outras palavras, binários com grandes separações não conseguem trocar energia suficiente para
produzir capturas permanentes.
Os gráficos (a) e (b) na Figura (10) são diagramas a
B
×e
e
do instante T
1
. O gráfico (a), relaciona
os caos que resultaram em captura permanente de P1 (vermelho) ou P2 (azul). No gráfico (b),
‘x’ verde indicam casos que resultaram em escapes duplos e ‘+’ preto casos que resultaram em
colisões. As linhas cheias são histogramas.
26
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
e
a (r
H
)
(a)
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
e
a (r
H
)
(b)
Figura 11: Diagramas de semi-eixo maior versus excentricidade dos asteróides no instante T
2
.
O gráfico (a) mostra os casos que resultaram em captura permanente de P1 ou P2, em vermelho e
azul, respectivamente. O gráfico (b) mostra os casos que resultaram em escapes duplos. Pontos
denotados por ‘+’ verde representam os asteróides que escaparam após o instante T
3
. A linha
lilás é o semi-eixo maior crítico encontrado por Domingos et al. (2006) (veja Equação (2)) para
e
P
= 0.
Comparando os gráficos (a) e (b) da Figura (10), confirmamos o valor limite de semi-eixo maior,
a
∗
B
≈ 0, 5r
h
, uma vez que o gráfico (b) apresenta um quantidade notável de casos de escapes
duplos nos quais o semi-eixo maior do binário excede a
∗
B
. O principal resultado deste gráfico,
entretanto, é a relação da excentricidade com o semi-eixo maior do binário. Comparando os
gráficos(a) e (b), notamos, que mesmo para pequenos valores de semi-eixo maior, a captura
permanente não ocorre se a excentricidade estiver acima de um limite associado ao respectivo
valor de semi-eixo maior.
3.2 RESULTADOS DA ANÁLISE DO INSTANTE T
2
Com já definido antes, o instante T
2
é caracterizado pela ruptura do asteróide binário. Deste
modo, os gráficos desta subseção apresentam os elementos individuais de cada asteróide em
relação à Júpiter. O gráfico (a) da Figura (11) é um diagrama a×e, no instante T
2
, dos asteróides
que permaneceram capturados por Júpiter. O gráfico (b) mostra o mesmo diagrama para o
último asteróide a escapar de Júpiter nos casos de escapes duplos. Da comparação de (a) e (b),
encontramos uma região no espaço a × e na qual um asteróide permanece capturado no instante
da ruptura T
2
. Ajustando uma expressão para esta região do espaço a × e encontramos um
limite de semi-eixo maior dado em termos da excentricidade, com segue:
a
∗
(e) = 0.4500(1.0000 − 0.2046e) (3)
Em outras palavras, no instante da ruptura, podemos prever se o asteróide permanecerá captu-
rado verificando se o semi-eixo maior do mesmo obedece a < a
∗
(e). Contudo, não afirmamos
que probabilidade de ocorrência de captura permanente fora dessa região é nula.
27
O segundo gráfico do instante T
2
é um histograma angular. Este nos permite determinar a
probabilidade ocorrência de captura permanente de P2 para uma dada configuração angular
do sistema no instante da ruptura. Para tornar esta análise mais fácil, definimos um sistema
conveniente que nos permite determinar as posições angulares dos asteróides através de dois
ângulos, como ilustra a Figura (12). O θ
1
mede o ângulo entre as direções Sol-Júpiter e Júpiter-
P1, ao passo que, θ
2
mede o ângulo entre as direções Júpiter-P1 e P1-P2. Note que neste
sistema, P1 orbita Júpiter no sentido anti-horário e P2 orbita P1 também no sentido anti-horário.
Os gráficos da Figura (13) apresentam os histogramas de probabilidade da seguinte forma: Os
círculos vermelhos representam a posição angular de P1 em relação à direção Sol-Júpiter (θ
1
)
com intervalos de 30
o
. As seções angulares ao redor de cada círculo vermelho representam a
posição angular de P2 em relação à direção Júpiter-P1 (θ
2
), também, para intervalos de 30
o
.
As cores das seções relacionam as porcentagens de captura permanente ou escapes através das
escalas de cores nos histogramas (a) e (b), respectivamente. As seções brancas representam um
número nulo absoluto de eventos. O gráfico (a) mostra as porcentagens em relação ao total de
capturas de P2, e o gráfico (b) a porcentagem de escapes em relação número total de casos de
escapes.
Figura 12: Esboço da configuração angular entre os corpos.
28
(a) (b)
Figura 13: Histograma angular do instante T
2
. Os círculos vermelhos indica a posição de P1
em relação à Júpiter (θ
1
). As seções angulares ao redor de cada circulo vermelho indicam
a posição de P2 em relação à P1 (θ
2
). As cores das seções relacionam as probabilidades de
captura permanente de P2 através da escala em (a). Analogamente, em (b) as seções relacionam
a probabilidade de escape duplo.
Observando os histogramas notamos que: i) as rupturas ocorrem preferencialmente quando
Júpiter, P1 e P2 estão aproximadamente alinhados, isto é, θ
2
≈ 0 ou θ
2
180
0
. A maior pro-
babilidade observada para θ
1
≈ 180
0
no histograma de escapes duplos (b), comparada com a
pequena probabilidade para θ
1
≈ 180
o
no diagrama de capturas permanentes (a) indicam que
ii) rupturas que ocorrem quando o asteróide binário está alinhado entre Júpiter e o Sol, muito
provavelmente, resultam em escapes duplos. Por outro lado, o histograma (a) mostra que iii)
capturas permanentes de P2 resultam com grande probabilidade de asteróides binários que se
rompem em uma posição angular de aproximadamente 90
o
após cruzar a direção Sol-Júpiter
(θ
1
≈ 270
o
). Finalmente, do histograma de captura (a) também observamos que as capturas
permanentes de P2 sucedem de rupturas que ocorrem qual P2 está em conjunção inferior com
P1, visto de Júpiter (θ
2
≈ 180
o
).
Estes resultados reforçam a importância da presença do Sol na dinâmica de captura de asteróides
binários dado que estas posições angulares características estão intrinsecamente vinculadas à
posição de Júpiter em relação ao Sol, isto é, a linha da direção Sol-Júpiter.
3.3 RESULTS AT T
3
Os dados armazenados no instante T
3
, mostram a configuração final do asteróide capturado,
dados que este não irá sofrer interações com o outro asteróide. O gráfico da Figura (14), é um
diagrama a × e dos asteróides permanentemente capturados no instante T
3
. Pontos denotados
por ‘+’ vermelho e ‘x’ azul relacionam os casos em que P1 ou P2 permaneceu capturado, res-
pectivamente. Os círculos pretos representam os satélites irregulares progrados reais de Júpiter.
A linha lilás é o semi-eixo maior crítico encontrado por Domingos et al. (2006), dado pela
Equação (2). O contorno lilás é uma borda de uma de uma região de estabilidade estendida
29
obtida através de um estudo mais geral de tempos de captura.
Este estudo mais geral consistiu em seguir os mesmos passos desenvolvidos por Vieira Neto &
Winter (2001), considerando, entretanto, valores iniciais diferentes para longitude do pericentro
0
e anomalia verdadeira f
0
. Dos resultados deste estudo, mostrados em Figura (4), descobri-
mos que para os pares de valores iniciais (
0
= 0, f
0
= 180
o
) e (
0
= 180
o
, f
0
= 180
o
), os
mapas de tempo de captura têm regiões de estabilidade maiores. Combinando as bordas das
regiões de estabilidade dos mapas (a) e (b) da Figura (4), de modo a obter uma região mais
abrangente, obtivemos a borda de estabilidade mais geral mostrada na Figura (14).
Os pontos no gráfico Figura (14) mostram que os elementos orbitais a e e dos asteróides perma-
nentemente capturados abrangem uma larga região do espaço a × e. Apesar deste estudo só ter
considerado o caso planar, alguns asteróides permaneceram capturados com órbitas similares,
em semi-eixo e excentricidade, as órbitas reis dos satélites irregulares progrados de Júpiter.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
e
a (r
H
)
Figura 14: Mesmo gráfico da Figura (11.1) para os dados do instante T
3
. Os pontos denotados
por ‘+’ vermelho e ‘x’ azul representam os casos em que P1 ou P2 permaneceu capturado,
respectivamente. As circunferências pretas representam os satélites irregulares progrados reais
de Júpiter. O contorno lilás é a borda de uma região de estabilidade mais geral
30
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Semi-eixo maior (r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Excentricidade
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Tempo de captura (anos)
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Semi-eixo maior (r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Excentricidade
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Tempo de captura (anos)
(a) (b)
Figura 15: Mesmo mapa da figura Figura (4), gerado para diferentes pares de condições iniciais.
Mapa (a) ω
0
= 0 e λ
0
= 180
o
e mapa (b) ω
0
= 180
o
e λ
0
= 180
o
.
3.4 CAPTURAS DE ASTERÓIDES BINÁRIOS EM NÚMEROS
Das 8 748 trajetórias simuladas, 4 860 foram provenientes de condições iniciais primárias de
tempos longos e 3 888 de tempos curtos. Tabela (6) apresenta as quantidades de capturas per-
manentes e colisões. A segunda e a terceira colunas mostram os valores com relacionados
às trajetórias de condições iniciais provenientes de tempos curtos e longos, respectivamente.
Como mostrado na Tabela (6), apesar da probabilidade de captura permanente para os casos
derivados das condições de tempos curtos ser baixa, a probabilidade de captura permanente
para trajetórias provenientes de condições de tempos longos é bastante expressiva (20%). As
probabilidades de colisões, para ambos os casos tem a mesma ordem.
Tabela 6: Números de simulações, capturas e colisões.
Descrição Tempos curtos de captura Tempos longos de captura
Simulations 3 888 4 860
Captures 7 972
Captures of P1 1 5
Captures of P2 6 966
Double captures
6
0 1
Collisions 180 143
31
4 RESULTADOS DO ESTUDO GENERALIZADO - CASOS INCLINADOS
Nesta seção apresentaremos os gráficos dos resultados do estudo mais geral, no qual estudamos
os casos não planares. Os gráficos serão dispostos, como na seção anterior, em três subseções
relativas aos instantes T
1
, T
2
e T
3
. Adicionalmente, uma quarta subseção apresenta os gráficos
relativos às configurações no instante final da integração.
4.1 RESULTADOS DA ANÁLISE DO INSTANTE T
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
a
B
inicial (r
h
)
−1x10
−1
−1x10
−2
−1x10
−3
−1x10
−4
0
1x10
−4
1x10
−3
1x10
−2
1x10
−1
∆a
B
(r
h
)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Inclinação (graus)
(a)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
a
B
inicial (r
h
)
−1x10
−1
−1x10
−2
−1x10
−3
−1x10
−4
0
1x10
−4
1x10
−3
1x10
−2
1x10
−1
∆a
B
(r
h
)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Inclinação (graus)
(b)
Figura 16: Semi-eixo maior inicial do binário versus a variação do mesmo no instante T
1
.
Os gráficos (a) e (b) representam os casos que resultaram na captura permanente de P1 e P2,
respectivamente. As cores dos pontos relacionam a inclinação do binário, no instante T
1
através
da escala de cores.
Os gráficos da Figura (16), da mesma forma que os gráficos da Figura (8), comparam a sepa-
ração do asteróide binário no instante inicial da integração com sua variação até o instante T
1
,
através dos valores de semi-eixo maior do mesmo a
B
nos instantes inicial e T
1
. Os gráficos
(a) e (b) da Figura (16) representam os casos que resultaram na captura permanente do aste-
róide P1 e P2, respectivamente. Primeiramente, notamos que, da mesma forma que no caso
planar prógrado, a probabilidade de captura do asteróide de menor massa é maior. Entretanto,
a probabilidade de captura do asteróide P1 para caso inclinado, é ligeiramente maior que a
probabilidade de captura do mesmo para o caso planar prógrado. Um resultado novo surge da
comparação dos gráficos da Figura (16) com o gráfico (a) da Figura (8). Isto é, o último aponta a
existência de um limite no valor de semi-eixo maior (a
B
≈ 0, 35r
h
), acima do qual a probabili-
dade de captura diminuía expressivamente. Entretanto, os gráficos da Figura (16) mostram que
este limite é valido apenas para os casos do asteróide de menor massa, P2. A distribuição dos
pontos no gráfico (a), não indica uma queda apreciável da probabilidade de captura do asteróide
P1 para valores superiores a a
B
≈ 0, 35r
h
.
32
4.2 RESULTADOS DA ANÁLISE DO INSTANTE T
2
O aumento dos graus de liberdade do problema proveniente da inclinação agrega dificuldade à
análise dos resultados. Para fazer um estudo comparativo à análise dos histogramas angulares
da Figura (13), optamos por estudar a projeção das distâncias angulares no plano orbital de Jú-
piter. Os gráficos (a) e (b) da Figura (17), são diagramas angulares dos casos que resultaram
na captura permanente de P1 e P2, respectivamente. Estes gráficos confirmam os principais
resultados obtidos da Figura (13.a). Isto é, a grande densidade de pontos na região da “quadra-
tura” (θ
1
≈ 270
o
) no gráfico (b), indica a maior probabilidade de captura do asteróide P2 para
esta configuração. Do mesmo modo, notamos que a configuração mais favorável é a conjunção
inferior de P2 com P1, visto de Júpiter, isto é, θ
2
≈ 180
o
.
0 60 120 180 240 300 360
θ
1
(graus)
0
60
120
180
240
300
360
θ
2
(graus)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Inclinação (graus)
(a)
0 60 120 180 240 300 360
θ
1
(graus)
0
60
120
180
240
300
360
θ
2
(graus)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Inclinação (graus)
(b)
Figura 17: Projeção das distâncias angulares θ
1
versus θ
2
, conforme mostra o esboço da Fi-
gura (12). Os gráficos (a) e (b) representam os casos que resultaram na captura permanente de
P1 e P2, respectivamente. As cores dos pontos relacionam a inclinação do binário, no instante
T
2
, através da escala de cores.
4.3 RESULTADOS DA ANÁLISE DO INSTANTE T
3
A Figura (18) mostra os diagramas a × e com a configuração dos asteróides capturados no
instante T
3
. Os gráficos (a) e (b) relacionam os casos que resultaram em captura permanente
de P1 e P2, respectivamente. Os asteróides capturados em órbitas prógradas estão distribuídos
de maneira semelhante aos casos observados no estudo inicial do caso planar prógrado. Os
diagramas polares da Figura (19) apresentam a distribuição dos asteróides capturados com uma
ênfase maior na inclinação. Como nas outras figuras, (a) e (b) representam os casos em que P1
e P2 ficaram permanentemente capturados, respectivamente. Estão destacados nos diagramas,
com arcos verdes pontilhados, o máximo e o mínimo valor de semi-eixo maior dos satélites
33
irregulares reais de Júpiter. Estão destacados também, com arcos na cor lilás, o menor pericentro
e o maior apocentro das órbitas dos satélites irregulares reais de Júpiter. Estes diagramas podem
ser comparados ao diagrama da Figura (1), que mostra a distribuição dos satélites irregulares de
Júpiter.
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
a
P1
(r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
e
P1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Inclinação (graus)
(a)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
a
P2
(r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
e
P2
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Inclinação (graus)
(b)
Figura 18: Semi-eixo maior versus excentricidade do asteróide no instante T
3
. Os gráficos (a)
e (b) representam os casos que resultaram na captura permanente de P1 e P2, respectivamente.
As cores dos pontos relacionam a inclinação do binário, no instante T
3
através da escala de
cores.
Da Figura (19.b), notamos uma quantidade expressivamente maior de asteróides capturados em
órbitas prógradas. Associando isto ao fato do número de condições iniciais simuladas para os
casos progrados e retrógrados serem da mesma ordem, concluímos que o asteróide menor tem
maior probabilidade de ser capturados em uma órbita prógrada. Por outro lado, notamos uma
ligeira tendência do asteróide maior ser capturado em órbita retrógrada. Verificando os dados,
pudemos constatar que entre os casos em que P1 permaneceu capturado, 56,36 % das órbitas
são retrógradas, ao passo que entre os casos de captura permanente de P2, 91,42 % das órbitas
são prógradas.
4.4 CONFIGURAÇÃO FINAL DOS ASTERÓIDES CAPTURADOS
No estudo inicial, caso planar prógrado, nos surgiu a dúvida de quão estável seria a órbita
final do asteróide capturado, isto é, quão diferente seria a órbita ao final da integração em
relação à órbita conhecida no instante T
3
. Isto não pode ser verificado dado que não havíamos
armazenado as configurações do sistema no instante final da integração. Ao iniciar o estudo
general com inclinações, tomamos então, o cuidado de também armazenar a configuração do
sistema ao final da integração. A título de comparação, apresentamos nesta subseção a mesma
análise gráfica da subseção anterior, 4.3, para as configurações finais dos asteróides capturados.
Comparando os gráficos das figuras 20 e 21 com os gráficos das figuras 18 e 19, notamos que
os valores médios não variam substancialmente.
34
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
a
P1
.sen(I
P1
) (r
H
)
a
P1
.cos(I
P1
) (r
H
)
(a)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
a
P2
.sen(I
P2
) (r
H
)
a
P2
.cos(I
P2
) (r
H
)
(b)
Figura 19: Diagrama polar da distribuição dos asteróides no instante T
3
. Os gráficos (a) e (b)
representam os casos que resultaram na captura permanente de P1 e P2, respectivamente. As
extremidades das barras representam o apocentro e o pericentro da órbita, e suas inclinações,
contada a partir do eixo horizontal no sentido anti-horário, representam as inclinações orbi-
tais. As semicircunferências verdes, a título de comparação, representam os valores mínimo e
máximo de semi-eixo maior dos satélites irregulares reais de Júpiter. Também a título de com-
paração, as circunferências de cor lilás representam o menor pericentro e o maior apocentro das
órbitas dos satélites irregulares reais de Júpiter.
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
a
P1
(r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
e
P1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Inclinação (graus)
(a)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
a
P2
(r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
e
P2
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Inclinação (graus)
(b)
Figura 20: Mesma análise gráfica da Figura (18), para a configuração no instante final da inte-
gração.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
a
P1
.sen(I
P1
) (r
H
)
a
P1
.cos(I
P1
) (r
H
)
(a)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
a
P2
.sen(I
P2
) (r
H
)
a
P2
.cos(I
P2
) (r
H
)
(b)
Figura 21: Mesma análise gráfica da Figura (19), para a configuração no instante final da inte-
gração.
35
5 CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho, estudamos a dinâmica de captura de asteróides binários procurando pelas con-
dições favoráveis que tornam uma captura permanente. Nossos resultados apresentam novas
perspectivas a respeito do problema de captura de asteróides binários enfatizando a importân-
cia do papel do Sol na dinâmica. Os resultados obtidos nos permite compreender características
intrínsecas do processo, bem como, características relativas à configuração do asteróide binário.
Em uma primeira abordagem, na qual estudamos o caso planar prógrado, constatamos que
asteróides binários com pequenas separações são mais suscetíveis a capturas permanentes que
asteróides com maior separação. Contudo, considerando uma abordagem mais geral, na qual
estudamos encontros de asteróides binários fora do plano orbital de Júpiter, constatamos que
este resultado é um caso particular do resultado mais geral. Isto é, i) em asteróides binários com
pequenas separações, o menor membro é mais suscetível à captura permanente. Entretanto,
os novos resultados indicam que, ii) considerando capturas fora do plano orbital de Júpiter,
asteróides binários com grandes separações resultam em uma maior susceptibilidade à captura
permanente do seu maior membro. Contudo, a probabilidade global de captura permanente é
maior para o menor membro do asteróide binário.
Ainda sobre as considerações dos membros do binário, os resultados indicam uma probabilidade
expressivamente maior do menor membro do binário ser capturado em uma órbita prógrada,
enquanto o maior membro tem uma probabilidade ligeiramente maior de ser capturado em uma
órbita retrógrada. Estes resultados refletem a necessidade de se avaliar o modelo para diferentes
valores e razões de massas do asteróide binário.
Em relação às características relativas ao processo de captura, o estudo mais geral concorda
com os primeiros resultados, os quais indicam que à posição angular dos corpos no instante da
ruptura tem forte influência na probabilidade de ocorrência de captura permanente. Resumindo:
iii) Rupturas ocorrem preferencialmente quando ambos os asteróides, membros do binário, es-
tão aproximadamente alinhados com Júpiter; Contudo, iv) rupturas que ocorrem quando P2 está
entre Júpiter e P1 resultam mais freqüentemente em capturas permanentes; iv) A probabilidade
de ocorrência de capturas permanentes é consideravelmente maior para rupturas que ocorrem
em “quadratura ”com Júpiter, isto é, quando o binário se encontra em uma posição angular de
aproximadamente 90
o
após sua passagem pela linha que une Sol-Júpiter.
Ponderando o estudo realizado e os resultados alcançados, concluímos que a dinâmica do mo-
delo proposto é eficiente no que tange ao objetivo de se capturar permanentemente corpos a
partir de órbitas heliocêntricas. Por outro lado, temos observado que cada novo resultado su-
gere novas hipóteses e a necessidade de se avaliar novos parâmetros, o que tende a ramificar
consideravelmente o estudo. Dentre as perspectivas futuras, destacamos:
• A necessidade se analisar as razões de massas;
• Um estudo considerando as inclinações relativas do binário, isto é, a inclinação de P2 em
36
relação à P1;
• Considerar um tratamento de colisões mútuas entre os membros do binário, dado que no
presente estudo as integrações foram interrompidas em tais ocorrências. Colisões mútuas
geram fragmentos que, de maneira semelhante aos binários, podem ser permanentemente
capturados;
• Por fim, há de se considerar a possibilidade de se estudar a captura de grupos de asterói-
des;
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www.eso.org, ESO - 2007
APÊNDICE
41
Apêndice A
a (U.A.)
Ω (graus)
4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
0
60
120
180
240
300
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Inclinação (graus)
a (U.A.)
ϖ (graus)
60
120
180
240
300
a (U.A.)
f (graus)
a
J
L
1
L
2
60
120
180
240
300
360
Figura 22: Condições iniciais propícias. Diagramas (a × Ω), (a × ) e (a × f ), do asteróide P1
em relação ao Sol, de baixo para címa, respectivamente.
42
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Semi-eixo maior (r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Excentricidade
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Tempo de captura (anos)
(a)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Excentricidade
Semi-eixo maior (r
H
)
(b)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Semi-eixo maior (r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Excentricidade
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Tempo de captura (anos)
(c)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Excentricidade
Semi-eixo maior (r
H
)
(d)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Semi-eixo maior (r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Excentricidade
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Tempo de captura (anos)
(e)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Excentricidade
Semi-eixo maior (r
H
)
(f)
Figura 23: Mapas de tempo de captura na coluna à esquerda. Na coluna à direita, condições
iniciais primárias selecionadas, em que pontos denotados por “x” verde e “+” preto representam
os casos com tempos de captura menores e maiores que 10
3
anos. Do topo para baixo, os mapas
são referentes às inclinações de 20
o
, 40
o
e 60
o
, respectivamente
43
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Semi-eixo maior (r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Excentricidade
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Tempo de captura (anos)
(a)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Excentricidade
Semi-eixo maior (r
H
)
(b)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Semi-eixo maior (r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Excentricidade
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Tempo de captura (anos)
(c)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Excentricidade
Semi-eixo maior (r
H
)
(d)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Semi-eixo maior (r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Excentricidade
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Tempo de captura (anos)
(e)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Excentricidade
Semi-eixo maior (r
H
)
(f)
Figura 24: Mapas de tempo de captura na coluna à esquerda. Na coluna à direita, condições
iniciais primárias selecionadas, em que pontos denotados por “x” verde e “+” preto representam
os casos com tempos de captura menores e maiores que 10
3
anos. Do topo para baixo, os mapas
são referentes às inclinações de 80
o
, 90
o
e 100
o
, respectivamente
44
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Semi-eixo maior (r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Excentricidade
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Tempo de captura (anos)
(a)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Excentricidade
Semi-eixo maior (r
H
)
(b)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Semi-eixo maior (r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Excentricidade
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Tempo de captura (anos)
(c)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Excentricidade
Semi-eixo maior (r
H
)
(d)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Semi-eixo maior (r
H
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Excentricidade
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
Tempo de captura (anos)
(e)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Excentricidade
Semi-eixo maior (r
H
)
(f)
Figura 25: Mapas de tempo de captura na coluna à esquerda. Na coluna à direita, condições
iniciais primárias selecionadas, em que pontos denotados por “x” verde e “+” preto representam
os casos com tempos de captura menores e maiores que 10
3
anos. Do topo para baixo, os mapas
são referentes às inclinações de 120
o
, 140
o
e 160
o
, respectivamente
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